УДК
ББК
517
22.16
И 46
Учебник удостоен
г' ";ударсшеiiЮ ,i1 ПР'IVши СССР за
1980
год
ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. ОСНОВЫ математического анализа:
2-х
648 с.
ЧШ'
- (КУР"
5-9221"",0',3;; 1.
1: Учеб.: Для вузов. высш;:й v,ат;;матики
Один "З НЫПi' ЮР
«Kypia
7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ,
мнтема'! ИЧ;;i!КОЙ
тъ!' шей математ"к" и математичеiКОЙ ф"З"Кii»
од редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильин·'
';'кций, читаВШИiiСЯ а;'торами
те и ФаКУЛi. ете вычислительно"
А.Г.СвеШНИКОВii. УчебнИ"; создан на
те'Iение ряда лет на ,jШiIП;'СЮiМ 'j)aKi.iЬT;
Mi)TeMa; ики
Дi)РС венного i'IIIIВеРСИ'е а. Книга В'<IЮЧi)е
пр;
и ";ибернетики МОС";овского госу­
еорию вещественных чисел,
;'ло:' и непр; рывн"сти функций, цифi[iеренциа.iЬНО;
ление фун";ШI'; одно" "еременной,
еорию ЧИСЛОВi.Х Р',!ДОВ
iля стущ,нт,,;' ;'ЫiШИiJ i'Iебных
И . ,.
и
;аведений
еорию
и интегральн"е И"шс­
исчисление мно,'их перемеНIIi.ТХ. ВОСJJРОИЗВОДИ ся с 5-го изд.
<Физика»
2005. - ISBN
диффереюпшльное
( 998
г.).
"(;уча iiЩИХСЯ п" специальн, ,сти
<Прикладная матеМi)тика>,.
117.
Учебное издание
ИЛЬИН Бладu.м.uр АлеnсандРО6U-Ч,
ЛОЗНЯК 9ду,"" Ге! JЧtХО6UЧ
ОСНОВЫ МАТЕМАТИ' ШСКОГО АНАЛИЗА
Ч а
т ь
Сер;;я ,Ку! снысшей математ;;ки и математиче, кой 'j.ШЗИКИ"
Р;'дакт"" Д.А. Мирт"
()ригинал-макет: СiJi.Ю. ,,'JеЛЪНUnО6
Подписано в печiТ'·
i i;'чать
ЛР N.071930 от 06.07.99
.09.04. Форм 'т 60х90/ 6.
"'j)с;,тная. 'сл. Ш",.
".и:д. л.
:дат; .iЬ' кая ф"рма «ij "З"Ю.iматемаТИ'Iе' кая
МАИК «Наука/Инт; рп; ""ю. "ка»
.,
Бумаг' офсе ная
j3,4.
(ака
N.I.
N.
,тература»
TSВN
117 i )97 Москв' ,lрофсоюзная ул., 9;;
E-mail: fizmat@maik.rufmlsak:Q;maik.ru
Ы.(.р:/ /w\vw.fmi.ru
5-9221-0536-1
'ПСЧ"'ано с готовых диапо,"'''ВОВ
в ППП «Тшюграфи'"
121099, MOiKHa,
«На,;; .,>.
Шуб;;НiКИЙ ш р.
ISBN 5-9?21-0536-1
9785922 105361
6
©
ФИЗМАТЛИТ,
2004, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
П!>е,i.исловие к седьмому изданию
П!>е,i.исловие к llЯТОМУ ИЗ"i,анию
15
16
7
.
Пред 1С,ЮВИ 1 ' К перво" 'у из" i,атшю
г л а в а
1.
Предварительные сведения об основных понятиях
9
мн"'еМнТИЧ1сСКОГО нн 1ЛИЗН
§ 1.
l\>Iатематические
1ЮНЯТИЯ,
возникающие
Щ1И о 1исании
'11И-
19
2
'!гтювептТ11" скороее
...... .
понятия
3
311даЧ11 о
11
занная с не
§4
§5
§ 1.
1СС111ТТ11влепии З111ЩТ11 Дi1и)кеПИ1i по
матемаТИ'1еская проблематика
'10рО1 ти
И СВZI-
jаключительные;аме';ания
29
31
35
а
37
i
.
Проблемы, 1юзникающие щш ! 1ешении за, "ачи о вы шслеmrn пути
2.
Те11РИ',' вещ'сств'снн .111 ЧИС1',11
Вещественные 'шсла
1.
. . . .
37
Свойства рациональных чисел
(37).
Об и ;мерении отре;кш;
чис./ю;юй оси (39). 3. f>ещс··;веппы;' ЧИСЛ11 и пра1l11,Ю И'1 СР1111пе·
ния (42),4, Приближение вещественного числа ра;щональными
ЧИСЛ11
;!тюжее; В11 вещее; вепп;,г, Ч11сел, огр 11111чсппые
';11 (
све рху или снизу
2
АР11ф",;етич с .' ,;ие
(46).
ош'ра (И11
пад
ВС;1iествсппт,г'
Ч11 С '
Основные СВОЙСТ1 а Ы';1iесты,нных 'шсел
1.
Определение суммы вещественных 'шсел
пие ПРОИЗ1lедепи;; 1Iе;;U'СТ1Iетп;ых Ч11сел
ственных 'шсел
(53). 4.
(53).
50
(50). 2.
Оllределе-
'войе;В11
BC;1ie
Некоторые часто употребляемые соот-
1Ю1i1еr;иZl (55).
HCKoTop1,Ic кт1КРС'1 пые МТЮЖССТВ11 ВСlliествсппых Ч11сел . . . .
Дополнение 1. О переводе чисел и; ,есяти';ной системы счисления
11 Д1ЮИЧПУ i1 И ИЗ дВО 1Ч ЮЙ
C"c1,I1I
11ЧППО. . . . . . ..
1. !ере1Ю, Ч11сел из де1 11Т 1Ч ЮЙ СИСТС"с1,I СЧ11слеПИ11 в Д1Ю11Чную (57). 2. Пере1Ю, чисел из '1юичноii системы счисления
57
'н'сятичнпо Гс9).
Д шо,лте 111е
с
2.
01i1ИП '1а', в Оi'1ругле
11111
';етным и нечетным основаниями
чисел в систе"с11Х
,1етпш
59
Предел
ла
§1
!оследоннт! льности
Iисловые последовательности
ЧИСJЮ!Н,Iе по!',!еДО!!!1'!ел!,тюс!и и ош'рации тпд пи'"
61
((;),
Ог!!аниченные и Н!'ограни'!!'нные последовательности (62)
'!ЩН'ЧТЮ
(63), 4, Оспш
стей (65),
2,
и бескО!!сч 10 маЛ!,IС п !сл!'доват! ,!ыю!'ти
!!ые С!юйст!ta бескО!!еч!ю малы', !юсле, !,о! ат!'лыю­
l:'10дю!!иесzt шн:ледоват! лыю!'Тi!
их о! fЮllПf,IС !'ВОЙСТВ:1
!;7
1. Понятие сходящейся ::оследш ательности (67). 2. Оснш ные
!'BoiicTB:1 сходящих!'я ПОf .fe :,оВ:1тел ,HOCTeii ((;9). 3. Пре':! .П,Нf,:Й
переход внеравенствах (71).
Мо ЮтОТПН,Iе по!'ледоr;:1ТСЛ ,fЮС: и. . . . . . . . . . . . . . . . ..
1. Опре. !.еление монотонных ::оследовательностеii (73).
Признак !'Х:'дIГЮf ти "юнотонно i ПОf .fе·:.ОВ:1те.m,ности (73).3. Неко
7
то! :ые приме!!ы сходящихся монотонных после. !.,овательностеЙ
е (78).
oiicTBa прои !!юльных :юсле. !.,овательностеЙ и 'ш.ювых "Ш:Н !'!'тв . . . . . . . . . . .
. ........ .
1. По. !::оследовательности 'шсловых после. !.,овательностеЙ (79).
2. Прсд! .fЫП,Iе точки посл!' ювате.fЫЮГ
(8). 3.
(75). 4.
§ 4.
Чи!'
Некоторые с!
79
!!ание ::редельной точки у ог!:аниченной ::осле. !.,овательности
(82).
О lIЫ.
С'10.!.Юf!еЙсzt Ш'ДШН:Л!' Юllате.fЫЮ!'ТИ (8,1!).
5. Необхо. !.имое и достато !Ное условие сходимости :юсле. !.,ова­
те.m,п:н:ти (87). б. !екотор ,Ie ПЮЙСТf :1 ПРОИЗfЮЛТ, н ,Г· Чf:СJюr; ,Г·
множест!! (90).
До юлнение 1. Теорема Штоль !а
Допо.mfепие 2. О СКОрОС!
!'ХОДИ\Юf ти П ;сле.юва·f; .fЫЮf Тi: приближаЮff!еii
л а
а
4.
va .......... .
96
Понятие функции. Предельное значение функции.
Непрерывность
§ 1.
100
Понятие фуню;ии
100
!еремсппаzt всл :чип
функции
2.
1и
футн\ ffШ
( 00). 2.
О
fП
;соба'· заД:1'"
(102).
Потш'; ,:е преде.fЫЮf·О зтпчспиzt фупкЦf:>'
. . . . . . . . .
1. Определение предельного значения фуню;ии (103).
"!етич;'" ·\ие опеР:1ЦИИ ЩLД ФУТН1f
значение
(106). 3.
;юп,ши· Фупкций
§ 3.
93
""!еfС;ЩИ'"
С!3
!;иф-
прсд .fЫЮ;'
Сравнение бесконечно малых и бесконечно
(107).
Понятие непрерывности функции
. . . . . . . . . . .
110
. Опреде .. fСТП:С пепрерывтюсти фУТН1fff:И (
2. Ариф" ,;'т :ЧСские операffJШ над не;:рерывными функциями (112). 3. Слож­
ЩLzt фУffКЦИ>f
;'е ffепреРf,IВfЮ!'ТТ, (112).
§ 4. Некоторые свойства монотонных функциii
113
!.елепие
ПРИМСРf,I "ЮfЮтОПТП,Г1 фупкций (
2. Попztтие обратной функции. Монотонные функции. имею f;ие обрат-
(11
§ 5.
Простеiiшие элементарные функции
.
Ра ffЮП
зательная
1.fblT ,Ie
степстп: по. Ю)Кf:·;е. fЫП,Г·
;ия
(120). 3.
ЛОf аршl;ми !еская
117
2.
(123).
ОГЛАВЛЕНИЕ
иш'рболич'р' "ир фУТН'ЦИИ
(125), 5, (}l'('шчmаZL фУf(КЦИct е
(126) 6 Триганаметриче~
любым i1ещ('ственным пака:~ателем
ек (С ФУf(КЦ
§6
тр (ГЩЮМС'( ричеекис ФУf(КЦИИ
"( ( 28) 7,
Пр( дельные ша (ения некатарых 'j(ункций
'(а",рчаf(ИZL
1,
(]Jункппи
в тачке
(133) 2.
О
133
Прс'(( ,fЫЮ Р зпач('пи р
с;аме'iатеЛhНЫli пр е-
дел)(124).
--+
§ 7.
ос
3. Предельна е значение 'I(УНКfiИИ (1
(второй З(1(еЧ1ТСЛ ,f(ЫЙ прсд( л) (135).
Неllрерывнасть и
ФУf('ПИЙ
1.
ПРИ:1;
--+
(ельные значения некатарых сла ((ных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13:'1
Непрерывнасть и llредельные значения некатарых сла ((ных
ФУf( "ЦИЙ
(138). 2.
ментарных
§ 8.
+ 1/:е)Х
ПQfштие 1ле",(еп( 1рfЮЙ ф", ТН, (ИИ. К,щее :,),/Н'-
щй
(142).
Классификация тачек ра,1рьша функции
1.
143
Точки раЗрfНIa Футнщии И И'·
са'ша непрерывные функции
13). 2.
Ky~
(145).
ДОПОЛПСПf1С. Д(Ж(1З(1те.m,1'ТВО УТ1Iерждепиct из П.
1.
Даказательства е, (днственнасти
Щ('1'Т1I(1lIаf(ИZL
г л а В а
5,
(146).
146
Даказательства су-
(1
ОСНОВЫ дифференциального исчисления
156
Ipo 1ЗВОДЩLZL. Е(' физиче1' "аМ И ('('ОМС'! ричееК(1С1 иптерпре'( 1ЦИct 156
1. Приращение аргумента и Фунющи. Разнастная фарма усла11 11! ТН'Пр('рЫШЮСf
(
2.
(.елепие ПРОИЗВОДfЮЙ ( 57).3.
Праизвадная с физическай тачки зрения (158). 4. Праизва (ная
е 1'('омстричеекой ТОЧ('''1 зр(р,
(159). 5. IP1JБ(1C1
леfj(1С1 прои l1ю(ные (160). 6. Панятие ЩЮИЗiюднай BeKTapHaii функции
(160).
2. IОШfТf1(' диффср( 11ffi1руе'ю1'ТИ фУПКЦf11' . . . . . . . . . . . . . 162
1. Панятие диффереНfщруемасти функции
(аннай тачке
(162). 2. с.::ВZLзт, "(('жд"" ПQfШтИZL",(И (ифферспциру( "ЮСf
не lрерывнасти функции (163). 3. Панятие
(Иф11(еренциала
фУff'ПИИ
§ 3.
П!iавила дшj(фе!iеНf(щювания суммы, !iазнасти, щюизведения
166
И чаС(fЮГО
r>ычж ,fСПИС ПРОИЗ1l0ДПЫХ С! ('пептюй фУf(КЦИИ,
'iеских Функциii и лагаРИфМИ'iескай фунющи
1.
'.,тТi1C1
сш'птюй фУПКЦf11'
р 1f'ОПО" ,е'! ри~
.
168
'.е, ючиелеf(Пi,Г' ПОi"аза~
телем (168). 2. Праизвадная функции у =
:1; (169). 3. Пра­
изво".,тТi1С1 фУПКЦf11'
= eosx (
Ipo 1ЗВ 1Дf(Ы" ФУf(КЦИЙ
= tg и У = ctg:1; (170). 5. Праизва,ная
щи
= laga
(О < а # 1) (171).
§ 5.
Теарема а llраизва, ,на
i
абратнай
171
13ЫЧИ1',fепие ПРОИЗ1l0ДПЫХ ШЖ(1З(1ТСЛ ,fЮЙ ф.ПН' (ИИ И оijра'iПЫХ
триганамет!шческих Функциii
1. ПраИЗi
(173 2.
(173
173
адная пака,ательнай 11'.ункции у
'JE,IC оБР(1 ттп ,Г·
аХ (О
<
#
1)
ригщюмеТРИЧССЮ1', ФУfiКЦИЙ
Праllii,Ю дифф,'РIЧЩИРОllапиZL
8.
,ЮЖ ЮЙ фУПКЦii Р
Ло, i1РИФ"'ИЧ Р ""аМ ПРОИ'ШО'i,ТПLZL,
iРОИ'ШО'i,ПаZL С(i'ПС ((ЮЙ ФУi'К
ЦИИ С любым j,ещ' сп енным пока,ателем, Таблица щюи:~вод­
((ЫХ про' 'l'ей" их
,ртп ,рп, ,Г, фУiiКЦИЙ
i,ie"
Попю ие
производпой ФУiiЩИИ
Прои
"азаТ',iС'"
2
'f'i11i,iица ПРOiiЗВОДi'ЫХ ПРОС(iЙ ЕИ'· Э.]П'мсп
(78)
тарщ,[х фпн, 'ий
§ 9.
(177)
щи с любым j,ещественным по-
( 78).
Ию ариантность 'Iюрмы иервого
'ИФ'I,еренциала. Некоторые
при,епсmш дифф,'реiЩ ii1ла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17"
iпВi1рИ'НП
ФОР'Е,[ перво,'О диффереii "щлi1 ( 79). 2.
Формулы и l1равила вычисления диФФерен щаЛQ1' (181), 3. Ис­
ПО.]П,ЗОВi1 Р "
формул
10.
,ифф,'репц ((1,1а
ПРИ",iИЖСППЫХ
(182).
Произ,ю",тп,[с и диффср' iiПiЩЛ
'iiiiX ПОРZLд",ов . . . . . . . 18"
(183). 2. 'п~e производщ,[е
некоторых Функциii (184),3. Формула Леiiбни"а ,ля 'п- i щюиз­
,[
ВЫ,
ие производпой 'п~,'O ПОРZLд",а
во, 'ПОЙ произве".сmш ',ВУХ ФУi'КЦИЙ
высших lЮРЯ ;ков
§ 11,
Диффереп (иа.]П,[
Дифферен"щювание функ ЩИ,ta;анной параметри ,ески
6.
лав
§ 1.
(8,';).
(186).
188
90
;ределенн
Понятие l1ервообразной функции и неОl1ределенного интеграла
190
Понятие первообра:шоii функции (190). 2. НеОl1ределенныii
иптеГРi1" ( 9 ). 3. ОСТЮ,НТЫ;' свой,', ва пеопрсд; ,iептюго ипте~
грала (192), 4. Таблш(а оснО1 ных нео jределенных интегралов
1.
( 9,).
Основные методы IштеГРИРО1;ания.
§
1.
ii',е,'РИРОllапис по час "м (
Г л а в а
. 196
. . . .
Интегрщювание :~аменой l1еременной (по, ;станО1
7.
Koii, (196).
99).
Ко,1(плекеные ',иела. Алгебра МНШО',ленов. Инте-
203
грирг,в;ние В Э, ((;м,;нтарн ,;Х ФУНКЦИ(iХ
1. [< рат кие
203
207
све, ;ения О КОМl1лексных числах
Алгебраи',еские многочлены
Кра', ((Ы,' корпи '·ШОГОЧ"iетп.
iризтп
Прщщип lIТ,C ".елеi"'·
кортн'Й. Ал,'ор 'т'·; Е" '(лидi1
1.
'(Рi1ТТЮ('ТИ ;ор Ш.
ПРИНЦИl1 j,ыделения кратных КОi;ней
i,аиiiо,л,ш; ,'о оiiщего
клида)
§ 5.
Kpa'(i,blx
;.e.JПi';; ,ш
"ВУХ "ню,'очле ЮlI
Ра"ло "ение l1равильной рационально
i
множителеii
;poii; й . . . . . . . . . 2 5
веii,ественн,,;'Ш ко
па произве",СТШС ТН'ПРИ1l0ДИ""Г' lIе"iJ('ТlIетп,ых
...............
. . . . . . 21 7
Ра"ло((,ение l1равильноii рациональной iiюби с j,еНiественными
;оэффициеПТi1МИ тп
ПРОС,; ЙШИ" дробсй
ми коэФ,lнп щентами
§ 8,
EB~
дроби с комплексными
Рi1З,i,,((,ение алгеiiраического многочлена
,ффи ,испта'"
§7
2 2
Нахождение
(213).
;оэфф iЦИi'ТП 1МИ тп (,У",МУ ПРОС,; ЙШИ"
§
2
..
Проблема интегрирО1 ания рациональной дроби
в"щсств; iНП,I-
220
225
ОГЛАВЛЕНИЕ
од ОС'l'рогр;щского
§ 10,
И псгриро;; ;пир ;;ско ;ор;,г,
ирраци ;;;;;,;ып,г,
и тр ;псш''"
ных вы! ;ажений
1птег!;и!юна;р'"
(231)
231
тн'которых триго юмет!;ич, с;:их ;;ы!:ажеп;й
2 Иптегриров;;'""" дроб;ю ,;и;;сй;;ых
(234),
Интег!,щ ювание биномиальных
Иптсгриров;;' 'НО кв;;др пич ;;,Г/ ирр;;ц ЮЩLЛ;,ПОСТ' й по­
(235)
СР' ,;(:тво'"
ш;дстатюво:,/ Эй,,;ср;;
драти':ных иррациональносте
§ 11.
5. !пте;'р;;р:;ватт;;с
i другими способами (239).
'/ва­
':;ллиптические интегралы
а
8.
245
Осна;;н ,Н; т/;ар/;мы а не ,;н'р ,:вных И дифф/;р/;нци-
руе;ных
1.
ирра;;и ;;;;;,;ыю
;иф;j;еренциалш:
'I>YH
Н ;вое опредсл'
"''''
';циях
247
преде, ;ыю;'о зтт;;чсп ш ф/ тн; ;ии
247
опредсл"пи;' преде,;ыю;'о зтт;;четт;ш cl)пн; ;ии. Е;'о ;;,;ви­
1.
валентность ста! юму определению
(247),
Необходимое и
;0-
с; ;;точ; юс ус./юв;;с сущес; вов;;пи;; пр' ,;"ел; ,тт;;го зпачепи;; фупк
;ии (критерий Коши)
(250).
Локальная ограниченность функции имеющей предельное ,:на-
§
чепие
3.
§ 4.
...........................
Тсоре/щ об устойчи юсти зпак;; пепреР;rIllТЮЙ фу;;кции
П!юхо ;;,;ение неllре!;ывно
тю:' ЗЩLЧ'Н'
1.
i Фунющи че!,е,; любое
.................. .
. . ..
252
254
llромежуто';-
255
Прохождение непрерывной функции через ю'л;, при с:ене
:~накш;
(255). 2. П рохо ;;; ,;ение не i рерывной
бое промеЖУТОЧТЮi' зпаЧi'ПИ" (256).
щи
'iepe:~ лю-
Огр;;ниченност;, ф/'нк ;ии, непрерывн ;й н;; сегменте
§
ТОЧ;;Ыi' гр ;;;;; фупкц ;;; и и',
фу;; ';ц;;сй, ТН'Прi'рЫ;;Hoii на сегменте . . . .
. . . . . . . . . 257
1. Понятие то':ной i;ерхней и точноii ни ::ней rpaHeii функции
тт;; ;атп;'"
":;;ожествс (257). 2. дос;
футн; :исй, П' пр"
р ,iEHoii н;; ""гменте, своих тОЧШ,iХ гр;;ней (25:';).
7.
В ;зр;;статт;;с
мум (минимум)
ф/ тн; ;ии 11 точ:,;с. Ло:,;ал ,;;ый
,;си-
. . . . . . . . . .
260
1. Возрастание (уБЫi ание) функции в TO'iKe (260),2. Локальныii
';СИ/iТ' и ло,;ал ,;;ый ми п;мум фупкц;;;' (261
262
8. Тсоре/щ пу.п:' про ;звод юй . . . . . . .
263
Форму,щ коне':ных приращ:'ниii (формущ
§
§ 10. Некото!,ые сле,:,СТiШЯ и,; :j:ормулы Лаг!,аН;:iа
264
1. Постоянство
щи, имеющей на интервале равную нулю
произ;ю,:.ттпо (2(;'1). 2. Услов;ш мопот ;;;;;оСт;' фу iКЦИИ
тервале (265). 3. Отсутствие у llрОИ iВO,:,HO i TO'ieK paipbIBa 1-го
po,n:a и /ттраНIГЮГО раЗРi,;ва (2(;Р). 4.
HeKOTopi,iX нер;;
л:енстл: (268).
11. Обоб,,:енная :j:ормула конечных llрира,,:ениii :j:ормула i<оши) 269
12. Раскрытие неопределенностеii ( iравило Лопиталя)
270
1. Раскрытие неОllределенности i:ида О/О (270).
Раскрытие
тн'опредсл:'тпюг
(272).3. Р;;,' ':Рi,ГiИС п' опредс.п:'п-
>ГЛAiШЕНИЕ
§ 14
Ра;личные фо! ;мы оста то , шого ';лена
Формула l\'Iаклорена
2<8
1, Остато'шый ';ш'н в форме Лагранжа, !<оши и Пеано (278),
Дру;';";аи нъ
'[.. Йлора (28 i ))
Фор";\"л;]
(281)
( iцен ,;а
ОСТ;]';
ных функций
( iцетн;а
281
оста';очтю;'о ч, ;СТП
произво,;ыюй ф,пн; ;ии
(281).
Разложение но фо!;муле l\'Iаклорена некото! ;ых элементар;;ых фу;;кций
§ 16.
(2:"(2).
Примеры щшложений формулы Маклорена
. A.m'opiiT"';
выч iС,iСТПШ чщ:л;] е
. . . . . . . . . . . 285
р; :1,iИЗ:1Цiiii ал!'орит­
(2:"(5). 2.
ма вычисления 'ШСIа е на электронной машине
(286). 3. Ис­
ПО./П,ЗОВ:1 iпm фор",,;У,iЫ\ iаклорена ДШ аси"' !пто'! ичес; их ОП: iЮК
элементарных функциii и вычисления пре, '"елш:
(287
Допо.m:ение. В:,Iчисл: шm , элемснтарных футн: ;ий
1.
Вычи: ,iение
ческих
ЛОГ;]РИф"',;И';i'" :ОЙ И
щй
(290).
Вы'шсление
фУiiКЦИЙ, ПО ,:азате,iЫЮЙ фун ':пии
290
триг:шометри
тригонометри';еских
ГИПСР:>О,iИЧССКИ'" функций
(293).
Г л а в а
Геометри':ес :ле исследование
9,
;;:"гокдени:: м"к:"имал ,ш:гг:
;рафи::д
'1
ун ':ции,
И минимал ",,:гг: ;;на..
':ений фуш':ции
Учас!
мотю'!
300
функц iИ. (iTblc,:aтT ,е
оч:,
:,,:стре\;у""
3(Н'
(300 i. 2. Отыскаочек воз\южно!"о экстр:'мума
).3. П:'Р1l0е до: '!а'!очтюе
условие экстремума (301), 4, Второе ,.остато'шое условие экс­
ТР:'";У;Щ (303).5.
фУНКЦiiii, н:' ,ифферснциру: "ЮЙ 11
,анной ТО';ке. Общая схема отыскания экстремумов (306).
1.
2.
§ 3.
Отыскание у ;астко:: монотонности функции
((;]пр 1i:леiiие ,":.IП'"К юсти гр;]фю':а ф,пн: (ии
Точки перегиба гра'lшка функции.
1,
О i! :е, !,еление точки перегиба, Необходимое условие пе! :егиба
С;
2.
[срво:'
ЮС! 1ТОЧ ЮС ус
,.остаточное условие переi иба
Ш;Р:'Пiба С;
(314). 4.
перво!"о дос; 1ТОЧТЮГО услошш пере!"иба
§ 4.
§
§ 6.
7.
орщ;
(315).
.
Аси\штоты график;] функции
Схема исследования графика ,I>ункпии
ыIc <",апие ""1i:LКСИ"" ,:1:fЪПUj"U и ""1iПТИ"" ,:1:fЪПU1
320
U ЗП 1чепий ср"\ TH~ jj'lИ.
323
минимального
ша,;ениii функ-
(325).
327
Интегральные суммы. Интегрируемость
!{:'рптие
315
;18
10.
2.
3.
Некоторые обоб ;;ения
Третье достаточное условие экстремума и перегиба
[< раевой экстремум. . . . . .
1. Отыскание максимального и
ЦIШ (323).2. Кр 1eBoii :кстре",
§ 1.
,;08
310
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
ТПi)Ю;;" СУ"""';;.!
ие 1Iсрхней и н iЖiiСЙ сум"'
и нижних сумм
(331).
321
.....
(330). 2.
С;юйс!
ОГЛАВЛЕНИЕ
Необ'/оди" 10е и ДОС1 1'1'очтюе У1'
НеКОТОР1,те кщссы щл е1 рирс'е"
Свойство
1
р;шпо"с'ртюй
тн'пр;'рыв ЮСтi 1
Лемма Гейне БорелЯ, Другое
iЮМСРТЮЙ ЩiПрСр;,IВiЮГ
ных сj;ункпий
(341) 4,
ФУТН1ПИЙ
5,
щл е1 рирс'еСЮ1'
335
337
фУТН1ЦИЙ
11,1"
фУi;КЦИИ
(337)
2
10ка;ательство теоремы о рав­
(340), 3,
ИПТСГРИРС'С",Юf'ТТ, тн'пр;'ры;;
Пнтегрируемость ш'которых ра;рывных
Итле; рируе"Ю 1 ';т, "ЮПОТOiПТ ,1'/ ограПИЧ 1 iПП,Г'
ФУi;1П И Й
Остювпые СВОЙf'тва опрсД;'леmюго iштеГР;1ла
§ 6.
344
347
", ... .
.... .
Оценки интегралов. Формулы ере, 1,негоша';ения
1. ; )ЦСТН1" ю;те;'рало;; (3'!7). 2.
ФОРМУ,Щ f'РСДЩiГО з ;аче­
ния (350).3. Первая формула сре;негоша';ения
обобщенноi';
фор',;е (350). 4.
фОР',;у,Щ СР1',;.п 1 ';'О зтпчсmш (35 ).
§ 7.
Сун;ествование
первообрашой
для
Основны;' прави,щ интеГРИРОВ;1НИЯ
1. Существование
(352).2. Остю;нтаzt
форму,Щ ИП;1 ;'рал;,тюго исчислеi;Р
Самена ;;еременно
'; ;;0,
ФОР",;УЛ;1
4.
;;ервообра,шой
непреРЬfliноi';
функции.
. . . . . . . . . . . . . . . .
1,ЛЯ непреРЬfliноi'; функции
(35'!).3.
(356).
знаком определенного интеграла
iпттеГРИРОВ;НТИi; по чаС;i 1 '"
Ос; 1ТОЧПЫЙ
(357).
член сjюрмулы Тейлора в интегральной форме
(358).
ДОПОЛПСПiiС
. Нскотор;,тс lщ)ю;ы;' п;'ра1lеПf'Т1Iа ДШ
ипте;'ра............................ .
360
1. Выво, одного предварительного неравенства (360). 2. Нера1IСПf'Т1IО Гё.m,ДСР;1 ДЛi; ст;м (361). 3. iiера1lСПf'Т1IО iiю;ковf' <ого
для сумм (362), 4. Интегрируемость ПРОИ,;ВОЛЬНОi'; поло;;;итель­
ПОЙ f'ТСП;'"
ипте;'Рiiруемой ф,ПН1;;'ИИ
5. НСР;Ш 1 ';ство Гёль;ера для интегралов (363). 6. Неравенство Минков­
СКО;'О длzt Ю;'11';'ралов (365).
Дополпеп ,е 2. ДОК;1З 1'; (\/П,1 '; ВО УТ1IСРЖД;'ПИi; ИЗ п.
368
лов
Г л а в а
Гео;нетрические и 11;изи';ес '1ие приложения опре-
11,
36:,;
делеНЩ1Г11 интегра, ,а
§ 1.
Длина дуги КРИВОi';
1.
368
Понятие плоскоi'; кривой
кр той
(368).
Параметрическое за,1ание
iШ;i;тие прщ;трапf'ТВСПТЮЙ кривой
нятие длины дуги КРИВОi';
(372). 5.
(,:72).
По­
Достато'шые условия с;;рям­
ляемости кривоi';. ФОРМУ,iЫ ,n:ля ВЫЧИf',iения ДЛИШ,1 дуги '1рИ­
jюй
(377).6.
Д iИПЫ Д1ТИ
2.
Дифсj;еренциал 1,уГИ
iлощад;, ц, юской фю'ур;,r
1.
(381).7.
Примеры jiы'шсления
(382).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Попzt'; ИС К;;1ДРИРС'С\Юf'ТИ Ц, ЮСКОЙ фiii'ур;,r. Площ<щ;, '1вадри­
руемо '; плоской фигуры (383). 2. Площадь криволинеi';ноi'; тра­
Ш'ПИИ
3. П, ЮЩ;1'n:Ь криво,шнейного се '1тора (,:87). 4. При­
меры jiЫ'iисления ;;ЛОНiа,iей (388).
§ 3.
Объемы тел и ;шощади поверхностеi';
. . . . . . . . . . . . . . . 390
Понятие кубируемости и объема (390).
Кубируемость неко­
торых
тел (390).
При""'ры 1IЫЧИf'леi;Иzt обi 1 "Ю1l
(392).4. Площадь поверхности j1ращения (393).
1.
Некотор;,те физичсские приложеmш ОПРСД1',iептюго ю;теi'раЛ;1
1.
Масса и центр тяжести неодноро, "ного стеР"iНЯ
(395), 2.
Га-
395
>ГЛAiШЕНИЕ
а ш'ре"'''тпюй "и.т,r
То юлнение
Пример неква,,"рщ>уемо
Прибл и~енньн' меТIIД
12.
фигуры
i
.1
вычиI ЛI.IНIЯ Ю 'РI!I'И ура­
внений и определенных интI I'ралов
§ 1,
ПриближеННЫI' методы вы'шсления корш
Iiстод
х ,р,
IIИ.lНИ
(404).
(405). 5.
(402) 2,
jieTo, итераIIИЙ
ii ураl'нений
.щ,rх (403),
юва'I' ,IЫП.Г,
Обоснование метода касательных
mша Iие ""'ТОДi1"'ОРД
402
IiPтод
ириближе
(408). 6.
Обос­
(412).
"IеТОДI.r 1IычислеIIИZL ОИРСДI'леmIЫХ иптсгр 1,ЮВ
2.
Метод трапециii
тельные замечания
г л а в а
13.
(414). 2. Мето, прямоугольникО1' (416).
('!20).
]lЛето,n: Пi1рабол (422).
3i1ктс.чи
(425).
'l'еория числовых рядов.
Понятие 'шслового ряда.
.
426
. . . . . . .
426
Ряд и его частичные суммы. Схо",яншеся и расходящиеся
1.
pMДI.! (426). 2. КРИI"РIIЙ КОНIИ С'IОДИ'ЮСТI' Рjща (429).
Два
cBoiicTBa, свяшнные со СХО,I,ИМОСТЬЮ ряда (431).
2. Р ,I, I,Ы С ПО, Ю)К пе,IЫП,Г,IИ Ч"IетТ11МИ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. II"oi>xo IД\Ю" и ДОСТI1ТО IН ,е ус,юви" сходrгюсти ряда по
ло IIительными членами
2. При,шаки сравнения (432). 3.
ПРIIЗЩLКИ Д 1,Щ' ,',"ра
('!3(;). 4. iптеГРI', Iып,rй призтТ11
i<оши-Маклорена (439). 5. Признак Раабе (442). 6. ОтсутсТ1 ие
УПИВСРСI', IЫЮI'О РМД11 сра1lП'"
(444).
§
Абсолютно и условно сходящиеся i;Я, I,Ы
.
•
•
•
•
•
•
•
.
(445
перестаI Ю;; 'IC ЧЛ"I Ю1l условпо C'IO, I"ZLШ"I'ОП' РМД11 ( ! 7).
рестановке TIeHoB абсолютно сходящегося ряда (450:
Ариф""'тичсские ош'раIIИИ тТ11
ПРИЗЩLКИ
C'IO, IИ"ЮСI
Признак ЛеiiБНИII,а
1.
СХОДIiЩИ'"
..
1. Остювпые ШНПIПI" (460). 2.
конечных щ юизведениii и РЯДО1I
До юлнение
1,
До юлнение
пе­
(457).
460
.......
мсжду СХ щи\юстыо бсс-
(462).
Вспомогательная теорема
РаIЛО IIение
О
...... .
Признак Дщшхле-,\беля
(455).
2.
РМД11'"
произво, IЫП,Г' рмдов
Бесконе'шые uроизве,I,ения
Ц2
445
.
Понятия абсолютно и условно сходящегося ряда
1.
§ 6.
!l
ВВО,Iные замечания
1.
§ 1.
402
,,ля п.
3§
466
щи ЮН:1: в бесконечное прои
I1Ie-
,n:ение.
Д ШО,ПТ'
,,'" 3. Обоб нетпп,rе
. . . . . .
рядов.
""'ТОДI,r С,У""'IИр шаmш
р 1СХОДIiЩИХСZL
М('тод Чсзаро (или ''''тод срсдпих 11риф',IетичеСЮI"')
Метод суммирования Пуассона-,\беля (472).
1.
г л а в а
§ 1.
14.
470
. . . . . .
(471). 2.
Функции неСIIЛЛЫ',ИХ переменных
475
Понятие
щи нескольких uеременных . .
475
1, О фунющональных зависимостях между несколькими пеi>е­
"Iетп(ыми 1IеличщТ11МИ (475).2. iЩПIТИIi CBKI" ЮВОЙПЛОС,ОСI
И
евклидова щюстранства (476). 3. Понятие
щи двух и трех
перемсппых (477). 4. ПЩПIПI"m-\IеРIЮI'О ,Шjр,'I1Ттаттюго про-
ОГЛАВЛЕНИЕ
2
Мтю­
5,
'! ва т-' iРРТЮГО е1lКiИДОlЩ простраТfi '! ва
iiiecTBa тачек Ш-Мi'рнага евклидава прастранства
iОПiiТiii' фУТН'пИИ
ш'рс" ,i'ЩП,Г' (4:';2)
CTpaТfi
(4'Ю)
6
iРi'Д(\/П,iЮС зпачстшс ф,ПН'пИИ П i '" 'ОЛi,' их ш'ре" ,i'iПП,Г'
1,
(j"одZlЩИССZl ПОСЛi'Д шаТi ,iЫЮГ
да вам ирастранстве
до" ,тел ,iЮСТР
[:,;3
С1lКiИ
Критериii i<аши схадимасти iюсле-
Панятие
ш'ре'iеННi,iХ
мсрпо'"
11 m
2, Неко'! opi,re i iЮЙСТrc:, ограТШЧ:'ППi,Г' по-
(
следоваТi лы юстей т :чеi"
(485). 3.
точск
11
т- мсрпо", i'Вi"ЛИДОВО"
i,ельнага :~начения
i ПРОСТР:НТСi
4. Бi"',онечно "i:"iые ф,"НЮЩИ
(
[:е
щи нескальких
Необ­
хо, [Дмае и дастатачнае услш,ие существш ания пре, i,ельнага ,ша­
Чi'ПЮi фу"кции (КРИiСРИЙ КОii1И)
ные значения (489),
(488).
П:1lIТОРП
НСПРСРi,ШПi,rс фу" "пИИ "есколт,ки" перемсппых
1.
О ii:е,i,еление
""'HHi,iX (490). 2.
. . . . . . . . . 490
не ii:ерывнасти
щи нескальких iiei:e(iCHoBH:,:e свойства н: пр:'рывных функпиii
нескальких ::еременных
[ро 'звоД,:ы:'
,re ПРii,еЛi,­
(494).
дифферетmяал:,r фупкц 1И пес 'о.т, "их пср: "iеп
ных. . . . .
497
1. ; [астные ::рorввадные
щи нескальких переменных
(497
2. ПО1 Шi ис iяффеРСТЩИРУ:'МОСi и футнщии пес 'о.т ,ких ::еременных (499). 3. Панятие., iифференциала функции
пе:":1.т, "их ПСР;"'iетп:ых
4. ДиффеРСПЦИР:1lIапие сложтюй
щи (505). 5. Инвариантнасть фармы первага ди'l:ференiяал:, (,';i):i).
iРОИЗ1l:1ДпаZl по 1::шр:шле1:ИЮ. Градиспт (510).
Час: 1:Ы:' ПР011ЗВОД1:Ы:' и дифф:'ре1Щ 1:,ЛЫ вы: iНИХ ПОРiiДКОВ .. 513
1. ЧаСi1:ые пр 1ИЗiЮ,iл:,rс ВЫПЩ1Х ПОрii,i,КОi: (5 3).2. Диффере1:­
щалы i'ЫСШИХ :юря, i,кш' (518), 3. Фармула Тейлара i,ЛЯ функ(ИИ
m
ш'ре"iепп:,г,
(524).4. Фармула
iЮ. (527)
§ 6.
с остаточп:,г' Ч,iетюм в формс
Тейлара с астата'шым членам
Лакальный экстремум функции
1.
ПЩПiТИ;'
рс'"
фУi:КЦИИ
уславия лакальнага экстремума
ЛОi"аЛ:,iЮГО экетр:'мума
3.
'Iюрме Пеа-
переменных.......
531
m ш'ре"iеi:ТП,Г'. iiеоi')Х:1Дi1'",rс
Дастатачные услш ия
(531).
СПУЧ:1I1 функции ДЕТ"
ПСР;"'iеп
ных
(540). 4. Пример иссле, i.ования функции на экстремум (54'»).
§ 7. Гр:,ди:'нтныii метод поиск:, жстре" ''''i:, СИ,iЬНО в:,:п,'к юй функ
пии. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
543
1. Вы :уклые мнажества и выпуклые
щи (544).
Сущес: iЮrc нтие "iИТШ' ,У" [:, у сил ,! Ю в: ,rпуклой фУi: ',Пi1И и
i,1Ттс: rcеп­
насть минимума у страга i'ы::уклай функции (551). 3. Паиск
"!Инrг ''''i:, СИ,iЬНО в:,:п"к юй ф,"Нi"пии (,';,';(i).
Да юлнение. О i'ыбаре а::ТИМ<Lпьнага ра:~биения сегмента для Щ iиБЛИ1i:енного вычш ,iения инт; грал:,
г л а в а
1.
2.
15.
Теория неявных
'1
....... . . . . . .
уН:"ций и ее прило""ения
565
568
ПЩПiТi1;' i:БШТЮЙ ф,ПН' (ИИ
Теор; "щ
сущес: iЮrc ,пии
i:БШТЮЙ
щи и некатарые ее применения
1.
Теарема а существавании и
.
iдфференцируемасти неявнай
569
[;НО :~a
{>со.' ,ые то.чки
"шер iНо.сти и п ",СКо.й
',бе( пе'lШ(i1
ii,ест(ю (('ние длi(
пюй фун<((((и
iiе}[нш"е функци
'579'
'JП! е (ГJше ,А("е с (ст( "iЮЙ
(.
уравнгний
58П
о р((зреii'(РiЮС,И сие,
ний
но.
(580). 2.
Вычисление частны'(
опреде'(яемых
ураш(ений
по.средством
(586). 3.
'ро.странства
Зависимость Функцюi ,
1.
фунюшона'(ьных
(586).
58;
. . . . . .
Понятиешвисимости функци
СИ>i10СТ(1
'РОИЗВQ'ЩЫ'( '}"i1НКПИЙ, неяв
системы
l>заИ"iНЮ од,юзна';ное отображение
МНi,жеств ?n-мерного
§4.
функционал( ных ур( [;не
'.
Достаточног усювие нг шви­
(587). 2.
(59<» .
§ 5.
Условны(i, экстремум
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
(591).
IVlетод неопре,'iе­
лгнных мно.жите'(ей Лагран iia (597),
Достаточные усювия
(,98).
(600).
Допол, (ение. ";aii1e,(a переii1е,;ных
602
1.
г л а в а
Пон}[сг (е iiСЛQi;НОГО Э'iссгреii1' ',Аа
16.
Некоторые геометрические приложения диффеерциаiiЬНОГО
§ 1.
ИСЧИСiiения
. . . . . . . . .
606
Оги' ,аюшая и дискриминантная кривая однопарам( трического
семейства
1.
'ЛОСКИi1 кривых
сеii1еЙСТi(а плоск
(>(
ceMe(i'CTBa (609). 3.
КРШJ1,'
. . . . . . . 606
. . . . . . .
Предварите (ьные :~амгчания (б06).
2,
{>дно(,араметрические
Хара'iтеРИС'И'lесю(е ТО'lЮ( 'iР(ШЫХ
{>гибающая и дискриминантная кривая од­
,юпараii1еТРИ'lеСКQiО сеii1еЙССГi(а плосю(х 'iР(ШЫХ
ющая
и
дискриминантная поверхность
(6! ). .
О( ((ба
однопараметрического
сеii1еЙСТi(а понерхнос (ей (бl1).
§ 2.
Со(,рикосновение
iЛОСКИ"i кривы'(
, , , , . . . . . . . . . . . , , 615
ПОН}['l'((е ПОРiiДка сопр((косноне,((ш плосю(х КРШ((,IХ
2, Порядок со('рикосновения кривых, являюшихся графиками
,iп((й [[17), 3, Дос('а'l'О'lШ,Iе iiСЛQi((Ш сопр((коснонеш(',' по­
рядка
3,
n
(б19),
1,
Со(,рикасаюшаяся окружно.сть (б21
кри (((з,(1
2.
Форму (а для
,
Эво.(юта и,шо.(ьвента
Нор ,i1аль к плоской
ПЮСКОЙ кривой (628).
П
622
, ,
Понятие о кривизне ПЮСКОЙ кривой (б22).
НЫ'lисле,нш
§ 4,
4,
Кр(шизна плос,юй кри юй,
.. " " "
62;
'ip ШОЙ (627), 2, Энол "та и энош [(ента
и л о ж е н и е. Дальнейшее развитие теории веще-
632
стнеиных
1. По,'(но.та МНОiiгства ве (,ественных чисе'( '6:32). 2, Аксио.ма­
тическое введение :\lНожества вещественны'( чисел
к (ючите'(ьные :~aM( чания
(636). 3,
За
'641
, , . . . . , , , , , , , , , , , .. 612
ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Особенностью ЭТОГО учебника, отличающей его от других
учебников по математическому анализу, является концепция по­
(ТРО(;Нi,;Я теории ПР()l;<;ЛЬНОГ() значения
111'ПР(;РЫВНОСТИ функ­
ции только на основе определенил
(через прел;ел пос(едовательности).
рого эккивалентного определеник
,ре-lела функции по Гейне
При этом введение вто­
ре,-lела функции
ю Коши
(на «с-д языке»), часто трул;но воспринимаемого стул;е fтами
,ервых курсок откла-l"шается до глаК,,1 8.
После мн )f'ИХ .пет преШЩiШiiИf,;Я Мi1темаТf,iЧi скOl'(\
возникло
('Л(;Л;Нi,;i'
намерение
изменить указанную концепцию.
гол;ы воплощается
при ЧТ(;Нi,if,i
.пеКП;f,ЮffffЬГ<
что в по­
курсов.
Однако \fНогие \fатематикш ИСПОЛi.зующие ЭТОТ учебник,
беседе со мной не советовали мне ЭТОГО-lелать, убеЖ-lая меня
в том, что тем CiiMblM я испорчу хорошо 'ii1pi коменл;оВiШШИЙ ск бя
учебник.
у читывая ЭТО мнение и тот факт, что "та книга рекоменл;ована Ученым
JVIry к изданию в серии 'Классический
уюшерситетский учебник», приуроченныЛ к 250-летию
я
решил
сохра iИть
ЭТО\f
издании
указа,
,ую
концепцию
из-
лuжения.
Сентябрь
2004
г.
В.А. Ильuн
ПРЕДИСЛ()UИЕ киятому ИЗДАИИЮ
Псрвая ча(ть «Основ МilТСМilТИЧС(КОГО аНilлиза» в на(тоя
щем ищании повторяет текст четвертого перераб, ,тан н,го и до­
полнснного ИЗ1\iШИЯ, которос (О1\ср:tкит цслый РЯ1\ УЛУЧШ lЮЩИ:;
Yl'J11 б;шющих
изложение тт 11iенений
13iННИКШТТХ
рез, ,ьтате
чтения 01\ПIМ из {\ВТОРОВ леюшй на фаКУЛЬ1'СТi' вычислитель­
ю'и 1iате.,iат;ш
кибернетики ]\IOCKOi.lCKOrO ГОС1даРСТ13енного
УllИверситеТil"
Наттболее сущеСТ13енные
этттх ттз ,iененттй l,ТНОСЯТСЯ к И ..1ЛОЖСПIЮ приближ:енны:; МlТО1\ОВ вычислсния ОПрl' il'ленны:; ин­
тегралов, к BbIBO;lY ФОРМУ1Ы Теfjлора С ост lТОЧНЬElI членом в
фОР'iе Пеано
ОДНО'iерном . так
многомерных CliY'laях), к теории ОТЫП,ДПIЯ ЛОЮ1ЛЫ1ЫХ экстрсмумов И точек псрсги
ба графика фУНКЦИИ. к и.шожению градиентного меl1ща поиска
ЭКСТРСМУМil сильно ВЫПУКЛОЙ фУНКЦИИ.
Со 13ре,iени 13ыхода 13 С13ет ,ep1301'o издания l',HТТl а CTalia ОСНО13ным учсбником во многи:; ВУЗilХ и УНИВСР(ИТlта.:;. Несмотря
то
l,бщий
ттредыдущттх ттзданий пре13ЫСИ
ТЫСilЧ
экземпляров, КНИГil превр lТИЛ:i·СЬ в f)иБЛИОГР:iфическую ре
КОСТТ',. В целях YCKopeHHil 13ьmуска кнттпт текст ПЯТОГl; ттздания
псрспсч lTЫВil' ТСЯ стсрсотипно
ИЮНЬ
1998
г.
чствсртого из.;ш шя.
В. А. Илъu'l-l
ПРЕДИСЛ()UИЕ К П()Р U()MY ИЗДАНИЮ
в
OCHOIH
ТОрi1МИ
наСТff}fщей
положены лекuтттт
'fитаffшттеС}f
aff-
физическом факультете МГУ в течение рЯ1l,if лет.
написантттт
а13ТОРЫ стре,fТТJЛТСh
систе.,fатттчносттт
изложения и к ВЫ1l,елению Вfi:lкней "их понятий и теорем. Теоре­
ffbl ттграющтте особо 13aff<H\ ю ! 'ОЛТ', , тексте наЗffаны f,СНОfШЫ,(ТТ.
стре,ШJЛТСh также не
fирО(fать
HO(.fblX
понятттй и
теорем за1l,0ЛГОЮ их непосре1l,стве "юго ИСПОЛЬЗОВiшия.
Поря;юк расположения
станошпшеf1\СЯ на
материаЛ ff в книге соответствует
Фак\лТ',тете МГ() П.ifан\ чтения
рса лекцттЙ. В '(астности. и' Юff<ению сттстемати'(еского
рса
в настоящей книге пре1l,шествует гл;шi( 1 «Пре;Шi1ритеш,ные
С;fедения f,б ОСНО13ных пон}(ттт}(х математи'(еского ана;;;г;а». В
этой гшше раССМi(триваются некоторые важные физические Зi.(г
дачи и обсуж:даются математические средства. необ:;одимые для
и:; ре((ff'НИЯ. Таким путем ВЫЯП(Яf'lТЯ тот круг вопросов и по­
н}(тттй, С (шторым llридется иметь де.;ю
курсе математичеСКОl'О
iшаЛИЗi1. Опыт чтения леКЩIЙ показыВi«Т, что
те;;ьное
;lы}(снение
;ЮПРОСО;l.
существенно об;егчает
(,оторым
cTY1l,eHT (м
Ti.(KOf'
пос l}(щен
усвоение
пре1l,вари­
рс
аналттза.
\f(;CTpaKTHbI:;
м 1те­
"атттческттх пон}(тттЙ.
\озро\ шая роль ВЫЧИС1ител ,ной м (тем (тики и приближ:; н­
ных метощш TaKfl<e нашла с;юе отражентте
книге. Именно
этому авторы стремились
носттт ттзложеНТТ}l
нттй. В 'lастности .
13
гл. l(
горитмическая сторон\'
ЛТТШТ', зате"
Ti1M, r;leiTo
возмож:но, к ;iЛГОРИТМИЧ
дока;ателТ',ст13 теоре"
13
flычттсле­
ПРИ(JЛижен
ых мето.;юв вычисле шй и
даю, f,БОСНО;lантте этттх ,1етодо;с.
Кроме осно;шого мате!,иала, а13ТОРЫ
чтттТ',
про;юдимых
пер13. ю очередь Пf,дчеркн\ та а;;­
13fHMOfl<HblM
нетшто! ъ;е допо;шитеЛhные 130П! 'осы
flк;;ю-
напечатанные
меЛЮElI шрифтом.
При наПИСiШИИ fТОЙ книги авторы ИСПО;ЬЗОВ"ЛИ некоторые
меТО;ШЧf скиf' приемы из курс\' леКЩIЙ
. В. Ефимова и из из­
"естных
Э. Гурса Ш. )К. Валле-П\ссена и Ф. Франк;ина.
8
А13ТОРЬ! !'чтттают е130ИМ 1l,ШЯТНЫ!! дОЮ !;м 13ыразттть
б !агодарность А, Н, Тихоно !у ,ia многтте ценные идеи
и ОГРОМНУl!i помощь, ОКi1за lНУЮ
вторы
lШТОР!;} о
ВСС:,
ryбокую
YKaiaIOT}l
,таПi,lХ Нiшиеания
,той
l'луfюкошр lЫ
Ши llMapi"BY, раБОТil
редаКТllРО13анию ЭТО!'l кню И еllосоБСТ13013а;!а знаЧll-
Ti,lK,K!'
тельному ее улучшению.
Авторы иекренНJ'
. Ефимова, Л. Д. КУIРЯВ
пе ,а
особенНJ; А. А.
са большое КОЛll чест13!; меТО,;шчееких пр!'
БУ1I,ilК1 и С.
Фомина за проC\JJ;TP отде;;ьных !а!,' и еде !анные ими заме'lанття, . ХИМ'lеню;
П. З:шкина и А. Зо ЮТi1рев 1 за помощь при ПО,;lготовке рукописи
к печати.
965
г.
ИЛ'UШI) Э. ПОЗИЛ1\;
ГЛАВА
1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ
ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
А
§ 1.
ЗА
Математические понятия, возникающие при
описании движения
1.
М 1ТСМ 1ТИЮ1 изучаст количс<твсн
окр;, жающеГ f '
ст! ,анственные
. )лементар
чалТ".ным
1i1Я
матемаТИЮf
чентте,'
01 ношсния
.
ОГР;ШИЧИВi1.ется
КОJлтчеСТ13енных
И про-
нас мира
лишь
f,тношенттй
и
первона­
простран­
("твсн ых форм, ибо она ИМf"" 1\СЛО в основном
nОС1nОЛ'Н:Н'bl­
м/и веЛ'/t~tif'НДМ//t И с простб\ШИI\ПI геометрическими фиг;, рами
(ТРСУГОЛЬНИЮ1МИ,
Э.;;ементарноЙ
1ШЯ
окружно<тями и
,faTe.\;aTll
механического
П .. Понятий И МСТО.:ЮВ
о;·;азьшается недостаточно ДЛ"l fillиса-
движения
и других протекающи:,
Bf,
време­
ни ПРОfif'ССОВ. Выясним, Ю1.КИf' новы С мат, маТИЧf скиf' понятия
необходимы ДЛ"l ЭТО1 1).
2. ( '0 всяким ПрОfi,С\ ("ом
6fЛ'/tч,it.1-lР , т. е.
го ПрОf
связано ПРf'lставлеНИ f ' о n;p',MP1-l:ifO'Ll
такой величине, которая в ус ювия:, данно­
принимаст различные значения. Бою'" того, в<який
,роцесс хара1·;тери;уеТС"1
в\,личинами,
'UЗ,МР1-l'1-l'U'
ю меньшей мере дВ'
,ере\;енными
'Х:оmорых 6ЗG:U.НОС6ЛЗО,1-l0.
Рi1.ссмотрим, 11iШРИМ\,Р, М\,Хi1.НИЧ\,СКОf'lВИЖС1lИС мат\,риаш,1\ви:tI-сеНИ f ' ПРf'lставляст собой
НОЙ точки ПО ПРЯМОЙ линии.
,роцесс и;менения llO;Ю,f,ения точки на
,ря ,Н,Й JЛТН\Ш
С тече-
1lИСМ времени. С укаЗiШНЫМ ПрОfi,С\ ("ом <ВЯЗiШЫ 1\ве псрсмс
;;е"и ;ины
счет
-
13ре,р
1HbIf'
путь . пройденный точкой (,т на';ала от­
1.
Для :(ар 1ктеристики рассм 1триваемого 1\ви:жения ну:жно
раемся
;ИШЬ ВЫЯСНИТЬ ТОТ круг вопросов. с которым нам в да.·fЬНi'Йшем
(е'." сегре." f1'1'1 .С" К его'! "·l·" фор ·".',лиронка>", а посега-
1)
'РИДi'тся ИМi'ТЬ дело,
2{)
гл
<нать,
ffT начала отсчета находтттся т' fчка
ffeHT 13peZfeHH, т, е, ну 'ffНif <нать зав
u i е1-И '0('0 то'Ч,nоu, от вре, fJeHU
мс,:,аПIКf' Ti)
на каком расст, fzшии
данный мо
ност"!; nути ; про
ю за,шсимость назьшаЮТ!а (оном
ми, ЗiiКОН 1\ви:tКf ния ПРС1\СТiШЛЯ Г
1ШТОРf;} О
1'iаждоz'"
zначению
Иныzш СЛО"fа-
соfюй ПрiШИЛО
Щiемени :с ста,штся
ПОСРf'iСТВОМ
соот"сеТСТ1311е
опреде:тепное ',1начепие пути у, пройдепного точкой '1а время
TiiКOro ро:ш ЗiШШИ]\1ОСТИ МСЖ,:iУШУМЯ псрсмсн
:1:.
ыми х И у,
при Ю,Тf'КiЬТ:< каЖ:Дf ,му
zначению переменной х ставится в соот­
Вс' 1ТТВИС ОПРС1\СЛСН
з ii)ЧСiШС переменной
только
при
ра! С]\1О1 РС ши
,
встречаются Нi'
меХi,шичеСКОГОШИЖСПIЯ
Тf,ЧКИ, НО И при fюисании других фишчески«
Мi)ТСРИi),ЛЬ
процессов.
,\БСТРi)ГИРУЯСЬ от конкрстного физичсского СО1\срж:а шя перl­
ZfeHHblX :с и у, Zfbl llРИХОДТТ
ОдНОс'" иz
чсски:, ПОНЯ1 ий - n01-i,ятш{) фУЮ;;ЦUU 1).
Если
13а l,нейших Zfате,\1аЛ1-
'с"р;дств (М
'.
;,отUР02с
nа:ждому
ощ " деле1-i-
зна'{ениI0
что
ное 31-iач"
nере.м, 1-i1-iа,я
Л'fет,с,я
При этом ПСРСМСННi)Я
наЗЫВi)Г1ТЯ аргУ.менто.М ра! см )три
функции, а СООТ13еТСТ'lующее даннос'"
zначение llереМС i НОЙ
назыВi)Г 1ТЯ 'f.lJCm1-i'bl.М 3Н!! '{ение,\" ФУНЮ lЛИ в точке х.
,1:ш ,6 сначеНИz1 ф\ Нi'iЦТТИ ис "'ль (, ются следующие си ,f130iibl:
у
=
у(х)
у=]
или
J,
в ",следне z ' обошаченш БУК13а
на ъшаемаz1 характерllСТИКОЙ фУНЮШИ, ПII\IВОЛИЗИРУСТ ую)зан
выр'" правило. Ec~
КiаСС\1атртпаЮТСZ1 рашТ',те функции, то д:ш обозначенття
:,аР:Jктеристик употреf'ЛЯ1 J1'СЯ разн ые буквы. ПО1\черкнем, что
ДЛ1 обозначеНТТZ1 аргумента
функцтти 'Ю',lсе не обязательно упо-
(fYKBbI
переме iНi)Я
рттстттка этf
S
и у. Напримср, запис
является ФУНКllJIей
S = h(t) означаст, что
lfprYMeHTa t, причем xi1paKTe
,t'\ функцтти обозначена б\ к,юй
Как перемен ,(lfЯ величина, так и ФУНЮ lЛЯ обычно :,аР:Jктери­
з\ ются разлттчными Ч:ltCJlе1-i1-iЫМ:U 31-iаЧJ1-i f'fMi;,. Поэто <', угл\ бле­
ПIС ПРС1\СТiШЛСПIЙ ofl этих понятия:, Тс'СНО связа 10 с неоБХО1\И
МОСТ' '" Рi)ЗВИТИЯ теории вещеС1 венны:, чисел 2 .
1) Вне lение
',JатеfJаl'ИlZУ ПОН}[ТШi
го анг'LИЙСКОГО ученого И. Ньютона
f'lЗf,шают с и ,Je"e ,,; неШfКО-
(
2) С'седует отметить, что понятие функции и понятие числа относятся
тасс "аЗf,шаеМf,!,J 7iа'tаЛЫiЫМ nО7iЯrnuям. Каж,'юе из "а'ШЛf,н(,!Х ПОН"Т"Й
мо «('т быть ра:~ъяснено, но всякая юпытка дать опреде',ение нача',ьного
по "ll'И"
СlЮДИ ['С}[ К за,Jе"е
опре,'<еJше,<ю,о по "ll'И"
нача' ,ьными понятиями читате' ,ь :~HaKOM иl
ным понятиям относятск например,
ЭК llшалеНСГНЬ!,<l.
'<' ,ем('нтарного курса.
нача' ,ь­
l<ШЯТИЯ ПРЯМОЙ'LИнии и П', <скости.
21
ВОЗНИКАЮi iИЕ ПРИ ОПИСАНИИ
'iCP013
нкпттй
пройденны пеj'13i,на';аJlЬНО непо
i'ассмотк)им нспсо;,ько
1) И.ше~тно,
ть
1\ви:tк 1ОЙ мат, риал ;ной точкой при П;i"'НИИ по
т};
,а
"'йствием силы
о "РСДСJlяется
::)ш форчу:та и предстап:тяет сооой ПРdJШЛО, посредстпоч кото­
рого ЮiЖЛОМУ зн iчению переменной
значентте ттере ,iенной
t
стави; ся в соответствие
т. е. оттредел};ет
нкцттю аргу­
S
t.
мснт;\,
2)
S"
Пi'
,акон,
находящттхс;
два раШOIII\Iен
на расст; ,янтти
r
ых единичньт:<
др, г (,т др, га,
,аряда,
пртттяпт iаютс};
с
(илой
р=
с
НСКОТОР;iЯ конста iT;\,. ЭТ;i фОРМУЮi т;ш:tке ПРi'iставляст
10, llOсреДСТ13 i 'М ког,ро;
;,)аждо,'"
значенттю
;ере­
мс jj1ОЙ
(т шится В (ООТВСТСТВИi' З i;iЧСНИС переменной Р, т. с.
-
llра,ш
iю\,еде
;};ет
ка;,)
нкцттю
,ieHTa r.
ар;
шу:; примеР:iХ пр;шило сопост шления аргумен-
'М!!'ЩU
та
З;iШ
Н;iзывастся
т, 'iч,е,
)iMYJ'
i,i.
j
аю
,,'}
СПОСi ,б
Шii JЛ"U-
f,'/kM.
;iРЯ,;iУ с этим спосоfюм су НС, тву
ют И ДРУl'ие с; ",собы ,адания функ­
пии. Отметим некоторые и' них. В
пр;\,к ;'ике фИЗИЧi'СКИХ измерений вссьа
",требитеJlен m.аБЛ:U'J'Н:Ы'й
З;iШ шя фу Ш:iiJПI, при котором
ТТТТСhшаютс};
ШIЯ
13
.iprYMeHTa
значентт};
штде
и
табшщы
cooTBeTcTBY;i"'
у
"об
вы­
,на';есие им
Рис.
1.
нкптттт. ЧаСТi, ,а",исттмость
МСЖ,;iУ аргумснтом и функцией за1\;i'Т,Я ПОср,'iС ;'вом ГР;iфика,
которы,}
например, снимается на ОСЦИЛJlографе. Такой СПОCi,б
заданття Функцитт назьшается гlюфU'JРС'Кi{,М 1).
3. Потрсбности физики IШОГ1\;i ПРИВО1\ЯТ к неоБХО1\ИIlIOС; и
и" чения функпии У = f(;r
аргумент;т KOTOpi,,} сам предста­
вляст (оfюй некотору;р ФУНКiiJIЮ х = rp(t) нового арг:рIСНТ;i t.
В таком сл, чае 1'0 , юрят,
чг, У
;редста13л};ет собой
,JIC1-iУ'j{,
ФУ'!!,'Х;ЧШО ОР,,'У,М, '!!,m.п t,
:Е Н;iзывают npO,MJJICymO'f1-i'bt,М аргумсн­
то",. Эт, CiЮ",Н, ю функцию мо "ю, ,аттттсать 13 след, ющем "иде:
У
= J[rp(t)].
ассмотрттм следующттй
Дуст"
мат, риал
окруж:ности Р;iШУCii
1
равномсрно
скорос;'",'
Под!, ;бн\"€ О С u;собах задания функции СМ. Г
•.
(;J
4.
BP;i,
(рис.
по
22
гл
:акон ДilИli l'НИЧl ПрlН кции У эт"й точки на НСlШТОР\
Jlежащ\
13
ПJlОСКОСТТТ
ОС'СР,\ жности
прОХОДЧlЩ\
ось
через
ее
',снтр О При этомн'м счи "ать, что в момснт врсмсни t - О
ТОЧlШ М находтттся на "си
Об":НС1'lИМ чсрсз у координату
РllссмаТРИВill мой проею!Ли
оси Оу, а через
угол
01/
{ }чеiLИДНО, что у
R со!::с С дру} ой СТОРОНЫ, ",скольку точка
дви:tкется по окруж~пости с УГ:ТОВО:Й скоростт,ю
wи
В момент вре­
мсни t = О НlIХО1\ИТСЯ
оси 01/, то х = (lJt. ТlШИМ образом, у
!редста13JlЧlет собой СЛО:JfC1-lУЮ
аргум,нта t: у
R cos
г
:с =
или
= R cos (l.Jt.
ЧТО 1\ви:tкение по ЗlIКОНУ
У
cos wt механике на ..:Т',mают гарМО1-l'lt'JРС'J);ifМ 'J);UJuба1-l'ltР.М.
=
=
2.
МГНОВОНН!lЯ скорость И свя!!анные
матеf\нати'!еские
функция у =
1.
f(:c
ней новые
[о!нятия
llредста" !яет соб"i[ ·;аlШН ДШlже-
[шя мат, риальной точки по оси Оу. Для Хllрактеристики 1\ВИ~
жеНТТЧl 13аl!lН!Ю П"Jlh играет поняттте C/JPJ1-lРU С'J);l,/юстit,. ВЫ'lИС­
лим сре1\НЮЮ скорость VсрJВижущеii:ся точки з,! промелеуток
,срементт от
до
+.6. , где - фИКСТТРО13анный МО.\[ент "реме­
нтт .6. сУ - неlшторое прттращентте 13ре\[ентт. ПОСКОJlЬКУ
МО.\[ент
времени х 1\виж~ущаяся точю) на:;о:штся на РlIССТОЯНИИ
нача!iа
f
.6. у
oTc'leTa а 13 MO.\leHT 13pe\leHH сУ + .6. сУ
+.6. х), ТО
f
+ .6. сУ
=
f(x)
от
на расстоянтттт
ПРОЙJl нный точкой Зl.l вр' мя .6. х, рав, н
ПОЭl "му средняя скор"сть Vcp равна
.6.
-
-
f(;Y .
_
'::::'у
_ f(x+'::::'x)-f(x'
.::::.х
6х
Так как момент Щ емени сУ фИКСЩ ован, то и: послед Je(\ фор­
МУЛЫ ВИ1\J!О, Чl О !\:р являстся
характеРllСТИКИ нера13номерно}
!Лей
Д lИl!lения
aprYMCHTll
х. Для
нарчщу со средней
скоростью, (ЮЛ ,шую роль играст понятис .\4УjЮl1-l1-l0U C'J);opocmu
в 1\l.lННЫЙ MOMCJJT вр(!м(!ни х.
JИг1-l0вР1-l1-lUU lf,ОРШП;ЪЮ
llРОСТО C'J);upocmblO 13 MO.\leHT
времени х НlIзывастся число, к которому приближ:астся з JlIЧСJШС
средней СlШР, ,сттт
_ f(x+6x)-f(x)
v cp 6!Б
ког.:ш ПРОМl'Ж~УТОК времени
.6. х
'
стреМИl ся к нулю.
ФllзттчеСlше lOНЧlТllе
Нi.шенноi: СlШРОСТТТ я" !яеТСЧl ист"чJШКОМ важного мат(!матич(!ского ПОJJЯТИЯ nроuз/юд1-l0U.
ЯСh "т конкретного фИ;И'lеского c.\lblCJla функции у
(х),
MblJeM
~
НlIзывать nРОUЗ60д1-l0Й этой фУНК!!JШ в фик.
".. 6 у
СИРОВilНнои ТОЧКl' :с Прl' н'л, к которому стреМИl (я
f(x
+ 6х)
6
!Б
- f(x' пртт
.6.
стремящеМСЧl к н\ ею.
1\poZ:b 6
х
=
МГНОВЕННАЯ
2
iпсрацию
CKOPOCTl,
ЩЮТТЗIЮДНОЙ
дu,ффеffе((,v,u])
ПРТШ}lТf'
юдна}f функции у =
фИКПIРОВ шной точю'
ИСПОЛЬ1У}i ТТЗlfестны
fifЧiff тся символом
наЗЫlfать
данной
J(f
(х) или
(х)
СИМ130Л д;ш f,б"lна'iения предела, lН,ЖНО
З;.шисать
{(х)
=
/:::,.у
liш
=
~x--+o /:::,.
~x ,о
ассмотрим некотOf ые ПРТТ\lеры.
\ычислим MrHOBeHHYiff скорость м \теРИ,iЛЬ юй точки, п;\
дающей
дейстштеl' сттлы ТЯf;fесттт. Пf;СЮШЬКУ закон двттжеНИЯ этой ТОЧКИ опреде;lяется функциet'\ S = gt 2 /2. то пут;. L::l
1
ПРОЙ;lf'ННЫЙ точкой за проме:tкуток врсмсни от tю
t+ L::l t,
Р \Всн
gt2
g(t+/:::"t)2
2
ПОЭi (;му СI едняя сю ;pOcTb ..la
же промеле
/:::,.5
време ш равна
+ f.L::l
t.
2
тt
v cp =
. ток
СЛf' ювателыю, мгновенная скоро\ ть V В фиксирова lНЫЙ I\1O-
lfeHT
lfремени
t
раlша
v=
l~~o ~
l~~o (:t
=
Факттт iески М"Ы 13Ы
2 L::l
t)
=
gt.
проишодн\ Ю Функцитт
T,iK что МЫ можем з;шисать Sf
i:t2/2,
= gt.
ВЫ'iИСJЛТ
проишодн\ю Функцтти У
:с n , ((де 17. uе;юе
положитсш;нос число. Фиксируя
и (;сря произвош;нос L::l х, по­
Л\ чим, испош; lУЯ бин;;м НЬЮi filla,
L::ly
-lл
+n(n1).;-2
Л у )2+
L...:>.X
--2-;;
L...:>.
= (x+L::l.r)-
По (тому СрСll,няя скоро\ ть
на у (астке (;т ;Т Дf; ;Т
/:::,.у
/:::,.х
+ L::l;T
+71(71
/:::,.
(;
/:::,.
... +
=1
измс lСШIЯ
ра13на
)x n - 1 L::lх)+ ... +(L::l
СЛf' ювателыю, ПрОИЗВОll, l;\Я в ll,;шной фиксирова lНОЙ точкс х
ра13на
у
I=
l'IШ [n;т n-l+ 71(71-1) i n-J(л
)
L...:>..i.
~x--+o
2
\n-l]
;
-. . . . . . . .
. n-l .
n,т
]\IbТ ШiДИ ,что дл}i lfЫЧТТСlения lРf;ИШОДНЫХ Фунда\iента;lЬ­
НУЮ роль играст понятие Прf·ff·ла ФУНК;;JIИ. Уточнение этого по­
H}iTH}i 13 перв\ ю f;'iередь с f}iзано с необходимостью БО;lее дета
ного выяснения с;\мого по lЯтия функ ;ли, переме lНОЙ величины
и В' шсствс llЮГО числа.
[[СС[
iЮ<;НИi[дi/'''<
в
"ы iислеi
нов
/ie
ия
iipОИ>
/[ТИ'i/ Сi/И/<
в шросы
<5аЙ\ii\[СЯ
Вi/iЧИ/[/НИ/<
<про
/[водной
/ируя :г и беря прои [вольное
iИИ
:г, ш тучим
ЮIlХ
= :2 L:Ш,
I -)"\
2
а111 - .
2
~) sin(6x/2)
2
(::::'х/2)'
~Y = cos х
uX
Таким обра:~ом, для вычисления прои:~водной функ ши у
= sil1 Х
в т )чке х нужно найти след'[/'щий предел:
·
11т
6у
-<
..:,х---+о::::'х
= l'1т [cos
..:,Х---+О
х
+ -::::'Х)
Sin(6x/2] .
2
(1.1)
(::::'х/2)
Естественно ожидать, что при фиксированном х
cos (х
+ х
шако не всякая функция у =
х
1im f
..:,Х---+О
J( х)
- cos х.
( .2 j
обла щет свойством
~) = f(x) .
ФаКi И'iеСi/И Э'i о СВОЙС'i iЮ ОЗiiачает, что [/огда а! гуме;
фУiiКЦИ
стремится к числу х, то соответствующее значениеiТОЙ функ­
ци стре\
к числ' f(x)< ФУiiКЦИ
обладающие таким СiЮЙ­
ством, наiываются неnреР'Ы6н'ы,м,и в точке х). Понятие неnре­
является одним из важнеЙi !ИХ математиче-
pblGifOCm'u
ски
ПОiiЯТИ
Для вычисления предела
1.1), кроме пре< iела (1.2)
нужно
вычислить еще предел
sin( -'r х /21
(6 ;1))
( .3 j
Этот предел играет важную роль в математическом анализе.
Ег() часто называют nС'рО'Ы
", замс"члm[ ЛЪ1tt,/М
Доказы­
вается, ЧТОiТОТ предел равен едини [е, и по)тому предел
1.1)
pariei cos х.
Итак,
У
х
(sil1 х)' = сон .
в Ka'ieCTBe второго iipимера iiЬПИСЛИМ ПjЮИЗiЮДiiУЮ фУiiКЦИ
= log a х. Фиксируя х > О и беря произвольное Д. х (такое, что
+ д.х
,ПОЛ' iИ\
Д. У
=Iog a
+ Д. х
-log a
х
=Iog a
(
+ хх
"Т!
о fснща
1
:[;
для вычисления прои:во !Ной функ fИи У
l·,).КИМ
= iog a
[У;'КНО н, йти
~u
l ',Пl -
1
(1+
-.10:'
;L.a
6х---+О ~x
)тот
-
-~) lx] .
Х
Расс\ютри\ предел при х ---+ О fibIpa;'Kef ия, стоя него
ных скобках. Он сводится к пределу
таf<же иг!)ает ва;,кн"
лизе.
-
fел
квадрат­
роль в математическом affa~
часто называют 6'J!'OpN.M, 3/i.м,е'ЧЛ'J!'еЛЫiъtМ nредело.м..
Дока ъrвается, что . ;тот пре. fел существует. След.уя Эйлеру 1),
число,
юе это\' пределу, обозна',ают буквой е 2, . е.
1im [(1
!;---+О
fibI' ,ислеf
в формуле
СОfласно
ию ffредела
1.5
е.
(
служит величина
(1.4)
к е при д.х
(1.5)
l/h]
+
стремящаяся,
О. Если логарифмическая ФУНКffИЯ
fепрерьш, а, TOloga[(i +---.::.) ~x стре\ШТС>f к
iog a е
О. Iаким образом, для нахождения пре.fела (1
Юfiать непреРf,!ВНОСТ"
fеСf<ОЙ ФУffКЦИ
вать предел
(1.5).
нужно обос~
и испо.ш,зо~
Предполагая, что это сделано, мы получим,
f)afief -1.!oga
что предел
Д. х ---+
е.
И
так.
;т;
,
1
(log a х) = - 10g a е.
х
Здесь мы не бу [ем вычислять производных fрУГИХ простейших
эле\!ентаРffЫХ ФУffКЦИЙ:
= cos х, у - tg х, У - ctg х, У -
= arcsil1x, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х. у = аХ и у = ха,
где а
-
люб,!е
fИСЛО. При
fibI'
ислеf
пр' !изв,щНf,'
Э'f их ФУf [к-
;ИЙ не во:~никает никаких новых тру !НостеЙ. кроме YKa:~aHHЫX
1) Леонард Эйлер
707- 783) - великий математик, член Петербургской
АК;11\i:МИИ Н)1';К, большую ч 1ПЪ }кизни прове.;
России, по происхождению
швеЙцат,е,;.
2) В § 16 гл. 8 БУ1\ет ука;ан способ вычисления числа е с любой степенью
точности. Та'" ;;;е нрипед' п Рi:ЗУЛhТ)1"
f\Ы';ИС;;'ПИ'" ЧИСЛ)1 е на Э.f' ;;трощю~
вычислительной машине с точносты;,
10 590
,~HaKOB после ,~апятоЙ.
Вf,fПТ'<
"'<нни.
fТОС rейтпих
для
Э.m "'нт, liffbТX ФУffЮ
ЛИ!
fЬ
ш"",мечательных пре fела
ПрИ!,едем
функ шй
[У fТОИ 'fЮД [ых fтостейптих эш "'нт, liffbТX
(:1/")' = a:гa~
ЛЮ()Оi число
20. (loga х)' = 1 loga е. в частности, если а = , то (loge .г)'=-.
l'
х
х
в частности, если а = е. те! (е Х )' = е Х •
30.
= аХ 10;';e а,
4 о. (sin х у
cos х.
( cos х)' = - Hil1
i . {' _
1
6 0. ftgX}
--2-'
-
СОБ
1_
70. "t.
. gX i\' -___
.,'
SШ~ Х
80. (arcsil1x)' = ~.
9. (arccosx)'
10 0.
(
агс
= -
~.
1 - X~
t·
1
g х}{' -_ --<-<2'
110. (arcc1gx)'
+,
=
--1-2'
+х
Вf,fчислеНИif производш"
ИРОfiОГО fiласса фУffКЦИЙ
след.ует присое< шнить к указанной выше таблице производных
3.
nра6!IЛО д!Iффереi!.'Цu.рО6аi!.'UЯ СЛОЖ1lO'U фУ1l'К'Ц'U!I, а таfiже nра6!Iла
дuффере'tt'ЦUРО6mшя i ум.лiыl. РfiЗНОСП 'И. nРОUЗ6еденuя u 'Ч.астного
фУ1l'К'Ц'UU. СФОРil'
ди l'фереfЩfiРО ,ан iif СЛОЖfЮЙ
ФУНКiШИ У = ЛХ), гre х =
y(t).
Для 1lахождеi!.'UЯ nРО!IЗ60дi!.ОU
СЛОЖjiОU фУ1l'К'Ц'UU У = J[y(t)] по пргументпу t 6 д:mноЛ П'о'Ч.!,е t (ледуепt,: 1) 6ыlч.uс--
лить np0'U360a1l'if1O у' (t)
= у( t) 6 то'Ч.'Ке t;
6ы'Ч.!IСЛШnЬ nРО!IЗ60дЩj1О Г
у = .f(x) 6 mл 'Ч.'Кi , х. гдс
:г = y(t)· 3) nер,'.лiно.жuт'lJ У!дп! mныle nроuз60дны •. Iаким об­
разом. производная СЛОЖfЮЙ
= .t[y(t)] \южет быть
найдена по формуле y'(t) = .f'(x)y'(t). Сле<fующие рассуждения
)iаЗЪЯСНifЮТ СfIЮ)i\'УШiРОВafшое iiравило. Придадим a)irYMef
в точке t произвольное приращение
t О. Этому прираще~
t
ию соответсл,ует ЩНiращеf ие L::l х =
Х = y(t). Полученному приращению
щеfше L::l
.f(x L::lx) - /(х
+
)пуская случай
х
=
0<
i-
+ L::l t)
у( t) фУf fКЦИ
х соответствует прира.f(x) ТО' fie х.
рассмотрим отношение
у
!::,.
!::,.у
!::,.
х
"Т!
1iш ~
.6.(,---+0
и
:т;
ffеf)ВОГО из Э'f их пр;щ ЛОВ ясно, Ч'f;) при ~
1i~ ~ (ущ;ствует и Р;Ш;Н
!\!---+f!
Пр Ш{Щ'
т
j'(:T)<p'(I.)
1
t
у(,)
У!=
j'()
,(,)
:Г<р!
'!ТШРf, ffрешила Дffфф; р; НЦИРОВ;!ffИЯ
llOСПi. ПРОН,Шlдения
Ч<1СПlOГО
имеют ПРОИЗfЮДffые):
[u.(x) ±
\fbТ, ра,-
(в предположении, что
± vY(x),
(х)
х
, ТО
ii(x)v'(x)
+ и'
и/(х)u(х)
(х ),
и(х)u/(х)
;2({)
Покажем, например, как можно вывести вторую из . утих фор­
мул. Придади
арг\{еffТУ х ffРОffЗВОЛf,fюе ffриращеШfе ~ х /::
которому соответствует
~y=
fриращение ~ у функ ши у
(х)
+~x)v(x+~x)-
х
+ ~x)[v(x + ~x
=
и(х)'и(х)
-
+v(x)[u(x+~x)
п(х)]
+~x)~v+v(x)~'U.
Таким образо\!,
~
..
1. ак
как
х = и(х
+ ~x)
существуют пре. fелы
6
х
6
+ 'и(х) 6х'
~
.l'lШ -,
-
и
=
,
и
{',х---+О .т Х
и
и:~
существования
что liш и(х
!\х---+О
и (х )t..' (х)
+
!'
~x)
=
первого
и(х), то 1iш
.6.х---+О
и:~
6
. утих
х
.
60
11Ш
.6.х---+О
пределов
х
=
ясно.
существует и равен
(х) и' (х).
Рассмотрим
несколько
примеров
применения
указанных
правил.
1)
IJычислим прои:~водную функции у = си(.г),
[е с
-
неко­
торая пост\янная. Леf ко проверить, что производная ш!стоян­
ной равна нулю. Поэтому по формуле шфференцирования про-
изведеню! ПОЛ' fИ\
\У = си' (х\.
2) IJычислим производную функции У =
19 х. Так как tg
sin х
= - - то по формуле шфференцирования частного получим
сос' х '
и
(SiIl !() СОБ х - с! У Х ( СОБ х) I
1
( 19
cos 2 Х
х
!) Если шаменатель
имеющей пре1\ел, стремится к нулю. ТО и
числитель {той 1\роби стремится к нулю.
Вf,fЧИ'ЛИ\"
че'
f<олеб,)
Kiie
фУffКЦИ
'OH(:,;t,
r
р,
г,)р\'р"
где А,
iЮСТОЯНШ,fе
ть эту фуню щю как сложную функ шю ви-
+
У - А (ОН
гщ
д По
'ложной функции получим
y'(t!
где х =
wt +
(Асон
'щliфереfЩ
i!IO
i,'НЮi
д)' = -(А
\'
. Поэто\"'
y'(t)
=
д).
-Awsin(wt
!§ычислим прои:~водную функции у = aarctg .
рас-
сматривать эту функцию как сложн'
функцию вида
= аХ,
где х
arctg t. По правилу шфференцирования сложной функ­
=
ци
iЮЛ'
где х =
iИ\"
y'(t) = (a X )'(arc1gt)'
arctg t. Поэтому
( а aгctg t), =
(a'loge a )
=
а
arctgt
1"'rrg'
е
а
С+Т 2 )'
•
t2
Сформулированные выше fравила щфференцирования и табли­
ца производных представлянп собой основной аппарат той части
математического анаЛИiа которую обычно наiывают ()uфф,рен­
'Ц'uаЛЪi{Ы'r'!!,С'ч,'uслеj{,'uен. Таf<И\" образо\!, ОДfЮЙ из fiюrКffЫХ заfач дифферешщального исчисления является обоснование всех
tlюРМУЛ таб.iiЩЫ производш"
правил
ЩiiРОfiаНИfi
суммы, разности, произведения, частного и сложной функции.
4, ВЫfiСf
f,fел iiJЮИЗfЮДfЮЙ. С этой
целы, r расс\ютрю.
у =
х
1) (рис. 1.
!усть
точка NI на графике функции соответствует фиксированному
Зffачеf ию aprr\,effTa х, а ,ritчка Р - зна'iеfШf rr х
L:::,. х, где L:::,. х некоторое приращение аргумента. Прямую NI! бу [ем называть
СС'Х'i!jЩСU. Обозначим через tp(L:::,. х . геш, юлорый itбразует эта
секущая с осью Ох (очеви, !.нО, что 'iTOT угол . ,ависит от
х).
КасателЪi!ОU Х' графu.Х'у фУ1lХ''Ц'U!!
(х 6 то'ЧХ'е
буде ,r,
'}-ш3ыl!J'п'ъъ nредеЛЪ'l-tое nОЛО.женuе С; !rущеu
nри с?лр,'.Л1,ленuu
то'ЧХ"u Р Х' то'ЧХ'е М по графuХ''!/
'Что то же самое. пр!!
L:::,. х ---+ О). Из рис. 1.2 ясно, что
+
х)
IaK Kaf<
при L:::,. х
PN
J.lvfN
сек.' iiiая
ЛХ
у
х)
- лх!
~
NIP
переходит в касате, iЬH'
х) =
1)
+
~
Те!
tgtpo,
ГрафЮiОМ ФУТТКiiИИ у = f( Х) ттаЗЫП:НiТ;
','
Г, ;;r,r(i"'РИЧССЮ:"
точ,'"
плоскости, ,i1.ЛЯ каЖ,i1.0Й и: которых ОР1\ината есть :~начение у :той функции,
;;;;;ТПСТ; тю,'ЮЩСС :1[>СЦИССС Х.
ве,' СТА!
угол, [<отор ,fЙ
гой
к, 'С1тельн,.Ш
ОСf,Ю
дpy~
CfOP )ffbТ,
liш
6х--+О
19 ',0(6.
..1................................
ю,
оси
' .......... ' .............................1........... ' .............1....
=
Г (.г)
6хО
Т, [те!
tg'Po
УГЛ)j
ЩШ\ ))й
Н<13ЫВd.ЮТ 7/2ЛО6Ы,Л1 ttооффu'Цuсн.mО,МJТUЙ прям()й. Id.КИМ
образом. nроuзвод'Н!iЛ
mслЪi ои 1i: графU1i:!!
f'(x)
ра.в'Н!! углово.Л1,У t,о)ффu'Цuе'Нmу r,;a.C!I~
f(x) в mO"l1i:C М.
у
!(х+дх)
;[у=Лх+дх)-Лх)
лх)
:7F=:.9N
<ро
о
<р(дх)
х
Рис.
§ 3.
х+дх
х
1.
Задача о восстановлении закона движения по
екоросткк
свгwзattная
ней м\)'С'ематическая
проблеii\атика
iассмотрим сле fУЮЩУЮ фи:~ическую за. fачу. Пусть
fЛЯ
любого \юмеffта вре\iени х задar а МГfЮfiеf [а\! скорость
шижущейся по оси Оу материальной точки и известно положе~
ние уа этой точки в начальный момент времени х = :го. Требу~
8'! ся
айти заКОf
движеНИ\f этои то' «и.
f
Поскольку l\!H новенная скорость
(х) является прои шо. !ной
У - р(х) опредеш(ющей зако(
ия \iатериаль~
ной точки по оси Оу. то задача сводится к разысканию по данной
(щии {(х та«ой
(щии р(х), ffjюиз(юД!(а\( р' х
равна f(x).
Отвлекаясь от кою<реТНОГ'i физичеСЮiГО смысла tl,iНКЦИЙ
и р(х), мы придем к математическим понятиям nервоо jр!iЗ~
!!Ои
1lеоnределе1l!fого 'u! {mеграла. Первообраз! <ои фУ1l1i:'ЦU\! Г (х
f(:T)
'но,зыl!iеп;;
ра.в'Нп f (х) .
ОчеВИДШi
mожа.л <l!у'Нr,;'Цuл l"(Х), nроuзвод'Н!iЛ р'(х) r,;on орои
чт'i если функция р(х
является первообразной
где С - любая посто~
х
ибо про~
янная, та«же Я(iляеТС\t ffерtюобразtюй фуt tкци
функции ЛХ), то и функция р(:г)
+
изводная постоянной С равна нулю).
оскно
"'[ibI'
[ш<а:~е' [Ъ, 'Л ,) ДВ'
О
юй
той
(I"ш<ции .f(:T)
Не' iЮСТОЯНН"
KiiM ')БIН:~()\i,
если фунющя F(:T) является 'ЩН'iЙ и' перв ю(jрашых функ­
ЦИ
.f (:Г),
JI,'!обая nеи ;!)обра8if(],Я ф' [кци
вид
F(,T) с, ГД( С
Шii тоянная.
НС"· ruрн(юб/ю,8'НЫ Т о )'НоЛ и
1lазываеmся нГ'оnреаСЛС?l.1lЪJМ U?Jm, грало ',1
"OH(H;yrl,H'!JCm,j,
'Ци7) f
и обо,!'Начасmся символо,м,
.f
Сле ювательно. если 1 (х)
ЦИ .f(x), то
J.
J .f
dx,
одна из первообразных функ­
-
х iJX =
+ С.
F(x
Верне\iСЯ к ре[ [е[ ию поставленной в[лпе фИЗiiческой зада­
чи. Интересующий нас закон движения точки, имеющей мгно­
венную скорость
F(x -
где
определяется функцией у =
.f(x)
, iTO
Уа = 1 (ха)
первообразная фу[[кци
F(:T)
-
+ С,
[еко­
торая постоянная. Для определения постоянной С воспользуем-
[eKOTOpaji
на'iальш,'
\юме[
откуда С = Уа -
F(xa).
сующ iЙ нас зако[
движе[Шji
У =
(х), а С
[;реме[
х
-
Ха,
т.
е.
Iаким образом, интере-
"еет вид
Уа -
F(x)
F(xa).
Рассмотрим нек fТopыe (Iшзические и математические приме­
ры.
1) Пусть м; новенная скорость материальной точки, движу­
щейся по оси Оу, имеет вид .f (х) = сон . Требуется найти закон
дви}кеНИji этой то' [<и, если
на'iальш,'
MO\ieHT
вре\iени х
=
ха
точка занимает положение У = Уа на оси Оу. Из таблицы про из­
вод[
яс[
ПО од[ [, JЙ из iiервообразш,' фу[ [кци .f (х)
cos х
является функция Р"(х) =
cil1X.
+
Следовательно, искомый;акон
движения имеет вид
sil1 х С.
Из условия У = Уа при х = ха нахо. [им С = Уа
О[<ОН'iюел ,[ю
2)
Найти
iЮЛУЧ
1
---2
l+х
iM
за[<он
ия
+ Уа -
У =
sil1
dx.
Из таБЛИii.Ы произво шых ясно, что од­
.f(x)
ной из первообразных
F(x)
- sil1 Ха, т. е.
виде
sil1xa.
1
= - -..-2 яв.шется ([·'нкция
1+,
= arctgx. Следовательно.
J
1 1х" dx = arctg х
+ С.
в предыдущем параграфе мы выписали табли iY производ­
ных элементарных фУНКiiИЙ. Учитывая, что каж [ая формула
ЗА.IА
Р'(:[;) =
.1(:[;)
М.\.Ш
ЭI ой
'о )л;етств'
\ ,}:[;
IЮ. I\Ч 'М
неопред' ленных инт'
1Т;
.
'х
1)
1+ С.
~ = loge
х
SiIlX
(о: ~
+С
+
Г aXdx
.
'.Ш д.' "'щую
I р, лов
=- + С.
log" а
,Ix = - cos х +
sin х + С.
J cos х dx =
г
= tgx
d;
+ С.
х
70.
J' .d;
80. /
90.
=-
юн
~=
J' ~.,
1
х"
ctg :[;
+ С.
avcsinx
= arcti.'..,
+ С.
х+
таблица ;Р.'есте с IIравила\'
:~. ;есь не приво штся) представляет
;тегрирова; ия (ю)торые
собой важный вычисли­
тельный аппарат той части математичес;<ог,) анализа, юлорую
обычно на:~ывают инmегр!! ·iilJJ-tbl,М. uС'ч.u('леJ-tuе,м..
Од;;а;<о ДЛiI в;,;числеНИiI м;югих неопределе; ;ых интегралов
. iTOrO аппарата оказывается недостаточно. IJозникает проблема
о существова;
IIервообразной и ;еопределенного интеграла}
у произвольной функции
.1 (х),
В след.'
IIараграфе
об
;тегрирова;
Фу;;кци
проблему.
3дес;, же
сраз'
непрерывной в каж.;ОЙ точке х.
укаске\
;<отор ,;й
IЮД:ОД к задаче
IЮЗ;Ю шет решить
О'! "'е'! ИМ, 'Л i ' cyтт~eCТB'
в каЖд'iЙ точ;<е х функции например. у =
;е теры ;;;ые
COS
х 2 ,перв,юбраз­
ные которых существуют, но не могут быть представлены с по­
МОЩЫ i '
;<оне-шого
Iисла
операци
СЛОiке;
ия,
;;ьпита;
ия,
ум;ю­
жения, ;еления и образования сложных функций от простейших
эле\iентар;;ых фу;;кциЙ. IIеречисленн;,;х ;а\iИ в . 2 § 2.
§ 4,
Проб, х('мы, ВОЗЕiикающие при решении задачи
о
1.
Пусть функ шя
ВЕ,iчислении пути
.1 (х)
представляет собой скорость движе-
ия ,,'атериал;,;юй то'
оси
тать, что все :~начения фУНКI щи
.1
ПР')СТО'i'" б\дем С'IИнеотрю i.ательны. Требуется
в ,[чи, лить
"ifК
[е[
[ipeMe[
от Х
-
Для р<шения
'П)К
ш
[ipeMe[
= :го
(],
[ый матер"
до
:г
юй ТО' [<ОЙ :~iJ. пр )Me;'fj\~
=
шчи) ра С1)бьем раССМiJтрива<мый пр )межу~
мс л ,[е
ff!)()\1<
<
:г,
}КУЛ<И,
OГIH'
иче[
[ы<
мен <НТiJМИ
=
Ь. Естеств<нно ,читать, что на
кс,;,кдом ff!)()\1< }К.' Tf<e
:Г/'-l до :Tk (К )!)()СТЬ
i'<н)[ется мало
Поэтом.' приближенно эг скорость можно считать на указан~
:TI
ном промежутке постоянной и равной. например,
сг
[ае
\iатериальной ТО'
Xk - Xk-1, приближенно равен j(Xk)
[ipe\ я от а дО Ь. прибл
=
Ес'[ ественно ожидать,
Xk
[то при
В таком
xk, а путь B~, прой [eH~
ю pa[ie[
[ый точю)й за
ков времени
f(Xk)'
за [iJ!емя ~ Xj, -
\iеш,птении [ice>: проме;,к\т­
мы будем получать все более и более точное
значение пути H~. Точш)е значение пути B~ мы получим, перейдя
в сумме
к пре. [елу при стремлении всех
Х k к нулю при
.6) будет неограНИ'fен~
но во :растать). у потребляя символ пре. [.ела, мы можем записать
1.6)
этом. f<онешо. число слагаемых в сумме
след.' !i'fffУЮ <Iюрмулу:
B~ -
)~X
этом [юпрос о том.
+ f(X'}~X2 + ... +
xn)~xn].
[то мы fЮНИ\iаем под пределом
(.
[аПИСaf[­
ной суммы. конечно, требует выяснения. Тем самым мы еще раз
убеждае\ ся
[е\iбхоДf., \юсти углуб.fе[ ия
развития по[ fЯтия
пре. [ела. В математике предел
у
1. называется
fЩИff
f(x)
И обознача~
ется символом
ь
.1 f(x) dx.
х
а
(1.6)
Рш.1.3
ников,
на
основаниями
. И[
рис. 1.3
сумму
которых
СЛО[iа\'И, эта С'
служат
\ia
ступенчатой фигуры
ffреДСТafiЛяет С\iб\iЙ
площадей
отрезки
\Xk
рав[[а П.шнт~ади
прямоуголь­
а высотами
юй
эта ступенчатая фигура на чер­
теже i)бведена жирш)й линией. Естественно ожидать, что при
стремлении к нулю длин всех отре:ков ~
ffеН'fЮ ой
будет стре\iИТЬСЯ
Xk
площадь ука :анной
fшощади затПТР"\ОВaf[-
1) Свя,ь ,той :~а1\ачи с :~а1\ачей, рассмотренной в пре1\Ы1\ущем парагра<] е,
БУ1\ет выяснена ниже.
ЗА.IА
нртеске i<рШЮЛ
- .f (:г)
iеЙiЮЙ
ш СУ! ре:~ю
(],
до Ь
гуру часто Н{):~ывают t,рuнrнш-tеu'Нпi i п!рm
ОПрiДf
!!ню!!
!т!гр,!'
р,
BiH
п. н)щ,)ди
ной трашшIИ.
ibI!
он! 'ШО,
ш\)и
расс)ждеi
ия
юсят
предВ! ТНТ-
тельный характер.
частностш требует выяснения само ПСiНя~
тие площади криволинейной трапеции и вообще площа. ш ШIOС~
кой фигуры.
2 . .~Лы видим, что с понятием опре. iеленно, о интеграла тесно
СВ)iзаю,!
пути и
две
iiаЖiiые
ieci<.a)i
задачи:
фш уры.
Вi,iчис.леНИ)i
.f
iei
о
Вi,iчис.лении
связи с этим является важным вопрос о способах
iTerpaia.
определенного
)бозначим через Р"(х) опре~
де
зада'iа
еометрическая задача о вычислении площади плоской
у
iЫЙ
iтеграл от фУi iКЦИ
в пре iелах от а до х, т. е.
ПО.южим
.f(x)dx.
а
гео\ ет! ·ическоЙ точки зре~
О
х х+д.х
а
ния, этот инте, рал равен пло Ha~
ди i<РШЮЛ
ГИ!.
iеЙiЮЙ ТРЮiеци
скащей iЮД графиком
Ь
х
1.4
- .f(x) [а отрезке от а до х.
На рис. 1.4 эта трапеция обве [ена жирной чертой. Используя Ha~
ГЛ)iДiiые геомеТРИ'iеСi<ие сообраскеi ия, покаскем, iTO Вiiедеi [а)}
функция F(x) является одной из первообразных функции .f(x) .
. е. убеДЮ,iСЯ то\), iTO F'(x - .f(x). !усть L::lx - [екоторое
приращение ар, умента х.
L::l х) _pi(X)
)чевидно. разность
[а П.шнт~ади заi iТРИХОiiаюн)й
[а
.4
«узю)й»
КРИВО.Шj~
нейной трапеi щи. Площа. i.ЬJТОЙ трапеции при малом L::l х мало
отличается от площади .f(x)L::lx прямо' ольника с основанием
L::l х и высотой (х). Отсюда ясно. что при малом L::l хотношение
.f
+ ~x)
Р(х
Р(х)
-
1.81
~x
мало отличается от высоты
.f
ника.
IaK IШi< предел при L::l х
F'(x)
=.!
YKa:~aHHOГO выше прямоуголь~
дроби (1.8) равен производной
то F'
Итак, Фунющя pi(X) является о !ной из
пе!)Вооб!)азных (I»)ю<ции .f(x). Следоватеъю) любая пе!)В(юб­
ра шая Ф (х) функции .f (х) имеет ви
Ф(:г)
.
+С =
1 (х)
лх)
а
2
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
dx
+ С.
1.9)
Ш~}
и
вы п~}<с1i( }jj,iЯ
CНcCcP~}, не дл~}
Ш>:
фУf [к
Я В <праведшвс)(ти Ф iрМУЛЫ
C,iJ\IbIJ\I
}ШfШ~}
(1.9)
неfтерывной в
[сН ,',,'}ке
.f(:T) Те".!
у( танов.ш:НИi: форму.lы9) р( fff,ieT проб.ш:J\IУ <у н(ство
[сН
и fumределеННОf() ннт( fР,iла)
непрерывной в каждой точке х фУНКllИИ I(x).
Установим теперь с помощью тоьй же формулы
J лх) dx
между опре fеленным интегралом
и любой первооб
а
разной Ф(х) функции Лх). Полагая в формуле
=
(1.9) связь
=
(1.9) последо
вате.fЬНС' х
а и х
Ь и (читывая с,чевидное из наглядных
геометрических соображений равенство
а
=
./.f(x)
О.
а
получим
Ф(а)
а
dx+C -
- ./
Поэтому
./Лх) dx + С.
Ф(I,
С,
а
а
ь
./
Ф(I,
dx -
-
Ф(а
(1.10)
а
Формула
(1.10) является одной из основных формул интеГР<LIЬ-
ного исчисления и называется фор.мулоi1 Н'Ыоmо1-tа-Леi1БJ-tu'Ца 1).
Эта формула сводит вопрос о вычислении опре. fеленного ин­
}'еграла к вопрос( о вьписленн
f}ервообраЗfЮ(f
неопредс!­
ленного интеГР<Llа). Обоснование формулы llьютона-ЛейБНИllа
~шл~}ется
одной
из
ва)}.;
},}Х
зада'}
1fате".fатнчеСf<ОГО
анализа.
Для приближенного вычисления опре. fеленных интегралов су
ществ(ет ряд спосо!'н!в, простеЙШIН из которых с!снован на за­
мене этого интеграла суммой
(1.9) дан,' i'оз".южность
(1.6). Эти способы и СООТНОfffение
ю ЕЬГ}
И неопреде.fеff­
ные интегралы, и, в частности, позволяют вычислить первооб-
разн(ю любой !С'ПРС'!Н,ШfЮЙ
каждой то'}ке х)
В качестве примера вычислим площадь В1
между графиком фУНКllИИ у -
.f(x).
заключенную
sin:J: на отрезке от О до
i
и
11
осью От (рис.
1
2 . в силу сказанного выше В1
Jsinxdx.
о
1) ГОТФРИД Вильгельм Лейбниц - немецкий ФилосоФ и математик (1646716).
2) В!.IЧ!!!· Н'ИЮ' ЭТОЙ площади сре !СТВ !·с.!!! элес.!! И'!ар!юi'! С.!атеС.!атики пр!!­
ВОДИТ к большим трудностям.
iИТЕЛЬНl
81
iой
и:~ ш рв ю{)р;!
(:г)
-
=
сов
J
si!!
Ii
ЗАI\ШЧАi
=
те, по
=(
d!
В111
tШ~ТСЯ
ПОЛУ'iИМ
о)в п)
сов О)
Вычислим теиерь илощадь 82 фигуры, отсекаеllЮЙ от пара­
болы у - х 2 ПрЯllюй, проходящей через !Ее точки 1\11 (а, а 2 ) и
1\12 (Ь,
этой иараболы (рис. 1.6) ) . .искомая площадь 82 рав­
на разности площадей Щ ЯМШПIне 'шой трапеllИИ А1\![11\![2В и заштри ,:ова!
82
(ь2
-
юн на
+ 0.2)(ь 2
'iepTe ,};е
I
а)
-.
2
кривй tшейной трariецн
х dx -
(ь 2
+ 0.2)(ь 2
е.
а)
а
y~
О
В(Ь,О)
n
Рис
Рис
1.5
§ 5.
х
1.6
Заключительные замечания
дюl,фереЮlИальное и интегральное исчисления составлЯtОТ
основу
математического
анализа,
соз, щние
которого
является
ОДilИс' из i'еличаt'tшиr: достижеtlИЙ 'iеловечесt{ого разусtа. lЗЕе­
tение в математику ионятий переменной величины и фУНКllЛИ
позволило
от
п{'шення отделы
i,iX
разрозненны:!
ческих и геометрических задач к соз, tанию общих мето, юв реше
lИ{i )ти:! зада'i. РаЗЕИiне дюlэфереt llиа,
юго
юtтегралыюtо
исчислений оказало огромное влияние на общий прогресс науки
и техники.
Дальнейший прогресс науки и техники тесно свя сан с мате­
атизацнен
1)
Э" а
3"
tаши:!
fiредставленн
природе,
с
раЗi итнес'
ю-
шч" С} е 'СТВ"МИ э", ",е!!Т"]JН"Й (r'{r'аr'lв'емаотинк. Иэ.б)"I"a реш,'н" В"JlИ-
КИ,' др,'внегр,'че' "И", УЧ"НЬН' Архи",е,'ю,
2*
о
"
,
<-1, ,КJaвленн в ii<-1Teii<-1Тi'
Mi\Tl iii\ТИ:~iЩНЯ ;i\ШИ>:
юг:
:~C\T
ствеННiiЯ ф,,)РJ\IУ,ШР,,;ВКi\
ше вьпис ш i'елы
i,iX
ожно
уверенное! i,Ю
fiреДСТ<-1В, ;енн
П,<-1-
;i\Я ю'
нче
;<-1ю;номерю)стей, ffшрокое ШШ) lЫ~ОВi\
iiетодов и
ю- в ,iЧ;i! ,ш i'елы
шин (ЭВМ) п)ст ;вляют о(новной
(Tep:iKeHb
i,iX
<-1-
!!;временного ссте
СТВОШ<-1;Ш;i
Внедрение вычислительных методов и ИСII(Уlьзование ЭВМ,
как
иравило,
числен н
снимают
воиросы
тру ;оемкости
и
сложности
вы
1. Прн )то\, возю,;,ает цела;i серня iiате\iагпес;,нх
ИРl,,'тем, к числу которых относятся ВiШрl ,сы разработки алгоритмов
ра\'
?)
-
~
вычислении,
для
,
служащих источником
составления иро
разрабог,а ироГ),;ем теории Уfiравлення, тео-
рии оитимальных иро
leccoB,
математической логики и теорети­
'!с'ской кибернетики.
Наша Д&ilьнейшая задача бу ;ет заключаться в иостроении
a"fiapaTa мате\iаТИ'iеско; о а;;ализа. Мы раСС\Юi'РН также и
,с'кото!
'i,ie
f!КiНЛOJiiення это;о а"
fiapaTa
'шсленньр:
алгоритмов.
Проведе;;ное выше fiредва!,нтеш,ное раССiЮ!Кiе; не став; ,т
ре
fie-
нами сле, ;ующие иервоочередные воиросы:
1.
Уточнение ионятий вещественного числа, ие! ,еменю 'й ве-
личины и Фунюши.
'
Оfiределенне и раЗiiитне ионятня fiредела фу ;к ши и СЮi­
занного с ним ионятия неирерывности функ ши.
3. ОГюснова;шс' ;lюРМУЛ
f!Кiав;,л диффеРl ; щи аль юго
нн-
2.
тегрального исчислений.
4.
сумм
Построе; не i'еории оиределе;
Cfiеш ,аЛi,НОlО
рида и
Кiазв; ,тис'
юго и ;теграла как fiредела
iiетодов
fii,iчнсле Ш;i
о, фе­
деленного интеграла.
5.
;е;ше
илоской фигуры,
;eKOTopi,iX
еОiiетри iеСКИl( fЮ; ;iТИЙ
илощадн
;лины дпи и т.
1) Совреусн'н ,ic!e ЭВl\I в не' iЮJlЫЮ
ПРiiИЗВО,ця', Вiс!ч,," "'ния,
iJlЯ
проведения которых человеку потребопалась бiс! целая жизнь.
2 АЛi'ОРИТМ (или аЛi'ОРИфм) -
система iiычислениЙ. пь ;;олняемых ;;0
строго iiпре'ii Jlе,шы 'с, пI iiБИJl 'Ус'. приво,цятт~ая ПОСJlе
гов
Рi'ше ,ию Ш" ',аВJlе,шой Зi, raчи.
ч,,' "а Шi,-
Г
А В А
2
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Изшементарногс, курса читатель Ш\Iеет представление о
ве нественных числах и о том, что они неоБХОДIIJ\IЫ. наПРIIJ\Iер.
ДЛ~i НЗ\tерення отрезков
iiромежуткоi' i'ре\tеtш. Для у!
[е­
ния нюiшх представлений о важнейших J\IaтеJ\Iaтических поня­
П1Я>:
fюt ~iТИ~iХ fiере\tенной велнчнны, фуttюши и пре'дела требуется tальнейшее развитие теории вещественных чисел.
Расс\ютр"
, например,
пере\tеt tую Еели'шttувремя. Для сравнения меж. [У особой ра шичных промежутков
времени
нам
щественные
праЕИ.Ю,
не! н'fХОДИМС,
чис.,lа.
ПОЗЕО.
уметь
Иными
:/iП~ее
сравнивать
словами,
f'bl~iCHHTb,
какое
ственных чисел является БОЛЫfШМ.
i,iX измере·tшЙ Bpe\teHH приводнт
ния
операций сложения
и
мы
из
между
юлжны
ДifУХ
со. )С,Й
ве­
установить
данны"
i'еiП.е­
Практика последовательнеобходш\юсти определе-
умножения вещественных
чисел и
выяснения свойств этих операций. Отметим также, что выяснеше· основньр: свойстf' веще:СТi'еt
i,iX
'шсе:л
\10
ДЛ~i об-
основания при мени мости к этим чис.,lам правил элементарной
а.
1,
1. СВОЙСТВ5f Р,fЦ.10Н,f,iП>СНff,fХ 'fисел. Напо fшн что f ,аци­
oHa.tbHbIM 'шсло\: азьшаеТСi чнсло. представимое
виде от­
но ffения двух llелых чисел 1 . Из элементарного курса известопреде:леtШ~i операцн
СЛOJ},ення
\ШOJ},ення f,ацнОttалы i,iX
чисел, правило сравнения этих чисел и их простейшие свойства.
Здесь
ы пере'шслн
осtювttые СВОЙСi ра [)аlшонал ,llЬP: чнсе..
вытекаЮIIше из соотвеТСТВ\,ЮIIШХ свойств llелых чисел.
Фундаментальную роль' среди сво: ,ств игрюот три правила:
1) О.':Н;: и Т;: ж.' lf::ц:ю"аJlЫЮ'· ч::'.Ю
личных целых чисел. Например,
1
2"
4
ав ".ю в виде и: нош:'ния раз-
6
п р а в
о
р
с у м
е н
р о
:~
а в и
е д
а
о
а :~ о в а
я
я
Люб!!tO i!i;(], РП//~'IJ,()UfIЛ'h'Н'Ы:!'i'/l,i ЛП
бой
'/1, Ь
ТnОЛЪi,'о OJH'/1,,\!1/3 rnр,
3 'ш'Ков
Ь, тnп Ь
(J,
ны\tИ (ЛОf'i'
, су!, 'гстn IYI
'/1,
>
I'C,i'/1,
звО,iЯ'!i)ЩtOtO
!jСТnШfшв'/1,m'Ь"
'К(],'К'/1,,\,!
'1/3
I'/],J/,{), по
!j'К(]'3fI'Н' (ъ/'Х:
з'!ш'Ков
свя-
заныl два да'J-i1--tыlx ра'ц'Uо1-tаЛЪ'J-i'blIХ: llt'Uсла. r:yTO fIpa; "j'lJIO наз >1f~ается
правил м сравнения 1 ).
1. Су!, 'гстиует nравИ.10, nOi'ptOiicm/J{).M 'Которого,jюб'Ым ilBy.M
]JaЦИО'НЛЛ'Ь'Нъ/'М 'Ч,ислам а и I! ставится в соответствие оnредс­
ле'Н:нле Ра'ЦИО'НЛЛЫ-lое 'Ч,ИСЛО С. 'l-tазываемое их сум.МОЙ и обоз'l-tа
'ЩI мое i'И.мвО.10.М
= а
+Ь2
iахождення
.
ы
iаЗi/!Вается
с л о ж е
и е
Сущгст!iует правило, nOi'ptOiicm/J{).M 'Которого люб! ил
дву.м рацио'l-tал'Ь'l-tъ/'М числа.М а и
ставится в соответствис
оnРгдtOЛtO'I-t'l-tоi' рацшmал'Ь'l-tое'!'U! ло с. 'l-tазываtO.мое их nроизвtOiiе­
'l-tигм и об /. i'l-tа"!аtO.мое i'имволо.М с = al! 3).
наiiQjiiД(
i tИ!i
ПРОНЗВСiДе tИ!i
наз /if'ается
у м
0-
жениеJ\I.
! ! еречислим теперь основные свойства, которым подчинены
указаН!iые
i'I)!j
iipaBH. [а.
! ! равило сравнения рациональных чисел обладает С,;lедую
свойсТ!ю \i:
с вЪ/,те'Кает. что а > с (сво! /ство тран­
из а = Ь и
il'Ыте'Кагт.'i1nО а =
с
iЗИТНВiЮСТИ знака =).
1 0 иза>
иЬ
зитивности знака
(СIЮЙСТВО
).
Ilравило сложения рациональных чисел обладает. сле. iУЮЩИ­
ми свойствами:
20
а
+ Ь = Ь + а переместительное свойстве/ ,
+ Ь) + с - а + (Ь + с) (сочетательное свойство);
(а
40 существует Ра'цио'l-tал'Ь'l-tое 'Ч,ИСЛО тmmе. что а
дл.!! любого Ра'цио'l-tаЛ'f/'l-tогО'iисла а (особая роль нуля .
+О
а
1) Прапило срапнеНИ5f рациональных '!Исел формулируется так: Дfiа
не отрицательных рациональных числа а
ЗН!!!iOi.!,
чт!,
ша ц!'ЛЫХ ЧИСJl!!·
ml
= -
n
Пl2
= -
сп··/!аны тем !!,е
П2
n'iTL1;
П'1n2
и Ь
ша неПОJlОЖ!!'if'JlЬШ,IХ р!!ш!­
онал!,ных числа а и Ь связаны тем же зна!iOi.!, что и дпа неотрица'! еЛЬН!,IХ
числа
I Ь I и I а 1;
н! е Ч!!/·.,Ю. то
если а -
>
неотрицательное, а Ь
-
отрицательное рациональ­
) Прапило образопаНИ5f суммы рациональных чисел а = ml и Ь = m·
'пl
опр!'Де.!Я!"l'/!Я посре'!ство.! фОРi.!у.
Пll
!!,I -
П
Пl2
+-
по
П'1n'
П'J
Пl2ТН
= ---'=------=-..:.
ПlП2
,) ГlраВИJlО образива !ия произв!'Де !ия рацион !.!!,ных ч!!/·е.·! опре'!, Jlяе'!СЯ
посредстпом формулы
П?1 Тn2
:jля
{U)'fJОЛО;Ж;UОГ
а'
чrnо
ПраfШЛО ум fOж: fШ~f раЦfjj\' ;-ШЫ ых 'ШС: л обл \Да:
щн
(Ш fУЮ-
ff,г,{j(твами~
uЬ - Ьа (пеРСJ\Н (тит: lЬHoe (вой(тво)
(аЬ)с - о(Ь(:) :~очетате~
:(,е свснств!)),
60
8" существует )ю'Ционалы-tое число 1 ma'l\,oe, что а· 1 = а dля
люб: !го рачионалъногО'fисла а (особая роль единицы)'
для fmJfCaOZO ра'Ционалъного числа а, отличного от Н!jЛ.К
СУ!, ,гствует обратно~ е.МУ число а' ma'l\,Oe,'fmo аа'
1.
Правила с"-южения и умножения связаны следующим свой­
CT;~O\f:
100
(a+lJ)i'
ac+1 с
(распределительное свойство умножения
относительно суммы
Следующие два свойства связывают знак
жеf Ш~f
и
11 О
и
>
со знаком сло-
\ШОj+<ення:
а
>Ь
>Ь
+ > +
выmе'l\,а~т, что а
с
Ь
и с
Bblme'l\,aem. что ас
ТН:.
Особая роль принадлежит последнему свойству:
'l\,a'l\,OUn бы ни было ра'ЦионаЛ'hНО~'fИСЛО а, .МОJfCНО'fUi'ЛО
120 из а
>
1
fJовторитъ слагаемы.М crnолъ'l\,О раз. что полученная су.мма nре­
({зойдет а ).
Пере'ШСfеfшые 13 свойств обьп ю fазывают о с
о в
м и с в о й с т в а м и рациональных чисел ибо все дру­
гие а
е{Jраические
CBoffcTBa
)тих чисел, относящиеся к аРюli­
метическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств,
могут быть извлечены как сле~ fствие из указанных основных
свойств.
Так, например, из этих свойств вытекает часто используе
\юе в даЛЫfейше\: своЙстf'О. ПОЗВОЛ~fffiщее fЮ'fлеf
ю
fаДf,шаТf,
неравенства одного ~ шака:
C'C'IH
а
В самом
и
Ь
с
> d~
то а
+с
fеле~ 1П неравенств
вьпеf<ает,
'fTO
а
+
+
+
Ь и с
d
и 1П свойств
110
+ с > + а из ПОСfед;ш>:
вытекает, что а + с > Ь + d.
неравенств и из свойства 10
2. Об измерении отреЗЮJ35 ЧИСЛО350Й оси. Из элементар
юго курса нзвестно, что ДЕа отреЗf<а могтт быть СОИЗ\fерю\:
(KOГ~ [а отношение их fЛИН выражается рациональным числом)
и нес:шзмеримыми (примером неСО1гзмеримых отрезков могут
с"lУЖИТЬ диагональ и сторона квадрата).
УДОГJfЮ сразт же ввести в расс\ютреfше ЧНСЛOf:ую OCf,. Число(Юй
мы будем называть прямую, на которой выбраны опре
деленная точка
начало отсчета), маСfffтаГШЫ(f отрезок ОЕ
1) Это свойство Ч!!' ~! О fiаЗ!,IБ!!Ю~! а1.:сио.мо'Й Архимеда.
(ДЛfiНУ е;
пр,шЛf iШС'
\ыI С iИiае'J j,авной еДi,ш,це) и п(\ 1ОЖi,ТС,
10
О
lА:те(твенно,
с(ютвz:т(твш
f'ОШi, ,{ает
:~,fдача
J'v[
К,fЖ, юй точк;
в; ):~МОЖНОСТi'
по; тав; ,т;,
ЧИС';l ;ВОЙ (НИ НСКОТОРО!
отри lательным
-
и
ле
'i{,"11
[Ю о
в
чи(ло,
"Ыр fi;;ающее ДЛiiНУ отрz:зка':iто 'ШСЛО
ПОЛОЖ;iТz:Ш,;;ЫМ, е(ли
а-
i,HOi
(ч;,таiЬ
;у СТОрО;;У ОТ О, И
в ПРОТИВНОJ\I случае.
всего заметим, что !mждо.М!j ]Ja'И,ио'Нллъно.М!j числу
соот (етст;;ует на'!Ui'Jювой оси оnре:Jеленна,il тО'!1И. В самом
де,;е,
;eMe;;TapHoio
из
курса ИЗЕест Ю,
1
часть
n
;лина которого составляет
ка ОЕ
n -
любое це,
как
[юс ["роить
отрезо;{
;лины мас;;пабного отре;­
-
положите, ;ьное число).
\'таш, быть,
мы можем построить отре юк
о
Е М;
Рис.
2.1
АВ
(7:)
длю а
ся к
;{OTOPOiO ОТ;ЮСiiТ­
;лине масштабного от­
резка ОЕ, как rn
де m и 'п-
целые ПОЛОЖiiтеш,ные
числа. Считая, что точка Е лежит правее точки О (рис. 2.1) и от­
ложив отрезок АВ вправо (влево) от точки О, мы получим точку
J'v[l
(М2 ), соответствующую рациональному числу
\ieCTC,
с
['е\'
существова ШС'
ляет утверждать, что не
;eCOiiT\iep', \ЪР:
+: (-:' ).
отрезков позво­
Bi'e точ"Х:и числовой Oi'U соответству
ют ршционалън"Ы.м числам.
Естественно, возникает потребность рас;;шрить область ра
lшо;;аш,шг,: Чiiсел и ВЕес[
ii
в расс\ютреНiiе такие Чiiсла, ;{оторые
соответствовали бы всем точкам числовой оси и позволяли бы
измерить
а;
-o--"LL'"'-'-,-,-С'--"--"LL'"-'с;,о- - - - - - - < 0
о
'
!
,
!
,
'~
и по;{аi;;е\;
Мы опише\' сш llиаль­
ный
'ИС.2.
ШiМОЩИ
отрезо;{.
РМ
N
при
масштабного отрезка О Е
процесс
измерения
отре;ка О J'v[ числовой оси
'[ТО ЭТОТ процесс
n озвол.яет
nоставитъ
в
соответ­
ствие любой точ"Х:е J'v[ этой оси не"Х:оторую вполне определен­
ную беС!,онеЧН!jЮ дес.ятиЧН!jЮ дробъ.
J'v[ -
;i';'jая точка ЧИСЛОВОii с,си. Ради определенности
пре, ;положим, что
J'v[
(как и Е) лежит правее точки О (рис.
2.2 .
Будем измерять с,трезок 0J'v[ при ШiМОЩИ масштаБНОЕ' с'т­
резка О Е. 11реж,;е всего выясним, сколько раз целый отре
зо;{ nЕ ук;адьшаетс[
отрезке ОМ. MOiYT [[редста;нтьс[ д;а
случая:
1.
Отрезок О Е укладывается в отрезке О М целое число
раз с не;{ОТЩ;,I\; оста [ ;{о\;
N,j,
[,шим О
см. рнс.
2.2).
Эii)М
[у iiie Ц( ,tOе '!МСЛО
pt :~ультат 'iТjfереш iЯnО
f,ieT
со,юй прибm,jjiенный
С ТОЧНС'"
iЪЮ ДС' ед! ,ННЦЫ
О! ре;)к ОЕ укл щываt ijЯ в i;тре;Кt ОМ цеlO' чис.lo
(J,j'
рс"
'TiiTKa, Т Эii)М слу iiie чнсm'
jjie [тедста
в, fЯС" Ct ,Гюй приб,
jj;енный PC;:~Y [ьтат и:~меРС'f !М,} Щ) HeдocтnaТn:KY
С ТОЧНО С iЪЮ Ю единицы, ибо отре;,)к О Е укладывается в OTpt :~­
2
ке U 1\11 ао раз с oCTaTKollIY1\11, равным U Е 1).
Выясним теперь, сколько раз
ка ОЕ укладывается в остатке
1
10
часть масштабного OTpe:~
]1.;[. Снова могут представиться
ша случая.
1 1iO часть отрезка О Е укладывается в отрезке
М целое
1
число
al ра; с некоторым остатком Р М; меньшим 10 части отрезка ( )Е (см. рис. 2.2). В)том случае рациона [ьное число ао, а
пре, fставляет собой ре ;ультат Iпмерения по Н! tjocmam'X:y с точ
ностью
2) 10
ЧИС,;iО al
ао, а
часг
отреЗfiа ОЕ укладываеТС;i в отрезке
NM
llе,юе
+
1 раз без остатка. В этом с';iучае рациональное ЧИС,;iО
также fiредстаЕляет со{юй реЗУЛi;ТЮ измереf!М,inО недо-
сmаm'Х:у с точностью
"
OTpt зке N /\'1
а
1
ю 10' ибо 10 часть ОЕ укла fывается в
раз с остаЛiО
""; Р , ,'!,
1
к!авным, О часг'
Продолжая неограниченно указанные рассуж fения, мы при
дем к ifecKo f
ао'
ао
а
... ,
ао
(2.1 )
а а2···аn;···,
каждое из которых представляет собой результат измерения от
резка
по недосmаm'Х:у с соответствующеff стеfiеffЬЮ ТОЧfЮ­
сти. Вместе с тем каж,юе из чисел (2.1) может быть получено
посредством ;";fрывания на
Ct ;C;TBeTCTBYf; 'щем
знаке беСfmне'Ч,ноu
дес.яmичноU дроби
(2.2)
Указанные вы
ffe
рассуж, fения при мени мы и для случая; ко­
да ТОЧfiа М ле 'jiИТ т вее i'О'iКИ О, ТОЛЫiО В Э
'!Мсла
1) и ifecKof
ая деС;iТИЧffая дробi;
i'Oj;
СЛУ'iае все
будут имег
ОТРИllательный 'Знак.
1) Конечно, на практике тю ТlTOPOM случае процесс измерения считают
по,агают ,JlИНУ отр,зка 0111 ii!iБ;Ю,~, ПО +
О',на,ю ;;ам
заю';;че;шы,,'
удобнее (В целях единообрашя) пести ИJмерения строго по недостатку, что­
б,,! И В этом СJlУЧ "е ш "УЧИ"
ост",',ок ""У111
и",е', ВОЗ "Ю}Ю юсть пр" ЮJlжать
проце!'"
из" !'ре ,ИЯ.
Та}<
у(та}}сmкш, что
m!i[СП//-/,'Ш20
~ecc(], U3'i7cpe 't/(J,Я отnрГ3ii'[f О М Л? i{){i'I}, mочк;г
rnсттм, '[10 {;nОJl," (IO
так,
вндн
прон )l'ош,)
!шис шный
выше процес!
о отре: <а ОМ 'ШСl!)!iОЙ !)си
onplOde, те?!
нт!}ерення
ПО!"!Оll!i! !}асштаб
юго отрезка естестве}шы!) образо!) ШJНl'ОДИТ }ас к [Jасс!ютре­
НИЮ'!Ui'IOЛ, nредстаии,м'Ых в виде бгск;онг'!н!,),' de!',i!1nu'!1-t'blХ {Jpo-
беi1 BJ\IecTe с тем каждая бесконечная десятичная дробь
полностью характеризуется бесконечной совокупностью
рацно} алыlыIx чисел, !!рн,'шижан!щи>:
дрО{JЬ.
(2.2)
(2.1)
Ю, о!!
санный вы !!е ПРОllесс измерения отрезка ОМ можно видоизмешть
!'al<
что он
ШJНВОДИТЬ
расс!ютренн
бес}<онечньр:
двоичных дробей или к рассмотрению бесконечных дробей в лю­
бой дрогой снстеме счнсле} }Ю!.
3аметим, что для задания чисел в современных электронных
вы'!ис
нтел!!н!г:
!}ашю}ах
}а}!,юлее
ная система счисления, а иногда
-
часто
испол!!зоетс!
двонч­
троичная система счисления.
О{Jъясняется тем, что входяп~ие в конструюшю э,!ектронных
Мal!ШН радиолампы
ттте
рсе!о два
и полупрово, шиковые
а ююгда трн
лампа закрыта, ток не идет
па открыта, ток и !ет
устон
-
-
имеют ча
а!!рн !!ер
одно устойчивое состояние; лам­
!ругое устойчивое состояние;
нвое состО!шне воз шкает
котором идет ток
элементы
остой,швьр: состоя!ш!!
третье
если раз,ш'!ат!! напрак!е!ше,
в
.
В связи с отмеченным обстоятельством возникает необхо, !и­
мость в разработке алгоритмов перевода чисел из !есятичной
систе i!bI С'шстrення в двончно!!' систе!)!'
обратно! о перс'вода
чисел из двоичной системы в десятичную. При меры таких ал
ОР!!Т!Юl' 'Ш!"атеш! !айдет в Допош!е!ши 1 к !астоящей ГЛaliе.
3. ВещеСТ35енные числа и ПI!аВИЛО их сра35нения. Рас
смотри,м множество всевоз,можных: беСfmнечных десятичных
дробей. Числа. np)'{fj'maBU,M},j1O эти,ми дроб!I,ми, буде,м на,!'Ыиат?,
ве цественными
1).
Данное ве!нественное число будем на:ывать nоложшnел'Ь­
Hblht (отри'И,атеЛ'ЬНЫht), естrи е,не, представимо в виде положи­
тельной (ОТРЮlательной) бесконечной десятичной дроби.
В с! ,став мнейкества веп~ественных чисел входят, конечно, и
все раllиональные числа, ибо все они представимы в ви, !,е бес
ко!
!!!х десяТ!!'ш!г: дробе(!. Предста!iленне да! юго раlШО­
нального числа в виде бесконечной десятичной дроби можно
полу'ш!ь,
!В следующ!,х
. Любому рац!!-
1) KfP'
у}ке
'НШЧ,ал'Ь,/-//ым
!,fечаШi ь Б CНiH"
nо'Нлmилм.
"
2)
)!а
20,
ПОНЯ'f;;е ЧИСJlf), ОП ЮС п СЯ
она,
"ному 'ШСЛ\" пютветс ,'вует о, ;ределенна~,
о( н,
afTeH
YKa:~ !ИНОГО в пункте
!шре ;(ленн !я бе(конечная
2,
1
Р1ЩН f;;1fЛЫ
кош ЧН1iЯ
ч;,! ,;овеН
!'!!',ка
!'!!',ке с ,'1!ВИТС, в п!{,тветстви(' f'IJН ш, 1i{'ЩН
2
;ссятичная дробь О
бес;<онечна~, дес,ти', ;ая
;есятичная
(тавнтся в сею!""' ,'(твне бе(-
1999
рациональн )l\IY
1,333 . ..
4
3
чи(лу
Вещественные числа, не являющиеся f)аllиональными, при­
нято называть
иррачионаЛЪ1-ti1lМИ.
llа;ffей задачей является последовательное перенесение на
с"lучай прои шольных вещественных чисел трех правил и всех
. 1.
основных своиств раlшона,;ьньр: чнсел, перечисленньр:
самым для вещественных чисел
(,боснованы все пра­
вила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическим
TeJ\I
дейсгш~,
и
сочетанн
равенств и нераЕеНСТЕ.
В этом пункте мы установим правило сравнения ве "ествен­
;ых нсел. Прежде ',е1! перейг, к ФОР,i\"ЛИРОЕкеfТОГО праЕш;а,
юговоримся об опре, ;еленной форме :аписи тех рациональных
чисел, которые nр~дста{;и.Мi1l в вшj~ 'X:ii1-te'i1-tou де! ,1!1nи'i1-tоu дро
би. За\iеТШ1i, что указанные рацно;;алы ",е числа ДQf,\"скают дво­
,11'Х:УЮ заnис'Ь в виде бесконечных ;есятичных дробей. Например,
',исло виде
ю заllнсать:
=
в"де
"'
"21 --
в
4909
,' ... ,.
- - 0,5000
а n г,;е а",
и вооб",е раllиональное число ао, а1а2
ю записат,,:
ао, а1а2
...
1)
аn
в п,де ао, а а2 ... а n - (а n
внде
000 ...
Первая и:~ указанных
шух записей может быть получена по
СШlсоб\" {,писанном\" в п.
нием
"# О, мшк-
) 9Ч9 ... ; 2)
;анной конечной
а вторая - ;il{'рмальным превраще­
;есятичной дроби в бесконечную посре
2,
СТЕО\! ДОllнсьша;ш~, н\",;еЙ.
М
,1
договоримся
сравнении вещественных чисел пол ;30-
ваться для ука:анных рациональных чисел лишь первой и:~ этих
дв\"х форм записи в виде бесконечной десятично(t дро{ш.
Иными словами при сравнении вещественных чисел мы не
б\"дем употреб,1ЯТЬ {tесконечные десятичные
все десятичз;;аки котор",х, начнна~, с не;<оторо;о
исклю',е;ше\i, ;<онечно, дробн О, ПОП
1iecTa,
[)авны
;УЛ;I'
за
1).
Перейдем теперь к формулировке правила сравнения веще
с, Ре;
",х
',исел.
1) Принятие такой ДОl'о!юренности пполне соотпетстпует пропессу измерения от, ''ЗЮl, ОШl,'llllНl'I,lУ В И.
2,
ибо оиисаНll!,IЙ ИрlЩ!'СС
l,ю}ке'l И, иве,'
к бесконе'lНОЙ десятичной дроби, у которой псе дес пичныешаки, начина;;
с
l i'KO"lOpOrl'
РllБШ,I
"УlЮ.
ffCE'
в; [Н8(Т [8ННЫХ
Н:.
;'ЛН8ЧН ,iМИ
(где И:3 двух
3Hd.KOB
±
К<1КUЙТU uдин).
И
Два вещественных числа
ес. tи они имеi;"
д;'
ОДiшако
(2.4)
ес
называются paB1-tыt'u,'
Сffраведtи [ы
paBeficTBa
Ь О аl = Ь 1 , .... а;,
, ...
Пусть даны два неравны1; вещественных числа а и Ь. Устано­
ао
вим прави.Ю, при ПОМОfffИ которого мo:tкно прийти К заключе
нию, каким
>
шаком,
Пусть снача.iа
щие представлеНЮl:
Так [<Ю<
iiCJIa а
из равенств ао = Ь О
1.
<,
или
СШlзаны эти два числа.
а и Ь оба 1-tеотfJu"цателъ1-tы и имеiОТ с.ледytоа
ао. аlа2 ... а n .... Ь
Ь!t Ь 1 Ь 2 ... Ь N •••
и Ь не рав!
,то нарушается хотя iibI одно
щ = Ь 1 ... а;, = Ь;!, . .. Обозначим через k
наименьший из НШ,fеРОii
n,.
ДiЯ которы
нарушается
а n = Ь., ). Тогда мы будем считать, что а
<
а
>
paBeiicTBo
bk ,
Ь,. ес.ли ak
Ь, ес.tи ak
Ь;,.
Ес.ли и:~ двух чисел а и
одно 1-tеотрш~ат!лъ1-tо, а друго,
отf;и"ЦатеЛЪ1-tО. то мы, естественно, будем считать, что неотри-
цате.
юе
iiс.ло БО.tьше
щте
[,ного.
рассмотреть с.лучаЙ, когда оба 'Числа а и Ь отри­
цатеJli!,1-tыl. ДоговОРИhl'Я 1-tазыатъъ м о д у л е hl ве'ществе1-t1-tО­
,'о 'Числа а 'J-l!mnРИЦШi!!еЛЫ-lое ве! j,ecmee'J-l1-tо, 'Число. обоз1-tа'Чаеhtoе
OCTaeTC.il
'ИhlвОЛОhl I а I и равное ;iесятИЧ1-tОU
ло а, взятоu со ,·!1-tШК;()hl
I·:с.ли а
>
Ь. ес.ли
пред; тавля'Ю'щеu '{и,­
+.
Ь 01'а отfJuцател1,1-tыl' то
Ib > al,
и а
< Ь,.
еС!lИ
ы буде,) СЧiiтаг
al > Ib
что а
>
2).
1) Итак мы считаем, что ао = Ь;;, а1 = Ь 1 , ... , ak-1 = bk-1, но ak # bk.
2 Л;'гко вищ"
что сформулироваi;НО;' правило сраВiif~НИЯ ш'щестш [;ных чи;е.,i в щ.>имеш'нии к
са,;;ому резуш,тату.
ное в ,носке
м fi;;циональным числ;;м ПРИ1ЮДИТ к том,
). н" с. 38.
В само.;; д,'ле, достато
1i1O
рассмотр, П, ЛИЩh СЛУ'1ай дву"
J-tblХ раЦИОНi1 сьных чи.е .. i
и
рацuоJ-tалъJ-tЪf,Х 'tuсел, и ПУСТh а
=
Пусть ().
(}.о, а 1(}.2
Пред,ю южим, что р1с iлональному чи.
Т',ЧКi1 1111,
раЦИОНi1 сьном, числ, Ь лежит правее ТОЧi;
J-tеоmрuцаmелъ­
>
Ь "1Г .. сасно npu.B,' 'у С['"В''' J-t;;Я
... (}.n ... ; Ь = Ь;;, Ь Ь 2 . . . Ь n ...
().
СООТ1,еТСТ1'У"Т Н1С число ;i1Й П'И
111 •. Тогда }ССНО, что ТОЧКi1
ТОЧКi1
М2 . В,/ест,' с те'/ из п.
2
вытекает, что целое "{ис-
1
ло (}.оа1 ... ak(b Ob 1 ... bk) ПОi;азывает Сi;ОШ,i;О раз 10 k ',аст'
ОТР,'ЗКi1 ОЕ
же
'по и правило сраВН('i1ИЯ ра !;1Онаш,ных чис,'л. Уi;азаi1-
КЛi1ДЫВi1ется в отре,К!' ОМ 1
(0111,)
··/асщтабного
1'ЫКИНУТЫМ "ра1'ЫМ кон­
цом. Поскольку отрезок ОМ 1 больше отрезка (!1112 то найдется такой но­
'/ер k. 'по а;;(). ... (}.k-1 = Ь О Ь 1 ••• bk-1, а а;;(). ... (}.k
Ь;;Ь 1 ••• bk но это и
означа, 'Т, что
Ь сог,асJ-tо npu.B" 'у Cpu.BJ-t/J-t;;я в/щеСfff.В/J-tJ-tых
>
fZfЩEf ..ТВEffЮ
Убi ffiМСЯ. что пр; ви.ю Ср;шНi' ffЯ в!
лир(ш; нн ,fM
[в, 'ЙСТfiOМ 1'.
чисел
l1менНi> дока:tКiМ,. ЧТii если
ЩiСТВi Ш ые числа и
(J, >
Ь '/),
TP;iH:~ fТИ ШОСТi' :~H; ка >
1)
,IX Чfii ел об.
для рационаЛf,НЫХ
fffeCTfieHH
Ь и С
пр' ,ишольные в!
>
(J,
с
>
Cfi' 'йсf Bii
Для до <;i:~;i fеЛf,Сf Вi! )ТОГii Cfi' 'йсf Вi!
раССМiiТРИМ три в' 'iМiШСНЫХ случая.
1. Пусть снача. [а С ;? О. Тогда Иi правила сравнеНЮl ве
щественных чисел очевидно. что Ь
> О и CL > П. Пусть CL =
а" а1а2 ... CL i ; .... Ь
Ь" Ь 1 Ь 2 ... Ь N • • • • С
Со, С1С2 ...
••• СП ••• Обозначим через k наимеНЫffИЙ и:~ номеров
для ко­
торых нар; шается равенство (Ь N
Ь N (т. е. предположим. что
ао
b(i, Щ
Ь 1 . .. , CLkbk CLk > bk ) а через р наимень­
ший из номеров n для KOTOPf,i
нарушается pafieHCTfiO Ь N =
=
(т. е. предположим. что Ь О = СО Ь 1 = С1
'n
...
Ьр - 1 = Ср -1 Ьр > Ср).
Тогда, еСfИ ОГЮЗffа'(И'f {. через тn наименьший fiЗ
Юi.fеРОfi k
и р. то будут справедливы соотношеНИ}l а" = C(i,. а1 = С1 . . . ,
... а т -1 = { т -1,. (Ь т > С т , а это и означает, ,(то CL
>
<
Пусть С
2.
ливо при
О
CL ;? О. Тогда равенство CL
С будет справед­
>
ii'{ЮМ Ь.
Остается рассмотреть случай. когда все три ЧИСfа (Ь, Ь и С
3.
отрицателы-tы. Так как CL > Ь
>
Ь >
,то
Ь
1
1
>
1 CL 1
и
1
с
1
>
Ь 1. Но тогда, в силу уже рассмотренного выше Сfучая трех
ffOложитеЛЫfЫ
'(исе.
1с 1
1 CL 1, а это
означает. ,(то CL
Свойство транзитивности знака> полностью доказано.
4. Приближение вещественного числа рациональны­
ми
ИСЛiiМИ
ственное число
В этом пункте мы покаж:ем. что всш{ое веще
MO:tKHO
при{шизить с
ii'{ЮЙ степенью точности
раiiИона.fЬНЫМИ числаМfi. Рассмотрим ffРОfiЗВО [,ное вещеСТfiен­
ное число а. Ради определенности будем считать это ЧИСfO
неОТРИi щтельным и представим его в виде {iеСi<онечной десятич-
ной дроби CL
Обрывая
чим рациона.
1
W
ао. а1а2 ... (Ь N •••
i<аЗafШYi" дро{)ь на 'п-м знаке ffOсле ЗaIrятоЙ. fЮП\­
fЬHoe число ао, а1а2 ... {Ь N •
ве. iИЧИВ это число на
получим другое рациональное число а"
правила
сравнеНИ}l
что для любого номера
вещественных
n
а1 а2
... CL i ;
чисеЛfегко
+ _1_.
ОП
установить,
справедливы неравенства
ао, CL а2 ... (Ь N ~ CL ~ ао, а! а2 ... (Ь N
1
+ w'
HepafieHcTfia (2.5) ОЗffа'(ают,. ,(то веществе1-t1-tое ,{шло
CL .ИfiЛ'Ю­
'Че1-tо MeJfCJy дву.мл рацIL01-tалъ1-tыlмии 'Числа.ми, ршmостъ .М; JfCJy
1
'J);оторыlмии равна - . При это.М ?Ш.Мi р n .MOJfC1-tО в.·!лтъ Л'юбml.
1) СiюiiСТi О Т( 'iШ3ИТИВНОСТИ 3Нiiюt
=
с слеi ует
чисел.
'по а
=
с, сразу Вi,ттеiiаеi
Тi'еРЖДiiющее, ЧТО из
из правила сраВiiения ве
= Ь и Ь
HeCTBeiiHblX
ffCE.'f
По <ffже\f,
рационаЛf,Нff'
для любf 'Г, f
ВfДЛИВff HepaBeНfTBff
1
-<Е
lll
r1
ЧИСfЛ.
не
- - ;?
10 n
В Сс М' 'м ДfЛf'
прев, 'fХОД,l ffИХ
канечнага числа намерав
или
Е. ДЛЯ всех
1
n
:tKe
числа
того nОЛОJfCителъ1-tого
ffсла (ЬО,
1
i)
ffТf'Лf,Нf1
Поэтому ли [fЬ для
n
10 n
1
~ Е
справедлива
требавалась дm.азюъ.
(L
Сf8ДУНlще\fi уmвеРJfCде1-tию:
и для любого наnергд взя-
рачио1-tаю,1-tого
числа
'Числа 0:1 и 0:2 таnие. что 0:1
(Ll(L .•. ,(LЗ •••
'!
·.fe\·a n,
KflKOBO бы ни БЫШf
HflTY
астальных намерав
для любого веществе1-t1-tого 'Числа
0:2 Е.
Неравенства
ю
справедлива неравенства
HepaBeffcTBa 10 n
. '!Та
Таким
, мы прихаДff
рачио1-tаю,1-tъti
по. ю
О, най lет(я ЛИfffЬ конечн, ,е чисшf
рациональное чисшf Е
ральных
iiзяrrl,()?1'
'PfiffTOPOrO
',"fИf "fЯ
Чfff Лff
1-tаUi/утся
(L
iiBa
~ 0:2. nрИЧf.М
пазво f,lЮТ утверждать. что. рацианальнае
(Ьn ffРИ{Шlfжает вещеСТllеннае числа
с тач-
(L
1
насты" да -n. На ппакт:vн.е всегд· а имеют д. е.Ю с пf ,и{шиженным
'
10
.
.
.
значеНflе\f llеществешюга ЧlfСfа, замеflЯЯ его. ра!
lаш,ны
'lИС-
лам с требуемай степенью тачнасти.
5. Множества вещественных чисел, ограниченные
CllPP"Y или lИЗУ. В эта м пункте мы рассматрим праизваль
нае мнаж:ества ве нественных чисе. , садерж:ащее хаПl бы адна
lfСЮ 1 . Эта \шажеСТlЮ мы
дем абазна'lЮf СИМlюлам {1;}.
Отдельные числа. вхадящие в састав мнажества
, будем на
:~ЫBaTЬ
эле.ft;tfюnа.МИ этага мнажества
Оnределенuе 1. AI1-tоJfCесmво веществе1-t1-tъt:r; 'Чисел {х.} на
.·lъtвается о г
а 1-t и ч е 1-t 1-t Ъ! .ft;t
в е 1; у (с 1-t И
у). если
СУЩfствУfт таnог beffieCmbe1-t1-tОf 'Число l'vl ('Число
, что naJfC
ilъtu элеме1-tт х M1-tОJfCеСmва {х} удовлетво{ яет неравенству
1; ~
(1;
rn).
этам числа М (ч lСЮ тn) называется ве{ 1;неи 1-tИJfC1-tеu) гра1-tЬЮ мнажества {:r;}.
Канечна.fюбае аграниченнае сверху мнажества {:r;} имеет
бескане'ша \шаfа Bep1:Нf'
раней.
са\ЮМfе. еСJШ вещеСТllен­
нае числа l'vl - веРХНШl грань мнаж:ества х, та любае веще
cTlleHHae lfСЮ l'vl*, бо f,шее lfCfa l'vl, так 'fie Яlшяется веР1:ней
гранью мнажества {:r;}. Ана.югичнае :~амечание малсна сде.fать в
атнашении нилених граней аграниченнага СНИЗl мнажества {1;}.
1) Такое 'iHOAieCTBO обf.тчно называfОТ н,еnусmЪfJvt.
) ОтмеТИ'i ЧТО ПОfштие 'iHOAieCTBa и его эле,. ен а ОТНОСИТСЯ
ным ПОН}СТТШМ
СН()СК; 2) Hif С. 20).
начаЛh-
fZfЩEf ..ТВEffЮ
T,'f!, наПРf<М<Р. МНО>,
B'fffeCTf;eHн ,fX чис<л ограfШЧ"
cf;epxy
В<Р',:ней г\аfШ М T,'f!Oг" множества можно в :(fть любое Н<ОТРИЦ,)Т<ЛЬН<" в' [нественН<"
.\iножеСТf;f\ ВС<Х Ц<Лf,'
по.ю" f<Т<Лf,НЫХ
н;, л
,2.3"
огр,шичено сни:у
качестве ни:tкней гр,ши этого множ:естк,
''''Жf Ю f;:~ЯТЬ люб, ,е f;ещ' С'! в' fшое
нераненстну тn ~
тn..
ювл, [в' 'ряющ'"
1.
ECTecTf;eHHo. fЮЗf [<кае! fЮffрОС о сущеСТfЮf;аf fШ '}-шименъшеи
и:~ верхних гранеП ограниченного сверху множества и наибою,­
из нилених граней ограниченного СНИЗf множества.
weI'l
Определение
НаиhliНЪUЮ.я из вс!
2.
вер! ?!и:т:
ниченного ,веР1;У ht1-tО;JfCе,mеа {х} на.;ыает,.я
в
р х н е
г р а н ъ
u
,.я , UhlвОЛОhl х = sup{ х}
Наи60лъwа.я
х
MHO;JfCeCmea
uз
этого ht1-tО;JfCеСmеа
10
oi 'означшт­
в,е1; HU;JfCHU1; гранеи ог{ЮнU·t.енного 'ни.;у
т о ч н о
u
н и ;JfC н
этого ht1-tО;JfCеimеа и обо.;на ·!Летс.я 'UhlвОЛОhl ;f
2
U
1).
назыlштсяя
Определение
огра-
т о ч н о u
молшо
сформулировать
и
г р а н ъ
u
10
= il1f{х} 2).
по
ДРУГОМ;,
а
именно:
Чuсло
(ЧUСЛО;f ) на.; .!вштс.я
точно'!i в! р!неи (точноu
Hи;JfCHeu) г{ анъ1О ограни ·t.енного (вер1;У (снuзу) MHO;JfCeCmea {х}.
iСЛU вЫnОЛНiН!.! следУ1Оf!/,'U! два требовШJ-Ш.я: 1) nа;JfCдъиi эле
ht1-tО;JfCiСmеа
удовлетворшт неравгнству
~ х
;?
hleHm
;f), 2) ffaKOBO jiы ни 6ыоo веще,твенное чuсло х' hlенъwее х
(болъшее :.!.:.) нш!iдiтс.я :r;от.я 6ы один ЭЛihlент х ht1-tО;JfCеСmеа
{ 1;}, у iовлетвор.я1ОЩUU неравен,тву х
1;' (х
х').
'~ этом опреде.fеfШИ требоваН«е ) означает, что ·fИСЛО Х (Чf<С­
ЛО ;f) (ШЛ(fется однои из верхних (нижних) граней, а требова­
Н«е 2) ГОfЮрf<'i о TO>'f, '!ТО эта раю, ЯВ.шется НШUhlеН1.шеU наи­
и уменьшена (уве.шчена) быть не может.
ю,
ственных
MHo",ec'fBa
что
чисе.
HffЬ,
существует
!ТО
число
не
[;се:··:
точна(}
отрицатеЛf,НЫХ
верхня(}
грань
-
f;ещечисю
nринадле;JfCuт Уffд.инному ht1-tО­
;JfCiCmey. Очевидно также, что у множества всех целых по
лож f'fеш,i
грань :.!.:.
1
f<сел, 2,. 3, ... существует то'шая
·"няя
которая nрuнадле;JfCит уnа.ю.ННОhlУ ht1-tО;JfCеСmеу
[. т. е. являетCf} наимеНЪWUhl элементОhl этого множ:ества). Та­
ким образом, точная верхня(} (точна(} ниж:ня(}) грань мнO:tке
cTf;a
>.южет
f!Ю!
ПРfшадле",аТf.,
так
и
не
ffрЮfадлежаг
этому
множеству.
1) sup -
первые три БУКi'Ы латинского СЛОi,а suрrешuш (<<CYiipeMYM»)
которое переводится "ак
,<наив"тсшее".
2) inf - первы,- три б, ю,ы Лi\тИНСЮiГО слов" iпfiШllШ (<<ию!nrм, М»), Ю\ТО­
рое
iieP'-iЮДИТС}[ кл,к
«Нi\Инизшее>,
ffCE.'f
СущzСТВ()В{Шffе у
жеСТfШ Т'f'ШОЙ вzр>~ней (ТОЧНif
Р,Шff'fеННi;i
Cf,e\xy
Ш·i<неЙ гра:ш не является ,fч,
ви шым И Tpzбуzт д' ,ка :,iТ,лы тва
Te()pZMY.
'J-l()fntУю
<.• iiii;ж;;сrnно fii7ч;сrnfii ины! 'Ч!!'се/{ сод;р­
эле.·i7енrn
'/),
огuшн,!!!t.еио
гуще, твует веще, твенное Ч'UСЛО
то"lНОЙ
о
i
(точно'!! H'UJfCH,
а з
а т е л
с т в о.
С! еР1;Ц
(Ч'UГЛО:.f) }i'omol ое являет-
'!!)
граны, этого ht'J-lОJfC;Сmва.
ы остановимся лишь на ДОf<аза-
Te.fЬcTBe существования точноП верхней грани Уfюбого ограни­
чеННОiО cf,epxy MHo'i<ec'fBa, ffбо существоваНifе точной НИ·i<неЙ
грани у любого ограниченного снизу множества доказывается
совершенно аналогично.
Итю., пусть MHo,i<ecTBo {1;} ограничеfЮ cf,epxy,
ет такое
чисю
BefIIecTBeHHoe
ст ,а {1;} удо шеТfЮРЯ8f
l'vl,
. е. сущеСТf'
что ка:tкдып Э.fемент :т: множе­
[еравенству
~ М.
J\IOrYT
представиться два Сfучая:
(>.6)
10.
Среди элементов мно
жества {х} есть 1;отя 6ъt одно неОТРИf щтельное вещественное
число. )0. Все элементы множества ЯВЛЯЮТСil отрицате.fЬНЫМИ
вещеСТf,енными ffСЛЮ,1 . Эти СJIУЧaff
расС'.ЮТРff
отдеЛf.но.
1о. Рассмотрим лишь неотрицате.fЬные веfIIественные числа.
входящие в состав множ:ества
Калсдое из этих чисел пред
cTaf,i' в виде беСКОffеЧfЮЙ десяти'ШОЙ дроби и рассмотрим це­
J.
лые части этих десятичных дробей. В СИ.fУ
.6)
все цe.fЫe ча­
сти не frpевосходят ЧffСfа М, а по.fТО\" найдется на:uБОЛ'i,'шая из
r.елых частей. которую мы обозначим через Ха. Сохраним сре
Дff неотт'" щтеш.ны
часть равна
чисе.
MHo",ec'fBa {х} те,
которы
и отбросим все oCTa.fЬHыe ЧИСfа.
це.fая
сохранен­
ных чисел рассмотрим первые деСilтичные ЗНaf<И после заПilТОЙ.
НаиБОЛЫIIИЙ из этихшаков обозначим через Хl. Сохраним сре
Дff HeoTpff щтельны
чисел MHo",ec'fBa {х} те,
которы
целая
часть равна Ха а первый десятичныП знак равен Хl и отбросим
все остальные ЧИСfа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые
десяти·шые знаки fюсле ЗafrятоЙ.
affбольший ffЗ fТИХ знаКОf,
обошачим через ,1'2, Продошсая ана.югичные рассуждения да­
лее,
мы
fюслеДОf,ател ,fЮ
о rpеде.Шf
деСЯ'f ffчные
ЗНaf<
Hef<oTo-
рого вещественного числа Х:
=
Ха·
!l Х 2
...
ДОf<аже\f, 'по это вещеСТf,енное
ffСЛО Х
Яfшяется то шой
верхней гранью множ:ества {х}.
этого достаточно дока:ать
,IBa утвеРJfCден'Uя: 1) что f<аждый элемент х множества {1;} удовлеТВОРilет неравенству :т: ~
что, каково бы ни быю веще
ственное число :r;' . мень нее
найдеТСil хотя бы один элемент :т:
\шожеСТf,а {1;}, дов.fеТВОРЯЮЩffЙ Hepaf,eHCTf'\ х
1;'.
[Z[ЩEf ..ТВEf[Ю
r'''[i,ла
НО"
Та[<
Tr; любое
1; и! м[ [;
nrnjJ!f/u/!rne/!/blr
Х
,crr!'CTBi'
у[овл<творяет неравенству
~ Х Пусть
любое 'J-lеornРU!!ПТJJе/!/Ь'J-lое число, в:.:одяще!
,!fжестВf'
Предположим что это число :Г нf удовлетворяет HepaBeНf ТВУ
:Г ~ Х Тог[!, :Г
>Хи
= Ха, ... ,
такой" что Ха
!ра[шеНffЯ Нi!йдется Нfc\!ep 1.:
>
=
1;k-1
Xk-1, Х'"
Xk. Но послед­
ние соотношени}} противоречат тому, что в качестве ii'k беретс}}
н а
б о л
ш и й
[lз деся'!,ншых знаКО[l
(k - 1)
у которых це.!ая часть и первые
СООТ[lетствеНfЮ рав![ы Ха, Х
тех 'iлемеНТО[l Х,
знаков пос!е заш}той
, .... Xk-1'
Докюкем теперь утвержде1-tие
=
. Пусть х'
произво!Ьное вещественное число
. .. -
1;~. 1;~ Х;
1) меньшее Х.
Тогда в си!у прави!а сра шен !я вещест ,енных '!исе.
n
номер
, = -Ха,
,=Xj •
Ха
\!НожеСТ[lа
n
.
'"7,)
Хn ·
,
мы строи. !и так. что среди элементов
найдется ч[lсю Х =
{1;}
часть и первые
1;.
,= Хn-
... , Х п -1
1;1
С другой стороны. ЧИС1О
[lC!a
найд8'! ся
такой, что
Ха.
1;
Х2 ... 1;n ... ,
:tKe"
дес}}тичных знаков у которого те
[е!ая
что и у
е.
.8)
i!'i'-l,
Сопостав. !}lЯ
ных
И
[lсел!1О
В СИ.!у правила сравнения ве!!!ествен-
'!то Х !
[lM.,
ким обра:~ом. для с !учая
1о
1;. Утверж,}е1-tие
2)
доnшю1-tо. Та-
су !!ествование точной верхней грани
доказано.
Ана.1ОГИЧНО доказывается су!!!ествование точной верх­
20.
не[l
грarш
ства [
ми.
и
во
второ\!
слу'!ае,
1<огда
все
fле.ме1-tтъt
.М1-tоже­
,я,вл,я,lОтс,я, отрицат!л'Ь1-tъt.ми в!щ!ств!1-t1-tыlмии 'Числа­
этом с!учае все эле\!енты мно",ес'!ва {Х} мы представим
в виде отрицате.!ЬНЫХ бесконечных десятичных дробей. Обозна'1ерез Ха 1-tаиме1-t'ЬWУlО [lз це!ы
'1астей
дробей: '1еpe:~ Х1
-
1-tаИ.ме1-t'Ь '!iИ'Й и! первых десятичных знаков тех из этих
ДРО{iей, у которых
WИ'Й [fЗ
BTOP!i'
[ела}} часть [)авна Ха: через Х2
деСЯ'!fi 'шых знаКО[l тех [lз
цела}} часть равна
-
дробей,
1-tаиме1-t'Ь-
KOTOP!i'
а первый десятичный знак равен
Таким путем мы ощеделим отри щтельное вещественное чис !о
Х
=
-Ха,
Х;
В полноП аналогии со случаем 10 доказывается. что ЧИСТIO
}lВ
ля8'! ся то'шой вер ,:ней раны ; i \!НожеСТ[lа {Х}
е. удо[шет юря-
.
Это число х'
не огра"ичивая общности, будем с "патr неотри-
Ц \Тельным, н[ю е, си бы (>НО бы.ю отрrП.<1те .. 'ЬНЫМ' то НР'iiшенств, ,r
Д()jiлеТiЮР",
,
бы неотрrП.<1те .. ,ьныi] "емент
,r
МН"Ж,'СТВi,
{,r}.
>
х'
ffCE.'f
\ Тf,етн'ден !ям,. сф, 'рМУШf1 i1ffJaШ
TeopfMif 11 ff<аЗiJна
н
чая
н:ла
е
При
начиная с шкот' 'рог"
)ТО ЧИСЛff м(н"'"
где Xk
11ff<if:~a'f ел ,ств' те<>р' мы
, Х1 Х2
х
,н<а
рассм<>тр' НИff
MeCTif.
;ifTf,f я
вс'
для fЛУ-
2.
д'СЯf ffЧНf,"
Шif
,.
м' ,гут <>Кif:~аться равными нулю. т. е.
\fеющим ВИ.f
o:f. О.
в этом с. fучае остаеТС'l в СИ.fе приведенное выше доказатеъ­
ство. но согласно договоренности. ПРИЮIТОЙ в п. 3. при сравне
Шf
с эле·,fентами \шожеСТf,а 'fИСЛО Х СJI8дует за
Х
§ 2.
,ша'f
[,
в виде
= -Ха, Х
Арифметические операции над вещественными
ИСЛiiМИ
1.
fffC
Основт
СiiОЙСТВii
щны
Оiлре/i,рлеНiiР суммы вещественных
исрл
'шсел. Одним
из важнейших вопросов теории вещественных чисел ,ш. f'lется
вопрос об ОnРiделе'Н'U'U оnграций СЛО;)fCi'Н'UЯ 'U Уht'НО;)fCi'Н'U.я эт'U!
ч'Uсел'U о свойства1; эт'U1; оnерациЙ.
ювимся ffре'f'де [,сего
на операi сии с.ю/кения вещественных чисе.
.
Хорошо ИЗf,естно, i<Ю< Сi<ладывают Дf,а f,ещеСfвеfШЫ
'fИС­
ла на практике. Для того чтобы сложить два вещественных
ffсла а и Ь.
за\fеНЯl'"
с тре:i\емой cTeffeHbl" ТОЧfЮСТИ раr.иональными чис.fами и за приближенное значение суммы двух
данных вещественных чисел берут сумм; \казанных рациона.Ъ­
ных чисе.. При этом cOBepfffeHHo не заБОТ<lТСЯ о том. с какой
стороны (по f8доста'П'
по
взятые рациональные
чис.fа приб.ш:tкают данные вещественные чис.fа а и Ь. Факти­
чески ука;анныП практическиП способ с.юж:еНЮl вещественных
ffсел ffредполагает. что
то'шее раUfюнаШ,1 ые
ffCJIa
/3
приб.шж:ают (с любой стороны) вещественные чис.fа а и Ь со­
oTBeTcTf,eHHo .
тем
ТОЧffее
сумма СУ
+
ПРИ{i.Шfжаеf
то
f,еще­
ственное ЧИGТIO, которое доллсно являться суммой вещественных
ffсел а
Ь.
)Келание оправдать указанный практический способ с.юж:е
ния
вещественных
чисе.
естественно,
приводит
нас
к
с. [еДУН1-
щему определению суммы двух вещественных чисел.
ПУСТf,
СУ2 -
l<Ю<ffе
годно раllfюнаШ,1 ые числа. \fежду
которыми ;аключено вещественное число а (т. е. СУ1 ~ а
а
/31
l<Ю<
ffe
У'одно раl
fаш,ные числа. ме
ми заКfючено вещественное число Ь (т. е.
с\
\юй вещеСТf,енных
ffce.
а
Ь
ы
/31
~ Ь ~
СУ2)
которы-
.
Тогда
fаЗОf,е\1 такое вещеСТf,ен-
Нf\'
Чf!'Ю:Г
ОО!
!"
"лт!!рое
+ (3!
fiлючеш'
\iежду
Иными словами. С
,м о й
пациона. ъными
не. 'j,eC!JJfie'l-l?!"
?Ш,30Ы~·i·! jjJ.(J,'f(;,!e i!i'щесrni!! 'jf.'!-юе
?!Л/f.'Ь'l-lЫ! 'ч'/},С!
вс<ми
+ (32! )
002
ОО. 00',
~
"l!i,cei!
(32, уд, !i!ЛiТn'НОРЯ!. !7Ч!"
(J,
(J,
'/),
ь .i7Ы
!!'щn,ор,!е !!ля любы:г РОV;ШJ­
~ !!2.
~
'I-l; P(J,he'l-lспu О,М
~
(29)
Уi}овлеmворяеm !ледуlО'ЩUМ 'I-lej·aee'l-l! mвам:
+
+
10)
СУ"iествование такого Be"iecTBeHHoro числа ::с, и притом только
одного, не вызывает сомнений, (Соответствyr'iщее доказатель­
ство ПРИВОДИТСil ниже.) Нетрудно убедиться в том, что таким
f!CJIO\! 1; является то'шая f!ерхняяраш, \шожеСТf!а {оо!
(3!}
сумм всех рациона.ЪНЫХ чисе. 001 и (31 УДОВ.iеТВОРЯЮЩИХiевы
[еравенс! вю! (2,9) 2),
+
1о, Пр;'ждр !ice;o !,едимся
том, что ука;анна" верхняя i!i;ШЬ
ще­
CaMOi! i!еле, фиксируе i ! произвот.ные ра'i!юнат.ные числа (12
и ,82, удов." творяющие Щ ,;!БЫМ нера;iРШТ;iам (2.9), и рассмотрим ;iC' ;юз­
сгвует. В
'/ож",,!е рационат,ные
ст;!!м
(2.9),
Из
; войств!!
'!i!сла (1,
;1
у,ювлеТВОРЯ/iiiii!е левым неравен
>,
траНiИТИ;iН;' ТИiнак!!
"РИХОДИМ К ;iЫ;ЮДУ, что (11
< (12
<
3 § 1,
УСТ;ШО;iленного
,а из этих
Hepa;ieHcT;i
следует, что
~ (1, +!2 (с/, конец п,
1), Та !им образо'/ м!южество всех рациона.. !ЬНЫХ чисел {(11 + ,8 1 } u2Pu.H!· "'но св/рху и число i 2 + ,8, ю,л"ется однuй
из вер/них !']юне!! этого '/но!/!ества. По !еоре!/е 2. j у '/но!/!ества {(11 + 31}
(11 +
С; ществует точн
"!
верхняя! !i;ШЬ Ю!ТЩ" Ю мы
. "!'пначим
через
;[, OiTaeTi'
убеi! !ТhСЯ в то'/ что число
является
веществе"ных чисел а и Ь,
т, е, дш,лет;юр"ет нера;,ешт; ам (2.10),
'!!МОМ де .. i Р по О"Рi'де .. iению точ­
НОЙ ;,ерхней грани . с"ра;,еДЛIШО ле;юе нера;,енст;ю (2.10), а спра;'еi!ЛИ;ЮСТЬ
"ра; 0;0 не! ,;",енст;,;! (2,10) вытекает из ТО;О, что (1,
,8, - одна из верх;;,их
граней, а ;[ -muчная верхняя 2Pu.H'b множеi.Т;iа {(11 + ,8 1 }.
20. Установим теперh, что существует тОЛЬJ{;О одно веществеН!юе чис­
т; х,
Д;!Б .. iетворяющее нера;iеШТ;iам (2,10). Будем О"Щ ,!!ТЬСЯ на след' ю­
щую лем,/у !i!ЛЯ у,юбства до!!аза!еЛhСТВО этой ле,/мы Оiнесе!ю в !!о"е!!
н!!! тоящего Пi нкта)!
+
Лемма. Если ;!Л'" дву' "аннъ!' ие ·и.ест ,енны! чисел
и Х2 и
бого Hu.nepea взятого nоло:ж;ите ·'.ного раи,ио;;,а ·'.ного s "айдуmся два
лю-
анальных числа ~!
<s
то
числа Х1
и Х2
и {2 maJ{;Ux что {1 ~
~ ~f2, {1 ~
~
и {2 -~!
ра;!нъ!,
Пред!]!! южим, что С; ществуют дв!! вещ' ственных числ!!
леТВОРЯЮЩi!Х неравенствам
,81
И
,82,
удо
i
(при тоб!,i"
iетворяющих нера;iеШТ;iам
ное ра!!лональное число
1)
(2,10)
Заметим, что
;[1
И Х2,
числах
(1
дш i (12,
лю[;';е!i ;.южите.iЬ-
'огласно ут;iерждению, доказанному
п,
4 § 1,
элемрнтарном К; рс р с; мм!! Д;iУХ веЩi'ственных ЧИi.е.i
О!iределялась аналогичным образом (см. А. П. Киселев, Ал!ебра П, Учпед­
!из,
1959,
с,
9),
2) Ан!! ю!ичн; можно [iыт; бы бi'ДИТЫ'
ТОМ что т!!ким числом ЮiЛ"-
ется !о i!!ая "и!/!няя гран]', '/но!/!ества
+ } СУ'/М все', рац юнат,ных
ЧИСi'Л (12 и ,82
ДШiлеТiЮР"ЮЩИХ !iраiiЫМ нераiiеШТiiам (2,9).
ffCE'
для вещр·· гвею юго
. fисла
рационал .ные числа с1
а и для раЦИОffалы юго числа
и С12. что С11 ::;; а::;; С12 пр",
.:ИЧН() д.Ш вещ.:'ственн()г() чи'
гаf.:ие ращюнаш.ные числа
рац юнал .ными
/32. ·по !1 ::;; Ь ::;;
,r1 и
/31
+ )и
числами
fю) f),:шна
Так
Е: -
K':fK
=
< 10/2.
,а
,пр" ,е'·;
/32 -
Ан ало-
Haiin.: тся
< 10/2
Х2 б.: Д' т заключены м' ж­
(С12
+
раЗfЮСТh
fюбое на':fер.:'д f,зят()е ,,',:южите .. fьн()е раЦИОН':f ,ьн.:е числ() , то
Х2 В силу СФОРf;улироваююй в .fше леf;МЫ.
30. 'УСТ':ШOI'ИМ H':fKOHeff чт()
':fрименении К двум
СФОРf;улироваююе наf;И определеffие сум';'
н()е
наЙ;rУТГЯ та.: ие
С12 -С1
,а Ь и Д.ш раЦИОН':f ,ьн()г() чи'
Т':fКИМ ,.:iiразом, оба .:р'щеfТ.:р нных ЧИfла
ду дву'. Я
...
rп
элем,:'нтарнOIО
'
/ "Чf "н 'ЛЬНЫ.' !. ЧИСЛ':fМ
вешестве ,ных чисел и извест
..
р.:щи'шальных чисел
nрг­
"о" ,'т 1;; о.:mом!/ и тому
резулътату. В самом деле если а и Ь ""ffл()нальных ЧИСЛ':f. ДOI,леТfЮ! '3fЮЩИХ не! ..:",eHcTf'':fM С11
::;;, 2,
К.: рса OIfреде fРНи.:' С.: ммы
два
j31
а (а + Ь) - ~ . cYMf;a, получен fая по извеСТНОf;У из элемеfпарного
::;; ь::;;
курса определе fИЮ, то очевидно,
·по
(2.11)
.f':O что ДОf.:аза fHOf;y утвеРА!. е fИЮ, рационаш.ное
3f еДИНСТf,енным f,ещеСТf,енным чи' ЮМ, уд()в.fРТfР':РЯЮШИМ
Hepaf,eHcTf,aM (2.11).
40.
ДОf.:азываТh СФОРf;улироваЮfУЮ выше леМf;}' устаfЮВИ';
пр" ,е'
..
согласно тол
л() (а+Ь) 'Ш.шет,
след.: ющ.:'е ВfПОМ()Г':fТельное утверждение.
<
Ка1;;овъ! бы ни были д!.:а "е ''',ест ,енных 'tисла а и Ь та1;;ие. "{то Ь
а.
найдется m"I~f·"Нu.ЛЬн"· "{uс.:о
··,·''teHHoe . ··:нсду "и,.,,,.и
е. та1;;ое
<
<
"{то Ь
с1
а (а следователъно, на '!дется и беС1;;оне'tное MHOi'· ест!.:о разли i.НЧХ paf~uoHa ".нчх ·i.исел, за1;;!ЮЧ' нных .ч.е:нсду
Ь).
ОчешI.:!НО, достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотри''''Р,;.'''.'О'.. ибо
C.f' чаii. ко' Д':! и Ь оба неnоло:нси uе ··.НЫ, св()дится к казан­
fЮМУ случаff' посредство'; пере·'о.:.:а к модулям, а случай, ,.:огда одно 'tисло
nоло:ж;ителъно, а др /гое отриf~ателъно, тривиален (в f.:ачестве с1 МОА':НО
i'ЗЯТЬ Н' ,ь).
... а n ... : Ь =
Ь 1 Ь 2 ... Ь n ...
n, дл3f кот()рых наруш fется р:шенств()
а n = Ь n т. е. аг = Ь о , а1 = Ь 1 ... ak-1 = bk-1 ak
bk.
силу ДО:OIюренн::сти, ПРИН3fтоii
п. 3 § 1, м :жн:: считать, чт() все о..
при n
k не мо' !/т бъ!тъ равны н!/лю. ПУСТh Р - наименъши!! из fюмеров
n прев()' ХОД3fЩИХ ,Д.ш кот()рых О.. > О, т. е.
Итак, ПУСТh Ь~O; Ь<а; а
П, 'ть
k -
= а,
а1 а2
Н:fИменьшиii rп номерOI'
ар
Тогда из правила сравнеffИЯ веществеюр'
что р:щи()нальное чи' Ю а = "', а1 ...
iЮР3fет
Hepai,eHCTi,aM
Ь
< с1
найдут'
3f ni,a
< Х2.
[уст]', теперh
{1
{2 -
о (ар -
1) 999 ...
уд()" ,ет-
,еммы, пред:ю южим. чт()
,r1 '" Х2. Пусть
Тог.::а в силу ВСПОf.югател .ного утверждения
""ffЛ шальных чи'
Х1
Hepai,eRi·.Ti,aM
чисел непосредствеffНО Вf.пеf.:аеf
00 ...
а. Вспомогательное утверждение доказано.
ОГiраш f}fСЬ к док:rз:rтеЛЬСТi"
ра.::" опре.::елен юсти
...
,а С11 и С12 таких, чт()
<
ка .:ие }ТО.::
(2.1:7)
10 ра
гюнаШ.ные числа. У, овлетворя" ,,,ие
!2
сопопаВЛ f "ия
< 001
ЛУЧИМ
> по> 002 ~OO1, что пр пив !р)'чит Т !М),
fЛ {"войства траfПИ ИВfЮСТ" ',,!а!!а
!2,12)
< /2,
/1 ',соже!
а)
"2
что разнос!!, /2 ~
сдела !а ме,,!,ше тобого "аш'ре", взятого
,,,!,южите,!ьного рацион!! !ьного чи, !а s ЛеМJ'vI!! доказан!!
Uклре/к,рленир
аскаш,ку
ПРОИЗ!!f'дения
;юпрасы, вазю; <а;, 'щ;;е
ведения; ;ещественю,!
рассматренными
чисеш
при
вещественных
аснав! ю С,! савпада;от с
апреде,!ении
исрл.
связ;; с апреде!е! !Ием
суммы
пра;;з­
вапраса!'!
ве нественных
чисе,
ы аграничимся JШШЬ краткай фарму.ш;ра;; <ай рез\!Ьтатав.
()пределим
сначала
праизведение
чисел а и Ь. Обазначим чере; 0:1
тел!,ные
рациаНiLт,ные
а ~ 0:2 /31
0:1
Ь
числа,
nоло;)fcuтелы-lы1;
уда ;лет юря;ощ;;е
нера;;енст;;ам
/32'
Праишедением nОЛО;)fCшnел ,'Hъty
назавем вещественнае чисю
0:1/31 ~
двух
0:2, /31 И /32 любые палажи
1;"
ве нественных чисел а и
удавлетварянm~ее неравенствам
0:2/32'
Тачна так
вещест;;еннае
как и ДеТ! суммы, устанавливается. что. такае
;;сла х существует,
притам то!ы<а адна. Лег;<а
:tKe.,
убедиться в там, что. таким чисюм
!Ш!!lется тачна!l веРХНЯ!l
грань мнаж:ества
} праизведений всех ра; ;ианальных чисел
0:1 и /31 удавлетваряющих неравенствам О < 0:1 ~ а, 0</31 ~ Ь.
Праизведение ве нественных чисел ЛlОi 'ого ,;наnа апреде,
ся
!Ю с!еду;още!'!!
!!рави,
1) счИ!~ют, ';та а· О =
2)
!!leT
.а =
l
счи!ают., 'па
" аЬ= {lal'lb
-1 а . Ь, 1
есш;
Ь ад! юга з!;ю<а,
а
если а и Ь разных знакав.
В зю<лючение атметим, что. тачна так же, как и для суммы,
мажна
даказать,
лам а!!ределение
из
элементарнага
ных ';исе,
что.
в
применении
к двум
ра;;ианальным
!!раиз;;едею;я вещест;;енных
курса
пнвадят к
апреде,!ение
аднаму
та''!)
чис
;;сел
из;;ест!юе
праизведения
ра; ;ианаль­
,!)е
рез\!Ьтату.
3. Свойства !!ещественных чисел. В этам пую<те мы
убедимся в справедливасти ДШl праизво!Ьных вещественных чи
сел все1; OCHOBHъt1; своиств, !!еречисленных
п. 1 § для рациа­
на,!Ьных чисел. "праведшвасть Д
вещественных чисе, свай­
ства 1о уже устанавлена выше. 'I'аким абразам, нуж:на вы!lснить
ш;шь вапрас а спра;;еДШlВасти для вещест ;енных ';исел
cBai1cT;;
20~130.
егка убеДИТЬС!l в справедшвасти для вещественных чисел
свайств 2~5
и 11, СВilзанных с паЮlтием суммы. Справед­
ливасть свайств 20 ~C
непасредственна вытекает из апределею;я сумм!,!
;;еществею
;;сел и
свайств дш ра; ;ианальных чисел.
;;з спра;;еДШlВасти
;<азаю
ffCE'
ШOiО
при дока:~а1елы
1Bi'
л' ммы
рацион ,льньu' ЧИСЛi,
'1
'1исла
'ш
и
числа
'1
кош'" П
, что
такИi
,ЮЛОi1iитеШ,НQ)'О
раЦИОТТiiЛЫТi,1е
СУ
1СМ
и
Pi,
1 на,
(). >
С1венного
,И0i1а,'jj 1Ю1'О
та11Иfi,
что
т
'1исла
тсм
,2,
с
Е
(32 (см, утверждение, доказанное в п. 4 З 1),
Пусть даш,п СУ2 и
неравенствам СУ2 ;? а.;?
чисел
+,2
су,
;?
а
любые l'ашюна'jj·1i'·Н' ',ис Ш, Донш'пюриющш'
Тогда по определению суммы вещественных
+с
;?
>
>
достаточно доказать, что СУ1 +~(1
из неравенства ,2 -
< СУ1
~(1
+ Т·
+
+т,
Дли доказаlеЛЬСlна того, 'ПО а
- (32.
+
,2,
,силу транзитИiШОСТ
,
З,1ака
но это неПОCi1едственно вы 1екае 1
Заметим, что вопрос о вы'ч/uтnшн/uи вещественных чисел как
)iiTHOM
щ'йствии,
(;е южснию , по'шостью исчсрпывастся
Hi,i
основании свойств 20-50. Назове.лi раз н о с тn ъ 10 вещестnвен­
ных 'Чисел а и Ь вещестnвенное 'Число с тna7);oe, 'ЧТnО с
Ь
а.
УfЩJl;ИМСЯ в том, что такой разносты, , является чиCiТIО с
а
+ =
+
Ь', гдс Ь'
-
Ч.f1СЮ, ffрО'ГИ13 i 'fЮ
Ь.
В самом 1I,еле используя свойства
с
= (а + Ь')
Ь
= а + (Ь 1
Ь
20-50
Ь)
= +
можем записать
= а + О = а.
Убешмся в том, что существует ТnОЛЪ7);О одно вещественное чис­
ло,
являющееся
раЗНОСТЫiiШУХfанных
ПРСДПiiJlОЖИI,), ч'Го К!
ществует еще 01l,HO
CTOpi'HbI, (11+b)
+(Ь
ве "ественных
чисел.
+
ука'liiННОГi, Ш"IШС 'IИСШ,i
= а
Ь' су­
число d такое, что d
Ь = а. ТОlла, с О,шой
с дi'УГОЙ стороны, (d !;)+Ь ' = d+
+ Ь') = d + 0= d,
Из i'ПР;'дС'l1'НИЯ
+
т. е. с
= d.
)iiЗНОСТИ И из СВi,йства
вы тскаст. чг, чис-
ло а' противоположное а, равно разности числа О и числа а. ЭТО
ЧI i(;ею i,бl,ГIНО заi нс ,шаю,
13
;дс -а.
15СЩСС'Г13СН-
Hi'
liiHHblX
Ч;
тием произве;f8НИЯ.
ч'Го
сслf'
а
-
какиео,;ШО
ствам
<
С
IЮНЯ-
лишь в отношении свойства
ПОШЛКИ'ГСJll"НОС
рациональные
ili'ЩСС'Г13СНР'
ЧИCiТIа,
а1 ~ а ~ а.,), г ' чисш,
n.',
а а1
У1l,овлеТВОРЯI, ,,,;ие
обратнос чи(;еlН
90,
а2-
неравен­
i'ПРСЩ'­
ляется как е,;шнственное вещественное число, у;ювлетворяющее
неравенствам -1
а'
СУ2
-1
)
.
СУ1
СВОЙСТВii 60-90 ПОЗВОlЯют СЩ' lать вывод, что для любых
1I,BYX вещественных чисел а и Ь (Ь '# О) существует, и притом
в качестве числа а' может быть в:~ята точная верхняя грань множества
всех 1;ациона'1ЬНЫХ ',исел
{ 12 }.
'ГО (ько
сЬ
одно,
13сщ; 1"'Г15; ННОС
ЧllС
10
,УДО15
усшшню
чнс:сю с Нl1зьшас'Гся '{Ш [п!{ы,м 'lИП'
Из опре1еления чаСТНОl о и из свойства
вытекает, что чис-
Ш,
'lИСЛУ
;,б;
11 о.
наконе
1,
Чl.Н
1И
"'Т;'IЮС Мl,l
Ч'ГО на случай 13ещес'Гненных
нсел 11ерено
сится и после;шее 1:3 е свойство рат~иональных чисел, а именно:
'/и'/иво бы 'J-lИ было веществе'J-l'J-lое 'ч/uсло 0.. MO:JIC'J-lО 'Число 1 nовто­
ра;, чrnО n !J;УЧ,'!{1lUЯ ;'у,м.r"rл nРl'вюu­
РИ!i!Ь
дет о. ), Докажем это свойство, В случае о. < О 1I,0казательство
нб;, 1 > 0.. ПНСТЬ
:? 11: о. = п,о,
силу TOlO, что опре.;18ление суммы вещественных чисел в при­
НС
С ра11 ll ;,наШ,НLIХ
'lИП'
СО13Пl1да;''Г с ;'llрСЩ' (СННС;'
суммы рациональных чисел, повторив число
CcтraгaeMЫM
n
раз,
получнм T~C ,ЮС чнс:сю n. Тl1К11
;,бl 'l1ЗОМ, д;"' га'Гочнр дока' 111.'Г1."
Ч'ГО ДЛЯ ЧНС:Сlа
lfl'ЛОС чнс:сю n 'Гl1К; ,С,
n
0.. Но
очеви1l,НО: 1I,0статочно взять n
0.0
2.
Такнм обра'1;" , 1lП ;'ЛУ'f.аtt вl'lЦl'сrnв,'! {1lЫХ
n, ''''! {осяrnся
Ос1l0U1lЪk CGOttcmau, сФор.r"r.улuроuа1l!{f,{е liля РШЦИ{Jf{аЛЬ1lЫХ
'Чисел в n. 1 'J-lастояще,'о пара ,'рафа. Следователь'J-lО. для веще­
crna, !{1lЫХ ЧИ; ел ;'охра1lЯfl'n'
силу вс,' пппвила алгебры,
от'J-lос.Я'щиеся 'r;; арифмети'ЧеС'r;;ИJ\i действиям и 'r;; со'Чета'J-lИЮ
=
>
+
раuе1lств
Н,·, Э'ГОМ \'Ы закаНЧll15асм "'1Jl!ЛКСlillС Э'l!"';'Н'Н',13 'Г;'ОР"
щественных чисел, необх01l,ИМЫХlЛЯ построения курса матема­
'Гн
нза.
ра'1 ;НТНС л';'рин
13;'Щ;'i'lЪСННLIХ
чисел читатель может най:ти в приложении в КОЮ1,е книги.
В закш<>чение заметим, что мы построили теорию ве"lествен
';ИП' ,а11;' lИРНЯ к НХ 11Р;'Дl'га15 l!'ННЮ
13НДС БССКОНСЧlil,1Х
l,1X
1I,есятичных 1I,роf;ей,
Совер!!!енно ясно, что мы могли (Ъ1 апеллировать и к (;еско­
нсчным дробям
любым ДРНlИМ (Нl' ;,бязат;' (ьНl' Дссятичным)
основанием. В этом отно!!!ении системы счисления с
различными
;'1"НО15аННЯ;\1И ЭК15И131.1
l,1 мсжДн 1"обоЙ. Однако
НСКО'ГОР',1Х
вопросах приближенных ВЫЧИСстrений и, в частности, при OKPYlлсн;'
';ИП'
ДО заДl1ННОГ;,
ЧСС'Г131.1
1!l1ЗРЯДО15
ния С четными и нечетными основаниями
Be1l,YT
но по-разному (см, по этому ПОВО;fуюполнение
'Л'М1,1
Н1"ЛС­
сеfш су",ествен
2
к этой лаве).
Некоторые часто употребляемые соотношения.
Докажем справе1l,ЛИВОСТЬ 1I,ля любых вещественных чисел о. и Ь
4.
Ccтre ТУ' l' '"lИХ
1I,BYX
соотно !!ений:
Iо.Ь I = Iо. I . IЬ I
Io.+bl ~ 1001+lbl·
1)
Заметим, ЧТО ЭТО СВ fЙСТВО наlываfii' a1.~cиO.MOЙ Аl хи.меда.
(2.14)
(2.15)
!!СЕ.'!
чuсел,
2)
нро ,ка Э'ГIIХ соо'Гнош{'ниij такова: 1) ,М()двух чu,ел раие"
Л'1,одулеu
иХ
,!\'toдулъ CY.AiMbl двух чuсел не nревосходит CYM.Aibl .AiO-
эrniu,т ''l1fСГЛ
"оотношение
непосреll,ственно вытекает из опреll,еле
(2 4)
"Я
ДВКХ ii,'",СС'Г13СНН"IХ ЧНССJl Дока}ксм СОО'Г
, Нс1 ОСНОК1Нии ОПРСДС"lСНИЯ ыодуля И прави'Та
сравнения ll,ЛЯ Ш' ,ffblX вещественных чисел а и Ь справеll,ЛИВЫ
НС! 'iШСНС'Г13а
1
Ь 1,
в силу основных свойств. можно почленно склаll,ывать неравен
С'Г13i.i 'JДH',ГO
-
1а
Используя в случае а
!ЮС>li ДННХ н{'рав, Н{
а м
а
и е,
+
1
+Ь
~ а
1)
13 КО ЩС п. 1
§ 1).
+Ь~
Ь.
1
+
П"
О правое, а в случае а
+Ь
M'.,I ii'JlУЧНМ н{'рав, Н1' пю
Отмети
~ О левое
(2.11, .
еше дна '1асто у ioТР' б.·ше"ЬЕ
,el,aHe
la-bl~lal-lbl,
(2.16 )
(2.17)
la-bl~lal-lbl,
Для получения неравенства
(2,16)
,стна:
достаточно учесть, ч, о а
(а -
+
Ь)
+ Ь.
и, О'iИl,аzlC1. на (2. 5), записать Hel,aHe1,CTHO: 1 а 1 ::;; 1 а - Ь 1 1 Ь 1, Нера,н'нст,iO
(2,17) является следствием неравенства (2,16) и Hel,aBeHCTBa 1 Ь - а 1 ~ 1 Ь
- 1 а 1, КОТОlюе ПОЛУ'1а,.'ТСЯ из (2.16), если по:\!енять :\!ес,а:\!и '1ис;а а и
§ 3.
1-
Некоторые конкретные множества
В{{Щ{{{'ТВ{{I{I{I,{Х
Дii !Ь !СЙШСI'
чz,{{'ел
'1ас'Го I!рИДСТСЯ
Щ'
50
С
'1НЫ-
ми множестваыи вещественных чисел. БУll,ем оf;означать произ­
во,!ьнос множсств" всщсствснных чип'
ВХОДЯЩI1С 13
'тав Э'ГОГ"
ми или mоч'Х:амu этого ыножества.
симво,юм {:т}, а ЧИСJlif,
б;дсм на' {"ШiiТi эле,меuтuOYll,eM говорить, что mоч-
'Х:и Хl !,,!.uo:J/ce, ,Г! па {х} orn,tu '{ии ОП) гп ОЧ'Х:U :Т2 эrnого ,М! {.!' ш"сrnвu,
еслu ве)!ественные чuсла 11 u 12 не равны друг другу, Ес.т[И при
э'Гом С' l!iШСДШШО нсра13СНСТ13,,:Т > Х.! (:т.
Х: , то б; дСМ ГО13,'­
рить, что mоч'Х:а :rl леJ/Cuт nравее (левее) тОЧ'Х:Ui 2'
<
Рассм,'Л!IIМ
н! "'Тi,pыC
НiiиБОJlСС
:'ffо'Грсб,)'Гс·!ы!
мн,,}ю'-
ства ве",ественных чисел.
1'. J\1HOf+fi 1''Г!5О
неравенстваы а ~
13СЩС1'Пii'Н !ЫХ
Ь. г
а
то!,,!. и "бозначать 1'иывош,ы
называть'ранuчныlАiuu
mоч'Х:а.АiU
<
'iИП'
:т, НДО13JlС'Г13,'РЯЮЩIIХ
Ь,!еы называть се,'мен-
Ь]. При этом чис
или
'Х:он'Цами
Jlюбос чнсю х, НДО13JlС'1'130РЯЮЩСС Hcpa13cHcT13ifI,
называть B'J-t!jmреннеu mоч'Х:оu се!ыента [а, Ь],
се! ыента
:т
< Ь.
Мl
2
,
УДОЕ i1"Г1Ю! ;ЯЮЩf1Х
нс! ;iШСНС'Г13а,;
;ша'Г';
сег.лiе1-tmО,kt и оfюзначать СИМВОЛОМ
30
la,
МlюжеС'Г130 l;cex 1;е11,еС'Г13е 1H101X 'lисел
НСРiШСНС'Г13а,;1 а
полу
или
У ЮRле'ГRОР ,ЮЩf1Х
Ь, бнд;'м Нiiзьша'Гь
и ,;бозна-
чать СИМВОЛОМ (а. Ь)
40.
JIюбой интервал; СО о ;lержа11 ии точку с, бу1l,ем называть
m{
50. Интервал (;
Qj; nесm1lосmъю
'f{ocrn;;JJ' rno
60.
Ч'КU
с.
с, С+с), r1e с> О
1eM
называть с о'Кресm-
с.
Мli!;ЖСС'Г13!< 13ССХ ;Zi'ЩСС'Г13Сl;;i!,IХ '{iiссл бндсм наЗ1,шаТi
словой (бес'Ко1-tеч1-tой) nр.я,м,оЙ и 01 ,означать СИМВОЛОМ (
70.
Мl ';}Ю'С'Г13!<
;Zi'ЩСС'Г13' ;Пi!,IХ "ИП'
неравенству х
а или х
,;б';зна'о01а'Гь Сf1М1Ю'ЮМ [
00
00,
чu­
+(0).
Х, УДОЕ JJ'ТlЮjJЯЮЩ';Х
Ь}, бу1l,ем называть nОЛ!fnР.я,моЙ и
{И'1И (_о;,оо;,Ь]} .
. Множество всех вещественных чисел х, у;ювлетворяющих
нсравснству Х > а {иlИ ;Т < Ь}, бндсм называть
пол ;nр.я,моЙ И обозначать символом (а (0) {или (
За
ч а
и е.
оmрезnом или просто
Отметн
,':ТО с;оо'гмент юю, ,а на;ьшают зао;,r,i уm 0'0;'
оmре37<{ОМо
а интеРВ<L-Т
-
оmnрыmы,м
оmрезnо,м.
Пронзнолыюе ;;но)кестно {:с} БУ'1 0 ем наЗ1,шаТ1о
ш ;(юй окрестности каждой точки
в
еслн
этого множества содержится хотя бы
о ша ТОЧ;olа М1Юol;olеСТiiа, ОТЛИ'1наи от :с. Пр ;;;еlЮ'О плотного
ства может служить ЛЮ(;;1е И; ОПlolеделенных выше множеств
себе
10_80.
Пlolимером по'ютного в с;'б;' мно)кества мож;' о служить :\!ножество всех "olа­
циональных чисел, ВХОДЯЩИХ в состав Л1 1(ЮГО из множеств 10_80.
Ш()ЛНЕНИЕ
1
О ПЕРЕВОДЕ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СИIИСИЕИИЯ
ДВОИЧИУЮ И ИЗ ДВОИЧИОй
СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
в э ;ом дополнении мы остановимся на алгоритмах перевода чисел и:~ де
СZlтнчноii систе"ы С'1ис',е ;;ош
сис ,емы в деСЯТИЧНУ1;;
ОШОНЧ1
Ю
обраТ1ЮГО iiер;',юда нз днои той
1
Иеревод чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
lolаЗРИД1ЮЙ сет olе ':) ,еКТРО1ШОЙ маш '1;101
Дли заданнZl десZlТНЧНOiО чнсла :rlO
ИС,ЮЛЬЗolюттакнаЗ1ша;'мolЮ
орма
изона
Ю
ФОl;;;узаписн
этого числа
XIO
=
qlO . ] ОРI0 .
(2. 8)
в эт 1Й ФОlolме :~аписи величина
(2.19)
1) и шагаемые ниже алгоритмы реаЛИ;У1 нся, в частности о на электрон­
н 1Й машине БЭСl\I-4.
"СЕ'
,ой
м
т
р,шным НУШ!' при
с с о
~
IO,о числа,
"1
и',е.i·
И равным единице при Ч,О
CJil
~
< ()
а
ст,'пе"р
(2 2(] 1
(1 - 2.
на:~ЫБi,ет"я д' "ЯтИЧНЫМ пор Я Д К О М Д.i,нного числа, прич' м
ра Ш'·IМ "улю при р,о
()
р,ш,
"ди шце ',ри
РI0
л;
Р2
Sq Sp
О
Рl
аl
Рис.
2.3
ag
а2
аl,
{31,
CJi2, ... , Gg
000
41з1211
2.3
'iазано, ка,.; деСZLтич,юе ч ,сло
РЯДНОЙ сетке электронной машины.
,ЬЕ чисел
С,ерет"я
QlP
45 44 43 42141 40139138137 361351341зз 32131 130129
На рис.
S"
<1
(:>.17i)-(2.:>0) за.,а"тсZL
аз-
f а и юбражение каждого и, десятич
ОТ,ЮДИТСZL 'ю чеТ"Чiе 'шоич
{)·IX
раЗ1ш,а, так
чтО каждое и:~ YKa:~aHHЫX чисел может принимать л, ,Сюе цело численное :~Ha
''''НЮ.' от О до
5.
а
,а изобра.i,<ение ',исла
ОТIЮ ,ИТСii нсего дна раЗ1ш,а,
так что
може, приниматьшачения о, 1. 2, З).
Стан ,apT1iaZL "lЮ'раМ.i,а н"ч,абатьшает по "'СiiТИ'1JЮМi ',ис',, (2.18)(2.20) COOT~eTC ,вующее ему двоичное число ,r2. Эта программа реали,уе ,ся
слеДующим
Сначала вычисляется величина т
i=(i-:>S'1)(Gl.10 g +G2.0 8
···+Gg)·2 68
За, е}\! указанная величина i у}\!Ножае,ся на вели ,ину
k = 268·1
)-10
(пос"е
няя величина задается в машине ,акже в нормализованной ,jюрме, причем
об"г,но с изб"IТКОМ Н
''дИ1ШЦJ,I млад""'го раЗ1ш,а ,'аНТИСС"I).
i iрои:~ведение k:i отвечает, очевидно, десятичной ман,иссе (2.19).
Далы,еii1ПаZL "lЮЩ'дi1'а зак',ючаетсZL
м,ю<,<е ,ии k· ,а 10
1/10 н за­
нис!! ,'ости от З1iака РI0 (т. е. от Sp), "lЮИЗ'ЮДИМО.i· СТОЛЫiО l'аз. ,iaKo"a
величина
в завершение П1ЮГ1iаммы в полученном 1iе,ультате обычно
IpI01.
очишаю,
'liИ мла,n:ших раЗ1.iЯ·Щ }\!аНТИССЫ.
Указанная программа 1) обеспечивае, по крайней мере 30 верных двоич­
зна,iОН р" 'уш,тата, 2) обес",' 'И1,а,. 'Т ,,,тено, ДНОИ'1JЮ'. ' число любого нелог о десятичного числа в диапа:юне о, О до ;~,o
000,
обеспечивае, перевод
"'СiiТИ "'о нормал ,зона, ю,о ',ис'ra н 'ШО ,ч ю ю",'а ,изо ,ан юе ',ис'ю 4).
1) Таки
об1iазо.i, м,ю ,<итель (1- :>S'1)
ра", нст,," (2. 9) хара'iТ'.'l'Ю'ует
шак мантиссы Ч, О.
2 Так чтО множитель (1- 2.
ПО1.iЯ·,.ка
в
авенстве
(2.201 ха1iак,е1шзуе, знак
РI0·
3) На са.iЮМ ·,.е',е.
си.'"
,i01iCTP, кции
устройстве нелы~я проС ить каждое и, чисел
ю,о
1,
стройст ,а, ,а ',том
С,6льшим де
вяти. а число
нельзя пр ,Сшть б6льшим единицы. Таким об1iазом, каЖд',е
из ',исе.',
, аl, CJi2, ... ,CJig меню' ,ся в ,n:иапазоне о, О '1.0 9. а ',ис'ю
принимает значения О и
1.
4 Если исходное десятичное число не являлось нормали IOванным (т. е. в
(:>.19) ,аруттта юс,· сло,ше CJil ~ ), то
еЗiш,тат е, о "ер' ,юда
1iю ,чную
систему може,
оказа ,ъся неНО1iмализованным.
lНElIИЕ
В;;;к';юч;'ни р
,'ртим, ';ТО ,"';и ;;1;И р;'а,';и:~аЕИИ
н
;;,Ш н;;
ка:~аш;;й ;;рог" ;;;;М;,I
;;,Iй пор"док пер;';;;;димо;о числ;;
д;;льн; йшие умн ;ж; ния на
ютсzt
2
;';;отнет; ТНИ;,;
"";и';иноii
10
;;1
е-
пр;'кращ;;юл я, даже если они
IpI01
Перевод чисел из двоичном системы счисления в десятичную.
Ука;;;е;' СТ;;Р ';;;рт;;у;;
;;рограм;;у, котора"
;;;,Iрабат;,1 ;а;'т по зад;;;шо;;у
п;;р;;али:~;; ;ан ;;;й форме двоичп ;м; числу Х
;';;ответ;;тв; ;;;ще;' ем;
десятичное число ХI0, записанное в нормализованной форме
В l)азр"дной С;,,'ТК,' маш
;;аза;ю
;а l;ИС.
;;;;,1
(2.18)-(2.20).
Н;,Iрабатьшае)ю;' ';ис.'ю рас;юлага;,'тсzt так, ка;;
2.3.
Программа реали;уе ;ся следующим обра:юм. Сначала исходное чис
ло ; 2
ю)китс,,;а 1/10 ;Лzt того, чтоб;,I ;;р;; ;юс.Ш'дующе)' ум;ю;;)ении на 10
не получить машинш;г;; переполнения. 3а;ем п ;лученное чисш; мш;жи;ся
на
10 И,';И 1/1() в зависимости о; ;ого, бо.';ьш;' оно е';дницы И,';И нет,
тех пор, пока результа; умножений не попаде; в интервал о; 1/10 до
Колич;,,'стно
касается
;;1
ои;; ;'деНШ,IХ у);но)ю ;;ий. оч;';'"
шака Р
О,
;0
ОН
положителен,
ю.
если
0;1
е;;· шет
исходное
число
IpI01.
'1,0
1.
Что ;;)е
превосходит
единицу, и отрицателен в противном случае.
Да'Ш'е оченидно, ';то ;;0.';; ';е;
юе н
десятичной мантиссой ql0. ЦИФ1)Ы
еЗ;Ш.тате ум;ю;;)еш;i; ';исло
1,
, ... ,009
б; )·т
десятичной мантиссы ql0
1()
ОП1)е';,е шются после,n:ова;;' ;ьно пул М умно)кен;я на
и вы,n:е.Ш·НИЯ пелой
части.
2
Ш()ЛНЕНИЕ
ОБ ОШИБКАХ ВОКРУГ ЛЕНИИ ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ
СЧИСЛЕНИЯ С ЧЕТНЫМ И НЕЧЕТНЫМ ОСНОВАНИЯМИ
lр;,лпо.'ЮЖИ:\I, что вы ';ис.';и;ельная :\!ашина l)або;ае; с tраЗIШ ';ДЫМИ
числами в системе счисления с основанием
ности,
мо)кно
считать,
';то
имеют вид
X(L)
ч
? 2.
Тогда, не уменьшая оС щ-
;сла
= аlр- 1
а;р- 2
+...
atp
где коэф;j:ициен;ы а, (i
1,2, ... , t) могу; принимать :~начения 0.1 ....
... , (р - ). Сонер "е;;но ztс;ю, ';то такие 0;;(1)ации, ка;; с.'Ю;;,;·НИ;,·, ;;но­
жение или деление. С;удучи прои:ведены над
t
ра:~рядными числами, мо­
гут дать н р;,'зультате числа, со;; l))кащи:' более че)'
естественно возникае;
раЗ1ШЮ",
t
;ю':)то) у
не ;С;ходимос;ъ В ОК1)углении указанных чисел до
t
разрядов.
Расс.;ютр;;
г
с юсобом
ла
простеii
,,; ю
опера ;ию
-
о;;р;; .ш·ни:·
О) рюрядов, до чисел, содержащих
(где г
;;1
t
оиз;юди,'юс;, ок,,;г;е ;ие содер;;)ащего
,1)ез; ;;,тато)' ок";г,';е ;;'ш
';ИС;';,
содер;;)а;;;
;,;
ра;рядов. Каким бы
(t
г) l)азр"дон чис-
ю';;;)но б;.IТ;. t-раЗ1Ш
юе число.
)тсю;а
вы ;ека;' ';;0 ошибка OK1)yr';eH ;я числа x(t+r) (обознаЧIНI ');у ошибку сим­
волом ~ (; t+r»)) И:\lе;" сле,n:ующий ви,n::
3,n:eCb i
з
:\1O)кет ПРИНIН!аТЬ знач;,,'НИЯ
;а';е;;;,ш ;юс.Ш'д;
от
i,
Г l)азр"дон числа
принима;;;щая целочисленные
спос ;С;а ОК1)угления.
1, ...
,р"
а от
m(i) -
1
в зависимости о;
;екотора" ф; ;кци;;
шачения и :~ависящая от выС;ранного
"СЕ'
iiаибош'"
Шj)ююii
cp'ДНi'e шачение
н
'jИС jитеш'
СТИМЫМ
ИСТИijоii
xjjpa jT"l
')тттибjjИ
Ю)jОРj)jj 'ШРj'деЛЯjjjСЯ
jjoTapaii
стоит су\
сс:начениZLМ чисел
Mjj
, а
IOjK
атттибаjj
н
Г'jеjjjШ
zШЛИ"ТСZL
ее
дробь
саатнетстн> ющих нсе\'
сс:наменатеЛt;
-
КUJlичестнu
·юп)-
таких
чи-
сел x(t+/·).
П1)е·jдала)ким. что. вс.' paCCMaj иваемые числа X(t+r) у,n:авлетваРЯЮj
jCTHa\' О ::;;
< 1. ТOi ja, аче,jР 1О. ка jИ'jест,ю n jt +r ) ,jcex Чiiсел
бу,n:ет равна pt+r, и мы паЛУ'.j):\! пасш' нес южных ВЫЧИ(;'jений, 'на
2:1-'" -('+~:
"
'у:\!ма
2: m(i),
р ~ р -(Н,) {'~' m(i) _ p'~
,m( i) . -']
стаящая па,n: знака:\! фигурнай скабю,. заВИСИj
нага нами спасаба акругления. на в ш )Сюм случае э
численнаЙ. Втарай член под
ja.
шакам фигурнай скобки
}
aj выб1)ан­
сумма будет цела­
), - 1
--2--
при ш )Сюм
е т
а м р не бj Н'Т целы\'
iаjjИМ аб1)аза\j, 'jpii любам четнам аСj1О
вании
С1)едняя ')шиС ка
не ")авна нулю. Это ашачает, что при ЛЮС")м
фиксираваннам спасаб.' акругления, апре,n:еляема:\! лишь атбрасывае!ы:\!И
разрядами, ашиСнш ат акругления да меньшего. числа разрядав будет иметь
систематическае смещение при любай системе счисления с четным аснава­
др,
ста1ЮjjЫ ..Ш'Гjjа 'jра,jеlJИТj" 'па абj,гmае «ТТТКО'jj jюе»
jaj.
округления в л).)СюЙ системе с нечетным аснаванием приваДИj
шы\·
'j1
ани.'ю
«несме
а пибjjа\j.
Симвал
2:
есть симвал суммирования тех слагаемых, катарые taписа
за ':)тим ср
jb! ,j(;'je
та запись
чениям
к
'i
'Ю'Ю\j. Если
jjазаj
jj·le
слагаеМj,lе за ШСZLТ ат
Ha\je1)a
абазначает, что. нужна праизвести суммиравание па всем знадо П.
Г л А
А
3
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
01\НОЙ ИЗ основных операций математичеСКОIО анализа явля­
ется операт~ия пре,;18ЛЬНОIО переХО,;lа. Эта операт~ия встречается
llнашг,с
13
ра',ШIЧНi,IХ
ГJllШС
а'Гри-
вается простейrrrая форма операции пре,;18ЛЬНОIО переХО1\а, осно
на П;,НЯ'ГИll
rlрi'ДС'lа так на',i,Шlli \IOn ЧllС;'ЮlЮn П;'iЛСДi'
вательности. Понятие пре1\ела ЧИс'ТIOвой ПОс'ТIе;ювательности по­
ЗВО'lИт Нl1М В Дсl lЬнсйшсм i'ПрСЩ' lИть И д))угис
i,псраlЩИ
пре1\ельного переХО1\а.
§ 1.
1
МИ.
ЧК'Iсловые RIОСЛСДОН.i:RТi .ilI.IIОСТИ
ЧИс.JIО!iI.Iе IIОi·ле,I\О!i.i:Rте.JII.IIОi·ТИ
з
JJHpCa
JJlСМСН'ГlЧ)НОГi'
01Iерации
чнтаТСJli,
Jlрi'ДС гаЕ
числовых после1\овательностях. Примерами числовых после1\О-
15 а'Г С
'1'015 аРИфМСТll
вательность
ll'ГЬ:
периметров
Дl1НННЮ ОКРУЖНОС'ГЬ,
;ТЗ = 1.41 ...
ПОСJl{ДО13а:п' ",но!
чсской JlрогрСССll
1)
правильных
15ССХ JJli'Mi Н2) П;'iЛСДО-
n-УIОЛЬНИКОВ.
3) JЮСIСДО15а'Г i '
i,IX ',НlIЧС JllЙ 'lИСJlа
XI
вписанных
= 1,
;Т2 =
-/2.
1, ,
Ml"I
начнем с уточнения понятия числовой после1\овательности.
Если
Чi JЛУ n 1luтураЛЬ1l0?О
соответствие
n. . . .
торое ве ijeCrnae'J-l'J-lое число
n.
чисел
1, 2....... ,
оnр; Jiеле1l [о,му 8и'КО1lУ
то .M.'J-lО:JICеСrnво 8ан !.MepoвaHHыx
веlцесrnв; !i1lыx чисел
1
1lП ii;j.Jiа!ЛЬ iiUC..!.O iОЙ
или
сто nоследоватеЛЬ'J-lостью.
Числа :Т n f;y;18M называть элеме'J-lтами или чле'J-lами после1\О­
ваТС'lЬНiiСТИ (3.1). Сокращснно П ii iЛСДОВl1ТСJlЬНОСТЬ
1) бндсм
оf;означать символом {:Т n }.ак, например, символом 1/n J будсм оБО,НllЧlПi iОiJlСДО13атсш,ность 1. 1/2 ..... 1/n. ... а
.'волом
(-1 } - после1\овательность О. 2.
2 ... .
+
В13СДСМ ПОН5r'Гн' аРИфМС'Гff НТКИХ опс!)ациij
'1ИСJlО13i.,ЕiИ
т ,СJlСДО13а'ГСJl ,НОС'ГЯI, и. П \ С'ГЬ Д IHLI ПР1,ИЗ130Jl ,ныс т ,;ЛСДО13iI
тельности :Е1
;12,
,
:Е п ,
и
т ,;ЛСД' ,13а'ГСJl ,НОС'Г";)
С !ММОЙ этих
!!1,
711,
т ,;ЛСДО13iI ГСШ.,НОС'ГЬ
(или {:Е" +уп}), разностью
,Х n - Уn,
{;Т n - Уn})
:1:1' 711, :1:2 '712· ...• Х n ' Уn, ...
Хl
'2
хn
ювательность - , ... ,
;Т2 - 712·
XI
-
;Т2
ПОс'ТIе;ю
постс'доватс'Тьность
у,
(или {Хn }).
3 а м е ч а н и е. !ри опре.;r8лении чаСТНОIО
{ ,r n
}
нужно тре­
бовать. чтоf;ы все элементы у" после;ювательности {Уп} ;ЪiЛи
',Т'lИЧНЫ от Н\JlЯ.
'ТJlИ
Пi,;ЛСДОВiПСJlЬНОСТИ {Уn}
'!иое ЧU; ЛО fле.М' !!!пов, то частнос { Х П
щастся в наль лиШf,
можно опре.;r8ЛИТЬ с того номера, начиная с
'Гы Уn
2.
KOTOPOIO
все элемен-
'1НЫ О'Г наJlЯ.
ОграничеКIКIR,iе
неограничеКiКiR,iе
Кiоследователк..,-
HfiC'R'I'i.
Оnреде.ле'/-l,uе
1.
Поnледоuа пеЛЬUОПi!Ь
'!иСЛО
эле.ме!{rn
!!аЗЫGП' тс,я,
(с
свеР:Е
J\.1
{Х n }
Хn
ству Х n ~ М
? т)
При этом число
(число 'т) называется вер:rней'ранью
uU:J/cueil граиы;;) ПОС>lсдоват,' lЬНi ,сти {;Т n }, а Нi'paB' н; ТВО
;Т n ~ l'v1 (Х n ? т) НiIзьшас'Гся У; Лf Guе"и ОР/1 1!!ич' !!UОПf'
т,
сле;ювательности сверху (снизу;
О'ГМС'ГИl"
ность {:Е"
Ч'ГО
lюбiI5f
"гран"
C13CPXH
т';ЛСД;ШiIТСШ,
имеет бесчисленное множество верхних
раней. В
самом де
ССJlИ l'v1 - всрхняя ГРiШЬ. то Jlюбос чшш' М*, БОlЬ­
шее М, также является верхнейраНЫ f
01l,черкнем, что в усло­
вии
~
Оlраниченности после;ювательности
} сверху в
качсств;' l'v1 можст !)iI,тматриваться Jlюбая из в;'рхних рансЙ.
Аналогичные замечания можно с;rелать в отно !!ении нижних
гран;'й ограни н'нной СНffЗУ fЮС>н'ДО15а'l'"
Последовательность
;г!!Орои UЛи просто
"CJU
она ограUUf{еu п
СВ' рХУ,
С!с и1У.
т.
{Х n }.
{:Е n J называется
р
"CJU
ч е
u
й.
;'ущеппnуют
чuсла
U М та7;;ие, что любой эле.ktенm
этой последоват" п,!!ости У !ОGлетGор,я,е!л !!ерuв' щ·гпnа.М: m ~ ;Т n ~ J\,;1.
Это определение ПОЛНОСТЫf, аналогично определеНИ'f' ограниченного
снерху (СННЗ;) М1ю;,;ест"а не"н'стнеНШ,IХ "ИСf. 'Л (см.
5 § ,,л. ?).
Пf;iЛСЩШ,1 гсл ;НОС1Ъ {:г n } ,;гра Тf1чсна и
няя
13CC
нf1}княя гра тн,
Э
;Т n Э'ГОТ'
1;;;Р:<-
J\.1
Пf ;iЛСД';13 1'ГСЛ ;но-
сти У1\овлетворят;;т неравенству
1.1 1 ~
гДi; А
аЮИI,!аш.;нос
(3 2)
IMI
Д15,Х
ITnl
()бра'Гно,
все элемен'Гы после;lова'Ге.тrьности {х n } удовле'Гворяют неравен
ству (3.2) ТО выполняются также неравенства - А ~ х n
, С>Н;ДО15а'Гс
Пf;iЛСДО13,ПСJli;НОС'ГЬ {х n }
''''на. Такнм
оf;разом, неравенство (3.2) пре1\ставляет соf;ОЙТРУl
форму
условия Оlраниченности после1\овательности. Уточним понятие
Пf;iЛСДО13а'ГСШ,НОС'Гf1. Посл;'; iовитnел(;! {ост(; {х n }
1тсограl т р
'}-шзъtваетсл 1-lеогрш-//uче1-l1-l0Й, если длл любо,'о nОЛОJICитеЛЬ1-l0'О числа
!f.ailf}en ;·Л
!!довлетворлю i,ий 1-lераае1-lсmВf!
ко
;Т n
(liiОЙ
I:rnl >
!;oC,;';ioGUTn;' ((;!f.остnи.
Рассмотрим несколь­
!!рИI; "рО15:
1)
Пос.ТIеfювательность
-
, -4.
-n
...
Оlраничена
сверху и не Оlраничена снизу. Верхней гранью этой после1\ова'Г"
Я13лястся lюб,;Р Ч!!С>Ю. нс ;; ,'ньш,'р -1.
2)
П';iЛСДО13аlСШ.НОСТЬ
Действительно, верхней
,''Гся 'lюб,;Р
М ~ 1,
1 1/2 1(: ... , 1/n, ...
ПОСIсдоват,' lЬНi;СТЬ
3)
нс ,;граНf1ЧС Т,1.
сам,;'
ограни "'на.
раны,; этой пос.ТIе.fювательности являн!!жн,'i'! гранью - 'lюб,;Р
1, 2, 1, 3, ... , 1, n, 1,
дслс, каКО150 бы
было ПОШ;}К!!ТСJli·НОС
чис.тIO А, сре1\И элементов этой после1\овательности (с четными
номсрами) найдутся Э'lСМСНТЫ, Прi'В';iХОДЯЩИi' А.
Бесконечно большие и бесконечно малые последо
3.
ва'I'еЛЬНiiС'I'R'!.
Оnределенuе
б е с
.
Пос,; ;iOGum;' ((;!f.ocrn(;
{;Т n }
!f.а;ъtвп"rnсл
О 1-l е ч 1-l О б О л ь ш О й. если длл любого nОЛОJICитеЛЬ1-l0Ю
числаА ).МО:J/С1l0У7;;п,miiЬ
Nliimi·oil 2 ),
nриn~N
7;;
этой nоследоватеЛЬ1-l0сти !!довлетворлют нера­
>А.
3
а м е ч а н и е. ОчеВИfШО. что ш, ;f;ая бесконечно большая по­
с lСДО15а'Г,'
Я13ля,'тся iff',;граН!!ЧСНiН;Й. !ЮСКО'lЬКУ для
>
lю­
бого А
О можно указать номер N такой, что при n
N все
эле.ме1lтъt х N НЩШЛС'Г130РЯЮ'Г НСР,ШСНС'Г13У
А, а СЛСДО13,1
n
тельно,ЛЯ любого
О наЙ1\ется по крайней мере О.fШН та­
кой шсмснт ;Т n , что
С Jднаю; Нi'огр,шичснная Пi;iЛСДО­
Ix >
I;Tnl >
вательность может и не (;ыть бесконечно большой.
апример,
нсогран!!чснная !ЮС>н ДО ;a'l','
1,
1, 3, ... , 1 n, ... н''
является бесконечно fЮЛЫiЮЙ, поскольку при А
неравенство
А нс
сст
сста д,;л ш·е;т х n С нсч р ·'·номсра;;
Ixnl >
1) Сколь бы большим мы его ни в шли.
2) Так как номер .N зависит от числа А, ,о иногда пишут .N = .N(A).
fOCTff
!iобо;,о ffОЛО!!f' UП/,f' !'f;H/i?O
чu;
u
i1l
3)
!
что nри
N
нсе
!ле,! ,''Н,n/,!,] оп этmi Т!,оследонатеЛ'Ь'Н'осrnifi удонлетноряют Uepii'
Heн,cТJ nу
lonl
Е
!! !lllис
1. Докюкем, что последовательность q, q2, q3
при I q > 1 является бесконечно большой, а при
бссконсчно малой.
=
•••
I
q > 1. Тогда
.используя формулу бинома Ньютона, получим I q IN =
= 1 + ,iN+ "; !f;Жиt;Ш.,НЫf' Ч.,tf"
. Отсю.':'
Сначала рассмотрим случай
д
qff,
Iq < 1 Iq I = 1 + д, где
> О.
(+
IqlN > JN.
Фиксируем произвольное число А
(3.3)
> О и выберем
номер
столь
большим чтобы имело место неравенство
> А 4). Из по'
.. tСДiiСГО 'fтаВf'Щ'тва
'fтаВ:'Щ'тва
:'"п:ха:'Т
,сраr:СНСt,Ю
N
А. Так как при n ?
1 Iq In?
IN (в си'
лу свойств произведения вещественных чисел), то I q I > А при
n ? N. Tf' ,'амы,;
ЧТf' ,ри I q I
1 рассматривасм ш
последовательность является бесконечно большой.
раfт"аТРll"fif'ТСЯ СО,fСРШf',
аналоги'iНО. В
<
этом случае тh = 1 + д где д > О (мы опустили случай
q
= О).
Снова используя формулу бинома Ньютона, мы получим вместо
..
lСДi;ЮЩf';;
'сра
,СНС; fЮ:
1
N
Iql <
или
IqIN>
1
БN·
3.3*)
О и выбсрсм номср
n ? N
IN
и
N
и
УСЛОRИЯ
lрИ I q I
< 1,
то из полученных неравенств вытекает, что I q I < Е при
?
? N. Тсм саМЫ.\1 доказано, что ври I q < рассм iтривасмая
последовательность является бесконечно малой.
2. ДОК\Жf';f,
l1Of' ;fAO fiiTC,fbl
1, 1/2, ...
конечно малая.
!Тому
? N
самом деле если
Ю данному Е
< . Например
!f;СТiПОЧЮ; выбрать
можно положить
то
1/ n
HOMf';'
N = [ljE]
1jn, ... бсс,
~ 1 j . По-
+ 1.
И
УСЛОRИЯ
1) Элементы бесконечно малых последовательностей мы, как правило,
О;ЮЗНf,ча
Tf,X
ка,··.
HOfH'P N
'. 'го
Зfff Иf'"
ДОСТf!ТОЧНО П;О ю)кить
часть числа
: ;'укваffИ.
г: ",еСЮ·f
Ск;о ,ь ;,ы малым мы
ни взя.:iИ.
О
N =
Например,
5) Достаточно положить 1у
"ИС.Шf с
[А/б] .j.
1,
то иногда ШfШУТ
где f'ИМВОЛ [х] ;об ;знач '.ет Ш.'ЛУЮ
138] = 5, [-172,91
+ 1.
J
73.
ЮСТ!f
6ес
АЕ {, f!Л"я,
тел'ьн,остей ест'ь 6еск;он,е'Чjf"
Д О К а з а т е л ь с т в оП! сть {оп} И {По,}
!f!CM.
{ОО n
жительное число,
а
и
N2
N\
что
l1Of'
бесконечно
,сдоватс
,Ы
мала'l.lll'f'lЪ Е lРОllЗfЮfЫ
N 1 - номер, начиная с которого 1000,
,
<
номер, начиная
которого
Е/2. Такис HOI\ICpa N 1
найдутся по определению бесконечно малой последователь-
-
Т
.
IK
как моду!
[на lИll через
,'Л
100"
их модул!й, т.
N
и
получим, что, начиная
ОО n
1
<
,РСlН,СХОДИl
(см. п.
N
4§
гл.
N 2 , [,1
выполняется неравенство
Д"ух
!l,MCPOll N 1
",ваl!Л ,lЮСТЬ !ОО n
Е.
БССl!l,НС'lНО !1а lllЯ.
+ fЗn
,а.
3.
Разн,о,'тъ
телън,остей ест'ь 6еск;0н,е'Чj!"
IlO1-/,i '(н,о .мал·ых lfQследова/vшлал nоследоваmелън,остi,.
теорема доказывается аналогично предыду llей
llMCCT\\ !,таВ!'щ'тва
венство 1000, 1~
1~ loonl + lf3nl
loon
1000,1
только
СЛ!','!УС'!l!l'lЪ H!'1,f1-
1·
Следствие. Алгеf,раuческ;ал !'у,н.ма Л1О60?0 Il0н,е'!'Н,ого
ла 6lхк;0н,l''Чн,0 /vшлых послед iватеЛИ-ЮС7nr'й - 6еск;0н,е'Чн,0 малал
nоследователън,остъ.
Теорема
3.3.
Беск;он,е'Чj!i /vшлал nоследователън,ост'ь огра­
HlPieHa.
Д о к
з а т с л
следовательность и
,!,аЛСС
N -
-
т в О. ПI'! '1Ъ ОО n
ii,'!'КО"!Чl
!1а lllЯ
некоторое полткительное число. Пусть
номср, начиная
КОТОРОР,
рез А наибольшее из следую llИХ
,1!,ЖlЮ заllИсать Tal!: А
Очевидно,
ниченность
1000,1
N
loonl < Е.
Оii!,lНачим ЧС­
1001 ,10021,···, IOON-11.
E.IOO11, 10021, ... , IOON- I} 1).
чисел: Е,
ill1lX
~ А длл Л1О60го н,омера
Ю!' lСДОRIПС,!ЬНОСТИ. Т,,!,рсма
что означает огра-
",I\:alIIHa.
3.4
ПРО!J.3веден,n.е огран,!J,ltеl-mоЛ !fQследователи-ю­
стu н,а 6еск;0н,е'Чн,0 /vшлу1О nоследователи-юстъ nредставллет
!'06011, 6е, Il0н,е,!'Н,о,налу1О !fQследователи-юстъ.
Д о к
з а т с л
т в о. Пусть
;1: n
- ограНllчен lllЯ
ОО n } - бесконечно малая последовательности. Так как после­
,,,,"lал,'Л!,,ность :г п} Оlрани' [сна, то сущсе!llует lИСЛО А
О та­
кое, что любой элемент х n удовлетворяет неравенству
~ А.
Ixnl
Возьмем произвольное положительное число
. Поскольку по[сдо lllTC [Ы
БССl!"НС'lНО !1а lllЯ то ,!ДЯ 1l0,Ю'1!llТС"lЬ-
1) 3дес"
в дал, ",'"Ш,'
!'"мвол а = lnax{o,
число (1 равно максимальному и:~ чисел (11,
3
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
0,2, . . .
осп} озн,!ча",' , ч
[О!
N
выполняется неравенство
1 < / А Тогда при
N 1:г n 'Оп 1 =
IXnl
< с
Е, По !TO\IY li,следоваl'Л .но! '1'1., :Г n оп
'!,го Чll! ла
'!,мср
N
Т[!
та,!!,!·]. что llрИ
1
бсс,!!,нс'шо малаil
доказана
С.лfiдсmвn,с l1Рiiиаu, ден,ие iiiiбо' ii К:!!'Н,е'Ч:Н,О20 ЧUС!.!i, беск:!. uеч­
н,о ,малых nоrлрdоваmрл'ьн,оrmР1l nредrmавл,н,рm соnой nеск;он,еЧiE()
/vШЛУЮ nОСЛ!'доват!'Лl,!!iiсmъ,
3
с
н И
Ча! тно,' двух ii,'!'КО'li'Ч'
маю.,
Ю!' !сдовательностей может быть последовательностью любого типа и
,Щ ',<С <li',жет
Ш"1'1., смы!'
