‫יסודות המימון ב'‬
‫תוחלת = רווחיות – ככל שהתוחלת גבוהה יותר‪ ,‬זה אומר שהרווחיות גבוהה יותר‪.‬‬
‫שונות (סטיית תקן) = רמת סיכון – ככל שהשונות גבוהה יותר‪ ,‬זה אומר שרמת הסיכון גבוהה יותר‪.‬‬
‫‪ 3‬סוגי משקיעים‪:‬‬
‫‪ .1‬דוחה סיכון ‪ -‬תועלת שולית פוחתת ‪‬‬
‫‪ .2‬משקיע אוהב סיכון – בעלי תועלת שולית עולה ‪ ‬ככל שהם מרוויחים יותר‪ ,‬הם יותר שמחים‪.‬‬
‫‪ .3‬משקיע אדיש לסיכון – תועלת שולית קבועה ‪ ‬שמחים באותה מידה‪.‬‬
‫קריטריונים לקבלת החלטות בתנאי אי וודאות‪:‬‬
‫‪ .1‬קריטריון התוחלת‪:‬‬
‫תוחלת היא ממוצע משוקלל‪ ,‬ולפי קריטריון התוחלת אנו נבחר בהשקעה עם התוחלת המקסימלית‪.‬‬
‫• בקריטריון התוחלת מדובר אך ורק לגבי משקיע אדיש לסיכון‪.‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:1‬‬
‫חברת טלפונים מתלבטת בין שני פרויקטים חדשים המוציאים זה את זה‪:‬‬
‫פרויקט‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫הסתברות‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪3,700‬‬
‫‪5,000‬‬
‫‪2,400‬‬
‫סעיף א – מהו הפרויקט שתעדיף חברת הטלפונים על בסיס קריטריון התוחלת?‬
‫חישוב תוחלת‪:‬‬
‫‪E(X) = 1*3,700 = 3,700‬‬
‫‪E(Y) = 0.5*5,000 + 0.5*2,4000 = 3,700‬‬
‫יש אדישות בין הפרויקטים ברמת הרווחיות‬
‫סעיף ב – האם ניתן לומר שחברת הטלפונים לוקחת בחשבון את גורם הסיכון?‬
‫הקריטריון לא לוקח בחשבון את גורמי הסיכון‬
‫שאלה לדוגמא ‪:2‬‬
‫קיבעו איזה מן הפרויקטים הבאים מסוכן יותר‪:‬‬
‫פרויקט‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫הסתברות‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.2‬‬
‫פרויקט א לא כדאי‪.‬‬
‫פרויקט ב' ניתן לבדוק את רמת הסיכון‪.‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪-1,000‬‬
‫‪2,600‬‬
‫‪10,000‬‬
‫‪ .2‬קריטריון תוחלת ‪ -‬שונות‪:‬‬
‫בקריטריון זה יש לבדוק גם את התוחלת (רווחיות) וגם את השונות (סיכון)‬
‫• משקיע דוחה סיכון‬
‫• אין אפשרות להחליט ע"פ קריטריון תוחלת שונות כאשר גם התוחלת וגם השונות יותר גדולות‪.‬‬
‫חייב למדוד גם תוחלת וגם רווחיות‬
‫השקעה ‪ A‬עדיפה על השקעה ‪ ,B‬רק אם‪:‬‬
‫יותר רווחיות ופחות (או שווה)‬
‫סיכון‬
‫) 𝐵𝑅( ‪ 𝜎 2 (𝑅𝐴 ) ≤ 𝜎 2‬וגם )‪E(RA) > E(RB‬‬
‫או‬
‫) 𝐵𝑅( ‪ 𝜎 2 (𝑅𝐴 ) < 𝜎 2‬וגם )‪E(RA) ≥ E(RB‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:3‬‬
‫‪ 2‬פרויקטים‪:‬‬
‫פרויקט ‪A‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2,200‬‬
‫‪3,600‬‬
‫‪4,100‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.1‬‬
‫פרויקט ‪B‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪14,300‬‬
‫‪19,250‬‬
‫‪21,700‬‬
‫סעיף א‪ :‬איזה פרויקט ייבחר ע"פ קריטריון התוחלת?‬
‫‪E(A) = 0.1*0 + 0.2*2,200 + 0.6*3,600 + 0.1*4,100 = 3,010‬‬
‫‪E(B) = 0.5*14,300 + 0.4*19,250 + 0.1*21,700 = 17,020‬‬
‫ע"פ קריטריון התוחלת‪ ,‬פרויקט ‪ B‬יותר רווחי (עבור משקיע אדיש לסיכון)‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫‪) =0.1*(0-3010)2+0.2*(2,200-3010)2+0.6*(3,600-3010)2+0.1*(4,100-3010)2=1,364,900‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐴𝑅( 𝜎‬
‫‪𝜎 2 (𝑅𝐵 ) =0.5*(14,300-17,020)2+0.4*(19,250-17,020)2+0.1*(21,700-17,020)2=7,878,600‬‬
‫סעיף ג – מהו הפרויקט שייבחר ע"י כל סוגי המשקיעים?‬
‫כל המשקיעים מעוניינים ביותר רווחיות ולכן במקרה זה פרויקט ‪ B‬עדיף יותר‪.‬‬
‫•‬
‫הערך הכי נמוך בפרויקט ‪ B‬גבוה מהערך הכי גבוה בפרויקט ‪ A‬ולכן עבור כל סוגי המשקיעים ‪ B‬יותר‬
‫עדיף‪.‬‬
‫נוסחה לתוחלת תועלת‪:‬‬
‫‪ .3‬קריטריון תוחלת – תועלת‪:‬‬
‫נבחר בהשקעה בעלת תוחלת התועלת המקסימלית‪.‬‬
‫(במקום לחשב תוחל רגילה – נחשב תוחלת תועלת‪ ,‬יחידות הנאה)‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא ‪:4‬‬
‫להלן ‪ 2‬פרויקטים המוציאם זה את זה‪:‬‬
‫הסתברות‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.2‬‬
‫פרויקט‬
‫‪X‬‬
‫‪Y‬‬
‫𝑖𝑈 ∗ 𝑖𝑃 ∑ = )𝑈(𝐸‬
‫תועלת שולית יורדת ‪ -‬דוחה סיכון‬
‫תועלת שולית עולה ‪ -‬אוהב סיכון‬
‫תועלת שולית קבועה ‪ -‬אדיש לסיכון‬
‫‪NPV‬‬
‫‪4,000‬‬
‫‪5,000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪E(X) = 1*4,000 = 4,000‬‬
‫‪E(Y) = 0.8*5,000 + 0.2*0 = 4,000‬‬
‫משקיע אדיש לסיכון – יהיה אדיש בין ‪ 2‬הפרויקטים‪.‬‬
‫סעיף ב – קיבעו באיזה מהפרויקטים שלעיל יבחר כל אחד מהמשקיעים שלהלן‪:‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪4000‬‬
‫‪5000‬‬
‫‪6000‬‬
‫‪+90‬‬
‫‪+60‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪90‬‬
‫‪150‬‬
‫‪200‬‬
‫‪240‬‬
‫‪270‬‬
‫‪290‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪110‬‬
‫‪250‬‬
‫‪420‬‬
‫‪640‬‬
‫‪920‬‬
‫‪1240‬‬
‫‪C‬‬
‫‪0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪200‬‬
‫‪300‬‬
‫‪400‬‬
‫‪500‬‬
‫‪600‬‬
‫משקיע ‪:A‬‬
‫‪E(U)x = 1*240 = 240‬‬
‫‪E(U)y = 0.8*270+ 0.2*0 = 216‬‬
‫משקיע ‪ A‬יעדיף את ‪.X‬‬
‫משקיע ‪:B‬‬
‫‪E(U)x = 1*640 = 640‬‬
‫‪E(U)y = 0.8*920+ 0.2*0 = 736‬‬
‫משקיע ‪ - A‬תועלת שולית יורדת (דוחה סיכון)‬
‫משקיע ‪ - B‬תועלת שולית עולה (אוהב סיכון)‬
‫משקיע ‪- C‬תועלת שולית קבועה (אדיש לסיכון)‬
‫משקיע ‪ B‬יעדיף את פרויקט ‪.Y‬‬
‫משקיע ‪:C‬‬
‫‪E(U)x = 1*400 = 400‬‬
‫‪E(U)y = 0.8*500+ 0.2*0 = 400‬‬
‫משקיע ‪ C‬יהיה אדיש בין פרויקט ‪ X‬ל ‪.Y -‬‬
‫סעיף ג – איזה סוג של משקיע מייצג כל אחד מהמשקיעים שלעיל‪ ,‬הציגו גרפית‪:‬‬
‫שיפוע הולך וקטן‬
‫שיפוע הולך וגדל‬
‫שיפוע קבוע‬
