Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
Taller 03. III CORTE-2019-I
Elaboró: Rubén Darío Castañeda B.
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
Jorge Mario Suárez Urueña
1. Introducción:
La idea de una transformada o transformación es de vital importancia en Matemáticas y
en la resolución de problemas en general. A la hora de abordar un problema difícil, a
menudo resulta una buena idea Transformarlo de algún modo en un problema más
sencillo.
Por ejemplo al introducir el factor integrante en una ecuación lineal, se lograba obtener el
resultado a través de una transformación del producto de una derivada, que es más
sencilla de integrar.
La famosa herramienta Matemática conocida como la transformada de Laplace, resulta útil,
puesto que elimina derivadas de ecuaciones diferenciales y se sustituyen por expresiones
algebraicas.
2. Justificación:
La transformada de Laplace es un operador lineal útil para resolver ecuaciones
diferenciales a través de otra propuesta o alternativa matemática que fue propuesta y
argumentada por el científico Pierre de Simón Laplace.
Laplace
demostró
cómo transformar las ecuaciones lineales no homogéneas
ecuaciones algebraicas para resolver a través de algoritmos algebraicos.
Gráfica N° 1 tomada de: http://ramon-gzz.blogpost.com
en
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
History
The
Laplace
mathematician
transform
and
is
named
astronomer
after
Pierre-Simon
Laplace, who used a similar transform in his work
on probability theory. Laplace's use of generating
functions was similar to what is now known as the
z-transform and he gave little attention to the
continuous variable case which was discussed
by The theory was further developed in the 19th
and
early
20th
centuries
by and The
current
widespread use of the transform (mainly in
engineering) came about during and soon after
World
War
II replacing
the
earlier
Heaviside
operational calculus. The advantages of the Laplace transform had been emphasized by
Doetsch to whom the name Laplace Transform is apparently due.
Pierre Simon Marquis de Laplace (1745-1827), mathématicien et astronome, en habit de chancelier du
Sénat sous l'Empire (tomada de: http://www.photo.rmn.fr/.)
3. Objetivos
Objetivo General:
Resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
a través la transformada
de Laplace y modelar situaciones del contexto real específicamente con circuitos.
Objetivos específicos
 Definir la transformada de la place y demostrar la transformada para
algunas funciones sencillas.
 Hallar la transformada de una función y su inversa.
 Definir los diferentes teoremas de la transformada de Laplace.
 Resolver una ecuación diferencial no homogénea con las condiciones iniciales
a través de la transformada de Laplace.
 Modelar y aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas que
involucren circuitos eléctricos
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
4. Marco teórico y empírico (definición de conceptos claves)
Definición: La Transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡) definida (en matemáticas
y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales
F(s), definida por: 𝐹(𝑠) = ℒ[𝑓(𝑡)] =
∞
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
t ≥ 0, es la función
. Siempre y cuando la integral esté definida.
1
Ejemplo: 𝒔𝒊: 𝑓(𝑡) = 𝑡, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ℒ[𝑡] = 𝑠2 , La demostración la puede hacer el estudiante:
∞
1
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 ∙ 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑠2, pero veamos gráficamente lo que ocurre:
Función
Transformada de Laplace
Grafica N° 2:Elaboración propia
2
Ejemplo: 𝒔𝒊 ∶ 𝑓(𝑡) = 𝑡2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ℒ[𝑡2 ] = 𝑠3 (Demostración que el estudiante puede realizar).
∞
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ∙ 𝑡2 ∙ 𝑑𝑡 =
0
2
𝑠3
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
Función
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
Transformada de Laplace
Grafica N° 3:Elaboración propia
3
Ejemplo: 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: ℒ[3𝑡] = 𝑠2 +9(Demostración que el estudiante puede realizar).
∞
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) ∙ 𝑑𝑡 =
0
Función
Grafica N° 4:Elaboración propia
𝑠2
3
+9
Transformada de Laplace
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
El profesor Laplace en consideración con los ingenieros y el tiempo que emplearon en
resolver los ejercicios a través de la Integral de la transformada propuso una tabla con las
funciones más relevantes con el fin de agilizar los procedimientos y obtener las
transformadas de funciones de una manera más sencilla y por su puesto algorítmico.
Transformadas Fundamentales
𝓛[𝒌] =
𝑲
𝑺
𝟏
𝑺−𝒂
𝒏!
