Министерство образования и науки Российской Федерации
Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
В.В. Бардушкин, С.Г. Кальней, А.М. Ревякин
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебное пособие
Утверждено редакционно-издательским советом университета
Москва 2018
УДК 512(075.8)
Б24
Рецензенты: докт. техн. наук, доц. М.А. Мукутадзе;
канд. техн. наук П.П. Усов
Бардушкин В.В., Кальней С.Г., Ревякин А.М.
Б24
Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. пособие. –
М.: МИЭТ, 2018. – 268 с.: ил.
ISBN 978-5-7256-0879-3
Изложены основные разделы курса «Линейная алгебра», читаемого
авторами студентам первого курса МИЭТ. Рассмотрены примеры и
решение типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного
решения, к большинству из которых даны ответы.
Для студентов технических направлений подготовки, изучающих
линейную алгебру и аналитическую геометрию.
ISBN 978-5-7256-0879-3
 МИЭТ, 2018
Предисловие
Настоящее учебное пособие составлено на основе лекций по курсу «Линейная алгебра», читаемых авторами студентам факультета
электроники и компьютерных технологий и факультета (института)
экономики, управления и права Национального исследовательского
университета «МИЭТ». Содержание издания соответствует требованиям Федеральных государственных образовательных стандартов
высшего образования.
В главе 1 рассматриваются понятия матрицы как прямоугольной
таблицы чисел, определителя. Излагаются свойства действий с матрицами и определителями, которые имеют многочисленные приложения в
разных дисциплинах.
В главе 2 обосновываются методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений, знание основ теории матриц позволяют записывать
эти системы в компактной форме, сформулировать условия существования решений систем. Важное место отводится установлению структуры решений систем линейных алгебраических уравнений, усвоение которой облегчает в дальнейшем понимание методов решения линейных
дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.
В главах 3 – 6, относящихся к аналитической геометрии (геометрические векторы, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго
порядка), развиваются понятия о векторах и операциях над ними из
школьного курса геометрии, вводятся понятия векторного и смешанного произведения векторов, показываются применения данных понятий и
метода координат к решению различных задач.
В главах 7 – 9 излагаются начала линейной алгебры. Множество
геометрических векторов на плоскости или в пространстве с операциями сложения и умножения на число является основным примером для
иллюстрации понятий линейного пространства, базиса в линейном пространстве, эквивалентности действий над объектами линейного пространства действиям над упорядоченными наборами чисел – координатами объекта, а скалярное произведение геометрических векторов
служит основой для введения понятия евклидова пространства.
3
В главе 10 рассматриваются понятия и методы классификации
квадратичных форм, которые используются не только в других дисциплинах высшей математики, например при обосновании способов нахождения экстремумов функций многих переменных, но и в специальных
технических и экономических дисциплинах.
Каждая глава учебного пособия содержит разобранные типовые
задачи, а также задачи для самостоятельного решения, к большинству
которых приведены ответы, а к некоторым – указания к решению.
В учебном пособии приняты следующие обозначения: знак означает окончание решения примера, знак ■ – окончание доказательства
теоремы, утверждения.
4
Глава 1. Матрицы и определители
1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк длины n (или n столбцов длины m ). Матрицы принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита:
A , B , C ,…
При этом для явного указания количества строк m и столбцов n в какой-либо матрице A размера m × n часто используется запись Am×n .
Матрицы служат для представления числовых данных в удобной
для математической обработки форме. Числа, составляющие матрицу,
называются ее элементами. Их принято обозначать строчными буквами
латинского алфавита с указанием при помощи двух нижних индексов
положения элемента в матрице. Например, если дана матрица A размера m × n , то ее элементы записываются в виде aij , где i = 1, 2, ..., m ,
j = 1, 2, ..., n . Первый из индексов указывает номер строки, а второй –
номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.
Так, например, если матрица A содержит не менее двух строк и не менее трех столбцов, то элемент a23 находится на пересечении второй
строки и третьего столбца этой матрицы.
Матрицы A и B называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц ( aij = bij для всех возможных значений
i и j ). При этом пишут A = B .
Замечание. Из определения следует, что равными могут быть только матрицы одинакового размера.
Часто для обозначения матриц используется сокращенная форма
записи. Например, для матрицы A размера m × n эта запись выглядит
так:
A = (aij ) ,
где i = 1, 2, ..., m , j = 1, 2, ..., n .
5
Если требуется выписать все элементы матрицы Am×n , то это
обычно оформляется в виде таблицы, заключенной в круглые скобки:
 a11

a
A =  21
 ...

 am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2 n 
.
... ... 

... amn 
Так, примером A2×3 служит следующая матрица:
 − 4 1 5
A=
.
 7 − 2 0
Элементы вида aii матрицы A размера m × n называются диагональными. Совокупность диагональных элементов
a11 , a22 ,…, akk ,
где k = min(m, n) , называется главной диагональю Am×n .
Отметим, что для матрицы A размера m × n на практике возникает необходимость в рассмотрении совокупности вида
a1n , a2,n−1 ,…, ak ,n− k +1 ,
где k = min(m, n) , называемой побочной диагональю Am×n .
Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов,
называется квадратной. Квадратную матрицу An×n называют матрицей n -го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов,
стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Например,
3 0
A2×2 = 
,
0 7
6 0 0 


A3×3 =  0 − 3 0  .
 0 0 −1 


Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой E .
Например,
6
1 0 0
1 0


E2×2 = 
 , E3×3 =  0 1 0  .
0 1
0 0 1


Квадратные матрицы могут иметь такой вид, что все элементы над
главной диагональю (или под ней) равны нулю. Например,
5 0 0
 −1 2 5 




B3×3 =  7 2 0  , C3×3 =  0 3 8  .
 4 −3 1
 0 0 4




Такие матрицы обычно называются треугольными. При этом треугольная матрица, вид которой аналогичен B, называется нижней треугольной, а треугольная матрица, вид которой аналогичен C , – верхней треугольной.
Квадратная матрица An×n , у которой
aij = a ji
для всех i ≠ j , называется симметрической. Например,
3
2 5


A3×3 =  5 − 6 −1 .
 3 −1 9 


Матрица O размера m × n , все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Матрица A размера m × n называется ступенчатой в случае:
1) если строки, содержащие ненулевые элементы, расположены
выше нулевых строк;
2) если первый ненулевой элемент каждой строки матрицы, начиная со второй, расположен правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.
Например, ступенчатой является следующая матрица:
7
0

0
A5×8 =  0

0
0

2 8 − 2 6 −1
0 −1 5 3 − 9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2

7
−3 5 .

4 0
0 0 
0
3
Матрица, содержащая один столбец (одну строку), называется
вектор-столбцом (вектор-строкой):
 a11 


a21 

A=
, B = ( b11 b12 ... b1n ) .
 ... 


 am1 
Часто возникает необходимость в выполнении операции сложения
некоторых элементов матрицы. В ряде случаев, используя знак суммы
∑ и индексные обозначения элементов матрицы, операцию сложения
можно записать в краткой форме. Например, если A – квадратная матрица n-го порядка, то сумма ее элементов главной диагонали
a11 + a22 + ... + ann , называемая следом матрицы и обозначаемая tr A ,
может быть записана следующим образом:
n
tr A =
∑ aii .
i =1
Отметим, что след матрицы Am×n при m ≠ n не определяется.
Часто возникает необходимость в «двойном» суммировании
элементов матрицы. Например, сумму всех элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и трех первых столбцов некоторой матрицы
Am×n , m ≥ 2 , n ≥ 3 , можно записать так (внутреннее суммирование по
столбцам):
2  3
 2
 aij  = (ai1 + ai 2 + ai 3 ) = (a11 + a12 + a13 ) + (a21 + a22 + a23 ) .


i =1  j =1
 i =1
∑∑
∑
Эту же сумму можно записать по-другому (внутреннее суммирование
по строкам):
8
3  2
 3
 aij  = (a1 j + a2 j ) = ( a11 + a21 ) + ( a12 + a22 ) + (a13 + a23 ) .
j =1  i =1
 j =1
∑∑
∑
Следовательно,
2  3
 3  2

 aij  =  aij  .




i =1  j =1
 j =1  i =1 
∑∑
∑∑
Таким образом, можно не писать скобки в выражениях, содержащих «двойное» суммирование. В общем случае
m
n
n
m
∑∑ aij = ∑∑ aij .
i =1 j =1
j =1 i =1
Отметим два других свойства операции суммирования. Одно из
них характеризует суммирование элементов, не имеющих индексов:
n
x + x + ... + x = nx ,
∑ x = i =1
n раз
Другое свойство связано со сложением нескольких элементов, каждый
из которых умножается на одну и ту же константу:
n
∑
n
kxi = kx1 + kx2 + ... + kxn = k
i =1
∑ xi .
i =1
Существует также способ записи произведения элементов с помощью знака, аналогичного ∑. Таким знаком служит заглавная греческая
буква «пи» – ∏, которая обозначает перемножение всех членов, стоящих справа от нее. Например,
5
∏ bi = b1 ⋅ b2 ⋅ b3 ⋅ b4 ⋅ b5 .
i =1
С точки зрения техники вычислений использование знака ∏ эквивалентно применению знака ∑, только в этом случае вместо сложения
необходимо выполнять умножение.
9
1.2. Операции над матрицами
Транспонирование. Операция транспонирования применима ко
всем матрицам. Результатом применения транспонирования к матрице
Am×n является матрица Bn×m , полученная из данной заменой каждой ее
строки столбцом с тем же номером, т.е. для всех элементов этих матриц
выполняются равенства:
bij = a ji ,
где i = 1, 2, ..., n , j = 1, 2, ..., m .
Чтобы подчеркнуть, что матрица B получена в результате транспонирования матрицы A , ее принято обозначать AT . Например, если
−4 7 
 − 4 1 5

T 
A=
 , то B = A =  1 − 2  .
 7 − 2 0
 5
0 

Сложение. Складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц Am×n = ( aij ) и Bm×n = (bij ) называется матрица Cm×n = (cij ) такая, что ее элементы вычисляются по формулам:
cij = aij + bij ,
где i = 1, 2, ..., m , j = 1, 2, ..., n . При этом пишут C = A + B .
 − 4 1 5
8 −3 4
 , B=
 , то
 7 − 2 0
1 −5 6 
 − 4 + 8 1−3 5 + 4   4 − 2 9 
C = A+ B = 
=
.
 7 + 1 −2 − 5 0 + 6   8 − 7 6 
Например, если A = 
Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на
число применима ко всем матрицам. Произведением матрицы
Am×n = (aij ) на число k называется матрица Bm×n = (bij ) такая, что ее
элементы вычисляются по формулам:
bij = kaij ,
10
где i = 1, 2, ..., m ,
j = 1, 2, ..., n . При этом пишут B = kA (или
B = Ak ).
 − 4 1 5
 , k = − 2 , то
 7 − 2 0
−2 ⋅1
−2 ⋅ 5   8 −2 −10 
 −2 ⋅ ( −4)
B = −2 ⋅ A = A ⋅ (−2) = 
=
.
−2 ⋅ (−2) −2 ⋅ 0   −14 4
0 
 −2 ⋅ 7
Например, если A = 
Умножение матриц. Умножать можно только матрицы, размеры
которых согласованы. Пусть Am×n = ( aij ) , Bn×k = (b jl ) , т.е. количество
столбцов в матрице A равно количеству строк в матрице B . Тогда
произведением AB матриц A и B называется матрица Cm×k = (cil )
такая, что ее элементы вычисляются по формулам:
n
cil = ai1b1l + ai 2b2l + ... + ain bnl =
∑ aij b jl ,
j =1
где i = 1, 2, ..., m , j = 1, 2, ..., n , l = 1, 2, ..., k .
1 2
 −4 1 5


Например, если A2×3 = 
 , B3×2 =  0 −1 , то их
7
−
2
0


 −1 3 


 c11 c12 
размеры согласованы и C2×2 = A2×3 ⋅ B3×2 = 
 , где
 c21 c22 
c11 = − 4 ⋅1 + 1⋅ 0 + 5 ⋅ (−1) = − 9 , c12 = − 4 ⋅ 2 + 1⋅ (−1) + 5 ⋅ 3 = 6 ,
c21 = 7 ⋅1 + (− 2) ⋅ 0 + 0 ⋅ (−1) = 7 , c22 = 7 ⋅ 2 + (− 2) ⋅ (−1) + 0 ⋅ 3 = 16 .
 −9 6 
.
 7 16 
Таким образом, C2×2 = 
Заметим, что в рассмотренном примере размеры матриц A и B
будут согласованы, если их перемножать и в обратном порядке. Тогда
B3×2 ⋅ A2×3 = C3′×3 . Но размеры матриц C и C ′ неодинаковые, а значит
AB ≠ BA .
Возможны ситуации, когда в одном порядке матрицы можно перемножить, а в обратном – нет. Например, если A2×3 , B3×4 , то их произ11
ведение A2×3 ⋅ B3×4 определено, а произведение этих же матриц в обратном порядке B3×4 ⋅ A2×3 – нет.
Возможны также случаи, когда матрицы AB и BA имеют одинаковые размеры, однако все равно AB ≠ BA . Например, если
 1 3
 4 2
A=
B=
,
,
 2 5
3 7
 8 22 
BA = 
.
 17 44 
то
(проверьте!)
 13 23 
AB = 
,
 23 39 
Отметим также важное свойство единичных матриц (проверьте
самостоятельно!):
En×n ⋅ An×m = An×m , An×m ⋅ Em×m = An×m .
Пусть матрицы согласованы для операций сложения и умножения.
Тогда для любых матриц A , B , C и любых чисел k, n справедливы
следующие свойства операций над матрицами:
1) A + B = B + A (коммутативность операции сложения);
2) A + ( B + C ) = ( A + B) + C (ассоциативность операции сложения);
3) A + O = A ;
4) 1⋅ A = A ;
5) k (nA) = ( kn) A ;
6) k ( A + B ) = kA + kB ;
7) (k + n) A = kA + nA ;
8) (kA) B = A(kB ) = k ( AB ) ;
9) ( AT )T = A ;
10) ( kA)T = k AT ;
11) ( A + B )T = AT + BT ;
12) A( BC ) = ( AB)C (ассоциативность операции умножения);
13) ( AB)T = BT AT ;
14) A( B + C ) = AB + AC (дистрибутивность);
15) ( B + C ) A = BA + CA (дистрибутивность).
12
Свойства 1 – 11 очевидны. Доказательство их следует из определений соответствующих операций над матрицами и свойств действительных чисел.
Am×n = (aij ) , Bn×k = (b jl ) ,
Докажем свойство 12. Если
Ck × p = (cls ) , то проверим вначале совпадение размеров матриц
F = ( AB )C и G = A( BC ) :
( Am×n ⋅ Bn×k ) ⋅ Ck × p = Dm×k ⋅ Ck × p = Fm× p ;
Am×n ⋅ ( Bn×k ⋅ Ck × p ) = Am×n ⋅ Dn′ × p = Gm× p .
Далее проверим равенство соответствующих элементов матриц F и G .
При этом в выражениях, содержащих «двойное» суммирование, воспользуемся справедливостью обоснованных возможностей не писать
скобки и переставлять знаки ∑. Тогда
k n
 n

 aij b jl  cls =
(aij b jl cls ) =


l =1  j =1
l =1 j =1

k
fis =
∑∑
∑∑
dil
k
n
 k
j =1 l =1
j =1
l =1


n
=

∑∑ (aij b jl cls ) = ∑ aij  ∑ b jl cls  = gis . ■
d ′js
Докажем свойство 13. Действительно, размеры матриц ( AB)T и
BT AT одинаковы. Осталось проверить равенство их соответствующих
элементов: ij -й элемент BT AT равен произведению i -й строки BT и
j -го столбца AT , т.е. этот элемент равен произведению j -й строки A
и i -го столбца B , а это, по определению операции умножения матриц,
есть ji -й элемент матрицы AB . ■
Докажем свойство 14. Пусть A – матрица размера m × n , а B и
C – матрицы размера n × l . Тогда
n
 n
  n

A( B + C ) =  aik (bkj + ckj )  =  aik bkj + aik ckj  =

 

k =1
 k =1
  k =1

∑
∑
∑
13
 n
  n

=  aik bkj  +  aik ckj  = AB + AC . ■

 

 k =1
  k =1

∑
∑
Свойство 15 доказывается аналогично предыдущему.
1.3. Перестановки и подстановки
Пусть даны n различных элементов a1 , a2 ,…, an (например, это
могут быть числа).
Всевозможные расположения n различных элементов, отличающиеся друг от друга только порядком, называются перестановками из n
элементов.
Тео рем а 1.1. Число всех перестановок из n различных элементов
равно n!.
Доказательство. На первое место в перестановке может быть поставлен любой из элементов ai , i = 1, 2, ..., n . Итого: n способов.
Пусть на первое место уже поставлен какой-либо элемент из
a1 , a2 ,…, an . Тогда на второе место в перестановке может быть поставлен любой из n − 1 оставшихся элементов. Итого: n − 1 способов.
Значит, каждому из n способов постановки на первое место соответствует n − 1 способов постановки на второе место. Тогда одновременно поставить на первое и второе места элементы из a1 , a2 ,…, an
можно n( n − 1) способами и т.д. В итоге получим, что все элементы из
a1 , a2 ,…, an можно расставить n(n − 1)( n − 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n ! способами. ■
Будем в дальнейшем рассматривать в качестве различных элементов a1 , a2 ,…, an числа 1, 2,…, n. Составим из этих чисел перестановку α1 , α 2 ,…, α n . Здесь αi , i = 1, 2, ..., n , – это элементы из множества {1; 2;…; n}. Индекс i указывает на порядковый номер этого элемента в перестановке.
Пара элементов αi и α j в перестановке образует инверсию, если
i < j и αi > α j (т.е. больший элемент стоит раньше меньшего элемента).
14
Например, в перестановке 2, 5, 1, 4, 7, 3, 6 количество инверсий
равно 7 (инверсии образуют 2 и 1, 5 и 1, 5 и 4, 5 и 3, 4 и 3, 7 и 3, 7 и 6), а
в перестановке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 количество инверсий равно 0.
Перестановки с четным числом инверсий называются четными,
перестановки с нечетным числом инверсий – нечетными.
Пусть дана перестановка
α1 ,…, αi ,…, α j ,…, α n .
Поменяем местами два ее элемента αi и α j . При этом получим перестановку
α1 ,…, α j ,…, αi ,…, α n .
Такая операция перемещения двух элементов перестановки называется
транспозицией.
Тео рем а 1.2. От одной транспозиции четность перестановки меняется, т.е. четная перестановка становится нечетной, а нечетная –
четной.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда меняются местами два соседних элемента α и β перестановки
α1 , α 2 ,…, αi , α , β , β1 , β2 ,…, βm .
После транспозиции элементов α и β получим перестановку
α1 , α 2 ,…, αi , β , α , β1 , β2 ,…, βm .
Так как перестановки отличаются друг от друга только взаимным расположением элементов α и β (а взаимное расположение каждого из
этих элементов и какого-то другого, так же как и взаимное расположение любых двух из остальных элементов, осталось прежним), то число
инверсий в последней перестановке будет на единицу больше, если
α < β , или на единицу меньше, если α > β , числа инверсий в первой
перестановке, а значит одна из этих перестановок четная, а другая – нечетная.
Рассмотрим общий случай. Пусть нужно поменять местами
элементы α и β перестановки
α1 , α 2 ,…, αi , α , γ1 ,…, γ k , β , β1 , β2 ,…, βm ,
между которыми стоят еще k элементов γ1 , γ 2 ,…, γ k . Можно выполнить транспозицию элементов α и β посредством нескольких транспо-
15
зиций рядом стоящих элементов: поменяем местами α сначала с γ1 ,
затем с γ 2 и т.д. до γ k (при этом сделаем k транспозиций рядом стоящих элементов). Затем поменяем местами α и β (еще одна транспозиция) и, наконец, поменяем местами β последовательно с γ k , с γ k −1 и
т.д. до γ1 (еще k транспозиций рядом стоящих элементов). В итоге β
встанет на место α , а α – на место β . При каждой такой транспозиции
четность перестановки меняется, а поскольку она изменится 2k + 1 раз
(т.е. нечетное число раз), то нечетная перестановка сделается четной, а
четная – нечетной. ■
Следствие. Число нечетных перестановок из n элементов ( n ≥ 2 )
равно числу четных перестановок, т.е. равно
n!
.
2
Доказательство. Пусть из n! перестановок из n элементов p перестановок четны и q нечетны. Сделаем в каждой четной перестановке
одну и ту же транспозицию, например поменяем местами первые два
элемента. Тогда каждая четная перестановка превратится в нечетную.
Очевидно, что все p полученных при этом нечетных перестановок будут
разными, а поскольку общее число нечетных перестановок из n элементов, по предположению, равно q, то p ≤ q . Точно так же можно убедиться в том, что, наоборот, q ≤ p . Следовательно, p = q . ■
Например, среди 3! перестановок чисел 1, 2, 3 ровно половина четных: (1, 2, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2) и столько же нечетных: (1, 3, 2); (2, 1, 3);
(3, 2, 1).
Введем теперь понятие подстановки n-й степени. Запишем одну
под другой две перестановки из множества первых n натуральных чисел, взяв две полученные строки в скобки. Например, для n = 4 :
 3 1 4 2

.
2 3 4 1
В этом случае говорят, что число 3 переходит в 2, 1 – в 3, 4 – в 4 (или
остается на месте), 2 – в 1. Таким образом, определено взаимно однозначное отображение множества {1; 2; 3; 4} первых четырех натуральных чисел на себя.
Отметим, что если в рассмотренной конструкции переставлять
местами столбцы (т.е. делать транспозиции столбцов), то взаимно одно16
значное отображение не изменится. Поэтому отображение обычно записывают так, чтобы элементы в первой строке рассматриваемой конструкции были упорядочены по возрастанию. В приведенном примере
 3 1 4 2 1 2 3 4

=
.
 2 3 4 1 3 1 2 4
Теперь можно дать следующее определение: любое взаимно однозначное отображение
2 ... n 
1
σ=

 α1 α 2 ... α n 
множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени.
Отметим, что в определении подстановки σ через αi обозначается то число из множества {1; 2;…; n}, в которое переходит число i,
i = 1, 2, ..., n .
Из определения подстановки n-й степени следует, что их количество равно числу перестановок из n элементов в ее второй строке, т.е.
равно n!.
Подстановка вида
1 2 ... n 
ε=

1 2 ... n 
называется тождественной.
Подстановка σ называется четной, если сумма инверсий в первой
и во второй строках у нее четна, и нечетной, если эта сумма – нечетна
(сумму инверсий в подстановке σ принято обозначать | σ | ).
Замечания.
1. Тождественная подстановка – четная.
2. Поскольку, как правило, первая строка в подстановке записывается по возрастанию чисел, то число инверсий в верхней строке равно
нулю, следовательно четность подстановки фактически определяется
числом инверсий в нижней строке.
3. Ясно, что из n! подстановок n-й степени будет n ! 2 четных и
n ! 2 нечетных.
17
4. Очевидно, что если первая строка в подстановке не упорядочена
по возрастанию, то с помощью конечного числа транспозиций ее столбцов можно перейти к подстановке вида
2 ... n 
1

.
 α1 α 2 ... α n 
Каждая подобная транспозиция столбцов изменяет четность количества
инверсий в отдельно взятых строках подстановки, однако четность
суммы инверсий в обеих строках не изменяется, а значит переход от
неупорядоченной по первой строке подстановки к упорядоченной
не изменяет ее четность.
Например, в подстановке
 3 1 4 2


2 3 4 1
число инверсий равно 6 (3 инверсии в первой строке и 3 инверсии во
второй строке). После упорядочения ее первой строки получается равная ей подстановка:
1 2 3 4

,
3 1 2 4
в которой уже 2 инверсии. Однако четность исходной подстановки в
результате упорядочения первой строки не изменилась.
1.4. Определители и их свойства
Рассмотрим функцию, применяемую к квадратным матрицам, которая ставит в соответствие каждой квадратной матрице число, называемое определителем (детерминантом) этой матрицы. Пусть A –
квадратная матрица n-го порядка, т.е.
 a11

a
A =  21
 ...

 an1
a12
a22
...
an 2
... a1n 

... a2n 
.
... ... 

... ann 
Будем рассматривать всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы.
18
Ясно, что в любом таком произведении множители можно расположить
в порядке следования строк, т.е. a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n (сначала выбирается какой-то элемент из столбца α1 первой строки, затем элемент из
столбца α 2 ≠ α1 второй строки и т.д.). На индексах каждого такого
2 ... n 
1
.
 α1 α 2 ... α n 
произведения составим подстановку σ = 
Дадим теперь определение: определителем (детерминантом)
квадратной матрицы A n-го порядка называется сумма всевозможных
произведений a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n , взятых со знаком «плюс», если под-
2 ... n 
1
 четная, и со знаком «минус», если эта
 α1 α 2 ... α n 
становка σ = 
подстановка нечетная.
Произведение a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n будем называть членом определителя (детерминанта) квадратной матрицы A n-го порядка.
Определитель квадратной матрицы A принято обозначать det A
или | A | . Если для определителя необходимо явно указать все элементы
матрицы A , то таблицу чисел, задающую матрицу, заключают в прямые вертикальные скобки. Сами числа таблицы называют элементами
определителя. Таким образом,
a11
a
det A = | A | = 21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2n
= (−1)| σ | ⋅ a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n ,
... ...
σ
... ann
∑
где суммирование берется по всем подстановкам
2 ... n 
1
σ=
.
 α1 α 2 ... α n 
Замечание. Так как число перестановок из n элементов равно n!, то
определитель n-го порядка состоит из n! членов, причем ровно половина из них, т.е. n ! 2 , входит в определитель со знаком «плюс» и столько
же – со знаком «минус».
19
П рим ер 1.1. Выяснить, с каким знаком входит в определитель
(какого порядка?) произведение a36 a24 a45 a12 a61a53 .
Решение. Составим на индексах этого произведения подстановку
 3 2 4 1 6 5
σ=

 6 4 5 2 1 3
и подсчитаем в ней число инверсий:
| σ | = 17 .
Значит, это произведение является членом определителя 6-го порядка и
входит в этот определитель со знаком «минус». Для матрицы первого порядка A1×1 = ( a11 ) детерминант, по определению, равен самому элементу a11 этой матрицы, т.е.
det A = | A | = a11 .
Выведем теперь, исходя из определения, удобные правила вычисления определителей второго и третьего порядков.
Правило вычисления детерминанта второго порядка: в определителе второго порядка должно быть 2! = 2 членов, так как можно составить только две подстановки второго порядка:
1 2 
1 2
σ1 = ε = 
 , σ2 = 
.
1 2 
2 1
Первой из них соответствует член определителя a11a22 , который берется со знаком «плюс» (так как | σ1 | = 0 ), второй – a12 a21 , который берется со знаком «минус» (так как | σ 2 | = 1 ). Окончательно
det A = | A | =
a11
a21
a12
= a11a22 − a12 a21 .
a22
Таким образом, определитель второго порядка равен произведению
элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной
диагонали.
Например,
3 −2
= 3 ⋅ (− 5) − (− 2) ⋅ 7 = −1 .
7 −5
20
Правило вычисления детерминанта третьего порядка: в определителе третьего порядка должно быть 3! = 6 членов, так как можно составить только шесть подстановок третьего порядка:
1 2 3 
1 2 3
 1 2 3
σ1 = ε = 
 , σ2 = 
 , σ3 = 
,
1 2 3 
3 1 2
 2 3 1
 1 2 3
1 2 3 
 1 2 3
σ4 = 
 , σ5 = 
 , σ6 = 
.
 3 2 1
1 3 2 
 2 1 3
Первым трем из них соответствуют члены определителя a11a22 a33 ,
a13a21a32 и a12 a23 a31 , которые берутся со знаком «плюс» (так как
| σ1 | = 0 , | σ 2 | = | σ3 | = 2 ). Трем последним – a13a22 a31 , a11a23a32 и
a12 a21a33 , которые берутся со знаком «минус» (так как | σ 4 | = 3 ,
| σ5 | = | σ6 | = 1 ). Итак,
a11 a12
det A = | A | = a21 a22
a31
a32
a13
a23 =
a33
= a11a22 a33 + a13 a21a32 + a12 a23a31 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 .
Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из
каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками (рис.1.1): со знаком «плюс» – три члена, состоящие из
произведений элементов главной диагонали и из произведений элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали;
со знаком «минус» – три члена, состоящие
из произведений элементов побочной диагонали и из произведений элементов, обра+
зующих треугольники с основаниями, паРис.1.1.
раллельными побочной диагонали.
Указанное правило называется правилом треугольников.
_
21
Например,
3 −2
−2 1
2
1
3 = 3 ⋅1⋅ (− 2) + (− 2) ⋅ 3 ⋅ 2 + ( − 2) ⋅ 0 ⋅1 −
0 −2
− 2 ⋅1⋅1 − 3 ⋅ 0 ⋅ 3 − (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = −12 .
С увеличением порядка определителя число его членов очень быстро растет. Так, определитель 4-го порядка состоит из 24 членов, определитель 5-го порядка – из 120, определитель 6-го порядка – из 720 и
т.д. Поэтому вычислить определитель порядка выше трех, пользуясь
только его определением, практически невозможно. Для того чтобы
вычислять такие определители, необходимо изучить их свойства.
Свойство 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали.
Доказательство. Действительно, если A = (aij ) – треугольная
(верхняя или нижняя) квадратная матрица n-го порядка, то очевидно,
что все члены определителя этой матрицы, отличные от
a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann , равны нулю. Поскольку члену a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann соот-
 1 2 ... n 
 , которая явля 1 2 ... n 
ветствует тождественная подстановка ε = 
ется четной, то он входит в детерминант треугольной матрицы со знаком «плюс». ■
Свойство 2. При транспонировании определитель не меняется, т.е.
det( AT ) = det A .
Доказательство. Каждый член a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n определителя
матрицы A является членом и определителя транспонированной матрицы AT , так как его множители и в det( AT ) находятся в разных строках
и разных столбцах. Обратно, каждый член det( AT ) аналогично будет
членом и det A . Таким образом, оба определителя представляют собой
«алгебраическую сумму» (т.е. сумму, в которой некоторые слагаемые
берутся со знаком минус) одних и тех же членов. Знак произвольного
члена a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n в det A определяется четностью подстановки
22
2 ... n 
1
T

 . Но для det( A ) члену a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n соот α1 α 2 ... α n 
 α1 α 2 ... α n 
 той же четности, а значит
2 ... n 
1
ветствует подстановка 
член a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n входит в det( AT ) с тем же знаком, что и в
det A . ■
Замечание. Из свойства 2 следует, что в определителе строки и
столбцы «равноправны», т.е. все свойства, выполняющиеся для строк
детерминанта, являются справедливыми и для его столбцов. Поэтому
все остальные свойства определителя будут формулироваться далее
только для его строк.
Свойство 3. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то
определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть i-я строка определителя нулевая. В каждый
член определителя должен входить множителем один элемент из i-й
строки. Следовательно, все члены определителя равны нулю, а значит и
сам определитель равен нулю. ■
Свойство 4. При перестановке местами двух любых строк определитель меняет знак на противоположный.
Доказательство. Пусть в det A переставляются i-я и j-я строки
( i ≠ j ), а все остальные строки остаются на месте:
(i)
վ
( j)
a11
a12
... a1n
a11
...
ai1
...
...
ai 2
...
... ...
... ain
... ...
...
... ... ...
a j1 a j 2 ... a jn
(i )
a j1 a j 2 ... a jn
...
ai1
( j ).
... ... ... ...
an1 an 2 ... ann
...
... ... ...
an1 an 2 ... ann
⇒
a12
...
ai 2
... a1n
... ...
... ain
Если a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n – член исходного определителя, то все его
множители и в новом определителе остаются в разных строках и разных
столбцах. Поэтому a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n – член определителя и с пере23
ставленными строками. Верно и обратное. Таким образом, исходный и
новый определители состоят из одних и тех же членов.
Члену a1α1 ⋅ a2α 2 ⋅ ... ⋅ anα n в исходном определителе соответствует
подстановка
 1 ... i

 α1 ... αi
... j
... α j
... n 
,
... α n 
а в новом определителе
 1 ... j ... i ... n 

,
 α1 ... αi ... α j ... α n 
так как множитель aiαi будет стоять теперь в j-й строке, но остается в
«старом» αi -м столбце, а множитель a jα j будет стоять теперь в i-й
строке, но остается в «старом» α j -м столбце. Эти подстановки имеют
противоположные четности. Таким образом, каждый член исходого определителя входит в новый определитель с противоположным знаком, а
значит исходный детерминант меняет знак на противоположный. ■
Свойство 5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен
нулю.
Доказательство. Поменяем местами эти одинаковые строки определителя. От этого он не изменится. Однако по свойству 4 он должен
при этом изменить знак на противоположный. Только число 0 удовлетворяет этому требованию. ■
Свойство 6. Если все элементы некоторой строки определителя
умножить на одно и то же число, то определитель умножится на то же
число.
Доказательство. Пусть на k умножаются все элементы i-й строки
определителя. Каждый член определителя содержит ровно один элемент
из i-й строки, поэтому каждый член определителя умножается на k.
Следовательно, сам определитель умножается на k. ■
Замечания.
1. Свойство 6 можно переформулировать так: общий множитель
всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак
определителя.
2. Отметим отличие свойства 6 определителя от похожей операции
над матрицами. Умножение матрицы на число означает умножение всех
24
элементов матрицы на это число, а умножение определителя на число
равносильно умножению на это число элементов только какой-то одной
строки (или столбца) рассматриваемого определителя.
Свойство 7. Определитель с двумя пропорциональными строками
равен нулю.
Доказательство. Следует из свойств 6 и 5. ■
Свойство 8. Если каждый элемент i-й строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых: aij = bij + cij , j = 1, 2, ..., n , то
определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме i-й, такие же, как у исходного определителя, а i-я строка в одном
определителе состоит из элементов вида bij , а в другом – из элементов
вида cij .
Доказательство. Любой член исходного определителя можно
представить в виде
a1α1 ⋅ ... ⋅ aiαi ⋅ ... ⋅ anα n = a1α1 ⋅ ... ⋅ (biαi + ciαi ) ⋅ ... ⋅ anα n =
= (a1α1 ⋅ ... ⋅ biαi ⋅ ... ⋅ anα n ) + (a1α1 ⋅ ... ⋅ ciαi ⋅ ... ⋅ anα n ) .
Следовательно, вся алгебраическая сумма членов исходного определителя разбивается на алгебраические суммы членов двух определителей. ■
Свойство 9. Определитель не изменится, если ко всем элементам
какой-либо его строки прибавить соответстветственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Доказательство. Следует из свойств 8 и 7. ■
Свойство 10. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей сомножителей:
det( AB ) = det A ⋅ det B .
Это свойство в настоящем учебном пособии не доказывается, его
доказательство приведено, например, в [3, 8].
Теперь, когда известны основные свойства определителя, рассмотрим важнейший метод его вычисления – метод приведения к верхнетреугольному виду. Этот метод поясним на конкретном примере.
25
П рим ер 1.2. Вычислить определитель 4-го порядка
2 −1 3 2
1 0 −4 3
.
3 2 −2 1
0 −2 2 −1
Решение. Будем использовать свойства только для строк определителя (хотя можно применять их и для столбцов). Тогда
2 −1 3 2
1 0 −4 3
1 0 −4 3
Перестановка
2 −1 3 2
=
=−
=
3 2 −2 1
1-й и 2-й строк.
3 2 −2 1
0 −2 2 −1
0 −2 2 −1
1 0 −4 3
и прибавление ее ко 2-й строке.
0 −1 11 −4
=
=−
=
2) Умножение 1-й строки на ( −3)
0 2 10 −8
0 −2 2 −1
и прибавление ее к 3-й строке.
1) Умножение 1-й строки на ( −2)
1 0 −4
3
и прибавление ее к 3-й строке.
0 −1 11 −4
=
=−
=
2) Умножение 2-й строки на (−2)
0 0 32 −16
0 0 −20 7
и прибавление ее к 4-й строке.
1) Умножение 2-й строки на 2
1 0 −4 3
Вынесение общего множителя 16
0 −1 11 −4
=
= −16 ⋅
=
3-й строки за знак определителя.
0 0
2 −1
0 0 −20 7
26
1 0 −4 3
Умножение 3-й строки на 10
0 −1 11 −4
=
= −16 ⋅
=
и прибавление ее к 4-й строке.
0 0 2 −1
0 0 0 −3
= −16 ⋅1⋅ (−1) ⋅ 2 ⋅ (−3) = −96 . 1.5. Разложение определителя по элементам
строки или столбца
Минором M ij элемента aij определителя n-го порядка называется
определитель (n − 1) -го порядка, получающийся из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, взятый со знаком ( −1)i + j , т.е.
Aij = (−1)i + j M ij .
Тео рем а 1.3. Если все элементы i-й строки определителя, кроме
одного элемента aij , равны нулю, то det A = aij Aij .
Доказательство. Рассмотрим определитель указанного в условии
теоремы вида:
a11 ... a1, j −1
...
det A = 0
...
...
...
0
... ...
...
an1 ... an, j −1
a1 j
a1, j +1
... a1n
...
aij
...
0
...
...
...
anj
...
... ...
... ann
an, j +1
...
0 .
Переведем i-ю строку на первое место, меняя ее местами каждый
раз с соседней сверху строкой детерминанта. Тогда знак определителя
изменится (i − 1) раз. Затем в полученном детерминанте переведем j-й
столбец на первое место, меняя его местами каждый раз с соседним слева
27
столбцом детерминанта. Тогда знак определителя изменится еще ( j − 1)
раз. Итого, общее число перемен знака исходного определителя составит (i + j − 2) раз. Получим
det A = (−1)i + j −2 ⋅
aij
0
...
a1 j
a11 ... a1n
...
...
anj
an1 ... ann
...
0
...
= (−1)i + j ⋅
aij
0
...
a1 j
a11 ... a1n
...
...
anj
an1 ... ann
...
0
...
.
Отметим, что в правом нижнем углу последнего детерминанта находится минор M ij элемента aij .
Для удобства дальнейшего изложения переобозначим большинство
элементов последнего детерминанта (но не все!) следующим образом:
det A = (−1)i + j ⋅
b11
0
...
0
a1 j
b22
... b2 n
...
anj
... ... ...
bn 2 ... bnn
.
В каждый член определителя с переобозначенными элементами
входит в точности по одному элементу из первой строки. Но все эти
элементы, кроме b11 , равны нулю. Поэтому в последнем определителе
все те члены, в которые из первой строки входит не b11 , а какой-либо
другой элемент, равны нулю. Следовательно,
det A = (−1)i + j
∑ (−1)| σ | b11b2α …bnα ,
σ
2
n
где знак каждого члена b11b2α 2 …bnα n определяется при помощи под-
1 2 ... n 
 . Множитель b11 = aij является
1 α 2 ... α n 
становки вида σ = 
общим для всех слагаемых, поэтому его можно вынести за знак суммы.
Кроме того, поскольку единицы, стоящие на первом месте в обеих строках подстановок вида σ , не образуют ни одной инверсии, то можно во
всех подстановках σ «вырезать» первый столбец и уменьшить на 1 каждое значение оставшихся от σ элементов строки и столбца (количество
28
инверсий при этом не изменится). Получим подстановки (n − 1) -го порядка σ′ вида:
2
... n − 1 
 2 − 1 3 − 1 ... n − 1   1
σ′ = 
=
.
 α 2 − 1 α3 − 1 ... α n − 1  α 2 − 1 α3 − 1 ... α n − 1
Тогда
det A = (−1)i + j b11
∑ (−1)| σ | b2α …bnα =
σ
2
n
= (−1)i + j aij ∑ (−1)|σ′| b2α 2 … bnα n .
σ′
∑ (−1) b2α ... bnα
| σ′ |
Так как
σ′
b22
...
2
n
представляет собой определитель
... b2n
... ... , являющийся минором M ij элемента aij , получаем
bn 2 ... bnn
det A = (−1)i + j aij M ij = aij Aij . ■
Тео рем а 1.4. Каждый определитель равен сумме произведений
элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е.
n
det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain =
∑ aij Aij ,
j =1
где i = 1, 2, ..., n .
Доказательство. Представим каждый элемент i-й строки определителя n-го порядка в виде суммы n слагаемых следующим образом:
(ai1 ai 2 ... ain ) = (ai1 + 0 + ... + 0 0 + ai 2 + 0 + ... + 0 ... 0 + ... + 0 + ain ) .
n слагаемых
n слагаемых
n слагаемых
Тогда по свойству 8 детерминанта
29
a11
a12
...
...
det A = ai1 ai 2
...
...
an1 an 2
... a1n
a11
... a1n
a12
... ...
...
... ... ...
... ain = ai1
0 ... 0 +
... ...
...
... ... ...
... ann
an1 an 2 ... ann
ai1 Ai1
a11
...
a12
...
a13
...
... a1n
... ...
+ 0 ai 2
0 ... 0
...
...
... ... ...
an1 an 2 an3 ... ann
a11 ... a1,n −1
... ...
...
0
+ ... + 0 ...
a1n
...
ain . ■
... ...
...
...
an1 ... an,n −1 ann
ai 2 Ai 2
ain Ain
Замечание. Поскольку det( AT ) = det A , то верна формула разложения по j-му столбцу:
n
det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj =
∑ aij Aij ,
i =1
где j = 1, 2, ..., n .
П рим ер 1.3. Вычислить определитель 4-го порядка примера 1.2
2 −1 3
2
1 0 −4 3
det A =
3 2 −2 1
0 − 2 2 −1
разложением по какой-либо строке (столбцу).
Решение. Вычислим определитель с помощью разложения по второй строке. Тогда
det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + a24 A24 =
= 1⋅ A21 + 0 ⋅ A22 − 4 ⋅ A23 + 3 ⋅ A24 .
30
Найдем алгебраические дополнения A21 , A23 и A24 ( A22 находить не будем, так как при вычислении определителя это алгебраическое дополнение умножается на нуль):
A21 = (−1)
2+1
A23 = ( −1)
−1 3
M 21 = −1⋅ 2 − 2
2+ 3
−2
2
2
M 23 = −1⋅ 3
−1
2
2
1 =0,
−1
2
1 = 15 ,
0 − 2 −1
A24 = (−1)
2+4
2
M 24 = 3
−1 3
2 − 2 = −12 .
0 −2 2
Таким образом, det A = 1⋅ 0 − 4 ⋅15 + 3 ⋅ (−12) = − 96 . Тео рем а 1.5. Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
его параллельной строки равна нулю.
Доказательство. Пусть дан определитель матрицы A:
a12
... a1n
...
...
ai1 ai 2
...
det A = ...
a j1 a j 2
... ...
... ain
... ...
(i )
... a jn
( j ).
a11
...
... ... ...
an1 an 2 ... ann
Рассмотрим определитель матрицы B, отличающийся от det A
лишь тем, что в его j-й строке повторена i-я строка (остальные строки в
B такие же, как и в A):
31
a11
a12
... a1n
...
ai1
det B = ...
ai1
...
ai 2
...
ai 2
... ...
... ain
... ...
... ain
(i )
( j ).
...
... ... ...
an1 an 2 ... ann
Определитель матрицы B равен нулю, так как имеет две одинаковые строки. Разложив его по элементам j-й строки, получим
det B = ai1B j1 + ai 2 B j 2 + ... + ain B jn = 0 ,
где B jk – алгебраические дополнения элементов j-й строки определителя матрицы B ( k = 1, 2, ..., n ).
Определитель матрицы B лишь j-й строкой отличается от det A ,
поэтому B jk будут и алгебраическими дополнениями элементов j-й
строки определителя матрицы A, т.е. B jk = A jk . Таким образом, для
матрицы A при всех i ≠ j :
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + ... + ain A jn = 0 . ■
Замечание. Поскольку det( AT ) = det A , то для столбцов матрицы
A также справедливо утверждение при всех i ≠ j :
a1i A1 j + a2i A2 j + ... + ani Anj = 0 .
1.6. Обратная матрица
Пусть A – квадратная матрица n-го порядка, E – единичная матрица такого же порядка, что и A. Тогда, напомним: EA = AE = A .
Докажем, что матрица E – единственная, обладающая этим свойством для любых матриц n-го порядка.
Действительно, пусть существует матрица n-го порядка E ′ такая,
что для любой матрицы A n-го порядка также будет выполняться
32
E ′A = AE ′ = A . Рассмотрим произведение E ⋅ E ′ . С одной стороны, так
как E – единичная матрица, выполняется E ⋅ E ′ = E ′ . С другой стороны, так как для любой матрицы A n-го порядка матрица E ′ обладает
свойством AE ′ = A , выполняется E ⋅ E ′ = E . Откуда следует, что
E′ = E . ■
Матрица A−1 называется обратной к матрице A, если
AA−1 = A−1 A = E .
При этом матрица A, для которой существует обратная матрица, называется обратимой.
Замечание. Из определения следует, что обратимой может быть
лишь квадратная матрица, так как равенство AA−1 = A−1 A возможно
лишь для квадратных матриц A и A−1 одинакового порядка.
Квадратная матрица A называется вырожденной, если det A = 0 , и
невырожденной, если det A ≠ 0 .
Пусть A = (aij ) – произвольная квадратная матрица порядка n.
Матрица
 A11

A
Aɶ =  12
 ...

 A1n
A21
A22
...
A2 n
... An1 

... An 2 
,
... ... 

... Ann 
где Aij – алгебраические дополнения к элементам aij матрицы A, называется присоединенной к матрице A.
Замечание. Подчеркнем, что алгебраические дополнения
Ai1 ,
Ai 2 ,…, Ain к элементам i-й строки матрицы A образуют i-й столбец
присоединенной матрицы Aɶ .
Тео рем а 1.6 (Критерий обратимости матрицы). Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена.
Доказательство.
Необходимость. Пусть матрица A обратима, т.е. существует
обратная
−1
матрица
det( AA ) = det E = 1 .
A−1
такая,
Однако,
по
что
AA−1 = A−1 A = E .
свойству
10
Тогда
определителей,
33
det( AA−1 ) = det A ⋅ det( A−1 ) , откуда det A ⋅ det( A−1 ) = 1 . Следовательно,
det A ≠ 0 .
1
Достаточность. Пусть det A ≠ 0 . Покажем, что матрица
⋅ Aɶ
det A
является обратной к матрице A. Вначале рассмотрим произведение (учтем при этом теоремы 1.4 и 1.5):
1
 1

A⋅
⋅ Aɶ  =
⋅ ( AAɶ ) =
 det A  det A
 a11 a12 ... a1n   A11 A21

 
1  a21 a22 ... a2 n   A12 A22
=
⋅
⋅
... ... ...   ...
...
det A  ...

 
 an1 an 2 ... ann   A1n A2 n
0
 det A

det A
1  0
=
⋅
...
det A  ...

0
 0
...
0  1
 
...
0  0
=
...
...   ...
 
... det A   0
... An1 

... An 2 
=
... ... 

... Ann 
0 ... 0 

1 ... 0 
=E.
... ... ... 

