BUDAPESTI MŰSZAKI
M AT E M AT I K A
ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI
INTÉZET
EGYETEM
Alkalmazott algebra
B M E T E 9 0 M X 5 7 ( F E L S Ő B B M AT E M AT I K A I N F O R M AT I K U S O K N A K )
Diagonalizálhatóság
S A J ÁT É R T É K , SA J ÁTA LT É R , K VA D R AT I K U S A L A KO K , S P E K T R Á LT É T E L
Wettl Ferenc
A L G E B R A TA N S Z É K
1
2
Tartalomjegyzék
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Ortogonális és unitér diagonalizálás
Kvadratikus formák
3
Ismeretek, képességek, célok
-
-
-
Sajátérték, sajátaltér, sajátfelbontás, spektrálfelbontás,
algebrai és geometriai multiplicitás fogalma és kiszámítása
„tankönyvi” módszerrel, Gershgorin-körök, domináns
sajátérték, domináns főátlójú mátrix, hatványmódszer.
Speciális mátrixok sajátértékei, mátrix hatványainak
sajátértékei, Cayley–Hamilton-tétel.
A hasonlóságra invariáns újabb tulajdonságok, feltételek a
diagonalizálhatóságra, és az ortogonális (unitér)
diagonalizálhatóságra, Schur-felbontás.
Kvadratikus formák, főtengelytranszformáció, definitség,
főminorok, kongruencia, Sylvester-féle tehetetlenségi törvény.
Pozitív szemidefinit és definit mátrixok faktorizációi,
Cholesky-felbontás.
4
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Miért szeretjük a diagonális mátrixokat?
-
„úgy” lehet velük számolni, mint a számokkal: összeadás,
kivonás, szorzás, osztás (ha nincs a főátlóban 0), hatványozás
elemenként:
"
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
2 0
3 0
5 0
+
=
,
0 3
0 1
0 4
2
2 0 . 3 0
0
= 3
,
0 3
0 1
0 3
"
-
2 0
0 3
#"
2 0
0 3
#!
#3
"
#
"
#
3 0
6 0
=
,
0 1
0 3
"
#
8 0
=
.
0 27
#
2 0
p(2)
0
tetszőleges p polinomra p
=
.
0 3
0
p(3)
a standard egységvektorokat a saját konstansszorosukba
viszik, így könnyen „látjuk” a mátrixleképezés hatását:
"
2 0
0 3
#" #
" #
" #
1
2
1
=
=2
,
0
0
0
"
2 0
0 3
#" #
" #
" #
0
0
0
=
=3
.
1
3
1
5
Jó bázis választása
P Tükrözzük a 3-dimenziós tér vektorait a tér egy megadott
síkjára! Válasszunk e lineáris leképezés leírásához egy
megfelelő bázist, majd írjuk fel a tükrözés e bázisra vonatkozó
mátrixát!
M A sík egy bázisa {a, b}, a rá merőleges altér egy bázisa {c}.
A T leképezés hatása e vektorokon: Ta = a, Tb = b és Tc = −c.
Az {a, b, c} bázisban T mátrixa
1 0
0
0 1
0
.
0 0 −1
E bázisban egy tetszőleges (x, y, z) vektor tükörképe (x, y, −z).
6
Lineáris transzformációk sajátvektorai
D L! VF vektortér, L : V → V lineáris transzformáció. Amh az
x ∈ V, x 6= 0 vektor az L trafó sajátvektora, ha Lx k x, azaz ha
van olyan λ ∈ F szám, melyre Lx = λx.
Az ilyen λ számot az L lineáris transzformáció sajátértékének
nevezzük.
m Ha x sajátvektor, akkor minden cx (c 6= 0) is:
L(cx) = cLx = cλx = λ(cx),
azaz L(cx) = λ(cx).
Á A sajátvektorok alterei: Ha az L lin.trafónak λ egy sajátértéke,
akkor a λ-hoz tartozó sajátvektorok a nullvektorral együtt
alteret alkotnak, mely megegyezik a Ker(L − λI) altérrel.
B x 6= 0 sv. ⇐⇒ Lx = λx ⇐⇒ Lx − λx = 0 ⇐⇒ (L − λI)x = 0
⇐⇒ x ∈ Ker(L − λI).
7
Sajátaltér
D Az L lin.trafó λ sajátértékhez tartozó sajátvektorai és a 0
alkotta alteret a λ s.é.-hez tartozó sajátaltérnek nevezzük.
P
1. L! VF vektortér, I az identikus leképezés. Ekkor a tetszőleges
c ∈ F számra a cI leképezésnek a V tér minden nemnulla
vektora a c számhoz tartozó sajátvektora.
2. L! VR a valósok halmazán akárhányszor diffható valós
függvények tere és D : V → V; f 7→ f0 . D sajátvektora eλx , ami épp
a λ sajátértékhez tartozik, mert (eλx )0 = λeλx .
3. A sík α 6= kπ szöggel való elforgatásának nincs sajátvektora.
F Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér?
1.
2.
3.
4.
5.
a sík vektorainak tükrözése egy egyenesre;
a sík vektorainak merőleges vetítése egy egyenesre;
a tér vektorainak forgatása egyenes körül α 6= kπ szöggel;
a tér vektorainak merőleges vetítése egy síkra;
a tér vektorainak tükrözése egy síkra.
8
Mátrixleképezés sajátértéke, sajátvektora, sajátaltere
D L! F test. Amh a λ ∈ F szám az A ∈ Fn×n mátrix sajátértéke, ha
létezik olyan x 6= 0 vektor, melyre Ax = λx.
Az ilyen x vektorokat az A mátrix λ sajátértékhez tartozó
sajátvektorainak, az általuk a 0 vektorral alkotott alteret az A
sajátalterének, a (λ, x) párokat az A sajátpárjainak nevezzük.
y 6= 0 bal sajátvektor, ha yT A = λyT , azaz ha y az AT sajátvektora.
2
P (−1, (2, 1)) és (2, (1, 2)) egy-egy sajátpárja a [ −2
−2 3 ] mátrixnak,
míg (−1, (2, −1)) és (2, (1, −2)) egy-egy bal sajátpárja, mert
"
h
#" #
"
"
i −2
#
−2 2
−2 3
2 −1
#
2
−2
=
,
1
−1
"
−2 2
−2 3
h
i
2
= −2 1 ,
−2 3
#" #
" #
1
2
=
,
2
4
h
"
i −2
1 −2
#
h
i
2
= 2 −4 .
−2 3
9
Hogyan találjuk meg a sajátértékeket?
Á λ pontosan akkor sajátértéke A-nak, ha det(A − λI) = 0.
B λ sajátérték, ha ∃ x 6= 0 sv. ⇐⇒ Ax = λx ⇐⇒ Ax − λx = 0
⇐⇒ x megoldása (A − λI)x = 0 egyenletnek ⇐⇒
x ∈ N (A − λI) ⇐⇒ N (A − λI) 6= {0} ⇐⇒ det(A − λI) = 0.
