Relatividad Especial
Transformaciones de Galileo en Electrodinámica
'
K'
'
x ′⃗ = x ⃗ − R ⃗
x ′⃗ = x ⃗ − u ⃗ t
t′ = t
·
u ⃗= R⃗
K
'
a velocidad constante
·
R ⃗ = R t⃗
En el caso de un sistema de partículas en K’ (objetos materiales)
d u ′i⃗
mi
= − ∇′i
V ( | x ′i⃗ − x ′j⃗ | )
∑ i,j
dt′
j
Usando las relaciones previas entre sistemas
u ′i⃗ = u i⃗ − u ⃗
∇′i = ∇i
d u i⃗
d u i⃗
=
dt′
dt
x ′i⃗ − x ′j⃗ = x i⃗ − x j⃗
d u i⃗
mi
= − ∇i
V ( | x i⃗ − x j⃗ | )
∑ i,j
dt
j
para las competentes del campo ( E ⃗ o B ⃗ )de un onda
electromagnética visto por K’ (aquí ψ′ = ψ( x ′⃗ , t′) es una de las 6
componentes y es una función de x ′⃗ y t’)
2
1
∂
ψ′
′2
∇ ψ′ − 2 ′2 = 0
c ∂t
reemplazando
2
1
∂
2
∂
1
∇2 − 2 2 − 2 ( u ⃗ ⋅ ∇) − 2 u ⃗ ⋅ ∇ u ⃗ ⋅ ∇ ψ = 0
c ∂t
c
∂t c
(
)
1. Primer postulado (principio de relatividad)
La observación de un fenómeno físico por más de un observador inercial
debe resultar en un acuerdo entre los observadores sobre la naturaleza de
la realidad.
La naturaleza del universo no debe cambiar para un observador si su
estado inercial cambia.
Las leyes del universo son las mismas sin que importe el marco de
referencia inercial.
2. Segundo postulado (invariabilidad de c)
La Luz siempre se propaga en el vacío con una velocidad constante c que
es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor y del estado
de movimiento del observador.
Supongamos dos sistemas que en un instante coinciden sus
orígenes, pero que se mueven a velocidad constante entre sí.
Estado Inicial
x21 + x22 + x23 = r2 = c2 t2
La misma física para
ambos sistemas
02
02
02
2 02
x02
1 + x2 + x3 = r = c t
Una onda es emitida cuando los orígenes coinciden, dos
observadores en cada uno de los sistemas debería medir la misma
velocidad de la luz, ¿las 4 coordenadas (tiempo y espacio) son
diferentes?.
x21 + x22 + x23 = r2 = c2 t2
02
02
02
2 02
x02
1 + x2 + x3 = r = c t
Para un frente de
onda de luz
(c t)
2
(c t0 )
2
x21 + x22 + x23 ⌘ s2
02
02
02
x02
1 + x2 + x3 ⌘ s
s2 = s02 = 0
Invariante, válido para cualquier sistema (K o K’)
que se muevan a velocidad constante entre sí.
Si la velocidad de la luz es constante y es la máxima, cualquier objeto
con una velocidad v constante menor que c tiene una ecuación de
movimiento
ct
K
c t1
v1 = x1 /t1
)
1
⌘
v1
c
v2 = x2 /t2
)
2
⌘
v2
c
c t2
x1
tan ✓1 =
c t1
1
=
x1
1
x2
x
i
< 1 , tan ✓i > 1
Aún si se mueve a velocidad variable, en cada instante debe
ser menor que c.
ct
x
En el gráfico x − ct siempre la trayectoria esta contenida en la
región donde v < c .
Intervalo relativista
x0 = c t
xA 1
vA
xA 1
=
=
=
xA 0
c tA
c
ct
K'
x
K
El origen de K’, el
punto , es un
objeto con
coordenadas en K
2
(xA
0)
2
(xA
1) >0
Eventos (x0,x1) observables
para K
ct
región no accesible
región no accesible
x
En K
ct
s2 = x20
x21
x
(xB
0
2
xA
0)
(xB
1
2
xA
1) >0
s2BA > 0
(xC
0
2
xA
0)
(xC
1
2
xA
1) <0
s2CA < 0
K’
x0A
1 =0
0B
s02
AB = (x0
2
x0A
0 )
(x0B
1
2
x0A
1 ) >0
x0A
0 =0
0C
s02
CA = (x0
2
x0A
0 )
(x0C
1
2
x0A
1 ) <0
En ambos sistemas la relación se debe mantener siempre
2
s02
CA = sCA
2
s02
BA = sBA
(xB
0
2
xA
0)
(xB
1
2
0B
xA
1 ) = (x0
2
x0A
0 )
(x0B
1
2
x0A
1 )
(xC
0
2
xA
0)
(xC
1
2
0C
xA
1 ) = (x0
2
x0A
0 )
(x0C
1
2
x0A
1 )
ct
x
Los intervalos espacio-tiempo con invariante positivo s2>0 los llamamos
“tipo tiempo” (time-like).
