FUNDAMENTOS DE SISTEMAS
1.-Reconocer el procedimiento de solución de ecuaciones diferenciales con
la transformada de Laplace y su inversa:
-Paso 1º: calcular la transformada de Laplace de toda la ecuación diferencial.
Aplicamos la transformada de Laplace a toda la ecuación diferencial. Se suele usar
la transformada de Laplace para la primera y segunda derivada que son las
siguientes:
En general, la transformada de Laplace de la derivada de orden n de una función
f(t) es:
Tal y como podemos observar en las expresiones (1), (2) y (3), de la transformada
de Laplace de la derivada de una función, vamos a necesitar las condiciones
iniciales de nuestra función f(t); necesitaremos tantas como sea el grado de nuestra
ecuación diferencial. Por ejemplo, para una ecuación diferencial de segundo orden
necesitaremos dos condiciones iniciales que serán: el valor de la función y su
derivada en el instante inicial ó t=0.
Si tuviésemos una ecuación diferencial de tercer orden necesitaríamos tres
condiciones iniciales: el valor de la función (4), su primera derivada (5) y la segunda
derivada, las tres evaluadas en t=0
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-Paso 2: resolver la ecuación algebraica en el espacio de Laplace.
Después de hacer el paso 1 nos encontramos con una ecuación algebraica donde
la incógnita es F(s), siendo
; ahora lo que tenemos que hacer
es despejar F(s). Este segundo paso es hacer simples operaciones algebraicas.
-Paso 3: aplicar la transformada inversa de Laplace a F(s).
Tomamos la solución F(s) de la ecuación algebraica del paso anterior y le aplicamos
la transformada inversa de Laplace obteniendo así la solución f(t) de nuestra
ecuación diferencial. En este último paso es donde es muy posible que haya que
utilizar la descomposición de fracciones algebraicas en fracciones simples
irreductibles; el motivo es que la solución de la ecuación algebraica del paso
anterior, F(s), suele ser una fracción algebraica en el espacio s de Laplace; para
poder encontrar su transformada inversa suele ser necesario descomponer esa
fracción en otras simples; de esta manera la transformada inversa de Laplace de la
fracción primera será la suma (o resta) de las fracciones parciales simples
obtenidas, siendo estas últimas transformadas inversas mucho más fáciles de
calcular.
Anteriormente hemos seguido un tipo de notación, sin embargo, el uso de ésta en
la resolución de las ecuaciones diferenciales suele ser distinta; por ese motivo se
explicará a continuación otra notación alternativa, que es precisamente la más
común cuando se trata de resolver ecuaciones diferenciales por la transformada de
Laplace.
Supongamos la siguiente ecuación diferencial que vamos a resolver por la
transformada de Laplace:
podemos observar dicha ecuación diferencial de segundo orden con sus dos
condiciones iniciales que son parte de los datos del problema. En esta ecuación
diferencial tenemos que calcular y(t); es precisamente esta y(t) a lo que en la
notación anterior hemos llamado f(t). Extendiendo esta notación obtenemos que :
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En la ecuación algebraica en el espacio de Laplace que obtenemos en el paso 2
descrito anteriormente, tendremos una ecuación algebraica donde la incógnita es
Y(s) en vez de F(s).
En resumidas cuentas, esta notación más usada para estos menesteres lo que hace
es cambiar la f por “y” y F(s) por Y(s).
2.-Identificar los tipos de sistemas por su aplicación:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones
que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes
casos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.

Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede
distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de
soluciones.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se
caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único
punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos
que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de
dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles
determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de
cero:
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Sistemas compatibles indeterminados.
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un
número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya
pendiente es -0,5 y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersectan en
todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o
intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos
puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o
más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales
compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede
hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente
dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado
es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de
sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto
de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio
vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la
multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
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Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma
pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún
valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz
del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para
que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:
3.-Describir las propiedades de los sistemas lineales:
Los sistemas lineales constituyen una clase restringida de sistemas. Los equipos de
comunicaciones
están
compuestos
principalmente
por
sistemas
lineales
interconectados.
