Лекция 1. Векторы. Геометрическое определение вектора. Линейные операции над векторами. Проекции векторов. Линейное векторное пространство. Базис и размерность пространства. Координаты векторов. Выражение линейных операций через координаты векторов. Декартова СК. Геометрическое определение вектора. Оп. (геометрическое определение вектора). Вектором AB будем называть направленный отрезок AB (рис. 1) с началом в точке A и концом в точке B (направление от точки A к точке B задается стрелкой). Данное определение использует геометрическое понятие отрезка, что позволяет наглядно представить себе вектор в виде стрелки определенной длины, расположенной на плоскости, либо в пространстве. Оп.. Длиной (модулем) AB вектора AB называется число, равное длине отрезка AB. Если точки A и B совпадают, то вектор называется нулевым: AB 0 . Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Оп.. Векторы, которые параллельны одной прямой, называются коллинеарными векторами; векторы параллельные одной плоскости - компланарными. Замечание. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Оп. (геометрическое определение равенства векторов). Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Замечание. В векторной алгебре точка приложения вектора не имеет значения рассматриваются так называемые свободные векторы. Линейные операции над векторами. Проекции векторов. Над векторами можно проводить так называемые линейные операции: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число. Сложение векторов. Пусть даны два вектора a и b . Построим равные им векторы AB и BC (т.е. перенесем конец вектора a и начало вектора b в точку B ). Тогда вектор AC называется суммой векторов a и b . Это правило сложения называется правилом треугольника. Можно сложить два вектора по правилу параллелограмма: слагаемые векторы приводятся началами в одну точку, на этих вектора строят параллелограмм (через конец одного вектора проводят прямую, параллельную другому вектору), вектор суммы строится на диагонали параллелограмма, выходящей из начальной точки векторов слагаемых. Оп. Произведением вектора a на число называется вектор b a длины b a , направление которого совпадает с направлением вектора a , если 0 , и противоположно ему, если 0 . Если вектор a умножить на число 1, то получим вектор a противоположный исходному. Операцию вычитания векторов можно определить через операции сложения и умножения на число: a b a 1 b . Геометрически, для нахождения разности двух векторов, необходимо привести их начала в одну точку и провести вектор из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Свойства линейных операций над векторами. 1. ab ba a bc ab c 2. 3. 4. a0 a a 1 a 0 6. a a - где , Re - действительные числа. a a a . 7. a b a b . 5. Оп. Углом между двумя векторами a, b называется угол не превышающий , между векторами равными данным и имеющими общее начало. Оп. Алгебраической проекцией вектора a на ось l , назовем число Прl a a cos a, l Оп. Геометрической проекцией вектора a на ось l , называется вектор al Прl a el , где el - единичный вектор направления l . Замечание. Если Прl a 0 , то направление al совпадает с направлением вектора l ; если же Прl a 0 , то векторы al и l направлены противоположно друг другу. Из определения геометрической проекции и правил выполнения линейных операций с векторами следует, что геометрическая проекция суммы (разности) векторов равна сумме (разности) проекций. Свойства проекций: 1. Прl ( АВ ВС ) Прl АВ Прl ВС el Прl AC ACl ABl BC l el Прl AB el Прl BC el Прl AB Прl BC 2. Прl AB Пр AB l Прl AB AB cos AB, l AB cos AB, l cos AB, l если cos AB, l cos AB, l cos AB, l Прl AB AB cos AB, l 0 если 0 Пример. Найти единичный вектор ea вдоль направления a , геометрическую проекцию ab вектора a на ось вектора b , прl с , если a 3 , b 2 , a , b 450 , a, 600 , b , 300 , c 6a 6b . По правилу умножения вектора на число a a ea 3 ea ea 1 a . 