D L! A ∈ Fn×n . A χ(λ) = det(A − λI) polinomot az A mátrixhoz
tartozó karakterisztikus polinomnak nev.
A χ(λ) = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus
egyenletének nevezzük.
m Néhol a kar. pol. det(λI − A), ami mindig 1-főegyütthatójú, de a
konstans tag nem mindig a determináns.
10
Karakterisztikus polinom felírása
P Határozzuk meg az
"
A=
#
a b
,
c d
1 a b
B = 0 1 c
,
0 0 1
a b c
C = 1 0 0
.
0 1 0
mátrixok karakterisztikus polinomját!
M Minden 2 × 2-es mátrixra:
det(A − λI) =
a−λ
b
= (a − λ)(d − λ) − bc
c
d−λ
= λ2 − (a + d)λ + (ad − bc)
= λ2 − trace(A)λ + det A.
nyom, determináns!
11
Karakterisztikus polinom felírása (folyt)
1−λ
a
b
det(B − λI) = 0
1−λ
c = (1 − λ)3 .
0
0
1−λ
a−λ b
c
det(C − λI) =
1
−λ 0
0
1 −λ
= (a − λ)λ2 + bλ + c
= −λ3 + aλ2 + bλ + c.
12
Háromszögmátrixok sajátértékei
T A háromszögmátrixok és így a diagonális mátrixok sajátértékei
megegyeznek a főátló elemeivel.
B A háromszögmátrix ⇝ A − λI is ⇝
det(A − λI) = (a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ) = 0,
aminek a gyökei aii (i = 1, . . . , n). Így ezek az A sajátértékei.
13
Determináns, nyom és a sajátértékek
T Ha az n-edrendű A mátrix sajátértékei λ1 ,…, λn , akkor
det(A) = λ1 λ2 . . . λn
trace(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn
A determináns a konstans tag, a nyom a (−λ)n−1 együtthatója
a karakterisztikus polinomban.
B A karakterisztikus polinom gyöktényezős alakja:
det(A − λI) = (λ1 − λ)(λ2 − λ) . . . (λn − λ)
-
λ = 0 behelyettesítése után kapjuk, hogy det(A) = λ1 λ2 . . . λn .
(−λ)n−1 szorzat a determináns kígyók determinánsainak
összegére bontása alapján csak az
(a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ) szorzatból kapható, onnan pedig
P
az épp i aii = trace(A).
14
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Sajátaltér
Sajátértékek és sajátvektorok meghatározása
m Tankönyvi módszer:
1. det(A − λI) = 0 gyökeinek meghatározása (sajátértékek)
2. ∀ λ: N (A − λI) bázisának meghatározása (a nulltér
nemzérus vektorai a sajátvektorok)
P
0 1 1
0
2 0
0 0 2
M
1. felső háromszögmátrix: λ1 = 0, λ2 = λ3 = 2
2. λ = 0:
1
0 1 0
0 1 1
x =0
0 2 0 ⇝ 0 0 1 ⇝ 2
⇝ t0
x3 = 0
0
0 0 0
0 0 2
15
λ2 = λ3 = 2:
−2 1 1
2 −1 −1
0 0 0 ⇝ 0
⇝ 2x1 − x2 − x3 = 0
0
0
0 0 0
0
0
0
1/2
1/2
(s + t)/2
.
+
t
⇝
=
s
0
1
s
1
0
t
Tehát a két sajátaltér span((1, 0, 0)) és
span((1/2, 1, 0), (1/2, 0, 1)).
16
Karakterisztikus polinom és a racionálisgyök-tétel
1 2 2
P A = 2 1 2
3 3 2
1−λ
2
2
M |A − λI| = 2
1−λ
2 = −(λ3 − 4λ2 − 11λ − 6)
3
3
2−λ
racionálisgyök-tétellel: λ1 = λ2 = −1 és λ3 = 6.
λ1 = λ2
= −1:
2 2 2
1 1 1
A+I=
2 2 2 ⇝ 0 0 0 ⇝ x1 + x2 + x3 = 0.
3 3 3
0 0 0
−1
−1
−s − t
= s 1 + t 0,
⇝
s
1
0
t
17
λ3 = 6:
−5
2
2
1 0 −2/3
x1
−
A−6I = 2 −5
⇝
2 ⇝ 0 1 −2/3
x2 −
3
3 −4
0 0
0
2
x3 = 0
3
2
x3 = 0.
3
x3 = 3t paraméterválasztással
2t
2
2t = t2.
3t
3
-
−1
−1
2
1 , 0, span 2.
A sajátalterek: span
0
1
3
18
2 × 2-es mátrixok sajátvektorainak szemléltetése
P Határozzuk meg a következő mátrixok sajátértékeit és
sajátvektorait.
"
A=
5
4
3
4
3
4
5
4
M
|D − λI| =
"
λ1 = i :
#
,
B=
− 43 − λ
− 45
− 43 − i
− 45
"
λ2 = −i :
"
− 43 + i
− 45
3
4
3
4
3
4
5
4
5
4
3
4
5
4
−λ
#
,
− 45
C=
− 43
3
4
5
4
#
"
,
− 43
D=
− 45
"
#
1 − 53 + 45 i
=⇒
amiből x1 =
−i
0
0
3
4
5
4
3
4
#
"
#
"
1 − 53 − 45 i
=⇒
amiből x2 =
+i
0
0
5
4
#
.
= λ2 + 1
#
5
4
"
3
5
#
− 45 i
,
1
"
3
5
#
+ 45 i
.
1
19
5
χA (λ) = λ − λ + 1,
2
1
λ1 = 2, λ2 = ,
2
3
χB (λ) = λ2 − λ − 1,
2
1
λ1 = 2, λ2 = − , x1
2
χC (λ) = λ2 − 1,
λ1 = 1, λ2 = −1,
x1
χD (λ) = λ2 + 1,
λ1 = i, λ2 = −i,
x1
2
λ=2
λ=2
x1
" #
" #
1
1
=
, x2 =
.
1
−1
" #
" #
1
1
.
=
, x2 =
1
−1
" #
" #
1
3
=
, x2 =
.
3
1
"
#
"
#
3
3
− 45 i
+ 45 i
5
5
=
, x2 =
.
1
1
λ=1
λ = −1
λ = 0.5
λ = −0.5
20
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Komplex és többszörös sajátértékek
A karakterisztikus egyenlet komplex gyökei
P Határozzuk meg a sajátértékeit és sajátvektorait
"
A=
1
√2
3
2
M A karakterisztikus egyenlet
-
√
1
3
−
λ
−
2√
2
3
1
2
2 −λ
√
1
3
+
2
2 i:
A−
=
1
−λ
2
2
√
1
2
3
2
#
∈ C2×2
√ !2
√
3
1
3
2
+
= λ −λ+1 ⇝ λ = ±
i
2
2 2
√ #
" √
"
#
√ !
−√23 i −√23
1 −i
3
1
+
i I=
⇝
⇝ x − iy = 0.
