МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КРАСНОДАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА
дисциплина
“МАТЕМАТИКА”
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Общая характеристика целей и задач дисциплины, ее особенностей
4
2. Характеристика частной методики, ее структура
6
3. Рекомендации по использованию частной методики в практической деятельности преподавателя
12
4. Краткие сведения об авторах
13
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРЕПОДАВАНИЮ И ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Тематические планы дисциплины
14
2. Общие методические рекомендации по преподаванию дисциплины
16
3. Методические разработки аудиторных занятий
17
3.1. Цели и задачи занятия
17
3.2. Рекомендации по структуре (плану) занятия
30
3.3. Рекомендации по оборудованию занятия
43
3.4. Методические рекомендации по повторению, закреплению и контролю знаний, умений, навыков учащихся, полученных на предыдущих
занятиях
52
3.5. Методические рекомендации по изучению, закреплению и контро91
лю усвоения нового материала
3.6. Методические рекомендации по постановке задания к следующему
занятию, по организации самостоятельной работы учащихся
115
4. Методические указания по изучению дисциплины (для обучающихся)
131
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Структурно-логическая схема изучения дисциплины
138
Приложение 2. Перечень примерных вопросов (заданий) для самостоя139
тельной работы обучающихся
Приложение 3. Примерный перечень вопросов (заданий) для проведения
рубежного контроля
163
2
Приложение 4. Примерный перечень вопросов для проведения промежуточной аттестации с рекомендациями по подготовке к экзамену
165
Приложение 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
172
Приложение 6. Перечень мультимедийного сопровождения лекционных
занятий
174
Приложение 7. Перечень компьютерных обучающих программ по дисци175
плине
Приложение 8. Выходные формы компьютерных обучающих программ 178
3
Любая деятельность может быть либо
технологией, либо искусством. Искусство
основано на интуиции, технология на науке. С искусства все начинается, технологией – заканчивается, чтобы затем все
началось сначала.
В.П. Беспалько
ВВЕДЕНИЕ
1. Общая характеристика целей и задач дисциплины, ее особенностей
Дисциплина «Математика» является базовой общеобразовательной дисциплиной, формирующей содержательные и технологические основы для дальнейшего освоения общепрофессиональных, специальных учебных дисциплин и
дисциплин специализации, касающихся использования современного математического аппарата.
Целью изучения дисциплины «Математика» является приобретение обучаемыми навыков использования современного математического аппарата в
профессиональной деятельности, развитие математического мышления обучаемых, повышение их математической культуры.
Задачами дисциплины являются:
1) Изучение элементов дискретной математики: теории числовых множеств, комбинаторных задач, графов.
2) Освоение понятий линейной алгебры: матриц и определителей, методов решения систем линейных уравнений, элементов векторной алгебры и линейных пространств.
3) Рассмотрение основных положений математического анализа: дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных.
4) Изучение основных понятий теории вероятностей, описание методов
нахождения вероятностей случайных событий, числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин.
4
5) Использование статистических методов обработки экспериментальных
данных для решения задач практической направленности и оптимизации профессиональной деятельности.
Математическое образование специалиста-психолога должно основываться на фундаментальных понятиях математики. Математическая подготовка
включает в себя общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Особенностью преподавания дисциплины «Математика» является создание в учебном процессе специальных организационно-методических и программно-технических условий, благоприятствующих усвоению необходимых
знаний, умений и навыков на уровне современных требований, а именно:
оборудование компьютерных лабораторий достаточным количеством современной компьютерной техники;
установку соответствующего содержанию дисциплины информационного
и программного обеспечения;
использование современных информационных технологий обучения.
В результате изучения дисциплины выпускники должны
иметь представление:
о структуре современной математики, основных этапах ее исторического
развития, о ведущих тенденциях ее дальнейшего развития;
о месте и роли математики в деятельности сотрудников-психологов правоохранительных органов;
об особенностях и проблемах использования математических методов и
моделей в профессиональной деятельности;
знать:
фундаментальные понятия теории множеств, комбинаторики, матричного
исчисления, системы линейных уравнений, векторной алгебры, аналитической
геометрии;
5
основные положения дифференциального и интегрального исчислений
функций одной и нескольких переменных;
основные формулы и определения теории вероятностей, числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин;
основные принципы использования методов математической статистики
в моделировании прогнозировании социально-психологических процессов;
состав,
функции
и
конкретные
возможности
информационно-
математического обеспечения в процессе решения задач профессиональнослужебной деятельности;
уметь:
грамотно ставить, формализовать и решать с использованием математического аппарата различные служебные задачи;
применять при решении практических задач положения и методы дискретной математики, линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики;
анализировать полученные результаты математических исследований,
строить математические модели и прогнозы;
используя математический аппарат оптимизировать различные виды
профессиональной деятельности психолога;
иметь навыки:
логического мышления, математических доказательств, оперирования абстрактными понятиями;
применения полученного математического аппарата для решения служебных задач в профессиональной деятельности;
компьютерной обработки статистической информации; использования
современных программных продуктов.
2. Характеристика частной методики, ее структура
Частная методика преподавания учебной дисциплины «Математика» является комплексным организационно-методическим документом кафедры, в
котором изложен единый (примерный) взгляд кафедры на методику преподава6
ния
данной
дисциплины
и
обобщен
передовой
опыт
профессорско-
преподавательского состава в проведении всех учебных занятий, предусмотренных учебной программой.
Частная методика дополняет и конкретизирует тематический план изучения дисциплины «Математика» и является основным документом для подготовки преподавателей к занятиям и важным средством совершенствования их
методического мастерства.
Частность предлагаемой методики по дисциплине «Математика» заключается в гибком сочетании традиционных методов обучения с инновационными образовательными технологиями. Структура частной методики (ЧМ)
включает в себя три взаимосвязанных и взаимопроникающих компонента: познавательная деятельность обучаемого (ПД), мотивационный компонент (М),
управление этой деятельностью (УД) со стороны педагога и технических
средств обучения. Символически это описывается следующей условной формулой:
ЧМ=ПД+М+УД.
Рассмотрим более подробно компоненты входящие в методику преподавания дисциплины «Математика» и обеспечивающую ее частность.
Лекция-визуализация. Лекция-визуализация выступает как результат поиска новых возможностей реализации принципа наглядности. Психологопедагогические исследования показывают, что наглядность не только способствует более успешному восприятию и запоминанию учебного материала, но и
позволяет проникнуть глубже в существо познаваемых явлений. Это происходит за счет работы обоих полушарий, а не одного левого, логического, привычно работающего при освоении точных наук. Правое полушарие, отвечающее за
образно-эмоциональное восприятие предъявляемой информации, начинает активно работать именно при ее визуализации. Визуализация лекционных занятий происходит за счет разработки мультимедийных презентаций (Приложение. 6) в форматах ppt и pdf. Все разрабатываемые презентации удовлетворяют
7
основным требованиям, выдвигаемым к такому типу методического обеспечения:
1. Минимизация текстовой информации за счет использования структурных схем, списков и т.д.
2. Наличие анимационных эффектов.
3. Цветовое оформление слайдов.
4. Использование достаточно крупного шрифта (учитывается специфика
той аудитории, в которой будет демонстрироваться презентация).
5. Импорт дополнительных объектов: графика, аудио, видео.
Индивидуальные тестовые задания. Разработанная частная методика
сводится не только к приобретению обучаемыми определенных знаний и навыков, но и овладению приемами самостоятельного приобретения знаний и их
применения. Решению проблемы индивидуального обучения способствует выполнение индивидуальных тестовых заданий, позволяющее при разноуровневом обучении оценить знания учащихся. Тестовый контроль – это такой вид
контроля, при котором обеспечены равные для всех обучаемых объективные
условия проверки. Тестовые задания классифицируют по форме их строения:
– тесты с конструированными ответами;
– тесты с выборочными ответами.
Тесты с конструированными ответами представляют собой компьютерные обучающие программы (Приложение 7) разработанные на языке программирования Visual Basic for Application (VBA) для программной среды MS Excel.
Процесс генерации заданий и последующей их проверки полностью автоматизирован. Самое ценное в данном компоненте – структура заданий и подбор задач. Тип компьютера, операционной системы играет второстепенное значение,
хотя, чем шире возможности компьютера, тем больше эффективность применяемой технологии. Для данного вида тестов характерно то, что обучаемые сами составляют короткие однозначные ответы и вводят их в соответствующие
ячейки рабочего листа.
8
Тесты с выборочными ответами дают возможность быстрее усваивать все
виды явлений, лучше понимать их общие и отличительные качества, легче их
классифицировать. Большинство технических средств контроля ориентировано
на применение именно тестовых заданий с выборочными ответами. Этот метод
вносит разнообразие в учебный процесс, повышает интерес к предмету, способствуя тем самым лучшему усвоению знаний. Тесты с выборочными ответами
разработаны в автоматизированной контролирующей системе (АКС) проверки
знаний Контроль10. АКС Контроль10 представляет собой программный продукт, в котором преподаватель создает тему своей предметной области и в этой
теме создает предметно-ориентированный тест. В тестах имеется возможность
использовать различные типы вопросов: текстовые, графические, звуковые, вопросы с использованием видеофрагментов. Количество тем, вопросов и тестов
в данной системе неограниченно и может регулироваться разработчиком темы
и находящихся в них тестов. Ограничение на количество тем и содержащихся в
них тестов может накладывать лишь дисковое пространство используемого жесткого диска. По своему желанию разработчик тестов может установить пароль
на запуск теста или пароль на возможность администрирования (редактирования) ранее введенных данных.
Сам процесс тестирования предполагает работу с человеком в диалоговом
режиме, то есть в режиме прямой и обратной связи. Компьютер "задает вопрос", выводя его на экран, тестируемый отвечает на него, выделяя верный на
свой взгляд вариант ответа (верных вариантов ответа может быть несколько) с
помощью клавиатуры или мыши. При этом на экране в строке состояния выводится вся текущая информация необходимая пользователю для корректировки
своих действий: верный/неверный ответ, время оставшееся до окончания теста,
количество выбранных вопросов, количество верных ответов и т.д.
Блочно-модульный комплекс. Блочно-модульный комплекс (рис. 1) представляет
собой
структурированные
в
автономные
организационно-
методические блоки – модули следующие компоненты: электронная лекция,
презентация, практические задания, тестовые задания.
9
Рис. 1. Структура блочно-модульного комплекса по дисциплине «Математика»
Основное предназначение блочно-модульного комплекса – предоставление
обучаемым оперативного доступа к учебному материалу. Главное достоинство
блочно-модульного комплекса – универсальность – обеспечивает его эффективное применение как при проведение аудиторных занятий, так и при самостоятельной подготовке.
10
Рис. 2. Состав блочно-модульного комплекса
Рис. 3. Состав модуля
11
Необходимыми и достаточными условиями реализации частной методики являются:
• оснащение лекционной аудитории техническими средствами обучения: персональный компьютер, мультимедийный проектор, проекционный экран;
• проведение практических занятий в компьютерной лаборатории, с
обязательным оснащением каждого обучаемого автоматизированным
рабочим местом;
• наличие у преподавателя и обучаемых начальных навыков работы с
операционной средой персонального компьютера, прикладным программным обеспечением.
Важным принципом разработанной частной методики также выступает
принцип целостности. Принцип целостности заключается в достижении гармоничного взаимодействия всех элементов частной методики. При этом недопустимо внесение изменений в один из элементов частной методики, не затрагивая
соответствующей перестройкой другие. Например, при изменении цели, неизбежна трансформация содержания частной методики и процессов обучения таким образом, чтобы они способствовали достижению поставленных целей.
3. Рекомендации по использованию частной методики в практической деятельности преподавателя
Частная методика предназначена для профессорско-преподавательского
состава задействованного в учебном процессе для преподавания дисциплины
«Математика» по специальности 030301.65 – Психология и ориентирована на
активное применение информационных технологий в образовательном процессе. Причем применение информационных технологий в образовательном процессе это не просто использование технических средств обучения и компьютеров, это выявление принципов и разработка приемов оптимизации образовательного процесса путем анализа факторов, повышающих образовательную
эффективность путем конструирования и применения приемов и материалов, а
также посредством оценки применяемых методов.
12
Использование частной методики для подготовки к занятиям рекомендуется осуществлять в следующей последовательности:
уточнение, согласно тематического плана, темы и вида занятия;
уточнение соответствующих компетенций (знаний, умений и навыков)
формируемых у курсантов в ходе проведения конкретного занятия.
уточнение цели и задачи занятия в соответствии с темой, видом занятия,
и формируемыми компетенциями.
формирование структуры (плана) занятия
организация технического оборудования занятия и соответствующего
программного обеспечения исходя из темы и целей занятия;
уточнение вопросов по повторению, закреплению и контролю знаний,
умений и формируемых навыков, полученных на предыдущих занятиях;
уточнение состава учебных вопросов по изучению, закреплению и контролю усвоения нового материала;
разработка задания к следующему занятию и рекомендаций по организации самостоятельной работы курсантов.
4. Краткие сведения об авторах
Фамилия, имя, отчество: Старостенко Игорь Николаевич
Должность: начальник кафедры информатики и математики
Специальное звание: майор милиции
Ученая степень: кандидат физико-математических наук
Сфера научных интересов: информационно-технические средства, защита информации, механика деформируемого твердого тела, компьютерные технологии в образовательном процессе.
Фамилия, имя, отчество: Жукова Маргарита Александровна
Должность: преподаватель кафедры информатики и математики
Специальное звание: старший лейтенант милиции
Сфера научных интересов: математические моделирование, информационные технологии.
13
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРЕПОДАВАНИЮ И ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Тематические планы дисциплины
Примерный тематический план
очная форма обучения на базе среднего (полного) общего
образования, срок обучения 5 лет
НАИМЕНОВАНИЕ ЧАСТЕЙ,
РАЗДЕЛОВ И ТЕМ
Самостоятельные
Лекции
Семинарские занятия
Практ. занятия /
контр. раб.
1
2
3
4
5
6
7
8
Раздел 1. Введение в дискретную математику
1
Элементы теории множеств
12
6
6
2
4
2
Комбинаторика
12
6
6
2
4
3
Графы
8
4
4
2
2
Раздел 2. Линейная алгебра
4
Матрицы и определители
16
8
8
2
6
5
Системы линейных уравнений
12
6
6
2
4
6
Векторная алгебра
16
8
8
2
6
7
Линейные пространства
14
4
8
2
4
Контрольная работа № 1
2
2
2
Раздел 3. Математический анализ
8
Функция одной переменной
12
6
6
2
4
9
Дифференциальное исчисление
16
8
8
2
6
10
Исследование функций
12
6
6
2
4
11
Интегральное исчисление
16
8
8
2
6
12
Функции нескольких переменных
12
6
6
2
4
14
другие
№
п/п
Аудиторные
КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
ПО ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
ВСЕГО
ЧАСЫ
9
1
2
3
4
5
6
7
8
Раздел 4. Теория вероятностей
13
Основные понятия теории вероятностей
12
6
6
2
4
14
Методы вычисления вероятностей
16
8
8
2
6
15
Схемы повторных испытаний
12
8
6
2
4
16
Дискретные случайные величины
12
6
6
2
4
17
Непрерывные случайные величины
14
6
8
2
4
Контрольная работа № 2
2
2
2
Раздел 5. Статистические методы обработки экспериментальных данных
18
Элементы математической статистики
12
6
6
2
4
19
Статистические оценки параметров распределения
12
6
6
2
4
20
Статистическая проверка гипотез
8
4
4
2
2
21
Парная регрессия и корреляция
12
6
6
2
4
22
Множественный регрессионный
анализ
16
8
8
2
6
23
Временные ряды и прогнозирование
12
6
6
2
4
300
150
150
46
104
Экзамен
Итого
15
9
2. Общие методические рекомендации по преподаванию дисциплины
В целях реализации учебной программы преподавателю предоставлено
право выбора и использования методик обучения, учебников, учебных пособий и
методов оценки знаний.
Для изучения дисциплины «Математика» используются компьютерные
классы вычислительного центра университета, где в соответствии с расписанием
занятий преподавателем проводятся лекционные и практические занятия. Занятия
в компьютерном классе предполагают индивидуально-групповое изучение основ
математики.
Преподавание дисциплины «Математика» предполагает изучение пяти разделов. Первый раздел «Введение в дискретную математику» содержит основные
понятия теории числовых множеств, методы решения комбинаторных задач, элементы теории графов. Второй раздел «Линейная алгебра» раскрывает теоретические основы матричного исчисления, внимание уделено методам решения линейных уравнений, даются понятия векторной алгебры. В третьем разделе «Математический анализ» рассматриваются вопросы дифференциального и интегрального
исчисления функций одной и нескольких переменных. Четвертый раздел «Теория
вероятностей» включает основные положения теории вероятностей, методы нахождения вероятностей, изучаются дискретные и непрерывные случайные величины. В пятом разделе «Статистические методы обработки экспериментальных
данных» углубленно изучаются прикладные аспекты практического использования методов математической статистики.
Общий объем дисциплины составлен из расчета учебного времени
300 часов. Бюджет времени определен с учетом времени, отводимого учебным
планом Краснодарского университета МВД России на дисциплину «Математика»
для цикла общематематических и естественнонаучных дисциплин. Дисциплина
изучается на лекциях, практических занятиях, в часы самоподготовки. По второму и третьему разделу предусмотрены контрольные работы. Изучение дисциплины завершается сдачей экзамена.
16
В процессе изучения дисциплины на лекциях целесообразно теоретический
материал иллюстрировать решением конкретных задач. На практических занятиях необходимо добиваться точного и адекватного владения теоретическим материалом и его применения для решения задач.
Рекомендуется при изучении дисциплины максимально использовать компьютер для решения конкретных задач.
3. Методические разработки аудиторных занятий
3.1. Цели и задачи занятия
Тема № 1. Элементы теории множеств
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями и определениями теории множеств, ввести основные математические обозначения, подготовить слушателей для изучения основ
функционального анализа.
Задачи занятия: рассмотреть основные определения и обозначения элементов теории множеств,
изучить основные свойства вещественных чисел,
изображение вещественных чисел точками на координатной прямой, определить абсолютную величину числа.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных понятий и методов теории множеств.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над множествами, рассмотреть основные принципы работы с калькулятором.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение основных операций над
комплексными числами.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над комплексными числами.
Тема № 2. Математическая логика
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями и определениями математической логики. Рассмотреть логические операции,
логические задачи, равносильность логических
17
формул.
Задачи занятия: рассмотреть предмет и историю
развития математической логики. Изучить основные логические операции, логические формулы,
равносильность логических формул, тавтологии,
доказательства
логических
заключений,
логические задачи.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные логические операции.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения логических операций.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить основные логические операции.
Задачи занятия: получить практический навык
решения логических задач.
Тема № 3. Графы
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями и определениями теории графов,
рассмотреть операции над графами, Разобрать
теоремы теории графов.
Задачи занятия: рассмотреть основные положения теории графов, пути в графе и связные компоненты графа; простые цепи и простые циклы; операции удаления вершины, удаления ребра, подразбиения ребра. Рассмотреть Эйлеров и гамильтонов
граф. Разобрать теоремы Менгера (вершинный и
реберный варианты), Холла о системах различных
представителей и Кёнига о независимых клетках в
матрице. Определить двудольные графы и алгоритм выбора наибольшего паросочетания в двудольном графе.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные положения теории графов.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над графами.
18
Тема № 4. Матрицы и определители
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с понятием матрицы, основных операций над матрицами,
ввести понятие определителей и способов их вычисления
Задачи занятия: рассмотреть понятие матрицы,
основные операции над матрицами и их свойства,
вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го и n-го
порядков и их свойства.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных операций над
матрицами.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над матрицами и определителями.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение свойств операций над
матрицами и определителей.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над матрицами и определителями.
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучение способов нахождения
обратной матрицы, вычисления ранга матрицы.
Задачи занятия: получить практический навык
нахождения обратной матрицы, вычисления ранга
матрицы.
Тема № 5. Системы линейных уравнений
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с понятием системы линейных уравнений, дать определение и способ нахождения обратной матрицы.
Задачи занятия: рассмотреть способы нахождения обратной матрицы, матричный (с помощью
обратной матрицы) и метод Крамера решения системы линейных уравнений, рассмотреть метод Гаусса.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных методов решений систем линейных алгебраических уравнений.
Задачи занятия: получить практический навык
19
решения систем линейных уравнений матричным
методом м методом Крамера, нахождения
обратных матриц.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение основных методов решений систем линейных уравнений.
Задачи занятия: получить практический навык
решения систем линейных уравнений методом
Гаусса, нахождения обратных матриц методом Гаусса.
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучение методов вычисления ранга матрицы
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления ранга матрицы методом Гаусса.
Тема № 6. Векторная алгебра
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятими векторной алгебры, рассмотреть
операции над векторами на плоскости и пространстве.
Задачи занятия: рассмотреть способы умножения
вектора на скаляр, сложение векторов, свойства
действий с векторами, умножение векторов.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных понятий
операций векторной алгебры.
и
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций над векторами, нахождения
координат и длин векторов.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение операций произведения
векторов.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения скалярного произведения векторов,
векторного произведения, векторов смешанного
произведения векторов.
Тема № 7. Элементы аналитической геометрии
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями аналитической геометрии на
плоскости. Разобрать задачи, решаемые методом
20
координат.
Задачи занятия: рассмотреть основные понятия и
принципы решения задач методом координат.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных принципов
нахождения расстояния между заданными точками, вычисления координат.
Задачи занятия: получить практический навык
выполнения операций в аналитической геометрии
на плоскости.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение кривых второго порядка.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления текущих координат линий, составления уравнения окружности, cоставление канонического уравнения эллипса, заданного общим
уравнением.
Тема № 8. Функция одной переменной
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями функции одной переменной, рассмотреть предел функции в точке и на бесконечности, бесконечно малые и бесконечно большие
функции, их свойства.
Задачи занятия: изучить основные понятия
функции одной переменной, предела функции, основные свойства пределов, непрерывность функции в точке и в заданной области, точки разрыва.
изучение основных понятий
Практическое занятие № 1 Цель занятия:
функции одной переменной.
Задачи занятия: получить практический навык
нахождения значений аргумента, при которых
функция y = f(x) равна нулю, нахождения точек
разрыва функции y = f(x).
Практическое занятие № 2 Цель занятия: рассмотреть предел функции в
точке и на бесконечности, изучить первый и второй замечательные пределы.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления предела функции по определению,
при стремлении аргумента к бесконечности, ис21
пользуя первый второй замечательные пределы.
Тема № 9. Дифференциальное исчисление
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями дифференциального исчисления,
рассмотреть правила вычисления производной и
дифференциала.
Задачи занятия: изучить основные понятия
функции, дифференцируемой в точке, производные функций, правила вычисления производной и
дифференциала, производные высших порядков,
формулу Тейлора.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных формул и правил вычисления производной и дифференциала.
Задачи занятия: получить практический навык
значений производных y ′(x0 ) в заданных точках.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение основных правил вычисления производных первого и высших порядков.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления значений производных высших порядков, нахождения предела функции, используя
правило Лопиталя.
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучение приложений дифференциального исчисления.
Задачи занятия: получить практический навык
нахождения общего уравнение касательной в точке x0 к графику функции, вычисления предела
функции.
Тема № 10. Исследование функций
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями и принципами исследования
функций.
Задачи занятия: изучить принципы исследования
функции по общей схеме.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение принципов исследования
функции по общей схеме.
22
Задачи занятия: получить практический навык
исследования функции по общей схеме.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение принципов вычисления
производных первого и высших порядков.
Задачи занятия: получить практический навык
исследования функции по общей схеме.
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучение принципов вычисления
производных первого и высших порядков.
Задачи занятия: закрепление и контроль полученных знаний в ходе изучения темы «Исследование функций»
Тема № 11. Интегральное исчисление
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями и определениями интегрального
исчисления, ввести основные математические обозначения, подготовить слушателей для изучения
основ функционального анализа.
Задачи занятия: изучить основные свойства определенного и неопределенного интегралов, метод
подстановки (замены переменных), метод интегрирования по частям.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение правил нахождения первообразной функции, основных методов интегрирования.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления значений первообразных, используя
основные свойства неопределенного интеграла.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение условий существования
определенного интеграла, основных свойств определенного интеграла.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления определённого интеграла.
Тема № 12. Функции нескольких переменных
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями функции нескольких переменных, рассмотреть предел функции, непрерывность,
23
частные производные, полный дифференциал, исследовать на экстремумы функции нескольких переменных.
Задачи занятия: изучить основные понятия
функции нескольких переменных, предел, непрерывность, частные производные функции, полный
дифференциал, исследовать на экстремум.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных понятий функции нескольких переменных.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления предела функции.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить предел функции, непрерывность функции, рассмотреть частные производные, полный дифференциал, исследовать на
экстремумы функции нескольких переменных.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления значений частных производных первого и второго порядков.
Тема № 13. Комбинаторика
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями комбинаторики, рассмотреть основные комбинаторные операции.
Задачи занятия: изучить основные формулы комбинаторики, теоремы сложения умножения для
подсчета количества вариантов.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные комбинаторные
операции, методы их использования.
Задачи занятия:
получить практический навык нахождения факториала натуральных чисел, вычисления сочетания,
размещения, перестановки.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить с конфигурации с повторениями.
Задачи занятия:
получить практический навык вычисления конфигураций с повторениями.
24
Тема № 14. Основные понятия теории вероятностей
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями теории вероятностей, рассмотреть классификацию событий.
Задачи занятия: изучить практически невозможные и практически достоверные события, рассмотреть случайные события, определить вероятность
события
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные понятия теории
вероятностей.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач (Классическое определение
вероятостей)
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить основные понятия теории
вероятностей.
Задачи занятия: закрепление и контроль полученных знаний в ходе изучения темы «Основные
понятия теории вероятностей»
Тема № 15. Методы вычисления вероятностей
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основные методы теории вероятностей,
Задачи занятия: изучить теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности и гипотез
Байеса, формулу Бернулли.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные методы теории
вероятностей, теоремы сложения и умножения.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач (теоремы вероятностей суммы и
произведения).
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить формулу полной вероятности.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач (Формула полной вероятности).
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучить формулу гипотез Байеса.
Задачи занятия: получить практический навык
25
решения задач (Формула гипотез Байеса).
Тема № 16. Дискретные случайные величины
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями случайных величин.
Задачи занятия: изучить основные законы распределений, задачи, приводящиеся к нахождению
характеристик случайных величин.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные законы распределения случайных величин.
Задачи занятия:
получить практический навык нахождения законов распределения случайных величин.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить основные законы распределения случайных величин.
Задачи занятия:
получить практический навык нахождения законов распределения случайных величин.
Тема № 17. Непрерывные случайные величины
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями непрерывных случайных величин.
Задачи занятия: изучить основные законы распределений, задачи, приводящиеся к нахождению
характеристик случайных величин.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучить основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Задачи занятия:
получить практический навык нахождения законов распределения непрерывных случайных величин.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучить основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Задачи занятия:
получить практический навык нахождения зако26
нов распределения непрерывных случайных величин.
Тема № 18. Элементы математической статистики
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями математической статистики, рассмотреть методы отыскания оценок, доверительные интервалы и области.
