TRANSFORMADA DE LAPLACE.
La transformada de Laplace se define como:
L { f (t) } =  f (t) e-st . dt = F (s)
donde la integral se extiende de 0 a 
Siendo f(t) una función continua para
fijo de "s".
La integral impropia
; s>0; s>so ; siendo "s" un parámetro real; y so un valor
se define como:
y se dice que si el límite existe también existe la transformada de Laplace; y decimos que la
integral converge.
Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de
;para s>a. Resultado.
Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.
aplicando la integración por partes:
L{t} =
Resultado.
Y en general : L{
}=
Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace de Sen at.
Paso 1.Paso 2.-
; resolviendo la integral por partes:
Paso 3.Paso 4.-
; Integrando por partes:
Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;
Paso 6.-
Paso 7.-
Paso 8.-
Paso 9.-
Resultado.
Ejemplo 4: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at ;y simultáneamente la
transformada de Cos at :
Paso 1.Paso 2.- Sustituir Sen at por
:
Paso 3.-
L{
}
Paso 4.- Como en el ejemplo 1,se obtuvo
; entonces en este
caso:
Paso 5.- Utilizando la identidad de Euler:
y aplicándola a éste caso:
Paso 6.Paso 7.- Aplicando la propiedad de las igualdades en:
; se obtiene que
y que
Resultados.
Propiedades de la transformada de Laplace.
I) Si f(t), f1 (t) y f2(t) ;poseen transformadas de Laplace y,C es una constante entonces:
Paso 1.-
L { f(t)+ L f1(t)+ L f2(t) } = L {f(t)} + L { f1(t)} + L { f2(t) }
Paso 2.- L
{ C f(t) } = C L { f(t) }
II ) Si F(s) = L { f(t) } , entonces:
L{
}=
Ejemplo: Obtener
Paso 1.- L {
} = (-1)
{
}=
Paso 2.Paso 3.Paso 4.- {
Resultado.
Para s >a , n=0, 1, 2, 3...
Transformada de Laplace de derivadas.
Obtener la transformada de Laplace de f ' (t).
resolviendo la integral por partes:
L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0)
Resultado.
Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) .
Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado
anteriormente
obtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos:
L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ;
s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } )
L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado.
Generalizando tenemos:
} = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)
L{
Función Gamma
Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1
Resultado.
Obtener la función gamma de ( x+1) :
Integrando por partes:
=
Resultado.
Generalizando tenemos que:
Esta es la propiedad más importante de la función
gamma.
Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) =
un entero no negativo y, t
L{
;siendo n
;
}=
si sustituimos
tenemos que L{ }=
Resultado.
Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración,
utilizaremos las tablas de transformadas.
de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no
homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados.
A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la
solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación.
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= L {f (t)}=F(s)
FORMULAS
_____________________|____________________________
; s>a
; s>0
; s>0
; s>0
; s>0
; s>a
; s>a
;
32. Ejemplo
Siendo la fórmula
33. Ejemplo
Siendo la fórmula
En todos los casos a, b, k, son constantes y además
34.
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37.
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40.
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43.
.
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51.
RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO
LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
Problema 1.-
con las condiciones :
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-- Sumando los términos semejantes
Paso 3.- Se factoriza la transformada :
Paso 4.- Se despeja la transformada:
Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace
;
Paso 6.-
;
Paso 7.- Se obtiene el resultado final:
Resultado
Una gráfica de la solución es: