Análisis de Sistemas Tema 2: Sistemas LTI Prof. Cristian Castro Lagos Escuela de Ingeniería Eléctrica – PUCV Curso obligatorio de Pregrado Contenido 1. Definición de sistemas LTI 2. Convolución 3. Sistemas descritos por EDO 4. Transformada de Laplace Definición de sistemas LTI Definición de sistemas LTI Antecedentes preliminares La definición de sistemas LTI (Lineales Invariantes en el Tiempo), viene dada por dos conceptos fundamentales: Cumplen con la propiedad de superposición lo que los hace lineales. Son invariantes en el tiempo. Es posible representar la salida de un sistema en función de la superposición de señales de entradas básicas (Tipos de entradas son descritos en el Tema 3). Lec. Definición de sistemas LTI Respuesta al impulso Suponga que una señal π₯ π‘ se puede aproximar como: π₯ π‘ = π₯ π πΏ π‘−π La señal π₯ π‘ puede ser representada como la sumas de impulsos. Un sistema Lineal se describe en términos de su respuesta al impulso. La respuesta al impulso se define como la respuesta del sistema (con condiciones iniciales cero) a un impulso aplicado al sistema. Lec. Definición de sistemas LTI Respuesta al impulso Como se mencionó gráficamente, es posible expresar cualquier señal en el tiempo como la sumatoria lineal de señales simple como πΏ π‘ . Es por esto que en el tiempo continuo, una señal puede ser representada como al integral de los impulsos dada por: ∞ π₯ π‘ = π₯ π πΏ π‘ − π ππ −∞ Suponga que se tiene un sistema lineal π£. Se define la respuesta de este sistema al impulso trasladado para un instante π de la siguiente forma: π£ πΏ π‘ =β π‘ →π£ πΏ π‘−π =β π‘−π Definición de sistemas LTI Respuesta al impulso Se puede encontrar que la respuesta al impulso para t=0 denotada por h(t). Suponga una excitación arbitraria: ∞ π₯ π‘ = π₯ π πΏ π‘ − π ππ −∞ La respuesta al impulso de un sistema LTI: β π‘ =π£ πΏ π‘ Como el sistema es lineal, la respuesta y(t) es ∞ π¦ π‘ =π£ π₯ π‘ = ∞ π₯ π πΏ π‘ − π ππ = −∞ π₯ π π£ πΏ π‘ − π ππ −∞ Lec. Definición de sistemas LTI Respuesta al impulso Si un sistema es invariante en el tiempo, la forma de la respuesta al impulso siempre es la misma para cualquier desplazamiento π en donde se inicie la excitación. Para asegurar la linealidad del sistema, es necesario que en el instante inmediatamente anterior al inicio de la excitación, el sistema se encuentre en reposo. Esto quiere decir que si la entrada del sistema es cero, entonces la salida es cero para π‘ ≤ π. De esta forma podemos asegurar que las condiciones iniciales son nulas lo cual nos asegura la linealidad del sistema. Además de la condición de reposo inicial, también se puede asumir la causalidad del sistema. Para determinar la salida de un sistema LTI a una entrada determinada es necesario realizar una suma o integral de convolución entre la respuesta al impulso del sistema y la mencionada entrada. Definición de sistemas LTI Respuesta al impulso Asegurando que el sistema no varia en el tiempo β π‘−π =π£ πΏ π‘−π la respuesta del sistema esta completamente caracterizada por la respuesta al impulso. ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ Esta integral se conoce como integral de convolución. La salida de cualquier sistema LTI es la convolución de la entrada x(t) con la respuesta al impulso h(t). β π‘ πΏ π‘ Sistema LTI π₯ π‘ π¦ π‘ =π₯ π‘ ∗β π‘ Lec. Convolución Convolución Convolución de señales de tiempo continuo Dada dos señales de tiempo continuo x(t) y h(t), la convolución de ellas esta definida como: ∞ π₯ π‘ ∗π£ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ Si π₯ π‘ y β π‘ son cero para π‘ < 0, entonces π₯ π = 0 para todo π < 0 y β π‘ − π = 0 para todo π‘ − π < 0. Para este caso se puede definir la convolución como: 0 π‘<0 π‘ π₯ π‘ ∗β π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ 0 π‘≥0 funciones x(t) y h(t) deben ser absolutamente integrables Lec. Convolución Calculo de la convolución Para calcular π₯ π‘ ∗ β π‘ es de ayuda graficar las funciones del integrando de la integral de convolución. Paso 1: Grafique π₯ π y β −π como funciones de π. Paso 2: Sea [0,a] el conjunto de todo t tal que 0≤π‘≤π donde a es un número positivo. Para t igual a un punto arbitrario en el intervalo, grafique β π‘ − π y el producto π₯ π β π‘ − π como funciones de π. Observar que: a) β π‘ − π es igual a π£ −π desplazada a derecha en t unidades de tiempo. b) el valor de a en el intervalo [0,a] es el mayor valor de a para el cual el producto π₯ π β π‘ − π tiene la misma forma analítica para todos los valores de tο[0,a]. Lec. Convolución Calculo de la convolución Observar que: a) β π‘ − π es igual a β −π desplazada a derecha en t unidades de tiempo. b) el valor de a en el intervalo [0,a] es el mayor valor de a para el cual el producto π₯ π β π‘ − π tiene la misma forma analítica para todos los valores de tο[0,a]. Paso 3: Integre el producto π₯ π β π‘ − π como función de π, con límites π = 0 hasta π = π‘. Paso 4: Para t igual a un punto arbitrario en el intervalo [a,b], grafique β π‘ − π y el producto π₯ π β π‘ − π como funciones de π....etc. Lec. Convolución Ejemplo Sean π₯ π‘ = β π‘ = 3 π‘ 2 0 0<π‘<2 1 0 0<π‘<3 ππ πππ π‘π ππ πππ π‘π Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 1: Grafique π₯ π y β −π como funciones de π. Assignment Lec. Convolución Ejemplo Comprobemos para π‘ < 0, en π‘ = −2 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ ∞ = 0ππ = 0 −∞ Para π‘ < 0 la respuesta del sistema será nula Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 2: Para 0 < π‘ < 2, en π‘ = 1 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ 1 = 0 3 3 2 3 πππ = π = 2 4 4 Notar que la salida del sistema presenta una respuesta distinta de cero para π‘ = 1 Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 3: Por lo tanto, para 0<π‘<2 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ π‘ = 0 3 3 2 πππ = π‘ 2 4 Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 3: Para 2 < π‘ < 3 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ 2 = 0 3 3 2 πππ = π = 3 2 4 Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 4: Para π‘ > 3 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ Solo queda definir que ocurre con la salida del sistema para el tramo inicial Assignment Lec. Convolución Ejemplo Paso 4: Para π‘ > 3 ∞ π¦ π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ −∞ π¦ π‘ =0 Assignment Lec. Convolución Ejemplo 2 Sean las señales: π‘+4 −4≤π‘ <0 π₯ π‘ = −π‘ + 4 0≤π‘≤4 0 ππ‘ππ π‘ 1 β π‘ = 0 −1 ≤ π‘ ≤ 1 ππ‘ππ π‘ Assignment Lec. Convolución Ejemplo 2 - Resultado π‘+1 π¦ π‘ = π + 4 ππ − 5 ≤ π‘ < −3 π + 4 ππ − 3 ≤ π‘ < −1 −4 π‘+1 π¦ π‘ = π‘−1 0 π¦ π‘ = π‘+1 π + 4 ππ + π‘−1 −π + 4 ππ −1≤π‘ <1 0 π‘+1 π¦ π‘ = −π + 4 ππ 1≤π‘<3 π‘−1 4 π¦ π‘ = −π + 4 ππ 3≤π‘<5 π‘−1 Assignment Lec. Convolución Propiedades de la Convolución ASOCIATIVIDAD: π₯ π‘ ∗β π‘ ∗π€ π‘ =π₯ π‘ ∗ β π‘ ∗π€ π‘ CONMUTATIVIDAD: π₯ π‘ ∗β π‘ =β π‘ ∗π₯ π‘ ∞ ∞ π₯ π‘ β π‘ − π ππ = −∞ β π‘ π₯ π‘ − π ππ −∞ DISTRIBUTIVA: π₯ π‘ ∗ β π‘ +π€ π‘ =π₯ π‘ ∗β π‘ +π₯ π‘ ∗π€ π‘ Lec. Convolución Propiedades de la Convolución PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO: Sea π₯π π‘ = π₯ π‘ − π π¦ βπ π‘ = β π‘ − π Entonces π€ π‘ − π = π₯π π‘ ∗ β π‘ = π₯ π‘ ∗ βπ π‘ Donde π€ π‘ =π₯ π‘ ∗β π‘ PROPIEDAD DE LA DERIVADA: Si π₯ π‘ existe, entonces: π π₯ π‘ ∗β π‘ ππ‘ =π₯ π‘ ∗β π‘ Lec. Convolución Propiedades de la Convolución Si ambas señales tienen primera derivada, entonces: π2 = π₯ π‘ ∗β π‘ ππ‘ 2 =π₯ π‘ ∗β π‘ PROPIEDAD DE INTEGRACION: π‘ Sea π₯ −1 π‘ = π₯ π ππ −∞ π‘ β −1 π‘ = β π ππ −∞ Entonces π₯∗β −1 π‘ =π₯ −1 π‘ ∗β π‘ =π₯ π‘ ∗β −1 π‘ Lec. Convolución CONVOLUCION CON EL IMPULSO UNITARIO Sea ο€(t) el impulso unitario en el origen, entonces: ∞ π₯ π‘ ∗πΏ π‘ =πΏ π‘ ∗π₯ π‘ = −∞ ∞ =π₯ π‘ πΏ π π₯ π‘ − π ππ πΏ π ππ −∞ =π₯ π‘ CONVOLUCION CON EL IMPULSO UNITARIO DESPLAZADO sea πΏπ π‘ = πΏ π‘ − π Entonces π₯ π‘ ∗ πΏπ π‘ = π₯ π‘ − π Lec. Sistemas descritos por EDO Sistemas descritos por EDO MODELADO DE SISTEMAS Los modelos matemáticos son fundamentales en el control automático y esa es la razón por la cual se les dedica especial atención en los cursos de automática. Un modelo matemático es una “réplica” de las relaciones de entrada y salida de un sistema. En este caso, las relaciones reales de la entrada y la salida de un sistema se sustituyen por expresiones matemáticas. Los sistemas dinámicos son usualmente modelados mediante ecuaciones diferenciales lineales. π π π¦(π‘) π π−1 π¦(π‘) ππ +ππ−1 + ππ‘ π ππ‘ π−1 ππ¦(π‘) β― + π1 + π0 π¦ ππ‘ π‘ = π π π’(π‘) π π−1 π’(π‘) ππ + ππ−1 π−1 ππ‘ π ππ‘ + β― + π1 ππ’(π‘) +π0 π’(π‘) ππ‘ Lec. Sistemas descritos por EDO MODELADO DE SISTEMAS El hecho de limitarse a esta clase de ecuaciones diferenciales es debido a: 1. Sólo para esta clase de sistemas es posible establecer, en la actualidad, una teoría que sea a la vez general y simple. 2. Al menos en una primera aproximación, gran parte de los sistemas encontrados en la práctica admiten esta forma de representación. 3. Como generalmente los procesos se encuentran en estado estacionario (i.e. en un punto de operación), se utiliza Análisis Lineal, es decir, pequeñas perturbaciones en torno al punto de operación. Sistemas descritos por EDO Clasificación de ecuaciones diferenciales Tipo Si la función incógnita contiene una variable independiente, entonces la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). En otros casos seria llamada ecuación diferencial en derivadas parciales. Orden Es la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación diferencial. Orden π π π¦(π‘) π π−1 π¦(π‘) ππ +ππ−1 ππ‘ π ππ‘ π−1 + β―+ ππ¦(π‘) π1 ππ‘ + π0 π¦ π‘ = π π π’(π‘) ππ ππ‘ π + β― + π1 ππ’(π‘) ππ‘ +π0 π’(π‘) Tipo Lec. Sistemas descritos por EDO Solución de ecuaciones diferenciales Se sabe que para obtener la solución de una ecuación diferencial ordinaria a coeficientes