Resistência dos Materiais II
Lista de Exercícios
Prof. Jorge A.R. Duran
junho de 2021
Sumário
1 Torção de barras circulares, não circulares e pers fechados
1.1 Respostas da seção 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Concentração das tensões
2.1 Respostas da seção 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vasos de Pressão
3.1 Respostas da seção 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Parafusos e Rebites
4.1 Respostas da seção 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Juntas Soldadas
5.1 Respostas da seção 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
5
6
7
7
9
9
Resistência dos Materiais II
6 Tensões em Eixos
6.1 Respostas da seção 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Molas Helicoidais e de Lâminas
7.1 Respostas da seção 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências
11
12
14
15
16
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Resistência dos Materiais II
1 Torção de barras circulares, não circulares e pers
fechados
1.1 Um eixo maciço de aço de d = 30 mm de diâmetro transmite uma potência
P ot = 70 KW a n = 1500 rpm. Os esforços axiais e etores são desprezíveis.
(Resp.)
(a) Calcule o torque T que solicita o eixo.
(b) Calcule a tensão nominal τ no eixo.
(c) Se um eixo oco de igual comprimento e com uma relação entre os diâmetros
interno e externo dint /dext = 4/5 for utilizado para a mesma função, quais
seriam as dimensões necessárias para obter a mesma tensão nominal do
eixo maciço?
(d) Esboçe os círculos de Mohr das tensões nos dois eixos, maciço e oco, nos
pontos de tensão nominal τ .
(e) Compare os dois eixos em relação ao peso e à rigidez torsional e comente
os resultados.
1.2 Calcule o diâmetro mínimo dmin e o comprimento máximo Lmax de uma barra
de torção prismática que transmite um torque T = 2 KN.m e que deve ter
um ângulo de torção inferior a θadm = 2o . Utilize um fator de segurança de 1
tanto contra o escoamento estático quanto para garantir a rigidez necessária.
O material da barra tem uma resistência ao escoamento Sy = 400 M P a e um
módulo de rigidez ao cisalhamento G = 80 GP a. (Resp.)
1.3 Se for necessário aumentar o comprimento da barra da questão 1.2 até Lnovo =
6/5 Lmax ,mantendo a restrição do θadm , obtenha uma expressão para o novo
diâmetro em função do diâmetro da barra dnovo (dmin ). Com esta expressão
recalcule o valor do diâmetro necessário nas novas condições. (Resp.)
1.4 Devido a um erro de fabricação o círculo interno do tubo é excêntrico em relação
ao externo (Figura 1.1). Em que percentual é afetada a capacidade de transmitir
torque quando a excentricidade e = (a − b)/6? (Resp.)
1.1
Respostas da seção 1
ˆ 1.1a T = 445, 6 N.m
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Figura 1.1: Corresponde à questão 1.4 [2].
1.1b τ = 84 M P a
1.1c dext = 35.7 mm
1.1e O eixo maciço pesa quase o dobro do que o eixo oco (95 % a mais) e tem
uma rigidez torsional de apenas 83 % da rigidez do eixo oco.
ˆ 1.2 dmin = 35.3 × 10−3 m, Lmax = 0.213 m
ˆ 1.3 dnovo =
6 1/4
5
dmin = 36.9 × 10−3 m
ˆ 1.4 17 %
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Resistência dos Materiais II
2 Concentração das tensões
2.1 Determine uma expressão para o comprimento L da parte central da barra
retangular da gura 2.1, de modo que a tensão de exão máxima nas seções A,
B e C seja a mesma. A barra tem espessura t e as seguintes relações são válidas
H = a/5 e h = 2/3 H . (Resp.)
Figura 2.1: Barra retangular bi-apoiada sob exão e cortante. Corresponde à questão
2.1 [2].
2.2 A transição na área da seção transversal da barra de aço 1020 laminado a quente
(Sy = 260 M P a, E = 2×105 M P a, H = 737 M P a, n = 0.19) é obtida por letes
de redução (gura 2.2). A espessura é constante é igual a 12 mm. Se a barra
for submetida a um momento etor M = 0.9 KN · m, obtenha os diagramas
de cortante e etor e determine os máximos valores de tensão e deformação
desenvolvidos na peça. Utilize Neuber se necessário, desprezando a componente
elástica da curva σ x ε do material. Considere h = 120 mm. (Resp.)
Figura 2.2: Barra retangular em exão pura. Corresponde à questão 2.2 [2].
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2.1
Respostas da seção 2
ˆ 2.1 L = a (9 Kt − 4)
ˆ 2.2 ε = 7.8 × 10−3 , σ = 293 M P a
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3 Vasos de Pressão
3.1 Um tanque esférico para armazenamento de gás tem um raio interno b = 1.5 m e
suporta uma pressão interna de 300 KP a. Qual é a espessura mínima requerida
no tanque se a tensão normal máxima não deve exceder os 12 M P a? (Resp.)
3.2 Seja um vaso de pressão cilíndrico de parede na, com tampas. A relação
a/b = 1.02, onde a e b são os raios externo e interno, respectivamente. O
material do vaso é um aço ductil com limite de escoamento Sy = 280 M P a,
módulo de elasticidade E = 200 GP a e coeciente de Poisson ν = 1/3. A
pressão de trabalho é p = 4 M P a. (Resp.)
(a) Compare os fatores de segurança contra o escoamento utilizando os critérios de Tresca e Mises. Comente os resultados.
(b) Calcule também a deformação circunferencial εθ que deve ser medida na
superfície externa do vaso enquanto pressurizado a p.
3.3 O cilindro de paredes nas da gura pode ser suportado em alguma das duas
formas mostradas. O pistão gera uma pressão interna de p = 0.5 M P a, a
espessura de parede a − b = 6 mm e o raio interno b = 100 mm. Calcule as
tensões na parede do cilindro para os casos a e b. (Resp.)
Figura 3.1: Corresponde à questão 3.3 [2].
3.4 Um cilindro com tampas tem a = 40 mm e b = 22 mm e é feito com um material
que escoa a 400 M P a. Calcule a pressão interna máxima que pode ser aplicada
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no cilindro pelos critérios de Tresca e Mises para um fator de segurança de 1.6.
(Resp.)
3.1
Respostas da seção 3
ˆ 3.1 t ≡ a − b = 18.8 mm
ˆ 3.2a σ̄M ises = 173 M P a,
σ̄T resca = 200 M P a,
XM ises = 1.61,
XT resca = 1.4
Como esperado, o critério de Mises retorna um fator de segurança maior por
ser menos conservativo (prevê uma tensão equivalente menor).
ˆ 3.2b εθ = 833 µs
ˆ 3.3 Caso a: σθ = 8.3 M P a, σz = 0.
Caso b: σθ = 8.3 M P a, σz = 4.2 M P a
ˆ 3.4 pT resca = 87 M P a,
pM ises = 100 M P a
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4 Parafusos e Rebites
4.1 Um parafuso em carregamento axial (At = 303 mm2 , Sp = 830 M P a) é submetido a uma força de aperto inicial Fi = 4/5 · At · Sp . Os componentes da junta
são 5 vezes mais rígidos que o parafuso. (Resp.)
(a) Calcule a máxima força externa Fe que poderá ser aplicada nos componentes sem que haja:
i. Separação dos mesmos.
ii. Escoamento do parafuso.
(b) Considere que a força externa varia entre um valor inicial Fei 130 KN e um
nal Fef = 200 KN com uma frequência constante. Esboçe os grácos de
Fc (força nos componentes) e Fp (força nos parafusos) em função de Fe e
do tempo t.
4.2 Obtenha expressões para os esforços axiais e de corte que solicitam os furos
do suporte da gura 4.1. Assuma que há parafusos ou rebites nestes furos que
garantem o equilíbrio do suporte. O torque, cortante e etor atuam no centróide
do conjunto de furos. (Resp.)
Figura 4.1: Suporte com furos sob uma combinação de exão, torque e cortante.
Corresponde à questão 4.2 [1].
4.1
Respostas da seção 4
ˆ 4.1(a)i Fe = 241 KN ,
4.1(a)ii Fe = 302 KN ,
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ˆ 4.1b Fc min = 35 KN ,
Fc max = 93 KN ,
Fp min = 223 KN ,
Fp max = 235 KN ,
ˆ 4.2 Faxial =
65 M
89 C
√
Ftorque =
Fcortante =
Fres
5 T
5 C
V
4
q
=
25
1
5
2 T
5 C
+ 14 V
2
+
T 2
C
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5 Juntas Soldadas
5.1 A gura mostra um pedestal de aço soldado carregado por uma força estática
F . Calcule o fator de segurança considerando que o limite de escoamento ao
cisalhamento do material depositado é Sys = 120 M P a. (Resp.)