0 ... 1 
Аналогично можно доказать, что
 1

⋅ Aɶ  ⋅ A = E

A
det


(здесь надо воспользоваться замечаниями к теоремам 1.4 и 1.5). ■
Тео рем а 1.7 (О единственности обратной матрицы). Если A –
квадратная матрица и AB = E (или BA = E ), то B = A−1 .
Доказательство. Из равенства AB = E следует, что B – квадратная матрица. Из равенства det( AB ) = det A ⋅ det B (свойство 10 определителей) следует, что матрицы A и B – невырожденные. Следовательно,
согласно теореме 1.6 матрица A – обратима, т.е. для нее существует обратная матрица A−1 . Тогда, учитывая ассоциативность умножения матриц (см. свойство 12 операций над матрицами),
A−1 = A−1E = A−1 ( AB ) = ( A−1 A) B = E B = B .
Таким образом, B = A−1 .
34
Аналогично рассматривается случай, когда BA = E . ■
Замечания.
1. Теорема 1.6 дает не только критерий обратимости матрицы, но и
ее явный вид:
A−1 =
1
⋅ Aɶ .
det A
2. Теорема 1.7 не только устанавливает свойство единственности
обратной матрицы, но и показывает, что для квадратной матрицы A одного из равенств AA−1 = E или A−1 A = E достаточно, чтобы матрица
A−1 была обратной к матрице A.
Опираясь на изложенное, запишем алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы:
1. Найти det A . Если det A = 0 , то A−1 не существует – останов
алгоритма. Если det A ≠ 0 , то перейти к пункту 2 алгоритма.
2. Найти алгебраические дополнения Aij ко всем элементам aij
матрицы A.
3. Составить матрицу B = (bij ) , где bij = Aij .
4. Составить присоединенную матрицу Aɶ = BT .
5. Вычислить A−1 =
1
⋅ Aɶ .
det A
 1 0 −1


П рим ер 1.4. Найти матрицу, обратную к A =  − 3 2
0 .
 1 −1 1 


Решение. Выполним действия согласно алгоритму нахождения обратной матрицы:
1. det A = 1 ≠ 0 , поэтому обратная матрица существует.
2. Алгебраические дополнения:
A11 = (−1)2
2 0
−3 0
= 2 ; A12 = (−1)3
= 3;
−1 1
1 1
A13 = (−1)4
−3 2
=1 ;
1 −1
35
A21 = (−1)3
0 −1
1 −1
= 1 ; A22 = ( −1) 4
=2;
−1 1
1 1
A23 = (−1)5
A31 = (−1)4
0 −1
1 −1
= 2 ; A32 = (−1)5
=3;
2 0
−3 0
A33 = (−1)6
 A11

3. B =  A21
A
 31
1 0
=1;
1 −1
1 0
=2.
−3 2
A13   2 3 1 
 

A23  =  1 2 1  .
A32 A33   2 3 2 
 2 1 2


T
4. Aɶ = B =  3 2 3  .
 1 1 2


 2 1 2  2 1 2
1
1 
 

−1
ɶ
5. A =
⋅ A = ⋅ 3 2 3 =  3 2 3 . det A
1 
 

 1 1 2  1 1 2
A12
A22
Сформулируем некоторые свойства обратной матрицы:
1) E −1 = E , так как E ⋅ E = E ;
1
, так как det A ⋅ det( A−1 ) = 1 ;
det A
3) ( A−1 ) −1 = A , так как AA−1 = A−1 A = E ;
2) det( A−1 ) =
4) ( AT ) −1 = ( A−1 )T , так как ( A−1 )T AT = ( AA−1 )T = E T = E
и
AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = E T = E ;
5) ( AB ) −1 = B −1 A−1 ,
так
как
( AB)( B −1 A−1 ) = A( BB −1 ) A−1 =
= AEA−1 = AA−1 = E , ( B −1 A−1 )( AB) = B −1 ( A−1 A) B = B −1 EB = B −1 B = E .
36
Рассмотрим применение обратной матрицы. Обратная матрица
применяется при решении матричных уравнений следующих видов:
An×n ⋅ X n×m = Bn×m ;
(1.1)
X m×n ⋅ An×n = Bm×n .
(1.2)
В этих матричных уравнениях требуется найти матрицу X , а известными являются матрицы A и B . Причем квадратная матрица A является невырожденной, т.е. имеет обратную A−1 .
Рассмотрим уравнение вида (1.1). Выполним формальные преобразования:
A X = B ⇔ A−1 ( A X ) = A−1B ⇔
⇔ ( A−1 A) X = A−1B
⇔ E X = A−1 B
⇔
X = A− 1 B .
Так как A ( A−1 B) = ( A A−1 ) B = EB = B , то заключаем, что решение уравнения (1.1) существует, единственно и имеет следующий вид:
X = A− 1 B .
Рассмотрим теперь уравнение вида (1.2). Выполним формальные
преобразования:
X A = B ⇔ ( X A) A−1 = B A−1 ⇔
⇔
X ( A A−1 ) = B A−1 ⇔ X E = B A−1 ⇔ X = B A−1 .
Так как ( BA−1 ) A = B ( A−1 A) = BE = B , то заключаем, что решение
уравнения (1.2) существует, единственно и имеет следующий вид:
X = B A−1 .
П рим ер 1.5. Решить матричное уравнение
 1 −2   − 4 6 
X ⋅
=
.
 −3 5   7 2
 1 −2
:
 −3 5 
Решение. Найдем вначале обратную матрицу к A = 
 −5 − 2
A−1 = 
.
 − 3 −1 
Тогда
37
2 
 − 4 6   −5 − 2  2
X =
⋅
=
.
 7 2   − 3 −1   − 41 −16 
Замечание. Метод вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы важен для теоретических исследований и совершенно неэффективен для практики вследствие большого объема вычислений. В основном его используют только для матриц второго и третьего порядков. Поэтому в вычислительной математике используются другие методы нахождения обратной матрицы, которые по объему равносильны вычислению всего лишь двух определителей n-го порядка.
Опишем один из них.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются
преобразования следующих типов:
1) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;
2) перестановка двух строк матрицы;
3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на любое число.
Каждое элементарное преобразование над строками матрицы (отметим, что матрица может быть прямоугольной!) может быть осуществлено с помощью умножения этой матрицы слева на квадратную матрицу элементарного преобразования одного из трех типов (в этих матрицах все неуказанные элементы на главной диагонали равны 1, а остальные неуказанные элементы равны 0):
⋮
1



⋱
⋮




1 ⋮


Di =  ⋯ ⋯ ⋯ λ ⋯ ⋯ ⋯  (i ) , λ ≠ 0 ;


⋮ 1


⋮
⋱




⋮
1


38
1




⋯
Pij = 

⋯





1




⋯
Lij = 

⋯







⋱
⋮
⋮


1 ⋮
⋮

⋯ ⋯ 0 ⋯ 1 ⋯ ⋯ ⋯  (i )

⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯  ( j );

⋮
⋮ 1

⋮
⋮
⋱


⋮
⋮
1
⋮
⋮


⋱
⋮
⋮


1 ⋮
⋮

⋯ ⋯ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯  (i )

⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ λ ⋯ 1 ⋯ ⋯ ⋯ ( j)

⋮
⋮ 1

⋮
⋮
⋱


⋮
⋮
1
⋮
⋮
λ∈R .
Легко проверить, что Di A равносильно умножению i-й строки
матрицы A на число λ ≠ 0 ; Pij A равносильно перестановке местами i-й
и j-й строк матрицы A; Lij A равносильно прибавлению к j-й строке
матрицы A ее i-й строки, умноженной на число λ∈R .
Сформулируем довольно очевидную теорему, доказательство которой очень громоздко, поскольку проводится в общем виде [5, 8]. Поэтому здесь оно не приводится. Однако, решая задачи, фактически каждый раз эту теорему будем доказывать, но не в общем виде, а с конкретными числами.
Тео рем а 1.8. Любая невырожденная матрица элементарными
преобразованиями строк приводится к единичной матрице.
39
Замечание. Теорема 1.8 может быть переформулирована в терминах матриц элементарных преобразований следующим образом: для
любой невырожденной матрицы A существуют матрицы элементарных преобразований над ее строками T1 , T2 ,…, Tk такие, что
Tk (Tk −1...(T2 (T1 A))...) = E .
Подчеркнем, что каждая из матриц T1 , T2 ,…, Tk является одной
из рассмотренных выше матриц элементарных преобразований Di , Pij
или Lij .
Опишем метод нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Пусть матрица A – невырожденная. Совершим над ее строками k
элементарных преобразований, приводящих A к единичной матрице E:
Tk (Tk −1...(T2 (T1 A))...) = E ⇔ (Tk Tk −1...T2T1 ) A = E .
Полученное матричное уравнение умножим справа на A−1 :
(Tk Tk −1...T2T1 ) ⋅ ( A A−1 ) = E A−1 ⇔ (Tk Tk −1...T2T1 ) E = A−1 .
Это означает, что для получения обратной матрицы достаточно к
строкам единичной матрицы E применить те же преобразования, которые приводят матрицу A к единичной. Для этого удобно составить
(
)
расширенную матрицу A E и над строками этой матрицы выполнить
те преобразования, которые матрицу A приводят к единичной. Тогда на
месте матрицы E окажется обратная матрица A−1 :
→ ( E A−1 ) .
( A E ) 
Элементарные преобразования
над строками расширенной
матрицы
П рим ер 1.6. Найти матрицу, обратную к матрице примера 1.4.
Решение. Составим расширенную матрицу и совершим над ее
строками элементарные преобразования:
 1 0 −1 1 0 0   1 0 − 1 1 0 0 

 

 −3 2 0 0 1 0 →  0 2 −3 3 1 0 →
 1 −1 1 0 0 1   0 −1 2 −1 0 1 

 

40
 1 0 − 1 1 0 0   1 0 −1 1

 
→  0 −1 2 −1 0 1  →  0 −1 2 −1
 0 2 −3 3 1 0  0 0 1 1

 
1 0 0 2
1
2  1 0 0 2

 
→  0 −1 0 − 3 − 2 − 3  →  0 1 0 3
0 0 1 1
1
2   0 0 1 1

0 0

0 1 →
1 2 
1 2

2 3 .
1 2 
Таким образом,
A
−1
 2 1 2


=  3 2 3 . 1 1 2


Опишем удобный способ решения матричного уравнения вида
An×n ⋅ X n×m = Bn×m ,
где det A ≠ 0 . Этот способ решения аналогичен методу нахождения
обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Итак, пусть над строками матрицы A надо совершить k элементарных преобразований T1 , T2 ,..., Tk (где каждая из этих матриц является
одной из рассмотренных матриц элементарных преобразований Di , Pij
или Lij ), приводящих ее к единичной матрице E:
Tk (Tk −1...(T2 (T1 A))...) = E ⇔ (Tk Tk −1...T2T1 ) A = E .
Применим эти же элементарные преобразования (в том же порядке!) к
обеим частям исходного матричного уравнения A X = B . В результате
получим
A X = B ⇔ (Tk Tk −1...T2T1 )( A X ) = (Tk Tk −1...T2T1 ) B ⇔
⇔ ( (Tk Tk −1...T2T1 ) A ) X = (Tk Tk −1...T2T1 ) B ⇔
E
⇔ X = (Tk Tk −1...T2T1 ) B .
Это означает, что для получения решения матричного уравнения
A X = B достаточно к строкам матрицы B применить те же элементарные преобразования, которые приводят матрицу A к единичной.
41
Для этого удобно составить расширенную матрицу
( A B ) и над стро-
ками этой матрицы выполнить преобразования, которые матрицу A
приводят к единичной. Тогда на месте матрицы B окажется решение
исходного матричного уравнения, т.е. A−1 B :
→ ( E A−1B ) .
( A B ) 
Элементарные преобразования
над строками расширенной
матрицы
Замечание. Приведенный способ может быть использован и для
нахождения решения матричного уравнения вида
X m×n ⋅ An×n = Bm×n ,
где det A ≠ 0 . Для этого необходимо применить операцию транспонирования обеих частей данного уравнения (воспользовавшись свойством 13 операций над матрицами):
( X A)T = BT ⇔ AT X T = BT .
Тогда можно найти решение матричного уравнения AT X T = BT , со-
(
ставив расширенную матрицу AT BT
) и выполнив над строками этой
матрицы элементарные преобразования, которые матрицу AT приводят
к единичной. Тогда на месте матрицы
T
BT
окажется решение
( ) B . Схематически это можно записать так:
( A B ) →  E ( A ) B  .
T −1
X = A
T
T
T −1
T
T
Элементарные преобразования
над строками расширенной
матрицы
Для получения решения исходного матричного уравнения останет-
( ) B.
ся только транспонировать найденную матрицу AT
П рим ер 1.7. Решить матричное уравнение
1 −5 3

  −1 2 1 
X ⋅1 −3 2 = 
.
5 − 4 3  0 −3 4


42
−1
T
Решение. Так как это матричное уравнение вида X ⋅ A = B , составим расширенную матрицу
( A B ) и выполним элементарные преT
T
образования над строками этой матрицы, приводящие матрицу AT к
единичной:
 1
1
5 −1 0   1 1
5 −1 0 

 

 − 5 − 3 − 4 2 − 3  →  0 2 21 − 3 − 3  →
 3
2
3 1
4   0 −1 −12 4
4 

1 1
5 −1 0   1 1
5 −1 0 

 

→  0 −1 −12 4
4  →  0 −1 −12 4 4  →
 0 2 21 − 3 − 3   0 0 − 3 5 5 

 

1 1
5 −1 0   1

 
→  0 −1 −12 4
4  →0
 0 2 21 − 3 − 3   0

 
 1 1 0 22 3 25 3   1

 
→  0 −1 0 −16 −16  →  0
 0 0 −3 5
5   0

1
5 −1 0 

−1 −12 4 4  →
0 − 3 5 5 
0 0 − 26 3 − 23 3 

1 0 16
16  .
0 1 − 5 3 − 5 3 
Значит,
 − 26 3 − 23 3 


X =  16
16  .
 −5 3 −5 3 


T
Таким образом,
 − 26 3 16 − 5 3 
X =
.
 − 23 3 16 − 5 3 
43
1.7. Ранг матрицы. Понятие о линейной зависимости
Рассмотрим прямоугольную матрицу Am×n . Выделим в этой матрице какие-либо k строк и k столбцов, где 1 ≤ k ≤ min(m , n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим
определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами k-го порядка матрицы A.
Замечание. Минор 1-го порядка – это элемент матрицы A.
Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A будем обозначать следующим образом: r ( A) .
Замечания.
1. r ( A) = 0 только для нулевой матрицы A.
2. r ( A) = k , если среди миноров матрицы A есть, по крайней мере,
один отличный от нуля минор k-го порядка, а все ее миноры порядка
k + 1 и выше равны нулю или не существуют (этот случай возможен,
когда количество строк или столбцов в матрице равно k).
Тео рем а 1.9. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство. Рассмотрим произвольную ступенчатую матрицу
(определение ступенчатой матрицы см. в параграфе 1.1):
 0 … 0 a1 j1 … * * … * * … * … * * … * 


 0 … 0 0 … 0 a2 j2 … * * … * … * * … * 


 0 … 0 0 … 0 0 … 0 a3 j3 … * … * * … * 
… … … … … … … … … … … … … … … … … 
A=
.
 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 … 0 … 0 akjk … * 


0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 … 0 … 0 0 … 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … 


0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 … 0 … 0 0 … 0
44
Здесь в каждой строке выделены первые ненулевые элементы
a1 j1 , a2 j2 , a3 j3 ,…, akjk (стоящие в «углах» ступенек). Тогда рассмотрим минор k-го порядка, составленный из первых k ненулевых строк и k
столбцов, содержащих элементы a1 j1 , a2 j2 , a3 j3 ,…, akjk , и являющийся определителем матрицы верхнетреугольного вида:
a2 j2
*
*
…
…
*
*
0
0
a3 j3
…
*
…
0
…
0
…
0
… *
… akjk
a11
0
*
.
Этот минор, согласно свойству 1 определителя, равен произведению
элементов, стоящих на главной диагонали, а значит отличен от нуля:
a1 j1 a2 j2 a3 j3 … akjk ≠ 0 .
Следовательно, r ( A) = k . ■
Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1.8, доказательство
которой в данном учебном пособии не приводится, поскольку проводится в общем виде и очень громоздко. Однако, решая задачи, фактически каждый раз будем эту теорему доказывать, но не в общем виде, а с
конкретными числами.
Тео рем а 1.10. Любая ненулевая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатому виду.
Тео рем а 1.11. При элементарных преобразованиях строк матрицы ее ранг не меняется.
Доказательство. Рассмотрим каждое элементарное преобразование отдельно. Для первых двух типов элементарных преобразований
утверждение очевидно.
1. При умножении всех элементов строки матрицы A на число
λ ≠ 0 одни ее миноры не меняются, а другие умножаются на λ , но, так
как λ ≠ 0 , то наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы не изменится.
2. После перестановки двух строк матрицы A осуществляется переход к новой матрице B, каждый минор которой либо равен некоторому
45
минору матрицы A, либо отличается от некоторого минора матрицы A
только знаком.
3. Рассмотрим матрицу B, получающуюся из матрицы A прибавлением ко всем элементам ее i-й строки соответствующих элементов j-й
строки, умноженных на одно и то же число λ :
 a11 a12

...
 ...
 ai1 ai 2

...
A =  ...
a
a j2
 j1
 ...
...

 an1 an 2
... a1n 

... ... 
... ain 

... ...  ⇒
... a jn 

... ... 

... ann 
a12
...
a1n
 a11



...
...
...
...


 ai1 + λa j1 ai 2 + λa j 2 ... ain + λa jn 


⇒ B=
...
...
...
...
.
 a

a j2
...
a jn
j1




...
...
...
...


an 2
...
ann
 an1

Пусть r ( A) = k . Покажем, что r ( B) ≤ k . Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы B порядка выше k равен нулю.
Пусть D – минор порядка выше k матрицы B. Возможны три различных
случая:
1) если D не содержит i-й строки матрицы B, то он в точности равен соответствующему минору матрицы A, а значит равен нулю как
минор порядка выше k, составленный из матрицы ранга k;
2) если D содержит и i-ю, и j-ю строки матрицы B, то по свойству
детерминантов он тоже равен соответствующему минору матрицы A, а
значит равен нулю;
46
3) если D содержит i-ю, но не содержит j-ю строку матрицы B, то
по свойству детерминантов его можно представить в виде суммы двух
определителей D = D1 + D2 , один из которых равен соответствующему
минору матрицы A, а другой отличается от некоторого минора матрицы
A множителем ±λ . Знак «минус» здесь может получаться из-за того,
что элементы j-й строки могут оказаться «не на своем месте». Следовательно, каждый из определителей D1 и D2 равен нулю, откуда и
D = 0 . Таким образом, установлено, что каждый минор матрицы B порядка выше, чем k, равен нулю, а значит r ( B ) ≤ r ( A) .
Но матрица A, в свою очередь, получается из матрицы B с помощью элементарного преобразования третьего типа: чтобы получить
матрицу A, надо к i-й строке матрицы B прибавить ее j-ю строку, умноженную на (−λ ) . Согласно доказанному ранг матрицы при этом не увеличивается, т.е. r ( A) ≤ r ( B ) . Следовательно, r ( A) = r ( B ) . ■
Замечание. Можно совершать элементарные преобразования над
столбцами матрицы. Ее ранг при этом не меняется.
Из изложенного вытекает метод нахождения ранга матрицы –
приведением матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований.
П рим ер 1.8. Найти ранг матрицы
 1 −1 1

 −2 4 6
 3 1 −2

 3 1 19
0

1
.
1

2
Решение.
 1 −1 1

 −2 4 6
 3 1 −2

 3 1 19
0
 1 −1 1


1
0 2 8
⇒ 
 0 4 −5
1


2
 0 4 16
0
0
 1 −1 1



1
0 2
8
1
⇒ 
.
 0 0 − 21 −1
1



2
0
0
0 0
Значит, ранг исходной матрицы равен 3. 47
Если α1 , α 2 ,…, α p – какие-либо строки матрицы A размера
m × n ( p ≤ m ) и, например,
α p = c1α1 + c2 α 2 + ... + c p −1α p −1 ,
где c1 , c2 ,…, c p −1 – какие-то числа, то будем говорить, что p-я строка
этой матрицы линейно выражается через строки α1 , α 2 ,…, α p−1 , или
что строка α p является линейной комбинацией строк α1 , α 2 ,…, α p−1 .
Будем говорить, что строки α1 , α 2 ,…, α p матрицы A линейно зависимы, если можно подобрать такие числа k1 , k2 ,…, k p , не равные
нулю одновременно, что
k1α1 + k2 α 2 + ... + k p α p = 0 ,
где 0 в правой части понимается как нулевая строка. Если таких чисел
ki не существует, т.е. если равенство k1α1 + k2 α 2 + ... + k p α p = 0 имеет место только в том случае, когда все ki = 0 ( i = 1, 2, ..., p ), то говорят, что строки α1 , α 2 ,…, α p линейно независимы.
Если одна из строк матрицы, например α p , линейно выражается
через остальные, то строки этой матрицы между собой линейно зависимы. Действительно, из равенства α p = c1α1 + c2 α 2 + ... + c p −1α p −1 следует, что
c1α1 + c2 α 2 + ... + c p −1α p −1 − α p = 0 .
Обратно, пусть между какими-то строками α1 , α 2 ,…, α p матрицы A имеется линейная зависимость k1α1 + k2 α 2 + ... + k p α p = 0 . Тогда
хотя бы одно из чисел ki , например k p , отлично от нуля и
αp = −
k p −1
k1
k
α1 − 2 α 2 − ... −
α p −1 ,
kp
kp
kp
т.е. в этом случае, по крайней мере, одна из строк матрицы линейно выражается через остальные.
Замечание. Аналогичное понятие линейной зависимости можно
ввести и для столбцов матрицы.
48
Тео рем а 1.12 (О ранге матрицы). Если ранг матрицы равен k, то
в этой матрице можно найти k линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные ее строки.
Доказательство. Пусть дана (m × n) -матрица A ранга k. Предположим, для определенности, что отличный от нуля минор k-го порядка
D (такой минор называется базисным) этой матрицы расположен в левом верхнем углу, т.е., что
 a11

a
A =  21
 ...

 am1
... a1n 

... a2 n 
,
... ... 

... amn 
a11 a12 ... a1k
a
a22 ... a2k
D = 21
≠ 0.
...
... ... ...
ak1 ak 2 ... akk
Покажем, что в таком случае первые k строк матрицы A будут лиa12
a22
...
am 2
нейно независимы. Предположим, что, наоборот, эти строки линейно
зависимы. Тогда одна из них, например для определенности α k , линейно
выражается через остальные:
α k = c1α1 + c2 α 2 + ... + ck −1α k −1 .
Прибавим к k-й строке матрицы A первую строку, умноженную на
(− c1 ) , вторую, умноженную на (− c2 ) , и т.д., наконец, (k − 1) -ю, умноженную на ( − ck −1 ) . После таких преобразований k-я строка матрицы
A окажется состоящей из одних нулей. При этом определитель D, который при таких преобразованиях не должен был бы меняться, станет
равным нулю. Полученное противоречие доказывает линейную независимость первых k строк матрицы A.
Заметим, что если отличен от нуля не этот, а какой-либо другой
минор k-го порядка матрицы A, то линейно независимыми будут именно
те строки, которые образуют этот базисный минор.
Докажем вторую часть теоремы о том, что все остальные строки
матрицы A линейно выражаются через первые ее k строк. Пусть
k < t ≤ m и 1 ≤ l ≤ n . Рассмотрим определитель (k + 1) -го порядка:
49
a11
a12
… a1k
a1l
a21 a22 … a2k a2l
∆= … … … … … .
ak1 ak 2 … akk akl
at1 at 2 … atk atl
Покажем, что ∆ = 0 при всех l и t. Действительно, если l ≤ k , то у
него два одинаковых столбца, а если l > k , то это минор (k + 1) -го порядка матрицы ранга k. Значит, он равен нулю.
Разложим рассмотренный определитель по элементам последнего
столбца:
a1l A1l + a2l A2l + ... + akl Akl + atl Atl = 0 .
Алгебраические дополнения A1l , A2l ,…, Akl элементов последнего
столбца зависят от номера строки t, но не зависят от номера столбца l,
так как при их вычислении последний l-й столбец вычеркивается. Кроме того, Atl = ± D ≠ 0 , а значит
A1l
A
A
a1l − 2l a2l − ... − kl akl .
Atl
Atl
Atl
Обозначим через ci = − Ail Atl , поскольку они не зависят от l. Подставив l = 1, 2, ... , n , получим
at1 = c1a11 + c2 a21 + ... + ck ak1 ,
at 2 = c1a12 + c2 a22 + ... + ck ak 2 ,
atl = −
………………………………….
atn = c1a1n + c2 a2 n + ... + ck akn ,
или
 at1 
 a11 
 a21 
 ak1 
 
 




 at 2  = c  a12  + c  a22  + … + c  ak 2  .
k
 …  1 …  2  … 
…
 
 




 atn 
 a1n 
 a2 n 
 akn 
Но это означает, что t-я строка матрицы A линейно выражается через
первые k ее строк: αt = c1α1 + c2 α 2 + ... + ck α k для всех t, t > k . ■
50
Замечание. Утверждение теоремы 1.12 можно сформулировать и
для столбцов: если ранг матрицы равен k, то в этой матрице можно
найти k линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее столбцы.
Сл ед ст вие 1. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк.
Доказательство. Утверждение очевидно, так как при транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами, а ранг матрицы при
этом не меняется. ■
Сл ед ст вие 2. Для того чтобы определитель был равен нулю,
необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно
зависимы.
Доказательство. Действительно, если определитель n-го порядка
D равен нулю, то ранг соответствующей матрицы меньше n, а значит ее
строки (столбцы) линейно зависимы.
Обратно, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы,
то ранг соответствующей матрицы меньше n и этот определитель (n-го
порядка) равен нулю. ■
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Вычислить:
 4 −1 2 
0 −2 1 
, B=
;
 −7 3 5
 3 1 − 3
 2 −1 
 −3 1 − 4


T
б) A + 3B , если A = 
, B= 3 1  ;
 6 2 −1 
 −5 4 


4
3 
5
 −6 1 3




T
в) 3 A − 2 B , если A =  2
1
0  , B =  4 −5 2 ;
 −1 − 2 − 3 
 7
0 9 



 7 − 2 4
 1 −1 5 




T
0 5 , B =  4 −3 8 .
г) 2 A − 3B , если A =  2
 −6 3 1
 − 2 5 1




а) 2 A − 5 B , если A = 
51
1.2. Вычислить AB и BA , если:
 8 3
 −2 5
, B=
;
 −5 7 
 1 4
 2 −1 0 
 4 1 7




б) A =  1 3 − 4  , B =  0 − 3 5  ;
6 −2 5 
 −1 2 1 




 −5 1 
 −7 1 2


в) A = 
9 ;
, B= 6
4
−
3
6


 −2 −4


 4 −1 


6 4 
 −3 1 2 − 4

.
г) A = 
, B =
1 −5
 5 2 −1 6 


2 3 
а) A = 
1.3. Дано: A = ( 9 − 7 2 5 ) , B = ( − 4 −1 6 2 ) . Вычислить: A BT ,
AT B , BT A и B AT .
1.4. Вычислить AB , если:
 −8 3 −5
 3 


 
а) A =  2
6
1  , B =  −5 ;
 7 −4 0 
 1 


 
 −1 2 9 − 2 
 0 


 
2
1 8 0 
1 

б) A =
, B=
.
 −8 −9 7 −3
 −2


 
8 1 1 
 9
 5 
1.5. Вычислить:
 1 − 4  − 2 0  4 − 2 
 3 −1  2 3  1 2 


 ; б) 


.
 5 2  3 −1 1 3 
 1 − 2  4 1  − 3 5 
а) 
52
1.6. Вычислить:
2
2
2 1 3
5 0 1 
3
3
 2 − 1
 1 −3




а) 
 ; б) 
 ; в)  −1 4 1  ; г)  1 2 −1 .
1
3
−
1
−
2




 0 2 −1 
 4 3 −1 




1.7. Вычислить A AT и AT A , если:
1 − 3
5


2
3
1 
 −1 1 3 − 4 

.
а) A = 
 ; б) A = 
4
2
0 
 −5 − 2 1 2 


 −1 − 2 6 
1.8. Вычислить определитель 2-го порядка:
а)
6 −5
− 2 −9
x− y
; б)
; в)
7 3
3
1
x+ y
x+ y
sin ϕ − cos ϕ
; г)
.
x− y
cos ϕ sin ϕ
1.9. Решить уравнение:
а)
2 x −1 x − 2
=5;
x
4
б)
sin x − cos x 1
= .
cos3 x sin 3x
2
1.10. Вычислить определитель 3-го порядка:
−2 1
5
а) 3 − 4 1 ;
6
2 −1
1 4 7
б) 2 5 8 ;
3 6 9
7 3 0
в) 4 2 −1 ;
5 8 9
3 2 3
г) 1 1 2 ;
5 2 1
1
д) sin α
1
sin γ .
1
sin β
cos α cos β cos γ
1.11. Определить четность подстановки:
 2 5 1 3 4
;
 3 1 5 4 2
а) 
 5 1 6 4 2 3
.
 4 6 1 3 5 2
б) 
1.12. Выяснить, входит ли произведение в определитель соответствующего порядка и, в случае положительного ответа, с каким знаком:
а) a46 a25 a13 a51a34 a62 ;
б) a21a65 a43 a36 a15 a54 ;
в) a54 a37 a63 a25 a31a12 a76 ;
г) a54 a47 a63 a25 a31a12 a76 .
53
1.13. Выбрать значения i и j так, чтобы произведение
a73a5 j a14 a47 a25 a3i a61
входило в некоторый определитель со знаком «минус».
1.14. С каким знаком входит в определитель n -го порядка:
а) произведение элементов главной диагонали;
б) произведение элементов побочной диагонали?
1.15. Вычислить определитель, используя его свойства:
2018 2019 2020
а) 2021 2022 2023 ;
2024 2025 2026
353 − 361 − 2118
б) − 706 9011 4236 .
1059
− 353 − 6354
1.16. Вычислить определитель двумя способами. Вначале, используя подходящее разложение по строке или столбцу (1-й способ), затем
приведением к верхнетреугольному виду (2-й способ):
5
4
а)
1
3
2
1
1
4
3 1
2 3
;
1 −2
1 3
3
2 −3 − 4
−3 −5
4
3
в)
;
6
7 − 2 −5
9
8 −5 −8
2
−2
б)
3
1
4 −1 3
5 1
4
;
2 1 −1
3 −5 3
−1
3
г)
0
−2
2 1
3 −1
2 1
5 1
1
3
.
2
3
1.17. Методом присоединенной матрицы найти матрицу, обратную
к матрице A:
 −1 2
2 5 
−4 2 

а) A = 
 ; б) A = 
 ; в) A =  − 2 3
−
1
−
3
11
−
5




 1 −4

3 2 3 
 −2 1 3
3 2





г) A =  1 1 2  ; д) A =  1 2 1  ; е) A =  1 3
 5 2 − 1
 1 2 2
5 3





54
−1 

3 ;
2 
2

1 .
4 
1.18. Методом элементарных преобразований найти матрицу, обратную к матрице A:
 2 3 1
 4 1 0




б) A =  2 2 1  ;
а) A =  1 2 1 ;
 1 1 1
1 2 1




 1 −2 2 
 −1 1 2 




в) A =  − 2 1 − 2  ; г) A =  −1 2 0  .
 2 −2 1 
 2 −2 0




1.19. Решить матричное уравнение:
 4 −3   2 4 
 −2 3 
 −1
=
 ; б) 
⋅ X = 
 5 −4   −1 5 
 8 −11
4
1 2 3
 −1 3   3 −1 

 6
в) X ⋅ 
=
 ; г) X ⋅  2 3 4  = 
 2 −2   7 −9 
3 4 1 0


 −1 4 2 
 15 − 9 3 




д)  3 5 0  ⋅ X =  9
3 −18  ;
 2 1 −1 
 12 0
21 



 2 −2 1 
 8 1




е)  − 2 −1 1  ⋅ X =  − 5 4  .
 1
 9 2
1 −1



а) X ⋅ 
2
;
5
9 8
;
1 6
1.20. Найти ранг матрицы:
 6 2 5 −1 


а)  3 − 5 1 16  ;
1 1 1 − 2


2

1
б) 
1

1
4 −3 1
5 

2 1 −3 −2 
;
2 6 −10 −11

2 − 9 11 16 
55
1 4
 2 −1 1 2 3 2 



3 5
6 −3 2 4 5 3

; г)
;
 6 − 3 4 8 13 9 
1 11



3 6
4 −2 1 1 2 1
3 2 2 2 2
 1 − 2 1 −3 


2 3 2 5 3



− 9 16 1 11 
д) 
;
е)  9 1 4 − 5 1  .
 −3 5 2 1 


2 2 3 4 5



 6 −11 1 −10 
 7 1 6 −1 7 


1.21. Доказать, что равенство AB = BA возможно только для
1

3
в) 
1

2
2
6
2
4
3
5
7
2
−2
−4
−4
−3
квадратных матриц одного и того же размера.
1.22. Привести примеры квадратных матриц A и B второго порядка (не единичных) для которых: а) AB ≠ BA ; б) AB = BA .
1.23. Для заданной матрицы A указать какую-либо последовательность квадратных матриц T1 , T2 ,…, Tk , задающих элементарные
преобразования над строками матрицы (см. параграф 1.6), чтобы произведение Tk …T2T1 A являлось ступенчатой матрицей:
 1 −2 2 1 
 1 1 −2 2 




а) A =  −2 2 −2 −1 ; б) A =  3
2 1 5 .
 2 −2 1 2 
 −2 −3 2 0 




56
Глава 2. Системы линейных алгебраических
уравнений
2.1. Основные определения
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 ,

...............................................
am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm .
(2.1)
Решением системы (2.1) называется совокупность n значений
неизвестных x1 = β1 , x2 = β2 ,..., xn = βn , при подстановке которых все
уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.
Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.
Исследовать и решить систему означает:
1) установить, совместна она или несовместна;
2) если она совместна, установить, является она определенной или
неопределенной, при этом:
– в случае определенной системы найти единственное ее решение,
– в случае неопределенной системы описать множество всех ее
решений.
2.2. Правило Крамера решения систем линейных
алгебраических уравнений
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с
n неизвестными (такие системы часто называют квадратными):
57
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 ,
(2.2)

...............................................
an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = bn .
Обозначим A = (aij ) , i , j = 1, 2, ... , n . ∆ = | A | будем называть
определителем системы (2.2).
Пусть
X = ( x1
x2 … xn )T – вектор-столбец неизвестных,
B = (b1 b2 … bn )T – вектор-столбец свободных членов системы.
Тогда система (2.2) будет равносильна матричному уравнению
AX = B .
Тео рем а 2.1. Если ∆ ≠ 0 , то система (2.2) является определенной
(т.е. имеет единственное решение).
Доказательство. Так как ∆ ≠ 0 , то существует обратная матрица
A−1 . Тогда решением матричного уравнения AX = B будет являться
матрица (вектор-столбец) X = A−1 B (см. главу 1). Таким образом, система (2.2) является совместной и определенной. ■
Распишем решение X = A−1 B системы (2.2) поэлементно, используя запись A−1 с помощью присоединенной матрицы (см. главу 1):
 x1 
 A11
 

 x2  = 1 ⋅  A12
⋯  ∆  ⋯
 

 xn 
 A1n
A21
A22
⋯
A2n
… An1   b1 
  
… An 2   b2 
⋅
,
⋯ ⋯  ⋯ 
  
… Ann   bn 
или
a11
1
1 a
xi = ⋅ ( A1i b1 + A2i b2 + … + Ani bn ) = ⋅ 21
∆
∆ ⋯
an1
58
…
…
⋯
…
b1
b2
⋯
bn
… a1n
… a2 n
∆
= i.
⋯ ⋯
∆
… ann
Здесь
a11
a
∆ i = 21
⋯
an1
…
…
⋯
…
b1
b2
⋯
bn
… a1n
… a2n
, i = 1, 2, ... , n –
⋯ ⋯
… ann
определитель, получающийся из определителя
… a1i … a1n
… a2i … a2n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
… ani … ann
системы (2.2) «замещением» его i -го столбца столбцом свободных чле-
a11
a
∆ = 21
⋯
an1
нов (b1 b2 … bn )T , при этом все остальные столбцы определителя
∆ сохраняются в прежнем виде.
Сформулируем правило Крамера для нахождения решения системы (2.2): если в системе (2.2) определитель ∆ ≠ 0 , то ее решение
( x1
x2 … xn )T может быть найдено по формулам Крамера:
∆
xi = i , i = 1, 2, ... , n .
∆
П рим ер 2.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений, пользуясь правилом Крамера:
 x1 + 2 x2 + 5 x3 = − 9,

 x1 − x2 + 3 x3 = 2,
3 x − 6 x − x = 25.
2
3
 1
Решение. Вычислим вначале определитель этой системы:
1
∆= 1
2
−1
5
3 = 24 .
3 − 6 −1
Так как ∆ ≠ 0 , то рассматриваемая система является определенной.
59
Вычислим теперь определители ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 :
−9
∆1 = 2
25
2
−1
5
1 −9
3 = 48 , ∆ 2 = 1 2
− 6 −1
5
3 = − 72 ,
3 25 −1
1
∆3 = 1
2 −9
−1 2 = − 24 .
3 −6
25
Тогда, пользуясь формулами Крамера, получаем решение системы:
∆
∆1 48
∆
− 72
− 24
=
= 2 ; x2 = 2 =
= − 3 , x3 = 3 =
= −1 .
∆ 24
∆
24
∆
24
T
Таким образом, решение системы имеет вид (2 − 3 −1) . x1 =
Замечание. Правило Крамера дает решение системы (2.2) в явном
виде и в некотором смысле носит алгоритмический характер. Однако
оно полезно лишь в теоретических исследованиях и неудобно для практического использования при решении квадратных систем с четырьмя и
более неизвестными. Действительно, для решения систем n -го порядка
по правилу Крамера требуется вычислить n + 1 определителей n -го
порядка, тогда как большинство современных методов решения систем
по объему вычислений равносильны вычислению одного определителя.
2.3. Совместность системы линейных
алгебраических уравнений
Отметим, что вопрос о решении прямоугольных или квадратных
систем линейных алгебраических уравнений, но с вырожденной матрицей, до сих пор остается открытым. Поэтому сформулируем и докажем
важнейшую теорему, которая полностью снимает вопрос о совместности произвольных систем линейных алгебраических уравнений.
Оставим в (2.1) одну таблицу коэффициентов, исключив xi . В результате получим расширенную матрицу системы A :
60
 a11 a12

a
a22
A =  21
⋯ ⋯

 am1 am 2
a1n b1 

… a2 n b2 
.
⋯ ⋯ ⋯

… amn bm 
…
Расширенная матрица A состоит из матрицы системы A, состоящей из коэффициентов при неизвестных, и столбца свободных членов B:
 a11 a12

a
a22
A =  21
⋯ ⋯

 am1 am 2
… a1n 
 b1 

 
… a2n 
b2
, B= .
⋯
⋯ ⋯

 
… amn 
 bm 
Обозначим X = ( x1 x2 … xn )T . Тогда система (2.1) будет
равносильна матричному уравнению
AX = B .
Отметим, что в этом матричном уравнении, в отличие от матричного уравнения, рассмотренного в параграфе 2.2, матрица A не обязательно квадратная. Поэтому оно не может быть решено рассмотренными ранее методами.
Тео рем а 2.2 (Кронекера – Капелли). Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда
r ( A) = r ( A) .
Доказательство. Отметим, что r ( A) ≥ r ( A) , так как каждый минор матрицы A будет минором и матрицы A , но не наоборот.
Необходимость. Пусть система
 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,

 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 ,

...............................................
 am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
61
совместна и x1 = β1 , x2 = β2 ,..., xn = βn – некоторое ее решение. Тогда
при подстановке β1 , β2 ,..., βn во все уравнения системы получим тождества
 a11β1 + a12β2 + … + a1nβn = b1 ,

 a21β1 + a22β2 + … + a2nβn = b2 ,

...............................................
 am1β1 + am 2β2 + … + amnβn = bm ,
или
 a11 
 a12 
 a1n   b1 





  
a21 
a22 
a2n   b2 



β1
+β
+ … + β1
=
.
 ⋯  2 ⋯ 
 ⋯  ⋯





  
 am1 
 am 2 
 amn   bm 
Другими словами, если система совместна, то столбец свободных
членов является линейной комбинацией столбцов матрицы A системы.
Прибавим к последнему столбцу матрицы A первый ее столбец,
умноженный на ( −β1 ) , второй, умноженный на ( −β2 ) , и т.д., наконец,
n-й столбец, умноженный на (−βn ) . Получим матрицу
 a11 a12

a
a22
C =  21
⋯ ⋯

 am1 am 2
a1n 0 

… a2 n 0 
,
⋯ ⋯ ⋯

… amn 0 
…
ранг которой (по теореме 1.11 об элементарных преобразованиях) равен
рангу расширенной матрицы A . Но ясно также, что r (C ) = r ( A) , так
как все ненулевые миноры матрицы C равны соответствующим минорам матрицы A, и наоборот. Следовательно, r ( A) = r ( A) .
Достаточность. Пусть r ( A) = r ( A) = k . Предположим для определенности, что отличный от нуля определитель k-го порядка матрицы
A расположен в левом верхнем ее углу:
62
a11
a
D = 21
⋯
ak1
a12
a22
⋯
ak 2
… a1k
… a2 k
≠0.
⋯ ⋯
… akk
Тогда первые k строк матрицы A линейно независимы, а так как
ранг ее в точности равен k, то остальные строки матрицы A линейно
выражаются через первые k ее строк. Но это означает, что первые k
уравнений исходной системы независимы, а остальные m − k ее уравнений являются их линейными комбинациями, т.е. просто их следствиями. В этом случае система на самом деле состоит лишь из k уравнений. Их решения автоматически будут удовлетворять и остальным
m − k уравнениям.
Далее возможны два случая:
1) k = n . Тогда систему
 a11 x1 + a12 x2 + … + a1k xk = b1 ,

 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 k xk = b2 ,

...............................................
 ak1 x1 + ak 2 x2 + … + akk xk = bk ,
состоящую из первых k уравнений исходной системы, можно решить,
например, по правилу Крамера. В этом случае система имеет единственное решение. Она совместна и определенна;
2) k < n . Тогда возьмем первые k уравнений системы и, оставив
в левых частях первые k неизвестных, остальные перенесем в правые
части:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1k xk = b1 − a1,k +1 xk +1 − … − a1n xn ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2k xk = b2 − a2,k +1 xk +1 − … − a2n xn ,

.......................................................................................
a x + a x + … + a x = b − a
kk k
k
k , k +1 xk +1 − … − akn xn .
 k1 1 k 2 2
Неизвестные, соответствующие базисному минору, называются
главными (базисными), а остальные – свободными. Свободным неизвестным xk +1 , xk + 2 , …, xn можно придавать какие угодно значения,
63
получая при этом однозначно значения главных неизвестных
x1 , x2 ,…, xk . Это случай совместной, но неопределенной системы.
Таким образом, доказано, что если r ( A) = r ( A) , то система совместна (определенна или неопределенна); если r ( A) > r ( A) , то система
несовместна. ■
2.4. Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных
алгебраических уравнений
Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым
числом неизвестных называются эквивалентными, или равносильными,
если множества всех решений этих систем совпадают (каждое решение
одной системы является решением другой, и наоборот) или они обе
не имеют решений.
Рассмотрим три элементарных преобразования над уравнениями
системы:
1) умножить произвольное уравнение на число λ ≠ 0;
2) переставить местами два любых уравнения;
3) одно из уравнений умножить на любое число и прибавить к
другому уравнению, при этом уравнение, к которому прибавляли, заменяется суммарным уравнением, а все остальные уравнения остаются в
системе в неизменном виде.
Замечания.
1. Системы, получающиеся в результате применения элементарных
преобразований, будут эквивалентными исходной системе.
2. Элементарные преобразования над уравнениями системы (2.1)
равносильны элементарным преобразованиям над строками матрицы A
(см. главу 1).
Метод Жордана – Гаусса включает в себя три этапа. Первые два из
них составляют так называемый «прямой ход» метода Жордана – Гаусса,
а заключительный этап соответствует «обратному ходу» этого метода.
Эта п I. Приведем A с помощью элементарных преобразований и
вычеркиванием нулевых строк (если таковые появятся) к ступенчатому
виду. При этом система линейных уравнений будет приведена к ступенчатому виду. Неизвестные, соответствующие отличному от нуля минору наивысшего порядка матрицы A , назовем главными, или базисными,
64
а остальные – свободными. Заметим, что в ступенчатой системе уравнений главными обычно считают те неизвестные, коэффициенты которых
проходят через «углы» системы. В соответствующей матрице ступенчатого вида главными будут те неизвестные, ненулевые коэффициенты
которых стоят в углах «ступенек».
Эта п II. Все свободные неизвестные перенесем в правую часть
каждого из уравнений системы, что для соответствующей матрицы эквивалентно переносу коэффициентов за черту вправо. При этом надо
сохранять их порядок по столбцам и менять знаки на противоположные.
Заметим, что, поскольку уравнений в системе осталось столько, сколько
главных неизвестных, матрица слева от черты будет квадратной.
Эта п III. Совершим элементарные преобразования над строками
последней матрицы, полученной на этапе II, выполняя их снизу вверх,
чтобы матрица до черты превратилась в диагональную, затем – в единичную. Предположим, что главные неизвестные имеют номера
j1 , j2 , … , jr (где r – ранг матрицы A системы), тогда полученная
матрица будет соответствовать системе

 x j1




⋯




 Числа и свободные неизвестные, 
 умноженные на коэффициенты  ,


 Числа и свободные неизвестные, 
x j2
= 
,
 умноженные на коэффициенты 
⋯ ⋱ ⋯ ⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
=
x jr
=
 Числа и свободные неизвестные, 
 умноженные на коэффициенты  .


Теперь главные неизвестные не оказывают друг на друга никакого
влияния. Поэтому, зная, чему равна правая часть, находим главные
неизвестные.
Замечания.
1. Ступенчатая система, получающаяся после выполнения этапа I в
методе Жордана – Гаусса, совместна тогда и только тогда, когда в ней
нет уравнения вида 0 = bk′ , где bk′ ≠ 0 . Это замечание равносильно
формулировке теоремы Кронекера – Капелли (см. теорему 2.2), утверждающей, что система линейных уравнений (2.1) совместна тогда
65
и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы A равен
рангу матрицы системы A .
2. Если в процессе решения выяснится, что есть хотя бы одно свободное неизвестное, то это означает, что система (2.1) неопределенна,
если все неизвестные главные, то система определенна.
3. Деление в системе на главные и свободные неизвестные неоднозначно.
П рим ер 2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса:
4 x1 + x2 − 3x3 − x4 = 2,

2 x1 + 3 x2 + x3 − 5 x4 = 2,
 x − 2 x − 2 x + 3 x = 2.
2
3
4
 1
Решение. Составим вначале расширенную матрицу A системы:
 4 1 − 3 −1 2 


1 −5 2 .
2 3
1 −2 −2 3 2


Эта п I. Приведем A с помощью элементарных преобразований и
вычеркиванием нулевых строк (если таковые появятся) к ступенчатому
виду. Для удобства дальнейших вычислений переставим местами первую и третью строки A :
1 −2 −2 3 2


1 −5 2 .
2 3
 4 1 − 3 −1 2 


Умножим первую строку на (− 2) и прибавим ко второй строке,
затем умножим первую строку на (− 4) и прибавим к третьей строке:
1 −2 −2 3 2 


5 −11 − 2  .
0 7
0 9
5 −13 − 6 

Для облегчения вычислений умножим третью строку последней
матрицы на (−1) и прибавим ко второй строке:
66
1 −2 −2 3 2 


2 4 .
0 −2 0
0 9
5 −13 − 6 

Поскольку все элементы второй строки пропорциональны, умножим эту строку на (− 0,5) . В результате получим
1 −2 −2 3 2 


0
−1 − 2  .
0 1
0 9
5 −13 − 6 

Умножим теперь вторую строку на (− 9) и прибавим к третьей
строке. Получим ступенчатую матрицу
1 −2 −2 3 2 


0 −1 − 2  .
0 1
0 0
5 − 4 12 

Итак, ранг матрицы системы r ( A) = 3 , ранг расширенной матрицы
системы r ( A) = 3 . Поскольку r ( A) = r ( A) , то по теореме Кронекера –
Капелли исходная система линейных уравнений совместна.
Жирным шрифтом в последней матрице выделены элементы,
стоящие в углах «ступенек». Это коэффициенты при неизвестных x1 ,
x2 и x3 , которые будем считать главными. Неизвестное x4 является
свободным.
Отметим следующее: 1) поскольку есть свободное неизвестное, то
исследуемая система является неопределенной; 2) в качестве главных
можно было бы выбрать, например, неизвестные x1 , x2 и x4 , тогда x3
являлось бы свободным и изменилась бы только окончательная форма
записи ответа.
Эта п II. Перенесем свободное неизвестное в правые части каждого из уравнений преобразованной системы, что для соответствующей
матрицы эквивалентно переносу коэффициентов четвертого столбца за
черту вправо и изменению знаков этих коэффициентов на противоположные. Получим
67
 1 − 2 − 2 2 −3


0 −2 1  .
0 1
0 0
5 12 4 

На этом завершается «прямой ход» метода.
Эта п III. Выполним «обратный ход» метода Жордана – Гаусса.
Будем совершать элементарные преобразования над строками последней матрицы (снизу вверх), чтобы матрица, расположенная слева от
черты, превратилась в диагональную.
Умножим третью строку последней матрицы на 0, 4 и прибавим к
первой строке. Получим
 1 − 2 0 6,8 −1, 4 


1 .
0 1 0 −2
 0 0 5 12
4 

Умножим вторую строку последней матрицы на 2 и прибавим к
первой строке:
 1 0 0 2,8 0,6 


0 1 0 −2 1  .
 0 0 5 12
4 

Осталось умножить третью строку на 0, 2 , чтобы матрица, расположенная слева от черты, стала единичной. Окончательно получим
 1 0 0 2,8 0,6 


0 1 0 −2 1  .
 0 0 1 2,4 0,8 


Свободное неизвестное x4 может принимать любые значения, т.е.
можно считать, что x4 = c , где c – произвольная постоянная. Тогда
окончательный ответ имеет вид
68
 x1 = 2,8 + 0,6 ⋅ c,

 x2 = −2 + 1⋅ c,

 x3 = 2, 4 + 0,8 ⋅ c,
 x4 = 0 + 1⋅ c.
Отметим, что ответ удобно записывать в матричном виде (так
лучше видна структура общего решения системы):
 x1   2,8 
 0,6 
  



 x2  =  − 2  + c ⋅  1  .  x3   2, 4 
 0,8 
  



 1 
 x4   0 
П рим ер 2.3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса:
2 x1 − x2 + x3 = −2,

 x1 + 2 x2 + 3 x3 = −1,
 x − 3 x − 2 x = 3.
2
3
 1
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее
к ступенчатому виду:
 2 −1 1 − 2 
1 −3 −2 3 




3 −1  ⇔  1 2
3 −1  ⇔
1 2
1 −3 −2 3 
 2 −1 1 − 2 




1 −3 − 2 3 
1 −3 − 2 3 




⇔ 0 5
5 −4 ⇔ 0 5
5 −4 .
0 5
0 0
5 − 8 
0 − 4 


Таким образом, ранг матрицы системы r ( A) = 2 , ранг расширенной
матрицы системы r ( A) = 3 . Поскольку r ( A) > r ( A) , то по теореме Кронекера – Капелли исходная система линейных уравнений несовместна.
Подчеркнем, что это видно и непосредственно, так как третья строка
последней матрицы равносильна уравнению 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = − 4 ,
или 0 = − 4 , которое не имеет решений. 69
П рим ер 2.4. Решить методом Жордана – Гаусса систему линейных алгебраических уравнений примера 2.1.
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее
к ступенчатому виду:
1 2 5 −9
1 2
5 −9




 1 −1 3 2  ⇔  0 − 3 − 2 11  ⇔
 3 − 6 −1 25 
 0 −12 −16 52 




1 2
1 2 5 −9 
5 −9




⇔  0 − 3 − 2 11  ⇔  0 3 2 −11 .
 0 0 −8 8 
 0 0 1 −1 




Итак, ранг матрицы системы r ( A) = 3 , ранг расширенной матрицы
системы r ( A) = 3 . Поскольку r ( A) = r ( A) , то по теореме Кронекера –
Капелли исходная система линейных уравнений совместна.
Как видно, все неизвестные этой системы являются главными, значит система является определенной. Найдем единственное решение
этой системы, выполнив «обратный ход» метода Жордана – Гаусса:
1 2 0 −4
1 2 0 −4
1 0 0 2 






 0 3 0 − 9  ⇔  0 1 0 −3  ⇔  0 1 0 − 3 .
 0 0 1 −1 
 0 0 1 −1 
 0 0 1 −1 






В матричном виде решение исходной системы выглядит следую-
 x1   2 
   
щим образом:  x2  =  − 3  .  x   −1 
 3  
2.5. Однородные системы линейных
алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой
частью называется однородной:
70
 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0,

 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = 0,

...............................................
 am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = 0.
(2.3)
Система (2.3) равносильна матричному уравнению
AX = 0 ,
где 0 понимается как вектор-столбец, имеющий m строк.
Из теоремы Кронекера – Капелли следует, что эта система всегда
совместна, так как добавление к матрице A системы столбца из нулей
не может повысить ранг матрицы. Это видно и непосредственно – исходная система заведомо имеет тривиальное решение (0
0 … 0)T .
Пусть матрица A системы (2.3) имеет ранг r. Тогда:
1) если r = n (т.е. когда все неизвестные системы AX = 0 главные), то однородная система (2.3) является определенной и тривиальное
решение будет ее единственным решением. Отметим, что это следует и
из правила Крамера, так как каждый определитель ∆ i в этом случае
будет содержать нулевой столбец;
2) если r < n , то AX = 0 имеет также решения, отличные от тривиального. Для нахождения всех этих решений можно применять тот же
подход, что и в методе Жордана – Гаусса.
Сл ед ст вие 1. Система AX = 0 из n линейных уравнений с n
неизвестными имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда det A = 0 .
Доказательство. det A = 0 ⇔ r ( A) < n . ■
Сл ед ст вие 2. Если в AX = 0 число уравнений меньше числа
неизвестных, то система непременно имеет нетривиальные решения.
Доказательство. r ( A) < n . ■
Установим основные свойства решений однородной системы
линейных уравнений. Пусть x1 = α1 , x2 = α 2 ,..., xn = α n и x1 = β1 ,
x2 = β2 ,..., xn = βn – два различных ненулевых решения однородной
системы AX = 0 . Эти решения можно рассматривать как вектор-
α 2 … α n )T и e2 = (β1 β2 … βn )T . Тогда
также являются решениями системы AX = 0 :
столбцы e1 = (α1
71
1) ce1 (c – любое число);
2) e1 + e2 .
Действительно,
A ⋅ (ce1 ) = c ⋅ ( Ae1 ) = c ⋅ 0 = 0
и
A ⋅ (e1 + e2 ) = ( A ⋅ e1 ) + ( A ⋅ e2 ) = 0 + 0 = 0 .
Отсюда следует, что если e1 , e2 , … , el решения однородной системы AX = 0 , то любая их линейная комбинация
l
c1e1 + c2e2 + ... + cl el =
∑ ci ei
i =1
тоже будет ее решением.
Покажем, что можно найти такие линейно независимые решения
системы AX = 0 , через которые линейно выражались бы все остальные
ее решения.
Линейно независимая система решений e1 , e2 , … , el уравнений
AX = 0 называется фундаментальной системой решений (ФСР), если
каждое решение системы AX = 0 является линейной комбинацией решений e1 , e2 , … , el .
Тео рем а 2.3 (О существовании ФСР). Если r ( A) = k < n , то
система AX = 0 обладает ФСР.
Доказательство. Пусть для определенности отличный от нуля минор k-го порядка D стоит в левом верхнем углу матрицы
 a11 a12

a
a22
A =  21
⋯ ⋯

 am1 am 2
системы AX = 0 , т.е.
72
… a1n 

… a2n 
⋯ ⋯

… amn 
a11
a
D = 21
⋯
ak1
a12
a22
⋯
ak 2
… a1k
… a2 k
≠0.
⋯ ⋯
… akk
Это означает, что первые k уравнений исходной системы AX = 0
независимы, а остальные m − k ее уравнений являются их линейными
комбинациями, т.е. просто их следствиями. В этом случае система на
самом деле состоит лишь из k уравнений. Перенеся свободные неизвестные xk +1 , … , xn первых k уравнений системы AX = 0 в правые
части, получим систему
a11 x1 + a12 x2 + … + a1k xk = −a1,k +1 xk +1 − … − a1n xn ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2 k xk = −a2,k +1 xk +1 − … − a2 n xn ,

...................................................................................
a x + a x + … + a x = − a
kk k
k , k +1 xk +1 − … − akn xn .
 k1 1 k 2 2
(2.4)
xk +1 = 1 ,
xk + 2 = 0 , … , xn = 0 , найдем соответствующие значения x1 = α1 ,
x2 = α 2 , … , xk = α k первых k неизвестных. Это дает вектор-столбец
Придав
свободным
неизвестным
значения
(α1 α 2 … α k 1 0 … 0)T , который является решением системы AX = 0 . Аналогично, придав свободным неизвестным значения
xk +1 = 0 , xk + 2 = 1 , … , xn = 0 , найдем соответствующие значения
x1 = β1 , x2 = β2 , … , xk = βk первых k неизвестных. Это дает векторβ2 … β k 0 1 … 0)T , также являющийся решением системы AX = 0 . Продолжив аналогичным образом, найдем
n − k решений системы AX = 0 :
столбец (β1
e1 = (α1 α 2 … α k 1 0 … 0)T ,
e2 = (β1 β2 … βk
0 1 … 0)T ,
…………………………………………
en −k = ( γ1
γ2 … γk
0 0 … 1)T .
73
Запишем найденные n − k решений в виде строк некоторой матрицы. Очевидно, что эти строки между собой линейно независимы, так
как ранг образованной ими матрицы
 α1 α 2

 β1 β2
⋯ ⋯

 γ1 γ 2
… αk 1 0 … 0 

… βk 0 1 … 0 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

… γ k 0 0 … 1 
в точности равен n − k (в этой матрице есть отличный от нуля минор
( n − k )-го порядка, содержащий все ее строки и последние n − k
столбцов).
Покажем теперь, что решения e1 , e2 , … , en − k действительно образуют ФСР. Для этого остается показать, что каждое решение системы
AX = 0 линейно выражается через e1 , e2 , … , en− k . Итак, пусть
e = (θ1 θ2 … θk θk +1 … θn )T –
произвольное решение системы AX = 0 . Рассмотрим вектор-столбец
e0 = e − θk +1e1 − θk + 2e2 − ... − θn en −k .
Легко видеть, что все элементы, стоящие на последних n − k местах
этого столбца, равны нулю, т.е.
e0 = (ρ1 ρ2 … ρk
0 … 0)T .
Будучи линейной комбинацией решений системы AX = 0 , столбец
e0 сам является ее решением, а так как значения всех свободных неизвестных в e0 равны нулю, то из однородной (в этом случае) системы
(2.4)
 a11ρ1 + a12ρ2 + … + a1k ρk = 0,

 a21ρ1 + a22ρ2 + … + a2 k ρk = 0,

...............................................
 ak1ρ1 + ak 2ρ2 + … + akk ρk = 0,
определитель которой отличен от нуля, по правилу Крамера получаем,
что и значения всех остальных неизвестных ρi в e0 равны нулю, т.е.
e0 – нулевой столбец:
74
e0 = e − θk +1e1 − θk + 2 e2 − ... − θn en− k = 0 ⇔
⇔ e = θk +1e1 + θk + 2 e2 + ... + θn en − k . ■
Замечания.
1. Если придавать свободным неизвестным другие значения, лишь
бы соответствующий минор ( n − k )-го порядка был отличен от нуля, то
будем получать другие ФСР, каждая из которых все равно будет состоять из n − k вектор-столбцов.
2. Так как свободных неизвестных всегда n − k , то ФСР будет состоять в точности из n − k вектор-столбцов.
Пусть X = ( x1
x2 … xn )T – произвольное решение однород-
ной системы AX = 0 . Из приведенных рассуждений следует, что его
можно представить в виде
n−k
X = c1e1 + c2 e2 + ... + cn −k en − k =
∑ ci ei ,
i =1
где e1 , e2 , … , en − k – какая-либо ФСР, а c1 , c2 , … , cn −k – некоторые
числа.
Было доказано, что любая линейная комбинация решений однородной системы AX = 0 также является решением этой системы. Поэтому выражение
n−k
c1e1 + c2e2 + ... + cn− k en −k =
∑ ci ei ,
i =1
где c1 , c2 , … , cn −k – произвольные числа, называют общим решением
однородной системы AX = 0 .
2.6. Структура общего решения системы линейных
алгебраических уравнений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
AX = B ,
75
или
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2 ,

...............................................
am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm ,
и соответствующую ей однородную систему
AX = 0 ,
или
 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0,

 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = 0,

...............................................
 am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = 0.
α 2 … α n )T и e2 = (β1 β2 … βn )T – произвольные решения системы AX = B . Тогда их разность e1 − e2 – решение системы AX = 0 .
Действительно, A(e1 − e2 ) = Ae1 − Ae2 = B − B = 0 .
Пусть e1 = (α1
γ 2 … γ n )T – произвольное решение системы AX = 0 , то сумма e1 + e3 будет удовлетворять системе AX = B .
Действительно, A(e1 + e3 ) = Ae1 + Ae3 = B + 0 = B .
Отсюда следует, что все решения системы AX = B можно полуДалее, если e3 = ( γ1
чить, прибавляя к одному какому-либо ее решению всевозможные решения однородной системы AX = 0 .
Иными словами, общее решение системы AX = B равно сумме
общего решения однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения системы AX = B .
Если e1 , e2 , … , er – ФСР системы AX = 0 и e0 – произвольное
частное решение системы AX = B , то общее решение системы AX = B
имеет вид
e0 + c1e1 + c2e2 + ... + cr er ,
где c1 , c2 , … , cr – произвольные числа.
76
Для подтверждения сказанного рассмотрим систему примера 2.2
4 x1 + x2 − 3x3 − x4 = 2,

2 x1 + 3 x2 + x3 − 5 x4 = 2,
 x − 2 x − 2 x + 3 x = 2.
2
3
4
 1
Если в этой системе столбец свободных членов заменить столбцом из
нулей, а затем выполнить все вычисления в той же последовательности, что
и в примере 2.2, то получим ответ, который представляется в виде
 x1 
 0,6 
 


 x2  = c ⋅  1  .
 x3 
 0,8 
 


 1 
 x4 
Отметим, что ФСР в этом случае состоит из одного вектор-столбца
(0,6 1 0,8 1)T , так как в рассматриваемой системе имеется только
одно свободное неизвестное.
Таким образом, общее решение неоднородной системы примера 2.2,
имеющее вид
 x1   2,8 
 0,6 
  



 x2  =  − 2  + c ⋅  1  ,
 x3   2, 4 
 0,8 
  



 1 
 x4   0 
представляет собой сумму частного решения (2,8
− 2 2, 4 0)T этой
неоднородной системы и общего решения c ⋅ (0,6 1 0,8 1)T соответствующей ей однородной системы.
Задачи для самостоятельного решения
2.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя правило Крамера:
 3 x + 4 y + 4 z = 6,
 2 x + 5 y = 1,
 2 x − y = 1,

а) 
б) 
в)  4 x + 3 y + 4 z = 8,
 x + 16 y = 17;
3 x + 7 y = 2;
 4 x + 4 y + 3 z = − 3;

77
 − 10 x + 7 y + 6 z = 1,
 − 2 x + 3 y + 2 z = 1,


г)  − 5 x + 4 y + 3 z = 1, д)  − x + 4 y + 4 z = 3,
 8 x + y − 6 z = 1;
 − 2 x + 7 y + 7 z = 2;


 2 x − 4 y + z = 1,

е)  x + 2 y + 3 z = 1,
 3 x + y + 6 z = 1.

