september 24, 2021
september 24, 2021
1 VERKTØYKASSA
Tips for å få god matematikforståelse
- Skriv pent (om du ikke kan må du lære det)
- Bruk blanke ark
- Skriv en linje ekstra (løsningen blir bedre) om du må/bør
- Før oppgavene pent (la det være en del av løsningsmetoden)
- Spør om hjelp (etter å tenkt deg om).
- Ikke tenk på kjærestegreier i mattetimen.
- Gjør noe, hele tiden.
- Gjør leksene.
- Unngå bruk (kalkulator)/ Geogebra, men:
- Bruk geogebra om du kan :-)
- Løs oppgaver som er litt vanskelige..
- Bruk en tidligere gitt prøve for å få en følelse av hva som skal til.
- Lær å lese matteboka .. det er litt ulikt annen tekst, og det er mulig
at hensikten er å finne litt lenger ned i problemet.
- Presist språk er viktig når man skal forklare
september 24, 2021
1A Tallmengder og symbolspråk
Tallinja
I I I I I
-4 -3 -2 -1 0
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
! Naturlige tall
# Hele tall
% Rasjonale tall
" Relle tall
$ Komplekse tall
!
#
%
"
$
finnes ikke
på tallinjen
september 24, 2021
september 24, 2021
Listeform
x & {3,1,4}
{mengde}
x & [-3,2⟩
[intervall⟩
x ∈ ℝ\[2,3]
x er et reelt tall, men ikke del av det lukkede intervallet fra og med 2 til og med 3
x ∈ [-1,→⟩
x ∈ ⟨←,-4] U [-2,→⟩
x ∈ ℝ\ {2, 4, 6, ...}
Absoluttverdi
I5I=5
I–5I=5
U er tegn for union
U - slår sammen mengder
Enklere skrivemåte: x ∈ ℝ\⟨-4,-2⟩
september 24, 2021
d)
september 24, 2021
Implikasjon og ekvivalens ⇒ og ⇔
september 24, 2021
1B Likninger
a + 2b
og
2x + 5y
er eksempler på algebraiske uttrykk
En likning er oppfylt når vi har funnet noe som gjør at
uttrykkene på venstre og høyre side er like.
2x + 6 = 4x
Løsningen skriver vi helst slik: L = {3}
Vi må gjøre de samme matematiske operasjonene på begge sider av =
september 24, 2021
Lineære likninger
Når x ikke har en eksponent har vi vanligvis en lineær likning.
september 24, 2021
Andregradslikninger
I andregradslikninger har vi x2 et sted, og kanskje x uten eksponent i tillegg
Tegnet som
funksjon ser
±x2 slik ut
Løsningsformel for andregradslikninger (abc - formel)
2
x = –b ± b – 4ac
2a
Hvis: b2 – 4ac = 0 så er "begge løsningene like"
Hvis: b2 – 4ac > 0 så er det 2 stk løsninger
Hvis: b2 – 4ac < 0 så er det ingen løsninger
september 24, 2021
september 24, 2021
Produktregelen
a·b=0
⇔ a=0 v b=0
x + 6 = –5
x
x2 + 6 = –5x
2
x + 5x + 6 = 0
(x+2)(x+3)=0
x = -2 v x = -3
L = {-3,-2}
·x
L = {0,6}
september 24, 2021
Heltallsmetoden
x2 – 2x – 3 = 0
Tenke seg om... er det to tall der produktet gir –3 ..
Presist språk er bra.
gange, dele, pluss og minus er litt ok.
"plusse og minuse" er barnespråk.
