1
LISTA 1 - PROBLEMAS RESOLVIDOS
•
Conceitos fundamentais: Ondas e Fótons.
OBS.: Quando não mencionado, considere o índice de refração do ar n = 1. A velocidade
da luz no espaço livre c0 = 3108 m/s e a permissividade 0 = 8.8510−12 F/m.
1) Um laser de diodo emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre (vácuo).
Ache o valor numérico do número de onda na água (n = 1.33).
Re: k = 13.2 m−1
Solução
•
c=

k
k=

c
e k =

c

c
c
k c

=
 k = k  = k  = nk = n
k c
c
c n

Substituindo  = 635 nm e n = 1.33  k = 0.0132 nm−1 = 13.2 m−1
2) Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes,
respectivamente  e  + ,  e  + . Mostre que as razões   e   são
aproximadamente iguais. Considere que as ondas propagam-se em um meio não
dispersivo.
•
Solução: c =  . Tomando as diferenciais:  =  d +  d 
d

=−
d

3) Mostre que:
E = eE [ xˆ + yˆb exp(i )] exp i (kz − t ) = E [ xˆ cos(kz − t ) + yˆb cos(kz − t +  )] .
Considere E0 e b reais.
Solução:
E = exˆE exp i(kz − t ) + eyˆbE exp i(kz − t +  )
= xˆE cos(kz − t ) + yˆbE cos(kz − t +  )
4) Uma onda harmônica plana tem o vetor campo elétrico descrito por
E = xˆ cos(  z +   t +  ) V/m. Considere as dimensões no SI.
Determine: a) O número de onda; b) A fase inicial; c) A direção do vetor campo
magnético H; d) A direção e o sentido do vetor de Poynting S; e ) O índice de refração do
meio.
Re: a) k = 2107 m−1; b)  ( z = , t = ) =  ; c) x; d) y; e) −z; f) n = 1.5
2
Solução
a) k = 2107 m−1
b)  ( z = , t = ) = 
c) Direção y (H = H (− yˆ ) )
d) Direção z, Sentido − (= direção e sentido do vetor de propagação k)
  s −
e) c= =
=   m/s

-1
k   m

c   m/s
n= =
= .
c   m/s
5) Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está
orientado na direção z e seu módulo é dado por Ez = E cos  [( x .c ) − t ] .
Considere as dimensões no SI. Determine:(a) A frequência angular da luz; (b) O
comprimento de onda; (c) O índice de refração do vidro.
Re: a)  = 1015 rad/s; b)  = 390 nm; c) n = 1.54
Solução
•
 k

Escrevendo Ez = E cos(kx − t ) = cos  x − t  identificamos:

 
(a) A frequência angular  = 1015 rad/s
(b) A razão
k

=
   .c

=
. O comprimento de onda  =
. Substituindo
k

.c
c =    m/s e  = 1015 rad/s   = 390 nm
(c) c =
c 
k

k

= .
=  n = c . Substituindo =
 n=

.
n k
 .c
6) Considere uma onda com uma velocidade de fase 3108 m/s e uma frequência de
61014 Hz.
a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30 graus?
b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em 10−6 s?
c) Quantas ondas passaram nesse tempo?
Re: a) d = 41.7 nm ; b)  = 2.161011 graus ; c) N = 6.0108 ondas
3
Solução: a) Comprimento de onda  = c  = 500 nm 
   

  d = = . nm
d   

b)  =  t =  t = 3.77109 radianos = 2.161011 graus
c)
N=

=  t = 6.0108 ondas

7) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, se propaga em um pedaço de
vidro. O vetor campo elétrico dessa onda é dado por:
t
  
E =  yˆ cos 
x+
−
  −
   

 V/m. Considere as unidades no SI e x̂ , ŷ e ẑ os

versores nas direções das coordenadas x, y e z, respectivamente. Determine:
a) A direção de polarização;
b) A direção do vetor campo magnético H;
c) A direção e o sentido do vetor de Poynting S;
d) O número de onda no vácuo.
Re: a) y ; b) z ; c) − x ; d) k0 = 8.38 m−1
Solução
a)
ŷ ( = direção de oscilação do campo elétrico)
b)
ẑ
c)
− x̂ ( = direção e sentido do vetor de propagação k)
d) A frequência angular  =  (  − ) =    rad/s. Logo, o número de onda
no vácuo: k  =  c = .  m−1 (= 8.38 m−1), com c =   m/s.
OBS.: k = k (− xˆ ) , E = E yˆ e H = H ( − zˆ ) , pois yˆ  (− zˆ ) = − xˆ (S = S kˆ = E  H)
8) Mostre que a energia de um fóton, em elétron-volts (eV), é relacionada ao
comprimento de onda , em nanômetros (nm), através da expressão E ph =   .
SOLUÇÃO: Equação de Planck-Einstein: E ph = h = h
c