3
2
2
0 0
− 23 i
2
" #
⇝
−
" #
" #
x
it
i
=
=t
.
y
t
1
21
-
1
2
−
√
3
2 i:
A−
" #
⇝
√ #
"√
"
#
√ !
3
3
i
−
1
i
1
3
2
2
√
−
i I = √3
⇝
⇝ x + iy = 0.
3
2
2
0 0
2
2 i
"
#
"
#
−it
−i
x
=
=t
y
t
1
22
Többszörös gyökök: algebrai és a geometriai multiplicitás
D a λ sajátérték algebrai multiplicitása ma (λ) = „a λ
multiplicitása a karakterisztikus polinomban”.
D a λ geometriai multiplicitása mg (λ) = „a λ sajátértékhez
tartozó
sajátaltér
dimenziója”.
4 1 0
P A=
0 4 1
0 0 4
M (4 − λ)3 ,
a 4 algebrai
multiplicitása
3.
0 1 0
x
t
1
A − 4I = 0 0 1 ⇝ y = 0 = t 0
.
0 0 0
z
0
0
A λ = 4 sajátérték geometriai multiplicitása tehát 1.
T ∀λ sajátértékre: 1 ≤ mg (λ) ≤ ma (λ).
23
Többszörös gyökök: algebrai és a geometriai multiplicitás
1 0 0 0
0 1 0 0
P B=
, (1 − λ)2 (2 − λ)2 , gyökei 1 és 2
0 0 2 1
0 0 0 2
0 0 0 0
x
s
1
0
0 0 0 0
y t
0
1
λ = 1: B − λI =
⇝ = = s + t .
0 0 1 1
z 0
0
0
0 0 0 1
w
0
0
0
mg (1) = ma (1) = 2
−1
0 0 0
x
0
0
0 −1 0 0
y 0
0
λ = 2: B − λI =
. ⇝ = = t .
0
z t
1
0 0 1
0
0 0 0
w
0
0
mg (2) = 1, ma (2) = 2
24
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Mátrixhatványok és speciális mátrixok
Sajátértékek és a mátrix hatványai
T Az A pontosan akkor invertálható, ha a 0 nem sajátértéke.
B det(A − 0I) 6= 0 ⇐⇒ det(A) 6= 0 ⇐⇒ A invertálható
T Ha (λ, x) az A-hoz tartozó sajátpár, akkor bármely egész n
esetén (λn , x) az An -hez tartozó sajátpár, ha λn és An is
értelmezve van.
B n = 0, n = 1: trivi, n > 2:
Ak x = A(Ak−1 x) = A(λk−1 x) = λk−1 (Ax) = λk−1 (λx) = λk x.
invertálható: Ax = λx, amiből λ1 x = A−1 x, azaz λ−1 x = A−1 x.
negatív kitevő: Ak x = λk x, amiből λ−k x = A−k x.
25
Sajátértékek és a mátrix hatványai
T
Mátrix hatványainak hatása
A ∈ Rn×n , (λ1 , x1 ), … (λk , xk ) sajátpárok. Ha
v = c1 x1 + c2 x2 + . . . + ck xk , akkor bármely egész m esetén
m
m
Am v = c 1 λ m
1 x1 + c2 λ2 x2 + . . . + ck λk xk .
m
B A v=A
m
k
X
i=1
!
c i xi
=
k
X
i=1
ci Am xi =
k
X
ci λm
i xi
i=1
26
Speciális mátrixok sajátértékei
Á Speciális valós mátrixok: Legyen A valós mátrix,
• ha A szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós,
• ha A ferdén szimm., akkor minden s.ért.-e imaginárius,
• ha A ortogonális, akkor minden s.é. absz. értéke 1,
• A pontosan akkor nilpotens, ha minden sajátértéke 0, azaz
karakterisztikus polinomja λn .
B Legyen (λ, x) egy A-hoz tartozó sajátpár. xH Ax = xH λx = λkxk2 .
Vegyük mindkét oldal adjungáltját xH AH x = λ̄kxk2 . L! λ = a + ib.
- Ha A szimmetrikus (AT = A), akkor λ = λ̄, azaz a + ib = a − ib.
- Ha A ferdén szimmetrikus, azaz AT = −A, akkor a + ib = −a + ib.
- A ortogonális: bármely x-re kAxk = kxk. Ha x sajátvektor, akkor
kxk = kAxk = kλxk = |λ|kxk
- Ha Ak = O, akkor λk sajátértéke Ak = O-nak, így A-nak minden
sajátértéke 0. Megfordítás a Cayley–Hamilton-tételből!
27
Speciális mátrixok sajátértékei 2.
T
Speciális komplex mátrixok sajátértékei
Ha az n-edrendű komplex A mátrix
• önadjungált, akkor minden sajátértéke valós,
• ferdén önadjungált, akkor minden sajátértéke imaginárius,
• unitér, akkor minden sajátértékének 1 az abszolút értéke.
28
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
Diagonalizálhatóság
Hasonlóság
T Ha A ∼ B, akkor A és B karakterisztikus polinomja, sajátértékei,
azok algebrai és geometriai multiplicitásai megegyeznek.
B A = C−1 BC:
A − λI = C−1 BC − λC−1 IC
= C−1 (BC − λIC)
= C−1 (B − λI)C,
Hasonló mátrixoknak pedig determinánsuk és nullterük
dimenziója is azonos.
K Lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja
definiálható.
D L! VF véges dimenziós vektortér, az L : V → V lineáris
transzformáció karakterisztikus polinomja = bármely bázisban
felírt mátrixának karakterisztikus polinomjával.
29
Diagonalizálhatóság
D Az A mátrix (az L lineáris transzformáció) diagonalizálható, ha
van olyan bázis, melyben mátrixa diagonális. (A esetén ez azt
jelenti, hogy hasonló egy diagonális mátrixhoz: Λ = C−1 AC.)
T
A diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Az A mátrix (az L lineáris transzformáció) diagonalizálható
⇐⇒ van n lineárisan független sajátvektora.
B Λ = C−1 AC ⇐⇒ CΛ = AC
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
[x1 | x2 | · · · | xn ] .
= A[x1 | x2 | · · · | xn ]
.. . .
..
..
. .
.
0 0 . . . λn
és e két mátrix i-edik oszlopa λi xi = Axi .
30
Bal sajátvektorok és a sajátfelbontás diadikus alakja
D Mátrix sajátfelbontása: A = CΛC−1 (C oszlopai a sajátvektorok,
Λ diagonális elemei a hozzájuk tartozó sajátértékek)
m det(A − λI) = det((A − λI)T ) = det(AT − λI) ⇝ a bal és jobb
sajátértékek azonosak
m ΛC−1 = C−1 A ⇝ C−1 sorvektorai A bal sajátvektorai
D Sajátfelbontás diadikus alakja:
A = CΛC−1
λ1 0 . . . 0
yT
1T
0 λ2 . . . 0 y
2
= [x1 x2 . . . xn ] .
.
.. . .