𝓛[𝒕𝒏 ] = 𝒏+𝟏
𝑺
𝒂
𝓛[𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕)] = 𝟐
𝑺 + 𝒂𝟐
𝑺
𝓛[𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)] = 𝟐
𝑺 + 𝒂𝟐
𝒂
𝓛[𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕)] = 𝟐
𝑺 − 𝒂𝟐
𝓛[𝒆𝒂𝒕 ] =
𝓛[𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕)] =
𝑺
𝑺𝟐 − 𝒂𝟐
Tabla N° 1 Elaboración propia
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE. Definición: Dada una función: 𝐹(𝑠), si existe
una función: 𝑓(𝑡), que sea continua en 0,   y satisfaga ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠), para 𝑠 > 0 entonces
decimos que 𝑓(𝑡),es la transformada inversa de Laplace de F (S ) y utilizamos la
notación:ℒ −1 [𝑓(𝑠)] = 𝑓(𝑡)
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
TEOREMAS
1-)TEOREMA DE LA TRASLACIÓN:
Como la transformada de Laplace de
ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠), entonces la transformada de Laplace:
ℒ [𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹 (𝑠 − 𝑎)
2-)TEOREMA DERIVADA DE LA TRASFORMADA:
Como la transformada de Laplace de ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠),
ℒ [𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)] =
entonces la transformada de Laplace:
𝑑𝑛
(−1)𝑛 𝑛 𝐹 (𝑠)
𝑑𝑆
3-)TEOREMA DEL ESCALON UNITARIO:
Definición: La función escalón unitario o función de Heaveside se define como:
0, si : 0  t  a
1, si : t  a
 (t )  
Teorema: Si la transformada de Laplace existe, entonces:
L  f (t  a) (t  a)  e as L  f (t )  e as F (s)
Corolario: Si la transformada de Laplace existe, entonces: L  (t  a)  e as L 1 
e as
s
Corolario: Si la transformada de Laplace existe, entonces: L  g (t )  (t  a)  e as L g (t  a)
Los siguientes ejercicios los estudiantes los deben resolver para profundizar y
conceptualizar sobre la transformada de Laplace.
TEOREMAS
𝓛[𝒆𝒂𝒕 𝒇(𝒕)] = 𝑭(𝒔 − 𝒂)
𝒅𝒏
𝓛[𝒕 𝒇(𝒕)] = (−𝟏)
𝑭(𝒔)
𝒅𝑺𝒏
𝒏
𝒏
L  f (t  a) (t  a)  e as L  f (t )  e as F (s)
Tabla N° 2 Elaboración propia
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
TEOREMA DE LAPLACE DE LA DERIVADA: Sea y (t ) continua en un intervalo en 0,   y
y (t ) continua por partes en 0,   .ambas de orden exponencial  , entonces para: s   ,
ℒ[𝑦´(𝑡)](𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0), de forma un análoga podemos llegar a:
ℒ[𝑦´´(𝑡)](𝑠) = 𝑠2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) y de la misma manera logramos:
ℒ[𝑦´´´(𝑡)](𝑠) = 𝑠 3 𝑌(𝑠) − 𝑠2 𝑦(0) − 𝑠𝑦´(0) − 𝑦´´(0) . ¿Se puede generalizar?
Oliver Heaviside
Fue a mediados del siglo XIX cuando el ingeniero ingles Oliver Heaviside descubrió que los
operadores diferenciales pueden ser tratados como variables algebraicas, dándole así su
moderna aplicación a las transformadas de Laplace.
Oliver Heaviside fue un físico, ingeniero eléctrico y matemático inglés que nació en 1850 en
Londres y murió en el año 1925. Mientras intentaba resolver problemas de ecuaciones
diferenciales aplicadas a la teoría de vibraciones y usando los estudios de Laplace, empezó
a dar forma a las aplicaciones modernas de las transformadas de Laplace.
