[Gorlach B.A] Tenzornaya algebra i tenzornuei anal(b-ok.org)

Б. А. ГОРЛАЧ ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР 2015 ББК 22.18я73 Г 69 Г 69 Горлач Б. А. Тензорная алгебра и тензорный анализ: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2015. — 160 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811418343 Содержатся основные сведения из тензорной алгебры и тен зорного анализа. Изложение ведется от частного к общему. Тензо ры представляются в операторной, матричной и компонентноин дексной формах в ортонормированном и произвольном базисах. Предлагаются необходимые для усвоения материала упражнения и расчетные работы. Пособие предназначено специалистам, бакалаврам и магист рам, обучающимся по направлениям: «Прикладная математика и информатика», «Математика», «Прикладная математика», «Ме ханика и математическое моделирование», «Прикладные матема тика и физика». ББК 22.18я73 Обложка Е. А. ВЛАСОВА Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. © Издательство «Лань», 2015 © Б. А. Горлач, 2015 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2015 ПРЕДИСЛОВИЕ Изложение материала пособия опирается на приложения фундаментальных книг А. И. Лурье [6] и [7]. Однако в пособии нашли отражения и некоторые собственные разработки автора. Для повышения эффективности освоения материала и приобретения навыков работы с тензорными соотношениями обучаемым предлагается выполнить расчетные работы. Пособие включает в себя три главы. В первых двух главах («Алгебра тензоров» и «Тензорный анализ») даются общие положения, формулируются теоремы и рассматриваются примеры записи тензорных соотношений в операторной, матричной и координатной формах. При этом доказательства и пояснения ведутся на примерах записи тензорных соотношений в ортонормированном базисе, связанном с декартовой ортогональной системой координат. В третьей главе полученные соотношения тензорного анализа обобщаются на произвольные неортогональные базисы, в том числе для криволинейных систем координат. Изложение материала «от частного к общему» позволит читателям преодолеть психологический барьер, который обычно возникает при переходе в мышлении от традиционной, впитанной со школьной скамьи координатной формы записи математических выражений, к операторной, индифферентной по отношению к выбору координат форме. В конце глав даны задания на расчетные работы с задачами для обязательного самостоятельного их решения. Их выполнение поможет читателям приобрести навыки решения и исследования математических моделей. При изучении теоретического материала пособия читателям рекомендуется воспроизводить его самостоятельно на бумаге. Рекомендации обусловлены спецификой тензорных моде- 4 Предисловие лей. Их отличает не столько процесс моделирования явлений (они, как правило, описаны в координатной форме), сколько форма представления математических соотношений (операторная и «индексная») — более обозримая, компактная и доступная для понимания сути явлений. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Прописными жирными прямыми латинскими буквами (U, G, I, . . .) обозначены тензоры, такими же, но не жирными наклонными буквами (U, G, I, . . .) обозначены матрицы этих тензоров. Ранг тензоров обозначается цифрой в круглых скобках, проставленных на месте левого по отношению к тензору индекса, например, (n) U — тензор n-ного ранга. Ранги тензоров второй, первой (векторов) и нулевой (скаляров) не проставляются. Строчными жирными наклонными латинскими буквами (a, b, u, . . .) обозначаются векторы. Матрицы-строки их координат обозначаются соответствующими не жирными прописными буквами с индексом транспонирования «т» (AT , B T , U T , . . .). Υ∗ = (i1 . . . in )T — векторная матрица-столбец векторов исходного ортонормированного базиса (с нижними индексами); Υ∗ = (i1 . . . in )T — векторная матрица-столбец векторов исходного ортонормированного базиса (с верхними индексами) (c. 7); I, Θ — единичный (c. 32) и нулевой (c. 13) тензоры; Jk (...) — k-тый главный инвариант тензора (...) (c. 32); S (S T = S −1 ) — матрица преобразования исходного «старого» ортонормированного базиса в новый (с. 9); матрица поворота (с. 58); Матрицы (и тензоры) (. . .)∗ или (. . .)∗ состоят из компонентов, имеющих нижние или верхние индексы; δik , eikn — символы Кронекера (c. 9) и Леви-Чивиты (с. 21); Ln , Ln2 , n — пространства линейные и действительных чисел; ∇, ∇k — векторный оператор Гамильтона (набла-оператор) и его ковариантная составляющая; 6 Основные обозначения ×, ·, ·· — знаки векторного, скалярного и двойного скалярного произведений векторов; G, gkn — метрический тензор и его координаты (c. 126); Hk — коэффициенты Ламе (c. 134); [m, sk] {m sk } — символы Кристоффеля первого и второго рода (c. 134). Глава 1 АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ В первой главе рассматриваются математические объекты пространства Ln (n = 1, 2, . . .), с которым связан ортонормированный базис линейно независимых единичных взаимноортогональных векторов ik =ik (k = 1, n). Совокупность этих векторов представляется векторными матрицами Υ∗ = (i1 i2 . . . in )T = (ik )T или Υ∗ = (i1 i2 . . . in )T = (ik )T (k = 1, n). Знаками ∗ или ∗ (нижним или верхним) сопровождаются математические объекты, состоящие из совокупностей элементов, помеченных нижними или верхними индексами. Отметим, что «позиционирование» индексов для векторов ортонормированного базиса (как и для декартовых ортогональных координат) не имеет принципиального значения, а будет таковым при введении неортогональных координат (глава 3). Поэтому в первых двух главах математические объекты с различным расположением индексов равны, в частности, Υ∗ = Υ∗ = Υ. Внимание на расположение индексов будет акцентировано лишь там, где это поможет лучше понять смысл преобразований. В этой и последующих главах будет использовано правило Эйнштейна (Einstein Albert (1879–1955) — выдающийся немецкий физик-теоретик): по повторяющимся в одночленах 8 Глава 1. Алгебра тензоров индексам, называемым немыми или индексами суммирования проводится суммирование от единицы до размерности n пространства. Что касается индексов, стоящих на одних позициях у различных слагаемых и называемых свободными, то они также пробегают все значения от 1 до n, но определяют номера математических объектов. Например, равенство yk = a·r k· xr (k, r = 1, n) равносильно системе уравнений ·2 ·n y1 = a·1 1· x1 + a1· x2 + . . . + a1· xn ; ·2 ·n y2 = a·1 2· x1 + a2· x2 + . . . + a2· xn ; · · · · · · · · · · · · · · ·· ·2 ·n yn = a·1 n· x1 + an· x2 + . . . + an· xn . Другая особенность постановки индексов при записи приведенных соотношений заключается в установлении порядка их следования. В приведенных соотношениях на первом месте у a·r k· стоит k, на втором r. В позиции отсутствующего индекса ставится точка. § 1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ БАЗИСОВ Рассмотрим два базиса ортонормированных векторов Υ = = (ik )T и Υ̃ = (ĩk )T , (k = 1, n), заданных в линейном пространстве Ln . Условно будем считать базис Υ исходным (старым), а Υ̃ — новым. Для ортонормированных базисов ik = ik и ĩr = ĩr . Их ортонормированность обеспечивается условиями ik · ir = δkr ; ĩk · ĩr = δkr . Жирной точкой обозначено скалярное произведение векторов. Свойство