Если, ,аllрИМСр, йn
1
fЗn =
=
то все элементы последовательности {,3n} равны едиЕсли йn =
= 1/ n',
i .• ность {аn. . }
,э,
бесконечно большая, и наоборот, если йn = 1(!2, а
1/n,
то последовательность ~~ } бесконечно малая. Если бесконеч­
но много элементов последовательности
TfiopeMa
3.5.
равны нулю
{t1n}
Еслu все эл,'мен,mt,/, беск;о'Н,е'Ч,н,о /vшлой
равн,ы оу}н,О,МУ
то,му
то
nоследо-
'!!iСЛУ с. то с
=
i:-
ь С
В
ДОiiУСl'"
С
Положим Е =
= 1 с.,
О. Начиная с номера N соответствующего этому
выполнястся нсравснство
< Е. Так как йп С, Е 1 Е 1/2
>
lanl
то последнее неравенство мmкно переписать следующим обра­
зом:
1 1 < 1 1/2, от,<ущ 1
<
что предполmкение с
Получснно,' щютиворс'шс
О не мmкет иметь места.
,а.
['[та,<
',iД,',Ж,"
B:iiKl
между бесконечно
устанав.':И ,ii10Щ"!'
и бесконечно малыми после1\ова-
тс.':Ы
Теоре.ма 3.6. Если {х n } - беск;он,ечн,о болъша,я nоследова­
телън,Оi:тъ, то, н,ш'шн,а,я с н,екоторо?о н,о,нера n, оnределен,а nо­
следователън,ост'ь {1/г n }, к;оmора,я ,явл,яетс,я б"ск;он,,'Чн,о /vш­
ЛО1'1. Еi:Л!J все эл: "нен,ты i,е(жон,е"tн,о ,малm'1 i,оследователън,остu
! йn}
н,е равн,ы н,улю, то nОi:леt}ователън,Оi:тъ
1/ йn}
i,рсжон,е"tн,о
бол'ьша,я,
Д о к
з а т с
ь
т в о. Отмстим
iСРi:ЫХ что у ii,','конечно большой последовательности лишь конечное число элементов
<li,жет быть рав,
ну!
В ,'iiMO<'
И
'РСДСЛСНИil
ii,','KO-
нечно большой последовательности вытекает, что для данного
li·'ЛОЖИЛ'Лi . НО'
,исла
<li',жно у,<а:ii'1'1., ТiiКОИ но
Ix >
,li'p N*,
,ачи-
ная с которого выполняется неравенство
А.
означает,
n1
что при
? * все элементы х n не равны нулю а поэтому по-
ЮВАТЕънr 'СТИ
2
1
1сДоваТС1Ы
,,]сл, ссли
,CMCHТi'
триваТi на iИНiШ
НО1"l)а N* Д,Н1а'i1СМ TCiiCPL,
бесконечно малая последовательность П ,сть Е
любое поло­
ЖИ,J Л 'но'' Чll1' Ю Для Чll1ла 1
МО1i J
:il'1Ъ '"мср N
N*
такой, что при
N элементы
последовательности {:г n }
'ДО:'
;;:'1' нсра :сне, ::у
ПО)'l'О ,i), ,ачи ,ас} с у,':а-
Ixnl
Il/xnl
заННОl'О номера N будст т:ыпо"тняться нерат:енстт:о
< Е.
Таким образом, доказано, что последовательность {l/x n } беско-
1ia
J,'Ч,
:ilЯ.
Доказательство второй части теоремы ПРОВО1Ится аналогично.
§ 2,
Сходящиеся последовательности
основные свойства
ПОНiiтие сходящеЙСii ПОС,jиедовательности.
1.
Оnределе'Н,ие. ПО1:лесlоватеЛЫ-lО1:тъ
х n } 1-шзыаетслл С1': о­
д л щей С л, если существ!fет тшх:ое 'Число а, 'Что nоследовате­
ЛЪНО1:тъ {х n -а} лвллет,:л (:есnонечно .малm'1. При это.М Ч1U:ЛО
а
назыаетJ'лл
р е
е л о
о
л е
о в а т е л ъ н о С т и
{х n }1).
()
РС!СШ"
СХОДilщсi\ся 1l0с:сдо::аТС:Ы\ji,ж,ю,
'СЮl'-
но сформулировать тюоке и следующим образом.
ПО1:Лi 1iоватГЛЪНО1:тъ
1':)} назыагт,:лл 1'ходЛЩi Псл
СУ-
ществует тшх:ое "шсло а, 'Что длл 1.106020 nОЛО:JICшnеЛЪН020 "шс­
ла
/vЮ:JICНО уnазатъ НОАЕер N тапой 2)
'Что при
венству
При
этО/vЕ
все
?
элi,ненты 1':) этоii 110следователы-юсти у!}овлгтвОРЛ1От
1-(,;
ра­
al < Е.
'Число
а
хn 1-шзыаетслл
пределом
nоследователы-ю-
1'т!! {х n }.
l::сли последовательность {х n } сходится и имеет своим
пре-
делом число а, то символически это записывают так
liш х n = а,
n--+х
или х n
--+
а при
17,
--+ 00.
1) в соответствии с этим ОП1'е'1елением всякая бесконечно малая после­
довате"ьность является сходящей,,'я и ИМ',,",,'т своим прещ,'лом чис;ю ну"ь.
2) Та",_ ',,_::к
зав"си от Е, О
,'ИШУ N = N(=).
3) Отметим, что бесконечно большие последовательности ино,да на1Ы­
вают после'!Овательностями, сходящимися к бесконечности. ПОЭТОМУ если
пос,Ш'дова е ,ы,ость {Х n }
сыва:;;т
'ю
так:
n--+=
то 1'"мволи'" С,,_', это з::ш,-
=
00.
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некото-
1 ого
И1iеют о, 1'" ,"' Н'Н ",IЙ з"а",_,
, ч пос,Ш'дова е"ы, 'сть
{Х n } СХОД,iТся К бескоНi'ЧНОСТ" опрещ,''ш ,!НоГо зн::ка. сиi" ощЧ, 1'",Я 13
за­
писывается след' ющим обра:юм:
lim х n = +00,
, -+=
3*
lim
хn
=
00.
IО!
з
сч
i"lTiaM
-Е
венства
)
< ХN
- Е
-
означают"
Ч11iла а (ia11oi'
интервал (а ,а
iСДО
что
элемент
Tli
iКiiИiiii (снт!
< :г n < + Е
:г n
i-
ПОi' iСДНИС
находится
'iTa-
в Е-окрестности
,что Е~ОКР,'i'ТНОС'lЪ1ii Чlliла а наЗ1"Iвасл'"
ОЭТОМi определение сходя llейся по~
+
iii,ЖНО СфОРМУЛll
ТiIКЖi'
СЮ' iiiiiЩИМ
ПОСЛi,доват, Л1, (ость {:г n } называетс,я сход,ящейс,я, если cц~
щес:твует '!!iСЛО а такое
'/то в люi"юЛ E~OKpec:тHo,:т!! '!!iсла а
на:г:од,ятс,я все !ле,llентi/, nоследовательностu {х n }, на'Ч,uна,я с
Нi''JитОРО20 НОАира ).
011рСДС,iСНИС СХОДi1щсi\ся l1Oi' iСДОiiilТС"iЫ
утверii,ЩСТ,
что разность х n
а = а n является бесконечно малой после~
ii,ваl,Лi,iЮС'l'Ы,i. С 'iAO iilTC"ibl
<1СМСНI Х, СХОДi1щсi\ся
последовательности
i'таiiИТЬ в
ГДС а,
-
имеющей пределом число а" мmкно пред~
ii}Ci"
элемент iii'i'КОНi'ЧНi', малой Пi',СЛi' ii',iiательности.
а м С
3
2.
очевидно, что
И
iillРСДСiСНИi1 11РСДС
ii,СЮ' ii,ваl,Лi,~
"i',нсчное число ЭЛi',ii'iiТОВ нс iiЛ11ЯСТ на
1\ИIlIOСТЬ этой после1\овательности и на величину ее пре1\ела.
Рассмотрим примеры СХОдЯl1lИХСЯ последовательностей.
1)
Последовательность
-n- } сходится: предел этой после~
n+l
довательности равен единице. В самом деле так как
= --n 1
n
n+l
ТО ДЛС1
l_} БССКi,НСЧНО мал lЯ. Если n
i'лсдоватсльность { __
n+
1
---
и
N+
брать HOMi','
из
и
условия
1
N+1
N~ {[,
2)
ДОКiiЖi'
что Ш,,' ii'Дiiiа'l\'Ю,
...
х n = o,~:
N
Ti,
о достал (' !но
110)'1'0\11'
можно положить
....
1=
--
или
1
N
- - 1.
при
~
при
> 1.
,i,CIb
Хl
НаiiРИМСР
1,
О,
Х2 =
3:3
сходится и имеет своим пределом число
раз
исю'
1/3.
дробью
0,333 ... , то
ЗаВiiСiЩ','ГО,
1
БССiii ,Н\" !НОЙ ii'i'i1ТИ' !НОЙ
из правила сравнения вещественных чисел
,10,
нт Е.
С\О,
2
ЮВАТЕЪН(>СТИ
3~
0,33
n
з
ЭТИ':
1
l"а
ееравенс гв
пол: чи
,
>N~<:_l_
n :;/
вия
< ,получим Ix n
2.
,J:Y
:юii:,м 1q 1< 1
о
Е
~ I < Е при
Возмmкность выбора номера
IN < Е
:бо
1
<
3
л:'
10:" 10' '
10 N
1
ч го
Так
':,мер
е:ае:
N
из у:
при
:0-
? N.
,уювлетворяю ::его условию
JТi"'l'аii:'ВШ'iiа
1
§ 1,
Основные свойства СХОД:..:.iНИХС:..:. последовательно-
стей.
3. Т
толъко nднн
Д о к
з
т
Схо:I.я:ща,яс,я
л ь
т
::оследователъностъ
-
Пусть а и Ь
R
!J..Meem
пр:' "'лы сходящейся
последовательности {Х n }. Тогда используя специальное предст:.:в,:С!
(:3.5) ,i,Ш ЭШ'\iСii'l'ОВ Х:;. СХОД\iщеiiся
= а + ОО n , Х n =
:ia,,:blx "''сл:' "н:ат:л:,ностеii
сти {Х n }, получим Х n
:емен':
[,1
ii:':'КОii:'Чi
Вычитая написанные соотношения
-а. Так е,:ае: ::се ЭЛ:'\i\'ii'lЪ1 ii:':'КОi"'Чi
{ОО n
- t1n} имеют
:3.5 Ь - а
найдем ОО n
:iа,,:ой
"''сл:' "',ваТ:'Лi,i:О:'ТИ
одно и то )ке постоянное значение Ь
О
т.
Ь
а. Т:,:,рема
а, то по
-
"'I\:а::ша.
8. Схо:l,яща,яс,я nо::ледователы-ю::тъ о;:раюлена.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Х n } - сходящаяся последо­
в пельность и а - се :реде
Иerю.:ьзуя ф:,рмулу (:3.5), имеем
Х;:
де ОО n -
:емен: ii:':'КОi"'Чi
а
+ ОО n ,
:iа,,:ой
110:'
.
:едо :::те,,:ы
Так е,:ае:
бесконечно малая последовательность {ОО n } ограничена (см. те­
:,рсм:'
.
то
т::ко:'
iИСШ',
iрав:',:Ди :о нера :ене:::о 100:;.1 ~
всех номеров
Д
. ПО1'l'О\iУ
Ix n
означает ограниченность
Х:;.} .
~
lal
n
+:ДЯ
последователь-
доказана.
3 а м е ч а н и е 1. Ограниченная последовательность может
и не быть :х:,,:,яшсЙся. Наприм:т, посш' ",ватсльность 1, -1, 1,
1, ... ограничена, но не является сходящеЙся. В самом деле,
:':'ДИ бы
:о:' :едо :::те,:ы
сходи
нее'::,е:'РО\еУ числу а, то каждая из после1\овательностей
ЯВЛЯ
последовательность
беСi::"Н:"iНО :iа:ой
Лl{)БОi
а} и {Х n ;
а}
Teop:',ii,1 :3.2,
{( Х n -а)
(Х n+ -а)} = Х n
Х n + 1 была бы
::'::оз,!\',Жi:О, т::к как Х:;. - Х n +' = 2 ,:,лЯ
бы ii:':'КОii:Чi
::,мера
:iа,,:оЙ. Но ТОеД::, в СИ,:у
n.
1) См. также неравенства (2,5) и: п, 4 § 1 гл. 2.
i,окаж,'
":J;одн'щtJ.хс,я,
{:г n } u {Чn} ест'ь
т
i"I,
осн,он'н,'ь/,{' теоре
T(iopeMa
nоследонuте рь'Н,Осrn,'ь, nР"де
ipmi ранен, су,н,ме nре(J'шн '!JослеUонатеJl:ьн,осте{j'
д о к а з а т е л ь с т в о", ПiСТЬ
но'' !едо
!iiTC,!blf, ,сл
Й
(],
И Ь
:г n }
ко-
Уп}
соответственно
,
огда
+ t1n ,
де
СУп
fЗn
бес!',
-
",вал'ю,но, (х п
+ Уп)
,iie' Ю м iЮ,Iе Ю!' {едо !iiT"
- (а + Ь) = СУп + fЗn.'
Таким образом последовательность {(х n +Уn)
!
{ы
+
. C,le-
а+ 'i)} беско-
i,'Ч!
малаil,
Ю1'l'О,lУ "''сл'' "',вал'Л ,!юсть Х N
Уn '''''!';'!llТСЯ
И имеет своим пределом число а
Ь.
Теоре,м,а
.10. Разн,о,\тъ ,\ход,я,щtJ.Х:С,я, nоследователи-юсте1'l
+
{х n } U {Чn} естъ сход,я,ща,я,с,я, nОСЛi'доваm!'Лi,н,!)стъ, nр,'дел кmnо­
рm'1 равен, разн,ости пределов nо,\леilователън,о,\теЛ ! х n и Уn.}.
До к аз а т ел ь с т в о этой теоремы аналогичноюказа­
Тi'"peMЫ 3.9.
Теоре,м,а 3.11. Проuзведен,uе сход,я'ЩUХС,я, nоследователън,о­
TC!bC'l'!,y
"тей {х n
и
Уn
естъ "ход,я,ща,Я1\,я, nоследователи-юстъ, nре­
,Iел котороЛ равен, произведен,шо преilелов последователи-юстей
{х n }
{Чn}.
U
Д
а
а
ь с
в
Е"
а
Ь
-
",сю' ",вал'ю, ..
ностей {г: n } И {Уn} соответственно, то х n = а
СУп, Уn = Ь
и х n . Yn
а .Ь
а .
ь СУп.
СУn.fЗn.. ею, ",вательно,
х n . Уn - а . Ь
а . fЗn
ь СУП
СУп. •
+ .
+
В силу теOl)('МЫ
3.4 и
последов'i.tтел~ность {а .
т.
+
v
+
сю' if'ТtlИЯ И
,"мы
+ ь . СУп + СУП .
носдедоватеды
поэтому
+ .
. Yn -
а
последовательность
шсл" а. Ь.
+
.
i,'Ч,
схо 1Ится
и
3.1
iшая,
имеет
своим
ДЛЯ доказательства соответствующей теоремы для частного
1\ВУХ последовательностей нам пона1\обится слеiующая лемма.
Ле,м,Мf{\
/;сли nо,\леilователън,о,\тъ Уп} СХ:Оilит,\,я, и !J.,Meет отлu"lн,ый от н,цл,я, предел
то, н,а"lш-t.а,я, с н,екоторого
н,о,нера, оnределен,а nо,\леilователън,о,\тъ
ет,\,я,
"f.
{J....}.
Уn
котора,я, ,я,вл,я,­
o?paH1Pf.eHHm'1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е = I /2. Тш( как Ь
о, то
> О. Пусть
- номер соответствующий этому
bl <
Вi,IiЮiНil,'ТСЯ HepaifeHC,!1O Уn Е И !И
ИЗ этого неравенства сле1\ует, что при
?
? N выполняется неравенство'
1) в самом ,еле, так как Ь = (Ь1 + 1 1 < 1Ь 1/2 + 1 1·
( iЬ -
!fn
+
>
и 1Ь
Iь I
оэтому при
- уn 1 < 1Ь 1/2 то 1Ь 1 (
ЮВАТЕЪН(>СТИ
2
N
N.
1'1'01
на !Иная с
мы 1J)1Ж1'
рассматри 1аТ1
Н01' 1СДО
,1'1СЛ1' ,1";)1аТ1 "Л"ность
1,а
3, 2,
1
1()д,я,1j~UХС
! уп}
нул,я,
{~}
11tTC
при У1'ЛОiiuи
11Тru! nР1'дел
1'ход,я,ща,Ю1,я, последовательность, nреuел )10торm'1 pa~
вен часmНОЛ1" nр)'делов nосл)'доваm)'Л,!;'Н,iiстей {х n }
Д о к
з
т
л ь С
И
U
)сммы
, элементы
что, начиная с некоторого номера
{Чn}.
'
сл)"уст,
последовательно~
,1} ограниче~
сти уn} отличны от нуля и после1\овательность
Уn
на. Начиная с этого номера мы и будем рассматривать после1\О~
)))tTC )ы
{~: }. Пусть а и Ь - нрсдс)ы ii)СЮ' ii)ваt)ю,ностсij
{Хn _ ~} бсс~
уп}.
1))СМ,
Хn
самом деле так как Х n = а
конечно малая.
то
Так
:Г n
(1
Уn
Ь
как
'(1
Уn
1
последовательность
вательность {й n
ность {у1n (й n
-
( йn
-
+ йn
+ t1n,
Уn =
ь fЗn.) .
ограничена,
а последо~
бесконечно малая, то последователь~
-
~ t1n)
бесконечно малая. Теорема
,а.
З.
Предельный
что выяснили, что
переход
внеравенствах.
р:юI1МСТИЧiТКИС
iсрации
l\)IbI
Hai,
только
сходяп~ими~
ся последовательностями приводят к таким )ке арифметиче~
)'Kll
что
)fllсрациям на
неравенства
их
,р)'
которым
в
'"'
,р)'
,YiiKTC
litМИ. В)Т01'
уювлетворяют
,,111OкаЖ)'\1,
элементы
iiЛС НСРС1)\,Щl
сходящих~
ПЮТВСТСl ))УlOЩll)'
неравенства для пределов этих последовательностей.
Теор!:.ма
НО1:ти
хn ,
!
ЕСJШ эле/vu.'нт'Ы сход.я,;j~еЙс,я, nоследi)ватель~
'ГШ\!!J.]-ш,я, С неnоторого но,нера, удовлетвор,я,ют
3.13.
неравенств!! х n ?
х n ~ Ь), то u предел а этой nоследова~
теЛЬНО1:ти У110влетвор,я,ет неравеl-и:тву а ? Ь (а ~ Ь).
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть все элементы
начиная
хn ?
что а
HCKOTOpOГi\ номсра,
Требуется доказать неравенство а?
<
Ь. ПОСКОЛЬКУ а
,р)'
=
'
по крайней
у ,)\влстворяют НiTai1)'HCТi1Y
Предположим
"ности
то для полткительного
Ь
а можно указать номер
кой,
n
N Bi"IllO iНil)'ТСЯ ')'рав\щ'тв)\ х n Ь
неравенство эквивалентно
(Ь
-
а)
а
<
al <
х n },
-
Ta~
а.
слеДУЮlllИМ двум неравенствам:
а. Используя правое из этих неравенств,
fOCTf'
',1
НО
чаi\
1О"ию ТСОР",",1
док tзана
:[;1'
ч
'МО
{х п }
[егвор,ть
мо
(J,
х 1'
О, однако
n
,ера
ccrporO iP
Ет :[;1'
"ако
,eHccrii'y
оказаt ,'ся рав, ,,1М Ь
',iCt
На
,''ли
О
n~~
Следствu(!
1.
Если элемент!,/,
ватглъно' тг!' {х: п}
{Уп
и УП сгод,ящихс,я nоследо-
нш'шна,я
неnоторого 1-f,O,Мгра, уу}о-
влетвор,я! ,т неравенств!! :[;п ~ !fn, то их пр, дел'Ы !fдовлетвор,яют таnо. АУ
неравенству:
lim
n~',
хп ~
lim !fn.
n~',
в самом деле, элементы последовательности {Уп :[;п} неотри',ны,
!Оп'о\,у нсотрицатс.JlСН и СС нрсдс
lim (у1' - х п ) =
n~OO
НУ!
уп -
n~oo
НУ!
х п ' Отсюда следует что
n~oo
lim
n~x
Следствuе
2.
хп ~
ЕСJШ все
lim !fn.
n~x
'ле.\\!.енты, сход,я f~ейс,я n iСШ'дова­
телъно,:тn {х п} нах:о\l,ятс,я на ,:ег,ненте [а, Ь]
то
ее предел
man:JICe находитс,я на этО/vЕ сегменте.
В самом деле, так как а ~ х п ~
то а ~ с ~ Ь,
Тf",pCMa
рас;
роль
ра,.JlИ' iНыx
приложениях.
Т(!оре.ма
3.14.
ватглъно,:тn
нш'шна,я
Пустъ {х п } и {zn} -
сход,ящи,с,я nоследо­
lн!е1ОЩ!Jе оiiЩUЛ
nро.не того
неnоторого 1-f,O,М ера , эле,нент'Ы "оследоватеЛЫ-f,Oстu
{Уп} !fдовлетвор,я'Ют нерав,'нстваАЕ х п ~ УП ~ Zn. Тогда nосле-
!
,iоватглъно,:тъ уп
Дока
тс
ь
СХ:оt}uт,:,я
т
о, На
и,неет
а,
if',СТftТОЧ,
"
доказал
что
if',сл(,­
а} является бесконечно малой. Обозначим
ч'
на
иная с котор,',го
1',,1110
ff,ТСЯ
"'т"а.
указанные в условии теоремы. Тогда начиная с этого )ке номера
будут выполняться также неравенства х п
а ~ уп
Отсющ СЮ';УСТ, что iрИ n ? N* ЭЮ',11'ii'1Ъ1 10" ,сдо
а ~ Zn
,ы
а.
,ft'1'"
{Уп - а} удовлетворяют неравенству
а ~max{lxn-al
IUn
а,:
,:а,:
Ет х п
а
n~X
при?
аЧli ,ас,
:'1'0,
N,
Zn
N2
al <
'"мсра, имсс;
Итак последовательность
1\оказана.
а
}.
Д
ш, :бо,
Е
n~X
i11,ЖНО указа;" но ,"'ра
< ,а
'п
lim
а
Zn
та,·:ис
'р;:
а}
-
<
,NJ.
< Е.
n ? N, I х n -а
Е. Пусть N= тах
,11',''1'0
О
нсраiiСНС;:1О
Уп
-
а
бесконечно малая. Теорема
IOCTI;
\;ОIЮТОIШUЕ
В!(ОНОТШШЫ4'
§ 3.
ОпреД4леНИ4' монотонных
ОnР(lд(lле'/-l,uе. После,.lон
(н,
юсТ4'Й.
'i'.Я,
, если
Н,
е
у
K!{JlCablil nо­
н, /ИМ' (11,;' бо !'! ,е. еrл?! дл,я исс;г iш.мерuu n rnра6едЛU6U
ГП.
11,ераве11,ство
Хn ~ Хn+
Неубываю иие иневозрастаю иие послеювательности объе 1Иня­
ii
;тся ;,iiщим Нi.Ш
Ее;
номеров
то
,;,ваНИСМ,НО11,отО11,11,ые nОi;ле;}ователъ11,О' тЕ.
ЭЛ,',J{';;'lЪ1 МО;;;';;;',нной
;,ности
iОСШ.',i/,;;аi\'Ш.,НОСТL
I
хп
Хn
<
удовлетворяют неравенству
(г n
ДЛi;
;;СС'!
>!n
),
наЗi,1;;аСiСii возрастающеЛ (убыва­
ющеЙ). Возрастающие и убывающие последовательности назы;, i1 ii ;тся та;!
строгО,НО11,отО11,11,Ы.МЕ
.
.~Лонотонные последовательности ограничены либо сверху
либо сни:у . .иМ;ННО: 11,i'возрастаЮЩЕе ЮСЛСДОВiПСЛЬНОСТИ огра11,иче11,Ы сверт!'
'J-lъt СН'tJ.зу {"ВОИ
а неубываЮ'Щ1U' последовательности огра11,иче­
llСРВ!"IМИ
jCMCHT;'
.
Пс,эт€",му
'('1';ОЗРZAС'l"1 j,)-
шая послеювательность БУ1\ет ограниченной с 1\ВУХ сторон, если
;,на ;,гра
;·,гра
ич;;;а сни:у
llЧ,';
;;',Й С
110;'
;,'убы;; !iiiЩi.Ш
,'i,BY"; С;;',ро;
,
;СДО ;с;тс. ;Ы
iiудс;
,';'ЛИ ;',на о;раничсна п;срху.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
1.
1 1, 1/2,
... ,
;,';юз-
растаю иая. Она ограничена сверху своим первым элементом,
;,1M
изу
llll"
ШСЛОМ
:уш.,.
Последовательность 1, 1, 2 2 ... ,
неубывающая.
Она ограничсна сни:у СRОИМ [ср;;ым элсм;нтом, рiшныI\I ",i.,ИНИ­
2.
це, а сверху не ограничена.
3. Посш' ;;,ва"'Ш.,НОСТL /2,2/3
, ...
(n+1), ... в;,;р;;стающая. Она ограничена с обеих сторон: снизу своим первым
;смснТ1,М
п;срху,
на
ШСЛОМ
ица.
Признак сходимости монотонной последователь­
ности. .имеет место следуюшая ОС11,ов11,ая теорема.
2.
3.1
11,еу6ывающая (11,евозрш тающая; (;оследоватеЛЪ11,остъ {Х n } огрaJ-шче11,а сверху (с11,UЗЦ;, то О11,а схо­
;iuтi:Я.
Согласно
предыдущему пункту последовательность
удов ;створяющая УСЛОRИЮ т,';,рсмы
3.15,
{Х n },
Я;iЛястся ограничсн­
ной.
оэтому теорему 3.1 мmкно кратко сформулировать так:
еU!!J,НО11,отО11,11,ая nОi:ле;}оватеЛЪ11,Оi:тъ Х,,} 0?pa11,1Pie11,a с 06еих
сторо11" то О11,а сходится.
Д
к а
ограничена
т с л
с
о. Так
то мнmкество
и нюкнюю грани
и J
;ia;i 110;'
;сдо ;с;тс. ;Ы
Хn
ее элементов имеет точные верхнюю
(см. теорему
2.1).
Докюкем
что если
fOCTff
iЬHOCTf<
T!aHHI1~<
ff11Я
Ю
IШ
iЬ
[H11~<
tИЖНЯij
ГIННЬ:J;<
,с<слt!
ct<e {Х п
т\' ее пределом будет укаЗIшная т( ч
пос:леДОВ11тельш
Уы
tj!Тrаем
ограш!чt!Мf~
ПОСJНiдсшаТ(iЛЬНОf<ТИ, поскольку для ШiвозраСТI1Ю ff(Й ш fЛ(iдова
тею"
ти
lJaf
fусt<fпtия
1l0СКоtЬКУХ
tаЛОГИ'l
Ы<
точная верхняя грань мно:ж:ества э< [ементов
-
>
юслел,оватеЛfяостt! Х n }, то для любоtо Е
О \южно [ 1Д'!ат!>
элемент XN такой, что XN > Х-Е и XN :::;; Х (любой элемент Х п. не
БОЮlше точt
t:ерхttей
;аttи
, ХN
Х). Соtюстаt:.Шj~ 11 tla'!aHные неравенства, получим неравенства О :::;; Х - Х N
Х n - неубывающаij послед,)t:ателыюстъ, т() п]
< Е.
Так как
n
N ctpa-
~
ведливы неравенства XN :::;; X ii :::;; Х. Отсюда следует, что при
~ N выпо< шяются неравенства О
Х - Хn
Х - Х . Выше
\fЫ отме'tаtи, [то
XN
Е, юэтому tри n ~ N сtравеftиt: f '
n
неравенства О
I ;Т n - Х I
:::;;
Х
<
< Е,
- Хn
из которых вытекает неравенство
. ТаtlИМ образом, IcTaHoB<teHO, [то Х -
прел,е<
по­
СtедоватеtьнОСТИ {Х п}. Теорема доказана.
3 а
е ч а
е 1 Услов'uе огра1-l:U~lе1-l:/-tост'u .ftло1-tото1-t1-tO'Ll
nоследователъ1-tости представляет соБO'Ll 1-tеобходи.ftлое и доста­
тO~Hoe УСЛО6ие ее сходимости.
<
n
са\юм деле, если моtютоннаij юсле<ff<оватеЛf,НОСТf оt,аttи­
чена. то в Си<tу теоремы 3. 5 она сходится; если :ж:е монотонная
ЮС<t( л,оватеiЬНОСТf
'le
Сf<ол,ИТСij. то
сtшу теорС'\fЫ
3.8
она оt,аttи­
[а.
2.
а м е ч а н и е
iходящаяся последовательность может и
не быть м(шотонной. Наприме]
fli)ТОIЮЙ Х n = (_l)if/ n Сf<ол,ИТС1j
пос tел,овате iЬH()CTЬ {Х n ,
[!меет tрел,е<юм tисю
Ш
Так как знаки элементов этой последовательности чередуются,
т() iша не яв<шется монотонн()Й.
3
а
вающая
е
и е 3. Есtи последоt:атеЛЫЮСТ f
а
и ограниченная
n Ct,aBe< f«tиtЮ
[е]
и Х
,aBettCTBo
-
ее
ХN
предел,
то для
Х. Э<tе\fеt
Х n } неубывсех номеров
невозрастаf"ЩС:Й
ограниченной пос tедовате iЬности {Х n }, сходящейся к ;f, удовле
ТВО],iПОТ te]1at:eHCt t:y;f
Х n . Сttравеftиt:i)СТЬ :того jITBepCt<ffeния быtа установ< [ена в процессе доказательства теоремы 3.15.
Следствuе uз теоремы 3.15. Пу,т!,
f;,'ln1iif:'~ifЛЯ Cff-
стема сег.ftле1-tтов [аl, Ь 1 ], [а2 Ь 2 ]
[аз, Ь:], ... , [а n , ь n ], ... , nаж­
ды'й nоследую'Щ'uu из nomopblx содержится в nредыдfj'ще.ftл 1) 'и
пуст!,
[а n , ь n ]
-
стрем'uтся
а n (бус}е<:'fifаЗЫ6fi<т!,
дЛllif. ,й ff"г<:,;еifтfi
1-t!jЛЮ nр'и n -t ос (систе.ftЛf! сег.ftле1-tтов.
обладающую эти<\;и своЙства<\;и.
1-tаЗ'Ы6атъ стягff6fi.IO
щеUся). Тогда существует, и nр'uтО.ftл ед'U1-tстве1-t1-tая, то~ла С,
nP'U1-tадлежшщая всем сег.ftле1-tта.ftл этO'Ll системы,
1) Это означает, что
an-l
~ а n ~ Ь n ~ bn -
1.
fOCTff
о
к
а т
л
ь
с
в
С, П]iИНl;r.л(жащаjf ВС(·
о.
letMeHfI1.\f,
о
заме fИ\f,
В 111·М( М деле, (сли бы нашлась е н.е ('дна ТОЧКl
'-
ЧТi'
Мlш.ет :с,ЫТf. то.ъко
[а.
ПРИНIЩЛ( жа
;"ем с(тлttТI1М,
весь С(Т\fпtт 1) [с, cl] tриt 11Дfе +.11Л :с,ы
всем 1(тментам [а n , 11n ] Но тогда для любого номеР"1
выполня
Ьn
аn
cl с> О, а)то неВОЗМ(k
tiбfi
n --+ 00. Дока1t<ем
IЬ, чт(i С!j'щесmвуеm ТО' [ка с, принадлежащая всем сегментам
, Ь п ]. Так как система
лись
не]
Ьn - а n
--+
Cer\fettTOt;
О П]
ЯiшяеТС11
CTjf
ивающейся, то
юс.ледоt;ател;tЮСТ f
ле­
вых конц(ш {а n } як tЯется неi!(!ывающей, а ш)с.ледовательностъ
правых концов {Ь п} невозрастающеЙ. Поскольку обе эти посtе­
;r.оватеЛf,ностti ограШiLiены (t;ce эле\fеttты юсtедовате f,ностей
{П п } И {Ь п} находятся на сегменте
,b 1 ), то по теореме З. 5 обе
они СХОДЯТСjf. Из TOtO, что fа·;tюсtь Ь n - а n ЯiШЯ(;ТСjf :C,eCKOHe'tно малой, вытекает,
что указанные последовательности имеют
общий [реле.. ОбозttачtiМ 'тот [реле. чере'; с. и·; за\fечаниtf
вытекает что Д tЯ любого номера
справедливы неравенства
аn
с
Ь n , т. е. Т(iчка с прtшаf.tежtiТ всем сегментам [а n . Ь n ].
Некоторые примеры сходящихея монотонных по­
сле;r.ова'тельнос'теЙ Расс.fОТРИ!.,f
tри!.fеры
tосле.;f.оватеЛf,но­
стей, для нахождения предела которых будет ИСПО.ъзована теоpe\fa
1. о пре;r.еле !.ЮНОТОt
пос.ледоt;ате.mtюсти. К]
того, в этом пункте мы познакомимся с одним общим приемом
3.
tа:.; ожде t
ttЯ
tреле.
юв
юс tеловате ъносте ;U,. ';адаt;ае \fbI :j,eKY1i-
ре! [тн;·! \fИ фО]'\Ii!ла\fи.о! ).
П
и м е р 1. f!ассмотрим пос [еловате fbH(iCTb
х n } э. [емент
х n которой равен
Х N ~ ja + ja + Ja + ... + v,i а> о.
Эт\ It<e пос te;r.OBaTefbH(iCTb МОЖН(i, О' tеви;r.но, задать с.ледующеЙ
рекуррентной форму юй:
х n = уа
+ Xn-l'
tЯ ТОГО что:!)н \!стаtЮВИТf, существоваШiе
tpe;fC;ta
ЮС·t( лова­
тельности {Х п}, дока:tкем, что эта ПОСtедоватеъность вО3 ii !fсmа
lOiuал И ограН'U"lеннал. Первое УС\fюриt;аеТС1f не! [!
icpe;r.CTBet
Ю.
10кажем, что последовательность {Х n } ограничена сверху чис
юм А, .;f.e А - наtt:!().ъшее из ДВiХ tiсел а
2.
tи ;Т n
а, то
требуемое доказано. Есш же Х n
ТО. заменив в правой ча
1) РfiДИ опрс ," лснности мы считаf м. что d > С.
2) Гекурр, fПf"iЯ ФОР);УТIfi
ЛfiППТСКОГО СЛОВfi «l'ССUПf'l1S» - возвраЩfiющийс;) - Фот му.;;а, по!;ю;;яюща); выразить (n + l)-й Э. ;емент пос.;;едо;;а­
те.;;ЬНОСТИ чере
значения ее первых n Э.;;ементов.
fOCTf 1
сти не]
:г~
число (], П] ,ев( 1ходя ff.ИМ
<
СТО числ')"
мы П'ШУЧffМ
ДfiкаЗ;IЛИ, что пос:леДОВ11тельш
теорг
1, Offa
Очевидно,
}
имеет предел
Хn
2 ИТ1Н \fbI
ограничеН;1 1верху ПР
fИМ
fР(f(Л чере', с,
О Из рекуррентной формулы им( (м 100тношенИf
=a+Xn-l,
кот')рое означает, что послед,шательности
ждесп:еш
ПОСfе;r.оватеfЬн,)стеЙ имеет
а
+ с.
П
X~} и
их П] ;еде
'аfШЫ. Так f<af'
предел с 2 , а вторая а
Отсюда, поско.fЬКУ с
и м е
а
+ Xn-l}
fepf:ai!
+ С,
О, находим. что с =
то
то­
ffЗ этих
с2 = =
1 +vl + 4а
2
.
2. Рассмотрим теперь пос.лед,шательность {;Т n ,
С помощью которой обычно вычис fЯют квадратный корень из
юлож!,те. [оНОГО
электронных
с.леДУf<>ЩС,Й
·lИс.ла а
ма нинах.
,екУ1
ы:,
COBpe\fef
быстродейсп:ующих
ПОСfедовате fЬHOCTЬ
определяется
'ею fЮЙ Формуюй:
Xn+l =
rf.e
а
)та
2
( Х n +-)
Хn
n
1'2 .... '
=
f'а'fесп:е Xl MOCf<er
f:ЗЯТО 11,:''Ое Ю·ЮЖf' !C··fЬHoe fИс.ю.
Докажем, что эта последовательность сходится и имеет сво­
И\f fре;rс,.ЮМ чис.лоja. Прс,ж;r.е вссто ;r.oKaCf<eM с\'щеСТfЮf:аffие
преде. fа пос.ледовательности {Х п.}. Для этого достаточно уста
новить, что пос.ледовательностъ {Х п} nf', 'fiifll''l,ifa Сifизу и, ifa"lи'Ндя, СО второго 'Н ОJ'Л ера. является 'Не возрастШOiuе'ij. Сна' [а­
ла докажем, что пос [eдoBaTe.fЬHocTЬ {Х п} ограничена снизу. ПО
>
\Т·ЮВЮ'· Xl
Н,) TOf;r.a и', ,екУ1 'е!
ЮЙ ФОРМУfЫ. В'f)ЛОЙ
при
, вытекает, что Х2
О, а отсюда и из той же форму[ы, взятой П]
n
=
2,
вытекает,
[то Х;
раССУ1ж:дения, мы дока:ж:ем, что все Х N
>
О. Про;r.о.fжая
;Tff
О.
Докажем теперь, что nри n ~
ве'Нст6!! Х n ~
Хn + =
v:; (fa
2 все Х n удовлетвор 1ют 'Нера
ереffисав pef' j'рреffТffУЮ форму
f:иде
ja.
~) ,воспользуемся почти очевидным неравен-
ством t+~ ~ 2 ), спраf:едшшым дш! !юt'ОГо t >
=
C.fbI
'ем t =
.~). По. !j'ЧИМ, что ;Tn+l ~ ja при !ю:'Ом n ~ 1 т. е. Х n ~
начиная с номера 11 =
2.
Докажем, HaKOHeT~, что nОfЛ;fдовfiт;fЛ ,ifOfmI, {Х n } при 11 ~
'2
~иe
впзрасmае'n.
И
.
з рекуррентной формулы получим
X,,+l
Хn
1 Д.тш до!!а,ате.::ьства это; О нера::еш.Т ,а до,таточно заметить, что при
О оно эквИ!;алентно неравенству t 2 1 ? о.
Tf
[О !
от! IОЛ (!
и.
(П]
r;;
1
1,
fаидем--
Так как ш)следо i,lтеЛ;fЮСТЪ
2)
n
~
уа,
jiТfИТЫ
i
! :!n} при
i,н:тающая и ограШi [еН,1 СiiИ';i ЧИСЛС)i' уга,
n
им( (т пр(дел. н( меньший;а
Обозначая этот предел через
nl~~ {~(xn. + xaJ}
теор(му
[а
и теор(му
3.15
3.13\
и учитывая, чт(!
~ (c+~) получим
и
~ (c+~)
'ле
1).
;r.оватеЛfiНО, с = ;а.
З а
е С! а
и е 1.
рассмотренных iРИ\fера:i исполь'ювал­
ся следующий часто употребляемый прием разыскания предела
ЮСiе;r.оват( .iЬностеЙ. Сiiачала устанаiШiшается СjiщеСi iЮiiаiiИС'
предела, а затем находится его числовое значение из уравнения,
[<
отс)рое получаетс!
в ней х n И Х п
[!
з ре [!
jippe i i тной
искомым значением
фс)р
<! \iлы
jiTeM
i
';амены
предела последователь­
ности {;Т n .
З а м е
а н и е
2.
РеЮiррентные фОРI\IjiЛЫ
[асто iiСПОЛЬ-
зуются в современной вычиспите.iЬНОЙ математике, поскольку
их
iри.fеiiеiiие
iРИiЮДИТ
ЮiОiiраiiЮМУ
ПОiiторению
одно­
типных ВЫЧИСiительных операт~ий, что особенно удобно при
юве,:rС'iiИИ iifГfислеШiЙ на БЫСТi
ЭiеiiТ]Юi юВЫЧИСТIИте.iЬНЫХ машинах.
Рассмотренная нами рекуррентная формула определяет, как
\fbI
iИСЬ.
liш Х n
n--+х
<)ритм
а.
ВЫ'iИСiеiiИ(!
i
\fbI
;r.оказаiИ,
[то
=
ДОiЮЛ [е iИИ
настоя пей гла (е ИЗУ'iаетс! вопрос о скоро­
2
сти сходимости последовательности {Х!;} к ;а.
>
что;щя ЛЮ('ЮiО а
1
iИ Oiipe,:rC:iei
J\IbI
юм iiн:'юре
доказываем,
iС:рiЮГО П]
бли:ж:ения Х1 уже четвертое прибли:ж:ение Х4 дает нам число ;а
с ошибкой, не превышающей 0-10.
При м е р 3. Докажем, что ПОСiедоватеiЬНОСТЬ {"n}, ДiЯ
которой сп =
(
ХN
1
~
)" имеет при люоом фиксированном Х предел,
n+ 1
.
равный нулю. Так как при достаточно большом
n
< ,то начиная с некоторого номера
. имеем
ЮСКО.iЬку ICn+11 = i~~I.~:ll = ICnl' ~xll'
{I сп
1
"n+
И<
n 1
< cn.l,
'ледовательно, начиная с номера N, последовательность
} будет монотонно убывающей и ограниченной снизу на
пример, Н\лем). Пс) теореме
;r.итс
1)
дробь
{.
С
-
ipe;fC'
:той
пос
ie;r.OBaTeibHOCTb 11
cnl!
схо­
ЮС·i( ловате iЬHOCTfi. Из соотно-
рав! :1СТВО вытекает 1:3 рекурре 1ПЮ(; фор<!улы Х п+l
=
2' (х n + ~:).
шешtЯ С n +l1 -
I сп
fЬHOCTft
~
,
{I С n +l1} раве!
Чтi' С = О,
T;l·K KIK
предел
С, а П1 ,едел iiНЛ(f([ваf ел(яо­
равен нулю
Применим т( ([рему З. о о существов;шии пре
fа
мо
f[, !тонн
)Й Шiсле;rо i;lтелы Ю! ти
;rокаЗ;lтелн:тва iУЩС!-
fа послею fiaTe.m fюс (и {Х n , 1.Лемент Х n
ствовашtЯ
[!
ото-
рой определяется формулой
;Т n
(1 + ~)
=
n
Докажем, что эта последовательность возрастает
02 )fi.H'U
'Чена сверху.
fиti фОР\fi/fУ бft /i\fa ] ]ыото [а, [а '!Дем
ХN
_ 1+
1
+ n( n -
71-
-
1) 1
2!
n2
+
n( n - I)(n - 2) 1
3'.
+ n(n -
1)(n - 2) ... [n - (n - 1)] 1
•• ' 1 ) !
Представим это выражение в Сiедующей форме:
~
"n
1
СОiiершеi
;Тn+1
=
ю а; аЛОГИ'l
+~
(1 - n
(1 - ~) (1 - ~)
(1
-~)
(1 -
~)
... (1 -
~). (З.6)
ым
+~
1- n +
n
+ ...
~1)! (1 - :1) (1- n+1) ... (1- n:1)
1 1
1
НеПОС1,едственным сравнением
Хn
(
-
2 1
чте) )
< Хn +
т. е. ПОСiедоватеiЬНОСТЪ {:г n } ,ЮЗ )Хит ilО'ЩaJi.
Для ;rоказате.m,ства ограш 1Liенности
1ТОЙ
юс iедовате. (яо­
сти сверху заметим, что ка:ж:дое выражение в круглых скобках
в соотношении (З.6) меньше единицы. Учитывая так:ж:е, что ~ <
<
1
2k -
1
1
2n -
1
З.
Итак, последовательность {:г n } возрастает и ограничена сверху.
о Teopefe З.15 юс [едовате (яость {Х n имеет [реде.. Этот
любого
,одержит по сравнению
<k <
и, кроме того, Х/+
:iИШНИЙ ПО.)южительныЙ Ч.fiен.
;[
CBf 1 11CTBA
[р(
Р11И ПОЛЬЮ,}
Н;lЗЫВ;ЧОТ
СЛ(fl'Шll (льно,
lИ1
ОllР(f(Л( llИf<i,
+-n1)n
Зам
ние
lТОЧИСЛО
играет
в lЖНУl) р( ль В мат( м;пике. В наСТliЯЩ( м пункте мы
uпределение ЧИСЛ<i е, но не
числа с лю:Сюй сте;
YK&3bIBi1eM
СПОСООi1 нычисления ЭТOlu
[Ы1с то'шости. Это
лет с;r.елаlЮ в пп.
§ 16 г..
ЗдеСI \fbI лишь OT\feTliM. что
непосредственно очевидно, что 2
<
т(iлью'
ХП
Хn
то число
1и 2
< 3
и из
заключено в
пре;r.е.lах
(в си.
Некоторые свойства произвольньг\
§ 4.
последовате,!лъностей и чис,!.ювых множеств
1. Подпоследовательности читловых потле;л.ователь­
ностеЙ. Пусть Хl, :72, ... , Х п , ... - некоторая числовая ПОСlе­
довательность. 'Сассмотрим произвольную возрастающую ПОСlе­
;r.oBaTelЬH'JcTb fle.lbIx по. ЮЖlпе. [ьных lисел k 1 k 2 , ... , k n ...
Выберем из ПОСlедоватеlЬНОСТИ {Х п} Э.lементы с номерами
k 1 , k 2 , ... , k n , ... и раСПОЛОl1И\! их таком fl1e Юj"fДке, l1al1 и
числа
kn :
Xk
О.
ЧИСЛОlfУl1'
Xk2
... , ;Tk n
, •••
ЮС lC';fOBaTe.lЬHOCTI б)1дем
lаЗ;·flfаТI· nод-
nос!.едовате.е!.Ы-lOстыо последовательности {Х n }. В частности,
сама
ЮСlе;fоватеlЫlсJСТЬ
ЮСlе;fоваТС'.lЬНОСТI
(в
Х n 1 \южет iiаСС,fаТРИffаТI,СЯ liali
ото\! С! i'чае k n = n . Отмети» с
ю;r.­
ющее свойство подпоследовательностей сходящейся последов а
телыюсти: есл'и nоследоватеЛЫ-lOстъ
nРifдеЛО.;'i 'Число а, то
Х n } сход'итс-я и и.Алеет
люба-я nодnО1Лi',}овiiтifЛ!,!!О1тI,
этO'Ll nоследоватеЛЫ-lOсти сход'итс-я 'и 'имеет свои.АЛ nредеЛО.АЛ
'число а. В самом деlе, так как {Х!,} - сходящаяся ПОСlедо
lfате.mlЮСТ!
и а
зать номер
-
ее
такой,
[реде., то
что при
лю:юго
11?
с> О можно
ство I Х n
аI
с. ПУСТI {Xk n l - некотора,!
ность постrедовательности {Х n }. Так как k N
lая с
юмера
kN
, Э.lе\fеl
ука-
выпо. шяется неравен-
ЮСlе;fоватс'.lЬто, начи-
? N,
юс le;foBaTe.lЬHOCTli
xk n
уло­
lшепюряют lepaBellCTB)' I Х n - а I
с. По,то\с) ПОДlюследо­
вательность {Xk n } сходится и имеет пределом число а.
'пра­
lfед.mшо и О:" -атнос' [ре! ЮЖС'llИС;: если все nодnоследователъ­
'Н.ости да'Н.'Н.O'Ll nое!.едовате.е!.ъ'Н.ости {Х п} сход-ятс;;, то nреде­
л'Ы !!се:г эти:г nо,}nоследо;;атеЛ',ifостей ра !i!bl
и т, '.\!у
fOCTf!
же
'f/ш:лу а;
н
'част юст!!
'f/ш:лу
'то, imпсл
по-
следоватеЛЫ-UJстъ}
fЬHO,
как Ю!"'f(!Шlf (,fЬ
ностъ {:г n } TaK:tKe является ш дпоспедоват( льностью, т(! (!H,i СХ(!
;rит!'
И
ДРУГiiЯ
fР(f(Л
И!,f((Т
fР(f(Л( 'м
неЮi
f(i] Ю(
подш !ледовательность
чиею
Т,iКЖ(
а
ла
сходится
и
и
имеет
тот
ж:(
а,
llодпоследовательности бесконечно больших пос fедовате, fь
ностей о: '! адают ана.ШtГИЧНЫМ св()йством.
ка ждал
nо,}nоследо,;аmелыoсif!"
беСКОif.е"lifO болъшой nоследо!!а nеЛ'i/Н'!!
стu также будет беСКО1-lе"l1-l0 болъ 'пой.
10казате.Ш,СТВО это­
го
утверждения
[ре f"ЮЖ( iiИЯ
аналогично
доказательству
о подпоследо :атеЛ!iЮСТЯХ
соответствующего
СХОДЯЩi!
ЮСiе;rова-
тельностеЙ.
а м е ч а н и е. Из каждой сходящейся пос iедовате,iЬ
юсти
ю выде
iЛЪ
МОiЮТОН!iУЮ С!iОf!!Щ\1!!СЯ ПОДi
тельность. В самом де,iе, если {Х n} тельность и а
-
ее предел, то [!меет мест() по i!pai~tНei~i мере (!ДИН
из Сiедующих трех случаев:
Ы!! а Э,iе!,fеiiТОi:
точки
iеДОi:а-
сходящаяся ПОСiедова
ЮСiедовarе
1)
имеется бесконечно много рав
f,ности,
iюбой Е-О!рестности
имеется бесконечно много элементов, УДОВiетворяющих
!c'paBC'iiCTB\ Х n
а,
iЮ:'юй '-окреСТiЮСТИ ТО'iЮ< а и!'!с'с'тся бесконечно много Э,iементов, удовлетворяющих неравенству
Х n < 1). в первом с iучае сходящейся монотонной подпос.ле­
;rOBaiC', fЬHOCT!
i!Л!!ется
[ос. iC';foBare, fЬHOCTf,
!аi!НЫХ а ,mе­
,1! ,
ментов. Второй и третий случаи рассматриваются одинаково,
юэтому о! !аiiИЧИ!,fСЯ рассмотре! i!eMHtro CiY'ia!!
. е. бi'­
дем счiпать что в любой Е окрестности точки а irмеется беско­
нечно мн()го
!.Лементов
<
Хn ,
\'ДовлеТВ()РЯЮЩi!Х неравенств!
Хn
а. Иными с.ловами рассмотрим Сiучай, когда в любом ин
тервале
Е, а) содержится :'oecKoHeLiHo
ЮiО !лементов юс.лед(шательности. Пусть Xk о;rин из !TiiX э, iемент(ш, Xk
а.
бесконечного множ:ества Э,iементов ПОСiедоватеiЬНОСТИ
Х n , a!iO, f!НТ~ИХС!! [а Иiiтервале (Xk ,а),
i<аiiОЙэлемент Xk2' номер
которого БО,iьше k . Затем из бесконечно­
<
го
южестваmемеНi ов юсле,;f,оватеЛf,нОСТi! {Х n }, наХОДЯЩi! '<ся
на интерва, iе (:1: k, ,
выберем элемент Х k" для которого k з
k2 .
iжа!!-этот п],от~с,сс,аiiичеi ю,
ЧИ!,! !'ю-
>
ютонно
возрастающ\ ю
i:ателыюсти
Хn
,
свойства подпос iедовате
СТИ,
сх(!Дится К
юдпос.леДОi:ателыюст!
котора!!
Ci,iY
iьностеи
юс.ледо[<те
сходящейся пос iедовате, iьно­
а.
рой Е-о"ре,тно,ти точки а находилось бы ,',ИШЬ "онечное чис,
в "ск ,то10 э,,,емен­
тов
"ослс'! ша­
1)
Естш бы ,]И одИf! ИЗ эти"" случаев "С и<jf Л мест",
"ОСЛС', шател" юс""
тельности.
т. С.
,очка а ТН' f",!ла бы предсло'"
;[
CBi 1 11CTBA
Р11И ПОЛЬЮ,}
()тмеТИсl, ЧТi'
11 ;lЖДОЙ 1с(С l О l (Ч l {со llсШОЙ последо l;lтельЮ1 ти
Ю ВЫ.l.еЛИl ь \юнот()1
б< С! О l(Чl
бо.lЬШ\ 111 П(iДпос:леДОВ11теЛЬНltТЪ
редельные
Опре:де:с 11 nuе
ре {/ л
1-l () 'й
точки
ТIоследовастельноссти.
Лi"l?Ш
беС?Л1-lе"l1-ЮЙ ПРЛJ>1Лй 1-lазываетсл
тn
''!
()
)ШСJUс{f()патеЛ1/JШС!f1С' :!n}с еСЛJJ
в любой c~0'КpecтH0cт'и этой mO"lK'U 'uмеетсл 6ecno1-le"l1-l0 J>i1-l0го
эс и'с1!енто " nоследо ;аm еЛ'!11-l0сm!! {Х n }'
'праведлива следующая
Лемма 2. Е! c!11 Х -
lемма,
mO"lKfi nоследо!;аmеЛ'!11-l0сm!!
то 'UЗ этой nоследоватеЛ'Ь1-l0ст'u МОЖ1-l0 выдел'uт'Ь nодnо­
{XkrJ, 1ходнщуюсл 'к "ll[!cJY Х,
Д О К а з а т е л ь с т в о. Пусть Х -
предельная точка ПОСlедо
lОСТИ {Х n }. РаСС\lОТРИ!) ClfCTe\!!' c-ою!еСТllостей ТОЧlJИ Х.
llaTe
дЛЯ которых с ПОСlедоватеlЬНО равно
в перв()й lfЗ
/2, /3' ... , 1/n,
1ТИХ 1Jl1реСТНlJстей вьн!,ерем Э.lемент
Xk
...
ПОСlе;;.о-
вательности {Х n }, ВО второй окрестности выберем элемент Х kc
такой, что k;; > k;. В третьей окрестности выберем Э.lемент Xk;
>
такой, ЧТО k з
k 2 . ЭТОТ п],,!Т~есс Mmlc Ю lрО;;'О.lжатъ lеОl iаllИ­
ченно, так как в любой с-окрестности точки Х имеется бесконеч
но МНОl
iЛементов ШJс.ледовательности {Х n
ПО.lУЧИМ ПОДПОСlедоватеlЬНОСТЪ
:!kl' Xk2
В реЗJ!лыате мы
xk n , . . .
llатеЛ;l юсти {Х n , КОТО] ,ая С:JО;;'ИТСjj к Х, так как
пос lедо
1
XI
IXkn
n
Лемма доказана.
3 а
е Ч а
и е. С lравеllИfЮ и обраllюе ,!твер +,:lеllие: ес-
lИ lfЗ
ЮСlе:lоватс'.lЬНОСТИ
Х n } \южно
lИТl по. щос.ле:lОllа-
тельность, сходящуюся к чис.тrу Х, то чис.тIO Х является предель-
юй ТОЧlUJЙ
ЮСlе.:l.оватеlЬНОСТlf {Х n }.
n
са\юм деле, в
lюбой
с-окрестности точки Х имеется бесконечно много элементов вы
;;.еlенноЙ ПОДШJс.ледовательности, а ста.Ю
libITb,
и самой ПОСlе­
довательности {Х n }.
Таким образом, мо:ж:но дать другое определение предельной
юсти,
ЭКВИflаlеllТl
Оllре;;.еlеllИfi'
1.
TO"lKa Х 1-lазываетсл nредеЛ'Ь1-l0Й mO"lKO'Ll
{x , , С1 ли из этой nоследоuаmеЛ'i,uости
J.
nо "
J>iOЖ1-l0 выдел'uт'Ь nодnоследоватеЛ'Ь1-l0ст'Ь, сходЛЩ!jЮСЛ 'к Х.
()тметим с.леДУНJщее утве]!ждение.
JleJi!M<J 3. Каждал сходлщалсл nоследоватеЛ'Ь1-l0ст'Ь llJ>ieem
тол'Ь'Ко OJff.Y nредеЛ'Ь1-lУЮ mO"lKY. совпадающую с
это;;
nоследоватеЛ'Ь1-l0сти.
о к а з а т е л
с
в о. ()тмеТИсl, lЮ- lерllЫХ, сrто,едел а
сходящейся последовательности {Х о,} ЯВ.lЯется преде.lЬНОЙ точ110Й;ТОЙ пос.леДОllатеЛ;l юсти, ПОСlJОЛl: 1 !'
11il\ОЙ c-Оl '
точки а содер:tкатся все элементы последовательности,
,С'СТНОСТlf
начиная
с некоторого номера, Убедимся, что у сходящейся ПОСlедова-
Tf
[О !
те.
]:
ти нет дрytи/: П] iедеЛЫfЫ/: трчек
Ь
i
Йствите.
n
ТОЧiii i Ci:ОfjfЩСЙСЯ послед: fii/lтею·:
п} м! iЖНО выд! (лить подпос:леДОВilтельНi стъ
Сiii'fjfЩ\ 1iiСЯ К Ь. нопOt:ая ПОДПОСfеДСН/Iте
;ходяпей;'
ПОСПСДi.iватсльно; ти им! (т прсдсл а (см. п
и ПОJТО:';:
сил\
{:! 1i" },
1
этi.iго пар/трафа),
Ь = а.
П] iИве;rе:)
П] :iiMe]
де.iьные точки.
ЮGiе;rоватеiЬНОСТii,
И:'fеющеЙf iie
П] :е-
lОкюкем, что ПОGледовательность
1
1
1
2
3
n
1,2. - 2, -'2 .... -'2 ....
имеет ТО.iЬКО две преде.iЬные точки О и
ТОЧiiИ
2.
Очевидно, что эти
ii.ШПОТСЯ предеЮi ibIMii то: iкаМii:асс.fаТРИiiае:.юЙ
доватеiЬНОСТИ, поскольку ПОДПОGледовательностъ 1,
. .. , 1/n, ... этой ЮGiе;rоватеiЬНОСТii И:'fеет преде.
ЮGiе;rоватеiЬНОСТf
, ... ,
...
ЮG
1/2, 1/3, ...
а :iЩ-
И:'fеет преде.
]1J\ТИХ
преде.iЬНЫХ точек у этой ПОСiедоватеiЬНОСТИ нет. В самом де.iе
п\ сть ;Т - Лf: :(':ая ТОЧiiа iИСЮВОЙ OCi i отли: шая ifT то: [ек О и 2.
Рассмотрим
о
х
~!-'------';'="'==::7:----:''
с:
с:
с:
2
'="'==::7);:-----7'----~
с:
Рис.
с:
с:
ющиеся
чеi i
i.Лементы послеДОiiатеЛ:iЮСТИ, и
точки
т. е. х не
3.
нои
тею
х
находится
jfeTC5f
П] :еде
;Т
2
(piiC.
то
3.1).
В Е-окрестностях точек О
и
3.1
с
ности
О,
неперекрыва
Е-окрестности
iИ llЬ
содержаi ся,
некоторого
юэтому в указаi
конечное
ЧИG ю
а'iИi ая
номера,
все
юй '-окрест­
ее
элементов,
Юii то: iКОЙ.
СущеСТRЮIь;шие предельной точки у ограничен­
последовате.!iЪНОСТИ. Справед iИВО Gледующее замеча­
i юе ут iiерждеНii е.
Теоре,м,а 3.16. У uс,я'К:ой О:'ji::if1l'Чi'ififОй nоследо ;атеЛ:ifости
существует хот,я бы одна nределъна,я mO"lna.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность
х n } oгpaНi! [ена, то с\:щеСТiiУН>i ВСiщеСТiiеННf,fСi iИGiа m и АI
такие, что все элементы х n ПОGледовательности {х n } удовлетво­
ряют неравенствам rn :::;; :г n :::;; М. Р:: :i,',ютри,.':i
'.!
Щf)fсестfЮ {х}
вifЩi':твi'ififЫХ 'чисел х т::'К:ит, 'что nраuее 2) n:::)J(xlozo из :тих
"lисел либо вовсе нет элементов nоследователъност'u {х n }, ли­
бо та'К:их эле ..':fентов Л'UШЪ nOife"lHOe "lffc.,fO. J\Iножество {х} име
ет /:отя бы о;rю Э.iе:'fеiiТ [а! iИме] ЧИG
АI) и о! :аiiичеiЮ сни­
зу (любым числом, меньшим т). В силу теоремы 2. у множе1
См. ::предел: :щ:' 2 пр:леДf, ЮЙ
2 ]\Iы
г,.
2).
о::ориы, ЧТО ЧИiЛО а i,ежит правее ЧИiла Ь, е: i,и а
ь
§
;[
CB1'llCTBA
Р11И ПОЛЬЮ,}
ства {:г} сущu:тв\ ет то f/на,я Н!! i1'Н,я,я'р(],н?"
-1
чим через х
что
)ТО ч!t1 лр Х И я шя\:т)~
)Л\:ДОКiтелью )ти {:г n } ПУi тъ
lисло
х
з i!;едm. 1i '
при !1iДЛ\:ЖИТ
СТВУ {х}
вее
'ч/исла
преде.
!к( iй
люб(i! поло:tкит( льное чшлр
!РЖ\:-
а поэтому
х
Е
леж'ит
бесконе'Чно J,лного элемен-
Г))С.3.2
.. 1.н}овит)· .i'i,!10()mu
х n }.
О о! ;еделеЮfЮ то')
ни)!· lей грани най!етС5! 'lИСЛО х'
из множества {Х}' УдОК lетворяющее неравенствам х : :; х' :::;; х
(рис.
. По iшре!еlению множества {;Т} nравее х' лежит
ие бол)'~' 'Че ..\! К, '!f1''Ч!fQ!' 'Чl[!.10 эле.1U·ifmов nоследо~;аmеЛЪifQсmи
х n }. Стало быт!" на юл\~се!менте
Е, х'], а тем :'Ю.!ее и
тои
no~
+
Е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов
.
юс!е;!оватс·.!ЬНОСТИ.
е. х 1!В
1!етС1!
!ре;н .!ЬНОЙ ТO'!KO!~!
юс!е­
довательности {х n }. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е 1. Обратимся еще раз к множеству {Х}'
!ше.;!.е! юму !ри. !.оказате !,стве теорем!!
16. \Ты .!.оказа!и, !то
точная нижняя грань х этого множества представляет собой
прел,е !ьНУji'
то' !ку
п, !с.ле-
{:г n }.
довательности
!!аже(!,
'lTO
ло
nр!:вос:гос},я'Щее
х.
До-
ни одно 'Ч'ис-
х
х'
х
----о----а
х.
не ,явл,яетс,я nредеЛЬНO"Ll
то'Чкой nос 1.едовате. lыюсти х n , т. е.
1!еТС1!
юс!е;!оват( .!ЬНОСТИ.
г !С.
!аибi! j,шей
х
-
лю:'юе
3.3
!ре !.е!ЬноЙ т' !Ч! ой э! ой
!ис
10.
!ре!lOС;О !1!Щ('f' х.
Выберем Е
О столь малым, чтобы чие 10 х - Е также пре
!)!!с:.;ол,ию ч!!сю
(p!fC.
. По опреде.!ению то' ,!!й ни)!· !ей
грани найдется число х' из множества {Х}' леж:ащее левее х
- Е. О опре;!елеЮf
южества {Х}' пра!;ее х', а ста. 10
-
Е-окрестности точки х лежит не более чем конечное число э. !е-
!то!; юс!е.;!.овате!Ь!!'!СТИ {х n . Это
До!!Д';ывает, что чие
х
не является предельной точкой.
Наиболь 'uа,я
вательности {;Т n }
этоi;
=
nО'·.·l.н}овит!'
nредельна,я то'Чка х последо-
называетс,я
·!'i,!10()mu
и
в е
Х н 'и .М.
п!,о )!lач.ае '(рс,я
пр е д е л о .М.
!·и ..\;волом
х
lim х n .
n--+х
Замечание
1
позволяет утверждать. что у ,!с,якой О
i!i!!1l'Ч! и­
ной последовательности Cf/i !ест6!;ет верхни'Й предел.
1)
ЦелссооGраз ЮСП оGозтт<!nсттия э,:;й 'Н')!·!ттеЙ гра))н с !)ШОЛО'" х GYf\e)
Бьшснена ниже.
fOCTf!
шо
,!Н,!,'ЮI
Ш,! f'f~Ю,Н(
i,ai,
(ти
'ньшая предельная точка' !той п()(ледоВf тельН( (ти
НC'I
пр, лел,! и(
i юл
наи
НИil·
11\'ется осю Ш,! "'ни!'
"!'Н,~ёO
nо-
Д()Кil3ЫR<1СТl:Я впилной ilН<1JЮПТИ
]!<1С­
СУil1деНИЯ1,lИ теоремы
16 и замечания 1 клой теореме. Только
на эте)т раз следует paccM'.iТpeTЬ 1,lножество {:Т} веществеНн(,iХ
исел
таки·.,
левее i,аждого из этих чисе.'i лежит [е более
че1l конечное чисю
Итак,
1:lbI
. !.'iемеНТОВfТОЙ
ПОСiедовате'iЬНОСТИ.
прихо. iИ1,l К сле. i)'ютттему утверж:. i.ению.
у вСЯ1i:ott огршн'U'Ченнои nоследово.телъност'U существуют
верхн'Uи 'U Н'U;JfCН'UИ nредел'Ы.
ИЗЕле'lем еще РlfД следстви
замечания 1.
Следствие
из расс\'ждеfШЙ ['еоремы
1. Есл'U (а. Ь) - 'Uнтервал, вне 1i:omopozo ле;JfC'Uт
Л'UШ!, r';OHe 'Uf!i~ 'Ч'Uсло эле.;\лгнтов огран'U'чгннои nоследователъ­
ности
а
'U х
Н'U;JfCН'UИ 'U вер:тн'Uи npeaei!.bl ,/тои noci!e-
-
'!оватгл!,ност'U. то 'Uюn~рвал
(а, Ь)
'U
-
nоэтОi!I/ х
:.'2
~ Ь
-
(;f,. х)
со !,Р;JfC'Uтся в 'Uнтгрвале
а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как правее точки Ь нахо. iИтся
не более 'leM i,оне'шое исю элементов послеДОЕатею,ности
['О Ь
принаД'iеж:ит YKa:~aHHOMY в юка:~ательстве Teope1:lbI 3.16 1:iНоже­
ств\' {:Т} И поэтому Х ~ Ь. Рассуждая ан3.ТЮI 'ШО, убеДИМС1f 'lTO
а
;f,. Это и означает, что интервал (а, Ь) со. iерж:ит интер­
вал (;f,. х).
+
2.
Для любого nОЛО;JfC'Uтгл!,ного 'ч'Uсла Е интср­
во.л (:.'2 - Е.. Х
Е.) coaep;JfC'Um все эле,l,fент'Ы nоследователъност'U
Х n }. на'Ч'Uна 11 с He1i:omopozo ном.ера (зав'UсЯ'щего. 1i:оне'Чно, от Е).
д о к а з а
е л
с т в о. Тш, как Х IfРЛlfется ТО'l юi.] нижнеi.]
1, iНожества {Х n }, YKa:~aHHOГO при доказательстве теоре­
мы 3.16, то для любого Е. > О
исло
,меньшее х +
+ Е и принадлеж:ащее {Х}. НО . !то о:~начает, что направо от x l ,
гранью
а стало быть.
ле;JfCатъ
Л'UШЪ
направо от 'Uнтервала
t,оне'Чное
ти {:Т n }. Анале)l
(:.'2 -
,х
+
'ШО ДОi,аЗi,шаеТС1f,
может лежать ли
следовательности
3
хn
а м е ч а н и е
2.
(:.'2 -
,х
+ Е.)
.MO;JfCem
'Ч'Uсло элем.ентов nоследователънос­
'lTO
iалево от интеРЕала
коне'шое число Э.'iемеfiТОЕ по'
.
ВЫЯСНИ1:l вопрос О том, сколько предель­
ных точек мож:ет И1:lеть ограниченная последовательность {х n }.
ОГюзначим через
;f,
и х соответственно ни l1НИЙ и верхний
пределы этоi.] послеДOfiательности.
ные точки после. ювательности {х n
лежат на сегменте [;f,. х].
{)чевидно. что рсе
[реде'!
(сколько 1'ыI их ни у'ыIо))
CB;;llCTBA
х
Н\'
Р11И ПОЛЬЮ,!
),
ТР
П(
<л;'
пр; лель) lУЮ
и\;'т
)()рат, льност;,
Ж;'
пр крайней
р;'
ше
толы);;
рд-
';iследо) ,;'тел ,но' ть
пр;'
От-
'lTO юследок' l'ел ,Нl <ть М( Ж;"
бе<кон';,чно;' чи< Ш' пр;' "'ЛЬНЫХ точек,
2, 1
, 2,
Рi\ССI\ютр,нная
м;' lЯМ.
те, имеет ТОШЖО две
в
lредыд\'щем
lредешяые т' iЧКИ: ни 11ЯИЙ
;YНl)~
lреде";I
О
и верхний предел х = 2.
iриведем пример после, ювательно­
сти, И\;1ею пей "есконечно много пре, l,ельных точек. Рассмотрим,
наllример,
';iС"lедовате'ъность, элементы
без повто­
рений про{';'гают все рациональные числа сегмента [О,
О'lеВИДIЮ, Ш1iба11
l'O'lKa
ЭТОlО
celIlIeHTa
б\дет пределыю11
1 2).
l'O'lKOIl
указанной ПОС"lедовате'lЬНОСТИ.
4. О выделении сходящейся подпоследовательности.
РеЗУ'lьтаты преды [У пего пункта приводят к сле, lующей ОСНО6НОй те,те\;1е.
Теорема 3.17 (теорема Во.лъцано-ВеUеРШПI.рШ1(Д ) .
Из любой огран'U'Ченной nоследО6ателъност'U ,HO;)fCHO 6ыдел'Uтъ
сход,ящуюс,я nо;lnосл~дО6ат~лъност i,.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность огра­
ничена, то она имеет хотя усыI О, [ну пре, lельную точку Х. В таКО\;l
С"lучае из этой послеДOl,ательности МОЖНО Вl,lдели п
ЮДlЮС"lе~
ювательность, сходящуюся к точке х (см. определение
2
пре­
делыюIl ТОЧl)
3 а м е ч а и е 1. Из любой огро,н'U'Ченной nоследО6ателъно~
сти MO;)fCHO 6'ьulел'Uтъ монотонную nодnоследО6ателъностъ. В
сам,ш деле,
сил\' l'eopeMhТ БО'll,цаНli-Dейерштрасса из любой
ограниченной после, ювательности
подпоследоватеЛЬНliСТl"
замечани',' п.
1
этого
\;10
11ЯО выде';ить схо, lЯщуюся
а из этой подпоследовательности, в силу
lараграфа, М'iЖНО Вl,;дели п
МОШiТОНШ\'l'"
по, ;лосле ювательность,
1) Ниже мы докажем. что равенство
Я1lЛЯЮТСЯ необхо,ц'l"
:r
,цОС'J'аТО'Шl,'
= х и условие ограниченности
усло lИЯ;'
СХО lИМОС 'И после,'ю~
вательности.
2 Рапиональные числа сегмгнта [0.1] можно рас юложить в I!ОСЛi'дова­
TelbHocTb без повторений, наПРЮ\lер, так. Рассмотрим группы рационаlЬ
ных чисел этого сегмента. причем в первую группу отнесем числа О и 1, ВО
1IТОР\'Ю - 'шсло 1/2.
l])ел,ю - 1Iсе несократимые 'lисла p/q со знамена~
те 'е1' 3
lюобще
n~Ю группу - 1Iсе несокра' имые рационаlЬН;,lе
и:~ сегмента [0,1] сошаменаТi'лем
ПОilа,цает 11 O,n:HY '])ymlY
11 каж,n:ой
ОЧi'видно, каждое ра"иональное число
бу,це, 'ИЩЬ коне'шое КОЛИ'lеСТ1IО
rpYilile
рапионаЛЬНЫl< ЧИСi'Л. Выпи "гм Тi'перь подр:rд ',шемi'НТЫ Пi'рвой группы, :~a
ни:\1И Эl€:\lенты второй группы. затем третьей и т.
получим Н1 жну
l,'
результате мы и
нам последовательность.
з l Бернгард Больцано - че",ский философ и математик
Карл ?ейерщтрасс le11e ший математик (1815-1897),
(1781-1848),
fOCTff
м
m Ш,;;Ж; г
а ~ ;Ik n ~ Ь, т\' В <илу след<твия
ся неРfшеш TВf!
~
~'910 И \':~Нf)Чff"
Ч'П'
с
Нf)ХОДИ'l'СЯ
на
Ь].
что
вотде, ff,HhТX
TaKl1je
после, ювательности
сл, 'fаях
мож:но
из
выделить
неограШРfенной
СХОДЯ1fТУЮСЯ
под­
последоватеЛЫЮСf ". Наffример, ,fiследова1'еш,ность
,1/2, 2,
1/3, ... , n, 1/(n
1)
неограниченная, однако ПОДПОСfедовательность 1/2'1/3.... .
, ... ее элементов с четны:;ш но-
+
:,!ерами СХО, штся. Но не и:~ каж:, юй неограниченной посш' юва­
f'еШ,НОСТf.f можно f"ыдеЛl f П, СХОДЯ;;ТУЮСf подпоследователыюсТf,.
Например, люГ!ая подпос [едовате [ьность неограниченной по­
следовательности 1 2,
, n ... расхо, штся. Поло:;!у теоре­
м,' Бош,цar ю-DейеРШ1'расса,
rOBOP!f, нельзя lJaCf [ростра­
нить на неограниченные последовательности.
Аналогом э1'о11 ['eopeMhТ Д'fЯ нео! раffИчеш
послеДOffатель-
ностей является следующее пре, fПО ljение.
Ле,м,,м,а
4.
Из
'{;;a:JICJou неогранuченноu nоследователъностu
,MO:JICHO
бееr,;m ;е';,но б;;лъшую п, ,f}n;;Ci,efl, ,Bixmi' ,ъ' и 'ет",.
Д О к а :~ а т е л ь
т в
Пусть {Х п } -
тельность. Тогда найдется элех'е;;т Xk,
ТВОРХfЮЩИЙ условию
IXk,1 >
влетворю"щий условиям
IXk2
1, элемент
i 2, k 2
не; iграниченная Пi iследова-
этой ,iOследо;;ател ,;;ости, у.п:Оllле
Xk?
этой пос,е'ювательности, У'ю
k1 ,
... ,
элемент Х;'П этой после­
>
>
до;;ател ,;;ОСТИ, удо;; ,ет;iOРЯЮЩИЙ усло ;ия;' IXkn I
n. k,
k,,-l
. д.
Очевиднн, ПiiДПОiiледнвательность
, Xk n • ... явл f"ТСЯ С;есконеч­
но бо,ьшоЙ.
П:~ л"ммы
4и
и; теор! мы Б, 'ль Iaно-Вей"р !!трас, а выт"кает следу,';ще"
УТlIе['ждеf ,ие.
Ле,м,,м,а 5. Иэ совери,енно nроuэволъноu nоследователъностu ,MO:JICHO
,11,б;; СХ fдя.щуюея., Л11,бо
б;; и,шую Uifдn;;след"вu,тfiЛЪ-
ны,}е и'тi,
ностъ.
3
а м е
'1
а
е
3.
'езу,ьтаТbl
,астоя "его пу;;" ,а fiOЗfiO ,яют нескош,-
ко рас",ирить понятие предельной точки и верхн"г н и нижнего пр"делов
fiOc,e'f,o;;a fеШ,;;ОСf И.
Б\дем говорить, чтн +00(-00) явл ,,,тс;] предельной точкой последо­
lIательносп'
если
коне';но бо,ьшую
по';досле.п:овате,ьность, СОСТOifШУЮ из поло)кительны;х
этой пос,едо;;атеш,;;ости ;,ожно ш,щеiИТЬ бес
(отри"ательных) элементов.
При fаfЮМ раСШ"fiе ,ИИ ПОНЯf ия "fiе';ел ,,,ой то ,ЕИ У пос,едо;;ател
,'ти,
кроме конечны;х
пр "дельных ТОЧf
IC
мог' Т
суще,'твовать
,"0-
ещ" две пр е­
дe'ЬНi,;e ТО'1КИ +;'"
-00. В такох' с,у',ае ,eXfMa 5 ПОЗfiOiЯет У' ;;ep)K'faf '"
что усовери енно nРО11,эволъноu nоследователъност11, существует J'отя. бх,i
од",,'
1).
1) л fбо коне'шая. либо беСЕо"е'1"ая.
,<т ,е ш,<'
'lисл()м;r; с()()тн()шение,<
убе ,им' я
+:.\
11
усовери е'Н'Но nроизвол'Ь'Нои nоследовател'Ь'Ности существу uт вер<! 'Нии и
'Н1J,:)Кf!1),ii npf:Jf:J/,bl (т
сущеf f1lУЮf н ff:бол <шая
Н,fИ, еНЬШ,fЯ
,ая
т()чки;
Ради' '! :р!'де,ен: ю'<ти, уст f: Ю1lf:М сушес f1l01lание
'у за,:е<,ания
1
к f!'O[ ем!'
3<1 :
'шЙ. fiOfла после«,01lате,ьность
н
1I! pXHef<()
п[ е <:еЛ,f
д()стат()<ш() р:н:смотр!'т
е
я
11
я е
с я
<т()<,ы!о
о г р а н
С 'у­
'1 е
,-
й. Если при «fTOM {:f'n} не являетс:: ограниченной свер:<у. Tff иf н!'е МОЖНff
выдf'лить бf,сконечно Сюльш,
ПОСЛf'доватеЛЬНffСТЬ. все ЭЛf'менты кот' ,[юй
пою)ките,ьны, и поэтому +00 ::в '::ется пре,n:ельной точкой, а, ста 'о быть.
и вер:<ним пределом {Х n }.
Ра' СМОТjfИм случай. когда неограниченная Пffследовательность
} ::в-
ляетс:: ограниченной свер:<у. т. е. когда с, ществует вещественное число 1у1
такое, 'по 1Iсе элементы Х < удо,! ,ет,юряют УСЮ1l ,ю Х n
~
последоват!'льно::ть {Х п } не ::вляетс:: ограНИЧ!'ННffЙ сни:~с, IB нее можНf,
1Iы<':еш:п, беСffO:,е'I:Ю бо,ьшую пос,еДО:fател ':ЮСП" :fce э<,е,:е:
ffOТО[ЮЙ
ОТРИfiательны, а это ошачает. чт"
-00 являетс:: предеЛЬНffЙ ТffЧКОЙ ра::сма­
тр ::fаемои пос,еДО:fатеш,:юсти.
Если при этf fM Ш fследовательность не имеет ни f iДНОЙ Ю шечной предель­
но]:, то'
fO
00 Я1lляется е<':ИНСТ:fе:шои преде,ьнои
fО'IКОЙ. а fЮЭТО,:У
::вляетс:: и Bf'f :fним преДf'ЛОМ ра::смаТf!иваемой Пffследовательности. Дока­
жем. 'fTO если после,n:овате,ьность, кроме
ю\!еет еше хот:: бы O,n:HY ко
нечн,ю предельн,ю точк,
преде
Ха. то и в этом случае
Так каЕ 1Iсе э<,е,:е:
теоре,<
~ .f!. fO
11
силу
Ха удо:; ,еf:юряеf УСЛО:fИю Ха ~ М. Фиксируем произ:ю,ь-
3<13
ное Е
нее с,ществует вер:<ний
Х< удо:; ,ет:юряют УСЛО:fИю Х<
О. Так как в Е-окрестности Ха лf'жит С:есю ,нечно много элементов
пос,еДО:fател ,ности
. то
на се; менте [ха
ле)кит бесконе'шо
много этих элементов.
?ы<':еш<:
,<
из fюсле'n:01lате,ьности
ментов. которые лежат на '<егменте [Хо
ПОДfюсле'n:01lате,ьность тех ее эле
- E.1V1].
Выдел!'нна:: ПОДПffследо­
вате,ьность ::вляетс:: ограниченной. Поэто:\!у в силу заме'fания
реме
6
1
к тео
нее сущеСТБ,ет вер:<ний предел. т. е. наиСюльшая предельна::
то ,f!a Х.
Ю, 'ПО Х j::. Ха и Я1lляется f:реде,ьной fО'lКОЙ
:fсей последовательности {х п }. Оч!'видно также, что ПОСЛf'доватеЛЬНffСТЬ
} не
f:Meef
f:реде,ьн:,:х то',еЕ. пре:юсходЯJ:'ИХ ,Г. ибо ес'"
бы некоторое
,исю
х. преВОС:f"дящеf' ,ЯВЛЯЛffСЬ предельной точкой послеДiшательности {х п },
то ШfСКОЛЫ" все «шем!'нты послеДffвательности {х п }. преВОС:f' ,Дящие числff
Ха -
Е. ::вл::ютс:: элемента:\!и и вы,n:еленной на:\!и ПО<fдосле,n:оватеfЬНОСТИ.
это число с< <:влялось С:ы предельной точкой и выделенной нами подпосле­
до <атеш,ности,
а
эта
ПОДfюсле Ю1lате<fЬНОСfЪ
,е
Иf:ееf
ffре'fел ,ных
то ,еЕ.
ПР!'ВffСХОДf:ЩИХ Х<
Итак,
,исю х Я1lляется
,а fБОfьшей пре'fел ,ной fО'lКОЙ рассматр
fifae-
мой ПОСЛf'доватеЛЬНffСТИ.
С, ществование у совершенно произвольной последовательности верхне­
г'
,
предела ДOKa:~aНf
{.
Аналогично доказываеТСf: существование нижнего предела.
5.
Необходимое
и
последовательности.
послеДOffатеЛhНОСТИ
достаточное
условие
сходимости
iри выяснении вопроса о схо< ШffЮСТИ
} :ри помо"ш определеШ f " сходимосТi!
<шементов Х n этой после< [0-
нам приходится оценивать разность
[О !
К! f'f~"if
,Шi(ТИ
П!:ii'"iОДИТСЯ
И
ее
i
Прi' ii'ла а" Иными (ю рами,
Прi' fП( лагаеМОi
р,шеf
ПРiД\ i,iДЫfШТЬ"
Tf
iредел а эт( й
юслед'
(-
К тельш (ти
Kpff ii'рИ
!';сте( fтеш ю YKa:~,! [Ъ (в! [утр' "нний i"
слеДОКi f'ею,но(ти,
СХ(!
ii)ШОЛЯl{iЩИЙ в ,i~f(НИТЬ в')п!)i н
сти .Ilишь по величине
"iлемеНТ(iВ{
i fЛ\Ю(ТИ
п( (-
сход iI\1(i-
!аК(iЙ внутренний критерий
и бу" ["ет установлен в настоящем пункте. ;l,ля формулировки этоО i<рите!i"f~f ВЕедем ПOfiЯтие фyrщаментаii ,НОЙ послеДOfiательно­
сти.
Оnреде.ле'/-l,uе. Последовательность {iT n } называется Ф
а м.
Н т а л
Н-
Н о 'Й. Гсл'U i iля тобого nОЛО;)fCшn~л'Ьного Е
наuдется НО.мер N таnой, 'Что для всех HO,iiiepoe n" удовлетво­
ряющ'Uх услов'Uю n ? N, 'U дл!! всех itaтурал'Ьных 'Ч'Uсел р (р =
,2 .... "
сnраведл'Uво неравенство
Ixn+p - xnl < Е.
Основной задачей настоящего пункта является
ство след'\"ющег,) i<ритерия сходи:,юсти
юка:ште"iiЬ­
i')G'iедовате" ihНОСТИ
называе:,юго критерия Коши 1 ): для того 'Чтобы последова­
тельность была с:тодящеuся, необтод'U но 'U достато'Чно, 'Чтобы
она была f!iУНilа.;\лгнтаЛiiНОU.
Преж:" ["е чем перейти к
ДОi<ажем неСКйii
жо
юказате" [ьству критерия Коши, :,1Ы
ВСiюмогателы
предложени
,имеюп~и
самостоятельный интерес.
Теоре,м,а 3. 8. Для того 'Чтобы последовательность {i,,}
бi.ма сходящп'1ся, н~оБХОi f'UM.O 'U достато'Чно. 'чтобы, она была
огjюн'U'Ченноu 'U 'Ч !!обы ее eepiTH'Uu 'U H'U;)fCH'UU пределы х 'U 22 сов­
nадал'U.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о
х о д и
о с т ь. !усть
последователыюсТi
} СХОДfП'G'f. Тогда она огjюн'U'Чена (в
СiШ\' ['еоремы 3.8) и имеет единствеНН\'i' предельную ['О'!К\' (в
3 п. 2). Таким образом, ;f =
2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Следствие 2 из теоре:,1Ы 3.16
"' f'верждает, что ДЛ~f JШiБОiО
> О интеРЕал (22 - ,Х + Е) со­
силу леммы
iерж:ит все i'iементы ПОG'iедоватеiiЬНОСТИ {х n }, начиная с неко­
['орого номера. Так как
22 -
Х
['О т:азанный интервал СOfiПа­
-
дает с Е-окрестностью точки х, т.
последователыюсти {Т n }
Установи:, 1 теперь
след,шатеюяости,
е. число х является предеЛО:,1
см. замечание
ваiliяое
свойство
непосредственно
п.
1§
'Унда:,1ентаiiЬНОЙ
вытекаю ттее
из
ее
по­
о! [реде­
ления.
любого nОЛО;)fC'Uтельного 'Ч'Uсла Е MO;)fCHO уnазать та­
nой "iле,iiiент
Фунда,iiiентальноu nоследовательност'U, в
Е-оnрестности nоторого наiтодятся все эле ненты nоследова1)
OriiiCTeH
!уи КОiiiИ
-
фраНiiУ:~СКИЙ математик ( 78 С)-
CB{111CTBA
Р11И ПОЛЬЮ,!
I/Ш'l'Uf.(],Я
,т N
+ Е)
H,(),M~l)(],
И'Н,'ы,,1'!1' СШ{1(J"М'/}"
'Н,О год!, т{"я не более
fijfJ'
'Ко'Н,е'Чное 'Ч !,{'ло
ЭФ ,нент, !ОН
В
и:~ опр" 11'Л! 'ния
Вс' j"f~ш,ю (ти tлеД\f~Т: для ,'fюбt ГО Е
Ю ,мер
N
'УНДf1:1]('нталью й ш (Ш'
I\ЮЖffO \'КС' :ать Tf!KOf,!
> ()
= 1 2,3,
чт(i для всех НfiТУРfШЬНЫХ
xNI <
няется неравенство IXN+p Е-Оf\рестности
эле:1!ента
XN
)
выпол­
Е которое и означает что в
нах"fДЯТСЯ
все
э, [ементы
последова­
те'fЬНОСТИ, начиная с НО:1!ера N.
OTMe'fef !Ное СЕОЙСТffO ЮЗffOляет \'стаНОПfТi, ограШl 'feHHocTh
'Унда:1!ентальной после, fовательности. В само:! деле, пусть Е некоторое фИf\СЩЮЕаююе Ю'ЮЖ пе,'f ,ное f,fG"Ю и :TN - Э,'fемент,
в
Е-окрестности
которого
['е,' f ,ности, начинаJf с
нахо, fЯТСЯ
юмера
.
все
'1лементы
после fOва­
Т! f да вне: -окрес"! f юсти
:1! огут нахо, !иться только эле:! енты Х1, Х:2,
А - шах{
1 Х2,···, 1
1, 1
,1
сеГ:1!енте [- ,+А] наХОfЯТСЯ числа Х1, Х,
... ,
ХN
-1.
ОЛOlfi'иМ
+}:2. ТОfда на
XN-1 XN - Е,
XN+E, а G"fедовате,'fhНО, и все точки ::-"!крестю!сти эле:1!ента
Отсю, [а вытекает, что все эле:1!енты фую fаментальной ПОСЛ1' foватеш,ности наХОДJfТСЯ на сегменте [-А, +А] 'fTO
озна'fает ее
ограниченность.
Переходим
доказательству основного утверждеf,ИЯ этого
пункта.
Тf:оремп,
Кош'n сходимост'n
. Для того 'Чтобы nосл~дО6ат~лъностf! {Х n
была с:тодящейся, необтод'U,1'Ю 'u достато'Чно, 'Чтобы она была
3.19 (np'nmepuIi
fГ:УН1Iа.м.гюnалъноЙ.
Д О К а з а т е л ь с т в о.
1)
Н е о б х о
и
о с т ь
. Пусть
послеДОЕательн"!сп
сходится и
- ее !реде'f. ТребуеТG"f
до!\азаf", '!то эта послеДОЕательносп JШ.Шfется Фундамента,'f
ной. Возьмем любое ПОЛOlfi,Ительное ЧИG"lО Е.
определения схо­
ДJfТт~ейся
ЮG"fедшате,'f!,НОСТИ вытекает, что ДЛJf положителыю!о
ЧИG"fа Е/2 най, fется HO:f!ep N такой, что при n
неравенство
/2.
n - ;Т
N
Ix
Если
-
етс"! f"а!\же и
люi'юе натуральное число, то при
- Х
feparJeHCTffO
Так !\а!\ М"fДуль сумм!"
n
ВЫПQ.'!Няется
N
выполня-
Е /2.
двух ве'!
не БО'f
C\'I\II\IhI их
n
:1!О,fУ'fей, то из ПОG"fедних двух неравенств получи:!, что при
N
и для всех нат\ рал fНыX чисел р
-хnl-I(т n + р -
+(Х-
I~
1+
1 Отмети}',!. что указанное свойство эквивалентно опре 'f,e ;ению фун,n:а
1'е, ,та,ьнои после'iOlIате "ьнос"! И.
2 Гf'ометрически это о:~начает, что А равно максимальному и 1расстш:ний
- Е. XN + Е.
"т начала отсчета О до точек Хl. Х2 • ... ,XN -1,
10СТ1 !
} ус! {'~
До
Т а т О ч н О
п( слеД( ВfiТелыюсп"
но( ть сходится
Д(н<аЗ1 f '"
IYCTb {Х n }
;1fTh, '11'0
т ь
Треб\'f~ТСЯ ДОК1 !
СОГЛfн;но Teopf~
О[ ра1fИчеНfЮСП
318
'УНД1fнтальная
ЭТ1l п( СШ~ [\,!'атеЛh~
для
,тог\' достаточно
юслеДОВff 1'ел[,Нf'СТИ
и
Р1ше1[СТВО
ее верхнего и НИlТшеГСf пределов х и :f, ()грани '1енность фунданта.'[ЬНОЙ пое[едовате'[ьности уж:е установ'[ена на:\ш выше.
Для доказатеЛhСТЕа f)aEeHCТffa верхнего
НИЖ1[его предело!'
х и .:.f воспользуемся юказанным выше СВОЙСТВО:\1 фук [амен1'а.'[[,НОЙ последователыюсти: д.'fЯ Jш)60[0 Ю'ЮЖ1пе.'[[,ного чис~
ла
-
[ мож:но указать эле:\1ент
[.XN
+ [)
XN такой, что вне интерва.)1а (XN нахо;ится не 60'[ее че:\1 конечное числошементов
последователыюсти.
а ОС1ювани
интервал (XN - [, XN
х
-
+ [)
е[едствия
3.16
из 1'eopeMhТ
содеРl11fИТ интервал (.:.f. х)
.:.f ~ 2[, оп<уда. в силу ПРОИЗ1ЮЛhН,)СТ1'
х. Тем ca~
-
:'1ЫМ схо. ;и:\юсть пое[едовате'[ьности установлена.
и поэтому
leopeMa
по.'[­
НОСТhЮ до ·:азана.
При
р.
IРИ:\1еНИ:\1 критерий Коши
СХОДffIlЮСТИ
=
ХN
где o,j,
;ля установления
последователы юсти
(k = 1,2.3, ... ) -
произвольные ве пественные числа,
удовлетворяющие условию Io,k 1 ~
интеРЕала 0 1 .
Пусть n -. [юi'юй но: 1ер
-
,а q -
некоторое число из
лю60е натура'[ьное чис ю.
lor. [а.
очевидно.
... +
~7,[
,.fTblBa,1
:'1аJЮЙ {е\1.
+···+(Г Р
+
1"--
q' +1 _ q,,+l+ p
1- q
1
q
'!то последо,атеЛhНОСП
являете1 6есконе'шо
пример 1 и:~ п. 3 § 1) :'1Ы мож:ем утвер 11.дать что
длл любого
{ч n }
>О
найдется номер
[(1 Стало
TaKoIl,
что
ч)
дЛЯ Ш,
\60[0
нат! рал ,ног,) р
qn+l
р
.
е.
юе[ед,шате'[ [,НОСТЬ {Х n } ,ШЛ' fется ф!jнда.менmаЛЫ-tо'Й
штся СОГ' [асно теореме
6.
cxo~
3.19.
Некоторые свойства произвольных числовых множеств.
этом ПУ1
раССI'О' РИI'
мно;нсесm6. Часть
дова тельНi fстеЙ.
fef<OTOf
",е СllОЙСТlIа пр 'i'.ШniЫ'ЫХ
В
'1J,СЛО6ЫХ
111 "тих свойств аналогична свойствам ЧИСЛОВЫ\l после~
CBi 1 11CTBA
"'1И ПОЛЬЮ"
2
ПО1ШТРР
Догонори.1 ся 1еперь
1азы
о~ра'Ниче'Н'НъtJvt,
"Н1
снизу,
ес 'и н 1ЙДУТСЯ 1а1<ие
К.1.1ждый ',шем1'НТ
!но 111'СТ1Ю {х
от того,
''''ли эт,' мн, 'жеств"
ша Н1'ще1 1Н1'Н"ЫХ
ограничеНi' и
,а
и
'ПР
{1Г} удовлетвор"ет Н1'р,шенств 1М n ~
~ lvI
1азьш '1Ъ r.;i,'iеч'НъtМ или бесr.;i"iеч'НъtМ н заН1,Пi\iОСП'
являеТi я Л1' число ЭЛ1'iiеii 10В,
входя "ИХ в состав "того миm1"ii"
конечным или бесконечным.
TO'i,r.;y х бесr.;ii'iе'i,'Но"ii nря" ioii
iiiO'i,r.;oii "iUO iiiecrnва {.1i}, если в Л'iiifоu E-о'{;;рест'Ности точr.;и 1/; соде] iJ!CиrnCJi бесr.;о'Неч'Но JvtUOZO
эле'"
"irnii"' этiiгii , "iiiiJ!CiiC11'Ba.
TO'lKY Х (то'
)кестна {х
но ни "дна
этого
;r) назо;;ем
ioесли эта то' "1а я;;ляется Пj ,е,n:ел ,,,ой 10'lКОЙ мно 11ест;;а {х ,
точка, 1iольшая Х (MeHb"ia11
не ЯШI,i1'ТСЯ предельной точкой
,
мно)кества.
Досло
i01<азатеш,стно тео;;емы
"io
утнеf'ждеi шю:
в1
пи'Не
"т хотя бы
Досло
л\ чим,
с заменоi:!
{а «по-
"iOZO
"!'НО
!iiecrn,!a
С1jЩi Си, ву-
тiiчr.;а.
1"0
что
3.1i,
{х}», мы придем к слеДУi!,шем\
следовательность
понторяя рассуж,n:ения за.11е'iашш
всл'{;;ое
о,'ра'Ниче'Н'Ное
1\есr.;0'Неч'Ное
1
к
1eOpe.1ie 3.16,
JvtUOiJ!CecmBO
имеет
по-
вер,! 'Н1О'\р
11, 'i11,!" 'i101O
тп 'п11,.
1'тся !'леДУi! 'щий факт:
из :7леме'Нтов вслr.;ого огра'Ниче'Н'Ного 1;есr.;о'Не'ч,'Ного
"'iiiiJ!CiiCii, ва МО!"
'ледстнием указаНi {ых у,не} ,ждеi
янля
выдiiЛ11,т'Ь СХiiдящу1ОСЯ niiследовi"тiiл'Ь'Ност1"
НаР11ДУ с понятием множества часто ПОЛЬ1Уi! 'ТС11 ПОН1iТием nOJMUOiJ!Ce
Cii,Bi".
iO)кестно
наЗi,шается 'пид,' "iiiiJ!CiiCii,BO ," M'iiiiJ!CiiCii,Bii
если
ВС1' '!лем1'НТЫ МНОЖ1'ства {х'} В11"ДЯТ в состав МНОЖ1'ства {х}. Наприм1'\
:\!но)кество
все11
'1етных
цеiЫ11
чисе
1ШЛ11еТС11
по,n::\!но)кество:\!
:\!ножества
всех цеЛЫ11 чисел.
Дна мно 11ест;;а {х
ментами
"тих
мн,'жеств
е1 ;;ие 1).
можно
установить
{то 'ша коне' iН! ,iX
в 1аимно
одн,'шачное
"оответ"
iO)кестна э , i11шале"т"ы 10гда
TOib"
ко тогда, когда число ЭЛ1'ментов у "тих множеств одинаЮiВое. Приведем
примеf' 'n:HYX Э1< ;;иналеi {т! {ЫХ бесконе' iН! ,тх
iO)кестн. Ле1'КО ни,n:еТi '. {то
io
жество {х}. элементами Ю {торого сл, жат четные ш iЛОЖИТ1'льные числа 2,
4! 6, .... 2n . .... эквивалентно :\!ножеству {у}. Эi€:\!ентами которого CiY
жат натуральные числа
3, ... .
. .. в самом деле, мы \ становим
нзаимно оД"озна' iНoe соотнеТСТШiе Me)K'iY Эiе,,,е,,тамр этих
iO)кестн, по"
ста 11Ш н СО01 ;;ете1 ;;ие Эiе,,,еi
2n мно 1,ест;;а
Эiе,,,еi
n множее1;;а
Обратим внимание на Т1 " чт,' рассмотренное нами множество {х} 1шляется
по,n:.1' iOжестно.1'
iOжестна {и}. Таким образом, бесконе' iНoe
m1аЗ ,шается экни 1алентНi,\
ВЗi/,j),Мii"
пдпо,,'Нп "ibl'"
сное"у поДмно "ест;;у
iOжестно {и}
2).
С !iiiiiBerncii, B1UiM 1!е ",ду элемента.1iИ д;;ух
жеств на:~ывается таю,е СООТВ1 тствие. при котором каждом\
вого множества отвечает только один элемент второго множества так,
ПIН\ это.1' ка)к iЫИ эле мен
мент\
1 P,1of\Q1'0
iO)кестна отне'ше1
io
"лем1'НТУ пер"
что
10ш,ко ОЩio"У Эiе"
первого МНОЖ1 ства.
') ЛеГ1<О 1iO 1азать. {то любое бесконе'iНое мно 1,ее1 {Ю ЭКН1ii1аiентно не ко"
тором\ "воем\ подмножеству, не совпадаiilшем\ со всем множеством. Этот
факт МОЖ1'Т быть ПРИН1iТ ,а определ1'НИ1' 1,есконечного множества.
fOCTff
11' 1'lI"f\'O
чисел
f<Ш,<Х
MH()ff
"'<т" lIЫ fi'ЛИ«
fiсл'{;;ое JvИiо;ж;ество,
1<'
ffffff<Ш<fХ ТИП<f<
будеJvt называтъ счетным< Иf опреДf ления СЧf тного
1<
'1lа
ш)кес
С '1',цующи1'
<'{;;в f,валентное мно;ж;ествfj BceJ< натуралъны:/;
lIЬП 1'1<"е,
,то
<'леМf нты
ю)кеf
этш о
\'0
'1lа
,<но
,ум1'-
POBfiТb
Вся,
2
чисел
ое
<"тное
"в"
интервала
называтъ
всех
Jvtно;ж;ествОJvt
JvШ п,ности
'{;;онти
нууJvШ.
ПРf
Пf'И \'еры С' ,ет! ,ых
fffe<'fe,<
ю)кеСТlI
ю)кеСТlI МОЩf юст" 1<О! ,тинуу-
ма. Первым примером сч1'ТНf ,г" MНf fжества м' ,жет служить рассмотренно1'
lIыше мно f<еСffЮ ,е! ных fЮЛOff"пел ,ных 'lисел 2. 4, 6, . <. , 2n, ...
[.ру­
гим
примером
она,ЬШ,fХ ,исе
счетного
МНffжества
Мffжет
'<л\жить
множество
ибо, 1<ак Ю1<азано 11 сноске
cef<MeHTa
всех
рапи­
,а с. 85. это
2)
множеств" можно расположить в последовательность C\e:~ повторений, т. е.
заНУ,fеРОllап,.
ю)кеСТlIа МОЩНОСfИ КОНfИНУУ'fа \,ожет
C,y"Hfb
множеств" все:с; вещественных чисел (беСКОН1'чнаr: прr:мая). В сам"м де­
ле. функция у
ctg "Х
1
ус fана:fШ: :faef lIзаимно
межд' точками интервала О
В зак,ючение <юкажем.
<х<
1и
.. ,,о
01-\1
юзна' шое cooT:fe 'ст ше
точками б1'сконечной прямой.
"'ест"" <' J\Щffост i ' r.;UHmi' "уу <' ,а
э'{;;вивалентно счетНОJvtу мно;ж;еству. Для этого достаточно доказать, что
ю)кеСТlIО lIсех lIещеСТlIеш ,ых 'н:сел
,теРllала
1) ,еш ,зя за: 'умеfЮ:fать.
Доп, ,<тим противное. т. е. предположим. чт" все вещественные числа ин­
тервала (О.
fюне'lНЫХ
[)
можно :~aHYM! ровать. Т'гда. :~аписывая эти числа в виде б1'С-
.
:еСЯТИ'lНЫХ
Х2
Х<
fЮЛУ'lИ"
fюсле'n:Оllате ,ьность
=
О,
а11(/12 ... а1n ...
=
О,
'1(122 ... а <n .•.
=О.
аn
<2 ... а nn ...
Рассмотрим теперь вещественное 'шсло Х = О, Ь 1 , Ь 2 .•. Ь< ... , r,n:e
любаr: пифра. отличная от (/11. О И
Ь 2 - любаr: пифра. отличная от
Ь1 -
а'
мы
и
<,
:юобше Ь N
9.
-
любая цифра, ОТЛИ'lная от
Так как число Х не содержит после
и
9.
fапятой н\лей и девяток. то эт"
'шсло не ПРf:на,ц,е)кит к классу рациона,ьш,:х 'lисел.
спосоС:ами В виде С:есконечных десятичных дроС:ей
2).
,,:х I-\1fУ'fЯ
Но В таком случае
'lИСЛО Х заllе,цомо отн"шо от всех 'lисел Х .Х<' .... ,Х", ... , ибо СОll,:а<':ение
числа Х с каким-лиСю Х n о:~начало бы совпад1'НИ1' Ь N И (/nn.
MaTe'faf ИКОll <ю,гое :fре'fЯ за: J:мал :юпрос О су ::ест:ю ,а:
бесконе' ,ного множества {х}. не эквивал1'НТНОГО ни СЧ1'тном, МНОЖ1'ств,. ни множе­
ств,
м! fЩНОСТИ контин\ ума, но эквивалентного части MНf fжества мощности
континуума. В
1963
г. а:\lериканский :\IaТе:\IaТИК П. Коэн ,n:оказа"
потеза о с\ ществовании такого множества не зависит от остальны:r
теории мно
f<ecT:f. riTO
озна'Iaет,
что ги
аксиом
,то :юзмо)юю fЮСf роит, lIнутренне не Пf'О-
) Читате 'ь И:\lеет пf ,е,n:став,ение о функпии у
ctg "Х из элементарного
1<урса. Вопрос о строго,' ПОСf рое:,ии ТРf'f<О:Ю'fеf fШ'lесю:х функций lIЫЯС:Ш-
1'тся в гл.
4.
2) См. п.
§ 1 гл. 2.
ти1l' ,ре е1ШУЮ те()рию мнm1 ''''т"
iiiii'ТУЛ, рующую
шя
T,iKOrO мн() 1i1'CTiia, 1аЕ
Ф 1КТ 1'г" i оТСУТС 111 !я ,см,
iiplIi, МН()Ж1" тв И ЮШТИНУiМ-ГИП()Т1' ,а
;\1 ;\1ир,
IНЕНIШ
;0
Те-
1
мнО1 их СЛУ'ШЯХ ,n:ля исс,е,цОiiа ,ия схо,n:имости ,аС1 "ого {~~ } 1юс,е­
доватеЛЬНiiстей {Х п } И {Уn} ока,ываето'"
полешым i'леДУ'iiЩ1'е предлож1'­
ние,
Теорема Шmо.лъ'Ца. Пусть {Уп}
последовательность,
пусть
11,
-
возрастающа,р беС1(;онечно 'iQЛЬ-
последовательность {-'----'---''-
с,о-
У'
дшnел
11,меет
11,
ет предел а,
а.
Ta1(;11,Jvt
Tizaa
i
{ 'оn} ехидо тел
ОС
Уn
об1 аЗОJvt,
lim х, = lim х n
Уп
x--t=
До
СХО,',
аза
пся
Уn
-
номер и
хn
-
Уп-1
,елом
'1
,сло
,то после
а, беС1iО, ,е'l, юмалая.
l
,
Ю1lате 'ьность
N -
'юбой
ш"й
Уп-1
> Н,
ПСПОЛЬ:~i я выражение дл:,
X::V+1
X::v
Х n -1
paiie, ,CTiia,
(Уп-1 - Уп-2
У ,+1) + .. ,
') + Q::V+2 (Y::V+2
".+а,,-1
-
Y::v)'
,ei'
,ай
a:IJ::v + Q::V+1 (:IJ::V+1
Так как {Уп}
рассмотрим сеРЮ i ' равенств:
,+1) + Q::v 2(:IJ::v 2 - Y::V+1) ,
- Х n -2 = a(Yn-1 - Уn-2
'кла ,ьшая
Х
,
(Y::V+1 -Y::v) +Q::v+, (Y::v+,
X::V+2 - X::V+1 = a(Y i +2
Х,
-
с
имеет Пf е
Хn
Х.
е
х--7= Уп
-Уn
,)
а,
"'_1).
во ,растающая С,есюшечно Сюльшая последоваТ1 льно, ть, то,
начина;; с некоторого номера, ее э,е:\lенты поло)кительны. Бт"ем с п!Тать,
что Пf и
?
2У Уп
О. Тогда
lIi
ПОСЛ1'ДН1'Г ii равенства получим
Х,
Уп
Уп
+ Q::V+1 (Y::v+, - Y::v) + Q::V+2(Y::V+2
Уn
iJ::V+1) + ,., + аn(уn
Уn
fOCTf!
имеем
Уn
!
la:V+21(Y:V+2-У:V+1)! ... ! IlYnl(?Jnу
Дтшжем
. fля
Tellef !'.
это! О
ч! о !юсле .. Ю!fа! е. !!·!юст!· {Уn } схо. !итс!
Ю . таточно ДOKa:~aTЬ. чт"
имеет вреде'!
!ля любо! О положитеЛЬНffГ" Е м"}'·.но
указать но: !ер N !акой, что ПрИ n ~ N выполняется неравенство I Х n
- аl
уn
< Е. Во-пеf вых, по данному Е > О
N
но:,!ер
N
"ыпол ,щюс,·
В"З:iOжен,
следовател,
{:"Л' -
2
а n } бес!юнечно мала}!). Далее,
ак, ч! 06ы !!ри n ~
., юст,·
так, чтобы при
Е
ВЫПО'!ня'!' ·сь неравенство
слеДОВа! ел, ,юст,·
lV
!!ef
ПО'·ко·,ьку
,юмер "У ~
N
аве ,ство I Хл' уn ауЛ' I < ~. Тактс,
- ау,
,!НС'',,
бес!юнечно больша"
ay:v} бес юнечно мала}!. Пусть
фикс Иf "вано. а п"
ПОЭ'l'ОМi'
е ,ерь n ~
N.
,юследова! ею ,юст,·
Из !!ераве!!ства (3.8)
имеем
Хn
I Е
Е
I --а<-+уn
Тае: кае: "ри
из
n
,юслед!!его
~
N
-иЛ' ~ Уn И Уn
!!ераве ,ства
уn -
Yv
уn
2
2
> О,
то
уn
.'
уЛ'
уn
~
1.
Поэтом\' Пf И
n
~
N
имеем
IХn
-
а < Е.
Теорема доказана.
3
а
е
а н И е. Если
уn
-
60зрасmаю'щал 6есr.;он('.'Ч,но 60лы1лл nо-
послед ,6!, п:е.!l:ЫМ;С'П' '. {~:
61'. ,'1>'111, !,я.
'11,
r.; fiеС':iоне,:нпсп,
"niiеделенн.о20 8 нлr.;о,
60Л'/,l1ШЛ.
6аmел
Хп Уn
Xn-l
- Yn-l
=~:~~ }'ПU, ,iJICe 6ес'к;оне
==
~4n.
,'::0
} бе' ,«)нечн" б"льш;, ',' Им' "м Пf и n ;:: N
A iV
(;кладыuа}[ эти
paUj'H(;TUa,
f YN +l
YN ) ,
llай,J,j'М
_А~N~+~l~(_У~N~+~l~__У~N~f_+__
,,_,_+
__А_n__________ +
Уп
Уп
Из этого соо, ношен
I
~: I ;::
1
имеем
,"
'" + Ап(Уп
AN+l (YN+l
зате,
- Yn-l)
1_1 X N l'
Уп
ложительно",у А но",ер
> 4А,
такое
N
N ,;,',е",енты посte,цовадалее, по задашюм'; ,10-
так, чтобы при n ;::
N ;:: N,
что при
такого
N
(3,9)
Уп
N
вьшо, шя,'юсь неравенство
n ;:: N
1
2
А,
Воз"южность
N ,
Уп
Бу"е"
шя опре",еленности с штать, чт"
тел, ,юсте,;, {Уп} И {поло}ки,еш,jjы'
Ап
T
обеспе'швается тем, ',то после.ювательности
{А п } и {Уп} бесконечно БО',bljjие и их ч',ены на'шная снекоторого но"ера,
поло}к пел, jj'·I, Очею, jjЮ, jjрИ n ;:: N из HepaiieHC, ,;а (3,9) имеем
Таки"
обра:~о,.
пос, щцовательн"сть
РасCi;ЮТРИ", неско',ько примеров,
бесконечн"
большая,
Уп
1о, Дока}кем, что если послеДОiiательнос, ь {а п сходи, с}[
имее, пре1
п
дел
о последо, ательнос, ь {a + а2 : ' , , + а } средш,'" af ифмет ,че­
"ких шачений ,;',е, ,ентов п"следова,е',ьности {а п } сх"дится к то,;,у
",юму Пf еделу а 1), в са,;юм ,еле, если положить al
= n,
=
то
а n , Та,; ,<ак
'i!n-
а2
liш al
+ а2 + ' , , + а n
са­
аn = Хп , а
liш а n сущеСТiiует,
lilll
n--+'Х
n--+'Х
,о по теореме Шт, ,льпа
n--+""
+ '"
=
n
1) Э, О предложение было доказано Коши,
liш а n = а,
n--+""
fOCTf'
гДf'
,
а. n
и
Цf' 'не п"л()жительнне числ()
О, юзн ,чим 1 k
на, еш ,IOст"
-
Х п -1
Uп -
Un-l
,
чер"з
{ хn
ifриобретает
,ельности {Х п
nk
,
},
чер,'з
Исслед, ем с ,одимост" ,IOследона-
}, Имее,
nk
Cn-l
Уп -
+ nk
2k
-
Уп-1
1)Н 1
Поделю, числи, еш, и Зifаме ,атель ,IOслед ,его RiЧ а}кени" на n k
Хп
-
Уn -
Хп
,
,IOлучим
1
1
Уп-1
-[ .. ,]
'
где в :~наменателе в квадратных скобках опущено выражение, Пf еде,', Ю
рого ifрИ
n --+
[ - (k+1ik]
2 '
ос ране"
,Из
,
последне,"
',0-
форм\'лы ifа'z:одим
1
k
+ l'
'ле,IOвательно, по теоре, ,е Штольпа имее"
1
k
30,
аn
+ l'
'ассмо, рим, наконе" последовательность {а n }, а >
иn
=
Уn И исследуя после,IOвательность {:r n
liш Х п УU -
=
Xn-l
Уп
liш
_ а n 1)
=
1,
Полагая
=:r 1}, наХОi\ИМ
n
liш
n--+оо
1
П, ,этому, в силу замечания к те, ,реме Штоль !а, и, ,еем
п-----t::Ю
n
+ ""
ДСЮСiЛНЕНI
IE 2
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ПРИБЛщ:'fЖ СЮЩЕЩ:':''f
в п,
ОПf едел
§
va
"той ,',авы мы дока:~алк что преде" пос"едовательннсти
,eJ\IO,',
ре, ,'рре, п, IO', формулт',
Х п +1
="21 ( Х п + Хап ) '
= 1,
:r n
},
>
ГД(' а
О, а
}Ю нi юго ЗНiiЧ, 'Нi Ш
, ,'"',ьности"
va
'шлож"теш,ное число, ["!Не,,
мы можем ВЗii, ь любт", ЭШ 'ме, 1'1'
"аче"
этm", последо,
,,"
При этом, ест, ственн,," нужно выяснить в"Про'" О выбор,' '!ИС''',
и ,",'р"ций
, об,'Сi1еЧ"В,i1' 'ЩИХ
Va,ад"нно'" ""гр,'шност,",'
Обратимся к П"'"Ш' шв !Т, "',ьности {х,,}, опр, деля,'м"й реккурентной
формулой (3"10)
н"з,,[, ,1'1'," элем,'н, Х n Э'1'1'"" 'ШСШДОRi" ,'Л, ,юст" n-м
va
В, "П! !Ину
Хп
-
""'/
назовем оmносumелъной по 'решносmъю n-го прибли},",ения,
Справе", ,ЛИВО следующее
,юст"
сп
об оценке относите" ,ьной по,реш
через о,нос ,тельну'"
Пус ','1, Хl вы 'ран"
.мес '1() не? ',венс
101
пог ,ешнос,
"ер,
Тогдо при
111 "<
',во
о,,::: сп+! ~
о к а з а т е
(3,12)
ь с т в о, Из фор",улы
Х
=
,(1
имее,"
+
(3,
и к равенству
:
Так как Х n
,
а
Обращаясь к форму.,а,
сп)]
=
,"
получи,"
~ф
;Оn+l), то, очевидно,
1
(3,14)
П" условию
111 <
О, сюда следуют неравенс, ва
тогда из (3,14) при
сот ношение (3,li) п["
ЩIii Л""10ГО
вытекает неравенство
n = 2, 3, '" ,
n ;:: 1,
(3,li),
Из ра"енс, "а
Но
1Icпользуя
далее
убед ,мс" в i1еотрицательнос, и ;Оn+l
из СОО'1',юше,р'"" О
из
i1еотрица-
те" ,ьности СП " шя "',юбог" n > 1 вытекает неравенство Сn+l
; д" iЯ любо, о
n;:: 1, Отсюда сразу же ,юл\'чаем i1ра,юе из "еI aBei1CTB (3,12), у, "еркде ,ие
доказано,
СJбращаясь к неравенствам (3,12), мы ви ш,
НОСТЬ п +l вы'!Ис"',ения
"va пос"',е
',то относительная погреш­
итерапий о ,енивается через относитель­
i1ПО ,югреш,юст," с пер,юго прибли}кеНi' '"'
и ЧИСЛО n
ерац",'" Ни}ке м,,[
убедимся" что при а > 2 первое прибли},",ение :rl ,",южно выбрать так" чт"
;01 по абсолютной величине не БУi\е, превышать 0,05, {Jчевидно, ',то при
тако,"
выборе Хl относительная погрешность 101 бу"ет удок,етворять
в шм
ю"азаНiЮГО i1ами утвержден
И Я
1)
"" Ясно та"же, что тем самым
(от латинско, о с" юва «itегаtiо,> -
повторение 7 -
ре
зул,",ат ,юв,о["юго "римене'Шii ка,юй-либо математ"чес,ю," операции, В
рассматриваемо," с""у',ае nднлiJ, итерацией является вычисление Х"
С ,ЮJ\ЮЩЫО ре ,}'рре,1'1"Ю'"' формул,,[ (3,10),
2) Есш а
4
<
то а = 1/Ь, де Ь
В.А. Ильин" Э.Г. ПознЯIС часть
I
> 1,
и
равен 1//Ь,
+1 по Х n
!ОСТ!'
IJf'шеff В, ,Прi'"
va С з"
,iыбор" числ" питерапий, обест ч ffiаff'ЩИХ ffрибли}ю'нИf' к
,ан ,тС ' ОТ ЮСИi
поГf еШНО"iЫ" Е
1,
n "o:JКeт быт'Ь
<
(О,
Итак, Пi" ть а
'то 'Ч;nСЛО
fРЧJ;стаi им число а в сш i\Уiощеiii форме:
= 22:+' ",/l,
где
(3,1u)
пелое не, "j!ипа, е,',ьное число, ,шс",,,
k -
i
равно либо нулю, ,',ибо еди­
нице, а 'ШСЛО М у ювле' воряе, i'СЛОВИЯ:,
М<
Отметим, что Пf едставление Чi:сла а
форме
(3,16)
е, iинст:,ен:ю,
Выберем Х1 /'ле, iУЮЩИМ обра:~о:,,:
(3,18)
Убеди:"ся,
что
дJ"юБО20
М,
удовлетворяющего условия:,
пер­
вое приБЛИ/i"ение Х1, вычисляемое по фор:",уле (,;,18), i\aeT относи,ельную
ошибку Е1 при вь!' шс, ,ении
превышающую по абсо, ,ютной величине
va,
ff, 05,
числа
ДЛJ ДOiIaзательства
к ТОЧНОМi' Riч,а}кени
,
о ffиБКИЕ1 = :"1 - ' , Гак как, согласно (3,16)"
д,ш
относ
:тельно,i,
= 2 k V2 i l1I,
1 И форму.fЫ (3,18) получи
1
3
Поско,ьку 'шс,ю
снда
из
'i
(3,19)
,
~
1
24
М+-
v2'M
равно либо нулю, либо единице, а М
?
то V2'M?
,iЬЛ екаее "ераве ,ство
17 - v2'Jl
~I ,
+"2
Обозна' шм
Vpi М
либо ед fffИце,
через Х, Поско ,ьку
М<
о все, ЮПУСi имые Зffаче fИJ
3,20'
и
наверн нса
равно ,'шбо ну."ю,
ffЮiOД еТС,;
на сег-
[1,
:",енте
1 ::::;
ffспользvя
введенное
обозна iение
ство (з.iff) в с"едующей форме:
силу
(3,22)
го :~на'iения I~X2
(3,21)
::::; 2,
для у2' М, перепише:,
маКСfiмальное ЗffачеifИе
IE
неравен-
не пре/ышает максимально­
- "У + ~: Iд,ш :~на'iений "У, удок,етворяющих условия:,
,ивость "т' ,й фор:"улы непосредственно вытекает из с,ютношений
мап,к
,и
,вестно, что гр 'фИ'iOм этой
КОТ' ,рт',
,',ч ,ч ,ет
3
2
1
24'
,'очка Х
10 яснu,
3
=
'lTO
2
(рис
.f( \)
за"лючеш
1
между
Инь ""и слова",и
Т,к
,!ТЛЯ зна'lений
Х, У, ювлетворяющих ус, ювиям
чениCi
1)
1(1
,<"к
.f(2 1
1
24
у
зна
1
'\4
и
1
24
l
24
1.f(x11
1
О
х
И:~ ш ,сле, ше,о неравенства и неравен/ тва
вытекает ин, ересующее нас неравен
-~
2/1
ство ДЛЯ Сl
Рис.
3
а м е
а н и е. Отмети,
"
с раБi1а 10- о, то ДлCi ,'1,Iчислени}[ с
любого
лишь
а
>
'IJ/mераЦО'IJ,
акт',
оч,юстыо
пос, ,е выбора Хl по .1 "рму"е
(n
3.4
"то если за, raнная относите"ьная погре ,шость
31, поскольку
05123
,'адрат,юго корнС! из
(3.18)
потребуется всег"
< нг 1О .
1) На рис. :3.4 масштаб по оси Оу в 20 ра" больше ",ас ,паба по оси Ох.
4*
Г л А
А
4
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Эту главу ыы начнеы с уточненпя важнейшего понятия ыате­
матичеСКОfО аналнза - fЮНЯТИЯ ф'нкцн . ОffнраЯСf, на пон>пне
предела
чпсловой
последовательности,
ыы введем новую
операции предельного перехода, основанн'ю на понятии
,орму
пре1l,ель­
ного шаченпя (плп предела)
'УНЮfИП. В этой главе вводится
также важное математическое пон пне неffреРf,ШНОСТi' функции.
Значительное ыесто в главе отводится выяснеНIГ' свойства
непреры ,ности
и
ДРУГfj'"
СfЮf ,ств
ffpOC'f ейших
элеентар [ых
,ую< шй.
и Вопрос О ffРfjближенно' [,ьг нслении з fа'fеннй элеентар [ых
'ую< fий
,ассматривается в Дополненпп
8.
Понятие функции
§ 1
1.
гл.
Переменная величина и функция.
отметплп, что со ВСЯКШ\I реальныы
В fОП.
1
мы
lmзпческпы процессом свя­
,аны по меньшей мере две переменные величины, пзыененпе ко­
торых взаимооб\словлено.
Рассматривая ,еальные
,пшчеСf<пе переыенные величины.
мы прпходим к выво1l,у,
iти велпчпны не всегда ыогут прп­
что
нимать произвольные шаченпя. Taf< температура тела не мо­
жет бf,i'"
'ен ,jHe -273 0 С, скорость материал ,ной TO'jKH не мо­
жет быть бол ,jHe 3·1010 см/с
. е. CKOPOCTi' С!,ета
пустоте),
смешенпе у ыатерпальной ТОЧf<П, совершаЮf (ей гармонпческпе
=
колебан
fЮ закот. у
А
в пределах сегмента [- А,
.
blaTeblaTIH<e
СВОЙСТi'
отвлеf<aJ, iТся
наблюдаеf,fХ
сматривают
sin(wt
+
+ 6)
от
может НЗ,fен ПЪС!f лншь
f<ою<ретных
fjрf,роде переме {ных
,пзпчеСf<ПХ
f,е.ШЧИff
рас-
,а <THYf' i пе' еыенную величину ) хараf<терпзу-
) '. меСТiЮ О; ме; ить, чi о пон,,, ие нел iЧШiЫ ОТiЮС [тс}!
i..iaTe .iаТIГiеских понятий
"носку 2 на С.
числу iiачальш.ГС
fOМ·· Ю т' ,'fЬЮ: чис. {енн :fМИ
;].ЧfO fИЯ:'
НИМ;.ТЬ.
~\1ю:)ю'! тв,:
ffep<'
данная
в! ех значfOНИЙ.
снная
этой
в< Лf1
В<Лf1
{<от,
ЬН' м' ,ЖfOт приним;;ть
'1
,U'ffEH,'/},
назьш:;' 'ТС!
f1Ю:!
данной, fOСJПI:адана область
ер<' снная в< Лf1
fOfO
и:ыенения
нна счит::, 'ТС! за~
!альнейшfOМ
MbI,f<af<
2
о
х
'ие.4.
'ие.4.2
праfШЛО, б'дем обозначать переменные веЛf1 fШf:! строчны:'
лаТИНСf<ИМИ букваыи х, у,
а Оt\тrасти и:ыенения этих пе~
ременных символами {.г}, {у}, {и},
...
Пусть задана ffере:fенная f:еличина х.
'ею~
щая областью изыенения Hef<oTopoe множество {х}.
Если lИ;JfCдо,му ·mа"lеffШО nept'MeHffoll
из
у
9
.iVL1-lО;JfCесmеа {х} ставится в соответствие по
известНО.iVL(!
зш::ону
нер:оторое
jfят, "{то на .iVL'J-lо;JfCt;сmuе
= у(х)
то
гoвo~
или у = лх).
При
:тоы переыенная х
м е н т о м.
задан
называется
Ф
нкци
{<оторое
аргуыента
а
р
г
-область
а множество
я
Число у,
чению
~шсло у.
задана фун'Кция у
у = лх).
,JI,aHHObl.'·
соответствует
,называется
з
ачение
функци
ность всех частных значений
ч
а
с
т
н
зна-
ы
ы
точкех.Совокуп,уню fли образует
3!
Вfюлне Offределенное Мfюжес'! fЮ {у}, наЗf:fВаемое
множеством
Ф у
к Ц
В обозначении у =
всех
начений
лх) б'ю:а
f
назf:fВает~
ся хщю'Ктеристи'Кой 'УНКЦШI. дЛЯ обо:начения
арг'ента, функции
ее характеРf,СТИКИ 'OfYT
употребляться различные БУf<ВЫ.
Приведеы приыеры
10. у
-00 х
<
=
х2 .
< +00.
лупрямая
:::;; у
х
'ие . . 3
,ую< fлй:
<?та Фуню
задана на бесконечной ffРЯ:fОЙ
Множество всех значений этой фующии
< +00
(рис.
4.
-
по~
102
2
У
4Рункция зад ша на 4СГ СНТЕО
-
]\IН4>ЖССТВО [{СЕОХ значЕОНИЙ ФУНКЦНf 4
n - 1 2,
]\IH4!'"
""ТВ4! В4!'"" значЕОНИЙ
МНОЖЕОство н;]тур;шьных ЧlIi сл вида
4о
+1
-1
У
1 (РИС
,2)
Эта фую,ция задан;] н;] ыножсств(' н;]тур;шьных
30
ЧИСЕОл
C('fEOHT О
Фующия
n!
(рис
,Т4!Й функцн
43)
lярихлЕО
У _ { О, еслн х - ирра ffюнал ,ное число,
,
если х
-
рю fиональное число.
<
Эта фующия задана на С4еСf,онечной ирямой -00
< +00,
а множество всех ее значений состоит из двух точек О и
5'.
у
~
1
У
1.
+, если
{
= sgnx =
О"
> О,
если
О,
< О.
если
о
х
(Тершн
sgn
ироисходит
Cf,OrO слова signurn -
----~(-1
знаf,.)
Эта
ф' НКЦН"4! задана на f{сей бесконечной ирямой -00
"ис.
от латнн~
<
<
х
+00, а MHO~
жество всех ее значений состоит из
.4
+]
трех точек:
, и
(рис. 4.4).
У = [х] где [х] обозначает целую часть Beтт~ec"! [{енного
числа ;Т. Читается: «У равно антье х» (от фраЮf'ЗСКОГО слова
60.
entier -
целый). Эта фующия,адана для всех вещественных
: HO>4fecTBo
значений х, а
сел (рис.
2.
всех ее значений состонт
4.5).
.в
О способах задаНИ~}f ФУНЮ
новимся на
Hef,oTopbIX
сиосо 4ах задания
!ТО' иу
-------г-<I
3
- - - -
2
- -
1
-4 -3 -2 -1
ваютт~ий
4
Г-<I
1
1
1
1
1
1
1
1
fИИ
1
--.------.--,--------!--<~
1
1 О
1 2 3х4 5х
1
У-1
1
1
1
ч1 -
1
1
I__{ __ _
1
1
yl ____ -
-2
закон,
связь
уста [а {ли­
ыежду
al'ГY~
называется
ШJ-lалиmи";е~
сnи.М. Следует иодчеРf,НУТЬ,
[то функция
ожет Offреде~
ляться ра шыми форыулюш
на разных
[ас"! ках 06. fасти
своеГО'адания.
-3
HaffpHep,
-4
ф' НКЦН"4!
ири
ири
"ис.4.5
ста;; Лежен-Д ifjjf";4ле
ос ;a~
ыентоы и фунКf fией, за1l,ает~
ся с ИОЫОfff,ью форыул. Ta~
кой сиособ задаЮ]"4! функ-
-n<:
.....-1'1
I
'1
1
1
1
fKfe
'УНКЦIШ.
асто
у
це, [ых
-
"емецк
,,4;
математ ;к
х ~ О,
;Т
О
(1805-1859).
з,;
[ана
а f,;Ш,ТИЧfOСКИМ
распр, н ТР,1НСНШ,fМ сп' ",;бом з,; [а fИЯ ф' нкции ;Ш~
ЛЯСТCif 'ПUJ/! !'{j/'if, !Л; сnособ"i,;КЛfГ"iаД,;f!
таБЛf ,Цf,!
!(Л ,ных зна' !снн
'УНКЦIШ
При
но
пгmf)лиженно
це
значения
" МfOн'г
ар!
эт()ы
со' ,тв( тс"! fiУЮЩfl"""
зна" !снн
м()ж~
вычислить
не с~дерJi;а Шlеся в табл+
фуш!ции
ответе fiУЮ Шlе
ныы
co~
ffромеж" то"
шачениям
а! ;гуыента.
х
Для использ\ется сСndсоб иH~
терnол,ячии"
заКЛЮ"fаюн!'"
ся в заыене фушщии ыежду
Рис. 4.6
ее табличными значениями
f!аf!ой~либо
юстой фушщией (наприыеl
линейной или [<вa~
дратичноЙ.
рнером таблн fНOfO задаЮl'!' функции может
служить расписание движения поез та. Расписание опретеляет
местоположение поезда
отдел ,ные 'омен'!'" Bpe;feHH. Интер­
поляция позволяет
прш\тrиженно
определить
ыестоположение
поеЗ,Jl,а
любой ffромеж" TO"fНf,!
омент Bpe;feHH.
В практике физических НЗ;fереннй НCfюш,зуеТCfi
eтт~e один
способ задания фуню f.ИИ - графи'f.еС1(;иU, при котором соответ­
ствие между аргументом и
фнка (снимае;fОfО,
§ 2"
1
'уш!цией задается посредством гра­
на ОСШШЛОf рафе).
HaffpHep,
Поттятие предельного ЗТТi;четтия функции
Онределеттие пределыюго ЗТТi; iеттия функции. Рас­
= f
смотрим фуню f.ию У
х), опре,Jl,еленную на некотором MHO~
жестве {.г}, и ТОЧf!У а, С!ыть может, и не принадле:жаПУfi' множеСЛiУ {х}, но обладаЮН1"Ю тем СfЮЙСТВОМ. {то
любой E~
ОЮ ;естности
ОТ С
точки
а
имеются
Например, TO"fKa
вала, на [!отороы определена
Оnределе'Нuе
3
Н а
"i
н и
1.
ыножества
отличные
'ункция.
Число Ь
м Ф у н
точки
может быть [ранн fНой точкой ннтер­
1(;
на3"ывштс,я
Ц и и у
д
n
в т О
"i
1(;
л
е х
н 'Ы м
а (или
р е д е л О м Ф у н
и и при ;Т -+ а), если ;)л,я любоu схо;),я~
1(; а послед, 'uаmелъности
.Г2. . . .
. ... 3fШ"i)Нlt"й аргу-
1) Х N # ,соот­
f(,ill ,f(·il2) .... ,!
, ...
,мента х, элементы х n 1(;оторои отли~l'J-lЫ от
в)тствующа,я nоследоuатеЛ'ьносm!,
3Ha~leHUU фУН1(;'Ции сходитс,я
1(;
Ь.
1) Это требование объясняется, в ";астностк тем. ";то функ пия
б, ,1'1',· "е определеiiа R
оч;;е
,·····ть
у
)тметиы.
-!
mоч'Х:с
то i'b'X:O Or!'J-lО
}ТС,
слr ДОК! rrльнCrСТ},
м(
}те}ел
;(;еl
"(rссмrrтрим нrскrrльюr иример( в.
1о.
Функция
! (х)
= с иыеет иредельное шачение в каждой
Il, jr2, ... , I n , ...
10ч}(е бес}(онеЧНО(1 }}Р(IМОЙ. В само.; леле, еСI
есть .moбая сходя 1 lаяся
к а иоследовательность значений
аргу­
;(ента. то соотвеlствyrоща(1 }1Оследовательност}, значений
IИИ имеет вид с, С, ... ,с,...
разом, иредельное значение
и иоэтоыу сходится К с. Таким об
функции
в
(;,БО(1
1очке
;Т
=
а
равно с.
2;.
Предельное ЗI }а' }еl (]е фyr }кш}
= ;с в любой то' }ке а
бесконечной иряыой равно а. rействительно, в этоы случае ио­
следовательности значений аргумента и функции тшкдествен­
ны,
}1оПО';!у, есл(] l1Ослелователы1ОСТЬ
иоследовательность
3;.
Ф\'ЮIЦИЯ Дирихле,
точках равны
единице,
}телеЛЫ1О10 ЗI}а'}еl
I
сход (] ТСI ка.
10
и
х n )} таю}ке сходится к а.
{!
значения
которой в раЦИОI}аЛ,I}ЫХ
а в иррациональных
ни
-
нулю,
не
о;щой то'}ке а бес}(онеЧНО(1
имеет
\(ой.
Действите'IЬНО, для сходящейся к а иоследовательности рЮIИО
на'1ЬНЫХ значений арг;'мента иредел СОCrтветств;'ющей иоследCr­
вате.'IЬНОСТИ значений Функщш равен единице, а для сходЯ! lей­
СI
а l1Ослелователы1ОСЛ'
(]ррациоI}алы1ыIx ЗI}а'}еl
арl ;'мента
иредел соответствующей ИОСlедовате,1ЬНОСТИ значений ФУНЮIИИ
равен нулю.
В далы}е(1Тпем мы б;·де.;
ИСI1ОЛ};ЗОВЮЪ }1О1
ОДI1ОСI0j)QI}-
них иредельных значений Функщш.
Булем с' (]тать,
!
}то
1Ожество
,
на }(ОI0рО'; за;ЩI}а
>
ция
(х), для любого с
О имеет хотя бы один элемент , ле)IШ­
Щ(] на
}тервале (а, а
с) (соО1 IreTCTBel 10 на интерrале
- с,а ).
Оnреде.ле'/-l,uе 2. ЧUСЛО но
е в ы М)
пр с д
+
л
3 '/! а
'/!
с
eCiiU дл,я J/:юбоIl Сiод,ящеuс,я 'Х: а
... , х n , ... 3'!Ш'ЧJ n'r(u арг'!r".rснmа х, ЭЛ; ',.rCHrnbl Х N 'Х: ;mор
ШС (МПl'ЬШС) а, СО ;mG{:mсmG'!j'Юща.:! nосл{:дОGаПU'Л'Ь'/lOсm'(;
J(i2
i'J-lО"iе'J-lUU фУ'J-l'Х:i!,UU Сiодuтс,я 'Х: Ь.
), ...
иравого иредельного значения функции исиоль;уется
liш
(х) = Ь и. ш
x-+а+О
Для леВО10 }телел
,1101
liш
х-+а-О
(а
о ЗI}а'}еl
лх) = ь и.ш Ла
-
О) = Ь.
:Г
в качеCi [;е прн.::: IH рс сем; ;трим
фТiКЦН';; им ее [ в iуле ПРiшое
+
ния, причем ;..;gn(O
О) - 1.
ес:,;т; {:Г n }
лю()а>i сх;щя[ Ш>iСi
\'мен [а
чений
, 'ТТ"
Н "\.,'..1-""'
Л; в;;;
О)
;..;gn(O -
пой Фт iКЦН
нулю
1)
:~наче­
=
Д;Л;.
;"
:~Ha-
уста[юв
[e[ia.
iюслед; вателыюс[
5лементы
liш
и
('['
'-''j'
ые
Sgll :Г;.
n--+С'()
образо\[, справед'[
[юстi;
paBe[iCTBa Sgll(O
+
=
1
Ана'югично доказывается, что sgn(O - О) = -1.
3 а м е чае. EC/iU 6 тО'Ч11:е а nрО.60е и ie60e y;pe;}e/i/bHble
3iЮ/'iСi!!i..!i
f(x) ршп{ы, то rnОЧ11:С а С!П.iiгсrnG'!Н.т nрс­
;}e/i/bHoe 8'НrL'Че'Ние ;тои фУ'Н11:'Ции. 1Ю6'Ное У11:rL80'Н'НЫ.лл од'Носторо'Н­
'Н/Н !,; предельны !,; з'Нл'Че ТШi
локазательство\[
;,.!.
Этот наглядный факт мы снабдим
.
П\'СТi; {х!,} !!,ба>[ сход>[щаяся
а пос[едовюе.'iЬНОСТi; зна­
чений аргумента функ [ии
х , элементы которой не равны а.
П\'СТi; {ХАо т
iЮ. нюслело[;ател ;[юсл по[;[ iюсле. ювател ;[10-
f
состО>[щая нз всех б6.'iЬШ[;Х а
СПI {х n }, а
шементов iюслело[;ател ;[10-
подпоследовательность, состою [ая из всех
{XlmJ -
меньших а элеыентов последовательности {Х n }
лу п.
к
а,
1 §4
то
и:~
Г'[.
подпоследовательности
ст [ествования
правого
и
левого
2). Так как в си­
{XlmJ сходятся
и
}
предельных
значе­
ний ;!i\'НКЦИИ f(x) в [очке а [iыIекает •. что ПCiслело[;ательности
{f Ч т )} И {л:гz,)} иыеют пределы, которые по условию рав­
ны. Пусть Ь - предел этих ПОСlедовательностеЙ. Для любого
О ыожно указать номер N такой, что все элементы после-
[ >
;[ юсте[[ J( ХАо т )} и f
)}, лдя которых
N, \до[;лет[;!'ряют неравенствам Iлхkm)-ы <
< . Слело;ател ;[10, ЩШ n ;?
[;ыпо.'[ i>[e
Iлх n ) - bl < [, т. е. iюследовюельность
(Х n
ло[;ател
k rn ;? N
[rn;?
и
Те\ самы\ .ii.оказано.
iTO
iiреде.
[i;HOe
I.f(Xl m)-
значение
[;0
К
(Х) в
точке а ст [ествует и равно Ь.
определе[
при стремлении аргумента
опреде'[е[
10[0
iiредеш;ного З[iа'iе[
ФТiКUi;
к бесконечности и к бесконечности
З[iю;а.
Б\де\ считаТi;. ЧТО
южество;с
ia
>
котором задана
[ия f(x), для любого А
О иыеет хотя бы один элемент. '[ежа­
щнй [;Не cer\[e[iTa [- ,+А].
ОnРf,дf,.ленuе
'н rL 'Ч е 'н и е м
3.
Чu! Л() Ь iШ3Ы !асrn!
Ф у 'н 11: 'Ц и и
1) Определение функции у = sgn:c ·;.ано в п. 1
2
nрсдсл'ь
(х)
ри
1.
Мы "сключаеJ\l из раССJ\lотрения случай.
{:сn} ЛUWЪ 1COHe"tHoe "tuсло эле.ментов лежи! прав'u
случае сход"ыость f(x n )} очеr;;щна.
х---+оо
1J!
(или
1{){;
,·····ть
е
л
.ЛЛ
Ф у
'ц
:г ----7
U
ес!!!' дл}!
беС'КО'J-lе {но бо i'b'ILlO'l'1 nосле,}овотеЛ'Ь'J-lостu i'J-l ) 'Чени'I'l Оf!2у.лле'J-lто
!'!юrn(!Сrnгrn !·!!·!!!ща}!. nоглсдо ю,rnсл'ь шгrn'ь З'/lШ'iс'!!!шil фУ'/l'К'Ц'Il'f! г:гоЬ.
Дл!! оБС!:~начения !телеш,!
3!
!ти
----7
исп(!ль :ует!я сшдую(
шя СИЫВi лию!
(х) = Ь.
Х
!(Х)
Наконец, булем счи (ать. ч (о мнС!)кес(!"
f
х
>
на ю, (ороы за­
дана фуню(ия
х , Д'!Я любого А
О имеет хотя бы один эле­
мент х, уловле(ворян!щий услов!!
х
А
-А).
Оnреде.ле1-/,uе
!luсло Ь 'J-lrLiывоется пре }е'!'ьным 8'J-lrL"iе'J-luе.ЛЛ
фУ'J{.'Х:'Ц·U·!'
(.г) nР'и стр! ,,·!ЛС'J{!Il'fi аргп ',·!!"{{.тnа
поло !!Г!!!!!!'Л'Ь'/lO'Й
<
4.
f
(отрu'Цо.тел'Ь'J-lО'Й) беС'КО'J-lе"i'J-lостu, еслu для любо'и беС'КО'J-lе"i'J-lО
бол'ыu.о'Й nОСЛ!iдО(Jат!iЛ'!!'!!ЛСm" , з,!ю,"!С'!i.и'Й арг'!jМ!i'/lта, эл! ',·!с'!гт'!,!
'Которо'и, 'J-lrL"iU'J-lrLЯ С не'Которо!'О номеро, iю.!ожите'!'ь'J-lЫ
'ЦаrrUiЛ'Ь'! гы), !'!юrn(!сrnгrn !ПЮ'UЮ}! nоглсдо ю,rnсл'Ь'! шгrn'ь З'! ш
Ф
• '!!'/l'К11и'u
""
;1
"" сходи!!!!
""
Jl 'к Ь
отри­
!!"!
!'!i.'Й
.
имволические обозначения:
lim
Х-+
(Х)
Лх) = Ь
( lim
Х-+-(Х)
л,г)
в качес( (!е пр!!!!ера рассмотрим
(ия имеет
равное нулю
с( (!И (е.'!ЬНО. если х
следовательность
l/х
1/Х2,'"
(:с) =
предельноешачение
Х2...
значений
х!' ...
-
при х
беско(!8'
аргумента,
1/х n , ... бес!!онечно
Ь).
=
ю болы
!ю­
то последовательность
ала!!
!юпо,ty и,(еет пре­
дел. равный НУ'(ю.
2. Арифметические операции над функциями, имею­
щими предельное значение. ~'-бедиыся, что арифыетические
о!!ерации
над
!!е(I!ЩИМИ
!!редел!!ное
значение
в
точке а, приводят к функциям, такж:е иыеющим предельное
значение
этой
(оч!!е. С!!ра(!ел.лива сле, !,!'ющая OC'J-lов'J-lrLЯ
теорема.
T!iopeMa .1. Пуст'ь зада !'!ГЫС на одш)!,,'
том :У/СС
стве фУ'J-l'К'Цuи f
и g' (х) U.ллеют в тО"i'Ке а пре!}е'!'ьные i'J-lrL"iеЬ
с. Тогда
ЛХ)
х , ЛХ)
Х,ЛХ)· (х)
!! !,·!сюrn (J тnо !'КС а nрсд!iЛ'Ь'!i.ЫС з,!ю,ЧС,!, !гя
част'}!!!! nр'и псло­
С, Ь
О
а з а т е л ь с
jЮ(!З(!Qлы!ая
f( х)
ности лх ), ЛХ2)""
С, Ь· С
Ь
с
во. Пус( ь х ,Х2, ... ,Х n , ... (х!,
сход!!щаяся
гумента фуню!Ий
-
к
а последовател!!ност!!
а) -
з(!а'!е(
ар-
и g (х). ('оответствующие последователь­
лх n ) ...
g'(Xl) g'(X2),'"
g'(x!,), ...
значений этих фуню (ИЙ имеют пределы Ь и С. НО тогда, в силу
(еоре, 3.9-3.12, !юсле,!,овател !(юс!!! {.f(x n
g(x n )},
+
f
)-
U7
+
liш [I (:г)
x---ta
liш и(:г)
- g ( :г )]
g(x)]
С,
С
х-+а
Теорема дm;азаffа.
Применим дока ;анную теореыу Д'Ш отысканпя предельных
значений
ЮfО'
ЮБ
fесо;ратимых ашебраичес;их лро-
бе(f 1). Имееf место еле;; ;'ющее \' fБерждение.
В '/И ;;гдо'Й то !'Хх; а бr:С'Х:О?l! 'Ч {()'Й nРJlМО'Й пр! дСЛ'ЫiЫ!
.лл'Ного'Чле'Нов и 'НеСО'Х:fiати.ллы,т а iгебfiаи'Чес'Х:ит ,Jробеси существу­
ют u рав'Ны 'Ча('т'Ны !,' з'На'ЧеiСШi о' этих
в '!i'Х:аЗШ!i'НО'Й
mO"l'X:e (в с iY"lae 'i;:еБРiiU"lес'Х:о'Й дроби а 'Не дОiiЖ'НО быт'ь 'Х:ОР-
сил!' теореыы
дейс f f;И [е,' fЬЮ'
liш
= liш
х-+а
х-+а
4.1
. х = liш х . liш х = а 2.
х
х-+а
;а
Аналогично ыожно убедиться, что
liш
= аn .
х-+а
С'fе;;ОБЮ e'fЬHo,
многочлена ьох n
получим (используя теорему
liш (ьох n
х,а
+ b1x n
4.1
ьn - 1 х
xn- 1
. ..
+ _х
для пропзведения п суммы)
Ьn
случае несократпыой алгебраической дробп, когда а не являеfСЯ кор!
'3f;аменателя, ;юл\чим (прн;;еf;iШ fеорем!';;дя
частного)
ь
о,
Ь
n-l
Ь
_O_x_+
__
1_'r_...,-+_._._._+_i
____
т
;а сох
+ С; ,,;m-l+ ... + се
Ьоа n
liш
х
+ b1a n - 1+ ... + bo,-la + Ь,
+Clam-1i ... +c m_ +С т
6i'!'КПКi'ЧНО 60,;;;,3. Ср;шнентн' 6i'i'КПКi'ЧНО !гта, ;;,IX
ШИХ функций.
У = f(x) iШЗЫИШ! те:! бr:С'Х:О?l! 'тп ма-
!О'И в mO"l'X:e х = а (
х
---+
а), ес
iiДТЬСЯ, напрпыер, чтс, ;1 !'нкция
f
iU
f (х)
= (х
-
. Легко
а)
где
m -
!бе-
це' [; ,е
ПОЛQ)кптельное чис Ю, яв,'шется бесконечно ма, юй в точке х
= а. В само.; деле, Б преды;; ;'ще.; пт ;кте мы \ттано;или, ;то
1) HiO iжраТИМ;;"i
име;ощи;; о;ли';Н!,,'
i'бр;;rг;еская др ;б",
'i;;C;Roe дву;; МНО'" , "'нов, не
'iТ ПОС; iЯННОЙ общи;; ;';Rожи;;'леЙ.
,·····ть
гочлена
I (:г)
юй пря\юй С\'щ;;твуеi
мю гочлена в этс й точю
(:г
а)
-
ТР
i-
реш ю частнс,;'У :~начению
IIоэтому liш(:г
а)т
О
-
х--+а.
)тмел;
НОС
3'1lачс
t.'llC
'Л с, еслu фУ'J-l'К'ЦUЯ у = л:г) u./vteem jюв'J-lое nредел'Ь
(j fПОЧ'КС
тn()
:г =
(:г )
Ь, и ;Л}f,сrnгя
I
беС'К()?f.е·i('J-l{i ми !л(1
n;П'i('Ке
ния кажл.оЙ из фу
силу теореыы 4.1
iKU
iЙ
liltf а(х) =
Ю,
I
и Ь в то
- 1» =Iiltf
х--+а
!",IСполь ;уя
iKe
пр!Д! льны!
а раВ[iЫ
(:с)
liш
-
,т--+а
х--+а
полученный
результат,
реДС[Юfление ДJП[
чение в точке х
=
[ение
получаеы
имеюще!! рюшое Ь
спе[шальное
редель 1Ое зна-
а:
а(х),
I(x) =
! ;редстав
ыы
:~H; ,че~
поэто\'" В
{;,
де liш а(х)
х
;а
=
(4.1
оказывается весьма удобным при дока
(4.1)
зательстве различных прел.лшкениЙ и б\'дет неоднокраТЮ i ис­
пользовано наJ\Ш ни)ке.
ар;[д\' с i1О[
беСJ;онечно
алой фУ;iКЦН
часто нсполь;уется понятие фуню[ии, бесконечно БО,i!ЬШОЙ в точке а
ciipa!fa или беСJ;онечно болы
[ОЧJ;е а c[e!fa. Именно, ФУ'J-l'К­
'ЦUЯ
I
х
'нл3ыlаеrnгяя 6еГ'КО'llеч'J-lО бол'Ьшоii в rnо'Ч'Ке а справа (сле~
ес fU д;iЯ lюбо{1 сходящеuся 'к а iioC;ieaobarne;iib'J-lОСrnU х"
, ... , х n ... 3'JШ"lС'll'U';i ар2'!! ii,ff~j{,rna х, ЭЛС ii,ff~j{,rnbl х n 'J,iOrn()pO'fi
I(Xl , I
а (MeHыee а), соответствующая nосле;}ово,теЛ'Ь'J-lост'Ь
Х2), ... ,
х n , ... 3'JШЧСНUU ф'!j'll'К'Ц'llf! яплясrn;
бi:С'КО~
I
нечно БО;iiЬ'ILlОU iiОС;iедовате;iiЬ'J-lост'ью опре;}е;t.е'J-l'J-lого ,i'J-lО'КО,.
бесконечно больших функ [ий используются следующие
оБОЗ[iа'iе[
I
х--+а-О
liш
x--+а+О
liltf
х--+а-О
(х) = тОО
л,г) = -00
(:с)
=
-00
О) = +00,
- О)
I а + О)
Ла
IПИ
I
-
=
тОО,
О) = -00.
Познако\
ся с методнко!! CpaB[ie[
функций и употребiiЯемой терминологией.
беСКО[iе'
10
алых
IIYCTb а(х) и Р(.г) - две заданные на одноы и тоы ж:е мншке~
стве <!i\'НКЦИИ, ЯВ,iiЯющиеся бесконеЧНС i ыалыыи в точке х = а .
. Ф\'ю;ция а(х) называется беС'КО'J-lе"l'J-lО .Л;tО Ю'И более в'ЫСО'К020
nоряд'Ка, 'Че ii; Р (х) (имеет более высокий порядок малости), если
предельное значение фуню[ии
в точке а равно НУi[Ю.
2
ф\,ш<ции
и
н,; ;ЫR{)ЮЛ я б"с ,{)н,сч Ш ми !/Ы.ЛЛ Е,
nО/iя,;}к;а (имеЮi оу' t"iШВ' tй ПГ'{с"г'к
20
Н(Н :~начение фУНЮiИИ п(:г); р(:г) в' точю
сущ; ;твует И отличн\,
j{t:~bli{ai' 'ТС}
,кцн
nГ"{'/l()
{)(Jii,()
, еСЛi1 пр; дtль-
;к;6u60лен,mн,ыuu беск;о­
ш; ЧtНШ фуню iИИ ;!(:г) / р(:г) в
'",аЛЪЕ
точке а равно единю [,е.
Часто бесконечно ыалые функции сравнивают с какиыи'шбо
стандартными бесконечно мшIыми функциями. Обычно в каче­
,{е фУ;iКЦi1
ci
берут фУ;iКЦi1
cpaBiiei
(х-
,гл,е т
- це'юе
ПОЛQ)кительное число. В этоы случае употреб'iЯется следующая
iерыиН(, \(,гия: бесконечне, ма, iая в точке а t!f\'НКЦИЯ о:(х) иыеет
,
•
а(х)
nоря,;Jок; .лло,лосmu т, если прел,ельное значение tl>\'НКЦИИ
(
Х
В
TO'iKe
а ОТ'!
_,)т
"
ю от н\'
При сравнении бесконечно малых t!f\'НКЦИЙ часто \'потребля­
ют сиывол о (о ыалое). Иыенно, если фУНЮiИЯ о: = о:(х) пред­
ста;;ляет собой беСi;онечно малу;" в TO'iKe а
более ,1Ь!­
сокого порядка, чеы бесконечно малая в этой )ке точке функция
= р(х) то ЭТО УG'юв Ю заПi1сываЮi ,ак:
о: = о(р)
(читается: о: равно о ыалое от р). Такиы обра:~оы, симво.'i
означаеi !юбую бесконечно ыал;'ю фУНКЦlli/' имеющу;;'
точ­
ке а более высокий порядок малости, чем бесконечно ма, iая в
этой точке фуню iИЯ р
=
Р (х).
Отыетим G'iедующие очевидные свойства сиывола о: если, =
± 0(,)
о(и), 'о
о(р)
=
±
-
Заметиы такж:е, что если о: и р
бесконечно ма'iые
iочке а
фУНКШIlI, то фУНЮiИЯ о:р имеет бо [ее высокий порядок ма, юсти.
чем
из сомно
'; i1телей,
и iЮ,ПО.! у
0(0:),
=
Для бесконечно больших в точке а справа (или слева) функ­
ций ИСiюш;зуется анаЛОiична;i
П\'СТi.
(:с) и В(:с)
-
!tеТОДi1ка
cpaBiiei
беСi;онечно бош.Шi1е в
TO'iKe
а справа
фУНКШIlI, и пусть, например, обе эти бесконечно большие функ­
иии
iЮЛО t;i1тел .iЮiО
im
х-+а
О
знака,
А(х) =
т.
+00
е.
х
lim В(х) = +00.
;а+О
Мы будеы говорить, что функ шя А(.г) иыеет в точке а справа
более 6'ысок;и'и nорл;}ок; росто,
фУ;iКЦi1'" В(х) если фУ;iКЦi1'"
A.(;r)
с
б
~
- ,В(
является
i;раiюе i;ре;iел
оесконечно
.; юе
о.'iЬШОИ
значение фу; ,кцн
в
точке а справа. Если ж:е
\(х)
-В(х)
в
iОЧi;е
а
i;онечно
lШ
,·····ть
ю от Н\Лi.f,
и В (х)
С. ,у
{()
в
f,fe
м ,т бул,ем
(.г)
что
'ЩНЮ о,}uншх;овЪtu
",fССМ(,ТРИМ н"ю'лью, пример(ш
о ФУНЮfИИ о{г) = з:г 2
+ :г I
и {3(:г) =
являются ijепш-
нечН(, мал ,IМИ Фт Т(Ц li.fМИ РЛДОГО Щ'РЯДi(а в i()Чi(' х = О
ci
iшт' льн('
-1-
"1 и
ю
3
х---+О
{то а(:с)
2
алые о;щого iюрядка.
х 2 - 6х З и
2'. Ф\нкции а(х)
бесконечно
liш :г =
\ ---+0 2
i i н'
сил\' теоре\ ы
беСКОii8'
о
=
{3(х)
=
х---+О
- ЭКRlша'iентные
а(х)
M3.xlbIe в точке х = О.
Так как liш (;х
Д, й-
самоы деле, /3(') =
О, то в силу теоремы 4.1 liш
х---+О
1
(3a((;r)) = 1.
х
!ix.
Это и
означает эквивалентность бесконечно малых а(х) и {3(х).
. Ф ункции А()
х
=
порядок роста
того. что
(х) =
и
точке х =
1
-;;:
иыеют
~
одинаковыи
спра;а и слева. ЭТО следуеi
из
А(х)
· 1lШ
- = l'lПl 1 + х ) = 1.
;Т---+О В(х)
x---+ii
ПОНЯТТ'Тf' непр\'рывнпсти
§ 3.
1.
1+х
-х-
Опред\'ленш' Н\'преРЪ\IВНО4'ТИ фУНКЦИИ. Пусл
ка а принадлежит области задания <!>\'нкции
I (х)
то'!­
и любая
[-окрестность точки а содержит отличные от а точки области
I
н о
u
(х) "j шзыпастгJ(,
с n р еры (3в rnO"i'X:e а. еслu fJpe,}eiiibHoe iH(!"ieHUe этоu фУН'Х:'ЦUU в
rnO"i'X:e а гпщегтвцеm U равно 'Чагmному 3'/taченu'Ю
Так н
образо\
\'СЛОiше iепреРЫВiЮCi н фТiКЦН
I (а).
I(x)
TO'iKe
а симвQ. шчески мшкно выразить следующиы образом:
liш
.f( х)
=
.f( а ).
х---+а
Так как а =
liш х. то предыдт {ему равенству мшкно при­
'а
дать с iеДУЮi i)'ю форму:
xiIl~ лх)
=
I
iш х)
.
Следовательно, лдя непреры i!НОЙ функции СИJ\ПС,Л «liПl» пре­
дельного перехода и СИМВQ.'i
характеристики функ iИИ ыож­
«I!>
но менять местаыи.
Исш i,'iЬз\'я
опрел,еление
лх) в точке а (сы. п.
1 ш>ел,ельного значения <l>\'нкции
1 § 2 настою i,ей главы), мы мшкеМСiедую­
щн
образом llереФраЗИjОi;аТi, определеi не
функции в точке а.
{е"рерыв! юсл'
3
Оnределенuе
ФУ'I-ИСЦ!i,,я (.г)
н о и в то'Ч'Ке а, ее iU
iюбои с:год,я !iеие,я 'к
р
р ы Н­
!!ое iедовате!!'Ь-
iШ'l!!'ll'U'Й аР2У!'!С iЛЮ :г !'!юrn !СТnГТn !'!!н ,-
), Л:Г2) ,
Ч! iСЛ'lJ
i(), ПО
iTe
iеЛЫЮi о значения
(.г. n )
:mшч" {ЕU'l'1
.f( П. )
С О те;rелением
(х) в iОЧi.;е а_
2
ы в Оiiреде,
опу-
iреБОi;аi не_ обязывающее i;ce Э, ie2ieiiTbl iюсле;rОi;ател ;iЮ­
СПI хl, X;l, ... ,Х n , ... быть отличными от а. Это мшкно сделать
в сил\- того, что ;rобавление
iле2iеНiа2
iюсле:iОi;атеЛЫЮСi;;
Х n )} СХОДЯi iейся к Ла), любого чис ia новых элементов, рав
ных
(а) не нарушит сх; ,,:щмости ш;л\-ча;;fщейся при Э iOM ПС;­
Сiедовате'iЬНОСТИ к Ла).
Предполшкиы, что ыножество {х}, на котором задана функ­
ция f(x) содер;;;нт ТОЧi{\- а
,:iДЯ .шобого Е
И2iеется хотя бы
один Э,'iеыент этого ыножества ле)IШi i.ий на интерва'iе (а, а
Е)
(на интерва'iе (а - Е, а)).
Оnр;;д;;ленuе 2. ФУ'!!'КЧU:; f(x) iЮЗЫ(iаст:
С пр С р Ы 6Н О и
n р а в а
л е в а) в то'Ч'Ке а, е: ли nравое (левое)
nреде i'bHoe 8на'Ченuе :тои ФУН'КЧUU в то'Ч'Ке а cy!!~ecтвyeт U
paG'!i!! чагrmШЛЧJ ЗiЮЧ; ;;"!Г1О
а
Ci; ;;воличеСi.;ие оБОЗiiа'iеi
не теl:;;Т!!НОСТИ справа (слеi;а):
{!
f
+
f
liш
f
( liш
f
х
:а+О'
х---+а-О
3
а
Ла
= Ла)
х
е ч а н и е.
=f
а
ИЛI
Ес!!и Фун'Кчu,я
Ла
.f( х)
= Ла)
-
О)
=f
а)).
непрерывно в то'Ч'Ке а
и слева и ('права, то она неnрерыlнаa в этои точ'Ке. В саыом
;rеле.
СiШУ за2:ечаi
. 1 § 2 этой лавы этом ciTiae с\-ще­
ствует предельное значение ФУНЮi'иИ в точке а. равное частному
значению этс;й функции в точке а.
PaCC2!OipH iтимеры.
1о. ('тепенная функ i;ИЯ
f
(х) =
с целочисленным полож:и!ЬНЫ2 iюказате.'iе2 n iепреРЫВiiа
TO'iKe беСiiонечноi'i
прямой. rействительно, в п. 2 § 2 ыы доказали, что предельное
значение.iТОii фТiКЦН
любой ТОЧi;е беСКОiiе' юй
;;ой рав­
ie.
iaCi iЮМ\- значению а;'.
20. Так как ЫНОГОЧ.'iены и несократиыые алгебраические дро­
бii имеют в
TO'iKe области за;rания преде'!Ьное значение,
равное частному значению (см. п. 2 §
,то они являются непре­
iiblBHbl2 Фт;кП!,!{ми.
ТОЧi';И,
i,;oTOI: ;,г; фт ;КП!i';' ie обладает СВОЙСТВ02 не;;
рывности, на !Ьrваются то ;'Ка ,,!!! разрыва фуню {ии ). Например,
но
1) в § 8 мы Д:;ДИ! ; кл:;ссифик:;цию точ:'к
112
,·····ть
I(:T) - sgn
фу iКЦН';'
iPKa ;;'ли. iTP
=
[ии В точке :г
м;'
в
1
левое iтелеЛi,' ые :~начения э [ОЙ
О ,т [ествуют, но ш р; вны друг другу, И поэто-
'ущеCi:';ТТ iтелел ,[юе :~н;)чение
Функция Дирихш
мсн'
имеет IH:~j ·Ы[} в [ОЧi';; :г = О
пр;шt ,е
в этой
TP'iKeJ
P;).:~pЫBHa в каждой те чке бесюш(чной пря­
[[;:;КО.шжу
не
ю[
значения ни
од юй
точке этой щ!~мой (см. п. 1 §
Мы будеы говорить, что функция I(x) !!ГnРСРЫ ;na на '"но­
жесmвеi jj}, еслн она неiтерьшна в JШ;:;ДОЙ ТОЧJ(е "того мно :;е­
ства. Если функция непрерывна в кюкдой точке интервала, то
о[юрят,
iTO O[ia
iепреРЫВ[iа на
iтервале.
iепре-
рывна в кюкдой внутренней точке сегыента а, Ь и, кроые того,
непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь, то говорят, что
O[ia iепреРЫВ[iа на се[менте [а, ].
2. Арифметические операции над непрерывными
ФункцияТсТГ! УбеЩ.\[С>f, iTO
iecKHe Qjiерацн:' iал ieпрерывныыи Фуню щями
Докюкем С>fеДУН1Щ;'Ю
Tf!OpeMa .2.. Пуст'ь
сmве функ:'Цuu
u g'
приводят К непрерывным функ fИЯЫ.
основную теореыу.
заданныс на одно ;,'
том :У/СС
I
непрерывны в mо'Чк:е а.
функ:'Цuu
лх)+ (.г), I х -g(x), I х .g х :~~) нсnр,рмты mочк:с а
при усло;;и.
о
'# О).
а
а з а т е л ь
О.
I
Так
iеiiрерьш;ъrе в
TO'iKe
а
функции (х) и
х имеют в этой точке предельные 'Значения
I(a) и g(a) [о СН.;у [eOjeM ,т 4.1 iтелеЛЫiые З;iа'iе;
лх)
g(x) I
СОOi [;етстве;
величины
10
как
- g'
(а) + g'
ра;
и
. g(x)
I
равны
-
и "~~~ С; ществт· ,т и ра[шы
,I
g'
частныы
. g'
значенияы
,:i~~. НО ЭЛ'
перечисленных
фТiКЦН
TO'iKe а. Теоре.\[аiоказана.
3. С,гюжная zl%,'у'НКЦИЯ и с'е непРf'РЫВНПСТЬ. Ф;'нкции,
обра1Ованные в результате супеРПОШЦШI (т.е. последовательно­
го рименения) двух
неСJiОЛЬiИХ t!i;'НiЦИЙ,
назьшю ь
ГЛО:У/С'! {ым·и.
fOCTaTO' 10
опреле';
сло;:
обраЗО[iа;
результате суперпозиции двух функций.
Пус[ ,. t!i;'ЮiЦИЯ х = zp(t) задана на HeiiOTOp0.\ мно :;ее [;е {t},
и пусть {х} - ыножество 'шачений этой функции.
Ilредш' :(,жим далее, что на j'казанном ыножестве {х опре­
делена другая функция
= Л:г). Тогда говорят. что на мншке­
стве t} зада ia сло;: iая фу iKUH';'
у = Лх),
гле
х =
zp(t),
или
у =
.f[zp(t)]
=
F(t).
ЮЮ "
СПIНВZД'l
п гьш СВ(>ИС 1В'
"орем,'
nгnр{рып'!!а
mо"!'Х:{: (]',
фУ'J-l'Х:Ч'llЯ У = .f (:г) не пр еры в 'J-l О. в сооmве т!сmвующеu mо'Ч,'Х:е Ь =
Teopf:Ma
11<1 C1, ДТОЩ<1>l ОСН, 'ННО,'
.3. Есл'll ФУ'll'Х:Ч'llJl :г =
[по :ЛО;)IС'llGJl фУ'll'Х:Ч'llJl у = Лер(t) I
к
:~
т е л ь
т в
Пусть
f(t)шnрсры iJiЛ
G
прои:~волью'я Шiс:лед(!-
}
вательность знаL[ений аРГ'."мента слшкнr:й :.t,ункции, сходящаяся
к а. Так как функция Х =
силс' Oilределе1
1 из
непрерывна в точке а, то (в
СОOlвеlствтоща>1 последоватеш,ность значений этой фУНЮ1ИИ Х n = ep(t n ) сходится к частному
*
значеНИЮ.ПО11 фТIКЦl1
10ЧI;е а,
. е.
11СЛС'
= ер(а). Да'1ее.
поскольку функция
=.f Х непрерывна в точке Ь =,(а) и для
нее указанна>l llOс.lIе;r.овател ,lЮСТЬ {Х:,
СХОД>lщаяся к Ь = ер(а)
является последовательностью :~начений аргуыента, то (в С1ПУ
1ОГС, же С1llре;r.еления 1* из п. 1) СlЮТ1;еТС11;с'ющая после.;н ва­
те,'lЬНОСТЬ значений функщш л:г n =.f (1)(!n) I =
сходится
числу (Ь) = .f[ер(а)] = Р(а).
мы ПО'lучаем, что д'lЯ любой последовательности {f n }
значений
aprYC1e1lTa
G'ЮЖНО11 фТIКЦl1
СХОД>lще11СЯ
а. со ответ­
сл;с'ющая последоватеЛ1,НОСТ1, З1lа'lе1 l1Й саеюй сло:,: юй
==
1ИИ {.f[ep(t n )]}
{F(t n )} сходится к числу
Я1ШЯ1ощемс'Ся частные '31Ia'le1
G'южной
.f[ер(а)"
=
l'(а),
фТIКЦl1
1'0'1-
ке а.
силу того же определения l' из п. 1 это означает,
что G'южна>l
.f[ep(t)] =
it) lеllрерЫВ1lа в 10ЧI;е а.
Теорема ДOKa:~aHa.
§ 4.
1.
Н{'кпторыf' 4;ВОЙ4'тва т:юкптонных функции
()пре,реление и при меры монотонных функций.
ОnРf:дf:.ле1iuе.
с и
в'llЮ:С
у =
озрас
<
.f( Х)
ва
i)
а
с с
G
iюбых Хl 'll Х2 'llз эmо­
удОGЛf:mGОРJlЮj{~'llХ
Х2, справед.fшво неравенсmво
лхl) ( .f Х2) и Хl)
?
ЛХ2) .
Не:.'бываЮЩl1е
и
невозрастаЮЩl1е
функции объединяются общиы наимено­
ваниее .ЛЛО'J-lоmО'J-l'J-lые фУ'J-l'Х:Ч'll'll.
Если д'lЯ любых Хl и Х2 1П ыножества
х}, С'ДО1шеТ1;С;РЯЮЩИХ УG'lС;ВИНf Хl
Х2,
о
х
<
справедливо неравенство .f Хl) < Л:Г2
(.f(il)
(:С2)
10 <!>сющия у = (х) lа­
зывается :;:)зрасmающсu (цБЫGающсu) на
MHo:::eC11;e х}. ВозраС1Gl1ощие и с,быва­
ющие функции называются также :rnро-
Рис.
4.7
,·····ть
шi:1
в(;;р н"таст
на вс: Й
{ие r(;вой
на всей чн
R.R.КR.J.ИИ, l\iI<HR.<YR..·OHHI.,R.e функ.,
ц:и:и, :имеющие обратную,
этом пункте формулируетс,r по.,
нятие обратной <!>\'ю;ции
устаrrавлrit'аются \'СЛО1ШЯ существо­
вания обратной функции для монотонной функции.
Пусrnъ фун:х;ци-я у = ](х) задшна на сег.ftленте [а, Ь], и nустъ
.·.,;ifOJfCi;Cm60.;': tifШЧ:'if'ifU Эm,ОU
,;!6л,;!еij:"
;'ег,.,;i:Нi;f, [а,;3].
Пустъ, далее, 'X:aJfCaOMY у из сег.ftлента [>:,;3] соотuетстuует
m.ОЛЪ'Х:О 0:1;;,0 зншченuе х uз сегмент.а [а, ], дл,;; 'Х:оторого (х) =
= у. Тогда на сег.ftленте [а, (1] .ftЛОJfCНО ощ:еделшnъ фун'Х:цию х =
(у),
6
у
COOm6imCm6iJe
'Чение J; из [а, Ь], дл-я 'Х:оторого ](х)
=
[а,;3] то !иа
у. Фун'Х:ци-я х
= f-l(y)
ifafbl6ff,ef>f'
О бр
т н
U дл-я
У = ГС:).
указанно,; О1Iределенн
аместо сег.ftлентОG [а, Ь] и [а, т
мшкно (;ыю бы р н>маТРИВ:;ТЬifif7n:Р6алы (а, Ь)
(а, ;3). ,Можно
также ДОПУСI;ать, что один
оба интервала (а, Ь) и (а,
пре­
вращаются в бесконе;шут;: пр,rмун: ИЛI воткрытун: поryпрямую.
Отметим. что если
(у)
очевидно, <!>\нкция у
= f(;r) , то,
футrкцн
f-l(y).
J; =
-
обр:тю:: функци,r дл,r у =
являетеr обратной для
= f(x)
Поэтом\
У =
f
и J; =
f-l(y)
н:;зыван:т таклее
Взаимно оУ;ратные функщш обл :дан т е.:lедующими очеви
НЫl\Ш свойств:ми:
)=
J;.
Рассмотрим при меры в ;:шмно обр::тных фуню шй.
=
О. Пусть Ю: >егменте [О, ] за, r ша фуню rия ]( х)
3:. Мно.,
лс: ством значений этой фунюrии
"'т сегмент [0,3 . Фунюrия
1
(и)
зу, >шр:' rел: НЮ:: Н:; сегменте [0,3, ,Ш ,rеня оi>ратной
f-
=
для заданноi1 функцн ](J;)
3J;.
20. Рассмотрим Ю: сегменте [0,1
функцию, опре, rеленнун:
следующим образm,f:
у=
](J;)
{J;,
=
1-
f-
Фунюrия
на,;
.
J"
еслн
J; -
рацнональное чнсло,
еслн
J; -
иррацнональное число.
(у), за,r шная Ю: >егменте
[0,1
и опре rелен-
равенствами
х=
(у)
=
{у,
у,
если у
-
I
если у
-
ирраrrиональное чшло,
аиионал ,Iюе число,
181
н :Ю 'ii1 ГЫЕ СВ1 1 ИС
бу
В
fRoi']
lеПОСРiД-
НiТРУДШ i
С1
ПУi
=
Th
f
[а С1Т
и
,i1'HTe [n, Ь] за, 1 !На lTpOl'O
MHo"l1eCT1'o>' значеl нй
lИИ являеТС1l сегмент ia,
'1 огда, в силу l'ТIЮГОЙ м(!
нот(!!
У = f(x) каЖДО1lУ
нз [а,
COOТf""lCTBY'"
inОЛ'lЛ;;О
i1'НЮ' Х и
Ь], ДЛ1l которого
у, и ПОЭТi'на c e l ] ] существ\'ет
J; =
, обратная
шя функ
Г(I). Более того, если ФУНЮlИЯ у
ЛI) 1!В
la,
ляеТСl возрастаютттей на сеПlенте [а, Ь], ТО фУНКЦИ1l J;
= f-l(y)
г,кже являеТС1l возрасгнощей на (егменте [а, р], ес,ш же у
f
=f
-
=
фyrlКЦНЯ убl,l1'ающая на [а, Ь], то J;
1
С1! У(;ЫВiнощей на сегменте [р, а]. Убе, lИМС>l, например,
у =
f
-
возрастаютттая
то и J; =
ЯЕляет­
[то если
f-l(y) - Tal,
Yl
< У2,
1'оз­
xl < Х2
(J;, = f-l(y и J>2 = f-1(ю)), нбо нз неравенства J; ;? J;2 и нз
во;растания функции у = f(x) Сlедовало icыI' что Yl
У2, а ЭТО
llротиворечит
1еравенс lBY у
У2.
Лемма 1. Дл",
"i n,об'Ы сm.рогоиа
Р:Jiтающая ФУНКЦИ>l. Действительно, если
то И
фu'Н,'Кци",
= f(x) ,116Л,lIласъ if;n.pe.pU6ifoU 'Н,и этом 1егМ1 11rne 'Н,ео6J;одиJ'ЛО и достаточ'Н,о, 'fтобы любое число "'( за'Ключе'Н,иое м;:ж:дl!
а = f (а)
р =
, было 3 'Ш"iе fueM э n,Ой
фу'Н,'Кции. ИЮ,l
фУНКЦИ>l у
=
словами, для того чтобl,l строго
ди\ю и достаточно, чтобl,'
iыл сегмент
Д
к
1Отонная
ЛХ) БЫlа непрерывна на сегменте [а,
100,
1Ожество> , значениi:]
(или [р, а] при р
т е л ь
т в о.
< а), где а
)
Н е о
,необхо-
;той функцн
Ла) ир
х о Д и м о
ЛЬ).
т ь.
Радн определеl fROCli' рассмотри>; 1'озрастающ>'ю неllреРl,l1'Ш\'Ю
Ю, сегменте [а, Ь] функцию у = ЛХ)
шя убываl1.тттей Функщш
доказательство анаЛОl НЧl 10). ПOl,а"l,ем, что если
<
(1, то
существует внутреННЯ>l ТО'lIШ с сегмента [а, ], в которой, '(с) =
= (в сию 1'озрастаюш функцн f(J;) на се; >leHTe [а, Ь] таl,ая
TO'lKa с
[ет еlинственноЙ). Обозначим lepe {г} множество
TO'leK сеПfента [а, Ь], ДЛ>l которых
~
(!Том>' множеству
ПРИЮJДлежит, юшример, точю, а,
(а)
а <
. Мншкество {х} огр:шичено (верху и поэтому имеет точную верхнюю
грань . Докажем, lTO лс) = ,. (Утметим, lTO любое lИСЛО
r
r
f
r
из сегмента [а, Ь], >lею,шее С, Щ;llнадле"l,НТ MHo"l,eCTB\'
J; 1),
lfобое чшло, преВОСХОДlтттее С, не ПрИЮJД lежит этому множе
а
2), ПOl,а"l,ем, что
-
Вllутренняя ТОЧl,а се; >lellTa [а, Ь].
1) Ибо по определению точной верхней грани, (ля любого ;1', меньшего с,
<
f(x)
найдете,i",' таю}!', что х
х' и f(",') ~ -(. Но тО!Д:\ fiЗi>лраСТ:\Юi',i
,'ледует что и f(:r ~ 1, т. е. ;1' прина,i)Iежит {:1'}.
2
В силу определения точной верхней грани.
11(;
,·····ть
са ,10"
, пусть, напр"
Ь. РаССМОЛШ,j
с ,\,дяп~г юся
Ь возрастающую послеД()j;ател ;HOCTj; {:1;,,} з'нач,ниi;j
Г; функции
то
1(;)
Так как
(3
другой стор; ны,
3
T"O],e,jbI
силу
неирерывна в то
liш
)
{ < (3.
71
{,
{) и ш ЭТОМУ
)
Та;им
юм,
(3 ::;;
что
иротиворе'jИТ у{ловин;
ПОЛУjенное иротиворечие 1Ока
Зj;шает, что
Ь. АjjаЛОj нчно MO\j<HO г'беДНТj;СЯ, что а
. Так
как с
- внутренн;1Я то' jKa (егмента [а,
СПI значений аргумент;;
с. ТО
>
1(;)
f(c). Но 1
По{кольку
liш f(x~
>
71--+00
рассуждения аналогичн
сегмент;;
[а, Ь]
значеj не
и {=
функцн
(с)
c;j. jTO
чи{ло
{
с-
(егмента
являеТСj
любая точка
-
IЗ
пределью,;
ша jением функции
с
Пусть
являеТС;j ир;;-
левым
TO'jKa
,j).
у
у
в этой точке. УбеjИМ­
f(x)
вьГс'
о,
а 1(:1;~)
н о с т ь. Проведем доказательство для
Д о с т а т о
на {егменте [а,
Функщш ;!
(д
убыв;н()
2)
точ (е
::;; {,
liш (:1;~) ;? {, откуда следгет,
::;;
,,--+00
1 ;) = {.
во
-
неирерывна в точю'
71-"00
{2). По ,тому
что
.
1(:1;~) =
71-"00
=
,то най, jУТ{Я {;~} и {;~}
сходящиеС j к с возрастаютттая и г'бываютттая иоследовательно­
-
f(x)
У
в
j)аничная
[а,
,
то
{
f(x n )
у-
а
соответствующим
jRO{TOP; ·нним
иредельным
значение,' в этой
TO'jKe;.
усть а
докаже\j,
что
{
8
о
а
раНИЧНО!'i
<
с
::;;
d
хn
Рю.
я;ляется ле­
С
ь
4.8
вым иредеъным ша'jением функции в
TO'jKe с. П)'iть с - стоъ
jTO Q < { - с (ри{. 4.8). По; кольj{,' j1О условню ле,'
число {- с является ЗjjачеЮiе,'
1(х), то на (егменте [а,
можно ука;;;ть TO'jKY d такун', что
f(d) = {-с. Так !;а!; фyr!кцня 1(:1;) f'озрастает то d с. Расс,ю­
три м теиерь любу н , схо, fЯщуюс,! К С ио{ле, !ов;;.тельность
}
м;;лое иоло.ж:ительное чшло.
зна'jений аргу;;ента :1;, эле\;енты которой меньше с. На'jина,! с
некот;,роГ\, номера N, в{е элементы
этой ш,следовательно{ти
гДОЕлет!1ОРЯЮТ нераве! !ствам
d
:1;п
с (ОД!Р
такой эле 'jeHT
и 1Обр;;жен на ри{. 4.8), так jTO в силу возраст ши,!
(;) ири
n ;? N с !раЕедливы нераЕенс! ра 1(d)
1(:1;71)
г). Та!; как
1
1) Так ка" все
2)
:l'n меньше с и, стало быть, прина, (лежат {Х},
В ;;илу того, ЧТО :l'~ < С < :l'~ ,(ля любого П,
ПГО i
]
f(!'
1-[;
Ч'10 111JИ
е
т
n? N
О
11(!СЛi' ших
ша' 1ение
"'" с
в
Ь, то
ТО' 1ке
СХОД1,ТСЯ,
са!'
с
1еравенств
вытекает,
I
произвольная схо fЯЩ,!1 С!1 К
знач, 'ний ар1 У\1ента, т(!
а
из
последоватеЛ1,Ш СТ1,
}
ное
то
С
1, ,в/,
пос
а
11(!СК(iШЖУ
1, Д!шате,
iЬШ !'ть
ДOiiазано, чт(! лево!' преде,iЬ­
суще{твует
и
равно
рассуждая анало, iiЧ1iO
I
=
f( с) 1).
Е{ли
MOi,<HO Д01;аза'11,. что
(с) являетс!, правым предеЛЬНЫМiЮ,'1ением функции в
I
ТО' 1ке с. ~IbI доказали, что правое и левое предельные зна' 1ения
Функщш у
в любой внутренней точке с р/шны частному
ее значению]
. а э 10
сил'" за\1ечания
п. 1 § 2, означа­
ет непреРЫВНОi ть
во внутренних ТО' 1IШХ сегмент/,. Непре­
Р1,ШНОСТ1, 'той фУНКЦii
В граШiЧ1,ЫХ ТОЧ1<ах се, !1е1,та след,,'ет
из того. что
ния
I
COUi
i'етствующие односторонние 11реде.Пi,ные значе­
в грани шых ТО' 1ках (егмента равны частным значени­
я!' i!';'Нi<ЦИИ. Ле!'!1а 11ОЛНОСТ1,Ю Д01<азана.
Следствие. Пусть uЛ сег,"t.е'J-lте [а,
nЮ'J-l'J-lал
f(b).
ес 'и
з/u!аif.a строго ,\Ю'J-lО-
фУ'J-l'l(;iiUЛ у = ](:1;), U пусть
= f(a),
эта фU'J-l'l(;ЦU'iuа iег,!f'J-lmе [а,
(
[,8, 00[,
а) стfюго MO'J-lоrnо'J-l'J-lУЮ U неn , /е , !'Ь!(J'J-lую 06рат'J-lУЮ фу'J-l'l(;-
]-
(у).
д о
а з а
е л ь с т
О.
СiiЛУ тол ,1;0 что Д01;аза1шоiij ле\1мы множ:еСТВОМiН/, 1ений Фуню ,.ии у =
являетс!, !'егмент
[а,
, а тогда, !'!iглаСНОi/,мечаНИ1;i
ЭТОЛ i пункт/}, н/, сегмен­
те [00,,8] суще{твует обратна!, строго монотонная функци!, х
= ]-1
iO
и 1<оторая
110
,,<естро!' значе1 iiЙ
'то '1У, В сил;' то!'!
сегменте [а.
З а м 'е ч а
и е
2.
=
Я1шяется се, !1ент [а, Ь]
само!'! ле" !1Ы, не 1ре! '1,1рна на
0'1 !1етим, что монотонн ,1е фУНКЦii
имеют пр/шое и левое предельныеiЮj' 1ения в калсдой внутрен­
ней ТО' 1ке области задани!, . Доказательство этого предложени!,
пре, ,о! тав,
!,ем
§ 5.
1ит/,теЛi!
Простейшие элементарные функции
п ростейши \, Иiлементарными Функци!, ми обы' шо называют
с ,едующие Фуню,.Ии: у = хOi, у
аХ, у
х, у
!iin,
=
cos :1;, У
=
tg :1;, У
=
ctg х У
=
arcsin:1;, у
=
arccos х у
=
arctg :1;,
= ai'ccigX.
Из эле!1ентарно, о курса Чiiтатель имеет представлеНiiе об
этих фуню '.Иях и 0/' их гр/,Фиках. Некоторые из этих функций,
1) Мы рассмотрели случай ,толь малого Е
Е, то ДОСТ;;ТОЧiЮ ПОi 'i!! !iTb d = а и
используя очевк iДoe неравенство , - Е ~
> О,
что
oi
< ,- Е.
Если
oi ;;; , -
Щ "ii!ден!iыi'iiсс\i)кiе!iи'ii,'
,·····ть
напр!'
!а
знач( ниi(j
()jfpcДi ЛЯЮТСЯ
ы ВЫЯС(
ap(y((efiTa J;
стей llих э(ементарных Фуню(ий Д
Нf,(
значеf нй их aJJГ;
(!i'HTOB
iЛЯ
раЦИi fiаш,ных
вопрос об ОffРСДСЛ! нии
ffpii
всевозможных вещсствснВiЮI ОС Ш' ЯfiЛяется
ffpi CTf,(
Ш ясно, напримср, как вг' Ш( (·ти пр( ·иiв( ,.ъное в( щ( ('твенш((' ЧШ·
Л!(
J;
произво.ън(·ю
вещсствснн('Ю
ст(
l1('Hf(
Мы ИЗ('чим также f'OffPOC о (effpepbIf(HOCT!' ffростеi1шн эле­
мент,рных Фуню(ий во всех ТО'(ках о(>ласти их за( ши>(. Н,l\Ш
будет обосновано то поведеf не ffростеi>jшн эле\(еf (TapНf>'
ций,
которое
ю,глядно
вырисовыв;,етс>(
И
ра;(l\ютрени>(
их
гра<jШi!ОВ.
В Д;шолнснии к гл.
8 ПРИВОД>(ТСЯ
алгоритмы вы (ис(еНИ>(iЮ,
чениi>j простейших эле\(ентарньг;
1 РационаЛК,НR,ке стеПZCКjИ ПОЛОЖ.И.теЛК,НR,ЛХ чисел. Воз
веде! не любого веществеш юго числа J; G челую nОiiOжшnеiiЫ-lУЮ
попре. (еляетс>(
ю,к
пкратное
умнuж:ение
чис.ш,
с;,
мого на себ>(. Следовательно, при целом n мы може> считать
Оfipеделешюi>j стеffенн;'ю фyr(кцню У = х n для все:! вещесП'ен­
ных значений
. Некоторые свойств;, ЭТОЙ Функщш будут Ю,l\Ш
использованы ДЛЯ определени>( рациональных степеней поло,ж:и­
тельных
(исел.
следующ('ю лемм>
Ле,м,,м,а
2.
nоложшnе (ЪН0М
о к а
т е
фУif.'Х:ЦiJ;· У
n
'Лори
О
;/ело,:с;
Gозрасmаеm и 1-lеnf;еfф!(j1-lа.
ь с т в о.
10кюкем возрасгшие этой функции.
J;
J::... Так как J;2 - J;1 =
- J;, х х (J;~-! +
+x~-2
... + -1),
1+ -2X1+ ... г~-1>O,т;;x2>xn,
HeffpepbIBHocTf; 'той
('становлена ра! (ее (см.
пример 1 п. 1
3).
п;стf;
<
=
СЛi·:дсmвu.
стеffенн;'ю
У
J;n (а се(менте [О, N], где N - лт; iюе положительное (исло. (;,к ю,к эг,
Функци>( непрерывна и возрастает на указанно> сегменте. то
она
>feeT
В сил;' следCfВНЯ из ле>'
1
'той главы на се(
>feH-
те [О, N n ] BOip,;TaH тттую и непрерывнут;! обр;,тнут;! Функщпо,
которут;! мы оiЮiЮ1' fим [ере У /n.
Поскольк;' JY можно выбрать как (годно большим, то и JY n
г,кже будет СЮiЛЬ yrO,fRO большим. Сле,юв;,тсльно, Фунющ>(
;Т = у1/П определена ДЛЯ всех неотрицательных зна'fений у. Ме­
ш;, fение ;,ргумента у н;,
.а
ш;, [ение <j>;'нкции J; на У, "ыI получи> степенн;'ю <j>;'нкцию У = J;
ня>( дл>( ЭТОЙ фуню щи
опреде(енную Д
всех неОТРЮf,Т('ЛЬНЫХiЮ, !i'НИЙ
Определим а /n ю,к
=
J;1/n
в ТОЧi(е а.
fИСЛО
р;шное ш;,' fенит;! фуню щи У =
ы >Юi(f.ем Teffepf, Оffределить люб;'Ю рацио-
ПГО i
нальн!. ю
jjТСЛ (НОГ(! Чjjсла а, И i]еш Ю, i'СЛ]! 'f' -
С] епень
ГД!'
и
n
це,]Ы i '
jjТСЛЫ]Ыi' числа
то
о/
Д(iГОВГiРИМСi], кр! il\fi' того, что
(1
=
!оу
Нетрудно убеДИТЬСi! в спр ше iЛивости !ледyt! iЩИХ свойств р(]
!иональной степени пололштельных
ьт
r
а'
=
(
]исел:
Ь';Т
а'
снс; ;а;;' справедл ;;;нсть пер""
при пелом
и
n
;;нлmки; сды·'
,
СВОЙСiва
*).
р равенство
З;i··етим,
ко енром пн 'т
понимаются любые целые положительные чю ла, заведомо справедливо,
ибо к;;к лева',;, так и Щ ,i;;,i;Я';ас iи этого
равн;.1
про;;з 'iдению
'шсла a 1 / " сам, 1" 1 нс; себя m . р
Полагая т
s
nl
,Ю;iажем
любых Пiiло)ки;сльн;.lili;Ц нн;а ;;.ных
=
а "1 'П2
•
(i слi ;
фУНiiЦИИ У
в
paBeНi тво
П2
б;.I Cl
б .IЛО ОТД;;'
И S.
0";
:l,п" сле,ювало бы, что и c~2
( =1) :~
!"ло)ким i l
а
1
• С2
;;з воз! ,i;стания сте НННсс"
'2,
#
ситуации
с;2
а последнее соотношение,
в силу уже доказанной справедливости равенства
= а 711 'р/п при пелом р, о,;начало бы, что (а 711
с;=1' 711 2/ п 1. Полученное соотношение
щ,нт
;;'нречи;
,ЮК;;З;;I'
дЛЯ це;
т',СI;;венств', (а=1/ n 1 )=2 = а=l
ство
1.
'ml, nl
= .'2 И перв,,' равен-
;;нлmКИiiДЫ"
Тем самым.
Cl
,Ю;iазано для любых положительных рапиональных т и S.
Г ;сщ",ст!,,;нение
;,ляе; т!,', д;; В си;
на неП'iЛО)КИ;iд;.н;.;е т
нашей д'
11, 1;" 'рен;юсти
-;;
ВТО"Р'"
*)
( -а1 ) r
не ;;редста-
о
при
т> О.
таКАсе дос i';ТОЧНО ДОК;;.з ;т;. д;"
н о г о рационального т. Полагая;то т равным
П О Л
где
и
)[(
n -
Т е л
целые по-
ложительные числа,шметим, что нам достаточно доказать paBeНi тво a 1 / n .
. IJ 1 / n = (а .
• ибо перемножением 1П таких равенств будет ,Ю;iа,шно
общее соотношение
. Ь"
(с; . Ь) r .
Для д"казат, льств;;;,;;венств;; a 1
= (а· b)l/n з;;метим, ЧТ'i в силу
св, IЙСТВ взаимНi 1 об! ,;;тных фУНi;ций у =
и
= уп М' IЖНi 1 ',тверждать,
)п = Ь,
)' = а, ((а. IJ)l/n)п
а·
по;·'
1 _
= a 1/ n
с;'
#
.
c';~.
b1 / n • С2
= (а· Ь)
/п И предполагая. что Сl
а . Ь = af;.
# С2,
мы получили бы, что
ПРО"iИВЩ"'ШТ
Докажем теперь после,;дее 1'ВОЙСТВО (*), учитывая, что первые два уже
,ю;; ;з;;.ны.
= ml/nl,
= Ш2/n2, тогд;; т =ml
S = т2 .
. nl/(n" . nl), и мы прихо, (им сле,;.ую,,;ему равенству:
Последнее равенство справедливо, та;; ка;;
. nl -
пелые чю ла.
,·····ть
Таким, ,6ра:юм.
,>
а
,
а
Ч'1 О 11рИ
ti r
>
во перавен(;тво
=
а m / n ~ 1.
> 1
(J,
)))'1
-+
т'2
а
1'+8
.
>
[)а1 jИCiналы Ю\' т
О
C11IJaP\'
ши-
и аТ =
1. В (;а1\Ю1\Т с'\еле, пусть т =
южая 1ючлеНfЮ n указаННf,1
нераве11СТВ,
полу 1ИМ aТn ~
iеднее неравештво противоречит неравенств\' а"'
1, 1юл\'чеННО\1У 1ючлеННf,1 11ере\шо 'i<ение\' 'ln нера­
венств вида а
1. 0'1 \1еТИ\1, наК011ец, что еслн рацнональная
>
дробь
r
=
>
т/n имеет не'1етный знамеЮ1тель
раЦ1,онаЛ1,Н01j
ные
сте11е1
\южно
[)аС11ростра1
n,
то определение
и
1а Q'j шщатеЛ1,­
1исла, полагая
(-а)Т = а Т , ее,т
(-а)!
= -({,
четное,
771 -
еслн 'ln -
неЧе'1 1юе.
рассркдений преды 1уще
го п\'нкта вытекает, что если а
-
поло +:.Iпельное
ция у = аХ 011ределена для все;; рацнональНf,!
lегко убе,1ИТЬС\i в ТОМ.
ленна\i
во
на
!"ножестве
J;
1ТО Фуню 1ИЯ У
1ИСЛО, то
J;.
аХ, а
>
всех рапиональных чисел,
1,
опреде
онотонно
на этом мно.ж:ествс.
саМО,1 деле, 11\'СТ1,
J;
и
J;., -
.Ш!. У ювлетворяюп~ие УСЛОВИ1i!:l2
люб1,1е ДЕа рационаш,! ых чнс-
:11.
j ог
).
>
>
>
Та]; как J;2 - х
а
1. то а'2 - ' 1
1, т. е. пра:iая часть
после,1него равенства по,южитеЛЬНf!, и поэтому а Х2 ':> а Х1 • Во:р "'танне фyr ;кцн
аХ на \ШО\i<еС1 Ре рацнональНf,! чнсел доказано.
ереходим к определеНИ1i> функ ;ии аХиа ,\t.'J-lОJICес n,ве всех
аещесrnае'J-l'J-lЫJ;
Фиксируем
TpIP
'iuce >.
'nРО'!! iвОЛ!,'J-lОi
Bell~e!m,Beif>"" 'Чu! ЛО Х И Р Н'\'l\Ю­
всевозмшкные рапиональные числа а и (1, удовлетворяю­
щие НСРfШСНСТВf!l\f
а<х<(3.
{ Упределн
аХ jjрИ а
>1
(4.2)
;;а;; вещеС1 венное число у
\'ДО:iле-
творяющее нер шенств!м
(4.3\
НИ\i<е \1Ы до;;а\i<е\1, что та];ое число у сушесrnауетп. u nрuто.лл
т,ОЛ!,1>:О oJi/.O. l\IbI докалсем такж:е, 1ТО опредеiенная ю!ми функ-
ция у = аХ обладает след\'ютт" ,
растает 'I-Щ всей беС1>:О'J-lе'Ч'J-lОЙ
т,о'Чк;;
э ПО'!! ·nрямm!.
С:iойства\ш: 1) !/.О3'J-lеnрерыi!а в любой
21
ПГО!
Фиксщ!« ем П!'нИЗВО ",'юе";'ЦiiНiiil ",ное чис ,н ,3, у<юв iiтвщ,<'i;щее
вому неравенству (4 2), и рассмотрим в; <ево;можные рапиональные числа СУ <
«д'"ле;;ii'ряющие
(4<2)<
Так как СУ
<
и "ока;ател',ная функци<,;, о"ределе;на<,; на
но, ;ес;;,е ра
пиональных чисел, во<;растает, то а а < а'й < Таким обра юм, множе; тво {а а }
, ';ранич!но сверху'шсло а 8 яв '<,iiтся 'iДН'i;; ;'З верхни, ; ран!;;
;<'H'iжества, Стало быть,;то множество имеет точную верхнюю грань
'iOторую
с<'ы
, ,,), ,ЗiiilЧИМ
у. Ос i;';тся Дi;казаi ", ЧiО у «<юв'; iВЩ'«'<
н!равер<
;<твам (4.3). 1li определения точной верхней грани вытекает справедливость
лево'<о 'iipaBeHcTBa /Р.3),
СЩ<;'i';Д<'ИВОСi'
(4.3) выте- о<ща ИЗ верхних граней, а у - точная верхняя грань
кает из того <что
с<'н" <е,ест с < {а"'}.
20. Установим теперь< что су",ествует
ве «,есrnве mi,e
число у, удовл,:rnвор.яющее н,ерав::н,сrnвам Р.3).
I]остаточно до,са<:ать, что для любого Е
О най< 'УТСЯ такие рациональ-
>
ны! чис"<
,3. «Дн"ле"'нряющие
<
(4.2), для Ю<iТщ,i,
а('-
Е. В самом <,еле< тос,а любые два числа Yl и У2 удовлетворяю"ше
неравенствам
, обязаны совпадать, ибо ра<:ность меж<'у ними по мо<,улю меньше
н;,леI
';',
ВЗЯТ,.!Г, i по ii iжите«'ьного числа
>
ФЮiсируем произвольное Е
ТВЩiЯii;шее щ<;,внму неI<;'В;НСТВ«
О И некоторое рациональное
(4.2). Тогд'. та,; е;;,к а а
(а 8 -а
Н!равенство а <-а'"
2
гл.
<Е
выте,с,;т,
чт,
рациональные числа СУ и
раЗН'iСТ
, (3
Д;;Юlзан,
i
{'J,
'.
(а 8 -а
;;,
нов,,
д<'Я
нат«,,;,льНi.!Г, i
М'iЖНi i
у ювлетворяющие неравенствам
1/п.
СУ бiде'
уювле-
по'«чим
1).
-
ес 'и с'ыI С'С
<о
Е
ЧТО а '-о:
выбора таких СУ и
<
1)
_
<а
1/
оБI';'З'i"
-1
<
вы; 'рать
(4.2'.
та,; что
, д;;ста"'ЧН'i д;;каза", су-
~.
а 80
Убе<,имся в возможно; ти выбора такого натурального п. Пу; ть
= 1 + 6".
Так ка,; a 1 /"
то
"'.
"ны'>
1
1/" _ 1 =
берем
n
> 1, то 6" положительно. Используя формулу бинома Iьюа = (а /,,)"
(1 6,)"
+ п6,+ 'iiiЛО)КИ';ЛЬ н"е
п6,. Отсюд;' а
<
а-1
n
Неравенство
п6 " и
< 6 <
а-1
(4.4) будет справедливо, если мы вы-
у ювлетворяющим требованию
а-1
<
Е
а('О или
;0 n
>
1 )а('О
Е
,-Lоказательство однозначной опре<,еленно; ти числа у, уювлетворяю "его
Р.3), З;ii,;РШ; но.
Заметим, что если :1' - рациональное число и
<:начение в точ се :"
ПО ;а:ательной фун iЦИИ, первоначально определенной лишь на множестве
122
ть
ра"НОНirлыrr,
чисе'
';"СЛОМ;t}, ю,тщн"
то
а
и
',rr,ляет'"
удов ,гтвщ,',rгт
тем
'д"нсrr,енн",мr,гщесrr,г,rн",м
HIpaBe,rcTBaM (4,;;),
2Iоr,ажем теперь, что построенная нами фуш'ция а
>
(при а
1
вО"rраrmаеm нл всеП ',еС"iоне'ч/но' "РЯМОU
Пvсть;1' и :1'"
любые вещественные числа, удовлетворяющие неравен
ству'
< Х2
ОЧ,
п.
1
S 2 гл.
2).
ра"НОНirль н "е чис",
<
нера',енс' ',а'
и (3, удо ,"твщ",'
у",еР)Кi,ение, доказанное
:1'"
конпе
Из опре,i,еления показательной функции и из возрастания ее
",rц'" ,на' ',ных чисе"" 'тгкают нгравенства а Х1 ~ а"
аР ~
< аХ".
<
Возрастание функции
доказано.
'ся Д"казат' непрерывно, mъ ''''СТI'''ГНН'';; нами ф" нк"н" аХ в
:1' бесконечной прямой.
Пусть {:1'п} - любая СХО,'ящаяся
:1' после,ювательность вещественных
"'O'ine
'шсгл. Дос "rточ,ю ДОКirЗiiТ'"
что при n
;?
>О
для любого с
"РО"Зi';;ЛЬН;;' с
удовлетворяющие неравенствам
н,riДi тся Н' ,"'ер
- аХ I
справедливо неравеш [тво
< с.
О
1V
таю,
',НЫi'шсла
и ,3.
"праведливо нера-
(4.2'
~ (в,;зможность BbIi" 'ра таr,их
венств" а('
а"
и ,3 д"казаНii в 20). " ,rK
Kar, после,ювательность {х п } сходится
Х И СУ < :1' <
то наЙ,i,ется но1V таю,i, что
1V с"раведЛi"'" неравенства
<
< ,3. Из
неравенств СУ
<
:1'
<
<
<
ХП
те ",ной ф',нкци;, вытек [гт, что а"
И и; свойства монотонности по шш-
< а Хп < а('
Так rШк ра'шость меж, 'У числами
;аключены меж,i,У
и
I<
и а, то
а"
< аХ < а'
"р;'
1V1.
меньше с и оба числа
с (при
n ;?
и
. ,П,оказательство
непрерывности завершено.
а
3
е
а н и е
Если О
<
а
<
1.
то а
= 1jb.
где Ь
>
Поэтому функцию у
а ири О
а
можно оиредешть KrK
фу"кцню у = Ь-' Ь> 1.
е становим некоторые свойства иоказательной функции у
аХ, а
1. ilce
з"ачею,я llоказател;,ной
ствительно.
а
-
-
;ЮЛО+i"пеШ,r Ы.
ироизвольная ТОЧЮr
рацнональная ТОЧ;iа, такая, что :1;'
делению, а'
2.
иусть
liш
>
аХ
и а'
О,
X-i-OO
аХ
то аХ>
аХ
+Х.
>
В ,амом де ,е. так как а
1. то а =
1 па. Следо;,ател ,но,
1
>
чшловой ир ,мой.
:1;. Так
1 + а. где
iiln а" =
;ia;i,
ио оире-
>
=
а
О и а 71
""'100.
сил;'
71--+00
МОЮ 'тонно, ти Фуню ,.ии
liш а- n
=
ИОЭiОМ;'
liш
аХ
""'100. 'Гак как а- n
1 !а n ,
то
X-i+ОО
liш
а'
'--+-(Ю
3. Из свойств 1
а та;, ,,<е из монmонности
,e"f!epbIBHOcTi'
функции
вытеЮrет, в !илу леммы 1. что ЗНU"lе!"
у этой
фун'Х:ции заnОii,нлюrn асю положительную nО!!Уnf!ЛJ>iУЮ у
>
4.
ДЛЯ Ш, riыIx веп~еств, 'нных чисел
отношения
(а·
и Х2 !'ираведшвы со
ПГО/
РТ ,i/'чалн
шеi нй для рац юнаЛi/НЫ
'тих соотно-
iiрказателей,
вед шв(i{'ти этих ('ООТН!!! '/'НИЙ Д
в спра-
ifобых ш Кiзате"iей,
но раСС/Ю'i peTi/ iiРСШ' iРfiаТСЛi/НОСii'
iii{'TaTO'
} раЦiюнаЛi,Нi,i
}
iИССЛ, {'ХОДiiщие( я Сi.ютвстственно к Х1 И [12 Тог
П срсходс! К ПР/' i/'ЛУ приXJ
(1, Х n' (1,Х'n'
,'",X~'
Нiшример
И используя
свойство непрерывности ПОЮiЗатеiЬНОЙ функции, мы полу iим
а' 1 а"
= a X1 +Х2, АнаЛОiНЧi 10 \южно убеДИ'i i,СЯ в с rpаведлнво­
СПI и
iрУГИХ И
перечисленных выше (оотношениЙ.
}<а<l)
х
Рис.
Рис.
4.9
4.10
3 а
е ч а
и е
Mi,i устаi1ОВНЛН cBoii]c'i Ра 1-4 iюказательной функции у
аХ, а так/ке непрерывность и монотонное
возрастание 'той функции на бесконечной ПРiiМОЙ ДЛii СЛ\'iаii
а
1. Отметим, ЧТО при О
а
фУНКЦИii У
аХ, в {илу
liiмечания 1, непреРЫВН!i и монотонно у(;ывает на бесконе'tНОЙ
ПРiiМОЙ. Кроме того, ДЛii ЭТОЙ функции сохраЮiЮТСЯ свойства 1,
и 4,
{войств!, 2 МiiДИфю iируеТСii {Ш' iУТПТШМ оБРiЗОМ:
>
<
lim
x--'t-oo
аХ =
<
+00,
lim
аХ = О.
x--'t+oo
Н;! рисунках 4.9 и 4. О изо(;рюкены ГР;iфики ПОКiзательной
функции у = аХ для сryчаев а
и О
а
< <
а м е
;:
н и
СВОЙСТВО аХ
Х2
a X1 a X2 может быть по
ЛОii<ено в OCHOi"" ФУТiКЦiюнаЛilНОiО Оllределения iюказательной
функщш у = аХ. l\Iожно 1ОЮiЗать, ЧТО существует, и притом
единственная,
определеН!iая (а Bcei;] беСi;онечной
!,
ПРiiМОЙ и удовлетворяющаii Сiедующим трем треiюваниям:
1) для любых ЕеществеitНых J;l и J;2 соотношению !(J;l +J;2) =
Л Х 1)Л Х 2);
2) (оотношениям (О) = 1, () = а, где а > О;
3) непреРЫВiiая Прi' J; = О.
Такой функцией и являеТСi построенная выше фУНКЦИii аХ.
3.
Hыi1
Логарифмическая >lуункция. Рассмотрю'
Ce2,'it.e1-lm
iИЯ У =
[с,
d
n/ЮU3GОЛ'Ь-
бесконе'tНОЙ ПРiiМОЙ. На этом сегменте функ­
аХ {трого l\ЮНОТОНН!i и непрерывна. ПОЭТОМУ, в {илу
'·····Ть
Аlеня5Т ДЛЯ::JТ()Й
аргу\гетттё.
ТТё.
Х,
CJ.
абазначение функпии х на у, мы палучим функцию
у
=
х.
Отметим следующие cBai)CTBa лагарифмическай ФункшIИ,
Heff' ,средстне; ю г;ьпекаfОЩffе из ее (шредеfеf
1о .Iагарифмическая функция апреде.fена для всех па.Ю­
жительных :шачениi) :r:. Эта следует из тага, что. ее аргумент
редстаг;ляет са бай зна;тения
в силу
то
cBai)CTB 1
[;ка
и
f·пелы
3
;;н.;азате. f;ЮiЙ функцию катарые,
'тай функции (см. преДЫДУf f.иЙ пункт)
и
запо
[т;т
нсю
поюжите.
>
f;HYf[\
ю
прямую х
О.
2. Лагарифмическая функция непрерывна и в;;з растает на
аткрытай ПОfупрямай х
Bcei)
fричем
> О при а > 1 (убывает при а < 1
fрИ а
1im 1ag a х =
1---+0+0
-сх:;,
Еm 1ag a х = +сх:;.
,];---++00
Справедшвасть ;тага свайства вытекает из сва)ств пака:~ате. ъ­
ю ;i', фонкпии И из замечания 1 п. 2 § 4.
30. Дш любых поюжительных
и Х2
Эта сва)ства также вытекает из сва)ств пака:~ате.
fbHai)
функпии.
у
о
Рис.
3
Рис.
4.11
а м е чае.
ff;ПИЮ
= loi2:e
4.12
Следует ;;саба аТ\i8'fИТf; лагариф;
х, где е
=
im
(1 + ~) n
функпии испальзавать аба:шачение у =
М боде\ для эн;й
111 Х.
Падчеркнем, что.
ПГО i
лi il'аРffфМИ [е! кш функция
матик
и ее
(! ро
iКIНИi!!
рила +:ениях.
м пее Прff
Ha:~ЫВ;lTЬ
а
графики Лiil'аРffфМИ [е-
PffC+
=
iкай функции у
ГИi
для случаев
laKi. :r;
'·'(;i.:i(ие
>
(J,
и О
< <
(J,
iiRRИИ,ffшрiiiiЛиче(кими функ~
циями называются следующие (! (;нкuии 1):
1о.
Гипербошческиij синус
shx =
20.
2
Гипербi iшческиij ю iсин\ с
CiX
30.
2
Гипербо шческиij тангенс
shx
е
х
-
е
-х
с11 х
4 о.
Гиперба. шческиij катангенс
Ctll Х = С!! Х = . . . . . . . . . . . . +
.. . . . . . . . . .-. . . . . . .
shx
е
-
е
Из апределения гипербалических функций Сfедует, что. ги­
пеf ,бошческиij син\ с, гиперi
ii iЛический касинус и гипербошче~
ский тангенс :шданы на всей чисювай прямаj. Гипербалический
ката;
l'effc
i.шределеf
тачки х = О.
Иifербошчес
CTf·f
нс (ду на ЧИСЛi,.iiй
i.ffe
задаf
ffi.UИi
fiЬП екает
fР>fМiiЙ, за ИСfi.лючеf
f Heffpef ,ьшны
из
н ка +:дай
неffреРЫiНiiСТИ
Ta'fKe
аб. [а-
,iili.азатеЛf,НiiЙ
Функuии и теаремы 4.2).
ИifербошчеСfi.ffе функции аб.fадаЮf рядам снаЙСТfi
aHa~
лагичных свайствам триганаметрических фуНКUИij. Например.
для
fерiiiiЛИ'fески:.: ,1,,·
\iеЮ'f \iесл, Tei.ipe,,·
сюже~
ния,
аналагичные теаремам сюжения ДШ триганаметрических
ИмеННii:
+ у)
Cll(X +
Х
sll(.x
На рисунках
4.13-4.16
=
CiX
Cll У
+
+
Х
Х
Sll у.
и:~абражены графики гипербалических
1) Наименование «п,перболические Функц ,И» объясняется тем. что гео­
\"('три j('С,iИ функции У = shx и
= chx \"О'У! быть опр;'дс i\'i'bI из расс\'iO­
трения ра iiюБО'iiЮЙ и"ерболы ю те\ }ке 'раiiила\'"
ю ,;оторым Фун ;ции
= sln х и
= c"s х м"г\т бьГ! ь
ределены из раСС\'iOтреiiИ',i едини;; "'й
окружност
12(;
,·····ть
у
х
y=sh
'пе.
х
'пе.
4.13
4.14
-------+~----.
~---------x
-1
y=th
____
о
y=cth х
\
х
Рис.
х
-~i-------
'ш:.4.16
4.15
5. Степенная функция с любым вещественным пока­
З~1телем 0:. Песть а - ПРffИЗВff!ЬЮiе веществеНЮiе ЧИСif
делим общую crnetu'J-l!!УЮ фую.Ц·i!.'Ю У = ха, Х
О, с.шщующим
>
ffiiразом:
).
>
Из определения степенно!) функции следует, что при а
О
iредстаГfЛЯе'i собой Rозрастан)щею, а iрИ а
О
функuию.
РаССМfнrшм
iределыюе зна'iение стеiiеНШiЙ функции Прif
х --+ 0+ О. Докажем. что
ia
,lit"-o ха ~ {
ю.
пеСТf,
+.,0
~:
: >
~.
{xn}aoiiaff СХ(iДяща fCff к ну.ао
справа пос.тrедовательность значений аргумента х. Так как
illn Ю[!;а х n
то из Cif' .ЙСТR ffн<азате. f,ЮiЙ функции ifыI~
n--7Х
27
поо
ри
поо
!'~сте(Тf;еню;
"fИ1'С1; Ь
'то [;ыр ;жение
До [<С1ж;,
;;;л,;;;;ителы
~~~,
те;;ерь
;ределенны
ри
;ри
:<::
Q
и
О,
тъ
ЮЙ функции н Л1;;бой точ <е
ЮЙ полупря;юй (х
О) Дл;; Э';;;;'О д;,~
;'l';;·;QЧНО •УС;;;;НОНИ'1Ъ.
,
~
r;;л;;
что 9'1';;· функция
неп;;е;ъшн;;· н к;.}f'.;ОЙ
•
~~~
точке х указанно!)
~~
.l~.l~
~~
~~.-.-.."
по. [упрямой слева и справа 'см. замечание
н . 1 § 3,
'а;;ример. не' ;'еРЬШЮiСТЬ э', ,;й
;;"НЮ' н
точке х с[ева непрерывность справа доказывается ана.югично).
ри это; ради
;реде.[е; юст[·; iiуде; С'fИтюъ
Обрати;;ся
к формуле у = ха =
щаяся слена
aa;oga'", а
> 1.
Пусть {х n }
- любая сходя~
х пос.тrедонатеЛ;,ЮiСТЬ значений ар;"';;е;па сте;;ен­
<
но!) функцию так что :r:"
х. Так как логарифмическая функ~
ция [епрер;,;н;[а,
пос[едонате ;,Н,'С[Ъ {u,п}. ;де u,п log"x n •
у
а>-l
(,,--1
1
'и,.. Р.17
'ие.4.
8
у
х
а>]
У -ха, a=~,
pk+1
а
у=;с
Рр+l
, a=2k+1'
а>
Рис.
4.19
Рис.
4.20
ть
iXf.iДИТСЯ
ция
не; iiЩiЫiНi.iСТИ
iXf.iДИТСЯ
:r;
(у.
i (м fеле,
BOfpaCT,\eT,
уа\
аи
РИifем
юс fОЛЫf f '
то
fJИ
i iТЛИЧf
Cffaff
НС!
ffЧi
(J,
спр,Ш i ДЛИВО
HepaBeНi тво
"т
функ­
iИЛУ
1/,71
{ff~J
ii\ff,\,fателыюй
Пifi леДf
Иf f,fМИ СЛОRf\МИ,
ii fслеДf fffателы 'о ! Tf,
предстаВЛЯЮf f,ая собой последовательность
f,
:~н,\чениi) (т'­
пенноi) ФунКf fИИ, соответствующую ПОС!8доватеъности
Х;
сходится к аа 'fg a Х т. е. к ха. Непрерывность степенноi) функции
н точке х
О слена дi \ffазана. АналогичНi f доказьшаетCf! !епре­
рывность этой функции В точке х
О справа. Но непрерывность
fj!f fif,ПИff
то'тке х слена
спрана iiЗf!ачает, 'тто функция !епре­
рьшна н этой точке. ОТ\fетим,
еСJIИ
!},
cTeffeHHaf!
функпия у = ха непрерывна также и в точке х = О.
3 а е а и е. ОТ\fетим, 'тто если показатель степеf юй
функпии представляет соБОi) рациональное чисю т/n, где n не'fеТfюе пеюе 'шсю, то степеf !ТЮ фУНКЦИfii У = ха
10
>
опреде,шть на всей числовоi) оси, полагая для х
если а = т/n и
у = -lхl Q
m -
если а = т/n и m -
<О
четное,
нечетное.
На ;Jисунках 4.17-4.20 ИЗfi(';Jажены графики степеННifЙ функ­
ции у = ха для различных :шачениi) а.
6.
',R<;(;;;яе
;!ЦИИ, В курсе эле\fеf!таРНifЙ
математики с помощью нагшдных геометрических соображе­
ний были введены тригонометрические фунКf ши У = 8il1 Х И у
х1 .
=
Перечислим некоторые важные для да,ънейшего
тр! ff'ОНif\f8'!РИ'fеСКИff функций:
cBoi)cTBa
10. При любых вещественных х', х" и х справедливы с !едую­
щие
СfЮТfЮf
[е;
= 8il1 х' 1'08 х" + 1'08 х' 8il1 х".
8il1( х'
х")
С08(Х'
х") =
1'08 х' С08 х" - 8il1 х' 8il1 х" .
8i112 Х
+ 1'082 Х = 1.
1) Ос ,!ЛЫfЫС триг '!юмс!ричсскис фу! fiЦИИ У =
И У
'ose'
tg Х
х о' !рел;еЛЯЮТПi
SlllX
COSX
tgx у = ctgx, У =
SJCX
'fерез у iа:зан 'ые:
cosx
,tg Х = -.--,
,
(4.5)
"!nx
Под fJТКПСf'f, ЧТО ОПРJ'ДСЛJ'ПИ)'
1
sec Х
'ose'
COS
fКЦИЙ
sin
и
cos Х
Х
1
SШ
с п 'f'iОЩЫ" П
!f
ЛЯД-
пых ГС 'f'i),ТРИ'fJ'СЮIХ сообра}ю !fИЙ
Яf! fш'тся Лf'ГИЧССКИ i',СЗ\ПРi'Ч 'Ы! , ибо
!ри ЭТОf fЮfМО}КПОСТf, О!fрел;елить эти ФУШiЦИИ /J;ЛЯ Б'ех ffещес! ffепных
ЗПf!чепий
рг"мепта Х с" 'ДIПС',f
i"'Зf'\ОЖПОСТИ "СТaIЮI3'fепия I3ЗfШf'fШ' од-
ношачного 'оответ,тв JЯ меЖI1У в'еми точками е, fИНИЧНОЙ ОКРУУ!УНОСТ\)
ffССf'Ш "С ff)'СТffСШfЫМИ чис f,!ми ИЗ CCrf'if"
[0.2т.].
ПГО i
0=1
Б111 ~
.
l::сли
1.
-
саБ
=
7r
(4.6)
О
та
< sinx < х.
о
14.7)
~,'казанные свайства устанавливаются пасредствам геаметрически:< рассуждений. }\Лы не
из
курса
Э,fементарю.iЙ
даRаТfi здесь f,fЗfiеСТf
математики
метрические выв ады свайств
1о
и
20.
fife
reii-
Оста­
ЮifiИМС>f ли!
[а геО.м,етрuчес'Ком выводе
неравенств (4.7), Краме неравенства (4.7)
мы
устаю i fiИМ
HepaieHcT fii i
Х
Х
'пр
ff
~).
х
2
Рассматрим
центрам
акружнасть радиуса 1 с
О
TaifKY А на Э'fiiЙ
iНiРУЖНiiСТИ (рис. 4.21). От
А
fPii-
тив часаваi) стрелки будем атсчитывать
дуги aKpy>f' ЮСТf,f.
J\;1 акружнасти,
находящаяся
верти, и Х
длина дуги АМ, Ох;
ра
-
Х
-
4.21
радианная ме­
аснавание перпендику, !Яра, апущеннага из
fересе'fения перпеfЩИЕ\ляра
ОА,
cTaHaB,feHHara из тачки А, с ПРОДОfжением атрезка
Тагда
М N = sin х, О N =
АБ
tg х. Так как треУГiiЛЬНИК О J\;1 А
J\;1
АОМ)
на ОА, Б -
Рис.
в первай чет-
yrfa
N -
садержится в сектаре О
R треУГiiЛЫ fie ОБА, и
ветственю, равны
s
пх
при
1 .
- blnx. 2
х, О
х
аким
катарЫi) в сваю ачередь садержитfJлтттади fеречис.тrеf
фигур саiПи
2
х
1
- tg Х.
2
т"
ри указаf
имеют
MecTii
не; ,авенства
зна'fениях х
2
i iiiразам. с fраiеДЛИRаСТf, HepaieHcTfi О
s
п х
Ы! х
х
О.
х
;Т"2) устаю.iВ. [ена.
'i,iiЙСТRа
1
, 30
\iOгут iiьпъ поюжеf
iiСfЮRУ аffреде-
ления функций sinx и {'аБХ. Мажна даказать. что. СiJщесmву­
ет. u nритом едu'Нстве'Н'Нлл, n.ара фУ'Н'К'ЦUU. О iределе'Н'Ных длл
вещесrnве'Н'Ных
3HQ,'jeH'ii1L appy.MiHrna, n: ni{,jro 'ii3 f,orniii)",iX
.М,Ы обоз'На~t1.1,М ч,ерез iiin;T, а вторуи, ~tерез
Щ'iiХ требова'Н'iUi.м
Даказательства
,тага утверждения приведена в дапа.шении
к этай fлаfiе.
5
х, удовлетворлro-
10 20, 30.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
,·····ть
ПОДЧZРfi
ю
Hf,TH'
SH1:r;
шй
С'! И
иtН'С'fНЫ'
и СОБ
:r;
элементарf ;ог;; кур; а Сf;ОЙСТКi
тригономzтриче; ких функций 1
дОКi ;i<eM 'нenpepы'нocm,'b тр; i ['OНi ;;н ' ' ' ' "fе<ки>: функц; iЙ
Кi)[\:ЮЙ точк области ихtа i:iНИЯ. ~,'<тановим сн iЧ:iЛ:i н; пр;­
РЫfШОСТЬ функции У
=
siп
=
н TO'fK
извольная сходящаяся к точке х
=
О,
{.Г N
[ро­
О справа последовательность
значений аргумента х.
fepaHeifcTH (J.7) имеем
sip
х n ' Отсюда, в СИfУ теоремы 3.14, вытекает, что последова­
те, i,НiiCTb {:;iп х n } И\iеет редел, ран! i,iЙ НУfЮ.
обраЗfi\i,
lim siпх = siпО = О. Так как при (-1Г/2)
х
О справедливы
<
<
;--+0+0
<
Hepaf;eHCTfiaX
:;iliX
02),
раССУ;i<даяанаЮГИ'fНii, ЩIIУ'Ш\'
lim siп Х = siп О. _Чы установили, что в точке Х = О ФункшIЯ
х--+О-О
- :;iп Х не! рерьшна с! pafia и Cfefia, т. е. ifRfifется fепреРi,iНiЮЙ
в указанной точке. Для доказате,IЬства непрерывности функции
= :;ii Х НfЮ; Ji ,й TO'fKe Х iiесконе'fНiiЙ
ю i,зуе\iСЯ
~
.
форму,юи Бm х"
х" + х'.
- х'
2 СОБ - - - ЮП - - - , которая может
( .5).
{Х n } iРiШЗf,iiЛЫfая CXii-
.
Бm х' =
-
бi,iТi, юлтчеifа из формул
дящаяся к Х последовательность значениij аргумента. Полагая
н ;iiследней фОРМУ,fе х"
li;p
71--+00
(siпх n -
:;1; Х)
'правеДШВi ,сть этог"
довательность
{ ;'ОБ
ность {siп х n 2-
},
- Х n их' - Х, ЩIIУ'ШМ
=
+х
хn
2 li;p
:;i ; х n
2
Х
-
О.
2
заКfючения вытекает из тог", чт"
хn+х}
2
3)
ограниченная',
а
Шiсле-
последователь-
в СИfУ доказанного выше, бесконечно малая.
Hгnpepъt6;Ocm;.