Los intervalos espacio-tiempo con invariante negativo s2<0 los llamamos
“tipo espacio” (space-like).
Eventos que ocurran en la misma posición
(xB
0
2
xA
0)
(xB
1
2
0B
xA
1 ) = (x0
2
x0A
0 )
(x0B
1
2
x0A
1 ) >0
2
(x0B
x0A
Debe existir β tal que
1
1 ) =0
en K’ pero no necesariamente en K.
Eventos que ocurran en el mismo tiempo.
(xC
0
2
xA
0)
Debe existir β tal que
(x0C
0
(xC
1
2
0C
xA
1 ) = (x0
2
x0A
0 ) =0
Simultáneos en K’ pero no en K.
2
x0A
0 )
(x0C
1
2
x0A
1 ) <0
Para K y K’, moviéndose con velocidad v relativa
x20
x21 = x00
2
x01
2
)
(x0
x1 ) (x0 + x1 ) = (x00
x01 ) (x00 + x01 )
f (v) (x0 + x1 ) = (x00 + x01 )
1
(x0 x1 )
= (x00 x01 )
f (v)
lim f (v) = 1
v!0
f (v) > 0
En este caso las coordenadas coinciden
para preservar la “causalidad”.
Cuando la función f es diferente de 1 (porque hay
velocidad relativa)
El origen de K’ tiene coordenada x’1=0, pero en K tiene coordenada x1 (no nula
pues es un punto que se mueve en K)
f (v) (x0 + x1 ) = (x00 + x01 )
(x0
1
= (x00
f (v)
x1
=
x0
x0
x0 f + x1 f =
f
x1 )
x01 )
) f · (x0 + x1 ) = x00
)
1
· (x0
f
x1 ) = x00
x
v
= =
ct
c
x1
1
) f (1 + ) = (1
f
f
)
f (1 + ) =
1
(1
f
s
f=
f
γ=
1
=
f
s
1
1 − β2
1
1+
s
) ) f2 =
1
1+
1+
1
=
f >0
1
p
(1 + )
1
1
= − 2βγ
f
1
f + = 2γ
f
f−
1
1+
2
=p
2
1
2
f ⋅ (x0 + x1) +
Sumando
f (v) (x0 + x1 ) = (x00 + x01 )
(x0
x1 )
1
= (x00
f (v)
x01 )
1
⋅ (x0 − x1) = 2 x′0
f
1
1
x0 f +
+ x1 f −
= 2x′0
(
(
f)
f)
x0 2 γ + x1 (−2βγ) = 2x′0
γ (x0 − β x1) = x′0
1
⋅ (x0 − x1) = 2 x′1
f
1
1
x0 f −
+ x1 f +
= 2x′1
(
(
f)
f)
f ⋅ (x0 + x1) −
x0 (−2βγ) + x1 2 γ = 2x′1
(
<latexit sha1_base64="iPhrZIBd4y0H4zaN68kj6QEUc00=">AAACDHicbVBNSyNBEO2J7qpRd7Pr0UtjEF11w4wsuB4E0YvHCGYNZMJQ06lJGrtnhu4aSQj+Bv0zehHRkyf/gP/GTszBj32nV/VeQb0X50pa8v1nrzQ1/eXrzOxceX5h8dv3yo+f/2xWGIENkanMNGOwqGSKDZKksJkbBB0rPI3PDkf66TkaK7P0hAY5tjV0U5lIAeRWUWUj7ILWwEOFCa3/DmMkCLf6kc83eT8KQiO7Pfq111+LgqhS9Wv+GPwzCSakyiaoR5WnsJOJQmNKQoG1rcDPqT0EQ1IovCiHhcUcxBl0seVoChptezjOdMFXk8xw6iEfz2+9Q9DWDnTsPBqoZz9qo+X/tFZByd/2UKZ5QZgKZ3FaUihOGR9VwzvSoCA1cASEke5LLnpgQJArsOziBx/DfiaN7dpuLTj+U90/mPQwy5bZCltnAdth++yI1VmDCXbFbtg9e/AuvWvv1rt7tZa8yc0Sewfv8QXWZpmc</latexit>
x0 + x1 ) = x01
Restando
f (v) (x0 + x1 ) = (x00 + x01 )
(x0
x1 )
1
= (x00
f (v)
x01 )