Задачи занятия: изучить графическое изображение, точечные оценки, методы отыскания оценок,
доверительные интервалы и области.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных понятий математической статистики, графического изображения вариационных рядов, точечных оценок и методов их отыскания.
Задачи занятия: получить практический навык
построения вариационного ряда, нахождения генеральной средней, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение основных понятий математической статистики, графического изображения вариационных рядов, точечных оценок и методов их отыскания.
Задачи занятия: получить практический навык
построения полигона, гистограммы и кумуляты по
частотам и относительным частотам.
Тема № 19. Статистические оценки параметров распределения
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными статистическими оценками параметров распределения. Рассмотреть статистические методы
исследования
Задачи занятия: изучить статистическое распределение выборки, оценку генеральной совокупности по выборочной средней и по исправленной
выборочной. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение статистических оценок
параметров распределения
27
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение статистических оценок
параметров распределения.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач.
Тема № 20. Статистическая проверка гипотез
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями статистической проверки гипотез.
Задачи занятия: изучить принцип практической
уверенности, проверку гипотез о равенстве долей
признака в двух и более совокупностях, проверку
гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей, статистическую гипотезу и общую
схему ее проверки.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение способов проверки гипотез о правдоподобности модели
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач.
Тема № 21. Парная регрессия и корреляция
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями регрессионного анализа, проблемами спецификации парной регрессии,
Задачи занятия: изучить методы построения и
оценки значимости коэффициентов линейной регрессионной модели.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение линейных регрессионных
моделей.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач. (Линейная модель).
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение нелинейных регрессионных моделей.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач. (Степенная модель)
28
Практическое занятие № 3 Цель занятия: изучение нелинейных регрессионных моделей.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач. (Показательная модель)
Тема № 22. Множественный регрессионный анализ
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными пространственными моделями множественной регрессии, проблемами спецификации
множественной регрессии, представить методы
построения и оценки значимости параметров
множественной регрессионной модели.
Задачи занятия: изучить классическую модель
множественной регрессии и ее спецификацию,
рассмотреть способы построения множественной
линейной регрессионной модели.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение способов построения
уравнения множественной регрессии.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач (построение уравнения множественной линейной регрессии).
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение способов моделирования
тенденции временного ряда.
Задачи занятия: получить практический навык
решения задач (оценка значимости параметров
множественной регрессии).
Тема № 23. Временные ряды
Лекция № 1
Цель занятия: ознакомить слушателей с основными понятиями временных рядов, автокорреляционной функцией, методами нахождения временных математических моделей.
Задачи занятия: изучить основные элементы
временного ряда.
Практическое занятие № 1 Цель занятия: изучение основных элементов
временного ряда: корреляционной функции, коэффициентов
автокорреляционной
функции,
сформировать таблицу соответствия значений лага
29
и величин автокорреляционных коэффициентов.
Задачи занятия: получить практический навык
вычисления значений автокорреляционной функции; нахождения коэффициентов автокорреляционной функции.
Практическое занятие № 2 Цель занятия: изучение моделирования тенденции временного ряда.
Задачи занятия: получить практический навык
составления таблиц соответствия значений лага и
величин автокорреляционных коэффициентов, построения коррелограммы временного ряда
3.2. Рекомендации по структуре (плану) занятия
Тема № 1. Элементы теории множеств
Лекция № 1
1. Логические символы
2. Множества. Основные определения и обозначения
3. Операции над множествами
4. Числовые множества
4.1. Основные свойства вещественных чисел
4.2. Изображение вещественных чисел точками
на координатной кривой
4.3. Абсолютная величина числа
5. Множество комплексных чисел
5.1 Геометрическая интерпретация комплексного числа
Практическое занятие № 1 1. Выполнение операций над множествами:
1.1. Объединение множеств
1.2. Пересечение множеств
1.3. Разность множеств
1.4. Симметрическая разность
1.5. Прямое произведение
2. Выбор подмножеств:
2.1. Натуральных
2.2. Целых
2.3. Рациональных
2.4 Иррациональных чисел
3. Нахождение и округление значений числовых
выражений.
4. Нахождение множеств чисел, обладающих дан30
ным свойством.
5. Нахождение множеств чисел, удовлетворяющих
неравенству.
Практическое занятие № 2 1. Определение вещественной и мнимой части
комплексного числа.
2. Нахождение числа, противоположного данному.
3. Нахождение числа, комплексно сопряженного
данному.
4. Нахождение модуля комплексного числа.
5. Выполнение операций над комплексными числами.
6. Нахождение комплексных корней квадратного
уравнения
7. Определение вещественной и мнимой части
комплексного числа.
Тема № 2. Математическая логика
Лекция № 1
1. Предмет и история развития математической
логики
2. Понятие высказывания
3. Логические операции
4. Логические формулы
5. Равносильность логических формул
6. Тавтологии
7. Доказательства логических заключений
8. Логические задачи.
Практическое занятие № 1 1. Рассмотрение логических операций.
2. Рассмотрение логических формул.
3. Построение таблиц истинности.
4. Решение логических задач.
Практическое занятие № 2 1. Вычисление основных логических операций:
конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквивалентности, тавтологии.
2. Заполнение таблиц истинности.
3. Вычисление логических выражений с использованием логических формул.
Тема № 3. Графы
Лекция № 1
1. Основные положения теории графов
2. Пути и цепи
3. Эйлеровы графы
31
4. Теоремы Менгера, Холла, Кёниг
5.Двудольные графы
Практическое занятие № 1 1. Найти наибольшее паросочетание в следующем
двудольном графе со следующей матрицей
Практическое занятие № 2 1. Найти наибольшее паросочетание в следующем
двудольном графе со следующей матрицей
Раздел 2. Линейная алгебра
Тема № 4. Матрицы и определители
Лекция № 1
1. Понятие матрицы
2. Основные операции над матрицами и их свойства
2.1. Сложение матриц
2.2. Умножение матрицы на число
2.3. Перемножение матриц
3. Определители
3.1. Понятие определителя
3.2. Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го
порядков
3.3 Вычисление определителей n-ого порядка
3.4. Свойства определителей
Практическое занятие № 1 1. Вычисление суммы и разности матриц.
2. Вычисление произведения матрицы на число.
3. Вычисление матричных произведений.
4.Выполнение комплексных действий над матрицами.
Практическое занятие № 2 1. Выполнение действий над матрицами.
2. Выполнение действий над матрицами F·G·H.
3. Вычисление определителей 3-го порядка.
4. Вычисление определителей 4-го порядка.
5.Вычисление определителей треугольной матрицы.
Практическое занятие № 3 1. Нахождение матриц обратных данным.
2. Выполнение действий над матрицами.
3. Нахождение окаймляющих миноров.
4. Нахождение ранга матриц.
Тема № 5. Системы линейных уравнений
Лекция № 1
1. Основные понятия систем линейных уравнений
32
1.1. Линейное уравнение
1.2. Понятие системы линейных уравнений
1.3. Матричная форма записи системы линейных
уравнений
1.4. Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений
2.Методы решения систем линейных уравнений
2.1. Метод обратной матрицы
2.2. Метод Крамера
2.3 Метод Гаусса
2.4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
3. Однородные системы линейных уравнений
3.1. Условия совместности однородных систем
3.2. Решение однородных систем
3.3. Фундаментальная система решений
Практическое занятие № 1 1. Нахождение обратных матриц.
2. Решение систем линейных уравнений
3. Решение систем линейных уравнений методом
Крамера.
Практическое занятие № 2 1. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса.
1.1. Система из двух линейных уравнений с
двумя неизвестными
1.2. Система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
1.3. Система из четырех линейных уравнений с
четырьмя неизвестными
2. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
3. Нахождение ранга матрицы методом Гаусса.
Практическое занятие № 3 1. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса.
1.1. Система из двух линейных уравнений с
двумя неизвестными
1.2. Система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
1.3. Система из четырех линейных уравнений с
четырьмя неизвестными
2. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.
3. Нахождение ранга матрицы методом Гаусса.
33
Тема № 6. Векторная алгебра
Лекция № 1
1. Основные понятия
1.1. Вектор
1.2. Умножение вектора на скаляр
1.3. Сложение векторов
1.4. Свойства действий с векторами
1.5. Линейная комбинация векторов
2. Координаты
2.1. Координаты вектора
2.2. Координаты точки
3. Умножение векторов
3.1. Скалярное произведение
3.2. Векторное произведение
3.3. Смешанное произведение
Практическое занятие № 1 1. Нахождение модулей и направляющих косинусов векторов.
2. Выполнение операций над векторами. сумма
векторов и умножение вектора на число.
3. Нахождение координат и длин векторов.
Практическое занятие № 2 1. Скалярное произведения векторов.
2. Угол между векторами.
3. Векторное произведение векторов.
4. Площадь треугольника.
5. Смешанное произведение векторов.
6. Объем пирамиды.
Тема № 7. Элементы аналитической геометрии
Лекция № 1
1. Метод координат на плоскости
1.1. Декартовы прямоугольные координаты.
1.2. Полярные координаты.
1.3. Основные задачи, решаемые методом координат.
1.4. Уравнение линии на плоскости.
2. Прямая линия
2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2.2. Общее уравнение прямой.
2.3. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку.
2.4. Уравнение прямой в отрезках.
2.5. Угол между двумя прямыми.
34
2.6. Взаимное расположение двух прямых на
плоскости.
2.7. Расстояние от точки до прямой.
2.8. Основные задачи на прямую
3. Кривые второго порядка
3.1. Уравнение окружности.
3.2. Каноническое уравнение эллипса.
3.3. Каноническое уравнение гиперболы.
3.4. Каноническое уравнение параболы
Практическое занятие № 1 1. Скалярное произведения векторов.
2. Угол между векторами.
3. Векторное произведение векторов.
4. Площадь треугольника.
5. Смешанное произведение векторов.
6. Объем пирамиды.
Практическое занятие № 2 1. Представление вектора через линейную комбинацию векторов.
2. Вычисление площади поверхности пирамиды.
3. Вычисление объема многогранника.
4. Приложения свойств двумерных векторов.
5. Приложения свойств трехмерных векторов.
Раздел 3. Математический анализ
Тема № 8. Функция одной переменной
Лекция № 1
1. Основные понятия и определения функции одной переменной
2. Предел функции
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4. Непрерывность функции
Практическое занятие № 1 1. Заполнение таблицы с использованием заданной
аналитически функцию y = f(x)
2. Нахождение значений аргумента, при которых
функция y = f(x) равна нулю.
3. Нахождение точек разрыва функции y = f(x).
Практическое занятие № 2 1. Вычисление предела функции по определению
2. Вычисление предела функции.
3. Вычисление предела функции при стремлении
аргумента к бесконечности
4. Вычисление значений, используя первый заме35
чательный предел
5. Вычисление значений, используя второй замечательный предел.
Тема № 9. Дифференциальное исчисление
Лекция № 1
1. Производная. Геометрический смысл.
2. Понятие дифференцируемости функции в данной точке
и понятие дифференциала
3. Основные формулы и правила дифференцирования
5. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Формула
Маклорена
Практическое занятие № 1 1. Вычислить y'(x0) в заданных точках, используя
табличные производные
2. Найти значения y'(x0), используя основные правила дифференцирования
3. Вычислить значения производных сложных
функций
4. Вычислить значения производных тригонометрических функций
y ′( x0 ) в заданПрактическое занятие № 2 1.Вычислить значение производных
ных точках
2. Вычислить значения производных высших порядков
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя
Практическое занятие № 3 1 Нахождение общего уравнение касательной в
точке x0 к графику функции.
2. Нахождение предела функции, используя правило Лопиталя
3. Разложение функции по формуле Маклорена,
найти приближенное значение функции в точке x0.
4. Нахождение приближенного значения.
Тема № 10. Исследование функций
Лекция № 1
1. Исследование функции по общей схеме
2. Асимптоты функции
3. Возрастание и убывание функций
4. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба
5. Пример построения графика функции по общей
36
схеме
Практическое занятие № 1 1. Нахождение значений аргумента x, при которых
функция y = f(x) равна нулю
2. Нахождение интервалов знакопостоянства
функции y = f(x)
3. Нахождение вертикальных асимптот функции y
= f(x)
4. Нахождение невертикальные асимптоты y = kx
+ b функции y = f(x)
Практическое занятие № 2 1. Найти локальные минимумы и максимумы
функции y = f(x)
2. Указать интервалы возрастания и убывания
функции y = f(x)
3. Указать интервалы выпуклости и вогнутости
функции y = f(x).
Практическое занятие № 3 1. Найти локальные минимумы и максимумы
функции y = f(x)
2. Указать интервалы возрастания и убывания
функции y = f(x)
3. Указать интервалы выпуклости и вогнутости
функции y = f(x).
Тема № 11. Интегральное исчисление
Лекция № 1
1. Неопределенный интеграл. Определение и основные свойства. Табличные интегралы.
2. Основные методы интегрирования
2.1. Непосредственное интегрирование
2.2. Метод подстановки (замены переменных)
2.3. Метод интегрирования по частям
2.4. Методы интегрирования рациональных дробей
2.5. Интегрирование простых дробей
2.6. Методы интегрирования иррациональных и
трансцендентных функций
3. Определение и условия существования определенного интеграла
4. Основные свойства определенного интеграла
5. Формула Ньютона-Лейбница
Практическое занятие № 1 1. Вычисление значений переменных функций.
2. Вычисление значений первообразных, используя основные свойства неопределенного интегра37
ла.
3. Вычисление значения первообразных функции
y = f ( x ) , используя метод подстановки ( замены
переменных).
4. Вычисление значений первообразных функций
y = f (x ) , используя метод интегрирования по частям.
Практическое занятие № 2 1. Вычисление значений переменных функций в
заданных точках..
2. Вычисление значений первообразных функций
в заданных точках, используя основные свойства
неопределенного интеграла.
3. Вычисление значения первообразных функции
y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки (замены переменных).
4. Вычисление значений первообразных функций
y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям.
Тема № 12. Функции нескольких переменных
Лекция № 1
1. Понятие функции нескольких переменных и ее
геометрическое изображение
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные и дифференцируемость
функции двух переменных
4. Производные сложных функций. Дифференциал
функции
5. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных
Практическое занятие № 1 1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных
точках
2. Вычислить предел функции
3. Вычислить значения частных производных z'x и
z'y в заданных точках
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
Практическое занятие № 2 1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных
точках
2. Вычислить предел функции
3. Вычислить значения частных производных z'x и
38
z'y в заданных точках
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
Раздел 4. Теория вероятностей
Тема № 13. Комбинаторика
Лекция № 1
1. Предмет теории вероятностей и краткие исторические сведения
2. Комбинаторные задачи. Правила умножения и
сложения
3. Формулы размещения, перестановок, сочетания
Практическое занятие № 1 1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных
точках
2. Вычислить предел функции
3. Вычислить значения частных производных z'x и
z'y в заданных точках
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
Практическое занятие № 2 1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных
точках
2. Вычислить предел функции
3. Вычислить значения частных производных z'x и
z'y в заданных точках
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
Тема № 14. Основные понятия теории вероятностей
Лекция № 1
1. Случайные события и алгебра событий
2. Вероятность события
3. Практически невозможные и практически достоверные события
Практическое занятие № 1 1. Нахождение факториала натуральных чисел
2.Вычисление сочетания, размещения, перестановки.
3. Решение задач
Практическое занятие № 2 1. Вычисление конфигураций с повторениями
2. Вычисление разбиений
3. Решение задач
39
Тема № 15. Методы вычисления вероятностей
Лекция № 1
1. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность
2. Формула полной вероятности
3 Формула гипотез Байеса
4 Формула Бернулли
Практическое занятие № 1 1. Решение задач (Классическое определение вероятностей)
Практическое занятие № 2 1. Решение задач (Классическое определение вероятностей)
Практическое занятие № 3 1.Решение задач (Теоремы вероятностей суммы и
произведения)
Тема № 16. Дискретные случайные величины
Лекция № 1
1. Законы распределения дискретных случайных
величин
1.1 Биномиальный закон распределения
1.2 Закон распределения Пуассона
1.3. Геометрическое распределение
1.4 Гипергеометрическое распределение
Практическое занятие № 1 1.Нахождение законов распределения случайных
величин
2. Решение задач
Практическое занятие № 2 1.Нахождение законов распределения случайных
величин
2. Решение задач
Тема № 17. Непрерывные случайные величины
Лекция № 1
1. Законы распределения непрерывных случайных
величин
1.1. Равномерный закон распределения
1.2. Показательный (экспоненциальный) закон
распределения
1.3. Нормальный закон распределения
Практическое занятие № 1 1.Нахождения распределения случайных величин.
2. Решение задач.
Практическое занятие № 2 1.Нахождения распределения случайных величин.
40
2. Решение задач.
Раздел 5. Статистические методы обработки экспериментальных данных
Тема № 18. Элементы математической статистики
Лекция № 1
1. Задачи математической статистики
2. Основные понятия математической статистики
3. Графическое изображение
4. Генеральная и выборочная средняя
5. Статистические методы исследования социально-правовых явлений и процессов
Практическое занятие № 1 1. Нахождение распределения частот и относительных частот в порядке их появления.
2. Построение вариационного ряда.
3. Нахождение генеральной средней, дисперсии и
среднего квадратичного отклонения.
4. Построение полигона, гистограммы и кумуляты
по частотам и относительным частотам.
Практическое занятие № 2 1. Нахождение распределения частот и относительных частот в порядке их появления.
2. Построение вариационного ряда
3. Нахождение генеральной средней, дисперсии и
среднего квадратичного отклонения.
4. Построение полигона, гистограммы и кумуляты
по частотам и относительным частотам.
Тема № 19. Статистические оценки параметров распределения
Лекция № 1
1. Статистические методы исследования социально-правовых явлений и процессов
2. Статистические оценки параметров распределения
2.1. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
2.2. Генеральная средняя
2.3. Выборочная средняя
2.4. Оценка генеральной средней по выборочной
средней. Устойчивость выборочных средних
2.5. Групповая и общая средние
2.6. Отклонение от общей средней и его свойство
2.7. Генеральная дисперсия
41
Практическое занятие № 1 1. Решение задач.
Практическое занятие № 2 1. Решение задач.
Тема №20. Статистическая проверка гипотез
Лекция № 1
1. Принцип практической уверенности
2. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.
3. Проверка гипотез о равенстве средних двух и
более совокупностей.
4. Проверка гипотез о равенстве долей признака в
двух и более совокупностях.
5. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и
более совокупностей.
Практическое занятие № 1 1. Решение задач.
Тема №21. Парная регрессия и корреляция
Лекция № 1
1. Спецификация парной регрессионной модели
2. Построение линейной регрессии
3. Оценка значимости параметров регрессии
Практическое занятие № 1 1. Решение задач (Линейная модель).
Практическое занятие № 2 1. Решение задач (Степенная модель).
Практическое занятие № 3 1. Решение задач (Показательная модель).
Тема № 22. Множественный регрессионный анализ
Лекция № 1
1. Классическая модель множественной регрессии
и ее спецификация
2. Построение множественной линейной регрессионной модели
3. Оценка значимости параметров множественной
регрессии
Практическое занятие № 1 1.Решение задачи:
1.1. Построение уравнения множественной линейной регрессии.
Практическое занятие № 2 1. Решение задач (Множественный регрессионный
анализ).
1.1. Оценка значимости параметров множественной регрессии.
42
Тема № 23. Временные ряды
Лекция № 1
1. Основные элементы временного ряда
2. Автокорреляция уровней временного ряда
3. Моделирование тенденции временного ряда
4. Моделирование сезонных и циклических колебаний.
Практическое занятие № 1 1. Решение задачи:
1.1. Вычисление значений автокорреляционной
функции;
1.2. Нахождение коэффициентов автокорреляционной функции;
1.3. Составление таблицы соответствия значений лага и величин автокорреляционных коэффициентов
1.4. Построение коррелограммы временного ряда
Практическое занятие № 2 1. Решение задач.
3.3. Рекомендации по оборудованию занятия
Раздел 1. Введение в дискретную математику
Тема № 1. Элементы теории множеств
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, мультимедийная презентация «Элементы теории множеств».
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Числовые множества».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Комплексные числа».
Тема № 2. Математическая логика
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
43
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Математическая логика».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Математическая логика».
Тема № 3. Графы
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Графы».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Графы».
Раздел 2. Линейная алгебра
Тема № 4. Матрицы и определители
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Операции над матрицами».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Методы вычисления определителей».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
44
виде, компьютерная обучающая программа
«Свойства умножения определителей».
Тема № 5. Системы линейных уравнений
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория,
видеопроектор, учебно-методический материал в
электронном виде, компьютерная обучающая
программа «Матричный метод».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Метод Крамера».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Метод Гаусса».
Тема № 6. Векторная алгебра
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Координаты».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Произведение векторов».
Тема № 7. Элементы аналитической геометрии
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроек45
тор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Точки и плоскости».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Точки и прямые».
Раздел 3. Математический анализ
Тема № 8. Функция одной переменной
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Определение функции».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Предел функции».
Тема № 9. Дифференциальное исчисление
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Основные формулы и правила дифференцирования».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Вычисление производных первого и высших порядков».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа
46
«Приложения дифференциального исчисления».
Тема № 10. Исследование функций
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Интервалы знакопостоянства, асимптоты функции».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Исследование функций по первой и второй производным».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Исследование функций по общей схеме».
Тема № 11. Интегральное исчисление
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Определенный интеграл».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Первообразная и неопределенный интеграл».
Тема № 12. Функции нескольких переменных
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
47
виде, компьютерная обучающая программа «Пределы функций. Дифференциальное исчисление».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Локальные экстремумы функции двух переменных».
Раздел 4. Теория вероятностей
Тема № 13. Комбинаторика
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Комбинаторика».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Комбинаторика».
Тема № 14. Основные понятия теории вероятностей
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Классическое определение вероятостей».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Основные понятия теории вероятностей».
Тема № 15. Методы вычисления вероятностей
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
48
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Теоремы вероятностей суммы и произведения».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Формула полной вероятности».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Методы вычисления вероятностей».
Тема № 16. Дискретные случайные величины
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Числовые характеристики случайных величин».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа
«Законы распределения дискретных случайных
величин».
Тема № 17. Непрерывные случайные величины
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Числовые характеристики непрерывных случайных
величин».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Не49
прерывные случайные величины».
Раздел 5. Статистические методы обработки экспериментальных данных
Тема № 18. Элементы математической статистики
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Элементы математической статистики».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Элементы математической статистики».
Тема № 19. Статистические оценки параметров распределения
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Статистические оценки параметров распределения».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Статистические оценки параметров распределения».
Тема №20. Статистическая проверка гипотез
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Статистическая проверка гипотез».
50
Тема №21. Парная регрессия и корреляция
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Линейная модель».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Степенная модель».
Практическое занятие № 3 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Показательная модель».
Тема № 22. Множественный регрессионный анализ
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа
«Множественный регрессионный анализ».
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа
«Множественный регрессионный анализ».
Тема № 23. Временные ряды
Лекция № 1
Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде.
Практическое занятие № 1 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Временные ряды».
51
Практическое занятие № 2 Компьютерная учебная лаборатория, видеопроектор, учебно-методический материал в электронном
виде, компьютерная обучающая программа «Временные ряды».
3.4. Методические рекомендации по повторению, закреплению и контролю
знаний, умений, навыков учащихся, полученных на предыдущих занятиях
Для повторения, закрепления и контроля знаний, умений, навыков учащихся, полученных на предыдущих занятиях следует выполнить следующие
практические задания.
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
Практическое занятие №1
1. Из множества {-4; -2,12; tg3; 0; ln2; 13/14; 3; 10; 14,(1)} выбрать подмножества натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел.
2. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
x −5
= 0
а) x
6
7x
x 2 + 3 x − 54
= 0
б) x
2
x − 81
3. Найти множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
6−x
≥ 0
а) x
x − 11
4. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
x−5
= 0
а) x
6
7x
x 2 + 3 x − 54
=
0
б) x
x 2 − 81
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
Практическое занятие №2
1. Определить вещественную и мнимую части комплексного числа
в) z 3 = −20 − 14i
г) z 4 = 18 − i
2. Найти число, противоположное данному
в) z 3 = −24 − 6i
г) z 4 = −26 + i
52
3. Найти число, комплексно сопряженное данному
в) z 3 = −4 − 5i
г) z 4 = −12 − i
4. Найти модуль комплексного числа
в) z 3 = −4 − 5i
г) z 4 = −4 − i
5. Выполнить операции над комплексными числами
д) (6 − 5i) 2
ж)
− 25 + 2i
−5−i
е) (4 + i ) 3
з)
− 32 + 4i
− 2 − 6i
6. Найти корни квадратного уравнения
а) x 2 + 16
б) x 2 + 8 x + 212
ТЕМА №2. Математическая логика
Практическое занятие №1
Для закрепления изученного материала следует решить следующие задачи:
а). Высказывание A – «Одной из характеристик процессора является его
частота»; высказывание B – «Диагонали параллелограма в точке пересечения делятся пополам». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
б). Высказывание A – «Жесткий диск – это устройство для хранения информации»; высказывание B – «Сумма смежных углов равна180o ». Дизъюнкцией
этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
в). Высказывание A – «Память – это устройство для хранения обрабатываемых процессором данных»; высказывание B – «Две прямые перпендикулярные третьей, параллельны». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является
предложение…
г). Высказывание A – «Информатика – это наука о методах сбора , хранения и обработки информации»; высказывание B – «Вокруг любого треугольника
можно описать окружность». Конъюнкцией этих высказываний ( A ∧ B ) является
предложение…
53
д). Высказывание A – «Сканер – это устройство для ввода графической
информации»; высказывание B – «В любой треугольник можно вписать окружность». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
ТЕМА №2. Математическая логика
Практическое занятие №2
1.
Вычислить:
а). 0 ∧ 1 → 0; 0 ∨ 0 ↔ 1 ∧ 1;
б). 0 ↔ 1 ∨ 1;
в). 0 ∨ (1 → 0 ∧ 1 ↔ 0);
2.
Заполнить таблицы истинности для следующих выражений:
а). (A ↔ A ∨ B ) → B ∧ A ;
б). (А→В) ∧ (В→А)
3.
Вычислить следующие выражения:
( A ∨ B → D ∧ A ) ↔ (C ∨ D → B ) ∧ A ;
а). A=0 B=1 C=0 D=1
б). A=1 B=0 C=1 D=0
С → ( D ∧ ( B ∨ A ∧ C ) ∨ A) → ( D ↔ B ));
в). A=0 B=1 C=0 D=1
( A ↔ D ∧ B ∨ C ∧ ( D ∨ A ↔ B) → B;
г). A=0 B=1 C=0 D=1
B ↔ (C ∨ A ∨ ( D → A ∧ B ) ∧ D) ↔ D.
ТЕМА №3. Графы
Практическое занятие №1
1. Найти степень вершины графа G = [ A , B ]
1
2
5
1
1
3
4
1
1
A={1,2,3,4,5} B={(1,2),(2,3),(3,4),(1,5),(1,4),(3,1)}
54
2. Даны графы: G1 = [ A1 , B1 ] и G2 = [ A2 , B2 ] . Найти:
а) G = [G1 ∪ G2 ] ;
б) G = [G1 ∩ G 2 ] ;
в) G = [G1 ⊕ G 2 ] .
