1
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
1. Метрические и линейные нормированные пространства
Зелёный цвет текста – материал, обязательный для изучения в аудитории.
Синий цвет – материал, изложенный на аудитории.
Красный цвет – материал для самостоятельного изучения.
Чёрный цвет – дополнительный материал для самостоятельного ознакомления.
Определение расстояния. Метрическое пространство. Понятие расстояния известно из обыденной практики. Здесь приведены некоторые свойства расстояния, основанные на повседневном опыте.
Как следует из нашего опыта, расстояние – это некоторое неотрицательное число, которое ставится в соответствие паре точек, например ( A, B ) , реального пространства или абстрактного евклидова пространства. Для расстояния используются следующие обозначения:
dist( A, B )  d ( A, B )   ( A, B ) .
Свойства расстояния следуют из практики его измерения:
1) всегда dist( A, B )  0, причём dist( A, B ) = 0  A  B ;
2) dist( A, B ) = dist(B, A) для любых точек A и B ;
3) для любых трёх точек A, B и C всегда
dist( A, B )  dist( A, C ) + dist(C , B ) .
Напомним, что множество всех упорядоченных пар точек A, B некоторого множества X называется произведением множества X на себя и обозначается
X  X . Таким образом, расстояние является действительной функцией, определённой на произведении X  X и имеющей множеством значений некоторое
подмножество M  R  0, то есть dist( A, B ) : X  X → M .
Дадим общее определение расстояния, не зависящее от природы множества,
на котором оно определяется.
Определение 1.1. Пусть X – некоторое множество, элементы которого
будем обозначать x, y, z ,  и называть точками. Отображение
+
 : X  X → R +  0
называется расстоянием или метрикой, если оно удовлетворяет следующим
трём аксиомам: (x, y, z  X )
1)  ( x, y )  0  x  y   ( x, y ) = 0  x = y ;
(1.1)
2)  ( x, y ) =  ( y, x ) ;
(1.2)
3)  ( x, y )   ( x, z ) +  ( z, y ) .
(1.3)
Пара
 X ,  , или ( X ,  ) в этом случае называется метрическим простран-
ством. •
Дальше иногда будем обозначать метрическое пространство не символом
пары X ,  , просто X , если расстояние во множестве X определено одно-

значно.

2
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
В определении 1.1 аксиома (1.1) расстояния выражает его положительную
определённость, аксиома (1.2) – симметрию, а аксиома (1.3) – неравенство
треугольника.
Каждое подмножество метрического пространства само является метрическим пространством с той же самой метрикой.
Пример 1.1. В линейной алгебре расстояние в n -мерном евклидовом пространстве определено формулой, не зависящей от выбора базиса:
 → →
 → →
 → → → →
  x , y   dist x , y  =  x − y , x − y  .






В случае ортонормированного базиса имеем:
→

→


 x, y  =
(x
1
− y1
) + (x
2
2
− y2
)
2
(
++ x n − y n
)
2
.
Из последних формул нетрудно видеть, что определённое таким образом расстояние обладает всеми свойствами метрики. Следовательно, каждое евклидово пространство является метрическим пространством. 
Пример 1.2. Всякое множество можно превратить в метрическое пространство. Действительно, пусть x и y – элементы некоторого произвольного множества X . Положим по, определению,
если x  y;
0, если x = y.
def 1,
 (x, y ) = 
Легко проверить, что определённое расстояние обладает всеми свойствами метрики. Однако введённое так расстояние носит формальный характер и не имеет
практического значения. 
Дальнейшие свойства расстояния. Из аксиом 1 – 3 определения 1.1 можно
получить дальнейшие свойства расстояния, которые также хорошо известны из
практики.
4) Если X ,  – метрическое пространство, а x, y, z1 , z 2 , , z n – не-


