VI Международная конференция "СТАТИСТИКА и ее применения" ,2022 г.,Наманган 1
АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ПОПАДАНИЯ В НУЛЬ
МНОГОТИПНОГО ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С
ИММИГРАЦИЕЙ
А.Машраббоев1 , С.Тулаков 2 , З.Нормирзаева3
1
НамГУ, 2,3 НамГУ магистранты
Постановка задачи.
Процесс размножения является процессом Гальтона-Ватсона с производящей
функцией
X
X
Fi (S) =
Fki S k ,
Fki = 1,
i = 1, 2
k≥0
k≥0
(Fki -вероятность
непосредственного превращения одной частицы в k частиц), а процесс иммиграции задается производящей функцией плотностей
X
X
gi (S) =
gki S k ,
gki = 0
k≥0
k≥0
(вероятность иммиграции k частиц за время t → 0 равна gi t + o(t) при k > 0 и
1 + g0 t + o(t) при k = 0)
Вероятность вырождения обычного ветвящегося процесса при условии, что при
t = 0 было лишь одна частица, есть наименьшей неотрицательный корень Fi (S) = Si .
Обозначим этот корень через q. Введем следующие обозначения αi = gi (q), βi =
0
F i (q), a Z i (t) число частиц в ветвящемся процесса с иммиграцией в может t, i того
типа.
Определение.
Период жизни ветвящегося процесса начинающегося с и частиц и с иммиграцией имеет длину τ , если число частиц Zi (0) = n, Zi (t) > 0 для всех t; 0 < t <
τ, Zi (τ ) = 0. (Траектории процесса Zi (t) предполагаются непрерывными справа)
Основная задачи этой заметки найти асимптотику вероятности
Qin = Pi {τ < ∞/Zi (0) = n}, n → ∞.
Пусть Hi (t, S)- производящая функция число частиц i -того типа в момент t при
условии, что при t = 0 частиц не было.
Если же процесс иммиграции с непрерывным временил, и процесс размножения к дискретным временем, то [1] из определяя следует, что H(t, S) =
Rt
exp{ g(F[t−u] (S))dt} где [t] -целая часть t.
0
Теорема: Пусть процесс иммиграции с непрерывным, а процесс размножения с
дискретным временем и
F 0 i (1) > 1, Fi (0) = F0i > 0, gi (0) = g0i < 0
Тогда при Hi (t, S)
1
Qin = R1 qin n−γi (Wi (ln n) + O( ))
n
где
αi
γi =
,
ln βi
Z+∞
[t]
Wi (ln n) =
eαi t−nβi nγ21 dt
−∞
2
А.Машраббоев, С.Тулаков, З.Нормирзаева
Непрерывная, периодическая с периодом ln β функция, r = 1, R1 > 0 некоторые
константы.
При r = 1 доказательство теоремы существенно упрощается.
Литература
1. Бадалбаев И.С, Машраббоев А. Асимптотика вероятности попадания в нуль
ветвящегося процесса с иммиграцией. Докл. АН УзССР N1, 1984 с 5-8
2. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М: Мир, 1966, 356стр.