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
Практическое занятие №1
1. Вычислить сумму и разность матриц
−1 6 4 3
+
4 6 0 2
а)
0
− 2 − 6 9
б) 5 − 3 − − 8 4
3 10 − 6 − 7
− 3 − 6
в) 8 − 8
3 −1
г) (− 1 − 5 4) + (− 7 8 − 6)
2. Вычислить произведение матрицы на число
− 9 − 2 9
6 2
а) − 19
7
8 − 4
7
б) − 6 − 1 − 3 11
0
0 − 5
3. Вычислить матричные произведения
− 6 − 6 1 − 8 5
7 11 7 10
0
а)
55
5 10 0 9
− 4 − 8 7 8
б)
2
в) − 7 (8 − 9 3 − 9)
9
− 8 − 8 9 − 7
г) 7 − 9 − 3 7
8 − 1 − 8 6
3 − 2
д) (5 − 3 − 3) 9 − 7
−1 − 4
6
0
6 1 9
2
е)
− 1 − 5 9 10
− 9 3
4. Выполнить действие над матрицами
1 0 0 0 4 − 8
10 4
а) 21 0 1 0 9 2 − 8 (10 7 ) + − 1 − 8 11
0 0 1 4 − 3 8
0
0
1
1 8 8 − 1 0
б) − 6
6
5
8
6
−
−
0
0
0 0 0 − 6 9
1 0 0 11 − 3 0 7
+
0 1 0 4 − 7 2 0
0 0 1 8 10
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
Практическое занятие №2
1. Выполнить действия над матрицами А(В-2С)D,если
а) А = (3 3 3) ;
− 5 − 5 7
б) 2 − 4 6 ;
4 − 6 0
7 − 2 − 3
в) C = 6 4 − 8 ;
8 10 − 4
9
г) D = 5
− 9
2. Выполнить действия над матрицами F*G*H
56
0,3 − 0,3
а) F = − 0,8 0,1
− 0,3 0,5
− 900
б) G =
− 200
в) H = (− 0,7 0,9 0,7 )
3. Вычислить определители
−8
6
−2
4
в) − 2
−6
5
3
10
5
5
−5 −6
6
−8
0
18
− 24
0
5
3
5
−6
г) − 2
5
−5
5
−6
0
а) 5
б) − 2
4
6
−8
10
0
4. Вычислить определители
8
а)
3 −8 −5
−8 7
0
0
6
3
3
0
−8 4 − 2
8
б)
3 −8 −5
7
0
−8
6
3 −2
−5
3
0
8
4
д)
0
3
0
3
6
7
6
3
−8
−8 −5
8
12
0
0
3
0
−8
4
−2
4
е)
−5 −8 3
0
−8 7
24
4
4
0
− 32 28
4
−8
3
3
−8 0 −8
3
0
8
в)
г)
4
−8 4 − 2
0
8
0 −8 −5
−8 0
0
−2 4
0
6
3
3
0
−8 0 −2
4
5. Вычислить определители
7
0
−1
а) − 1 1
4
2
4
−3
б) 7
2
5
6
5 −6
1
1
9
0
5
6
7
5
8 −4
−1 5
−7
−9
−6
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
Практическое занятие №3
57
1. Найти матрицы обратных данных.
5 4
а) A =
4 3
13 − 3 − 65
в) C = 4 − 3 − 22
− 26 7 131
− 3 − 5
б) B =
10 17
− 9 4 − 18
г) D = − 2 13 − 7
0 4 −1
2. Выполнить действия над матрицами
46 − 34
−1
43 − 16 − 6 3
в)
1
5 − 1 − 5
34 − 28
−1
− 3 0 − 21 27
5
3
41
27
−
−
а)
−1
− 2 6 − 2 − 16
б) − 8 1 − 5 − 7
5 1 − 1 16
1 1
г)
0 − 1
−2
3. Найти окаймляющие миноры для выделенного минора 2-го порядка
(Миноры выписываются сперва по строкам сверху вниз, затем по столбцам слева
на право).
1
2 − 9
2
4
1 − 2
3
а)
7 −8 5
0
− 9 − 8 − 7 1
4. Найти ранг матрицы
1 5
а) r 1 5
1 5
2
2
−1 1
б) r
1 −1
6
0
−1
0 0 −1
0 1 0
4 2 − 2
1 3
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Практическое занятие №1
1. Найти обратные матрицы для матриц А и В:
58
5 0 2
б) B = 0 1 0
− 7 0 − 3
5 2
а) A =
13 5
2. Решить системы линейных уравнений матричным методом:
3 x − 3 y − 5 z = −38
б) 3x − 5 y − 5 z = −36
4 x + 2 y + 4 z = −14
− 4 x − 4 y = −16
а)
4 x + y = 19
3. Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
− 3 x + 8 y − 2 z = 77
б) − 3x + y + 7 z = −51
2 x + 5 y − 6 z = 90
2 x + 6 y = −10
а)
− 4 x − 6 y = 14
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Практическое занятие №2
1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.
5 x − 2 y = −5
− 6 x + 6 y = 12
а)
5 p − q = 15
б) − 7 p + 8q − 3r = −30
− 7 p + 4q = −34
6 s + t − 4u − 6v = 32
− 4 s + 4t − 2v = −38
в)
4 s + 6t − 7u + 3v = 20
− 4 s − 5t + 4u + 2v = −10
2. Найти обратную матрицу метода Гаусса
− 2 13
а) A =
− 3 19
4
36
− 9
б) B = − 2 − 19 4
18 − 13 − 73
3. Найти ранг матрицы метода Гаусса
− 2 − 4 − 1 1
а) L = 1 2 0 1
− 1 − 2 1 1
4
6
б) M = 0
4
0
5 5 4
6 5 5
5 4 0
5 0 5
6 0 0
59
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Практическое занятие №3
1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.
5 x − 2 y = −5
− 6 x + 6 y = 12
а)
5 p − q = 15
б) − 7 p + 8q − 3r = −30
− 7 p + 4q = −34
6 s + t − 4u − 6v = 32
− 4 s + 4t − 2v = −38
в)
4 s + 6t − 7u + 3v = 20
− 4 s − 5t + 4u + 2v = −10
2. Найти обратную матрицу метода Гаусса
− 2 13
а) A =
− 3 19
4
36
− 9
б) B = − 2 − 19 4
18 − 13 − 73
3. Найти ранг матрицы метода Гаусса
− 2 − 4 − 1 1
а) L = 1 2 0 1
− 1 − 2 1 1
4
6
б) M = 0
4
0
5 5 4
6 5 5
5 4 0
5 0 5
6 0 0
ТЕМА №6. Векторная алгебра.
Практическое занятие №1
1.
Найти модули и направляющие косинуса векторов a,b,c
а) a = (− 5,3,2)
б) b = (− 8,7,3)
в) c = (− 4,2,−3)
2.
Выполнить операции над векторами a,b,c,d:
a = (− 6,−8,0 ); b = (− 9,−7,6 ); c = (2,3,5 ); d = (− 4,−6,−4 )
60
r
а) a + b; c ⋅ d ; a × b; a, b, c.
3.
Даны точки F,M,P,Q
F (-7, -8, 3); M (3, -3, -6); P (-6, 6, 0); Q (8, -6, 9)
Найти координаты и длины векторов
а) FP; FP ; MP + FM
б) QM ; OM ; PQ − MP
в) − MF ;4 MQ ; MP − 3FM
ТЕМА №6. Векторная алгебра.
Практическое занятие №2
1. Найти скалярное произведение векторов
r
r
б) b = (− 6,−4,2)
r
г) d = (8,2,3)
а) a = (− 3,1,−9)
в) c = (0,5,−6)
r
2. Даны точки K,L,M,N
K (-5,8,1); L (-2,6,-7); M (-2,-8,5); N ( 5,4,-8)
Найти угол между векторами KL и MN.
3. Найти векторное произведение векторов
r
r
б) b = (2,−2,−2 )
r
г) d = (0,−1,6)
а) a = (4,−7,3)
в) c = (8,3,6)
r
4. Даны точки P,R,Q
P (-4,4,8); R (-4,-4,3); Q (8,4,6)
Вычислить площадь треугольника ∆ ABCD
5. Найти смешанное произведение векторов:
r
r
r
a = (5,9,8); b = (1,1,8); c = (− 2,−4,−1);
r
f = (− 8,−9,−6 );
r
r
g = (8,−1,0 ); h = (− 5,4,2 )
6. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D.
A (1,-5,-5); B (7,4,6); C (-3,-8,-7); D (5,2,-6).
ТЕМА №6. Векторная алгебра.
61
Практическое занятие №3
r
r r
r
r r r
1. Представить вектор a через линейную комбинацию векторов b , c :
r
r
r
a = (34,9); b = (6,5); c = (− 8,3)
2. Представить вектор e через линейную комбинацию векторов f , g , h
r
r
r
r
e = (66,−24,25); f = (5,0,2); g = (9,0,4); h = (5,−8,1)
r r r r
r
3. Представить вектор w через линейную комбинацию векторов k , l , m, n
r
r
r
r
r
w = (2,25,−2,−5); k = (5,0,3,3); l = (4,7,1,1); m = (3,1,1,2); n = (2,0,4,1)
4. Вычислить площадь поверхности пирамиды ABCD:
A (-7, 1, -4);
B (-3,-3, 2);
C (-6, 6, 2);
D (5, 4, -5).
5. Вычислить объем многогранника KLMNO, разбив его на две пирамиды:
K (-8, –9, -7);
L (0, 0, 1);
M (5, -2, 3); N (4, 2, 4); O (10, 8, 7)
r r rr
r r
6. Определить неизвестные координаты векторов s , g если s ⊥ r , q r
r
r
r
s = ( x1 ,4 ); q = (− 2, y 2 ); r = (2,3)
r r
7. Определить неизвестные координаты векторов m, n , если вектора
r
r r r
m, u , v , являются компланарными, а вектор n ортогонален плоскости векторов
r r r
m, u , v .
ТЕМА №7. Элементы аналитической геометрия на плоскости
Практическое занятие №1
1. Найти AB и CD между заданными точками
а) A (1,1); B (-2,-8);
б) C (-4,1); D (7,4)
2. Вычислить координаты
а) точки М (х1,у2), делящие отрезок LN в отношении 3:2
L (-1,-0); N (7,-4)
б) точки R (x2,y2), делящей отрезок PQ пополам
P (9,6); Q (5,-1)
3. Вычислить текущие координаты прямых, заданных уравнениями
f (x, y ) = 0
62
а) у = 4x-1
х
-3
у
1
2
4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом ki, проходящие
через точку M (xi,,yi)
а) М1 (0, -4)
к1 = 7
б) М2 (-2, 16)
к2 = -5
5. Составить общее уравнение прямой, проходящее через точки Wi и Ui
а) W1(2, 7); U1(9, 6);
б) W2(0, 14); U2(5, 20)
Записать уравнение прямых l1 и l2 в отрезках
а) l1 : y = 3x −15
б) l 2 : −5 x + y − 5 = 0
6. Найти тангенс угла ϕ между данными прямыми
а) l1 : y = 11x + 8 ;
l 2 : y = −2 x + 8
б) l 3 : 8 x + 2 y + 8 = 0 ;
l4 : 7x − y = 0
7. Найти общие уравнение прямых l1 p и l 2 ⊥ p , проходящие через точку
S ( x0 , y 0 ) .
x 0 = −1,
p : −2 x − 5 y + 3 = 0
y 0 = −6
8. Найти расстояние от точек F,G до заданных прямых l,m
а) F (6,−7 )
l : x + 4y + 7 = 0
б) F (− 4,5)
m : x + 5y −1 = 0
ТЕМА №7. Аналитическая геометрия на плоскости
Практическое занятие №2
1. Вычислить
текущие
координаты
f (x, y ) = 0
а) 9 x 2 + − y 2 − 2 x − 6 y − 16 = 0
63
линий,
заданных
уравнениями
х
у1
у2
-2
x2 y2
−
= −1
б)
25 36
х1
х2
у
24
2. Составить уравнение окружности с центром Oi (xi , yi ) и радиусом Ri
а) O (− 5,1) ; R = 2
б) O (1, − 3) ; R = 3
3. Составить каноническое уравнение эллипса, заданного общим уравнением
а) 9 x 2 + 7 y 2 − 4 = 0
б) 7 x 2 + 4 y 2 − 28x + 50 y + 100 = 0
4. Найти параметры a, b, c, ε эллипса, заданного уравнения
x2 y2
+
=6
а)
49 9
x2 y2
б)
+
= 25
9 16
5. Составить каноническое уравнение эллипса, заданного общим уравнением
2
2
а) 5x + 4 xy + 3 y + 2 x − y + 1 = 0
6. Найти параметры a, b, c, ε гиперболы, заданной уравнением
x2 y2
−
=1
а)
25 81
7. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку
4) и симметрична относительно оси Ох. Написать ее каноническое уравнение.
ТЕМА №8. Функция одной переменной.
Практическое занятие №1
64
А(8,
1. Заполнить таблицу, используя заданную аналитическую функцию
y = f (x )
а) y = 3 x + 2 − 8
х
-10,5
-8
-6,5
-4,5
-4
-2,5
0
0,5
у
х
-8
у
-3
125
1
10
5
26
1
б) у = 3x 2 − 8x + 10 (значения аргумента упорядочены по возрастанию)
2. Найти значения аргумента, при которых функция y = f (x ) равна нулю
а) у = 4 x − 7
б) y = x 2 − 5 x + 4
в) y = 1 − 6 x −6
г) y = lg(x 2 − 63)
д) y =
x+7
x−7
е) y =
x 2 − x − 20
x−6
3. Найти точки разрыва функции y = f (x )
а) y =
x−4
x+4
б) y =
x−5
x 2 − 5x + 6
в) y = log x −2 7
ТЕМА №8. Функция одной переменной.
Практическое занятие №2
1. Вычислить предел функции по определению
(x 3 + 3x 2 − 9 x + 13)
а) lim
x →3
в) lim
x →0
81x 2 − 1
9x + 1
(2 x 2 − 3}x−6
б) lim
x →8
г) xlim
→ −4
4 x 2 + 31x + 21
4x + 3
2. Вычислить предел функции, предварительно сократив дроби
65
а) lim
x →0
18 x 2 − 3 x
3x
9 x 2 + 71x + 56
x+7
в) xlim
→ −7
б) lim
x →9
16 x 2 − 1296
4 x − 36
г) lim
x →6
x 2 − 4 x − 12
x 2 − 36
3. Вычислить предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
а) xlim
→ +∞
−4
2
5x − 7 x − 2
б) xlim
→ +∞
4 x 2 − 5x − 8
4x3 + 8
в) xlim
→ +∞
8 x 2 − 45 x − 18
x2 + 6
г) xlim
→ +∞
28 x 4 − 2 x 2 + 6
4x 4 + 9
4. Вычислить, используя первый замечательный предел
−7
а) lim
x →0
sin (− 3 x )
sin x
б) lim
x →0
4 sin 21x
12tgx
5. Вычислить, используя второй замечательный предел
12
а) lim
x → +∞ 12 x
24 x
(1 − 6 x )
б) lim
x →0
−3
x
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление.
Практическое занятие №1
1. Вычислить y ′(x0 ) в заданных точках, используя табличные производные
а) y = −3
б) y = x 5
в) y = x −4
г) y = 2 x
ж) y =
1
x5
д) y = lg x
з) y =
е) y = log 7 x
1
3x
2. Найти значения y ′(x0 ) , используя основные правила дифференцирования
а) y = 7 x − 3
б) y = x 2 − 9 x + 7
в) y = 4 x 4 + 16 x − 27
г) y = −49 x −3 − 9 x −2
д) y = x − 3 x
е) y = (x 2 − 5)(x + 2)
6x + 7
ж) y = 2
x
4x2 − 2
з) y =
3x + 6
3. Вычислить значения производных сложных функций
3
2
а) y = (2 x 2 − 7 )
б) y = ln(2 x 2 + 6)
66
3x + 3
x
в) y =
2
г) y = 4 9 x −43
4. Вычислить значение производных тригонометрических функций
а) y = tgx
б) y = ctg 5 x
в) y = 5 sin (8 x 3 − 5)
г) y = cos 2 (2 x )
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление.
Практическое занятие №2
1. Вычислить значение производных y ′(x0 ) в заданных точках
а) y = 7 x 3 − 18 x − 26
б) y = tg 3 x − 5 x −2
в) y = x 2 (x + 2)
г) y = (x 2 − 3)(x 2 + 3)
5 cos 2 x
д) y =
8x + 9
8 x 2 + 18 x − 22
е) y = 7
4x + 4
ж) y = (5 x 3 − 9)
з) y = ln (2 x 2 + 13)
2
4x + 1
и) y = 2
5x
3
3
sin (6 x +1)
к) y = 5
2. Вычислить значения производных высших порядков
а) y = 2 x 3 − 17 x − 23
б) y = tg 7 x
в) y = sin 2 (3x )
г) y =
д) y = 4 x 6 + 12 x 4
е) y = sin (9 x )
8 x + 13
x
3. Найти предел функции, используя правило Лопиталя
а) xlim
→ +∞
29 x 4 + 12 x 2 − 9
4x 4 + 2
б) lim
x →0
sin (3 x )
x
в) xlim
→ +∞
23x 4 + 17 x 3
34 x
г) lim
x →0
24 x 5 − 13 x 3
3x 5 + 3x 3
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление.
Практическое занятие №3
1. Найти общее уравнение касательной в точке x0 к графику функции
а) y = 6 x 2 − 5 x + 17
x0 = 6
67
б) y = x 3 + 5 x 2 − 5 x − 11
x 0 = −4
2x 2 − 4
x+4
в) y =
x 0 = −3
2. Найти предел функции, используя правило Лопиталя
а) xlim
→ +∞
25 x 2 + 14 x 3 − 7
6 x 6 − 8x 7
б) lim
x→0
8 sin 3 x − 2 x
4x
ln( 2 x 2 − 6)
54x
г) lim
x→0
e 3x − 1
5x
в) x lim
→ +∞
3. Разложить функцию по формуле Маклорена, найти приближенное значение функции в точке x0
y = cos x
x 0 = 0,6
4. Найти приближенное значение,
0,4 предварительно разложив функ-
цию по формуле Тейлора.
ТЕМА №10. Исследование функций.
Практическое занятие №1
1. Найти значения аргумента x, при которых функция y = f(x) равна нулю:
а) ó = 5 õ − 4
б) ó = õ 2 + 11õ − 18
в) ó = 1 − 3 õ− 4
г) ó = lg(x 2 − 8)
д) ó =
õ+ 4
õ−4
е) ó =
õ2 − 2õ − 8
õ−8
2. Указать интервалы знакопостоянства функции y = f(x).
а) ó =
õ2 − 6õ − 9
õ2
б) ó =
õ+5
õ2 − 9
в) ó =
õ 2 + 3õ − 4
õ 2 − 3 õ − 28
3. Найти вертикальные асимптоты функции y = f(x):
а) ó =
õ+ 4
õ−6
б) ó =
4 õ 2 + õ + 28
õ 2 − 36
в) у =
х2 − 8
14 х 3
4. Найти невертикальные асимптоты y = kx + b функции y = f(x)
а) ó =
6õ − 5
у=4
3õ + 4
б) у =
3х 2
х+7
в) у =
х2 − 6
15 х 3
г) у =
5х3 − х
х2 + 6
68
ТЕМА №10. Исследование функций
Практическое занятие №2
1. Найти локальные минимумы и максимумы функции y = f(x).
а) ó = 256 õ − õ 4
б) y = 3x 2 + 18 x + 3
в) ó = õ − 15 õ − 1177 õ + 1
x 2 − 13 x + 9
г) y =
x
3
2
2. Указать интервалы возрастания и убывания функции y = f(x).
б) y =
а) y = x 3 − 15 x 2 − 33x − 7
1
2
x − 36
в) y =
x 2 − 12 x + 117
x−6
3. Указать интервалы выпуклости и вогнутости функции y = f(x).
а) y = 2 x 3 − 42 x 2 + 11x − 89
б) y = x 4 − 20 x 3 − 234 x 2 − 21x + 28
в) y =
1
x − 25
2
ТЕМА №10. Исследование функций
Практическое занятие №3
1. Найти локальные минимумы и максимумы функции y = f(x).
а) ó = 256 õ − õ 4
б) y = 3x 2 + 18 x + 3
в) ó = õ − 15 õ − 1177 õ + 1
x 2 − 13 x + 9
г) y =
x
3
2
2. Указать интервалы возрастания и убывания функции y = f(x).
а) y = x 3 − 15 x 2 − 33x − 7
б) y =
1
2
x − 36
в) y =
x 2 − 12 x + 117
x−6
3. Указать интервалы выпуклости и вогнутости функции y = f(x).
а) y = 2 x 3 − 42 x 2 + 11x − 89
б) y = x 4 − 20 x 3 − 234 x 2 − 21x + 28
в) y =
1
x − 25
2
ТЕМА №11. Интегральное исчисление.
Практическое занятие №1
69
1. Вычислить значения переменных функций, используя табличные интегралы
а) y = −9
б) y = x 5
в) y = x −3
д) y = sin x
е) y = cos x
ж) y =
г) y = 2 x
1
x
з) y =
1
cos 2 x
2. Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 5 x − 9
б) y = x 2 − 2 x + 7
в) y = 2 x 4 + 16 x − 20
г) y = (x 2 + 6)(x + 7 )
д) y = −8 + 2 x
е) y =
4x 2 − 8
x
3. Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
а) y = (6 x + 9)5
б) y =
8
(5 + 4 x )2
4. Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
а) y = x 3 ln x
б) y = 4 x cos 2 x
ТЕМА №11. Интегральное исчисление.
Практическое занятие №2
1 Вычислить значения переменных функций y = f (x ) в заданных точках,
используя табличные интегралы
а) y = −4
F (8 )
б) y = x 2
F (3)
в) y = x −2
F (3)
г) y = 3 x
F (5)
F (− 8)
е) y = cos x
F (− 8)
F (− 2)
з) y =
д) y = sin x
ж) y =
1
x
1
cos 2 x
F (− 2 )
2 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
70
а) y = 6 x − 9
F (0)
б) y = x 2 − 7 x + 5
F (2 )
в) y = 2 x 4 + 17 x − 24
F (0)
г) y = (x 2 + 2)(x + 7 )
F (8)
д) y = −6 + 3 x
F (5)
е) y =
4x 2 − 9
x
F (5)
3 Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
а) y = (5 x + 4)7
F (7 )
б) y =
35
F (7 )
(3 + 5 x )2
4 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
F (2 )
а) y = x 3 ln x
F (5)
б)
ТЕМА №11. Интегральное исчисление.
Практическое занятие №3
1 Вычислить значения переменных функций y = f (x ) в заданных точках,
используя табличные интегралы
а) y = −4
F (6 )
б) y = x 3
F (6)
в) y = x −4
F (7 )
г) y = 3 x
F (3)
д) y = sin x
F (− 7 )
е) y = cos x
F (8)
F (− 7 )
з) y =
ж) y =
1
x
1
cos 2 x
F (− 7 )
2 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 4 x − 4
F (− 4)
б) y = x 2 − 5 x + 6
в) y = 9 x 4 + 11x − 27
F (5)
г) y = (x 2 + 5)(x + 2)
F (− 4 )
F (2 )
3x 2 − 3
е) y =
x
F (4 )
д) y = −5 + 6
x
F (− 4 )
3 Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
71
F (5)
а) y = (3x + 7 )7
б) y =
15
(2 + 3x )2
F (7 )
4 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
F (7 )
а) y = x 4 ln x
б) y = 2 x cos 3x
F (5)
ТЕМА №11. Интегральное исчисление.
Практическое занятие №4
1 Вычислить значения переменных функций y = f (x ) в заданных точках,
используя табличные интегралы
а) y = −4
F (6 )
б) y = x 3
F (6)
в) y = x −4
F (7 )
г) y = 3 x
F (3)
д) y = sin x
F (− 7 )
е) y = cos x
F (8)
F (− 7 )
з) y =
ж) y =
1
x
1
cos 2 x
F (− 7 )
2 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 4 x − 4
F (− 4)
б) y = x 2 − 5 x + 6
в) y = 9 x 4 + 11x − 27
F (5)
г) y = (x 2 + 5)(x + 2)
д) y = −5 + 6 x
F (2 )
е) y =
F (− 4 )
F (− 4 )
3x 2 − 3
x
F (4 )
3 Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
а) y = (3x + 7 )7
F (5)
б) y =
15
(2 + 3x )2
F (7 )
4 Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
а) y = x 4 ln x
F (7 )
б) y = 2 x cos 3x
F (5)
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных.
Практическое занятие №1
72
1. Вычислить значение функции z, (x, y) в заданных точках
а) z = 9 x − 6 y + 6
б) z = 8 x 2 + 7 xy + 8 y 2
в) z = log 2 (x − y )7
г) z = 4 8 x +8 y −117
− 22 xy
x− y
д) z =
е) z =
36 x 4 − 36 y 2
6x 2 + 6 y
2. Вычислить предел функции
б) lim
2 3 x +5 y − 43
x →9
а) xlim
x 3 + 2 xy 2 − 6 y 4 − 7
→9
y →4
y → −6
5x 3 y 2 − 2 x 2 y 5
xy 2
y →0
в) lim
x →6
г) lim
x →32
y →4
4 x 2 − 16 y 4
2x − 4 y 2
3. Вычислить значения частных производных z ′x , z ′y в заданных точках
а) z = 5 x − 4 y + 4
б) z = 7 x 4 + 9 x 3 y + 5 x 2 y 2 + 8 xy 3
в) z = 2 sin 2 x − 2 cos(4 y )
г) z =
5 x3 + 9 y
2 xy 2
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
б) z = 6 x 3 ln( y + 2 )3
а) z = 6 x 3 − 2 xy + 9 y 2 − 4
4 xy
2
x −1
в) z =
2
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных.
Практическое занятие №2
1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных точках
а) z = 3x − 5 y + 2
z (− 8,8)
б) z = 8 x 2 + 6 xy + 8 y 2
z (7,−5)
в) z = log 2 (x − y )3
z (16,−16)
г) z = 2 5 x + 5 y −52
z (5,6)
д) z =
− 26 xy
x− y
z (8,6)
е) z =
25 x 4 − 16 y 2
5x 2 + 4 y
z (3,−5)
2. Вычислить предел функции
73
а)
lim x
3
б) lim 3 7 x + 4 y −83
+ 8 xy 2 − 6 y 4 − 5
X →8
y → −4
x →9
y →6
3x 3 y 2 − 9 x 2 y 5
в) lim
xy 2
xx → −5
9 x 2 − 144 y 4
г) lim
3x − 12 y 2
x →16
x→0
y →4
3. .Вычислить значения частных производных z'x и z'y в заданных точках
z ′y (7,−4 )
z ′x (7,−4 )
а) z = 6 x − 8 y + 6
в) z = 2 sin 2 x − 8 cos(5 y )
2x 3 + 4 y
г) z =
5 xy 2
z ′y (− 8,−4 )
z ′x (− 8,−4 )
б) z = 6 x 4 + 6 x 3 y + 3x 2 y 2 + 9 xy 3
z ′y (0,5)
z ′x (0,5)
z ′y (6,3)
z ′x (6,3)
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 3x 3 − 4 xy + 4 y 2 − 7
z ′xx′ (0,7 )
z ′xy′ (0,7 )
z ′yx′ (0,7 )
z ′yy′ (0,7 )
б) z = 6 x 3 ln( y + 5)
7
z ′xx′ (7,9 )
z ′xy′ (7,9 )
z ′yx′ (7,9 )
z ′yy′ (7,9 )
5 xy
в) z = 2
x − 1
2
z ′xx′ (− 7,−1)
z ′xy′ (− 7,−1)
z ′yx′ (− 7,−1)
z ′yy′ (− 7,−1)
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных.
