Gabarito Avaliação formativa 2 – GET00116 (2022-1)
Exercício 1
Seja X uma variável uniforme contínua no intervalo [0,3] e Y uma binomial(n=2, p=1/3). Sabendo que
X e Y são independentes, calcule:
a) P(-1 < X < 2 | Y = 1)
b) E(4X + Y)
Resposta
(a) Pela independência de X e Y, temos que P(-1 < X < 2 | Y = 1) = P(-1 < X < 2). Logo,
P(-1 < X < 2 | Y = 1) = P(-1 < X < 2)
= P(0 < X < 2)
= 2/3
(b) E(4X + Y) = 4E(X) + E(Y)
= 4(3/2) + 2(1/3)
= 20/3
Exercício 2
X e Z são duas variáveis aleatórias com distribuições Normais, onde E(X) = 3, Var(X) = 4, E(Z) = 0 e
Var(Z) = 1. Calcule:
a) P(Z < 1.53) e P(Z < - 1.53)
b) P( -1.5 < X < 1.5)
Resposta
(a) P(Z < 1.53) = 0.5 + 0.436 = 0.936
P(Z < −1.53) = P(Z > 1.53) = 1 − 0.936 = 0.064
(b) P(−1.5 < X < 1.5) = P( (−1.5−3)/2 < (X−3)/2 < (1.5−3)/2 ) = P(−2.25 < Z < −0.75) =
0.487 − 0.273 = 0.214
Exercício 3
Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de itens
defeituosos na produção. A cada 6 horas sorteia-se uma amostra iid (independente e identicamente
distribuídas) de 100 peças e, havendo mais de 15% de defeituosas, faz-se uma parada temporária de
alguns minutos na produção para a verificação do processo. Calcule:
a) A probabilidade exata da próxima amostra gerar uma parada desnecessária (não é preciso fazer a
conta, apenas escrever a expressão).
b) A probabilidade aproximada pela normal da próxima amostra gerar uma parada desnecessária.
c) A probabilidade de ocorrer duas paradas desnecessária em um dia.
Resposta
(a) Seja X o número de peças defeituosas numa amostra iid de tamanho 100 e ‘p’ a proporção de peças
produzidas com defeito. Para que uma parada desnecessária ocorra, temos que ≤ 0.10 e X > 15. Assim,
temos que calcular P(X > 15) com p = 0.10, da onde X é uma variável binomial(n=100, p=0.10). Logo,
P(X > 15) = Σ [100! / i!(100-i)!](0.10)i (0.90)100-i onde o somatório em i varia de 16 a 100.
(b) Recorde que E(X) = np = 10 e Var(X) = np(1 − p) = 9. Também, lembre-se que a binomial pode ser
vista como a soma de n Bernoullis independentes, isto é, X = ΣXi = n(ΣXi /n). Assim, usando o teorema
central do limite temos que P(X > 15) = P((X−10)/3 > (15−10)/3 ) = P((ΣXi −10)/3 > (15−10)/3 ) =
P((ΣXi/100 −10/100)/(3/100) > (15−10)/100 / (3/100) ) ≈ P(Z > 1.66) = 0.049
(c) Seja Y o número de paradas desnecessárias em um dia. Pelo item anterior, Y é um v.a. binomial(n =
4, p = 0.049). Logo P(Y = 2) = 6(0.049)2(1 − 0.049)2.
Exercício 4
A nota de corte em primeira chamada para o curso de desenho industrial na UFF em 2019 foi de 722
pontos no Enem. Sabendo que notas dos estudantes no Enem seguem aproximadamente uma
distribuição Normal com média 500 e desvio padrão 100. Responda:
a) Qual a porcentagem aproximada de estudantes brasileiros que fizeram o Enem em 2019 que não
seriam convocados em primeira chamada para desenho industrial na UFF?
b) Considere que 5 milhões de estudantes fizeram a prova naquele ano. Se ranquearmos todos os 5
milhões de alunos pela nota, qual seria a colocação geral aproximada do último estudante convocado
em primeira chamada para desenho industrial na UFF?
Resposta
(a) Seja X a nota no Enem de um estudante escolhido aleatoriamente, com X~Normal(500, 1002).
Queremos obter P(X < 722) = P( (X−500)/100 < (722−500)/100 ) = P(Z < 2.22), com Z ~ Normal(0,1).
Da tabela da Normal obtemos, P(X < 722) = P(Z < 2.22) = 0.5 + 0.486 = 0.986
(b) Seja y a colocação geral do último estudante convocado para desenho industrial, temos por uma
regra de 3 que: y está para 5 milhões como 1 − 0.986 está para 1. Logo,
y = (0.014) × (5.000.000) = 70.000
Exercício 5
Na tabela abaixo encontram-se os lucros líquidos anuais (em milhões) dos últimos 5 anos para as
empresas A e B estão descritos a seguir:
Empresa A
Empresa B
-2
1
0
3
Ano
-1
0
1
1
2
0
a) Calcule as médias e variâncias dos lucros das duas empresas acima.
b) Faça os gráficos de dispersão para cada empresa entre os lucros (Y) e anos (X), onde X=1,2,3,4,5.
Obtenha os coeficientes de correlação linear em cada caso. Considerando as informações dos dois itens,
qual empresa parece ser a melhor opção para a aquisição? Justifique.
Resposta
(a) E(YA) = (-2 + 0 -1 +1 + 2)/5 = 0, E(YB) = (1 + 3 + 0 +1 + 0)/5 = 1
Var(YA) = (4 + 0 +1 +1 + 4)/5 = 2, Var(YB) = (0 + 4 + 1 +0 + 1)/5 = 1.2
(b) Corr(YA, X) = + 0.9, Corr(YB, X) ≈ - 0.52
Considerando as médias e variâncias dos lucros apenas, poderíamos escolher a empresa B. Porém, com
os gráficos de dispersão abaixo e as correlações acima, vemos que há uma clara tendência de aumento
de lucro ao longo do tempo para a empresa A, enquanto há uma tendência de piora dos lucros ao longo
do tempo na empresa B. Assim, podemos projetar que a empresa A tende a ser mais lucrativa que a
Yb
1.0
1.5
0
0.5
-1
0.0
-2
Ya
2.0
1
2.5
3.0
2
empresa B nos próximos anos e por esse critério escolhemos adquirir a empresa A.
1
2
3
X
4
5
1
2
3
X
4
5