у = СОБ Х устанав, швается с по-
МiiШЫО анаЛi ,гичных рассу +:дениij ИЗfЫ
СОБ Х
Пi'ь
iI
-
= -
СОБ
m!iЛ'Ь'Н
2 .
юп
х"
+ х'
--2-,-
'ilX rnj i'U20HO,Ai, m;
.
юп
хи _
--2-,-
.
'и"I,ГС ,'их
Х,
х, :;ес х, СОБес Х) н ка +:дой тi ,Чfiе "iiласти и:': задания следует
из теоремы
4,2.
,) Например, равен"тваsill(-;Г' = -SillХ, cos(-x)=cos .
" ) Эти неравенства получают"я и, неравенств (4.7) путем :.!амены х на -х
и
фор;':У':Ы ::in(-x)
Из :РС:Ы'Й
if"'PM:
:ы
очеВИil:на ограниченност"
= -::inx,
(4.5)
СЛСД\С:, что I cosxl ~
по,'леilрвател"ности
1 и I :inxl
ХN i Х}
{ cos --2,
~
1.
Отс"д:
31
ПГО!
1t
х
у
-п
х
y=ctg
y=tg
Рис.
Рис.
4.24
4.2:)
у
I
I
I
I
I
I
I
Ix
1t
y=sec
Рис.
5*
cosec
х
4.26
Рис.
4.27
,·····ть
f;IНИЯ
деля\'
У
=
f<ажд. \Й
у fастки
8111
BO:~P;I\ та, т
и убы
мо!
Н;1
Шf·f
{IJункция
[.
к
1·)[{
f<аЖ.·f.О\·
2
юм
2
[те
2
1)11",2k11"]
ffЩЮf
ция У = ctg х убывает на каждом интервале (
,1 тш<пий
= :сесх и
= СОБесх 'ff·пате.
+ ~2
~ , k11"
k11"
х Rозрастает на ка +:дом интеРfШ.fе
. Для
1)11".
-
У
без тртда тстаfЮRИ'f
области возрастания и убывания.
триг, \[юмеТРff~
На рисунка: 4.22-1.27 ffзобра +<ены
чески:·: функций.
7. Обратные трю'онометрические функции. Функция
. Расс\ютри\ на
= агсsшх ОffределяеТС>f слеДУiОЩИ\
сегменте
ет,
'fTO
fепреРf,fRffа
[-1,1].
функцию у
[-11"/2,11"/2]
мы \нмеТИfИ,
[а
предыдущем пункте
се; \'е;
\.ее!
R
f<ачест,е
[-1 ]
ып х Rозраста-
южеСТRа Зffа'fеffИf·f
В СИ.fУ Сfедствия и:~ леммы
сегменте
-
ff<ПИ.f
1 для
сеГ.'еffТ
функпии У = si11:r; на
сущестю:ет не; рерьшна\f RОЗf ,ас fаiощая обрат~
у
1t
1
1t
Рис.
о
-1
-'2
1
arcsi"
у=ап спs х
4.28
Рис.
1) NIOHOTOHHOCT\,
функ \ИЙ
Slll
Х И
"OS
4.29
Х на соответствующих сегментах
уста: ЮI3И ь И·, ,f11'PM' Л
SШ
-
.
S111
Х
,
2 cos
x~
.
= - 2 Slll
х
+
2
.
Slll
х" - х'
--2--'
+х.
-х
2
2
- - - Slll - - - .
2) Здссь юд k мы п ':\И\ ::ем .лобо\' цс'юе '\иею.
33
ПГilЕЛЫ
на>!
М: ШfЯ
iШО
Оliоз;
чение
а рис
f,lTb
,lprYMeHTa у на Х
ши н,' у, мы получим функ шю у
ГJ'lфИК ЭТf:Й функции.
(10R1ртпеню: а;1,lЛi if'ИЧ; 10
06.1
б\дем ::БОШ,l
: :ПР111Л>1ется фт;
[-1,1],
=
у
::тью:а 1,ШИЯ служит сегмент
,1ТСЫП
01:: ::~;
,1ТС8111
arcc08 :r:
МНОЖ1ствомша­
чений сегмент [О, п]. Указанная функция убывает и непрерывна
на се; \:е;пе
=
J, 1]. На рис. 4.29 изоБРЮ:iен график функции
аГСС08Х.
ф\ i11\ПlШ
= arctg Х и
= arcct;:: х 01 , едеЛЯЮТС>1 как
ные ДfЯ тангенса и котангенса. Эти функшIИ опреде. 1ены. моно­
тонны и непрерывны на liесконечю 1{) прямой. На l'ИС' 4.:Ю и 4.:>1
изображены графики }ТИХ функций.
Рис.4.Ю
Рис.
4.31
ПIJедельные значения нею)торых функций
§ 6.
1
ЗЮiIе'·:ания. В ;Л. 1 iiыю Т11азаю"
что для вычис 1ения ПРОИЗВОДНЫХ функций У
8il1 Х И у
log(j х
нужю 1 ЩiКазать сущеСТВfшание предеlЬНЫХ значений (иш пр е-
=
делов ) функпии
;ри ~X
---+
sin(~x/2)
~x /г
.
л
u-X
---+
О и функпии
юм Х
>
Этому
при
=
(
1
~x)X/[:,,\
RO;;Pf:CT и ПОСШ1-
щен настою 1,ий параграф. Нам понадобится предюжение о пре­
делыюм знаifении функции. за11.1юче; юй \1ежду дн\'"
функ­
циями, имеющими общее преде.lЬное значение в данно{) точке.
:,lт: 1 преДШ.iжение представляет собf:Й <j)\ нкпшшаlЬНЫ{) ана1] 'г
теоремы 3.14.
Лемма 3. Пусть в 1-tеf,Оmорm'l15-0nj естности m·оч·'Ки а
I(x), g'(x)
и
/':'i,lmb .MO:JICem, (л,.МО?!
а: зо,Jii1-t·ы
, nриче.м фу1-t'К'Ц1..Ш I(х) и g'(x) имеют в точ,­
'Кг а OdU1-tо,f,овое nредеЛЬ1-tое з1-tо,ч,е1-t1L1
lЮ61-tое Ь. Если в у'Ко,зо,1-t1-tой
о'Крестности точ.к;и а
за ис'Ключ,е1-tием. /':ыть мо.?/сет, самой
m·ОЧf,U
1-tерОiif1-tСrnво,
({·i'lT!i:\}·1-t\iЮПU
деЛЬ1-tое з1-tаче1-tие фу1-t'К'Ц1..Ш
Д о
а з а
е л
h.(x)
с т
I(x)
~ !:(х) ~
g'(x),
то
в точ.к;е а су'ществует и равно Ь.
О.
{х n } 1ii1ИЗ}::ШЫ1ая
сходю 1ДЯСЯ К а последовательность значений аргумента х.
ше­
менты :r: n КОТОРОЙ1ежат в YKa:~aHHo{) б-окрестности точки а и не
,·····ть
1(:r:.o ) =
f
и
1iш }/,(г
СИJГ'
да,
g
n
>("'(1
{х n } - праи шальная сха. rящаяся
а паследавательнасть ша [е­
ий аргугге [та, та юс [ед [ее равенства азначает, что. liш h(x
;т--+а
= Ь. Лемма юr<а:ана.
2 . П редельноезначение
Ф ункции sin х 1) В точке х -_ О
х
(первый замечательный предел). Да <а:ж:ем следуti1fffуt(. теарему.
Теорема
х
=
4.4.
ЫП :"
ПредеЛ'b'l-tOе зна'Ченuе фУЮ;;'ЦUU
в
О с 'jщесmвуеm u равно едини'Це:
· sinх
11Ш
= 1.
:1;--+0
Д а
<
а з а т е
(4.8)
:"
ь с т в а.
l\·IbI
mо'Ч'Х:е
Х
.':ж:е аТl\Iе'rали,
<
[та при О
справедливы неравенства О < sil1 Х < х < tg
(см.
6 преды. r.ущега параг рафа). Де. fЯ ЮЧ.fеf ю эти неравенства
< 7r /2
на sil1X. по fУ'ШМ
1<
х
БlП :"
<
1
cosx
Пас.fед ше fepa[effC'f ра с
у ювлетва! 'i,ЮЩИ;; 'слаВИi1
этам.
са:·<х
кш
<
< 1.
[равед ШВf.' так ,·;е и Д fЯ Зf ачеf ий х,
- ~
2
<
х
Чтабf.' убешт .ся в
<
sin х
sin( -:r)
юстата'ша ЗaJ\.fетить. что. са:·<х = са:·«-х) и - - =
....
абраза.'
-,
х
х
Tat< t<at<
-
непрерывная
х--+,г
Ф нкций
fЯ'
тачки х = О
[ую< !Ия, та liш C(iS х =
ю
cas х,
и
Г·Пl
1.
Таt<им
..
внекатарай д-ак! ,естнасти
х
fЯЮТСif рсе услаfГffЯ ле .,. ыI
3 (ДЛif тага чт~бы
убедиться в этам, абоша шм 1(х = casx, g(x) = 1 и h(x = sш:r
Х
.
. Сfеювате [.на, 1iш'Ш
палOl,< им (j =
:1;--+0
Х
liш cas х = 1.
·--+0
даказана.
1)
:r,
Выше мы говорили о функции Б< ~~;{2) . Если обозначить L::,.x /2 через
siп х
то мы и получим функцию --о Условие
сюДится
усло шю
-+
:"
L::,.:r -+
О при этом обозначении
iiЯЮЮ
ПГilЕЛЫ
Е,е,н
з],а',ле],и(; функции
заме'ла'Rе,jR
4. .
Теорема
Х
ЫЙ пред(;л) ).
сле,r.ующ' ю
1(,1) =
fре:)елъ1-tое 31-t(]'''lе1-tUе
С'!j'щссrnн;сrn 'и рп
lim
е
ь с т
(1
i1l0
'---7',
д о к а з а
"ри
+ -1) ,Т --
(4.91
х
о.
Нужно
юказаТ1"
что, какова б1,'
ни была беС1,оне'lНО большая последовательность {Xk} значений
1 х
aprYJ\IeHTa функции! Х) = ( 1
,соответствую llая после, ю~
+-
вательность
юм
{! Xk } ша'1ениii этой
iYНl' ши имеет своим пре <e~
ШGТIO е. Рассмотрим С1е, 1.уiГiщие
бо, [ы
ЮСiеДОЕате,
1о.
[етыре группы ',eci,oHe'lНo
юстей ЗiiачеНlfЙ apry\<eii'1a Х:
БеСi,онечно бо, 1ьшие ПОС1е,ювате1ЬНОСТИ
{nk},
Э,1емента~
ilВЛi1ЮТСЯ r.елые ПОЛQjji 1лелы 1,1е чис а. К указанной
KO'lOP1,'
группе относится, например, пос 1е,ювате lЬHOCTЬ
2,
1,
3,
2,4, ,... n
+ 1, +
,n,
Бесконечно 'юльшие после, ювательности, 'jлементы 1,OTO~
20.
1аЧlf
1ai1
снекоторого
веществе1
Чlfсе,
Юi"iера,
СОСТ0i1Т
из
ююжите,
1,НЫХ
.
Бесконечно большие после, ювательности, 'шементы 1,OTO~
30.
1аЧlf
1ai1
с
вещественных
1eKOTopOiO HOi,iej ,а,
СОСТШ1Т
из
отрицателы
шсе,.
40. БеСК011еЧ1Ю БОЛ1,i 1ие ЮС1е,ювате 1,НОС'1И, соr.еj,j+iащие
бесконечно много l,al, по, южительных, Tal, и отрицательных Be~
щественных чисел 2 .
Заметим,
'то совершенно ПрOIГВО,lьная беСl,онечно большая
ЮСlе,ЮЕатеlЬНОСТl
групп
10 20,
,40.
значений
проведем ДОl,а:атсльство для
УШ'МЯНУi'а'"
(1
>
+ /::"T/T)x/L.x
О
СВО!Л'i'С'"
aprYiie
,та ОТlЮСИТСi1
Поэтому теорема б'
ранее
задача
l,аждон группы
о
к одной из
(ет ДОl,азана, ес ш мы
пределью,м
10 20 3
значении
и
функции
Пf И /::"х, С'i'рем','щемс,' к нулю, и фиксИf "ваню,м х
К
указаННОМi
ВОПРОСi
Действительно.
если
40.
>
ПОЛОЖИ'iЪ
= 1/и, то 'iрИ /::"т --+ О u --+ 00 и (1 + \x/x)x/L.x
(1 + 1/и)и.
"'i'a фi"нкция О'! !ичаi"i'С'" от фi"нкции (1
l/х)' только обо:~начением
'af'rY\ieHTa.
а
2)
Та!, ка!, функция (1+ ~) х не ,;пределена !Ш сег "iе!пе [- О] (,юсю'л!,ку
для значений
из этого ceгcvreH'i'a выра)кение
(1 + ~)
х
либо О'i'РИ1!Д'i елью"
либо ю' имер" смысла), '1'0 eCi'eCTBeHHO счита' ь, Ч'i'О элементы пос !е,ова­
!ЬНОСТi'Й 20, 30 и :,10 не Пjшнадле)ка'i ,'егмен' у [-1, О].
'i'e
,·····ть
(При
,уледовател"у уу}сти
Пуст
",й
руппы
вспом. н атсл,,­
ПА;}
!у'дО1 ату'
Докажу 'У, чту}
"ног
1+
liш
е
ум.
--+"
10 указат" такои но !ер iv , ч, о
'!
4 93
3), то
* выпо.лняется
неравенство
оскольку после.1Оватсльность
.
элеу !ент"у
ного
целые
шсла
{nk}
1Оложите.1Ьные
бес <ОНi'ШО большая и ее
числа.
то
можно указать та,<он номер
вы,ю 1Яетс>, УС1О}i},е
и? N*. Но
1я
N,
1я так ,х ,е
1Оложите.1Ь-
что при
k ?
'пА; как
;",;е
Уi<аiывалось, выполняется неравенство
Сiе.ювате1ЬНО.
=
е.
ПереЙде.· теперь к
1ОСiе.ЮЕате "ностя"
второй
руппы.
усть {Xk} i(,бая пос iе.ювате1ЬНОСТЬ второй группы и N начиная
с которо!о все Э.iеi<еiiТЫ
iьше единицы. Считая
част;·
Xk.
'пА;
= [Xk],
Тогда
k ? N,
этои
1ОСiеДОЕате.
обозначим
iepe
1О~
'пА; 'Целую
!4.10)
Отметим. iTO последовательности {nk} и
собой после. ювател ,i1ОСТИ iеjВОЙ гру!
{nk + 1}
пре i.ставляют
(4. О)
. Из iepaEei
имеем
_1_<_~
Т!!
1+
+1
_1_
1
:rk
Т!!
< 1 + ~ ~ 1 + ~.
:rk
Отсю щ, используя е не раз неравенства
,полу шм
~J
ipei.e.ibI
ПОСiе.ювате.1ЬностеЙ {(1+ nk+ 1 )
}
(4.11 )
и {(1+ ~k)i!k+l}
равны е. Де iствительно, первая из этих последовательностен
37
ПГilЕЛЫ
Щ;Жi"
iтей
бы ,Ъ представлена как
i;i,ИЗВi'
1)' +1} {( 1 -'"1- )~1} ,
{( 1 nk+1
и
ны со. ,твет, тв' 'нн, , 1) е и 1
п, 'iледовательн, ,сть предста­
i,Hi;'
i;i;из;где;
1
И
+ ~)}
пределы
nk
'
1.
пр. делы кот. 'рых рав-
Tt;
iiaTapbIx
сил" неравенств
(4.11)
тей {
1) }и
+
также т)авны саатветственна с
па теа! ,еме
14
ИJ\IееJ\I
liш
k-+oo
Рассматрим
х;.} -
паследавательнасти
третьеii
группы.
Есш
бесканечна БОiЬшая паСiе.юватеiЬнасть. Э·iементы iia-
тарай, начиная с Ю'iiатарага намера. атрицате.iЬНЫ, та пас
юватеЛi;насть { Z k i . e Zk
= -1 -
Xk, бескаiiеЧiЮ баЛi;; iая и
HeiiaTapara намера, састаят из палажи­
телы
вещественных Чifсе.. Паэтаг;у {z;.}
i.статiшет сабай
паСiе.ювате iЬHacTЬ втаран группы. Taii iiaii
ее Эiементы
на'шная с
(1+-l)iTk
=
(1+-l)Zk+
Zk
и
iiш
k-+·
(1 +~) +1 =
та
liш
k-+oo
liш
k-+oo
(1
1 + -.
Zk (
z,
(1 + ~)CT;
Дш зат!ер; iешу; даказюеЛi;С'i ра
=
1+
-1
е.
,а;'
ю раССГ.ЮТР8'iЪ
ю-
следавательнасти четвертай группы.
усть {Xk} - таi<ая пас ,е
ювате т;насть. ОбазнаЧif
через {X~
ЮДiЮСiедаi!ате.
юст
'пай паследавательнасти
састаЯiiiУiГ' и
элементав 2) паСiе.юватеiЬнасти
сле. юватеЛЫЮСТi;,
ХА
всех неатрицательных
а через
Х;:}
састаящую из всех аТРИiiдтеiЫ
-
э.
падпа­
ie;<eiiTaB
пас iе. ювате iьнасти {Х k} 3). Тат< i<ai< па да i<aiaHHaMY
liш
k-+oo
1+~
Х;
и
liш
k-+oo
1+
=с
1) При ';'''ом i·читывается. ч·; о
} принадлежит к первой р"·ппе.
2 Э';и элементы, начина'.i с нек .. Tof;;'r<' номера, CTf "Г<' пол .. )кительны.
3) 3дес;,
в отличие 'iT гл.
iiыбраЮiые ПОДiюследовател;, ;;'сти от ·;ie./
чаем .шаками
и
,coxpaH'.i'.i при этом элемента подпос iе.i.оваТi'ЛЬНОСiИ
'''от НО м; р, который он имеi в последова'"еiЬНОСТИ
{:rk},
,·····ть
указ;;'"
д
J
<Е
1 + x1
е.
;Pf;
"!!,ер
N
таю ,Й, чт;;
+ X~/)
И
N
< Е,
k
Следователы ю,
lim
k-+oo
(1 + ~
ч
=
е.
Xk
Теорема до <азана.
3
а м
а н и е.
И
до;<а:анноН теоремы следу; т, что
lim(l +;Т
1/:[; = С.
:[;-+0
В саг.ю;
де.;е.
;уст
х"
;юбая сход ;щаяся к
;ю
1+х
ЮЕате [,ность значений щ)гу',е;;та ФУНЮЩИ
х
юс·;е~
э. ;еме;
ты х n ;<оторой отличны от ну iЯ. Тогда постrедовательность {.:'n}
Zn = 1/х n , бесконечно бо. f,ша;; 'Сг,. теорег,у 3.6). Так как
r.r.e
( 1 +zn
то
lim (1
n-+оо
1.)
--
и
Zn
.
=е.
"'n
+
и ПQiПОМУ
lim(l +;Т
1/:[; = С.
:[;-+0
§ 7.
НеНIН;РЫШЛГ)С ,Ъ и пред(;льньн; '$Нс1'Н;НИЯ ,Н;Ю.порых
сложные функций
Н(;преIJЫВНОСТЬ
1.
и
рых СЛОЖНЫХ функций.
СЛOl,;
ПIн;дельные
'$Нс1Ч(;НИЯ
Н(;Ю)ТО­
100<ажем непрерывность некоторых
фу;;ю;ий.
IУСТЬ х = y(t) и У = f(x - простеiiшиешементарные
функции
. § 5), ;риче"
южестf'О значений {х} фу;ю
х = y(t) является областыг':адания функции у = ЛХ). Ilз pe~
10,
ЗУiЬтатов § 5 с;едует что ;ростейш;е Э.;ег.,ентар' f,fe фу;;кци
непрерывны в ;<аждон то' ;<е 0(; асти:адания. По,пому в силу
TeoleMbI 4.
ДВ'
у
сложная Фунющя у =
[;i(t)],
т. е. суперпозиция
Э.;ег,е ;тарных фу;;кц ;й, не;;рерыв ;а. Наприг,ер, ф'
= sin.!.
непрерывна в Лt{;:,ОЙ точ;<е
of. О. l!Iтобышться
В это г. , , достаточно рассг. ютреТf, функции х =
Сло:ж:ная
;ющ;;
t-
и
= ;·;illX.
гую< шя у = sin t- 1 TO:iЬKO обозначениеJ\.f аргумента
"Я
ть И ПГ,lЕ Ъ,
,ича, 'тся от функции у
-
Slll
1
сил"
сказа,
о
f'
",Ш,'
Х
В ,юб()й ',,'чке
~
Ра; iуждая а, ;1Л, ,ГIIЧ;
л' ТЮ'
убедиться, чтi'
;ую<ция У - 1n sin
непрерывна в лю(;, ,й т' ,чю'
;аЖДОГ i ' интерЮ.IШ
2
т
+ 1)п
(2k7r, (2k
пенно-пока
тельны
выражения
а(х)
О, lевидно, ИМi'i'Т смыс
лишь случа;;
>0.
убедиться, что если и(х) и v(x
В
окрестности
в точке а.
точки
а,
то
Лег <о
в точке а их)
;ую<
та;<же
О
непрерывна
r.еле, и(х)l'(;Г) = с 1'(;Г) ln щх . ПОСКШIlЖ,' 1; и(х
В са;,ю,'
стаВ,1Яет с060Й непрерывну;;; в то' ;<е а фунюшю, то и
lИЯ v(x
х) также
1;
;е;;реj;;ш;;а
х lnu(;r) не;;рерьшна
точке а.
о тогда ф' нкци'l
точке а. От;;ети;;, что уста;юв, ;е; юе
свойство непрерывности ПОlВоляет утвер:ж:щть,
ных предп ол о:ж:ениях li;
,--+(!
Пр е
30.
в
р
а
ьны
е
'U ( Х
=
начени
с
'U ( а
lТО при с,r.елан-
)l' (а) .
епенно-пока:~ате
ьных
и
Вы',;сним вопрос о пр" ;е,,'ьных :~наЧi'НИЯХ СТi'пенно-показательных вы­
ражений 'и(х)"(Х) при;r --+ а. При этом мы бу;ем прешола;ать, ч(о 'и(х)
в "е,;от<,рои ;,,; рест", .сти т' .чки а.
И:~
(00'; ношени',;
lnu(x)
выражени',; 'u(x)v(x при;r
;)lпu(х).
I. Пус;ъ
lim
'u(х) [п
ви ;но, ч'(о пр" ;е,,'ьное :~начение
а;ависит о'; пр" ;е,,'ьно;о ,;начени',; выражени',;
= Ь.
"--+а
Уб" i,ИМС,;, ч'(о В "'(ом ,'лучае
= еЬ .
lim
x--ta
В самом деле, функция
ш(:r)
непрерывна в точке х
= а. Поэ,; ом;
;овательно, lim
в "'(ой '(очке.
при
х
при
х
#
(е
а
И СIOжна',; ф; нкци',;
lllU(X)
то
непрерывна
еЬ . Так как lim е"(Х
,а
lim
>О
а
'<' сущест';ует и раве" е Ь •
lim ul
Испо ,ЬЗ;",,' ПО ,;'ченные В э'; ОЙ главе сведения о пре ;е 'ьных значениях
пр" ш
--+
П. Ес,'и
~OO
Ш
--+ +00,
[П'и(х)
lim
легю, убеД'iТhСЯ';.
= ~(,;o lim
= О.
х--+а
. l:сли li п v(x) lп ul
=
+00,
а
Ус ановленна',;
ul
т;,
li
п ul
х--+а
связь
между
Пf едельными
=
+00.
значени ;ми
ВЫj ажений
',' и v(x) lп и(х) , ;'З1\' ·ляет в ряде случаев легю, ,шйт i предеЛhное знаЩ'
sin;r
> О.
ть
'iение (l)y jj<ijИИ u(х)('(х) если и и\еСТ1ihl j1рz:дел ,jihl" ';Н;1чения
и
'аССМОТРИ»1 для прим>'j»' >'ледующие СЛУ'1"""
с> ществ>ет
iim 'и(х)
>О
и
iim 'ti(X);
х--+/
х--+/
> 1"
> 1"
2) iim 'и(х) =
3) (llll'(Х) =
"--+а
iim 'ti(X)
'00
i1m
)Тuедимся, чти в Сl1ТЧClе 1) limu(x) (х) =
"li
а
"1'е 1ЬНО, "1ак как
>
lim
.
1llIl
..J,еЙстви-
х--+а
О, то, в 1"и
непрерывно1' "1'И
l'
1огарифмич>'ской
а
функции,
lim
х--+а
(п 'и( Х) существ>'ет и равен lп [lim
х--+а
111 и(х) = lim v(x) lп [lim. и(х)].
li>"
х--+а
х--+/.,
Согласно
I
О"1'сюда вы" 1'екае 1, ч"1'О
limu(x)t·cx ==eJ~~:tv(x
11l1l(x
==
liш
ех--+а
v(x) 11l[ jiш
'
;с--+а
[ lim
х-+а
в случае
и(
2) lim
(п
, 00, и поэтому, С01 1а' но ПI.
3' lim
(п'и(х)
-00, и ПОЭ"1'О:VI>', согласно П,
iim
= +00.
В с 1>чае
iim
х--+а
=0.
"--+а
в заключение ука)кем "1'ри случая, ДЛ',1 к'
з шче 1ИЯ и( 1')
'TOf ых нахождение
""' требует ДОП1'л 1iпел ,,,Ы1> исследова 1И".
Неоnределенност'Ь типа
Пf едельного
'Ос
lim и(х) = 1,
iim v(x) = 00.
"--+а
"--+а
2. Неоnределенност'Ь типа 00:
iim
=
О.
iim
х--+а
=
О.
х--+а
3. Неоnределенност'Ь типа
lim 'и(х)
000:
lim 'ti(X)
'00.
а
О.
а
из ЭТИ>1 слу ше11 1'1Ы Пf иведем Ф<'Р,1УЛУ. уд"бную для прак-
Для
"1'Ических при lОжениЙ.
Пр>'обра.:>" м выражение
с 1е1,ующим обра.lОМ:
)] U(X\-l
}<'- ] "
далее.
и
и(х)=[1+
та1<
1с'(х) = [и(т
- 1]V(T
чт(,
(х)У(х.
Поскольк>
iim и(Х)
"1'еореме
4.5)
и е
>
"1'0 :~наче-
а
li>" 'и("' = li>" U(
х-+а
V(
х-+а
в т<'чке а. т. е. >,т
lim V(:r)
lim
li>"
С, то
х--+а
ли
V1"
.
И.1е"но: если li>"
limU(x)V(x) = ее
х--+а
1]v(
- 1]V(
- 1]V(T
с
1>'чай 1
ес-
а
= +00, то li>" u(x)v(x) = +00
слу шй
2));
если
[и1
41
iiЯ
""ТЬ и ПГilК'iЫ
-1]v(x) = -00 т(, Еш и(х) (х = О
х--+а
х--+/
«Ы по !('ЧТ,Р','
Форм(
)
[llП
lРопрр ,е
!(
(1НО((ТИ типт'
2
и
п
V1
ПРИRО ,ят((я К Н('ОПРР ,е
(1НО((ТИ типт'
!(
('леДУЮ1(Т,И(Т (,i)p":~o)('
Пол()жим
и(х) =
О'(е (()ДНО,
li
п и1
и
= 1
li
х--+а
При
00,
х--+а
Найти llШ[С"Т,.Х]Si.\
е
l(j и(х).
=
±оо. Кро,(е того,
=
Так кат( liш СОБХ
.
х--+О
= 1,
х--+О
"о налицо неопределенность '!ТIпа
_._1_,_ =
х--+О :-"lIl
Х
,,)-
)
и1
а llШ
1ею.
выше. Имеем
liшlUi
x--+о L
1
-1]--=
-1]v1
Si(j2
'
liш
=
Х-+О
[-2
1
1
1
2
cos 2 ~
2
2
liш [с. 'Т' х]
х
,О
1
1
si .. 2
'2
п р е Д е л ь н ы е з н а
е н и я н е
о ж н ы Х Ф у н к Ц и й. Дока ,·,е! С! l)ю:ед llВОС'!
о т о р ы Х
4' .
с
l( Сiе,(УЮЩll
равенств:
lim V'l+X -1
· ln(1
11т
1
n'
х
Х-+"
еХ
,т
.
1 - ((os;r
111П
2
_
1im - - = 1,
,т
) Расс>ютр()
,т-+О
,О
пеР;l(lЙ
l
;r) =
·0
Э'i llХ
х
1,
(4.121
2
реде,iOВ. И),!ее('
-1
х
п-2
+х)-+
1(1
n 1
Х [ (1+х)-n-,
,П
+
+(1+
... +(1
-1
nn
2
+ ...
+(1+x)~ +1]
1
(1
1
,·····ть
Т (К как Зi
::
.;;.:+:еНИii
:;'л, равный
+
X~O
Перейдем
('м lп(1+х)
по. агая
1,
=
+
1iш
:~O
1
=0
1
Х
д: ::<а:;1Т"ЛЬСТВУ вт<>р;:г:: равенства
12:
меj(х) - (1 ! х) /;т,
111(1+х) /;т lUШlреЛf'JШМ
j(O)
:r;
т;'чке
непрерывна
поэтр::у 1iш(1
2)
при
=
;т
;0
х) =
j
.. 1
X~:;
+ х)
В ре:ультате мы
по. :у' шм непрерывную в точке х =
фуню шю
х). Тогда и
фун:щия 1nj(.l; та:<же 4!.удет непрерывна в нулевой точ:",' и по-
;?Тому Н: 1п(1+
lj:r;=lnj
та:< Н:
=lne=l.
;T~O
lп(l+х)
;T~O
1.
Х
3) Дока:ж:ем справ"д:ивость третьего равенства (4.12). 0ложи:' х = 111(1
и) и замети:, что :ри х ---+
:ереме: aii
+
стре;.:ИТCii к н' iЮ. И;:ее:' е
и
1
c;e.r.yeT,
х
-
1·
и
l'
1 =
1Ш--
·~O:"
Ч'i о
1ш···················································· .......................
'IL~O
4) Дока:ж:ем справе;ливость после. ;него равенства (4.12).
Имеем
СОБ
1
siп 2 (:" /2:
.8) ),
1 siп 2
-.
х2
:r 2
то liш
:T;~O
2
1-
Та:< как liш
.~o
siп 2
-----,------;---,--:---'-
СОБ
Х
2
-
2
ИСПОШ:ЗУii соотно; {ен:у: (4.8), (
2), равенство .) си РО.
о(х)
п. 3 § 2), ;ег <о убедиться в справедливости с ;е. :.у:; 'щих
формул:
= х + о(х ,
\1'1 + :Т = 1 + ~ + о(х)
n
sinx
1п(1+х)
еХ =
со·: х
=x+o(:r;,
х + о(х ,
1
= 1-
'r 2
Т
+ о(х 2
П)
.
До:<ажем. например, справедливость первой формулы. Так
:<а:< li:
X~O
siп :" = 1 то в СИЛУ
Х
бес <онечно малая в точке х
=
1)
SlIl:r
=
1
О l;ун:<ция. И
х)
где а(!)
-
последней форму-
fii:iTeKaeT, что Si11X = Х + ха(х). Поско.ъку
х) = о(х), то
sinx=x+o(x.
2. Понятие элементарной функции. Класс элементарых
функций.
В
юже; ия;;
вю,; ;ую
роль юрает ю;асс
Фун:<ций, ПОЛУ'iаемых посредством :<оне';НОГО шсла ари: ;мети­
iес:<их опера:шй на. простейшими :шеJ'\1ентаРНЫJ'\1И функ шями.
43
такж;' п, л;чаеМi,;
ф' нкции
'ПОJ\1У кла;;у
J'ilbI
:r: 3
;;iзиции ЭТ
+
iX
7'i:Л ICCOjA
ого кла;'
лед' ющ;ч' ("ЛЙСТВО эле,~;ентар;
пгn,pcpы,' ы в 7'i:аждn/; то
а-
iадле Ю~1Т
, 11l'iH 3:r:l-
;OS
будем н;].зывать (П,
; iiCMi'1lrnapi;' , 'фIJ'll7'i:'Ц'И 'f, а к ,i+iДУЮ ф'
'eHrnapHoii
:JЛi'-
функций
nблаС!i!'И задaJ 'ИЛ ).
ЭТО СВО ;ство непосреiственно вытекает и
непрерывности
ф' нкций
теорем
4.2
и
4.3
;ростей; ;и;; э;е(,;е ;тарных фу;;к ;ий в каж.;аЙ
точке об, асти зада; ИЯ.
8.
Классификаци~; точек разрыва функции
Точки разрыва фрнкции И ИХ классификация.
ы опредешш точки раЗРi,ша функции как точки, в
кт OPi,;
функци;; не обла.;ает СЕОЙСТВО"
;е; ;ре) ;,Ш ;асти.
бу [ем на:ывать такж:е точками ра:рыва ;ую<ции точ <и, В ;<ото­
фУНКЦiУ' не о;;реiеле;;а. но в ;юбойс-окрес'; ;юст' котор ,IX
имеuIТСЯ то' ;<и области задания ;ую< ши.
Рассмотрим возможные типы то'
разрыва фую< ши.
1О. у с т р а н u
Ъ! й раз р ъl в.
TO"l7'i:a а назыаетс}!
1.
§3
то
усгп раif'имuго pa;Jpыаa фУ1l7'i:'Ц'ИU у =
J( х)
ное зна"lенuе фун7'i:'ЦUU в этой rnO"l7'i:e существует, но в mO"l7'i:e а
фУ1l7'i:'Ц'ИЛ
х) 'И ;р' 1lС onpCaUli'1la, iiЛ'И сс '!аС П1l0;'ша
в rnO"l7'i:e а не равно предельному зна"lенuю.
На;;ри ,;ер, ф'
j' (а)
;юш;;
S!пх
(х) = {
х
при
х
i:: о,
;ри
х
=
имеет в нулевой точке устранимый разрыв, пос;<олы"у предель-
юе значение этой фу;;ю
равно
ти;;а.
в точке х =
равно
1
а частное
2. Если функция j'(x) имеет в то' ;<е а разрыв у <азанного
то этот
:на' ;ени;;
разрыв
.МОЖ1l0
УС ПjЮiшт;,
;е
из(;е;
;;я
;ую<ции В то' ;<ах. отличных от а. Для (jTOrO
это"
;астато'
но определить значение функции в точке а равным ее предель­
ному ша' ;енIЛГ' в (по; то' ;<е. Та;< если в рассмотренном прим;'ре
ю;ожить
(О) =
юй в точке х
то lim лх) = j'
=
Х--+О
фу;;к ;ия будет ;е;
3
а м е
а н и е. На пра;<тике точ <и устранимого разрыва
ВС'; речаютс;;
сос!'едоточею;ых рас;
[е;е; ия;; физически
величин.
[:сли при Э'; ;,м область задания функ;;ди ,;кажется СОС!" ,',;щей ИЗ ;,т
дел
,iibl;; из;,лироваiiНi,;Х т;,чек, то eCTeCTBeiiHo с
опре~(е ;, нию непрерывна в каждой IП этих точек.
n;тат;,
';то фу ;;;;;ия п;,
,·····ть
'J{;!i'I-!'i"ч,
!/ые.
;1'/-/,(f'ч,г
.
'/-/,0 '/-/"
Еlll
.f(x)
:1;-+0.
#
1. ДlЯ Функци
разрьша l~гo рода
.f(x) =
рис.
(CNI.
sgпх
О
(х
.f(a - О)).
sgnx точка х = U ЯВ.lЯется точкой
4.4). Дейс! вительно. так как
1
при
х
!ри
Х
!ри
Х
- {
-1
> О,
= О.
< О.
то
liш
Х-+О+О
sgп х
Еlll
,r-+O- i !
1,
-1.
1
2. Функц]Я .f(x) = 1 + 2 1 / т ' о! !еделенная всюду, кроме точки
само
О. имеет в то'н<е
деле, ес ш {х n } -
- О !азрьш 1-го рода (рис. 4.32). В
сходящаяся к нулю ПОCJlе.ювател! ,ность,
элеNlенты !<оторой положитель~
у
!Ы, то
1
1
большая
"2- - - - - - - - -
Рис.
х
4.32
!, И поэтом"
к Н\Л!"
последовательность,
} -
Еlll
-+0+0
.f (х )
бесконе'fНО
юследовател! ,ность
{1
+
членами.
с
и
} - также
бесконечно большая после.юва~
тельност!,. Но то!да юследова~
телы юсть {
но мала
то {
!Тn
ююж:итеЛ!,ными
ПОЭТОNIУ
о
{J...} -
О. Если же
1
} бесконе'f+ 21/'''"
{.Уn} - сходяща !С>!
элементы которой отрицатель !ы,
бесконечно бо.! ,шая последовательност! с отри !a~
те.! ,ными Ч.!ена ,!И, и Ю ,тому lilll 2 1 / хn
Следовательно,
n-+ос
lilll .f ( х)
,т-+О
3.
=
1.
Раз рыв
2
г о
р о д а.
! Q'Ч//И а 1-lазывается тО"l'/иii
ра!рыва 2~гo рода, если в это'Й 17И"l'Ке фУ1-l'К'И,ия .f (х)
lиссееm
по 'Краii1-lеii .мере Ш}1-l0го из одН0стОРОННЕХ nреде.'!ЪНЫХ З1-lа"lе1-liJ if
или если хотя бы одН0 из одН0сторонних nредеЛЪ1-lЫХ З1-lа"lе1-lи'Й
6е с 'Кон е 'Чно.
к ГА;ГЫВ·\
например. функцю\'
ФУНЮjИя В
предельного
. IГЙС'l'ВИ'l'е;
;оч;\\'
U
(:1:
1
(рис, 4,3:5)
И\' имеет ни пр;;; ;ТО, ни
1)
;евог;\
значени;;
,но,
р н(мот­
РИNI (~;едующи;' ;'ходящис­
ся
к
ну;ю;р Ш;;
довательности
;;\(;;е­
шачений
аргумента:
х
2
2
-:;, 5n 91Г
и
1
1
71 271' 371' ...
n7Г
, ...
Рис.
4.33
Соответству;\ 'щ;е после, ювательности значений
1
81'; -
ИNlе;\"
у
-
след' ющий вид:
1, 1 1, ... , 1
и
... ,
О,
О,
...
Пер;;ая из этих последо ;а ;'ельностей имеет предел. ра;шый
единю;е а вторая имеет предел, равИ\;й нулю. Следовательно
функция f(x)
го зна';ения
И левого
=
sin
..Так
1
как
в точке х
. 1
sm -
-;1:
\едельного
. IРУГИNI
не имеет право; о;ре,;е,; ,но-
=
- -
.
1
8111 -
;'0
эта
не имеет
;Т
шачения в этой точке
.
примерОNI функции, имеющей ;о';ки разры ;а 2-го ро­
да, мож:ет слу;;;,ить ФУНЮjИя
= ctg
(см.
\ис . . 25) . .)та функ­
n - О, ±1, ±
±2, ...
2. Кусочно непрерывные функции. Функция у = f(x)
назы ;ается 'КУСО"l'НО 'НеnреРЫ6'НОЙ на cerNleHTe [а, Ь], если она
не;
;ывна во всех внутренних точках
, за исключение\'
ция и\;еет разрыв
2-;0
рО,;а в каждой из точек кn,
б; ,П; мож:ет, конечного числа точек, в которых имеет разрыв
1-го рода и, кроме того, имеет одностороИ\ше предельные зна';е­
ния в точках а
Функция называется кусочно не;;рер; ,шной на
интервале или бесконечной пря\юй. если она кусочно не;;рерыв­
на на любо;ринад,Лi';;;'атт~;'
им с' Г\ ;'нте. На;;ример, функ шя
СТ
-
[х]
2) КУСО';НО непреры ;;;а
на ,Лi{;БОNI сегме;;те, так и
на iiесконечной пря\юй.
1)
\нунок';.33 НОСlП ЧlНТО иллюстративны:; характер.
2) Напомним, что символ [;г] обозначает целую часть числа
;1:.
ть
всей Uесr.;vuечuоЙ
трем требованиям:
о. ДЛЯ любых ',ещ' ""''''ен ,ых чисел ;1:', ;1:"
шения
+ :г")
С(:г' + :г")
+ С(х')8(:г"),
S(x')C(:r")
= С(х')С(:г") - S(:r')8(:r"),
С 2 (:г)
(4.5') 1)
2" .
S(O) =
О.
c(~)
и::)
7i
<-
2
С(О) =
1.
(4.61)
=0.
справедлив';; неравенства
0< S(x) <
:г.
7')
Доказателы тво этого утверждени}{ мы разделим на две ча; т '. Именно:
сю;чаш; М,·. "",,;же·" единственно'тъ, а ;а "М существование '1'УНЮЩЙ
,о{г) и С(х), удовлетвор;,ющ;;х Тl'ебовани}{м °.2°
3°.
1.
Доказательство еДинственности. Дл}{ дока;ат.' ,ьств,; ед;;нствен­
НОСТИ достаточно убедитьс;; в справедш,восп, следующ 'х ДВУХ утвер;;;де­
ний:
n. речисЛr';НЫМ;'
обла;)ающ;'
с;;о '!с'т;;ами,
прямой.
С(х)
,;О'.
i·r.;OmUPOM
M;!O;)fCeCmei'
си',"
,.епреl'ЫВНОСТИ rlrунющй
;;дой точке :г бесконечной ПIШМОЙ
авны ИХ Пl'едельным
;ю;чен ;Шv! в .,;т.,й т"чке. Ес',и теш.'РЬ мы раССмоти;м СХ"ДЯЩ'iЮС}{ к
пос',е
довательность значениlt аргумента. элементы которой принадлеi;ШТ указан­
НОМ"
';ЫШ"
';С;iЩ··
!!ЛОТНОМ"
. ·Н"}Ю'СТВ··
.
Т"Ч' 'к.
Т..
''''ТС
.. ··ющие
пос',е­
довательносп; значеш;й функций S(x)
в силу сформуш;рованного
выше утвеРi;;деш;,' 2), опредеЛi;ЮТС}{ единственным образом, а поэтому
прещ.'Ш .• Э ИХ
".ва ,'ш.ностеЙ
;еЛЯ!i,ТСЯ та ;же
;Ю,С ''''''НЬГ'' or>l'азом. Но эти Пl'еделы как раз
}{ВЛi,ЮТС}{ частным;; значени}{ми rlrункц;;й
SC;)
И С(х'; в т.,чке
С,едов,;тельн." '1'УНКЦ;;И
S(X!
СС;) ОП.'" ;ел}{ются
ед;;нственным образом на всей бесконечной пр.шvюЙ.
1) Ф"l'м ;ы (4.5' ';-( 4.
ПО; чены ;;:; •.!юрмул (4.5)-(4.7) п. 6 § 5 потем
замены обозначеш;й функш;й
sinx и cos:r на S(x)
"(:г) соответственно.
2) J\1HOi;;eCTBO {:г} точек бесконечной пр}{мой называетс,".лuтным
ю, ""СЮ 'Ю.'чноii !!l'ЯМ"Й, .'с',и в
пр.шvюЙ С!1у!еетс,' бесконечно много точек
c-ОIЧi"СТНОСТИ ''''ЖДОii
MHOi;;eCTBa
{:г}.
ОЧЮI Э О"
47
Преж!е
1';
и С(х)
и к дока:ы
«cTaHo';IP;;
Ю<Ю' ор;<,п 'lюР';;«ЛЫ
:Г, ~"'C" ==
Полага}! в Ш<РВЫХ ДВУХ из соотношен;й С1
о S(O) = О, с(о) = 1<
0= S(.T)
1 = с(
Умн;; ';Щvl соотношеНli<'
л« <н<;'ные при
(4.14)
С(
+ С(.г) S(
С( -<г)
- S(.T) S( -<г)
соответственн;; Ю;
««iiн<;'ия. У<ш ывая.
sex)
С(х) -
чет'liа.я функци}!, а S(x) -
'liечеn;'liН<
Но тогда< liСПОЛЬЗУ}! первую liз формул
S«T")
= S (~
(
' "
=S ~
+С
--
сложим ш,
с2
С'н'тв;«<тств;«<нно
/{г). Так Нуl образом,
(4.14)
ПОЛУЧliJ:V1
=
-S
2
и С(.г)
функци}! 1).
(1.5;),
(+) (--)
;1:' - ;1:") _ (:r' + :r")
и аналогично
S(.T')
---)
( 4<14)
S(.T)
S<
С( -:r) = «(:г).
Сов;<рш;<нно ;шаЛОГliЧН". «множая С Н'ТН ,ш;<ни}!
на
складыва;; "Х, получим
=
:г и учиты-
-2
С
(;1:"
:r')
- ---
;1:' ;1:") S (-;1:" -;1:') -S
_ (х'-+х'<
(2 2 2
2
С (
;г;
;1:"
-2
-С (_<г'
)s(--).
шие
S(x") - S(x')
Докажем теперь непрерывность фуню! 'й
S(:r)
в любой точке
бес!/о"е<;;н,й прю;;оii. За';н тим. ч о ;,епреl'ЫВНОСТi< ф« 'щции
х = О
S(O) =
S(.T)
:"
в тОЧ1{;е
непосредственно вытекает liз соотношен ';; (4.7') и из иавенства
О. в самом
!е.ш<, еСЛli
} -
:зю,<;ений ;,р! «мента, сходяш;,яся к
ПР"ИШО«;ЬЮ,Я пос<;еДОВ;iТельн"сть
;ю справа, т;; и!
н;;ш; ;,ия О
< S(x n ) < :r n
следует, что и соответствующа}! последовательность значен 'й
{S (х n)} СХО !ится
<;;,СТНОМ</ :зю,чению S (О).
в
х
функцИi'
Та
то',л;е
=
вытекает непрерывность этой фуню! 'и
S(X) н,еnрерNвн,а в тОЧ1{;е
О.
Непреl'ЫВНОСТЬ S(c) в ,юб,;u то 'л;е х выт;<кает И, С'Н'ТЮ;Ш;<НИ}! (4.15).
самом деле, ПУСТЬ х - люба.я тUЧ1{;;) беС1{;он,ечн,uu nр.я <;ой, {х n } - произвол
<ш.я
(4.15)
1{;
:r<,ослеdов;)тел/<н,оz:ть з,шче"иu /<ргу.м<ен,та. Поло/!< "в В
,б
иметь
S(:r n ) - S(x) =)С СГ 2 :1: n ) S сгn 2 :г).
(4.16)
1) Функци}! f(;1:), определенна;; на бесконечной пр шvюй < называетс}!
f( -х) = - f(;1:), ч, тн,uй, если f( -:г) = f(:r).
<,еч, ,;,н,ои, ест,
1.] 'С
ть
в силу
"епреиывю]
S( ;T n2
n
чен ш.я
Н'·ЛЬ.
на
=
О. Поскольку ПОСЛ"довательно]
правая [а
1 ),
ало бып .. и л' вая[ ча] ·,ь
о liш
о iJ:~Ю] ,ае
10
т"
;Г)
6!
И'1ее', СВОИМ преi\"ЛОМ
= S(./), т. е. +ункция S(./) "епреиыв
,ке
,\.налог"чно доказывает]
СТО
\! непрерывность ФУНКП"И C(:r)
I.л}{ этого вм,'-
ну ,шо получить формулу
-2S
2)
Дока с, "М. что
2
шач' ния
ственным обра:~ом в точках
11ательное ч "до, а ТI. -
ТОЧЮ1 оiiраз"
(;г"
;Г')
S(./)
где р
2n
-
(;г"
;Г').
2
в С(с) опи" ,ел}{ются ед"н-
целое положительное или отри-
11елое ПОЛОС""тельное число.
)тмеППvl, что такие
всюд" П.'" 'тние множество точек ч"словой пр"моЙ. Пи'.два
р,пельно установим некоторые свойства фУНК11\1Й
С(х). Установ"м,
BiJ-m.'РШ ,н.
О ·,ти ф" н 1JТ~ии nериоди'1есл;ие и имеют период 2п 2). В С ,М' ,'.'
деле, полага}{ в
15) :r" = Х + с" и ;г' ;г, получ"м
2,,) -
(~+~)
Так как
"кае,
2S
о
S(x
(~)
+
сС(х
+ ,,)S(п).
(~)
=
О, то "з последнего соотно-
S(x)
т. е. фУНК11\'
С{г) пеи юд 1ческа.\! и l11vleeT период 2".
с.шд ,'т, что S(2п! = О.
Полага\! во второй формуле (4. С/) ;г' = ;г и ;г"
1.·(2п! = О, Ю] iщ'м
С(х
211) =
и учитыва}{, что
= 1 (в этом легко убедиты \!. П1) 1мен\!,' Фоимулы (4.5') снаих" = п/2,
с]тем дл}{
= П И х" = п), то
Так как
ч]] 1а Д'Ш
)тсюда, в чаСТНОСП1,
= п/2
С(х
+ 2п) = С(./).
Т]]КИМ
пеиШ'ДIl'НН'С ь С(х! та,сже ··стано;; 1ею].
Свойство периодичности фУНК11\1Й S(:r)'(:T) позвол}{ет в наш"х рас су­
с,сдеН111,Х огианичиты" сегментом [0,211]. J\1ы установим сейчас, какие знак"
имеютшаЧ1'НИ}{ 'l'ункц"й S(./)
С(./) В 1)]1 , '1ИЧНЫХ точю]х этого сепvн'нт]]..
Из ("1.6'),
7') непрерывности S(x) следует, что на сегменте [О.
значе­
ния 'l'с'нкции S(x! Ю.'ОЧJI1ЦJ]те.Ш.1'1.1, ПРИ'1е 1 1 1,а
+унющя S(X[
обращаетс}{ в нуль только в точке;г
- С(п)S(х! 3) и S(п[
сегменте
[11/2,11]
=
О, С(п)
=
= О. Так как S(11 - :г) = S(11)('(-:T)
-1, т" S(п - х[ = S(x!. ]"ЭТОМ 1,а
значени}{ фУНКЦИi1 1.'(:г) неотр 111ательны, причем на этом
(х) =
вытекает, что
I ~ 1 ДЛi,
в] ех ;г,
{С( ~Xn)
"t.UlЬЩNJVЬ О. > О, ес.Ш1
а 11ТС,'.1 ,а вып'кает 11Г1 <шиченю 1СТЬ ПОС'iедов]пелью 1СП1
2) Ф" нкци}{
Ю] ,ьrвается nериоди',есл;оi1 с
0.[ =
3) Эта формула вытекает "з первой формулы
Лii пого
!ля
справед iИiiО СООТНОiiiение
1 фУНЮi
1И
се!'
+ункция SCT)
ся В НУЛi, O,'i,'!O В
Х = 1Г,
ЛЫ Si 21Г - !) = -SC!), Ю,
Т быТi, ПОт' чена aHa'i' !ично +ОР'!iУЛi'
S(" :1:) = S(:1:) , вытека' т, что на /'тменте [" )1Г] значеНЮI фУНКЦИli S(:r)
нi П'iДожителы i,i, ПРИ'iе'! ф" "'!ция
Оi>раiiii!'ТСЯ
литтть Нi> '!ОiЩii!,
этого сегмента
'аССУ!!iдаii совершенно аналогично, можно убеДlПЬС}{, что
+ункция ССт) Ш'ОТрIЩliтелы,а Нi>
}ки еЛi,на на сегмс'н'с
и З1Г
'1Г/12,
/2.
[О 1г /2] и [31Г /2 21Г] и i,еПОi,"
и обращае ся в i'УЛi,
ОЛi "О В
оч,а;
Дл}{ завершени}{ доказательства единственности фуню! lй
Нiibl '" 'НilДiiбя ся Нi,'ю'
К [[ывиду котииых
Opi,'"
Во-первых, отметим. что llз
Mi,'
и
вытекают следующие формулы
S2 ( _ ) = 1 - ~CT)
Полага}{ в этих формулах
(4.1Т!
еще раз примен}{}{ формулы
:"
мы и получим интересующие нас
S2 (х/ ~ х/'
соотношени}{
1 - C(,T')CCi/)
2
1 + С(Т Ю(х") - S(x')S(, ")
(4)
Эти /.Lюрмулы ШiЮi lьrва!iiТ, что ес.Лll
и С(х) в точках ;1:'
ЛЯiiiТСЯ /,lДИl!С
+ SCi)S(X"i
иш/,,'стны :3ШiчеНllЯ ф'iНКЦИЙ
:1:, то значени}{ этих функции в точке
"
u
''''i'Hi,li!
'ii'CKO'P'
IП
[0,2,,],
+,"
S(Xi
опреде-
выттте раСС'iЖЩ,'-
шlй следует, что нам известны знаки фУНЮiilЙ
сегмента
х'
в каждой точке
а следовательно, в силу [[х периодичности с периодом
2"
и
т" ске
'ШСЛОilоii п 1 ямiiй. Исхо" !я И l извес
и единственным образом ОПliеделенных значен lй
C(:r) в точках О, ').
сеПVН'НТli [О, 21Г], мы М' "''''м. ПliЩvН'НЯii ПОС'iеДОВlпеЛЬНii ТО,'iЬКО что ПО,'i" чен­
ные формулы, вычислить единственным образом значени}{ ЭТilХ фУНЮi lй
Ви всех Тiiчках 'ШЩi jlK /2 n
[0,21Г]
и n - целые Нi'ОТliИЦliте.Лl,'"
Чllсла, Пli"чем
сегменте [О,
~ )n+1). Так как множеl тво точек вида Р"
,
плотно на
то, в сllлv сказанного в начале доказательства ед [нствен-
ности, /.l."iНКЦИИ S(Xi и С(х!
!Иl!С ''''i'НЬГ! Ql>pa:3ii '"
Нi> всей
ч HiДOBO" пр}{мой.
Доказательство существования. Мы дока
2.
)К
!ieM
более общее утвер­
[ение.
Су
'je/
твуют фую,;и,uu
SCT)
U С(х'!,
оnределен,н,ые
u
н,еnрернвн,ие н,а
уduвлетворяющu,е
в/ ',й ч
10.
'lещ' /'т"ен,
lяют/'
COOmilO-
шен,uя
S(:r'
С(,т'
:r'/)
+
S(x/)C(:r") + !'(:т')S(х/'),
= С(,т')С(,т") S2(,) + С 2 (,т) = 1.
(4.5') юять х'
формуле
(1.5')
(4.5 )
15С,
ть
О.
S(o) =
S(
где
С(О:
1,
С(
= 1.
=
О.
d
30
.;оло;)fC ;тслиlOС 'ч, ;ело
еnравед ,ивы н,еравен,ства
<
о
<x<d
тш.··
S(~,)
1Г/2, то L = 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим, во-первых, значен ", фуню, ,й S(x)
И С(х'; Ю, "Нi;}Ю'стве {s} Ti; ii'K
[O,d], ка}кдая 11:3 Ю; ор,.;· ';iоже
npui,eM, еени d
=
pd
быть прещ тавлена в в 'де
ПРИi,е;/ р
<
2n
,где
Пред "'рите.Ш."i
- . 'П,
точках
(4.17),
2".
2n
, . .. Так как
о.
=
и
-
целые неотр jjштельные ч "па,
,.! о 'и' де.шг/ :3Ю, ,ения э их ф" ,;кциii
8 n +l
=
sn
2'
то, llСПОЛЬЗУ}! фоuмулы
М"}ЮН; п"ложип.
8)
Из соотношею,··
С(80)
C(d)
+ор;/п
(4.18) "прещ' шю
d/2 n .ДОПОЛН'пельно к
о с помощью рекуррентных
ся jj;ач;·,;ия S(x: и С(.г) ;,0
указанным значеНll Шv! S(:r) и
,;,ы "прещ' ,им :3Н ,чения ·;ти".
В
Ti;
,ках О и
в (1.61).
П;.·реЙ ,е;/ теп; р,. к
мно",,,ества {.;}, 8
pd
2n
S(.T)
,еш ,;ю!.;
' р и 'П, -
d
т ,.к. ка,,,
И
Bi;
Ti;
целые неотрицательные ч "па, р
Известн". что ,юб"е Ц" н;е п"ложительн"е ч ,сло Mi; ;i;'T быть; динств;
образом прещ тавлено в виде суммы целых степеней числа 2 1):
,ках
<
нным
n
_~.
-
L-'o,z
2n -
;
2=1
,д;' а; равно
,иijо
,ю.
8
,и;;о
.~~
единИi,;
=
t (~,d
n
9)
i::::::::::l
Таю"v! обuазом, каждое значен ,е 8 представимо в виде конечной суммы чи­
сел 8"
дл}! ю,ждого И, кот"иых зю,чеНll.'
S(8;)
и
C(s,.)
"прещ' ,ены выш;. '.
Мы можем теперь, ,,,полы~у}! формулы (1.51), определить значени}! S(:r)
l)в дв"ичной систем;· счис·,еНllЯ цело;· чис·,;;
представл}!етс" в Вllде с "v!Вола. состо}!щего из нулей
в; П И представлю.'Т с"б;;й кu"ткую :запис,· ·шс.ш,
ч "па
2)См. сноску на с. 60.
'ИНСТВ;. 'нным
еДllН
",.
Этот сим­
;шщ' С" ·;;м,·; степ;·,;еЙ
и
в т' 'чках множес
СШ" н'ва
""ii"HOi" Пl
Ili,H
При
ом
i,ение "'тин" фiil'М""
н iЛжны
'"1
ЬiiЯ,
при iО""iИТ К
О
И
же
результату независщ:v1O от способа обii"единен""' слага,'МЫХ 8, в группы В
+ОР'СiЛе (4" 19)
Например, мы мож"м положить
= ;г' +:1:", гДi' х' =
8
:"
и затем выч "iЛ ,ть 8(:н) по первой формуле (451) Но так [не можно поло-
2:" o,i8,".
ЧТiiб,",
iИП ся.
Ч
О
",-
пос'щцо
тельное применение формул
) будет давать один
тот
результат
незав "имо от способа объед ,нени}{ слагаемых В в группы в сумме ('1. 9),
доста
очно, ч
О'сЫ имели мес
и
с[(.,'
(:праведЛi'ВОСТЬ
о
""iiii'"ия
+
+
=
+
+н'/I] =
этих
8fx'
соотношеш,й
+
+
+
+
устанаВЛi,ваетс}{
непосредственно
путем двукратного ПРЩ:VlенеШ'"ii формул ('1.51).
Убедш"ся тет'р,",
+'iНКЦИИ 8(в'; и С(в';, iiпрещ'леЮ ii ""' ю,.ми, а
нiiестве {в}, обладают свойством 1о на этом множестве. Пу, ть в', в"
в'
в"
принаД",:iе>[,~;:t.Т ,\iказаННоrvIУ
[СТ:>ВtПvl в', В"/
8' +8/1 В ВttД"-.' C\iMrvI
('1.19). )б'i,един [!! вход}{щие в в'
ч"сла в п С одинаковьпvНi Т!, до тех пор,
+
пока оставшиеся в
"е "уд""
1'"
име
,',И'iНые ИНi"ексы. м,",
Пl'ИЩ'Мil'"" п­
+
п 'ровке слагаемых В n , дающей представление (4.1'i) ДЛii Ч'''iЛа в'
в". Но
вi "не ",ыI пока:зали.
ин" '""iЛьтат вычис',ения 8(в) И"',И С(в) !ЛЯ с"" ",'м,",
Ю СЮiЛькин, ,'р' ""ментив "е iiiШСИТ
СVММЫ.
спост)"
ледовательно. если в', в" И В
Г1)"" ППИl'ОiЖИ с.ш,г,'i'М,"'
"
Э О"
в" принадлеiiiaТ МНОненеству {; }, то
:з~"чен"я 8(в) и С(в), вычис ,енньн' в ЭП'Х точю,х, удов',етворяют пеl'ВЫМ
двум соотношени}{м ('1.51).
справедЛi'ВОСП' третьего соотношени}{
для ""Iш:заю ,"Тн, зю,чений
убеди ься "е 1)""
определен",' 8(:r)
в точках О и d следует, что
8 2 (d)
виС
+ c 2 (d)
В
(О)
+
)
щ' ,е. из
(О) =
= 1. И, и' К Рин""
(4.18: 'iЫ н'кае
!ли
Нii[[[i'"ия
(в n + С 2 (в n ) = 1 для всех 8 n ,
И, "епосредствеюн'
провер}{емой формулы
СШ'
сш ,jБi дл"вiiсть С','ТНiiШi ни}{ 8 2 (в)
нiiества {в}.
!'Нii,"же'с
н,еиь,
для всех
+ С 2 (в) = 1 д.""
o'ie" " ",н,}ю'ства
всех точек мю,
{в ,0ТЛИ'iii"
О И
справедливы HepaBeНi тва
О
< 8(s) < 1,
О
<
<
справеД'iЮiОСТИ
Щ'и.Дл}{ этого каждомv
)0)
1).
(4.20)
по
}ю'ства {в}, относя B"iT~' Г1)"" ппу все ЭШ менп"' {в , 'нОТ' '1 ые мii}ю н'
вить в виде
pd
2n
' где О
< Р < 2n
1)Напомн Hvl, что в точках О
лами
(4.61).
ин
[""
К
постаВЩvl в соответ, тв"е группу элементов мно-
ир
еС
- нечетное число. Элементы этой группы
d значеш,,' 8(в)
С(в) определены форму­
152
б«
ть
,«Т Юi;ыва
д' жит
,<)я
ме}к
,д' мент порядка Т/
порядок
д"«
болы;,,' т/, и ко
;е
О
личаю<; ся
i\PY; а
,руг О;
,д"мент
Все "с ,,';;<ные,д"мент;; порядка Т/+
'«Т быт;<
К 8,,+
значен;;,' '{ОI)
СОl
;;е
Перш<;;'
2'
на
+1
;'от") ых
) а, ;ичных 8
1
м"
Т/< Вычис';им
единственное значен;;е
пор}{дка ед;;н;;цы)
Имеем ;;з (4<18) S(81) = )1/2 и
'(81) = )1/2. Таю"v! образом, дл}{ эле(4.201 имеют место. Д"пустш,; ,'пеuь,
место ДЛii всех элементов < пор>щок которых
т'рв"й
что неравенства
Ю'
;>ыттп'
имеют
)0)
Т/.
Тогда; в с;;лу первой фоuмулы (4.51); значен;;,' S(s) во всех точках поя
n
+ 1 по';"}кит;'
;;<ны. а
сит< т;"'т;<ей
(4.51
) ;г"
не больше ед;;н ;"ы. Полагаii в первой формуле
<;ти ,,;а';; ;;ия
d, ;г'
-8
учитыва}{ четность функци;; 0(8); найдем, что
= S(d - 8), и поэтому
дш 0(8'; справед;и;>ы
(4.20) !ля :зю;чений 8
Т/+ 1; та"
как. если 8 lПv!еет пор>щок Т/,
1< то d 8 также lПv!еет пор}{док Т/, 1. ПО
ЮЩ« ю~ии ОТС;СЩ;; с';едуе ,
д'Ш
оче" <<н; ;}ю'ства {8};
;ичных ОТ О
И d; спuаведЛl;ВЫ неuавенства ('1.)0).
Д;)1{;а,,;;<ем; ';то фун,1{;чии S(8) и 0(8), оnределен,н,ые н,ами н,а мн,;);ж;е­
С ';ве {8}, Muн,OтO'>н,Ъf, н,,' эт,,< м»о;ж;естве. Именно, покажем, что S(8)
в":з;,;;<стаю н;;я ф« ню~ия, а 0(8) - «(jывающ;;я ф« ;;кция. П« СТ;< О ~ 8'
+
<
<
в"
в'
8<' -
- - - и - - - ,,;.ключены стр; е;' ;';'жду
И
2
2
формулы (1. 5) и
)0) следует, что S(8") > SC';), Следо­
ва ;'Лl<НО, S(8'; ;'ция. И, СООТНQ}нения 0(8'; = S( - 8)
d.
Тог ,а
<
+ 8;'
8<
+
с.Ш'д ;'т; что
на мн; ;;;;;'стве
0(8'; -
Д;)1{;а"
nлотн,;)м мн,о;ж;естве
в
,< ";ж;dо;J,
f8
{8}
;1;ункц"я.
фую;;ции S(8) и 0(8), оnредеден,н,Nе н,а всюду
точел; сегмен,та О, d1, имеют nределън,ое <,н,аче-
O,d].
точ,< е
.
пос';едо;;;;телы;;;с Ь {в"
и П; "",;же;,
= 1 (существован;,е эт;,х пределов следует
Р;;<ссм;;
SC',,, )
n--+' '"
огран ,ченности
ИЗ монотонности
;;;; <,,;тельства
и
на мно>"естве
{s}).
;;;ват; ;;НОСТ; Г~:)}; г,е t(8,,)
;;<ссм; ;трим
=
Дл}{ до-
~~::;.
2S(8"+1)0(8"+I)
и
SC',,, )
;;.к.
) S( 8n +l )К'( 8n +l)
8"О(вn)
8
t(8,,!
-8"
t(8 n+l)
> ---
28"+10(в,,)
и
t(8,,!
--
>
о
n,
п)и
т.
8,,+1
{t~:)} убывающаii
ограниченна>,. По теореме
;'от") ый <,ыI "б;;;зн ;чим че;'"
5
она имеет предел;
; L'
<
li'ш t(8,,!
8"
= L.
(4.21)
при
n-+
n--+ОС'
НОСТИ функцИl'
(42 ())
liш
=
О
8 2 (.<;n)
+
-'·сю
Поскольку
>
1tз (422)
соотношеН1'"
n
)тмеППvl, что ":~
1iПJ
= 1
вытекает,
C(Sn) = 1.
('1.23) следует. что
('1.2 )
· S(8n)
L.
1lШ
-- =
n
( 4.
ВN
28(8 n +l)0(8 n +l)
8(8 n +l)
<
28 n +l
8 n +l
Так как
1"э ОМ\' IП
(4.21'; и (4.24)
8(.'\n)
L
--<
Вn
то
последовательность
Ili,H "м
f.(8 n )
<--
и\и
8(8 n ) <
П" сп.
. 8n < t(8 n ).
HieUb, ч о
n
8(8),
имеет п' едельное значеН1,е в любой точке
монотонно
возрастающа.\\,
сход}!ща\iС\\
"н"}ю'ства {sl. Ti\X как {8(8~)}
-
до \\\телы "сть, то с'щес \iyeT прещ"
через 8(х). ПУi ть {8~:}
0\\
( 4.
,(,бая С\',' 'дящаяся
последо \\\\телы н 'с ь :3Н1 iчений 8
тва {8}. Дл\\ любого
МО\ЕНО, очевидно, указать такой номеu k,
{ )тсюда, в сит· м"нот"нН1 iСП' 8 (8) на множеств" f 8 ,имеем
). Поэтому из ('1.22) следует, что
8(8;') = О.
}-
-
к
11.:
х
последовательность
элементов
\iOipac \\\(,щая огранич' i\Н1\Я ПОС'iе­
liП1 8(8~ , K"Topi.,i C Mi·C or>o ,,\а'ilГ/
n
,.'Х
люба}! сход iща}!с}! к 11.: последовательность эле-
множест \\\ {8} 8~ '"
Тог . (а
н сват" \\.но~п.
ет предел нуль. 'оглаi но доказанному n-+оо
огuаничеННОi п, ФУНЮi 'и
iеш (\н iЯ (\а "'н'}ю'стве {8}
сегмента [О, d]. Пусть {s;,.}
(I"n 2 С' n 1)
{I 8~
;
8~
I} име
О. Из
имеем
(Ч) (8;,; 8;, )
иньпvJ\\ словаМ1t.
=
силу про 'ЗВОЛЬНОi п,
О.
последов а-
-+00
·'\\.НОСТИ
} Э О о ,,\a'i\\"T С" \\н'ств"вание
iелы\р'
:3Н1\'iения
щ, и 8 (8), определенной на {8}, В каждой точке х сегмента [О, d I:
liш 8(8)
= 8(.г).
s--+x
Из соотношени}!
82(8) + 02(8) =
И неотр ii!ательносп, ФУНЮi 'и O(s)
Н1\ . ·сн с}ю'стве {8} СШ'
СУ:\\"СТВ' свание прещ' \\.НОГО ЗН1\чения
щ,и 0(8) В Kaii' нсй т"чке cerJ:vH'HTi\ [О, d]. ]\Iы б·· (ем "б\\:зн iчать пс'" iельн\\е
значен1tе этой функш,и в точке х символом О(х).
1) Напомним. что {s} - всюду плотное множество точек сегмента О, d].
ть
", (:[;)
фу'
,ре,,«
;енн,«,,<
утвеРЖiiеНIН, (фор]\!улироваННОIО
в
",л«
СУU<"СП U (i'iП1i,'u,J/, Фую;rч'u,ii
C(:r) i iР'ЩВii<РИ~
S(:[;)
тельно установи]\!< что определенные укаiанны]\! i'Ыiпе (пособо]\! на
cel<]\!eHTe
Hi' Ни]\! с,т]\!енте< jo~
первых< докажем < <iTO ес,;и х ;юбое <шсл' , из cer'iieiiTi' r 0< dl а 8' и 8" любые чи(ла из мно)ке' тва {8}, удовлеТВОР«i "fщие нераi,енсп,у 8' < х < 8",
то
< S(x) <
"'(8') > С(х\ > "'(8")< УстаноВIШ, например, что
S(8'
S(:r) (нерав,нс ва S(;r)
S(8")
C 18' > C(;r) > СI
дока:шв,,"fТСЯ аналогично) < Пусть {c~} - сходяща«,"< к х, возра(тающа«, по(ле,ю­
вательнос ь чисел мнос(,,'ств;; : 8 , вс« iЛ' "ie ,т,«' 8' ,«О "рой удив<,;е виряю
неравенс ва, i 8' <
< х. Так ,:,ак на "шожес <ве {,;} <фу ii<,пия SCf) возрас а­
ет, то последоВi'; е,;ы" ,сть S(8~ -S(8'\' возраст,,<е
;;;'iee по<,;, 'f""тельные
элементы. Поэтому предел S(x) SI
1) это' по(ле, о,ательности положитеш'н. Та,<,,,
обра:~,,,
S(8') <
iiiокажем
фУН'J';;'I~ИЯ S(x)
[0< d
фi!ii'h;Чi!,'u,
С(:[;) мпн 'iЛ,()iiiibl 'u,iiепреры ты
возрастает на сег.менте [О,
(доказатель(тво убывания ,j,,!н'J';;ЧИИ
этом сег.менте привиД"ТСЯ ,'iiа,юг"
;CТi,< х'
х" - любые ДВ,'
(ег]\!ента [
удовлетвор«' ''!iiие нера"енсп,у х' < х" . Е(ли 8' - некоторое
<iис;ю '" ,жес ва {8} <i"к,;юч,'Нii' "<
;r' и х" х' < 8' < х".
ди,<",з, ,iНOMY S(x')
S(8' И S(8')
S(x")<. е. S(x')
S(x"). MOii"TOiiНOC Ь
функт~ии S(x) на [ d] "оказана. Лре:жде че.м перейти 'J';; дО'J';;азателъству
непрерывности фУН'J';;'I~ИЙ S(x) и C(;r) Уi<тановим, что 'iредеЛ'hные знаЧ'i­
ния ,j"!H'J';; щй 'i,(') И С (
в тОЧ'J';;ах .мно:жества {8} совпадают со значени­
ями эти, фУН'J';;"ий в 'оотв,iтiтвую1ЦИ' rпДЧ'J';;а, мно '"е,тва {8}.
Р"ссм"трим "'ю"звр ,ь,,' ,е <,ислр
8
'" ,жес
ва
{8}
И две с" 'дящиеся к
8
последовательно(ти {8~} и {8~} эле]\!ентов множе(тва {8} таких, что 8~ <
< 8 < 8~. В силу "Юii"ТОiiНОС И '!;;нкц"и S(81 на" ""жес в« {8} справ,щли­
вы ,,(р,шеiiСТВ,' S(8~)
< S(8) <
S(8~ 2). Та,<, ,<",к liш S(8~) =
n-+ 00
указанные пре"елы равны предельному значени," в точке
liш S(8~)
n-+ 00
функт~ии
8
"< ;твер;"д,'НИi.' ДOKa:~aHO. ~бедимся
о функц"и S(x) И С(х) Henpez"w "'1 в 'J';;а:ждой тОЧ'J';;е сег.мента [О,
ТО толы<,о что сфирмулириваНii'
этого дос
ке
х
aTo'iНo ус
указаННОI<О
анов iТ',<, ч;
(ег]\!ента
(лева
эт"
и
справа,
непрерывны
(непрерывно(ть (пра"а и непрерьп,ность
8~} -
l\lножеСТi,;;а {",,::}.
. Для
непреРЫВiiЫ в
"ч-
справа
нещ,еРЫВiiЫ с;;ев" В "'iЮ' d (СМ.,аМ«<"'iiие в п. 1 § 3). Докажем
деленно(ти непрерывно(ть функпии
точке х cel<MeHTa [
;ст,«
теш<рь,
доказывает«
,юр,'(лева
аналогично).
i ,е,<,о "р,ш сходящ,шся х с ;ев" '" 'с ;еДивательнос Ь ч"се,;
Так как lilll
.'М;,< .. ' == S(x), TO~' ЛЯ Лj'",;,,',~ого е > О МО)КНО ука/':--+00
заТЬiЛ'('iеiiТ
<
8k этой посл,щоВi' ,< ;ы,,,сти< Д,Ш китОР"Г" О
Е. Рассмотрим
еперь произвольну"
сходящуюся
S(;r) - S(8~)
<
х слева ,ю(ле"ова­
тельность {х n }.
2У - ном«' < Н"ЧИiiая с ,<,О "рого В'«iПОЛНЯЮ СЯ нерав,'нс ва 8~ <
< х n < Х. силу возра(тания функт~ии при n ) N "ыполн«, 'fТСЯ неравен-
n
n-+ 00
2\
Ц,Ш
[S(8~
liш S(8~)
=
S(;r)
S(8'
числ"
<>О
- S(8')] = S(;) -
'ади определенно(ти ]\!ы доказываем это уп,ерждение дл«, функ­
S(x).
55
ст',а
<
',( J
<
<
<
"опоставл·'·' их
нерав,'нствами О
S(:/;)
справеi!.ЛIН'Ы нера"енсп,а О
',,(,г) ,ыми С,ЮВi'МИ,
ша',е"ие
в точ,~~е :/;
S(:/;n)
S(8~)
- S(:/;n)
S(:/;) ,
слева ра',но частному ее значеНIН"
в это" точке ТаКИJ\l 06ра ЮМ, непрерьп,­
но(" ь S(:r) в ,,',ю·
с"евс,
iпределим теперь фунюши
С"'ТНитттений S(c
d) = C(:r~ и
и
на сегыенте
+ d\
[d, }d]
ПОJ\lОЩЫ'
-S(c). ПРИJ\lен.~,~' эти ф"рмулы
'",спрос ''''''ИМ э И i'''НКЦ"и "а сег,с,е"т r 2d, 4d]. Пов "ряя ЭТ" рас­
еще
су)кдения, мы определим эти фУНЮiИИ i!.ЛЯ ',сех пшю)кительных значени" х.
Для отрицательных значени" х ыы определим эти функпии с ПОJ\lОЩЫ'
С"'Тi,,,ше,,ий
= -SI
и
= СI
л'т,~,о ,б,щ"Тi'.СЯ, ',то в р,'­
зультате ыы получим функции, непрерьп,ные на ',се" бесконечно,i прямой.
il"нкции S(x) И С(х\ ,Довш'творяют реБОВi"ШЯМ 1о. 20
и
утвеР)Кi!ения, сфОР'i,ул"рова"ного в начале дО'J{;азателъства существо-
вания. 3с,мет ,о"~, ',то ее,,, в'
сегыента[
в"
в'
+ в"
s при"адле.1.1ii"
MHO.1.1,eCTB'
сто. Из у,~,аза"ного выше способа "РОiЮЛ.1.1,ения фУНКЦ"Й
справед",ивос ь э И' фирму." Д,Ш з"а',е"ий арг'
d].
принадлежат сегыенту [О,
S(T) и
d
+ в'
в"
ПрЯ'iЮЙ видарd/2 n , где р и
гумен, а образую
в"
беСКинечной
Лi,,6ые пелые числа. Так Ka,~, эти значения ар-
n-
всюду п""т""е MHO.1.1,eCTBO точе,~, бес,~,о"еч""й ПрЯi ЮЙ )
силу непрерывности фунюш,j S(x) и
справ,щлив""
следуе
где s
По',тор·.,'" эти раССУЖi!.ени·,', ыы докажем, что
С" 'т'" ,ше"ия (4.51) справ,щлив '., Д,Ш вс,'Х ЗНi'Ч"Н"Й арг,
то,
s
d], то i!ЛЯ этих значений ар,'уыента фОРJ\lУЛЫ (4.51 имен.1Т ые-
Д,Ш вс,'х
соотнотттени·' (4.51
будут
ша',е ,и" х.
Поскольку требование
С(х), истс,.е СЯ
20
+
',ыполнено в результате построени'" функци,j
В справ,щливос и i еБОВi'''ИЯ 3. Отм,'Т""
что если в', в" и в'
в" - элеJ\lенты мно)кества {В} сегыента [О, d] и спраВ'ЩЛИВ"" нерав,'нс ва О
S(s')
Ls'
О
S(8"\
L8"
в си"" пеРВиЙ
jji'Рiшеш;тв
{4.5)
+ в') <
Ls'
+ Ls'
и нерав,'нс ва
<
<
(4.20),
= L(s'
(4.20)
и
+ в'
выш, шЯЮТСЯ
'''',,,,ве,,ствс, О
Использу.·, это замечание, фОРJ\lУЛУ
ШТ,~,О ,б,щиТi,.СЯ, что нерав,'нс ва О
(4.2,:;"
Ls справеi!Л"ВЫ для все' s из MHO.1.1,eC ва {В} сег",е",а [ d]. Так
'~,i'КЭ
МНО.1.1,ествовсюд' ",Ю Ho"a[O,d
S(x)-"епреРЫВНiШil"нкц"я,
то i!ЛЯ всех х из [О,
ИJ\lеют ',ыесто нера"енсп,а
< S(x) < Lx. Спра"ед,"ВиСТ '. тр,'биван"я
устс '" ,в"е, ,а.
S(s)
;амеТИJ\l теперь, что число
выбрат
'.
ЧИСЛи
зависит от "ыбора
· IS(sn)
-_ 1' ... ,.8(вn)
11
ll",·· ,
и ПОЭТОJ\lУ
n-+
ИJ\lенно, если ',ыесто
d' = d/k, то тогда B~ = sn/k. П" ,,,,стр"'Н"Ю S(8 n = S(8 n )
B~
n-+
(4
i СМ..
ibI) ,ира'"
ыы определим на сегыенте
такие функции S(x) и
вы,,"шЯТi,.СЯ
< х.
Г, "",е
,
Н'Рiше"СТВi' О
',еские с" ,БРi'.1.1i'·Н"Я пока:~ЫВi'.Ю
d = 71/2,
/ "
ЧТО будут
2S(sn)-
длина стороны правильного 2 n -угольника. "писанного в окружность ради­
усс' 1, 2в n - дли"а дуг" "'~,PY.1.1iHOC И, С ЯГИВi,.емиЙ'''рдиЙ Д шНЫ 2S(sn)
и 2t(sn - дли"а с оро"ы "равил""юго 2 n -угол ,."ика, описан"ого вокруг
этой окр'
Неравенс ва (4.2,:;) в э
случае "",ею В"д S(Sn) <
<
Sn
< t(8 n
ПОЭТОJ\lУ
указанном случае
ДOKa:~aHO.
.1) "а с. 146.
L
1.
УтвеРЖi!ение ПОЛНОСТЫ'
Г
А В А
5
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
в этой главе вводятся понятия производной И дифференциа-
1a, устапаПЛИ1;ею l'Я 11рапила , lll!'фl'Рl'1 Щllр' lllапия, 1ыIис,тшюю ся ПРlll1шиДПЫ1' псех прис l,,'ЙШИХ lЛеыеп аРllЫХ фупкциij y:tKe
выписанные нами в гл. 1. Далее расс; атрива1<>ТСЯ ПРОИЗВОДНl,те
ДИфlI,е; ,епциа1Ы пысших ПОРК1КОП.
§ 1.
и
Производная. Ее физическая
Гl"ОМl'ТIН?"Чl'СКЯЯ
Прт?"ращею,н'
1.
ИНТl'рпреТllЦИЯ
llPrYMl'HTa и функции. РаЗНШ'ТНllН
ФОРlwШССЛОВИЯ непрерывности. Пусть фУllКЦl1'l У
llПi)еделепа
З11аче1
,("Котор' lbl ип ('pna1('
) 1<аза1 101 О Иl ерпала
:г из
i)
ке х приИ31 (l lЬпо(' Щiирашепие .6.х такие, ч
та
lllie
= f(x)
(а. Ь ). ФИКl llруеы любие
зададиы аР1 яыеп у n
оч­
х
+ .6.х
принадлеlliИТ и"нтервалу (а, Ь ). Пр'uршще1-tuе.м фу1-t'К'Цu'u
в точ'Кс х.
1-tаз, '((ем
соотвстствующuм nрир iЩПШЮ
=!
Так, ,lЛя фУ1
У =
ствуюшее приращенИf'
.6.у
lIыее
= sil1
ыес
f
apZf!,
,нснта
'!UСЛil
(х + .6.х)
,
sil1x
.6.1) - f(1).
прирашепие
аргумента
l
llЧКl' х,
пе
-
Т, равно
sil1 Х = 2 l llS
слl ,lующее УТ1 ('p:tKll"
'Цш! У =
лвллласъ
достаточ1-tо, чтобы nрuршще1-ti е .6.у
(5.1
(х + ~x)
sil1
~x
.
(5.2 )
д,ilЛ того чтобы
1-tеоблн)u.МО 'и
в
точ'Ке
х,
1) Выесто интер"ала (а, Ь) J\IOЖНО раССJ\lатривать Cel'J\leHT [а, Ь], ПОЛУПР',l­
',ю, всю беск"нечн,ю ПрЯl'lУЮ
в""бще люб",' плотное в ,ебе l' ,,,жес в"
{х}. ОпреДl'"еllие 11'Ю ного в Сl'бl' MHO;lll'CTВll, {;r}
в § 3 гл. 2.
НС'/НО Jct,I'ИJlJct пр'!!
В само.! деле, по определению, функция у
в Т,I
1K('
,еС,lИ сущ('ствует Пi)е, e"lЬHиe
непрер l,ТEHa
шач(iНИi'
~x)=
силу . 3 § 2 гл. 4 сищеСТl опапие пределы !Ого Зllачеl
(5.3!
эквивалентно то.! и, что фУНКliИЯ [J
\:г)- f(1)] аргумента ~;
"Я б, "КOll"Чl
малой ЩJИ ~x ---+ О.
Диказаl
ii lе YTlI('p:tK,l("
пиЗl
,1
ше
llыIаillтьь
!(лр"-
Рl,ТВНОСТИ ФУНКliИИ У = f(1) В то' lie
в новой фор.! е, а именно:
фУН'Х:'ЦШ! у = f(:r) непрерывна в точ'Х:е
если nриршщение
этоu f/Jff'Н,'Х:'ЦШl в то'Ч,'Х:с х. COOrnBffrnCrnBfn I'ЩСС nрира'ЩffНШО аргу­
JcteHrna ~; лвлле nсл бес'Х:оне'f'Н,О JctaЛЫJct при ~;
if, т. е. если
=
1iш ~y
"':',т--+О
1iш
If(x
"':',т--+О
~x)
лх)
-
=
О.
(Б.4)
Условие 5.
Ml,T И бnдем наЗl,тват , разносnmо{l фо! JcЮ'U УСЛОii1lЛ
неnрер'Ывности фУН'Х:'ЦШl у =
в то'Ч,'Х:е х. Э
мы
б; дем неоднократно ИСПОЛl,зовать в дальнеЙl le.!l.
С ПiIЫОЩЬЮ
(5.4) ещ" р;сз убедиыс(} том, что фУllК
У
Юl1:Г fеflрерьшпа n Лl"бой оч,:е:г iiеСКОllеч}
прямо}.
сам, IЫ
из
pa!I!'"
из формулы C'1.2)
·
11Ш
.
[н
8111-
=
О
уТ !ОПИЯ IC08 (х + ~x) ~
пеfl' I,'Р('
"':':[:--+0
"'Tfl("
liш ~y = О.
.
2. ()пре,!iеление ПРОИЗВО,!iНОЙ. Сихрапиы
фупкции
у = f(:r) предположения и оiiозна'lения, сфор.! nлированные в
"':'х--+О
;;,чале
f1реДЫ,l.ущеги
пупк
а.
i-
1итая, что ~;
О рассмотрим в данной фи'Х:сиjЮffан'НлП
точке х отпощепие прира! (епия ~y f!iУПКЦИИ
точке к
ответствующе.!'" приращению aprY.!leHTa ~;
::::'.1} _
ЛХ
+ ::::'х!
лх)
::::':"
Отпощепие
бу,н м паlЬша ь разностн'Ы)
(Б.5)
отношение)
(п
данной то' lie :г . ПОСliОJIlili;' значение
Ml,T с 1итаем фи'Х:сщ 0ванныl1,' р;сзпостпо('
ii Iщ("
ПР(' "'та 1 ше собой
'Цшо аргумента ~;T. 'f)Ta фу}
Оflределепа ДJП} псех з fачешй
уыеп а ~x, пр шадлеж:ащих iiXOTOP'I", до,'та ,IЧПО ма
лой Оliрестности то' liИ
= О, за исключением самой точки
~:г
О. ТаliИЫ образоы, ыы иыееы прапо рассыаТРШ1а ь f!ОПрОС
СУЩ"СТf ,lfl,ШИИ щ)едела указа}
f!iY}
при ~x ---+ О.
Оnределенuе.
р о и з в о д н о U фff'Н,'Х:'ЦШl
= лх) в
даннои фи'Х:сированноu то'Ч,'Х:с х на:fыlшfтслл nрсJffЛ при ~x ---+ О
OC,,!1iibI
iИСiЕНИ>i
(5"5)
ра !Н ,гтНО20 от/но jU~'Нi!iЛ
пр?!
''li,
,о Эii от
rrUiyern}
П!юи ,паДПУ!!i фупкции у = .f(x)
iiчк,' Х будеы аба ,н"ча ь
Пiмпа юы у'(х)
(х) И ак, Пi' апр,' '" "'ШiЮ,
гуще:
.f'(:r:)
Отые им, чт,; ,"'Ли фУi
У = .f(x) iшре,i.елепа и им,','т ПрiiИЗ­
ваднг "; для всех
из интервала (а, Ь), та эта праизвадная бiiдет
пр,'
о"~ Ь са бай пек,;
"'Tai'
фУНКШiЮ iiе!;еыеппай х,
апределеННii'" на интервале
IНН!З!ЮДНi!Я
3.
акж,'
!; ).
фТ!ЗТ!Ч!'СКОЙ ТОЧКИ ЗР!'НИН. Панятие
, исхiiдя
ПрiiИЗiii' "ыы
из
ещ"
в гл. 1. Здесь м!,т еще раз астанавимся на фИЗИ'iеС,iИi{ прила!iе-
Пре:tК,i,'
iiредпо,юж:нм, ч
у = .f(x) апи, ы
вает зшх;он движеНИ>f ма nериал'Ьно'il ШО'i'Х:И по nрлJt.ю'!! линии
( .
пр, ;{l,iеПlIOГ,;
,
агда,
,'р"
мени ат
да
шЮЮ
как
+
,;чк,
известна,
,'кар,;с
ь
!;!чала атсче­
;[',
разнастнае
тачки
за
атнашение
ПРiiыеж:утак
В такам случае праизвадная
предел разнастнага атнашения
5.5
при
Вiie
т. е.
.f'(T)
апределяет
М2новiiННУЮ с'Х:орост'Ь то"l'Х:И в ,мо,мснт врС,МiiНИ х. Итак, Прii­
извадная ф!!н iЕИИ, аПИCf,твающей за[iан движения, апределяет
м!
iУЮ ски! а,'ть
,;чки.
Ч ,;бы пе со' i"ЮiЪ пр,' "'та,,
изваднай
тттира <а
испал[,з!!ется
а там, ч
"
тал[, <а
в
ПрiiМ!'рЫ щшлаж:епия шшятия
фИЗИ!iИ.
П!!сть фУi
у' пр,;
мя
.
(При эта м
В
то'Х:а,
,'КШ е
y.f
iЮi
пр,;
{ie <ани ,:е, п! ;иведем
,iPyr {Х
апределяет каличес iю электр iче-
а Чi'рi'i Шiiiеречпа!' сечепие щюпадпика
{iaMeHT
Вiiеi[ени :г
акам' iуча,' щюи ,паДlIaji
прахадящега
через
=
О берется за на'iала
.f'(x
паперечнае
пре
aTC'ie-
бу,н,т ii!iредешть сил!!
сечение п! юваДНИ!iа в
ма­
м,'нт преыепи х.
Ра,тм,; рим,
дан','
пагр, 'паi
ПредпалаЖiiЫ, что. ф\ ШiЦ Ш У =
тепла 1)
,катарие
га тела ат О да
.f (Т
iужпа п юбщить
физики, разпастпа,'
юшеi
1
(5.5)
iiрИ
[i!!pCa
элеi[ентарнай
ср! днюю rniin-
лоеJt.t'Х:ос n'ь тела при
а
тела.
,'лу для {а; ре;;апия
агда, [ia[i известна из
,'луча!' пi Юи ,падпаji
,,'Катар,;; а
апределяет [iаличестпа
iИ
т.
,6.Т
iiредельн,;е зпачепие
апредел
Выраже ,ное, н, ,;рИi ;ер, В ка юриях.
'ie
. В
";с
теnлоем'Х:ост'Ь
акам
а
шела
l!пн,110'!! Ш~Jct j~!, ,тур!"
Падчеркнем, что. эта теплае.! iiacТf,
ваа1\' ее гаваря, l,еняется с ИЗ.!iенение.! те.!шерат.i"РЫ
~\1ы i ,аl
I'MI,
iики
"
чита
"
Пi,иыеi'Ы Пi,ила:tкепия пiiпятия ПрiiИЗi ii '
ФИЗЮiИ, При изучении
В тре\ разНi,Т\
lЬ
пс
Рi'ТИ
I'Я
с
iРУГИЫИ
ii.i"pCa 0.1\'
ыпаГiiЧ!iСi,'i
iЫЫИ
iей фиПРИJ\Н'­
ра.!iИ прилажения панятия праизваднай,
3
4. ПРОИ"GВОДН5iЯ С
ТОЧКИ зрения. I3
:2
гл. 1 ыы рассма рипаш за,iiiЧУ а пахаЖ:,!i'!
касате"iЫ
к
кривай, являющейся графикам ф.i"НiiЦИИ у
на неката­
= f
риы ип ,'pnai" (а, Ь ). Там ыы ,iiШИ iшре,iелепие касателы
указаннай кривай в та' iie l'vl(1, f(1)) этай кривай. (ЗдеCi,
е,хатарие
iач,'i
аiJГуыеп а из
iTeii!ia.na (а, Ь ; сы. рИ1
Если Чi'Р'" ,6.х 1,бl ,зп~ч'и Ь ПрiiИЗi
та, а СИ.!iвала.!
(х
+ ,6.х,
лх
CaTeJIifH.i",i
р",
1,чку
мы
Р а(iазна'jИТf, та'
+ ,6.х
на iiривай с каардинатами
у
че­
iiшпай крипай,
s
апредеJшеы
ii ,е
при
5 .. )
lЬпа,' iiРИi,ащепие арГУМI 'ii-
), та ка-
пра\адящую
М
ii
к
па, юж:епие
,6.,
з
чтii УГЛiiпай ка
[т
кущей мр (Т. е. тангенс угла
iiiКЛOi
этай сеКУЩi'Й к
al'i'
Ох) iiапеп раЗIliii'ТПiiМУ
iеНЮi! (5.5).
з этага фаiiта
I,га, что.
пр"
"\ТI"
о
х
при
О iiтал наклана се i .i"щеЙ
", iж,'i Ili'рi'Хади ь yr1' i
клапа каса елы юй, мы n
'не.
5.1
па
§2
гл.
ГЛя'iiiЫХ саiiбраж:епиях iiыii!'' а
1
сделали ас! юпаш iЫЙ па
"ы, что. nРОUii60д!!ая
н,а У 1 ЛО60МУ 'Х:оэффu'Цuен, nу 'Х:асател'Ьн,о{l
f'(x)
[а­
pa6~
точ'Х:е М 'Х: графu'Х:у
фfiн,'Х:'Цшt у = Лх).
В настаяще.!
I,бражепия.
п\ НiiTe liЬ! утачним l'iiазанн
ч
наГЛЯДНi,те са-
i!iУПКЦИЯ У =
ia!
мы ,юкаЖi'М: 1) ч
У = 1(1) И.!iеет касатеJIifН.i"Ю в даннай та'
угшшай KI, 'фijШЕиеп указа!
касателы
ЩiOИ
па,шую
Буде.!
даiiазывать утвер +дения
1
и
21
,-
l!iУПК ши
!Та
(1))'
i
iапеп
f' (х
.
аднавременна. О(уа­
iiiЧИМ угал паК,iiiIIa сеКУЩI'Й мр к iiси Ох СИЫiii,ЛiiЫ <р(,6.х).
ПаСiiаЛi:iil углавай iiаэффи шент секущей l'vl Р (т. е. tg '11(,6.1))
::::'у
равен атна! iению ::::'х' та
= агсtg ::::'у
(5.7)
::::'х
при любiiЫ
,6.х,
I'Т! 1 'iiiiПИЯ
т.
е.
личпам ат пу ш. И
I'ущес
папа!
i
1'уще
iiредель-
OC::!1jibI
ного зна' :ения
г (:г) и из непрер j,ТВНОСТИ функции
Еш
~:[:---+o
н=
пр!'
arc!.g Д ш всех значений арг!! \!ента Bj,HeKaeT существование
." iЬ юг:: зпачения функпни (5. п точке,6.х = О i!апепс по
Еш <р (,6.х )
D.!f
1im
/\х---+О
.f' (х )
/\:Т!О
Равенство (5.8) доказ ,шает существование п: , едельного значе(при ,6.х --+ О) УГ1!! паКЛi)па секущ('й М Р, т.
Дi)KaiЬH ае
существование !<асательной к точке М. Кро!!е того, из равенства
(':.8)
ч:р!"
,iыI !ха('т,
<Ро
если
: :бi)зпачи
.f' (х , т.
<Ро
ь у,::л
,аклш ,а каса
"
iЬпой
<Ро = .f'
ПРffВ5fЯ
В полной аналогии с по!шыи :!:!ап::г:: иле, ::,0 пр:' !:'ЛЫIЫХ
,ий фу!
П, ::-
5.
дятся понятия
(,! да!
точке х).
Оnределенuе. П
И лево{l nроизводнъlТ ф!!н <ЦИИ у =
.f
а в о {1
(л е
о {1)
n
о и з в о д н о u
у = .f (х) в даюt.оU фи'Х:сированноu то'Ч'Х:е
назъuю.етС>f nршюе левое) nределы-юе Зl-Ю'fение разнос ii1Ш20
отНОШfiНИ.я
\:) в то'Ч'Х:с ,6.х = О (при условии. 'Что :то nрс­
дельное значение сущесrru!уетl
Лх)
Прапую "рои !ПО.шую фу!
: :бi)зпачают , имполом .f' (х О), ле,
символо!
- О).
Если
у = .f
И.мсст
т: :чке Х : :быч!
ую щюи !подпую П точке х
в то'Ч'Х:! х nрmtifводну1О . то
она И.меет в э nо{1 ШО'f'Х:е и nрш!у1О, и ле!!у1О
дШЮЩШi Мfi:ж:дi! собоU. Ес,ш фif!!'Х:"ЦИ.я
и nраву1О: и
совnадшют
nрmtЗ!Юfjн
со!ща-
!'т в то'Ч'Х:с х
=.f
и если у'Х:азанные nрmtЗ!Юfjные
собоu, то
nрmtifводну1О 1). Выес
данной точке
,fe
-
у =
!'м "ущес пую
.f(x)
И.мсст в тО'Ч'Х:fi х
фу!
им('ющие
и праву:", и леву:', производные, но не имеющие
производной в этой то' !·:е. При! ером та!·:оЙ функ iИИ \!m:<ет сл!!жи
ь
.f(:r:) =
111
{
+Х'.'.
'{)та ф!!Н<liИЯ и! еет в то' !·:е
1im
~T 1,
леп!!!! про ,з, од!
х.
!""ЛИ Х ;? О,
!""ЛИ Х
прав!!!! производн!
раШl!,Ю
/\:[;---+0+0 D.:r
им: '!'т П точке х = О щюи ,подпой.
6.
< О.
!!!.
равную
limD.x = - 1
D.:r
'
6,---+( -!:
Понятие производной векторной функции. В
ич,'С!',ОМ
анализе и е!'О приложениях часто встреча,· ,тся понятия щ'кторной функции
И
прuи.:водноii.
1 Это .:твеРЖДi'Н!!f· СШ-ДУ"Т и: СОО В,'ТС! вующ,'л, :твержДi'Н!!Я ДЛЯ прав! ,1 § 2 г.,!. 4).
г!, и,!евого пр,щельн ··:х :~Н::Ч"Н!!Й фу н·лии f CM.f!M! . ,,!ние !!:~ п.
61
'h;П:JICдо.м,у
н
{ПО
соо;;
;1МJ/'М;Н!И() пер .. ;;е то;!
';еmс;;
';nе
по
'11,;
·;а';есmно.м,у а;.
•· .. Н ..р.I/,{n,иа. МНО ·;,е;rnн' i t,ш/(шМJ ,;е
; вектор взаданнон декарто;юн
иД;;' ,:~н;;чно uпр,ще,.JЯ,·ТСЯ
ремя ".оорд;н;,'
;"
Так как каж; ы
;;;е
торнон функт~ии
;r(f)
=
il;
аи) эк fИ"алентно за"аню"
!ti
и
Пuня ие ве". "р;;"й фу
и,
,
то
:~ад;,;;ие век-
трех скал',;рных функт~и]j
"сuбен;;"
О"ратитьс..,; к так называеМОJ\lУ
a(t),
ПР',;]\IOУГОЛЬНОн ею те­
;;аг,.JЯДНЫ;'
ес..;"
фуню;ии.
''догра;Jюм н;, ""ша,'ТСЯ геом,'трич,·с".ое м,'СТО ".о;;цов вс,'Х В,"
"ров
приложенных к началу координат О. Кривая L на рис. 5.2 предста-
в,.JЯе
сuбuй гuдограф В,"
;l;;нкц;и а
=
a(t).
Понятие ;'о;юграфа ;,екторной функции предста,ляет собо"
ПО;JЯТИЯ
ска,.;ярноЙ ;l"нкции.
о' ю, "jfение
Введем по;;я ;е производной ве". ор­
ной
а{ (; в дан;;, 'й фиксирuван­
НОн
точке
t.
aprY;J.;e;;TY
ЭТОн
#
т~ели прида"нм
.'
прираще;;ие
+
о и раССJ\lОТРИJ\l вектор /ia = а( t
/iti
a(t) (на рис. 5. указанный ;,ек-
/it
+
Дл',;
"PO;:~B"
тор сов"аДJ.;е с В,"
указанный ;,ектор на число
""ВЫй В,"
/i"
1
- " = -[;;(t
L
"ром 2\!IP). у;, ,.. ,ж,ш
1/ /it,
ыы по-
"р
о
+ /it)
у
(5.5*
;;(t)],
х
;,ляетс..,;
анало; ом
разностного
'ис.5.2
отноше­
н;я (5 ..:;). О ;,;е ИМ, ';то ве". "р (.:;.5*) предс ав,.JЯе сuб"й сред;;юю с,.ОриСТ;',
+
изменения векторной функпии на се;'менте [t, t
/it].
BJ.;nrnnpHOU фун.n;,ии а = a(t) в да.юМ\U фиnсирпва.н.н.оU mо'Ч,­
nе t на.зыва.J.;m;.я. ;;реде' при .it
Произ;юдна',,;
или
векторной
--+ О разн.о· rnн.ого "mн.ошен.и.я. (5 ..:;*).
функции
о' юзначается
СИ]\!вОЛОJ\l
(t)
da/dt.
Из геоме ричес,'.;х со06ра;{J.ен;Й очеви; но, ч о производная векторной
;l;;нкц;и а =
ЭТОЙ функпии.
a(t)
предс ав,.JЯе
собой вектор, касате ;ьный К ГОДUГРJ.;.фу
Та". ".J.'K Ю" ,рди;;аты РJ.;.з;;"ст;;"г" "т;;"ше ;ия (5 ..:;*) с'" ,тве стве;;но
равны
x(t
+ /iti
- x(t)
y(t + /it) -
·,Т
.it
z(t
+ /it)
- z(t)
.it
ТО ЯСНО. что координаты произво; нон
(t) равны произво; НЫЫ функт~ий
х'
y'(t)
Т; ким uбр;, юм, вычисл, ню' прuи,шодной векторной
ц;и св о; ;н; СЯ К в',;· ;исле; ;ию произво; {ных ее коордю ;ат.
3
а м е ч а н
е
1.
Т;;,к ".;'К ве". ,,;;;;ая
закон движения материально;; точки ПО кри
а
=
a(t)
,юреде JЯет
собо"
"PO;:~B, 'д;;ая а' ({; равн" скирос и дви,,;,'Н JЯ по
гuдограф
; ;"щей
YKa:~aНi;,
За
2.
И:~ курса
'шые т;пы прuи шед, ний В,"
6
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
';ескuй г,',,;,;е ;ши извес Н;,,, pa:~-
"ров; ска JЯрное прои:~в, де;;ие, В,"
I
"р;;'
,.'
lИС.'iEНИ>l
ПРОИ.Ш' "ение и смен,анное прои.:,е::ение), Выра)ю'нИi' щ:ех этих ПРОИ.:,е:,е­
ний
коор"инатах дает 'ЮЗ]\IO)кность указать правила, по которыы вычис­
JЯЮ СЯ ПР"И.ШО"иы'· соо В,'ТС ВУЮЩИ' щюи:~в,ще"ий век
OpH;'.iX фу,,;, ний
: скаЛ"iРНОГО
,it), (нО)
и T'i(t) =
В качестве ПРИJ\lера ПРIн,едем правило вычисления ПРОИЗ'юдно
пр"ишещ'иия ДБ:Х векторных il"нкт~ий аО) =
{Ь
Нt),Ьз(t)}
{a(t)b(t)}' =
+ аи)ь' (t) = ',(t)b 1 +
+
+ а~(t)Ьз(t)} + {а (t)b~(t) + a,(t)b;(t\ + аз(t)Ь~(t)}.
а'
Аналогичное пра"ило справе"ЛIНЮ и "ля векторно:'о произве".еНИ··i двух
В",,
,;iYiiЫХ фу "',ПИЙ:
ia' (t)b(t)]
=
§ 2.
1.
О)].
ПОНЯlие дифференцируеI:ЮСТИ функции
Понятие дифференцируеМОСIИ функции в данной
точю:. Пуст:,
у =
лоы
+ [аО)Т,
f(x)
ilail
и в пп.
,2
опр'"
преДi,ТДlщего параграфа, функ-
"'Котор"ы
обозначено пеilО орое фиксиро;;а;
ука ::шпог, i
;те!
';::ila,
сиы;
" "ibl
;теj';::iле (а,Ь)
;ое значе;
СИЫ;"-
аргумента
.6.х обо:;
люб. ,е при
ращение аргумента, та:ое, что зна'jение аргумента
также
прннадлеli<ИТ (а, Ь
Оnределенuе. ФУН'Х:'ЦШ; у =
называетсл д и Ф Ф еР е н 'Ц и Р у е .М о
в данно{l точ'Х:е
если nриРШiцение .6.у эmлi1
фi н'Х:'Цшt в точ'Х:с х, соотвстствУЮЩi" nрираЩi нию арг!!. рнта
f
\1', .можеjji быть nj еi)стш:лено
виде
.6.у = А..6.х
+ о:.6.х,
(5.9)
где
- не'Х:оторое 'fUсло, не завис:!щее от .6.1', а
фун'Х:цил
ap'f/MCHrna .6.х, лвЛЛЮiцалсл бсс'Х:онсчно .малоU при .6.х ---+ О.
0:(
Заые им, ч о фу;
\т) может пр;;;;;;ма ь
= О 'Х:а'Х:ос угодно ЛЮ:Ч.снис (ЩfИ
ведлиВi,:
представление
"iЖИ Ь 0:(0) = О ).
Tail как произпеде;
(5.9) .
n
ОЧilе
L:J.:r
"ы
этой точке "с ai'Tcf; спра
Ради определенности можно по-
д"ух (уеско; ;еч;;о малых
o:L:J.:r
япляетс;
беск"печпо малой более пып)к"го ш,р ;Дка, чеы .6.х (сы. п.
§2
гл.
. т. е. o:L:J.1' = o(L:J.z:), то формул" (5.9) ,'Oli<HO переписать в
пиде
.6.у = А..6.х
ТеОЕ!е.ма
+ о(.6.х).
5.1. Длл того
фУН'Х:'ЦШ; У
f (т)
лвлллась
дифф!р!н'Цирусмоu в даннои точ'Х:! х, н!обходимо и достатОЧJ!(),
';тобы она имела в эmл!! ШО'j'Х:е 'Х:оне"tную nроизводную.
',аст",,·· :~H,; ;"Ии" фу ,,',ПИИ
С"ВП'iДать с ее "ред"
;;,·"ым
ша';е ;ием В
о бущ'т
ПОНЯТИЕ
Доказате
ПУСЕ фУНКЦИЯ у = j
т. е. ее Ш.JИi,аi iепие 6,.у
т в о. 1
е о б
о д и
о с т ь
дифференцир,ема в данной то' [<е :г
точке Щ.Jедс апиыо
поделив равенство
Предпол~ж~IВ, что 6,.j:
п· i iУЧИЫ
пи. е Ci.9)
на 6,..Т
(5.
(510)
И, рапепс па
(5.10)
[ыI ('Ка, т сущес П·'па;
предеJl!.ного зна' iения liш ~y
.;а;
it
т.
=
6:[;---+0 LlX
н о с т
П\сть ф,н<ция У =
Д О С Т а т о
n
ПР;;ИЗi'Р"
,й точке х ко ';;('чную щюи 'ПО.шую.
И\iеет
j(1)
СУЩ('СТi уе
пi ,е-
деЛi.ное зна' iение
liш .liy =
.lix---+o д.х
j'(x).
(5. 1)
в сил, определения предельного значения функ iИЯ а
уыеп а 6,.х
-j'(x
т.
,'Я б, ,'КОн' ч;
е.
6,.у =
j'(x)6,.x
ыа;;
,i',
(х
---+
при 6,.х
+ а6,.х,
О.
(5.12)
где
liш
= О. Представление (5.121 совпадает с представле­
.lix---+o
!Нем (5.9), если обозначить через А пе записящее от 6,.;т число
j'(x).
руеыа
Т(,м ,аыым дока,апо что фупкция у
n
= j(x)
диффеj,епци-
точке
Д;;каза; ;;Ш теОР('ма п;;зi;;' ше
lалы " 'йшеы mnо !i:aiiСnUiЛiirnъ nонлшuе !Juфферен'Цuруе.мос nи фунn'Цuu в {}анно!!
rnо'Чn: с nонлrnuсм Сfгщссrnвовшн,uл у
в даннои rnо'Чn:
nj ЮU3iiQ{jно{1.
ОП('рацию iах;;ждепия ПР;;ИЗi;;'"
lа.nЫi' йшеы ",гопор iМСЯ паы!iii ь дш/J;.fJсрсн'Цuрованuсм.
СНЯ'<Ь между понятт!ями дтнlzфiiреИЦТ!РУiiМШ'ТИ
[иенрерывиосnи фрикции. Им, ('т М' ,'то ,'Ледующ('('
тарное ,тверждение.
Теорема 5.2. Еслu
в
дшн.но{l rnочnе ;Т. ШО 01-Ш U Henjiej ы·вl-Ш
Д
к а з а т е
ь с
по. Так как
реНliируе\iа в точке :г, то ее Пi'Иiiaщение 6,.у в этой точке может
быть Щ.Jедс аплепо n
(5.9). Н;; из :!.J;;РМУЛЫ С,.9) пытекае
что
6,.у = О, т. е. функция у = j(1) непрерi.твна в точке
в силу разностной фОР\iЫ ,словия непреРi.iВНОСТИ
C\i.
п.
,
1 § 1).
ТеОР('ма д;;ка ,!ша.
'·.стественно, возникает вопрос о то\
справедливо ли ,тверждепие, обi,атпо(,
(., ,реые С,.2, т.
[ыI ('ка('Т
i(лр('ры!-it
6*
'с
фупкции
n
l!ШПОЙ точке
_шФ:].еi,еПЦИi'У(·М;;С ь
n
}кuии не}терывны;
в
ляющиеся в)Той точке дифф; р; нцируе;
}
; лужить
Г[, Г,'} кции
}
Г[, Г,'} кция
функция непреРЫВНii в точке :г
=
н" она
Я[;ляет;'
что существуют непрерывные па
[IOiK
п, ,Ka;iiНi; в кою [е
',)той
Отметим,
HeKOTOpOIl.f
сеп тепте zjу\:пкции,
не ИГ'lеющие производной ни в одной точке этого сеГГ,lента 1).
3.
Понятие дифференциала функции.
функция
у
/(х) ди(l;фереНЦ11руема в точке х, т. е. приращение /:::"у
этой ФУНК [ии В точке х .. ,южет быть записано в виде (5.9). Ана
лизируя (Iюрму.
мы ПРИХОДИГГ К выводт
что прираще­
ние /:::"у дифферею [Ируе; юй функ [ии представляет собой Cy.MJvty
двух (лагае1iЫХ: первое
этих ~;шгаемых А/:::"х
А
о 11редставляет собой функ [ию прира} i.ения аргумента
, л'И'Нс'Й:ную
f:.
'и оJ'Норо;)'Ную 2) от'Носшnелъ'Но
это слагае .. ,юе представляет
собой 11рИ /:::"х --+ О бе(к;о'Не"ii!Q .маЛУl ii так;ого же nор,я,дк;а, "i по
'и
mnорое С1агае . .,юе а/:::"х представляет собой при /:::"х --+
беск;m iе"i'НонаЛi/Ю более въцок;ого nор,я,дк;а. 'Че;, /:::"х. та;; ;;а;; 01-
ношение а:х = а стре .. пIТСЯ к НУ1Ю при /:::"х
,-"х
О. Такигг обра-
ю ..г при.J . О первое слагае .. ,юе А/:::"х является глаu'Но'Й Ч(iстъю
l)l1ращеНl1!i диФ(I;еренциртемой фУНl;ци . Этт гла;;}
часть
приращения называют дифферею[Иалом функ [ии в точке х, со­
от ;етствующим прираще}шн! аргтме}}та /:::"х.
Итак, в С1учае
.'l
f:.
J'Иффере'Нц'ИаЛОJvt фуmц'И'И у
= /( х)
в ;fП'Н'Но'Й тОЧl,е х, соответствующ'Им пр'Ираще'Н'Ию uргуме'Нт;;
/:::"х, 'Называют глав'Н!/ю лu'Ней'Н!/ю оm'НосuтеЛЪi!О /:::"х "iш,тъ nри­
раще'Н'ИJi это'Й фуmц'И'И
тОЧl,е . Нринято обошачать диффе-
ренциа.
функции
}кции у = /(х) символом ([у. Если ДlЯ приращения
справедливо представление (5.9) то дифферею[Иа1
этой фун ;ИГ1
,по о ipеделен 1Ю, ра;;е}
=А/:::"х.
(5.13)
в случае А = О слагаемое А/:::"х перестает быть главной частью
приращения /:::"у дифференцируе .. юЙ функ[Ии (ибо это С1агае
мое равно нушCi
то ;;ремя, ;;а;; слагаемое if/:::"х. ;юобще говор!}
ОТ.шчно от ну.lЯ). Однако договариваются и в случае
1) Первый опубликованный пример такой функции принадлежит Вейер­
штрасС\. Р'i.нее Н;З,ШИСИ'
"
г,т нег)', аii;iЛ;)ГИЧНЫЙ при;'ер был iЮСТРОСН чеш­
ским математиком БОЛЫi,ано, но этот пример не был опубликован. В До­
пг, iнении к гл.
11
бу (т УК'i.з,;н прим;'
т,;ю)й фгнкции.
2) Н'iЛ,)МНИ;', что Л'Шiейной функцuей арг;мснт,; х наЗ',iВ i;тся ф;НЮ')1Я
вида у = Ах + В, где А и В - некоторые по; тоянные. В ;лучае В = О
i
линейна;1 функ i,Иi1 на ;ывается uднород;, ой.
щиал
ОПрiiЯТf'
li'T,
м\
Е,.lШ
мул\
;кции форм; лой
(5,131
т, е, iчи-
;\лю в ,п'"м
(5,
iiepe
е, \чi [ть, что А
51,
fi(:I:
!iН:;'ТЬ в в iде
(:г
ФUРМУ,iа
(5
дает выражение диффереПЦТШЛа
(5.
в точ­
ке х, соответствую, (его приращению аргумента ,6,х. Следует
подчеркнуть, что дшl:ференциGti функции dy в да; юй точке х,
;юобще говор;;,
;е равен iiрираще-
нию функ; щи ,6,у В этой точке. Это
особе;
у
ю легко \яснить из рассг,ю-
трения графика функ;ши у = (:г)
(рис. 5.:!). П\сТf TO'iKa J\.1 ;а
вой у =
(х соответствует зна­
S
f
'ieH
iЮ
ЩН \мента х,
i'O н,а Р
;а
той же кривой соответствует зна­
'iению аргумента х
+ ,6,х,
мв
-
касательная к кривой у = ЛХ) в
точке NI. Пусть далее MN 11 Ох,
Р
11 Оу, Q точка iiересе'iеНИ;l
О
х
x+~x х
касательной
с прямой PN. То
Рис. 5.3
гда приращение функции ,6,у равно величине отрезка N Р. В то же вре: lя из пряг,юугольного тре­
угольника "Л1Q/V
(5.141 ясно. ·по дисl:ференциал
N Q, ибо величина отрежа
"Л1/V ра;;на ,6,х, а тангенс \:тла LQ"Л1/V равен f'(x). Очевидно.
функ; щи
dy
из форм\лы
равен ве,шчине отрезка
что величины отрезков
заiiJIЮ'iение
этого
NP и NQ, вооб; (е говоря, раз,шчны.
iiYH;'Ta м;,т установим выражение дл;;
диффереюша,iа функ;ши у
=
(х)
арГУГlент х которой явля­
етс;; неза6UС'ii.моЙ nере.мен,i!ОЙ 1 .
Введег; понятие
дuфферен,l(uала dx н,еЗU6UСU.мой nере.мен,­
ной х. Под диФсl:еренциалом dx ;еза;;исимой iiepeMe;
х MOJi'-
но ПОНI!Г'lать ,-iюбое (не;авися; (ее от х) число. ДОГОВОРШ'lСЯ В
даънеитпеJ\I орать это чисю равным приращению ,6,х независи-
г,юй переменной 2). Эта договоренность по;воляет нам перепи
сать
(5.141
виде
f' (х )(lx.
Подчеркнем, ЧТОiа
15)
(5.1;)
пока что \ста;ЮВ,iе;а
;ами
лишь для случая, когда аргу: lент х является н,е:зu(Зuсu.моЙ пе-
1) П'>.l ееркнсм, '!то
,гумент х функции у = .f(x), вообще говот
C'iM
ЯВ,.lЯ'П.ся ФiНЮil1ей llГЮiТО;"'Й перг' еllН,>Й.
'!) Эта ДОе'оворенность оправдывает' ,; раiiмотрением независимой пере­
менной х как ФУНЮlЯи вида у
=
х, ДЛi; которой
dy = dx =
н iже, в
}ли
01 Taei'1
§ 91
дш;
]\;I!;T
ii'};ажем, что
'лу iJШ,
когт'
(5,1,
аргумент :г
1ШЛ1,-
н тавляет собой шфф,
ется не
рею
шр;м"
П, ,};а
мы
Ci' лаi ",
'ледующий
i,Ш 'ЛУЧJШ, КОГДс; с;ргу;,;'нт
(5,15)
из
функции у
= f(:T)
яв, шеiТЯ
незаВiiСИМОЙ
iiepeMe; юй, iipоизводная J'(x) этой фую;ци ра;;­
на отношению дифферен шала фуню ши dy к дифференциалу
аргу
;та (lx, т. е.
= dy/d.T.
В § 9 будет доказано. что это соотношение справедливо и в слу­
чае. когда ЩН умент х сам 1ШЛJ;ется диФ<I;ереНЦИР'v'емой фую;­
шей некоторой новой пеР8J\1енноЙ.
Правила дифференцирования суммы, разности,
§ 3.
произве)iени~-%
и
Теорема 5.3. Еел!! паждал
ЧНГТF юго
фУ'Нn'Ц!iЙ и(х) 'l1
v(x)
ф~РС1·щuру('.!vtа в ;/ШН'tЮЙ точ'" х, то eYJvtJvta, ри,!'Ноетъ, ПРОU,J­
веде'Н'l1е 'l1 'члсm'Ное эт'l1Х фУ'Нn'Ц!iЙ 'чле !!'Ное пр!! i!JЛn6?i'l1. 'Ч,то
v(x)
"# О)
таnже
в : той то'Ч,nе. nР!i'Ч,е.М 'l11"e-
ют JvtJ сто фОРJvtул'Ы
[u(J) ± v(x)]' =
u(x)v(x)]! = и'(х
и'(х)
± v'(x),
+ и(х
(х),
(5.16)
[ u(;)]' _u'(х)и(х) -u(х)и'(х
и(х)
д о к а з а
и 2 (1)'
е л ь с т в о. Рассмотрим отдель ю слу iаи суммы
(рашости), произведения и частного.
10. Пусть у(х) = и(х) v(:T). Обошачи.'l СИМВО.iагlИ 6..и, 6..v
и 6..у приращения фунюшй и(х) v(x) И у(х) в данной точке х.
±
соответству;, ,щие приращению а! гу.
6..у
=
у(:г
+ 6..х)
-
у(:г)
= [и(.г +
= lu(x +
Таки.
1
образом, при
6..х. Тогда, очевид ю,
=
± v(.T)] =
- v(x)] =
±
- и(х
6..х "#
!::::.у
Пусть теперь 6..х
leHTa
_ !::::.U
!::::.и
6..и
±
(;-
7)
Тогда в СИiУ су; ;ествования производных
;кций и(х) И v(x в ТО'!1;е х сущеСТ;;'v'ет iipеделыюе зна'iение
правой части (5.17), равное и'(х ±v!(x . Стаю быть, су; ;ествует
предельноешачение (при 6..х --+ О) и левой части (5.17). По
67
",е пр,ДJ л"но,
ЗНС1ч, ни,
реН);
l))шенс 1'ВУ
v(:J:
Пусть
Т' 'т :ж;
у(х
=
]\;n,[
CГ,lbICTI,
и;
что и ВЫШ;,
leTb
+ ~x)
- у(.г) = и(.г + ~x)v(J +
- u(x)v(x)
= lu(x + \x)v(x +
- и(х + ~x)v(x)] +
и(х + ~x)v(x) - и(.' )v(x)
прибавили
ВЫЧ.1И слагаемое и(х
~x)v(x)). Далее
MOJi1eM
;аписать:
и(х
=
+ ~x
Таким обраЗ0J1
[v(x
при ~x
6х
Пусть те 1ер;; ~x
uИ
и(х)
+ ~x
v(x
--+
1'0
-
v(J)[u(x + ~x = и(х + ~x
- v(x)]
и(.г)]
=
+ v(x)~u.
f:.
.
и(х
6v
() 6u
+ ~)
х 6х + v х - .
О. Тогда в си.
(5.18)
ЩЩ)\ емости ФУЮ1-
Н1е х сущеСТ;)1 "'т пр еде. ;;ные значе:шя от-
,\,и
ношений 6х и 6х' соответственно равные и' (х
и
v' (х).
Далее
из диФсl;ереНЦИР!iемости и(х) в ТО'Н1е х.
силу теоремы ,.2, сле­
дует непрерывность и(х) в этой точке. Ста.Ю быть; существует
щ)еделыюе значение liш и(х
~x), ра;;;юе и(х). Ташм обра-
+
..:,.Х--+О
зом. сущест )ует 11редел;;ное значение
части
+
(5.181
11рИ
равное u(x)v'(x
;'(х)и'(:г). Стало быть. су; ;еству­
ет 11редел;;ное значение (11РИ ~x --+ О) и левой '1асти (,. 8). По
опреде.1ению производной ука;анное преде.ъное значение равно
у'(х), и
]\;n,[
приходим
у'(х
.
1ребуеМОЙ1е
= u'(x)v(x + u(x)v'(x
Пусть. наконеп. у(х)
и(х
;(х)
.
Тогда
=y(x+~x _у(.г)=и(х+6х)_
v(x
+ 6х)
1) Так к;;к в да 'ьней"'ем в зн;;мен;;те'; фи:урирует значение v(x
то следует доказать, что это значение отлично ОТ нул;,
.А1ДЛЫХ
6,1'.
с;;· )'м
,еле, ;тли бы Э'1'"
н;
6;1' n
;'<1;;,
a"J!
+ 6х),
всех дuсmаmОЧ1iО
н;;ш :;;сь бы бесю)~
+
v(x 6х n ) = О.
поскольку функцш;;(х непрерывна для значенш; аргумента ,то мы
бы из ;с ювия v(x
6х n !
О, Ч';" и(х)
О, а это
;),ти ')'речи';
нечн); м;;лая п);с ')д' ',ател;,ност;, зн;;чений
у;ловию теоремы.
та);;я. Ч';"
До k!вл iЯ
вычита~i
+ 6х)и(х) -
6х)u(х)
- [V(X
!(х)! (х
6х)
u(х
+
+
и(!т)и(!т
- u(x)v(x)]
и(х)]
+ 6!т)
и(!т)и(!т
+ 6х)
ТаКИГА образом, при ,6,х
теперь ,6,х
О. в СИ.iУ дифферен шруегюсти (и вытеt<ающей из [ее iепрер,н; юсти) фун<uи ИIХ)
v(x) В ['О н<е х
сущеСТii!
!!iT
·
11т
-6u
-
iтеделы
'u
!( Х
значения
.
6v
1Шl -
,
..:,.х--+о
i,ie
..:,.х--+о
-
!
V (х
,
lim v(x +,6,х = v(x).
.6.х--+О
Таки: i образом, поскольку v(x f:. li. существует предельное зна
'iение iiрИ ,6,х --7 О праiЮЙ части (,.19), paii юе
и(х)
(!)!!(!)
)
Стало быть, сущеСТВiiет предельное значение при,6,х --7 О) и
левой части (5.19). По определению проишодной ука;анное пре­
дель юе значение равно 1/(Х), и Г.iЬT получим
фОР'iiiЛУ
у' (х
TeopeJ\Ia 5.:!
§ 4.
по.
= ----'----'--'--'-.,,-,--:--'---"--
юстью доказана.
Вы'з.исление НРОИЗВОДНЫХ стененной функции,
тригонометри' з.еских функций
и лшнрифми'з.ескоЙ функции
в это;
i параграфе ' . iыI
приступи:
Э.iемеi [тарны
iК
ВЫЧИСiению прои;водных
iКUИЙ.
1. Производная R'тепенной функции с целочисленным
показателем. Начне,А с вычисления производной степенной
iКЦИИ
-
хn
iюказатеш, n которой ~ШШiется целы.М iiОЛОЖИ-
Te.iЬHЫ'A чисюм
. С iiiчай степеi юй
торой является. !lОбым uе Щiсmuе1-t1-t'ЫJvt
"ШСЛО.М; отложим до § 8.
iКUИИ. показатель кообязате.iЬНО [е.
1) Эта прои ;водная уже рассматривала!ъ в л. 1 помощью интуитивного
пред! тавленш! о пределе.
ВЬГIИС fЕНИЕ ПРОl!'
ъп
ИСff()ЛЬЗУ~' формулу i)инома Нf,Юf" ,на,
(:г
fly -
+ fl:J:
:г n
n
+ , """"""""""""",'
1
Та {им образом,
' )n
+ ( ,I',:J:
+
О
flx
nхn- +П(11
D.y
D.x
2
1)x n - 2 flx+ ... +(flx)'-1
(5.20)
Поскольку все слагаеМf,те в fтавой 'fасти).20), на'ff.fНая со [;то­
рого, содержат в качестве множителя
пенях,
при
существует
flx в по. южите. fЬHЫX сте­
значение
указанных
слагаеJ\1ЫХ
равное нулю. Первое слагаег,юе в правой части
flx
(,.20)
преде.fЬное
от flx не заfШСИТ. Стало быть. сущеСТft>ет ffредеЛf,ное
шачение (при flx
опредеfенш"
правой части
ffjЮИЗВОДНОЙ у}{азat
ffjЮИЗВОДНОЙ
rкции
хn
-
(5.20),
равное
.
По
юе преде. },ное значение ра}; ю
т. е.
nx n -
=
1.
Проведенные рассуждения справед швы дш любой точки х
бесконечной пряг.юй.
2. ПроИ"шодная функции у = sin х. Пользуясь формулой
приведения разности синусов к виду удоБНОГlУ для логаРИфl!И
рова !Ия,
можем записаf
fly =
Л)'
- SlllX
Sill
uX
Та {им образом,
flx
COS
-
(D.X
Х + --:2 )
.
D.x
Slll--:2'
о
. D.:!
D.y
( D . x ) --.-.
SШ--:2
~ - cos х + D.x
D.x
5.
2
Та}{ как
rкция у COS х ~шшrется
любой точке х
бесконечной ПРЯl юй 1), то су; lествует предельное шачение
D.x
(
CoS
х
+
(5.22)
1'О,} Х.
2
Да.fее, в СИfУ основного pe;y.fЬTaTa п.
2 §6
гл.
существует
предельное значение
. D.x
sш-
lilll - ._2_
6x-+i!
сОх
=
1.
(5.23)
2
1) Это доказано в п. 6 § 5 л. 4. Впрочем, непрерывность функции у = cos
ле; 'ко доказать, исполь
разностную фор ..l1у У1ЛОВШ1 непрерывности.
17П
Та}{
существу; т
зн;; }ен}е
при 6.:г
ш},; пр!Д; л};ны
--+
О;
зн;; }ени
т
равное сов:г
опр!Д;л!нию производной
;;;е пр; д;л ;но! ЗШ1Ч; ни; });ШНО }}j)()ИШОДНОЙ Фун}{
У
у}{аза}
=
}теделы н;е
;,21) });Ш~О! пр; ;из}!;
siп:г
т,
:г)'
с;;в:г,
-
Проведенные рассуждения справед швы для}юбой точки
бес­
}юне'}ной пршvIОЙ.
Прокшодная ф'ункции у = cos х.!Ьзуясь фор: l\ЛОЙ
}!едения разности коси }усов к }!иду, удоб юму дш
3.
мирования,
;,ю:же;А;аписать:
6.у = сов(.г + 6.х
Та}{
образом, при 6.х
-
;0;;
#
о
х
-2 ;;ill
=
.
(г + 2) siп
;Н;
!::::.у
2
!::::.Х
(;.24)
!::::.;г
Так как
}кция у
siпх является нещерывной в
точке х бесконечной прямой; то су} <ествует предельное
,;;бой
шаче
ние
·
11т
.6.х--+О
.
Вlll
(х
+ -!::::.х)
2
.
ЮllХ
.
И; существования предельныхшачений
(5.23)
и
(5.25)
--+
ет существование }!J!еделыюго з }ачения (при 6.х
части
(5.24),
равного
определению проишодной по
(- ;;illX).
С}8днее преде, };ное З }ачение ра}! ю
-
СОВХ,
.
вытека­
О; }тавой
}}jIO
}зводной фую{ци
е.
(сов х)'
-
юп Х.
Проведенные рассуждения справедшвы для любой точки Х бес­
}юне'}ной
=
=
4. Iш"роизводные
у
tg х У
ctg х. Та}{ как
на;.ш уже вычислены производные функций у = Sill Х И у = с;;в Х
и так как
sinx
t gx = --,
cosx
;'tgx
}·о дш} вычислею};' ЩЮИЗ}IOд} };ТХ
cos
= -.-,
Slll
}кций у
-
Х
= ctg
х
можно вос}юш;зоватьс;} }'еоремой 5.:! (точнее, формулой,
жающей проишодную частного; т. е. третьей IГ; фОР;.lУЛ (5.
гЛы ПОЛУЧИ.'.l, что всюду, кроме тех точек, в которых СО:; х =
О,
! t.
; ,g Х
)'
-
(sin х);
х - (cos х); sin х
"-----'-----c-o-s--,"-x-~--
cos'
х
ТЕОГЕМА О
fГОИЗВО'lЮ'"
о
(OSвсех
ЗН,i fени
(itg ,()'
:г,
=
кроме
Х
n,
:г
(СОБТ)' SШ ~
-:;
sm-
(сш (с)' СОБ (с
О,
n
где
1
-.-0-'
х
SШ- Х
Итак,
1
х
.
Slll
< Х, I110жеГА записать:
~y = log a (x + ~x
Х
-l,ig a Х = l,ig a
~x
Та i им образом,
2
~
= l,ig a
(1 + д.Х) .
о
д.х
(1 + ~x
= ;:-log a
3 §6
В силу основного ре;у. fЬTaTa п.
гл.
(5.26)
выражение в квадрат­
ны скоб}iах имеет
~x --+ О (и ffрИ любом фffiiСИРО}iанном
шачении х) предельноешачение равное е. Тогда на основании
непрерывности !I,ункции у
предельное
1
ное
- lOJ';a
шачение (при ~x
log a х
в точке х
--+
с. По о теделению произ ;од}
Х
зна'fение равно щюизводной
с существует
правой части
- loga
х,
.
е.
е
(ДfЯ всех шачений х, принад fежа, ;их по. fУПРЯ:;ОЙ х
'faCTHOM
С! <чае а
-
>
.
в
с по. fУЧИМ
(lп
§ 5, TeopelHH
рав-
указанное ffреде };ное
,кции
1
(5.26),
=
l/х.
о производноii обратноii
Теорема 5.4. Пф rnъ
носrnи rnО"l'Х;И Ха возрастает
рывной.
1\.РО;iе m ого.
е;;л в rnОЧ1\.е хu u nроuзвод iая
у - f(x) в
01\.ресrnуб'Ыuает) и .нЛЛЛi'rnС;i непре-
у - f(x
оrnЛU"lна
.f'
сущгсrnву"rn обрurnнал ФУНi, i(ИЛ х
= f-
д!iффереН'И,!iР!/нуля. Тогда
(у), i,Ornop; л оnр; i;елеН;i
172
.1
oк;p~' ,п НО!""
д!iффереi!.'Ц iщ;е,ма в
водную, ра тую
к а
il,
1
'той
(:го
а т
для ФУНКf]Ии У
nроиз
ь
= .f(:T)
П! +~Жii
всего зам! т 1М, что
ВЫПi;ЛНiНЫ В i;крестности точки :го все
УСЛОВi1i i сл i iТiШЯ из Л!М]\;Ii;Т
1 §4
ГЛ,
4
С, ,гласно
Cjii;MY
след-
ствию существует обратная ФУНКf]Ия х =
(у) определенная
iекоторой окрестности ТО'iКИ Уа - .f(xo) и iепрерi;i iaii
этой
окрестности, Придадим арГУiiенту У этой обратной ФУНКfjИи в
i'O н!е
ЩЮИЗiЮ i;Hoe отЛ'l1'Ч,ное от НУЛЯ приращение 6.1/, Это­
му прираi iению отвечает приращение
обратной функции.
причем в СИiУ ВQ;растания (и,ш убывания) ФУНКfjИи 6.х 'О,
Tai!
образом, ]\;Ii;T имеем iipaBo ia ii,1caTb следующее i'Оi!дество:
1
(;,2/)
!::::.у/!::::.х'
Пусть теперь в тождестве
рывности обратной
(5,27)
6.у
Тогда, в си,
iY
непре
.1
iКЦИИ х
1
i'O н!е Уа
согласно
рашостной фОРi'iе усювия непрерывности, и
--+ О.
Но при 6.х --+ О ЗНaJ\;fенате,iЬ дроби, стоящей в правой части
(5,27) по определению производной, ИГ,iеет преде,iЬное значение.
равное Г(х)
О, ('таю быть, правая часть
;,2/) ИГiеет при
1
предельное значение, равное -/,()' Но тогда и левая
хо
часть
(5.27)
ИГiеет при 6.у
О преде, iЬHoe значение, По опре-
делению производной указанное преде,iЬное шачение равно 1 )
{.f-l(Уо)}i,
у
точке Уа
u- (уа}' = //(1;0)'
а
хо
х
ложиг"
(5.28)
Теоре: ia 5.4 доказана.
ДOi!аЗaI iaii i'eopeMa имеет простой гео­
i"iетрический Ci"ibIC . Расс,;,ютриг" в окрестюсти
'Иi.5.4
в
по, iJiЧИ, iИ ДiЯ ее щюизводной со-
отношение
м
y ol-----J1
(рис.
TaiiifM образом. мы доказали
ЩЩ)\ емость обратной ФУНiщи
точки
ха
граilшк
_ .f(x) (И,iИ обрал
iКЦИИ
У
ФУНiщи!. Предпо-
что точке ха на этOi" графике соответствует точка М
5.4).
Тогда, очевидно, производная г(хu) равна танген­
су угла накюна а касательной, проходЯi iей через точку М
оси Ох. Производная обратной ФунКfjИИ {I- 1 (yo)
к
равна тан-
1) СИМВОЛОМ {/-l(уо)}' МЫ оБОiначаем ПРОИiВОДНУЮ обратной ФУНКiiЯИ
В точке уо.
ВЬГIИСIEНИЕ про,!'
\ ГШl
генсу
lаl<ЛОШl
УГЛ1,Т
и j3 В
оч;видный ф'lКТ
ъп
ПОiКОЛЬКУ
той же
ПlС i',iВЛ~l "т
выраЖ,l'Т
tgf:! - 1 tg а
§ 6.
ВЬРIИСJlение ПРUИЗВU,11;НЫХ шж:аза'l'ельнuй фуню~ии
и обратных ТРИГОНОi\ffiетрических фу! ffiКЦИЙ
этом
опира~lС;,
г,lыI ПРОДО,ТЖИГ,i
э;еме; lтарны
фУНl<Цif
<
lа
ДOi<азar
;[;,вне
;'еоре-
вычисление производных простейших
5.4,
j,lY
=
<
. Производная ноказательной функции
аХ (О
а ер 1). Ноказательная функция
- аХ будучи определена
на бесконечной пряг,юй, служит обратной для логарифгшческой
lкции х - loga у, определе;
lа ;ЮЛУl1рЯМОЙ у
О. ПоCKO.lЬKY для логаРИфГlИческой фуню;ии в окрестности;юбой
>
у по.
у
то, согласно этой
TeOpei,le,
;'0';
любой
1'0
ll<е х
- 10J';a
о выпо.
lе; ;,т ;[се усю;шя теорем;,т
=
функ шя у
;.4,
аХ дифференцируеllа в
и ДШl ее 11рОifЗ юд;
с таведл па
МУ1а
)'
-
1
(l,)ga
1
у)' -
у
1
-logn
у
е
loga
е
.
И; этой фОРГ'lУЛЫ, воспользовавшись известным из элеllентарН01 о
l<ypca
СООТНОl lен 1ем
1
loga Ь - - -
у lllТ;,т;;a~l
что
-
а'Т,
а
окончательно получиг,;
(аХ);
-
аХ llla.
Полученная фор Г <у. 1а справедлива дш всех точек х бесконечной
прямой. В частнOi,; случае
= е эта фор.' lула ПРИНИГ,lает вид
(е Х )'
=
еХ •
1.1.Iюизводные обрат! ffiblX ТРИГОНОi\ffiетричеС\lИХ
ций. Начнег,; с ВЫЧИС1ения ПРОИlВОДНОЙ функции У = arc;;ill Х.
Эта функция, будучи опреде1ена на интерва.1е -1
Х
+1,
С1УЖИТ обратной для фуню;ии Х
slп у, определенной на инк
к
"
Ф
<
=
терва.1е
- 2"
<
<
у
2"'
1l0CKO.lЬKY дш
ункции
=
.
вт у в
окрестности любой точки у интервала - ~ < у < ; ВЫПО.ше1'еоремы 5.4, 1'0, СОГ1асно этой теореме,
lКЦifЯ
у =
Х дифференцируеllа В1юбой точке
= slп у и дш ее
ПJоизводной справедлива1а
.
iГСSlll Х
)'
(sin у)'
;osy
Jl- sin
у
(5.
иiю
:~H{ к
7г
iИтыВ{,~
[ТО
2
ОКОН'tС1lСЛЬ Ю пол\чtl
лы
Полу'tенная (Iюрмула, l<al< (же от\е'tаЛОСl в процессе ее l ывода"
справе"lпива ДlЯ всех х из интервала -1
х
+1. По ан ало­
<
ги'шой
CXe\le Bl.f
iИСlЯС,ТС5l
<
lРОllзводная
l<ЦЮl у
= al'CCOS ,1;.
<
<
Эта ФУНКliИя" будучи опреде"lена на интервале -1
х
+1
сl(жит обратной Д
ФУНКliИи
COS У, Оllределенной на lШTepBa"le О
У
К. ПОСКОlЬку ДlЯ функции Х
COS у в окрестно
=
< <
=
<
сти любой точки у интерва"lа О
к выполнены все (сювия
TeOpe\lbI ,.4, то, corlaCHo этой теореме, функ iИ\l
al'CCOS
lифференцируема впобой точке х
COS у и шя ее прои:~во
=
=
ноИ сщ аведливаlа
(al'CCOS х\' = __
1_ = - - - = -----г'==~
(СОБ у)'
,
j\,;IbI
(Ч"iИ" что
тервале О
<
У
К. i
(lюРМУЛЫ (5.30) Ol<Ol
(5.30)
cos 2 У
J1 - cos 2 С! ибо sin у >
Sln
<
Ji -
sin у
финимая во внимание"
всюду
CliS У =
что
на
Х"
ин-
и:~
tатеЛlШО найде\"
1
(al'CCOS ,1;
у'1
-
х2 '
IIолученная фОРМУ"lа как уже отмечалось в процессе ее выв о [а"
с lравеДЛЮiа для все:с зна'tеliИЙ
<
из интеРliала
-1
1.
Перейдем к вычислению производной функции У = al'ctg х.
б(ду'iИ опредеlеllа на беСl<ОllеЧlЮЙ lР\lМОЙ-ОО
х
+00 служит обратной для функции х = tg У" определен-
<
ной на интеРliа" ,е;
б ""
В окреСТНОСТИlЮ он
;. ПОСКОlЬку ДШl фУНКliИи
точки у интерва"lа
71
--
<
у
7г
< "2
У
выполне
ны все условия теоремы 5. ,то" СО} ласно ,той теореме, функция
у
ю"сtg
диФ(liереlЩllр(е\Ia впобой ТО' ,<е ,1; = tg
и ДlЯ ее
=
произво" lНОИ справе" lпива фОРМУ"lа
(al'ctg х)' = (tg1
Учитывая" что
tg У =
х
= 1+
~g
окончательно получим
юсtgт)'
=
-1-2'
l+х
IIолученная формула справедлива для всех точек х бесконечной
прямой.
Jстается вы !Ислить пр, 'и шоднтю функ !ИИ У - f l'cctg :r;
НШ, будтчtl определеt
на бu:кош '!Н!С
, служит !iбратной !ля функции = ctg у, опре t!ленн, ,й
на интеРlШ,lе
у
п, Поскольку для функции :r; = ctg
в
<
окрестности лю t 'ой точки у ИНТ\:РВfша О
уел, ,рия т!!сре\'
< <
У
7r выполн\:ны все
ПiГЛf.!,СШi этой теорем\:. фТШ<ЦlШ
(А,
Х диzj"tференцируема в люоой тоттке х'
.
и ДiЯ ее
прои:~во !Ной справе, !лив а формула
/
t)'
iагсс,g:r;
Учитывая, что
ctg У =
1
= (/tgij)' = -
1
+ctg2
х, окончате,lЬНО получим
1
агссtg х
1+
Эта формула справеДlИва !ля всех точек х бесконечной прямой.
Таким образом, мы вычислили iРОИЗlюдные Есе:; простб\ших
Э,lементарных функций, за исключением степенной функции с
любым В!tшествеш нм
Юi<азате,lе\j.
вычисление производной tТОЙ после, iней функllИИ до § 8, за(\
оБОСlювание\ lравила ди<l;фереНllИРОЕаюш
с южной функции.
OTK,la, i.Ывая
§ 7.
Правило дифференцирования сложной функции
Целью наСТОЯlнего параграiI;а является тстаНОВ,lение прави­
ла, позволяющеl о найти прои:~во, lНУЮ сюжной функции У =
= .t[<p(t)] еСЛll известны
у = лх) их = <p(t).
Теорема
5.4.
lpO lзводные состаЕЛjjЮЩИХ ее <1;ТШ<Цll
Пусть
mO"li.e
to,
со' !тветствую'Щеi1 тОЧ1'О:е хо
в
.t[<p(t)]
х = <р(Т) дифферен:цируе,ма в
у =
(;1;) дuффере'l-t'Ц'/tруе.ма
!p(to . Тогда СЛО:JIC'I-tа.я. фую;;ци.я.
np'/t"l''.M дЛ.t! nро-
f
а
1):
iJзвОi uо{1 эmлй, фу'l-t1'О:'ЦUiJ
{Л<Р(то)]}' =
f'
)<р' (to).
(5.31)
д о к а з а т е л ь с т в о. Придадим ат гументт
в точ­
ке t{) ПРОИЗВОlЬное, отли"l'l-tое пт 'l-tул.я. приращение ~T. Этому
приращению соответствтет прирашение ~y функции ;1; = <p(t).
IIриращению ~x в свою очере, lЬ соответствует прирашение ~y
у =
Лг) В точке Уо. ПОСКОЛlЖУ фУНКlIИfl У =
Лг)
пре шолагается дифференцируемой в точке хо прирашениепой
в то [ке :То MOil' !'т БЫТl, Зaf !Исано
риде (см. § 2)
~y = f'(xo)~x
1)
+ a~x,
(5.32)
СИМВОЛОМ {.f[cp(to)]}' мы обозначаем производную сложной фУНКЦИИ
У = Лср(t)] В точке t =
to.
17(;
где
о
П"
f(лив р,шеf [, тво (~,.32) Н"
6.t,
буде\ иметь
_ .f·'(xo) ~T
+ 00-.
Zi\t
(5.33)
теперь в равенстве (5.33) 6.t -+ О. Так как из дифференци~
руе\ости фунюшй
= <p(t)
TO'fKe to вытекас,т IO'ffpC'pbIBHOCTb
,той функции В точке to, то. в силу разностной формы ус.ТIOвия
неffрерывности,
-+
fрИ
-+ О). ПОЭfО\'" MO!f< Ю ттверждать
что существует преде.!Ьное значение
liш
(5.34)
00=0.
i:>.t-+O
KpO\fe
х =
того. в силу треБОЕаюш диФсl ереfЩffртемос (И фунюши
<p(t)
в точке
tC!
существует предельное значение
liш ~:"
. \t-+O ~t
(tC!
=
(5.35)
Существование пре fельных значений (5.3 ) и (5.35) обеспечи­
рает сушеСfтование предеЛfЯОГО значеНЮf (fРИ
-+ О) все\
правой части (5.33) равно; о {(хо)<р'
ет fредельное ЗНа'fение ( fрИ f(;t -+
. Ста.Ю быть. существуи леВОf1 fасти (5.33). По
опреде.fению прои:~во. fНОЙ ука:шнное преде.!Ьное значение рав­
но fРШfЗВОДНОt'\ СЛО!fШОЙ фунюши
ню
to
J[<p(t)]
В
Те\ саМЬЕ
TO'fKe to.
докаЗaffа дисl>ференцируе\юсть СЛО!f< юй функции В ТОЧf{е
и YCTaHoВieHa форму.fа
(5.31).
доказана.
а м е ч а н и е. Мы рассматриваш с южную функцию
T,ope\fa 5.5
3
у =
f
,где
=
<p(t),
т. е. брали
,];
в качестве ПРО\fеif{ТТО' юго
аргумента, а t в качестве окончате.!ЬНОГО ар; умента. Эти обо­
ЗНа'fения. коне'шо. мо; ут быть изменены. Часто тдобнее бывает
рассматривать сложную функцию вищ У =
[е и = <р(х ,
т. е. брат'
в качестве ОКОН'fатешяого арг\ \leHTa, а некоторую
переменную и в качестве промежуточного. Для этой функции
сIюрму.fа ДffФсl еренцироваНЮf
fринимает ВffД
f
у' =
,р(х)]
,
=
),
f'(u)<p'(x)
(мы опустили у соответствуюших ЗНа'fений ат
f ументов
(5.36)
,]; и
Ну.ш. имевшие вспомо f ательный характер).
Прю\едем
fримеры ИСfЮJьзоваНЮf ТОЛf·f{О
[то до {азанного
правила дифференцирования с южной функции.
1о. ВЫЧИСЛИТf ПРОИЗВОДf
фунюши {! = earctg
функlШЮ будем рассматривать как с.ТIOжную функцию вида у = е и
где
= аl'СЦ'
ИСfюльз\' фор\\лу
,.:56), ЮIIУ'fЮ
у' =
(юсtgу)' = e1l _ 1_
0
1 +Г~
= earcl.g.r
1
1
о'
+Г~
77
Вычислить прои ;вод fСЮ функции
р,н:сма; риВ{)Ть f<af< сложную функ
2
l;kff;;ЛЬ:~С~
фор>. слу (~;.36),
= (2 и )' (:r;2)'
3
функцю;'
)и, ГДl
;;;лу'шм
- (2 !! 11;
- 2'
1 11;
При р, сем, ; [п(нии ук,; :ан [ых двух
мы ;;fде.
но ЕЫ! ;·fсывали
f<ЦЮf состав.
да;шсю сло;;;нсю функ­
;ш;о. В это>.;. коне' шо. нет никакой н;;обходи>.юсти, и на fраfсике
fиффереНIIирование сложной функции производится сразу без
раС';ене;fЮ; на отдельные соста;Ш5Пощие фунюши. Наffри>.ер.
. 75
У = агсsш
'
х,
у =
V1 ~ 1(75х)' (7r':)'
ох
=
V1 ~75(75х)2
Ixl < 1/75).
здесь
Теоре>.ш
5.5 и содер;;;ашеес;; в
прави.Ю пос;едовате.Ъно переносятся и на с;учай сложной фунюши, яв. шюшейся су­
перпозициб\ трех и больше} о числа ;! 'снкцШ;.
Рассмотрим пример такой функции. Пусть треi;уется вычис4".
лить произво. fНУЮ функции У =
5;mCI.g(,r 8 ).
1Iосле. ювательно
применяя прави.Ю ди;llференцирования сюжно(\ функции, по­
лучим
( ~1)
-
---8х'.
1 +;16
8.
Логарифмическаs.l ПРОИЗВО/I.ллаs.l.
стесненной функции с любым вещественны;;';
Пiiка.за.те ..!Ii:М. Таблица ПрiiИЗI3iiДНЫХ ПРiiстеiiших
элементарных функций
1.Шlоллs.lтие логарифмической прОИЗIЮДНОЙ
фунюшя У = I(х)ппло:жurnеЛ'Ыia и
дашюй то';ке
Рассматривая
.
ln
Тогда
fифферен шруема в
это;; то' [<е ссществует
11;
= 11;
f(:1;).
(х) как с южную функцию аргумента х, мы
можем вычислить производнуюпой функции В fанной точке х
fринимая
= f(;i) за [роме ;;сточш;й aprC\leHT. Полсчи>.
[!nf(;i)];
(5.37)
=
Величина. опре fеляемая формулой (5.37: нюывается логарuф
.м·/t'ч/';х;оЛ nроuз;;од'НоЛ фуню ши У = Л:1;
дю шой точке
качестве примера вычисшм логарифмическую прои:~во. fНУЮ
тю< называе>.юЙ creffeHHo- юказател;;юй
f<ЦИff
U(:Т?;;'
МЫ уже знаем из п. 2 § 7
,;то эта функция определена
и непрерывна
шя всех значений х
неffреры;шы и
;(:1;
>
Teffep;
для которых Щ х!
\Ъ; дополшпеш,но
и 'и
ютребсем,
чтобы и(х) ии х) iы.ш шфференцируемы f.ЛЯ рассматриваемых
'Шit t(ний
[ТО
Т"гда.
:r;
!п
поt
сии
равна
у'
-
IV(X) lпи(х)1' -u!(х) lпи(х)
И3 рсшенствd.
дуюшзю
+ v(x)
(5.31:')
(').38), уч.ИТЫВd.Я чти У -
(lюРМУЛЗ
для
ПРОИЗВОДfЮЙ
llИЛУч.им еле
С [е tенно-показател, ной
(!,ЗНI\:ЦИИ:
,
у
ln и(т)
=
2. ПРОИЗВО/RЛЛi1:>f
функции с любым вещественным IIоказателе и. Пристзпи\ tettepf к
f·tслению
прои:~во. tной степенной функции у = х й с произвольным ве­
шествеfШЫМ юt<азате.fе\· й.
буде\' Bf.f ШСf5tтf· tршtзводную
!той функции дш тех значений 'х, для которых !та функция
опреде.fена при любом й. а именно дш значений х, прина. tле-
iТiащих по. fЗПРЮ,ЮЙ 1)
>
О. Имеi! в риду, что всюду на по.
прямой х
О функция у = х й '!ОЛО;)fCumелъна, ВЫЧИСТIИм лога
tесt<Зю tРОИЗfЮДНУf!! этой фунКlШИ. Так t<at< lг!
lг! J;
тою} арифмическая прои:~во. tная равна
,
й
!!.- = [й !п
х
у
Отсю [а. учитывая. что у =
ной степенной функции
хй
получим формулу
(т й )' = aiY Ct -
!ля прои:~во
1.
[аким обра:юм нами вычислены прои:~во шые всех простейших
эле\lе,парны:< фунКlШЙ. (;обираi! воедино все РЫ шслешtые [ро­
изводные, мы по. fЗЧИМ следуюш"'" таблицу, уже выписаннз!"
нами в л. 1.
3. Таблица производнык сростейшик элеi!'lентарнык
=
йiY л1 . В tастности. (~)'
30. (аХ)' = а Х lпа
40. (si J;)' = cos
!уч,!е,
о
(О
:
(JI)!
=
C~)·
а 1-1). В tаCtности, (ltT)' =.!..
>0.
< а 1-1). В частности. е'!С)' = е Х .
11т. где m -
!<ел'"
не'" !н'"
чИi Ю, фУНЮ!!'lЯ
х '" определена 1ia всей беСnО1iеЧ1iОЙ прямой. О. !дако и Б этом случае
достаП)'lЩ) !,ЬПИСЛИТЬ
:" >
у"а.,а!!""Й
!ИШ!,
!Я.Ш!'l"НИЙ
О, ибо указанная функция ЯБЛJiется 1iечеm1iОй и ее ПРОИЗБОДНУЮ ,'JШ
значениii :"
О легко ПОЛУЧИТЬ из этого соображения.
<
ИНl, \l'И \НТН(;;
-
6
(I.g х)' =
т
(ctg
Т)
ТЬ
-юп
х = 1 + tg 2 Х Х i- ~2 + 1Гп, где
1
СОБ
1
8
.1)'
= _
( Ю'сtg.....
:: )' =
< ,];
--===
=
(агссоs х)'
(1 + ctg:i ,];)
1
V1-x'!
i-
n,
где
n
= О, + 1,
n=
)
(-l<х<l).
1
--2'
1+:
11. (агссtg х)' = _ _1_.
+
гл.
мы вве.Ш ипербошческие функции у = shx,
у
Cll ,У = IЪ и
cJh:J;, катары е явля}<)тся прастыми
камiшнациями паказательных функций. Из апреде.lения этих
=
§4
=
элементар
10
вытеl{ают слеДУЮll
lle
l'ырю+<еНИ11
д'Шl
и:<
праизва. [дых:
20.
13
CllX = SllX.
1
ItllX)' = ~.
-+ (Х
ch :"
150. (ctllXY =
sh
х
О).
Указанная таблица вместе с прави. lами
lиффереНllиравания
суммы. разнасти, праизве. l.ения и частнаl а (т. е. фармулами
16)) и lраЕила\ джl:фереШШРOl:ашlЯ С1Ожна;'\ ФУНКlши са­
ставляет аснаву дифференциальнаl а исчисления.
YCTaHaB.leHHbIe праВИ.lа и фармулы lифференциравания па­
зво 11ПОТ сдеlаТl
§7
адин вю+<ный вьшад.
как такай функции. катарая выражается через прастеЙllше :лементар
ные фУНКlши 1Осредство>. чеl ыре:< аРllфметичеСl{1 1
действий
.4
мы вве.Ш панятие эле:;;; ::тарно'!!
и суперпа:шциЙ. паСlедаватеlЬна примененных канечнае чисlO
раз. Те;
\1Qже\' !!твер/l<даТll,
[та
.1!'!обо{! эле­
me1-tmар1-tOI'l фу1-t'К'ЦШl представляет собой manJfCe эле.меюnар
ifУЮ rfiУif/.'Цit.ю. Таl{И\l абразам, оnера'Ци.. :!.
не выпдшnn нас и,! 'Класса .iлеJvtе1-tтар1-tыx фу1-tnu.uЙ.
§ 9.
ИнвариаНЕ'lЮСТЬ фОРМЕ;l пеРlЮГО дифференциала.
Некоторые применения дифференциала
нвариантность форl\llыI первого дифференциала.
кан le § 2 мы устанавили, что. для случая, кагда ар} умент Х
является 1-tе,ювuсuJvtoй j epeJvte1-t1-tПIl, lифференциа. функции у =
(:r:)
О!
f(Л fется
,
-.f"( х )ОХ"
в
птf
мы ДОК, i+«M,
в\:р! "льш>й И iпр,шедлива ш
(5"39)
[ТО фор>. (ла
(5:59)
ЯВ"Ш\:Тi'
только в iлуча\:, юн д"
iШЛiiется Шiа;шсимои пере>."ешюЙ, ш, и
уни­
"р! ум\:нт
iЛУ'fае, ,'!!>гда аргт­
мент х сам является диzj"iференцируемой zj"iтнкциет некоторой
новой переменной
Указанное свойство дифференциала функ­
ции обычно наз; ;i'ают '/tiiiiаРU!ium,носm/ью е;'о фор >Гiii".
Итак. пусть [ана fифференцируемая в некоторой точке х
(I;y; fiЦЮf
= .fC!), аргумент J; fiОТОрОЙ предстаВШСiТ собо(\ Д;fф­
ференцируемую фунюшю х = cp(t) ар; умента t.
таком случае
\ыI \юже>. раСС>.faтривать у 11:011: i'iO
аргумента
мы
5.5
t.
[cp(t)]
а х как промежуточный ар; умент.
производная у по
опре. fеляется формулой
= г С!)ср! (t).
i i оскольку
переменную
мы можем рассматривать как незав'U
fроиз;юдные
менту
t,
;.40)
J; =
и
cp(t)
ди(I;Ф( реНllиа. юв эт;·f
dt. .
=
.t[cp(t)]
=
сог;асно установленному в конце
е.
{.t[cp(t)]}'
=
~Y.
!,.t
Вставляя эти значения производных в формулу (5.40)
дим
по аргт-
равны отношению
при [а­
ЭТОfi;е вид
(5. 1)
\шm;<аii обе fасти раЕеНСТЕа (5.41) [а dt. Ю;\"ЧИ\i ДШf
в;ч;ажени е (5.39). Тем самым доказана инвариантность формы пер­
во; о диФ(I;еренциала (['тнкции, т. е. доказано, что i,ai,
слу­
чае, 11:0гда аргу.мент х является не;юв'Uс'U.моU пере,м.еннпи, та11:
caJvt является д'Uфференц'UруеJvtoU
фУН11:'ЦUi''il
дuфферен'Цu{!
dy фУН11:'ЦU!i
= .f
равен Jiрп'Uзводнпu эт [й фУН11:'Ц'U'U, у,м.нож;еннпU на д'Uф
ферен'Цu{! ap;'y>"'iim.a d;y
По-. [ру! ому свойство инвариантности дифференциала мож'U в случ.ае, nnгда аргу.мент х
но с(lюрму.шроват;, TafC
у =
равна отношен'Uю д'Uфференц'Uала
'Ц'/tIi'iУ ар;'у> '" иm.а d;!,
1) То еСТЬiiак
арг(
когда
:"
некоторой другой переменной.
.f
(;сегi){! 1)
11: д'Uфферен
[.42)
.f'(J;)
ной, так и в случае
фу Н11:'Ц ии
,ieHT
является неЗ,iВИПi\ "Й переiiiН-
сам явл ,ется диффереНi!Яруемоii функциеii
l'lHIZ
\l'И
\HTHiii
81
ТЬ
рс BeHCTBii С
на\' в
42)
liiльш:йше\'
ПОЛЬ:~ОВ{l,ТЬ iiтш)шение dy !ЛЯ iiБО:~НilЧ( НИЯ прои:~во, lНОЙ функ­
iiX
СИИ )! = .f(;Y) Ш) аРГУ\iепу ,1;
Зilметим в :~ilключение, ЧТii после TiirO, Юl,К "CKa:~) Шi ра
тво С 42), ПрiШИЛ ii СИil>ф( ПiНllИР, сВ{ lСИЯ СЛОЖШi
Belli
ТТРИНИ~,Гi1ет вид ТТрИСТOl
u
тождествCi:
_ dy di
же
РИД lриобретает
НИЯ обратной функции:
(5.4:5)
lрarсило Дllфil еренцирова-
(5.44)
ilX(fy·
Подчеркнем,однarло что рю еНСТЕа
триватъ как новые методы
ilюРМУ'
и
(5.4:5)
антности пеРВОl о
lрИ
и
(5.43)
(5.44)
неЛЬЗil расс\!а­
юказате,lЬства теорем
5,5
СУЩСiСТЕенно ИСПОllЗУlОТ
(5.44)
и
5.4,
и(>о
инвари­
lиффереНllиала, установленный нами именно
{.
теоре\!ы
ФОРМ,i Л,I.iЛ
праI.Jила вычислеЛIИ:>l ,'ii',i,,",-''-V'",
Мы доказали, что дисl>ференциа, (lij функции у
2,
=
paBCiH lРОllЗВОДНОll ЭТОll
lЛЦЮl.f'), У\iножешюй на iТп,гг,пС>i,_
ренциаl ар} умента dх.Гаким образом, таблица производных,
Bll сисаШlаi! lами
.3 § 8, lРИВОДИТ К СООТЕетствующей табли­
це lиффереНllиа,юв:
~
1О. (l(;УЙ)=i i,!!a-lcl;1;. В lастности, (l
loga е dx (х
2, d(1og a х)
Х
(l(1 i з; = ах.
30. i/(a~) = а']; 1пш1х (О < а i' 1
40. (l(siy) = cos ~;dY.
50. a(cosx) = -sшхdх.
2
6°,dl з; = -di;
, - = (" l+tgY)d!!
СОБ 2
;'!'
а
1.
частности,
частности d(e'];) = e'];dx,
( з;
+пn, где
= -(1 + ctg 2 x)dx
Sln
:"
i/(arcsinx
. (l (aIccos з;
1) .
1 + :r 2
11 '. сЕ'( агсс tg )
х
=
i'
l (, С) = ах
( v Ji
2fi'
n=
+1,
:"
70. i/(ctgx) =
±1, ... ).
<
О, О
= _ аХ
'
ах
---о
+
х
i'
пn, rl,e
= О,
шо вы теК,
"JT
мы,
след; ЮЩИСJ пр,ш
р"
Ш, ,сти,
=
±и)
;л,'
дл;;
ры
шсле;
;·Ш
пр, 'и ;ведения и частного
du
±
',!и
+
d(uu) = vdu
v-
о
3 . .использование дифференциала для установления
приближенных формул. Хот;; как
ВИДСЛИ в § /, диФ<lfе­
рею шал
функции у =
не равен прирашению 6.у }той
функции, но С точностью ю iJесконечно ма. юй iюлее высокого
1
ЮРЯД;Jiа,
;С'М
6.:1;
с ;paBi длив о
;риб. ;;·;жеююс' раве;;ство
6.y~
Ут; юсител;шая 1 погрешность этого равенства ста; юв; пся скол;·
уго. ;но ма.ЮЙ при достаточно ма.ЮМ 6.х. Форму.;а
ляет
;риб.шже;шо за>.iе;штъ
ее дифференциалом
;риращение
6.\/
(5.45)
позво-
;JiЦЮ; У =
1
IIреимушество такой замены состоит в
том, ;то д;;Ф<lfеренциал (l\/ заш;сит от
линейно. в то вре>.и
как приращение 6.у. вообще оворя. предстаВ.шет собой более
GТIOЖНУЮ функцию от 6.х.
Имея в виду что приращение функции 6.у опре. ;еляется фор-
му.ЮЙ
(5.1 ,
dy.
а дифференциал
'-.
опре. ;еляется форму;ой
(-'1':)
мы придадим Щ ИО.шженному равенству}.;О
+ 6.х)
-
(х) ~ Г
1 + 6.х)
~
(х)
(х
(5.14:
следуюшЮJ вид:
6.х
или
+ I'(x)6.x.
1
!е (5.46)
;ЩЮ;
дш; знш;ений аргу>.ента. б.
ДШ ма.!ЫХ 6.х) приб. шженно заменяетсяшнейной
в частности из формулы
известны:< ню.· из гл.
1(У) = (1
1/71
4
= О.
может быть получен ряд уже
(5.
;рибли !;енны:< фор>,·пл. Так,
юлагая
юлу'шм, что
7)
1 !олагая
(х) =
sinx.
х = О. получим
Sll!
1 !олагая,
1(:1;)
= е 71 ,
с:::::
6.:1;.
А8)
полу !им
+ 6.:1;.
1
Относительна!! пш решность равенства (5.45) определяетс!! отношени­
/Jy =
~x
o(~!r).
dJ;
i)тметим. ЧТО. по Щ}j,jдеЛСНИ}j·
-
dy =
ПГОИЗВО . 'l.Ю
о
Полагая
Иtиф,,'ЕГЕ'
+
(:r:) = 11,(
In(l
I(аж.
[, ,е
Иl. равенств
(,е, fЕО[fеч[
ii'ЛУ!ИМ
,:r: -
+ ~x)
(5.17) (550)
малой более ЕЫСОfЕОГО
~x
(5.50)
СПРfШ( ;лив', с т', !Н' ,стыо
ЮР;!ДfЕа,
,см ~:1;
Равенства (5.47) (550) в форме точных "ценок уже (,ыли
УСlCiНUБJkНЫ ЮiМИ В конце ~ 7 Г1.1.
'.н§,цГID>§
10,
и дифференциалы
высптих порядков
1
ПОНЯ'I'ИZ' ПРОИЗВО/R,Iюii n-го ПОр:>I/R,Кi1,
лось в п. 2
l(aK уже отмеча
производная г(у) ::~.нкции,
§1
(У) опреде.[ен-
ной и шфференцируемой на интерва.[е (а, Ь) пре. fставляет со
бой фу1-t'К'Ц'lt'Ю, та?,
па иН?7 "рви
(а, Ь.
ожет
с [учитъся. что эта
руе\юй в
точке
сама является дифференци
fеfЕОТОРОЙ то' [Ее
производную.
;1;
да
вmорO'il nро'ltз,;од1-tо{!
ипеРЕала (а, Ь
указанную
, .
е. имеет в это,!
производную
называют
nРОi{,зво,)nO'il 2-го nорлд?,а)
у =J(x) в точке х и обо:шачают символом .f(2)(x) или у(2)
I !Осле того как вве. [ено понятие второй произво. fНОЙ. мож­
но
юслеДОЕатс'Льно ввести понятис: третьей
fРШfЗВОДНОЙ, затс'м
четвертой произво. fНОЙ и т. д. Есш предположить, что нами уже
вве. [ено понятие
ВОД[fая
т. е. имеет в
(71, -
l)-й прои:~во. fНОЙ и что (11 - l)-я произ­
нс:которо,! ТОЧfЕС' ;1; [!Нтервала (а, )
:той точке производную. то указанную производ
ну[' , наз[ шarот
11-'11
nРОi{,зво( nо{1
nро'ltз,;од1-tо{! 11-,'0 nор§,')'Ка)
.f(:Y) в ТОЧfЕС';1; И обозначают с f,§ВОЛО\ рn)(;1;) кш
=
у{n)(у).
I. аким образом. мы вводим понятие 11-Й произво !НОЙ индук­
т[шно.
[ерс:ход;! от пеРЕО,! производ[юй к
НОl.l.[ение, определяю нее
11
юслс:дуюши\
Соот­
ю производную. имеет вид
у{n) =
(5.51)
y{n-l)1'.
Фу1-t'К'Цшо, 'Шvtеющую на da1-t1-tоJvt Jvt1-tо;JfCесmве! х} 'Ко1-tеч1-tую nро­
uзвод1-tую nорлд'Ка 71" обыч1-tо 1-tазывают 71, раз дuффере1-t'ЦuруеJvtm'l
па данnо!' .;,[но :н'есm,(:е. ПОН;fТие производ[ [ых [ыIшихx порядков
нахо. fИТ МНОlочисленные применения в фи:~ике. 3 [есь мы огра
ни' ,Ю\IСЯ тем,
,то укажем механический смыс[ второй производ­
ной. Есш функция у =
риальной точки
произво. fная
.f'
(х) описывает :шкон
ю пр;! :юй ЛЮfЮ·f
fEafE
шижения мате­
мы! же знае\'
пеРЕая
[ает Мl но венную скорость fвижушейся точки
1) Гl.торую произвоДную функции
/"(х) ИЛИ у"(х).
то,
/(х) обозначают также символом
'iTO
>ам(' lИ\i,
поря}ка
Bi,l
М('ТОШ},}l
ПРfOдполагаст
n
}}lСЛfOНИЯ
умснш'
flРОИf ЮТ
вычислять
то
Bi,iCi}}fOi(\
11;'));0
1М 1!во}'с' nО]Jлдj;f!
ка,}fO(ТВfO ПРИ\ifOIЮВ вы }НСЛИ\l пр, '}l:~B()ДHЫ('
'п-го порядка некоторых простейших элементарных функций.
2. n-е производные некоторых функций. 10. Вычислим
n-ю
ЮИЗ}ЮД}i'Ю степенной фуню~ии
= х й (х
О. а - любое
вешественное число). Последовательно дифСf!ереющруя, i)удем
>
И\iеТh
у' = ах
'-I,
у(2) = а(а -1)х"-2,
= а(а -
) а - 2)x(V-З, ...
Отсюдаiегко уяснить Оi)щий :шкон
(хй)(п) - а(1' Строгое доказательство
1)
а -
+ l)х Й - П .
- n
закона легко п] ЮВОДIПСЯ методом
CJToro
индукции.
В частном с.тrучае а
-
т, где т
-
натураъное число, полу
чим
О при
n
т.
Таким образом, n-я производная МНОГОЧ,iена т-го порядка при
n
т равна ну
.
ции у
1) .
Далее вычислим n-ю п]юизводную показательной функ-
аХ (О
< а i:: 1 . Последовательно дифСf!еренцируя,
у' = аХ ln а, у(2) =
i)удем
lп З
ln 2 а, у(З) =
Обшая формула, легко устанавливаемая по методу индукции,
имеет вид
а.
в частности,
еХ )
31.
НСЛИ\l n-ю
еХ •
ЮИЗ}ЮД}i'Ю ф'
sinx. Пе],вую
- С01' Х -
производную CJтой функт~ии мож:но записать в виде у'
= sin (х + ~).
ТЮ,И') обi'
,азом.
2
"
- SiIlX if]J1lбавллет 'к; аР2у,менту этой
(!тсюда fЮТ чае\l фо]
лу
х)
= SiIl
!;е 11l"шr-tу 1Г/2.
:г + n ~)
.
1) При этом мы используем еше следующую очевидную формулу [Аи(:с) +
+ вu(х)](n)
= Аи 'П '(:с)
+ Bv(n) (:с),
где А и В -
постоянные.
П;аКЛЮЧ('i
1iЫ'ШiЛ 1М
\ЮЙ
У
n
ю
-
юи
с!Х
сх
;1;0
11I\Ю
назы
.с' iД(' а,
i.iifO
н( iШ-
тарые пастаянные. Паследавательна дис[ ферент~ируя'iТУ функ­
т~ию будем И\iеТh
у'
_a~(c_x_.~~__~__~
=
у(2) =
-2)
у(З) =
('х
+
-2
+ d)
(-2) -3)(1 х
+
, ...
Легка усматреть и аб "ий закан
-
( а.;
Ь)
cir+d
= (u.d - Ьс) (_1)n-l п !(сх
+ d)-(n+1)
катарый маж:ет быть абаснаван па метаду индукщш.
3. Формрла Лейбница для n-й производной прои::ше­
дения двух функций. В та время как устанавленнае выше
правила Вi,PfнслеНЮJ пеР1ЮЙ пранзваднай ат СТЛ,iЫ
раЗ1Ю
сти двух функт~ий (и±'и)' = и' ±v'ierKa перенасится (например.
па метаду индукт~ии
на случай n-й праизваднай (и
± v)(n)
н'
± v' , вазникают БОiЬшие :~атруднения при ВЫЧИСiении
п-й праизводнай ат праизведения ДВУХ функ шй И'О.
С 'аатветствующее прави. ю насит на:~вание фор.мул!,! ЛеЙбн.u­
ЧU
И\iеет стrед.' юший вид:
+ с:зn ,!(n-t)
+ ... +
Легка падметить закан, па катараму пастраена правая часть
Лей()ница (5.52 : она совпадает с Фор.мулоЙ раз!!о:ж:е­
ни:!
(и
?с)n, Лn:Ш'Ь вЛI{сrnо
и
i'Тi!iiлrn n1Ю­
uзводнЪ!е соответствующuх nорлдnов. Эта сходства станавится
+
еще БОiее палным, если вместо. самих фуню;ий и и
писать са­
атветственна и(О) и 'и(О) (т. е. если рассматривать саму функт~ию
как праизвадную
Hy.ieBara
парядка).
Дакаж:ем фармулу Лейбница па метаду индукции. При
=
1
,па фаР\iула
нмает
ет с устанаВiенным выше
в
П]Ю1;зведеНЮi Д1i\Х ф' [к iНЙ.
справедливасть фармулы
казать ее справедливасть
(и'о)! = и!
+ и'о'.
iiTa
n
савпада
правилам ДИj[iферент~иравания
a+iaMY дастатаЧ1Ю предпалажнв
(5.52 для некатарага намера n. да­
ДШ следующего. намера 11 + 1 . .итак,
lSC
ДШf
Ю\ftoРf'
n
ЩН1,fУЛ'
Ф 'РМ\Лf'
об,
Гlр<>диф-
',2)
нм слагаемые'
1тоящн,'
в
прав, ,й Чf ,ти, тс\к, Ю\.К это YKa:~; Ш' НИil;to·
(uv)(n+ )
и(П+ )'с'
+
C~и(n)'и'
C~u(n)v'
I с 2 и(п-2),u(:З)
C~и(n
n
L
n
[C~и(n
+ и'и(П+
С f и(п-2)v(:З 1
n
)
(5,53)
(При '-)том мы восполы~овались тем, что 1 - C~ . Из'шементар
ного юрса известно, что для любого номера
щего
71"
k
не превосходя­
справедлива формула 1
C,~
+
Пользуясь '-)той формулой, мы мож:ем следующим оi>разом пе­
реписат,
'ю:е,fСf ,:О ( ".
(и'и)(n 1) = и(n 1)
+
1 и(n)'и'
+ C,~+l и(n-1)'и(2) + ... + u,(/ii+1).
Тем самым дока:шна справедливость сlюрмуfы (5,52 для номера
(n 1), Вывод фО] 1МУЛЫ Пейбнrща заве]шен.
При м е р 1. Вычислить
производн,Р' функции У =
+
- х 2 СО8 х. Воспользуемся гlюРМУ.ЮЙ еЙбнrпа. положив в ней
и - СО8 х, 'С'
х 2 . В таком Сfучае дш любого номера k u (k) -
= СО8 (х + k1Т".), 'и' = 2х,
=
= ... = О, Получим
=
2, ,(/3)
С' 18 ( Х + n ~) + 2nх СО8 [х + (n - 1) ~] +
-) СО8 [х + (n -
+
2) - ]
При м е р 2. Вычислить 71,
ПРОИЗВОДНУff; функт~ии У :[;3 е Х , Воспользуемся формулой Лей(>нит~а, полшкив в ней и =
= с х 'и = х 3 , огда для любого номера k u(k) =
= 3x~,
'и(2) -
6"
'и(3) :[;3
6,
,u(Б)
+ 371,(71, -
О. ПОfУЧИМ
l)х
71,(71, - 1)(71,
2))е Х ,
Рассмотренные примеры показывают. что гlюРМУ. {а Лейбнrща
особе, ю '-)ффеt<т,шна
стг 'fae, когда ОДifа из двух пере\шожа­
емых гliУНКЩIЙ имеет лиш 1шJ-tе'ЧJ-tое 'Число отли'ЧJ-t'ЫХ от J-tуля
n1ЮЕ36', ,дн'Ы:т,
Дифференциалы высших порядков. В рассуж:дени­
fаСТQlfщего ПУЮiта
{.! буде,) НСfЮfhЗОВЮ'· ДШf обозна'fеНИlf
4.
lfX
ДИlf,ференциа.fа наряду с символом
d
такж:е и симво
дем писать там. где это удобно вместо dx и
1) Впрочем, эта формула элементарно проверяется.
r5
(т. е.
симво {ы ;)х и
.
fГОИ:ШО 'l.Ю
87
иt.ИФ'I'ЕГЕI
что фУЮЩЮI У
I
-
НС'}ШТ<>РiiЙ OiiРСi(ТiЮ(ТН ТiiЧКН :Tii
Тогда
ал (Zy этой функции ИМfOfOт впд1) (Zy
Т~ИfOj!
ПfOРfO\ifOННЫХ: ТОЧ}iИ:Г
щ+
j'(:T)(Z:J: п ЯВЛЯfOтся ФУНК-
ВfOличины
ПРfOДПОЛОiiаIМ ДОПОЛНИТСЛЬНii
ЧТii Г[iУНКЦПЯ
j' (:г такж:с яв-
Лii i ' iiЯ iнффi'i
iЦi1i
то'!
Xi) и 'iTO
d:J:
ОДНО П то
фиксП] юванное значение дш всех точек х рассма
трпваемой окрестности точки хн.
i iРИiiТИХ
iеДiюложеi нях сущеСТi:iет днффереiщнал ФУЮi
1'(
т~ии (Zy =
в точке Ха, который мы будем о()означать спм­
волом 8 ((Zy), прпчем '-)тот последний ДПфС[iеренцпал опреде.шет­
ся фОР\iУЛОН
8(dy) - 8[j'(x)(Zx]lx=iO- [j'(x)(ZX]'li=X08x - j//(xo)dx8x. (5.54)
Оnределеuuе. ЗНЛ''lе'J-luе
дuфф!
д
U
8 (dy)
,}uффереЮJ,uала от первого
dx,
n1и 8х =
Ф Ф
'Ц
U
а л о
jf.аз'ЫвЩii'iР
фif'J-l'J(;'Ц!J.U
в
'ы м
(х)
U
обо,mа'Чают CUMBO,j.OM d 2 y.
фо]
ЛЫ
)
и из определеНЮi
'Ого днффере ii}нала
вытекает. что
d~y =
(ха)
Заметпм, что так как мы считаем ве.шчпну dx фикспрованiедеiеi
ю}о днффереiщнала сраз' же вы-
НОЙ, то нз
текает,
что
юj! днффереiщнал независю,юй
семе;
юj!
равен нулю.
Сове] 1шенно аналогпчно последовательно определяются диф­
([!ерент~палы БОiее высоких порядков. Предполагая, что произ­
водная порядка (71, - 1) функции у
j(x) ДЮ[iференцируема
в точке х,) (т. е. предполагая. что функцпя у =
точке :го ПРОИЗВОДНУi!; порядка
р е
уа
T~
а л 71,-г о
о
как ДЮ[iферент~иа.
ю
.'cTaiiai:
фующии у =
8((zn-1 y )
от ДПфС[iерент~пала
В самом деле, при
71,-1)
точке
71, - l)-го
(zn y методом ИНДУКЦИИiше­
j(n)(хо)((ЬУ.
11 = 1 п 11 =
формула
5.56)
(5.56)
iедположнм, что '-)та фОР\iУiа справеДЛИi:а Д
номера
(х)
нваете; фОР\iУiа
(zn y
[:а.
Д и Ф Ф е-
я Д к а
ПОРiiдка
'у, i:ЗЯТЫН
"х = {jX.
Для дю[ ференциаiа 71,-го порядка
\ieHTa]
Г(х) пмеет в
мы определпм
т. е. предпоюж:им. что
огда. coriaCHO опредеiенш',
1) См. п. 1 § 9, формулу (5.39).
2) Мы опускаем индекс О у точки Х.
(zn-1 y -
справедш[екото] 'о}о
j(n-1)(х)((Zх)
(zn y , получим 2)
,-1
lSS
= I(n) (:г
т,
с Т,)[iС[ЛНВОСТ1, форм' Л1,1
И:~ г[юрмулы
(5,56)
И [[ЮД[1"Й Пiр
"та ю[;л(',
выт( ка( т сшщующ(',' выр, i[,ЕОНИЕО для про-
N'
j(n)
(х)
;!n у
(5.56')
(d:r)n'
Очень важ:но отметить, что при
ется
н е з а в и с и м о й
г[юрму,1Ы
1
n
справедлИf;Ы. вообще ГО[ЮРii.
(5.56)
и
то! да. }Ю1да х iШШi-
пер е м е н н о й
т. е. второй
и пос 1едуюшие дифферен 1Иа,1Ы не обладают, вообще гово] 'я,
свойством инвариантности г[юрмы .
Чтобы убеДНТ1,Сii
'-JТO\1. рассмот]
В0!1]ЮС о [;},l'1ИСТlе[
второго ДИфС[iереющала (дваж:ды ДИС[iферент~ируемой) функт~ии
Г (х)
предположении, ,[то
,еме[ 1aii х является д[;ажды
ДИС[iференцируемой Г[iункцией некоторого аргумента
зуя 'а!;е[1С[ [Ю
(,}.391
фо]
лу
= 'и;)и
+
d2 y - д(dу) Iбх=d,- д[j' (x)(lx] Iб,=dх {dхд[j'
j'(х)д(dх)}lбх d, [сlг.j"(х)дх]lбх d,
+
(х)
ПОСТlеД[1Яi[ фо] 'м' ла о [л нчаеТСii
допошительного
и.
вооб не
от
говоря,
(5.5'})
не
t.
Испо}Ь-
, ПОЛУ'1И\l
{х)(Рх.
налнч )ем
равного
нулю
1ей
члена
{(x)d~x.
§ 11.
фУ))Н<ЦИИ, 'з:аданной
параметричеiКИ
в '-)том параграс[ е мы остановимся на методике вычисления
пронзводных ф'
, заданной 11араметри'[ес};и.
Пуст}, х и у заДа! },I
ф' 1КТ~H не};оторого 11араметра t: х =
- rp(t). У - '1jJ(t). При '-)том мы предположим, что функт~ии rp(t)
И '1jJ(t) И\1еют I\жное чнсло
ЮИЗ[ЮД[1ЫХ по пере\1енной t
,ас­
сматриваемой об1асти изменения'iТОЙ переменной. Кроме того.
11
предположнм, что ф'
1КТ~НЯ Х =
В окрестности рассма
триваемой точки имеет обратн,Р' функт~ию
С1ед[ 1ее
предпо,юже[
дает
1Ю,1 возмож[ ЮСТh
t - rp-l(x) 1 .
По-
,аСС\1Ю] 1И[;аТh
как функцию аргумента х.
1) Это обi:СПС' ,ипастся
ш'рпой ПРОlГЛЮ/l;ТТОЙ ер' (t), отличHoii ОТ нуля в некото] oii ок] естности рассматриваемой точки (см. П, "" §
гл.
15),
11
:~C да {у
Т':Г
ЭТИ
Вf1Чf,СЛЕОНИИ
юи {;юд; ;,ТЕО
юи {;юд;;ых
"'10В"! ';jMC{; об" ша' ШТ1
У
fЮ
{1р1 '\1ЕОН
!И,,1 ;ЮЛj \1И
Y~
С; ,Л\ св' ,ЙС;
же'"
1!(1 ин {j1риа; ;тности ПЕОР;{' '10 шфф< РЕОнциаЛj1
зj пи,а; 1. 1)
,
dу=ф'(t)!lt, !Jx=
УХ
(t)dt.
Из 'них формул по. 1УЧИМ следующее выра l{ение для первой производнои:
1f,,' {ti
.
ер! (О
Ана.Ю1И!ШО ;{Ы!ШС 1{;ютс{;
юиз;юд;
;,1e ВЫС11ШХ по] !{;дков. Так,
(2)
для вычисления второй производной У х 2
вить
достаточно предста-
ее в виде
d(y~)
';х
и ;юспош,зо;{аТhСЯ фо]юji
правилом Днффере;
(5.58), tpeTheji
ю {ани{;
из фо]
!faCTHoro.
При м ер. Вычис шть первую и втору;) производные функт~ии.
заданнон па] !Ю,1ет] !;jческн:
Х
=
!i
(t -
SiIl t)
,
= а(l- cost), -ос
Кривая,
определяемая
!!U'J);,ifOUaOil
'ними
< t < ос.
уравнениями.
называется
').
Получим
-,.,------:- = ct g"2
(t
[ctg~]'
а(1-
1)
При ':)то"
и
2!ik, 1де k - т~елое),
1
costi
и той )ю· точке
t
и
. 1.Ш
01НОГО И
dt.
') Циклоида представляет собо!! траекторию некоторой фиксИ] ованно!!
точки окру)кности, катящейся i;ез iколь)кения по прямой линии.
Г л А
А
6
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
в 'Ной главе будет рассмотрена задача о восстаНОВ.iеНШI
i1О нзвеСТi1Оji пронзводной"той ф' iIO~H . Актуаш.ф'
ность '-)той задачи была выяснена в гл. 1.
§ 1.
11.0нятие первооfiрнзной функции
и неопределенного интеграла
1. Пон,} [·ие ъъервообразъюй сl?ункции.
ЧiiСЛУ важных
задач механики относится задача об определении :шкона дви­
женю}
\iюериа.ihНОЙ
точ},и
[10 зада}
1ОЙ ее скорост
задача об определении заКО}iа движеНЮf
i,
а тю,же
с юр ости \iюериа,ТIt.
ной точки по заданному ее ускореНШff 1
задачи ПРИf1ОДIfТ к \iате\iатичес}юji
юб.iеме о iiЪМ };a'I-t1tл
по задш-tной nроизводной этой функции.
Переходим к рассмотрению '-)той проблемы.
Оnределенuе. фУjjf;ЦUЛ Р(х 'J-/дз'Ывuеrruл n
I) в о
Н О й
у н к
и е й
длл
J(x)
интервала (а, Ь)
f
б
3пер в о о б р а
н о й)
(n ), е(
в любой
х
дифференцируема и шлеет nро-
или просто
и.!водную 1" (х), равную f( х).
а м е ч а н и е. Аналогично определяется первоо! "разная
ДШf ф'
(х) jj.a беl II!jj.e'l'l-tOil
U jj.a
n !лу-
I
nрл,мой 2 .
П
и м еры.
1) Фунющя I··(x)
~ яв. шется первоf(x) - -~ на интервале -1, +1),
ес
оi>разной Д ш г[!унк !ИИ
l-х
"'НТСТО .П:КОРГНИЯ материалт,н"i! ТОЧКИ "НйКНО
;0,. ';;Т;.
Н'ЙСТi\У'ОЩУ'О на
эту точку силу (и;;о, согласно ВТО1 ому закону Ньютона, сила определяет
ускорение ':ПОЙ
2 II i\ооБПfе ;fa
плотном 6 себе ";ножеСТi\i'
ного В себе множества см. в
§3
гл.
2.
{.i}.
Н.ЮТ-
ибi>
любоН Ti>'iKfO :г эт, 'го
ПfOр iiiЛi i
(
2) Функцпя F( г)
ции
I(x) - C,iS:J:
тi>чю'
i'H.l.:J: ЯВ.JlЯ( т! я Ш РВi>i>БРii Ш, ,й для функна бfOi iii>ШiЧШ)Й
>!iMOji (-ос, 00 , нбо в
бесконечной прямой (SiIl
F (:г
ln:J: ЯfiЛЯfOТСЯ
COS:J:
=
3)
>"
i ф'
О, ибо. в каж:дай тачке х
на аткрытай палупрямай
х
;-)Тай пот прямай (lIl х)' =
ШОЙ дл
1.
;с
Если F(Х)i!iется пеРiюабраЗi
Д
(а, Ь), та. ачевпдна. и функт~ия
TepBaie
ф' {КТ~H
(х) на
С. где С -
бая пастаянная, является перваа()ра:шай ДiЯ функт~ии
инте] ша,iе
).
Естественна, ваЗi нкает iюпрас,
нва Сiедуюшая
f(x)
на
связаны между сабаН раз-
личные перваабразные для аднай и тай
iiед
}-
F(x)
ГfiУНКЦШI
f(x).
Спра-
о/'Нов'Ния теа] ,ема.
6.1 EC,i!,H 1 х) и F2 г) - любые nервообраз'Ные для
(х) 'Ни 1mrne/iB л (а, Ь)
в/юд!! 'Ни этом 1тпм l!вuл!
(х) - С, где С - 'Некоторая nостоя'Н'Ная.
Теорема
фУ?niv,1t!!
F 1 (х) -
Дру!и\ш СТЮ!iЮ,Ш, Д!iе любые
>ваабразные для ад!
функт~ии магут атличаться лишь на пастаянную.
и тай
Д а к а з а т е
ь с т в а. ПаЛQ}fаIМ ф( г) =
1 х) -F2 х). ак
как каж:дая пз СfiУНКЦПЙ 1 (х) и
(х) дпфСfiеренцпруема на пн­
TepBaTle i
), та в снлу теаре\!ы i f .3
ф' !кт~ня ф(х) днффереi!­
т~ируема на интерва,!е (а, Ь ). причем всюду на '-)там пнтервале
ф'(
= F{(x - FHx =
х) х) = О.
I
I
10 гл. 8 метадамн, не испаш,зуюши\ш >еЗfш,татав'най
г!авы ) будет даказана теарема 8.13 с!едуюшега садерж:ания:
есш функция ф(х) дпфСffерент~пруема всюду на интервале (а, Ь)
и есш всюду на этам интерва,!е фi(х) = О. та фунК!!Ия ф(х)
является пастаяннай на пнтервале (а, Ь ).
'най теаремы паЛУ'iЮ!, 'iTa ф(х) = F 1(x) - F 2(x) =
caIl:,t,
что. п тре()ава,юсь даказать.
Следствие. Есл1t F(x) - о 'Н а и,] nервообра,m'ых фУ'НК <ии
для ф!j'Нкv,n.1t J (х !ia 1mтi/iвиЛ( (а, Ь)
л
б
я
ра,mая Ф (х) для фУ'НКIJ,Шl j( х) 'На июпервале а, Ь) и,меет вид
Ф (х) -
2.
(' (х)
С, где С
-
'Некоторая nостоя'Н'Ная.
IIеопределенный интеграл.
Сово? iJn?! ,сть все! n!/iвообриз'Н'Ы!
f (х)
n
1) 3ii'
iСТИМ. Ч,
(, (".ioBi ,!
читаться после гл.
8.
ф!j'НКv,n.U
'На и'Нтервале (а, Ь) нлз'Ывается
'Н
а л о
оn '
6 И 7 бгз ущгрба
Мы выдвигаем главы
'Н ех)
ПО(('Г· iiНТИii '>той К((ИГИ '. югут
6
и
7
:накомство читателя с техникой интегрирования.
вперед, что 'ы ускорить
192
l:ЮЪIIIlНТIТIАЛ
э iiОМ
61 )
f:T)d:J:
ЭТiiМ <>БОШilЧfOниишак
Ha:~bll:iifOTCil 8if.(],'ji ()M
O
'1J,i,
П!!'~рfIЛfI,
l:blPil-
lliение f(x) dx - nоdы1tтегралъ1-tъlмM выlа:ж:е1-tием,' а сама ФункТ~Юl J( х) фij1-t'J(;'Ц!JеИ.
Ес.ТIl1 р(х) - одна 11З
iвообразных фУЮЩИ1f ДШl фун щии
(х) на интервале (а, Ь) ТО, В СИО
с.lедствия из тео] ,емы
1,
J
ЛХ) dx = р(х) +
/
где С - любая ИОСТOil lail.
ПОд'lеРЮlем, 'lTO еi'Л!!
сrnило бы Т!! 'ь ,
if.eоnределе1-t1-tыи и1-tтеграл) длл
на uюперваJе (а, Ь)
су'ществует, то nодыl-tтеграл'ь1-tоеe выра:ж:е1-tuе в фор,муле (6.1)
щндi'ТiiавллеТil "',бои дUффi?if!i'Ц1ЮЛ любои !J.З
nервооiilЮЗ­
н'ых. В самом деlе, иусть "(х) i,;()ая из иервообразных для
функции (х) на интерваоlе (а, Ь)
(а, Ь) р'(х)
f
. Тогда f х) dx
При м еры.
ле
-1
<
х
< 1,
1) /
Т.е. ДШ всех х из интерваоlа
р' х) dx
(IF.
~ dx
-
иi)о функция р(х)
из иервообразных для функт~ии
~ + с на интерва­
у1
f (х) -
- х' является одноЙ
~ на указанном
инте] шаоlе.
2)
J cos х dx
=
SiIl
< х < 00,
Х
+С
на всеЙ бесконечноЙ ирямоЙ -ос
=
ибо фунющя
SiIl Х явошется одноЙ из иервооб
разных дш функции
cos х на i)есконечноЙ ирямоЙ.
ВсноЙ Гlаве мы не будем заниматься воиросом о су'ществова-
ни!! иеРllOобраЗllЫХ
f
неOi1редеоlеl
интегралов) ДШl lllИ
роких классов функт~иЙ. 'sдесь мы лишь отметим, что в
§ 7 г . 10
будет доказано что длл в(
(х)
if.a
uюпервале (а, Ь ), суи\ествует на это,м ll1-tтервале nервообраз1-tил фУini'ЦU1!
Оиерат~ию нахождения иеРВООi)разноЙ или неоиредеоlенного
интеГ]iала от ф'О lIO~11
(х)) и]шнято наЗЫl:аТh
р о в а н и е м (функт~ии f( х) .
е
3. OCiiOBiii,I(' свойства нt:'опредt:'ленного Иiiтt:'l'рала.
Прежде всего отметим два своЙства, неиосредственно вытекаl"
щие из ои] iедеlения неои] уеде lенного интег] iала:
J (x)ilx= (x)ilx .
. J (IF(.l) =
+ С.
l:ОШ'f "fE.Ш:Ю
грал"
2"'
и в (луч,'to"
J
:~f,"' f,И
'""f,'toT,
fbIl
и! [ТК У\
d f::~,'и ,"fHO со ,ран "ют' я
сслишак инт(тр"ла ,тоит
т~иал,," н', в эт""
постоянную С.
,луч,)р К Р(:г
ДЛЯ устаНОВ.1ения свойства
'л('
достаточно взять ДИфС[iерен­
10
т~и&'I от обенх частей формулы
F'(x)cl:J:
и 'чеСТh,
((;.2)
'fTO dF(x) =
f :T)dx.
Дш! установленю! свойсп:а 20 ДОСТЮО'f 10
восполыоваться равенством (lF (.1) = f (х ) (l.l
левой 'fасти (Н.2)
1еДУf iщие два свойства о()ычно называют Лll'J-lеU'J-lЪ!J\.Ш С60и­
('ПiваМ1t
пеГР&'Iа:
. Лf
о
J
J
х)] (l.l f(x) (l.( ± g х) dx.
(А = CC;llst).
= А
(х
±g
J
ПА.!' х)]
Подчеркнем. что равенство в формулах
Ш.Iн
характер:
e10
С1едует
30 и 40
,a;:ef1Cf [1О
i1ОНИ\lат'
имеет услов­
правон И1е­
вой частей с точностью до произвольного постоянного
C1araeMo-
ПОf
10. i1OCf,O
каждый из
пе1ра1Оf:, фюурирую
щих в ',[ЮРМУ1ах 30 и 40, определен с точностью до прои:~воль
10
ного постоянного С1 агаемого ).
Поскольку две первообразные для одной и той ж:е Г[iУНКТ~ШI
\1ОГ'
отлн fаТhСЯ
свойства
ная для
[Р(х)
f
ЛНШ1,
1a
i1ОСТОЯННУЮ.
то
дл,!
доказатеЛf.ства
достаточно доказать. что если Р(х) - первоо()ра:~­
(х), а G (х) - первоо()ра:шая для g (:г), то С[iУНКЦИЯ
G(x[
,ШШfется пеРf1О0браЗf
для фушщии
(х)
g"(x.
Это ПОС1еднее непосредственно вытекает из того, что производ­
ная (а.1гебраН'fескоЙ) суммы Фуню~иjf ,a;:f1a cY\l\le П]1Онзводных
,-mIХфункт~ий, т. е.
[F(.I)±G(i)]' =
Ана.1О1ИЧНО докаЗЫf:аетс,! свойсп1О
ется равенство [1Р(х)]' -1Р'(х) г
4.
. 5
(x)±G'(x) - f(x)±g(x).
о. П')том СТ чае НСiЮ1hЗУ
(х).
Таблица OCiiOBiii,IX iiеопределеiiiii,IХ ин'т'егралов.
D
мы ПО1УЧИШ та()лит~у производных простейших'шемен­
тарных функций (см.
г
8
. ',),
представляюшую собой вы­
чисштельный аппарат дис[,ферент~иа.lЬНОГО исчисления. Каж:­
дая формула'iТОЙ таб.шцы, устанавливающая, что та и.ш иная
функт~ия
СИЛУ
J'"(x
имеет производную, 'авную
определения неопределенного
щей фо]
ле
путем
J
мы
приходим
неопреде.1енных интегралов:
7
приводит нас, в
к соответствую-
пеГР&'If.ного ис'шслеf ня
+С.
f(x) (lx =
аким
J (х),
интеграла.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
1
к
С
та()лит~е основных
;F
аХ
5
+с
(О
- cos х
+
-1-
11
J Sill Х dx =
6 .
7
COS:1; d:1; = sil1:1;
О)
< Q ;F 1),
ее
+ с.
+ с.
8./~
cos
n
J е'. (lx
tg:1;
+
(:1;
;F ~
+ нn,
где
= О, ±1, ... ).
9./~
si11"
/ (1
Х
О,
n =
- ctg х
+С
СТ
;F
нn. где
± , ... ).
100/ ~~{
1
+ ctg 2 ;Т) d:1;
О.
/
120./
130. /
1
~:2
агсsiнх
х
с.
-агссоsх
:г+
=
2
С
+
х + С, С
=
~=1111
1-
+
(-l<х<l).
.
Vх2±JI+С(при-lгl>1).
~11111+xl
+с
2
х
(lxl;F ).
К этиы форыулаы мшкно присое1\ИНИТЬ и соответствующие
ы дtЯ iиперБС!Лt!чесю!х (jiУНКЦИЙ:
140.
150.
J shx dx =
J cllx dx =
160. /
170. /
d;T
с11
Х
Sl~2xx
+ С.
+ С.
+ С.
(Ъх
s11x
= th
= -cthx + С (X;F
О).
С1\елаеы замечаНШl в отношении форыул
4
х
СПJ'l11;ед 1ина
О. в
н,БС!л,
1TepHa.111,
С,М де1е, ест! х >
заКЛЮ'lаем, что
I
di
х
4, 12
и
Формула
1е содержащел,
= 111X + С.. а если
фС!рс;у;ы
1а:
(1 х)'
1
< О, то из форыулы
и! iТЕГГАЛ
1
[111 (-:г
формула
опраВiанашя лю()ого:г
4
+С
111 ( -:г
х
9Г,
ым
О
Формулы
и 13 занимают исключительное положение в на
шей таблице, ибо эти форыулы не имеют аналогов сре ш формул
i;,б tицы ПРОt1 (tЮдных,
/I'LЯ ПРОf;ерки формул
в
,чтс,
12
и
13
,1ОСICtТОЧIЮ
tроизводt ые t(ыра>t(ений, С! с,ящt1Х
[рав
бе/lИIЪСЯ
,IX
ч;" тях
Этих формул, совпадают с соответствуюt !.Ими по ын,' тральны­
ми ФУЮ',llШIМИ.
Наша ближайшая цель -/lОПОЛНИТЬ таБЛИlIУ н' 'опре/lеленных
инtггралс,'
н,в!
Но преЛСi"
0/lHO
ыми
tpt1"
ами
чем приступить
ме! сщами
tтеil>иrн,'
t1Я.
реализации этой цели, С/lелаеы
валшое ЗaJ\I'" 1ание.
В
§ 7 гл. 4 мы ввели ПОЮIТИ" эле,ментарноi1
8 гл. 5
н,вt1Лi1, чтс, tр"изв'щная любсJ1
Фу н 7'.;'И, ШL, а в п.
tтарной
ции пр" iстаВЛ,lет со()ой та ,,Ж" элементарную функцию. Иными
словами, ыы установили, ;то оnера'И,uя дифферен'И,ирования не
выодЕтm
!J.3 l,лассо
, "'тим
"разу
>t<e,
чтс,
t1Я де,!"
с,б-
стоит ина'
}\Ложноюказать, 1ТО инт, тралы от Н"i',ОТОРЫХ эле­
ментарных функ шй уж" не ,lВЛ 'lются эл 'ыентарныыи фун ',llиЯ\ . Пример;, (
t;,Ю1Х
tтеп ,;"tC'B
сл\жиt' c.t, Щ\ н'щие:
о
20.
30.
4 о.
50.
60.
Gl :Г.
.{'
,
J
(lx.
J sin(x 2) dx.
J~ (О < х
J (х
J
lnx
cosx
dx
l
O:J
1~
O:J
О).
г
SiIlX G ,'.
х
КаЖ/lЫЙ из указанных интегралов представляет собоi1 Фун7'.;
чию,
,\i(Л;IЮЩУЮС;l элеменrnаРl10'i1 Ук, (анны!' ij'УНЮIИИ
только реально су! tествуют 1) НО И играют большую роль в раз
,tичных [;о! рос,;( фt1(
.
Так, н;,;
[тегр;\
1,
н;, ihша-
емый
Пуассона
1ттегр i!OM
используется в статистической физике, в теории т' ЛЛОПРОВО/l­
н' н'ТИ
диф;j,у,ии,
[тег! ,;,лы
2
3, ta,hIt;\!'blt,le
;;;;;;;;'граЛ(Ц,I!J
) Мы уже отмечали, что в § 7 гл. 10 будет ,юказано существование
; ,е;>пред,'лен; н',
;,н;е, рат; о;
,юбой н,'пр"р',\ Е\ н'Й ф; нкпiiи,
щ,'С;В\(­
вание интегралов
функци "
7*
1-6
обеспечивается непрерывно; ;тью подынтегральных
1!){;
ШЮi i Я
широко
ПрИе iСiji<ениях и
СiПi
iiKee
бе перВiеТI из
iTeiT>f,ibl
встречан,тся
ifCiTO!fblX
UHme/pa/fffH'f,J>i Ю, арифJ>tQМ, а после1\ние 1\ва
'Ко' 1blf.i;, ()j,I
{?пi,У{ОМе
iаЭЫi;f,ется
интегральными
всех пере' шсленных новых фую"ций (интеграла Пуас
сона, интеграееlСН
ФренееШ,
с!, и
косинуса) состаВi1е:пы
и
iВИ1\У важности 1\ЛЯ прилшкений, эти функции изу';; ны С та
юнее, ж;'
как и
Эееlемен
if,Pi
ые ф\ iКЦii
.
В!
,-
общ;' СЛ;' iyeT ПО1\черкнуть условность пон ПШl простсйшей элсмен i'f'T)!
ф\
§ 2.
Основные методы интегрирования
1. И!Iте!'рирование ЗШrf.еноЙ перетrf.енноЙ (ПОДС'IаНОКf­
кой). Замена ШiРСЫСННОЙ - 01\ИН из саыых эфф; ",тивных при;'
м! 'i; инл ГТНiрования. ЭТОi
ба5iiр\еi i я на СJliiД\ iс'щемш;'­
iPii;'
ментарном утвеРЖ1\ении.
фУlf'Х:'ЦUЛ
t
= <р( х)
i}uффереlf'ЦЩn;' е',tЛ
не'Х:отором J>шо:жестве {:Е} 1) и пусть
{t} - J>шо:жество всех
r}л;; fjHjH'X:'!J!J1t g (!
31j(j"iffHUii ';!f()'Й, фУlf'Х:'ЦU!J. Пуст'ь !}алее
ствует на мно:жестве
{t}
g
nервообразнал фун'Х:'Цил
(! (lt
С(!
G(t),
т. е.
+
(б.3)
~:n~~~:nс~~gв~~б~~~:;Сф~:~'Ц~tл,д;~jв~j%:~2Л;(:)\:~!]~'(Х)
(б.4)
+
!g[<p(x[<p'(;r)dx
ДЛfl 1\оказатсльства этого утвеРЖ1\ения 1\остаточно восполь-
Zifj;aThi Я ipaBii.JlOM ДИфfj;ереНilИРСН
:1:
и
"'1'ТЬ,
ПО,
Ю
С[<р(х
} =
iiЯ СJlОЖНi Й rl;УНЮIИИ '))
С'[;(х); х
G'(t'
оп! ,едеiению,
llре1\ПОЛШКИЫ теперь,
! ЛХ)
(б.5)
dx.
в ряде сл\чаев удае; i,Я ;;ыбрf'Тh в к;,чес; ;;е
такую 1\ифференцирусыую фующию
1) Это "iНо)кест;ю пр"',;ста;,;л ;ет С' [",И
полу ;рямую, либо бесконечну; 'пряму;о.
/) Гм. § 7 гл. 5.
g(t",
;то наы тр! БУСТС!l вычислить интеграл
t
= <р(:Е
ювсн""'
;то имеет ы! сто
И"ТI'РВ;; " либо Сlтмен;
либо
97
PC)BAHll
ИНТЕГГl
2
р)))енс) )ю
(г) = g
причем !liУНКЦИЯ
(!))егка
g
:г )1 'р' (г)
)теlрируется,
= G(t) + С
(t)
прt ('тс) ))ыч)))
шется. Д! )К) ,аню)!' ВЫ)))!' у) ))ерждение
наы написать сле1\УЮЩУЮ фаРЫУЛУlШ) интеграла
JЛХ) (1:г
G[tp(:r
=
ЮЗВt .Jlяе)
(6.5):
+ С.
Этат прием вы шсления интеграла
((i.7)
и называ! ТС})
ш-tтегрu-
путем 30,')teIiы
Кан! 'ша, та)'.аЙ приеы приыениы не )'.0, вС})каму интегралу.
тога,
)едует подчеркну) )', чтО, В ,r6ap )рав)).Jl),ноЙ под­
Крс)
станаВi'.И в значительнай мере апре1\еляетС}) искусствам вычис­
ли)! ,lЯ. Привед!'
излож:енный
ряд
1))).\
!'ров, ))lЛli !'т! )иi 'ующ))х
J
1о. ВЫЧИСЛ))Тh cas 2х (lx,
сг lyeT
лать прастейшую
ре 'у )),та)!' это)']
J
J~
((х (1:г =
/~
+ =
х
ПОl,станавку
)теп,))ла
t
t -
+ а,
х
Jt
(lI
30. ВЫЧИСЛ))Тh
= - sin
2
+С.
Этот
dt - dx.
lnltl
=
С
!2 sin t
tclt =
+а
ы
Дш вычис)!') )ш
)Ы m)учим
dx
.
),Ю) чтс)
MeTal,.
с
= ln I:r
al + с
(:Г
а).
J eCos
SillX dx. Леl'Ю) B))Дi ть, Ч)Г, этот
t = cas
iTaM (и
- sinx dx
)те-
грал вычислг)ется путеы замены
В с)ыом де)е, при
./ e Cosx sin:r (lI
40.
= - ./ e t (lt = _e t + С =
(
ВЫЧИСJl))Тh
t,) 100
),тс g Х 2
(lx.
Дш ))ыч))) )ения
t = a))[,I\:r.
самаы
dt = d', и / (arctg х) 1)') )lх = Jt 100 ,u = _
1
+ С.
)те-
+х
грала уюбна заыена
+ х'.
_e cosx
х2
101
':11', при та '.аЙ замене
+ с = г......--=.-'-_ + С.
В ,Iчислt1Тh J(7:I: - 9?i9'! r1:J:
5
анечна, этат
[те} рал
с'ж-
на свести
\'е [рех тысяч таб, tt1чt ых
tте}Т>"ЛСiR, р"",
ва}} па1\ынтегральную фунюшю па фарыуле бинаыа Ньютана
еср,t;неню, праще еде ["ть ,амену t =
- 9, (и =
в результате l"атарай мы палучиы
J( 7X-9)2999dХ=~7
6.
L2999dt=
t;OOO
21000
Jc:~Tx· Чt с,бы у'
J J I
Вычислt1Тh
+Г'
(7х
C;tpeTh
_ ,));000
21000
\J
ту
,
+ С.
т ;тн;д-
стваы l"атарай ыажет быть взят этат интеграл, п; р; пишем его. в
Вt1Д!'
cos х dx =
cos'
=
dx
,·os
cos Х.' dx .
1 - sш 2 Х
llасле этага пан 'lTHa что. сг }ует палож:ить
= cos х ( Z ; T . t h "те Ю.t; [1Ы
J. J~ ~
Вычислt1Тh J
J
I
ВЫЧИС!Н1Тh J("
dx
,osx
=
=
1-
.
2
ln 111 -
t 1
t
sш:г,
(и
t
(2х)4,
dt
+ с = ln 1
Удобю
(2x)SdX 1
t
[а
= 61х 3 dx. При этс;
x3dx
=~
(2х)8+1
.
~ =
64
8 .
ла
arctgt
64
/2+1
= агс t,g
arctg(2x)4
64
Д1Я ВЫЧИС}ll';
;' +dX2 '1/'"
]' ,
аказывается
+С =
а
t1Я
У1\абнай триганаметри'
х
t, d:r
+ С.
инл гра­
па1\станавка
t =
d/
=
результате этай па}станавки интеграл приниыает ВИ1\
dx
9.
Вычис.t [1ТЬ
станавка
I
.
cas t dt
dx
t=
"i'::--d_x",,'
х
a!'CSln а' :Г
1
(а 2 - х 2 )3/2 = а 2 .
I
а
+
2
tg t
-----г=======;с=
а
+ tg 2 t
J1
+
х
a2Jx2
J
.
,ill t
+ ;;2
+С.
~;;;:. ЗдеСh окаЗhIt;;;'тся добной tсщ-
= sint,
dt = tg t
cos 2 t
а2
1
dx = acastdt.
этаы
+С =
Sill t
а' -ylГj=_='='il=:'l''С='t
С
х
С
+ - :; . ;=;'ё="'" + .
2
10
ВЫЧiIi .iИi [.
J
Мы
а
,:Г
а
интеi ра-
=
t
J~+
-2at -
агссав
2t =
ю. i!ЧiI
= -40
-!!а
99
Д tЯ iiЫЧiIi .iения
ла а;,дзывается У1\абнай заыена
= -2а Si1l2t
{iBAHlt
Иt [ТЕГГИ!
:2 СОВ 2t)
(и =
х+
с
sil1
J
2а СОВ 2tclt
-2at -
-а [ ;iTCCOS а
J /Х)2]
С.
1- \~
Ин·леЛ'РИРШJ.i:RIRие по чаСТJIМ. К шслу весьыа эффi ;"тив­
ных
iтеfТJИРСН
i
i
iIЯ
!tiСИii Я
1t'Нrnегр1tliOij(L'iji"
по 'Част,ям. Этат мета! аснавывастс} на СШ' !УЮi (ем утвержде­
НИИ.
Пуст'ь nа:ж:дu;; иЗ
х) и v(x) i}иффере'iI'Ц1tjПf'ма 'На
.м'Но:ж;естве {х} и, nроме того, 'На этом .м'Но:ж;естве существу
nеlн!юбраз'На.;/
фУ'iln'Ци!J v( х )и' х).
'На MHOi.JI(if)CiY/B'
{ Х
существует nервообраi'На,я и дл,я фу'Нn'Ции и (:г
(г), nри'Чi)М
u(x)v'(x) dx
а ы е ч а н
е.
u(x)v
х
-
J
v(x)u i
Х
;lliIa.i"
С Iп;;еде.iение
(6.8)
(lx.
i'iii,ЙСТВi,
инвариантнасти ,та фармы цазваШlет зацисать фарыулу
Jи
ВiIД i '
ДtЯ дс;казате
i1v
= u(x)v(:r -
lhi тва
lИi
(6.S)
в
J
v i1u.
ТВСР>i<Дi'i iIЯ
,{it;ai
iIшем
фармулу 1\ЛЯ цраизвощай праизве1\ения 1\ВУХ функ шй и(х) и
v(x)
[u(x)v(:r
'Умю
>i<iIbl paBi'iti'TBO
+ ui(F)v(x
= и(х
(:г
н;;
(l;T И [;О
10)
О)
(6.
.
ii,MeM интегра.i от обеiIХ
частей палученнага таким путсы равенства. Та;·, ка;·, па усла-
ВiIЮ дЛЯ ВССХ Х
!t,жсства
х} сущсств\еi Jv х ;/(x)dx
J[u(x)v(:r (1:г = и(:г)v(:г)+С (сы. свайства
из п. §
вс! х :г из мно.ж:ества {г} сущсствует и интеграл
и(х
J
причем спраВi' !лива фарыула
), та 1\ЛЯ
(:г
(lF
(или
Фармула
сводит вопрос о вы'Числе'Н1Ш и'Нте/рала J и i1v
n вычuсле'ншоo и'Нтеграла J v du.
РЯ!i' канкретных случа i в этат
пасле1\НИЙ интсграл ;~i'З ТРУ1\а ВЫЧИСЛilется.
Вычисле} }lе
}Teip,·}a J'/}, (lv }с,среде}"
му}ы (69)
}а ъша}(;т
по
,
что при "~OH ·~peTHOЫ приыенении формулы интегрирования по
ч", тям (69) с,чеНh удобно т, lhЗ(;Вat }.ся таб. }}щей Д}lсI1фереНЦ}I­
алов, выписанной нами в п. 2 § 9 iЛ.
ПереХО1\ИМ к рассмотрению примеров
1<0. Вы' .}им интегра} 1 = J ;уп lnx (Z;T (n
i= - ).
1l
=
lnx, dv
=
хп
,/х и ИСПОЛЬЗУil форыулу
dx
хn+1
=- v=-х
n + l'
J
I=--lnx-1-
+1
(n
+ 1)
(1и
1
=
dx
=
:Е
aIctg х
:
1) + с.
,!х. llолагаil 1l
(6.9),
=
l'У1\ем шгть
х2
?_ '
+х
лсtgх-!
2
2
1
,/х и ИСПОЛЬЗУil формулу
--2'
2
ПОЛУ'шы (l1l
,lх = ----=t=l" (ln х -
.iычислиы 1\а.:г'· интеграл
aIctg :Е, (lv
(6.9),
J'
х -
~dx=~aIct.gx_1
J. + I
1+х
"2
2
!/х
"2.
2
1
d,
+
х2
=
J'
1]dx=
[,1+X)2
2
+1
2
1+х
aIctg х -
"2
С.
3 .iЫЧИСЛ}IЫ интегра} 1 = J х COS;T dХ.н,ч"ла применим
формуm ((1.9), ю}агая и = х", dv
cosx (l;T. По}{ }IЫ (ln
cl:г, v = sinx. 1 = x 2 sin:r
2Jxsin:I: dx.
ВЫ'шсления
после1\него интеграла ещ(' раз пршгниы формулу (6.9), ПOJшгаil
на эт(;т
= х, (lv - SillX dx. П(;.Jl\Ч}1 du = (lx, v = - cos х,
1 - х 2 Sill Х + 2х cos х - 2 J cos х (lx - (х 2 - 2) Sill Х + 2х cos х +
Таким образоы, интеграл J :г 2
:Е dx вычислен наJ\Ш поср,'
Д}iУКР,'ТН(;ГО
}теi'i·и',гща} }IЯ пс, частя.;}. Легю, т }Ш}
что интеграл J :Е П cos х
'"
- ЛЮ1)ое ll.ело(· пололштельное
число) ыожет быть ВЫ' шслен по аналогичной схеме поср,' iCTBOM
n-кра},
(lF
(Г1\е
}IЯ
п(; ч", тям.
4 о, ВЫ' шслим теперь интеграл 1 = J ,a;r , "s Ьг ,/х
= const,
Ь = const), Сна·jа.:ш приыениы формулу (6.9), полагая и = ea;r,
' d х. п·
l v -_ -Ь-'
sin Ьх
d v = cosnx
( .. ,учим d и - а.е шг GX,
е аЕ ~nbx
-
~
J
Sill Ьх (lx.
Для ВЫЧИCJГНШl после1\него интеграла
мулу (6.9), полагаil на этот раз и = ,a;r
}е раз применим фор­
llолучим
(lv = sinbx (l!,
ИНТЕГГl
2
(lu =
V=-
2UI
PC)BAHll
cosIix
+
1_ _
с а_х----:-_ _
2
а
Ь:г - ~I.
Ь
(6. 1)
ьс
Таким образом. посре1.ствомшукратного интегрирования по
ч)), тям
ка
Ы
ч)l·)
для
ин )е) ра)а
рав )е)
)le
пеРВ1
1'0
)l'lШi1.­
Из этого уравн! ню) нахоlИЫ
1).
b!ill Ьх
1 = - - , , - -___
-llра",тика по "азывает,
с,
юсредсТlЮЫ
]то )'ольшая jасть инг гралов берущих
)тегрирг,'
jастяы, М1 »)ет б)"Тh раiб)lта
на сле1\УЮЩИ<i три грУnn!'l:
1руппе
1)
)(,ся), я
ИНТiiгра,ы,
нас, фУЮ'i'ШС' которых С01 ii РЛШТ В ка' ji
CTBi i
miДьште1рад),-
ыножителя 01\НУ из
СЛiil}'Ю) lИХ Фунюшй: lnx, a)isinx,
агссовх)2,
llli;(X), ... (с.с).
х, (aIctgx)2,
\iOTPiii
ые В),Шii i при))еры 10
и 20). длсl вычислеНЮl интегралов пi рвой группы сг 1ует при
мени)), формул\ (6.9), )('лагая в неП
х)
(,дной
занных выше функций 1).
2)
Ко второй группе относ lТСЯ интегралы ви 1а
Ь)n sin(c:r)dx, /(ах Ь
dx,
ГC1i i
Ь, с - Нii"iоторые постоянные.
- люоое цеЛО ii полол,и
iii.Jl),Нl'ii чис!Нс (см. ))ыше, )p)l)iiip 3О). ИН)i'гра,lЫ еrnОРОЙ1'РУППЫ
i'iiрУТСЯ путем )j.-кратного пршгнения формулы интегрирова­
ния по ч)), тям (6.9), iТJilЧii
К))чес) ))е !i(x) ))сякиП)едует
брать (ах
Ь ) в соответствую) )ей степени. llосле кал,юго инте-
+
1ТJИР(ii
)lя по частя) эта
К
Ьг
3)
Je ax
mреmссей
(lx,
б\iДе)
группе
)aifsinbx
(СЫ. рассмотренный ВЫШi i пример
г! )))·юв
группы чере.i
1
К1 iiiiЧ)
Ka ..iaHHhIi i
по частя)). Привед'i
ну
из
переЧИСЛ i нных
фt'р))у)ы
)lЦ\.
интегралы
sin(ln:r (lF Jcos(ln:r
40). Обозна'jая любой
рОИiВОДСl дв\
вание по чаСТСIМ, мы составиы 1\ЛЯ
ключения интегралов,
юни ·))))тыя н))
ОТНОСIТСЯ
)Р)l гр\
1
)('е
ВИ1\а
(lF
из инте­
)теГРИi
уравнение первого поря
ы
)l)'чер) ывают В,
iiX
)01"д.
бес
!'iiРУЩИХСЯ посре1\СТВОЫ интегрирования
примеры
Tpii
)теп ))))('в, не входящих
групп,
НО
вы· шслимых
при
(,д­
помо)
Ш
(6.9).
)·сция со. i.ер)ки)
теля
придется применить дважды.
)·са·
iecTi'!!'
интегрирования по частям (б Л)
J
Вычислti интеtт>аt 1 =
5
c:s 2
х Э [от интеtт>аt не t;ходtiТ
ни в 01\НУ из упом}шутых трех ГРУПП, Теы не ыенее, приыеняя
формулу
v =
1
=
и ПOJIaга}1 в ней и
х
:Г,
J
:гtg х
:г
cl:J:
=
г
х
х-!
.
х+
-х
6<.
(lх ,полу шы ;1u =
(lv =
=
Вl'JЧИС,j
;гг!>а! К,л =
J
dx
5ili
cos
d(cos ) =
cosx
х tg х +
I c08xl
+ с.
,laKC>He 1; Н(', ["м;"] i--;;·'jЖНЫЙ ,ДЛЯ ,дальн( йшеl"С,
J
а = СО118Т,., л =
d!
(t 2 +0 2 )Л'
1,2, ...
j-
Этот инл
грал таклсе не вхощт ни В 01\НУ из упомянутых выш;' трех ГРУПП.
ДtЯ RЫЧИСЛ;'l tiЯ
инл
ЮRti
rpat 1'
дtЯ неп,
рр' tiт­
ную формулу, сво !ют~ую вопрос О вы' шслении К>, к вы' шсле­
нию Кл - 1 '
Молсно записать (при
Для ВЫЧИCJгни
грироваНШ1
'1
последнего интеграла пршгниы формулу инг'
lастяы
по
1)
(6.9),
llолучим du = dt, v = (л
К
1 К
>,
Из
1 )(t2
= а' л- + 20 2 (л
юсtl Дti 1 го
!if;t,eHCt '
полагая в ней и =
t,
(lv f;:2+ o~;;'
=
+ оfi)Л-l ,
t
+ а')-"-
l)(t"
Ю. t;чti
КЛ - 202 (Л_l)(tt2 +02 j\-1
рр;'tiтнуюtу
+:2 ~~~=~~КЛ-l'
(6.12)
Убсдti.\;Я
Н'М, что рек;рр; tiТНf;Я формула (6.12) т, 'l,i, tЯет
вычислить интеграл К>,!ля люоого'
3, . .. в самоы 1\еле,
инл гра.! К ! t;ычti,tЯется Э.tемен
K1 =
J~
=
t 2 +o2
-1'
tf;!)!
d(t/o)
(t/п)2+1
= ~aIctg
t
О
+С.
Пf ;'te Tf,rC' как RЫЧИСt;'l инл грал K 1 , tС;·tа!·ая
(6.12)
л
ыы без труда вы'шслим
2. В свою очере1\Ь, зна}1 К,; и
ПО. tf;Гf;Я
.te
12) л
3. ы б;' [Р\Д!; Rычисt
К:).
llРО1\ол)ка}1 1\ействовать таким образом!альше, мы вы' шслим
=
интегра.t КЛ
.tюбого
Hf;TYi ·f;·tt,HOrO
Л.