коммутативности скалярного произведения векторов делает безразличным порядок следования индексов у символов Кронекера (Krónecker Leopold (1823–1881) — 9 § 1.1. Преобразование векторов ортонормированных базисов немецкий математик): ·r δk· = δkr = 1, если k = r; 0, если k = r. Пусть известно правило преобразования векторов исходного базиса в новый: .2 .n .k ĩr = s.1 r. i1 + sr. i2 + . . . + sr. in = sr. ik , (1.1) k ĩr = sr. (r, k = 1, n). .k i Введем матрицу ⎛ s.1 1. ⎜ s.1 ⎜ S = ⎝ 2. ... s.1 n. s.2 1. s.2 2. ... s.2 n. ⎞ ⎛ . . . s.n 1. ⎟ ⎜ . . . s.n 2. ⎟ =⎜ ... ... ⎠ ⎝ . . . s.n n. s1. .1 s2. .1 ... sn. .1 s1. .2 s2. .2 ... sn. .2 ⎞ . . . s1. .n ⎟ . . . s2. .n ⎟ . ... ... ⎠ n. . . . s.n В (1.1) суммирование идет по второму индексу, определяющему номер столбца матрицы S, т. е. выполняется правило произведения матриц [3]. Поэтому Υ̃ = SΥ, −→ Υ̃T = ΥT S T . (1.2) Построим новый математический объект, представляющий собой неопределенное произведение матриц базисных векторов, заданных в Ln : ⎛ ⎜ ⎜ ΥΥT = ⎜ ⎝ i1 i2 .. . in ⎞ ⎟ ⎟ 1 2 ⎟ (i , i , . . . , in ) = ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ =⎜ ⎝ i1 i1 i2 i1 .. . in i1 i1 i2 i2 i2 .. . in i2 ... ... .. . i1 in i2 in .. . . . . in in ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ . (1.3) ⎠ 10 Глава 1. Алгебра тензоров Найдем скалярное произведение матриц исходных базисных векторов: ⎛ ⎜ ⎜ Υ · ΥT = ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ .1 .2 .n δ1. δ1. . . . δ1. .1 .2 .n ⎜ δ2. δ2. . . . δ2. ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 n · (i , i , . . . , i ) = ⎜ .. ⎟ .. .. .. ⎝ . ⎠ . . . .1 .2 .n in δn. δn. . . . δn. ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 ⎜ 0 1 ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ . . . . ⎟ = I. ⎝ .. .. .. .. ⎠ 0 0 ... 1 i1 i2 .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟= ⎠ (1.4) Размерность записанной матрицы Ln × Ln = Ln2 . Найдем и преобразуем с учетом (1.1) скалярные произведения матриц исходных и новых базисных векторов: Υ · Υ̃T = Υ · ΥT S T = IS T = S T ; Υ̃ · ΥT = SΥ · ΥT = SI = S. Так как скалярное произведение векторов коммутативно (Υ · Υ̃T = Υ̃ · ΥT ), то результаты двух проделанных преобразований равны: S = ST , т. е. матрица S симметрична. Найдем скалярное произведение двух матриц новых базисных векторов: Υ̃ · Υ̃T = SΥ · ΥT S T = SIS T = SS T = I. Из последнего равенства следует: S T = S −1 — транспонированная матрица преобразования исходного ортонормированного базиса в новый ортонормированный базис равна обратной матрице. Из чего следует, что матрица S ортогональна и S −T = S. § 1.2. Преобразование координат векторов 11 § 1.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ БАЗИСОВ Представим вектор x ∈ Ln в виде линейной комбинации ортонормированных векторов ik исходного базиса Υ и ĩk нового базиса Υ̃: x = x1 i1 + x2 i2 + . . . + xn in = xk ik = X T Υ; x = . . . = x̃k ĩk = X̃ T Υ̃. T (1.5) (1.6) T Здесь X и X̃ — матрицы-строки координат вектора x в базисах Υ и Υ̃. Приравняем правые части равенств (1.5) и (1.6), после чего подставим в полученное равенство вместо Υ̃ соотношение (1.2): X T Υ = X̃ T SΥ. Полученное равенство выполняется при условии X T = X̃ T S =⇒ X = S T X̃. (1.7) Зависимость выражает правило преобразования новой матрицы вектора (вектора-столбца) в исходную при известном правиле (1.2) преобразования базисных векторов. Так как базисные векторы ik (ĩk ) (k = 1, n) линейно независимы, то матрица S невырожденная и можно получить матрицу S −1 , обратную к S. Имея в виду (S −1 )T = S −T = S из (1.7) получим обратное преобразование: X̃ = SX и X̃ T = X T S T = X T S −1 . (1.8) T Запись X Υ для вектора x сохраняет свой вид при переходе к новому базису. Действительно, X̃ T Υ̃ = X T S −1 SΥ = X T Υ. Равенство указывает на то, что вектор x = X̃ T Υ̃ = X T Υ — инвариантная по отношению к выбору базиса величина. Свойство инвариантности математических объектов — это свойство их независимости от выбора базиса. 12 Глава 1. Алгебра тензоров Отметим, что соотношения (1.7) и (1.8) согласуются с начально принятой зависимостью (1.2) для матрицы преобразования S. Пример. В ортонормированном базисе Υ = (i1 i2 )T про i1 = 2i1 + i2 . странства L2 задан вектор r = (2, 1) i2 Представить r: а) в базисе Υ = (i1 i2 )T , повернутом относительно базиса Υ на угол α = π/6 против часовой стрелки; б) в базисе Υ̃ = (ĩ1 ĩ2 )T , повернутом относительно базиса Υ на угол β = −π/2 (по часовой стрелке). Р е ш е н и е. Зависимость между базисными векторами Υ и Υ: i1 cos α sin α i1 = . − sin α cos α i2 i2 Обратную зависимость (при α = π/6): √ 1 i1 i1 3 √ −1 = i2 i2 3 1 2 подставим в исходное выражение для r: r = (2, 1) 1 2 √ 3 √ −1 3 1 i1 = i2 √ 1 = 3+ 2 i1 + Преобразование базиса Υ в базис Υ̃: i1 cos β sin β ĩ1 = − sin β cos β i ĩ2 2 Обратное соотношение (при β = −π/2): ĩ1 i1 0 1 = −1 0 i2 ĩ2 √ 3 − 1 i2 . 2 . § 1.3. Диада векторов подставим в преобразование Υ в Υ: √ 1 ĩ1 i1 0 1 3 √ −1 = = −1 0 i2 3 1 2 ĩ2 √ 1 ĩ1 1 3 √ = − 3 1 ĩ2 2 13 . Подставляя последнюю зависимость в исходное выражение для r получим искомое представление этого вектора в базисе с тильдой: √ 1 ĩ1 1 3 √ r = (2, 1) = − 3 1 2 ĩ2 √ √ 3 1 ĩ1 + ĩ2 . = 1− 3+ 2 2 § 1.3. ДИАДА ВЕКТОРОВ Введем еще один вид произведения векторов — неопределенное произведение. Используются другие названия: диадное или тензорное произведения. Пусть паре векторов x и y ∈ Ln ставится в соответствие некоторый объект Z = xy, называемый диадой. Диада является элементом линейного пространства Ln2 и для него справедливы все аксиомы, этого пространства [3]. Перечислим пункты этих аксиом, применимые к диадам. Рассмотрим диады, образованные парами векторов xi и yj ∈ ∈ Ln . Для удобства пронумеруем их: Zk = (xi yj )k (i, j = = 1, n, k = 1, n2 ). В общем случае i = j = k. 1. Любым двум элементам Z1 и Z2 ∈ Ln2 можно поставить в соответствие элемент Z1 + Z2 ∈ Ln2 , называемый суммой Z1 и Z2 . 2. Для любого Zk ∈ Ln2 и действительного числа λ ∈ существует элемент (λZk ) ∈ Ln2 . 3. Коммутативность по отношению к сумме: Z1 +Z2 = Z2 + + Z1 . 14 Глава 1. Алгебра тензоров 4. Ассоциативность по отношению к сумме: Z1 +(Z2 +Z3 ) = = (Z1 + Z2 ) + Z3 . 5. Разрешимость: для любых Z1 и Z2 существует элемент U ∈ Ln2 такой, что Z1 + U = Z2 . 6. Ассоциативность по отношению к произведению на действительные числа λ и ν: (λν)Zk = λ(νZk ). 7. Для любого Zk существует единичный элемент 1 ∈ и справедливо равенство 1 · Zk = Zk . 8. Существует нулевой элемент Θ ∈ Ln2 такой, что Θ + + Zk = Zk . 9. Дистрибутивность по отношению к произведению действительного числа на сумму элементов: λ(Z1 + Z2 ) = = λZ1 + λZ2 . 10. Для любого вектора Zk существует противоположный элемент (−Zk ) такой, что Zk + (−Zk ) = Θ. Кроме перечисленных аксиом, позволяющих считать диады элементами пространства Ln2 , постулируются следующие свойства диад, образованных неопределенным (диадным) произведением векторов. 1. Некоммутативность xy = yx. 2. Дистрибутивность x(y + z) = xy + xz. 3. Возможность вынесения скалярного множителя одного из векторов за знак неопределенного произведения (λx)y = x(λy) = λ(xy). 