C ÁLCULO DE
m o m e n t o s
VIDEO
INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES EL
MOMENTO?
el momento de una fuerza (capacidad
de producir giro) depende del valor de
la fuerza aplicada y la distancia al
centro o eje de giro.
Representa la intensidad de la
fuerza con la que se intenta
hacer girar a un cuerpo rígido.
Se utiliza para medir la fuerza con la que se tiende a hacer girar un cuerpo.
Es una tendencia a que un cuerpo gire alrededor de un
punto que no está en la línea de acción de la fuerza.
Hibbeler (2010)
Se mide en newton·metro.
SENTIDO Y
DIRECCIÓN
PROPIEDADES
Si la fuerza aplicada se encuentra sobre el eje de giro, entonces la distancia
es cero y por lo tanto el momento también es cero.
Si ambos vectores son paralelos o se calcula el producto vectorial de un
vector por si mismo, sen(α) es cero y por lo tanto el momento también es cero.
Si la fuerza y la distancia son vectores perpendiculares, sen(α) = 1 y por lo
tanto el módulo del momento se calcula como:
Momento
M = Momento [N·m]
F = Módulo del vector fuerza [N]
d = Módulo del vector distancia [m]
MOMENTO
ALREDEDOR
DE UN
PUNTO
MOMENTO
PAR O PAR
DE FUERZAS
MOMENTO
ALREDEDOR
DE UN EJE
MOMENTO ALREDEDOR
DE UN PUNTO
Fórmula:
La regla de la mano derecha
Es un método para determinar el
sentido del vector.
1.- Poner la palma de la mano
derecha en el vector R.
2.- Cerrar el puño en el sentido del
vector fuerza F.
3.-Estirar el dedo gordo apuntando
hacia el vector M.
Si es en 2D el momento es
perpendicular a la fuerza y radio
Módulo, norma o
magnitud
El módulo de un vector es la
longitud del segmento
orientado que lo define.
¿Cómo sacar
el vector R?
¿Cómo sacar el vector R?
R=-100i-200j
¿Cómo sacar el vector F?
α=25°
¿Cómo sacar el vector F?
α=25°
F=
300cos(25)i
+
300sen(25)j
¿Cómo obtener el
producto cruz?
I
J
K
-100
-200
0
300Cos(25)
300Sen(25)
0
+(-200*0-300Sen(25)*0) i
-(-100*0-300Cos(25)*0) j
+(-100*300*Sen(25)-(-200)*300*Cos(25)) k
=
41699.9 k N*mm
Ejercicio
Una fuerza P de 8 lb se
aplica a una palanca
de cambios.
Determine el momento
de P alrededor de B
cuando alpha es igual
a 25°.
MOMENTO ALREDEDOR
DE UN EJE
QUÉ ES UN EJE
1. m. Barra, varilla o pieza similar que
atraviesa un cuerpo giratorio y le sirve de
sostén en el movimiento.
2. m. Geom. Recta que, al ser tomada como
eje de giro de una figura o cuerpo, hace que
se superpongan todos los puntos análogos.
En términos algebraicos el momento de una fuerza respecto a
un eje es un triple producto escalar y es dada por la siguiente
forma:
i, j, k
Para visualizar las operaciones correspondientes podemos
exportar la fórmula en una determinante de 3×3, se escribe así:
Se sobreentiende que los vectores se descomponen en sus
componentes rectangulares.
GIRA ALREDEDOR DEL EJE Z
EJERCICIO: SOBRE EL CUBO DE LADO L QUE MIDE 0.2 M, ACTÚA UNA FUERZA F DE 18 N.
DETERMINA EL MOMENTO F CON RESPECTO A LA ARISTA (EJE) AB
MOMENTO PAR
O PAR DE FUERZAS
El momento de par de fuerzas es
cuando se generan dos fuerzas
de igual magnitud pero en
sentidos contrarios, las cuales
estan separadas por un brazo el
cual se le denomina brazo par o
"d" (distancia).
Como el efecto de traslación de un par es
nulo ya que son dos fuerzas iguales y de
sentido contrario ( R = F1 – F2 = 0 ), el
único efecto es tender a rotar el cuerpo
alrededor de un eje perpendicular al plano
definido por las fuerzas. Por ello el efecto
de un par de fuerzas es producir una
rotación y se especifica habitualmente por
el momento que produce.
El valor absoluto del momento
de par de fuerzas se calcula, con
el producto del valor absoluto
de una de las fuerzas por la
distancia entre las rectas
directrices
Para cumplir que sea un momento de par de fuerzas
deben cumplir estas condiciones:
Aplicadas en el mismo cuerpo.