.
Substituindo h = 4.1410−15 eVs, c = 31017 nm/s (= 3108 m/s)  hc = 1242 eVnm
 Com boa aproximação, podemos escrever E ph =  
4
9) Um transmissor de ondas de radio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW.
Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena.
Re: 2.16  1030 fótons/s
SOLUÇÃO: Cálculo da energia do fóton:
E ph = h = (6.626  10−34 Js)(700  103 s−1)
E ph = 4.638  10−28 J/photon ou 2.895  10−9 eV/photon
O número de fótons emitidos pela antena por segundo,
N=
P
 J s
=
= 2.16  1030 fótons por segundo
E ph .− J
10) Um radio FM pode detectar sinais de até 10−12 W. Se a estação emite na frequência de
100 MHz, qual o número mínimo de fótons por segundo necessários para detecção do
sinal?
Re: 1.511013 fótons/s
SOLUÇÃO
Seja  o número de fótons/s. A potência P = h
P
   − J/s
 =
=
= .   fótons/s
−
6 −
h (.   J  s)(100 10 s )
11) Um laser He-Ne emite um feixe de luz vermelha ( = 633 nm) com diâmetro
aproximado de 3.5 mm. Se a potência óptica do feixe é de 5.0 mW, qual a taxa de fótons
emitidos por unidade de área?
Re: 1.651024 fótons/m2s
SOLUÇÃO
Energia fóton: E ph = h =
hc

= (6.62610−34 Js)(3108 m/s)/(63310−9 m) = 3.1410−19 J
O número de fótons emitidos por segundo,
N=
P
J s
=
= 1.591019 fótons por segundo
−
E ph .  J
Dividindo pela área A =  (d )  = (   )(3.510−3 m)2 = 9.6210−6 m2
N A = 1.651024 fótons/m2s
5
12) Um laser He-Ne radia luz com comprimento
de onda 632.8 nm e potência 5.0 mW. O feixe
diverge com um ângulo  = 0.17 mrad, como
ilustra a figura abaixo. Qual o fluxo de fótons
(número de fótons por unidade de tempo por unidade de área) a uma distância d = 10 m
do laser?
Re: 7.011021 fótons/m2s
SOLUÇÃO
•
Dados: i) Potência da luz emitida pelo laser P = 5.0 mW; ii) Ângulo de abertura do
cone  = 0.17 mrad
P
a) Irradiância I =
A
r
 /2
d
A =  r2
r

 d  

 tan =  r = d  Área A =  r =

 d




Substituindo  = 0.1710−3 radianos e d = 10 m  A = 2.2710−6 m2.
Irradiância I = P A = = 2203 W/m2
Fluxo de fótons ph = I E ph = 2203/3.1410−19 = 7.011021 fótons/m2s
13) Em condições ideais, o olho humano é capaz de perceber luz de comprimento de onda
550 nm se a energia captada pelo olho se dá a uma taxa tão pequena quanto 100 fótons
por segundo. Qual a potência óptica correspondente?
Re: 3.610−17 W
SOLUÇÃO
Energia do fóton,
E ph = h =
hc

= (6.62610−34 Js)(3108 m/s)/(55010−9 m) = 3.6110−19 J
O número de fótons emitidos por segundo N = 100 fótons/s. Logo a potência,
P = NE ph = (100 fótons/s)(3.6110−19 J) = 3.6110−17 W (= J/s)
6
14) Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão


S = ( )e E0  H 0 , onde E = eE 0 exp i (kz − t ) e H = eH 0 exp i (kz − t ) .
15) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado
em uma área circular de 10 m de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do
campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade c  =
3108 m/s e a permissividade   = 8.8510−12 F/m. Expresse os resultados em unidades
SI.
Re: E0 = 2.2105 V/m
Solução
Dados: P = 5 mW, d = 10 m, c = 3108 m/s e   = 8.8510−12 F/m.
P
P
P
=
=
: Eq.(1)

A  (d )
d
•
A irradiância I =
•
Escrevendo I em função do campo elétrico: I = S = ( ) E H  , com H  = c  E  .
Logo I = ( )c  E : Eq.(2)
Eq.(1) = Eq.(2)  E =

P
 E = .  V/m (= 219 kV/m)
d  c  
7
16) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio
recebe um sinal de irradiância 10 W/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da
onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre
um hemisfério, qual a potência da onda transmitida?
Re: a) E0 = 87 mV/m; b) 230 A/m; c) 6.28 kW
Solução
Dados: d = 10 km, I = 10 W/m2, c = 3108 m/s e   = 8.8510−12 F/m.