..
..
.
. .
.
.
0 0 . . . λn yTn
= λ1 x1 yT1 + λ2 x2 yT2 + · · · + λn xn yTn
31
Diagonalizálható mátrix polinomja, Cayley–Hamilton-tétel
T Legyen A = CΛC−1 , ahol Λ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ), és p(x) egy
tetszőleges polinom. Ekkor
p(λ1 )
0
...
0
0
p(λ2 ) . . .
0
−1
p(A) = C .
C .
..
..
..
..
.
.
.
0
0
. . . p(λn )
B A mátrix diagonalizálható ⇝ A = CΛC−1 ⇝
A2 = CΛC−1 CΛC−1 = CΛ2 C−1 …tetszőleges nemnegatív k egészre
Ak = CΛk C−1 ⇝ bármely p(x) polinomra p(A) = Cp(Λ)C−1 .
T Cayley–Hamilton-tétel: Ha A egy tetszőleges négyzetes mátrix,
melynek karakterisztikus polinomja χA , akkor χA (A) = O.
m Ha A diagonalizálható, akkor trivi, ui. ha χA az A
karakterisztikus polinomja, λ egy sajátértéke, akkor χA (λ) = 0.
32
Különböző sajátértékek sajátalterei
T Ha λ1 , λ2 ,… λk különböző sajátértékek, akkor a hozzájuk tartozó
x1 , x2 ,… xk sajátvektorok lineárisan függetlenek.
*
B TFH összefüggők, és xi a legkisebb indexű, mely csak a kisebb
indexűektől függ: xi = c1 x1 + . . . + ci−1 xi−1 ,
de az i-nél kisebb indexűek lineárisan függetlenek.
Axi = A(c1 x1 + . . . + ci−1 xi−1 ) = c1 Ax1 + . . . + ci−1 Axi−1 ,
λi xi = c1 λ1 x1 + . . . + ci−1 λi−1 xi−1 .
Másrészt: λi xi = c1 λi x1 + . . . + ci−1 λi xi−1 .
Kivonva: 0 = c1 (λi − λ1 )x1 + . . . + ci−1 (λi − λi−1 )xi−1 ,
Mivel az x1 ,…, xi−1 vektorok lineárisan függetlenek,
c1 = · · · = ci−1 = 0, xi = 0, ellentmondás.
K A diag.-hatóság egy elégséges feltétele: Ha az n-edrendű A
mátrixnak n darab különböző sajátértéke van, akkor diag.-ható.
33
Sajátértékek multiplicitása és a diagonalizálhatóság
K A különböző sajátalterek bázisainak uniója lineárisan
független vektorokból áll.
T
Diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Egy n-edrendű valós vagy komplex négyzetes mátrix
pontosan akkor diagonalizálható, ha a sajátértékeihez
tartozó geometriai multiplicitások összege n.
K Egy F test fölötti n-edrendű mátrix pontosan akkor
diagonalizálható, ha az Fn tér előáll sajátaltereinek direkt
összegeként.
P melyik esetben lesz a tér sajátalterek direkt összege?
• vetítés egyenesre, síkra, altérre, hipersíkra,
• tükrözés egyenesre, síkra, hipersíkra,
• forgatás egy egyenes körül a térben (nem
diagonalizálható)!
34
m Blokkosításból:
λ1 I O . . . O
YT
1T
O λ2 I . . . O
Y
h
i
2
Λ= .
, C = X1 X2 . . . Xk , C−1 = . .
.
.
.
..
..
..
..
..
O O . . . λk I
YTk
Az A = CΛC−1 felbontás:
h
A = CΛC−1 = X1 X2
λ1 I O . . . O
YT
1T
i O λ2 I . . . O Y2
. . . Xk .
..
..
..
..
...
.
.
.
O O . . . λk I YTk
= λ1 X1 YT1 + λ2 X2 YT2 + · · · + λk Xk YTk
= λ1 P1 + λ2 P2 + · · · + λk Pk ,
ahol Pi = Xi YTi a λi sajátértékhez tartozó mátrix, melyre:
35
Diagonalizálható mátrixok spektrálfelbontása
T
Diagonalizálható mátrixok spektrálfelbontása
A {λ1 , λ2 , . . . , λk } spektrumú A mátrix pontosan akkor
diagonalizálható, ha felírható
A = λ1 P1 + λ2 P2 + · · · + λk Pk
alakban, ahol
• P1 + P2 + · · · + Pk = I,
• Pi Pj = O, ha i 6= j,
• Pi az N (A − λi I) sajátaltérre vetít O(A − λi I) mentén.
D A spektruma a σ(A) = {λ1 , λ2 , . . . , λk } halmaz.
B CC−1 = I (Pi = Xi YTi ) ⇝ P1 + P2 + · · · + Pk = I.
C−1 C = I ⇝ YTi Xi = I, YTi Xj = O (i 6= j) ⇝ Pi Pj = Xi YTi Xj YTj = O.
P2i = Xi (YTi Xi )YTi = Xi YTi = Pi , azaz Pi vetítés.
36
Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
A sajátérték kiszámítása
Gersgorin-körök
D Gersgorin-körök: Az n × n-es valós vagy komplex A mátrix
osz
Gersgorin-körein az aii közepű, és rsor
sugarú Gsor
i
i , illetve ri
osz
sugarú Gi köröket értjük (i = 1, 2, . . . , n), ahol
rsor
=
i
n
X
j=1
j6=i
|aij |,
rosz
=
i
n
X
|aji |.
(1)
j=1
j6=i
37
4
P Az A = 2
0
Gsor
2
−4 0
0 0 mátrix Gersgorin körei:
1 8
Gsor
1
Gsor
3
Gosz
2
Gosz
1
Gosz
3
38
Gersgorin-körök
T A valós vagy komplex n × n-es mátrix.
S
S osz
S sor S osz • σ(A) ⊆ i Gsor
∩ i Gi ,
i Gi
i , σ(A) ⊆ i Gi , σ(A) ⊆
sor
• Ha a Gi körök egy k-elemű részhalmaza diszjunkt a
maradék n − k kör mindegyikétől, akkor uniójuk
multiplicitással számolva pontosan k sajátértéket
tartalmaz.
B* (λ, x) sajátpár, maxi |xi | = 1, tehát |xj | ≤ 1 (j = 1, 2, . . . , n).
P
P
λ = λxi = [λx]i = [Ax]i = j aij xj , így λ − aii = j6=i aij xj , tehát
|λ − aii | =
n
X
j=1
j6=i
aij xj ≤
n
X
j=1
j6=i
|aij ||xj | ≤
n
X
|aij | = rsor
i .
j=1
j6=i
B(r) = rA + (1 − r) diag(a11 , . . . , ann ), így
B(0) = diag(a11 , . . . , ann ), B(1) = A. Változzék r folyamatosan
0-tól 1-ig.
39
K Minden soronként (oszloponként) domináns főátlójú valós
X
vagy komplex mátrix invertálható. (|aii | >
|aij | vagy
|aii | >
X
j6=i
|aji |)
j6=i
B Gersgorin-körei nem tartalmazzák az origót.