Definición: Sea una ecuación diferencial de la forma: ay   by   cy  f (t ) y las
condiciones iniciales: y( x0 )  y0 ; y ( x0 )  y1 , entonces a través del uso de la Transformada de
Laplace se puede encontrar la solución. Para ello se expone el siguiente algoritmo de
solución. (Esta fue la gran propuesta de nuestro gran amigo y profesor LAPLACE)
1. Aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial.
2. Aplicar el concepto de linealidad de la transformada de Laplace.
3. Aplicar las propiedades de la transformada en la ecuación.
4. Aplicar las condiciones iniciales y despejar la transformada de la solución.
5. Aplicar la transformada inversa a ambos lados y obtener la solución.
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
6. Encontrar la función solución a la ecuación diferencial.
APLICACIONES
A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
CIRCUITOS SIMPLES ( USO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE)
Los elementos en un circuito eléctrico simple actúan bajo las leyes de Kirchhoff, el cuál
dice: “LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS CAIDAS DE POTENCIAL EN UN CIRCUITO
CERRADO ES CERO”
La caída de voltaje a través del resistor es: iR
La caída de voltaje a través del Capacitor es:
La caída de voltaje a través del Inductor es:
q
C
L di dt
Por tanto de acuerdo al planteamiento del profesor: Daniel Kirchhoff , tenemos:
Grafica N°5 Tomada de http://fisicaequipo4cbtis.bolgspost.com
𝑳
𝑳 = 𝑰𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓
𝒅𝒊
𝟏
+ 𝑹𝒊 + = 𝑬(𝒕)
𝒅𝒕
𝑪
𝑹 = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒐𝒓
𝑪 = 𝑪𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒕𝒐𝒓
𝒇. 𝒆. 𝒎. = 𝑬(𝒕)
Es importante saber que el flujo de corriente eléctrica en un circuito está dada por: i  dq
dt
que significa el cambio de la unidad de carga por unidad de tiempo. Con base a lo anterior
los estudiantes estarán en capacidad de lograr la siguiente ecuación diferencial:
L
d 2q
dq 1
R
 q  E (t ) , ecuaciones que se pueden resolver con el uso de la transformada
dt 2
dt C
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
de Laplace.
Desarrollo del taller.
Los ejercicios se clasifican en tres clases: ejercicios para el aula de clase, ejercicios para trabajo
independiente y ejercicios para tutoría.
I.
Demostración de las transformadas de Laplace Fundamentales.
Para el aula de clase
𝐾
1- 𝓛[𝑘] =
𝑆
2- 𝓛[𝑒 𝑎𝑡 ] =
3- 𝓛[𝑡 𝑛 ] =
II.
1
𝑆−𝑎
𝑛!
5- 𝓛[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)] =
𝑆 2 −𝑎2
𝑆
6- 𝓛[𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)] =
7- 𝓛[𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)] =
𝑆 2 −𝑎2
Use las transformadas básicas de Laplace para encontrar
𝟓
1- 𝒇(𝒕) = 𝒕
𝒇(𝒕) =
𝒇(𝒕) =
𝒇(𝒕) =
𝒇(𝒕) =
6- 𝒇(𝒕) =
III.
4- 𝓛[𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)] =
Para tutorías
𝑎
𝑆 2 +𝑎2
𝑆
𝑆 2 +𝑎2
𝑆 𝑛+1
Para el aula de clase
2345-