<latexit sha1_base64="DKdoqh115RWowg5cGKQA7q5F4gM=">AAACC3icbVDLSgNBEJz1bXxFPXoZDKKChl0R1IMgevGoYFTIhqV37E0GZ3aXmV5JCP6C/oxeRPTkzR/wb5zEHHzVqbqrGroqzpW05Psf3tDwyOjY+MRkaWp6ZnauPL9wbrPCCKyJTGXmMgaLSqZYI0kKL3ODoGOFF/H1UU+/uEFjZZaeUSfHhoZmKhMpgNwqKq+HTdAaeKgwobV25PPNMEaCcIO3oyA0stmi9f32auRH5Ypf9fvgf0kwIBU2wElUfg+vMlFoTEkosLYe+Dk1umBICoW3pbCwmIO4hibWHU1Bo210+5Fu+UqSGU4t5P35u7cL2tqOjp1HA7Xsb623/E+rF5TsNroyzQvCVDiL05JCccp4rxl+JQ0KUh1HQBjpvuSiBQYEuf5KLn7wO+xfUtuq7lWD0+3KweGghwm2xJbZGgvYDjtgx+yE1Zhg9+yRvbBX78578J685y/rkDe4WWQ/4L19AmLwmWY=</latexit>
(x0
(
<latexit sha1_base64="iPhrZIBd4y0H4zaN68kj6QEUc00=">AAACDHicbVBNSyNBEO2J7qpRd7Pr0UtjEF11w4wsuB4E0YvHCGYNZMJQ06lJGrtnhu4aSQj+Bv0zehHRkyf/gP/GTszBj32nV/VeQb0X50pa8v1nrzQ1/eXrzOxceX5h8dv3yo+f/2xWGIENkanMNGOwqGSKDZKksJkbBB0rPI3PDkf66TkaK7P0hAY5tjV0U5lIAeRWUWUj7ILWwEOFCa3/DmMkCLf6kc83eT8KQiO7Pfq111+LgqhS9Wv+GPwzCSakyiaoR5WnsJOJQmNKQoG1rcDPqT0EQ1IovCiHhcUcxBl0seVoChptezjOdMFXk8xw6iEfz2+9Q9DWDnTsPBqoZz9qo+X/tFZByd/2UKZ5QZgKZ3FaUihOGR9VwzvSoCA1cASEke5LLnpgQJArsOziBx/DfiaN7dpuLTj+U90/mPQwy5bZCltnAdth++yI1VmDCXbFbtg9e/AuvWvv1rt7tZa8yc0Sewfv8QXWZpmc</latexit>
x1 ) = x00
x0 + x1 ) = x01
transformación de coordenadas
espacio-tiempo para un punto en
dos sistemas que se mueven con
velocidad relativa 𝜷
<latexit sha1_base64="0Suz+49r468Lc1SppITUCWMnniw=">AAACC3icbVDLSgNBEJz1bXxFPXoZDKKihF0R1IMgevGoYFTIhqV37E2GzOwuM71iCP6C/oxeRPTkzR/wb5zEHHzVqbqrGroqzpW05Psf3tDwyOjY+MRkaWp6ZnauPL9wbrPCCKyJTGXmMgaLSqZYI0kKL3ODoGOFF3H7qKdfXKOxMkvPqJNjQ0MzlYkUQG4VldfDJmgNPFSY0NrNauRvhDEShJvcDUFoZLNF6/s3kR+VK37V74P/JcGAVNgAJ1H5PbzKRKExJaHA2nrg59TogiEpFN6WwsJiDqINTaw7moJG2+j2I93ylSQznFrI+/N3bxe0tR0dO48GatnfWm/5n1YvKNltdGWaF4SpcBanJYXilPFeM/xKGhSkOo6AMNJ9yUULDAhy/ZVc/OB32L+ktlXdqwan25WDw0EPE2yJLbM1FrAddsCO2QmrMcHu2SN7Ya/enffgPXnPX9Yhb3CzyH7Ae/sEaF+Zaw==</latexit>
<latexit sha1_base64="vjnIYfHbwAmaU9N00ev9eywgjqI=">AAACDHicbVDLSgNBEJz1bXxFPXoZDOKTsCuCehBELx4VjArZsPSOvcngzO4y0yuG4Dfoz+hFRE+e/AH/xknMwVddurqrBqYqzpW05Psf3sDg0PDI6Nh4aWJyanqmPDt3ZrPCCKyJTGXmIgaLSqZYI0kKL3KDoGOF5/HVYVc/v0ZjZZaeUjvHhoZmKhMpgNwpKq+FTdAaeKgwoZUwRoJw42Y58vk6dyMIjWy2aHXvJgqicsWv+j3wvyTokwrr4zgqv4eXmSg0piQUWFsP/JwaHTAkhcLbUlhYzEFcQRPrjqag0TY6vUy3fCnJDKcW8t7+3dsBbW1bx86jgVr2t9Y9/qfVC0p2Gh2Z5gVhKpzFaUmhOGW8Ww2/lAYFqbYjIIx0v+SiBQYEuQJLLn7wO+xfUtus7laDk63K/kG/hzG2wBbZCgvYNttnR+yY1Zhg9+yRvbBX78578J685y/rgNd/M89+wHv7BMxVmZY=</latexit>
(x00 +
x01 ) = x0
( x00 + x01 ) = x1
transformación inversa. Como la
velocidad es la opuesta
