Линейная алгебра
Базовые вопросы
1. Линейным пространством называется множество L элементов x, y, z, … любой природы,
удовлетворяющее условиям:
a. на множестве L определена операция сложения двух элементов (правило, по которому
любым двум элементам x и y из L ставится в соответствие элемент x+y из L, называемый
суммой элементов x и y);
b. на множестве L определена операция умножения на число (правило, по которому
любому элементу x из L ставится в соответствие элемент kx из L, называемый
произведением элемента x на действительное число k);
c. перечисленные операции удовлетворяют 8 аксиомам линейного пространства:
коммутативность сложения (x+y=y+x), ассоциативность сложения ((x+y)+z=x+(y+z)),
существование нулевого элемента (0 из L, такого что для любого x из L x+0=x),
существование противоположного элемента (для каждого x из L существует -x из L такой,
что x + (-x) = 0), равенство произведения на единицу самому элементу (1 * x = x для всех
x из L), ассоциативность умножения на число (k*(m*x) =(k*m)*x, k, m – действительные
числа, для любого x из L), дистрибутивность по числу ((k+m)*x = k*x+m*x) и по элементу
(k*(x+y)=k*x+k*y)).
2. Система векторов x1…xn называется линейно зависимой, если существует их линейная
комбинация k1*x1+k2*x2+…+kn*xn такая, что хотя бы один из коэффициентов k1…kn не равен 0
(такая линейная комбинация называется нетривиальной). В противном случае система
векторов называется линейно независимой.
3. Упорядоченная система векторов e1…en называется базисом линейного пространства L, если
эта система векторов линейно независима и любой вектор х из L линейно выражается через
вектора системы. Размерностью dim L пространства L называется число векторов в базисе
пространства L.
4. Матрицей перехода от базиса e1…en к базису f1…fn называется матрица, i-й столбец которой
есть разложение вектора fi по базису e1…en, i = 1…n.
5. Формула преобразования координат вектора при переходе от базиса e=e1…en к базису f=f1…fn:
Xe = Ue-f*Xf или Xf = (Ue-f)-1*Xe,
где Xe, Xf – столбцы координат вектора X в базисах e и f соответственно,
Ue-f – матрица перехода от базиса е к базису f.
6. Линейным подпространством L’ линейного пространства L называется множество векторов
такое, что:
a. для любых x и y из L’ их сумма x+y также принадлежит L’;
b. для любого x из L’ и для любого числа k k*x принадлежит L’.
Линейной оболочкой системы векторов u1…un называется множество векторов Lоб(u1…un)
(также обозначают span{u1...un}), каждый вектор которого является линейной комбинацией
векторов u1…un.
7. Евклидовым пространством называется линейное пространство E, в котором задана операция
скалярного умножения, ставящая в соответствие любым двум векторам x, y из E
действительное число (x, y), называемое скалярным произведением, при этом должны
выполняться следующие аксиомы скалярного умножения для любых векторов x, y, z из E и
действительного числа k: (x, y) = (y, x), (x+y, z) = (x, z) + (y+z), (k*x, y) = k(x, y), (x, x) >= 0, (x, x) = 0
ó x = 0.
8. Неравенство Коши-Буняковского:
(x, y)2 <= (x, x)(y, y)
Нормой называется функция, заданная на линейном пространстве L, ставящая каждому
вектору х из L в соответствие действительное число ||x||, удовлетворяющее аксиомам нормы:
a. ||x||>=0, при этом ||x|| = 0 ó x = 0;
b. ||k*x|| = |k|||x||, k – действительное число;
c. ||x+y|| <= ||x|| + ||y||.
Последняя аксиома называется неравенством треугольника.
9. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если любые два
вектора из этой системы ортогональны.
Ортонормированным базисом евклидова пространства называется базис, представляющий
собой ортогональную систему векторов, все векторы которого имеют единичную норму
(длину).
10. Теорема о связи ортогональности и линейной независимости системы векторов. Любая
ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
11. Отображение A: L -> L’ из линейного пространства L в линейное пространство L’ называется
линейным оператором, если выполняются условия:
a. A(x+y) = A(x) + A(y) для любых x, y из L;
b. A(k*x)=k*A(x) для любого вектора X из L и любого действительного числа k.