Практическое занятие №3
1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных точках
а) z = 7 x − 9 y + 6
z (1,−1)
б) z = 4 x 2 + 2 xy + 4 y 2
z (− 2,4)
в) z = log 3 (x − y )7
z (10,1)
г) z = 4 9 x +9 y −96
z (9,2)
74
д) z =
− 14 xy
x− y
z (14,12)
е) z =
64 x 4 − 49 y 2
8x 2 + 7 y
z (− 6,4 )
2. Вычислить предел функции
а)
lim x
3
б) lim 6 3 x +8 y − 27
+ 4 xy 2 − 2 y 4 − 9
x →5
y →2
x → −1
y →5
в) lim
xx → 4
x →0
7 x 3 y 2 − 5x 2 y 5
xy 2
г) lim
x → 20
y →2
9 x 2 − 225 y 4
3 x − 15 y 2
3. Вычислить значения частных производных z'x и z'y в заданных точках
z ′y (− 9,−4 )
z ′x (9,−4 )
в) z = 6 sin 2 x − 4 cos(9 y )
6x 3 + 8 y
9 xy 2
z ′y (1,5)
z ′x (1,5)
б) z = 2 x 4 + 2 x 3 y + 7 x 2 y 2 + 5 xy 3
г) z =
z ′y (− 2,5)
z ′x (− 2,5)
а) z = 2 x − 4 y + 2
z ′y (2,7 )
z ′x (2,7 )
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 7 x 3 − 8 xy + 8 y 2 − 3
z ′xx′ (9,−2 )
z ′xy′ (9,−2 )
z ′yx′ (9,−2 )
z ′yy′ (9,−2 )
б) z = 2 x 3 ln( y + 9)
3
z ′xy′ (− 2,5)
z ′xx′ (− 2,5)
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных.
Практическое занятие №4
1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных точках
а) z = 7 x − 9 y + 6
z (1,−1)
б) z = 4 x 2 + 2 xy + 4 y 2
z (− 2,4)
в) z = log 3 (x − y )7
z (10,1)
г) z = 4 9 x +9 y −96
z (9,2)
75
д) z =
− 14 xy
x− y
z (14,12)
е) z =
64 x 4 − 49 y 2
8x 2 + 7 y
z (− 6,4 )
2. Вычислить предел функции
а)
lim x
3
б) lim 6 3 x +8 y − 27
+ 4 xy 2 − 2 y 4 − 9
x →5
y →2
x → −1
y →5
в) lim
xx → 4
x →0
7 x 3 y 2 − 5x 2 y 5
xy 2
г) lim
x → 20
y →2
9 x 2 − 225 y 4
3 x − 15 y 2
3. Вычислить значения частных производных z'x и z'y в заданных точках
б) z = 2 x 4 + 2 x 3 y + 7 x 2 y 2 + 5 xy 3
в) z = 6 sin 2 x − 4 cos(9 y )
г) z =
z ′y (− 2,5)
z ′x (− 2,5)
а) z = 2 x − 4 y + 2
6x 3 + 8 y
9 xy 2
z ′y (1,5)
z ′x (1,5)
z ′y (− 9,−4 )
z ′x (9,−4 )
z ′y (2,7 )
z ′x (2,7 )
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 7 x 3 − 8 xy + 8 y 2 − 3
z ′xx′ (9,−2 )
z ′xy′ (9,−2 )
z ′yx′ (9,−2 )
z ′yy′ (9,−2 )
б) z = 2 x 3 ln( y + 9)
3
z ′xx′ (− 2,5)
z ′xy′ (− 2,5)
z ′yx′ (− 2,5)
z ′yy′ (− 2,5)
9 xy
в) z = 2
x − 1
2
z ′xx′ (2,8)
z ′xy′ (2,8)
z ′yx′ (2,8)
z ′yy′ (2,8)
4 xy
z = 2
x −1
2
ТЕМА №13. Комбинаторика.
76
Практическое занятие №1
1. Найти факториалы натуральных чисел:
а)9!
б) 6!
в) 2!
2. Вычислить:
3
1
а) P7 ; A4 ; C 4
2
5
б) P1 ; A2 ; C 6
0
4
в) P4 ; A4 ; C 6
3. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя каждую цифру только один раз?
б) Сколькими способами можно расположить 8 автомобилей в одной колонне?
в) Сколькими способами можно выбрать 3 лотерейных билетов из 8 имеющихся?
г) Необходимо выбрать 7 сотрудников из 17. Определить количество всех возможных вариантов составления списка.
д) Сколькими способами можно расставить 4 цветочных горшков в 4 комнатах
одного этажа?
е) У стрелка 24 боевых патронов, из них 12 трассирующих. Определить количество способов выбора 2 патронов одного типа.
ж) Сколько существует способов расстановки 19 патрульных автомобилей по 5 на
каждый из 3 объектов?
з) Сколькими способами могут расположиться 6 курсантов за 4 столами, при условии, что за каждым столом могут сидеть не более 2 человек?
и) В учебной группе 8 юношей и 4 девушек. Сколькими способами можно выбрать 7 курсантов, таким образом чтобы среди них было 2 девушки?
к) Игральный кубик бросается 12 раз. Определить количество всевозможных вариантов суммы выпавших очков.
ТЕМА №13. Комбинаторика.
Практическое занятие №2
1. Вычислить:
2
0
а) P 5 ; A 5 ; C 3
1
4
5
б) P 8 ; A 2 ; C 7
3
в) P 2 ; A 7 ; C 5
77
2. Найти количество разбиений:
а) R (5, 6 )
б) R (3, 3, 2 )
в) R (3, 1, 3, 1)
3. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из заданных цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться!)
б) В буфете продаются 5 различных видов бутербродов. Сколькими способами можно купить 10 бутербродов?
в) Необходимо разместить 10 автомобилей в 3 секторах охраняемой территории. Сколькими способами это можно сделать?
г) Сколькими способами можно расставить 13 книг в книжном шкафу с 3
полками, если каждая полка может вместить все книги?
д) Имеются 6 черных, 5 белых, 5 красных и 9 синих шаров. Сколькими способами можно составить ряд из 5 шаров?
е) Сколькими способами можно разложить 5 монет по 5 рублей, 5 монет по
2 рубля и 9 монет по 1 рублю в 3 кармана?
ж) Сколько существует способов разбиения множества из 11 элементов на
подмножества из 3, 3 и 4 элементов?
з) Сколькими способами возможно разделить группу из 10 оперативных сотрудников на 2 подгруппы для поиска и задержания преступника? (В группе не
менее 2-х человек)
и) Для выполнения боевого задания подразделение из 6 человек необходимо разделить на 2 части в отношении 1:2. Сколько вариантов выбора сотрудников
подразделения может быть?
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей.
Практическое занятие №1
1. Решить задачи:
а) В пирамиде 14 винтовок, 8 из них с оптическим прицелом. Найти вероятность того, что произвольно взятая винтовка - без оптики.
б) В колонне в произвольном порядке движутся 2 белых, 9 синих и 3 чер78
ных автомобиля. Какова вероятность замыкания колонны синим автомобилем.
в) Определить вероятность того, что (трехзначный) номер первой встретившейся автомашины содержит хотя бы две цифры "8".
г) В состязании участвуют 5 марафонцев. Определить вероятность прихода
к финишу бегунов в порядке возрастания их номеров.
д) В кармане находятся 1 купюра достоинством 500 руб., 3 по 100 руб., 2 по
50 руб. и 3 по 10 руб. Найти вероятность оплаты покупки стоимостью 671 руб.
тремя взятыми купюрами.
е) Лотерея выпущена на общую сумму 74100 руб. Цена одного билета 150
руб. Выигрыши падают на 15 билетов. Определить вероятность выигрыша купленного билета.
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей.
Практическое занятие №2
1. Решить задачи:
а) В учебной группе 13 девушек и 18 юношей. Для тестирования произведен компьютерный отбор 8 человек. Какова вероятность того, что все отобранные
для тестирования - юноши.
б) На полке находятся в произвольном порядке 10 книг . Определить вероятность того, что 4 книги 4-томного собрания сочинений окажутся поставленными рядом.
в) У стрелка 28 патронов, из них 15 холостых. Определить вероятность того, что из 13 взятых случайным образом патронов 6 окажутся боевыми.к) В лотерее участвуют 25 билетов, на 17 из которых падает выигрыш. Найти вероятность
выигрыша при покупке 4 билетов.
г) В лотерее участвуют 23 билетов, на 18 из которых падает выигрыш. Найти вероятность выигрыша при покупке 6 билетов.
д) В ходе игры в колоде из 36 карт осталось 11. Найти вероятность того, что
в колоде остались все 4 туза.
е) Каждая из 10 деталей произвольным образом может попасть в один из 9
79
контейнеров для хранения. Какова вероятность того, что в какой-нибудь контейнер попадут две детали, а в остальные по одной.
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
Практическое занятие №1
1. Стрелок имеет 98 патронов, из них 7 с осечкой. Какова вероятность того, что:
а) взятый на удачу патрон окажется с осечкой?
б) взятые на удачу 3 патрона окажутся с осечкой?
2. Группа захвата обезвреживает банду из 15 преступников, из которых 6
рецидивистов. Захвачено 11 преступников. Найти вероятность того, что среди захваченных преступников 3 рецидивистов.
3. Из 80 билетов 24 выигрышных. Определить вероятность того, что среди
взятых на удачу 4 билетов:
а) один выигрышный.
б) ни одного выигрышного.
4. Необходимо в ремонтной мастерской взять 4 рации. В мастерской 34
рации, из которых 29 исправных и 5 неисправных. Какова вероятность того, что
среди 4 взятых рации:
а) только исправные;
б) только неисправные;
в) одна исправная и 3 неисправных.
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
Практическое занятие №2
1. Решить задачи (Формула полной вероятности):
а) В первом ящике 11 белых шаров и 16 черных, во втором 5 белых шара и
16 черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,17, а
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,07. За день на новом станке изготови80
ли 176, а на старом 501 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
в) На огневом рубеже 3 стрелка. Вероятности попадания ими в цель равны
0,53, 0,92 и 0,90. По команде один из стрелков производит выстрел. Определить
вероятность поражения цели.
г) Группа состоит из 7 отличников, 12 хорошистов и 2 слабых курсантов.
Отличники получают самоэкзамен, хорошисты в равной степени могут получить
"4" или "5", а остальные - "2" или "3". Найти вероятности того, что вошедший получит "5", "4", "3".
д) Первым заводом выпущено 333 гранатометов, вторым - 516, третьим 211. Отказ оружия первого завода составляет 0,7%, второго - 0,2%, третьего 0,5%. Какова вероятность безотказной работы двух поступивших в подразделение гранатометов.
2. Решить задачи (Формула гипотез Байеса):
а) В красном контейнере 11 латунных и 16 чугунных деталей, в синем 5 латунных и 16 чугунных, в желтом 15 латунных и 10 чугунных. Для проверки берется деталь из первого попавшегося контейнера. Деталь оказалась латунной. Какова вероятность того, что выбранная деталь взята из желтого ящика.
б) Вероятность прорастания зерна, обработанного ядохимикатами, равна
0,96, а необработанного - 0,71. Поля засеяны 22 ц обрабо-танного и 23 ц. необработанного зерна. Найти вероятностть того, что случайно отобранное проросшее
зерно было обработано.
в) При задержании рецидивиста три милиционера произвели по нему залп
из ПМ на растоянии 30 метров, преступник был убит, а в теле найдена 1 пуля.
Найти вероятности того, что попали 1-й, 2-й и 3-й милиционеры, если вероятности поражения цели каждым милиционером равны соответственно 0,97, 0,91 и
0,76.
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
Практическое занятие №3
81
1. Решить задачи (Формула полной вероятности).
а) В первом ящике 7 белых шаров и 14 черных, во втором 6 белых шара и 6
черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность
того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,13, а
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,05. За день на новом станке изготовили 108, а на старом 525 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
в) На огневом рубеже 3 стрелка. Вероятности попадания ими в цель равны
0,96, 0,84 и 0,96. По команде один из стрелков производит выстрел. Определить
вероятность поражения цели.
г) Группа состоит из 5 отличников, 8 хорошистов и 3 слабых курсантов.
Отличники получают самоэкзамен, хорошисты в равной степени могут получить
"4" или "5", а остальные - "2" или "3". Найти вероятности того, что вошедший получит "5", "4", "3".
д) Первым заводом выпущено 275 гранатометов, вторым - 389, третьим 148. Отказ оружия первого завода составляет 0,5%, второго - 0,9%, третьего 0,3%. Какова вероятность безотказной работы двух поступивших в подразделение гранатометов.
2. Решить задачи (Формула гипотез Байеса).
а) В красном контейнере 7 латунных и 14 чугунных деталей, в синем 6 латунных и 6 чугунных, в желтом 13 латунных и 12 чугунных. Для проверки берется деталь из первого попавшегося контейнера. Деталь оказалась латунной. Какова
вероятность того, что выбранная деталь взята из желтого ящика.
б) Вероятность прорастания зерна, обработанного ядохимикатами, равна
0,94, а необработанного - 0,78. Поля засеяны 32 ц обрабо-танного и 50 ц. необработанного зерна. Найти вероятностть того, что случайно отобранное проросшее
зерно было обработано.
в) При задержании рецидивиста три милиционера произвели по нему залп
из ПМ на растоянии 30 метров, преступник был убит, а в теле найдена 1 пуля.
82
Найти вероятности того, что попали 1-й, 2-й и 3-й милиционеры, если вероятности поражения цели каждым милиционером равны соответственно 0,81, 0,87 и
0,93.
ТЕМА №16. Дискретные случайные величины.
Практическое занятие №1
1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими рядами
распределений:
а)
xi
2
4
pi
0,6
0,4
yi
3
6
9
qi
0,4
0,1
0,5
xi
1
3
5
pi
0,2
0,4
0,4
yi
2
4
6
qi
0,2
0,5
0,3
б)
Составить ряд распределений случайных величин X+Y;
2. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность поражения
цели при каждом выстреле 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель и найти M(x), D(x), V(x).
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины.
Практическое занятие №1
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
(a,b).
83
0
x −1
F (X ) =
10
1
x ≤ 1 , 1 < x ≤ 11 , x > 11
P(0 < x < 6) ;
P(4 < x < 6) .
2. По известной функции распределения непрерывной случайной величины Х найти значения плотности распределения в заданных точках.
0
18
F ( X ) = 5 −
x
1
x ≤ 3,6 ; 3,6 < x ≤ 4,5 ; x ≥ 4,5
f (− 4);
f (4);
f (17 ) .
3. Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] , если известна плотность распределения этой величины.
0
f (x ) = − 2 x
2e
x < 0, x ≥ 0
P(− 4 < x < −1);
P(− 4 < x < 1);
P(2 < x < 6) .
4. Найти числовые характеристики случайной величины, значение которой
принадлежат интегралу [a, b] , если известна плотность распределения.
а) f (x ) = 1
x ∈ [4,5]
б) f (x ) = 1 / 4
x ∈ [2,6]
в) f (x ) = 2 x / 25
x ∈ [0,5]
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины.
Практическое занятие №2
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
(a,b).
84
0
x −1
F (X ) =
10
1
x ≤ 1 , 1 < x ≤ 11 , x > 11
P(0 < x < 6) ;
P(4 < x < 6) .
2. По известной функции распределения непрерывной случайной величины Х найти значения плотности распределения в заданных точках.
0
18
F ( X ) = 5 −
x
1
x ≤ 3,6 ; 3,6 < x ≤ 4,5 ; x ≥ 4,5
f (− 4);
f (4 );
f (17 ) .
3. Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] , если известна плотность распределения этой величины.
0
f (x ) = − 2 x
2e
x < 0, x ≥ 0
P(− 4 < x < −1);
P(− 4 < x < 1);
P(2 < x < 6) .
4. Найти числовые характеристики случайной величины, значение которой
принадлежат интегралу [a, b] , если известна плотность распределения.
а) f (x ) = 1
x ∈ [4,5]
б) f (x ) = 1 / 4
x ∈ [2,6]
x ∈ [0,5]
в) f (x ) = 2 x / 25
ТЕМА №18. Элементы математической статистики.
Практическое занятие №1
1.
3
5
Даны последовательности чисел
3
9
5
5
5
4
3
4
9
85
4
5
9
0
0
3
5
0
4
а) Найти распределение частот и относительных частот в порядке их появления.
б) Построить вариационный ряд.
в) Найти генеральные среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
г) Для вариационного ряда построить полигон, гистограмму и кумуляту по
частотам и относительным частотам.
ТЕМА №18. Элементы математической статистики.
Практическое занятие №2
1. Даны последовательности чисел
3
5
3
9
5
5
5
4
3
4
9
4
5
9
0
0
3
5
0
4
а) Найти распределение частот и относительных частот в порядке их появления.
б) Построить вариационный ряд.
в) Найти генеральные среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
г) Для вариационного ряда построить полигон, гистограмму и кумуляту по
частотам и относительным частотам.
ТЕМА №19. Статистические оценки параметров распределения
Практическое занятие №1
Генеральная совокупность задана таблицей распределения
xi
2
4
5
6
Ni
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию.
ТЕМА №19. Статистические оценки параметров распределения
Практическое занятие №2
Генеральная совокупность задана таблицей распределения
86
xi
2
7
4
6
Ni
4
5
8
2
Найти генеральную дисперсию.
ТЕМА №20. Cтатистическая проверка гипотез.
Практическое занятие №1
1. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы
рабочих: в первой группе численностью п1 = 50 чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила X = 85 (изделий), во второй
группе численностью п2 = 70 чел. выборочная средняя - y = 78 (изделий). Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σ x2 = 100 и σ
2
y
= 74. На уровне значимости α =0,05 выяснить влияние но-
вой технологии на среднюю производительность.
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Практическое занятие №1
1. Решить задачу (Линейная модель)
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9,6
86,2
9,4
83,0
9,2
65,0
8,4
61,0
9,0
69,9
6,3
16,1
8,0
69,9
7,7
43,3
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Практическое занятие №2
1. Решить задачу (Степенная модель)
87
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Практическое занятие №3
1. Решить задачу (Показательная модель) По восьми регионам Южного
Федерального округа известны значения двух признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + xb, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Практическое занятие №1
1. Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической обстановки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
yi
41,4
42,3
31,2
36,2
28,1
44,1
xi1
8,9
9,5
4,4
6,6
1,7
10,3
88
xi2
4,5
3,7
8,2
6,7
4,2
5,3
7
8
9
10
11
12
42,3
35,9
46,9
29,2
47,3
41,0
9,7
6,8
11,5
3,2
11,7
8,0
6,5
6,6
1,7
4,7
1,9
1,7
Полагая, что между y, x1 и x2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение в виде y = b0 + b1x1 + b2x2.
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Практическое занятие №2
1. Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической обстановки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi1
8,9
9,5
4,4
6,6
1,7
10,3
9,7
6,8
11,5
3,2
11,7
8,0
yi
41,4
42,3
31,2
36,2
28,1
44,1
42,3
35,9
46,9
29,2
47,3
41,0
xi2
4,5
3,7
8,2
6,7
4,2
5,3
6,5
6,6
1,7
4,7
1,9
1,7
Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, коэффициенты
эластичности Ej, стандартизованные коэффициенты b'j, коэффициент детерминации R и F-критерий Фишера. (Задачу решить в матричной форме).
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Практическое занятие №3
1. Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической об89
становки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi1
5,2
6,4
4,3
5,5
1,9
2,3
5,6
4,2
1,8
9,1
2,8
1,6
yi
15,4
12,3
11,4
15,1
15,9
16,4
18,6
14,8
21,3
22,1
36,1
11,3
xi2
3,5
2,4
9,1
4,4
2,2
4,8
1,5
1,6
2,4
8,4
6,2
5,5
Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, коэффициенты
эластичности Ej, стандартизованные коэффициенты b'j, коэффициент детерминации R и F-критерий Фишера. (Задачу решить в матричной форме).
ТЕМА №23. Временные ряды и прогнозирование.
Практическое занятие №1
1. Решить задачу:
Имеются данные о динамике некоторого социально-криминалогического
показателя зарегистрированного в регионе поквартально за последние 4 года. Построить коррелограму временного ряда.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
t
yt 10,6 7,1 9,4 16,7 9,2 6,7 8,9 15, 7,7 5,1 7,5 14,0 6,4 3,8 6,7 12,7
ТЕМА №23. Временные ряды и прогнозирование.
Практическое занятие №2
1. Решить задачу:
Имеются данные о динамике некоторого социально-криминалогического
показателя зарегистрированного в регионе поквартально за последние 4 года. Построить аддитивную модель временного ряда Y = T + S + E и оценить модель.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
t
yt 10,6 7,1 9,4 16,7 9,2 6,7 8,9 15, 7,7 5,1 7,5 14,0 6,4 3,8 6,7 12,7
90
3.5. Методические рекомендации по изучению, закреплению и контролю усвоения нового материала.
Для изучения, закрепления и контроля усвоения нового материала рекомендуется выполнить следующие практические задания:
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
1. Из множества {-4; -2,12; tg3; 0; ln2; 13/14; 3; 10; 14,(1)} выбрать подмножества натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел.
2. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
а) {x 7 x − 56 = 0}
{
}
б) {x x 2 − 25} = 0
{ (
x −18
=1
в) x 7
) }
2
г) x lg x − 71 = 1
3. Найти множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
{
}
2
а) x x − 81 < 0
4. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
а) {x 7 x − 56 = 0}
{
}
x −18
=1
в) x 7
2
б) {x x − 25} = 0
2
г) {x lg(x − 71) = 1}
5. Определить вещественную и мнимую части комплексного числа
а) z1 = −6
б) z 2 = −12i
6. Найти число, противоположное данному
а) z1 = −6
б) z 2 = −6i
7. Найти число, комплексно сопряженное данному
а) z1 = 5
б) z 2 = −5i
8. Найти модуль комплексного числа
а) z1 = −2
б) z 2 = 5i
9. Выполнить операции над комплексными числами
а) (− 4 − 2i ) + ( 4 − 5i )
б) (4 − 5i) − (−12 − 11i )
в) (− 4 − 5i )( −4 − 5i )
г) (− 4 − 2i)(−4 + 5i )
10. Найти корни квадратного уравнения
91
а) x 2 + 16
б) x 2 + 8 x + 212
ТЕМА №2. Математическая логика
1. Решить задачи:
а). Высказывание A – «Одной из характеристик процессора является его частота»;
высказывание B – «Диагонали параллелограма в точке пересечения делятся
пополам». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
б). Высказывание A – «Жесткий диск – это устройство для хранения информации»; высказывание B – «Сумма смежных углов равна180o ». Дизъюнкцией
этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
в). Высказывание A – «Память – это устройство для хранения обрабатываемых
процессором данных»; высказывание B – «Две прямые перпендикулярные
третьей, параллельны». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является
предложение…
г). Высказывание A – «Информатика – это наука о методах сбора , хранения и обработки информации»; высказывание B – «Вокруг любого треугольника можно описать окружность». Конъюнкцией этих высказываний ( A ∧ B ) является
предложение…
д). Высказывание A – «Сканер – это устройство для ввода графической информации»; высказывание B – «В любой треугольник можно вписать окружность».
Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
2.
Вычислить:
а). 0 ∧ 1 → 0; 0 ∨ 0 ↔ 1 ∧ 1;
б). 0 ↔ 1 ∨ 1;
в). 0 ∨ (1 → 0 ∧ 1 ↔ 0);
3.
Заполнить таблицы истинности для следующих выражений:
а). (A ↔ A ∨ B ) → B ∧ A ;
б). (А→В) ∧ (В→А)
4.
Вычислить следующие выражения:
92
( A ∨ B → D ∧ A ) ↔ (C ∨ D → B ) ∧ A ;
а). A=0 B=1 C=0 D=1
б). A=1 B=0 C=1 D=0
С → ( D ∧ ( B ∨ A ∧ C ) ∨ A) → ( D ↔ B ));
в). A=0 B=1 C=0 D=1
( A ↔ D ∧ B ∨ C ∧ ( D ∨ A ↔ B ) → B;
г). A=0 B=1 C=0 D=1
B ↔ (C ∨ A ∨ ( D → A ∧ B ) ∧ D ) ↔ D.
ТЕМА №3. Графы
1. Найти степень вершины графа G = [ A , B ]
1
2
5
1
1
3
1
4
1
A={1,2,3,4,5} B={(1,2),(2,3),(3,4),(1,5),(1,4),(3,1)}
2. Даны графы: G1 = [ A1 , B1 ] и G2 = [ A2 , B2 ] . Найти:
а) G = [G1 ∪ G2 ] ;
б) G = [G1 ∩ G 2 ] ;
в) G = [G1 ⊕ G 2 ] .
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
1. Вычислить сумму и разность матриц
−1 6 4 3
+
4 6 0 2
а)
93
0
− 2 − 6 9
б) 5 − 3 − − 8 4
3 10 − 6 − 7
− 3 − 6
в) 8 − 8
3 −1
г) (− 1 − 5 4) + (− 7 8 − 6)
2. Вычислить произведение матрицы на число
− 9 − 2 9
6 2
а) − 19
7
8 − 4
7
б) − 6 − 1 − 3 11
0
0 − 5
3. Вычислить матричные произведения
− 6 − 6 1 − 8 5
7 11 7 10
0
а)
5 10 0 9
− 4 − 8 7 8
б)
2
в) − 7 (8 − 9 3 − 9)
9
− 8 − 8 9 − 7
г) 7 − 9 − 3 7
8 − 1 − 8 6
3 − 2
д) (5 − 3 − 3) 9 − 7
−1 − 4
6
0
6 1 9
2
е)
− 1 − 5 9 10
− 9 3
4. Выполнить действие над матрицами
94
1 0 0 0 4 − 8
10 4
а) 21 0 1 0 9 2 − 8 (10 7 ) + − 1 − 8 11
0 0 1 4 − 3 8
0
0
1
1 8 8 − 1 0
б) − 6
− 6 5 − 8 6 0
0
0 0 0 − 6 9
1 0 0 11 − 3 0 7
+
0 1 0 4 − 7 2 0
0 0 1 8 10
5. Выполнить действия над матрицами А(В-2С)D,если
а) А = (3 3 3) ;
− 5 − 5 7
б) 2 − 4 6 ;
4 − 6 0
7 − 2 − 3
в) C = 6 4 − 8 ;
8 10 − 4
9
г) D = 5
− 9
6. Выполнить действия над матрицами F*G*H
0,3 − 0,3
а) F = − 0,8 0,1
− 0,3 0,5
− 900
б) G =
− 200
в) H = (− 0,7 0,9 0,7 )
7. Вычислить определители
−8
6
−2
4
в) − 2
−6
5
3
10
5
5
−5 −6
6
−8
0
18
− 24
0
5
3
5
−6
г) − 2
5
−5
5
−6
0
а) 5
б) − 2
4
6
10
−8
0
8. Вычислить определители
8
а)
3 −8 −5
−8 7
0
0
6
3
3
0
−8 4 − 2
4
8
г)
−8 0 −8
3
7
0
−8
6
3 −2
−5
3
0
95
4
4
8
б)
3 −8 −5
−8 4 − 2
0
4
д)
4
0
0
3
0
3
6
7
3
0
−8 7
6
3
−8
−8 −5
8
3
− 32 28
24
12
0
0
3
0
−8
4
−2
4
е)
−5 −8 3
−8
0
8
в)
8
−2 4
0 −8 −5
−8 0
0
0
6
3
3
0
−8 0 −2
4
9. Вычислить определители
7
0
−1
а) − 1 1
4
2
4
−3
б) 7
2
5
6
5 −6
1
1
9
0
5
6
8 −4
5
−1 5
−7
7
−9
−6
10. Найти матрицы обратных данных.