Igual magnitud
Paralelas con diferente línea de acción
Sentidos opuestos
EJEMPLO
M=F*d
F = F1 * sen(α)
F = 10 * sen(90)
M = 10 * 0.8
M = 8 N*M
F = 40 * sen(30)
M = 20 * 0.6
M = 12 N*M
VARIABLES ROTACIONES
Posición angular
El movimiento circular uniforme,
calcula la rapidez constante en un
círculo. Se utiliza el ángulo θ como
vector de posición desde origen del
círculo hasta la posición de la
partícula. Se le denomina posición
angular.
Conforme se mueva la particula en
trayectoria circular, se traza un
arco de longitud s.
el ángulo se relaciona con el radio del
círculo y la longitud del arco.
Velocidad angular (ω)
es la tasa de cambio en el tiempo
del ángulo θ mientras la partícula
se desplaza en su trayectoria
circular.
Velocidad angular instantánea
Límite en el que
en la
velocidad angular media
La derivada con respecto al tiempo y observar
que el radio r es una constante, tenemos
donde
la rapidez tangencial de la partícula es su
velocidad angular por el radio del círculo.
Un volante de inercia rota de forma que barre un ángulo a la tasa de θ = ωt = (45,0
rad/s)t radianes. El volante rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto en el
plano de la página.
(a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante de inercia?
(b) ¿En qué sentido es la velocidad angular?
(c) ¿Cuántos radianes rota el volante de inercia en 30 s?
(d) ¿Cuál es la rapidez tangencial de un punto del volante de inercia a 10 cm del eje de
rotación?
ROTACIÓN CON ACELERACIÓN
ANGULAR CONSTANTE
Posición angular
La aceleración angular es opuesta
al vector de velocidad angular, su
velocidad angular disminuye con el
tiempo.
Si el sistema rota bajo una
aceleración constante, entonces la
velocidad angular media sigue una
relación simple porque la velocidad
angular aumenta linealmente con el
tiempo. La velocidad angular media
es justo la mitad de la suma de los
valores inicial y final.
Resolviendo para θ , tenemos
Reorganizamos esto para obtener αdt = dω y luego integramos ambos lados de esta ecuación desde los valores iniciales
hasta los finales, es decir, desde t0 a t y ω0 a ωf . En el movimiento rotacional uniforme, la aceleración angular es constante, por
lo que puede extraerse de la integral, para dar lugar a dos integrales definidas:
Hallaremos la velocidad angular de un objeto en cualquier tiempo t dada la velocidad angular inicial y la aceleración angular.
La reordenamos para obtener ωdt = dθ e integramos de nuevo ambos lados de los valores iniciales a los finales; se observa que
la aceleración angular es constante y no depende del tiempo. Sin embargo, esta vez, la velocidad angular no es constante (en
general), por lo que sustituimos en lo que derivamos anteriormente:
nos da la posición angular de un cuerpo
rígido en rotación en cualquier tiempo t
dadas las condiciones iniciales (posición
angular inicial y velocidad angular inicial)
y la aceleración angular.
Un pescador de alta mar engancha un gran pez que se aleja nadando del barco,
tirando del sedal de su carrete de pesca. Todo el sistema está inicialmente en reposo,
y el sedal se desenrolla del carrete en un radio de 4,50 cm
desde su eje de rotación. El carrete recibe una aceleración angular de 110 rad/s2
durante 2,00 s (Figure 10.11).
(a) ¿Cuál es la velocidad angular final del carrete después de 2 s?
(b) ¿Cuántas revoluciones da el carrete?
Relacionar cantidades angulares
y traslacionales
Variables angulares frente a variables lineales
Existe un mapeo de las variables
lineales a las rotacionales
La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus contrapartes
rotacionales, como podemos ver cuando las escribimos una al lado de la otra:
En el movimiento circular, tanto uniforme
como no uniforme, existe una aceleración
centrípeta
Así, en el movimiento circular uniforme,
cuando la velocidad angular es constante
y la aceleración angular es cero, tenemos
una aceleración lineal, es decir, una
aceleración centrípeta, ya que la rapidez
tangencial es una constante.
Si existe un movimiento circular NO
uniforme, el sistema en rotación tiene una
aceleración angular, y tenemos tanto una
aceleración centrípeta lineal que está
cambiando (porque vt está cambiando) así
como una aceleración tangencial lineal.