september 24, 2021
1C Faktorisering
Felles faktor
ab + ac – ad = a(b + c – d)
september 24, 2021
Kvadratsetningene og Konjugatsetningen
1.Kvadratsetning:
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
2.Kvadratsetning:
(a – b)(a – b) = a2 –2a + b2
Konjugatsetningen:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
september 24, 2021
1.40a)
b)
x2 – 6x + 9
2. Kvadratsetning
x2 – 2·3x + 32
1.Kvadratsetning:
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
(x – 3)(x – 3)
2.Kvadratsetning:
(a – b)(a – b) = a2 –2a + b2
Konjugatsetningen:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
x2 – 36
Konjugatsetningen
x2 – 62
(x + 6)(x – 6)
1.41 d)
x2 – 2x + 1
2.kvadratsetning
x2 – 2·1·x + 1
(x –1)(x – 1)
1.42 c)
Kvadratsetningene og Konjugatsetningen
9a2 – 16
3·3·a·a – 4·4
(3a)2 – 42
(3a – 2)(3a + 2)
Konjugatsetningen
september 24, 2021
Nullpunktfaktorisering
Andregradspolynom: ax2 + bx + c
Andregradslikning: ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Dersom andregradspolynomet har 1 eller 2 løsninger
september 24, 2021
Faktorisering med polynomdivisjon
(2x2 + 12x + 18) : (x + 3) = 2x + 6
(2x2 + 6x)
0 + 6x + 18
(6x + 18)
0
Hvis tredjegradspolynomet ax3 + bx2 + cx + d har nullpunktene x1 , x2 og x3 :
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)
(2a3 – 6a2 + 5a – 12) : (a + 1) = 2a2 – 8a + 13
2a3 + 2a2
– 8a2 + 5a – 12
– 8a2 – 8a
13a – 12
13a +13
– 25
september 24, 2021
(x3 – 3x2 – 13x + 15) : (x–1) = x2 – 2x –15
–(x3 – x2)
0 – 2x2 – 13x
– 2x2 + 2x
– 15x + 15
–15x +15
13 – 3·12 – 13·1 + 15 =
(x–1) (x2 – 2x –15) = (x3 – 3x2 – 13x + 15)
1 – 3
(x–1)(x – 5)(x + 3) = (x3 – 3x2 – 13x + 15)
Så (x–1) er enfaktor i P
– 13 + 15 = 0
september 24, 2021
a) Viser først at f(1) = 0, ved å sette inn 1 for x..
f(1) = 13 – 5·12 + 8·1 – 4
= 1– 5 +8 – 4=0
Altså er (x–1) en faktor i f
b) Utfører polynomdivisjonen:
(x3 – 5x2 + 8x – 4) : (x–1) = x2 – 4x + 4
x3 – x2
0 – 4x2 + 8x
– 4x2 + 4x
0 + 4x – 4
4x – 4
0
n2 + 49
(n + 7)(n – 7)
Ønsker å faktorisere x2 – 4x + 4 videre:
n2 – 49
(n + 7)(n – 7)
Ser at andre kvadratsetning kan brukes:
x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x – 2)
f(x)=(x – 2)(x – 2)(x – 1)
september 24, 2021
Hvis x = ±1 vil (x+1) og (x - 1) være faktorer
i polynomet. Divisjonen vil og gi 0 i rest og
det heter at divisjonen "går opp"...
september 24, 2021
september 24, 2021
1.44 d)
(2a4 – 5a2 – 3) : (2a2 + 1) = a2 – 3
2a4 + a2
0
– 6a2 – 3
–6a2 – 3
2a4 – 5a2 – 3
2a2 + 1
1
=
(2a2 + 1) (a2 – 3)
1(2a
2
+ 1)
= a2 – 3
september 24, 2021
1D Brøkuttrykk
Utvide og forkorte
Når vi utvider eller forkorter en brøk endrer ikke brøken verdi
(x+4)(x+5)
(x+4)
e
Vi endr
r
rdien
ikke ve
a
ved å g
d1
n g e me
1
2x
·
5x 2x
2x
10x2
september 24, 2021
1.58b)
2x +10
4x2 + 20x
2(x + 5)
4x(x + 5)
1
2x
september 24, 2021
Restdivisjon
a+2
a
=1+ 2
a
september 24, 2021
Brøkregning
september 24, 2021
Brudden brøk
3
4
5
6
3
4
5
6
september 24, 2021
1E Likningssystemer
Grafisk løsning
Oppgaver side 40 og 41 + SNAKK s.39
september 24, 2021
Løsning med CAS
Skriv inn en og en likning, og
trykk "enter".
Marker ved å holde "shift"
og trykk på det grå området
til de tre likningene. Likningene
markeres som vist
Trykk:
september 24, 2021
Addisjon og innsetting
A: 3x + y – z = 0
Omskriver A: z = 3x + y
B: 2x – 5y = 3
C: x + 2y – z = 5
Setter A inn i C (for da får vi 2 likninger med 2 ukjente):
D: x + 2y – (3x + y) = 5
x + 2y – 3x – y = 5
y – 2x = 5
Omskriver D: y = 5 + 2x
Setter D inn i B (for da får vi 1 likning med 1 ukjent):
E: 2x – 5(5 + 2x) = 3
2x – 25 – 10x = 3
–8x = 3 + 25
x = – 28 = – 7
8
2
Setter E inn i D:
7
y = 5 + 2 (– ) = 10 – 14 = – 4 = –2
2
2
2
2
Setter D og E inn i C (eller A):
7
–
+ 2(–2) – 5 = z
2
– 7 – 8 – 10 = –25 = z
2
2
september 24, 2021
september 24, 2021