‫שווה ערך וודאי‪(:‬תת נושא של קריטריון תוחלת התועלת)‪.‬‬
‫סכום הכסף שהמשקיע מוכן לקבל בוודאות כנגד סכום הכסף שהוא בחוסר וודאות‪.‬‬
‫• למשל קיים פרויקט ‪ A‬שבו יש סיכוי של ‪ 0.8‬לקבל ‪ 5,000‬וסיכוי של ‪ 0.2‬לקבל ‪( 0‬תוחלת הפרויקט היא ‪)4,000‬‬
‫ולחילופין במקום פרויקט ‪ A‬נותנים לנו כסף בוודאות‪:‬‬
‫משקיעים דוחי סיכון – יסכימו לקבל בוודאות סכום שהוא אפילו נמוך ב‪ 4,000-‬על מנת לוותר על הסיכון‬
‫שמגלם פרויקט ‪.A‬‬
‫משקיעים אוהבי סיכון – יבקשו סכום שהוא אפילו יותר גבוה מ‪ – 4,000-‬מפני שבפרויקט ‪ A‬יש להם את‬
‫הסיכוי גם להרוויח ‪ 5,000‬וכאשר הם מוותרים עליו אז הם רוצים "פיצוי" גדול יותר‪.‬‬
‫אדישים לסיכון – ייקחו ‪ 4,000‬מפני שהסיכון לא מעניין אותם – הם "מסתפקים" בתוחלת‪.‬‬
‫כאשר בפונקציית התועלת החזקה‪:‬‬
‫גדולה מ – ‪  1‬אוהב סיכון‬
‫קטנה מ – ‪  1‬דוחה סיכון‬
‫שווה ל – ‪  1‬אדיש לסיכון‬
‫שאלה לדוגמה ‪:5‬‬
‫משקיע שפונקציית התועלת שלו היא‪E(U) = X0.6 :‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6‬‬
‫•‬
‫פרויקט ‪A‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪16,000‬‬
‫‪6,000‬‬
‫פרויקט ‪B‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪12,000‬‬
‫‪7,000‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫סעיף א – מהי ההשקעה שתיבחר ע"י המשקיע?‬
‫על מנת למצוא את התועלת – יש להציב את ‪ NPV‬בפונקציית תועלת‪.‬‬
‫‪E(U)A = 0.4*16,0000.6 +0.6*6,0000.6 = 244.14‬‬
‫‪E(U)B = 0.6*12,0000.6 +0.4*7,0000.6 = 249.25‬‬
‫המשקיע יעדיף את ‪249<244  B‬‬
‫סעיף ב – מהו שווה הערך הוודאי של המשקיע מכל אחד מהפרויקטים?‬
‫•‬
‫השוואה בין תוחלת – תועלת לפונקציית התועלת‪.‬‬
‫‪E(U)A =244.14 → 244.14 = X0.6 → X*=9,536‬‬
‫‪E(U)B = 249.25 → 249.25 = X0.6 → X*=9,872‬‬
‫הסכום שהשקיע מוכן לקבל בוודאות במקום פרויקט ‪.B‬‬
‫סעיף ג – מהי פרמיית הסיכון של המשקיע מכל אחד מהפרויקטים?‬
‫•‬
‫פרמיית סיכון ‪ -‬ההפרש בין שווה ערך וודאי לתוחלת‬
‫‪E(A) = 0.4*16,000 + 0.6*6,000 = 10,000‬‬
‫‪P = 10,000 – 9,536 = 464‬‬
‫בפרויקט ‪ A‬המשקיע מוכן לוותר על ‪464‬‬
‫‪E(B) = 0.6*12,000 + 0.4*7,000 = 10,000‬‬
‫‪P = 10,000 – 9,872 = 128‬‬
‫בפרויקט ‪ B‬המשקיע מוכן לוותר על ‪128‬‬
‫בפרויקט ‪ A‬המשקיע מוכן לוותר על יותר מפרויקט ‪ B‬בגלל שזה פרויקט יותר מסוכן‪.‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪: 6‬‬
‫מנשה ואפרים שוקלים את כדאיות הקמת מפעל‪.‬‬
‫פונקציית התועלת של מנשה ‪E(U) = X0.8 ‬‬
‫פונקציית התועלת של אפרים ‪E(U) = X1.8 ‬‬
‫לשם הקמת המפעל נדרשת השקעה בגובה ‪ 10‬מיליון ‪ ,₪‬להלן התפלגות תזרים המזומנים השנתי מהמפעל‪:‬‬
‫תזרים מזומנים שנתי‬
‫‪Pi‬‬
‫‪1,000,000‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪2,500,000‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪5,000,000‬‬
‫‪0.3‬‬
‫בהינתן ששער ריבית נטול סיכון בשער ‪ 25%‬לשנה והפרויקט הוא ל‪ 20-‬שנה‪.‬‬
‫‪ 10 – I0‬מיליון‬
‫‪25% – RF‬‬
‫‪20 – N‬‬
‫סעיף א ‪ -‬האם משקיע אדיש לסיכון יקבל את הפרויקט?‬
‫‪E(CF) = 0.4*1,000,000 + 0.3*2,500,000 + 0.3*5,000,000 = 2,650,000‬‬
‫‪NPV = -10,000,000 + 2,650,000 * PVFA(20,25%) = 478,100‬‬
‫‪  478,100 > 0‬אדיש לסיכון יקבל את הפרויקט‬
‫סעיף ב – האם מנשה יקבל את הפרויקט?‬
‫‪E(U)CF = 0.4*1,000,0000.8 + 0.3*2,500,0000.8 + 0.3*5,000,0000.8 = 133,231‬‬
‫‪133,231 = X0.8‬‬
‫‪X* = 2,545,426 < 2,650,000‬‬
‫שווה הערך וודאי נמוך‪ 17(.......‬דקות)‬
‫• נגלם את הסיכון בתוך התזרים‪:‬‬
‫‪NPV = -10,000,000 + 2,545,426 * PVFA(20,25%) = 67,317‬‬
‫‪  67,317< 0‬יקבל‬
‫סעיף ג – מהי פרמיית הסיכון של מנשה באחוזים?‬
‫מורידים את שווה הערך הוודאי ומציבים את התוחלת (שלא מגלמת את הסיכון) ובכך אנחנו מעבירים‬
‫את הסיכון לריבית‪:‬‬
‫‪NPV = -10,000,000 + 2,650,000 * PVFA(20,K) = 67,317‬‬
‫‪K=26%‬‬
‫‪P=26%-25%=1%‬‬
‫סעיף ד – האם אפרים יקבל את הפרויקט?‬
‫דוחה סיכון ‪ ‬שווה ערך וודאי נמוך מהתוחלת‪ 28( .‬דקות)‬
‫אוהב סיכון ‪ ‬שווה ערך וודאי גבוה מהתוחלת‪.‬‬
‫מציאת תוחלת תועלת‪:‬‬
‫‪E(U)CF = 0.4*1,000,0001.8 + 0.3*2,500,0001.8 + 0.3*5,000,0001.8 = 7,396,885‬‬
‫‪7,396,885 = X1.8‬‬
‫‪X* = 3,039,519> 2,650,000‬‬
‫שווה הערך וודאי נמוך‪ 17(.......‬דקות)‬
‫• נגלם את הסיכון בתוך התזרים‪:‬‬
‫‪NPV = -10,000,000 + 3,039,519 * PVFA(20,25%) = 2,018,258‬‬
‫‪  2,018,258< 0‬יקבל‬
‫סעיף ה – מהי פרמיית הסיכון של אפרים באחוזים?‬
‫‪NPV = -10,000,000 + 2,650,000 * PVFA(20,K) = 2,018,258‬‬
‫‪K = 21.5%‬‬
‫‪21.5%-25% = -3.5%‬‬
‫פרמיית הסיכון של אוהב סיכון היא שלילית‬
‫סעיף ו – אילו סוגי משקיעים הם מנשה ואפרים?‬
‫•‬
‫•‬
‫מנשה דוחה סיכון‪.‬‬
‫אפרים אוהב סיכון‪.‬‬
‫‪ .4‬קריטריון הדומיננטיות סטוכסטית (שליטה אקראית)‪:‬‬
‫קריטריון שנועד לסנן תוכניות השקעה נחותות‪.‬‬
‫(הדרך לפתור שאלה בדומיננטיות סטוכסטית היא מערכת צירים – הצבת התוכניות על מערכת הצירים‪.).‬‬
‫הקריטריון מתחלק ל‪ 2-‬סוגים‪:‬‬
‫סוג ‪( SSD - 2‬מעלה ‪:)2‬‬
‫סוג ‪( FSD - 1‬מעלה ‪:)1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫אין חיתוך בין העקומות‬
‫המסקנה תקפה עבור כל סוגי המשקיעים‪.‬‬
‫לא יוצרות שטחים כלואים‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫יש חיתוך בין העקומות‪.‬‬
‫המסקנה (אם יש) תקפה רק לגבי דוחי סיכון‪.‬‬
‫יוצרות שטחים כלואים‬
‫פרויקט ‪A‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪30,000‬‬
