A Reação da Radiação
Uma partícula carregada emite radiação de energia, momentum e momentum
angular quando acelerada e, portanto, sofre uma força de reação à emissão
radiativa. Abraham, em 1903, e Lorentz, em 1904, propuseram uma teoria
em que o momentum de uma partícula carregada tem origem completamente
eletromagnética. Assim, a lei de conservação de momentum linear envolvendo
campos e matéria, na teoria de Abraham-Lorentz, não apresenta o termo com
momentum mecânico, apenas o termo envolvendo o momentum eletromagnético.
Como os campos nessa lei são os campos totais presentes em uma região V, na
ausência de momentum mecânico, a lei é equivalente a
ˆ
V
J (r, t)
× B (r, t)
=
d3 r ρ (r, t) E (r, t) +
c
0.
Devemos lembrar que o balanço de momentum foi obtido igualando essa equação
à variação do momentum mecânico da matéria dentro da região V. Agora, a
região V será tomada como o interior de uma partícula de carga total q, uniformemente distribuída. Além disso, V será tomada como uma esfera de raio
R0 . Os campos totais podem ser decompostos em uma contribuição da própria
partícula e de fontes externas à distribuição de carga em V. A força externa
sobre a partícula é, portanto, escrita como
ˆ
Fext
J (r, t)
d r ρ (r, t) Eext (r, t) +
× Bext (r, t) ,
c
3
=
V
onde Eext (r, t) e Bext (r, t) são os campos externos à partícula. Para uma
partícula localizada em uma região em que os campos externos variam muito
pouco, podemos escrever
Fext
=
q
qEext (r, t) + v × Bext (r, t) .
c
Os campos devidos à própria partícula serão denotados por Epart (r, t) e
Bpart (r, t) . Portanto, podemos escrever:
ˆ
J (r, t)
3
× Bpart (r, t) ,
Fext = −
d r ρ (r, t) Epart (r, t) +
c
V
já que não há momentum mecânico atribuído à partícula nessa teoria. Tomemos
a partícula como instantaneamente em repouso no instante t. Então,
ˆ
Fext
= −
V
d3 r [ρ (r, t) Epart (r, t)] .
O campo Epart , no interior V da partícula de carga total q, pode ser visto como a
superposição de cada elemento de campo dEpart produzido por cada elemento de
carga ρ (r0 , t) d3 r0 da partícula. Estaremos sempre supondo que cada elemento
de carga tenha sempre a mesma velocidade ṙ0 (t) , em cada instante de tempo t,
1
pois a hipótese é de uma distribuição de carga esférica rígida. Fixemos o instante
de tempo t, quando a partícula está em repouso com relação ao referencial do
laboratório e, portanto,
ṙ0 (t)
= 0,
no instante xo t, mas não necessariamente em outros instantes. Nesse instante
de tempo xo, podemos escrever
ˆ
Epart (r, t)
=
V
dEpart (r, t) .
O campo elementar dEpart (r, t) , produzido por um elemento de carga ρ (r0 , t) d3 r0
que descreve uma trajetória r0 = r0 (t) é deduzido a partir dos potenciais de
Liénard-Wiechert e o resultado é

2
R̂
(t
)
−
β
(t
)
1
−
(β
(t
))
ret
ret
ret

dEpart (r, t) = d3 r0 ρ (r0 , t) 
3
2
(R (tret )) 1 − R̂ (tret ) · β (tret )
h
i
R̂ (tret ) × R̂ (tret ) − β (tret ) × a (tret ) 
+
,
3
R (tret ) c2 1 − R̂ (tret ) · β (tret )
onde
R (tret )
tret
= r − r0 (tret ) ,
|r − r0 (tret )|
,
c
= t−
R (tret )
= |R (tret )| ,
R̂ (tret )
=
v (tret )
=
=
β (tret )
=
R (tret )
,
R (tret )
dr0 (tret )
dtret
ṙ0 (tret ) ,
v (tret )
c
e
β (tret )
= |β (tret )| .