Es igualmente importante conocer lo que es un sistema lineal como saberlo
distinguir de aquellos que no lo son. Supongamos, por ejemplo, un sistema lineal
cuya respuesta ante una entrada, x(t), es la salida y(t) de la siguiente forma:
A primera vista podríamos decir que este sistema es lineal, pues la relación entre la
entrada y la salida viene dada por una línea recta, sin embrago, es un sistema no
lineal, a no ser que la constante c sea cero. Una definición de sistema lineal sería:
“Un sistema es lineal si su respuesta ante la suma de dos entradas cualesquiera es
la suma de su respuesta a cada una de las entradas por separado”
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Esta propiedad se suele denominar principio de superposición pues las respuestas
a las componentes de la entrada están superpuestas a la salida. Esto es, si xi(t),
con n=1, 2..., son las entradas “e” “yi(t)” las correspondientes salidas, entonces la
salida del sistema sería y(t) = i yi(t) cuando la entrada es x(t) = i xi(t).
A partir de la característica anterior se puede deducir la propiedad de
proporcionalidad de los sistemas lineales: Si la salida del sistema ante una entrada
x1(t) es y1(t), la salida ante una entrada x(t)=m x1(t) sería y(t)=my1(t), donde m es
una constante.
Con todo lo visto, el sistema considerado anteriormente solamente sería lineal si
m=0. Los sistemas que usamos a menudo son lineales en el rango de trabajo. Los
que se desvían un poco del comportamiento lineal los podríamos poner en forma de
polinomio y(t)=ax(t)+bx2 (t)+cx3 (t)+..., que para señales pequeñas se comportarían
como lineales, y(t)≈ax(t). Una propiedad muy importante de los sistemas lineales es
que responden a una entrada sinusoidal con una salida sinusoidal de la misma
frecuencia.
Otra propiedad interesante que suelen poseer los sistemas, lineales o no, es la
invarianza temporal. Esto significa que la salida del sistema sólo depende de la
entrada y no del instante en el que ésta es aplicada, es decir, si y1(t) es la salida del
sistema ante la entrada x1(t), entonces la salida ante una entrada x(t)=x1(t-T) sería
y(t)=y1(t-T).
REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS CON FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
1.-Describir el concepto de función de transferencia:
Para un sistema lineal de parámetros constantes, la Función de Transferencia se
define como el cociente entre la Transformada Laplace de la señal de salida Y(s) y
la Transformada de Laplace de la señal de entrada U(s), suponiendo todas las
condiciones iniciales nulas.
O sea, si el sistema viene dado por la ecuación diferencial:
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en donde u(t) es la entrada e y(t) es la salida.
La Función de Transferencia del sistema, G(s), será:
2.-Explicar los modelos dinámicos de sistemas en su representación con
función de transferencia:
Para obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una
sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados. Considérese el
sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante.
Este sistema se representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones
siguientes:
donde x es el vector de estado, u es la entrada e y es la salida. Las transformadas
de Laplace de las Ecuaciones (2-23) y (2-24) se obtienen mediante
Como la función de transferencia se definió antes como el cociente entre la
transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada,
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cuando las condiciones iniciales son cero, se supone que x (0) en la Ecuación (225) es cero. Por tanto, se tiene que:
o bien
Premultiplicando por (sI - A)-1 en ambos miembros de esta última ecuación, se
obtiene:
Sustituyendo la Ecuación (2-27) en la Ecuación (2-26), se llega a:
Después de comparar la Ecuación (2-28) con la Ecuación (2-22) se observa que:
Esta es la expresión de la función de transferencia en términos de A, B, C y D.
Obsérvese que el segundo miembro de la Ecuación (2-29) contiene (sI - A)-1. Por
tanto, G(s) se escribe como:
donde Q(s) es un polinomio en s. Por tanto, |sI - A| es igual al polinomio
característico de G(s). En otras palabras, los valores propios de A son idénticos a
los polos de G(s)
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3.-Describir el procedimiento de cálculo de raíces de polinomios:
Las raíces de un polinomio (también llamadas ceros de un polinomio) son los
valores para los cuales, el valor numérico del polinomio es igual a cero.