5 4
а) A =
4 3
13 − 3 − 65
в) C = 4 − 3 − 22
− 26 7 131
− 3 − 5
б) B =
10 17
− 9 4 − 18
г) D = − 2 13 − 7
0 4 −1
11. Выполнить действия над матрицами
−1
− 3 0 − 21 27
− 5 3 − 41 27
а)
46 − 34
−1
43 − 16 − 6 3
в)
1
5 − 1 − 5
34 − 28
−1
− 2 6 − 2 − 16
б) − 8 1 − 5 − 7
5 1 − 1 16
1 1
г)
0 − 1
−2
12. Найти окаймляющие миноры для выделенного минора 2-го порядка
(Миноры выписываются сперва по строкам сверху вниз, затем по столбцам
слева на право).
96
1
2 − 9
2
4
1 − 2
3
а)
7 −8 5
0
− 9 − 8 − 7 1
13. Найти ранг матрицы
1 5
а) r 1 5
1 5
2
2
−1 1
б) r
1 −1
6
0
−1
0 0 −1
0 1 0
4 2 − 2
1 3
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
1. Найти обратные матрицы для матриц А и В:
5 2
а) A =
13
5
5 0 2
б) B = 0 1 0
− 7 0 − 3
2. Решить системы линейных уравнений матричным методом:
− 4 x − 4 y = −16
а)
4 x + y = 19
3 x − 3 y − 5 z = −38
б) 3x − 5 y − 5 z = −36
4 x + 2 y + 4 z = −14
3. Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
2 x + 6 y = −10
а)
− 4 x − 6 y = 14
− 3 x + 8 y − 2 z = 77
б) − 3x + y + 7 z = −51
2 x + 5 y − 6 z = 90
4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.
5 x − 2 y = −5
− 6 x + 6 y = 12
а)
5 p − q = 15
б) − 7 p + 8q − 3r = −30
− 7 p + 4q = −34
97
6 s + t − 4u − 6v = 32
− 4 s + 4t − 2v = −38
в)
4 s + 6t − 7u + 3v = 20
− 4 s − 5t + 4u + 2v = −10
5. Найти обратную матрицу метода Гаусса
− 2 13
а) A =
− 3 19
4
36
− 9
б) B = − 2 − 19 4
18 − 13 − 73
6 . Найти ранг матрицы метода Гаусса
− 2 − 4 − 1 1
а) L = 1 2 0 1
− 1 − 2 1 1
4
6
б) M = 0
4
0
5 5 4
6 5 5
5 4 0
5 0 5
6 0 0
ТЕМА №6. Векторная алгебра
1. Найти модули и направляющие косинуса векторов a,b,c
а) a = (− 5,3,2)
б) b = (− 8,7,3)
в) c = (− 4,2,−3)
2. Выполнить операции над векторами a,b,c,d:
a = (− 6, −8,0 ); b = (− 9,−7,6 ); c = (2,3,5 ); d = (− 4, −6, −4 )
r
a
+
b
;
c
⋅
d
; a × b; a, b, c.
а)
3. Даны точки F,M,P,Q
F (-7, -8, 3); M (3, -3, -6); P (-6, 6, 0); Q (8, -6, 9)
Найти координаты и длины векторов
а) FP; FP ; MP + FM
б) QM ; OM ; PQ − MP
в) − MF ;4 MQ ; MP − 3FM
98
4. Найти скалярное произведение векторов
r
r
б) b = (− 6,−4,2)
r
г) d = (8,2,3)
а) a = (− 3,1,−9)
в) c = (0,5,−6)
r
5. Даны точки K,L,M,N
K (-5,8,1); L (-2,6,-7); M (-2,-8,5); N ( 5,4,-8)
Найти угол между векторами KL и MN.
6. Найти векторное произведение векторов
r
r
б) b = (2,−2,−2 )
r
г) d = (0,−1,6)
а) a = (4,−7,3)
в) c = (8,3,6)
r
7. Даны точки P,R,Q
P (-4,4,8); R (-4,-4,3); Q (8,4,6)
Вычислить площадь треугольника ∆ ABCD
8. Найти смешанное произведение векторов:
r
r
r
a = (5,9,8); b = (1,1,8); c = (− 2,−4,−1);
r
f = (− 8,−9,−6 );
r
r
g = (8,−1,0 ); h = (− 5,4,2 )
9. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D.
A (1,-5,-5); B (7,4,6); C (-3,-8,-7); D (5,2,-6).
r r r r
r
10. Представить вектор w через линейную комбинацию векторов k , l , m, n
r
r
r
r
r
w = (2,25,−2,−5); k = (5,0,3,3); l = (4,7,1,1); m = (3,1,1,2); n = (2,0,4,1)
12. Вычислить площадь поверхности пирамиды ABCD:
A (-7, 1, -4);
B (-3,-3, 2);
C (-6, 6, 2);
D (5, 4, -5).
13. Вычислить объем многогранника KLMNO, разбив его на две пирамиды:
K (-8, –9, -7);
L (0, 0, 1);
M (5, -2, 3); N (4, 2, 4); O (10, 8, 7)
r r rr
r r
14. Определить неизвестные координаты векторов s , g если s ⊥ r , q r
r
r
r
s = ( x1 ,4 ); q = (− 2, y 2 ); r = (2,3)
r r
15. Определить неизвестные координаты векторов m, n , если вектора
r
r r r
m, u , v , являются компланарными, а вектор n ортогонален плоскости векторов
r r r
m, u , v .
ТЕМА №7. Элементы аналитической геометрия на плоскости
99
1. Найти AB и CD между заданными точками
а) A (1,1); B (-2,-8);
б) C (-4,1); D (7,4)
2. Вычислить координаты
а) точки М (х1,у2), делящие отрезок LN в отношении 3:2
L (-1,-0); N (7,-4)
б) точки R (x2,y2), делящей отрезок PQ пополам
P (9,6); Q (5,-1)
3. Вычислить текущие координаты прямых, заданных уравнениями
f (x, y ) = 0
а) 3х-2у+1 = 0
х
у
3
-1
23
4. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом ki, проходящие
через точку M (xi,,yi)
а) М1 (0, -4)
к1 = 7
б) М2 (-2, 16)
к2 = -5
5. Составить общее уравнение прямой, проходящее через точки Wi и Ui
а) W1(2, 7); U1(9, 6);
б) W2(0, 14); U2(5, 20)
Записать уравнение прямых l1 и l2 в отрезках
b)
а) l1 : y = 3x −15
б) l 2 : −5 x + y − 5 = 0
6. Найти тангенс угла ϕ между данными прямыми
а) l1 : y = 11x + 8 ;
l 2 : y = −2 x + 8
б) l 3 : 8 x + 2 y + 8 = 0 ;
l4 : 7x − y = 0
7. Найти общие уравнение прямых l1 p и l 2 ⊥ p , проходящие через точку
S ( x0 , y 0 ) .
x 0 = −1,
p : −2 x − 5 y + 3 = 0
y 0 = −6
8. Найти расстояние от точек F,G до заданных прямых l,m
100
а) F (6,−7 )
l : x + 4y + 7 = 0
б) F (− 4,5)
m : x + 5y −1 = 0
ТЕМА №8. Функция одной переменной
4. Заполнить таблицу, используя заданную аналитическую функцию
y = f (x )
а) y = 3 x + 2 − 8
х
-10,5
-8
-6,5
-4,5
-4
-2,5
0
0,5
у
х
-8
у
-3
125
1
10
5
26
1
б) у = 3x 2 − 8x + 10 (значения аргумента упорядочены по возрастанию)
5. Найти значения аргумента, при которых функция y = f (x ) равна нулю
а) у = 4 x − 7
б) y = x 2 − 5 x + 4
в) y = 1 − 6 x −6
г) y = lg(x 2 − 63)
x+7
д) y =
x−7
x 2 − x − 20
е) y =
x−6
6. Найти точки разрыва функции y = f (x )
а) y =
x−4
x+4
б) y =
x−5
x − 5x + 6
2
в) y = log x −2 7
7. Вычислить предел функции по определению
101
(x 3 + 3x 2 − 9 x + 13)
а) lim
x →3
в) lim
x →0
(2 x 2 − 3}x−6
б) lim
x →8
81x 2 − 1
9x + 1
4 x 2 + 31x + 21
4x + 3
г) xlim
→ −4
8. Вычислить предел функции, предварительно сократив дроби
а) lim
x →0
18 x 2 − 3 x
3x
в) xlim
→ −7
9 x 2 + 71x + 56
x+7
б) lim
x →9
16 x 2 − 1296
4 x − 36
г) lim
x →6
x 2 − 4 x − 12
x 2 − 36
9. Вычислить предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
а) xlim
→ +∞
−4
2
5x − 7 x − 2
б) xlim
→ +∞
4 x 2 − 5x − 8
4x3 + 8
в) xlim
→ +∞
8 x 2 − 45 x − 18
x2 + 6
г) xlim
→ +∞
28 x 4 − 2 x 2 + 6
4x 4 + 9
10. Вычислить, используя первый замечательный предел
а) lim
−7
x →0
sin (− 3 x )
sin x
4 sin 21x
x →0 12tgx
б) lim
11. Вычислить, используя второй замечательный предел
12
а) lim
x → +∞ 12 x
24 x
(1 − 6 x )
б) lim
x →0
−3
x
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление
1. Вычислить y ′(x0 ) в заданных точках, используя табличные производные
а) y = −3
б) y = x 5
в) y = x −4
г) y = 2 x
ж) y =
1
x5
д) y = lg x
з) y =
е) y = log 7 x
1
3x
2. Найти значения y ′(x0 ) , используя основные правила дифференцирования
а) y = 7 x − 3
б) y = x 2 − 9 x + 7
в) y = 4 x 4 + 16 x − 27
г) y = −49 x −3 − 9 x −2
д) y = x − 3 x
е) y = (x 2 − 5)(x + 2)
102
ж) y =
6x + 7
x2
4x2 − 2
3x + 6
з) y =
3. Вычислить значения производных сложных функций
а) y = (2 x 2 − 7 )
б) y = ln (2 x 2 + 6)
3
3x + 3
в) y =
x
2
2
г) y = 4 9 x −43
4. Вычислить значение производных тригонометрических функций
а) y = tgx
б) y = ctg 5 x
в) y = 5 sin (8 x 3 − 5)
г) y = cos 2 (2 x )
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление
5. Вычислить значение производных y ′(x0 ) в заданных точках
а) y = 7 x 3 − 18 x − 26
б) y = tg 3 x − 5 x −2
в) y = x 2 (x + 2)
г) y = (x 2 − 3)(x 2 + 3)
5 cos 2 x
д) y =
8x + 9
8 x 2 + 18 x − 22
е) y = 7
4x + 4
ж) y = (5 x 3 − 9)
з) y = ln (2 x 2 + 13)
2
4x + 1
и) y = 2
5x
3
3
sin (6 x +1)
к) y = 5
6. Вычислить значения производных высших порядков
а) y = 2 x 3 − 17 x − 23
б) y = tg 7 x
в) y = sin 2 (3x )
г) y =
д) y = 4 x 6 + 12 x 4
е) y = sin (9 x )
8 x + 13
x
7. Найти предел функции, используя правило Лопиталя
а) xlim
→ +∞
29 x 4 + 12 x 2 − 9
4x 4 + 2
б) lim
x →0
sin (3 x )
x
в) xlim
→ +∞
23x 4 + 17 x 3
34x
г) lim
x →0
24 x 5 − 13 x 3
3x 5 + 3x 3
8. Найти общее уравнение касательной в точке x0 к графику функции
103
а) y = 6 x 2 − 5 x + 17
x0 = 6
б) y = x 3 + 5 x 2 − 5 x − 11
x 0 = −4
2x 2 − 4
в) y =
x+4
x 0 = −3
9. Найти предел функции, используя правило Лопиталя
а)
25 x 2 + 14 x 3 − 7
x → +∞
6 x 6 − 8x 7
в)
lim
x → +∞
8 sin 3 x − 2 x
x→0
4x
lim
б) lim
ln( 2 x 2 − 6)
54x
e 3x − 1
x→0 5 x
г) lim
10. Разложить функцию по формуле Маклорена, найти приближенное значение функции в точке x0
y = cos x
x 0 = 0,6
11. Найти приближенное значение,
0,4 предварительно разложив функцию
по формуле Тейлора.
ТЕМА №10. Исследование функций
1. Найти значения аргумента x, при которых функция y = f(x) равна нулю:
а) ó = 5 õ − 4
б) ó = õ 2 + 11õ − 18
в) ó = 1 − 3 õ− 4
г) ó = lg(x 2 − 8)
õ+ 4
д) ó =
õ−4
õ2 − 2õ − 8
е) ó =
õ−8
2. Указать интервалы знакопостоянства функции y = f(x).
а) у =
х 2 − 6 х − 16
х2
б) у =
х+5
х2 − 9
в) у =
х 2 + 3х − 4
х 2 − 3 х − 28
3. Найти вертикальные асимптоты функции y = f(x):
а) у =
х+4
х−6
б) у =
4 х 2 + х + 28
х 2 − 36
в) у =
х2 − 8
14 х 3
4. Найти невертикальные асимптоты y = kx + b функции y = f(x)
6х − 5
а) у =
3х + 4
в) у =
х2 − 6
15 х 3
3х 2
б) у =
х+7
г) у =
5х3 − х
х2 + 6
104
5. Найти локальные минимумы и максимумы функции y = f(x).
а) у = 256 х − х 4
б) y = 3x 2 + 18 x + 3
в) ó = õ 3 − 15 õ 2 − 1177 õ + 1
г) y =
x 2 − 13 x + 9
x
6. Указать интервалы возрастания и убывания функции y = f(x).
а) y = x 3 − 15 x 2 − 33 x − 7
б) y =
1
2
x − 36
в) y =
x 2 − 12 x + 117
x−6
7. Указать интервалы выпуклости и вогнутости функции y = f(x).
а) y = 2 x 3 − 42 x 2 + 11x − 89
б) y = x 4 − 20 x 3 − 234 x 2 − 21x + 28
в) y =
1
x − 25
2
8. Вычислить значения переменных функций, используя табличные интегралы
а) y = −9
б) y = x 5
в) y = x −3
д) y = sin x
е) y = cos x
ж) y =
1
x
г) y = 2 x
з) y =
1
cos 2 x
9. Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 5 x − 9
б) y = x 2 − 2 x + 7
в) y = 2 x 4 + 16 x − 20
г) y = (x 2 + 6)(x + 7 )
д) y = −8 + 2 x
е) y =
4x 2 − 8
x
10. Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки (замены переменных)
а) y = (6 x + 9)5
б) y =
8
(5 + 4 x )2
11. Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
а) y = x 3 ln x
б) y = 4 x cos 2 x
105
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных
1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных точках
а) z = 7 x − 9 y + 6
z (1,−1)
б) z = 4 x 2 + 2 xy + 4 y 2
z (− 2,4 )
в) z = log 3 (x − y )7
z (10,1)
г) z = 4 9 x +9 y −96
z (9,2 )
− 14 xy
x− y
z (14,12)
64 x 4 − 49 y 2
е) z =
8x 2 + 7 y
z (− 6,4 )
д) z =
Вычислить предел функции
2.
а)
lim x
3
б) lim 6 3 x +8 y − 27
+ 4 xy 2 − 2 y 4 − 9
x → −1
y →5
в) lim
xx → 4
x →0
x →5
y →2
7 x 3 y 2 − 5x 2 y 5
xy 2
г) lim
x → 20
y →2
9 x 2 − 225 y 4
3 x − 15 y 2
3. Вычислить значения частных производных z'x и z'y в заданных точках
б) z = 2 x 4 + 2 x 3 y + 7 x 2 y 2 + 5 xy 3
в) z = 6 sin 2 x − 4 cos(9 y )
г) z =
z ′y (− 2,5)
z ′x (− 2,5)
а) z = 2 x − 4 y + 2
6x 3 + 8 y
9 xy 2
z ′y (1,5)
z ′x (1,5)
z ′y (− 9,−4 )
z ′x (9,−4 )
z ′y (2,7 )
z ′x (2,7 )
4. Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 7 x 3 − 8 xy + 8 y 2 − 3
z ′xx′ (9,−2 )
z ′xy′ (9,−2 )
z ′yx′ (9,−2 )
z ′yy′ (9,−2 )
б) z = 2 x 3 ln( y + 9)
3
z ′xx′ (− 2,5)
z ′xy′ (− 2,5)
ТЕМА №13. Комбинаторика
106
1. Найти факториалы натуральных чисел:
а)9!
б) 6!
в) 2!
2. Вычислить:
3
1
а) P7 ; A4 ; C 4
2
5
б) P1 ; A2 ; C 6
0
4
в) P4 ; A4 ; C 6
3. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя каждую цифру только один раз?
б) Сколькими способами можно расположить 8 автомобилей в одной колонне?
в) Сколькими способами можно выбрать 3 лотерейных билетов из 8 имеющихся?
г) Необходимо выбрать 7 сотрудников из 17. Определить количество всех возможных вариантов составления списка.
д) Сколькими способами можно расставить 4 цветочных горшков в 4 комнатах
одного этажа?
е) У стрелка 24 боевых патронов, из них 12 трассирующих. Определить количество способов выбора 2 патронов одного типа.
ж) Сколько существует способов расстановки 19 патрульных автомобилей по 5 на
каждый из 3 объектов?
з) Сколькими способами могут расположиться 6 курсантов за 4 столами, при условии, что за каждым столом могут сидеть не более 2 человек?
и) В учебной группе 8 юношей и 4 девушек. Сколькими способами можно выбрать 7 курсантов, таким образом чтобы среди них было 2 девушки?
к) Игральный кубик бросается 12 раз. Определить количество всевозможных вариантов суммы выпавших очков.
4. Вычислить:
2
0
а) P 5 ; A 5 ; C 3
1
4
5
б) P 8 ; A 2 ; C 7
3
в) P 2 ; A 7 ; C 5
5. Найти количество разбиений:
а) R (5, 6 )
б) R (3, 3, 2 )
в) R (3, 1, 3, 1)
6. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из заданных цифр 1, 2, 3,
107
4, 5, 6? (Цифры могут повторяться!)
б) В буфете продаются 5 различных видов бутербродов. Сколькими способами
можно купить 10 бутербродов?
в) Необходимо разместить 10 автомобилей в 3 секторах охраняемой территории.
Сколькими способами это можно сделать?
г) Сколькими способами можно расставить 13 книг в книжном шкафу с 3 полками, если каждая полка может вместить все книги?
д) Имеются 6 черных, 5 белых, 5 красных и 9 синих шаров. Сколькими способами
можно составить ряд из 5 шаров?
е) Сколькими способами можно разложить 5 монет по 5 рублей, 5 монет по 2
рубля и 9 монет по 1 рублю в 3 кармана?
ж) Сколько существует способов разбиения множества из 11 элементов на подмножества из 3, 3 и 4 элементов?
з) Сколькими способами возможно разделить группу из 10 оперативных сотрудников на 2 подгруппы для поиска и задержания преступника? (В группе не менее 2-х человек)
и) Для выполнения боевого задания подразделение из 6 человек необходимо разделить на 2 части в отношении 1:2. Сколько вариантов выбора сотрудников
подразделения может быть?
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей.
1. Решить задачи:
а) В пирамиде 14 винтовок, 8 из них с оптическим прицелом. Найти вероятность
того, что произвольно взятая винтовка - без оптики.
б) В колонне в произвольном порядке движутся 2 белых, 9 синих и 3 черных автомобиля. Какова вероятность замыкания колонны синим автомобилем.
в) Определить вероятность того, что (трехзначный) номер первой встретившейся автомашины содержит хотя бы две цифры "8".
г) В состязании участвуют 5 марафонцев. Определить вероятность прихода
к финишу бегунов в порядке возрастания их номеров.
108
д) В кармане находятся 1 купюра достоинством 500 руб., 3 по 100 руб., 2 по
50 руб. и 3 по 10 руб. Найти вероятность оплаты покупки стоимостью 671 руб.
тремя взятыми купюрами.
е) Лотерея выпущена на общую сумму 74100 руб. Цена одного билета 150
руб. Выигрыши падают на 15 билетов. Определить вероятность выигрыша купленного билета.
ж) В учебной группе 13 девушек и 18 юношей. Для тестирования произведен компьютерный отбор 8 человек. Какова вероятность того, что все отобранные
для тестирования - юноши.
з) На полке находятся в произвольном порядке 10 книг . Определить вероятность того, что 4 книги 4-томного собрания сочинений окажутся поставленными рядом.
и) У стрелка 28 патронов, из них 15 холостых. Определить вероятность того, что из 13 взятых случайным образом патронов 6 окажутся боевыми.к) В лотерее участвуют 25 билетов, на 17 из которых падает выигрыш. Найти вероятность
выигрыша при покупке 4 билетов.
к) В лотерее участвуют 23 билетов, на 18 из которых падает выигрыш. Найти вероятность выигрыша при покупке 6 билетов.
л) В ходе игры в колоде из 36 карт осталось 11. Найти вероятность того, что
в колоде остались все 4 туза.
м) Каждая из 10 деталей произвольным образом может попасть в один из 9
контейнеров для хранения. Какова вероятность того, что в какой-нибудь контейнер попадут две детали, а в остальные по одной.
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
1. Стрелок имеет 98 патронов, из них 7 с осечкой. Какова вероятность того, что:
а) взятый на удачу патрон окажется с осечкой?
б) взятые на удачу 3 патрона окажутся с осечкой?
2.
Группа захвата обезвреживает банду из 15 преступников, из которых
109
6 рецидивистов. Захвачено 11 преступников. Найти вероятность того, что среди
захваченных преступников 3 рецидивистов.
3.
Из 80 билетов 24 выигрышных. Определить вероятность того, что
среди взятых на удачу 4 билетов:
а) один выигрышный.
б) ни одного выигрышного.
4. Необходимо в ремонтной мастерской взять 4 рации. В мастерской 34
рации, из которых 29 исправных и 5 неисправных. Какова вероятность того, что
среди 4 взятых рации:
а) только исправные;
б) только неисправные;
в) одна исправная и 3 неисправных.
5. Решить задачи (Формула полной вероятности):
а) В первом ящике 11 белых шаров и 16 черных, во втором 5 белых шара и
16 черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,17, а
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,07. За день на новом станке изготовили 176, а на старом 501 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
в) На огневом рубеже 3 стрелка. Вероятности попадания ими в цель равны
0,53, 0,92 и 0,90. По команде один из стрелков производит выстрел. Определить
вероятность поражения цели.
г) Группа состоит из 7 отличников, 12 хорошистов и 2 слабых курсантов.
Отличники получают самоэкзамен, хорошисты в равной степени могут получить
"4" или "5", а остальные - "2" или "3". Найти вероятности того, что вошедший получит "5", "4", "3".
д) Первым заводом выпущено 333 гранатометов, вторым - 516, третьим 211. Отказ оружия первого завода составляет 0,7%, второго - 0,2%, третьего 0,5%. Какова вероятность безотказной работы двух поступивших в подразделе110
ние гранатометов.
2. Решить задачи (Формула гипотез Байеса):
а) В красном контейнере 11 латунных и 16 чугунных деталей, в синем 5 латунных и 16 чугунных, в желтом 15 латунных и 10 чугунных. Для проверки берется деталь из первого попавшегося контейнера. Деталь оказалась латунной. Какова вероятность того, что выбранная деталь взята из желтого ящика.
б) Вероятность прорастания зерна, обработанного ядохимикатами, равна
0,96, а необработанного - 0,71. Поля засеяны 22 ц обрабо-танного и 23 ц. необработанного зерна. Найти вероятностть того, что случайно отобранное проросшее
зерно было обработано.
в) При задержании рецидивиста три милиционера произвели по нему залп
из ПМ на растоянии 30 метров, преступник был убит, а в теле найдена 1 пуля.
Найти вероятности того, что попали 1-й, 2-й и 3-й милиционеры, если вероятности поражения цели каждым милиционером равны соответственно 0,97, 0,91 и
0,76.
ТЕМА №16. Дискретные случайные величины.
1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими рядами
распределений:
xi
2
4
уi
3
6
pi
0,6
0,4
qi
0,4
0,1
Составить ряд распределений случайных величин X+Y;
2. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность поражения
цели при каждом выстреле 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель и найти M(x), D(x), V(x).
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины.
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.
111
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
(a,b).
0
x −1
F (X ) =
10
1
x ≤ 1 , 1 < x ≤ 11 , x > 11
P(0 < x < 6) ;
P(4 < x < 6) .
2. По известной функции распределения непрерывной случайной величины Х найти значения плотности распределения в заданных точках.
0
18
F ( X ) = 5 −
x
1
x ≤ 3,6 ; 3,6 < x ≤ 4,5 ; x ≥ 4,5
f (− 4);
f (4 );
f (17 ) .
3. Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] , если известна плотность распределения этой величины.
0
f (x ) = − 2 x
2e
x < 0, x ≥ 0
P(− 4 < x < −1);
P(− 4 < x < 1);
P(2 < x < 6) .
4. Найти числовые характеристики случайной величины, значение которой
принадлежат интегралу [a, b] , если известна плотность распределения.
а) f (x ) = 1
x ∈ [4,5]
б) f (x ) = 1 / 4
x ∈ [2,6]
в) f (x ) = 2 x / 25
x ∈ [0,5]
ТЕМА №18. Элементы математической статистики.
1.
Даны последовательности чисел
112
3
5
3
9
5
5
5
4
3
4
9
4
5
9
0
0
3
5
0
4
а) Найти распределение частот и относительных частот в порядке их появления.
б) Построить вариационный ряд.
в) Найти генеральные среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
г) Для вариационного ряда построить полигон, гистограмму и кумуляту по
частотам и относительным частотам.
ТЕМА №19. Статистические оценки параметров распределения
Генеральная совокупность задана таблицей распределения
xi
2
4
5
6
Ni
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию.
ТЕМА №20. Cтатистическая проверка гипотез.
Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой группе численностью п1 = 50 чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила X = 85 (изделий), во второй
группе численностью п2 = 70 чел. выборочная средняя - y = 78 (изделий).
Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σ x2 = 100 и σ
2
y
= 74. На уровне значимости α =0,05 выяснить влия-
ние новой технологии на среднюю производительность
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Практическое занятие №1
1. Решить задачи
а) Линейная модель.
113
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9,6
86,2
9,4
83,0
9,2
65,0
8,4
61,0
9,0
69,9
6,3
16,1
8,0
69,9
7,7
43,3
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
б) Степенная модель.