которые его точки, то из аксиомы 3 непосредственно следует, что
 (x, y )   (x, z1 ) +  (z1 , z 2 ) +  +  (z n−1 , z n ) +  (z n , y ). (1.4)
x, y, z, x1 , y1  X . Тогда
 (x, y ) −  ( y, z )   (x, z ) .
5) Пусть
Действительно, нетрудно видеть, что
 (x, y )   (x, x1 ) +  (x1, y1 ) +  ( y1, y ),
 (x1, y1 )   (x1, x ) +  (x, y ) +  ( y, y1 ) .
Так как  ( x, x1 ) =  ( x1 , x ) и  ( y, y1 ) =  ( y1 , y ) , то
 (x, y ) −  (x1, y1 )   (x, x1 ) +  ( y1, y ) ,
 (x1, y1 ) −  (x, y )   (x, x1 ) +  ( y1, y ) .
Отсюда имеем:
(1.5)
3
 (x, y ) −  (x1 , y1 )   (x, x1 ) +  ( y, y1 ).
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
Полагая y1 = y, x1 = z , получаем (1.5).
Неравенство (1.5) означает, что в треугольнике длина одной стороны
больше или равняется абсолютной величине разности длин двух других сторон – факт, известный из элементарной геометрии. Из (1.5) и неравенства треугольника имеем:
 (x, y ) −  ( y, z )   (x, z )   (x, y ) +  ( y, z ).
(1.6)

Предел в метрическом пространстве. В любом метрическом пространстве
X ,  можно определить понятие предела.

(xn ) – последовательность элементов (точек)
метрического пространства  X ,  . Говорят, что последовательность ( xn )
сходится к пределу x0  X , если числовая последовательность ( ( x0 , xn ))
Определение 1.2. Пусть
при условии n →  сходится к нулю. •
Последовательность точек xk метрического пространства
( )
вается фундаментальной последовательностью, если
(   0) ( n ( )  N ) : ( n, m  n ( ) )  ( x
0
0
n
 X ,  назы-
− xm )   .
Наличие понятия предела в метрическом пространстве позволяет ввести и
другие нужные для построения анализа понятия. Определим в метрических пространствах часто встречающиеся в различных разделах математики множества.
Определение 1.3. Пусть X ,  – метрическое пространство, x0  X –


фиксированная точка, а r  0 – некоторое действительное число. Множество
точек x  X , удовлетворяющих условию  ( x0 , x ) = r , называется сферой радиуса

r с центром x0 в метрическом пространстве  X ,  . •
Определение 1.4. Множество точек метрического пространства
X ,  , удовлетворяющих условию  (x0 , x )  r (или  (x0 , x )  r ), называ-

ется соответственно открытым (замкнутым) шаром с центром
x0  X и
(конечным) радиусом r  0 . •
Если не оговорено иное, под шаром понимают замкнутый шар.
Определение 1.5. Подмножество X k ,  метрического пространства
 X , 


называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содер-
жащий это подмножество. •
На этом мы закончим краткий обзор теории общих метрических пространств, более полная теория которых является предметом таких дисциплин, как
«Теоретико-множественная топология» и «Функциональный анализ». Дальше будем изучать только линейные пространства, а именно нормированные линейные
пространства. Для этого нам потребуется формализовать определение нормы –
4
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
действительной числовой функции, определённой на элементах произвольных
линейных пространств.
Линейные пространства. Определение линейного пространства над произвольным числовым полем P почти точно повторяет определение векторного
пространства в линейной алгебре.
Определение 1.6. Множество X абстрактных элементов (векторов)
u , v , w, , x , y , z, , называется линейным (векторным) пространством
над полем P , если для его элементов выполнены перечисленные ниже аксиомы.
10 . Для любых элементов (векторов) x , y  X однозначно определена
операция сложения, результатом которой является элемент (вектор) того же
пространства, обозначаемый x + y  X и называемый суммой элементов (векторов) x и y , причём, операция сложения обладает следующими свойствами:
a)
(x, y, z  X ) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) – операция сложения ассо-
циативна;
b) x, y  X
(
) x + y = y + x – операция сложения коммутативна.
20 . Существует однозначно определённый вектор 0  X такой, что
(x  X ) x + 0 = x .
30 . Для любого вектора x  X существует однозначно определённый элемент − x  X , который называется обратным вектору x  X и обладает
свойством
x + (−x) = 0.
40 . Для любого числа   P и для любого вектора x  X
определена операция умножения вектора на число, результатом которой является вектор
  x  X , называемый произведением вектора x на число  , причём, операция умножения векторов на числа обладает следующими свойствами:
( ,   P )  (x, y  X )
a) 1 x = x ;
b)   x + y
(
) =   x +  y;
( +  )  x =   x +   x ;
d) (   )  x =   (   x ) . •
c)
Заметим, что элементами линейного пространства могут быть самые разные
объекты, например функции, для которых выполняются аксиомы определения 1.6.
Поэтому термин “вектор” по отношению к элементам линейного пространства
следует применять с учётом сделанного замечания.
5
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
R1  a, b вещественных функций не1
прерывных на замкнутом промежутке  a, b  , где a, b  R , a  b . Это множеПример 1.3. Рассмотрим множество
ство является вещественным линейным пространством. В качестве операции сложения элементов фигурирует операция сложения функций, а в качестве операции
умножения элемента на число – операция умножения функции на вещественное
число. В качестве нулевого элемента фигурирует функция
(x a, b) 0 ( x )  0 .
В качестве обратного вектора фигурирует функция
(x a, b) − f ( x ) = ( −1)  f ( x ) .
Умножение элемента на число обладает свойствами a) – b). Например, для
свойства b имеем:
(x a, b)
  ( f + g )( x ) =   f ( x ) +   g ( x ) .
Остальные свойства проверяются аналогично. 
Определение 1.7. Линейным подпространством M линейного пространства X называется непустое подмножество в X , которое само является линейным пространством с теми же операциями и с теми же правилами выполнения операций над элементами (векторами), что и в пространстве X . •
Линейное подпространство может состоять из одного нуль-вектора, и в этом
случае пишут M = 0 .
Система элементов x1 , x2 , , xn  X называется линейно независи-

мой, если
1 x1 + 2 x2 +

+ n xn = 0  1 = 2 =
= n = 0 ,
и линейно зависимой в противном случае. Если векторное пространство содержит линейно независимую систему e1 , e2 , , en из n векторов, а любая си-


стема, содержащая n + 1 векторов, уже линейно зависима, то пространство X
называется n -мерным векторным пространством. В этом случае пространство
n
обозначается X .
Любая максимальная по числу векторов линейно независимая система векторов
e , e ,
1
2
, en 
образует базис пространства
Xn
в том смысле, что ли-
нейная оболочка этой системы векторов
Le1 , e2 ,
, en  =
=  x  X n : ( 1 ,  2 , ,  n  P ) x = 1e1 +  2e2 + +  nen 
n
n
совпадает с X , то есть любой вектор x  X можно представить в виде разложения
6
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
n
x =  x k ek ,
k =1
где коэффициенты разложения называются координатами вектора относительно
n
заданного базиса. Можно показать, что подмножество M  X является подпроn
странством пространства X в том и только в том случае, если
 ,   P  x, y  M    x +   y  M .
(
)
(
) (
)
Бесконечная система векторов
u , u ,
1
2
, un ,
 X
называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема
u , u ,
1
2
, un   u1 , u2 ,
, un ,
 ( n = 1, 2, 3, )
является линейно независимой.
Иными словами, бесконечная система векторов
u , u ,
1
2
, un ,
 X
называется линейно независимой, если для любой линейно независимой системы
элементов u1 , u2 , , un
найдётся элемент un +1 такой, что система
u1, u2 ,