Para trabajo independiente
𝑎
𝟑𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕 + 𝒆−𝟑𝒕
𝟐𝒕𝟐 (𝒕𝟐 − 𝟐)𝟐
𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕
𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕
𝟑𝒕𝟑 +𝟖𝟏
𝟐𝒕+𝟔
Para trabajo independiente
7-
−𝟑𝒕+𝟔
𝒇(𝒕) = 𝟐𝒆
14- 𝒇(𝒕) = 𝒄𝒐𝒔(𝒕 +
11- 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟐)𝟑 − (𝟒 − 𝒆𝒕 )𝟐
12-
Para tutorías
13- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟕𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕
+ 𝟐𝒆
8- 𝒇(𝒕) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒕
9- 𝒇(𝒕) = 𝟑𝒆𝟑−𝒕
10- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕
𝒕
𝒇(𝒕) = {
𝟐
𝟎≤𝒕<𝟐
𝒕≥𝟐
Para el aula de clase
Para trabajo independiente
1- 𝒇(𝒕) = 𝟐𝒆 𝒔𝒆𝒏𝟒𝒕
2- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕
3- 𝒇(𝒕) = 𝒆−𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕
6- 𝒇(𝒕) = (𝟒 + 𝒕 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕)𝒆
7- 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟑)𝟐 𝒆𝒕
8- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕
𝒆𝟑𝒕
𝟐
𝟑𝒕
𝝅
𝟔
15- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝟑𝒕
16- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒕
17- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕
𝟐
18- 𝒇(𝒕) = {−𝟑
𝟎
Use el teorema adecuado para encontrar la transformada
−𝟑𝒕
𝓛[𝑓(𝑡)]
𝟎≤𝒕<𝟏
𝟏≤𝒕<𝟐
𝒕≥𝟐
𝓛[𝑓(𝑡)]
Para tutorías
11- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟖𝟎° − 𝒕)
12- 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝒆−𝟐𝒕 )𝟒
13- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒄𝒐𝒔(𝒕 − 𝟒𝟓𝟎 )
𝝅
9- 𝒇(𝒕) = 𝒆−𝝅𝒕 𝒄𝒐𝒔√𝟑𝒕
14- 𝒇(𝒕) = 𝒆𝒕−𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝒕 − 𝟔 )
5- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 𝒆𝟐𝒕
10- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒆𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕
15- 𝒇(𝒕) = 𝟐𝒕 𝒆𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕
16- 𝒇(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝝅)𝒔𝒆𝒏(𝒕 − 𝝅)
17- 𝒇(𝒕) = 𝟒(𝒕 − 𝟐)𝟑 𝒖(𝒕 − 𝟐)
18- 𝒇(𝒕) = 𝟖𝒆𝟐−𝒕 𝒖(𝒕 − 𝟐)
20- 𝒇(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝟕)
21- 𝒇(𝒕) = 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒕 − 𝟔)𝒖(𝒕 − 𝟑)
22- 𝒇(𝒕) = 𝒆−𝟑𝒕 𝒖(𝒕 − 𝟑)
𝟐𝟒 − 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒆𝒕−𝟒 𝒖(𝒕 − 𝟒)
25- 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒖(𝒕 − 𝟐𝝅)
26- 𝒇(𝒕) = 𝟐𝒕𝟐 𝒖(𝒕 − 𝟐)
4- 𝒇(𝒕) =
𝒄𝒔𝒄𝟐𝒕
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
19- 𝒇(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝟐𝝅)𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒕 − 𝟐𝝅)
IV.
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
23- 𝒇(𝒕) = 𝒕𝒖(𝒕 − 𝟑)
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
27-𝒇(𝒕) = 𝟐𝒖(𝒕 − 𝟑) − 𝒖(𝒕 − 𝟔)
Encuentre la transformada inversa de Laplace de F(s)
Para el aula de clase
𝑺
1- F(S)=
𝑺𝟐 +𝟖𝟏
2- F(S)=
3- F(S)=
4- F(S)=
5- F(S)=
6- F(S)=