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
в) Показательная модель. По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры линейной регрессии y = a + xb, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической об114
становки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi1
8,9
9,5
4,4
6,6
1,7
10,3
9,7
6,8
11,5
3,2
11,7
8,0
yi
41,4
42,3
31,2
36,2
28,1
44,1
42,3
35,9
46,9
29,2
47,3
41,0
xi2
4,5
3,7
8,2
6,7
4,2
5,3
6,5
6,6
1,7
4,7
1,9
1,7
Полагая, что между y, x1 и x2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение в виде y = b0 + b1x1 + b2x2.
ТЕМА №23. Временные ряды и прогнозирование.
Решить задачу: Имеются данные о динамике некоторого социальнокриминалогического показателя зарегистрированного в регионе поквартально за
последние 4 года. Построить коррелограму временного ряда.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
t
yt 10,6 7,1 9,4 16,7 9,2 6,7 8,9 15, 7,7 5,1 7,5 14,0 6,4 3,8 6,7 12,7
3.6. Методические рекомендации по постановке задания к следующему занятию, по организации самостоятельной работы учащихся
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
x −5
= 0
а) x
6
7x
x 2 + 3 x − 54
=
0
б) x
x 2 − 81
Найти множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
6−x
≥ 0
а) x
x − 11
115
Определить вещественную и мнимую части комплексного числа
в) z 3 = −20 − 14i
г) z 4 = 18 − i
Найти число, противоположное данному
в) z 3 = −24 − 6i
г) z 4 = −26 + i
Найти модуль комплексного числа
в) z 3 = −4 − 5i
г) z 4 = −4 − i
Найти корни квадратного уравнения
а) x 2 + 16
б) x 2 + 8 x + 212
ТЕМА №2. Математическая логика
а). Высказывание A – «Одной из характеристик процессора является его
частота»; высказывание B – «Диагонали параллелограма в точке пересечения делятся пополам». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
б). Высказывание A – «Жесткий диск – это устройство для хранения информации»; высказывание B – «Сумма смежных углов равна180o ». Дизъюнкцией
этих высказываний ( A ∨ B ) является предложение…
в). Высказывание A – «Память – это устройство для хранения обрабатываемых процессором данных»; высказывание B – «Две прямые перпендикулярные третьей, параллельны». Дизъюнкцией этих высказываний ( A ∨ B ) является
предложение…
Вычислить:
а). 0 ∧ 1 → 0; 0 ∨ 0 ↔ 1 ∧ 1;
б). 0 ↔ 1 ∨ 1;
в). 0 ∨ (1 → 0 ∧ 1 ↔ 0);
Заполнить таблицы истинности для следующих выражений:
а). (A ↔ A ∨ B ) → B ∧ A ;
б). (А→В) ∧ (В→А)
Вычислить следующие выражения:
116
а). A=0 B=1 C=0 D=1
( A ∨ B → D ∧ A ) ↔ (C ∨ D → B ) ∧ A ;
б). A=1 B=0 C=1 D=0
С → ( D ∧ ( B ∨ A ∧ C ) ∨ A) → ( D ↔ B ));
в). A=0 B=1 C=0 D=1
( A ↔ D ∧ B ∨ C ∧ ( D ∨ A ↔ B ) → B;
г). A=0 B=1 C=0 D=1
B ↔ (C ∨ A ∨ ( D → A ∧ B ) ∧ D ) ↔ D.
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
Вычислить сумму и разность матриц
−1 6 4 3
+
4 6 0 2
а)
0
− 2 − 6 9
б) 5 − 3 − − 8 4
3 10 − 6 − 7
− 3 − 6
в) 8 − 8
3 −1
г) (− 1 − 5 4) + (− 7 8 − 6)
Вычислить произведение матрицы на число
− 9 − 2 9
6 2
а) − 19
7
8 − 4
7
б) − 6 − 1 − 3 11
0
0 − 5
Вычислить матричные произведения
− 6 − 6 1 − 8 5
7 11 7 10
0
а)
5 10 0 9
− 4 − 8 7 8
б)
2
в) − 7 (8 − 9 3 − 9)
9
− 8 − 8 9 − 7
г) 7 − 9 − 3 7
8 − 1 − 8 6
117
Выполнить действия над матрицами А(В-2С)D,если
а) А = (3 3 3) ;
− 5 − 5 7
б) 2 − 4 6 ;
4 − 6 0
7 − 2 − 3
в) C = 6 4 − 8 ;
8 10 − 4
9
г) D = 5
− 9
Выполнить действия над матрицами F*G*H
0,3 − 0,3
а) F = − 0,8 0,1
− 0,3 0,5
− 900
б) G =
− 200
в) H = (− 0,7 0,9 0,7 )
Вычислить определители
−8
6
−2
4
в) − 2
−6
5
3
10
5
5
−5 −6
6
−8
0
18
− 24
0
5
3
5
−6
г) − 2
5
−5
5
−6
4
2
4
−3
0
а) 5
б) − 2
4
6
10
−8
0
Вычислить определители
7
0
−1
а) − 1 1
б) 7
2
5
6
5 −6
1
1
9
0
5
6
7
5
8 −4
−1 5
−7
−9
−6
Найти матрицы обратных данных.
5 4
а) A =
4 3
13 − 3 − 65
в) C = 4 − 3 − 22
− 26 7 131
118
− 9 4 − 18
г) D = − 2 13 − 7
0 4 −1
− 3 − 5
б) B =
10 17
Найти окаймляющие миноры для выделенного минора 2-го порядка
(Миноры выписываются сперва по строкам сверху вниз, затем по столбцам слева
на право).
1
2 − 9
2
4
1 − 2
3
а)
7 −8 5
0
− 9 − 8 − 7 1
Найти ранг матрицы
1 5
а) r 1 5
1 5
2
2
−1 1
б) r
1 −1
6
0
−1
0 0 −1
0 1 0
4 2 − 2
1 3
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Решить системы линейных уравнений матричным методом:
− 4 x − 4 y = −16
а)
4 x + y = 19
3 x − 3 y − 5 z = −38
б) 3x − 5 y − 5 z = −36
4 x + 2 y + 4 z = −14
Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
2 x + 6 y = −10
а)
− 4 x − 6 y = 14
− 3 x + 8 y − 2 z = 77
б) − 3x + y + 7 z = −51
2 x + 5 y − 6 z = 90
Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.
5 p − q = 15
− 7 p + 8q − 3r = −30
− 7 p + 4q = −34
119
6 s + t − 4u − 6v = 32
− 4 s + 4t − 2v = −38
4 s + 6t − 7u + 3v = 20
− 4 s − 5t + 4u + 2v = −10
Найти обратную матрицу метода Гаусса
4
36
− 9
B = − 2 − 19
4
18 − 13 − 73
Найти ранг матрицы метода Гаусса
− 2 − 4 − 1 1
а) L = 1 2 0 1
− 1 − 2 1 1
ТЕМА №6. Векторная алгебра.
Выполнить операции над векторами a,b,c,d:
a = (− 6, −8,0 ); b = (− 9,−7,6 ); c = (2,3,5 ); d = (− 4, −6, −4 )
r
а) a + b; c ⋅ d ; a × b; a, b, c.
Даны точки F,M,P,Q
F (-7, -8, 3); M (3, -3, -6); P (-6, 6, 0); Q (8, -6, 9)
Найти координаты и длины векторов
а) FP; FP ; MP + FM
б) QM ; OM ; PQ − MP
в) − MF ;4 MQ ; MP − 3FM
Найти скалярное произведение векторов
r
r
б) b = (− 6,−4,2)
r
г) d = (8,2,3)
а) a = (− 3,1,−9)
в) c = (0,5,−6)
r
Найти векторное произведение векторов
r
r
б) b = (2,−2,−2 )
r
г) d = (0,−1,6)
а) a = (4,−7,3)
в) c = (8,3,6)
r
120
Найти смешанное произведение векторов:
r
r
r
a = (5,9,8); b = (1,1,8); c = (− 2,−4,−1);
r
f = (− 8,−9,−6 );
r
r
g = (8,−1,0 ); h = (− 5,4,2 )
Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D.
A (1,-5,-5); B (7,4,6); C (-3,-8,-7); D (5,2,-6).
r
r r
r
r r r r
Представить вектор a через линейную комбинацию векторов b , c :
r
r
r
a = (34,9); b = (6,5); c = (− 8,3)
Представить вектор w через линейную комбинацию векторов k , l , m, n
r
r
r
r
r
w = (2,25,−2,−5); k = (5,0,3,3); l = (4,7,1,1); m = (3,1,1,2); n = (2,0,4,1)
Вычислить объем многогранника KLMNO, разбив его на две пирамиды:
K (-8, –9, -7);
L (0, 0, 1);
M (5, -2, 3); N (4, 2, 4); O (10, 8, 7)
r r rr
r r
Определить неизвестные координаты векторов s , g если s ⊥ r , q r
r
r
r
s = ( x1 ,4 ); q = (− 2, y 2 ); r = (2,3)
r r
r r r
Определить неизвестные координаты векторов m, n , если вектора m, u , v , являются
r
r r r
компланарными, а вектор n ортогонален плоскости векторов m, u , v .
ТЕМА №7. Элементы аналитической геометрия на плоскости
Найти AB и CD между заданными точками
а) A (1,1); B (-2,-8);
б) C (-4,1); D (7,4)
Вычислить координаты
а) точки М (х1,у2), делящие отрезок LN в отношении 3:2
L (-1,-0); N (7,-4)
б) точки R (x2,y2), делящей отрезок PQ пополам
P (9,6); Q (5,-1)
Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом ki, проходящие через
точку M (xi,,yi)
а) М1 (0, -4)
к1 = 7
б) М2 (-2, 16)
к2 = -5
Найти тангенс угла ϕ между данными прямыми
121
а) l1 : y = 11x + 8 ;
l 2 : y = −2 x + 8
б) l 3 : 8 x + 2 y + 8 = 0 ;
l4 : 7x − y = 0
Найти общие уравнение прямых l1 p и l 2 ⊥ p , проходящие через точку S (x0 , y0 ) .
x 0 = −1,
p : −2 x − 5 y + 3 = 0
y 0 = −6
ТЕМА №8. Функция одной переменной.
Найти точки разрыва функции y = f (x )
а) y =
x−4
x+4
б) y =
x−5
x − 5x + 6
2
в) y = log x −2 7
Вычислить предел функции по определению
(x 3 + 3x 2 − 9 x + 13)
а) lim
x →3
в) lim
x →0
81x 2 − 1
9x + 1
(2 x 2 − 3}x−6
б) lim
x →8
4 x 2 + 31x + 21
4x + 3
г) xlim
→ −4
Вычислить предел функции, предварительно сократив дроби
а) lim
x →0
18 x 2 − 3 x
3x
в) xlim
→ −7
9 x 2 + 71x + 56
x+7
б) lim
x →9
16 x 2 − 1296
4 x − 36
г) lim
x →6
x 2 − 4 x − 12
x 2 − 36
Вычислить, используя первый замечательный предел
−7
а) lim
x →0
sin (− 3 x )
sin x
4 sin 21x
x →0 12tgx
б) lim
Вычислить, используя второй замечательный предел
а) lim
12
x → +∞ 12 x
24 x
(1 − 6 x )
б) lim
x →0
−3
x
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление.
Найти значения y ′(x0 ) , используя основные правила дифференцирования
а) y = 7 x − 3
б) y = x 2 − 9 x + 7
122
в) y = 4 x 4 + 16 x − 27
г) y = −49 x −3 − 9 x −2
д) y = x − 3 x
е) y = (x 2 − 5)(x + 2)
ж) y =
6x + 7
x2
з) y =
4x2 − 2
3x + 6
Вычислить значение производных y ′(x0 ) в заданных точках
а) y = 7 x 3 − 18 x − 26
б) y = tg 3 x − 5 x −2
в) y = x 2 (x + 2)
г) y = (x 2 − 3)(x 2 + 3)
д) y =
5 cos 2 x
8x + 9
е) y = 7
ж) y = (5 x 3 − 9)
з) y = ln (2 x 2 + 13)
2
4x + 1
и) y = 2
5x
8 x 2 + 18 x − 22
4x + 4
3
3
sin (6 x +1)
к) y = 5
Вычислить значения производных высших порядков
а) y = 2 x 3 − 17 x − 23
б) y = tg 7 x
в) y = sin 2 (3x )
г) y =
д) y = 4 x 6 + 12 x 4
е) y = sin (9 x )
8 x + 13
x
Найти общее уравнение касательной в точке x0 к графику функции
а) y = 6 x 2 − 5 x + 17
x0 = 6
б) y = x 3 + 5 x 2 − 5 x − 11
x 0 = −4
2x 2 − 4
в) y =
x+4
x 0 = −3
Разложить функцию по формуле Маклорена, найти приближенное значение
функции в точке x0
y = cos x
x 0 = 0,6
ТЕМА №10. Исследование функций.
Указать интервалы знакопостоянства функции y = f(x).
õ2 − 6õ − 9
а) ó =
õ2
õ 2 + 3õ − 4
в) ó = 2
õ − 3 õ − 28
õ+5
б) ó = 2
õ −9
Найти вертикальные асимптоты функции y = f(x):
123
а) ó =
õ+ 4
õ−6
б) ó =
4 õ 2 + õ + 28
õ 2 − 36
в) у =
х2 − 8
14 х 3
Найти невертикальные асимптоты y = kx + b функции y = f(x)
а) ó =
6õ − 5
у=4
3õ + 4
б) у =
х2 − 6
в) у =
15 х 3
3х 2
х+7
5х3 − х
г) у = 2
х +6
Найти локальные минимумы и максимумы функции y = f(x).
а) ó = 256 õ − õ 4
б) y = 3x 2 + 18 x + 3
в) ó = õ − 15 õ − 1177 õ + 1
x 2 − 13 x + 9
г) y =
x
3
2
Указать интервалы выпуклости и вогнутости функции y = f(x).
а) y = 2 x 3 − 42 x 2 + 11x − 89
б) y = x 4 − 20 x 3 − 234 x 2 − 21x + 28
в) y =
1
x − 25
2
ТЕМА №11. Интегральное исчисление.
Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 5 x − 9
б) y = x 2 − 2 x + 7
в) y = 2 x 4 + 16 x − 20
г) y = (x 2 + 6)(x + 7 )
д) y = −8 + 2
4x 2 − 8
е) y =
x
x
Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
а) y = (6 x + 9)5
б) y =
8
(5 + 4 x )2
Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки ( замены переменных)
а) y = (5 x + 4)7
F (7 )
б) y =
35
(3 + 5 x )2
F (7 )
Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, исполь124
зуя метод интегрирования по частям
F (7 )
а) y = x 4 ln x
б) y = 2 x cos 3x
F (5)
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных.
Вычислить значение функции z, (x, y) в заданных точках
а) z = 9 x − 6 y + 6
б) z = 8 x 2 + 7 xy + 8 y 2
в) z = log 2 (x − y )7
г) z = 4 8 x +8 y −117
д) z =
− 22 xy
x− y
е) z =
36 x 4 − 36 y 2
6x 2 + 6 y
Вычислить предел функции
а) xlim
x 3 + 2 xy 2 − 6 y 4 − 7
→9
б) lim
2 3 x +5 y −43
x →9
5x 3 y 2 − 2 x 2 y 5
в) lim
x →6
xy 2
y →0
4 x 2 − 16 y 4
г) lim
x →32 2 x − 4 y 2
y →4
y →4
y → −6
Вычислить значения частных производных z ′x , z ′y в заданных точках
а) z = 5 x − 4 y + 4
б) z = 7 x 4 + 9 x 3 y + 5 x 2 y 2 + 8 xy 3
в) z = 2 sin 2 x − 2 cos(4 y )
г) z =
5 x3 + 9 y
2 xy 2
Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 3x 3 − 4 xy + 4 y 2 − 7
z ′xx′ (0,7 )
z ′xy′ (0,7 )
z ′yx′ (0,7 )
z ′yy′ (0,7 )
б) z = 6 x 3 ln( y + 5)
7
z ′xx′ (7,9 )
z ′xy′ (7,9 )
z ′yx′ (7,9 )
z ′yy′ (7,9 )
5 xy
в) z = 2
x − 1
2
z ′xx′ (− 7,−1)
z ′xy′ (− 7,−1)
z ′yx′ (− 7,−1)
z ′yy′ (− 7,−1)
ТЕМА №13. Комбинаторика.
125
Вычислить:
3
1
а) P7 ; A4 ; C 4
2
5
б) P1 ; A2 ; C 6
0
4
в) P4 ; A4 ; C 6
Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя каждую цифру только один раз?
б) Сколькими способами можно расположить 8 автомобилей в одной колонне?
в) Сколькими способами можно выбрать 3 лотерейных билетов из 8 имеющихся?
г) Необходимо выбрать 7 сотрудников из 17. Определить количество всех возможных вариантов составления списка.
Найти количество разбиений:
а) R (5, 6 )
б) R (3, 3, 2 )
в) R (3, 1, 3, 1)
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей.
Решить задачи:
а) В пирамиде 14 винтовок, 8 из них с оптическим прицелом. Найти вероятность того, что произвольно взятая винтовка - без оптики.
б) В колонне в произвольном порядке движутся 2 белых, 9 синих и 3 черных автомобиля. Какова вероятность замыкания колонны синим автомобилем.
в) Определить вероятность того, что (трехзначный) номер первой встретившейся автомашины содержит хотя бы две цифры "8".
г) В лотерее участвуют 23 билетов, на 18 из которых падает выигрыш. Найти вероятность выигрыша при покупке 6 билетов.
д) В ходе игры в колоде из 36 карт осталось 11. Найти вероятность того, что
в колоде остались все 4 туза.
е) Каждая из 10 деталей произвольным образом может попасть в один из 9
контейнеров для хранения. Какова вероятность того, что в какой-нибудь контейнер попадут две детали, а в остальные по одной.
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
Практическое занятие №1
126
Стрелок имеет 98 патронов, из них 7 с осечкой. Какова вероятность того, что:
а) взятый на удачу патрон окажется с осечкой?
б) взятые на удачу 3 патрона окажутся с осечкой?
Группа захвата обезвреживает банду из 15 преступников, из которых 6 рецидивистов. Захвачено 11 преступников. Найти вероятность того, что среди захваченных
преступников 3 рецидивистов.
Из 80 билетов 24 выигрышных. Определить вероятность того, что среди взятых
на удачу 4 билетов:
а) один выигрышный.
б) ни одного выигрышного.
Решить задачи (Формула полной вероятности):
а) В первом ящике 11 белых шаров и 16 черных, во втором 5 белых шара и
16 черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,17, а
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,07. За день на новом станке изготовили 176, а на старом 501 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
Решить задачи (Формула гипотез Байеса):
а) В красном контейнере 11 латунных и 16 чугунных деталей, в синем 5 латунных и 16 чугунных, в желтом 15 латунных и 10 чугунных. Для проверки берется деталь из первого попавшегося контейнера. Деталь оказалась латунной. Какова вероятность того, что выбранная деталь взята из желтого ящика.
б) Вероятность прорастания зерна, обработанного ядохимикатами, равна
0,96, а необработанного - 0,71. Поля засеяны 22 ц обрабо-танного и 23 ц. необработанного зерна. Найти вероятностть того, что случайно отобранное проросшее
зерно было обработано.
Решить задачи (Формула полной вероятности).
а) В первом ящике 7 белых шаров и 14 черных, во втором 6 белых шара и 6
черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность
127
того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,13, а
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,05. За день на новом станке изготовили 108, а на старом 525 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
ТЕМА №16. Дискретные случайные величины.
Независимые случайные величины X и Y заданы следующими рядами распределений:
а)
xi
2
4
pi
0,6
0,4
yi
3
6
9
qi
0,4
0,1
0,5
xi
1
3
5
pi
0,2
0,4
0,4
yi
2
4
6
qi
0,2
0,5
0,3
б)
Составить ряд распределений случайных величин X+Y;
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины.
Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a,b).
0
x −1
F (X ) =
10
1
x ≤ 1 , 1 < x ≤ 11 , x > 11
P(0 < x < 6) ;
P(4 < x < 6) .
128
По известной функции распределения непрерывной случайной величины Х найти
значения плотности распределения в заданных точках.
0
18
F ( X ) = 5 −
x
1
x ≤ 3,6 ; 3,6 < x ≤ 4,5 ; x ≥ 4,5
f (− 4);
f (4 );
f (17 ) .
ТЕМА №18. Элементы математической статистики.
Даны последовательности чисел
3
5
3
9
5
5
5
4
3
4
9
4
5
9
0
0
3
5
0
4
а) Найти распределение частот и относительных частот в порядке их появления.
б) Построить вариационный ряд.
в) Найти генеральные среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
г) Для вариационного ряда построить полигон, гистограмму и кумуляту по
частотам и относительным частотам.
ТЕМА №19. Статистические оценки параметров распределения
Генеральная совокупность задана таблицей распределения
xi
2
4
5
6
Ni
8
9
10
3
Найти генеральную дисперсию.
ТЕМА №20. Cтатистическая проверка гипотез.
Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в
первой группе численностью п1 = 50 чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила X = 85 (изделий), во второй группе численностью п2 = 70 чел. выборочная средняя - y = 78 (изделий). Предварительно
129
установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σ x2 = 100
иσ
2
y
= 74. На уровне значимости α =0,05 выяснить влияние новой технологии
на среднюю производительность.
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Решить задачу (Линейная модель)
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9,6
86,2
9,4
83,0
9,2
65,0
8,4
61,0
9,0
69,9
6,3
16,1
8,0
69,9
7,7
43,3
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической обстановки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
yi
41,4
42,3
31,2
36,2
28,1
44,1
42,3
35,9
46,9
29,2
47,3
41,0
xi1
8,9
9,5
4,4
6,6
1,7
10,3
9,7
6,8
11,5
3,2
11,7
8,0
xi2
4,5
3,7
8,2
6,7
4,2
5,3
6,5
6,6
1,7
4,7
1,9
1,7
Полагая, что между y, x1 и x2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение в виде y = b0 + b1x1 + b2x2.
130
ТЕМА №23. Временные ряды и прогнозирование.
Решить задачу:
Имеются данные о динамике некоторого социально-криминалогического
показателя зарегистрированного в регионе поквартально за последние 4 года. Построить коррелограму временного ряда.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
t
yt 10,6 7,1 9,4 16,7 9,2 6,7 8,9 15, 7,7 5,1 7,5 14,0 6,4 3,8 6,7 12,7
4. Методические указания по изучению дисциплины (для обучающихся).
Для успешного освоения дисциплины необходимо придерживаться основных принципов учебно-тренировочного процесса:
1. Постепенности и доступности;
2. Всесторонности и активности;
3. Повторности и систематичности.
Перечисленные принципы взаимосвязаны, применение их обеспечивает
высокую эффективность учебного процесса.
Изучение дисциплины делится на два модуля. Каждый модуль включает
в себя теоретический, практический и контролирующий блоки.
Изучая теоретический материал, одновременно необходимо выполнять
комплексы практических заданий в соответствии с методическими рекомендациями по выполнению этих заданий.
При изучении модуля 2 необходимо создать комплекс практических заданий с учетом уровня собственной подготовленности.
Результаты практических занятий необходимо заносить в «Личный журнал обучаемого».
Раздел 1. Введение в дискретную математику
Тема 1. Элементы теории множеств
Множества. Основные определения и формы записи. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, пря131
мое произведение множеств. Числовые множества: множества натуральных,
целых, рациональных, иррациональных чисел. Множество вещественных чисел. Операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Определение комплексного числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Операции над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
натуральную степень.
Тема 2. Комбинаторика
Основные понятия комбинаторики. Комбинаторные конфигурации. Теоремы сложения и умножения. Формулы комбинаторики. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Перестановки с повторениями. Размещения с
повторениями. Сочетания с повторениями. Упорядоченные разбиения.
Тема 3. Графы
Понятие графа. Основные определения. Маршруты и их свойства. Цепи и
циклы. Преобразования графов, классы преобразований. Виды графов. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Двудольные графы. Пути и контуры в графе. Морфология графа.
Раздел 2. Линейная алгебра
Тема 4. Матрицы и определители
Понятие матрицы, основные определения. Операции над матрицами:
сложение матриц, умножение матрицы на число, матричное произведение,
транспонирование матриц. Определители. Вычисление определителей первого,
второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов
матрицы. Определители n-го порядка. Разложение определителя матрицы по
элементам строки или столбца. Теорема Лапласа. Свойства определителей. Миноры k-того порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Методы нахождения
обратной матрицы.
132
Тема 5. Системы линейных уравнений
Линейное уравнение. Понятие системы линейных уравнений. Матричная
запись. Условие совместности системы уравнений. Преобразования систем линейных алгебраических уравнений. Решение определенных систем. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный метод решения системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Тема 6. Векторная алгебра
Векторы. Взаимное расположение векторов. Линейные операции над векторами: сложение и разность векторов, умножение вектора на число. Линейная
зависимость и независимость векторов. Базис системы векторов. Координаты
вектора. Линейные операции в декартовых координатах. Длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Направляющие косинусы и угол между двумя векторами. Условие ортогональности векторов. Условие коллинеарности векторов. Вычисление площадей многоугольников.
Вычисление объемов многогранников.
Тема 7. Линейные пространства
Понятие линейного векторного пространства Rn. Линейные операции над
векторами. Различные нормы в Rn. Скалярное произведение в Rn. Линейные и
квадратичные формы в Rn. Отображения линейных пространств. Линейные отображения, их матрицы. Собственные векторы и собственные значения матриц.
Базис пространства Rn из собственных векторов матрицы. Ортонормированный
базис пространства Rn.
Раздел 2. Математический анализ
Тема 8. Функция одной переменной
Определение функции. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Предел последовательности, его свойства. Левый и правый пределы функции. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. Непре133
рывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование
наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. Классификация точек разрыва функций. Понятие сложной функции.
Тема 9. Дифференциальное исчисление
Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функция, ее
геометрический и физический смысл. Табличные производные. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Тема 10. Исследование функций
Общая схема исследования функции и построения ее графика. Асимптоты функций. Точки экстремума функции. Условия монотонности функции.
Экстремумы функции, необходимое и достаточное условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.
Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
Тема 11. Интегральное исчисление
Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Использование таблиц интегралов. Основные методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Особенности вычисления определенного интеграла. Приложения определенного
интеграла. Вычисление площади криволинейной фигуры.
Тема 12. Функции нескольких переменных
Задание функции нескольких переменных. Область определения. Предел
и непрерывность функции. Частные приращения и частные производные функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Условия существования экстремума. Исследование выпуклости функции нескольких переменных. Условный экстремум.
134
Раздел 4. Теория вероятностей
Тема 13. Основные понятия теории вероятностей
Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий.
Классификация событий. Понятие случайного события. Алгебра событий. Понятие вероятности события. Непосредственный подсчет вероятностей. Классическое определение вероятности события. Статистическая вероятность события.
Тема 14. Методы вычисления вероятностей
Определение вероятности суммы и произведения двух и более зависимых, независимых, совместных и несовместных событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула гипотез Байеса.
Тема 15. Схемы повторных испытаний
Независимые испытания. Понятие повторных испытаний. Частная теорема о повторении опытов. Формула Бернулли. Локальная предельная теорема.
Интегральная предельная теорема. Применение интегральной теоремы МуавраЛапласа. Теорема Пуассона.
Тема 16. Дискретные случайные величины
Дискретные случайные величины. Функция распределения, ее свойства.