Recordamos que para calcular el valor numérico de un polinomio hay que sustituir
la variable del polinomio por un número. Cuando este valor sea cero, el número
corresponderá con la raíz del polinomio
Cuando buscamos las raíces de un polinomio, buscamos que P(x)=0, por tanto, si
directamente igualamos el polinomio a 0, nos quedará una ecuación, cuyas
soluciones serán las raíces del polinomio.
Por ejemplo, vamos a calcular las raíces del siguiente polinomio. Para ello, lo
igualamos a cero y procedemos a resolverlo:
Al ser una ecuación de segundo grado, tenemos dos soluciones: x=2 y x=-4, que a
su vez son las raíces del polinomio, como podemos comprobar sustituyendo esos
números en el polinomio:
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Por tanto, para hallar directamente las raíces de un polinomio, únicamente tenemos
que igualar éste a cero y resolver la ecuación.
Y ya no hay más raíces. El número de raíces coincide con el número de soluciones
de la ecuación y como consecuencia, coincide con el grado del polinomio o de la
ecuación:
Nº de raíces = Nº de soluciones = Grado de la ecuación
Para resolver las ecuaciones de grado igual o mayor a 3, tienes que utilizar la regla
de ruffini.
4.-Describir el procedimiento de cálculo de diagrama de polos y ceros:
Al expresar una función de transferencia de la forma:
en donde N(ω) y D(ω) hacen referencia a una función de transferencia simplificada,
se le denomina ceros a las raíces del numerador N(ω), y polos a las raíces del
denominador D(ω).
Sean los ceros de la función de transferencia representados como:
Y los polos de la función de transferencia representados como:
Debido a que las soluciones de un polinomio pueden ser reales o complejas, la
variable s, en términos generales, se describe como:
lo cual se puede representar en el plano complejo que se muestra en la siguiente
figura
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Para la representación de los ceros se dibujan pequeños círculos sobre el plano
complejo, mientras que para la representación de los polos se utiliza una X sobre el
plano.
5.-Explicar la analogía entre sistemas eléctricos con sistemas:
MECÁNICOS.
Una analogía electromecánica consiste en la representación de un sistema
mecánico mediante un circuito eléctrico. Inicialmente, este tipo de analogías se
usaron al revés, para tratar de explicar los fenómenos eléctricos en términos
mecánicos más familiares.
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Las analogías electromecánicas se utilizan para modelizar el funcionamiento de un
sistema mecánico mediante un sistema eléctrico equivalente, estableciendo
analogías entre parámetros mecánicos y eléctricos. Un sistema mecánico en sí
mismo puede estar representado, pero las analogías son de gran utilidad en los
sistemas electromecánicos, donde existe una conexión entre las partes mecánicas
y las eléctricas. Las analogías son especialmente útiles en el análisis de filtros
mecánicos, construidos con partes mecánicas pero diseñados para funcionar en un
circuito eléctrico a través de transductores. La teoría de circuitos está bien
desarrollada en el dominio eléctrico en general y, en particular, existe una gran
cantidad de teorías de filtro disponibles. Los sistemas mecánicos pueden hacer uso
de esta teoría eléctrica en diseños mecánicos a través de una analogía mecánicoeléctrica
TÉRMICOS.
Existe una analogía formal entre las leyes que rigen la conducción eléctrica y las
que lo hacen en la conducción térmica para cuerpos homogéneos e isótropos. A la
tensión eléctrica le corresponde la diferencia de temperaturas; a la corriente
eléctrica, el flujo de calor; a la resistencia eléctrica, la resistencia térmica. Estas
magnitudes están relacionadas entre sí por la ley de Ohm (caso de la electricidad)
y por la de Fourier (conducción térmica) que son formalmente idénticas. Además,
las relaciones que calculan las resistencias equivalentes en las asociaciones de
conductores son isomorfas. En la siguiente tabla se ha resumido la analogía formal
y estructural de las ecuaciones que rigen estos dos fenómenos.
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DE FLUIDOS.