cambiamos las coordenadas
(primadas) y 𝜷 por -𝜷
Analogía con las rotaciones
✓ 0◆ ✓
x
cos ✓
=
0
y
sin ✓
x0 = x cos ✓ + y sin ✓
y0 =
x sin ✓ + y cos ✓
sin ✓
cos ✓
◆✓ ◆
x
y
✓ ◆
✓ 0◆
x
x
= R✓
0
y
y
Ahora los ejes son espacio-tiempo
x00 =
(x0
<latexit sha1_base64="1bJMru3XupiO+vlJ0K4rRe+pWEg=">AAACC3icbVDLSgNBEJz1bXxFPXoZDKKChl0R1IMgevGoYFTIhqV37E0GZ3aXmV5JCP6C/oxeRPTkzR/wb5zEHHzVqbqrGroqzpW05Psf3tDwyOjY+MRkaWp6ZnauPL9wbrPCCKyJTGXmMgaLSqZYI0kKL3ODoGOFF/H1UU+/uEFjZZaeUSfHhoZmKhMpgNwqKq+3VyN/P2yC1sBDhQmttSOfb4YxEoQbvB0FoZHNFq1H5Ypf9fvgf0kwIBU2wElUfg+vMlFoTEkosLYe+Dk1umBICoW3pbCwmIO4hibWHU1Bo210+5Fu+UqSGU4t5P35u7cL2tqOjp1HA7Xsb623/E+rF5TsNroyzQvCVDiL05JCccp4rxl+JQ0KUh1HQBjpvuSiBQYEuf5KLn7wO+xfUtuq7lWD0+3KweGghwm2xJbZGgvYDjtgx+yE1Zhg9+yRvbBX78578J685y/rkDe4WWQ/4L19Ali1mWY=</latexit>
x01 =
(
<latexit sha1_base64="DWpXQJ9cRmaNumUJjYmlvznnteg=">AAACDHicbVBNSyNBEO2J7qpRd7Pr0UtjEF11w4wsuB4E0YvHCGYNZMJQ06lJGrtnhu4aSQj+Bv0zehHRkyf/gP/GTszBj32nV/VeQb0X50pa8v1nrzQ1/eXrzOxceX5h8dv3yo+f/2xWGIENkanMNGOwqGSKDZKksJkbBB0rPI3PDkf66TkaK7P0hAY5tjV0U5lIAeRWUWWjvxYFe2EXtAYeKkxo/XcYI0G41Y98vsn7URAa2e3Rr6hS9Wv+GPwzCSakyiaoR5WnsJOJQmNKQoG1rcDPqT0EQ1IovCiHhcUcxBl0seVoChptezjOdMFXk8xw6iEfz2+9Q9DWDnTsPBqoZz9qo+X/tFZByd/2UKZ5QZgKZ3FaUihOGR9VwzvSoCA1cASEke5LLnpgQJArsOziBx/DfiaN7dpuLTj+U90/mPQwy5bZCltnAdth++yI1VmDCXbFbtg9e/AuvWvv1rt7tZa8yc0Sewfv8QXM5Zmc</latexit>
x1 )
x 0 + x1 )
✓
<latexit sha1_base64="kCiFlsqhL/AVsDDklRnl6nHUFDE=">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</latexit>
x00
x01
◆
=
✓
x00
x01
✓
◆✓ ◆
x0
x1
✓
<latexit sha1_base64="TDOfSyy5Bj6lodQxRX6mPgfp+C0=">AAACN3icbZDLSsNAFIYnXmu9VV26GSyiq5KIoC6EohsXLioYW2hCmExP26GTSZiZSEvoi+kr+ALudCOiK9/A6QXR1H8z/5z/O3DOCRPOlLbtZ2tufmFxabmwUlxdW9/YLG1t36k4lRRcGvNYNkKigDMBrmaaQyORQKKQQz3sXY7y+j1IxWJxqwcJ+BHpCNZmlGhTCkquF0KHiSyJiJasP+wfBLbnYfM4HojWT/38OjCkJjjPT/AcHZTKdsUeC88aZ2rKaKpaUHryWjFNIxCacqJU07ET7WdEakY5DIteqiAhtEc60DRWkAiUn43XH+L9diyx7gIe/3+zGYmUGkShYcxkXZXPRsX/smaq26d+xkSSahDUICZrpxzrGI+uiFtMAtV8YAyhkpkpMe0SSag2ty6a9Z38srPGPaqcVZyb43L1YnqHAtpFe+gQOegEVdEVqiEXUfSIXtEH+rQerBfrzXqfoHPWtGcH/ZH19Q28oK5e</latexit>
x00
x01
usando 𝛽= tanh(𝜉)
2
1