, un , un+1 также будет линейно независимой.
Определение 1.8. Пространство X называется бесконечномерным, если
для любой линейно независимой системы элементов u1 , u2 , , un  найдётся
элемент un +1 такой, что система u1 , u2 , , un , un+1 также будет линейно
независимой. •
Таким образом, линейное пространство называется бесконечномерным, если его базис содержит бесконечное число векторов. Всевозможные линейные
оболочки линейно независимых систем векторов из пространства X – суть подпространства линейного пространства X .
Определение 1.9. Пусть M и N – линейные подпространства линейного
пространства X , и пусть M , N   . Если каждый элемент x  X можно
представить в виде
x = y + z,
где y  M , z  N , тогда пространство X называется суммой подпространства M и подпространства N и обозначается
X = M + N.
Если, кроме этого, для каждого x  X векторы y и z определены единственным образом, то пространство X называется прямой суммой подпространств
M и N . Прямая сумма обозначается
X = M  N. •
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть X = M + N . Тогда
7
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
X =M N
в том и только в том случае, если
N = 0 .
M
В функциональном анализе, в отличие от линейной алгебры, в основном
рассматриваются бесконечномерные пространства, элементами которых (векторами) являются функции или другие более сложные объекты. Такие пространства
в функциональном анализе принято называть, как было уже отмечено выше, линейными пространствами. Понятие базиса не играет в функциональном анализе
настолько существенной роли, за исключением рассмотренного ниже случая
гильбертова пространства. По этой причине мы в дальнейшем изложении не будем применять векторные обозначения элементов линейного пространства,
имея в виду, что элементами пространства могут быть функции, которые будем
обозначать
x (t ) , y (t ) , z (t ) ,
→
→

f  x  ,
 
→
→
→





g  x  , u  x  , v  x  ,
     
,
где t  M  R , x  M  R , и так далее в зависимости от контекста. Таким
образом, векторные обозначения будут применяться, в основном, для векторов
независимых переменных.
Линейные нормированные пространства. Основное значение для функционального анализа имеет понятие линейного нормированного пространства.
Сформулируем определение линейного нормированного пространства.
Определение 1.10. Линейное пространство X называется нормированным, если на его элементах определено отображение
u : X → R+ 0 ,
1
n

называемое нормой, которое удовлетворяет следующим аксиомам:
N1) u  X u  0  u  0  0 = 0 ;
(
N2)
N3)
)
(u  X    R )   u
1
(u, v  X )
= u
u+v  u + v
;
.•
Приведём пример нормы в линейном пространстве
норму условием
(x a, b)
Тогда
f = sup f ( x )  max f ( x ) .
xa , b
x a , b
(x a, b) f ( x ) + g ( x )  f ( x ) + g ( x ) ,
откуда следует, что
f +g  f + g
Поэтому
.
– норма в пространстве
(1.7)
R1  a, b .
R1  a, b .
Определим
(1.8)
8
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
Норма (1.8) называется sup -нормой или max -нормой. Таким образом, пространство
R1  a, b
с нормой (1.8) является линейным нормированным про-
странством.
Дальше линейные нормированные пространства часто для краткости будем
называть просто нормированными пространствами. В нормированном пространстве можно определить расстояние.
Определение 1.11. Пусть X – линейное нормированное пространство,
определённое над полем действительных чисел
ментами u, v  X , порождённым нормой u
R1 . Расстоянием между эле: X → R + 0 , называется
величина
 ( u, v ) = u − v . •
def
(1.9)
Определённое так расстояние обладает всеми свойствами (1) – (5) расстояния в метрическом пространстве. Поэтому любое линейное нормированное пространство автоматически является и метрическим пространством.
Особым случаем нормированных пространств являются евклидовы пространства.
An – некоторое n -мерное линейное простран1
ство, заданное над полем действительных чисел R . Скалярной функцией двух
Определение 1.12. Пусть
→ →
векторных переменных x, y называется отображение
ставящее в соответствие каждой упорядоченной
 : An  An →R1 ,
паре
векторов
→ →
 → →
n
n
 x , y   A  A вполне определённое действительное число =  x, y  . •




Основываясь на опытных фактах, требуют, чтобы введённая функция
 → →
 =  x, y  удовлетворяла следующей системе аксиом:


 → → →
1
n
  x , y , z  A     R


 → →
 → →
1)   x , y  =   y , x  ;




 → →
 → →
2)     x , y  =     x , y  ,




→
→

 → →
 x ,   y  =   x , y  ;




(
)
9
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
 → → →
 → →  → →
3)   x + y , z  =   x , z  +   y , z  ,



 

 → → →
 → →  → →
 x, y + z  =  x, y  +  x, z  ;



 

 → →  → →  → →
4)   x  0    y  0  :   x , y   0 .