Figura 5.1: Figura da Questão 5.1.
5.2 A barra circular da gura tem um diâmetro externo a = 0, 4 m. Está unida
a outro componente mediante uma junta soldada em toda a circunferência externa. O processo utilizado na soldagem foi o manual por arco elétrico com
eletrodos revestidos (E7018, Sy = 393 M P a). A solda tem dimensão h = 8 mm.
Calcule o torque máximo T que não provoca escoamento na garganta da solda
com Xy = 2. (Resp.)
5.1
Respostas da seção 5
ˆ 5.1 σ = 22 M P a
τ = 5, 9 M P a
τR ≈ 23 M P a
X = 5, 24.
ˆ 5.2 T ≈ 81 KN.m.
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Figura 5.2: Figura da Questão 5.2.
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6 Tensões em Eixos
6.1 O eixo mostrado gira a n = 1200 rpm mas a carga de F = 4 KN permanece
estática. Para a = 25 × 10−3 m calcule a amplitude e a máxima de σ nos pontos
A, B, C e D. (Resp.)
Figura 6.1: Figura da Questão 6.1.
6.2 O eixo maciço da gura (d = 35 mm) transmite a potência mostrada a n =
600 rpm. O mecanismo acionador permite a alternância no sentido de giro do
eixo, o que ocorre em intervalos de tempo desconhecidos. Calcule a amplitude
e a máxima das tensões normais e cisalhantes no eixo. (Resp.)
Figura 6.2: Figura da Questão 6.2.
6.3 A gura 6.3 mostra o DCL de um eixo de transmissão de potência de 16 mm
de diâmetro. O torque de entrada é Ti = 35 N.m e o raio da engrenagem é
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r1 = 30 mm . A distância a = 18 mm e o ângulo de pressão das engrenagens
ϕ = 20o . (Resp.)
(a) Calcule o momento etor máximo no eixo em torno do eixo y , My .
(b) Calcule o momento etor máximo no eixo em torno do eixo z , Mz .
(c) Prove que é possível utilizar o momento resultante dos dois planos MR =
p 2
My + Mz2 para calcular as tensões normais na seção crítica.
(d) Plote a variação das tensões normais com o tempo σ(t) para 0 ≤ t ≤ 1 s
no ponto crítico do eixo se o mesmo gira com uma frequência angular
constante n = 60 rpm.
Figura 6.3: Figura da Questão 6.3.
6.1
Respostas da seção 6
ˆ 6.1 σmax = σa em todos os pontos:
σA = 55 M P a
σB = 47 M P a
σC = 106 M P a
σD = 46 M P a.
ˆ 6.2 τmax = τa = 106 M P a
σmax = σa = 0.
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ˆ 6.3a My = 4, 6 N.m
6.3b Mz = 12, 6 N.m
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7 Molas Helicoidais e de Lâminas
7.1 Um bloco de 1 KN está suspenso entre duas molas helicoidais de aço (G =
75 GP a), como mostrado na gura 7.1. Considere que não foi necessário tracionar ou comprimir as molas para colocar o bloco no lugar, ou seja, que os
esforços nas molas são devidos apenas ao peso do bloco. Os dados geométricos
de cada mola se mostram na tabela 7.1. Calcule o deslocamento e as tensões
em cada mola. Comente os resultados. (Resp.)
Tabela 7.1: Dados correspondentes às molhas helicoidais da gura 7.1.
Parâmetro
D, mm
d, mm
N
Mola
Superior Inferior
25
5
10
45
8
5
Figura 7.1: Figura da Questão 7.1.
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7.1
Respostas da seção 7
ˆ 7.1 δ = 8.21 mm.
Tabela 7.2: Respostas da questão 7.1.
Parâmetro
F, N
τ, M P a
Mola
Superior Inferior
308
173
692
169
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Referências
[1] R. G. Budynas and J. K. Nisbett.
Graw Hill, tenth edition, 2015.
[2] R. Hibbeler.
. Mc-
Shigley's Mechanical Engineering Design
. Pearson Prentice Hall, 9 edition, 2014.
Mechanics of Materials
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