3 Прb a a cos a, b 3 2 2 ab Прb a b b 3 2 2 3 b b 2 2 Применяя свойства проекций (4.2.), получаем: Прl с 6 Прl а 6 Прl b 6 a cos(a , l ) 6 b cos(b , l ) 6 3 1 2 6 2 3 2 6 Линейное векторное пространство. Базис и размерность пространства. Оп. Выражения вида a b ... c векторов. называют линейными комбинациями Оп. Если a b ... c 0 тогда и только тогда, когда все действительные коэффициенты ... 0 , то векторы, входящие в линейную комбинацию называются линейно независимыми. Если в приведенном равенстве хотя бы один из числовых коэффициентов отличен от нуля, то векторы слагаемые являются линейно зависимыми. Оп. Множество всевозможных векторов X с действительными компонентами, на котором определены линейные операции, образуют линейное векторное пространство V. Если среди этих векторов можно выделить не более n линейно – независимых, то пространство n называется n - мерным ( V ). Оп. Совокупность n линейно – независимых векторов n - мерного линейного векторного n пространства V называется его базисом. n Пусть векторы e1 , e2 ,..., en образуют базис в V . Если к векторам базиса добавить еще один произвольный вектор x V , то он будет линейно зависим от векторов e1 , e2 ,..., en . Тогда допустим, что в линейной комбинации векторов 0 : n 1 e1 2 e2 ... n en x 0 x 1 e1 2 e2 ... n en Обозначив числа i xi , запишем равенство в виде: x x1 e1 x2 e2 ... xn en Оп. Выражение x x1 e1 x2 e2 ... xn en называется разложением вектора x по n базису пространства V , а числа xi - компонентами вектора x в базисе e1 , e2 ,..., en . Оп. (алгебраическое определение вектора). В заданном базисе V собой упорядоченную одномерную совокупность n чисел. n вектор представляет Оп. (алгебраическое определение равенства векторов). Два вектора равны, если в данном базисе равны их соответствующие компоненты. Если вектор разложен по базису, то сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число можно осуществлять алгебраически. x y x1 e1 ... xn en y 1e1 ... yn en e1 x1 y 1 ... en xn y n y x x1 e1 ... xn en x1 e1 ... xn en y y x1 ,..., xn Пример. В трехмерном пространстве V 3 заданы компоненты трех векторов a(1, 2, 4); b(0, 2,3); c(1, 4, 1) . Определить, могут ли эти три вектора образовать базис в V 3. Три вектора могут образовать базис в R 3 , если они линейно – независимы. Составим линейную комбинацию наших векторов и приравняем ее нулевому вектору. Выясним, при каких значениях действительных чисел , , возможно такое равенство. a b c 0 1 e1 2 e2 4 e3 0 e1 2 e2 3 e3 1 e1 4 e2 1 e3 0 e1 e2 2 2 4 e3 4 3 0 Исходя из условия равенства векторов, выражения в скобках должны быть равны 0. Получаем систему однородных линейных уравнений. 0 1 0 1 2 2 4 0 2 2 4 4 3 0 4 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 Ранг основной матрицы системы равен двум, он меньше числа неизвестных бесконечно много отличных от нуля решений этой системы по (4.3.) данные нам векторы линейно зависимы и базис в R 3 образовать не могут. Декартова система координат. Оп. Декартову систему координат (ДСК) в пространстве V n образуют точка и базисные векторы. Точка называется точкой начала отсчета (точка О). Через начало отсчета, в направлении базисных векторов проводятся прямые - оси координат. Масштаб измерения длины вдоль каждой оси задает длина соответствующего базисного вектора. Оп. Каждой точке M в ДСК можно поставить в соответствие вектор с началом в точке O и концом в точке M - радиус-вектор точки. Компоненты радиус-вектора точки M называют координатами точки M в ДСК. Таким образом, в заданной декартовой системе, точка пространства Rn , определяемая упорядоченной совокупностью n чисел, и ее радиус вектор алгебраически эквивалентны. Пример (нахождение компонент вектора). В декартовой системе координат пространства R 3 заданы две точки A 1, 2,1 и B 4,5, 0 . Определить компоненты вектора AB . Схематически