Lista 1 de Fı́sica Estatı́stica
Capı́tulo 1: Probabilidades
Prof. Gabriel Flores Hidalgo
UNIFEI/IFQ
(Dated: 06/09/2021)
.
1- Na jogada de um dado podem se obter os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6; cada um com probabilidade 1/6. Determinar a
média, o desvio quadrático médio (ou variança) e o desvio padrão (ou dispersão). Executar este jogo (a) realizando
50 lançamentos e (b) 100 lançamentos (Neste caso pode-se acrescentar 50 lançamentos aos 50 primeiros) registrando
os resultados, para determinar as médias e desvios correspondentes. Comparar com os valores teóricos obtidos. Os
resultados são conforme esperados? Comentar.
2- Determinar a probabilidade de obter em total, seis pontos ou menos, ao lançar três dados.
Resposta: 0,09
3-Um número é escolhido aleatóriamente, entre 0 e 1. Determine a probabilidade de que exatamente cinco
das suas primeiras 10 casas decimais, sejam dı́gitos menores que 5.
Resposta: 0,25
4- Determinar a função caraterı́stica, a média hxi e a dispersão σ, da variável aleatória real e contı́nua x,
quando descrita pelas seguintes densidades de probabilidades
1
, para |x| ≤ a, p(x) = 0, para |x| > a.
(a) p(x) =
2a
λ
(b) p(x) = e−λ|x| , λ > 0.
2
1
(x − x0 )2
(c) p(x) = √
exp −
, x0 = constante.
2σ 2
2πσ
a
(d) p(x) =
π(x2 + a2 )
2
√
2/λ; (c) exp − σ2 k 2 − ix0 k , x0 , σ; (d) e−a|k| , 0, ∞.
Respostas: (a) sen(ka)/(ka), 0, a; (b) λ2 /(λ2 + k 2 ), 0,
5- Considere o problema do caminho aleatório em uma dimensão, e determine hmj i, para j = 1, 2, 3, 4, onde
m = n1 − n2 , sendo n1 o número de passos à direita e n2 o número de passos à esquerda. Conside que as
probabilidades de deslocamento para a direita e para a esquerda são iguais.
Resposta: hmi = 0, hm2 i = N, hm3 i = 0, hm4 i = 3N 2 − 2N.
6- Um bêbado caminha a partir de um poste, dando passos para a frente ou para trás com igual probabilidade. Determine a probabilidade de que, após N passos, o bêbado volte ao poste se (a) N é par, (b) N é impar.
Resposta: (a) N !(1/2)N /(N/2)!2 , (b) 0.
7- Dois bêbados caminham aleatóriamente, a partir da mesma posição, com igual probabilidade de se movimentarem para a frente ou para trás. Considerando passos discretos do mesmo comprimento, e supondo que, ambos
bêbados dão passos simultâneamente, determine a probabilidade de estes se encontrarem no mesmo lugar após N
passos. O lugar de encontro não necessáriamente é igual ao ponto de partida.
Resposta: (2N )!2−2N /(N !)2 .
8- Na distribuição binomial
pN (n) =
N!
pn q N −n
n!(N − n)!
considere o caso onde p << 1 e N >> n. Nesse caso (a) usando ln(1 − p) ≈ −p, mostre que (1 − p)N −n ≈ e−N p . (b)
Mostre que N !/(N − n)! ≈ N n e usando esses resultados (c) mostre que pN (n), se redúz a
PN (n) =
λn −λ
e ,
n!
2
onde λ = pN = hni. A distribuição de probabilidade acima é chamada de distribuição de Poisson. (d) Mostre que
a distribuição de Poisson está normaliza a um. (e) Use a distribuição de Poisson para determinar hni e o desvio
quadrático médio.
Resposta: (e) hni = λ, h(n − n̄)2 i = λ.
9- A distruibuição de Poisson é util para descrever eventos muito raros, que acontecem independententemente
e cuja taxa média não muda no perı́odo de interesse. Exemplos incluem acidentes de trânsito num cruzamento em
partı́cular, número de erros tipográficos em uma página e o número de ativações em um contador Geiger. O primeiro
exemplo registrado do uso da distribuição de Poisson, devido ao próprio Poisson, estava conetado com o raro evento
de alguém sendo chutado até a morte por um cavalo, no exercito Prussiano. O número de mortes por chutes de
cavalo, de militares Prussianos, foi registrado para cada um das 10 tropas do exercito em cada um dos 20 anos entre
1875 e 1894. Os seguintes dados foram registrados
FIG. 1: Na primeira coluna temos o número de mortes por ano por tropas e na segunda coluna, o número de tropas em 20
anos onde esse eventos aconteceram. Por exemplo, zero mortes por ano foram observas em 109 tropas, uma morte por ano em
65 tropas, etc.