2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя метод Жордана – Гаусса:
3 x1 + 2 x2 − 5 x3 = 7,

3 x1 + 4 x2 − 9 x3 = 9,
а) 
5 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 8,
8 x1 + x2 − 7 x3 = 12;

2 x1 + x2 − 4 x3 + 5 x4 = 19,

3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + x4 = 3,
б) 
2 x1 − 3x2 + x3 + 5 x4 = − 3,
4 x1 + 5 x2 − 4 x3 − 3 x4 = 13;

7 x1 + 5 x2 − 4 x3 − 6 x4 = 3,

в)  4 x1 − 7 x2 − x3 − 3 x4 = − 5,
9 x − 10 x − 3 x − 7 x = − 7;
2
3
4
 1
x
+
x
+
3
x
−
2
x
+
3
x5 = 1,
 1 2
3
4

2 x1 + 2 x2 + 4 x3 − x4 + 3 x5 = 2,
г) 
3 x1 + 3x2 + 5 x3 − 2 x4 + 3 x5 = 1,
2 x1 + 2 x2 + 8 x3 − 3 x4 + 9 x5 = 2;

2 x1 − x2 + x3 − 7 x4 = 5,

д) 6 x1 − 3 x2 + x3 − 4 x4 = 7 ,
4 x − 2 x + 14 x − 31x = 18;
2
3
4
 1
78
 x1 + 9 x2 + 4 x3 − 5 x4 = 1,

3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 3,

е)  2 x1 + 3 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 2,
 x + 7 x + 6x − x = 7 ,
2
3
4
 1
2 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 5;
3 x1 − 2 x2 + 5 x3 + 4 x4 = 2,

ж) 6 x1 − 4 x2 + 4 x3 + 3 x4 = 3,
9 x − 6 x + 3 x + 2 x = 4;
2
3
4
 1
3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3,

з) 6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7,
9 x + 12 x + 3 x + 10 x = 13;
2
3
4
 1
2 x1 − 3 x2 + 5 x3 + 7 x4 = 1,

и)  4 x1 − 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 = 2,
2 x − 3 x − 11 x − 15 x = 14;
2
3
4
 1
8 x1 + 6 x2 + 5 x3 + 2 x4 = 21,

3 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 = 10,

к)  4 x1 + 2 x2 + 3x3 + x4 = 8,
3 x + 5 x + x + x = 15,
2
3
4
 1
7 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 2 x4 = 18.
2.3. Найти общее решение и ФСР однородной системы линейных
алгебраических уравнений:
6 x1 + 9 x2 + 2 x3 = 0,

− 4 x1 + x2 + x3 = 0,
а) 
5 x1 + 7 x2 + 4 x3 = 0,
2 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 0;

79
 x1 − 4 x2 + x3 − 6 x4 = 0,

 x1 + 4 x2 − 3 x3 + 6 x4 = 0,
б) 
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 9 x4 = 0,
2 x1 + 8 x2 + 3 x3 + 3x4 = 0;

3 x1 + 5 x2 − 4 x3 + 2 x4 = 0,

в)  2 x1 + 4 x2 − 6 x3 + 3x4 = 0,

11x1 + 17 x2 − 8 x3 + 5 x4 = 0;
 x1 + 3 x2 + 3x3 + 14 x4 = 0,

г) 3 x1 + 8 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 0,
2 x + 6 x + 3 x + 4 x = 0;
2
3
4
 1
5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 2 x4 = 0,

д)  4 x1 + 3 x2 + 7 x3 + x4 = 0,
7 x + 6 x − 5 x + 4 x = 0;
2
3
4
 1
 x1 + x2 − 2 x3 + 2 x4 = 0,

3 x1 + 5 x2 + 6 x3 − 4 x4 = 0,
е) 
4 x1 + 5 x2 − 2 x3 + 3 x4 = 0,
3 x1 + 8 x2 + 24 x3 − 19 x4 = 0;

2 x1 + x2 + 3 x3 − 2 x4 + x5 = 0,

6 x1 + 3x2 + 5 x3 − 4 x4 + 3 x5 = 0,
ж) 
2 x1 + x2 + 7 x3 − 4 x4 + x5 = 0,
4 x1 + 2 x2 + 2 x3 − 3 x4 + 3x5 = 0;

 x1 − x3 + x5 = 0,

 x2 − x4 + x6 = 0,

з)  x1 − x2 + x5 − x6 = 0,
 x − x + x = 0,
 2 3 6
 x1 − x4 + x5 = 0.
80
Глава 3. Геометрические векторы
3.1. Основные определения
Условимся, что в пространстве (или на плоскости) задан масштаб,
т.е. имеется отрезок единичной длины, с помощью которого можно измерять длины любых отрезков и вычислять величины любых углов.
Вектором (на плоскости или в пространстве) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, один из концов которого объявлен его началом, а другой – концом.
Например, если дан отрезок AB, то за-
пись AB означает вектор, у которого точка
A служит началом, а точка B – его концом
(рис.3.1).
B
A
Рис.3.1.
Длиной вектора AB называется длина
отрезка, соединяющего точки A и B (обозначается | AB | ).
Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и
одинаково направлены.
Равенство векторов AB и CD обозначается так: AB = CD .
«Одинаково направлены» означает, что векторы расположены на одной
или на параллельных прямых и направлены в одну сторону. В этом слу-
чае обычно говорят, что векторы AB и CD сонаправлены, и обознача-
ют AB ↑↑ CD (рис.3.2).
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым, или нуль-вектором, и обозначается
0 . Направление для нулевого вектора
не определено, а | 0 | = 0 .
B
A
D
C
Рис.3.2.
Замечание. Введенное определение
равенства векторов позволяет рассматривать вектор не только как направленный отрезок с фиксированными
началом и концом, но и как направленный отрезок, который можно
81
перемещать (на плоскости или в пространстве) параллельно самому себе, т.е. любой вектор можно считать свободным вектором. Поэтому
часто удобным бывает использовать при обозначении векторов строч-
ные буквы латинского алфавита и писать a , b , c и т.д.
Пусть дан вектор a . Вектор,
a
имеющий такую же длину и направленный в противоположную сторону, назы
вается противоположным a (обознача
ется a′ или − a ) (рис.3.3).
a
«Направленный в противоположРис.3.3.
ную сторону» означает, что векторы a и
a′ расположены на одной или на параллельных прямых и направлены
противоположно. В этом случае обычно используют обозначение
a ↑↓ a′ .
Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.
Коллинеарность векторов a и b обозначается так: a || b . Кроме
того, считается, что нулевой вектор 0 коллинеарен любому вектору.
Векторы в пространстве называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
3.2. Операции над векторами
начала a в конец b , при условии, что
начало вектора b совпадает с концом
вектора a . Пишут c = a + b (рис.3.4).
Суммой векторов a и b называется вектор c , направленный из
b
a
c=a +b
Рис.3.4.
82
Замечание. Про данное определение
говорят, что оно определяет сложение
векторов по «правилу треугольника».
Произведением вектора a на число λ∈R называется вектор b ,
длина которого равна | λ | ⋅ | a | , а направление совпадает с направлением
вектора a , если λ > 0 , и вектора a′ , если λ < 0 . Пишут b = λa или
b = aλ .
На рис.3.5 из общего начала O построены векторы a = OA ,
0,5a = OB ,
(−2)a = OD .
1,5a = OC
и
Операции сложения и умножения вектора на число для любых
векторов a , b , c имеют следую-
a
D
O
B
A
C
Рис.3.5.
щие свойства:
2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативность операции сложения);
3) a + 0 = a ;
4) a + a′ = 0 ;
5) 0 ⋅ a = 0 ;
6) 1⋅ a = a ;
7) −1⋅ a = − a = a′ ;
8) (λµ) a = λ (µa ) , ∀λ , µ∈ R ;
9) (λ + µ) a = λa + µa , ∀λ , µ∈ R ;
10) λ ( a + b ) = λa + λb , ∀λ∈ R .
1) a + b = b + a (коммутативность операции сложения);
Поясним некоторые из этих свойств.
Коммутативность операции сложения векторов. Сложим внача
ле, согласно определению, векторы a и
a
b , совместив начало a с произвольной
b
фиксированной точкой O . Получим неa
b
c
= +
O
d=b + a
который вектор c = a + b (рис.3.6). Сложим теперь, согласно определению, векb
a
торы b и a , совместив начало b с точРис.3.6.
кой O . Получим некоторый вектор
83
d = b + a . Поскольку векторы c и d направлены по диагонали па раллелограмма, построенного на векторах a и b , из общего начала a
и b в противоположную вершину этого параллелограмма, то c = d .
Таким образом, приведенное доказательство свойства коммутативности операции суммы векторов позволяет сформулировать широко
применяемое на практике правило их сложения – «правило параллелограмма»: сумма двух векторов, приведенных к общему началу и образующих смежные стороны параллелограмма, есть вектор, направленный
по диагонали этого параллелограмма из общего начала рассматриваемых векторов в противоположную вершину параллелограмма.
Ассоциативность операции сложения векторов. Совместим нача-
a
d=
a+
b
ло вектора b с концом вектора a и
b
начало вектора c с концом вектора b
(рис.3.7). Отметим, что построенная на
c
векторах a , b и c ломаная не является плоской.
Сложим вначале, согласно опре-
m = ( a + b) + c
n = a + (b + c )
делению, векторы a и b , получим
Рис.3.7.
вектор d = a + b . Сложим затем, со-
гласно определению, векторы d и c ,
получим вектор m = d + c = (a + b ) + c .
Далее сложим вначале, согласно определению, векторы b и c ,
получим вектор p = b + c . Сложим затем, согласно определению, век-
торы a и p , получим вектор n = a + p = a + (b + c ) .
Очевидно (см. рис.3.7), что m = n .
Замечания.
1. Свойство ассоциативности показывает, что результат сложения
векторов не зависит от их группировки, а значит можно скобки при
суммировании векторов не ставить и писать просто a + b + c .
2. Можно показать, применяя свойство ассоциативности несколько
раз, что при сложении n векторов a1 , a2 ,…, an скобки также можно
не писать. При этом если x = a1 + a2 + ... + an , то для его нахождения
84
можно воспользоваться так называемым «правилом многоугольника»:
чтобы найти вектор x , являющийся суммой векторов a1 , a2 , … , an ,
надо совместить начало каждого из них, начиная со второго, с концом
предыдущего вектора. Тогда вектор
x = a1 + a2 + ... + an будет направлен
a4
из начала первого вектора в конец
a2
последнего.
a
n
Правило многоугольника проa3
иллюстрировано на рис.3.8.
3. Можно определить разность
a1
векторов a и b как вектор c таx
кой, что b + c = a (рис.3.9). При
этом пишут c = a − b . Для построе
ния вектора c удобно пользоваться сле
дующим правилом: разность векторов a
правленный из конца b в конец a , при
условии, что начала векторов a и b со-
и b представляет собой вектор c , на-
вмещены.
Рис.3.8.
c=a
a
b
b
Рис.3.9.
3.3. Разложение вектора по неколлинеарным
и некомпланарным векторам
ется линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,…, an .
Лем м а . Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a , то
существует такое число λ , что b = λa .
Доказательство. Отметим, что по условию a ≠ 0 , поэтому
| a | ≠ 0. Кроме того, если b = 0 , то утверждение леммы выполняется
при λ = 0 , так как 0 ⋅ a = 0 (свойство 5 операций над векторами).
Пусть b ≠ 0 . Тогда возможны два случая: 1) a ↑↑ b ; 2) a ↑↓ b .
Выражение λ1a1 + λ 2 a2 + ... + λ n an , где λ1 , λ 2 ,…, λ n ∈R , называ-
85
|b |
В первом случае рассмотрим число λ = и вектор c = λa . То|a|
|b | гда | c | = | λ | ⋅ | a | = ⋅ | a | = | b | и c ↑↑ a (поскольку λ > 0 ). Но и
|a|
b ↑↑ a , следовательно c ↑↑ b . Таким образом, c = b .
|b |
Во втором случае рассмотрим число λ = − и вектор d = λa .
|a|
|b | |b | Тогда | d | = | λ | ⋅ | a | = − ⋅ | a | = ⋅ | a | = | b | и d ↑↓ a (поскольку
|a|
|a|
λ < 0 ). Но и b ↑↓ a , следовательно d ↑↑ b .
Таким образом, d = b . ■
Тео рем а 3.1. Если вектор b компланарен с неколлинеарными
векторами a1 и a2 , то существует единственное представление вектора
b в виде линейной комбинации a1 и a2 :
b = λ1a1 + λ 2 a2 .
Доказательство. По условию векторы a1 и a2 неколлинеарны.
Следовательно, a1 ≠ 0 и a2 ≠ 0 .
Существование. Отметим, что если b = 0 , то утверждение теоремы
о существовании представления вектора b в виде линейной комбина
ции векторов a1 и a2 выполняется при λ1 = λ 2 = 0 .
Пусть b ≠ 0 . Приведем векторы
Q
M b , a1 и a2 к общему началу (точка
O ). Тогда, в силу компланарности, все
b
a2
O
a1
P
Рис.3.10.
86
три вектора окажутся лежащими в одной плоскости (рис.3.10). Проведем в
этой плоскости через точку M – конец
вектора b – прямые, параллельные век
торам a1 и a2 , до их пересечения в
точках P и Q с прямыми, проходящими через точку O и содержащими
векторы a1 и a2 . Получим векторы OP и OQ . Отметим, что один из
этих векторов может оказаться нулевым. По правилу параллелограмма
b = OP + OQ .
Так как OP || a1 , то (по лемме) ∃λ1 : OP = λ1a1 .
Так как OQ || a2 , то (по лемме) ∃λ 2 : OQ = λ 2 a2 .
Следовательно, b = λ1a1 + λ 2 a2 . Существование разложения век
тора b по векторам a1 и a2 доказано.
Единственность. Предположим противное, т.е. пусть существует
два различных разложения вектора
b по векторам a1 и a2 :
b = λ1a1 + λ 2 a2 и b = µ1a1 + µ 2 a2 . Тогда
λ1a1 + λ 2 a2 = µ1a1 + µ 2 a2 ⇔ (λ1 − µ1 )a1 = (µ 2 − λ 2 )a2 .
Так как, по предположению, разложения вектора b различны, то,
по крайней мере, одно из чисел λ1 − µ1 или µ 2 − λ 2 должно быть отличным от нуля. Пусть для определенности λ1 − µ1 ≠ 0 . Тогда
µ − λ2 a1 = 2
a2 .
λ1 − µ1
Таким образом, вектор a1 является результатом умножения вектоµ − λ2
ра a2 на число 2
, а значит векторы a1 и a2 коллинеарны. Проλ1 − µ1
тиворечие. Оно получено в результате предположения о неединственно-
Тео рем а 3.2. Если векторы a1 , a2 , a3 некомпланарны, то для
любого вектора b существует и единственно его представление в виде
линейной комбинации a1 , a2 , a3 :
b = λ1a1 + λ 2 a2 + λ 3a3 .
сти разложения вектора b по векторам a1 и a2 . ■
Эта теорема доказывается аналогично предыдущей, но сложнее.
Поэтому ее доказательство опустим.
87
Рассмотрим далее несколько примеров нахождения разложений
векторов.
П рим ер 3.1. В параллелограмме ABCD точка M – середина
стороны AB , точка N делит сторону AD в отношении 3:1 , считая от
вершины D . Представить вектор DB в виде линейной комбинации
векторов CN = a , CM = b .
p
B
C
M
лен тем, что через них несложно выра-
a
A
ных неколлинеарных вектора CB = p и
CD = q . Выбор этих векторов обуслов-
q
b
Решение. Введем два вспомогатель-
N
зить векторы DB , a и b (рис.3.11):
D
3 1 DB = p − q , a = p + q , b = p + q .
4
2
Выразив из двух последних уравнений векторы p и q через a и
Рис.3.11.
b , получим
4 8 8 6
p=− a+ b , q= a− b .
5
5
5
5
Подставив найденные соотношения для p и q в DB , окончательно получим
П рим ер 3.2.
DB = −2, 4a + 2,8b . Дана
S
b
a
A
c
B
O
D
Рис.3.12.
88
C
правильная
четырехугольная
пирамида
SABCD с вершиной S . Представить вектор
SC в виде линейной комбинации векторов
SA = a , SB = b , SD = c .
Решение. Пусть O – точка пересечения
диагоналей квадрата ABCD (рис.3.12). Тогда
SO = 0,5( a + SC ) , SO = 0,5(b + c ) .
Приравняв правые части двух последних
равенств, получим
SC = − a + b + c . 3.4. Базис на плоскости и в пространстве
Базисом на плоскости называется произвольная пара неколлинеарных векторов.
Базисом в пространстве называется произвольная тройка некомпланарных векторов.
Замечания.
1. Из определений следует, что среди векторов базиса не может
быть нулевых векторов.
2. При решении задач важно учитывать не только состав, но и порядок векторов, входящих в базис. О важности порядка векторов, образующих базис, будет сказано далее.
В дальнейшем изложении будем рассматривать векторы в пространстве.
Итак, зафиксируем в пространстве некоторый базис a1 , a2 , a3 . То-
гда, согласно теореме 3.2, для произвольного вектора b существует
единственное разложение его по векторам a1 , a2 , a3 :
b = λ1a1 + λ 2 a2 + λ3a3 .
Верно и обратное, всякая упорядоченная тройка чисел (λ1 ; λ 2 ; λ 3 )
в фиксированном базисе a1 , a2 , a3 однозначно задает вектор b . Отметим, что векторы базиса считаются расположенными в определенном
порядке. Изменение порядка векторов базиса приводит к изменению
порядка чисел в тройке.
Таким образом, между упорядоченными тройками чисел и векторами существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому можно
записать
b = (λ1; λ 2 ; λ 3 ) .
Координатами вектора b в базисе a1 , a2 , a3 называются коэффи
циенты λ1 , λ 2 , λ3 разложения b = λ1a1 + λ 2 a2 + λ 3 a3 , записанные в
виде упорядоченной тройки (λ1 ; λ 2 ; λ 3 ) .
89
Установим связь между координатами векторов в одном и том же
базисе a1 , a2 , a3 и операциями над ними. С этой целью рассмотрим
произвольные векторы
b = λ1a1 + λ 2 a2 + λ3 a3 = (λ1; λ 2 ; λ3 )
и
c = µ1a1 + µ 2 a2 + µ3a3 = (µ1; µ 2 ; µ3 ) .
Равенство векторов. В силу единственности разложения векторов
по базису
λ1 = µ1 ,

b = c ⇔ λ 2 = µ 2 ,
λ = µ .
3
 3
Таким образом, векторы равны тогда и только тогда, когда равны
их соответствующие координаты.
Умножение вектора на число. Пусть α – произвольное число,
тогда
αb = α(λ1a1 + λ 2 a2 + λ3a3 ) =
= (αλ1 )a1 + (αλ 2 )a2 + (αλ3 )a3 = (αλ1; αλ 2 ; αλ3 ) .
Таким образом, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Сложение векторов. Рассмотрим сумму векторов
b + c = (λ1a1 + λ 2 a2 + λ3a3 ) + (µ1a1 + µ 2 a2 + µ3a3 ) =
= (λ1 + µ1 )a1 + (λ 2 + µ 2 )a2 + (λ3 + µ3 )a3 = (λ1 + µ1; λ 2 + µ 2 ; λ3 + µ3 ) .
Таким образом, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
Итак, выполнение операций над векторами можно заменить
арифметическими операциями над их координатами.
Ортом вектора a ( a ≠ 0 ) называется вектор a 0 единичной дли
ны, сонаправленный с вектором a .
Из определения орта следует, что для его нахождения ненулевой
1
|a|
a
|a|
вектор a необходимо умножить на число λ = , т.е. a 0 = .
90
Базис (на плоскости или в пространстве) называется ортонормированным, если составляющие его векторы являются попарно перпендикулярными ортами.
3.5. Система координат
зывается аффинной системой координат (обозначается {O , a1 , a2 , a3 } ).
Точка O называется началом этой системы, а векторы a1 , a2 , a3 опредеСовокупность точки O и приложенного к ней базиса a1 , a2 , a3 на-
ляют три оси координат (ось – это прямая, на которой выбран вектор единичной длины, направление которого объявлено положительным [1]).
Произвольный вектор, исходящий из точки O в системе коорди нат {O , a1 , a2 , a3 } , называется радиус-вектором.
По теореме 3.2 любой радиус-вектор OM в системе координат
{O , a1 , a2 , a3} можно единственным способом разложить по базису
a1 , a2 , a3 :
OM = λ1a1 + λ 2 a2 + λ3a3 .
Координатами точки M в системе координат {O , a1 , a2 , a3 } на
зываются координаты ее радиус-вектора OM в базисе a1 , a2 , a3 . Если
OM = λ1a1 + λ 2 a2 + λ3a3 , то координаты точки M будем обозначать
M (λ1; λ 2 ; λ 3 ) .
Совокупность точки O и прилоz
женного к ней ортонормированного ба-
зиса i , j , k называется прямоугольной
системой
(декартовой)
{O , i , j , k } .
B
A
координат
k
Вектор i
O
задает направление оси
абсцисс ( Ox ), j – оси ординат ( Oy ),
k – оси аппликат ( Oz ) системы
{O , i , j , k } (рис.3.13). Поэтому коорди-
i
j
y
x
Рис.3.13.
91
наты векторов и точек называют соответственно абсциссой (первая по
номеру координата), ординатой (вторая координата) и аппликатой (третья координата).
Замечание. Все дальнейшее изложение по умолчанию будет происходить в прямоугольной системе координат.
Установим связь между координатами вектора и координатами его
начала и конца. Пусть известны координаты A(α1 ; α 2 ; α3 ) и
B (β1; β2 ; β3 ) начала и конца вектора AB (см. рис.3.13). Тогда, опира-
ясь на установленную связь между координатами векторов и операциями над ними,
AB = AO + OB = OB + (−1) ⋅ OA = (β1; β2 ; β3 ) + (−1) ⋅ (α1; α 2 ; α3 ) ,
AB = (β1 − α1; β2 − α 2 ; β3 − α3 ) .
Таким образом, для нахождения координат вектора надо из координат точки-конца этого вектора вычесть координаты точки-начала.
3.6. Деление отрезка в данном отношении
Пусть известны координаты точек A(α1 ; α 2 ; α3 ) и B (β1 ; β2 ; β3 )
отрезка AB . Требуется найти координаты точки C этого отрезка, если
известно, что
B
z
C
k
O
xi
A
j
AC
=λ.
CB
Положим, что ( γ1 ; γ 2 ; γ 3 ) – неизвестные
координаты точки C . Рассмотрим векторы
(рис.3.14):
AC = ( γ1 − α1; γ 2 − α 2 ; γ 3 − α3 )
y
и
CB = (β1 − γ1; β2 − γ 2 ; β3 − γ 3 ) .
| AC |
Поскольку AC ↑↑ CB и = λ , то AC = λCB (см. лемму в
| CB |
Рис.3.14.
параграфе 3.3). Тогда
( γ1 − α1; γ 2 − α 2 ; γ 3 − α3 ) = λ(β1 − γ1; β2 − γ 2 ; β3 − γ 3 ) ⇔
92
 γ1 − α1 = λ(β1 − γ1 ),

⇔  γ 2 − α 2 = λ (β 2 − γ 2 ),
 γ − α = λ(β − γ ).
3
3
3
 3
Таким образом, для координат точки C окончательно получим
α + λβ3
α + λβ1
α + λβ2
γ1 = 1
, γ2 = 2
, γ3 = 3
.
1+ λ
1+ λ
1+ λ
Замечание. При λ = 1 точка C делит отрезок AB пополам. Получаем широко применяемые на практике формулы координат середины
отрезка:
α + β3
α1 + β1
α + β2
, γ2 = 2
, γ3 = 3
.
2
2
2
П рим ер 3.3. Точки C (2; − 3; 5) и D (−1; 4; − 3) делят отрезок
AB на три равные части ( C находится ближе к A ). Найти координаты
концов отрезка AB .
Решение. Пусть (α1 ; α 2 ; α3 ) и (β1 ; β2 ; β3 ) – координаты точек A
и B соответственно. Так как C – середина отрезка AD , то для нахожα −1
дения координат точки A имеем три уравнения: 2 = 1
,
2
α −3
α +4
−3 = 2
, 5= 3
. Отсюда A(5; − 10;13) . Аналогично для точки
2
2
2 + β1
B, поскольку D – середина отрезка CB , имеем −1 =
,
2
5 + β3
−3 + β 2
, −3 =
. Отсюда B ( −4;11; − 11) . ►
4=
2
2
γ1 =
3.7. Проекция вектора на направленную прямую
Проекцией точки A на прямую l называется точка A1 , получаемая в результате пересечения с прямой l плоскости α , проведенной
через точку A и перпендикулярной прямой l .
Прямая, на которой зафиксировано некоторое направление, называется направленной. Направление обычно задается с помощью ненуле93
вого вектора (не обязательно единичной длины!), параллельного данной
прямой. Такой вектор называется направляющим.
Пусть AB – произвольный вектор, l – направленная прямая с на
правляющим вектором ω , A1 и B1 –
B
A
l A1
проекции на прямую l точек A и B соответственно (рис.3.15).
B1
ω
Проекцией вектора AB на направленную прямую l называется длина век-
тора A1B1 , взятая со знаком «плюс», если
Рис.3.15.
направления A1B1 и l совпадают, и со
знаком «минус» в противном случае.
Для обозначения проекции вектора AB на направленную прямую
l в дальнейшем будет использоваться запись прl AB . Тогда
+ | A1B1 |, A1B1 ↑↑ ω ,
прl AB =  − | A1B1 |, A1B1 ↑↓ ω.
Тео рем а 3.3. Проекция вектора AB на направленную прямую l
с направляющим вектором ω равна
прl AB = | AB | cos( AB , ω) .
Доказательство. Ограничимся при доказательстве только одним
случаем положительной проекции. Остальные случаи (проекция отрицательна или равна нулю) рассмотрите самостоятельно.
Проведем через точку A прямую l1
B
(рис.3.16), параллельную прямой l , и
зададим на ней то же направление ω .
B2
A
Спроектируем точки A и B на прямые
l1
l и l1 , тогда AB2 B1 A1 – прямоугольник.
l A1
B1
ω
Рис.3.16.
Значит, | AB2 | = | A1 B1 | , ∆ABB2 – пря-
= ( AB , ω) . Поэтому
моугольный, BAB
2
прl AB = прl1 AB = | AB | cos( AB , ω) . ■
94
Замечания.
1. Проекция вектора на направленную прямую l, как следует из ее
определения и доказательства теоремы 3.3, не связана непосредственно
с самой прямой l. В приведенных рассуждениях всегда рассматривается
направляющий вектор данной прямой l – вектор ω . Поэтому можно
говорить просто о проекции одного вектора на направление, задаваемое
другим вектором, и писать пр ω AB .
2. В прямоугольной системе координат {O , i , j , k } для произвольного вектора
a = α1i + α 2 j + α3k = (α1; α 2 ; α3 )
его координаты – это проекции на оси системы {O , i , j , k } , т.е.
α1 = прi a , α 2 = пр j a , α3 = пр k a .
Поэтому, согласно теореме 3.3,
α1 = | a | cos(a
, i ) = | a | cos α , α 2 = | a | cos(a
, j ) = | a | cos β ,
α3 = | a | cos( a , k ) = | a | cos γ ,
где α , β , γ – величины углов, которые вектор a составляет с координатными осями, а cosα , cosβ , cos γ – это так называемые направляю
щие косинусы вектора a (рис.3.17). Для направляющих косинусов существует важное
соотношение, которое будет выведено в параграфе 3.8.
Отметим
также,
что
в
системе
z
γ
{O , i , j , k } орты имеют следующие коорди-
α
O
наты:
i = (1; 0; 0) , j = (0;1; 0) , k = (0; 0;1) .
Сформулируем два важных свойства
проекции вектора на направленную прямую:
a
β
x
y
Рис.3.17.
2) прl (λa ) = λпрl a , ∀λ∈ R .
1) прl (a + b ) = прl a + прl b ;
Эти свойства являются достаточно очевидными. Они проиллюстрированы на рис.3.18.
95
λa
a+b
l
a
b
пр l a
пр l b
a
пр l a
ω
пр l ( a + b )
l
пр l (λ a )
ω
Рис.3.18.
3.8. Скалярное произведение
Скалярным произведением (a , b ) векторов a и b называется число (скаляр)
(a , b ) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos(a , b ) .
Замечания.
1. Часто вместо (a , b ) для скалярного произведения используется
обозначение ab .
2. В силу теоремы 3.3 справедливы следующие формулы:
(a , b )
(a , b ) = | a | ⋅пр a b ; пр a b = .
|a|
3. Из определения скалярного произведения следует, что для нену-
левых векторов a и b :
б) (a , b ) < 0 ⇔ угол между векторами a и b тупой;
в) (a , b ) = 0 ⇔ a ⊥ b .
а) (a , b ) > 0 ⇔ угол между векторами a и b острый;
4. С помощью скалярного произведения можно найти величину ϕ
угла между векторами a и b . Для этого надо вначале вычислить косинус этого угла:
(a , b )
cos ϕ = .
| a | ⋅| b |
96
 (a , b ) 
Тогда ϕ = arccos   .
 | a | ⋅| b | 
Тео рем а 3.4. Скалярное произведение обладает следующими
свойствами (для любых векторов):
2) ( a , b ) = (b , a ) ;
3) ( a , b + c ) = ( a , b ) + ( a , c ) ;
4) ( a , λb ) = λ ( a , b ) , ∀λ∈R .
1) (a , a ) ≥ 0 , причем (a , a ) = 0 ⇔ a = 0 ;
Доказательство. 1) По определению скалярного произведения
(a , a ) = | a | ⋅ | a | ⋅ cos(a
, a ) = | a |2 ⋅ cos 0 = | a |2 ≥ 0 .
2) ( a , b ) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos( a , b ) = | b | ⋅ | a | ⋅ cos(b , a ) = (b , a ) .
3) ( a , b + c ) = | a | ⋅пр a (b + c ) = | a | ⋅(пр a b + пр a c ) =
= | a | пр a b + | a | пр a c = (a , b ) + (a , c ) .
4) ( a , λb ) = | a | пр a (λb ) = | a | (λпр a b ) = λ (| a | пр a b ) = λ ( a , b ) . ■
Замечание. Из доказательства свойства 1 скалярного произведения
следует, что для нахождения длины вектора можно пользоваться следующей формулой:
| a | = (a , a ) .
Тео рем а 3.5.
Если
в
прямоугольной
системе
{O , i , j , k } даны векторы
a = α1i + α 2 j + α3k = (α1; α 2 ; α3 )
и
то
координат
b = β1i + β2 j + β3k = (β1; β2 ; β3 ) ,
(a , b ) = α1β1 + α 2β2 + α3β3 .
Доказательство. Очевидно, что для ортов i , j , k выполняются
следующие соотношения:
(i , i ) = ( j , j ) = ( k , k ) = 1 , (i , j ) = ( j , k ) = ( k , i ) = 0 .
97
Отсюда, опираясь на свойства скалярного произведения, получим
(a , b ) = (α1i + α 2 j + α3k , β1i + β2 j + β3 k ) =
= α1β1 (i , i ) + α1β2 (i , j ) + α1β3 (i , k ) + α 2β1 ( j , i ) + α 2β2 ( j , j ) +
+ α 2β3 ( j , k ) + α3β1 (k , i ) + α3β2 (k , j ) + α3β3 (k , k )
= α1β1 + α 2β2 + α3β3 . ■
Сл ед ст вие. В прямоугольной системе координат длина вектора
a = (α1; α 2 ; α3 ) находится по формуле
| a | = α12 + α 22 + α32 .
Доказательство. Действительно,
| a | = (a , a ) = α1α1 + α 2 α 2 + α3α3 = α12 + α 22 + α32 . ■
На практике довольно часто приходится находить длину вектора,
зная координаты его начала и конца. Эта задача равносильна задаче нахождения длины отрезка или расстояния между двумя точками, координаты которых известны. Ее решение опирается на формулу, доказанную
в следствии к теореме 3.5.
Итак, пусть известны координаты начала A(α1 ; α 2 ; α3 ) и конца
B (β1; β2 ; β3 ) вектора AB (отрезка AB ). Требуется найти | AB | (длину
отрезка AB или, что то же самое, расстояние между точками A и B ).
Найдем координаты вектора AB :
AB = (β1 − α1; β2 − α 2 ; β3 − α3 ) .
Тогда
| AB | = (β1 − α1 )2 + (β 2 − α 2 )2 + (β3 − α3 )2 .
Опираясь на доказанную в следствии к теореме 3.5 формулу нахождения длины вектора, выведем важное соотношение для его направляющих косинусов.
В прямоугольной системе {O , i , j , k } координаты (α1 ; α 2 ; α3 )
вектора a выражаются через его длину и направляющие косинусы по
формулам
α1 = | a | cos α , α 2 = | a | cos β , α3 = | a | cos γ .
98
Тогда
| a |2 = α12 + α 22 + α32 = | a |2 cos 2 α + | a |2 cos 2 β + | a |2 cos 2 γ .
Отсюда, сокращая на | a |2 , получим
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
П рим ер 3.4. Может ли вектор составлять с двумя координатными
осями углы α = 45° и β = 30° ?
Решение. Для ответа на вопрос воспользуемся основным соотношением для направляющих косинусов:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
Подставим в него значения α = 45° и β = 30° . Получим
2
2
 2  3
1
2
2

 + 
 + cos γ = 1 ⇔ cos γ = − .
4
 2   2 
Последнее уравнение не имеет действительных корней, а значит
вектор не может составлять с двумя координатными осями углы
α = 45° и β = 30° . П рим ер 3.5. Дано: | a | = 2 , | b | = 3 , (a , b ) = 60° . Вычислить:
1) (a , b ) ;
2) (2a + b , a − 3b ) ;
3) | 2a + 5b | ;
4) пр a −b (3a + 2b ) ;
5) величину угла между векторами a + b и 2a − b .
Решение. 1) ( a , b ) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos( a , b ) = 2 ⋅ 3 ⋅ cos 60° = 3 .
2) Воспользуемся свойствами скалярного произведения и найден-
ным значением ( a , b ) = 3 , тогда
(2a + b , a − 3b ) = 2(a , a ) − 6(a , b ) + (a , b ) − 3(b , b ) =
= 2 | a |2 − 5(a , b ) − 3| b |2 = 8 − 15 − 27 = − 34 .
3) Воспользуемся формулой для вычисления длины вектора:
| a | = (a , a ) . Тогда
| 2a + 5b | = (2a + 5b , 2a + 5b ) = 4 | a |2 + 20(a , b ) + 25 | b |2 =
= 16 + 60 + 225 = 301 .
99
4) Воспользуемся формулой связи проекции вектора со скалярным
(a , b )
произведением: пр a b = . Тогда
|a|
(a − b , 3a + 2b ) 3| a |2 − (a , b ) − 2 | b |2
пр a −b (3a + 2b ) =
=
=
|a −b |
(a − b , a − b )
3| a |2 − (a , b ) − 2 | b |2 12 − 3 − 18
9 7
= =
=−
.
7
4−6+9
| a |2 − 2(a , b ) + | b |2
5) Вычислим вначале косинус искомого угла ϕ :
( a + b , 2a − b )
2 | a |2 + ( a , b ) − | b |2
cos ϕ = = =
| a + b | ⋅ | 2a − b |
(a + b , a + b ) ⋅ (2a − b , 2a − b )
2 | a |2 + (a , b ) − | b |2
= =
| a |2 + 2( a , b ) + | b |2 ⋅ 4 | a |2 − 4(a , b ) + | b |2
8+3−9
2 247
=
.
247
4 + 6 + 9 ⋅ 16 − 12 + 9
2 247
Отсюда ϕ = arccos
.
247
П рим ер 3.6. При каком значении m векторы a = mi + 3 j + 4k и
b = 4i + mj − 7 k перпендикулярны?
=
Решение.
Найдем
скалярное
произведение
этих
векторов:
(a , b ) = 4m + 3m − 28 . Значение m найдем из равенства нулю (a , b ) :
7 m − 28 = 0 ⇔ m = 4 . П рим ер 3.7. В треугольнике ABC известны координаты его
AD , где
вершин: A(2; − 1; 3) , B (5; 2; − 4) , C (7; − 6; 2) . Найти пр BC
D – середина стороны BC .
Решение. Координаты точки D вычислим по формулам координат
середины отрезка: D (6; − 2; − 1) . Тогда
BC = (2; − 8; 6) , AD = (4; − 1; − 4) ,
100
( BC , AD)
8 + 8 − 24
2 26
.
а значит пр AD =
=
=−
BC
13
| BC |
2 + 64 + 36
3.9. Векторное произведение
Прежде чем дать определение векторного произведения, необходимо ввести понятие ориентации систем координат и троек некомпланарных векторов.
В пространстве можно расz
z
смотреть только два типа прямоугольных систем координат, которые невозможно совместить друг с
y
x
O
O
другом, используя только операции
y
x
параллельного переноса и поворота
(рис.3.19). Это обусловлено тем,
а
б
что данные системы координат
Рис.3.19.
ориентированы в пространстве поразному.
Система координат называется правой, если, мысленно встав ногами в начало координат так, чтобы голова была расположена по направлению оси Oz , повернувшись в направлении оси Oy , положительное
направление оси Ox будет находиться справа (рис.3.19,а). Если же,
повторив мысленно все действия с осями Oz и Oy , положительное
направление оси Ox будет находиться слева, то такая система координат называется левой (рис.3.19,б).
Аналогично определяется ориентация произвольной тройки
a , b , c некомпланарных векторов, приведенных к общему началу. Для
этого надо мысленно встать ногами в общее начало так, чтобы голова
была расположена в направлении вектора c (последнего в записи рас-
сматриваемой тройки), повернувшись в направлении вектора b (второ
го в записи тройки). Если при этом вектор a (первый в записи тройки)
будет расположен справа, то тройка a , b , c является правой, если же
вектор a будет расположен слева, то тройка a , b , c является левой.
101
Замечания.
1. При рассмотрении вопроса об ориентации троек векторов важен
не только состав, но и порядок их записи. Так, например, если тройка
a , b , c правая, то тройки c , a , b и b , c , a тоже будут правыми, а
тройки b , a , c ; c , b , a и a , c , b уже будут левыми.
2. В дальнейшем изложении по умолчанию будет рассматриваться только правая
прямоугольная система координат.
Векторным произведением
c = [a , b ]
b
α
Рис.3.20.
векторов a и b называется
вектор c , который (рис.3.20):
1) перпендикулярен векто-
a
рам a и b ;
2) | c | = | a | ⋅ | b | ⋅ sin(a , b ) (т.е. длина вектора c численно равна
площади параллелограмма, построенного на векторах a и b );
3) тройка a , b , c является правой.
Для вектора c , являющегося результатом векторного произведе-
ния векторов a и b , принято использовать запись либо [a , b ] , либо
a × b . В дальнейшем будем придерживаться первой из них, т.е. писать
c = [a , b ] .
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
2) [a , b ] = − [b , a ] ;
3) [a , λb ] = λ [a , b ] ;
4) [a , b + c ] = [ a , b ] + [a , c ] .
1) [a , b ] = 0 ⇔ векторы a и b коллинеарны;
Отметим, что первые три свойства очевидны, их доказательство
вытекает из определения векторного произведения.
Для доказательства свойства 4 определим вначале две операции
над векторами, а затем сформулируем и докажем три вспомогательных
утверждения, связанных с этими введенными операциями.
102
1. Рассмотрим операцию проектирования векторов на некоторую
фиксированную плоскость γ . Если A1 , B1 – проекции соответственно
точек A и B на плоскость γ , то будем считать вектор A1B1 проекцией
вектора AB на плоскость γ и писать A1B1 = AB γ (рис.3.21,а).
2. Пусть дан вектор a . Через начало a проведем перпендикуляр-
ную ему плоскость γ . Для произвольного вектора b , лежащего в плоскости γ , рассмотрим операцию «*», заключающуюся в повороте векто-
ра b на угол π 2 против часовой стрелки, если смотреть из конца
вектора a . При этом получается вектор b * (рис.3.21,б).
a
B
b
A
γ
A1
b*
γ
B1
а
б
Рис.3.21.
Утверждение 1. Операция проектирования векторов на фиксированную плоскость γ обладает следующими свойствами:
1) (a + b ) γ = aγ + bγ для любых векторов a и b ;
2) (λa ) γ = λ ⋅ aγ для любого вектора a и ∀λ∈ R .
Эти свойства операции проектирования векторов на фиксированную плоскость являются достаточно очевидными. Их можно проиллюстрировать аналогично тому, как это делалось при изучении свойств
проекции вектора на направленную прямую (см. рис.3.18).
Утверждение 2. Операция «*» обладает следующими свойствами:
2) (λb )* = λ ⋅ b * для любого вектора b и ∀λ∈ R .
1) (b + c )* = b * + c * для любых векторов b и c ;
Эти свойства операции «*» также достаточно очевидны, они проиллюстрированы на рис.3.22.
103
a
a
b
b
λb
c*
c
b*
b*
γ
(λb )* λb *
γ
а
б
Рис.3.22.
Утверждение 3. [a , b ] = | a | ⋅ (bγ )* , где γ ⊥ a .
Доказательство. Для доказательства утверждения 3 необходимо
проверить, что вектор | a | ⋅ (bγ )* удовлетворяет всем трем пунктам оп-
ределения векторного произведения векторов a и b .
1) Из определений операций проектирования на плоскость γ и «*»
следует, что (bγ )* ⊥ a и (bγ )* ⊥ bγ . Значит, по теореме о трех перпен-
дикулярах, (bγ )* ⊥ b . Таким образом, | a | ⋅ (bγ )* ⊥ a и | a | ⋅ (bγ )* ⊥ b .
2) Пусть ϕ = (a , b ) , ψ = (b , bγ ) . Тогда ψ =
π
− ϕ (рис.3.23,а) или
2
π
(рис.3.23,б), однако для обоих случаев cos ψ = sin ϕ . Следо2
вательно, (bγ )* = bγ = | b | cos ψ = | b | sin ϕ . Поэтому
| a | ⋅ (bγ )* = | a | ⋅ | b | sin ϕ .
ψ = ϕ−
b
ϕ
a
ϕ
ψ
bγ
ψ
bγ
( bγ)*
γ
γ
а
104
(bγ)*
b
б
Рис.3.23.
a
a , b , (bγ )* правая
(см. рис.3.23). Следовательно, векторы a , b , | a | ⋅ (bγ )* также образу3) Очевидно,
что
тройка
ют правую тройку.
векторов
Таким образом, вектор | a | ⋅ (bγ )* удовлетворяет всем трем пунк-
там определения векторного произведения векторов a и b . Следова-
тельно, [a , b ] = | a | ⋅ (bγ )* , где γ ⊥ a . ■
После изложенного доказательство свойства 4 векторного произведения не представляет труда. Действительно,
* [a , b + c ] = | a | ⋅ (b + c ) γ = | a | ⋅ (bγ + cγ )* = | a | ⋅ (bγ )* + (cγ )* =
= | a | ⋅ (bγ )* + | a | ⋅ (cγ )* = [a , b ] + [ a , c ] . ■
(
Тео рем а 3.6.
(
)
Если
в
прямоугольной
системе
{O , i , j , k } даны векторы
a = α1i + α 2 j + α3k = (α1; α 2 ; α3 )
и
)
координат
b = β1i + β2 j + β3k = (β1; β2 ; β3 ) ,
то
α
[a , b ] = 2
β2
α
= 2
 β2
α3 α1 α3 α1 α 2 ⋅i −
⋅j+
⋅k =
β3
β1 β3
β1 β2
α1 α3 α1 α 2 
;
.
β3
β1 β3 β1 β2 
Доказательство. Очевидно, что для ортов i , j , k выполняются
α3
;−
следующие соотношения:
[i , i ] = [ j , j ] = [ k , k ] = 0 , [i , j ] = k , [ j , k ] = i , [ k , i ] = j .
Отсюда, опираясь на свойства векторного произведения, получим
[a , b ] = [α1i + α 2 j + α3k , β1i + β2 j + β3 k ] =
= α1β1[i , i ] + α1β2 [i , j ] + α1β3[i , k ] + α 2β1[ j , i ] + α 2β2 [ j , j ] +
105
+ α 2β3[ j , k ] + α3β1[k , i ] + α3β2 [k , j ] + α3β3[k , k ] =
= (α 2β3 − α3β2 ) ⋅ i − (α1β3 − α3β1 ) ⋅ j + (α1β2 − α 2β1 ) ⋅ k =
α α3 α1 α3 α1 α 2 = 2
⋅i −
⋅j+
⋅k =
β2 β3
β1 β3
β1 β2
α
= 2
 β2
α3
β3
;−
α1 α3 α1 α 2 
;
. ■
β1 β3 β1 β2 
Замечание. Существует удобное правило вычисления координат
вектора [a , b ] . Для этого надо составить символический определитель
третьего порядка
i
j
[a , b ] = α1 α 2
β1 β2
k
α3
β3
и «вычислить» его разложением по первой строке.
П рим ер 3.8. Дано: | a | = 2 , | b | = 3 , (a , b ) = 30° . Найти площадь
S параллелограмма, построенного на векторах a + b и 2a − b .
Решение. Для решения задачи надо вычислить модуль векторного
произведения векторов a + b и 2a − b . Пользуясь свойствами векторного произведения, получим
S = [ a + b , 2a − b ] =
= 2[a , a ] − [a , b ] + 2[b , a ] − [b , b ] =
= 0 − [a , b ] − 2[a , b ] − 0 = − 3[a , b ] =
= 3 [a , b ] = 3⋅ | a | ⋅ | b | ⋅ sin 30° = 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 0,5 = 9 . П рим ер 3.9.
Найти
площадь
A(1; 2; − 3) , B (−1; 0; − 1) , C (0;1; − 1) .
треугольника
с
вершинами
Решение. Найдем вначале координаты векторов AB и AC :
AB = (−2; − 2; 2) , AC = (−1; − 1; 2) .
106
Вычислим далее векторное произведение AB и AC :
i
j k
 AB , AC  = −2 −2 2 = − 2i + 2 j + 0k .