ГЛАВА
7
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА
МIIОГОЧIIЕНОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В ЭIIЕМЕIIТАЕНЫХ ФУНIIЦИЯХ
в пре1\Ыl.уt tей глав(' было указано, ;то неОПрi' 1i'ленный интеlТJitЛ ОТ
tтарной ijiУНКЦИК
гов( iрЯ,
Яt;.tЯется эле-
ментарной функцией. Тем Н(' менее существуют довольно широ
кие ;,,,ттассы фунюrий, интегралы от ;"оторых Прi' lстаВЛКlЮТ СОl)ОЙ
tТЩIНЫ(' (jiУНЮIИИ. СГакие клi;ссы (jiУНЮIИП МЫ буд('
Hi;.-
зывать и~meгpиpye.Mымиu в эле.Ntе'НmаР'НЪfХ· Фую;;цu.ях.) Изучение
укаЗi;;
ЫХК.t;"'i'(iВф\ tКII1Й
i'(iСt'i;t;.tяет
1Овн;
tаСt(iЯ­
щей главы. Поскольку ср' ш указанных классов фунюrий 01\НИМ
и ..; OCHOt;HhIX кш tКlется nласс !Ю J!J.i;'налыiыx фУiin'И,иIi, мы долж­
ны пре.Ж:l i ' всего
уто' шить наши пре1\ставления
и
i ,i;цtЮНi;ШЯЫХ ф\ tкцtlЯХ. ДЛЯ этого
уточнить наши CBi' 1i'НИЯ о комплексных
§ 1.
о J\IНOrO шенах
(iчередt,
et
i
Я
шслах.
Кратн<ие сведения о Н<ОМ11лексных числах
Два веШ.Есmве'Н'Ных 'Числа Х и У .мы буде,м 'На, 'iiBamb уnор.я­
nоро'Й,
если уnозаiiО,
nаnо ,
из эrnих 'ч {сел .явЛ.FU [пс;!
nepBыNt,' nаnое BmopыNt•. Упоря юченную пару
се.! Х
у буд"
обе i 1начаt i
[;О1О' (х,
Bi" (ественных ш
ывая Hi;. первом
мест<' первый элемент пары
Ко,мnлеnс'Ны.м число,м 'На;iilваеmс.я уnор.ядоче'Н'На.я пара (х, у)
вешесmве'Н'Н'!iсr 'Чисел.
первое из nоmор'ых х
Сniв!J.rnеЛЫiО1'i 'Чостъю, а етnорое
nлеnс'Ного
-
'На;iiiваеmс.я дей
,м 'НИ Л!, ,!! 'Часrn'ью ;i!юго nо,м-
числа.
В слу' ;ае
;"ОГ1\а ыниыая часть У равна нулю, соответствую-
Щ\
[ару (х
ДОЛiRариваЮt i я отождесТt;ШТЬ вещесt [;енныы
числом х. Это позволяет рассматривать ыножество всг веЩi'
с! [;енных чисе,l
как часть
MHi i{t<ect
Два nо,мnлеnс'Н'ых числа Zl =
[;а КОМП,lею"
(Xl,Yl)
ых чtl' i'Л.
и Z:z = (;г:z,У'J) 'На ,'сува-
ТИРС' '\НИЕ В
:r: '.
IЛ?О,
е!'
"Л()jl,е lия
ве ii.ественные
jl,eCTBa
ю ,мплеЮ'llЫХ
чисел.
iти
:.HI' ,}кеп
и
числа
lЯ
ЯВЛЯl<>ТСf
Oll"Р;ЩИИ
д'
частью
',l}Klli,'
lil,IТL
MH()~
Ollpe~
делены так, 'П"iiбы
применении к двум вещественным 'шспам
онп приводили к ул;:е известтrьп - пам из
L гл. 2 определепиям
3
CiMMl,i
И прои:~ведеlШЯ веществе11
чисел,
Су.м.мои двух КО.мnлексных '!'Uсел z
назовuл комплексное ч'Uсло z вида
и:2 -
-
(Х2. У2)
(7.1 )
П,iO'Uзведен'Uем двух комплексных '!'ш!ел Zl Х:2, У2!
назове.М КО.МnШ·КСН{ii
z
=
z
ч'Uсло
Х1Х:2 - У1У2, Х1У:2
(Х1,
)
'U '2 -
в'Ш.Ja
+ Х:2У1).
(7,2)
ЛеiКО провеРИf ь, что сумма и произведение комплексных чисел
О{iлаД;i.ЮТ теми
са: iыми свойства:
что
сумма и прOlЛ~
ведение вещее венных чисел. Именно спра iедливы следующие
СВОЙСТВ;i:
1о, '1 + Z2 20. (Zl + Z2)
(пе! ,еместительное с iO [! е во суммы),
'2
+ Zз
=
Zl
+ (Z2 + ZзВОЙiТВО
CYMMl'l).
30, +
40.
О) (особа'f роль 'шспа (О,
Д,lЯ ЮiЖДОГО ЧИi"Ла Z =
у) 'iществу"Т ilРОТИВОПО,1ОЖ~
ное ему 'шспо z' - (-х, -у) такое, что Z +:/
О)
50. Zl .
= Z2' Zl (переместителыюе 'ВОЙi'ТВО прои:~веде шя).
60. (z . Z2) . Zз . (Z2 . Z,) (сочетатеЛЬ110е свойство про lзве­
деlШЯ),
70 . . (1, !) -
Z (особа'f роль 'шспа
1.0)).
8', Д.lЯfюбого lШ:.iIIf' 'l,C1OrO Чil' ла
11 улю ,
существует обрат 1Ое ему ЧИСJЮ
faKoe. 'fTO
,Z
(х, у)
11е раВ110ГО
Cr2 : у2 , - ir2 у у2)
- (1, !).
+
+
9', (Zl
Z:2 . Zз = Zl . Zз
IIJ ,оизведения относи f'ельно
Свойства
Z
1
10-90
суммы).
ПОШО,.lЯЮТ утверж
f;iTl, .
что. fЛЯ
'шсел полнос fЪЮ сохраЮflОТСЯ все правила элемен fapHoi! аш еб~
Pl,i ОТПОСЯffi''''''Я к ;iРИФ: i'тическим ilействия:
к СОЧ"т; llЮi i
раве11СТВ.
Кроме того, iти свойства iЮ.ШОСТЬЮ решают вопрос о выl'u~~
тании КО.мnлекснъи; "шсел как о действии, обратном сложению,
и о деле?!'U'U комnлексны:г ч'Uсел Юi.к о . f.еЙствии, обраТ110: i YM110~
женю<>.
=
Разностью двух комплексных ч'Uсел Zl = (Х1 У1) 'U Z2
(:r:2' У2) называется такое КО.мnлексное ч'Uсло Z, которое в
Z2 доеrn Z
ПОЫiJjjiЬЮ СВ' ,1.1ств
элемен i'ЩШ"
10
уста-
нанли iается сущееi вонаШiе и единственно с iЪ разности двух сТ<>-
IJblX
проверить,
у
=
Z
1)
Ю ,мплею.ЛЫХ чн,
1е! юJ
что
iiазностью
двух
коып.
ieKcHbIX
и Z2 = (.[2 У2) является
)
z - (:r:1
12,
'!Исел
чн,ло Z вида
(7.3)
1!1
частныlM двух к;о,мnлек;сныlx i('Uсел z
(х
) 'U '2
(Х2, У2 , второе 'UЗ nOffiOPblX не равно нулю, назыаетсяя та­
к;ое к;о,мnлек;сное i('UГЛО " к;оторое щ)'U у,множен'U'U на Z2 дает
ПОМОЩЫ Ji С ю1.1ств 50-80 легко установить, 'iTO единствен~
Z.
. 'i.BI
ЧiJ'
плексное '!ИСНО
IЮJ iаппых комплеюлых чисел явля, 'ТСЯ KOM~
z
вида
z
(Xl:~ :~~Y2, ir,;~ ~ ~.~Y2 )
=
(7.4)
.
В операЦШiХ с коыплексныыи '!Иснами особую роль Иiрает
чисю пре,'i,ставимое парой (О, ) и оСю illача, '1юе с.уквой i. YMllO~
жа)i эту пару самое на себ)i (т. е. воз юд)i ее
квадрат, полу !им
чисел:
). (0,1 = -1, О) =
(О
Замет lВ это, мы
110ж:е1
,
т.
е.
Z·2
= - 1.
любое lЮ1lПлеiСllое число Z
пре,'i,ставить в виде
(;т,у)
Z -
1lыI бl
1l0ГО чисна Z леllие ира'
iO равен
чис iilМИ ТiiЖ
Zв
;т
7У.
ШllрОКО И"lЮ,lЬюват), J1ЛЯ комплею
(;т, у) f.lредставлепие Z
'1ютреШl!'
1
1) . ({ 1
(х. О)
(О,
1)
х
liачестве МIЮ liнтеля,
Это представ­
liBa/lpiiT
liOTOPO~
позволяет ПРОИЗВОДИiЪ опе! ,ации с комплексными
1lie, ЮiЖ опи прои:~во iЯТСЯ с
a.ir' 'I.раич!~
МIЮ~
ГОЧШ'lIiiМИ.
Коыплексное '!Исно Z - (х, -у) - х
принято называть co~
nРЯ )!i'euHымM по оmНОШСНIl'!!) к; к;омnлек;сно,му ч'Uслу Z
(х, у) =
=
-
х
7У.
Очевндпо, что к;о,мnлек;сное ч'Uсло равно нулю тогда 'U толък;о
тогда. к;огда f!aBHO нулю гощ!яженное ему '('ш!ло, ибо равенства
х = О. у = О эквнва,,)''lIТlll,' равеllства1
ДЛЯ геШ,lетрического изображ:епия
:Е = О, -у = О,
11леliСllЬ х чисел удоб-
1 ПРЯ1,lО>ТОЛЫЮЙ СИСТ"1ЮЙ liООР/1ИПiiТ.
При этом коыплексное ЧИСJЮ
- (х,
изображаеТС)i или точ~
-::-::-t
110
lЮ"lЬюват),' я д"1iартово
кой
}I,;!
с liООРДНПi та1,!И (х, у)
на'iала координат
i'O'iKY
или веКТОр01
O}l,;!,
Шl Jщим и:~
Н.
1) Это делается точно так же, как и , (ля вещественных чисел (см. п. 3 § 2
гл,
2).
<i'ИГ! )ij\НИЕ В
iaKobl способе из' ,бражения Ci, ,жение и вычитание KOЫ~
'iисел СВiДИТСi к сложенш), и вьпитанш), COi\iBe i'CT~
ВjЮЩИХ им В' 1iTOPOB (этi) Щ)llЯТ11O И1 фОР11iЛ
) И
)
iJ:ПИ наряду с декарто юй сис )'ebli){) К(), тдинат ввести пi)
llУЮ сист)'<
li(ЮРДН
Ta1i< чт, ,()],1
llаходился в 1ICiЧiiле
плексных
системы,< а полярная ()сь была направлена вдоль по~
ЛOlт,птельного направления осп Ох, то декартовы координаты
х<
И полярные КООР'ЩllаТ],i (р, ()) люСюй ТОЧ1iИ М, КiiК [Г~BeCT~
но< связаны фОjмулами
у!'х"2-+у"2,
агсtсу l{
ь ,r
х =
pcos (),
У =
psin(}
arct.g l{
()=
п
,r
sgn у
7г
2"sgny
при х
>
ЩН1;Т
<
i1pH
=
.5)
О.
Формулы (7.5) приводят llас к m!iUго1-tо,меmрu"tеск;m'i фо! ,ме
представлеllИЯ комплеКiЛОГО ЧИСЛii< Z = (х, У):
(х. у)
х
СО" ()<
sin(}) -
sm
В тршонометрической форые представления
(7.6)
.6)
'шепо
назы~
ВiiЮТ ,МОi)УЛUЛ а угол () ap,'YMC1-tmОhL1i'liС1ОГО чис
Apгy~
мент
определен неоднозна'шо: выесто зна'iения
ыожно брать
111iiче ше ()
+ 2пn
(r<ii,e n = о,
± ,±2, ... ).
в iригоноыеТРИ'iеСКОi1
удобно производить опера ши
УМl1Оi1iе1ШЯ и ,lеле1ШЯ комплеКiЛЫХ Чi1'
Пуст], да
1],1 два произвол] 11Lii\ 1iOI,шле1iС l]Пi чиепа
Zl
Z2
=
=
=
(.12, 1/:2) =
(.У 1, У1)
(Р1 COS (}1 Р1 sin (}1),
(р\ COS (}2 Р2 sin (}\).
<
Тогда. по опре,ii,еле1ШЮ УМllожеllИЯ (в
<и.]) ФОР11iЛi,i
(7.2)),
ПJоизведение этих чисел иыеет вид
Zl . Z2 = (:Е1:Е \ - У1У\, :Е1У2 + 'у2У1 = (P1P\OS (}1 COS ()\ - Р1Р2 sin (}1 sin (}2 Р1Р2 COS (}1 sin ()\ + Р1Р\ sin (}10S ()\) =
= [(Р1Р2) COS((}l + (}\) (Р1Р2) sin((}l + (}\)].
(7.7)
Аllа.1ОГИЧl1О и:~ форму. iЬ1 (7.4) :~iiКЛi' ,ча)'<
что ча'<т 10)'
Zl
,lВiX
Z2
комплексных чисел <I Р2
[(~~
(Х1
Sln
Р1 З 1 () ) И
)=
(}2)
(Рl
sin(!l
1) При этом предполагается, что комплексное число
т< е< р' =j=. О.
<
=
2
иыеет вид 1
(}2)]'
Z2
•
8'
J
не равно нулю
2U7
АТEl:ГАИ'СКИЕ МНОГС''!
2
.7)
(7;'.,)
и
заклю
",,{,(;е
{л;ж:(1i!
y,m,'H-{)
Im,(;}!',
с ел 'iJ'Мiшюm,ся (пр
,I! СТВО
''''реIЮСИТ,·Я
НЯ
п"
равных r;:от,шлеr;:сных
n)
Му а 6fю.
1(.011' 'Ч1li\ГО
е, еетш комплексное число возво-
чисел
;,iл Оп).
Sln
при
(7
ЛЮ1Н 'го
то
1·0;,
Из формулы
Jy,{//J,
последо на"
В частности,. еепи перемножаются
'шепа ю'мплексных чисел.
.'iИТ'·Я в ·тепе11,
пргу,м,е '{П/iЫ
'Ч:Ш:СЛ I {,Х ,м,о
пргу,м,("н,rnы
Т".11,11O
ш("н,!f."
1
полу'шм
iaK назы lаемую фор,мулу
1)
(cos о. sin о)n
ФОРМУЛ\
(7,
=
(cos Оп sin Оп .
О) :юж:rю :~,шисаТ1,
в.
(7.10)
iPyrO: пре i,ставле ши:
.11)
sinun.
в заКЛiочение замеi ИМ,. что комплексное число. записанное
iригономеТРИ'iескоI!
е
1\ч,>е,
ранно нулю
том и
когд,> р,ше11 пулю его мо,l.уль.
перемножении
комплексных
чисел
i'ОЛЬКО
том
H:~ того, что при
их
модули
перемножаются,
выт, '1(дет, что nро'Uзвi:дсн,'Uс неск:олък:'U:r к:о,мnлек:сны:r ч'Uсел рав"
но нулю Л'U fJb в том глучае, к:огда !ювен нулю хотя бы один 'UЗ
COht'НO;)fC'Uffi( лей.
§ 2.
1.
Алгебраические многочлены
АЛ'е. 'ра:uчеСК:'Uht htногочлеНОht n"й ст," "'Ш1 П"
раж:еШ1"
ви.
11 ,Ш,,' 'тся В1+
i,a
+ ...
где
Со, С1,
(х.
...
,Сп
;Т
11ере:,lепное 1Ю: шле1lС юе
11}
11еКОТОР1,1"
по' тояппые
ное из которых отли'шо от
ический М110гочле11 ст," "'Ш1
HYJTi.
.12)
Ч11СЛО . а
Ч11' ла,
пер"
ак известно, любой алгебра-
МО 1lПО по, iеЛИТ1, «СТОР IИКОМ»
11а
,'iРУГОЙ "лгеl'lр,;.ическиЙ :ШОГОЧ"l''П 'тепе1lИ 11е выш" чем 'п. Т,>"
ким путем мы приходим к следующему YiEe! ,ждению: к:ак:овы бы
ни был'U iJBa ht' {лгочлена 1 z) 'U чJ( z) так:ш
не выше, '!ем j ( ,
сn!юведл'Uво !iaBeHCmBo
j(z) -
,) . q(z)
+ r(z),
чт{) стеnе?{,/) чJ( z
.13)
в к:отором 11( z) 'U
Z - нек:оторые m'H-огоч ,{,ены, nр'Uчеht сте"
nенъ q(' равна разност'U стеnенеи много !ленов j(' 'U '(z) а
стеnенъ т (z) H'U;)fCe стеnеии
z) .
1) А, де Муавр (1667-1754),
английский математик, по национальности француз
ТИРС' '\НИЕ В
ОТНО' ,ению к (fШГУРИРГ((ЩИМ в равенстве
13) MHOri( шеrp(z), q(' и r(z) i(бьпно применяют Вiн,лне пон,тные
,< ,l.елит' ',Ъ», i<чаi'Т11OС(>
({О' 'TiiTOK»
МНОГ' ,'(лен l(z) дели ( ся на мн, 'lочлен ср(' , если
нам
1
в П'
',1 (ЧСНIЮЙ
ПО' р"
'ТВОМ д" "'Пня
'тол' 'ИliЛ;
ФОРМУ"l" (7,13)
остат, 'к г (z)
~оговори; "я lla:~blBiiTL М11Oгочле11O; н ,левой ст," "'Ш1 ,1юбую
комплексную постоянную. Тогда совер' ,енно ((сно что люБO'Ll
мн,огочлен, дел'Uтся '!!а отл'Uчн,ы'й от '!!уля ht' {О20член, '!(улево'й
стеnен,и. Изучим вопрос о делимости много'шена
на MHO~
ГОЧ,l' 'П ''''рвой ст," "'Пн Z - Ь .
Оnределенuе. Назовем к:омnлек:сн,ое ч'Uсло
nopHeht
1 ,)
н, О г О ч л е н, а
ht
Теорема
7.1.
двучлен,
Ь) тогда
мн,ого'/лен,а l(z).
Д о
:~
т е
ь
'(z)
Ь
-
есл'U
f(z),
f(b)
равн,о н,улю.
iН'Ногоч ,{,ен, 'Ну ,(,евой, стеnен,и
'U
z дел'Uтся 'На
толък:о тогда, к:огда Ь является nopHeht
т в о.
фор;,;улу
13).
3апншем ,lЛя ;ШОГОЧ,l''ПОВ l(z) и
ПОСКОЛ1,КУ степе11', остаТ1iД r(z) в
этой фор;; (ле обязан,а
'tt'U:J!Ce стспсни делит' ',lЯ
z
Ь, ('О r\ ,) - мн,ого'/лен, н,улевоu стеnен,и, . е. r(z) - с -
Тi.ким обра:~ом, фор;;(ла
(7.13)
в ФОРМУ"l;'
(7. 4)
с
=
(7.14)
Ь, найдем, что с
I(Ь). ПО опреде~
тош 1Ш тогда, 1Шг"(,а O;'TiiTOK
TOr,l;'
) рiШСН
когда Ь является 1шрне;
Z-
i1рШIШli'8Т вк(
1(' =(z-b)·q(z)+c.
Полагая в фор;;уле (7.14) z
ле1lИЮ l(z) Д",lИТСЯ нс' Z - Ь
=
солst.
,1Ю, т.
тогда и то"ъко тогда,
1(, . Теоре;,;а ДО1iдзаllа.
2. Е;'тестве шО, ВО:~НИliДСТ вопро;': Вi'Яii1Й ,lИ а"lгсбраич, "'liНЙ
Мllогочлеll имеет ко! 'llи? Ответ на этот вопрос дает осн,овн,ая
meof,ehta алгеБрыl 1 : вгяк:'Uu hШО,;О"lлен, н,ен,улевO'Ll I'теnен,и 'Uhteст :rотя
Oi)'UH к:орен,ъ.
Опираясь на эту ('еорему, докажем, что алгебf,а'U'/еСК:'U'Ll hШО­
'О"lлен, n-и стеnен,и имеет точн,о n nofmeu \). В самом деле,
П>;'Т1,
\,Z ме ашебры
справе;lЛИВО
Мllогочлеll n~й
1(z)
i1P;'
'тепе1lИ. СОГЛii,CllO о,ловной Teop'~
. е. дл((
'Тi'К1''Пi1;'
(z)
f(z)
в
которо;
Л
11
чере,
Еспи n
ю ;';'т хотя
1).
z)
1(
имеет хо (Я бы один корень Ь 1 ,
оi'ю ,11i,че11 Н, 'liОТОРЫЙ
то.
согласно
О, 'ин кореll"
Ь2
осно шо!']
т.
переменной».
2) При этом, конечно, мы считаем, что n > О.
для
;шогочлсн
'тепе1lИ
теореме алгебры,
(z)
справедливо
2Ш
АТEl\ГАИ'СКИЕ МНОГС''!
2
преДСi'авление
j: (z)
(z
Ю)1'()роы чср' <~
(z) обо:~, 'i'ч' 'Н нею" lipbIij мног, ,'iлен 'тепени
Р) ПОВi" ,шш указанные рассуждения далее, ыы полу'шм
представлеl шя
f2(Z) - (z
Ьз)fз z ) ,
(7.
jn( ,)
n(z) =
5П )
в последнем из этих предс i'авлениi,j 'iерез
обозначен неко­
торый 1ШОГОЧ.i'Л 11У.i"ВОЙ 'тепеllИ т.
С =
const. Сопо­
стаВЛЮi ыежду собо!1 равенства (7.15 1 )-(7.15 n ) и у шты iая. что
jn(z) =
с,
.'i.eM И1 i'Tl,
j(z)
.16)
Отыетиы, что коыплекснаii ПОСТOiшнаii с не ра ша нулю, ибо
противном спучае много'шен j .) был бы i'ождес iBeHHo равен
нул:, , и не являлся бы ЫНОiочленом nраве11СТВс; (7.
ОЧСВII.illO. что
j(b n ) т. е. каждое из 'шсел Ь 1
11ем М11огочле11а j(z). КР01 "того. H:~ (7.
бы НИ было
1).
, ... ,ь n
ВЛiiеi'СЯ корОЧСВII.lllО. что. Юi.жово
Ш1еli.crlOе число Ь, отлнчное от b1 , Ь 2 , . .. ,Ь" ком­
плеюлое чИiЛО
ких
с i'епени
(Ь 1 )
коыплексных
11е рс вно
'шсел
равно
лю. ю'ю !lрОИ Ш i ' "Л!li' Н, "·li.о.шг
нулю
лишь
i'OM
спучае,
когда
раве11 11УiЮ хотя бы О.'}Иll IЛ С01.ШОЖ:ИТi'
(i.
). Тii.ЖИМ 0('азом, много лен j(z) иыеет ровно n
Ь ,ь 2 ..... 'Ь П '
Раве ство (7. 6) д ет ра~лож: н
1шогоч.i'Лii j(z) 11а MllOжители. Если известен вид ЫНОiочлена j(z) (7.12), то мы ыожеы
O!lpl'
HTi.' ПОСТОЮl
С В раве11стве (7. J 6). СРii..Бнивая в раве11-
ствах (7.16) и (7.12) КОЭi[>фициенты при
zn, получиы - СО 2).
l\lногочлен (7.12), у li.OTOPOrO 10
1, 11азывается ЩiU6еде1-t'ным•. Д,Ш ПРИВI' "лного МllOгочле la ФОР1; ,ла ра:~,lOЖ:СНИЯ (7. 6)
1) Здес"
iЮЛЬЗ\iе ,! сшд' ющее
если многО'i,лен j(z) =
= aOZ n + аlZ п - 1 + ... + an-1Z
а п mо:нсдесmвенно раве" "Уil,Ю, mu все его
'l{;оэффиu,иенmы jювны НУЛЮ. В "амом деш, если j(z)
О, то при z =
получим а п = О, Но тогда
== Z[аii.Zп-1 аl.Z П -·'
an-l] == О. Так
как z фu, то ВЫРilЖi·НИi.· В квадратных скобках тождеСТВi'НН\ii равно н" 'Ю,
откуда при z = О получим an-l = О. Продолжая аналогичные рассуждения
. (алее, докажем, что все коэффициенты равны нулю.
2
Здес" iiЫ ИСПОЛi,З\i"
+ ... + а п
ао
bOZ" + Ь,
= Ь о , al = b1, ... а п =
и
+ ... + Ь п
если два многО'i,лена ао " +alz n -
mож;десmвенно равны
другу, то
Ь п . Для доказательства достаточно к разности
указанных многочленов применить утверждение, отмеченное в сноске 1) на
этой странИi (е.
<1'ИГ! )lj\НИЕ В
принимает вид
J(z)
лу'шм
17)
(z 12)
Ь,)
(Z - lJ 1 )(Z -
=
Сравнива!1 формулу
с
(7< 7)
ПJИ)о
1),
по-
ле) ую
+ Ь2
+
+(Ь 1 Ь 2 + Ь 1 Ь З + ... + Ь 11 - 1 Ь 11
(Ь 1
)2
сп
да,л, lейш)«
= (- )n Ь 1 Ь\ ...
ли не оговореllО llрОТИВ
10)< 11bl
ра,
lривать nриведенные ht1-tОРО (лены.
3,
Крат!
много'!лена,
Признак кратности корня
'<реди корней МНОГО'lлена j( < могут быть совnадающ'Uе кор­
ни. Пусть а, Ь< ... ,с - разл'Uч?!ые кор ш прив)< ,)лного М 1Огочле­
llа
z . ТОГ'I<а В
ре !!ЛЬТ1i.ТОВ !lP' )lblii,! "то !11)parp1 ф1i.< для
1
J(z)
справедливо разложение
z)
В этом разложении а,
и! котор;
n -
lX н)<
(z - a)Q(z - Ь)3 ... z - с)'.
=
(3,. .. , - некоторые
)льш)<
!lР!lЧ)«
а
(7. 8)
целые числа< каждое
+ (3 + ... + ,
= n,
степень МНОl0члена
Есл'U для ht1-tогочлена
сnраведл'Uво раЗЛО:J/CfiН'UС (7.18) то
говорят, что комплексное "шсло
являетгя KOf!1-tем j(z) крат­
ности а< КОhшлексное ч'Uсло является KopHehl j (z) кратности
(3, ... , КОhшлекгное "шсло является KopHehl j(z) кратногти,.
Кореll)<
B1i.TL
l'P1i.THOCTL lШТОРОГО p1i.BH1) )lИниц" нринято Н1) ,),!а lшреll '< KpaTl101<Tl' которого lЮЛЬШ"
'н О К Р а т н ы м<
единины
принято называть
к р а т н ы м.
МШЮIOlаТl, и !lpyroe )j,ВИВ1i.леllтное О!lр""лие кор lЯ <lанной кратности: комплексное "шсло
члена
J(z)
кратности а, есл'U для
лен'Uе
на Iыlаетсяя KOf!1-tем много­
z
z) = (z - a)Q'P(z ,
сnраведл'Uво nредстав-
а)
(7. 9)
О.
Наша неш, - указать llеобход lIюе и достаТОЧllое ус.ТIOвие для
того< чтобl,! комплеюлое ч!l' ло а яв, lЯЛОlЪ lШРН"< IШОГОч',l' Н1)
кратности а.
Назовем nро'Uзво:Jноii ht1-tо'о'Ч,лсна
J(z)
z многочлен
j'
z , nолу-
чею-/,ыlйй формал'ы-/'ыlM :J'Uффсре'Нц'Uрован'Uеhl 1) j (z) по z. ПреЖ:<'lе
всего докажем
с.педующее утверждение.
1) "-ан"",,"
ве)) (ественной переменной
(!ыла
<
КUРНИ МНОГ.;
3
'l//J,
)'1
}UJ,j·j'!J.лпu;uое 'Ч,'/J,СЛ{!
j(z),
}шсrnn СУ ,Мi}tлг(У! ,},пtЛ,
}'с]Ю
тn{!
,Ю а )(Н },){етnг
})IЮ,jj!'НОСjj!'IJ, (а - 1
)шго"{'}! 'Но
3 а м е ч а н и е, В частн, ,сти, при
ОД11Ol!Р!)ТПЫМ 1ШРП)"
Д
К а з а
- 1
z), пе является 1ШРП)"
е л ь с т в О,
во предС!а ;пение
21
lA
УСЛОВИЮ
1!J.-
})о]лt!
).!
число а. БУДУЧ)j
I!(z)
дЛЯ j(z)
.19), Дисj!фе!еНЕИРУ!!
,
справедли-
\7.Н!), будем
иметь
или
.211)
',"
аер)
(z)
,)
+ (: -
а)ер'
').
Поскольку ер (а) - а, (а) i::. о !о представление (7
озна'!ает,
что чисю а является 1iOРП' 11 краТ1Ю"ТИ (а- ) 1ШОГОЧ.!' н!) j'(z).
Лемма доказана.
Теорема 7.2. Для того чтоБыl К:О.мnлек:сное число а явля­
логъ nof!1-lем К:fю,тности а .Nt1-l0,'О"lлена
статочно. чтоБыl
Ла)
j(z),
выnлн!!нъll
необходи.NLO и доуслови
= j'(a) = ... =
(7.2 )
д о к а
а т
л
т в о.
Н е о
о Д и
Пусть а
вл!!ется корнем кратности а мно! очлена j
согла,'IIО лемме
1
)то
l' '),
ЧIН'ЛО а является 1iOРП)"
о
').
т ь.
Тогда,
краТ1Ю,'ТИ
(а
1) мно!очлена
корнем кратности (а
2) много'шена
j(2) '), ... ко! нем кра ности единица много'!лена j(Й-l)(z) т. е.
а
=
Р(а)
= ... = j(a-l)(a) =
Сог !!)CiЮ !а1 )'ч! 1lИЮ
!очлена
О.
1eM
(7.
чисю а 11е является кор
Выполнение услови11
е.
М1Ю-
до-
К)) !апо.
11;
(7.21).
О
С
Т
а
о
н
о
с
ь.
выполнены
успо!ш!!
Тре()ует,'я )lOК)) !ат;,. что число а яв. шет,'я 1iOРП)"
1Ю,'ТИ а М1югочле 1a
j(z). Ta1! 1!a1!
кр!)т-
I(a-l)(a) = О, чисю а ЯВ.шет­
с!! корнем мно!очлена
К:fiатногти не НИ;JfCе единицы.
Ст!!ло быт;,. н!) О' ПОВ!)llИИ лемм!"
Ч11''ЛО а ЯБ..!яет,'я 1iOРП"11 М1Ю
!очлена j(\,-2)
К:fютности не НИ;JfCе двух, корнем много'ше­
на j ,)-3) ,) К:fютности не НИ;JfCе mfiex, ... , корнем много'шена
к:ратности не НИ;JfCе а.
ОстаетС!! доказать, '!то кратность корю! а много'шена
f(z)
н!
выше
лемме
Е,'Ли ()Ы эта l!Р!)ТПОСТЬ ()ыла в!,!ше а. то,
,1!Р!)ТПОСТ!, КОР11Я а М110гочле11а j(a-l) z) бы.
j(z)
'ог !!)CiЮ
бы выш)'
<i'ИГ! ;ij\НИЕ В
единицы,< откуда слеДОВaJТ; бы.< что
е<
(а) = О,
(z),
являеТСi корнеы
протю;, 'ре'шт по' ле;шему и:~ УiЛОRиli
(7<21)
Те, тема д' ,казана
ПРИШI,юл
1ения KPjjTHbIX
Алгоритм!':вклида
выде.!
1.
xeM~
кг'!'тны1 y корн')!:',
ПО'<т".в"<
пе-
ред собо!! цель - ДJТi данно! о ;;~Оi<ОЧJ;~на f(;)~··иыею~е~о во­
о{;ще говоря, liР1)тпые liОрШl П1)ЙТН Т1)КОЙ ;шогочрп F(z) кото­
рый имеет те :JICe са.мые К;О/iНИ, '(то и j '). но вге к;/ютности
единица. Для ;lOстнж:ешlЯ
;той пели вве; ем
11eKoTop),j" llOB),j"
i.
пон п'И
Назовем д е л и т е л е.М дву;т много­
любой .многО'iлен, на к;оторый делятся оба
.
много лена
и
j(z)
·(z).
Оnределенuе 2. Назовi.М н а и б о л ъ ш и.М О
'щ И .М
д е л и т е л е м двух многО'iленов j ( . и ср( . так;ой их дели­
me,i,'lJ, nomopbl'il делится на ,i,юбо'1l друюii делителъ эти:г дву:г
.ft;t1-tОРО" iленов.
Договорш ,<я о{ю !l1ачат), 11аибо.ш,шиЙ о{;щ lЙ
много'шенов
sa;
j .)
и
;'тим, что и!
вытекает,
СТОЯllllOГО
'iTO он определен
MllO liителя.
Возвращаяс;,
го П1).раГР1).Ф1l
многочлен
с
z
<'iЛЯ МllOгочлеllll
гд"
по­
<liО;,;ЫЙ
j(z)
D[f(z), f' ( )]'
а)
;(z-
(7.22)
... z-c)',
(z -
z)]
i'eopeMe 7.2,
справе,lЛИВО пре,l.ставлеlше
... ( z -,,,)I~lnl'"! ( Z )
liHT МllOlliителей (z - а) (za)a~1
(z -
Ь
v!(z) 11е <0;1' р
Из сопоста iлеНШi форыул
f(z)
провеРИТk что
/юзли'f1-tые корни. ТОiда, СОiласно
. .. .
го ;lелителя
ПjОИЗВОЛЬНОiО
имеет вид
z = (z -
j'(z)
до
llели< сфор;,;улировапной в 11ачале 11астояше­
F(' )
iде а. Ь,
точностью
;;ы теперь легко ;lOЖ:;·<
fi'(Z)
нте.л;, ;шух
'< '(z) сиыволоы D[j(z), ср(' )].
O!lP;' и'лепия П1)ш'Ю,iLшего о{;щ,
=
(z -
I
(7.23) и (7.24) О'iевидно,
a)a~l(z
-
Ь );З~1 ...
(z -
c)l~l.
(7.24)
(z -
с).
что
(7.25)
Из сопоставления формул (7.23) и
СОЮ О'iередь очевидно
что ;шогочлеп F(' !, определяе;,;ый формулой (7.22), ш ;еет вид
F(z = z -
а)
z-
... (z -
с).
(7.26)
()Г11Т
Теы саыым щ\казан\\, что ЫН\'10Ч.1ен
22),
110
F(z),
\1
ЕВК
определ;емый
имеет те же саыые Ю'I ши, что и ын, '10член
все 1,РiiТIЮСТИ
\1ИПИЦi;
Таким i\бразоы. задача выделеНШi Кl,атных корней СВiДИТ-
ся к ШkТрО'
(z)
1.1Ш)гОЧ,,1''IIi;
F(z)
опредеJТiеМОГ i \
Посrюлы,у зrrат генатель сjюрмулы (7.22) содерж:ит rrатr60Ш,"
шllй о{\щий деЛИТ".lL \Ш\
IШОГОЧ.,1''IIОВ j(z) И j' z) во:~пю,аст
задача о пахож:де1lИИ паиБОЛl,шего общего делителя двух М11O"
гочлспов. ПереХО\lЮ
рсшеllИЮiтоЙ:аДiiЧll.
2. Нахождение наибольшего общего делителя двух
iОiО'iЛiЧ
(!!ЛiОРИТМ Евклид!!). Пуст], .'i.аПЫ.'iВi; сов ер"
шенно произвольных ЫНОiочлена j(z) и '(z) и требуется най"
T11
Пiiю'ю.,lLШllЙ О{\ЩllЙ д' '.]итеЛi."
Не ограIШЧllВiiЯ о; \ЩПОСТ11.
будем считать, что степень '(z) не выше степени j
по;елив J(z) llа cp(z сто.]биком, 11LI придем к форм\
ТОiда,
(7, Э)
. § 2)
(7.271)
В которой. 1,а1, \СТс ПОБ.,]''IIО в
2, 'тепеll;' остатю; T1(Z) \ль"
ше степени делитеJТИi ·(z). Это дает наы право сно <а поделить
сто. ]биком cp(z lI\i., 7'1 (z). В Р''i~у,ш,тате этого деле lИЯ м]] пол\чим
апалогичнyr\J ФОРl,lуле (7.13):
Z)Q1(Z) + T2(Z)
которо [l с i'епень оста! ка 7'2 (z) ниже степени
Да.
11LI .i.елим стор\иком T1(Z) пi; (z) и
cp(z)
(7.272)
r ').
= 7'1
делитеJТИi
т.
ре:у. ],Тс т\'
полу'lИМ
Т; ').
Tk-1(Z)Чk-1
z)
+ Tk(Z).
ПО'
,1рll 1,аЖ:'iОI .'i.еле11ИИ 'ТОШ'Ш1,01
'тепеll;' о\.'т! т,а
.'i.eT с lИi1,ат],' я по к;ршtlне' j .мере на сд'ШJ-ШЦУ, повторив ОШ1'
lli,]Й
процесс достаточно болы lOе 'lИсло
k
раз, мы на
(k
l)-м
агу
получим остаток. ра шый НУЛЮ 1) т. е.
Tk- (z) = Тk(Z)Чk(Z)'
Докажеы, что последний отли'шый от нуля OCi"aTOK
ет' я наu!'!олъшu.М
делumr"лr".м .ft;t1-tогО'Ч,ЛСНО6
(z
(7.27 k + l )
(z) ЯiiЛЯ"
и
z) ,
ДостаТОЧllО доказать два утверж:деllИЯ:
1 Если остаток не оfiратится в нуль в одном из промежуточных звеньев
ОПИСiiЯНОГО н;\'щеССi\, то пi,' ;е
iu,;ичества
k
Шi\ГОii
iЮЛУЧИ\i
остаток r'k (z) нулевой степени. Тогда слеДУЮiiШЙ остаток Гk+l (z) заве,ЮМО
равен нулю (иfю люfiой многочлен делится на многочлен нулевой степени).
<i'ИГ! )ij\НИЕ В
Чj))
чт))
\iH"rO<
об )(11и
O:~Ha'iaeT, чт))
МН()Г()Ч«iен()в)
il<ля д' ,ка jj)тельства
\'TBl) )j11Дz:НИЯ
:~аметим, что, в сил!
17.27k+ 1) ik-1(Z) делится HaTk z ,атогда,всию'(7.27 k ) Tk-2(Z)
делится на Tk (z) ... Поднимаясь ввер; по цеПОЧi(е равенств
)-(7.2i),
наконец. докажем, 'по )p(z) и (z) ДСiЛЯТСi
llа Tk(Z).
ДОiш)кем тепщ ь утверждение
лите<ъ многочленов
(Z)
и
)p(z).
2). П! сть То
iюбой де­
Z
в СИiУ ра1;еНСТ1;а
.271 T1(Z)
делится на TO(Z) а тогда, в сию равенства (7.272)
ся на То Z , в сию равенства 7.273 T;(Z)
О
,ycKa1ic"
iшл,ем, что
но це') iQЧКl)
Tk (Z)
paBlTCTB
наконец, до-
де<штся на Т;) (z).
Тем самым мы полностью обоснова< ш описанный выше щю­
цесс наХOilщения наи()ольшего о()щего дештеля двух многочле­
нов. Этот процесс обычно называют алгiiРШn.м.о.м. Е6КПV.! 'а.
При м е
Найдем наибо.ъшиЙ обпий делитеъ дв; Х мно-
ГОЧiеН01; 1)
f
Z
=
Поделив
z4 - 2z 3
+ 3z 2
f Z
<p(Z)
z4
на
-
2z
+
и
<p(z)
4z 3
6z 2
-
+ 6z -
2.
столбиком. б\ дем иметь
2z!
-Pz
1
14z\
_~z3 +~z2 -~Z
1
-z
- -1
4
222
1
Да<
=
8
1
iee мы долж:ны быш бы поде<шть <p(Z) на обведенный пунк­
i'ИРО\' \ШОГОЧ<iен. Однако,. llOCKo.ibKY наi;()ОЛ лшП
де­
литель определен с mо'Ч.ност'Ыо до nРО11360лъного постоянного
.множ;;теля, удобно УМНОЖi;Т;,
на
4/3
и поделить
)p(Z)
на !'ногоч<
1) Легко видеть, что cp(z) = /'
;УНКlп;ром остаток
ieH
- Z
1.
В резу<ътате
4:; _6:;2 +6:;
2
42
2
астата; равен Н'улю.
Таким аiiразам, наибоъпп[й абп~и('[
2
(z)
и
z)
равен
3
а
е ч а
z - z + 1,
z)] = z2 -
D[j(z).
е 1. n
дештеш,
Z
llр[[веде;;
пр астаты в;яли мнагачлены
нагач[ена[;
т. е.
f z
и
+ .
[;ыше llр[[\[ере
<p(z)
для
с beUi,eCmbe1-l(!!blМU [шэф­
сlшциентюш. Та жс; метадика сахраш[ет[у и Д
\шагач, [ена[;
с [шмпле[;сными [шэффициентами.
3 а
е ч а
и е 2. Следует о[ \[ети[ъ, что. да наста [пе['а
времени практичес[;и атс\;тств.Уют 'устайчивые чис[енные мета­
ды вычи(ления карней праизвальных
тачнастью.
юлажении
;'нагач[ена[;
заданнай
?днака, имея предваритеъш;ю информацию а расиска\ш['а
карн;[
на['а'шена
на
некатарам
с'е[ \[енте
чисюваи аси, мы мо.ж:ем вычисшть этат карень с интереС'уюп~еи
§
нас тачнастью с па1\1О н'Ью метадав, ишаi[;енных в
гл.
12.
Разложение правильной рациональной дроби
с комплексными коэффициентами на сумму
простейших дробей
§ 5.
Рu.'Цuо1-tnЛЫ-tоЙ д р о
'Ь 10 наЗ[.[ваетс;[ а ['нашею[е д[;ух алге­
б; ,аичес[шх мнагачленав. Рацианальная драбь наъrвается nра­
вUЛ'Ь1-tо!i, е(ли (те'
мна['а·шена., ста;;;Н,е['а в 'шс;;[тсле, \[ень­
тпе (те[[ени мна['ачлена. с'таяп~ега
зню\[енателе.
n
'рат[[вна\·
с [.Учае рацианальная драбь называется неnрави !'b1-toi. Как пра,
P(z)
ю, \iЫ будс'
юю[\[ая
юд
Лемма
,[
а;)азначать раЦ,иана[ы[у.,'ю
P(z)
2.
и
Q(z)
т.
,. [Ю
·
ам
Q(z)'
алгебраи·[еские \шага [лены.
P(z)
Пуст'ь Q(z)
-
nравV.Л'Ь1-tш! ршцv.о1-tа.л:Ь1-tш!
31-tаМ.('1-tате.л:ь nотор(1). 'И.М,( с'т nорнсм.
'Чuсло а,
си
npam1-tocmv.
а nом.n !сnснос
е.
Q(z = z - a)Q<p(z)
где
<р(а
'# О.
(7.28)
Тогда для этой дробu сщ nведлuво следующее nредс finвле1-tuе:
P(z) _
Q(z)
A!iJ(z)
(z -
а)СХ
(z - a)CX-kip(z) '
(7.29)
Сi'ИГi ;ij\НИЕ В
'к;Ос;' с
Л()(
n
,;п;С'н,ас
Z nОС
'!!г;;;оторый, мнm ПЧЛС!!
С;UСJ!Л
Р(а)
!JО)Z'!!i!!ЛЯ, ра шля
'р(!!)'
Т/,/iUч,с.м. 'ПЛСЛ; !!-
ТУШ (729);[!iляету/.f я пр(ии//.!)ной,
в
)бо:~начив Чf pc:~ А ШiСi' ,ЯННi;'
дробь Н
,
'iИСЛО
ре ссм, ,три!'
ра шос iЪ
А
P(z)
Q(z)
(-
а)"
.
ПРЮЮДji указа iНУЮ разность к оБТТ~j;МУ зна' iенателю, буде
А
,}
И\iеть
Ф(z)
_ P(z) -!ip(z)
(z - u)ctip(z)
!z
.3(
u)ctip(Z) '
где 'iерез Ф(z) о(iозна'iен МНОi'очлен вида Ф(z) - P(z
A:p(z).
Поскольку iI)(uc) = Г(ис) - А'Р(а = О i;Qмплеi;сное чис 10 а явля­
ется 'Х;орне.М снногоч,лена Ф(z) некотороС'! кратности k ~ 1,. . е.
(z - a';'(z)
где 'ф(а i= О.
(7.31) B i Y (7.30) буде!'
=
\стаВЛЯ)i
!ред' та;iение
А
P(z)
Q(;)
(z -
ем самым фщ мула
(7.29)
(7.31
Иiет!,
7/J(Z)
а)сх
7.32
_ a)a-kip(z) .
доказана.
!стается толь;о убедиться
дро!);, !'тоятт~аji в ,равой 'iШ'ТИ (7.32),
i;Лjiется ,ра­
ВИсЪНОЙ. Это непосредственно вытекает из того, что разност'Ь
TO\i.
'iTO
дробыо :!) .
двух nравUЛ'ЬН!'tХ дро6еи является
Лемма 2 доказана.
И;iеммы 2 непосредственно вытешет с iедуютт~ая замеча-
i'ecibHaji TeOpe\ia,
устанаi;шваj,лт~аji
раЗЛОЖi! ,;ост',
'ра-
вис ъной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Теорему! 7.3, Пуст'ь ~~~~
nрuвU/l,i,НUЯ РUЦ1ЮН i/l:ьная дроб!),
-
зна,i'iенатеЛ!'i;отороu U,i'ieem вид
Q(z)
=
(z - а
(z
ь)6 ... (z
с)'.
.3:»
огда для этоu apo6v. сnраведлuво следую ,(ее nредставленuе:
Р(;)
(J(z)
_
1
(z-a)a
+
+ (z-u;a-l
с
+ ... +~+
(ZВl
!z
В2
Ь)
(z-b) -
вв
+ ... +-(z-b
-
+
+
+
с
----с-
смысл, ибо 'Р(а)
с.,
(z -
#
о n силу
с)
.
.3 )
(7
убеДi!1ЪСЯ. ПРИПОil;Я разностт, пра !!!Лт,ных дробей
общ!!-
217
ГА;
. А2 .
, A z"
В2 ,
'UПiоrnОРi,l( 'n.осmОЯ?!iJi',tе 'КО НТ!·Л,( ,iCi, ',te "UСЛ;.
',а: m'Ь 'И.;1 'х:оmорыт .;\ЛО ;",'т бъtm'Ь ран'На 'Ну.л:!!!
;тдz;,
С2 ,
I
о K:~
Q(z) ,
нем
л ь с т в
крат юсти
Q(z)
2
СНС1'IaЛf; пр!!ме !!!м ле,'
к
,ц'я в
P(z)
При э! ом
юлу Ш\'
pa;eHCTf;o
правой части этого равенства снова при мени м лемм\
f;!fДУ, '!ТО либо ко\' ;лею ное число а являетс! корне\' зна\fена­
>
те. !Я укашнной правой части кратности а - k
а - k
О),
либо, в силу разло.ж:ения (7.33)!ef!CHOe чисю Ь ю;!Яет­
ся !!ЩiНем этого знаменате.!Я !!ратности
(3 (;три . ~ - k
=
О). В
результате юлучи\' равенство. aHiL-IOгичное ! 7.:\1' J к ;равой '!а­
сти которого снова l\ЮifJНО применить!емму 2. Продо. ШJая ана­
ло!'ичные
лемм\
2
рш '',УжД(тия
да!ее
.
е.
юследоваТi;ЛJtНО
;ри ,Ц'!!Я;!
P(z)
.
по всем корням Q( z )) ,по.!учим для д! оби Q(z) п! ,ед-
ставление
(7.:\4).
Теорема до!шзана.
а м е ч а н и е. Поскольку в!емме 2 чис ю k l\юж:ет быть
бо.ъпте единицы и м!ю! о !Лен P(z) \южет и\', ть корни, "Оfша­
даюп~ие с корю! '!и Q(z
!'О '!асть коэфzlнщ!!ентов А 1 ...
В 1 , ...
В(3 С 1 ... ,
в формуле (7.:14) l\ЮifJет быть равна
3
§ 6. Разложение алгебраического МJюгочлеJJд
с ВZ.JЩZJСТВZJJJJJ!\IМИ Кjjэффициентами
JJ.РjjИ.:ZJJе,.'j,ZJJJ.И.е
неприводимых вещеСJJвенных !\ТНОЖИJJелей
Выше мы изучали раЗJюж:ение на
'7 простet"fШИХ дроiiеп
рациональной дроби с 'х:о,м.n Т(,'х:с'Нъt,м.U !шэффициентами. Нашей
окон'!ательной целы}) являетс;! разложение рац!юнальной
с веf.цесmвеН(ifъtМU коэффициентами на сумму простейших дро­
бей
вещесmвеННi,t.Мii коэtI!фИЦИf нта\!И.
Для ДОСТИifJения этой flе,ш мы до. ШJНЫ fреifJде всего най­
разложение алгебраи'!еского
!югоч,!ена с f;еп~ествен
!шэффициентами на произведение неприводимых вещественных
мншкителе
;.
и по' вяп~ен настоящий
faparpazl!.
ПУ,Тf,
С! Z
n-
+ C2Z n-2 + ...
(7.:>5)
;рю;еденныП аЛГi;браИ'!f скиП
!Ю!'О'!Лi'"
вещесmвеНН"t.z,',·
!шэффициентами С]
, •••
Пре.ж:де всего ДOl\.аifJем след\'ю!!!.ую теорему.
7.4.
Теорема
Еслu 'х:о,м.nле'х:сное 'ЧUСЛО а является 'х:орне,м.
а. тгеi'iраU'Ч('С'х:ого .;\лного'Ч т('на с вещ'ствеuнъJ..;\ЛU 'х:ОЭффu !иеиmа-
ТИРС' '\НИЕ В
35),
тnо
('о'n.n:zжС!и-/'()(
:',ну 'Ко"" n ,!П!С'/-/,()(
же я !ляет{'я к;орне,м ,М?Ш?ПЧЛС!f.!!
1)олееmО20. u;ли к;о",;,­
(7,35)
"'!('r.;{"'/-/,ъtii r.;Opi '/-/,'Ь а им.сст r.;parn' ш{'т'ь \, то и r.; УрС' КЪ
'И.М.! сm
r.;pa,fi'/-/,O() fi'h А
Д о к a:~
т
л ь с т в о,
Пi ,!лсде вс!т!с дока)! П\f Ссъ:дую
щее !:'ll!>м!с:'ат! Л:Я!i' ут:;ерж,:ение: если ,{(::
с :;епестт;енными коэzj';фициентами, то ЕОl\П,iеЕсная величина ,{
является СОПРЯJ::енной по отношению
величине,{ (z), Доста­
l'O'lHO доказать, что для ю!;iiо:'о HO\lepa n веЛИ'Шllа (Z)n явля­
ется сопрялсенной по отношению к ве,шчине zn, Это последнее
юсредст:;енно B:,lTC;KaeT l:з ТРИГОНО"!'l'Риче, кой фОР\lЫ
пле (сного ЧИСсlа. В самом деле, п:,сть
z =
огда
z
р( cos е
п[соs( -е)
KO\l-
+ i sil1 е).
+ i sill( -е)
силу фОР'lУJЬ: Муавра (7,11)
+ i sil1
z" = рП ( COS ОП
(z)
cos(
еn)
sш
еn
=rP(cosen-isillеn,
Из СОliQставления д:;ух последних фор\:ул :;ыте,:ает, что (Z)n
zn, Вспомо­
является величиной, сощш)::енной по отношению
гательное ут:;ерждею:е доказано,
Пусть теперь комплексное число
'ше
la
что
lшмплеl(сное ЧИСсlО
(z),
т, е,
(а) =
О,
1
яв,шется lшрнем много-
э l'ОП :лав:,: 'lЫ устано:;и,ш,
равно Н, ,lю тогда и только тогда,
lшгда
раВllО llУ,
СОllряжеllное e\lY Чl,:' ло, Стало быть из ра:;енст:;а
,{(и,) = О и IП ДОlшзанного выше вспомогательного утвер)кдения
:;ыте:<ает, что Г (о:)
О, т, е, чис.1О о: ю;шется :<орнем ,{ (z),
Пусть дано, что l(paTHocTb корня
"авна А, Тогда в сию
l'eopeM:,:
,{(а) - ,{'(а) =
(а)-,,,=
(а)
Так как КОМ: шею НОС' Чl,:' ло рав
10
lшгда
ему
равно
н:'лю
сопряж:енное
-
О;
,31»
нулю l'огда и l'OlЬKO то:да"
число"
:;ьппе вс: iQ ,югате,lЫ1О: о утверждеllИЯ и l,:з
то
из
доказанного
i'OOTl1O
llеllИП
(7,;>6)
:;ы l'eKa !;т С lеду ! ;п~ие i'OOTl1O llе шя:!
,{ (о:)
,{' (о:)
=
(о:)
1
(о:)
О,
(о:)
"#
,37)
1 Вс ;;ду n il,алт,нейшем мы БУil,ем обознача; !, !;;;МПШ !;сног число. с;;пряюм:
те!' же СИ;,ШOJlO!·' что И
юе ЧИi.ю
10 С черточкой
же!!Iюе
!авер':у.
2) ПРИ ЭТ;;М мы уч !тыпаем чт;; произп;; шая МНО:О'!Лiiна С !Н щеСТПiiННЫ­
ми коэффицие:!та!!и !ре'!.стаВ.!:!ет СОIЮЙ
ко·,ффициепт!!ми.
!ОГОЧJlеп т!!кже
веще::твеппы!,!и
21')
ГА;
72
}У п~орг
являетс} ,лрне,
"(ЮТН, 'тттпшя
кратно, ти Л,
I
Поль ;уясь те';РП\f';Й
7,'1.
най}ем ;)аШ"iliение мн"г, ,'lЛеНil с ве
пествеfiНЫ\Ш к(нффициеНТi1)Ш
)(ЫХ (,eтт~eCTBC'p
('1'
'шс. ю
на,
1) I
(х)
Щ ;(); пв( дени( нещш-
I(x)
(,}Х )(Ножителей Пv, Т(,
вещественные l' ,;рни Ь 1 ,
• Ьп ,
)(е-
, fЗт с';
lfP;'lH'
ответственно и комплексно сопря,ж:енные пары lшрнеи
а2 и а2, ...
аn
а n краТНОCi'1' л ,Л2 .... ,л n кажда;}
ветственно.
огда, согласно рез; льтатам
1редставлен
§ 3,
многочлен
I (Т)
и (1,1,
1ара соот­
MOilieT
быть
виде
(7.38)
в( пест(,енну", и )(Нi,(
'}ш'ти корн;} Щ (k
,2,... n) соответственно через uk и vk" т. е. пусть ak
'iVJ. Тогда (1,!
'iVJ. Прео(iразуем Д
любого k
= 1.2, ... ,n выIа,ж:ениеe
Обозна'ш),
[(х-щ (х
(х
i!k -
(1,k)]),k
= [(х
+
-
-
= (х 2
- щ)2
V~]),k
+ PkX + Qk),k,
(7.39)
где
Р!
;)"г>"а
1 вля"' ('"'I . 39)
окот}аТС1Ш1НО
В
ЛQ)кение многочлена
(ЮД}( '(ЫХ
I
ЮIIУ'Ш)'
,ледую Н,ее раз­
на произведение Beтт~eCTBeHHЫX непри-
ножи }'е, }ей:
(х)
-
Ь 2!,(32
...
Р2 Х
х
Ь т!,(3"
(Х
!!2),2 ...
l\IbI llР}(ХОДИМ к в ,}воду, что )шого'}лен
(х) с (,eтт~eCTBeHНi,'
lшэффициентами распадается на проишедение (7.40) неприво­
димых вещественных l\ШОiliителей, причем l\ШОiliители, со ответ­
ству"нние
(,eтт~eCTBeHНi,'
кщ ня)'
)(еют вид Д(,у'}лено(, в сте((е­
нях, равных кратности lшрнеи, а l\ШОiliите,ш, соответствуютт~ие
ко), 1Ш1Ю'НЫМ
В степенях,
1арам корней
1)авных
)(е(!!т вид ю,адрат }(,}Х ТРС1Х'}Ш нов
кратности этих пар lшрнеИ.
1) в '1Длr,н(;йш(;м нам пр', ';"1'СЯ ИМ(;1'1, л;сло С мно\о m(;нами ОТ П(;РСМ(;ННОЙ,
при lИ!,(\lющей ЛU'ШЪ вещесmве1-t1-tые 31-tаче1-tuя.
,ее П01Ь30В\lТЬZiЯ б; квой ;с
не
z.
'ШЯ ее обоз lilчеmIЯ
<i'ИГ! iij\НИЕ В
Разложение правильной рациона<JRЪНОЙ дроби
с веjт~ественными коэФч:I?ициентами на CYT\TMjT
простейших
с Bj\ Т~j<\СТВj\jjjjj,IМ<И< Кjjэффициентами
§
\ie;!)T
\1(С П)
сле
lУ'iiЩИС<
Р(;с)
Ле,м,,м,а
lВС1 УТl;ерждеШI
прапи ТЪ'J-lая РШЦV.О'J-lа Tbl!aj[ дробь
Щ.1:)
ве ijестве1-t1-tыl.ии ';1;оэффицие {там.и, <i1-tаJ\ле1-tател'ь ';1;оторой им.е­
ет
веществе1-t1-tое 'ЧисЛО а
(J(x)
к:орне.М 'х:! nmнос\!< и
= (х - а)Йiр(х).
где
00,
е.
i= О.
ср(а
сnрав!:дливо
этой
т.
пр' дстав тс1-tие:
Л(х)
(7.41)
(J(;r)
в этом. nредставле1-tии А
Р(а)
_
-
i((a) ,
-
beijeCmbe1-t1-tое 'Число . равное А =
k - целое 'ЧиСЛО ~ 1 а "Цх)
«<
-
1-tе i,оmорblU <h1-tого'Чле1-t
С веществе1-t1-t 'l<\'P< r.:оэффицие1-t\!m<ни. nри'Че<\, ' nослед1-tяя дроб!\ в
правой 'части (7.41 является nравилышП. Ремма
доказатеiЬ­
ства не требус' i" так как неllосредственно Bl,iT{iКaeT из
2.
Следует толь;о учесть. что. поскольку Г(х) и Q(x) - много
'iлен
вепе, Тl;енными коэфсl;ициента\IИ, а а
TaIOl!e имеют вещественные ко-
lшрень. МНОГОЧ<iены ср(х) И 'ljJ(X
'ф<ицие
эср
пыI
И"
ста<ю
Р(а!
-
ю, тоянная
{;е-
ср(а)
iiiест{;енноЙ.
P(.i<)
Пуст'ь -
Ле,м"IvШ
Q(;r)
-
nравИЛ'Ь1-tая рацио1-tал !1-tия
дро б !\
С
веществе1-t1-t 'l.M!! r.:оэффицие1-t !m<нИ. знn<нен imел'ь 'Х:оторои Q(x)
им.еет ';1;омnле';1;с1-tъu
и
iv и n: = 'И. - zv ';1;op1-tЯМ.И
'Чис та а
+
'х:рn mнос!!!'< Л. т. е.
Q(x)
=
р = -2и,
Tonda
где
ср(а
q = и'
+v
+px+q)!cp(x,
этой
Р(х)
Q(.i)
i= О.
ср(а)
i= О,
(7.42)
.
сnрав!:дливо
nр!:дстав тс1-tие:
М;с + N
-,--,,---,..,+ (х2 + р\ ;{с)
(.;
рх
q)Л
+ q)Л-kср(\) .
(7.43)
2
В Э по.м nредставле1-tии lvl и N - не iomopble вещес пвенные nо­
стоя1-t1-tые. k - 'Ц{ лое 'Число
, а
- не';1;оторый .;\л1-tогочде'J-l
с веществе1-t1-ti'l<\!Р< r.:оэффицие1-t !m<нИ. nри'Че<\!' nослед1-tяя дроб!! в
nравои 'Чис!!!'<
является nривиЛ!\1-tоU.
Д о к а з а т е л ь
о
е
ы
ДОГОВОРi{\"Я
обозначать вещественш!'ю часть комплексной величины А сим
воюм Re [А], мним\'ю часть комплексной ве<шчины А СИl\fВОЮМ
221
П, 'л' 'жим 1)
11ш
"iрудн"
пр, ,верить,
Gтrедующ( г(!
[ Р(п)]
N
'iTO
ср(а)
'и
(;ЛШОi', Я ре ТТПiИГ
УКс :~aHHЫ(
равнения
Р(а)
В самом деле,
+
а
-
о.
(7.4 )
юдешв это уравнение на;,(( а) и приравняв ну. iЮ
деЙствите. iЬHыe и мнимые части, мы пол\'чим два равенства
lvlii
из которых о"рсделя "тс!
1
Lcp((((j
=
lvlv
теперь
г Р(а)
N =
1т
(,ie
наш(, ан
(;ьппе
')асс!( отрим
и
разность
Р(;с)
Мх
Q (х )
Приводя
!'iш:~анную
(х
.
+N
рх
q) .
разность к общем)
:~наменате.iЮ,
будем
иметь
Р(;с)
Р(х)
Q(x)
(х 2
(М;с + N)cp(;r)
+ р! + q)'\ч (х (
(7.41> )
Здесь через Ф
обозначен МНОГОЧ.iен с (;еп~ественными
фюшентами вида
= Г(Т)
юзволяет УТi;ерждать,
в сил\' теоремы
7.4,
ieHa
"j,(x) -
'шедо
Ф(х
некоторо"'! кратности
k
Равенство
а,
а стало
n: яв. шются
~
КОI ,ня­
таком Сiучас'
1.
справед шво представление
Ф(х) = (х:!
где
- (lvl х + Н)<р(Т).
ко\шлексное
и сопря,ж:енное ему чисю
)(И )ШОГОЧ.iена Ф(х
для l\fНОГОЧ.
'iTO
неко i'Орi,iЙ
ногоч.
рх
+
(7.46)
с t;еп~ес ;'вен
)(И коэфсl'('
ентами, не имеюп~ий в качестве корней числа а и
Вставляя
представление (7.46)
сlюрму.iУ
.45), ЮiУЧИМ iрещтаt;iение
(7,43). Тот факт, что последняя дробь, стоящая в правой части
(7. :j), являеТСi llраt;илыюй, t;ьпекает из того, 'iTO эта дробь
равна рашости дв! х правильных дробей.
Лемма 4 дока шна.
Последовательное iршtенение лемм
3 и 4 к др о; 'и P(x)j(}(x)
по всем iшрнямшаменателя приводит нас к с iедующем!
заме­
'iател яому УТi;ержденшо.
1)
мож ;О,
СИЮ (7.42) ср(а)
#
о так что отношение Р( ,)/ср(а) р!;ссматрив;;ть
Теорему&
дробь
7.
!;еще: т:;е !нн ни
и.;\леет
HV.;!
- Ь.i)fЗ
,2
+ Рl + ql)
(.2 I
•
I
.. . ;:L
; Pn:L .
огда для этой дро6и справедливо следую ;(ее ра3ЛОJlCение на
су.н.ну nростейшuх дробей:
л(х)
Q(x)
;х
(.! -
-
+ Ni )
(;с 2 + Р1 Х + (]1
ь
)1'
м(1)
M~1)x
л.
+ N(1)
л.
-,---:,-------,--::- + ...
В этом. ра3ЛОJlCении
- не'К:оторые
.HOJlCern
n)·lX
3
( )
В2
... , B~
1
B1
вещественные
равни.
а м е ч а н и е.
постоянные,
'Часть
'11.3
'К:ото-
нулю.
Для !шю;ретного опреде.!ения толыш
'!1'О указа!! !.!х юстоя!!Ных с.!едует ;ри;;ести раве!!С!'ВО (7.47)
общемушаменателю и пос!е этого сравнить !шэффициенты
при
одинако!;ых степенях Х
ри
еры
и
числите.!ЯХ.
разъя
е
о. РаЗЛQ)КИТЬ на с\ ММ\' простейших Щ авильную дробь
2;с 3 + 4;с 2 + х
(.)-1)·(.!2
Убед!!впп!, ь
+2
1)'
то .. • что квадра; ныП трех !Ле!! х 2
!шмпле!;сные !шрни. ип~ем, сог !асно тео; ,еме
7.5,
Х
1 имеет
раЗЛQ)кение в
!;иде
2;с 3
+ 4;с 2 . + ;с + 2
( х - 1) 2"(х'
х
Приводя равенство
2.!
2
1)
+
= ~
В2
1 !,х - 1)2
(7.48)
МХ
+ ... 2
+N
1.
(7.4{~
обп~ем" знаменате. !ю. пою чим
_ B 1 (x 3 -1)
1)
--~--~----~--~~~~------~------~
!х
Сравнивая в чисштелях коэффи шенты щш
ур,
дем к
u
};нении
1)
+
= 2~
В2
+N
2М = 4~
В2
+
2N =
-В 1 +
1~
Х=2.
1,
Ретпая эту систе ,}у,
)}(Qнчательна па iУЧИМ
-,-----_3~
2
x-l
(:с
1)2
+
х2
(7.49)
1
+х +1
TaiЬ (Q что. праиллюстрираванный метад аТЫСiШНИЯ ра ;10л,ения }раЧI,iЬнай раllиана,iЬнай драiiи называется ,неrnодО,;;1
нсоnрсJелен'ныlx 'хх))ффu'Ц'U.еюnов. Этат метад привадит к llе,ш
;1i'еlда: дакаЗl,iваТl, разреllшмаСТl,
;аЛУ'iею1ОЙ
результате
менения этага метада системы уравнений не ну ll1Ha
;ЮСТl, };ьпекает ИЗ теарс"
-
llpil-
ра ;реши-
7.5.
П; ,аИЛiЮСТРИР\lем метад неапределенных каэффициентав
е н.е адн;'
;римера\l. TpeiiyeTci
разлаже ше }ра;i.liЫ1ОЙ
20.
дl аби
+
Tai; l\.ai; iшадратный трехчлен
имеет iЮl\Ш.
ипе\l. сагласна Teape\le 7.5. разлшкение в Чlде
3;
4
• ,,3
,,2
21
.. 31--.1 = _ _
(:с - 2 !(х' + i'
:с - 2
Паследнее ра};енст};а
iei;cHbIe
карни.
+ M + N + _,,--------,-,,-1;
х'
1
+
}ривадим
знаменателю и па, ле
этага сапаставляем числите. ш. Палучим
зх 4
2х 3
зх 2
2х 2
1
2х 2
Сра};нива\i каэфсl ициент!,; llpi!
стеме
+ (М2Х + N2)(X -
х­
хО ,
Х
х4 ,
, х2 ,
;риде;; к
; равнении
в
Ni
+]\.;11
2]\.;1} =
-
+ ]\.;1} - 2N1 + ]\.;12
- 2]\.;1} + N 2 - 2]\.;12
2В
Ni
2
2~
= 3~
= O~
1.
1) При ЭТОМ мы исполт,зусм уп;, РЖДСНИС, сформулиропаННОi1 n СНОС;;С
на с.
:209.
<1'ИГ! ;1j\НИЕ В
[см
fС'ЛУЧ 1М
<тод
[l)(деm нны
l:MnTpeHHbТX при~<герnn<
ственно
поэтому
в
f;ИДНС'
рас
ЯКLЯеТl:Я дnnnлт<нn lРnМnЗДКИМ.
тех
другой, более
случаях,
ко; да
это
Ьсте­
ВОЗlVюжно.
найти
[тон
раз­
\;есп'д ОЛ.тскани'
ложении правильной рат~иональной ДРОi';И на сумму простей­
ШИJ... Пусть знаменатель Q(;r) прани< f.ноЙ рацш,налыft'Й щю­
i\и P(.Y)/Q(:r) имеет вещественное ЧИС1о а корнем кратности С\:.
Тогда среди
,ростеЙши·. дробей. на С'
нается дробf.
P(x)/Q(;r)
ю/[орыJ.. расклаДf.I­
б· дет сlшгуриронап. дробf.
А
(х
(7.Ы)
а)""
-
Укажем с! [;сем Щ <с,стой метод [ihГ шсления ю э I;фициента А при
fростейтпей
fefiai! ле\ \;у
сl1Оl <МУ
(7Аl),
мы у; ;едимся в том, что КОЭффlщиент А равен
'(а)/<р(а),
где
к следующе\'"
Mf.T
<р(х
=
Q(x
/(;Т
-
прюшлу: длл выч,иеле1-tиля nоэффи-
при nроеrnей.шеU дроби (7.5 ), еооrnвеrnеrnву'Ю·щей. ве­
щеетz;е1-t1-tОМ'f! nup1-t!!! а M.1-tuго'Ч,ш1-tа О(.У) nратгmuетгш С\:,
. бU Q(x)
Р(х!
fi',!'Ч,ерn1-tj!mъ в 31-tаМf1-tателе оро
еnо
бnу (:Е
а
)а
U в остпв-
- н.
Указанный прием нахождения коэффициента А оi\ычно на­
!ынают .метnодо.м выtерnuва1-tил •. От\,етим, чсп, этот прие\< при­
ше.мел
выаже1-tииu nоложurn'ь ;Т
меним лишь f<ЛЯ вычисления коэффи шентов при crnapu!ux сте­
Т!гня:r прuсте'i1. !!Н:Е ;Iробей,
nор1-tл.м
;<uornBr:mcrnBY! ;ЩUХ вf:'Щ,'; тв, 1-tН!blМ,
Q(;Т ) .
J\Iетсд [;ьг
[! <Рfiинания
С,С! ,беf
10
эФсl;еfiТИНj·,
н СЛ'
[ае, когда
!на\fенюе<
Q(;r) Н.мееrn лиш'!! oa1-tоnраrn1-tыe вещесrnве1-t1-tыe nор1-tН, т. е. когда О(.У) =
- al) - а2) ... (:Е - аn).
[а. как мы
!наем.
спранс'щшнс,
разлшк! ниj<
Г(х) =~+~+ ... +~+ ... +~,
х-о,
Q(X)
Х-О2
х-а;
все коэффю шенты которого могут быть
f;f,тчеl,КИf;аН11i!. дЛi! f;f,ТЧ11СfеffИЯ
f;f,Г\,а:iкении
При м е р.
методу
[;ы­
- ak)
и в
fроби
+
(х - l)х(х -
по
следует
Uk.
fс,}н,жить;r
Найти раЗ1Ожение
вычислены
k
черкнуть в знаменателе дроiш Р(:Е)
с,стю;шемся
х-а n
2) .
.52)
lГ1 )j1.ЛЕ\1
\
ИНТЕГГlll
UBAl
Аз
+
-
([;
([;
-
!дя отыскания
1 выч( рк Ш(1i \! В вы] ,(1Ж(
"'таВТТ11 \1СЯ
ши бс'ре:r.' ;Т
,\Н'-'Л()ГПЧН()
1/2
L\ -- 3/')
_.
u
"""
" H'-'Х(),iПМ
u
"
,,:,
! ,.
-
)
\'КО11КУ
И
=-2
jM
""~""
Окончательно получим
х+
(х - l)х(х -
§ 8.
2)
x-l
~+
2х
,3
- 21
(7 ..53)
2(х
Проблема интегрирования рациональной дроби
Тепеу,
j,T
jС1дготовлены
тому, Liтобы
С1бше:r.- j;иде реТТТИТh
проблему интегрирования ра 1Иональной ДРОiс,и с вещественны­
ми коэ(11фициента:r.!и.
Прежде всего, отметим" что эта проблема сводится к про
б_ !e:r.!e и !тег! ,ирова!!ия ПЮЛ'Ь'Х:О nравuлы-tOu рацио!!алыюй дроби,
и;-ю всякую неправильн.р; рю 1Иональную дрОi\Ь можно (посре
ством де_
шя чис!Ителя !аmаме!!ате_
«столбю-;(;м»
!рс'Дста­
вить в ви, !,е суммы алгебраического многочлена неправильной
рационаЛ!,ной дроби.
При м ер.
СТ
2
-
2;т)
ибо
х4
;т 4
+
Ix\ + х + Р
+1
+ 2;т 2
;Т З
-
;Т З
-2х З
2х 2
-
4х
1
+,
,
х +х+
х 2 - 2;т
+1
-4х
+4;т
Инте; рировать многочлен мы умеем (напомним, что неопре­
деленный и!!теграл (;т м!юг(;'
!а
!рс'Дставляет собой нею1ТО­
рый мно; очлен степени, на е, !ННШ!,,)' i\олее высокой). Остается
наУ'jjЛ!,Ся ю!теГУ;1;(;!;аТh nравUЛ'i;J-tУЮ раЦ1н;!!алы!'ю
силу теоремы
нат ,ной
7 ..5
В
ПРОi\лема интегрирования правильной рат~ио­
СВОд1ттс\!
1iН'} еГрИрi !;ан iЮ
ДРi ;бей
следуm'Щuх 'Чеmъсрех mи !ов:
В
1. х _ Ь
В
IV. (х]\;1:Г + N
П. (х _ Ь )8 ,
q
л'
7 ..5
8
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
<i'ИГ! )ij\НИЕ В
, N<
рые ве)
)ественные числе),
Дою)<ж(
руе\
{1,
q
О
4
что ю)<жде 5} 1<iЗ четыре\ указе нны
в злементар1 1<ТХ ф<
Дроби 1шда 1 и
по< 1становки t =
Il
Ь.
дро)ей 1ШТ(;ГРИ­
1<ЦИЯХ
3Л8\Г8птарнCJ иптегрттруются
J\IbI получим
.1 х ~ Ь d:r = В .1 ~t = В
.1 (Х!!Ь сlх .1 :: - )8
+ Р:Е + q н(; им( (т
причем трехчлен
ве llПТВ(;ННЫХ корней, т< е<
н(;кол
и
=
о = в ln I:r - I + О,
ln Itl
(3
ПCJ\юши
~ 1) ti3~l +0 -
((3-!!1)
(7.55)
(х _ Ь )8-1 +0.
(7.56)
i)1Я вычисления инте, рала от
TpeJ< Liле1
ратный
LiTC' q - ~
111
представим квад
(х + ~) 2+ (1/ - Р:) и.
-
>
4
+Jq
постоянную а =
х 2 + р;т + q)
j;иде
2
1роби ви 1а
«««««««
р12 • С 1елав подстановку t =
+~ будем
иметь
(
i
Х
+
N)
d;T
+
=
М
[
?t dt
С
2.
=
М[
2
d(t 2
t
2
.
_ A1
2
111
+ 02)
+ 02
+ (N _ МР) [~ =
С
2.
+ (N _ МР) _[
О
2
02
d(~)
t)
- +
.
2
(t 2 +a? + ?N-А1/;агtg!+
ln (;т 2 +ох +
2
+ а'
а
20
+
.
2
2
J
Остается j;1.ТЧ iСЛИТh интеграл
денные выпте с,бозна 1ения
t
-
q -
М
Р
Р:
alctg
х-
J
дроби вида
х+
Р
2 + О.
q-
,
а
(7.57)
Р:
1V.
jС'ЛhЗ' я
ЮЛ'
Vг-;;
if - 4'
<
Bj;e-
lr1 )j1.ЛЕ\1 \
IIH'l ерес
лены
227
ИНТЕГГlll ()ВА)
интеГР\1.
ющи
будет вычие 1СН, ее
буд"
1:1.ТЧ Н-
ИН'l еГР\lЛЫ
I
.
Инте; рал
1
берется элементарно:
1
1
dt
............................................................................•......
(Л - ) (t 2 + а')Л- i
+
!Л
1
-
) (1
1
+ рх + q)"'-l
+ С.
Инте; рал К), вычислен нами в примере
в Koнт~e §
Там М1.Т н:лучили для этого Иllтегра.1а реКУ\1реНТll'Ю
(6.12), позволю;:; ;.ую последовательно вычислить К),
гс; Л
- 2,3 ....
,l'Пира\lС1.
lC -
(7.54)
гл.
6.
1а тс;
dt
~ =
t
+
1
t
а
а
-arctg-
11
Ита1\ . на\!и 1:1.тчисле1 1.Т интегралы
iробей
2
+
всех чесi
i.rpex
ПIЮС'i ейпт
iX
и юказано. что каждый из этих интегралов пре
ставляет собой эле,ме1-tmар1-tу1О фу1-tк:'Цu1О 1 . Те\ самы
i.T при­
ходим К следующей теореме, исчерпывающей проблему инте; ри­
раЦ!jQi1ЮIЫЮЙ дроби.
Теорема
; '1ем,!
В
рах
7.6.
Всяк:ая ршцuо1-tал ;1-tая дробь итnег! uруеmся в
nrnap1-tblХ
iаi\ЛЮ'
iei ше
вычисления
.
эл ;гс; параграсI1а мы с;ста]
неопределенных
В1.тчисли\!
интегралов
(7.55),
1·:азаННhIМИ тремя
и
1риме-
рат~иона.;1ЬНЫХ
1е011ределенные Иllтегра. 1.Т от трех дробей,
рассмотренных в пре. !Ьщ)'щем параграфе
Польз'
1а
от
(7.57),
(7.49) (7.50)
и
(7.53).
а та1·:же
1ем иметь:
1) Точнее, выражается через логарифм, арктангенс и рациональную
функцию.
8*
I
31п I:r
=
I
+ . ;[;'2 + 1 + .
dr
+ 2 arctg :Е + 2
2
IX -
J(х
3.
х+l
1)х(х
.
- -
§ 9.
-
J~~~
2(Х21+ 1) +
J + .I ...)
dx
-2х
-2
--d:r
х
1
111 1Х
+ 1)'
1+ arctg;r -
I
_у) dr
х
11
+ -1
2' х - , d:r =
1Х 1
+-
1Х -
1
+
Метод Остроградекого
J\I.1;. Остроградским ) пре южен остроумный метод Bыдe
лен ту! ршцuо1-tаЛ'Ь1-tоu 'Частu Иt ;тег\ ,ала: т прю;ию,ной рацИt наю,­
ной
;роби Р(:Е)
Анаmпируя ;;ид интеграл;;;;
;етыре>< простейтпих др: бей
.54), можно сделать следующие выво. ты:
1) Интеграю,т
дробей ;;тща I и HI, знаменатели
де! с,+шт двучлен или с: ;у;ветст;е;
кол ры
со-
трехчлен в первой степе; Ш"
яв lяются 1-tершцuо1-tаЛЪ!!ЪtМ,U
(они равны логарифму
аркта;;ге;;с"
2)
Инте; рал от дроСш вида
>
II,
знаменатель которой со. [ержит
степени,':!
1 является щювUЛ'!,1-tо'Ll ршцuо1-tаЛ,!,1-tо'Ll
31-tам! пате уем, рпв1-tЪtМ ПШМУ :J/cr: д !у'Чле1-tу в cmr:ne
1-tU
fJ3)
Интеграл вида
по. [ынтегральная функция которого со-
[ержит в знаменателе трехчлен в степени А, в конечном итоге 2)
рпвr:1-t СУМ,М!
прш;uлъ1-tо ii
си 31-tпм,е1-tП ТЩ '//'(;М"
рав1-tыl'' mO"iY же трех'Чле1-tУ в cmene1-tu
к; Щ к;та1-tге1-tсу u1-tтеграла
Выводы
1), 2), 3)
;'OHst.
u nрuводшцегося
dx
+ ч)'
позволяют закл;(;чить, чему равна рюшо
на. ;,ная часть ;;сего и ;тегра.;а от прю;н
;,ной ЩiJ,би
х
/Q(;r),
котору;;; мы, кроме того, будем считать nесок;ратuм,оП, Пусть
mаменате.
Q(;r) им; г'т ;ШД
Q(x
=
х-Ь 1 )З 1
...
х-
...
?
х- +р ;;Т+Чп
(7.58)
1) l'Лихаил Васильевич Остроградский - русский математик; 1801-1861).
2) С учетом рекуррентной формулы (б.
полученной в конце § 2 гл. 6.
'ТР()ГГА.
пр, i;ил ,ной р, цис н
Тогд,( (,,(цион,(, (,ная часть ин'егр, ,(а
ной Щ с,би
P(;r);Q(x
ре(:"
('умм(
22')
()
ih-
(ра (илы (,ТХ рациона, (,ны
iроб( й, знамею тели которых соответ( твенно р,шны
-1, (:1:2
+! 1:1: + (1
2
, ( :г
Рационаш,ная
ставляет
(;r)/Q
(acТi,
со юй,
(;Т)
интеграла
очевидно,
от
Р(х
праВИЛЬНУ14!
Q
знаменатель
(х
- (:г 2
Q1 СУ) =
... (:гС'
Подсчитш'м
+ Рn'," + qn )А
/Q(;r)
(ред­
рю шональную
дрm\ь
имеет вид
+ Р1:Г + q1)Alрn:г
qn)
1
(7 ..59)
те,"" щ;t;стейши\ др;;беЙ. инт;тра­
Teiieph CYMl\iI'
лы от которых предстаВЛЯ14iТ соСюй нерат~иональные фуню шИ.
И;
) и ;1) iыIекаетT '(то эта сумма
(а прю;ию,ной
рат~иональной дроiш
P2Cy)/Q2(:r)
знаменатель
(:г) которой
равен
мы приходим К следующей формуле, впервые
.В. Остр; граДСi(И\i:
J
,}
иХ
-
(х;
-(-)
j;
+
J
формуле Остроградско; о мно; очлены
Чх) d
п-:-)' ;Т.
(7.6 )
Q1 (.! ) и
(.У) определя-
(;'2(Х
ются ,IЮj!I\ТУiами (7 ..59) и ; 7.60) и могут бiПi, iыI шслеНhI без раз­
ЛО:J/Сf nНОЯ м,'н,uго'ЧЛ(('На (](х) па ПРОНЗ6f ')е'Ние
м,'Ни­
жurnелеU.
В самом деле, в силу результатов
многочлен Q х предстю:л({ет собой
тель (вух многочленов
и
(:г) и может быть вычислен при
!';f;с;щи алгор п\!а Евклида (см. § 4).
J\IHo; очлен
(х), в силу формул (7 ..58),
..59) и .60), пре
ставляет собой частное Q(:r) / (]1 СУ) и может г\Ыть вычислен по­
средствс;',
деления
Q(;r)
на
Q
(х)
<ст(!ЛБШ(f;\f\;.
Остается вычислить мно; очлены Р1 СУ) и Р',!(х). Поскольку
Р1 Х /Q1(;r)
~(;r)/Q2 х (fRЛ({ЮТСЯ ПРЮ;1f (,ны
. многочлен Р1 СУ) естественно задать как мно; очлен снеопределен
НhIМИ коэсl;фициентами степени (а единиц' ниже, (ем Q х,
а Р2 (:г) - как многоч;ен С неопре, (еленными коэффит~иента­
ми стеiiени (а единиц'
ШJJ;е, ';ем Q2 х . д'
исления (а­
занных неопре, (еленных коэффю шентов сле, (ует про, шфферен­
ЦИl;с;вать
ОстрограДСi(С;ГС; (7.6 ), привести ре;ую,тат
шфферею шрования к Оi\щему знаменателю и сопоставить ко­
эффициенты при одинаковых степенях
в числителях.
<j'ИГ! )jj\НИЕ В
\)ет! д
0\ тр!
граде <ого предет( i)<ШГ
интеПjjjрования
прие\<
Q(:r)
с,еобеi
рацИt наm<ной
Jс,бой
бсз
ш()рительно, о разложения зтой iроби не) сумму про\тейших
ijjjjeM
ю
когд()
в основном яв«,яются
ТРУДНZ:Нij)
др! би
Ю рни
И Ш когд() вызывс (т за
наJ<ождеiше
При 1\1 е р.
ВЧЧИС1И'lЪ
----,--:--;:--,---,.,-----:--..,. dx.
+1
IIMeeM
Q(;r) - х 4 - 2;т 3 +
- 2;т
Q'(,y) =
- 612 + 61 - 2.
+ 1~
Ищем Ql (:Е) как наиСюльший Оi\щий iелитель мно, очленов
и Q'(;r). 3аlVН<ТИМ, iТC' iаибс, i~ШИЙ общий де<штеЛh U.me1-t1-tО эrnих
шух многоч«,енов уже най<
в кою i<e
§ .
ieH
нами в примере~ рассмотренном
Он равен
(.у) =
Q2(;r)
:Е
=;Т
2
+ 1.
Х
-
Р; (х) и Р2 (;т) ;адаем как мнс,го шеi i~T iер;ой степ! ни С неопре­
iеленными коэффит~иентами.
ла Осл){'градс <с,го 7.11 при Ш\ ает
6
х4 -
-
-«,-il:
2х 3
+
3х 2
-
2
А! + в
dl
2х
+1
х2 -
х
J
I~ля опре<iеления коэффи jИентов А, В, С,
(7.62). Ilолучим
6-7х-х
А(х -х
х 4 -2х 3 +3х 2 -2х+1
С! + D
х2 -
1
D
Х
1
dl
(7.62)
продифферен jИ­
1)-«lх+В)(2х-l)
(х 2 -х+1)2
+
'х+
(х 2 -х+1)
Результат дифферент~ирования приводим к Оi\щему знаменате-7:у-
=А(:Е 2 - +1)-(А:Е
В)(21-1)+(С:Е
Сравнивая коэффициенты при
:Е
,
и
уравнен и
С=О.
+D-C=-1~
-IIB-D+C=-7~
+ +
=6.
:Е 3 ,
D)(.y2_:r
1).
получим систему
ИНТЕГГlf
10
ни
P()BAl
231
А
РСТР
об1
J
6 -77
х
' - 27:\
+
- 27
+1
+
d:r = ----,----
1
,2
J
----,-_d_!l_::г'
+1
Вычис ;ИВ инт( грал в пр( вой части, оконч( т( ,ьно нi Й ,см
2х
х2
§ 10.
-
+3
2
- 1
Х + 1 + vз агсtg vз + с.
Интегрирование некоторых ирра щональных
1'рансце 1/1,PHTtт
В преДi,ТДУЩИ
ВJiкражеtт
(араграфат мы устаю'(;или, что
JE ::'юй рат~иональной
(теграл
(роби представляет собой элементарную
(астоящем параграфе м(,т рассмотрим 'Нenomopъte
;ipupyeMblx
мы
,;Л(;м,е'Н !!ПРffъсr
(;средст(юм
(;дстюю(;-
ки сводить инте, рал от рассматриваемой функт~ии к интегралу
.
(;т рац!н ;((алы
мы будем
смат}
()тнС!сителы
«азаннС!й
(;дс та(
оворить: что она рат~ионализирует интеграл от рас
;11 (;аемой
функци
Интегрирование некоторых тригонометрических
ВJiкртъжеtт й. Договоримся ВСIОДУ В дальнейшем символом
R(x, у) (;боmачюъ любую раЦИОllалы(' ю функцию (;т двух ар-
1.
ГYMeHТt;;' тУ
у
1).
',;том пункте мы
«циях ("юбой
юкажем интегрируем ость в элементарных
«ции вида
(7.1;3)
N(sin ,cos:r).
(то
t
этой функци
(теграл
рац!н ;((али 1ируетС5(
х
= tg-.
х
2tg sin х = ----=2'-сх;о-:
1+
1 - tg
2t
cos х =
1 + ("
----,х"
1+
2
:Е =
2 агсtg t,
d:r =
х
1
d:
2
2 ,
') Рациональная фуню:ля от двух аргументов опре, еляется следующим
г;БР1'ЗОМ. ]lЛНОГОЧiенг;м п-й Jт,'пени от дв;;х 1'РГУМ"НТГ;В Х И у Нi1зыва,'Т­
ся выражение вк1д Рn
у) = аоо
+ О10Х + ОО1У + а20х2 + аllХУ + а02у2 +
ооnуn. Г,1,е 000.010.001 .... ,ао n - неЮ;10рые ПГ;С10';;;;НЬ11' 'Н1Jла.
циональной функцией от двух аргументов называется отношение вида
(х. y)/Qm(X. у). УД"~ Гn(х, 1;) - ПРГ;l1З;ЮЛЬНТ,;Й ;;г;гг;';ш'н от дв;;'!
тов степени n. ау) - произвольный многочлен от двух аргументов
степени Пl.
.1
R(:,in:r, СО:, :Е) dr
1 - t2
, 1 +t2
)
2 dt
+
Поско;ьку р,:)шою: ;ью)Я функ ШЯ от ра шональной Фунюши
)1:(Д( тавляет собой т,)кж: Р,ЩiЮ: {{:лы:' Ю
)<цию,. то инт: грал.
сгnящий
n
ПрdЛОЙ части ПnСТТРДПРГn РdлеПСТnd, являе'Л.Я инте­
гралом от рат~иональной
П одстановка
= tg
х
'2
fроби.
~
хотя и является универсальнои подста-
Н(:вю:й, раци::нали :ирующей интеграл
приводит к
ромоздким выкладкам.
несю: ).ю: частны
функци
7.63),
част::
связи с этим мы укажем
случае):,
кол :ры
)теграл ::т функци
(7.63) может :"ыть рат~ионализирован с помощью fРУГИХ более
щ ;::сты\
)::дста) ЮВОК.
Пр:·жд:· ВС:Т:: ::тм:·тим.;В,; э:еМ:'нта! ных :войств:: :;::циона:ьн::й
ци;; д;:;;х ';РГ;;М:'нт::в R(H.c'):
1О. Если рациональная функция
не меняет своего значения при
ИЗМ:'не ши зна:;:'
из
н). . е. :'с:и R( -Н,
R: tJ). то :-па рациональная функция может ; :ыть приведена к виду
=
R; (Н .С'). :д:' R 1 :;::циона н,ная функция СВГ:И': :::ух
аргументов. (Эта функция содержит лишь четные степени
20.
при ИЗМ:'не:ши зна ;:: Н ф;;нкция R( Н,
т,:кже ;-:еня:' зна:;.
R(H.c')
R(-Hot')
-R(нot'). ТГ: Г:Н:: ;;р:;:юд:;тся к вид;; R(H,c')
R:(H2 ,
20 сразу вытекает из свойства О. если применить его к функции
R(H.C')/H.
(Свойство
Рассмотрим теперь вопрос о рационализации интеграла от функции
:я нек:торы': ':ас: ны;., С :;;ча:·в.
(7
I.
Пусть
св:й;тв;;
R( ." tJ)
.меняет зна-к; при изменении зна-к;а
J
R(sinx,ci:sx)dx
J
R:(sin x.ci:sx:sinx dx =
J
R 2 :1
Таким оГ;разом, интеграл от функции
t
(7.53)
cos 2 x.cosx)d(co:x).
рационализируется ПО.:.станов
:ОБ Х.
П. Пусть
J
Тог.:.а. согласно
20.
.:алее, фуню:яя R:
: ом;; же свг:й;тв;;
R(sinx,c:sx)dx
JRз(siпх,
,.)
.меняет зна-к; n; и изменении зна-к;а
20.
х) Ci:S Х
R;;
Х.
-
•
SHl
2
т. е. интеграл от функции (7.53) рационализируется ПО.:.становкоЙ
[;;сть. на;;о;""
Ф :нкция R( н.с')
сво;;го
:;Оновре.менно.м иЗ.менении зна-к;ов 'и и
т. е.
R( -", -;.) = R(u,
t = ::i ; Х.
ИНТЕГГlf Р()БАl
10
233
ни
о!тг!
подс !!!!!!в!!о"
'и !о) = R
!о) = R1
с'
R( -1I,
с'
Rr
Но тог, а, согласно свойству
R1
tJ)
U~, -с)
1",
1I
( -,с'
1I
( -,с'
R,
tJ
,2).
1I
R(n, tJ) = R 2
"
Отсюда
J
R(S.i.11 ,cosx)d;J: =
=
JR2 (tg;г,со,2 ;г)dх
J (t х, +
g
R2
tg
2
х
dx
)
=
J (t
R2
dt
;;rctg t,
При I\1 еры.
1
1
=
+t2 '
) Вычислить интеграл 11 =
J 1 + dx'со, , Г,!,е а> О, а # .
ПРИI\1еняя универсальную тригонометрическую подстановку
t =
,
по-
ЛУЧИI\1
2
(а
1 - t2
21ft
= 2 ;;ritg t,
х
1 + t2
+{"
+ 1) + 12(1
;;)
'
2
,lt
а+1
1 + 1 - аt2
+а
Далее нужно от, ельно рассмотреть
с !\iч,!е О
=
11
=
а>
va
(tJ1-+ а) + С = ~a:ctg (J1-+ а
1
+t/
-1
< < , 2)
> .
а
' 1-
;;2
1
а
t g ::')
2
+ с.
1
1
2
) О
1
ha:ctg
1 ;;2
в
11
а
, ва случая:
111
a- 1
_ _,-=а=+=l
/а - 1
+ С = ----::== 111
-tv~
21 l;:ЫЧ!1ГЛ!1ТЬ ИНТiТР;о
J
Si11
Si11 2
Х dx .
Х
+
+с.
ТИРС' '\НИЕ В
ш,лу
шм
I
.
(l!
t
=
3)
I
Вычислить интеГI>а." 1з
.
'~:JП Х' 08 Х
8iп 4
1
---lп
2V2
по. ,становку
I
1;=.
з"аков
t = tg х.
х
(·08Х.
С.
v2
COi~Х
d'
'
co,~;4
Так как по,цынтеграс-тьная функция сохраняет
"",шом J,змеш"""
ICOSX+ V2
шачение при о. ШОВ ре-
го. СOl'ла' ,Ю
,е,цует' ,елат,.
111,
В ре:~ультате полу'шм
I
dt
1
t ' +1 =2".
d(!2)
1
2
.
2
(t 2)2+1 =2"al'ctg(t )+C=2"arctg(tg х)+С.
2. Интегрирование дробно-линейных иррационально­
ст(;И. В этоы пункте ыы докажеы интегрируеыость В элементар­
ных функциях люб, iй фуню '.ИИ BH'f"
R
[де а, Ь, с
ЛОЖИТi'ЪНОi
(х.
n
ах +Ь)
сх
(7.64)
+d
d -
некuгорые fЮС'ГОс; ные. n - л ("1Ое целое по­
ЧИ i ло. Функцию Т,]ЮiГО ВИi\а мы БУ'f i м называть
дроб1-tО-Л'Ll1-tе'U1-tоu ·Llрра:цuо1-tаЛ·Ь1-tос'fn'Ь1О.
Докажем, что интеГl',Ш от функции
\.Ион ]ЛИЗИР\~i тся ПОi\становкой t =
а:"
+Ь
~,
х.
;Т
-
Jax+b\
cx+d)
dx =
С·
(7.64)
V'.'.'Х+
li.
"x+d
ЩШ
(ad - bc)nt n (а - ct n )2
J
(dt n -Ь
a-ct"
о
В "']·1\IOМ
1
d;T = -'--,--------'-----,--,:--
t"
i:
ad -
d ."
t) (ad-bc)ni n - 1 dt.
(a-сtJL)2
Поскольку рациональная I,ункция от рациональной функции
П),i"'т,шляет i iiбой таКЖ i рациональную фуню ,.ию, то интi гl "яЛ.
С'ГОС;ЩИf1
ffpaBoll
'1асТ1'
fюследнего
Гl',]ЛОМ iiT рациональной
iрал
01'
равенства,
Я;iляеТС1
fште­
Тем самыы i\оказ,]но, что инте­
дро; 1fЮ-Лf1неiiной f1ррацио, ;ал .fЮСТР с;
)
рационаЛИЗfi-
+
а:"
Ь
ст +d'
пр
е р. IЗЫЧИСЛfi'Гf. f1нтеграл 1 =
JJ~ ~ : ~?;:r' Сделав
1
ИНТЕГГlf 1 ()ВА!
ни
подсгаНОR, :у
t
-1
;Т
1'2
lt ift
dx
1
(t'
1)
полу lНМ
1
=2
J
l'dt
г
2
+1
J Jta~
iIt - 2
= 2t - 2 ,ш:tg t + С =
1
1 +х - 2arctg V 1 +х + С.
= 2V 1-;"
1-х
3. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
алъ1-tъtАI диффере1-tчиаЛОАI назы ",ают выражен ,е вида
где а и Ь
-
л!! ,бы е постоянные, а показатели степеней т, пир
раЦИOi,алы,
-
ВиНОАIU­
некоторые
числа. Изучи\' ВОllРОС об 1штеl'рч>уе\ ОСТИ в э ,е\\ "тарных
функциях fшномиальных дифференциалов.
ПIН';'К!!' вс',,'го ОТ\!!'ТИМ три СЛУ"iал. когда Иii'Г"Г"ал ОТ б iiЮ\ иаЛЫЮl'О
дифференциала допускает рационали, ШРУ!i'ЩУ!i' по" ,становку.
1о. Первы с,," чаii соот,,;етст,,;', "т челому
Биномиа", ,ны
ренциал
R
пре",ставляет
V'X) dx,
гДi,,' r -
с"б"й
'роfш,,-линейную
ирраЦИiшальность
вк,д
НaIIl\Н'НЬШ',,",,' общее кратно',' знаl\н'наП'",ей рациона',ь­
ных 'iИсел т и п. Стало быть, интеграл от биномиального дифференциала
Э10М
.
"'чае рациона', ,зируеТ'!i llодс;а,ю,и(ой t
(/Х.
m+1
Второй слу"ай соответствует ч;лому
---о Сделав по, ,ста11
н шку Z
m+ 1
= х п И ПОЛО1;ИВ "ля К"аткости - - - - 1 = q, будем иметь
11
(7.65)
но, ;ынтегральная
функ шя
в
прав, 1Й
части
(7.65)
пре, ;ставляет
С, 1б 1Й
иррац юна.ш,ност" в ",а R С" Va + bZ), ,де s - зна;·,!!
натель рационального числа
Таки;\ образом, во
БИiЮ .,'иалью,тЙ ДИф111еIн'нциал рацио-
нали. шруется п щстановю 1Й
t=
30.
va+bz
Vп+ь;n.
;'Л'\чаii ;'оот,,;ет, Т,';'· "т чело.МУ "iислу (т: 1 + р). Под"тн-
тегральная функция в прав 1Й ',асти
линейну!!, иррациональность вц ,а
(7.65)
представляет собой дробно-
------:-(- v"~)
'"
так
что
интеграл
биномиального ДИфil\еIн'юптала ра1птона"изирует, я поДi тановкой вида
t= Va+"bZ
--=
М;
~a
-+.Ь
хп
от
ТИРС' '\НИЕ В
y!,!a!m!1ibl,AIU
['U1iо,мuаЛ'Ь1iЪ!.U
''''!Негр!
Пр
еры,
1
Вычислить
что
rn+
n
(третий елу ,ай). Сделав по"етановку
t = V!a2
1=
+Ь
.1
+
va
Х=---
~'
J(-~t) =-~+C=-
.1 х 5 (1
интеl'l>а'!
1
m+1
11=2,р=-- так "то - - - =
2
11
3
~
:r: +С.
X')-1/2
dT.
В дашю\' сл'\ча" т =
(второй елу ,ай). Сделав по, етановку
dx = _
tdt
Vi -t 2
4. Интегрирование квадратичных иррационаЛЬНО4!тей
посредством ПО,П,становок ЭЙлеl"а. B'iТOM пункте ыы дока­
ж! м интегрир\'! м' !сть в+ "мент!!рных функциях любой Функ­
цн
!fI1да
R СУ,
Vu:r 2 + Ьу + с) ,
(7.66)
Ь и с - нею!т! !рьг постоянные. Фуню шю т!!кого ВИ.'!" будем наЗЫ!fаТh nвадршrn'Ll~t'Ноu ·Llррш!!uо'Нлл'ь'Носmыо. При '-)'Гом
ri\e
+ !ХЕ + с н!
иые­
о треХ'fЛе"а \!ожет
i!blTh
конечно, считагм, что ква'!] '!!тный трехчлен
е'Г paв'ныx !<орне!] (иначе !<орен
'-)1'01
з !,ыенен рациональным выражениеы).
l\lbl докажем, Ч'ГО
н'Геграл
01'
!<ЦИI1
(7.61i)
нсегда рац!ю-
н !лизир\ттся
из так Ha:~ыВ!!,eыыx nO'}"Гn!!'!!O !Оn Э j.!!ep!!.
Сначала рассыотриы случай. когда квадратный трехчлен
а:у2
1)
Ьх
с
\!еет nо,мплеnс'ныe кор!! . IЗ'по:: слу !ае Зlla!< !<!fa-
Паф"" ТИЙ Л "ю,шч Чеб!,Тf1!е,,!
-
В",'Л "!ИЙ русскиij мап матик (1821-
ИНТЕГГlll
UBAl
237
ни
дра1' юго 1'рех lлена сон lадает со :~Ha:o\'
ПОС <О,Ъ ':у по С:
1,lC-
лу 1\1:адра1' 1l,lЙ 1'ре>член (Н: 1<О1'ОрО1 О н:~нле1\ае1'С:: кнадра1' fhTil
корень) поло: "'umеде'Н" то а
TaK11M обраu,' мы ')ее\'
О
C,'l: Л:\Тh сл: ,'l.JЮ П:'l',' 11О;\С1'а-
1Ю1:КГ
+ Ь.!:
ОДС1'анош:у
об1)
лера. Докажем, что
С
+
(7.67)
и.
но наЗЫ1:а::,т первой nодсmшновк;о'Й, 'NJ,ПО и'т:\новка рациона'ШЗЩiует интеграл
l\ЦИН
01'
(7.6Ii) для расс:'а1'риr:ае:cfОlО случая. !ОЗН ,lшая н
обе части равенства ju:r 2 + Ьу + f = t - :rva. П iЛучим
KBa,'lTf:\T
fl:r
с = t2 -
+
2va
t:r. т \К что
Ьс
т
.
=
vaf'
bt + cva
2vat + Ь
-'-----;=0------::---'--
Таким образоы.
J СУ, j ах
R
11раной
,llбь.
J
dx =
R ( t'2 - с
=
IЗ
Ьх с)
2vat +
'lacТf'
под
. va t 2
+ bt + cva) 2
2vat +
зна1<О\'
1штеграла
va t'2 + bt + cva
(Jva t + ь)2
стоит
dt.
рационаш,ная
РIН:СЫОТРИЫ Т1перь Iлучай, Ю;Г'l,а ква'l]II\ТНЫЙ трехчлен ах 2 +
Ь;У
+с
нмее1' неСО1шадающие ве'щесmве'Н'Ные корн
В TI\K Ibl случ \8 ау2 + Ьу +с =
н
П
случае Н1'еграл 01'
ICpe;\CTBOM ПО u'тановки
t
l\ЦИН
= va;r"
Х
;Уl и Х2.
- :Еl)(:Е - .12)' Д IK \жеы. что
(7.6Ii)
+ Ь;" + С
Х
раЦ1юнаЛНЗ1lруется
(7.68)
Ю\ ъrвaeM Iй flбычно вmо] m'l nодсmа'Новк;оЛ Эй !!] а. В самоы ;\е
:Тf~~;~~:~Д~о.~,>,~:~~~~Тр~В~В:С~~~~I\ {~:2:El )~~(~'~чиы ~~fy~ ;~~~ ~
= t2
;Уl). Ta1\ 'lTO
;У
=
{Х,
+ 11t 2
t2 -
а
dx
Ja(Xl - X'2)t d!
(t 2 - а)2
<1'ИГ! !1j\НИЕ В
Так 1М О !раюм,
J СЕ.
ау2 + f!:E + с
R
В
правой
<!!бь.
J
части
При м
d:E =
под
ы.
аТ2
t
t2
+
знаком
2а(!l
!2)t
t2
-а
интеграла
!2)t d/,
(t 2
а
стоит
а!
рациональная
J
Вычислить интеграл - :" + vx'2dx+ х + i .
<!!тный трехчлен
+ + 1 им!!т коыплексные
1)
П !ск !Льку ква<
корн ,сделае\' [1ер !ую подстанон:у Э lлера
t =
J 2 +) +1+ .
y
Возвышая в квадрат обе части равенства
ПОЛУ'fllМ :у2:у
= t2
:У
2tx
х
v:y
Х
2
t - х
1
'Га[! ,[то
1 = t2
С -1
= 1 + 2t' dx
Таким !!бразом,
1= 2
х2
J
1
t'2 + t
dt =
t(l + Jt)2
J[:! + ~ +
1 + Jt
t
(1
С]
dt
+ 2t )<
•
Неощ !!)1!ленные ko'-)ффИЦIГНТЫ А. В и С легко вычисляют­
ся: А
2, В
-3. С -3. Окончательно получим
1 = 2 ln 1t 1- ~2 ln 11
=
+ 2t 1+ 2(3
) +с =
1 + 2t
vх 2 + х: + 1
2 lп 1
:У 1 :2 lп 11
2:У
2 1 + 2;
2)
нсл пъ
н'Геграл
ква<'!] !!тный трехчлен
= -1
!! 1
Эйлера
v2
и :Е2
+ 2V;2 + т + 1)
J-;-:~c;=d=x;;===,
1 =
+v1 -
1 - 2;
2х
С.
ОС:ОЛh:У
- х
имеет в! тттественньг корни
= -1 -V2.
!)\елаем вторую ПОi\становк'i'
.68)
t
=
V1
«««««<
2х
«««««<
;
2
x+1+V2
Во !выш!Я В ква< 1)/!!Т обе ч н:ти равенства
1
что
llMeT1<
1)
V2)
/1 =
2:Е -
t 2 (:y
1
!
2
= t(.! +
, та[!
ИНТЕГГlf
23')
ни
'()BAl
2:[;
1
1= ИНТ('lРНЛ пет
10
11редосга1шяе\с
кnтnро-
ll'Гателю.
IIнтегрированю( квадр~,тичпыIx
5.
другими
способами. Хотя подстановки ЭЙс·,ера вп·гда рационализирсс ют ИНП'грал
от функции
(7.66),
но обычно эти подстановки приво. 'ят к весьма громозс.'с­
КИ\,·ЮЖС\.см
с,ладкам.
этOl'О
на
"ракт \,е
другими спосоfсами интегрирования функции
священ настоящий пункт.
М.Т мож,сс'М lllНiДставить Ф"н ,цию
,,_
часто
сюльзуют, я
с/тим спосоfсам и по­
vaT 2 + !,х + симе, в С' 'iДcc , что У
всюд(( обоз сач'" _.с. у =
собоii мносоч.m
(7.66).
ЧНiДС ,авс·, ·,ес
в ВР .с. "У" МС.Т
(7.66)
Н.(х)/у,
R(x,y)=Rc \)
Г.ссе
(х) и R'2
- некоторые рациональные функции О.'ноЙ переменной.
ПОСКО" .1Сс инте1'ра·, о, R, \)
(в Э.ш·ментар"
Ф""кц,iЯ"), нам до-
R 2 (x)/y.
R 2 \) ·с.'шкно
l\I,.T ссж,сс' зна"М ), что с',С ilС\Ю
рациональной дроби
ставить в виде суммы многочлена
Rз (
Правильн-\ю рационасii.ную
,'вою очеIНiД"
ло i<IITb на сумму простейших дробей. llмея это
ждать с что проблема интегрирования функции
.т "ию инте1'ра ЮС',
ви. су.
(:r)/y
мы
можно
можем
раз
утвер­
СВО.ШТСЯ к вы-шс-
,едующих трех типа
P(:r)
1.
в
\)
1'". •
-
·с.'С 'Ol'оч·,ен.
у
-;---,.,.-- dx,
11.
число.
ш.
J(х' +
IVIT
где
-
и В
некоторые постоянные,
+ ;У) \ d:r, где Мс
+q •у
р:"
натсс раль юе Ч,ii' Ю, Щ .,с,че'с.С q - (~
натуральное
()j -
и q - некоторые постоянные, л -
Nc
> О.
1.11
в а ii·J'лъна-
111
сти.
1.
Для вы шсления
1
Р"НТР сю фор' с ССЛУ для инте1'ра
прежде всего установим рекур-
ra
1т =J~ гдет=Ос
у
Для этого с предполагая, -сТО
,ЮЧНiДс,вом
?
1с проинтегрируем сле. 'У" -щее проверяеiiШК."-'·ТСЮ:
~"C'т
у)' = та­
у
) См. начало § 8.
m
1)
-
2
Ь
:r m
-
1
-у
+ (т - 1)-
:r m
-
у
2
:"
m-l
Бi'РЯ В р;шенстве
=
+ (rn - ),1
71/,а
(7,69) rn = 1,
(769\
_,!
н ,йдем
Ь
1
(770)
~1u
2а
-у
а
llолагая;атем в равенстве (7.69) m = 2 и исполь;уя уже вычисленное .ша­
фор'.лу (7.7{})); наЙ,ii'М
1
3Ь)у
4а 2 ;2;х
1
+ - 2 (3Ь
8а
Про.юлжая аналоги шые рассу;;· ;ения
- 4;;с) 10.
;алее, мы придем к следую ';ей
о; .щеЙ формуле:
(7.71)
l'д"
-1 (х) - некоторы
\;НOl'оч·;ен СП'пени т -1, ас· - н; ,<отора}! ,юсто
янная. Если в интеграле типа 1 Р(х) представляет соfюй МНi;г!)·шен '···сnе­
ни п, то ИНП'грал типа б;·дет рав;.·Н ;'умме ИНП'гралов 10; 11, ... ,1n с неко
торыми постоянными мно;;,;ителями (коэффициентами многочлена P(:r)).
'тало быть.
грала типа
(7.71)
ра;·;енст;·;а
1 сле.'Т"'·ЩУ"'·
J
м;.; о;<ончат;' ;;.но но.']'· ч"м
формулу:
'(х)
~~dx
+С О
= Qn-1
у
J
d,;
(7.72)
-'.
у
в этой формуле Qn-1(X) есть некоторый много·шен степени 11
, а СО некот ;рая ш;стоянная. Для опре.'.еления МНi;г;;·шена Q,.-l(X) и ш;стоянной
испо.·,ьз·, ;'тся метод неоnределенных"·оэффичиеюnо". l\IHOro '.Ш·Н
Qn-1
записывается как многочлен с буквенными коэффициентами
-1
ра ·;енст,ю
ния на у.
(7.72)
и ',мно:;,ка" р; з" льта,
получим
I
P(:r) = Qn- (х)(а:"
2
об; их ·;астях равенства
1
+ Ь:" + с) + -Qn-1
(7.73)
)ах
+ Ь) + Со.
(7.
;'тоят многоч ;ены стеш.·НИ п. Приравнивая
их коэффициенты, полу':ИМ систему п+ линейных уравнений. из которых
онред" ,"ют;"
А о , А 1 , ... ,А n - 1
"0. РаЗI);'ТТТ"МОСТЬ lЮЛ'<Ч;"ШОЙ О\'те\,ы
вытекает и:~ справедливости формулы (7.7)), у,.;.;е дока:~анной нами. Оста­
ет;}! доба,·; ,т,., что
"HTe1'l>a';,
;'ТО"Щ";; В нравой части
к табличному посредством линейной замены переменной
помощи указанной замены интеграл
J
d;;
У
t
dt
I
.
х
Ь
+ -.
2;;
При
с ТО'шосты\· до постоянного мно­
жителя сводится к одному и; сле.'.у""ЩИХ двух интегралов:
или
щ."вод"тс"
(7.
dt
. t
vk'! - t'! = аrсsш k
С
+.
ИНТЕГГlf
P()BAl
(Н72)
V1 + 2х -
241
ни
ви'
х"
дш!нl)' реш", 'н'" ЭГ' фор ,'УЛ" И ус, ножа}! р,,'зультаf
J i + f:r
на
- :r 2 , получим
kx ,(1 Сравнивая ко fффициенты при х
Л\'ЧИ\'
с
х
:r 1 ,
:r O
-3А 2
=
х)
+ Со.
в правой и левой 'fастях, по­
\'иеге М"
5,1" - 2:\1 =
А1
Реттта}! ЭТ
Ао
си,'те",у, най, "М А, =
О,
-Ао=О,
2,1,,+
+ Со
=
-1/3, А 1 = -5/6, А о = -19/6'0 = 4.
(7.74) вычисляем посре,f,СТВОМ замены
Интеграл, стоящий в правой части
1.
t =
ПО'f" ЧИМ
J
J
dx
dt
. t
,
= arCSlll ~12
,:;=;:==;==:::::;;: =
V1+ \:r-x"
{ Iко
.:" + С,= аIСSШ
+С.
fчательно б\'де с ,'
:r 3
Vi +
11.
\:" - :r 2
dx =
(
9
6
5
х-
2) у1 + 2х -
3'
х2
П, реходим к вычис.m "ию и1-tте,'рала типа
интеграл СВО, штся к интегралу типа
1
Покюке с ,
посредством замены
t =
что этот
------::i'
в
самом деле, поскольку
о
ах С
dt
dx = - -
г'
I
.
в
(х-:\)'"
(:\"а + А ,+ c)t"
ft + а
-'-------'-----'-----'----
+ Ь:" + с =
t
Bt"'- d!
dx = -
Займемся' наконец, вычислением U1f\1'сгралс с С"иnа
ВЬ!' Ш\' сим интегра , типа 111 длл "iаст1-tого СЛУ"iал р =
111.
111.
Прежде всего
т. е. ВЬ!' Ш\' СИМ
интеграл
Mx+N
К=
Этот ИНТ1'грал распадается на \'умм',
К1
=
I
АI .
х dc
(х"
ч) V\X"
d,.
+ q)ЛJа:r' + с
i
,шух ИНТ1'гралов
С и К"
I
= N.
dx
--+-q-)-Л-v-=,,=,х=,"=+=", .
К1
=
М2
.1
!1( х'2)
(:r
2
+
и; чег
; видн ;" что п ;дынтегральная фvнкция представляет с ;б;;й
(а ш' ;;;йдра; ич[!"" ю) ирр;)ционалыiOСС;Ъ относип",",;;,но;2 В
ДОК;)З;)'"
ншu J;; 11. ') интеl'р<l'" К ' Р<lциuнаЛИЗИРУlCТlC"l lШД"l<lНОШ(UЙ t = v
Интеl'l>а"'; К, ;;о;,ке; быть за iИса[!
щ;де 1)
J___
К, = N
1
dx
2_)_-_'2_Х-=3===
q~) л у;;r::;;:t
--г (; :r2
( 1 + х-
ИЗ ч;';о ;';идно. ЧТО ;юд;,т;;п';ралы;а); (~')ш;ц;;);
ирраци шальность
; ;тн; ;сительн;; 1! х-.
лизируется подстановкой т =
пша
11;
.
члены nервои с;, еnен;
" инте-
нами рацио;;ализ ;ро;,;ан.
п';)('рь
его
,ал К'2 раци ша-
Jа +;С2 Итак, ,;ЛЯ ';астного сту' ;ая, ког"а у
обоих ква, 'ратных трех' iЛенов
l'l>a';
)'обой лuнеuну)u
Сташ;
ТИ11а
111
в общем СЛУ"iае и ;ю;;аж,'М, что
свести к интегралу изученного выше ';астного ви,а. Если коэф­
l\!Oii;HO
фициент;,! квадратных ,рехчш но;'; ""до;,;ш т;юр);ют соотно;;;ению
Ь
,о "л}[ )'в,"";ден;;','
вида
,i;CTaT;;
;iQТ"Ч
I
.
инп грала типа
ш;; сделать замену
(7.
= пр,
;' ;,т;;;е
час; ;ю; О
В самом ,;еле, п;,и
;т;;м мы
интеl'l>а';""
:" = t -
Е'
2
из)'ченнOl'О
;м
17t
(Mx+N)dx
(х'2
+ ре + q)лJпх'2 + Ье
С
=
+
2Е'
2
/
;\ )
I----~---'-___;========;;= dt.
[t'2
q _ l~ )] л V;;('2 + (с _ П 1; )
2
•
южнее осущ")'твля'"'тся св,";Дение ИНТi'грала типа
111
к интеграт" из"" ';ен
ного выше частного ви;д для слу';ак ког,;д коэффициенты квадратных
треХ'iЛенов
соотношени;"
ча"';а Cii' ;ае;" дроб;юлиш"'йную ;юдста;ю;'iКУ
(7.75).
В этом случае мы сна­
pt + v
1+t •
выбрав пост;;янные
и
v
(7.76)
так ';Тi;бы В полученных квадратных трехчленах
отсутст;;о;;алu "iлены nервои стеnени относuтелъно
к ;е р
,
2
о
ах-
v
выбрат;, мож;ю. В само;" деш'. cДi' ;а;,; за;ч''""
+г х
+
Ьх
+q
+
с
(р
+ гр + q)t 2 + [2pv
t.
ПОЮi;;;ем. ЧТО та
б')де;" и;ч т;,
(7
1v
+ pv + q)
+ bj'"'--_-'-_--'-..:..t'"
+ c)t'2 + 211va
+ b(j' + ,') + ;,]t + (аu'2 + Ьu + ;)
= ';(ар'2
"'"--'" ___
_ _ _"-" _ _-'-_--'-_--'-_ _ _ _--'-
1) ,;;ы С iИтаем" что х
(1
#
о.
+ (;
ИНТЕГГН !()ВА!
243
ни
Таки\<
2/tv
и<п,
ИЗ
0\
те\,ы
+ p(/t
,Н1 <ИВ!]
2q = О,
v)
,ентных
ср
- aq)
-
Ь
и
+ i'(/t
являются корнями ква< ,ратного уравнения
разл ,чrr
ср - Ь,! = о.
,,0Р ,И.
(7.77)
имеет веществен-
это, о достаточ,ю <Ю,1азать. ЧТО Л,СКj<им [[,ант
!ю южит,< ,ен,
т.
е.
достаточ,ю <'1ста,Ю,<1 ,Т"
- bq)(b -
убедиться в том, что неравенство
2(с
(Н.77)
а!'
(ер
<lerKo
=
"]!
Остается доказать, ,,то ква< ,ратное уравнение
этого уравr,еш,«,
+ 2,<
- bq
ар
+ -------'-ные
v)
«ра,<1Ш нии
2(с
Стало быть,
2pva
Ш ра,<1еш т,ю
ар).
(7.7'1,)
эквивалентно следующему
(7.7<'1,)
+
(7.79)
ква< 'ратный трехчлен (х
+ р:" + q)
имеет комплексные к !рни< ТО
(7.79) :~аве<юмо имеет место< если <lас - ь 2
что это ш ра,<1еш т,ю 1<ч>ав,длиrю
случае
q
а'
0<
О и 4yГaCll
> рЬ.
в
'«чае, ,1О1'«'.а 4ас
<
Поэтому< учитывая, ,,то
о. Докаii1ем<
>
Ь
О.
+ aq
--2-
это\<
;?
vcaq,
)(4ас
ь 2 ).
б1' дем иметь
2(с
+ aq)
- bpi'2 ;?
i4vqac -
pbi'2 =
= (4q -1})(4ac)
+ 4 (pvac
!1Jii)'2;? (4q -
в написанной цепочке неравенств имеется хотя бы один знак строгого нера­
,<1еН"Т,<1а
ибо HepBblii зrrак
обращает,<![ в зна,1 = ,иш" Щ<И С = пq, НО ч>и
>,
Щ1, зав,До\ю (pJCi7 - byГci) #
НОЭТОМ1' ВТО
=. Итак, нами доказано неравенство (7.79)<
то1'о, что Ь
= aq,
рой знак;? не обращается в знак
ДО,1азана ,юз\,шкно"т"
р
V,
ч>и
В
!юлуч,<,шых
квадратных трехчленах отсутству'\,т '!лены первой степени относительно
Сделав замен«
(7.
указа,шы <'и
/t
и V, м"т
)Лvаlt'2
г<,,<
,С, И ql -
некоторые по"тоянны,<, а
Hp!ii<1e<"<M
интеl'l>а<, тина
(7.80)
+ сl
F(t) -
t.
111
много '.ш<н "теш ни
F(t)
2i
- 1. Ра<,ложив 1) <,робь (Г «q, )л на сумму простейших< мы сведем вопрос
о вы rислении интеграла
(7)1,0)
к вычислению суммы интегралов вк ,а
и= 1<
) При л
>
1.
л).
Ш,'
iOКiiЗ,'''<
ИНТ' гр, ЛОВ во'х тр,'Х ТIШ JБ
,
с,анOlЮК <:iй ,ера'iOказа!!
ш,'
функциях
инп'п ал о.тно.сится к ти"
III. [о.ско.льку "iЯ него. нар:шено. со.о.тно.шение
,7.75): мы до.лжны "режде всего. сделать замену (7.76). В результате это.й
по'!'!
х
Х
2
,ИМ
+1=
-х
+ +
+
+
1 = (р,2 - f!
1)f 2
---±...!.
1- х'
а:г
+ t\2
+ (JL + //) + 2 =
2:Н
= (1
О,
!
+ (v + // +
2JL// - (JL
J(t 2
(V 2 -
+ 1)
+ //) + 2 =
О.
,// = -1. Таким о.[;разо.м, замена (7.76)
3t 2 +
(1+t)2'
РаСС\iасгринае!,ый ин,<е, рал прини! ает ни
2
+ 2]!
ра \i,ений
+ +
+ t)2'
1
и)
[2f!' - (It
Легко. убедиться в то.м, что. 1) JL =
t - 1
имеет ВИД
t + l' так что.
t =
+
1 + t\2
По.сто.}! шые It и V нахо.ди!< из С ,сге! ы
2JL//
+
2
'JL 2
JL
1 )t" [2JL// (JL V\ 2]t
1)
-'"------'------'-------'---'----------:--"------:-:-сс-'-----'------'----------'-
+
'!
,1+t)lit
j)v Эt2
[1
~,12
2
1'1-\"
t
:Н
(t" +3)v3t"
+[
+ 3/3t 2 + 1
v3t 2 + [, а для вы­
+ ~. в результате по.-
Для вычисления интеграла 11 делаем подстано.вку и =
числения интеграла 12 делаем по.дстано.вку
l' =
)3
лучим
11
=
2
J71;!~
8
=
~ arctg
Fs + с =
1 arctg
1
1
= --111
v+<
~
Vз
2Jб
1) l'vIожно. [;ыш! бы по.ш !жить
1
= --111
2Jб
JL = -1, // = 1.
э
1
fbI
!<;пеи<:
ие;те;рал
;,;
ер; ";'циона"" нш:тей, сте,"
о!
ПРИ;IЫ
калот слеДУi' 'щие интеГрl лы
J
,Г.
(; 81)
гочленов третьей или четвертой степени.
Эти интегралы весьма часто встречаются в приложениях. Отметим сра-
зу
'1ТО ИiП ,""!ралы (; .81) и
тapnЪt,","и фУН'h~'ЦUi!МU.
(7.82),
вообще говоря, не являются элемен-
Оба эти интегра"ш ч;инято называть элл"!!nтu-ч,еС'!!Jvm в п"х слечаях.
когда они не выражаiОТСЯ через элементарные функции, и nсевдоэ ,ЛUП! nU'l.e'"'"Х
CTI"!a}[x.
ко!" !а OiiИ !I.ыра)каю! с,
'!ерез Э.ш"ментаРН1,!е
):-r
BB~ДY важности для щ>илш~ений интегралов, (7
(7
в'; ;ник-
ла неоохоннlOСТЬ состав"",ения тао",иц и графиков 'l;уню;ии, определяемых
li и е такие
аб""ЩI"'
состаШ!ТI, 0'1,",11" тр'д!ю. Поэ! ому !юз !!!!;ла за"'!а'ш о с!!'
дении всех интеграс-тов вида (7.81) и (7
к нескольким типам интегралов"
со!-\' !!,!,ащих по lЮЗ;!О)КНОС'1'Р меньше произноль !!"!х
!"О!! (1' ,И.
ка!, 1'ОНОР,т, о прИi;' дении ин!"е! рало!! (7.81) и (;
r,aHOH'!,"ec"o"!! ,jюрме).
Прежде всего, заметим, что интеграл (7.81) сводится к интегралу [7.82).
само:\! деле, к,бичный тр,"'хч',ен зав,до:\1O имеет хотя бы оц,ин вещественэтими интегралами. При "роизвольных коэффициентах а, Ь" с,
ный корень
а поэтому его можно представить в виде аС"И
Р,Г
li
+ ьс"2 + С;1: +
q).
Сделав подстановку
- ;!:о = ± t 2 мы" как легко видеть, ч;еобра;уем
интеграл (7.81) в (7.82).
Та!,и;" образом, нам доста! о'шо рассмо!
ь
инте1'l>а'; (;
В силу ре";ультатов § 6 многочлен четвертой сте iени можно ра;ложить
на прО1;З!!' дение
шух ю,адратных трех
;Ш !юн С не !!естнен !!"!ми
ентами
+е =
а(е
2
+
+ Р':1: + q').
+
Всегда найдется некоторая линейная или дро;;но-линейная ;ЮД: тановка"
о)каюша, у обоих !:надра!
лав
такул"
подстановку
мы
с
'1'р,'х'нено!!
ТОЧНОСТЫ,,
до
'1
слагаемого"
собой э",;е;11 !!тарн,ю ф,ю:цию, пр,'образу'"'м И!!'1" :рал
;еЮ,1
(; .8')
R(t2) lit
где
!!екотора}[ рационалы:а,
:е-
"редстаВЛЯi"щего
(;
. Да.ш'е
мо;;:но показаТI"
'1ТО при
Лi";:ЫХ ком[;ина!;иях аБСОЛiОТНЫХ ";начений и :~HaKOB поспJЯННЫХ А. lП и lП'
наЙ"i"ТСЯ замена. сводящая интегра'; (;
к так называ,""'мо:\!; ";нон"!! "е­
C'h~OMY
uнтегралу
(7.84;
1 Назнан
1!1
ПрОИСХО'I'"'" О'1! о!о.
ли::ь при решении :~адачи о
'
О !:пер
"рямлении элли
2) Это дока;ывается точно так же, как в
!!СТР'""1'И-
ГЛ.
11).
н КО тор ;м
<
'1)
pe:~
);бо Ш:)'l('Н:) ПОС'1'Шiнна}[, уд)!) ,:ет ;;;ш:ю :й}[ ус,юнию
1,
Л)р::);й к: нонический интегр:)л
с;а!) :}[ю::er
(784)
с точно) ТЫР до )'лага) мого, :)ре
собо:', ')д)'мент:)рную фуш;цию, МОУ)') т б),;'1')' пр' )))')ен
1')'
)-
:е
дующим трем стандартным инт) гр: лам
dz
/
/
Интегралы:
7,85)
1 ,
_у2;
:7,81:)
(О
-k 2 z 2 )
принято Ha:~ЫBaTЬ
нетссгнеш;о 1-го, 2-го
iиуви,':лем
/
dz
+ llZ2) J(l
z 2 dz
)Л,;;Ui n)и ;C;''h~U{){),U иnmсгуала{){),и соот­
:'5-го род:;., Ка)кдый из ЭТ;;Х
i -го
)тало!), ка); ПО)<азано
и 2-го рода содержат только один :)араметр
ма)))щий вещественные :~начения И: интервала О
3-;0
),);)'1';
ПIндстак:яет собой н,еэлемен,m:;.рн,ую ;!уУн,' 'n;ю, Э,':ли:)тиче
ские интегралы
)'е; рал
< k < 1),
рода, кро;;;'
'1'0)'0,
<
<
k
k,
прини­
а элли:)тический
СО!-\' );у)уит пара; "сгр)ю
МОУ) "сг П;
,))-
нимать и ком:)лексные :~начения,
Ле)кан,')р 2) по'шер; и;;; ',';талы (7,8':)
= si11'P (О ('Р (7Г/2),
)аль )ейтпе;'
уПрО ;;ению, сде'<аН
замену
С ПО:\lOщью этой замены первый из инп'гралов С; ,85 У :лреобразуется
к виду
а'Р
k2
Sil,2
:7,86)
'Р
В )'0; 'ой из )шсгегралон С; ,85) при этой за;;;';;е с сго'шос; ью ;о поссго}[ш;ого
множителя );ка:~ывается равным ра,;ности интеграла :7,86) и следу)рщего
инп'г!;ала:
/ /1 ";тало!)
из
: 7,85)
/
k2
Sil,2
'Ра'Р,
П; ,еобразуе; с}[
7,87)
ни)у
l:--:--:-;;-_d-:-"~'-:;=l=_=:k:=;;,2=,;'=,
-:-(
:7,88)
11=((
Интегра,':ы С;
(7,87) и С;
принято называть эллnnm1J,"!'еС'UJvm нн,mеграла{)",и соответственно ·го, 2 го и 3·го '"ода в форме Ле:ж;аnду'а,
;: kоб,';шо !)юкную ро':), н пр ;ложеш)',' И1'l>ают инте1'l>а':),) : 7,86) : 7,8';}
Если считать, что о))а эти интеграла обращаются в нуль :)ри 'Р
=
О, то по­
лучатся две кюлне о:)ределенные функции, которые О),)ЫЧНО о),)означа)))т
симнолами
F(k, (()
E(k,
iеу),а;щро;' и
ма)'еМai иками ИЗу'1)'
ны их свойства, Для них установлен ряд
)'оставлены обширные
таб,,:ю:ы и гра'l;ики,
Наряду с элементарными функциями фунюши Е и
се;;;'[';с;;;о
прочно вошли в
')ас; о используе;:ы;; н а;;ализе, З!-\"сь
раз с; ои;
отметить условность понятия элементарной функпии, Вместе с тем следует
ПО')'1е;,ю)усг)"
'1СГО
за )а'1И
инте1'l>а':) НО)'О
ис )ис :ени"
ю )'С" ИЗУ )ение;' фуш;ций, и;;) )';ти; ,У) М),;Х
;;о!)се
;;е
о) раШ)'1ина
арны;;
1) )Ко:~еф Лиувилль - францу:ский математик ;:;092) Адриан Ыари Лежандр - 'l;ранцузский математик 752- ;:;33),
г
в
8
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
Понятия непрерывной функции и дифференцируемой функ­
ции уже известны нам из глав 4 и 5. В настоящей главе будет
установлен ряд важных свойств проИ"шольных непрерывных и
дифференцируемых функций. Для вывода этих свойств мы вве­
дем нов;;;
жем
да}
опр; деление предельного значения ;I(ункт~ии и дока­
эквив;]леНТНОi ть
ЮlilУ
гл.
этого определения
ст;]рому определению,
4.
Новое определение предельного значения функции
§ 1.
1. Новое определение предельного значения функ­
ции. Его эквивалентность стщюму опредрлению. Пусть,
как и в § 2 гл. 4, функция у = f(x) определею] ю] некотором мно­
жестве {х} и пусть а - некоторая точка [ыть может. и не при­
на,J}I;'жащая J\1ножеству {;т}, Нi. ;.бладаiflщая тем свойством, чт;.
В люiюй с-окрестности точки а имеются точки множеств;] {х}.
Н;шомним старое оnределен'Uе предельного :шачения функ
ЦИИ.lш;деШlое
lЛ. 4: ч'Uсло Ь называетс-я 1Цlедел·ьны.м значен'U-
1М фУН1',;'ЦШl f(x)
тО':'1',;е х = а. (сл'U
nоследовател'Ьност'U
,;Т2, . '"
, . ..
любоu
1',; а
значен'Ui; аргу.мента х,
элементы 1',;оторои отЛ'UЧiiЫ от а, соmn;;етсm;;ующа-я после !о­
вател'Ьност'Ь
;!итс.;#
1',;
)Г2) ...
. .. значен'Uu фУН1',;'Ц'U'U с; 0-
Ь.
Т;'Ш'рh новое оnреде.ленuе nреде.лъного
значенu.,я, Фун'К',цu.u. Число
называетс-я nре; lел'Ьным значе-
ние.М фУН1',;'Ц'U'U
в тОЧ1',;е
есл'U дл-я любого nОЛОЖ'U-
тел'Ьно. о ч'Uсла с найдетс-я nолож'UтеЛ'ьное ч'Uсло (j 1) та1',;ое,
·:.то
1)
всех
(на :.ении аргумеюnа х,
у;lовштвор.i#ЮЩ'UХ н{ра-
Так как (j;авш;ит ОТ Е, ТО иногда ПИШУТ Ь = Ь(Е).
РЫБНЫХ ФУl
ш''Н,{rn,!;/i
а
д. сrч/(],{ /'д/! /!'{;О i//рп,fiеi!стгum
С ч а
\!грани iСНИС О
,ачас1', чтр
рассмаТ1 !Иваются :~начения аргумент;] :Г, OТ}!!,'/J, iHble ОТ}! а
iiграНИi!t'НИf
С1'аiЮШ, гс;"
М;iЯ функция
С1'''Иi
f
MO:JICeТJ/
'Н,е
)то
ИЗУiiас
!i1'O
а, Отсут-
iTiirO iiграНИii,'НИЯ с"'лаJТi i бы Нi'130ЗI!ii)i{ ,bl,i, ОЩ)iД,Лi'НИi
Г(а)
/(,/) -
/(а)
Ю](, з"аiiС,
функции
в точке а.
н и е 2. С логиче! кой точки 'iрения ГJТiшным в
Я шястс;"
что длл iiа:JICдого Е
О найдетсл
отве'!ШЮЩ/'i' это,! У Е 1ИЛО,!ii 'UтеЛЪiше'i'UСЛО д , гаР;iНТИРУЮ ттее
з
м е ч
>
i ЮРСДСЛСl
Пiра", ДЛИ130С1'L
!i 'ра13;
Ij(X) -/! 1< Е
у
ний ар]
Ь+а
- - - - -
-г
- - - - - --
I
Г
а--<>
а
Т13а
ющих неравеш тву
I
Ix
i
I----L---j
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
о
'! '!
для всеХiначе
YI!i'H1'a х УДii'Шi'1'"iiiШ­
a ТJ 8
3
а м е ч
д.
н и е
ПРИВJте­
3.
кая идс,i! iiриБЛl!Жi'i
функ­
цИИ ЛХ) в окрестности точки
с
х
х
HaiiCpi',],
ШН т"ю
Е,
задаl
юй
",ю)ю"
(~'Ii'дую-
щим обраiОМ переформулиро
i'ис.8,1
13а1'Ь
llii,iiiC
дельного
i!fiРi'ДСЛi'i
'iЮiчения
прс-
функции:
ч'Uсло Ь наз'Ываетсл щ/едел'Ьн'Ы.м значен'Uе.М фУН%'ЦIШ f (х) в точ­
%е а, есл'U
любои Hanepe il зшlаннои тОЧifOст'U Е ,,'АО !!!но
Уiiазат'ь ma%Yiii д-о%рестност'ь тОЧii'U а, что длл все т значе­
нии ар,,'умех!та : отл'u'!jiыx от а 'U nр'Uншlле,!!!шщ'Uх у%аЮi!'Нои
д -О!iресmносm'U, ч'Uсло Ь щ!'U6Л'U:JICает значен'Uе фУНii'Ц'U'U f (х) с
точностью Е (рис. 8.1).
Теорема
8.1.
Староеи новое оnре;lелеН'ШI nре;lеЛЪfшго зна­
чен'Uл фУН%'ЦIШ!iiв'Uвалентн'Ы.
Д о к
:~
т е л ь
т в о, 1) П!'сть сначаJТii число Ь является
iiРi'Дi'Л!,l,ЫМ Зllai!t'НИi'М
13
по новому оnределен'Uю.
ДОК;i,жеIl<I, что это же число
J( х)
является преде,!Ьным 'iЮiчением
в точке а и по старому оnределен'Uю. Пусть {х п}
сходятт~а;'f(:;', к чщлу а lЮ(~'IСДО13а1'СЛLllii!"l'"
-
любая
Зllai!t'НИЙ аргумснта,
все элементы которой от,!Ичны от а. Тре[>уется дока'i;iТЬ, что со­
iiТ13,'ГС1'''у,!iтттая ПО(~'IiДО13а1'i'ЛLlliil
сходится К чис
{Г(х n )} ЗllaiiСНИЙ функции
Фиксируем любое Е
>
О. Согл ясно новому
) Старое опреде iеш,е преде'i!,НО,'О зна',ени/, ф!Ш;ЦИ!' назьшают так)ке
- ofJpe-
ОfJределением fJредельного :~начения iЮ Гейне, а новое определение
делением ЩiедеЛЬНi!Гi! :~начения по Кi!ШИ,
24 i )
iЮРС,i('ЛСi l(ю пр(
Д«(1'СЯ
iC,iblli(rO
О 1'а,лс, чт(\
6
т;] :г,lЯ которых О
зна(i"НИЯ функции,
(:г)
< I:J: -
Ь
с
<
аl
6
ilC(
;Т( ';го с наП­
З}iачс}
ар! УI
Т],К К;]К ПОСiе,
:г п } со,
к ·шс
1'0
указа}
·шс
дется HOJ\Iep
такой, что О
I:T;. - а!
6 при
бы1'Ь, 1 (:г п )
ь
;;и n
N, а э1'о и
iача, l' со,
Пi;сшдовательности {Г(Х п )} к ЧИ(~'Iу Ь.
2) Пус1'Ь 1'fлерь 'Ш(~'IО Ь Я;lЛЯ(
iiрсдел .}еЬЕ} З} ач(·;
<
наП­
<
'т]:1О
;1ОС1'Ь
1(х)
в точке а по старомц оnределе'Ншо.
i,окажем, что это же чис­
ло Ь ?ll3Л ';"1'СЯ ;"дел' "ы'" зна;I"НИ(
13
и ПО 'Новому
оnр; ;1;л;'Н'Uю. Предположим, что это не так. Тогда для 'Нi'}иmо­
рого положительног(; чи,ла
'Не 'Ншuдетсл гарантируюп~ег(; по­
ложительного числа 6; ука';;шного в новом определении, т. е. для
этол;
длл СllОЛ'Ь угод'Но .мало.;О nолож'Uтел'Ь'Но.;О 6 наПДСТС?1
Ix -;;1
хотя бы одно значение аргумента х таю;(', что О
11
I;;?c.
6,
Нi;
в силу п\:;]:~анного мы можем в';ять последовательность
1/n (n
мент;] 6;.
= 1,2.
1/0
. .. )
УТ13"I;;I<да1'Ь
ДЛ?1 каждого СС lЛенайдет, я хотя бы одно ';ю]чение ;]ргумента 'п
1
Левое и:~ HepaBeНi тв
сходится
к
(8.1)
числу
и
1 (х п )
Нi;
n
- Ь
1;;?
с.
(8.1 )
о:~начает, что по, ледов;]тельность {х n.}
с(;стоит
из
элементов
отличных
(;т
а.
Но тогда согласно ст;]рому определению предельного ';ю]чения
фу} КЦli
,
СООТ13СТС;
ilYi' ;тттая
НОС
ПрО1'l
i\i;РСЧl;С
д( ;,lазьша,
(х п )
}1О(~'IСДО13а1'СЛЬШ ;сте.
ний функ щи сходится к чи(~т
из нсра;;сш:1';;
1) ,лра13еДЛli
'1'
зна;i'
а этому противоречит правое
ДЛ?1 ш (Х
n. (;ЛУ;iСН-
Т( ·(;рс;;}у.
ОЩJiдеш'НШ
KЦl!
ПОЗ130Л?;-
ет ю]м сформулироваты1еnрерыыmосmuu
Фuн'К',цuu в 1поч'К',е х
=
= а 1).
Фую>:v,uл
(х) 'Называетсл 'Неnре­
рыв'Ной в точке х
а, есл'U длл l.юбого nОЛО,1 1 ;'Umел!;'Ного·!'Uсла с
'Ншuдетсл nолож'Uтел'Ь'Ное ч'Uсло 6 такое, что длл всех з'Наче­
'Ни';; щ!гуме'Нта х. удовлетворлющ'Uх 'Не/юве'Нству
Ix - al
6
справе; Iл'Uво 'Нераве'Нство
1
(х)
Г( а)
1
С.
(8.2)
3
м е ч
н и е 4. В этом определении нет необходимо
сти накладывать (;гранич('НИi
ибо при х = а левая
ч ]сть нер шенств;] (8.2) о[>р;].щ;].ется в нуль и нер;шенство (8.2)
Ix - al,
за;;, д(
1
;;,10
,лра13СДЛl i
Конечно, !1рИ этом пред юлагается, что Фунюшя У =
и в ;'а"юй точке а.
определена
РЫБНЫХ ФУl
По аН<LЮlИИ с 13ЫlЮЖСl
i!'ЛСНИС пр,
,;C,lblIOrO
з
la'l!
,ЫМ
Ю130, ,юрс-
НИЯ
,};аЗLша, 1'СЯ экш
,ja
лентность этого определения ст;ярому определению и
j;o;;la одно ил!!
'Ч,'/},сла
и Ь оБРПii!пmrnся fi
ил!!
НИЧИJ\1СЯ тем, что сфОРМi.'лируем новое опре,lе,lение пре, ,е,ъного
значсния
КЦi'
СЛУ;lа;;, KOl' ;а
+OO~
Ь H,[;3Ъt;i(],~
ется nреаелы-tЪt,Лi знач,е'Н'Uе,мНх) nри х -+ +00, есл'U аля Л1Обо­
,JO nОЛО:JIC'UтеЛ!;НО,JО'i'Uсла Е наи; lemc;! nОЛО:JIC'Uтелъное'i'UСЛО А
тШiое, что для всех знач,е'Н'Uu аргумента
неравгнствц х
Рисуш;;
S,2
> А,
удовлетворяющ'U!
сnраведл'Uво u('paeeiicmBO
разъяп
указа;
Ю!
I < Е,
Ij(x) -
!;ПРСД!\'Ii';
у
о
А
Рис,
заключ!
,;
вого ПРСДСЛLН
х
8,2
Н;
nfювого и ле-
КЩ'
1'О;lЮ а: ч'Uсло Ь на-
3bf.eaemc;! правым (левЪtм) nределъ'ныl;i з'Начен'Uем ф{f'НК:'Ц'U'U
j
в точ,к:е а, есл'U для любого nОЛО:JIC'UтеЛ'ЬНО,JО ч'Uсла Е 'Найдется
nОЛО:JIC'Uтелъное'i'UСЛО
<е'Нии
manoe.'imo
та х, удовлетворя1ОЩ'UХ 'Нераве'Нству
;i), сnраведл'Uво i!epaeeiicmBO If(x) -
<
Доказатсл,,;Jl'130 ЭКШiijалс;,тш;; ти
х - а
Е,
<
(j (О
;т!;го ОllРСД!'ЛСНИЯ
ap,JYMeHа - х
; тар!;;';у
определению правого (левого) предельного :~начения совершен­
но а;;аЛОГi;Ч;Ю д!;};аза1'СЛLС1';jУ 1'СОр!'М',;
8.1.
2. Необходимое и достаточное условие существования
пррделрното значрния <I}йнпции (критерий Коши). ПОЛL­
~!уясь ЭКВИВ;iлентностью ст;ярого И нового определений предель­
ного значсния фУНЮlJ1И установим Нi'!;бходимо! И достаточно!
условие суттте; твования у фi.'НКТЦIИ j
предельного ~!H iчения в
Б цд('
ювор'UтЪ,'iто ф{f'НК:'Ц'U(! j (х) удовле~
твОf!яет в тo~ц;e х = а услов'UJ!! КОШ'U, есл'U для любого nоло­
~!f{'Uтелъ'Ного ч'Uсла Е 'На'йдется поло !f{'Uтелъ'Ное'i'UСЛО
так:ое,
'imo, к:ак:овы бы 'Ни был'U два!наче'Н'ш! ap,JYj;ieHma х'
'U
х", У; loe~
al
ЛiПUiO i iЛ'ЮЩ U~ 'Н,еfiШ {"Н"
соопи {'rnспи УЮ'Щii,:г 3'Н, IчеНii';!
д. дiЛ
iiiРiшеiiсrru о
Теоремп, 8.
(
ТJ],О20'irnобъt фУ'Н,Кii,'/},Л
(:г) '/kЛ4елп Kmji'iHOi nред ; {/Ь'Н,О; !'Н,[!,чеii ij,e
rnочке:г = а,
необхоб'имо Ll (jосrnаrnОЧi-lд '!rnобы фУНК'ЦLlЯ
удО6леrn60рлла
6fто'й точке УСЛО6'Uf ii КОШ'U.
о К а
т е л ь
т в о.
Н е о б х о д и м о с т ь. ПУСТЬ
f
I
сущсствует ЮiНеЧНОi прсдельНi ,С значснис
Ь. Дока-
lil11
х-+а
. ')1'0 функция
(х) УДОШIi'ТIЮР;'ii'Т
Коши. Во'ъмем проИ'шольное Е
НИ!" прсдеЛЫIОГО Зf!аЧi"
> О.
Х =
13
а УСЛiЩИ!i'
Сог,)асно новому определе
КЦfi
для
')И(~'Iа
Е/2 найдется положительное число д такое, что, каковы бы ни
были зна i ), 'ния ар!у" ('нта х'
х" уд, ,,;леТ;;i ,ряюп~Иi Н, 'ра;;, 'н-
- al <
<
ств 1,М О
Зllai),'НИЙ
If
KЦf,
< Е/2.
',ОДfЛ
< Ix" -
,О
1
1
,для соответствующих
'pa13i""T13a
ca;"fblM
=а
2)
Е/2,
из 1fi,fЛi'ДНИ ii, Н, 'ра;;, 'нст;; ПОЛУi)
[Л:г')
- Ь] - [Л:г") - Ь] :::;:
(х') - Ь
1
Тс;"
bl
1
Так как модуъ суммы двух величин не превос
су; ЕН,I f,X ;,юдулей,
Ij(x') - Л:г")
<
аl
п!ра;;i'ДЛИ13Ы
доказаf 10
1
+ lJ(x")
- ь
1
чтi, функция
,,'(~'Iовию Коши.
До ст а
ч
Пусть функция Г(х) УДО13Лi'Т130Р;, ('т
13 ТОЧКi Х = УfЛiЩИ,i' !\i'ШИ. I"',fia)Kc;,,f, что фУf КЦf!;,! f(x) ;,'fCC'!
предельное '!Нi1чение в точке х = а. П",сть {Xi~} - любая сходя­
тттаяся к
по(~'Ii'до13ателыliff Т" Зllai)СНИЙ ap!y;"fcHTa, Ш'i
х n которой отличны от а. В силу старого определения преде,ъ
ного знаifi'НИЯ функции Дi,f татоо)но доказа!
", ')1'0 COi,T13i'TCT;;y,,!-
щая ПО(~'Iедовательность {!
} '!Нi1чений функции сходится к
Нi'KOTOP0J'\<IY ЧИ(~'IУ Ь. причем это число Ь одно 'U то же для вссх
СХОДЯП~ИХfЯ К а ПОfлеДОВi1тельностей {х n } таких, что Х" '" а.
Дi,fiажс;,,,
,ачала
С'годи.мостъ
л,,!бой
ЮСТf,
> О.
Во'ъмем то положисо!лаСНi',
П" сть :~аДiШО nрО'U!60Л'ЬНО!' Е
Чf СЛО д, котор, '" со' ,т13, тст;;у,
.
Т, льнi '"
,
1fi,Л!,ЗУЯfЪ',ОДf
выберем для этого
О
;"ЮСfЪ,i'
номер
fю(~'Iсдо13атслыli ,сти
такой, что
< Ix, - al <
при
~
При 5Т, 'м для любого натураЛЬНОГi, р
О
< Ix n +p
-
al < д
N.
,2 .... ) и подавНi,
при
n
~
Последние два неравенства в силу ,,'сювия Коши приводят К
нерiшенству
If
- f(xn)1 <
Е при
n
~
N
т. е. дока!ЫВi1ЮТ
РЫБНЫХ фу;
1'epl""
Ко,
для ш',слс
ЮС1'l' 1',
'fI'I',PI'l"bl
{f(:T n } сходится к некотором,; числу Ь
Ш',СЛI'-
дов ]тельность
ЧТf\ 'iCI Ш"СЛ'Д"'iаТI л ,lЮС1'l'
ветствующие
всеВО'1J\ЮЖНЫJ\1
СХОIЯЩИМСЯ
к
а
{fCT n )},
соо1'­
последов ]тельно
i :г n f !{,меюrni!!Оrn же пред, Ь
ПУС1'L {х n
{x~} - любые Дill ""од) тттl'сся К а Ш,СШД' "ia-
С1'ЯIl
тельности :~начений аргумент!], все элементы которых отличны
"т а. В силу доказаННОГ1' вышI 1,6, последовательности {f(x n }
И {f(x~ } сходятся. ОБОlЮ]ЧИМ предел первой Иl этих ПО(~'Iедо13а1'СЛLШ!! ТI'Й
Ь, а
- ЧI рсз Ь'.
'11'0 Ь = Ь'.
Р ]ссмотрим сходящуюся К а ПО(~'Iедовательно; ть
,
"
Х, 'Х n '
Хl,Хl,Х2,Х2,'"
В;И
дока ,анного выше соответств,; ющ ]я по; ледов!]тельность
З11а'!i 11ИЙ
КЦl'
является сходящеЙся. Но тогда в силу п.
§ 4 гл. 3
все nодnосл,
-
доватеЛЫ-lости это';; nоследоватеЛЫ-lости, в том числ, {f(x n }
И {! CГ~ }, cxoJ'!mC!! 'J',; одному и тому;}ю nредiЛУ, т. е. Ь = Ь'.
Теорем!] 8.2 дока l!ша.
АllаЛОГl,
ю
У(~'IOlшс Ко}
у; та11а}lЛИ13ае1';'я
нео<;ходимое и до; таточное условие существов!шия предельного
значения функции
при х ---+ +00 и при х
чимся формулировк!],ми для случая х ---+ +00.
---+ -00.
(iграни­
fiyaeM юворит'ь, что фУН'J',;V,UЛ f (х) удовлетворлет при х
+Х! условию
ла
G
если '}Лl! любо,JО nоло,!/{иmеЛЪiшго чис-
ншuдетсл nоложител'ьное число А ma'J',;oe, что длл
значении аргУ}Аента х' и х", nревосхоЛ!щих А, справедли-
во не/ювенство I Г(х') В полной аю]логии
I
с.
теоремой
8.2
док!]:~ывается ;ледующее
утверждение: дЛl! того'!тобъt
f(x) имела 'J',;ohe'!.'I-tОе
Щiедел'Ьное значение щ!и х
+00, необходимо и достаточно,
'!тобы она удовЛtтвор"!ла при х
§ 2.
---+ +00
условию lГоши.
Локальная ОГI?аниченность <I}ункции, имеющей
прелельное значение
;,'111' 'liiCC1'ila 13еП~СС1'ill 11ных чисел огр!шиченного сверху (сни:~у) ) введем понятие
фун!!'Ции, ог/юниченнои на данно.м .множестве cBe/ixy (снизу).
0'71 e{ffeJle1-/,U,е 1. ФУН'J',;'ЦШI f
наiывштс!! о г р а н и
нн о
С в е
х у (с н и з у) на .лmожестве х , если найдетсл
ПОЛl Юi
1)
См.
1 ПЮ1'ill 1'; ТШ,
5§1
гл.
2.
с ОПР''Дi\Т''
[()К,\
2
тnа \ое
шищи:rru !ин
Hi!ii nnгn,менrnп :г
~
1
(:г)
iVI
ЭТОf'
ЪнАЯ
f.Oe
fИН
Чf[,(;ЛО
'fнею
ч
[ито
8iШ'f'
fiieT
\[,З МНОЖ'
U!Рfшеiа:rru О
н\я,:~ы;ае1'!и\,
\Ы" функции 1(х) \а [,iШ'1iiСС1'i;С {г}
Оnределенuе 2. ФУi, \<'U,ил
(:г) if.(],8bl! nen fЛ
обе'Uх сторон 'UЛ'U 1Цюсто о
а н 'U ч е н
стве {г}, !СЛ'U она ограН'U'iена на этом МНОЖiстве
'U
сверху,
сн'Uзу, т, е, есл'U найдутсл тшх;'Uе вещественные ч'Uсла
m
'U
'U М,
'imO длл всех значеiШU аргумента :г 'UЗ мно !нества {х} сnра
ведл'Uвы неравенства m :::;: (х)
Таким обра'ЮJ'l1, огр\шиченность ф< нктцIИ 1(1) Юi множестве
1
х
озна'fа\
О1ра}
iiЧ\"
ЮС1'L
мш,"Н'С1';а
зна-
чений этой ф<'нк IИи,
1
При м еры,
) Функция 1(х) = secx = cos
Юi полу! егмен
1'С [О,п/2) С13Ср"у ш \,граНИ'u'lla, а снизу ограНИ'f"lla (13 Ka'fC!T13\
нижней гр\ши может быть в'!ято лю[)ое чисто
m
),
2) Функция [ирихле') ограничеЮi с о[;еих сторон на лю! 'ом
ссгмснт\
Ь] В качсстве нижнсй грани можно взять ЛI)бо\ число m
О, а в качестве верхней гр\ши лю[)ое число М ;? 1),
Теорема 8.3. Есл'U ф{fНК:'ЦШ!
имеет к:онечное nре
дел'ьное значен'Uе в тОЧiiе х = а, то существует неiiотО/iал
1
ок:рестностъ точк:'U а 2), таК:Шi'iто
BCi'X ЗНШ'iен'Uu аргуента 'Uз ук:азанноu80к:рестност'U ф{fНК:'ЦШ! ЛХ) ограН'U'iена 3),
о к a:~
т е л ь
т в о, Пусть Ь = lil11 ЛХ "
'огласно
х--+а
Оff,UД'ЛСНИ\"
1'Oly,ro
Зifач\"
KT~ii
,ДЛ)i
ПШIО)КИ1'СЛLШ 'го Чiiiла с iайдс1'!Я ПШIО)КИ1'СЛLШ"
такое, что
11
< с,
как только О
-с<1(х)<Ь+с, как только а-
< Ix - al < или
< <а+ ихора,
нско-
'fИ(~'IО
8
(8,3)
Если '!Юiчение х = а н' входшn в областъ оnр' JЛiН'Шi функ:­
'Ции, то теорем!) ДOKa:~aHa (ибо неравеШ:ТВ!i (8,3) о !начают, что
длл все т Зlla'u'НИЙ aprY;U'iira х из 8-0КР"С1'iЮС1'ii 1'0 fКИ а Зlla'f'
ния функции (х) '!!iключены между - с и Ь
с),
Если же ФУНЮiИя 1(х) оnр' ,iелена 'U nри х = а и принима-
+
1
С1'
1'О'fЮ
а
'''''!/\,рос зна'fСНИС Г(а), 1'0
о
!! ;111,' '<ией Дирn,хле назьшаеi С!!
обозна fИ13 Ч''lК'З m
раина!!
це для всех рационас'IЬНЫХ ,шачений аргумента и нут,' для всех иррацио­
нальных :~начений аргумента,
2 На\ЮМНЮ\I, что б-оr,рест11,остью то"!,'" а называется интерва'\ (а а
ее
> О,
Ыы не искточаем случая, когда функция у
=
Ла;) :шдана на некотором
множестве {с}, не за\i',ЛНЯ10щем СПЛОШЬ никакой д-окрестности точки а,
fаИ()t tЛЬШЕОЕО
pafCHCi P
\tCHf<t
двух
Ч
СЛЕОдУ1' illlИ(' НЕОр ШЕОн<тва<
~M,
llоследние неравенства означают tfTO ф\<t 1<ЦИЯ
огра1lИ t 1е
------~~г--------~.
а-Б
ремо!", 8.;\,
юще
а+Б
на
х
ВСIОДУ
в
(l-окрестности
точ­
ки а. Теоре\ а доказа1 а. Иллюстрацией к теореме 8.3 может
С1УЖИТЬ рис. 8.3.
3 а м е а и е. СВOI',С1ВО
Рис 8.3
функции <устанавливаемое тео1азывают ЛО1\Дj//Ы-lOU огра1-l:Ll~lе1-l1-tост'Ь10 Фу1-t1\,V;Llи, иJ,ле­
njiедiл!,l,,«
Следствuе uз теоремы 8.3. ЕСЛ'Ll фу1-t1\,'Ци,я
pъt.6ifД 6 тОЧ1\,е х
а ! то эта фУif.1\,'!J,ия
,,,иа
6i'ex
::1-tа~lе1-t'LlU аргумента и:: не1\,оторои д-О1\,рестности mO~l1\,U а.
(Непрерывнаif в точке :1: = а фУНКЦИif имеет в этой точке ко-
=
1е'1 lOе
редею 110е значеН<1е).
§ 3.
Теорема об устойчивости знака непрерывной
функции
. Если фУif1\,'!J,ия
TeopffMa
и ест!
f(a) i-
f
Шnjiеjiъt.61-1Л 6 ти','< х
=
а
О, то сущест:.ует та1\,а,я д 01\,рестность mO~l1\,U а,
'!то д<,fЯ 6i'ex ЗifДче1-tиfi !!ргумент!! из
фу1-t1\,'Ц'Ll,я (х) не обращаетс,я 6 1-tУЛЬ 'Ll иJ,леет зна1\" со ,пшiаЮЩ'LlU
со ЗifДituМ Ла).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
в точке а< то существует liш
Так как функция не! рерывна
f(x
= Ь причем Ь =
f(a)
х---+а
i-
О.
СоглаС110 lOEO\fY опреде1е1lИЮ предею,ного З1 а fе1lИЯ фУНКЦИi1,
Д lЯ любого с
О найдется д
О такое, Чf о
>
Ь
>
Ь
с
+ с,
KaKfO<lЬKO 1 а
д
х
а
+ д.
(8.4)
Возьмем в качестве Е положительное число. удовлетворю' Нllее
<
требованию Е
+
1
1,
При таком выборе Е все три ЧИС1а Ь
-
Е
Ь
Ь бiДУТ оу?ного:на1\,а. Стало быть<
си<
всюду в
(1-0крестности точки а фУНЮf,Иif
(х) сохраннет знак чис а Ь
=
=
f(a).
Теорема ДOl<азана. ИЛЛЮСfраЦffей к теореме
стrужить рис.
1)
:-:;.4
ilQJffef
8.4.
При этом нет необходимости исключать значение х = а, ибо ДЛЯ непре­
рывш.й функции
HepaB<'H,tTB
.fCr),"a'ie
ше
.f(a)
=
Ь такж<' удовлеТВОР(tет леВЬНi из
ПГ(>Хi !!i('iEHIiE
т ЕО
Р
М ЕО
функцt1
t!Шr r"t!ит;'
!·tСЛ!i
ОЛУО1\,рес
тО'Ч,1\,'Ll :1: =
;ИНОЙ :! iЧКЕО
НЕОкот()Д!iГ()ВОРИМ
!Я Ha:~ЫB ;ть ШШУСЕОtМЕОНТ а., а+б)
ои
8.4.
t(·пр; рьп
СП! и6и (СЛi6U) Пусть
Р!С!'
255
iЕПГ :ГЫВН<.>И
а-
n
ностъ1О
а, а полусетмент (а -
<5, а]
60Й
n
луо
Р
т
ъ 10 тО'Ч,1\,'Ll х = а, И\lееt \!есто
с
х
следующее утверждение: iс.ш
I (х)
непреРЫ6на 6mO~l1\,e х = а сnра6а
(сле6а) и если I( а
О, то нuйдется
(Лi6UЯ) nuлуm;репnifQi т ти !.-
'#
=
Рис,
8.4
1\,и х
аmа1\,а,я, 'Ч,mо дл,я 6сет ::на~lен'LИ'l аргу,ллента из У1\,а :анной
nолуm;репnнопnu
не обращается 6UУЛ'Ь и и.А/еет
::на1\" СО6nада1О'щий со ::на1\,О,ЛЛ
Доказательство ЭТОi 'о утвержденш! почти дословно ПОВТОРZlет
доказательство [еоремы 8.4, только вместо правых неравенс; в
I
<а+
(8.4) мы ПОiУЧИМ неравенства а ~
а -
<х
~ а),
Прохождение непрерывной функции через любое
§ 4.
проме>Ш<УТ!fЧН!fе iсчачечи!'
Прохождение непрерывной 71?ункции через
1.
нуль
ЗНffКОВ.
5. Пуст'ь фУЮf.'Ция I(x) неnреРЫ6наиа "ег.\/еюnе
[а, Ь] 'Ll пус !:Ъ ::на~lе1-l'Ll,я этой фУН1\,'ЦШl на 1\,он'Цах сегмента I(a)
и I(lJ) сут!! '!.lt!'.ia l'U3i!blX 3 fuif06, TUf'da 6нутри "ег.А!!ита [а,
найдетс,я та1\,а,я тО'Ч,1\,а (:на'Ч,ение фУН1\,'ЦШl
1\,оторой ра6НО
Uу.iЮ.
Д О К а з а
е
с т в о. Ради о; ределенност
<
i предпо
ЮЖИ\I,
что I( а)
О, Л Ь
О, Рассмотрим множество {х} 6CiX
Н'LlЙ Х 'Ll:: сегмента [а, Ь] ;ул,я 1\,OmOPfi!X (х) < О. Это \fHO"tfeCtBo
имеет хотя бы ОДi!Нше\lенt
= а (! бо I(a) < О, ограН'Ll~lено
C6iPXY например. значением х = lI).
СоглаСiЮ теореме 2.1
Мiюжества {х}
у
существует
точна,!
верхНfШ
грань,
ко-
ТОI)\'Ю \ыI обозначи\' через (
Прежде Bcei'O. заметим, что точка
ЯВ.iяется 6нутренней точкой сегмента
[а
1
f.JJ)
t (а)
ибо IП непрерывности Фунющи
<
а с. еГ\lенте [а, Ь] и из \'СЮВИЙ
О.
теореме
праваZl
(Ь)
8.4
>
о в силу замечаниZl
вытекае;
ПОiуокрестность
в пределах которой
I
что
точки
<
аt1дется
х
=
а,
О. и лева,!
Рис.
8.5
п,
тно, ть
,f\'m<pEO,
f<ажЕОМ Т('!
ТСОРЕОМЕО
н пред;
> О,
в ПРЕОДЕО [1Х
,Лf1 бы эт() i)ыло Н('
'fTO
< +
<
ДоТО т!
fC1f<
нашла(ь Т)Ы (1-0КРЕО(ТНО(ТЬ ~ ~
точки~,
'I>:оторm!
fjj\лела бы оnреd;!НЛ'!f
Но это НЕОВО:~lVюжно,
JUТСНИЮ т' ,чН()й ВСРХНЕОЙ грани,
"'Т!Я Х!!fЯJНО Зf
fИЕО
и! ПО, ffC(;cr!f,,:HTC1 ~!5
~
84
~ ~ такое, '{то
х < ~
+
( <
(х)
<
О, а д-тя -тюбото значения х И3 интервала
О.
= О. Теорема доказана.
f
1(7);?
Ишюстрацией
feope\fe 8.5 может с
рис. 7';.5.
2. Прохождение непрерывной ;I,ункции через любое
пГ#z!мр!н<уточпор
ЗНffч!'нт!е,
f
Теоре.ма 8.6. Пуст'Ь
(х )ifеnjiеjiынлifаa сег,/;t.еf f
т; lа,ы1' nji1l'f'M (а) =
= В. Пупn da,fee С - ,fЮfiп'
~LUсло, !!а'х:ЛЮ~lен:н,ое .flлеЖfJу
и
. Тогу/а на сегменте [а, Ь] наидеmся тo~'x:!!, ~ тш;дя, '!то ЛО = С.
Д о к а з а
е
ь с т в о. Следует расс\ютреть лишь С,fучай
КО1'Да А
в и ко; да С не совпадает ни с одним IП чисел А и В.
П!стъ ради опреде,fенности А
В, А
В. Рассмотрим
функт~ию <р(х) =
С. Эта ФУНЮfЩJ непрерывна на сегмен­
те [а, Ь] (f<af< раЗfЮСТ!, fепреРJР: ЫХ функциr'\) и РИНЮ,fает а
#
f
<
-
<
концах этого сегмента значениZl ра JНЫX знаков
<р(а) =
(а)
По теореме
!i(~) = Л~)
5,
-
С = А
-
С
< О,
= ЛЬ
-
с = в
-
с
О.
8.5 внутри cefMeHTa [а, Ь] найдетсZl точка ~ TaKa,J, что
= О. Стало быть, (() = С. Теорема дor<азана.
Ограпич!'нН!!стт, фуппции,
на сегменте
TeopffMa
7 (первая mffпре,мд ВеuеРШ'f ZРШffД). В,
неnрер,,;;,на на сегменте [а, Ь ],mо она oгpaHu~eHa
ФУН'х:V;Ll,я
f(x)
иа
('ег,/;!'и7nе.
это,/;!
Д о
а з а т е л
с т в о.
Дor<ажем, что
f<ЦИЯ
о; 'раничена сверху на сегменте [а, Ь] (ограниченность С'tLUЗУ до­
казываетсZl совершенно аналогично).
ЮЛО7ffИМ
jЮТJ!Еfюе,
.
е. ДОfryСТJf
,'fTO
[е является
Оf'раниченной сверху на cel'MeHTe [а, Ь].
Тогда ДfЯ любого
[атура,ъного 'fИсла
n (n = 1 2, ... ",
СН хот,} бы одна точка х п IП cel'MeHTa [а, Ь такан, что f(x n )
(иначе
бы. а бы Оfраничена сверх! на cefMeHTe [а, Ь ]).
>n
Таким образом, существует пос, [едовате, [ьность значений х п
из cerMeffTa [а, Ь] такая, 'fTO СООТЕеТСfвующая ПОСfеДОЕюе, J,ность значений функции {лхп)} ,!Е, ,JeTCZl бесконечно бо.ъшоЙ.
силу теоремы Бо.ш,цано-Вer'\ерштрасса (см. feope\fY 3.17 J,fЗ
п. 4 § '1 l'Л. 3) из постrедовательности {х п } можно выделить под­
пос [едовате, ъность, СХОД,JЩyrосZl к точке ~, принаДfежащей, в
iи.
:~I·\iечаiШЯ 2
\'i<а:~IННОЙ Т(У'РfOМfO, (fOrMfOiiTY [а.Ь] СН)'iша
'iИМ )ту
Ю,Л(' ii'ваТ(Лi iЮСТЬ с i\iВОЛО,i {хл,,} (n
1,2,
) В
iи.
i fOПрfOрьп
i<ции
(J) т(н
iВУЮЩfШ
I
П<>ДПОСЛfOДiiВ IТfOЛЬН'
диты zl К
,[ I
),
I
ШЙ фУНКТ~Иii
паi
С7<О-
НУ' этi' НfOво:~м<>жно. и()(\ п, iдп' iСЛfOДifШ1ТfOЛЬНi'iТЬ
i)УiУЧИ вы iелена IП бесюшеЧНi' i)i'.JlЬШ<>Й ШfС.JlfOДiiВi1телыюсти {I(x n )}, са>. а Яii.·шется беСiiOiiе'i ю бо.ъшоt'\ (см. п. 1
§л. 3). ПО.iученное противоречие дока;ывает теорему.
3 а м е ч а н и е. Для интервала (или юлусеiмента) утвер­
ждение, анаЛOl'ичное теореме
8.7,
уже несправедшво
iепреРЫiiiЮСТИ фУНКЦИii на Иiiтеj ,['але (иш
т. е. из
юлусегмеiiте) у:+е
не вытекает ограниченность этой функт~ии на ука;анном мно-
жеСТЕе. Рассмо, рим. например.
вале (;
) или на полусегменте
[а [а указаi ю>.· Иiтервале
i<цию
(х)
=
l/х на интер
]). Эта фУНЮ!Юi непрерывюлусегмеiiте)
ю
[е Яii.·шется
на нем Оi'раниченной, ибо существует ПОСiедоватеiЬНОСТЬ точек
х n = 1/n n = 2,3, ... ), принадлежащих указанному интервалу
или юлусегмеiiТУ) !аi<ая, 'iTO СООТЕетствующая юследователь
ность шачений функт~ии {лх п )} =
n} ZlВЛZlеТСii бесконечно
большой.
§ 6.
Точные грани функции и их ;'1:0стижение
функц'Т!ей,
Юf сегму'нтр
1. Понятие точной верхней и точной нижней ('раней
функц'Тн! на данном МН4iЖf'СТВf', Рассмотри>.
i<цию
ОГj,аiШiеi i\'Ю
[а даiШОМ
южестве {х} сверху (СiШЗ\' 1. Ис­
ПОiЬ;Уii длZl множества всех значений этой фуню!.ии введенное
в
. 5 §1
. 2 понятие точноt'\ верхне\ (точноt'\ нижнet'\) !рани,
мы придем к следующему опреде.iению. ЧШ'
NI
Чu.с.Шifа­
iiываетсл
о ~! Н О й в е р
н е й (rn о ~ н о й н и ж н е й)
~ р
10 Ф У
и u. I\xifa .·\t.ffO шеi'7nве {:г}, еу.т выn.f-­
ifeffbl СЛiд1j1Ощие дви. rnр' nиви
) д.,fЯ f,.ii.ждui'О 3ffД'iеffия х u.3
множества {х} сnраве;}ливо HepaifeHcmeo I(J) ~ М и(х) ;:? rn);
2) ffДf,ueO iibl ffU бы.iQ nО.fuжите.ii,ifое 'iисло Е, ffii.йдirnся хотя
бы о;}но зна~ение х из J,лножества {х} длл nоrnорого cnpaifeaливо не 'и.венпnво
>М-Е
и(;т)<rn+
в этом о! ределении требование
1
утверждает, что число М
fчисю
(J) на
I
!рань
Zlв·шеТСii одной из верхних нижних) граней функт~ии
е {х} а требование
rOEOjHii о
, ЧТОfта
fi'шей ffiiибо. iii'шей) и уменьшена (увелиZlВЛZlеТСii
1) ОпреДf'Леffие функ !.ИИ
(снизу). бы'ю дaНf! в
9
ОГРi'fШЧf'НfЮЙ Нf, Д 'ffНfff"
§2
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
этой ГЛiiБЫ.
I
i',НffЖ'i' уве еве; ху
'ffOffa)
fИЖШ
j)ЬПЪ
{fO м,ш
{"! rpafjj й
ТДТ' fУЮЩУ14
j
j;i;j;ша fСНИЯ
Из доказанной в
.5 §1
.2
бляют
J>1/1-tожесmве {т}
cl,epxy
.ji.ifuЖJствJ
}
j
-
теоремы
кает С"fедующее утверждение:
этО.А!
ifpj
jИМВОЛИКУ"
тn
иа
ffOЙ И
Mff'
не юсредственно вы те-
Ни
jjX)
'С
(СНUЗУ),
!
(Х
су'щесrrц,ует
то uш,я,
~pa и,.
"стестленно. f'ОЗНf·fкает ЕО! рос. ,я,вл,я,е !fС,я, Л'Ll то'Ч,на,я, !,ерхн,я,,я,
(mо~l1-tа,я, Н'LlЖН,я,,я,) гран'Ь ФУН1\,V;LlU ,}осm'LlЖUJ>iО'Ll
ли среди точек множества {Х} така,! точка
fЮТЩ)Qff рапю
;той граЮf. Следующий
что точнаZL верхнн"
и точнаif
НИЖНZLif
ю{{аЗЫЕаеf
грани,
воu !ще
говuря,
,я, ,л,я,юmс,я, ,}ОС !f'LlЖUJ>iii!М'Ll.
Рассмотрим на
cefMeHTe [! 1г /2] фУНКЦИ14!
о
при
при
Эта ФУНКЩlif о! раничена на
имеет на эf
0\'
y=sinx
1 --------4
I
(рис.
cel'MeHTa [О, 1г /21 эта функт~иZL не
I
'о, 1г
8.6).
Ю"·
/21
Таким
образом,
фУНКЦИЯ
{е имеет
рассмотрен­
а сег\!енте
ни максима")ЬНОiО, ни минималь­
юго ЗffачеНЮ"f.
Х
Обратим внимание на то, что рассмотреfшая
{а\ и
{{ЦИЯ
рывной на cef'MeHTe
тельство не является с
юше\' ;ункте.
{{ЦИЯ,
в
1г /2] и сверху и снизу и
ПРЮfИмает Зf а'fеffИЙ . равных этим граfШ\!
fая
1t
ДОСТИl'ает
Х = о и Х = 1г /2.
cefMeHTe
ной точке
Q
2'
Я.6
/2,
сег\ енте то'! f\"Ю
fЮЮ гра!
М = 1 и то'! f\"Ю
нижнюю грань т = О. Однако ни в од­
у
о
1г
Х
некоторых
{е Яf "шется
1г /2].
{е!
ре-
)то обстоZL-
ибо. как мы дока:+ем в следу­
{е! рерывная {а Cer\!effTe, обязате"fЫЮ
точках
ЭТОf 'о
се! 'мента
своих
точных
верхней и нижней граней.
2. Достижение il?ункuией, непрерывной на сегменте,
св!!их п!чных !'Р1fнеЙ. П\"СТЪ фУНКЦИЯ
непрерывна на
некотором
cel'MeHTe [а.
да в силу теоремы
8, эта функт~иZL
ограffИ'fеf а
а!том сег\!енте и сверху, и снизу. Стало БЫТf. в
силу утверждениZL. сформулироваННОiО в предыдушем пункте.
ЭТОff
{{ЦИИ сущеСТfj\"ЮТ {а сег\!енте [а, Ь] fочная верхняя
,рань
и точнаif НИЖНZLif грань т. Докажем, что эти l'рани
достижимы.
25 i )
Теорема 8" 8 (вторая теоремн
ФУ1-l1\,v,u,я f (г) непрерывна на се~,ftле1-lrnе
иа этО"А!
Cf"'"me1-lrn i
сваи"!
Еr:Лij
пи~aeт
тОЧ1-lЫ.:!
[а ссг\ снтЕО [а" Ь ] f Y fi я Т,iКИ(" i!iЧЮ"f:1:
и :1:if,
(!i) =
д
каз
ль
la,
тв
Чf!iфУНКЦШ
ет на CeTI\IeHTe
Ь] своей ТО'1ной' верхней' грани
тачнай нижней грани даказываетсZl анаЛOl'ична).
iредпалаЖff
раТffВfюе,. е. предпалаЖff
д'>стига
~ДОСТИJкение
, 'fTa
функция
(х) не принимает ни в аднай тачке cefMeHTa [а, Ь '3начениZl.
paBHaf'a М. Таfда д.;я в;'ех тачек cef'MeHTa [а, Ь] справедлива
неравенства
)
NI,
и мы lVЮJf<ем рассмат! ,етъ на сегменте
[а, Ь] всюду ПQ·ЮЖf·f [е. fЫfУЮ функцию
Р(;Т)
1
=
11-1
'nr)'
"laK как знаменате.Ъ NI - f(x) не абрашается в Нi."Ль и непре
рывен на cel'MeHTe [а, Ь та па теареме 4.2 ФУНЮfШf Р(х) также
непрерывна на cel'MeHTe [а, Ь]. в такам случае. саl'ласна теареме
8.7, ф\'нкция Р(х аfраничена на сегменте [а, Ь] т. е. наt\дется
па.южительнае чис. ю В такае что. д. ш всех х из сегмента [а, Ь
1
Р(х = м _ .f(xl ~ В.
Паследнее неравенства
с учетам
Tafa,
что.
NI -
(х)
> J)
мажна
переписать в виде
f
Написаннае саатнашение справеДfивае для всех тачек х из
cef'-
[а, Ь], ратююреЧИf та\'"' что. 'шсла М ЯВ.шется fаЧfЮЙ
верхней l'paHb[41 (ifau.A/e1-li,Шfй иЗ в;'ех eejixif1lX
функт~ии
f(;r) на cefMeHTe [а,Ь]. Палученнае iютиваi,ечие даказывает
MeffTa
теарему
3 а м е а н и е 1. Д.ш fштервала и па. f\'cer\ieHTa утвер­
ждение, аналаfичнае теареме 8.8, не имеет места. В самам де[е. в заме'fаюш
теареме
7 (C\i. § 5) ы привеШf пример
функт~ии, непрерывнай на интервале палусеfменте) и не (fВ. шашеf',СЯ
[а
[ем
агра Ш'fеf
така!,
ф\'1 fiЦИИ
fач fая вер:,
н(ш или НИЖНZl(f)
рань не Ta.fbKa не дастшаетсZl на даже
не с\ шествует! .
3 ам еч ан ие
ПаСfе тага как даказана. что. функт~иZl
f(J), не; рерывная на cerMeffTe, дастигает aiTaM сег\'енте СЕа­
их тачных верхней и нижней граней, мы мажем назвать тачную
вер:,
fЮЮ
l'paHb
гра; Ъ
,лла1\,сu,ллаЛЪ1-lЫ,ЛЛ
и сфарму. fиравать теарему
9*
;;1-lа~lе1-l'Llем,
а
fачную
шжнюю
.\/u1-lu.Ащл'ь1-lыlА!! З1-lаче1-luе.А! функ f.ИИ f(x) на эта м сегменте
8.8
в виде:ifеnРfрывiЩЯifа ;'ег.А!; mnе
{[,Алеет
Н0е ::1-lа~lе1-lил 1 )
Ч
числу ДР)'l'их
3
ни
: войств
функт~ии, нспр: '-
:;тн:;:ится свойств:;, Ha:~ЫB:!: '\ЮfO
ifenpipblB f:!Crnf,lO, )ТО свойство мы и:~учим в
МЫ ЛИШf, :':MfOTf·:
М:! :fOри:ш ПП.
1
и
§
2 §4
гл,
гл,
10
оыть прочитан не: юсредственно вслед за материа. юм нас: ояще
:0 парю'рафа.
§ 7,
Во:\раст::юТ"е (уfiыш:юТ"е) функции
точке.
Локальный максимум (минимум)
1. Возрастание (убывание) функции в точке. Будем
предпо. а: ать, что Функт~иZl 1( х) определена вс!, :ду внекоторой
окрестности точки с.
'!т:!
Оnреде.ле1-//nе.
е т
(у б
а е т)
,.: :еl rn I Юf'7n rn:!
о
1(х)
о ~!
1\;
е
в
3 р а с
m
а
с, еСЛ'Ll наиде 'nслта1\;ал
110т !рои 1(:г) > (i'
и
I ( с) при х
> r:
<
при х
с (J
и 1(х)
с
)
> 1(1)
пр'н х
На
рис,
8.7
изображена
функция, возрас:аюшая в :оч-
о
х
с
Рис.
8.7
тO~1\;e с и I'(с)
>
убыв!!, т) в т:!'"
>
ке с и
в точке d.
Установим д:!ст!!.то !iюе ус
лов'Llе !:о:грас nа1-lил (уб ,!!:a1-l'LlЛ)
Функт~ии
в точке с,
))'еоре.мн 8,9. 1',СЛ'Ll ФУ1-l1\;-
1
fiил
о (Г'(с)
0),
(х)
диффfр' IffiЩfуеi:!"
в
то эта фУ1-l1\;'Цил !:озрас пае:!,
с.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дока + е::. :eope::'fY д:я случая Г(с) >
случай l' (с) < рассматриваетсZl совершенно ана. югично).
Поскош:ку
lil11 лх) - I(c) ,
1'(с)
ч!"
х--+с
И разрывны"
х
с
на неко! '!ром сег!,н'нт"
Фунюi.И!! !,югут
иметь на этом се:менте максимальное и минимальное значения, Так, на-
Прнн'р. уже изв":' !ная нам из
у=
разрывна
1.
если
О, если
г.!,
4
д!рих'!"
рационально.
ирра; i.Ионально,
любой точке любо:о сегмента [а. Ь], но имеет на этом сегменте
МI.:Ю fjf·.,алыю'·,на',е ше.
нулю,
{
§1
р:.:ВiЮ:.'
едшшЦ'·,шн.,алыю:'
зн:.:ч:.'ни'·
равн::е
ТОЧЮ'
261
iiПРfЩfOifO !ИЮ
!!сго :~ iaiifO !ИЯ функц !И, (Ju{,
найд< ТСЯ !!iЛ, 'Ji<ИТСЛi iЮ(' ;; iC1iiOC:, чтii
j' с) - Е <
,,--.f(,---X,---,---,--,---,-
< j' с) + Е при 0< 17 - ('1 <
Визьмем в K<l'leL:TBe Е lЮЛО;'КИТСЛЫlUС чис.lU,
Тогда
с) > о ,ста. ю быть, из
(81))
1\ICHblllCC
I'
I i (с).
ПО.iУЧИМ
лх}
.f(cl
> О при О < Ix - cl
(8;!
.'"
r
и.
-с
Из
д-О1\,рест
ПрИ:1: >
и
1(7)
1(; при
с. Возрастание функ­
ции j(J) В iочке с ДOiiазано.
(8.li)
след.<еi
ifuCrnU mu и:Н С
<
'iTO
j(:1:) >
<
а м е ч а н и е.
3
(('
х
Подчеркнем, что
полож'нтелы-юстъ (оmрш.J,аmелы-/,осmъ)
j' с)
яв.fЯfтся шобходuМЫ,АЛ УСЛОifuе,АЛ i,озрасmшнuя (уб"ii,ан:ня)
ФУ1-/,1\,V;LШ 1(x)mO~{'1\,e с. В качестве
примера укажем на фуню !ИН: j
iiOторая возрастает в TO'iKe х =
=
х3 ,
О и те>.'
не менее имеет в этой точке производнун:
Г(О)
=
2.
о
графИКfТОЙ
iЩИИ изобраJi<ен
а
!!юц;ьный максимум и локальный минимум функ-
ции. Пусть снова функт~иZL
опреде. {ена ВСfОДУ внекоторой
j
окресТ!юсти ТО'iiiИ с.
Оnредел.ff'Н,Uff. Говiiрят. чmii
j(7) U.ifi' 'т в rnu'," с
л о 1\, а л ъ 1-/,
U ,АЛ а 1\, с 'Н ,АЛ У ,АЛ
'н 1-/, 'Н ,АЛ У ,АЛ), еслu 1-/,аи; 'ет
ся тui:uЯ 0:1 ennffOnn mu и:Н С, в npfJe fax
3iiД'ieif.Ue
(с) яв.ifяеm(' 1-/, i.uБО.ifЪШu.м 1-/,u.U.if i ' ifЪ
ш,U,АЛ) сред'Н всет ii1-/,а~{,е1-/,'LИ'l!mоu ФУ1-/,1\,
j
'!jUU.
8.9
изобраJ!fена фii iЩИЯ
(х), имеющаZL
На рис.
!окальный максимум
в точке с
.
.локальны(\ маКСИМi'М и лока.!Ьный минимум объединю. ,тс;! общим
азвание>.
стр
л о 1\, а л ъ 1-/,
'й
О
1\,
с
Рис,
х
8,9
У
'Установим
условu, Эi:стр,
.\fY \tu. дифферент~иру
емо(\ функции.
8.10.
Еслu ФУif.1\,!J,UЯ
j
с U U.iffeem в этоu тО'Чi:е лmiД i/,ifъt.U э :пnnе \fYM, то
в то
j' (('
О
а :~
а т
i :!) им fOfOт
Т
ьств
}{а ъный ЭЮТРi'\iУ\' в
с,
}ТОЙ
Ti}
Bo:~paCTaTЬ, ни убывать, СТ 1ЛО быть,
I'(c) }fO
- О
в' iшая
т
iИЛУ тfO, сремы
М' iЖfOТ iЪПЬ Нf,} ПОЛОЖИ}fO,ъна,
89
}и ii}РИЦ;]
Нf,}
пр, iИi­
[fO,
ъна,
Г с)
TfOOpi'\ia 8,
О
и\ сет
простой
г; ii\ifOтричеСЮiЙ
утверждает, что ее ш в точке кривой
ретст! \'е! лOt{а, iЯЫЙ экстре\iУ\' ф\'i t<ции
сательна,i к iрафику функции 1j
рал.lельна оси Ох (см. рис. 8.9).
\iЫСЛ:
(х), которой соот-
C\'lllecTEyeT
ка-
(х), то эта касательнаZl па­
Теорема о нуле произво;'{ной
§ 8.
TeopiiMa 8.11 (TeopiiMa РШIJIЯ 1) . Пусть ФУ1-l1\;'ЦU.я
(х)
неnрер сп,на на сегменте [а, Ь] U д'Llффере1-l'Ц'Llруема (,О (,сех (,ну­
тр" ififUX rniHii,U,X эrn!!20 Ci2,/,t.e1-lrnu" Пуст!i, iipO,/,'i rn!!20, I(a) =
I(b). Тог;}а ,!нуmр'Н сег.ftле1-lта [а, Ь] 1-lаЙ;}етс.я тО'Ч,1\;а ~mа1\;а.я,
',то 3ifДче1-luе
6 эm!!й то
Г(() pa6ifQ
Кратко можно сказать, что между двум,} равными значени-
я\ш Дiiфференцируемоt'j ф\', t<ции обязатею
изводной этой Фуню iИИ.
Д О
а з а т е л ь с т в о.
iеЖИi
[iO
п\
Та" "а" фУiiКЦiiЯ
'0-
[е! ре-
рывна на cei'MeHTe la,
то, COi'JIaCHO теореме 8.8, эта функт~иZl
достuгаеf!i на этом ceiMeHTe своего максима,iЬНОiО значения l'vI
и CBoeio минима,iЬНОi'О значеНИii
l\10iYT предстаВИТЬС,i два
случая:
= т;
1
М
2)
>
т. В СЛ\'fае
1)
/(Х
= м = т =
= сопst. Поэтому ПРОИЗВ~:гТ::~~~:~?а~:Гfii ~~;~a: М > T;:,!!~~у
I (а
скольку
7\:
1'сасате и/па,:!
I 1/),
жд~аТfЬ; что Х ,т.я бы од
"'1'
}ИИ
I
,f'f
можно
f!!
утвер-
IПфДВУХ зна;:е-
к}и т достигается
ункциеi!
точке
в
сегмен-
}щия Лх) имеет в
ь
Рис.
TeOpe\ia
х
этой точке
С}Ю
функция лх) диффереfщир\е­
ма в точке
то по теореме 8. О
=
I' (()
8.10
О.
Ка"
TeOpe\fa
по,
iOСiЬЮ ДOl{азана.
Ролля и\'еет ПРОСТОi'! геО\fеТРИ'fеСt<ий смысл: ес.Шf
крайние ординаты кривой
Рол,
ая к
лока, ъный экстремум. По­
I
(Х) равны, то сог, асно теореме
на кривой у =
найдеТС,f точка в которой касательпара,ше, fяа оси
(рис. 8.10).
\tbI
\'ВffДff
eife,
ieOpe\ia
о
iЯ
fеЖffi
oCfiOEe
формул и теорем математичеСКОf 'о ана, fиза.
"уз, кии l"аlеl"атик
(1652-1719).
iOrf,fX
9
§
слfO
ДУ14)щая
ПрЮШ( Jt<ащая Лагр 1Нжу )
Теорема 8"
( теорема
<Егра сР!(:!Е) ЕСЛ'Ll фУ1-ln1J,U,я ]'( х)
1-lеnреРЫ{i'/-/Л на се(!,лле1-lтпе [а, Ь j U дщjJфере1-l1J,'Llруема ви (ссех г!ну­
тр' !fi1UX mо'Ч!;дх эmогu Сlг,ilfе!fm!!, mu B!fymjiU Сlг,ilfе 1т!! lа, ь 1
1-lаi1деmс,я <f!O~lna ~!f!аnа,я, ~mo справеf}лuва фор,ллула
j
Фарм\лу
71
а
) - j(a) = j'(()(ll -
.
(8.7)
фор"м,улоi1
называюt фор"м,улоi1 Лагра1-lжа
по! fе'ч1-lыx nРUjiащеЮlii.
Д а
а '3 а
е
ь с
в а,
Расс\ютрим
а сег\ енте [а, Ь]
с.ледующyr' t вспамаt ательную Фуню t,ИfО:
.f(b)-.f(a)
Ь-а
а).
iраЕерим, 'fTa для функцюt Р(х)
юлнеШI рсе \'сювия теаремы Ро
. В самам деле, Р(х) непрерывна на CetMeHTe lа, Ь
(как раЗtЮСТЪ фУНКЦftи ]'(х)
tиttейt
фУНКЦftи) и во. всех внутренних тачках сегмента [а, Ь] имеет праизвадную, раВНУ14!
)-
j'
Ь-
И:~ фармулы (8.8) ачевидна, что. Р(а) = Р( ) =
Саtласна [еа! еме Ра, tя вну ри CetMeH а [а, Ь] найдется
ка
такан,
tач-
что.
Р'(() = j'({) _ ЛЬ) - .f(ut
(8.9)
-а
Из pat~ettCTEa
fъпеt<ает фарм\ла Лаграttжа (8.7). iадчерк­
нем что. в фарму, [е (8.~) вавсе не аБZLзательна считать что. Ь
а.
>
З а
е
а
е. Мы ПО,t<"tи,tи теаре\н' ЛаграНJt!а t<at< сtед
ствие теаремы Ра,
. Заметим вместе с тем что. сама теаре­
ма Ро tя яв, tяется частным с.лучаем теаремы Лагранжа
ри
]'(а)
=
]'(Ь
)),
Для выяснения
reaMeTpft 'fecKara
заметим, что. ве,tичина
I(!')Ь _- ла)
с\ыIJIаa теаремы ЛаграНJt<а
""",,
"!
есть угюваff каэ<рфициент се-
, рахадящей через тачюt А(а,
) и В(Ь,]'(Ь)) t<ривай
у = ]'(7), а j'(() есть уг,ювай каЭффlщиент касательнай к кри­
вай у = /(х) прахадяшеС\ 'fерез Ta'fKY C(~, ]'(~)). ФаР\fула Ла­
tранжа (8.7) азначает что. на кривай
= ]'(:г) между тачками А
1)
)I(ОЗf'ф Луи Л"Гf анж -
(1736-1813) ,
ве ШКfJЙ фр '''''.уЗf кий f"аfеf"аfИff и
i.еЙ АВ
','СТО {ibl
н! СК()ЛiiКii
ОТЛiiЧНiii'
виям т! i 'ремы
8 1
iРi'ИЗ~
в
+ ~x)
также
.
ТОl'да, iаiШСii'
фОР i lУЛ\ ЛЮ'Ра11жа
для сегмента [хо, хо
~x] будем и:меть
А
о
ь
а
+
1Начение (:со
iежа. ю на сегменте [а, Ь
х
~г)
ЛХо
где ~
-
f
= ~if'(~),
некоторая точка.
-
+
(8.10)
lежю щя меж~
Д! хо И хо
~x. ]\10;'1' Ю твержл.аТli,
Рис. 8.11
что найдется rnar.;oe (зависящее от ~x)
~tUСЛ{) () из интервала О
,'Ч,т{) ~ = хо
()~x. ТаК11М
образом, фор:му.lе (8.10) можно придать вид
+
< () <
f(xo
+ ~x)
- f(x(j)
= ~Xf'(XI'
()~x),
(8.11)
< () <
где
- некоторое число из интервала О
1. Фор:мула Ла~
l'ра11жа
1;иде
1 л.ает то' юе 1ъграже11ие
прираще11ИЯ
функции через вызвавшее его произвольное конечное прирю ,.e~
аРlУ О lе11та. Этот
форм! 1Ы Лю'т а11жа о 1рав 1.ывает
тер"1ИН «формула конечных приращениЙ».
Riie
§ 10.
1.
ную
Некоторые следствия из формулы Лагранжа
Постоянство ф;ункции, имеющей нн интервале рав­
нулю производную.
Теоре,м,а
rnepea.i!e
8.13.
f
Если ФУНI.'Ция f(x) f!иффIР'Н!Jируе.ллп на U'if.на это.;\! !!юперва.!!е f'(x) = О. то
ФУIf.'I\,ци.!!
17, )(ТiiОЯIjJ-t{)!! на интервале (а. Ь .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть хо - некоторая ф!!.r.;сщ!Оuанная
l'очка И11теР1:а1а (а, Ь
ах - люБП. i! то' i1a этOl'О 11Нтервала.
Сегмент [го г] 1еликом принадлежит интерва1У (а, Ь). По~
этом!
НКЦ1! .f(Х)}Иi])(:j)ере1щируема (а стало
lепре­
рывна) ВС1иду на сегменте [хо, х]. 'JTO дает право применить к
фу; iЩИИ f(x) lа сеl о 'е11те [хо,х] теореоlУ Лю'ра11жа.
. 1асю
'ПОЙ теореме внутри сегмента [хо, х] найдется точка ~ такая, что
f(x) - f(xo)
=
х
По УСЮВИ1и производная функции
тервале
а. Ь
.
Ста.lО быть,. Г
- xoH'(~)·
f
(8.12)
равна нулю вс иду В ин­
= о и иi
1Ы
(8.12)
мы
получим
f(x) = f(xo).
(8.13)
:liOTOPbIE
н
о
И, ФОГ
i
ilYil
Л \ГГАН)Т!
'
'HCTBii (8,13)
ав
х lштерваЛi i (а, ) pii'"
значен lЮ в
и i>ЗЮiЧi "Т" что фУНКl JИЯ л:г) 'посто.я/l-t'Нл вс'Юдi! на
(и, Ь)
бо '! то'
i еор! ма 813 ИIl.fi ('Т пр' iСТОЙ геометричеi кий смысл
в
Tii'
le!1iiTi>pi>l'ii
чаСТКii, KPi!
i'СЛИ ка-
caTi'
/(х)
llара,т-те,-тьна оси О:с, то ука1анный участок кривой у
л:с)
представ,!Яет собой отрезок прямой, параЛ,!i'ЛЬНОЙ оси Ох.
3 а е ч а и е. Теорема 8.13
была !!C!!OJIli Ю!iана laM!!
в гл. 6 при доказательстве теоремы 6.1. Здесь мы еще раз под­
lTO Becli
черкнем,
i'атериа
lастоящей l'Ла!iЫ
в том ч!!с.ле и тео­
рема 8.13) совершенно не использует результатов г!ав 6 и 7. При
повторном чтении этой книги гл. 8 можно читать непосредствен­
но
!е;!!а
. Б, а уже ,,!ате с ' вошрат!!ться к lтеш!ю l'Ла!i 6 7.
2. Условия МОНОТОЮЮС'IИ фую{!!ди на юпервале. В
Ka'leCT!ie !iTOPOl'O с!ел,ств!! формулы Люта!lжа рассмотр!!м во­
прос об условиях, обеспечиваю! JИХ неубывание (невозрастание
функции нащнном интервале.
Прежде всего, напомним опреде!i'НИЯ неубывания, невозра
СТа!lИЯ, во;раСТа!lИЯ и !iьшаш! Функц!!
la даннос' и lTep!ia!e.
10.
Говорят, что функция
на
а, Ь)
f!
г) н!' 'iif)ывает (н!' вОil!астает)
ес!щя
!Ю!iЫХ
ТО' le!1
удовлеТВОРЯ!iiЩИХ УСЛОВИ!ii хl
< Х'2
Xl
и Х2 и! l-
справедливо
неравенство
i овор
f(Xl ~ f(X2)
lT, что фт !1ЦИЯ /
тервале (а, Ь)
f(x )
14.
Т;лр;;ма
этоп)
х
? f(X2))'
возрастает
ес!и для любых точек
связанных условием хl
Пiiрвпле
и(Хl
< Х'2
и Х'2 интервала
справедливо неравенство
< f(x)
и(х
)>
f(x)
!).
Для того 'Чтобы
ФУНJ,
а, Ь
))нтервале,
ная;rnо)'; ФУНJ,'ЦUU была ))iотрuцателы/m'1
вСlОдi! на этоп) ))юперва [,е.
Д о
а
Пусть
f'(x)
а т е
О
ь с т
о.
1)
о с
О) вС!иду на интервале
о ч
о с т
). Требуется до-
что
х
le ;iiьшает (!le во;растает) на И!lтеР!iале (а, Ь .
Пусть
их') - Л!iiбые две точки интервала (а, Ь ), удовлетво­
ряю! jИе УС!ОВИ!ii хl < Х'2' ФУНКljИЯ f(x) дифференцируема (а
стало быть, и lепреРЫ!i!lа) !iСЮД! на cel'MeHTe [х ,Х2]. Поэтом!
к ЛХ) можно применить на сегменте [хl Х'2] теорему Лагранжа,
Ka,,;aTli.
ре;у,
liTaTe le!O
ю
ч!м
(8.14 )
где хl
<~
<г '2.
УСЛi;fШЮ Г(~)
част};
(8.1'1)
О (~ О)
НС()ТРfщат(·
>
:Г2
о. П"эт;;; у пр""
(fНШ()Л()Ж fтельна·. 'Г ,; И
f
,'т нсубыкши(' (нсв()зраст, н:ю)
(:г) Н;, интсрк)л,' (а,
2)
е о б х
д и
П\ст}, фу; fЩИЯ л:г ди\];фер, ю fИРУeIll,'
) И Н;' убывает (Н;' возра\ т, ,'т) на
эт"м Иf
;Jок,).зат},. Ч}'Р
(х)
(~
всю
}а это'· fштервале.
f,af, лх) не убывает }е fюзрастает)
на интервале а,!,), то эта функция не A!OJfCern i;бывать возра
(ТiiПТiiЬ) j;'U в {)()j;'01'1 Тiiо'ч'!"е uнтервала (а, Ь).
Ю
с+
лу теоре:мы 8.9, производная г(х) ни в однлu то'Ч'Х:е uнтервала
(а, Ь) j;.e .АЛОJfCет быть отрuцатель!Ой ПОЛ !JfCuтелы!Ой) }то
и требовалось доказать.
Теоре,м,а 8. 5. Дл.;; того 'ЧТiiобы
'Uf)ывала) на uнтервале
fХ
возрастала
)Ъ! щ!Оuз юдна,я
(х) было ПОЛ
uнтеl!вале.
Д о
а з а
е
ь с т
о
fРОВО}fП'С} ПО то!)] же схе"е,
и доказательство достаточности в теореме
Пусть х
8.14.
}то
их')
любые две точки интервала (а, Ь), удовлеТВОРЯЮf сие усювию
хl < Х2· ЗЮ f!сывая
cel'MeHTa [хl. Х2] форм\ [у ЛаfраНi+Д,
получим равенство (8.14), но на этот раз впом равенстве f'(~)
i < О).
ВСfедствие 'пого левая часть
(8.14
положительна iотрица-
}'еъна), 'ГО и доказ ,шает ВО,,;растаf}ие iубываf
Иf}-
f(x)}a
тервале
3 а е а н е. ПО;Jчеркнем, }то ОЮ/Еите, ЮС}'! (OTpffцательность) производной f'(x) на интервале а,
не ,явл,яетс,я
необходu.АЛЫ.АЛ условuе.АЛ fюзрастаю!
(\ ! iьшаю!
фу; f,ЦИf!
(х )
f
на интерва,fе (а, Ь). Так, функция у = х 3 возрастает на интерва
fе (-1, +1), но прои .iВощая этой
нкции Г (х)
зх 2 не яв, fЯ-
,'тся ВСfUДУ положите, ъной на iпом интервале (она обрю Щстся в
нуль В точке х = О). Вообf [,е, легко доказать, что фУНЮfИЯ f(x)
во ;растает (убывает) на интервале (а, Ь), если ПРОИ,.iВодная этой
функции Г (х) положите, fьна (от­
рицательна)
у
терва,
,за
го 'Чuсла
всюду
на
UС'Х:ЛlО'Ченuе,)\)
Тiiо'Че!,
это:м
ин­
'Х:оне'Чно­
[,оторых эта
[ро­
изводная равна нуюu. (Для доказа­
те,
},CTf:a
,юстато'
ю ПРИi;еf}ИТ},
}'е­
орему 8.1Б к каждому из конечf,l,ОГО
}ИСfа Иf}теРf:аюв, }а [,оторых
.f'
о
строго положительна (отрИf f,атель
на) и учесть непрерывность f(x) в
а
тех точках,
8.1,2
равна нулю.
в
[,оторых ПРОf!ЗfЮДf}а;}
Установленную теоре-
н
о
мой
8,1,)
:l<OTOPbIE /
И, ФОГI\lУ/i
с ШЗi, М/ //'/ду
МСН/'Шl
НКШl
267
Л,\ГГАНjl"
i,/KOM ЩЮilЗiЮДi
напр, iше iие" из­
ко ПiШ~iТi, Иiе/,М/'iРИ'iе, i<ИХ /'/юбраже­
ний, П, ,(кольку производюiЯ равна угловому КОЭффю щенту ка­
с,)т/'
к р,.!,фЮ<У
НКЦil
У
,
,н,//,' пр/'" '/i/'Дiюi/j Yi<aзываст /,стрыи или туп, 'Й угол
/,(и Ох (остав, ~ieT
поло)китсльным наПР,ШЛСНИСIll
к,н:атслы, леж,.!,щиЙ
ll,-ТОСКОСТИ. Ьсли
iей
О всю;ту на интеРВGt,-те (а. Ь
на этом интсрвале
то всюду
iУЧ касательной, лежащий в всрхней ПОiУ
iЛОСi<ОСТil, состав, ~ieT с Ох острый УIОЛ, ста,ю БЫТi,
у
= J(x)
идет вверх ВСiUДУ напом интерва,iе (рис.
i<ривая
8.12 .
3, Отсутствие производной точек разрывы l-го рода
и устранимого разрыва. Применим теорему Лагранжа для
ilbI~iCiiei iШ ОДiЮl'О ЗЮ,lе'iатеШ,НОIО Сiюikтва iPOil iВОЛДОЙ. Пре­
жде всего докажем следующее утверждение. Пусть
J СТ
имеет '/\,mj, "l'НУЮ 17орпизвоi!'Ную всюду в
(Лf!вm'1) 1700,u;or.;pecrnHocrnu то'!х!! с и правую (леи'!!!!)) щюизuод'Ную
са.моЙ
'nfO"l!, e
,'(ли
(х) имеетn в rrUi"l'/\"
17орпвое
(леuое) 'Преде ,!,'ь'Ное ,IHa'f,eHne, то это 'Преде ,!,'ь'Ное "IHa'f,eHne !ЮU'НО
17орпвой
17ороизвпдifQЙ в 'nfO"l!,e с.
Дш доказательства Iпого утверждения рассмотрим л uбую
ЮCiiеловате,
юсть {х n }
iа'iеiiИЙ apIY'leiiTa, СХОЛЯЩУЮCii
справа CiieBa). Учитывая" что, начиная с достаточно большого
НО!lера 17"
функция
все х n
J(x)
ipil
iaiieiEaT
TOri
ЮiУОi<реСТНОСТii, в которой
имеет конечную первyru производную, применим
i'eopeM) ЛаlраНiЕа
фу; i<ции
х
Ю cel'MeHi'Y 1
При этом получим
f(x n )
-
-
f(c)
с
[/1, х n ]
= .f'(~n),
,
([х n , /rЛ.
(8.1,)
где через ~" обозначена некоторая точка, лежю щя между с и х"
П,fСТi, i'еперь в равенстве
,)) 17, --t 00. ТОlла., О'iеВii!ЩО.
--t
.
1'(
справа (слева). Поскольку по условюр
г) имеет в точке с конечное [равое (.iеiюе)
юе значеШlе, iравая iaCTb (8.1,))
ю определеiiИЮ iрелеЛЫЮl'О значеШl
о;iЯiаiiа ipil 17, --t 00 CTpe~
миться к указанному преде,iЬНОМУ значению. Стало быть, су! !,e~
cTBfeT iреле, при 17, --t 00 и левой чаСТil
,)). По ОiiрелеiеШlЮ
правой (левой производной этот предел равен l' (с
О) и' (с О)). Итаi< в
[е
17, --t 00 равениво (8.1,)) лает
J'(/,
+ О)
liш
,1:--+С+О
J' СТ U'( -
liш
О)
,1:--+ с-о
J'(x) .
1) В, е УСЛОВИЯ теоремы Лагранжа выполнены, ибо фУНКЦИЯ f(:r) диф(а СТ;,
быть, и Ш'ПР"l!ЬШ'!!;)
;ением ТОЧКИ
;Ю '"й точке о,'гмент;' [с, Х n ]
Непрерывность
(с+О) и'(с-
f(x)
в то';ке С i/права
Е( Лff д' ,"('лн
иi
{( +
fTe«fbHi'
<ущес
и
,1:--+ С
следок ть непрерывн, ,сть
j' (:г)
в точке
ПРff' еfШif i<iШfЖ() что ДОКii<Зiii
ке
некотр"
утвсржлснню:
Юi'
iBi рЖiii Шfi'
Ti' i-
fштерваЛi i (а, Ь), Mi,i приде,<
Р('ии}, ФУ'Н'Х:ЧИЯ
(х )UJ~lррrп ~,i()'Неч'Ну'Ю
f
'Нij'Ю 6ClOaij 'На и'Нтер iале (а, Ь) тоГ (Х) 'Не .MO;JfCern иА!ет'Ь 'На
:JTiiO.M и'Нтервале j!И Тiiо'Че!, устрп'Нимого разръ!вп, 'Ни Тiiо'Че!, роз­
{iъtва 1го lюда.
са'<ом деfе,< ее
ief-:отороiij
i'очке с
iTepf,a<fa
а, Ь
е!
[<еСтву!ит конечные правое и левое предельные значения j'(x),
i'O j'(x) шnрерЫ61f ii в rrUi'Ч'Х:i! с (в СИЛУiОf-:а«fаННОfО выше YTf,epждения). Ес.fИ же хотя бы одного из указанных двух преде<ъных
значеШf не существует, то j' (х имеет в rrUi'Ч'Х:i! с разрыв 2-го
lюда. Приведем пример функции, производная которой суще­
ствует и конечна вС!иДУ на
HeKoTopoIll
интервале и имеет в неко­
i'ОРОЙ то' [-:е ЭТОfО fштервала раз} ыв 2~1'O рода.
интервале
(-1
+ 1)
люБОf о Х
i=
ПРОffЗfЩifiаii этой
СУ! [ествует и определяется формулой
l' (х)
2х COi, ~
=
Существование производной
j'(O)
f,bltef-:ает
fредеЛi,НОf о значеШf
ffЗ е! щеСТfЮf,аШf
!+~x)-f(i!)
"--'-----'--"--'---'- =
го предельного значения. ибо у
i'ln -
l'
1
cos л=
1т
L.x--+O
значеЮf
=
в f-:Оfще
efaraeMOrO
§8
О.
О ни правого. ни лево~
1
2х
cos -
СУ! [<ествует
Х
О равное НУ<fЮ прел,е<ъное
(см.
i,in ~.
L>.fr
iначение, а е [агаемое
ш' имеет в <пой точке ни правого. ни
х
НКЦff
в точке х = О непосредственно
Производная {(:г) не имi ('Т в точке х
В точке х
на
{х 2 с;е ~ 'Р" : ~ ~:
f(x)
Очеf!ИДfЮ, что
PaCCMOTpffM
функцию
[евого преде<fЬНОГО
.4 .
ВЫВОД некоторых !ераве! !С·!В. В заключение покажем.
как с помощью теоремы Лагранжа могут; (ыть получены HeKO~
4.
торые весьма ПО<fезные неравенства. В качестве примера YCTa~
HOВffM
с.fед! ющие Дf,а
iepar,efiCTf,a:
I siПХl
I arctg Xl
siПХ21 ~ IXl
arctg Х21 ~ IXl
Х21,
Х21·
{Здесь под xl и Х'! можно понимать л!uбые значения аргумента.
Для устаНОВ<fения неравенства (8.16) применим теорему Лагран~
i1I:ОБl ШНl
1
\Я ФОГ
lllИ / (:[;) -
фyt
SlП
s1П
[:[;1,
::inx'2
(~)
lT,i
"'р"Х" lЯ
C(:S ~
(8. 8)
=
!'2)/' (~)
(х
И Чlf\ 1COS ,(1
(TiiH()B·l' Шi н' рав,
10 ce:"ellT\
рем! Ла:ран; ·;а
чеСll" что
(~)
=
:
~
(8. 8)
1
НКЦli
е ~
Обоб, i.енння формула конечных
11.
26:)
l.EниИ
:lY'l
;риращений
(формула Коши)
в это:м параГi ,афе :мы л,окаже:м теорем! , принадлежащую Ко­
lllИ И О/Ю(iщающую устаНОВlенную llblllle l'eopeM\ Лютаllжа.
Теорема 8.16 (теорема Коши). I'сли '/\,п;ждая из ,f6YX
фУ'Н'/\,'ЦUЙ лх)
g(x) 'Не iре/iъt6'На 'На сег !!еюпе [а, Ь]
дu,ффе~
р,:'Нцируе.ллп 60 6/,:Х 6Jiyrnpej1JiUX ТiiО'Ч,f,·а;r лnого сег.лм:'Нrnа и если,
'/\,Iюме того . щюиЗ60д'Ная g' (х) отли'Ч'На от 'НУЛЯ 6сюду 6'Нутри
се~.лле'Нта
], то
этого сег.М.е'Нта 'Найдется rnO''lr.;a ~
'Ч'П 10 (nРП6' дли60 1lJ()·Н.!~/,/J.!/,U'
f(o) _ f' (~)
f(b)
Формулу
,шают
Коши.
с
о. ПреJf:!де
Д о
(8.
g'(~)'
g(!:) - g(o)
ФОРМУЛО!'! !,{!'Не'Ч Iы1x nри-
#
а з а
е
Bcel'O л,Оl<аже". lTO
а
в само:м деле, если бы:iТО было не так. то для функции
,;(х) (;Ы.lИ бы выполнены на сеГ).1енте [а, Ь] все условия теореIlIЫ
8.11 Рокш) и по этой теореме внутри сегмента'
наШ.lась бы
точка ~ такая, что g'(()
Последнее противоречитс.1ОВИЮ
теоремы. Итак. g(a)
g ) и мы имеем право рассмотреть
# g (!, ).
#
следующую llспомо:ател ,llУЮ ФУНКЦliЮ:
Р(х)
/(;Т -ла
- ;~~) =;~:))
13 Cli
,на.1Ожеl
:ия
непрерывна на сегменте [а,
ЫХ
la
(х) НКЦli
]
(а)].
f lX
(8.20)
Х.
HK~
и диффереш:ируема во
всех вн! тренних точках этого сегмента. Кроме того, очевил,но,.
что Рl ") = Р( ) = О. Таким образом, ДШ Р(х) выполнены все
СЛОВli
теоре:1Ы 8.1
(Ролля). (о:лас.1О этой теореме внутри
сегмента [а, Ь] найдется точка ~ такая. что
(~)
Име,l в l1ИДУ,
lTO
(х)
".
.f (х
(8.:;1
х.
liСlЮ
ч ПЪШ
',f..
ffЗ
Коши (819)
3 а м
рав, нства
ЧffМ
д',каЗiша
ф'м Л Л'l Р HJEa
и
ны' СЛУ'fаем фОРМ'ЛЫ i\~~ff'\8{.' <, {
а м е ч а н и е
сч паТf •. ч ,'О Ь
а.
§ 12.
В формуле
2.
>
Раскрытие
(.8.'
g(x) =
19)
ЯfШЯ'"
х.
вовсе не обязате. !ЬНО
*еопределею ОСIей
(правило Лопиталя)
1.
Раскрытие неопределенно~ти вида О
р ПЪ, что о! fЮfffеffие
х
---+
а неопредеfеf
НКЦff :~~~ предстюшяет coi;o['[ при
ЮСf
u
"
в fiЩ о' ес.Шf
(х
lim
х
f
;а
Шl
юе fa'fe fие lim
(х) =
г--+а
Раскрыть 'пу неопределенность
ле
Булем гово-
f(:r)
'ПО значит вычислить пре-
-
(при ус.ло ;ИИ. что это fреле.
юе зна­
,);--+0 g(x)
чеНffе существует).
Следующая теорема дает правило для раскрытия неопредеО
-.
ленности вида
17 (nрйвu.JЮ Лоnum.а,л.я )). Пустъ две
о JределеJ-tъt
BClOafj
J-ter.;o!/'niU ТiiО'Ч!,U а, за U/'КЛlО'ЧеI1uе,лл, бъtrnъ ,ЛЛОJfCеrn.
са .. юU то'Ч'Кu а. Пf стъ, далее,
lim
Х--+"
U nроuзвОi i'Нля
m,реСТnI!Ости
f (х)
=
lim g (х) = о
,);--+0
(х) отлu'Ч'Нл от J-tуля в/1Оау в у,·азпJ-t 1011, выше
т !'Ч'КU а.
еслu
бес!,лJ-tе'ЧI!Ое)
зJ-tа'Че 1ие
существует
uлu
:2
(:r)
,);--+0 ~'
1) Гильом
[е Л ЩИТj;
.'атематик (1661-1704).
2) Отметим, чт ,преде jьное;Нj; jение (8.23) м;;жет не существ 'вать, Тf!r'j;;
liш f((;r) сущест,,;е
"тш!шени,j
вз,j
0= О. /(;) =
. 1
Sll1 -
х
x-+ag х)
g
= sil1x.
.
Таким обра; ,м,
;j1
jяви ю Ло,ш аЛ,j
f,fE
'\СКГЬП
2
2ТТ
i'УЩi i"!f!/iY/"!" U nри)е
пр PU~,M
сnра"
вiiд швп ФОР,МУЛП
liш лх) = liш
g(x)
Теорем/!
817
О
ности вил,а О
(8.
g
Д/ ет н/!м пр/шило для
f
!/iСКрЫТИЯ нi i/пределен­
сводящее ВЫЧИСfение предеЛЬНОГО.шачения отно-
ffЯ
НКЦfi
К
fыIfiс·fеff
fiЮ
предеЪНОIО
значеНii
ОТ-
ношения их производных,
Д О К а
а т е
ь с т в о.
Пусть {;У П }
прои.ШО. ъная
-
ПОСfi'довате.ЪНОСТЬ значений аргумента. сходЯ! fДяся к а и со­
стоящаif
иf
fисел.
следовательность.
отли'
[ых ОТ а.
'НШ'lUНДЯ
с
раСС'lатриваТf, эт\
того 'Но.мера
,с
r.;оторого
ю­
все х п
nри'На; iШiJ/CП'l" m,рестmfOсти TiiO"lI,U а, УI,аЗП'НI101'1 в фор,мулuров­
nе теоliелfыl. Доопредели:м функции f(x) и g(x) в точке а,. по­
ложив их раВНЬВIИ НУЮ/i в [пой точке. Тогда. очевидно. f(x) и
(х) будут 'неnрi:ры1'нъl [а [/се,' cel'MeHTe [а, х п ] и ДИI];фереfЩИ­
pyeIlIbI
во всех внутренних точках [пого сегмента. Кроме того,.
/;'(х от fiчна от [у.
f/СЮл,\
fYTPfi ЭТОIО cel'MeHTa. Taf!
0(1ра­
зом. ДfЯ f(x) И g(x) на сегменте [а,х n ] ВЫПО.шены все условия
теоремы
[а[ х n
(Коши. Согласно этой теореме внутри сегмента
8.16
найдется точка ~n такая, что
f(x n ) f(o) _ f'(~n)
g(,i n ) - g(o)
g'(~n)'
(8.:;.5
Учитывая. что. по нашему доопреде.fению. f(a) = g fi) = О мы
слеДУЮЩfiМ о"разо, переписать ФОРМi лу (8.:;.5):
MOiEeM
f(x n ) _ f' (~n)
g(x n )
g'(~n)'
П/СТf, те;
в
[е
(8.)6)
17,
(8.26)
ТОl'да, очеf/fЩfЮ,
--+ 00.
--+
а.
Так как мы предположили су! l,ествование предельного значения
,
правая часть
(8.:;6)
при
17,
оБЯiана стремиться к
--+ 00
'пому предельному значению, Стало быть, существует предел
fpfi 17, --+ 00 и левой чаСТfi
. По ОffределеffИЮ fредеfЫЮl'О
значения функ lИипот предел равен liш
.
Таким образом.
,с-+!
в пределе при
--+00
равенство
(8.26)
переходит в равенство
(У;.24). Теорема доказаffа.
а м е ч а н и е
1.
Если к условиям теоремы
.f'
8.17
добавить
требование непрерывности ПРОИ.шол,ных
СУ) И
В точке а,
то при условии g'(
о форму.fа (8.24) может быть переписана
'#
в вил,е
· f(:r)
1lШ-­
х-+а
(х)
f' (о)
g'(a) .
(8.
3 м е ч
и
Е(
про fЗfЮДf
Г(!
gf(:г) Д(Нfеf'ВОр!fЮТ тем же fребоваffИЯМ, [то
са ! и фyr fiЦИИ J(x)
(х),
то ПрiШИЛО Лопиталя I11ОЖНff применять ПОВТОРНif (т
предельное значеНilf' ffтношеНil
ff'л!ыIx ПРОflЗfЮДf ых фyr :ций J(:г)
g (:г) можно Зi!менить преДi льным значением отно!! ения 6то­
ры:г nРОИ36однъtХ этих фyr fiЦИЙ)
"( ,
lim
Jf)
(х)
Х-+О
3.
а м е ч а н и е
= Ет
Х-+О
'Георема
l\1ы полyriИ"
"'( )
JX
'(х)
8.17
при Эi'llМ
f'/!( ,
= lim ~.
,);-+0. g/!(x)
[егко переносится на с fучай,
КOl'да apIY'le iT х стреМfПCfi ie
fiOf ie' ЮМ>, а
бfJк;mj, 'Чному
пределу а =
00 или
= -00. )граничимся тем, что сформули­
руе,' Teope'lY
для с чая, KOl',:Ja а = +00. ПУf'iНЪ ,f6f: ФУНf,­
V;LШ J(x) И g(x) определены и диффереН'Ц'Щ!?jе,fjЫ 6ClOdf/ на nОЛf/­
ПРЯ,fЮЙ с < х < 00. П!/стъ далее,
Ет J(x) =
lim g
= о
1"-++aG
,,1"-++00
И ЩЮИ360дная g'(x) отЛИ"lна от Нf/ЛЯ на fj';,;азаннml nОЛf/ЩiЯ
м т,
если су цествует
3'НЛ"lеjf.ие
пределъное 3НШ'lен {е lim
то С? щест6ует
f(x)
l'
g' (,( ,
npU"le.M
с ура­
,);-++00 g
вf:дливо раве {(тнво
lim
,);-++00
f'(x)
1~00
Ет
f(x) g(x)
Х-+
При м еры.
l'
' l-cosx
1) llln
о
= 1т
2)
х
- - = -,
2х
2
СfеДУЮf [,ее предельное значение вычисляется двукратным
Х"
1-+0
[О
!Тнменен [ем прarшлаlОf fпаля:
Ет
1"-+0
3)
х-
о
х"
Трехкратны,'
' l-cosx =
= l lln
о
3х 2
l'1т
х
- - = -,
6х
6
fpflMeHeH [ем [рав f"fa ЛопитаЛ!i вы iИС !ieT1"-+0
ся предельное значение
Ет
------,--
I"-+С;
[1т
Х-+О
2.
cos х
РаСКРЫТИf' Нi:опреДi:ле! ноС'!и вида
р ПЪ, что ОТfЮi!!еfiие ДfiУХ фУНКЦfl
неопределенность вида
Ет J(;r
,);-+0,
1
12х 2
Вместо
00
можно бlfать
2 sш х
00
- . Будем гово-
f(x)
предстarfЛяет coiioifj при
(:r)
если
00
lim g
или
2
lim - . - = 12,
Х-+О
g
Х-+,I
+00
=
-00.
00 1 ,
(7';.28)
'\СКГЬП
2
д
д fЯ
Pf)(:K\blTlf
\{'Нf!
предельнOl о
Нff'
IHi" ТЕМ
I,IE
С, ,в, 'ЛlffеI
IЪIЧ IC~
знач, 'Нf!
ffнаЛОi ifчное
I'еор, 'М"
а ifMCHHO:
8,17,
eC,i,U в
фо; '.му Ш; 'о {});е rnеоре ,i'bl 8,17 за ,ie1-lUrn:IJ rnliебова1-luе liш л:г)
x---+ f ,
(:г) = О
lim
.);---+0,
С !раведлu,воi1.
Для
(8 .
'!j(JI.OBU'
юказательства
рассмотрим
nрОUЗ60Л'ЬНУЮ
последовательность
{х n } значений i.i.prYMef.i а. СХОДi.i iiУЮСi.i
О спраfiа (или с
Пусть Х т
Х N - л.i ,бьн' два эл'
i ПОСЛiщоваТi'ЛЬНОСТИ достаточно боль.i.i ими fюме У""иm и
n.
n >m.
условию
мы мо, ,ем .'iTBep~
t;,mn
Ж·.iать, 'по на этом с' гменте на iдется точка
такая, 'по
1 _ f(im)
i' (~тn)
f(x n )
g( ..i
1
(~тn)
.
g
ОТСЮД.i'
;; (Х т )
- ~
(~тn)
f(x n )
g/(~mn! 1 _ ЛХ т ) .
g
f(:г n )
!' (х)
Если С} Пiествует
HOMi'P
-7г
g'(x)
А.
то для любого Е
>
О можно фиксировать
столь большим, что П1Ш л.i ,бом n > Д1юбь ;:~~:~~ бу.·.i' т откло­
НЯТЬСii ОТ чисд.!'
,·еfiьше чем на
для данного фиксированного
'm
Далее, УЧИТЫ'iая
найти номер
(8.<28),
мы МОАуем
такой, 'по при):
.iробь
g( ..i
g(.x n !
1 _ f(x m )
f(x n )
1
бу.·.i' т отклоняться от е.·.! ш ,я,Ы меньше ч, м на
n
>
f(x n !