La analogía eléctrico hidráulica (conocida despectivamente como la teoría de los
desagües por el físico británico Oliver Joseph Lodge (1851-1940))1 es un
procedimiento utilizado para simular mediante dispositivos hidráulicos el
comportamiento de la corriente en un circuito eléctrico. Como la corriente eléctrica
no es visible y los procesos en juego en la electrónica a menudo son difíciles de
demostrar, los distintos componentes electrónicos se pueden simular mediante
dispositivos hidráulicos equivalentes. La electricidad (así como el flujo del calor) se
entendió originalmente como un tipo de fluido, y los nombres de ciertas cantidades
eléctricas (como la corriente) se derivan de equivalentes hidráulicos. Al igual que
con todas las analogías, exige una comprensión tan formada como intuitiva de los
paradigmas básicos de la electrónica y de la hidráulica.
6.-Describir la representación de los modelos dinámicos con diagrama de
bloques:
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las
funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tales diagramas
muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de
una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene
la ventaja de indicar de forma más realista el flujo de las señales del sistema real.
En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unas con
otras mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es
un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada
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hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los
componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se
conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Obsérvese
que la señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas. Por tanto, un diagrama
de bloques de un sistema de control muestra explícitamente una propiedad
unilateral. La Figura 2-1 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de
flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del
bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como señales
7.-Explicar el procedimiento de simplificación del diagrama de bloques de
sistemas:
La modificación de los diagramas de bloques de sistemas, para efectuar
simplificaciones u ordenamientos especiales se denomina álgebra de los diagramas
de bloques. Puesto que los diagramas de bloques representan transformadas de
Laplace de ecuaciones del sistema, la manipulación de un diagrama equivale a la
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manipulación algebraica de las ecuaciones originales, pero el manejo de diagramas
es, por lo general, mucho más fácil para nosotros, que tratar directamente con las
ecuaciones (posiblemente, esto no ocurra así para las computadoras).
En un diagrama de bloques de entrada simple y salida simple, reducción significa
simplificar el diagrama compuesto hasta un punto tal que quede un simple bloque,
que represente la función de transferencia que relaciona la salida con la entrada.
En la reducción de un diagrama de bloques es conveniente proceder paso a paso,
manteniendo siempre la misma relación general entre la entrada y la salida.
Algunas simplificaciones útiles son las que se citan a continuación:
-Dos bloques en cascada, sin conexiones adicionales entre ellos, equivalen, en lo
que concierne a las señales entrantes y salientes, a un simple bloque de "producto
de transmitancias".
-Dos bloques en tándem, equivalen a un simple bloque de "suma de transmitancias".
Este resultado se modifica si existen otros signos, además de los positivos, sobre el
sumador.
-Para dos bloques de una configuración de retroalimentación, se consideran dos
posibles signos algebraicos sobre el sumador. G(s) se denomina transmitancia
directa y H(s) es la transmitancia realimentadora en este arreglo.
En un sistema de entrada y salida múltiples, la reducción del diagrama de bloques
implica encontrar cada una de las funciones de transferencia del sistema. Esto se
lleva a cabo al considerar una salida cada vez y reducir la relación entre cada una
de las señales de entrada con la de salida que se esté considerando. Todas las
entradas, excepto una, se igualan a cero para determinar la función de transferencia
que relaciona una salida con esa entrada.
RESPUESTA DE SISTEMAS DINÁMICOS DE 2DO ORDEN
1.-Describir las características de señales de entrada:
IMPULSO.
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Considérese la salida (respuesta) de un sistema para una entrada impulso unitario
cuando las condiciones iniciales son cero. Como la transformada de Laplace de la
función impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del
sistema es
La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la Ecuación (22) proporciona la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de
Laplace de G(s), o bien
se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta g(t) también se denomina función
de ponderación del sistema.
De este modo, la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una
entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. La transformada
de Laplace de esta función proporciona la función de transferencia. Por tanto, la
función de transferencia y la respuesta-impulso de un sistema lineal e invariante en
el tiempo contienen la misma información sobre la dinámica del sistema. Por lo
tanto, es posible obtener información completa sobre las características dinámicas
del sistema si se excita el sistema con una entrada impulso y se mide la respuesta.
(En la práctica, una entrada pulso con una duración muy corta comparada con las
constantes de tiempo significativas del sistema se considera un impulso.)