E H  : Eq.(1)

A amplitude do campo magnético H  =   c E : Eq.(2)
a) Irradiância da onda que chega na aeronave I =
Eq.(2) → Eq.(1)  I =

I
  c E  E =

  c
Substituindo os dados  E = .  − V/m = 86.8 mV/m
b) H  =   c E = 2.310−4 A/m = 230 A/m
 d 
c) ÁREA DO HEMISFÉRIO: A =
=  d 

Potência P = IA = 10 W/m2  2(10103)2 m2 = 6.28109 W = 6.28 kW
17) Um sistema de vigilância de radar, operando com frequência de 12 GHz e 180 kW de
potência, detecta uma aeronave militar distante 90 km. Assuma que as ondas são emitidas
pelo radar uniformemente sobre um hemisfério. a) Qual a irradiância da onda que atinge a
aeronave? A aeronave reflete as ondas emitidas pelo radar com uma seção de choque
efetiva de área 0.22 m2. b) Assumindo que a onda é refletida pela aeronave de maneira
uniforme sobre um hemisfério, calcule a irradiância da onda detectada pelo sistema de
radar.
Re: a) 3.5 W/m2; b) 1.510−17 W/m2
Solução
•
Dados: i) Potência da onda emitida pelo radar P = 180 kW; ii) Distância da aeronave
até radar d = 90 km ( Área do hemisfério =  d  ); iii) Área da seção de choque
efetiva da aeronave AS = 0.22 m2.
a) A irradiância da onda que chega até a aeronave: I A =
P
= 3.5410−6 W/m2

 d
8
b) A potência da onda refletida pela aeronave: PA = I A AS =
onda que retorna ao radar I R =
P AS
. A irradiância da
 d 
P AS
PA
=
= 1.5310−17 W/m2

 
 d
( d )
18) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência 3.0 mW. O
feixe diverge com um ângulo  = 0.17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a
irradiância do feixe a uma distância d = 40 m do laser? Considere que o laser é substituído
por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b)
Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m?
Re: a) 82.6 W/m2; b) 1.7 MW
Solução
Dados: i) Potência da luz emitida pelo laser P = 3.0 mW; ii) Ângulo de abertura do cone
 = 0.17 mrad
a) Irradiância I =
P
A
 /2
r
A =  r2
d


 tan


=
r

 d  
 r = d  Área A =  r  =
d


Substituindo  = 0.1710−3 radianos e d = 40 m  A = 3.6310−5 m2.
Irradiância I =
P
= 8.26104 mW/m2 = 82.6 W/m2
A
b) Para uma fonte pontual emitindo luz em todas as direções  A =  d 
A potência P = IA = 82.6 W/m2  4(40 m)2 = 1.66106 W = 1.66 MW
9
19) Qual a pressão de radiação exercida em uma superfície que absorve luz de intensidade
180 W/cm2 ?
Re: 610−3 Pa
SOLUÇÃO
I = h  I = h

h
I
 I =   = Pc  P = = 6 10−3 Pa

c

20) A intensidade média do sol ao meio-dia é de aproximadamente 1 kW/m2. Qual a força
exercida pela radiação em um painel solar medindo 60 cm por 2.5 m? Considere que o
painel absorve toda a luz e está orientado em ângulo reto com a radiação incidente.
Re: 510−6 N
SOLUÇÃO
F = PA e P =
I
AI
 F=
= (0.6  2.5) 103 (3 108 ) = 5 10− 6 N
c
c
21) Um astronauta com 65 kg de massa está flutuando no espaço livre. Se ele liga uma

lanterna que emite luz de 1 W de potência em uma certa direção, quanto tempo levaria
para o astronauta atingir uma velocidade de 10 m/s?
SOLUÇÃO (Re:  6103 anos)
F = ma e v = at  t = v a = mv F
Utilizando a expressão que relaciona pressão de radiação e irradiância PR =
multiplicando ambos os lados pela área A  PR A =
I
e
c
P
IA
 F = O , com PO = 1 W.
c
c
 t = (65kg)(10 m s)(3 108 m s) (1W ) = 1.95 1011 s  6 103 anos
22) Quantos fótons vermelhos com  = 633 nm atingem uma superfície totalmente refletora no
intervalo de tempo de 1 s, se a força exercida na superfície é de 1 N. (1.5 pt).
Prad =
SOLUÇÃO:
2 I 2h 2h
=
=
 , com [] = Fótons/m2s
c