7- F(S)=
8- F(S)=
9- F(S)=
𝟔
𝑺𝟐 −𝟑
𝑺−𝟒
(𝑺−𝟒)𝟐 +𝟐𝟓
𝟏𝟑
𝑺𝟐 −𝟒𝟗
𝟗
𝑺𝟑 −𝟗𝑺
𝟏𝟓
𝑺𝟐 +𝟒𝑺+𝟏𝟑
𝟕
(𝑺+𝟐)𝟒
𝟏
𝑺𝟐 +𝟑𝑺
29- F(S)=
30- F(S)=
10- F(S)=
11- F(S)=
𝑺𝟕
𝑺
28- F(S)=
Para trabajo independiente
𝟐𝑺+𝟑
𝒆−𝟐𝑺
𝑺−𝟏
𝒆−𝟑𝑺
𝑺𝟐 +𝟗
𝒆−𝟐𝑺
𝑺𝟑
12- F(S)=
13- F(S)=
14- F(S)=
15- F(S)=
16- F(S)=
17- F(S)=
18- F(S)=
31- F(S)=
32- F(S)=
33- F(S)=
𝑺𝟐 +𝟒
𝟏𝟔
(𝑺−𝟏)𝟐 −𝟑𝟔
𝟐
𝟒
𝑺𝟐 + √𝟐
𝑺−𝟑
(𝑺−𝟔)𝟐 +𝟐𝟓
𝟒𝑺−𝟐
𝑺𝟒 −𝟏
𝟒𝑺−𝟐
(𝑺−𝟏)𝟒
𝟐𝑺
𝑺𝟑 −𝟐𝑺𝟐 −𝟓𝑺−𝟔
𝟐𝑺+𝟏
𝟐𝑺𝟐 +𝟔𝑺+𝟒
(𝑺+𝟐)𝟑
𝑺𝟒
𝒆−𝟐𝑺
𝑺𝟐 −𝟓𝑺+𝟔
𝒆−𝝅 𝑺
𝑺𝟐 +𝟔
𝑺𝒆−𝟑 𝑺
𝑺𝟐 +𝟒𝑺+𝟓
−𝟏
𝒇(𝒕) = 𝓛
[𝐹(𝑠)]
Para tutorías
19- F(S)=
20- F(S)=
21- F(S)=
22- F(S)=
23- F(S)=
24- F(S)=
25- F(S)=
26- F(S)=
𝟑𝑺
𝟑𝑺𝟐 +𝟏
𝟏
𝑺𝟐 +𝟒𝑺+𝟒
𝟐𝑺𝟐 +𝟑𝑺
𝑺𝟑 −𝟕𝑺+𝟔
𝑺
(𝑺+𝟐)𝟑
𝟐𝑺−𝟑
𝑺𝟐 −𝟒𝑺+𝟖
𝟒
𝑺𝟐 (𝑺−𝟐)
𝟑
(𝟐𝑺+𝟓)𝟑
𝟐𝟓−𝟑
𝑺𝟐 +𝑺+𝟑
27- 𝑺𝟐 𝑭(𝑺) − 𝟒𝑭(𝑺) =
𝟏−𝑺
34- F(S)=
35- F(S)=
36- F(S)=
𝒆 𝟐
𝑺−𝟐
𝒆−𝟐𝑺 −𝟑𝒆−𝟒𝑺
𝑺+𝟐
𝒆−𝟑𝑺(𝑺−𝟓)
(𝑺+𝟏)(𝑺+𝟐)
𝟑
𝑺+𝟏
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
V.
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
Resolver las siguientes ecuaciones Diferenciales con el uso de la
transformada de Laplace y sus teoremas
Para el aula de clase
𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟑
2-
𝒚′′ − 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒆𝟑𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = −𝟏
3-
𝟐𝒚′′′ + 𝟑𝒚′′ − 𝟑𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝒆−𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎, 𝒚′′ (𝟎) = 𝟏
1-
4- 𝒚𝒊𝒗
=𝒚
𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎, 𝒚′′ (𝟎) = −𝟏, 𝒚′′′ (𝟎) = 𝟎
Para trabajo independiente
567-
𝒙′′ − 𝟒𝒙′ + 𝟒𝒙 = 𝟒𝒆𝟐𝒕
𝒙(𝟎) = −𝟏, 𝒙′ (𝟎) = −𝟒
𝒚′′ + 𝟗𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎
𝒚′′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝟐𝒆−𝟒𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎, 𝒚′′ (𝟎) = 𝟑
8- 𝒚𝒊𝒗
=𝟖
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎, 𝒚′′ (𝟎) = 𝟎, 𝒚′′′ (𝟎) = −𝟏
Para tutorías
9-
𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟓𝒚 = 𝟒𝒆 𝟐𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟐, 𝒚′ (𝟎) = −𝟏
10-
𝒚′′ − 𝒚′ = 𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎
11-
𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝒕𝟐 𝒆𝟑𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟐, 𝒚′ (𝟎) = 𝟔
12-
𝟏𝟎𝟎𝒚′′ + 𝟐𝟎𝟎𝒚′ + 𝟐𝟎𝟎𝒚 = 𝟓𝟎𝟎𝒔𝒆𝒏𝒕
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚′ (𝟎) = 𝟎
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
VII. Se tienen como modelo matemático los siguientes problemas relacionados
con circuitos. Resolverlos utilizando transformada de Laplace
Grafica tomada de: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br
Para el aula de clase
1- (examen 2016) Resuelva el circuito RLC utilizando transformada de Laplace
t
El cual tiene una fuente de E (t )  3e voltios, Un Resistor de 5 Ohmios, un inductor de 1 Henry, un
capacitor de 0.25 Faradios. Si la corriente y carga inicial son cero.
Determine la carga y la corriente en el circuito en cualquier instante.