ПО
2
Аэ
lim
х---+О+О
ры
l/х
-
2) х- 3 , 2
НО тогда пIш
i,ТКЛОНЯТЬСЯ {,т . iис яа А меньше чем ня, Е
(in)
Прим
IA.I Е/2
i Е/2'
1
,г
i'Щ.i.iчает,
lim filnx
:U+О
-2 lim
х---+О+О
=
О.
что
,я" едельное значение
111
lim - -
Г---+ОО x- 1 / 2
fпаЛ~f
ВЫ'fи'шеТС~f
lilll
.1--++00
Еlll
х--++оо е Х
3.
Раскрытие неопределенностей других видов. Кроме
и ;Гfен
выше
неOffредеfенностен
О
-
видов
и
сх)
'facTo
чаются неопре.f.еленш>сти сле f\ЮШIГ< ВИ;lОВ: о· 00. 00 00,000.
встре-
00, 100
Все эти неопре. f.еленности СВО;lЯТСЯ к изученным выше (вум
пеOffределеННОСТ~f
путе> алгебраfi'fескнх преобразовапиЙ. По­
кал,ем это например, Ш> ОТНОfffению к nослед1-tu/v{ трем из \ка­
;анных выше неOffреде.fенностеЙ. Ка>f<да~f нз этнх неощ еделе+
ностей имеет ви;l
(8.29)
l';le при х ---+ а f
а g (;Т) стремится
выраже [не
стремится соответственно к
1,
О или 00.
соответственно к
О или О.
огарифмщ уя
полгшм
, что f(;r)
о)
>
111 У
111 f (х ) .
g
для на <ол;ления пре;lеЪН'lГО значения выражения (8.29)
то [но найти преде.шяое ;на'fение выраження (8.30).
;locTa-
Заметим что в любом из трех рассматриваемых случаев вы­
ражение
пре. f.ставляет собой при х ---+ 00 неопределенш>сть
внда . 00. Ста.ю б Лf" достаточно нагшться СВОДfПf, неопреде~
00
"
ленность ви.щ О '00 к неопре.f.еленности ВИ;lа О или 00' IJокажем,
как \то делается. И так пусть
z
= <р(;Т) . 'ф(х).
причем
1i
= О.
<р!
х--+о.
Перепише>
(8.31)
lilll'(;r) = ± . .'..
,"--+0. .
виде
z
=
<р!
'Цх) = y~i)
.
Ч:{i)
ОчеШl;lНО, вырюкение
(8.:32)
пре;lстав.шет собоi! при х
---+
а
О
неOffреде. [енность вида о' Наша цеJЬ достигнута.
При м еры.
Тогда 111У
;Т111Х
1)
Вычислить
1illl
х'". О; ,означим У
0+0
~/~. Пр i\<еНЮf ffраiНЮ
=
х'".
о нпал [, буде>
ФОГI\IУ'I
ТЕI1ЮГА
иметь
li
;",0+0
~ICIЮ
Отсю
'
l 1111
(111 у)
lп х
-
'--+0+0 1 (г
'ПО
=
lilll
"--+0+0
-
1j;J:
li
х
;",0+0
11111
,;--+0+0
1
-1-,
2)
Пусть у
lпу = -(е-,Х-1---:,--'--) ·111(1
ПOJЬЗУ~IСЬ Щ а шло\
+
Лопита, IЯ, полу Ш\
2:г
lilll 111 У = lilll
_lп---'.(_l_+_'х_2-,--)
х--+о е Х
;",0
-
!тсюда ~ICHO 'ITO li
;"
lilll ~ = lilll
:г
1-
О
У
§ 13.
;"--+0
=
- 1
;"--+0 {е Х
2х
1) (1 + :г 2 )
2
-
.
)2х = 2.
е2 .
Формрла Тейлора
~'станав,шваемая в этом параграфе формула является О;lНОЙ
и: OCHOEНI,IX формул матемаТИ'IеСfЮГО анали:а и
\ieeI много'
ЧИСIенные прилсm-сения как в анашзе, так и в смежны:<
ДИСЕИ'
плинах.
Теорема 8.18 (теорема Тейлора )). Пусm'ь фу1-t1И~'UЯ лх)
'U,fiлееm 6 1-tе'Х:ошоро'u ;жр:сш1-tосш'U mo"l'X:'U а :n:;i'UЗ60д1-t'!jЮ nоряд'Х:а
n
n -
fюбоu ф'U'Х:с'Uj 06a1-tifbl'U ilOM: р) 2) , Пусшъ,
х -
любое з1-tа'lе1-t'Uе аргу че1-tmа 'UЗ у'Х:аза1-t1-tоu о'Х:ресmносm'U р - про,
'UЗ60 fb1-tО; IiО,'IOЖ'U:!i' fb1-tО; "l'UCiiO.
.Nt:'жду ШО"l'Х:ам'U а '11
1-t i/lдеmся mO'l'X:a ~ т i'Х:UЯ, 'lmo сnраi:едл'U;:а следующая фор чула:
/(х)
=
/(u,)
+ г;!а)
+ f(2~ia) (х ф)(,)
... +_!
-,-"
(8.:Щ
где З )
(S.34)
1) Брук Тейлор - английский математик (1685-1731).
') Отсюда вытекает, что сама фУ7i'/ИjUЯ
'''ЛР:Р'Ы6U'Ы
3)
(х
u ее nРОUЗ60д7i'Ые до nоряд'l{;а
n
У! ;:за iiiii:f O'l{;p:iim:HOiimu mо'ч'l{;U а.
1а;;: ;;:::к ~
!i'ЖИТ ''!СЖДi
И а, то :г - а
_;)Р определепо для любого р
О. х-
>
:а;;: :то :;ыражспис
с центром в
i!ШО'Чi!!Ъt.fiЛ 'Ч,ле !ом.
(8.33)
а),
ВЫР;iЖiР
К [к мы УВИ.i.ИМ НИЖi, \,статочный члi н м( .ж:ет ()ыть з;шисан н!
толыш в ниде
34), fЮ
других
называть
\,статочный ЧЛiН, заии! ;шныij
'Ном
6
'!ле-
об!цей форме )
Д о к а
а т е л
с т
о.
Обозна'f
символом ср}
многочлен относитеfЬШ! х И, !РЯ;lка n, фигурирующиij виравой
'fасти (S.33), т. е. иоло>!!
ср(х,
--
+ -(2)(а)
-- (
2!
f( ... . . ) +
/'(0)
11
. . . . )2
х-!·
j(n){a)
... +-.n!
Даfее обозначн
СИМfЮ
)n
.
(8.:35)
ратост!
f(x) -
=
Rn +
Теорема БУД8'f доказана, ес}
iеляется формуюij
-а
ср(х,
М!,! устarюн!!
(8.36)
,что
R n+ 1
Offpe-
(8.:3·1).
Фиксируем лю()ое значение х из окрестности, указанноij в
формулнронке TeOpeM!,f. Радн OffределеНfЮСТН будем с'штю !.,
что Х
а. Оi)г!значим через t иеременную ве.ШЧИНУ, имеющ\ ю
област! ", свое} о и !менеНИ!f сегмент
х], и рассмО'} рим нсио>
гательную
'ljJ(t) Сfе;lующего ВIтa:
(х)
Подробнее
'lj!(t) =
f
,.р(х,
\южно заииса'f
- f(t) - .f'\t)
1.
...
llаша нefЬ
-
-
выра шть
!,
t) -
(х
0-
- t)pQ(x),
так:
- t)
j(n)
(t)
--;-(хn:
- t)! Q(.z).
(S.39)
ис:<одя из свойств введенной нами
,
функции
Покюкем что функция 'ljJ(t) у.ювлетворяет на сегменте а, х
нсе> усло НИ!f Teope>fыI
11 (Рол.Шf).
З фор><уш,! (8.39) и и! устю !НЙ, н<t7IOженных на
f(x), !!чеви шО, что Фунюшя
неирерывна на сегменте
'{!ПР
;азыв;!ю!
!агжг' фор;'.юЙ Шлсми n,Х;!-
ФОГ
и Д11ФФZР'1Щ11руеМ;I 11а
С'Т\"" 11"1 е 1) Убедимся в том, чТi'
n(а) = 1/{г)
О Пол т;ш в (8,3~)
р;шенство (8,:38),
иметь
1/)(и) = /(.г)
а и 11р11
<р(.г,
Итак,
IЛЯ
ВО В11 \'ание
(:г)
11а О(Н('Б;I
(8,36) пол)"шм 1/)(а)
О c;pa~'y вытекает нз
(8.39).
=
277
ТЕИ ЮГА
,IY'I
на сегменте
=
о Р шенство
а, х
выполнены все
УСЛОВЮ1 теоре\ыI 8.11 (Ро.
. На ОС11овании пой теоре\ыI В11Утри сегмента [а, х] Haij (ется точка ~ такая что
= О.
1//
(t) .lнффере1Щ11РУ~1
Подс'штае\
про IЗВОДНУЮ
(8.:39), бу (ем иметь
1//(t)
' 't)
/
+ -'-"
! -
= -
... + rn(t) n(х _ t)n-l _
/(2)
(t)
/(2) (')
+ --'
2( х.
- t\ - .. .
_ t)n + р(х _ t)p-IQ(х).
t)
_ 1!_ ' ('х.
_
/(n l'(t,
;;1
'n!
Легко ви(еть, что все Ч.1ены в правоij части
нием 11ОС1еДШIХ двух, в (а11
1//(t) = -
раве11С1 во
/ (n+ )
110
(8.·11)
(8.41)
за исключе­
У1IfIЧТОiI\аются. ТаI(ИМ
061 азом,
- t)n + р(х - ty-1Q(x).
,
n;
1(;>лагая в <Iюрмуле (8.·12)
t
(8.42)
и испо. ъзуя равенство
=
(8.40),
пол)"шм
Q(x)
=
(х - (~n-p
(8.4:3)
1
;;:р
Сопоста (1Ю1
(S.43)
и
(8.3S)
ОКО11чате. ъно будем иметь
а)Р(х
aJPQ(
оn-р+l /(n 1l)(~).
Теорема до (а(а 1а.
llаЙ;lем разлО)кение по <Iюрмуле Теijлора простеijrrrей
нИИ - а i2,браu'ЧеС'Х:О20 М'Н i20'Чле'f!Д n~20
Пусть
/(х) = Сог n
or;la,
il' iСЮ>ЛЬКУ
/(n+ )
(S.33)
формула Тейлора
/(х) =
/' (а)
/(u.)
+С
+ ... + Сn -
+ Сп·
О, (>статочный Ч.1ен
11р11
«ает
/П(а)
+-,-,,-
R n +1
О и
вид
\2
а;
+ ...
/In)(a)
+--,-(х
n.
(8.4:1)
1) Фушщия
[а,
па
j:],
,.275).
/(t)
/(n')
СС ПР(!ИЗIЮД\iЬ!( д(! порядка
(t) еущ('етв\('т и ({ОС :("!,:а
ПСПРСрЫШIЫ
е(
:",(C\iTC
IP
е(': "'(СП­
(\М. е,ю\ку З)
тве
(],
\южн\' взять Лiilбую то i "у бе; iшне'iН( й iipiiФОР>'iУЛ;; Т(ЙЛОР;; iЮ шоляет пре;; т;шить
многочл(н
в i;'U,ae m1-tОi'О'lле1-tii по crnene1-tЯ,ji (х -
любое ;;;ще; т ;енн(!! чнсл\,
Пусть т(перь
/ (х)
про!! ;вОЛf,1-tiiЯ фу1-t'Х:'Ц'U,Я, у;' fвлетворяюT(OneMfi
18 ПостаП"i"С'" В!,JЯ<НИТЬ, к;к'
свойствами обладает многочлен (S.35), фигурирующий в фор~
муле ТеijШfра il,iЯ этоП функции. Как и выше, ii\)l,eM обозначать
'тот МНОГОЧ,Jен симвQ.ЮМ ср(,г а). Символом ср(n) (,г а) обозначим
ща'"
УСЛО':f'ЯМ
n~ю ПрОИЗВО;lНУЮ "р(х, а) по х. Дшlференцируя формулу (8.:35)
по
Иfатем JюлагаiJ
м!,, JЮЛУЧН
следу' 'JJJHe равенства:
iJj'(a, а)
ср'
(а)
=
ср(2)
/'(u.)
= /(2)
(а,а)
Таким образом, фигурирующиij в ,Iюрмуле ТеПлора ;liЯ произ~
ВQ.JЬной ФУНКliИИ Л.г) многоч, JeH ср(.г а) об, JalIaeT слеДУffЩИМ
СВОЙСТВСilvr: !ш сам и его ПРСШЗВСf t.Ныe ;10 ПОРЯ;lка
включите, JЬ~
но ра ;Н!,' в то {ке
соответстве JJЮ /(х)
ее пронзводн!"
до по! ,ядка
n.
§ 14.
Различные формы остаточного члена.
Формулы МЫГ;ЛОIJена
1. ОстаТОЧJ
член
ilюрме Лагрн Jжа, Коши и Пеыно. Вьп!!е мы установили формулу ей, юра с остаточным Ч,Jе­
в
форме. 3 (есь мы установим t.ругие вСtЗlvюжные
представлеНИiJ ДЛiJ остаточного '!Лена. Два Иf эт!!х представле~
ний мы ПQ.JУЧИМ В качестве частньг! сл ,чаев из общей <Iюрмы
IOfM
остаТО'iНОГО
'!Лена.
Преж.t.е всего несколько преоiiразуем формулу ;liЯ остаточ~
но] о '!Лена
(S.34).
Посt.Ю,JЬi<У точка ~ ле!!;
и
rnшx;tJ' 'Ч/UСJUJ В 1
~
. При
iаким оiiразом сlюрмула
_ (,
_а)п
\fе!!!ду точка>.
ИЗ И !Шfj!ва!ia О
В
< 1,
(8.:3·1\
может быть переписана в ВIтe
n!р
! 1)
а
а)
что
+В(х
1(1_8)
,-~=
<
~=
В).
+ В(х-
i 'ассмотрим теперь два важны!! частньг! с Jучая сlюРмулы (8. 15):
) След.' е! ПОД'iеРii
ПО
iаiiЖ(' и ОТ р.
'Л::
1;.
ст:' еО быть,
8
заi:И,Яi
i(:лью:
Ое
i1СТ~\ТОЧН{
1)
р =
n+
(на юмним,
,2)
'10
21')
1ЛЕНА
'lTO в форму.!аХ (S34)
(8.45)
р \юж(т б1,ТТ1, нзято ю"бое поло ~1, нтею,ное 'lИ<ЛО)
из ЭТIГ< ч (стньг< ,л~чаев (р
- n + 1)
иривi' l.ИТ на,
к
>!агр({//-tжа
R
()
n+l:г -
(х -
(n
+ 1)1
f'(n+l) [
а
.
+
-
а)]
(8.46)
Эта фор\а остаточного 'шена наибо.1ее
в 11p 1Ю~
л::ению<. Остаточный член в сlюрме Лагранжа наиоминает сле
е1'ЩИЙ, очередной Ч~lен формулы Теijлорашшь только (n+1)~я
ПрСШЗВСi шая сlfУНКЦИИ Гlt) вычисляется не в точке а, а в HeKOTO~
рой ПРО>,fеЖУТО'fНОЙ ме>f,ДУ
то'! f,e ~ =
+ е(.г
торой
Иf указанны:< BbIfffe частньг< случаев (р = 1) приводит нас к
(fстаТОЧНСilVIУ члену
Rn +
6
форме Коши
_ -,---(,_а--,--)7_'--:-('----1_()'----)n .t(n+l) [а
+ е(х _ а)].
7)
n!
ак как формы Лагранл::а и КОffШ f\Твечают разным значениям
р
а е falШСИТ от р
то з 1аче 1НЯ е
являются~ воо;)' ,~e говоря
фОР\fулах (8.46) и (8.4~)
раЗЛИ'l1-tъ! чи. Дш (fненки некоторьг<
фУНКШ1Й форма Кошн ян~шеТСf1 бо.1ее предпочтите~lЬНОЙ, че\
форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лаграюка и
Коши обfГЛЮ ИСПOJЬЗУ''''fСЯ
тех СЛУ'fаях~ когда требуется f1pH
те:.: или иных фиксированных значениях х, отшчных от а, nри~
б iижеlf1-Uf 6Ъt'{ислишъ ф1(!!К'I~ИЮ
.t
Естественнс} приближенно заменить
(х) lVIНОГffчленом 'р(Х,
и 'ШСJlе lfЮ оненить сдел анн)'! , , при ло\ ошнбf,у. НаРfЩУ с этн
встречаются за~ щчи,
в которы>:
нас интересует не численная Be~
ли'шна Yf,afa 1НОЙ ошнбf,И, а iИUfЪ порядок ее оmi!!ОСШ!f' ibl~Uf
малой 6ели'{и1-tыl
iля этоij цели У.ЮI)на fругая форма
faf1
остаТО'fНОГО 'fлена (так называемая фор.NLa Пеа1-t(f 1)) к
,становлению которой мы и иере:iОДИМ.
Пусrn'h фу1-tКЧИЯ лх) И чееrn nроuз{(од1-t!>!е до порядка
6 1-tекшюро'u >Жj >сш1-tосши шо'{ки
И nРОИЗ61i f lfJjЮ
са~чой rnO"fKe а.
)бо.fНа'шм как
выше, символом
R n'+ l
(х) и МНОЛfЧ~lена (8.:35) и ;lокюкем~ что
pafHoc'l 1,
1)
-
n 6
фу 1КЦН
{ля Rn+l(X) справе
лино след)'!' 'щее равенство
Rn+l(X) =
01
(8.48)
Это последнее ранеНС'l но
на" 'т остато fНf"
'шеНО\f,
пре.fставленным
фор~че Пеа1-tо.
Так как ири С;lе1анньг< нами пре~шоло.ж:ения:< МНОГОЧ~lен
(8.35) и его производные до порядка n вк е1,чительно совиадают
в л'чке
МИ,
- (], СО('" "'т'тненн,"
НЗЯТЫМИ В тон Ж'
фу iКЦН' Й
л'чке
(:г) и ее пт ,"нз (('дН!,i-
то 'ПТ !if,едливы
)(а ) -и
нам
ран' нС'! на
о ," R(;;')
( ")
;;.+1,4
(849)
49) в л е (шет fiР'Д-
ОСТ!;," "Я
l:татшение
ш этого дос; аточ
10 с ПО\ЮШЬЮ раненств (8.49) ДО ,азать" что
liш R n +1(') = О.
(,-+о, (х
-
(8.50)
п)n
Так как каж ;ая из
R o, +1 (х) и (х ;lиlференцируе\! а (n
1) раз НСЮДУ некOi ОрОЙ окрестнос; и то f((и а, спра­
ве;lШВЫ равенства (8.;19) Иiю(;ая ПРОИЗВО;lная ,!,ункции (х-а)n
до порядка (n - 1) ВКiючительно обращается в нуль т о
ь к о
в т о ч к е а, то
вой 'fасти (8.;Ю)
;ля раскрытия несшре;lеленности, стоящей в ле­
МО+'fЮ!n
теорему Лопита ш
17
. Н;+1(');'
1llП
= ;IШ
,""а (х
-
а)
1) раз fЮGтrедовательно fip i\'енять
в результате чего мы получим
R~+ (х)
_
- ,,)п-1
х-+а n· (х
Уч п(,шая fiреДfЮG iеднее ране
писат; (S.5
в виде
liш
;",'
_;.
... -
R;,n-1,(x)
;IШ"(
х-+а n; х
-
п)
.
(8.51 )
iC'i но (S.49) , М(,' мо +'ем fiepe(n-1)( )
R n+1
а
1
(,-+о,
Так как пронз юдная
СООТfюше iНЯ
(а) сущеСi нует и
(S.49\ равна ну.
силу последнего
то предел ,ное та fение в пра­
НОЙ частн fЮGiеднего раненс'! на сущеСТНУ8'i
равно нуЛii'
'fTO
и
завеРfffает ;lоказательство равенства (8.50).
Тем самым ВЫВО;l пре;lставления (8.;18) завеРfffен.
за((Лi"'fение,аfj(iшем полност ,Ю фОР\fУЛУ Тейлора с оста­
точным Ч"iеном в форме Пеано
лх)
2.
=
j(u,) + .f';;ъ)
+ ... +
Другая запись ilюРМУЛЫ Теiiлорн. Часто
,а iнсыва~
ЮТ
ей" юра (8.:3:3) в HeCKo.iЬKo ином ви,;е. По. южим в
(8.33) а = го,
а) = ~x
нозьмем остаТО'fн(,iЙ ч"
форме
Лаграюка (8.46). При этом х = ха
~x, и мы пол, чим
+
j(xo
+ ~x)
(' ) _ .f'(xo) Лх.
j 'о
- -1-!- u
+ .f(')(xo)
(Л т 2
2!
,"u,)" + ...
'" л
... + "",,"n)
" (хо) (~г о, + .t,"'n+1)(
" ха + 'i6.x
,,!
)
(~J)o,
(г+1)!"
(S.53)
ПСТ~ ~ТОЧН{
неlШТОТ;('*
'10
281
1ЛЕНА
,}и;ю НЗ ИНТ;РБ;Ш О
< () <
~) Ф(;Р\iУ­
(8 11)
получается
л,; Т(йлор,; (:<53) ~ЕляеТС;l ;CTecTг;eHНlГ iiбобш;i'
Л
(8~11)(CM
5:5)
и;
Формула Л,;граюк,;
Б
астну'
ФОР\iУШ,Т
;лу'ше
МНi"iлорс:на. Пр 1flЯТО
;й
(8~3;\)
центром Б 'l'очю а = O~
а.\1ак 1Орена дает пре(lстаБ~lение функ ши
1a
Б ;жрестн(;сти точки Х
про 1ЗЕОЛ ,ной функцн
гра 1жа Коши
j
=
О. ЗапИtiiем
Маклорена
членом Б форме
j
Пеано 2):
, (S.54)
j
где остато 1Нl,;
1)
;ля
а-
ЕIЩ:
Б Фот ме
Х
n+l
(;; + 1);
j(n+l) (е.г
< е < );
2) Б Фот ме Коши 3)
х
3)
форме Пеа
(О
<е
1);
(8.56)
10
(S.57)
llСIЮlЬЮЕа~
форму.1Ы
(S.46', (S.47\
и
(S.48).
Перейдем к о leНlie остаТО'lНОГО 'шена
формуле ТейлораJ\Iаклорена к ((Тысканию раЗ.1Ожения по
Макш(рена
Бюкнейших элементарных функций и к рассмотрению различ­
Нl,lX 11p 1ложе 1НЙ этой фОР\iУJЬ1.
15.
Оценка остаточного члена. Разлоvкение
Hei"iOTOpbl элеТv1е 1TapHbIX функций
. Оценка остаточного чле1 для произвольной
ции. Оненим для ПРОИЗБольноij функ ши
((статочный Ч.1ен
фОР\iуле
акюрена
(8.i'A)
фор\ е Лагранжа
(8.;)5).
1) Колин lVIаклор;'н - английский математик (16 )8-1746).
,) При этом ;;ре,ц;юлагается, что
имеет в окрестности точки х
= О (;; + 1)-;" ир ;ИЗIЮДII;
для остато' юго iЛс;;а В фор".!с П;'а;ю окрестности то'
х = О (n - l)-ю ИРОИ;;ЮiIIУЮ, а в са",юй то' Ее х = О n-ю
проишо . ;н:ую.
З) Ен,; раз ИОД'iСРЕ
;то ЗlIa'iСНИЯ () фор .i.\Л;;Х {8.
и .56). вообщ!
говоря. раЗЛИ'i;'(;].
ПР<ДfЮЛОЖИМ,
ра ; {м iТРИ уаем iЯ
'fTO
нами
Фун {ЕИ!f
j(:T)
обл,щает сле.i.ующн
Сi\,ЙСf
веще i тве1!­
ное
'lrnO для все'уiНii :ени!! iiPi'Y.}VU 1:пиz
:г
cnpii-
и·!
iiедш!! iO нера уенство
(:г) I
(85S)
l'vl.
ФУНКЕИЮ, о(;ла;lаЮi i.УЮ \казанным сво [ством, ;>Y;leM называть 1>1f'!!K'I~Ui'U, совокуп1lОсm,'ь всех
кот !jlOU ограНИ'lена в окрестности тО'lКИ х = О.
з неравенС'! ва (S.58) вытекает ,{то
М.
и fЮЭТОМУ нз фор>. уш,i (8.у)5) следуеf
IR n
1:0171+1 Ij(n+1)
+ 1)1
1
ро!!
I~
{n
Итак, .чы nолУ'taем
11020 'ч !С1Ш
1>1/ !КЧИИ,
УНИiiерсал'ЬНУ!{! оченку
ocrnarno'l-
в окрестности то'Чки х = О:
( .г) I
Нarюмним, что ПРИfюбm.
м Ixl n 1 .
(n + 1);
(8.60)
фнксирова ffЮМ
T{,·+l
lim I. !
=
n--too(n+ )!
п.
1:0171+1
{n+1)1'
совок/т/носшь все.Г nроизвоi!1!ытr к nnо­
Оi'раНИ'lена 'Число.!!
(см. пример
(8.59)
,{то
О
. ОТСЮ;lа вытекает. что выби­
11, мы можем сделать правую
'{аст! (8.60) как угодно ма.ЮЙ. Это дае! нам ВОIМО!! fЮСТЬ ffP+
3 §
гл.
рая достаточно БОfЫfЮЙ н!!мер
менять ФОРМУfУ J\Iаклорена
функцнй,
ре
обfадаi!!ЩИХ
[ля при;;лил;:енного вычисления
указанН!,i
свойство>.!,
с
!
,бой
Harfe-
за;lанной точностью. Приве.iем примеры функций, сово­
купность все:<
точки х
=
j(x)
О:
=
Щ оизводньг<
еСТ, j(n)(x)
=
которых ограничена в
е/. Совm<упност! всех ffРОИ!ВОДНЫХ
этоil функции ограничена наfЮ(;ОМ сегменте
ло>.' М
=
2) J( х)
окрестности
[-r, r
(Т'
О) чис-
еГ.
= cos х или
= sit Х. Совокупность все:! произво
ньг! ка.жлоil из этих
ограничена всю
на ;;есконеЧШiй
прямой чнсло>. l'vl = 1.
Разложение по формуле IРlаклорена некоторых
элеме!!тарных функций.
А.
= е:Г • Поскольку ;(n)
= е:Г , j(n) (О) = 1 ;l.iЯfЮ;;О-
го
n , f a Маuюрена (8.;А)
2
~!
<ieeT вид
n
+ ... + х + R n+1(.Z)
(8.61)
пет ,точн{
< < 1)
(О
Н;! люБО\1
[-Т. +Т
(Т
О)
2Ю
1ЛЕНА
'10
в снлу
lOri1, чл'
<
е'.
полу !им следующую (Щ1 llКУ для О(Т;l111ЧlЮГО чш lla~
гп
i
IRn+l(X) < (11 + l)!е.
Б.1
= SillX. ПОСIЮЛЫ<У 1(n)(х) = Sill (г + n~)
{О
1(n) (О) = siп n2
форму
.
S11
где
(8.1;2)
МаlOIOреllа (8.;А)
la
Х = Х
х3
-
х5
х{
+ -:::1
,
-
3.~"
-1--Т-
{.
n,
n,
при нечетном
\1ее] вид
+ ... + (-1 )
-1
нечетное чис1О
n -
при четном
n-l
п-l х
-;-;т
'"
2
+ Rn
2
а остаточный член в форме Лаг} анжа
равен
Х
n
2
•
, Slll
2) .
IJ
иХ
+ n-2 + 7г
1i
< е < 1).
ОчеВИ;lНО, ЧТС1 наlЮ iOM сегменте [-Т, +Т] (Т
ного Ч~lеllа СllраЕед
нва следующаil
О) для остаточ-
онеllка:
п
2
IRn+2 (x) ~ (1)1'
n+.,.....
В. 1
фор ,1У
= cos Х.
Поскольку 1(n) (Х)
(О) =
n~ = {о-1)
Ма iлореllа (8.;А)
la
Х
COS
2:
r;le n -
cos
+
Х
4!
= COS
(Х + n 2 )
при нечетном
n,
n
при четном
n,
\1еет вид
6
,+
... +
6.
1)
n Хn
четное чис 10, а остаточный ч.
leH
+
(S.65)
в сlюрме Лагранжа
равен
Rn
12
= (;"+:)1 COS
n+ ., . .
любом сегменте -Т, +Т
члена (>ненку (8.64).
(еХ + n 22 + 7Г)
(Т
(О < е < 1).
О) получаем ;llЯ остаточного
(n
ус
(х)
1)
акл)рttrа
:з
2
~+~
(1+х)-х
2
)
3
I)_1.];"
-+Rn + 1 (x).
n
Остаточный Ч.iен Ю1 этот раз запишt м и ОЦttrИм И
г} u1-tжа, и G фо} .ме Коши:
_
фор,ме Ла­
6
(_1)П х П+1
R n + (х) - (n+1)(1+8х)п+1 (в фОро1е Л;1граЮЮ1),
х
R n +1
Для оцею;
(1 _
= -1
функции
О ~
~
О)"
1,
(1 + х)ш
1
удоб1
(в
1)
(1+8.];)п+1
'3.67)
Коши).
значени
8.66
'3.68
х. iiринадлежащих
исходить из ОСТ;1 10чtrого члс'trа
аг)анжа (8.67). Пере>ош в фОРJ\Iуле (8.67) к 'Ю.1.УШi
ПОЛУЧИ,1 ДШi все"
х из сег '.1еНТ;1 О ~ х ~
х
Из оцею;
нп +
х
---+
(8.69) очеви.шо,
'jTO
Оценим Teiiepb фl'ЮЩИЮ
ИСХОДИТi
1 + ОХ
во
< 1'
lil1l R n + 1
n-'tc:o
1.ЛЯ всех х из
+ х)
111 (
cel'MeHTa О
х
1
для оrnри'ЦurnСЛ'Ь1-tЪtх зна-
< Т < 1.
Для э 1ого бу 1.е\'
= -1
внимание,
'jTO
член в в iде
С;:];)
для
переходя в'е
'
Так как О
Ч 10
8.69
+ l'
остато'шо) о члена в форме Коши (8.68).
х
рин iмая
n
1та -Т ~ Х ~ О, где' О
ПереiiИ "ем )тот остато "Нi'
1- 8
1<_1_
П при nХ.
чс'trий х из
1
<
-
< 1
то OЦt 11Ю1
рассмат) ·иваемых
(870)
.
71)
(/3.70)
1 + 8.]; .
значени
х
мод;шм, буде;' иметь
позвол 1ет у 1ве'рждать ,
О.
1) Еще раз отметим, что в формулах (8.67) и (8.68) значения
вообще говоря, различными.
являются
16
ыI \1 Iкларf'
ПРff
Л:[:)
- (1
+
,
веще<твенное
[де
j(n)(x) _ \v(п - 1)
(п-n
1)
j(n)(O) _
(п
1),
- 1
\1 клореН\1
- n
[А
'lиело,
оекольку
1+1)а-n,
И\lеет вид
001.00- ) ... (оо-n+ 1.)1'
... + ---'------'----'----'-'-х
+ R n+1 ()
:[:
n;
Гl,е ОСТ\11С 1 Ч IЫЙ член
(х) -
R
00(00 -
фОР\lе Лагр l11жа р 111ен
+ ()х)а-(n+1)хn+1
1) ... (00 - n)
(n+ :)
n+1
(8.72)
(8.73)
R n +1(.T) = О, и
В чаСТI1Q\1 случае, ют
а = n -
мы ffOJП 1 Ч [м известн\ ю и
Ньютона
элемента!шOl'О }«тса форм\лу iiинома
(1
1 +!!.-
+х
1! х
+
цеюс' ЧИСЛСI,
(0<()<1).
n(n - 1) 2
'2:
х
+ .. . + х.
n
(8.74)
+
Если НУЖ110 ПG.fУЧИТЬ Р\IЗЛОЖС'l1ИС'
шучЛtl1а (1
:[:)12
Д11Учлена (u+х)n, то мос}(но вынести 0,11 ;а
и ВОСfюльюваТflСЯ
liюрмулой (8.74). При э 10\} ПОЛУЧИ\1
о,+т)п
(1+~)n
o,n[1+~ ~ +n(n-1)(~)
+ ... +(~)n].
Та}(
образом, оiiщий cfTfaii iiинома i iьютона яв, шется частIЫ
с
фор\}улы ,~Л\lклореН11.
Е.
arctg х. l\10ЖI1Q \/бе 1ИТЬСI1 в то ,}, что
при ЧС }НО,}
j(n) (О)
n-l
---Т-N
1) !
n
нечетно\'
n.
\IКИМ оБР\IЗОМ, фор\}ула
\IКЛОрtl1а (8. ГI4) с остаточным члеНО\1
в форме Пеано (8.57) имеет вид
arctg х - х (Зд; сь
n -
§ 16.
1.
х:З
3 +5
IС'ЧС'IНОС' число.)
Примеры приложений формулы Маклорена
Алгоритм вычисления числа е. В п.
4 §3
гл.
3
\1Ы В11е
ли чис1Q е как предел lim (1 + -) и пол(/чилиш е гру \(/ю
12--+00
формую
оценку
(3.7)
3)
.!
жем, как вы чиi ЛИТЬ чиi ЛО е
3.
Мitклореюt
ii)чt юсти Воспользvе\tСif
остаТОЧН()fР члена (8.6:~),
ТепеРf
мы
[<а-
интере i \iющей нас ct еffенью
(8.61)
и
tКОЙ
fЮЛОЖИВ в этих формулах
ПОЛУЧИ\i
1
+
!
+ n!
+ 2!
i
(1),
7Б)
.
76
г.t.е
Iдi
I < (п +lt!
е
1 (1
Выбирая в фор . tулах (8.Ту) и
можем оцеНИТf
РС'СУj{)щей
2.
tac
:::;;
3
(n+1):
досту! t(iЧ 10 БОfЬШС 1i'
(8.76)
стс·ш·ttыо точности.
Ррализация а.тс'ори'н Тi'Тii вычислрлия'ниела
тронной
ВЬГiислен fЯ
tый
прс'Ды
eferKo
ЧИСfа
реа,Шfз\'ется
Hii элрк-
пу
на
tKTe itЛго
ше iЧЮННО­
\iiiШИНiii.
приведе\i
при n
рез\fЬ ат ВЫЧИСfеitия ЧИСfа е ПОfе
ну! ЭЛС'КiрОi Ю вычислителы1ОЙ \iiiшине
=
БЭС
УкаЗit i
машине.
ВЫЧИСШТС'льньг<
J\lbI
мы
с помо fff,Ю этих формул 'iИСЛО е с лю()ой инте­
400
61). ВЫЧИСЛtitИif tiе.ШСЬ с 600 Зitакю.ш ПОСfе запятой.
1) .д 'я чит"Тi"ей, ЗНi1Ю1МЫХ со стандартным а'горитмическим я)ыком
АЛГОЛ, приве,iем записанную на этом языке программу вычислений:
ОuсrnеА1JL Алгол-БЭСМ6, варшшrn 10-12-69
begin integer i с
n т: integer аггау
Ь, е [О : 601];
m :
400; шаrg
50, 39, 10, О, о)·
=
[О]
[ог
а
[ог
Ь [О]
: = 1;
: = 1;
i : = 1 step
[i] : =
until 601 do
[7]: =
с
[7] : =
О;
n : = 1 step until т do
s1.ep 1 ппtiJ СОО
: = Ь [i]' с : = [О];
= О i1t,·P 1 uпtiJ СОО
[7] : =
с:=(с-n)х
р:
[ог
=
х
O+a[i+
i : 600 step - 1 until
с : = ф] + b[i] + р;
р: =
Н'
О
do
О
<
begin
end
10 1h,.·П с [i] : = ,·li1'·
е [i] : = с - 10: р : =
end
еПiЛ
[ог
n := 1
stеп
until 6 do
Ьеgiп i1utput ·ри/,. 'zcl.'. с[О]);
[ог i : = 1 step 1 until 590 do
опрп
end
end
end
О
('zcl', i'[i])
16
ыI
ПРff
\1
1кларf"
[А
287
Уч fТывая В1)зможные сш ибки округления, МЫfИ [1О1ледние 10 знакоtj и приводим реЗ\1льтат вы 1иелен fЯ е 590 зна­
IOtми после запятой
2.718281 132/345'! 04523"11 3(Ю28J 471352 6(;24Т J5J247
'J6696J 62J7J4 OJ6630 :15:1547 594Ы1 :1821J8 "112"11 66
4(Ю;191 9;1200;1 0599Л 81741;1 59(Ю:l9 04357:l 9003;14 :l9521Ю
738 з:~ 3:~8627 943490 763:~33 829880 753 95 :~5 О 9 01 573
:10702 Е 1089 119'ЛI 8/3 1167 509241 76146066/30/32264800
4 1853 742345 44:~437 107539 077744 992069 55 702 76 838
3Ч:184 5/33000 7"112041 'J;lЗ/326 560297 606737 11:1200 709328
443747 047~30 69(;977 209310 141692836819025515 108657
111252 3/3Т84 42"110"116 'J~136'J6 bl07/3514'J969 967'J46 /3641"111
93163(; 889:~30 098793 1:~7736 178215424999 229576 351482
8951'j:I 66803:1 182"1128 86'J;I'Н 4'J616"11 105/320 9392:I'J 13291\;8
36 ...
ОtJ\1етим" что
093()\!9
42742!
5951;30
834 87
168477
606:~6
70Л27
4(;37Р
'105987
208269
793:120
[а ПРОt1е tение {1сех t1ЫЧИСfений ушло около
ОДНОЙ l\IИНУ"Тf:J l\IаШИННОl'О Вi>емеи 1.
3.
Исполь:ювание формулы Маклорена для асимпто­
тических 1) оценок элементарных функций и вычисле­
ния преДРЛПСI. Формула l\lаuюрена является мощным сред­
СТВО11. 1
ДII1!
по.fучения
01
\tСИ11.!П"tОТИЧС·СКИ:<
юк
Э.fе.tент\tрuых
функций
вы 1исления fтеделов.
В г.
1.tbI уст ttюt1ИЛИ Сfе.t.УЮfffЛС· аси.!Птотичс·скис· фОр11.tулы
ДII1! шеме fTaptfыf< ф\ tfКЦИП:
si х-х+о(х)
\11
+х
- +о(х)
=1
ln(l+x =:r:+u(x)
еХ =
cosx
(8.77)
1 +:r:+u(x)
х2
1- 2
+ о(х\).
')
Формулы
77) дают пре.t.СТ1tt1fение элс·мс·tftjtрнЫ:< фуtfК "ий при
1.ta.fbIf< зuаЧС·UИ1fХ
Пс·рt1ЫС· чс·tырс· из фОр11.tул (/3.77) оцс·uи­
Ixl.
вают соотвеТСТВ\1ющие \.шементарные Ф\1нt)ци
с ТО·ШОСТf1Ю до
чшuоt1 1-.\0 nорядк;а Оtноситеъuоюй t1еличины х. а посшд­
няя и
(8.77) -
с точностью
Юfенов 2-го nорядк;а
отuоситсльно х.
!цеиок
(8.77) оказьпается достаточuо ДJI1t ВЫЧИСfе шя про­
стеЙШIГ< прсдслов. Ош\tЮI ДЛ1f t1ЫЧИСfения болс ч • сложны:< пре
делов, в которых о теделяю frуЮ рот
рают члены iiолее вы­
сокого ПОр1f {ка относи е.fЫЮ 1.tа.юЙ t1ешчины Х.
1) Формулу или оценку характеризующую паве. ,ение
--+ О), называют 1\сu.мnmО lli 1"ii1СК;ОU.
(з!\есь при х
(/3.77)
при
--+
а
ока;;·rвается
y>f<e
недостаточно.
Та
например,
'.,
if()M
)щи
(8.77) нево;" ожно вычи' лить предел; ное ша';ение
.];
х
(878)
х'
ибс, по ',и.'.у з, 'а:;"ен jтеля \j;;:ж
з jKЛJ; !чить; что здесь опре ,е
ro
Л2lЮЩУlZ) роль играют Ч.'Тены J-?O nор.яJ'к;а ОТllOСИТСЛЬНU Х.
Таки:;.;
юм, ДJЫ ,;ЫЧИGiения то' ,ктг< пределов необходи ,Ю
получить бсшее ,очuые ;jсимп,;"ические оценки дл;; <l;УНКЦИЙ,
стоящих В левых частях формул
Такие оценки
,е'мсдле';
(8.77).
ю выте'Юj;;'
,
из <lЮРМУiЫ
;jклореЮj
(8.54;. еGiИ в этоi! фОi)М;iе взять остато',шri! член в форме i [еаю (8.:57). 3;шисш;,; '<lюрмулы ;jклореЮj (8.6:1),
72), (/3.66)
(8.Ы
(8.65)
в ;йждоi! из этих формул остаТОЧНЫЙiен
в форме
еано, iЮЛ\ чим Giе.,.УЮ ;;ие аСТiМiiТоти',еские оценки:
sinx
1 + х)
n- 1
-1 -;-, _
=
п!
а"
a(a-I) 2
= 1 + 1:.1,
+2:
х + ...
0<
а(а-l)
... +
lп
(1
+ u(хП+l),
+ х)
;;3
х--+-3
еХ
1+
_
...
(а-п+
!
+.х
2
+ ... +
... +
1
,
8.79
хn
n
-+о(х,
n
... + -1
_
cosx - 1
х П +о(х П
п!
n хn
"2 -
n!
хn
+ о(х П ),
+ о(х П +1
•
(3де'сь
пер,юй из
н.е'ЧеmI;ое число.
последuе'й из фор
'Чеrтmое число.)
лы (8.79) оцен шают соответств;'ющие Э.iементарные ф\ ю<ци
с точносты;
,
ве.ШЧИUЫ х.
Ч.iенов .';1060,;0 nорядк;а пот, юситешьно
фОРJ\.ryлы ЯВ.шютс;; эффективuы
\j;jЛОЙ
сре ,ст,юм
ДJЫ ,;ЫЧИGiения ряда ,о"ктг< пре,ель ,ых ЗЮjчениЙ.
Приведем примеры ис ют ювания аСИМiiтотичес <их форм;'л
(/3.7'J).
о
качестве первого
iipимера рассмотрим
уже
;а
JJiCaHHOe
,;ыше предешьное' ЗЮjчение (8.7/3). Привш Юj,' пер,;у;;; из
(8.79) (вштую
n
3), будем иметь
lil1l
Х-+;;
,in Х
-
-
.];
.];
1
3!'
х:З
1
-
l'
X~~
_т 2 /2
е'
-
(О' .];
х; sinx
16
ыI
ПРf!
"
\кларf' [А
2Ю
ИСХОДЯ и
вида шаменателя, можно заКfЮ'jИТЬ, что \нтеде­
ляющ\'ю Р\)Лf должны играТf 'jлеШ·j 4-f'0 поряд}й относи} елью
(ибо sin
О(.Т)) Пользущъ фор ,}ула,ш
,}\))ке\!
+
записать
4'OS
-
Х4
•
1+
О(.Т '),
4,
1-
+
Х
SillX -
(8.80)
Х
(8.8 )
72
= 1 + z + -2 +
eZ
СТjjЛО быть. при
= -2/2
z
2 -
е
в силу
ПОfУЧИ\!
Х
1
2
+.х
2
и
(8.81)
4
+
(8.8:n
8
(8.82)
иско ,юс' пре f.ель юе зuачс'-
ние
'~,--2_+_'X"",8_! (_х_4с-)--c-.,---1_+---,~._)2_--,2=4
1
lil1l _1___
-+7"(-)
Х-+!'
,4
+ о(х 4 )
1
--~+
1
lil1l 824
1 + !(Х)
Х-+О
( 3feCb СИ\jВОЛОJ\1
a(:r:)
8
12
о(.х 4 )
мы оБОЗН;jЧИ ш f\e шчину ~' )шл по-
ЩУЮС)f бс,ско fС'ЧUО jj)ЩОЙ при
---+ о.)
30.
1
lil1l. . (cos Х
Обозuачи\! через у вс'личиuу 1) У
1
lil1l
:r:(sin·
+-
Х-+!'
=
а:)
(СО:1 Х + "2)
у. ЛогарифМИjj'Я j,ыражеuиеш у, буде\! И\jеj ь
Х-+!'
ln у = .
х(юп.х
-
х)
ln ( 40S Х
+ -х
Вычислим
ln
(о!.х
)
lil1l ln у - lil1l ---':-,---------,--'---
х-+о
1)
10
x'Sin1x)
При М,!ЛЫ\ Х
х-+о
(
со 'х
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
1
+
,(sin
х2
2
,)
)
.
Тогда
оскольку
cos
n(:r;"),
2
jf()Л\IЧИМ
8111
+
:r;
:r;
),
lп
=
lim 1 1 У
11
Х---+О,О
Учте\!!еперь, ч!!'
z) = z
ln 1
z.
э!ой ,1юрмулы
liКИ!\! образом,
1У
4
( 4)
+ ох
- li11'
;;! + о(х Б )
Х---+О --1 +
а;
24
- li11'
х---+!!
_
1
,4
4
Отсюда
1 - lim у -
е-4"
х---+!!
ЮС
ШЕНИУ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В
IjJ,[
!!I!!ТII',!ще'l' ,]I!IlOлнеНИ/!
(!ЗУЧИ'I' в; 11!P(IC
простейших!лементарных функций.
Дл',! !1!;1ч(!с!ения зн;; !!'н!!й всг'х У'1аза!!![г;
ВК!а алгоритмов, первый из которых основан на ра !Ложении вычисляемой
Н!И
Тей юра, а
- н;; !1;;1Юlжени!!
!г'пную И!И
непрерывную, !робь 1). Первый алгоритм позволяет составить е,.!ИНУЮ про-
гр;' ;!му вы;;исю'н!!й
ю!';;рифм(!че1 I'!/Й
06ратны(
!РЮ'Q!!ilмет!
ческих функций. Второй алгоритм ле(;1ИТ в основе универсальной програмвы;;исю'!!(!й !lс!;;лт,;!!;1Х !!Р!lс!еЙ11;!!Х э'!е;llг'нтарны(
н,!й,
Помимо обоснования указанных алгоритмов, мы провеl!ем о!!,енку числа
итера!!яй, обеспечивающих за/!анную точность вычислений.
1.
Ж1;ЫЧИСЛ/,;ние ЛОГ1(РИфМИЧ/,;СКОЙ И обратных ТрИГОНОМ/,;ТрИЧ/,;­
с,!:(их функций. Вычисление этих функций основано на применении форМ(
Тей юра. ]\;1!;I !ющю6Ю1
paCCMOT!I!!M ВГШР!IС
arcctg , arcsin
арктангенса. Г1!ычисление значений
СЯ
ВЫ;;ИСЮ !!!!ю
С
!1!;1ч!!с!ени!!
и
!Ю;II!IЩ!;Ю с!едую !!И(
]г
;;1'1 !lg Х = - - arctj: .х,
.х
aIccos Х = aIcctg
= 1;1'1 1 9
ю! ;;рифм;;
легко СВОf\ИТ-
arccos
И1!lест !!;1Х
)1 _
х2
'
~===
)1
-12'
1) Свеf\ения о непрерывных f\робях читатель может найти в учебнике
А.П. Киселева «Алгебра» (Учпеf\ГИЗ,
1959,
с.
188-201).
lEНИЕ
а=2
где р
1
м
?
1,
(8,84)
Отметим. что преf\ставление
в форме (8.83) е, шнственно. Используя форму,. (8.83), ;rГ"уче,м Д
In а еле'де ,е.щее выражение:
In а =
р
In 2 + 1 : М.
M=~l+
J21-x
и нодс
е., 'Л'.,
'.'
дл.' М
этг.
(8.85),
"рео6разуе"
f\ля ш а к слеf\ующему вд 'у:
In
Раз южи
,
функци
это! е.'л.жение
l+х
e.l" - 1-х
е.с ;.тг.чны;'
ш • •Iюрму 'е Макл.рена.
[('гко у6едитт,с', чтг.
'е "'м в .Iюрме Л ,"ран)ка е'меет гш'д; ';'ще,й
вк,:
где
18.89)
а ч 'ею
'ю "'но с'р"Г(' мmкд" ну 'е" и единиЦ"Й.
()
!ля прибли;;;енного вычисления
.lna
~
( р - -1
кот н;;.я ПГ. 'vч.,ется И;
ln2
ln
используется слеf\ующая формула:
+2 С +
(8.871
18.90)
пут"м замены
1" 1 + х
ч .гтью
К ,г.рена 8.88) д'я этой функци;,
г.с ';.Т"ЧЮ'гГ.
'е на R 2n 2
Замети •."
что число х в прибли.;;;енноЙ формуле (8.90) f\ля ln а опре .• еляется из форм;; 'Ы
учг'том ограничений (8.84), н.,лг.)кенных на М.
П. рейдем к Q!U'НЮ' погрг'шнг.сти
'Ы (8.90). Т.,к IйК при(нил,енное значение ln а, вычисляемое по формуле (8.90), отличается от точного
значения, вычисляемого по формуле (8.87) на величину остаточного члена
R 2n +2 (x),
тг. дл',' выю ''''''''',' Но"рг""
дг.с ;.т •• ч ... ОЦ' ,,,,т!, этг.т о,тато'!-
ный член.
Во-первых, выясним границы изменения
формулы
18.86)
получаем
18.91)
10*
Из
С" ду"т, что ДЛ'",нач,'ний М, УД"В'i'тв"ряющи<
(8.841 абсолютная величина
у ювлетворяет условию
''''равенствам
1)
0,172
Замети<, Т('"ерт" что
cTPY"!Yi'" г,с!"тг,чю,гг, ЧШ'Н" R 2n 2(Х) та"о,," чтг,
оценка f\ля отрицательных и поло('.(,ительных значений х может быть про
В('дена (Щ'!1 ""((вы'"
спос060'"
-х н(· изменю т структуры
R"n+2(X). ,ля
фг,,,,,,улы
R 2n + 2 (x)).
~ О. Учитывая это инеравенство
8.89)
в(· н!ч,!
1
.
1-0,172'
~ (0~~2~2~
IR'n+2(x)1
С !еду "щу
"
о ",н"у:
[1 +
В послеf\ней формуле внесем '0(172)2,'+"
< 0,208
'8.92), получим, заменяя в
1
+ Вт - (.д'!
в(· н!ч !ну
1
чи(л"м
1-(jх
0.1'2
1 _ 0.172
видно, что замена х на
ll((этому достаточно пг, !учит" ОЦ('нку
'n+2] .
в KBaf\paTHbIe скобки. Так как
получим сле. ,ующую о (енку . ,ля
R
'n+2(Х):
(8.')3)
!н,-вычислит(' н.н"Й
При (".,ч !с!еш,! (п а н"
(8.90)
берут обычно при
Точность вычислений
n
{О,172)1'
(енив"ется,
кю{
виднг,
чис' юм
из
не
2)
,ля этого случая
+ (0,208)14
14
'
ю(торг,(' Ю·
превышает 1,625 . 10 10.
2.
Вы ч и
е н и
()
arctj;
((,видно, мо)к Ю ((Гi"'!ШЧИТТ,СЯ С !уч"е'"
положительных значений аргумента ибо. полагая
lal
=
най"ем
aIctg а = sgn а . aTctg Х.
У"а)ке'"
Т('нерт, с !"НД"Р! ные "р' Г"'!," 'о ",ния, С но "г,ш,.ю "г,!оры< вы­
числение aтctg
f\ля значений аргумента . не меньших 1/8, приво, штся К
вычислению арктангенса f\ля значений аргумента, меньших 1/8.
Пусл гнач,ша.х ~ 1. ПГ, южИ'" у
arctj;.x, т. е. х
cgy. и Х1
tj;(Y-
=
- ,(l'ccg 1).
кю{
Из ш(с!едней фг" ·",улы нолуча('М Х1
arctj;.x
'(1'ctg 1
значений
~
()6ра! ,!мг'
8
.х
+ ,(1', (gX1
]г
= -
4
+ arct"' Х1,
ПРИВОf\ИТСЯ К вычислению
(луча!,;,
"((ГД"
=
=
tgy -1
= -.-.-'-- = - - < 1.
tl;y + 1
.х + 1
тг, вычисш'НЮ'
при О
aIctg
"РГУ ·н·!(т
arct.!.·.x
Так
Д!Я
< Х1 <
удг,в !етв, ,ряет
!".! ", (,ен-
< 1.
k1
k 2 = 1/2 k з =
k,
3,4 выполняются неравенства
.х
1/8.
()чевд.шо
,ля некоторого
< 2ki.
1) Т"К как .х явлю'ТСЯ функ (ией от 111, то вопрос СВ(ЩИТСЯ К разыскани!"
!я функци,! 18.91) Н"
[1! " 1].
") Нменно так вычисляется lп на электронно-вычислительной машине
м ",си'!а Н.Ю(ГГ"начения
БЭСМ-6.
lEНИЕ
ПГ, ю)ки'"
У
;,1';
tg Х,
g(y
Х
arctj; k
Из
;юлу;аг'м
x-k
1 + kiX
Та;,;
О,
.Х
(8,9!;
k
1,
k
< k,
k;,x
k
1
тг,
< ';k
-
получаем неравенство Х;
вычисление
llРЮЮДИТС,;
;0;
о, сг,г ;;,гю;
Поскольку
aIctg Х =
<
п;;;;вг'де';'
1
aтctg
k;
;;;,;ч;;с;ение
;Н';
'g Х
<
aIctg
aтctg х = х
- 3
при х
<
;;з
;;i;;уинтерва;;,
меньших
[/8 используется формула Маклорена
+ - - ... + (-1) n - - +
2;; + 1
При вычислениях обычно после,шюю формулу берут при
сы ;;;ют остаточю,;й ч;е;;
то
(8,94)
самое большее четыре
д;я зн;; н'н ;й .Х
к вычислению арктангенса, ;ля значений аргумента
[ля вычисления
;ля
+ aтctg Х;,
;ля значений ,у,ювлетворяю ;;их неравенствам
;;;,;ч;;с;е;;и;,; arctj; ,Xi ;;ри О
Х,
k;.
aIctg
Повторяя OIшсанные преобразовании аргумента
<
и; ;н';;;,;;енс;;'
[о ;то;чу ю; "ослеf\;;его выраже;;и',;
n
б и
1). П[,ю;'рам;ча вычисш'н;;й дл',; 'о; ;;рифм;;
отбра­
тангенса общая. При пользовании этой программой, ;ля арктангенса
а[ ,;,;Haf\o
.х 2n + 1
2.
Вычислени;,' тригон ;м ,'трич;,'ских ФkНКЦИЙ,
функ ;"ии
пою;з;;zтельнои
Фуню ;"ИЙ, Вычисление этих функций
п н ы х (или, к;к их г'ще н;;сыва;;;т, Н
й.
Р о
f\
НеоБХОf\имые нам свойства этих f\робей
приво" 1Ятся ниже в п.
вычисш,н;;г, ВСГ'Х ш'речю ш'нны; ;[tvн;;ц"й св',tзано С г,;;рс'деш нн; ,й це;;-
ной f\робью, которая получается при ра сложении функции Нl
;;сщрг,;;;ю рассмотр;;м t;;,;ч;;с;е;;иеt;;аче;;ий функци;;
х,
1l0ЭТОМУ
зате';' у;;а-
жем. каким образом вычисляются остальные фуню (ии.
1.
це
Н
'~o'~~
'"
к
т
дР'б~~
,'и,и
р ы е
Рn
Qn
с в е д е н и я о
;;азы ;;;етс,с
Рn
Q
= ЬО
цеп н ы х Д р о
6
я х.
K07ie';7i;;u
выраже;ие вида
а
+ ------,,;'-::-2--Ь 1 + ------=--;;-а,=-3- -
(8.95)
Ь 2 +-----
ЬЗ
+
Ь
Величины а1, а:" . ..
аn
обычно называются
а
Ь о , Ь 1 , ... ,b n
',aCrn7iblMU 87iaMe7iarneJP:,M'U.
Цепные, ;роби
РО
Qo
ЬО
l' Q
1) Именно так поступают например, при вычислениях на электронной
машине БЭСМ-б.
дя ,!их дроб,'й
Q
Pk
=
+ ak P k-2,
(Jk P k-l
(8.97)
Щ(]k-2.
bk (
Нам понадобится специальная формула для дроби
со()'( ,юше,ii,ем
дящие дроби
(8.95). ДлZL
Pk
Pk 1
и --.
Pk
1 -
определяемой
Разность этих дробей, О'iевидно, равна
Pk
(8.98)
Qk P k-l = (bk P k-l
Qk P k-l
PkQk-l -
1
(~k-l
PkQk
,
уС',анО!,лени}! Э', ой фор ,'улы сра н,и,,' Д ,е ,юд",о-
---Ч"сли', еЛh правой чассги
Рn
(~k-l(
в силу
може', бып .• аписан в Riце
(8.97)
+ G.k P k-2)Qk-l
-
(bkQk
1
+ G.kQk-2)Рk-l
= -G.k[Рk- Qk-" - Q/-IРk-,,]'
Последовательно используя соотно, нение
- (), ... , 1 и у'!Итывая, '!то Р_
1. (~_
(8.9:;) ,mлующий ВИ1\:
Pk _
Pk 1 =
!k-l
(_1)Н
(8.99)
= О,
=
(8.99)
для зна'iений k, (k -1), (k1. мы ПРИ1\а,им 1\роби
G.kG.k-
(8. 00)
Так как
то
мы и пол; '!им неоБХО'"Иl\I; юнам специальн; ю фор
с помощью
",улу для дроби
-Q :
n
2.
Раз л о
е Ф у н к
и и
th х
T~ е п н у
,уемый в Э', ОМ пунк, е способ ра,fД()'(i;ею,ч фУНКТ~i'"
Д
th Х
о б
h.
Испош.-
T~eiiHy,(f дробh
был
предложен Шлёмильхом 1) для разложения в т~епную дробь фУШЩИИ tg х.
Рассмотрим
нкцию у
ду (fЩiiе (),(i;деС', "а. получаем
даiiНОЙ фу ,к ,ии
п!юС',ы
сl1
.le
vx
1\ЛЯ зна'iений х
>
О',еВИ1\НЫ сле-
последова', еЛhНЫМi, Дi,фферент~ирова ii(ЯпреобраЮiiаНi""
I
(VXy! =
r:;;/f
2у х У
+ -У - -У-
vx
2VX
1) S С 11 1 111 i 1 с 11 О. Ueb"I d, 11 Kette11bIllc!, Пiг
PI1YS. ы;ы. \1. 2. S. 137-165.
=
О.
'/d;
х.
2%
lEНИЕ
х
О
2у'
У =
П"f'JНЛfшаг льно 1\Иффf ренцируя П))IСf f С'ТВ"
=
)2) ffY1\eM
Иl',!f'ТЬ
О,
l(3)
(8.103)
+
;/n)
fff'резu,,+;. '!ог ;,а из ПОСJНЛШ'ГО соотно-
у
Об"зна'iИМ отношение
fff'НИЯ
+
по.тг. 'fИм Т"Ж1\ество
1
2
и;
еfOТОрОГО
вытее;ает соотношение
Так как 11.1
у'
= у
..fi
2..fi '
о соотношеНiiе
---
(8.104)
Прf'
n
,аписано в следу "щей фор;,е:
t h..fi
' х=
в правой 'jасти этой
помощыо
(8.104)
при
лы
.
n =
..fi
-1-----'-:.,-')/-;11.-2
;аменим
11.,
его выра)кением,
ПОЛУ'iенным с
В ре"ул;;;ате получ;;м фор"улу
th..fi = __..fi,---x--=-_
1
+ 2Х71з
последнем соотношении мы можем заменить
)1\ 'iенным
с помощью
ж;'м прове;;ти лю)юе кош
фуню~;;и
'ff'M
th..fi
'! ае;ОГО
при
'iHOf'
1',10
'fИсло ра;. В результате ПОЛУ'iИМ ра;ЛffЖ;'НИf'
т~епну;" дробh. Заменяя
Н; жное нам раЗЛОЖ f НИ f '
его выражением, по-
РО';,а операции мы
это)' разложении
нкции
vx
на х, най­
в i;оне'шую цепную 1\робь. Это
разложение и) еет вид
thx=
---------------~----------­
1+
х2
(8.105)
--------;с----)г 2
3
5+
+2п
3.
к а
В ы
п о г
нкции
и с л е н и е
з н а '! е н и й
е ш н о с т
ы ч
н
с л е н и й.
Ц и и
!;;,lч;;слен;е
О ц е нmачен;;й
на ЭJН'КТРОННff-ВЫ'iислительной ма "ИШ' О);Ы'iНО произво';дтся
кторой тбрас ,шаетс,,; член 2х 2 ;;n+2' !ри
с ;Ю)ЮЩ;,ff' формулы (8. 05),
этом Т! б;'рется равным
6
(п
ffграНИ'iивают;;я 'fИптом 7г /
4.
зна'iения Ж f '
по абсолютной В;'ЛИ'iине
М,,; ПРОJJеDРМ m~PJJKY
Оl'l);'ШНОСТ
,
дш;
;
номер"
()бозначи\' прибли ,;енн"е ЗJJаче ,,;е фу ;к ;ии
th х,
п\ Г М отбрасыв ,ния "лен;,
n,
полученное И;
tll;Г, ';"метим,
вы Пl;лений мы ';i)ЛЖНЫ, '''';'ви Щ;;, оценить р" ш"сть
ЧТО
И tll;J: пре
СИИТНСТСТНСННО
аытяют С,,;JОЙ
Рn+'
05\
Для выя; нения П)'iНОсТИ
к,,'; ор,,;;'
обо; ;ач,;'
и
Qn+l
в "пишем значения час;ных числ ;телей а"
Ь"
Ь, дЛЯ этих дробей
а, и чаС;Н',J"" знамена';елей
'iерто';кой све;,ху мы будем обозна'iaТЬ веЛИ'iИНЫ,
Р",
отн,,;'ящие;;я К ';,роби ~), Имеем
Q;
ЬО
ЬО
Ь1
2n
Так как для дробей
щыг' формул
Qn
1
= (2n
Рn
(8.106)
(8.106)
= 1,
+1
2\2и ,
1.
1
Q-l =Q 1 =0
и соотно,нений
(8.92)
о с помо-
полу ;аем следу'рщие равенства:
Ql=Ql' Q2=Q2' ... Qn=Q
)Qn+ X2Qn_l' Q\+l = (2n +i)Q, +x 2Q
+1 +2x 2un
u
Пре1\ставим теперь каЖ1\УЮ из 1\робеи
Рn 1
-Q
n
1()7)
и
ясно
Из фор
и
1
';то ;ти пр;лставления БУ1\УТ от, !и ;аться ли,нь
пос',е щими ;;лага;'мыми. Попом; разность
QI'\+l n+l
ности последн;'; слагае"л,;; предс,аJJле ;;,й э',
Так как разнос,
(8.106),
(8.107)
1.
n
1
Qn
1
б\ ';;'т равна раз-
дробей ,;о формуле
рассма', ринаемых дробей ран ,а
th х - th х,
(8.101).
о, "спшп,;уя
ПОЛУ'iИМ сл; 1\УЮЩУЮ формулу:
th х - -th х = (-1 )n
2
х
2n
1
Это соотношение с помощыг' фор ,'ул
;'JТ(лующеl\!\
[1
Q Q
n n
(8.102)
1
1]
Q\Qn+l
.
легко преобра,;о ;],шаетс", к
ви
thx -thx =
_1)n
[-2-;
-=Q=-n-u-n+-2-+-(-:-"-'f!7"--~-";~-':~(=;n-+---=-]'
(8. 08)
Для получени", JJУ\';НОЙ нам от~енки НОСПОЛhзуе\,ся следу;ощи\ ,'днр, я нера­
венствами, которы;' б\
т 1\о\а;аны
Пр;; х ~ О для любого
k
~
1
Qk
;Г
>О
Hl·[)Ke.
справедливо неравенсmво:
~
(2k - 1)!!
(8.109)
297
lEНИЕ
"Ю' р;,
>
при Х
люf)(J' ,
ю;адра; ных
нит~ы
р"
Далее, ;;з
(8109)
п, ,луч ,ем "леду рщее не; ,ai\eH"CГ;;O'
+ 1)
-1;!!?
ому "р;; ;г
О, Т;,к как при
(8,109)), его выр"Ф;е"ие
08) HP пр' ;юсходи; ед;;-
>
погре;;;ности:
,2n+1
I thx - thxi ::;;
(8.
[(2n - 1)!!Р(2n + 1)'
Осега;ю ,,;МС,; на ш;е;;ке ;югреш;юс;
при n = 6 для значен;;й х, удш;леег ю­
ряющих нерав;'н;;твам О < ;г <
При Т! = 6 ';исло 2n - 1 равно 11 а
число 2n + равно З. Так как (0/4;
0,8, о х 13
(0,8)13
5,6· 10-2.
Лег;ш ПО;,С'iИтать, ';т" 11!!
10 з;);~" ПО ;TOl\!' У'iИтывая, ';то
1
13,
из формулы (8.111) по.тр ';им. ';то ошибка в приближ' нном ВЫ'iислении t11
д;"н; n = 6 не "ревышае'; 4· 10До;;ажем т;'перь н;'равенства (8.109) и (8.110).
Д о к а
а ег е л h с ег в О
е
а в е
с ег
а (8.109).
До;ажем сна'шла неотрицательность любого (~k' Из
л (8.106) вы
г'кает неотрицаг льность
отме';али, ,;то Q-1
и
О,
nk при ;г ~ О ';ля лю,юго k::;;
Мы
1. ОТСЮ1\а и из второй ИЗ формул
выте;;а;'т неотрицаг льность (~k ';ля лю,юго
ж"
k
Из второй формулы (8.97), а таюке из неотрит~ательности nk и Qk вы­
текает неравенство
(8.112)
Та;; ка;;
Q,
= 1,
а
bk = 2k - 1
при
::;; k ::;; n,
~ 3
и; нерав;'н'тва (7;.112) полу'шем Q1 ~ 1,
то последовательно
(2k - 1)!!.
Qk
С ;равеДШ"ЮС;h нераве"с;ва (8. 09) ус;а;ю те ;а.
Д о к а з а т
л ь с т в о н
р а в
н с т в а (8.110).
Дос ;аегочно доказасг;,. ч'; о все "рои,;юдные фу ;ю;ии
ch
о пол' 'жиг льны. О,;, ви,'що, г'м "амым мы 1\' ,;;а)кем н' равенств"
=
>
vx
, +2
ибо и n "., = ~
у",+,,'
Умножая после щее соотношение
са;
h
Э'; О соо; ношение
на
мы
4
;;иде
-4- У
МО)Ю'М
пер;'пи
)
У,;е';,ИМСЯ Г перь в том, 'по
x~~l Jг n + 1 / 2 у(n+l) С; )]
Для этого
';,ocTaTo'iHo
убе1\ИТЬСЯ в том, ,;то веЛИ'iина
(х)
ограНИ'iена при;г
'iTO УС") и У'
-+ 0+
соотношений У
ограни';ены при
-+ О
,;то и в' ЛИ'iина ;гу' (;г) OrpaHII'ieHa при
(8.
JXиу'
=
О. Но ТОГ1\а из
-+
О
О.
shJX
2v;r:
(8.102)
5)
выг'кает,
вытекает,
"С", ДН' ,'О
Н"Ш,'НИЯ (8, 03\
индукт~и" п"",уч", ТС""
ограниче ,а "1J1' х --+ О
О Д)Н, любого ,ю\,е, ,а n Тем
саыыы с,,"тн" ""ни''
114\ ',,l)казано
(окажем е ,eph, чсго ДЛЯ л,nб""" ,!Омер" n ПРOJ,'ш'д"а",
IOC.Ile
чсг" велич
+
5,
(,г)
>
ПОЛОЖИ'l('ЛЬН<i при Х
Тi'льна при ,г
>
О. О'т('виr:HO, 'тто
(х)
УСТ)
chvx
О. Пре.·ЩОЛО)IПIЫ. 'по ·'.ЛЯ не,шт"рого ноыера
положи-
ве.'iИ',ина
(8.116) положительна при ,г >
Убе.·,.иыСЯ ТОГ1\а. '1ТО и у(n 1)
положиел"на при х > О. Из (8. 3) заключае"" Ч',О про ,звоДная в левой час,
(8.11:t)
ПОЛОЖИ'jеЛi,на
х
>
при ,г> О. Но т"г.·',а и,
Ита,.', у,n+1)(,г)
>
4.
г и п
н О й
>О
при
В ы ч и С Л е
р б о
Ф у
к
и
'1
е
е с
и.
О, 'Г. е. функ jj'jЯ х п
(х) RозраС1аегг
сmлу"Т. '!т" эта фун.'ция ПОЛ"ЖИТi'льна при
и ш'равенств" (8.110),.оказано.
>
г
п е
г о
б о л и ч е с к о г о
к о с и н у с а
даЛh ,ейше', си\,воло\
и
Sn(t)
с и
у С а.
паз а т
л ь-
мы буде\ обозначаСГh
,mлующую цепную 1\робы
3+-----5
2n
+1
Обычно ДЛЯ элею, ронно-вычисл,п ел"ной \'аши ,ы соссга iЛЯl(J'! програм",у
1iЫЧ, ,слею ".' э', ой т~еmюй дроб". Иcrюш,зуя эсгу чюграм,\у, мож,ю бе"а­
Тf\У1\Ш'НИЙ "''''тавить ПIюграЫl\J'. вы',ю,m'ний гиперБOJiII'1е,',шго тангенса.
ибо, ,.'ак было выяснено в предыдущеы пункте, приближенное зна'1ение th х
ыожет быть ВЫ'1ислено по форыуле
ПРИ'1еы в ПР,ЛЫ1\УЩИХ пун.'тах было такж,' выяснено. 'по с
ТО'1НОСТЬ вы ислений воз
астает и пог
ВЫ'iИсление фуш.'ций Б11
с11
вели'" ни,'ы
е ность стреиится
нулю.
е 2х ыожет быть ре1\уцировано
к вы
ч ,слению гипе, ·болическО1 о сгангенса С ПО\ЮЩ,,'" формул
S112\
2
с11
- thx'
'тих форыул и И, "'ютно!! "НИЯ (8.1lГ;) ПOJг. ',аются сл, 1\УЮЩИ" Ф"рыулы
дл,·, "р"бл
,.',ie ,НЫ'" з ,аче,i"" переч"сленных фу ,ю,ий:
;;h 2х
Ясно. ч,о с ПО\ЮЩ,,'" эсгих фор ,'ул И "I>orpa\,M
л' гк" составляются програыыы 1\ЛЯ вы',иii.ТТi'НИЯ S11
5.
Ц И й.
В ы ч и С Л е н
е
выч"слений ДЛЯ
Sn(t\
,Ъ 2\ И е 2х .
г о
П" аналогии с разло)кениеы в ц' пн'. Ю
разл, ,Ж,'НИ,' 1\ЛЯ ф; нкции '!!; ,г.
,1
х
нкции
Ф у н кстроится
299
lEНИЕ
РаСС\iOЧJИ\< фУfiЮ'ИЮ у =
vx
\0"
ДШ, ЗНiJчеНi,Й х
0<
i
'че "iДHЫ C<i' дую-
Щi,е \о(угношени,<,, получае'Л>iе Пi,слеДOiiа<,еШ<НЫ<fИ Д ,фферен ,И!ЮiiаНИ'<'ifИ
этой фУШ1ЦИИ и ПРi,СТЫl\IИ ПРf'обраЗiшаНИЯl\IИ
2
+
4 xy /l
+у
= 0<
эсго сгождеССГRО, будем и\ е<,
6 y /l
+
= о.
+
у(n+,
Обозна'Шl\I отношение
ПОЛУ'iИl\I равенств"
'iерез и n
--;;т;;-
4'J:Ur;+2
4п
1. ТОГ1\а из после1\него равенства
2=
ИЗ
,шторого выТ!'кает соотно
/2
'2n
0<, сюда, R полной
l\I сле
,<а< Ш,JР ',а,
а ,аЛОГИfi с рассу ,1де !!!ЯМ
ющ,
rr
раiЛОЖ,'НИ,'
,
дл,<, J:Иi,ерболического
нкции
1
-х
'I!; ,Г В ц' ПН1 Ю
<,ai!! ен-
<,<PO'ib:
2
+ ---------5
+ 2n + 1 +'2х 2 и n
При! ,ЛИЖ,'ННО,' зна'iение
fiИЯ члеfiа
ti'r
полу'шется из этой
и n +,< С уче<, ом выра '1eНi,'<'
ЛЫ пi Т!'Ы ОТ'iрасыва­
(8.11'2) э, о приближеНiiOе значеНi,е
l\Iожет быть найдено по фОРl\Iуле
Ка'1 и в слу ,ае гиперБШП"iеского тангенса< l\IОЖНО убе1\ИТЬСЯ< ,!ТО с величе !!,ем n очнос, RЫЧ ,слений по формуле (8.
9) Rозрас,ае<,
пог;<ешность СТР"l\IИТfiЯ
С
iЮ\iOЩi,fР
ti'r
Sll1
х
1 + '1!;2
Н1 лю.
ИЗRеССГНЫ fi
из
курса эле",ен<,арной
- tl!;
И СОБ
1+
<
2
х
'I!; ,Г
\facгe" а<, ию,
И соотношения
11)) полу'шеl\I сле-
ду', 'щие фо; <l\IУЛЫ для вы ,исления приближенных зна'iений
;;i , 2х:::::
2;;
\2) . ,Г
52 (
о
2 '
n-rТ")-Х
«
СО> 2х:::::
заключен ,е за\ е<, "м, ч, о сгочнос,
h
5~ (-\')
фор,fУЛ
,in 2х
и со;; 2х:
+ 'l?
52 (
2)
2
n-Х
-Х
i(ЫЧi,слен ,й ,(се(1 функт~ий, ука­
занных в после щИХ 1\ВУХ П; нктах< 1\ЛЯ шести иТ!'раций
6)
БУ1\ет не
ыень не 10-11 п;<и условии, 'по аргуыент Х по абсолютной веЛIгшне не пре­
вышает
Г
А В А
9
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА
ФУНКЦИИ. НАХОЖ)1ЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО
И МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
§ 1
У частки монотонности функции.
ОТЫСКJ:.kние точек экстретvтума
1. ()ТТ,IскаНИf' у'шстков монотонности функции. В § 10
предыдущей главы 1\'IbI уже установили ряд условий, обеспечи­
вающ!!х возрастание (
с' ютвет!
ю убывание, невозра­
сrnание
1uyfiblua1tue) ФункЦt ш
СТ) на некоторо
ю !тервале
(а, Ь). Д! УДffбства СФОРМf'
'f'eM ('ще
нан
.!е усю!,'
f
1о.
то!"
у
что{'ы д!!ффереШШРf'('М ,я на
у=х 3-зх 2 -4
О
1 2
фу!!кт~:ю!
f(x)
ста.iШ) на
мо
И
1Ц
а, Ь)
убыо [ЛU
Ш'[ ,'рва. "',
достаточно,
1':
чтобы
производная
этой функт~и!
.ша Н('ОТliJiЩ;'Т: ..
на (неположительна) всю!у на этом ин­
т:
Ba.ii'.
для того чтобы дифферент~иру-
20,
eMat!
фу![кц!
Л:Е) возрасrnа;ш (убы[а штервале (и
) юстато' ю,
чтобы произвошая
Т:"! .на
(0[1
tТ~a[г"
f' (х)
[а)
была положи­
всю!у на этом
интервале.
Т"ким ffбразом, из\'чешtе Bfiiipoca ffб
участках мо! ютош юст'шффере! H~! тру­
eMff!! фу![кт~!
Рис. 9.1
n
СУ) сtюд!
n исследо-
ОUlf![Ю Зlш'Ка пери! 'й nРОUЗОQ; Ш"Ll Эгi!ОU
фун'Кции.
качестве ПРИ1\'Iера раСС1\ЮТРИ1\'I вопрос об отыскании участ[Ю!Ю
(.У) = :Е 3 - 3:Е 2 - 4. Поско. ! .Ю'
к ,в м;fНОТОШ
i11ыI1{{
1И1' ТО' ШК
f'(;r - 3.г. 2
- 2)
то. очевидно. Г
положительна
при
отрит~ательна
при
положительна
при
Таю
. "ТРЕМ', \lA
:г
2,
:г
2
<
:г
i;;ссматрю .;;ема;! ФУНКТ~:И;l lюзра,' l;;eT н;; ка)к-
юй и; ПОЛУПРЯ1\'1ЫХ ( - 0 0 , 0 1 0 0 ) и убывает на интервале
(0,2). График
фУllКЦЮ
;l<eH la pllC. 9.1.
2.
ОТЫСЮ.kние точех~
главы
возможного экстреМУМJ:.k.
Ml,I Bl;;"
фУllКТ~:Иl
f (;Т
П';ll;lТl
п.
2
лоnа.1Ъ1-tого ,МД"Х:СН,М,У,мд
установили
УСЛОU)"
lи f(:r) в да! юй
lKe .'н}ка.! ,н;}го м;;ю'
для удобства сфОР1\'1УЛИРУе:\I еще ра.: опре.l.еления
iг'зульта'l ы,
устаНОl;Ю нн
функт~ия
f (х)
,Ie в ;'ю;занном llУНЮlе.
l.елена ВСЩl.У в некоторой окрестноlюшя
если
С,
(,У)
ТОЧКГ' С ло"Х:ал'Ь­
наЙ.l.ется
такая
окрестность
(с) ЯВЛЯг'lС;l
В
ШllМ iнаимеlЪШ:
их значеllИЙ этой фУllЮШl .
Лою;лы ,lй максим;'м и .'юк ;.'lЫ ,lй MllНllM;'M о{;ъеДЮlЯЮТС;l
общим на.:вание1\'1 э"Х:стрс,,::у,,::.
Сле,l.УЮlll.ая теорема устанавливает 1uобхо:luмое услmзuс ЭU
тре,м,у,мд дuффере1-ti(uруе,м.оii фу1-t"Х:Ч1Ш: ес;и фу1-t"Х:i(U,я 1(:г) дuф­
фп}(";;ч'ш}усм!!
f'(c) = 6.
T~H!
то'Ч;,;
имс;
э пои то'Ч;,; ЭU
"'ум, iЛО
ТаКИ1\'1 обра \01\'1. для отыскания у дифферен; :ИРУе:\ЮЙ функ(,У)
lC'K в;;з ;ю)ю Н;ГО эю' lpeM;'Ma
<ует la lТИ
ю ;рнн
уравнения
О (т. е. найти все нули прои.:ВО,ЩОЙ
КОрlШ ;'раВllен:,я
(:г) = О
f'(;r
;'iудем наЗl
f'(x)
lKa\'
iii'i"'ОЖ1tOгi' ЭUiПрi "'ум!! ФУНКiiИИ f(x) 1).
За1\'1етим, о.щако, что, по~кольку равенство нул ;; первой про­
н :воднон
;;')ю
l;Л;lется л!!iШ'Ь 1ti:обхо:luм'Ы ", 2) УСЛОl;llе;' экстремума
Д::iЮ.l
lте.lЫЮ
lCC
lг'ДОl;;;Тl
lЮПр;;;'
О
lЧllН экстl
1\'та в каждой точке ВОЗ1\ЮЖНОГО :кстремума. для проведения та­
ю;го Д ;iЮ.iН: ,теЛЬНОl"
lCC lГ'.Юl;;НllЯ <'лед;';'" YCTaHOl;:
досmа­
т,''Ч,!п;rе УСЛОUi"
1tu.лu'Чн;;· э"Х:стрсму,,::а,
чему мы и переходим.
Первое достаточное условие экстремума.
Теорема 9.1. Пуст'!, mо'Ч"Х:а с ,явл,яетс,я тОЧnO'il возмо Н;НО­
3.
фУ'!i"Х:ЧUН 1(х), U nу; iЛ'Ь фУ'!i"Х:Ч'Шl
1) Иногда :шрни уравнения
f(;r
f' (х) = о называ::п ста'И,i;О1-ШРН/Ы.м,u то ,r.;a.Mu.
ч·; О Э'; о уело ,,;е не явл;·;е·; ея дос; а'; очным, видно ХО'; я бы ';3 i аес·,ютрения фун:'ции у
;г\, Эта фун:'ция не имеет э:,етр,'мума в ТО'Н;;'
2)
в :шторой
f'(,) =
о.
302
lЮ· ГРАе;
ЕОI\ШlГi iЧ1.СЮiЕ
llKA
()
'Цч,у,
ee'!·i'
nредслах ух:а.ю1t1tOU ощ,(стностн
nОЛОЖi!
т, i'ii'НЛ (оmрu'И,атеit,ьна) сле6а от то'!nи
гпрш;(],
?u~e тn}) фу1t?'·'Ц1!Jl
лоnа. !'ьнъt'Й ,лШnСU,М,!j,М, (M,UHUM,!jM,!
и оmрu'И,ате 'ьна (no~
f (:г)
и.нее!л
тn !'ч,?,., е
Ь'с. iU :же nроиЗ60дна.я
тn})
е U~{)П
uстn.
ПУСТ1
1)
в пределах рассматриваемой окрестности положительна
/lРiща'1елы
i'ле1!ii от с
!/lР1ща'1елы
ва от
Требуется доказа1Ь 1'10 З11а'lе1 1e
шим (
1меньшим)
З11ачеЮ1Й
(l1ОЛО)КИТС"
1a)
f(c) ilВляется
f(:r) в pai '
1аиболь­
шас'\юй
окрестности. Обошачим чере; ;Та любос значение aprY1\IeHTa и;
рассмаТр1 !iaeMOH окрестности ОТЛ11Ч1 юе от
доста'1О' шо 1Ока­
З!iТ.,
что
f(c) -
Лха)
1С'Ю!!!!l'ое З1
=
f'(~)(c
аl'гу\,и"
прои.шо шая f'(~) положительна
OTl щ!!тс'льна (п'!л!!'i. 1'1ею 1!,)
ПУСТ1
аргумента
отличное
меil1ДУ с
f' (.У
l!,Я
,
ха),
ОД1
как и !!ыше.
от с,
ха.
1epe;
тот жс'
Ха люБОi
знаки !!ри ;Та
эК'·
1peM! ма
в
И !!р1
1Ke
311!,K
1a-
и повторяя проведенные вы не
\!Ы 1еперь док !il1eM, что
ППi1tъti
(9.1 )
ПОСКО. 1 Ж!'
отрrщательна) при ;Та
С И
> с, права!l ча!'lЬ (9.1)
!1Оло)ю 1тельна (о 1рЮ iа'1ельна).
чение
.1Tb,
Me11TY
!!i'дем
лс)
где
О
Щ1 !уема (!С] ста.1О
\!еюlЯ к f(;T) по се!
фi' 1КlШЯ
1a сег\'!е1
8.1:1 ЛаГi !!iH +.а,
>
Лха
Ха
>
(9.1)
с.
дока';е
!!ает отсу!-
с.
Пытека !!!!{ее из теоремы
правило можно кратко сформую Ю1.!'Т1 l!,K: 1) если при nере:Еоде 'Через данную то'ч,х:у с 60З­
",ах:сн",у'"
f' (;Т) мп и{.ст 3Н!!" с плюс!!
, то фунх:'И,и.я Л:Г) им,еет 6 то'Чх:е с
',"ШtU,Ну,Н); 2) сслi! Жi nри nерс;тm!, 'ЧС-
рез данную то'Чх:у с 60зм,0!!!ного :жстремумл nроиЗ60дна.я
1Ц
'!,
м
!ло эх:стре,ну,на
!i!о'Чх:е с
ПредП!,лага!!,
!шлю {ра
при каком соотно нении меж. {у r и
пЛ!,ща.
р
,1. 1)
нст,.
консер!!!!!,я ба!!ка
r
B!,1fOT!,1 h, определ!!т!"
h консервная банка с посто-
,Ю !Ю! 1Ой П!шерх!1ОС'1И и\u,i,"
!а!
,шин !,БЪС',i.
)бошачим площадь полной поверхности консервной банки
S. Т!,гда
+ 2nrh =
S = fonst.
(9.2)
i11ыI1<{
. "'ТРЕМ") \lA
1И1" ТО' ШК
)того равенства находим,
что
S
-Т
, мы м' )}l<eM выр»)з' ,Т1 ))бъс'"
Таю
как фу 1КЦИ )) рад туса
7Гт 2
V
r
2Т
КlYlсеР111ОЙ ба11Ю
7ГT:~ Задача сведе11а к
Т")
S
v (r = -Т-
отыска11ИЮ
нулю про и ;водную
Н»)ХО.
s
Т./·'(г
I
=
"2S -
;Ъ7ГТ 2 и учитывая, что
r
> О,
1КУ в);з ;IO)ю 1);ГО экст'
а
Г-
-
Хотя по СNIЫСЛУ
«).3)
671'
lа.щчи ясно, что единственная точка В03NIOЖ-
H01); ЭЮ" 1рем)'ма ЯВЛЯС'lСi1
1Ю;";1))Ю"И;lУ\""
1И V(г),
1\ЮЖе:\I строго убеl.ИТЬСЯ в этом, ИСПОЛЬ.lУЯ теорему
l))Я,
.о' ,31 о l))Я V' (г)
r < jSj6n 0)1 lТ~a1)" 1a
37Г
=
,и
г2)
> jSj6n.
(((71 -
110
1ОЖИ1)"
1a
при
Y;la(1»)B',M
при каком СООТНО11lении между радиусом
r и
h
объем
V (г)
Щ)
реаЛ11зует<я на11б))Льший
консеРВ1
у
банки. ДЛi1 ЭТО1О
paBe11cTB); (9.:~)
1a г 2 и в пра
вой части полученного при этом равен·
1ЮСlli;льзуеМСi1 с)ютношс'Нl
h
ри этом получим
.
r = 2, т. е.
Таким
h=
обра1ОМ,uанfi),лъш'шu
(9.3).
2т.
обо(
будет у тои 1>:онсервнои баю;;u, у пота·
выlотаa равна диа,м,етру 1) .
2)
Найти точки iKCTpeMYMa ФУНКll.ИИ
(:Е
(.1) =
- 2)4,
. ПоскоЛlЖ;'
-
(:Е) =
5(.1
то е.l.ИнственноЙ точкой ВОlМОЖ-
1ОI " эю" 1peM)'Ma
'))с.9.2
i1ет<"я 10ЧЮ' х = 2.
'1 ак
Г(;Т) положительна, как слева, так и справа от ЭТОЙ
1К1 ,
tЯ (.1) = (:Е 1e 1MeeT точек экст'
\lY;la (граф11К фУ11КТ~11И (.1) = (х 1з);бражс" на )И(. 9.2).
4.
Второе
ДОСПiточное
'Тl)УД11еНl1е
условие
экстре Ту] У Ty],fi.
Иногда
3(1))K)' пеР1ЮЙ
.оИ31ЮД11О11
Cl1pa1<a от то 1КИ 1ЮlМQ>1 1010 жстре\lУ\lа. 11а iT01
;'к '}l<eM др;'юста'l')'
1Ое ;'С1О1)'
1а.1
ЭКСТ1
мума в
1ССЛ; .Ю1))Нl1е
ЩННОЙ точке с во lМОЖНОГО экстремума, не треБУ1ощее
) р, шенная наl\Iи)а1\а',а показыва) 'Т. 'по в инг'ресаХ,ЮШОl\IИИ Ж)'СТИ
ИЗГОТОВЛЯТЬ ЮШС' рвные ,)анки с высотой, равной ·;даl\jj'Тр,.
HOC'f!'
('С'!
С ОПiЛi, "нпй
!/iY1-l'l);j/и.я ] (:г) и чееm 6 У)П1-l1-l()П
6()3.fiЛii Шiiii!i()
ФУ1-l'l);V;u..я
n!ст"
е.fiЛij.fiЛП
m ()'Ч'I);У
с
1!()не U!iJЮ ",!т!пРУI!!
.f
м U!i!MY.Nt, если
(с) > О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия
(с) < О (> О) и из
теоремы 8.9 ftbITeKaeT, что функция I'(х) "бьшает fюзрастает)
в точке с. Поскольку по условию ]'(с) = О, то найдется такая
окреС'! носТ1 точки с
пределах KOTOpoI] г(х) юложитеJьна
(отрицательна) CfeBa от с и отрицательна { fс,ш,жительна) cffpa~
ва от с. Но тогда по предыдущей теореме ](:г I-Еfеет в точке с
макс [! I\I,'M (минимум).
3 а м е чае. Теорема 9.2 [!меет, вообщеОfЮРЯ, бо~
лее у:шую сферу действия. le1,l Teope1,la 9.1. Так, Teope1ila 9.2 не
решает ВСН роса об экстре1ili'1ilе дЛЯ СШ,' lая, когда вторая (po~
и:~водная ](2) (х) не су! !,ествует в TO'lKe с, а также Д'!Я СЛУ'lая,
'Когда
на.'!ИЧИИ
(с! =
О. в последне1il СЛУ'lае для решения вопроса о
:~KCTpeMYMa
l!ЗlЮДНЫХ lыIнfихx
нужно
ИЗУ'lИть
поведение
ЮI1IДКОВ, что б,'Де'f
в
точке
cJIe'laHo HaMl!
в
с
про~
§4
этой
главы.
При
еры. 1. В lашку, имеющую ФОР1ilУ полушара pa~
li'ca r. о li'щен однородный стерскень длины l (р!с. 9.3). Пред~
полагая, lTO 2т < ! < 4r, найти ПО.'южение равновесия стержня.
Д
Е
DВ
.--_ _ _ _ _ _ _ _,.--,--=-/
~c
Положению
равновесия стерж~
ня Сlютветств,'ет 1ilИНИ1ilа.'ъное зна~
чение его потенциальной :~нергии .
.
е.
наинизтттее
его тяжести О
является
положение
центра
поскольку стержень
ОДНОРОДНЫ1! 1
центр тяже~
ст " его сов lадает с его середино 11 ) .
к
L
Обозначая
'!яр
Рис.
9.3
lерез ОК перпендику~
П'ЮСiОСТИ. на liОТОРОЙ
CTOl!T
lашка, 1ilЫ сведе1il зада'lУ к OTЫCKa~
l!Ю того ЮЛОСf1ен
стер! !я АВ. lIJll котором отрезori О
(!Me~
ет 1ilИНИ1ilа.'lЬНVЮ Д !Ину. Прежде всего ВЫЧИСЛИ1il длину OTpe:~Ka
ОК как фi'НКЦИЮ iT'la а наклона стержня к шоскости, на KO~
торой стоит чашка. Пусть DL пара'ше (ьно ОК. а ОС перпен~
Дlll1!'ЛЯРНО О
- точка. в liОТОрОЙ стержеш, о! l!рается на
край lашки).
Из Пр1fМО,'ГОЛ ,ного треyrО'lЫf
=
EDcosa
=
cosa. По условию
OD = ID -
lia EAD
=
слеДiет, что А
l/2. ТаКЮl обраЗО1',
0= ) '!'С os а -l/).
>КСТГМУМА
DL
)С =
ОК
о
гош,ника О D(~ им( СМ
OD
[!м С!бра:С!м,iЛИН;l отрезка ОК, i{i)ТС!IН юмы оБС!знаЧf!М ЧfOрс:~
f(ol равна f(a)
=
r + ~ sina - r sin2a.
Пере;одим к отысканию того значения
ставл
ieT IШ! [!м\'м f(a).
,которое до-
yr'fa
Чi о мы мо +~eM ограНИЧИ'i i,C~i
значен
т па а ю
четверт [.) Так
f' (01 1 cos 00- 2т cos :)00 = ~ cos 00+ 2т cos 2 а, то ТО'lКИ во:можного :~KCтремума на;одятся как решения квадратного уравнения
- - cosa 2
оскол жу
cos а
2т
=
в первой четверти ПО'ЮЖf!те [ен, то нам п! И!о­
ден только положительный корень ',)того уравнения
cos 000
Хотя по смыслу задаЧf!
=
1 + ';12
+ 128г 2
16г
ясно, что ед [нстве iная точка fЮЗМО;'j{­
ного :~KCTpeMYMa
000 является точкой минимума 1!IУНЮlИИ f(a)
мы \'C'iaHOBf!M это строго при ПОМОЩf! теоремы 9.2. Достаточно
у"едиться в T01,l, (то f(2'(ao > О. Поскольку
- i2 sin а + 4т sin 200 = 8т sin а (cos а -
-) .
16г
то, в силу (В.4),
f(2) (000) =
8т sin 000 (cos 000 __1_
16т'
ем саМЬЕ} \'станС!влено, чте, положению равновесия стержня от­
вечает угол наююна его к плоскости, на которой стоит
определяемый формулой
lашка,
(9.4).
2. НаЙ'i [! экстремаJьные значен
IЩf!
Эту функцию l,lЫ уже исследова lИ в п.
графа
. рис. 9.1). Так как f'(x
зх 2 -
=
х3
f(x)
1
зх 2 -
настоящего пара­
6х
=
3х(х -
то
функция f(x) имеет две ТОЧI; ВОЗМОЖНОfО ЭI;стреМ\'I\Ш: Xl = О И
Х2 =
ПОСКО'fькушак f'(x слева и справа от :~ти; TO'leK легко
выясняется,
можно
решить
вопрос
()(,
:~KCTpeMYMe
при
ПОl,lOЩИ
теореl,lЫ 9.1
[ервогС! ДС!стато'шС!гС! \'СШiВия). Не, мы преДfЮ'lИ­
таем привлечь Teopel,lY 9.2 (второе достато'шое условие). Иllееl,l
=
-6 <
f(2) (2) = 6
> О.
ffI\I
ffI\I\ I\I
обра:~ )м,
В ТОЧf{l'
1f!СИМУМ
2
В Т )Чf{l'
И Mff~
:н iЧСНИЯ этс,{:
рав [Ы
ДiiН~
схема отыскаНИСi!кстремумов. До си!
нор мы реllЕШЕ вопрос: о Н"ШЕЧIШ
фУНКЦИЕ f(x) ЭКС:ТРСМУМ,,1
в п;аnоu
с,
функ!!uл f (х) дi!.ффере1-tЦ!!руема. 13
',:TOi:,
ii,a у
пункте
{:,ы
изучим
вопрос
О
налитии
в
TO'fKe
с
',ш:стреi:'У~
такой ф\iНКЦИИ, которая не диффереНЦИР\iема в TO'fKe с,
но ди:jiференцируеi:,а всюду в некоторой окрестности справа и
слева от с.
ОказываеТСЯ i теорема
1 iiюжет (оыть оооощена на СЛУ'fай
такой :!iУНКЦИИ. ИмеННО i имеет место Сfедующее утверждение.
Теорема 9.3.
функ!!uл
х) диффере iuupye.Nta всю~
в неnотороu оnрестН0сти то"Ч.nи сою исn/!ю"Ч.е1-lШ·. U бъtтъ
мо,:нет, (амой точк!! с,
неnре{ ывна в
с.
Т0211а, если в пределах уnаза1-l1-lOI'l оnрестН0сти nроu.зво !1-lал
(х) nОЛО.нс.ип;еЛ"Ь1iа (от{ и!!ател'Ьна' iлееа от точк!! с
от­
ри!!атеЛЪ1-lа (nОЛО:JICит("Лi на) справа от то"Ч.nu. с, то :f;Y1-lnцил
I"(х) !!мееп:
с лQ"i.алыiы"u маnГ!!М1j.Nt M!!ii!!My.Nt). ЕiЛ!!
:JICe nроu.. zвОII1-lал
(х) u..чеет 011u.1-l u. тот :JIC(" знаn сл("ва и сnра
f'
ва
от
точк!! с,
п;о
f"iCCmpeM1j.Nta
в
с
нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о в точности совпадает с дока:атеifЬ~
ством теоремы
1. Только на ',iTOT ра: ПРИi:,еНИi:ЮСТЬ К функции
ю сегмент\ [с, ха] Teopei:'bI Лагранжа \iстанавливается сле~
дующим образОi:': по условию функция f(x) ди:jiференцируеi:,а
(а стало бьп ii.
непреРЫfша)
на ЮЛ\iсе:менте (со ха] И.
кроме того, непрерывна в TO'lKe с.
caMbIi:, f(x) непрерывна
fiCfiOД\ на сегменте [со ха] и Дffффере Щ ip\ieMa во ficex в }\iтренних
то'ш:а! :~TOГO сегмента.
и
у
ки
I\I
еры.
. Ha11Tff
точ~
f
:шстремума функции
(х)
')та ФУНЮiИЯ диффереНЦИР\i­
Ixl.
ема всюду на (iесконечной ПРЯi:ЮЙ.
Kpoi:,e ТО'lКИ Х =
И непрерывна
в TO'lKe х = О, причем производная
f'(x) = 1 при
х
< О.
1
Teopei:,a
х
неприменима,
9.4
2. На iти ТОЧii
9.;-: она имеет
(pffC. 9.4).
ЭiiС"iреI\I\I\Iа
iЩff
>О
х
а
к
и равна
:пой
corifac 10
-1 при
фуюсии
теореме
ii'ИНИi:'Уi:' при Х =
О
у = х 2 / 3 . Эта функция
непрерывна на всей бесконечной прямой и диф:jiеренцируеi:,а
всюду на ',iТОЙ ПРЯМОЙ i за ИСКIIЮ'lениеi:, точки х = О. Производ~
>KCTPiMYMA
iPif:I:
Ш1Я
3U7
Орав [а
2 1
3
iРfЩЫiУ ТIfOM ПрifМfOрfO прои :вод iая имел;: в ТОЧКfO
рыв 1- го ро
). н;: :~TOT ра; прои :водная
1'1:\: fOfOт
= О ра;­
в ТОЧКfO :г = О
ра~рьш 21С) рода (\<беl:кuнетrный l:КС1ЧUК>1). И:i ныражения для
iРОИЗВОДНС:Й следует,
lTC: эта
iроизводная отрицательна слева
от ТО'lКИ х = О и положительна справа от :~той точки. Ста:ю
БЫТ1', теорема 9.3 ЮЗВОЛl1е1 i'тверждю 1" что рассматриваемаl1
1!IУНКЦИЯ и:,:еет
= о
(: рафик
;,: ини:,: у;,:
в точке х
=
рассматр l! liаемой
ции изображен на рис. 9.5).
3.
Найти ТО'lКИ :~KCTpeMYMa функ-
ции
у ~ Лх) ~ { ~ +c'I"
при
#
:г
при
х
егко
видеть,
что
:~Ta функция
HeiipepblBlfa на liсей бесконечно!1 iРЯ­
;,юй. В са;,юм деле, единственной 'сом 11fте,:lЫЮЙ»
ТОЧ1iОl,]
Рис.
9.5
Э'lОЙ точке
Яli, ;яеТСl1 ТОЧ1Ш х
функция непрерывна: ибо
lil1l
,1:-+0+11
У
lil1l '. У
О.
,1:-+0-:)
Далее: О'lевидно, lTO раСCl:атривае;:ая фунюrия Диф1IlеренЦ lpl'eMa на Bcel,] бесконечно!1
, роме точки х
О. I3СЮдТ
кроме ',;той точки, производная определяется формулой
=
у'
+ e 1 / J; + _e 1 / x
= _ _ _ _--",T~+ e1/ X ) 2
(1
ЛеПlО lilце11" Ч1 о iредел
,1:-+0
f(,T) - f(O)
lil1l
11:
Х-+О
+
1
не Сi!ще-
ствует так lTO функция У = f(x) неДИ1],ферен rируема в точке
х = О.
оскольку ПРОlfЗlюднаl1 у! полож lтеЛЫ1а и слеliа, и спра­
ва от ТО'lКИ х = О; раСCl::атривае;::ая функция; согласно теоре;::е
9.3,
не имее1 Э1lC1
peMl!I\Ia
ТОЧ1lе х =
О. а ста'ю быть, и lюоб-
[.е не и;::еет :~KCTpeMYMOB. (Гра1!ШК раСCl::атривае;:юй функции
lfзображен на рис. 9,13.)
1) в том смысле, чт : эта произв щная х :ть и не существовала в точке ,т =
= О,
НО нм:'Ш'
этой тОЧ]ii' ]iOiie шЫi' HP ",ое
[яе СОВШ.щаЮЩiН· м:'жд"' обой,
леiюе Пl.Н.ще ii.iiЫi',начеНИ1i,
обшей С:ХЕОIIIЕО {)Тысг
точек л jj;;;л ,н )го Эj;С~
юлоским, ЧТО функция
на Ш!~
J(:T)
ее проuзводн'(]'л Г (:г) су'ществует
ръtв'l-ш, '1-ш, это ч uнтерва/ji всюду, 'КрО че 'Конечн
[){)I1IЕО
то;
!РЕОд! юло
,; !!м_
{jO
HCJJpe
ЧUС Ja точе'К
что
сл в НУ/iЪ нп интерв j.;jE (а, Ь) JШ/i;'
у
в 'Конечном чuсл;
Ины!;!и
словами_
юлагае!;!,
lTO
точf'К
!,!ы
на
пред
интерва­
ле (а, Ь) имеется .'fИШЬ KO~
х
TO'leK.
нечное
число
торых
!роизводная J(x) не
в
ко
существует и.' fИ обращается
в Нj'ЛЬ. {)бозначим эти точ~
ки
Рис.
9.6
ро lЗlюднаj!
СИ!;!ВО.'lа!;!и
<
<
хl
. .(2 •... ,
< ... <
<
(а
хl
х,-,
хп
В силу сделанных предполо~
сохранлеп; по! П;ОjjННЫЙ зна'К на
дом и:~ интервалов
(Хl' Х2), ... ,
. Ь . Ста! ю быть, во
nрос О налu"t!!U Jn{'n;pe.NtYMa в na:.)/caoIl ifз
х . х'-' .... ,х п
MO:JICem бъtтъ решен (в утвер{)uтелъном UJШ отрU'цател!!ном
счъtсле) nри nО.ЧОЩU тсор; .чъt !j.3.
Здесь !,!ы не буде!;!
РИВiДИТЬ !p:VI!;!epa. иллюстрирт"щеГi!
общую схе!;!у отыскания точек локального ',;кстре!;!у!;!а. Такой
!р!!I1Iер будет !р !!!еден нами в § 6.
§ 2.
Напраплрние выпрклосттт- ГРjjфтт-ка
П: ,едпr, !;,жи!;!, что ф!'нкция J(x) диффереШfИi'уе!;!а в
TO'lKe интервала (а. Ь . Тогда! как установлено в п.
1
;{,бой
гл.
5.
су'ществует 'Кшател'Ьнал 'К графU'К1j ФУН'КjjU!! У =
х), npoxoa.jjщал чере; .Jюбую точ'Ку ~M(x, J(x)! этого ?рш/iu'Ка (а < х < Ь)
npif!jeM эта касате!!Ьная не парал!!ельна
2)
оси Оу.
ОnРj/дj/ЛР/-/'Uj/. Будем говорить. что
J (х)
;/!ун'К'Ции У
=
U.Nteem на uнтервале
а. Ь) f;ЪtnУ?,лО! п;'ь. наnравлен~
НУ?}) внuз (вверх; еслu гршj и'К этой !JУН'КЦUU в nр;делах y'Кa~
зан ;0;/0 JJi;n;ep Jaла ле:J/Сjjт не HU:J/ce f не выше) лю, ю'и свое'и
'Касательной.
З а III е ч а
и е
. Терм!!Н «граф!! лески'! не
(или
не въtиe) своей касательной» имеет С!;!ысл, жiо касательная не
параллельна оси Оу.
На рис. 9.7 !!зображен граф!!
фУНЮl fИ. име!"ш!!
вале (а, Ь) выпуклость! направленную вни;
Рместо
;!;пер!!! ;а можно р;.;ссмат! НВ!!"
ПРЯМУj{1 и другое
на
а на рис.
HTep~
и:~о
полу ;fiЯ;i;УЮ. бес iоне'ш,- ю
MHmj;eCTBo.
2) Ибо УГЛОВО" коэффипиент ее равны" пр ;изводно" j' (х) сх;онечен.
зш
НА}
2
а
Ь
Рис.
9.7
Теорема 9.4. Если
у = f(x) пмееП I на i!i!п!ереале
(а, Ь) к:оне'Ч,ную вторую nроизводную и если эта nроизводна.я
неотрицател'Ьна (неnОЛО:JIСi!.тел'Ьна) всюду на ;тО.fiЛ
ле, то график: функ:ции
=
(а, Ь)
f
выnук:лост'Ь,
направленную
ilниз
Д о к а :~ а т е л ь с т в о.
Сlучай, кС!гда втС!рая
Для определенности рассмотрим
рС!извС!дная f(2) (х) ): о всюду на а. Ь ).
ОбознаЧl}I\I через с лю6ую ТОЧi;1 и пеРliала (а,)
9.9). Тре­
(Iуется ДOKa:~aTЬ. 1ТО граfjшк функ ши у = f(x .'lежит не ниже
касательной,
pe:~
точку
}нем
рС!хС!дящей
М(с, f(c)).
\/paB }eHl}e
1е-
За-
у
указанной
касательной. обошачая ее те­
i;\/ЩТ 1 ' ОРД1}
через У.
Поскольку угловой ко Iффи­
iil}eHT
указа iiЮЙ iшсатеШ/ноI.j
равен f'(c1 ее уравнение I-E1eет В1Щ 1 )
У-
f(c) = f'(c1
-с).
РазЛОЖl}I\I фУНКЦИ!/'
=
.
х
(9.5
f(x) в
окрестности ТО'1КИ с по формуле
n
ь
Р Ic.
9.1)
еЙлора. беря в :лой
ОJП/Ч}}I\I
У
=
f(x) = f(c)
+ I'l(!Ci
(9.61
где остаточный "пен вшт в форме Лагранжа l ~ заКЛЮ'1ено меж­
Д\I с их. ПОСО;О-1ЫО;\ по УС101iИ!/'
х) l}меет ВТOf)\/Ю lРОИЗВОДН\/Ю
на интервале (а, Ь ), формула
HTepBa.'la (a,I?) (см. §
Л.
справедлива для любого х из
1) в выпуске 8 наСТ/iЯJнего курса Д/iказаН/i, ЧТ/i уравнение прямо", ПР/iХОТО',К'- lvf(a, Ь)
и;.;еющгЙ
ЮВОЙ коэфil !!ЦЮ'Р' k, !!мегт ВИД
у - ь = k(.I-
ДIIЩГЙ ',ере
Соп )ст;шшш
(9.6)
о
Н;l а. Ь),
ОСКОЛJЖУ [;тор 1~} пр' 'f!:~f;C' Ш;l'·"
ДШJ [;С('Х :г И1 а. Ь)
то fравая Ч;lСТЬ (97) неон ПifцаПUliЬ j(l, т.
У - У?
И.llи У ? У.
Последнее неравенство дока:ывает. lTO гра11 ,ик функ JИИ У =
х
в преде'fах HTepBa'fa (а. ь )'fеж [т не
Ifaca~
тельной
.
Аналогично доказывается теорема для СЛУ'lая f(2) (х) ~ о.
а м е а н и е 2. Если всюду на интервале
Ь f(2)(x
о. то.
леП"iО i'бедитьс J, у =
- Лf!
ная ф('li'·
т. е. график ее есть ПРЯ11lая .1ШНИЯ. В ··1ТО11) СЛУ'lае направление
fi ' 1UIOC"Jl'
[ыI
IIЮf}{НО
СЧf!таJЪ
РОИЗВОЛJ,НЫМ.
9.5. Iycmb вторая nроuзводная функ:цшt у = f(x)
непрерывна
nОЛО:JIСliтелъна (отрицателъна)
точк:е с. То­
"Iа существует так:ая ок:рестностъ то'Ч,к:и с, в предела) к:oтo~
график: фУН"К:!!Un у =
в !l!3 ((1(1ерх).
о к a:~ а т е
ка
.1 (х
U.Nteem выnук:лость, направленную
ь с т в о. По TeOpe!lle 8.i1 об устой'швости :~Ha
фУНЮIИИ на11дется такая окрестность точки С, в
пределах которой вторая производная f(21 (.У ПQ. ' южите.1fЬна (от
Р:Шlательна). По lредыдущей теоре!1!е график фУНЮIИИ у
f(x)
И!l!еет в пределах ·.lТОЙ окрестности выпуююсть, направленную
fШИЗ (юерх).
аким ооразом. направление въшук:лости грат! ик:а т/!унк:ции
полностью харак: т!ерnзуе т!ся з!шк:ом
При м е р.
ФУНЮIИИ
трива ' f
Исследовать направление выпуклости гра1jfИка
= х:з -зх 2 Эту функцию, мы уже paCCMa~
= f(x
lП.
и 4
реДЫДi'ще1О
=
f!Ида второй
lTO
lJ)ff
= Х
про !3floaHoIl :ппоu
lаратрафа (см.
9.. Из
BblTelfaeT.
lРОИЗВОДНОЙ
х
fjx
)
:~Ta производная отрицательна при х
1 и положительна
х
. Таю!м образом, [ыI li'lfЛОСТf рафffКа функцИf! у
- зх 2 направлена вверх на у lacTKe (-х.l) и вниз на
('чаС"J
l"ie
<
, ,Х
§ 3.
Точки перегиба графика функции
1. ОпреЛ,еление ТО'lКИ перегиба. IIеО€')ХО,!l,имое условие
Rlереlи€')а. Пусть а, Ь и с - некоторые три числа, свя:~анные
неравенствами а
с
Ь. ПреДllС 1 ЛОЖИМ. lTO ф('НЮIИЯ У
f(x)
< <
ДИС!Н!fеренцируема на интервале (а, Ь) т. е. существует KacaTe.1fb~
ная к графf!
этоI,] фУНЮlИИ во [;сех ТОЧlfах, аБСШfССЫ которых
принаД ' fежат интервалу (а, Ь). ПреДПОЛОЖИ!l!
кроме того, что
:3
ТО
31
fИН
у
J(:T) ffMfOfOT ОПрi' fСЛСННi)fO ,Ш! 'i·fiШ Нffi' BЫ~
H,i кажДt м ff:~ ИН'f fOр i,iЛCiВ
с)
(,)
ОnРi"дiIЛil'Н,Ш". ТО'Ч'/);(}, М(с, J(C)) ёРПф'U.'К:{J фУН'К:'Ц'U.'U.
т
о U
е р е ё и б (], ;тОёО ;1 f)(],фи}С()',
J(X)
н(],зывпетС>f
Щiiствует та'К:пя о'К:р('стност;, то'Ч'К:и
},m!!ОfЮ'U
у
ОСН абсцисс, вnр; I!ел(]'х
у
-
= j (х) слева и справа от с
U.Nteem раз ible наnравле;}i" iibl~
МО
M~_ _
nу'К:лости.
На
9. О ffзображен г! a~
фик фУНЮIИИ, имеll'П'
lере-
гиб в точке М(с, J(c)).
lfОiда
при
о
определении
х
ТО'lКИ перегиба графика Функ~
J
ции У
(х ) дополнитель~
но требуеТС!f чтобы у'К:азшi.НЫU
Рис. 9.10
?рш/iи'К: BC10ily в nреilелах достато'Чно .чалоU о'К:р('стности. то'Ч~
'!Си с ос!! а6С'ЦifСС слева
!nраеа оп! с ле· !нал по разные сторо­
ны от 'К:асатеЛЪНOIl 'К: эточу графи'К:у в то'Ч'К:е }.;[(с. J(c) . Ilиже
мы ДOIiаскем, что это Сlю11ство будет liыIекагТ1
опреде'lения в предположении,
непрерывной в
Ti,'lKe
lfЗ данного НЮШf
lTO прои!водная г(х является
с.
Докажем слеД\'ющие
Лемма 1. Пустъ
у
J(x) U.Nteem nРО113вод !1JЮ
в 60'К:рестности то'Ч'К:и с, nри'Че.i; эта nро'U.зво,!
ная неnрерыена
с.
огда, если граф!!'!
у =
х
и.чеет на 'U.нт('рвале (с, с
6) выnу'К:.!шст;· направленную вн'U.з
(ееерх) , п!о ii!юду
предела.! !Ui.п!ереала (с. с
';);тOfТ!. ;lрафи'К:
ле:JICит не H'U.:JICe (не выше) 'К:асателъноu 'К: граф'U.'К:у. npoBeileHHou
в точ'К:е
( С.
с) ) .
.f' (х
+
11
о к а з а т е л ь с т в
+
ассм т им п седовате ьн сть
{х;;} точек интервала (с. с+6). сходящуюся к TO'lKe с. Чере; каж~
Д\'Ю точку Мп(Х п . (Х п )) рафика Ф!'Р
У = J(X) lроведем
Тiасательнт".
этом.!
рафику.
. е. пр [мт, 1 )
i
-
n
хп
= J
имеет на интер~
ВЫПУК'iOсть, ню равле fН!'Ю i!НИЗ (Biiepx) то ДЛ!f
Так как по условию граijшк ФУНЮf.ИИ
iiале (с. с
+ б)
лю()ого номера
нтерва. [а (с. с
J(x)
n
и любой
+ б!
и к с и р о в а н н о й
ТО'lКИ Х
ifMeeM
УП =
1) I\IbI iiСНО р.з,lеМ·"Рi.ШНГ"ИГ jj ря,.юЙ. проход iЩГЙ ',ере да"н'"ю тОЧ); '1
МN
f(x n )) и имеющеii УГЛОВОЙ коэффипиент,
ОРДiiнату ЭТОЙ jjрliМОЙ обо шаЧi,.ем ',ере У ...
равны"
f'(x n ). Текущую
И: Н:ЛОВ::
HfO::PfOPblBHOCIP
HfO::pfOpblBII< ПР
:::~I('Л( ния
в ТОЧКfO С
и:
п,
!, чт(:
!(,СТВУfOТ ПРfOДfOЛ
1im и(:г - YJ n-+х
1im и(:г) - J(:T n )
-
n-+х
J'(:Tn)(:I: -
:г n }
=
(:г
Из с\:щеС"I :ю:;ан
и теоремы
3.13
и:~
!)
юследне:о предела в силу нераве Iства
§1
х -
г.::.
с)
3
(*
ПQ::УЧИМ, ЧТО
Г с)(х
с)
О
О).
ЕСJШ обознач::'!!, через У теf,\'ЩУН; орд::
f,асю eJIf:HoI,i (9.5),
прошдЯ! !,ей lepe: TO'lKY M(c,J(c)), то пос:еднее неравенство
,жно переписать в виде:
(х) - У ;? О
О).
Итак перешдя внеравенстве (* к пределу при n --+ 00 и
ЮЛЬЗУ~I теорему
3. 3
из гл.
х
3,
мы получим, что
-У;?О
для любой фиксированной точки
(:::;;01
из интервала (с, с
чем У обозначает теf,\'ЩУН; ординату
lерез
f,aCaTeJIf:HO i,
+ дl
при­
про:;еденноli
TO'lKY М(с, J(c)). Ле:l:lа доказана.
а м е ч а н и е. Аналог::чно форму.ш:р\'ется
дor,азывает­
ся леf:lf:lа 1 и для С:У'lая, когда график функции имеет опреде
ленное нас :равление вы : \'кш сти не на интеf ,вале (с, с
д), а на
интервале (с - д, с).
3
+
Лемма 2. Пустъ
у = J(x) !!.Nteen! nроизвод;f1jЮ
в не'КотороП о'Кр("стности то'чхu, с, nри"ч'ем эта nрои,zвод­
нал неnрерЫ6iШ в
с. Тогда, если граф!!! фун'К;!и!! у = J(x)
и,чеет nер("гиб в тО"ч''Ке 11:1 (с, (с)), то в nреде./шх достато"ч'НО
J'(x)
J
малоu
-о сuестности п!о пси с)топ! граф!!'!: слева и ;nраеа от с
ле:JICит по разные сторонъ! от 'КасатеЛЪНO'Ll, nрове;!еннои "ч'ерез
то"ч''КУ М(с,
J(c) .
д о к а
брать д
>
а т е л ь с т в а
О настолько малым,
',:той':еммы с:едует вы
lтобы на каждом из интервалов
(с
с) и (с,С+д) граф:
у
J(x) ::ме': о::ределенное
направ':ение выпуклости С'!ТО направление будет раЗ'ШЧНЬЕl на
интервалах с - Ас) и с, с д)). После этого для доказательства
леf:lf:lЫ 2 остается ПР:VЕlенить
1 к функции у = J(x) по
+
f,aflfJIOM\' из нтервало:; с д, с) и с, с + д).
leMMa 2 позволяет нам установить неоБХОД:VЕюе
г::ба граф"f,а дважды дифференцируемой
условие пере­
данноli ТОЧf,е
ции.
Теорема 9.6 ('Н.еобходzсмое условие nерегzсба графш,,-а
два:.нсды диффf'ре'Н.циРУf'j1/!.ОЙ фу'Н.'К'.ции) Если фун'Кцил у =
U.Nteem в точ'Ке с вторую nро!!зеодную и графи'К :ППОU
фун'Кции им; ("т nере/иб в тО"ч''Ке 1I:1(с, J(c)), то J(2'(c) = О.
:3
д
:~
ОРД1!
то
313
1ИН
т
fO
л Ь
(\!Щ;l!!!
!с!(!аТСЛ1!Нl!!!
чсрfO:~
lKY графИКl .М(с, f(c))
Рассмотрим функцИi!!
!) (:г
у=
!)
f(c) + f'(c)(x - с).
lfMeeT в ТОЧllе с lГО·
ПРОlfЗlЮДНТ!'
HellO-
равную раности f(x) и линейной функции
Эта ф\ ПЩlf Р(х),
функция (х,
р\!ю
lРОИЗВОД 1\!Ю (а
ютому
lfMeeT
пеРВ1!Ю
торой окрестности с, ПРИ'lе!!! ;!!та первая производная непрерыв­
на в ТОЧllе с).
Clf lУ леммы 2
малой Oflрестности ТОЧК!f с
график функции
= (х) лежит слева и справа от с по разные
стороны от касательной, проходящей через TO'lKl М(с г(с)
а
ClepOBaTe!lbHO; функция Р(х) в !!!алой окрестности то lки с име­
f
cllpaBa
ет слеllа
от с
раз н ы е
з н а к и.
/!1ало БЫТ1!, фун/х;'Цuл Р(х) не мо !нет U.Ntетъ
к;алъ1-tо;;,о
с ло·
эк:стр! ;чу;ча.
ред ЮЛО/КИМ те!
что f(2) (с! #
Р'(х) =
(х)
Г с), F1 2 )
= f(2) (х),
Р'(с) =
р(2) (с)
о. Тогда, юскош,ку
ЮЛН!,!i!!ТСЯ УСЛОl!ИЯ
О И ll,УНКЦИЯ Р(х) в силу теоремы
имеет
ТОЧllе с ЛOflаJьны11 экстремум. ПО!lученное
[рm
l! lюреЧlfе pOflaо является невеРНЬЕ!, т. е.
зывает, lTO предположение f(2) (с) #
f(2!(c) = о. Теоре!!а доказана.
Тот факт; lTO o(ipa! !,ение в нуль второй
прои:~водной яв;!шет
ся
ишь н е
б х о д и
ы
условием lерегиба графика
дважды дифференцируемой функции! вытекает! например, из
рассмотрения граllшка ll,ункции у = x J .
рая ПРОlfЗlюдна!1 у(2)
=
12х 2
:пой фУНК!1ИИ вто,
обращаеТС!1
пш! в точке х
TO'lKe AI(O,
=
О,
но ее график не имеет перегиба в
В силу теоремы
(f.6
для отыскания все; точек перег:vпiа гра
фика дважды дифференцируе!!!t!й фунК!!Ии у
f(x)
ю!жю! рас·
смотреть все корни ураllнеН!!Я f(2) (х) = о.
Поскольку равенство нулю второй производной является лишь
.
.
неооходимы!!!
доваг
условием
lЮlllJOС о наШfЧlf
перегиоа, то нужно допо'!Ните;'!Ьно
lереГlfба в
иссле·
ТОЧllе; д'ш 110ТОРОЙ
f(2!(x) =
проведения такого ИССlедования следует уста·
HOBlfTb достаточные \!СЛОВlf переiиба; чем\ мы и переХОДlfМ.
Первое достаТО'lное условие перегиба.
ТеОРl!ма
'''( Пустъ фу1-tк:цuл = f(x) и;\ !!т вторую про·
uзвод1-tую в
1-tenomopm'l
гда, есл!!
пределах у'каза1-tIIОU оnреСПi1-tОСf!!!! f!f!;орал
1-tал
u;чеет раз1-tые з1-tак:u слева u справа от с. то графuк:
f ('2! (х)
ок:рестности то'Ч,к:u с
этоu ;/iу1-tк:цuu u;чеет nер(гuб в то'Ч,к:е д'1(с.
u
f(c) .
(с) = о. То·
ф\
1<а1 ;lтеЛЬНУfi'
условий теоремы вытекает
неН
Далее, из т
(;:)
разны:'
знаки,
ВЫПУКЛО 1 ти
и
из
слеВ;1
)10.
точке
су веСТВ1 Ш;IНИ1' Ю)Н!
что
(х) слеЕа и
те )ремы
и
;;Ш;1
м,
от
;1ется
:fT
что
С им:':'т
н шравл:'ни:'
1;'0]
;;IЗЛИ'1Н1;:
ДOf<а:ана.
При м е р. Найти точки перегиба графика функт~ии у = х 3 -
- 4. Эту функт~ию мы неоднократно рассматривали выше
;афик ее и ю(:ражен {а шс. 9.1). ll:fСЮШЬКУ l' (2) СТ) = 6;; - 6 =
ш которого
= 6(х - 1 , то е,шнственное значени;' аргумента,
-
3х:
f'ОЗ\1Ожен 11ереГ1{б, есть х =
зна'{еНИfi' арг\
1.
;jeHTa
COOT~
ветствует точка графика М(l, -6). Так как 1'(2)(х) имеет разные
знаки при х
> 1 и при х < 1
переги(:а графика
3.
является точкой
Второе достаточное условие перегиба. На сл\ '{ай,
когда
В
то точка А1(1,
;ассматриваемой ф\ {кции.
нежелательно
:fКреСТЖfСТИ
ТОЧ1<И
ИСGтrедование
знака второй
с,
шруе;:
вто] юе
произво, ной
д(tстато
{H(te
ус{овие перегиба, предполагающее существование у функт~ии
в Т(tчке
конечно!! третьей прои:водно!!.
Теорема 9.8. Если фун.'Кция
He'i u;'Ю трет'ь'Ю nроиз :nд u;'Ю
=
1'( х)
и.м.еет в rnO'ine с 'КO~
в эти! mд'"
условия.м. 1'(/: с) = О, 1'(3; (с) =/:: О, то графи'К эmИl фун.'Кu,ШL и.мe~
перегиб в mд'"
о
к
теореМ;1
а
з
8.91
а
т
М(с.1'(;)).
е
л
ь
с
т
в
о.
1;пекает. ,{ТО 1j!УНКЦИ;1
у:';ывает в точке
Так 1<а1<
(;:) =
в(tзрастает, либо
О, то и в то;,
И
дру;о;,
Gтrучае найдется такая окрестность точки с, в пре,lелах которой
р2) (:;;) имеет разilыc зн.u'Ки снсва
справа
l'
.. Но то;да по
пре,lыдущей теореме график функт~ий у =
х имеет перегиб в
TO'{KeII(;, (с).
3 а м е ч а н и е. Конечно. теорема ij.8 имеет более узкую
сфе]
действия, чем теореJ\Ш 9.7. Так,. теорема 9.8 не решает
вопроса о на. ШЧИИ перегиба для Gлучая, KOr,l.a у Фуню ;ии у =
не сушеств\ет коне'{но!:!
ДШ Gл\чая..
(с) =
т]:е;ъе!:! ПР01;:ВОДНОЙ.
а также
В пос;еднем Gл\чае ДШ
;ешения
вопроса о наличии перегиба нужно изучить ПОВ:',lение В точ~
ке с ПР01;:ВОДНЫ
f'ысших 1ЮlJЯДКОf' ,{ТО б\дет сделано {аш в
§ этой Г.;авы.
Позв]:аТ1.;
;je]
;асс ,10; ]:енно;,'
в f1]:едыдуше;,
пункте, и покажем" что вопрос о на. ;ИЧИИ перегиба у графи~
ка фуню jии У
=
х 3 - 3х 1
-
может быть решен и при помощи
теоремы 9.S. В самом деле, 1'(3; (х) =
M(I,
6)
=/:: О, стало быть, точка
9.8.
являетс;; то {1<ОЙ пере;и(:а, со;ласно теореме
'10
шруемости "!}ункции
},
ЛИ!!'
окрестности слева и с"рава от с
дл>'
точек,
",)кит" сун ('с, '''''''''!ие коне',ю>й пр,>ишоД!юй Г
[о"азательство теоре>,ы
,а,,'}ает с доказательством,
9,7
,е)ка''',,''
н"'''}'тор'
При этом следует дополнительно пре", Ю~
с у"аза"ю,r"
(")
измене ,ия" и
юсло "но COB~
приведенным выше.
да",ее, м(')кю> договор'" ",'я пр" ОПl"'дею'ю,и
пе "'гиб,,
ипс,ю~
Ч;IТ;, ,'лу'й", когд"
ГР;lфику В ,}ассм ,тр ша,'М('Й т}, ще парал-
л}лън,а }",и Оу 1).
таю,ii д!>Г}Ш('l"'ННОСТИ в т,'орем(' 9.7 :\н>жю, },тю, ",ть-
ся даже от требования о,шократной ;юj,Ференпируемости функции f(x) в
самой точке с и счюрмулировать эту теорему следу;"ншм обраюм.
Пуст'I' Фун,>чия
= f(x) шлсст l;;Он,с'Чн,ую вторую производн,ую всюду
бы''''', MO;)fCem,
то",>и
Пуст}" дал", Фун,nчия у = .f(x) н,спрсрывн,а в т,; 'n' с и гра­
фиn этой фун,nu,ии иЛI' 'т nасатСЛ/I'н,ую 2) в то"
21;[(, .f(')), Тогда, 'сли
в пр}д}лах уnазан,н,ой о",рсстн,ости вторая производн,ая ,tC2) (х) иЛlсст раз­
в "еnоторой ол~рес "nос'''''',о'Чл~и С, ,;а
н,ыс зн,аnи сл}ва и справа ,;т то'Чnи С, то графиn Фун,nчии у
= .f(
им' 'т
';ы
При М е р.
Наiiти точки перегиijа гра,,!ш­
ка функции у
. Эта "!}ункция имеет вто­
рую ПlЮИ ""'дную всюду ю, бе};коне',ю}й пря}юй,
за исключением точки х = О. в точке х = О рас­
сматриваемая функция не; 'рерывна, но уже первая
ПlЮИ "'" ';юля },б,}аТТ~;lетС/, в бе};коне 'н' "'т,,. ОДЮIКО
гр;}фик фу" (цю; У = х 1}3 "';еет В
;ею,ную, паР;lл"ею,ную оси 0}1
как вторая
х
,(е (О, О)
9.11 i. Т,к
3)
'роизводная
2
9
Рис.
1
9.
---ии,,('т С ,ев"
и };пр;ш', от Т' ,чки х
У = х /3 "';еет Ш ре; ,,;б
§ 4.
О
азны(' ЗН;IКИ. т}, ГР;lфик функции
Третье
Теорема
у =
=
точю' (О, О).
;5}3
j
иба
9.
Пует'ь
n
~
1 -
'Ц} лое 'Ч,U} лО
nует'ь фЛ-{,n'ЦUЯ
(х) имеет npOUJBodHYi n ТЮРЯ" !na n в HenomopO'il опреет-
+
е
nрnuзводну1О
n
в еа,мuu mо'Ч,nе
Пуст'ь, "fалее, справедливы сле,,)Уi пцие соотношения:
j(2)(c) = j(3)(c) = ... = {п) е) = О,
С/'УЧ;IЙ соо; ,,,етс; '''у(''
j(n+l) е)
;начению
i= О.
.f'
2 Х,>т>, б"r п 'l,а"ю' 'ы'ую
0!1.
') Это вытекает, например, из того, что график о!jратной функции
имеет в этоii точке касательн,\'ю
=
О.
(9.S)
= уЗ
г !б
М.
является
у
в
лОi;;
'Нее . U.!;!ее!у;
ЛО!iUЛ'h'Нъzil
с,
pnl) (i) >
и
при Рn+l) (с)
1/
Д о к а з а т е
ь с т в
ч е т н ы м чис!Ом. При n =
дает с
nр/;
С лm;а.н'Ь'Н'Ы·L'i
2
Пусть снача. [а n является
доказываемая теорема совпа­
9.8. Taii
}i'Je дсжаза;;н )й теоре .!i)Й
НУЖ[Н)i'ести
.!Оказательство только .iЛЯ ч е т н о г о n
Пусть четное n у.!Овлетворяет условию
4.
Из условия
n
j(i l)(c)"# о и из теоремы (3.9, примененной к функции jH(x),
вытекает. что,;та Функт~ия j(n)(x) шбо возрастает. либо убы­
вает в точке с. Поскольку кроме того. j(ii)(C) = О. то и в том.
и в ДРУГОJ\of слi чае
досm.umдо!'Н!! .на.нал оnресm.ргосm:ь
то'Чnu с. в nреi)елах nornopO'il j(n) (х) справа u слева от с нм.еет
Пi !з'Н'Ые
3аметив,;то, разложим Функ;[ию j(2)(x) в окрестности точ­
ки с Ш) Фс)рмуле Те(шс)ра с остатс)чным ч·[еном в Фс)рме Лагран­
жа. l\1ы получим. что. ля всех х из достаточно малой окрестно­
сти тс) [ки С i[еi+JДУ
и х найдется тс) [ка ~ та iая,
(i)
+ /(З),(с) (х _
+ ...
1.
/(n-l)(c)
(п _ 3)1
Соотношения
(9.S)
+
(х -
i
г(n) ((:)
<,
(п-2)!
(х
_
с)п-2.
позво. [яют придать последнему равенству
слеДiЮЩИЙ вид:
j(2)(x)
=
,(n) (с)
!' . <, (х
(п-2)1'
_
с.1п - 2
/
.
Так как в пре, е. [ах достаточно малой окрестности точки
ЦИ!i
(:t:)и.[еет iаЗНi;iезнаii
рсегда лежит i[еЖДi с и Х, тс)
п]ш
сип]ш
Ы
силу четности n. и вся правая часть
при х
<с
и при х
>
pn)(~) (а, в
,
)
функ-
итаiiкак~
имеет разные знаки
с. Но ТОГ.i.а и ;!'вая часть (9.9) т. е. j(i)(X)
в пре.i.е. [ах достаточно ма.!ОИ окрестности с имеет разные знаки
при
с и при
>
график функт~ии у =
Д
с. В СИЛi теоремы
j
9.7
это о
хим! !'Т перегиб в точк;'
)[0 n теоре\[а ДOiiа;ана.
CTii теперii n ~ яв·;яеТС!i неi[етным
;ачает. что
1\.1 (с с j
с)
,
и
,[етн!
тельно предполагается. что
j'
Чi[С!Оii
с) = О. Так как при
ДСШО.[ни­
n = 1 .!Ока­
зываемая нами теорема совпадает с уже .!ОказанноЙ выше тео-
Иl А
р' мой
9,2,
т(! Д(iстато (н(! ПlJOВi ст
Н О Г оп?
о Д
T~
3,
Пусть нечет 10,'
леННОi ти,
i ДOfiаiiiтел iCTi
317
TI,
уДовлеТВОРЯ i т УСIlОВИЮ
3
г(n+1) (")
прOf ("дем
i;н:суждеiШЯ для iЛУ'iая",
Д
iЛУ'iая
) (с)
OНi! провод пся ;шал )iИ'iНО,
И, условия {(n i l)(r) > О и lП TenpCI,lbl 8.
ПРЮ,lСНСННОЙ К
ф, НiiЦiШ гл)
,в ,iieKaeT.
эта ФУНКЦИii
в()зрастает
в ТОЧiiе
iiСЮШЬКУ, К]1О\iе тог(), гл)(с) = О, то эт() iI:значает,
что 1-tайдетс,я достато'Ч1-tо .;\Л,ала,я o'X:pecrтmoc777/b 77Ю'Ч'Х:'U С, в npeдe~
ла:т
(:::) 0777,р'U"ЦU777,елыга ('лiва 0777, 'U ПилО ij{"'Umiл'b'l-Щ
.
Заметив '-)то, разложим Функт~ию j'(x) в окрестности точки с
справа
от
по
{е] 'еЙ,1О]'а с остат() {Нi,!
l\lbI
{еНО\1 в фО]1 ,ie Лаiраi
ПОiУЧИМ, что ,шя всех х из ,юстаточно малой окрестности
т()чки с \iеЖДi
и
(
+ -'{(2)(с)
-,х 1.
'"'( )
f х =
TaKaii. 'iTO
найдется т()чка
j
с
)
+ ...
(n-l) "')
f(n)
:...,-------,-:-,-' (х - с)n-2
(n 2)!
.
(n
(1 )
'- (х - cl n - 1
1)'
',ютношеНИii (9.8) и ДОШi ште,
УС1Оiше
iЯЮТ переписать равенство (9.10) в ви. е
j'
Х
f (n) (1)
= . - (х
\)!
(n
-
(9.10)
,1'
j'(c) =
ii 1 iЗВ()-
с)n-1.
11)
Так как ~ всегда
iежит меж, (У их., то iЯ всех х из , OCTa~
т' )чно ма.ШiЙ о iрестности ТОЧiiИ ПРОИii'одная гл) и,) 1iТ]1iща­
> .
<
тельна при х
и положите,iЬна при х
При нечетном
10 n
ЯВ,iЯеТCii чеТНi,i . а ПОЭТО\1' BCii правая (а, ста.Шi
n
чис~
и
ieBaii) чаСТi (9. 1) д
рсех
из достат()чно \iа.ШiЙ (iКpeCTH )CTii
отрит~ательна c.TleBa от с и положительна справа от с.
На осн шании Te()peMi,i 9.
это о ia'iaeT., 'iTO фi iiЦИЯ
j(x) имеет лока,iЬНЫЙ минимум в точке . Итак" для случая
j(1' 1) с) > О вторая часть теоремы доказана. Так как случай
j(n+1) с) < О рассматривается совершенно ана1ОГИЧНО, то Teo~
рема полностью доказана.
При
е
1.
ИСCiiеДОЕЮi
на ЭiiСТ]
т~ию ЛХ) =
и
iеГЩ1 Функ-
х - c)n+l. Легко BlI.r.eTb, что j'(\
j(2)(\
= О j(n+1) (с) = (n
1)! > О. Согласно Teope~
9.9 при 'Чет/го,,,,' (n + 1) фi iiЦИЯ И\iеет iiНii
в ТОЧiiе
х = с (рис.
12) а при 1-tе'Чет1-tо.;\Л, (n 1) график ФУНКiiИИ имеет
... =
j(n)(c)
перегиб в точке М(с, О) (рис.
9.13).
х
х
Рис.
Оnреде.ле'/-luе
'u 1(;
1.
а л 'Ь Н О й а с
Гш')рят, чт,) nрл."mл
'U
бы одн{!
М.
КШ
liIll
'!fi!O +ООUЛ'U
=
в
р-
f (х )
liIll
х-+а-О
00.
1
При м е р.рафик функ ши у =
асимптоту ;Т
= а
о rn о й граФ'U1(;а ФУН1(; !:Шl У =
Щ ед, л'Ьных знu'Ч,е !U'{i
n rn
x-+а+О
р
9.13
Асиг,штоты графигеа функции
§ 5.
rn
Рис.
9.12
ю ,) liш .!.
х-+О+О х
= +00,
имеет вертикальную
liш .!.
ПреДПОЛОЖИМiалее . что ФУНЮiИЯ У
ЛХ)
=
определена
для сколь уго. шо больших зна­
'{енr.iЙ арг\ 'ieHTa. Ради опреде­
ленности бу.iем рассматривать
у
~
-оо,ис. 9.
=
х-+О-О
Ci;O.
г,!Д!
1'10.
i;шие;начеi {ия
nоло;ж;urnелы-(.ого знака.
Оnреде.ле'/-l ие
Гово] шт,
2.
что nрлм.ал
у
х
= kx
+Ь
(9.12)
а
1(;
о й
а с u м. n rn о rn о 'tl;рафu
л !ллет.СЛ
ФУН1(;'ЦUU У =
00; еслu ФУН1(; !,UЛ
1(;!!
f
---+
х
nред­
ст, !!!Н,МU в !!иде
(9.
J(x)=k!+
Рис.
9.1.4
где
liш
Х-++ОО
О{Т)
=
Тнорнма
31')
IИН
\ГИ' 'ПТ(}ТЫ
,{,Л того
9, 1
---+
пр!'
+00 'н li'ЛU'Н'НУЮ
;юстато'Ч'Но., 'Чтоб!!! существовали два
1i111
х
д о к
з с1 т
л h
график Фуню щи У =
т. е. ДfЯ
.1 СТ)
i
)
Т В n.
f
е n f) х о
и 1\Т n
т ь. ПУСТh
имеет при х =
00 асимптоту
12)
х
1im kx + Ь + аС!) =
х
00
х-++оо
справедливо представление
1iIll _f_(x_,) =
х-+
1i111 Iл!
и
= 1,;
'+"
х
lim [J
х
1ilp [1,;
х
!' +00
х
(9.1:1). Т,iгда
+ !!.. + а(х)]
х-+ ! 00
Х
lim [Ь + а(х)] = Ь.
- I,;x] =
:'+::ю
00
Д о с т а т о ч н о с т Ь.
2)
Пуст;
Второе
де,
из
:лих
1
ij=2x-l I x+l
у
преде, fЬHыe зна~
чения
= 1,;,
Х
1
пре~
1
х=-
iа!iеЮiЙ дает
}кдаТI,,!азность
(:!)
ЯВ,iяется бесконечно малой при х
---+
00. Ог !iзначив эт\ :\еСЮiнечно
малую через а(х! получим
iЯ
х
+
f
предстаВiение
('еоре\1а дш!а~
(9.
х
зана.
а м е ч а н и е.
Ана.ШiГИЧ­
но опр! ,1е,iяется накюнная асимпто~
та и д,жазывается теоре\1а
случая х
00 .
9.10
1
1
Д
1I
---+ -
п
и м е
График ф\
+
х+1
при х
т
пт
i10.,
iT\
1
2!
наI'iЛ'iННУН'
aCIi
+ _1_
х+1
'!П1 о 1У У = 2:1'
и при х
00,
(
имеет
-00
ве! !тика,
1
IЩЮi
1
1
1
И\1еет
1
1
1
1
1
1
1
/ /\1
И, KPO~
ю
1
аСИ\1~
1
ca,iiiM
!I1C. 9. 5).
Рис.
,1е,1е,
1iIll
2х 2 +
1im
f(x) -
х-+±оо
х
9.15
х,Ь::ю х(х + 1)
lim [1
х-+Ь::ю
""
lim f
1 +{)
х-+
х
=
х-+
Наря 'У с линейной асимптотоi,
,Ы бi!Лi'i' С
lim
00
(9.12)
1
f
х
= -
00.
рассматривают также и асим !то­
!i!)KH!!!'i! BK'i.a.
Говорят, что парабола и-гО
у=
юрядка, о!!ределяемая многочленом
(9.
>'В,iЯетс>' a;UAlnmm' ой ;'раф;n а фун,nu,UU у = "(
ци>'
ПР'.д;;т;ши ;а В !:иде "(Х)
где
а(х)
О.
пnх n
+а
[е1 КО';Оi>азат;, следу;' ,;"ее ут ;ер>;·;дею;е.
"'0,'0 'l,тобы
у
=
"'ел
>'то "~У (912*). nеоб:од1
-+
+"
'''>М-
"абы' "",е, твоваЛ1'
+
х
ЛХ)
liш
--+ се·
1, ...
... ,
liш
{(х) - (оп; n
+ On_l Xn
О ;2)
-'---'----'-----'----------------'-- =
Х--++СХ)
01,
Х
П n _1х n - 1
+а,Х)]==ПQ.
...
в :-ПОJ\.f параграфе мы изложим схему по которой целесооб>а
проводить
ИСС1едование
1рафика
Функции,
и
>fшедем
пример, иллюстрирующий '-fТУ схему.
Для качеСТВ1'ННОГО исследования графика функт~ии у =
це.
>азно
>е}f·;де
1.
Bcefo
провеСТff
след\ющие
f·fCC
f
х
fедо;аю ш:
обfаСТ1;адаюш Функции.
z,ыяснить вешрос о сушеСf ">)Вании асимпт,)т
рерт! ;fШЛf>­
ных и наклонных).
30.
Найти области возрастания и убывания Фуню ши и точки
экстремума.
40.
НаiНи »:\ласти сох],а;;еНiШ напраВ.;еНИ!f
Вl>1
ff.П')СТf·;
и
те) ;ки flереГf;ба.
50.
НаЙТf.; те) ;ки
шш; ';ею
>есе ;еюш
данны
; рафика
функции с осы>, О;)
ле;ю) СТ]" ШТС!f эскиз
; рафика
Функ-
ши. В качестве примера построим график Фуню ши
у
14х - 6
= ----,----;:----
(9. 5)
Будем следовать изложенной выше схеме.
111. Поскольку функция
15) пре.!ставляет собой рациональну;;) д]
те) »на ешреде.;ена и непрерывна всюду на бесю)неч­
ной прямой, кроме точки х = О" в которой обращается в ну 1ь
.
. ПЫ!fСНИ ,;
зна ,;е;;атеЛl>
в' шрос о с; шеСТЕОЕаюш аси\шт, )т.
liш
х--+о±о
-------,-___- - - - = -
ос,
по:-пому график функт~ии имеет верrnШШЛЫ-lУjП асu.м.nrnоrnу х =
321
fИН
= О, Да, [ее., из суще i ТB'fВ lНИ~f
f(x)
х
=
'еде,! fВ
liш
х-+±оо
2'
[Г
liш
"
Х-+±ОО
14
5
4
BbITef<aer, 'fTO
---+ +00.,
и П] 'и
30.
Д
Ф\Ю<ЦffИ
и
имеет 1-tu-Х;Л i1-t u;'Ю 'iCU нnmоm,у У =
5
4
Х
нах'):+;деНИ~f i)бласте(t во
бываttИя
;аста! tИЯ
чис.лим первую произво,шую функ tии
15)
3)
у' = ------:--1'!
Имея в виду, кроме того, что сама функт~ия и первая производ-
te
ная
сушеств\ют ПРИ х
=
мы ПО [учим
с.лед\ющие
01
,[асти
сохранения знака у':
Область
шачений)
-00
Знак у'
Пове
фу"
iение
<
х
< -3 -3 <
+
-
х
< ()
убывает
возрастает
'ЦЮi
<х<l
+
возрастает
1<х<2
2<х<0о
-
+
убывает
возрастает
Из приве,l1 нной таб[IЩЫ очевидно, что функт~ия имеет с
,lУЮ llие точки
1)
2)
3)
о
"iKcTpeMYMa:
максимум ПРИ ;Т =
-3, причеJ\I 1'( -3) = -49/12
максимум при х = 1 причем 1'(1 = 5/4,
минимум при х = 2, причем f(2) =
Д,ш нахож, ения областей сохранения направ, [ения ВЫ-
пукюсти
tИ"
вто]
'•1/
( 2)
Ю П]Юf[;ВОДНУfi'
7)
9
= -х =
4
Име~f в виду, 'fTO Ca\fa ф; f<ция
ее ПРОИ;f'одные не сушеств;
ют в точке х = О, мы получим с.ледующие области сохранения
знака у(2):
11
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
ос
Область ЗН;lче шй х
х
О
Sюк 7/(2)
ос
+
Напр шление выпукЮi ти г]
х
9/7 9/7
BНf!
[<а
Из приведенной таблит~ы очевидно, что график Функт~ии име-
ет переfиб в
T()'fKe (9/7, (9/7). ЛеГf;Q fiiIДСЧ {тать,
1(9/7)
=
Ч3j7Ыi.
5' (Jcтается найти точки пересечения графика с осью
Э fИ ТОЧf<И со )тветств\ют вещественНf,'
[<О] iням У] )аЕнеНИ~f
2х 3
5х 2
-
Леfю)видеff,.'fто2у 3
+
+ НУ -
4т 6=2(Y-~)
скольку ква. ратный трехчлен (х 2
Ю)]iНи,
т()
iассматриваемое
ственный корень х =
6 = О.
-
2х
iавнеffие
2у+6).По­
имеет КОJ\шлексные
Иlfеет т(шью)
i)ДffН веще-
так что график Функт~ии пересекает
1
ос, О:Т
T()'fKe (1/2,
ченным данным СТРШf
графика рассматриваемой ФУНЮfИИ (рис.
16).
/
/
-з1
О
х
/
/
/
/
/
/-r
1
Рис.
5
2 4
Х
у=---
9.16
ЭСf<
\ЧiНiiЙ
323
Отыскание максимаЛiFНОГО и минимаЛiFНОГО
с\начении функции.
раевои экстремум
§
Отыскание максимаЛЬНОi
и минимаJiЬНОГО зна'
ний функции, Рах' 'ЮТРii
фунюtИЮ У =
х , опрх' 'х'ленную
И непрер ,,,'ну!' на xeГ\H~Hтe [а, Ь] ДО CiiX по]
ин ,x'peCOEa~
f
tИСi,
ли!
ОТЫСiiание,'
л(!КасiЬНЫХ
,iакси,"
и
'iИНИМУМОВ
сс,той функции с а теперь поставим задачу об оrnЫС1Ш'Н,Шl .м.а1{;-
СU,Х,ЩJХ'Ь'Н,U,'О
,х,!u'Н,u,х,!uлыхогu,начеiiИi:i I\
на сеП:iенте [а,
ПОiчеркнем, что в силу теоремы Вейерштрасса (см. § 6 Г,
ф\НiiЦiiЯ
обii,атеЛi,НО д()стигает
1еfiОТО]i()Й Т()'1ке сеП:iен­
та [а, Ь] своего максимального (минима,1ЬНОГО) значения.РасlИ
ОЩiеделеi1Н()СТИ
чения
f (х)
:)стаНiШИМСЯ
на сегменте
на
:)тыскании
маКСИJ\;fа,·1ЬН()ГО
зна~
Ь ].
l\lаксима.1Ы
значение ф; 1КЦИИ СТ) может д()стигатъся ли~
бо во внутренней точке Ха сегмента
Ь] (тогда оно совпадает с
одни,' и
ЮfiаЛf,НЫ
маfiСИ\iУ\Ю!' ф; fЩИi1
хис. 9.17)
. Отсюс ,а ясно,
либо на Ос1.НОМ из KOНТ~OB сегмента
Ь (рис.
чт() для на;;ождеНiiЯ 'iaKCf·1'ia [,Н')10 значеНИif ф; fiЦИi1
на
I'
сегменте [а, Ь] нужно сравнить между собой значения
все:;
то
,ieHTa
а
1fia:;
':!Ка
[,Н')10
маfiСИ\iУ\iа
ашСншы ,ее из этих
граНИ'1Нf,Х
1а'1еНi.1Й
х
т() 1ках
во
ceг~
дет 'iаКСИ\Ia.
f
ным значением
х на сегменте [а, Ь]. Ана. югично нахос,ится и
'lИнима.iЬное
1a'1eНi·1e
на се1 ,ieHTe [а, ].
у
о
х
'Ю.
9.1
РЮ.с
9.18
ЕС1И желательно избежать ИСС1есювания точек возможного
экстремумас то МОЖН()ii)СТ() С]iаЕНИТЬ 'iе:+;ду с()iн)й значеНИif
f
(х) во всех точках возможного сс)кстремума И В граничных точ~
ках а
Haf1('o f,шее (наf1'iены ,ее) из эти:; зна'1ений и
максимальным (минимальным) значением фуню)ии f(x) на ceг~
менте [а, Ь].
()тметим да1ее. что если ЛХ) имеет на сегменте [а, Ь] ЛUШi:
Ос/'Н,У точку локального :~KCTpeMYMa 1) являющуюся точкой Ю~
Kac1bi1,)rO максим"ма (минимума), то
С]iавнеi:ИЯ значения
) Именно TaKoii случаii часто встречается на практикес
11*
I(i!)
'ffOf fИfO
>ffOТСЯ
н;! 'fOl'MfOHT('
a~
afC;C!·l
ал ,н
(рис
19)
I (:г)
на.'Юf'ИЧ
;ся
\;ос
fЫМИ
оТ,
'РfOд'
п,а:'
ОТЫСКЯf·fИ
р( тттa~
м;!к;.,
M;-LnЬНОН) '( и ЫИНШ\Iальн<)Го) :~нач( 'ния
функции У = I(x) на интервале, по~
л\ ">tмой И (,eciC;Otte'f юй пря\юй (ПРft
условии.
что
это
значение
сушеству~
ет
J\10жет
Рис.
В
те
'fTO
<
9.19
ВОЗМОЖНОГО ЭiС;СТj)ем\'ма.
{'ако' с.!учае
полупрямой
СЛ\'fИтьс>t
лх) вовсе не иыеет на сегменте [а, Ь]
(или полупряыой а :( :г
00 точек
I
х
>tется
·оtютоtяоЙ
[а этом сеге!
и ее максимальное и ыиниыальное :~начения
;t.остигаются на конца.х этого сегыента (на конце этой пол\'пр
,-
мой . Этот ПОG;lедний случай ыы проиллпстрируем фи:~ическиы
римеРО\t. Пусг. требуется о"ределить, какое сопротивлеtfИе х
нужно включить в цепь последовательно с данныы сопротивле~
fИем 1', 'fтобы на l' вы;t.елилась наиболыпая мошtЮСТf, (ПРft это:'
напряжение Vo батареи считается постоянным сы. рис. 9.20). По
закону Оыа ток 1 в цепи равен 1 =
1'+х). Стало быть, по TO~
VO/
М\' же закону
,адешtе
tапря)+с;ения
VT
[а со'
ротивлеНИft
+ х).
l'
равtю
Таким
о"разом. мощtЮСТf, ш(х) ,
V1
= 11' =
vo1'/(1'
деляеыая на сопротивлении
1',
j)aBHa
Рис. 9.20
Поскольку
смысл\ сопротив.tение
по
фи:шческоыу
не ыожет быть отрицательно, то задача
сводится к отыскаНИfl' наибольшего :~начения функт~ии '1'( х) на
юл\
">tмой х
?
в ,IЧИСЛИВ
711'(1)
убедиыся в тоы, что
(х)
<О
'IЮИЗВОДНУЮ этой \liУНКЦffИ
\с'6 1'
(Т
+ х)3
вспду на полупрямой х
?
О и TO~
ВОЗМОЖНОГО Эi;стреМ\lма [ет. Таюt
о' 'разом.
х
убывает вспду на полупрямой
О и ее ыаксиыальное значение
?
V6 / r (рис.
9.21). Это совершенно ясно и из физических соображений.
\ качестве второго примера рассмотрим задачу об отыскании
максимального и минимального значений фуню fИи У = sin х 2 на
сегменте -.j1Г
V"51Т /2.
на этой полупряыой достигается при х = О и равно
\ЧiНllИ
о
Рис.
Рис.
9.21
9.22
Поскольку у' = 2 COS х 2 , указанная функт~ия имеет на рассыа­
iривае:.ЮМ сегенте три ТО'fjО;И НОЗ:·ЮjfЛ Юf'О Эjо;стремо:'ма х
=
О и
±Vп/2. Сравнивая значения функ fИИ в указанных точках
и на Koнт~ax сегмента
(уу7Г)
.f ( ±V/i/2) = 1
.f
(vg;)
о:'беДИ\fСЯ в TO':f,
фуню fИИ равно
.
SШ
5л
4
максималыюе значение раСС\fатривае\юй
и достигается в двух внутренних точках сег-
'fTO
+
ме па хl = -VП /2 и Х2 = +vп /2 а 'ИНИ\fаJьное значен {е
раСС\fатривае\юй фо: jщии раВfЮ -V2/2 и . fостигается {а
ном jО;Оfще сегмеfпа ~/2.
График рассматриваемой функции и:~ображен на рис. 9.22.
2. Краевой экстремум. По:'СТf, фо:' fЩИЯ = лх) о' релеле­
на на некотороы сегыенте [а. Ь]. Будем говорить, что эта функграНИЧf
М1l1-ШМУМ;
f'o'fj;e
Ь ЭТQf'О сегмеfпа nраево'Й, .маnС"н.му.м
если найдется левая полуокрестность точ
ки Ь В пределах которой значение .f(b) является наибольшиы
( fаимеf f,ШИМ) срели нсех лро:тих Зffа'fеfШЙ этой фо: j;ции. Affaлогично определяптся краевой максимум и краевой минимум в
граничной точке а сегыен:,а [а, Ь]. Краевой максим~о:,м и краевой
минимум объединяются оощиы названием nраевои Эn\'1nl'еМУjА.
Имеет место С.tеД\'ющее достаточное условие к;раевого эк;с­
дл,я тог" 'Чтобы фУ'J-ln'Цu,я у = .f (х) U.лиЛи в то'Ч­
ceZ.Meff.ma [а. Ь] nраево'Й, маnС"нмум (nраево'Й, мшt'Llмум) до­
стито'Ч'J-lО, 'Чтобы эти. фУ'J-ln'Цu.,я uмеЛи. в то'Чnе Ь nОЛОJICuтелъ­
'J-lую (отрu'Цит'Л'/J'J-lУЮ) левую nроuзвод'J-lУЮ 1 . (Доказательство
анаЛQf'ИЧНО локазательство:
{'еоремы
8.9.)
Из о: j;азанного лоста­
точного ус.;ЮВИЯ краевого экстремума непосредственно вытекает
1) Для граничной точки а достаточным условием краевого максимума
.рае,ю,о
\",ляст,\, ·'ТРИЦ\'.тел ,.,ю'
произ,\\.щшлй в точке а.
(ПОЛ1лжител ,.,ю'
пра,юй
об:[;, '!!!{,мое услm, !{,е 'К:рп' !;о?о Э'К:С/Тiремума
Ь {е6УН, nроtii60U1tУЮ: дл;'
!ющая
mо''l'К:{, Ь
мп',' , !{,мум ('К:рп,
!'J-l'J-l!!я
был!! 'Неоm', '!{,ирm, Л'IJ'J-lОЙ
в ',аключение ,,,окажем следующее :замечательное утверждение.
Теорема 9.11 (теорема Дарбу 1)). Пустъ функ;'Ция
и,меет к;онечную nроиЗ60дную 6сюду на сег,менте [u,Ь] 2), и nустъ .f'(a + 01 = .4,
(Ь
= В. Тогда, к;а];;060 бы ни было число С. зак;люченное ,ме:жду .4
и В, на это,м сег,менте найдется точк;а ~ так;ая что Г (~) = о з .
о к а
а т е л ь с т в о.
Сначала дока;;;ем сле,;,ующее утвер;;;дение:
е,ли F(:r) и;,;!'!'т
ПР!JИз;юдс:,
н;,
,Ь
- О) - числа ра:зных :знаков, то на сегменте [о,
что Р'(О
О.
+
Пу'
пи;;
; х)
озн;,чае
+
и !'С,Ш р ' (а
01 и р ' (Ь
найдется точка ~ такая,
]
<
>
для опред! ,енно' си Fi(a
0\
О, Fi(b О. TJГдa ф;ш,,имее KpaeBoii ",аксимум на обои;" ",о,щах сегмента [а, ]. Но э о
,,то ;,,;ини;,;;; ,ЬШiе зс:ачес:ие р(!
н;!, се! ;,,;е,! е
и, Ь] дОС ,и!ае ся
некоторой внутренней точке ~ этого сегмента (функпия Р(х) дифференци­
руе;,;а, а стал!) быть, и ,!епреР!i']!'Н;!, на
[а, Ь] и П'iJТО;,;; до' ,и!ае ,!а
этом сегменте своего минимального :значения). В ука:занной точке
функ
ция Р(х) имеет локальный минимум, и поэтому Р'(О
О.
;',каза
И примени
"
,ь' ,в;;
к Р(::)
;"'ре;,;ы
(i.11
',стае ся ПОЛiiЖИТЬ р(!
- Ох
олы"о ч о до",а;а,шое у , веРЖ1\ение.
3 а е ч а н и е. Из теоремы (i.11 мы еще р;;.3 З;;КШii',ае;,;, что произ­
во,;ная не мо;;;ет иметь точек ра;рыва ;;ервого рода (скачков).
Дарб;
-
фраНЦ;ЗСКИii;ате::;тик (1842-1ЮТi.
Под э ,и;,; Шiнимае ся.
о ""е се; ;,,;ен,а [о, Ь] и, кроме
имее произв;!Дну,i'
ого, и;,;еет ле;,ую ПРОИ:3; од ;ую
тр,с:ш,;i
О ""е
и
правую прои !Водную в точке о.
;, Под',ет кн!'м,
ш' ,а,ае
ся.
н!'пр, рывно'
произв,!Дн iii Г
приJТО;"
Ш' пред-
Г л А В А
10
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
в гл.
с i"И,
1
ыы рассмотрели физическую задачу о вычислении
,роилеi
1ОiСО
материас
1Ой
точкой,
двигающейся
ЕДОс
оси Оу с по и:~вестной скорости этой точки и геометрическую за
лдчi! о ВЫЧИСiении плошади nриволи1tешюи n!pane?!cILU т. е. фи­
гуры, лежашей между графикоы фУНЮiИи у = f(x) и сегментом
[а, Ь] оси Ох). РаСС;1Отрение указаi
дв;!х зада'i естестве! 10
привело нас в гл.
ПiчеСКQfСО
1Онятия
к необходиыости введения нового ыатеыа­
-
ПОiiЯТИЯ оnре{)еле!!1юго шmiеграла. iчюме
рассыотренных двух задач к понятю;; определенного интеграJIa
приводит и ряд других важных физических и геометрических
задач. Настояша\i глаЕа 1Освяшеiiа изложеiiИЮ теОРiiИ Оiiреле­
ленного интеграла, а в следупщей главе дается приыенение этой
iCeO! сии
К
§ 1.
[екоторым JсеомеiричеСЮi
И (liИЗiiчески: с заЛД'Jа:сi.
Ин (сегральньн> СУМI;!Ы.
Пi CTi, (I,ункция.f(х залдна на сегенте [ас Ь], а
Ь.
чим символом Т разбиение сегыента [а. Ь] при поыощи некото[е
СОЕпалающих
с
ДРУJСОМ
ico'ieJ,
а
Х1
... <
х n = Ь на n частичных сегыентов [rг:o.
[Х1, Х2]
... , [Х n -1,'!:n], Точки ;То,
, ... ;Т n булем называть точками !саз~
бiiеi
[х )
бу
. Пусг с ~i - ,РОИЗiЮ [а,! iCO iJ,a чаСi iсiЧНОГО сегента
1, x а D.rг:i - разность
- Х с 1, которую мы В дальнейшем
ieM называть ДiИНОЙ частичного сегыента [j!:i-1,
Оnрсдс/геН\ЕЕсе 1. Чис!!!) 1 {X ~i}, где
j ],
j •
n
L f(~i)6.xi.
с=l
1tаiыlаеmслл
и
е г р а л ъ 1t О и
с у м м о 'и
ЛХ), сооmвеmсmвующеIl да'Н'Ному разбие'Нию Т {'егме'Нта [а, Ь
и ailcHHOj!4Y i!ыlоруy nlюjr4iJIcуmо''l'ныlx mО''lеn ~i 'На ''lilсmи''l'ныlx {'eг~
1KlН; ,1И 1lНT1
01
мепmа:г
ину
'Ы
мак
р;;:~биfOНИЯ Т, т
Выясни:'
)Того
10
Г
льног
аст
г
fOнта
,6,:Гi
,6, -
i"i'i,МfO;РИЧ("СЮiЙ С:Ъ;iЛ ИНТfOгр;;лыюй су:'
Р;;ССЫiJТРИЫ
пр i,вОЛ!ii!-tеil'l-tую
Of'pa iИ'ifOi i\'Ю
тjJu.nе'Ц!!'ю,
ФУНКЦiiИ I(:г)
;я
т,
Д,;я
фигуру,
ростоты
сч.итать эту zj",ункцию IlO~
У
y=f(x)
ложитеiiЬНОЙ
ры :iЮЙ)
таыи,
и
дву
проведенными
i'О'iiШХ а и Ь
ст~исс
и осыр
(рис.
о
~n
Рис,
Оnрс;)слс'Н,uс
хn
2.
Число
nОЛОJIC'UтiЛ'IJ'I-tого 'ЧIli'ла с
Х
а,;
сум
а
'} представляет co~
юща,:i'
ст\ ;е; 'ia~
фигуры, заштрихо
бой
той
ванной на рис. Ш ..
'нлзыiетсяя n
е д е л о
'U 'I-t
0.1
т е г р а л ъ н Ъ! Х С У м м
1 { Xi,
в
оси аб~
абст~исс
Очевидно,
0.1).
интеi раЛi,
а
непре~
ордина-
1
1 {Xi, ~i} nри ,6,
есл'U для любого
--7
j;40JIC'I-tО уnазuтъ
таnое
nОЛОJIC'UтеЛ'IJ~
'l-tое 'ЧIli'ЛО 61), 'Что для любого разб'Uе'l-t'Uя Т сегме'l-tти,
la, Ь , "";!a',~
с'Uмалъна,i {)лшta ,6, 'Част'U' uыlx сег.ме"тов nопюрогоменъше
'l-tеЗui,'U! имо от
mO''lin ~i 'l-tа Сiгме'l-tт,х
, Х,] выlол~~
1t.,Ien;c.,;uepaBencmBo
11{Xi, } - 11 <
с.
Для обозначения предела интегральных сумм употребляется
СИМiЮЛiiка
1=
Оnределе'Н,uе
3.
I СТ
ФУНn',,'U,,;
р У е м о 'и (по Р'U.мш;;.у2)
называется
'U
н т е г р и­
на сег.ме,;.те [а, Ь], есл'U сушесп;ву~
ет no'l-tе'Ч'l-tыii предел 1 'u'l-tтеграл'IJ'I-tыlx {'умм этоii фу'l-tn'Ц'U'U nри
,6, --7
J/nа,щ,щъ,;u nре,iел 1 называется оnре{)еле,щыM шm;е~
гралом от фу'l-tn'Ц'U'U
IiX
по i'ег,Л!i'l-tту [а,Ь]
{)ун;щ'Uм обра,юм:
'U
обоз'l-tШ'lаетi'Я i'ле~
ь
1=
НЮЛЯДiiые геО:,iеТjiИ'iеСiiие
/лх
clx.
,редстаi:лени";,
юказывают 3
что
определенный интеграл численно равен плошади криволиней
1 Та", ,'",К '!Не ю 5 З,НiИПIТ '.iT Е,
ИШiГда пиш, т 5 = 5(СI.
2 Бершард
- "е",; Ц,',ИЙ ма i'маiИ,', (18Й6-1866).
3 См. § 4 г.,. 1.
32')
Иlf [ЕГРА'
юй Т) ,;;ш'цю [, ОЩН'ЩЛ;;ЕОмой f'ра;I,ико' ;liУНКЦi fИ .f (:г) на
мЕО!
[а, Ь] В f'Л. 11 мы д' ,;;ажсм
Эf" ,ГО
ДЕОния
ПРИRСЩ"
фУНКЦff
iрИМЕОр
uнтегрuру'ой Ф jН'Х:'Ц'/J,fi. д, ,;;ажЕОМ, что
(Х)
интсгр'J'
Ь
Г
!
[а, f!
d = с ('iJ
J,. сг
причt:.\l
-
\..
D
а;.
'а на лю(ю:' с;',' СНТ"
самою дt:лt:, ТаК как
t \
J'(\<"i;
а
при лпбых
I{xi'~i}
=
,то
(6..Xl
+: 6..Х2 + ... + с6..х n =
C(6.. Y l + 6..;Т2 + ... + 6..; n)
с(Ь
-
а
,
и ЮЭТО,fУ li~oI{Xi'~i} =c(b-а.
Выясним вопрос об интегрируеыости неограниченных на сег­
меfпе [а, Ь] ф:
Докажеы сле:fующее :твержл,ение:
неограff'U'Чеfща:f на сег-
менте
фую:'Ц'U.я .f (Х) не интегрируем\!. на этом "егменте.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ФУНЮfИЯ.f(х не ограни­
чена на сегменте [а, Ь . Тогда она не ограничена на некотороы
'fаСТИ'f ю:' cerMeffTe [Xk-l, Xk] ЛI,:t?ого л.анного раз(:иеffИЯ
cef'-
~{:;~i ~a, ~l'B~I~~~~~ ~;~~~;~J~~(fиеf fИ~Х;', ~~;)~;~~а~~~т~~,Йc~~~:~~
как угодно большиы по абсолптной величине за счет выбора
точки ~k' {)тсюда вытекает, что интегральные с:'ммы I{;Ti ~i}
отвечающие fЮ(ЮЫУ раз(:иению Т не ограничены ) и поэтом:
не существует конечного предела интегральных суыы.
Соо; 'разуясь с дorfaзанным утверждеЮfе,f,
раСС,fатри-
вать лишь ограниченные на сегменте [а,
функции. Во:шикает
во: рос: BC:f'X:a:f Л'U огршш'Че1tfIa:f на сегмеmпе [а, Ь] фУff'Х:'Ц'U.я:f.6л.яетс.я 'Uнтегр'Uруемml на этом сегменте'? Следуюший пример
юказывает, что это, воо(:ще говоря, [е так. УбеДffСЯ, что заве­
доыо ограниченная на сегыенте [а, Ь] фун'Х:'Ц'U.я Д'UР'U!Лi, значе­
ния которой в рациональных точках равны единице, а в ирраци­
ональных
нул
-
не 'Uнтег!f'Uруе.лш на сегменте
la, bl.
Действ и­
телыю, если ДЛ;f ЛI,'fЮ,'О fJаз(:иеffИЯ т со с'Х:олъ угодно малым
6..
выбрать точки ~i раffиональньвш, то, очевидно, I{Xi,
n
2:= .f(~i)6..xi
n
2:=
разбifеЮf
= Ь
а, ест·!
i=l
Т точки ~i выбрать ирраffиональньвш, то I{Xi'~i} = О. Поэто-
=
=
i=l
1) Ч
пfдить';; В Э
'fM.
до; iаТОЧi;О фиюиро"а
';'""и ~, на вссх 'еа-
стичных сегментах ра:збиения Т, :за исключением сегмента
,Xk]. Тогда
интеf iJJ' ibH"i; с' f,'fMe 1 {fi, ~,} бf де изменять';; лишf" ,Л; rJf.f'MOe .f(~ f!::,.fk
,. ';тор""
';же
быть е',;'К УfОДi;О
fJ ,
iЬШИ·f ПJ; "РС 'iЮ i;ОЙ i,еличинf'.
lE
01
М\' Д
ф\
'ТММ,
lщии
10
Г
Н(' : ТЩССТВУfO1
эт:' сl:УНКЦl1Я
в УiЛЫ
пр: дсла и
МЫ
И lТ:ТРИРУfOМОСТЬ
Поняхие
рfOрыв-
ФУl
нижн(:i:i
ФунКllИЯ f(x)
разбиение ЭТOl'О сегента
х п = Ь. Обо:шачиы чере:~ 1\1i и Шi
ol раllИ'lеllа на сегенте [а, Ь] и Т
соответственно
1,НЫХ
Верхние и ни:'F\ ше суммы
§ 2.
точками а = ! О
lTCI'pa,
lT:TPlIPYfOM:l
и
lПирокоп' l:Л:lсса ра;рыв!
ФУllКl
1.
lН1,1И 1ШТ1
<
< ... <
х
1'0'1
-
l\'Ю верхнюю и точную
функ lИи на сегыенте
lИжнюю Г! ,аШl
ЭТО1l
,х:]. cyMj:4ы
n
+ ... + Mntlx n =
В=
n
S
n!ltlx1
+ Ш2 tlХ 2 + ... + шntlх n =
L Шi
i=l
на;ъtваЮПiС:! сооmвеmсmвен/ю в е р
е
u
и н и JIC Н е й, с у м-
для данного разбиения Т f'егменmа [а, Ь].
ИffmеграЛЪ!ta:j сумма
Xi' ~i
дан/юго
разбu' ния Т сегj:4енmu, [а, Ь] зu'Х:лю'Ченu MeJlCay
и НИJIC10, '!то
ней, су.ммами S и s э т!ого ра ;6иени:!.
! !Онятия верхней и НИJICней суыы становятся особенно яс. если
геО:lеТ!lИ'lеСl;ИМ
релста шеllИЯ:l. для
простоты рассмотрим положительную и непреРЫВНУ1:: Функт~И!:'
Г (х) и криволинейю'ю трапецию, опрелеляеыую этой Ф\ нкци­
ей (рис. 10.2 и 10.3). ЕСЛll
- некоторое разбиение cerellTa
[а, Ь] . то числа M i
редставляют СО(1Ой
случае [е; рерьш­
ной функции (х) ыаксиыальное и ыиниыальное значеНИЯfТОЙ
ФУНКllИи на частичноы сегыенте [Xi 1, х,] разбиения Т. Поэтоыу
f
верХllЮl СУ' а S равна fлощади заll1Т!lИховаl 1Ой на p1lC. 10.2
ступенчатой фигуры, которая содf]iJICиm криволинеЙНУ1(\ траfецию, а НИ?l:; lЯ'tl с\'мма S
рис.
10.3
[а площали, заll1триховаl
1Ой
[а
ступенчатой фигуры, которая f'одеРJICиmся в криволи-
1Ой траffеции
1раffеция
[а
IHlcYllKax 10.2
и
10.3
о('ведеllа
жирной линией).
Как уже говори. 1Ось, из наглялных геометрических прелстав­
лений вытекает, что интеграл численно равен площади криво­
ли!
1Ой траffеции. С ДРУI'ОЙ стороны. очеВИДl1О, что если раз­
ность между верхниыи и нижниыи суммаыи может быть сделана
l;аl; УI'ОЛНО малой то
с;'ммы MOl'YT стать l;аl; УI'ОЛНО (fЛИЗl;И­
ми к плошади криволинейной трапЕщии. ! !оэто~у можно ожи­
дать, что для интегрируем ости функции необходимо и до ста-
331
г <llИЕ и Нll
Рис.
1'0'110.
Рис.
10.2
что',ы раЗlЮСГ
10.3
lей и
су:'
ами
:or.la
быть как угодно малой. Строгое дока:штельство этого будет да
но в сле1ующеы параграфе.
СВОЙСl'liа liерхних и нижних
Докажем справед!ИЕОС1Ъ С.lеД\!ЮЩ1l
1о.
свойсг' Ее! 'ХШl
!ИХ су:'
Дл.я любого ф'U'Х:СЩЮ!Ш'Н'Н020 jiu.збuе'Н'U.я Т 'U дл.я любого
> О nро.меJICУПЮ'ЧНЪfе ПЮ'Ч'Х:'U ~i на сегмеmпах [Xi- , Xi] MOJIC1tG
выljiатъъ тап 'Что ш-tтегjiu.лъ'На.я {'умма 1 {Xi, } будет удовле­
твор inib!iepaBei!cmBaM
S - 1 {Xi, ~i}
. ТО'Ч'Х:'U ~i MOJIC1tG
iiыljiuтьb mu'X:JlCe 'U mu'X:'UM образом. 'Что 'U'Нтi',!рал!!'Нu.я {'умма
6удет удовлеПiвор.ятЬ!iеравеi!ства.м О
1 {Xi, ~i} - s
Пусть Т - некоторое фиксированное разбиение сегмента
Ь ].
докю!!е'
аПР1l··ер. ЕОЗiЮi!i юсть Еыбора
10
да;
ЮilУ
чек ~i так, что будет выполняться неравенство О
Е. ПО определению точной грани
сегменте
. Xi]
Mi
то­
лдя лднного Е
>
О
<
[а
можно указать такую точку ~i что
О
(~i)!j(b-a,
множая ,ти неравенства на
Справедливость
>
- 1 {Xi. ~i}
i = 1 2, ... ,
LlXi и затем
:( S - I{xi, ~i}
свойства 1о установлена.
складывая, получиы
2. Есл'U раз6'Uен'Uе I сег.меi!та [а, Ь] nОЛУ!iеifO nYnieM добав­
ле'Н'U.я 'ноiiыlx mO''li'X: 'Х: то'Ч'Х:а.Лi u.збuе'Н'U.я Т эт, ·го Сiгме'Нтu, то
веРХ1l,!' су.мма В' pait?'UeH'U'!!ie больше вер;т! еи су.ммъ! S paiб'Uе'Н'U.я т, а 'Н'UJIC'Н.я.я сум.лш s' j азбuе'Н'U.я т ' 'Не .,'Ae'НЪ'iиe H'UJICHe!!
I
су.ммъ! S разt?'Uен'U.,!
е.
S
I
s,
! 'а!! !!а!! разбиение
'о'!!ет ('ЫТ1, ПОЛУ'lено из разб1lеШl Т путеы последовательного добавления к последнему новых точек,
1'0. О'lеШliЩО, СФОР,lУЛИjЮЕанное СЕОЙСПЮ достаточно .i1.оказать
для случая. когда к разбиению Т добавляется одна точка. Ilусть
эта точка х ' располагается на сегменте
, Х!] ра:~биения Т сег-
lE
01
lН1,1И 1ШТ1
lJ] ,
Об,
' ,';1 С1'lИМ 'lfOPfO'; м','!
фуню fИИ j (:г на с\'гы\'нтах,
'-'''''~'
M ',;,
,,'
[(1, "
10
Г
И
Е('РХ11ИfO
rPffH!l
P!:~ fl:г; и fl!~'
длины зтих с!ты\'нтов И ч\'р\':~ 5 и
в!'рхниfO (уммы ра;би\'fИЯ
, ЮЛ/!>!f01 1ОП; добаВЛ\'Нi1i"
fИЮ
точки
ОТМfOТШ\I, что fl:Гi
fl:г~
-
+ fl:г~'
КруумfO того, fOiЛИ
точная ВfOрхняя ГРflНЬШffЧfOНИЙ Функт~ии j(:г) Hff с!ты\'нте
, х,], то 1\1, ? Л1} и Mi ? м[" поскольку очевидно, что
то''!/ндя в, jfХНЯЯ ZjfffHi' ФУНff'Ц'U'U на ''lш'т'U ceZMCHmff,
,х,] н'
Mi
nревосходит то"lНУЮ верхнюю грань
это'й фУН'К:'Ц'U'U на в/'ем
Mi
ceZMe/Ime [Xi-1 Xi]' ПОЭТОf1У, УЧИТЫЕаf1 что СУ'
5 5' раз­
личаются лишь слагаеыыми 1\1, flx, и м: flx~
1\1}' flx;', получим
+
5
5'
м"" flx" - (м:,flx'
Z
+ м" flx"
},
(Mi
т. е.
5'
.
1
MI)fl<
-
+ (Mi -
M:')fl;r~'
?
о,
Доказательство для нижних суыы про водится ана-
ЛОП1ЧНО,
30. Пусп;ь т'
'U
любые два ра,;б'Uе/I'U,;! сегмеmпа [а, Ь].
T/i -
То г Jff, Н'UJlCняя /'умма одного 'UЗ эт'Uх рffзбuен'U'й н' m;евосходит
ffерхнюю
CYjAMY
другого, Именно, е/'л'U
8',
'U 8"
ветствеп! IOff'UJIC/ I'Ue 'U верх/ I'Ue сум,мы ра;б'Uе/ I'U'U
8'
5" ,
5" -
соот
и", то
5' .
8"
Выше мы установили, что нижняя суыыа данного разбиения не
реЕОСХО/fИТ Еерхнюю с/'мм/' ЭТО!'О раЗГfИе1ШЯ. П!,ст!;
- разби-
е1ше сегента [а, Ь], ПОЛУ'lенное объе,ff,Иf1е1шем
ШЙ 1) т' и
а 8 и
- верхняя и нижняя суммы разбиения Т. Так как
т"
ше
может (,ыть ПОЛУ'lено из разГше1ШЯ'
1е1шем
к нему точек разбиения Т", то ПО свойству 20 и отыеченномv
шжней и вер {ней СУ' 'ы ОЛ'нОГО и !'ОГО же разбиени"я
имеем
8'
Но
ше
5
8
'Q}!feT бы!ъ
!'aKl!fe
ПО,lучено из разб
1e1
"
добавлением к неыу точек разбиения Т'. Поэтоыу
8"
8
Сравнивая !'становленные выше
ченньвш, убедиыся, что "/ :(
равеД,ШЕОС!Ъ свойства
HejaBeHCTBa
5", ,,/'
с только что полу­
5'.
30 !'CTa1fOE,le1
а.
40, M/IOJlCeCn;BO {5} верхних сумм ;iшmto'й
j(x)
для ffсеffOЗМОJICН'blХ разб'Uен'U'й CeZM!'Hmff, [а,
О'"lЮН'U''lен{) сн'Uзу.
М/
1ШJIC1Ш;!' су,мм огРШШ"lено свер:;;у.
з(шений
и
учи
ы;;аю
СЯ один Р! З.
333
г <llИЕ и Нll
Это
ш п, "PfO;l' l'EfOl
10,
lВИТ;'
;иров шн' ,й
iюi 'i;я
в; РХifЯЯ
нижнсй
'ТММС;
;уммы,
СЛfOДОВi;ТfOльш;
ЕСрХ! iИХ 'ТММ ;;г! ,iШli {СН;; сни:~у, "1юбая
В' ,;ходит Кi;кую~либо BCPXНl'
,Ji;
HYl"
{S}
а НС ПрС~
;УММУ, И П, ,,)ТОМУ МНОЖfO(тво
нижних суыы ;ТРiШИЧСШ; свfOрХУ
iИЖНЮЮ l'pai
МНОЖfO(тво
iИЖН>iЯ су:'
Обо:~начиы чfOРfO:
м i 1Ожества {В1 Еерх i iИХ СУ'
1
точную
1-
а' i ерез
{8}
точ~
BepxНl' ,Ji; грань ынmкества НИ:iКНИХ суыы:
1=
1 = inf {S},
ЧИс"lа
1
и
1 называются
Sllp {;;}.
соответственно
I;;PXH'Uj;! 'U H'UJlCH'UM иH~
тегралам'U Д;;рбu от фуm'ЦIШ f(x). Докажеы, что 1:( I.
1 > 1. Тогда ра:шость 1 - 1 есть положительное число, KOTO~
рое мы 04"1Означи' 'iерез Е, тат! что 1 - 1 =
>
Из о; реле­
ления точных граней
1
и
1
вытекает, что сушестВi;ЮТ числа S'
и;J', представляюшие собой соответственно верхнюю и нижнюю
с;'ммы некоторых разбliеНliЙ
и
сегента [а, Ь] такие, что
1 + ~ > S' и 1 - ~
и учитывая, что
iepaBeiicTBo
50.
1ШЛ
8".
1- 1
Вычитая второе iepaBeiicTBo из первOl'О
= Е получиы;J'
!1ОТИЕоре'iИТ
> S'.
Но;то ПОс"lеднее
и Нl!
30
iИХ С;'ММ.
Пусть разб'Uен'Uе т' сегj;4ента [а,
nОЛУ"lено 'Uз р;;збuе~
добавлен'Uе.м к: после, JueMY р новых тО"lек:, 'U пусть 8' S'
соответственно H'UJlCH'Ue 'U верхние ;;YMMbl
т' 'U т. Тогда длл разност;й S - S' и;) - 8 1) j;40JICem быт'/J nолу~
'Чена О'!J,енк:а,iав'Uсл'ща;j от мак:с'Uмальной дЛШlЪ! 6. "laCn}'U"lHNX
сегментов р;;збuен'Uл т, "l'Uсл;; р добавленных mO"lex; 'U mO"lHblX
верхней, 'Uu'UJlCfJeil граней, J\;1 'U m ФУi;К:'Ц'U'U f (Х )иа сег.метпе
'U 8,
ia, /'
Именно,
S-S'
(М
- m)p'"u',
8; -
8
(М -
Iр6..
Для того чтобы убедиться в справедливости;того свойства, дo~
статочно
ДOl'iaзаТl,
РИЕеденные
нераЕеНСТЕа:lДЯ
СЛ;"iая,
КOl':щ
к разбиенИl" Т добавляется одна точка х' . Ilусть эта точка Ha~
ХОДliТС>i [а cerMeiiTe [Xi-1, Xi] разбиеНИli
. Тогда этот сегент
разделится на два сегыента [Xi- ,х'] и
, Х, длины которых
мы оБОЗiiа'iИМ cooTEeTClEei 10 'iерез
6.xI,'. П\'СТl,
, М;
И J\;1I' - соответственно точные верхние грани Функт~ии f :г на
сегментах
1, Х;],
и верхние СУ;i;iЫ
S
1, :г'] и [:г', х;]. Так как 6.Xi = 6.X~
И
S'
+
слагаемьвш М; 6.xi и М: 6.X~
М[' 6.xl,', то 8
- (М[6.хl,
М[' 6.X~' = (Mi - М[)6.хl,
+ 6.X~'
1)
+
6.X~'
раз4"iИеiiИЙ Т и' раЗЛИ'iаЮТС>i ЛliШl,
- S'
+
= Mi (6.хl,
- M:')6.j~'.
+ (М;
От;;;; тим, ЧТО в силу св(, ;, ,В;,, 2 0 ;ти р;,.3но( ,и "ео рица " ,ЬНЫ.
'т,
М;
-8'
~ ММI ~ М-'т и Мz -М';
z"
~ (М -'т
llx~')
(М - 'm)llXi
- 8'
~ (М-
;Шi;даfOТ
сг;;
ДокаЗillfOЛЬСТRО ДЛ;,;
сумм ПРОRОДИТС;,; а Тi;'ЛО;И'
60. Лемма Дарбу. Верхни'и 1 и нижниu l интегралы Дарбу
от фУНnЦU;i ЛТ) по с;г.мснmу [а. Ь] ,явля:ютс,я соотвстствС1ШО
в;рхнит
Д о к а з а т е
слу' а;,;
т. Так как
R о.
;то
liln 8 = 1.
~-+;;
(х) = с =
COl1st,
лемма
=
= l = s. Будем поэтому <читать, что
точная нижняя грань множества верхних
сумм, то ,JJ,i;Я любого ,JJ,анного
ение т* сегмента
[
>о
l\;ЮЖНi; у;;а /ать та;;ое разби­
], что верхняя сумма 8* этого разбиения
на [/2:
1 меньше" чем
8* -1 <
(10.1)
Обозначим через р чис ю точек разт';иения т*
го внутри сегмента
та
О.
8
1-
бн тет от ;ичаться от
-+
Дока;;;ем, напр;; \;ер,
т,. е. ,JJ,.Ш; слу' а;,;
очевидна, ПОСКОi;ЬКУ
}.;[ >
т! ;;;1tfiX су.М.М при
ь с т
Ь. Пусть Т
-
,i;ежащих стро­
любое ра /биение <егмен­
1>], максималь та;,; ,JJ,лин'а II ;астичных сегме ттон которого
по, тчинена у!л! >ЕИЮ
6=
и
8-
2(М
Е
верхняя <умма этого разбиения.
НЮР Г;HYTpeHНI;e то' ;ки разб;;еНI;
( 0.2)
т)р
-
.
юбавим
этому ра /бие­
В резнльта; е \ЪТ
юлу' ;им
ра /биение т'., верхняя сумма 8' ;;оторого в <илу <вой! тва
усло;;ия (10.2\шя II У,JJ,ОRлеТROj; ,;ет нера;енстг;у
[/2.
50
и
( 0.3)
с тругой стороны, это ра /биение т' можно рассматривать
разТ"!Иение, ПО, ;нченное R резнльтатетоТ";аг;ления к разбиеню,; т*
1) Выше, при доказательстве свойства 20 мы уже отмечали, что точная
верхняя гр;;нь ф;'нкции н;; ';;;сти Сi'гмента не пре;;щ:хо,;!ит ее точной в;'рхней
грани на всем сегменте. Отметим также, что точная нижняя грань функции
на всем сегменте не превосходит ее точной верхней грани на любой части
этuгu
("/'r\~eilTa.
2) Поняти;' преili'ла в;'рхних и,ш нижних сумм опр;', Н\!'; 'тся
П ),!ной
атт;;ло; ИИ с по!;ятием ;;р)', Н\'" »пт)'гра, ;;,пт,р;
И;!епп " '!исю 1 п;; ;;,!вается пределом верхних сумм S при t, -+ О, если для любого положитель­
ного числа Е можно
та)о)' п ),южит(\ ;;,ное 'шсю б, что при t, < б
выполняется неравенство
IS -
< Е.
l<ГИТЕГИ
1
lШТК ГИР,К
'
'ТИ
ЪИ
С[,fЛТ
ннт П)fO [них т('чек раз' ,иfO fИЯ
~
51
Отсю Т1 след]. fOт . чт;'
О, ),
51
c;('iicTHa
~
1
.
С()гл;].сно
т.
; тт;у (
O~
с/2
1
СклаТЫf;а;,; это нерат;е [стт;о С нера;енст;о\
о ~ 5
Таким образом,
>
юлу ;им
с.
-1
10.4)
>
Mf.·l у( тановили, что [l,ля любого данного с
но тказать такое 15
О (\южно, напр [\;ер, юло ;;итъ
о
15 =
(10.3)
>
,
2(
суммы
ч;·о
5
сег\ ен;а
ia,
Ь
[l,ля к ,TOpf.lX ма ;симальнаятлина ~ частичш lX сегментон меныпе 15
. 10.2 ;),ТQf;леТf;ОРЯЮТ нераненстнт
. Но
это означает. ;то нерхний интеf'рал
1 Дарбт
верхних
'ТOf;a,aTe,'fbcTB;;
сумм.
fЛЯ
ни)кних
сумм
Яf;ляеf С(,;
fре[l,елом
аналогично.
Лемма ДарГ;у [l,оказана.
§ 3.
Необходимое и достаточное условие
ИНl'егрн руемости
YCTaHoB'feHHbfe (вой(тва верхних и нил;:них (умм позволяют
сформулировать в весьма простой форме неОГ;ХО[l,имое и доста­
точное условие интегрируем; 'сти фуш;ции. Именно, имеет место
сле[l,Т;' 'п~а;,;
ос'но6'нд;!
Теоре,м.а
10.1.
теорема.
Для того 'Чmо{i,!;t 02j)(L1tf.{'Чпt1шя 1tf; ссг,Ntп!­
те [а, Ь] фу'Нr.:цu.;! .f (х) была и'Нтегрируе/; ;'и 'На эm;';' Ce?/;feHme.
Heo6xoaH,Nto и досmато'Ч'Но. 'Чтобъ; для;юбого с > О 'Нашлосъ
тах:ое разбие'Ние
се; /;feHma [а, Ь ], для j;оmорог;'
5-
8
с.
Д О К а з а
е л ь с
н о. 1) Н е о б
о [1,
о с т ь. Птсть
фуш;;;ия
интегрируема на сегменте [а. Ь]. Об;; шачим через
.f
1
;;е.тел инте; ;;а'fЫfЬГ сумм это!: фТНКЦЮf. По Оffре.телению
>
предела интегра.Ш.НЫХ сумм для любого с
О мож:но Yf;a ,ать
такое 15
О, что [I,.Ш; ю· ;(;ого разГшения
'ТОf;леТf;оря;;нт~е;о
условию
не ,авшимо от Вf.lбора точеf; ~i на частичных
>
сегментах раз' ·иения выполняется неравенство
11{Xi,~i}
Зафиксируе\
O[l,HO
-
11 < с/4.
такое разГшение Т. По
(10.5)
CHOi'iCTf;y 10
.
п.
преДf.l[l,ущего парагра;l)а) тля [l,aHHoro ра;биения Т можно Yf;aзатъ такие [l,Be IIНTerpa'fbHbIe суммы (иными словами. можно так
lН' ,lЙ lШТEl Г
ныбрать Т\iЧЮl ~; и
, :TJ),
/!
,то
с Jтметим, что обе интеграш НЫЕО
10
влетворяют неравен(тву
8 -
=
(8 - I{xi,~;}
нераг;енст;а 10,5\
нытекает,
CYMMl'l I{:! ;,~': и I{J;. /f} уд!!
И
с! отнош! НИЯ
+ (I{Xi.~a - +
+ (1 - I{x;,~~/}) + (I{x;,e'}
-
8
Е
нера;е тстг; 8-I{x;,~;}
.:1
;то
8-
Е.
8
i iеобхо1l,ИМОСТЬ ус ювий теореМТ'l ДOi!азана.
2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Так какшя;;ю4"юго раЗ4";иения Т
справе тливы неравенства 8
1
1
>
8 и для;;ю4"юго
согла(но у(ловию теоремы, lVюжн;; указат;, та}!;;е ра ;биение; что
8 -
8 :::;; Е, то О
что 1
:::;;
:::;;
Е. В (И,;у прои ;вош ности Е по. ;учим,
= 1.
значе т;,;е ;исел 1 и 1 04"юзнач;;
через 1 итокаже\
что это чисю
является пре,телом интегра;;ЬНf,lХ (умм <!;унк­
ции (х. Действительно, в сит,;еммы Дар4";У (см. п. 2 § 2) ЭТО
число 1 е(т;, общий пре1l,ел при ,6, --+ о верхних и ни)кних сумм.
Поэто\'"'шя JI!i,бо, о
MOI,;HO
1-
выполняются неравен(тва
,6,
<
д,
8 -
ма { х i, ~i}
нИ!,ней
нказать такое д,
Е/2 и
8
8
1
,то
;ри,6,
<
д
Е/2, т. е. при
< , ;ри',ем 8 1 8. Лю4";а;" ин ;е, ра;;ыта;" сум­
1I,aHHoro ра ;биения Т ;аключена меж,ТУ верхней и
1 {X'i, ~'i} 8. Таким О(;I;азом, I;И,6, < д не
8
ЛИЧИНf,l
заключеНf,l межлу чис;ами 8 и 8 разность
межлн которыми меньше . Отс;;ща вытекает, что при ,6,
д
<
Xi'~;}
Сле1l,овательно, число
1
- 1 < Е.
есть пре1l,е;; интегральных снмм. ТЕЮl ;е­
ма д; ;}!а ;ана.
В 1I,альне iПJем нам юнато4";ится несколько иная фор\;а за­
писи необхо ТИМflГ!; И 'то(таточного ус;; ;вия интегрируемо(ти.
и mi
ч;;сло
Mi
[х;
, x,J,
-
т; ;ЧНf,lе грани
;начений ФУНf!; ,.ии
Wi = ,Mi
f (х)
на
mi
называет(я nо,!сriШf!!.!,А;t ФУ!fnЧ'll!! ЛТ) на сегменте !Xi-l,
с JTметим, что так как }.;[,i ;;? т;" то коле4";ание
является HeoTl ;и­
цатеш,ным чи(лом.
iапишем тепер;, разно(т;,
8- 8В
(ледую пей
форме:
n
n
n
- L Wi,6,
i=l
{i·
и lTEГf llГУЕМЬГZ
НlЩ lЙ
337
ПОСЮ
и ДОС lато'
ИlIТ(ТРИР\ ЕОМ(lСТИ ФУlfКЦИИ R СЛЕОдуюттн,i f
дл,f! m(фi iimобы фу'Н'х:'Цил / (х) была и'Нmе?рируе \!Ои 'На се?
.\feHme [а, Ь]. 'Необхm)и.А!О и aocmam'f'iHO. 'tmобы дЛ.f!. JИ iбri?О > О
'Нашлосъ mшх:ое 1Xlзбuе'Н'uе Т сег.ме'Нmа lo" Ь]. аля 'х:отrюро?о
i=l
4,
Ilекоторьн' KJ,aCCbI ннтегрируемых функций
этом параграфе мы 1I,0кюкем интегрирттемостъ непрерыв­
Ш.,lХ на сегменте ФУШfДИЙ. HeKOTop1'lX раЗр1'ШШ'lХ ФУШfДИЙ и
моното ТНЫХ фннкциi'j.
1I,0казатеЛЬСТRа и fTe1'p11p\ ем ости
непрерывных <ljУНКЦИЙ нам понатriбит(я ва)кное (вriЙ(ТВ" непреpbIrHbIX на cerMeHTe фННКЦ11Й, которое нстанан jИfrаетCi·'
б'l
ж:айшем ПУШfте.
1. СвоЙство равномерной непрерывности функции.
ОnРffдff,лен,uе. ФУН'х:f(i{.Л / (х) lШ; 'itв!fСrnсл
Н С n р
'iit в н о U
nоложиmелъ'Ног fi
нос
Hrr .Л;t!70:J/сесmВi
'tи!ла Е.
rrfiЖ'Нfi
u в н о .М С
Н О
i'СЛU д,!л л? ifio,'o
уr.;азаmъ
mах;ое
iifiложиmелъ
шв'f{.СЛЩi" mо'!'/)'х:О от Е., 'ЧJПО {)лл !юбых двух m·o"lc'x:
.Л;t1lO iffccrnBrr {х , iJдовЛ('mвОj.iЛЮЩUХ iJслов'jj'ir' т" - х' 1
8.
въm,ОЛ'Нr!.еmСr! 'Нерш!е'Нсmв fi
(х") (х')
3 а м е ч а н и е. Главное в этом определении то, что для
,)I!irбого Е.
О найдется 8
О гара'НmиРУЮ1чее !!ы?! iл'Не'Ние 'Нера
8,
1/
>
1<
>
вснсmва 1/
/
1 Е. срuзу длл всех х'
{ х} при еди'Н!m!!е'Н'Но.м усл '!!ии
< 8.
.Л;t1lO:J/С(сmвu
]ля разъяснения (вой(тва равн, ,мерной непрер1 шно(ти ра(­
смотрим сле.·ту" ,тттие
1)
мо!'! х
х'
ФУШf i ЛЯ /
? 1.
1римеры:
vx
В сю ом теле,
? 1 их" ? 1
(х") - /(х'
j.)(LвllO.Л;tСj!110 HCnlH]J'blBHrr на полупря-
ю теоре\ е Ла,ранжа имеемт)Iя'lюгых
/'((1 х"
-
х'
=
2~lx" - х' < ~Ix" - x'l
( юсле1l,нее HepafreHcTfrO нытекает
ТО,О. ,то ~ закЛi'" ,ено \rеж­
ту
И
,и ПОЭТОМУ ~
. СледоватеЛi но, если потанному
> О frbICipaTb Л" ,бое 8, 'ТОffлеТffоряюп~ее УСЛOffИl" < 8
то при
§3
Ix"
х'
вып, !'шяет(я неравенство
I/(x") - /
ПРИ·jТОМ предполагается. что множество {;г} плотно в себе (см. конец
гл. 2).
lНi,lЙ llНl'ElT,
f
2) Фу lКЦИЯ
= х 2 пС ,я6Л,Я/ тс,я РU61юме1J!70 !iСn1Н]J'Ы6!юii
Х
MHQ;i<fOCTf;;'
>
Достато' но доказ llЪ"
1
;то дл;'i НСКР 10РО-
> О, П1f ';ШТИРУЮЩСГО Вi"ШО,}lНСНИ('
< Е дл;'i Г;ССХ х ! ? 1 х'! 1 Прi;
Ix" - х' < ;>;. Мы 'токаже\' ;то на само\'
гр Е
О нсльзя выбрать д
НfO; ,ёШfOНСТГ;;! I (x f ' (x f ) I
е'ТИ1iстг;енно\' УСЛOf;ии
теле таже 1I,ля';юбого Е
Фш;сируем Е
TieM х'
>
>
~, х" = х'
'д
теорему
+ . Тог та
f
')
-
f(x')1
= 2~lx"
~ заключено ме)I\ЛУ х' и
после шего
-
д. ИСПО';ЬЗУ;'i
х' = ~д,
,то ~
-x'l
f
-
и
поэтому
и
1> Е,
' Таким образом, ФУНf;;;ИЯ f(x)
равномерно непреРi,,1ВНОЙ на множестве х
3)
<
2 '
равенства вытекает не; ,авенство
If(x")
хотя
;х" - х' =
,Выбе-
lагранжа, по';учим
(x
Так
О нельзя выбрать ука,анн<>г<> выше д.
О и рассмотрим любое пшшжите,';ьное
Функция
f(x)
SiTi -
?
х 2 не яв,';яется
1,
пС ,я6л,яетс,я j.)(L61Ю,NtС? но нсnреР'Ы6-
х
'1-tOи на интерг;але (0,1). !ока<е<ем, ;то 1I,Л;'i Лi;;(,ого , У1l,0RлеТRОряю пего усювиям О
Е
2, не,';ьзя Уi;юать д О гарантирую-
>
щего выполнение не;,авенства
(x f ' ) - f(x' < < 211,';Я всех х'
и х" из интервала (0,1) при единственном условии
д.
Ix" - x'l
Чтобы убе1l,И; ься
это\тостато' но
ЮЛО<i<И;Ъ
(4k+З)"
И
х" ишя JЩfБОi О д > О Rыбрать k соль ('ОЛЬТПИ\i, ч;о
. - (4k + 1)"
х" -х' < д.
нказа тных TO'feK х'
х" ;ри Лiiiбом k разность
( х'') I
=
l'
8111
х " - 8111
,1
х'
I= 2 >
Дока<е<ем сле1l,Нi' 'П~Уii' fifHi i«НУЮ теоре< <-о
Ту;оре.муl. 10.2 (теору;,м.а о равн,о,м,ерн,оu н,у;nрерывн,о• Неnреръита,;< на {е; ,«енmе [а, Ь]
неnреРЫ6на
на эrnО,Nt
(х ршf'}-t '«ерно
се,<менrnе.
Д о к а
а т е л
т в
Пре1l,ПО'ЮЖИМ, что непрерывная на
сегменте
] функция l(х не яг;ляеТСi,i ранномерно не;;рерьш­
ной на этом сегменте. Тог та 1I,';я нсnоrrЮ?Ю20 Е
О не выполня;;'тся услоiiИЯ, сфОРМУ';ИРОRа тные
ощ)е1l,е';еНi;И
непреРi'1ВНОСТИ. Это означает, чтошя ука ,анного Е
О и;ю­
fi020 ПOJюжите';ЬНfiГi' числа д на сегменте [а, Ь] найтутся точки
>
>
fЙ
н <Ц!
:1: f ' т( кис.. чтi'
1/;
му дл;·! К.ЖДi!ГО д =
<
д, но
=
1 2,
{ЕО! \fEO {т(]. la.bl т(].кис. ;ТО Ix~
?
((К как {x~J
G.
то и
-
I
x~fl
сход;,!щн!, ;ся
сле1l,0Rателыюстъ
Hff II(x~
Вс Йi ртптра f
К·!ТСТО
x~n} [см. зю ечание
но,. П01l,после1l,0вательностъ
)ке СХО.fИТiЯ
(:1/) ?
ПоCJТОнайтутся точю; х"
I(~~f)l?
ffiСЛЕО Тff!;((ТЕОЛЬНОСТЬ ТО';ЕОК СЕОГМЕО {т(( [а, Ь],
НЕОЕО, fТ;fЛ(Н:НО ТЕО;
ДЕОлить
33')
м;
{'(]..
;f!,
С"!М;'нта
§
гл.
3).
х%n} после1l,0вательности
но !;Ы
подпо-
О ;еffИ
x~} так­
С. Taf, как ФУШ,;iИЯ
I(x) непрерывна в точке С; то
} и (х"} ранны I(c! и
{.! (х%n) - I (X~n } является (;еско­
fретелы после1l,0Rателыюстей {I(x~n
поэтом н после1l,0вательностъ
нечно ма. юЙ.
(х"
(х'
)-
неравенству
ЭТОГО не может быть; поскштьку все Э.'fемеНТf.·l
) нказа
(x
f
')
{ной
юсле1l,0Rателыюсти У1l,0RлеТRОР;·!";Т
-
Таким образом, предполож:е-
? .
)
ние о том, что непрерывная на сегменте
ется
непреРf . шноЙ.
paBHoMepHf;
юказана.
С.Лif,дсmвuе.
]. Т02да дл;!
затъ таnое
] 'f.штU'l'НО./;;
>
r.:олеба'Нuе w 1
] фннкция не явля­
противоречию. ТЕ:орема
Be1l,eT
I
Пустъ Фу1tni, ;г.я
НСnр;р'Ы6Н,; Н,! СС2.Aitсшn'
люб;Ро f;,;ложuтелъ'Н;;ц) 'lUiла G .МОЖ'НО ух:а­
О. 'ЧЛЮ 'На паждом ltjnmадлежаще.Ait се,;меюnу
се; ;";ieHrne [с d] длu'На d - с ];оm, ;Р02'; ;";iе'Нъше д.
фУ'Н];'ЦUU
О К аз а т ел
(х) ;";iе'Нъше С.
TOJIj·f'O ЧТОЮf,а (анной тео] функция I (х) равномерно
с т в О.
ремы непрерывная на сегменте
непрерf.шна на этом сегменте.
ТЛЯ любог; с
>О
мшкно
указать д > О такое, ;тотля Лf' ;бых х' и х"
Cer\ieHTa [а, Ь ]ю­
В'fетворяющих условию
< Вf·lПштняется неравенство
Ix" -
лх')]
II(x")
с. 1о;,а.,жем. что на f,ажюм прина1l,лежащем
се!мент\ [а, Ь частично,;' сег\ е пе [с, d], 'улина d - с которо!о
меш·ше указанного
КО'fебание w <lfУНКЦИИ
меш·ше с.
самомуеле, посколькн фннкция
(х) непрерывна на сегменте
I
I
Ic, dl,
. ;то
то на этом сегменте мож:но
(x f )
= т, а
верхняя грани
IX'f - х' < д
- I(x') I
(х") = l'v1,
I
с. Но
Yf,a(aTb
m и
на сегменте
,1]
fl,JПfна се! ;;ента [с,
I(x") - I(x') -
3 а м е ч а н и е.
м
и
точные нижня;·! И
теорему 8.8). Так
;;ень пе д), то II(x")
d]
m - w.
с.
w
l\'Iножество {:г} точек числовой прямой называется
зам'I{;НУrnым, сеfИ ОН;;
CO.!f; РЖ;j"
Ш'" спои ПР;'.!f;
'l{;олебанш;м
(.<J
.ff.Hble
ТОЧffИ
ф;'нкции лх) на
ТОЧНОЙ Ш'рхнсй
функции
таf,ие ТОЧf,И
ТОЧНОЙ
2).
Снр;mе. f.fИ·
d]
назы­
{р fНЯf;fИ
на,;том сегменте.
2) Определение предельной точки множества дано в п. 6 § 4 гл. 3.
1Ю,1Й 1ШТElТ
ifen! '']Iъи;нар на ,;aM'I{;HyтnM ;;;рани н'ннпм
pai;HOMi;PH;; неу реръи;на на 'том МНО'"
ств!;,
-lока;ательство
этого
утверждения
аналогично дока:~ательству
1)
е
тео­
р:
,'ое
,Щiка,iатеJii;iТiJi тсорсу;уы
Х множества
се iИ отта ттритп
{:1'}
;;'Ж;;"
Пi'K;;TOP;;Mi' иттт;'р Щ,1\',
{ х }, l'vl Т1Ожсство
ся
Oт'l{;! ытым,
М;,;
i'СЛИ псс
О
на;ывается ('ну ('Р:
п У1 З ,шаст-
ТОЧ;JИ Э'; ;;г;; МН;;Жi'ства ПНi'ТРСННШ'.
говорил" что данное MHO:JICeCтBO {х} iiO'l{;PblтO сиi темой
L
Oт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB 2), сеJИ ка",' щя ТОЧ;Ji; Х этого iП1ОЖССТВJ1 приттаll,JС­
жит по крайней мере одному множеству системы
L.
Докажем следующую
лемму.
Ле,м,ма Ге"Й:н,е-Вореля 3). Еu!и сегметn [о, Ь] nO'l{;pblт беС'l{;оне'Ч,ной
iистемой
Oт'l{;PblтblX MHO:JICeCтB, то из этой СИiтемы МО'" но выде­
L
лить 'l{;оне'Ч,нуlО nодiистему I: MHO:JICeCтB, 'l{;отОIЮя, тa'l{;:JICe nO'l{;pblBaeт сег-
].
Д о к а з а т е л ь с т в о 4).
Пусть {:1'} -
множество таких точек
[о, Ь], что ССiИ Х приттаllЛС ;,'ит Э'; ;;му
покрывается некоторой конечной подсистемой
;Ji1ЖСМ.
iiПОЖССТВО
то
у']
"множеств системы
СОШЩlli1i'"
L.
[о, Ь]. Т"к ЮLiJ Тii'iЮL О
покрыта некоторым множеством системы
L
и ,сто множество открытое, то
;;тто ПiiiJpblB"i'"
ПСiJОТ;;Р;,;i' сс;мптт [о,т], Ш'i' ТОЧiJИ суот;;рого, cor,iacно вышеска,;анному принадлежат множеству {х}. l\'Iножество {:1'}, очевид­
но, ограничено. Пусть 7
sup {х}. Убедимся, что х принадлежит множе­
ству
7 = Ь. в
Ilелс, х тт iiJрт,пi' ТН'К iTOPT,!i; iП1ОЖ;'СТВОi;
=
И, следовательно, этим же множеством покрыты все точки неко-
TOP;;ii'
итт ;СРВi1Ла
множества
{:1'},
(7 -
,Х
Е). Тас,у сУ"К Х
приттаniС ;"i1щая
вытекает, что сегмент !п,
ПОiн:истемой
= sup
j,
как угодно бли,;кие к х, и поэтому найдется точка :г' ,стого
МН;;Ж i " тп СИСТi'МЫ
L.
- Е. Х Е). ИЗ ;;ПР<Л i ,iСТТИЯ
покрывается некоторой конечной
Прис;;еllИНЯЯ к
ваюшее точку Х, мы получим конечную подсистему
ко i;;Р"Я ПОКРi,шаст ссгм: нт
IlОТТУГППЪ, что Х
< Ь,
сегмента [а, х''], где Х
:.
10
[0,7].
L
МНiiЖi"'Тii;;, ПОКРi,r
множеств системы
СлеllОВ П<;; п,н;;, Х принаllЛСЖИТ
L
<
ттокр:,ша,jii б:,;
L,
. Ееш
ТОЧ:JИ пеЮ:ТОР;;;i'
и ПО,'iТОМУ точка х" принадлежала бы
этого
можст
та:у Ка:У
множества {х }. Таким образом, множество
{:1'}
7 -
Тi;'ПЩЯ ш'рхттяя :р нтт,
совпадает с сегментом [а, Ь
.
ЛСМiЩ Ilоказатп.
1) Определение ограниченного множества дано в п. 6 § 4 гл. 3.
2) Если множество {:1'} состоит и:~ одной точки, а система
содержит
ОiП1О О': : JРТ,п ;;С iiПОЖССТВО. то
11
БУlli'"
говор ПЪ,
этi'
i'l{;Р'blвшi'П! ука:~анную точку.
3) Э. Гейне (1821-1881)
немецкий математик. Эмиль Борель (1871-
- фРiНТЦУЗСJИЙ iЩТi
4) Э':;; IlоказаТi ,ibl:TBO
математику Анри
i;iюснов"н
;;;;Тi'l'рИрiiiЩiiИЯ.
интеграла Лебега.
lебегу
iЩТИiJ.
сйпс-l ;;;рi'ЛЯ ПрИП i ;
(1875-1941).
;;'Жi;" Фраm:узск;;му
Отметим, что Лебегом был указан и
,rй в этQi: г, "1Вс'. ПОiiХОii К
ттопятИi' ИТТТСiр"ла ттосит
Пi1иметт iiЩТТИС
Н<ЦffЙ
Иf [ТЕГ; '[[ГУЕМЬГ;
а
е
Мож ю елеllС "'ЩИМ обра:~ом
341
,1еМС1У
ейпе
БореЛЯ1ал,n'/-l,У'" ,е 1) ''''pa'/-l,'U, '1е1 'Ное М1 O:Jf{;i:C"'rJn {;1'} nm:рыто
'/-I,(;'Г'/-l,Ой системой
L
отnр'ыт'ых M'/-I,O," "ств, то из этой систг:мъ
MO:Jf{;'/-I,О
ПО'" 'рал ,,'ar:,:Jf{;e nm:рывае'"
I:
Ilока:зат:'лы:тпо ТСОР'
оп
пос
роп
р
ПРОДОЛЖИМ ((С,) па всю прямую, ПОЛОЖИП1'ераппой I(Ь) ПРИ;1'
и равной /(n) ЩШ Х <' (~, Так как /(:1') ~епрерывна в каждой ;очке сегмента
, ], то для любой точки;1' ,:того сегмента и любого ,;аданного Е > О можно
> з:mисяс u "" вообщс говоря, от х,
11ЛЯ n;'1,и
удовлетворяющих условию
- ;1' 1 < /,i, выполняется неравенство
- /(х)1
Е/2, Та1ГИМ образом, сс;мпт'г [а, Ь] п 11ГрТ,п ',СС1гопс ню"
указат' та1ГО:' б'
<
ИПТ:'р,га,юв (Т
-
бi
/2, х + б' /:г)
,из
ПОiН:И i тсм;"
],
-б'
I:
б
L
можпо ПЫiН\1И'; ;" в С 1,1У ,1СМ ,1Ы
Гейне-Бореля, конечную подсистему
СС1мепт [а, Ь], Пстт,
1/ i
интервалов, также покрывающую
/2
зпа'1епие б i
-
И ПСРВ:1Л 11"
,," -
удовлетворяющие условию
11ЛЯ Э'; :1Й к 1печпои
л ",'Ы:' ТОЧ1ГИ сс; Ш'ПТ:1
и ;1' -
центр того интервала
с+б' /2), (У /2, системы I:, который покрывает точку :1", Так как
< б' < б' и IT" - < б'. то /(Т') - /(Т) Е/2 и I/(T")- Лх)1 < Е/2
/2
-р
- /(;1')1
+
- /(;1')1
< Ej2 + Е/2
>
= Е,
>
Итак, для любого;аданного Е
О мы ука:~али такое
О, что для лю­
',ЫХ ТОЧС1Г Х
,," i'i'ГС1СП' а [о"Ь]. у ,m';;'Т1ГОРЯЮЩ11'С С'СЮВИ", ;х" б,
выполняется неравенство 1/ х
р:шн 1М:'РНО непреР;,IВН:1 Н:1
') - /(;1")1
<
Е, Следовательно функция лх)
i'i'rMeHTe [а, Ь], Т:'ОРСМ:1 ЮК:1З:1на,
ИнтегриртеМОСIЪ непрерывных фу НКЦlltl,
г;!н, ;{сную
1
uHme,ipupye 'iia
3.
теорему.
(х)
Непрерывна,;! на сег 'iieHme
на это,м
!е!
,'iieHme,
о к а з а т е л ь с т в о.
,JJ,аНО'fЮ(iое
f
G>
О.
силу
равномерной непрерывности фуш;; ;ии
на (егменте [а, Ь ]шя
1Олог;сительно;о ;исла /(Ь - а) мог;сно указать такое 6
О, ч!о
при ра;биении Т сегмента [а, Ь] на ча(тичные (егменты [:Ci-l'
шины
6.X'i
которых \;ень тте
6"
>
колебание W'i фУНКЦffИ
КЮК,JJ,ом та ;ом частичном (егменте бутут меш,ше
Сfе,JJ,СТRие
тео;
ie\ibI 10,2;.
=
n
Lw;6.x:
< Ь-о, L6. X i
i=l
с fe,JJ,ORaTe fЫ1О.
f( !) Вf,ШG. шены
на
ПОЭТО>ifУ ,JJ,.Ш; таких разбffе iifЙ
11
S -
f(x)
G/ (Ь - а) (см.
=
i=l
,JJ,.Ш; HeffpepbIR 1011 на се; \;енте [а, Ь] ф\ НКЦifИ
ДОл таТОЧШ"lе у(ловия интегрируемости.
1) См, З:1" '''1:1пие в Прi' 1Ыi1УЩ;'М ПУПКТi
2; Мы берем интервалы (х /2, х +
удобства дальнейших рассуждений,
/2) вместо
;1'
+
для
lН"lЙ lШТElТ,
Интеl"рируеМОСТR, некоторых раьрывных
4.
IbТ будем ГО;(iР;Л
точка
щу,!"
1,.
;ТО ТО' ка х
ПРИН;]ДЛi'ЖИТ
у iа;аНШiМУ
щй.
юкрыт;]
ИНТfOрвалу
дую-
TfOOPi"
u
Ту;оре.муl. 10.;сиа
02j)(Lji!{'ЧJ"
u
;!f;ЛОЖUПJелъ'Н';?о ;!uсла G
.MOiJfCHO ук;азатnъ !;;OHC'iiHOC '!'UСЛО 'U'нmерваЛО;i, nОК;1J'ываюuj,'UХ все
то'чхu
этой
u.ЛМЮЩfiХ общую с J.MM!J д'!"
,fiе'Нъше ,m f ; (х) u'Нmегрuруе,Аiа 'На !e?/;ieHme [а, Ь].
'На
сег,Аiе'Нmе
д
к а
а т е л ь с т в о.
ем то';ки разрьша ФУНКЦ1Ш
Пусть
I(x)
тано любое
конечным
сумма длин !клторых меш·ше 2(М Е_ ш;
О. Покро-
G
;ис юм интеРf;а;юн;
Г,те М и т -
ТОЧШ·lе
верхняя и нижняя грани I(x) на сегменте [а, Ь] (случай М = т
MO(!fHO 1[СК;[ЮЧ1ПЪ., так как тог;а (х == с
const). 'ТО';ки Cer\ieH
та;, не прина1l,лежащие указанным интервалам; образуют мншкеСТГ;О.
COCTo'"iiiee
из
коне' ного
числа
Cer\ieH
не[[ересекаютfТ'"
I
тов. На кюк1I,0м из них <I;ункция
непрерывна и поэтому
l !авномерно непрерывна. Разо; ,ьем ка)К1I,!:'IЙ такой сегмент так,
чтобы ко;[ебание Wi <I;ункции
на люоом частичном сегменте, l)азбиени'
'.;,,!f!f;'2(b_a)'"'"
е" ъ 'ре
О", ,е П1, [1' ,iЯ эти т, ;аз4"шения и
, ' ;БЫ)10
.
интервалы, покрывающие точки разрыва функции
лучим ра;биение Т всего сегмента
n
слагаеМ!,·lе суммы ~
(равной
10., Ь .
s)
S
(х) мы по­
1ля этого разбиения
разделяются на две
'i=l
группы ~! Wi6.Xi и ~!! Wi6.Xi причем вперву" ; группу входят
все слагаемые; отвечающие частям разбиения Т, ;;бра;; ;ваНШ·lМ
из
1[нтернаЛОJ;,
юкрьша,;оОО"'
то';ки
разрьша,
а
но
[;тору,!"
;;стальные слагаемые. Так как колебания Wi = Mi - ffii 1I,ля слааемых пеРJ;оij
[ы
'ТО J;лет f торя,!" , нераг;е [ст;у W'i
М - т,
то
Wi6.Ci ~ (М
Iля сла,ае\ъIX
-
(М - т) __Е__ш-,-)
т)
[ЫШ;
<
2(Ь
Е
2
Поэтому
Таким о; ,разом,
S-s
Е.
Ита <;, 1I,ля у!ка ;анной в условии теорем!.! <I;ункции лх) выполне­
ныт;;статочные ус;; ;вия интегрируемости. ТЕ:орема 1I,0казана.
343
С,ледст,
{}гРШJ-m '!СН ЕЛ,;! ?ЕЛ
iue,
сег,ме'Нmе
I (х),
фу'Нr.:цuл
I{,мсющал
r.;ОНСЧЕЮ;
1'!{'/11,;,
р!!,;р'Ын{}"
г-------;
'Ч:llCiЮ
fj,н,mегрfjру('! и'
?ЕЛ
,;rnо,м ссг,МСНfi!' ) В 'чдсrnносrmi
х:у(> !!!'Н!'
'НеnреРЪUi'НШЕ
сег,ме'Нmе
'На
да'Н'Н!,!'
и'Нmе;;рируе,ма
на "то,м ссг,мснтс,
а м е ч а н и е,
,то есш функция
ОчевитН!!
iiнте;ри­
I(x)
1
"41з
руема на сегменте
], а функ­
ция g(x) ,Iтличается ,IT фУН!ЩИИ
Г(х) литтть
коне',ном числе то­
1~
х
,2
1
чек, то функция g (х также инте­
грируема на (егменте
Ь, приь
чем
ь
JI
dx
=
а
J g (х)
а
Ра; (мотрим
пример
интегри­
р 11',
руе\юй функции, име;, !тттей бе, и)НСЧ1Ю,
число
фННКЦii
точек
(х)
рис,
1
(х)
-1
1
у ка, :анная
ках х n
на
на
iолусег\ ентах
iолусег\ ен [ах
=
1]
:атана
=
С1n 2n ~ 1]
Сn+2' - ,
71,
= 1,
71,
= 1,
О.
ФУН!;, ;ия имеет
71,
на сегменте [О,
ра :рыва,
10,\\
в точке
= 1/71"
О,
ра :рывы
3,. ..
- го
ФИКСiiрне\
рода во
всех
любое
>
точ-
По
кроем точ;у
= о (в любой m;ре(тно(ти этой точ;;и нахо­
дит;я беп;онечное число точе;; ра:рыва <I;ункции) интервалом
(-с/4, /4). Вне этого интеРiта!;а нахо,Jl,И;С'; литтть коне' ное ч;;с
ло р 2
крое\'
точек разрьша фу iКЦИИ, каж
i;нтернало\'
,JI,,'шны
\!ень тте
2р
из кото; ,ЫХ мы
умма
,JI"
;i;H
;о
[;н ;ернаЛОI;,
по;;рываю ттих в(е точ;;и ра :рыва рапматриваемой <I;ункции,
меН!,ше ~
1)
2
на
Е_Е. еле ;овател;,но, ФУН!;!!lIЯ
; :егменте
1)
;',СIИ Р -
ЧИ!'Л!!
разр ,ша, то
ра,]!ыва интервалом длины/2!
2) Это число р,ависит, конечно, от Е,
I(x) интегрируема
мок отонны
О; РННИЧ4'НIIЫХ
'е.I.елеI [HOCТi'
М',
'УНЮIПИ Г(:г)
с,; ирои:~вольным ио. южите.'IЬНЫМ числом
[ и ра:~обьем сегмент
на равные части,. длины которых меньше f(b) ~ f(a) (слу-
чай Ла) =
) можно исключить, так как тогда (:г) = COl1st .
n
Оценю) д'IЯ ЭI ого 'азбнею ,я раЗНОСI" S - s =
ШiL:::.Хi. Имеем
2:=
i=l
n
S- s
n
L ШiL:::.Хi < f(b) ~ f(a) L Шi·
=
,=11=1
n
фvнкции
Но для
2:= Ш,
) - f( а)
иоэтому
,=1
S-
[.
§ 5.
Теорема доказана.
Основные свойства определек
'авеДЛl,lЮСТI
HOI'O
интеграла
слеДУЮЩl,Х с юйств ОИ]fеделеююго
интеграла:
1О.
ГоЛы будем счи [ать. ч [о
а
/1
d;r =
(10.6)
должна
О.
10.6]
ь
Отметим, что форму;а
'ассматриваТЬС1 как со­
глашение. Ее Н'VЖНО рассматривать как естественное расиро­
CI' 'анение
ИОI IЯтня
'еделеI ;ного интег] ,ала на
cerMeI;T
;улевой
длины.
20.
ГоЛы будем счи [ать. что и]
а
а
/
<Ь
Ь
Лх) dx =
ь
- /
ЛХ) dx.
0.7]
а
Эта фОР>.Iу';а Iакже до';жна 'accMaТi ;:аться как соглаI ;е­
ние. Она иредставляет собо!! естественное обобiiiение ионятия
интеграла на С;Уlай, когда сеП.Iент [а. Ь]
а
Ь иробегается
<
1) Отметим, что если функция монотонна на cel'MeHTe [а, Ь], то ее значеf( и
ПОЭТf)""" оцреД1ше 1на"
1ег".,,'нт(·
]
НиЯv,к,ю',ены между
МОн"
онна" функция f)граНИЧ1'на
ЭТf)М ,ег,·,,'НТ1'.
iiT
в нап] ,ав. [енн
Ь К
(J,
{в ЭТО\i случае
pa:~[ ЮС[ н ~x;
нме·ют
и
[кцн
все
интегрир ;емы
сег ·с[ен['!
![ЛХ) ± (х)] dx =
,
формулы
се[ менте
[С1;;
приче\i
! ЛХ) !
dx
±
dx.
g
докажем с[[а';ала интег] ,нруеЮСТli ФУl[Ю
ведливость
н;;
ЛХ)!!,
g(;E)
g
[а этом
.Ш
i[lцаельный
ЛХ
(10.8)
± (X)ia-
(10.8).i[юбом разбиении
се[ мента
и любом выборе точек ~; для интегральных ссмм спра­
ведл l[Ю соотношенне
n
1=
а по
iTOM.'v
n
n
1=
1=
из существоваНИi[ предела правой части слеДi ет с'vще­
±
Сl [ю[,ar не пределаi[е[юй части. Сi[едоватеifЬНО, функц ш f(x)
g(x) инте[рируема и имеет место формула (10.8).