constantes es necesario especificar las condiciones iniciales de la misma. Si bien la intuición diría que un sistema descrito por una ecuación diferencial ordinaria es lineal, lo cierto es que ello dependerá de las condiciones iniciales. Recordar que la solución general de una EDO es una función de π¦ = π π₯, π1 , π2 , … π¦ π‘ = π¦β π‘ + π¦π π‘ Solución homogénea Solución particular Lec. Sistemas descritos por EDO Ejemplo: sistema eléctrico Sistemas Eléctricos (formación de un modelo): Aplicación de leyes de Kirchhoff π£ = π β π + π£π πΆπππ π = πΆ β ππ£π ππ‘ Finalmente ππ£π π πΆ β + π£π = π£ ππ‘ Ecuación diferencial que describe la relación entre el voltaje π£(π‘) de entrada al sistema y el voltaje π£π (π‘) de salida que cae en el capacitor. πππ‘ππππ, π Sistema Circuito RC serie π πππππ, ππ Lec. Sistemas descritos por EDO Otros ejemplos Sistemas Eléctricos (bloques funcionales): π£ πΉ + Resistor − π£ = π βπ π π£ πͺ + + π π πππππ, π πππ‘ππππ, π£ Capacitor − π=πβ π π£ π³ π πππππ, π£ πππ‘ππππ, π ππ£ ππ‘ π πππππ, π£ πππ‘ππππ, π Inductor − π£=πΏ ππ ππ‘ Sistemas descritos por EDO Ejemplo: sistema mecánico Sistemas Mecánicos (formación de un modelo): Aplicación de leyes físicas (Leyes de Newton) πΉπ’πππ§π πππ‘π = πΉ − πΉπ − πΉπ π₯(π‘) πΉπ (π‘) πβπ =πΉ−πβπ₯−πβπ£ πΉ(π‘) πβπ+πβπ£+πβπ₯ = πΉ Finalmente π2π₯ ππ₯ πβ 2 +πβ +πβπ₯ =πΉ ππ‘ ππ‘ πΉπ (π‘) Ecuación diferencial que describe la relación entre la fuerza πΉ(π‘) de entrada al sistema y el desplazamiento π₯(π‘) de salida. πππ‘ππππ, πΉ Sistema masa-resorteamortiguador π πππππ, π₯ Lec. Sistemas descritos por EDO Otros ejemplos Sistemas Mecánicos (bloques funcionales): π πππππ, π₯ πππ‘ππππ, πΉ Resorte πΉ=πβπ₯ π πππππ, π₯ πππ‘ππππ, πΉ Amortiguador πΉ =πβπ£=π ππ₯ ππ‘ π πππππ, π₯ πππ‘ππππ, πΉ Masa πΉ =πβπ=π ππ£ π 2π₯ =π 2 ππ‘ ππ‘ Sistemas descritos por EDO Algunas consideraciones Como el interés es con sistemas LTI, todos los sistemas deben estar en reposo inicial, por lo que a entrada cero, la salida debe ser nula. De esta forma se puede asegurar que las condiciones iniciales son nulas, lo cual asegura la linealidad del sistema. Se puede verificar que un sistema descrito por ecuaciones diferenciales a coeficientes constantes con esta condición es también invariante en el tiempo. Es fácil extender esto a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales de orden arbitrario con el fin de considerarlos como sistemas LTI causales. Transformada de Laplace Transformada de Laplace Antecedentes preliminares La transformada de Fourier de una señal presentaba una dificultad importante que dice relación con la convergencia. Esta no se satisface en una gran variedad de señales de interés (escalón, rampa, etc.). Determinar la transformada Fourier de un escalón unitario: Tenemos entonces ∞ π π = 0 −πππ‘ π 1 β π −πππ‘ ππ‘ = −ππ ∞ 0 Se hace evidente que no es posible evaluar la expresión anterior ya que el límite superior no esta definido unívocamente: no se verifica la convergencia de la integral. Veamos que sucede si incorporamos a la señal escalón un factor de convergencia del tipo π −ππ‘ . Lec. Transformada de Laplace Antecedentes preliminares ∞ π π = 0 π − π+ππ π‘ −πππ‘ −πππ‘ π βπ ππ‘ = − π + ππ ∞ 0 1 = π + ππ Que, con π → 0 se reduce a 1 ππ . Sin embargo este límite no es, matemáticamente, la transformada de Fourier de un escalón unitario. Esta afirmación se comprueba al determinar la transformada inversa de Fourier de 1 ππ . 