ESCALÓN.
Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema
frente a cambios abruptos en su entrada. Así mismo, nos da una idea del tiempo de
establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su
estado estacionario. Otra de las características de esta señal es que producto de la
discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo
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cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de señales
senoidales con un intervalo de frecuencias grande. Matemáticamente, esta señal se
expresa como:
En la figura que se muestra a continuación, el escalón comienza en el tiempo t=1
(no en t=0), A=3 y
RAMPA.
Esta señal permite conocer cuál es la respuesta del sistema a señales de entrada
que cambian linealmente con el tiempo. Matemáticamente se representa como:
Donde t es tiempo y A constante
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2.-Describir la respuesta de la función de transferencia de sistemas dinámicos
de 2do orden:
NO AMORTIGUADA.
SUBAMORTIGUADA.
La respuesta de un escalón unitário a un sistema de segundo orden subamortiguado
puede verse a continuación:
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Tiempo Máximo Pico
El tiempo de pico tp se obtiene derivando la ecuación temporal y evaluando la
respuesta en t=tp
De esa forma podemos encontrar el tiempo de máximo pico:
Tiempo de Establecimiento
El tiempo de establecimiento se obtiene a través de la constante de tiempo propia
de un sistema subamortiguado dado por:
Como puede ser observado en la respuesta, el tiempo de establecimiento viene
dado por medio de una tolerancia permitida. Dicha tolerancia permitida puede ser
del 2% o del 5%, Cuando el sistema oscila dentro de esa tolerancia podemos decir
que el sistema de segundo orden se encuentra dentro del régimen permanente.
Máximo Sobreimpulso
Es usado para medir cuanto la señal sobrepasa la referencia con relación a su
estado estacionario.
El máximo sobrepaso o sobreimpulso (overshoot) puede medirse de dos formas:
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o de la siguiente forma, donde Xss es el valor en estado estacionario.
CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA.
El tiempo de establecimiento ts podemos encontrarlo, suponiendo que aplicamos el
criterio del 2% donde el sistema se considera que llegó al estado estacionario.
Partiendo de la ecuación temporal del sistema de segundo orden críticamente
amortiguado, encontramos el valor de ts.
SOBREAMORTIGUADA.
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Para encontrar el tiempo de establecimiento, aplicamos nuevamente el criterio del
2% a la ecuación temporal:
Suponiendo un polo dominante
Si a>>1 implica que
Entonces
Constante de tiempo (método 2)
Otra forma de encontrar la constante de tiempo de un sistema sobreamortiguado es
a través de la siguiente expresión:
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3.-Relacionar la respuesta de la función de transferencia con el diagrama de
polos y ceros:
Si analizamos, veremos que las funciones de transferencia se componen de un
numerador que es un polinomio y un denominador, que también es un polinomio. Y
como todo polinomio tiene raíces, aquí aparece otro concepto que debemos tener
claro.
Cuando igualamos el polinomio del numerador a cero, vamos a obtener unas raíces
que llamaremos como los “Ceros del Sistema” y haremos lo mismo con el polinomio
del denominador, el cual igualaremos a cero y sus raíces se llamaran “Polos del
Sistema”
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BIBLIOGRAFÍA:
https://fisicaymates.com/ecuaciones-diferenciales-por-la-transformada-de-laplace/
http://matematicas-p4melit4.blogspot.com/2010/04/tipos-de-sistemas-deecuaciones.html
http://cc.etsii.ull.es/ftp/antiguo/COMUNI1/Apuntes/TICcap3.pdf
https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/512/46642/1/Documento5.
pdf
https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/algebra/raices-de-un-polinomio
/#Como_calcular_las_raices_de_un_polinomio
https://tecdigital.tec.ac.cr/repo/rea/electronica/el2114/un_5/51_funcin_de_transferencia_polos_y_ceros.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Analog%C3%ADa_electromec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Analog%C3%ADa_hidr%C3%A1ulica
https://www.raco.cat/index.php/Ensenanza/article/download/51309/93056/
https://controlautomaticoeducacion.com/analisis-de-sistemas/funcion-detransferencia/
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