Iокажем теперь, что произведение инте[рируемых функ­
циii являеТСi[ инте[рируемой фvнкциеii. Так как фvнкции л;г)
и
g(x)
интегрируемы на сегменте [а, Ь] то они и ограничены на
iTOM се[менте (см.vтверждение п. 1 § 1 так что lf(x)1 ::;; А и
Ig(x)1 ::;; В.i[юбое задarшое iазбненне Т сегмеl[та
[а
- прои:~вольные точки частичного се[ мента
. Иilее\i l'ождесп;о
[Xi-l,
f(;E")g (J") -
Л;;
')g (;г') =
= [f(.r") -
(x')]g(x")
- f(x')g
Шi,
+ [g(x")-g
(х').
Та;; как
If(x")g
If(x") - f(x')1
Wi,
Ig(;i") - g(x')1 ::;;
где Шi
Шi·
f(;r) g'(X)
ств! 1)
соответственно колебания
на сегменте
[xi- ,;ri],
сункций
g,
то, согласно указанному тожде­
Поэтому
n
Шi~Хi ::;; В
1=
L Wi~Xi +
i=l
i=l
1) в ,том тождестве точки ;0' и х" мо;с;но выб; ап, так. что левая часть
будет как ус'одно мало отличап,ся от ш,.
П"сю ,льку
б, 'го
f(:1:)
и
. ,аданн< >г',
Е
;т( грируемы
n
С( Г.НН
что
i(],.
;а сегмент( [а. Ь] дЛЯ лю-
ю ую]зать таiше
L
<
Е
'а,бнеi не
это;
n
И
LW,
'=1
1=
для Эi "го ра:~биения
n
s-
-+A~ =Е.
2П
2
1=
110ЭТОМУ произведение интегрируемых
грируемой функцнеЙ.
'Ункций являеТС;i инте­
4°. Есш Ф iНIЩИЯ (:г) интегрируема на сегменте [а, Ь] то
функ ш;i сЛх) с = const) интеiрируема на этом сегмент! . п)'и~
чем
ь
ь
J
=
е
а
J
(10.9)
f(:E) d:E.
а
Деiiствительно интеi ральные суммы фvнкцин f(x) И ef(.!) OT~
личаются iЮСТОЯННЫМ >.ШО кнтеле>.; с. Поэтому фую,ция с!
интегрируема и справедлива
5°.11YCTb
функция
f(;r)
,орм ,ла
10.9).
интеiрируема на сеПvlенте [а,Ь]. To~
гдала 1,УНКЦИ;i интеiрируема на л {{,юм сегменте
[;. (J]
coдep~
iКЮiiе>.iСЯ в сегменте [а, Ь].
Так как 1,УНЮiП;i (:г) интеiрируема на ceiMeHTe
то для
любого Е > О CYiiieCi ;;ует тат,ое разбиение Т сегмента [а, Ь], ';то
S - s
Е {см. теоремс 10.1). ДоС,авим к точкам разбиеНИ;i Т
i'ОЧi,И с И
п. 2
§ 2)
d.
В силу свойсп;а
для полученного
неравенство S -
s
2°
;;ерх! нх
ннжни;: сумм
C>'i.
'азб;iеi;Ш т* те>.; бо;;ее спра;;едливо
Е. Разбиение т* сегмента [а. Ь] порожда~
ет разбиение Т сеГ>.iента [с, d]. ~:слн
8 - ;;ерхняя
НИiКНЯЯ
ссммы разбиеНИ;i т, то В - s ;( S поскольку каждое неотри~
цательное слага;'мое Wit::.Xi в выраж! нии S - 8 =
Wit::.Xi будет
также слаiаемым в выражении ДЛ;i
< Е,. и ПОЭТО>'iУ фующия f(x)
S - s.
('ледовательно.
S -
интег]
,ye>.ia на сегмеi;те [с, d].
6°. Пусть 'УНКЦИ;i (:г) интегрируема на сегментах [а, ] и
[с, Ь]. Тогда эта функ iП i интеiрируема на се! менте [а. Ь], ПрIП! М
-8
С
dx =
а
Ь
f
а
Рассмотрим снача;а СЛУ'iаii, КОiда а
f
10.10)
с
< с < Ь.
Так как функ ш;i
интегрир'vема на ceiMeHTax [а, е и [;'
то с'vщеСТВУi{{Т Ta~
i,ие 'азб;iеi;Ш эти;: cer>.ieHToB. что раЗiЮСТi S - s для каждого
из них меньше Е/2. )бъеДИНЯ;i ;ти ра:~,;;иения. мы ПOJгvчим pa:~~
f(:E)
347
бненне <егмента [а, Ь]
;Н, ,<ть S будz' меш,ше
Слс'довательно,
fт(;грирус'ма Н;1 [а, Ь]
д( м включать точку в ЧИС.!lО дел щпх т чек сегмента [а Ь] прп
ра:~би(;ник
ннт(;гр;] fЬная <умма для
[и,
<умм(; инт(;гр;шьных с'гмм для этой ф'vнкции на
и [с,
В пр(;д(;ш мы ;юлучнм формулу (1010)
Ьсли ТО'ТЮl с лежит вне сегмента [а, Ь] то сегмент [а, Ь] есть
часть сегмента [а, ] (rпи
Ь]) и ПОчТОМ'v, В СИJГv свойства
Функшш f(x) ннтегрируема [а [а, Ь]. Рассютрк) случай а
Ь
Тогда
<
ь
JЛ;;) JЛ;;)
с
d;;
с
d;;
а
а
ИСПОЛЬЗ'vV свонство
ю чим соотношение
э; ого соо;; юше; ня
(10.10).
при с
И
'ОРМ'vЛУ
10. Т
мы опять по-
ЛеfКО уС;еДИТЬС'f В справедливости
< а < Ь.
Оценки интегрнлон. Формулы среднего значения
§ 6.
Оценки интегралов. В это); ПУ;fкте мы получи); неI;О­
1.
торые оценки для определенных интегралов
подынтеfральные
Фуню fИИ которых подчинены тем rпи иным условиям.
1о. Пу;
инmегриру;"
сегм,;'шnе [а, Ь]
'НеотР1l'll;ател ','На 'На этом сег.ме'Нте. Тогда
t,ция
f(;E)
ь
Jлх)
d;;
?:
а
. Iейс;
fште'fЬНО.
каждая
ннтегра'fЬная
неотрицатешша, и поэтому предел
1 =
сул,;а
;акой
J f (х) dx
функцн
ннтегральных
с! мм также неотрицате [ен
3
а
и
е ч а
?:
и е
1.
Еслtt
f
и'Нтегрируема 'На
сегме'Нте
тn, то
ь
J
?:
т(Ь
-
а).
а
1) Донустим. что пре. (ел 1 интеграл'.ных сумм отрицателен. То; ;д соглас­
но опредvоле;;ию прv·де .. '" 1, Д .• СЯ ·ШСЛ;'. Е = 111 ;;;'йд"
интvтр" ,ьна" С'n1)-1а
1{Xi,~)}, для которо;', 11{x).~i} - 11 < 111. Из это; О неравенства вытекает
. vтi' 11:1:
С'n1ма
<
риц;'
О. а
..
;'1 Ы
е ,ьна.
. ;т"
кажда,; интvтра ,ьна,;
РИll1'
е
.. "
н.
в (а\" 'м де',е, функ, ня
СТ)
-
о и
,тсгрируема ,а (егмент(
Ь
Tnl iJX ~ О,
JTj(i) а
ь
ь
f
j
d:J:
ь
j
Tnd:!
а
(см. С!юйство
п]
30
-(J,)
d:!
а
нз
§ ).
{','сли
,: ция
рав'На тождест ,е'Н'Но 'НУЛЮ 'На сег.ме'Нте [а. Ь ],
то
ь
j f(x) dx
с О.
так как фующия f(x) неотрицателы:а и не ,aB~
на тождеств;нно ну':ю, то на сстмс'нте [а, Ь] наiiдется такая точ~
ка ~ что f(~) = Jk > О. Тогда по теореме оС)vстойчивости знака
непреры:шой фующии
ю :ай!н та(;ой сегме,:т [р. q] содерточк'v ~ в пределах которого значения
'Унк (ЛИ
(х)
>
будут не мею,ше чиС!(а
О. Поэтому, в силу ,'0'(
')то cдe~
"
ланно(о замечани
~
k(q -
р)
>
р
С'огласно свойству
определенных интегралов
6'
q
р
j
а
=!
Поэтому, поскольку
ь
+!
а
+!
q
р
О и.г
f(x)
с
f(x) dx
О, где с
= k(p-q],
р
ь
j f(J)
d;v
~ > О.
а
30. {','сли Функци!) f (;Е)
g (х) ш щи' 'уmруемы 'На сегм, нrnе
[а, Ь] и f
g(x) iiсюду 'На этом сег.ме'Нте, то
ь
j f(x) dx ~ j
а
а
g
iJX.
34')
llНTEl Т.\Л()l;
ФУ11КЦНЯ
;тглнт' [а, Ь]
Отсюда,
СТ)
СТ)
лив'iсть ук l:~анн()й 'iценки
3
а
а н и е
менп n '
сегменте,
1
Е,и.t фун i'Ц!!,я
2.
11(х)
п,о
о и
1Т( грируема
н;!
с lЛУ ;·вой;· па
'ег-
инт, грируема
Пi·а[,;.'JIC" llНn "'Р1lрuец.а
nptt'teM
ь
.1
1
di.
а
. I.окажем сначала IIНтегрирус'МОСТЬ МОДУЛil 11 СТ) 1 интегриру­
емой
'УНКllПИ
(:г). ОСю:~начим через М, и mi точные lрани
1Ст) на ССТМС'нте [xi- ,;ri], а
iез
NI! и т~ TO'lНыe грани 11
-
1
на том же сегменте. ЛеlКОvбедиться в том. что М!
т~ ~ M i -mi (достаточно рассмотреть трпвозможных СЛ'vчаil: 1 СJгvчаЙ.
когда
Nli и mi Ш'ОТ]Шllдте'lЬНЫ: 2) СЛУ'lаii, когда Nli и mi ш·ио­
ложительны; 3) слvчаЙ. когда М( > О, mi ~ О).
ИО'lученного
неравенства ВЫТС'кает, (то В' - з' ~ S - 3. Таким образом. "сли
для
HeKOTopOlO
В'
з'
-
< Е.
раз,V,иения
S -
Е, ТО ДЛil
3
'того разбиеНИil
т. е. для 11(х)ll:ЫИOJшено достаточ юе YC.'IOBHe ннте­
грируемостн 1).
Iокажем тсш])ь интересующую нас ощ·нку. Тю{ как
ь
~ 1
~ 11
ь
1,10 - JIf(x)ldx
а
dx ~ JIf(x)ldx, а это
J1
а
и озна (ает. что IJ 1Ст) dxl ~ J11
-11
ь
а
dx.
1
4 о. Пуст'ь фую;;'ЦttU 1 СТ) tt ." СТ) tmтегрttруе.МЫ на сегменте
1l g(:E) ~ О. Тог,)а, если М 1l m - mU'ЧJ{ъtе
сегменте [а, Ь ], то
ь
~
.1 f(:E)g (:г) d:; ~ М .1
а
а
g
(J ) d:E.
(10.11)
а
iаведл llЮСТ1 (10.1 ) l:ытеlшет нз того, ·;ТО дЛЯ (:се: х нз
сегмента [а,
сиравед'Швы неравенства mg(x) ~ f(x)g(:E) ~
I "е ;ш'дуе
руемость
, гообщ,' го;юря. и" егри-
рацио,(алы(ых :с
1(:1:) = { _11
Например,
Д,iЯ ИРР;ЩИi'на.,;ьны,;
неинт,тр ;р' (·,·.(а на с,т,·.(е" е
Э 0'·.( ;ег,·.н'нт(· функция.
[0.1],
Тi'гда Ю;;;
1==1 -
инт,триру,'ма,; на
СВОЙСТi'i
м
ЛУЧИ\i
ч
3
н и е
1
д' ,полнении
не, колью> ва}кшг: нср ШZНСi
';
к этой главе мы Пi ,-
для су')
и
се iелеiШiГ,:
инт, тралов
llервая формула среДШ'Гik знаЧk'Т
/уст!с фУ'Н1\;'ЦUЛ
'сттегр'аруе,ма 'На сегме'Нте [а, Ь , 'а пусть m 'а l'yl - то'сHыe
f(;E)
сегм! нmе [а, Ь],
iiffudernCif ш,аfi;ое 'Ч ff'ло fL, ydOfiJ!em iорлющее 'Не! aBeHcmfia,M m
fL
, 'Что
f(x)
ь
л;г) d;E =
/
fL(b -
а).
(10.
а
ь
В са\юм деле, полагая g
(см. пример п.
1 § 1)
= 1 и учитывая. ';то
получим ш
J 1· dx =
Ь
-
а
а
(10.11)
ь
т(Ь - а) ~ /
~ М(Ь
-
а).
а
1
)бознача;i через fL чис ю Ь _ а
Ь.
J j(J) d;;
мы и ПОЛ,ЧИМ формул,
а
(10.
f
фующия
неп.реIНf;J-tа на cerMeiiTe [а, Ь], то cYffieств,ют такие точки р и qлого ceiMeHTa что лр) = m и (q) =
поэтому, в сн, (У теоре\ыI 8.6, (а сег­
= М (ei. i'eopeiY 8.8),
менте [р, q], а стало С;ыть" И на [а, 1;] наiiдется точка ~ такая, что
ЛО = fL· в этом случае формула (10.12) ПРЮiет внд
/
Лх) dx =
f(O(b -
а).
(10.13)
Эта формула называется
Фор,мулоu сред'Него з'На'fе'Нttл.
3. llервая
сред! иего значения в обобщет иной форме. Докажем с iеДУfUffiее утверждение. ПУf
Фун
'ЦttU Лх) 'С!
М
СТ) ttJ-tтегрttруе,м'Ы 'На сегме'Нте [а, Ь],
Ш,О'ЧНЪ/'('
f(;E)
фУ'Н1\;'Цttл g(x)
,до iiffudemCif
(шtU
m
-
fL
'Ч1М'
u
пуст!;
m 'С!
'На сегМf'нrnе [а,Ь]. Пусrn'ь, Гс.рпые rnи,"о,
(х) ~ О) 'На всем сег,ме'Нте [а,Ь]. ТоiQ
швам
fL'
';то
ь
/
а
(x)g(x) dx = fL / g(;E) dJ
а
(10.14)
llНTEl Г\Л()l;
'iасm,'jfлсm,'(J"
ее ,I,'ii
этом сегмен пе
су
(;Т)
ijeCm
с, г,менm"'
{ует
та'Кое
ь
ь
J
(~)
(х) dii
а
ФОР\1ула
(10,15)
Ь],
'imO
'iUСЛО
J (х)
Е)
(1
dii
а
1азы iается первой формулой среднего :mаче1-tuл
в обобШi т{QЙ форме,
, l,окажем
СП] ,аведл
jilOCTb
фОР\1У'iЫ
(10,14),
ЕСЛi'j
g (х) dx
=
а
ь
= о то. в силу н! рав! нств
J f(;r)g(x) dx = О и поэтому
(10,11)
а
в качеСj
iie
f..l
dx >
мы
О,
ь
на
то. разделив все части неравенств
,[g
а
ь
I
m
f(;r)g(x)dx
~ а
~ М.
g
llолага!i
f..l равным
а,
мы и получим формул;
(1 ).14 .
а
Если
непрерывна на сегменте [а, Ь]
б1 шо чис.;-то
заjiлюченное \1еi+iДУ
m
то, каково С;ы ни
и М
ia
этом
cerMe1iTe
найдеТС>i точка ~ така!! что Л~) = f..l т, е. ,орм;ла 10,14) пе­
ре;однт в формулу (10.15).
а м е ч а н и е 4. Если 'УНКiiП!i f(.l) не являеТС!i непре­
рьшной, то формула (10.15), ilOоб ii.e говоря, неве] ia. В само')
деле, П';СТЬ. например,
={
f
~ при О ~ х ~ -,
2
1
2
1 при '2 < х
,
g
=
1 при О ~
{ 1
1
-
- <х
~~
ТОiда, как'нгко убi'ДИТЬСя, число
в формуле (10.14) равно
Таким образом. для любого ~ из сегмента [О, 1] (~)
f..l.
#
4.
С'iеду
2
1.
2/3.
Вторая фОРМУiiа среднего значения. Справедливо
утверждение. f';слu на сегм; шnе [а, Ь] фун
g(iE)
;;iii.ee
м )'jштон ЕЛ,. а
ст (ует та'Кое
f
(nuлегр
ipy'
"imO
"iисло
ь
I (:г)!!,
=
.
g(a)
М!'. то
ь
J
J
16)
iJX .
а
Фо] '\iY'ia
(10.16)
назьшается ;(торой формуло;; среднего .mаче~
1-ttt,я
формулой Вонне 1). Сфо]
доказывается в дополнении
§ 7.
+ g(b)
iJX
юванное
(ждение
к наСТО(iщей главе.
Су} i.естnоnание перnообразной ДiiЯ непрерывной
(I?ункции. Осноnные НРНnИЛН интегрироnнния
1.
i.ествовнние первообрнзной ДЛi1 непрерывной
ФУНКП.ИИ. llрежде чем перейти к доказательству теоремы о C(~
ществовании первообраЗiЮЙ Д'iЯ неiiреРЫВiЮЙ фУiiКi
iшедем
ПОН(iтпе ин
Пусть фУНКiiП(i
f
n
nерем(ш'ъtМ
!(·делим.
) интеiрпруема на'iюб~м ceiMeHTe,
жащеМС(i в интерва'iе (а. Ь) и пусть с
-
ная ТОЧiiа этого интеi 'iiала. 'Тогда, каКОiЮ бы ни было
интервала (а, Ь)
содер­
некотора(! фикспрован~
'У~КiiП(i ЛХ) пнтегрир(ема на
нсло х нз
ceiMeHTe [;.
Х!.
llоэтому на интерва [е (а. Ь) опреде'iена liУНКЦПii
,r
Р(х) =
J
j(t) dt 2),
с
iiОТОрУЮ назьшают интеграло.М с nеременны.М ;(epXHttM пpeдe~
ЮМ. Докажем слеД'vЮЩУiU теорему.
Теорема 10.6. Люба,я неnрерывна,я на интер (але (а. Ь)
f(:E)
им;·;·'
этим шtrnерв iле
О')'''iЙ
и.·( fiер;(ообразных ,я ut,яетс,я фун'К'Цtt,я
J
х
Р(х) =
j(t) dt,
с
где с - люба,я фи'Ксttрованна,я точ'Ка tt1-tтервала
Ь.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать. что для любого
ФНКСИlJOiiЮШОГО х нз интеРiiала (а. Ь) сУiii.еСГiует предешшое
зна "ение
'l
11'111
..:'l,r-H'
Г· + ,6,,6,:'1:)
--
F(i), п·.
•
;ем это предеш ное значение
:1;
1) Бонне (1819-1892) - французский математик.
2 l\IbI 060З1"1 шЛи пеРi'1·,еiiН'(Ю иii еГРИРUВ1ШИЯ
в"й,наЧi'Н Вi'рХНИЙ преДi'Л ИНТiтрирова11И1i.
t,
пuС"О .. iЫ;"·
lECTB()i
ра!Но
и "Л(\1,
](:1:)
§ 5) ),
силу
"АННЕ ПЕГВ()i JiУ\ЗНС""
( iii'йства 60
ОПРl:Дl:Ш нных
1Т( гралов
J
:[:
Р(.!
+ 6.J)
-
Р(:г) =
dt-
с
,r" c:'l,r
J
dt+
(10. 3)
dt -
х
с
По фо] ,муле
,r" c:'l,r
dt =
с
С] ,еднего значения
J
dt.
х
1а"ОДl1М
х+.6.х
Р(:г
+ 6.:г)
Р(:г) =
-
J(t)
1ft = Л~)6.:г,
где ~ - число" :шключенное межд"v ЧИС1ами
и
6.х.
С1Ю'1
фующия ](х) непрерьшна в ТО"1ке х, то при 6.х -t О
Л) -t Лх). Поэтому из последней фОРМУШ 1 наХОДЮ 1
~x) - !, Се) =
lil11
~;!:
Теоре1а Д01,азана.
3 а м е ч а н и е
1.
существовании пе]
l;УНКЦШI.
дела интег]
lil11 ]
= ](х).
c:'lx ,о
АнаЛОilIЧНО доказываетс,; теорема о
'азной у 1епре] '1JВНОЙ на сегменте [а, Ь]
)тметим, что в этом сл'vчае в качестве нижнего пре­
ювания
1;зять
с можно
а м е ч а н и е
а.
доказате'1ьстве теоремы
2.
10.6
мы
установили сущс'ствование производной от ИНТ1Т] ;ала С перемен­
":
ным верхним иределом
и доказаЛI"
что эта ироизводная равна
ПОД1IНтегральной ФУ11Ю
и! dl) ~ !(х).
10.1)
3 а м ч а н и е 3. Отмс'тим, что есш функция ](;Т) инте;ри­
р ;ема на любом сегменте, содержащемся в интерва'1е (а. Ь) то
интеграл с перемеШlЬЕ1 веР:iНИ\1 предело') предста1шяет собой
непрерывн'vю на интервале (а, Ь) 'Уню;п и от верхнего предела.
Чтобы убеДИll,СЯ это ,1, Д01,юке,1, Ч10 П]
'аще1 l1е 6.Р = Р(х+
+
6.х)
-
Р(х) Фуню
Р(х) =
J]
dt С1 ];ем 1Тся к ну 1Ю П]
с
) Прир ;щеi1ие ~; {",ы
с
(а, Ь).
12
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
о lЬ
{"",а lЬН,
о
l;le 'ШСЛС
11,
f
ff<ЦfШ
(Т
F(:T)
:г
:пключенс ме:rкду точш)й
х
на Cef\feHTe [х, х
НЕжней гранями
+ ь"х].
послеДf fей формулы
вытекает" что и b..F -+ О fрИ Ь..Х
О.
3 а м е ч а н и е 4. IIнтеграл с [еременным верхним fределом
часто исf юльзуется для определения новых Функциi"f. l\lbI уже
о! \fе'fали
гл. 6, 'fTO пеРfюобраЗffые некоторых элеме парных
fИП не выражаются через элементарные функции и не яв­
ляются ю:~тому :~лементарными функциями. НаiЮМНИМ, что к
ЧffСJIУ fеэле\fентаРf
ф\"НКЦffЙ ОТfЮСЯТС~f, например, ф\"НКЦff
х
х
.Г е- t2
'.Г cost 2d,t.
о
о
2.
Основная формула интегрального исчисления. Мы
Доказали, что любые две
отличаЮТС~f на ПОСТО~f
теореме
10.6
fервообразные данной функции лх)
(см. теорему 6.1). ПоэтО'р" соглаСfЮ
и замечанию
1
к ',)той теореме, можно утвержДать,
'fTO люба~f первообразная Ф х
ши f х
\feeT ВffД
fепреРff
юй на сегме;
[а, Ь]
х
f(t) dt + С,
Ф(х)
а
[де С
-
fеfштора~f постоянная.
j Юлагая в юследней формуле сначала
а, а затем х =
используя CBoi'tcTBO 10 опреДе. feHHbIX интегт алов, наiдем
и
Ь
Ф(u.)
(Ь)
С,
.1
(х) dx С 1
.
а
IIз этих равенств вытекает соотношение
ь
.1
(х) dx = (Ь)
-
(а),
(10.18)
а
наЗf ff;аеюе осн.овн.оU ФОРJ>iУЛОU 'ин.тегральн.ого 'исчислен.ия 2).
1) в этой форыуле переменную интегрирования мы обозначили буквой .Х.
Ш)Сj;о.jЫ;У верхш)й
') Эту
jр'·де.j имее
;''1'
jjja'j' jjЮ' Ь.
jjШЖ" фор.мулоiJ. Нъюmона-ЛеiJ.бнuи,а.
lECl
355
В()ВАНllЕ ПЕГВ(), НУ .ШС)И
егрп
пъ
11,
,)'иД/С,))
)[3)
)[11,п
егр
ip
ЮШ)!'/},Л.
,
OTKPЫB;H~T
ных
что
1ai!
ОС1
широки!'
интегралов.
ла
и!! ))'1ра. !!,ног!)
в(х~м!<жности!Я
юскольку
задача
вы' 1И!18НИЯ
вычисления
исчислеН!!
ОПР8!8.18Н­
011ределенного
1!Нтеграла СВОД1!ТСi!
задаче раЗЫС!Ш1!ИЯ пеР1юобраЗ1ЮЙ ф\'нк­
ц:ии. l\1етоды разыскания первообразных были достаточно полно
ра,работа1!Ы наМ1!
главах G 7 ЭТ010 к\тса.
Так как 1Ю М1
Gтrучаi!Х разыскаН!!е первообразных представляет со()0!·'1 трудную задачу, естественно поставить В011рОС о
1риближенных методах вычисления 011ределенных интегралов.
В 1Л. 12 б\дут Yliазаны некоторые \!етод!) ПР1!БЛИJiiе1 Ю10 вы­
числения 011ределенных интегралов.
Формулу
(10.18)
иногда за11исывают в иной форме. Именно,
разность Ф(!)) - Ф(u) о()означают символом Ф(х)I~.Гогда
ь
li
- Ф(х) Iа'
лх)
(10.19)
а
Рассмотрим нескоЛ! ко примеро
J
ь
si11 Х dx
= - СО,) Х
1
= СОБ а
СО,) Ь:
а
2
111 Х 11 =
d.'E
2
1п 2 -
1112;
111 1
1
- _e-xl - 1 -
3
о
~;
е
1
J
;) J -агСSiпхl ~ ~.
J~ (х +V1 + х;) I~
dx
4\
--2
1+.'Е
=
arctg х 11
О
7г
-4'
О
/2
у!1
=
- х2
6'
о
3
6)
=
о
12*
111
=
111 (\
+ГJ).
lН ,ГИ гШТElТ
'~~al\leHa lepel\leHHoi%
теграла, Пусть выш\шгеггы
1)
2)
Ю)llliаН:'~ом опреде, генного ин~
l.Ие \'с. 10В!!
ФУН}Г'ЦU,Л f(x) неnреры{гн(], н(], се?J,леmп,е [аг Ь]
сег,;,ленm [а, Ь] шгллеmсл ,;,лножес T!BOJ>i
рои
iU
(t),
'/},
g(p) =11.
) =
т!их условилх справедлива фОРJ>iула
Ь
Jх
f
.3
J
dx =
J[g(t)]g'(t dt.
а
ФОРIlI\ла 10.20) юказывает, что если вычислен интеграл, сто­
ящий в левой части ',!той формулы, то вычислен и интеграл,
стоящий
наоборот. Указаl la,l формула lазывается
за if.гiГЪГ
под З!ШnО,/lГ ОП] ,деде fifOZO
lmmеграла.
Рассыотт ИIlI некоторую первообраЗН\1 iГ Ф(х) функции
По
18
f(x).
!,lee1
ь
J
f(x) dx
Ф(Ь
=
10.21)
Фа.
а
Гак как функции Ф (.г) и х
g (Т) дифференцируеIlIЫ на соответ­
ствую 1 l.ИХ сегыентах, то сложная функция Ф (g (t)) диффереЮlИ­
р\'ема на сегме;
[а, ;1]. Поэтог)" ПРlf!'lен lЯ прав lЛО Дlfфференlирования сложноil фунКll.ИИ,
(g(t))
ЮЛУЧИIlI
(t))g'(t),
=
(10.22)
lричеIlI производная Ф' вычисляется по аргумент\' х: ф! (g' (Т
= Ф'(х), где х
ПО,l\'l
ф'
(Т)
)=
Поскольку
= ЛХ), то lрИ Х
g(t)
=
(п). ПодстаЮflЯ Э1 о Зllаче lие ф' (g (Т ) в
lравую часть равенства (10.22), получим
g(t).
f
~ Ф(g (Т ) = f
(Т
Следовательно, фУНЮlИЯ
(g(t)), Оllредсленная и Ю'llрсрывная
на сегме;
[а, р], ЯlfляеТС,l на ЭТО!,l сегме;
llеРlюобраз юй ДУ,1
llЩllИ
f
(Т
)g'(t),
и поэто!'!'
СОlласно формуле
.3
f(g(t))g'(t) dt -
Ф(g(р))
-
(g
)).
(10 .
lECl
Так
= Ь,
g;
.1
ВОВАНllЕ ПЕГ Ю'; Н,;Г \ШСiИ
=
,т;;
(Ь)- (а)
(g(t))g'(t)dt=
Сраннивая пuследнюю Фuрмулу с фuрмулuй
еlСЯ в справеДil lЮСТИ форг.·ЛЫ (ll!.20
(lU.21 , мы
уfiежда
f lпх-. Положим
2
При М еры.
х
еi.Гак как
Рассмотрим интеграл
1
= О iрИ Х =
1112
при х
2.
то
111 2
2
.1
1,
х
d:E
lп
('
= .1 t d[' = 2
1111 2 1 2
о ="2 111
О
1
1Т 2
2\
.1 SillyX v'x' Пусть Х
'ассмотрим интеграл
+2
Тогда
1Т 2 /4
Х
=
7Г 2 /4
щ
[!
t
= 7Г/2 х =
7Г 2
Щ
[!
t
= 7Г. ПОЭiОМУ
2COij
1;
=
2
4. ФОРi\lула интегрирования по чаСIЯi\l. ПУСПiЪ фУН1i­
чии и(.т) и v(x) и.\!.iюm if;npepъt6ifbli njiOU36oJifbl,; на c;Z .."it.eifm;
[а, Ь]. Тогда иJ,лееm меспо следующая формула ин iiегриРО6ания
nО':Шim.!!м Uл.!! оnреU;л; ifif'ЫX иifmеграЛО6:
.1 u(x)v'(x) dx -
Ь
u(x)v(x)]I~ -
.1 v(x)u'(x) fix.
(10.23)
а
Гак как
iiai
i
v'(x)
fiv
'т еще слеДУЮЩii
и и'(х)
об! азо
ь
.1 и fiv
а
ь
и\'] I~ -.1
fiu.
(10.24)
а
с! iраведливости :лих формул убедиться нетрудно. Действи
тельно, ФУНЮiИЯ U(.T)V(X) является первоо(jразной для функции
lН ,1И lШТElТ
:г/ (.1
) + '/J:J:
(.г)
(10
+
[u(.1 )V' (:Г)
(:Г )u' (:Г)
!
!!.(:Г)!'(:Г)]
d:J:
а
ИСШ\ ff"i\"Я СВОЙСТ!,i"
I!ПРI де "'нных iштегралов
3"
ПОЛ!"'"
(1
и
1).2:\
р и м еры.
2
2
2
1)
111 Х
Х 1пх
-
Х - [х 1п х
.];
1
-
х
2
1
- 2111 2 - 1.
'
1
2
2
2)
,/
;Х dx = (Х х-
1
J
3)
1
arctgxdx
=
х
xl o-
JlX:~2
о
=
О
[х arct,g х - ~ 1п(1 + ) 2)] ~
~ -111 h.
4
Остаточ;
чле; формулы Теилора
интеграль~
нои форме. Применим формулу 10.23 для вывода
5.
f
Теuлора фу1-t'х:'И,шt
х с остато'ч,1-tы'лл чле1-tом в lmтегралъ1-tоu
форме. Пусть функция ЛХ) имеет в некоторой Е~окрестности
точки а непрерывную iРОИЗВОДНУЮ (n
l)~гo юрядка, и пусть
+
х
любая да;
-
iaii
то [ка из Эi ОЙ E-ШiреСТНОСi ii. УбеДИМСii, ЧТО
число
R n+ (х) = ~
1)(т)(х - t) dt
f(
n.
(10.25)
а
является остаточным членом формулыГei'шора для фуню i,ИИ
[ентром разложения в точке а. ТШiUМ обра.ЮJ'Л, фОРJ>iула
дает nреJсmавЛI1-tUI о!татО'Ufого ЧЛI1-tа формулы TIU
лора длл фу1-tfi'И,UU f(x) в lmтегралъ1-tоu фОРJ>iе.
f(x)
С
(10.25)
Для доказательства заметим, что
J
Х
(:г) = (и.) +
{(t)dt.
а
Х
К интеграл!
f'(t) dt
Щ именим формул!
(10.23)
интегт ирова-
а
ния по частям,
юлагая
!!.(t) - {(t)
и
v(t)
= -(х
- t)
(так как
lECl
))рова)
то
lE
В()ВАН
35))
ПЕГВ()1 Н1Г \ШС)И
'1/ df - dt)
х
f'(t)dt=-f'(t)
-t)!:+
{'(t)(:t-t)dt=
=
{(а)(х - а) + /
f'l(t
Х
t) dt.
а
х
J f'(t) dt
Подстав.11Ш 1айденное выражен 1е Д 111
приведеННi')i1
а
выше формулу для
(:г),
юлучим
х
f(x)
=
f(a)
+ {а х
а +/
х
f"(t
t) dt.
х
К интегралу
{'(t)(x -
Т)
также можно
iрименить формулу
а
интегрирования по частям, полагаЯ!i,(t) - {'(t) и v(t) - - ~ (х- )2 (так как х фиксировано. то v'dt = (х- dt).110сле неслож­
ных
iреобразованиi'i наi'iдем
х
х
(х -
/
t) dt =
i'~\(I) х - а)2 + ~ /
а
и
f(3) (t)(x - t)
а
ю:~тому
х
f(x)
=
f(a)
+ i';~) (х а) + i'~(,a) (х а)2 +~, / f(3 (t)(x -
/ dt.
а
даЛ1яейшее Иf1теlРllрова11ие 1Ю '1аС1Я\1 бiдем ПрОlIЗ1ЮДИТ!
тех пор, пока не придем к формуле
(х)
=
до
(а) + /,;:(1) (х - а) + Г2~a) (х - а)2 + ...
... +
х а)П +
1 /
Г П +1)(т х
t)ndt.
а
Эта формул а
юказывает, что
ся ocтaTo'lНЫM Т1еном
R n +1(х)
действительно являет­
Тейлопа
центром разложения в точке а (см. 13'гл.
гральную форму 10.25 остаточного члена
ф\'нК!
1.
f
х
с
ИС1ЮЛЬЗУЯ инте
формулы Тейлора.
lН!
п, ,лучи 1Ъ
Име;
го 'iНiiЧ' 'ния
iiiTi .точ; ;ый
,1 И
1lНTK Г
Тi·Й.юра в
"fi'H
п" iiб, ,бщi'ННОЙ форме
,],-
форму.;ы ере
(10 15)
;е-
!iiЛУЧИМ
I
Х
Х
.,+ J(t)
f(
t) dt
:г
=
.1 (х
71'
а
- t ;ndt
=
а
jCn+1)!~) (i_t);;+1I X =
n!
j(n+1)ш х-
!n+1
(n+1)! (
По;\'ченное выражение и представляет собоР остаточный член
в форме Лагранжа 1
(см. формулу (8.46 из
ДОПОЛНЕНИЕ
14 гл. 8 .
1
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДЛЯ СУММ И ИНТЕГРАЛОВ
1. ПЫВОД одного предварительного неравенства. Пусть А и Е !ii!ible Н'·'iТР!Щiпе.!Ыji.'"
ар
р' - люб!;,,' ша
оба пр' !"iCXO1
1
дящие е iИницу и связанные i'оотношениеJ\l - + - = 1 (такие числа будем
р
р'
АР
ЕР!
AE~-+-.
р
0.26)
р'
iай {ем максимальное значение функ (ии I(x) = x 1 / p
х? О. ПОСКiJl;Ю
!'
~(Xl/P-l
~(i-l/P
-1)
р
на ПОЛУПРЯJ\lОЙ
-
-1).
то j'(x) > О щш
р
< .Х < и
< О при х > 1. iоэтому фУНЮiJIЯ имеет
х = 1, при (ем ее !'iаксимальное зна'1ение I(l) = 1 1
J\lаксимум в точке
1.
р'
Итак, для всех
х
.Х
1
Р
Р
--~-
По.! iЖШi В ЮС.!' Дii' М ! ,'раве (стве
HepaBeНi тва на Е;
= АР ЕР'
2) И
!южив
полу'iИМ неравенство (Ш.26
1) Оп. "тим, '1 при .. Кii:~iШШiМ !iывд'' 'iCTai"i'1Hii! '1.!,'на в форме Ла­
rpaHiiia на произвоДную (71 + 1 )- го iюрядка накладываются несколько большие iiграЮi''''НИС. ''''М в § 14
8. О.'i!ii.шО. ес,!" ИС!Ю'!Ьi'iiiii'lЪ Дii'iазаННУ!ii
конце гл. 9 теорему Дарбу (о прохождеНШi производной '1ерез все про межу­
точные значения); то получим остаточный член в форме Лагранжа лишь
при условии существования и интегрируемости ICn+1)(x).
2) 3д'сь м!;!
И!;!' iрИ Е
Ci!pii! .... . !ИВОСiЪ iiepii "!'Нс
(10.2С) "е вы
361
'ёльдера
Неравенство
какие
угодно
СУ','М. Пyr ть а
1
неотрицательные
числа,
а
аn и
,1[2,
и
имеют
тот
lо;д;[ снравеДJlИi;; с,;с ду;с;щее нс'раве;;ство
l'р
n
а
которое называется '!;ер ;в,'НС пв;;м Гё [,[,дер;; д,;;я,
iокаже;; с;;а ;;ша,
С'СJlИ
'1
,А 2 ",
: В1 ,
-
;;ак;;е уго;-
но неотри;дтельные числа, удовлетворяющие неравенствам
n
n
L
~ 1
ДJlЯ этих
CHl
',,;се,;
(10,28)
~ 1,
=1
1,::::::::::1
авеДJlИi"
нс'равенство
L
~
(10,29)
1,
=1
са;;ом
;исьшая ДJlЯ
Те;·
;;сс'х Н;;;'
раве;;ства 110 ;;сс'м
сум;
са; ;ьн
н; раве;;ство
(1{),29)
i
о
'1ИСС.'Jl
1
и
нер;.[
";;с
(10,2С)
ю 71, Н ШУ'1ИМ
д н;аза;;
По'; ;жим ;'е;;ерь
А,
а
=
[nL
В,
;JIP'
а,
i=l
ь,
[;Ln ь;'.] 1/Р
=1
Ле; ко ви';е;ъ, ,;то ';ИСJ!а А,
В, у'юв ;етвор;;;;ст ;;ераве;;ства;,
поэтому для этих чисел ;'праведливо неравенство
с';'.
;·;ож;;с;
заш·;са;ъ
),
(10,28),
(1; ;,29)с которое в ;анноы
;'а;с
n
L
а ь;
i=l
[. Ln а; ] 1 I Р [nL ьР. ,] 1 I р'
1,
=1,=1
Из
юс,;с' ;ш"
3
м е '1 а
нер;.[ '.С';;С
и
вытек [С'Т ш'раве;;ство Гё.;ь';ер;.[
В '!аС ;·но;.
(1{),27),
СЛУ'!ае р = р' = 2 н;'раве;;ство Гё ;Ь ..';ер;[
переходит в ;'ледующее неравенс; во:
(10,3{))
1) Гёш,дер (1:;59-19:17) - немец;;и" ;.;ате;.;атик,
2) Мы считаем, что хотя бы одно из чис ел
и хотя бы одно из чис ел
0;'JlИ'1Нbl от
не' ;·ребус.'т,
;;бо
щю;;.;в юм с';'.
ФОРМУJlа
(10,27)
щн;а;а;'СШ,С
lН,
,1 И
1lНTK Т.
на' (ыва('тся
lepaB('HCTBO
/(у'uл((: "'C'h;()('()
Нераввн, ((ВО Мин::((ов ((кого 2
,ь n
С111 авеДJlИi
:;
д.((}! сум.(((
сумм. Пуст,: al, а2,
какие угодно неотрицательные числа, а число
след; ющ:'""
,а n
ТОГ.':.а
н:'раве;:ство
j
(а, + Ь,
р
р
( 03 )
называе,,:ое'::равсnсп;вО.АА A1un'J{; ;вС'J{;ого д.(/}! сумм.
зуем сумму, стоящую в левой части
n
lрежде все; о преобра­
Можно записать
0.11).
n
n
+ Lb,(a,. +
1,::::::::::1
к
:ШЖДОЙ
"з
с: '··:м.
стоящ (Х
lри этом: так как (р
l·ёль . ;ера.
n
(ра,!!'/:
':;;сти.
11риме,:,,"
'!!'раве,:ство
р-
- 1)1" = р и
р'
= - - , получим
.
р'
.]l/P
n
L a;
[ ..
+
n
Ь;
] l/p [ n
~(a,
{L
n
+ Ь,)(Р
] l/p
+
a;
l)p'
] l/p'
""'Г'}
p-l/p
(а:
lоделив обе части последнего неравенства на [;~ (о + Ь,)Р ]
+ Ь,):
р-
/р
:.юлучиы
неравенство Минковского (Ш.31
4, . И..нтегрир,:
емость произвольной поло~ительной степени мо-
дуля
функции, Док;.;же,
след; ющ; ю :"';ре,
Теорема 1
i!iУn'J{;;\ил Л.х );;n/псгрnрусма 'ua ссг.А;п~т/' [о Ь],
то и фУН'J{;чи.i!!
. где r - любое поло '/!ителъное вещественное число,
n;:;'J{;:JКc 1JiU ii ':'гриру/'.м,а, на Cr'гмсn/пс [о Ь].
Доказат
ибо если r
льство. Д;;ста
то фунюшю
1/(x)IT
д;:шза(ъ
IT-[T] Г.:.е [г] - ,,,елая часть Т, а r - [Т]
f(x)1 ,ште; р"р:
н:.; се;
f(x)I[T] ,ште; р"р:
1/(x)I[T]1 f
11. 1 ~ 6
то; О же
С,,:
т<1,
мО!\,;но пре.':.ставить в ви:е произведения
В силу замечания 2
< 1.
Ь
IШЭТО!\
:·';м се;
в СИJlУ
Н;; то; д:.;
И "нте; Р':.р;е,':;;СТИ фУ;:КЦИ" f(x)IT-[Т], ФУНЮ:',и:.:.
так:.:.:.е интегрируеыа на сегыенте [а. Ь]. Итак: докажеы теореыу для
<
1.
П;;JlОЖ,.:'··
r =
l/р И за,,:,'ТИМ. ':то р
р:.;руе,:а на се; ,··:енте [а,
]:
то
(1804-188;)) ') Герма;: Минк ;,:.с:шii (1864-1909) -
1.
любо; о Е
Так к:,;:·! ФУНЮ:',и:.:.
>
О най :ется :..а:ше
р: сск :'Й ма:.' ма:. "к.
;:е, "ЦЮ;Й ма:.' ма:. :';к И фи.; ;к.
363
ра:~биение
''того о гмента, для которого
n
1-
3дес" 'iep":~ А1, и
,',)'шые граш) функции
сегыенте [.hi 1, х,] Достаточно доказать, что сумыа
,,;,сти'ш
)м
n
5-в
(10.33)
меньше Е.
О,н'"им эту С' ;"му С
нем а,
= (M,l/;
)мощы'; Ш ране ,стна Гё",ь,;ер;"
11
(1{).27),
IШJra) ая
. Получим
=(
m 1 /;
(10.14)
(М; -
т;).
(10.3;,)
10следнее неравенство посредством ;еления на М, 1) приводится К сле­
д;ющ"му:
м
в справедливости :юсле,,';него неравенства легко убедиться. учитывая, что
::;;
ш" ::;; 1, ар> 1. И, :юльзуя HepaBeНi тво (Ш.35) и учитывая, что
L~Xi =
а,
1,=1
мы получим из HepaBeНi тва
5 -
( )':.31
в::;; ~? lf i [
о :'с", ';а, ,:С11ШI"ЗУ): нер;, "'''с
;'ледующее HepaBeНi тво:
;".~"",]
~
m
l/p
:ъшая, 'по l/р
(10.32)
+ l/р'
1,
на;)дем
5-8<
Теорема
юказана.
5, НераВiiНСТiiО
ДЛЯ
f(x)
g
любые ,,'ше интегрируемые на, егменте [о
а и / - любые два
оба 11реносх)) :ящ :е
снязанш,н' СОО: ,юш' "ю'м l/р
l/р'
+
справедливо ;'ледующее неравенство:
l/p [
b
IP d.h ]
d.h ::;; [/
~
1)
С'iита ъ. 'по М;
(Ш.35) С11ранеДJlЮ
').
>
!
ие;; "СJlИ М
Ь
Ig
(10.16)
то
О.
нер;, "'''с
и
гриру\'мы\' на
,
,е{)т Ч"i!Jтел
\ии
ii'\'HK
,1ible
.
J k'(\)d\ ~ 1. j
dx ~ 1,
(10.37)
A(,r)E(,r) dx ~ 1.
iюбой
в само,' деле.
ин, е-
удовлетворя i\щие Нi'р,шенств дм
(10.38)
'1'0'1 \е х сегмента [о, Ь] спра \еДiИ1Ю
,ераi\енст,ю
(10,26)
"
(х!П(х
)тс [;(а" В силу О (енки
и,
30
ь
§6
~
lP(x
-р
(,)
+ --о
р'
и формул
(10.3';)
ь
A(,r)E(,r) dx ~ -1/' АР(х) dx
.
' ; (х) dx
+ р'
-1. /ЕР
'
'
а
Неиане ,стно (10.3Г
Полагая
A(,r)
1
~ -
+ -р'1
= 1.
а
,'Ю1«1за, Ю.
Е (,r)
= _----"'--1/-'--('-'-'.)1-----,--,---
[l1/(X
приде;,
следует, что
ь
неиане
_-----"1
),-,--1-----;-;;--
g,,--,''----,'
ь
l'
[ Ig(x Ipl dx
Ip d, ] l/p'
к сле, (ующе,;"
=
] l/p
,с, ну:
I/t ,)llg
Так как в силу замечания
2.
п.
1 §6
ь
ь
J
(x)dx
J
~
d,r
а
о
ДiЯ
,е"аненс, но
3 'а м е ч а н и е.
,те;
а ю\\
(10.36) дш, ин, егралон .';станон,ено.
частном случае р = р' = 2 Нi'paBeHCTBO Гёльдера
,\еuеХОДiiТ
сле, (УЮ'iiее
,ера\\е ,ст,ю:
J
ь
J
(х) dx ~
lI(x)12
называ\'м ,е неравенством Кошu-БУНЯ'h!овсn!!г!! для uнтегралов.
(10.39)
'я люб,,;х
"'отри-
g(X
ц
"лед, 1\,щ,
л
"
р
/1(,)
[! ""(х "х
р
d;
g(x
dx
называемое 'Неjюве'НствО',i, Jlv1и'Нr,овс'
'i?ii
дш
нерав' нство
для и'Нте;iралов.
р
'я
по 'учения
этого неравенства н' жно исходить ИЗ формулы
ь
ь
jU! ;)
g(x
dx
а
ь
j f! ;) и! ;)
g(Xi]P-1 dx
j g(x
а
а
и применить неиавенство Гё ,ьдера к интегралам стоящим в правой части
этой 1\jюрм"ЛЫ. Детали расс,'ждений предоставляем читатеЛ;ii.
По
i.\I'i;ЦНИ нз iel'aHeHC; на ! lО.40! мо";; ю по;у' шть с;едующее
Bi'HCTBO для n фунющй f1(X), f2(X), ...
иуе', i,;X ia се' ','е; i'e [а, Ь]:
fn(,r).
iepa-
неотрИ!,ательных и интеiРИ­
1/
{/1f,(X) + [,
+ ... + fn
d,r
~ []
1.0110ЛНЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕIIИЯ ИЗ П,
4 § 6
Для удобства сфОРМУЛИl'уем еще l'аз утверждение из п.
§ 6.
Если 'На сег.ме'Нте
Ь фу'Нnция g(x) АtО'НОто'Н'На, а f(x) и'Нтегрируема
то 'На это,," се;' ',i,е'Нте суи~еств /ет
mar,oe
j
t; .
число
ь
что
ь
g(o)
dx
g(b jl(i)d;
~
1реднарител;,;ю дока)ке'; с;едующее нс;ю\ огател ,ное предю;;;е;ше.
Лемма Абеля 2). ПУС7J Р
любые числа. Если C1JM',iibl S,
.ме:ж;ду А и В, то су.мма '1'1 и1
А;,
1.'1
;?
'1'2
111
112
;? ... ;? '1'п ;? О и и1 и2, ... ,и п
+ ... + и, nj'U любо ',i, i за;;люче'Н'Ы,
+ '1'2 + ... + '1'п и п
за'h~mi' 'е'На ме:ж;ду "шслами
и П;'l.
Д О К а з а т е л ь с т в о.
Имеем и1
;'lSl
= Slt'l -
V2)
= Sl, и, =
!S2 Sl + .. .
- VЗ) + ... +
+ S2(t"2
;. По-.\ТОМ'
!Sn S,,-l =
(Vn -1 - Vn ) + Sn '1'п .
1) Для удобства мы "охраняем н,'мераци ii ПРИВi'денной фОРМ\'ЛЫ.
2) Нильс. Генрих AIi' ль (1802-1829) - НОl'веж;кий математик.
lЮ ,1И llНTK Т
Так к;д
~ О и v
~ О,
(:на'1а;а ;а А . а еЮ; ;;м на
AI(t"l -t'2) + (t"2 -t'З) +
;'00;
Ш;(:.;; днр"
S,
,;ше;
ю,,;е;;и;;
+
+ (t'n-;
'['1и; +'и;,и2
+ (t"n-; -t'n) +t.\
::;; Ви ;t·'2 ) ( V2
к;])кд;;е
н;]
't.,з)
+'t'nUn::;;
-
'[.'п)
+ '[.'п]
;;адра;'НЫХ; ;;обк дХ р ш;;ы V;. ПОЛУ'1;;'
Лемма доказана.
3
а м е ч а н и е.
При доказательстве леммы А(;еля мы использовали
n
прео(;разование; ;'ммы
't'kUk которое обычно называ";т nре; ;;раз;;ванuе.м
L
k=l
Абеля. Б;;ле;' полные све.';рния о пр;'о(;uаз;;вании А(;рля и важные прим; не­
ния этого преобuазования можно найти в п.
§5
гл.
13.
Д о к а з а т е л ь с т в о
т в е р ж Д е н и я и з п. 4
6.
Допус;
о фу;;кци;; g'(x не но;рас;ает ;а [аЬ]
Heo'l" ;щател,на на
;том сегменте. Имеем. в силу интегрируем ости f(;r)g(x) ;),
ь
/
П;,сть
;eo'l"
d;
1\,1,
и т,
точные грани
-
щ;.ател ,;;а
.
где
спра;;ед
;ИН;,;
f(x)
на
шахL::.;".
L::.
1,х;]. Тогда, поскольку
(х)
;е; ,аненс; на
(10.41)
-1
~_!
Так как
не в; ;зра; тает
2:= M,g
Ь]
на
то разн ;сть
'-1)L::.;,
=1
n
;е ;;1 ен ,;шает
;ис;а
g(a) L("
-
ТП·iL::.х;. Поско ;ьку Фуню;и;;
n
U туе;,;а, су;,;ма
инте-
n
L ( ,.
L
сттемится
U)iL::.;"
;улю
i=l
СЮ.'(а и ;;з неиане; ;с; н (10.'1 ) Н,;; е;;ае;
тв ;ряющих нерав; нствам
m ::;;
р,
::;;
;'0
дiЯ люб'Ь/,х 'Ч,uсел р", у. ю;ше
М", каждая из сумм
2:=p;g'(x- 1 }L::.x
i,
'=1
ь
имее
сно;;'· предею\'
;;нсгегuал
L::. --+
J fi !)g(x
dx.
Со; лас ю Фор,;у
а
ле i 10.12) числа
.ПI
1\,1;,
можно выбрать так, что
f(x)
X~
i. Так ка! Фую;ц;;я
F(x
.г
а
1)
См. ; войство 30
§
dt
-1
непuерьш;;а на сегме ;те [а, Ь]
367
ЮП()iН
;;,м;"ыние
Н;"; МР;;;ДУ т;; ;н;;
F(;r) на '~PгыeHTe
jj1
2: g(x
--+
i
1
7).
то '1Н; Л;,
н;;;;с; ;;·й
.Ь
;ью
dt
Р"
Т;,
заК;Ю'1ефун;;цни
т;; ;Н;;"
и;, заключены l\Iежд;
; )jj;!;:,.;r,"
/
S
П;;ЛОЖИl\I 'и; = g
=
,
2:
ЫЫ
п"
3
(;r n 1).
;;ак
~
И М. то. в силу леl\Il\IЫ Абеля.
и СУМ
';'l\Il\J;J
заключена l\Iежд; ПII' [а) И А1l' [а). Но тог"';а И предел при
о этой су;, МЫ за;;лю';е;
mg(a)
;;'ежду
Mg(a)
т. е. с;;uане"'!Л ;;;ы
неравенства
ь
[а)т:О::;
фунюiЯЯ
d;r:O::;
/ f(x)l'
f(t) d/,
F(;r)
(а)А1.
ПРИНИl\Iает люiюе знач;'НИ;' А, за-
а
ключенн)е l\Iеж"';; ее ТОЧНЫl\IИ гuаНЯl\IИ
m И А1, т. е. найдется такая точка
что
ь
.г f(x)l'
f(t) dt =
А
= .:;....а
----,---,--
g(o)
а
ПО";ТОl\I;
ь
/
f(; )g(x dx = g(a)
d;.
(10.12)
а
Если нево;раста;;;;;;ая функ ;ИЯ
Иl\Iеет И отрицательные значения
фун;;цня h(;)
g (х - g" (Ь ;енозрас аю;;шя
чения. По"п )Ы;;', В 'ИЛ;;' (10.42)
[g(x
g(b!] dx
то
;"",'еет ;ео ;"рица; ельн;,;е зна
fi ;;) dx.
[g(a)-g(b)]
а
)тсюда путеl\I нес южных преобuазований ЫЫ и ПОЛУЧИl\I фОUl\IУ 'у
г л
в А
1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПГИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГГАЛА
§ 1.
Длина дуги кривой
1. Понятие ПJIОСКОЙ КРИllОЙ. Наиболее естественно рас­
СNIЮ ривать КJИВУЮ как Сfед д!шжущейся точки. В этом ПУffкте
\fbI прида,'Ш\' \TO\fY fредстаВfенИ!.' о кривой матемаТИ'fеский
,fbIC и вве,
юн fтие так наЗf,rвае\юй: nростои ';i;PU60U.
с
п\стf
У
L
ф\нкции
непрерьmны
rp(t)
а
[о:, р] (аргсмснт этих фую,ци!i
fДЛЫfейшем будем
Y-\jI(t)
И ф(t)
сегменте
азывать
параметром). ЕСfИ раСС\fатри­
f'ЮЪ параметр
t
как время, то
\ка,анные ф\ ню ,,ии опреде.m\­
ют закон fяижеНШf TO'I \и lvl с
к '(\рдинатами
о
х
х=
Рис.
(11.1)
11.
по П, fоскости (! шс. 1
1). l\Iножество {М} точек
щих всево,можнымша'fеНШf
параметра
t
, от! ечаю­
IП сегмента
[0:, р]
естествешю рассматривать как след точки М, ДВИЖГ!iейся по
:шкон\
(11.1). Отметим 'ITO множество {lvl}
fре.f,стаВЛЯf'i!!iее
собой след
то' fки. может не соответствовать нашим
а; fЯДffЫNI предстаВfеНИЯNI о кривой. l\IОЖfЮ, fапример, ука-
1) Здесь и в ,',альнейшем мы будем называть nЛОС'h~осmЪ!(' совок\'пность
\\се\ю:у,ю)кН\"х У!Юl"'ДО'lе,ш!"х !Шl' (х, У
шсе
мы будем называть точкой пло.кости). Числа
х
,r
у
а!\ую пару
и у называ!(\т!:я координа­
тами ТО'l!\И (,
Дл"
l'аегкоссги
будем ,а!!"'е обо:3\ ,а'!а
eгO'l!\Y (, у)
одной буквой М. Запи!:ь M(,r. у) означа('т, что точка А1 имеет координаты
,r
и
у.
fЛИl
з
!Кие
]\'Н
у
f(;Ш, рЫВffые
36')
fЮН
I>УНКЦШf
tp(!.)
и
1j!(t) , З;Jдаf
(ые на <е!
], чт~) <л( Д ТОЧЮf М, движущеЙi'Я по закону х - tp(!.)
('удет ';а tРлнять
-
выд(;лить таки(;
наГЛЯДШ,1М
i,еЮ,1Н t'вадр;JТ ПО!ТОi'tу е<теств(;нш,
]\'1 tРЖ(;СТВ;J {
}, КОТО! ,ые <ОРfвеТСТЕУЮТ нашим
аким обра:юм, Mt,1 при­
[р( ,'tJ:тавл(;ниям о кривой,
'ОДftМ к ПОttятию nростои ';i;ривоu
ivlJ-toжесrnво {j\;j} все:г точ,е';i; М, ';i;oopau1-tamcы ;Г и у ';i;OmO()nj" ,lеЛЛ1Отсл урш!1-ti1-tuл,л,t'i! (11.1), бу!ем 'Нлзывптъ nро­
стуn! nЛОС';i;(i'L'i ';i;PUiiOU L, если разли'i1-ti,i", з1-tа f.e1-tU,iiМ параметра t
02,л,tе1-tm,(J [а, р] оm,в' ЧП1Оm, jю,ЗЛ'i!Ч1-ti,!! т, iЧ},'i! эm,о20 ,л,t'Н/).жества.
,1
б;деi i
«УРШi'Н/'Нii!Л
тю;
(11.1
уtютреБЛitтt
след; ti!iit.уЮ терминологию:
оnред' ,!Л1Оm nj"н'ту1О nШН'},у1О }'lmву1О
<i nроста,н nЛОС';i;аii ';i;ривал
L
L»
и
nараЛiетризова1-tа при nо,м,()'Щи урав-
1-tеifUU 11.1»>.
Каж,t,ую точку мtюжеСfва {М}, фигурирующеtо в опре,t,е,tе­
нии простон
t'ривой,
юской t'ривон
при'tем
и р параметра
t,
ТО'tки,
Mt,1
б;деi i на;t,шатt
отве'IaЮiiiяе
грани'tШ,1
то'л,он этой
зна'tеНИit
а
будем Ha:~ЫBaTЬ 2рШ!!'i!Ч1-tы,л,ш то'л'ами ПрОСТi!!!
КjШfЮЙ.
ПРИitером tростой кривой может сл;житt график
HettpepbIB-
юй на CetMeHTe [а,
фуttкции у = f(x). В са1\ЮМ 't,ete, ЭТОТ график можно рассматривать как след то'л'и М, шижущейся ю
:шкон; х = t У = {(t) а ~ t ~ р, ПРИ'ti'М. i!'1евидно ра:~tИ'IНЫМ
зttачеtШям параметра
3
а
е
точечttых
а н и е
мtюжеств,
t
1.
отвечают различные точкираil;ика.
Простые кривые не ИС'1ерttЬшан;т всех
засtУЖfшаЮiiШi
tаимеtювания
«крш;аЯi.
О,'шако ДЛit наших це,
дocTaTo'IНo понятия tростой t'ривон.
а м е
а н и е 2. Одна и та же простаit криваit L iЮJtiет
бt,rтt
арамеТРИ;i!вана ра:~ли'IНЫМИ сtюсобаiШ. _\1t,1 будем рас­
сматрш;ать f'сеfюзможные парамеТРftзации простой кривой L,
U!ЛУ'Iat'iiiшеСit и:~ данной параметри:~аi iии
параметра
другого
t
[утем
[ре, t,ставления
непрерывны' CfPOtO моtютонны'
I>УНКЦftй
параметра .5.
е '1 а н и е 3.
!ажным U!Нitтием яв,tяеТСit понятие
BKt,e
3 а
nростуn! заМ';i;1-tутоu ';i;PUiiOU. Такая кривая образуется Сtе,t,уЮ­
щим обраю . П;стt L 1 и L 2 ше [ростые t'ривt,1е, при'tем:
1) граничttые точки кривой L 1 совпадают с граничttыми точка­
ми t'ривон L 2 ' 2) любt,1е не грани'шt,1е ТО'tки кривых L 1 и L 2
разли'шt,1. Кривая L, ПОЛУ'tенная объе,'tянениеii t'ривt,!, L и L,
и на; ,шается простой :~амкн;той кривой.
2. араметрическое задание кривой. В математическом
анали:~е и
tРИЛi!Jtiениях
юбно рассматривать t'ривt,1е :~a[,аваемые парамеТРftчески. Нагля, tЫМf,t истоками TaKOtO сп 0соба;а, t,анюt t'ривон СЛУJtiИТ nре !!'тавлеifUе о ';i;jiUвоu ';i;(JX о
2' ()Мim,Р'i!чеi },о,л,t Micm,l rюс,!, '!овпm,l ,!b1-tbl.l по U)if{'е'Нii!'Й
пгию; ,<ЕЮ!
n!n"{.';i;U,
[ых
триче(кое
Nl(
СТО
Ш (л< д< ;са'! (ль~
КОО!!Дiшатам!;
ПО, юж<
движущей;'я
:~; ,кон!
(1 ,2)
IXJ,
llреЩ;lатшяеl С(JLЮЙ крипую, Нd:3ышtемую сmроgшu,доu (рис.
За ,';етим,
'1T!; ДВИ/i<
11.2 .
строфок [,е т!;' [ка М ПОi адает в
О,
Ю
и
то
же
ДВа!iiДi.1 при
по,южеiше
t
=
iiaCCMaTpiiEaeM
мы
-1
и
t
х
=
-
=
1.
ак
ПОСiе.'ЮЕатеъ [ые
Ю/iiения движущейся ТО'I!!И
О
как
по~
то eCTeCTBeH~
но с'штаТi ра"ЛИ'Шi.1\'Ш ТО'I!!И СТРОфОИДi.1,
отвечающие
метра
х
раЗШЧiiЫМ
Зi ачеiШЯМ
пара~
t.
Строфоида не i!В.miется iРОСТОЙ кри~
вой. Нетрудно, о,
ако, убед!!'!ъся, что
область ИЗNlеiiе шя пара1\Iетра t можно
ра',БИТi на iасти таiiИ\"
, '1TO C!;!;T~
веТСТВУЮЩiiе части СТрО'
[,ы БУ'i.УТ про~
СТi.1\Ш кривыми. И .ieHHO, ра юбi.е\' 'IИс.ло~
прямую
IXJ
IXJ [а cerMeiiTbI
[n - 1, nl, r.'i.e n ,(>бое целое 'IИс.ло, O'ie~
видно, ес.ли \ibI будем рассматривать па! .a~
вую
\'ieTp
Рис. 11.2
на TaiiOM с!тм!'нте, то соответств! 1о>щаi! 'шсть строфои, iЬ1
t
БУi.ет простой КРЮ!ОЙ.
Мы ВОС i Н .ль, ,е \! С!! ЭТОЙ К
ра,биения на
i асти !)IЯ MaTe~
матического определею!Я понятия Крi!ВОП, задаваемом парамет­
РИ'1еСiiИ.
Будем считать, что Мi!ОжеСТi!О
{t}
представляет собой либо
cer\ieHT. либо пол! сегмент, либо интерва,
\iУЮ, либо ОТiiрЫТУЮ или замкнутую
iибо 'IИс.лов! ю пря~
ЮiУi Рi!\iУЮ.
BBe,'i,eM ПОi!Я'iие разбiiею!Я множества {t}. Будем
'1TO коне'шая И,iИ беСiiоне'шаi! систе\iа cer\ieHTOB {Iti-l
ti] pa,~
бивает множество {t , ес.ли: 1) объе.'шнение всех!тих сегментов
пре,'i,СТа!!,!Я8'i собой все множество {t} и
об;;шми точками iЮ­
бi.1Х !,В!Х сегментов систеМi.1 \юГ\т быть iЮН ИХ ;iОНЦЫ.
Расс\ютрим примерi.1 ра:~бш!ний некот, .р! .1X и:~ у iа:~аню .1X BЫ~
ше множест;' {t}.
1, Система сеГ\iент<ш [О, 1/3], [1/3, 2/3] [2/3,
разбивает сеiмею
].
2. Система сегментов [О 1/2], 1/2, 3/4], 3/4,
... , [2'2<
3.
1,
2n+~ 1],
. ..
Систе.iа cer\ieHTOB
разБЮiа8'i по, iyceiMeHT
[n -1 n]
iевк'шо, ра',бивает всю '1Ис.лов!
10,
,где
n-
прям! Н!.
[евк шо,
7/8],
).
iюбое целое iИСЮ,
371
fЛИl
П( f)(ЙД(:\'1 теш рь к zюределеЮfЮ ш нятия КjИВОЙ, задаш1Z :\'юй
пара]\IеТРffче( Юf
Пу( ть фУffКЦИИ rp(t) и/,(t) непрерьшны на множе(те
говорить,
чт/f
{f} 1)
у/ю,т!/ 'J-шя
1,3)
заdают !'i!/ю,метрu'Че!'!,u !,]Juвую
стелю, се/! А/ент!ю
8'J-tш'{.еНiij./'
!/рав'J-tе'J-tuя
uз !,!!,')fC/I020 дПННО20 Ci2,Meffm(] эmml ПLст!J\-tы
определяют простую nрuвую,
(1
При
mо'ч,!,'U х;ривой
nорядnе
J'vl1
с/с/стветств!ет :~на'Iению параметра
Зf ачеfIИЮ
-
рш'!',',!!!тр'u!!шются в оnj!! !!еле'J-t'J-tОJ\-t
coom!!emcm!!Uu с во /растание,м nара,метра t.
если т/с П\Д
М:.
t
е!'лu существует mю'JИЯ си
{[t'j-l t,J}, разбuвающuх i!J'J-tожестJЮ {f}, 'Что
< t2.
t:.,
ме!
Ю,
tl
а то'п!а
то М! считается предшествующей
ес.IИ
ОТ!fетим, !то то'Ч!,u отве'Ч(]'Ющuе /ю,злu'чffыlм з'J-tа'Чеf/U
Я,i!! nараJl1етра, !!се2да с'Чuтаются ра,/лu'Ч'J-t!!/,i!/U,
tl
Иными словами.!!рив!ю, :~aдaBae!!y!!' ара!!етри !ески. можно расс ,!атриват! как объединение РОСТЫХ!!РИВ!,I
РИ'Iе!! эти
!росты(' кривы(' ш!с!едоват/' ,н/с !Р/fбегаются TO'I!!/!JJ J'vl, коор­
!,И! аты которой определяются соотношениями
рамстр t !ЮН<!ТОНН<! пробегает !ш(»!!ество {t .
(1
ко! !.а па­
а м е ч а
и е 1.
Iростую кривую можно рассмаТрfШa-IЪ
!!а!! кривую, ';аданн! е!! парамеТРИ'Iес!!и. В/то
сл! '!ае система
сегме! !тов, разбю!ающи,\ сегме!!т
, СВО,'!,Ится
К од! юму Э'f ому
сегмент!.
!!а'!/'стве примсра расс!ютри!! кривую
L;a,'!,aBaeM!!'
!а­
раМСТРIРIес!и уравнениями
х
гДi'
t
=
IПМСИl!ется на сегмент/'
],
то!'
'Ie!!
[7Г 27Г] ,
[2/{,3/{], [3/{,
!я :~на'Iени!!
системы ураf!!!е!IИЯ
t
и:~
(1
у =
cost,
(11.4)
sin t,
О, 47Г], О, !/'видно, система сегмен] разбю!ае-f сегме!!т
47Г], ЩН!-
кю/к,
!ка';анног/с
сег!!ента
!.анно!!
определяют простую КрfШУЮ (по,!у­
окр!жность). Нагю!дно ясно, !то в рассматриваемо
!ри!!ере
кривая L представ,!яет собой дважды об,\ОДf!МУЮ окруж!юсть.
3 а м е а н и е 2. Рассмотренный !ри!!ер и !ример строфои
!,ы по!!азывают,
и!!ет!
ТО'I!И
!то крива!!, задавае!!а!!
саМ/;f!ересе'Iения
и
!.ал(/'
ара!!етри'!ески,
,Ie
!ю!!!ет
!астки сам/,на,!е-
га!IИЯ.
3 а м 'I а н и е 3, В слу'raе КРИВОЙ,;а,'!,аваемо!! !араметричесю! при помО!!!'и уравнений (11
,мы будем также го­
ворит!
о
ара!!етри;ации у!!а:шнной кривой
!ри
юмощи
/тих
урав!!е IИЙ,
!а
та же кривая L може-f быть параметри­
:ювана ра:~ли'IНЫМИ способами. Мы будем рассматривать все
1)
j\1ноже;:тво {t} пр/'дставляет ;:ОfЮЙ одно из !'казанных выше множе;:тв,
, и lTlTPA
ЮГ,
ПГИ Ю,<ЕНll
lА
ВОЗNЮЖНЬН пщ <].Me'l ризац ш крИl рй L, ш .lучаю ,Шz:СЯ
лю­
бой даl lРЙ пщ <],мет)изаЦll
путеNI представлеюlЯ парамеl ра t
в вид, ю"р' рывных, строп' во:~ра(тающих ф\.ню,ий
ГР пщ <].мег"
ОТ]\Н1ТИМ, ЧТi' ЛИШЬ при таки':
ваниях
кривой
3.
,ара ,нтра
сохран l(Т(Я
ЮРЯДО1,
следования
то
"к
на
L
liонятис
CTpallCTEe1
пространстненной
llliнятие
,ро-
юи КРИlюй вводfПСЯ В полной
ием
1ЛliСЮ>Й
. ПеРВliна',а.lЬЮ> ВВ:"шТСЯ ЮНl1ТШ' прост:'" ,роCTpallCTEe1 юй КРllВОЙ как М1южеСТЕа {М} точек ПрОСI ранс ,ва,
1iоор.'шнаты Х, у и
х =
z
,соторых ОllредеЛЯ1iiТСll уравнениями
tp(t),
а ~
z = X(t),
t
~
(11
(3,
1рИ ус.ювии непрер"IВНОСТИ фую.циii tp(t), ф(t) x(t) и УСЛliВИИ
1еСOlшадеюlЯ точек М1южества {\1}, отвечаЮЩI1Х различным
:~на'Iениям параметра
t.
Понятие ,ростой ,ространственно!! кривой и понятие рюбие-
t}
ния ,'ШО>l<ества
случае, ПрИlЮ,'lЯI
IпменеНИll 1apa:1eTpa: Ta1:
к ПОНЯТI1Ю простраllСТЕе1
как и в ПЛОС1iО
юи KpllВO
'1,
за,'l,ава~
е,юй ара"етри"ески \равнеНИl1'lИ (11 ..5) 1рИ \.GТIOВИИ ,юнотон~
101 О Ilзме 1ения параметра
,а м южеСТЕе {f}.
}тмети",
,то
ч:(ti-1) _____ ~?==~"\jI( ti)
пре,'l,ЫДУ lш'
тествеНЮ.I
юс lТСЯ
вся
Tep~
BBe.'l,eHHall
'НIНОЮГИll,
у
пу"ктах
в
ec~
:'бра:юм пi pe~
а пространс, BeH~
ные кривые.
4,
ПОНЯТИС
дуз.
'УЮiте
1ИНЫ
M1.I
введем
U'НllТШ'
'l,уГИ 1iривон,адан
ной па)iамеТ)Ш'IеС1iИ.
ПУСТЬ КРИl:ая
<p(to)
<p(ti)
,Р
а
!
I
I
!
!
Рис.
11.3
х
с"
L
задает~
'ара"етри 1ески \.paBHe~
шями
х
(1 .\)
- tp(t),
у
где парамеТJ:
t
на сегменте [а,
ПУСТЬ Т
-
- ф(t),
из ,1еняеТСll
(3] .
,Рi'И,ВliЛЬ~
юе разбl1еЮ1е ce1MeHTa [iJ,;5] точками
- t;i
tl
t2
t n = (3. Обо:~на'IИ" ]\.;10 ]\.;11, М2 , ... , ]\,;1n соответств\ l:iщие
точки кривой L (рис. 11.3). ВОЗ1 IlкаЮ111УЮ при этом ломаную
... <
373
fЛИl
БУД(:\,1 назыв;пъю:\,шной 1), впи( а; ff'Й
[рму разбffеШfЮ
('(Т]\Н ffTa а,
!<а!<
'тон
длина
то длина
лом;]нон
KPff~
Так
Р;БН;]
l(ti) всеп этой юманой равна
n
l(ti)
L1i
=
=
L V['P(ti) - 'P(ti-l)]2 + Iф(ti) - ф(ti
Оnределенuе. Если .M!!O:JICeCmBO
'К:РUiJУ1О
L лол,шных. оm6е"lа1О ,ЩХ
г.ментл а" f3 , ог/iШНii!"lе!! {. 'nо
с n р я
{l(ti)}
Л я е
о и,
)} !!ЛШ-l вписанных в
iJсеiiOз,м/i:JICН!,i,,!' раз{!uенuя,м Т
н
з ы
а mО"lная верхняя грань
l
а е т, с
А'НО:JICесm,ю
'Нлзы,юеm,'я д,,!,!,,!(!'й !!уги
~ а м е ч а
и е
опре,!f,е,fе fИЯ КРifВОЙ
1.
,!еТРИ'fi'СКИ. и 'лрсдеШ'НИi! ДЛИШ,I
что,
3
(11.6)
'i=l
'l=
(;1
l)i 2
fИ [а
е
а
l
f,уГИ
L,
задаf
юй пара-
та<он кривой сле,f,ует,
по, ЮЖiпеfЬна, l>
а н и е 2. С\ществуют нес [р !'tJIяеМ!,Iе !<РИВ!,Iе. В
допошеf f,fИ к этой
[аве мы ПРЮiе,f,ем п!,имер п,юскоП КрffВОП,
i',бая [аст! которон неСffРi!,!ляема,
да/т,не [lllем М!,I будем
[асто
fеммоИ.
Лемма, Пi cmi,
-*
l (t'i)
-
пол!,:юваться
дли/на лл,манои, 6nUСШfmои 6 'К:рu-
6/!1О L u оmiJе"lа1Ощеи разбuе'l-tu1О т* се, А,е'l-tmа
/J], а I (t;)
дЛ1mа лом/тои. впui'a'l-t !ои в 'К:jiUву1О
'Н,и1О Т", nО",'/,У'Ч/:'}-И--l,()МУ
'113
-*
u оmве"lа1Ощеи 1юзбuе
т* 'Y'(j{JJeJCm,fU)M "Jобо,(lле f.?I}!
-
'l-tес'К:ол!,'К:uх 'l-tОiJblХ mО"lе'К:. Тогда l
)
l (ti) .
д
к а
а т е
с т в о. О'fеви.ш<>, д<>стат"'ш<> рассм<>треть
СЛУ'fа [, ко! [Д К i!азбиению т* добаВЛi!ется О,ша TO'fKa [. Лома­
Hai! отве'Iаf"щаi! ра:~биеню" т, <>T,fIPlaCTCi! от "'i!aH"ii "ТВ,"fаю~
щей разбиению т*, fЮН те,!, 'ITO одно звено M i - M i замею!ется
') Будем называть nРЯ,М.!i'U линию" опредеiЯемую парамечшческими
= at
Ь. У = ct
d. Постоянные . Ь. с и d заве,'Юl\!О можно
,:ыбраi
аА 'lтобы пря;,:аi' ПрОХО,'(Иiа 'lерез дне данные ТО'li'И
(Xl, Yl
И М2 (Х2, У2 У'еаСТОА !'l i'МОЙ ме ii,'(Y :'О'iками M 1 и
естес:'неШfQ :а:з:а
"равнениями Х
+
+
оmреЗ1.f!!,М, а ,'ОВОКУПНОifТЬ КОНi'ЧНОГО числа примыка ',"iИХ др ,т К друг! от-
еЗi'О:: еСе ест::енно
:а:л:а
ломаной.
l'vIbl ИСiЮЛ;,fQна,iИ ФОjiМУiУ дiЯ расс! ш'ниi' '"е)кду дну"""
и М" КООр,'i,Инаты которых равны ifOOTBeTifTBeHHO
2)
О'iками M,,-l
;ругих
треу;
эrnmJ
сnр,ям,л,яем,а,я 'Кр'Uва,я
7-/,ого 'i'Uсла mO'ien .J'.;fo , .J'.;f1 , ...
разб'Urnа nри nОМЛЩ'U n07-/,е'i-
МП 2
7-/,а r.;07-/,е '[7-/,ое ч'Uсло r.;P'U-
L,; '''пn,яА'' ';{\МЛ 'U
дтm l;' всех 'КpиBЪtX Li paB7-/,а дЛ:U7-/,е l r.;P'L~BOil· L.
3;. Пусrn'Ь ;,!;'Uш;,я L
rUi]Ю',;;Л;Р!{'iес;,'U !!?ЮВif.е7-/,'U;;,М'U
11.3). ОБОЗ7-/,а'iим l(t) дЛIт.у дуги Y'iacrnna L t 'Кривои L, rnO'ir.;u
"Ъtx
L,;.
L
тnо 'Ко,жда,я !J.8
nmJ.BЪtX
,'J'{\M'U ;;f(J'i;;7-/,'U!i,М'U 'па; 'о,меТnIН;
,явл,яеrnс,я возрастаюшей и 7-/,enpepЪtBt. Эту функци
= l (!; буде наз ;,1-
'Котnорого
ме7-/,rnа [а, t]. ФУ7-/,r.; щ,я
7-/,ои фif7-(,i,'И,!J.еи
l(t)
на кривой
L.
,мож, '" быn;ъ
;';{'7-/,;/{"
nора-
м.еrnра. Этот параыетр называется 7-/,аrnуралъ7-/,ЪiМ nарамеrnром..
С
вость свойства 40
юсредс; венно выте;,ает из
. В самоы деле, так как перемею;ая ;уга l
l(t)
;араыет! ,а t.
виде
OHOTOHHOi,f
;епрерывной функции t
переыенной дуги l, и поэтоыу
переменная дуга
мо [:ет быть выбрана в качестве па! ,аыетра.
является возрастающей и не;
то
пара'
может быть
t
iie! ,ывной функцией
f
Доказательство
свойств
10_30.
1о. Пу; ,Ъ имеют;я Дii;' ш',рам;' iризации КРИii; 'й L,
t и s - пар;"мет;ы этих паi ;аметризациЙ. Oi;; ;е,i.еленные соответственно на сегментах [й, /3]
и [аЬ
T;i; ю;i; t пред;тавля;'
;;,б!'й стро;'о мо;
iПУЮ И пепреРЫВ;iУЮ
фi!ПЮ;'иЮ от .5 а .5 - ст;ю;'о МОПОТOII!iУii' И пепреРi'Ш iУЮ фi!ПЮ;'иЮ От t то
каждому р;,.збие; iИЮ Т сегмепт;" [й, jJ] с;! 'iEeTcTByei опреде ;е; iпое разбие-
Р сегмента
] и Haoiioi ют. ОчевкiНО, что вп
отвечаЮЩ;iе соотвеТСТВУii';ЩИМ ;азб;iеН;i'"
сегментов
Riie
в
L
ломаные
], TO)Ki.e-
iве;iПЫ. и П!'ЭiОМУ ИХ ДЛПIЫ lи;) и l(в;) paB;",I.
,жеСТii;;
;} и {I(.5;)} ТОiiiдественны. Отсюда вытекает, что i.Лiiна Д' ги Юi ;iВОЙ не
:;; iiИСИi
ш',рам;' iризаi (ии этой КРИii ,Й.
20. О';еiiК;ЛО, ciioi';c "о 20 юстаточ;ю
ва'"
;азб;;та точкой С наше Юi ;;вые
доказать для СТi!чая, кО; ;,а кри­
2. Обознач;;
~(значен;е пара­
метр;', t, к 'iOP!'MY ОТii;'чает
С. Т!'гд;', т!'чки КРИii ,й
значен;;',;
параметра t ;;з ceri,;eHTa [й ,] а точки юр;;вой
iIIa';;'ПИЯМ пар;"метра t и
;азб;;ен;; " указанных сег'
L ;;! 'iEeT; iВУЮi
L 2 соответствуют
;;TMe;;ia
jJ]. ПусТi, Т1 И Т2 - прои
",Ie
ентов, а Т - разiiиение ceri,;eHTa [й, jJ] получен
1 Этот геомет! ;ическиi'; фаЮi ле; 'ко мо)кет быть доказап ЧИСтО апалити­
ческим спосо;iо ';.
") При ЭТОМ тО'''iИ lvfo М;, ... Мn СООТii;'iСТiiУЮТ з;;;;че;;иям to t
t, удовл; iВоряющим усл 'iiИЯМ й = to < t 1 < . , . < t n = jJ.
пар;"метра
,t n
2 ]'слс!
1, L 2
ломаных, впс!санных в кривые
и Т усаза! !пых
(t,)
(t,)
,лс!ны
I(t,)
отвечающ !х разiiиениям т1 ,
И
се! м' пт, 'С. ТО "чевищ
11 ;)
Пискол! ку чис ,а [1 (t,).
СПР:сII.Ш:сlеl.Ю;;ТИ КlJИВОЙ
санных в кривые
L1
и
1:. и,)
и [и.) пол' 'жи:еЛЫ1Ы. :0 ИЗ Р""'Ш т:;,'
И
и Л2и, длин впи~
LCJIe,l'yeT что множества {У1
L2
ло;!аных отвеча!nщих всевозмо;:;ным разiiиениям
с,тме !:ов [а . .:.] и
игра:!и'!С'ПЫ
КРИ:;:.1е L и L:. спрямлж'мы. ОТ­
метим 'по из р ""'пст:;,' 11.7) ииз опредс· ,е:!иядли !:,1ДУГИ кривоi': с"едует
ЧТи ДЛП1Ы 11 [.. И 1 дуг кри ;:,1' L 1 L:. и L удовлс' :воряю: пер' ''''пст ;у 1)
11
Предполижим, чт"
12
< 1.
+ 12 :'(
ТОГд"
1 - (11
что длина
:
(11.9)
щ;ги кривой
f (ti) ломаной . вп:!санной В кривую L
'С'равещ:тву
и о:iозпа'!Нм полу'!еп:юе
,,того параГi ,афа . длина
ряет пер ""'пст:;у [-l(t,)
вытекает, что ДЛ"!
указат:, т,'!сое разбиепие т* сегмепт,'
-*
бие:!ию, удовлс' !Воряс'
то'",,
'!Нс",,
+ [.) = Е
полож:!Тельно. Из ощ 'е. ,еления длины
ПОлижите ,ЫIOго '!Нс",, Е МиЖ:
11.8)
[ - 41 (t,)
,6]
отвеча!, 'щей ',тому раз~
< Е . ..10бавим
,азбиепие через т.
разбl'Н'ПИЮ Т
'огда,
силv
ломаной . отвеча!nщей ,азб:!ен:!ю
. уювлетво
т,!с как разбш'Пш' Т се:м,'Пт:,. [а
о:iъе.!Н !епием !е юторых ,азбиепий Т1 и 2 сегме !тов [а:] и
ны 11
И !2(t,) ломаных, отвечаю" :!х ЭТИМ ,азб:!ен:!'"
< Е.
обр"" ",,'по
,6] то дли-
<
Пиэтому спр"'''дливо пер ""'пст:;,
ак как
+
<
(t,)
+ !2(ti)
+ {2
:'( 11
то те
*
леммы
:,олее справедливо неравенство
12) Е. НО это 'С'равещ:тво противор,"ш! Р''''''пст:;у 11.9). ПоЭтиу предполо;:,ен:!е. что
12
,неверно . а сле. ювательно, в С:!ЛV (11.8),
11 12
. Спрасе.'ЛИ!ЮСТЬ с!юi':с! са 20 (ста: юсле !а.
За.
cBoi':CTBa 20 и замеча:!ия 1 этого пу:
с,едует. 'по nере.менная
дуга
является строго возрастаlОu~е'Й nОЛОJICител'ьнO'l't фУН'I{;u,ией nаpaMIC 'npa t.
д' ,!сазатс' ,ьст:;,' 'С'пр,'РЬ ШIOсти фупкции I(t) восш, ,ьзу,'мся
1 - (11
<
сле.,у!"ЩИМИ утвер)к,ен:!'"
1) Пу;"'ъ Е волъная rnO",,'I{;a сегмента
nрuиз-
,6].
Суи~ествует та'l{;ая ломаная
гу
lvf
своей вершиной
/2.
-
соответствУlОu~ая rnO",,'I{;a 'l{;ривой
вписанная в ЧlUвуlО
L.
'l{;оторая имеет то",,­
:'л! на 'l{;оторой оm.ли'l,ае;; СЯ от :'л! ны ;:ривой
',;.ен'ьше 'l,e.',;. на Е
2) У'l{;азанная .if'маная
быт· выбрана
ее звена будет .',;.ен'ьше Е
З) Пус"'ъ ·'о.маная :!ыбрас а
в
Тогда "астъ 'I{;! ивой
стягиваемая
L
д ,!,на
/2.
MaHoii, i'MelCm
1)
и
2).
рассматривае',;.оЙ ло-
.мес· ;,ше Е.
Убедимся, 'по из сформу"ирова !пых утверждепий и миПОтип:" 'СтИ
фvнкц:!и
вытекает ее непреi ,ывность в любой ф:!кс !! юванной точке
1) Из ,авенства (11.7) вытекает что дл·! любых разiiиений Т1 Т2 сегме !тов
и.,6] справед Шс"' 'сраве:!ство 1 (t,) +I:.(ti) :'( 1. О!сюд:'. И И
"пр' дел' пия !о шоi': ''''рvпеi':
р 'пи п" 'учим 'С'раве:!ство
(11.8).
''то; О СIЧ" "нта (в точках а
справа и слева),
Нам пуж;
что
фVНКЦf;'"
(3
ДОЮ''''ТЬ, чт" Д,,]Я
,юбо;'о Е
д выполн",ется неравенство
\tl
Ш "',"рывна соответственно
I(t)
можпо ую,,,,ть т,кое
Il(t
+
\t)
l(t)1
"ап,м",рим ,о разБИi.'IIИf' Т Ci.TMe,;,a [а
ю'тор"му ",Ее,!'",
юм",ная, облада;, ,ша'", пет ,ечисленными вvтвеРЖ,iеш; "х 1! и
свойствами, O;io:начим черf' д
с;нс;' альную из д" с;н двух ч",ст ;чных сегмi.'НТ'
1 , t:].
р".збиеiiИЯ Т, примыкающи,
[t:, t:
:0 !:се t
= tk
сегмепт"
llYCTb
приращение 6.1 аргумента уювлетворяет УСЛОВf;
l6.tl
д.
!и определенности бvдем считать, что \t
О. Так как
\t t д :о::; tk+l, ТО В
силу с:р"г"г,,:раст,шия фу !:fЦИИ l(t) справед Н1 ::,! 'f'равещ:тва
+
>
l(t)
в силу YТi;' ржде ;ия
< +
< l(t +
справед НП;" пер "р'ПСТi;р
)-I(t)<Е.
О;СЮД', И из предыдущи'
< 6./ <
;ераве ;Ств Ш,Iтекает. ,,,о при
д СПр",-
ведливо нет ,авенство
l(t
Случай
<О
6.t
+ 6.t)
-l(t)
< Е.
,ассматриваете" анаЛОГf;ЧНО.
Пер"йд"м ,еш,'рь
дою' ""ел"ству утвержД' пий 1), 2) и 3).
Д о к а з а т е л
с т
о у
в е р ж Д е
1). 1Усть Е - любое фик
сир",,,,ш,, ,е пол"жите ,blюе ,!Ис"". Так как
[((3) Bceii криво i L, ,юределЯi'МО
i
пар",метрическими урав,,, пиями
являf' ,ся ,О' шо
верю" й
i
Г[ ,анью длин вписанных в:,ту К[ 'f;ВУЮ ломаных, отвечаЮЩf;Х всевоз:ю 'i.НЫ'
разбиi.'IIИЯМ
Ci.TMe, ;,а
(3] т" для
бие, ;ие т** се, Mi.'IIT' , [а
д]я
;;писашюй
кри;;ую
да, ;по, О Е
О'ЛИ ;ается ОТ
>О
м"ж,
ую,,,,,ъ таю ,.' р"
с'" ',Еетствующеii юм"поii
ме,;;,ще чем па
'12.
До;iа;;им к
р".збиi.'IIИЮ т** ,о !:су t. В силу ,еммы эт, 'г" пар, ,'Граф" и "ПРi.'Делi.'IIИЯ дли­
ны дуги длина ло' аной, отвечающей полvченному ,азбf;еш; т* сегмента
(З1, ",ЛИ'!"",СЯ
1((3) ме ;;,ще
па 6/2 и эт"
юм{ш{ш имеет с;;,,,'й
вет,щиной точку
К['f;ВОЙ, котот,ая соответствует точке сег:,;ента [а,
к
тел
ство у
вержде
ия 2). Т,,, как 'f'Прi.'рЫ;;ные на сегменте [а, (3] фvнкш;и ср(t)Ф(t) равномерно неiiрерывны на:,том
Ci.TMe,;,e, т" по
iioro раз;iие,;ия
зад,ш,,,,му
>
6
О можпо ую,,,,,ъ т,кое д
Т сегме,;,а [а
>
О, ,,,о д,,]я
с длю;ами части'шых сегме,;тов
ме ;;,щими д. ш,IШ' ,,;яю,ся 'fpaBeiiCTBa Iy(t,) - y(t,_ )1 < 2~
2у!2'
Посколькv
iЛf;на
1,
,ю­
[t,-l, {;,]
'(t,)-
звена ломаной. отвеча;, ,щей данно-
+ [1ft,) - 1/'(1,-;)]2 т" о';е,шдпо,
р"ссмотрим ,еш'рь люб",' фиксироваююе разби, пиf' т' C'TMeii,а [а, ,J] с длю;ами ,;астич,
cerMeiiTO;;, мепь "ими д, и ю!iа ;им К ;ему
му р"збиеiiИЮ, р",ша V[y(t,) - y(t'-l)]2
1, < Е /2.
ТОЧКf; раз!iиения
(с:,;. доказательство утвеРЖ,iеш;','
полу !им р,,:биеiiие Т
и уювлетворяюща'"
ю 'тор"му ",Ее,!'",
всем УСЛОВf;','
части lV[,
юм,шоii. мепьше
llv[, кривоii L
а
Ik
-
,езультате мы
L
утвет
Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е
пая MolVf 1 .. . lv[, lMkMk + 1 ... lVfn УДОВЛf ;ВОРЯf
и 2). Убе,!ИМСЯ ',,о длю;а ка)кдоii части К[ 'l'ШОЙ
IЮМ рассм"риваем"й
1).
вписа i!Iая в кривую
6.
н
я 3).
1Усть лома
ус ювиям у 'Еерждi.'IIИЙ 1)
" с,я,'и;;аемоii л;, ,""IM з;;е
В сам, 'м деле пусть
Д,ЯIпа"р'па M
k-
[, -
Д",ИIIa
lv[i. л"ма,,,,Й. То, 'д"
в
377
силу vслов !й VTBep)K!,f~H!! с!
1).
Е/2с
выполн !ется нет ав,'нство
1
ПОСКОЛЬКV ка !!дое слагае· ое
(lk
<
)
( Iтсюда
последней сум' ы неотт !щательно
и и:~ нет авенства
то
fk
< Е.
пер" (f'ПСП,,,
П, ,нятие
шины
lУГИ пр,нтр::нств( нн,(й КРИВ«Й,;а l:ШНОЙ п::­
Р::l!:Н~ll)liЧLСЮiМli УР::ШllLНliЯ!:lИ
(1 .J),
гии С
юской кривой. Рассыатриваются
юнятиеы длины Д'
шины
l(ti
что
и
iШОДИТС)1 В по.iНОЙ
лоыаных, вписанных в кривую
L,
причем очеви.ШО,
n
Пространственная кривая L, определяемая уравнениюш 11.5),
назынается сnр:<,млле.'(f'!!U, если множество {l(t;)} длин ЛО:lаНl,IХ,
вписанных в эту кривую, ограничено. Точная верхняя грань l
этого мно/!<ества называется длиной lУГИ кривой L.
ОТ,lетим. по !юст!)анственные СПРЯ,ШifеМl,Iе к!ншые облаlают переЧИС,)1енными в этоы пункте свойствами
и
10, 20,
о
Дшсазате.iЬСТНО этих СНОЙСТ!' ПРОНОДИТClf сонершенно ана. югич­
но доказательству для плоских кривых.
5.
Достаточные условия спрямляемости кривой. Фор-
мул!,! дл!! !!ычислрния длины дуги
!юi'ti
Теорема 11.1. Ес.lШ фУi!.'I\,ц1t!J Х =
1t У = ф(t) !( ',,!ют 'На
сегме'Нте [а, р] 'НеnреРЫ6'Н!,;е nроиЗ60д'Ные, то r.;р1t6ал L, оnреде"'!',мал
уро(('Неi!!JЯ"''' (1 .3), (т!рл I'!Я' .,ча 1t
дЛ1l'На
l
ее
6t,lтъ 6Ы'Ч1lсле'На по формуле
JJ
.3
l -
tp'2(t)
д о к а з а т е л ь с т в о.
+ t J2(t! dt.
11.10)
Докюкеы сначала, что кривая
с! l!lfмляе,lа. ДШf этого преобразуе' Ш,Iражение
Z(ti) ЛО,lаной,
исанной
и отве'fаlощей
ноыу ра;iiиению т се; ыента
имеlОТ на
cer:·leHTe
(1 .6)
.
Так как функт~ии
р] ПРОffЗНОДНЫ(" то,
L
длины
JЮИЗНОЛl,-
tp(t)
си.
и
,,·(t!
Ла­
tp(ti - tp(ti-1) - tp'(Ti)b..ti rl.e ti-1 < Ti < ti b..ti - ti- ti 1, и
)1
ф!(тnЬ..ti, rl.e ti 1 <
< ti. ПОlставляя найденные вырюкения для tp(ti) - tp(ti-1 и
) - t(ti-1)
граюка,
пран'ю (асть ныражеНИ!f
( 1.6), юлучим
n
l(ti) По УCJIОВИЮ функции
L Vtp'2(Ti!
tp(t)
и ф(t) имеют на се: менте [а,
11.11)
непре­
рывные производные. еле. ювательно, эти производные ограни-
ч(
H;,I,
0:, р]
И ПОЭТОМ.'
"Щ( ствует таю;'
М,чт;;
с; lk;ВС;ДЛlfEЫ
11)
тогда и:~ формулы
(1)
[ЛЯ всех
Иi ;ег:ента
И Iф'(I)1
1
м
вытекает. чт;;
Таким образоы, ыно:ж:ество
длин вписаННЫ:I в кривую
[l(ti)
ЛОi;аН;,iХ, ОТЕе'iаiОЩИХ ЕсеЕОЗ:.ЮЖН
L
разбиеШiiiМ Т сеГ:·.;ента
, ограничено, т.
е. r.;рива,я L сnр,ям,л,яем,а. О()означиы че­
д.шну этой кривой. Дока:i<ем, что д.шна кривой L ыо:ж:ет
0:.
рез
быть ВЫЧИCJlена по форыуле (11.10). 3аыетим, что правая часть
формулы (1 . 1 похожа на интегралЬНУi" сумму
n
11.12)
нтеГI)ИI).'· ем ой
Ф." ""т
... т и"
.'.
м.,
.V/ "f'..I 2f\, t)I
+ .,I,,
lf/ 2f\, t)
'эта
(1)".'.
1,
.
сум-
ма
Ti} отвечает разбиению Т сегмента [(1, р] да шому
бору точек Ti на чаСТИЧi
се, ыентах [ti-l' ti] ЭТО, о раз()иения.
До'Ко.Ж;:.м, 'Чrnо дл,я'iюб,'го ·ПО'!· 'жuн (· 'i'bH(Ji'i· ' Е > О
Yf.aщт'Ь тm.·();: (j > О. 'Что
< (j
= шах
iiЪtTiO !'Н,яетс,я
'Нераве'Нсmво
р
где 1
=
J Jy/2(1) + ф!2(1) 1ft -
редел iрИ ~
---+
инте, ральных
Q
сумм (11.12). Нныыи
«мелr.;Uf» разбие'Ни,я;
mИЫ(Li!'НЪtх
(5('стато'Ч'Но
"',
'КР!Jвую
ОН
'.,См.
.мало ('тJш'Чоютс,я ('т и'Нтегро
части форыулы
I
(11.10).
1,
стояще, о в правой
Отыетим, во-первых, что
j ',0'2 (Тi)Ф'Ч тn - J ',0'2 (Ti) + ф,2 (Ti )I :::;;
: :;
IФ'(т'n
фl
1n;
1),
1 . 4)
) Д.JЯ Пi' 'У'lе!!ия l('р;шещ:тв (11.14) мы ВОСПf1.• iЬЗОВ ;лись пер 11<'ПСТi'f1М
Iva2+b*2-Ja2+b21~lb*-bl,r;e
(1",*) И
(1",)
инеравенством IФ' (1",*)
iI ~
(;З',Т(;Х неравенств
f1'lеВИ.Jf
,ак как раЗ!!f1СТЬ любы·
(ИИ
бf1iЫ;<' раз!! ,Сти
ее ТО'ШЫХ Г) а!!еЙ. докажем пет ,сОе из vказаюrых пера ,епсТi'. Имеем
1
V п2
+ Ь*2
v п2 + Ь '1
Ib!2
Ь2 1
-vra~2~+~b~!~2~+--\!/a~2==~b2 ~
31')
и 1n;
где
те
[1
(1)
ШЬН: л ани ф'ш<т~ии
, i] в С ту (1 ' 1 ,(11 2)
на !аСТИ'Ш()М С( гм( +
справед!Ив !,! нера-
1 14)
вештва
-I~
:: t
In'2(,,-,)
, . и2
r
"!
т 'fJ
I
j ср'2 (Ti) +
t'2 T
*)
-v ср'2 (Ti) +
ь.. ti :::::
tj/2 ( Ti)
'l=
n
::::: L(Mi - mi)b..ti - S где
S и 8 -
11.15)
5,
верхняя и ни:ж:няя суыыы функцииф' (t) для ра:­
биения се,ыента [а,
. Так
инте, рируемы на се, менте
;роизнодп,;х rp'(t) иф'
как функции jrpY2(t)Yf2(t) и 1j/(t)
la,
{ЭТО вытекает из непрерывности
на сегу!енте
;3]),
ТО ИЗ о;
инте,рируемости и из теореыы 10.1 (см. § 1 и §
кает, что для любого [;
о ыо:ж:но указать такое
д (ь.. = шах
В!,;ПО;Шf;"ТСЯ неравенства
>
<
5
Поэтоыу при ь..
<
,в силу
11.15)
и
3
гл.
>
ия
вытеО, что при
< [;/4.
(11.16),
1.16)
справедливы нера­
венства . Il(ti - 11 . .'-: II(t/) - 1{ti,Ti} + ~ ti'~i -,11::::: Il(ti1{t'l Ty}1 + 1 "'l} ,1
[;/4 + [;/4 - [;/"" Та"и образо.
справе. лив ость неравенства (11.13) юка:ана.
Дока:ж:еы теперь, что cpe{jn всев(),! I,УiУЖifЪtх ЛО,м,(LiiЪtх,
I(ti 'К:оторууу! удовлетвор,яют 'Нераве'Нсmву (11.13 " имеютс,я ло­
,м,aHЪt'
'К:oтOPЪtX i'тJш'чд.ютс,я mп дJШ'НЪ!
ме'Нъше 'Чем, 'На '/2,
. i ак как
ТО' ная нерхпfЯ гран
ия:' сеГ:·.!е па [а,
,1],
"ножес! на
{7
L
дли
}
L
и отвечаю; !их BceBO:~MO:!;:HЫM
то на
ие т* ,ТО-
лоыань х, вписанных в кривую
го CCiГM(TTa, что д !Ина
дуги 'К:рn.вой
(t'j)
творяет неравенствам
о
(1 ) < [;/2.
Разобьем теперь кюк.!ЫЙ и: частичных сегментов
11.17)
[ti-l' ti
раз­
биеНЮf т* на CTOfЬ Мiлкие fасти. fтоб!,; мar<сима;Ыfаif д !Ина ь..
раЗi)иения т се, мента la.
,полученно, о Оi)ъединениеы указан­
ных разбиений, ()ыла ыеньше д, ь..
Очевидно, что длина
< .
i)
ан, ,й,
вен, тв'
'ряет
( 1 13)
биению т*, являются т iкж:е вер iiИН,iЫИ лом !Ной, ;;твечаЮi <ей
,то
СИЛ' леММ;,1
[(! )
С ту
к;е; В;;Ш;ZТ
нер шеНСТКi
о
Итак, мы
: :; l -l(ti
юказали, что среди ломаных, длины
удовлеТВОj>ii;Т неравеНСТБ'
(1 . 3),
неравенства
11.1J)
и
(11.18)
Il в СИ,
роизвольности
Е
l(ti
которых
имеi;;ТСЯ ломаные, ДЛИ
;;оторых удовлетвО1 > ";т неравеНСТБ'
I (!
11.18)
<'/2.
;,1
(1 . 8). Сопоставлю;
получим сле ;ующее неравенство:
11 < Е.
отсюда
вытекает,
1.
что
Теореыа
юка ;ана.
3 м е '1
и
1. Ее,," фу'Н,nv,i'U
u '(t)
;,а п~гме;'m,е loo,
огра'Н,и";е'Н,'Н,ые nроuзвод'Н,ые то nрuвая . определяемая урав'Н,е'Н,uямu (11.1',
спрямляема. В <;;"мом дел,' в прощ.'сс'· д",;азат,' ,ЬCТi;" ,еор;'мы (11.1) мы
устаПОШIЛИ 'по при "СЛОШIИ огра!iи';ешюсти ПРОИЗВО,;ЛЫХ фу;
(иi; cp(t)
и
длпrы l(t,) ЮМ,ШЫХ, "пис,ш;
кри"ую L и ОТi;е'lающи' всевоз­
,азб,;ен,;'"
Т сег' ента [а 'J], ограничены.
'1
2. ФОРМ;j"а (11.10)
i",['Ч,iif "е'Н,uя д 'i',;;bl дуг!!
у' (t)
(t) PiipeaeA/CUbl u uюnегрi руе.мы па
ом
ду,.
,
деле.
,;з интегрируемост,;
ИХ о; 'Р,ШИ'lе; ;ПОСТi, И ПОЭТiiМУ
ЭТИХ Щ Ю,;ЗВОДНЫХ сле
си",у заМ;''lа; ;ия
1,
СПРЯМЛЯi'l\!ОСТi, iiРИ­
,;ой L. Заметим ;алее, ';то для ШШО,;а пера"епсТi; (11.14), (11.15) и (11.16),
следовате"ы
и пер""епсТi;" (11.13) ДОСт,пО'ШО ли!! " сущесТi; 'jj'ПИЯ и
интегрируемост,; ПРОИЗВО,ШЫХ у' (t) иФ'
так как отс;' ";а,, согласно 10-
по,лrе!iИЮ
ke
гл.
остальные
а
вытею,ет и ;,егрируеМiiС ь фупкции
,асс' )KieH,;" такие ",е как
е
функ:ции у
а
И е
Ег
Vrp"(!)
+ ф'2(t).
вюказательстве теоре' ы
К:{ uвал,
11.1.
л,влл,еrnсл,
j (х), им,еЮ'щей 'Нл сегм,енmе а, Ь
j' (х ,
i,P1ti}O' L СЩ'i.млл,е АU и
HenpepъtвHYH;
дуги
м,о шеrn 6ъtrnъ найдена по ;.fJорм,уле
ь
J}1 +
11.19)
1'2(; ) d,!.
а
Для юказательства ;аметиы, что
ф' НfПИИ предстаЕШiет собой
рическими уравнениями х = t, У =
О'iевидно. ;;ы;
рафик рассматриваемой
опредеШiему;;' пара;;ета :::;; t :::;; Ь и при этом,
;;се'с.ЮЕИ',; тео;,ем;.!
1.1.
Поэтому, по.;а-
ая в формуле (11.10) '(J(t) - t, ф(t) - /(t) и заыеняя переыенную
интегрирования t на ,ыы получиы форыулу (11.19). Отыетим
381
та <же,
что
(О)
если
~
к!
~
()
пй
непр( рЫВНУЮ
дуги
урав {(пнм
им( (т на сегеюс'
()
ШУЮ, т'; крикiЯ
, ();]
спряыляем;; и длина
L
l
ф"рму!е
может
(11.2n)
[01
Для
юказательства восполь ;уемся формулами пере ш,!а от по­
лярных коор шнат к
!екартовым
= Т(()) SiIl().
cos
х=
Таким о(iраюм, ыы ви шм, что кривая
L
опре, !еляется параыет­
рическими уравненияыи, причеы фунюши rp = Т(()) cos И Ф =
SiIl \Довлетворяют УСЛОEfiЯ;! теорем!,! 1,1. ПодстаЕ iiЯ
(11.
ука;аю!ыешачения rp иф, МЫ ПО'fУЧИМ формулу (11.20).
Сфорыулируеы
достаточные
,iC ювия
СПРЯЫ,iЯемости
ПJо­
странственной кривой.
j',сли
rp(t)ф(t) и
X(t) (( ',,(юrn
'На ceг('('Нrne [о:,
HenpepC,i6Hble nроиЗ60д'Н "е, rnо r.;РU6а,я, L, оnредел,я,емдя ура6'Не­
'Ни/г,ми ( 1.5), сrЧii,мл,я,е\u
ее дуги \,(iжеrn быrn'ь НОй­
де'На по форм,уле
р
l =
JV rp'Чt) + i'Чt) + Х'Чt)
11.21)
dt.
Дш;азате,fЬСТ ю аналоги шо дш;азатеfЬСТЕУ теорс,м!,!
1.1.
3 а м е а и е 4. Если ф' пю,яиФ(t) и
имеют ограПИ'lе,
пые па сегме ,je [а,;]] ПрОИЗiiUД ,j,re, т'; кривая L, опреде"шем,ш ур iшrе"и11.5)
;ямляема. !',сли
это' ПрОИЗВО,шые указанных ф' НКЦiiЙ
И!,jе,'рируемы па CiTMeiije [п.,
. Ти Д нпrа l дуги КРИiiUЙ L мож(' , быть
вычислена по формуле (11.n !
, за\,ечаю, " 1
-
6. Дифференциал дуги. Пусть
= rp(t)
ф(t) имеют на се; ыенте
непрерывные произво шые, В
10:,
этом случае, в
теорем!,!
1
!еремен
дуга
!редса­
вляется CJlедующей форыулой:
Jу'ср'2 т: + ф,2(т)
t
l(t) Так как
(11,22)
юдынтегра fЬная функт~ия в
непрерывна, то функция
[' (t)
l(t)
= у' ср'2 (t)
dT.
11.22)
!равой части форыулы
шфферент~ируеыа, причем
+ i 12 (t)
1
З
г.
JaСТИ
,П,i
,i;Y l'(t) dt
ранен, ТШl
iИ:"
[ф' (t) dt]2
[l' (t) dt]2
По' i;ОЛ
п, ,СifщнеГ,i
dl. 'P'(t) dt - dx.
ф!(t)
dt
.2:.\)
dy,
.23)
и:~
11.24)
Нз форму. ът (11.24), в частности, Сiедует, что ес ш за паjаыетр
выбрана переыенная дуга [, т. е. х
g(l) и у l'L(l) , то
(dr) - 1.
11.25)
Отыетим, что при УCJIОВИИ непрерывности проишо. !.ны:< функ­
ШIЙ х
= 'P(t), у = ф(t) и z = y(t) для дифферешщаiа
ду­
ги пространственной кривой, определяемой параыетрическими
уравнепfЯ\:И
справедлива формула
(1
11.26)
Нз форыулы (11.26) следует, что если за параметр выбjана
ременная :yral, то
,е­
1 .27)
7.
Примеры вычисления jЕ.ЛИНЫ j[,;УЛ'И.
Т~iклоидыl)
=
аи
sint),
случае 'Р' -
=
рассыатриваеыом
ю форму.iе 1 . О)
l-
Jа/(1-
cos t)2
+
t
1-
2"
sin 2
а (1
t dt -
2а
J
2"
Sill
о
на
cos t) ,
~ t
=asint.
-4а
!dt -
дуги
~ 27Т. В
Поэтоыу
-t
12" -
8а.
о
о
2\.
Цеп/ной
г].
называется
=
а с11 х 2).
:лину участка т~епной линии, отвечающего сегменту
м! с'м по фор\ле
( 1.
J)1 + у\Ч~)d~ J
х
х
/1+ s11!
о
О
1 Цшr;лоuда ,а,шуса
функции
а
Найдеы
~d~
J, id~
х
11
а
=
а::11-.
о
плоская кривая, котору'!' ОПИСЫ \ает точка ОК) VЖ'Юсти
катящейся без сколь\,\ен\", по Пр""
ОЙ лини\'.
") Н<шм,'Пова"ие цепная ,ЛПIИЯ Сi\Я<'НО С ,ем. 'по форму р 'ссмаТРИi\
мой кривой имеет тяжел!ш щ'Пь, ПОДi\,'шеiiIlая за ЮН!!!.;'!.
383
30
айде'
дуг
считываемую от точки
ия Э.
ш
(11.22)
!ИП, а х
=
.LV[o(O, Ь)
>
Р:,ссыотриы
сов
аsiп.t,
t
Ь, от­
пар:, ыеТРИЧf ;СКИ;
У7Т
О
П;; форму-
иыееы
t
=1
[(+\
' ,)
;[;2
0.2
.;лли [С,
=1
о
siп; TdT -
о
1
t
)1 -
Чис.ю
уо. 2 -
е
Ь'
!V1
еопреде. iенныЙ интегра.
t-
d!
=
эксцентриситетоы
,t)
см. З
э.
!Иiiса.
е 2 siп' tdt, обращающи
21 г.. 7).
О, называется эллиптическим интегралоы
да и обозна' ;ается
аЕ(е, t).
о
называется
а
нуль при
е 2 siп
о ро-
§ 2. Площадь плоском фшуры 1 )
1. Понятие квадрируемости плоской фш'уры. Пло­
ЩДi, квадрируеГ"iЛЙ плоской фигуры. I10нятие площа. ш
iЛОСfШЙ
,,,;щейся многоугот,ни;ш:' 2). известно из
курса элеыентарной математики. В этоы пункте ыы введеы поня­
тие
ющади Т!ЛО('Х;;;U фЕгуры Q - част;'
юскости. ог! ,ани [ен-
ной
ростой замкнутоЙ кри
3). При этом кр;' '''ю
б\дс;м
называть грающей фигуры
lVlы будем ГОВОРИТi" по
fЮГО'ТОiЫff.fК ;;'П.1Ы(Li(
+;rгypy Q
еCJIИ кюк. iая точка этого мно; оугольника принадле:ж:ит фигуре
Q или ее границе. Если все точки п.юской фИ! 'ры И ее границы
принадле:ж:ат некотороыу мно; оугольнику, то бу [ем говорить,
что указанныЙ многоуго.Ш,нИ!< ;'rи!со'Н вокруг фигуры
мно; 0Ясно, что площа.;Ь любого вписанного в фигуру
угот,нИ!<а
бот,шс; п.ющади тобого описа [ного во <р'т
ры Q ыно; оугольника.
Пуст;
{S'j} -
п,юскую фигуру
чис.ювое
.
ножеСi во
многоуго IЬников, а
iлощадей
ScZ} -
в! исанных
ЧИCJIовое ыно:ж:е-
1) В" BT"poi: части паст"ящего "урса чи;ате ;Ь паi:дет шир ,;;ое примепе­
нщ" пон"1Т;;Й ;;лощад;; ;;лоской ФИГУI'Ы и произвольного мно ;.;ества точек
пл"с;ости.
2)
мы будем
';,IБап,
часп, пл"с"ости,
"гра; ;и';, Пi ;ую
прос; ои зам" ;утой лома;;ой ли; ;иеи.
3) Отмет;; ,что щюста"; замкнута'.·; плоска'.·; кривая
раздел··;ет плосд";' ';;;СтИ - шrутр, rIiiЮЮ и шrешпюю. 9т;; у;вержд;ши;' бы,ю д"-
;;осп,
"аза;
фр;ш i.узским мпемпи"ом Жорда;; 'м
1922).
.
ногу то. fЫfИКОВ.
ПЛ·iщаДf.f"
о fИ' ;]нно!
вокру!
МНРfО\Т('·ff.НИf<.1'
iнраничен •• 'lfиер, числом нул.)
S.!
рсз
тоттн'
'Ц'PXНt, ш. грань МНРЖС" Пiа {Si},
ную нижнюю грань ыножесша {Sd}
м]
Обо iН;]ЧИМ че
iС'РСЗ
ТОТТ-
Р 'И Р
оопюеПii тпаешю lШ:JfCне'Й n/ющадыо 'И "ерхне'Й n/ющадыо Ф'Uгу­
ры Q.
ттто нижняя площаДf. Г фиг ры Q не больше
1
верхней площади Р этой фигуры, т. е. Р
iРСДiЮЛОЖИ:i, ттто ве]
Тогда, полагаТl
Е-Р
2
:::;:
Р. в сююм деле,
iРОТИВ JiЮЛОЖНОС' неравенство Р
=[ >
[<ото] юго iiудет iюльшс,
iлошадь
Р+Р
<
2
,
Q
Е+Р
Р-
f·iCfa
Q . 'ного-
fШТОР Jro м( Н f.шс'
т.
ыногоуголь­
и такой о fИсанный
угол
Р.
о и учитываТl определение точных
граней, мы найдем такой вписанный в фигуру
ник.
>
fИсла Р
+[
Е; Р. Сопостав.шLЯ по. [У [с'нные два Hc.paBCiНcTBa, най­
дс.м, ттто Sd
[СТО не можс" быть. так
tЛощаДf. 8 d лю­
бого описанного ыногоугольника не Аtеffъше площади Si любого
вписанного многоугольника.
Введем понятие квадрируемости плоской фигуры.
Q 'Называ1:тсл
Оnреде.ле1-luе. Плоскал
О й,
Р эт сс ;:
С'сл'U веl/i!'НЛЛ
'Н'ин('Неii nЛO'lцадыо
nлощ!!дъ1О Ф'Uгур'Ы.
ПI 'u эт'М 'Ч'Uсло Р
к; в а
р 'u
сов па. JaJ:m с
-
Р
-
Р 'Называе тсл
Q.
За
ттание.I3Д'JiЮЛ Н (ТИИКЭТОЙ
пример неквадрируеыой фигуры.
С iраiiсДлива слеД.'·.1.шая
1Иfi(ДС'Р
TC'O]ie:.ia.
Т/'ОР/'МД 11 2. ДлJt пюго 'Чiпоб'Ы nлоск;аff фигура Q б'Ыла к;вадl 'ируем.ой, 'Необ! од'ИМ.о 'И достато'Ч'Но. 'Чтобы
любогс. Jf('ЛО[ МО:JfCiЮ б'ы.ло Уi'ЛЗ ппъ тш.о'Й Оn'UСi.f1t'f!'ы'Й
м'Ног. "'jТОЛf.'Н'ИК; 'И так;сс;; вn'иса'Н'Ныii в Ф'игуру
Q многоугО/iЫШК;. разностъ Sd - S1 nлощ .де'Й к;отор'Ы.Х бы.ла бы
, Sd - Si
Д О к а :~ а т е л ь с т в о.
1а
Q
квадрируе.iа.
.
1)
е.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть
-
Р
-
f ак
точные веРХНЯ?l и нижня?l грани множеств {Si} и {Sd}' то для
>
любого ТПiсла [
но указаТf. f'ЮШЙ вписан
фfi
Q многоугольник, площадь Si которого отличаеТС?l от Р
меньше чем на
[/2,
т. е. Р
Si
< [/2.
этого же [
>о
=
можно
ОJШi i]нный М;,СiJОУПi'н,Ш i
'казаТJ,
,площаДJ,
'/2,
(iтю,;ттас' п:я
'еш,ше ;с'м на
е, Sd
"кладываСi полученные неравенства, найдем, ЧТ(i Sd
Д О
Т а т о
УПi!ЬНИЮiВ,
П) Р - Р
о
Sd
которых
с.
13
Sd
SI
< С,
СJ,;Л' произволь ;; (iСТИ
С
- SI
и
ш
M;,CiJOТ]К как Si :::;: Р :::;: Р :::;: Sd,
(iт<юда вы J'eJiaeT. ттто
i аким
lазом, фJ;
lа кваД]шруеl;а, Теорс'ма доказана,
iiуде' говориг
;то гIЮ'tiU'Ца nЛОС'Х: ii ';
Q им'nлощuдъ, РiЮНУЮ нулю, если ДЛСi любого положительного
шсла
О можно указаТJ, такой описан
вокруг
ры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q много­
УГОЛ,НЮi. lаЗНОСТJ, Sd - Si п.ШiщаДСIЙ JШТОРЫХ 'еньше с. Отте­
видно, теорему 11.2 ыожно также сфорыулировать следуюшим
J\lbl
>
О'jразом.
упого 'Что;;'Ы n/!ОСi;ЛJl фигУРii
и достат, i'ЧНО, 'Чтобы
Q 6'Ы,ла
'Х:uuдрируеАюu,uеоб­
?lюн'U'ца 'и 'l·ела
IЮ6Н1iЮ
нулю.
3
ях
а м
тт а
;;мсусто
;;ССIX прю;;дс'"
;лос;
нами
можно расс: 'аТ]lю;аТJ,
lасс' :iiД]НИ;роиз ;ольнос'
множество точек плоскости.
Установим достаточный nрuзна'h;
Теорема
11.3.
Если граница
'h;BaJpupyeMa.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть [* -
длина кривой L. Будем счи­
параметризована с помощью натурального параметра
О ~ 1 ~ [* причем, поскольку кривая
ч;,юш;;"
зю, ;ени',;
И
;,аР"'lе
а
L
и от;;е';;;юш, ю
нию сегмента
Ю' ,"'нно;·;,
l,азб;;,
l*
n
L;
[*
[0,[*]. Точки МО 2\111, ... 2\lIn раз-
б;;в;,ют ;';РИ;" ю
L
L 1 , L 2 , ... , L n
ю' ча!.
ны которых равны (1* /n)
щЮ,I з;;ены'в
нои
1
замкнута, ее граничные точки, отве­
П';'П;lда;"'. П,ст;, е - п ,ш; iВOД;,HO"
положительное число. Разобьем сегмент [О [*]
точками О = [о < [1
... < [п = [* на n
р;,в,;;,;х '/,cTei., д,;ины ;·;еньше ej91*. Р;,сс;;!'
ломаную 2\lIoM 1 .•. Мп (МО = 2\lIn ), вписанную
IЧ;ИВУ;'"
плоской фигуры.
еuб,11
сnр"мл"еJvLУЮ 'h;рuвую, то
тать, что кривая
·M"IJ.I.''II·IJ:ln'/IC.M.(J'(;·I.rr.'II.
L
M;-lMi
(е/9[*
УЮ' ,"щной ;,;,;ше
Г,М 1 ... МП Ю' бод;,ш,'
, д'
Очеви.ШО
П" Н'СТ;;
ю;·;а­
; ю,:ж·
. юе звено 2\lIi - 1 М внутрь ква. 'рата со стороной
31* /n так, как это указано на рис. 11.4. Лег­
ко
б,.Д;;Т;,'
";,
что .;у;а
L"
i.тяги;;ае;·;;,я з;;ено;;
располагается внутри этого квадрата
ибо р;,сстояние от люб,,;;
аспол",''''';НОИ в;;е И'
2\lIi -
Рис.
11.4
1 М.,
на граниЦ"
,'То­
го квадрата, до каж . ЮЙ и'; точек 2\lIi - 1 и 2\11, не меньше [* jn,' и поэтому,
е!.
бы ;·;ю( ",;- щбо
ОЧЮ'
дуг;; L; бы," ;,ю' ир' ю, Гl;аниЦ', у;·;азаю;,
го квадрата, то вписанная в эту ду; 'у ломаная
не меньшую
2\;[,-1 ММ.
/n т. е. большую чем длина 1* /n .;уги
имела бы длину,
, чего не может
;"ыть. Объе. шнение всех таких ква.' ";атов, построенных на всех звеньях ло-
13
Б.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
"рсд" :'1:Л',1~
["M 1
собой '1НОГОУ1 Р
,
Щi
1'ZрИ :iЮ L п: '1че11 "',,'вид,,,, 'П" 1p""iiii.a э
,.о[юй 0(1ъединение граню впи,.анного в фигуру
санн"'" В01'Ср;
Q
11НОГО;
П11е, ста1: 'ю'т
многоугольника и опи-
также, ,По
Ь
p1iiHOC
площадей этих многоугольников равна площади ,'iказанной фИГ'iРЫ, а пло~
Щ11Д1:
Р1:'
не
1'Р"ВОСХОДИ
СУМ11
ПЛОЩ11деи
[*
квадратutl. Так как S = Н-,,- = 9t1' с:)
n"
~,',:' то Sd
[*
из того, что 11а
2.
Q
n
КВ11ДрИрi
91'
<
- S
iO.
ИС щЮ:IХ
1:1:,ше
l после,'1нее HepaBtёHCIBO сле,'1уеl
<: "
n
01
Поэтому, согласно теореме 11.
дою' ,::ща.
Площадь криволинейной трапеции. КР'U60Л'U1tейной
наз ,нzается фff
,а, Ofрани'
ная графиком задан-
ной на сегыенте [а, Ь] непрерывной и неотрипательной функ­
ции .I(х;), орди fатами,
юведе шыми в ТОТПШХ а и Ь, и ОТРСЗЮiМ
оси 01 ыежду точкюш а и
(рис. 11.5). f,окажем следующее
утверждение.
КI?uвОЛU1-i, й1-iал mlюnецuл щ?е, iсmавллеm собо ii 'Квад1?'ируе­
JoЛУf/i фuгуру, n/ющадъ р 'Которой JoЛОJICеП1 бы'!. 'Ъ 6'Ы"l'uслеНfi по
фОРin!ле
ь
J.I(х;
р
(11.28)
dx.
а
о
менте а, Ь
HOf о
f ак как не fрерывная на cefфункция интегрируеыа, то дш, любого положитель-
а з
а т е
шсла
л ь
с т в О.
но 'fiазать ('а ше
iазбffеЮfе Т
[а, Ь]
CCTMC'Hf'a
<
что рашость 5 - s
Е, где
5 и s - СОС!"::" ('ственно [Ц'РХ-
у
ня?,
и
биенш,
нижня?,
Т.
суммы
Нс!
И
pa:~
равны
S
соответственно 5 d и 5i, где
5 d и 5i - плошади ступен
атых фигур (многоугольни­
ков:
а
о
iYfn-l
Ха
Рис.
Хn
первая
ДЧНiИТ
ь
Х
пецию,
которых
а
втора?,
со
тра-
содержится
В криволинейной трапешш (на
рис.
11.5
и:~
криволинейн'
11.5
и:~ображены также и
aTf,fe
указанныс' сту:
<
ры). Так как 5 d - 5 i
Е, то, в силу теоремы 11.2, криво
ЛИНСfйна?, т] ,ашщия квад] Ш] " с'ма. Поскольку ПрСfД(" при ~ ----+
ь
«них и НИ;!1 них сумм
,авен
J.I
dx
и
s
р
5,
а
то площадь Р криволинейной трапепии ыожет быть найдена по
формуле (11.271,).
387
3
е
а
а
тт
ЛОЖИi ел ,на
ф'
н
],
уегме ['Ге
Hf<
шя
f
неп] ,е])ывна
iНi]че ше
то
и
непо-
Ь
(:r; )
И1f'ГеfраЛi]
РiШНi' ВШТОЙ С i'ТРИЦilтельным :~HaKOM П.llощади КРИВО.llинеЙноЙ
i,Шi ции, О! Р;Шil т теНШiЙ графИЮiМ фуш<
f(
в
точках а и
и отгезк())[ ОL:И ОХ между точками
ь
если
(х) меняет :шаю то
J
равен суыые B:~)!TЫX с опре-
(:r;)
а
деленныы :шаком плошадей криволинейных трапеций, располо
жс'!'
выше
со :~HaKOM
3.
НИ:Сi<е
а вторых
OCf,i
- со
П]
,f,iTTe:'
-.
iлошаДfi
,с'рвых бер' тся
:~HaKOM
Площадь криволинейного сектора. Пусть крива)!
задана в
полярной
а :::;: В :::;: (3 (рис.
нс'отрицаТi Лf,на на
ную
углы а и
систеiiе
координат
iавнеШiе'
11.6), причем функция r(B)
CiTMi нте [а, . f1ЛОСf<"
фfi
r
L
-
непрерывна и
Дi,УМЯ луттами, составляющи'
ыы будеы Ha:~ЫBaTЬ К;РU60ЛU! ейныl'л
L
(3,
след'" 'i,Шi'!'
сек;mоро.;\Л.
у' [у!'1)­
ждение.
КРU60Лif1-lей1-lЪ!.й
тпор nредсmаUЛJlепт iобой
ф'uгуру,
К;ОП орой ,м,о:ж;еm бъ,
се'К:
L
ле1-lа
8
(В) </В.
(11.29)
Рис.
Д о к а з а
мента [а,
е л
с т в о.
точками а = Во
асти' шог,! CiTMCiHTa IBi -
(3]
<
Рассмотрим
В1
< ... <
11.6
iазбfiеШiе
ВN =
(3
cef-
и дш! каж
дог,!
,Bi I Ш!СТ]f!ИМ круговые CCiKT'!PbI,
радиусы которых равны минимальноыу ri и ыаксиыальному Ri
шаченияы
О) на сегменте
, В у]. В ре:~ультате получиы две
вее]н ю{!разныio фигуры, пе] ша)! из кот'!рых с'!де] )житс! в к] ш­
волинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор
(эти веерооГ!раЗНЫСi фИГiiЫ fiзоб],аЖi ны на рис.
Si
и
'f<азанных
1 n
но 2" ~
~=1
rr
1 ~
фИГ'
2
и 2" ~ R i
[то
i=1
яв, шетс! нижней С\]\Л\I'!Й
s
дш ф'нкuии
1
. Площади
уавны соо! [ц'тствен-
iвая из Эf'ИХ С'
1
2
для указанно-
го ра:~биения Т сегмента [а, (3], а втора)! сумма являетс)! верх­
нс'й суммой S для этой жс' функции и э ['ого жс' iазбиения. Так
как функция !r 2 (B) и [те! ]шр' с'ма на сегентс; [а, ,8] то разность
13*
<о +ет быТ!
S-
люБОf о фf1!<;ИР('f(анш)гi'
меньше с
/2
>
как
О
малой<
«;ia
аffРИМС;Р< для
разно; П< МОЖС<' бьпъ сдс'лана
Впишем теперь вС' внутреннюю веерообр; <:шую фи-
гуру многоугольник
Q
' i
С площадью
S ;,
S .';
для которогС'
Е
И (:пишем вокруг внешней веерообр;;:шой фигуры 1ШOl\,}ТО.llЬ­
ник Qd lш()ща~ью На, для KOTOrnгO Sd - Ва
<
~
).
Очеьидно,
первый и:~ этих ыногоугольников вписан в криволинейный сек
Teip,
а второй ;шисан вок]с' Г Herei. Так как сп];аведливы нс;ра-
венства
(11.301
оттеfШДНО,
i'O,
< С.
- Si
силу
fрОИЗ (()jj,НОСТИ с, отснда
текает квадрируемость криволинейного сектора. Не неравенств
1.30) f(i,iTC;Kac" Сffраf(СДЛИВОСТЬ
4. Примеры вычисления
1.:.~9).
площадей. 10. Найти
щадь Р ФИГУ]fЫ Р, ограниттенш)й г];афикаыи функпий у
И Х
=
уй, а ~
1
(рис.
11.7).
Поскольку фигура
на относителыю iШССС;Кj1fifСЫ пеРfЮГО
пло
х;й
F сюшетрич­
iшординатного угла, то
ее площадь может быть получена посредствоы вычитанш; ие
площаДi,
[(ад]
УДfюенной
fлошаДif
ции, определяеыой графиком функпии у
Таким О)iразеiМ<
формуле 11.:.~8)
J
1
ШfЮЛИНС;ЙНОЙ трапе-
=
ха на сегыенте [О,
1].
1
- 1- 2
xCldx_
х"'+l
[-]
1
11 -1 _ -2- - -а - 1.
О
+1
СУ
1
20. Чере:~ три точки с координатами ( 11, УО) (О, У1) (h,Y2)
арабола у - Ах;2
Вх;
D (или п] 'Я\fая,
flJOХОДifТ только одна
если эти точки лежат на одной прс;мой
уравнений относительно
Ah C
fеЙствительно. систеыа
2)
1?I1
+ D = Уо,
D-Yl
D - УС
1) ':;сС\<;а
оят и<\ '<'ру' Щ:i,IХ
0-
ров. Каждый сектор квадрируем, и поэтому ква< ;iIЧiуемы и веерооб;iазные
:];ИГУ::Ы.
<шя <НИХ
ИГУ;i мо)кно н ;йти МНОГОУ"ольники, п<:ющади
В,
:1
'?;d KOTOPi,IX
ДЩ:Н'Тi;;;РЮi;Т ую; ::щным неРiШ;"«
Bi<::1.
2) Эти уравнения пре< i<ставляют собой условия расположения точек
(h,
(O~ Уl и (h, У2) на параболе у = Ах 2и+ В:с + D.
зю
У2
Уа
(-h,О)
Рис.
(h,O)
О
Рис.
11.7
х
11.8
имеет единственное решение. Иыенно:
_
-
У"
Уа
= 7/1·
211.
Вырашм плошадь Р криволинейной трапеции, опредеЛlемой
указанной fараболоЙ. ординатами
тотп.;ах (-h,
(h, и
ре ;ком оси Ох ыежду этими точкаыи (рис. 11
, чере:~ ординаты
7/;1 У; и 712. Так как по ф')рмуле 11.~8)
h
р
!(Ах 2
Вх
D) dx _
[
А.г
:3
+ В:с
3
2
Dx]
~Dh,
-11
iаж; НИЯ ДЛЯ А и
р -
30.
r -
а
Найти
cos 3(1
з(71;1
шощаДi.
(рис.
D,
4711
найДf м
У •.
iилистника
1! .9). Из
iie:+a яс-
но, что вся площадь трилистника рав­
на уве.Шfттенн.)Й
ШС:Сi
i.
раз
шощади
:аштрихованной части трилистника,
ю)тораСI ответтас:т измс:нс:нию
7r /6. Поэтому по форыуле
(1
от О до
(11.29:
7Г/6
р
6~2
!
cos 2 3(1 d(1
ка
2
4
u
Рис.
11.9
3~
Об [FeMЬE
Tf л
И площади
Поиятие
\сть
рое [<\'HeTTHOC~
вписанные
в
вокруг
[F[e :
;\'з:·юJ!<
тело
[[C~KOTO-
ноге гра [ники~
гогранники,
['ела
а
.
но!
описан-
<анника \во l[·!Т-
К Бытшс.'Тению с)бъеМОБ тетраэдров (треуго.'Тьных llирамид).
Поэтоыу мы будеы считать и:~вестным понятие объеыа ыного
гранш![<а.
Пусть {"~} - числовое ыножество объеыов вписанных в те­
ло Е МНOIограннюш!;. а {V;} tИсловос' 'нос!<ество объс;мо!;
описанных вокруг Е многогранников. Множество
,,~
ограниче­
но сверху (об;,с;мо<! любого о! [!саН<ШОГOIранника), а мно­
жество {Yd } ограничено сни,у (наприыер, числоы нуль). Обо
зна'tИм У ['О' ную ;;с'рхш<"
грань множс;спаi}, а У ['О' ную
нижнюю грань ыножества
{Yd . Числа У и У наывютс)]l соот
ветст!;( нно 'Ниж'Ним о{)ъе:ом и в(:рх'Н'и;\,' оГ)ъе:.ЮМ тела Е.
ОтмС'['И:
!то ниж[р'
об(,с,м
['ела Е
бол[,ше ;\('р<него объс;ма
этOIО
['ела.
.
е. У
У. Чтобы убед[!т[,ся в с!
<а-
ведливости этого, достаточно провести рассуждения, аналогич­
[,[е те:!, [шторыс; были сделан
Р
Р
:::;:
сы. п.
для доказат( л[,ства
,авенства
1 § 2).
ВвсДс;м тс;пс;рь ПОН)iТие к;уб-uру, \:ости тс'ла.
Те/!О EU\\.('(,(.naenUJl
к; у б 'и р у е JoЛ 'Ы М,
есл'i\
aepx1li\u 06зем У ,:пого тела :оunuдает с ll'UЖll'UМ 06земом У.
'Называетсл :(бз, \:0 ;\" тела Е.
П; "и этом 'Число У
С
,а!;сдлива след.~·(:,шая
тс;о],е::!а.
ДлJt того 'Чтобы \пело Е было к;убируеJoЛЫМ,
'Необх;од'uм,о и ,;\(стато'Ч'Но. 'Чтобы длл ЛlОбог\( nолож'uтеЛi,'НО­
го 'Ч'uсла с МОЖf!О бы/!О ук;/.ютъ так;ой оп! :Шl1lЫ,U аок;руг тела
Td'opd'Ma
11.4.
Е м'Ног, (;'lю'Н'Ник; и так;ой вписа'Н'Ный в т(iЛ\(
\f.Ji' f;,огJJa'Н'Н'UК;.
разно, \пъ Yd - ~ 06земо!! к;опюр'ых 6ы,ла бы Joлеffъше с. Дока:ш­
тельство этой теореыы вполне аналогично дока:штельству тео
рс;мы
11.2
(см. п.
1 § 2).
Кубируемш:т;" неЮfТОРЫХ клнс<:ов тел. Буде' наз[,[­
вать 'Ц!\ :ШlдроJoЛ тело, ограниченное uилиндрической поверхно­
стью с обра:~уюшимк параллельньвш некоторой оси, и двуы)]
!лос[шстями.
;('Ндикуля]
'и этой ОС[!. ЭТИ плоскости
пересечении с цилиндрической поверхностью обра:~уют плоские
ф[!
fbI. наз ,н;ае:·ън' \fс'Нова'Нилми цилиндра, а расстояние h
между основанияыи цилиндра Haыветс)]l
fис. "11.10).
1)
Т'ЛОМ МЫ б\
той непеl\есекаю ii.еЙся повеl\ХНОСТЬЮ.
!!'ысО'!. 'ой
шлиндра
3
слсД\ющее
\тве]iЖ jеШ·jе.
лвллетсл к;вад1?иру' \\ал фuгура (), то 'ЦuлU1-/,i)Р
'06011 к;у6uруеАюе тело, nри'!ем, 06зеАt V 'Цii i'Uf др'! Е Рiюен
h
fiЛО-ЩШ)<Ь
j CLк
Д \я люБОj
j(i'j(iЖИТС"jj,НОГ(i
но
таки с,
'казать
iiblUJma
j'()
как
\Иiла с мож-
'шисанный
и
вписан­
ный в эту фигуру многоугольники, рю
HOCTj, Sd - Si jлошадей j-;QТОРbIХ будс"
меньше
основания:'
YKaiaHHbIe
выше
эти
в
-
многоугольники,
Si)h
-
п]шзыы
ПРИiМ С
<
)lВЛ)iЮТСЯ
рассыатриваеыое
JjiaT
j-;QТО]ibIХ СЛ'
COC!i'\' тстве шо Sdh и 8 i h.
i
vi
c/11. Объемы Vd и
высотой
fh
равны
оэто'.'
=
с. Так
Vd -
СООТВСiтственш!
тело
Рис. 11.10
описанныы
ыногогранникамк
тс'ло Е "'iшруео. Поскольку
цИ. шндра iaBeH Ph.
Mj,i 1 .4
то
и вписанныы
в
силу
теоре­
j'o
об !,С'М
fih
d,
ДОj-;азан н 0\0
iJii Д(тия [) j,jTiiКaC" к;убuру, \'·OCmi- ст-иnе! 'члfпыx '! iел ступенчатыы телом на:~ывается объединение КОнО\о ТПiсла ЦИЛИНДРОi),
iаСiiOЛОЖС'j\
j·Юi. ттто i с'рхнее осн
j-
ва шс! каждого предыдущеjО из
П\iШШД]iOВ находится в од­
ной плоскости с нижниы основанием последующего цилиндра,
см.
ij·iC.
1.1).
"jC. 11.12
11.1
а ы е ч а н и е. Справедливо следуюшее очевидное утверж­
Дi нис!. Есл'u длл ЛlОбог ii jf(iЛО НluтеЛЫ-i· '?() 'Ч.'uсла с м,ОЖ1-i ii ук;а·iШГn'Ь
пшк;ое
ОnUСi.f1t1юе
60к;руг
тела
,iпуnе-ff'ч,{f'гnое
К;Ое вn'исаннOf: в Е стуnе1-i'Ч.ат· 'е т,:ло, IЮ31-i' 'ст'ь
К;О'!fЮР'ЫХ Аtен'Ьше С, '!ПО
к;убuруеАЮ.
V; -
'гne
iQ
'и
та
ii iiбй' \'ов
Испол ,з' е:' зт\' замс" i]ние для докаЗi1Т! лы:тва
т, ла 61?ШЩ' 'Нuл
1
И:;енш), НfКажс:м С'Н дующее 'твеРЖ.;ение
=
фУff'Х:v,i'" У
неnреРЫ6на на сег,;lлеf· ,ие [а: Ь]
ог-
да тело /", образо :аff1юе пр'. щеm е,;lЛ 6m:руг ОС'И ОТ f:РiЮОЛi не'ЙтJ)(]'fJеv,Шf.,
ф1j'Н?"Ц'И!! /( :r:),
там'и 6 то'Ч,'Х:ах а 'И Ь 'И отрез'Х:();\' оси
{:т а
Ь.
'И его обзеJIЛ У J"ЛОJICеп! б'Ы.тъ lш'Йден по форму;е
У
(11.31)
а
о к а з а т
л ь с т
точками а = Хо
.1
<
о.
П.fСТЬ Т
<
Xl
<
-
Х n = Ь,
;азбf.;еш;е сегента а, Ь
и
mi
l'vli -
точные грани
на сс:гмс:нте [Xi- , Xi].
а каждом тarш:·; сс:гмс:нте построим
два пряыоугольника с высотами mi и Mi (на рис. 11.12 июбра
жс·}'
эти ;РЯМО"'ШЫfИки тол
на 'щном СС:ГМС'нте [Xi-l, xil).
рТы получиы две ступенчатые фигуры, одна и: которых содер­
жите: в к]шволинс:йной трашщии. а другая содс:р:+ит
При
вращении криволинейной трапе ши и этих ступенчатых фигур
мы юлу'fИМ тело Е и два сту;
aTf,'··· т! ла, одно из fШТОРЫХ
содс:ржится В
,а другое соде] 'жит
С)бъс:мыi и Y d этих
ступенчатых тел равны соответственно
n
и
LmT6.xi
JrLM/6.xi.
i=l
!с·видно.
нижш'"
с·
эти
i=l
выражс'НИЯ
пр! дстав.:Ш!:'Т
.l 2 (x).
Ы для Ф'ШЩffИ
интегрируеыа,
ных
с"
ню:
Т
со:юй
то
для
frO
ра:шость
ука:ан­
;азбие­
[а, Ь]
будет
ПОЛОJ!fитеЛЫЮf:'
Следовательно,
Поскольку
И
неfШТО] юго
сегыента
шс: данн:
вс:рхш,"
Так как эта фун щ !я
тело
предел
Е
мень
fИсла
кубируемо.
ука ;анных
суыы
ь
-а
а
х
;авен
J.l 2 (x)dx.
[о объс:м
т! ла
а
Е
' 0 +:ет
:ff,fTb
(11.31
3. Примеры
Ю
формуле
ВЫ'ЛН:Лf'ННС, объ­
емов.
Рис.
11.13
1О. Объем тела, полученного вра
шением вокруг оси ОХ астроиды
3
-
32
-ла
3
Of)cьelli тела, lЮ'ТУ'Т('ННОГО НРGlЩ('НИ('М вокруг ОL:И ОХ сину­
2'.
соиды на сегменте [О,л]. Имеем
7г
V
= 7r
.1
7г
si11 2 Х d.T =
7r
о
.1
_1_-::--_
о
Площадь ПОВf'j%ХНШ~ТИ врнщения. Рассы,
4.
fT] шы
пове] )х­
ность П, обраюванную вра! lением вокруг оси От графика функ­
ции У
- f(x)
заданной на
CCTM('llle [а, Ь] (рис. 1 . 4).ОпредеЛll
ПОЮiТие 'Х',иадрируемост'и поверхности вращенш: П. Пусть Т
-
ра:~биение сегыента [а, Ь] точкаыи а = хо < хl < ... <
= Ь. и
lYCTl. А о , А , ... А n - СООТl,С'l'СТВ'!"ШИС, то'!ки графика
цИИ ЛХ). Построиы лоыаную А о А 1 ... А n . При врашении этой
аной
оси
Ml.!
пол\тти:·
!хность П(А i )
составлен-
ную и:~ боковых поверхностей усеченных конусов. Обо:шачиы че
шощаДl. поверхности П(А i ). Если Yi а li - длина :~BeHa li-lА! ломаной
рсз
в точках
О]
Xi,
f(x)
,
то
n
P(Xi -~л L
ij.-l
+ ijz li -
7r
i=l
ОП] ,еделени:.
. Чuсло Р!Ш,!'j,i.nаеПUJl nре­
деЛ()А'
P(Xi
есл'u длл
даШlOго
Ао
nОЛО:JfC'UтелЪ1lO-
ii·O:JfCHO
'Ч,'Uсла
( 1.32)
i=l
!1глируеы сл( дующие
'jюбого
L(Yi-
1/'Х',азат;,
та-
'Х',ое nОЛО:JfC'Uте/!ъ'Ное 'Ч,'!fС/Ю 8, 'Ч,то
длл любого Р!i!б'Uеll'UJl Т !ег.foлеll­
та [а, Ь],
iiа'Х',С'uмалы-taл дл'u'На Д.
'ч,аст'u'ч,llыlx
!'j!!60
сегме'НтО6
8. 6ыnл'нлетслл
IP(Xi) - PI < Е.
'Х',оторого
'Не7Ю6, 'Н.
20. ПО6еli,[:'Ност;, 6JЮ'inе'Н'Uл
lШТЫ6!!ет,
'Х',6uдр'Uруе.АЮЙ, еuш
г"
CY'UJ/:Cm6Yi:m nl i еi i "л
P(Xi)' ПР'U ЭПЮ.Аt 'Ч,'uсло Р lШТЫ6и­
,'тсл nлощадыо !i!i6eli,[:H,icm'u П.
Докажеы
дение.
следующее утверж-
'и•.
11.14
i!Ze?! !U~.M
площадь
I
р = L.тr Лх)
ах.
(11.33)
а
д о к а з а т е л ь с т в о.
li звена A i - 1A i лома­
ной А о А 1 ... Ал равна J(Xi - Xi_l)2 + (Yi - Yi_l)2. По формуле
Лагранжа имеем Yi - Yi-1 = f
- J( Xi-1) = f!(~i)(Xi Полагая Xi = д,.Гi. пол\чим li = .,)1 + f'2(~i)д,Хi' ПОЭТОМУ,
согласно
Длина
(11.32),
л
i=l
П! рв!iЯ СУ'Ш\.f!i В пр iВОЙ части !!!!!ТНi}шения
!!!б!!й ИНТiтраЛi iУЮ
рая
'еУ фV iКЦИ
(11.34)
ПРi'дстаВiяет
2тrI(x)v1
Г2(х), ко1'о­
в силу условий утвержтения, интегрируема и имеет пре1l,ел
Ь
= 2тr
J Лх)
'м ЧТ!i
dx.
,Iражение
Ф тур-
а
еЫХ С !!!БК!iХ В
Р!iВiiЫЙ НУiЮ.
Ч!i!'1'И со!!'! се!!ТТТ!
iiУС'Л
ия
Е -
1
'с'1' ПРi
люб !е Пi! i!!iКИТi . 'ЛЬНОi
число. Так как ф' нюшя J(:r:) равномерно непрерывна на сеГJ\Iен1'е [а,
1'0 iютаННQгiУ Е
О М !iKHO УЮi,aiЪ 1'ае:!!е 5
О, [1'О iiрИ
Д,
(д, = шах д,Хi) выполню iтся неравенства
f(~i)
Е
у,
(~i)1
Е. Е! iи JvI !,iai i!:е.Ш:.i.чеiiие фУiiЮiИ
bl.
>
>
IYi-1 -
<
.,)1 + f'2(x)
на сегменте [а, Ь]
то для выражения в фигурных
скобках в правой части соотношения
получаем оценку
(11
n
{
I<
j
Г!ГС!) !\Х }
"_,'/
i
w
'/
i=l
л
2JvI
L д,Хi
i
В силу iiРОИЗ:ЮЛ:
i!:СТИ Е
>О
iiре1l,ел ус!а'
i;i'
=
2JvI(b
а
1
е!НО ВЫР:е !!,';
ия р:.е.­
вен Н'iЛЮ. Итак мы 1I,0казали существование претела Р пло! !.а-
ПР'д',.'л
[1'(1
ДОК i заШ 1
'ржДi
С
"а 'РИР'С'·"
ЮВСi'
но ДОiiа',ать при '10, ,ее сла,iых усювиях,
1f"H ,((.ия
была ОПi ,(,дсл,'н"
"р"
(остаточно потре' 'овать, что,iы
и интс, РИi "С,еа на сс,
по~
,о пре'щоложения вытеiiает инте,рируе:\юсть Фунющи
до,ю,ше,ше
1
к г".
'см.
,]а,'Ы1ейшие раССУii,деШj', пиче',
10).
пе о,',шчаю,'ся О'"
рассуЖ.'fениЙ, проведенных при ДОiiа',ательстве утверждения этого пункта.
3 а м е ч а н и е 2. ЕсiИ поверхность П по, ,учается посредством
В! ,"щс, шя вокруг ОiiИ Ох кривой L,
'! ,('дсл (('мой п,,"
""ри ((', кими УР"В[П1 j((ми ;с
-;(t) У 'Ф(t) а ( t ( ,В, "О 'Щ(,1 ,'ШI((',' замс,
еС: Ч'МСiiIIi ,1 1
под :знаком опре.'fе, ,енного инте,ра"а в форму, ,е 11.33), по, 'учим с,едую­
=
=
Щ(,1' ii!,1раii'С!!ИС дл(( площади Р этой
ЮВСР' ю,
з
р = 2т.
f
11.35)
Рассмотрим примеры вычисления площа
1о. На,';дем п,ющадь
п."
+
Ь2 = 1 вращ ,ст,
"округ ОiiИ Ох.
(враще,ше вокруг '10"
=
1Iir j(,л"
луч"й
>
,шой оси ЭЛ,iИпса). Так как в э,'ом с,у 'ае
V ~ Ь2 ,
!!. ';n 2 - х 2 , ТО, пол"г 'я е =
n
а
j(,ЙД, М
2
а-
-а
ЕсiИ а
поверхносте,', вращения.
поверхности э, iЛипсои еа вращения. Пусть ЭЛ, iИпс
-а
< Ь,
то. по, ,агая
и прово."Я соответствую "ие вычисле~
ния, по"учим
р = 2т.Ь (Ь + ~2 !
"Ь е
ln _1_ ) .
- е
. Найдем площа
Р ювер' юс' и, Оiiра:ювап юй враще,ше', вокруг
ос" О;с циклоид ,1, определяе', ой пар"', е"рическими ур ,в!!еп '((м j ;с = n(t= а(l
- sin 1),
р
=
2т.
cos t),
/
ф(t)у
§ 4.
r.pf2(t)
о
(
+,
t (
2т.. По форму, ,е
(t) ,lt =
~
(11.35)
имеем
2"
2у 2т.n
2
(1 -
ОБ
64 ..2
t) 3/' dt -_ -т.и
Некоторые физические приложения
ffrIIрf.:де,JIf . :ННОГffr
JIII'I.еграла
1. Масса
центр 'iScIЖf:СТИ IН:ОДIЮРffrДНОГffr C'IepjHIIScI.
РаССJ\ЮТРИМ нео1l,НОРОШЫЙ стержень, расположенный на сегмен-
линейн iЯ ffЛ(УГШ [(''Г! (''Гер}кн ,! 1)
ceri'eHTi'
Т(iЧi<а,iИ
Х})
(>СИ
им
на каждам частичнам
сегменте
n
тачК" ~i и саставим сумму
p(~i)1:::.ji Так как каждае
i=l
слагаемае этай суммы представляет саСюй приijлиженнае значе-
ние массы части стержня на сегменте
'(''Гес! }ieiiИa ffРИНi'i'Гi
[Xi-l' Xi],
за ffрибли
it>е
та } казанную
iiiчение
}iii('(Ъ1
всего. стержня. Сагласуясь с этими пре rваритеfЬНЫМИ рассуждi ниями, мы
,массу JvI 6сегn cmep:HCJ-tя 'Х:а'Х:
n
СЦ,м,м
2:= р((;
nри сmре,млеНШl 'х: нулю
1:::. =
1:::..z i ) m.
е.
ь
'Х:а'Х: 'UЮn~i рал
J р( Х)
Таким абразам,
а
ь
=
JХ
11.36)
dx.
а
Для (шре,Jl,еfения
iii'HTpii
тя)[(i ('ти не(лнаР(ЩН(}Г(i ст( ржня
,1
п(шь (,У'юj! 'fЛЯ i«ЮР,Jl,И!
B(iC,1
'(''ГИ ('и(''Ге)'
материа, fЬHЫX тачеК" имеющих массы mi и распо ю­
Ю}(}Р,Jl,ИНi,i,та Х с ll! HTpii тя­
жести системы {mi} мажет cыть наЙ,Jl,ена па фармуле
{mi(Xi)}
)[«'нных в таЧКiХ Х; (>си О;т. ИJ\.fенН!)
Х;
тl;Сl + т,;с, + ... + тn;с n
=
тl
... < Х n =
т2
...
'т n
2: mixi /2: mi.
=
n
n
i=l
i=l
(11.37)
pii (биение Т (егм( нта [а, Ь] т(}чк!iми а Ха
Xl < ...
mi части стержня, распалажен-
Ь И
)еее}' т>
(11.36)
тn;
Х"
J
Х d,T. Применяя фармую
(10.13) Cpe,Jl,Hera значения,
З;i-l
=
паю чим также, что. mi
p(~i)1:::.,Ti. Считая, что. масса mi сасреi ен;! T(i'
се f '; ент;! [Х; _ ,
,1 'юже,; расе;;! тривать
неаfНара,Jl,НЫЙ стержень как систему материальных тачек с мас­
('аi<.;И тn;, р i('П(}Л(i<;",
еых В Т(iЧi,;ах ",;
i=l
1)
ние
Ii:сли ":"т -
,ку
ь
Х"
2: тn ;
['Га [а) Ь]. Па('ко
р(х) d.z -
J
dx=M,
а
М;;СС;; ч;;сти
еа ССГ, ПIТ;' [;с ;с
+ 6;с
то отпош;'-
\т/ \х на';ывается средней лuнейной nлоrnносrnъю стержня на этом
сеГ\Iеп;е. Липейпой i,1О; ;ЮС; i,Ю р«) па (!,Ii;ае;ся предел р«)
l~r:;o ~7·
I.апаШI
'Го IЮ ф<чнуш
(;рди
;аты
·м
(1 .37) H;;f.;
ц;
397
IИI
.Ip
'Iиженн;;;
;жение
'IЛЯ ко-
;'Гр;;
(1 .3S)
f 5ыражение,
стоящее
(1 .38), fIpe1l,CT;;'
в
числите.Iе
хр(х) на сегменте [а, Ь].
;·УiК1I,ени;·;
HOP01l,HOrO
"';ы
правой
соБОff инт; гра.
части
соотношения
;ую су;·;у 11,
llии
соответствии с проведенными рас-
ре1l,еIИ;.;
ко(т';;'
;ату Х С це;
стержня по формуле
ь
J xp(x)d!
хс
.::.а:ь -_-
-
р(х)
(1 .39)
d!
а
2.
Рабо·ла
m·р;.о;;·щ;;;·'Гся
СИЛI.эI. ПЭ сть материальная точка
тОчки а о;';' Ох в т(;ч .;у Ь ;т;;й о;';'
ем си.ыI F, параллельной оси Ох. Ву ,ем считать, что эта сила
являет;·' фу;
Х, (;fIpe1l,e.IeHHoji н;;
;'Ге [а, Ь]. Пу('Г;
- разбиение сегмента [а, Ь] точками а = ха < Х1 < ... < х п =
= Ь. ВыбереJ\.f на кажюм частичном сегменте [Xi 1, :r:i] точку ~i и
т
бу'н
;илы
и'Гать пр;;б. Iиженн:
F(x
;а
;а·
р;;бо'Г;.I
m·р;
;(;Й
Ь
i
ясь С этими предваритеъными
рассуждениями,
А переменной (илы ;4'(х) на сегмент;
мы опре1l,е.ШМ
[а, Ь] к,к интегр;.;Л
ь
J FIX
(lх. Таким о;;разом
а
ь
А=
J
11.40)
F(x)dx.
а
ДОПОЛНЕНИЕ
ПРИМЕР НЕКВАДРИРУЕМОЙ ФИГУРЫ
трсугол .;;ик;;,
всршип.
которая
из ГР;;
;РИiН'гающи; К ;';'им
эдалс;;ы ';'очки Д ;эх его сторо;
;'орпr;;
.
Ра; мотрим по;
(iy;eT частью ;раницы неквадрируе;\IOi'; фигуры
производ ;';'ся
дву;
КрИВОЙ
L.
Это построение
;У;'с;; по;лсдова;·сл;.ш.r; 'далс;;и;~ ОПРСД;'лс ш;.r;; полу
;·;·Kp;.r-
;ЫХ ·;реУГО.;ыrиков И'; пеко;'ОРОГО даш юга ра;;по 'едре шого пря:\юуго.;ыюго
всршип.
Трi'УГО,1ьника
шачим Т[О,
,1ЮТОРЬf1'r
(рис
!,1Я у ю 1r 1"тва
!а,1ЬНi'1'!1!ШХ ра1ту:;,кдений мы обо­
Координаты вертттин этого треугольника равны (О, О),
1]
Опиш('м !'сп('р!, прm!('r
1,,)
треугольника Т[О,
1]
(1,1),
ЮС[('ДОI3"т('л ,!1ЫХ уд 1i[('ПИЙ из
определенных полуоткрытых треу; О,1ЬНЮЮВ
у
х
х
Рис.
.
Рис.
11.15
11.16
уд"л,r' !'ся полу !'!'кр!,г! !,ГЙ !"р( ,тол!,пик, одгр I3СРШИГ!ir ко 'орого и',
коорди!!а!!,г (1,1), а ше другие расположеш,г !а оси ПJ. Пло ",а
л,емого '!'реjТОЛЫГИК" раШ!ir 1/4. Получе!!I!irЯ I3 резу л ,'!'"те фигур"
Sl уда­
изобр,,­
жена на рис.
[1/2.1],
плошади
2.
11.16. Она состоит И1 !БУХ треУГ01ЬНЮЮВ
котор!,гх
треyr01ЬНЮЮВ Т[О,
шк,','м"
1/2] и
[1/2,1] удаляется по одно:ну треГ01Ь-
/8.
!лощ 1Д('Й ки!'ор!,гх р"в!!а
2
[0.1/2] и
Р"В!!Ы друг другу.
!ура и:зображена на рис.
Т[О,
Т[
Т[
11.17.
/2,
[[ол, '1('ш!а,
I3
Л!,'!'"Т(' фи­
Она состоит И:3 четырех треyrО,1ЬНЮЮВ:
T[3ji,
плошади котор!,г, ра!ш!,г друг
11,
друг
у
у
Рис.
3.
.1;
Рис.
.18
1(аж,'ЮГО ука:занного треугольника удаляется по одно:ну треУГО,1Ь-
шк,','м" SЗ !ЛОЩ"Д('Й ки!'орых
1/16. [lол, '1('ш!а,
рсзую,та!'с
фю ура и:зображена на рис. 1.18. Она состоит И:3 восьми треyrО,1ЬНИ юв:
Т[О,
/8]
Т[1/8,
1/1] Т[1/1, 3/8] T['i/8, 1/2] Т[1/2,5/8]
Т[5/8,
3/4],
Т[Зj1,7/8], Т[7/8,
1],
плошащ 1ЮТОРЫХ равны друг другу.
Из к"ждого указаш
нику. су:нма
S4
трсугою,!шка удаляст!
п,юшадей которых равна
1/32.
по одпо',
""",тол!,-
ПО,1ученная в ре ,ультате фи-
I.ОПО'IЮ
гура и:ЮIiраЖi'на на рис.
равно('! пло (а'Щ
Она состоит и:~ тттестна щати ТРi'угольников
11.1(4
Ка;.КДЬП'! и'( этих трег О.(ЬНИiюв }\]ы оIiuшачим симво.юм
0,1,
р
!"лыrсйш (Й
::с: ·i'ЙЩ м
!рm!.ссс (далс ШЯ трсугол .!ШКОii
L.
К ОПРСД('ЛС!ШЮ кривой
,ео
399
IИI
,.: ·ица!·ел!.ш.rе
цел!.rе
воряющие условию р
<
числа,
2 n ).
n -
(р И
Т:Н (тол!.пики
!сШ·р!.
люб!.ri'
удовле!'­
у
по. (ученные в
описанном вы((е процессе, оii.(а.·!дЮТ с(е-
дуюшим СВО('!ством: пусть Т [~,
"
.
р,
Т
ких,
?'1 +
2n '
2П'
+1
-два
.!шка
1
Рl
что
Тогда второй из
держи'!'СИ
дую (ее
1]
,акже сле-
очевидное своиство
~ 1]: при
ков
[;"
{Т
:nkk Pk
+1
0-
(ков
'е: ·вом.
}
k=
. 11. 9
треуго.(ьни-
--+ 00 их диаметры 1 стремятся к нулю. Пусть
('тЛ2'U6а'lOщаJU',я, СШ'тсма ;ПРСJj20Л ".'11'1(;06
1.
(это о:значает, что трего. (ЬНИi(. отвечаюши i инде!iСУ
шк. от i('Ч,JЮШИЙ ИПД('ксу
СТРС" И'(·СЯ К
k
+
'ри
К,(жд,(я (',(каи
00
k
k,
СО.'(ержит трего.(ь­
д (амстр'.] трсугол .(ШЮ("
(яг ша ощ,(яся ('''ст(·.ма ;ПРСJj20Л "·'11'1(;06
11мсст (Ю6J,О оду,у общун' ;nO"i'l(;y ).
в( i"юзможш.н·
(яг(шаю­
iiшеся систем'.r ука:заш '.rx '''.rше (·реугоЛ!.( шков. КР110УЮ L мы оnредеЛ11.'·
'l(;a'l(; MJ,O:JICeCm60 {JY} 6се60ЗМО:JICUЫХ то че '1(;. 'l(;а:JIC,ЮЛ 11З 'l(;OmO! ых пnеnста­
'(ллет со( Ой
mO'n;j, не('оторой стяг11 iПЮl1~ейсл С11сте.'·
'(('(занных
6ЫШС
тр· ',го !'Ы.
•... ',,;.•-•.. .• 6
Т _Р ?, + 1
2n
О(ме(ИJ', что мпожес('ВУ
трсуг, Ш
шина
.( ШЮ,"
ка;.КДОГО
('реугол .(шков
Т [ 2Рn ?У2+n
такого
Л:[
(кривой
L)
пр пrадлежа( iiершИi
'.]
всех
].
треУГО.(ЬНИi(а прина (.(е:;.кит
1'р 1]}
{ Т. [У'Р
2,,+k' ~
что 'острос( iПОС rp', и м
В смыс (е опре (е. (ения, данного в п.
стягивающеися
системе
1
системе {Т [1'Р
1'Р]} .
yn+k '2,,+k
'Oj((CCT'," {.JY} ЯШIИ" (·СЯ пр ост· ,й кр ("ой
1 § 1 этm" '.(авы. мы должны юка:зать.
стороны.
2) В г.(. 3 (с".
2 §
··'еrг(·ов имеет :Ю'iПО одпу
треугольников на
'. 'пrТОii
ко· ,рдИi
оси
(·очку.
ш. Ч'('О С('игиваюшаиси сис (·е·, а сег: lроецируи СТИl'ив,(юш( юся с (с (·е·,
(иеся системы
'ЫХ о(
(·ст ,i'ш
сег-
обшис ('очки
У!iа'(анных СТЯiивающихся систем сегментов на осях
и 0;./. '!итате.(ь
'-Н'гко уб('Д ('(·СЯ. '('('0 точка
к ,ОРДИiiа(' '··'и х и у
iiляст(
СДИi
('ВСi!IЮЙ
обш('Й ('очкой р,(сс"а('РИВ,(С" ой
(ягивающсй(
си' ('СУ'Ы ('Р( (тол .пиков.
!то все точ!ти мно;,ю ства Л:[ ОПРi'де,шются параj\Iетричес!тими уравнениями
;с
= -;(t)
У
~ t ~
=
[Та! мотр 'м ССГ ПIТ
л обыс
n
где -;(t) и ф(t)
оси
[0,11
!('п!'рица!'СЛЫI!,Н' цслыс ЧiН л!j
Р+1]2
,--
треугольник т
На рис
Лi 1 1
ГЛ
-'- -'- ;2:3
2:3
от !еч jют """ТТОЛЫIИКij Т!
13CC',
ссг, ПIтам
се! ,нентов з
ПСПРСРЫ13i!ЫС фупкт~ии 1)
I2!jЖДО'
erMCi!!y
Р
по' !'!j13ИМ
,
11, ГЩ' р и
13 COOT!i T'
!'СТ!ШС
Иiзображены се П\Iенты , jЮТОРЫМ
11,20
,Люб!j'" точка
егмс!
t
р!,
ист т М"I
Постави}\] в соответствие ЭТО,Т! ТОЧ1Те
!т,ю!ад-
1;
'?!k'+1]}
-- ---2n •
, {
!('кот, !рои ст !ГИ13!jЮЩТ'ЙСЯ
t общую точку Л:[ стяги'
1] }
?!.,-+
{ 1 [ -Pk- , -,Та1ТИМ обра'юм,
2n "
2n '
1] ста ш !'С" 13 СОii'!'13е!'С!'13ие Д13!j ЧИСЛ!j;r
вающейся системы треугольников
дому ЗII!r ,еп Ш]
2"'?!:
t из се,', 'еп!а
1Таж-
у
-
координаты точки Л:[, Сле~
О
11/4 7/8
1/8 1/4 3/8 1/<
I
!
!
1
t
I
довате"ьно,
~
х
и
як шют,
t,
СЯ фУПКЦ!1Т!ми паР!j
Уiiедимся, что эти фующии
Рис,
C!j',
ом деле, ПТСТ
ка сегмента
паР!j" "!'ра
t,
,S
[0,1]
-
,20
;с
любое д!] шое
и Л:[ -
ТОЧ1Та 1Триво,Т!
Из С! "ГИ13!jЮЩТ'ИСЯ
u
и у =
=
(t)
!рТ'-
Pbl13i!bl !а сегме !'!'е [0,1], В
положи !'ел ,! юе ч JСЛО, t - д!] iII!rЯ '!'очопре !е,шемая этим !значением
ИСТТ,М"I
,
" {
Т
Р.,
+1 }
2Р.
~
n•
!'рТ '.ТОЛЫI и K013 ,
определяю "их точку М, 13!,Iберем треугоЛi,!ШК, 'иаметр ко!'орого','еш,ще
рассмотр jмсе,','епт
щую М (а с,едовательно,
ШЯ\Ш
t
ПОЭ'i'Oму
1]
+
-Р.
- , Р!,
~
и
ИЗ Э'! ого ссг, ПIта, ра!
"",
,КОТ"Р',Iисодер'"
>се точки кривтТ ,
юл' !\,\с!
!,I
!'очку
U
L,
УК\jЗ\j шо',
t,
определяю-
опре,'iе,шемые 'шаче!\!,Iще !'рТ '.тол!,пикс, и
коор'! шаты о !',шчаю'!'ся о!' коордю !а!' !'очк
j Л:[ !е ,io"ee че', !а
!,I 13 УК\jЗ\j шой '!'очке,
2. Перейдем построению неjшадрируемо,'! фюуры Q, Рассмотрим jша­
драт Q, с!'оропа которого ра!ша 2, На ка,,\дой C!'op0i!e этого ю,а,'iра!а 10строи~ ра! шоБСДРСiiII! ,Н'
!ыс ТРСУГОЛi,!шки Т1 Т2 Тз, Т4
рс,ультате мы по"учим ква
со стороной 2V2 (рис, 11,21), Затем И!3 1Таждог о !'"кого трсугол ,! шка
!РОИЗ13СДТ'М уд"лс! шс
ЮiljОТКРЫТЫХ трсугоЛi'! ш­
ков так, ка1Т это описано вь""е, в п, 1, В ре"ультате мы по"учим фюуру Q,
НО Э'! о ОЗi!аЧ\jе!', ','!'О фупкции
-;(t)
и
(t)
пепрер!,ш!
о!раниченную !замкнутои 1Тривои, состоящей И!3 четырех кривых, jЮНГРУ­
энтных 4) кривой L (см, п, 1), Докажем, что полученная фигура Q неjша~
ОЧС13ид-
но И', построения кривтТ ,
) Отметим, что каждому та юму треугольнику отвечает то, ,ыю о !ин ceг~
мент [,~, Р + 1] ,
З)
люб 'я !'очк" ССГ', ПIта
-
тельное чис
10,
'о!да, очеви'шо, ТОЧ1Та
11
n -
любос ЦТ'ЛОС положи-
принадлежит некоторому сегменту
[; ,Р; 1] пр jЧС', ка"'Д!,IЙ !'"кой ссг, ПIТ, п!'13С ,ающий ПО" еру
n
+ 1, со­
держится в сегменте, которыи отвечает номеру
4) l\'Iножества А и В на!зываЮТСЯТi'он,гРjjэн,7ШiЫ,м,u, есш они могут быть
C013', ещс!!ы Д13ИЖПI "'М,
I.ОПО'IЮ
4UI
IИI
дрируема. Рассмотрим две сш "да.1ьные пос 11'доватl'. 1ЬНОСТИ МНОГОУГО.1Ь-
{2}
НИКОВ
и
},
}\IНОГОУГОЛЬНИКОВ,
псрвая из 1СОТОРЫХ
а
вторая
ВОКРУl""ПОiОУl'ОЛ "!ИЮ'"
ность
ПО.1учается
КО" Т1 , Т2 , Т
,е
9..
из
i'рС')ТОЛЫ!И­
треугольников,
в
; lоследо-
п.
ЮЛ'·iаеi·СЯП·"РСДi '·ВО··
}
Q
уд 1лепи',' из к садраi'
шmУОi·Крi.Ii '.!'
У·Й.шемых
И'1
треУГО.1ЬНИ­
Тз, Т4 на каждом четном ттта­
,
"ЧЩСССi1
. 1.
ОПИСi1 шого В
1.}ЧСВИДi
что люii01'i вписанный в фигуру
угол ."ик СОд"РЖИТi
гоугоЛi.' !Ике
Q
много­
Q
kaKOi'-П 1будi.···ПО­
,а. ,юбой о' исап iый "округ
фЮУрi.! (J M~;O' iШIi.ПИК соде;·'
iюiу
при-
полуоткрытых
У ii1л"еМi.!'
исаш юго
гс
; 10СЛС·ДОВi1ТС·Ю.­
Т4 па каiiСДОМ печеi iюм ша-
В1н·л.iЮi
ков
тоит ИЗ впис 1ННЫХ В
описанных
посредство:\]
соединения к ква',рату
ТрСУГОЛi.i!ИЮ НС,
и:~
м ЮГОУГО.1 .пик
шадей м'
iОЛЫ!ИКОВ
какой-
10э,'ОМУ
Q",.
!..1.",
р 1ве,
11.21
'ре.·,е.1 последо
UU:JICHeU
ДС'л ПОi лсд· н ""'СЛЫIOсти {В } iЛОЩi1ДС'Й М' юго, голы! 1КОВ
nло 1~aди Р фигуры Q. Лег со уiiедиться, что Qn = 4 +
_! k=!
f
#
Р
l).Поэ,оуЕ
1
liш
Qn=16j:,aP=
n--+OG
Докажем, что
"асmъ 1i:рШЮU
L,
Q
L',
Так как
Таким
имеет плоша ,ь. равную
О"lJaНU',еннп"
m,,'1,1i:aMU, и, "пря,МЛ.lu'ма. ДОКi1ЖС'М с"аЧi1ла, ч',"
имеет о '·.шчпую О',· пуля
ШИ1',
li~=i
что i'i1ЗПОСТЬ р-р =
о' ·ра:30М, ,раница рассматриваеМ01', фигуры
3.
2:
1
',)--+00
(J
Р. то
РС1ВС, 6'P:I;UCfi
_
1k-l' а Sn =
Qn
n
2.
lJaЗЛU"НЪf,-
"С1ка" '1а;
L'
кривой
L
i.ющадь, т. е .. 1юбоЙ м' ЮГОУГО.1i.Ш1К, покрьшаю­
имеет п.ющадь, больтттую не1СОТОРОГО по.ю:nп!те. 1ЬНОГО ЧИС1а. ЗамеL'
L" п,'ВС 111ЮЩУ'" точкам "'кот· нюго ССГ· п!та
'1"'0
1
.
одср 1С и','СЯ
ЮЛ, '1ПР п·" PCДi
'·ВО'·
УДi1iН пи'·'
1
"рС ,тольпикс Т
и
'·'0
1ССТ
из этого трсугол
по. ,уоткрытых треУ'0.1ЬНЮСОВ (см. п.
СЧИ"а"·'
'1"'0
сумс,а
ко" ме iьше
L
ii
S
i.ющади
1 настояще, о допо.
плошадсй вссх 'даЛЯСi'ЫХ ЮiIjОТКРЫТi.!х "'РС 'ТОЛi.пи-
ST
треугол "шка Т
имее,· плошаДi. равпу'"
- S
>
в
Р р+ 1
-. - - .
2""
2'"
§
1
Следо"а'·е.1ЬПО. час,ъ
этой ГЛi1Вi.! iрИ док 1Зi1тел .стве
ква ,рируемости фигуры, ограниченно! спрям.шеМ01', "РИВ01", мы до ,а 1а.ш.
'1"'0
плошаДi. СПРЯi'ЛЯСiЮЙ КРИВОЙ;·i1В,
пулю (! "·"мл"емую КРИВУ""·'ОiiСЮКРi.I"",'погоугою."ИЮiМ скою. угод,
Мi1ЛОЙ плошади). ПО ""0'·
Чi1СТЬ
L"
кривой
3аме
L,
а С1едовательно, и часть
L',
содержащая
а
е. Каж.йя и:з юстрое!!!!!.!' фу iКЦИЙ
ПРОUЗ60дuоuнu 6 oJiiOU mO'l,1i:e сегмеиmа
11.
L", неспрям. шема.
,(t) ф(t) не U.,i.eem
1) Эти форму.1Ы .1еГ1СО ПО.1УЧИТЬ, если учесть, что суммы плоша
тре-
УГОЮ"шюнс, удаляс'· ЫХ!Р "'чстш.!" Шi1Гi1Х проце' а, образуют геомстричс­
скую про,рессию 1.1/4, ... , а суммы п. ющадей треугольников, уда.шемых
са
С.!Х шага' проце'
а, -
ГСО'· ""ри "', KY'i' iРОГРСССИ'"
/2,; /8, ...
ГЛАВА
2
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ И ОПРЕ)1ЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
в этой г. }аве рассматриван)тся приближенные методы нахожия кор;
;!ЛГ!
';'ю;х
;1'; ,IX
1'р;;;
;ений
вычис}ения опре теленных интегра,юв.
л',иn.л,Гl,ГН"ЛП
1
МZ"ТZУДЕлЕ ВЕлЛ ,R.л,!слеллл,!,:>л корней
уравнений
В этом параграфе мы займемся приб.шженным вычис}ением
(;ТШiГО из Кi.iрнеЙ ур;шнения f(;r) = О, r,JJ,e
f(x) - ш'Юлорая
непрерывная или диффереюшр\емая ф\нюшя. Б;лем считать,
что
;тересующи
н;;;'
некотором сегменте
ляет;",; ;;нутр;
кор;
;ь
С Э1'ОГ!;
Ь], т. е.
ур;шнени;,;
И'юлиро;;;;;
;а
считать, что этот корень яв­
т(;ч;;;йсе} ;;ент;; [а,Ь],
СО,JJ,ер;+;ащ;т(; 'тругих
корней рассматриваемого уравнения. На практике обычно пу1'е;; грубоН f}РИi;И,JJ,;;И опр; 'ii'ЛЯЮТ р;;з;;'ры у;а';;;;
[С"' Ь]' .
1. Метод
«вилки». Н;;чнем с
J\Ii'TO,JJ,;;,
;;i!о се} ;;е;
кот;;рый част!; исш;,iЬ­
з; етсятля приб.шженного вычисления корней на современных
б. ,Ii'ТРО,JJ,ействующ ;х мат;
';'ких ;;;!ji!ИН;;Х.
f
=
Пусть интерес ii ;щий нас корень с уравнения (х
изоли­
pi.iBaH ;а не;;; ;т;;ро;' ;'; 'гм; ;1'е [а; Ь]. Of; ;;;сит; льно ;11УЮ;ЦИИ х
мы
;а
;р; 'тп!iЛ;;;+;И;;,;, 'Т;(; ;;Н;; Hef}pep;,I;iИ;,;, н;; се! ;;ент;
Щ;,;Х Э1'ОГ(; се}
; ;е;
шемтля краткости мы
з; ;а;
(;Y,JJ,eM
ия ра';н;
называть
,IX
;а ;;!В. В
«6IlЛ1ИIl»
f
[а;Ь] и
';'1'
'та,
всякий сег­
мент, на концах которого ((х) имеет значения разных знаков.
ПереЙ,JJ,е;'
;i!}ИС;; ию ;';;'1'O,JJ,;; (;тыс;;ани;,;
(х) = О, называемого .мгmодо.м ~6IlЛ'Х:Il».
1)
У}1а;;;
ия
• ;
этом може;' б;,г;т, испол;,зоп;; ;а ;;;,г;'ек;;юща" ИЗ физи ;еско;о со-
держания ';адачи допо,шите,;ьная ИНфОР:\Iация О распо,южении ;;орня.
ГИЙ
Г;ГJЧИСЛГ
4U3
f
ади (>nр;
сег("енг [(J"Ь
бун м
о,
о
ii(>n;шаi"
ггреДСi;iiiИГЪСЯ
два сл\чая; 1) значение ф\нюши в середине сегмента [(J" Ь равна
гю (
("ЛУЧ;i( ИС;ii"
Kapi;b ;айден), 2)
f(ie з;;а
чение не равна НУЮi ( В эта м сю чае адна из палавин сегмента
Ь] "";ВЛ""f("ГСЯ iiИJТ«iИ"
п;;.шi("'"
мы ;;б;;зн;;чи'('
] Оче
)
f
)>
ви[l,но" что Ла
< О,
о.
ceГMeHT~M Га . о J п~ступим
тачна так же, как с сегментам [а; Ь], т. е. разделим сегмент [al"
Пi;fЮЛ;;М.
РiУi(;л;+;аi"; аН;;Лi;fИ';Ю,Ii
тем иметь [l,Be вазмажнасти:
(;б;;РВi"ГСЯ
i;СЮ
[I,;";"Ю
таг;;,
мы бу-
аписанный выше праllесс
1)
фу; ;кци
;1'0.
В
некатарага из сегментав акажется равным НУЮi ( (в эта м случае
искамый карень наЙ[l,ен)· 2\шСю аписанный праllесс мажна пра­
'i(;.шкать неаграниченна,
мы mшУ'
("ТЯfивающvю("'"
сегментав-вилак [al, b1], [а2, Ь 2 ]
бага намера
11,
f
аn )
<
[а n , Ь n ],
(Ь n )
систi", 'У
прirчем [l,ЛЯfIа-
... ,
Указанная стягиванm~аяся
система сегментав имеет ашу
тачку С, к катарай схадит-
("я каж,'Т.аЯ из ш;с.ш'д;;ваТi'льнаi"теЙ а n } и {Ьn}ге[l,ствие
из теаремы
15). Дакажем, что. с и является искамым карнем,
т. е. f(c) = о. f(iС;«ШЫ<У ФУЮ<ЦИi"; f(x) f('ПРi'ры;;;;а В тачке с
та кажТ.аЯ из пас г e[l,aB ате, гьнастей {f а n )} и {Т(Ь n )} схаштся
к
с). На тапа из усювий
(ал)
О,
(Ь n )
О, В си,гу теаре­
f
мы
<
3.13
и З;;J\Ii,чания к этай
справедливы неравенства
р(;в;
;ые
искамага карня
,тге
.
f
с) ~
>
погучим, чт(; (лнавременна
Teapi'Mi
и
Р;;("("У<К[I,еНИi";
f
с)
О, т. е.
?
'таю г
(с)
;;JIГ;;РИТ
=
(;гыI;<аниi";;
За приближеннае значение этага карня мажна
взять тачку --+--, т. е. сере[l,ИНУ сегмента [а n , Ь n ]. Паскальку
;а
т(;чнаг(;
;а'
Ь-а
-2n- ,
та
ия кар ;я не б;;.ш
;а 2n + 1
.
;;ки
аписанный выше праllесс пас г e[l,aB ате, гьнагателения сегментав­
j'iИ""}ОК Пt}[}О"
Пt}':;]'i{'}.J1яе"[
,I'
"}ИТЬ ИС~«\'
кор;
[Ь С С "}юб()й
напере[l, за[l,аннай степеНЫi ( тачнасти. Так как аписанный праПРИiЮ[l,ИТ к
;(;faKpaT;;(p,iY ГЮiп(;ре;iИЮ nдноmunныlx вы
чисштельных апераций, ан асабенна удаСiентшя праве[l,ения вы­
;; iЩИХ математических машинах.
2. Ме'год каса'г,елы.IЫХ 1). l\lет;щ кас;тегьных ЯВ,fЯi,,'ТСЯ
ним из самых эффективных приСшиженных MeTa[l,aB вычисления
кар;
ур;;в;
ия f(x) = о.
чисгений на (iыстратейств,
Пусть искамый карень
;те
Ь].
выясняя пака уславий
=
уравнения
(х)
ап i("анию
<'(i'Ta[l,;;
иза,шраван на
К ;;"ат; ЛЬЮ,IХ
при катарых применим этат
MeTa[l,.
;е
на
[е
корня некоторо;
обозн;,]-
ЧffМ
ТОЧfiУ fрафfiЮ]
Т')ЧfiУ Во касат! [ьн'
к
в,)е при(imi [f<еЮiе ИСКОi [)} О f'i>рНЯ
эт,)й касатеm .ю>й с ОСЫ о ' О;т
1 .
чi р! з
fCCOjf :Tf)
нкции И fюзьмем
нрТ' )Чfi mР;СiЧif Ш)f
Далее ПР')RедеJ\.f касательную к
графику функции lерю TO'lKY В 1 с абсциссой Хl и возьмем за
втор')е Пj fiближение абст~исс' Х2 Т')Чfi
пересечеюfЯ эт,)j; fiacaтельной с осью
!Х. ПроюлжаЯijТОТ про [.есс неограниченно, мы
н>слеД')Rательносп Хо Х
Х п ...
fрибтi [f<еню .fX
ПОСТРОИ\i
зна'lений искомого корня.
В праКТИ'lеских ff.елях У1\обно получить рекуррентную фор­
мулу, выражаf4)Щ'
Х п + чере'; Х п . ДЛ)f ЭТifl О fюзьмем 'равне­
ние У - лх п ) = j'(Xn)(:I: - Х п ) касательной к графику ФУНЮfИИ
Т')Чfiе
ВЫЧfiСЛИ\i абст~ис-
су Х п + 1 точки пересечения с.пой
касател .ной
CjTOM
по.
с
ос!
ОХ.
ри
[)" lИМ
12.1
Форму. [а
a.---------~~~~----_o--~
i'i>PfiT\i
(12.1)
опре1\е fЯет ал-
мет')да
касателью
Таким образом, метод
тет
.ТХ
предстаlшяет
Рис.
fiTepaff;i
мет,щ
формулы
меТО1\
12.1
(12.1 .
пос fе1\овательных
БЛИ.ж:ениЙ
которые
СТjЮЯТС)f
IрИ
(или,
Нi\ЮЩfi
как
.IX.
каса-
собой
при­
говорят,
pefiyppeHTf
Нащей 1\альнейщей за1\а lей является обоснова
ние метода касателью.IX.
П.
,) м!
выясни оl усло
.IX послеДОllатет .ю>сть
зна'lений Х и, опреif.еляемых
мо\!'
КОРffЮ
С.
даДfi
от~еffЮ'
1),
П0!1)е [lНOc!
fi,
СХОiЩТСЯ К искот.
е.
о! fiлонеf
приближенного значения Х С ' от TO'lНOГO значения корня
3. Метод хорд. К ЧИСfУ щироко распространенных приб. fИ[f<еню .IX \lеТОДОIl решеf Ш)f 'рав! fеНИ)f
= О '>т! [с )СiТСЯ \le (од
XOpf..
Перей [ем к описанию
ПР;i
КОТОРЫХ о!
ijTOrO мето [а, не выясняя пока условий,
IРИ\lеНИil.
Так как касательная в точке Во пред"тавляет i'обой граф"к ;иффе+ую·.. llИИ у =
точке .Т;\. то
;;l)Ю'J\I i;тыск;;;;ия
первого пр ;бл"жения ,r1 о"нован на за,мене
ее дuфферени,uалом в
1
е"пиа
точке
,ro.
flНl llИЙ
чт,)
Лlf
1а се1 MeHTz
функции 1(7) на
ПfнБЛИЖzНИi
=
[0"
Ь]
Ш'iii)МОГ')
о
1! зо~
график]
м за ну, [евое
Ч1fСЛ') :1:0 1fЗ
KOPHif He1i')T'!POz
па
[d Ь] и обозна 1ИМ\О и В ТО'lКИ графика функции
70 и Ь
Р')RzДz\l чере'; точки А о и В!Нф1f 1Ш фРЮi
АоН и вс)зт,мем за первс)е приоли)кение ИСЮiМОГС) корня аОCff,ИС­
су
ТО'lКИ пересе'lения )пой хорды С осью
Далее
lр,теде\!
хорл.у
(см. рис.
12.2).
через
ТО'lКИ графика фУНЮfИИ
1 с
аБCff1fССОЙ х
и П. За втор')е
приближение возьмет абсцис~
су
Х2
точки
А1
')ТОТ
с
пересе'lения
xop~
,ю Ох. ПР')" шжая
процесс
неограниченно,
li)CTP )lfM
Пi)слеД')Rатель-
ностъ
Хl,
... , п,...
при
ближенных значений ИСКОJ'\1')ГО
корня.
В праКТИ'lеских т~елях удоб~
но
получить
выраж( 14 )ЩРЮ
че!е'; х п ·
Для
lР')ХОfЯ1
А Ао
рекуррентную
ЭТ
)10
! 2.2
хп+
"
1ЮЗ1
у
- f(x:;
у!а;нею,е ЛЬ)
через точки А п
_
Н;
n)
лх п ))
х:
- ,r n
-Ь---- xop~
(Ь)), и ВЫЧ1fС-
,тим абсциссу х n +l то 1КИ пересе 1ения i)ТОЙ хорды С осью Ох. При
хп +
ф !рмула
(1'
= ;Т п -
f(li)
(Ь
ОllредеЛifет аЛГi)fНТ\i
(12.2)
\leTO, Щ х !рД. Tai1fM i)б~
раз')м, мет,Д Х')РД представляет с,)б,)й метод итерат~ий, ю)т')­
рые строятся при помощи рекуррентной формулы
(12.2). Нашей
дальнеjrшей ';адачей ifRЛifется i)б')СНО1;aI;ие \1етода хорд.
В п.
ifCНlf
6
зна'lений
,\СШfR1f
lРИ
KOTOP1,TX
li)слеД')RатеЛ;,НОСТ1
n СХО1\ИТСЯ К искомому корню с, И1а1\ИМ оценку по~
грешНl)СТИ мет')да Хс )РД.
4. Мето;р итераций (последовательных приближе­
k4ИЙ). Из Ш . 2 и 3 ЯСf
что \1етоды 1iасатеЛЫ1ЫХ и хорд С1;Я~
заны об1 l,ей И1,еей построения после1\овательных приб.тюкениЙ
иско ,н)му
Эта 1fдея и ле 'l<'ИТ
')сно;е 'плагае\!i)lО в
настояшем пункте метода.
Этот \1етод
paCC\H)ТIH1
п!
1! MeHeНl!
х = Р(х).
'равне;
1fЮ
( 2.3)
2
i!iПU~.< !;'/-/'О!'
дем
:7 п
н;;.:з
.тват;
.
ч! р;з
F(:1: n - l ) а
к;;.~
выра.Ж:;;!··
;!п
зад;шия функции
слеДii~:~;~::о~~;i ~~од;;тся
.TX'~~:~:;:;;;~T?{~j)O~ c~~~~~
быть, ее !;лементы могут быть взяты за приб.!Иженные зна'lе~
ния!;того корня.
Спрat;еДЛИВii следую; ;ее·твер;;;дение.
YmBep:JICaeHue 1. Пусть Фун,'к:'И,ия Р(х) непрерывна на ceг~
.менте [а, Ь], и пусть все эле.менты итеl!а'ЦИОННО'Й nоследова~
тельности хо х ,... Х п ,'"
лежат на это.i;! сег.i;!енте. Тогда.
если эта последовательность сходится к некотОIЮМУ 'Числу С,
то !!казанное 'Чигло С является KOpHe.i;! уравнения
2.:\).
Д о к а з а т е
ь с т в О.Гак как после1\овательность {х п }
сход;;тся
С и все ее эле:;;е;
;ринадле;;;ат се; мент [а, Ь] то
и пре;ел С прина;лежит сегменту [а, Ь ] (см. сле1\ствие 2 из Teo~
ремы 3.13). По условию функт~ия Р(х) непрерывна в TO'lKe, и
поэто:;;; НiслеДi!Rательност; {Р(Х П - ) } сход;;тся
Р(с). Та;;;;м
образом, равенство х п = F(Хп-l) в пре;еле при 17, --+ сх) пере~
ХiЩ;;Т
ра;;енст;;о С = Р(с)
. е. С ;;вш;ется ;;с!рнем ура;;неНllЯ
(12.3). Доказанное утвеРЖ1\ение бу;ет существенно использова~
но нами в lП.
5
и
6
для оБОСНl!Rания меТiща касате.m,Нl,ТХ и Х'iрд.
Докюкем еще о;но утвеРЖ1\ение,
часто используемое 1\ЛЯ
приближенного вытисления корня уравнения
;;тера;;
;;0; ;Hii!;',
YmBep:JICaeHue
HeKOmOpO.i;!
пусть в
.менте [с
условию
-
Е, С
IF'(x)1
(12.3)
с ПОllЮ; iЬю
;;iслеДi!Rательнос;;;.
+ Е]
2.
Пусть
KOI!eHb Уl!авнения
-
12.3.,
и
СИМ.i;!етри'Чно.i;! относительно то'Чки С се г­
щюизвод'Jf,ая функ'Ции
~ СУ
<
удовлетвОI!яет
1. Тогда итера'И,ионная nоследователь~
, у которо'Йв КШ'iестве хо взято л'юбое
ност'ь :1:0,Xl, ... ,:1:;0""
'Число из се "мента [c-е;с+ЕI, сходится к ука:анно.МУ корн'!!; с.
Д
К а
а т е л ь с
Пре;;;де ;;се;о
;;лементы итерат~ионной после;овательности
указаННliМУ сегмент' [с - Е, С
+ Е].
в самом деле. ;То принадлежит
;;тому сегменту по условию. ПОCjтому;остаточно
ЧТii
;Т п -
пр;;надлеж;;т
прина;лежит. Для
ЭТii\;У
CjTOrO
cel':;;eHTY,
х п - С = р(х п - )
-
некоторая
TO'lKa,
что
и
;Т п
е:;;у
применим формулу Лагранжа к разно~
сти F(ХП-l -Р(с) и учтем, что Р(с)
г;е ~
прещоложив,
доказать,
=
с. х п
Р(с) = р;
=
(х п -
F(ХП-l . Полутим
- с),
ле.ж:ащая мелClУ xn-l И С
прина;лежащая сегменту
[1' -
Е,
+ Е].
Так как
IF'
(12.4)
['Нl llИЙ
1:1:
(12.
1::;;
11
<
У), поскольку о
(1'
(1
·1
1.
в свою о lере1\Ь полу lим
1 -
Не!)ю;еНСТi;О
4U7
С
'СТЮiаВЛИi;ает, ЧТС)
Иiiслед"
1Ш8J'l1ент х п раСПО.юж:ен к с ближе. Ч8J'l1 пре lЫ1\УЩИЙ
хп -
'j. [емент
,стало быть, так i,ai, Xn-l ПРiшадлеЖiiТ Cer\ieHTY [с
- [, с
и так как 'jTOT сегмент симметричен относительно точс. то
Х п ПРiшадлеЖiiТ этс)му Cei\ieHT\. ОстаетС)! Д н,а';ат!
lTO после1\овательность {Х п } схощтся К с. Поскольку неравен
+ []
CTi;O 12.5)
Сiiраведл:юlO для всех нс)меро;
n,
тс) с llil\Юi iЬЮ этогс)
неравенства получим
1 ::;; о:" 1:1:0 последнего неравенства О'lевищо,
Ут;ерждеШiе
доказано.
;;;·ем праКТИЧ;lСКЮ1 з;;м; Ч;;НИЯ
С.
го 1твеРЖ . ;.ешш. Пре.;пОЛОЖ
; ;тн
cl·
lTO
(12.7)
Хп
;сит;l ;ьш; Т
--+
с, ибо о:п
;. ;ью;
--+
что доказанш;­
что путе;;; пре. вар;;тельной пр;;ющки мы
;;";,
ус ановиш, ';то ю;теР;lСУЮЩИЙ ш;·с
У1il;В;;;lНИИ (12.3; изолир ;;йн ш;
некоторо;,; ;'ег;,;енте [а, [,], на которо;,; проишодная Ф.'нкц;ш F(;r;; ,Довле­
ТВОР;;;'т ус;овию
IF'(!)I ~ а < 1.
Так как ;;ег;,;ент [а. Ь]
носите;ьно
вообще говоря, не J!ВЛJ!еmСJ! CUM.Mempu"tHblM от-
иском;;г;;
то,
ес
выбрать н,левое приближеш;е Ха.
чт ;(iы М;.;жш; бы
';0
выше утверждение
;iы в;;у l'и с;'Гме;;т;;
;'стве ;но,
те;,;
ПРИМ;'нить доказанн ;..
;'им;,;етр;;чных
[а,2;
-
а] иш
относ;;тельно
[2; -
Ь, Ь] (рис.
'J{;O.M прuнадле:JICum сег.менmу
С
;.:; lllР;;С
о
том,
ю;;··.
а~Ь
Замет ;;";, что Г.;е
Ь] ;;и ;;ахо.ШЛС;; ис-
комый корень с. хотя бы ОД;;Н и; дву;;
;.:; ;знию;·е
2с-ь
а
с
0------0----0--
Ь
;'ег;,;ентов
че;
Ь]. Поэто-
12.3)
! (.3
... у >;отя ;iы одш; из ТОЧ;'к а или Ь Пl'ИШ; ;ежит сим;,;ет ,;;чн; .... V относ;;
тельно корня с сег;,;ент, всюд, на котором iF'(x)1
< Ст~ло быть,
по ;"'1 ;;йней
о.;ну из TO·;;lK а или Ь
со; ласно до;·..азаш;; ;му ;';Ы1l'"
утверждеНИli1
выбрать;а ;[0. Конкретно
выбрать т' и; ;вух
ТОЧ;'к
или Ь, дл>; ко ; ;1ЮЙ приБЛИЖ;'НЮ1
;;·1
c;TMe;lI;l· [а,Ь].
На практике
lаще всего встре'lается слу lай, КОГ1\а ПРОИЗВОl­
ная Р'(х) имеет на сегменте
/!] Оiiределенный знак. Если эт;)т
знак положителен, то из формулы (12.4 сле1\ует, lTO после1\О­
вательность {;Т п } монс)тсшна. Этот случай п!нвсщит
так на­
зываемой ступе?; ';ато'Й диагра.м,м,е, изображенной на рис.
12.4.
ЕСШi >i<e ПРС);;';всщная Р;(х) ;iТI)Ит~ательна на сеГ\fе;пе
,то из
той л;:е форму.fЫ (12.4) вишо, что любые 1\ва после1\овательных
,шемента х п 1 И х п лежат по разные стороны от корня с. Этот
2
у=; (х)
о
Рис.
Рис.
12.4
12.5
ПjНВ'ЩИТ К так fатьшаеА1А,АА сnиралеО(Аразноi! диаграмлt,е.
изображенной на рис. 12. А.
З а
е ч а н и е.
fлает В' )прос 1,)б 1щеНfле
решш)сти
тощ итераций, т. е. об оценке отклонения n-го приб.ти.ж:ения х n
ОТ точн
)fo 'тначешfЯ КОРШf С. И'т
2.7) непосредствеf
но вытекает с fе1\ующая oт~eHKa:
1:1:11 Гf,е СУ
-
ше,
~ суn(ь-
то 'шая вер ,;няя грань Фуню f,ИИ
на котор,)м fПОШ!РОf1af
вощая
il
I'(x)
X11 -1
(х) на сегменте [а, Ь],
раСС\fаТРИf1ае\fыjr коре;
отрицательна на сегменте а, Ь
и Х"
лежат по разные стороны
, то
"
Есш! ПРОf!З­
как указано вы­
от корня С,
и ПОCjтому
спраf1едш!ва слеДу, 11 щая 1щеНfла:
I;T
Есш!
>f<e
cl
11
~
Ix n -
Х n -l1·
в рассма; lнваеМОА1 сл\чае f{'тяп
'та пр fбш!
>f<eHHoe
'тна­
lение корня полусумму 1\ВУХ послеювательных приб.тил::ениЙ
ж
х'n
то получим сле lУЮf
fУЮ
=
oll,eHKY
l' *п - 1./
'т
С::::::
+An-l
погрешности:
I·T n
-
.Tn-ll
.
5. Общ:<шшанИ4' метода к<:ъс<:ът\',гхьных.
1о. Рассмотрим сначала случай, КОГ1\а искомый корень урав­
нешfЯ I(x) = о ИЗ')'лИР'fRан на неlЛ')Т'ipО\f Cel'\feHTe [а, Ь], на
ром фУНЮ1,ИЯ f(x) ИJ\1еет не обтю'Щанnчу'юс,я 6 нуль nel!6YHi nро­
И360дНijЮ и ограниченную 6mОр!jЮ nРОИ360дНijЮ. Докаже А1 что
'iTOM
СЛУ'lае наl'mется такаЯlOстаточно маllая окрестность кор­
ня С, что если нулевое приближение Ха ле.Ж:ИТ в 'iТОЙ окрест-
[;Нl llИЙ
,НОСТ1 {:1: п} о 1р*ЩЛ
)ДИТ i "
К
за\iети*'
-
корню
4Ш
feMaif р;КУРР;н; ной
с,
чт() YP;'1;HeНi1e
Р(!),
(12У)
имеет на
l:erMeHT8 [о" Ь] т()льк() один корень с, (;()впадающттт':'т (;
корнем уравнения
По;тому вместо уравнения (х) = о
M1,1 будем решать урarшение (12.8). Для эт()го. взяв некотор()е Хо,
1
1
построим итерационную послеювательностъ
Х п +l = р(х п ) = Х 11
iамеТИJ\I. lTO рекуррентная формула
ет с pel<yppeHTf
*1 *iР\iУШi1; 2.1).
( 2.9)
(12.9)
в точности совпаl,а-
Чтобы 1\оказать СХО1\ИМОСТЪ итерат~ионной последовательно­
сти {х п }
[;CKO;liiMY
с. достат()чно доказаТ1" что в Heii ;-
торой Е -окрестности корня с произвошая р' (х) .)'l,овлетворяет
усло[;!!
IF* 1 ~ СУ
1, и [!'iЯТ1 хо Уiiа'iarШ()l; -- ii!l>еСТf[i)СТИ
(см. утвеРЖ1\ение 2 из п. 4). В силу требований, налО)кенных
на
[кт~[;ю
, наЙД'[Cif ПОЛО>l<итею,ные ч[;сла 1n N такие.
<
lTO
ВСЮ1\У на сегменте 0" Ь
11'(х
1
выполняются неравенства
>
11"(:1:)1
1
~ N.
12.
Поско, [ьку
Р'( ;Т
f'
т() [;з
)
[еравенств
1-
[1'(;[;)]2 - f(;[;)!"(;[;'
[1' (;)]2
2.10:
[;ы[еiает слеДУ;i'щая oт~ef[Ka:
IF*(x)1 ~
Из не11рерыRf [)сти
f(x)!,,(x)
[f! '>]2 ,
If(;)IN
ФУНii 1"
1
вытекает,
1)
чт() в
Е-окрестности корня с ';та функт~ия Уl,овлетворяет неравенству
lJ(x)1 ~
де СУ -
12.12)
Ф [iiСИР(iRанное число из интервала О
ставляя неравенства
Yiia'iaНi
.,
rr;; СУ,
(12.11)
реСТНiiСТИ
и
(12.12),
<
СУ
J\IЫ полу lИМ,
<
1.
СОШi­
lTO ВСЮ1\У в
;СliрНЯ
Cy)1
~ о:
1.
[ем самым с Ш1\ИМОСТЪ после1\овательности
(12.
к корню
1\0-
казана.
1) Эти неравенства вытекают И; того. что ПрОИ!БО, ;,ная
и не обl'ащается в н' ль на l'ассматриваемо;,; "е; ;,,;енте.
l' (cr)
непрерывна
2
3
а м е ч а н и
,Т Д н{а:;],Лff СХОДffМОСП послеДОf;атею
ност!' {Х п } К КОРffЮ С Л fШЬ Прf' 'СЛ'fRИИ, чт,) НУЮf;О; Пlнближ;­
ние
л; жит В1О;таточно l\Ш,1ОЙ [-окр;стности корня
Вы()ор
1)ез труда осуще;Тf;ЛЯ;
на (>.fRР;\;;fш,)f; бfКТР')-
H'ff<H )fO ;;0
1\ей;твующ;й Cjлектронно-вычис.тит;льноЙ м;].шине при ПОМОЩИ
неСf')Лf
ffX
а м е
3
fр,)б,
а н и е
ния корня
2. ()т~еним отклонение приближеннс;го знатrе-
от то'шого зна'lения с.
CjТОЙ целью разложим
fКТ~ИЮ
Тейл та с остат,)ч-
Н JM ;леном Е форме
+ 2" f ,,(,)
;,
[то
f(c)
- Х п )2 .
агранжа:
П олагая
(Х п )
ф opMYfe
..
.,;тои
. ~
в
+
Х
(Х - Х п )
+
с и учитывая,
= О, БУlем иметь
0=
(Х п )
+
(с
-
+
Вычитая из после1\ней формулы формулу лх п )
f'(xn)(x 1 н Х 11 ) = О, которая [;ыте {ает из ре {У1рент!
о CO')Tff )шеffЮf
(12.9),
полутим
Х п +l
Отсюда. ffСПОЮ,З'Я
-
l!"Ш
-fl(. п
с
;г
fРИЮfТf,те
(Х 11
lllе l.iб,):начен fЯ
2.10),
ПРffде;;
к сле1\ующему неравенству:
-N
2тn
ПОС;fе1\овате.fЬНО применяя
1Х п
-с
12 .
CjTY Off,eHKY 1\ fЯ
17,
= 0,1,2, ... , полу­
lим С fе1\УЮЩУЮ оценку:
IXuH 2' .
cl ~ ( 2тn
N)n
Ix;) _
Дадим ;iб )сно;ание мет')да касател ,н ,ТХ при нескол ,ко
иных пре1\поло.ж:ения
.'сть НСfi;iМЫЙ 1i;1Тfень С УР(1);неюfЯ
=
О нзол fl1О);(1)
на
сегменте [а, Ь], на котором ЛХ) имеет ,MoHomOJf/HYHf nеl6УЮ nро­
U360д'Н!jЮ, СОJра'Н,я,ЮЩ!jЮ оnределе'Н'Ный 3'НШК:. Эта )Р') ПЕ')Дf fая
обязате.ЪНО непрерывна, ибо она не может иметь то [ек разрыва
перЕ
))0
рода. а мон,)т,шнаif ФУЮШffЯ дру)
ffX т,)че;{ раЗР;,ТЕа [е
\feeT.
Ради О;lределеНЮiСТИ предполо.Ж:ИМ. что ПJ1ОИЗ)1Одная 'Н ' ;;бъt-
6аеm u nОЛО.жшnелъ'На на сегменте [а; Ь]. Дока.ж:ем, [то итераff,И­
ОНffая l;iслеД'fRатеЛЬНОСfЪ {х п }, котор')Н ХО = Ь, а ;Т п + опреде­
ляется lерез х п С ПОМ')Щ;
,т (12.9), сх')дится к корню с.
!':сли для не;{')Т')I1ОГ')
HO\lepa
17, окажеТCif, чт,) х п
=
с, где с
-
ИСКОМЫЙ корень, то j(x 1 , = f(c) =
и из ФОРМУЛЫ (12.9) полу­
lИМ, что И Х п +l =. ПРОlолжая аналоги'шые раССУЖ1\ения, мы
f;Ю llИЙ
последо;ате.m ,Ш)
эт,)м
('Л' чае
;rок;ж;'
;;т;рац;о;
чт,)
;ая
;;п+2
-
41
;;п+;
в
{:! п}
последо;;ате.m
(ход ;тся к
и; комому корню
Т;';;рь док]ж;'
Иf)
;;,М
;lНдy;;ц;;
чт,)
Ь, тnп ;;п
;;п
1 У1} ;н.//"n;нор-Я,етn СОО'ПI/llОUU~-
;;м
~ :7 п +1 ~;n ~
ОТСЮ1\а БУ1\ет слеювать, что все Х п прина1\ле)кат сегменту
[с,
;;б,) ха
Ь ПРИf;адле;;<ит эт,)му се! менту), а также т,)т
=
факт, что после1\овательность {Х п } является невозрастающей и
ПОТО;j'
СХ')D)fщеЙся.
сил'
';вер;;<деНИ;f
из п.
4
сх'щи; ;)сть
после1\овательности {Х n и принадлеж:ность всех ее Cjлементов
се; ;;енТ' [с, Ь] (а пото;" И сег\;енту [о, ) завер llает д'н;а';ате.m
ство СХО1\ИМОСТИ Cjтой после1\овательности к ИСКОl\ЮМУ корню с.
остается;оказать.
<
шеf ш;fм с
Хп ~
то Х П +
~ Х n +1 ~ Х U '
<
:1:"
что если
У1\овлетворяет
Т);да из
Пуст; с
Х 11 ~
лс) = О, получ;;
соотно-
уд' IRлетв, Ю;fет со,)тн,)шеНИ;f
с ~
2.9)
_ f(;r;n) - f(c)
Х n - Х u +1 -
j."..........
, "'n
Применяя к вырюкению, стоящему в
би.
Лагран)ка. полу' lИМ
Хп
-
Хп
1 =
(Х n
•
шслителе после1\ней 1\РО-
с) г~;~)
-
,
< ~n < Х п . с;;лу тог,), чт,) пр,)"·;в'щная
убывает и полшкительна." 1\робь fj'((~n )) положительна
'-'
(х) не
де с
:Г
ВОСХО1\ИТ е шницы. т. е. О ~ Х п - Х п
3 а м е ч а н
не
;;ает
lая: 1
3.
1 - Х"
М;
н;л;)ж;;тельна на
l'
[0"
Ь].
и не пр е-
Хп 1 ~ Хп '
когда Г'(Х)
е; ;е тр;; сл\-
не возрастает и отрит~ательна на [о"Ь]: 2)
в,)зрастает
и поло +;.ителы;а
ff.ательна на
В
е
n
[0"
;а
Ь].
; 3) Г
j'
не' бьшает и о;
не
1)11-
из Э; ;;х трех случае;; ;)б')сно;а; ше ;;етода касатель-
ных ПРОВО1.Ится в полной аналогии со случаем, рассмотренным
выше.
{},
;;ети;; ЛИll'
что В сл\чае
следует вз;fть ·;начеш;е ха =
Ь, а
за нулев,)е приб.m; ;l<еш;е
случа;fХ
3) -
Зf;ачение
:1:0 = 0,. Это обеспечит прина1Лежностъ всех членов итера f.ИОН­
ной послеДОI;ате.m,ш)сти {х п } celMeHT·
сх;щи; ;)сть этой
после1\овательности к искомому корню с.
3
а м е ч а н и е
4.
Укаже;; ;щеш;у от;;лонеfШ;f n-г,) приб.m;­
)кения Х" от TO'lНOГO зна'lения корня с (при сформулированных
в
CjTOM
пункте пре1\полшкениях
2
pff
/)
ВЫ!
fжа, б' де/ 1
фор!\лу
Отсюда по, f\ч fМ
[ующую оц! нку
(1
тn
миним;'1льно! знаЧiНИi
]' (:г) I на сегмент! [а, Ь] Форму-
ла (12.13) позволяет Оff,енить отклонение х п ОТ то шого значения
1!1iрНЯ с че!е'; значеfше МОДУЛif задаю
фую/
у
(х)
=
то'[ке
6,
!lетода Х4врд, ПреДПОЛО>f i
=
корень
уравнения] (х
те [а, Ь]
на ЮiТ' TOJ\.f Фунюсия
что ИСКОi 1
изолирован на некотором сегмен­
имееТЛfо1-tоmо1-t1-t!jЮ nерв!jЮ
nроuзвод1-t!jЮ, COJpa1-t,яющую nогто,я1-t1-tый 31-tШК.
iшределен­
ности БУfем ститатъ, что ,па ПРОИЗВО1\ная не убывает и по, юж:и­
тельна на сегменте
х=Р(х,
/feeT
[0,7>].
Заметим,
где
Р(;т)=х
на сеГ\fеfпе [о,
[тс) 'равнение
(1: -
х:)Лх)
!1Ь)
- !1/)
1)
(12. 4)
только ОДfШ KopeffЬ с, СОf;пада;i1ЩИЙ С
корнем уравнения ]
По;тому вместо уравнения ] (х) = о
м! будем решать у!а;неЮfе (1'
4). ДЛЯ ЭТ )fO, ВЗifR Ха = а,
построим итерат~ионную последовательность
= х' _ (Ь
Xn+l =
..
I(Ь)
iаметим. [то рекуррентная формула
дает с рек'ррентной
(1
Дока,ж:ем,
Xn )f(X: n
- {! ;n
(12.15)
[то послеювательность
хп
12.15)
'
в то шости совпа-
С Ш1\ИТСЯ К искомому
К тю i1 с.
=
Если 1\ЛЯ некоторого номера 17. окажется, [то х п
ffСf/i)/fЫЙ ;/;тень, тс)
(х п ) =
(с) = О
из фор/!\лы
J
лутим, что И Х П
м!
с, Г1\е
2.15)
по­
1 = С. ПРО1\о,тж:ая аналоги'шые раССУЖ1\ения,
Пi)слеДiiRательно
докаже/
1
что
и
Х п +2
=
Х п +3
=
... =
с,
т. е. итерат~ионная послеювательностъ {х п } сходится к искомо­
му корню
теперf пi) индукт~ии, чтi) еглu х п i!довлетвор,яет
соот1-tоu,е1-tu,я.м а ~ х п
С, то х п 1 удовлетвОI ,яет соот1-tоше
1-tu,ям а ~ х п ~ Xn+l ~ с.
Отсющ И из ТОГО. [то xf!
= а. бу!ет сле1\оватъ, [то все х п при­
надлежат сегмент' [а, с] (и тем бiлее сегмент' [0,7>]) и [тс) по­
сле !Овательностъ {х п } является неубывающей (а потому и СхО­
ДЯf
!рI
;;Ы СЧИ
ai'M,
что Р(Ь
f(!; )
= Ь- Г(Ь)
непuерывна на в"е;;; ;'е; ;,,;енте [а,Ь],
,
;а фУiiКЦИЯ
f;Ю llИЙ
4
fIЗ
<ХОДiI ;1Ост;;
эт,) '::1 i;ершит дока';ат;л
П f1Л; Д тат; льност;;
iIт;;рац Юi
{:! п}
,CTi;O
;;;;jY
киско;;
корню С
Ит;,]к
ю ;аз;]
<
~ Х 11
ш;; ffИifМ
~ :7;+1 ~
<
Пусть а( Х п
I (с)
= О, ПОЛУЧjI
Хп
Х;;
1 -
П!jIмеНЯ1f
jb.
С, т,) ;;;п+
= -
:1:;,
что
с. Из соотношения
!Ь ЛЬ
!Ь
if(b)
выражеf
в jшадра; н
ifM
У1\ОВ, fетворя;;'
УЦfRЛ;; IВ )Шfет ;:0; )т!
-
(l2.E),
j )ш;; ffИ
соотно-
[м :7 п ~
учитывая, что
,n)[лс)
f(c)]
,jX Cj;
- f(;;n)]
[!(c)-f(x;n)]'
)бках те тему Ла-
гранжа, полу ТИМ
Хп
rje
X
i '
1-
< ~;; < с, с < ~1;
ПОЛО\i;ите.m ;;>сти
<
12.1(;)
(с-
(Ь
n -
Ь, так что
jP') пв'щf
*
В силу неубывания
Г'(Х) ;;;;>жно заmIсаТj
что О
<
Г(~n) ~ Г(~~)· ОТС;iща слецует, что др,)бь в прав,)]f част;,
(12.1(;) пололсительна и, кроме того, не преВОСХО1\ИТ еiИНИТ~Ы
(ибо (!>
с) (~~) + (с - Х п ) (~n) ~ [(Ь
с) + (с
xn)]I'(~n)
(Ь - :1:" )f' (п) . Стало быть. О ~ :1:;;+1 - Х п ~
- Х п , т. е.
Х" ~ Х;;+l ~
а м е
а н и е 1. Мы
{;ает Н j,Ш,)Жjjтельна на [а, Ь].
не
lая:
lай, КОГ1\а
,т еще
1 f'(x) не возрастает и отрицате,ъна на [а,Ь]: 2) f'
{;ает И
ja ja
(х) не
в"т;растает и ПОЛО\j;ите.m
цательна на а, Ь
TpjI
f'(x)
не
о!
pjj-
.
сл;чая ана.Л: )ijIЧЮ
расс ,;;>тре! Ш')МУ выше.
сл;чае
уравнение f(.r) = О, так же как и выше. заменяется уравне­
нием (12.14) и
качестве нулев,)го приближения берется Ха
а
(при ';том после1\овательность
таклее оказывается неубы­
ваiiiщеЙ). В случаifХ 2)
3) урюшеЮjе (х) = О заменяеТCif не
уравнением (12.14 , а уравнением
1
де
р!
;Х
_
-
х
_
(а
- x;)nr)
f(a
f(x)
И В Ka'leCTBe ну, [евого приблилеения берется точка Ха = Ь (при
эт')м j;;>след,татею ,носу {х п } ;;жазьшается нев')зраста;i" jей j.
3
а м е ч а н
е
та лее самая oт~eHKa
MeTO'j,a
"yj;a +,e\j, что для ;;jет'ща Х тд СjjравеДЛИi;а
(12.13) отклонения Х;; от корня с, lTO И для
касательных.
и(
в
if()
iШМ()И~
cie
Пс)(Н! ре
i(}ши
мет))
тел
сти
ПРlЛПОЛ(»i{ИМс
убыв ЧТ
I
I
I
I
I
______-7~--~~~--_&----lb
if()ЛОЖН'!С
на сегменте lu, ь j (рис. l:г.6).
Опре[l;е,iИМ Х1 по MeToiiT Kaca~
теЛЫiЫХ
.
ВЗЯi; за нулеiюе
ближение точку
го определнм
то
хор
X:,i
но
iiPH-
После это~
прнмеюiЯ ме­
не
к
сегменту
, а к сегменту [а, {1]. дa:~
А
[ее,
определнм
KacaTeiЬHЫx,
Рис. 12.6
Хз
iЮ
ИСхО iЯ
\iетодс
из
:р:ке
найденного Х1, а Х4 iЮ \iетодс
хор
применяя его к сегменту
[Х2с ХЗ], Указанный процесс иллюстрируется на рис.
12.6.
Преим.)'i (ества комбинированного MeTo[l;a состоят в слеii.ТЮ~
щем: BO~llepBblX. он дает более
сходи\юсть. 'ieM метод
хорд, и, BO~BTOPЫX поскольку пос[едоватеiЬные приБЛИii{ения
Хn
Х n + iшмБИНИРОi;анного \iетода с разных сторон прнб.ш~
ii{аются к корню, то разность
1 [дет оненку погрешно~
стн эт()го \iетода. Ес
за
шже jjюе зна'iение iШРНii взяг
Ix n
X~
=
§ 2.
Xnl
:Сn +;Cn+l, то Д iЯ погрешн,)сти получим оценку
Приближенные методы вычисления определенных
ИНТziГ'l*алов
1.
Вводнхн ! замечаНI'ТЧ Прн решен
ряда акту ал сных фи~
:~ических и технических :~ac iДЧ встречаются опреде. [енные инте
гралы ()т функций, пеРi;,.юбразные которых не 6ыражшюrnся "{е­
рез эле.Ntенrnарныe функ/и/ии.
KpO\ie TOf'O. в iiрнложеННiХ прнхо­
дится иметь де.Ю с опреii.еленными инте~ра [ами, сами nодъt'l-Шjе~
гралъныe ФУН1\,i!iии 1\,Ornnpf,fX не Я;fЛЯЮrnся эле.Ntенrnарныl'и•. Это
ПРИВО,iЛТ к неоБХОiiЛМОСТИ раfработки приб.шженных MeTo[l;oB
Rii,'шслеНli;' Оllреде.[енных [штегралов 1 .
В этом параграфе мы по шакомимся с тремя наиболее упо~
требитель iblMH прнб.шжен ымн \iетодюсш вычислеНli;' опреде-
1) Заметим. что приближенными методами часто пользуются и для ин­
тегралов. выражающихся через элементарные функции.
lШТЕГГ
lbI<
llНЛТРilЛ.;В: .Ntern, ·Y)O.Nt пр.я.Nt, ·уго/.
методом
Ос новна:!
(.Р:! э; их ,нто юв
теiРilJЕН,iЙ ф' Нi,T~H
,.!U!;;!':·'''',
. ;ilключаетг
.NtemOUOM rnрп.­
В
по,l.blН-
пр нт'iй iipИJЮ[I;Ы
f(x)
многоч.ш:ном, СОВПil
П;ЧКl'. для уяс-
нения этой и l.еи рассмотрим при малых
интеграл
11
J
f(x) (lx.
-fL
пре[l;стаВ.ШЮl ШЙ собой ПЛОl l.а,Ъ узкой КРИВО.;инеЙноЙ трапе-
ши,
;ежащей iЮД i'рафшшм ФУНКiiИИ у
(рис. 12.7).
фУНКШf!' лх)
iЮi'оч;еном
на сеi'мею е
f(x)
Н'
;евого
пор [дка,
а
h
именно константой ЛО). При этом интегра.
J лх) (l.r
прибли-
женно замеН;ПС:l nлощадъю nр.я.Nюу.;олъ1-tuк;а, заштрнхованного
на рис. 12.8. НИ:l<е мы покажем, что при определенных требо­
ваниях на
f(x)
ошнбка, со;ершае.iа:l iipИ такой замене, нмее!
у
-h
у
О
Рис.
h
х
Рис.
12.7
iЮРЯДОК h 3 .
у
12.8
амен 1М, далее. фУНКШf!i f(x)
го порядка, а именно линейной Функт~ией у
с
f(x)
в ТОЧi:ах
-h
h.
Рис.
12.9
НOiо'ше юм
- kx
+
iiepBo-
совпада­
h
J f(x) dx
-fL
приближенно :~аменится nлО'{!!,ады{! пр:: 1fОЛU1-tfu1-tоu трап! i!,UU,
заШТРИХОliаННiiЙ на рис.
12.9.
деленных требованиях на
НИ:l<е мы шжа:l<ем, что при опре­
f (х)
ошибка, совершаемая при такой
Н;I·Ю)l'"
многочленом втор )го П 1 )РЯ[l;К 1, Т
+
f (:г)
совп \Дающей
паР;lб.)Лl)Й
точ <ах
lJ, О И
11"
'том
h
у
f(x!
(lх
fL
фuгуры"
лежащей под параболой и
заш'! рихован
на р!!с. 2.10.
НИJ!Jе мы покаJ!Jем. что при опре,!.еленных
требова шях на фУНЮШJi'
оншб!<а, с,тер­
f(x)
шаемая при такой замене, имеет порядок 11,5.
Ь
Есл!! требу8'! с;! вы!!!с шт!, И !те!'ра
J f (х) (lx
а
1;],
ПО любому сегменту
се!'мен'!
то естественно этот
на дос iаточно большое число
ма.!ЫХ сегментов и к каждому из
то!; !!lш\!енить ИЗ.!Ожен
ые
Этих сегмен­
расс'ждения.
При этом мы и ПРИ[l;ем к мето,!ДМ ПРЯМОУГО.!ь
ников, траш'Т~ий и парабо. в их общс'м !;иде.
l.ета!ьное И:~ЛOJ!Jение каждого из Этих трех
О
методо!; дается н!!же. Здесь же мы сделаем одно
важное для дальнейшего замечание.
а
е
а н и е.
Пуст'ь ФУНКЧUЯ
,чент, [а, Ь], а хl, Х2, ... ,х n -
Тогда uа лnом !'ег,Ч1нте найдет!'
арuфметu'Ческое .f(11)
f
n
на сс'Гмс'нте [а, Ь]. Тогда для
неравенства m :( f(ч) :( NI (k
m
и
NI
равно
f
'
точные грани
!ии
Jifб'fГО номера /. спра!;ед !ивы
1,2, ... , n). Просуммировав
эт!! неравенства !!О всем номерю,!
n,
на се'­
тО'Ч1И ~ такая, 'Что !реднее
+ .f(X2 +.,. + .f(X,,)
В самом де,!е обозначим через
зультат на
f(x) Henpepf'fBHa
некоторые то'Чкu се i.чента ;а.
=
1,2, ... ,
и !!Одел!!
ре­
получим
:( .f(11)
+ ЛХ2) + ... + .f(.i n )
:(
М.
n
Так как непрерывная fl;ункция принимает любое промежуточ­
ное значение, заключенное между rn и М, то на с; гмс'нте [а,
1;]
най !.ется точка ~ такая, что
f(~)
=
.f(11)
+ ЛХ2) +, .. + .f(.i n ).
(1 17)
n
2.
Метод ПРЯМОУiОЛЬНИКОВ. Пусть требуется вычислить
и !те!'ра
ь
J
а
dx.
(12.18)
lbI<
Pa:~ )бы"
cel'MeH'l
а
Х2
Х{i
,Ь]
P(U!?t/hlJ
прн Пj)\lОЩИ Tj,)'l(K
Ь, О()ОШ;lЧ 1М ч( pe:~ X,!k-1 сре,шЮЮ
H;l
х<n
417
lШТЕГГ
=
12 11)
(12,18\
прямоугольников
пло! (а !.еЙ прямоугольников с высотами
соответственно равны­
x2k-<, X2k]
Тj)ЧКУ птмz:нта
lЮ
l;нтся
';амене
рис
нн'! (ТI ';Ш;l
ми f(X2k- ) и основаниями, равными X2k - x.!k-<
\ю'толышки заШ'l рихона [Ы на рис.
справед !ива формула
12. 1
Ь - а (эти
n
.Т'а с;нм '!бразом.
ь
/!
г,!.е
dx = ь - а [f
n
R-
.
) + .f(хз) + ... + f(x!n-
остаточный член. Форму !а
(12.
)]
+ R, (1
19)
на:~ывается
nр,я.АюугОЛ-Ь1-tU11:06.