15 § 1.3. Диада векторов Рассмотрим некоторые математические операции над диадами. Диада yx = ZT называется транспонированной по отношению к диаде xy = Z. Каждой диаде можно поставить в соответствие скаляр, равный скалярному произведению входящих в диаду векторов и называемый следом (англ. trace) диады: tr Z = z = x · y, и вектор z = x × y. Скалярным произведением диады xy на вектор u справа называется вектор, сонаправленный x и равный произведению x на скалярное произведение y · u. То есть (xy) · u = x(y · u). Аналогично u · (xy) = (u · x)y = (xy) · u. Векторным произведением диады xy на вектор u справа называется диада, составленная из векторов x и (y × u). То есть (xy) × u = x(y × u). Аналогично u × (xy) = (u × x)y. Скалярным произведением диад называется диада, определяемая соотношением (xy) · (uv) = x(y · u)v = (y · u)xv. Ясно, что новая диада отличается от диады xv скалярным множителем y · u. 16 Глава 1. Алгебра тензоров § 1.4. ДИАДА ВЕКТОРОВ, ЗАДАННЫХ В БАЗИСЕ ПРОСТРАНСТВА Ln2 Диады могут быть образованы базисными векторами. В § 1.1 рассмотрено неопределенное произведение двух векторных матриц Υ = (i1 i2 i3 )T и ΥT = (i1 i2 i3 ), каждая из которых представляет ортонормированный базис в пространстве L3 . Это произведение привело к записи квадратной матрицы порядка n, элементами которой являются n2 диад, образованных векторами ортонормированного базиса: i1 i1 , i1 i2 , i2 i1 , . . . , in in или ik ir , (k, r = 1, n). Представленные диады линейно независимы и являются элементами линейного n2 -мерного пространства Ln2 . Смысл диад, составленных из векторов ik и ir ∈ L3 наглядно поясняет рис. 1.1, где представлен вырезанный из пространства 3 куб. Нормали к граням куба совпадают с направлением соответствующих базисных векторов. Считаем, что в диаде ik ir (k, r = 1, 3) первый базисный вектор ik определяет грань куба, с направлением нормали к которой он совпадает; второй вектор ir приложен к этой грани. Рис. 1.1. Диады в L3 § 1.4. Диада векторов в пространстве Ln2 17 Рассмотрим заданные в пространстве Ln векторы x и y. Разложим векторы по связанному с этим пространствам базису ортонормированных векторов Υ = (i1 i2 . . . in )T или Υ̃T = = (i1 i2 . . . in ): ⎛ ⎜ ⎜ x = X T Υ = (x1 x2 . . . xn ) ⎜ ⎝ i1 i2 .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟= ⎠ in = (xk ik ), (k = 1, n). (1.9) Второе представление вектора x: ⎛ ⎜ ⎜ x = ΥT X = (i1 i2 . . . in ) ⎜ ⎝ ⎞ x1 x2 .. . ⎟ ⎟ ⎟= ⎠ xn = (ik xk ), (k = 1, n). (1.10) Аналогичные соотношения можно записать для вектора y ⎛ ⎜ ⎜ y = Y T Υ = (y 1 y 2 . . . y n ) ⎜ ⎝ i1 i2 .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = (y k ik ), (k = 1, n), (1.11) ⎠ in ⎛ ⎜ ⎜ y = ΥT Y = (i1 i2 . . . in ) ⎜ ⎝ y1 y2 .. . yn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = (ik yk ), (k = 1, n). (1.12) ⎠ 18 Глава 1. Алгебра тензоров Используя, например, (1.10) и (1.11), запишем выражение для диады векторов x и y: xy = ΥT XY T Υ = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ x1 i1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = (i1 . . . in ) ⎝ ... ⎠ (y 1 . . . y n ) ⎝ ... ⎠ = xn in ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ i1 x1 y 1 . . . x1 y n ⎟ ⎜ . . . ⎠ ⎝ ... ⎠ = = (i1 . . . in ) ⎝ . . . . . . 1 n xn y . . . xn y in = ik xk y r ir = xk y r ik ir , (k, r = 1, n). (1.13) Последнее приведенное соотношение указывает на то, что диада векторов xy представляется в базисе Υ пространства Ln суммой n2 слагаемых. При представлении векторов и матриц в базисах, отличающихся от рассмотренных, значения элементов их матриц будут изменяться по правилам, вытекающим из правила преобразования базисных векторов. § 1.5. ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА Обратимся к выражению (1.13) и перепишем обозначения r T = xy; t.r k. = xk y : ⎛ .1 ⎞⎛ t1. . . . t.n i1 1. ⎟ ⎜ . . T 1 n ⎜ .. .. .. ⎠ ⎝ ... T = Υ T Υ = (i . . . i ) ⎝ . t.1 n. . . . t.n n. его, введя ⎞ ⎟ ⎠ . (1.14) in Математический объект T ∈ Ln2 , представляемый в ортонормированном базисе зависимостью (1.14), называется тензором второго ранга (от латинского tensus — напряжение). Тензоры второго ранга будем в дальнейшем обозначать жирными заглавными прямыми латинскими буквами. Исключения будем оговаривать (например, Υ — матрица-столбец базисных векторов). 19 § 1.5. Тензор второго ранга Рассмотрим два вектора, заданных в линейном пространстве Ln их разложениями по базису Υ (ΥT ): ⎛ ⎞ u1 ⎜ ⎟ u = ΥT U = (i1 . . . in ) ⎝ ... ⎠ = ik uk , (k = 1, n). (1.15) un ⎛ ⎞ v1 ⎜ ⎟ v = ΥT V = (i1 . . . in ) ⎝ ... ⎠ = ir vr , vn (r = 1, n). (1.16) Пусть вектор v является образом вектора u (u — прообраз v), получаемым с помощью оператора T: T: u −→ v. Определение 1. Оператор, с помощью которого отображается (преобразуется) один вектор (как инвариантная величина!) в другой вектор того же пространства, называется тензором второго ранга. Для тензора T и векторов u и v такое преобразование записывается в виде v = T · u. (1.17) Между тензором T и вектором u ставится знак скалярного произведения (!). Представим (1.17) в матрично-индексной форме, используя соотношения (1.15) и (1.16): ⎛ ⎞ v1 ⎜ ⎟ ΥT V = ΥT T Υ · ΥT U, или (i1 . . . in ) ⎝ ... ⎠ = vn ⎛ .1 ⎞⎛ t1. . . . t.n 1. ⎜ = (i1 . . . in ) ⎝ . . . . . . . . . ⎠⎝ .1 .n tn. . . . tn. ⎛ i1 .. ⎟ · (i1 . . . in ) ⎜ ⎝ . ⎠ in ⎞ ⎞ u1 .. ⎟ . . ⎠ un 20 Глава 1. Алгебра тензоров С учетом (1.4) перепишем последнее равенство: ⎛ ⎞ ⎛ .1 ⎞⎛ u ⎞ v1 1 t1. . . . t.n 1. ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ (i1 . . . in )⎝ ... ⎠ = (i1 . . . in )⎝ . . . . . . . . . ⎠⎝ ... ⎠. .1 .n tn. . . . tn. vn un Приравнивая множители при одинаковых базисных векторах, приходим к зависимости между матрицами U, V векторов u, v и T тензора T: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ u ⎞ v1 1 t.1 . . . t.n 1. 1. ⎜ .. ⎟ ⎝ ⎜ .. ⎟ ⎠ ... ... ... ⎝ . ⎠= ⎝ . ⎠ t.1 . . . t.n n. n. vn un (1.18) или vk = t.r k. ur (k, r = 1, n), или V = T U. (1.19) В рассматриваемом ортонормированном базисе Υ пространства Ln тензор T представляется матрицей T размера (n × n), так что T = ΥT T Υ. (1.20) Введем новый базис Υ̃ = (ĩ1 . . . ĩn )T . В этом базисе инвариантный математический объект, тензор T, представится в виде T = Υ̃T T̃ Υ̃. (1.21) Зная правило преобразования базисных векторов (1.2) Υ̃ = SΥ (Υ̃T = ΥT S T ) или Υ = S −1 Υ̃ (ΥT = Υ̃T S −T ), перейдем в (1.20) к новому базису: T = Υ̃T S −T T S −1 Υ̃. (1.22) 21 § 1.6. Тензоры ранга n Сравнивая это выражение с (1.4), запишем правило преобразования матрицы T тензора T при переходе от исходного базиса к новому: T̃ = S −T T S −1 . (1.23) Если осуществляется ортогональное преобразование (ортонормированного базиса в ортонормированный), то S −1 = S T и последнее соотношение примет вид T̃ = ST S −1. (1.24) Обратное по отношению к (1.24) преобразование: T = S −1 T̃ S. (1.25) Определение 2. Тензором второго ранга называется математический объект пространства Ln2 , соответствующий квадратной матрице порядка n × n, которая при преобразовании ортонормированных базисов подчиняется правилам преобразования (1.24) и (1.25). Отметим две особенности, характерные для тензора T. Вопервых, понятие тензор отождествляется с понятием оператора. Как всякий оператор, тензор преобразует векторы рассматриваемого пространства в векторы того же пространства. Во-вторых, тензор (как и оператор) в заданном базисе представляется матрицей, что дает возможность при выполнении операций с тензорами использовать аппарат матричного исчисления. § 