Multiplicando pela área Frad = APrad =
2h(A)

A quantidade A representa o número de fótons/segundo que atinge a superfície. Assim:
N=
Frad t
2h
=
633  10 −9 (1)(1)
= 4.78  10 26 fótons (por segundo).
=34
2(6.626  10 )
10
23) Um feixe laser está direcionado verticalmente para cima. Qual a potência óptica
necessária para suportar uma lâmina de alumínio com 30 g de massa e diâmetro igual ao
do feixe? Assuma a refletância da placa R = 100% e a aceleração devido à gravidade g =
9.8 m/s2.
SOLUÇÃO 1
Fgravidade = mg = Fradiação (no equilíbrio)
Utilizando a expressão que relaciona pressão de radiação e irradiância PR =
multiplicando ambos os lados pela área A  PR A =
2I
e
c
2P
2 IA
cF
 F = O , com PO =
a
c
c
2
potência óptica.
Logo PO =
1
1
FR c = (mg )c = (1 2)(0.294N )(3 108 m s) = 4.4110 7 W
2
2
24) Em um arranjo fotoelétrico foram realizados dois experimentos utilizando um
fotocatodo de cobre iluminado com luz UV de comprimento de onda  = 190 nm. No
primeiro experimento a irradiância I = 15 mW/cm2 e no segundo I = 20 mW/cm2. As
figuras abaixo ilustram as curvas de corrente elétrica vs tensão (i  V), onde a linha sólida
refere-se ao primeiro experimento e a linha tracejada refere-se ao segundo. a) Qual das
figuras (de A a F) melhor representa o resultado obtido? b) Justifique sua resposta.
i
i
A
B
0
C
0
V
i
V
E
0
V
0
V
0
V
i
i
D
Re: Fig. D
i
F
0
V
11
SOLUÇÃO
1) O potencial de freamento depende apenas de  e  (e portanto independe da irradiância)  o
ponto de cruzamento das curvas com o eixo horizontal é o mesmo.
2) Maior irradiância implica em maior fluxo de fótons e portanto maior fotocorrente, sendo que
para tensões positivas, todos os fotoelétrons chegam ao anodo e portanto a corrente permanece
constante.
25) Um experimento fotoelétrico indica que luz violeta de comprimento de onda  = 420 nm
corresponde ao máximo comprimento de onda da radiação que provoca emissão de fotoelétrons
pela superfície de um fotocatodo multialcalino.
a) Qual a função trabalho do fotocatodo, em eV?
b) Se radiação UV de comprimento de onda  = 300 nm incide no fotocatodo, qual a máxima
energia cinética dos fotoelétrons, em eV?
c) Se a radiação UV do item acima tem irradiância de 20 mW/cm2, e os elétrons emitidos são
coletados pela aplicação de uma tensão positiva no eletrodo oposto ao fotocatodo, qual a
densidade de fotocorrente, em mA/cm2?
Re: a) 2.96 eV , b) 1.18 eV , c) 4.84 mA/cm2
12
26) O metal Césio é utilizado como material de um fotocatodo para emissão de fótons
porque os elétrons podem ser facilmente removidos da sua superfície. A função trabalho
para o Césio puro é de 1.9 eV.
a) Qual o máximo comprimento de onda da radiação incidente que provoca emissão de
elétrons?
b) Se radiação azul de comprimento de onda  = 450 nm incide no fotocatodo, qual é a
energia cinética máxima dos fotoelétrons, em eV? Qual a voltagem requerida no eletrodo
oposto ao fotocatodo para que a fotocorrente no circuito seja nula?
c) A eficiência quântica (QE) de um fotocatodo é definida como,
QE =
Número de fotoelétrons emitidos
.
Número de fótons incidentes
QE é 100% se cada fóton incidente ejeta um elétron. Considere que luz azul com  = 450
nm e irradiância I = 30 mW/cm2 incide em um fotocatodo circular de Césio com 6.0 mm
de diâmetro. Se os fotoelétrons são coletados pela aplicação de uma voltagem positiva no
anodo (eletrodo oposto ao fotocatodo) e a eficiência quântica QE = 25%, qual será a
fotocorrente?
Re: a) 653.9 nm , b) 0.86 eV e − 0.86 V , c) 0.769 mA
13