 

Определение 1.13. Евклидовым пространством
n
измерений
E n назы-
n
вается n -мерное линейное пространство A , на элементах (векторах) которого задана фиксированная, билинейная, скалярная функция двух векторных аргу→
ментов
→
x и y , удовлетворяющая аксиомам симметрии и невырожденности. •
→
В евклидовом пространстве норма для любого вектора
вестной из линейной алгебры формулой
xE
вводится из-
→ →
x =  x, x  ,


→
а расстояние в евклидовом пространстве определяется так:
→ → def →
→
→
→ →
→



  x, y  = x− y =  x− y, x− y  .




Аналогия приведённого определения расстояния в линейном нормированn
ном пространстве определению расстояния, например, в пространстве R носит в
значительной степени формальный характер по причине того, что в линейном
нормированном пространстве норма не выражается через скалярное произведеn
ние, как это было в евклидовом пространстве R . Правда существует один тип
нормированных пространств – так называемые гильбертовы пространства, в
которых норма определяется через некоторый обобщённый аналог скалярного
произведения. Этот случай рассмотрен ниже.
Ниже будут приведены также примеры используемых в анализе основных
линейных нормированных пространств. Из этих примеров будет видно существенное отличие линейных нормированных пространств от векторных нормированных пространств, выражающееся, прежде всего в аналитических трудностях,
проистекающих из сложности определения нормы.
Сходимость в линейном нормированном пространстве. Так как каждое
нормированное пространство является и метрическим пространством, то в нём,
очевидно, может быть определено понятие сходимости последовательности его
элементов. Дальше об элементах произвольного линейного нормированного пространства часто будем говорить как о точках.
10
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
(u )
линейного нормиро-
называется сходящейся к точке
по (фикси-
Определение 1.14. Последовательность точек
ванного пространства
рованной) норме
u
X
k
u0  X
, если
(   0) ( k ( )  N ) : (k  k )
0
0
uk − u0   . •
Лемма 1.2. Расстояние
 ( u, v ) = u − v
является непрерывной функцией своих аргументов
и
vn → v при n →  , то
lim
un − vn = u − v
n→
u
и
v , то есть если un → u
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из третьего неравенства (1.7) имеем:
(u
n
− u ) + ( vn − v )  un − u + vn − v 
 un − vn − u − v  un − v + un − v
Так как при n → 
un − u → 0  vn − v → 0 ,
то
.
lim
un − vn = u − v . • •
n→
Напомним понятие последовательности Коши.
Определение 1.15. Последовательность точек
(u )
k
линейного нормиро-
ванного пространства X называется фундаментальной последовательностью
(или последовательностью Коши), если
(   0) ( k ( )  N ) : ( n, m  k ( ) ) u − u   . •
Теорема 1.1. Если последовательность ( u ) точек линейного нормиро0
0
n
k
ванного пространства
норме
u
X
(по расстоянию
(метрического пространства
)
к пределу
u0  X ,
m
 X ,  ) сходится по
то она является фундамен-
тальной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведём доказательство для линейного нормированного пространства.
Действительно, из того, что lim uk = u0 и свойств нормы следует
(   0) ( n
0
n→
 N ) : ( n, m  n0 )
11
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
un − um = un − u0 + u0 − um  un − u0 + u0 − um 