2- (examen 2017) Dibuje y resuelva: el circuito con valor inicial, aplicando la transformada de Laplace:
Determine la carga en cualquier instante, para el circuito RLC que tiene una fuente de
Voltios, un resistor de 4 ohmios, un inductor de 1 henrios, un capacitor de
corriente inicial i (0)  0 A y carga inicial q(0)  0 C
E (t )  sen t
0.25 Faradios, si la
3- (examen 2018) Resuelva el circuito RLC utilizando transformada de Laplace
El cual tiene una fuente de 𝐸(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 voltios, un resistor de 3 ohmios, un inductor de 1 henrio,
un capacitor de 1/2 de faradios. Si la carga inicial es cero y la corriente inicial 1Amperio. Determine la
carga en el circuito en cualquier instante
Para trabajo independiente
4- Recall that the differential equation for the instantaneos charge q(t) on the capacitor in an
LRC-series circuit is given by
𝑳
𝒅𝟐 𝒒
𝒅𝒕𝟐
+𝑹
𝒅𝒒
𝒅𝒕
𝟏
+ 𝒒 = 𝑬(𝒕) Use the Laplace transform to find q(t)
𝑪
when L=1 h, R= 20 ohms, C=0.005 f, E(t)=150 V, t>0, q(0)=0, and i(0)=0. What is the current i(t)?
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
5- Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por:
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
E (t )  150V
voltios, una resistencia
de 10 ohmios, un inductor de 0.5 henrios y un capacitor de 0.01 faradios. La corriente y la carga
inicialmente son cero, determine la corriente para un tiempo: t   segundos.
4
6- En un circuito LRC se tiene que el inductor es de 1 henrios, un resistor de 4 ohmios y un capacitor
de
0.2 faradios y una fuente con voltaje de 1 voltios. Si para un tiempo: t  0 , la carga es de 0
Coulombs y la corriente es igual a 0 amperios. Determine la corriente eléctrica para un instante
t 4.
7- Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por E (t )  50cos t , un resistor de 2
ohmios, inductor de 1 henrios y capacitor de 0.25 faradios, si la corriente inicial es cero y la carga inicial
es de 0 Coulombs, determine la carga al cabo de un tiempo t  
6
8- ( supletorio 2016 ) Resuelva el circuito RLC utilizando transformada de Laplace
t 3
El cual tiene una fuente de E (t )  u(t  3) e
voltios, Un Resistor de 3 Ohmios, un inductor de 1
Henry, un capacitor de 0.5 Faradios. Si la corriente y carga inicial son cero.
Determine la carga en el circuito en cualquier instante
Para tutorías
9- Find the charge q(t) on the capacitor in an LRC-series circuit when L=0.25 henry, R=10 ohms,
C=0.001 farad, E(t)=0, 𝒒(𝟎) = 𝒒𝟎 coulombs, and i(0)=0
10- Find the charge on the capacitor and current in an LC-series circuit when L=0.1 h,
C=0.1 f, E(t)=100sint V, q(0)=0 C,and i(0)=0 A.
11- Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por:
E (t )  sen(100t ) voltios, una
resistencia de 0.02 ohmios, un inductor de 0.001 henrios y un capacitor de 2 faradios. La corriente y la
carga inicialmente son cero, determine la corriente para un tiempo: t  
12- Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por:
4
segundos.
E (t )  300V voltios, una resistencia
de 8 ohmios, un inductor de 0.5 henrios y un capacitor de 0.02 faradios. La corriente y la carga
inicialmente son cero. La corriente para un tiempo: t   segundos es aproximadamente:
6
a. 1.25A
b. 0.54A
c. 3.14A
d. 0A
Departamento de Ciencias Básicas
Coordinación Curricular
ÁREA: Matemáticas
SIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales
CÓDIGO: CB01017
CÓDIGO: CB01035
Bibliografía Básica.

ZILL, Dennis, “Ecuaciones Diferenciales “.Editorial Cengage Learning. México. 2012.
Novena edición.
 SIMMONS, George. “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo editorial Iberoamérica. España.
2014.
Bibliografía de consulta.





CAMPBELL, S. L. “Introducción a las Ecaciones Diferenciales” . Editorial., AddisonWesley. Mexico 2010.
LARSON,Hostetler . “Ecuaciones Diferenciales”. . Editorial Harla . Mexico 2007.
SWOKOWSKY, COLE . “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo Editorial Iberoamerica.
Mexico. 2014.
RAINVILLE, Earl D. Ecuaciones diferenciales. Editorial, Prentice Hall.
NAGLE-SAFF,Kent-Edward. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Editorial Educativa.