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины. Начальные и центральные моменты. Законы распределения дискретных случайных величин, их свойства. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
Тема 17. Непрерывные случайные величины
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Мода и медиана. Моменты. Законы распределения непрерывных случайных ве135
личин, их свойства. Равномерное распределение. Показательное распределение.
Нормальное распределение.
Тема 18. Элементы математической статистики
Основы статистического описания. Генеральная совокупность и выборки.
Графическое изображение: гистограмма, полигон, кумулята. Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства выборочных моментов. Точечные оценки. Свойства несмещенности, состоятельности и эффективности. Отыскание оценок методом моментов. Оценки наибольшего правдоподобия и их свойства. Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области. Интервальные оценки параметров нормального и биномиального распределений.
Тема 19. Статистические оценки параметров распределения
Статистическое распределение выборки. Функциональная, статистическая
и корреляционная зависимости. Несмещенные, эффективные и состоятельные
оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Формула для вычисления дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочно.
Тема 20. Статистическая проверка гипотез
Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода. Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы. Сравнение двух дисперсий нормальных
генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о распределении генеральной
совокупности. Критерий Пирсона.
Тема 21. Парная регрессия и корреляция
Спецификация парной регрессионной модели. Выбор вида уравнения регрессии, результативной и объясняющих переменных. Метод наименьших квадратов и свойства получаемых оценок. Линейная и нелинейная регрессия. Оценка параметров регрессионной модели. Верификация уравнения регрессии.
Средняя ошибка аппроксимации. Линейный коэффициент парной корреляции,
136
индекс корреляции. F-критерий Фишера. Интервальное оценивание модельного
уравнения.
Тема 22. Множественный регрессионный анализ
Классическая линейная модель множественной регрессии. Спецификация
модели. Матричная форма множественной линейной регрессии. Построение
уравнения множественной линейной регрессионной модели. Оценка значимости множественной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации. Стандартизованные коэффициенты регрессии. Коэффициент эластичности. Коэффициент
детерминации. F-критерий Фишера. Определение доверительных интервалов
для коэффициентов множественной регрессии.
Тема 23 Временные ряды и прогнозирование
Стационарные и динамические временные ряды и их характеристики. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры. Автокорреляционная функция временного ряда, коррелограмма. Моделирование тенденции временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели временного
ряда. Моделирование сезонных и циклических колебаний. Методы наименьших
квадратов и скользящей средней.
137
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Структурно-логическая схема изучения дисциплины
№№ тем
изучаемой дисциплины
Тема №1 «Элементы теории множеств»
Тема №2 «Математическая логика»
Тема №3 «Графы»
Тема №4 «Матрицы и определители»
Тема №5 «Системы линейных уравнений»
Тема №6 «Векторная алгебра»
Тема №7 «Элементы аналитической геометрии»
Тема №8 «Функция одной переменной»
Тема №9 «Дифференциальное исчисление»
Тема №10 «Исследование функций»
Тема №11 «Интегральное исчисление»
Тема №12 «Функции нескольких переменных»
Тема №13 «Комбинаторика»
Тема №14 «Основные понятия теории вероятностей»
Тема №15 «Методы вычисления вероятностей»
Тема №16 «Дискретные случайные величины»
Тема №17 «Непрерывные случайные величины»
Тема №18 «Элементы математической статистики»
Тема №19 «Статистические оценки параметров распределения»
Тема №20 «Статистическая проверка гипотез»
Тема №21 «Парная регрессия и корреляция»
Тема №22 «Множественный регрессионный
анализ»
Тема №23 «Временные ряды и прогнозирование»
Название дисциплин и номера тем, знания по которым необходимы для оптимального изучения данной темы
«Математика» Тема №1
«Математика» Тема №1, Тема №2
«Математика» Тема №1
«Математика» Тема №1, Тема №4
«Математика» Тема №4, Тема №5
«Математика» Тема №4, Тема №6
«Математика» Тема №4
«Математика» Тема №4, Тема №8
«Математика» Тема №8, Тема №9
«Математика» Тема №8, Тема №9
«Математика» Тема №1, Тема №2, Тема№10
«Математика» Тема №1
«Математика» Тема №13
«Математика» Тема №13, Тема №14
«Математика» Тема №15
«Математика» Тема №15, Тема №16
«Математика» Тема №4
«Математика» Тема №4, Тема №18
«Математика» Тема №18, Тема №19
«Математика» Тема №18, Тема №19, Тема№20
«Математика» Тема №18, Тема №21
«Математика» Тема №18, Тема №21, Тема№22
138
Приложение 2. Перечень примерных вопросов (заданий) для самостоятельной работы обучающихся
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
Теоретическая часть:
1. Множества. Операции над множествами
2. Основные свойства вещественных чисел
3. Изображение вещественных чисел точками на координатной кривой
4. Абсолютная величина числа
Практическая часть:
1. Из множества {-4; -2,12; tg3; 0; ln2; 13/14; 3; 10; 14,(1)} выбрать подмножества натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел.
2. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
x −5
= 0
а) x
6
7x
x 2 + 3 x − 54
= 0
б) x
2
x − 81
3. Найти множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
6−x
≥ 0
а) x
x − 11
4. Выписать множество чисел, обладающих данным свойством
x−5
= 0
а) x
6
7x
x 2 + 3 x − 54
=
0
б) x
x 2 − 81
5. Выполнить операции над комплексными числами
a) (6 − 5i) 2
б)
− 32 + 4i
− 2 − 6i
6. Найти корни квадратного уравнения
а) x 2 + 16
б) x 2 + 8 x + 212
ТЕМА №2. Математическая логика
Теоретическая часть:
139
1. Логические операции
2. Логические формулы
3. Равносильность логических формул
Практическая часть:
1.
Вычислить:
а). 0 ∧ 1 → 0; 0 ∨ 0 ↔ 1 ∧ 1;
б). 0 ↔ 1 ∨ 1;
в). 0 ∨ (1 → 0 ∧ 1 ↔ 0);
2.
Заполнить таблицы истинности для следующих выражений:
а). (A ↔ A ∨ B ) → B ∧ A ;
б). (А→В) ∧ (В→А)
3.
Вычислить следующие выражения:
а). A=0 B=1 C=0 D=1
( A ↔ D ∧ B ∨ C ∧ ( D ∨ A ↔ B ) → B;
б). A=0 B=1 C=0 D=1
B ↔ (C ∨ A ∨ ( D → A ∧ B ) ∧ D ) ↔ D.
ТЕМА №3. Графы
Теоретическая часть:
1. Пути и цепи
2. Эйлеровы графы
3. Двудольные графы
Практическая часть:
1. Найти степень вершины графа G = [ A , B ]
1
2
5
1
1
3
1
4
1
140
A={1,2,3,4,5} B={(1,2),(2,3),(3,4),(1,5),(1,4),(3,1)}
2. Даны графы: G1 = [ A1 , B1 ] и G2 = [ A2 , B2 ] . Найти:
а) G = [G1 ∪ G2 ] ;
б) G = [G1 ∩ G 2 ] ;
в) G = [G1 ⊕ G 2 ] .
ТЕМА №4. Матрицы и определители.
Теоретическая часть:
1. Основные операции над матрицами и их свойства
2. Определители
2.1. Понятие определителя
2.2. Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков
2.3. Вычисление определителей n-ого порядка
3. Свойства определителей
Практическая часть:
1. Вычислить определители
8
а)
3 −8 −5
−8 7
0
0
6
3
3
0
−8 4 − 2
8
б)
г)
4
3 −8 −5
−8 4 − 2
0
8
4
0
3
0
−8 7
6
3
3
7
0
−8
6
3 −2
−5
3
0
8
д)
−8 0 −8
4
4
−5 −8 3
−8
4
−2 4
0
0
3
0
−8
3
6
7
141
8
в)
−8 −5
3
− 32 28
24
12
0
0
3
0
−8
4
−2
4
8
е)
0 −8 −5
−8 0
0
0
6
3
3
0
−8 0 −2
4
2. Найти матрицы обратные данным
5 4
а) A =
4 3
13 − 3 − 65
в) C = 4 − 3 − 22
− 26 7 131
− 3 − 5
б) B =
10
17
− 9 4 − 18
г) D = − 2 13 − 7
0 4 −1
3. Выполнить действия над матрицами
−1
− 3 0 − 21 27
5
3
41
27
−
−
а)
46 − 34
−1
43 − 16 − 6 3
в)
1
5 − 1 − 5
34 − 28
−1
− 2 6 − 2 − 16
б) − 8 1 − 5 − 7
5 1 − 1 16
1 1
г)
0 − 1
−2
4. Найти окаймляющие миноры для выделенного минора 2-го порядка
(Миноры выписываются сперва по строкам сверху вниз, затем по столбцам
слева на право).
1
2 − 9
2
4
1 − 2
3
а)
7 −8 5
0
− 9 − 8 − 7 1
5. Найти ранг матрицы
1 5
а) r 1 5
1 5
2
2
−1 1
б) r
1 −1
6
0
−1
0 0 −1
0 1 0
4 2 − 2
1 3
142
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Теоретическая часть:
1. Линейное уравнение
2. Понятие системы линейных уравнений
3. Матричная форма записи системы линейных уравнений
4. Методы решения систем линейных уравнений
5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Практическая часть:
1. Найти обратные матрицы для матриц А и В:
5 2
а) A =
13 5
5 0 2
б) B = 0 1 0
− 7 0 − 3
2. Решить системы линейных уравнений матричным методом:
− 4 x − 4 y = −16
а)
4 x + y = 19
3 x − 3 y − 5 z = −38
б) 3x − 5 y − 5 z = −36
4 x + 2 y + 4 z = −14
3. Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
2 x + 6 y = −10
а)
− 4 x − 6 y = 14
− 3 x + 8 y − 2 z = 77
б) − 3x + y + 7 z = −51
2 x + 5 y − 6 z = 90
4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.
5 x − 2 y = −5
− 6 x + 6 y = 12
а)
5 p − q = 15
б) − 7 p + 8q − 3r = −30
− 7 p + 4q = −34
6 s + t − 4u − 6v = 32
− 4 s + 4t − 2v = −38
в)
4 s + 6t − 7u + 3v = 20
− 4 s − 5t + 4u + 2v = −10
5. Найти обратную матрицу метода Гаусса
143
4
36
− 9
б) B = − 2 − 19 4
18 − 13 − 73
− 2 13
а) A =
− 3 19
6 . Найти ранг матрицы метода Гаусса
− 2 − 4 − 1 1
а) L = 1 2 0 1
− 1 − 2 1 1
4
6
б) M = 0
4
0
5 5 4
6 5 5
5 4 0
5 0 5
6 0 0
ТЕМА №6. Векторная алгебра
Теоретическая часть:
1. Свойства действий с векторами
2. Координаты вектора
3. Умножение векторов
Практическая часть:
1. Найти модули и направляющие косинуса векторов a,b,c
а) a = (− 5,3,2)
б) b = (− 8,7,3)
в) c = (− 4,2,−3)
2. Выполнить операции над векторами a,b,c,d:
a = (− 6, −8,0 ); b = (− 9,−7,6 ); c = (2,3,5 ); d = (− 4, −6, −4 )
r
а) a + b; c ⋅ d ; a × b; a, b, c.
3. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках A,B,C,D.
A (1,-5,-5); B (7,4,6); C (-3,-8,-7); D (5,2,-6).
r r r r
r
4. Представить вектор w через линейную комбинацию векторов k , l , m, n
r
r
r
r
r
w = (2,25,−2,−5); k = (5,0,3,3); l = (4,7,1,1); m = (3,1,1,2); n = (2,0,4,1)
5. Вычислить площадь поверхности пирамиды ABCD:
A (-7, 1, -4);
B (-3,-3, 2);
C (-6, 6, 2);
144
D (5, 4, -5).
6. Вычислить объем многогранника KLMNO, разбив его на две пирамиды:
K (-8, –9, -7);
L (0, 0, 1);
M (5, -2, 3); N (4, 2, 4); O (10, 8, 7)
ТЕМА №7. Элементы аналитической геометрия на плоскости
Теоретическая часть:
1. Метод координат на плоскости
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Общее уравнение прямой.
4. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей
через данную точку.
5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
6. Расстояние от точки до прямой.
7. Уравнение окружности.
Практическая часть:
1. Найти AB и CD между заданными точками
а) A (1,1); B (-2,-8);
б) C (-4,1); D (7,4)
2. Вычислить координаты
а) точки М (х1,у2), делящие отрезок LN в отношении 3:2
L (-1,-0); N (7,-4)
б) точки R (x2,y2), делящей отрезок PQ пополам
P (9,6); Q (5,-1)
3. Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом ki, проходящие
через точку M (xi,,yi)
а) М1 (0, -4)
к1 = 7
б) М2 (-2, 16)
к2 = -5
4. Составить общее уравнение прямой, проходящее через точки Wi и Ui
а) W1(2, 7); U1(9, 6);
б) W2(0, 14); U2(5, 20)
5. Найти тангенс угла ϕ между данными прямыми
а) l1 : y = 11x + 8 ;
l 2 : y = −2 x + 8
145
б) l 3 : 8 x + 2 y + 8 = 0 ;
l4 : 7x − y = 0
6. Найти общие уравнение прямых l1 p и l 2 ⊥ p , проходящие через точку
S ( x0 , y 0 ) .
x 0 = −1,
p : −2 x − 5 y + 3 = 0
y 0 = −6
7. Найти расстояние от точек F,G до заданных прямых l,m
а) F (6,−7 )
l : x + 4y + 7 = 0
б) F (− 4,5)
m : x + 5y −1 = 0
ТЕМА №8. Функция одной переменной
Теоретическая часть:
1. Основные понятия и определения функции одной переменной
2. Предел функции
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4. Непрерывность функции
Практическая часть:
1. Заполнить таблицу, используя заданную аналитическую функцию
y = f (x )
а) y = 3 x + 2 − 8
х
-10,5
-8
-6,5
-4,5
-4
-2,5
0
0,5
у
х
у
-8
-3
125
1
10
5
26
б) у = 3x 2 − 8x + 10 (значения аргумента упорядочены по возрастанию)
146
1
2.
Найти значения аргумента, при которых функция y = f (x ) равна нулю
а) у = 4 x − 7
б) y = x 2 − 5 x + 4
в) y = 1 − 6 x −6
г) y = lg(x 2 − 63)
x+7
д) y =
x−7
x 2 − x − 20
е) y =
x−6
3.
Найти точки разрыва функции y = f (x )
а) y =
x−4
x+4
б) y =
x−5
x − 5x + 6
2
в) y = log x −2 7
4. Вычислить предел функции по определению
(x 3 + 3x 2 − 9 x + 13)
а) lim
x →3
в) lim
x →0
81x 2 − 1
9x + 1
(2 x 2 − 3}x−6
б) lim
x →8
4 x 2 + 31x + 21
4x + 3
г) xlim
→ −4
5. Вычислить предел функции, предварительно сократив дроби
а) lim
x →0
18 x 2 − 3 x
3x
в) xlim
→ −7
9 x 2 + 71x + 56
x+7
б) lim
x →9
16 x 2 − 1296
4 x − 36
г) lim
x →6
x 2 − 4 x − 12
x 2 − 36
6. Вычислить предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
а) xlim
→ +∞
−4
2
5x − 7 x − 2
б) xlim
→ +∞
4 x 2 − 5x − 8
4x3 + 8
в) xlim
→ +∞
8 x 2 − 45 x − 18
x2 + 6
г) xlim
→ +∞
28 x 4 − 2 x 2 + 6
4x 4 + 9
7. Вычислить, используя первый замечательный предел
−7
а) lim
x →0
sin (− 3 x )
sin x
4 sin 21x
x →0 12tgx
б) lim
8. Вычислить, используя второй замечательный предел
147
а) lim
12
x → +∞ 12 x
24 x
(1 − 6 x )
б) lim
x →0
−3
x
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление
Теоретическая часть:
1. Производная. Геометрический смысл.
2. Понятие дифференцируемости функции в данной точкеи понятие дифференциала
3. Основные формулы и правила дифференцирования
Практическая часть:
1. Вычислить y ′(x0 ) в заданных точках, используя табличные производные
а) y = −3
б) y = x 5
в) y = x −4
г) y = 2 x
д) y = lg x
1
x5
ж) y =
з) y =
е) y = log 7 x
1
3x
2. Найти значения y ′(x0 ) , используя основные правила дифференцирования
а) y = 7 x − 3
б) y = x 2 − 9 x + 7
в) y = 4 x 4 + 16 x − 27
г) y = −49 x −3 − 9 x −2
д) y = x − 3 x
е) y = (x 2 − 5)(x + 2)
ж) y =
6x + 7
x2
з) y =
4x2 − 2
3x + 6
3. Вычислить значения производных сложных функций
а) y = (2 x 2 − 7 )
3
3x + 3
x
в) y =
б) y = ln (2 x 2 + 6)
2
2
г) y = 4 9 x −43
4. Вычислить значение производных тригонометрических функций
а) y = tgx
б) y = ctg 5 x
в) y = 5 sin (8 x 3 − 5)
г) y = cos 2 (2 x )
148
ТЕМА №10. Исследование функций
Теоретическая часть:
1. Исследование функции по общей схеме
2. Асимптоты функции
3. Возрастание и убывание функций
4. Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба
5. Пример построения графика функции по общей схеме
Практическая часть:
1. Найти значения аргумента x, при которых функция y = f(x) равна нулю:
а) ó = 5 õ − 4
б) ó = õ 2 + 11õ − 18
в) ó = 1 − 3 õ− 4
г) ó = lg(x 2 − 8)
д) ó =
õ+ 4
õ−4
е) ó =
õ2 − 2õ − 8
õ−8
2. Указать интервалы знакопостоянства функции y = f(x).
х 2 − 6 х − 16
а) у =
х2
х+5
б) у = 2
х −9
х 2 + 3х − 4
в) у = 2
х − 3 х − 28
3. Найти вертикальные асимптоты функции y = f(x):
а) у =
х+4
х−6
б) у =
4 х 2 + х + 28
х 2 − 36
в) у =
х2 − 8
14 х 3
4. Найти невертикальные асимптоты y = kx + b функции y = f(x)
а) у =
6х − 5
3х + 4
б) у =
3х 2
х+7
в) у =
х2 − 6
15 х 3
г) у =
5х3 − х
х2 + 6
5. Найти локальные минимумы и максимумы функции y = f(x).
а) у = 256 х − х 4
б) y = 3x 2 + 18 x + 3
в) ó = õ 3 − 15 õ 2 − 1177 õ + 1
г) y =
x 2 − 13 x + 9
x
6. Указать интервалы возрастания и убывания функции y = f(x).
149
б) y =
а) y = x 3 − 15 x 2 − 33 x − 7
1
2
x − 36
в) y =
x 2 − 12 x + 117
x−6
7. Указать интервалы выпуклости и вогнутости функции y = f(x).
а) y = 2 x 3 − 42 x 2 + 11x − 89
б) y = x 4 − 20 x 3 − 234 x 2 − 21x + 28
в) y =
1
x − 25
2
8.
Вычислить значения переменных функций, используя табличные ин-
тегралы
б) y = x 5
а) y = −9
в) y = x −3
д) y = sin x е) y = cos x
9.
ж) y =
г) y = 2 x
1
x
з) y =
1
cos 2 x
Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точ-
ках, используя основные свойства неопределенного интеграла
а) y = 5 x − 9
б) y = x 2 − 2 x + 7
в) y = 2 x 4 + 16 x − 20
г) y = (x 2 + 6)(x + 7 )
д) y = −8 + 2 x
е) y =
4x 2 − 8
x
10. Вычислить значения первообразных функции y = f (x ) в заданных точках, используя метод подстановки (замены переменных)
а) y = (6 x + 9)5
б) y =
8
(5 + 4 x )2
11. Вычислить значения первообразных функций y = f (x ) в заданных точках, используя метод интегрирования по частям
а) y = x 3 ln x
б) y = 4 x cos 2 x
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных
Теоретическая часть:
1. Понятие функции нескольких переменных и ее геометрическое изображение
150
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные и дифференцируемость функции двух переменных
4. Производные сложных функций. Дифференциал функции
6. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных
Практическая часть:
1. Вычислить значение функции z (x, y) в заданных точках
а) z = 7 x − 9 y + 6
z (1,−1)
б) z = 4 x 2 + 2 xy + 4 y 2
z (− 2,4 )
в) z = log 3 (x − y )7
z (10,1)
г) z = 4 9 x +9 y −96
z (9,2 )
д) z =
− 14 xy
x− y
z (14,12)
е) z =
64 x 4 − 49 y 2
8x 2 + 7 y
z (− 6,4 )
4. Вычислить предел функции
а)
lim x
3
б) lim 6 3 x +8 y − 27
+ 4 xy 2 − 2 y 4 − 9
x → −1
y →5
в) lim
xx → 4
x →0
x →5
y →2
7 x 3 y 2 − 5x 2 y 5
xy 2
г) lim
x → 20
y →2
9 x 2 − 225 y 4
3 x − 15 y 2
5. Вычислить значения частных производных z'x и z'y в заданных точках
б) z = 2 x 4 + 2 x 3 y + 7 x 2 y 2 + 5 xy 3
в) z = 6 sin 2 x − 4 cos(9 y )
г) z =
6x 3 + 8 y
9 xy 2
z ′y (− 2,5)
z ′x (− 2,5)
а) z = 2 x − 4 y + 2
z ′y (1,5)
z ′x (1,5)
z ′y (− 9,−4 )
z ′x (9,−4 )
z ′y (2,7 )
z ′x (2,7 )
6. Вычислить значения частных производных второго порядка
а) z = 7 x 3 − 8 xy + 8 y 2 − 3
151
z ′xx′ (9,−2 )
z ′xy′ (9,−2 )
z ′yx′ (9,−2 )
z ′yy′ (9,−2 )
б) z = 2 x 3 ln( y + 9)
3
z ′xx′ (− 2,5)
z ′xy′ (− 2,5)
ТЕМА №13. Комбинаторика
Теоретическая часть:
1. Основные формулы комбинаторики
2. Правила умножения и сложения
Практическая часть:
1. Найти факториалы натуральных чисел:
а)9!
б) 6!
в) 2!
2. Вычислить:
3
1
а) P7 ; A4 ; C 4
2
5
б) P1 ; A2 ; C 6
0
4
в) P4 ; A4 ; C 6
3. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
используя каждую цифру только один раз?
б) Сколькими способами можно расположить 8 автомобилей в одной колонне?
в) Сколькими способами можно выбрать 3 лотерейных билетов из 8 имеющихся?
г) Необходимо выбрать 7 сотрудников из 17. Определить количество всех
возможных вариантов составления списка.
д) Сколькими способами можно расставить 4 цветочных горшков в 4 комнатах одного этажа?
е) У стрелка 24 боевых патронов, из них 12 трассирующих. Определить количество способов выбора 2 патронов одного типа.
ж) Сколько существует способов расстановки 19 патрульных автомобилей
152
по 5 на каждый из 3 объектов?
з) Сколькими способами могут расположиться 6 курсантов за 4 столами,
при условии, что за каждым столом могут сидеть не более 2 человек?
и) В учебной группе 8 юношей и 4 девушек. Сколькими способами можно
выбрать 7 курсантов, таким образом чтобы среди них было 2 девушки?
к) Игральный кубик бросается 12 раз. Определить количество всевозможных вариантов суммы выпавших очков.
4. Вычислить:
2
0
1
а) P 5 ; A 5 ; C 3
4
б) P 8 ; A 2 ; C 7
5
3
в) P 2 ; A 7 ; C 5
5. Найти количество разбиений:
а) R (5, 6 )
б) R (3, 3, 2 )
в) R (3, 1, 3, 1)
6. Решить задачи:
а) Сколько различных 3-значных чисел можно составить из заданных цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться!)
б) В буфете продаются 5 различных видов бутербродов. Сколькими способами можно купить 10 бутербродов?
в) Необходимо разместить 10 автомобилей в 3 секторах охраняемой территории. Сколькими способами это можно сделать?
г) Сколькими способами можно расставить 13 книг в книжном шкафу с 3
полками, если каждая полка может вместить все книги?
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей.
Теоретическая часть:
1. Случайные события и алгебра событий
2. Вероятность события
3. Практически невозможные и практически достоверные события
Практическая часть:
1. Решить задачи:
а) В пирамиде 14 винтовок, 8 из них с оптическим прицелом. Найти веро153
ятность того, что произвольно взятая винтовка - без оптики.
б) В колонне в произвольном порядке движутся 2 белых, 9 синих и 3 черных автомобиля. Какова вероятность замыкания колонны синим автомобилем.
в) Определить вероятность того, что (трехзначный) номер первой встретившейся автомашины содержит хотя бы две цифры "8".
г) В состязании участвуют 5 марафонцев. Определить вероятность прихода
к финишу бегунов в порядке возрастания их номеров.
д) В кармане находятся 1 купюра достоинством 500 руб., 3 по 100 руб., 2 по
50 руб. и 3 по 10 руб. Найти вероятность оплаты покупки стоимостью 671 руб.
тремя взятыми купюрами.
е) Лотерея выпущена на общую сумму 74100 руб. Цена одного билета 150
руб. Выигрыши падают на 15 билетов. Определить вероятность выигрыша купленного билета.
ж) В учебной группе 13 девушек и 18 юношей. Для тестирования произведен компьютерный отбор 8 человек. Какова вероятность того, что все отобранные
для тестирования - юноши.
з) На полке находятся в произвольном порядке 10 книг . Определить вероятность того, что 4 книги 4-томного собрания сочинений окажутся поставленными рядом.
и) У стрелка 28 патронов, из них 15 холостых. Определить вероятность того, что из 13 взятых случайным образом патронов 6 окажутся боевыми.к) В лотерее участвуют 25 билетов, на 17 из которых падает выигрыш. Найти вероятность
выигрыша при покупке 4 билетов.
к) В лотерее участвуют 23 билетов, на 18 из которых падает выигрыш. Найти вероятность выигрыша при покупке 6 билетов.
л) В ходе игры в колоде из 36 карт осталось 11. Найти вероятность того, что
в колоде остались все 4 туза.
м) Каждая из 10 деталей произвольным образом может попасть в один из 9
контейнеров для хранения. Какова вероятность того, что в какой-нибудь контейнер попадут две детали, а в остальные по одной.
154
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей.
Теоретическая часть:
1. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность
2. Формула полной вероятности
3. Формула гипотез Байеса
4. Формула Бернулли
Практическая часть:
1. Стрелок имеет 98 патронов, из них 7 с осечкой. Какова вероятность того, что:
а) взятый на удачу патрон окажется с осечкой?
б) взятые на удачу 3 патрона окажутся с осечкой?
2.
Группа захвата обезвреживает банду из 15 преступников, из которых
6 рецидивистов. Захвачено 11 преступников. Найти вероятность того, что среди
захваченных преступников 3 рецидивистов.
3.
Из 80 билетов 24 выигрышных. Определить вероятность того, что
среди взятых на удачу 4 билетов:
а) один выигрышный.
б) ни одного выигрышного.
4. Необходимо в ремонтной мастерской взять 4 рации. В мастерской 34
рации, из которых 29 исправных и 5 неисправных. Какова вероятность того, что
среди 4 взятых рации:
а) только исправные;
б) только неисправные;
в) одна исправная и 3 неисправных.
