Sistemas de control Modelos de sistemas físicos Elementos de sistemas mecánicos de traslación • • • Resorte: Representa la rigidez del sistema, es la relación entre la fuerza F empleada para estirar o comprimir el resorte y la deformación resultante x. πΉ = ππ₯ K --1.8 Elementos de sistemas mecánicos de traslación • Amortiguador: Representa la fuerza para mover un objeto en un fluido o en contra de las fuerzas de fricción. Elementos de sistemas mecánicos de traslación • • • • La fuerza resistiva o de amortiguamiento F es proporcional a la velocidad v del pistón. πΉ = ππ£ donde la π£ = ππ₯ ππ‘ por lo tanto: πΉ = π ππ₯ ππ‘ c generalmente 0.01 Elementos de sistemas mecánicos de traslación • Masa: representa la acción de que mientras mayor sea la masa, mayor deberá ser la fuerza para producir una aceleración. Elementos de sistemas mecánicos de traslación • • La relación entre la fuerza y la aceleración es la segunda ley de Newton. πΉ = ππ donde π = ππ£ ππ‘ y como se vio en el anterior entonces π = π ππ£ ππ‘ ππ‘ • πΉ= ∴ π2π₯ π ππ‘ 2 Elementos de sistemas mecánicos de rotación • La entrada no es una fuerza sino un par de torsión (T) y la salida no es un desplazamiento lineal sino un desplazamiento angular (π). • Resorte torsional: El desplazamiento angular es proporcional al par aplicado π = ππ. • En un amortiguador rotatorio un disco gira en un fluido y el par es proporcional a la velocidad angular π€. • π = ππ€ = π ππ ππ‘ • Elementos de rotación • • • Momento de inercia: El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Mientras mayor sea el momento de inercia I, mayor será el par para producir una aceleración angular πΌ. π = πΌπΌ = ππ€ πΌ ππ‘ =I π ππ ππ‘ ππ‘ =I π2π ππ‘ 2 Ejemplo Frecuencia natural y factor amortiguamiento • Si la masa estuviera libre de amortiguamiento, osciladria con una frecuencia natural dada por: • ππ = π π • Si el sistema esta amortiguado, se emplea un factor de amortiguamiento dado por: • π= π 2 ππ • Por lo que la ecuación resulta: • πΉ π =π₯ 2π ππ₯ + ππ ππ‘ + 1 π2 π₯ ππ 2 ππ‘ 2 • La fuerza total aplicada a la masa es la suma de fuerzas • πΉ πππ π = πΉ − ππ₯ − ππ£ • ππ₯ πΉ − ππ₯ − π = ππ‘ • ππ = πΉ − ππ₯ − π • π Modelado de sistemas mecánicos π2 π₯ π2 π‘ ππ₯ ππ‘ = πΉ − ππ₯ − π • πΉ = ππ₯ + π ππ₯ ππ‘ +π ππ₯ ππ‘ π2 π₯ ππ‘ 2 Geogebra SolveODE( <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <End x>, <Ste Solves second order ODE . Example: SolveODE(x^2, 2x, 2x^2 + x, x(A), y(A), 0, 5, 0.1) solves the second order ODE using previously defined A as a starting point. Ejercicio Modelos de sistemas eléctricos • Los bloques funcionales pasivos son inductores, capacitores y resistencias. • Para un inductor, la diferencia de potencial en sus terminales esta determinada por: • π£π = ππ πΏ ππ‘ • La corriente se denomina fuerza contra electromotriz y esta definida como: • ππ = 1 πΏ π£ ππ‘ Modelos de sistemas eléctricos • Para un capacitor la diferencia de potencial depende de la razón de cambio de la carga q entre las placas y queda definido como: • π£π = 1 πΆ π ππ‘ • Y la corriente como: • ππ = ππ£ πΆ ππ‘ • En una resistencia se rige por la ley de ohm: • π£π = π π Ejemplo • π£ = π£π + π£π • π£ = ππ + π£π • π£ = π πΆ ππ£π ππ‘ + π£π Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Simulación π£ = π πΆ ππ£ ππ£π + π£π ππ‘ π£−π£π Despejamos la derivada ππ‘π = π πΆ V0=10; R=2; %resistencia C=0.8; %capacidad ; t=linspace(0,10,1000); %tiempo de simulacion f=@(t,x) (V0-x)/(R*C); %entrada constante %f=@(t,x) (t-x)/(R*C); %entrada rampa %f=@(t,x) (sin(t)-x)/(R*C); %entrada Senoidal x0=0; %situación inicial [t,x]=ode45(f,t,x0); plot(t,x) grid on xlabel('t') ylabel('q'); title('Carga del condensador') Simulación • Suponga que k=0.1, c=2 y m = 10kg y se aplica una fuerza de 1N constante.