−1 −1 2
Половина модуля векторного произведения равна искомой площади треугольника:
 AB , AC 
(−2)2 + 22 + 02


=
= 2.
S∆ABC =
2
2
3.10. Смешанное произведение
Смешанным произведением векторов a , b , c называется число
([a , b ], c ) .
Таким образом, для получения числа ([a , b ], c ) необходимо вначале найти вектор, являющийся результатом векторного произведения
двух первых векторов в этой тройке ( a и b ), а затем полученный век
тор скалярно умножить на c .
Для обозначения смешанного произведения векторов a , b , c ис-
пользуется запись либо ⟨ a , b , c ⟩ , либо ab c . В дальнейшем будем придерживаться первой из них.
Тео рем а 3.7. Если в прямоугольной системе координат
{O , i , j , k }
даны
векторы
a = α1i + α 2 j + α3k = (α1; α 2 ; α3 ) ,
b = β1i + β2 j + β3k = (β1; β2 ; β3 ) , c = γ1i + γ 2 j + γ 3k = ( γ1; γ 2 ; γ 3 ) , то
α1 α 2
⟨ a , b , c ⟩ = β1 β2
γ1
γ2
α3
β3 .
γ3
107
Доказательство. ⟨ a , b , c ⟩ = ([a , b ], c ) =

 α α3 α1 α3 α1 α 2 = 2
⋅i −
⋅j+
⋅ k , γ1i + γ 2 j + γ 3k  ,
β1 β3
β1 β2
 β2 β3

α α3
α α2
α α3
⟨a , b , c ⟩ = 2
⋅ γ1 − 1
⋅ γ2 + 1
⋅γ .
β2 β3
β1 β3
β1 β2 3
Последнее равенство есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка
α1 α 2
β1 β2
α3
β3
γ1
γ3
γ2
по последней строке. ■
Тео рем а 3.8. Смешанное произведение обладает следующими
свойствами:
1) ⟨ a , b , c ⟩ = ⟨b , c , a ⟩ = ⟨ c , a , b ⟩ = −⟨b , a , c ⟩ = −⟨ c , b , a ⟩ = −⟨ a , c , b ⟩ ;
2) тройка a , b , c правая ⇔ ⟨ a , b , c ⟩ > 0 , тройка a , b , c левая ⇔
⇔ ⟨a , b , c ⟩ < 0 ;
3) объем параллелепипеда Vпар , построенного на векторах
a , b , c , равен | ⟨ a , b , c ⟩ | ;
4) векторы a , b , c компланарны ⇔ ⟨ a , b , c ⟩ = 0 .
Доказательство. 1) Следует из свойств детерминанта (перестановка строк).
∠([a , b ], c )
⇔ cos([a , b ], c ) > 0 ⇔ ([a , b ], c ) = ⟨ a , b , c ⟩ > 0 .
2) Тройка
a ,b ,c
⇔
правая
–
острый
⇔
Аналогично для левой тройки.
3) | ⟨ a , b , c ⟩ | = | ([ a , b ], c ) | = |[ a , b ]| ⋅ || c | cos ψ | = Vпар
Sосн. пар
H
где Sосн.пар – площадь основания параллелепипеда.
108
(рис.3.24),
4) Векторы a , b , c компланарны ⇔
будучи приведены к общему началу,
[a , b ]
a , b , c лежат в одной плоскости ⇔ объем
параллелепипеда,
построенного
a , b , c , равен нулю ⇔ ⟨ a , b , c ⟩ = 0 . ■
на
c
H
ψ
H
b
a
Рис.3.24.
+Vпар , a , b , c − правая,
Замечание. ⟨ a , b , c ⟩ = 
−Vпар , a , b , c − левая.
Сл ед ст вие. Объем тетраэдра Vтетр , построенного на векторах
| ⟨a , b , c ⟩ |
a , b , c , равен
.
6
Доказательство. Площадь основания тетраэдра Sосн.тетр , постро енного на векторах a , b , c , равна половине
c
площади
основания
параллелепипеда
(рис.3.25). Высота тетраэдра равна высоте
параллелепипеда. Поэтому
1
1 1
Vтетр = ⋅ Sосн.тетр ⋅ H = ⋅ ⋅ Sосн.пар ⋅ H =
3
3 2
1
| ⟨a , b , c ⟩ |
= ⋅Vпар =
.■
6
6
П рим ер 3.10.
Выяснить,
H
b
a
компланарны
a = 7i − 3 j + 2k , b = 3i − 7 j + 8k , c = i − j + k ?
Рис.3.25.
ли
векторы
Решение. Вычислим смешанное произведение векторов a , b , c :
7 −3 2
⟨ a , b , c ⟩ = 3 − 7 8 = − 49 − 24 − 6 + 14 + 9 + 56 = 0 .
1 −1 1
Так как ⟨ a , b , c ⟩ = 0 , то векторы a , b , c компланарны. 109
П рим ер 3.11. Найти объем V тетраэдра, построенного на векто
рах a = (2; 3; 2) , b = (2;1;1) , c = (3; 3; 4) .
Решение. Вычислим вначале смешанное произведение векторов
a ,b ,c :
2 3 2
⟨ a , b , c ⟩ = 2 1 1 = 8 + 12 + 9 − 6 − 24 − 6 = − 7 .
3 3 4
| ⟨a , b , c ⟩ | 7
Тогда V =
= .
6
6
Задачи для самостоятельного решения
3.1. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. До-
казать, что MA + MB + MC = 0 .
3.2. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC,
O – произвольная точка пространства. Доказать, что
1 OM = (OA + OB + OC ) .
3
3.3. Пусть M1 и M 2 – точки пересечения медиан треугольников
A1B1C1 и A2 B2C2 , произвольным образом расположенных в простран 1 стве. Доказать, что M1M 2 = ( A1 A2 + B1 B2 + C1C2 ) .
3
3.4. В треугольнике ABC точки М, N – середины сторон AВ и ВС
соответственно, P – точка пересечения медиан. Выразить вектор PB
через векторы PM = a , PA = b .
3.5. В прямоугольном треугольнике ABC известны длины катетов
AC = 1 , BC = 3 ; CH – высота, проведенная к гипотенузе. Выразить
вектор CH через векторы CB = a , CA = b .
3.6. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны AB.
Выразить вектор AC через векторы MC = a , MD = b .
110
3.7. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны BC,
точка N делит сторону AB в отношении 1: 2 , считая от вершины A. Вы-
разить вектор AC через векторы DN = a , DM = b .
3.8. В трапеции ABCD ( AD || BC , AD = 2 BC ) O – точка пересе-
чения диагоналей. Выразить вектор OD через векторы BC = a ,
BA = b .
3.9. ABCDEF – правильный шестиугольник, точка O – его центр,
точка М – середина стороны BC. Выразить вектор OM через векторы
OC = a , OE = b .
3.10. ABCDEF – правильный шестиугольник, точка М – середина
стороны ED. Выразить вектор BM через векторы AB = a , AC = b .
3.11. На сторонах OA, OB треугольника OAB соответственно взя2
4
ты точки M и N, такие, что OM = OA , ON = OB . Пусть P – точка
3
5
пересечения отрезков AN и BM. Выразить вектор OP через векторы
OA = a , OB = b .
3.12. ABCD – треугольная пирамида, точки М, N – середины ребер
ВD и ВС соответственно. Выразить вектор AD через векторы AB = a ,
CM = b , AN = c .
3.13. ABCDA′B′C ′D′ – параллелепипед, точка М – центр грани
A′B′C ′D′ . Выразить вектор BM через векторы A′B′ = a , A′D′ = b ,
A′A = c .
3.14. SABCD – четырехугольная пирамида (точка S – вершина).
Основанием пирамиды служит квадрат ABCD. Выразить вектор SC
через векторы SA = a , SB = b , SD = c .
3.15. ABCA′B′C ′ – треугольная призма, М – точка пересечения
диагоналей боковой грани BB′C ′C . Выразить вектор A′M через век торы AB = a , AC = b , AA′ = c .
3.16. ABCA′B′C ′ – треугольная призма. Выразить вектор AA′ че рез векторы CA′ = a , BC ′ = b , AB′ = c .
111
3.17. SABCDEF – шестиугольная пирамида (точка S – вершина).
Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF с
центром в точке O. Выразить вектор SO через векторы SA = a ,
SB = b , SC = c .
3.18. В треугольнике ABC известны координаты вершин
A(3;1; 2) , B (2; − 5; −1) , C (7;10; − 4) . Найти координаты точки M
пересечения медиан треугольника.
3.19. В треугольнике ABC известны координаты середин его сторон (2; − 5;1) , (3; 0; − 2) , (− 4;1; 3) . Найти координаты вершин треугольника.
3.20. В параллелограмме ABCD известны координаты вершины
B (0; 5; − 4) , точки пересечения диагоналей O(−1; 4; 2) и середины
стороны AD – точки K (7; − 4; 5) . Найти координаты остальных вершин параллелограмма.
3.21. В параллелограмме ABCD известны координаты следующих
точек: P (−1; 8; − 2) – середина стороны BC; M (− 3; 3; − 4) – на стороне AB и BM = 2 AM ; Q(4; 2,5; 3) – на стороне AD и AQ = 3DQ .
Найти координаты вершины A параллелограмма.
3.22. При каких значениях α и β векторы a = − 2i + 3 j + β k и
b = α i − 6 j + 2k коллинеарны?
3.23. Известно, что | a | = 3 , | b | = 2 и угол между векторами a и
b равен 60° . Вычислить:
а) ( a , b ) ; б) (3a − b , a − 2b ) ; в) | 2a + 3b | ;
г) пр a + 2b (a − b ) ; д) угол между векторами a + b и 3a + 2b .
3.24. Известно, что | a | = 2 , | b | = 5 и угол между векторами a и b
равен 120° . Вычислить:
а) ( a , b ) ; б) (2a + b , 3a + 2b ) ; в) | 2a − 3b | ;
г) пр a +b (2a − b ) ; д) угол между векторами a − b и 3a − 2b .
3.25. Вычислить ( a , b ) , если | a + b | = 2 , | a − b | = 3 .
112
3.26. Вычислить | a − 2b | , если | a | = 1 , | b | = 4 , | a + b | = 19 .
3.27. Вычислить угол между векторами a и b , если:
а) | a | = 2 , | b | = 9 , | 2a − b | = 73 ;
3.28. Известно, что a = (−1; 2;1) , b = (3; − 2; 2) . Вычислить:
а) (a , b ) ; б) (3a − b , a − 2b ) ; в) | 2a + 3b | ;
г) пр a + 2b (a − b ) ; д) угол между векторами a + b и 3a + 2b .
3.29. Даны векторы a = − 2i + j + k , b = i + 5 j , c = 4i + j − 2k .
Найти прc (3 a − 2 b ) .
3.30. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найти
пр AB AM , если A(2; − 3; 2) , B (3; − 4; − 1) , C (5; 2; − 3) .
б) | a | = 5 , | a + 2b | = 33 и b ⊥ (2a + b ) .
3.31. В
параллелограмме
D(4; 2; − 1) . Найти пр BD .
BC
ABCD:
A(−1; 3; 4) ,
C (3;1; 8) ,
3.32. Найти угол между диагоналями параллелограмма ABCD, если A( − 2;1; 0) , C (2; − 3; 2) , D (1; − 1; − 2) .
3.33. В треугольнике ABC найти угол между медианой AM и стороной AC, если A( − 3; 3; 4) , B (3; − 2; 5) , C ( −1; 6; − 3) .
3.34. Найти угол между медианами AK и BM треугольника ABC,
если A(3; − 6; 2) , B ( − 3; − 4; 2) , C (5; 6; − 8) .
торам a = (2; 3; −1) , b = (1; − 2; 3) и удовлетворяет условию
( x , c ) = − 6 , где c = 2i − j + k .
3.36. Вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы
α = 60° и β = 120° . Вычислить его координаты при условии, что
|a|=2.
3.37. Вычислить, какую работу производит сила F = (3; − 2; − 5) ,
3.35. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен век-
когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора
s = (2; − 5; − 7) .
113
3.38. Вычислить, какую работу производит сила F = (3; − 5; 2) ,
когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из
положения A(3; −1; 4) в положение B (1; 6; − 2) .
3.39. Известно, что | a | = 2 , | b | = 3 и угол между векторами a и
b равен 30° . Вычислить:
а) [ a , b ] ; б) [ a − b , a + b ] ; в) [3a − b , a + 2b ] .
3.40. Дано: | a | = | b | = 5 , ( a , b ) = 45° . Вычислить площадь парал
лелограмма, построенного на векторах a − 2 b и 3 a + 2 b .
3.41. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах
a + 3b и 3a + b , если | a | = | b | = 1 , (a , b ) = 30° .
3.42. Даны векторы a = (3; −1; − 2) и b = (1; 2; −1) . Найти координаты вектора:
а) [ a , b ] ; б) [ a − b , a + b ] ; в) [3a + b , a − 2b ] .
3.43. Определить, при каких значениях α и β вектор c = (α ; 3; β)
будет коллинеарен вектору [ a , b ] , если a = ( − 3;1; −1) , b = (1; 2; 0) .
3.44. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1; 2; 0) ,
B (3; 0; − 3) , C (5; 2; 6) .
А(1; −1; 2) , B (5; − 6; 2) и
C (1; 3; −1) . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на
сторону AC.
3.46. Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен век
торам a = (4; − 2; − 3) , b = (0;1; 3) , образует с ортом j острый угол и
| x | = 26 .
3.47. Вектор m , перпендикулярный к оси Оz и вектору
a = (8; −15; 3) , образует острый угол с осью Ox. Зная, что | m | = 51 ,
3.45. Даны вершины треугольника
найти его координаты.
3.48. Сила F = (3; 2; − 4) приложена к точке А(2; −1;1) . Определить момент этой силы относительно начала координат.
114
3.49. Сила F = (2; − 4; 5) приложена к точке А(4; − 2; 3) . Определить момент этой силы относительно точки B (3; 2; −1) .
пендикулярны. Зная, что | a | = 5 , | b | = 3 , | c | = 6 , вычислить ⟨ a , b , c ⟩ .
3.51. Вектор c перпендикулярен векторам a и b , угол между a
и b равен 30° . Зная, что | a | = 2 , | b | = 7 , | c | = 3 , вычислить ⟨ a , b , c ⟩ .
3.52. Даны три вектора:
a = (2; − 3; − 2) , b = (−1; 2; 4) ,
c = (3; 0;1) . Вычислить ⟨ a , b , c ⟩ .
3.53. Выяснить, компланарны ли векторы a , b , c . Если векторы
некомпланарны, то определить, какой является тройка a , b , c (левой
3.50. Векторы a , b , c , образующие левую тройку, взаимно пер-
или правой):
б) a = 2i + 3 j − k , b = i + 2 j − 5k , c = − i + j + k .
3.54. При каком λ компланарны векторы:
а) a = (λ ; 4; −1) , b = (3; −1; − 2) , c = (1; − 5; 2) ;
б) a = (1; − 2λ ;1) , b = (1; λ ; 3) , c = (0;1; −1) .
3.55. Выяснить, образуют ли векторы a , b , c базис в множестве
а) a = − 2i + j + k , b = i − 2 j + 3k , c = 14i − 13 j + 7 k ;
всех векторов, если:
а) a = ( −11; 9;1) , b = (3; −1;1) , c = ( −1; 3; 2) ;
б) a = ( − 2; −1; 3) , b = (2;1; 2) , c = (1; − 2; 3) .
3.56. Выяснить,
лежат
ли
точки
C (−1; 2;1) и D (2;1; 3) в одной плоскости.
A(1; 2; −1) ,
B (0;1; 5) ,
3.57. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ОА = 2i − 5 j ,
ОВ = − j + 2k , ОС = 3 j + k .
3.58. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в
точках A(2; −1;1) , B (5; 5; 4) , C (3; 2; −1) и D (4;1; 3) .
115
3.59. Даны
вершины
тетраэдра:
A(2; 3;1) ,
B (4;1; − 2) ,
C (6; 3; 7) , D (− 5; − 4; 8) . Найти длину его высоты, опущенной из
вершины D.
3.60. Объем тетраэдра равен 5 , три его вершины находятся в точках A(2;1; −1) , B (3; 0;1) , C (2; −1; 3) . Найти координаты четвертой
вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.
116
Глава 4. Прямые на плоскости
4.1. Различные виды уравнения прямой
Равенство вида F ( x, y ) = 0 называется уравнением с двумя переменными x и y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y. Говорят, что два числа x = x0 , y = y0 удовлетворяют уравнению
F ( x, y ) = 0 , если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y
в уравнение его левая часть обращается в нуль.
Уравнением данной линии (кривой) в рассматриваемой системе координат Oxy называется такое уравнение F ( x, y ) = 0 , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и обратно,
если координаты точки удовлетворяют уравнению F ( x, y ) = 0 , то точка
лежит на линии.
Если даны уравнения двух линий F ( x, y ) = 0 и Φ ( x, y ) = 0 , то
решение системы
 F ( x, y ) = 0,

 Φ ( x, y ) = 0
дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел x, y, являющаяся решением этой системы, определяет одну из точек пересечения
этих линий.
Пусть зависимость между координатами x и y точек на плоскости
задана с помощью системы двух функций аргумента t, принадлежащего
некоторому множеству D:
 x = ϕ(t ),

 y = ψ (t ).
Эти равенства называются параметрическими уравнениями линии, если
координаты любой точки линии удовлетворяют им при некотором значении t ∈ D , и обратно, если точка с координатами x = ϕ(t ) , y = ψ(t )
при любом значении t ∈ D лежит на линии. Аргумент t называется параметром.
117
Замечание. Если из равенств x = ϕ(t ) , y = ψ(t ) исключить параметр t, то получится уравнение линии в виде F ( x, y ) = 0 .
Отметим, что в системе координат Oxy каждая прямая определяется уравнением линии первой степени ax + by + c = 0 , и обратно, каждое уравнение линии первой степени ax + by + c = 0 определяет некоторую прямую [1, 2, 4, 9].
Далее будем рассматривать только прямоугольную систему координат Oxy .
Приведем вывод различных видов уравнений прямой на плоскости.
Произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный к данной
прямой, называется ее нормальным вектором.
Пусть дана прямая l , у которой известны координаты нормального
вектора n = ( A ; B ) и некоторой (фиксированной) точки M ( x0 ; y0 ) ∈ l
(рис.4.1). Очевидно, что заданием
n = (A ; B) этих двух элементов ( n и M ) пряM (x0 ; y0 )
мая l определяется однозначно. Для
вывода
уравнения прямой рассмотрим
l
P (x ; y)
произвольную точку P ∈ l с коорди-
Рис.4.1.
натами ( x ; y ) . Составим вектор MP
и найдем его координаты: MP = ( x − x0 ; y − y0 ) . Поскольку MP ⊥ n ,
то воспользуемся необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов:
(n , MP ) = 0 ⇔
⇔ A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 .
(4.1)
Уравнение (4.1) называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору.
Раскроем скобки в уравнении (4.1):
Ax + By + (− Ax0 − By0 ) = 0
и обозначим число − Ax0 − By0 буквой C . В результате получим уравнение
Ax + By + C = 0 .
Уравнение (4.2) называется общим уравнением прямой.
118
(4.2)
Отметим, что в уравнении (4.2) коэффициенты A и B при переменных x и y являются координатами нормального вектора
n = ( A ; B ) . Кроме того, при C = 0 уравнение (4.2) примет вид
Ax + By = 0 , а значит точка с координатами (0; 0) принадлежит данной прямой. Таким образом, при C = 0 прямая проходит через начало
координат, а при C ≠ 0 – нет.
Отметим также, что если в уравнении (4.2) отсутствует член с одной из переменных (т.е. какой-либо из коэффициентов A или B равен
нулю), то прямая параллельна той координатной оси, которая одноименна с отсутствующей переменной. Если, кроме того, отсутствует
свободный член ( C = 0 ), то прямая совпадает с этой осью.
Если в уравнении (4.2) ни один из коэффициентов A , B , C не равен нулю, то над ним можно совершить следующие преобразования:
Ax + By = − C ⇔
Ax
By
+
=1 ⇔
(− C ) (− C )
x
y
+
=1.
(− C A) (− C B)
C
C
Обозначив p = − , q = − , получим так называемое уравнение
A
B
⇔
прямой «в отрезках»:
x y
+ =1 .
p q
(4.3)
Уравнение (4.3) удобно с точки зрения понимания того, как прямая
расположена относительно выбранной
системы координат, и изображения этой
y
прямой. Действительно, после приведения уравнения прямой к виду (4.3) легко
( p ; 0)
видеть, что она проходит через точки с
O
x
координатами ( p ; 0) и (0; q ) (рис.4.2),
т.е. эта прямая отсекает отрезки длиной
(0 ; q)
| p | и | q | на осях координат.
Если в уравнении (4.2) коэффициент
Рис.4.2.
B не равен нулю, то в нем можно выразить y через x :
119
y=−
Обозначив k = −
A
C
x− .
B
B
A
C
, d = − , получим еще один вид уравнения
B
B
прямой на плоскости, широко применяемый при решении задач, – уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + d .
(4.4)
Геометрический смысл коэффициентов k и d (рис.4.3) заключается в следующем: k = tg α , где α – угол
y
наклона прямой к оси Ox ; | d | характери-
d
α
O
Рис.4.3.
x
зует величину, а знак d – направление
сдвига прямой вдоль оси Oy .
Для решения ряда задач удобной является еще одна форма записи уравнения
прямой, связанная с угловым коэффициентом k . Для вывода этого вида уравнения
прямой воспользуемся (4.1). Тогда
y − y0 = −
A
⋅ ( x − x0 ) .
B
A
= k (см. вывод уравнения (4.4)), получаем уравнеB
ние прямой по точке ( x0 ; y0 ) ∈ l и угловому коэффициенту k :
y − y0 = k ( x − x0 ) .
(4.5)
Поскольку −
Перейдем к выводу различных видов уравнения прямой, связанных
с ее направляющим вектором, т.е. произвольным ненулевым вектором,
параллельным данной прямой.
Пусть дана прямая l , у которой известны координаты направляю
щего вектора ω = ( a ; b) и некоторой
M (x0 ; y0 )
P (x ; y)
(фиксированной) точки M ( x0 ; y0 ) ∈ l
l
(рис.4.4). Очевидно, что заданием
ω = (a ; b)
этих двух элементов ( ω и M ) пряРис.4.4.
мая l определяется однозначно.
120
Для вывода параметрических уравнений прямой рассмотрим про-
извольную точку P ∈ l с координатами ( x ; y ) . Составим вектор MP и
найдем его координаты: MP = ( x − x0 ; y − y0 ) . Поскольку MP || ω , то
это равносильно тому, что
 x − x0 = at ,
∃t ∈ R : MP = t ω ⇔ 
⇔
 y − y0 = bt ,
 x = x0 + at ,
⇔ 
 y = y0 + bt .
(4.6)
Уравнения (4.6) называются параметрическими уравнениями пря-
мой. Отметим, что поскольку длина вектора MP может быть любой, то
параметр t может принимать любые действительные значения. Преобразуем уравнения системы (4.6), выполнив формальные преобразования,
позволяющие исключить параметр t:
t = ( x − x0 ) a ,

t = ( y − y0 ) b .
Тогда
t=
x − x0 y − y0
=
.
a
b
Уравнение вида
x − x0 y − y0
=
a
b
(4.7)
называется каноническим уравнением прямой.
Замечание. В знаменателе пропорции (4.7) находятся координаты
направляющего вектора ω = ( a ; b) , а значит одна из них (но не обе!)
может быть равна нулю. В этих случаях равенство
u q
= следует поv p
нимать как up = vq .
Отметим, что если у прямой l известны только координаты двух
различных лежащих на ней точек M ( x0 ; y0 ) и Q( x1 ; y1 ) , то можно
сразу составить ее уравнение, аналогичное (4.7), так как
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 )
121
будет в этом случае направляющим вектором прямой l :
x − x0
y − y0
.
=
x1 − x0 y1 − y0
(4.8)
Уравнение вида (4.8) называется уравнением прямой по двум точкам.
П рим ер 4.1. Точка M (2; − 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую l . Составить уравнение
прямой l и изобразить ее в данной системе координат.
Решение. Пусть точка O(0; 0) – начало координат. Тогда радиус-
вектор OM = (2; − 1) – нормальный вектор прямой l . Согласно условию M ∈ l , поэтому можно воспользоваться уравнением (4.1) прямой l
(по точке и нормальному вектору). Имеем
y
2 ⋅ ( x − 2) − 1⋅ ( y + 1) = 0 .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены,
окончательно получаем общее уравнение
2,5 x
O
прямой l :
2x − y − 5 = 0 .
Для изображения прямой l приведем ее
уравнение к виду (4.3) («в отрезках») и получим
5
Рис.4.5.
x
y
+
=1 .
2,5 (− 5)
График прямой изображен на рис.4.5. П рим ер 4.2. Даны координаты вершин треугольника: M (3; − 2) ,
P (6; 2) , Q(− 3; 6) . Составить уравнения: 1) медианы PP1 ; 2) высоты
MH ; 3) биссектрисы MM1 .
Решение. 1) Точка P1 – середина стороны MQ , поэтому P1 (0; 2) .
Тогда, используя (4.8), составим уравнение медианы PP1 :
x−0 y−2
x y−2
=
⇔ =
⇔ y=2.
6−0 2−2
6
0
2) Высота MH перпендикулярна стороне PQ треугольника, по
этому PQ = (− 9; 4) – нормальный вектор прямой MH . Используя
(4.1), составим уравнение высоты MH :
122
− 9( x − 3) + 4( y + 2) = 0 ⇔ 9 x − 4 y − 35 = 0 .
3) Для составления уравнения биссектрисы необходимо найти ко
ординаты ее направляющего вектора ω . С этой целью найдем вначале
координаты векторов MP и MQ : MP = (3; 4) , MQ = (− 6; 8) . По-
скольку | MP | = 5 , | MQ | = 10 , то, уменьшив в два раза длину MQ ,
получим вектор, длина которого будет равна длине MP . Так как сумма
MQ
(по «правилу параллелограмма») MP и
будет направлена по диа2
MQ
= (0; 8) можно взять в качестве направгонали ромба, то MP +
2
ляющего вектора ω .
Таким образом, используя (4.7), составим уравнение биссектрисы
MM1 треугольника:
x −3 y + 2
=
⇔ x = 3. 0
8
4.2. Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми
Пусть даны две прямые, заданные уравнениями вида (4.2). Установим связь между коэффициентами в уравнениях этих прямых и их взаимным расположением на плоскости.
Тео рем а 4.1. Пусть даны прямые l1 и l2 , заданные уравнениями
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .
Тогда
A1 B1 C1
;
=
=
A2 B2 C2
A
B
C
2) l1 и l2 параллельны ⇔ 1 = 1 ≠ 1 ;
A2 B2 C2
1) l1 и l2 совпадают ⇔
123
3) l1 и l2 пересекаются ⇔
A1 B1
.
≠
A2 B2
Доказательство. Пункт 1 очевиден, так как два пропорциональных
уравнения задают одну и ту же прямую. Пункты 2 и 3 тоже очевидны,
так как ( A1 ; B1 ) и ( A2 ; B2 ) – это нормальные векторы прямых l1 и l2 .
В случае пункта 2 нормальные векторы параллельны, а в случае пункта 3 – нет. ■
Замечание. В равенстве вида
u q
= не исключен случай, когда в
v p
знаменателе хотя бы одной из дробей стоит нуль. Тогда равенство следует понимать как up = vq .
Тео рем а 4.2.
Величина
ϕ
угла
между
прямыми
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 и l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 находится по формуле
| A1 A2 + B1B2 |
ϕ = arccos
.
(4.9)
2
A1 + B12 ⋅ A22 + B22
Доказательство. Нормальные векторы прямых l1 и l2 имеют следующие координаты:
n1 = ( A1; B1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ) .
Величина угла между этими прямыми равна либо величине угла
между n1 и n2 (если угол между нормальными векторами острый или
прямой), либо величине смежного с ним угла (если угол между нормальными векторами тупой). В любом случае
(n1 , n2 )
cos ϕ = cos(n1 , n2 ) = =
| n1 | ⋅ | n2 |
| A1 A2 + B1B2 |
.
2
A1 + B12 ⋅ A22 + B22
Отсюда
ϕ = arccos
| A1 A2 + B1B2 |
.■
2
A1 + B12 ⋅ A22 + B22
Сл ед ст вие. Прямые l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 и l2 : A2 x + B2 y +
+ C2 = 0 перпендикулярны тогда и только тогда, когда
A1 A2 + B1B2 = 0 .
124
(4.10)
Доказательство. Прямые l1 и l2 перпендикулярны тогда и только
тогда, когда
ϕ = π 2 ⇔ cos ϕ = 0 ⇔ A1 A2 + B1B2 = 0 . ■
Часто при решении задач используются уравнения прямых с угловым коэффициентом. В этих случаях для нахождения величины угла
между прямыми можно воспользоваться следующей теоремой.
Тео рем а 4.3. Величина ϕ угла между прямыми l1 : y = k1 x + d1 и
l2 : y = k2 x + d 2 находится по формуле
ϕ = arctg
k2 − k1
.
1 + k1k2
(4.11)
Доказательство. Установим вначале связь между величинами углов ϕ , α1 и α 2 , где α1 и α 2 – углы наклона соответственно прямых
l1 и l2 к оси Ox (рис.4.6). Тогда ϕ = α 2 − α1 (из треугольника MPQ ).
Отсюда
tg α 2 − tg α1 k2 − k1
.
=
1 + tg α1 tg α 2 1 + k1k2
Заметим, что если ∠QMP окажется y
тупым (рис.4.6), то величина ϕ угла между
M
ϕ
прямыми l и l будет равна величине угла,
l
tg ϕ = tg(α 2 − α1 ) =
1
l2
π α 2 α2
α1
2
смежного с ∠QMP . Учитывая, что тангенсы смежных углов равны по модулю и противоположны по знаку, окончательно
получаем:
k −k
tg ϕ = 2 1 .
1 + k1k2
Таким образом, ϕ = arctg
1
O
Q
P
x
Рис.4.6.
k2 − k1
.■
1 + k1k2
Сл ед ст вие. Прямые l1 : y = k1 x + d1 и l2 : y = k2 x + d 2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда
k1k2 = −1 .
(4.12)
125
Доказательство. Запишем уравнения прямых l1 и l2 в виде
k1 x − y + d1 = 0 и k2 x − y + d 2 = 0 . Тогда необходимое и достаточное
условие перпендикулярности прямых l1 и l2 , согласно следствию к
теореме 4.2, имеет вид
k1k2 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇔ k1k2 = −1 . ■
П рим ер 4.3. Вычислить величину ϕ угла между прямыми
l1 : 2 x − 3 y − 1 = 0 и l2 : x + 2 y + 5 = 0 .
Решение. Согласно формуле (4.9)
ϕ = arccos
Таким образом, ϕ = arccos
| 2 ⋅1 − 3 ⋅ 2 |
2
2
2
2 + (−3) ⋅ 1 + 2
2
.
4
.
65
4.3. Расстояние от точки до прямой
Выведем формулу, позволяющую вычислять расстояние от точки,
координаты которой известны, до прямой, заданной уравнением вида
(4.2).
Тео рем а 4.4. Расстояние ρ от точки M ( x0 ; y0 ) до прямой
l : Ax + By + C = 0 вычисляется по следующей формуле:
| Ax0 + By0 + C |
ρ=
.
(4.13)
A2 + B 2
Доказательство. Нормальный вектор прямой l имеет следующие
координаты: n = ( A ; B ) . Пусть Q( x1 ; y1 ) – некоторая точка, лежащая
на прямой l , т.е.
Ax1 + By1 + C ≡ 0 .
Составим вектор
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 )
(рис.4.7). Тогда очевидно, что расстояние ρ от точки M до прямой l
есть не что иное, как
126
ρ = | пр n MQ | =
=
=
(n , MQ )
=
|n|
| A( x1 − x0 ) + B ( y1 − y0 ) |
A2 + B 2
=
−C
| ( Ax1 + By1 ) − ( Ax0 + By0 ) |
=
A2 + B 2
| Ax0 + By0 + C |
A2 + B 2
П рим ер 4.4.
M (x0; y0)
ρ
=
n = (A; B)
l
Q (x1; y1)
Рис.4.7.
.■
расстояние
между
прямыми
l1 : 2 x − 4 y + 7 = 0 и l2 : x − 2 y − 3 = 0 .
Решение. Выясним вначале взаимное расположение прямых. Так
как
Вычислить
2 −4 7
, то l1 и l2 параллельны. Поэтому расстояние ρ меж=
≠
1 −2 −3
ду прямыми равно расстоянию от любой точки, лежащей на одной из
прямых, до другой прямой. Найдем координаты какой-нибудь точки на
прямой l1 . Возьмем в уравнении этой прямой y = 0 , тогда x = − 3,5 .
Получили, что точка M ( − 3,5; 0) лежит на прямой l1 . Тогда расстояние от точки M до прямой l2 , согласно формуле (4.13), равно:
ρ=
Таким образом, ρ =
|1⋅ (− 3,5) − 2 ⋅ 0 − 3|
12 + (−2)2
.
13
.
2 5
127
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Определить точки пересечения прямой 3x − 2 y + 6 = 0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
4.2. Точка M (3; − 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из точки P (−1; 4) на прямую l . Составить уравнение l и построить эту прямую на чертеже.
4.3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8 x + 3 y + 1 = 0 ,
2 x + y −1 = 0 и координаты одной из его вершин (5; 3) . Составить
уравнения двух других сторон этого параллелограмма.
4.4. Даны вершины треугольника M (− 4; 6) , P (1; − 8) и K (9; 4) .
Составить уравнение:
а) стороны MK;
б) высоты, опущенной из вершины M на сторону PK;
в) медианы, проведенной из вершины K к стороне MP;
г) средней линии, параллельной стороне PK.
4.5. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5 x + 2 y − 7 = 0 ,
5 x + 2 y − 36 = 0 и уравнение его диагонали 3x + 7 y −10 = 0 . Составить
уравнения его остальных сторон и второй диагонали.
4.6. Даны середины сторон треугольника M (7; − 6) , P (2; 4) и
K (5; 3) . Составить уравнение:
а) средней линии MP;
б) стороны треугольника, проходящей через точку Р;
в) медианы треугольника, основанием которой служит точка M;
г) высоты треугольника, опущенной на сторону треугольника, проходящей через точку M.
4.7. Стороны треугольника даны уравнениями 4 x − y − 7 = 0 ,
x + 3 y − 31 = 0 и x + 5 y − 7 = 0 . Найти координаты точки пересечения
высот этого треугольника.
4.8. Даны координаты вершин A(−10; 2) и B (6; 4) треугольника
ABC и точки M (5; 2) пересечения его высот. Найти координаты
третьей вершины C.
128
4.9. Найти координаты точки Q, симметричной точке P (− 5;13)
относительно прямой 2 x − 3 y − 3 = 0 .
4.10. Найти угол между прямыми:
а) 4 x − 5 y + 3 = 0 и x + 2 y − 5 = 0 ;
б) 7 x − 2 y + 9 = 0 и 4 x + 14 y −1 = 0 ;
x −1 y + 3
=
;
2
−1
г) y = 3x − 4 и y = 2 − 5 x ;
д) y = 1 − 4 x и y = 6 + 0, 25 x .
в) 2 x − 3 y −1 = 0 и
4.11. Луч света направлен по прямой x − 2 y + 5 = 0 . Дойдя до прямой 3x − 2 y + 7 = 0 , луч от нее отразился. Составить уравнение, на которой лежит отраженный луч.
4.12. Найти расстояние от точки M до прямой l, если:
а) M (7; − 6) , l : 5 x + 12 y − 4 = 0 ;
б) M ( −1;1) , l : 6 x − y + 7 = 0 ;
в) М (− 2; 7) , l :
x +1 y − 2
=
.
2
1
4.13. Найти расстояние между прямыми:
а) 3x − 5 y + 8 = 0 и x + 4 y − 6 = 0 ;
б) 5 x − 7 y + 1 = 0 и 10 x −14 y + 1 = 0 ;
в) 2 x + 3 y −1 = 0 и
x y +1
=
.
3 −2
4.14. Точка A(2; 5) является вершиной квадрата, одна из сторон
которого лежит на прямой x − 2 y − 7 = 0 . Найти площадь этого квадрата.
4.15. Две стороны квадрата лежат на прямых 5 x −12 y − 65 = 0 и
5 x −12 y + 26 = 0 . Найти площадь этого квадрата.
4.16. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми 3x + 4 y −1 = 0 и 8 x − 6 y + 5 = 0 .
4.17. Даны вершины треугольника: A(3; − 5) , B (−1; − 8) , C (5; 0) .
Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла B этого треугольника.
129
4.18. Даны координаты точек A(3;5) , B (−1; − 2) и уравнение прямой 7 x − 6 y + 1 = 0 . Найти координаты такой точки M, принадлежащей
этой прямой, чтобы площадь треугольника MAB была равна 1 .
4.19. Составить уравнения сторон треугольника, зная координаты
одной из его вершин B (2; − 7) , а также уравнения высоты
3x + y + 11 = 0 и медианы x + 2 y + 7 = 0 , проведенных из различных
вершин.
130
Глава 5. Плоскости и прямые в пространстве
5.1. Различные виды уравнения плоскости
Равенство вида F ( x, y, z ) = 0 называется уравнением с тремя переменными x, y и z, если оно справедливо не для всяких троек чисел
x, y, z. Говорят, что три числа x = x0 , y = y0 , z = z0 удовлетворяют
некоторому уравнению вида F ( x, y, z ) = 0 , если при подстановке этих
чисел вместо переменных x, y и z в данное уравнение его левая часть
обращается в нуль.
Уравнением данной поверхности в рассматриваемой системе координат Oxyz называется такое уравнение F ( x, y, z ) = 0 , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и
обратно, если координаты точки удовлетворяют уравнению
F ( x, y, z ) = 0 , то точка лежит на поверхности.
Если
даны
уравнения
двух
поверхностей
F ( x, y , z ) = 0
и
Φ ( x, y, z ) = 0 , то решение системы
 F ( x, y, z ) = 0,

 Φ ( x, y , z ) = 0
дает все точки их пересечения. Точнее, каждая тройка чисел x, y, z, являющаяся решением этой системы, определяет одну из точек пересечения этих поверхностей.
Отметим, что в системе координат Oxyz каждая плоскость определяется уравнением поверхности первой степени ax + by + cz + d = 0 ,
и обратно, каждое уравнение поверхности первой степени
ax + by + cz + d = 0 определяет некоторую плоскость [1, 2, 4, 9].
Далее будем рассматривать только прямоугольную систему координат Oxyz .
Приведем вывод различных видов уравнений плоскости.
Произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный к данной
плоскости, называется ее нормальным вектором.
131
n = (A; B; C)
P(x; y ; z)
Пусть дана плоскость α , у которой
известны координаты нормального век
тора n = ( A ; B ; C ) и некоторой (фикси-
рованной) точки
M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈α
(рис.5.1). Очевидно, что заданием этих
двух элементов ( n и M ) плоскость α
Рис.5.1.
определяется однозначно.
Для вывода уравнения плоскости рассмотрим произвольную точку
α
M (x0; y0 ; z0)
P∈α с координатами ( x ; y ; z ) . Составим вектор MP и найдем его
координаты: MP = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) . Поскольку MP ⊥ n , то вос-
пользуемся необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов:
(n , MP ) = 0 ⇔
⇔ A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 .
(5.1)
Уравнение (5.1) называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.
Раскроем скобки в уравнении (5.1):
Ax + By + Cz + (− Ax0 − By0 − Cz0 ) = 0
и обозначим число − Ax0 − By0 − Cz0 буквой D , получим уравнение
Ax + By + Cz + D = 0 .
(5.2)
Уравнение (5.2) называется общим уравнением плоскости.
Отметим, что в уравнении (5.2) коэффициенты A , B и C при переменных x , y и z являются координатами нормального вектора
n = ( A ; B ; C ) . Кроме того, при D = 0 уравнение (5.2) примет вид
Ax + By + Cz = 0 , а значит точка с координатами (0; 0; 0) принадлежит данной плоскости. Таким образом, при D = 0 плоскость проходит
через начало координат, а при D ≠ 0 – нет.
Отметим также, что если в уравнении (5.2):
1) отсутствует член с одной из переменных (т.е. какой-либо из коэффициентов A , B , C равен нулю), то плоскость параллельна одной из
координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей
переменной; если, кроме того, отсутствует свободный член ( D = 0 ), то
плоскость проходит через эту ось;
132
2) отсутствуют два члена с переменными (т.е. какие-либо два из
коэффициентов A , B , C равны нулю), то плоскость параллельна одной
из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси,
одноименные с отсутствующими переменными; если, кроме того, отсутствует свободный член ( D = 0 ), то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.
Если в уравнении (5.2) ни один из коэффициентов A, B, C , D
не равен нулю, то над ним можно совершить следующие преобразования:
Ax + By + Cz = − D ⇔
Ax
By
Cz
+
+
=1 ⇔
(− D) (− D) (− D)
x
y
z
+
+
=1 .
(− D A) (− D B) (− D C )
D
D
D
Обозначив a = − , b = − , c = − , получим так называемое
A
B
C
⇔
уравнение плоскости «в отрезках»:
x y z
+ + =1 .
a b c
(5.3)
Уравнение (5.3) удобно с точки зрения понимания того, как плоскость расположена относительно выбранной системы координат и изображения фрагмента этой плоскости. Действительно, после приведения
уравнения плоскости к виду (5.3) легко видеть, что она проходит через
точки с координатами (a ; 0; 0) , (0; b ; 0) и (0; 0; c) (рис.5.2), т.е. эта
плоскость отсекает отрезки длиной | a | , | b | ,
z
| c | на осях координат.
Как известно, через любые три точки,
не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поэтому важной
является задача составления уравнения плоскости, зная только координаты трех точек,
не лежащих на одной прямой. Опишем ее решение. Итак, пусть даны точки M ( x0 ; y0 ; z0 ) ,
(0 ; b ; 0)
(0 ; 0; c)
O
y
x
(a ; 0 ; 0)
Рис.5.2.
Q( x1; y1; z1 ) и T ( x2 ; y2 ; z2 ) , принадлежащие плоскости α (рис.5.3).
Для вывода уравнения плоскости α рассмотрим произвольную точку
133
Q(x1; y1; z1)
P(x; y; z)
T(x2; y2; z2)
α M (x0 ; y0 ; z0 )
Рис.5.3.
P∈α с координатами ( x ; y ; z ) .
Составим векторы MP , MQ ,
MT и найдем их координаты:
MP = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) ,
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 ) ,
MT = ( x2 − x0 ; y2 − y0 ; z2 − z0 ).
Поскольку MP , MQ , MT лежат в одной плоскости α , то можно
воспользоваться необходимым и достаточным условием их компланарности (через смешанное произведение векторов):
⟨ MP , MQ , MT ⟩ = 0 ⇔
x − x0
⇔ x1 − x0
y − y0
y1 − y0
z − z0
z1 − z0 = 0 .
x2 − x0
y2 − y0
z2 − z0
(5.4)
Уравнение (5.4) называется уравнением плоскости по трем
точкам.
П рим ер 5.1. Точка M (2;1; − 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость α . Составить
уравнение плоскости α и изобразить ее фрагмент в данной системе
координат.
Решение. Пусть точка O(0; 0; 0) – начало координат. Тогда ради-
ус-вектор OM = (2;1; − 1) – нормальный вектор плоскости α . Так как
согласно условию M ∈α , можно воспользоваться уравнением (5.1)
плоскости α (по точке и нормальному вектору). Имеем
2 ⋅ ( x − 2) + 1⋅ ( y − 1) − 1⋅ ( z + 1) = 0 .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, окончательно получаем общее уравнение плоскости α :
2x + y − z − 6 = 0 .
134
Для изображения фрагмента плоскости
z
α приведем ее уравнение к виду (5.3) («в
O
отрезках»). Получим
6
y
3
x y
z
+ +
=1 .
3 6 (− 6)
x
6
Фрагмент плоскости изображен на
Рис.5.4.
рис.5.4. П рим ер 5.2. Плоскость проходит через точки M (2; 0; 2) ,
Q(−1;1; 2) и T (3; − 2; − 1) . Составить уравнение этой плоскости.
Решение. Воспользуемся формулой (5.4). Тогда уравнение плоскости примет вид
x−2
−1 − 2
y−0
1− 0
z−2
x−2
2 − 2 = 0 ⇔ −3
3− 2
− 2 − 0 −1 − 2
1
y
1
z−2
0 =0.
−2
−3
Раскрывая определитель, окончательно получаем
3x + 9 y − 5 z + 4 = 0 . 5.2. Взаимное расположение плоскостей.
Угол между плоскостями
Пусть даны две плоскости, заданные уравнениями вида (5.2). Установим связь между коэффициентами в уравнениях этих плоскостей и их
взаимным расположением в пространстве.
Тео рем а 5.1. Пусть даны плоскости α и β , заданные уравнениями
α : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,
β : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .
Тогда:
A1 B1 C1 D1
;
=
=
=
A2 B2 C2 D2
A B C
D
2) α и β параллельны ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 ;
A2 B2 C2 D2
1) α и β совпадают ⇔
135
3) α и β пересекаются ⇔
A1 B1
A C
B
C
или 1 ≠ 1 или 1 ≠ 1 .
≠
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Доказательство. Пункт 1 очевиден, так как два пропорциональных
уравнения задают одну и ту же плоскость. Пункты 2 и 3 тоже очевидны,
так как ( A1 ; B1 ; C1 ) и ( A2 ; B2 ; C2 ) – это нормальные векторы плоскостей α и β . ■
Замечание. В равенствах вида
u q
= не исключен случай, когда в
v p
знаменателе хотя бы одной из дробей стоит число нуль. В этих случаях
равенство следует понимать как up = vq .
Тео рем а 5.2.
Величина
ϕ
угла
между
плоскостями
α : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и β : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 находится
по формуле
ϕ = arccos
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
.
2
A1 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22
(5.5)
Доказательство. Нормальные векторы плоскостей α и β имеют
следующие координаты:
nα = ( A1; B1; C1 ) , nβ = ( A2 ; B2 ; C2 ) .
Величина угла между этими плоскостями равна либо величине уг
ла между nα и nβ , если угол между нормальными векторами острый
или прямой, либо величине смежного с ним угла, если угол между нормальными векторами тупой. В любом случае
(nα , nβ )
cos ϕ = cos(nα , nβ ) = =
| nα | ⋅ | nβ |
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22
Отсюда
ϕ = arccos
136
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
.■
2
A1 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22
.
Сл ед ст вие.
Плоскости
α : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
и
β : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 перпендикулярны тогда и только тогда,
когда
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .
Доказательство. Плоскости α и β перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
ϕ = π 2 ⇔ cos ϕ = 0 ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 . ■
П рим ер 5.3. Вычислить величину ϕ угла между плоскостями
α : 2x − 3 y + 4z −1 = 0 и β : x + 2 y − z + 5 = 0 .
Решение. Согласно формуле (5.5)
ϕ = arccos
| 2 ⋅1 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−1) |
22 + (−3)2 + 42 ⋅ 12 + 22 + (−1)2
Таким образом, ϕ = arccos
.
8
.
174
5.3. Расстояние от точки до плоскости
Выведем формулу, позволяющую вычислять расстояние от точки,
координаты которой известны, до плоскости, заданной уравнением вида
(5.2).
Тео рем а 5.3. Расстояние ρ от точки M ( x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости
α : Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по следующей формуле:
| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
ρ=
.
(5.6)
A2 + B 2 + C 2
Доказательство. Нормальный вектор плоскости α имеет сле
дующие координаты: nα = ( A ; B ; C ) . Пусть Q( x1 ; y1 ; z1 ) – некоторая
точка, лежащая в плоскости α , т.е.
Ax1 + By1 + Cz1 + D ≡ 0 .
Составим вектор (рис.5.5)
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 ) .
137
nα
Тогда очевидно, что расстояние ρ от точки
M
ρ
Q
α
M до плоскости α есть не что иное, как
(
n
, MQ )
ρ = | пр nα MQ | = α =
| nα |
=
| A( x1 − x0 ) + B ( y1 − y0 ) + C ( z1 − z0 ) |
A2 + B 2 + C 2
Рис.5.5.
=
−D
| ( Ax1 + By1 + Cz1 ) − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) | | Ax0 + By0 + Cz0 + D |
=
=
.■
A2 + B 2 + C 2
A2 + B 2 + C 2
П рим ер 5.4.
Вычислить
расстояние
между
плоскостями
α : 2 x − 4 y + 10 z + 7 = 0 и β : x − 2 y + 5 z − 3 = 0 .
Решение. Выясним вначале взаимное расположение плоскостей.
Так как
2 − 4 10 7
, то α и β параллельны. Поэтому расстоя=
= ≠
1 − 2 5 −3
ние ρ между плоскостями равно расстоянию от любой точки, лежащей
на одной из плоскостей, до другой плоскости. Точка M ( − 3,5; 0; 0)
лежит в плоскости α (координаты M найдены подбором). Тогда расстояние от точки M до плоскости β , согласно формуле (5.6), равно:
ρ=
Таким образом, ρ =
|1⋅ (− 3,5) − 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 − 3|
12 + (−2) 2 + 52
.
13
.
2 30
5.4. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Напомним, что если в системе координат Oxyz даны уравнения
двух поверхностей F ( x, y, z ) = 0 и Φ ( x, y, z ) = 0 , то решение системы
138
 F ( x, y, z ) = 0,

 Φ ( x, y , z ) = 0
дает все точки их пересечения.
Приведем вывод различных видов уравнений прямой в пространстве.
Известно, что если две различные плоскости имеют общую точку,
то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих
плоскостей. Поэтому если составить систему, в которую будут включены уравнения двух плоскостей вида (5.2), то ее решениями будут являться все точки некоторой прямой.
Итак, уравнения прямой как пересечение двух плоскостей имеют
вид
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
(5.7)

 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
при условии, что коэффициенты A1 , B1 , C1 первого уравнения системы
не пропорциональны коэффициентам A2 , B2 , C2 второго (иначе эти
уравнения будут определять совпадающие или параллельные плоскости).
Отметим, что, несмотря на кажущуюся простоту записи прямой с
помощью системы (5.7), этот вид уравнений прямой в пространстве
не очень удобен при решении различных прикладных задач. Наиболее
удобной для практики является так называемая параметрическая форма записи уравнений прямой.
Дадим вначале общие определения. Пусть зависимость между координатами x, y и z точек в пространстве задана с помощью системы
трех функций аргумента t, принадлежащего некоторому множеству D:
 x = ϕ(t ),

 y = ψ (t ),
 z = χ(t ).