<latexit sha1_base64="tDi3zq/bndjXf3ZpkiXEOi5XUzc=">AAACC3icbVC9TgJBGNzDf/w7tbTZSEy0kNwRE7UgIdpYaiJKwgHZWz64DXs/2f3OQC68gr6MNsZoZecL+DYuSKHgVLMzs8k34ydSaHScLys3N7+wuLS8kl9dW9/YtLe2b3WcKg5VHstY1XymQYoIqihQQi1RwEJfwp3fuxj5d/egtIijGxwk0AhZNxIdwRkaqWUfukeeD8iapbJhyKKgWaJeX5S90I/7mQYeDH+Ull1wis4YdJa4E1IgE1y17E+vHfM0hAi5ZFrXXSfBRsYUCi5hmPdSDQnjPdaFuqERC0E3snGlId3vxIpiAHT8/p3NWKj1IPRNJmQY6GlvJP7n1VPsnDYyESUpQsRNxHidVFKM6WgZ2hYKOMqBIYwrYa6kPGCKcTT75U19d7rsLKmWimdF9/q4UDmf7LBMdskeOSAuOSEVckmuSJVw8kieyRt5tx6sJ+vFev2J5qzJnx3yB9bHNzVAmfo=</latexit>
<latexit sha1_base64="TP887Y7s6VyqOYvb6YyQoVC8NC8=">AAACDnicbVDLSgNBEJz1bXxFPXoZDIIHDbsiqAdB9OJRwaiQjaF37E0GZ3bXmV4xLPkI/Rm9iOjJgz/g3ziJOfiqU3VXNXRVlClpyfc/vKHhkdGx8YnJ0tT0zOxceX7h1Ka5EVgTqUrNeQQWlUywRpIUnmcGQUcKz6Krg55+doPGyjQ5oU6GDQ2tRMZSALlVs7wWtkBr4LthbEDwgBehvTZUBOthhAQXG93ubihS2+bhrWyWK37V74P/JcGAVNgAR83ye3iZilxjQkKBtfXAz6hRgCEpFHZLYW4xA3EFLaw7moBG2yj6qbp8JU4Npzby/vzdW4C2tqMj59FAbftb6y3/0+o5xduNQiZZTpgIZ3FanCtOKe+Vwy+lQUGq4wgII92XXLTBFUOuwpKLH/wO+5fUNqo71eB4s7K3P+hhgi2xZbbKArbF9tghO2I1Jtg9e2Qv7NW78x68J+/5yzrkDW4W2Q94b58RY5uQ</latexit>
=1
1
=p
1
<latexit sha1_base64="lVOV+l36YM2VNprLdvprG0mR/HI=">AAAB+XicbVDLSgNBEJz1GeMr6sGDl8EgeJCwK4J6EIJePEYwJpBdQu+kkwyZ2V1mZsWw5mf0IqInf8Mf8G+cxD1oYp2qu6qhq8JEcG1c98uZm19YXFourBRX19Y3Nktb23c6ThXDOotFrJohaBQ8wrrhRmAzUQgyFNgIB1djvXGPSvM4ujXDBAMJvYh3OQNjV+3Srt8DKYH6R36IBi58zaO+/8DbpbJbcSegs8TLSZnkqLVLn34nZqnEyDABWrc8NzFBBspwJnBU9FONCbAB9LBlaQQSdZBNAozoQTdW1PSRTubf3gyk1kMZWo8E09fT2nj5n9ZKTfcsyHiUpAYjZi1W66aCmpiOe6AdrpAZMbQEmOL2S8r6oIAZ21bRxvemw86S+nHlvOLdnJSrl3kPBbJH9skh8cgpqZJrUiN1wsiIPJM38u48Ok/Oi/P6Y51z8psd8gfOxzdKk5OB</latexit>
tanh2 ⇠ = sech2 ⇠
2
= cosh ⇠
= sinh ⇠
<latexit sha1_base64="kAHXbWN13l0+RK3uMcHOmxYQrFs=">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</latexit>
◆
=
✓
cosh ⇠
sinh ⇠
sinh ⇠
cosh ⇠
◆✓ ◆
x0
x1
◆
=L
✓
x0
x1
◆
Invariante (escalar) de la teoría. No cambia entre sistemas de referencia
s2 = x20
2
x2
2
s 0 = x0 0
x0
y2
2
y0
z 2 = x20
2
2
k~xk2
2
z 0 = x0 0
s2 = s0
k~x0 k2
2
el mismo evento en dos sistemas de referencia inerciales
espacio-temporales distintas
0
0
(ct , ~x )
tienen coordenadas
(ct, ~x)
0 01
ct
B x0 C
B 0C = L
@y A ⇠
z0
0 1
ct
BxC
B C
@yA
z
L = [L]4x4
∼
c t = x0
xµ
x = x1
µ = 0, 1, 2, 3
x0
xi
y = x2
z = x3
Componente de un vector
“contravariante” 4-dimensional
Componente temporal
i = 1, 2, 3
x(4)
Componente espacial
0 1
0 01
ct
x
BxC
Bx1 C
B
C
C
=@ A!B
2A
@
y
x
z
x3
Se suele usar solo el símbolo x (sin ningún adorno) para
identificar al vector espacio-temporal.