2
Para o cálculo do campo elétrico no interior da partícula de raio R0 , vemos que
tret difere de t por um intervalo de tempo não maior do que R0 /c, que dá a ordem
de grandeza do tempo que leva para um sinal luminoso cruzar a partícula. Como
a partícula é um modelo para o elétron, R0 será tomado como muito pequeno
e R0 /c será suposto como um intervalo de tempo curto o suciente para que
a posição, a velocidade, a aceleração e outras derivadas superiores da posição
da partícula não tenham sido alteradas apreciavelmente. Em outras palavras,
vamos supor que
β
1,
|a|
c2
|v| c
,
R0
R0
|ȧ|
c3
|a| c
2,
R0
R0
|ä (t)|
c4
ȧ (t) c
3,
R0
R0
etc., para todo instante de tempo. Consideremos uma função qualquer de tret ,
f (tret ) . Então, podemos expandir
f (tret )
=
∞
n
n
X
(−1)
n ∂ f (t)
[R (tret )]
.
n
n!c
∂tn
n=0
Em especial, até ordem 1/c3 ,
R (tret )
=
∞
n
n
X
(−1)
n ∂ R (t)
[R (tret )]
n
n!c
∂tn
n=0
≈ R (t) −
2
3
1
1
R (tret ) ∂R (t)
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
+ 2 [R (tret )]
− 3 [R (tret )]
.
2
c
∂t
2c
∂t
6c
∂t3
Mas,
∂R (t0 )
∂t0
=
=
=
=
∂
|r − r0 (t0 )|
∂t0
∂ p
[r − r0 (t0 )] · [r − r0 (t0 )]
∂t0
1
∂r0 (t0 )
0 0
−
[r
−
r
(t
)]
·
R (t0 )
∂t0
−R̂ (t0 ) · v (t0 ) .
Em particular, porque v (t) = 0,
∂R (t)
∂t
= −R̂ (t) · v (t)
=
0
3
e, portanto,
R (tret ) ≈
R (t) +
2
3
1
1
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
[R
(t
)]
−
[R
(t
)]
.
ret
ret
2c2
∂t2
6c3
∂t3
Iterando essa expressão e mantendo termos até ordem 1/c3 , obtemos
2 2
2
3
1
1
1
∂ R (t)
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
R (tret ) ≈ R (t) + 2 R (t) + 2 [R (tret )]
− 3 [R (tret )]
+ ...
2c
2c
∂t2
6c
∂t3
∂t2
3
2
3
∂ 3 R (t)
1
1
1
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
−
R (t) + 2 [R (tret )]
− 3 [R (tret )]
+ ...
,
3
2
3
6c
2c
∂t
6c
∂t
∂t3
isto é,
R (tret ) ≈ R (t) +
2
3
1
1
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
[R
(t)]
−
[R
(t)]
.
2c2
∂t2
6c3
∂t3
Mas,
∂ 2 R (t0 )
∂t02
=
=
∂
R (t0 ) · v (t0 )
−
∂t0
R (t0 )
0
1
∂R (t0 )
R (t0 ) · a (t0 )
R (t ) · v (t0 ) ∂R (t0 )
0
−
·
v
(t
)
−
2
∂t0
R (t0 )
∂t0
R (t0 )
[R (t0 )]
2
2
= −
[R (t0 ) · v (t0 )]
+
3
[R (t0 )]
[v (t0 )]
R (t0 ) · a (t0 )
−
R (t0 )
R (t0 )
e, assim,
∂ 2 R (t)
∂t2
= −
R (t) · a (t)
.
R (t)
De forma análoga, podemos calcular
∂ 3 R (t0 )
∂t03
=
"
#
2
2
[R (t0 ) · v (t0 )]
[v (t0 )]
∂
R (t0 ) · a (t0 )
−
+
−
3
∂t0
R (t0 )
R (t0 )
[R (t0 )]
3
−
3 [R (t0 ) · v (t0 )]
5
[R (t0 )]
R (t ) · ȧ (t0 )
R (t0 )
+
R (t0 ) · v (t0 )
3
[R (t0 )]
2
[v (t0 )] −
3R (t0 ) · v (t0 ) R (t0 ) · a (t0 )
[R (t0 )]
0
−
e, com isso,
∂ 3 R (t)
∂t3
= −
R (t) · ȧ (t)
.