1 π π‘ = 2π ∞ −∞ π πππ‘ 1 ππ = ππ π ∞ 0 1 − , sin ππ‘ 2 ππ = 1 π , 2 π‘<0 π‘≥0 Que no corresponde a un escalón unitario. Lec. Transformada de Laplace Transformada de Laplace La integral podrá evaluarse en el límite superior si y sólo si el siguiente límite existe. lim π − π+ππ π‘→∞ π‘ π>0 Si se define π = π + ππ Obtenemos para el resultado de la integral la expresión 1 π π = π Lec. Transformada de Laplace Transformada de Laplace La expresión anterior representa la transformada de Laplace de un escalón unitario. Claramente S(s) representa una función compleja de una variable compleja, es decir, π = π π π + ππΌπ π π π = π π π + ππΌπ π Es importante destacar que la función S(s) esta definida sólo para aquellos números complejos para los cuales la parte real de s es estrictamente positiva. El conjunto de todos los números complejos para los cuales οe(s)>0 se denomina región de convergencia de la transformada de Laplace. Lec. Transformada de Laplace Transformada de Laplace Bilateral y Unilateral Se define la transformada de Laplace Bilateral como ∞ π₯ π‘ π −π π‘ ππ‘ π π = −∞ que puede verse como una generalización de la transformada de Fourier de x(t). Para valores de las señales x(t) sólo para π‘ ≥ 0 se utiliza la transformada de Laplace unilateral, definida como: ∞ π₯ π‘ π −π π‘ ππ‘ π π = 0 La transformada de Laplace unilateral puede aplicarse a señales que no son nulas para t<0, sin embargo estos valores no tendrán efecto alguno en la transformada de Laplace unilateral de x(t). Lec. Transformada de Laplace Región de convergencia Los valores de frecuencia s para los cuales la transformada de Laplace existe o converge se le conoce como región de convergencia (ROC). Convergencia depende únicamente de la componente real π de la frecuencia compleja s. π < −π −π ∞ π₯ π‘ π −π π‘ ππ‘ π π = −∞ ROC de π π consiste en bandas paralelas al eje πΌπ π = ππ en el plano s. Lec. Transformada de Laplace Ejemplo 1: Región de convergencia Calcule la transformada de Laplace de π₯ π‘ = π −ππ‘ π’ π‘ Se tiene que ∞ π −ππ‘ π’ π‘ π −π π‘ ππ‘ π π = −∞ π − π+π π‘ π π =− π+π 1 − π − π+π π π = π+π ∞ Assignment Lec. Transformada de Laplace Ejemplo 1: Región de convergencia La convergencia esta determinada por el termino π− π+π ∞ Por lo tanto, la expresión anterior converge si π π π + π > 0 Por lo tanto la convergencia de la transformada de Laplace es π π = 1 π+π π π π > −π Assignment Lec. Transformada de Laplace Ejemplo 2: Región de convergencia Encuentre la transformada de Laplace de π₯ π‘ = π −ππ‘ π’ π‘ + π −π‘ cos ππ‘ π’ π‘ Resultado π π = 1 1 1 1 1 + + π + π 2 1 − ππ + π 2 1 + ππ + π π ππΆ: π > −π π ππΆ: π > −1 π ππΆ: π > −1 π ππΆ: π > πππ₯ −1, −π Assignment Lec. Transformada de Laplace Algunas consideraciones La transformada de Laplace bilateral esta directamente relacionada con la transformada de Fourier, y la transformada de Laplace unilateral es la herramienta ampliamente utilizada en ingeniera, que se deriva de la transformada bilateral para señales causales. En la literatura de ingeniera, la mayoría de las veces en que se habla de transformada de Laplace se hace implícitamente referencia a su versión unilateral. ∞ π₯ π‘ π −π π‘ ππ‘ π π = 0 Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace Linealidad ππ₯ π‘ + ππ£ π‘ ↔ ππ π + ππ π Desplazamiento temporal a derecha π₯ π‘ − π π π‘ − π ↔ π −ππ π π Escalamiento temporal 1 π π₯ ππ‘ ↔ π π π Multiplicación por potencias de t π π π‘ π π₯ π‘ ↔ −1 π π π π ππ Lec. Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace Multiplicación por una exponencial π ±ππ‘ π₯ π‘ ↔ π π β π Derivada temporal En general π₯ π π₯ π‘ ↔ π π π − π₯ 0 π‘ ↔ π π π π − π π−1 π₯ 0 − π π−2 π₯ 0 − β― π π₯ π−2 0 − π₯ π−1 0 Integración π‘ π₯ π ππ ↔ 0 1 π π π Lec. Transformada de Laplace Propiedades de la Transformada de Laplace Convolución π‘ π₯ π‘ ∗β π‘ = π₯ π β π‘ − π ππ π π π» π 0 Teorema del valor inicial π₯ π 0 ↔ lim π π+1 π π − π π π₯ 0 − π π−1 π₯ 0 − β― π π₯ π−1 0 π →∞ Teorema del valor final lim π₯ π‘ = lim π π π π‘→∞ π →0 Lec. Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Puede obtenerse la Transformada inversa de Laplace de una señal X(s) aplicando la expresión: π₯ π‘ = 1 2ππ π+π∞ π π π π π‘ ππ π−π∞ Esta expresión debe evaluarse sobre el camino π = π + ππ en el plano complejo, desde π − π∞ hasta π + π∞, donde c es cualquier numero real para el cual el camino (o paso), se encuentra en la región de convergencia de X(s). Sin duda es una expresión no fácil de evaluar, en consecuencia se utilizan de métodos algebraicos para evaluar la transformada inversa de Laplace. Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales Sea x(t) con TL X(s), con π π = π΅ π π΄ π Donde se definen A(s) y B(s) como polinomios en la variable compleja s y se expresan como: π΅ π = ππ π π + ππ−1 π π−1 + β― + π1 π + π0 π΄ π = ππ π π + ππ−1 π π−1 + β― + π1 π + π0 Donde m y n son enteros positivos y los coeficientes ai, bi son números reales. Si bmοΉ0 y anοΉ0 el grado de A(s) es n y el de B(s) es m. Se supone que los dos polinomios no tiene factores comunes. La transformada X(s) es una función racional en s porque es la razón entre dos polinomios en s. Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales El grado n del polinomio del denominador se conoce como el orden de la función racional. Sean p1,p2,..,pn raíces de A(s)=0. Entonces es posible factorizar A(s) como: π΄ π = ππ π − π1 π − π2 β― π − ππ Es evidente que si si=pi algún i, entonces A(s)=0 y por lo tanto las raíces se denominan los ceros del polinomio A(s). Se puede escribir entonces: π π = ππ π − π1 π΅ π π − π2 β― π − ππ Ahora los valores de si=pi se denominan los polos de la función racional X(s). En consecuencia los polos de X(s) son iguales a los ceros de A(s). Se supondrá que m<n, es decir, X(s) es una función estrictamente propia en s. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales Se observa que X(s) puede escribirse como: π π = πΆ1 πΆ2 πΆπ + + β―+ π − π1 π − π2 π − ππ Es decir, aplicamos una expansión en fracciones parciales . Caso polos reales diferentes: ππ = π − ππ π π π =ππ Las constantes ci se denominan los residuos y su calculo es vía el método de residuos. Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales Caso de polos diferentes y dos o mas polos complejos Sea ππ = π + ππ π ≠ 0 el polo complejo y π1 ∗ su complejo conjugado. Ambos polos de X(s). Entonces el residuo correspondiente a π1 ∗ π1 ∗ será el complejo conjugado del residuo correspondiente a p1 (c1). Luego la expansión en fracciones parciales de X(s) será: πΆ1 π1 ∗ πΆπ π π = + + β―+ π − π1 π − π2 π − ππ Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales Es relativamente simple probar que si X(s) tiene un par de polos complejos π1,2 = π ± ππ la señal x(t) contendrá un termino de la forma: ππ ππ‘ cos ππ‘ + ∠π Es posible evitar el trabajar con números complejos, si no se factorizan los términos cuadráticos cuyas raíces son complejas. Así, sea π π = π1 π + π0 π 2 + π1 π + π0 Defina π= π1 2 π0 − 4 Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales entonces X(s) puede escribirse de la forma π π = π1 π π + π0 − 1 1 2 2 π1 2 π + + π2 2 π1 π + Y la TIL se puede obtener de una tabla de transformadas. Caso de Polos repetidos Sea X(s) estrictamente propia. Sea el polo p1 de X(s) de multiplicidad r. Los (n-r) polos restantes son diferentes, entonces la expansión en fracciones parciales de X(s) viene dada como: π π = π1 π2 + π − π1 π − π1 2 +β―+ ππ π − π1 π+ ππ+1 ππ + β―+ π − ππ+1 π + ππ Lec. Transformada de Laplace Transformadas de Laplace Racionales Los residuos cr+1, cr+2,..,cn se calculan siguiendo las instrucciones del caso polos diferentes. La constante cr se calcula como: ππ = π − ππ π π π π =ππ Y las constantes c1, c2,...,cr-1 se calculan utilizando de ππ−π 1 ππ = π − ππ π π π π ππΌ ππ π =ππ Lec. Transformada de Laplace Ejemplo 1 Determine la transformada de Laplace inversa de las siguientes expresiones. π π = 10 π + 2 π +4 π +8 10 π π = 2 π + 2π + 3 Resultado π₯ π‘ = −5π −4π‘ + 15π −8π‘ π₯ π‘ = 10 2 π −π‘ sin 1,41π‘ Assignment Lec. Transformada de Laplace Ejemplo 2 Determine la transformada de Laplace inversa de la siguiente expresión 10π −4π π π = π +4 π +2 Resultado π₯ π‘ = −5π −4 π‘−4 + 5π −2 π‘−4 Assignment Lec. Transformada de Laplace Teoremas Transformada de Laplace Funciones comunes Conclusiones de análisis Conclusiones de análisis Sistemas LTI Hasta ahora hemos visto que es posible determinar la respuesta de un sistema π¦ π‘ por medio del Teorema de convolución. π₯ π‘ Sistema LTI π¦ π‘ β π‘ Cabe señalar que se debe conocer de antemano el comportamiento o dinámica del sistema β π‘ , que como vimos es posible determinarlo por medio de su respuesta al impulso. De esta forma se puede determinar la respuesta del sistema π¦ π‘ ante cualquier entrada o excitación en la variable manipulada π₯ π‘ , convolucionando la entrada y el comportamiento del sistema. Lec. Conclusiones de análisis Transformada de Laplace La transformada de Laplace es una transformación lineal, que servirá como herramienta para determinar de forma mas expedita el comportamiento de un sistema (Representación externa). EDO Lineal ππ£π π‘ π πΆ β + π£π π‘ = π£ π‘ ππ‘ Transformada de Laplace π πΆ β π ππ π + ππ π = π π ππ π π πΆ β π + 1 = π π Lec. Conclusiones de análisis Transformada de Laplace Estableciendo la transformada de Laplace de la EDO de algún sistema, estableceremos la representación externa o función de transferencia. Analogía con la convolución π‘ π¦ π‘ =π₯ π‘ ∗β π‘ = T. de Laplace π₯ π β π‘ − π ππ π π =π π π» π 0 π π =π π π» π ππ π = π π ππ π 1 = π π π πΆ β π + 1 1 π πΆ β π + 1 Función de transferencia Lec.