‫‪40,000‬‬
‫‪70,000‬‬
‫‪( Fi‬מצטברת)‬
‫‪0.3‬‬
‫‪)0.3+0.3( 0.6‬‬
‫(‪)0.6+0.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.4‬‬
‫מוסיפים פרויקט נוסף ‪( B‬לאותה מערכת צירים)‪:‬‬
‫פרויקט ‪B‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪50,000‬‬
‫‪80,000‬‬
‫•‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪( Fi‬מצטברת)‬
‫‪0.3‬‬
‫‪1‬‬
‫במקרה זה אין חיתוך בין העקומות‪ ,‬אין שטחים כלואים ‪FSD ‬‬
‫פרויקט ‪ B‬נמצא מימין לפרויקט ‪ A‬ואין חיתוך‬
‫כל המשקיעים בלי קשר ליחס שלהם כלפי סיכון יעדיפו את ‪.B‬‬
‫(‪ A‬צבר פחות שטח משמאל‪ ,‬השטח משמאל מעיד על היכולת להשיג‬
‫רווחיות)‪.‬‬
‫‪– SSD‬‬
‫פרויקט ‪A‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪30,000‬‬
‫‪40,000‬‬
‫‪70,000‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪35,000‬‬
‫‪50,000‬‬
‫‪80,000‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪( Fi‬מצטברת)‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪1‬‬
‫פרויקט ‪B‬‬
‫‪( Fi‬מצטברת)‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‬‫‪+‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪+1.5‬‬
‫המטרה היא להבין מה צבר יותר שטח משמאל‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הפרויקט הדומיננטי הוא שקובע את השטח‪:‬‬
‫הפרויקט הדומיננטי מבין ‪ 2‬הפרויקטים הוא הפרויקט שהערך הנמוך שלו יותר גבוה מהערך הנמוך של‬
‫הפרויקט השני‬
‫(בדוגמה – הערך הנמוך בפרויקט ‪ B‬גדול מהערך הנמוך בפרויקט ‪ )30>35( A‬ולכן ‪ B‬הוא הדומיננטי)‬
‫חישוב שטחים כלואים‪:‬‬
‫כאשר מחשבים את השטחים תמיד מורידים את הפרויקט הלא דומיננטי מהדומיננטי‪.‬‬
‫‪(35-30)*(0.3-0)= + 1.5‬‬
‫‪(35-40)*(0.4-0.3)= - 0.5‬‬
‫‪(50-40)*(0.6-0.4) = +‬‬
‫•‬
‫כל עוד במצטבר שמרנו על סימן חיובי – דוחי סיכון יעדיפו את הדומיננטי‪ ,‬אם בשלב מסוים במצטבר הסימן‬
‫הופך לשלילי‪ ,‬לא נוכל לקבל החלטה‪( .‬במצטבר הכוונה היא לסכום עכל השטחים ביחד)‬
‫שאלה לדוגמא ‪:7‬‬
‫השוו בין ‪ 4‬ההשקעות שלהלן על בסיס קריטריון הדומיננטיות הסטוכסטית‬
‫פרויקט ‪A‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪4,000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫פרויקט ‪B‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪6,000‬‬
‫פרויקטים ‪SSD  B+A‬‬
‫‪(4-2)*(0.5-0) = +1‬‬
‫‪1+(-1)=0‬‬
‫‪(4-6)*(1-0.5)=-1‬‬
‫השקעה ‪ A‬עדיפה על ‪ B‬עבור דוחי‬
‫סיכון‬
‫פרויקטים ‪SSD  C+B‬‬
‫‪(4-2)*(0.5-0) = +1‬‬
‫‪1-0.4+1.2=1.8‬‬
‫‪(4-6)*(0.7-0.3)=-0.4‬‬
‫‪(10-6)*(1-0.7)=+1.2‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪F‬‬
‫‪0.7 0.5‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪1‬‬
‫פרויקט ‪C‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪4,000‬‬
‫‪10,000‬‬
‫פרויקטים ‪FSD  C+A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫פרויקט ‪D‬‬
‫‪NPV‬‬
‫‪2,000‬‬
‫‪8,000‬‬
‫פרויקטים ‪SSD  D+A‬‬
‫‪ C‬עדיף עבור כל סוגי המשקיעים‬
‫(‪ C‬הוא מימין – הוא צבר יותר שטח‬
‫משמאל)‬
‫‪F‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(4-2)*(0.5-0) = +1‬‬
‫‪1+(-2)=-1‬‬
‫‪(4-8)*(1-0.5)=-2‬‬
‫לא ניתן לקבל החלטה ע"י‬
‫דומיננטיות סטוכסטית‬
‫פרויקטים ‪FSD  D+B‬‬
‫פרויקטים ‪SSD  C+D‬‬
‫‪ D‬עדיף עבור כל סוגי המשקיעים‬
‫‪(4-2)*(0.5-0) = +1‬‬
‫‪1+(-0.8)=0.2‬‬
‫‪(4-8)*(0.7-0.5)=-0.8‬‬
‫השקעה ‪ C‬עדיפה עבור דוחי סיכון‬
‫השקעה ‪ C‬עדיפה עבור דוחי סיכון‬
‫סיכום שאלה‪:‬‬
‫• ‪ – FSD‬מה למדנו מכל ההשוואות שערכנו על כל המשקיעים‪:‬‬
‫ השקעה ‪ C‬עדיפה על ‪ A‬עבור כל המשקיעים‬‫ וגם השקעה ‪ D‬עדיפה על ‪ B‬עבור כל המשקיעים‪.‬‬‫• ‪– SSD‬‬
‫ השקעה ‪ A‬וגם השקעה ‪ C‬עדיפות על ‪  B‬משקיעים דוחי סיכון יעדיפו גם את ‪ A‬וגם את ‪ C‬על ‪.B‬‬‫ השקעה ‪ C‬עדיפה על ‪.D‬‬‫• בין השקעות ‪ A‬ו‪ D-‬אין אפשרות להחליט (להשוות)‪.‬‬
‫מודל תיקי בהשקעות‪/‬מודל מרקוביץ'‬
‫על ידי מודל תיקי השקעות יש אפשרות של פיזור סיכונים‪ ,‬ככל שמפזרים את הסיכון כך מצמצמים את‬
‫הסיכונים‪.‬‬
‫בהינתן ‪ 2‬נכסים מסוכנים‪ A :‬ו‪B-‬‬
‫תוחלת תשואת תיק השקעות‪:‬‬
‫• )‪ – E(Rp‬מודדת רווחיות של תיק השקעות‬
‫)‪E(Rp) = WA*E(RA) + WB* E(RB‬‬
‫שונות תשואת תיק השקעות‪:‬‬
‫• )𝑝𝑅( ‪ – 𝜎2‬מודד סיכון של תיק השקעות‬
‫‪ – WA‬פרופורציית השקעה בנכס ‪A‬‬
‫‪ – WB‬פרופורציית השקעה בנכס ‪B‬‬
‫)‪ – E(RA‬תוחלת תשואת נכס ‪A‬‬
‫)‪ – E(RB‬תוחלת תשואת נכס ‪B‬‬
‫)‪𝜎 2(Rp) = WA2* 𝜎 2(RA) + WB 2* 𝜎 2(RB) + 2 *WA*WB* 𝜌 (RA,RB)* 𝜎 (RA)* 𝜎 (RB‬‬
‫)‪=cov(RA,RB‬‬
‫) 𝐴𝑅( ‪ – 𝜎 2‬שונות תשואת נכס ‪A‬‬
‫) 𝐵𝑅( ‪ – 𝜎 2‬שונות תשואת נכס ‪B‬‬
‫)‪ – cov(RA,RB‬שונות משותפת ל‪ A-‬ו‪B-‬‬
‫) 𝐵𝑅 ‪ – ρ(𝑅𝐴 ,‬מקדם המתאם בין ‪ A‬ו‪B-‬‬
‫•‬
‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫)‪( cov(RA,RB‬שונות משותפת ל‪ A-‬ו‪ (B-‬מעניין ב‪ 3-‬מצבים‪:‬‬
‫‪( 0 > cov(RA,RB) .1‬חיובי ‪ -‬לא משנה איזה מספר)‬
‫המניות נעות באותו כיוון‪ ,‬כלומר אם ‪ A‬עולה אז גם ‪ B‬עולה (ולהפך)‪.‬‬
‫‪( 0 < cov(RA,RB) .2‬שלילי ‪ -‬לא משנה איזה מספר)‬
‫המניות נעות בכיוון מנוגד‪ ,‬כלומר אם ‪ A‬עולה אז ‪ B‬יורד (ולהפך)‪.‬‬
‫ככל שמניות מתנהגות בצורה שונה הסיכון יורד‪.‬‬
‫‪0 = cov(RA,RB) .3‬‬
‫אין קשר בין המניות‪ ,‬כלומר אם מניה אחת עולה או יורדת לא מעיד על מה שיקרה למניה השנייה‪.‬‬
‫ככל שה‪ COV-‬יהיה יותר נמוך כך גם השונות תרד‪.‬‬
‫•‬
‫‪.1‬‬