R (t)
Logo,
2
R (tret ) ≈ R (t) −
R (t) R (t) · a (t) [R (t)] R (t) · ȧ (t)
+
.
2c2
6c3
4
3
+
3v (t0 ) · a (t0 )
R (t0 )
Assim, usando como notação
β
=
β (t) ,
a
=
a (t) ,
ȧ =
ȧ (t) ,
R
= R (tret ) ,
R̂
= R̂ (tret ) ,
R
= R (tret )
e
ä =
ä (t) ,
obtemos
ȧ (tret ) ≈
ȧ −
R
ä,
c
já que, por hipótese,
R
ä
c
R ȧc
< |ȧ| ,
c R0
pois, obviamente,
R
<
R0 .
De forma análoga, também temos
v (tret ) ≈
−
R
1 R2
a+
ȧ,
c
2 c2
pois estamos supondo que, no instante xo t,
v (t)
= 0
e
|ȧ|
ac
,
R0
isto é,
R2
ȧ
c2
R2 ac
R
<
a .
c2 R0
c
5
Agora temos o denominador:
h
i−3
1 − R̂ · β (tret )
−3
= R3 [R − R · β (tret )]
−3
R
3
≈ R R−
· v (tret )
.
c
Usando o resultado acima,
v (tret ) ≈
−
vem
h
1 − R̂ · β (tret )
R
1 R2
a+
ȧ,
c
2 c2
−3
R · a R R · ȧ
≈
1+ 2 −
c
2 c3
R · a 3R R · ȧ
≈ 1−3 2 +
.
c
2 c3
i−3
Vamos considerar termos até a ordem 1/c3 . Na expressão do campo elétrico,
aparece o termo
2
R̂ − β (tret ) 1 − (β (tret ))
3
R2 1 − R̂ · β (tret )
=
2
(R − Rβ (tret )) 1 − (β (tret ))
.
3
R3 1 − R̂ · β (tret )
Com as aproximações acima, segue
R − Rβ (tret ) ≈ R +
R2
1 R3
a
−
ȧ
c2
2 c3
e, também, até ordem 1/c3 ,
(R − Rβ (tret ))
3
R3 1 − R̂ · β (tret )
≈
R
a
ȧ
+
− 3
R3
Rc2
2c
R · a 3R R · ȧ
1−3 2 +
c
2 c3
a
ȧ
RR · a 3RR · ȧ
R
+
− 3 −3 3 2 +
.
R3
Rc2
2c
R c
2R2 c3
=
Notemos que desprezamos [β (tret )]2 porque
2
[β (tret )]
2
1
R
1 R2
−
a
+
ȧ
,
c2
c
2 c2
≈
que é da ordem de 1/c4 . O outro termo do campo elétrico é
i
R̂ − β (tret ) × a (tret )
3
Rc2 1 − R̂ · β (tret )
R̂ ×
h
=
RR · a (tret )
Rv (tret ) R · a (tret )
3 −
3
R3 c2 1 − R̂ · β (tret )
R3 c3 1 − R̂ · β (tret )
R2 a (tret )
−
R3 c2 1 − R̂ · β (tret )
6
3 +
RR · β (tret ) a (tret )
3 .
R3 c2 1 − R̂ · β (tret )
Calculemos cada um até ordem 1/c3 :
RR · a (tret )
3
R3 c2 1 − R̂ · β (tret )
−
R
R · a 3R R · ȧ
R · ȧ
1−3 2 +
c
c
2 c3
≈
R
R3 c2
≈
RR · a RR · ȧ
−
,
R 3 c2
R2 c3
Rv (tret ) R · a (tret )
3
R3 c3 1 − R̂ · β (tret )
≈
−
R·a−
1
2
R c3
R
R
1 R2
− a+
ȧ
R
·
a
−
R
·
ȧ
c
2 c2
c
≈ 0,
R2 a (tret )
−
R 3 c2
3
1 − R̂ · β (tret )
≈
−
a
ȧ
+ 3
2
Rc
c
e
RR · β (tret ) a (tret )
3
R3 c2 1 − R̂ · β (tret )
R
1 R2
a
R
·
−
a
+
ȧ
R2 c3
c
2 c2
≈
≈ 0.