P A következő mátrixok biztosan invertálhatóak:
4
1
1
1
0 1 2
6 2 1
,
3 9 4
2 4 8
n 1 ... 1
1 n . . . 1
. . .
. . ...
.. ..
1 1 . . . n n×n
40
Hatványmódszer
D Egy sajátérték szigorúan domináns, ha egyszeres
multiplicitású, és abszolút értékben nagyobb az összes
többinél. (szigorúan domináns sajátvektor, sajátaltér, sajátpár)
m A ∈ Rn×n , ha λ1 szig. dom. s.é., azaz |λ1 | > |λ2 | ⩾ · · · ⩾ |λm |,
akkor λ1 valós, egyébként λ1 is sajátérték lenne.
Legyen v = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm xm , k > 0 egész:
Ak v = c 1 Ak x1 + c 2 Ak x2 + · · · + c m Ak xm
= c1 λk1 x1 + c2 λk2 x2 + · · · + cm λkm xm .
Ekkor λk1 -val való osztás után k → ∞ esetén
1 k
λ2
A v = c1 x1 + c2
k
λ1
λ1
k
x2 + · · · + c m
λm
λ1
k
xm → c 1 x1 ,
Tehát ha c1 6= 0, akkor Ak x iránya tart a domináns sajátvektor
irányához.
41
T Hatványmódszer: Ha λ1 az A ∈ Rn×n mátrix szigorúan
domináns sajátértéke, akkor létezik olyan x0 vektor, hogy az
xk = Ak x0 vektorok által kifeszített alterek sorozata a domináns
sajátaltérhez konvergál, míg
"
P Legyen A =
k
Ak x
#
1
0
1
0.9
−0.7
x0
→ λ (Rayleigh hányadosok).
1.7
0.9
.
0.9 −0.7
0
" # "
xTk Axk
xTk xk
#
"
2
0.9
1.3
#
"
3
2.7
−0.1
# "
4
#
4.5
2.5
"
5
9.9
2.3
#
"
6
18.9
7.3
# "
7
#
38.7
11.9
x2
x4
x6
x7
x5
x3
x1
42
Ortogonális és unitér diagonalizálás
Valós mátrixok ortogonális diagonalizálása
D Az A ∈ Rn×n mátrix ortogonálisan diagonalizálható, ha van
olyan Q ortonormált bázis, melyben diagonális alakú, másként
fogalmazva ha találunk egy ortogonális Q és egy diagonális Λ
mátrixot, hogy QT AQ = Λ (a két megfogalmazás közti kapcsolat:
Q a E ← Q áttérés mátrixa).
L! L : VR → VR lineáris transzformáció, ahol VR végesdimenziós
valós euklideszi tér. Az L lineáris transzformáció ortogonálisan
diagonalizálható, ha van olyan Q ortonormált bázis, melyben
mátrixa diagonális alakú.
Á Szimmetrikus mátrix bármely két különböző sajátaltere
merőleges egymásra.
B (λ, x) és (µ, y) két sajátpár, λ 6= µ
λ(xT y) = (λx)T y = (Ax)T y = xT AT y = xT Ay = xT µy = µ(xT y).
43
Valós spektráltétel
T
Valós spektráltétel (ort. diag–hatóság szüks. és elégs. felt.)
A valós A mátrix pontosan akkor diagonalizálható
ortogonálisan, ha szimmetrikus.
B (⇒) AT = (QΛQT )T = (QT )T ΛT QT = QΛQT = A.
(⇐) teljes indukció, n = 1 OK.
A szimmetrikus, így minden sajátértéke valós. (λ, u1 ) egy
sajátpár, u1 -et kigészítjük ONB-sá: Q0 = [u1 u2 . . . un ].
T
u1
uT2
QT0 AQ0 = . A u1
..
uTn
T
u2
...
un
u1
uT2
= . Au1
..
u1
uTn
...
Aun
uTn
T
uT2
= . λu1
..
Au2
Au2
...
Aun =
λ
0
∗
A1
= B,
44
-
T
BT = (QT0 AQ0 )T = QT0 AT Q0 = QT0 AQ0 = B, ⇝ B = [ λ0 0A1 ] és A1
szimm.
B ∼ A ⇝ sajátértékeik megegyeznek ⇝ A1 minden sajátértéke
A-nak is sajátértéke ⇝ (teljes indukció miatt) A1 = Q1 Λ1 QT1 .
T
Q = Q0 [ 01 Q0 1 ] ortogonális
"
T
Q AQ =
"
1 0T
Q0
0 Q1
#T
#!T
"
1 0T
A Q0
0 Q1
"
1 0T
1 0T
=
QT0 AQ0
0 Q1
0 Q1
"
#T "
"
#
1 0T
=
0 Q1
λ 0T
0 A1
#"
#!
#
#
"
1 0T
λ
0T
=
0 Q1
0 QT1 A1 Q1
#
λ 0T
=
.
0 Λ1
45
Schur-felbontás
T
Valós Schur-felbontás
Minden valós négyzetes A mátrix, melynek összes sajátértéke
valós, ortogonálisan hasonló egy T felső
háromszögmátrixhoz: ∃Q ortogonális: A = QTQT .
B Mint az előbb:
"
QT0 AQ0
#
λ vT
= B.
=
0 A1
Indukció: A1 = Q1 T1 QT1
#
"
#!T
"
#! "
#T
1 0T
1 0T
1 0T
1 0T
T
Q0 AQ0
A Q0
=
Q AQ = Q0
0 Q1
0 Q1
0 Q1
0 Q1
# "
#
#"
# "
"
#"
λ vT Q1
λ
vT Q1
1 0T λ vT 1 0T
=
.
=
=
T
T
0
T1
0 Q1 A1 Q1
0 Q1 0 A 1 0 Q 1
"
T
46
P Diagonalizálható-e az alábbi mátrix? Adjuk meg egy
Schur-felbontását!
"
#
13 −16
A=
9 −11
M Karakterisztikus polinom: (x − 1)2
-
sajátérték: λ1,2 = 1, sajátaltér: span((4, 3)).
"
ONB: {(4/5, 3/5), (−3/5, 4/5)}, Q =
"
-
Innen QT AQ =
#
4
5
3
5
− 53
#
4
5
1 −25
0
1
47
Hessenberg-mátrixok
D Felső Hessenberg-mátrix: a subdiagonális alatt minden elem
nulla.
1 2 3 4
2 3 4 5
P
0 1 9 9
0 0 2 1
T Minden valós négyzetes A mátrix, ortogonálisan hasonló egy H
felső Hessenberg-mátrixhoz, azaz van olyan Q ortogonális
mátrix, hogy A = QHQT .
48
Mátrixok unitér diagonalizálása
D A unitéren diagonalizálható, ha van olyan U unitér és Λ
diagonális mátrix, melyre UH AU = Λ (illetve A = UΛUH ).