‫‬‫‬‫‪.2‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪.3‬‬
‫‬‫‬‫‪.4‬‬
‫‪-‬‬
‫) 𝐵𝑅 ‪ – ρ(𝑅𝐴 ,‬מקדם המתאם בין ‪ A‬ו‪B-‬‬
‫ נותן גם את כיוון הקשר וגם את עוצמת הקשר‬‫ ‪-1 ≤ ρ(RA,RB) ≤ 1‬‬‫‪ρ(RA,RB) = 1‬‬
‫יחס מושלם (ליניארי מושלם) ‪ ‬המניות מתנהגות בדיוק אותו הדבר‪.‬‬
‫במקרה זה אין פיזור סיכון‪.‬‬
‫‪-1 ≤ ρ(RA,RB) ≤ 1‬‬
‫קשר חיובי או שלילי בעוצמות שונות‪.‬‬
‫לדוגמה אם ‪( ρ=0.6‬קשר חיובי) אז כאשר מניה ‪ A‬עולה ב‪ ,10%-‬מניה ‪ B‬תעלה ב‪( 6%-‬אותו כיוון אך בחוזק‬
‫של ‪)60%‬‬
‫כאשר חיובי ‪ -‬אותו כיוון אך בעוצמות שונות‪.‬‬
‫כאשר שלילי – בכיוון מנוגד ובעוצמות שונות‪.‬‬
‫‪ρ(RA,RB) = -1‬‬
‫קשר שלילי מושלם ‪ ‬לדוג'‪ :‬אם מניה אחת עולה ב‪ 10%-‬אז השנייה יורדת ב‪10%-‬‬
‫צמצום הסיכון הטוב ביותר מפני שהטווח הארוך הוא שקובע וכאשר המניות מקזזות אחת את השנייה‬
‫בצורה מושלמת זה פותר את הבעיה של הסיכון בטווח הקצר בעקבות כך שמוכרים את המניה שעולה ואת‬
‫המניה שיורדת ממתינים עד שתעלה‪.‬‬
‫‪ρ(RA,RB) = 0‬‬
‫באמצעות )‪ cov(RA,RB‬מוצאים את )‪ ρ(RA,RB‬כך‪,‬‬
‫אין קשר‬
‫שאם ‪ COV=0‬אז גם ‪ρ(RA,RB)=0‬‬
‫תיקי השקעות –‬
‫הקטע ‪ AC‬מתקיים כאשר‪:‬‬
‫) 𝐴𝑅( 𝜎‬
‫) 𝐵𝑅( 𝜎‬
‫•‬
‫•‬
‫ציר ‪ – X‬ציר הסיגמא (סטיית התקן) ‪ ‬סיכון‬
‫< )‪ ρ(RA, RB‬תנאי צמצום הסיכון‬
‫ציר ‪ – Y‬תוחלת ‪ ‬רווחיות‬
‫מודדים סיכון מול ריווחיות‪.‬‬
‫נמצאים על גרף בין ‪ 2‬ההשקעות‪.‬‬
‫‪ρ=1‬‬
‫• אין צמצום של הסיכון‬
‫•‬
‫נק' ‪ – A‬רק השקעה ‪ A‬עם תוחלת מסוימת ורמת סיכון‬
‫מסוימת (אותו הדבר לגבי ‪.)B‬‬
‫כל קטע ‪ AC‬הוא קטע שמכיל גם מ‪ A -‬וגם ‪B-‬‬
‫אין הבדל באיזה נק' על הקו נמצאים – רמת הסיכון שווה‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ρ=0.5‬‬
‫•‬
‫•‬
‫יש צמצום סיכון‬
‫ככל שעולים יותר בגרף עצמו הצמצום יותר נמוך‪.‬‬
‫תיק יעיל – תיק שבו משיגים מקסימום תוחלת תשואה לסטיית תקן נתונה או בהגדרה חלופית מינימום סטיית‬
‫תקן לתוחלת תשואה נתונה‪.‬‬
‫‪ρ=0‬‬
‫קטע ‪ – AC‬מכיל תיקים לא יעילים ‪ -‬תמיד יהיה תיק נוסף שיהיה באותה‬
‫רמת סיכון אך עם תוחלת גבוה יותר‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫במקרה זה ‪ C‬זה לא נכס‬
‫במקרה זה עלינו הרבה שמאלה ולמעלה ודבר זה קורה בעקבות כך ‪:‬‬
‫)𝐴𝑅( 𝜎‬
‫< )‪ρ(RA, RB‬‬
‫) 𝐵𝑅( 𝜎‬
‫קטע ‪ AC‬תמיד מתקיים כאשר ‪( ρ=0‬או קטן מ‪)0-‬‬
‫‪ρ=-0.5‬‬
‫•‬
‫•‬
‫במקרה זה עולים יותר שמאלה ולמעלה‬
‫קיים קטע (‪ )AC‬עם תיקים לא יעילים‪.‬‬
‫‪ρ=-1‬‬
‫•‬
‫•‬
‫הכי רחוק שמאלה ולמעלה‬
‫כאשר מקדם המתאם בין הנכסים שווה מינוס ‪ 1‬יש אפשרות‬
‫ליצור תיק שבו הסיכון יהיה ‪0‬‬
‫יש ‪ 2‬נכסים מסוכנים אך בפרופורציות מסוימות יש אפשרות‬
‫ליצור תיק שרמת הסיכון תהיה ‪.0‬‬
‫העדפות המשקיע‬
‫אובייקטיבי (עקומת יעילות) – כל המשקיעים ירצו להיות בחלק היעיל‬
‫סובייקטיבי (עקומת אדישות) – בתוך כל המשקיעים הדוחי סיכון יש מגוון רחב של משקיעים – ברמות שונות של‬
‫דחיית סיכון כלומר היחס כלפי התשואה והסיכון הוא שונה‪.‬‬
‫עקומת אדישות של משקיע‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫קיימת אדישות בין הנקודות על גבי העקומה‪.‬‬
‫נק' ‪ – C‬מייצגת מצב פחות טוב שמייצג פחות סיכון‪/‬פחות תשואה‪/‬‬
‫פחות סיכון ופחות תשואה‬
‫נק' ‪ – D‬מייצגת מצב יותר טוב‬
‫המטרה של הצרכן להיות במקום יותר גבוה וקרוב לציר ‪( Y‬לתוחלת) –‬
‫במצב זה הסיכון נמוך יותר והתשואה גבוה יותר‪.‬‬
‫לכל משקיע יש אינסוף עקומות אדישות מקבילות כאשר השאיפה שלו‬
‫היא להיות בעקומה שהיא הכי שמאלה ולמעלה – מקסימום תועלת‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫שילוב בין עקומת היעילות והאדישות‪:‬‬
‫אובייקטיבי – עקומת יעילות‬
‫סובייקטיבי – עקומת אדישות‬
‫תיק אופטימאלי למשקיע‪:‬‬
‫תוחלת‬
‫עקומות‬
‫אדישות‬
‫עקומת‬
‫יעילות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫סטיית‬
‫תקן‬
‫‪ – )indifference( I‬אדישות‬
‫התיק האופטימלי בדוגמה זו הוא בנק' ‪ – A‬נמצאת על עקומת אדישות‬
‫גבוה יותר‪ ,‬בהשקה שבין עקומת האדישות לעקומת היעילות‪.‬‬
‫בין נק' ‪ B‬ו‪ C-‬קיימת אדישות‪ ,‬אך מבין ‪ 3‬הנקודות נק' ‪ A‬היא העדיפה‬
‫ביותר‪.‬‬
‫ישנם ‪ 2‬גורמים שמשפיעים על צמצום הסיכון‪:‬‬
‫מקדם המתאם – ככל שמקדם המתאם נמוך יותר ‪ ‬צמצום הסיכון טוב יותר‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫•‬
‫‪.2‬‬
‫ככל שמקדם המתאם נמוך יותר נוצר קטע לא יעיל‪.‬‬
‫מספר הנכסים – ככל שמספר הנכסים בתיק גדול יותר ‪ ‬צמצום הסיכון טוב יותר‪.‬‬
‫)‪E(Rp‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫קו שחור – אינסוף תיקים שמכילים את ‪ A‬ו‪B-‬‬
‫קו כחול – אינסוף תיקים שמכילים את ‪ B‬ו‪C -‬‬
‫קו אדום – איסוף תיקים שמכילים את ‪ A‬ו‪C -‬‬
‫קו כתום – אינסוף תיקים שמכילים את ‪ A‬את ‪ B‬ואת ‪C‬‬
‫‪ -‬פיזור סיכון הכי טוב‬
‫‪A‬‬
‫) 𝑝𝑅(𝜎‬
‫תיק עם מינימום סיכון ‪MVP‬‬
‫)𝐵 ‪(𝜎𝐵 )2 − 𝐶𝑂𝑉(𝐴,‬‬
‫)𝐵 ‪(𝜎𝐴 )2 + (𝜎𝐵 )2 − 2 ∗ 𝐶𝑂𝑉(𝐴,‬‬
‫𝐴‬
‫𝑃𝑉𝑀𝑊‬
‫=‬
‫𝐵𝜎 ∗ 𝐴𝜎 ∗ )𝐵‪)𝐶𝑂𝑉(𝐴, 𝐵) = 𝜌(𝐴,‬‬
‫דוגמה‪( :‬חוברת תרגילים – תרגיל ‪ 2‬שאלה ‪)5‬‬
‫‪( MVP‬זהו התיק עם המינימום סיכון)‪ – WA  0.77 =WA :‬צריך להיות עם מקסימום השקעה של ‪ 0.77‬בשביל להיות יעיל‪.‬‬
‫‪ – WB  0.23 =WB‬צריך להיות עם מינימום השקעה של ‪ 0.23‬בשביל להיות יעיל‪.‬‬
‫כלומר אלה פרופורציות ההשקעה האפשריות‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא ‪:8‬‬
‫צילי וגילי דורשות תשואות על השקעתן בהתאם לרמת סיכון ההשקעה כמפורט להלן‪:‬‬
‫סטיית תקן‬
‫‪0%‬‬
‫‪10%‬‬
‫‪20%‬‬
‫‪+10%‬‬