5. Решить задачи (Формула полной вероятности):
а) В первом ящике 11 белых шаров и 16 черных, во втором 5 белых шара и
16 черных. Некто подходит к одному из ящиков и вынимает шар. Найти вероятность того, что взятый шар - черный.
б) Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,17, а
155
изделий, выпущенных на новом станке, - 0,07. За день на новом станке изготовили 176, а на старом 501 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое со
склада без брака.
в) На огневом рубеже 3 стрелка. Вероятности попадания ими в цель равны
0,53, 0,92 и 0,90. По команде один из стрелков производит выстрел. Определить
вероятность поражения цели.
г) Группа состоит из 7 отличников, 12 хорошистов и 2 слабых курсантов.
Отличники получают самоэкзамен, хорошисты в равной степени могут получить
"4" или "5", а остальные - "2" или "3". Найти вероятности того, что вошедший получит "5", "4", "3".
д) Первым заводом выпущено 333 гранатометов, вторым - 516, третьим 211. Отказ оружия первого завода составляет 0,7%, второго - 0,2%, третьего 0,5%. Какова вероятность безотказной работы двух поступивших в подразделение гранатометов.
2. Решить задачи (Формула гипотез Байеса):
а) В красном контейнере 11 латунных и 16 чугунных деталей, в синем 5 латунных и 16 чугунных, в желтом 15 латунных и 10 чугунных. Для проверки берется деталь из первого попавшегося контейнера. Деталь оказалась латунной. Какова вероятность того, что выбранная деталь взята из желтого ящика.
б) Вероятность прорастания зерна, обработанного ядохимикатами, равна
0,96, а необработанного - 0,71. Поля засеяны 22 ц обрабо-танного и 23 ц. необработанного зерна. Найти вероятностть того, что случайно отобранное проросшее
зерно было обработано.
в) При задержании рецидивиста три милиционера произвели по нему залп
из ПМ на растоянии 30 метров, преступник был убит, а в теле найдена 1 пуля.
Найти вероятности того, что попали 1-й, 2-й и 3-й милиционеры, если вероятности поражения цели каждым милиционером равны соответственно 0,97, 0,91 и
0,76.
ТЕМА №16. Дискретные случайные величины.
156
Теоретическая часть:
1. Биномиальный закон распределения
2. Закон распределения Пуассона
3. Геометрическое распределение
4. Гипергеометрическое распределение
Практическая часть:
1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими рядами
распределений:
xi
2
4
уi
3
6
pi
0,6
0,4
qi
0,4
0,1
Составить ряд распределений случайных величин X+Y;
2. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность поражения
цели при каждом выстреле 0,6. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель и найти M(x), D(x), V(x).
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины.
Теоретическая часть:
1. Равномерный закон распределения
2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
3. Нормальный закон распределения
Практическая часть:
1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
(a,b).
157
0
x −1
F (X ) =
10
1
x ≤ 1 , 1 < x ≤ 11 , x > 11
P(0 < x < 6) ;
P(4 < x < 6) .
2. По известной функции распределения непрерывной случайной величины Х найти значения плотности распределения в заданных точках.
0
18
F ( X ) = 5 −
x
1
x ≤ 3,6 ; 3,6 < x ≤ 4,5 ; x ≥ 4,5
f (− 4);
f (4 );
f (17 ) .
3. Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] , если известна плотность распределения этой величины.
0
f (x ) = − 2 x
2e
x < 0, x ≥ 0
P(− 4 < x < −1);
P(− 4 < x < 1);
P(2 < x < 6) .
4. Найти числовые характеристики случайной величины, значение которой
принадлежат интегралу [a, b] , если известна плотность распределения.
а) f (x ) = 1
x ∈ [4,5]
б) f (x ) = 1 / 4
x ∈ [2,6]
в) f (x ) = 2 x / 25
x ∈ [0,5]
ТЕМА №18. Элементы математической статистики.
Теоретическая часть:
1. Основные понятия математической статистики
158
2. Генеральная средняя, дисперсия и среднее квадратичное отклонение
3. Графическое изображение
Практическая часть:
1.
3
5
Даны последовательности чисел
3
9
5
5
5
4
3
4
9
4
5
9
0
0
3
5
0
4
а) Найти распределение частот и относительных частот в порядке их появления.
б) Построить вариационный ряд.
в) Найти генеральные среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
г) Для вариационного ряда построить полигон, гистограмму и кумуляту по
частотам и относительным частотам.
ТЕМА №19. Статистические оценки параметров распределения
Теоретическая часть:
1. Статистические методы исследования социально-правовых явлений и
процессов
2. Статистические оценки параметров распределения
3. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
4. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
5. Групповая и общая средние
6. Отклонение от общей средней и его свойство
Практическая часть:
1. Генеральная совокупность задана таблицей распределения
xi
2
4
5
6
Ni
8
9
10
3
159
Найти генеральную дисперсию.
ТЕМА №20. Cтатистическая проверка гипотез.
Теоретическая часть:
1. Принцип практической уверенности
2. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.
Практическая часть:
1. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы
рабочих: в первой группе численностью п1 = 50 чел., где применялась новая
технология, выборочная средняя выработка составила X = 85 (изделий), во второй группе численностью п2 = 70 чел. выборочная средняя - y = 78 (изделий).
Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно σ x2 = 100 и σ
2
y
= 74. На уровне значимости α =0,05 выяснить влия-
ние новой технологии на среднюю производительность
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция.
Теоретическая часть:
1. Спецификация парной регрессионной модели
2. Построение линейной регрессии
3. Оценка значимости параметров регрессии
Практическая часть:
1. Решить задачи
а) Линейная модель.
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9,6
9,4
9,2
8,4
9,0
6,3
8,0
7,7
160
xi1
86,2
83,0
65,0
61,0
69,9
16,1
69,9
43,3
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
б) Степенная модель.
По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух
признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x расчитать параметры линейной регрессии y = a + bx, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
в) Показательная модель. По восьми регионам Южного Федерального округа известны значения двух признаков:
№
региона
yi
xi1
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
15,3
15,9
15,0
11,3
6,3
15,3
13,2
11,1
100,7
96,0
96,0
44,1
11,1
91,5
62,3
41,1
Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры линейной регрессии y = a + xb, оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации Ā, линейный коэффициент парной корреляции rxy и F-критерий Фишера.
ТЕМА №22. Множественный регрессионный анализ.
Теоретическая часть:
1. Классическая модель множественной регрессии и ее спецификация
2. Построение множественной линейной регрессионной модели
3. Оценка значимости параметров множественной регрессии
Практическая часть:
161
1. Решить задачу:
Имеются данные о некоторых факторах социально-криминологической обстановки по двенадцати административным территориям:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
yi
41,4
42,3
31,2
36,2
28,1
44,1
42,3
35,9
46,9
29,2
47,3
41,0
xi1
8,9
9,5
4,4
6,6
1,7
10,3
9,7
6,8
11,5
3,2
11,7
8,0
xi2
4,5
3,7
8,2
6,7
4,2
5,3
6,5
6,6
1,7
4,7
1,9
1,7
Полагая, что между y, x1 и x2 существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение в виде y = b0 + b1x1 + b2x2.
ТЕМА №23. Временные ряды и прогнозирование.
Теоретическая часть:
1. Основные элементы временного ряда
2. Автокорреляция уровней временного ряда
3. Моделирование тенденции временного ряда
4. Моделирование сезонных и циклических колебаний
Практическая часть:
1. Решить задачу: Имеются данные о динамике некоторого социальнокриминалогического показателя зарегистрированного в регионе поквартально за
последние 4 года. Построить коррелограму временного ряда.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
t
yt 10,6 7,1 9,4 16,7 9,2 6,7 8,9 15, 7,7 5,1 7,5 14,0 6,4 3,8 6,7 12,7
162
Приложение 3. Примерный перечень вопросов (заданий) для проведения
рубежного контроля.
1. Из множества {-4; -2,12; tg3; 0; ln2; 13/14; 3; 10; 14,(1)} выбрать подмножества натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел.
2. Выполнить операции над комплексными числами
а) (− 4 − 2i ) + ( 4 − 5i )
б) (− 4 − 5i )( −4 − 5i )
в)
− 32 + 4i
− 2 − 6i
3. Выполнить действие над матрицами
1 0 0 0 4 − 8
10 4
а) 21 0 1 0 9 2 − 8 (10 7 ) + − 1 − 8 11
0 0 1 4 − 3 8
0
0
−1
− 3 0 − 21 27
б)
−
−
5
3
41
27
4. Вычислить определитель det k и указанное алгебраическое дополнение
A22
1
2 − 9
2
4
1 − 2
3
а)
7 −8 5
0
− 9 − 8 − 7 1
5. Решить системы линейных уравнений методом Крамера:
− 3 x + 8 y − 2 z = 77
а) − 3x + y + 7 z = −51
2 x + 5 y − 6 z = 90
6. Найти ранги матриц
1 5
а) r 1 5
1 5
2
2
−1 1
б) r
1 −1
6
0
−1
0 0 −1
0 1 0
4 2 − 2
1 3
7. Выполнить операции над векторами a,b,c,d:
a = (− 6, −8,0 ); b = (− 9,−7,6 ); c = (2,3,5 ); d = (− 4, −6, −4 )
163
r
а) a + b; c ⋅ d ; a × b; a, b, c.
r r r
r
8. Представить вектор e через линейную комбинацию векторов f , g , h
r
r
r
r
e = (66,−24,25); f = (5,0,2); g = (9,0,4); h = (5,−8,1)
9. В пирамиде 14 винтовок, 8 из них с оптическим прицелом. Найти вероятность того, что произвольно взятая винтовка - без оптики.
10. В колонне в произвольном порядке движутся 2 белых, 9 синих и 3 черных автомобиля. Какова вероятность замыкания колонны синим автомобилем.
11. Определить вероятность того, что (трехзначный) номер первой встретившейся автомашины содержит хотя бы две цифры "8".
12. В лотерее участвуют 23 билетов, на 18 из которых падает выигрыш.
Найти вероятность выигрыша при покупке 6 билетов.
13. Каждая из 10 деталей произвольным образом может попасть в один из 9
контейнеров для хранения. Какова вероятность того, что в какой-нибудь контейнер попадут две детали, а в остальные по одной
14. Вероятность брака изделий, выпущенных на старом станке, равна 0,17,
а изделий, выпущенных на новом станке, - 0,07. За день на новом станке изготовили 176, а на старом 501 изделий. Какова вероятность того, что изделие, взятое
со склада без брака.
15. Стрелок имеет 98 патронов, из них 7 с осечкой. Какова вероятность того, что:
а) взятый на удачу патрон окажется с осечкой?
б) взятые на удачу 3 патрона окажутся с осечкой?
16. Группа захвата обезвреживает банду из 15 преступников, из которых 6
рецидивистов. Захвачено 11 преступников. Найти вероятность того, что среди захваченных преступников 3 рецидивистов.
17. Из 80 билетов 24 выигрышных. Определить вероятность того, что среди
взятых на удачу 4 билетов:
а) один выигрышный.
б) ни одного выигрышного.
164
Приложение 4. Примерный перечень вопросов для проведения промежуточной аттестации с рекомендациями по подготовке к экзамену
1. Множества. Основные определения и формы записи.
2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, прямое произведение множеств.
3. Числовые множества: множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел.
4. Множество вещественных чисел. Операции над вещественными числами.
5. Свойства вещественных чисел.
6. Определение комплексного числа. Изображение комплексных чисел на
плоскости.
7. Операции над комплексными числами: сложение, вычитание,
8. Операции над комплексными числами: умножение, деление.
9. Основные понятия комбинаторики. Комбинаторные конфигурации.
10. Комбинаторика. Теоремы сложения и умножения.
11. Формулы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания.
12. Формулы комбинаторики. Перестановки с повторениями. Размещения с
повторениями. Сочетания с повторениями.
13. Формулы комбинаторики. Упорядоченные разбиения.
14. Понятие матрицы, основные определения.
15. Операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на
число, матричное произведение, транспонирование матриц.
16. Вычисление определителей первого, второго и третьего порядков.
17. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы.
18. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.
19. Свойства определителей.
20. Миноры k-того порядка. Ранг матрицы.
165
21. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
22. Линейное уравнение. Понятие системы линейных уравнений.
23. Матричная запись системы линейных уравнений. Условие совместности
системы уравнений.
24. Линейные преобразования систем линейных алгебраических уравнений.
25. Метод Гаусса решения определенных систем линейных уравнений.
26. Метод Крамера решения определенных систем линейных уравнений.
27. Матричный метод (метод обратной матрицы) решения определенных
систем линейных уравнений.
28. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система
решений.
29. Линейные операции над векторами: сложение и разность векторов, умножение вектора на число.
30. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис системы векторов.
31. Координаты вектора. Линейные операции в декартовых координатах.
Длина вектора.
32. Скалярное произведение векторов и его свойства.
33. Векторное произведение векторов и его свойства.
34. Смешанное произведение векторов и его свойства.
35. Направляющие косинусы и угол между двумя векторами.
36. Условие ортогональности векторов. Условие коллинеарности векторов.
37. Вычисление площадей многоугольников с заданными координатами вершин.
38. Вычисление объемов многогранников с заданными координатами вершин.
39. Понятие линейного векторного пространства Rn. Линейные операции над
векторами.
166
40. Понятие линейного векторного пространства Rn. Различные нормы в Rn.
41. Понятие линейного векторного пространства Rn. Скалярное произведение
векторов в Rn.
42. Отображения линейных пространств. Линейные отображения, их матрицы.
43. Собственные векторы и собственные значения матриц.
44. Базис пространства Rn из собственных векторов матрицы. Ортонормированный базис пространства Rn.
45. Определение функции. Область ее определения. Способы задания.
46. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
47. Левый и правый пределы функции. Теоремы о пределах функций.
48. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы
монотонных функций.
49. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
50. Классификация точек разрыва функций.
51. Понятие сложной функции.
52. Производная функция, ее геометрический и физический смысл.
53. Табличные производные. Основные правила дифференцирования.
54. Производная сложной и обратной функции.
55. Производные высших порядков.
56. Правило Лопиталя.
57. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
58. Асимптоты функций.
59. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое и
достаточное условия.
60. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.
167
61. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
62. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Использование
таблиц интегралов.
63. Основные методы интегрирования. Непосредственное интегрирование.
64. Основные методы интегрирования. Метод замены переменных.
65. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
66. Определенный интеграл, его свойства.
67. Формула Ньютона-Лейбница.
68. Особенности вычисления определенного интеграла.
69. Приложения определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной фигуры.
70. Задание функции нескольких переменных. Область определения.
71. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
72. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных.
73. Частные производные высших порядков.
74. Экстремумы функции нескольких переменных. Условия существования
экстремума.
75. Исследование выпуклости функции нескольких переменных.
76. Классификация событий. Понятие случайного события. Алгебра событий.
77. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей.
78. Классическое определение вероятности события.
79. Статистическая вероятность события.
80. Вычисление вероятности суммы двух и более зависимых, независимых,
совместных и несовместных событий.
81. Вычисление вероятности произведения двух и более зависимых, независимых, совместных и несовместных событий.
168
82. Условная вероятность.
83. Формула полной вероятности.
84. Формула гипотез Байеса.
85. Повторные испытания. Формула Бернулли.
86. Повторные испытания. Теорема Пуассона.
87. Дискретные случайные величины. Функция распределения, ее свойства.
88. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины.
89. Дискретные случайные величины. Начальные и центральные моменты.
90. Законы распределения дискретных случайных величин, их свойства.
Биноминальное распределение.
91. Законы распределения дискретных случайных величин, их свойства.
Распределение Пуассона.
92. Законы распределения дискретных случайных величин, их свойства.
Геометрическое распределение.
93. Законы распределения дискретных случайных величин, их свойства.
Гипергеометрическое распределение.
94. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность
распределения, их взаимосвязь и свойства.
95. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
96. Законы распределения непрерывных случайных величин, их свойства.
Равномерное распределение.
97. Законы распределения непрерывных случайных величин, их свойства.
Показательное распределение.
98. Законы распределения непрерывных случайных величин, их свойства.
Нормальное распределение.
99. Основы статистического описания. Генеральная совокупность и выбор169
ки.
100. Графическое изображение генеральной и выборочной совокупностей:
гистограмма, полигон, кумулята.
101. Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические
свойства выборочных моментов. Отыскание оценок методом моментов.
102. Точечные оценки. Свойства несмещенности, состоятельности и эффективности.
103. Оценки наибольшего правдоподобия и их свойства.
104. Интервальные оценки. Доверительные интервалы и области.
105. Статистическое распределение выборки. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
106. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
107. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
108. Формула для вычисления дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по
исправленной выборочно.
109. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода.
110. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы.
111. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности.
112. Критерий Пирсона.
113. Спецификация парной регрессионной модели. Выбор вида уравнения
регрессии, результативной и объясняющих переменных.
114. Построение уравнения парной линейной регрессии.
115. Построение уравнения парной нелинейной регрессии. Степенная модель.
116. Построение уравнения парной нелинейной регрессии. Экспоненциальная модель.
117. Построение уравнения парной нелинейной регрессии. Гиперболическая
модель.
170
118. Верификация парной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.
119. Верификация парной регрессии. Линейный коэффициент парной корреляции, индекс корреляции.
120. Верификация парной регрессии. F-критерий Фишера.
121. Классическая линейная модель множественной регрессии. Спецификация модели.
122. Матричная форма множественной линейной регрессии. Построение
уравнения множественной линейной регрессионной модели.
123. Верификация множественной регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.
124. Верификация множественной регрессии. Стандартизованные коэффициенты регрессии. Коэффициенты эластичности.
125. Верификация множественной регрессии. Коэффициент детерминации.
126. Верификация множественной регрессии. F-критерий Фишера.
127. Временные ряды и их характеристики. Аддитивная и мультипликативная модели.
128. Автокорреляционная функция временного ряда, коррелограмма.
129. Моделирование тенденции временного ряда.
130. Моделирование сезонных и циклических колебаний. Методы наименьших квадратов и скользящей средней.
171
Приложение 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература:
1. Астафьев Е.Р. Математика: курс лекций / Е.В. Михайленко, В.В. Василенко,
И.Н. Старостенко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2006.
2. Ильин В.А. Высшая математика / А.В. Куркина. – М.: Изд-во Проспект, 2005.
Дополнительная литература:
Раздел 1. Введение в дискретную математику
1. Астафьев Е.Р. Информатика и математика. Ч. 1: Математика: учеб. пособ./
П.В. Арбузов, С.В. Гуде, Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2006.
2. Михайленко Е.В. Введение высшую математику: лекция – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2008
3. Астафьев Е.Р. Векторная алгебра: лекция – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2007.
4. Михайленко Е.В. Матрицы и определители: лекция – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2008.
5. Михайленко Е.В. Системы линейных уравнений: лекция – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2009.
Раздел 2. Линейная алгебра
6. Астафьев Е.Р. Векторная алгебра: лекция. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2007.
7. Ильин В.А. Линейная алгебра: учеб. / Э.Г. Позняк. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
8. Михайленко Е.В. Матрицы и определители: лекция. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2008.
9. Михайленко Е.В., Жукова М.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. пособ./ Михайленко Е.В., Жукова М.А. – Краснодар: Краснодарский
университет МВД России, 2009.
Раздел 3. Математический анализ
10. Астафьев Е.Р.
Дифференциальное
исчисление:
172
учеб.-метод.
пособие
/
В.В. Василенко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2006.
11. Астафьев Е.Р. Интегральное исчисление: лекция. – Краснодар: Краснодарский
университет МВД России, 2007.
12. Михайленко Е.В. Элементы математического анализа: лекция. – Краснодар:
Краснодарский университет МВД России, 2007.
13.Михайленко Е.В., Швецова М.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: учеб. пособ./ Михайленко Е.В., Швецова М.А. – Краснодар:
Краснодарский университет МВД России, 2009.
Раздел 4. Теория вероятностей
14.Михайленко Е.В., Швецова М.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: учеб. пособ./ Михайленко Е.В., Швецова М.А. – Краснодар:
Краснодарский университет МВД России, 2009.
15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учеб. М.: Высш. шк., 2006.
Раздел 5. Статистические методы обработки экспериментальных данных
16. Астафьев Е.Р. Временные ряды и прогнозирование: лекция / Е.В. Михайленко.
– Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2007.
17. Астафьев Е.Р. Математические методы социально-криминологических исследований / Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2006.
18. Астафьев Е.Р. Методы корреляционного и регрессионного анализа обработки
статистических данных / Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарская академия
МВД России, 2006.
19. Астафьев Е.Р. Статистические методы обработки экспериментальных данных:
учеб. пособие / Е.В. Михайленко. – Краснодар: Краснодарская академия МВД
России, 2006.
20. Михайленко Е.В. Парная регрессия и корреляция: лекция. – Краснодар: Краснодарский университет МВД России, 2008.
173
Приложение 6. Перечень мультимедийного сопровождения лекционных
занятий
1.
Мультимедийная презентация «Элементы теории множеств».
2.
Мультимедийная презентация «Математическая логика».
3.
Мультимедийная презентация «Графы».
4.
Мультимедийная презентация «Матрицы и определители».
5.
Мультимедийная презентация «Системы линейных уравнений».
6.
Мультимедийная презентация «Векторная алгебра»
7.
Мультимедийная презентация «Элементы аналитической геометрии».
8.
Мультимедийная презентация «Функция одной переменной».
9.
Мультимедийная презентация «Дифференциальное исчисление».
10. Мультимедийная презентация «Исследование функций».
11. Мультимедийная презентация «Интегральное исчисление».
12. Мультимедийная презентация «Функции нескольких переменных».
13. Мультимедийная презентация «Комбинаторика».
14. Мультимедийная презентация «Основные понятия теории вероятностей».
15. Мультимедийная презентация «Методы вычисления вероятностей».
16. Мультимедийная презентация «Дискретные случайные величины».
17. Мультимедийная презентация «Непрерывные случайные величины».
18. Мультимедийная презентация «Элементы математической статистики».
19. Мультимедийная презентация «Статистические оценки параметров распределения».
20. Мультимедийная презентация «Статистическая проверка гипотез».
21. Мультимедийная презентация «Парная регрессия и корреляция».
22. Мультимедийная презентация «Множественный регрессионный анализ».
23. Мультимедийная презентация «Временные ряды и прогнозирование».
174
Приложение 7. Перечень компьютерных обучающих программ
1.
Компьютерная обучающая программа «Числовые множества».
2.
Компьютерная обучающая программа «Комплексные числа».
3.
Компьютерная обучающая программа «Математическая логика».
4.
Компьютерная обучающая программа «Графы».
5.
Компьютерная обучающая программа «Операции над матрицами».
6.
Компьютерная обучающая программа «Методы вычисления определителей».
7.
Компьютерная
обучающая
программа
«Свойства
умножения
определителей».
8.
Компьютерная обучающая программа «Матричный метод решения систем
линейных уравнений».
9.
Компьютерная обучающая программа «Метод Крамера».
10. Компьютерная обучающая программа «Метод Гаусса».
11. Компьютерная обучающая программа «Координаты».
12. Компьютерная обучающая программа «Произведение векторов».
13. Компьютерная обучающая программа «Точки и плоскости».
14. Компьютерная обучающая программа «Точки и прямые».
15. Компьютерная обучающая программа «Определение функции».
16. Компьютерная обучающая программа «Предел функции».
17. Компьютерная обучающая программа «Основные формулы и правила дифференцирования».
18. Компьютерная обучающая программа «Вычисление производных первого и
высших порядков».
19. Компьютерная обучающая программа «Приложения дифференциального исчисления».
20. Компьютерная обучающая программа «Интервалы знакопостоянства, асимптоты функции».
21. Компьютерная обучающая программа «Исследование функций по первой и
второй производным».
175
22. Компьютерная обучающая программа «Исследование функций по общей
схеме».
23. Компьютерная обучающая программа «Определенный интеграл»
24. Компьютерная обучающая программа «Первообразная и неопределенный
интеграл».
25. Компьютерная обучающая программа «Пределы функций. Дифференциальное исчисление».
26. Компьютерная обучающая программа «Локальные экстремумы функции
двух переменных».
27. Компьютерная обучающая программа «Комбинаторика».
28. Компьютерная обучающая программа «Классическое определение вероятностей».
29. Компьютерная обучающая программа «Основные понятия теории вероятностей».
30. Компьютерная обучающая программа «Теоремы вероятностей суммы и произведения».
31. Компьютерная обучающая программа «Формула полной вероятности».
32. Компьютерная обучающая программа «Методы вычисления вероятностей».
33. Компьютерная обучающая программа «Числовые характеристики случайных
величин».
34. Компьютерная обучающая программа «Законы распределения дискретных
случайных величин».
35. Компьютерная обучающая программа «Числовые характеристики непрерывных случайных величин».
36. Компьютерная обучающая программа «Непрерывные случайные величины».
37. Компьютерная обучающая программа «Элементы математической статистики».
38. Компьютерная обучающая программа «Статистические оценки параметров
распределения».
39. Компьютерная обучающая программа «Статистическая проверка гипотез».
176
40. Компьютерная обучающая программа «Линейная модель».
41. Компьютерная обучающая программа «Степенная модель».
42. Компьютерная обучающая программа «Показательная модель».
43. Компьютерная обучающая программа «Множественный регрессионный анализ».
44. Компьютерная обучающая программа «Временные ряды».
177
Приложение 8. Выходные формы компьютерных обучающих программ
ТЕМА №1. Элементы теории множеств
Практическое занятие №1
178
Практическое занятие №2
179
ТЕМА №2. Математическая логика
Практическое занятие №1
180
ТЕМА №4. Матрицы и определители
Практическое занятие №1
181
Практическое занятие №2
182
Практическое занятие №3
183
ТЕМА №5. Системы линейных уравнений
Практическое занятие №1
184
Практическое занятие №2
185
Практическое занятие №3
186
ТЕМА №6. Векторная алгебра
Практическое занятие №1
187
Практическое занятие №2
188
ТЕМА №7. Элементы аналитической геометрии
Практическое занятие №1
189
Практическое занятие №2
190
ТЕМА №8. Функция одной переменной
Практическое занятие №1
191
Практическое занятие №2
192
ТЕМА №9. Дифференциальное исчисление
Практическое занятие №1
193
Практическое занятие №2
194
Практическое занятие №3
195
ТЕМА №10. Исследование функций
Практическое занятие №1
196
Практическое занятие №2
197
Практическое занятие №3
198
ТЕМА №11. Интегральное исчисление
Практическое занятие №1
199
Практическое занятие №2
200
ТЕМА №12. Функции нескольких переменных
Практическое занятие №1
201
Практическое занятие №2
202
ТЕМА №13. Комбинаторика
Практическое занятие №1
Практическое занятие №2
203
204
ТЕМА №14. Основные понятия теории вероятностей
Практическое занятие №1
205
ТЕМА №15. Методы вычисления вероятностей
Практическое занятие №1
206
Практическое занятие №2
207
ТЕМА №16. Дискретные случайные величины
Практическое занятие №1
208
ТЕМА №17. Непрерывные случайные величины
Практическое занятие №1
209
ТЕМА №18. Элементы математической статистики
Практическое занятие №1
210
ТЕМА №21. Парная регрессия и корреляция
Практическое занятие №1
211
Учебное издание
Старостенко Игорь Николаевич
Жукова Маргарита Александровна
Математика
Частная методика
212