ACELERACIÓN
CENTRÍPETA
TANGENCIAL
Se debe al cambio en la
dirección de la
velocidad tangencial
Se debe a cualquier
cambio en la magnitud de
la velocidad tangencial
→
→
Los vectores a t y a c
son siempre
perpendiculares entre sí
→
→
Los vectores a t y a c
son siempre
perpendiculares entre sí
Relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional
MOMENTO DE INERCIA Y
ENERGÍA CINÉTICA
ROTACIONAL
Energía cinética rotacional
MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia para un sistema de
partículas puntuales que rotan en torno a un eje
fijo es I =
,
donde mi es la masa de la
partícula puntual y ri es la distancia de la
partícula puntual al eje de rotación.
La energía cinética rotacional es la energía
cinética de rotación de un cuerpo rígido o
sistema de partículas en rotación, y viene
dada por K =
, donde I es el momento
de inercia, o "masa rotacional" del cuerpo
rígido o
sistema de partículas.
10.5
Calcular Momentos de Inercia
I = ∑ mi ri^2
r= Distancia al eje de rotación
m= Masa del objeto
Ejemplo para el entendimiento
I1 = mR^2 + mR^2 2mR^2
I2 = m(0)^2 + m(2R)^2 =4mR^2
Ya que necesitamos piezas de masa
infinitesimalmente pequeñas, nos apoyamos de la
integral
Como no podemos integrar la
masa, utilizamos la densidad de la
masa (lamda)
El Teorema del
Eje Paralelo
EJERCICIO
Arialle
TORQUE
El torque es la fuerza la cual es
aplicada a un cuerpo que esta sobre
un eje o punto y este tendrá un
movimiento de rotación.
A la hora de calcular el torque cuando
se ejercen distintos de estos, con
variaciones en el sentido, ángulo o
distancia sobre el mismo cuerpo, se
hará la sumatoria de estos calculando
el torque neto.
EJEMPLO
F1 = 20 N
F2 = 30N
F3 = 30N
r = 0.5 M
SOLUCIÓN
t1 = +r*F1*sen(150°) = (0.5m)(20N)(0.5) = 5 N*m
t2= -r*F2*sen(90°) = (0.5m)(30N)(1) = -15 N*m
t3 = r*F3*sen(180°) = (0.5m)(20N)(0) = 0 N*m
Tneto = t1 + t2 + t3 = (5 N*m) + (-15 N*m) + (0 N*m) = -10 N*m
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA
LA ROTACIÓN
El torque es el analogo de fuerza en
movimiento rotacional, por lo que se le
puede aplicar la segunda ley de newton a
este movimiento, pero al ser un
movimiento
rotacional
debemos
de
analizarlo con la aceleración angular la
cual es a = r*α , por lo que sustituyendo
esto en la formula de a = F/m obtenemos
que r*α = F/m despejando obtenemos:
F = m*r*α
F=m*a
TRABAJO Y POTENCIA EN EL
MOVIMIENTO ROTACIONAL
El trabajo rotacional es el
movimiento de una partícula
se
realiza
cuando
esta
describe circunferencias de
radio r al rededor de un eje de
giro .
dW = F*r*dθ = τ*dθ
Δx = r*dθ
dW = F*Δθ
PROBLEMA
Calcular el trabajo realizado por motor rotativo durante dos minutos con su funcion de torque con
respecto al tiempo dada por:
Por el teorema de de trabajo -energía sabemos
que Wi = ΔKi por lo que se puede utilizar para
toda partícula a la hora de hacer la suma de
las partículas y el cuerpo entero
EJEMPLO
Un torque de 12,0 N · m se aplica a un volante de inercia
que rota alrededor de un eje fijo y tiene un momento de
inercia de 30,0 kg · m2 . Si el volante de inercia está
inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad angular
después de girar ocho revoluciones?
SOLUCIÓN
τ = 12 N*m
I = 30 kg*m^2
θ = θb - θa = 8rev = 16πrad
Wab = (1/2) * I * (wb)^2 - (1/2) * I * (wa)^2
12N*m * 16πrad = (1/2) * (30 kg*m^2) * (wb)^2 - 0
wb = 6.3 rad/s
POTENCIA ROTACIONAL
La potencia es la cantidad de energía que se
necesita para acelerar un cuerpo haciéndolo
girar sobre un eje, o deternelo de algún
movimiento.
dW = F*Δθ
dW/dt = F*r*dθ/dt
φ = τω
φ = dW/dt
EJEMPLO
Un motor el cual funciona a 300 rev/min con un torque de
su piston a 2864 N*m. Calcula la potencia la cual necesita
el motor para funcionar
SOLUCIÓN
τ = 2864 N*m
w = 300 rev/min = 31.4rad/seg
φ = τω
φ = (2864N*m)*(31.4rad/seg) = 89,929.6 N *m/seg
CONCLUSIÓN