Докажем, что! если фУНЮlИЯ
дется такая ТОЧlс;а
ИМf'1'Т на сстмс'нте [а, Ь]
f(x)
непрерывную вторую прorг ;ВО[l;НУЮ,
то на этом сегменте най­
71, '!ТО остато lHblij 'шен R н фОР\lуле (12. 9\
равен
с 'той це. fЬЮ
lеним сна-
f(x) (lx,
с шта,!, '!ТО
ь
Ха ,А'1
-fL
,A'2k-2 Х 2k-J,А'2k
,,'2n
фУ1-t11:i!,U,я лх) U.Nteem на сегмеюn,
[-h,
1-tеn]нрыl--
Рис. 12.11
1-tУЮ 6торую nPOU360i}1-tУЮ.
Дш этого п !Двергнем ДВУКlатном'
стям каждый
h
о
1,
о
-h
14
интегрир !Ванин, по ча-
следующих д!,ух и [те! ра. юн:
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
а
1=//
(х) (х+11) dx = [(x+h )2/, (х)]
а
-h
2 / f'(x) (х+11) dx
-h
=
-h
=
[2(х + h) . f(X)][fL
f'(0)11'"
f(x) (lx =
а
=
{(O)h' - 2/(0)11
+ / f(x) dx.
-h
Для второго из интегралов совершенно аналогично ио. fУЧИМ
fL
12 = -
f'(O)h 2 - 2· /(0)11
2 / f(x) (lx.
а
По. [усумма иолучеННЫХfЛЯ
след.' iiщей форм' [е:
11
и
выражений ириво fЛТ к
h
/ f(x) (lx = 2,[(O)h
О т~еним
му [У
величину
cpe[l;Hero
+ h)2
rий
cer .. ieHTe
11 + 12
-,
+ 11 ;12.
ирименяя к интегралам
~=~I
2
2
- h)2. Мы иолучим, что найдутся точка
fiia
на cer'MeH'ie
11] та;не, что
fL
6
на
(х) (х + 1/,) 2 (lx + ~ /
а
fL
а
-2/2)(~1) / (х + h)2dx + 2/2'
= h6' f(2)
в сил' замечания
такая. что
/
а
-h
"/
фор-
значения и учитывая неотрицательность Функ­
И (х
-h
точка
1и
[-h,О] и то
а
=
(12.21)
) + ~З f(2)
юшце и.
1 на
сегменте
[-h, 11]
найщ'тся
lbI<
По
41'}
lШТЕГГ
Д
,'fOMY
1)С1ЖС'ННС"
h
1(х) (lX
= 2/(0)11 + R,
(1
-fL
где
Так как (;е, lичина
21
.h
представляет собой п, ющадь ПJ!Я~
мо,то, lьника заштрихованного на рис.
и
h
J1
то форму lЫ
12.8
(12.22)
ДОf)азыван)Т. ,)то ошибf)а, совеРfIIаемая прн за\fене
(1
dx указанной площадью, имеет п !рядок h 3 .
-fL
h
Таким обрюом. ilюрмула
J
(х) (lх ~
2/(0)1/, rn;
mо'{нее,
-h
ь
'{гм .if.i'}-l'ьше 11, Поэтому для вычисления интеграла
J
dx
а
естес
венно представ пъ этот
но бо. lЬшого числа
n
l' /(х) + l' /(х)
Х2
Ха
нн'; еграл в внде с ммы
дос аточ~
интегралов
Х4
Х2
Х'2n
... +
l'
/(х)
(lx
X2i,,,-2
и к каЖДО\fУ из указанных
ннтеГI алов пр lмеШl'f [, ФОР\fУЛ'
(12.22). \читывая при этом, что длина сегмента [X2k-2, X2k]
ьра;на - - мы fЮ lУЧИ\f форм' (У Щ) l\Ю' f'ОЛЫШКОВ
19)
n
в которой
(5десь а
функт~ии
14*
l'
rJ:( Ь. Мы ВОСШШЬЗОlДШIСЬ форм' юй (12.17) ДШ
(х).)
2)
Мс'тод
ЛИТI,
TI*aiH I щи.
КIК
выше,
НС-
ннлтрал
ь
J (х) (lх
(12.18)
а
Раюбьем сегмент [а, Ь] на n равных частей при помощи точек
а = ха
х
х.·
х n = Ь рнс.
12). Ме; од траIIений
заключается в замене интеграла (12.18) суммой
Ь;n а {[лха) + f(x,)] + [f(x, + ЛХ2)] + ... + [.f
) + f(x n )]}
~ b~, {ли) +
ющаден
(ik- )
и
трапет~н
j(Xk)
траIIении заНIТР
с
и с высотами равными
на рис.
~
COOTI;eTCTBeHHO
ОС ЮI;аННI\Ш,
iXOBaHbl
(1)) + 2
Xk - xk-
12.
=
(Xk)}
равны\ш
__
а (эти
n
Таки\! обраЗО\i. с таI;едшва
ilюрмула
ь
J
f(x) (lx =
2n а {/(а,) + f(l;) +
а
n-
Рис.
[де
12.
} + Н,
(12.24)
R - ()стю О'IНЫЙ чле [.
(12.24) нюывается ФОIЧУ­
мула
лоu mраnеu,иU.
Докаже\I, что еслн
непрерывную
дется
TaI.;a;I
f(x)
вторую ПРОИЗВО[l;НУЮ.
т() [ка
71,
что
;jCTaTO
на
Cer\IeHTe [0,,1;]
на этом
сегменте най­
нмее;
то
IНЫЙ член
R
в форм· [е
)
имеет ви
(12.25)
От~еним сначала интеграл
+h
J f (х)
(l;
считая, что фу1-t'Х:'ЦИ.;j
-h
(х)
60дну'!;
на сег.че1-tmе
-11, +h] 1-tеnр;jJ'bl61-t/j'!{) 6iПОРУЮ nРОИ3-
lbI<
ПодвеРl'; ,1 интеl'Р lл
421
lШТЕГГ
h
J f(2)
(.! 2 - 11,2)
-fL
ГРИРО;;lНl1Ю
Ч;lСl,'
[lO
ш;л\ч 1М
+fL
- J (х) (lх
+fL
J
(х)(х
2
2
-11,)
(х) (х 2 - ) ] I:~
(lх
f'
2
-h
-h
[2f(x)x] I
+fL
+2
-fL
f(x) (lx =
-fL
+fL
- -2[I( -h)
(х)
(+h)lh+2
dx.
(12.2(;)
-fL
в СИ,lУ
(12.26)
ПрИХО[l;ИМ к формуле
h
j 'f(X)dX=
f(-h!+I(h)
;h+R.
(1
2
-h
где
ТJ
(/1
Так как величина
f( -h!
(1
h).
+ I(h) 2h представ, шет собой площадь
2
трапеции, заштрихованной на рис. 12.9; т() форм' 1Ы (12.2
и (12.28) [l;окюывают; что ошибка; совершаемая при замене
fL
/(х)
dx'
l;азан
-fL
ь
ш 1;ЫЧl1С1ения
lпеграла
f(x) dx, l;al;
и в \lет(ще llРЯМ()~
а
угольников
представим этот интегра,
больш()го числа
n
в виде суммы [l;остаточно
интегра.ШfR
.f(x) dx +
.f(x) dx + ... +
f(x) (lx .
ХN
ПРИ\lеНЮ1 к l;аждом'
ЭТl1Х и lтеl'раЮ1; форм'
мы и придем к формуле трапе lИЙ
дш остаточного члена (12.25).
(12.28)
1
(12.24)
ы
с выражением
парабол для
ВЫ
Ш(ЛС'Нfj,i
ннтеграЛ;l
ь
J (:г (lх
(1 18)
а
разобье\!
cHoi;a
а,
на
n
равных
при помощи точек а
Х2
X2k 1
Х2n
=
частей
=
ХО
<
И обо-
через X','kсере,iЛCer\ieHTa [X2icc-2, X2icc]' Me~
интеграла (12.18) суммой
значим
Рис. 12.13
то
ну
парабол заКiючается в :~aMeHe
Ь;11 а {[лхо) + 4!
) + ЛХ2)]
... + [/(X2n-J
=Ьбnа
{
[/
+ f(x;)] + ...
4f(Xl)
4f(X2n-)
+ f(X2n)]} =
n-
n-
42:
f(a)+f(I;)+22: (X','k)
k=l
(X','k+)
k=O
ющадеi\ фигур. заштрихованных на рнс.
13 предстаЮI,i
щих собой криво,;инейные трапетцш, леJi<а; ;не под параболами
ii!ЮХОД>iЩНМН через три то';
графика фу iК;НЯ
f(x)
С абст~нс-
сами i','k-2 X,;k- и x','k ).
Таким образом, справе,i,лива <lюРму ;а
ь
JЛх) ,1х
"па [I(a) +
',-1
(Ь)
',-1
+ 22:f(X;k) +42:
1)] + R,
k=O
k=
а
(X2k+
(12.29)
где R - остато';
парабол И,;И
наЗЫi;аеi С,! фор.Ntуло{!
;а
ДокаJi<ем, что если
имеет на сегменте [а,
1;]
непрерывную четвертую прorг ;ВО[l;НУЮ. то на этом сегменте най~
дется
Taiia,i
то';ка
71.
что остато';ный член
R
в форм'
;е
равен
(Ь
_
а)5
(12.30)
R - - 2880n'
1
+
Из примера
1)
2
п.
4 §2
гл.
11
+ I(Х2k)]'чето,;
вытекает, что выражение
того, что
Ь
-
бn
а
=
.с 2k
Ь-
--
.с 2k-2
б
бn
+
' Щ ',i.статш ;ет
собой площадь, лежащую под параболой, проходящей через три точки гра­
фика Функпди ЛХ
с абсциссами .T2k-2 •.T2k-1 И
1Ы ~ 1ШТЕГГ
+h
J/
1,Ю oт~eH 1М СН;lЧ;l,
r1:T, сч П;1Я,
фу!!/х:-
-fL
,+11,]
'н! пр е Р'ЬМ! '/-l У'!! ! ч;rnmрrnу'!!!
дЛЯ ЭТОГО ПО[l;ВZ:рГНZ:М чz:тырz:хкр lТН )му интz:гриров;шию по
'{ас{;'
!!:~ СЛlЛ,'
!iiЩ!!Х
[l;BYX
!!Н', (граш)!!'
О
h
/(4)(x)(x+h)1(X-~)dх, 12= Г (х)(х 11)1(x+~)(lx.
1
-h
!я
{{еРЕ()ГО из
!'{их инте{'раЮЕ
{Ю{У'!И\{
о
/(4)(x)(x+11)3(x-~) dx = [Р3)(х)
1
+h)3(x-
~)] ~fL
-h
_{Р2)(х)
+
3(x+h)2
x-~ +(х
11)3]}[h +
6/'(х) [(х + h)(x -~) + (х + h)2]} О fLо
о
/(х)
-fL
dx =
-h
о
8h[/( -h)
+
(О)]
+
/(х)
(lx.
-fL
(1
!я
12
совершенно аналогично получим
h
1 -_ ,1(3)
3- /'(O)h 2-8h[/(11)+2/(0)]+24
/(х) dx. (1
о
Посредс Е()" сложен!!;! с! Ю{ но{нений
(12,31
(12.32\
{Ю{У-
чим с {едующее равенство:
l' /(х) !lх
h
-fL
оценки
11 +12
-
применим к интегралам
11
сред {его зна'{ения, \ч пъша;! не{юложителыюс'{
+
(х -~) и
соответственно,
{,
и
12 Ф ормулу
ФУН!;Т~!!
(х +~) на сег\{ентах [-h,o]
+
+h]
что
на сс::м: нте [О,
тсн
+11,]
на
cel
менте
точ~
та:не, чтс,
(6
:Е
fl:r
+h
+f(4)(6)
/СТ
о
Снова исиользуя замечание в конце и.
се; менте
[-h, +h]
на 1дется
~
i
Из
(12.33)
и
1 мы
TO'iKa r; таi<ая, 'iTO
ио. }УЧIВI, что на
~~5 f(1) (r;).
_
(12.34)
окончательно иолучим
(12.34)
h
/!
d;r = [т( -h) + Ч({)) + f(h)] 2h
+R
6
12.35)
'
-h
где
R=_(2J/.)5 ti4 )( .
)88О .
r;
Т
'ак как ве,шчина
12.36)
[f(-h) + 4т(О) + .f(h)] 2h
ире
6
илощадь фнгуры,
шс. 12.10, то ;iюрмуш
С:
'
},ставляет ссюой
иол, иарабо.юi:1 и заштрихованноi:1 на
и 12.36) доказывают, что о! ш[iка,
12.35)
11,
сове]
J f(x) dx указанной и, ющадью, имеет
iаемая ири заыене
-h
иор~}док h 5 .
ь
Дш вычисления интегра
.Г f(:r) dr
так :ж:е как и в методю
а
щ шмоугольников И траиеций, иредставиы этот интеграл в виде
CYMMi,} n
ра,юв
Х2
/ f(x d;r
Х4
+/
Ха
Примен:ш к i<аЖДО\i\
Х2n
f(x d;r
+ ... + /
f
d;r.
2
Х
нз ЭТНХ интеграЛОi: фОР\i\.ш,}
и
ыы и иридем к форыуле Сиыпсона (12.29) с выра:ж:ениеы
остаточного члс:на (12.30).
Сравнивая остаточный ч,}ен (12.30) с остаточными членами
(12.20) и (12.25) ыы у[iе,i<даемся в тоы, что форыула Сиыисо~
(12.36)
lЫ\ lШТЕГГ
на
б, ,ъш.\ю то lНCH
'le:'
Ф
ipM'
лы ирямср гольник ш
тр, Ш ll.ИЙ
качеств(
иллю( трат~ии ириыенения форыулы
СИМИСОЮl
:1(0
обраlИМСЯ к
ll(ленюр
интегр,)ла
=
.Г
ничик)я(ъ для ИР'iСТОТЫ 'lНач(:нияыи :1 О IB С(:ГМ( нта О
2
,.
f()
lJолагая
:Е
- е _х и вычис шя Щ юи:~водную
(:Е)
- 12х 2 + 3
celMeHTa
из
бсз тр\ l.а ··б(:щмся
х ~ ;УО ~ llЮ BC;lCO
оже:
(12.30)
оце!
том, Чl о
быть, iа:~i\ив сегмент [О,
IJl Cy)1 <
1
'lTO IRI <
144п'
всего на иять
iaBHbIX
суммой,
О
[,сс;х
слу lае
'тверждать,
нив рассматриваемый интегра.
ш
:;
4(4:Е 4 ;у
нз
и схог· ,
'тало
частей и заме
в иравой части
iМУЛЫ Сиыисона. мы вычислим этот интеграл с точностью до
1
1
144·5'
5.
Заключительные замечания. Ка «дый из ИЗЛОСi;енных
в этой глаl,е
:'eto:lol,
ВЫ'lИСlеl ня корней
ypaBllel
и Ollредеlеll­
ных интегралов coJep:JICum 'iemr.;o сфор,м,улироваНН'blЙ алгорит,м,
лля ироведения вычислений. [ругой особенностью ИЗЛОСi;енных
методов является стереотипность те:;
ций, lсоторые ИРИХОДlПСЯ ИРОlЮ:ЩТЬ
вычисштельны:;
оиера
lа каждом отл,еJыlмM шаlе.
Эти две осоiiенности оiiесиечивают широкое ирименение из.ю­
ЖС:НШ,iХ
мс:тол,ов
ИРОi'( л,еНИii
ia
ВЫЧИСiеi
ibIX
cOBpe:iei
быстродеЙСТВУЮiiiИ:; вычис.тппельны:; ыю шна
Вi,iше ДШ ириб. нжеi
ф'
iСЦН
f
Mi,i
ЮlО i,i,iчнслеНИii
[а, Ь] на достаточно бо.iЫ юе число
ментов
pa.ia (12.18)
от
исхо:щли нз разбнеi ня ос] ;ов] ЮlО сег:е] ;ia
Д
ibI h
n
р а в н ы Х частичны:; сег-
нз iЮСiедующеiij замеШ,i ф'
iСИН
на ка:ж:доы частичном сегыенте ЫНОГОЧ.iеном соответствен­
Ш, шулевого,
иервого и.ш второгс, иорядка.
1югрешностъ,
возникающая ири таком иодходе, никак не учи­
тывает ИНДИВfщуалЬШ,iХ С!юйств ф'
lСЦН
f(:y).
Поэто
есте­
ственно, во:~никает идея о варьировании точек разбиения основ­
ного сеГ:lеlпа [а, Ь] и l'l,iборе ДШ lсажл,ой ФlilССИРОl,аl
функl.ИИ
х) такого оитимального iазiiиения основного сегыента
Ь] на n,
говоря, не pallНl,ix . iPYl:iPYlY 'lаСТИ'lНl,iХ сегмс:нтов, которое обесш:чивало бl,i минима.ЪНУ;Р :{(ЛИЧИНУ ио­
rliel
В
lНости данной щшб.ш:ж:енноЙ форыулы.
i.оиолнении к гл,
14 . ыI
остаНОllИМСЯ
ia
реа. нзаиии
lса­
занной идеи, иринадлеСi;аiiiей А.Н. Тюонову и С.С. Гайсаряну.
1) Рассматриваемый интеграл не выражается через элементарные ФункЩ и: . ,енЯ1ТС" В <га, ис ичикоii физике, теории
п ;и. Э ОТ ИНi <грал
тепiOПРО'iOДНОС
и
сии.
ГЛАВА
3
ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Еще в Э.iеыентарноы курсе ПРИХt ,;щлС!сь сталкиваться с сум­
маыи, содер>r<аrrщми бесr.;оне'Ч/J-юе чисю слагаеыьг< (наприыер.
с с
беС}{О}iеч}ю}о
'шсла элементов гео;}етри'}ескоi;j
про~
грессии). Такого рода суммы, называеыые ряда.м/u, и и:~учаются
уТы .;ста}ювн
BiaBe.
.
что
ripH HeKOTOp},iX
усювнях
!Яды обладают свойствами, аналогичньЛ\ш свойстваы конечны:<
сумм.
Понятие числового ряда
§ 1.
1.
и его частичные суммы. СХО/F.ящиеся и расход;.wщиес;.w ряды Рассмотрим бесконс:чну:: чисюв;ю после\iо};а~
тельность иl Н2 ... ,Uk ... и форыально
;азуем из элеыентов
этой rюс iедоватеъности выраже} не внда
х
Щ
+ и2 + ... + Uk + ... -
L
( 3.1)
Uk·
k=l
В},iражение (1::.1) прин:по iаЗ},i};Ю: ч:ш лизы",
сто рядо.м" Отдельные элементы Uk, из кото] ;ых
раже} не 1::.1), приН\по называть
правило, мы будем поль:~оваться Д!Я обозначения
лоы суммы
L.
Сум.м,у nервЫ:Е n членов данного ряда б!jдем называть n~и
ст
о
у
12
Sn·
так,
Sn =
UI
+и2+·· '+;:12-
!ik. Р;;;) 13.1)
ется
С:Е о д я 1ц U .м, с.я. еслu с:rодuтся последовательность
чаСii!U'!!!!ЫХ (у'"" эт'го
эт;'·· !!рсдсл S ПО; ,,·доватеЛЫ-lостu частuчных C!j.M"M,
называется с
м .м, О i1
{Sn}
данного ряда. Таким образоы, Д!Я с :одящегося
!Яда. иыею
rrero
427
ПОl
С\ММ'
S, Ml,1
мож( М Ф )рма, ъно
11«('ТЬ ра ((НСТ1Ю
00
LЩ
1
k
слу ЮС, ссли
SN
ЕС с!щсс ПОУС П,
а
с-
n~oo
х
жнем, что понятие суммы определено ли! ъ для сходя­
l<ol!e'l
посредством пре!f('.lЬ1Ю'О !!ерехол,а 1).
щегося рял,а и, в ОТЛИ'lИе от !юн(!ти(!
юй
CYMM1,!,
В1Ю ЩТС1!
ЗамеТIВI, что рассмотрение чис.ТIOвьг< !Ядов есть новая
ма ИЗУ'lени(!
l1СЛО (l,!X !юс !едовате, ъносте ~j, ибо: 1) каждому
данному
!Яду однозначно соответствует пос!едовате~ъностъ его
частичных с\ыы:
ка:ж:л,ой данной после!f( ,вательности {Sn}
одно:шачно соответствует
ност,
!яд, для которого эта пос!едовате~ъ
послеД01(атеШ,lЮСТЫ Р
l(л(!ется
статочно по.ю:ж:ить члены
k> 1
'ltl
его
чаСТ1l"
!Яда равными
!ых
сумм
SЛ-1 при
'Uk =
Sl)'
=
Одной из г!авньг< задач теории чисювьг< рядов является
установление
признаков,
схо!щмости
Р И ы е
1.
по
которыы
раСХОД110СТl1
ИЗ\Чl1
ы
1010
.!!.а1
ч и с л о в ы х
)е1
штъ
вопрос
о
Р(!!!Д.
р я Д о в.
вопрос О СХОД 11 '.' ОСТ11 рял,а
1
1 + 1 - 1 + ... =
L(
k
11(1СКОЛЬК.'
= О . ..
мо>,<но
1 1k -
(1::.2)
1
1
Sl = 1,
... не иыеет предела, ряд ( 3.2
после. !.овательность его частичны:< сумм
S2n-1
О,
,S2n
раСХОД1ПСЯ.
2.
ской
Рассыотриы ряд. состаВ.!енныЙ из Э.!еыентов геометриче­
!!P01P(
ссии:
00
- Lq-'
1
(13.3)
k=l
а
...
Очевидно
что при
Sn
ЭТО1О рял,а при
+ qn-1
Iq
1) 13 101 реМ1н,юii М1.1теМ1.1Т 1ке
мы, ВВО'lДТСЯ понятие суммы
ПОЗВОЛЯ1Т С\ 1,'1МИР01 \1Т1·.
Дополне,ше
3
1
1
q
-q
f:.
1
-q
1
имеет В1 1Д
q
-q
13.4)
последовательность
частичны:<
''У
указа,1Н1·.11.,1 выше пон\, ием 1YM~
',а в различных обобщенных смыслах. ЭТО
СМЫСЛ\.1Х 1.,шогиераС1·1011\,щиес\, РЯI1""
TEOl"
им( (т llредел, ра ш "lй
сумм Вп (ХОД пся
юы, при
Iq
3
Т,l"КИМ обр,
_1_
q
р,н;сматриВ{ емый ряд! \;!щится И имеет сумму,
равную
При
НОСТТ>
)и
IB
швснства
ОЧСВИДН!i" что пснш:доватсль-
(134)
CT"LclO БЫТh, И Р<1СС\ТGLТРПR<1е"тый рял) Р"Ll:ХОЛИТСЯ.
Iq
расходимость
)Яда
13.3)
+
ственно. В самоы деле, при q
ДОl;ател ,lЮСТl1 Вп о lеВlЩllа, а при
в изученный вы! [е
3.
Пусть :Е
)ЯД
усыатривается непосред-
n,
= -1
расходимость после
р~щ
переХОДl1 Т
(13.2).
<Iшксщюванное чисю. Дока:ж:еы, что ряд
-
1
( 3.5)
iавную е Х •
ыы получили разло +iение
сходится и имеет суыыу
В п. 2 §
Маклореllа ф"
;)
гл.
lЩl1
8
xn -
Х
I
(13.6)
... + (п -
2!
1!
Из фор\л
(13.7:
Обозначая через
- еХ I
R n х),
( 3.6)
).
( 3.7)
IXln Ixl .
( 3.8)
~-I е
n-ю частичную СУ:\Л\IУ
~lщеи
(1::.8
lepaBellCTBO
IBn
ПОСl<О.ШУ'
1
1)!
"ы lЮЛ" Чl1
[Т + ~ + ~~ + ... + (: ~-;)!]
жем переписат!
по
еХ
eXI ~ l:r~l! Ixl
-
12,
при л "бом фикс
lpOBaHHO'
Ixnl
п--+оо
то правая часть неравенства
п.
)Яда
( 3.5 ,
ыы мо-
(13.9)
:Т
= о 2
n!
представ. )Яет собой Э.lеыент
( 3.9
беСl<Оllе'l ю
алой послеДОl;атеШ,lЮСТl1. Но это и озна'lает, что
последовательность
В 7 ,} сходuтся r.; 'Чuслу е Х • Стало быть, и
ря;r
1':.5)
схол,ИТСl иеет С'
С "."ШОЛ07,! 07 мы 0[;03""....
См. прим<р
3
И
п.
3 §3
гл.
еХ •
Ю
3.
1.
42 i )
ПОl
Соверш< ННО а 1(tЛОГНЧ1
фуню(Иiij
;Т
ъ:уя фОР.iЛ'
Х
t(+:аз()Ть,
М( клоре1
1ТС' р l;l.Ы
-
k=l
и
щ (и любом
юванном значении
cooT1feTcTBe1 ю paB1lыIe
сходятся и имеют суммы
х и сон ;Т. (ПредостаШПlе:' ifИтателtр
саыому у[iедиться в этоы.)
2.
Критерий Коши С+ОДИГ;'юсти P(~дa.
сходимости ряда,
по определению,
e10
Л.ИМОСТИ после;l.ОlfатеШ,lЮСТН
j'al< l<al<
1Ю[lРОС о
эквивалентен вопросу о с:;о­
'lаСТИ'Ш1,lХ
со
то
M1,1
полу­
чим необходимое и достаточное условие с:;одш\юсти данного ря­
ла, сформу.ШРС1вав критерий СХО;l.ИМС1СТИ КО1 ш ДШ
те.lЬНОСТИ его частичных сумм. Ради удо[iства приведем
МУЛНрОВl'i' критерня Коши
после:Ю1fатеШ,lЮСТ1l. Дл.:: т!'?о
'Чтобы nоследоватеЛЬ'J-tость
была с:rодJИцеЙс.я, 'J-tеобходu,м.о
до! rnurnО'ЧЛl!' '!rnобt,!
1! ';)/С'lиnеЛi,j !.ого 'Ч/шлu Е j fЛ-
ШеЛ!
1l' "'!'Р N
ЩUТ условU1!' n
в
Ka'leCTBe
? N,
'Ч/ло
j!.OHCPOU n, удои 1!'rnи!'р.::ЮU для всех 'J-tатураль'J-t'blТ р (р 2,3 .... )
Сlедствня нз ЭТО1О
'твержде1
ня
. ыI [10
сле-
дующую основНУ1!' теорему.
Теорема
13.1
(nритерий Коши для ряда). Для того
00
1tk !;тодuЛ!
i
1собходuмо
дл:: любого по 10;)/С'ШП,! ((,j!.Ого '((tсла Е jfЛШСЛС::
N
'Ч7Тю для всех 'НО,М.еров n, удовлетвОРЯ1!'щu:r условU1!' rl.
дл::
1luтураЛЬ1lЫХ 'Ч/ш !'л р
? N
u
п+р
L
1tk
< Е.
(13.
k=n
Для доказательства этой теоремы достаточно заыетить, что ве­
ЛИ'fИна. сто;] !!дя [ЮД зню<о' 'одул;!
неРЮfеНСТ1fе
(13.10), paB1la
;азности частичных сумм
- SN. Подчеркнеы, что крите] шй
СХО;l.имости Коши ПРС':!сташп!ет в ОСНО1ШО' теоретн 1ес <нй
пе­
;ес. Его использование дш практически:.: потре[шостей установ­
ления
с:,:одш\юсти
или расходимости
те:.:
или иных конкретных
ТЕО("
РЯЛС)l;,
з
((р,ш (ЛО, пшряж( но С ТрiЩС)( тями
ПСН [О:"
Н,lЛН­
чис" 1<р П(РИ~l Коши le снимает 1Юllроса об ""ста1lt,вле1
ЛРУ1ИХ
ЩJaКТИЧ( ски CJti>фектпвных ПРП:~Н{lЮШ сходимс)(ти п р,н;ходимо­
стн
РЯЛС)l;
3 1 легко
IЬ теореыы
п:~влечь дваiЛементарньг<, но ва:ж:ных
Сlещ ТВНЯ
С.ледС}П6"nе
2:=
. Е,ли ряд
00
rn,{,
iШ!
Тп
!ik !;тодит,я, iЛО ! !'еле 3!,оателъ­
/,=1
=
/'=12+1
n-м
Прпнято называть велпчпну
О е т а т 'к О ,м,
ряда
00
2:=
Uk' Чтобы доказать следствие
1
k
для любого Е
> О найдется ноыер N
ПОСIелнее неРШiеНСТ1Ю
ства
( 3,10)
ieMbI 3,13.
достаточно доказать, что
такой, что IT n ~ прп n ~
lеlюсреДСТ1iенно 1i1лекает из неРШiен­
справедливого ДШ л!,бого р
С.лtiдсm6'nе
- 1,2,3, ' "
и пз тео-
'Необход'n.мое УСЛО6'nе схт)'n.мост'n р.я-
2
00
да). Для С:Еоди,м,оеmи ряда
2:=
Uk 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобы nоеледО6а­
k=l
,!!.з,
этого ряда
...
малml.
Достаточно доказать, что дш данного с iодящегося шда и
.шоб010 Е
юмер N o та1<0 1, '1ТО при n ~ N o
. Пусть даНОlЮ! ,ое Е
О. CorlacHo теореые 13. най­
лется ноыер N такой, чтс, при n
N п дш любого нат'раль­
>
>
ного р вьшо.шяется неравенство
lepaBe1lc [во
это
(13.
IUn+11
<Е
n~N!.
Если теперь ПОЛО/!!IПЪ номеl
n
~
No в
О). В частности. при р
1
имеет внд
СПlУ неравенства
13.11)
iaBHbIbl
,
(13.
то
прп
Е, что и тре-
бi валось локазать.
По ЩiУГОЫУ Сlедствпе
ди,м,ости ряда
2:=
iмушровать так: для С:ЕО-
2 мо/!!но
щ 'J-tеоб:rодu,мд 'Ч.mобы
разом,
при
ИССlедовании
lim
щ
О. Такпы об-
k-+oo
k=l
на
С:<ОДШ\IОСТЬ
ланногс,
ряла
слелует
прежде всего пос\ютре11". стреМИТСl ли к НУlЮ k'!Лен ЭТО1О
ряда при k ---+ ею. Ес ш это не так, то ряд заведоыо расходится.
Так, например, ряд
00
2
""'"
k
~ 512 300k
k=l
431
ПОl
р,н;хо ЩТ( ~1, ибо
1iш uk -
liш.,
k-+", Qk-
k~oo
А1
1
5
,',
+ . ',UUk
l!JГИЧНО Р<1СХО 1HM!)(T1, 'же 1! "'lеШЮ1
вытекает [В того, что 1iш
k-+oo
#0
выше ря 1.<1
L (
l)k
1
(- )!; не существует.
ПО;l'lеркнем, ОД11ако, что стремление к НУ1Ю k-ro 'шена р~1да
Щ!ИХ является ЛUf{IЪ 'неабгадu.м,ым" 'На 'Не aacmama'iHым,'
у' ,аои, М с;тадима,rnн ряда.
качестве Щ !Имеl
Ja
.
Jассыотрпы ряд
00
L-=l+-+-+".
k
2
3
(13.12)
1
k
·-УТОТ РЯ;l с,бычш, называют гар', ,'nu/ч,СС1иtМ р.;!,)ин. Очевил.но,
'lTO
гаР:1ОНИ'lеСКО1 о рял.а выполнено
сходимости,
·
б 1lШ
и)Q
О. Д
• ока ,<ем,
1
однако, что этот ряд
ход пся. Воспол ,зуемся критерне:' l\ошн.
ло/rJrпельного ЧИС1а
что при
n
N
1еобхо:щмое .\С1Овне
[.окажем,
по­
'lTO
'Не су Jl;ecrn6yern rnar.;a!'a 'На.м,ера
1/2
Jac-
N,
.1ДЯ любi го натура. lЬHOГO р
п+р
L.!.
k=,,+l
в са:.1ОМ
. 1.еш ,
если взять
12
=
Р
L
k=n
что в
k
1
<
( 3.13)
n, то дл.;! (жа,·;, угад1l" fюл ;шога n
212
L
k
сумме
n
:) -n
2n
1
2
A=n+1
с
1a1aeM ;lX
что
1аимс:н ;ШiЧ'
из этпх Gтrагаемых равно /2n.)
Итarс неравенство (13.13) оказывается невыполненныы. каким б1;! большн
M1;1 ни
!яд 13. 2) расходится.
3, Два свойства, СВЯЗ,Н
1Омер
1ble
N.
В силу
1ip
пеРИ~l l\ОШН
со СХОДllМОСТЫО р;.щда, 10.
оmбрасыаюtеe r.;aHe'iHa;a 'iисла 'iле'На6 ряда (или даба6леюtе r.;
ряду r.;аnС'i1l0га 'i!{.сла
пС ОЛ'Шi' т 1lU cxaauHa,rm; uл{{ рас­
:Еадн.м,осmъ .'rnа!'а ряда.
Чтобы у!)едиться в этом, достаточно заыетить, что в
тате указа1
JезуlЬ­
1010 отбрасываНИ~l (ИЛИ1оба1шеНИ~1) ЧЛС:НО1J, все ча­
стпчные суммы этого
!Яда; начиная снекоторого ноыера, изме­
нятся на одну п ту :ж:е постоянную ве. шчпну.
TEOl"
ЕСЛi!!
2
О'П/,J/i!ii'l?!.i!
3
,
'"
от
'/},k
UYJUf!!{iC ПШ' !!"i!а,я,
-
с
ik,
00
L
'ПШ,j!""""
тnогдi[
'когдi[ сгоди
!!"-
k=
00
с,я р,яд
L
uk
1
FG! аЬаз! ,а'!
n~e част!!'" ible сумм!,! расс"
дав саатветственна через
и Sn, та ачевидна, что.
k
пасш ли( ia
paBei!CTBa выте!<ает, что.
.
S~ с
!iае!iЫХ p!!~
- CSn . Из
ii!.eCT iyeT таiда и
12--+00
то!ька тагда. кагда
CYii!.eCTByeT
и"
и
liш
12--+"'
S,!.
.
Ряды с положительными членами
§
1. Необходимое и достаточное
да с положительными членаг!·!и.
сматрим )Яды. все 'члены Koтopыг
установившейся традиции, ыы будеы
условие сходимости ря­
В эта" i!араграфе Mi,! pac~
неотрu'цателъны. С!едуя
называть такие ряды р,яда~
мн с nоло:JIcuтелъным:uu 'Членамu (хатя правильнее была [iы упа
треБЛ!Пi, тер"
«р!щы с неаiрицатеJЬi !ыми члеi !ами» ). Что. же
касается рядав, все члены катары!! страга ба"!ы !е нуля. та такие
;"удеы Ha:~ЫBaTЬ р,ядамu со строго nоло:JIcшnелъным:uu
!яды С па" юж:ите" !ьньвш ч"!енами саыи па
!!!тс!!
i!р!!"юже!
!!ях.
ce[ie часта
та!а, их прелварите"!Ьнае
встреча~
НЗ"iе!
не
а[iлегчит изучение рядав с членами лю[iага знака. В да!Ьней~
ше:"i. чтабi,! паЛ'iеркнуть, 'iTa ре'!
ндет а ряле с палаЖi ,iеш,­
ньвш членюш. мы часта будем абазначать члены такага )Яда
симвоюм Pk вмест!, 'ltk·
.~Лы ыа:ж:еы сразу
атыетить аснавнае характеристическае
сваi!]СТiЮ р!ща с iюлажительИ(,!
'iлена:": ТЮ! ",р"v~,"""нч
'Частu'Чн'ы:r С'ij,лМi такого р,яда ,явл,яетс,я неубыва!!'ще'Й.
Эта паЗiюл!!ет
!ам"
'тверждеi не.
Теорема
2. Дл.:!
С ПО !!';)lситслJ,i!.ы ',"
'Члена,лiU с:rодuлс.я. необходu,лiO U достато'Чно. 'Чтобы nоследо!!!'rnСЛJ,i!.о,rnJ, 'Час пи J'i!ыx
эrnого
бы"л!' О 'lЮ1l!f,''lС1lU,
Н е а
х а Д и м а с т ь следует из тага, что. всякая СJадяща!!с!!
iемы
iЮG!едавате. !Ьнаст,
ЯВ.)Яетс!! аграНИ'iеннаi!]
J
в
тea~
3.8),
а с т а т а ч н
с т ь
вытекает из таго, что ш 'сле"!.аватель~
насть частичны!! сумм не убывает и, стала быть, для СJадш\юсти
этаi!] паслелаiiатеЛi,iЮСТН дастата' !На. Чi абi,! ана бi,!ла аграНИ'iе­
на (в силу теареыы
2.
3.
Признаки срав!иени!!
В эта'
Mi,! устанаi!ИМ р!!д
признакав, пазво)Яющих сделать заключение а схадимасти (или
iаСJадш\юсти
i
рассмат] !Иваемага ряда nосредство,лi сравнеюш
г
2
433
'lEHAMll
1.lbI
3.
/'=1
тель1-tым:uu 'Чле1-tа.лiU
?U~P!
!!!'UC!i
П !сть, далее, для всеУ 1-tо.лiеров
k
сnравед­
{!()
( 3,14)
за собой !хо )п !,!ос пЬ ряда
2:=
{k ОЛС'ЧСii!
расходu.л!О! т!!
k=l
2:= p~,
ряда
k=l
Д а к а з а т е
00
Pk и
;rai!
ь с т в а. Об! значиы n-е частичные суммы ря-
00
2:= P~ caaTi!eTC [ве;
k=
(1::.14)
чает,
{S;J
за !iЮ!iаем,
что.
10 через Sn И S~. Из Hepa!!eHCTi!a
!iTa Sn ~ S~. Пасле;rнее Hepai!eHCTi!O аЗiiа­
аграниченнасть
иаСiедавате!Ьнасти
частичных суыы
влечет за сС!бай j!граниченнасть ИС!Сiедавате!ЬнС!сти ча­
стичны!! суыы {Нn} И; наабарат; неаграниченнастъ иаследава­
тельнасти !iастi1чi!ыIx с
{Sn} влечет за сабай iearpa!
насть иаследавательнасти частичны!! суыы {H~}.
силу теаре
Mi;! 13.
а
теарема
е
13.3
даi!азана.
а н и е
1.
В .·сюв!!
бавать, чта[)ы неравенства
Teape!ibI 13.::
маЖiЮ тре-
была выиошена не Д!Я всех
нС!ыерав k, а ли! !Ь j!·а'ЧUi!а!i
пСJ>;отОРог!! jfOMCPU k.
самаы деiе,
в силу и. 3 § ,атбрасывание канечнага числа членав не влияет
( 3.14)
на схаДн'" асть Рiща.
а м е
а
1::.::
е
ост! пСiЛС.I! с/!раОС )лщзой,
еслu в условuu!той mеоре.лiы за.лiе1-tumь неравенство
13. 4)
пср! Ш'i!С!!! ООМ:
( 3.15)
;дс С
-
силу и.
!юбuя !!!!ЛО.!Н !(,ii!СЛЫl!!'
3 § 1,
!!!!Cii!O !!!.1l! Я. В сама:' деле; в
ваирас а схал!!" 'астн ря
i.a
2:=
э !i!Ивалентеi
/,=1
00
ваирасу а схадимасти
!Яда
2:=
cp~).
!И этам, канечна, ыа:ж:
1
на тре[)аватъ, чтабы неравенства ( 3.15) была выиалнена, лишь
начиная снекатарага дастатачна ба.iЫ юга наыера
k
с
ос!
J.M·/k
'f.лен
ря!! ГО гтnро,';'
k=l
iiоне'ч,ныii предел
х
L
то CJ;oJUAtQcmb ряда
оле {ет за собоu сходимость ряда
k=l
ос!
Pk; ра.с;о !U.М,ОС'П
!;
L
ряд!!
т=1
вЛi'/,('i П
pi,'
собоu ра.с;оаu.м,ос'П;'
k=l
ос!
р.яrJа
L
k
p~.
1
Д О К а
3
а т е л ь с т в о.
Так как liш Р:. = L, то, по
определению предела, для некоторого с
такой, ЧТО llр;; k
N
?
LСтало быть, при
k
? N
>
справедливо неравенство
+
ос!
.4.
Р;.
N
L+c.
ПосшдНti ;СР;;15С;
i;Дi;С;
;СР"15С;
L с. В СIIlу,аJ\1еЧi;ЯИЯ 2 к теор, м; 1;\.3
Теорема 1
ii---+OC!
О найдется номер
L
Пусть
pi, < (L
(13.1 v;)
c)p~.
=
рис
;,ДСТВИС докаЗi;ЯО.
ос!
L
Pk U
P~ -
доа ряда со строго
поло нпt'П iл!;,!!.,;t.. МU 'f.лен J.MU. Пуст,!;, !)алее, для всех '!!О.меров
k
сnраuедлш о нераuенстоо
Pk+1
t«
Pk;- 1 •
(13.J6)
Р"
ос!
Тогда CJ;oJUAtQcmb ряда
L
P~ илечет за собо/; CJ;oJUAtQcmb ряда
k=
ос
L
ос!
Pk; расходимость ряда
L
Pk илечет за собой paCJ;oJUAtQcmb
k=
ряда
L
p~.
k=l
Д О К а з а т е л ь с т в о.
k = 1 2, ... ,n - 1,
ДС n -
Запишем неравенство
любо/;
''';'''р. Будем
(13.16)
;;СТЬ
I
/~
"'"
.
для
г
lOЛО,:llТЕIЫ
1.lbI
11{ ,
ВСС наш,с 'ННЫС
ИЛИ
Pi' ~
Поскольку
ш,i ,С. ,Ci' Ю ра13ею '1'13' ВС
Р,
,peд~
с'Га13л"ег собо!·:; nОЛО.Ж im,еЛЫ-l./jjП 'iiiii"iТiОЯ'Н.· {<Ц'lO, 'jje '{j6'!!.С'!!Щ:IJ'IO
ни.мера. 'п, то,
l:ИЛУ ~аЫl:ilCLНИ}l L к
TCOPCblCL 13.1
TCOPl:bll:
ДОЮJ.З!Ш!..i..
3
а м е ч а н и е
3.
В !'СЛОВИИ теореJ\IЫ
можно Tpe~
13.4
ToiiLТ нсра13СН!'1'130 (13.
б,,tjlO 13ЬШ{'
номеров k, а лишь 'Н.а"нmая с 'jjenon орого 'j!o
({;;НИi KO;;Cij
О чи{
11'рВ,'Х
нс 13ЛИ!,С',
НС дШ всех
(ибо отбрасы~
на СХОД"
"1'"
ряда).
Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют те
!
фиведем примеры применения признаков сравнения.
1.
Иссш дусм ВОЩ}i ,;
СХОДИМ, i{ти ряда
00
L з:ь k
д'
Ь
О.
k=l
Если Ь
1,
ТО k~
Ч'lС;
р ;П'ма, РИl!!!,'мог{, ряда
,с
''1'РС;,;ИТl Я К
нулю при k --+ 00. Стало быть, нарушено необ шдимое условие
!ХОДИlЮСТИ ряда и ряд раСJ;одuтся. Если Жi Ь
1, ТО, ЮСКОЛЬКУ
для любого номера
справедливо неравенство
1
3 + bk
и поскольку ряд
00
L
1
k
k 1Ь
1
<
bk
сходится, теорема сравнения
13.3
позво~
ляет утверждать сходимость рассматриваемого ряда.
И{i
lero
11 ДУСi'
ряда:
,рос О {ХОДИ ЮСТИ Д Ш люб,!! о а
1
слсдую~
00
L
1
... + k'"
1
k ", =
Этот ряд часто называют
Поскольку
ри а ~ 1 ДЛ!' люб,,; о
(13. 7)
гпр.мо !U'ч,;СnU.il' ряr!о.м.
'iiщ'ра k
'i!!13iДЛИl!ii 'CI)!J.~
венство
~
и поскольк!' гармоническии ряд
сравнения
дЛЯ
13.3
а
k1
расходится
)
,то теорема
k=l
позволяет! тверждать расходимость ряда
1.
1) РаСХОДИI\lОСТЬ гармонического ряда установлена в п. 2 §
(13.1 Т;
РЯ,lOВ
[И,
H t , t a
знака сходимости рядов
бt
с положительными
и Коши ПришаЮI
и Kll i
членами
111'H01311 i
нии рассматриваемого ря (Д с ря юм, составленным из
,рог! ссс ш,
а
·,с,
1'0
СХ; i,ШШИ,С,
\Т[ементов
рядо·'
... ,
(13. J8)
или с расходЯI [имся рядом
ос!
2:1=
1
(13.J9)
k=
Теоре.мй 13.5 (ПРUЗ1-/,аn Дшш.мбера)
номероu
cnp(J61
k,
').1. Если IjЛЯ 6сеl
или по 'Х:райне/i Atepe 'Н,ш'ш'Нля с не'Х:оторого HOAtepa
Ijли60
'!!ep(J61
k,
'!!сm60
PHl :;::::
1 2)
q
( PHl
Pk
(13.20)
Pk
ос!
то ряд ~
Pk Сl;одшпся (раСl;одится).
k=
П. Если СУЩiСТП6Уi'!Р Прl Ijел
k-+OC!
Pk+l
Pk
L,
(13.21)
ос
'IТiO pt.a ~
k
Pk СIОijШi СЯ при
<
и Р(JСlодиmся при
>
1
'.,), II оiiLП
наз'.1iZ"ЮТ призна'Х:ом ДалаАtбера (J nj,е~
IjеЛi,НО'Й фор,ме. в ,той форме он наиболее часто используется.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Разберем отдельно теоремы
и
1.
1) Для доказательства теоремы 1 положим р;, = ql' (p~
гд'
неравенство
I 3.20
<
(p~+
=
1),
в виде
Р'+1 ,,::: p~+
Pk
(13.22)
'"
1) )KI1': ЛСРОi1 ДаЛl1мбер - франц! зt ,шй мап'ма', ик
философ (1717-
1783\.
ох;
2) П] И этом, конечно, цредцолагается, что все члены ряда
L
k=l
не;" мере начиная снекоторого ноыера) строго цоложительны.
Pk (цо край­
l,lbI
г
Т;;;,
437
lOЛО,'illТЕlЫ
как
с
то
ди'Гс;;
,epalle
), сю'~
,а ОСНО13а;
'Гeope~
:\.22
,С'111О
;;ра ПИРУ'
;;LТ
(13 12) ((В
,ходи юсть (р;;;ходимос [Ъ)
ос!
L
PkeopeMa 1 ',оказана
k=l
<
2) Докажсм т,'псрь тсорему 1. Если L
1 то найд' ля по­
+
ЛО ii,'И'П (ЛI;'!!.Q, число Е такое, что L =
2Е и
Е =
Е.
ПО
,р, делению врсдс
ш,; ;CДi";;;TC "ности дл;; УЮi"З ;нног;, Е
N
найдется номс[,
k
Т;;I,!,Й. что при
L-E<
<L
~
N
Е=
-Е.
(13.23)
]Jk
L
Чю
+
+
Ч'1';, L
неравенств
Е
1-
=
>
Если же
1,
и L ~
1.
;,рем;
. n это;'
Ряд ,ходите,.
число Е такое,
;Н'НО13а ,ю, ;;'130ГО из
~
(при
>L-E=l
ос ,,,;;;;нии TCOl); мы
;сходил я
[,
q 13 '1',
получим
(13.23)
]Jk
Ряд
'Т [1Оль
то найдется ПОЛО iiПl'П (Л'ЬНО,
1.
N).
Теорс;
," 13.5
юлносты(;
доказ;;на.
3
а м еч а н и я к т е о р е м е
13.5. 1)
Обратим внимание на
то, что в теореме 13.5 О) неравенство Рн
:::;; q
]Jk
начиная снекоторого) '!!еЛI; iЯ iiJме'!штl; на
]Jk+
]Jk
(для всех k,
<
<
1.
В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (/3.12
iik+ 1
расход" "Я, но дл;; Э'1';;; О
-'
- = - 7;' 1 (дл;; ВССХ
]Jk
k 1
ров k).
Если
У' ;;,щшх
',1 13.5 (П) L = 1, ТО нельзя ск ;З;;'1",
ничего определенного о сходимости ряда (т. е. при
признак
<
Да,;;;мб,
ряда
«НС деЙСi ВУСТ»).
= 1,
(13.J2) L
'ТС
n CiiMO;'
делс. дл;;
;;рмо;
;;;'ског;,
причем этот ряд, как мы знаем, рас,одится.
дл;;
'1',
ос!
L:'
(13.
k=l
также
'ун;,;тс,
,
сход"
но
;тот ряд, как б; дет показано в след; ю; ;ем
,;Я.
Теорема 13.6 (nризнаn Кошu). 1. Если ;}ля вс;
jЮО k, ИJШ по 1ЧXluнеu Atepe НШ'l1mая с некоторого HOAtepa
k,
справедливо неР(Jв(нС'!лво
!fPk :::;; q <
(!fPk
ос!
то ряд
L
k=
jik Сl;одится (расходится).
~
1)
(13.25)
ря.,'ЮВ
П
"!jЩ' ,'т !чет пр! дел
liш
(13,26)
=L,
х
ос!
'IP()
ряд
Pk С;
iil!'/},'i!
'I'Я пр'/},
>
k=l
Теорем'!' П обычно называют при i'i!Л'Х:О,М Коши 6 nредl л ;'!ШU
форме.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем отдельно теоремы
1.
1) дJlII докаЗi3ТС
'Т13а '1';'111)('I'ILT 1
ТI'Д" Иi
(13.
,IIЖИ;' P~ = qk
).
iГ Ш ;'
(Pk ~ p~).
(13.
00
Так как ряд
L
k
p~, совпадаю; ;ий с рядом
(13.18) ((13.19 ),
сш
1
дится (расходится), то неравенство (13.27; на основании тео­
pi"LТ
,iЯ 13.3 гар 'НТИРУi'Т СХОД'I
'т,, (р iiХОДИ;ШСТL)
ос!
L
ряда
k
Pk·
1
13.6 а) ДОКi3Зi.iНi3.
доказательства теоремы
iПОРИ [Ъ сю
д; I,i" iaiCJlLCiY
на
Тсо;н
Ш;
13.6
(П) следует дословно по(П), з,,; ,сни;; 130 13ссх
13.5
ifiik.
"1ЪЮ докаЗ"на.
3 а'м е ч а н и я к т е о р е м е 13.6.; Как и в предыд'(" iей
'1';111)(
!i'OPC'I'C 13.6 (1) н; ра13; Ш'1'130 ifiik ~ q
заJ\Iенить на {fiii; < 1.
2) Пр" L = 1 РИiНак KII; ,и ЩJiДi "ной
«Ш д;йствует». J\Iожно сослаться на два примера, ,'('казанные в соответ­
ствую;
3)
ieM
замечании к признак'('
lаламбера.
Возникает ТliiПрiiС о тны, КiiКiiЙ из 11:ВУХ призн 'КiiВ, ДаЛiiмбеРii и,iи
КiiШИ. ЯТlЛii"ТСЯ бiiЛi'i' СiiЛЫii.iМ. ПРiiаТТii,iИЗiiруе'"
этiiт ТliiiipiiC ТI iiТТТiiШПТИii
пришаков
и Коши, взятых в nредеЛЪ1iОЙ форме. Можно доказать,
из СУЩi ств iваnил n,редела (1;;.21) 6ЪU7'iJ;;аеп' СУЩiст6iiва1iие
дела (13./6)
ф;,,'т п!'uе1iстi!i' этих пределов. (Р10каsaтельство пТ'иведено
ТI 11: 'Щ).iТТi !!ИИ 1
этой
Обрат!! 'е ТТi ш·ртто.
са \!ОМ
леп<о убе­
диться в тоы, ЧТО для ряда
~(-1)k+з
(13.28\
2Н1
L
k=
предел
(13.26)
i .... щi·ПТl\Тт.
сушествует И] авен
1/2 в то время
;;,,\ Коши
Тiii\ИМ образ;"", ттриз
как П] едел
(13.J1) воо!)ше
iblTbl\i, 'ii'M
БО"iее си,
пришак ДалаI\lбера, ибо всякиii Т'а!, когда действует пришак Р1алаI\lбера
деiiствует и пришак Коши и выесте с теы существуют ряды (наПРИI\lер" ряд
г
1;;.28)),
43')
lOЛО,;llТЕIЫ
1.lbI
,n:л;; которых ·,.еЙс, пу("г при 'П11(( Коши И пе m'йстпуе'( при:~ттак Да-
л"мбср"
па "'го, призпа(( Дал ,мбср" па практИ«с употрсбл и'тся
чаще. чем П] изнак Коши
1)
р и м еры.
Иссле. ,уем вопрос о с (одимости ря 'д
ос!
L
k=l
При( "НИ('
Pk=
'РИ.шак Да
'IХДСJlLi
( д)"
-k~.
k!
(Ik)k
]Jk
(1;1.30)
На основании
13.30
liш РНl
;"-+х
]Jk
1,
т. С. ряд
(13.2 1}) сходится.
Из, чим вопрос О сходимости ряда
2)
ос
L
(1;1.31 )
k.
А=1
IIрименим признак Коши в предельной форме. Имеем
ifiik = -vk
.
2
На основании
1
!yГpk=-
(13.32)
(13.32)
kl1
(;;-+х
vk=-<l
2
.
Таким
образом, при_з~ак I<оr:rИ'~'~та~~вливаеТСХОД~l\ЮСТ_Ь ряда (13:31).
ИнтеГРЙЛЬiiЫИ ПIНiЗiiЙИ. КОШi'i-Мйи.лорена, Пр"з,
и Коши оказываются непригодными для выяс­
4.
ки
l аламбера
нсни"
рядов
130111",,'а
сходи·
,;;" 'ТИ ,;; 'КОТОI ,.!Х
с положительными
ЭТ"Х Щ
",3,
,С
членами.
"с ,ЛЬ
130[[
ак,
"1';;,
liстрсча,()щихс"
например,
с помощью
'ХОДИ\'юсти ;;,бобшсн­
ного гармонического ряда
(13.33)
(;; 1
х
любое ве! !ественное число).
..1ля вычисления
lill1
.-++
следует П] ологарис.j,мировать выражение
и применить правило Лопиталя.
ря..·ЮВ
2 мы
pacxo.i.
ряда
iиi"i
ля
j'l\Я
}'i'Шii llШ Ш, Ч'l'ii iрИ
о; Ц)LПЪР'
iZiiПрОС
О
~
1
(133:\)
сходимости
iQЛО/;iti 1 Л'ЛLi i,iМИ
iрИ'iН!iК СХii.i,ИЩН·ТИ
lСi"i 1 iИ.
которого, В частности, бу,iет вытекать СХО,iИМОСТЬ РЯ,i.а
iрИ а
ЭТiii О
ЭТОМ пункте мы установим е; ,.е один об-
при
iiЗ
(1:\.33)
1
Теоре,м,а 13.7
теоре,м,а Т(О?lш-Ivlа1\,лоре'/-l,а). Пустъ
фу?!'К'Ция (i) Н10mри'ЦатеЛ!;,/-(,(J и
60ipacmaem 6C'lOiJY ?!л nо­
луnря.моU х ? т, где m - любоu фи'ксиро6анныi1 номер.
огда
'ЧиСЛОi ой ряд
f
00
L J(k)
=
Лт)
+ Лт
Лт
1)
(13.34)
2)
k=m
и п;·олъ'Ко 6
слу'Чае, 'Когда СУ'Щi С'!Л6уеп , nре
nоследоuателъности
сходится 6
дел при n ---+
n
аn =
(13.35)
/J(X)di
тn
д
з
т С л
ПУСТi, k - любii[.:; HOi.iCp, yДill,lC, а х - любое значение аргумента
1; ~ k. Ti 1'
iQ УСЛOlзию
f(1;
творяющий условию
И.i
мента
k- 1
L С
k
m
возрастает на указанном сегменте,
то для всех х из указанного
сегмента справедливы неравенства
f(k)
~
х) ~
f
f(k - 1).
(13.3Ii)
f
ФГiКЦИЯ
х),
ра ii и ' ;t
1iQiii1'1'iiННОЙ,
рируема на сегменте
~ х ~
(см. п. 5 § 4 гл. 10). l;олее того, из
нерав! ЮТВ (13.36) и из iвойства
(см. п. 1 § 6 г . 10) вытек ;;''1',
что
k
/
k
dx
k-l
~
/
k
f
dx
/
~
k-l
f
dx
k-l
или
k
J(k) ~ /
Неравенства
(13.37)
f(i dx
~
f
- J).
(13.37)
установлены нами для любого
ЗапишеJ\.f ЭТИ неравенства для значений /: = m
.m
k ? m
2 ....
1.
,n,
г
441
ЮЛО) <llТЕ.IЫ
lolbI
люб )1С; НО))С! о,
,р,
1)
J(Tn
~
()) d:J:
J.
m
+ 2)
/(т
~
2
/(х) iJX ~ /(т
+ 1)
т+
(n)
JЛХ)
~
d)
~ ЛN
11Складывая почленно записанные неравенства, пол'! чим
t
/(k)
~
J
·.-1
j(1; dx
L j(k).
(13.3S)
m
Договоримся обозначать символом 511 n-ю сумму ряда
(13.34),
равную
n
IIриняв это обозначение и учитывая обозначение
СШДУЮЩi)
"'р, iюооаiЪ
(! 3.35),
мы мо-
(13.3S):
(13.39)
Неравенства
(13.39 позволяют без труда доказать теорему. В
(13.35) ()чi
что lli)' )iOД{)){))'1'C
д)'ш." из фОР\'iу
ность {а n } является неубываЮi iеЙ. Стало быть, для сходимости
этой посшдоват)'льНl)('ТИ НI'{)бходима и до('таточн))
ность.
диi,)
и ДО("1'))iОЧ)
неравенств
нич)'на
()гранич)'н­
Iля сходимости ряда
(13.34) в силу теоремы 13.2необхо­
ОГР))ЯИЧ)'ННОСiЪ ЮСШДО13))iiOJlLi
ОТе) {5 u }.
з
(13.39 вытекает, что последовательность {5n } ограи '1'{)
тогда, когда
ра)
lli)'
тогда
ность {а n }, т. е. тогда и только тогда, когда последовательность
а u } <ходитс" .
доказ)ша.
р и м еры.
Прежде всего применим интегральный
ПРИ.шак Коши-J\)I)),клорсНi), для выясн)'ния СХОДИJ\Ii)('ТИ обобшо)'н­
ного гармонического ряда
раСС i ))'1ОРИ13аiЪ как
функция
j
(13.33 . 1Iосколью' ряд (13.33) можно
iрИ m
1 j(1;
~ и
13ида
(х) убывает и положительна на полупрямой х
~"Ca
1,
ря..·ЮВ
,рос
(ходигюсти ряд!!. (133;\) ЭК13И15 'ЛСН'l'!
мости Ю(
"ности {п n
'.С
l-а
,росу о !ходи~
при
1
при
=1
Из вида
1лементов а n вытекает, что последовательность {а п }
, 111 сходил
Я
,ри а ~
1
и сход, 1"Я
1
1
'1--+00
при а ~
1 (ЭТi1
сходится при а
рсход,л 13 ряд
ри а
Г' та1
>
частности,
(13.
рич!
1,
аким i1бр" ЮJ\.f, ряд
1ХОДИ!,ЮСТL
при
а
юсшднсм
расходится
дру, И 1 '
юсобом) и
2 ряд (13.33) пе~
КОТОР!11 о
утверждать.
2)
Исследуем вопрос о сходимости ряда
00
L kЫЗ k'
(13.40)
k=2
дс (3 - Ф,1К1'ИРО13 111
1i1ЖИТС "нос 13СШСС, 15С1
ЧЮ
(13.40) можно рассматривать как ряд вида (13.34) при m
J( х)
= --,-. 1Iоскольку функция
:" l1!' Х
=
2и
(х неотрицательна и не воз~
раст "'т Н11 полупрямой Х ? 2, ВОПрi1 1
СХОДИМ!11ТИ ряд" (13.40)
,квивалентен вопрос',' о сходимости последовательности {а n .},
где
n
ап =
J
1
--.-,хl11
di
~{
2
1111
З Х
1- 3
X-
l1!
lnl; I -
n
вытекает,
(13.40) сходи'!iСЯ при
3
х=2
Х=.!
Из вида \Т[ементов а n
iХОДИТС.! llрИ (3
1и
5.
1111
1
n -
11,1-З
1
fJ
ln n -
что
111
ln 2
при
(3
при
(3
i=
1,
1.
последовательность
fJ
Щ1,1
~ 1. Тii'iИГi
и рп.сходится при (3 ~
Признак Раабе. Пришаки ДалаI\lбера и Коши были основаны на
ср,шнении Р".i.iмаТРИВ1Н'МiН'ii ря
РЯ'n:iiI\l, ПР!''n:СТiШ.Шi!Н'1ИI\l .iобоii
CYM1iY
геОI\lетрической прогрессии. Естественно . возникает идея о получении бопризпаксш,
остто 11ШТТЫХ
1111 .ipan
1П1ИИ
расе· 1припас'·1ОГО
ря
с
др' ГI1I\1И стандартными рядами, сходящимися или раСХОДЯШИI\IИСЯ «медлен-
''''М
pi1'n:
ЭТОМ
'1.Ш г!'омстрической ттрогрессии.
'. 'Ы
призпак, iiСТТСН11ШТТЫЙ па ср шттсттии расе·"
триваемого ряда с из' ченным в п] едыд! щеI\l пункте станда] тныы рядом
(13.411
443
lOЛО;,;llТЕIЫ
Pl.lbI
пр ninaiii
'1М MiipOB
,,'ото?
1
iii+l
k,
или
1iOMepi' k, сnр: i.едлиi О Ноер: i'е1iстiЮ
0'0
1
1 ,
2)
(1342 i
р:
х
то р.я,д ;-:
сr:одитс.я,
Ph
k=l
П.
;уще;rnвуеrn чреде
'!
[. (1
1П1
k-+=
- РАс+1)
- - =L,
(13.4;;i
iXJ
С.Т iJu ii;.я, 'ipu
2.:]Jk
то
>
L
1 и
<
L
'ipu
1.
Ас=1
"б ,iЧПО паз ,ШiiНЛ iiризпаком Г iiiбi' в
форме.
О к а' а т е л ь с т в о. Раз ;ерем отдельно теореыы
1)
ДЛii ·i.Оiiаза·i i'.ii.(iT"·· Te"pi'M ,i
1 ПСРi'пише'··
{ РН 1
q
Так
iiaI< q
>
>
ПiiЙ 'iiiТСЯ пск(л
1,
+
п ii()i.ie iпей фОР'·.iУ.Пi'
:> 1 _ ~}
"/'
(х
+ х)'
2 § 15
)"'n:iiПЛi' iПiiрiПОЩСС Пi'ра-
цо фОРI\lуле Маклорена с
г. i. 8) бу н'м иметь
+g'
= -l/k. iiО.i)"ЧИМ
1-:::' (1)
k .
k
(13.45 i
g
g(1/k)
ПОi кольку цоследовательность ~ является бесконечно I\Iалой,
пексл "рого п; Р. 'i'pa
ko
(13.45)
и
(13.46'.
14)
на-
(13.46 i
а.
ШiЛУ П1I\! НСРiШi'НСТВО
1
Срап iПТИi' ТТi рапеП i тп
то
спр iШ''n:ЛiШ'' ТТi рапеП i тп"
g(l/k)
~~q
СОШiСТiШiЯЯ
пи,n:е
(13.44)
k'
"POi' 'iiiСЛО
>
венстваы q
Q
1. Рюложив ФУНКЦИЮ
"CTii п'чным ЧЛi'Н"" П фор'.!!· lсано (см. ц.
1и
(13.42)
пер iiiПТСТ iO
и
q
k
(ц] и
(13.47
k o).
17) ,n:aeT
(цри
k ?:
]Jk
1 По ;еф Людвиг Раа (е -
швеilцаРi кий математик
yi)
l i,онечно, цри ЭТОI\l цредцолагается
что РЯД
2.:
Pk
ЦО к] ailHeil мере
Ас=1
начиная снекоторого ноыера
имеет строго
nОЛО:J/CnтеЛ'Ь1iЪ'.е
"iЛе1iЫ.
ря..·ЮВ
Р(+l
Pk
(k
k-1
>
Поскольку !,яд (13.41) схо'iИТСЯ при Q
неравенства (13.481 и теорема сравнения
1 и расхо'iИТСЯ при Q = 1, то
1:\.4 позволяют утверждать, что
ос
ряд
I: Pk
сходится (расходится). Теорема
1 доказана.
k=l
2) I'о'ШО а1< же. ка1< и
му П К теореме
1. IYCTb
П" "пределению предела
Ik (1
с 1<ОТОРОГО
призна!<аХ Даламбера и Коши, мы Сilедем
сначала
L> 1.
Полшким с
(13.4:\" для этог"
LI < с,
]Jk±l)
ео! е­
L 1
= -2-' q = 1 +:0 = L
можно YKa:~aTЬ номер
с.
на-
,стало б,.I'1"1., спране7\ЛЮЮ ле,юе
<
"еране"стно (13.42). Если
о . ".[ !юло !<им с =
и, испол,.зу<
определение предела (13.4 \!, получим, чт", начиная некот· .рого номера f!o,
справедливо правое неравенство (1:\.42). Теорема 1 \.' полностью доказана.
3 а м е ч а н и е. Отметим, что в теореме 1:\.!·' (1) в левом неравенстве
(13.42) неш.З<
q= 1
,'l'OM СХО7\ИМОСТ,. р<ща . Ю<i<ет не и\,е!'Ь . ,еПри L = 1 теорема
(П) «не действуел> (в. ·!можна и ''Ходи]\шсть,
и расходимосГJ. ряда).
При м е р.
Исслед.. вать вопрос о сходимости ряда
х
LPk,
где
{а =
const
> О).
k-')
Ле! 1<0 про!\ери'!
'ло "ризна1<i' Даламбера
Коши н "ри\,е"ении к
ому
ря !у ·,не 7\еЙствyr· ,Лс. 1рименим признак Раабе. Легко проверить, что
Нетрт!но сообразить, что последняя 7\робь при k ---+ CXJ стремится к произ­
водной функции аХ в точке х = О, т. е. стремится к ln а. В силу признака
>
>
Раабе рассматриваемый ряд сходится при lna
1, т. е. при а
е, и распри ln а
,т.
при
нопрос О сходимости
ряда требует д'шолнительного исследования, так как при:~нак Раабе «не
<
7\eiic!
!\\'е
<
Дрyrи\, примером ряда, н примене! ии к 1<ОТО! о\,у
ел. пришак Раабе, может служить ряд
6.
«
,е дейстну­
(1:\.40).
Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже отмеча­
ли. что признаки Даламбера и f<Оii!И основаны на сравнениях рассматрива-
емого
для
'равнении с
. 'сте'
reor.,e !'l)И'lеС!(оii
про,рессии, а призна1<
'аабе
медленно сходящимся {или расходяшимся) рядом
- на
(13.41) .
твенно, во:~никает вопрос о том, 'Не существует ли та1;;ОU у'Нивер-
м· ')'еn'Но!)
'Не'Ние с 1;;отор'ь,'
(-
р.\.д,
позволило бы сделат,. за1;;люче'Ние о сходи . ·,!ости
расходимости) любого 'Наперед взятого ряда
или
nОЛО:JICител\.'Ными чле'Нами.
ШЕе>; ГТЪI
;'шше; С;,Л1
f\B;,
;юг() РЯf\;'
11,;
"б"ш;,чим "Ю\IБ"Л ,ми
сх, 'дящих;;я ряд;,
и
"';"тв; т-
,Х·
с;; ;;;'н
Ю
что Р; д
их
р.яд
11,ee,
Pk,
Е;'М
если
щег"с;' р; да су" еств;;ет
I:
что для nа;нсдого 'ходя
медле11,nее
само'
,Х·
деле, ,;ус';
I:
любоii сход;;щи iся ряд; г n -
-
его nй ос ;а';ок. До ;ажем,
k='
что ряд
p~, где 1) p~ = ~'Гk-l
y7k, сходится мед ;еннее, чем ряд
-
00
самом деле, если г' -
nй остаток ряда
I: p~,
ТО
k=l
lim г n = lim ~ =0.
n--+,Х· T~
,''-,--+00
vr;:
Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с
которым позволило Г;Ы сделать заключение о сходимости любого наперед
изя ;'ОГО с;;о';яшегос;; ряда. В само'
';еле, если б;,[ та;юii уни;;ерсальн;,[ii схо-
,Х·
д;;щи iся РЯf\
I: Pk
сушес;; ;;о;;ал,
О,
f\ля не;о ПОС'l'роен;;ый ;;ыше ряд
k='
мы ПОЛУЧИЛИ бы. чт"
lim Р; = lim
k--'"
k--'"
rk-l ~ -
г;
VТk
=
Таким ;;;';ра:юм, из сраВ11,е11,ИЯ срядо','
lim (vrн + vrkR
О.
k-+(X)
Pk
11,елъзя сд;;лаmъ заnлюч;;11,ИЯ о
00
I: р;.
А;шло;и'шо f\оказ;,шае'; ся О'; с;' ;'С'; иие ; ;;;шерсаш,
k-l
ного расхо';ящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать за­
ключение о расходимости любого наперед взятого расходя ;;егося ряда.
§ 3.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды
1 ПОRI5:RТИЯ абсолютно
условно сходящегося ряда,
Теперь ыы шрейдеы к изуч~нию рядов, чл; ны которых являют­
СЯ вещ~ств~нныыи числами
,;,бс:го ;нака.
Оnределенuе
1.
Буде,м называтъ ряд
(13.49)
1)
За
принимаем всю сумму
I: Pk.
k-l
ря..·ЮВ
т
н
() J
()
ее!!·;!
00
L
k
что
iiИ [!П!
!!fipe1\e.!ieii
iie
Ci·;a:~af!O о 1'ОМ, пре
ПО.!iага,тся ли при :'JT,!M СХО1\ИМОСТЬ са1\ЮГО РЯiiа
(1:3.49).
UKa:bI-
'i!!~ТСЯ. т !i';O~ ПР!Дi!ОЛОЖ!НИ! оказ,.!.ЛОС:!. бы излиш iИМ,
В!
"iip'!-
i.!iИва СЛ~1\\'!!'щая T!op~Ma.
Теорема 13.9. Из сх idUMocmu ряда
ди.мость ряда (13.49).
Д о
з
О.
ШИ 1\.!!Я РЯ1\а (т.
Bblm"x:aem схо-
(
Во! i!ОЛhЗУ~М!'Я i';РИТ~РИ~М Ко-
13. ). Тр~бу~тся 1\ока:шть, что 1\.!!Я
HOM~P N 1'aKO!'i, '[1'0 для iIC!X HOM~POH N,
>
люСю! О G
О
iiiВШТВiiРЯПЩИХ • СЛОВИi!'
~
, и 1\ЛЯ люБОГii натуральНi то р
n+р
L
< с.
!ik
kn+
любо! G
> О.
Тю; i·;aK руд
(13.50)
С:ОДИТ! Я, 1'0, R ! илу
1'!OP~MЫ 13.1, Н!!ЙД~1'СЯ HOM~P N Т!!i';ОЙ, ,[то Д!, ilCTX HOM~POH N,
iiiВЛiТВОРЯПЩИХ \'СЛОВИi!! n ~
, и 1\ЛЯ любого нату] ,аЛЬНiiГО р
n+р
L
k
ИМ~Я
iIИДУ.
что
lltkl
n+l
МОДУЛi.
!'уммы
ii~! i·;ОШ,t.f
ВiiСХО1\ИТ С! ММЫ ИХ МО1\.;Ш й. мож~м
n+р
k
слага!'
;аписать
n+р
L
!ik
:(
k
n+
Н!Р !il,RCT!','
3.52)
С.
L
(13.52:
Iщl·
( ::.53)
n+
(13.53:,
получи.' Н!Р !il,RC[ ilO
). Т!ор~маюка :ана.
Оnределе'Н,uе 2. Ряд (
на8ыаетсяя у с л о в
д я 'Щ и .М с Я, если этот ряд сгодшnся, в то вре.мя
о с х осоот­
r.;ar.;
ветствующий ряд из модулей (13.5О) расходшnся.
абсоЛ'!отно СЮ! !ЯЩ!ГiiСЯ РЯ1\а мож~т СЛУiЕИТЬ ря
00
1) k
ko.
1
= 1-
~
+- -
40
+ ... , Г1\~ а
1.
СХО.iiИТСЯ абсолютно, ибо П] 'и а
СХО1\ИТСЯ ря
ПРИВ~1\~М приы!р условно СЮ! !Ящ!гося РЯ1\а. Докаж~м
и УСЛОВНО, Х{,
ШЕС
'1
Г
447
1.·lbI
ос!
L
!,=1
1
1
2
3
Так как со, тветствую! !.ий ря
и:~ МО1\' лей (га] .1\юническиЙ РЯ1\)
как мы '.'же "',насы, расхоJшnся, то i.ЛЯ
,·ходимост,i ряд"
+
n
iOKa"',aTe.ibcTBa
условной
(13.54) до,.·'Га! ОЧ!Ю до !.;" зarъ. '!'ГО
ряд с:о-
1\ИТСЯ. Докаiffеы, что ря t13Jll СХО1\ИТСЯ к числу 1п 2. В п. 2 §
гл. 8 ыы получили разлож, ние по форыуле l\liiклорен" функции
1п(1+х)
2
.з
Ь(1+x;)=x-~+~
Там жешя всех х и: сегмента
о !iяка ос, ifТОЧ!ЮГО
l)n-l Хn +Rn+ х). (13.55)
4+"'+
U~
n
х ~
по. !f·чена С.:lе1\упщая
Ч !е!ш:
IR n +1
1
x)1
+1
и (
Полагая в
1п2=1--+
::.56)
х
= 1,
БУ1\ем иыi ть
1
з
г
(1) I
n
1
И.:lИ
1[1-~+~-~+ ... + ( 1~n-l] -1п21 <
()Гюзначая через
Sn
n 11
n-ю частичную суыыу ряда (
3.54), мы мо­
жем ш {уписать пос. [е1\нее нi равенство в ВИ1\е
ISn -1п2
<
1
n+l
.
им обр;,'1.ЗОМ, Р;,'{З fOCTh Sn
111
пр< д,СТ jl:~ЛЯ~ГГ саБО!-l ;'ССКОН< '{но ма.:lУЮ ПОСl' юваТi .ilbHOCTb. Это июка ыветT СЮ 1 lИыость ряда (13.54:
1н
2, О персстановке ЧЛСIН. Н.i уСЛОШ.НJ CHO,.'j,.fR.11R..CrOCfR. ряда,
им
из Rаж!!еiiших
1ТiОik'ГR
1·УММЫ коне'!но, о
'!исла Rеще­
ственных слагаеыых является nеР'·.iVkстuтелъное свойство. Это
1·BO:t"kTBO
утвеРЖД118Т, что от пере1.·тановки 1.Л1.1Гi.18МЫХ СУЫЫ11 не
меняется. Естественно, ве1 :никает вощ .ос, остается ли справе1\ло
1ТiО!fi·'ГRО
для су.··
с;.:одящеГО1.·Я
рЯД1.f,
. е.
.iVюжет
лu U8.iVLе,штъся CY.iVLMa сходящегося ряда от nерестанов'Х:н чле­
нов это?о ряда? В :'J'ГОМ !lYHKTe мы RЫЯ1·П1М
RОПрО1.· R о'Гно­
шении условно сходящегося ряда. l\lbI начнеы наше рассы, 1Т]У
ние с и :f·чения некоторой конкретной ш {установки ч. [енов ря;!а
ря..·юв
Для удобf1'Кf
(13.54)
RifДe
54)
1
1-!
1
в i·;Оiще преДi.fДущего iiYHKTff
и имеет суыыу
-
1
докаЗf.f.Лii ЧТО ряд (13.54) (·хоПереставиы тепе]·ь члены
ln 2.
бы посл~ 01\НОГО ПОЛОfЕИТ(ЛЬНОГCf ч. i~Ha сто
яли
.iiblX fiЛ~iia. В р~зут.fff1'( 1'аi·;ОЙ ii~P~f 1'аНО;Кii
чл~нов получим ря
4~) +. ..
1
!k - 2
ДокаЖf
ый
Р(ЗУ'Ъ1'аi ~
fзанной ii~Р~f"ГfНОi;КИ
Yi·;
ря/
М~iЪШУЮ,
(13":)7) СХО1\ИТСЯ и иыf
(13.54:. Будс" оБОЗНffЧffТi.
с\"ммы РЯ1\ОВ
и (
чл~нов РЯ1\а
7)
сиыволаыи
13.57)
Sm
(т с\мм\, в.шо(
тn-( fffН"1'ИЧНi.!~
И
COOTB~TCTB(H-
iЮ. Мож~м заПИCff1'
1
4ff -
1
2
4k
(так.
Дат f '. Cfч~ви.;шCf, что
S~m-l
1
-S?
2 ~т
S';m-l
ПОСКОЛЬКУ
Ет
m-+х
, (
liш
т-+оо
И
S2m
(
= -S,
S,
+4m
13.59)
+ -4
1 2'
в ПР~1\~Л~ при
ш лучиы
т-+оо
S~m-l
=
~··S'
2
liш
m
с (мы;; О ·;Oii iaТ~ЛhНО ДОi·; fзано, fi1'O ряд
iiМ~~1' СУ:' ".fY" раRiiУЮ
1
"2. i- S.
3.60)
Т11.
-S.
ПОСКОЛhКУ
S
=
2 =
(13.57)
2
i-
-S.
С:ОДИТf я
О, Яf iЮ. fiTO
CTiL7IO быть, в результате У1ИЗШН'Н,Ой выше nереста-
'Н,ов1Иl чле'Н,ов су,м.ма услов'Н,о сходящегося ряда (
uз.ме'Н,u­
лас/). Рассмотр~нный нами конкр~тный прим~р пока:~ыва~т, что
44~)
lИЕС~l Гl.·lЫ
УС:1ОRI1О ~'ходящий~'Я ряд не n{)./uxJaeiYi Т!~P~ ·~E.ec п1!.т~ л'/)н ;К.М С;Ю1t­
~·rnло.М. ПОШfУЮ я~ f1ОС~ h
на суыыу УCJЮВШ~
RОПрО~' О RШfЯНИИ ffepe~ 1ННОfЮf'; ;шеf1ОR
cx\~ шщегося РЯ1\а вносит сле1\\'1i;щее
'Ге. 11.f1Ое .'/1'Rерждеff
<аыеча-
flрfffIaд.
Т{'орема
3.
y~
то. 1'О;{УХОШ 'НЛ1U'jНд ('!.! ~tЛj(); 'Ч'/J,/
.MO:J/C
но та?;' n;'реставшnь 'Чле'Ны этого ряdа, 'jтобы nреобразован'Ный
ряд сходился n 'Чис/!у L.
Д
к а
а т
л ь с т В О.
Пусть
13.61
ltk
1
k
Щ JО]Т;В, льный
\'C.ilOBHO схо;шщийся РЯ1\. Об" шачим ч~р~;
iiоложшnель'Ные 'Чле'Ны р ТД~~ (13.61), Rblfl
ffbl'
В
таю~м
ПОРЯ1\Ю.
В
какоы
они
стоят
В
·jТОЫ])Я
. а ч~р~;
ql, q2, qз ... .моJ.iули отри'Цат~iЛЬНЫХ ',Шiнов ряда ( 3.6 ). выпиcaHHЫ~ В такоы
ПОРЯ.;fК~, В какоы они стоят В :'JTOM РЯ1\~. Ря
(13.61) соД'ржит бесnоне'Ч'Ное 'iUсло
положительных. тап и
-
,Р2,
, ...
отрицатель'Ных 'Чле'Нов. ибо ~С:lИ бы чл~новшогошака бьго
f,;Оff~'ff1О'
'~i1fЛО,
ТО.
ff~
liЛИЯЮЩ"
fIa
С:ОДИi)О;·'Гf.
f·;O-
ff~Чf1О' чисю mрных 'fЛiНОli. мы бы f1ОЛУЧИ
ряд. ;'остоящий
и; ч.'liНОВШОГО :~нака,f.;Ш которого СХО1\ИМОСТЬ ,у;нача. la бы
абсолют'Ную ;·ХОДИМОСТh. И'Гак. С РЯДОi\'
СRЯЗ jffbl
(13.61)
;'СС-
кон~чных РЯ1\а с nоложшnель'ныlivшш чл~наыи ~ Pk и ~
k
k
1\~M обо:~начать ш рвый и; :'Jтих РЯЮВ символом Р. а вт, .роЙ ;'ИМliОЛОМ Q. Дою~ж,
'fTO об;~ ряда Р
Q ЯR ;яют;.·Я Р ;;'ходя­
щиыися. Обошачим симво./юм Sn n-f!' частичн\'i' с\'мм\' РЯ;fа
(13.61).
;'ИМliОЛОМ P;~ -
CYi\"YY liCiX f1ОЛОЖИТ~ЛhНf)
'fЛ~f1ОR, liXO-
1\Я; ;JIX В Sn, СИЫВО.ilOЫ Qn - с\'мм\' МО1\\'ЛiЙ ВС, Х ОТРШfаТiЛЬНЫХ
'fЛ~f1ОR ю:одящих R Sn. Тогда. О'f~liИДНО S~.
Рn - (Jn
'ГЮ;
как по УСЛОВИf;; РЯ1\ (13.61) CX\~ lИТСЯ к Ш юно] JOM\' числу S, то
lim
[·-+х
(Рn -
сто] J'шы. так как РЯ
Qn) =
::.62)
::.6 )
'Не сходшnся абс iлютно,
то
liш
13.63)
(
n--+оо
{13,(;2:
{13,(;3:,
получи!.
кон~чного
числа
п~рвых
чл~нов
:'Jтих
РЯЮВ.
и; оставшихся чл~нов как РЯ1\а Р. так и РЯ1\а
.5
= 00, liш
Qn =
n--+"
. 1\ока:шно. что оба РЯ1\а Р и Q расхо;штся. И:~ расхо.;lИ~
р YДOli
И Q
'fTO даж, f1ОСЛ~ удаш ния люСю; О
= 00. т.
МОСТ"
liш Рn
n--+"
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
ыы
Q
ВfЯть
СТ, ль большо~
РЯ.lOВ
"ЩЛО 'f.'feHOf; что ИХ
"ЩЛО. Опир 1ЯСf. Н1.'. Эf
ffре;зойде'Г ,'fюбое н 1ffеред нз лое
ДОf';ffжем, ЧfО можно 'Гак переС1;1-
вить члены ИСХО1\НОП; РЯffа
(1361),
чте; в pe:~y.ffbTaTe получится
ряд, с:одящийся к ;jffеред нз ЛО\fУ 'fИСЛУ
ПО.f1.·ЧИМ требуемый РЯ1\ c.ffe1\\ 1f;щиы
исходно! о ряда
(13.61)
P01JJfO
L
В С1МО:: деле. мы
Сначала выберем
с УШ/!/Ы;!О положи'Гел .ТТЫХ 'шеНОf;
Р1, Р2 Р:3,··· , Pkl ' чтобы их сумма
+ + ... + Pkl
превзотпла L.
'sатеыюбавиы к выбранныы членаы ров 'НО ст iЛ'ЬКО отрипатель-
q1, -q2,··· ,-qk·" что;'" оБЩ;1';'
Р1 +Р2 + ...
q2 - ... ока ;ал ась меньше
снова 1\оба~
f;и:: ров'Но столъко fюложитеЛhНf.f··: члено; Pk +l,Pk
, ... ,Р k з,
чтобы общая суыыа Р1 + Р2
Pkl - q1 - q2 - ... - qk2 +
+ РА 1 + + ... + РА ока;алась больше L. ПРО1\олжая аналогичные
ТТЫХ члеfЮН
q 1-
. . .+Р А 1 -
рассуждеff
Д;1лее, мы fЮЛУ fИМ ;'еСf,;онеЧНf.f
торого ВОЙ1\;;Т все чле'Ны ИСХО1\НОП! РЯffа (
ряд. н ;'ОСТ;;1' ко­
::.6 ),
ибо каж.fыIй
раз Тта:: ffриде ;;'я добанл пъ хотя бы оди'Н fюложитеЛhff1'
или
отрицательный член ИСХО1\ноге! РЯffа. Остается 1\OKa:~aTЬ, что по­
лученный ряд СХОДИТ1,'Я к
Заыетим, что в полученноы ряде
ПОС.ffе1\овате.fЪШ!fУf()ТСЯ груnnъ! поло шител'ы!ыlx И групп'!,!
отрицателъ'ныlx 'fЛеНОf;. Ее!
Ч;1(;ТИЧff 1Я 1'умма lю';уче f1ЮГО ря-
1\а :~аканчивается пол!! iстъю заверше'Н'Ной группой, те! отклоне-
ие лой ч ff''ГИ'fноi! 1'УММЫ О'Г
1l0с;еД11е! О е! о ЧШИ;1
L 11е 1fp1 нос:оди! модуля
. Е1ЛИ же Ч;1(;Т1·1Ч11 1Я
ется 'Не пол!! iстъю :юверше'Н!!)11 группой, то отклошниеfТОЙ
О'Г
L 11е 1fренос:оди! модуля 1юслеД11его члена пре1\ПОС.ffе1\неЙ и:~ гр;;пп. Д.frя установления СХОflИЫОСТИ
ряда
L ДО1,''ГЮО'ТНО убеД11'Г1.1 я
'ГОМ, 'Т'ГО модули 1юслеД11
членов групп
бесконечш! ыаЛ'у!f\ посшювательность.
а :'11'0 неП01'реД1'твенно BbITeIOfeT из необходиыого условия 1,'ХОДИ­
мости исхе!шого РЯ1\а (
::.6 ).
Теорема Римана 1\OKa:~aHa.
О перестановке членов абсолютно сходяще, ося ря­
да.
п))fыI\;;щеыы пс;нкте мы!Ока;али, что услов'Но сходящийся
ряд 'Не обладает f!ере,местителъ'Ным своЙство,м. В :'J'ГОМ пуН!·;­
'ГС мы докаже
'тто для вСЯi;;ого абсолют'Но сх:одя JJегося ряда
справедливо nереместшnелъ'Ное свойство.
3.
Теорема
13.11
(теорема Коши). Если да'Н'Нъи'l рнд схо­
дится абсолют'Но, то любой ряд, nолуче'Н'Ный из да'Н'Ного ряда
nосредство,м 'Не!;fоторой nереста'Новки'fле'Нов, также сходится
абсолют'Но и имеет ту
СУМ,МУ, что и да'Н'Ный ряд.
Д о к
з а т
л ь с т в О. Пу;'ть ряд
ос!
LЩ
::.64)
k=l
l) Ибо мы ';обанл;е"
f\аШ1"'Г; груп !у 'lлеш.! рон!;о ';о
общая сумма ,'не переЙдеп. через число
L.
е;; пор, пока
lИЕС~l
Pl.·lbI
00
LU~
(1365)
k=l
ряд, полученный из РЯД1J.
(13.114)
llосреДСIНОМ llеЕОТОРОЙ llере-
~~Т~~:~Т~~ИС~:I~~;;Тlр~шную s; tO~~~~~;~ l(l~~~f>~ТДХоДится ~,~~~~~~~
но. Дока/j<ем снача.iта
1).
Е
N
>О
н~;йдется номер
Достаточю~ 1\OKa:~aTЬ, чтс~lЛЯ
такой, что ттри
s
>
ТТРОИЗRШIhное Е
n
N
(13.6(;)
Е.
О. Так кю; ряд
(13.64) ~'ХОДlfТСЯ
аБСОJШ;ТЮ~ и имеет сумму, павную
. тс~lЛЯ выбраню то Е
U
можно указ ;ть номер N o такой, что будут ~ праведливы неравен­
ства
<.::.2
(р - любос HaTypa.ilbHoe число)
::.67)
и
щ _
Выберем теперь номер
стичная с\мма ;~;~; рята
N
s <
Е 1
::.68)
столь большим, чтобы
(13.6<;
с HO~H
содер шала 6се nep6ЪU~
'Члеij 16 ряда
От~еним pa:~HOCTЬ, стоящую в левой части (13.66), ИlOка­
жем, что при n
NТ.lЯfТОЙ ра:~ности справсlЛИВО неравен­
~THO (13.6(;).
?
~'aMOM дел~
n
LU~-
, указ
iНную р~.;.зность можно преД~.·.тавить в виде
(t U~
-
п-1
lOMep
i1ераиеi1С'l·Иа;.~
~ щ) + (~щ -s)
п-1
(13.67)
k-1
3.68)
мож~ю изя ~Ъ p;fU'/i U то;;;
;не<;. В самом деле, предварительно :~аписав YKa:~aHHыe два неравенства с
разными номерами N o , мы затем мол,ем взять наибольн;ий из flBYX номе-
N o.
2) Такой номер
выГ;рать можно, иГю ряд (1:\.6,)) получается и:~ ряда
(13.641 посредством некот 'рой пере;~тановки членов .
.5*
РЯ.lOВ
;·:::к
модуле!]
\:оду.:Ъ
'Го из
су\"
Д;;ух ве.;;
(13,(;9)
iie
iiревос:оди[
:]ММЫ
i1ОЛУ [ИМ
n
-5 ~ L'/},~- L'Щ
k
!ik -
k
k=l
Из Н1р:.:.В1НСТВ
И (13.~O) оч; видно, что для докаЗ::Т1ЛЫ тва
H~paB~HCTBa (13.66) 1I,остаТОЧНОfC)ка ;ать, что при n ? N
(13. ~1
(13.71) З::М~'ГИ\;. :[то 1iрИ n
п~рвая и:~ С\ММ, СТ; ящих В л~вой части (13.71), содер:жит
ДЛЯ ДО1'; :заТ~ЛhСТ;':' 11~paB~1}:''ГBa
Nо ":рвыl' j .лсJ-lовв
( 3.64). ВСЛ~Д;'ТВИ~fТОГО р;,;зность
n
и;:,
k=
-
LUJ:
72)
k=
llР~Д;'Г;R:;
;'обой су\ \;у (n - N o :[Л1НОi; ряд;;
раыи, 'Ка:Jlсдый из 'Кот ipblX nревосходшn N o .
Е; 'ЛИ
1Iaтураш.11О1 р ;'ТОШ. бо:ъшим,
+Р
N
вс:
nревос:годил номера всех (n
у,;азанной Ci;M,Mbl, то для Р;;З11ОСТ;1
110\;:[тобы 110\ 1р
- N o) членов тОЛ'/J'КО что
во i;С;ЯКО\' СЛУ:Ia1
(13.
справ~1I,ЛИВО н1 раВ1НСТВО
n
N()
LU~-LUJ: ~
L
Iщl·
73)
;"=.\'0+1
Из H1P;;i;1HCTi; (1:.73)
(13.67) В1Л~1;;;е'Г H1P;,ii;1HCTi;O (13.~1).
Т1Ы с;мыы доказ;;но нер rвeHCTBO (13.6(;), т. ~. доказ;;но, что ряд
(
СХО1l,ится И им~~т суыыу, равн\';::
. Оста~тся 1I,oKa:~aTb
.'/1'в~ржд~ 11[~ 2) о 'ГОМ, :[1'0 ряд (13.65) С:ОДИТ;Я абсолютно. До­
ка ;аТ~ЛЬСТВОfТОГ1; \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ СЛ~1I,:;Т и:~ \'ТВ~РiЕ1I,~НИЯ ), 1C~
ли
1ГО
При
1iРИМ~11
РЯД;,iМ
Д01·;аЖ1"
;'ХОДИМОСТh i;TOPO; О из рядов (13.~4)
1I,OKaif';bl абсолютн\';:: СХО1l,имость РЯ:1а
полность Ю1 ока <ана.
i13.6;i:.
T10p~Ma
13. 1
ППЕГАllИ:: К
§
lИ"lИС>l РЯ,
Ариф,метические оперi:Ш,ИИ над сходящимися
рядами
в
llараграф! МЫ расс:.IО'ГР:"
'1ле llЮГО сложе11
и
R(Лl\:,
11011POC
х
Т{'орема
';11ОСТ:' 110
11ере:. ножения сходящих: Я р !ДОll
3. 2.
ji,C!!'/},
L
доа ряда
х
~ ;'k с:год f.IYiСЯ
'/},/с
k=l
и и,меют с.! м,мы, соответственно равные И и У
то и ряд
х
L
ltk
± Vk)
сходшnся и имеет C.!jM,Mfi, равную И
± У.
k=
Обо:~начиы n-~ частичны!
Vk) ;'ОО'ГR~'ГС111;ННО '1iр!З
= иn
Уn . Так как 1iш ИN
Д о к а :~ а т ~ л ь с т в О.
L
L Vk
МЫ рЯДОll
ltk,
Уn и SN. TOГi1a,
±
11Ш ~~L = У, то ;огласно 1'; op~Ma:.
n-+х
±
':.9
n-+·х'
3.10,
=
,
И,
;'УЩiСТ1,УЕТ 11Р~Д~i:
±
=
liш Sn
И
У. Т; ор~маюка;ана.
n
Тшиtм образо,м любые сходЯ'iJJ,иеся ряды ,можно i!очленно
сnладыватъ и вы'Читатъ.
П~Р~Xi! lЯ к ВОП] .осу
ния ря юв,
1\OKaij<ibl
BO:~Ы! iЕНОСТИ почл~нноГi! п~р~множ~-
СЛ~1\\ "!Щ!!
<;ТВ~РiЕ1\~НИ~.
хх
Теирема
3. 3. ,",сли два ряда
L
ltk и
L Vl
сходятся аб
k=
1=1
солютно и и,меют су,ммы, соответственно равные И и
составленныu из всех i! роизведениu вида
щ
то
(k=,2 ... ;l=,2 .... )
зану,мерованныlx в nаnо,м уго)но по! ядnе. тш,;ж,
сходится аб­
солютно и его су,мма ра6JШ ИУ.
Д о к a:~ а т ~ л ь с т в о.
1;РОИЗR~Д~11
Rlща ltkVZ
1
Об!!шачим ч~р~; Wl,W2 Wз, ...
... : l
1,
Зii11УМ~РОRа11х
ны! в каком; ГО1\НО ПОРЯ1\Ю . Д! каж~м, чт!! ря
L IWi
СХО1\ИТСЯ.
L
П\'сть
- n-я частичная cYblblaiToro РЯ1\а. Суыыа Sn состоит
и; ЧЛiНОВ ВИ1\а
ИН1iКСОВ k и l таких чл~нов, вхо-
IltkVII.
ДЯЩ11Х
!'УММУ
обо:~наЧИ1\/
.
наиболъшш'l
S .. ,
1Щ~1';С, 1';О'ГОРЫЙ МЫ
111.
Тог 1а в!! всяю м случа~
13.
правой части нсравснства
!''ГИ'1Н г: !'УММ РЯДОR
(13.7';;
L lltkl L
стоит ПРОИ:~В~1\~НИ~ т-х ча­
1. в силу С:ОДИl\Ю!,''ГИ У1'; :зан­
ных пя 1Ов С ПОЛОЖИТ~,;lЬными ч,;;~наыи вс! их частичны~ суммы
(а CT~JТii быть, и их проиш! 1iНИ! ограни'Чен·ы. ПО'iТОЫУ огРШiи-
ря..·ЮВ
',;ТО
t<a':bIB:t: т
И
tим;;(ть
СХО. tим: ;(ть
1.Ui
[;,
Ч1'О п; ;следt шij ряд И;," :;т су .;! ;'iY
Н\'Р;
ряд; ;,':;дится
р:
сумм:!
S
то
Н; .;пm::·'Um от.
6
В
S.
рав-
(илу
j:OiJiOPO,' М'!;:
его 'у чм'Uруем. Каt<Ую бы мы ни взщIИ после ювательность (а
стало С,ыть, и nодnосл:;доваm.:;ЛЫ-tОСТnЪ 1)) частичных сумм этого
[а, она сходитс:t к числу
S.
'Ш: заведомо равна
ибо именно к этому числу схо tится
Но в
Tat<oM
случае сумма
S
[а
ас
L
UV.
i=l
nодnоследоваmелъносmъ
VYm = (Щ
vYm
чаСТИ'i iЫ
сумм ЭТ010 ряда в !Да
+ 'и2 + ... + 'Um)(Vl + V2 + ... + V m )·
Теорема 13. 3 юказана.
3 а м е ч а н и е. ПРОИЗi едение рядов
(х)
k=l
k=l
iЛЯ многих целей у юбно:аписывать В виде
( ~ 'Uk) (~Vk) =
k=l
k=l
-'и
'Ul
Отмети;" без доказатеЛЬСТЕа, '!ТО ряд, iЮЛУ'iеi iЫЙ iю,шеi iЫ
перемно.ж:ением двух рядов у<а:анным специальным обраюм,
сходится и в случае, [<огда mолък;о один из двух перемно.ж:ае­
мых
юв СХОДИТС:i а. ·:ОдlОт.н.о (а
,)той
может при этом
сходиться ТО. iioКO YGTIOi iЮ). В СЛ"'iае, когда оба ряда с:,:одятся
,'словно,
почленное
перемножение
приводит вообще говоря,
§ 5.
их
даже
по
этом,'
правилу
,асход:tщеМУс:t ряду.
Признаки сходимости произвольных рядов
В § 2
[;1 устаtювили ряд iiризнаков сходю.юсти для рядов
С nОЛОJICШJi.елън.'Ы·.":; 'Член.а чu. В этом параграфе мы изучим во­
iipOC
О iiризtiака:·: сходи;,юс;и для рядов С чле iЮ.Ш
";;;010
зtiака.
Итак, пусть
(х)
L'Uj
k=
1) в силу п. 1 § 4 гл. 3.
(13.76)
ряд, чл, 'Ю,l Ю ,'111Р,
имею'! какИ(' УГОД! ю зн;rю,!
,111
з rмети\!, ЧТ11 дЛЯ уст;! 111вле! 1!,fЯ абсолюп;uоii
, т,
е
Пр, 'l}lде
"'1Щ1IМОСТl1 3ТОГ11
ДЛ11 у<таю>вл, 'ния СХ11 lИМ, ,<ти ряда с п' ,ложительными
"'11'н;rми
LUk
Iг1
мuж:но примеЮ1ТЬ любой и; Пl'ишаков §
(признаll Даламбе­
ра,
ОШ!l, Раабе
интеграл fЫ
!!ризнак). ОДl!ако
один
из yrlж;анных признаl10В не дает вu;мuж:ности ВЫ11СНИТЬ (олее
mOH'x;uii вопрос об условноii сходи.мосп;·и ряда
13. (6) 1
Нил;:е мы и;аймемся ОТЫСllанием более ТОЮIИХ ш ;и'шаков,
позволяющих \'станавливать сходимость Р"1Да
3. (6) и ~B тех слу­
ча11Х ког, Щ этот ряд не 11ВЛ11ется абсолютно схо, ЯЩИМС11.
1. Признак Лейбница. ПРИЗ1!ак ЛеЙСНffща ОТНОС11ТСЯ к
весьма распространенному частному вид\ ряда
3. (6),
так
называемому JНaJ;очере1)унnцеЧУСJl ряду. Р11
Ha;bIBaeTC11!'rta'х;очередующ'UJv!СЯ, если 'lлеЮ,l этого ряда 11О0'1ередно и\!е С1Т то
полuж:ительный, то отрицательный
ряд
10
шаКИ.1накочереДУЮЩИЙС1!
записывать так, ЧТОС1Ы бl,l.Шl выя; лен
,1
знаки всех
его членов, т. е. в виде
Р1
?
!де все
-
+ РI
Р2
- ...
+ ( - l) k- 1Pk + . .. ,
(13.77)
О.
Теорема 13.14 (nризнаХ', Лейбница). Е1ди ';/iе'Н:ы!'Нл!;о­
Ч!!jп:дУЮЩ1:гося ряда, будуч'U взят:ь; по Jvюдулю, обраЗУЮП 1 невоз­
растающую бе1'х;nнечно .малую
то этот
ряд сход·uтся.
3 амечание
'яд, удовлетвоl'"!ЮЩИЙ УСЛОВИ !м теоремы
13.14,
'lасто !аЗ1Баю! рядо.м Леiiбнu'Ца.
1) Заметим, впрочем, что признаки Да,"амбера и Коши можно приме­
нять для усmШIiО6ле'liUЯ расходи.мосmи ряда с 'Ч.ле'liа.лш любого З'liШ/Ш
гаfЮМ Дi'ле, Ш'Zlкий раз, Ю1гда признак Даламб1'ра
pf'"
раГХОД11'ШПЪ рида из М1Щf'лей
L=
l1tkl
k-й
(13.76).
К11ШИ к ,,1ссга1'И-
рида
1tk н''
k=l
гегр' f1И
к Н' '1Ю при
k --+ OG,
ПРИМ1'ра УГ1"аН шим, Ч1'О рид
ег. е. рид
fk! (I)k
рагходиегсZl. В ка'1еСП1"
расход 1егсм дли люб11Г"
'=1
>
ванног "" ;~начения
.. '4fвлеТВОРЯЮЩ1'ГО HepaB1'HcTBf'
е. По 1чет 1fЮ'М,
11еп ,греДГ1'веЮ1аи пр"ш'рка 1'01'0, Ч1'О k-й
расс,"а1'р"шаеf Н 'Г" рида
не стремится
нулю при
'f,
является ;~11ТРУДНИТ1'ЛЬН
,,1.
Применим к
р 1ссмаТРИВ11ем 'Mf' т'ядf' ПРИЗН11К ДаЛ11мбеР11. Об 'ЗН11чая k-й член этого ря-
Д 11 через а1,
РаС';()'fИМОСТЬ ря
иметь
ra
lak+11 =
а1 '
'Щ<11;~;ша.
Ixl
(1 + ~) k '
ОТf"Д11
'
lill1 lak+11 =
k-+oo
la1l
1El > 1.
е
РЯ.lOВ
казат
ряд
(1:\ 77)
л
и ИЗftе i ТН!', чтt,
являt·т(я
Н!$; Гср н таЮt tей и бесюшечнt,
сумму
··'Т' ,гс'
порядка В2 п
ря. [а
IPl - Рп
+
-
+ (Р2n··········,
+
Pf)
- Р2n
(1\.
Так как каждая кр\тлая CKof)Ka в (13. (8) неотрu!?ателЪ1-/л 1
ясю. 'fТO ffрИ возрастании
fюслеДОЕател
n
юсть
то
не убы-
аает,
tугОЙ стороны. В2n можно переписать в ви [е
С
= Р - (Р2 - Р:З) - (Рl - Р;) - ... - (Р2n-2 - P2n-l
ii,
- Р2п,
~ Pl. Ta~
1i OfO Ю\fера n б\-деf В2 п
отю\-да Оifевидно, что для
[<им образом. последовательность 'Четных частичных сумм В 2n
не \·Г,ывает и ограНИifена сверху. В сил'·
TeOpe\ff,1 3.15
ювательность СХОДИТС!f к некоторому числу В. т. е,
эта fЮCffе-
lim
В2n
В.
n-J-CXJ
+
И. очеви. [ного равенства B2n - 1
В2n
12n и из того. что
liIll Р2п
О, Bf,IТeKaeT, 'fТO
llоследовател ,f юсть не'Четн'ых
n---+х
I В2П - C-:ОДИ'f ся к тшр· же 'шс.лу В. . е.
В. Та 'им обра юм. вся после ювательность {Вn }
'fаСТИ'Шf,1Х сумм
lim
В2n -
СХО. fИТСЯ
В.
3 а м е ч а н и е 2. ПРff доказате ff,CTBe теоре ·.ff,1 13.14 [,1
обнаружили. что пос.ледовательность 'iemH'bti частичных сумм
В2 ..} сходится к пределу В не убывал.
(Р2 - Р:з - (Р'ь - РБ) - ... - (Р2n-2 - P2n-l)
B2n - 1 = Pl вытекает.
что
Af fаЛОГffЧf ю из paBef [С, ва
fe'feTH ,1X
пос.ледовательност'
чаСТИ'f
[ы
сумм
{В2n - } СХОДИТС!f к пре. fелу В не возраста i .
Таким образш.!
для любого
Ю\fера
n
~ В ~ В2П - .
(13.79)
llоскольку В2n 1 - В2n - 12n и. неравенств (13.79) вытеfiает,
что В - В2 п ~ Р2п и B2n - 1 ~ Р2п ~ P2n-l. Те! СЮ.ff,1М
[,1
получаем, что ДШf любого номера
n
справедливо неравенство
(13.80)
Неравенство
(13.80)
широко исполь.уеТС!f ДЛ!f прибли.ж:енных
вы'шс.ле ffiЙ с fЮМОШЬ С, рядов.
iiачестве Щ tимеl са
paCCMoTl tим
уже неОДНО·l атно фигYl tи
ровавший выше p!rд
00
"'_-----:'-_.-_'
~
=1--+~-~+
2
3
4
... +
(_1)1-1
k
+ ...
k=
1)
Бсле 'СТВИi' ТОГ
'.
что {рс} Нi'
BOiPi!CT<JA'T, Т.
р,? рс.+ 1.
(13.Ю)
iГ{1Н,ПОЛlНЫХ ря..·ЮВ
457
что ряд (1:\:Ч) яв. шеi ся ряд()м Лейбница, а П1(·1ТО­
··:ОД;iМ()СТЬ 1ТО щ,гукаст из Т""ремы
13.14.
Пусть, Н:ШРilмер,
ну.ж:но вычислить сумму ряда ( 3 8! ), т. е. число
1
стью Д1'
силу
i.енки ( 380) ··1Т:; сумма
Н11' Тi,Ю С" f1 iiада,т с В11т
,
2.
1 - ~2
-
+ -'\ -
~4
Признак Дирихле-Абеля.
+
,'С
т()чн()-
III
Н]
iaHOB
iения еще Од!
;0-
ГО тою\ого Щ ;ишака сходимости рядов выве. [.ем о. [.НО интеl ;есное
тождество, представляющее соСюй аналог формулы интегриро~
вания по чаСТ\iМ. Пусть
iiРШiЗВОЛ ,iiЬie 'ШGтrа,
'и2, 'Uз,...
,/11,
и1
=
1'1 1'2
"З ... -
+ 'и2 + ... + и п ,
р
n
-
HO~
мера. Тог [а справедливо сле. iующее тож. [.ество:
п+р
L
п+р-1
'Uk ' k
Sk
k=n
Вn+!/и n + р
'Uk+1)
Вn-1 ' n·
-
(1::.82)
k=n
Тождест;.о (13.82) обi,pj 10 называ;С1Т m.о:ждесm.вом Абеля 1).
Ы в о Д т о ж Д е с т в а А б е л
Учтем, что 'Uk
- SI.
и подставим это значение Uk в левую часть (13.1'~2).
llолучим
n+р
n+р
n+р
-L
L'UkVk = L
k=n
в ПОGлеДi
ния
k.
сумме уме; ;ЬШiiМ
k=n
единиц,'
ia
iдекс
суммирова-
Получим
n+р
n+р
'Uk'Uk = L
L
k=n
k=n
Sk'Uk
k=n-1
k=n
п+р-1
L
п+р-1
+ Sn+pV n+ p -
I.=n
L
SI. Vk i 1 -
Вn-
Vn
k=n
n+р-1
L
k
n
1) Если рав;'НСТВО (13.82\ пет '·писать в ви';"
"
р
L
(5;
1 -
k=11
1'0 ссган Ш!1СГСzt о';еВИДН1,IМ,
k=n
преобраз '"аiiЮ' Аб;·л;; юш;;есгсzt
сущесп;\'
фогм\'лой с\'ммигования по частям, ПГ"дставляющ;'Й собо,,' р ;;~ностный
ан;;л;;г формулы интегрир;шания ш; ч;;стям.
РЯ.lOВ
шшуч
B[,lpa;li; ни;'
[Л[·[
ем с,iмы
тожд; ст!
Теоре,м,а
;!
сов [,!Да[с,'
еее
Аб; ля док iзаН;l
(при: ННn
13.
lycmb
00
Li
(1\.831
k!'k
k
Этот
1)
СХОi)uтс,я. еСЛil в'Ьtnол1-tе1-t'Ы сле, i ую иие два условuя:
nnс <едn ;аmе i'i,'/-/,ncmb {'!'k}
Jl i./!Jlеmся
не ;О.JjЮ,i таЮ'U.;,е'Й
беСnО1-tе'Ч1-tО малоii:
ас
L
стU'Ч1-t'blХ
нмеет o.'pa1-t'U'Ч,1-t1-tУiО НО; деСiOвате ib1-tО;:m'i· 'Ча-
k=1
CYJvlM,
оказател
ас
ряда
>
L
Щ. По УСЛОВf[Ю С\'щес ; вует такое ч [СЛО ]1.;1
>
k=1
О, что
ISnl
~ м дш[ всех номеров 'п.
>
силу критерия КО ШI
достаточно доказать. что для любого Е
О найдеТСi[ номер
такой, что при n ~ N и дш[ любого натл iального р
N
П+Р
L 'Uk'Uk
k=n
> О.
дано любое
< .
(1::.84)
Так как последовательность
ется бесконечно \fалоij
не возрастае'f
{Uk}
явля­
то для положительного
числа 2~! найдется НОМе'; N такой, что
0:<
-...;:
,<_Е_
'/;п.
(13.85)
2111
iименим теперь длi[ оценки в;'личины, стоящ; Й В левой части
,
тождество Абеля
13)~2). Уч [л,шая. '!то \fOД\'ль
[,1
нес;;олы:их величин не превосходит суммы их мо. [улей, мо. [уль
ffРОИЗЕедения раве[
ffРОИЗЕедени;с, \fOд\лей и что
Vk
Vk i 1,
[fo-
лучим
n+р
п+р-1
Lifk'Uk ~ L
ISkl('Uk -'иН1) + ISn+p
k=n
k=n
в правой части
3.86) воспользуеМСi[ неравенством ISnl
справе. [.ливым
~
N1,
псе! номеров 'п, Получим
n+р
L UkVk ~
k=n
(13.87)
д rлее, замеТИ\1
р:шн:r V{i
Ч'f
<умма,
l'
ТI'ящ:rя в фИГУРffЫ
<ю,бка
Тl'Чf
В т:rю ,М'f\'ч:rе н1 р:! ;"НСТ!," (13,,~7) ffрИНИ "f:reT
'и fVk
~
(138{~
2Mv n
k=n
Теперь, если в ffравой
'faCf и
13.8'~) ВОСllОШ,ЗОЕаться неравен­
ством (13.8~,), получим, что при n ~ N и ДШf любого натураль­
ного р Сffраведливо fepaBeffcTBo (lЗ"~4). eopefa доказаffа.
3 а м е ч а н и е. Теорема 13. 4 (пришак ЛейБНИllа) являеТС'f
частным случаем теоремы 13.
При
е р
1
1 + "2
2
при)
1)k-1.
Исследовал, на СХОДИ\fOСf;
1.
[,1.
1
2
- "3 + 4" + "5 - "6 + ... + 3n -
2
Уr<а;анный ряд можно fассматривать
1
vk
U
1, 'и2
1 и;
-2, 'и4
= -,
=
=
Очевидно что:
2
+ 3n -
3n
1 -
вида
r<ari
= 1
G"еду \iЩИЙ
иБ
1,
+ ...
( 3.83) при
'и6
обладает
= -2, ...
после fOва-
1.=1
тельностью частичных сумм:
= 2, 56 =
Яf ляется
О,
CfecKo [е'!
5;
1 52
последовательность
,
fo мало!'!. По теореме
IVk}
5з
54 - 1
не возрастает и
рассмаТРЮfаемый
1:\.15
СХОДИТС'f.
2 . В f,IЯСНИ .,! BOffPOC
~ C1iS
О СХОДИ\fOсти ряда ~
-k-'-,
где х
-
неко-
k=l
торое фю<сированное вещественное число. llользуясь обозначе­
НИЯМf·f Teopeff,1 13.15, ffOЛQ;!. ;·fM Uk = cos kx: Vk = l/k. Оценю'!
последовательность частичных сумм
5n
L
ряда
Uk. llоскольку
k=
fЛЯ любого ном!
sin ( k
а
k
+ "2) х -
~) х: =
sin ( k -
ТО, сумм fрУЯ ЭТО сои; ношение [fo
k
o'f
2 sin ~ cos kx,
1
до 'п, fIO.ЛУ'ШМ
. ,r
25n ЮН-.
k!
1)
)чеви,цН1i что РЯf
2:=
k=1
и
00
L
(-lf k 1 = 1
k-1
1iГРfШИЧf'ННУЮ ПОСЛf',цов 1Тf'ЛЬН ,сть частичных с\'мм.
1
1
1
+ ...
имеет
ря..·ЮВ
ОТСЮfа
SI!!
аЮ·f
HOClh
оС,раз"м, для люб"г" х, не 'Крат'юго
чаСIИЧНЫХ сумм 8 n Оl'раничсна:
~
Sn
По теореме
·лш';ен'u"
13.15
2;"
1
I;;in; l'
рассмаТРЮiаемый ряд сход'uтсл длл любого
,не 'Кратного
21[.
Если же х 'Кратно
21[
то
;ассма­
ТРfшаемый ряд превращаеfСЯ в гармонический к как доказаfЮ
вы не, расходится.
§ 6.
Бz:СКОНz:ЧТТ i,Hf
iрои:шz:дения
1. Основные ПШt1.i'Т'ИЯ. К понятию числового ряда бли;;<о
iiРИ\i [,IКaeT поня iие бес'Коне'Чного 'Ч'uслово,'о nро'uзведен'uл. П,'ст,
дана бес <онечна,f числова,f последовательность 'иl, V2, ... ,'Uk, ...
Заiшсаf юе фор ,iально выражеf ;ие вида
(х)
VI V 2 V :З··· Щ
... =
п Vk
(13)~9)
k=
принято называть бес'Коне'ЧНЪUvt nроизв;;дением. Отдельные эле­
менты ;'k Щ ;инято на';ывать членами [анного бес;<онечного Пl'О­
изведеf;ifЯ. 'ПроизведеШfе iiepBf,IX
n 'шенов да; ЮiО С,еСКОfiеЧfЮiО
щюизве. fения ПРИНifТО на;ывать п-м частичным прои;ведением
и обо;начать символом Рn:
n
П'Uk'
k=l
Бесконе'шое iiРОИЗiiедение
13)~9) называ,;л сходЛЩ'UJvtСЛ, ес.Шf
после. ювательность частичных Щ юи:ве. fений Рn имеет ;<онеч
ный предел Р, оп;л'u'Чныii ОП; нул~ 1). в СЛ\'чае сходимости ; 'ес­
;<онечного прои;ведеНИif (13.89) указанный предел Р называют
ЗНа'чен'uеJvt этого бес'Коне'Чно,'о nро'uзведен'uл. т. е. Шflli\ т
Р= П Vk·
(13.90)
k=l
Тот 'j"bl'T. чт" при Р = о с;еск 'нечное пу "lBBe.'j' ню' принято считать
расход.ящu.мс.я, х"
и f1()СИСГ :·,с, 'jШЫЙ XapaKCГj'p, ,Ю, как М,,! ,'види,,
ПО;~ВОЛЯj'Т провести Чj'ТК, ю
неЧНЫ'j ПР"lвве'j' ниЙ.
; !налоги ",
ме)кд:,' СХjЩИМОСТЫ" РЯ'j 'в И
CjeCK"-
461
6
Лf·1Ш1,
СХОДЯЩi'fОi Я
бесю ,неЧНi)Гii
ffРШ1звед, ·ния.
СНО,
для
Р Н(МО
1Tii
трение бес!;, ,нечных ПрiШЗВi' 1i'НИЙ Пii существу пред<таВЛi1,'Т
собой нов\'!" форму и i\'чения '1ИiiiiЩ,1Х последовате.'fЬНii' (i'Й,
ибii 1i.а.Ж:ДОМУ 1,ШНОМУ беС1i.онечному пр, ,кшедению
fНозначно
с'
,iiTBeTifTyeT
iiiСТЬ
ТИ'fН1,1Х ПРОИЗЕеде1fИf.1
и каждой числовой llОС.ттедовате.'1ЪНОСТИ
то} юй отличны от HY,ТJ(1
ffРШ1зведение,
для
0.1нозначно соответствует беС1i.онечное
которого
после. ювательностью
rP k 1, все элементы ко­
эта
11ОследоватеШ,11ОСТЬ
частичных
проишедений
поло.ж:ить члены бесконечного про и шедеНИi1
Яfшяется
(. юстаточно
Pk
iавными 'Uk
= Р,).
6.
k -+
'о k~po 'Чл, н,а при
Д о к а з а
(! 3.89)
li1lJ
k--+x
су
НеобходШvtъtii условием сходшvюсти бес'Ко~
(13.89) "6.1, "emi' сm .II'млен,'Ui 'к
00.
е л ь с
в О.
П\СТ1
1,ecK01fe'1
1Ое произведе1;f1е
сходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тог 1а
'k_ 1 =
li1l1
сествует и
i= О. Поско. f1ЖУ
'k =
k--+x
Vk =
Pk •
Pk-I '
то liш
Vk
k--+x
,авен единице.
За\fеТf1М, что на С:':ОДf1МОСТЬ
1,еСК01 ;е'1 1010
ffрОf1зведения н,е
влиJlет у.1аление люf!ого 'Кон,е'Чн,ого 'Числа членов этого произ~
ведешfЯ
'Член,
K01fe'1 10, среДf1 ЭТf·1Х чле11ОВ нет paBНi,1X н\'Лю).
1,ecK01fe'1 1Ое произведе1ше, у которого ',:отя б1,1 один,
(если,
Поско. f1ЖУ
,авен нулю,
согласно Пl'инятому
тается расходл'Щимсл, то мы в дал
paCCMnmji,'H'UJl б,'Cf;он,,''Чн,ые
один, 'Член, рав,:н, н,улю.
Пр
меР1,1
1.
(х
;',есконеч
х
выше определению,
счи~
fейше\1 f'ООСlще 'UС'КЛЮ'Ч'UJvt 'UЗ
'Кот i1 ' iol:! l(от" бы
ы
х
роиз
х
х
"4 ... cos 2 k
cos 2 k = cos "2 cos
•••
еде
и
(13.91
-
;11;'юе фиксированное
Докажем, что беС1i.онечное п; юизведение
'ilП Х
( 3.9 ) СХО.1ИТСЯ И
llодсчитаем n~e частичное произведение
имеет значение
х
n
Умно.ж:аil обе части
=
х
cos - COS 22 ... cos
.
(13.92)
на siIl 2 n и последовательно исполь~
1войного угла ;;iп 2у - 2 SiIl У COS У. по~
(13.99)
формулу ДЛil синуса
2n
л\'чим
-
2n
SlП
1':.
ря..·ЮВ
ф 'рму. f[,1
Iз послеДf
)
SI11
,r
х
llо(кольку выра)ксни;' в фигурных Сf.f.оБКiХ (тр;'мит(я К
fИНЮfi'
при
lim
n
00
(в силу первого;амечательного предела), то
n---+оо
Ю11Х
существует и равен
--.
Рn
Тем самым доказано, что бес .f.онечное
х
ffРОИЗf едение
2.
13.91)
с:од пся и имеет значение
00
[1-~--,-,-
=
1.=2
п
(k
"111
Х
~(k){k 1~ 2)
k=2
1
4
2
(k - 1)
5
(k
2)
(13.93)
-k-·-'(kl)'"
2'З'З'4
Докажем, 'по бесконечное произведеfше
1
;'т
;начение
Рn
fсчитаем
-
частичное
2,
и име~
1 2 3
n-1 4 5 G
n+2
1 n+2
= - ' - ' - ... - - ' - ' - ' - ... - - = - ' --о
2 3 4
n
3 4 5
n+1
n
3
После этого очеШЩfЮ. что
!авен
(13.93) с:одится
ш юизве. [; НЮ' Рn :
n---+оо
liIll
n
[n
3
2 с\'ществует и
Связь \fСЖ/f,у ССf!/f,И\ЮС'fЪЮ беСКШfечньг\
ний и рядов. Если СfеСКОffеЧfюе ffроизведеfше
то в силу теоремы
3.16
все члены его 'uk
fроизвсде­
(13.89)
с>:одится,
начина,f снекоторого
номера k, полож:ительны 2). llоскольку конечное число первых
'fленор ВООСfще [е влияеf [а С>:ОДffМОСТЬ бесконе';ного ffРШfзвеfения, то при и!учении вопроса о схо. fИМОСТИ беСf.f.онечных щю~
изведений мы, не ограничивая общности, можем рассматривать
лишь такие БССf.f.онечные пIюизв;' fения, у которых псе 'Чле1-t'Ы !!о­
лож'uтеЛЪ1-t'Ы.
Теорема 13.17. ДЛJl то" ';то ''Ы (ef'X:mte"i1-tое !!fю'u:юеJе?!ш~
(13)~9! с nолож'uтеЛЪ1-t'Ыми 'Чле1-tами сход'UЛОСЪ, 1-t~обход'UJvЮ 'и
,)остато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходиЛСJl РЛ')
00
(13.
k=l
Мы считаА'М. ЧТО
раню,! единищ'.
2
Ибо liш vk =
k--+'X::
1.
i=
о. Если
= О. ТО все ЧЛf'НЫ (13.91) и' го !~начение
6
!'ЛУ"!Ш сх()(Jшvюг
су.мJvЩ
UЗ6iде1-tUЛ 13)~9) свлзШ/!!ы !jюр.мулоii
Р
До
тель
'!асти'!Н\ !С, сумму ряда
nро-
-
(1::,9~!
()б!/значив через Рn
тв
!!р, ,!,!:~B! Д! ни!' [,есю ,!!еч!
13 94)
(1:\
!!р,,!!:~в/'д/'ния
частично!'
,~9), а '!ерез
n-
13.94), можем за шсю!
в с!шу не!!рер ,IВности !юказательной ф\'нкции для рсе: зна~
чений
для
al !гумента
и нещ
все:
!ы
!ывности логаl !ифмической функции
з!!аче!ш!!
ар!\'/!ента,
последователь­
ность Рn схо, !.Ится тог, Щ И только тогда, ког, Щ схо, !.Ится Вn, при~
чем если lim Вn
n--+оо
В, то lim Рn
еВ. Теорема юка!ана.
n--+оо
!и исследовании на сходимость бес!<онечного щ юизве, !,ения
оказывается очень \ доС!ным представить это бес!<онечное произ­
ведение в виде
(J::.96)
k
!и этом,
!<онечно,
в соответствии с прин!!тым выше пре, !Лоло~
)кением, мы считаем, что все 'uk
-1.
13.17 утвер!кдает, '!то !юпрос о с:<од!!мост!! !!РОИЗЕе­
(13.96) э <вивалентен вопросу О схо !имости ряда
еоре!а
!ения
L !п(1 +
(1).97)
Uk)'
k=l
Теперь
!,1 можем доказать еще од ю утвер!кде !!!е.
TeupeMZГ, 13. 8. Вслu все 'Uk
по 'КраЙ1-tей Jvtepe 1-tШЧ'U1-tал с
не'Котnро),! 1-tочера k) СО:i:РШ! "ют
U тот JlCe ,j1-tan, то !!jjJl
cxoauMocnJ'u беС'КО1-tе'Ч1-tого nроuзведе1-tUЛ
(13.96)
1-tеобход'UJvЮ 'и дo~
стато'Ч1-tо, 'Что, ''Ы сходuлсJt р.я:)
(13.9{~
д о к а з а т е л ь с т в О.
Поско,! !,ку
j
сло!ше
Uk = О ЯЕ~
k--+x
ляетс!! необходимым и ДЛ/! сходимости
!а (13.98), и !ля схо­
ди/юсти произведеш!Я (13.96), мы можем с:штать это услоВ!!е
выполненным как при доказательстве необходимости, та!< и при
юказательстве достаточности. Но и! указанного условия и из
ря..·ЮВ
+ о(у)
и
li,"
Uk
k~;; 111 (1
+, k)
1.
(13.100)
Поскольку по условию теоремы все ч. [ены рядов (13.!Л) и
(lЭ.98), начиная снекоторого ноыера k, сохраняют один и тот
)ЕГ знак, условия (13.9<)[ и (13.100), в силу слетствия из тсореыы
сран[[е[Ш>i
[Ю'f1iОЛЯfОТ УЛiеР,f'лат[" что р>л ( ::.98) CXO,Jl,[1Tся Tor,Jl,a и только TOr,Jl,a, Kor,Jl,a СХО,Jl,ится ря
13.!Л). Теореыа
юказа11а.
При м еры.
теоремы
1)
Из расхотимости гарыонического РЯ,Jl,а и из
расхотимость сле,Jl,УЮЩИХ беСК011еч 1[,[Х
3.18 1i[,['1eKaeT
произветений:
(х)
k+i) =
(1 -
(1 -
~) (1 -
3) ... (1 - k+i) ...
j,=l
Легко понять, что первое из указанных произве,Jl,ений расхо ШТ­
+00,
ся к
2)
а
а второе к нулю.
Из той же теореыы
> .
1i[,[TeKaeT
13.1S
и из СХО,Jl,ш\юсти РЯ,Jl,а
схотимость [1Р[1 а
>
13.33)
при
c.:-rе,Jl,УЮiiШХ бесконечНf,[Х
пр' 'изве'тений:
ft
[1 - (k: 1)"] = (1 -
~ ) ( 1 - з1 ) ... ( 1 -
(k 1
) ...
k=l
Так же как и ,JI,'Ш РЯЮВ,ТЛЯ j,есюшечных произве тений BBO~
штс;; ПОII'.i'1ие абсолюrnJ-tо'u
УСЛО6J-tо'u схотимости. БеС[ЮIIе'нюе
произветение (13.96) называется а{!СО,j,юrnJ-tо сходЯЩUJl"'СЯ в тоы
И тош,[ю то' СЛ,'Iае. [iО1ла СХО,Jl,[ПСЯ абсош;;тно р>л () 3.97). Те­
ореыы Коши
1
См.
13.11
§ 7 гл. 4.
и Римана
13.10
позво.'шют заключить, что
аБСОЛj(УТНО сходящеес'""' произ :~едеНjlе рбладао'"'""" iУf(''f'}(',месrn'U,}л'-' 'f:'/f~
'НЫ.М С1ЮИСТRО:.;,
R то
нр; м;т
УСЛ()1;НО сход;тщ; ;'ся f1РОИ':1:еден;н~
з::ведоыо Ш\I н;' о{:лад :ет,
00
L IUkl
казать, что ря,J!,
k
00
схощтст ря
L
1
СХО,J!,ится тогда и только тогш, когда
1
(1
+
1· Это иосле Тffee легко нытет;ает
k=1
с\;ществования ире,J!,елов
(13.99)
и
(13.100).
Детали Jассуж тений
иреюстав:шем читателю.
В заключение рассмотрим еще несколько ириыеров.
1о. Рассыотриы (:есконечн;;;' ироизве,J!,ение
.,
х-
13.101)
3271"2
00
Тат; т;ат; ря
L
k2
cxo,J!, пся, то, R сил\ 1еоре
k 1
конечное ироизве,J!,ение
13.101)
3.18
1Э. 9, бес-
сходится аС;солютношя лю{юго
+НКСИРОRaIfН010:ffа'fеfШ;Т Х, от ТНЧfЮ10 от lп (1ле
l = О. ±1 .....
в ,J!,оиолнении 2 к этой главе мы ,J!,окюкем, ЧТОiТО ироизве,J!,ение
схотится к значению si11 х. Теы самыы бутет обосновано разло­
)кение функции si11 Х В бесконечное ироизвет; ни;'
:;111
х
=
fr (
1-
k=1
k~:2)'
13.102)
Из разложения (13.102) ш теы исиользования соотношеSil12x
;лементарно иолучается сле тующее раЗi}i ,же~
сонх
2 sin х
2.
ния
fше:
00
со; х = П [1 -
(2k
~x2)271"2 ] .
13.103
k=l
АС;солютная схо шмость ироизве,J!,ения, стоящего виравой ча-
СПI (13.103),шя .iТЮ{ЮГО х, отличного ;;т ~ 2Т
1, ...
вытекает из теореы
00
L(2k-l)"
k=
1:.18
и
2
13.19
1) (1 =
О.
и из схотимости РЯ,J!,а
ря..·ЮВ
ПОЛС11С1;'1 R UlЗ'ЮЖ8Ю!
3
1
1т
4~2)
1,=1
-
х
102)
1,=1
шл\ 'шм
1,=1
На!! и/са
00
П
2
(2k)2
(2k - 1)(2k +
1
1,=1
2
3
4
3
4
5
...
2k
2k -1
фор\!ул\
!!ес. юж!!ых
. .. (13.
2k +
Dаллиса
мо\,· но
привести к ВИ1l,у
.
1
--+oo2k+1
l1Пl - -
2
! 5а.
[2 2k (
!)2]2
(13.104*)
2k!)
шнса нс; !О.'!!ОRаш, 1I,.'}Я ПJ ,иб. !нжен­
ного вычисления чис!а п. В настоящее времяшя вычисления
числа п сyri!.еСТВi·ЮТ более эф!l ективные MeTo1l,bI. ФОРМi·ла Вал­
лиса
(13.104) пре lставляет интерес 1I,ля ряда теоретических ис­
сле1l,Оliа!шi!j 2).
ДОПОЛНЕНИЕ
ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ п.
Теорема 13.20. Пустъ Pk сущсств1/ст nрсдел
3 § 2
1Са1Сие угодно nоло:жителъные числа. То­
liш РН1 = L.
k-+сХ)
С1!'щсств1/ст
nрсдел
liп,
--+
,:'y~
VPk,
liшVPk=
k-----rC<J
д о к а з а т е л ь с т в о.
(13.105)
р,
ПР'!; ';CJc! cnpaeciJJ' ива фОР.М1/' Л ,.
Pk 1
Pk
(13Л6)
Прежде всего ,'юкажем следующее вспомога­
тельное утверж .. (ение 3): если nоследователъностъ nоло:жителъных чисел
.... ak, . ..
а1, а2,
СХО1!ит1Л
п! !!;1тОр!!.М1/
чиiЛ'!!,
этом'!!
J/CC чи1-
лу
L сходится и nоследО1!ателъностъ средних гео.нетричеС1Си:!' эти:!' чи­
сел bk = (jПl(t2 ... Пk.
!ля доказательства вспомогательного утверждения
!аМj'ТИi!. что
liш
k --+ ОС)
111 (tk
iИ'1У iJi'прi'ры!ноii
= 111 L.
'югарифi!ичеi ;iji,й ф" 1!КЦИИ
(Последнее равенство формально справедливо и при
L
>u
= О,
!жон Валлис
- английский математик
1703) .
'!i'СТНОСТИ, она может быть ИСПОЛЬЗОВ;iна Д·Ш'·iТ;iНОВЛj'НИЯ так н ,зы-
2)
Baeii
,й
линг
-
С; ирлинга
ч;iсть 2 на; ii"ijщего кут 'а).
английски; 1i математик (169Р-1770).
3 Под'!еркнем, '!ТО это утверж.'(ение имеет и самостоятельнь
С; ир;1;
интерес.
467
lOПОЛl
{{),да
"Н
In L
[О ){),да по
")
д"),юлне ,не
гл
пр
lim In
lim
InL
-+=
k
(Последнее равенство справедливо и при L
О" когда
L =
Из
,,{)с,еднего
аве ,ства"
снлу неп)ерыв, ," )СТИ по <,)з),те ),"ной ф:; "к, НИ, ,ю­
л\чнм
Нт
k
)) = e 1nL = L.
Нт ехр
(ja1a2 ... ak =
,Х/
k--+c:o
(Эти рассуж" iения справе" iЛивы и при
L = О.)
["п·)нюга')" ,ы,н))" утвержд("нш" докаiаii'
"!Ислам
Р1
,твов,шие преде ,а
lim
• сх;
[[рнн') няя э,)
К
= J'3, ... , (tk = ~, ... , мы установим суще-
J'2
Pk-1
Р2
JtPk и р"в("н(твн)
(13.1О6). Т {)рем,)
(13.20)
док"з,ша .
ДОПОЛНЕНИЕ
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
sinx
В БЕСКОНЕЧНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Радн""добствараюбьем В'"IБОД форн,улы (13.1О2)
О'НiеЛЬНЬ!J" П"" Ш{!
о. Пусть т любое nоло:ж;umел'Ь'Ное He'l,emHoe 'l,uсло: т = Оп
+
Пр("жД""
докаА,ен"
что Д':Я ""'fбого о' "ШЧiiН)П
ОТ
k7r (k =
'"I.
±1, ... )
"JJ;,че ,ня е 1) (правед'ш,,'" с :ед"" "fЩ;""'
~:;;:e = ([ _ ~i~2 ~)
Ын
т
([
-
- 1
2
т
(13.1О7)
[ля установления формулы
~
1
,О"' те
(13.1071
"удем исхо" iить ИЗ <Iюрмулы Муавра
+ i" in rne =
,О"' е
+ i ",in е)т.
['асписывая правую часть это,,, формулы с помощью 'шнома Ньютона и
'р ,внив"я мнимые ча(ти. Пi) :учим
Sill тВ = т cos Тn Уч:л '"IБая. что
Sill тВ
т "'in е
2""
+ 1,
б" Щ""
3
sin 3 В
:,м) ть
(т
11(т
в(е п·
)KaiaTe
""о
-'--_-,---'"""::'--::-_'--'., СОБ 2n
·2·3
= cos
пр;,в, )i", ч"сти (13.
что если заменить
MnO,"O'l,H)
сmг) сnи
1 )(т
"""
-'-:с_ _'-'-" cos ·2·3
_ - ' -_ _:'-"
SlIl
2
В sill В
(13.1081
:и при ко' инус"х И' инус;,х 'l,Сmныг. т"к
на
Sil1 2 то Н nр(tНО'Й 'I,(tcmu (13.108) nОЛУ'l,umс.li
',т," ",си iiС);Л{,О "in' е. Положив z
sin 2 е. ')бозначнм
этот много',лен символом
F(z),
а его корни символами СУ1, СУ2
.•.
,СУп. Так
1) Нас в дальнейшем г,удут интересовать зна',ения В лишь из интервала
О
< IBI < п.
РЯ,lOВ
юп 2 е
левая чаf 'Ъ (13,Ш8)
при е
;
';1П f ;е
z
1_
Б111
m
001
Остается определить корни а ,002,
а,
С1'15)"101' нул:ям функции sin тn8, llОЛ:УЧИI\1
а
к
представить в виде
=
rn
5аме ,ая, "то эти корни соответ-
2'.;
,
... ,
rn
Тем
; 1т,
при. шдим ';той
. 2
= Sln
а,
11.','
m
и с';итая, ЧТО О
<
<
п:m,
вид
2
ПN (1 __
Si11 ~1.
k"
------=-sin _
)
(13.109)
Фиксируем любое (отличное от нуля) значение
и возьмем два произ­
msin
Х
-
.;in 2 ----'-'-
=1
m
вольных натуральных ';исла 11 и
11.,
"
удовлетворяющих неравенствам ,; Ix, <
rn -
---о Тогд;;
р
2
р
Ы11 Х
·
';1П
-
п
k-l
Х
m
_ sin
.
2
kr~ )
R p (x1,
(13.110)
)
(13.111)
,К
')
юп~-
m
(
п
_
1
.
SlIl~')
..,
';1П~
kп:
.
-
m
Прежде всего оценим
м;,'н' ч в'е;,
Поскольку
R T/ ; ) .
'инус''''
,г,,·'щих
В
(~П:/2, /2) .KpOM~ ~ого,ясно, ';то.!Ля всех
xl
m
11 < 11. =
2
3.111), принадлеi+;;;Т
<
п:
то аргу;"пер';" .'у
участвующих в это 't формуле,
kп:/2 и, iТ;;'Ю быть,
·
')
sin 2
юп~
u
· .,
Бll1~
kп:
-
..,
Ы11~
m
( ибf;
.3
kп:
п:
m
2'
инт,
1
т.
рвал;;
е.
kп:
2т
< ('1
.:::.
4.
2т
kп:
-
m
1
4СОБ 2
и поэт' ;му
,k"
kп:
2
2т
п: > -).
Так как для люБОГf;
2
2т
1/2 iправеД'iИВЫ н,равенства
>
1_
>
е- 23 1),
Правое из этих неравенств элементарно вытекает из fjюрмулы Макло-
р;'на: е- 2 (3 = 1 - 2('1
(2('1)2
+- -...
1 - 2('1
+
1 - ('1, та'; 'f;;K 2('12
< ('1.
46')
lOПОЛl
для
ном'ров
k, щ +~BO' «'JДящн
р,
х
SlIl
2
1> 1- _ _7_n_
юп
Почле"но "еремно('а«
= р
1, р
"ераве"ства
:;<112),
записаю,ые «!Л<А зна ,ений
k =
... , n, пол} '!ИМ следую "ую оценку <'!ЛЯ R (х1:
ехр (-2Sin ~ ~ ---k-<,)'
> R,,(x1 >
.
го
112)
k7r
m
что ;'1,гу"е п
1
Sil1 2
k<;,
<
m
m
k7r /т л;'жит
sin 3
2
)
из перво," четверти
(а1131
2
Т
);;:
L...,
'. "
k=p+l ЫН"
"'
в "ер "'Й че, В;','н И что
1 ,
1
7n 2
(~)2(_)2
4/.2
получим
< 4
[~ ~]
<
Такнм
ехр
7n2
2
( --юп
<
"хр
по,л"
""раве ,ство
поз ",ляе,
(а113.<
1
30 <Устр;
> R,,(x) >
"и,, ,"пер'.
фОР"У',е
знач;'нИi' х
т 2 "ln
ный
k7r
(;1:
(13<
(13.11Р)
число
к б; СКО";'ч,,;,сти,
'''",ер р. [о' """ЬК'<
lim m sin ~ = Х.
m
тn--+(х)
k п 2 . то С' ш"ству; Т ПР;JДел,евой ча(ти (13<11О), р,в
т
IJр
И предел конечного произве< ,ения
sin
Х
m
k-
(
1
Sil1
2
-
.<,' ;,г:,
,·,п
-
)
' равный
m
1)
~~
Эти неравенства вытекают из того< ',то отношение - - при изменении
убывает от
о '''редь
вытек
интервале О
<
" 'т
<
иl
1
того.
до
2/ ,.
чт"
Факт УГlывания функции
cos
sin
- t<g3) <
в свою
в'
н;,
ря.,'ЮВ
иб() КOl'Д)) ()нраве)1 ну·,
юп х
)B~
лено, Но тогда существует и пре.,ел
ч)ре1 Rp(x)
этот
iз щ'раве"ств (1311Р), 1правед iИ ",Е Д'iЯ люб()'"
и из теоремы
31;;
''')(1ер'' rn,
вытекает, что
l)Н р 'Х))
Формула
(13.
в пределе при т
х
(13.
5)
(13.
6)
СХ) дает
fI (;
sin х
40.
предел
х2
Нр'Х)'
k 2 ",2
Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле
''')(1ер р к бе1 ,п)неЧН01 'н.
щ,ед''Л liп,
.в
R
[О1'){)"ЬК"
1И"У нер ,,('Ш п,
',евая ч.,сть
(13.
5)
(13.116)
г)т р не,ависн
,,'г)реМ',I 3.1Р, с\щ,хтву"т
р-+оо
равен единице, то С} ществует и пре, ,ел
р
"Iim
-+00
х )
k "" .,
П
.:.
с"
sin х
~
х
k=l
Тем самым разложение ,'!Ля Бlll х (13.102) установлено.
За
Пi) (,,)й а" 'логин с !,а,ложешiЯМН (13.1{)2) для ',inx
'iИть "а.зЛО;)ICенu.Ii
бес,/;;онечные nроu.з"еденu!!
shx
fI (; +
=х
х' )
1hx
2
=
fI [1 + (
k=l
k=l
2k
4X i )2
,2] .
"
Заметим, "то из разложенИi" для Sil,X, COS . S!1
ch неме,иIенно пол)",'а­
ются разложения в (1есконечные произведения функций ti". ,cti".
и th х,
1ТЪХ.
ОПОЛНЕНИЕ3
ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Во все", гл.
13
мы называли суммо,', ря.,а
Uз
LUk=
+...
7)
(13.
Uk
k=
предел S после, ювательности {Su} ',астичных сумм этого ряда (при усло­
вии, что этот пр ,'Дел с\щ,'ству,'Т).
В ряде за.,ач математи',еского анализа, пре.,ставляющих как теорети­
ч,'скИi~'.
,"к и практичеiКНЙ ин,ереi, "РН""'ДИТiЯ оп,рировать
которых после.ювательность части',ных сумм не схо.,ится и
aa1f,ii"J,! 6 гл.
13
оБЫ'))!'!J,! CJ,!blC.i)
п!
С!!Ш,ссm6усm.
Р'Ада,н,.
су, ''''Ы
y'/;;a~
ВQ!Ш".i,('Т
вопрос об обобщенuu nОН.limи!!
Р!Ада U о сум,ниро"ании расходяще-
гося в обычном смысле ря.!а
с помощью ,/;;а,/;;u,!!~лuбо обобщенных
lOПОЛl
Mf'-mО'!ОН_
щ,'Н!
i
:,r!{
-""-ТОЯЩ"--- допоmi' нин мы
{ie:
{'да!{
'у{] щ:р; ;:!ани-{
ОС:!;НОВИ{iСЯ
не:!-;ТОРЬЕ обоб-
Р:iСХОД-{ЩИХiЯ р-{дов
Прежде всего дадим общую характеристику тех методов суммирова­
ко: {;РЫ{iИ {iЫ б\щ'- И{iе:; дел{; Р:iЗ\МНО
чтобы обоб­
шея.
щенное понятие суммы ,,,,лючало
себя О(iычное понятие суммы
С:Т;О'!ЛЩ1J, ii,л в i!;:;!-ЧllдМ {М-ЬЦ;С 1J,
н_нетъ обоб!i!;еНН!jЮ CY_HM'!i_
1J,
,с!;:{чnую
nрнтоу та",:ж;е ра'!Н!jЮ
S_
Точнее,
'!ОЛJ/ССn
C!jMJvty
Ме:о_! су ,iмиро:!а­
ния, оГJладающиi1 указанным свойством, называется "егулярны_
Дал;
;-,
('сте; :в,'Иii-; подчинить поня: не обобще шой С\М{iЫ iЛ; _'!ующем'00
условию: е' л1J, ряд
00
2:
н_неет обобщенную су_ ; "у [Т, а ряд
k-l
2:
'L'k нмеет
k-l
+ Ви!),
CYMJvty у', то рл'!
-,нные_ Н_ 'еет обобщенную су_ '''У (АU
А
BV1.
в
-
любыс по,;
Метод суммирования, удо­
влетворяющи:!; указанному условию, называют Л1J,неUн'Ы_н. В анализе и в
его при;юж,'ниях, как прави;ю, им,'ют д(' ю
мн
С р; "УЛЛР::ЫJvР! ЛШf,('i1nы­
"етода_нн СУМ_Н1J,рованш;. Остановимся на _'!вух методах обобщенного
;У{iМНРОВ:ШИ-{,
: ;р''д; :!;В_;:ЮjiЩН ';соб:,rй ин: ('ре; для ПРН;Юii:,'НИЙ.
1, Метод Чезаро 1) (или метод средних арифметических), Говорят, что рл'! (13.117) :YMM'i!pY{Jvt JIM'; ',:до.М
сущсствуст
средннх аршj мет1J,чес",1J,Х част1J,ЧНЫХ суму этого ряда
+ ... +Sn
liш
n-+ 00
(13.
8)
(13.1181
;:а!ываст: Л
с
!.M.MOii
м,'тод!; ;уммиров::ния Ч; З ;ро О !('видна. Рсгуллрnо: С'!!, м('
то_'!а Чезаро вытекает из примера
с ;{юм
щ'-:е.
из
ука,аiШОГО
рассмотренного в
ПРИ{iер!;
:iЬЛ ('кает,
"ость iSn} Ч:iСТИЧij,Е
р-:!::д (13.117)
(13.118) существует и также равен S.
Прнвещ'- - ПРИ{iер:,rряд- "',
--';:!ящн
ч:'
)ополнении
eim:
--':'!ИТiЯ к чн;л'обыч,,'
1
к гл.
3.
:ЮiЛ; :юва::' :ь-
S.
-- ;м:,н л,',
то пред('-но
руемых методом Чезаро.
1)
Ра;
; мотрим
з ;в''дОМ{; р ;сходя ::я -i;я рЯ_'!
2)-1)k-l = 1
k=l
1
1
1 +"".
Поскольку все четные части !ные суммы S2- этого ря:!а равны нулю, а
n{чст !ы: ча; : нчны(' С\М_iЫ S_'n-l р ;:iны (':!инице, то пред('-- (13.118)
раве" 1/2. Та:<нм ';браЮМ,ра; ;М!;ТРi:ваем:,rйряд С\М _iЩiУ('­
методом Чезаро и его сумма в смысле Чезаро равна 1/2.
2) -читая. чт-; х - люб{;:' фикс ир- ;B:iHH{;:' в; ще; тв,'НН{;:'
И l интер
Bie
вал!; U
х
211", Р:iССJ\ЮТ1 -им з:!в; дом{; Р:iСХОДЯЩИ \;я 2) ряд
00
LCos;,x = СОБХ
cos 2;
+ СОБ 3; + ...
(13.1191
k-l
1) Эрне;:ья iСКИЙ {ia:' (ia: нк (1859-19{)6).
2) "асхо_ !ямость ряда (13_1191 !iез труда усматривается из приве_ !енного
ниже выражения для его частичной суммы.
ря.,'ЮВ
Чаi iнчная
CY"'Mi' 'тOl'О р'''да S" уже П iД(чн
ii'Ha
§ [)
Подсчитаем 'p'iДe,e"
1
2
СОБ(m + 1)")]
c·,sx - (0"('"
1
+ l)х
1
4n Sill х
2
2
2
Отсю,'ш оч, iiieдHO, Чi'
Sl
.
11т
n
,р
[,'!
+ S2 + . . .
S,
1
2
,·00
(13.11'»)
'у",мнр\е'" "етод
Чеiар, и
,'"
С" М "а в с "ыc~
i /2).
i"'iетод СУМNiИРОВНТИИЯ
БГiЛЯ. ЭТОi ",е: "iД 'у",мнр'"
"yaCi:OHa 1
вания состоит в следующем. По данному р ,ду
(13.117)
·'остаi;ляется cтe~
ряд
L
+ ...
+ ... +
(13.120)
k-l
Е",,,,,
<
yr.;"
<
''''';пы/! ст,,"сп;;;;'! ряд СХОii1J,тiЛ длл
1J,
lim S(x)
, - t ; -о
есл1J, су, 'ма
в то'Ч,;' х =
S(x1
1,
х;;а Ш{,;;iсрвп
U
<
этого ряда нмеет левое n; едел'Ьное зншч,еН1J,е
говорлт.
РЛii (13.117) Ci/МJvШРУС,М
"ом
!ри этомm;а '." ';по!' nрсдс.;л{,о!' зп i'ЧС1f,1J,С 1f, i3'blвп' ;;,сл
СУ,НМОU ряда (13.1171
с.нысле Пуассона-Абеля.
Лш{" ii1f,Oi"" ",ет i'Ш (У"'ЩiР"iii'НИ'"
iiiГiЫ ii"'T (OMHe~
ний. iокажем регУЛ'iрност'Ь этого метода. Пусть ряд (13.117) сходится в
обыч,,!,',' с",ысле
;еМ,','Т (У"'М", Рi,iiНУЮ
. Тр,'б\етс',; до ii'З,iТЬ: ) что ряд
(13.120) схо,;.ится ,:ля лю(юго из интервала О
х
что сумма S(i/)
ряда (13.120) им; ет в точк,' Х
1 ';евое пр;',:.ельное зна ;;'ни,';;авН!,·' S.
<
Докажем сна ;ала утверждение
пос;еД!iВ'iтеЛЬНОi [Ъ
<.
Так как ряд (13.117) 'сходится, то
чл,'нов явл'.;ет(я i;!'П;'i1f,i 'Ч1f,О мало/i
огl'аН1J,'Ченноu, т. е. на 'tдется такое число
lvI,
стал!, быть.
';то ,:ля всех номеров
k
(13.121)
Используя неравенство
, Чi" Х - люб!,·'
1
Симон Дени Пуассон -
оценим модуль j.,-ro члена ря:.а
н;пеР;i' ;;а
U
х
; ',лучи,,'
французский математик (1781-1840
(13.120),
lOПОЛl
1.
-1
ряд
сходн:;"
С ::;ло быть. в
=1
срав", НИ·.,
сходн : С·., и ряд
13.::
iо:"ажем теперь ут::еРА:де!! :е
(13.12{))
Пусть
Sn
n-я час :и':ная сум":а р "'i.a
!Ч'О i;б,lчная ·'·м":а. С :юмощыг' преоБР:;i.;в;iНИ·" Абел'" 1)
убедиться в том. ':то для любого х из интервала О < х < 1 справед
(1;: 117),
легко
лнво ТОА:де:
:) LSk xk -
1.
=1
из следующего о':евидного тождества:
х)
S = (1
L s,
k-
k=
i;бознач:;": Tk kй о: :::то:: р :.ш
Прн
7),
нмс'ть
:)L
L
S
(13.
k=1
k=1
Н'iИ
xi
:)L
S - S(x) =
T k Xk - 1 .
k=1
>
Наша цель доказать, что .!ЛЯ любого Е> О наЙ.i.ется 8
О такое, ':то левая
ч;:сть (13.123) ":е,,ьше Е дл'" Bi.e:" Х, .,:Дов':е: ::i,рю,,;щн нер:,::еН!
1- 8
Х
1. Так как остаток
ряда (13.
7) стремится к нулю при k -+ х, то
Д'Ш :юложител:.ного чн: л:, Е/2 iJ:'ЙДi'Тi.Я нг,":ер k o т ,кой, что Tk
Е/2 прн
k
k o. Таким оГ:разом,
<
<
?
:) L
:) L
<~
2
k=k o
Х
k-1
k=:o
Остается доказать, что .!ЛЯ Х, достато :но ::лизких к е. :лнице.
(1 -
х) k
Гk х k - 1 1
-
1
k=1
2'
но это очевидно, иГю сумма. стоящая в последнем неравенстве, ограни':ена.
РегУ'ШРНО:
":е: гда Пу;:ссона-Абел'" .ю :::'З;iНа. П
L(-1)k-1 = 1
ПРНМiра снова
+ ...
1+
k=
Для:того ряда с· ,ставим
: Тi'пенной
ряд ви.
r.a (13.
-х+
_ х3
+ ...
k=1
Абел., (13.82)·:Т;iНОВЛi
триваемом
случае
следует
положить
устремить р к бесконе':ности.
в
2
5.
о и затем
ря..·ЮВ
:т;
S(:T;) =
го ри
суммирvем м' то,",ом
Пуассона-Абеля равна 1/2.
нннма;ше на то
'1
:'0
1
Iv::c:
сумма
Абеля совпадает с его СУМ;,ЮЙ в смысле
;аiiн:.:м: М02Ю:О доказатт,;
3.124)
н ГМ;.:Г.I1е ПуаСi'она-
Этот факт не является слу-
;то есш
СУММИ; ·уем мето.:ом Чезаро; то
0;;
су;,;миру; м и методо;; Пуасс;:на-Абеля приче;; су;,;ма этого ряда в смысле
. Iезаро
сонпадает С е;'О суммо
i н см;.:сле Пуассона-Аijе·;;;. Более того. суще­
. "'тодом Пуассона-Аб;'ля, но ш· су;.;миру; мы;·
мето:ом Сезаро;). Детал .;:ое ИЗУ';е;ше ;;се;:озмо:ж;;ых мето:о;; о;:о;;;;;ен::о­
СТВУЮТ РЯ1\Ы, сум;.;ируе;.;ые
го СУМ; шр;:вания расходящихся рядов пр. ·водится В . ;;;нографии Г. Харди
«Расхо; ·;;;шес;; р;щы»
-
М.: ИЛ,
1951
г.
1) ТакИ!; обра :ом, можно c;ia:~aTb. что мет ..д Пуассона-Аб; ля является
. "'тодом с; м;.;ир' ·вания че;; мето:; Ч;·:аро.
б. ·лее «сильным>
Г л А Б А
14
Функции НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие функции нескольких переменных
§ 1.
1.
О чlzункцт!ональнык завт!стпzюстпк между Н4Ч:КОКЧ,­
кими переменными t~еличинами. При изучеНШI многих во­
проCiJВ
С4тествознания
встр,'чаются
таки,'
;аВИСИМ04ТИ
между
несколькими переменными величинами, КОГ1\а ЗШ1чения О,;шой
этих
ПСРСМСllШП;
l;С,iИ LiИll
11ОШЮ4 т"ю
ниями остальных переменных.
ли60
;i11ределяются
,a'l;
Так при ра4 смотрении каких­
характер lt:'гИi',
,а
(
;апримср
Cl';;
п;;;'Гш;­
сти рили темпеР;1ТУРЫ Т) ю м ПРИХО1\ИТСЯ УЧИТЫК1ТЬ изменение
э'Гих хараl','Г;РИГ
при
каждая
ми
КООР;ШШ1Т;1МИ
х,
ЮТiЮ4 ть
;;'Г од; юй 'Го LiКl,' 'Г,ла
'r;;"l"a
у
и
Тiла
Z,
то
опрсдс,яе'Гс';;
'Грсмя
РЩ'СМ;1ТРИК1емые
дскартоны­
х; рактерш:ти-
'ГеМllсра'Гура Т) опрсДi' ,ЯЮ'Г4';;
тnpex переменных х., у и
ями
Z.
При р;н:смотрении физических процессов, меняющихся во
l;РСМСllИ
.
опрсдс.' ЯЮ'Г4 н;;
значениями 'Четnырех переменных: трех КООР;ШЮ т точки х, У,
lipСМСШl
плотность
t. Hall
р
';iТОГО
знт", ;l;ЫХ
llpll
П1за
Иli;вление
z
ми четырхx псрсмснных х, У
и
t.
р
,с6аflИЙ
опре1\еляr;;тся
z
а.;а
значения
Д;я И3,У';СНИЯ таю;го р;ща
зависимостей в это;; гшше ВВО1\ИТ4 я понятие Функт~ии несколь
ПСРСМСllllЫХ и ра.;;ИRастся а
lllapaT
дЛЯ И4 слеДОRаllИЯ таких
Функ;иi';.
В теории
;ий нескольких переменных У1\06но пользо-
ваты:я геомст;ич,'СЮ)Й тсрмин;; 'i;г:иеЙ. Непосрсдствснн;; ЯСШ;,
что 06ласты;; з;лания
ЯRЛЯСТСЯ
ства).
llСКОТОР;;Р
;иишух (или трех) переменных
Ю;'l{еС'ГRО
Для геометризат~ии
пш;п,,; ;сти
наших пре1\ставлений
Пр;.)(:тра;;­
о
Функ;ии
ПСРСМСllШП; уд06;ю l;Rес'Ги llО11Я'ГИС т-:, ,'р;юго пр;;с'Гра;;­
ства. 0606; ;;;ю; ;ее хорошо известные понятияшумерно;; плос­
m
кости и трехмерного простраНСТВ;1.
;;ше послеlyt. ,щее изложе-
IНЫХ
с
,1ЯСНСНИЯ
IЮНЯ'ГИЙ,
Понот&!я еволидовоii нлосоост&!
страНСТщ~5±
ОРДll
знеС'Гffые
;ат
;а
опрсдс,;сния
еволидова
а; ;,IЛf,I'Гичео;ой 1еометри
ПШiО;, IС'ГИ
расстояния
роо рано 1;С
мсжду дну;)"
ТОLн;ами
НРО-
IЯ ко-
и
;а
м'
Д
,1'ГЬ ис-
ПОi±ьзованы Дi±Я аналити'1ССКОГО ввсдсния понятий плоскости И
пространстк;.
Ji.lно:ж;ество всевОЗМ.О:Ж;НЪfХ уnор,ядо'Ченн'Ых пар
, у) "ещ! !mlfenHbl,T 'Ч'шел х 'Ll у НО !ъ/'вастс! к;
н о 'й
n
л о с
о р д и н а т-
о с т ъ ю.
При этом I,;аждую IIЩ)f (х,
,1 БУД'\I наfына'IЬ 1'11 ','11'Й этой
l'vI.
плоскости И обозш;ч,;ть o1\Hoi'!
Чш:л,1 х и у ш;зык;-
Ю'ГС'I' КОI1рДIfна'Гами ТОLН;И l'v1. За Ш(Ъ l'v1(x, у)
;а'rас'Г, сго 'rOLi-
Ю' М имеет КООРfШШ;ТЫ х и у.
КОfi!fд'ШfЛтно.,я !!АОСК;(iO';О
;;аЗъ/',оет;,я
е
к; л и
о
о и
n л о с
о с т ъ Ю,
!'слu ме:ж;ду люБыl:uu двум.,я то'!!,ам!!
М'
,
и l'v1"(x" у") к;оорд'ШfЛтноu nЛ.i!к;ост'Ll О/!редслсно рассто,янuе р(
,
") по Форм.ул г
о(М', М")
=
V(x" - х')2
+ {у" -
у')2.
Совершенно аш!Логично ВВО1\ИТСЯ понятие КООР1\инатного и ев
КЛИ1\ова пространств. Мно:ж;ество всгвоз.;\ло:ж;ныlx уnор,ядо !ен-
;;blX тnроек; (х,
,z) 'Чисел х, у 'Ll
Z
НО !ъ/'ваетс!
к;
'Ll
Н ыl М
,у,
про с т р а н с т в о М. При этом каЖ1\УЮ
\IЫ буД'"
;азьп;а'Гь 1'11 ,I'111Й э'Г.11 О ПРfн:тра! !с'Гна
чать ошой буквой
. ЧШ:ШI х, у и z назыкнотся КООР1\инат; ми
1'11"
М. Запис; М(х. у.
;a'raCT, сго TOLiKa l'v1
KOfiP1\ИШ;ТЫ х
у и
z.
!!jюстр;, ;;ство НО !ъ/'ваетс! е в к; л и д
в ыl
про с т р а н с т в о М"
есл!! м.е:ж;ду ,!юБыl.!! двум.,я то и,а-
.M:Ll l'vI'(x' у'
'Ll l'v1"(x", 1;", z") к;о.·!fд'ШfЛтногfi nр.чтран! ,;О
определено рассто,янuе по формуле
р(М', М") =J(x" - .1')2
+ (у" -
у')2
+ (z"
- z')2.
BBeleHHbIe нами понятия КООР1\инаТНОi! плоскости и коор ш
наТНОГl1 пространства прсдставляют ОiбfiЙ анаШiГИ ЧИС!11ВI)Й
прямой
а еВКЛИ1\ова плоскость и еВКЛИ1\ОВО пространство пре
с'Ганляют собой аналOl'И свК;Л'Llдfil,ОU npf!,'o!oU, которую \ЮfКll11
опре,flелить как числовyr, , прямyr" меЖ1\У ш<>быми 1\ВУМЯ точках'
х" "11''ГfЧЮЙ
!о раС I то шис р(х' х") П11 ФfiР;,IУ,;С
о(х',х") = V(x"-x')2 = Ix"-x'l.
Р;н:смотрим некоторые множе; ТВ;1
{
} точек евклиювой
плоскости и еВКЛИ1\ова простр;шства.
1о.
J\Iножество {М} точек еВКЛИ1\овоi'! пло; кости, КООР1\инаты
х и у которых уювлеТВОРЯf<>Т нер;;веН!тву (х - а)2+(у
ь)2:::;; R 2
477
П<.ШЛИЕ
j"aK
изн,сгш"
l'v1!)(0"
;аЗ;,I'ГСЯ
ради\ са
с
li'ii'ГРiJ"
Н
'ГОLiЮ'
;а'Гы :Г и У \Дон"''Гноряют ci !ЮГ'f'АУ нсраЬ )2
R 2 , то множество {М назыв;;ется
)
венству (:Г
О'П/,'К:РЫi[, ''ь/,,\, , 'К:руго,\"
сн j', идоном пр{;с'Гра;; с'Гнс мн, '}КССТ1""
точек, КООР1l,инаты
у и
(:Г
- 0,)2
+ (у -
ро.м. р;!1I,иу; \1
и
z
ь)2
R
уд' fj;ЛС'j
Т1 f МНОЖi'ство
+ (z
z
! М}
которых у;ювлетворяют неравенству
г)2:::;;
fj2,
j"aK ifзнеС'ГfЮ, наЗЬШ;1е'Гся j\jД-
С T~eHTpOM в точке
(а, Ь, с). Е; ли КООР;ШЮ ты х
1:1 fРЯЮ'Г 1'1 юл;стс'Гнующсм\
с'Гр,
il
ом\
l'v1} на.ъrвастся отк;ръииъ/"М ш fjЮ
,,'ран,; !(:тну,
H. 1 ).
J\Iножество {
} точек еВКЛИ1l,овоi пло; ко!'ти (еВКЛИ1l,ова
jjро!'траш л;а), ко{;рдина'Гы х
У
,у
z) " 'iJ 'Г{;Р;,;Х \Донш''Гно-
20.
ряют неравенствам
Iy - 1 d 2
Iz -
Ix cl
0,1 :::;; d 1 и
Iy
ь
Ix
1 :::;; d 2
0,1:::;; d 1
,}:з) , на.;ынастся к;оор(}/kат'НЪ/..м np,f;,м,оуголъ'Нш,о.;\Л (к;оорди'Нат'НЪ/..;\л nараллелеnиnедо.;\л)
[ентром в
'riJ' ;
l'v1о
Ь (j; 'riJ';
l'v1о
Ь, с) ) .
3. Понятие Функ!~ии /!,ВУХ и трех переменных. Исполь
'уя гс{;мстр}г !с!'кую т,; fМИНО,ЮГИЮ МОЖН1 f слсдующим обраЗ1)М
сформулиров;;ть уже изве; тное ш;м понятие Функт~ии o1l,Hoi'! пе
р1""
юЙ.
Если ;,a:JICJ07l то (и~
из 'Не;,;оторого MHo:JICccmBa {
то-
св;,Лf7дово"/J nр,я.м.о"/i ставитс,я в соотвстствие по ffзвест'Но­
.М!!
;ак;о"\' 'Н!'к;оторос
} зада'На фу'Н;,ци,я
{
'Гспср;
'Ч/Ll\ЛО и
= и(
то
г01Юр,f;,т.
) и;!и
=
J(
'Что
"а
).
jюня'ГИС функции двух
;ых.
Если ;,a:JICJo"/J то'Чк;е М из 'Нек;оторого .;\Л'НО:JICества {М то
'Чек; е1;к;ли)овО7l nло;к;ост'/l ,т f!;umC;; в ,оот1;ет;т1;ие !;о '/l{вгст'Но.м.у зшко'Ну
:JICef;if!;e
!l'vI}
'Нс'которое
'Чf7СЛО
;а);; "а фУ'НК;Ц'/I,я '/1 =
то
,Jовор,ят.
'Что
'На
.;\Л'НО-
иЛ'/1 и = .f
;;1метим что понятие Функт~иишух переменных отлич;;ет
ся "т !'формулиронаНШfjО
,внс ПiJ;
фу; j',uи
iJДШ;Й "1'рСменнои лишь тем, что вме!'то !'лов «еВКЛИ1l,ова прямая»
и!'поль-
;устся 'Гсрмин
iИДiJj;а П"fП"iJС'Г; ,>. СОНi'РНТСНШf а"а
ю
вво1l,ИТ;Я понятие
!.ии трех переменных. Для ';того вместо
ЮfКi'с'Гна {l'vI} 'rOLiCK 1'Нj',лидоной
;УfКШf j;зя'ГЬ
юсксс'Гно {М}
сн j', идона щ){;с'Гра!! с'Гна.
Т;;к ю;к ТОЧЮ 1 М евкли.;ювоЙ плоскости опре1l,еляетсяшумя
Х
'IJ, а тосн,а l'v1 CHj', идона
jЮ; п;а!;!,'Гj;аКООР1l,инагми х, у' и z то 1I,ля функт~иi'! 1I,B Y"x и ;рех переменных
"!iЮРДИ ;ата;;;
мы б\дi'М ';ш;трсб,;ять СО1)ТВСТ;ТВСНН;; iJбiJшачi'НИ!' '" = .f(x,
И
.f (х, у, z). Если
!.ия
= J(
) за u1 на на множестве
l'v1}, то Э'ГiJ ЮfКi'СТНО на.;ынастся оБЛ"fтъю
(f!упк;ци'"
и = .f (
). Число и соответ!'твyr<>щее 1I,анной
из мно1)
)чевидн". 11рУГ И шар представляют собой f,ШОЖf'ства {1VI} точек ШIOС-
1<ОСТИ И
;ространства ДЛЯ 1<ОТОРЫХ р(М М(;) ~ Н.
[НЫХ
скес'Гна
1М},
аз; ,1 ';а'Г;
81-/,/; ЧГН'!!Г,М
n; 0''1/1\; е J\;1
СОВOi;УПНОСТЬ
всех ч;!стных зю чениП фун ;т~ии
{
;аз;,п;ае'Гся ,н;;ож:сс пво,;;'
=
f(M)
;;{f'Чеnuuуmоu
Для
ЩИ 1\ВУХ переменных можно ввести
фиr,;а, ИМСШlii'
фi!;;К;ЦUU 'Ll :г, у';
f
ПО
;';рхnо;mъ, mо'Чк;u к;оmорои u неюm к;оораинаmы (х,
Р!н:смотрим примеры
1о. U
=..;4 -
, f(x,
!.иЙшух и трех переменных,
х 2 - у2, Обла! ты" з!лания;iТОЙ функт~ии явля
!'Т! Я круг радиуса ~ с цснтром В нача
ко;;рдинат, а множество
значений пре1\ставляет собой сегмент О
:::;; u :::;; 2.
. О'!)Л!Н:ТЬЮf!!НИЯ
1
20 . u =
VX2 + у2 -
этоП
щи явля-
4
ет! я множество точек, лежащих вне круг!! р!лиус;;
;а'!ал!' ;,"!ОРД!! ;ат, а
2
!.ентром
!!й прсд! та1;ля! 'Г собой
ОТКрЫТУЮ полупрямyr;·
;. <)бла! т ,ю задания эТi!Й фу нкции ЯRЛЯ-
3. u = Jcos;x'
МШ!сКССТf;;; 1М}
,
ко!!рдинаг ,1
;,,, ;г!рых ;ДОRлеТRОРЯ-
+ у2) ? О. Это нер! вею тво
+ ',1,/1. "~ ~2 2kп _ 7r2
ЮТ нер!шенству cos(x 2
Ю равенствам
:::;;
"
k = 1,), ...
разом
{М
круг!!
iaKfM
iiб­
состоит
из
рашуса
2'
J!! /2
центром в точке
0(0, О)
,ш'образшп!
стеП (рис.
;швивалентно
обла­
14.1).
4 . u = 111x1/z. Обла­
СТЫОf!!НИЯ этоП
П!!
ЯR
''''тся
!о +!ес'Гно
{М} точек, коор!шН!!ты
Ю.JТ; ;рых
уд;!Влств; ;ряют
неравенству :гу z
!Оскес'Гном
вся
чи!
-ос
<
ювая
<
>
О; а
знаLiСНИЙ
+ос,
5. u = х 2
-
пf ямая
1Г
+
Обшн:тыо з!лания это!';
функции яf; ;яе'Г! я нс!'
КЛИ1\ОВО
простр!шство
!Оскес'Гном
а
'ие
14,
знаLiСНИЙ
?
полупрямая и
О.
4. ПонопТ'я m-mерного координатного 0POCTj'?aHCTBa
и m-мерНОiО еt;клидоt;;! простр;!НСтt;а. M1-tоJfCесmео всевоз
MoJfc1-tыlx УnОРJiдо'Ч~1-t1-t'ЫХ сово!;!уnносmей (хl, Х2""
,х т ) rn 'Чuсел
41')
П()Н'lТИЕ
,J rn
:[;2
(J,
пр
При 'jTOM К
СОВQ};УПНОСТЬ
:[;1, :[;2,
, :[;п') мы
llа"ынать то" l"ОЙ ЭТОГi' ПРiiсгра; ;с'Гна и
оБОЗЮiЧiiТЬ 01\НО!";
М Числа :[;1, :[;2,
':[;"" Н,'ЗЫВaf"Т~
СЯ i':iЮРДll ;ата:) ТОLi"И М, Запие MCT1,J2,
:[; ,,)
а" 1ас 'Г'
l"a ivl
1"ООРДИflа'Гы Х1, Х2,· .. ,Х rn '
Г::~J\Л~Р1-аkО евi,Л, :дова пространства. KoopдиHaтHO~ npocтpaH~
:т:ю Аrn Но :ываетс:
т-.М е
Ы.М е в '1\; л и д о в ы
про с т р
т
О.М Е ПI , еСЛ"Ll ,не ;::ду люБЫ,Н"Ll
то'Ч'I\;О-
, ...
М.:: м' Cг~,
,x~J и м" (х", x~,
...
,x~J 'координатного про-
странства А rn onpeae;i.eHO расстоянuе 1 р( м', м") по фОРМ. уле
р(
x~)2.
'['"
("1
") =
(14. )
BBe:leHHbIe ШiМИ понятия l1H\IepHOro КООР:ШШiТНОГО ПРОСТРiiН~
с'Гна Аrn
m-МСРf",lО ,'Нl',Лllдона llр"с'Гращ:'Гна Е П?
1) Евкли юво m-,,;ерное
",'дс'Ганля-
;;остранство представ';яет собой та;, назы­
MHOii,eCTBO {М}. эле­
ваемое MempU"ieC'h~oe nросmРШliсmво. Произвольное
ме;;
ко
;'01;01'0
имену;р ;'Ос!
то' ;кам"
наз;,шае ;'Ос!
метр,,' ;еским
ствOi'
"сли существует правило. с по, "'щью ;,от"рого любым ДВу"
М'
М"
М;;О2кестна
j ,н
станитс;;
соо; "етс; ""е
р(М' М"), Ha:~ЫBa,'Moe р~с;mОЯIiU>'М
зан;;ое пра,,;шо
;тан­
точ>,а",
;;екоторое
'lИСЮ
эти;,;и точ>,а,,;и. При это,; ука-
;отж;;о бытт, так"м,
";"ПОЛН}iЛИС;, с;е;у!Пщ"е ак-
сио,,;ы (a1i;;UOMbl меmричесм)го nросmршн" mва), ) ;ля любых М' и 1\II"
p(Mi.M ii ) = p(Mii.M i ) (си;,;метрия расстояния): 2) для любых 1\11' и 1\II"
р(М' ,Н") ~ О, ;;РИ'lем, если
,н' М") =
то то';ки
("OH;;a~
дают: 3) для любых трех точек 1\II', М" и М'" выполня,'тся Нi'paBeHCTBO
п(М i М,и) ~ р(
"Н")
Ми,) ;;ера"е;;с;;;о треугоm,;;ика).
Уб,'ДИМСЯ, что ввеД;'нно"
с
;'елт,но
}iНЛ}iетс;;
метр"
на,,;и "в;<лид"Вii
;еским
простраНСТВii дей-
прос; ранстном.
самом
;еле
Сllра;щц-
лив' ,сть ш 'lJEbIx ДБ;Х а;<сИi;М метрического ;1" 'странства очеВДiiна (см. фор­
м<л; ( 4.1)). Убеди;,;ся в справедливости третьей аксио,,;ы.
lУСlЪ
;,
.
х;"
-
коор ;;;наты ТО'lек
m
2:[(; -
х;)]2 =
-
х;')
i=l
. М", м/II, Имеем р2(
m
2: (х;"
-
.
По ;агая
= О,
Xi/i
x~')
i=!
1=1
х;.'
-
+
х; = Ь, и исполт,зуя неравенство
к гл.
,уня <овского
10),
най;е,'
~----
m
что
2: (X~II -
x~.') (X~II
-
1=1
что
p'(1\I1'. М п ,)
p(1\I1' , М")
(
+ p(M i'
2
rn
2: (х
М п ,).
п'
х у ) ,т. е. p(1\I1' , 1\11' i) ~
[НЫХ
ю'Г собой обобщсния Yf,;a ;аншп; ны
и сю;
ПiJ' ятий ,,;'юрди 1а'! 1ЮГiJ
идона Пlk)с'ГраffС'ГRа
TO',feK
СИМRО,ЮМ
1\;1}
'inтvvериого
М1,I
еffКЛТТДОff1f
ПРОСТР1fИ-
обозна LШ'Г1
ю-
жество точек rn-мерного евкли ЮК1 ПрОСТрi НСТК1 Е rn
'Грим
"'о;"ЛЫ';iJ
примср,н:
ЮсС'ГR
R
т-
Рассмо-
юм
простраш тве ь rn .
1.
Юсf{еС'ГRО
1\;1} нс: f:iJ:',fOcf{HbIX 'Го LiCK, ,,"юрди ,аты
,J2" .. ,J rn КОТОРЫХ У1\овлетворЯf<>Т нерс 1 венству (Хl +
+(xr-x8)2+ ... +(J rn -хgJ2 ~ R2, назыюется т-м.гр'Ным. шаром.
радиуса R с Цi'ii'ГРiJ"
ТОLiЮ' 1\;10 (xi, ХЫ, ... ,x~ . Тю;
iJбраюм,
тiый [ар Оffредсляе'Гс':т [,;ак
Юсf{еС'ГRО {1\;1} Т" i'RОЗМ1)}f{ttыХ
точек М: ра, стояние р от каЖ1\оit из КОТОРЫХЮ некоторой точ
ки МО (центр
"дов" творяст штавенству р(1\;1, Мо )
Если ра, стояние р(
1\;10
'riJ"
)
от каЖ1\оi't точки множества
УД,Н: iСТТi"ряет с'Гр,ном"
R.
{! '1
"'раR:'iiС'ГRУ р(1\;1,Мо '!
1\0
< R,
то множество {
наЗЫКiеТiЯ Omi,PblmblM rn-м.ер'НЪ/..;\л шаром.
20. J\Iножество {М} точек, Рiнтстояние от ЮiЖ1\оit из ко'riJPblX до tt'f';iJ'ГiJРОЙ 'Г1
1\;10 "ДОRШ''ГRОр
1'1Ю'ГtЮt
ИЮ
р(М, Мо ) = R, назыюеТi я т-м.ер'НоЙ сферо/J р! 1\ИУС 1' R с T~eH
ТР' 'м в точке 1\;10.
3. I\Тш)жсг
1\;1} ТО LiCIO, ',,,,юрди еаты xl Х,
, х rn
РЫХ уювлетворЯf"Т неравенствам IXl - x~1 ~ d 1 , IXr
Ix rn
-
x~,1
,
x~1 ~ d 2 , ...
на;i,iRастся m-,,,,repnbl,,,, , noop)uHumnbl,", , nа-
раллелеirшrедо.м. При этом точка Mo(x~,x~, ...
x~) Ha.ъrвaCT­
ся T~eHTpOM :1ТОГО тn-мерного Шiраллелепипе
'Гы
Xl
. Если КООР1\ина
УДiJТiЛСТfi1РЯЮ'Г СТР1Н"
Х, ... ,Х rn TOLiCK МШ)}f{Сi Т1iа
неравенствам
x~1
< d1
1\;1}
IX2-x81 < d r ... IX m
x~1
< drn
то
Юсf{еС'ГRО {М} на;i,iRастся omnpblmbl,,,, , т-,,,,,,р :ы,,,,' noopd'Ll :ат­
'ныl •. nараллелеnun~дом"
Вве1\ем
понятия
EonpecmHocmu
т-
ЮГiJ
пр, ,с'Гра! [с'Гна
точки
пр :,НO'Ijголъnоu
точки Ма . Будем. 'Называт'ь Е-О
on[
Мо
евкли ЮК1
е,т :о,ти
р ~ С т 'н О 'с т
этой
ю т О 'Ч-
U
(X~и' х8, . .. ,xg,) rn-.;\Лf'Р'Ного ~вi,Л :дова nростра'Нства Е П?
omnpblmblU т-,"""'Рnыи шар родШf: а
цс'Нтро,,,, , в то'Чnе 1\;10.
Пр,ям.оугол
'Ной О
рест'Ност'ью то'Ч
U
Мо
~., т) т-,,,,~epnoгo "''',nJ!u)oBa nро,тра'Н,т",'" пазы ш­
гтс,я любоu Omi,Pblmbl,U rn-м.ер'Нъ/.71, i,оордu'Нат'Нъt.71 nараллелеnu­
,.[8, .
nс)
це'Нтро,,,, , в то'Чnе
С танед
1\;10.
(ТiСДУЮЩ:'"
У'ГR:ТЖд'"
Люба,я E-Оi,ресmносm'iJ mO'fi,U
:идова rn-M.' р'Ного nро:тра'Н: т",'" Е П? содсрж:'Ltт 'Н!nотОРУЮЩ.щ,,,,юуголъ'Ную onp" :т­
'Ностъ этой тО'Чi, n. Люба,я nр,ям.оуголъ'На,я onpecmHocmb то'Ч
i,U
COd~P:JICUm 'Н~i,;оторую E-Оi,ресmносm'iJ тО'Чi,;U
481
П<.ШЛИЕ
llСКО'ГОР' ,!'
{М}
т-
МШi}КСС'Гi1i i
ЮГ11 ПРiiс'Гра <с'Гна Еrn
Го'Чк;а М ,lluож:ссmва
н 10
!М}
u1i!ыlасnсii
т()'Ч,'f);()'й ЭТn()" i ' .;\ЛН():JICГСПiва,
l'v1,
E-ок;ресmНОС1!i"mо [К;'Ll
<'TiК <ИДi 'Т1а
СiСД" ЮЩlli' П11'
"CI'il
в
у тn
СУЩlOсmвуlO'Тn Нif1()'П/,()-
все 'П/,о'ЧК;U
,мНО:JICес'П/,ву {М
То'Ч!,а М 1) назыаетс,я
<т1,1!
г р а н u 'Ч Н О '11 то'Чк;о"/i .;\ЛНО:JICе
еит люба,я Е-ок;рестностъ этой то'Чк;u содер !!i'Llm
npi7'J-lаd iГ:JICа'ЩUIO .;\ЛНО:JICесmву {М
тш, U HIO nри­
{l'vI} ,
е.М!!.
MHo:JICecmeo {
т ъl
О
} пространства Е rn назыаlomс,я О т 'К р 'ь/,с с т в О
u л 'Ll О б л а
т ъ ю. ССЛ'Ll люба,я
тО'Ч!,iа эт(ро .;\ЛНО:JICества
внутренн,я,я.
Еслu !,а:JICда,я граНU'Jна,я то'Ч!,а .;\ЛНО:JIClOства {М ,явл,яетс,я
то'Чк;ой этого ,llUO:JICe;rn,o, тnо .множ:ес пво l'v1} uа:ыоеrn;,я
за,м'кнутыl"
Если множество {М} пре[\ставляет собо!'; ооm сть, то множе-
стно
!l'vI},
точек
iiOЛУ'1i"
!jTOrO
юс !!РЩlОСДИllСllИСМ
множе! тк'
ш!зывается з а м,
l'v1}
Т1ССХ !раllИLШЫХ
н у т О
7l
обласrn!,ю,
Отметим что если все точки оБШf(lТИ {М! нахо[\ятся внутри
ш,'ю)Т, ;рОГ11 птара. Т11 эта 11бласть называется О г
а н 'Ll 'Ч е
н О 'й.
В [\!iльнейшем НПЛ ПОШiiO, iится понятие св,язного .;\ЛНО:JICе
<т ,о. П рсдвар !,!'Гельш i \!Ы
Пi "
неnрерынойu К;Р'LlfЮЙ
в многомерном ПрОСТр!iнстве
нlonргрыно7l !,Pue07l L в npocmpaHcmelO
м,ы, будем, назы1,отъ ,ll,uож:е;т1Ю {М} то'Чек; этого nро;тран; тuо, к;oop)иHaты
Х1, Х2" .. ,Х rn к;oтopыx nредставл,яют собой HenpepыHъlee функ;
i!,'iШ nарам,етра
,
У'2
Мы
будем
1""2
= 1'2
, ... ,'\ rn =
!оно!ить.
") ,
,
'11'11
0::::;; :::;;
<Рт
'Г11'!
x~,...
l'vI'
{З.
(14.2)
x~J
'Е rn .MOi!!iuo COeu'Llif/Llmb
.1
... 2 х rn пространства
pынонJ, !,PUe07J, L если существует таюш непрерывная кривая
м " !Х 12
Х
опрсде iя,\!ая !!ара!, i''ГРИLiССКИМИ уран;
x~
(0:),
= <Р1 ({з),
x~
=
ями
<Р2 (о:) ,
x~ = <Р2({З),
.2) LiTO
= <Рт (о:) ,
x':n =
Рrn ({З).
С, [юрмулируем понятие связного множества. Ji.lHo:JICecmeo {
}
nро; mpaH;mi,1i Е rn иa:ы ,оет;
с
н ъl
ССЛ'Ll
ЛI, ,(iыc
1) ОтмеТИ;,i
СТБ1
16
что при ЭТOi' точка М
{1VI}.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
не
принадлежать
MHOiiie-
[НЫХ
!'7!!о,ну
3
а м е ч а н и е
О'! ['!РЫ'ГОС И СRЯЗН!
Отметим, что ИНОГ1\а оош СТЫО назыв! ют
!!',
а
ПР!!С'Г!!
! !'ГКр! ,I'Г!!!"
ЮсКi"С'ГRО
Р!!ссмотрим сле1\УЮi iип пример
ЮсКi"С'ГRО {М}
Еrn, ОПрСДС!Я!'АОС !ратшснисм
+ ...
1/1.3'i
1,
назыв!!еТi я rn-мерным эллиnсоидо.;\Л. Точки rn-мерного 'шлиш'о­
ида ЯRЛ ТЮТСЯ гра!
!ыми 'Г!!';
Ю +ii"С'ГRа
11\;1}
TOLiCf,!
1\;1
КООР1\ИНi ты которых У1\овлетворЯf<>Т нер! веш ТВУ
х2
x~
--++--,,-+
.. ·+f<
ai
2
ат
а
ЮсКi"С'ГRО
Юi !Яi"'Г!"'!!
ЮсК;С'ГRОМ
н! iУТРСННИХ
т-
мерного !ШЛИПi"ОИ1\а.
Чита'Гс
!Crf'!O уБСДИ'f СЯ сам, '1'Г!! мн! !жсг
чек 111-мерного !1ЛЛИШ'ОИ1\!!
Шl \ ГР!';
то-
является открытым и i"ВЯЗНЫМ мно­
сксс'Гном. О'ГМС'Г11
'1'Г!! m-м!'}!ный эл
отношением (
пре1\ставляет i"о<iой з!!мкнутое множеi"ТВО.
4.3;
IIСОИД, ОПРСДi' !Я!'\fЫЙ со­
Обш сть за f!!ния функ !.иИ
vcos(x 2 + у2)
и
пре1\ст!!Вляет i"о<iой несв-язное множество
см. пример
30
п.
3
и
14.1).
В закш<>чение 1\ОГОВОРИМСЯ назыв!!ть о
р е с т н о с т
ю
т о 'Ч
и М ш<>бое открытое i"вязное множеi тво, i"О;fерж! щее М.
6,
Il,онятие
фугкции m-пеР4!М4!ШИЫХ, ВНСД!'"
Функт~ии m переменных.
Еиш к;о.ждоU то'Чк;е
мерно, о ев'х;лидова
!т!;ис
по
М
из
.множ:есmва
пространства Е rn
из!;! !тnо,\;!у
{М}
став \тс-я
!!ск;оторо!
'Ч'Ll!ЛО
fЮНЯ'ГИ!'
то'Чек; т­
в
и,
соответ
то
го!ю-
р-ят, что на множестве {
задана фУНI!ци-я
= и(
или
и = .f
. При этом, Ю!ii"С'ГRО {М} на,!ЫRастся о !ластън! ;а­
дани-я ФУНК;Цi71t и = ЛМ).
ЧИi Ю и, !'! Ю'f liС'ГС'ГRУЮЩСС даШf!!Й 'ГОLiЮ' 1\;1
ЮсК;С'ГRа
{М} !!У1\ем назыв!!ть 'Частным. зна'Чением. ФУНI!Ц {и в то'Ч'х;е М.
С'! !в!жупность {и} вссх [астных шаЧi"НИЙ функции 'Ll = .f
назыв!!еТi"Я м.ножгством. зна'ЧеНii7l ЭТОП Функт~ии. Т!!к как точ
[,!а М !!ffРi"Дi"ЛЯСТСЯ ко!!рдинатами Xl Х!
,Х rn ТО Дi!Я фу!
пии 'Ll = .f(M) m Ш'}J;Мi"ННЫХ исшшь,!устся такж!' обозначснис
и = .f(Xl' Х2,· ..
О.
Пусть и
'1ТОЙ фуiIю!Ии
и
'
х т ).
ПрИМСр!,I фу!
m псрсмснных.
i"ЛУЖИТ
rn-мерныП
=VI - xi - xj - ... очеВИ1\НО,
x~. ОБШНlТЫО за f!!ния
шар
Р!!f\ИУ!"\!
с
4Ю
2
li'ii'ГРiJ"
'ГОLiЮ'
О,
'ГРИRасм, ,й ф, 11 ';ции Юi
20
Пусть
iOсксс'Гном З11а LiС11ИЙ рассма­
;1'
0,1
1
u =
Об [,'СТЫО
з,лания
:r:rn
a~
J rшутренних точек ннчерног()
функции ЯКlяе'Г('я множеС'ГRО
'ШЛИШ'ОИ1\а. Множе; твом значений этоп
;упрямая 'Ll
§ 2.
щи является по
:? 1.
Предельное значение функции нескольких
переменных
1. Сходящиеся ооследовательности то',;ех в m-М4'j'НЮМ
евкли/;,ОВОМ пространст;;е E Тn • Критерий Коши сходимо
сти ПОСЛ4'до"ап'льности. Рассмотрим в т-м;тном ;'ВКiИДii­
вом простр,шстве Е П? после1\овательность точек { } 1). С, [юр
мулируем сле;I}'f<>щее опре1\еление.
170;ледоuотеЛЪiiо;тъ
{J\;I}
то'Чеn
е;)nJш)ова
nро;тршн,;т­
Е П? uа:ыJ';ет;лл
Х О ;) Л 'Щ С U
ссл'а
таnо'
то'Ч!,а А, 'Что длл любого nОЛО:JICuтеЛЪН,й,JО 'Чuсла Е .;\ЛО:JIC'НО уnа
;атъ Ho,J,jep N
2) таnои, 'Что !!ри
N вЫ!f.Oл'Нлет'
n
uерш,еп-
ство Р(Мn , А) < Е. Прu этом. то'Ч!,а А 'НаЗbl,ваетсл пр е д е
л О
nо;ледо"отелъ ,о;ти {М;;}. Д.iЯ обозна'iСНИЯ прсдела А
по; ле1\овательности { n используется сле1\УЮi i,'Я символика:
liш
= А, или
n
п-+ос
!о!,;ажсм
Лемма
';'дующ, Ю
1.
--+
А при
11 --+ 00.
\!у.
Пу;тъ ПО, ледоuотелъuо;тъ
1J\;ln }
то'Чеn е;)nJШ­
дова nростра'Нства Е П? сходuтсл 'Х; то'Ч!,г А. Ттда nоследова-
т<ЛЪiiо;тu {x~n)}, {x~n)},
хо 'я,m я,
~o':~'~u"~,
... , {x~~)}
соотве '!!CmeYI, ,'ЩU""
n
u
nоор)и'Н ,т то'Чсn Ми
nоо"д'аа"а"
а
а
а
'Наоборот еслu nr)сле~ов~m~Л:~ОС~~jj'2'{ ~.~~ Г
1) Понятие последовательности точек в ,'В;<ЛИЩiВом пространств,' Е т
каждому 'lИС;У n на;'уралт,но­
го РЯ",а чисел 1,2, ... ,
... ставится в соотв,'тствие точ,<а 1\IIn евклидова
о ;ре;еЛ}iе;'Оi следующим образом.
пространства Е rn . !iозникающий при этш, ряд точе,< М 1
1\II2 , ... ,1\IIn
...
рассма, рю,аемыii н указа;шом l1Оlшдке, ;;азы;;ае'l'С<; последоваmелы{ОсmъlО
точ, " ,'в,<лид ,ва пространства Е т . l\IbI бущ'м крап<о обошачать эту посл,'ю;;а'l'еm,;юс'l', снм;ю'юм
}.
2) Так ка,< номер lV :~ависит вообще говоря от Е, то иногда пишут
N = N(s).
16*
[них
OfO
ли
""Я
неравенство Р(Мп , А)
< с.
наты точки Мn , а (аl, а2,
Нt'paii('HCТltO p(l'vIn , А)
<
V/( ;Т (п)
1 -
Пусть
А.
. ..
TOfcJa
50:,,1:
\2 + ((п)
;Т 2
-
\2 + ... + ( Х т
(n)
аl)
(2)
\2 <
- ат )
с.
- CLml <
(14.4)
с.
ююрдин;ст
точеl,
МN
сходятся
'! tOтветс! !!(,нно к
lИС1ам
([2 ... ([т' ДОКЮI\:;'М т(,'
обратное "твер)кдение. ПреДШ1ЛОЖИI,l. ,то Уl,азанные tOследоваlеш.ности координат To"iel, l'v!",
сходятся
'твенн! 1
lИслам аl, а2, ... ,а т .
для
110БО10 G > О можно указать номера N 1 N 2 ,... N m такие, что при
11 ~
~ N 2 , ... , 11 ~
'itOTBeTCl!!('HHO I3l,.ШО"lНЯlотся ш'ра­
венства
-
а2
<
Е
Гт'
... ,
х(n) _ а
т
т
<
Е
..;:т'
()тсюда следует, что при 11 ~ N = Illах{ N 1 N 2 ... ,Nm } выпол­
няеТС1 неравенство (14.4). Иными словамИI при n ~ N выполняется ж'ра i('HClltO р(мп А)
,где А ,ка Е т с
натами CL ,а2,... а т . Таким образом. последовательность
<
СХОДИfi'Я к
,ке А. Ле: U"la до!,:а')ана.
Сформулируем определеffие фУfщаментаЛЬfЮЙ последоваlеЛ1.Н01'ТИ точеl, в П1-Мi'РНО: 1 i'I3l,ЛИД11I30М
'TPllН1'TBe. Послсд!!
ватеЛ'b'J-lQстъ {l'vIn } то'Чек ,п -мер'Ного евклидова простра'Нства
'Называется Ф у 'н д а
'н т а
'Ь 'н О U или nослед!!ва­
теЛ'b'J-tостъю Коши. если для любо,'о rюложитеЛ'b'J-lQ,'О 'Числа G
мон, 'Но указаm'ь mакои 'JfЛ,мер
'Что при 11 ~
И для
го 'НатураЛ'b'J-tо,'о р в ы.nол'Няется 'Нераве'Нство р( Мп +р _Мn )
СправеДЛИIi след, !(,щий критериП СХОДИМ01'ТИ
ии (lЧШТi'РИЙ Коши).
<
с.
ю· i(OДOli"T(' ,ьно­
ПГ:.IЕ··
т
iPO ''!
{Мn } rnJi''l(''!''
побы
~Jt.t(p'/-/,opo
ilЛ'Ш)
бы 1!!, с.Уод,я, цей!
н,собi од iMO
то !.'I-/'О,
ОН!! f)bl!!.a фун.дuмснт !JI,'ЫШЙШТЫ'Я в
справедл lВОСТИ сформулирова lHOrO критер Ш, достаточ 10 за­
('!
м!
iИТL,
СТИ
что
{
}
{X~
ИЗ
!!Словия
!!!R.·lам!.я !!еЛ:!НОi'ТИ
1О!
:ЬH!'~
сле.lует, что после.1Ователь 1Ости {.у\п)},
} координат точе:! lvl
фунд ,,:ента :ЬН!.!I. и Ha~
n
обор'! " !'СШ
:!;1занные поС :еДiшате !!,НО!'ТИ ю ЮliДинат
'!'Hдa~
ментаЛЫIЫ. то фундаментальной будет и последователь 1Ость
, и затем
{lvln}
:римеНИi!. критериП Ко! !и дЛЯ ЧИСЛО!!LIХ 1OCТIe­
ДО!!!1Т!'
:LHOCie(i к 10· ,,'До! !1Т!' :LНОСiЯI! координат точе!! {Мn } и
лемму
1
ЭТОiО пункта.
Некоторые свойства ограниченных последователь­
НiР!I'леl,; ·ЩОЧ.ек
т-меРIЛОМ еВ.Р!,!iИДОВОМ простраНil·Л.ве.
Введем ПОНilтие ограниченной последовательности точек в т­
2.
мерном евклидовом пространстве. После{)ователъ'/-/,остъ {
то'Чсх; т~,MepHoгo св'Клидова nростран,ства называстс,я,
о
р a~
>
н и 'Ч е н н о
если существует та'Кое 'Число а
О, 'Что дл,я,
всех 17, выnлн,я,етс,я, неравенство р( О, lvln ) ::;; а, "де О - то'Ч'Ка
все 'КООjн)инатъ!, 'Которо!! jJaвнъ! нулю.
11 ными
словами. последо-
ватеЛ:.НО!·ТL {Мn } ю;ляется ограни· :енноЙ . е!ли
Э iОЙ
точ!!и {Мn
юследоваiеш.ности находятся внутри или на границе неко­
шара
T~eHTpOI! в н
l' :!еле
!!оординат.
Справедлива следующаil основна,я, теорема.
14.1
Теорема
(теорема Во.лъ'Ца1-/,о-ВеЙерштрасса).
Из тобой ограни'Чснной nослсдоваmСЛI.ности lvln } то'Че'К т~
мерного ев'Клидова пространства можно въ!,делитъ сходжщуюс,я,
nод17,осле{)ователъностъ.
Д
о
к
а
з
а
т
е
л
ь
с
т
в
о.
Убедимся,
{X~)}
что последовательности {х(n)}, {x~n)}
нат точек М"
как
ЯВЛЯЮТСil
ограни·:! 'Н
p(O,lvln )
. / (n)2
(п)2
-_ V
Х1
+ Х 2(.n)2 + ... + Х т
,то
17, ВЫПОЛIШЮТСil неравенства
1,
ДlЯ
lHaT
Bi'ex 17, !ыI~
::;; а. Посю!Л:.ку Р(О.Мn )
отсюда следует
::;;
а, Ix~n)
что ДЛil всех
I: ; а, ... , Ix~) I: ; а .
.иНL 1!И сло!!аl,Ш, юследо!!атеЛLНОС! и ;T~n)}, {x~n)
коорд
коорди­
огра lllче lНЫМИ. Действительно, так
ю· ,,'До! !1Т!' :LН!iСЛ' {Мn
юлняется неравен!тв!!
во-первых.
, ... ,
x~)
точек МN 01раничены. В силу теоремы БОЛЫ1ано-
'а ДlЯ
tИСЛОВ! ..IХ
ю·
1П. 3) из последовательности {х(n)
:LНОСiеП
10
(.
4 §4
выделить последова-
fНl,fX
тель юсть {:г(
'11)},
lрИ:
сходя НУЮС>f К некоторому ч fелу {Ч
шослен lва'l'еЛ,НО,'ТL {:r~nkl }
ДОf l i1Т" fLНОСТИ BTOPf,IX Ю юрдинаf
теоремы
из
точеli
{ :!
подпоследовательности
ЮДl юслеДОllатеЛLНОСI
( nk 2)
{ Х
2
L
,
МN
nk 1 )
вательности
{X (l
n k1 ) }
В си ,у '1'11Й /Ее
можно
(Щ2}
:!
{
сход fТСЯ к числу а
тель ности
"
"" {x(n k2)
)}
oTBeTcТl1eHHo. Очеl1IIДНО,
СХОДlfТСЯ
[то если ;ыI из
выдел [ть
HeliOTopoMY
сходящуюся
,у а2. З1;"lетим, что П I JДП I1 след,шатеЛf"НО,'ТL
ассмо-
x~nk3)},
подпоеледова-
К
Ч fелам
аl
и
а2
суждеНИlf
юднослеДОllатеЛLНОСТИ
llLlJIe
'твеНН11
{Xink3 )},
ШС>fам
:T~nI3)} {x~nI3)
1f2 1fз. ПР1JД11 f/Еая эти
мы, HaKOHeT~, получим сходя ТТУЮС>f К некоторому чис-
,у а т ШДПl1след,шатеЛf,НО' ть
координат
{x~nkm)},
со-
к некоторому числу аз подпоеледователыюсть
юдю' 1tДОli1Т,'fLНОСТИ
сходятся
,
п" с,ед,)-
{ x~nk")} послед,ша 1 еЛf"НО' ти Tf)' 'lЪИХ li011рдинат точеi МN
лим СХОДЯЩУЮС>f
чис-
'".
{xm(n
k m )}
"'о' '"'до'
"
, """т"'"'LНiiСТИ
"', "
"'К МN fрИ' " 'м ПI JДП11слеД11ваl ел "но' ти
... , {x~km)}
Х11ДЯТ'Я
ветс} ",'нно. Н11 тогда, в си
чи,
ле;lIlf"I
} поеледователыюсти точек {
ю юрдинатами
, а2, . .. 1f т.
1,
и .
{xinkm )},
,а т
al 1f 2
11'-Х
C011l-
ПI JДпос fед,шате ""но,'ть
} сходится к точке А с
{
ДI1I\:а' )iша.
а м е ч а н
е. Предел А поеледователыюсти {
} точек,
fРИНiщле/Еащих )ilIlliH;'TO;, МНОЖl'Сll1У j\;I} такж,' щ ,инад
'1
жит этому множеству. Чтобы убедиться в этом, достаточно за­
МlТИТL,
Е I)Ю)",'СlНОСТИ
. е. ТОЧliИ множеСll1а
fки А ИМl''''Т''Я
{J\;I} , и ЮЭТО;,lV
fки Мn ,
lO'fKa А Яlляется либо
ВН;'ТР,ЯНl'Й, fIЛЧ1 Гf'iШИЧНОЙ ТОЧliOП {М ,а
['ДО! !1Т,' [ЬН11 при
надлежит {
3.
ПОRЛЯТИ*, нредеЛЬНО20 32лаче2ЛИЯ функции неС21НЛR,­
ких переменных.
ассмотрим функ lИЮ u = j'(M), опредеl"ННУЮ на ;ШI1/Ее,'тве {М т-м! 'рНОГI1 е! ЮШДОl1l' fРО,'ТРiш,'тва,
и ТОЧliV А этого множеСll1а, был, можеl, и не принадлежащую
MHO)[\:!'Cll1Y {М
, Н11 11б
;,ю тс'м
'твом, что В Лfобоi'l
Е-окрестности этой точки содеРЖИТС>l хотя бы од [а точка м ю-
Жl'Сli"
{М,
ш шая от А.
Определение
'НЪ!
з'На'Ч
Число Ь ндзъtваеmс.я
n
'Ни
фу'Н'Х:'Ции
1.
е
е
л
(М)
ъ-
в
487
ПГ:.IЕ··
т
Сили
''!
),
Ml,lvIJ.,
М
е' !'(J, д {,я,
МN
торой
(70{i(zтел'/) юст:/)
е
'ц
!юб ,й сход,я,'Щ( й:
тnо {ГХ; мн i:J/C( Cjji"n
от А ) (Мn
(М1 ),
и
пр!!
ifi([, TJe !.bl-lОСrn!!
; '{.е" ,;итп:ы
М"
А).
,I(
(М2 ,
'Х;
П: 'нведенное определение называеТС>l определениеы предель­
ног{) значения ФУНЮ ши
ю: i iЩНО п{)след;шаiел,.но;·т,'Й. СФОР­
мулируем другое определение предельно, о значеНЮJ ФУНЮ
ИСJЮ,LЗ!'Я «Е-д» т"рминоюгИ!о.
Оnреде,/l,ение 2. Число Ь 'НЛЗЪi.ваетс,я, nре{)еЛЫ-lы.л.t З'J-lа'Че'Нием
фу'Н'Х:'Ции и
.f(lvI) в то'Ч'Х:е А, если дл,я, лю60ю nОЛОJICителъ'НОР О 'Числа Е .л.toJIC'НО
та'Х:ое nОЛОJICителъ'Ное 'Число д,
=
'Что ()л,я, всех то'Че'Х:
твор,я,Ю1ЧИХ условию О
ство
Ь
II(M)
I<
Е.
из области зш)а'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овле-
< p(lvI. А) <
д. выnл'н,я,етс,я, 'Нераве'Н­
3 а
а н и
О ;; "Дi' ;;'ния 1 и 2
ън{)го ,на ,,'ния
функт~ии эквивалент {Ы. Справедливость этого утвержде JИЯ ыо­
)[{i'" б,.!л· до!,;сзана ТОЧНi i так )[{i'
как и Э!,!ilшаЛ"НiН{)СЛ, д!!ух
определениП предеш . НОГО зна· ,ения фуН!щии одной ,ере: !енноЙ.
Д!Я обозначения Пj!едеШ . НОГii значения
j!'нщии и
I(M) в
,ке А и;'П{)л,;)ует'ся 'Jндующая СИМВ{)ЛИ"i.
liш лм)
и ш
I'v[ --+А
Ь,
liш
Xl --+а;
З;2--+ U 2,
а т - к юрдинаты
,ки А.
шр!'е: ощ ·еделение ,Р'Дi' ,LШТО ша ,,'ния j!'н,т~ии
И!!1i стреылении точки l\6 к бесконечности.
Onpeae,/l,f':HUf': 3. ЧИС/fi' Ь 'Называетс,я, n р е д е л '/) Hi,t
где а 1, а2,
СФор:
. ..
з 'Н а 'Ч е 'Н и е .л.t
У 'Н 'Х: 'Ц И И И
n
е д е л О .л.t
У 'Н 'Х: 'ц И И при М
= I (М)
---+
при
---+ ос (или
ос), если ()л,я, любою nо­
MOj!fi 'НО у'Х:азат'/) та'Х:ое nо.!{ i:J/сителъ'Ное
и.i области зада'Ни,я, Фу'Н'Х:'Ции, у{)овле­
творюо'Щих условш!! р( О, М)
выnол'Н,я,стс,я, 'Неравс'Нство
Ш:J/сителъ'Норо 'Числа Е
'Число а, 'Что дл,я, всех
II(M)
Ь
< Е.
Арю j:!еТИ',f'СКЮ' опера1fИИ н tД Фунюшя:.ш 111
имеющиыи предель юе значение в точке
цию.!, такж,' ИМ"ющю! предеш.ное ша ;i'НИ" В
снра"iДШВi
i след!
;i'pf'MfJНHLIX,
,пр ШОДfJТ К функ­
,ке А . .иМfJННО,
!'твер)[{дение.
I(
Пустъ Фу'Н'Х:'Ции
и g (М) и.л.tеют в то'Ч'Х:е А nредеЛЪ'НЪi.е
З'НШ'lе'Ни,я, Ь и с. Тшда фУJf.'Х:'ЦИИ лм)
(М), I(lvI) -g'(М), I(M)·
1) Это требование объясняется. в частности. тем. что функция 'и = j(lvI)
может быть не определена в точке А.
[Нl [Х
а {ЛЧГJ-l'{j"я, (''l(]'{ тn ше
пр!! УСШfi'Ш!! С
Дока'
О), ронные со iТJ!B! ТJ].СТПН!
[Ь' 'ТВ"
' } п ,ГО
,твеР)Кfения
'J-l
Ш Ь
с, Ь
с
с,
'"веРШf нно ;сна ЮГИЧНf,
доказательству теореыы 4
I:>есконечно маЛЬНf ФУНКии,ии,
БСС'Х:О'Нf 'Ч'НО малой в то {,'Х:!
зывaf
liIll
= О.
если
М-+Л
+ ...
fеГ1Ю убедиться, что функция I(1'vЛ = (Х1 - а )n 1
"'"
)'TLm
( - IО ,,; О )китf'' ILHI"If''С
"т
гд,,\ n1 ... ,n
Ш ",I'а ,
т
ляеТС>l бесконечно малой в точке А(а
Яli-
а2 ... ,а т ) 1).
Если фу'Н'Х:'Ци,я И
I(1'vI) ИЛfсст рав'Но ! nРfдеЛ'IJ'Ное з'На"lс'Ние
в mO"l'X:e А, то фу'Н'Х:'Ци,я o:(NI)
(М) - Ь ,явл,яетс,я бес'Х:о'Не"l'НО
малой в точ'Х:с А. Де!" твит" [ьн"
liш ff(1'vI)
liш и(М) -
)
liш
М-+Л
I (1'vI) -
I'v[ -+ А
Нс ЮЛЬЗffЯ
liш Ь
I'v[ -+ А
М-+
ЛУЧffМ спет~иалыюе предстаЮIе fие для функт~ fИ, иыеющей рав­
ное Ь Щ ,едеш,ное значение
ТОЧ1," А:
= Ь
+ о:(М)
{де
liIll 0:(
М-+А
= О.
СравнеШfе бесконечно ыалых фУНЮlИЙ нескольких переыен [ых
производится точно так же, как это указано в п. 3 § 2 гл.
для
бе, 1юнечн" маШ,IХ функций, Дной
. ОТ11етим,
как
в случае одной переыен юй, под сиыволоы 0(;3) ыы будеы
ЮНИ1,1ал,
бе"1юнечн" 11аIУЮ
данноП ТОЧ1," А фУНКЦИЮ
более ВЫСО1,ОГО порядка маЛОСf и, че11 беС1юнечно малая В данно!',
[ке А фffНКЦИЯ ;3(М).
5.
Необходиеюе и достаточное условие существования
нредельншо 'НlаЧZfRIИЯ функи f,И, И, (критерий Коши). Буде1
lОВОРИТЬ, что фУНЮlИЯ Г(М) !fдовлетвор,яет в mO"l'X:e М = А
условию Коши, "сли ДfЯ ЛIобог"
ю,юж:ит" [ьногО чи, [а
наП
дется положительное число д такое, что, каковы бы ни были две
точки М' и М" из области задаНЮl функт~ии I (lIп, удовлетво­
рЯlощие ж'ра ,"НС},'
О < р(М',А) < д, О < р(М",А) < д, ДfЯ
соответствующих значений функт~ий справедливо неравенство
II(1'vI') - I(1'vI") I < Е.
СправедлИl ;с слеДf
'Теоре,м,а
'Ци,я
I (М)
14.2
О{'Нfшная тс'оре1,1а
(к;ритериu Коши).
торо "lтобы ФУ'Н'Х:-
имела 'X:oHe"lHoe nредель'Ное з'На"lе'Ние в mO"l'X:e
1'vI
= А,
1) Достаточно учесть, что каЖ1\ая из функций 01\НОЙ переменной /(;1',,)
=
(:1'" -
является бесконечно малой в точке Х;. = а".
=
4Ю
ПГ!l.·lЕ
?f.соб:г (}f i'!iJt.to
ш
.f (
'!!огпuшn У'l·. [.и, ''lrn,об:ы. Ф/лt:f1''Ц'U,Л
'U,
!{ПОй rnJ!'Ч:J1е
K(J'Ilj,'U,. Доказатеъство этой теореыы
со!!"!)шеннр ана . ЮГИЧНР1! !I,:a'
С>! из HeJO путем заме!;ы букв
тю
!Ы'ТВ! :е! !!),'мы
и а на (!VKBbI
аl н!! СИМI3!!Л
17 -
А)
'!н!р!ения
= I(xl, Х2, ...
,х ..
!Л·,!
2 И Ю!У' !аети А и заыены
функц!!и
'и
нескольких переменных можно опре1\елить понятие пр е-
)
де.л, юго з! "'!ени''! по 01\НОЙ из m'рем,'нных
пр!! ,риксщ ·'Н,!!ННЫХlнач,'-
н!!я'! о! !!,.]Т!.НЫХ П"рем"!!НЫХ. В СВ''!з!! с э!"
!'!ает mfН'лие nовторн.ого
,'!I"'!(J"Л·h,.,,,,,,, зnшч.е!!'!uл. Уясним это понятие на примере функции 'и =
х и
Пуст!. ф.!нкц!!я
l\ЮУГОЛЬНОЙ окрестности
:1'01 <
Ix -
за1\!,яа
d 1 , Iy - yol
<
1(:1'. У'
Н,'!'!О !!сро!! пр''!
d 2 точки 1Vfо (:го. Уа , за
исключ,'ни,'м. (,ытт, М!fжет, с!"мой т"чки Ма . Пу! ТТ, дЛЯ К'ЖДifГ!' '!1ИКСЩ'"
ваннOl'О у. У1\овлетворЯ!ощеl'О условию О < Iy - yol < d 2
де.!ыюеlнач"Н!!"
нкци!! 7),
I(x, У) !fДН!fЙ пер" ен!ю!!
существует пр е­
точке х = ха:
I(x, У) = ,;(у),
liш
х--+хn
y-фИI'С
и пусть. кроме Тol'О, существует пре",ельное значение Ь Фунюши
точке
=
.(у) в
Уа:
= 1).
liш 'Р(У)
11 --+ '10
что
в
nовторн.о··
У' в точке
liш
.. , '·'!е.л,ное з!! "'!еше Ь
1,\;10. которое обозначается сле1\У!' ·щим
liш
У--+УО Х--+ХО
1(:1'. У)
=
Аналогично опре1\еляется повторное пре",ельное значение
liш
I(x,
у).
Х--+ХО У--+УО
!слов!!я раве!с!ва
!ВУ"
пов! ,'рных
пре",ельных значений.
Теорема
I(x, У)
d 1 , !У -
Пуст'Ь ф!jЮ;;Ц!!,Л
14.3.
·'РЛ.моугол'Ьnо!!
,ocrnu
1:1' -
<
'·лен.а в н.··1{;отороU
<
МО(:ТО. Уа)
d2
,шч.еnuе Ь.
1{;J.!OMe того. длл лю'··o"t'!.!e
бого фЩ;;С!!.]Jован.н.ого
< Ix - 1 (f!, СУИ~"ствУ"т nредел'Ьн.о·· .зн.а"tен.!!,е
t{г) = liш I(x, у)и длл люf.юго фи.сирова того У, О < Iy - yol < d 2 суи~е'и 'и.мее!'!· в эrnоu
11 --+ '10
з!!л"tе ,ие 'Р(У)
liш
liш
,д
а
т е
при
Ix -
ха!
<б
liш
х--+хо
liш
Х--+ХО У--+УО
У--+УО
т, с т в о,
пре!!,ельное значение
=
Тогда
С!}
nt едел'Ь-
Так к!!" ,!,!Н!'!!Ш''!
<б
p!!BJi i " Ь.
· .. ·СтвУют
",'--+"
то !ля тобого Е
и Iy - yol
1(:1'. У'
>О
ее!
можно указать такое б
выполняется неравенство
1/(:1'. У) -
ЬI
> О. что
< Е, Та­
ким ,,(,разом, в прям"уго.!ьноЙ окрестности 1 '!
xal б и Iy - yal
пfчки
МО значения функции I(x, У) отличаются от Ь не больше чем на Е. НО то! 1\а
зн!, !ени''! 'Ф(х) и 'Р(Х), !!'!азанн,'" в фор' !л!!ровю' теор" !.! пр!!
·щих неравенствам I·!
"т.!ич!,ют,·
о!
не
ч,'
xol
<
б и Iy - yol
Е, Сле1\' н,!,!е.л,но. и
<
б, также
!нач,'
ния этих функций В точках ха и Уа соответственно существу!'·т и равны
Теорема 1\оказана,
1),
fНl,fX
\fожно
"'"де,1ИП, mfH пие п",то! ного
"fCTe{!
дво !Н1,Р' ПО" '!'дов '11\/П,
ся двумя индексами m и
дл"
элем"н ы
Именно, символ
"начала определяется после1\овательность {Ь n
"о'
liш
liш
n-+
"--+
Ьn
=
так HC1:~T,тaeMЫX
1fp1 ,Р'
а"
аm "
liln
-+
',О1\И'СЯ предел "то{! после1\о',ателт,ности {Ь,},
опрещ\/Т"ю'
означает, что
а затем на­
'аССМ1fТ!'ИМ, напр"
Д'1fЙНIЮ ПОС1'дО!,ал Л1,Нf' Т1, {а",n}, где а",n
~7in!T,
Ф """рованное ЧИf
,J"Ka,,,""" , что
'os'"
liш
n--+оо
в сам','
щ\пе, е, ,ш
Н!Х
cos
m
p/q, Г,п,е р
и поэтому
=
liш
m-+ 00
- це,,1ые'шсла, то при n ~ q'eeM
n!,
1. llными словами. если Х -
cos m
n)q
Н,
liш
liш
'osm 27in! у
1.
-
Если ж"
ирра,шо
'--+оот
на,л,ное'шсло, то пр"
поэт"У
,1Ю"'Г"
n
C"Sm 27in! у
m
liш
n
'00
3
l' os 27in!'
'лраведП!'
а н и е. Испо, П,'"
1,
'ОО1П--+ОО
,"Ч{ Н нътП'
:fЪТа,т, мът
,м.
"е, ким сп о' обом за1\i,Т1, ф' нкц
преП,ел liш
liш С01,т 2"
1 §1
гл.
4)
>'!
на.:fИТИ-
"ак пов'
,fpHbl{!
"-+
§ 3,
Ilz:преРЬШRIЛ,Н' фУНКИИ,ИИ НZ:СllОЛ!,llИХ лн:ременных
1. Определение непрерывности функции нескольКИХ лн:ременных, llY1'TL ТОЧ1,,' А ,ринадле +IИТ об
'ти
дания функции и =
f(M)
не'1Д,Ы,ИХ
"'Р"м,'нных и
,юбая Е
окрестность точю' А содержит отлич [ые от А точки области
;"дания '11' 1Й функции.
Определение
Фу'Н/к'Цил и
=
(М) 'Ндзываетсл
'н е пр е-
р Ъ! в н
й в т
"l 11: е
А. ес ш nредСЛ'Ы-/'О1 з'На"lе'Ние этой
фУН11:'ЦИИ в mO"l11:e А СУ ществует и рав'Но 'Част'Но.МУ з'На"lе'Ни'lO
f(A).
ОТМ'ТИI1, что
НОСЛ1 фуню
А
=
liш М,
---+Л
У' Ю1ШС' н;нр,'рьш-
мож ю записать в следующей форме:
lim
Iv[
А
(М)
(lim М
\т---+А
,ки, В Ю110рЫХ функция Ш,' обладает
'Т130М непре! ""ШН1 ,назьшаются тО"l11:а.МИ разрыва этой фуню [ии.
'11рМ'
rир,с'м
опреде,ение
Н;'1'Р"РЬ 11Н01'ТИ
пользуя определение предель юго значенИI[ фуню
"'Н1,Т~ИИ,
И'
С помощью
ид.
Определение 2.
и =
(М) называетсл 'Неnрерыв'Ной в mO"l11:e А, если длл Л'lO 10, О поло i11ителъно,,'о "lисла
лtOJIC
'Но У11:азатъ та11:0е поло i11иmсл'ыг!" 'число 8, 'что длл вссх mо-
fЕСКОЛЬ
f вниЕ
fЕПГЕГf
''lCJi' М и8 облш ти 8а, '!i/I-/,'IJ"я,щ!m,леrru ор,я,'Ю1Ч'IJJ
n(М,)
Н!,tnо {н,епu
'!!,(РШiСШJПВО
(М) - J(A1
Н(J,8Ыi'!{,('jjJ.С,я,
Оnреде,/l,ение
и =
J(
рыннои
Н
о:ж:
если
fi
она
n
неnрср
р
,lfiH(J,
ii'(J,ждой rnO'lix:e этого Jtoliшжестi!(]"
Назовеы rЧi'lЦющеi!'!!ЕМ
J (1\11)
=
=
6.и
где М
-
по i'!!ihiM njl'IЦЮ1че
в mо'ч,'х;е А фУ'J-l'х:'Цu'/О д.!!
,юбая
,ка IГ
оnрсдСЛШМУНI
(14.5)
J(l'vI) - J(A)
Ilбласти :задания функции.
'ть точ
ки А и l'vI ИI,iеют соотвеТСi ileHHo координаты а1, а2,. .. а т И
Х1, Х2,· .. Х т · Обо:значИI Х1 = 6.Х1 Х2 - ([2 = 6. Х 2
... ,Х т
ат
=
спользуя эти обозначени!!
получим для
,риран!t'НИЯ !I'н;т~ии 6.и,
'ТВI
приращениям
,ументов 6.Х1" .. : 6.Х т , следующее выраже fие:
6.и
=
J(CL1
+ ~X1, а2 + 6.;Т2""
: ат
+ ~Xт)
- J(CL1: а2:··· ,а т )·
(14.61
с iчевидно, fjл,я, неnрерывности фУ'J-l'х:'Цuu u = J(
в mO"l'x:e
'J-lеобходuJtoto u {)ocmamo"l'J-lо, "lтоБы' ее nрuраще'J-luе
npefJcmaвл,я,ло со )Ой 6ес'х:О'!!,С'lНО лtaЛУНI в mO"l'x:e А фУ'J-l'х:'Цuн , т. е. нt оБХf!­
дима
достаточно, чтобы
liш ~ u =
М---+А
liш
М---+А
(I (М) -
J (А))
= о или
liш
6.и
=
О.
(14.71
~J;l---+O,
иХ2---+0
СЛf!вие 11.7) мы бl'N'М на:з"шаi е, раЗ'J-lост'J-lОЙ формой условu,я,
'J-lеrчiеры'J-lостuu фi Н'х:'Ции u =
в ffiO"l'x:e А.
ДЛЯ фУНt;т~ии u =
(Х1, Х2,. .. Х т ) неCl;ОЛЫ;ИХ ,еремен­
J( )
ных
, II'/EHO
определить ИIшятш,' нt 'i ,р! 'рьшно;'ти ПII
1ДН' IЙ
IГ
пе
р!'м!'нных ,ри фИЮ'ИРf!ванных :значениях о;'таЛЬН"IХ "lii'M!iИ­
НЫХ. ДЛЯ Оifределения этого понятия рассмотрим так назьша­
('мые 'Частнъи fiрuрmче'J-lU,я, фУНК1fИИ 11
J(X1 Х2 ... ,Х т ) в
точке меТ1, Х2,. .. ;Т т ) ПРffffадлежащей области определе fИЯ
;;'Нl;Т~ИИ. Зафию'ир,'!'м в;'е ;,рг;' "ieHTLI, Kpo"ie пеР1ЮГf!, а пер­
вому аргуыенту придадим произвольное приращение 6.Х таю I!'
еЛ Iб"I
,ка
1;01Iрдинаi;tI;И Х
6.Xl Х2 ... ,Х т наХf!ДИ
лась в области заданИI! фуню
. Соответствующее прираще fие
[них
функции называется ''l(]'{ rn
М(:71,:72,
пр IП!iiЩ! '{ИМ ,м ) фу IКЦИ
p;tJ"t
,Х!п), соответствующ [м пр Iраще IИЮ
и обознача!' ,,'я ~Xl
Т ш,и;
в точке
аргумен
50;,;,
(14,8)
f(:71
нало; ич ю определяютс>! част [ые приращеню! функции, соот­
ветствующие ПРIIраще IИЯМ других ар;ументов:
~x
=f(Xl Х2
~X,' Хз '"
,Х т ) - f
,Х2""
:7 т )
(14,9)
= f(Xl Х2
, Х т -l, Х т
+ ~Xт
f(Xl, Х2,··· ,х т ).
Введем теперь по шт [е непрерывности функт~ии 'U = f(x Х2
... , Х т ) п! i i ДН!iЙ из i!'Pi'M!'HHLlX.
Фу'Н/к'Цил 'U = f(Xl, ;Т2, ... , Х т ) 'НЛЗЪ!.ваетсл непрерывно!; в
m/)"lne l'vI(:! 112, . .. :7 т ) ПО переменной Xk, если '{лстное при
ращение ~з;, 'U это!; Фун'К'Ции в mO"lne М nреiУставллет собой
б!'с'Кон!"'lНО .малун! фУН'К'ЦU'i!i от ~Xk, т. е. если
lim ~з;., 'U
6,!--+О
=
(1 .10)
О.
ФЮ,СИР01iаННf.IХ значениях 1icex пере; ;eHНf.lx, кро;;е перем; 'ННОП :7k, l!i!Нf,ЦИЯ
Х,'
шет собо!'!