1.6. ТЕНЗОРЫ РАНГА n В § 1.3 упоминалось о скалярном и векторном произведениях векторов и введено понятие таких произведений вектора на диаду. В частности, для векторов ортонормированного базиса Υ = (i1 . . . in )T пространства Ln упомянутые произведения могут быть представлены в виде: m ik · ir = δ.r k. − скаляр; ik × ir = ekrm i − вектор; ik ir − диада. Во втором соотношении ekrm — символ Леви-Чивиты (Levi-Civita Tullio (1873–1941) — итальянский математик): 22 Глава 1. Алгебра тензоров ⎧ ⎨ ekrm = 1, если krm = 123, 231, 312; −1, если krm = 321, 213, 132; ⎩ 0 в остальных случаях. Рассмотрим различные виды произведений диады на вектор: ik im · ir = δ.r m. ik − вектор; ik im × ir = emrp ik ip − диада; ik im ir − триада или тензор третьего ранга. Обобщая последнюю запись, введем неопределенное произведение n базисных векторов ik1 ik2 . . . ikn−1 ikn , называемую полиадой базисных векторов n-ного порядка. Напомним, что индексы в одночленах могут стоять на любых позициях (верхней или нижней), но при выполнении соглашения о суммировании Эйнштейна повторяющиеся индексы следует размещать на противоположных позициях. Тензорное произведение диады (тензора второго ранга) на вектор приводит к новому объекту — триаде или тензору третьего ранга. Триада трех произвольных (не базисных) векторов также приводит к тензору третьего ранга: abc = ak bm cr ik im ir = akmr ik im ir = (3) A. (1.26) При записи использованы обозначения abc = (3) A; ak bm cr = akmr . В (1.26) индексы могут располагаться и другими способаm ми, например, (3) A = ak.r .m. ik i ir . Заметим, что ранг тензора определяется количеством базисных векторов в полиаде — в тензоре третьего ранга их три (триада). Тензор второго ранга содержит неопределенное произведение двух базисных векторов. Обобщая (1.26) на n базисных векторов, образующих полиаду n-го порядка, запишем выражение для тензора n-го ранга: (n) A = ak1 k2 ...kn−1 kn ik1 ik2 . . . ikn−1 ikn . Ранг тензора определяется не только количеством базисных векторов в полиаде, но и, равным образом, количеством индексов у компонентов тензора. 23 § 1.6. Тензоры ранга n После сделанного обобщения становится ясным, что вектор, характеризуемый только одним базисным вектором, является тензором первого ранга. Скаляр — тензор нулевого ранга, он не содержит базисных векторов. По отношению к тензорам справедливы все действия, применимые к линейным операторам. В частности, операция сложения может иметь место только по отношению к тензорам одинакового ранга. Не представляет труда убедиться в том, что тензоры одинакового r-того ранга образуют в базисе пространства Ln линейное пространство Lnr . Для транспонирования тензора второго ранга (на знаке для тензора второго ранга не принято указывать его ранг) A = akr ik ir достаточно поменять местами индексы только у его компонентов или только у базисных векторов: AT = ark ik ir = akr ir ik . Что касается тензора ранга r, то для него существует операция транспонирования по какой-либо паре индексов. Теперь естественным образом может быть введено понятие скалярного, векторного и неопределенного произведений тензоров. Оговорим лишь условие: в произведениях тензоров (скалярном, векторном или неопределенном) знак соответствующего произведения относится к «соприкасающимся» с этим знаком базисным векторам. Рассмотрим в качестве примера скалярное произведение двух тензоров: (n) A · (m) B = = Ak1 ...kn−1 kn ik1 . . . ikn−1 ikn ·B r1 r2 ...rm ir1 ir2 . . . irm = n = Ak1 ...kn−1 kn B m r1 r2 ...rm k1 = Ak1 ...kn−1 kn B i ...i kn−1 kn i · i r1 i r2 . . . i rm = r1 r2 ...rm k1 = Ak1 ...kn−1 kn B kn r2 ...rm i . . . ikn−1 δk.rn1. ir2 . . . irm = ik1 . . . ikn−1 ir2 . . . irm = (n+m−2) C. n+m−2 24 Глава 1. Алгебра тензоров Постановка знака скалярного произведения между парой соприкасающихся базисных векторов называют свертыванием тензора по паре соответствующих индексов. Свертка тензора второго ранга приводит к скаляру, называемому следом тензора или первым главным инвариантом тензора. Скалярное произведение уменьшило суммарное количество базисных векторов (n + m) перемножаемых тензоров на два. Количество свободных индексов в произведении компонентов тензоров стало равным (n + m − 2), так как два индекса, а именно, верхний (kn ) и нижний (r1 ), стали одинаковыми (немыми) и по ним ведется суммирование. Количество слагаемых в упомянутой сумме равно размерности пространства базисных векторов. Аналогично можно показать, что векторное произведение двух тензоров равно новому тензору, ранг которого на единицу меньше суммарного ранга перемножаемых тензоров: (n+m−1) C = (n) A × (m) B. Неопределенное произведение двух тензоров приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов перемножаемых тензоров: (n+m) C = (n) A(m) B. Пример. В базисе Υ = (i1 i2 )T пространства L2 заданы i1 i1 и b = (−1, 3) . векторы a = (2, 1) i2 i2 Найти a · b, a × b, ab, ba, ab · ba, ab · ·ba. Р е ш е н и е. a · b = 2· (−1) + 1 · 3 = 1; i 1 i2 i3 a × b = 2 1 0 = i3 (2 · 3 − (−1) · 1) = 7i3 ; −1 3 0 −1 i1 = (i1 i2 ) ab = (2, 1) 3 i2 i1 i1 i1 i2 −1 = (2, 1) = 3 i2 i1 i2 i2 25 § 1.7. Матрицы тензоров = (2i1 i1 + i2 i1 ), (2i1 i2 + i2 i2 ) = −2i1 i1 − i2 i1 + 6i1 i2 + 3i2 i2 ; i1 2 (−1, 3) = ba = (i1 i2 ) 1 i2 i1 −2 6 = (i1 i2 ) = −1 3 i2 i1 = (−2i1 − i2 )(6i1 + 3i2 ) i2 = −2i1 i1 − i2 i1 + 6i1 i2 + 3i2 i2 ; −1 3 = = ab · ba = 4i1 i1 + 2i1 i2 + 2i2 i1 + i2 i2 + 36i1 i1 + 18i1 i2 + +18i2i1 + 9i2 i2 = 10(4i1 i1 + 2i1 i2 + 2i2 i1 + i2 i2 ); ab · ·ba = 10(4 · 1 · 1 + 1 · 1) = 50. § 1.7. МАТРИЦЫ ТЕНЗОРОВ Рассмотрим соотношение между двумя скалярными величинами (тензорами нулевого ранга) x = (0) X и y = (0) Y, отличающимися друг от друга числовым множителем a = (0) A: (0) Y = (0) A(0) X. Зависимость представляет собой преобразование одной переменной x ∈ = Lo в другую переменную y ∈ , т. е. это операция перемножения чисел: y = ax. Усложним зависимость, заменив скаляры (0) X и (0) Y на параллельные (линейно зависимые) векторы (1) X и (1) Y ∈ Ln : (1) Y = (0) A (1) X. Представим тензоры первого ранга (векторы) (1) X и (1) Y ∈ ∈ Ln в виде линейной комбинации базисных векторов: (1) X = X T Υ = (x1 x2 . . . xn )(i1 i2 . . . in )T , (1) Y = Y T Υ = (y 1 y 2 . . . y n )(i1 i2 . . . in )T : Y T Υ = aY T Υ. 26 Глава 1. Алгебра тензоров Приравнивая множители при Υ запишем соотношение между матрицами тензоров первого ранга: YT 1×n или =a XT 1×n (y 1 y 2 . . . y n ) = a(x1 x2 . . . xn ). Следующий шаг усложнения — зависимость между произвольными (в общем неколлинеарными) векторами: (1) Y = (2) A·(1) X. (1.27) Рассмотрим последовательность преобразования последнего соотношения к соотношению между матрицами. Для простоты ограничимся преобразованиями в пространстве L2 , где x1 y1 (1) T 1 2 (1) T 1 2 , , X = Υ X = (i i ) Y = Υ Y = (i i ) x2 y2 (2) A = ΥT AΥ = (i1 i2 ) a.1 1. a.1 2. a.2 1. a.2 2. i1 i2 . (1.28) Подставим записанные соотношения в (1.27) и преобразуем полученное выражение: .1 i1 y1 a1. a.2 x1 1 2 1 2 1 2 1. = (i i ) ·(i i ) = (i i ) .2 y2 a.1 a i x 2 2 2. 2. .1 x1 a1. a.2 1. = (i1 i2 ) . (1.29) a.1 a.2 x2 2. 2. k. В преобразовании использованы равенства ik · ir = δ.r и 1 0 i1 — единичная матрица. = ΥT · Υ = (i1 i2 ) · 0 1 i2 Приравнивая в (1.29) множители при (i1 i2 ), приходим к матричной форме зависимости (1.27): Y 2×1 = A 2×2 X . 