(a) Determine o número médio de mortes por ano por tropas. (b) Compare os valores da segunda coluna, com os
valores calculados supondo que o número de mortes por ano por tropas seguem a distribuição de Poisson, com média
igual à calculada no item anterior.
Resposta: (a) 0, 61 (b) Respectivamente 109; 66; 20; 4; 1 e 0 (Devem ser aproximados por inteiros sendo que são
números de tropas).
10- Considere que os erros de digitação em um livro são completamente aleatórios. Se um livro de 500 páginas
contém 500 erros, determine (a) a probabilidade que uma página não contenha erros (b) a probabilidade que uma
página contenha pelo menos três erros. Dica: Formule o problema em termos da distribuição binomial e para calcular
use a aproximação de Poisson.
Resposta: (a) 0, 37 (b) 0, 08.
11- Uma moeda é lançada 500 vezes, determine a probabilidade de obter 280 caras.
macão Gaussiana.
Resposta: 9, 7 × 10−4 .
Dica: Use a aproxi-
12- Considere o problema do caminho aleatório de uma partı́cula em uma dimensão, onde a cada passo, a
probabilidade de deslocamento entre s e s + ds, é ω(s)ds, onde
1
(s − l)2
ω(s) = √
exp −
.
2σ 2
2πσ 2
Se inicialmente a partı́cula está em x = 0, após N passos, determine (a) a densidade de probabilidade p(x), (b) o
2
deslocamento médio
hxi = x̄ e2 (c) o desvio
√quadrático médio h(x − 2x̄) i.
2
2
Resposta: (a) exp −(x − N l) /(2N σ ) / 2πN σ , (b) N l, (c) N σ .
13- Considere o problema do caminho aleatório de uma partı́cula em uma dimensão. Suponha agora que a
cada passo, o deslocamento da partı́cula é sempre para a direita, com probabilidade uniforme de estar em qualquer
ponto entre l − b e l + b, onde b < l. (a) Determine ω(s). (b) Se inicialmente a partı́cula está em x = 0, após N
passos, determine a densidade de probabilidade p(x), (c) o deslocamento médio hxi = x̄ e (d) o desvio quadrático
médio h(x − x̄)2 i.
Resposta: (a) ω(s) = 1/(2b) se l − b ≤ s ≤ l + b, ω(s) = 0 se s < l − b ou se s > l + b. (b)
3
R∞
−∞
dk exp(ikx − iklN )senN (kb)/(2πbN k N ). (c) N l (d) N b2 /3
14- (a) Considere o problema do caminho aletatório em duas dimensões, onde a cada passo, i, a probabilidade de deslocamento entre si e si + dsi , é ω(si )d2 si . Escrever a expressão para a densidade de probabilidade p(r),
em termos de ω(s), após N passos, se inicialmente a partı́cula está em r = 0. (b) Supondo que a cada passo a
partı́cula se desloca em passos de comprimento constante l, mas com igual probabilidade em qualquer direção do
plano, escreva ω(s), usando uma função delta de Dirac adequada. (c) Sob a suposição anterior, determine hri, e o
desvio quadrático médio
R 2πapós N passos.
Resposta: (b) ω(s) = 0 dθδ(s − ln̂(θ))/(2π) = δ(s − l)/(2π). (c) N l, N l2 . (d) Expresse a densidade de probabilidade
de encontrar a partı́cula em fr após N passos. É possivel calcular explicitamente a integral para alguma posição ou
¯
N particular?
15- Considere o problema do caminho aleatório em três dimensões. (a) Supondo que a cada passo a partı́cula se
desloca em passos de comprimento constante l, mas com igual probabilidade em qualquer direção do espaço, escreva
ω(s), usando uma função delta de Dirac apropriada. (b) Se a partı́cula está inicialmente em r = 0, determine a
densidade de probabilidade
p(r), após N = 3 passos.
R
Resposta: (a) ω(s) = dΩδ(s − ln̂(Ω))/(4π) = δ(s − l)/(4π). onde dΩ, é um elemento de ângulo sólido. (b) (8πl3 )−1 ,
se 0 ≤ r ≤ l; (3l − r)/(16πl3 r), se l ≤ r ≤ 3l; 0 se r ≥ 3l.