Assim, obtemos
dEpart (r, t) ≈
≈
R
a
ȧ
RR · a 3RR · ȧ RR · a RR · ȧ
a
ȧ
d r ρ (r , t)
+
− 3 −3 3 2 +
+
−
−
+ 3
R3
Rc2
2c
R c
2R2 c3
R 3 c2
R2 c3
Rc2
c
R
RR · a RR · ȧ
ȧ
3 0
0
d r ρ (r , t)
−2 3 2 +
+ 3 .
R3
R c
2R2 c3
2c
3 0
0
A partir de agora, para não termos que lidar com R calculado em tret , utilizaremos a expressão aproximada que deduzimos acima, isto é,
2
R (tret ) ≈ R (t) −
R (t) R (t) · a (t) [R (t)] R (t) · ȧ (t)
+
.
2c2
6c3
Também devemos utilizar
R (tret ) ≈ R (t) +
2
3
1
1
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
[R (tret )]
− 3 [R (tret )]
,
2
2
2c
∂t
6c
∂t3
que, com a aproximação para R (tret ) acima e mantendo termos até ordem 1/c3 ,
pode ser escrita como
R (tret ) ≈
R (t) +
2
3
1
1
2 ∂ R (t)
3 ∂ R (t)
[R
(t)]
−
[R
(t)]
2c2
∂t2
6c3
∂t3
7
e, portanto,
R (tret ) ≈ R (t) −
1
1
2
3
[R (t)] a (t) + 3 [R (t)] ȧ (t) .
2c2
6c
Em especial, o termo de Coulomb escreve-se, até ordem 1/c3 ,
(
R
R3
≈
(
≈
R (t)
)
R (t) · a (t) R (t) R (t) · ȧ (t)
+
1−
2c2
6c3
R (t)
)
3R (t) · a (t) R (t) R (t) · ȧ (t)
−
1+
2c2
2c3
ȧ (t)
a (t)
3 − 2c2 R (t) + 6c3
[R (t)]
a (t)
ȧ (t)
3 − 2c2 R (t) + 6c3
[R (t)]
R (t)
≈
3
[R (t)]
+
3R (t) R (t) · a (t)
2c2
3
[R (t)]
R (t) R (t) · ȧ (t)
−
2c3
2
[R (t)]
−
−3
a (t)
ȧ (t)
+
.
2c2 R (t)
6c3
Assim, a partir de agora, denotaremos:
R
= R (t)
= |r − r0 |
e
R = R (t)
= r − r0 .
Com isso e mantendo termos até ordem 1/c3 ,
dEpart (r, t) ≈ d3 r0 ρ (r0 , t)
RR · a
a
2ȧ
R
−
−
+
,
R3
2c2 R3
2c2 R 3c3
Então, a força externa sobre a partícula agora pode ser escrita como
ˆ
Fext
=
ˆ
−
d r
V
2ȧ
R
RR · a
a
d r ρ (r, t) ρ (r , t)
−
− 2 + 3 .
R3
2c2 R3
2c R 3c
3 0
3
V
0
Dada a simetria esférica da distribuição de carga na partícula, podemos tomar
a origem no centro da partícula e escrever
ρ (r, t)
= % (r, t)
e
ρ (r0 , t)
= % (r0 , t) .
Também, sem perda de generalidade, podemos tomar o eixo z ao longo do
sentido de a (t) , por exemplo. Assim,
ˆ
ˆ
d r
V
RR · a
d r ρ (r, t) ρ (r , t)
R3
3 0
3
V
0
ˆ
= a
d3 r0 % (r0 , t) (z − z 0 )
d r % (r, t)
V
8
ˆ
3
V
R
.