2×1 (1.30) 27 § 1.7. Матрицы тензоров Запишем эту зависимость для векторов x, y и тензора T, представленных в базисе Ln : Y n×1 = или в координатной форме: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1. a.1 a1. y .2 2. ⎜ y 2 ⎟ ⎜ a2. ⎜ ⎟ ⎜ .1 a.2 ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. .. ⎝ . ⎠ ⎝ . . yn an. .1 an. .2 A n×n X (1.31) n×1 . . . a1. .n . . . a2. .n .. .. . . . . . an. .n ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ x1 x2 .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ xn Заметим, что тензор второго ранга, представленный в виде (1.28): .1 i1 a1. a.2 (2) 1. = A = ΥT AΥ = (i1 i2 ) a.1 a.2 i2 2. 2. 1 .2 1 .1 2 .2 2 = a.1 1. i i1 + a1. i i2 + a2. i i1 + a2. i i2 = k = a.r k. i ir , (k, r = 1, 2) (1.32) можно представить в других видах (с другим позиционированием индексов). Рассмотрим произведение матриц векторов. Первую матрицу-строку составим из элементов a.r k. матрицы (1.28): ·2 ·1 ·2 AT = (a·1 1· a1· a2· a2· ), вторую — из диад базисных векторов ik ir , называемую в дальнейшем матрицей диад базисных векторов: DT = (i1 i1 , i1 i2 , i2 i1 , i2 i2 ): .2 .1 .2 1 1 2 2 T AT D = (a.1 1. , a1. , a2. , a2. )(i i1 , i i2 , i i1 , i i2 ) = 1 .2 1 .1 2 .2 2 .r k = a.1 1. i i1 + a1. i i2 + a2. i i1 + a2. i i2 = ak. i ir , (k, r = 1, 2). Результат совпадает с (1.32). Рассмотрим следующее соотношение (2) Y = (3) A · (1) X, (1.33) которое преобразует вектор (1) X (тензор первого ранга) в тензор второго ранга (2) Y с помощью оператора (тензора третьего ранга) (3) A. 28 Глава 1. Алгебра тензоров При некоторых мысленных усилиях можно представить себе трехмерную «матрицу» и даже ухитриться изобразить прямоугольный параллелепипед, разбитый на ячейки-кубики и содержащий n3 элементов тензора третьего ранга. Такие изображения не позволяют на нынешнем уровне развития математических методов оперировать с подобными зависимостями. Тем не менее, зависимость (1.33) и другие рассмотренные ниже можно преобразовать так, что они приведутся к соотношениям между прямоугольными матрицами. Ограничиваясь пространством L2 , представим тензор третьего ранга в виде разложения по базисным векторам и базисным диадам: ⎛ ·11 ⎞ a1·· a·12 1·· ⎜ a·21 ⎟ a·22 (3) T 1 1 2 2 1·· 1·· ⎟ i1 ⎜ A = D AΥ = (i i1 ; i i2 ; i i1 ; i i2 )⎝ ·11 ⎠ i2 . a2·· a·12 2·· ·21 ·22 a2·· a2·· С учетом этого и ранее полученных соотношений для тензоров первого и второго рангов запишем и преобразуем равенство (1.33): ⎛ ⎞ ·1 y1· ·2 ⎟ ⎜ y1· ⎟ (i1 i1 ; i1 i2 ; i2 i1 ; i2 i2 ) ⎜ ·1 ⎠ = ⎝ y2· ·2 y2· ⎛ ⎞ a·11 a·12 1·· 1·· ⎜ a·21 ⎟ a·22 1·· 1·· ⎟ = (i1 i1 ; i1 i2 ; i2 i1 ; i2 i2 ) ⎜ ·12 ⎠ × ⎝ a·11 a2·· 2·· a·21 a·22 2·· 2·· i1 x1 × · (i1 ; i2 ) i2 x2 . i1 1 0 1 2 . Напомним, что · (i ; i ) = 0 1 i2 Приравнивая множители при одинаковых матрицах базисных диад, получим зависимость между матрицами тензорного равенства (1.33): 29 § 1.7. Матрицы тензоров ⎛ ⎞ ⎛ ·11 ·1 y1· a1·· ·2 ⎟ ⎜ y1· ⎜ a·21 ⎜ ·1 ⎟ = ⎜ 1·· ⎝ y2· ⎠ ⎝ a·11 2·· ·2 y2· a·21 2·· ⎞ a·12 1·· ⎟ x1 a·22 1·· ⎟ ⎠ x2 a·12 2·· a·22 2·· . (1.34) Координатная запись последнего соотношения представляемая в пространстве Ln (соглашение о суммировании по повторяющимся индексам действует): ·r yk· = a·rm k·· xm , (k, r, m = 1, n). (1.35) Изобразить и даже мысленно представить матрицу четвертого ранга, входящую, например, в уравнение (2) Y = (4) A · ·(2) X, (1.36) невозможно в силу ограниченности нашего мышления, способного составлять образы только трехмерного мира. При разложении тензоров по матрицам диад базисных векторов соотношение (1.36) представляется в виде ⎛ ·1 ⎞ y1· ·2 ⎟ ⎜ y1· ⎟ (i1 i1 ; i1 i2 ; i2 i1 ; i2 i2 ) ⎜ ·1 ⎠ = ⎝ y2· ·2 y2· ⎛ ·1·1 ⎞ ·1·2 a1·1· a·1·1 a·1·2 1·2· a1·1· 1·2· ·2·2 ⎜ a·2·1 ⎟ a·2·1 a·2·2 1·1· 1·2· a1·1· 1·2· ⎟ = (i1 i1 ; i1 i2 ; i2 i1 ; i2 i2 ) ⎜ ·1·1 ·1·1 ·1·2 ⎝ a2·1· a2·2· a2·1· a·1·2 ⎠× 2·2· ·2·1 ·2·1 ·2·2 ·2·2 a2·1· a2·2· a2·1· a2·2· ⎛ 1 ⎞ ⎛ ·1 ⎞ i i1 x1· ·2 ⎟ ⎜ i2 i1 ⎟ ⎜ ⎟ · ·(i1 i1 ; i2 i1 ; i1 i2 ; i2 i2 ) ⎜ x1· ⎟. ×⎜ 1 ⎝ i i2 ⎠ ⎝ x·1 ⎠ 2· i2 i2 x·2 2· В последних записях знак ·· обозначает двойное скалярное произведение: сначала перемножаются векторы из пары соприкасающихся знаками произведения базисных векторов, затем следующая пара. Двойное скалярное произведение стоящее между двумя векторами базисных диад приводит к единичной матрице четвертого порядка. Ее произведение на другие матрицы не изменяет последних. 30 Глава 1. Алгебра тензоров Приравняв выражения, стоящие при одинаковых матрицах диад базисных векторов, приходим к матричной записи тензорного соотношения (1.36): ⎛ ·1 ⎞ ⎛ ·1·1 ⎞ ⎛ ·1 ⎞ ·1·2 y1· a1·1· a·1·1 x1· a·1·2 1·2· 1·1· a1·2· ·2 ⎟ ·2·2 ⎟ ⎜ ·2 ⎟ ⎜ y1· ⎜ ·2·1 a·2·1 a·2·2 1·2· 1·1· a1·2· ⎟ ⎜ x1· ⎟ ⎜ ·1 ⎟ = ⎜ a1·1· ·1·1 ·1·2 ·1·2 ⎠ ⎝ ⎝ y2· ⎠ ⎝ a·1·1 ⎠. a2·2· a2·1· a2·2· x·1 2·1· 2· ·2 ·2·2 y2· a·2·1 a·2·1 a·2·2 x·2 2·1· 2·2· 2·1· a2·2· 2· В координатной форме ·r l· = a·r·m yk· k·l· x·m , (k, r, m, l = 1, n). § 1.8. СВЕРТЫВАНИЕ ИНДЕКСОВ Вспомним [3], как находится модуль вектора a (его инвариант) в пространстве n : √ |a| = a·a = ak ak . Квадрат модуля вектора a (скалярный квадрат) образуется путем постановки знака скалярного произведения между векторами диады aa. В § 1.3 эта операция названа следом и обозначена «tr»: tr(aa) = a·a = ak ak и tr(ab) = a·b = ak bk . Операция определения следа тензора второго ранга сводится к постановке знака скалярного произведения между базисными векторами. След тензора второго ранга Q называется его первым главным инвариантом: k· J1 (Q) = trQ = q kr ik ·ir = q kr δkr = q·k . Постановка знака скалярного произведения между двумя соседствующими базисными векторами тензора произвольного ранга называется сворачиванием тензора по паре индексов. В результате такого сворачивания ранг исходного тензора снижается на две единицы. Например, § 1.8. Свертывание индексов (n−2) 31 k r−1 kr ··· · kr+1 Q = q·k1 k· 2 ··· · · · ikn = ··· · · kr+1 kn ik1 ik2 · · · ikr−1 ikr · i k r−1 kr · · · kr+2 · · · ikn . = q·k1 k· 2 ··· ··· · · kr kr+2 kn ik1 ik2 · · · ikr−1 i Рассмотрим скалярное произведение двух тензоров второго ранга P и Q n r· m k· n· m P·Q = pk· ·n ik i · q·m ir i = p·n q·m ik i = T. Эта операция равносильна сворачиванию тензора четвертого ранга PQ по паре индексов соприкасающихся базисных векторов. След тензора T — скаляр, образуемый сверткой этого тензора по двум оставшимся свободными индексам: ·m k trT = tr(P·Q) = P··Q = p·n k· qn· i ·im = ·m k ·n ·k = p·n k· qn· δm = pk· qn· . Рассмотрим тензор, транспонированный по отношению к T: k m T TT = (P·Q)T = (p·n k· qnm i i ) = k m k n ·r m T T = p·n m· qnk i i = qnk i i ·pm· ir i = Q ·P . То есть, транспонирование скалярного произведения двух тензоров второго ранга равно скалярному произведению транспонированных тензоров, входящих в произведение и расположенных в обратном порядке. След тензора TT , в чем нетрудно убедиться, совпадает со следом тензора T. Симметричным относительно пары индексов тензором называется тензор, который не изменяется при перестановке индексов в этой паре или только у векторов диады, или только у компонентов тензора. Например, тензор третьего ранга (3) Q = qkmr ik im ir = qrmk ik im ir симметричен относительно первого и третьего индексов. Покажем, что тензор Q·QT симметричен. Действительно, с учетом установленного выше