D Az A ∈ Cn×n normális, ha AH A = AAH .
T
Unitér diag-hatóság szüks. és elégs. feltétele
Az A ∈ Cn×n mátrix pontosan akkor diagonalizálható
unitéren, ha normális.
T
Komplex Schur-felbontás
Minden komplex négyzetes A mátrix unitéren hasonló egy T
felső háromszögmátrixhoz: ∃U unitér: A = UTUH .
49
B* Unitér diag-hatóság szüks. és elégs. feltétel
- (⇒) A = UΛUH
AH A = (UΛUH )H (UΛUH ) = UΛH UH UΛUH = UΛH ΛUH
= UΛΛH UH = UΛUH UΛH UH = (UΛUH )(UΛUH )H = AAH .
-
(⇐) Schur: A = UTUH . Ha A normális, T is:
TH T = (UH AU)H (UH AU) = UH AH UUH AU = UH AH AU
t11
0
T=
..
.
0
[TTH ]11
= UH AAH U = UH AUUH AH U = (UH AU)(UH AU)H = TTH .
t12
t22
..
.
0
...
...
..
.
t1n
t2n
H
2
..
: ezért [T T]11 = kt11 k ,
.
...
tnn
k2
= kt11 + kt12 k2 + · · · + kt1n k2 , amiből t12 = · · · = t1n = 0.
Hasonlóan a [TH T]22 és a [TTH ]22 elemekből t23 = · · · = t2n = 0,
stb. Tehát T diagonális.
50
Kvadratikus formák
Kvadratikus formák
Multi- és bilineáris függvények
Multilineáris függvények
D Legyen V egy F test fölötti vektortér. Az m : V n → F
multilineáris függvény, ha minden változójában lineáris a többi
rögzítése mellett. n = 2 esetén bilineárisnak nev. Tehát a
b : V × V → F függvény bilineáris, ha bármely u, v, w ∈ V és
c ∈ F esetén
P
b(u + v, w) = b(u, w) + b(v, w),
b(cv, w) = c b(v, w),
b(u, v + w) = b(u, v) + b(u, w),
b(v, cw) = c b(v, w),
1. Az n-edrendű determináns a sorvektorainak multilineáris
függvénye, mivel minden sorában homogén és additív. A
2 × 2-es b(x, y) =
x1
y1
x2
= x1 y2 − x2 y1 determináns így
y2
bilineáris, ahol x, y ∈ R2 .
P
2. a skaláris szorzás Rn -ben bilineáris: x · y = ni=1 xi yi ,
3. b(x, y) = xT Ay bilineáris, ahol A ∈ Fn×n .
51
Szeszkvilineáris (komplex bilineáris) függvény és mátrixa
D Legyen V egy C fölötti vektortér. A b : V × V → C függvényt
komplex bilineáris függvénynek vagy szeszkvilineáris
függvénynek nevezzük, ha bármely u, v, w ∈ V és c ∈ C esetén
b(u + v, w) = b(u, w) + b(v, w),
b(cv, w) = c̄ b(v, w),
b(u, v + w) = b(u, v) + b(u, w),
b(v, cw) = c b(v, w),
azaz b „konjugált lineáris” az első változóban, a 2. rögzítése
mellett és lineáris a 2. változóban, az első rögzítése mellett.
P
1. b(x, y) = xH By, ahol B ∈ Cn×n ,
P
2. skaláris szorzás Cn -ben: x · y = xH y = ni=1 x̄i yi ,
52
Bilineáris függvény mátrixa – Gram-mátrix
D Legyen a VF vektortér egy bázisa C = {c1 , c2 , . . . , cn }. A
b : V × V → F (komplex) bilineáris függvény C bázisra
vonatkozó mátrixán, vagy Gram-mátrixán azt a B mátrixot
értjük, melyre
[B]ij = b(ci , cj ).
P Mi az R2 -beli skaláris szorzás – mint bilineáris függvény –
mátrixa a standard és a C = {(1, 1), (2, −1)} bázisokra nézve!
M b(x, y) = x · y, stan.bázis: b(ei , ej ) = δij ⇝ a Gram-mátrix
I.#
"
-
A C bázisra vonatkozóan B = [b(ci , cj )]ij = [ci · cj ]ij =
2 1
.
1 5
F Mi a 2 × 2-es determináns – mint sorvektorainak bilineáris
függvénye – mátrixa
"
#a fenti bázisokban (b(u,
" v) = #det(u, v))
0 1
0 −3
M [b(ei , ej )]ij =
, ill. B = [b(ci , cj )]ij =
.
−1 0
3
0
53
Bilineáris függvények mátrixai
T Legyen V egy F fölötti vektortér, C = {c1 , c2 , . . . , cn } egy bázisa,
egy x ∈ V vektor C bázisra vonatkozó koordinátás alakját jelölje
xC . Ha B a b : V × V → F bilineáris függvény mátrixa a C bázisra
vonatkozóan, akkor b(x, y) = xTC ByC (szeszkvilin.: xHC ByC ).
h
P A 2 × 2-es det: b(x, y) = x1 y2 − x2 y1 = x1 x2
i
"
0 1
−1 0
#" #
y1
y2
K A b : V × V → F bilineáris függvényhez annak C bázisra
vonatkozó Gram-mátrixát rendelő b → B leképezés bijekció a
bilineáris függvények és az Fn×n között, ahol
b(x, y) = xTC ByC .
(szeszkvilineáris függvényekre is, ahol b(x, y) = xHC ByC ).
54
Bilineáris függvény mátrixa báziscsere után
Á Legyen M a B-ről C-re való áttérés mátrixa, azaz xC = MC←B xB ,
yC = MC←B yB . Ekkor
b(x, y) = xTC ByC = xTB MT BMyB
D Azt mondjuk, hogy A és B kongruensek, jelölése A ∼
= B, ha van
T
olyan invertálható M mátrix, hogy A = M BM.
Á A∼
= B ⇐⇒ van olyan bilineáris függvény, melynek a két mátrix
a Gram-mátrixa két bázisban.
m Míg a lineáris leképezés mátrixa báziscsere esetén hasonló
mátrixra változik, addig bilineáris függvény mátrixa egy vele
kongruensre.
m Komplex bilineáris függvény esetén A = MH BM.
55
Szimmetrikus bilineáris függvények
D V F fölötti vektortér, b : V × V → F bilineáris fv. szimmetrikus,
ha bármely x, y ∈ V vektorra b(x, y) = b(y, x).
T Egy bilineáris b : V × V → R függvény pontosan akkor
szimmetrikus, ha mátrixa szimmetrikus (bármely bázisban),
B (⇒) b szimmetrikus ⇝ b(ci , cj ) = b(cj , ci ) ⇝ bij = bji ⇝ B
szimmetrikus
-
T
(⇐) b(x, y) = [b(x, y)]T = xT By
= yT BT x = yT Bx = b(y, x)
56
Szimmetrikus bilineáris alak diagonalizálhatósága
T
Főtengelytétel bilineáris függvényekre
Egy b bilineáris függvény pontosan akkor diagonalizálható, ha
szimmetrikus!