Эти равенства называются параметрическими уравнениями линии (кривой), если координаты любой точки линии удовлетворяют им при некотором значении t ∈ D , и обратно, если точка с координатами x = ϕ(t ) ,
y = ψ(t ) , z = χ(t ) при любом значении t ∈ D лежит на линии. Аргумент t называется параметром.
139
l
Пусть дана прямая l , у которой известны координаты направ
ляющего вектора ω = (a ; b ; c) и неω = (a; b; c)
которой (фиксированной) точки
P(x; y; z)
M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ l (рис.5.6). Очевидно,
что заданием этих двух элементов ( ω
и
M ) прямая l определяется одноРис.5.6.
значно.
Для вывода параметрических уравнений прямой рассмотрим про-
M(x0; y0 ; z0)
извольную точку P ∈ l с координатами ( x ; y ; z ) . Составим вектор MP
и найдем его координаты: MP = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 ) . Поскольку
MP || ω , то это равносильно тому, что
 x − x0 = at ,

∃t ∈R : MP = t ω ⇔  y − y0 = bt , ⇔
 z − z = ct ,
0

 x = x0 + at ,

⇔  y = y0 + bt ,
 z = z + ct .
0

(5.8)
Уравнения (5.8) называются параметрическими уравнениями пря-
мой в пространстве. Отметим, что поскольку длина вектора MP может
быть любой, то параметр t может принимать любые действительные
значения.
Преобразуем уравнения системы (5.8), выполнив формальные преобразования:
t = ( x − x0 ) a ,

t = ( y − y0 ) b ,
t = ( z − z ) c .
0

Тогда
t=
а уравнения вида
140
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
,
a
b
c
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
(5.9)
называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Замечания.
1. Пропорция (5.9) – это не одно уравнение, а система из двух, например
 x − x0 y − y0
 a = b ,

 y − y0 = z − z0 .
 b
c
Эта система задает прямую в виде (5.7), т.е. как пересечение двух плоскостей.
2. В знаменателе пропорции (5.9) находятся координаты направ
ляющего вектора ω = (a ; b ; c) , а значит некоторые из них (но не все!)
могут быть равны нулю. В этих случаях равенство
u q
= следует поv p
нимать как up = vq .
Отметим, что если у прямой l известны только координаты двух
различных лежащих на ней точек M ( x0 ; y0 ; z0 ) и Q( x1 ; y1 ; z1 ) , то
можно сразу составить ее уравнения, аналогичные (5.9), так как
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 )
будет в этом случае направляющим вектором прямой l :
x − x0
y − y0
z − z0
.
=
=
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
(5.10)
Уравнения вида (5.10) называются уравнениями прямой по двум
точкам.
П рим ер 5.5. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки M ( − 3; 0; 2) и Q( −1;1; 2) .
Решение. Составим вначале, воспользовавшись формулами (5.10),
уравнения прямой по двум точкам:
x+3 y−0 z −2
.
=
=
−1 + 3 1 − 0 2 − 2
141
Отсюда получаются канонические уравнения прямой MQ :
x+3 y−0 z −2
=
=
.
2
1
0
П рим ер 5.6. Записать в каноническом виде уравнения прямой
 2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0,

 2 x + 3 y + 3 z − 1 = 0.
Решение. Найдем вначале направляющий вектор прямой ω . Так
как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам
n1 = (2; − 3; 5) и n2 = (2; 3; 3) данных в условии примера плоскостей,
то ω можно найти как векторное произведение [ n1 , n2 ] :
i
j k
ω = 2 − 3 5 = i (− 9 − 15) − j (6 − 10) + k (6 + 6) = − 24i + 4 j + 12k .
2 3 3
Следовательно, ω = (− 24; 4;12) . Поскольку координаты ω крат
ны 4 , можно в качестве направляющего вектора взять ω1 = 0, 25 ω ,
тогда ω1 = (− 6;1; 3) .
Найдем далее координаты какой-либо точки M ( x0 ; y0 ; z0 ) , принадлежащей исходной прямой. В качестве такой точки можно взять
точку пересечения прямой с любой из координатных плоскостей, например Oxy . Так как при этом z0 = 0 , то из исходной системы следуют
условия для координат x0 и y0 :
 x0 = 1, 25,
2 x0 − 3 y0 = 4,
⇔ 

2 x0 + 3 y0 = 1;
 y0 = − 0,5.
Таким образом, канонические уравнения прямой имеют вид
x − 1, 25 y + 0,5 z
=
= .
−6
1
3
П рим ер 5.7.
l1 :
142
При
каком
значении
параметра
a
x − 3 y +1 z
x + 4 y + 2 z −3
=
= и l2 :
пересекаются?
=
=
a
2
3
−1
3
2
прямые
Решение. Перейдем в уравнениях обеих прямых от канонической
формы записи к параметрической.
Поскольку канонические уравнения прямых являются пропорциями, то
l1 :
x − 3 y +1 z
x + 4 y + 2 z −3
=
= = t , l2 :
=
=
=τ.
a
2
3
−1
3
2
Тогда
 x = 3 + at ,
x = − 4 − τ,


l1 :  y = −1 + 2t , l2 :  y = − 2 + 3τ ,
 z = 3t ;
 z = 3 + 2τ .


Для нахождения значения параметра a , при котором l1 и l2 пересекаются, необходимо приравнять соответствующие правые части параметрических уравнений этих прямых. Получим следующую систему:
3 + at = − 4 − τ ,
t = 2,2,


−1 + 2t = − 2 + 3τ , ⇔ τ = 1,8,
3t = 3 + 2τ ;
a = − 4.


Таким образом, прямые l1 и l2 пересекаются при a = − 4 . 5.5. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению
плоскости и уравнениям прямой
ϕ
угла
между
прямыми
x − x1 y − y1 z − z1
x − x2 y − y2 z − z2
и l2 :
находится по
l1 :
=
=
=
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2
Тео рем а 5.4.
Величина
формуле
ϕ = arccos
| a1a2 + b1b2 + c1c2 |
.
2
a1 + b12 + c12 ⋅ a22 + b22 + c22
(5.11)
Доказательство. Направляющие векторы прямых l1 и l2 имеют
следующие координаты:
ω1 = (a1; b1; c1 ) , ω2 = (a2 ; b2 ; c2 ) .
143
Величина угла между этими прямыми равна либо величине угла
между ω1 и ω2 , если угол между направляющими векторами острый
или прямой, либо величине смежного с ним угла, если угол между направляющими векторами тупой. В любом случае
(ω1 , ω2 )
| a1a2 + b1b2 + c1c2 |
cos ϕ = cos(ω
,
ω
)
=
.
=
1 2
2
| ω1 | ⋅ | ω2 |
a1 + b12 + c12 ⋅ a22 + b22 + c22
Отсюда
ϕ = arccos
| a1a2 + b1b2 + c1c2 |
a12 + b12 + c12 ⋅ a22 + b22 + c22
.■
Тео рем а 5.5. Расстояние ρ от точки Q( x1 ; y1 ; z1 ) до прямой l с
направляющим
ω = (a ; b ; c) , проходящей через точку
вектором
M ( x0 ; y0 ; z0 ) , находится по формуле
|[ MQ , ω]|
ρ=
.
(5.12)
| ω|
Доказательство. Расстояние ρ от точки Q до прямой l равно
длине высоты в параллелограмме, постро-
ρ
M
ω
Рис.5.7.
l
MQ = ( x1 − x0 ; y1 − y0 ; z1 − z0 )
и
i
[ MQ , ω] = x1 − x0
a
ω = (a ; b ; c) :
j
k
y1 − y0 z1 − z0 .
b
c
Тогда площадь S этого параллелограмма равна
S = |[ MQ , ω]| .
144
енном на векторах MQ и ω (рис.5.7).
Найдем вначале векторное произведение
векторов
Q
Поскольку | ω | – длина основания параллелограмма, то длина его
|[ MQ , ω]|
высоты равна ρ =
.■
| ω|
Тео рем а 5.6. Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми
l1 и l2 с направляющими векторами соответственно ω1 = (a1; b1; c1 ) и
ω2 = (a2 ; b2 ; c2 ) находится по формуле
| ⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ |
,
(5.13)
ρ=
|[ω1 , ω2 ]|
где M ( x1 ; y1 ; z1 ) ∈ l1 , Q( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ l2 .
Доказательство. Расстояние ρ
ω2
l2
между скрещивающимися прямыми l1 и
Q
l2 равно длине высоты в параллелепиρ
педе, построенном на векторах MQ ,
M
ω1 и ω2 (рис.5.8). Найдем вначале
ω1
смешанное
произведение
l1
векторов
MQ = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) ,
ω1 = (a1; b1; c1 ) , ω2 = (a2 ; b2 ; c2 ) :
⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ =
Рис.5.8.
x2 − x1
a1
y2 − y1
b1
a2
b2
z2 − z1
c1 .
c2
Тогда объем V этого параллелепипеда равен | ⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ | .
Найдем далее векторное произведение векторов ω1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) и
ω2 = (a2 ; b2 ; c2 ) :
i
j k
[ω1 , ω2 ] = a1 b1 c1 .
a2 b2 c2
Тогда площадь S основания этого параллелепипеда равна:
145
S = |[ω1 , ω2 ]| .
Таким образом, длина высоты ρ параллелепипеда равна:
| ⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ |
.■
ρ=
|[ω1 , ω2 ]|
Тео рем а 5.7.
Величина
ϕ
угла
между
прямой
x − x0 y − y0 z − z0
l:
=
=
и плоскостью α : Ax + By + Cz + D = 0 наa
b
c
ходится по формуле
ϕ = arcsin
| aA + bB + cC |
a 2 + b 2 + c 2 ⋅ A2 + B 2 + C 2
.
(5.14)
Доказательство. Направляющий вектор прямой l имеет координа
ты ω = (a ; b ; c) , нормальный вектор
плоскости α
имеет координаты
n
ω
n = ( A; B ; C ) .
Рассмотрим вначале угол между
ψ
прямой l и прямой, перпендикулярной
ϕ
плоскости α . Величина ψ этого угла
α
может принимать значения от 0 до
π 2 (рис.5.9), а величина ϕ угла межРис.5.9.
ду прямой l и плоскостью α равна
π 2 − ψ . Тогда
(ω , n )
| aA + bB + cC |
.
cos ψ = cos(ω , n ) = =
| ω| ⋅| n |
a 2 + b 2 + c 2 ⋅ A2 + B 2 + C 2
Отметим, что модуль при вычислении cos ψ поставлен потому,
что угол между ω и n может быть тупым.
Отсюда
| aA + bB + cC |
π

.
cos ψ = cos  − ϕ  = sin ϕ =
2
2

a + b 2 + c 2 ⋅ A2 + B 2 + C 2
146
Таким образом,
| aA + bB + cC |
ϕ = arcsin
.■
a 2 + b 2 + c 2 ⋅ A2 + B 2 + C 2
П рим ер 5.8. Вычислить величину ϕ угла между прямыми
x − 3 y +1 z
x y + 2 z −3
.
l1 :
=
= и l2 : =
=
−1
2
3
2 −5
2
Решение. Согласно формуле (5.11)
ϕ = arccos
| −1⋅ 2 + 2 ⋅ (− 5) + 3 ⋅ 2 |
(−1)2 + 22 + 32 ⋅ 22 + (− 5) 2 + 22
.
6
.
462
П рим ер 5.9. Найтие расстояние ρ от точки Q(3; −1; 2) до пряx + 1 y − 2 z −1
мой l :
.
=
=
2
−1
2
Решение. Из канонических уравнений прямой l следует, что точка
M (−1; 2;1) принадлежит этой прямой, а ω = (2; −1; 2) – ее направ
ляющий вектор, | ω | = 22 + ( −1) 2 + 22 = 3 .
Найдем координаты вектора, соединяющего точки M и Q :
MQ = (4; − 3;1) . Тогда векторное произведение MQ и ω равно:
i
j k
[ MQ , ω] = 4 − 3 1 = − 5i − 6 j + 2k ,
2 −1 2
а его модуль [ MQ , ω] = (− 5)2 + (− 6)2 + 22 = 65 .
Таким образом, ϕ = arccos
Согласно формуле (5.12)
|[ MQ , ω]|
65
ρ=
=
.
| ω|
3
147
П рим ер 5.10.
l1 :
Найти
ρ
расстояние
между
прямыми
x − 4 y + 3 z −1
x+2 y z−2
и l2 :
.
=
=
= =
−2
5
3
2
2 −3
Решение. Из канонических уравнений прямой l1 следует, что точка
M (4; − 3;1) принадлежит этой прямой, а ω1 = (− 2; 5; 3) – ее направляющий вектор. Аналогично из канонических уравнений прямой l2
следует, что Q(−2; 0; 2) принадлежит этой прямой, а ω2 = (2; 2; − 3) –
ее направляющий вектор.
Найдем координаты вектора, соединяющего точки M
и Q:
MQ = (− 6; 3;1) . Тогда смешанное произведение векторов MQ , ω1 и
ω2 равно
−6 3
⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ = − 2 5
2
1
3 = 90 + 18 − 4 − 10 − 18 + 36 = 112 .
2 −3
Найдем теперь векторное произведение ω1 и ω2 :
i
j k
[ω1 , ω2 ] = − 2 5 3 = − 21i + 0 j − 14k .
2 2 −3
Его модуль |[ω1 , ω2 ]| = ( − 21) 2 + 02 + ( −14) 2 = 637 .
Согласно формуле (5.13)
| ⟨ MQ , ω1 , ω2 ⟩ | 112
.
ρ=
=
|[ω1 , ω2 ]|
637
П рим ер 5.11. Вычислить величину ϕ угла между прямой
x +1 y z −1
и плоскостью α : 2 x − 3 y + z + 7 = 0 .
l:
= =
1
2 −2
Решение. Согласно формуле (5.14)
148
ϕ = arcsin
|1⋅ 2 + 2 ⋅ (− 3) + (− 2) ⋅1|
12 + 22 + (− 2) 2 ⋅ 22 + (− 3)2 + 12
.
Таким образом, ϕ = arcsin 2 7 . Задачи для самостоятельного решения
5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (2; − 3;1) параллельно плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 3 = 0 .
5.2. Точка M ( − 4; 5; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из точки P (3; − 2; −1) на плоскость. Составить уравнение
этой плоскости.
5.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (5; 4; 3) и отсекающей равные положительные «отрезки» на осях
координат.
5.4. Найти
координаты
точек
пересечения
плоскости
2 x − 3 y − 4 z − 24 = 0 с осями координат.
5.5. Составить уравнение плоскости β , симметричной плоскости
α : 2 x + 6 y − 3 z + 3 = 0 относительно точки M (6; 2; − 5) .
5.6. Составить уравнения плоскостей, проходящих через концы отрезка PQ перпендикулярно этому отрезку, если P (2; − 3;1) ,
Q(1; − 1; 4) .
5.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:
а) M (2; − 1; 3) , P (3;1; 2) , Q(4; − 1; − 1) ;
б) M ( −1; 0; 2) , P (2;1; − 2) , Q(3; 2; 0) .
5.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (3; 4; − 5) параллельно двум векторам a = (3;1; −1) и b = (1; − 2;1) .
5.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки
M (2; −1; 3) , P (3;1; 2) и параллельной вектору a = (3; −1; 4) .
5.10. Найти угол между плоскостями:
а) 2 x − 3 y + 5 z + 1 = 0 и x + 2 y − 2 z + 4 = 0 ;
б) 3x + 5 y − z − 7 = 0 и 2 x − 2 y − 4 z + 1 = 0 ;
в) x + 4 y − 3z − 6 = 0 и 3x − 2 y + 6 z + 8 = 0 .
149
a
5.11. При
каком
значении
параметра
x + 2 y − 3 z + 5 = 0 и ax − y + 4 z + 1 = 0 перпендикулярны?
5.12. Найти расстояние от точки M до плоскости α :
а) M (2; 3;1) и 2 x − 3 y − 2 z + 4 = 0 ;
б) M (4; − 2; −12) и 5 x − 3 y + 2 z − 2 = 0 ;
в) M (7; −1; 3) и 2 x + 4 y − 4 z − 1 = 0 .
плоскости
5.13. Найти расстояние между плоскостями:
а) 3x − 5 y + 2 z − 6 = 0 и x + 3 y − 7 z + 9 = 0 ;
б) 2 x − 3 y + 6 z − 14 = 0 и 4 x − 6 y + 12 z + 21 = 0 ;
в) 2 x − y + z − 1 = 0 и − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0 .
5.14. Две грани куба лежат на плоскостях 2 x − 2 y + z − 1 = 0 и
2 x − 2 y + z + 5 = 0 . Вычислить объем этого куба.
5.15. Лежит ли точка M между плоскостями α и β , если:
а) M (6; − 3; 2) , α : x − 2 y − z + 3 = 0 , β : 3 x − 6 y − 3z − 16 = 0 ;
б) M (1; −1; − 2) , α : 2 x + y − 2 z + 7 = 0 , β : 4 x + 2 y − 4 z − 21 = 0 ?
5.16. Составить канонические уравнения прямой, проходящей че
рез точку M (− 6; 4; − 7) и параллельной вектору a = (2; − 3; 5) .
5.17. Через точки M (−1;1; − 1) и P (2; − 3;1) проведена прямая.
Составить уравнения этой прямой, записав их в канонической, параметрической формах, а также в форме прямой как пересечение двух плоскостей.
 2 x − 5 y + z − 8 = 0,
Представить уравнения
 x + 2 y − z + 2 = 0.
5.18. Дана прямая 
этой прямой в параметрической форме.
5.19. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей
через
точку
M ( − 2;1; 4)
перпендикулярно
к
плоскости
x + 2 y − z +1 = 0 .
5.20. Составить канонические уравнения прямой, симметричной
прямой
150
x − 2 y +1 z
=
= относительно точки M (1; 5; −1) .
3
−1 2
5.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (0;1; 2) перпендикулярно к прямой
5.22. Найти
координаты
x −1 y z + 1
.
= =
2
1 −1
точки
пересечения
прямой
 2 x + y − z − 3 = 0,
с координатной плоскостью Oxy.

 x + y + z −1 = 0
5.23. Через точки M ( − 6; 6; − 5) и P (12; − 6;1) проведена прямая.
Найти координаты точек пересечения этой прямой с координатными
плоскостями.
5.24. При каком значении параметра a пересекаются прямые
x − 3 y −1 z − 7 x + 2 y z −1
=
=
и
?
=
=
−3
a
4
2
2
4
5.25. Найти
координаты
точки
пересечения
прямой
5 x − 3 y + 2 z − 5 = 0,
и плоскости 2 x − y + 3z + 7 = 0 .

2 x − y − z − 1 = 0
5.26. Найти координаты проекции точки M (4;1; 5) на плоскость
3x + y − 2 z + 4 = 0 .
5.27. Найти координаты точки P, симметричной точке
M (− 2; −1; 3) относительно плоскости x − 2 y + 4 z + 9 = 0 .
5.28. Найти координаты точки P, симметричной точке
x +1 y z −1
M (2;1; − 4) относительно прямой
.
=
=
2
1
−1
5.29. Найти угол между прямыми l1 и l2 , если:
x + 2 y −3 z +5
x −3 y + 2
z
а) l1 :
, l2 :
=
=
;
=
=
1
−1
1
1
2
2
 x = t + 4,
x −4 y −3 z + 2

б) l1 :
, l2 :  y = 1 − 2t ,
=
=
3
1
−2
 z = 3t + 2.

151
5.30. Найти угол между прямой l и плоскостью α , если:
x −1 y z +1
= =
, α: x + y − z +1 = 0 ;
0
2
1
x = 3 − t ,

б) l :  y = 2 + 2t , α : x + y − 3 z + 4 = 0 .
z = 4 + t ,

5.31. Найти расстояние от точки P до прямой l, если:
x − 5 y z + 25
а) P (2; 3; − 1) , l :
;
= =
3
2
−2
а) l :
 x = 3t − 3,

б) P (1; −1; − 2) , l :  y = 2t − 2,
 z = − 2t + 8.

5.32. Найти расстояние между прямыми l1 и l2 , если:
а) l1 :
x+7 y+4 z +3
x − 21 y + 5 z − 2
, l2 :
;
=
=
=
=
3
4
−2
6
−4
−1
 x = 6t + 9,
x + 5 y + 5 z −1

б) l1 :
, l2 :  y = − 2t ,
=
=
3
2
−2
 z = − t + 2.

152
Глава 6. Кривые и поверхности второго порядка
6.1. Общее уравнение кривой второго порядка
Равенство вида F ( x, y ) = 0 называется уравнением с двумя переменными x и y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y
(см. главу 4). Уравнением кривой в рассматриваемой системе координат
Oxy называется такое уравнение F ( x, y ) = 0 , которому удовлетворяют
координаты каждой точки, лежащей на этой кривой, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат задана
кривая, определяемая уравнением второй степени
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
(6.1)
где A , B , C , D , E , F – действительные числа, A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .
Кривая на плоскости, задаваемая уравнением (6.1), называется кривой второго порядка.
Замечания.
1. Может случиться так, что не существует точек с действительными координатами ( x ; y ) , удовлетворяющих уравнению (6.1) (например,
уравнение x 2 + y 2 = −1 ). Тогда говорят, что уравнение (6.1) определяет
мнимую кривую второго порядка. Такие кривые в дальнейшем не рассматриваются.
2. Возможны также вырожденные случаи уравнения (6.1), когда
удовлетворяющее ему множество точек, изображенное в некоторой
прямоугольной системе координат, не похоже на кривую в обычном
понимании. К этим вырожденным случаям относятся пара пересекающихся прямых, пара параллельных (или совпадающих) прямых и точка.
Приведем так называемые канонические уравнения перечисленных кривых второго порядка, которые эти кривые имеют в специально подобранных прямоугольных системах координат:
1) пара пересекающихся прямых: a 2 x 2 − b 2 y 2 = 0 , где a > 0 и
b>0;
153
2) пара параллельных (или совпадающих) прямых: x 2 − a 2 = 0 , где
a≥0;
3) точка: x 2 + y 2 = 0 .
Рассмотрим более подробно три важнейших вида кривых второго
порядка: параболу, эллипс и гиперболу. Опираясь на определение каждой из них, выведем в соответствующих прямоугольных системах координат так называемые канонические уравнения этих кривых, являющиеся частными случаями уравнения (6.1).
6.2. Парабола
Параболой называется множество всех точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки на
этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой,
лежащей в этой же плоскости.
Указанная в определении фиксированная точка называется фокусом (обычно обозначается буквой F ), а фиксированная прямая – директрисой параболы (часто обозначается буквой d ). Расстояние от фокуса до директрисы обозначают буквой p ( p > 0 ). Число p называется параметром параболы.
Выведем, опираясь на определение, каноническое уравнение параболы. С этой целью на плоскости введем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы
к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и
директрисой (рис.6.1). В этом случае F ( p 2; 0) , а уравнение директрисы d : x = − p 2 .
M
Пусть M ( x ; y ) произвольная точка плоскости, удовлетворяющая определению. Опустим
из точки M перпендикуляр MQ на директрису
F x
d , затем соединим точки F и M отрезком.
Поскольку точка Q имеет в Oxy координаты
y
Q
p
O
d
Рис.6.1.
154
(− p 2; y ) , то
2
p
p

QM =  x +  + ( y − y ) 2 = x + .
2
2

Так как точка F имеет координаты ( p 2; 0) , то
2
2
p
p


FM =  x −  + ( y − 0)2 =  x −  + y 2 .
2
2


Согласно определению должно выполняться
2
FM = QM ⇔
p
p

2
⇔
x−  + y = x+
2
2

2
2
p
p

2 
⇔x−  + y =x+  ⇔
2
2


⇔ y 2 = 2 px .
(6.2)
Таким образом, показано, что в выбранной системе координат
множество всех точек на плоскости, удовлетворяющих определению
параболы, задается уравнением (6.2), называемым (при p > 0 ) каноническим уравнением параболы. И обратно (ввиду равносильности преобразований!), уравнение (6.2) определяет на плоскости кривую, являющуюся параболой.
С помощью полного исследования методами математического анализа функций y = 2 px и y = − 2 px можно выяснить форму кривой
и построить ее эскиз [1, 2, 4, 9, 10]. Парабола,
y
задаваемая при p > 0 уравнением y 2 = 2 px ,
изображена на рис.6.2.
Отметим, что прямая, проходящая через
O F x
фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее осью. На рис.6.2 осью параd
болы, задаваемой каноническим уравнением
(6.2), является ось абсцисс. Парабола симметРис.6.2.
рична относительно своей оси. Кроме того,
точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. На рис.6.2 вершина параболы находится в
точке O(0; 0) .
155
Заметим, что уравнение параболы y 2 = 2 px при p < 0 не является
каноническим. В этом случае вершина параболы также находится в начале координат, но ветви будут направлены противоположно положительному направлению оси абсцисс (рис.6.3).
Важным является оптическое свойство параболы, состоящее в следующем: если источник света находится в фокусе параболы, то лучи,
отразившись от кривой, идут параллельно оси параболы. Геометрически
это означает, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке M,
составляет равные углы с фокальным радиусом FM и лучом, параллельным оси параболы (рис.6.4). На этом свойстве основано, например,
устройство прожектора, источник света в котором помещается в его
фокусе. Это же свойство используется в параболической антенне. Только в данном случае волновой пучок, параллельный оси антенны, отражается от ее поверхности и попадает в приемник, находящийся в фокусе
антенны.
M
y
F
O
x
F
d
Рис.6.3.
Рис.6.4.
П рим ер 6.1. Составить каноническое уравнение параболы, если
известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой
4 x − 3 y − 4 = 0 с осью Ox .
Решение. Точки, лежащие на оси Ox , удовлетворяют уравнению
y = 0 . Поэтому координаты фокуса F (1; 0) . Отсюда для нахождения
параметра p имеем уравнение
p 2 =1 .
Следовательно, 2 p = 4 , а значит каноническое уравнение параболы
имеет вид y 2 = 4 x . 156
6.3. Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек на этой
плоскости есть постоянная величина, бóльшая, чем расстояние между
данными фиксированными точками.
Указанные в определении фиксированные точки называются фокусами (обычно обозначаются F1 и F2 ), расстояние между которыми
принято обозначать 2c . Постоянную сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать 2a . По определению
эллипса 2a > 2c , или a > c .
Опираясь на определение, можно вывести каноническое уравнение
эллипса. С этой целью на плоскости вводится прямоугольная система
координат Oxy так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы данного эллипса, а начало координат находилось посередине между фокусами. В этом случае F1 ( − c ; 0) , F2 (c ; 0) . Дальнейшие действия аналогичны действиям, выполненным в параграфе 6.2 при выводе канонического уравнения параболы (проделайте их самостоятельно!). Тогда в
выбранной системе координат множество всех точек M ( x ; y ) на плоскости, удовлетворяющих определению эллипса, задается уравнением
2
x2
y2
a
b2
+
2
= 1,
(6.3)
2
где b = a − c , называемым каноническим уравнением эллипса. Отметим, что в каноническом уравнении эллипса a ≥ b > 0 , причем при
a = b эллипс превращается в окружность с центром в начале координат и радиусом a .
Можно доказать, что верно и обратное, т.е. уравнение (6.3) определяет на плоскости кривую, являющуюся эллипсом.
При указанном выборе системы координат оси координат являются
осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Оси симметрии эллипса называются его осями, центр симметрии –
центром. Точки, в которых эллипс (6.3) пересекает оси, называются его
вершинами. Величина a в уравнении (6.3) называется большой полуосью эллипса, а b – малой полуосью.
157
С помощью полного исследования методами математического анализа функций y =
b 2 2
b 2 2
a −x и y=−
a − x можно выяснить
a
a
форму кривой и построить ее эскиз [1, 2, 4, 9, 10]. Эллипс, задаваемый
уравнением
y
x2
y2
a
b2
+
2
= 1 , изобра-
жен на рис.6.5.
Для удобства изображения эллипса, задаваемого уравнением
a
(6.3), надо вначале построить пряa
x
F1
F2
O
моугольник со сторонами 2a и
2b , расположенный симметрично
b
относительно осей эллипса и каРис.6.5.
сающийся
его
в
вершинах
(см. рис.6.5).
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется величиной, называемой эксцентриситетом:
b
ε=
2
c
,
a
2
где c = a − b .
Так как a > c , то 0 ≤ ε < 1 . Чем ближе значение ε к 1, тем эллипс
становится более вытянутым (сплюснутым) в горизонтальном направлении. Наоборот, чем ближе значение ε к 0, тем эллипс становится менее вытянутым (округлым) в горизонтальном направлении. В частном
случае, когда a = b , эллипс становится окружностью, фокусы «сливаются» в одной точке – ее центре (так как c = 0 ), а ε = 0 .
Отметим, что уравнение эллипса
x2
y2
a
b2
+
2
= 1 при a < b не являет-
ся каноническим. В этом случае центр эллипса находится в начале координат, а фокусы располагаются на оси ординат (рис.6.6).
Важным является оптическое свойство эллипса, состоящее в следующем: если источник света находится в одном из фокусов эллипса, то
лучи, отразившись от кривой, будут проходить через другой его фокус.
Геометрически это означает, что прямая, касающаяся эллипса в некото-
158
рой точке M , составляет равные углы с фокальными радиусами F1M
и F2 M (рис.6.7).
y
b
F2
a
M
a
x
O
F2
F1
F1
b
Рис.6.6.
Рис.6.7.
П рим ер 6.2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M (5 2; 6 4) и N (−2; 15 5) .
Решение. Координаты данных точек должны удовлетворять уравнению эллипса
x2
y2
a
b2
+
2
= 1 . Тогда имеем систему уравнений
3
 25
 4a 2 + 8b 2 = 1,

 4 + 3 = 1.
 a 2 5b 2
Выразим из второго уравнения
вое уравнение:
1
1
3
= −
. Подставим в пер4
a
20b 2
2
25 15
3
−
+ 2 =1 .
2
16 16b 8b
Отсюда b 2 = 1 , a 2 = 10 . Таким образом, уравнение эллипса имеет
вид
x2
+ y2 =1 . 10
159
6.4. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, для
каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек на этой плоскости есть постоянная величина.
Указанные в определении фиксированные точки называются фокусами (обычно обозначаются F1 и F2 ), расстояние между которыми
принято обозначать 2c . Постоянную величину – модуль разности расстояний до фокусов – принято обозначать 2a . По определению гиперболы 2a < 2c , или a < c .
Опираясь на определение, можно вывести каноническое уравнение
гиперболы. С этой целью на плоскости вводится прямоугольная система
координат Oxy так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы данной
гиперболы, а начало координат находилось посередине между фокусами. В этом случае F1 ( − c ; 0) , F2 (c ; 0) . Дальнейшие действия аналогичны действиям, выполненным в параграфе 6.2 при выводе канонического уравнения параболы (проделайте их самостоятельно!). Тогда в
выбранной системе координат множество всех точек M ( x ; y ) на плоскости, удовлетворяющих определению гиперболы, задается каноническим уравнением гиперболы:
2
x2
y2
a
b2
−
2
=1,
(6.4)
2
где b = c − a .
Можно доказать, что верно и обратное, т.е. уравнение (6.4) определяет на плоскости кривую, являющуюся гиперболой.
При указанном выборе системы координат оси координат являются
осями симметрии гиперболы, а начало координат – центром симметрии.
Оси симметрии гиперболы называются ее осями, центр симметрии –
центром. Точки, в которых гипербола (6.4) пересекает ось абсцисс, называются вершинами. Величины a и b в уравнении (6.4) называются
полуосями гиперболы.
С помощью полного исследования методами математического анализа функций y =
b 2
b 2
x − a2 и y = −
x − a 2 можно выяснить
a
a
форму кривой и построить ее эскиз [1, 2, 4, 9, 10]. При этом прямые
160
y=
b
b
x, y=− x
a
a
являются асимптотами гиперболы. Гипербола, задаваемая уравнением
(6.4), изображена на рис.6.8.
Для удобства изображения гиперболы, задаваемой уравнением
(6.4), надо вначале построить
y
прямоугольник со сторонами
b
2a и 2b , расположенный
симметрично
относительно
осей гиперболы и касающийся
a
a F
x
O
F1
2
ее в вершинах (см. рис.6.8).
b
Неограниченно
продолженные диагонали прямоугольниРис.6.8.
ка будут служить асимптотами графика гиперболы.
Форма гиперболы (мера сжатия ее ветвей) характеризуется величиной, называемой эксцентриситетом:
ε=
2
c
,
a
2
где c = a + b ; a – длина полуоси, являющаяся расстоянием от центра гиперболы до ее вершины. Так как a < c , то ε > 1 .
В частном случае, когда a = b , гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет вид
x2 − y 2 = a2 .
x2
y2
Отметим, что уравнение гиперболы − 2 + 2 = 1 не является каa
b
ноническим. В этом случае центр гиперболы находится в начале координат, а ее фокусы располагаются на оси ординат (рис.6.9).
Важным является оптическое свойство гиперболы, состоящее в
следующем: если источник света находится в одном из фокусов гиперболы, то каждый луч, отразившись от кривой, будет лежать на прямой,
проходящей через другой ее фокус. Геометрически это означает, что
прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке M, составляет равные
углы с фокальными радиусами F1M и F2 M (рис.6.10).
161
y
F2
M
b
a
O
b
a
x
F1
Рис.6.9.
F1
F2
Рис.6.10.
2 . Составить
уравнение гиперболы, проходящей через точку M ( 3; 2) .
П рим ер 6.3. Эксцентриситет гиперболы равен
Решение. Так как ε = 2 , то гипербола равносторонняя, т.е.
2
a = b 2 . Координаты точки M удовлетворяют уравнению гиперболы
( 3 ) − ( 2 ) = 1 , отсюда a 2 = 1 .
2
a2
2
a2
Уравнение гиперболы имеет вид x 2 − y 2 = 1 . 6.5. Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду
Пусть имеется общее уравнение (6.1). Требуется выяснить, какая
кривая на плоскости задается
этим уравнением. Можно докаy
y
x
зать [1], что с помощью двух
последовательно выполненных
O1
преобразований прямоугольных
y
систем координат – поворота
вокруг начала исходной систеx
мы Oxy на некоторый угол ϕ
q
и параллельного переноса «повернутой» системы Ox′y ′ на
ϕ
вектор q (рис.6.11 иллюстриO
x
рует это утверждение в случае
Рис.6.11.
162
эллипса) – всегда можно перейти к такой прямоугольной системе координат O1 x′′y ′′ , в которой уравнение кривой, заданное в системе Oxy
общим уравнением (6.1), будет иметь канонический вид. Последовательное выполнение двух указанных преобразований позволяет не только установить вид кривой второго порядка, но и изобразить ее в исходной системе Oxy .
Выведем формулы преобразований координат точек плоскости при
параллельном переносе и повороте системы координат.
Преобразование координат точки при параллельном переносе. Рассмотрим параллельный перенос прямоугольной системы координат
Oxy на вектор q , в результате которого она переходит в систему
O1 x′y ′ (рис.6.12). Пусть
q = (q1 ; q2 ) = q1i + q2 j –
вектор параллельного переноса.
Рассмотрим теперь произвольную
точку M, которая в «старой» системе
Oxy имеет координаты ( x ; y ) , а в
y
y
M
j
«новой» системе O1 x′y ′ – ( x′ ; y ′) .
Тогда для радиус-вектора OM в системе Oxy выполняется
OM = ( x ; y ) = xi + y j .
Аналогично
для
радиус-вектора
j
O
q
O1
x
x
i
O1M в системе O1 x′y ′
O1M = ( x′ ; y ′) = x′i′ + y ′ j ′ .
i
Рис.6.12.
Однако при выполнении параллельного переноса
i′ = i , j ′ = j .
Поэтому
O1M = x′i + y ′ j .
Поскольку OM = OO1 + O1M = O1M + q , то
xi + y j = ( x′i + y ′ j ) + (q1i + q2 j ) ⇔
⇔ xi + y j = ( x′ + q1 )i + ( y ′ + q2 ) j ⇔
163
 x = x′ + q1 ,
 y = y ′ + q2 .
⇔ 
(6.5)
Система уравнений (6.5) задает формулы преобразований координат точек плоскости при параллельном переносе системы координат.
П рим ер 6.4. Привести уравнение кривой второго порядка
25 x 2 − 4 y 2 + 50 x − 16 y − 91 = 0 к каноническому виду и изобразить
кривую в исходной системе координат Oxy .
Решение. Для приведения уравнения кривой к каноническому виду
выделим полные квадраты по x и y :
25( x 2 + 2 x + 1) − 25 − 4( y 2 + 4 y + 4) + 16 − 91 = 0 ⇔
⇔ 25( x + 1) 2 − 4( y + 2) 2 = 100 ⇔
( x + 1)2 ( y + 2)2
−
=1.
4
25
Положим x′ = x + 1 , y ′ = y + 2 , тогда уравнение кривой в «новой»
системе координат O1 x′y ′ примет канонический вид
( x′)2
y
22
−
( y ′)2
52
=1.
Это гипербола с полуосями a = 2 и
b =5.
Для изображения гиперболы в исходной системе координат Oxy необ-
y
O
x
q
O1
ходимо найти координаты ( q1 ; q2 ) век-
тора параллельного переноса q , пере-
x
водящего «старую» систему Oxy
в
«новую» систему O1 x′y ′ . Так как
 x = x′ − 1,

 y = y′ − 2,
то q = (−1; − 2) .
Исследуемая кривая изображена на
рис.6.13. Рис.6.13.
164
Преобразование координат точки при повороте. Рассмотрим
поворот прямоугольной системы координат
y
Oxy вокруг точки O на некоторый угол ϕ , в
M
y
результате которого она переходит в систему
j
x
i
Ox′y ′ (рис.6.14). Тогда для базисного вектора
j
ϕ
i′ «новой» системы координат Ox′y ′ имеет
i 1x
O
место следующее разложение по векторам ба зиса i , j «старой» системы Oxy :
i′ = i cos ϕ + j sin ϕ .
Рис.6.14.
Аналогичное разложение для базисного вектора j ′ имеет следующий вид:
π
 π

j ′ = i cos  + ϕ  + j sin  + ϕ  ⇔
2

2

⇔ j ′ = − i sin ϕ + j cos ϕ .
Рассмотрим теперь произвольную точку M , которая в «старой»
системе Oxy имеет координаты ( x ; y ) , а в «новой» системе Ox′y ′ –
( x′ ; y ′) . Тогда для радиус-вектора OM в системе Oxy выполняется
OM = xi + y j .
Аналогично для этого же вектора OM в системе Ox′y ′
OM = x′i′ + y ′ j ′ .
Подставим в правую часть последнего равенства разложения i′ и
j ′ по векторам базиса i , j , получим
OM = x′(i cos ϕ + j sin ϕ) + y ′(−i sin ϕ + j cos ϕ) ⇔
⇔ OM = ( x′cos ϕ − y ′ sin ϕ)i + ( x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ) j .
Таким образом, один и тот же вектор OM двумя способами раз ложен по векторам базиса i , j . Поскольку разложение вектора по базису должно быть единственно, то
 x = x′cos ϕ − y ′ sin ϕ ,

 y = x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ .
(6.6)
165
Система уравнений (6.6) задает формулы преобразований координат
точек плоскости при повороте прямоугольной системы координат вокруг ее начала.
Отметим, что при решении задачи приведения уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду преобразование поворота системы координат (6.6) применяется в случае, когда в общем уравнении
кривой второго порядка (6.1) присутствует слагаемое, содержащее произведение xy .
П рим ер 6.5. Привести уравнение кривой второго порядка
2 x 2 + xy + 2 y 2 − 1 = 0 к каноническому виду и изобразить кривую в
исходной системе координат Oxy .
Решение. В уравнении кривой присутствует слагаемое, содержащее
произведение xy . Поэтому для избавления от произведения xy необходимо совершить поворот системы Oxy вокруг точки O на угол ϕ .
Для нахождения величины угла поворота подставим в исходное
уравнение формулы (6.6), получим
2( x′cos ϕ − y ′ sin ϕ)2 + ( x′cos ϕ − y ′ sin ϕ)( x′ sin ϕ + y′ cos ϕ) +
+ 2( x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ)2 − 1 = 0 .
Величина угла ϕ ищется из условия равенства нулю коэффициента при x′y ′ . Имеем уравнение
cos 2 ϕ − sin 2 ϕ = 0 ⇔ tg 2 ϕ = 1 ⇔ tg ϕ = ±1 .
Следовательно, tg ϕ1 = 1 , tg ϕ2 = −1 . Заметим, что
tg ϕ1 ⋅ tg ϕ2 = −1 .
Следовательно, углы поворота ϕ1 и ϕ2 задают взаимно перпендикулярные направления на плоскости. Поэтому выбор tg ϕ = −1 вместо
tg ϕ = 1 фактически приводит к смене ролей для осей Ox′ и Oy ′ .
Пусть tg ϕ = −1 . Тогда очевидно, что ϕ = − 45° , а значит
cos ϕ =
вид:
166
2
2
, sin ϕ = −
. Отсюда формулы (6.6) примут следующий
2
2
x=
x′ + y ′
y ′ − x′
, y=
.
2
2
Подставляя их в уравнение кривой, получаем
2
2
 x′ + y ′  x′ + y ′ y ′ − x ′
 y ′ − x′ 
2
⋅
+ 2
 +
 =1 .
2
2
 2 
 2 
y
y
Отсюда
3 x ′2 5 y ′2
+
=1 ⇔
2
2
x′2
+
2
y ′2
( 2 3) ( 2 5)
2
=1 .
O
ϕ
x
Следовательно, данная кривая – эллипс с
полуосями a = 2 3 и b = 2 5 (рис.6.15). ►
x
Рис.6.15.
П рим ер 6.6. Привести уравнение кривой
второго порядка 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 − 230 x + 110 y − 475 = 0 к каноническому виду и изобразить кривую в исходной системе координат Oxy .
Решение. В уравнении кривой присутствует слагаемое, содержащее
произведение xy . Поэтому для решения задачи потребуется последовательное выполнение двух преобразований систем координат:
1) поворот исходной системы Oxy вокруг точки O на угол ϕ
(для избавления от произведения xy );
2) параллельный перенос «повернутой» системы Ox′y ′ на вектор
q для перехода к системе O1 x′′y ′′ , в которой уравнение кривой будет
иметь канонический вид.
Для нахождения величины угла поворота надо подставить в исходное уравнение формулы (6.6), затем приравнять к нулю коэффициент
при x′y ′ . В результате получим уравнение
12cos 2 ϕ + 7 cos ϕ sin ϕ − 12sin 2 ϕ = 0 ⇔
 tg ϕ = 4 3,
 tg ϕ = − 3 4.
⇔ 12 tg 2 ϕ − 7 tg ϕ − 12 = 0 ⇔ 
Пусть
tg ϕ = − 3 4 .
Тогда
ϕ = − arctg 0,75 ,
cos ϕ = 0,8 ,
sin ϕ = − 0,6 . Отсюда формулы (6.6) примут вид:
167
x=
4 x′ + 3 y ′
4 y ′ − 3 x′
, y=
.
5
5
Подставляя их в уравнение кривой, после преобразований получаем
y′2 − 10 x′ − 2 y′ − 19 = 0 .
Для приведения уравнения кривой к каноническому виду выделим
полный квадрат по y′ и вынесем за скобку множитель при x′ . Получим
( y ′ − 1)2 = 10( x′ + 2) .
Положим x′′ = x′ + 2 , y ′′ = y ′ − 1 , тогда уравнение кривой в системе координат O1 x′′y ′′ примет канонический вид
y′′2 = 10 x′′ .
y y
Это парабола с параметром p = 5 .
Для изображения параболы в исходной системе координат Oxy необхо-
y
O1
димо найти координаты (q1 ; q2 ) векто-
ра параллельного переноса q , перево-
q
дящего систему Ox′y ′ в O1 x′′y ′′ . Так как
x
O
x
x
Рис.6.16.
 x′ = x′′ − 2,

 y′ = y ′′ + 1,
то q = ( − 2;1) .
Исследуемая кривая изображена на
рис.6.16. ►
6.6. Поверхности второго порядка
Равенство вида F ( x, y, z ) = 0 называется уравнением с тремя переменными x, y и z, если оно справедливо не для всяких троек чисел
x, y, z (см. главу 5). Уравнением поверхности в рассматриваемой системе координат Oxyz называется такое уравнение F ( x, y, z ) = 0 , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверх-
168
ности, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на
ней.
Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана
поверхность, определяемая уравнением второй степени
A1 x 2 + A2 y 2 + A3 z 2 +
где
(6.7)
+ B1 xy + B2 xz + B3 yz + C1 x + C2 y + C3 z + D = 0,
Ai , Bi , Ci ( i = 1, 2, 3 ), D – действительные числа, причем
A12 + A22 + A32 + B12 + B22 + B32 ≠ 0 .
Поверхность, задаваемая в пространстве уравнением (6.7), называется поверхностью второго порядка.
Замечания.
1. Может случиться так, что не существует точек с действительными координатами ( x ; y ; z ) , удовлетворяющих уравнению (6.7), например уравнение x 2 + y 2 + z 2 = −1 . Тогда говорят, что уравнение (6.7)
определяет мнимую поверхность второго порядка. Такие поверхности в
дальнейшем не рассматриваются.
2. Возможны также вырожденные случаи уравнения (6.7), к которым относятся: пара пересекающихся плоскостей, пара параллельных
(или совпадающих) плоскостей, точка.
Далее рассмотрим более подробно важнейшие (невырожденные)
случаи уравнения (6.7), задающие поверхности второго порядка. При
этом сразу будем приводить канонические уравнения, с помощью которых эти поверхности задаются в специально подобранных прямоугольных системах координат.
Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2
y2
+
2
z2
=1 .
b
c2
Величины a , b , c – это полуоси эл-
a
+
2
липсоида (рис.6.17). Если они все различны,
то эллипсоид называется трехосным.
В случае, когда какие-либо две из них одинаковы, эллипсоид называется двуосным,
являясь при этом поверхностью вращения
(например, при a = b осью вращения будет
z
a
c
b
O
a
x
y
Рис.6.17.
169
ось аппликат). Если же a = b = c , то эллипсоид представляет собой
сферу.
В прямоугольной системе координат сфера, имеющая центр в
точке С (a ; b ; c) и радиус r , определяется уравнением
( x − a) 2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = r 2 .
Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение
имеет вид x 2 + y 2 + z 2 = r 2 .
Однополостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
x2
y2
Рис.6.18.
−
2
z2
=1.
b
c2
Величины a , b , c – это полуоси однопоa
+
2
лостного гиперболоида (на рис.6.18 показаны
только первые две из них – a и b ). При
a = b однополостный гиперболоид является
поверхностью вращения одной ветви гиперболы
y2
z2
b
c2
−
2
= 1 вокруг оси аппликат.
Двуполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2
y2
z2
a
b
c2
+
2
−
2
= −1 .
Величины a , b , c – это полуоси двуполостного гиперболоида (на рис.6.19 показана только полуось c ). При a = b двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения обеих ветвей гиперболы
Рис.6.19.
170
z2
y2
c
b2
−
2
= 1 вокруг оси аппликат.
Конус, или коническая поверхность, – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2
y2
z2
a
b
c2
+
2
−
2
=0.
Величины a , b , c – это полуоси конуса (рис.6.20). При a = b конус является поверхностью вращения прямой z =
c
y вокруг оси апb
пликат.
Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2 y2
+
= 2z ,
p
q
где p и q – положительные числа, называемые параметрами эллиптического параболоида (рис.6.21). При p = q эллиптический параболоид является поверхностью вращения параболы z =
y2
вокруг оси ап2q
пликат.
Рис.6.20.
Рис.6.21.
Гиперболический параболоид – поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2 y2
−
= 2z ,
p q
где p и q – положительные числа, называемые параметрами гиперболического параболоида (рис.6.22).
171
Перед рассмотрением трех заключительных невырожденных случаев уравнения (6.7) определим важное понятие цилиндрической поверхности, задаваемой в пространственной системе координат Oxyz уравнением с двумя переменными.
Уравнение вида F ( x, y ) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . На плоскости с осями
Ox и Oy уравнение F ( x, y ) = 0 определяет направляющую линию
(кривую) рассматриваемой цилиндрической поверхности, которая в пространственной системе координат Oxyz задается системой
 F ( x, y ) = 0,