правила определения тензора, 32 Глава 1. Алгебра тензоров транспонированного по отношению к скалярному произведению тензоров второго ранга, получим (Q·QT )T = (QT )T ·QT = Q·QT . Конечно, это не означает, что Q·QT = QT ·Q. Квадратом тензора второго ранга Q = q km ik im = = qrn ir in называется тензор Q2 = Q·Q = q km ik im ·qrn ir in = q km qmn ik in . Для куба тензора получим выражение: p· n· ip it = q km qmn q·t ik it . Q3 = Q2 ·Q = q km qmn ik in ·q·t Аналогично k1 n Qn = Qn−1 ·Q = qk·k12· qk·k23· . . . qk·kn−1 · i ikn . Следами степеней тензора второго ранга являются их первые главные инварианты: J1 (Q2 ) = trQ2 = Q · ·Q = q km qmn ik ·in = ·m ·k = q km qmn δkn = q km qmk = qk· qm· · · · J1 (Qn ) = trQn = ·k2 ·k3 ·kn 1 = Qn−1 ··Q = qk·k12· qk·k23· . . . qk·kn−1 · qk1 · qk2 · . . . qkn−1 · . В параграфе (§ 1.15) будет показано, что степени выше второй тензора второго ранга могут быть выражены через Q2 , Q и единичный тензор I = δkn ik in = ik ik . Тензор I получил название единичный тензор потому, что его скалярное произведение справа и слева на тензор любого ранга не изменяет последнего. Например, I·a = ik ik ·am im = am δkm ik = am im = a. § 1.9. Симметрирование и альтернирование тензоров 33 § 1.9. СИММЕТРИРОВАНИЕ И АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ Симметрированием называется операция выделения из тензора A его симметричной составляющей Q: Q= 1 (A + AT ). 2 (1.37) Альтернированием называется операция выделения из тензора его обратносимметричной составляющей Ω, т. е. слагаемого, которое при транспонировании меняет знак на противоположный: 1 Ω = (A − AT ). (1.38) 2 Из (1.37) и (1.38) вытекают соотношения: QT = 1 1 (A + AT )T = (AT + A) = Q; 2 2 1 1 (A − AT )T = (AT − A) = −Ω. (1.39) 2 2 Теорема. Обратносимметричный (кососимметричный) тензор второго ранга имеет три независимые компонента, которые преобразуются при изменении базиса как координаты вектора. Покажем, что это так. Пусть ΩT = Ω = ωkr ik ir . Из (1.38) следует: ωkr = −ωrk . Поэтому ω11 = ω22 = ω33 = 0; ω23 = −ω32 = −ω 1 ; ω12 = −ω21 = −ω 3 ; ω31 = −ω13 = −ω 2 . Последние соотношения объединим, используя символы Леви-Чивиты 34 Глава 1. Алгебра тензоров ωkr = −ekrm ω m 1 и ω m = − emkr ωkr . 2 (1.40) Образуем из ненулевых компонентов тензора Ω вектор ω = ω k ik , где 1 1 ω 1 = − e1kr ωkr = − (ω23 − ω32 ) = 2 2 1 1 1 1 (a23 − a32 ) − (a32 − a23 ) = (a32 − a23 ); =− 2 2 2 2 1 1 1 ω 2 = − e2kr ωkr = − (ω31 − ω13 ) = (a13 − a31 ); 2 2 2 1 1 1 ω 3 = − e3kr ωkr = − (ω12 − ω21 ) = (a21 − a12 ). 2 2 2 Таким образом, три координаты вектора ω, сопутствующего тензору A (ассоциированного с тензором), определяются через координаты этого тензора: 1 ω m = − emkr akr . 2 (1.41) Эти координаты, в чем легко убедиться, при преобразовании базиса преобразуются как компоненты вектора. Равенство нулю (нулевому тензору) вектора ω (тензора Ω) указывает на то, что тензор A симметричен. Рассмотрим равенство, образованное векторами x, y и кососимметричным тензором Ω: y = Ω · x. (1.42) Представим x и Ω в виде разложения по векторам ортонормированного базиса Υ = (i1 i2 i3 )T : y = ωkr ik ir · xm im = ωkr xr ik . (1.43) 35 § 1.9. Симметрирование и альтернирование тензоров Рассмотрим далее векторное произведение вектора ω на вектор x и преобразуем его с учетом (1.40): ω × x = ω p ip × xr ir = ω p xr eprk ik = = −ekrp ω p xr ik = ωkr xr ik . (1.44) Сравнение выражений (1.42)–(1.44) приводит к соотношению Ω · x = ω × x, (1.45) используя которое, найдем: x · Ω = ΩT · x = −Ω · x = −ω × x = x × ω. Последние формулы позволяют получить следующие полезные зависимости: A · x = (Q + Ω) · x = Q · x + ω × x; x · A = x · Q + x × ω = x · Q − ω × x. (1.46) Умножая первое из соотношений (1.46) скалярно на x слева или второе из них — на x справа, придем к равенству: x · A · x = x · Q · x. То есть кососимметричная часть в последнем равенстве исчезает. ⎞ ⎛ 3 1 −4 Пример. Матрицу T = ⎝ 3 −2 1 ⎠ тензора T , пред2 5 4 ставленного в ортонормированном базисе, разложить на сумму симметричной Q и кососимметричной Ω составляющих. Образовать вектор тензора Ω. Р е ш е н и е. ⎞ ⎛ 0 3 2 −1 T = Q + Ω = ⎝ 2 −2 3 ⎠ + ⎝ 1 3 −1 3 4 ⎛ ⎞ −1 −3 0 −2 ⎠ . 2 0 36 Глава 1. Алгебра тензоров 1 Определим координаты вектора ω m = − emkr ωkr косо2 симметричного тензора: 1 1 1 ω 1 = − e1kr ωkr = − (ω23 − ω32 ) = − (−2 − 2) = 2; 2 2 2 1 1 ω 2 = − (ω31 − ω13 ) = − (3 + 3) = −3; 2 2 1 1 ω 3 = − (ω12 − ω21 ) = − (−1 − 1) = 1. 2 2 Искомый вектор ω = ω k ik = 2i1 − 3i2 + i3 . § 1.10. ТЕНЗОР ПОВОРОТА Рассмотрим две системы базисных ортонормированных векторов в Ln : старую Υ = (i1 i2 . . . in )T и новую Υ̃ = = (ĩ1 ĩ2 . . . ĩn )T . Зададим тензор S в виде суммы диад: S = ik ĩk = ik ĩk и ST = ĩk ik = ĩk ik . (1.47) Умножим произвольный вектор x, представленный в старом базисе x = xr ir = xr ir , справа скалярно на тензор S: x · S = xr ir · ik ĩk = xr ĩk δkr = xr ĩr = x̃. (1.48) Умножим теперь тот же вектор x слева скалярно на тензор ST : ST · x = ĩk ik · xr ir = xr ĩk δkr = xr ĩr = x̃. (1.49) Результаты двух рассмотренных операций оказались одинаковыми. Таким образом, в результате скалярного произведения вновь введенного тензора S справа на произвольный вектор x и тензора ST слева на тот же вектор получается один и тот же вектор x̃. Координаты xk этого вектора в новом базисе (проекции вектора на направления векторов ортонормированного базиса) совпадают с соответствующими координатами вектора x в старом базисе. То есть тензор S осуществил жесткий поворот вектора x в положение вектора x̃ вместе с базисными векторами. Вектор x как бы «вморожен» вместе 37 § 1.10. Тензор поворота с базисом в среду его «обитания» и поворачивается вместе с ней как «жествое целое». Тензор S, осуществляющий описанные преобразования, называется тензором поворота. Заметим, что этот тензор только поворачивает вектор x (вместе с базисом) в рассматриваемом пространстве, не изменяя его модуля. Вспоминая правило преобразования базисных векторов при переходе от старого базиса к новому (§ 1.1), выражения для тензора поворота представим в виде разложения по векторам старого базиса: k k· r S = s·r k· i ir = s·r ik i и k r· k ST = s·r k· ir i = s·k i ir . (1.50) Проверим справедливость результатов (1.48) и (1.49) для представления (1.50) r k· m r m· r m x · S = xm im · sk· ·r ik i = xm s·r δk i = xm s·r i = xm ĩ . k m r· m k m· k m ST · x = sr· ·k i ir · xm i = xm s·k δr i = xm s·k i = xm ĩ . Таким образом, тензор S имеет в старом базисе (тензор разложен по полиадам ik ir ) матрицу с такими же по смыслу компонентами, как и компоненты матрицы преобразования координат S (§ 1.1). Рассмотрим скалярное произведение тензоров (1.50): ST · S = ĩk ik · ir ĩr = δrk ĩk ĩr = ĩk ĩk = I. (1.51) К этому же результату приводит раскрытие скалярного произведения S · ST . Из (1.51) следует ST = S−1 . Таким образом, введенный в этом разделе тензор S осуществляет с векторами те же операции, что и рассмотренная в § 1.1 матрица S. Для того, чтобы представить вектор x в новом базисе, достаточно умножить его скалярно справа и слева на тензоры S и ST = S−1 в любом порядке. Действительно, r p n· m S · x · S−1 = sk· ·r ik i · x ip · s̃·m i in = r p n· m k· r n· m = sk· ·r ik i · x s̃·m δp in = s·r ik δn s̃·m x = r· m r T = (ik sk· ·r )(s̃·m x ) = ĩr x̃ = Υ̃ X̃ = x. 38 Глава 1. Алгебра тензоров Найдем определитель тензора S · ST , используя равенство (1.51): det (S · ST ) = det S det ST = det2 S = det I = 1. Отсюда следует det S = ±1. Если det S = +1, то S называется собственно ортогональным тензором. С его помощью осуществляется преобразование вращения. Тензор S, для которого det S = −1, используется для преобразования вращения с зеркальным отражением. Поворот тензора второго ранга A можно осуществить следующей операцией: Ã = ST · A · S. Действительно, n r ·m n r k ·r k Ã = ĩk ik · a·m n· i im · i ĩr = an· δ k δ m ĩ ĩr = ak· ĩ ĩr . Компоненты тензоров A и Ã совпадают, хотя базисы, в которых они представлены, различны. Отметим, что равенство (1.51) делает линейно зависимыми часть координат тензора S. Так, для пространства L3 из девяти компонентов тензора S независимыми остаются только три. То есть тензор поворота представляет собой кососимметричный тензор. В книге [6] введен вектор θ ϑ = 2e tg , 2 определяющий поворот базиса вокруг некоторого орта e на угол θ. Там же получена формула S = (I − ee) cos θ + ee + e × I sin θ, из которой видно, что тензор S зависит только от вектора e (единичный вектор имеет в пространстве L3 два независимых компонента) и угла поворота θ — скалярной величины. § 1.11. Изотропные тензоры 39 § 1.11. ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ Рассмотрим двойное векторное произведение векторов ортонормированного базиса [1]: ik × (in × im ) = in (ik · im ) − im (ik · in ) = = in δ km − im δ kn . (1.52) С другой стороны, представляя векторное произведение ортонормированных векторов через символы Леви-Чивиты, получим: ik × (in × im ) = ik × enmp ip = enmp ekpt it . (1.53) Умножим оба равенства (1.52) и (1.53) скалярно на ir и приравняем полученные выражения. В результате придем к зависимости, связывающей между собой символы Кронекера и Леви-Чивиты: δ rn δ km − δ rm δ kn = enmp ekpt δtr = enmp ekpr = −enmp epkr . (1.54) Из этого выражения при k = m, т. е. при суммировании по двум парам индексов в правой его части, получим: 3δ rn − δ rn = −enkp epkr . Или 2δ rn = enkp erkp . Наконец, при суммировании по трем индексам (при r = n) имеем: enkp enkp = 2δ nn = 6. Изотропным называется тензор, компоненты которого сохраняют свои значения при преобразовании поворота базисных векторов. Покажем, что единичный тензор ·n k I = δk· i in = (ĩk · ĩn )ik in 40 Глава 1. Алгебра тензоров является изотропным. Действительно, используя правило преобразования базисных векторов при переходе к новому базису (§ 1.1), получим: n· r k r k ·p n· I = (s·p k· ip · s·r i )i in = (ip · i )i sk· in s·r = p = (ip · ir )ĩp ĩr = δ ·r p· ĩ ĩr . Таким образом, в новом базисе компоненты единичного тензора не изменились и остались равными символам Кронекера. Другим изотропным тензором является тензор третьего ранга Леви-Чивиты: (3) I = ekrn ik ir in . Доказать его изотропность можно по аналогии с I. В теории инвариантов доказано, что других изотропных тензоров, второго и третьего рангов, кроме I и (3) I не существует. Общий вид изотропного тензора четвертого ранга можно представить в виде (λ, µ и ν — скалярные множители): (4) ·p ·p ·m n k I = (λδ nk δ mp + µδ ·m n· δk· + νδ n· δk· )i i im ip = = λin in ik ik + µin ik in ik + νin ik ik in = = λ(4) I1 + µ(4) I2 + ν(4) I3 . Этот тензор состоит из линейной комбинации трех изотропных тензоров четвертого ранга: (4) I1 = in in ik ik , (4) I2 = in ik in ik , (4) I3 = in ik ik in . Подчеркнем, что три — это максимальное количество линейно независимых тензоров четвертого ранга. § 1.12. ОБРАТНЫЙ ТЕНЗОР Рассмотрим тензоры четных рангов. Матрицы таких тензоров квадратные, поэтому отыскание тензора, обратного заданному, сводится к отысканию матрицы, обратной по отношению 41 § 1.12. Обратный тензор к матрице исходного тензора. Конечно, требование невырожденности матрицы исходного тензора сохраняется. Несмотря на очевидность процедуры отыскания обратной матрицы и обратного тензора, остановимся на некоторых особенностях, присущих тензорам. Пусть задан невырожденный (имеющий невырожденную матрицу) тензор второго ранга A, который отображает вектор x в вектор y. y = A · x. (1.55) Если существует тензор A−1 , обратный тензору A, то справедливо соотношение x = A−1 · y. (1.56) Подставляя (1.56) в (1.55), придем к равенству y = (A · A−1 ) · y. Отсюда следует A · A−1 = I. (1.57) Зададим в Ln ортонормированный базис Υ = (i1 i2 . . . in )T . Напомним, что расположение индексов (верхнее или нижнее) для ортонормированного базиса не имеет принципиального значения. Обозначим компоненты векторов x, y и тензора A в этом базисе соответственно xk , y k , ak· ·r . Представим соотношение (1.55), раскладывая тензорные величины по векторам введенного базиса: r n k· n y k ik = ak· ·r ik i · x in = a·n x ik . Это векторное уравнение соответствует системе n алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов A = (ak· ·n ). Обозначим через An· ·k компоненты союзной по отношению к A матрицы. Индексы n и k у алгебраических дополнений по сравнению с соответствующими индексами элементов ak· ·n 42 Глава 1. Алгебра тензоров самой матрицы A поменялись местами, так как союзная матрица является транспонированной матрицей алгебраических дополнений. Легко убедиться в справедливости соотношения (a = det A): ∂a An· . ·k = ∂ak· ·n Если a = 0, то компоненты ãn· ·k обратной матрицы определятся из соотношения ãn· ·k = 1 n· 1 ∂a ∂(ln a) A = = . a ·k a ∂ak· ∂ak· ·n ·n (1.58) k Убедимся в том, что тензор A−1 = ãn· ·k in i является обm· ратным по отношению к тензору A = a·r im ir . Для этого достаточно проверить выполнение условия (1.57): r n· k m· A · A−1 = am· ·r im i · ã·k in i = a·r An· ·k r δ im ik = a n aδ m 1 m· r· a·r A·k im ik = k im ik = δkm im ik = ik ik = I. a a При доказательстве последнего соотношения использована формула (1.58) и правило разложения определителя по элементам его строк (столбцов). Для операции определения обратного тензора, как и для соответствующих матриц, справедливы соотношения: = (A−1 )−1 = A; (AT )−1 = (A−1 )T = A−T ; (A · B)−1 = B−1 · A−1 . § 1.13. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА Скалярное произведение тензора второго ранга на вектор дает новый вектор (§ 1.3). Поставим задачу: для произвольного симметричного тензора второго ранга Q найти такой вектор x, который соосен (параллелен) вектору Q · x и отличается от последнего некоторым скалярным множителем q. То есть Q · x = qx. (1.59) 43 § 1.13. Собственные значения тензора Вектор x называется собственным вектором тензора Q, а q — его собственным значением. Обе эти величины будем для краткости называть собственными характеристиками тензора. Последовательность нахождения собственных характеристик тензора второго ранга полностью повторяет последовательность нахождения собственных характеристик симметричной квадратной матрицы. Тем не менее приведем схематично необходимые преобразования. Из (1.59) следует (I — единичный тензор; Θ — нулевой вектор): (Q − qI) · x = Θ. Представим последнее равенство в ортонормированном базисе Υ = (i1 i2 . . . in )T ∈ Ln : ·m k r ·r ·r k (qk· − qδ ·m k· )i im · xr i = (qk· − qδ k· )xr i = Θ. Полученное векторное равенство соответствует системе алгебраических уравнений: ·r (qk· − qδ ·r k· )xr = 0, (k, r = 1, n). Или в развернутом