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2 Presentación Modelado de sistemas x

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Sistemas de
control
Modelos de sistemas físicos
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
•
•
•
Resorte: Representa la
rigidez del sistema, es la
relación entre la fuerza F
empleada para estirar o
comprimir el resorte y la
deformación resultante x.
𝐹 = π‘˜π‘₯
K --1.8
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
•
Amortiguador: Representa
la fuerza para mover un
objeto en un fluido o en
contra de las fuerzas de
fricción.
Elementos de
sistemas
mecánicos
de traslación
•
•
•
•
La fuerza resistiva o de
amortiguamiento F es
proporcional a la velocidad v del
pistón.
𝐹 = 𝑐𝑣 donde la 𝑣 = 𝑑π‘₯ 𝑑𝑑 por lo
tanto:
𝐹 = 𝑐 𝑑π‘₯ 𝑑𝑑
c generalmente 0.01
Elementos de
sistemas mecánicos
de traslación
• Masa: representa la
acción de que
mientras mayor sea la
masa, mayor deberá
ser la fuerza para
producir una
aceleración.
Elementos de
sistemas
mecánicos
de traslación
•
•
La relación entre la fuerza y la
aceleración es la segunda ley de
Newton.
𝐹 = π‘šπ‘Ž donde π‘Ž = 𝑑𝑣 𝑑𝑑 y como
se vio en el anterior entonces π‘Ž =
𝑑
𝑑𝑣
𝑑𝑑
𝑑𝑑
•
𝐹=
∴
𝑑2π‘₯
π‘š 𝑑𝑑 2
Elementos
de
sistemas
mecánicos
de
rotación
• La entrada no es una fuerza sino un par
de torsión (T) y la salida no es un
desplazamiento lineal sino un
desplazamiento angular (πœƒ).
• Resorte torsional: El desplazamiento
angular es proporcional al par aplicado
𝑇 = π‘˜πœƒ.
• En un amortiguador rotatorio un disco
gira en un fluido y el par es proporcional
a la velocidad angular 𝑀.
• 𝑇 = 𝑐𝑀 = 𝑐
π‘‘πœƒ
𝑑𝑑
•
Elementos
de
rotación
•
•
•
Momento de inercia: El momento de
inercia (símbolo I) es una medida de
la inercia rotacional de un cuerpo.
El momento de inercia solo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición
del eje de giro; pero no depende de las
fuerzas que intervienen en el
movimiento.
Mientras mayor sea el momento de
inercia I, mayor será el par para producir
una aceleración angular 𝛼.
𝑇 = 𝐼𝛼 =
𝑑𝑀
𝐼 𝑑𝑑
=I
𝑑
π‘‘πœƒ
𝑑𝑑
𝑑𝑑
=I
𝑑2πœƒ
𝑑𝑑 2
Ejemplo
Frecuencia
natural y factor
amortiguamiento
• Si la masa estuviera libre de
amortiguamiento, osciladria con una
frecuencia natural dada por:
• πœ”π‘› = π‘˜ π‘š
• Si el sistema esta amortiguado, se
emplea un factor de amortiguamiento
dado por:
• 𝜁=
𝑐
2 π‘šπ‘˜
• Por lo que la ecuación resulta:
•
𝐹
π‘˜
=π‘₯
2𝜁 𝑑π‘₯
+
πœ”π‘› 𝑑𝑑
+
1 𝑑2 π‘₯
πœ”π‘› 2 𝑑𝑑 2
• La fuerza total aplicada a
la masa es la suma de fuerzas
•
𝐹 π‘šπ‘Žπ‘ π‘Ž = 𝐹 − π‘˜π‘₯ − 𝑐𝑣
•
𝑑π‘₯
𝐹 − π‘˜π‘₯ − 𝑐
=
𝑑𝑑
• π‘šπ‘Ž = 𝐹 − π‘˜π‘₯ − 𝑐
• π‘š
Modelado de sistemas
mecánicos
𝑑2 π‘₯
𝑑2 𝑑
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
= 𝐹 − π‘˜π‘₯ − 𝑐
• 𝐹 = π‘˜π‘₯ + 𝑐
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
+π‘š
𝑑π‘₯
𝑑𝑑
𝑑2 π‘₯
𝑑𝑑 2
Geogebra
SolveODE( <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <End x>, <Ste
Solves second order ODE .
Example: SolveODE(x^2, 2x, 2x^2 + x, x(A), y(A), 0, 5, 0.1)
solves the second order ODE using previously defined A as a starting point.
Ejercicio
Modelos
de
sistemas
eléctricos
• Los bloques funcionales pasivos son
inductores, capacitores y resistencias.
• Para un inductor, la diferencia de
potencial en sus terminales esta
determinada por:
• 𝑣𝑙 =
𝑑𝑖
𝐿
𝑑𝑑
• La corriente se denomina fuerza contra
electromotriz y esta definida como:
• 𝑖𝑙 =
1
𝐿
𝑣 𝑑𝑑
Modelos de
sistemas eléctricos
• Para un capacitor la diferencia de potencial depende de la razón de
cambio de la carga q entre las placas y queda definido como:
• 𝑣𝑐 =
1
𝐢
𝑖 𝑑𝑑
• Y la corriente como:
• 𝑖𝑐 =
𝑑𝑣
𝐢
𝑑𝑑
• En una resistencia se rige por la ley de ohm:
• π‘£π‘Ÿ = 𝑅𝑖
Ejemplo
• 𝑣 = π‘£π‘Ÿ + 𝑣𝑐
• 𝑣 = 𝑖𝑅 + 𝑣𝑐
• 𝑣 = 𝑅𝐢
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑑
+ 𝑣𝑐
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Simulación
𝑣 = 𝑅𝐢
𝑑𝑣
𝑑𝑣𝑐
+ 𝑣𝑐
𝑑𝑑
𝑣−𝑣𝑐
Despejamos la derivada 𝑑𝑑𝑐 = 𝑅𝐢
V0=10;
R=2; %resistencia
C=0.8; %capacidad ;
t=linspace(0,10,1000); %tiempo de simulacion
f=@(t,x) (V0-x)/(R*C); %entrada constante
%f=@(t,x) (t-x)/(R*C); %entrada rampa
%f=@(t,x) (sin(t)-x)/(R*C); %entrada Senoidal
x0=0; %situación inicial
[t,x]=ode45(f,t,x0);
plot(t,x)
grid on
xlabel('t')
ylabel('q');
title('Carga del condensador')
Simulación
• Suponga que k=0.1, c=2 y m = 10kg y se aplica
una fuerza de 1N constante.
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