c t = x0
xµ
x=
s2 = x20
y=
x
x2
z=
x3
Componente de un vector
“covariante” 4-dimensional
µ = 0, 1, 2, 3
Componente temporal covariante igual
a la componete contravariante
x0 = x0
xi =
x1
i
x2
i = 1, 2, 3
y2
z 2 = x20
Componente espacial covariante
es la opuesta (en signo) a la
contravariante
(x1 )2
(x2 )2
(x3 )2
s 2 = x0 x0 + x1 x1 + x2 x2 + x3 x3
3
X
s2 =
xµ xµ
µ=0
s2 =
3
X
super-índice
xµ xµ
µ=0
suma sobre todas
l a s c o o rd e n a d a s
espacio-temporales
sub-índice
Notación de Einstein
2
s =
3
X
µ=0
xµ xµ ! s 2 = xµ xµ = xµ xµ
Se suma sobre índices repetidos
s 2 = xµ xµ = x⌫ x⌫ = x x = x⌘ x⌘ = . . .
Notación: índices griegos van
de 0 a 3 y la suma es
Notación: índices latinos
van de 1 a 3 y la suma es
s2 = x20
xi xi =
k~xk2
~x · ~x =
k~xk2
más notación
x0 = L x
⇠
,
0
0 0
0 1
x0
⇤ 0
1
0
B x C B ⇤1 0
B 2 C=B 2
@ x0 A @ ⇤ 0
3
⇤3 0
x0
0
⇤0 1
⇤1 1
⇤2 1
⇤3 1
⇤0 2
⇤1 2
⇤2 2
⇤3 2
10 0
⇤0 3
x
1 CB
⇤ 3 C B x1
⇤2 3 A @ x 2
⇤3 3
x3
1
C
C
A
x 0 = ⇤ 0 0 x 0 + ⇤ 0 1 x 1 + ⇤ 0 2 x 2 + ⇤ 0 3 x 3 = ⇤0 µ x µ
1
x 0 = ⇤ 1 0 x 0 + ⇤ 1 1 x 1 + ⇤ 1 2 x 2 + ⇤ 1 3 x 3 = ⇤1 µ x µ
2
x 0 = ⇤ 2 0 x 0 + ⇤ 2 1 x 1 + ⇤ 2 2 x 2 + ⇤ 2 3 x 3 = ⇤2 µ x µ
3
x 0 = ⇤ 3 0 x 0 + ⇤ 3 1 x 1 + ⇤ 3 2 x 2 + ⇤ 3 3 x 3 = ⇤3 µ x µ
𝜈 componente
⌫
x 0 = ⇤⌫ µ x µ
fila
@x0
⌫
=⇤ µ
@xµ
columna
⌫
elemento de matriz
𝜈 componente contravariante
𝜈 componente covariante
ν
ν
x′ = Λ μx
μ
μ
x′ν = Λν xμ
elemento de matriz
elemento de matriz
x′ν x′ν = (Λνμx μ) (Λναxα)
∂x′ν μ ∂x α
= μx
ν xα
∂x
∂x′
= x μ δ αμxα
= x μxμ
∂x′ν
ν
=
Λ
μ
∂x μ
∂x μ
μ
=
Λ
ν
∂x ′ν
⌫
x0 · x0 = x0 x0 ⌫ = xµ xµ = x · x
Si generamos las componetes contravariantes a partir de las covariantes
xµ = g µ⌫ x⌫
g 00 = 1
0
1
B0
g =B
@0
⇠
0
g ii =
0
1
0
0
0
0
1
0
Si generamos vectores covariantes
xµ = gµ⌫ x⌫
gµ⌫ = g µ⌫
1
g ij = 0 , i 6= j
1
0
0C
C
0A
1
s2 = x · x = x⇠ x⇠ = g⇠↵ x⇠ x↵
gµ⌫ x0µ x0⌫ = gµ⌫ ⇤µ ⇢ ⇤⌫ x⇢ x = g⇢ x⇢ x
gµ⌫ ⇤µ ⇢ ⇤⌫ = g⇢
elemento de matriz 𝝁 y 𝜈 de la matriz L,
⇣ ⌘
L
⇣
⇠ µ⌫
L
⇠
T
⌘
µ⌫
= ⇤µ ⌫
= ⇤⌫ µ
Transpuesta
gµ⌫ ⇤µ ⇢ ⇤⌫ = g⇢
)⇤
µ
⇢ gµ⌫ ⇤
⌫
⇣
= L
⇠
T
⌘
⇢µ
⇣ ⌘
gµ⌫ L
⇠ ⌫
se suma sobre 𝝁 y 𝜈 (índices repetidos),
⇣
LT
⇠
⌘
⇢µ
⇣ ⌘
gµ⌫ L
⇠ ⌫
) LT g L = g
⇠ ⇠⇠
⇠
=
✓
LT g L
⇠
⇠⇠
◆
⇢
igualdad de matrices
Otra forma de verlo
0
1
x0
Bx 1 C
C
x=B
xT = x0 x1 x2
@x 2 A
x3
0 0 1
x
B x1 C
C
g ·x=B
xT · x = (x0 )2
2A
@
x
⇠
x3
xT · g · x = s 2
⇠
pero en otro sistema
x0 = L · x
⇠
x3
(x1 )2
(x2 )2
(x3 )2
T
x0 = xT · LT
⇠
*
xT · g · x = s 2
⇠
T
x0 · g · x0 = xT · LT · g · L · x
⇠
⇠
Pero,
2
⇠
⇠
T
s 0 = x0 · g · x0 = xT · g · x = s 2
⇠
⇠
) xT · g · x = xT · LT · g · L · x
⇠
⇠
) LT g L = g
⇠ ⇠⇠
⇠
⇠
⇠
otra vez!