‫‪v‬‬
‫‪+10%‬‬
‫‪+7%‬‬
‫‪+9%‬‬
‫תשואה נדרשת‬
‫צילי‬
‫‪5%‬‬
‫‪12%‬‬
‫‪21%‬‬
‫‪+12%‬‬
‫‪+19%‬‬
‫גילי‬
‫‪5%‬‬
‫‪17%‬‬
‫‪36%‬‬
‫א‪ .‬הסבירו והראו גרפית אלו משקיעות הן צילי וגילי‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫סטיית התקן קופצת באחוזים קבועים – זה אומר שיש אפשרות לראות את העלייה השולית בתשואה הנדרשת‪.‬‬
‫שתי המשקיעות דוחות סיכון – עם העלייה ברמת הסיכון יש תוספת שהולכת ועולה של התשואה הנדרשת‬
‫גילי העלתה את התשואה ביותר כאשר סטיית התקן גדלה ולכן היא משקיעה שיותר דוחת סיכון‬
‫ב‪ .‬נניח שבפני שתי המשקיעות ניצבות חלופות ההשקעה הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬השקעה בנכס נטול סיכון וקבלת תשואה בגובה ‪5%‬‬
‫‪ .2‬השקעה בנכס מסוכן בעל סטיית תקן בגובה ‪ 10%‬וקבלת תוחלת תשואה בגובה ‪15%‬‬
‫איזו חלופה תבחר כל משקיעה ומדוע?‬
‫גילי תעדיף את חלופה ‪ - 1‬תעדיף להיות על העקומה ולא מתחתיה‪.‬‬
‫צילי תעדיף את חלופה ‪ – 2‬ברמת סיכון של ‪ 10%‬היא תקבל תשואה‬
‫יותר גבוה ממה שהיא דורשת‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא ‪:9‬‬
‫לגבי מניות ‪ α‬ו‪ β-‬ידועים הנתונים הבאים‪:‬‬
‫תשואה באחוזים‬
‫הסתברות‬
‫‪α‬‬
‫‪90‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪90‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪-140‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪β‬‬
‫‪48‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪157.5‬‬
‫א‪ .‬מהי התוחלת‪ ,‬השונות וסטיית התקן של כל אחת מהמניות‪:‬‬
‫‪E(α) = 0.5*90 + 0.3*90 + 0. 2*(-140) = 44‬‬
‫‪E(β) = 0.5*48+ 0.3*(-100) + 0.2*157.5= 25.5‬‬
‫‪𝜎 2 (𝑅𝛼 ) =0.5*(90-44)2+0.3*(90-44)2+0.2*(-140-44)2=8464‬‬
‫‪𝜎 = 92‬‬
‫‪𝜎 2 (𝑅𝛽 ) =0.5*(48-25.5)2+0.3*(-100-25.5)2+0.2*(157.5-25.5)2=8,464‬‬
‫‪𝜎 = 92‬‬
‫‪ α‬יותר רווחית והסיכון אותו סיכון יהיו משקיעים שירצו את ‪ β‬כדי לצמצם סיכון‪ ,‬כלומר משלבים את ‪ β‬בתוך‬
‫התיק שלהם‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי השונות המשותפת של המניות?‬
‫‪COV(Rα,Rβ) = 0.5(90-44)*(48-25.5) + 0.3*(90-44)*(-100-25.5)+0.2*(-140-44)*(157.5-25.5)=-6082‬‬
‫מפני שהשונות המשותפת יצאה שלילים‪ ,‬אפשר לומר שגם המתאם בין ‪ 2‬המניות שלילי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו מקדם מתאם המניות?‬
‫‪𝐶𝑂𝑉(𝑅𝛼 , 𝑅𝛽 ) −6,072‬‬
‫= ) 𝛽𝑅 ‪𝜌(𝑅𝛼 ,‬‬
‫=‬
‫‪= −0.717‬‬
‫‪𝜎(𝑅𝛼 )𝜎(𝑅𝛽 ) 92 ∗ 92‬‬
‫ד‪ .‬מהי תוחלת התשואה‪ ,‬השונות וסטית התקן שמורכיו בחציו ממניה ‪ α‬ובחציו ממניה ‪?β‬‬
‫מה ניתן ללמוד מנתונים אלו?‬
‫)‪E(Rp)=WA*E(RA)+WB*(RB‬‬
‫‪WA= WB=0.5‬‬
‫‪E(Rp)=0.5*44+0.5*25.5=34.75‬‬
‫)‪𝜎 2(Rp) = WA2* 𝜎 2(RA) + WB 2* 𝜎 2(RB) + 2 *WA*WB* 𝜌 (RA,RB)* 𝜎 (RA)* 𝜎 (RB‬‬
‫ה‪ .‬הציגו גרפית את מניות ‪ α‬ו‪ ,β-‬את התיק שמכיל את המניות בפרופורציות שוות‪ ,‬כמו כן השוו והציגו תיקים‬
‫המכילים את ‪ α‬ו‪ β-‬כאשר פרופורציות ‪ α‬בתיק הן ‪ 75%‬ו‪.25%-‬‬
‫תיק‪/‬נכס‬
‫)‪E(Rp‬‬
‫‪Wβ‬‬
‫‪Wα‬‬
‫)‪𝝈(Rp‬‬
‫‪92‬‬
‫‪44‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪54.9‬‬
‫‪39.38‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪2‬‬
‫‪34.61‬‬
‫‪34.75‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪54.9‬‬
‫‪30.13‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪92‬‬
‫‪25.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫תיק מינימום סיכון‬
‫פרופורציית נכס ‪ A‬בתיק מינימום סיכון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)𝐵 ‪(𝜎𝐵 ) − 𝐶𝑂𝑉(𝐴,‬‬
‫)𝐵 ‪+ (𝜎𝐵 )2 − 2 ∗ 𝐶𝑂𝑉(𝐴,‬‬
‫‪)2‬‬
‫𝐴𝜎(‬
‫𝐴‬
‫𝑃𝑉𝑀𝑊‬
‫=‬
‫𝐵𝜎 ∗ 𝐴𝜎 ∗ )𝐵‪)𝐶𝑂𝑉(𝐴, 𝐵) = 𝜌(𝐴,‬‬
‫•‬
‫הנוסחה לא תקפה כאשר ‪𝜌(𝑅𝛼 , 𝑅𝛽 ) = 1‬‬
‫קיצור נוסחת השונות של תיק השקעות‪:‬‬
‫הנוסחה הרגילה‪ :‬שונות תשואת תיק השקעות‬
‫)‪𝜎 2(Rp) = WA2* 𝜎 2(RA) + WB 2* 𝜎 2(RB) + 2 *WA*WB* 𝜌 (RA,RB)* 𝜎 (RA)* 𝜎 (RB‬‬
‫‪2ab‬‬
‫לשים לב!!‬
‫כאשר ‪𝜌(𝑅𝛼 , 𝑅𝛽 ) = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝝈 (Rp) = [WA* 𝜎 (RA) + WB * 𝜎 (R )]2‬‬
‫‪B‬‬
‫אם נרצה למצוא ישירות את סטיית התקן – לא נעלה הריבוע‪.‬‬
‫כאשר ‪𝜌(𝑅𝛼 , 𝑅𝛽 ) = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝝈 (Rp) = [WA* 𝜎 (RA) - WB * 𝜎 (R )]2‬‬
‫‪B‬‬
‫•‬
‫גם בחישוב סטיית התקן נחשב עם מינוס‪.‬‬
‫‪b2‬‬
‫עבור ‪+1‬‬
‫עבור ‪-1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab‬‬
‫= ‪(a-b)2‬‬
‫כאשר ‪𝜌(𝑅𝛼 , 𝑅𝛽 ) = 0‬‬
‫)‪𝜎 2(Rp) = WA2* 𝜎 2(RA) + WB 2* 𝜎 2(RB) + 2 *WA*WB* 𝜌 (RA,RB)* 𝜎 (RA)* 𝜎 (RB‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪2ab‬‬
‫‪a2‬‬
‫נצטרך לחשב את זה ולתוצאה נוציא שורש‪ ,‬כלומר למצוא את התוצאה של שונות ואז לעשות שורש‪.‬‬
‫דוגמה מספר ‪:10‬‬
‫א‪ .‬הציגו גרפית את תיקי ההשקעות שניתן ליצור כאשר מדובר בשתי מניות בעלות אותו סיכון ואותה רווחיות‪.‬‬
‫התייחסו למקדמי המתאם‪ , ρ>1 :‬כ‪ , ρ=1‬כ‪ρ = -1‬‬
‫סמנו את עקומת היעילות האם ניתן לצמצם את הסיכון בכל אחד מהמצבים?‬
‫מצב ‪ – 1‬לא ניתן לצמצם סיכון מפני שהמניות מתנהגות באותה צורה וכל התיקים שמכילים את המניות ‪ A‬ו‪B-‬‬
‫כאשר ‪ ρ=1‬ימצאו על אותה נקודה ואין יעיל או לא יעיל‪ .‬נקודת היעילות היא אותה נקודה‪.‬‬
‫) 𝑅(𝜎‬
‫מצב ‪𝜌(𝑅𝐴 , 𝑅𝐵 ) < 𝜎(𝑅𝐴 ) - 2‬‬
‫𝐵‬
‫נתון ש ‪ρ>1 -‬‬
‫הם יהיו מספרים זהים ולכן התוצאה שלהם היא ‪.1‬‬
‫ולכן התנאי מתקיים אז יש צמצום סיכון‪.‬‬
‫שאלה נוספת למצב ‪ – 2‬אם התנאי מתקיים איפה יש תיקים שמכילים את ‪ A‬ו‪?B-‬‬