B (⇒) Ha b diagonalizálható, azaz valamely bázisban diagonális
a mátrixa, akkor szimmetrikus, hisz diagonális mátrix
szimmetrikus!
-
(⇐) Ha b szimmetrikus, akkor a B Gram-mátrixa is az
⇝ ∃ Q ortogonális mátrix, hogy QT BQ diagonális.
⇝ b(x, y) = xTQ QT BQyQ =
sajátértékei.
X
λi xi yi , ahol a λi értékek B
i
57
Á Ha a b bilineáris függvény diagonalizálható, akkor
diagonalizálható úgy is, hogy mátrixának főátlójában csak
±1-esek és 0-k állnak!
B Legyen Λ a b egy mátrixának diagonalizálásából származó
diagonális mátrixa. Legyen
di =
1,
√1
|λi |
ha λi = 0
ha λi 6= 0
⇝ A D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ) mátrixszal DT ΛD diagonális és
minden diagonális eleme ±1 vagy 0, másrészt kongruens Λ-val.
DT ΛD-ben az i-edik főátlóbeli elem sgn(λi )
58
P b(x, y) = 3(x1 y1 +x2 y2 +x3 y3 )+x1 y2 +x1 y3 +x2 y1 +x2 y3 +x3 y1 +x3 y2 .
Hozzuk diagonális alakra!
3 1 1
T
M A standard bázisban b(x, y) = x 1 3 1
y
1 1 3
E mátrix sajátértékei 2, 2, 5 (korábban meghatároztuk a
sajátvektorokból álló Q mátrixot is)
Q a E ← Q áttérés mátrixa, x és y koordinátás alakja a Q
bázisban xQ = (x̃1 , x̃2 , x̃3 ), yQ = (ỹ1 , ỹ2 , ỹ3 ) (tehát xQ = QT xE ).
⇝ b(x, y) = 2x̃1 ỹ1 + 2x̃2 ỹ2 + 5x̃3 ỹ3
⇝ de van olyan bázis is, melyben b(x, y) = x̃1 ỹ1 + x̃2 ỹ2 + x̃3 ỹ3
59
Sylvester-féle tehetetlenségi tétel
D A b szimmetrikus bilineáris függvény valamely D diagonális
mátrixában jelölje n+ a pozitív előjelű, n− a negatív előjelű és
n0 a zérus értékű diagonális elemek számát. A b szimmetrikus
bilineáris függvény tehetetlenségén (inerciáján) vagy
szignatúráján az (n+ , n− , n0 ) hármast értjük. Hasonlóan: egy
szimmetrikus mátrix tehetlenségén/szignatúráján egy vele
kongruens diagonális mátrix (n+ , n− , n0 ) hármasát értjük.
T
Sylvester-féle tehetetlenségi tétel
Két valós szimmetrikus mátrix pontosan akkor kongruens, ha
azonos a tehetetlenségük.
m Mindegy, hogy b mátrixát melyik bázisban diagonalizáltuk,
mindegyik mátrixhoz ugyanaz a (n+ , n− , n0 ) hármas tartozik,
azaz a tehetetlenség invariáns a kongruenciára nézve.
60
Kvadratikus formák
A kvadratikus forma és a főtengelytétel
Homogén másodfokú polinomok = kvadratikus alakok
P Másodfokú polinom mátrixszorzatos alakja: Írjuk fel az
x21 + 2x22 + 2x23 − 5x1 x2 − 3x2 x1 + 5x1 x3 − x3 x1 kifejezést
mátrixszorzatos alakban!
M A vegyes tagokat először összevonva, majd két egyenlő
együtthatójú részre bontva
x21 + 2x22 + 2x23 − 8x1 x2 + 4x1 x3
= x21 + 2x22 + 2x23 − 4x1 x2 − 4x2 x1 + 2x1 x3 + 2x3 x1
= x21 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 4x2 x1 + 2x22 + 0x2 x3 + 2x3 x1 + 0x3 x2 + 2x23
h
= x1 x2
i 1 −4 2 x1
x3
2 0
x2 .
−4
2
0 2 x3
D L! b egy bilineáris függvény. A q(x) = b(x, x) függvényt
kvadratikus alaknak vagy kvadratikus formának nevezzük.
61
Áttérés más bázisra
Á Másik bázisra való áttéréskor a b(x, y) bilineáris függvény B
mátrixa MT BM-re változik, így ez igaz a belőle képzett
q(x) = b(x, x) kvadratikus alakra is.
P Írjuk fel a q(x, y) = x2 − 6xy + y2 kvadratikus alakot a
C = {(2, 1), (3, 1)} bázisban!
"
#" #
h
i
1 −3 x
M A q mátrixszorzatos alakja x y
−3
1 y
"
#
2 3
, így
Az áttérés mátrixa C =
1 1
"
2 1
C AC =
3 1
T
#"
1 −3
−3
1
#"
#
"
#
2 3
−7 −8
=
1 1
−8 −8
Tehát a kvadratikus alak a C bázisban
h
ξ η
"
i −7
#" #
−8
−8 −8
ξ
= −7ξ 2 − 16ξη − 8η 2 .
η
62
Főtengelytétel kvadratikus alakokra
T
Főtengelytétel
A egy n-edrendű valós szimmetrikus mátrix, QT AQ = Λ
ortogonális diagonalizálása. Az x = Qy helyettesítés az xT Ax
kvadratikus formát az yT Λy kvadratikus formába
transzformálja, mely kifejtve csak négyzetes tagokat
tartalmaz, azaz
xT Ax = yT Λy = λ1 y21 + λ2 y22 + · · · + λn y2n ,
ahol λ1 , λ2 ,…, λn az A mátrix sajátértékei. Választható Q úgy,
hogy det(Q) = 1 legyen.
63
Kvadratikus formák
Kvadratikus alak jellege/definitsége
Kvadratikus formák és mátrixok definitsége
D Azt mondjuk, hogy az f(x) = xT Ax kvadratikus forma
•
•
•
•
pozitív definit, ha f(x) > 0,
pozitív szemidefinit, ha f(x) ≥ 0,
negatív definit, ha f(x) < 0,
negatív szemidefinit, ha f(x) ≤ 0
bármely x 6= 0 vektor esetén, és azt mondjuk, hogy f
• indefinit, ha pozitív és negatív értékeket is fölvesz.
A szimmetrikus A mátrixot pozitív/negatív
definitnek/szemidefinitnek, illetve indefinitnek nevezzük, ha a
hozzá tartozó kvadratikus forma az.