функт~ию одной этой переменной.
l'i!Нf,Т~ИИ пii i!'Рi'МiЯНОП Xk
Ш 1',;сет непрщ ".ШНi
1i;1занноП
функт~ии одной переменной. ОчеВIЩНО,
условия непрерывно­
сти функции 'U = f(X1 Х2 ... Х т ) I3 даННiiЙ ТОЧ1,!' l'vI 1Ъ1тс'Ка­
ет непрерывность этой Фуню
в точке
по каждой из пе­
Р,'МiЯНЫХ Х1,Х2 ... ,Х т ' Одн 11,0 IГ непреi".ШН!iСТИ функции
,о',ке l'vI по каждой из ,еременных Х , Х2
не 1Ъ1текает,
I3i50бще ГiiI3!iРЯ, Hi', ,р; 'рь 1iHO' ть ф!!нкции
,ке.
lтобы
убедиты'я
ра'
след!!ющи!'
10. r..lLI будем Г0150рИТЬ, ,то функция
н; '! ii !!'рь!!!на I3
,ке l'vI на
, ПРiiХОДЯfI !'Й через
f,
эту точку если дл!! любой последовательности точек
lРЯМО{,-"j,
"ХfJД,яще{""ji"Я
тельность
!ия
'U
Г (Х,
=
"ТВ"
значений Фуню
{I (M,J}
ша',iЯИi' f(l'vI)
l!(e М.
'!!Н!щии
{
lO'
этой
[('ДОl :1-
имеет пределом частное
на ,рямоП функ­
представляет собой функт~ию одной перемеff-
I3
,ке М. Та1,
НОП, то iOнятие Нf', ,рi'рЫ1!НОi'ТИ функции на
'; iI3падает,
оче1 идно, с iOнятием неiiрерь!!!ности указанной функ !ИИ одной
1) Термин «частное приращение» употребляется iля тOl'О, чтобы отэто
щего
Пр!iра;;'i""
ПРОИЗВОЛЬНЫМ
.'"
,Х".,
(,т
Пi"mi i,"
прира;; i,ениям
ПР!iраЩi'Н!iЯ
i
~Xl, ~X2, ' , , ,~"
14,6),
,00е'"
всех
iТi!Ю
apl'YMeHTOB
fЕСКОЛЫ:ИХ
пер ем е fНОЙ В частности, непрерывность функци
в точке
по oT.fe fЫfЫМ переменным
и
преfстаВЛ>fет собой непрерыв­
н04.'ть
на f рямых, ii ЮХfJ fЯщих через
[ку lvI и пщ аллеш,ных
коорд fffaTHbIM осям Докажем, что фу [к fИЯ
у2
{
ш 'НрС'рLшна
О)
ю
на
точку
Ikex
О
из н'рс'м, "Иных Х И у, т.
непрерывна на каЖДOff из коорд
Ш"
=
у2
о
ТОЧf,.t'
О,
fffaTHbIX
04.'таfLЮ,IХ Щ 'я: н"тх,
осей, но не являеТС>f
fРОХОДЯЩИХ через
поэтому не >шл fется непрерывной в точке
fiшмая,
ш'шая от
rrОР'динаТЮ"IХ
i\ажда>f
04.'еИ и ПiН'ХОДЯfная
10 [ку 0(0, О), :lO+feT был, fредставлена ура1шением у
О. О Н'ВИДНf' на таю ,й
fРЯМО;:'
k
ОТЛИЧЮ,IХ от О точе1f
ветствующая последовательность
+ k2 '
= kx.
где
ri'ЮfТ~ИИ поСл
е' ш послеД4.ша,еЛ,Н04.'ТL {МП
ЯНЮ,I И Р 11ТНЫ ~.
дел
значения
Так как при
i::.
k
сходиТ' 'я к ТОЧ1f" О, то '! ютимеет пре-
3 fаче fИЙ Фуню
о этот предел отличеf' от НУШf
не
С01 1"1Да,"
чаСТЮ,IМ ша Н'НШ.'м Фуню ШИfЦИЯ
раЗРf,шна
'1
п ,й
[ке на 'iассматрива,
'f,Ш
'MOf.:'
ность функции на 1юордина1Ю,IХ осях 1Ъ1текает из 10ГО, что ее
ша н'ния на Iних о' ях раВЮ,I НУЛf'
iожет СЛОЖИТЬС>f впечатлен
{к fИЯ двух пере-
мс'нных непреРf,шна на Лf"боi'r
проходя н ,'й н'р'" данную точку, то эта фУНКТ~Юf непрерыв [а в vказанной точке. Сле-
Дующю:' при:.1ер Ю1fаЗf,ша, '1, [то
.
вообще говт ,ря, не 1a1f .
Рассмотрим фУНКЦИЮ
{
f(M)
.
что. хотя
l.,2 y
,,4
0(0, О)
Прi'
-+
О
-+
4
У
#
2
НКЦИ'А непреРЫВНi: нс: люБО{·i ПРЯ'ю{i,
= kl.'
равны
---:;---k'"
на о'·'
фУНКЦИИ на паi.аболе у
= pl.,2
р
~
- - - . 1 ак
1 + р2
как при
.../I
Вf,пеКi:{'Т
'ругой стороны, значения
постоянны И равны
НКЦИ" Прi' СТi.Н'i','i'Н"И' :iЧКИ
параболе также равно
и ПОЭТОМУ
х-
О.
того. что ее значения на этой оси равны НУШО. С
де"ыюеlнаЧi'НШ'
у2
она не является непрерывной в этой точке.
самом .:,.еле, значения фунюfИИ на прямой у
при Х
Х
при
Нi:Я
ХО1\Я н.еЙ через точку
+ ,;2
:
р2' И ПОЭТОМУ пр е-
К точке
по i'iазаННО{i
О этот пре ,ел отличен от
нуля И не совпа1\ает с частным значением фУНКЦИИ в точке О, то функ fИя
разрывна в i,ТОЙ точке.
тних
т.ИИ
Н:'~ооьН:'~их
ные
сво
пс:ретvтенных.
lCTBit
tи\t
непрерывных
t,CTt;a
ос<д
переJ\Iенных
ЭТttх
ан а,
ны дока; ,тельствам соответствт<"
t<at<
пп;;'м;'нной,
пояспеппя,
t
t;;'РЖД;'Н
tранил!),
fl<ункций О,шой
\tbl
'танать
;jjf,
KpaTKtt f'
предс)стат;ляя д;,'тали дс)казат;,'лт,стн ттитате,ттю.
10. Ариф
п р еры в н ы м и
у
нст­
ОС!
т
ес
оп
ац
и
ад
Ф у н к Ц и я м и. Спр:шедливо следующее
;;".
Пусть фу'Н/к'Цшt
f(NI)
фу1-t'К'Цшt (M)+g(M), J(
и
g (f.;!)
-
непрерывнъ! в то'Ч'Ке А. Тогда
(
(M)·g(
pblB1-tыl в то'Ч'Ке А ('Часпmое при УСЛО61Ш
g(A)
и :~:~ непре­
# О).
Доказате"tь~
ство этого утвер +;дения совершенно :шалогично дока; ,тельству
4.2.
р
ы
н о
т
л
ж н
й Ф у н
дем понятие сло +;ноП функции нескольких переменны
20.
ф<'
н
[;е­
Пусть
;;ttи
Хl = epl(tl, t2.··· ,tk),
Х2 - ep2(tl, t2 .... ,t/),
(14.11)
Х т = epm(t ,t2 .... ,t/)
;ад:шы
н"
мно +;естве
{N}
еВКЛИДОВit
ПРОСТР:ШСТВit
Ek
(tl.t2 .... ,tk
[<о )liДtt tatbl
[;'К
пр!)еtран{'tt;;,). Тifда
к<,ждой точке N(tl. t2, ... . tk) И; MHo>t<eCTBit {N} ст:шится в со
ответствие с помощью формул (11. 1) точк<, f.;f(Xl' Х2, . ... Х т )
;'t;t<ЛИДf
)t;a
простраt tCTt;a Е т .
О;i<!зна'
f
ttM
{\tнож;'~
ство всех тitких точек. Пусть и Хl. Х2 .... ,Х т ) - функ~
цtt 1n-tt;'pe\tet tЬTX, задаt tая на указаt
н!жестt;;' {J\;f}.
этом СЛУЧitе мы будем говорить, что на MHO>t<eCTBe {N} ев
клидова простраНСТВit Е/ определена CiЮ;JfC1-tпя фу1-t'К'Ция и
Г(Хl. Х2 .. .. ,X тn ) где Хl, Х2, ... . Х/< янляют{'я функцtt \tи пе­
ременных tl t2, ... ,t/ причем эти функции определяются COOT~
нош;'юt \tи 14.11). Сttраt;едлино {леД<'Юt
\'тt;ерждение.
Пусть Х
= ер (t
... , :Гт = epm(tl, t2 .. ..
а фу1-t'К'Циfi и = ЛХl, Х2
... ,Iim ). гд~ bi = epi
да СЛО;JfC1-tа/f а/ун'К'Ци/ !
представляют
собой
. t2
tk), Х2
(tl, t2.··· ,tk) . .. .
,t/ 1-tепрерыl1-tьll в т/ 'Ч'Ке А(аl' a~ ..... а
... ,Х rn ) непрерывна в то'Ч'Ке В(Ь 1 , Ь 2 .. ..
аl.а2 .... ,ak), i = 1,2, ....
. Toг~
и = Г (Хl. Х2. . .. .
где Х Х2···, X Тn
определе1-t1-tые
выlеe
фу1-t'К'Цшt
apгY,MeH~
тов tl, t2, ... . tk. 1-tf:прерыl1-tпп в то'Ч'Кг А(аl' а2, ... . а/ . HaMe~
fЕСКОЛЫ:ИХ
4%
[Нf [Х
fИ\! ')('НОНН ,!е этап!,! до 'аза !елы' !на этог;) У! Н! ржд! Нi!
П\'''!Ъ
А,
п),оиз!;оm,ная СХ;)fЯщаяся К А
!е,! )!;а!е,!ь-
},
i-
ность точек из обл tСТИ {N} заf шия функций <р, (t ,/2,
, t;),
а {
с;;от!;ет(' !нующая пос !;донат;'
тотте!! ,fИ-
В силу
.
,
, t(n))
'f,;
непрерь,вности функций <ре В точке А, последовательность {
сходится
к точке I?
,Ь 2 , . .. ,
(не ИСКЛ!ifчена ВОЗJ\Ю!!!НОСТЬ совпадения
!;'К l'vln
т;)'!ю)й
. В С!
!е!!реры!;!!'''!и н TOTf!'J' В функции
= Л[ 1, Х2, ... ,Х т ) ПОС1еДОВifтельность {j(iVln )} сходится
,
, ,КО,
,орь,х
'"
нать,
К
(В. Н;)
(,(п)
'1' t(n)
'),
,
равнь,
,та посл;до!;ат;'л!,!
!редста!!Ля;"
с;), ;;)й пос
довательностьшачений сложной функции, отвеча!!" !ую сходящейся К А ПОСЛiдонат;'Л!,! !'" !и N n } тотте!! област!!
задаНi!
;tK ЮtК J\lbI убедились, что послеДОВ;tтельность {f(iVl;; } схоД!!тся К !астно\!" зна !;'Нi!Ю f(B) то
сам!,!
Нi'П) ,;'т;!,!нност!,
слО>!!ной функции ДОЮt;аНif.
За J\1 тт а
Пj '!'! !;еде!
здесь Д жазат; m,стн;) Щ ,;Д(' !анляет собой обобщение н" случ tй нескольких переменных ДOIШЗif­
!елы' !на т;'оре\!ы 4.5 о нi пI); f;!,1!;HOCT!! сложн )й фУНКЦ!!
'!Дн)й
переll1енноЙ.
30.
н
п
Т
о р е
ep!,1HH
а
йф
14.4.
Теорема
с т о й тт
Ц
З Н а К а
Ес;;ш фу'!!'Х:'Ция и = ЛМ) 'Н,! nрсрыl'нлл в то'Ч­
i-
х:е А евх:лидова nространства
и если
( )
О, то суще­
ствует тах:ая д-ох:рестностъ то'Чх:и А, в пределах х:оторои во
всех то'Чх:ах области своего зада1-tи!! (J1) не обращаетс!! в 1-tуЛЪ
и и.M~~т знпх:, совnадП1О1Циu
знах:о,м,
(М). Справедливость
f
т;'оремы
Нi'Посредстне!
f
f;ьпеf!ает
о! !ределе!
!!Я нi Щ
,;-
рывности ;I;ункции В теРМИНifХ «Е - д».
40.
Т е
унк
зна
р е м а
ии
чере
о х о ж Д
н и и
л
промежуточное
бое
е п р е
!,1
н
й
н и е.
14.5. Iycmb фу1-tх:ция
всех тО'ЧХ:(fХ свя !ного ,m,1-tО;JfCгства
ства вт, nтш'Че.М ЛА) и ЛВ)
-
u
М}
j(
Henpepынаa во
евх:лидовп npocmp(i!-
31-tа'Чеюt.!! этоu t/.if/1-tХ:ЦIШ в то'Ч­
х:ах А и В этого M1-tО;JfCесmва. Пустъ. далее. С
-
любое 'Число,
зах:лю'Че1-t1-tое .Nle;JfCJf/ {А) и j( В). Тогда на любоu Henpepыноиi1
х:ривои L, согди1-tяm1ЦГU то'{х:и А и В и ц"}.их:о,м, располагаю!! "и
ся в {iV1}, наидетс!; то'Чх:а N тах:ая, 'Что j( N) = С.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть
... ,
= <pтn(t),
а ~
t
~ (3
ур;шнения непрерывной кривой L, соединяющей точки А и
!!НОЖ;'''fна {
Цi'Л!fЮ);! ра('полагаЮf f;'Й('Я н {J1 (с\!. п. 5 § 1).
На сегменте [а,
определена СЛОЖН;!Я ;1;УНКllИЯ и - f(X1' Х2""
-
,где
= <pi(t), i =
,2, ... ,
а ~ t ~
(3. Очевидно
[них
зна [\'Нi!
Нi!
''')Й функцtt
\tи ф\'
на ('tTM\'H te
t<ции
и] с it;падают ('О зна'
(М) на Крttt;\)й
t,
f!;УНКЦИЯ одноП переllIенной
L,
t<азанная (Л\iжная
в СИЛУ утвер}t<дения р
tettpepbl;tta ta (';TM;'Hte [f; и] И, ('oetaet
tKe
' \t;'Hta [СУ, и] прttн t (taeT зttаттеttие С
R
tKe N t<рИRОЙ
С ююрдttНатамtt CPl(~)
),
СРrn(() ('праR\дшt
pat;ettCTt;" (N) = С. Т;'орема дOtазана.
пункта,
tеt<ОТОР\iЙ
... ,
50.
н а
О г р
н и ч е н н о с т ь Ф у н к Ц и И, н е п р еры в н о й
\'
з а м к н
Т О
О Г Р а
н о ж
с т
Теоре,м,а 14.6 (nервпя т[;преАШ ВеU[;рштрасса). Ес­
JШ фУ'Н'Х:'ЦИ.я
=
(}.;!) 'нгnрерыlнлл нл ;а,м'Х:'Нутом огРПЮl'{е'Н­
'НО,М ,м'Ножестве М}. то о'На огра'Ни'Че'На 'На это,м MHOftf!eCmBe.
!становимся н" ДОЮtзательстве ограниченности
(М) свер­
ху. ПредmШ\iжtt ,ттто И
(М) Нi' orpaHtt t;'Ha СВ;'РХ\' на М}.
Выделим (юtк и в ДОЮtЗ;tтельстве ;\Н tЛОГИЧНОЙ теоремы 8.7)
ПОСЛ:ДОt;ат;лt,t
{J1n
М}, д,tя
I(
)
N.
СИЛ\'
§ 2) И; {}.;[;;} lIю>t<но выделить сходящyt' ;ся подпоследов tтель-
f
f
=
>
HOCTt, М/Сn } ПI'\Д\Л
Бо, t,llaho-I kЙПf;jjтрасса,
ПtЛу зам; 'tat
tриttад t\'ЖИТ множ\'(' tt;y {
. о
видно, последовательность {Л}.;[;n } бесконечно большая.
ДРУfОЙ CTOP\iНi,t,
('НЛУ Нi'ПР\'Рt,tRНОСТ; ф\'
llИИ R
tKe
,ita
последоютельность {Л }.;[;J} ДОЛЖНit сходиться К Л}.;!). ПОЛУ-
t\'HHOe tp, iтttROpeTНte
60.
на
Д о с т
ж
мкнутом
о и Х
ы Х
Д\fКаз
и
Й,
огр
Н и ч е н н о м
е п р е
ы R н
м н о ж е с
т в
Й
е,
г р а н е й.
Теор[;,м,а 14.7 (вторая теоре,м,а ВеUерштрпссп). Если
фУ'Н'Х:'ЦИ.я и (М) 'нenpepы'но(j 'НО за,м'Х:'Нутом ограЮl'Че'Н'Но,м
,м'Ножестве М} то о'На достигает 'На это,м ,м'Ножестве своих
f
то'ч'ныx вcpx'Н~и и ЮlЖ'НСU гра'Н{;и.
Mt,I
С' it;ерш\'нно ана,
tHO
1,0Юt;ательство этой теоре
доt<азателы'у;у т\'оремы
t;торая
теорема ВейеРШТРitсса для f!)УНКllИИ одной переменноп).
Т. Понятие равномерной непрерывности
Ф
н к Ц
и
о л ь
Х пер
н ы Х. Ф!j'Н'Х:'ЦИ,f{
И =
(М) 'назыlпетс.я р а в 'Н о М е р 'Н О 'Н е n р е р ъl в-
f
'Н о
u
'На ,м'Ножестве {М}
1)
ев'Х:лидова nрострп'Нства Еn;, ес­
ли
любого nоложителъ'Ного 'Числа
мож'Но у'Х:азатъ та'Х:ое
nоложитс.i<Ъ'НОС
зпвис.ящг\' mO.i<b'X:O от Е ,'(то д;;,л\}mб'Ых дву;!'
то'Че'Х: М' и М" м'Ножества {}.;[} , удовлетвор.яющих условию
р(
<
д, выnл'ннетс.я 'Нераве'Нство !Л J1")
TeOpeMit.
-
(М')!
<
Е.
Имеет место следун;щ,\Я
1) При ЭТОМ предполагается, что множество {М} плотно в себе, т. е. в
лю;;{л"r Е-окрес ;юс
Ю';{iДОЙ то ;ки М это; О ,i;ш;жес ;ва имеются {;тли ;;;ы;'
от М ТОЧ;iИ множества {М}.
497
iEenff?epbl,BiEO~
ст'n).
иа за.М}! uщпл}tf O?jIO {ifi,'Че (iIШ.М .ми(); if'г{"mне
{М} фУ'Н'К;'ЦUЛ рп
!,CT!!i!
iH
i.МГРU() 'ги пр!:р .fл'На 'На
казаТf'
ству теореJ\IЫ
'<\
!TMf'H!
la, ь
на
{!{ВУ М
р(М',М").
1 ),2
!!но\!«
!i!жеСТВf!
и
f(зовем
е.
!ную
!!t'f'!!i!ЗМОЖ
Ix
!!ерхнюю
!blf'
ff
-
,,-
!а зам!{
!{В!,! Х
Х'I на СИ,J!ЮЛ
диа,метро,м ограниченного
граю,
ТОТТ!{
ттисел
;,
/Г С
,
!i!жест!!а
зуя понятие ди (метр" множества, отметим следyt!"
m'П\!'li!,IRН!,IХ
'fi!казаТf'
М}», за\!f'Н!,!
заJе!!ы в ,!раЖf'm!й т!!Па
а
!но
и получается из него путеМfi(мены теРМИНit
»
\!НОЖf'"
и
'i{'J-l!iJICеi'ПI,(jf Дo~
С' !!!еРШf'ННО ан а,
ГДf'
t'ПОЛ!,-
!ее свойство
!iiT!,IX огран!! !f'HH!,IX M!!ii}!{eCT!!aX Функ~
ций. Пустъ фу'J-t'Х:'ЦUЛ
ЛМ) 'нгnpepынаa 'J-tП ЗПМ'Х:'J-tуто,м огрп
'J-tu'Че'J-t'J-tОМ .iVL'J-tОJICесmве
М}. Тогда дЛfi любого nОЛОiifiuтелъ'J-tого
'ЧUCii!{ Е .iVЮJIC'J-tо у'Х:пзатъ тп'Х:ог ;; >
'Что 'J-tП 'Х:ПJICi 10М npu'J-tп, fлг~
JlCаЩГ.iVL .iVL'J-tОJICесmву
{iVf}
ЗПМ'Х:'J-tутО.iVL nOz!.iVL'J-tОJICеСmве
{iVf},
.iVLemp 'Х:оторого .iVLeHblLlf'
'Х:Оiiеба'J-tuе w 1) фу'J-t'Х:цшt j (iV!) .iVLeHi;lие Е. ДfiКазаТi' !,CT!!ii ЭТОГf! свойст!!а
анаЛfji!i !но
дока! (тельству следствия из теоремы
§ 4.
10.2.
Производные и дифференциалы функции
неСКОЛJ,КИХ пеWiеmенных
1.
ЧНСТJJь;е ПРОИЗВОДJJь;е iliРНf'iЦИИ неСКОЛJ,КИХ пере­
менных. Пусть точка М(х ,Х?, ... 'Х т является внутренней
!ю!й ii{iлаt'!и задан!! ф\'
llии U = j(Xl, Х2, . .. ,
. Pat', \ю!ри\!
да! !i!й ф!!ксир,!!!анной то'
М(Хl' Х2, ... ,
ОТНОШi'~
ние частного прира! !,ения д. Хk U (см. п. 1 § 3, формулы (11.8) и
(14.9)) к соотвеТСТВУ!iiщему ПрИрit! !ению д.Хk аргумент" Xk:
:::"Xk'U
f(Xl, Х2, ...
Xk- i
Xk
+ 6Xk
6х'"
Xk+l,···
Хт ) -
f(Xl. Х2 ... ,Х т
6х'"
14.12)
От!! !ше!!ие (14.12) п)"'Дt'та!fЛяет Сf!{ii!Й ф\' !кllию (iТ /:"Xk, i!ПРf'Дf'~
ленную для всех, отличных от нуля значений д.Хk для которых
!ка JT(x ,Х2, ... 'Xk- ,Xk
д.Хk' Xk+ , ... ,Х п ,) пр!!надлеЖ!!i
облаСТИ!itдания i!iУНКiiИИ и.
Определение. Ес.iШ сущсствугт npez!Cii, от'J-tошеюtл (14.12)
'Част'J-tого nрuршщеюtл д. ч U фу'J-t'Х:'ЦUU в то'Ч'Х:е iVf (Хl, Х2, ... ,Х т )
+
1
Колебанием w ФУЮiЦИИ f(M) на множестве {NI} называется разность
\tt'ЖД' то шой iiерхней и то шой нижней
МfЮfii, 'Пfе.
ранями функции
I(M)
на этом
[них
fl:Гl,
'J(;
'!iJm
Гk
р
тел
3
о
по
ар2У
i
k
itКИJ\I оБРitiОМ,
14.13)
)ТJ\IеТИJ\I, что ЧitСТНiШ производная i!)УНКllИИ u =
apr;iMeHTY Xk Щ"Д;' fаRляет с'); ii)й обf,П<
f(Xl'
... ,X Тn ) по
извоДнт"
f\iЮ про­
i!)УНКllИИ одной переменноП Xk при i!шксированных
зна f'iНffЯХ
fepe\fef
'fаЛhНf,IХ
fif,IТТИСЛ'iНff ii
,ых.
тта;'
i-
НЬЕ проишодных производится по обычным пр шилitм вычис­
т Нf!
ПРОИЗRОДНf,fХ ф;'
При М еры.
о
u =
агс
f<ЦИЙ (fДН )Й переifеf
t g-,
х
_ У
_ди - xze Yz
+,z' iJz
х-
=
tg'V'
:J;"i
ди
z
iJij
2VX2 - YZCiiS VX2 - yz
М е ч
,ке
дх
1.
+ у2'
+ __
1_
- у + ,z'
= eYz
1
- xye Yz
z
VX2 - yzcos 2 VX2 - yz'
ди
н и е
тта;' ,'ных
_
-х
х2
iJ у
х
yz, iJii
д';
-
у2'
+ z) ,
ди
iJ у
ди
у
х2
+ 111
и=
U
ди
у
fi)Й.
у
2vx 2 - yzco< vx 2 - yz
Иi ст f,ествования у i!)УНКЦИИ в ДiШНОП
ПРОffЗRОДНf,fХ,
Г )fii)РЯ,
fihП н<ает
непрерывность i!)УНКЦИИ в этой точке. гЛы у +ie убедились, что
ф;'
iiffЯ
U~{
ху
х2
+ у2
О
при
х2
у2
при
х2
у2
О.
_
О
не является непрерывной
§
(см. пример
п.
в точке О( 1. О)
)днако в этой точке укаЗiшная функция имеет Чitстные
ПРОИЗRОДН ,Ie по Х
ло, у)
== О
с fiдует ffЗ
ттто
f(x.
О)
_
О
и поэтому
iJfl
дх
=
О
и
iJfl
ду
= О.
а м е ч
н и е
2. Мы определили понятие частных
проишодных для внутренних точек облаСТИiiщания ,!)унк ши.
499
ipaHtt [н ,tX TOTTet< об,tастtt задания да!
taCTHt,tX [р НtЗt;;; [ых являет;'я, t;;юбще г
В ЧitСТНОСТИ, это свя; ШО С TeJ\I, что
iранитТttых
тотп<ах
[а;' tи
taMtt
опреiе, [е tие
it;;iРЯ, ю'пр;' ОДНt,;
за,iанtt
'I)ункции не всег
мо +;но ВЫЧИСЛ1ТЬ
tастю,tе приращения
'''iЙ функцtt
(так, пс\прпмст, обстсщт дсло С грапптт­
НОЙ точкоП }.;[о оБЛitСТИ, июБРitженноп
на ptt;'. 14.2).
;;;'bl'tHO [а;',­
ные проишодные в гр:шичных
областtt
ются
задаt tия ф"
ю(к
точю(х
t<ции ;ют ,'д,ля­
предельные
ЗНitчения
этих
о
проишодных.
2.
сти
х
Понятие дифференцируемо­
:liРНКЦИИ нескольких пере­
менных.
'шомним,
Рис.
что ПРИРitщени­
f
ем (или полным прираt tением) 'I)ункции и
[ке }.;[(Х1, Х2,... •
~X2
~и =
с,ЮтtiеТ;'Т!iуюt t.Им Щ
14.2
Х1. х2 •... ,Х т ) в
,ttpat
t,'юtЯм ~x
,
... , ~:Гт аргументов, Нitзывается выра +;ение
+ ~X1, Х2 + ~X2,'"
f(X1
+ ~Xn )
Х
Х1 Х2
-
...
,Х rn )'
f
Определение. Фун'Х:'Ци,я и
(Х1.
. ... "т) но iыlастс,я
д и Ф Ф ер е н 'Ц и р
е.м о и в даннои пю'Ч'Х:е }.;[(х ,Х2,... х n ;).
ГС.iШ
полног nриращ' ние в .;тои то'ч,'Х:е ,МО;)fCгт б/;I,т'!; npez}став. JCHO в виде
~!!
A1~X1
A2~:Г2
... + Aт~!m. + а
~X1
+ a2~X2 + ...
aт~Xт.
14)
гд,; А,. А 2 .. .. ,А т - нг'Х:оторыг не 3 У6ис,ящи; от ~X1. ~X2 •...
~Xrn 'Числа, а а1, а2 .... а rn бес'Х:оне'Чно .малые при
~X1 --+ О. ~X2 --+ О, ... , ~Xт --+
фун'Х:ции, рпвныl г ну;;ю
при
~Xrn
О.
tие (14.14) назы~
Вitется ус;;овиг,м ')иффеРГ1-t'l~ируе.мости функции в д:шноП точ~
ке
. Ytл it;ие (14.14) Дttффпн;нцttруе\iJ'" tи ф;' llии ;южt за­
писitть Тitкже в иноП 'Iюрме. Для этого РitССМОТРИМ бесконечно
;ta. t;;ю пр'; ~X1 --+ О, ~X2 --+ О, ... ,
--+ о функцttю р
= ... =
-_
. / Ll
Л х 21
V
+
+ ... + .
=
=
Л 2 l ; ,Л"
2"
L
х2
хп
1)
;';'\teTtt,
ттто эта ф;:
llия
Щitется в нуль лишь при ~x
~X2
... = ~Xт = О. Убедимся
tetteph,
входяt t.ая
праt;;;ю taCTt, ;'О,iТН;iшения (14.1,1, с,;мма a1~X1
a2~X2
...
am.~Xт предст:шляет собоП бесконеч~
+
но
;ta. tую
бо.
tit,IC,iК
iro
t;iрядка функцttю по С) ,а;нению с р.
преД,т ;f\ЛifJ;Т собой р 'сс
+~;1,
+~;
+~;т).
5{){)
[них
\)и
тго эта )'умма Пj ';Д)' {ан, {яет )'обой
{){;ам{{,
{;Ы) ,аже {ие ,;(р)
i- О с{{рат;е
само,{ д; Ю', при
{иво
i~x,1
1,
и ПОЭТОIlIУ
,6.:[;1
(;2,6.:[;2
+ су т ,6.:[;т
~ {la111\;Cll + la21 1\;C2 1+ ... + larnlI \;cml }
~
Таю{м ))(;разом, \<mfБ{{е
~
{l a11 + la21 + ... + larnl}p =
11.14)
,;(р).
Функц{{
может быть запис
14.15)
это\; {;елитти{
о(р)
M{,I
{лае\; ранной
Чтобы ДОюt;ать, что условие
(14.14), нуж{
.
очередь вытек (ет предст шление
{е {;се
,6.Х2, ...
р)лю пр;; р
=
О.
эквивалентно условию
предста{;леttия (14.15)
свою
(14.11). Для этой цели, СЧИТiШ,
15)
,6.Х)Р ра;ны {{'лю
1),
пр;дпа;{{м о(р)
В виде
олагая о(р) ~x, = ai
{"тит{,{вая,
ai
являет;'я б; ;'К)Н; ,{но
Р
ма.m)Й Прf1
-+ О (а '{а, (;ыть, И пр;; ,6.Х1 -+ О, ,6.Х2
,6.:Гт -+ О) ,!)УНКllией, мы придем к представлению
Итак, {';л)){;ие диффере{ llИIУ\';'\ЮСТ{{
сать юtк в виде
(14.11)
Е;ли
{ibl одно
ля, то сумм" А 1 ,6.х
так и в виде
1
ф{'
llии мож{
(11.15).
А 2 , ... ,
отлитт{
от HY~
А т ,6.Х т преДСТiшляет co~
{;)й главную, ЛlmеUНt/ю относительно nрщющениu аргументов
часть ПРИРifщения диФ,!)ереНllируемоП ,!fУНКliИИ. Отметим, что
при определении понятия диФ,!)ереНllируемости функции мы не
{{;'клю'{али {;)з\юж{{)~'{и обращ;'Н;{
{;с;х
,'11,
А2
... ,
в нуль, и поэтому, если прира{ {ение ,6.и ,!)ункции lIю}{<ет быть
Щ ,;дпавЛl'НО
в{{д;' 11.14) или (14.15) {ри А 1 = А 2 = ...
= Ат
О, то функция диф,! ерен iИруема в ДiШНОП точке.
(прав;д
и
1)
Е)",и ВП'~)
(
.15)
{;а ;лед{'ю{ {ая т;'от;е,{а.
рав;;ы Н; ЛЮ, ТО ;;се ';Ш ;;ы В пр ;;;ОЙ ч;"с
р ;;;НЫ нулю.
Ф<iРМУЛ 14. 4)
- I(! 1, :Г2,
ре?!'И,uр!/е.ма н
М(:Г1 :Г2,
:Г iii )
,!!i() Н
С!/-
ЩСi '!f!нуmТn'iiYСПliJ-lЫС пр !из юд'J-lЫС по iiU~.M аргу ',U~H'!пa
{~;
A i где
=
диффереi!iЦ'Щ)!jе
'1 о к а 3 cl т
л h (' Т В о.
из УСЛ()Нi!i'
(1414)
iiли (1415)
Из у("тюnия
(14.14)
диффГ'реп-
цируеJ\ЮСТИ il'УНКЦИИ В точке М(х ,Х2""
вытею,ет, что ее
,i,iЙ тотткс' равно ~X, и = Ai~Xi
!астное Пj ,!!ра! !i'Ri!i' ~X, и
+ ai ~Xi'
к ,к
ai
6 х , 'и
О !сюда в ,! тс'кас' i .
--+ О.
л
при U-X i
--+ О.,
пр'!, '{е.М
6х,
11'т
~X! 'и
6Xi--+ii 6х,
=
,
Ai
+
+ ai,
д'И
дх,
С.ледсmmм'
,Условие 14, 5) диа if.i ере1-щируемости
'И,ии в i!анной то ('Ке М .ivю;)fcно зпnисат'!, в слгдУifiЩi'Й ФОРМi
14. 6)
{'.ледсtпвuе 2. ЕCiШ фун'Кция и
Л:Г1, Х2, . .. ,
диф
ферен'И,ир!/е.iVШ в то'Ч'Ке J1 (Х ,Х2, ... ,Х rn ), то представление ее
nриРПЩi iШЯ ~и в фОР.iVLе (14.11) и.iШ (11.15 еi!lИ!ствен?!о. В са­
i!O
,! деле, !<оэффициеiiТ!,! A i ЭТ!!Х ПРiДi' !авm'н !Й paiiihТ TTai' !HhТ\!
Пj!Оиз!!ОдН!,i
iД!!Нi'
в данной то'Ч'Ке М
ОПРiде.!яются
!"Ri'HH!,i
Убедимся В СПРiшедливости следующего В"ЖНОГО СВОЙСТВ"
Д!!ффi'Iунц!!руе\!hТХ функц!!Й.
I
I,сли
и = (Х1, Х2, . .. Х iii.) дщjiферен'И,ир!/е.iVШ в то'Ч'КС .iV!(X1, Х2, . .. ,Х т ), то она и Нiinрсрывнп в этой то'Ч'Кс. В са
мом д! т', из УСЛО!i!!Я (14.11 ! диффере! i i !!Р' с'мост!! фi' !кllи!!
!Ю' !ihП н<ает,
liln
6х --+0.
6ХО,
6..>';'
~и = О, а
iiзна'!аi'Т,
функ-
'гО
ция непрерывю В точке .iV! (см. п.
§ 3, формула (14.7)).
iЛi"та i ' фг'
.'ии и = I(x
Дi:VХiеi:еГiеi ЪТХ Г'iЛ:ii:ие
i ,герен шруемости' ~Юi!<ет быт~ илл!';iСТР~~Р;В~НО геомет~и~ески.
j kеде\i ПОiiятие !<асатеЛhНОЙ плос!<ост!! к !:i!iepXHOCT!! В тотт­
ке
N o.
Плос'Костъ К, проходящая 'Через то'Ч'Ку
называется
'к а с а т е л ъ н о й
No
n л о с 'к О С т ъ
поверхности,
10
в этой то'Ч­
'Кс, ес. ilt угОi! М!
;)fCay этой n.гюс'КосmЫfi и Сii'Кущей, про годящей
'Через ПЮ'Ч'К!/
и любую то'Ч'Ку
N ii
ну iЮ. 'Когдп то {'Кп
N1
N i noBepXHOCnilt, стре.iVштся 'к
стРГ.iVштся 'к N o (рис. 14.::).
Uii
1
Здесь все частные производн ,ie -
д.г,
берутся в данное! точке М.
[них
Е(' tи
[ке
N a ('ущест;т'ет
[<аса tе,thная
но.
[<а('ат;',
[а т пmt('костt" то оттеRttд~
N;! к tюбой К\;;'
рас
t;tжеt t;tй
R ТОТП;J'
н"
поверхности
и
про~
ходящ;'й
ле­
;t<ит в ука; шной п, fOС~
t<OCTtt
У6еДИIlIСЯ,
т'(л; )t;ия
I
I
I
I
I
I
:о)
{х,
{/у у
/
х
//
J}[a Ха, Уо)
ет
существов шие
диффер;ч
к
S
этой функ~
llИtt
R ТОТП;J; Nu(xu Уа,
Поло +;им
х - Хи
Уа д.и
гд;;
4.14)
вытею(~
Za
=
услоt;;;;;
-
t;tй тотт­
ке
гр (,!тку
/
,М(,;, у)
х
да!
са tе,thНОЙ
/
--,/~ )
/
и е;
руемости '!;УНКllИИ и
_____~-+--~~~~_гl~~
/ '10
/
что
диффереt llи­
д.у
д.х
=
и - иа
иа = J ха Уа , и =
f(x. у). Очевидно,
;;ttP;;;;TfOCTtt R раСС;tатри;ае;t;tМ
слу;tа;;
можно;аПИСitТЬ следующим оБРit;ОМ:
и - Иа = А(х - ха)
Уа)
суд.х
fЗд.уВ(у
- А(х
где А и В
-
постояt
tЬТ;;, ранн
f3 -
в точке }.;[а,
СУ и
'!;УНКllИИ, р
- j д.х2
;Ie
-
Уа)
о(р),
iJ'"
д'"
taCTНt;I;! П\ ;ОИЗRодНt;IТ; д;;; и д'"
бесконечно Мitлые при д.х
--+
"
О и д.у
у
--+ (;
д.у 2 .
;;(ссмотрим следуt, ;щее уравнение:
И
И;
-
Ии = А(х - ха)
ан (литическоП
+в -
геометрии известно,
Уи).
что это ур;шнение
определя;;;
деt<аРТОRОЙ
t<о;)рдинаt (х,
И) Н;;Юt ;;tрую
плоскость 1Г, проходящyt;; через точку Na(xa, Уа, Иа и имеt, ;щую
НОРМitЛЬНЫЙ вектор n = {А, В,
. ттто ;та п;t; )('Kt!' [Ъ
1} 1) .
1г Яt;,;tя;; t'СЯ [<аса! ;ЛhНОЙ П
стью в точке N a поверхности В. \ля этого достаточно убедить
ттто: 1) плоскостt; 1г щюх;)дит ттерез тоттк;; N a t;tt;epXHOCTtt
и
угол ер между НОРМitfЫ;' n к этоП плоскости И любой ce~
кущей N aN 1 стр;;
к 1г
Ю!fда то; [<а N 1 t;tt;epXHOCTtt S
/2,
стремится к точке
1)
1)
очевидно. Перейдем к
Нор, ;;;ЛЫiЫ,;i В;К ;'ром П;ЮСЮ;;ТИ на;ы;;;;е
iюбой нен, Л);В;'Й В);К "р
N a.
Утверждение
п, п);рш НДИКУЛ1СРНЫЙ К ЭТОЙ П;ЮСЮ;;ТИ.
ПГ{'lпво.,'ШllE ИfllФФЕГЕf
ДОf<азателы' [НУ YfH) РЖД1'Нff
2;
f,fТТИС ffM К )ПfНУС
[а <р, НОС­
ПОЛf,З )f;аf;Шff'"
ИЗf;)'" ['! f1)Й фор )f;'ЛОЙ
fЯ ю )Пfнуса )тла )f1'Ж т),
ДВУIlIЯ вектор"ми Так ю\к координаты вектор" n равны А, В.
-1, аfинаfЫ f;ef<Topa]vUNl
- ио (см, рис
, то
;'08
<р
се <)'Щ1'Й paвНf.;
- :Го, у - Уо,
= ---;:;;:;::;:;====;:;.'",,1(=,1=-_Xvr';)=+='=Ь='(y~=y=o=)=(='II.~~==~
J \2 + В2 + i v(; х;)2 + (у - у;) + (и -11.0)2
llИИ и =
з ;;Л )f;ИЯ диффереf llИIУ)" )ЮСТff
(х, у)
к \ет. что
А(х
- хо)
В(у
- уо) -
= о(р).
Поэтому
IC08
Из ЭТОЙ форм;'ш.I f;f.IT1xa1"
ттто lim; 08
=
О, т. е. lim <р
Р--+"
УfН1'рЖД1'Юf 1 '
ТаЮfМ
2)
= 7r /2.
Р--+"
Д
ФункцfЯ и =
f(x
в точке }.;[о хо. уо) с геометрическоП точки зрения означает на-
f<асатеЛhНОЙ пл );'ю)" fИ
точке
fрафffКУ ф;'
llИИ и =
(х, у)
N o (хо. Уо .fi.o).
Так
f<af< ю) ;ффffЦff1'НТЫ
И В
paHHf.f ;'0' )ТН1' fCTf;ef
производным. вычисленным в точке }.;[о (хо, Уо'"
;'аТ1Л .Н1)Й ПЛОС<ОСТff МОЖ1"
и
-
ио
НОР;fал.ныЙ [;н<тор
бf.fТf. заf
=
ffcaHo н f;иде
- хо
+ iJi1
{ди,ди
-1}
= ii 71·(X
iJ)j
тта;' [НЫ;;
то ур \Бнение ка­
14. /)
ду
f<асаf1ЛhНОЙ ll.f);'Ю)"fИ
принято н"зывать нормалыо к поверхности и =
N o хо, уu, ио .
f
х, у) в точке
диффереf llИР;" )ЮСТff функ·
ции нескольких переменных.
Теорема
14.10.
Ес.iШ фую,;'Цил и
f(Xl'
,х т ) им;;т
'частныe nроизводныe по всем п.ргументам в неnоторои оnрест
ности то'Чnи Mo(~ . ~2.'
..• ~т). nри'Чс,м вс; ,'ти·uj.стныc ПРО
изводныe Henpepынъ!l в са,мои то'Чnе }.;[u то уnазанна;)
дифф~ре'J-щируг,мп. в то'ч,nе }.;[о.
Д о к
з
т е л ь с т в о. Для сш::р"щения з;шиси проведем до·
казаТ1Лf.СТf;\' для фУНКЦff Дf;;'Х П1';·')f1'ННf.fХ и = f(x. у).
faf<
пусть обе ч;\стные производные f~ и f~ ст f,ествуют в окрестно·
сти точки Мо(хо. УО) и непрерывны в этой точке. Д;\Дим ;\ргу·
ментам
и у столь малые прир"щения д.г и д.у, чтобы точю\
[Нl [Х
(ха
В
'ажен [е
+
+ tly)
(:Г!) ,
+
[.f(xo
+
1/0 +
-
(х!),
/(хо, уа
+ tl1/
+ /\1/)]
+
- .f(70,
МОЖfЮ рассма­
тривать как прирar fение функции Лх, уо
tly) о. fНОЙ перемен­
ной ;Т на сегменте ;То, ;То
tlxl. n.)сю).rьку il;ункция
.f(x, у)
ИГfеет частные производные, указанная функция .f(x, уо
tly)
+
+
Дифil;еренцируема
ее ПРОИЗfЮДffая по ;Т предстаfшяет собой
астную п] юизводняю Х' Применяя к пшзаННОJ\Е п] Ш] ;ащению
форгry.fУ ЛаграЮf'Д, наЙ. [ем такое (}1 из интервала 0< (}1 < 1 что
Рассу jf,дая совершенно ана.ЮГИЧНО. ПОЛУЧИГ.f, что
торого
(}2
< (}2
из интерва.fа
[/(хо, у!)
+ tly) -
шя HeKO~
лхо, Уа)] = .f~
Так как производные
.t:
и
.f:,
непрерывны в
TO'fKe Мо , те)
+ (}1 tlx , уа + tly) = .f~(xo Уа) + а,
.f~(xo, уа + (}.,tly) = .f~(xo, Уа) + (3,
.f~(xo
где а и {1 - (iесконечные малые при tlx --+ О и tly
Отсюда, у' итывая приведеf [ые выражеf ия ДfЯ
и(хо
+ L:l;T, уа
L:l1 ) - .f(xo, уа
в ,Iражение для
случае функции
рассяждеНИ"i
ние
L:lu
=.!
(ха,
+ .f~(xo, yo)tly + aL:lx + {1tly.
Сfед шатеrьно. функция
NI!).
и
ЮfЮДЯТСЯ
ДИфil;еренцируеГlа в TOTT~
.f
rn
пере.lенныхu =
аffалоги'
Ю,
ТОЛf,fiО
.f(71, Х2,
полное
этой функции сле [ует пре fставить в виде
о
о
(х" ... ,Xk-1 :Tk,xk+1
Теорема доказана.
, ...
. .. ,
при] .аще~
Cy.li.lbI
m
k=1
О функции.
fайдем
L:lu = I~;(xo yo)tl.r
ке
+ L:ly)
--+
5U5
ПГ{'lпво..·ШllE ИfllФФЕГЕI
I.ИН JfН фРНIUЦf' И нескольких
f.
ли
[е-
л
Ate1-l:mО{i "ИСП)'Ь nрираw,ен!!л
фi/'l-l'Кi'ЦU!!
1и.)ффициент'Ы А ! 6 nредста6ле'I-I/U'U
(14.
реti.'Цuру(моЙ фУti.'Х:'Цuи ри6Ю,! нулю, то
JZ1ttt 6 mO"l'X:e М С"lитаетсл pa6HblAt н! лю.
Таким обра юм, шфференциа.юм
дифферент~ируе: юй в
TO'fKe
и = .f(x ,Х2,... •
Iаз ,1f'ается выражеfIие
14.18)
Нспол ,зс')' теорему
;1,ение
(14.18)
11.9
мы можем
!ля дифферент~иала
оттевидно, пе] ,еписать,а­
du
СIеДПОf ш;! образо: '.
(14.
\веде: 1 понятие
По дифферент~иалог!
dx;
ia6UCtL;jlOil
Xi.
i не ;ависиг юй пере;;1енной Х; ;.;ЮжнО по­
ни;.;1атыfбоеe (не зависящее от Х1, Х2, ... ,Х;;
!Не
Дог;шо­
рИГ;1СЯ В fальнейше;! брать это число равны;;! прираf fеНИfJi ~x;
незаВИCfIмой,емеf юй Xi. Эта договоре; юсть Iюзволяет нам
переписать фОР.i1УЛУ
(14.19) в виде
14.20)
du
Под [еркнем, ттто
СIучая
когда
,еме;
)мсла
аргументы
IЫМИ. Однюш
кажем, что фОР;;1ула
.20)
Xl
установлена
,Х т
...
иже, в п.
14.20\
ая, когда арг\ ;.;1енты Х
Х'2
,;Т2,
5
Iами JШ
ЯВ.ШI<>ТСЯ
э;f ;j10 па]
остается справе. fПИВОЙ и
... • Х т
[ь для
незаВИСИГ.;1Ы-
дo~
!ЛЯ CIY~
не ЯВ.ШЮТСЯ незаВИСИ;.;1Ы;.;Ш
пере;;1енныгшш а са;ПI предстаВЛЯI<>Т СОiiой шфферею шруе;;1ые
функт~ии некоторых новых переменных.
4. Дифф,еренцирование сложной фрнкции. В 'тог!
пункте ;.;1Ы расс;;ютриг! вопрос о дифферент~ировании слож:ной
фя! f}ции вида и
.f
,;Т2, . .. Х т ) 1де
=
Xl = <pl(tl, t'2
,tj
() 1, /2, ... ,
Хт
=
14.21)
<р ;j()l, /2,··· ,
}\Iы дока 1,е;.;1, что при опре. fеленных условиях эта сложная
фУНIсшя яв. шется шфференцируе;юй функцией своих apгy~
[Нl [Х
ментов
t,
tk
[aCTНf,H
пр( и ШР Шf,Н
, /2,
, tk выр 1жаются ткpe:~ ч 1·СТНЫ! пр( И ШР шьн функ шиu - f (:! 1, ii2,
, iim
И Чiрi'
;].CTНf,H пр( и {PPДНf,H
(14.
пр сл(д! ющим формусложНfН~'
f<пии по
aprTM(ffTaM
+
д1! д;[;l
; dt1
д1! дХ1
д1! дх.
dX2
;
д1! дХ2
+
a.i
д1!
+ ... +
m
(14.22)
~.
&1
&т
=дХ1
-+-~2+ ... +дХ-.
ath
ath
дХ2 ath
т ath
Докаж:еJ\I следующяю OC1-tО61-t:tJ? • тео]
Теорема 14.11. ПУiтъ
eAt'bf
=
(14.21)
не'Х:оторои
Х2 ... , :1: m .)
6
f (:1:1
tk), а фу1-t'Х:ция и
6 соот6r:тст6УЮ·!J',еU то'Ч,-
о
00
о
о
00
'Х:е N(x Х', ... :1:
. где Xi=:i(t"t2, ... ,tk) i =
2, ... ,
Тогда сло:ж;'Нля фУ1-t'Х:'ЦИЯ II = f(X1, Х',... Х т ), где Х1, Х', ... , Х т
определяются
11.21) дllффере1-tЦllруе,ма 6
то'Ч,'Х:'
этО.'1 'Ч,(Jстll'l,lе
l'vI,
,ЩИ 6 fло'Ч,'Х:е
6i:e 'ч,ш тti.Ъff
n; ОН.:60 д 11""
о
д" ди
дХ··1 дх' .. ""
дХ т
, tk берутся
6 то'Ч,'Х:е М,
е
з
а
т
в точке
ь
с
о
'
(14 . 21)
к
а
4.22),
д ... б. . . .
- - ,. утся
ll ',le дх!
ilpmL360U'..
a!l
а 6СС: 'ч,ш тti.Ъff
Д
этоu СЛО:Ж;IIОU
определяются фор,м! лами (
l'vI
т
в
о.
M(t1, t2 ... ti:)
'Х:оторых
6 то·'{.'Х:'
ilO 'Iргумеti.т 1М
Прида. ш;.;
о
6
аргументам
произвольные прираще­
ни'"
, . . . . не 'aBffbIe ОДНOffременно НУfЮ. Этим
прирat !.енияг,; соответствуют прирat !.ения .6..11 .6..Х2,... .6..Х т
финкций
4.2]) в тоттке l'vI. Приращениям L:l,T, .6..Х2,... .6..Х т
в свою очередь соответствует приращение .6.. u Фуню ши
II = f(x , Х2,... Х т
тотП<е N. ГIоскольку фи; !<ция u
=
ЛХ1, :1:.',. ..
ке
N.
указа!
Х т ) пре полагается
юе п],ираще!fие
.6..11
шфференпируег юй в точ­
этой фи; !<ции может быть за­
писано в ви !е
д1! .'
-'''Х?
дХ2
~
ди
.'
"'+-д
'''х"
Хт
а1
ди
где ттастные производные д
а а1, а"...
ат -
Х;
оесконечно
ди
' д
Х2
+
... +
(14 .
ди
, ... , -д бе] ,ится в то !ке
;.;a.fbIe
Хт
при .6..Х1
---+
О,
.6..:1:'
О
N.
...
5U7
ПГ! 'lПВО.lНl.lЕ Иf llФФЕГЕf
о ,I,ункци
Р H'Нf,H
,
ну. fЮ при
Под [еркнем, [ТО в соотнотпени
(14
~:!
, ~Tт пре fСТ;ШЛЯЮТ
прираf f.ения функт~ий
(14.
, ,;fВiТШЮЩИ i
[ым
,ираЩiffИЯМ ~!
,~/k
;1РГУ: 1eHT1iB этих функ
силу диффеРiН tируем( сти функ-
11.21) в точю M(tl
У <;],lаню,н
:.1О11ШОlаписать в сле. fУI<>щей фОР:.1е:
t'2,
дх
~Xi = [Н: ~tl
,tk)
дх,
Пр1fраf
f1fЯ
дх
+ Ot2 ~t'2 + ... + Bt;' ~tk + о(р)
14.24)
2, ... ,
z=
дх
где частные прои шо шые -д." '-д' ... , -д' берутся в точке
t;
Р
1/Ч 2 )2
y(!\t f )2
'k
,2
+ ... + (!\tk)2.
NI, а
lы ДОЛЖНf.l ',,'бедиться
том. [то после подс 1af 1О! f<И
п] ;аВ1fЮ
(14.2;:) выраж:ений (14.24) приращение ~и J\юж:ет быть
п] ;lшеде 10 к ВИД1f
часть
... +
k~/k
+ о(р),
14.
где
А = ~ дх
1.
дХl Ot,
1
+ ~ дХ2 + ... +
дХ2
д1! дХ т
ut
U,r m
. = 1,2, . ..
Тем самым доказатеJЬСТВО теоремы б1fдет завеРf
fef1O,
k.
14.26)
ибо фор­
[а (14.25) устанавливает факт дифферент~ируе:1ОСТИ слож:ной
f<ЦИИ, а
,ажение (14.213) предстаВ.шет соб()й астную производ f1fЮ указаf 1Ой СЛОЖf1ОЙ
(см. теоремн
.9).
При подстановке в праВ1fЮ асть
4.23) выраж:ений (14.24),
KpOГ1e группы слагаемых Al~tl
A,~t'2
Ai1~t!" :lыI полу­
+
+ ... +
ДР1fгие гр1fшlыI слагаемых. Нам f1fЖНО убеДИТf,СЯ в том,
что все fругие группы Сfагаемых предстаВ.ШI<>Т собой величину
. Это Bf,lTeKaeT из следующи;; сооб] 1ажеf fИ
. Все 'Част'Н/ые nроизво дные -д1!
в Ф ОР.Ntуле
14.23)
берут-
iЯ в rnO"l'X:e N, т. е. n; i·дlтавля.ют собой постоя !ff'!;le 'ч,'UСЛU
'X:OmOp'i;le nрН У ilHOJICr:H'U1'
о(р) дают иова велu',; !и!У о(р).
20. Вс! ~X; 1i = 1,2,... т) удовштворяют шравеi!ству
~ const р. Это непосредственно выте'Х:ает из ФОРМУЛ
I
I
(14.24).
30. Вlе а; в фОР'\lУШ 14.2;:) n] !дlтавля.ют 10бой бе''Х:оне'ч,i!О
АtaЛ'bfе при
---+ п ФiiН'Х:izuи. В самом деле все ОО! Яf'ляются бес­
конечно :.,1 алы: lИ при ~:Гl
О, ~X'2
О, ... , ~Xт
О. Но все
f<ции
.2
диФ,I,еренцируемы, а стало быть, и непре;
ны В точке М и ПОЭТО:,lУ ~Xl, ~Xl,'"
при р
О.
"
,~Xт стре:,штся к нулю
[Нl [Х
(;оБО'/'1
и
fifO
!,!i'ч,'(J,~
Тfю],;ма
fi;KaiaHa
ам
важ fЫЙ ттаГПfЫЙfсттай, КО1да
н
функт~ии
нта
( 42
сложную фс; fiЦИЮ
где
переменН!н!!
Ii'U
(t). П роизводная
Xi
t.
Тог
.f
и
Г.,iЫ иг iеег,!
, ;;2,
!т'iй сло iш iЙ ; I;ункции оп] !eдe~
ift
ляе iСЯ следующей
d1t
=
dt
!име! fИМ
д1! dx,
ift
aXl
д1! dX'J
+ дХ2
фо] YMYf!"
ift
(11.
+ ...
ДfЯ до iазате.fЬС'i ва
.27)
meopeAt'bf
Эилера об однородных фую;;uuя,х.
Функцшт
(Х, Х2,...
'(J,
Х т ), зада!
fая на множеС'i Ре {1\;1} ,
на этом MHOli,eCTBe,
называется о. !нородной Функт~ией степени
ес.ш для каii,ДОЙ тоттки NI (Х ,Х2"" ,
г,!Ножества
каждого числа t, !ля которого точка
(tXl, tx'2, ...
надлежит м! южествс {М} выnолня,ется, равенство
.f(tXl, tx.!,... tx m ) = t P .f(Xl' Х'2, ...
Теоре/сс(.С
{NI} и для
,t:!m) при~
,х т ).
14.28)
14 .12
(теорема ЭЙ,/l,ера об однородных ФУН~= .f(Xl, Х!, . .. ,Х m ) я,в,!,я,етi в f!('Которои облu
сти {71Т} дифферен'И,иРiiемои однороднои фун'К'И,иеи степени р,
то в 'Кu:ждои то'Ч'К; NI(Xl Х'2 ... ,Х m ) обл icmu {NI} сnрuведли­
цu,я,!г). Е!
во равенство
(14.29)
ри.
д о к а з а
е л ь с
в О.
прои!Вольная точка об.fасти
пию и
Функт~ию
Пуст!, МО о
~.,
'~nJ)-
М. Расс.!,ютрим с.ЮЖ:НУff\ функ~
.f(;r, Х2, ... ,;T~ ,где Xi
и = /(t Xl t Х'2,... t х m ).
t ~i (i
1,2,... тn), т. е.
Так как при
о
Xi = t Xi ДИфiliеренцируемы
'(J,
t = 1
Фунюши
= .f(Xl, Х2,· .. ,x nJ )
!ИффереН! шруеГ,iа в соотвеТСТВУI<>щей точке МО то, согласно те­
ореГ,iе
]4.1
и заме' ан ию к
d1t
!той теореГ,iе. I1;fЫ г,юж:ем ВЫ'!ИС шть
ПрОИЗfЮДНУЮ ift С!iазанной слож юй фс! !iЦИИ В тотТ!<е
t =
по
!fx
=Х то
Ф ОРГ,iу.fе (14.27). Так как dt
'
дn
ilnl
dt t=l
!де ПРОИЗf'одН!,!е
В силу
14.28)
д1!
ди
12
берутся в
+ ... +
ди
TOTTie 1\;10.
(14.30)
С
CfO]!
!Н!,!,
раССГ,iатривае: iая сло iшая функ ШЯ мож:ет (!ыть
5Ш
пред( тавлен;] следующим С'бр;] юм:
(!
И:~
(1431)
в
(14.31)
,iieKaeT, }ТО df
=
d.'. . '..
dT t
1
Срав[ и!'ая
[ля точки
(1·1.30:
NIo. Так
е.
р! о
(14.32),
как точка
то теореГ.l а д'жазана.
{ J\;1},
5.
о
О) = р'и.
14.32)
мы iЮiУТТИМ сот [ю[ [е[ ие
(1·1.29:
Х,
,Х т,
. ...
NIo -
произво. iЬная точка о( ласти
Итшариатитность ФОРТ1Ы первого диФтl1еретициала.
мы вве.Ш понятие первого дифферент~иала
функ­
В п.
ции нескольких переГ.lенных и устан(ши.Ш, ттто Юiгда арГУГ.lенты
Xl Х'2 ... ,Х т, являптся незаВИСИГ.IЫГ.Ш переГ.lеННЫl Ш. то шффе­
реНЦiтал du мож[ 10 предстаВiПЪ в виде
д".
+"'+-д'"
dx m .
Хт
в ЭТОг.[ пункте г.iыI
юкаж:егт
что фОРГ.lула
ве] ,сальной и сп] ,аведтива такж:е и в том
Х т, саг.lИ являются
ты Xl,
, . ..
ями ювых
,еме[
14.20)
iЫХ
14.20\ является уни­
CiYTTae, когда apryr.leH-
шфферею шруеГ.IЫГ.lИ Функт~и­
У[(азанное с! ойство
,!'ого
шфференциа.iа обычно называют свойствQг.[ u !вари!! '!m:!О, mи
... ,tk'
его фОРМЫ.
Пусть аргументы Xl Х'2,'"
Х т, фунюши II
. .. ,Х.!) предсташIЯЮТ соб(iЙ Дif!14)е] ,е[ щи] ,уем
о
о
о
A(/l,
... , tk) Функт~ии
пия
j(;T,
u
Х2, ... ,;Т"
... ,Х m ), г. [е Xi=
о
1
-
<p;(tl t" ... ,ti)
j
,ie
в
,Х', ...
тотП<е
а сама функо
о
ДИфiliеренцируеJ\Ш в тоттке В(х ,Х2, ...
о
о
<p;(tl' t'2, . .. ,ti!)'
тако: 1 случае мы :.юж:еll рас­
смаТрii!'ЮЪ u
сложную функцию аргументо!' t, t2"" ,tk,
которая, в СИiУ теоремы 14.11 является шфференцируе:юй
в тотП<е А. По.!тому ДИфiliеренц та.
:.10 li.HO
du
'той с южной фу! [(ции
представить в виде
du = д,! dt
at
ди
14.33)
1
~
где -д'. опреде.ШПТСЯ из соотношении
t,
".
14.22).
дт
Подставляя д;. из
.,
(14.22) в 14.;33) и собирая коэффит~иенты при ди, по. iУЧИ,!
du
... + д!1
at d'!k ) + ...
i
дХ т
" . + -д
., d, k
t
i
)
.
[них
;амес! ИТf"
при дг
<ав<'
[ТО в Ш следнем
диФ<I<еренuи
Мы ПОЛУЧИ<cr
uи
<мтлу (1 (20), в
Юf
fИИ коэсjуl иuиент
(t, , /2,
dJi
шя
шфферею шала
СЛОЖ:НОЙ функ-
'Ой fиФ,liереНUff:iЛЫ d:Ti бт [ут
ф'рент~иал:1ГсШ функт~ий :Ti = <p;(tl, t2,
tk) Ilнвари:.нтность
фОР?fЫ первOlU -rиффереНТЩd.тгGt YCЫHOB.тreHa.
Свойство инвариантности фОРГсlЫ пе] ШОГе) дшI4)е] ,енuиала
позволяет установить сле. ;Yf' ,тт~ие nпав СiЛiI ,Iuффr:рr:nuuров 1'J-t1'я.
диффере;щи] ,nем ,;е С фn; ;iЦИИ каких-либо
Пуст;, и и v
<е­
менных. Тог.; а
с = const),
d(cu) = cdu
d(u±v =du±dv,
d(uv =udv+vdu,
d(-)
с
2
(В последней из написанных фОРГlУЛ 'и не обращается в нуль).
Докажем,
fапример, спрar;ед.шшость третьей из n;iазаНЮ,i
ФОРГсlУ.. РассгсlOТРИМ функт~ию ш =и'и
ДиФ,liеренuиа. этой Функuи diJ' <аве;
дш
.
<j'W = -
дu.
Так
;ia;i
дш
v
дш
=
и
то
<и а; ;тности формы перво;о Д
+ 'и du
v
сам
du
шух переГсlенныхu и 'и.
+ дш </'и.
diJ'
=
и
dv
fcjyliepeHU
v du.
В си.
ша-
!а. [а выраже; fие и
dv
(iудет дифферент~иалог; Фуню шиuv и В случае, когда II
f ЯВ.fЯются дщjУliеренu fруемыми
как fX-.Шfбе)
переменных.
6.
Производная
f
по
юшравлению.
Грндиент.
Пусть
функт~ия и =
у, z) трех переГсlенных х у и z задана в неко<естности ТО'fЮf Мо(хо, Уо,
i'ассмотрим fе;iото]юе
напраВ.fение
тагш
опреде.шемое единичным веКТОРОГА
cos а cos {1, cos {
.
Проведег; чере; точку
правление которой СОfiпадает с
fапрar;лением
мем на этой оси ПРОИЗВО.fЬНУf<' точку М(:г, у,
z)
с коор. ;ина­
NIo
ось
Be;iTopa
1
на­
а. ['оз;,­
и обошачигcr че­
рез l величину напраВ.fенного отреш:а МоМ указанной оси 2).
Из ана.fИТИ fеской ;еомет]
то fКИ М ОП] iедеЛЯЮСl ся
х = хо
+ l cos а,
известно, ттто координат;,i х, у,
z
<аЕе; fСТfiами
у = уо
+ l cos
z
=
Zo
+ l cos {.
14.34)
1) Нз аналитической геометрии известно. что если единичный вектор а
г,сями ;<"г'рдинат у; ;ы а. /3. ~(, то КООРДИН;'.Т;.I ЭТ1,"
;<еКТ1,'··
равны cos
cos (3 . cos J.
iОiта;ЦIЯiТ
Величиной
сго Д н,н<
1 направленного
отрезка
;1;Я;0J:'; СО знако,' ,,';ю;
падает с направлением оси
1,
1110111
оси
1
ес ,;г напра;; С,,
называетС'с; число, равЭТ1,' г, от! ,З;1а С
и со знаком мин' с. если направление
отрезка ПРОТИВОПОЛОЖНО направлению оси
1.
<того
51
,:), о':евид:
На
nрmtЗi
n
а
зншчае'F, 'СЛ
1
10
ен
fi
:ию
df
dz
функт~ии
=
n о
NI!) и
fi
к
f
у,
z)
COS а,
=
форму.:ы на (одим
д1!
al
dy
COS {1,
Л
д1!
= дх COS а
:а
dz
ill
1 ,
NIo
( 4.27 (, в
Так :м образс)м,
.
COS
д1!
обо-
в точке
Ol I11с)ж:ет быть вы'исС :ена по форг:у.:е
:ожно заме::ит:,
н а-
те: р! м!
д1!
ар:умент
Так как
z)
д!
в случае (Ифферен: (Ируе: юсти
производная
о д н о й
U
и = Л:1:, у,
о'(n
CUAtfi ыюм
:iO nf/i{'Me iНО'й,l, '(по
р
?fЛ"i'Ыi:f '''тел
д1!
+ ду COS + F
то и: последней
14.35)
cosi·
Введе:: понятие,рuдUf нта дифферент~ируе::ой в точке NIo(xo,
Уо, zo) функции и
f(;r, у, z).
Г
а д и е
т о
фую;;щшu =
у, z) в то'ч'Х:е NI!)
f
называетсл ве'Х:тор, оf!озншчлеАtЫU сиАt60ЛОМ
'Х:оор
динаты,
соответственно равные
grad и
произво
д ным
и иАtе1О JЩU
~
~
~
взлтым в то'Ч'Х:е Мо . Таким образом,
au.}
ди
gr'ad и = { af' ду az .
ИСПОЛ:,ЗU'f' понят::е Г] 1ад::ента
определяю: :ий направ. :ение оси
:'Of! а, cos {1, cos ,предс :ав::м
'ажен::е
тор а,
u
нои
ди
торов
по направлени:"
gr'ad и
1
14.36)
у'
1
:лъrвая,
и: :еет
.35)
Be(i-
ДТЯ"fl:ЗВСfД-
в ви (е скалярного прои:~ведения век-
и а:
).
al
14.37)
ПО(iажем, ттто градиент фун'Х:'Ции и
f(x,
:гарu'Х:тr:рuзуr:т
.'fЩ'Х:СU
nаправлеu:uе
:Jmou Фiiн'Х:ции в то'Ч'Х:е
1)
ттто
координаты
велu"!. ,uу
NIo. Иг,:енно,
f,
у, z) в то'Ч'Х:е
.. щл'Ьного ;ю,та
бедиг,:ся, тпо п]" fИЗВСfДная
Напомним. что скаЛ'"рное произве.'(ение .'(В\Х векторов, опре.'(еляемое
,feK, "ров н', ,"'С::НУ: угла fiежду
,'ак произвсде п,е fюдулей (.'(Л::Н)
в случае, когда векторы заданы координатами, равно с, мме произве.'(ениЙ
одноименных координат этих векторов.
fНl,fX
fяем(,м'v'
ен'! ом
тотп<е,
:~H; ,чение по сравН(нию
прои:~водной пр
правлен fЮ в тотП<е Мо , а
штт: 1fИl YKa:~;]!
ul, т
е
шине вектора
-
[руге :,1У H;]'~
юй
gr'ad
cos ер,
угол :.,1е 1:ДУ вектора:ПI а и
gr·adu.
11
=
то -д1! =
1,
1
al
oTad
( .a. . . t... ) тах.
',0 "."'. звод "~о
1. . .
"',
ои~
Юff:~ВОД1ЮЙ равН(!
Так как
(то мю<сима. fЬHoe зна'lение
б удет
по наП] :аВ.fеllИЮ
п]:и ('О.": ер
= 1,
когда направление вектора асовпа. (.ает с направлением
пр!! :том
(aJ
,,1:l:e1:xHol
ll,Ю
1'1
с
((x,yz)
gr:d 1!
ввсде
=
[(х, у.
1! = [( l
coxpaH',leT
У Z
l."i1ЖДУЮ ,,1:l:epx~
посто [нное значение,
убедиться
в
том,
что
вектор
grad
в
.'lДнной
Д1,;(ха, уа.
ортогона [:н к той поверхности уровн',; функции 1!
которая прохо.l.ИТ через .'lДнную точку Ма .
3
понятие
COllst.
Нетрудно
а м е ч а н и е.
менН(,!
,;
= [(х, У
ОВllЯ фУlll."Цll
на которой функция
е.
.
СМl,НЛi1 [:ект Н:::
уровня Ф.' нкпии
.
gr·adu.
1grad ul·
=
д lя l:l,IЯi неllИЯ
ность
(1 ,37)
cosln.
r
ь
Из последней фЧJМУ [ы выте1<ает,
1Р;]ДИ~
]\;П ':ПfмальН(н
и Перепише:l фор:ryлу
д!
где ер
имеет
х
случае Функт~ии и =
едини lНl· й век ор а. оп
точке Мо , ИГ1еет координаты
с [уттае" l'v'ла
(14.35)
cosa
еде
д1!
дх
ае
~
д1!
.
градиент
у) опре. l.еляется как вектор иг 1ею~
д1!
и - . Ф:.iрму.fа
д!!
aiii
.
Slпа.
1<ЦИИ дву'; переменН(,i
ферент~ируе:,1ОЙ Фуню!.Ии
щип Ю1О1динаты -
в
ПРИНИ:,1ает вид
д1!
слу'
двух пере~
f наП] :aB.fel fие
и siпа. ПОЭТО:'1У в указанном
-со.":
(то
J( х, у)
яющи
точке
У Z
=
(14.37),
оттевидно. справед-
= .f
ра и в СЛ'v' (ае ДЕУХ переменН(,i . дл f функци и
,;Т2, ...
х т ) m переменных :1:1 Х'2 ... ,:1: т производная по направле~
нию
1радиеllТ оп] :еделяются а! fалогитп 10. Имеl 10, п] :оизводная
д1!
задае1 ся едини
')
о
тотт <е
(х, Х2, ...
lН ,1М ве1<ТО] юм
[1О
нюр
= {; О.": а
ию
1<0'10]1 fe
cos а2, . .. ,со.": а т } 1),
в аналитической геометрии т-мерного евклицова пространства е.'(и­
llчныёl в: [."тор а о;'"::де'lЯСТСЯ К::1 [:ект'н: С коор.'(
...
:aB.fel
,СОSЙ m г.'(е СОБ
+ СОБ': (/2 + ... + COS 2
lll::Ti1."'
= 1.
COSCXl,cOSCX2, ...
51:1
ЮГ l.lKOB
lЯ8ТСЯ
как
- 1(:7112
:7 m
пр( и (РРДН lЯ
имеет
СЛ( Ж ЮЙ
+ l cos а1,12
), Г 18
о
пр
l<ЦИИ
:72
+ l cos а·
О!т
В СЛУ'lа(, 1СЛИ
1(!! , :1:2,
, :7 т )
функт~ия, для прои:~водной по напр ШЛ8НIПf\
ме(
д1!
-дl
д1!
=
-д"
.[1
cosa1
д1!
д1!
+ -д" cosa, + ... + -д" cosam ·
'[т
·[2
ГрадиеНТОJ\I функции в 1анной точке Ма (Х1
вается вектор, обозна iаемый СИМВQ.1ОМ
д1!
д1!
д1!
динаТi,i дХ1' дХ2' ...
1и т тем указаi
д,r m
:l!, ... , ;~m)
Haы~
grad 1L и имеющий l<OOpъте ПРОИЗВОДН!,1е бе~
рутся В ТOTТl<e Ма . Для про iЗВОДi1ОЙ 110 1аправлен iЮ ДИil4)ереi
шруеj.,1ОЙ фунюши 1L =
Х', ... , Х m ) справед шва ФОРj,jула
1
,
(14.37).
§ 5,
Частные произтюдные и ДИil}!ференциалы высших
ЮРЯ,!.ков
Частные
1
iастная
производные
д1!
-
ПlJ01iЗЕодная
высших
110 ap1YMeH'jT
ПОРЯДi!ОВ.
Х!
1<Ц1Ш
ясть
1L
(Х1 Х2 ... ,Х и !), опреде.1еi 1ОЙ в об.1асти {
, сущеСjВЯ~
ет в каждой ТOTТl<e области {
. в 'том СЛУ'iае Я1<азанная
частная производная представляет собой функт~ию переj,jенных
Х1 Х2 ... , Х
1ЛЪСЯ,
'!,
Тal<же опреде.1еi 1ЯЮ
ди
(то эта фя! l<ЦИЯ д"
об.1асти {!Н}. Может с
имеет
астную ПlJOИЗЕОДНУЮ по
aprYj,jeHTY Xi! в Н8КОТОРОЙ точке М oi ласти
М
.
Тог. (.а указан-
ную ттастняю П]nШЗВlfДНЯЮ Шi аРГЯj,jенту ;Tk называют второй
частной прои шо. iНОЙ или частной производной второго поря. (.ка
фя! l<ЦИИ 1L = 1(х
ту Х;
щи!!
а
, Х2,
(атем по аргу:
. .. , Х и !)
jeHTY :1:k
о. ШИГ.!
из сле
СИМВОЛОЕ:
--дхkдХj
При
TO'iKe '1' Сi1а'iала по аР1умен­
и ООQ.шача1' 'т
'том. если
ется
,; --1-
"
I
то
(')
. (2)
1х .' Х k'• и,.т, Х k •
астная
П]1О1iЗ1ЮД 1ая
д' 1!
дх А,д,r,
называ-
!!!!Ой частной проишо. iНОЙ второго поря. (.ка. После
'1010 1<a1<
В1 едено ПОi lЯ'jие второй
астной ПРОИЗЕОДНОЙ.
мож­
но последовательно ввести понятие третьей: частной производ­
ной.
затем четвертой и т. д.
Если предпо.1ОЖ:ИТЬ,
что нами
уже f'ведеi1О понятие
i )-й iастной П]1О1iЗВОДi1ОЙ фя! l<ЦИИ
1L =
,Х', ... ,Х т ) ПО aprYj,jeHTaj.! X;l,Xi." ... ,Xi n _! (О'Т.i.ель­
ные или даij,е все Hoг,jepa которых j,югут совпадать) и что
1
17
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, ч!!сть
I
[них
произво, I.Ную
В, iШУЮ
"f:Й
Пii
,;води
по
Нir:~ывС1ЮТ
n~rii
ТО'
irprYMeHTC1M :Ti"
ffepe;;o~
fflJO
дя от ffервой частной
ние,
мы
по fifтие п~й
определяющее
пю
юй
частну,ii
последующим. Lоотноше-
производную
по
аргументам
имеет вид
Если
['О
не
все
индеiiСЫ
22
[аст fая ffРОИЗ,ЮД,fая д
совпадают
2/1
дПи
между
собой,
назьшае ;'ся С.меШШl-t1-tоU
,r Z1
частной производной n~гo порядка. Так как частная ПРОИЗВОд~
Haii
fКЦИИ по apiY',feHf T Xi ОЩiедеЛiiется как оБыiновеннаiii
производная функции одноН переменной Xi при фиксирован~
ны;; Зifа'fеi
частных
д
...
ffepeMei
остаЛЫfЫХ
прои:~водных
,r zn
ВЫСifiИХ
[ых, то меТОДffiiа вьг
порядков
исления
предпо;агает
умение
вычислят;, тою.ко обыкновенные производные первого поряд­
ка. В качестве примера вычис,шм частные прои:~водные второго
порядка фуню ши
u
=
у
д"
+ у2)2
-
Х
у
пр
2
у2)2
(,\2
ду
ю,,;
ди
2,гу
(х 2
1),,2
рассмотре;
Имеем
+ у2
х2
д 2 ·и
д 2 ,.
....:..
у
д'И
в
:1"
агсtg
С,fешанные
f"fepe
частные
производные
а 2 ,.
ау дг и а,г ()у равны друг другу. Вообще говоря, значения CMe~
шанных
производных
зависят
от
ДЯТСif последователь [ые
"fep,
[то С,fешанные
[аст [ые
Х
Х!,
порядка,
в
котором
ЩИРОfiания. Убеди
2
,2
-
у
ffpO
fЗfЮД [ые ду д;
Н' 71,
д; ду
произво~
, на
ти~
l
( JYH iЦИ
2
у2
при
при
fОЧ <е (О, О) с; ществуют, ю [е ра
но.
iffbI
дру! др; го.. Дейст штель~
ЪП и
515
IИФФЕl'ЕНl
0ЗТОМУ
роводя
Таким
стато·
аllалоги'
o{fpa:~oM,
jble
ИЗВОДЮ.IХ
,ые
в
точке
О)
д...
-1
получи
д.г ду х=о. у=о
71.
ду
д.ду
lезаlШСИМОСТИ Зllа'lеllИЙ
УСЛОlШ>l
от
вы lислеюfЯ!
порядка.
в
котором
2.
. '.! ..,,' •
В ыясним 2.10-
С·.lешанньг;
производятся
-1.
про­
последоватею.­
ные диффереlЩИРОllания. Предварителыю [;веде! ПОll>lтие n раз
дифференцируеМОi\ фуню щи нескою,ких переменнf.lХ. ФУН:К;'ЦUЯ
(х ,Х2""
U
,x m )
называеrnся
n
раз
о
д U Ф Ф е-
о
о
Н Ч U
у
м
ii.
в iПО'Ч:К;i МО (Х1, х2 •... ,х т ), (СЛU все ·тcrnHыe nроuзводШ.fе n
1) -го nорндка эrnоii. ФУНК­
!fUU являются i)UФФСРi '!!'ЦиPYCMЪfMи ФУНКf\UЯМU в mо'Чкс Мо .
Отмети
следующее утверждеЮlе. Для rnого ·irnобf . ! фУНК'ЦUЯ
U = f(X1, Х2, ... ,Х т f·Ъfла n
дv.фферен'Цv.руе.м.оЙ в fп·о'Чке
M1)(:~', !i: 2 , . .. !i: rn
дocrnarno~тo, ·mюбf . ! все ее ~lаСrn1-tf.·fе nроuз­
,
вOдHЪf! n-! п порядка Быl.u нспIнl)!.!6ныluu в то'Чкс ]1,;10. Справед­
ЛИВОСТ1,. этого утверждения вытекает из определения дифферен­
цируемости функции и теоремы 14. О о достаточных условиях
ДllfliфереНЦ!lруеМОСlИ.
Теорема
14.13.
Пустъ фУНК'ЦUЯ 'И. = f х.у) два:жаЪf i)uФ­
Ферен'Цv.руе.ма в rnO~lKe ]1,;[1) (хо У1)). Тогда в эrnо/i rnO~lKe ~lасrnШ·fе
ПРОUI60дНЪfi f~~)
U
f~;) paвHЪf..
Д о к а з а т
L с Т В О.ак как функция 'И. = 1(:[;, у
дваЖД1. f дифференцируема в точке ]1,;10 хо Уо), то частные про
ИЗlЮДllые f~
f~ ofтеделеlыI в неfЮТОIЮЙ ОffреСllЮСТИ l'ОЧff
]1,;[0 и представляют соГюй дифференцируеМ1 1е функции в этой
точке. Рассмотрим выражение
ф
= 1(:[;0 + 11, уо + 11 -
f хо
+ h. уо
- 1( х о. уо
+ h) + 1( х о. Уо),
(14.381
где
h -1юГюе стоЛf. маюе чис,iO. что точка М(:[;о + h. уо + h) наУffазаl юй окрестности ТО'lКИ
. Выражение мож-
ХОДИТСf
+
но рассматриваТ1. как приращение 6.tp =
хо
h) хо) дифщируеюй ,а cel.leHle [Х1). хо +11]
lкции tp(x) = лх. У1) +
- Лх, Уо) одной переменноi\ х. Поэтому по форму 1е Лагран­
жа. оГюзначая чере:~ е некоторое число из интервала
17*
<
е
<1
[них
Ф = !:::.ер = ер! (:го
[J~ :го +
-
+ fJh)h
= [J~(:To
Уо +h)
f~
+ fJh, Уо + h) -
,УО)]
f~(:To
+fJh, Уи)
+ fJh, Yo)]h =
f~
,УО)] h.
(
ТаЕ как Чi:tСТНi:Ш IlР()К3lS()~llCLЯ
точке Мо фУНКЦIг i !
[/. .,х
ХО
+
Уо
+ h)
f;.
якшеТUl ДЕффереIlЦИР\Т~,ЮЙ в
то
(ХО Уи)] -
-
= fJ~) ХО УО)Ю1 + fJ7:) ХО yo)/1 + О:1 Ю1 + (31 h ,
Уо
где
0:1 (31 и 0:2 - i есконечно Ma . tLIe при h
tiШfЯ [айденные ;шраже;[ю; для и,: ХО
и If~ ХО
Ю1, Уо - f~(xo, УО)] в формулу
--+
функции. Подста­
+ fJh, Уи +
+
(ХО Уи)]
4.39), получим
(14.40)
--+ О фУЮiЦИЯ.
(14.;18), можно
рассматривать как приращение !:::.ф
Ф(Уи + h) -ф(!/о) диф­
фереющруемой на сегмент!' [Уо Уо + h] фунющиф(У) = ЛХО +
+h, у) - f(xo у). Применяя формулу Лагранжа и учитывая диф(3; -
-
беСiюнечно мала); ffрИ
другой стороны, выраi;iение Ф, определяемое
ЩЩi\!8\ЮСТЬ частной производной f~
то'[ке Ми, ,,[ы [юл\!­
чим совер !!енно аналогично предыдущему следующее выраже­
ние дЛЯ Ф:
Ф
(хо, Уо)
=
+ (3]/1",
де
- бес юне"IНО мала); пр" h
правые части соотно!!!ениП (14.40) и
(14.41)
О ':"'''кци
Прираi' "ива' ,
и сокра; ;дя обе ча
(14.41)
сти полученного равенства на h 2 найдем, что f~~) хо уо)
У! (хи, Уи
+ (3.
Так как
и
(3 -
бесконечно малые при
фунющи, то из последнего равенства С;! дует, что
Уи
3
.
(»
fxy
+ о: =
h --+
О
хо УО) =
Теорема доказана.
а м е ч а н и е.еорема
4.1;1
утверждает, что в данной
точке 1\IIo(xo уо) имеет место равенство fJ~) = f~;), если в этой
[ОЧiiе
руемы
f~ в точке
.t:
и Г.
диффере; ЩИР\!8\ЮСТИ
1\110 вытекает существование в :лпоu mо'Ч'К:с вссх част
ных прои:~водных второго порядка. ()днако равенство fJ~) = f~;)
,,[еет
,,[ес ['О
при
\!СЛО;iИИ
с\!ществова; [и);
лишь
i[РОИЗ;ЮД; [ых
fJ~) и f~?) но при дополнитеtЬНОМ требовании непрерывности
fbI,!
и
"ПИК; ПРОИ:~ВОДНЬГ;
Л,i
р;;ссмаI [)Ив;;ем,;:й ТО' ,IO'
И;: ;'ННО, ;пр;шсд-
iУi;iщее У' В' 1)ЖДСНIU'
UeJUJmOpOu
и
517
IИФФЕl'ЕНl
=
(п,;рест; юсти rnЛ~l!и
f(:T, у) имсстn ~шrnij!!Ы; nр;т36О
J;pOMe тnого, пр; т300диыe
Тогда
6
это/! то тк;е
тnо тк;е Ми
иenpepЪl !1-lЪl
.t.i7:) -
Для доказательства воспользуемся выражением Ф, определенным соотношение;;: (14.38). Из (14.39) 1I"iТекает, ч, о Ф
,иет собой ;';:ножен-
ную на 11 ра:шо;ть :ша'lений функции I~(.;
,ках
к этой разности
приращений по Ш'рем' нной у на С'.·гменте [УО.
Лагран:жа конеч:
по ,у :им
(,,;;; +
+
Ф=
f;,;
в сшту ,е ,рерыllост!!
где
11 точке ]\;1;
:;з
0<
:юсле
()11, уо
h)
< 1.
,его ра :енст:;а НО-
ЛУ'шем
где
a(h) --+
с
при
11 --+ О.
':р,гой стороны, эта )ке вели'нша
представляет собой умножен
ную на 11 разность зна'lений функции f~(:J.:"Y) в TO'lKax
(:1;0, уо
h,yo ()2h) и
+()211). IIрименяя к это!·; разности формулу ."1агранжа кош"шых при­
ращ' ни!·; по Ш'рем' нно!·;
точ,;е ]\;1;
где:(!:)
--+
на се: м' нт'.· [:::0,
+h]
и У'lитывая Ш'ПР"рывность
выражен iя f\ля
и расс,лс:дя так )ке, как
. НОЛ: чи:;:
--+
о при
О.
Приравнивая после':.ние
f\Ba
и в конне доказаТ"льства теоремы
н,
юго на:;:
мы убедимся в справедливости
ра::е: ,с, ::а
j
j(2)
(21 (,.
. ) _
:1·0, уо -
ту
У,Е
уо).
Докажем теперь теорему о независимости зна'lения л:;:бой смешанной
'шстной производной 'П-го порядка от порядка" в котором производятся по­
слеД01lЮ ел, ,ные диффере: щиро::а:
Теорема
14.14.
и,1ЬР:jеJvШ в тО"М:'е ]\;10
Пустъ фу'Нжи,uл
• ~;2 • . . . •
~;щ
.
смешанной ';астной nроuзводН;l'i: 'п-'"
u
j(:1;1,:1;2...
Тогд" в этой то",·';'"
n
раз дuфферен-
любой
nорлдnа не завUС1Ьт от nорлдnа, в
.';·отого.М
''"001,; ;!овател:,нъw д1ЬФФ::реН!i.,;роваn1ЬЛ.
Д О К а з а т е
ь с т в о. О'lевидно, достато':но доказать шзависи­
'·;юст,· значениZl л:<:бой n-й сме,,:а:шой НРОИЗ1l0Д:ЮЙ О, норид,;а нро::едениZl
двух послед,:; ателъных диффер,.'ннировани!;.Иными с,ювами, доzтато'шо
до,;азать ра::е ,ст:ю
дПи
дПи
(14.42)
ЖДJ,I 'iиффер' i1i'ИР,',;е ,1i'';ю фун <цию пер' <ieH 1J,IX
;Г~/,'+l
14,1 "
)тсюда и вытека','т "прав''Д iИвость равенства
ОТ1iiетим.
функции и
,то
=
случае
(11.12).
Тлрема докашна.
раз Д iфференцируемой
n
f(X1, Х<" ... ,Х т )
то' ,ке
,юбую ее частную производную
n~гo по! ядка можно записать в
,;иде
дПи
где
0:1,0:<"...
О:т
+
-
,е
ЧИС.,а.
+ ... +
удов ,еТВОРЯЮЩIГ
О ~ O:i ~ n
0:2
О:rn - n.
2. Дифференциалы высших
ИСПОЛЬЗОjiали
дл)j
оБОЗiiа'iеiiИ)j
порядков.
ус 1Овиям
Вы iie мы
apr1iMeiiTOB
ДifфференциаЛОii
=
функции и
ЛХ1, Х<" ... ,Х т И дш ОГ1Означения дифферен~
циала самой этой фую>ци
символы (IX1, (IX2, ... ,(lx rn и (111, co~
ответственно.
еперь нам придется испо,ь:~оваТj, для ОГ1Означения диф~
щиалов apr1iMeiiTOB Уj>азаi 1Ой
iКЦИИ
Дifфференциа~
,а самой этой функщш и другие симво . 'Ы. В частности, мы
будем обозначать дифференциа,ы аргументов фунюiИИ 11, =
f(Xi Х2,··· ,X m ) и дифференциал самой этой фую>ци симво~
,ами 6Х1, 6х<" ... ,6Х т и 6и соответственно. В этих о] ,означениях
,Шiiариаiiтное i1О фОР"iе выражение для "ервого
щиала
-
этоП функ ши
5:
(14.20)
ии
=
д71,
(см. п.
5:
-д' ИХ1
., 1
5 § 4)
а71,
{'удет иметь вид
д71,
5:
5:
+ -д'
ИХ<, + ... + -д" ИХ m ·
., 2
·'тп
ВозвращаЯСj, к прежним обозначениям, рассмотрим выраже~
н ,е (14.20) для "ервого дифференциала диффереiЩИР1iеюй в
данноП точке М(Х1 Х2 ... ,Х т ) функции 11, = f(X1,
... , Г т ):
d
</71,
и = д1il
+
дu
д"2
<У71,
(14.2.0)
+ ... + д"тп
ПреДПОЛOiЮIМ, что величина, стою iДЯ в правой части
представляет собоП фУНКЦИi<i аргпментов Х ,Х2""
(14.20),
,X m , диффе~
ренцируемую в данной точке М(Х1, Х<" ... ,х т ). Дш этого дo~
стато'
10
потреБОiiЮЪ,
iтобы
iКЦИ)j и
- f(;1;1 , Х2,... ;1;rn)
бы~
,а два раза диффереЮiИруема в данной точке М(Г1,
, ... ,Г т ),
а apr1iMeiiTbI Х ,Х2, ... ,Х rn являлись либо iезаi;исимы"J
"epe~
менными.
шбо два раза дифферею шруемыми функциями HeKO~
торых независимых переменных.
fbI ':
и
51')
IИФФЕl'ЕНl
ренц I,iЛ
д ((lu) = б
'=1
от неЛИLLИНЫ (14.2О).
Оnрсдс.ленuе
1.
3на ,ение д( du
дv,фферен'Цv.ала от первою
= d:T1, дхс = d:Tc
(lx rn , называете.i
т О р
М д v, Ф Ф е р е H~
и а л О м фун'К:'Ции '/J, = f Х1,
, . .. х т (в дан (.ой rnO"ln'
х ,Х2, ... ,Х rn )) v, обозна !Летел еимволо.М d C и.
И (ак. [10 определеншо 1)
!)иФФсрсн,!\иа./!Л
в··!ято' при дХ1
14.2!
... , &Г rn -
5Хl =
5Х2
dX1,
dX2
8'1= d, 1,
8'2=d'2,
бх',.,,"= 'd~';'
Дифференциа
,/n V
лю! 'ого порядка
вв! дем
п о и н Д у K~
ц
! !редположим. что уже !шеден дифсl ере щиал di!-l v, [1ОРi!Д-
f
ка n и что функция v, =
(Х1 Х2 ... х т n раз диффе~
ренцируема в данноН точке JI.;[(x Х2 ... , Х m), а ее aprYMeHTl.!
Х1 Х2 ... ,Х т ЯВ . lЯются шбо независимыми переменными. ш~
бо
n
раз ДIIфференцируемы\!
мых переменных
IКЦИi!
(екоторых независи­
t1, t2 ... ,tk'
2 ..CHa"leHue д(,/n- и дифферен \иала от (nl)-го дv,фферен'Цv.ала (In-1 V , взлтое npv, дх
(IX1, дХ2
= dx;!, ... , б../ m =
, н{! !ыlастсяя n~M
v, Ф
с
с H~
'ц и а л О м Фун'К:'Цv,и и - f (х ,Х2,... Х rn ) (в данной то !'К:е
М(Х1 Х2, ... х т )) и обоi1-t{!"l{l./ mея символо,!" dn'/J,.
-
Итак.
[10
определению
dnv, - J(d n - и)
8'1= d, 1,
8'2=d'2,
бх',.,,"= 'd~';'
При вычислении второго и последу!'" }их диФсl еренциалов
приходится существенно ра:~шчаТl. два с!учая:
да аргuме! (ты х
ными;
2
Х2
...
'Х[['
ЯВЛЯЮТСi!
CJlучаi\, когда аргументы
...
Си ,ilюл { } IOX 1. =dX 1 . обозначает, что
11
o, .. =d'E2·
случаi\
Iеза!lИСИМЬЕ!
KO~
пере\Iен-
,.i m являются COOT~
1I!,Iраже !!!И. закл! !че!!Но!;!
АХ~п'='d~~
фигурны,· СКОl!КИ, С."'Д}ТТ положить
6../1
= d ../ 1
6../2
= d.!
2, . . ,
6!! m
= d ../ rn .
[Нl [Х
[;ет! fвующее чи Дi! pa:~ Д fфференц [руемы\!
у'ууры
Нi':;ШИi И\fЫ
[ых
ffepeMef
Ра; iМОТРИМ (н iч;ша первый С;УЧ;iЙ
ЛЯIОТi'
н
М Ы м
iЧИТ;iТL, ЧТii
"ереме!
,d:T m
/{аЖ,IЫЙ
fКЦИiI
. ti
,/2,
Если
:Г т
\fbI
[ы\!
яв-
право
,:Г т
ю':;шисят от :Г1, :Г2,
щиал (I:Tk
\fbI можем в:ять ра ;IfЬEf одному
и тому же нрира; ;,ению b.Xk для всех точек М(х ,Х2, ... ,Х m).
При этом мы по ;учим, что
ПослеДIfее соотношеШfе и fтаIшла
роваIfИiI, \ становленные в Iюнце
. 5 § 4, fЮЗIЮЛiflОТ нам записать для
два ра:ш дифферею шруемоi\ в данноН точке М функции u =
- .t(x Х2···, Х n) слеДУiiiЩУI" цеПО'fКУ равенств:
(Р11. -
5((111.)
l'
"Х1 d····
.' 1, =
бх~' 'd;;';'
5
[~-д dXi]
~
5[
(lxk]
~
дГk
;)71.'
k=1
+ дд~ 5((lx !
.тАе
}
~
:Гk
'=1
бх;""= 'd;;';'
БХi
dX1.
бх~
'd;;';'
8i1=di1,
бх~'
БХi
'd;;';'
тn
dX1.
(~;;" "=
~ дг,д:'k 5Xi . dXi
тn
]
тn
- ~~--dХidх;
~ ~ д:г,д:Гk
8;1=
(~;;""=
.
/,=1 i=1
.
(1 .13)
(l\'ILI
ВОСПО . ;Lзова . ШСL i'ще и тем, что ДfЯ два раза дифферен­
цируемой фУШiЦИ смешаI [ые "РОИЗIЮДIfые {;торо;о порядка [е
зависят от того, в какой последователr,ности производится диф­
фереIЩЩ ОI;ание.)
Итак,
Х1, Х/"
. ..
Ml,i
получаем,
что
в
случае,
когда
.
о дифференциала два раза диффереlЩИР\е\ЮЙ
функции
aprYMeHTl,i
0-
,Х т ЯВ fЯЮТСЯ не:~ависимыми переменными, для втор
да!
ЮЙ то [ке
u = .t(X1, Х/" ... ,Х т ) справедливо представление:
(14.44)
ъп и
Заме
m
а
вида
IКЦИ>I
m
ф
,
ПОСТОЯI
гДi'
дра
ее ю
Кiiадрат Iчна>i
=
СЛ('Iая,
й
р м
,крфи
от
IИС
fIepeMei IbIX
шснт iМИ
"'ли
iice;;
условию
i
1,2, ... т).
ПОiученное нами выраjjiение
для
ieCTIiei IbI"
в'"
Iаъшает""
УДОiшеТiЮР пот
2, ... ,т; k
IbI"
й
ч
числа aik
, !2,
что
521
IИФФЕI'ЕНl
(14.44)
apr(MeiITbI
когда
позволяет утверждаТl"
.. , Х т
Х, Х2"
ЯВЛЯi'iТС>i
независимыми перемеННf;lМИ, второП дифференциа
два раза ДIIфференцируемой в данной
I'ОЧ (е
"
IКЦИИ 11,
.f(x" Х2,... Х т ) представляет собой симмеТРИЧНУiС, 1), кваdX1,
, ... , ,Ix m , коэффици-
-
дратичную форму от переменных
енты
iiOТОIЮЙ
IbI cooTBeI'CTii\'ii ,щи
IacI i IbI\' ЩЮИЗiЮДi IbI\'
11, = .f (.У 1 Х2,...
Хт
взятым В дан
второго порядка фуню щи
ной точке ]1.;[.
Отмети
, что fЮЛ('Iеi юе IЮ,i
ала второго порядка
(14.44)
iiыIажеiIиеe ДЛ>i
щи-
МОЖНО переписать и в другом виде,
ИСПОЛЬЗi я формаль IЫЙ символ
-iJ
Х,
д
+ dX2-iJ
+ ... + dx m
д
14.45
.
"2
помощью этого симво [а выражение
4.44; MOi (ет
{,ыть пе­
реп IсаiЮ в виде
еРи -
(elx,
По индукции
д:Гl + dX2 iJl1'2 + ... + dX m nгrn) 2 и.
(1 .
[егко убедиться в том, что в случае, когда ар-
Y'iIeHTbI Х1, Х2, . .. , Х т n раз дифференцируемой данной TO'IKe
]I.;[(X1 Х2,... Х т функции 11, = .f(./.1 Х2 ... , ./.т) являются неза­
ВИСИМf;lМИ переменными, для n-го Дифференциала этоП функ­
ци
справеДЛIfiiО
fтедстаiшеi
ие
, dXi' ... d:T in •
Это представление с помощью форма [ьного символа
\южет быть переписаiЮ
виде
-д
ii2
+ ... +
-ддг rn
)n
и.
(14.45)
14.47;
1) СиммеТРИ'lНО(fТЬ ,,той квадраТИ'lНоij формы BblTi,'KaeT IB равенства
2
(P~
iJ"'U"k
(l'\lI) = •• д и (l'\lI).
UxkiJ",
[них
СовершеI
ГО
11:Й вид имеI<>Т преДi I'iшления
послеДУЮЩИii
в СЛУЧi;е,
,:[;" функ ши
:[;1, :[;2,
IБУК)! (ее ЧИIЛI,
рых
HI'
= f(:[;l,
диффереI
;iШИПIМЫХ переменных
в; "PO~
КОГДС;
aprY')I'HTbI
:[;т) являются C()OTBeT~
:[;2,
IИР ,'I'iIЫМИ ФУНiiЦИЯМИ НI
t1 t2,
,'11:1, ,-
,tk
О; ,раЩiiЯiЪ к зтому С;УЧi;
УiТiШ1,ВИМ ВЫРi;iiiение шя BTO~
РОГО дисj"ференциала два раза дифференцируеI\ЮЙ в данной точ~
ке М(Х1 Х2 ... Х т фунющи 11,
f(X1 Х2 ... ,Х т ), aprYMeHTl,;
,'12, ... ,
которой ЯВЛЯЮТС>i два раза ДIIфференцируеМЫi 1
фунющями некоторых независимых переменных t1, t2,. .. tk.
Повторяя рассу} ;дения из цепочки (] 4.4:1), мы на этот рю
=
по;учим
m
5х]
=L
=dXi,
ki",~n~
5'1
d,
k
1,
8'1= d, 1,
1
бх~·
·d;;';'
Заметим, что в си ;у опреДi' ;ения второго дифференциа ;а
IКЦИИ
11, -
Xk
де
-
любой из ЮiIеров
[д (dJ k )] I ;:
d
ИХ1Х]
читывая
это
соотношение,
предс Iавлению для
liTOPOIO
1 2, ...
,т)
= di
,
мы
приходим
к
с;еДУЮI
(ему
ДИфil ере Щ Iала:
([2 11,
i С использо iаШ·Iеi1
[юла
(14. ,))
-дJJ'm
)2
и+
+ ... +
ди
14.481
Сравнивая по;ученное нами ПРI'дстав;ение (14.48) с пред~
ставлением
4.46), мы убедимся в том, что (в отличие от пер
вого дифференциала) второй дифференциал ()же не обладает
сво \ством инвариантности формы.
ем более не оГ' ;адают свойством инвариантности формы все
пос ;еДУЮI ше дифференциа;ы.
ъп и
З а
е
[;тор ,Й
IИФФЕI'ЕНl
а н и е
У <аЖ;'
важный
IЫЙ
посл;' [у[ощие
f(:[;l,
!аЙ, КОIД';
IКЦИИ тn от пер'" ;;'н-
;ют инвари штностью
:[;2,
и ;;пределя[от;'
той са "юй
14А!),
дЛЯ
ITO
:[;1, :[;2,
,:[;т
чт;;
переменные
:[;1, :[;2,
,:[;т
ЯВШ[i'ТiЯ
Ф У н к
и я м и не:~ависим[ 1X перемен-
;лучая Ю' ;,;ВИПIМЫХ переменю [Х
говорить,
е
ньг;
н
[,1
,t2,'"
М И
t;
если О[IИ о;;ределшотся [iа[;е[;ст[;ю)
+
ХI
1 2, ...
в котор[ [Х через aiO, ай,. ..
,т),
aik о{ю:~начею,; некотор[ [е постоян­
ные.
Заметим, что ;сли Функ{\и-я 11, = f(:[;l, :[;2 ... ,:[;т) -яв.ii-яст­
раз дифференцируемой
данной тО~l'I{;е
(;т, ;Т2 ... ,
),
а сс П]Nумснmы Х1 Х2 ... ,Х т -яв.ii-яюmс-я линейными фун'К:'Ци-я­
М11, незавиС11,Мf,;i nepeMeHHыx t ,t2,'" ,t;, то n-л д11,ффереН'Ц11,­
ал Фун'К:'Ци11, 11,
f(X1, Х2"" ,Х т ) оnредел-яетс" fПОЙ :JICe са,м.ой
фор.муло/i 14.47), 'тю и длл сл!/~ta" незав11,симыx nере.меню,;у
n
=
Х1
Х2
...
,Х т ·
Чтоб[ [ убедиться в этом, заметим, что ПОСКОЛЬКii
явшются Н е з а в и с и м ы м и переменн;,;ми, то
ренциал
i как ФУЮfЦИЙ
равенством типа
(14.47),
apriiMe[ITOB t
t2""
t;
,/2' ..
,t;
диффе­
о;!редеш[ется
а точнее равенством
-,'tд- )П х'1,'
Uk
Но любая частна;[ fIlJOIIЗ[ЮД[Iая [iЬ1ше пер[ю[о fЮР [Д[fа от ли­
не [ной функции Xi равна нулю.
ю
d 2 x,1-, - -О, d 3 x 1,--,···
- О
dnx'z-_·
- О
(при всех i =
2, ... , т) и представ­
14.48; да[;" fIКia ю заif.ТПОЧ ПЪ, ITO (Ри о;;редел;[ется ра­
венством (14.46). C'oBepfffeHHo аналогично, испоЛi зуя соотно ffeния dfXi - О, ... , ([n Xi - О, мы fЮ и,IДiiКЦИИ докажем, ITO
([3 и, ([4 и, ... ,([7111, определЯiОТСЯ равенством (14.47 ) .
ление
а н и
ся совпадающие
С! Ш!
3.
ра;;е;;с;;ю
рас;;'
;лены,
При пров,,"Дении вы'исленийй иногда требу, тся
(14.47)
уч;п;,ша;, что 11 ЭТО'!! ра;;е;;с;;;е
выписать ВС',
;;ерЕ'Д НИi.iИ
Для этой це"ш мшкет
имеющая ви';
,
ра;ЛИ'1ные
'1,;'
НЫ
''то; о рав,'нства со
ау;
;ьзована форму;а
п О
И Н О М а
Н ь ю т о н а.
(11.49)
fНl,fX
И" ,е,
а'
",д!1'1Дыii И.!
при уеЛi вии. чтО
"·.0, оры"
ММ!1 В"ех ·.пих ИНДi'К< ов а1
,е, р.'!днр УС,
ЮllИТЬ
110
,аТУР!1ЛЬН~"i n эта фОР!iУ
перi'
011"
lIее!!
."ДОllН ТlIОр!
изнееТН1Ю фОР\i1Л1 БИНОМ!1
И 'ДУКЦИН
1''1'
нi раllеНСТlIа!!
а2
+
С1 ··,ю!i
а
де
..
iiрИ
'1ШСДО ·,ю спр iiiiДiiша, ИiЮ
11
,ЮТ011"
llре. 'ПОЮЖИ~I. что эта фОРМУ1а справедлива для неко 10рОГО HO~Ief а
~
'",iЮГО
2
,а, "[iального п. И l1fЮiiерИ!i,
Представив
ПОДСЧi1 1ae~I
с
... a~1Тt
[1ннома
011
а,,·.о!.;' сл.'.: '1ае о ,а С1ра-
+ 1 и любого натуральнО!'о п.
(а1 + а2 + ... + а т + a rп +1)n в ви.'.е
ве. ,лива и для номера
m
ПО~IOЩЫi'
. 13
i,,1"ToHa
Ньютона
iiИНО~Iа
силу равенства а1
преДПОЛОj1'1еifИ"
а2
КОЭil фициент
при
+ ... +
О С 'раiiеД1 ШОС,
.шя номера т и любого на'урального п.
(а1
+ а2
ат)'
(a1)!(a,i! ...
(а т)!
(п
iОЛ}"1еНiюе lIыра'1'1е1ше Д
'·.. ОЭil фицие1,та ПрИ а;
ц,~,=
в точности совпа. ,ает
тем выражением. которое получится из формулы
(14.19). ес
это!i
1е,аменнп, HO>iep rn на rn
1.
Ин.,укция заверщена, и фОРМ1ла (14.49) ,оказана.
+
ФОРМУ1а (14.4 С )) дает нам право переписать выf ажеНi1е
(14.47)
для п-го
.шфференциала в сле.'ующем ви.,е:
3. Формула Тейлора для функции mпеременных с
04iТffТОЧНЫМ ЧЛ4'НШ"Т В сIЮРТ"f4' Лffгранжя. l\IbI будеы обозна­
чат;, ;иффереiщиал k Г" ПОРЯ!fка функции u = f(Xl' Х2"" ,Х т )
В ТiJЧЮ' JvI СИМВРii1М d k u111<1' Док.'Жi'· следующую Ti·iJpeMY.
1)
.Мы
"шае!i. '1'1'0 c~
п!
ПОТО!iУ
(а1
+ а2 + ... + а т + а т +1)'
+ +... а т )!'
('1rn~1)!(a1
и
fbI ':
525
IИФФЕl'ЕНl
.t(M)
о
Х2,
'/(.1,
,'2,
У?i'!!за !н,ой Е -п'крест
'н,ocТn/(J,
.t (М)
в
рггттmогттш
-du I
при этом
ТТ/'!;Ч'К'j1
'\'10
+-;1
I
2:
N -
.t (Мо )
,тnml
у'ка шн,j!I"
O?i'
быт?) nредгтп.вJU'н,о в следу?г?це?'i форме:
MeJtCem
1\:10
'(J,
1
+
...
+,
1\:10
n.
н,екотор!!,,я
IN
mO"iK!!
вис,яща,я, вообще говор,я, от
(14.50)
ука шн,j!, ,й Е I,крестх!псти,
(Х
Х2
а дифферен,чиа-
nере.менн'Ых Xi, вход,ящие в выра
и
и iln+1uIN,
равю,; ~Xi
- Xi- !fi. Фор:.iула (14.50) iiазываетсяюй Тей­
лора ;lЛЯ ф, iiЮiИИ и = .t(M) с i;'IПРО: i раЗ.lI!)Ю'ПИЯ в точке Мо .
Д о к а з а
е л ь
но.
iОi<ращения заi!ИСИ
рассуждеiiИЯШ фУПКi!ИИ и =
.t(x, у)
ронедем
двух перемеiiШ.]Х Х и У.
ПреД!iаРi!те,IЬНО запишем
iеЦi!а,IЬНОЙ форме формулуТ'eJ.r­
лора ;]ЛЯ 17.
1 ра ( iиффереii iИР'
в iiею)торой ; ;крестш)­
iти ТО'iЮ!
+
to
ФУНКЦi!
и
чт;; фор:.iула Т!'Й,I!;ра с
P(t)
одной
i;'IПРО:
iеременной
раiложеiiИЯ в
t.
НаiЮМН [м,
/0 дш фупк !ИИ
и
,!'(t) одпой перемеiiiiОЙ ш.iееТIедующиЙ вид (остаточ ii.IЙ
члеii в,шт в форме Лаграiiжа):
P(t) - P(to)
+ P'(to)(t
1 р(;') ( to )( t
... +,
n.
to)
t\
О
+ _р(2)
2!
(t
+B(t
+---с
(1 .51)
О<В<
Так как аргу:.iент
ращеiiие ,6,./
= -
t
to) (t
яв, шется iiезаВИiИМОЙ пере: iепной, то при­
10 пр; 'дставляет с' ;бой дифф!'р; 'Пциал dt
Iiисимоji iepeMeHHoji t. Поэтому
II!
за­
p(k)
и
(14.52)
Если
:ibl обозначш i раз юсть
фор:.iУЛУ Т!'й, l' ;ра 14J
(14.52),
1
н у
- P(to) через ~и, то, СОГIапю
;;жiю
{,списать в СН дующей
Вместо. Е-о.крестности точки 111/ можно. взять так называемую з в е з д­
О
Р е с т н О С Т
этой TO'iKH, ""оторая опре, "еляетс!! ка"" та""ая
окрестно.сть точки 111(!, кото.рая вместе с каждо.й своей точкой М целиком
,'о, "ержит отрезок 111(!М.
[них
fеп fа,ТIЬНОЙ
to~e(t
to)
(14.5:1)
Рассыотриы теперь н Е-окрестности ТО'fЮI МО(:Гр
Ну то тuчку Аl (хо+д,х, ]JП+Л?J) и сuеДТТНТТl\l ТUЧКТТ
РОfIЗНОЛЬтт 1~1 ПрсШUТ':'Т
ЛИ11иеЙ. ОчеВИJlllО. ю ЮРДИ11аТ1.1 х и у Т11чек ука 1iШНОЙ пря: 11Й
представляют соБОЙfедующие лuнеiJ:н!.Jе Фун'Кчuu 110ВОЙ пере­
ме 1ll0Й
t:
х
при это:
- хо
ююр
+ tд,х,
- ур
точек 11трезка
+
MoJvI
(1 .5
со 1тветствуют
'feH 11fbl 1еременной t из cefbleHTa [0,1]. OTblellIM, 'lТО зна'lеШI
t =
отвеча1'Т точка Мо , а 111i1че11ИЮ t = 1 точка JvI. Так
как 10 УСЛОН1I
Фуш<ция u - .f(x,
дну): 1е1 еыенных х
н
раСС:lатрива1" 11Й 11крестности точки JvIll n +
ра 1 Jlиффере11цируе:.lа, то из Фор:.1УЛ (14.54) вытекает, что на пря:.1ОЙ МоМ
эта фУШ<Ц11Я 1fНШfеТ1Я сложноJf Фуш<цией 1еременной t (n + 1)
раз JшФФереШ1Ируемой по крайней' 1'р1'Ш ВСех 111i1че11ИЙ t
из сегме11та [0,1]. ОБОЗ11ачим эту
1ОЖ 11 ую ФУ11КЦИЮ через F(t)
и заПИШ1"
J1ЛЯ ш· р форм' .fY Тейлора С центро: ра1Ложе 1ИЯ в
ТО'lке to - О
специальноJf форые (1 .53) 1рИ
д,и =
ФИ! УРИРУЮЩ1Iе
F(l) - F(O)
=
.f(M) - .f(Mo).
форыуле (14.53) Д1IФФереНЦ1Iа.fЫ раЗfИЧНЬГ<
ПОРЯJIКОВ представляют собой Jlиффере1щиалы СЛОЖШ.1Й ф' 11К-
Ц1!
U
I(х, у) [де х
Я:ШlОТС1f .шшеjrныыи
ми (14.54). СоглаСШ1" 1'ча11ИЮ ПР1·JlьцущеР.1 пункта при этих
условиях диффере1щиа.fЫ любого порядка функции u
.f(x,
могут
1iшиса 11.1 в форме (14.47).
dkul
to=O
= ( - dx
дх
+ -ду dX)
ul
Мо(хо.Уо)
= dkul
iJ
)
( -dx+-dy
d n + 1 ., I
ду
. to~e(t-to)= дll;
'п~ 1
х
ul
причем в Фор:.lулах
(14.5 )
f{t - д,t
14,"15) dx и dy 11i1ХО.lЯТСЯ из С ют lOше 1ИЙ
1
О
1. la:1Ibl образоы, H f a <
(14.5"1 )
dx
dtд,х
L:lx
и
dtд,1/
L:ly.
(14.56)
l.ставляя dkUlto и d l + UltoH(t-tо) и 1 14.55) в Ф ;рм, лу
и' читывая СоОТ11Oше11ИЯ (11.56), :lыI получим ФОРМУfУ Тейлора
(14.50). Теорема Дока:ана.
527
!еНлора
П!fп;едеы разнернутое 1;ыра} <еШfе
ДШl фУНКЦff
.t
и
(1 ,50)
.['1, .['2,
n
+
:=1
+
4. Формула
Пеано.
остаТОЧRЫП ЧЛf'НШvТ в форме
*
Теопема
.1
1(:[;1 х"
n ? 1 - челое 'ч/uсло, фу'Нкчия и ,:[;т) зади.'На и (n - 1) риз !Iиффере!щируе.ма в E-окрест'Ности mO"lKU Мр о ~2,"" ~m) и n раз
Р:f'Нчируеми. си.МОЙ тп':,ке МО ). Тог: la для любой то':,ки М из
= 1(J\!I) =
Пусть
...
указшн'Ной E-окрест'Ности МО справедлива следующая формула:
.f(Mo)+~
1.
.f(M)
dul .. +А2.
},;[!
I .
}Л!
+ ... +
1
d.n и I
+ /
'п/
щр),
Ма
(14.58)
в которой "lерез р обоз'На"lе'Но расстоя'Ние Р(Мо , М), а символ
о(рn) обоз'Ни.':.ш'т беско'Не'/!!! малую при р -+
(и!ш при М -+ Мо )
ф!j'НК'!l,ию более высокого порядка .малости, че.М рn.
ФОРМУlа 14.":8) llазывается Ф
р
у
о й Т й л
р а (с
центром н TO!fKe Мо )
остато!шыы Ч.fеном н фор ы е П е а н о.
3
а
е ч а н и е.
(1 .58) ffMeeT
n
+L~
k
В б:;
Н, ;/lробной заниси форт fула Т)'Й.!! ;ра
l;ИД:
о
D
Х -Х )-д
Хl
+ ... +
о
X;!!.-XТn)-д
х .f(~1' ~2""
о(рn)
)
n
;;т
Х
1
Sаметиы, что н fраной
ст;л)'ни
k
Хт
m
н)'р;"
~т)
+ о(рn).
14.59)
!faCT!! (14.59) iTOffT суыыа мно! о!шена
;лных
Х1,Х2""
,Х т
И остаточного
чл)'на
.
n = 1 сле.'.'/ет треБОllап,. 'lтобы
была только задана в Е-окрестности точки
точке Ма .
u = f(x
и
,.12, . . . •
. !иффереш шр; ема
Хт)
в самой
[них
Обозна fИЫ
гочленом,
(М) разно; ть ые} <ДУ
е,
ПОЛОi;
(М)
Уf<азанныы мно-
ffM
.f(M{,)
n
Y1)~
+
д"'1
k=l
( 4,60)
Теор, :la 14.1'",*
юказа 1". если М1.1 уста110ВИМ, что при
ВЫПОЛl1е 1ИИ ус.f· 1 ВИЙ этой T,·i1peM1.1 R n + 1 ()I,;I) =
Доказателн:тву теоре: 11.1 14.15* предпош,
двеfе: 1I1bl.
Ле.м.мtl. 1. Если функчи,я .f()I,;I) = .f(X1, :[;2,... Х т ) 17. рuз
диффереЮl,ируема в то'Ч,ке
то как са.ма
(ХО Х2 ... Х"
функчи,я R n + 1 (М), оnред11л,я1'ыа,я l'ш;еlf 1 тв;'р (14.60), так и в;·'
ее частные nроизводные по любым nеремен'Ны.м Х ,Х2,··· ,Х rn
110 nОl',ядка
Д о
17. включительно обl'Шf 1 (аютс,я в нуль в точке Мо .
а з а т е
ь с т
О.
ПРff 17. -
1
ФУНКЦff
(1 .60)
ПРИ11има1 т ви;l
и равенства
)
R2(
)1,;10
проверяются'
=
иН,
(
О, -д- Мо
;·1паР11O.
х"
)
=
=
при всех ~
...
,т)
Дш ПJоведе 1ИЯ И1ЩУКЦИИ предпоlOЖИМ, что лемма ;правед­
лива для 11екоторог" 110: ;'ра 17. ~ 1, и дока)ю :1, что в таком слу
ае она СffраfеДЛИRа и для номера 17.
1.
Пуст;. ф; 11Кff,ИЯ
Rn+;;(M) =
лм)
n+1
-L~[(Хl
.f(M)
-
+ 1)
+
р;сз диффере11 fИРУ; :la в точке
.f(Mo) -
о
Х
(17.
и
),,---ИХl
+ ... +
;=1
Равенств· 1 R n +2 ()I,;10 ) =
о
_] k
д;С т
проверяется элеме11таРIli 1
но Y'feCTb, ч [о каждаff f<РУfлая скобf<а (Xi
щается в
()I,;10 ).
!fi)
R
(1
в точке Мо ).
Нам остает;я доказать, что ДЛff л "бого
д f.i n +2 ( л~/1)
н;е
'facTHbIe
. -
1; 2, ...
jЮffЗRодные э fОЙ
(14.61)
юстаТ·1Ч-
обjа,т сама
l
(JУНКЦff
DXi
до
lOрfЩ <а 17. RКЛ; fl!
fЛЯ этог;
вости
1В
ffTe fЬHO обращают; я R нуль
ТОЧf<е
а
,fa шог; 1
пр; ;lПОЛО)ЮЛИЯ
справе fЛИдля н· 1мера 17. i/ 1стаТОЧIli 1 дока ;ftT; •• чт; 1 функ f!.ИЯ
СИ,fУ сд;
ЪП и
52;)
IИФФЕl'ЕНl
д~,:+, (М) опредешеТСl ранештноы типа (14601 а то'шее рад!
(М) - и:;;, (Мо ) -
u + ... + (х'
т-
х' т1\
UJ'm
l
(МО ).
(14.fi2)
k
Так
llce переыенные xi (i = 1,2, ... ,т ра ШОl ранны и
ВХО;lЯТ в выр;йкспи;' lЛЯ R n +2 (M) симметричш;, т;; ;1Остат;;ч 10
ДОl,азать раllенспю (1 .62) ДШ i - 1 . е. ДОl,азать ранештно
и!
-д (Мli )
Хl
14.63)
Из
т; ;чнО
(14.61) О'lеllИДНО, 'lTO ДШl ДОl,азате.lытна (1 .(3) достаБСДИТ1'СЯ, что
ронанньг: Х2, Хз
lЛЯ к;йк ЮГ;; нО; ; 'ра
...
k =
Так как при
;шффсрсш ;:ир' ;вании
Х2, ХЗ, . .. 'Х!!' фиксированы то ве.lИЧИПУ
о
D
по
д
Xl
о
= (Х2- Х2)-а,-,2
диффереНЦИРОllаШl
...
,17,
+
при
'Х!!'
-
перемен
д
Х т ) ах, ..
10 Х1 можно рассыатрина; ь как посто­
fШНУЮ. К ЭТОЫУlедует добаllИТЪ. 'lTO поско. lЬKY сиынолы аХl'
а
а
... ,
ахо!
ах
rn
lОЛЬЗУЮТ; Я ДЛfl обраЗОllаШl
НЫХ Фуш,ции
Н
И К С
при ;lИффСРСП ;:ир' ;ва lии по
но
paCCMaTpllllaTb
'lac ;НЫХ ПрОllЗ юд­
Р О
а н н о
TO'lKe МО
ука ;;шпые симв' ;lbl также
1ОСТOfшные llеlИЧИНЫ.
В силу сказанпого ДШ доказатеlЫ.тва равепства
статочш;
d
dXl
[,
о
{Х1- Х
то
ж-
(14.64) 110-
l.ИТLСЯ В справ; ;шивости рав; пства
о
-Х
(14.65
:~; ) д~; + D]
[иффереНЦf!РУ~f фуню
;ОЛOi <ну'"
учитыная
[!м Ю
о, мы ПОо fУЧf!М ранештно
D
ю
f:af:
отме [енну;{] ныше незаl,ИСИМОСТЬ
(7:[;1
от Х,
Индую
(1
за-
в;'ршеll f1
Лемма
1 до :азанао
,т[С.Аi.АШ
Н( М)
2.
Х2 ... , Х m )
фУIJ1И~И./l, У;)06,и'т60РЛ!; !Uu..я
1) R(M) n
nРUU3UОЛ'Ь'НЛ./l
тре(;,::а'Ни./lМ:
рuз дифф:р: 'Нчируемuо
то'Ч'Х:е
о
о
MO(Xl, Х2,
о
. .. ,
Х т )'
2) сама фУ'Н'Х:ЧИ./l П( /\1 и все ее 'Частные nроизвод'Ные по лю­
бым '113 nереме'н'ныlx Xl, Х2, . .. Х т до nорлд'Х:а 17, в'Х:лн: iшnель'Но
обращаютс./l в 'Нуль в:!'Х:аза'Н'НO'Ll то'Ч,'Х:е JYJ{1. Тогда дл./l Фу'Н'Х:чии
сnра:едли:а оче'Н'Х:u
R(M)
R(M) =
z:le (У'Х:6 п й
о(р:'),
Ofi0311 :о'и''Но р:u;т './l'Ние /
(14.66)
ife:JfCJy mO'i'X:u ыи
(1\110, Jl,;1)
иМ.
оказател
lfыIеe :ает
f!З
При
ств
утв: РЖ:j: ни:' лемм;"
=
17,
руемо;т f 1)
у; оЮ,fШ
П(JI,;1) н
точю' Мо , КОТ' :рос И; :':'Т вид:
R(JI,;f)
дН (JI,;Io)
R(JI,;Io)
о
+ о(р).
дх:
k=l
[)R
- О -(JI,;Iо )
У ff!тьша~f что
мы
д;rk
ЮЛУ'ff!М что П(JI,;1)
-
О д ш 1,сех
1,2, ... , т,
k
о(р),
Дш прове;iеllИЯ И11ДУЮfИИ ПР:'ДПfJ н:жим, что
спра
ведпша дш 11екоторого 110;,fepa n ~ 1, и докажем, что в таком
случае
справеолива и ;шя
110;
:'ра 17,
Пусть фуш:ция П(
уДонлеТНОР~fет днум требонаниям леммы 2 д
Я
е рап
Тогда. : :чеВИДНо,fю(:ая част-
+ .
llая
ПрОИоfВодная
u
этои
Ф 'llКЦИИ
псрвог::
поря, 'I"a дП (М) (k -_
0000"
000'0
nх:
= 1,2, ... ,т) БУ;iет Дi..:вЛСТВОРЯТЬ дв\м тр:'(юваниям лемм;"
Д л я н о м е
а 17, а ютому (Н СИfУ сделанного HaMf! fредпо­
ложеllИЯ
справе! лив' :сти лемм;" 2ш 110; :'ра n) будет спра
ведпша оце11ка
(14.66* )
ТСП:'рЬ, что ПОСКОЛ;,КУ
17,
~
•
то
17,+
~
и функция
П(JI,;1) уДонлетноршощая днум требонаНИЯМfеммы 2 ДШf номера
17,
,
во ВСяком случа:' : !Дин раз !jиффереll fИРУ:';fа В fжрестш;-
1) См. соотношение ( 4.16) из п. 2 § 4 этой главы.
531
;ти ТО';Юf МО
Поэтоыу ДЛii этоji ФУШ<ЦИif i;ыiiлненыы УiЛOi;ИЯ
О. (Оiласно УI<азанной теореме
,lЛя люСюй точки М из достаТОЧIli' ,,;алой Е-аКР; ст;юсти точки
на 01 резке Мр
найдет; я то 1ка N TaKaii 'lTO спраi;еДЛ1lRа
фор:;ула
теоремы
для ноыера
1 15
дЛ
П(Мо ) + ~ 2.)Xk- о
П(М)
k=l
'sаметиы те 1ерь. что
ками )1.;10 и )1.;1, а
р(
,)1.;10)
юсжоль <у точ <а
N
лежит ыеj;jДУ точ-
расстояпи;' ;'Ж l.У точк ,,;и )l.;1p и )111, то
ютому 1fЗ (1 .66*) нытекает. что
~ р
-
)посл; ЛIЮЮ
юлу
о(рn).
оц; пку
В
и
14.67)
учитывая,
что
11fM 'lTO
R(M) =
о(р;')
k=l
m
о
Так как
L
Х;
'~i)2
Xi
-
р, то ОКОН'lательно юлу-
i=l
_
Ю1ИЯ
До к аз а
о(рn
:авершепа. Л:
е
ЮЫОЩЫРiеыы
ь с
1
и
RО
:. ;:. ;а
Т е о
Дока:апа.
е ы ы
легко
1 .15*
РОRОД1fТCii
2.
В са: :,м д:'н'. Вj,]ше у)ю' :,т: :'чалос!', что
lЛЯ д',ка:атеш,
;тна теореыы 14.15* достато'шо у;таНOi;lЛЪ. 'lTO
RЫПО. шешlИ
условий,;той теор: :lLIШ фУIIЮlИИ (14.60) спр ше,lЛива
lеllка
R n+1 (М) =
СИiУiеыыы
;аыа фуш<ция (1
i;ce ее 'laCTHbIe ЩЮllЗ:лпым Хl, Х2, ... ,Х т
ПОРЯ.lха n ВК.iЮ
обращают;я R нуъ R TO'lKe )1.;10' Но тогда RllЛУiеы-
в:дпые ПiJiЮ(,'"
lfTe.IbHO
о(рn).
1
п: р:"
м]] 2ш фУIIЮlИИ 14.60) справедшва оцепка
Теорема 14.15* доказапа.
§ 6.
ЛОЛilЛЬНЫЙ ЭЛ41ТР4'ТVТУТVТ функции
R n +1()I.;I)
m
).
П4'ременных
1. 1lонитие экстремума
Необходимые услоиия локальноз.'О
фуш<п ия
- .t Хl
m неР4'ТVТ4'ННЛИ.
1Jкс'з.ремума. Пуст],
Х2 ... ,Х m ) Оl ределе-
)l.;10 (Xl,
;;;2,... ;;;т) пр' ,страll­
m lеременных u -
.t
в llею)т, ,рой окрестпости точки
ства Ет.
IНl IХ
ГОRОРИ IЪ. 'НО фУ'Н iчия
.t (М)
'Ь 'НЫ U ,м а
с и ,м у ,М ( О а
ъ,','ли f u.Uд,:тг/.f,Я rnu. '·u.Я -о'х;ресn; ,,,'сп·;, mл"!'х:оторо/! а'Нд'!., f i'{},i'
Аl о)
i..Я' f NСЯ f f{jибо ,i.'/Jсреди 6' ;':[;f'Начеffи'; .t(
,;'! фу'Н:х:v,Ш!!
!3!fJeM f 06opumb. что
- .t(M)
имеет 6 точ'Ке МО
Л о 'к а Л ъ 'н
U Э 'к С т р е ,м
,М.
,';ли
им; ;'т 6 эт· '!!. точ'Ке 'i,ибо ло'К !.ЛЪ'Н'blu Mun, имум, либо
ло'КаЛЪНt,!U ,ми'Ни,л;l'!fМ.
УстаllОВИМ
фУШfЦИИ и -
п!'! !бходимы!' условия!! !каЛЫI!!ГО экстр! ;;у;,;а
об.lадающеН R данной ТОЧifе М{! ча! ТНЫ-
.t
ми пр!!и!в! !;;пыми первог!! порядка по вс!
Д!!кажем след\ющ!'"
и
;.;
у т в е р ж д е
перемеll
и
если фу'Н'Кчия
.t(M) = .t(X1, Х2, ... ,Х т ) оfiлu. !ает 6 то'!'Ке 1\I10(~1' ~'2, ...
. .. ~т) част'Н'Ы,ми nроизвод'Н!'f,ми первого nоряд'Ка по всем nе­
j'!'MeHH'blM Х1 Х2 ... Х т и им!'!'т 6 этоu то"!'К!: ло'Кu.лъ'Н'Ыu Э'Кf­
=
mре,мум, то все частные nроизвод'Н'Ые первого nоряд'Ка обраща-
1\11!)
fi!тся 6 т· ,"!'Ке
Ни
.;.
',.[.1
Д
(Мо )
=
6 'Нулъ, т.
ди
О, ".--(Мо )
ИХ2
к а з а т е л
р шеiiства
14,68).
аргу;,;епты
Х2
Хз
=
;npU6! ,!ли6'bl PU6!:Hcm;a:
О,
... ,
ди
=
-д. (Мо )
Хт
О.
(14.68)
L с Т В о. УстаllОВИМ справе.fДИВ' ;сть первог;;
Фиксируем у фУПКi!ИИ и =
...
Хт ,
положив
их
paBifL
Х2
.t
;;и
о
TO'iIO!
.
е.
ЮЛQJЕ
Х2
Х2,
о
Хз
-
о
...
Хт=Х m . ПРИ Э10М мы ЮЛУ 11!М ФУНКЦ1!
и =.!
,Х2, ...
... ~т) О 1110Й пер;" ;'lIп,;й Х1. llроизво f!!ая этой фу iК!1ИИ ;д
щим коорДi!Натам
-
... ,
соответf'ТВУЮ-
Хз
о
о
о
ной
::;
1еременно
1R точ
<е Х
Х
;ОН11адает с '1аСТН01!
jЮИЗRОДН01!
(МО )·
Так кш: ф, iiКЦИЯ m переме iiii,iX и =
.t(M) и; ;';'т!!;каш пый
1\110 то у fазанная
одноji 1ejeMeH.t(x, ~2,'" ,~т) и; ;еетюкаЛLНОЙ экстремум в точке
И п;; ;т; ;м' В сил\ реfУЛLтат!!в п. 2 § 7 ГЛ, 8) пр!!и ;в;дпая
ЭКС1 ремум R ТОЧifе
iЮЙ и
о
:[;1
= Х1,
·;Т!!Й фУiiК!1ИИ ;дп!!й п;'р;"
о
;'lIп!!й В Т!!ЧЮ' Х1 = Х1, совп ;;;ающая
с чаСТllОЙ ПР!!И ..fВi.дш;Й :~ (МО ), равпаIЮ.
Перво;' равеllСТВО
14.68) доказа ю. Оста.
рав; пства
доказьшают; я анаЛОf'ИЧНО.
П!!дчеРКIli"
чт;; р шеllства (14.68) (т. е, ;;бращ; пи;' в llУЪ В
данноji ТОЧifе
чаf'ТНЬГ: 1РОИЗRОДНЫХ пеРRОlО ЮРfIДifа)
(14.68)
являются ЛИн!;'
1ИМ; fI;И и пе являются
виями!! ;каЛЫI' ;го экстр; ;;у;,;а фупкции и
;;; ;стат!!чш ,fI.;И
= .t(M)
в точке
ус
1\110.
533
ъrИЖСIIК\lУ е
НаПРllыеРе у фунКl
дu,
роизнодные
дну>:
дu,
и
1ejeMeHHbIX
никакого "кстрем\ма в этой точке
не
обе ча, тные
TO'lKe М{j(О, О), но
(О,)) указа шая функция
ибо эта фУНКЦ1l
ху ранна нулю н ,abloji то 111le
О), а
гоещо мал,,]) (j окрестности
ТОЧ1llИ 1Р Ш11-
11MeeTe
Mo(f
маст как ПОЛО)К1'1ТСе!ыrыс,
!O'lКll,
так и отритщтслыrыс значсния.
11l0ТОРЬГ: обращают,я н нуль
первого ПОрЯе1ка фушсщи и
м
:[;1/
'(J,
обра1ца "те! н нуль
н о з м о
н о г о
э
с
= j(M),
lice
астные ЩЮ1lЗ юд-
называются т о ч к
р е ы у ы а
этой фУШllЦИИ.
В кюк,юй точке в" ,можн, ,гожстрем\ ма у функции и =
j (J\!I)
может быть ЛО1llаеlЬНЫЙ экCl реыуы, одна1llО наеlичие этого эю
тр,
11YI.1a
МОжно установит).шш
вий локаеlЫ1ОГО эк'
,.
с помощ).ю ,н ,статочных ус
выяснению которых будет по;вя­
Tpel.1YI1a,
щ, н слеlУЮ1ЦИЙ п' нкт.
Из доказанного llыIеe У1 liерждения нытекает и др,\таil
словий локаеlЫ1ОГ, ,е,кстрем\ ма:
если функчи,я и =
и,меет
в
в то'Ч,ке Мр
j(M)
этой тО':,ке локальнъиt
!J,иал dullV[,
экстре.еЦ'У,м,
этO'Ll
J\!Io
ственно относительно
и
то дифферен­
равен Н!jЛЮ то:жде-
независи,мЪlХ nере,мен-
Hыx dX1, dX2, ... ,dx m .
,аыом деле
dul2\il0 =
1Осжоль llУ
ддu (Мо ) dX1 + дди (Мо ) dx;;
Х е'
Xl
Т' , Ие l равенств
14.68)
вытека, т, что при люБыT dX1
,праведливо раве11,ТВО
flu
-
&12,... d) m
О.
2. ДОС'одто'оные условия локального экстремума. При
ФО1iМУЛИРOli1llе достаТО'lНЫХ У;ЛOliИЙ ЛО1llаЛЬНОlО ЭКСПiемума
функ~щи m Ш'р" ''lIных и = J(J\!I) важную роЛi, БУ.lет играт),
liTOpoji дифференциал этой фушщии н об, еlедуемой TO'lKe Мо .
В п. 2 §
этой глав),) м),) убедились в TOl.l, ЧТО для случая, когда щнуыенты х
1ИИ и
Х2,...
= j(X1, J'2,'"
х rn дна раза Д1lффереНЦ1l
функ-
являются либ" не 'lШИСИМ) j[ееИ пере-
,
ме 1Ш,1I И. тибошнейными фУ11КЦИЮ.и HeKOTOj),IX независш l),IX
переме ш),)х, второй ,иффеР"шщал этой фУНК1lИИ в да шой точ
ке
110
110 1редс fаliляет собоН 1шадрати'шу"' форыу относительlиффере11 1иаl"В арг\ме 1ТОВ dX1,dx;; ... ,dx m слееlУЮЩ1'Гl'
liида:
rn
МО
-
rn
2:= 2:=
aik
(14.69)
i=l '=1
14.70)
fНl,fX
и;
f'е<>ри
ЧИТ:iтеля
кр>'
>а
прив, ,ДИМ
ни
fратичная ф;>рыа »тн, ,сительно переменных
m
,11т)
=
L L Щk l1 i /1 k
i=
называется
(о т
п о л о ж и т е л ь н о
Ц а т е л
о
о
любых значений
Лf:', эта форма [рин [мает
цательные)
н н о Й,
Д
k
(14.71)
1
о п р е Д е л е н н о й
л е н
о
),
С'С' fИ для
11т, одновременно не равных нуЮf о по.'юж пе,Шяые
ЮfО ОТ1
значения.
Квадратичная форма
л
m
(14.71
называется з н а к о о п р е Д е­
если она являеТС>f .'fИУю пй'юж пе. [fЯО ОП] ,еде. [е[
либо ОТРИllательно определенной.
КЕадраТИЧ[fая
а (14.71) [а;ываетС>!
м е н н о Й,
н а
о
если она принимает как строго положительные, так
строго ОТ1
llaTe.'fЬHыe зна'I< ния.
КЕадраТИЧ[fая
а
4.
fаЗЫЕаеТС>f
а
н а
оп р е Д е л е н н о й, ес.'fИ она принимает либо только не отри
['е. [fяые, .'fИУю ['О.'[
fеПЙ'ЮЖfпе. [fяые значс:ния,
обрашается в нуль для значений
нс'
1,ав;
, ...
ю
0la-
это:·
,11т, одновременно
Лf<i.
Сформулируем так называеыый
npv.mepui1
Сильвестра зна­
коопреде ;енности квадратичной форыы 2 .
НаюВС'м Jvштрv.цеi1 nвадрати'Ч//-iоLl ФОРJvtЫ
(14.71)
следуюшую
матрицу:
А =
(Lik
Ес'fИ
все
=
(i
(Lk,
называется
(L
2
(L
m
>12
(L
2
(L
m
(Lml
ат2
( 4.72)
атт
э. ;еыенты матрицы А удовлетворяют условию
т: k =
2, ... ,т), то YI;a;a; fая а! РИllа
= 1,2. . ..
с и м ы е т р и ч н о й.
1) Все приводимые здесь опредеЛ1'НИЯ и УТВ1'рждения можно найти, на1:pi11ii1'P. R Ю:ИГ1': ИЛhИН В.А .. Позю:к Э.Г. JIИ1:еЙ1:ая аЛГ1'бра. - М.: Наука.
1978.
2) Дж. Си. 'ЬВ1'СТР - 11НГ. шйский М1пеМ1ПИК (1814 1897).
535
н [зове'
72)
следу}с
}еЛИТ(iЛl}
11
А;
"21
... ,
К]
си' 'еТРI1ШОЙ
норам
м [тр щы
1ИИ
1а
а
а
2
а
а
2
а:н
а:З2
"23
(i
а11
а12
а21
а22
л }руетС>}
t:з
виде
сш дующих
двух утверждений:
1о. Длл того 'Чтобы nвадратv.'Ч'I-taл фОfiма (1
с СИМш~тРV.''llШ'Й матри'ЦС'й (14.72) с!влсшаСi. nОЛО:JICuт~Лi НО Onp~ijC­
ле'J-lffОИ, 'J-lеобходv.чо V. достатО'ЧffО, 'Чтоf!ъt все главные МUfiOРЫ
JvtaтfiV'ЦЫ (14.72) былu поло 1iCuтеЛЪ'l-tЫ, т. е. 'Чтобы былv. С! fiaв1 fjлv.выuсрав~·ffства
А
> о.
Ас
> о,
... ,
Аm
> О.
Длс! тссго 'Чтобы nваffратuчuас!
(14.71) с сuчмгт
РU'Ч'J-lОИ матрu'Цеи (14.72) лвллласъ отрu'Цателъ'J-lО Оft.ределе'J-l­
НОИ, нсоБJ одuчо u достато'Чно. 'ЧтСi{>Ы 31шnи главных миноров
JvtarnfiV. ~ы 14.72) 'Чеfiедовалuсъ, ПРV.'ЧеJvl знаn А был опц и'Цате­
ле'J-l, т. е. 'Что.·ы былu сnраведлv.выuеравеf ства
2.
А,
< О,
А.
О.
Аз
О,
Aj >
О
...
Теперь ыы подготов ;ены к тоыу, чтобы сформу fИровать и
дока;ать
теореfМу,iстанавливаюшую
достаточные
условия
ло­
кального экстремума.
Теорема 14.. 16. Пустъ фУ'J-ln'ЦV.л
,Х2, ... ,Х т ) один раз
J
о
о
m nepeJvle'J-l'J-lblХ V. = .f(1\;1) =
в н~nоторои
о
o1\;f i eCrn'J-lОСrnV. то'Чnv. 1\;10 Х, Х2 ... ,Х rn ) v. два раза
pyeJvta в саJvШИ то'Чnе Мо . Пустъ, np0Jvle того, то'Чnа
с'с! то'Чnои вО3МО:JICного эnстр~муча фунnцuu v. = J(
), т.
([vI2\,[0 = О. Тогда. еслv. вПИfiOИ дv.ффеfiе'J-lцv.ал ( .69), (
представллет собои nОЛО·iiCuтелъ'J-lО определе'J-l'J-lУЮ (Ornfiv'i~a­
телъно onpefff'
nвш;ратUЧUУНi форму от nгрече'ff1t'ЫХ
&1;, &1;2,'"
&1;rn то фУ'J-ln'ЦV.л v. =
(М) VJvleern в то'Чnе 1\;10
лоnалыtыи мшшму,i (Л Сi nаЛЪ1tыи lfаnсuчум). Еслu :JIC~ ernOpff'il
( .69),
iifiедставллет собои знаnоnцс еlfeff'J-lУЮ nвадратU'Ч'J-l{jНi
v. =
не имеет
J
лоnалыtого эnстр~муча в
то'Чnе
[Нl [Х
о
а
а
е л
рс,мы, пре mолаtая, р;tfИ ОttРСДСtЛС,НН;;СТИ
ци;tл
шнн"
чт,;
преfставляет собой ш>ш;жительно ,юре [е-
(14 (;;)), (14.70)
};вадраТf;'Шf<>
>С'( от
[с,рс,мс,нных ([.Tl,d:r:..:,
I;;кажеы, что в ()Том ;луч;;е функция
'(J,
) имеет
=.f(
,([.lm
в Т' ,чке
)I',К;Лf,НЫЙ "иtfИ:"
11.
f3азложиы функцию
в окрестности точки
r
=
форму,tе Тей'юра состато,} [нм члс,но'
Эf'01']
ПО
формс, Пс:аtю,
В
лс, n = 21 .
J\lbI
пот чи:'
ЭТО:.t, '}ТО
.f(M) - .f(Mo)
причем в равенстве
диффереНllиалы
(14.
входяшис' в выраже fИ)} д'!
щиы приращениям
(1 .
([11·1
iXk -
переыенных :r:k,
([11.11\Io и
d 2 11.11\Io, равны cooTBeTCTBYf"~k) этих переменных, а величина
рюша
!Х 1П-
\
;;.)2 •
(14.74)
,1Jm
По условию теорс,мы точка 1'v10 является точкой во :ыожно­
го экстремума. llоэтоыу на основании реЗу,tьтатов предыдущего
tую;та ([11.11\Io = О. у
ниях
мы
(14.69), (14.70)
tридади'
рая это равс,нство и полаfая
для второго диффереНllиала
лс, Тей'юра
m
.f(M)
.f(Mo) =
~
(14.73)
с [ед.· ,,;ши
вы]
о
= ч-; k,
ВfЩ:
m
LL
(Lik
1 k=
Достато'} ю дока:а!
'}то д'!
["
всс'" достато'} ю
алых р
[ра­
вая часть (14.75) ПО.'южите. tЬHa. (Это и будет означать что в до­
статочно малой ок] >естности точки 1'v10 ] ,а:ность .f (1'v1) (1'v10 )
положительна, т. е. функция u =
( ) имеет в точке
ло};аш,
минимум.)
о
Положим
4.
дл)}
р
h' i
Х?,-
:1:2
---,
f ЫТС'};ают
1) Д. ш ФУНКЦИИ 'и =
(см. п.
4§5
1,2, ...
,т. Тогда и: выражения
слсдующие соот юшеt fИ)}:
+ ...
1.
(14.76)
/(1\11) вып ,. шены ПрИ n = 2 вс"
С.lЮВИЯ Т;'оремы
:::;; 1,
14.15*
.
гдеь
р
этой главы).
=
537
iiЩf ii '
с
iiб(гнаЧi ни
f'Befef
бf пъ переписаНii в f'Иfе
.f(Ma)
(М!
ОТНОfнение о(р:') предстаВiшет собой бесконечно ыалую при
р --+ u (иiш при
--+
ФУНКllИЮ, которую ыы обозначим 0:(1').
р"
Введение
этой
функции
позволяет
наы
записать
равенство
0(;") = р2.0:(р), С поыощью которого мы придадим соотношению
(! .75*) вид:
t
~ р2 [~ ~ "i/"hih" а(р)] ,
- .r
lеперь уже нетрудно доказать
Яf ляеТС>f
14,75"
что правая часть
юло КИТСiЛf fюi,j для всех достато'шо
f"ИЧffая форма
(14.75* )
аш IX р. KBaдpa~
соfюй ф'
[к iИю,
i=l k=1
оп! iеделенную
ры
(14.76),
и
неп! се! сывн"
на
ПОВС,рхности
предстаВЛЯЮf fей собой заыкнутое
i'ДИНИЧНОЙ
И
ограниченное
ТС,О!
4.
указанном
MHO~
МНО;+ТСТЕО. ПО второй теорс,мс' f~i'i'iс'рштрасса
из п.
гл.
2 §
свос'!'!
14)
эта ФУНКllИЯ достигает на
f'ОЧНОЙ ни
.
fей г! iани
из
ной о fРСДС,Ш,ННОСТИ кваДiаf"И'f
11т
111,
ны ОДfювре:,:е:
грань р,
ю нуло,
Bf,fTeKaeT,
'fTO
(14.76),
не paB~
что ,\ка;анна;: ТОЧ:fая
fИЖНЯ;:
удовлетворяющие соотношению
с т р о г о
ПО,iЮЖ пе,if
и и; того,
п о л о ж и т е л ь н а.
lак как бесконечно ыалая при
достато'шо
алых р \ДОfШС,Тfюряет
--+ U функция
о:(р) при всех
то
вся правая часть (14.75) является положите,i:ЬНОЙ при всех дo~
статоч:ю
алых р, . е. при всех l'v1, достаточно бiШ;КИХ
Ма .
Это и означает, что функция
лока,i:ЬНЬШ
fepaEe:fCTf"
u =
(М) иыеет в точке М;}
'И:fИ:'
СОЕершс,нно aH&:-ТОfi"ШО
гда второй дифференциа i :
ОТ!iицатсiЛЫЮ
u = .f(M)
100(p)1 <
о!
iСДС,Ш,ННУf<i
':то
CJI'
':аС"
(;o~
предстаВiiяет собой
ю;аДiаТИЧi
, (1)'
'
имеет в точке М;} лок&:-тьный ыаксиыуы.
Докаже: ' TC'ffC'Pb втор'ю часть тс,оре:'
в случае, КОlда второй дифференциаii
ставляет собой ;накопе! iеыенную квад iатичн"
,11"
ция 'и =
( ) не имеет лока,iiЬНОГО экстреыуыа в точке
[к iИ;:
':то
llрежде всего установим следуюшее вспоыогательное свой~
ство знакопереыенной квадратичной форыы
(14.71 .
[них
/',СЛ'(J,
'На, 'П!о 'Н
'(J, (/1~,
Ф (h"
сл дн!' со Ю'К:Уn'НОС'(n'(J,
,!!~~J 'П!!i'К:'(J,С, '{'(по
i'ilayn
=
)!'Нл'Кхт,(р!
ергJvtс'Н'НЪ!JY (h~, h~,
, h'2,
!
+
1,
JvtCH-
h,'m
+
npV,"lC,!!,
Ф(h,~,h,;,
... h,;n) >
О,
О.
В саыом деле, в силу определения
драп!шоi!j
(t~
fаi!jдутся
и (t~, t~,
t; ... ,
но ш' равных ну'!
. ..
дрс'
( 4.78)
знакопереыенной ква-
СОВQ}!УiШОСТff
арг'еifТОf'
,t;~) состоящие из чисе, i, одновреыен-
и таКИf!, что
Ф(t~ t;, ... ,t:n )
> О,
Ф(t~ t~ ... ,t:~)
<
(14.
Положив
t"1,
J(!;')
+ (t~)! + ... + (t:~)
р4.80)
У'!
ера)'
f'ая,
Oiip< ДfiЛf!Н fЯ
'iTO
)[,г выт< кас!т,
ю адраТИЧiюi!j <IЮРы
что
h'
Ф (h ' ,!,
... , h''rn =
ф (/1" ,
(14.71)
. .. ,!
, "!~~J
1
(t~)2+(!;)+ ... +(tiп)
= (t{ ) 2
.
ф(j'
j/
",'
+ (t~) 1+ ... + (t~),',. ф (t" t~ ... t~~J,
мы получиы (в силу (14.
неравенства (14.78) причем из соотношений (14.80 сразу же вытекают равенства (14.77).
Вспомогательное
фо] !мы дока)ано.
свойство
знакопеременной
квадратичной
ВО)В] !атиыся ТfiПf!РЬ к дока )аТfiЛЬСТВУ второй части теорс!мы.
Зафиксируем две совокупности переыенных (/1' 11' ... ,
(h ii , h,~, ... , h;~),!ДОfШf'f'f'ОРЯЮЩfff' СООТНОШfiНffЯ
14.
и (14.78), и докажеы, что для любого р > U найдутся две точки
м' (;1;; JY:, ... ,:1;~rJ
м" (:1;;',
) пространства вт та!!
'iTO р(м', мо )
,
Х,-
р
=
р(м", мо )
"
Х",
-
о
1,
р
=
р,
Д'iЯ всех
=
1,
В самоы деле, положив для любого р
ноыера
i (i = 1 2, ...
,т)
тn.
>
и
для
(14.81)
каждого
ъrй
>КСl lK lY "
), lрИ (("м В силу Р шс;н,тв
((iшеllИilМ
ныl
53')
Р'ШС,Нi l"Вi{
;2 _
р(М',
т,
о.
11
"
рl
')
=
о.
'11
')
(Х т - З;т'~-
{Х 2 - З;2{~
pj(l1~)2 + (lf~)2 + . . . (l1;;У
=
Тепеl;Ь уже НС;Тl )"дно убедиться в том, что для случак когда
второй дифференциал (14.69) (14.70) представляет собой знакоlС"РС;МС;ННУЮ квадраlЯ'l IfЮ <1>01
, ф" lK iИil U = f(l'v1) le Иilеет
экстремума в точке
Заl исьшаil для <1>УНifЦИ
U
f(l'v1)
=
ра ;'>Оже lие в т;
юсти
точки МО по форыуле Тейлора с остаточным членом в форые
ПСДlЮ
беlШ это ;аЗЛО;+ТШ"lС" в (ка;анных ВЫШС" TO'lKax l'v1'
мы ПО'lУЧ~Ы вместо (14.75) С'lеДУЮl ше два раз >Ожения:
ЛМ') - лмо )
.f(
=
~
L L Щk(Х;- ~,)(X~- ~k)
i=
k=l
m
m
О)
( " - О)'''
i 1xi - J;k
Щk Х,
Сllравсдливьн' для всех достаточно М<L'lЫХ Р
ПодстаВЛЯil в эти ра;ложеllИil зна'lС;НИЯ
из равенств (14.81) и учитывая, что 0(р2) =
--+ О,
l'vJi'.
.
m
") - .f(
lрИ Р
и
""Ы пl ;идадим
iаЗЛО>f С'ШfЯ" ."
0(1'
(14.82)
+ о (2),
f
(14.8<)
"'""'"
> О.
i
~i) и (з;:'
·а(р), где а(р)
и
~i)
--+ U
слсдую-
(14)';))
щий вид:
тn
f(M') - ЛМо
= /
~
L
'=1 k
т
(М")
- лмо )
=
~L
i=
1
т
L
aik I1 ;'
а(р)
.
k=
llоследние два соотношения ыожно также переписать в виде:
ЛМ')
-
ЛМО =
, ...
(14.82* )
[них
СО()ТНi;шс;НffЯ
Учиты!';:
Ф(h,~,
h,;,
,h;n)
ВСПОМИН,iЯо
78)
О и Ф(h,1, h~,
= р(
;;тн;;шс;ни
веЛИЧИI
,
,
ыы
п()лучиы
из
;ПР,iведливы неравенства
I'Орые";i,аЗЫI ;;н;т
Теореыа
14.1(;
(0О
И
.f(
отс;т;
I'ВИС'
он,стр; м' м,!
полностью доказана.
3 а ы е ч а н и е 1. Ес:ш второй диффереНllиал два раза
дифференцируеыой в данной точке возможного экстремума М;;
ф' IКllffИ и
= .f(l'v1)
iрсдставляет соfю1;]
это 1;] TO'fКl' iшазизнако­
опреде'fенную квадратичную форму, то нео,{Ьзя сказать ничего
Оi,еде'fенного о наличии или отс;тствии в этой точке ЛОК<L {Ь­
ного экстреыуыа.
Так,
Н,
Hai;fe]
;т 4
+ у4
у каждой из двух ф'
+
и
вто] 'ой ди;j;фе] ,еНllиал в точкс' во;ыожного экс-
а l'vlo(O О) I'ождс;ствс;нно,авеf
ш;,
iрсдстarшяет
собой квазизнакоопределенную квадратичную форму), но TO'fЬ
ко одна вторая и; ука;анных двух ФУНКllИЙ иыеет в этой точкс'
локальныЙжстреыуы.
Для решения вопроса о локальном экстремуме для случая,
iiOIда
второ1;],е! llиал
iрсдстarшяет
соfю1;]
iшазизнако­
опреде'fенную квадратичную форыу, следует прив fечь диффе­
рс:нциалы {ЮШ'i' высоких порядков, но это выходит;а ;амки данного курса.
3
а м е ч а н и е
:«
о
d 2 '/J,IMo?
2.
(
с;юmве17umвеннп
)!вл)шmс;! необхо;}:/1, Ч'Ы,м условие,м ло'Х:алъногп
чи-
lшч:ч,ма (ча'Х:сич:ч,ма) в mоч'Х:е
JBa:JIC;}:b! Jиффгренчиру;,мпi1 в
Э17U}'й 17и}ч'Х:е фун'Х:чии и = .f ( ).
в самоы деле, пусть, ради определенности, и = .f(M) имеет
в точкс; l'v10 'Юi,аЛЫIЫ
ОИ!IИ о
Ю усло!';:;'
полнено. 10гда найдутся 111 112 ... ,
Рассыотриы функ fИю
;авсдо:ю
опредео,!е!
лю. Функ fИЯ
t О,
п]
F(t)
F(t) =.f
при
о
!1
всех
([2'/1,1
?
О
[е
вы-
такие, что
о
+ tl11,!2
достато,!
, ...
ю
мао,!
о
по
оду-
обязана иметь локальный минимум в точке
F"(O) = d!ulMo
< О.
3. Случай функции двух переменных. На практике ча­
сто встречается задача об ;кстреыуые функции двух перемен-
541
ных
(:r:,
iiiщиеся
У)
В 3Tii
это:'"
(ун (теы прив! д< м РС' iУЛfШ'1Т ii
случ:!
Обозн !чим ч !стные пр, ,изводные
i'O
н(е
l'v10
о
х. У) си'
ЛИВii следующее
'И
д'И
, а 2,
д'и
д2 и
""''''тстве[
О! iЮ~
в некот, ,рой
Ю.
(р:!
у т в е р ж Д е н и е
Пусть фУ'Н:Х:ЦV.я ивут nepeJvteHH:blT 'И.
f(x,
о
у) odv.H ра,з
о
феfiе'НЦЩiуеJvta в O'x:fiecmHocmv то-ч:х:и l'v10 (х У) 'И. два fю,за
фереff'Цируеча в сачой то-ч:х:е Мо 'И. пусть Мо )!вЛ)iетс.;! то"l-Х:ОЙ
во·:JvЮ (н'Ного i-х:сmfiеМУJvta. Тогда, еслv. в точ-х:е l'v10 в'Ыftол'Не'Но
условV.е
а;2 - а22 > О, то фу'Н-х:'Ция 'И. f(Y, у) vJvteem в этой
nUi"l-х:е ло-х:аЛЫt'Ы'Й э-х:струму ч (ча-х:сv.ч:цм npv. al1 < U и МU1шму!!
при al1 > . Если :ж:е в точ-х:е Мо al1 а22 - af 2 <
то фу'Н-х:'Ци)!
и = f(x,
не и! л'т в этой точ-х:е ло-х:алыtого э-х:стремуча 1 .
Д О
а
а
е л
с
в О.
iaiiСДЛfШОСТi
части
сформулированного утверждения непосредственно вытекает из
теоремы 14.1(; и критерия Сильвестра знакоопределенности KBa~
д<;ат iЧНОЙ
а
А
1
а21
а
2
а22
докаже' вторую 'iacTi утвс!рждс!н iЯ. И i'aK, пус;ъ В ТОЧКСi МО
с! iaiiСДЛfШО HCipaBCiHcTBO а
nУ2 < О.
что в это:'
с. [учае второй диффереНllиал d 2 '1J, в точке
представ'шет собой
з н а
о п е
м
н н у
форму. ')аССМОТl 'им с iа'iала
а 1
О. ИСiЮЛf i!Я в! СДСiННi Ie JiЫШС' оую i[iа'iе[iИii
i-
о
о
-х
у- у
р
h'2 = -р-'
юлу iИМ СЛfдун;щее выраже iие для ВТОIЮiО
Л! гко
iРОВЧJИТЬ, что
iрИ
h,
1, h.,
=
О и
(z2uIMo
'лучай 0.110.22 2)
= 1
0.'2
iИ
h
им! с'т
iазные знаки,
О сгреБУ"i ДОПОЛiiИ'iеЛi,iiOi'О !fССЛi'ДOiiаН!fЯ.
При этом р может быть ка); уг '.. !Но Мii.lЮЙ Вi'ЛИ'iИНОЙ. Ус. !овне
ВЫШi. (нено.
111
+h~
=
[них
,fВT;;, тся
16,
;е:е
[с'рс;м; нн' ,й ф, 'рм;;й, И
ф'
fКЦИ,f НС; и:еет
то fЮ;
ю ['е-
l'v1{)
)1'
'к ;льн;;г;; э}{стрс'
мум:;
al1 a 22
о выт; }{ас;т,
BbIfffe
н:; писанн; >г;;
выр ;жения для
получится
2
(14.84)
d '/J,IMo =
П\Сf ". h,
i- о
ВС;Шfчина h'2 СТО'}
след.' с'т, что такой выбор
+ a22112)
(2a12111
h
ма.}а
услов fЯ h,~ + h 2 = 1
и h'2 во:можся), что выражение
сохраняет знак ве.'ШЧИНЫ
2a12111. 10гда из фор­
[а}{ при h.; > О
МУШf (14.81) вытс'}{ас;т, 'ПО ([2'U,12\,[o и\}еет ра :}fЫС'
.f
<
h'2
О, т.
<j>ую{ция u
,у) НС; и\}еет локашяого э}{стрс;мума в точке М;;. Утверждение по.'шостью доказано.
4. Примеры исследошшия функции на экстремум.
1)
Найти точки локального экстремума функции
u = АХ'
где А
-
X~
m
переыенных
+ 2Х2 + ...
(14.85)
отличное от нуля ве1 1ественное число.
отыс}{ания
f"ОЗМО:+;
ЮfО э}{стрс;мума
юлу 1ае'
сле-
дующие уравнения:
дu
д:1:1
=
2АХl
~
=
д:1:2
=
2Х2
2=
д11,
-
--д:l: rn
2Х т
= О.
( 4':-'6)
И:
;aB1fe1 ий (14.86) :а}{Ш"'lае\l, что еди [стве1 ю1\] ['О'1
возмо:+\ ЮfО э}{стрс'мума ,fВТ;U'ТСЯ точка Мо(О,
1, ... ,
Что' ыI исследовать ф' нкllию ( 4.85) в этой точю; МО с помо­
щью достаточных условий экстреыуыа вычислиы второй диф­
феl>е1 1шал
(14.87)
Очевидно, что при А>
a.1a (14.82)
U все значения второго диффереНllИ&1;2,"" &1;rn одноврс;мс;нно НС' ;аВ1
нустрого положительными, т. е. при А > U второй
(14.82)
;едстаВЛ,lС" соfю1\] ПО'ЮЖfпешяо опре-
d\!
являются
деленную квадратичную форыу. llоэтоыу при А
>
функция
иыеет в точке l'vlo(O -1 ... ,-1) .'юкальныЙ минимум.
При А
U второй дифференциал (14.87) положителен при
(14.:-'··
<
... ,(lз;"n- == О, dJ == 1 ОТРИll,ате.Тlе! [ри dJ
j•
. . . , dX m =
Это означает, что при А < U второй диф­
фере1 llиал (14.82) предстаВ'l
со{юй знакопере\lе1
ю;адра­
тичную форму. llоэтоыу при А <
функция (14.85\ не имеет в
точке Н 0 (О -1 ... ,-1) .'юкальногожстреыуыа.
(l:1;,
О,
ГГА. IИЕН
2)
в
На
1 Нl.!
lЛ<>СЮ>СТll Д:l
},(П I>РЫХ
Н:lЙТll Н:l
11ТН, ,ситеЛЬНII кот' ,рой
MaTi
.'
Иl1е] 'llии
,n.
,2,
>е1' '1ЛЧi ны
.]Т' ,й пл, ,IЮ ,Iти точку
MI>el1T
543
lOИСКАЖСIIК\lУ 'А
р 1:1Л<ЯЫХ
TII
[ек явля-
ется миним lЛЬНЫЫ.
Та" ЮlК
MI>"el1T
llНСсРЦll
точек относительно точки
СИСТi МЫ
M:lTCiP
1:1ЛЬНЫХ
iVi
n
I(x,
L 'гщ[(х -
=
(ik)2
+
(14.88)
k=
то iадача сводится к отысканию точки 1'v10 i!o УО), в которой
функция (14.88) достигает своего ыиниыального значения.
для
(14.88)
отыскаl1Иil
-дI =2
дх
точек
l'ОЗМОf+:
1010
экст]
а
ф'
1ЮiИИ
получаеы следующие уравнения:
n
L
(14.8 i ))
'mk
k=l
lавнений (14.89) iаключаеы, что единственной точ­
кой возможного экстремума функции (14.88) является точка
МО
УО), КООРДИl1аТlf которо;:] раЕНЫ
+
+ ... +
'lnlal _ _
т:а2
'lnnan
:];0 = ----'=----=
----"_ _ _ _
-'-.с:..
ml+
(14.90)
дI
2
L 'т!,
> О. то
(L
!!22
соглас!1О
а22
д2 1
= д if 2
У1 f'('РЖДСiНll
k=
доказанноыу в п.
функция (14.88) иыеет локальный минимум
в ТО'll,е 1'v10 (:];0, УО) с коорди 1юа:!и (1 .90). Легко убедиться, 'lTO
значение I(x, у) в этой точке ЯВ.'!Яется минима.'!ЬНЫЫ. Заметиы в
iаключение, что фОРМУ'!Ы ( 4.90) Оl,еде'!Яют координаты lleHтра тяжести рассматриваемой систеыы материальных точек.
§ 7.
Гра,.'И,иентныЙ метод поиска :i!KCTpeMYMa сильно
выпуклои Функции
в этоы
[а]
ИiлагаСiТСЯ теория пти]юко
lримсяяеыого
на практике градиентного ыетода поиска экстреыуыа сильно вы­
lУlOIOЙ ф' 1ЮiИИ.
этого метода
10 01 НСl<аНllЯ 1'ОЧl< м
зуется тот факт, что
ление, совпадающее с
чрезвычайно проста.
приближенно1Нllмума ф' 1КЦИИ 'т,с'мсснных испо.'!
градиент этой функции имеет направ­
направлением наибо'!ьшего возрастания
fНl,fX
в
Н;l fравл( н в ;'т<>рону наиболы
о убыв а
j[1[2,
ii;'нование iiЖИ-
ни;l
Д lТЬ,
чтр есл
о
отп\а iЛЯЯСЬ
о
= (Х
['О Прfi
н('леfiOГii
,:r: m , l'lbI ПОСТРОИli
ffЯ
точек
'го
прибл
юрекуррентной Фо\м{ ле
достато шо малом ПОЛОЖfiтеЛf,НШ,i
ПОСfеДОfiатеЛЬНОCf'i,
сойдеТСl к точке миним('ма функции
{Xk}
СТРОfОЙ реализации этой
j(;r .
fРОСТОЙ идеи и по;'вящен на;'тоя-
щий параГРШj
Выпуклые множества и выпуклые функции. П{!сть
1
2
,Х2.' .. ,
и Х2 = (Хl, Xi, . ..• Х т ) - две точки тмерно! о евклидова (ространства Е т KOTOPbIi' мы можем рас­
1.
смаТ\fШЮ
(,
как
fie
{торы
с соо! fiеТСТВУЮЩfi
координата­
ми.
Назовем о т рез к о м, соеДИНilii!ЩИМ точки Х1 и Х2, мншке­
СПiO TO!leK пространспа Е т вида Х1
t(X2 - Х1 , где t - любое
чи;'ло из ;'efMeHTa О :::;; t :::;; 1.
+
Будем обозначать отрезок, соеДИНilii iЩИЙ точки Х1 И Х2, сим­
волом ХIХ2.
Оnреде.ле'/-l,uе 1. NIJ-tожество Q то'Чеn nространства Е т
J-tП3'blвается
'bl пуп л 'bl М., i{'ЛИ оно облп.дает следующи.;\л
C6iJ'L'icmfj, '.Н.: nan;J;i'bl бы н'и !!'blЛ!! )ве то'Чn'u "1
• nринаl ле­
.жащи, MJ-tо.Ж' {'m,;iY Q. отрез оп :С1Х2, их С, '!диJ-tяющи'й, т,п,];;i!;"
nринаl лежит это НУ .HJ-tОЖfст;iУ.
ПРИllерш; Вl,Ш{ liЛОГО МffOifiеСПiа
про с [ранС! lie
lюжет
;'лужить т-мерный шар (безразлично, открытый или замкну
полупространспо Х т
)
;?
.
е. МНШiiеспо всех точек
Х ,Х2, ... ,Х т ) пространства Ет, 111-Я координата котор
,lX
удо­
влетворяет условию ХН ;? О).
Примером множества
СЛУЖli Т '
дополнеШiе
Q,
не являющегося
111-мерного
шара
BbIff{!K [ым,
т-l/lерШ,i
может
шар
которого удалена /отя бы одна точка.
ПусТi Q - некоторое МlfOifiеспо TOileli пространCf lia
;Т - любая фиксированная точка этого пространства.
Назовем р а с
т о
н и е м от точки Х до множ, 'ства
f'ОЧ f{!ю
f'oileli
!iiНЮЮ граш, расстоян
этого
от ТОЧli
Х до
а
Q
BceliO {IЮЖНЫХ
l'lНожества.
Будем обозначать ра, ;'тояние от точки Х до множества
;'имволом
и{
Х,
Q
545
i'aK,
iiЮ
Пi,
p(:r: Q)
люi ,iJГO ;"ш()жеСТЕ:I
p(:r:
Q пр' ,стр IHCi iia
эт, ,iO [ростраНСТВ,I СУЩi ,'твует P,I, ,'т' 'iШИi р(.т, Q))
rти, если ТО'lЮl
Однако
ПРИШ:1;lлежит МllШЮ,.:rт13У
множества
что р(х, у) = р(х,
Q
Q,
то р(х,
, ч,I, тю)Q) =
не всегда сущеСТВiiет точка
1f такая,
Q).
Tai! напр i;Iep, если ;шожество Q представляет о т к р ы­
т ы й
111-мерный шар, а х - точка Е т , лежащая вне ЭТОiО
шара, то .1 TaiiOro ;,шожества Q не Сiiществует i'ОЧi!
iакой,
=
что р(х, у)
спраiiеДiiШО
х,
(ибо
Hepaiie iCi [iO
открыто! о шара
Если в, е же у множе,'тва
Р(;У,
х,
Q),
то
tTa
(]
Х,
[ествует точка у такая, что
точка
наiывается
р о е к Ц и е й
т о ч к и
н а м н о ж
т в о Q.
Проекцию точки х на ;шожество Q будем обо iIIa'iaTb с i;ШО­
лом Р(} х).
Подчер (нем, что есл
i'ОЧi!а х принадле iiИТ ;шожеству Q, то
PQ(x) = х.
Итак, iроекция PQ х) точки х на множество
определяеТСil
соо! ношение;i
Полезно о! ;'IeTiiT' 'iTO MO!iieT Сi'ществоватr, неСiiOЛi,iiO проеi!­
iiИЙ точки х на множе,'тво Q.
например, е,'ли Q - т-мерная
сфера с центром в точке х, то любаil точка Q являеТCil проек­
цией точки х на множество Q.
СправеДЛИiiа, однаiiO, слеД.l'ющая лемма.
Лfiмма 1. Е;'лu J\л'Нджест60 (] пр, ';'mран" т,iП Е т ,я6л,яетс,я
6ыnуnл'Ы",i
ra.мnн,!/ты,.М, а х - Л,Ii!!а,я то'Чnа Е т , то сущ'ст6ует и притом един,ст6i'Н,'НЛ,я nроеnv,и,я то'Чnи х н,п .;\л'Н,о)Ji
ст60 Q.
о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем
[,ествование х о т
б ы о д н о й
[} оекции точки ;Т на множество Q.
С)(iозначим р(х, Q) раССТО!ШИ ii от точки х до множества
определению р(];, Q) как точной
iiшей грани ii!f
110
IIай-
yEQ
деТСil по,'ледовательность
Р(;У,
-+
р(х,
>
Q TaKail,
что
Q).
опредслеНИi1 i
любого Е
Уn} точек множества
О все э,
iредела числовой по,'ледовательности для
ieMellTi,'
У!
IIая с
IIeiiOToporO HO!ilepa,
1) Ибо множество р(х:. У) дЛЯ всевозможных У, принадлежащих Q, всегда
).
ограничено снизу (например, числом н' ль
18
Б.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть
I
[них
P(.l, Q)
-Е
()ТСfода ;'Л(fУZ:Т, ЧТii
СПiа Е т [iO всяко:
лv 1'е()р( I1Ы
,f'
iii;'ле
1 слi 'iae
+Е
поп); 1У в си-
ЮЛЫfiiНО В( ikрштраССii
юследовательно;'ти
можно
ватеЛi,НОСТЬ {Yfi n }' где n =
[од iоследовательно;'ти {Yk n
';'TPiiH-
ТiiЧz:К пр'
я iляется
i'Л,
выделить
'iОДЯЩУЮ;'Я
из этой
)
ЮДi юследо
,2, ... Обо iIIa'iiiM 'iерез
предел
;'илу замкнутости множества Q
}'
f'ОЧiiа У принаДfеifiИТ ЭТО:,1У IIНожеству. Ос fается дока iЮ
х, У) = р(х,
liш р(х,
Q) =
["
что
).
n-+скс
неравенств
3aI,1eTiiM, 'iTO
х,у)
:::;;
+ p(Y'YkJ
;'оотношение
Н:Ю1 и из
что
Ip(X,Yk n )
i iОДИМОСТИ
liш (х,
iia р(х,
+ p(Yk n ' У)
ЮДi юследовательно;'ти
Q)
iраведливо
Из ЭТОiО ;'оотноше­
x,y)l:::;; p(y,y;;J.
-
х, У), т. е.
) =
fреУГОЛi,lI
и р(х,у) :::;; p(X,YkJ
к У вытекает,
= р(х,
n-+скс
Тем самым доказателы'ТВО ;'у, i,ествоваН:Ю1 iОТЯ бы одной ,ро
х на
HO:iiecr [iO Q заiiершено.
теперь,
еКЦ:Ю1
'iTO
Сi'ществует
точки х на множе;'тво
.
т о
о
о Д
а
про-
llреДiЮЛОЖИМ, что ;'ущеСТВУfОТ
раз л
е
проеiiЦii
Уl
У? точки Х на MHO:iiecr [iO Q.
Гак как множе;'тво
iIВЛi1еТi я выiiклыы,' то весь отрезок У1У2,
соеди fЯЮЩiiЙ ТОЧКii У1
1/2 щннадлеЖii Т МНО:iiеСПii Q. В 'iaCT-
две
ности, множеств; Q принадлежит середина
Yl;
от} е iiia. Убед iI1СЯ в ТО:,1, 'iTO расстон'Н !е Р( х,
'К'и х до (/'Каза'Н'Но'Й середu,'Н'Ы отр, ,'Ка
стоя'Ния
У2
=
+ У2) от то'Ч,­
строго ,не'Н'b'LШ рас­
х, У1) = р(х, У2)'
Искш, ,чим
Yl ;
Yl
У2 ука (анного
Х.
р(х, У1) =
р(х,
) =
из
ра! ;'мотреН:Ю1
этом ;'лучае Р( х,
тривиальный
Yl
+ У2)
=
;'лучай,
KOiJIa
О, в то BpeMi1 как
о, ибо иначе (т. е. в ;'лучае равенства
обе [О'!
1/1
1/2 совпадали бы с х
не
могли быть различными. ИтаКi в тривиальном ;'лучае Yl + У2 = Х
2
неравенство
р(!,
У'
(14.91 )
очевидно.
Докажем те [ерь неравенство (14.91) в случае, ко! да Yl + У2 о/::
о/:: х.
547
,i,k1 1;С1 ск 1Лщног" Пр()jj ;1;СД(
1) :'Ibl п' ,лу {им О ,отнош\р
спо, ъ;уя св'
П\ОСТ\С1НСТЕ:l
Р
2(
,т,
)/,
2
)/, +)/
)/
x~
,
2
2
Х
/)/1
1
Х:)/l
)/2
\-2= 4[(1/1
н 1iЯ двух
Е п!
х:
)/2 -
Х \
-2-'-2-+-2-)
-Х,1/1 -х)
14.92)
, У2
УбеДИI,IСЯ теперь в справедли юст{! строгого неравенства
)того восполь;уе:,IСЯ
,
что для любых векторов а
Ь
lространства Е/Т!. не коллинеарны', друг ДРУlУ (т. е. таких, что
#
а
лЬ Нl! для одного l;ещественного л), справедлИlЮ строгое
Hepal;eHCi lЮ
КОШl -!
J(a, а) . (Ь, Ь).
I(a, b)1
Это о ;начает. что для дока ;ате.ш,спа нераl;енспа
4.113) на:'
достаточно убедиты'я в том, что векторы У1 -х и У2-Х не колли
. е.
:беДllТЬСЯ
1'ОМ. ,{ТО Нl! для од юго вещеCi l;е iiЮГО л
быть спраl;ед 11ШО равенство
не
У1- Х =
Если бы равенство
ДЛЯ которого
p('i!
#
Iлl
х).
(14.114) было
1, то было
Справедливость рав,нства
бl,' том:'. '!то точки
1/.?
с lравед 1ИВО
бы невозможно
(11.94)
ДЛЯ
)/1 +)/2
2
=
+1
такого л
равенство
lротиворечила
являются ра;личНl,'
Наконец, справедли юсть раl;енспа
чала бы, что
11.94)
(Y2-:r:).
( 4.114) для л = -1 о;на-
~
х, а этот случаи мы :ю'ключили.
Итак, paBi'HcTBO 14.91) Hi' справедливо ни ДЛЯ одно! О веl
ного л, а пото: IY дока;ю е.ш,Ci lЮ неравенства ( 4.113) ;al;epшено.
См., например,
§
1,л.
алгебра», НЗ,i.-ВО "Наука»,
2
13 самом деле, при а
это~г\· Ев"
4 кни'"
1978.
#
В.А. Илт,ина
лЬ веЕТОР (а
- лЬ) не является нулевым. По­
= ia,
Ь)
Ь)
строго положителен и его днс 'риминант 4[(а ь)2 - (а, а) . (Ь, Ь)] строго от­
рицателен.
18*
iii'iTHbIi1
Т} ('хчлен ia -
Э.Г. ПОЗН·,·iка <,Ли iей iая
[них
Соп, 'с [',шляя
ч[f
с
,чтр
Уl
+ 2 v (Уl
-
4 [V(YI-
4
X
Уl -
-
,YI-
(У2 V(Y2-
X)
Тем самым доказаТi ЛbliТВО неравеШiтва
X
(х,
1/2)]2 =
Х,1/1
+
У2 -
14.91)
,Y2-
)
X
)]2
=
завеРШ i но. Но
iTO llepaiieHCf [1O о{на [ает, 'iTO у 'iiНожества Q нашлась точка
, более БЛИiКая х, че,i [iОЧii 1/1 и 1/?, а iTO ПРОТiiВореЧif i
2
'iTO iiЮiiдая ifЗ точек Уl 1/2 является проекциеif [СО'!
х на
множе;iТВО
р(х,
,т. е. ,iВЛ,iеТ;iЯ точной нижнейраНЫi' расстOiiНИЯ
всево{можны\ 1/, принадлежащих
Полученное
том.
что
сущеСТВi!ЮТ
на lVIНоже;iТВО
Q.
iротиворечие показывает, что
Q,
две
ра {личные
[ред юложение о
проекции
и
1/2
точки
Х
являеТС,i О! iиiiочным.
Доказательство леммы
Перейдем
Teiiepb
Оnреде.лен,uе 2.
1
ЮЛНОСТЫi! заверi [ено.
к определен:vш! выпуклой функции.
ФУ'НnЦUiЛ
, за)а'Н'На;; 'На выnуnло.М .н'НО.жестве QnlJOiimра'Нствп Е т , 'Называетсл в'Ы
у n л О 11 в 'Н 'U З
'ил!! просто в
n 1/ n л о 11 'На это. н .·,;.'Нож<ст!f' , <сл!! длл любых двух!nо'Чеn хl 'U Х2
Q 'U длл любо(!о ве!цестве'Н'Ног о 'Ч !с,/!а
t
'из с<г
справ, !)л'ШiO 'Нера (е'Нство
(14.95)
3. ФУ'НnЦ'UЛ f(x), задаюил ;Ia в·ыnуnло.м. .м.'НО
жестве Q пр! 'стра'Нст!ю Е т , 'НаЗ'Ьtfiштсл С т р о г
в
у
;ТI
n
л о
11
'На .!то.м.
, есл'U длл любых двух то'Чеn
х.' .н'Ножества Q 'и длл любо!i'О веществе'Н'Ного 'Ч !с !а
'U iтервала О
<t <1
!iерп
t
'из
U!icmfiO
[j
11.96)
Ясно; что всякая строго Вi!iПi iiлая на
но
являеТС,1 выпуклой на этом множе;iтве.
[ieCf iie Q
функция
f(x)
Легко У'iтановить достаТОЧНОi' У'iЛОВИi' выiiклостии (соотв! т-
110
строгой Вi!iПiiiЛОСТif
выiiкломM множестве
ДВЮiiДi!;
Q функции f
дифференцируемой на
х).
Всюду в дал·ь'Н<11ш,е.м. .м:ы буде.м. nредnолшmm:ь, 'Что .м.'НО.же
ство
и.м.еет хотл бы од'Ну в'Нутр, 'Н,'н,юю то'Чnу.
54')
Ле];,.мд 2"
щт!"
",ад !{на
d!(i' рааа д !4jферен'Ц'uр!!е",щ на в ,!n!;к:ло",' ,нножестве Q, fогi а длл того, 'Чтобы
фУ'Н'? 'z'ИЛ лвлллас!, выnук:лоii
выnук:лоii i 'щ .м.но
,у'егты; Q,
'Чтобы fimopoil д !ффсрен'Цu.аЛ'тоil
фУ'!IК:'Ц'И'И во вi'е:r; то", !({:r;
лвЛЛЛi'Л к:ваз'Иnоло )f{''Ител!,но оnре­
деленнои (строго по ,ож !тен'ЬНО оnределеннO'I'1) к:ва;iратu,'Чно'l'l
Фор,мои,
о
а з а
е
ь с
в О,
П\'сть Х!
Х; любые две
фию'ированные точки множе,'тва (], Рассмотрим на сегменте
о:::;;
1 слеДУ;f l ,
фУНКЦИ;f l одной незав:ю им ой !еременной :
t:::;;
11.97)
Напомним, что второй дифференциал d 2 функции f Х) =
,Х т ) 111 не:ависи: ({,!х переме !ных Х ,Х.?, ... ,Х т В
данной точке Х = (Х! Х.?,... Х т ) равен 1)
f (Х! , Х2, ...
=
d.?
Лх)
т
т
2
L L a:l"k (Х)
=
't=
.
~Xi' ~Xk'
11.98)
,'=1
iiЦ!!Ю
4.117) два ра:а по
дифференцирования сложной фуню!ии, получим
rn
т
р"
LL
i)
'i=l k
1
1
де (Х ,Х2""
Х2
2
t(.T2 - Х1) (~i
д!
--[Х1
д!,
1
a!k
t
по пра!i Н '
- ii) (5: л -
iл )
,
14.91)\
1
2
и (Xj, Х,;, ... ,Х т ) -
,
КОО} динаты точек ;Т! И
COOTBeTCТiieHHO.
Сопоставляя соотношения
(14.9S)
убед !,1СЯ в
(4.119)
!раведливо; ти равеш'тва
F"(t) = d2 ЛТj
де в вы} ажении
Xi -
t(x; - Х
1(0)
!рит ащеН:Ю1 ~x; в
dL
:i1TbI равными
Xi·
дал ,11ейшие расе; i!iдения,
раД1i
определе fIIОСТI1
для случая, когда второй Д1iффереНЦ1iал d 2
ПРО1iеде,;
110 всех ТОЧiiах Q
iIВ.ТIi1ет;'я квазиположительно О1!ределенной квадратичной фор­
"юЙ. В ЭТО;,1 СЛ\"iае для всех t iiЗ сегмента
t
праiiая
(а, стало быть, и леваil) ча;'ть
все!
t
t
и: сегмента
р"
См. п.
2 §5
гл.
4.
(11.100)
неотрицательна, т, е. ДЛil
1
;;?
о.
1(1)
1Ю 1Х
в Cfшу опре 1ел ен fЯ
дока ,;IП"
2
с< ют ЮШ( Н 1fЯ
дЛЯ 1;сех
t
1fЗ
'1<Jc 1ато
1
О
1Н<)
сщ а ;ед 11Ш<J
неравею'тво
(
о,
Для дока ,;lтел ,С 1;а нера1;енС! 1;а ( 4,102) 1fСПО. fЬ,yг
шение (14.
и легю проверяе,J1,1е равенства
ПреДПОЛОЖ1fМ J '1ТО 1;НПРИ сег:
бы одна точка
( 4.103)
t
1eHTa
F(i)
о.
сущеCI ;1ет хотя
F(i) доcerl,1eHTe
t
,начеН1fЯ
некоторой внутренней точке to ЭТОIО J'eIMeHTa, Iричем F(to) > о.
в этой ТО'II1е t(! J])1!НI1ЦIfЯ
1'1eeT Л0I1аЛЬНI,J
, а поF!(to) =
Но IfЗ неравенства (14.
) в лекает, 'ITO производная р' i) не убывает на кем J'eIMeHT<' О :::;; t :::;; 1 а ютому
t,
в которой
с<ютно
) = о.
= о,
4,
да фУНКЦ:Ю1
стигает Cfюего маКС11I.'1аЛ1,НОГО на
t(!
t
1. Отсюда и и, \!СЛОВИ;1 F!(to) = О сле­
дует, что производна;1 р'
неотрицательна BCICeдy на сегменте
t(! t 1, а юэтому функция F(t) не убывает на этом се! менте.
и на сегменте
ЭТО
IРИВОДИТ нас к HepaBeНI'TBY
Р(1) ;;?
F(to) >
О.
Iротиворечащему второму J'оотношенИ1{!
(11.103).
Полученное Iротиворечие дока,ывает, что [ред юложение о
том, что на ,'е! менте о:::;;
1
[ествует ХОТ;1 бы одна точка t,
в которой F(t)
является ОШIfбо I1IЬE'1, т. е. дOt1аъшает спра-
>
:::;;
:::;;
ведливость ВJ';{ДУ на J'eIMeHTe о:::;;
1 неравенства (11.102).
Тем самым первая часть леммы (о вьmуклости
х) IрИ у;'ло­
f
вии, что d 2 f ;Ш.1;1ется ква,иположительно ОIIреде.1енноЙ квадра­
тичной формой) доказана.
,тора;1 часть леммы (о строгой выпуклости
х)
IрИ усло-
вии, что (Р f ;ШЛ;f!'ТJ';! ;'TPOIO юложительно определенной ква
драПI
ной формой) дока ,I,шается аIIаЛОГII
венства
равею'тв
14.101)
14.10:\
С1!ществует хотя
одна ТО'II1а
t,
к выводу, что ри) имеет внутри
i1ального 1'1аi1СИ' 1YI,1a to, ПРIfче1 1
F'(to) =
1'еРI;але
о, из
to < t
J\Iы снова
(14. (3)
О
нера-
;'0 знаком
,и из
;'eIMeHTa О :::;; t :::;; 1
в iЮТОРОЙ
11Ы приде1 1
CiiMeHTa
;;?
О
точку лоНо 1'огда, ПОСiЮЛI,J'"
(11.101) получим, что р'
, а )1'0 о ,начает, что
получаем Iротиворечие ;'0
<
О
>
на юлуин-
;;?
о.
вторым соотно! Iением
которое дока ,I,шает, что i'(t)
I;СЮДУ на интервале
т. е. доказывает ;'ТРОIУЮ вьmуклость f(x) на мншке­
< t < 1,
;'тве
но. Исходя
справедливого на этот раз
и IреДIЮЛОЖИВ, что внутри
551
Л( мма
по. fНОСТЬЮ,'Jf'(l(ан;(
Доказ;(нная лемм;( е( TeCTBeHНil н;ш, ,fИт на мыiльь о рассм()­
fреню! С I<Д{(ющеГ 11 ещ(
iУКЛОМ множестве
Q
;;,'лее {!Зi1' !го
;(СС( Вi,Ш{i1ЛЫХ на iibI-
иша раз;( диффереюсируемых на этом
Оnределенuе
{ва раза дu.ффере'Н'И,Uр!fе,мал 'На в mi;nЛО,М
,м'Нож,ст(l' Q фУ'Нn'И,il!' j (г) 'На (ываетс!! С
Л Ъ 'н О
'ы n у nл
й 'На этом. м.'Нджестве, еслu j'УЩ, j'm(lуют таnи,
ложu,те.н·ь'Н'Ы{ nосто.н'Н'Ны,е k j 'и k.l 'Что второй
две
d2 j этой фу'Н.n'Цuu, mjiilделлеМ:blй С;Jот'Нлше'Нuем. 11.98), во
то'Чnа;т х .·,(.'Нож, ст;ю
Q
i;дов.нетв;Jрл,т Hepa;l' 'Нства,м
14.
эти;, HepaBeНi тва;, через ~x обознач; н в; ктор С координатаобо (начает С1алярш,;
квадрат ЭТОiО вектора.
Из левого неравеш'тва
(11.101)
;'разу же вытекает, что вто­
рой дифференциал сильно выпуклой ф{!нкт~ии
(редстав. f1leT собой
поло f1i!тельно опреде!fенн{!ю во iicex точках 1'lНоже;'тва
функцю;" а ютому (в ;'илу леммы 2) j'uЛt,'Но ;lbl iуnлал
'На ,М'Н! 'ж,ст;lе Q фУ'Нn'И,i;" заведо,мо лв и;етс!! строго вы,nуnлой
'Нл
.!mом. М.'НО.жестве.
Вме;'те
ШИРОi1
и
тем класс ;'ильно выпуклых функций достаточно
iiажен
пт
(! i1лаДНi,iх(адачах,
и
ограНИЧИ1'lСЯ
классом при изложении теориирадиеНТНОiО метода
Начнем
HOCTi!
Н'И1!
юиска ми
ВЫ1lснения вопро;'а о суще;'твовании и о единствен
1'lИНИI
lY1'la.
2. Существование lуНllНIмума у силт,но выпуклой
ф'уНi(ЦИИ
единстпеННОС'iЪ МИНИI'i'i.У ма
строго
лой функции. ПусТf
множе;'тве
НOI!1есп;а
(].
Q
функция
j(x
определена на iiЫПУКЛOI;
Будем говорить, что эта фУНКЦИ1l им; ;'Т В точке ха
о к а
ь
й
н
, если сущее ii{!eT
такая д-окрестность этой точки Ха, что значение j(xa) 1ШЛ1lет;'я
наii1'lеШ,ШИ1! среДi! (на!iений j(x!
i1lli! (1О iicex TO!iKaX
пересече fiiЯ д-окресТНОСТi! хо и 1шожества Q.
ПТ (! Tai10M определеню! понятие ЛОi1алыюго
ilНi!
включает в ;'еi;я и точки краевого минимума функции j
наранице множества Q.
Tai1i!M обра1ОМ, Прi! дан
на1,lИ определен
11ОЖНО подразделить
точки
минимума
на
точки
внутреннего
локаЛЬНОiО
(!м{!ма (для Сf\чая, (1Огда Н'И ТО!iКИ являются внутрен
точками Q) и точки краево! о локального минимума
;'луча1l,
КОiда эти точки 1ШЛ1l ;!ТС1} раничными точками Q).
[Нl [Х
ffЯ fюпр, ,С;1 О с\ щеСТВ()К1 р
и е! fшственн< ,ст fi
,i{;1ifbH, ,ГО\Нl нам пон 1доб iТСЯ слеД\!Юf fi1Я f;СПО
могатеЛЬНi1!! TeopeMi1
Ле,мАfа 3, ПI!гтt,
НЫn?!'КJlД!1! Н'i!i1же! !/!{ie Q ащ)а?fЛ
фере?!'Цuруе.мл,,я выпу? л т,я фУ'Н'? !!U,я j (:r; )lл,я того 'Чтобы эта
Для
Л,
фУ'Н'К'Ц!! l ' !!,нела ло'КаJi'Ь'НЫU
в то'Ч'Ке го ,н'Ножества Q,
'Неоптодu,мо u досrnаrnо'Ч'Но, 'Чтоб!!!
любого век;тора ,зх, дл,я
'Коmоро?ого
~T nрu?:адЛ,)f{'uт .м,'НО !!!'!i'm!!y Q, было
+
сnраведлu,вf! 'Нiраве'Нст!ю 1
(gIad
а к а з а т
л ь с т в а.
'пержде fffЯ, дакаiа шага
;;?
1)
Н е а б
п. 6 § 4 гл.
равна fраизведеН:Шf! fраизваднай
направлению f;e {тара Пх на дл
(gIadJ(xo),~,T)
де е
=
~x:
I~!
I-
( 4.105)
О.
а д и м а
т ь.
,'илv
4, левая часТf (14. 05')
функции j х) в тачке хо ю
I пхl этага f;e {тара:
п!
'
де xo)l~xl
~
единичныи вектар в направлении
(14.106)
л
u-X.
Так как х(! являе! ся тачкай лакал !fюга l'fИНИI!fУI!fа
j(x , та праИiваднаif ~:
неаТРiщательна
(Ta!iHee,
i{Цif
~x:
ю любаму на fравлению
ра ;на нулю в СЛУ!iае! есл
внутреннего. лО!{альнага экс
fpel!fY:!fa,
х(!
-
тачка
и неатрицател !на в случае,
еi'ЛИ хо - тачка KpaeBafa лакальнаfа экстремума).
Итаi{ праi;ая !iaCTb (14. (6) (а патам\
левая !iaCТf
4,1051)
неатрицательна. Неабхадимаi'ТЬ даказана.
2) Д а с т а т а ч н а с т ь.
любаfа вектара ~;T,
катарага тачка хо
~T принадлежит
,справедлива неравен­
ст!ю ( 4.1(5). lакажеl!f, !iTa тачка х(! я ;ляется та!!
лакаеТ!­
нага минимума функции j х),
Так как функция j(x) па уславию я ;ляется i;ыпуклаf на мна,жеi'тве Q, та ДЛif Лfобь!\
тачек хl и Х2 этага мно.жеi'тва и
+
ifсла t ifЗ сеП!fе
t 1 справедл iiЮ неравенства
. llалагая в эта м неравеш'тве хl = Хо, Х2
ХО + ~x, маж­
fepe fисать эта неравенства в виде
любага
(11.9~!
на
!!!О
tП!)
- f!!o'
( 4.107)
Считая хо и ~x фиксираванными, перейдем в неравеш'тве
(14.
к предеш Прif t --+ О
О. Па апределению праи iiЮДнай па направлеНИff! (см.
,6
л. 11) предел fрИ t
О
О
1) 13 неравенстве ( 1.105) берется С!iалярное произведение векторов
gradf(:r:! и ~!, Опре!еление gradf(:r:! см, в п. 6 § 4 гл. 4.
'faCTff (14 (7)
оиз ,(Д( НffЮ, стоящеIiI\i
в праfЮЙ 'f;lC fЯ
410
в
с<ют fOШ<Р
4105) и
(1] 106) этот fредел неотр:vщателен Учитыв;ш, чтi i лева~l Ч;li ть
(14, (7)
;;ШffСИТ от t,
ШШУЧИIi
преlеле при --+
шравеш'тва (14,107), ЧТi1
+
~,г)
f
- j(:r:o)
О
llоследнее неравеш тво, справедливое дшl Ш1iбого вектора ~X,
дЛЯ которого точка Хо
~X ПРfflfадлеЖfП Q, дока; 1!Бает, 'fTO
функция
Х) имеет в точке ХО локальный минимум. 10статоч­
f
ность дока;ана.
Лемма
3
3
ЮЛНОСТЫ{i доказана.
а м е ч а н и е
о (е 'ffДНО, что для
н е й
1. Из fриведеННОf о нами доказателы'тва
Cf1 'faK когда то'н,а ХО Яf,ляется в у
е н­
точкой множе,'тва
,т. е. КОfда речь идет о внутреннем
локальном МИНИМ1 ' ме, в ФОРМ1 1 лировке леммы 3;нак ;? в нера­
венстве (lJ.10~!) можно заменить на знак
а
леммы
=.
е ч а
е 2.
При ДOf,а;ательстве неоБХОДffМОСТff
мы ш ' и1 fюльзовали требоваНИ~l вьmуклости функции
3
f(x . ПоэтOfry ДOf,а;ательство неоБХОДffМОСТff проходит без (ре­
боваНИIl вьmуклости функции f(x). Иными 1 ' ловами, справедли
во следующее у
е
ж Д е
е: 1СЛ!! фУНК:'Ц!! 11
(х дU1ф-
f
фi П!1!'Цируе,м.п 'Н.п выnук:ло,м.
и и,м.еет л,"!IУЛ'Ь !Ый
миниму,м. 60 6 !утрен!!ей (6 ?lJa1!И'Ч'Н,оu) то'Чк:е хо этоi'О .;\л'Н,о)i1
любоi'О 11/к:тора ~x, длл к:, 'тор, '?О то'Чк:а хо
Q. справедлив{! н' равен! '!n!m
= О
(gIad
,~x) ;? О].
[(gIad
llерейдем к ВОПр01 ' У о едиш ' твенности и о суще1 ' твовании точ
локаЛf,1ЮГО
Mff
I'Ia.
Teopf1Ma (о ед 1iИiсmве1iносmu .лоnа.лъного м 'пн 'пмума у
сnрого
фУ1iУ'fu,uu).
фУНК:'Ц!!1 1
х) 1luфферен­
'Цируема
u
CmpOi'O 6ыnук:ла но 6'Ы iУК:ЛО,м..;\л'Н,о)i1 !{'т6е
Q.
то оно
,ножет 'и,!1{ет'Ь лок:аJ,'ЬНЫU ,н'ин'и Н.!!,Н. то.н·ьк:о в 1'cfHOU то'Чк:е это,м.'Н,он{'ества.
ь с т в о.
дока
ffMeeT
ЛОf,аЛЬff
I'IИНИIiIУI1
и ;Т,
ч н ы х
14.95)
f(;r
('о н,ах хl
для точек
можно;а
(Х2) ;десь
а з л
да условие ВЫПУКЛ01 ' ТИ
и Х2 множества
х!
Предположим. что функция
Д "1 Х
t-
14. (8)
(х
любое число и; се; мента О
J\kH l~l В 1 ' ООТНОШ! нии (lJ.108) точки
ffM нераf,еllСТfЮ
t
1
и 12 рол lМИ, мы
Ю
14. (9)
[них
прн
но
[рав;у,
чаСТf,
н;]правлению вектор;] х"
х « ,111твеТСТВI нно вектора хl
вз
(с,ютвет< твен!
в T11'fKe
IfHI111"I'HH"
(){'11 ,
ак как
нн
\fY\Ia,
точки х
Х2)
на
и Х2 являются точками лок;]ль­
то об,' т,,;];анные
fРОffЗЕ,щные
наffр;шлению
неотрицате,'ТЬны, т. е. пределы правых частей 14.НJR) 11 (14.НJ9)
при t -+ О
О оба неОТРlщательны.
Tat"
обра;ом. из [ераЕенстр (14. ()8)
(14. оч) в tределе
+
при
О
t
+О
мы получим
ЛХ2
Соtюставленне
лхl
~ О,
юследних
f
лхl -
[ера! енстр
tриводtf'l
.
нию о ТОМ. что f хl) = ЛХ2
Использ"
раве! [С; во j (" ) =
строгой выпуклости 14.96), что
+t(:C2 -
(12)
)]
х ,) ~ О.
нас
'!им
"tы
<f
(14.
< <
tля в с е х t из интервала О
t
1.
Неравенство 14.110) противоречит тому что функт~ия
f
х
TO'fKe
(в точt·:е :Сl + t(:C2 - :Сl
малом t к точке Хl, функт~ия f (х имеет
и\tеет
мини''"
в
как уго. [но близкой при
;начение. меньшее;начения (;Тl)),
Полученное противоречие доказывает, что наше пре шоложе-
ние о том. что функция
и\}еет Лоt"аЛf,ныi.j
f(1)
различных точках множества
Q,
ннн
дв\
является ошибочным.
доt·:а;ана.
Существование локального
l\ШНИМУl\Ia докажем при i'юлее
..
Теорема (о сущесmвова1iUU .лO'tш.лЪ1iого мииимума у
си. ",ных
о!'Т)а l
;fчеЮf'''Х,
че,,1
еДИНСТЕеННОС II
сu.лъ1iо выnуn.лоU фУ1inЦUU). Еслu фУН'К'ЦUЯ лх) сuльно 6ы­
nу'Кла на заJvt'Кн jmO.Jvt 6 ыlntj'КЛО.Jvt .Jvшожест6е Q, то
этой
фУН'К'ЦUU
на .) f.НО:Ж:I:С!i!61'
Q
mО"i'К1i хо ло'КаЛЬНО20
MUHUMY·Jvta
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала отметим. что ТI орема заве­
до\ю
сttравеДЛИffа
жество
для
Q являетск
ча)}
t<шда
fътttyt·:лое
;а,,1
[утое
кроме того, о г р а н и ч е н н ы м.
мно­
огда по
второй теореме Вейерштрасса (см. теорему
будучи во всяt<о
,}
случае непреРЫВfЮЙ [а
14. 7) функт~ия j( х),
MHO)ffeCTBe Q. ДОСТИl'а­
ет в некоторой точке хо этого множества своего МИНИl\IaЛЬНОГО
на Q;на'fения. у ·:а;анна)} точt·:а 1'о и )шл)}ется ТО'fКОЙ лоt·:аль­
ного l\ШНИМУl\Ia.
1) Так как сильно выпуклая на выпуклом множестве Q функция f(x)
jШ.,!ЯI· С"
точю,
рого ВЫfiУ1i.,Ю'"1 "а э
будет
д
"ред
,р,
555
JCTaeI С>I
д' ,Кёга'I
Q
то''
I,
теор,'с
н е
kЛl'да Ю"
в л я е т
кл' ,е
о г р а
ч
;амкну-
н н ы
некоторую внутреннюю точку Х1 мн, ,жества
t<Цf1Ю (:1:) п,i ,f,'iPMi ле ТеЙ'I' ,ра цеI
J
в »ш
гл
тато'шыij
alтанжа
УказаНН'i"
14)
1)
иметь ви
лх) = Л Х 1
где е
-
14.111
число из интервала О
< е < 1, так что точка Х1
принадлежит отрезку, соединяю нему точки Х1 и Х
Если оГюзначить д.х вектор х
веДЛf1ВО
Q и раз­
-Х1)
2).
Х1. то tля dJ(X1
{'удет спра­
равенство:
11
), д.(
= (grad
Из cfТOl'O рю,еНСТI а ВIЛ екает, что
.1 2
вы
Далее, используя левое неравенство в опрес
клости (14. 1)4),
ы tриде t '
нерю,енстр>
[, лении
сильной
14.113 )
И; СООТНО нений
ЛХ)
Л Х 1) ~
.1 1)-(14.
IdJ Х1 +
заt<лючае\t.
d 2 ЛХ 1
+ е(х -
~
Ч'I О
Х1)] ~
J( x 1)1 ·Iд.хl
k1
+ 2 1 д. х l
так что
14.114
J
у штывая, что точt<а
t<сировartа
веЛf1чt1ftа I grad
прес tставляет собой некоторое фиксированное числос мы заведо­
tю tЮ/ltем
чтобы при Iд.х
юложитеЛI,ное 'шсло
> R выражение в ква
R
наСТОЛltКО БОЛЫТТf1
[ратных скобках в
,
14.114;
было положительным.
1) ?\Iы с,читывае"" чJ
сильно ''"сс""клаtJ н" множесп",с
ша разаtJIффереНЕируема на этом мно:жествес
:"
2) Какова бы ни была точка х множества Q, отрезок, сое, tJIняющий точки
и Ti:, "рииадле,t,ит
ву Q в
,'"ссшукл"сти
вас В
сноске к теореме Теikлора
тра ра,с,южеН,t с"
т.
14.15
,с,южно БР"JЬ
:с,южно БР:tс JЬ все
отмечалось с что в качестве окрестности "ен­
,ве,диую "крести ,сп,с этого цеНJр,tс.
[них
~?TO iiзна'Iaf~'I
J(:C)
>
),
Ч'If\
с [рав!
т, е, в( ЮД!
BHi'
T~' нтр()м В Т()ЧI<;Г хl ЗН!iЧi'НИЯ
тттар!,
ryT()rii
J(x)
преВОСXii
центре yt,:азаННii,о IШlра)
01 ,! iзначим QR пере(ечение множе( ва Q с указ!шным ша­
рО!' СП' TiK K!iK iiба
iiiже(Iта Q
СП iШЛifЮТ(Я ВI,ШУКЛI,i!Ш
И замкнутымк то и их пересечение Qп также является выпук­
ЛЫ!'
:а\fКН!ТЫМ. Так как f<pO\fe Т01'О, !ШОiIiеСТIЮ Qп iШЛifется
ограниченным, то по юказанному выше функт~ия
MHo;rieCTBe
Поскольк!
fC'IBeI шую ТОЧf<У
ДОf<а:али, 'ITO во
ед jf
!fЫ
J(x)
имеет на
!fY\Ia.
лока,ff,НOl'О
всех
TO'IKax Q,
J
лежащнх за
пре, fелами Q
значения J( х) превосходят
хl), ТО эти значе­
ния тем более превосходят ji'!{i), т. е. ТОЧi<а
является точкой
локального МИНИМУ"Ia (х) и на всем множестве Q. Теорема пол­
J
ность(
t
ДОi<а:ана.
3, Поиск минимума сильно выпуклой функции. Мы
доказали. что сильно выпуклая ФУНКi)ИЯ
х . за, iанная на за­
МКН!ТО!1
выпyt<ЛО!1
J
!fHO;riecTEe (!,
И\fеет
на
!ТО!1
!fножестве
е iинственную точку ха локального минимума.
06ратимся к построению и обоснованию алгоритма, с помо­
которо;о отыс
<iшаеТCif
Фикснруе!1 прои:вольн!
I <а :СО.
TO'IK! i'l MHo;rieCTBa
эта ТО'
и
вольное число СУ, удовлетворяющее неравенствам
(14. 15)
1'де h:2 - ПОСТOiшнаif
(еравенства
сильную выпуклость ФУНКТ~ИИ (х ) .
J
(14. 04),
опредеШfi tще,о
Отправляясь от хl как от первого приближения, составим
итерационную последовательность
{:CI,,}
с помощью
pei<yppeHT-
ного соотношения
(14.116)
в настоящем пункте мы
юкажем СЛi' iующее УТВi'рЖ ii'ние.
Основная теорема. ПУС!i!Ь фу'!!'Х:'Цuя
J( х)
является сuлы-tо
въmу-клой на за.Nl-кнутом въmу-клом множестве
u пусть
nроuзвольная тО'i-ка ,(f'!-tожеС!i!ва
Тогда uтершцuонная после­
Q.
довательность
ЮМ'
}, Оnf!еделяемая !!е-кm !!eHmHъt.Nl соотноше­
{14.116 )nри любо,(!
HipiiBeHC пва,(!
(14.115),
с:содuтся
ЛХ).
i iодчеркнем,
что эта теорема дает алгоритм отыскания ЛЮ('0-
f( х)~Н~в~~:~:~~с='~7I~~~~е:~~~~к~~~а.~:н~~~и~:~~~,~jома (2~j'~~iзИа~
тельно ограниченном) замкнутом выпуклом множестве
Q.
557
Дii
ii1iaTeo fЬCTB\
осн,
if'Hii'* Ti'iipe\i
преДПi iтттле\i чеf ыре ле\f~
Ыо
Лемма
.
че'J(;
Еел'/},
Q
пое
М'J-lо:жеетпо
,
Т!о!юuаНОЛ'h
iHOJ/,'h'J-lая то io'J(,a
Qо
тo~
а
то
14.1171
д о к а з а
е л ь с т
о. ПреДfЮiЮifoi
,'fTO нерariеНСТfЮ
огда существует точка у множества Q
14.11 7) несправедливо.
Taiia [, 'fTO
14.118 )
Иi
сра 'у же
.1
fiblTeKaeT, ifTO
+ t(y
лежит множеству
точкой
Q.
(:С)
не соп адает с
люГ!ая точка Z =
Вычислим расстояние меж [у любой такой
-
= Р (Х, PQ(X)
Х
-
- PCJ(i) PQ(X) у PQ(X)
t-
Так как Х и у фиксированы, а
t
Q
и точкой :С
2
О
ТОЧiiа
PQ Х +
PQ(X) отрезка i сое iиняющего точки PQ(X) и у, прина
В силу выпуклости множества
1,
то в силу неравенства
- PCJ(:C))) =
+ {о (у, PQ Х ).
14.119;
ЛЮ(iое число из сегмента
(14.118)
можно в iЯТЬ
t
удовле­
творяющим неравенству
<t <
2(х - PQ(X), у - PQ( \))
р2(и,
П} и таком выборе
-2t(:c -
PQ(oi))
t
РО
и мы получим из
О,
14.119;, что
Z,
нее неравенство противоречит
Х
<
р2(х, PQ(x) . Послед
что точка
проеiiцией ТОЧiiИ :С на множество
о
точка Zi Уоiоаленная от Х меньше i чем
PQ(X) является
множества
Q
нашлась
PQ(X) от х. Полученное
iротиворе'ше зariертттает доказатеш,сТfЮ ле\'
Лемма 5. Пуст!, Лх) 'РuффереU'ЦUРУiiМii u въmу'Х:ла j-Щ
3 io\f'X:1-tуmОМ въmу'Х:лом М1-tо:жестве Q. Еслu nри не'Х:отором
nоложuтеЛЬ1-tом СУ nрое'Х:'Цuя
- СУ • grad
i{i)) то'Ч'Х:u
- СУ • grad (iU
на .Nt1-tожество Q совпадает с то'Ч'Х:оu iU это­
J
го МНОНе о ес пвп, то фу1-t'Х:'Цuя
J(x)
нмеет в тО'Ч'Х:ii Хо ЛО'Х:ii.Jl, ,uыlп
MU1-tUМУ·Nl.
Д о К а з а т е л ь с т в о.
неравенство
Используя лемму
14.117) для точек Х = Хо
ЛХО
4,
запишем
и у = Хо
+
[Нl [Х
+ ~:!,
l'де
fринадлежит
(хо
fi)бой в! кт' ,Т!, fЛЯ кот'
peiY, н,та'у п, i.Лучн
Q,
лхо)
а
,iiiil'ii
то [ка у
:1:о
лхо))
хо
У чит",твая , ттто
PQ(TO
-и
хо ПОilУТПЛ\Т П'~ ПUСТТСд­
glad.f(xo))
него неравенства с [ед\ fi)щее соотношенпе:
О.
(grad
Это соотношение, справедлпвое для любого вектора ~x, для ко­
торшо ТОЧi<а
~1 iринадлежит
,в сил)
ыстанав­
+
ливает, что Функт~пя
.f(x)
пмеет в точке хо локальный минимум,
Лемма 5 ДОi<аiана.
редположим, что ФУНКiЩЯ
на
шраНИ'fеННОi'
.f
заiii<НУТОi'
чим тn l\шнпмальное значение
CTPOl'O болыпее тn, Tai< 'fTO
х
является спльно выпуклой
клоi' iшожестве Q. Обо ifia-
на множестве
.f
тn =
чпсло,
хЕС;
Л:с)
i<ai<
а fL -
mil1 j( х ) .
Фикснруе i , 'шсло V, С'! ршо бол
множество тех точек х множества Q,
MHO!fiecTBo
Q,
под~
(14. 20)
V.
ЮДi' южество оtрани fенншо мно
само является огранпченным,
Q
JL, И обозна Шi'
iЛЯ которых
fiecTBa Q
~
Убедимся в том, что множество Q является
а м к н
т ы М, Пусть х'"
произвольная схо, iЯщаяся ПОСЛi' юватель~
-
НОС'! [, TO'feK iшожества
(!.
Требуетс>! ДОi<аiать, что [реде2,
этой последовательности также принадлежит м!:ожеству
как i<аждая точка :С'" прпнадлежпт множеству
го номера k
Строго выпуклая ФУНКi шя
на
Q,
а попом\
.f
х
Q,
Q,
1)
Так
то для i<аждо~
во всяком случае непрерывна
сходимости последоватеш,ности
{:Ck}
к
в
силу определенпя непрерывностп функт~ии вытекает схо, i.ИМОСТЬ
последовательностп {}
} к чпсл\
. Tai< как все элемен­
ты сходя пейся числовой последовательности .f(Xk} удовлетво~
Pi! HfТ неравенствю!
4.121) то
iредел I (1fi) этоi\ ЮС>fеДОЕа~
тельности у' ювлетворяет неравенствам fL ~ Лхо) ~
гл. 3,
Кii,i( иСХОДНОii множест ю
BCiJKOM
с."
,Чii'
iiрииадлеiiiИТ
Q
iiВ,]Яii С"
iai,iiiHYT ",',"
преДi'Л
55;)
3.
ирин 1Д.Jlежит
а
)то
Q.
мн, '.жеству
и
;fзна ше!
;'ЛЬ(
во
чтf\
то (ка
замкнутости
:Tu
мн,,-
fсшерн ;'но.
вс;
Ит;,]
рЫХ
Т;fче«
едл lf'Ы нераве!
си]
из
тва
юже(fта
Q,
дЛЯ кот'
являеf С( заМКНУТf,;'
4.120)
UiраничrННЫIli.
Докажем теиерь следующую лемму.
Лемма
ПУС!i!' фУ1-t'Х:'Ция f(x) сиЛЬ1-tо въmу'Х:ла 'На въmу'Х:-
6.
ЛО.J'vt за.J'vt'Х:1-tутО.J'vt .J'vt1-tожестве
- любая то'Ч'Х:а
а - любое
'(!О.нкнси iU'ЛЬ1-tо;' 'Число. символ ,6.х обозuачш';(; раз юсть
,6.х =
х -
PQ
.
f
gra;
х ) - х.
Тогда сn! аведливо 1-tеfюве1-tство:
{gra;
f
х ,,6.х) ~ -
,6.х 1.
14.123 )
Q
Q
Если же. 'X:po.J'vte того ..J'vt1-tОЖ!lство
Q
I!O.!.;.f.1-tО !fП'ству
сnfюведливыl неравенства
огра1-tи'Че1-tо и то'Ч'Х:а
Q.
'!ля 'x:omopыx
llliH
,то най­
точе'Х:
1.120)
nf!U JL
хЕ(
дется строго nоложитеЛЬ1-tое 'Число
r
!
та'Х:ое. 'Что справедливо
1-tераВ;i1-tсmво
(! 4.124;
Д о к а з а т е л ь с т в о.
CTf!O (14. 2;».
Докажем сначала неравен-
Фикснруем ИРОИfВОЛЬНi
ТОЧ':у
и. иривлекая лемму
4,
заиишем неравенство
B\feCTO
а
. grad f(:c),
TO'fKi
-
а
B\feCTO
(шо fieCTEa
14.11 Т, взяв в нем
TO'fKi . При ЭТО('
иолучим неравенство
'С;
-
-a·grad
),
-a·grad
(:c-а·gгаdJ(:с)
которое с учетом обозначения ,6.х =
(ере (штттеТСf
юследне,о
(ения вытекает.
f
х
- ,6.х.
(еравенс; ва
из С!
. gra;
, ,6./)
а это ищиводит К неравенству
JCTaef С! до«аfать, что
том, что Q ограничено и
существует
r
. gra;
f
х
) -
х
,6.х) ~ О.
Oi;CTB
с«ал тно;о
что
a(grad
о
х -
в виде
а
Из
PQ
)
+
1
(14.12;».
ирн ДОИОЛНfпеff,НОМ иредиоложенн
что х ирина. (лежит иодмножеству
о такое. что сираведливо неравенство
Q,
(14.1:'4).
(Нl (Х
:1:
graz Лх)) TO\f,
мн·
')KCCTBZ' Q
xl
(14.
эта
на
Функт~исй точки Х
сначала, что веl'~ТОРllая
функцией точt<
не!
в ща
PQ(X)
. Для
являстся
э', шо ДОС ато'шо доt<а<ать
неравенство
(14.1:>6)
сираве tливое для любых векторов Х и д.х.
В СНЛУ ле .z(tы
сираЕедл f!'Ы
4
HepaBeftCTBa
+ д.i)
- PC;(i), РС;
(Х
+ д.х -
PQ Х
Исиольз\
+ д.х
нераве!
,PQ Х
tCfBa
PQ Х
-
О.
- PC;(i)
+ д.х
нераве [ство
) ~ О.
КОffш-БУf
\tKO-
вского. иолучим т~еиочку соотношений
IPQ(X
+ д.х)
PQ Х Г
+ д.! ) PQ(X + д.х
+ д.i)
РС;
=
(Х
~
+ (д.i,
+
+ д.!
PQ Х
ТО'fКИ
что ФункщIЯ СУ'
.
=
- PQ(X)
Х
из которой и вытекает неравенство
Итак. доt<а<ано,
д.х)
)
+ д.х - PQ(X) ~
д.х) - Х, PQ(X + д.х
PQ(X)
- д.! РС; + д.! ) )+
- PC;(i)) (д.!,
+ д.!) - PC;(i))
Iд.il . 1 'с;(:с + д.!
- PQ(X) PQ
(PQ Х
РС;
х,
-
'fTO
1,
(14.1:>6).
(г) \Ш.шtется
tеирерывной ве:тор юй
Из снльноi\ вы
клости (.г) на
вытекает,
f(x) также является неирерывной на Q век-
функцией точt<
. Но ТOl'да
теоремы о неиреРЫВfЮсти сложной ФУНКt щи и неирерывности разности неирерывных
ФУНКt щй вытекает, что и Функт~ия
Лх)
является неирерывной на множестве
точки х.
-
Q
Х
векторной функт~ией
561
]\I()дул
ЦИЯ
У <азаННi;ij
пот()\;\
Bet< tt;рной
[<ЦН
,т, е, ска, fЯрная ф\ нк-
более ,ш.шtt тtя Нi"
(14, 25),
eto
[а
ШЩ\'t
Итак, ФУНКЩIЯ
южестве
(141:>5)
непрерывна и неОТРlпательна всюду
Q
на з;]мкнут()м t;гр;;ниченном мн()жестве
В таком
ВТОРОЙ 'lсореые I3сйсршт~аСUllсореыу
ДОСТИl'ает
на
cBoel'O
южестле
ного значения
f.
казанное
П5JЛожительно, нбо еслн бы
Q нашлась
,;лось нул
l' paBf
бы точка Ха такая, что PQ Ха
О, а )то о;начало бы в снлу леммы
\ШОifiеСТЕа
ЭТсl
МИНИl\Iaльное значение
CTPOl'O
,го
14.7)
неотрицател ,fЮl'О
жестве
-
Q,
[а
\;аш,~
l'
то на \шо~
f (Ха )-
СУ'
)ТОЙ
5, 'fTO
заве, юмо
TO'fKe
,го
\;еет единственныij на \шожестве
локальный l\ШНИМУМ (~ то время как этот минимум по опре, [e~
Q
лению
лежит вне
Q).
О, инеравенство
l'
14.124;
доt<а;ано.
Лемма
6
ЛеМ,;ИJZ
полностью доказана.
7.
Пусть фун'Х:'Ция
СТ) сильно выtj'х:лаa на въtny'X:~
- любая то'Ч'Х:а
,СУ - любое
HtpfiBeHCniBa"f (14.115) д.х - разност'ь
ЛО.J'vt за.J'vt'Х:нутом множестве
'Число,
вида
{14.12:».
Тогда при nе/;е;тоде из то'Ч'Х:и ;с в то'Ч'Х:у
f
= PQ(x - а .
х)
,Нfi'Чение Фун'Х:'Цшt ЛХ)
Ht'
BO,pficmfiem,
nри'Чем 1)
ЛХ* ? (~
Лх)
(14.1271
Если же, 'x:f оме того, .J'vt1-tожество
Q
'nРИНfiдЛtf:ж:ит
сn/юведливо неравенство
венство
14.1271
ог/юни'Чено и то'Ч'Х:а
ni()'Че'Х:
Q,
Шll1
хЕ< !
'X:()mOPblX
,
то
Hepa~
nеретодш!! в неравенс пво
f(i) -
(! 4.12>
>
где
l'
О - постоянная из лем.J'vtыl 6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно для любой точки х
\ШО!fiеСТЕа
устаноппь неравенство (14. 2~), нбо и; fTOl'O [ера­
венства и из неравенства
14.128;
сразу вытекает инеравенство
(14.1:14)
{для точек х, прина,tлежащих
Q,
при условиНi что
Q
OtраНИ'fено).
Сначала докажем неравенство
ка
Яf ляетс;;
в н
в ви, [у что точка
1)
Из
(14.115)
т
=
(14.1:17)
е н н е
PQ (х - СУ • grat
вытекает, что (~
(V
_ k2
2
для случак когда точ~
точt<оij
)
> О.
f
южества
Q.
И\;ея
х ) принадлежит l\fНO~
[Нl [Х
;т;т'ств\
на Ю>ТОРf\'
Q,
ф\ нкция
зн;; "'НИ f ')
ф<>Р\fе Л
где ~x = х*
х =
Используя
.
;,paHif;;;
'шм
(х
(14, 29)
< 1.
ЛХ) - х, U <
(14.1:13) и правое
И: фор\тfЫ Тей, юра (14.
а·
PQ(x
юлучн
_~I~j
2+ k 2
•
2
(V
что для случая вн\ тре шеi\
выразим
Прн
неравенство
)_
Tat;
кл
[ентро;'
ЛХ) + (graf ЛХ) ~x) + ~
=
4.104)
си, н,но вы
ле ТСЙЛffра с
тато'шыi\
ЛХ*
/(:1:)
неравенство
~jI2,
ТО'fКИ :С нерю енст! о
.127)
юказано.
Пусть теперь :С является г р а н и ч н о й точкой мншке­
ства Q. ПО определению граничной точки найдется ПОСЛf' ювательность {:С n } внутре! НХ TO'fet; ;шо [;ес! ра
, сходяща;fС>f к
Для каждой точки х n по формуле ейлора с центром в этой
TO'fKe
;fЫ
'fИМ
Лх;
,х
(х* - х n )],
*
(14. 30)
<
<
где О
еп
1.
Учитывак что правое неравенство
14.104) справедшво для
в люГюй точке множества Q и что
/ (х) является непреBeKTopHoi\
точt;
на ;fНO!f;eCTEe,
юлу~
чим, что В пре, fеле при n ---+ 00 из соотношения 14.130) BЫTeKa~
ет Сffрar;едливость нераве fCfBa
.127) ДШf рани'шоi\ точt;
множества
;fa
Q.
доt;а:ана.
Переi\де;'
Teffepf,
fепосредственно к доказю е,
II,CfBY
ос юв юй
теоремы.
'на'fала докю+;ем
ОСНОfШ\
теорем\
fрИ
ДОfЮЛf
пре, лоложении о том, что замкнутое выпуклое множество
является таt;же
о г
Q
а н и ч е н н ы
Возьмем произвольную точку хl множества
Q
и составим
итераЦИОfШУЮ пос.:-теДОЕатеЛf,НОСТ1 {г n } точею Оffределяе\fЫХ
рекуррентным соотношением (14.116), при условию что число
довлетвщ ;feT неравенства;'
.1 ;;).
леммы 7 а точнее из неравенства
Tet;aef
(14.1:17),
сразу же BЫ~
что
1
а:
k
2
аким образом, последовательность
О.
/(XIJ
является невозра~
стающеЙ.i ак как, кроме того, эта после. ювательность ограниче~
нкции л:г) н;]
т!
то
Обозначим Прi'
1
ii'BaTi льн' ,сти
i'pe\iY 315
через
на
[ачеЮiе
ii'же~
из
ОЛ,
fL }lcH() ,
ii'жеi тве
Q
в(т члены нев()зраi таюпей (ходя;[ i'ЙiЯ
льн()стн не i1i'НЫ[ii'
теореме
гл.
:1.10,
:1),
то
д
я
(i
предела
в с е х
;]нне
номеров
k
справедливо
ю'равенство
Докажем, что для предела fL справедливо рав! нство
Q1(! ) .
fL =
тn =
= llli
Предположш.;, что
положим, что fL
тn.
ал[,ное
равенство несправед шво. т. е. предогда. если обозначить через
макси~
iTO
[аченне
тех точек
Q,
на
в снлу[еммы
7
[айдется стршо
;ОДМНО>[iество
;олш[;
такая. что справедливо неравенство
к следующем;
(14.1:;0),
то
[,ная ПОСТШiНнаii
(14.128)
r
которое приводит
[еравенству:
-1
Q
fiiБОl'О
Суммируя неравенства
(n -1)
1,:'
k2
2
---
с [рar;едливом; для
равных
а
MHo>[ieCTBe Q.
[ля которых справе. [ливы неравенства
k.
14.
записанные
[ля номеров
k
мы по. I;ЧИМ. что для любого но\;ера
или, что то же самое,
лх n ~ J(Xl) - (п - 1