‫התוחלת לא יכולה להשתנות והתוחלות שלהן שוות‪ ,‬כלומר לא משנה איזה קומבינציה נעשה התוחלת תישאר אותו‬
‫הדבר‪.‬‬
‫לעומת זאת בגלל שניתן לצמצם סיכון‪ ,‬סטיית התקן תקטן ויהיו לנו תיקים שיהיו במצד שמאל‪.‬‬
‫איפה הקטע היעיל של העקומה?‬
‫מצב ‪ – 3‬מה קורה כאשר ‪ρ = -1‬‬
‫• ניתן לימור תיק עם סיכון ‪.0‬‬
‫איפה הקטע היעל במצב זה?‬
‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א' בהינתן שמדובר ב‪ 2-‬מניות בעלות אותו סיכון אך בעלות רמת רווחיות שונות‪.‬‬
‫‪  ρ=1‬לא ניתן לצמצם סיכון‪ ,‬יש תיקים בין ‪ A‬ל‪ .B-‬נקודת היעילות היחידה שיש היא להשקיע ב‪ A-‬כי אותה רמת‬
‫סיכון ואותו רווח‪.‬‬
‫) 𝑅(𝜎‬
‫‪  ρ>1‬התנאי מתקיים‪ ,‬יש צמצום סיכון‪ 𝜌(𝑅𝐴 , 𝑅𝐵 ) < 𝜎(𝑅𝐴 ),‬נתון ש ‪ρ>1 -‬‬
‫𝐵‬
‫הם יהיו מספרים זהים ולכן התוצאה שלהם היא ‪.1‬‬
‫‪  ρ = -1‬יגיע לציר ‪ ,Y‬תיק עם סיכון ‪.0‬‬
‫מודל ‪)SML ,CML( Capital Market – CAPM‬‬
‫מודל ‪ CAPM‬עוסק בתמחור נכסי הון‬
‫‪:CML‬‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫עוסק בתיקי השקעות‪.‬‬
‫מעל ל‪ – CML-‬אזור לא אפשרי‪ ,‬אין נכסים מעל‬
‫‪.CML‬‬
‫מתחת ל‪ - CML -‬אזור לא יעיל‬
‫בשוק ‪ 5‬ניירות ערך‬
‫‪A, B, G, D, E‬‬
‫‪ – RF‬ריבית נטולת סיכון‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫•‬
‫מניחים ריבית לווים ומלווים – אותה ריבית‪.‬‬
‫‪ – M‬תיק השוק‪ ,‬שמייצג את פרופורציות ההשקעה‬
‫האופטימאליות‪.‬‬
‫מ‪ D-‬עד ‪ – Z‬כל התיקים היעילים‪ ,‬מכיל את כל‬
‫תיקי ההשקעות‪.‬‬
‫‪ – C‬תיק אופטימאלי למשקיע‬
‫‪ - RF‬קונים אג"ח ממשלתי – אין סיכון‬
‫‪ – CML‬ברגע שהוא נוצר כל מקום היעילות הופך‬
‫ללא יעיל‬
‫‪( Capital Market Line – CML‬קו שוק ההון)‬
‫השקעה של מעל ל‪( 100%-‬מינוף)‬
‫על ‪:CML‬‬
‫‪ – Rm‬נכס ניטרלי‪ ,‬תיק השוק‬
‫)‪E(Rp) = WF * RF + Wm * E(Rm‬‬
‫‪Wm = 1- WF‬‬
‫)‪𝝈(Rp) = Wm*𝝈(Rm‬‬
‫‪ CML‬כמשוואת קו ישר‪:‬‬
‫)𝒑𝑹(𝝈 ∗‬
‫‪ – RF‬ריבית נטולת סיכון‬
‫)‪ – E(Rm‬תוחלת תשואת תיק השוק‬
‫)‪ – 𝝈(Rm‬סטיית תקן תשואת תיק השוק‬
‫)‪ – 𝝈(Rp‬סטיית תקן תיק השקעות‬
‫)𝐹𝑅 ‪(𝐸(𝑅𝑚) −‬‬
‫)𝑚𝑅(𝜎‬
‫‪𝐸(𝑅𝑝) = 𝑅𝐹 +‬‬
‫)‪ – E(Rp‬תוחלת תשואת תיק ההשקעות‬
‫א‪ .‬מהי פרופורציית ההשקעה בנכס נטול סיכון של משקיע שתיק ההשקעות שלו בעל תוחלת תשואה של‬
‫‪10%‬‬
‫(‪10% = E)Rp‬‬
‫‪?= Wf‬‬
‫‪10% = Wf*0.5 + (1-Wf) *15%‬‬
‫‪Wf = 0.5 → Wm = 0.5‬‬
‫ב‪ .‬מהי פרופורציית ההשקעה בנכס נטול סיכון של משקיע שתיק ההשקעות שלו בעל סטיית תקן של ‪?50%‬‬
‫(‪𝝈 = 50%)Rp‬‬
‫‪?= Wf‬‬
‫‪50% = (1-Wf) *20%‬‬
‫)‪Wf =-1.5 → Wm = 2.5 (250%‬‬
‫ג‪ .‬מה ההבדל בין שני המשקיעים ביחסם כלפי סיכון?‬
‫מקדם הסיכון השיטתי – ‪βi‬‬
‫ערך שמציין עד כמה הנכס מסוכן ביחס לשוק‪.‬‬
‫סיכון הוא דבר יחסי ולכן גם כאשר אנו מודדים סיכון נעשה זאת באופן יחסי לשאר המניות בשוק‪ ,‬במקרה שלנו‬
‫אנו מודדים את זה ביחס לתיק השוק שמכיל בתוכו את כל הנכסים המסוכנים (כל ניירות הערך)‪.‬‬
‫שונות משותפת‬
‫) 𝑚𝑅 ‪𝑐𝑜𝑣 (𝑅𝑖 ,‬‬
‫) 𝑚𝑅( ‪𝜎 2‬‬
‫= 𝑖𝛽‬
‫שונות בנכס‬
‫‪ – βi < 1‬נכס אגרסיבי – תנודתיות גבוה‬
‫‪ – βi > 1‬נכס דיפנסיבי – תנודתיות נמוכה‬
‫‪ – βi = 1‬נכס ניטראלי‬
‫• ‪Security Market Line – SML‬‬
‫מודל תמחור נכסי הון ‪ -‬מודל שיכול להראות מה התשואה שיכול כל נכס לתת‪.‬‬
‫תוחלת התשואה של נכס בודד צריכה להיות קודם כל ריבית נטולת סיכון‬
‫(בגלל שמדובר בנכס מסוכן הוא צריך לתת יותר מנכס נטול סיכון)‪ ,‬נוסיף‬
‫את מקדם הסיכון ונכפיל בפרמיית הסיכון‪.‬‬
‫)‪ – E(Ri‬תוחלת תשואת הנכס הבודד‬
‫‪SML: E(Ri) = Rf + (E(Rm)-Rf)* βi‬‬
‫פרמיית סיכון‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫▪‬
‫משוואת קו ישר‬
‫פרמיית סיכון – הפער שבין תוחלת תשואת השוק לבין ריבית נטולת‬
‫סיכון‪ ,‬היא פרמיה שקובעת איזה תוספת תהיה למשקיע ע"פ רמת‬
‫הסיכון‪.‬‬
‫התאמה בין סיכון לתשואה – לפעמים מחיר מניה הוא מעל השווי‬
‫ולפעמים מתחת אך בטווח הארוך (בסוף) מחיר המניה תגיע ל‪SML-‬‬
‫(שיווי משקל)‪.‬‬
‫כאשר נמצאים מעל ‪ – SML‬מחיר מניה נמוך ותשואה גבוה ‪ ‬כדי‬
‫לקנות את המניה כי המחיר יעלה‪.‬‬
‫כאשר נמצאים מתחת ל‪ – SML-‬מחיר מניה גבוה ותשואה נמוכה ‪‬‬
‫לא כדי לקנות את המניה‬
‫שאלה לדוגמה ‪:11‬‬
‫בהינתן ששוק ההון נמצא בשיווי משקל לפי מודל ‪CAPM‬‬
‫ידוע כי‪:‬‬
‫‪0.8 = βA‬‬
‫)‪12% = E(RA‬‬
‫‪1.2 = βB‬‬
‫)‪16% = E(RB‬‬
‫מצאו את ‪:RF‬‬
‫‪16 − 12‬‬
‫= ‪∆y‬‬
‫‪= 10‬‬
‫‪1.2 − 0.8‬‬
‫•‬
‫באמצעות שיפוע‬
‫•‬
‫נציב בנוסחת ‪CAPM‬‬
‫‪12% = Rf + 10*0.8‬‬
‫‪Rf = 4%‬‬
‫*** לחזור להקשיב ברבע שעה הראשונה‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫•‬
‫חלוקת הסיכון למרכיבים‬
‫)‪𝝈2(Ri) = βi2 * 𝝈2(Rm) + 𝝈NS2 (Ri‬‬
‫סיכון לא‬
‫שיטתי‬
‫‬‫‪-‬‬
‫סיכון שיטתי‬
‫סה"כ‬
‫סיכון‬
‫סיכון שיטתי – הוא החלק בסיכון שאינו ניתן לפיזור ע"י שילוב נכסים נוספים לתיק ההשקעות‬
‫סיכון לא שיטתי – הוא החלק בסיכון שניתן לפיזור ע"י שילוב נכסים נוספים לתיק ההשקעות‪.‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:12‬‬
‫להלן נתונים על תשואת השוק ועל תשואת מניית קשת בשלוש השנים האחרונות‪:‬‬
‫השוק‬
‫שנה‬
‫‪8%‬‬
‫‪20%‬‬
‫לפני שנה‬
‫‪3%‬‬
‫‪12%‬‬
‫לפני שנתיים‬
‫‪4%‬‬
‫‪- 2%‬‬
‫לפני שלוש שנים‬
‫קשת‬
‫א‪ .‬חשבו את תוחלת התשואה וסטיית התקן של השוק ושל מניית קשת‪.‬‬
‫‪20 + 12 − 2‬‬
‫‪= 10%‬‬
‫‪3‬‬
‫תיק השוק‬
‫‪1‬‬
‫‪∗ [(20 − 10)2 + (12 − 10)2 + (−2 − 10)2 ] = 82.666%‬‬
‫‪3‬‬
‫= )𝑚𝑅(𝐸‬
‫= )𝑚𝑅( ‪𝜎 2‬‬
‫‪𝜎(𝑅𝑚) = 9.09%‬‬
‫‪8 + 3 + 4‬‬
‫‪= 5%‬‬
‫‪3‬‬