16- Considere o problema do caminho aleatório geral em uma dimensão, i.e, sob a suposição de que a cada
passo as probabilidades de deslocamento entre sj e sj + dsj ,
ωj (sj )dsj , j = 1, 2, 3, ...N
são diferentes. Nesse caso após N passos, a densidade de probabilidade, p(x) vem dado por
Z ∞
dk ikx
p(x) =
e p̃(k),
2π
−∞
onde
Z
∞
ds e−iks ωj (s).
p̃(k) = ω̃1 (k)ω̃2 (k)...ω̃N (k) e ω̃j (k) =
−∞
O integrando para ω̃j (k) é uma função oscilante de s, dessa forma ω̃j (k) é pequena para valores grandes de k, já
que quanto maior k, mais rápido o integrando oscila. Sendo que p̃(k) é o produto de N fatores ω̃j (k), concluimos
que para valores grandes de k, p̃(k) é desprezı́vel para N muito grande. Dessa forma, para obter p(x), no limite
N → ∞, é suficiente determinar p(k) para valores pequenos de k. Proceder da seguinte forma: (a) Expandindo a
função exponencial na expressão para ω̃j (k) , mostre que para valores pequenos de k,
ω̃j (k) = 1 − iksj −
s2j 2
k , onde sj =
2
Z
∞
−∞
ds sωj (s), e s2j =
Z
∞
ds s2 ωj (s).
−∞
(b) Tomando ln p̃(k) e usando ln(1 + x) = x − x2 /2 + x3 /3 + ..., mostre que, mantendo termos de até ordem k 2 ,
ln p̃(k) = −ix̄k −
σ2 2
k ,
2
x̄ =
N
X
j=1
sj ,
σ2 =
N
X
σj2 ,
σj2 = s2j − s2j
j=1
de onde p̃(k) = exp(−ix̄k − σ 2 k 2 /2). (c) No limite N muito grande, pelos argumentos acima, pode-se usar a expressão
anterior para p̃(k) em p(x), integrando mostre que
1
(x − x̄)2
p(x) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
o qual constitui uma demonstração geral do teorema do limite central, para uma variável aleatória. Note que a
generalização a várias variáveis aleatórias é imediata.
17- Métodos probabilı́sticos têm sido usados diversas vezes para demonstrar de forma simples resultados complexos ou intrigantes na matemática. Considere o problema do caminho aleatório geral em uma dimensão. (a)
4
Considerando o primeiro paso, com densidade de probabilidade w1 (s) uniforme e de largura 2a1 . Nesse caso temos
w1 (s) = 1/(2a1 ) para |s| ≤ a1 e zero fora desse intervalo. Calculando, ou usando o resultado do exercı́cio (4) ı́tem
(a), temos que a função caraterı́stica para esse passo é
w̃1 (k) =
sen(ka1 )
ka1
Substituindo na relação inversa
Z
∞
w1 (s1 ) =
−∞
dk iks1
e
w̃1 (k),
2π
tomando s1 = 0, determine a conhecida idêntidade integral
Z ∞
sen(ka1 )
π
dk
=
ka
a
1
1
−∞
sem precisar calcular a integral, mas apenas usando o valor de w1 (0). (b) Agora consideremos N passos, todos
uniformes e de larguras a1 , a2 ,...,aN . Respectivamente temos para as funções caraterı́sticas
w̃j (k) =
sen(kaj )
,
kaj
j = 1, 2, ..., N.
Substituindo na expressão para a densidade de probabilidade, pN (x), de estar em torno do ponto x após N passos,
temos
Z ∞
dk ikx
pN (x) =
e w̃1 (k)w̃2 (k)...w̃N (k)
2π
−∞
e tomando x = 0, determine a idêntidade integral de Borwein,
Z ∞
π
sen(ka1 ) sen(ka2 ) sen(kaN )
...
= ,
dk
ka1
ka2
kaN
a1
−∞
se a1 > (a2 + a3 + ... + an )
Para tal bastará determinar que pN (0) = 1/(2a1 ), de forma direta (sem precisar calcular a integral) quando
a1 > (a2 + a3 + ... + aN ). Aprecie a notável e intrigante propriedade da integral acima, a qual é independente dos
parâmetros a2 , a3 , ...., aN , e do número dos mesmos, desde que se satisfaça a desigualdade anterior. Se você tivesse
demonstrando a integral de Borwein dessa forma, e generalizado o resultado, antes de julho do ano passado, poderia
telo publicado no Physical Review Letters! [Veja S.N. Majumdar, E. Trizac, When random walkers help solving
intriguing integrals, Phys. Rev. Lett. 123, 020201 (2019); arXiv:1906.04545 ]
Algumas idêntidades úteis
N X
j=0
hxi =
N
X
hsi i,
i=1
hri =
N!
j!(N − j)!
2
=
h(x − x̄)2 i =
(2N )!
(N !)2
N
X
h(si − s̄i )2 i.
i=1
N
N
X
X
hsi i, h(r − r̄)2 i =
h(si − s̄i )2 i
i=1
i=1