 z = 0.
Замечание. Уравнение F ( x, z ) = 0 (в пространстве) определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oy , а
уравнение F ( y , z ) = 0 (в пространстве) – цилиндрическую поверхность
с образующими, параллельными оси Ox .
Рассмотрим три случая уравнения (6.7), задающих поверхности
второго порядка, называемые цилиндрами.
Эллиптический цилиндр – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
x2
y2
a
b2
+
2
= 1,
где a и b – положительные числа (рис.6.23).
Рис.6.22.
Рис.6.23.
Гиперболический цилиндр – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
172
x2
y2
a
b2
−
2
=1,
где a и b – положительные числа (рис.6.24).
Параболический цилиндр – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
y 2 = 2 px ,
где p – положительное число (рис.6.25).
z
z
O
x
O
y
y
x
Рис.6.24.
П рим ер 6.7.
2
2
Рис.6.25.
Найти
координаты
центра
и
радиус
сферы
2
x + y + z − x + 2 y +1 = 0 .
Решение. Приведем уравнение сферы к каноническому виду. Для
этого выделим полные квадраты по x и y :
( x 2 − x + 0, 25) − 0, 25 + ( y 2 + 2 y + 1) − 1 + z 2 + 1 = 0 ,
( x − 0,5)2 + ( y + 1)2 + z 2 = 0, 25 .
Следовательно, центр сферы находится в точке С (0,5; − 1; 0) , а ее
радиус r = 0,5 . П рим ер 6.8.
2
2
По
какой
линии
пересекается
конус
2
x + y − 2 z = 0 с плоскостью y = 2 ?
Решение. Подставим y = 2 в уравнение конуса. Получим уравне-
x 2 + 4 − 2 z 2 = 0 , которое приведем к каноническому виду
z 2 x2
−
= 1 . Следовательно, линией пересечения поверхностей являет2 4
ся гипербола с полуосями 2 и 2 . Одна из ее осей параллельна Oz ,
ние
173
на ней располагаются фокусы этой гиперболы, а другая ось параллельна
Ox . П рим ер 6.9. Исследовать форму кривой, полученной пересечением поверхностей ( x − 1) 2 + y 2 + z 2 = 36 и y + z = 0 . Определить вид
проекции кривой на плоскость Oxy .
Решение. Кривая задана как
2
2
линия
пересечения
сферы
2
( x − 1) + y + z = 36 с плоскостью y + z = 0 , а значит является окружностью. Так как центр сферы C (1; 0; 0) лежит в плоскости сечения
y + z = 0 , то центр окружности совпадает с точкой C , а ее радиус равен радиусу сферы, т.е. r = 6 . Установим форму проекции этой окружности
на
плоскость
Oxy . Исключая
z
из
уравнения
( x − 1) 2 + y 2 + z 2 = 36 ,
2
получаем
( x − 1) 2 + 2 y 2 = 36 ,
или
2
( x − 1)
y
+
= 1 . Отсюда искомая проекция – это эллипс, главные оси
36
18
которого сонаправлены с осями Ox и Oy , центр находится в точке с
координатами (1; 0) , а полуоси a и b соответственно равны 6 и
3 2.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Построить кривую, заданную уравнением:
а) x − 2 y 2 − 1 = 0 ; б) 2 x + y 2 − 2 = 0 ;
в) 2 x 2 − 4 y − 1 = 0 ; г) 4 x 2 + 2 y − 3 = 0 .
6.2. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, точки которой симметричны относительно оси абсцисс, если:
а) длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси
абсцисс, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины параболы
равно 6;
б) биссектриса I и III координатных углов отсекает на графике
параболы хорду длиной 8 2 .
174
6.3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой
2 x + 3 y + 2 = 0 с осью абсцисс.
6.4. На параболе y 2 = 32 x найти точку, расстояние от которой до:
а) директрисы равно 16 ; б) прямой 4 x + 3 y + 10 = 0 равно 2 .
6.5. Парабола y 2 = 2 x отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду длиной 0, 75 . Составить уравнение этой прямой.
6.6. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, график которой симметричен относительно оси абсцисс и проходит
через точку M (4; 2) . Определить угол между фокальным радиусвектором этой точки и осью абсцисс.
6.7. Построить окружность, найдя координаты ее центра и радиус:
а) x 2 + y 2 + 6 y + 5 = 0 ; б) x 2 − 2 x + y 2 = 0 ;
в) x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 20 = 0 ; г) 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 5 y − 4 = 0 .
6.8. Составить уравнение общей хорды окружностей x 2 + y 2 = 16
и ( x − 5) 2 + y 2 = 9 .
6.9. Составить уравнение хорды окружности x 2 + y 2 = 49 , делящейся в точке A(1; 2) пополам.
6.10. Составить уравнение окружности, симметричной с окружностью x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 относительно прямой x − y − 3 = 0 .
6.11. Составить
уравнения
касательных
к
окружности
x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 , проведенных в точках пересечения окружности с прямой x − y + 2 = 0 .
6.12. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9 x − 2 y − 41 = 0 ,
7x + 4 y + 7 = 0 , x − 3y +1 = 0 .
6.13. Построить кривую, заданную уравнением:
а) x 2 + 4 y 2 − 4 = 0 ; б) 2 x 2 + y 2 − 2 = 0 .
175
6.14. Как расположены относительно эллипса
x2 y2
+
= 1 точки
50 32
M (7; −1) , N (− 5; 4) , P (− 4; − 3) ?
6.15. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус
и нижнюю вершину эллипса
x2 y2
+
=1.
25 16
6.16. Эллипс, уравнение которого имеет канонический вид, проходит через точку M (1;1) и имеет эксцентриситет, равный 0, 6 . Составить уравнение эллипса.
6.17. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение,
если известно, что точки F1 (0; 0) и F2 (1;1) являются фокусами эллипса, а длина его большой оси равна 2 .
6.18. Составить уравнение множества точек, расстояние от каждой
из которых до точки M (0;1) в два раза меньше расстояния до прямой
y−4=0.
6.19. Построить кривую, заданную уравнением:
а) 4 x 2 − y 2 − 16 = 0 ; б) x 2 − 2 y 2 − 8 = 0 ; в) x 2 − 8 y 2 + 16 = 0 .
6.20. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей
через точку M (4; 3) , если ее эксцентриситет равен 2 .
6.21. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей
через точку M (9; 8) , если ее асимптоты имеют уравнения
y=±
2 2
x.
3
6.22. Угол между асимптотами гиперболы равен 60° . Вычислить
эксцентриситет гиперболы.
6.23. Через точку M (0; −1) и правую вершину гиперболы
3x 2 − 4 y 2 = 12 проведена прямая. Найти координаты второй точки пересечения прямой с гиперболой.
6.24. Составить уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой
находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса
x2 y2
+
=1.
8
5
176
6.25. На правой ветви гиперболы
x2 y 2
−
= 1 найти точку, рас16 9
стояние от которой до правого фокуса в два раза меньше расстояния от
нее до левого фокуса.
6.26. Привести уравнение кривой к каноническому виду и изобразить:
а) 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 ;
б) 9 x 2 − 16 y 2 − 54 x − 64 y − 127 = 0 ;
в) y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0 ; г) x 2 − 9 y 2 + 2 x + 36 y − 44 = 0 ;
д) 4 y 2 − x − y = 0 ; е) 16 x 2 − 25 y 2 − 32 x + 50 y − 9 = 0 ;
ж) 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 − 25 = 0 ; з) 25 x 2 − 10 xy + y 2 = 0 ;
и) 25 x 2 + 16 y 2 − 50 x + 64 y + 89 = 0 ; к) 5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 − 32 = 0 ;
л) 32 x 2 + 52 xy − 7 y 2 + 180 = 0 ;
м) x 2 − 2 xy + y 2 − 10 x − 6 y + 25 = 0 ;
н) 6 xy + 8 y 2 − 12 x − 26 y + 11 = 0 ;
о) 14 x 2 + 24 xy + 21y 2 − 4 x + 18 y − 139 = 0 .
6.27. Установить тип поверхности и изобразить эту поверхность:
( x − 2)2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
+
+ = 1 ; б)
−
+ =1;
9
4 25
16 4 36
в) y 2 − 2 x 2 + 4 z 2 = 0 ; г) y = 3 + x 2 + 2 z 2 ;
а)
д) z = 2 − 4 x 2 − y 2 ; е) y 2 + z 2 = 9 ;
ж) x 2 − 4 z 2 = 16 ; з) z 2 − y = 3 ;
и)
x2 y 2 z 2
−
− = 1 ; к) 2 x 2 + y 2 − ( z − 2) 2 = 0 .
4
9 25
177
Глава 7. Линейные (векторные) пространства
7.1. Определение линейного (векторного) пространства
Непустое множество L элементов x, y, z, … (произвольной природы) называется линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие условия:
I) ∀ x , y ∈ L определена их сумма z ∈ L (обозначается z = x + y ).
II) ∀ x ∈ L и любого числа λ определено их произведение y ∈ L
(обозначается y = λx или y = xλ ).
III) При этом выполнены следующие аксиомы:
1) x + y = y + x для всех x , y ∈ L (коммутативность сложения);
2) (x + y ) + z = x + (y + z ) для всех x , y , z ∈ L (ассоциативность сложения);
3) существует такой (нулевой) элемент 0 ∈ L , что x + 0 = x
для всех элементов x ∈ L ;
4) для каждого x ∈ L существует такой элемент y ∈ L , что
x + y = 0 (элемент y ∈ L называется противоположным элементу
x ∈ L );
5) λ (µx) = (λµ)x для каждого x ∈ L и любых чисел λ , µ ;
6) (λ + µ)x = λx + µx для каждого x ∈ L и любых чисел
λ, µ;
7) λ (x + y ) = λx + λy для всех x , y ∈ L и любого числа λ ;
8) 1⋅ x = x для всех x ∈ L .
Элементы линейного (векторного) пространства L принято называть векторами.
Замечание. Пространство L называется действительным, если
операция умножения векторов на число определена в L только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для
комплексных чисел. В дальнейшем изложении, если это не оговорено
178
особо, будут рассматриваться только действительные линейные пространства.
Перечислим некоторые свойства линейного пространства.
1. Единственность нулевого элемента.
Действительно, предположим, что существует два нулевых
элемента 0 и 01 . Рассмотрим вектор 01 + 0 . С одной стороны, так как
0 – нулевой элемент, 01 + 0 = 01 . С другой стороны, так как 01 – нулевой элемент, 01 + 0 = 0 + 01 = 0 . Отсюда 01 = 0 . ■
2. Единственность противоположного элемента.
Действительно, предположим, что существует два противоположных элемента y и y1 для x ∈ L . Рассмотрим вектор y1 + ( x + y ) . С од-
y1 + (x + y ) = y1 + 0 = y1 . С другой стороны,
y1 + (x + y ) = (y1 + x) + y = 0 + y = y . Отсюда y1 = y . ■
Элемент, противоположный x ∈ L , в дальнейшем будет обозначаться (− x) .
3. Произведение числа нуль на любой вектор x ∈ L равно нулевому
вектору 0 линейного пространства L, т.е. 0⋅ x = 0 .
x∈ L
имеем
В
самом
деле,
для
каждого
0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x . Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства ( − 0 ⋅ x) , получаем 0 = 0 ⋅ x . ■
4. Для любого действительного числа λ и 0 ∈ L произведение
λ ⋅0 = 0 .
Действительно, λ ⋅ 0 = λ ⋅ (0 + 0) = λ ⋅ 0 + λ ⋅ 0 . Прибавляя к левой и
правой частям равенства ( − λ ⋅ 0) , получаем 0 = λ ⋅ 0 . ■
5. Если произведение λ ⋅ x = 0 , то либо λ = 0 , либо x = 0 .
В самом деле, пусть λ ≠ 0 , тогда
ной
стороны,
x = 1⋅ x = (λ −1 ⋅λ ) ⋅ x = λ −1 ⋅ (λ ⋅ x) = λ −1 ⋅ 0 = 0 . ■
6. Для каждого x ∈ L элемент ( −1) ⋅ x является противоположным элементу x.
Действительно, x + ( −1) ⋅ x = 1⋅ x + ( −1) ⋅ x = (1 + ( −1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0 , и
значит,
в
силу
единственности
противоположного
элемента,
(−1) ⋅ x = − x . ■
179
Разностью
x−y
векторов
x, y∈L
называется
вектор
z = x − y = x + (− y ) .
Приведем примеры множеств, являющихся линейными пространствами:
1) множество всех геометрических векторов с операциями сложения векторов и умножения векторов на число (см. главу 3) является линейным пространством;
2) рассмотрим R n – множество всех упорядоченных наборов n чисел вида ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) .
Пусть x = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) ∈ R n и y = ( y1 ; y2 ; ... ; yn ) ∈ R n . Положим x + y = ( x1 + y1 ; x2 + y2 ; ... ; xn + yn ) и λx = (λx1 ; λx2 ; ... ; λxn ) ,
где λ∈R . Тогда легко видеть, что R n является линейным пространством ( R n называется линейным пространством n-мерных арифметических векторов);
3) совокупность всех многочленов с действительными коэффициентами Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n степени ≤ n с обычными
операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число
является линейным пространством;
4) совокупность всех квадратных матриц n-го порядка с операциями сложения матриц и умножения на число (см. главу 1) составляет линейное пространство.
Приведем примеры множеств, не являющихся линейными пространствами:
1) совокупность многочленов с действительными коэффициентами
степени ровно n ( n ≥ 1 ) с обычными операциями сложения многочленов
и умножения многочлена на число не является линейным пространством, так как эта совокупность не содержит нулевого элемента, и сумма
двух многочленов степени ровно n может дать многочлен меньшей степени;
2) множество упорядоченных наборов ( x1 ; x2 ) , для компонент которых выполняется условие x1 + x2 = 1 , с такими же операциями сложения и умножения на число, как и у двумерных арифметических векторов, не является линейным пространством, так как не содержит нуле-
180
вого элемента, и сумма двух таких наборов дает упорядоченный набор,
не удовлетворяющий условию x1 + x2 = 1 .
7.2. Размерность и базис линейного пространства
Векторы a1 , a 2 , … , a k линейного пространства L называются
линейно зависимыми, если существуют числа λ1 , λ 2 , … , λ k , не равные одновременно нулю, линейная комбинация которых равна:
λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k = 0 .
Если же λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k = 0 возможно лишь в случае, когда все числа λ1 , λ 2 , … , λ k равны нулю, векторы a1 , a 2 , … , a k
называются линейно независимыми.
Если векторы a1 , a 2 , … , a k ( k ≥ 2 ) линейно зависимы и, например, λ k ≠ 0 , то
λ
λ1
λ
a1 − 2 a 2 − … − k −1 a k −1 ⇔
λk
λk
λk
a k = β1a1 + β2a 2 + … + βk −1a k −1 ,
где βi = − λ i λ k , i = 1, 2, ... , k − 1 .
При этом говорят, что вектор a k является линейной комбинацией
векторов a1 , a 2 , … , a k −1 , или, что вектор a k линейно выражается
через a1 , a 2 , … , a k −1 .
Таким образом, если векторы a1 , a 2 , … , a k ( k ≥ 2 ) линейно за-
ak = −
висимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через
остальные.
Верно и обратное, т.е. если один из векторов a1 , a 2 , … , a k
( k ≥ 2 ) линейно выражается через остальные, то эти векторы линейно
зависимы.
Действительно, если какой-либо из векторов a1 , a 2 , … , a k
( k ≥ 2 ) выражается через остальные, например a k = β1a1 + β2a 2 + … +
+ βk −1a k −1 , то это равенство равносильно
181
β1a1 + β 2a 2 + … + βk −1a k −1 − 1⋅ a k = 0 .
Полагая λ1 = β1 , λ 2 = β 2 , … , λ k −1 = βk −1 , λ k = −1 , имеем линейную комбинацию векторов a1 , a 2 , … , a k , в которой не все числа
λ1 , λ 2 , … , λ k равны одновременно нулю и при этом
λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k = 0 .
Значит, векторы a1 , a 2 , … , a k являются, согласно определению, линейно зависимыми.
Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем можно
найти n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов L являются линейно зависимыми.
Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много
линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства L называется его базисом.
П рим ер 7.1. Если L – множество всех геометрических векторов
пространства, то любая тройка некомпланарных векторов L линейно
независима и является его базисом, а значит L – трехмерно. Замечание. Примерами бесконечномерных пространств могут служить множество всевозможных многочленов от одной переменной и
множество всех непрерывных на отрезке [a ; b] функций f ( x) . Это
будет ясно из дальнейшего изложения.
Тео рем а 7.1. Каждый вектор x линейного n-мерного пространства L можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство. Пусть e1 , e 2 , … , e n – произвольный базис
n-мерного пространства L и x ∈ L . Так как каждые n + 1 векторов
(n-мерного) пространства L линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы e1 , e 2 , … , e n , x, т.е. существуют такие не равные одновременно нулю числа λ1 , λ 2 , … , λ n , λ , что
λ1e1 + λ 2e2 + … + λ ne n + λx = 0 .
182
При этом λ ≠ 0 , так как если λ = 0 , то, по крайней мере, одно из чисел
λ1 , λ 2 , … , λ n было бы отлично от нуля и векторы e1 , e 2 , … , e n
были бы линейно зависимы. Следовательно,
λ
λ
λ
x = − 1 e1 − 2 e 2 − … − n e n .
λ
λ
λ
Полагая ( − λ i λ ) = αi , где i = 1, 2, ... , n , получаем
x = α1e1 + α 2e 2 + … + α ne n .
Это представление x через e1 , e 2 , … , e n единственно, так как если x = α1e1 + α 2e 2 + … + α n e n и x = β1e1 + β2e 2 + … + βn e n , то
(α1 − β1 )e1 + (α 2 − β2 )e 2 + … + (α n − βn )en = 0
и, ввиду линейной независимости векторов
e1 , e 2 , … , e n ,
α1 − β1 = α 2 − β2 = … = α n − βn = 0 , откуда βi = αi для всех i,
i = 1, 2, ... , n . ■
Числа α1 , α 2 , … , α n называются координатами вектора x в базисе e1 , e 2 , … , e n .
Замечание.
Теорема 7.1
утверждает,
что
если
задан
базис
e1 , e 2 , … , e n n-мерного векторного пространства L, то каждый вектор
из L имеет (единственным образом определенные) координаты в этом
базисе. При этом ясно, что если координаты двух векторов x и y совпадают,
то
эти
векторы
равны. Поэтому задавать вектор
x = α1e1 + α 2e 2 + … + α ne n можно, просто указывая его координаты
α1 , α 2 , … , α n . При этом так и пишут:
x = (α1 ; α 2 ; ... ; α n ) .
Пусть имеются два вектора, заданные своими координатами в
некотором базисе. Тогда при сложении векторов их координаты складываются,
так
как
если
x = α1e1 + α 2e 2 + … + α ne n
и
y = β1e1 + β2e 2 + … + βne n , то
x + y = (α1e1 + α 2e2 + … + α n en ) + (β1e1 + β2e 2 + … + βn en ) =
= (α1 + β1 )e1 + (α 2 + β2 )e 2 + … + (α n + βn )e n =
= (α1 + β1 ; α 2 + β2 ; ... ; α n + βn ) .
183
При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число, так как если x = α1e1 + α 2e 2 + … + α n e n , то
λx = (λα1 )e1 + (λα 2 )e2 + … + (λα n )en = (λα1 ; λα 2 ; ... ; λα n ) .
У нулевого вектора все координаты равны нулю, так как из равенства λ1e1 + λ 2 e2 + … + λ n e n = 0 , ввиду линейной независимости векторов e1 , e 2 , … , e n , вытекает, что λ1 = λ 2 = … = λ n = 0 .
Вектор (− x) , противоположный вектору
x = α1e1 + α 2e 2 + … + α ne n = (α1 ; α 2 ; ... ; α n ) ,
равен (− α1 ; − α 2 ; ... ; − α n ) , так как
− x = (−1) ⋅ x = (−1) ⋅ (α1 ; α 2 ; ... ; α n ) = (− α1 ; − α 2 ; ... ; − α n ) .
Таким образом, введение базиса в конечномерном линейном пространстве позволяет заменить операции сложения элементов пространства и умножения их на число операциями сложения и умножения над
их координатами, т.е. над n-мерными арифметическими векторами.
Тео рем а 7.2. Если e1 , e 2 , … , e n – линейно независимые векторы пространства L и каждый вектор x ∈ L линейно выражается через
e1 , e 2 , … , e n , то эти векторы образуют базис L.
Доказательство. Векторы e1 , e 2 , … , e n , по условию, линейно
независимы. Остается доказать, что в пространстве L нет более чем n
линейно независимых векторов. Возьмем произвольные m > n векторов
из L: a1 , a 2 , … , a m . По условию каждый из них можно линейно выразить через e1 , e 2 , … , e n :
a1 = α11e1 + α 21e2 + … + α n1en ,

a 2 = α12e1 + α 22e2 + … + α n 2en ,

.............................................
a m = α1m e1 + α 2m e 2 + … + α nm e n .
Рассмотрим матрицу
184
 α11 α12

 α 21 α 22
… …

 α n1 α n 2
… α1m 

… α 2m 
.
… … 

… α nm 
Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше
чем n, следовательно среди ее столбцов имеется не более чем n линейно
независимых (см. параграф 1.7). Но так как m > n , то m столбцов этой
матрицы между собой линейно зависимы. Это значит, что линейно зависимы и векторы a1 , a 2 , … , a m , так как линейная зависимость указанных векторов равносильна линейной зависимости столбцов матрицы.
Таким образом, пространство L является n-мерным и e1 , e 2 , … , e n –
его базис. ■
Замечания.
1. Из теоремы 7.2 следует, что пространство R n упорядоченных
строк из n чисел является n-мерным.
Действительно, n строк
e1 = (1; 0; ... ; 0) , e2 = (0;1; ... ; 0) , … , en = (0; 0; ... ;1)
линейно независимы, так как из равенства
λ1e1 + λ 2e2 + … + λ n en = (λ1 ; λ 2 ; ... ; λ n ) = (0; 0; ... ; 0)
следует, что λ1 = λ 2 = … = λ n = 0 .
Кроме того, каждая строка e = (β1 ; β2 ; ... ; βn ) линейно выражается через e1 , e 2 , … , e n :
e = β1e1 + β2e2 + … + βne n .
Значит, строки e1 , e 2 , … , e n образуют базис пространства R n .
2. Из теоремы 7.2 следует, что совокупность всех многочленов с
действительными коэффициентами Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
степени ≤ n составляет линейное пространство размерности n + 1 .
Действительно, покажем, что базисом этого линейного пространства является система векторов e1 = 1 , e2 = x , e3 = x 2 , … , en +1 = x n .
Для этого составим линейную комбинацию данных векторов и приравняем ее к нулевому вектору:
185
λ1e1 + λ 2e2 + … + λ n+1en +1 ≡ 0 ⇔ λ1 + λ 2 x + λ 3 x 2 + ... + λ n+1 x n ≡ 0 .
Если хотя бы одно из чисел λ i ≠ 0 , то последнее равенство возможно не более чем в n точках (следствие основной теоремы алгебры),
т.е. не выполняется тождественно при всех x. Поэтому должно выполняться условие λ1 = λ 2 = … = λ n+1 = 0 , т.е. векторы e1 = 1 , e2 = x ,
e3 = x 2 , … , en+1 = x n линейно независимы.
Пусть теперь Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n – произвольный
многочлен степени ≤ n , тогда очевидно, что Pn ( x) представлен в виде
линейной комбинации векторов e1 , e 2 , … , en+1 .
Значит, система из n + 1 векторов 1 , x , x 2 , ... , x n образует базис
в пространстве многочленов Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n степени
≤ n , а коэффициенты a0 , a1 , … , an – это координаты многочлена
в базисе 1 , x , x 2 , … , x n .
3. Из предыдущего замечания (о размерности линейного пространства многочленов с действительными коэффициентами степени ≤ n )
следует, что в пространстве непрерывных на отрезке [a ; b] функций
f ( x) для любого n есть система из n + 1 линейно независимых функций, а именно 1 , x , x 2 , … , x n . Это означает, что пространство непрерывных на отрезке [a ; b] функций f ( x) является бесконечномерным.
П рим ер 7.2. Дано линейное пространство многочленов с действительными коэффициентами P5 ( x) (т.е. многочленов степени ≤ 5 ).
Найти координаты многочлена ( x3 − 1)(2 x 2 + x) в базисе 1 , x , x 2 , x3 ,
x 4 , x5 .
Решение. Преобразуем многочлен:
( x3 − 1)(2 x 2 + x) = − x − 2 x 2 + x 4 + 2 x5 .
Согласно рассмотренному замечанию упорядоченный набор из шести
коэффициентов (0; −1; − 2; 0;1; 2) – это координаты данного многочлена в базисе 1 , x , x 2 , x3 , x 4 , x5 . 186
Тео рем а 7.3. В конечномерном векторном пространстве каждое
множество линейно независимых векторов можно включить в некоторый базис.
Доказательство. Пусть векторы e1 , e 2 , …, e k пространства L линейно независимы. Если каждый из остальных векторов L линейно выражается через e1 , e 2 , … , e k , то, по теореме 7.2, это уже базис. Если
ek +1 , не выражающийся линейно через
e1 , e 2 , … , e k , то k + 1 векторов e1 , e 2 , … , e k , ek +1 линейно незави-
же
найдется
вектор
симы. Действительно, если бы имело место равенство
λ1e1 + λ 2e2 + … + λ k ek + λ k +1e k +1 = 0 ,
то λ k +1 ≠ 0 ввиду линейной независимости векторов e1 , e 2 , … , e k и
вектор ek +1 линейно выражался бы через e1 , e 2 , … , e k .
Присоединим вектор ek +1 к системе векторов e1 , e 2 , … , e k . Если
все векторы пространства L линейно выражаются через
e1 , e 2 , … , e k , ek +1 , то это уже базис. Если же найдется вектор ek + 2 ,
не выражающийся линейно через e1 , e 2 , … , e k , ek +1 , присоединим
его к ним. Новая система векторов e1 , e 2 , … , e k , ek +1 , ek + 2 будет
линейно независимой. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, так как пространство L, по условию, конечномерно и, следовательно, в нем не может быть бесконечного множества
e1 , e 2 , … , e k , ek +1 , … линейно независимых векторов. Поэтому в
итоге получим такую линейно независимую систему векторов
e1 , e 2 , … , e k , ek +1 , … , e n , через которую уже будут линейно выражаться все остальные векторы L. Ввиду теоремы 7.2 это и будет базис
пространства L, содержащий заданные векторы e1 , e 2 , … , e k . ■
7.3. Переход к новому базису
Пусть в линейном пространстве L имеются два базиса:
e1 , e 2 , … , e n и e1′ , e′2 , … , e′n . Первый условимся называть «старым»
базисом, второй – «новым». Каждый из элементов нового базиса,
187
по теореме 7.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса
[3, 7, 8]:
e1′ = c11e1 + c21e 2 + … + cn1en ,
 ′
e 2 = c12e1 + c22e 2 + … + cn 2e n ,

.............................................
e′n = c1ne1 + c2 ne 2 + … + cnne n .
(7.1)
Можно сказать, что новые базисные векторы получаются из старых
с помощью матрицы
 c11 c12

c
c
C =  21 22
… …

 cn1 cn 2
… c1n 

… c2 n 
,
… …

… cnn 
коэффициенты разложений которых по старым базисным векторам
образуют столбцы этой матрицы.
Матрица C называется матрицей перехода от базиса
e1 , e 2 , … , e n к базису e1′ , e′2 , … , e′n .
Замечание. Для формул перехода от «старого» базиса к «новому»
существует очень простое правило для запоминания, которое удобно
при использовании в задачах. Для получения этого правила надо составить
символические
«матрицы-строки»
( e1 e2 … en ) и
( e1′
e′2 … e′n ) из базисных векторов. Тогда формулы (7.1) в «мат-
ричной» форме примут следующий вид:
( e1′
e′2 … e′n ) = ( e1 e 2 … e n ) ⋅ C .
(7.2)
Определитель матрицы C не равен нулю ( det C ≠ 0 ), так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы e1′ , e′2 , … , e′n
были бы линейно зависимы.
Обратно, если det C ≠ 0 , то ее столбцы линейно независимы, а
значит векторы e1′ , e′2 , … , e′n , получающиеся из базисных векторов
e1 , e 2 , … , e n с помощью матрицы C, линейно независимы, т.е. образуют некоторый базис.
188
Значит, матрицей перехода может служить любая квадратная
матрица n-го порядка с отличным от нуля определителем.
П рим ер 7.3. Даны координаты геометрических векторов a, b, c и
′
a , b′ , c′ в правом ортонормированном базисе i, j, k:
a = (1; 0; − 1) , b = (− 3; 2;0) , c = (1; − 1;1) ;
a′ = (2;1;1) , b′ = (1;1;0) , c′ = (1;1;1) .
Доказать, что системы векторов a, b, c и a′ , b′ , c′ также образуют
базисы. Найти матрицу перехода от базиса a, b, c к базису a′ , b′ , c′ .
Решение. Составим матрицу C1 , записав координаты векторов
a, b, c (в базисе i, j, k) по столбцам:
 1 −3 1 


C1 =  0 2 −1 .
 −1 0 1 


Так как матрица C1 невырожденная ( det C1 = 1 ), то ее столбцы линейно независимы, а значит векторы a, b, c образуют базис. Следовательно, C1 – матрица перехода от базиса i, j, k к базису a, b, c. Отсюда
согласно (7.2)
(a
b c) = (i
j k ) ⋅ C1 .
Составим теперь матрицу C2 , записав координаты векторов
a′ , b′ , c′ (в базисе i, j, k) по столбцам:
 2 1 1


C2 =  1 1 1 .
 1 0 1


Так как матрица C2 невырожденная ( det C2 = 1 ), то ее столбцы
линейно независимы, а значит векторы a′ , b′ , c′ образуют базис. Следовательно, C2 – матрица перехода от базиса i, j, k к базису a′ , b′ , c′ .
Отсюда согласно (7.2)
( a′ b ′ c ′ ) = ( i
j k ) ⋅ C2 .
Пусть C – матрица перехода от базиса a, b, c к базису a′ , b′ , c′ .
Тогда согласно (7.2)
189
( a′ b ′ c ′ ) = ( a
b c) ⋅ C .
Докажем, что
C = C1−1C2 .
Действительно, из
(a
b c) = (i
j k ) ⋅ C1
(i
j k ) = ( a b c ) ⋅ C1−1 .
следует, что
Отсюда
(
( a′ b ′ c ′ ) = ( i
)
j k ) ⋅ C2 = ( a b c ) ⋅ C1−1 ⋅ C2 ,
или
( a′ b ′ c ′ ) = ( a b
(
)
c ) ⋅ C1−1C2 ,
что и требовалось доказать.
Поскольку
2 3 1

2 1 ,
 2 3 2



C1−1 =  1
то
 2 3 1   2 1 1  8 5 6 

 
 

C =  1 2 1  ⋅  1 1 1 =  5 3 4  .  2 3 2   1 0 1  9 5 7 

 
 

Установим теперь, как связаны между собой координаты одного и
того же вектора в старом и новом базисах. Пусть в старом базисе
x = x1e1 + x2e2 + … + xne n ,
а в новом базисе
x = x1′e1′ + x2′ e′2 + … + xn′ e′n .
Подставляя в последнее равенство вместо e1′ , e′2 , … , e′n их выражения (7.1) через e1 , e 2 , … , e n , получаем
190
x = x1′ (c11e1 + c21e2 + … + cn1e n ) +
+ x2′ (c12e1 + c22e2 + … + cn 2en ) + … +
+ xn′ (c1n e1 + c2n e2 + … + cnn en ).
Группируя по «столбцам», получаем
x = (c11 x1′ + c12 x2′ + … + c1n xn′ )e1 + (c21 x1′ + c22 x2′ + … + c2n xn′ )e2 + … +
+ (cn1 x1′ + cn 2 x2′ + … + cnn xn′ )en .
Ввиду единственности
e1 , e 2 , … , e n , имеем
разложения
вектора
 x1 = c11 x1′ + c12 x2′ + … + c1n xn′ ,

 x2 = c21 x1′ + c22 x2′ + … + c2n xn′ ,
⇔

.............................................
 xn = cn1 x1′ + cn 2 x2′ + … + cnn xn′ ;
 x1 
 x1′ 
 
 ′
x2
x2
⇔   = C ⋅  .
 ⋮ 
 ⋮ 
 
 
 xn 
 xn′ 
x
по
базису
(7.3)
Таким образом, старые координаты вектора x получаются из новых его координат с помощью той же матрицы перехода C, только
коэффициенты соответствующих представлений старых координат
через новые образуют строки этой матрицы.
Замечание. Так как матрица перехода C от старого базиса к новому
является невырожденной, то из матричного уравнения (7.3) с помощью
матрицы C −1 можно выразить новые координаты вектора x через его
старые координаты:
 x1′ 
 x1 
 ′
 
 x2  = C −1 ⋅  x2  .
 ⋮ 
 ⋮ 
 
 
 xn′ 
 xn 
(7.4)
Такая задача довольно часто встречается на практике.
191
П рим ер 7.4. Даны координаты геометрических векторов a, b, c, x
в правом ортонормированном базисе i, j, k:
a = (2; 3;1) , b = (1; 2;1) , c = (1;1;1) , x = (− 8; 2;5) .
Доказать, что векторы a, b, c также образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
Решение. Составим матрицу C, записав координаты векторов
a, b, c (в базисе i, j, k) по столбцам:
 2 1 1


C =  3 2 1 .
 1 1 1


Так как матрица C невырожденная ( det C = 1 ), то ее столбцы линейно независимы, а значит векторы a, b, c образуют базис. Следовательно, C – матрица перехода от базиса i, j, k к базису a, b, c.
Найдем вначале матрицу, обратную к матрице перехода:
C
−1
0 −1 
 1


= −2 1 1  .
 1 −1 1 


Согласно (7.4)
0 −1  − 8   −13 
 x1′ 
 x1   1
 ′
 
   

−1 
 x2  = C ⋅  x2  =  − 2 1 1  ⋅  2  =  23  .
 x′ 
 x   1 −1 1   5   − 5 
   

 3
 3 
Таким образом, в базисе a, b, c вектор x имеет следующие координаты: x = ( − 8; 2;5) . 7.4. Подпространства линейного пространства
Подпространство линейного пространства L – это непустое подмножество L1 его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения вектора на число.
192
Для проверки того, что подмножество L1 элементов линейного
пространства L является его подпространством, необходимо убедиться,
что для любых двух векторов x и y из L1 их сумма x + y ∈ L1 и для каждого вектора x ∈ L1 и произвольного числа λ произведение λx ∈ L1 .
Покажем, что этого и достаточно. Действительно, аксиомы 1, 2 и 5 – 8 линейного пространства, справедливые в L, будут выполняться, в частности, и для элементов из L1 . Далее, если какой-либо
вектор x ∈ L1 , то и произведения 0⋅ x = 0 и (−1) ⋅ x = (− x) тоже принадлежат L1 . Следовательно, нулевой вектор 0 ∈ L1 и для каждого
x ∈ L1 противоположный вектор (− x) ∈ L1 .
Приведем примеры подпространств L1 линейного пространства L.
1. L = R n – линейное пространство n-мерных арифметических
векторов, а L1 – подмножество L, состоящее из n-мерных арифметических векторов, первая компонента которых равна нулю.
2. L – множество квадратных матриц n-го порядка с операциями
сложения матриц и умножения на число (см. главу 1), а L1 – подмножество L, состоящее из квадратных матриц n-го порядка, на главной диагонали которых стоят нули.
3. L – множество всех непрерывных на отрезке [ a ; b] функций
f ( x) , а L1 – подмножество L, состоящее из всевозможных многочленов от одной переменной, определенных на отрезке [ a ; b] .
Размерность любого подпространства линейного пространства
не превосходит размерности самого пространства.
В самом деле, линейно независимые векторы подпространства L1
будут линейно независимыми и во всем пространстве L, а значит максимальное число линейно независимых векторов подпространства L1
не превосходит размерности всего пространства.
Пусть L – произвольное линейное пространство, a1 , a 2 , … , a k –
некоторая система векторов в L. Рассмотрим совокупность всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов a1 , a 2 , … , a k ,
т.е. векторов вида λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k , где λ1 , λ 2 , … , λ k – про-
193
извольные числа. Обозначим множество этих векторов через V. Это
множество V называется линейной оболочкой векторов a1 , a 2 , … , a k .
Докажем, что V является подпространством L. Действительно,
V ⊆ L и V ≠ ∅, так как сами векторы a1 , a 2 , … , a k принадлежат V.
Далее, если произвольные векторы x , y ∈V , то существуют числа
λ1 , λ 2 , … , λ k и µ1 , µ 2 , … , µ k такие, что
x = λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k , y = µ1a1 + µ 2a 2 + … + µ k a k .
Тогда x + y = (λ1 + µ1 )a1 + (λ 2 + µ 2 )a 2 + … + (λ k + µ k )a k , т.е. сумма
векторов x + y ∈V . Кроме того, для любого числа β произведение
β x = β(λ1a1 + λ 2a 2 + … + λ k a k ) =
= (βλ1 )a1 + (βλ 2 )a 2 + … + (βλ k )a k ∈ V . ■
Говорят, что V порождено системой векторов a1 , a 2 , … , a k или
V «натянуто» на систему векторов a1 , a 2 , … , a k .
Замечание. Само линейное пространство L может рассматриваться
как линейная оболочка любого своего базиса.
П рим ер 7.5. Пусть L = R 4 . Найти размерность и какой-либо базис
линейной
оболочки
V
векторов:
x1 = (0; − 1; 2; 0) ,
x 2 = (1; 0; 2; − 1) , x3 = (1; − 2; 6; − 1) .
Решение. Найдем ранг матрицы A, составленной из компонент векторов, записанных для удобства по строкам, с помощью элементарных
преобразований над ее строками:
0

A = 1
1

1

⇒0
0

194
−1 2 0 
 1 0 2 −1



0 2 −1 ⇒  0 −1 2 0  ⇒
 1 −2 6 −1
−2 6 −1


0 2 −1
 1 0 2 −1



−1 2 0  ⇒  0 −1 2 0  .
0 0 0 0 
−2 4 0 


Поскольку r ( A) = 2 и минор 2-го порядка (матрицы A)
0 −1
≠ 0 , то
1 0
первые две строки матрицы A линейно независимы. Значит, x1 и x 2
составляют линейно независимую систему векторов и в R 4 , и в линейной оболочке V. Следовательно, любой вектор y ∈V (в частности, вектор x3 ) линейно выражается через векторы x1 и x 2 . Итак, размерность
линейной оболочки V равна 2, базис V составляют векторы x1 и x 2 .
Заметим, что в матрице A любые две строки линейно независимы, а
значит базис V составляет любая пара векторов системы x1 , x 2 , x3 . Задачи для самостоятельного решения
7.1. Выяснить, является ли линейным пространством множество
всех:
а) матриц размера m × n ;
б) геометрических векторов, имеющих общее начало в начале координат и расположенных в первом октанте;
в) элементарных функций, дифференцируемых на интервале
( a ; b) ;
г) комплексных чисел;
д) многочленов степени ≤ n с неотрицательными коэффициентами;
е) квадратных матриц n -го порядка, у которых все элементы главной диагонали равны между собой;
ж) n -мерных арифметических векторов с целочисленными компонентами;
a1 x + b1 y + c1 z = 0,
a2 x + b2 y + c2 z = 0.
з) множество решений системы 
7.2. Доказать, что система векторов линейного пространства является линейно зависимой, если эта система содержит:
а) нулевой вектор;
б) два равных вектора;
в) два пропорциональных вектора.
7.3. Пусть дано линейное пространство трехмерных геометрических векторов. Доказать, что линейно зависимыми являются:
195
а) любая пара коллинеарных векторов;
б) любая тройка компланарных векторов;
в) любая четверка векторов.
7.4. Выяснить, являются ли линейно зависимыми геометрические
векторы:
а) a = 2i − j + k , b = i + 2 j − k , c = 3i − 4 j + 3k ;
б) a = 3i − 2 j + 3k , b = 2i + 2 j − 5k , c = i − j + k .
7.5. Выяснить, являются ли линейно зависимыми арифметические
векторы линейного пространства R 4 :
а) а1 = (1; − 2;1; 3) , а 2 = (1; −1; 0; 2) ,
а3 = (3; − 5; 2; 8) , а 4 = (2; − 3;1; 5) ;
б) а1 = (3; 3; − 4; − 3) , а 2 = (0; 6;1;1) ,
а3 = (5; 4; 2;1) , а 4 = (2; 3; 3; 2) .
7.6. Выяснить, являются ли линейно зависимыми многочлены с
действительными коэффициентами степени ≤ 2 :
а) P ( x) = 2 − 3x − 4 x 2 , Q( x) = −1 + 2 x + 3x 2 , P ( x) = 3 − 5 x − 7 x 2 ;
б) P ( x) = 2 x + x 2 , Q( x) = 3 − x + 2 x 2 , P ( x) = 1 − 3x + x 2 .
7.7. Пусть e1 , e 2 , e3 – «старый», а e1′ , e′2 , e′3 – «новый» базисы линейного пространства. Написать матрицу C перехода от «старого» к
«новому» базису, если:
а) e1′ = 2e1 + e 2 − e3 , e′2 = 3e2 + e3 , e′3 = e1 + 3e2 + e3 ;
б) e1′ = e1 − 4e2 − 2e3 , e′2 = e1 − e3 , e′3 = 2e1 + e 2 + e3 .
7.8. Даны координаты геометрических векторов a , b , c и
a′ , b′ , c′ в правом ортонормированном базисе i , j , k . Доказать, что
системы векторов a , b , c и a′ , b′ , c′ также образуют базисы. Найти
матрицу перехода от базиса a , b , c к базису a′ , b′ , c′ :
а) a = (3;1;2),
a′ = (2;1; −1),
b = (2;1;1),
c = (2; − 1; 4);
196
b′ = (4; 3; 2),
c′ = (1; −1;1);
a′ = (1; 4;1),
b′ = (− 3; 2;0),
a = (1; 3; − 2),
б)
b = (0; −1;2),
c = (3; 3; 4);
c′ = (1; −1;2).
7.9. Даны координаты геометрических векторов a , b , c , x в правом ортонормированном базисе i , j , k . Доказать, что векторы a , b , c
также образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе:
а) a = (5;1;3),
б) a = (1; 2;1),
b = (0;1;2),
c = ( −1;1;1),
b = (3; −1; −1),
c = (0;1;2),
x = (8; − 4;12);
x = (12; 5; − 7).
7.10. Дано линейное пространство многочленов с действительными
коэффициентами степени ≤ 4 . В базисе 1 , x , x 2 , x3 , x 4 найти координаты многочлена:
а) P ( x) = 2 + 3x 2 − 5 x3 + x 4 ; б) P ( x) = 7 x − x 2 + 6 x3 .
7.11. Доказать,
2
что
система
многочленов
1, x − a ,
n
( x − a ) , … , ( x − a ) при произвольном a ∈R образует базис линейного пространства многочленов с действительными коэффициентами
степени ≤ n . Найти матрицу перехода от базиса 1 , x , x 2 , … , x n к
базису 1 , x − a , ( x − a ) 2 , … , ( x − a ) n .
7.12. Доказать, что система многочленов P ( x) , Q( x) , R ( x) образует базис в пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени ≤ 2 . Найти координаты многочлена T ( x) в базисе
P ( x) , Q( x) , R ( x) :
а) P ( x) = 1 , Q( x) = 1 + x , R ( x) = 1 + x + x 2 , T ( x) = 3 − 2 x + 5 x 2 ;
б) P ( x) = 1 , Q( x) = x − 2 , R ( x) = ( x − 2) 2 , T ( x) = 1 + 4 x − 2 x 2 .
7.13. Доказать, что система матриц
1 0
0 1
0 0
0 0
A11 = 
 , A12 = 
 , A21 = 
 , A22 = 

0 0
0 0
1 0
0 1
197
образует базис в линейном пространстве квадратных матриц 2-го порядка и размерность этого пространства равна 4 . Чему равны коорди-
a b
 в этом базисе?
c d
наты произвольной матрицы A = 
7.14. Доказать, что система матриц вида
(β)
0

⋯
0

Aαβ =  0
0

⋯
0

⋯ 0 0 0 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ 0 0 0 ⋯ 0
α = 1, 2, ... , m ,

⋯ 0 1 0 ⋯ 0  (α),
β = 1, 2, ... , n ,
⋯ 0 0 0 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ 0 0 0 ⋯ 0 
образует базис в линейном пространстве матриц размера m × n и размерность этого пространства равна mn . Чему равны координаты произвольной матрицы A = (aij ) размера m × n в этом базисе?
7.15. Пусть дано линейное пространство L трехмерных геометрических векторов. Установить, является ли указанное множество подпространством L. В случае положительного ответа найти его размерность r :
а) множество векторов, коллинеарных фиксированной прямой;
б) множество векторов, компланарных фиксированной плоскости;
в) множество единичных векторов;
г) множество векторов x , удовлетворяющих условию (x , a) = 0 ,
где a – фиксированный ненулевой вектор.
7.16. Найти размерность r и какой-либо базис линейной оболочки
V арифметических векторов R 4 :
а) а1 = (2; 3; 3; 4) , а 2 = (2;1; −1; 2) ,
а3 = (2; 5; 7; 6) , а 4 = (10; 6; 3; 6) ;
б) а1 = (5; 4;1; 3) , а 2 = (2;1;1; 4) ,
а3 = (3; 2;1;1) , а 4 = (1; 3; − 2; 2) .
198
7.17. Дана система арифметических векторов R 4 :
а) а1 = (1; 2; − 3;1) , а 2 = ( −1;1; 0; 2) , а3 = (1; 3; − 4; 2) ;
б) а1 = (1; −1; − 2; − 3) , а 2 = (2; 3;1; −1) , а3 = (4;1; − 3; − 7) ,
а 4 = (3; 2; −1; − 3) ;
в) а1 = ( −1;1; − 3; 2) , а 2 = ( −1; 2; − 5;1) , а3 = (3; − 5;13; − 4) ,
а 4 = (− 2; 3; − 8; 3) .
Найти ранг r и указать все наборы векторов, из которых образуются базисы этой системы.
7.18. Доказать, что линейная оболочка системы многочленов
x , x + 2 x 2 , 1 + 3x 2
совпадает с линейным пространством всех многочленов степени ≤ 2 .
199
Глава 8. Евклидовы пространства
8.1. Скалярное произведение
Понятие скалярного произведения ранее было введено на множестве геометрических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число (см. главу 3), которое, как показано в главе 7,
является линейным пространством.
Пусть теперь L – произвольное действительное линейное пространство. Дадим определение.
Действительное линейное пространство L называется евклидовым
пространством, если каждой паре векторов x и y из L поставлено в
соответствие действительное число (скаляр), обозначаемое символом
(x , y ) и называемое скалярным произведением векторов x и y , причем ∀ x , y , z ∈ L и ∀λ ∈R выполнены следующие условия:
1) (x , y ) = (y , x) ;
2) (λx , y ) = λ (x , y ) ;
3) (x + y , z ) = ( x , z ) + (y , z ) ;
4) (x , x) ≥ 0 , причем (x , x) = 0 ⇔ x = 0 .
Замечание. Из условий 1–3 легко выводятся следующие равенства:
а) (x , λy ) = λ (x , y ) , так как (x , λy ) = (λy , x) = λ ( y , x) = λ (x , y ) ;
б) (x , y + z ) = ( x , y ) + (x , z ) , так как
(x , y + z ) = (y + z , x) = (y , x) + (z , x) = (x , y ) + (x , z ) ;
в) (0 , y ) = 0 следует из условия (λx , y ) = λ (x , y ) при λ = 0 .
Приведем примеры линейных пространств, в каждом из которых
вводится скалярное произведение, превращающее эти пространства в
евклидовы.
1. Пусть L – линейное пространство геометрических векторов, тогда, как известно, скалярное произведение в нем может быть задано с
помощью формулы
(x , y ) = | x | ⋅ | y | ⋅ cos(x
, y) .
200
2. Пусть L – линейное пространство арифметических векторов
n
R , тогда формула
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
n
задает в R скалярное произведение (проверьте!).
3. Пусть L – линейное пространство непрерывных на отрезке
[a ; b] функций, тогда соотношение
b
∫
( f , g ) = f ( x) g ( x)dx
a
задает скалярное произведение (проверьте!).
Отметим, что в произвольных евклидовых пространствах, благодаря наличию скалярного произведения, можно ввести понятие нормы
вектора (обобщение понятия длины геометрического вектора) и величины угла между векторами. Покажем это.
Нормой (длиной) вектора x в евклидовом пространстве L называется число
|| x || = (x , x) .
Векторы x и y евклидова пространства L называются ортогональными, если ( x , y ) = 0 (запись x ⊥ y ).
Замечание. Вектор 0 ортогонален любому вектору евклидова пространства L.
Тео рем а 8.1. Если векторы x и y евклидова пространства L ортогональны, то
|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2 .
Доказательство. Так как x ⊥ y , то ( x , y ) = 0 . Тогда
|| x + y || 2 = (x + y , x + y ) = (x, x) + (x, y ) + (y , x) + (y , y ) =
= || x || 2 + || y || 2 . ■
Замечание. Теорема 8.1 для евклидова пространства геометрических векторов (со стандартными операциями сложения векторов, умножения вектора на число и скалярного произведения векторов) есть
не что иное, как обычная теорема Пифагора. Так как теорема 8.1 является ее обобщением на случай произвольного евклидова пространства L,
то в литературе теорему 8.1 также называют теоремой Пифагора.
201
Тео рем а 8.2 (неравенство Коши – Буняковского). В любом евклидовом пространстве L выполняется неравенство
| (x , y ) | ≤ || x || ⋅ || y || ∀ x , y ∈ L .
Доказательство. Пусть λ∈R , тогда для вектора x − λy выполняется неравенство
( x − λ y , x − λ y ) ≥ 0 ⇔ ( x , x ) − 2λ ( x , y ) + λ 2 ( y , y ) ≥ 0 ⇔
⇔ || x || 2 − 2λ ( x , y ) + λ 2 || y || 2 ≥ 0 .
Так как этот квадратный трехчлен (относительно λ ) принимает неотрицательные значения ∀λ ∈ R , то он не может иметь двух различных
корней, а значит его дискриминант неположителен, т.е.
(x , y )2 − || x || 2 | ⋅ | y || 2 ≤ 0 .
Отсюда | ( x , y ) | ≤ || x || ⋅ || y || . ■
Замечание. Очевидно, что равенство | ( x , y ) | = || x || ⋅ || y || имеет место тогда и только тогда, когда x − λy = 0 , что равносильно x = λy
(в этом случае говорят, что векторы x и y пропорциональны).
В произвольном евклидовом пространстве L можно определить
угол ϕ между ненулевыми векторами x и y . По определению
(x , y )
.
cos ϕ =
|| x || ⋅ || y ||
Отметим, что | cos ϕ | ≤ 1 в силу неравенства Коши – Буняковского.
Тео рем а 8.3 . В любом евклидовом пространстве L выполняется
неравенство
|| x + y || ≤ || x || + || y || ∀ x , y ∈ L .
Доказательство. Пользуясь неравенством Коши – Буняковского,
получаем
|| x + y || 2 = (x + y , x + y ) = || x || 2 + 2(x , y ) + || y || 2 ≤
≤ || x || 2 + 2 || x || ⋅ || y || + || y || 2 = (|| x || + || y ||) 2 .
Отсюда || x + y || ≤ || x || + || y || . ■
Замечание. В литературе доказанное в теореме 8.3 неравенство называют «неравенством треугольника».
202
8.2. Ортонормированный базис
Базис e1 , e 2 , … , e n евклидова пространства L называется ортогональным, если (ei , e j ) = 0 ∀ i , j = 1, 2, ... , n и i ≠ j .
Ортогональный базис e1 , e 2 , … , e n евклидова пространства L
называется ортонормированным, если || ei || = 1 ∀ i = 1, 2, ... , n .
Тео рем а 8.4. Ненулевые попарно ортогональные векторы евклидова пространства L являются линейно независимыми.
Доказательство. Пусть дана система векторов a1 , a 2 , … , a k ∈ L ,
причем (ai , a j ) = 0 , ai ≠ 0 ∀ i , j = 1, 2, ... , k и i ≠ j .
Предположим, что эта система векторов линейно зависима, т.е.
существуют такие числа λ1 , λ 2 , … , λ k (не равные нулю одновременно), что λ1a1 + λ 2a 2 + ... + λ k a k = 0 .
Рассмотрим скалярное произведение
(λ1a1 + λ 2 a2 + ... + λ k ak , a1 ) = λ1 (a1 , a1 ) + λ 2 (a 2 , a1 ) + ... + λ k (a k , a1 ) = 0.
0
0
0
Отсюда λ1 (a1 , a1 ) = 0 . Но a1 ≠ 0 , следовательно (a1 , a1 ) > 0 , а
значит λ1 = 0 .
Аналогично, рассматривая (λ1a1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k , a 2 ) = 0 , получаем, что λ 2 = 0 , и т.д.
Значит, все λ1 = λ 2 = ... = λ k = 0 (противоречие). Таким образом,
векторы a1 , a 2 , … , a k являются линейно независимыми. ■
Тео рем а 8.5. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве L
имеются ортонормированные базисы.
Доказательство. Пусть a1 , a 2 , … , a m – произвольная система
линейно независимых векторов в n-мерном евклидовом пространстве L,
m ≤ n . Дополним ее до базиса (см. теорему 7.3) a1 , a 2 , … ,
a m , a m +1 , … , a n в L.
203
Положим e1 = a1 и e2 = a 2 + α e1 , где α – некоторое число. Ввиду
линейной независимости векторов a1 и a 2 вектор e 2 будет ненулевым.
Выберем α так, чтобы e1 и e 2 были ортогональны:
(e1 , e 2 ) = (e1 , a 2 + α e1 ) = (e1 , a 2 ) + α(e1 , e1 ) = 0 .
Так как e1 ≠ 0 , то (e1 , e1 ) ≠ 0 и из последнего условия находим
(e , a )
α=− 1 2 .
(e1 , e1 )
Допустим теперь, что попарно ортогональные и ненулевые векторы e1 , e 2 , … , el−1 уже найдены.
Положим
el = al + β1e1 + β2e 2 + ... + βl −1el −1
и подберем числа β1 , β2 , … , βl−1 так, чтобы el был ортогонален всем
векторам e1 , e 2 , … , el−1 . Для этого нужно, чтобы (ek , el ) = 0
∀k = 1, 2, ... , l − 1 . Отсюда
(e k , el ) = (ek , al + β1e1 + ... + βl −1el −1 ) = (e k , al ) + βk (e k , e k ) = 0 ,
так как (e k , ei ) = 0 ∀ i = 1, 2, ... , l − 1 при i ≠ k . Следовательно,
(e , a )
βk = − k l .
(e k , e k )
Знаменатель (e k , ek ) ≠ 0 , так как все построенные попарно ортогональные векторы e k ( k = 1, 2, ... , l − 1 ) ненулевые. Кроме того, поскольку векторы e1 , e 2 , … , el−1 линейно независимы (см. теорему 8.4), то и полученный вектор el тоже ненулевой.
Описанное построение продолжим до тех пор, пока не найдем последний ненулевой вектор
en = a n + γ1e1 + γ 2e2 + ... + γ n −1e n−1 ,
который будет ортогонален всем векторам e1 , e 2 , ... , en−1 .
По теореме 8.4 векторы e1 , e 2 , … , e n линейно независимы, а
значит образуют ортогональный базис.
204
Если теперь каждый из векторов ei ( i = 1, 2, ... , n ) поделить на его
норму || ei || , то получим ортонормированный базис евклидова пространства L. ■
Замечание. Изложенный в доказательстве теоремы 8.5 способ получения ортонормированного базиса называется процессом ортогонализации (Шмидта).
Рассмотрим вопрос о вычислении скалярного произведения в ортонормированном базисе. Пусть e1 , e 2 , … , e n – ортонормированный
базис евклидова пространства L. Тогда ∀ x , y ∈ L :
x = λ1e1 + λ 2e2 + ... + λ ne n ,
y = µ1e1 + µ 2e2 + ... + µ ne n .
Рассмотрим скалярное произведение ( x , y ) :
(x , y ) = (λ1e1 + λ 2e2 + ... + λ ne n , µ1e1 + µ 2e 2 + ... + µ n en ) =
= λ1µ1 (e1 , e1 ) + λ1µ 2 (e1 , e 2 ) + ... + λ1µ n (e1 , en ) +
+ λ 2µ1 (e2 , e1 ) + λ 2µ 2 (e 2 , e 2 ) + ... + λ 2µ n (e2 , en ) + ... +
+ λ n µ1 (en , e1 ) + λ nµ 2 (e n , e 2 ) + ... + λ nµ n (en , en ) .
Так как для ортонормированного базиса e1 , e 2 , … , e n выполняются равенства (ei , e j ) = 0 ∀i, j = 1, 2,… , n , i ≠ j , и (ei , ei ) = || ei || 2 = 1
∀ i = 1, 2, ... , n , то окончательно имеем
(x , y ) = λ1µ1 + λ 2µ 2 + ... + λ nµ n .
Замечание. Выведенное правило вычисления скалярного произведения векторов n-мерного евклидова пространства L, заданных своими
координатами в некотором ортонормированном базисе, показывает
преимущества использования этого базиса по сравнению с произвольным неортонормированным базисом при решении задач. Действительно, если бы базис e1 , e 2 , … , e n евклидова пространства L не являлся
ортонормированным, то тогда вычислять скалярное произведение по
формуле ( x , y ) = λ1µ1 + λ 2µ 2 + ... + λ n µ n было бы нельзя, так как равенства (ei , e j ) = 0 (при i ≠ j ) и (ei , ei ) = || ei || 2 = 1 не выполнялись
бы для всех значений i , j = 1, 2, ... , n .
205
8.3. Ортогональная матрица
Матрица Q называется ортогональной, если
Q −1 = QT .
Отметим, что если матрица Q является ортогональной, то нахождение обратной матрицы Q −1 становится очень простой задачей. Поэтому подобные матрицы широко применяются не только в линейной
алгебре, но и в других разделах математики (аналитическая геометрия,
численные методы, теория вероятностей и математическая статистика и
др.), а также в физике.
Следующая теорема показывает, при каких условиях в n-мерном
евклидовом пространстве возникает ортогональная матрица.
Тео рем а 8.6. В любом n-мерном евклидовом пространстве L матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному
базису является ортогональной.
Доказательство. Пусть e1 , e 2 , … , e n и e1′ , e′2 , … , e′n – ортонормированные базисы евклидова пространства L. Матрица C перехода
от e1 , e 2 , … , e n к e1′ , e′2 , … , e′n имеет вид
 c11 c12

c
c
C =  21 22
⋯ ⋯

 cn1 cn 2
… c1n 

… c2 n 
.
⋯ ⋯

… cnn 
Тогда (см. (7.1))
e1′ = c11e1 + c21e 2 + ... + cn1e n ,
 ′
e 2 = c12e1 + c22e 2 + ... + cn 2en ,

...............................................
e′n = c1ne1 + c2 ne 2 + ... + cnn en .
Рассмотрим
206
 c11

c
T
C ⋅ C =  12
⋯

 c1n
 c11c11 + ... + cn1cn1

c c + ... + cn 2 cn1
=  12 11

⋯

 c1n c11 + ... + cnn cn1
… cn1   c11 c12 … c1n 
 

… cn 2   c21 c22 … c2n 
⋅
=
⋯ ⋯  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
 

… cnn   cn1 cn 2 … cnn 
c11c12 + ... + cn1cn 2 … c11c1n + ... + cn1cnn 

c12 c12 + ... + cn 2 cn 2 … c12 c1n + ... + cn 2 cnn 
.