Матрицей линейного оператора A в базисе b=b1…bn называется матрица, составленная из
столбцов координат векторов Ab1, Ab2, …, Abn.
12. Матрицы Ae и Af линейного оператора A: L -> L, записанные в базисах e и f линейного
пространства L соответственно, связаны следующим соотношением:
Ae=(Ue-f)-1*Af*Ue-f,
где Ue-f – матрица перехода от базиса e к базису f.
13. Характеристическим уравнением линейного оператора называется характеристическое
уравнение его матрицы A: det(A-k*E) = 0, где det(A-k*E) – характеристический многочлен
матрицы A, E – единичная матрица, k – действительное число.
Ненулевой вектор х из линейного пространства L называется собственным вектором
линейного оператора A: L -> L’, если существует действительное число k такое, что Ax = k*x, при
этом k называется собственным числом линейного оператора A.
14. Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отвечающих различным
собственным значениям. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие
различным собственным значениям, линейно независимы.
15. Пусть E – евклидово пространство. Линейный оператор A*: E -> E называется сопряженным к
линейному оператору A: E -> E, если для любых векторов x, y из E верно равенство: (Ax, y) = (x,
A*y). Линейный оператор A называется самосопряженным, если A* = A.
16. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора. Все корни
характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны.
17. Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отвечающих различным
собственным значениям. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие
различным собственным значениям, ортогональны.
18. Теорема о существовании ортонормированного базиса, в котором матрица заданного
самосопряженного линейного оператора имеет простой вид. Для любого самосопряженного
оператора А существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого
линейного оператора. Матрица А самосопряженного оператора А в этом базисе имеет
диагональный вид, на ее диагонали расположены собственные значение оператора А,
повторяющиеся столько раз, какова их кратность.
19. Квадратная матрица О называется ортогональной, если ОT*O=E, где E – единичная матрица.
Линейный оператор А: E -> E, действующий в евклидовом пространстве Е, называется
ортогональным оператором, если он сохраняет скалярное произведение, то есть если для
любых векторов х и у из Е выполняется равенство (Ах, Ay) = (x, у).
20. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от n переменных с
действительными коэффициентами aij
(
! 𝑎!! 𝑥!" + 2
!)$
!
𝑎!# 𝑥! 𝑥#
$ &!'#&(
Матрицей квадратичной формы называется симметрическая матрица А порядка n такая, что
A = (aij).
Канонический вид квадратичной формы – вид квадратичной формы, в котором она не имеет
попарных произведений переменных:
(
! 𝛼! 𝑥!" , 𝛼! ∈ ℝ
!)$
21. Матрицы Ae и Af квадратичной формы a(x1…xn), записанные в базисах e и f соответственно,
связаны следующим соотношением:
Af=(Ue-f)T*Ae*Ue-f,
где Ue-f – матрица перехода от базиса e к базису f.
22. Квадратичная форма a называется
a. положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x выполняется
равенство a(x) > 0;
b. отрицательно определенной, если для любого ненулевого вектора х выполняется
равенство а(х) < 0;
c. неопределенной, если существуют ненулевые векторы х и у такие, что a(x) > 0 и a(y) < 0.
23. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Для того чтобы
квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись неравенства Δ* > 0, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛, где ∆* – k-й главный
минор матрицы квадратичной формы, то есть минор, содержащий первые k строк и первые k
столбцов матрицы квадратичной формы.
Следствие (для отрицательной определенности). Для того чтобы квадратичная форма от n
переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
неравенства (−1)* Δ* > 0, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛 (обозначения те же, знаки чередуются, начиная с
минуса).
Следствие (для знакопеременности). Для того чтобы квадратичная форма от n переменных
была знакопеременна, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из
следующих условий:
a. один из главных миноров равен 0;
b. один из главных миноров четного порядка отрицателен;
c. два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.
24. Закон инерции квадратичных форм. У любых двух канонических видов одной и той же
квадратичной формы совпадают:
a. количество переменных в сумме (см. п. 20), причем оно равно рангу квадратичной
формы;
b. количество положительных коэффициентов;
c. количество отрицательных коэффициентов.