изобразим начало отсчета O , базисные векторы e1 , e2 , e3 и точки A, B (рис. 6.). Из рис. 6. видно, что по правилу вычитания векторов AB OB OA OB 1 OA . Раскладывая каждый из радиус-векторов по базису e1 , e2 , e3 , получим: AB 4 e1 5 e2 0 e3 1 1 e1 2 e2 1 e3 5 e1 7 e2 1 e3 Таким образом, компоненты вектора AB 5, 7, 1 найдены путем вычитания из координат конечной точки координат начальной точки. Очевидно, что это правило не зависит от размерности пространства и справедливо в любой ДСК. n Оп. Чтобы найти компоненты вектора в ДСК R надо из координат его конца вычесть координаты начала: AB x1B x1 A , x2 B x2 A ,..., xnB xnA Пример. (деление отрезка в заданном отношении). По условиям примера 2 найдем координаты точки M AB , которая делит этот отрезок в отношении AM MB 3 2 . По построению векторы AM MB по правилу умножения вектора на число: 2 AM 3 MB . Векторы можно и AM MB выразить через радиус-векторы точек 2 OM OA 3 OB OM . Каждый из радиус-векторов разложим по базису A, M , B : e1 , e2 , e3 и воспользуемся тем, что у равных векторов равны соответствующие компоненты. e x e 2 xM e1 yM e2 zM e3 xA e1 y A e2 z A e3 3 xB e1 yB e2 z B 3 M e1 yM e2 zM 3 Приравняем коэффициенты справа и слева при соответствующих базисных векторах. xM 2 xA 3 xB 5 xM 2 2 xM xA 3 xB xM 2 yM y A 3 yB yM yM 2 y A 3 yB 5 yM 11/ 5 2 z z 3 z z zM 2 z A 3 zB 5 zM 2 / 5 M A B M Аналогично, для произвольных чисел 0, 0 можно получить формулы деления отрезка в заданном отношении: x Точка M с x1 x2 координатами y1 y2 M x, y , z делит z z1 z2 отрезок AB в отношении B x2 , y2 , z2 . Если 0 , то точка M AB , если и разных знаков, то точка M лежит на продолжении отрезка AB и делит его в отношении AM . MB , A x1 , y1 , z1 , y 1 OA и 2 OA . Найти компоненты вектора OA в базисе, образованном векторами OC и OB . Пример. (компоненты вектора в произвольной ДСК). В трапеции OACB : CB BC CB OB OC 1 OA OB OC OA 2 OB 2 OC В базисе OC и OB компоненты 1 2 CB OA 2 вектора OA 2; 2 . Оп. Если базис ДСК составляют взаимно-ортогональные векторы, то она называется декартовой прямоугольной системой координат (ПДСК). Если базисные векторы единичны, то ПДСК ортонормированная. Замечание. В дальнейшем, если не оговорено обратное, под термином ПДСК мы будем понимать именно ортонормированную СК В пространстве V 3 базисные векторы ПДСК обозначают буквами i e1 , j e2 , k e3 , над которыми допустимо не ставить символ вектора. Координатная ось, проведенная в направлении вектора i , называется осью абсцисс; направлении вектора j - осью ординат; в направлении k - аппликат. Координаты точки относительно ПДСК по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до координатных плоскостей. Рассмотрим вектор OA в ПДСК R 3 , который для удобства изобразим выходящим из начала системы координат. Спроектируем точку A на координатные оси, опуская сначала перпендикуляр на плоскость xOy , получим точку E , затем из полученной точки опустим перпендикуляры на оси Ox и Oy и получим точки B и C . Из точки A проведем прямую параллельную прямой OE до пересечения с осью Oz , получим точку D . Рассмотрим соответствующие обозначенным точкам радиус-векторы. OA OE OD OD OB OC Вектор OD k ; OB j такие ненулевые действительные числа xA , y A , z A , что i; OC OD z A k ; OB x A i; OC y A j . Тогда вектор OA разложен по базисным векторам ПДСК OA x A i y A j z A k . По построению компоненты вектора OA равны его алгебраическим проекциям на координатные оси. Пр OA OA cos OA, j Пр OA OA cos OA, k x A Прi OA OA cos OA, i yA zA j k В случае ненормированной ПДСК, где масштаб измерения длины задает соответствующий базисный вектор, для получения компонент необходимо длину проекции выразить в единицах длин базисных векторов: y Пр OA / m OA cos OA, m / m z Пр OA / n OA cos OA, n / n x A Прl OA / l OA cos OA, l / l A A m n 3 где l , m, n - взаимно ортогональные базисные векторы в R .