⋯
⋯
⋯

c1n c12 + ... + cnn cn 2 … c1n c1n + ... + cnn cnn 
c21
c22
⋯
c2 n
Значит, с учетом правила вычисления скалярного произведения в
ортонормированном базисе e1 , e 2 , … , e n (см. параграф 8.2) и того,
что базис e1′ , e′2 , … , e′n тоже ортонормированный, получим
 (e1′ , e1′ ) (e1′ , e′2 )
 ′ ′
(e , e ) (e′2 , e′2 )
T
C ⋅C =  2 1
 ⋯
⋯

 (e′n , e1′ ) (e′n , e′2 )
… (e1′ , e′n )   1 0 … 0 

… (e′2 , e′n )   0 1 … 0 
=
=E.
⋯
⋯  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 
 

… (e′n , e′n )   0 0 … 1 
Итак, C T ⋅ C = E , а согласно теореме 1.7 о единственности обратной матрицы этого равенства достаточно, чтобы матрица C T была обратной к матрице C. Таким образом,
C T = C −1 ,
т.е. матрица C перехода от ортонормированного базиса e1 , e 2 , … , e n к
ортонормированному базису e1′ , e′2 , … , e′n является ортогональной. ■
Замечания.
1. Из доказательства теоремы 8.6 следует (см. вывод равенства
C T ⋅ C = E ), что если строки и столбцы ортогональной матрицы C рассматривать как n-мерные арифметические векторы, то:
а) норма каждой строки и каждого столбца C равна 1;
б) строки и столбцы C, имеющие разные номера, попарно ортогональны.
Кроме того, очевидно, что верно и обратное.
207
2. Из сказанного выше довольно легко устанавливается, что матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) составляют ортонормированную систему n-мерных арифметических векторов.
Задачи для самостоятельного решения
8.1. Пусть x = ( x1 ; x2 ) и y = ( y1 ; y2 ) – произвольные векторы
арифметического пространства R 2 . Является ли R 2 евклидовым пространством, если скалярное произведение векторов попытаться определить в нем следующим способом:
а) ( x , y ) = 7 x1 y1 + 3 x2 y2 ; б) ( x , y ) = x1 y1 − x2 y2 ?
8.2. Является ли множество всех геометрических векторов евклидовым пространством, если скалярное произведение двух векторов попытаться определить как произведение их длин?
8.3. Является ли множество всех геометрических векторов евклидовым пространством, если скалярное произведение векторов a и b
попытаться определить как произведение длины вектора a и удвоенной
проекции вектора b на направление вектора a ?
8.4. Доказать, что в линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени ≤ n скалярное произведение
многочленов
Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
и
Qn ( x) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n
можно определить следующим способом (превратив это линейное пространство в евклидово):
( Pn ( x), Qn ( x)) = a0b0 + a1b1 + a2b2 + ... + anbn .
Вычислить в этом евклидовом пространстве (при n = 3 ) скалярное произведение
и
нормы
многочленов
P3 ( x) = 2 + 3 x − x 2 + 4 x3
и
3
Q3 ( x) = x − 3x .
8.5. Доказать, что в линейном пространстве функций, непрерывных
на отрезке [a ; b] , скалярное произведение функций f ( x) и g ( x)
208
можно определить следующим способом (превратив это линейное пространство в евклидово):
b
∫
( f , g ) = f ( x) g ( x)dx .
a
Вычислить в этом евклидовом пространстве функций, непрерывных на
отрезке [a ; b] = [0;1] , скалярное произведение и нормы функций
f ( x) = x и g ( x) = 4 − x 2 .
8.6. Рассмотрим евклидово пространство R 4 , в котором скалярное
произведение
для
произвольных
арифметических
векторов
x = ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) и y = ( y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) определяется по следующей
формуле:
(x , y ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 .
Проверить ортогональность и выполнение теоремы Пифагора для следующих векторов:
а) x = ( − 2; 0;1; 3) и y = (1; − 5; 2; 0) ;
б) x = (4; − 3; 2; −1) и y = (2; 5; −1; − 9) .
8.7. Рассмотрим евклидово пространство функций, непрерывных
на отрезке [0;1] , в котором скалярное произведение для произвольных
функций f ( x) и g ( x) определяется по формуле
1
∫
( f , g ) = f ( x) g ( x)dx .
0
Найти
значение
λ,
при
котором
функции
f ( x) = x 2 + 1
и
g ( x) = λx 2 + 1 ортогональны на отрезке [0;1] , и проверить для этих
функций (при найденном λ ) справедливость теоремы Пифагора.
8.8. Рассмотрим евклидово пространство функций, непрерывных
на отрезке [ − π ; π] , в котором скалярное произведение для произвольных функций f ( x) и g ( x) определяется по формуле
π
( f , g) =
∫ f ( x) g ( x)dx .
−π
209
Доказать, что тригонометрическая система функций
1 , cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , … , cos nx , sin nx , …
является ортогональной на отрезке [ − π ; π] (как и на всяком отрезке
длиной 2π ).
8.9. Применив процесс ортогонализации к системе векторов евклидова пространства R 4 , в котором скалярное произведение для произвольных
арифметических
векторов
x = ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
и
y = ( y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) определяется по формуле (x , y ) = x1 y1 + x2 y2 +
+ x3 y3 + x4 y4 , построить ортонормированный базис подпространства,
натянутого на данную систему:
а) a1 = (1;1;1;1) , a 2 = (3; 3; −1; −1) , a3 = ( − 2; 0; 6; 8) ;
б) a1 = (1; 2; 2; −1) , a 2 = (1;1; − 5; 3) , a3 = (3; 2; 8; − 7) ;
в) a1 = (2;1; 3; −1) , a 2 = (7; 4; 3; − 3) , a3 = (1;1; − 6; 0) ,
a 4 = (5; 7; 7; 8) .
8.10. Пусть дано евклидово пространство многочленов с действительными коэффициентами степени ≤ 2 (рассматриваемых на отрезке
[0;1] ), в котором скалярное произведение для произвольных многочле1
нов f ( x) и g ( x) определяется по формуле ( f , g ) =
∫ f ( x) g ( x)dx .
0
2
Используя базис a1 = x , a 2 = x , a3 = 1 и применяя процесс ортогонализации, построить для этого пространства ортонормированный базис
e1 , e 2 , e3 .
Во всех следующих задачах этой главы через e1 , e 2 , … , e n обозначается ортонормированный базис произвольного n-мерного евклидова пространства.
8.11. Найти норму вектора
а) x = e1 + 2e 2 − 4e3 − 2e4 ; б) x = 3e1 − e 2 + 2e3 + 6e4 .
8.12. Нормировать вектор
а) x = e1 7 − e 2 3 − e3 5 + e 4 ;
б) x = e1 sin ϕ cos ϕ − e 2 sin 3 ϕ + e3 cos ϕ − e 4 sin 2 ϕ cos ϕ .
210
8.13. При каком значении λ векторы x = λe1 + λe2 − e3 − λe 4 и
y = e1 − e2 + λe3 − e 4 имеют одинаковые нормы?
67 
−2 7 3 7


8.14. Дана матрица C =  6 7 − 2 7 3 7  перехода от орто 37
6 7 − 2 7 

нормированного базиса e1 , e 2 , e3 к базису e1′ , e′2 , e′3 . Доказать, что базис e1′ , e′2 , e′3 ортонормированный.
8.15. Найти нормированный вектор, ортогональный векторам
x = 3e1 − e 2 − e3 − e4 , y = e1 − 3e2 + e3 + e 4 , z = e1 + e 2 − 3e3 + e4 .
8.16. При каком значении λ базис, образованный векторами
a1 = λe1 + e 2 + e3 + e4 , a 2 = e1 + λe2 + e3 + e 4 , a3 = e1 + e2 + λe3 + e4 ,
a 4 = e1 + e2 + e3 + λe 4 , является ортогональным? Нормировать этот
базис.
8.17. При каких действительных значениях λ и µ базис, образованный векторами e1′ =
λ
1− λ
1− λ
λ
e1 +
e2 + µe3 , e′2 =
e1 + µe 2 + e3 ,
3
3
3
3
λ
1− λ
e′3 = µe1 + e2 +
e3 , является ортонормированным?
3
3
2
3
6
8.18. Даны
координаты
векторов
e1′ = − e1 + e2 + e3 ,
7
7
7
6
2
3
3
6
2
e′2 = e1 − e2 + e3 , e′3 = e1 + e2 − e3 , x = e1 − 2e2 − 3e3 . Дока7
7
7
7
7
7
зать, что векторы e1′ , e′2 , e′3 образуют ортонормированный базис, и найти координаты вектора x в базисе e1′ , e′2 , e′3 .
211
Глава 9. Линейные операторы
9.1. Основные определения. Матрица
линейного оператора
Говорят, что в линейном пространстве L задан оператор (преобразование) ϕ , если каждому вектору x ∈ L поставлен в соответствие определенный вектор ϕ(x) ∈ L .
Оператор (преобразование)
ϕ
называется
линейным,
если
∀ x , y ∈ L и для произвольного числа α выполняются следующие свойства:
1) ϕ(x + y ) = ϕ(x) + ϕ(y ) ;
2) ϕ(αx) = αϕ(x) .
Вектор ϕ(x) называется образом вектора x , а вектор x – прообразом вектора ϕ(x) при преобразовании ϕ .
Выберем в L базис e1 , e 2 , … , e n . Тогда, если
x = x1e1 + x2e2 + … + xne n ,
то в силу линейности оператора ϕ имеем
ϕ(x) = x1ϕ(e1 ) + x2 ϕ(e 2 ) + … + xn ϕ(e n ) .
Но ϕ(e1 ) , ϕ(e 2 ) , … , ϕ(e n ) также векторы из L, поэтому
ϕ(e1 ) = a11e1 + a21e 2 + … + an1e n ,

ϕ(e 2 ) = a12e1 + a22e 2 + … + an 2en ,

.................................................
ϕ(e n ) = a1ne1 + a2 ne 2 + … + ann en .
Тогда с учетом (9.1)
ϕ(x) = x1 ( a11e1 + a21e 2 + … + an1e n ) +
+ x2 (a12e1 + a22e 2 + … + an 2en ) + … +
+ xn (a1ne1 + a2ne 2 + … + ann en ).
212
(9.1)
Группируя по «столбцам», получаем
ϕ(x) = (a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn )e1 + (a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn )e 2 + … +
+ (an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn )e n .
Если x1′ , x2′ , … , xn′ – координаты вектора ϕ(x) в том же базисе
e1 , e 2 , … , e n , т.е. если
ϕ(x) = x1′e1 + x2′ e 2 + … + xn′ en ,
то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем
 x1′ = a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ,
 ′
 x2 = a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ,

.............................................
 xn′ = an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn .
(9.2)
Таким образом, каждому линейному оператору ϕ в данном базисе
e1 , e 2 , … , e n отвечает матрица
 a11

a
An×n =  21
⋯

 an1
a12
a22
⋯
an 2
… a1n 

… a2 n 
,
⋯ ⋯

… ann 
столбцы которой образованы коэффициентами разложения векторов
ϕ(e1 ) , ϕ(e 2 ) , … , ϕ(e n ) по базису e1 , e 2 , … , e n .
Отметим, что коэффициенты разложений координат x1′ , x2′ , … ,
xn′ вектора ϕ(x) по координатам вектора x образуют строки матрицы A.
Верно и обратное: если в n-мерном векторном пространстве L задан базис, то каждая квадратная матрица A n-го порядка может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора.
Действительно, пусть e1 , e 2 , … , e n – базис L и пусть дана матрица A n-го порядка. Обозначим через ϕ оператор, переводящий произвольный вектор x = x1e1 + x2 e2 + … + xn e n в вектор ϕ( x) = x1′e1 +
+ x2′ e2 + … + xn′ en (см. (9.2)).
213
Покажем, что оператор ϕ – линейный. В самом деле, произволь-
y = y1e1 + y2e 2 + … + yne n он переводит в вектор
ϕ(y ) = y1′e1 + y2′ e 2 + … + yn′ e n . При этом согласно (9.2) имеем
 y1′ = a11 y1 + a12 y2 + … + a1n yn ,
 ′
 y2 = a21 y1 + a22 y2 + … + a2 n yn ,

.............................................
 yn′ = an1 y1 + an 2 y2 + … + ann yn ,
вектор x + y = ( x1 + y1 )e1 + ( x2 + y2 )e2 + … + ( xn + yn )e n – в вектор
ϕ(x + y ) = z1e1 + + z2e2 + … + zn en , где
zi = ai1 ( x1 + y1 ) + ai 2 ( x2 + y2 ) + … + ain ( xn + yn ) = … = xi′ + yi′ ,
∀i = 1, 2, ... , n .
Поэтому ϕ(x + y ) = ϕ(x) + ϕ(y ) .
Далее, для любого числа α имеем αx = (αx1 )e1 + (αx2 )e 2 +
+ … + (αxn )en и ϕ(αx) = t1e1 + t2e 2 + … + tn en , где
ti = ai1 (αx1 ) + ai 2 (αx2 ) + … + ain (αxn ) = … = αxi′ , ∀i = 1, 2, ... , n .
Следовательно, ϕ(αx) = αϕ(x) . А значит, оператор ϕ линейный.
Итак, если в n-мерном векторном пространстве L задан базис, то
ный
вектор
каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица n-го порядка, и обратно, каждой подобной матрице отвечает определенный линейный оператор.
Матрица A называется матрицей линейного оператора ϕ .
Замечание. Из изложенного следует, что само линейное преобразование ϕ от базиса не зависит, однако матрица линейного оператора ϕ
зависит от выбора базиса в L. В разных базисах матрицы оператора ϕ
различны, хотя и связаны между собой с помощью матрицы перехода от
одного базиса к другому (см. параграф 9.2).
Очевидно, что для любого линейного оператора ϕ(0) = 0 . При
этом, если ϕ(x) = 0 только при x = 0 , то оператор ϕ называется невырожденным, если же найдется такой вектор x ≠ 0 , что ϕ(x) = 0 , то
оператор ϕ вырожденный.
214
Пусть A – матрица линейного оператора ϕ . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0,

 a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = 0,

.............................................
 an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = 0.
Для существования ненулевого решения этой системы (а значит, для
существования ненулевого вектора x = x1e1 + x2 e2 + … + xn e n такого,
что ϕ(x) = 0 ) необходимо и достаточно, чтобы det A = 0 .
Итак, оператор ϕ невырожденный тогда и только тогда, когда
det A ≠ 0 , где A – матрица этого оператора в любом базисе.
П рим ер 9.1. Пусть e1 , e 2 , e3 , e 4 – базис линейного пространства
L, в котором дан линейный оператор ϕ . Записать этот оператор в координатной форме, если
ϕ(e1 ) = e3 + e4 , ϕ(e2 ) = e1 + e 4 , ϕ(e3 ) = e1 + e2 , ϕ(e 4 ) = e 2 + e3 .
Решение. Матрица A линейного оператора ϕ имеет следующий
вид (записывается по столбцам!):
0 1 1 0


0 0 1 1
A=
.
1 0 0 1


1 1 0 0
Поэтому x1′ = x2 + x3 , x2′ = x3 + x4 , x3′ = x1 + x4 , x4′ = x1 + x2 . П рим ер 9.2. В трехмерном линейном пространстве L дан линейный оператор ϕ , который в координатной форме имеет следующий
вид:
x′ = − 2( y + z ) , y′ = − 3( x + z ) , z ′ = − ( x + y ) .
Является ли данный линейный оператор вырожденным?
Решение. Матрица A линейного оператора ϕ имеет следующий
вид (записывается по строкам!):
215
 0 − 2 − 2


A =  −3 0 −3 .
 − 1 −1 0 


Поскольку det A = −12 ≠ 0 , то данный линейный оператор является невырожденным. П рим ер 9.3. Преобразование ϕ совокупности всех векторов на
плоскости Oxy (в правом ортонормированном базисе i , j ) заключается
в повороте каждого вектора против часовой стрелки на угол α . Проверить, что преобразование ϕ является линейным. Найти матрицу этого
линейного преобразования и записать ϕ в координатной форме.
Решение. Для любых векторов x и y на плоскости Oxy вектор
ϕ(x + y ) представляет собой повернутый на угол α против часовой
стрелки вектор x + y . Вектор ϕ(x) + ϕ( y ) является результатом сложения векторов ϕ(x) и ϕ(y ) , каждый из которых получается вследствие
поворота на угол α против часовой стрелки векторов x и y соответственно. Поэтому выполняется равенство ϕ(x + y ) = ϕ(x) + ϕ(y ) .
Аналогично для любого вектора x на плоскости Oxy и произвольного числа λ вектор ϕ(λx) представляет собой повернутый на угол α
против часовой стрелки вектор λx . Вектор λϕ(x) является результатом умножения на число λ вектора ϕ(x) , полученного вследствие поворота на угол α против часовой стрелки вектора x . Поэтому выполняется равенство ϕ(λx) = λϕ(x) . Таким образом, преобразование ϕ
является линейным.
Напишем формулы преобразования векторов базиса i , j , опираясь
на определения синуса и косинуса:
ϕ(i) = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j ,
π

π

ϕ( j) = cos  + α  ⋅ i + sin  + α  ⋅ j = − sin α ⋅ i + cos α ⋅ j .
2
2




Тогда матрица A линейного преобразования ϕ имеет следующий вид
(записывается по столбцам!):
216
 cos α − sin α 
A=
.
 sin α cos α 
Отметим, что полученную матрицу A называют матрицей поворота.
Тогда в координатной форме преобразование ϕ имеет следующий
вид:
x′ = x cos α − y sin α ,
y′ = x sin α + y cos α . 9.2. Изменение матрицы линейного оператора
при переходе к новому базису
Пусть линейный оператор ϕ , действующий в линейном пространстве L, в базисе e1 , e 2 , … , e n
имеет матрицу A, а в базисе
′
′
′
e1 , e 2 , … , e n – другую матрицу B. Установим связь между A и B.
Пусть C – матрица перехода от базиса e1 , e 2 , … , e n к базису
e1′ , e′2 , … , e′n . Положим далее, что:
1) x и x′ – вектор-столбцы, составленные из координат какоголибо вектора из пространства L соответственно в «старом»
e1 , e 2 , … , e n и «новом» e1′ , e′2 , … , e′n базисах;
2) y и y ′ – вектор-столбцы из координат вектора из пространства L, записанные соответственно в «старом» e1 , e 2 , … , e n и «новом» e1′ , e′2 , … , e′n базисах.
Тогда
y = Ax , y ′ = Bx′ .
Кроме того,
x = Cx ′ , y = Cy ′ .
Следовательно,
Cy ′ = A ⋅ (Cx′) ,
или
Cy ′ = ( AC )x′ .
Но C – невырожденная матрица, поэтому
217
C −1 ⋅ Cy ′ = C −1 ⋅ ( AC )x′ ,
или
y ′ = (C −1 AC )x′ .
Однако, как указывалось,
y ′ = Bx ′ .
Значит,
B = C −1 AC .
(9.3)
П рим ер 9.4. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 задан матри1 1 
 . Найти матрицу B этого оператора в базисе b1 , b 2 ,
 2 −1 
если известно, что b1 = 2a1 + 3a 2 , b 2 = − a1 − 2a 2 .
Решение. Матрица перехода C от «старого» базиса a1 , a 2 к «новому» базису b1 , b 2 имеет следующий вид:
цей A = 
 2 −1 
C =
.
 3 − 2
 2 −1 
 , а значит, согласно (9.3),
 3 −2
 2 −1   1 1   2 −1   9 − 6 
B = C −1 AC = 
⋅
 ⋅
=
.
 3 − 2   2 −1  3 − 2  13 − 9 
Тогда C −1 = 
9.3. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
Вектор x ≠ 0 называется собственным вектором линейного оператора ϕ , если существует такое число λ 0 , что
ϕ(x) = λ 0 x .
(9.4)
Число λ 0 называется соответствующим вектору x собственным значением оператора ϕ .
218
Замечание. Поскольку каждый линейный оператор ϕ в некотором
базисе однозначно задается квадратной матрицей A, то определение
собственного вектора x ≠ 0 (представленного в виде вектор-столбца)
можно записать так:
Ax = λ 0 x .
(9.5)
Поэтому часто говорят о собственных значениях и векторах матрицы.
Отметим, что собственные векторы и собственные значения линейного оператора (или матрицы) находят широкое применение
не только в линейной алгебре, но и в других разделах математики (аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, численные методы и др.), а также в физике.
Рассмотрим решение задачи нахождения собственных значений и
собственных векторов линейного оператора.
Пусть x ≠ 0 – собственный вектор, а λ 0 – соответствующее ему
собственное значение линейного оператора ϕ , задаваемого в некотором
базисе e1 , e 2 , … , e n матрицей A. Тогда имеем матричное уравнение
(9.5), которое в компонентах равносильно системе
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = λ 0 x1 ,

a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = λ 0 x2 ,
⇔

..................................................
an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = λ 0 xn ;
(a11 − λ 0 ) x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0,

 a21 x1 + (a22 − λ 0 ) x2 + … + a2 n xn = 0,
⇔ 
........................................................
 an1 x1 + an 2 x2 + … + (ann − λ 0 ) xn = 0.
Получили однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными, для существования ненулевого решения которой необходимо
и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю, т.е.
219
a11 − λ0
a21
⋯
an1
a12
a22 − λ 0
⋯
an 2
…
a1n
…
a2 n
=0.
⋯
⋯
… ann − λ 0
Левая часть последнего равенства совпадает при λ = λ 0 со значением
определителя матрицы A − λE . Этот определитель является многочленом степени n относительно λ . Он называется характеристическим
многочленом линейного оператора ϕ (часто говорят характеристическим многочленом матрицы A). Итак, показано, что каждое собственное
значение линейного оператора является корнем его характеристического многочлена.
Верно и обратное. Каждый корень λ 0 характеристического многочлена линейного оператора ϕ будет являться его собственным значением.
Действительно, соответствующие λ 0 собственные векторы находятся из системы уравнений
(a11 − λ 0 ) x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0,

 a21 x1 + (a22 − λ 0 ) x2 + … + a2 n xn = 0,

........................................................
 an1 x1 + an 2 x2 + … + (ann − λ 0 ) xn = 0,
которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, так как ее
определитель равен нулю.
Тео рем а 9.1. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.
Доказательство. Пусть f (λ ) = det( A − λE ) – характеристический
многочлен оператора ϕ (матрицы A) в базисе e1 , e 2 , … , e n . Предположим, что «новый» базис e1′ , e′2 , … , e′n получается из «старого»
e1 , e 2 , … , e n с помощью матрицы перехода C. Пусть B – матрица
линейного оператора ϕ в «новом» базисе, а значит, согласно (9.3),
B = C −1 AC . Характеристический многочлен f ′(λ) оператора ϕ в базисе e1′ , e′2 , … , e′n равен f ′(λ ) = det( B − λE ) . Тогда
220
f ′(λ ) = det( B − λE ) = det(C −1 AC − λE ) = det(C −1 AC − C −1 (λE )C ) =
= det(C −1 ( A − λE )C ) = det(C −1 ) ⋅ det( A − λE ) ⋅ det(C ) =
= det( A − λE ) = f (λ ) . ■
Сделаем несколько важных замечаний относительно собственных
значений и собственных векторов линейного оператора.
1. Если оператор ϕ задается единичной матрицей E (оператор ϕ в
этом случае называется тождественным), то все ненулевые векторы
линейного пространства L являются его собственными (с λ 0 = 1 ).
2. Если оператор ϕ задается нулевой матрицей (т.е. оператор ϕ
переводит все векторы линейного пространства L в вектор 0 ), то все
ненулевые векторы линейного пространства L являются собственными
(с λ 0 = 0 ).
3. Если x – собственный вектор линейного оператора ϕ (с собственным значением λ 0 ), то для любого числа c ( c ≠ 0 ) вектор cx также
является собственным (с тем же собственным значением λ 0 ).
Действительно, так как оператор ϕ – линейный, то ϕ(cx) = cϕ(x) .
Поскольку x – собственный вектор линейного оператора ϕ (с собственным значением λ 0 ), то, согласно (9.4), ϕ(x) = λ 0 x . Поэтому
ϕ(cx) = cϕ(x) = c(λ 0 x) = λ 0 (cx) .
Сформулируем три утверждения, которые примем без доказательства.
1. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие
попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
2. Собственные значения линейного оператора, задаваемого в
некотором базисе симметрической матрицей, являются действительными числами.
3. Соответствующие попарно различным собственным значениям
собственные векторы действующего в евклидовом пространстве линейного оператора, задаваемого в некотором базисе симметрической матрицей, взаимно ортогональны.
П рим ер 9.5. Найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора ϕ , задаваемого в некотором базисе матрицей
221
1 4
A=
.
 2 3
Решение.
Найдем
f (λ) = det( A − λE ) :
корни
характеристического
многочлена
1− λ
4
λ = −1,
= 0 ⇔ λ 2 − 4λ − 5 = 0 ⇔ 
2
3−λ
λ = 5.
Найдем теперь собственные векторы, отвечающие собственным
значениям λ = −1 и λ = 5 линейного оператора ϕ .
 x1 
,
 x2 
1) λ = −1 . Тогда для нахождения собственных векторов x = 
согласно (9.5), надо решить однородную систему линейных уравнений
 x1 + 4 x2 = − x1 ,
 x1 
 1 4   x1 
Ax = (−1) ⋅ x ⇔ 
⇔
 ⋅   = −1 ⋅   ⇔ 
 2 3   x2 
 x2 
2 x1 + 3 x2 = − x2 ;
2 x1 + 4 x2 = 0,
 x1 
 −2
⇔ x1 + 2 x2 = 0 ⇔   = c ⋅ 
⇔ 
.
 1 
 x2 
2 x1 + 4 x2 = 0;
Итак, семейство собственных векторов, соответствующих собст-
 − 2
 – один
 1 
венному значению λ = −1 , имеет вид ce1 , где c ≠ 0 , e1 = 
из собственных векторов этого семейства.
 x1 
,
 x2 
2) λ = 5 . Тогда для нахождения собственных векторов x = 
согласно (9.5), надо решить однородную систему линейных уравнений
 x1 + 4 x2 = 5 x1 ,
 x1 
 1 4   x1 
Ax = 5 x ⇔ 
⇔
⋅  = 5⋅  ⇔ 
 2 3   x2 
 x2 
2 x1 + 3 x2 = 5 x2 ;
− 4 x1 + 4 x2 = 0,
 x1 
1
⇔ 
⇔ x1 − x2 = 0 ⇔   = c ⋅   .
1
 x2 
2 x1 − 2 x2 = 0;
222
Итак, семейство собственных векторов, соответствующих собст-
1
1
венному значению λ = 5 , имеет вид ce2 , где c ≠ 0 , e2 =   – один из
собственных векторов этого семейства. Поскольку матрица линейного оператора имеет различный вид в
разных базисах, желательно рассматривать оператор в таком базисе, в
котором его матрица имеет наиболее простой вид.
Тео рем а 9.2. Линейный оператор ϕ , действующий в n-мерном
линейном пространстве L, задается в базисе e1 , e 2 , … , e n этого пространства диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса e1 , e 2 , … , e n собственные.
Доказательство.
Необходимость. Пусть матрица A линейного оператора ϕ в базисе
e1 , e 2 , … , e n имеет диагональный вид
 λ1 0

0 λ2
A=
⋯ ⋯

0 0
… 0

… 0
.
⋯ ⋯

… λn 
Тогда, согласно (9.1),
ϕ(e1 ) = λ1e1 + 0 ⋅ e2 + … + 0 ⋅ en = λ1e1 ,
ϕ(e 2 ) = 0 ⋅ e1 + λ 2e2 + … + 0 ⋅ en = λ 2e 2 ,
……………………………………….
ϕ(e n ) = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + … + λ n en = λ ne n .
Следовательно, e1 , e 2 , … , e n – собственные векторы линейного
оператора ϕ , а λ1 , λ 2 , … , λ n – соответствующие им собственные
значения.
Достаточность. Пусть e1 , e 2 , … , e n – собственные векторы линейного оператора ϕ , образующие базис и отвечающие собственным
значениям λ1 , λ 2 , … , λ n соответственно. Тогда, согласно определению (9.4),
223
ϕ(e1 ) = λ1e1 = λ1e1 + 0 ⋅ e2 + … + 0 ⋅ e n ,
ϕ(e 2 ) = λ 2e 2 = 0 ⋅ e1 + λ 2e2 + … + 0 ⋅ e n ,
…………………………………………
ϕ(e n ) = λ ne n = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + … + λ ne n .
Следовательно, по определению матрицы A линейного оператора
ϕ (см. (9.1)), имеем
 λ1 0

0 λ2
A=
⋯ ⋯

0 0
… 0

… 0
.
⋯ ⋯

… λn 
Таким образом, матрица A линейного оператора ϕ диагональная,
причем на ее главной диагонали стоят собственные значения
λ1 , λ 2 , … , λ n базисных векторов e1 , e 2 , … , e n соответственно. ■
Из доказанной теоремы 9.2 и сформулированных утверждений
следует, что если число различных корней характеристического многочлена линейного оператора совпадает с размерностью линейного пространства, то существует базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид.
Отметим, что если характеристический многочлен имеет кратные
корни, но для каждого кратного корня существует столько линейно
независимых собственных векторов, какова кратность корня, то матрица
такого оператора также может быть приведена к диагональному виду.
П рим ер 9.6. (продолжение примера 9.5). Зная собственные значения и собственные векторы линейного оператора ϕ , задаваемого в
некотором базисе матрицей
1 4
A=
,
 2 3
составить матрицу этого линейного оператора в базисе из найденных
собственных векторов.
Решение. Согласно рассмотренному примеру λ1 = −1 и λ 2 = 5 –
 − 2
1
 , e2 =   – соответствующие им
 1 
1
собственные значения, а e1 = 
224
собственные векторы. Тогда в базисе из собственных векторов e1 , e 2 ,
согласно теореме 9.2, матрица B линейного оператора имеет диагональный вид
 −1 0 
B=
.
 0 5
Замечание. Матрицу B можно получить и непосредственно из соотношения (9.3)
B = C −1 AC ,
где C – матрица перехода от «старого» базиса (в котором матрица линейного оператора равна A) к «новому» базису из собственных векторов
e1 , e 2 . Матрица C имеет следующий вид (напомним, что координаты
векторов e1 , e 2 в «старом» базисе формируют столбцы матрицы перехода!):
 − 2 1
C =
.
 1 1
Задачи для самостоятельного решения
9.1. Выяснить, является ли указанное отображение ϕ трехмерного
пространства геометрических векторов в себя линейным оператором.
В случае положительного ответа выписать матрицу A этого линейного
оператора в правом ортонормированном базисе i , j , k :
а) ϕ( x) = λ 0 x , где λ 0 – фиксированное число;
б) ϕ( x) = λ 0 x + a , где λ 0 – фиксированное число, a ≠ 0 – фиксированный вектор, a = a1i + a2 j + a3k ;
в) ϕ состоит в замене каждого вектора его составляющей по оси
ординат;
г) ϕ состоит в замене каждого вектора его зеркальным отображением относительно плоскости Oxy;
д) ϕ(x) = (x , a) x , где
a≠0
–
фиксированный
вектор,
a = a1i + a2 j + a3k , (x , a) – скалярное произведение векторов;
225
е) ϕ(x) = [x , a] ,
где
a≠0
–
фиксированный
вектор,
a = a1i + a2 j + a3k , [x , a] – векторное произведение векторов.
9.2. Пусть e1 , e 2 , e3 , e 4 – базис линейного пространства. В этом
пространстве задан линейный оператор ϕ . Написать матрицу A этого
линейного оператора, если:
а) ϕ(e1 ) = e1 + e3 , ϕ(e 2 ) = e 2 − 5e4 ,
ϕ(e3 ) = e 2 + 3e3 + 2e4 , ϕ(e 4 ) = e1 − e2 + e4 ;
б) ϕ(e1 ) = e1 − 2e 4 , ϕ(e 2 ) = 3e 2 + e4 ,
ϕ(e3 ) = e1 + e3 + e 4 , ϕ(e 4 ) = 5e2 − e3 + 3e 4 .
ров
9.3. В трехмерном линейном пространстве геометрических вектозадан оператор ϕ , переводящий произвольный вектор
a = xi + yj + zk в вектор ϕ(a) = x′ i + y ′ j + z ′ k . Проверить, что оператор ϕ является линейным. Написать матрицу A линейного оператора
ϕ и выяснить, является ли ϕ вырожденным:
а) x′ = x − y + z , y′ = 2 x + 2 y − z , z ′ = x − y + 2 z ;
б) x′ = x + 2 y + 3 z , y ′ = 2 x − y + z , z ′ = x − 4 y − z .
9.4. Выяснить, является ли отображение ϕ пространства R 3 арифметических векторов x = ( x1 ; x2 ; x3 ) в себя линейным оператором.
В случае положительного ответа выписать матрицу A этого линейного
оператора в каноническом базисе e1 = (1; 0; 0) , e2 = (0;1; 0) ,
e3 = (0; 0;1) :
а) ϕ( x) = ( x1 − x3 ; 2 x2 + x3 ; x2 ) ; б) ϕ( x) = (3x2 ; x1 − 2; x1 + 2 x3 ) ;
в) ϕ( x) = (2 x1 − x2 ; 0; 3x2 − x3 ) ; г) ϕ( x) = (0; 2 x1 + 3; x2 + x3 ) .
9.5. В линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами
Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
степени ≤ n задан оператор дифференцирования ϕ :
ϕ ( Pn ( x) ) = Pn′ ( x) .
Проверить, что ϕ – линейный оператор, и найти его матрицы в двух
базисах:
226
а) 1 , x , x 2 , … , x n ;
б) 1 , x − x0 ,
( x − x0 )2
( x − x0 )n
,…,
.
2!
n!
9.6. В линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами
P3 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3
степени ≤ 3 задан оператор ϕ :
ϕ ( P3 ( x) ) = x ⋅ P3′( x + 2) .
Проверить, что ϕ – линейный оператор, и найти его матрицы в двух
базисах:
а) 1 , x , x 2 , x3 ;
б) 1 , x + 2 , ( x + 2) 2 , ( x + 2)3 .
9.7. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 задан матрицей A .
Найти его матрицу B в базисе b1 , b 2 , если известно разложение векторов b1 , b 2 по базису a1 , a 2 :
 4 − 3  b1 = a1 + 3a 2 ,
,
 1 5  b 2 = 2a1 + a 2 ;
 6 − 5  b1 = 4a1 − a 2 ,
б) A = 
,
 7 − 6  b 2 = a1 + a 2 .
а) A = 
9.8. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 , a3 задан матрицей A .
Найти его матрицу B в базисе b1 , b 2 , b3 , если известно разложение
векторов b1 , b 2 , b3 по базису a1 , a 2 , a3 :
 − 2 1 1  b1 = − a1 + 2a 2 + 2a3 ,


а) A =  1 2 2  , b 2 = − 2a1 − a 2 + 2a3 ,
 2 0 1  b = 2a + a ;


3
1
2
 − 3 1 −1 b1 = 2a1 + a 2 + a3 ,


б) A =  2 2 −1 , b 2 = a1 + 2a 2 − a3 ,
 1 1 2  b = a − 2a .


3
2
3
227
9.9. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 задан матрицей A .
Найти его матрицу B в базисе b1 , b 2 , если известно разложение векторов a1 , a 2 по базису b1 , b 2 :
 3 − 7  a1 = b1 − b 2 ,
,
 2 9  a 2 = 4b1 + b 2 ;
 8 − 7  a1 = 5b1 − 2b 2 ,
б) A = 
,
 −1 2  a 2 = 3b1 − 2b 2 .
9.10. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 , a3 задан матрицей A .
Найти его матрицу B в базисе b1 , b 2 , b3 , если известно разложение
векторов a1 , a 2 , a3 по базису b1 , b 2 , b3 :
 7 −1 2  a1 = b1 − b 2 ,


а) A =  3 6 − 4  , a 2 = 2b1 + b 2 + b3 ,
1 1 −5 a = b + b ;


3
1
3
a
=
2
b
+
b
1
0
−
2


1
1
3,


б) A =  3 1 3  , a 2 = b1 + b 2 + b3 ,
0 1 4  a = b −b .


3
2
3
9.11. Линейный оператор ϕ в базисе a1 , a 2 задан матрицей A .
Найти его матрицу B в базисе b1 , b 2 (координаты векторов даны в
некотором базисе e1 , e 2 ):
а) A = 
 − 2 −3
 3
 2
 4 
 −1 
 , a1 =   , a 2 =   , b1 =   , b 2 =   ;
4
 1
 2
1
 −5
1
 6 −2
 1 
1
3
 − 2
б) A = 
 , a1 =   , a 2 =   , b1 =   , b 2 =   .
−2 1 
 −2
 − 1
 −1 
 1 
а) A = 
9.12. Найти собственные значения, собственные векторы линейного оператора ϕ , заданного в некотором базисе матрицей A , и матрицу
B этого оператора в базисе из собственных векторов:
228
 6 −1 
 3 6
 −3 1 
 ; б) A = 
 ; в) A = 
;
14 − 3 
 0,5 5 
 6 −2
 1 − 4 −3
 3 −1 
 2 5


е) A =  2 6 − 2  ;
г) A = 
 ; д) A = 
;
1
1
1
6




0 −2 −2


 2 5 −1 
 −1 − 3 − 3 




ж) A =  −1 − 3 0  ;
з) A =  3
5
3 ;
 2 3 −2
 −1 − 1 1 




1
1 
 4 2 −1 
 2




и) A =  − 2 0 1  ;
к) A =  6
1 −2 .
 2 2 1
 −15 − 5 − 6 




а) A = 
229
Глава 10. Квадратичные формы
10.1. Определение квадратичной формы.
Линейное преобразование неизвестных
Квадратичной формой f ( x1 , x2 , ... , xn ) от n неизвестных называется многочлен от n переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена:
f ( x1 , x2 , ... , xn ) = a11 x12 + a22 x22 + ... + ann xn2 + a12 x1 x2 + a21 x2 x1 + ... +
+ aij xi x j + a ji x j xi + ... + an −1,n xn−1 xn + an,n−1 xn xn−1 ,
причем aij = a ji ∀ i , j = 1, 2, ... , n ( i ≠ j ) [6].
Замечание. С учетом условия aij = a ji ∀ i , j = 1, 2, ... , n ( i ≠ j )
квадратичную форму обычно записывают в виде
f ( x1 , x2 , ... , xn ) = a11 x12 + a22 x22 + ... + ann xn2 +
+ 2a12 x1 x2 + ... + 2aij xi x j + ... + 2an−1,n xn−1 xn .
Из коэффициентов aij можно составить квадратную матрицу n-го
порядка:
 a11

a
An×n =  21
⋯

 an1
a12
a22
⋯
an 2
… a1n 

… a2 n 
,
⋯ ⋯

… ann 
которая называется матрицей квадратичной формы f, а ее ранг r называется рангом квадратичной формы f.
Если r = n , т.е. матрица A невырожденная ( det A ≠ 0 ), то и квадратичная форма f называется невырожденной.
Из условия aij = a ji ∀ i , j = 1, 2, ... , n ( i ≠ j ) следует, что
A = AT , т.е. матрица A симметрическая.
230
Обратно, для любой симметрической матрицы A n-го порядка
можно указать вполне определенную квадратичную форму f от n неизвестных, имеющую элементы матрицы A своими коэффициентами.
П рим ер 10.1. Составить матрицу A квадратичной формы от трех
неизвестных
f ( x1 , x2 , x3 ) = 7 x12 − 3 x32 + 4 x1 x2 − x2 x3 .
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид
2
0 
7


A3×3 =  2
0
− 0,5  .  0 − 0,5 − 3 


П рим ер 10.2. Указать квадратичную форму f, соответствующую
симметрической матрице
 4 −1 1 


A =  −1 − 5 3  .
1
3 2 

Является ли указанная квадратичная форма невырожденной?
Решение. Порядок матрицы A равен трем, поэтому квадратичная
форма f будет зависеть от трех неизвестных. Тогда
f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x12 − 5 x22 + 2 x32 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 .
Вычислим определитель: det A = − 40 − 3 − 3 + 5 − 2 − 36 = − 79 .
Поскольку det A ≠ 0 , то квадратичная форма f невырожденная.  x1 
 
x2
Если x =   – вектор-столбец из n неизвестных, то
⋯ 
 
 xn 
xT = ( x1
x2 … xn ) . Тогда для любой квадратичной формы f
(с матрицей A) возможна следующая матричная запись (проверьте!):
f ( x1 , x2 , ... , xn ) = xT ⋅ A ⋅ x .
Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы n неизвестных x1 , x2 , … , xn к системе n неизвестных
231
y1 , y2 , … , yn , при котором «старые» неизвестные линейно выражаются через «новые» (с некоторыми числовыми коэффициентами):
 x1 = q11 y1 + q12 y2 + ... + q1n yn ,

 x2 = q21 y1 + q22 y2 + ... + q2n yn ,

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
 xn = qn1 y1 + qn 2 y2 + ... + qnn yn .
Линейное преобразование неизвестных удобно записывать в матричном виде:
x =Qy ,
 x1 
 y1 
 q11 q12
 
 

x2
y2
q21 q22
где x =   , y =   , Qn×n = 
⋯ 
⋯
⋯ ⋯
 
 

 xn 
 yn 
 qn1 qn 2
… q1n 

… q2 n 
.
⋯ ⋯

… qnn 
Очевидно, что любое линейное преобразование неизвестных однозначно определяется своей матрицей Q.
Линейное преобразование неизвестных называется невырожденным, если его матрица Q невырожденная. Если матрица Q является при
этом ортогональной (т.е. Q −1 = QT ), то линейное преобразование неизвестных называется ортогональным.
Докажем, что квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) с матрицей A
после выполнения линейного преобразования неизвестных x = Q y
(с матрицей Q) превращается в квадратичную форму от новых неизвестных y1 , y2 , … , yn (с матрицей B = QT AQ ).
Действительно, пусть x = Q y , тогда xT = yT QT . Отсюда
(
)
(
)
f = xT A x = yT QT A ( Q y ) = yT QT AQ y = yT B y .
Осталось проверить, что матрица B симметрическая, т.е. BT = B .
Действительно,
232
(
BT = QT AQ
) = Q A (Q ) = Q AQ = B ,
T
T
T
T T
T
так как матрица A симметрическая по условию ( AT = A ).
Замечание. Отметим, что ранг квадратичной формы не изменяется
при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.
На практике часто требуется выполнять не одно линейное преобразование неизвестных, а несколько, причем последовательно.
Пусть переход от неизвестных x1 , x2 , … , xn к неизвестным
y1 , y2 , … , yn задается матрицей Q1 ( x = Q1 y ), а затем переход от
y1 , y2 , … , yn к неизвестным z1 , z2 , … , zn задается матрицей Q2
( y = Q2 z ). Тогда
x = Q1 y = Q1 ( Q2 z ) = ( Q1Q2 ) z = Q z .
Таким образом, последовательное выполнение двух линейных преобразований неизвестных вновь является линейным преобразованием от
x1 , x2 , … , xn к z1 , z2 , … , zn с матрицей Q, причем
Q = Q1Q2 .
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны
нулю, т.е. aij = 0 ∀ i , j = 1, 2, ... , n ( i ≠ j ), и не все aii = 0 .
Итак, в каноническом виде квадратичная форма записывается следующим образом:
f ( x1 , x2 , ... , xn ) = a11 x12 + a22 x22 + ... + ann xn2 ,
где не все aii = 0 .
Сформулируем важную теорему, которую примем без доказательства.
Тео рем а 10.1. Любая квадратичная форма может быть приведена
к каноническому виду с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных. При этом число ненулевых коэффициентов в этом каноническом виде (т.е. коэффициентов при квадратах
неизвестных) не зависит от этого преобразования и непременно равно
рангу этой квадратичной формы.
233
Далее на конкретном примере покажем, как можно выполнить такое невырожденное линейное преобразование неизвестных.
П рим ер 10.3. Дана квадратичная форма
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − 2 x22 + 5 x32 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 .
Привести эту форму к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных.
Решение. Выделим вначале полный квадрат по переменной x1 , получим
f = ( x12 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 ) − 2 x22 + 5 x32 + 6 x2 x3 =
= (( x1 − x2 + x3 )2 − x22 − x32 + 2 x2 x3 ) − 2 x22 + 5 x32 + 6 x2 x3 =
= ( x1 − x2 + x3 )2 − 3x22 + 4 x32 + 8 x2 x3 .
Далее выделим полные квадраты по переменным x2 и x3 :
8


f = ( x1 − x2 + x3 ) 2 − 3 ⋅  x22 − x2 x3  + 4 x32 =
3


2

4  16 
= ( x1 − x2 + x3 )2 − 3 ⋅   x2 − x3  − x32  + 4 x32 =


3 
9


2
4  16

= ( x1 − x2 + x3 )2 − 3 ⋅  x2 − x3  + x32 + 4 x32 =
3 
3

2
4  28

= ( x1 − x2 + x3 )2 − 3 ⋅  x2 − x3  + x32 .
3 
3

Положим
 y1 = x1 − x2 + x3 ,

4

 y2 = x2 − x3 ,
3

 y3 = x3 .
Тогда квадратичная форма f примет канонический вид:
28 2
g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 − 3 y22 +
y3 .
3
234
Покажем, что линейное преобразование неизвестных, приводящее
квадратичную форму f к каноническому виду, является невырожденным. Найдем матрицу Q этого преобразования. Действительно, в матричном виде замена переменных
 y1 = x1 − x2 + x3 ,

4

 y2 = x2 − x3 ,
3

 y3 = x3 ,
приводящая квадратичную форму f к каноническому виду
28 2
g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 − 3 y22 +
y3 , выглядит следующим образом:
3
1   x1 
 y1   1 −1
  
  
 y2  =  0 1 − 4 3  ⋅  x2  .
 y  0 0
1   x3 
 3 
1 
 1 −1


Очевидно, что матрица T =  0 1 − 4 3  невырожденная. По0 0
1 

этому и матрица Q = T −1 линейного преобразования неизвестных
( x = Q y ) также невырожденная. Значит, и само линейное преобразование является невырожденным.
Найдем явный вид этого линейного преобразования неизвестных.
Поскольку
Q =T
−1
1 1 1 3 


=  0 1 4 3 ,
0 0 1 


то
 x1 = y1 + y2 + y3 3,

 x2 = y2 + 4 y3 3,
x = y .
3
 3
235
Отметим также, что ранг исходной квадратичной формы f равен
трем, так как число ненулевых коэффициентов в каноническом виде
равно трем. Замечание. Описанный в этом примере метод приведения квадратичной формы к каноническому виду (с помощью последовательного
выделения полных квадратов) носит название метода Лагранжа.
Сформулируем важные теоремы, которые примем без доказательства.
Тео рем а 10.2. Любая квадратичная форма может быть приведена
к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования,
причем коэффициенты при квадратах неизвестных будут совпадать с
собственными значениями матрицы квадратичной формы, а столбцы
матрицы линейного преобразования неизвестных будут состоять из соответствующих взаимно ортогональных ортов собственных векторов
матрицы квадратичной формы.
Теорема 10.3 (Закон инерции). Если квадратичная форма приводится к каноническому виду двумя различными невырожденными преобразованиями, то число членов с положительными коэффициентами,
так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих
случаях будет одно и то же.
П рим ер 10.4. Привести квадратичную форму
f ( x1 , x2 ) = 2 x12 + 5 x22 + 4 x1 x2
к каноническому виду двумя способами: с помощью ортогонального
преобразования (записать явный вид этого преобразования) и методом
Лагранжа. Проверить выполнение закона инерции.
Решение.
 2 2
.
2 5
1-й способ. Матрица квадратичной формы имеет вид A = 
Собственные значения:
2−λ
2
λ = 1,
= 0 ⇔ λ 2 − 7λ + 6 = 0 ⇔ 
2
5−λ
λ = 6.
Тогда орты собственных векторов равны:
−2 5 
1
e1 = 
 (для λ = 1 ); e2 = 
 1 5 
2



236
5
 (для λ = 6 ).
5 
Отметим, что e1 и e 2 (в силу того, что матрица A симметрическая,
собственные числа различны) взаимно ортогональны. Подчеркнем, что
условие ортогональности e1 и e 2 можно проверить и непосредственно,
так как скалярное произведение (e1 , e2 ) = 0 . Отсюда матрица Q ортогонального преобразования имеет вид
−2 5 1
Q=
 1 5 2