Analizando las propiedades
Determinante
✓
◆
det LT g L = det g
⇠ ⇠⇠
⇠
det LT det g det L = det g
⇠
⇠
⇠
det LT det L = 1
⇠
⇠
pero
⇠
det LT = det L
⇠
⇠
) det L = ±1
⇠
dos posibles valores
Primer elemento de matriz
g⇢ =
✓
T
L gL
⇠
⇠⇠
⇣
◆
= L
⇠
T
✓
LT g L
⇠
⇣
⇠⇠
= L
00
⌘
00
T
⇠
⇣ ⌘
L
⌘
⇠ 00
= (⇤0 0 )2
) (⇤0 0 )2
(⇤1 1 )2
1
◆
1 = g00 =
⇢
0µ
⇣
L
⇠
T
⇣ ⌘
gµ⌫ L
✓
⇠⇠
◆
⇣
⌘
LT g L
⇠
00
⇠ ⌫0
⌘
11
⇣ ⌘
L
(⇤2 2 )2
⇠ 11
⇣
L
⇠
T
⌘
22
⇣ ⌘
L
⇠ 22
L
⇠
T
33
(⇤3 3 )2 = 1
, (⇤0 0 )
1
o
(⇤0 0 ) 
dos rangos posibles
1
⇣ ⌘
L
⇠ 33
el grupo de las transformaciones de
Lorentz (que preservan el invariante)
L
•
s2 = constante
𝓛+↑ transformaciones propias, ortócronas
det L = +1
⇠
⇤0 0
1
Ejemplo: Transformación en entre dos sistemas que
se mueven en una dirección espacial - temporal
0
B
L=B
@ 0
⇠
0
0
0
1
0 0
0 0C
C
1 0A
0 1
det L =
⇠
2
(1
L00 = ⇤0 0 =
2
)=1
>1
Ejemplo: Transformación en entre dos sistemas que
se han rotado un ángulo θ en dos ejes espaciales
0
1
B0
L=B
@0
⇠
0
•
0
1
0
0
0
0
cos ✓
sin ✓
1
0
0 C
C
sin ✓ A
cos ✓
det L = cos2 ✓ + sin2 ✓ = 1
⇠
L00 = ⇤0 0 = 1
𝓛-↑ transformaciones impropias, ortócronas
det L =
⇠
1
⇤0 0
1
Ejemplo: inversión espacial
0
1
B0
L=g =B
@0
⇠
⇠
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0C
C
0A
1
✓
x0
L·
~x
⇠
◆
=
det L =
⇠
✓
x0
~x
1
◆
• 𝓛+↓ transformaciones propias, no ortócronas det L
=1
⇠
• Ejemplo: inversión total
0
•
1
B0
L=B
@0
⇠
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0C
C
0A
1
⇤0 0 =
det L = +1
⇠
𝓛-↓ transformaciones impropias, no ortócronasdet L =
⇠
Ejemplo: inversión temporal
0
1
1 0 0 0
B 0 1 0 0C
C
L=B
@
0 0 1 0A
⇠
0 0 0 1
L·
⇠
✓
0
x
~x
◆
=
⇤0 0 
✓
x
~x
1
⇤0 0 
1
0
◆
1
1
Sea G la matriz que cumple
G
L = eG
L = e⇠
⇠
G2
G3
L=I+G+
+
+ ...
2!
3!
1 = det L = det eG = eTr(G) ) Tr(G) = 0
Por otro lado
LT g L = g
Multiplicando por L−1 ) LT g = g L
ahora por
g
De la definición de
G
1
) gLT g = gg L
L=e
L
1
G
T
1
=L
,L =e
1
GT
T
= gLT g = geG g
L
1
T
= gL g = ge
GT
g
✓
◆
(GT )2
(GT )3
=g I+G +
+
+ ... g
2!
3!
(GT )2
(GT )3
= I + gGT g + g
g+g
g + ...
2!
3!
T
= I + gGT g +
gGT ggGT g gGT ggGT ggGT g
+
+ ...
2!
3!
= I + gGT g +
(gGT g)2
(gGT g)3
+
+ ...
2!
3!