2
+

2
=  . ••
Обратное утверждение для произвольного нормированного пространства,
вообще говоря, неверно. Существуют, однако, общие нормированные пространства, в которых каждая фундаментальная последовательность элементов сходится
к пределу, лежащему в том же пространстве.
Определение 1.16. Если в линейном нормированном пространстве X всякая фундаментальная последовательность uk сходится по расстоянию
( )
 ( uk , u0 )  uk − u0
к некоторому пределу u0  X , то пространство X
сительно нормы
называется полным отно-
и определяемого ею расстояния
. •
Не всякое нормированное пространство является полным. В математичеn
ском анализе доказывается, что пространство R полно относительно каждой из
трёх возможных норм. Этот случай является скорее исключением, чем правилом.
Определение 1.17. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством, или B -пространством.
Особое значение для физических приложений имеет полное линейное нормированное пространство, в котором норма определена посредством скалярного
произведения.
Определение 1.18. Полное евклидово (вещественное) бесконечномерное
пространство называется гильбертовым пространством. •
Ниже уточним понятие гильбертова пространства, распространив его на
случай, когда пространство определено над полем комплексных чисел.
Определим ещё одно важное понятие теории линейных нормированных
пространств.
Определение 1.19. Пусть в линейном пространстве X введены две нормы, которые обозначим
и
. Если на любых элементах пространства
p
q
X
между этими нормами выполняется соотношение
(
)
 u p  u q  u p  u q  u p  u q ,
(1.10)
где  и  − некоторые положительные числа, то эти нормы называются эквивалентными нормами. •
Из неравенства (1.10) определения 1.14 следует, что если для некоторой последовательности uk точек пространства X одна из эквивалентных норм
( )
стремится к нулю, то вторая норма также стремится к нулю. Можно показать, что
в конечномерном линейном пространстве любые нормы эквивалентны.
Справедливо следующее утверждение.
12
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
Лемма 1.3. Если некоторая последовательность
(u )
k
точек линейного
нормированного пространства X является фундаментальной (сходящейся) по
одной из эквивалентных норм, которыми наделено это пространство, то она является фундаментальной (сходящейся) и по любой другой норме, эквивалентной
первой.
Сжимающие отображения в метрическом пространстве. В теории метрических пространств X ,  как и в обычном математическом анализе вводит-


ся понятие функции, или отображения.
Определение 1.20. Пусть X1 , 1


и
 X 2 , 2 
– метрические про-
x  X1 по некоторому правилу ставится в соответствие единственная точка y = G ( x )  X 2 , то говорят, что задано отображение X 1 в X 2 и пишут G : X1 → X 2 .
Если X1  X 2 , то отображение в этом случае называется отображением X 1 в себя, или преобразованием. •
Определение 1.21. Отображение G называется непрерывным в точке
x0 относительно множества M  X1 , если
(  0) (   0) : (x  M ) :  ( x, x0 )   
странства. Если каждому
 2 ( G ( x ) , G ( x0 ) )   . •
Отображение G называется непрерывным на множестве S  X1 относительно множества M  X1 , если оно непрерывно в каждой точке множества
S относительно множества M . Отображение G : X1 → X 2 называется ограниченным, если оно преобразует ограниченное множество из пространства X 1 в
ограниченное множество пространства X 2 .
Определение 1.22. Говорят, что отображение A : X1 → X1 имеет неподвижную точку x0 , если Ax0 = x0 . •
Существование неподвижной точки имеет большое значение для решения,
как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений.
Определение 1.23. Отображение A : X → X называется сжимающим,
если
(   R ) 0    1: (x, y  X )  ( Ax, Ay )     ( x, y ) . •
1
Теорема 1.2 (о существовании неподвижной точки преобразования). Сжимающее отображение A полного метрического пространства в себя имеет и
притом единственную неподвижную точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X – полное метрическое пространство.
Возьмём произвольную точку u0  X и положим
13
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
u1 = Au0 ,
u2 = Au1 = A ( Au0 ) = A2u0 ,
(
)
u3 = Au2 = A A2u0 = A3u0 ,
………………………………….,
(
)
uk = Auk −1 = A Ak −1u0 = Ak u0 ,
……………………………………… .
Тогда получим:
 ( uk , uk +1 ) =  ( Ak u0 , Ak +1u0 )     ( Ak −1u0 , Ak u0 ) 
  k  (u0 , u1 ) .
Из этого неравенства и леммы о сумме ряда геометрической прогрессии получаем, что
 ( un , un+ p )   ( un , un+1 ) +  ( un+1 , un+ 2 ) +
   ( u0 , u1 ) + 
n
Так как по условию
lim  n = 0 .
n +1
 ( u0 , u1 ) +
+
n + p −1
+  ( un+ p −1 , un+ p ) 
n
 ( u0 , u1 ) 
 (u0 , u1 ) .
1−
0    1 (отображение сжимающее), имеем
n →
Поэтому
n
 ( u0 , u1 )   .
(  0) ( n0  N ) : (n  n0 )
1−
Следовательно, последовательность
( un )
– фундаментальная последователь-
ность. Но тогда в силу полноты пространства
что при n →  и un → u , то есть
 ( un , u ) → 0 .
Покажем, что u
X найдётся точка u  X такая,
– неподвижная точка отображения
k →  имеем:
 ( Au, uk ) =  ( Au, Auk −1 )   (u, uk −1 ) → 0 ,
то есть u = Au .
A . Действительно, при
Покажем, что эта точка – единственная неподвижная точка. Действительно,
если предположить, что имеются две неподвижные точки u и v , то
 u, v =  Au, Av   u, v  1 −    u, v  0 .
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
Отсюда следует, что  ( u, v ) = 0 , а следовательно, u = v . • •
Ортогональность в евклидовом пространстве. Алгоритм ортогонализации. Два ненулевых элемента евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
(x, y  E ) : x  0  y  0  ( x, y ) = 0 .
14
Система ненулевых элементов
x1, x2 ,
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
, xn ,
 бесконечномерного ев-
клидова пространства называется ортогональной, если
( ,   N ) :    ( x , x ) = 0 .
Можно показать, что любая ортогональная система элементов евклидова
(гильбертова) пространства линейно независима.
Если система x1 , x2 , , xn ,
обладает свойством