5
.
5 
Тогда явный вид этого ортогонального преобразования следующий:
2
1

 x1 = − 5 y1 + 5 y2 ,

x = 1 y + 2 y .
1
2
 2
5
5
С помощью этого преобразования квадратичная форма f примет
вид (проверьте!):
g ( y1 , y2 ) = y12 + 6 y22 .
2-й способ. Выделим полные квадраты по переменным x1 и x2 :
f ( x1 , x2 ) = 2( x12 + 2 x1 x2 ) + 5 x22 = 2(( x1 + x2 ) 2 − x22 ) + 5 x22 =
= 2( x1 + x2 ) 2 + 3 x22 .
Положим z1 = x1 + x2 , z2 = x2 . Тогда квадратичная форма f примет вид
h( z1 , z2 ) = 2 z12 + 3 z22 .
Очевидно, что закон инерции выполняется. 10.2. Классификация квадратичных форм
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) называется положительно
определенной, если f ( x1 , x2 , ... , xn ) > 0 на любых наборах значений
237
неизвестных x1 , x2 , …, xn , x12 + x22 + ... + xn2 ≠ 0 (т.е. кроме набора
неизвестных, когда x1 = x2 = ... = xn = 0 ).
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) называется положительно
полуопределенной, если f ( x1 , x2 , ... , xn ) ≥ 0 на любых наборах значений неизвестных x1 , x2 , …, xn .
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) называется отрицательно
определенной, если f ( x1 , x2 , ... , xn ) < 0 на любых наборах значений
неизвестных x1 , x2 , …, xn , x12 + x22 + ... + xn2 ≠ 0 (т.е. кроме набора
неизвестных, когда x1 = x2 = ... = xn = 0 ).
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) называется отрицательно
полуопределенной, если f ( x1 , x2 , ... , xn ) ≤ 0 на любых наборах значений неизвестных x1 , x2 , …, xn .
Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) называется неопределенной,
если существуют наборы значений неизвестных x1 , x2 , …, xn , на которых f ( x1 , x2 , ... , xn ) > 0 и f ( x1 , x2 , ... , xn ) < 0 .
Замечание. Отметим, что положительно определенная квадратичная форма после приведения к каноническому виду будет иметь только
положительные коэффициенты при квадратах всех n неизвестных. Если
же квадратичная форма является положительно полуопределенной, то
после приведения к каноническому виду она будет иметь неотрицательные коэффициенты (некоторые коэффициенты могут быть равны нулю).
Утверждения, аналогичные приведенному в замечании, можно
сформулировать для отрицательно определенных, полуопределенных
и неопределенных квадратичных форм (сформулируйте их самостоятельно).
Сформулируем важнейший критерий положительной определенности квадратичной формы, который примем без доказательства.
Тео рем а 10.4 (Критерий Сильвестра). Квадратичная форма
f ( x1 , x2 , ... , xn ) является положительно определенной тогда и только
тогда, когда все угловые миноры матрицы
238
 a11

a
A =  21
⋯

 an1
квадратичной
a
∆ 2 = 11
a21
формы
… a1n 

… a2 n 
⋯ ⋯

… ann 
a12
a22
⋯
an 2
положительны,
a11 a12
a12
> 0 , ∆ 3 = a21 a22
a22
a31 a32
т.е.
∆1 = a11 > 0 ,
a13
a23 > 0 , … , ∆ n = | A | > 0 .
a33
Сл ед ст вие. Квадратичная форма f ( x1 , x2 , ... , xn ) является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередуются, начиная со знака
«минус», т.е.
a
∆1 = a11 < 0 , ∆ 2 = 11
a21
a11
a12
> 0 , ∆ 3 = a21
a22
a31
a12
a22
a13
a23 < 0 , …
a32
a33
Поясним, почему для отрицательно определенной квадратичной
формы f ( x1 , x2 , ... , xn ) чередование знаков угловых миноров происходит именно так, как утверждается в следствии к критерию Сильвестра.
Действительно, f ( x1 , x2 , ... , xn ) < 0 на любых наборах значений
неизвестных x1 , x2 , …, xn ( x12 + x22 + ... + xn2 ≠ 0 ) тогда и только тогда,
когда
− f ( x1 , x2 , ... , xn ) > 0 .
Это равносильно тому, что все угловые миноры матрицы
 − a11

−a
(− A) =  21
 ⋯

 − an1
− a12
− a22
⋯
− an 2
… − a1n 

… − a2 n 
,
⋯ ⋯ 

… − ann 
согласно критерию Сильвестра, положительны, т.е.
239
−a11
− a11 > 0 ,
− a21
−a11
−a12
> 0 , − a21
−a22
− a31
−a12
−a22
− a13
−a23 > 0 , …
−a32
−a33
Следовательно, пользуясь свойством 6 определителя (см. главу 1),
a11 a12
a11 a12
a11 < 0 ,
> 0 , a21 a22
a21 a22
a31 a32
a13
a23 < 0 , …
a33
Таким образом, ∆1 < 0 , ∆ 2 > 0 , ∆ 3 < 0 , …
П рим ер 10.5. Является ли положительно определенной квадратичная форма
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x12 + x22 + 4 x32 + 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ?
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид
 5 2 −1


A =  2 1 −1 .
 −1 −1 4 


Тогда
∆1 = 5 > 0 , ∆ 2 =
5 2
=1 > 0 ,
2 1
∆ 3 = det( A) = 20 + 2 + 2 − 1 − 16 − 5 = 2 > 0 .
Значит,
по
критерию
Сильвестра,
квадратичная
форма
f ( x1 , x2 , x3 ) является положительно определенной. 10.3. Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду с помощью ортогонального
преобразования неизвестных
В прямоугольной системе координат на плоскости кривая второго
порядка задается уравнением (см. главу 6):
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,
240
где A , B , C , D , E , F – действительные числа, A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . В это
уравнение входят слагаемые второго порядка, которые определяют
квадратичную форму
f ( x , y ) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 .
При приведении к каноническому виду уравнений кривых второго
порядка, содержащих слагаемое Bxy , вначале необходимо совершить
такое линейное преобразование неизвестных x и y , чтобы коэффициент при x′y ′ (в новых переменных x′ и y ′ ) в преобразованном уравнении равнялся нулю. Решение этой задачи равносильно нахождению линейного преобразования неизвестных x и y , приводящего квадратичную форму Ax 2 + Bxy + Cy 2 к каноническому виду A′x′2 + C ′y ′2 .
Далее будем рассматривать случай, когда линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичную форму Ax 2 + Bxy + Cy 2
к каноническому виду A′x′2 + C ′y ′2 , является ортогональным
(см. параграф 10.1).
В результате ортогонального преобразования неизвестных, задаваемого ортогональной матрицей Q (при этом, согласно теореме 10.2,
столбцы Q представляют собой координаты перпендикулярных ортов),
осуществляется переход от ортонормированного базиса i, j к ортонормированному базису i ′ , j′ .
Полагая, что базис i, j правый, для базиса i ′ , j′ имеются только
две возможности:
1) ориентация i ′ , j′ совпадает с ориентацией i, j;
2) ориентация i ′ , j′ противоположна ориентации i, j.
Пусть ориентация i ′ , j′ совпадает с ориентацией i, j, тогда переход от базиса i, j к базису i ′ , j′ можно осуществить с помощью поворота на угол ϕ (рис.10.1,а). Этот случай подробно рассмотрен в главе 6.
Тогда
i′ = i ⋅ cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ,

 j′ = i ⋅ (− sin ϕ) + j ⋅ cos ϕ ,
241
и ортогональная матрица Q имеет вид (коэффициенты разложения векторов i ′ , j′ по векторам i, j образуют столбцы Q )
 cos ϕ − sin ϕ 
Q=
,
 sin ϕ cos ϕ 
а преобразование неизвестных выглядит следующим образом (см. параграф 6.5):
 x = x′cos ϕ − y ′ sin ϕ ,

 y = x′ sin ϕ + y ′ cos ϕ .
Последняя система уравнений задает формулы преобразований координат точек плоскости при повороте прямоугольной системы координат вокруг ее начала.
Пусть ориентация i ′ , j′ противоположна ориентации i, j, тогда
переход от базиса i, j к базису i ′ , j′ можно осуществить с помощью
последовательного выполнения двух преобразований: поворота на угол
ϕ (тогда осуществляется переход от базиса i, j к базису i′ , j* ) и симметрии относительно прямой Ox′ (тогда осуществляется переход от
базиса i ′ , j* к базису i ′ , j′ ) (рис.10.1,б).
y
j
y
M
j
x
i
ϕ
i 1 x
O
y
M
j
i
j*
O
x
ϕ
i 1 x
j
y
а
б
Рис.10.1.
При этом
i′ = i ⋅ cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ,
*
 j = i ⋅ (− sin ϕ) + j ⋅ cos ϕ .
242
Так как j′ = − j* , то
i′ = i ⋅ cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ,

 j′ = i ⋅ sin ϕ + j ⋅ ( − cos ϕ)
и ортогональная матрица Q имеет вид (коэффициенты разложения векторов i ′ , j′ по векторам i, j образуют столбцы Q )
 cos ϕ sin ϕ 
Q=
,
 sin ϕ − cos ϕ 
а преобразование неизвестных выглядит так:
 x = x′cos ϕ + y′ sin ϕ ,

 y = x′ sin ϕ − y ′ cos ϕ .
Подчеркнем, что последняя система уравнений задает формулы
преобразований координат точек плоскости при последовательном выполнении двух преобразований: повороте прямоугольной системы координат вокруг ее начала на угол ϕ и осевой симметрии относительно
Ox′ .
Замечание. Если уравнение кривой второго порядка
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
преобразуется с помощью ортогонального преобразования (задаваемого
ортогональной матрицей Q ), то в новых переменных x′ и y′ оно примет вид
A′x′2 + C ′y ′2 + D′x′ + E ′y ′ + F = 0 ,
где коэффициенты A′ и C ′ – собственные значения матрицы квадратичной формы f ( x , y ) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 .
П рим ер 10.6. Привести уравнение кривой
2
второго
порядка
2
5 x + 4 xy + 8 y + 8 x + 14 y + 5 = 0 к каноническому виду с помощью
ортогонального преобразования неизвестных и изобразить ее в исходной системе координат Oxy .
Решение. Рассмотрим квадратичную форму
f ( x , y ) = 5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 .
243
Ее матрица
5 2

.
2 8
Собственные значения и соответствующие им собственные единичные векторы равны:
 2 
−

5

λ1 = 4 , e1 =
;
 1 


 5 
 1 


5 

λ 2 = 9 , e2 =
.
 2 
−


5

Тогда матрица ортогонального преобразования имеет вид
 2
−
5
Q=
 1

 5
1 

5
.
2 

5
Следовательно, линейное преобразование переменных имеет вид
2
1

 x = − 5 x′+ 5 y ′ ,

 y = 1 x′ + 2 y ′ .

5
5
Отметим, что последняя система уравнений задает формулы преобразований координат точек плоскости при последовательном выполнении двух преобразований: повороте прямоугольной системы координат Oxy вокруг ее начала на угол ϕ = π − arctg 0,5 (определяемый ус-
2
1
, sin ϕ =
(а значит, tg ϕ = − 0,5 ), 0 ≤ ϕ < π ) и
5
5
осевой симметрии относительно оси Ox′ .
Следовательно, уравнение кривой в системе координат Ox′y ′ приловиями cos ϕ = −
мет вид (коэффициенты при x′2 и y ′2 равны собственным значениям
λ1 = 4 и λ 2 = 9 соответственно)
244
1 
2 
 2
 1
4 x′2 + 9 y ′2 + 8  −
x ′+
y ′  + 14 
x′ +
y′  + 5 = 0 ⇔
5
5 
5 

 5
2
36
x′ +
y′ + 5 = 0 .
⇔ 4 x′2 + 9 y ′2 −
5
5
Для приведения уравнения кривой к каноническому виду выделим
полные квадраты по x′ и y′ . Получим
2
2
1 
2  9


4  x′ −
 + 9  y′ +
 =4 ⇔
4 5
5


x′′2
y′′2
⇔
+
=1,
( 3 4 )2 (1 2 )2
где x′′ = x′ −
1
4 5
, y′′ = y′ +
2
.
5
Итак, исходная кривая второго порядка – это эллипс с полуосями
3
1
и b = . Для изображения эллипса в исходной системе коорди4
2
нат Oxy необходимо найти координаты ( q1 ; q2 ) вектора параллельного переноса q , переводящего систему Ox′y ′ в O1 x′′y ′′ . Так как
a=
1

 x′ = x′′ + 4 5 ,

 y′ = y ′′ − 2 ,

5
2 
 1
;−
.
5
4 5
то q = 
График эллипса изображен на рис.10.2. 245
y
y
y
x
ϕ
O
x
x
q
O1
Рис.10.2.
Задачи для самостоятельного решения
10.1. Найти ранг r квадратичной формы:
а) f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 − 4 x32 + 2 x1 x2 − 6 x1 x3 + 3 x2 x3 ;
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 − 2 x1 x3 + 6 x2 x3 − x12 − 3 x22 − 3 x32 ;
в) f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x12 − x22 + x1 x2 − 8 x2 x3 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 5 x22 + 8 x32 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 4 x2 x3 .
10.2. Указать квадратичную форму f , соответствующую симметрической матрице A , и найти ранг f :
1 −2
 7


а) A =  1
−1 0,5  ;
 − 2 0,5 2 


 0 6 − 3


б) A =  6 3 1  .
 −3 1 0 


10.3. С помощью метода Лагранжа привести квадратичную форму
к каноническому виду, указав явный вид этого линейного преобразования неизвестных:
а) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + 5 x32 − x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 ;
246
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x3 − 4 x1 x2 + 2 x2 x3 − x12 − 5 x22 − 3 x32 ;
в) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x22 + 3 x32 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 4 x1 x3 − 8 x2 x3 − 3x12 − 2 x22 − 9 x32 .
10.4. С помощью ортогонального преобразования неизвестных
привести квадратичную форму к каноническому виду, указав явный вид
этого преобразования:
а) f ( x1 , x2 ) = x12 + x22 + 8 x1 x2 ;
б) f ( x1 , x2 ) = 27 x12 + 3 x22 − 10 x1 x2 ;
в) f ( x1 , x2 ) = 2 x12 + 8 x22 + 8 x1 x2 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 2 x22 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x2 x3 ;
д) f ( x1 , x2 , x3 ) = 6 x12 + 3x22 + 3 x32 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 8 x2 x3 .
10.5. С помощью метода Лагранжа привести квадратичную форму
к каноническому виду и установить тип квадратичной формы (положительно определенная, отрицательно определенная и т.п.):
а) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 3 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 − 2 x1 x3 − 4 x2 x3 ;
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3x22 + x32 − 2 x1 x2 + 3x2 x3 ;
в) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + 3 x32 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 x3 + 4 x2 x3 − 4 x1 x2 − x12 − 5 x22 − 8 x32 ;
д) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + 5 x32 − 6 x1 x2 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ;
е) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + 4 x2 x3 − 2 x12 − x22 − 5 x32 .
10.6. С помощью критерия Сильвестра установить тип квадратичной формы (положительно определенная, отрицательно определенная и
т.п.):
а) f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x12 + x22 + 3 x32 + 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ;
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 4 x22 + 5 x32 + 4 x1 x2 ;
в) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 − x12 − 3 x22 − 10 x32 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + 3 x32 + 4 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 ;
247
д) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x22 + 3 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 ;
е) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 4 x2 x3 − 2 x12 − 3 x22 − 4 x32 .
10.7. Найти значения λ , при которых квадратичная форма является положительно определенной:
а) f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x12 + x22 + λx32 + 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ;
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + 5 x32 + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 ;
в) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x22 + 3 x32 + 2λx1 x2 + 2 x1 x3 ;
г) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 4 x22 + x32 + 2λx1 x2 + 10 x1 x3 + 6 x2 x3 .
10.8. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования и изобразить ее в
исходной системе координат Oxy :
а) 6 xy + 8 y 2 − 9 = 0 ;
б) x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x − 2 y = 0 ;
в) 9 x 2 − 4 xy + 6 y 2 − 10 = 0 ;
г) 5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 − 32 x − 56 y + 80 = 0 ;
д) 5 x 2 + 12 xy − 22 x − 12 y − 19 = 0 ;
е) x 2 − 4 xy + 4 y 2 + 4 x − 3 y − 7 = 0 .
248
Ответы и указания
−5 
 3 3
 27 4
 8 8 −1




1.1. а) 
0 ;
 ; б)  10 5  ; в)  4 13
−
29
1
25


 −19 11
 − 9 −10 − 27 




 11 7 − 27 
 − 13 52 
 − 41 29 


г)  −16 9 −18  . 1.2. а) AB = 
 , BA = 
;
 17 3 
 −12 31 
 14 − 5 −1 


9
8 5
 51 −15 31 
 37 − 6 




б) AB =  8 − 16 18  , BA =  27 −19 37  ; в) AB = 
,
 − 50 − 47 
 19 22 37 
6

5
−
3




 −17 2 9 − 22 
 39 − 8 − 4 


−
−
12
15




 2 14 8 0  .
BA =  − 6 − 21 66  ; г) AB = 
,
BA
=

 − 28 − 9 7 − 34 
 43 26 
 − 2 10 − 28 




8 1 10 
 9
 − 36 − 9 54 18 


28 7 − 42 −14 
,
1.3. A ⋅ BT = (− 7) , AT B = 
 − 8 − 2 12
4 


 − 20 − 5 30 10 
 − 36 28 − 8 − 20 
 − 26 
 − 44 




−9
7 − 2 −5 
− 15 


BT A = 
, B ⋅ AT = (− 7) . 1.4. а)  − 23  ; б) 
.
 54 − 42 12 30 
 − 38 


41






 18 −14 4 10 
 11 
 − 52 40 
 − 22 44 
 1 −18 
 1 −18 
1.5. а) 
 ; б) 
 . 1.6. а) 
 ; б) 
;
 −18 2 
 −9 −7
18 19 
 − 6 −17 
249
 3 12 4 
 29 3 4 
 27 − 2 




в)  − 6 17 0  ; г)  3 1 0  . 1.7. а) A ⋅ AT = 
,
 − 2 34 
 − 2 6 3
 19 3 2 




 26 9 − 8 − 6 
 35 10 22 − 25 




9 5
1
−8 
10 14 14 − 2 
AT A = 
; б) A ⋅ AT = 
,
 − 8 1 10 −10 
 22 14 20 − 8 




 − 6 − 8 −10 20 
 − 25 − 2 − 8 41 
 46 21 −19 


A A =  21 18 −12  . 1.8. а) 53 ; б) 25 ; в) − 4xy ; г) 1 . 1.9. а) 1 ; 9 ;
 − 19 −12 46 


π
б) ± + πn , n∈Z . 1.10. а) 155 ; б) 0 ; в) 59 ; г) 0 ;
6
д) sin(α −β) + sin(β − γ ) + sin( γ − α) . 1.11. а) Нечетная; б) четная.
1.12. а) Входит в определитель 6-го порядка со знаком «минус»;
б) не входит в определитель 6-го порядка; в) не входит в определитель
7-го порядка; г) входит в определитель 7-го порядка со знаком «плюс».
T
1.13. i = 6 , j = 2 . 1.14. а) Со знаком «плюс»; б) со знаком (−1)
1.15. а) 0 ; б) 0 . 1.16. а) 0 ; б) − 161 ; в) − 66 ; г) − 9 .
n ( n−1)
2
.
0
−1 
 −2
3 5 

−1  2,5 1 
−1 
1.17. а) A = 
 ; б) A = 
 ; в) A =  − 7 9 1 9 − 5 9  ;
−
1
−
2
5,5
2




 − 5 9 2 9 −1 9 


 2,5 − 4 − 0,5 
 − 0, 4 − 0,8 1 




г) A−1 =  − 5,5 9 1,5  ; д) A−1 =  0, 2 1, 4 −1 ;
 1,5 − 2 − 0,5 
 0
−1 1 



 1,8 − 0, 4 − 0,8 
 1 −2 1 


−1 
−1 
е) A =  0, 2 0, 4 − 0, 2  . 1.18. а) A =  0 1 −1 ;
 − 2, 4 0, 2 1, 4 
 −1 1 1 




−1
250
 0 1 −1 
 − 0, 6 − 0, 4 0, 4 



−1 
б) A =  1 − 4 4  ; в) A =  − 0, 4 − 0, 6 − 0, 4  ;
 − 2 7 −6
 0, 4 − 0, 4 − 0, 6 




 0 1 1 
 28 − 22 
 0,5 18,5 
 1 2


г) A−1 =  0 1 0,5  . 1.19. а) 
 ; б) 
 ; в) 
;
 21 −17 
 0 13 
 −1 3 
 0,5 0 0, 25 


−1
 − 47 21 −111 
 −4 −6 
1 1 1 




г) 
 ; д)  30 −12 63  ; е)  − 29 − 21  . 1.20. а) 2 ; б) 2 ;
1 1 −1
 − 76 30 − 180 
 − 42 − 29 




в) 3 ; г) 3 ; д) 2 ; е) 3 .
 − 2
 3
 13 
 20 
3
1
 
 




2.1. а)   ; б)   ; в)  − 4  ; г)  1  ; д)  19  ; е)  7  .
−
1
1
 
 
 7 
 4
 − 15 
 − 11
 
 




−
1
 
 2
 
3
 
2.2. а)  3  ; б)   ; в) система несовместна; г) система несовместна;
 − 2
1
 
 
 2 
 29 34  1 2 
 1 7   −13 7 

  

 

0
1
 + c   ; е)  − 6 7  + c  8 7  ;
д) 
 0   0 
 15 7   − 6 7 

  

 

 − 8 17   0 
 0   1 
 7 18 
 2 3
 1 18 
1 3 
 − 4 3
 −1 3 






 




0 
1 
0 
0
1 
0 
ж) 
+ c1 
+ c2 
; з)   + c1 
+ c2 
;
16
 0 
 −5 6
 0 
 0 
 1 






 




 0 
 0 
 1 
 1 
 0 
 0 
251
1 2 
3 2
 − 1 16 
 3 
0
0
 




 
 
0
1 
0 
0
0
 
+ c2 
; к)   . 2.3. а)  0  ; б)   ; в) c1e1 , где
и)   + c1 
 0 
 0 
 −11 8 
 − 5
0
0
 




 
 
 
 0 
 0 
 1 
 11 
0
−7
 67 
 −19 
 




5
−
24
 ; д) c e + c e , где e =  23  ,
e1 =   ; г) c1e1 , где e1 = 
1
1 1
2 2
 1 
 −3 
 1 
 




 0 
 1 
 0 
 2 
 8 
−7
 
 
 
−3
−6
5
e2 =   ; е) c1e1 + c2 e2 , где e1 =   , e2 =   ; ж) c1e1 + c2 e2 , где
 0 
 1 
 0 
 
 
 
 1 
 0 
 1 
 − 0,5 
 − 0, 25 




 1 
 0 
e1 =  0  , e2 =  0,5  ; з) c1e1 + c2 e2 + c3e3 ,




 0 
 1 
 0 
 1 




1
 − 1
0
 
 
 
1
0
 −1
1
0
0
где e1 =   , e2 =   ; e3 =   .
1
0
0
0
1
0
 
 
 
0
0
1
3.4. 2a − b . 3.5. 0,1a + 0,9b . 3.6. 1,5a − 0,5b . 3.7. − 1,8a + 1, 6b .
3.8. 4 3 a + 2 3 b . 3.9. 0,5a − 0,5b . 3.10. − 3,5a + 2b . 3.11. 2 7 a + 4 7 b .
3.12. − 3a + 2b + 4c . 3.13. − 0,5a + 0,5b − c . 3.14. − a + b + c .
3.15. 0,5a + 0,5b − 0,5c . 3.16. 1 3 a + 1 3 b + 1 3 c . 3.17. a − b + c .
3.18. M (4; 2; − 1) . 3.19. (9; − 6; − 4) , (− 5; − 4; 6) , (− 3; 6; 0) .
252
3.20. A(16; −11; 2) , C (−18; 19; 2) , D(− 2; 3; 8) . 3.21. A(− 2; 1; − 3) .
3.22. α = 4 , β = −1 . 3.23. а) 3 ; б) 14 ; в) 6 3 ; г)
3.24. а) − 5 ; б) 39 ; в)
301 ; г) −
22
19
; д) arccos
4
37
87
; д) arccos
14 39
50
259
.
. 3.25. − 1, 25 .
1
61 . 3.27. а) arccos ; б) π − arccos 0, 2 . 3.28. а) − 5 ; б) 87 ;
3
11
27
45
12
100
в) 3 13 ; г) −
; д) arccos
. 3.29. −
. 3.30.
. 3.31.
.
6
806
21
11
51
3.26.
13
13
. 3.34. arccos
.
31
3 10
2 15
3.35. x = (− 3; 3; 3) . 3.36. a = (1; −1; 2) или a = (1; −1; − 2) . 3.37. 51 .
3.32. arccos
1
. 3.33. arccos
3.38. − 53 . 3.39. а) 3 ; б) 6 ; в) 21 . 3.40. 100 2 . 3.41. 2 .
3.42. а) (5; 1; 7) ; б) (10; 2; 14) ; в) (− 35; − 7; − 49) . 3.43. α = − 6 , β = 21 .
3.44. Ответ: 14 . 3.45. 5 . 3.46. x = (6; 24; − 8) . 3.47. m = (45; 24; 0) .
3.48. [OA , F ] = (2; 11; 7) . 3.49. [ BA , F ] = (− 4; 3; 4) . 3.50. − 90 . 3.51. ± 21 .
3.52. − 23 . 3.53. а) Компланарны, так как a , b , c = 0 ;
б) некомпланарны, так как a , b , c = 23 ; тройка a , b , c – правая.
3.54. а) λ = −1,5 ; б) λ = − 2 3 . 3.55. а) Не образуют, так как a , b , c = 0 ;
б) образуют левый базис, так как a , b , c = − 25 . 3.56. Да, лежат.
3.57. 7 3 . 3.58. 3 . 3.59. 11 . 3.60. D1 (0; 8; 0) , D2 (0; − 7; 0) .
4.1. M (− 2; 0) , P(0; 3) . 4.2. 2 x − 3 y − 12 = 0 . 4.3. 8 x + 3 y − 49 = 0 ,
2 x + y − 13 = 0 . 4.4. а) 2 x + 13 y − 70 = 0 ; б) 2 x + 3 y − 10 = 0 ;
в) 10 x − 21 y − 6 = 0 ; г) 6 x − 4 y + 5 = 0 . 4.5. 2 x − 5 y + 3 = 0 , 2 x − 5 y − 26 = 0 ,
7 x − 3 y − 33 = 0 . 4.6. а) 2 x + y − 8 = 0 ; б) 9 x + 2 y − 26 = 0 ;
в) 19 x + 7 y − 91 = 0 ; г) 3 x − y + 13 = 0 . 4.7. (3; 4) . 4.8. C (6; − 6) .
253
π
4
4
; в) arccos
; г) arctg ;
2
7
205
65
π
41
11
; б) 0 ; в)
. 4.13. а) 0 ;
д) . 4.11. 29 x − 2 y + 33 = 0 . 4.12. а)
2
13
5
1
4
; в)
. 4.14. 45 . 4.15. 49 . 4.16. 2 x −14 y + 7 = 0 ,
б)
2 74
13
14 x + 2 y + 3 = 0 . 4.17. x − y − 7 = 0 . 4.18. M1 (11 7 ; 2) , M 2 (−1 7; 0) .
4.19. x − 3 y − 23 = 0 , 7 x + 9 y + 19 = 0 , 4 x + 3 y + 13 = 0 .
4.9. Q(11; −11) . 4.10. а) arccos
6
; б)
5.1. 5 x − 3 y + 2 z − 21 = 0 . 5.2. 7 x − 7 y − 4 z + 75 = 0 .
5.3. x + y + z − 12 = 0 . 5.4. (12; 0; 0) , (0; − 8; 0) , (0; 0; − 6) .
5.5. β : 2 x + 6 y − 3 z − 81 = 0 . 5.6. x − 2 y − 3 z − 5 = 0 , x − 2 y − 3 z + 9 = 0 .
5.7. а) 4 x − y + 2 z −15 = 0 ; б) 3 x − 5 y + z + 1 = 0 . 5.8. x + 4 y + 7 z + 16 = 0 .
5.9. x − y − z = 0 . 5.10. а) arccos
14
3 38
; б)
π
23
; в) arccos
.
2
7 26
3
3
; б) 0 ; в) 0,5 . 5.13. а) 0 ; б) 3,5 ; в)
.
17
2 2
5.14. 8 . 5.15. а) Не лежит; б) лежит. Указание. Найти расстояние между
плоскостями и сравнить его с суммой расстояний от точки до каждой из
x+6 y−4 z+7
x + 1 y −1 z + 1
=
=
. 5.17.
=
=
;
плоскостей. 5.16.
2
−3
5
3
−4
2
5.11. a =14 . 5.12. а)
 x = − 1 + 3t ,
x = 2 + t ,
x = − 2 + t ,
 4 x + 3 y + 1 = 0,



5.18.  y = t ,
5.19.  y = 1 + 2t ,
 y = 1 − 4t , 
2
x
−
3
z
−
1
=
0.
 z = −1 + 2t ; 
 z = 4 + 3t .
z = 4 −t .



5.20.
x y −11 z + 2
=
=
. 5.21. 2 x + y − z + 1 = 0 . 5.22. (2; −1; 0) .
3
−1
2
5.23. (9; − 4; 0) , (0; 2; − 3) , (3; 0; − 2) . 5.24. a = 3 . 5.25. (−12; − 23; − 2) .
5.26. (2,5; 0,5; 6) . 5.27. P(− 4; 3; − 5) . 5.28. P(− 4; −1; 6) . 5.29. а)
254
π
;
3
5
1
2
. 5.30. а) arcsin
; б) arcsin
. 5.31. а) 21 ; б) 7 .
14
33
15
5.32. а) 13 ; б) 7 .
б) arccos
6.1. а) Парабола: вершина
(1; 0) , фокус (9 8; 0) , уравнение
директрисы x = 7 8 ; б) парабола: вершина (1; 0) , фокус (0,5; 0) ,
уравнение директрисы x =1,5 ; в) парабола: вершина (0; − 0, 25) , фокус
(0; 0, 25) , уравнение директрисы y = − 0, 75 ; г) парабола: вершина
(0; 1,5) , фокус (0; 11 8) , уравнение директрисы y =13 8 .
6.2. а) y 2 = ±
32
x ; б) y 2 = ± 8 x . 6.3. y 2 = − 4 x . 6.4. а) M1 (8; −16) или
3
M 2 (8; 16) ; б) M1 (0; 0) или M 2 (18; − 24) . 6.5. y = ± 2 2 x . 6.6. y 2 = x ;
8
. 6.7. а) Центр (0; − 3) , радиус 2 ; б) центр (1; 0) , радиус 1 ;
15
в) центр (− 5; 2) , радиус 3 ; г) центр (2; −1, 25) , радиус 2, 75 .
arctg
6.8. x = 3, 2 . 6.9. x + 2 y − 5 = 0 . 6.10. ( x − 5) 2 + ( y + 2) 2 = 1 .
6.11. 4 x − 3 y + 7 = 0 , 3 x − 4 y + 8 = 0 . 6.12. ( x − 3,1) 2 + ( y + 2,3)2 = 22,1 .
6.13. а) Эллипс: полуоси a = 2 , b = 1 , фокусы (± 3 ; 0) ; б) эллипс:
полуоси a =1 , b = 2 , фокусы (0; ± 1) . 6.14. Точка M лежит вне
эллипса, N – на эллипсе, P – внутри эллипса. 6.15. 4 x + 3 y + 12 = 0 .
6.16. 16 x 2 + 25 y 2 = 41 . 6.17. 3x 2 − 2 xy + 3 y 2 − 2 x − 2 y −1 = 0 .
x2 y 2
+
=1 . 6.19. а) Гипербола: полуоси a = 2 , b = 4 , фокусы
3
4
(± 2 5 ; 0) , асимптоты y = ± 2 x ; б) гипербола: полуоси a = 2 2 , b = 2 ,
6.18.
2
x ; в) гипербола: полуоси
2
2
a = 2 2 , b = 2 , фокусы (0; ± 3 2) , асимптоты y = ±
x.
4
x2 y2
x2 y2
2 3
6.20.
− =1 . 6.21.
− =1 . 6.22.
. 6.23. P(− 4; − 3) .
13 39
9
8
3
фокусы (± 2 3 ; 0) , асимптоты y = ±
255
x2 y2
−
=1 . 6.25. M1 (9, 6; − 0, 6 119) или M 2 (9, 6; 0, 6 119) .
3
5
6.26. а) Эллипс; б) гипербола; в) парабола; г) гипербола; д) парабола;
е) пара пересекающихся прямых; ж) пара параллельных прямых; з) пара
совпадающих прямых; и) точка; к) эллипс; л) гипербола; м) парабола;
н) гипербола;
о) эллипс.
6.27. а) Эллипсоид;
б) однополостный
гиперболоид; в) конус; г) эллиптический параболоид; д) эллиптический
параболоид; е) эллиптический цилиндр; ж) гиперболический цилиндр;
з) параболический цилиндр; и) двуполостный гиперболоид; к) конус.
6.24.
7.1. а) Является; б) не является; в) является; г) является; д) не является; е) является; ж) не является; з) является. 7.4. а) Линейно
зависимы; б) линейно независимы. 7.5. а) Линейно зависимы;
б) линейно независимы. 7.6. а) Линейно зависимы; б) линейно
 2 0 1
 1 1 2




независимы. 7.7. а) C =  1 3 3  ; б) C =  − 4 0 1  .
 −1 1 1 
 − 2 −1 1 




 8 −6 7 
 8,5 21 − 5 




7.8. а)  − 9 10 − 9  ; б)  14 37 − 8  . 7.9. а) x = (− 3; 22; − 23) ;
 − 2 1 −1 
 − 2,5 − 8 2 




б) x = (6,3; 1,9; − 5,7) . 7.10. а) (2; 0; 3; − 5; 1) ; б) (0; 7; −1; 6; 0) .
 1 ( − a ) ( − a ) 2 ( − a )3

0
1 2(− a ) 3(− a )2

0
0
1
3(− a)
7.11. 

0
0
1
0
⋯ ⋯
⋯
⋯

0
0
0
0


⋯ Cn1 (− a )n−1 

⋯ Cn2 (− a) n−2 
. 7.12. а) (5; − 7;5) ;

⋯ Cn3 (− a) n−3 

⋯
⋯

⋯
1

б) (1; − 4; − 2) . 7.13. (a ; b ; c ; d ) . 7.14. Координаты матрицы в этом
базисе совпадают с ее элементами. 7.15. а) Является, r =1 (базис
состоит из одного ненулевого вектора этого множества); б) является,
r = 2 (базисом служит любая пара неколлинеарных векторов из этого
множества); в) не является; г) является, r = 2 (базисом служит любая
пара неколлинеарных векторов из этого множества). 7.16. а) r = 3 ;
256
⋯
(− a) n
a1 , a 2 , a4 ; б) r = 3 ;
a1 , a 2 , a3 . 7.17. а) r = 2 , любая пара векторов
образует базис; б) r = 3 , {a1 , a 2 , a 4 } , {a1 , a3 , a 4 } , {a 2 , a3 , a 4 } ; в) r = 2 ,
любая пара векторов образует базис. 7.18. Указание. Показать, что
данная система многочленов является линейно независимой.
8.1. а) Является; б) не является. 8.2. Не является. 8.3. Является.
8.4. ( P3 ( x) , Q3 ( x)) = − 9 , P3 ( x) = 30 , Q3 ( x) = 10 . 8.5. ( f , g ) =1, 75 ,
f = 3 3 , g = 203 15 . 8.7. λ = − 2,5 .
8.9. а) e1 =
a1  1 1 1 1 
1 1 1 1
=  ; ; ;  , e2 =  ; ; − ; −  ,
|| a1 ||  2 2 2 2 
2 2 2 2
a
 1
2
2
1 
 1 1 1 1
e3 =  − ; ; − ;  ; б) e1 = 1 = 
;
;
;−
,
|| a1 ||  10 10 10
10 
 2 2 2 2
 2
3
3
2 
 2
1
1
2 
e2 = 
;
;−
;
;−
;−
;−
 , e3 = 
;
26 26 
10
10
10 
 26 26
 10
a1  2
1
3
1 
 3
2
3
1 
=
;
;
;−
;
;−
;−
 , e2 = 
,
|| a1 ||  15 15 15
15 
23
23
23
23 

 1
5
1
10 
e3 = 
;
;
;
 . Указание. Система a1 , a2 , a3 , a4
 127 127 127 127 
является линейно зависимой (вектор a3 линейно выражается через a1 и
в) e1 =
a2 ). Поэтому получение вектора e3 с использованием a3 дает в
результате e3 = 0 . Показав это, для получения вектора e3 надо
использовать a4 . 8.10. e1 = x 2 5 , e2 = (4 x − 5 x 2 ) 3 , e3 =10 x 2 − 12 x + 3 .
7
3
5
1
e1 −
e2 −
e3 + e 4 ; б) x –
4
4
4
4
нормированный вектор. 8.13. ± 1 . 8.15. x = ± 0,5(e1 + e 2 + e3 + e4 ) .
8.16. λ = −1 ; нормированный базис e1 , e2 , e3 , e4 , где ei = 0,5ai ,
i = 1, 2, 3, 4 . 8.17. λ1 = −1 , µ1 = 2 3 или λ 2 = 2 , µ 2 = 2 3 .
8.11. а) 5 ; б) 5 2 . 8.12. а) x0 =
8.18. x = −
26
1
3
e1′ + e′2 − e3′ .
7
7
7
257
 λ0 0 0 


9.1. а) Является, A =  0 λ 0 0  ; б) не является; в) является,
 0 0 λ 

0
 0 0 0
1 0 0 




A =  0 1 0  ; г) является, A =  0 1 0  ; д) не является; е) является,
 0 0 0
 0 0 −1




1 0 0 1 
 1 0 1 0
a3 − a2 
 0




0 1 1 −1
0 3 0 5


A =  − a3 0
a1  . 9.2. а) A = 
; б) A = 
.
1 0 3 0 
 0 0 1 − 1
 a





 2 − a1 0 
 0 −5 2 1 
−2 1 1 3 
 1 −1 1 
1 2 3 




9.3. а) A =  2 2 − 1 , ϕ – невырожденный; б) A =  2 −1 1  , ϕ –
 1 −1 2 
 1 − 4 −1




 1 0 −1


невырожденный. 9.4. а) Является, A =  0 2 1  ; б) не является;
0 1 0 


 2 −1 0 


в) является, A =  0 0 0  ; г) не является.
 0 3 −1


0
1
0
0
⋯
0 0

0 1 0 0 ⋯ 0 0




0 0 2 0 ⋯ 0 0
0 0 1 0 ⋯ 0 0
0 0 0 3 ⋯ 0 0
0 0 0 1 ⋯ 0 0




9.5. а) ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯  ; б) ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯  .
 0 0 0 0 ⋱ n −1 0 
0 0 0 0 ⋱ 1 0




0 0 0 0 ⋯ 0 n
0 0 0 0 ⋯ 0 1
0 0 0 0 ⋯ 0 0
0 0 0 0 ⋯ 0 0




258
0 0 0
 0 − 2 − 8 − 24 



1 4 12 
0 1 0 − 12 
 7, 4 1,8 
; б) 
. 9.7. а) B = 
;



0 2 12
0 0 2
6
 − 6, 2 1, 6 



0 0 3
3 
0 0 0
 1, 6 −1 2, 2 
 −11 − 5 4 3 
 −1 0 




б) B = 
.
9.8.
а)
B
=
−
1,
6
0
−
0,
2
;
б)
B
=



 16 10 1 3  .
33
1


 2, 2 2 − 0, 6 
 −16 − 8 2 




18,5
4,5
−
29,5


8 − 3
 33 64 


9.9. а) B = 
;
б)
B
=
.
9.10.
а)
B
=
4,5
8,5
−
10,5




;
3
4
−
12
−
23




 10
6
−19 

 8 3 − 4 3 −1 3 
 − 29 6 
 57 − 31 


б) B =  11 3 8 3 − 13 3  . 9.11. а) B = 
 ; б) B = 
.
 −149 31
 92 − 50 
 5 3 −7 3 2 3 


1
1
9.12. а) λ1 = 4 , e1 =   c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2 = − 1 , e2 =   c2 , где c2 ≠ 0 ;
 2
7
0

0
9.6. а) 
0

0
4 0 
 −6
 2
B =
 ; б) λ1 = 2 , e1 =   c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2 = 6 , e2 =   c2 , где
0
−
1
1


 
1
 2 0
 1 
1
c2 ≠ 0 ; B = 
 ; в) λ1 = − 5 , e1 =   c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2 = 0 , e2 =   c2 ,
 0 6
 − 2
 3
 −5 0
1
где c2 ≠ 0 ; B = 
 ; г) λ1, 2 = 2 , e =   c , где c ≠ 0 ; собственные
 0 0
1
 −5
векторы не образуют базис; д) λ1 =1 , e1 =   c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2 = 7 ,
 1 
 5 
1
1 0
 
e2 =   c2 , где c2 ≠ 0 ; B = 
;
е)
λ
=
2
,
e
=

1
1  − 2  c1 , где c1 ≠ 0 ;
1
0
7
 


 1 
 
1
11
 


 


λ 2 = − 2 , e2 =  0  c2 , где c2 ≠ 0 ; λ3 = 5 , e3 =  −14  c3 , где
1
 4 
 


259
2 0 0
2


 
c3 ≠ 0 ; B =  0 − 2 0  ; ж) λ1, 2, 3 = −1 , e =  −1 c , где c ≠ 0 ; собственные
 0 0 5
1


 
 3 
 
векторы не образуют базис; з) λ1 =1 , e1 =  − 3  c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2, 3 = 2 ,
 1 
 
 − 1
 −1
1 0 0
1
 
 


 
2
2
e2 =  1  c2 +  0  c3 , где c2 + c3 ≠ 0 ; B =  0 2 0  ; и) λ1 =1 , e1 =  −1 c1 ,
0
 
 0 0 2
1
 
1


 
1
0
1 0 0
 
 


где c1 ≠ 0 ; λ 2, 3 = 2 , e2 =  0  c2 +  1  c3 , где c22 + c32 ≠ 0 ; B =  0 2 0  ;
 2
 2
 0 0 2
 
 


 −1 
 − 1


 
к) λ1 = −1 , e1 =  3  c1 , где c1 ≠ 0 ; λ 2 = −1 − 2 5 , e2 =  2 5 − 2  c2 , где
0
 5 
 


 −1 


c2 ≠ 0 ; λ3 = −1 + 2 5 , e3 =  − 2 5 − 2  c3 , где


5


0
0
 −1



c3 ≠ 0 ; B =  0 −1 − 2 5
0
.


0
−1 + 2 5 
0
10.1. а) r = 3 ; б) r = 2 ; в) r = 3 ; г) r = 2 .
10.2. а) f ( x1 , x2 , x3 ) = 7 x12 − x22 + 2 x32 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + x2 x3 , r = 3 ;
б) f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x22 + 12 x1 x2 − 6 x1 x3 + 2 x2 x3 , r = 3 .
260
1

 x1 = y1 + 2 y2 ,

10.3. а) g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 0, 75 y22 + y32 ,  x2 = y2 − 2 y3 ,
x = y ;
 3 3

 x1 = y1 − 2 y2 + 3 y3 ,

б) g ( y1 , y2 , y3 ) = − y12 − y22 − y32 ,  x2 = y2 − y3 ,
x = y ;
 3 3
1

 x1 = y1 + 2 y2 − y3 ,

в) g ( y1 , y2 , y3 ) = 2 y12 + 0,5 y22 + 2 y32 ,  x2 = y2 − y3 ,
x = y ;
 3 3

1

 x1 = y1 + 3 y2 ,

г) g ( y1 , y2 , y3 ) = − 3 y12 − 5 y22 3 − y32 ,  x2 = y2 − 2 y3 ,
x = y .
 3 3

1
1

y1 −
y2 ,
 x1 =
2
2
2
2 
10.4. а) g ( y1 , y2 ) = 5 y1 − 3 y2 , 
x = 1 y + 1 y ;
1
2
 2
2
2
1
5

 x1 = 26 y1 − 26 y2 ,

в) g ( y1 , y2 ) =10 y22 ,
б) g ( y1 , y2 ) = 2 y12 + 28 y22 , 
5
1
x =
y1 +
y2 ;
 2
26
26
2
1

 x1 = − 5 y1 + 5 y2 ,

г) g ( y1 , y2 , y3 ) = 2 y12 − y22 + 5 y32 ,

1
2
x =
y1 +
y2 ;
 2
5
5
261
2
1
2

 x1 = − 3 y1 − 3 y2 + 3 y3 ,

1
2
2

2
2
2
 x2 = y1 + y2 + y3 , д) g ( y1 , y2 , y3 ) = 7 y1 + 7 y2 − 2 y3 ,
3
3
3

2
2
1

 x3 = 3 y1 − 3 y2 + 3 y3 ;


2
2
1
y1 −
y2 − y3 ,
 x1 =
3
5
3 5


1
4
2
y1 +
y2 + y3 , Указание. Воспользоваться процессом
 x2 =
3
5
3
5


5
2
y2 + y3 .
 x3 = 0 ⋅ y1 −
3
3 5

ортогонализации Шмидта (см. главу 8).
10.5. а) g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 + 3,5 y32 , положительно определенная;
7 2 23 2
y2 +
y3 , неопределенная;
2
14
в) g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 , положительно полуопределенная;
б) g ( y1 , y2 , y3 ) = 2 y12 −
г) g ( y1 , y2 , y3 ) = − y12 − y22 , отрицательно полуопределенная;
д) g ( y1 , y2 , y3 ) = y12 − 8 y22 + 4,5 y32 , неопределенная;
е) g ( y1 , y2 , y3 ) = − 2 y12 − 0,5 y22 − y32 , отрицательно определенная.
10.6. а) Положительно определенная; б) положительно полуопределенная;
в) отрицательно
определенная;
г) неопределенная;
д) положительно
определенная;
е) отрицательно
определенная.
10.7. а) λ > 2 ; б) − 0,8 < λ < 0 ; в) −
5
5
<λ<
; г) таких λ не суще3
3
y ′2
=1 в канонической системе
9
 1
3 
 3
1 
координат Ox′y ′ , где i ′ = 
;
;
 , j′ =  −
 (в исходной
 10 10 
 10 10 
системе координат Oxy ); б) парабола y ′2 = 2 x ′ в канонической
ствует.
262
10.8. а) Гипербола
x ′2 −
1 
 1 1 
 1
;
;
системе координат Ox′y ′ , где i ′ = 
 , j′ =  −
 (в исход2
2
2
2



x ′2
+ y ′2 = 1 в канонической
2
 1 2 
 2 1 
системе координат Ox′y ′ , где i ′ = 
;
;
 , j′ =  −
 (в исход5
5
5 5



ной системе координат Oxy ); в) эллипс
x′′2 y ′′2
+
=1 в канонической
9
4
 2
1 
 1 2 
системе координат O1 x′′y ′′ , где O1 (2; 3) , i ′ = 
;−
;
 , j′ = 

5
 5
 5 5
ной системе координат Oxy ); г) эллипс
x′′2 y ′′2
−
=1 в кано4
9
 3
2 
нической системе координат O1 x′′y ′′ , где O1 (1; 1) , i ′ = 
;
,
 13 13 
 2
3 
j′ =  −
;
 (в исходной системе координат Oxy ); е) парабола
 13 13 
1
y ′′2 =
x ′′ в канонической системе координат O1 x′′y ′′ , где O1 (3; 2) ,
5
 2
1 
 1
2 
i′ =  −
;−
;−
 , j′ = 
 (в исходной системе координат
5
5
5

 5
Oxy ).
(в исходной системе координат Oxy ); д) гипербола
263
Библиографический список
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. – М.: Наука, 1979. – 512 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М.: Дрофа, 2009. – 288 с.
3. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. –
М.: Альянс, 2007. – 392 с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2004. – 224 с.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит,
2005. – 280 с.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 431 с.
7. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.:
Наука, 1970. – 384 с.
8. Ревякин А.М. Высшая алгебра. – М.: МИЭТ, 2007. – 504 с.
9. Ржавинская Е.В., Олейник Т.А., Соколова Т.В. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии. – М.: МИЭТ, 2007. – 200 с.
10. Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. Ч. 1:
учеб. пособие для втузов / под ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. –
М.: Физматлит, 2009. – 288 с.
264
Оглавление
Предисловие ................................................................................................. 3
Глава 1. Матрицы и определители .......................................................... 5
1.1. Понятие матрицы. Виды матриц ....................................... 5
1.2. Операции над матрицами ................................................ 10
1.3. Перестановки и подстановки........................................... 14
1.4. Определители и их свойства ........................................... 18
1.5. Разложение определителя по элементам строки или
столбца .............................................................................. 27
1.6. Обратная матрица ............................................................. 32
1.7. Ранг матрицы. Понятие о линейной зависимости ......... 44
Задачи для самостоятельного решения................................ 51
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений ................. 57
2.1. Основные определения .................................................... 57
2.2. Правило Крамера решения систем линейных
алгебраических уравнений .............................................. 57
2.3. Совместность системы линейных алгебраических
уравнений.......................................................................... 60
2.4. Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных
алгебраических уравнений .............................................. 64
2.5. Однородные системы линейных алгебраических
уравнений.......................................................................... 70
2.6. Структура общего решения системы линейных
алгебраических уравнений .............................................. 75
Задачи для самостоятельного решения................................ 77
Глава 3. Геометрические векторы......................................................... 81
3.1. Основные определения .................................................... 81
3.2. Операции над векторами ................................................. 82
3.3. Разложение вектора по неколлинеарным и
некомпланарным векторам.............................................. 85
3.4. Базис на плоскости и в пространстве ............................. 89
3.5. Система координат ........................................................... 91
3.6. Деление отрезка в данном отношении ........................... 92
3.7. Проекция вектора на направленную прямую ................ 93
3.8. Скалярное произведение.................................................. 96
265
3.9. Векторное произведение ................................................ 101
3.10. Смешанное произведение ............................................ 107
Задачи для самостоятельного решения.............................. 110
Глава 4. Прямые на плоскости ............................................................. 117
4.1. Различные виды уравнения прямой .............................. 117
4.2. Взаимное расположение прямых. Угол между
прямыми .......................................................................... 123
4.3. Расстояние от точки до прямой ..................................... 126
Задачи для самостоятельного решения.............................. 128
Глава 5. Плоскости и прямые в пространстве .................................. 131
5.1. Различные виды уравнения плоскости ......................... 131
5.2. Взаимное расположение плоскостей. Угол между
плоскостями .................................................................... 135
5.3. Расстояние от точки до плоскости ................................ 137
5.4. Различные виды уравнений прямой в пространстве ... 138
5.5. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению
плоскости и уравнениям прямой .................................. 143
Задачи для самостоятельного решения.............................. 149
Глава 6. Кривые и поверхности второго порядка ............................ 153
6.1. Общее уравнение кривой второго порядка .................. 153
6.2. Парабола.......................................................................... 154
6.3. Эллипс ............................................................................. 157
6.4. Гипербола ........................................................................ 160
6.5. Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду ................................................... 162
6.6. Поверхности второго порядка ....................................... 168
Задачи для самостоятельного решения.............................. 174
Глава 7. Линейные (векторные) пространства ................................. 178
7.1. Определение линейного (векторного) пространства .. 178
7.2. Размерность и базис линейного пространства ............. 181
7.3. Переход к новому базису ............................................... 187
7.4. Подпространства линейного пространства .................. 192
Задачи для самостоятельного решения.............................. 195
Глава 8. Евклидовы пространства ...................................................... 200
8.1. Скалярное произведение................................................ 200
8.2. Ортонормированный базис............................................ 203
8.3. Ортогональная матрица ................................................. 206
Задачи для самостоятельного решения.............................. 208
266
Глава 9. Линейные операторы ............................................................. 212
9.1. Основные определения. Матрица линейного
оператора ........................................................................ 212
9.2. Изменение матрицы линейного оператора при
переходе к новому базису ............................................. 217
9.3. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора ..................................................... 218
Задачи для самостоятельного решения.............................. 225
Глава 10. Квадратичные формы .......................................................... 230
10.1. Определение квадратичной формы. Линейное
преобразование неизвестных ...................................... 230
10.2. Классификация квадратичных форм .......................... 237
10.3. Приведение уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду с помощью ортогонального
преобразования неизвестных ...................................... 240
Задачи для самостоятельного решения.............................. 246
Ответы и указания.................................................................................. 249
Библиографический список .................................................................. 264
267
Учебное издание
Бардушкин Владимир Валентинович
Кальней Сергей Григорьевич
Ревякин Александр Михайлович
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Редактор А.В. Тихонова. Технический редактор Л.Г. Лосякова. Корректор
Л.Г. Лосякова. Верстка авторов.
Подписано в печать с оригинал-макета 12.09.2018. Формат 60×84 1/16. Печать
офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 15,54.
Уч.-изд. л. 13,4. Тираж 300 экз. Заказ 49.
Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.
124498, г. Москва, г. Зеленоград, площадь Шокина, дом 1, МИЭТ.