64
Példák definit és indefinit kvadratikus alakokra
P f(x, y) = x2 + 2y2 , g(x, y) = x2 − 2y2 , h(x, y) = −x2 − 2y2 ,
k(x, y, z) = x2 + 2y2
M f pozitív definit, hisz az (x, y) 6= (0, 0) esetén értéke pozitív, g
indefinit, h negatív definit, és k pozitív szemidefinit, hisz értéke
(x, y, z) 6= (0, 0, 0) esetén is lehet 0 (ha x = y = 0, de z 6= 0)
- szignatúráik: (2, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, 0), (2, 0, 1)
m Ha A negatív (szemi)definit, akkor −A pozitív (szemi)definit.
m Ha A = [a], akkor A pontosan akkor pozitív definit, ha a > 0.
m I pozitív definit, ugyanis xT Ix = xT x = kxk2 > 0, ha x 6= 0.
Á Tetszőleges A valós mátrix esetén AT A pozitív szemidefinit, és
pontosan akkor pozitív definit, ha A teljes oszloprangú.
B xT AT Ax = (Ax)T (Ax) = kAxk2 ⩾ 0.
- Ax = 0 (x 6= 0) ⇐⇒ A oszlopvektorai lineárisan összefüggők ⇝
AT A pozitív definit ⇐⇒ A teljes oszloprangú
65
Mátrix sajátértékei és definitsége
T A valós szimmetrikus A mátrix (xT Ax kvadratikus forma)
pontosan akkor
•
•
•
•
•
pozitív definit, ha A minden sajátértéke pozitív;
pozitív szemidefinit, ha A minden sajátértéke nemnegatív;
negatív definit, ha A minden sajátértéke negatív;
negatív szemidefinit, ha A minden sajátértéke nempozitív;
indefinit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is.
m Hasonló állítás igaz bármely A-val kongruens diagonális mátrix
főátlóbeli elemeire.
66
Főminorok és a definitség
D Válasszuk ki egy négyzetes mátrix néhány sorát, és
ugyanannyiadik sorszámú oszlopát, a többi sort és oszlopot
hagyjuk el. Az így kapott négyzetes részmátrix determinánsát a
mátrix főminorának nevezzük. Ha az első k sort és az első k
oszlopot választjuk ki, vezető főminorról beszélünk,
pontosabban a k-adrendű vagy k-adik vezető főminorról.
T Definit mátrixok főminorai és vezető főminorai A valós
szimmetrikus A mátrix, illetve az xT Ax kvadratikus forma
pontosan akkor
• pozitív definit, ha A minden főminora pozitív;
• pozitív szemidefinit, ha A minden főminora nemnegatív;
• pozitív definit, ha A minden vezető főminora pozitív;
• negatív definit, ha A minden páratlan rendű vezető
főminora negatív, páros rendű vezető főminora pozitív.
67
P Határozzuk meg az
2 1 1
A = 1 2 1
,
1 1 2
0 1 1
B = 1 0 1
,
1 1 0
−2
1
1
C = 1 −2
1
1
1 −2
mátrixok jellegét (definitségének típusát)!
M Az A mátrix sajátértékei 1, 1 és 4 ⇝ pozitív definit.
h
i 2 1 1 x h
i 1 0 0 ξ
y = ξ η ζ 0 1 0 η = ξ 2 +η 2 +4ζ 2
x y z
1
2
1
1 1 2 z
0 0 4 ζ
-
-
B sajátértékei −1, −1 és 2 ⇝ indefinit ((1, 0, 0)-ben negatív,
(0, 0, 1)-ben pozitív), a főtengely-transzformáció után:
−ξ 2 − η 2 + 2ζ 2
C sajátértékei −3, −3 és 0, így a főtengely-transzformáció után
kapott alak −3ξ 2 − 3η 2 + 0ζ 2 = −3ξ 2 − 3η 2 ⇝ negatív
szemidefinit ((0, 0, 1) helyen 0, és pozitív értéket nem vesz fel).
68
Kvadratikus formák
(Szemi)definit mátrixok faktorizációja
Pozitív szemidefinit mátrixok faktorizációja
T
Pozitív szemidefinit mátrixok faktorizációja
L! A ∈ Rn×n szimmetrikus. A köv. ekvivalensek:
1. A pozitív szemidefinit,
2. ∃ pozitív szemidefinit B, hogy A = B2 .
3. ∃ C mátrix, hogy A = CT C.
B egyértelmű, azaz egy pozitív szemidefinit mátrixnak egy
négyzetgyöke van a pozitív szemidefinit mátrixok közt.
B (1. ⇒ 2.) A szimmetrikus ⇝ A = QΛQT A pozitív szemidefinit
⇝ ∀i: λi ⩾ 0 ⇝ Λ főátlóbeli elemeiből négyzetgyök vonható ⇝
√
√
1
1
1
A = Q(Λ 2 )QT QΛ 2 QT = BB, ahol Λ 2 = diag( λ1 , . . . , λn ).
1
1
1
- (2. ⇒ 3.) C = B vagy C = Λ 2 QT jó: (A = Q(Λ 2 )T Λ 2 QT = CT C).
- (3. ⇒ 1.) korábban láttuk
- B egyértelműségének igazolása technikai.
69
"
#
9 −12
= B2 = CT C?
P Van-e olyan B és C mátrix, melyre A =
−12
16
3 4 ], így a
M Sajátértékek: 25, 0, a sajátvektorok mátrixa Q = 51 [ −4
3
sajátfelbontás:
"
3 4
1
A = QΛQ =
5 −4 3
#"
T
"
C=Λ
1/2
#
"
#
"
25 0 1 3 −4
0 0 5 4
3
#
"
#
#
5 0 1 3 −4
3 −4
Q =
=
0 0 5 4
3
0
0
T
"
3 4
1
B = QΛ1/2 QT =
5 −4 3
#"
#
"
#
"
5 0 1 3 −4
9 −12
1
=
5 −12
0 0 5 4
3
16
#
C = B is jó.
70
Pozitív definit mátrixok faktorizációja
T
Pozitív definit mátrixok faktorizációja
L! A ∈ Rn×n szimmetrikus. A következők ekvivalensek:
1. A pozitív definit,
2. az A = LU LU-felbontásban U minden főátlóbeli eleme
pozitív,
3. van olyan valós R felsőháromszög-mátrix, melynek
minden főátlóbeli eleme pozitív, és A = RT R.
4. van olyan invertálható valós C mátrix, hogy A = CT C,
A 3. pont szerinti R egyértelmű!
D Az A = RT R felbontást az A mátrix Cholesky-felbontásának
nevezzük.
71
P Adjuk meg az A mátrix Cholesky-felbontását, ahol
1 1 0
A = 1 5 2
0 2 2
B A mátrix pozitív definit (χA (x) = −x3 + 8x2 − 12x + 4) Az
LU-felbontás
1 0 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0 1 1 0
1
A = 1 1 0 0 4 2 = 1 1 0
0 4 0 0 1 2 ,
0 21 1 0 0 1
0 21 1 0 0 1 0 0 1
diag(1, 4, 1) = diag(1, 2, 1) diag(1, 2, 1) és az R = diag(1, 2, 1)LT ⇝
1 0 0 1 1 0
1 1 0
A = 1 5 2 = 1 2 0
0 2 1 .
0 1 1 0 0 1
0 2 2
72