‫תיק קשת‬
‫= )𝑖𝑅(𝐸‬
‫‪1‬‬
‫= ] ‪𝜎 (𝑅𝑖) = ∗ [(8 − 5)2 + (3 − 5)2 + (4 − 5)2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= )𝑖𝑅(𝜎‬
‫ב‪ .‬חשבו את השונות המשותפת של מניית קשת עם השוק ואת מקדם ‪ β‬של מניית קשת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∗ [(20 − 10) ∗ (8 − 5) + (12 − 10 ∗ (3 − 5) + (−2 − 10) ∗ (4 − 5)] = 12.666%2‬‬
‫‪3‬‬
‫= )𝑚𝑅 ‪𝑐𝑜𝑣 (𝑅𝑖,‬‬
‫‪𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑚 ) 12.666%2‬‬
‫=‬
‫‪= 0.153‬‬
‫) 𝑚𝑅( ‪𝜎 2‬‬
‫‪82.666%2‬‬
‫= 𝑖𝛽‬
‫ג‪ .‬הציגו את סך הסיכון של מניית קשת ואת חלוקתו על פי מרכיביו‬
‫)‪𝝈2(Ri) = βi2 * 𝝈2(Rm) + 𝝈NS2 (Ri‬‬
‫‪4.6666% = 0.1532 * 82.666%2 + 4.666%2 – 1.94%2‬‬
‫‪2.725%2‬‬
‫‪1.94%2‬‬
‫לא שיטתי‬
‫שיטתי‬
‫ד‪ .‬נניח שקיימת מניה וקוראים לה רשת‬
‫סך הסיכון שלה זהה לסך הסיכון של קשת‪ ,‬אולם מרכיבי הסיכון הפוכים‬
‫איזו מניה צפויה לתת תשואה גבוהה יותר לפי מודל ‪?CAPM‬‬
‫כלומר‪4.6666% = 2.725%2 + 1.94%2 :‬‬
‫‪E(Ri) = Rf + (E(Rm)-Rf)* βi‬‬
‫מה שיקבע את התשואה הנדרשת על מניה היא ‪ βi  βi‬תהיה יותר גבוה בהכרח במניית רשת כי‬
‫הסיכון השיטתי הוא‪  βi2 * 𝝈2(Rm) :‬שונות תיק השוק קבועה ולכן חייב להתקיים שבמניית רשת‬
‫‪ Βi‬יותר גבוה‪.‬‬
‫ הסיכון השיטתי של רשת יותר גבוה ולכן ‪ βi‬יותר גבוה‪.‬‬‫שאלה לדוגמה ‪:13‬‬
‫ידוע שתוחלת התשואה של השוק )‪25% –E(Rm‬‬
‫וריבית נטול סיכון (‪7% –)Rf‬‬
‫לגבי מניות ‪ A‬ו‪ B -‬ידוע כי‪:‬‬
‫תשואה צפויה‬
‫מניה‬
‫‪βi‬‬
‫‪15%‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪B‬‬
‫בהיותך משקיע המעוניין להשיג ריווחי הון – ציין מהן הפעולות שעליך לעשות לשם כך‪.‬‬
‫•‬
‫בעקבות ‪ – βi‬מבינים שאנו ב‪ ,SML-‬וגם עוסקים במניות (ולא בתיקי השקעות)‪.‬‬
‫‪E(RA) = 7% + (25%-7%)* 0.4 = 14.2%‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫תשואה בשיווי משקל‪14.2% :‬‬
‫‪  14.2% > 15%‬מניה ‪ A‬כדאית‪.‬‬
‫מניה ‪ B‬אפשר לראות גם בלי חישוב‪:‬‬
‫‪ βi‬של מניה ‪ B‬היא מעל ‪ 1‬כלומר יותר תנודתית והתשואה היא כמו של השוק‬
‫ולכן אפשר לדעת מראש כי מניה ‪ B‬אינה כדאית‪.‬‬
‫מבנה ההון וערך הפירמה (שיעור ‪)30.5‬‬
‫•‬
‫הון עצמי ‪ -‬מניות (מניות רגילות‪ ,‬מניות בכורה)‬
‫•‬
‫הון זר – אג"ח (לא מנפיקים אג"ח לתקופה קצרה משנה)‬
‫•‬
‫•‬
‫מטרת הפירמה היא מקסימום ענ"נ (‪.)NPV‬‬
‫למקסם את שווי המניה ‪ -‬ככל שהמניה עולה ‪ ‬מחיר המניה עולה‪.‬‬
‫•‬
‫)𝑇 ‪𝑁𝑂𝐼(1 −‬‬
‫𝑆‬
‫𝑃‬
‫𝑆‬
‫𝑃 = מספר מניות‬
‫עד לנקודת איזון – לא כדי להיות ממנופים‪.‬‬
‫= 𝑈𝑆𝑃𝐸‬
‫תשואת ריבית‬
‫)𝑇 ‪(𝑁𝑂𝐼 − 𝑟 ∗ 𝑤 ∗ 𝑠) ∗ (1 −‬‬
‫מס' מניות 𝑠 ∗ )𝑤 ‪(1 −‬‬
‫𝑃‬
‫𝑈𝑆𝑃𝐸 – רווח למניה‪ ,‬חברה נטולת מינוף‬
‫𝐿𝑆𝑃𝐸 – רווח למניה‪ ,‬חברה ממונפת‬
‫‪ – NOI‬הכנסה תפעולית נקיה‬
‫‪ – S‬סך ההון‬
‫‪ – P‬מחיר למניה‬
‫‪ – W‬פרופורציית החוב‬
‫‪ – T‬שיעור המס‬
‫‪ – B‬ערך נקוב‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫בנק' איזון‪:‬‬
‫‪NOI =r * s‬‬
‫דמ"פ – דרגת מנוף פיננסית‬
‫𝐼𝑂𝑁‬
‫𝐵 ∗ 𝑟 ‪𝑁𝑂𝐼 −‬‬
‫= דמ"פ‬
‫הדמ"פ ‪ -‬על כל ‪ 1%‬שינוי ב‪( NOI-‬בהכנסה התפעולית הנקייה) כמה אחוזי שינוי יהיו ברווח למניה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:14‬‬
‫משקיעים שמעוניינים להקים חברה שוקלים את אפשרויות המימון שלהם‪ ,‬על מנת להקים את החברה הם‬
‫זקוקים ל‪ 100-‬מיליון שקלים‪ ,‬להלן אפשרויות המימון העומדות בפניהם‪:‬‬
‫‪ .1‬גיוס כל הכסף באמצעות הנפקת מניות בלבד‪ ,‬שווי כל מניה ‪ 1000‬שקלים‪.‬‬
‫‪ .2‬גיוס ‪ 50%‬מהסכום באמצעות מניות והשאר באמצעות אג"ח‪ ,‬אג"ח בערך נקוב של ‪ ₪ 1000‬ונושאות‬
‫ריבית בגובה ‪7%‬‬
‫‪ .3‬גיוס ‪ 25%‬מהסכום באמצעות מניות והשאר באמצעו אג"ח‪ ,‬אג"ח בערך נקוב של ‪ ₪ 1000‬ונושאות ריבית‬
‫בגובה ‪7%‬‬
‫המשקיעים מעריכים שההכנסה התפעולית הנקייה (‪ )NOI‬תעמוד על סך של ‪ 18‬מיליון שקלים בשנה‪ ,‬מס‬
‫חברות בגובה ‪.37%‬‬
‫מהי החלופה שתמקסם את הרווח לבעלי המניות?‬
‫חלופה ‪:1‬‬
‫‪100,000,000‬‬
‫= מס‪ ′‬מניות‬
‫‪= 100,000‬‬
‫‪1,000‬‬
‫)‪18,000,000 ∗ (1 − 0.37‬‬
‫‪= 113.4‬‬
‫‪100,000‬‬
‫= 𝑢𝑆𝑃𝐸‬
‫חלופה ‪:2‬‬
‫‪= 50,000‬‬
‫‪= 182.7‬‬
‫‪100,000,000 ∗ 0.5‬‬
‫‪1,000‬‬
‫‪r*w*s‬‬
‫= מס‪ ′‬מניות‬
‫)‪(18𝑀 − 0.07 ∗ 50𝑀) ∗ (1 − 0.37‬‬
‫‪50,000‬‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫חלופה ‪:3‬‬
‫‪= 25,000‬‬
‫‪= 321.3‬‬
‫‪100,000,000 ∗ 0.25‬‬
‫‪1,000‬‬
‫= מס‪ ′‬מניות‬
‫)‪(18𝑀 − 0.07 ∗ 75𝑀) ∗ (1 − 0.37‬‬
‫‪25,000‬‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫שאלה לדוגמה ‪:15‬‬
‫משקיעים שוקלים לממן את הקמתה של פירמה באמצעות אחת משתי האפשרויות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬הנפקת ‪ 100,000‬מניות במחיר של ‪ ₪ 100‬למניה‪.‬‬
‫‪ .2‬הנפקת ‪ 30,000‬מניות במחיר של ‪ ₪ 100‬למניה ובנוסף הנפקת ‪ 100,000‬אג"ח במחיר של ‪₪ 70‬‬
‫• הריבית על אג"ח בגובה ‪ ,5%‬מס חברות בגובה ‪30%‬‬
‫ההכנסה התמידית של הפירמה אינה וודאית – להלן האופן בו היא מתפלגת‪:‬‬
‫‪NOI‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪1,250,000‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪400,000‬‬
‫‪0.4‬‬
‫א‪ .‬מהו הרווח למניה בכל הכנסה תפעולית ובכל אחת מאפשרויות המימון?‬
‫אפשרות ‪ – 1‬מנפיקים רק מניות (ללא מינוף)‪:‬‬
‫‪1,250,000 = NOI‬‬
‫)‪1,250,000(1 − 0.3‬‬
‫= 𝑢𝑆𝑃𝐸‬
‫‪= 8.75‬‬
‫‪100,000‬‬
‫‪400,000 = NOI‬‬
‫)‪400,000(1 − 0.3‬‬
‫= 𝑢𝑆𝑃𝐸‬
‫‪= 2.8‬‬
‫‪100,000‬‬
‫אפשרות ‪ - 2‬ממונפת‬