R3
A componente x dessa integral dupla pode ser escrita como
ˆ
ˆ
d r % (r, t)
V
(z − z 0 ) (x − x0 )
,
R3
d3 r0 % (r0 , t)
3
V
que troca de sinal se trocarmos (x, x0 ) por (−x, −x0 ) e vice-versa. Como a
mudança de variáveis de integração não pode alterar o resultado da integral,
vemos que essa componente x se anula. Um raciocínio análogo leva à conclusão
de que a componente y da integral
ˆ
ˆ
d3 r0 % (r0 , t) (z − z 0 )
d3 r % (r, t)
V
V
R
R3
também se anula, restando apenas a componente z, que não muda de sinal
quando trocamos (z, z 0 ) por (−z, −z 0 ) e vice-versa. Portanto,
ˆ
ˆ
d3 r0 ρ (r, t) ρ (r0 , t)
d3 r
V
V
ˆ
RR · a
R3
=
ˆ
2
d3 r0 % (r0 , t)
d3 r % (r, t)
ẑa
V
V
(z − z 0 )
.
R3
Além disso, por causa da simetria esférica, também podemos escrever
ˆ
ˆ
d r % (r, t)
V
(z − z 0 )
d r % (r , t)
R3
3 0
3
V
ˆ
2
0
ˆ
3
=
d r % (r, t)
V
(x − x0 )
R3
d3 r0 % (r0 , t)
(y − y 0 )
R3
V
ˆ
ˆ
d3 r % (r, t)
=
2
d3 r0 % (r0 , t)
V
2
V
e, portanto,
ˆ
ˆ
d r % (r, t)
V
(z − z 0 )
d r % (r , t)
R3
3 0
3
V
2
0
=
=
Logo,
ˆ
ˆ
V
RR · a
R3
d3 r0 ρ (r, t) ρ (r0 , t)
d3 r
V
=
=
ˆ
ˆ
1
1
3
d r % (r, t)
d3 r0 % (r0 , t) 3 R2
3 V
R
ˆ
ˆV
1
1
3
d r % (r, t)
d3 r0 % (r0 , t) .
3 V
R
V
ˆ
ˆ
1
1
d3 r % (r, t)
d3 r0 % (r0 , t)
ẑa
3 V
R
V
ˆ
ˆ
0
a
3
3 0 ρ (r, t) ρ (r , t)
d r
d r
.
3 V
R
V
Além disso, por causa da simetria esférica, também decorre que
ˆ
ˆ
d3 r0 ρ (r, t) ρ (r0 , t)
d3 r
V
V
R
R3
=
0.
Com esses resultados, a força externa aplicada à partícula expressa-se como
Fext
=
4a
6c2
ˆ
ˆ
d3 r0
3
d r
V
V
9
ρ (r, t) ρ (r0 , t) 2q 2 ȧ
−
R
3c3
É importante notarmos que a integral dupla restante no membro direito dessa
equação é a energia eletrostática U0 armazenada na partícula:
U0
=
1
2
ˆ
ˆ
d3 r0
d3 r
V
V
ρ (r, t) ρ (r0 , t)
.
R
Logo,
Fext
=
2q 2
4U0
a
−
ȧ,
3c2
3c3
que é a chamada equação de Abraham-Lorentz. Como vemos, a energia eletrostática armazenada na partícula corresponde a uma massa dada pela relação
meletr
=
U0
c2
e, na presente teoria, o fator 4/3 indica a inadequação deste tratamento. O
termo proporcional à derivada da aceleração descreve a reação radiativa da
partícula.
Se, no referencial de repouso da partícula, sua energia fosse dada por U0 ,
então, como nesse referencial seu momentum seria nulo, em um referencial com
velociade relativa −cβ a partícula deveria ter uma energia γU0 e momentum
γU0 β/c, como se sua massa de repouso fosse U0 /c2 , sem o fator 4/3. No cálculo de Abraham-Lorentz acima, a energia de repouso se refere a um referencial
diferente do referencial do laboratório, que é o referencial do campo elétrico utilizado nos cálculos acima. O cuidado necessário com as devidas transformações
de Lorentz elimina o erro, mas essa é outra história que ainda não contei.
10