0,   ,
( x , x ) = 1, =  ,

то она называется ортонормированной системой.
Если ортогональная система такова, что любой элемент евклидова (гильбертова) пространства выражается в виде линейной комбинацией её элементов, то
она называется полной системой, или ортогональным базисом пространства.
Теорема 1.3 (об ортогонализации). Пусть
 f1, f2 ,
, fn ,

– линейно независимая система элементов евклидова (гильбертова) пространства E . Тогда в этом пространстве существует другая система элементов
g1, g2 , , gn , ,
(1.11)


удовлетворяющая следующим условиям:
1) система (1.11) ортонормированная;
2) каждый элемент gn является линейной комбинацией элементов систе-
, f n ,  , то есть
(1.12)
gn = n1 f1 + n2 f2 + + nn f n + ,
причём  nn  0 ;
3) каждый элемент f n является линейной комбинацией элементов системы  g1 , g 2 , , g n ,  , то есть
(1.13)
fn = n1g1 + n 2 g2 + + nn gn + ,
причём nn  0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент g1 ищем в виде
(1.14)
g1 = 11 f1,
мы
 f1, f2 ,
причём коэффициент 11 находим из условия
( g1, g1 ) = 112 ( f1, f1 ) = 1,
откуда имеем
(1.15)
15
УрФУ-ФТИ: Теория операторов
1
11 = 
1
=
.
(1.16)
( f1, f1 ) 11
Из (1.14) и (1.15) видно, что g1 определяется однозначно.
Пусть элементы gk ( k  n ) , удовлетворяющие условиям 1) – 3), уже построены. Тогда представим f n в виде
(1.17)
fn = n1g1 + n2 g2 + + nn gn + hn ,
где
( hn , gk ) = 0
(1.18)
при k  n , так как соответствующие коэффициенты
ются из условий
( hn , gk ) = ( fn − n1g1 − n2 g2 −
= ( f n , gk ) − nk ( gk , gk ) = 0 .
nk
однозначно определя-
− nn−1gn−1, gk ) =
(1.19)
В силу линейной независимости системы (1.13) выполняется условие
hn , hn  0 .
(
)
Положим
gn =
hn
( hn , hn )
.
(1.20)
Теперь очевидно, что
то есть
hn , а значит и gn , выражаются через f1, f2 , , fn ,
gn = n1 f1 + n2 f2 +
+ nn f n ,
где
 nn =
1
( hn , hn )
 0.
Более того, очевидно
( gn , gn ) = 1, ( gn , gk ) = 0 ( k  n )
и
(
f n = n1g1 + n2 g2 + + nn gn nn = ( hn , hn )  0
Учитывая, что n – любое, теорема доказана. ••
(1.21)
)
.
(1.22)