‫‪1,250,000 = NOI‬‬
‫)‪(1,250,000 − 0.05 ∗ 7𝑀)(1 − 0.3‬‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫‪= 21‬‬
‫‪30,000‬‬
‫‪400,000 = NOI‬‬
‫)‪(400,000 − 0.05 ∗ 7𝑀)(1 − 0.3‬‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫‪= 1.167‬‬
‫‪30,000‬‬
‫ב‪ .‬מהי תוחלת הרווח למניה בכל אפשרות מימון?‬
‫אפשרות ‪ – 1‬מנפיקים רק מניות (ללא מינוף)‪:‬‬
‫‪E(EPS) = 0.6*8.75 + 0.4*2.8 = 6.37‬‬
‫אפשרות ‪ - 2‬ממונפת‬
‫‪E(EPS) = 0.6*21 + 0.4* 1.167 = 13.067‬‬
‫ג‪ .‬מהי שונות הרווח למניה ומהי סטיית התקן?‬
‫אפשרות ‪ – 1‬מנפיקים רק מניות (ללא מינוף)‪:‬‬
‫‪𝝈2 (EPS) = 0.6*(8.75-6.37)2 + 0.4*(2.8-6.37)2 = 8.5‬‬
‫‪𝝈 = 2.92‬‬
‫אפשרות ‪ - 2‬ממונפת‬
‫‪= 94.4‬‬
‫‪𝝈2 (EPS) = 0.6*(21 -13.067 )2 + 0.4*(1.167 -13.067 )2‬‬
‫‪𝝈 = 9.7‬‬
‫ד‪ .‬הסבירו כיצד מבנה ההון משפיע על רמת הרווחיות של הפירמה ועל רמת הסיכון שלה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מהי ההכנסה התפעולית של הפירמה בנק' איזון‪ ,‬יש להציג גרפית‪ ,‬להוכיח ורק לאחר מכן לחשב‪.‬‬
‫אפשרות ‪ – 1‬מנפיקים רק מניות (ללא מינוף)‪:‬‬
‫)‪500,000 ∗ (1 − 0.3‬‬
‫‪= 3.5‬‬
‫‪100,000‬‬
‫אפשרות ‪ - 2‬ממונפת‬
‫= 𝑢𝑆𝑃𝐸‬
‫)‪(500,000 − 0.05 ∗ 7𝑀) ∗ (1 − 0.3‬‬
‫= 𝐿𝑆𝑃𝐸‬
‫‪= 3.5‬‬
‫‪30,000‬‬
‫איך שצריך לפתור את הסעיף‪:‬‬
‫בנק' איזון‪EPSU = EPSL :‬‬
‫‪NOI = r*s‬‬
‫‪NOI = 0.05*10M = 500,000‬‬
‫ו‪ .‬חשבו את הדמ"פ של הפירמה עבור רמת הכנסה תפעולית של מיליון שקלים‬
‫ז‪ .‬הניחו שההכנסה התפעולית שהפירמה בגובה ‪ ,₪ 700,000‬מהו שער הריבית על החוב בנק' איזון במקרה‬
‫כזה?‬
‫‪NOI = 700,000‬‬
‫?=‪r‬‬
‫‪NOI = r*s‬‬
‫בנק' איזון‪:‬‬
‫‪700,000 = r * 10M‬‬
‫‪r = 7%‬‬
‫מודל מודליאני ומילר‬
‫הנחות‪:‬‬
‫‪ .1‬פרטים יכולים ללוות ולהלוות בשער ריבית זהה לשער ריבית של פירמות‪.‬‬
‫‪ .2‬אין הוצאות במקרה של פשיטת רגל‪.‬‬
‫‪ .3‬אין מחסומים לזרימת מידע בשוק ההון (יודעים הכל על כל הפירמות) ואין עמלות לביצוע עסקאות‪.‬‬
‫עולם ללא מסים‪:‬‬
‫משפט ‪ – 1‬ערך הפירמה בלתי תלוי במבנה ההון שלה‬
‫𝐼𝑂𝑁‬
‫= 𝑈𝑉 = 𝐿𝑉‬
‫𝑈𝐾‬
‫‪VU = SU‬‬
‫‪VL = SL + DL‬‬
‫‪ - VU‬שווי השוק של הפירמה נטולת המנוף‪.‬‬
‫‪ - VL‬שווי השוק של הפירמה הממונפת‪.‬‬
‫‪ - SL‬שווי השוק של מניות הפירמה הממנופת‪.‬‬
‫‪ - SU‬שווי השוק של מניות הפירמה נטולת המנוף‪.‬‬
‫‪ - DL‬שווי השוק של החוב (בחברה ממנופת)‪.‬‬
‫‪ – KL‬שיעור התשואה שדורשים בעלי מניות בחברה ממונפת‪.‬‬
‫•‬
‫הפירמה = לערך הנוכחי של כל ההכנסות התפעוליות הנקיות העתידיות‬
‫משפט ‪ – 2‬שיעור התשואה שדורשים המשקיעים בחברה הממונפת שווה לשיעור התשואה שדורשים המשקיעים‬
‫בחרה נטולת מינוף ‪ +‬פרמיית סיכון‪.‬‬
‫𝐿𝐷‬
‫∗ )𝑟 ‪𝐾𝐿 = 𝐾𝑈 + (𝐾𝑈 −‬‬
‫𝐿𝑆‬
‫המנוף הפיננסי‬
‫•‬
‫אם השקעתי בחברה יותר ממונפת‬
‫‪ – KU‬שיעור התשואה שדורשים משקיעים בחברה נטולת המנוף‪.‬‬
‫‪ – KL‬שיעור התשואה שדורשים משקיעים בחברה ממנופת‪.‬‬
‫‪ = r = Kd‬שיעור הריבית על החוב‪.‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:16‬‬
‫פירמה ‪ X‬ממנופת‪.‬‬
‫𝐼𝑂𝑁‬
‫‪=1‬‬
‫𝐵 ∗ 𝑟 ‪𝑁𝑂𝐼 −‬‬
‫עבור פירמה ‪:X‬‬
‫‪140,000 = NOI‬‬
‫𝐿𝐷‬
‫𝐿𝑆‬
‫= דמ"פ‬
‫𝐼𝑂𝑁‬
‫= 𝑈𝑉 = 𝐿𝑉‬
‫𝑈𝐾‬
‫𝐿𝐷‬
‫𝐿𝑆‬
‫‪12% = KU + (KU-7%) *0.7‬‬
‫‪KU = 10%‬‬
‫∗ )𝑟 ‪𝐾𝐿 = 𝐾𝑈 + (𝐾𝑈 −‬‬
‫= ‪0.7‬‬
‫‪7% = Kd=r‬‬
‫‪12% = KL‬‬
‫‪140,000‬‬
‫‪= 1,400,000‬‬
‫‪0.1‬‬
‫= 𝐿𝑉‬
‫עולם עם מסים‪:‬‬
‫משפט ‪ – 1‬שווי השוק של הפירמה הממונפת = לשווי השוק של הפירמה נטולת המנוף ‪ +‬מכפלת שיעור המס בגודל החוב‪.‬‬
‫)𝑇 ‪𝑁𝑂𝐼(1 −‬‬
‫𝑈𝐾‬
‫𝐵∗𝑟‬
‫∗ 𝑇 ‪𝑉𝐿 = 𝑉𝑈 +‬‬
‫𝑓𝑅‬
‫‪VL = VU+T*DL‬‬
‫= 𝑈𝑉‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הדרך עד למשפט הסופי‬
‫הכרה בהוצ' הריבית מגדילות את הרווח‬
‫‪*T‬הוצ' ריבית‬
‫שווי השוק של הוא הערך הנוכחי שח כל הוצ' הריבית העתידיות‪.‬‬
‫לפי מודל מודליאני ומילר שווי הפירמה עולה ככל שהחוב גדל‪ ,‬זה קורה בגלל שאנו מניחים שאין הוצ'‬
‫במקרה של פשיטת רגל‪.‬‬
‫משפט ‪ – 2‬שיעור התשואה שדורשים בעל המניות בחב' הממונפת = לשיעור התשואה שדורשים בעלי המניות‬
‫בחב' נטולת המינוף ‪ +‬פרמיית סיכון שמתמתנת לפי שיעור המס‪.‬‬
‫𝐿𝐷‬
‫𝐿𝑆‬
‫∗ )𝑇 ‪𝐾 ∗𝐿 = 𝐾𝑈 + (𝐾𝑈 − 𝑟) ∗ (1 −‬‬
‫שאלה לדוגמה ‪:17‬‬
‫חברה א' ממומנת על ידי הון עצמי בלבד ומחזיקה נכסים בערך ספרים בגובה ‪ ₪ 500,000‬הכנסתה התפעולית לפני‬
‫תשלומי מיסים וריבית נאמדת ב‪ ₪ 100,000-‬לשנה‪.‬‬
‫א‪ .‬בהנחה שהחברה פתורה מתשלומי מיסים חשבו את ערך החברה למשקיעים שדורשים תשואה בגובה ‪10%‬‬
‫עבור השקעות ברמת סיכון דומה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הניחו שקיימת חברה אלטרנטיבית (חברה ב') שדומה לחברה א' אך מבנה ההון שלה שונה‪ 50% :‬הון עצמי‬
‫והיתר הון זר‪ ,‬שער הריבית על החוב הוא ‪ 5%‬לשנה‪,‬‬
‫מהו שיעור התשואה הנדרש ע"י בעלי המניות של חברה ב' אם שיעור המס הוא ‪?40%‬‬
‫ג‪ .‬מהו ערך השוק של חברה ב' ומהו ערך השוק של החוב‪.‬‬
‫סעיף א‪:‬‬
‫‪NOI = 100,000‬‬
‫‪Ku=10%‬‬
‫𝐼𝑂𝑁‬
‫‪100,000‬‬
‫=‬
‫‪= 1,000,000‬‬
‫𝑈𝐾‬
‫‪0.1‬‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫= 𝑈𝑉 = 𝐿𝑉‬
‫‪VL = SL+DL‬‬
‫‪SL = 0.5*VL‬‬
‫‪DL = 0.5*VL‬‬
‫‪r = Kd= 5%‬‬
‫?=‪KL‬‬
‫‪T=40%‬‬
‫𝐿𝐷‬
‫𝐿𝑆‬
‫𝐿𝑉‪0.5‬‬
‫‪𝐾 ∗𝐿 = 10% + (10% − 5%) ∗ (1 − 0.4) ∗ 0.5𝑉𝐿=13%‬‬
‫∗ )𝑇 ‪𝐾 ∗𝐿 = 𝐾𝑈 + (𝐾𝑈 − 𝑟) ∗ (1 −‬‬
‫סעיף ג‪:‬‬
‫?=‪VL‬‬
‫? = ‪DL‬‬
‫𝐿𝐷 ∗ 𝑇 ‪𝑉𝐿 = 𝑉𝑈 +‬‬
‫)‪100,000 ∗ (1 − 0.4‬‬
‫= 𝑈𝑉‬
‫‪= 600,000‬‬
‫‪0.1‬‬
‫𝐿𝑉‪𝑉𝐿 = 600,000 + 0.4 ∗ 0.5‬‬
‫‪VL = 750,000 DL=0.5*750,000=375,000‬‬