= egG
L = eG ) L
1
=e
G
T
g
Entonces
gGT g =
G
GT g =
gG
(gG)T =
gG
gT = g
Se puede comprobar que
(gG)T =
0
0
BG01
G=B
@G02
G03
gG
G01
0
G12
G13
G02
G12
0
G23
1
G03
G13 C
C
G23 A
0
6 parámetros
independientes
3 de rotación (espaciales) y 3 de movimiento relativo (“boost”)
0 1 0 0
1 0 0 0
Si K1 es una matriz 4 × 4 de la forma K1 =
, y además
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
K2 =
y K3 =
. Para cubrir toda la matriz G, definimos
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
S1 =
, S2 =
y S3 =
.
0 0 0 −1
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 −1 0 0
0 0 0 0
Entonces G
= κ1K1 + κ2K2 + κ3K3 + ξ1S1 + ξ2S2 + ξ3S3
G = κ1K1 + κ2K2 + κ3K3 + ξ1S1 + ξ2S2 + ξ3S3
Por ejemplo si
κ ⃗ = (−κ,0,0) y ξ ⃗ = (0,0,0)
G = κ ⃗ ⋅ K⃗ + ξ ⃗ ⋅ S ⃗
0
1
G = κK1 = − κ
0
0
1
1
1
1
L = e G = 𝕀 + G + G2 + G3 + … = 𝕀 − κK1 + κ 2K21 − κ 3K31 + …
2
6
2
6
1 0 0 0
Se puede verificar K21 = K1 ⋅ K1 = 0 1 0 0 ≡ M y K31 = M ⋅ K1 = K1
0 0 0 0
0 0 0 0
2n+1
entonces K2n
= K1
1 = M y K1
1
1
1
1
L = e G = 𝕀 − κK1 + κ 2M − κ 3K1 + κ 4M − κ 5K1 + …
2
6
4!
5!
κ3 κ5
κ2 κ4
=𝕀− κ+
+
+ … K1 +
+
+… M
3! 5!
(
)
( 2! 4!
)
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
es la traslación en el eje x y el tiempo t cuando β = tanh κ . En ese caso :
cosh κ =
1
1−
tanh κ 2
= γ y sinh κ = tanh κ cosh κ = γβ
γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
L==
0
0 1 0
0
0 0 1
regresamos a la transformación de Lorentz
Si ahora,
κ ⃗ = (0,0,0) y ξ ⃗ = (−ξ,0,0)
1
L = e G = 𝕀 + G + G2 +
2
0 0 0
0 0 0
S21 = S1 ⋅ S1 =
0 0 −1
0 0 0
G = − ξ S1
1 3
1
1
G + … = 𝕀 − ξS1 + ξ 2S21 − ξ 3S31 + …
6
2
6
0
0
≡N
S31 = N ⋅ S1 = − S1
0
−1
1
1
1
1
1
L = e G = 𝕀 − ξS1 + ξ 2N + ξ 3S1 − ξ 4N − ξ 5S1 + ξ 6N…
2
6
4!
5!
6!
ξ3 ξ5
ξ2 ξ4
1
=𝕀− ξ−
+
− … S1 +
−
+ ξ6 − … N
3! 5!
(
)
( 2! 4! 6!
)
ξ3 ξ5
ξ2 ξ4
1
L=𝕀− ξ−
+
− … S1 +
−
+ ξ6 − … N
3! 5!
(
)
( 2! 4! 6!
)
= 𝕀 − sin ξS1 + (1 − cos ξ) N
0 0
1000
0 0
0100
=
−
0 0
0010
0001
0 0
1
0
=
0
0
0 0
0
1 0
0
0 cos ξ sin ξ
0 −sin ξ cos ξ
0
0
0 0 0
0
0
0
0 0 0
0
+
0 −sin ξ
0 0 cos ξ − 1 0
sin ξ 0
0 0 0
cos ξ − 1
una rotación alrededor de x
Usando una dirección arbitraria y juntando los generadores de traslación
de manera que
ξ ⃗ = − (tanh−1 β) β ̂ = − (ξ1, ξ2, ξ3)
⃗
⃗
Usando el hecho que K3i
L = e ξ ⋅ K = e −ξ1K1−ξ2K2−ξ3K3
γ
L=
−γβ1
−γβ1 1 +
−γβ2
−γβ3
γ
2
β2
γ+1 1
γ2
ββ
γ+1 2 1
γ2
ββ
γ+1 3 1
−γβ2
γ
2
ββ
γ+1 1 2
1+
γ2
γ2
β2
γ+1 2
ββ
γ+1 3 2
−γβ3
γ
2
ββ
γ+1 1 3
γ2
ββ
γ+1 2 3
1+
γ2
β2
γ+1 3
-
1
2+ 2+ 2
1 2 3
2
-
1
-
2
(-1+ ) 1 2
2
-
3
(-1+ ) 1 3
2
-
2
(-1+ ) 1 2
2
2+
1
2+ 2
2 3
2
(-1+ ) 2 3
2
= Ki
-
3
(-1+ ) 1 3
2
(-1+ ) 2 3
2
2+ 2+
1 2
2
2
3