виде: ⎧ ·1 ·2 ·n x2 + . . . + q1· xn = 0; (q − q)x1 + q1· ⎪ ⎪ ⎨ ·11· ·2 ·n q2· x1 + (q2· − q)x2 + . . . + q2· xn = 0; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ······ ⎪ ⎪ ⎩ ·1 ·2 ·n qn· x1 + qn· x2 + . . . + (qn· − q)xn = 0. (1.60) Для того, чтобы система однородных уравнений (1.60) имела отличные от нуля решения, ее определитель должен равняться нулю: ·1 ·2 ·n q1· − q q1· ··· q1· ·1 ·2 ·n q2· q2· − q · · · q2· ·r ·r = 0. | qk· − qδk· |= ·· ··· ··· · · · · ·1 ·2 ·n qn· qn· · · · qn· −q 44 Глава 1. Алгебра тензоров Раскрытие определителя приводит к характеристическому уравнению n-ной степени относительно q: n (−1)k Jk (Q)q k = 0. (1.61) k=1 Коэффициенты Jk (Q) (k = 1, n), называемые главными инвариантами тензора Q, определяются из соотношений: ·1 ·2 ·2 ·2 q1· q1· q2· q3· ·1 ·2 ·n J1 (Q) = q1· +q2· +. . . qn· ; J2 (Q) = ·1 ·2 + ·3 ·3 +. . . q2· q2· q2· q3· ·1 ·2 ·n q1· q1· · · · q1· ·n ·n ·1 ·2 ·n q2· q q1· q2· · · · q1· . (1.62) . . . + n· ; · · · J (Q) = n ·1 ·1 ··· ··· ··· qn· q1· ·1 ·2 ·n qn· qn· · · · qn· Пусть q1 , q2 , . . . , qn . — корни уравнения (1.61) (количество корней равно степени уравнения). Согласно теореме Виета (Viéte Francois (1540–1603) — французский математик) [3] J1 (Q) = q1 + q2 + . . . + q3 ; J2 (Q) = q1 q2 + q2 q3 + . . . + qn q1 ; · · · · · · J3 (Q) = q1 q2 · · · qn . (1.63) Пример. В ортонормированном базисе тензор ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ t11 t12 t13 i1 3 T = ⎝ t12 t22 t23 ⎠ ⎝ i2 ⎠ = ⎝ 1 1 t31 t32 t33 i3 Υ = (i1 i2 i3 ) задан 1 0 2 ⎞⎛ ⎞ i1 1 2 ⎠ ⎝ i2 ⎠ . 0 i3 Найти его главные значения. Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение для зора T − λI: t11 − λ t12 t13 3 − λ 1 t21 −λ t22 − λ t23 = 1 t31 2 t32 t33 − λ 1 матрицы тен1 2 −λ = 0, 45 § 1.14. Собственные векторы тензора или λ3 − J1 (T )λ2 + J2 (T )λ − J3 (T ) = 0. Здесь Jk (T ) (k = 1, 3) — главные инварианты тензора T : J1 (T ) = t11 + t22 + t33 = 3 + 0 + 0 = 3; t11 t12 t22 t23 t33 t31 = + + J2 (T ) = t21 t22 t32 t33 t13 t11 3 1 0 2 0 1 = −1 − 4 − 1 = −6; + + = 1 0 2 0 1 3 t11 t12 t13 3 1 1 J3 (T ) = t12 t22 t23 = 1 0 2 = −8. t31 t32 t33 1 2 0 Характеристическое уравнение с найденными значениями главных инвариантов λ3 − 3λ2 − 6λ + 8 = 0 имеет три действительных различных корня — искомых главных значений тензора λ1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 4. § 1.14. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ТЕНЗОРА После определения корней характеристического уравнения из системы (1.60) можно найти собственные векторы, соответствующие каждому из этих корней. Так, для q = qk (k — одно из значений 1, 2, . . . , n) система уравнений принимает вид: ⎧ ·1 k ·2 k ·n k xn = 0; ⎪ ⎪ (q·11· k− qk )x·21 + q1· x2k + . . . + q1· ⎨ ·n k q2· x1 + (q2· − qk )x2 + . . . + q2· xn = 0; (1.64) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ····· ⎪ ⎪ ⎩ ·1 k ·2 ·n qn· x1 + qn· x2 + . . . + (qn· − qk )xkn = 0. Решение системы позволяет найти матрицу Xk = (xk1 xk2 . . . . . . xkn )T , (k = 1, n) k-того собственного вектора xk = XkT Υ. Так что xk = xrk ir . 46 Глава 1. Алгебра тензоров При решении задач векторы xk удобно нормировать, разделив их на соответствующие модули: xk ek = = |xk | xk1 xk2 xk ... n |xk | |xk | |xk | (i1 i2 . . . in )T = = (ek1 ek2 . . . ekn )(i1 i2 . . . in )T = (Ek )T Υ. Координаты векторов ek линейно зависимы в силу равенства нулю определителя коэффициентов уравнения (1.60). Поэтому векторы ek могут быть определены только с точностью до их модулей. В ряде случаев они с учетом произвола в длине могут быть заданы однозначно с учетом свойств собственных векторов. Так, из курса линейной алгебры известно, что в случае, если матрица Q коэффициентов уравнения (1.60) симметрична, то, во-первых, собственные значения матрицы — действительные числа, во-вторых, ее собственные векторы взаимно ортогональны. В силу неоднозначности векторов ek (k = 1, n) один из них ek1 , ek2 , . . . или ekn задается произвольно. Другие векторы определяются из свойств их скалярных произведений: ek · er = δkr . Собственные векторы ek и собственные значения qk (k = = 1, n) тензора Q должны удовлетворять уравнению (1.59): Q · ek = qk ek . По индексу k суммирование не производится, как по индексу, повторяющемуся в разных слагаемых (элементах различных сторон равенств). Умножим обе части последнего равенства на er слева. С учетом того, что главные векторы симметричного тензора взаимно ортогональны, получим: r. er · Q · ek = qk δ.k . 47 § 1.14. Собственные векторы тензора Преобразуем полученное равенство, приняв собственные векторы тензора Q за базис E = (e1 e2 . . . en )T рассматриваемого пространства: m· p m· r· p· r· er · em q·p e · ek = q·p δ·m δ·k = q·k . Приравняем правые части двух последних равенств: qk , если r = k; r· = q·k 0, если r = k. В ортонормированном базисе собственных векторов симметричного тензора его координаты с одинаковыми индексами равны соответствующим главным значениям тензора, а координаты с различными индексами равны нулю. Поэтому в базисе E = (e1 e2 . . . en )T Q представляется в виде суммы n диад: Q = q1 e1 e1 + q2 e2 e2 + . . . + qn en en = n qk ek ek . (1.65) k=1 Рассмотрим частные случаи. 1) Пусть в пространстве L3 собственные значения симметричного тензора Q известны: q1 = q2 = q3 . Тогда из (1.65) получим: Q = q1 (e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 ) + (q3 − q1 )e3 e3 = q1 I + (q3 − q1 )e3 e3 . Здесь I = ET E = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 . Для записанного тензора характерным является лишь одно направление. Это направление, которое определяется вектором e3 . Оставшиеся два направления, составляющие с вектором e3 ортонормированный базис, могут быть сориентированы в пространстве L3 произвольно. 2) Пусть все три главные значения тензора Q равны q. Тогда Q = qI. Все направления пространства L3 являются главными. Тензоры, обладающие таким свойством, называются шаровыми. Название связано с тем, что квадратичная форма, 48 Глава 1. Алгебра тензоров составленная из компонентов такого тензора, имеет равные коэффициенты при квадратах неизвестных и при ее равенстве некоторому фиксированному значению представляет собой сферу (шаровую поверхность). При решении конкретных задач не следует забывать о том, что несимметричный тензор второго ранга имеет неортогональные собственные векторы, а его главные значения представляют собой комплексные числа [3]. Пример. Для тензора T , заданного в предыдущем параграфе, найти главные векторы. Р е ш е н и е. Для определения собственных векторов составим систему уравнений: ⎧ ⎨ (3 − λ)x1 + x2 + x3 = 0, x1 − λx2 + 2x3 = 0, ⎩ x1 + 2x2 − λx3 = 0. Решим систему для различных значений λ, найденных в примере предыдущего параграфа. Для λ = λ1 = −2 : ⎧ ⎨ (3 + 2)x1 + x2 + x3 = 0, x1 + 2x2 + 2x3 = 0, ⎩ x1 + 2x2 + x3 = 0. Образуем матрицу коэффициентов при неизвестных и преобразуем ее методом Гаусса–Жордана: ⎛ 5 1 ⎝ 1 2 1 2 ⎞ 1 2 ⎠ 2 =⇒ −1 0 =⇒ ⎞ ⎞ ⎛ x11 0 x1 = ⎝ x12 ⎠ = k1 ⎝ 1 ⎠ . −1 x13 ⎛ =⇒ 0 1 1 0 § 1.14. Собственные векторы тензора 49 Для λ = λ2 = 1 : ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎨ (3 − 1)x1 + x2 + x3 = 0, x21 − x22 + 2x23 = 0, ⎪ ⎩ 2 x1 + 2x22 − x23 = 0. Составим матрицу коэффициентов и преобразуем ее методом Гаусса–Жордана: ⎞ ⎛ 2 1 1 1 0 1 ⎝ 1 −1 =⇒ 2 ⎠ =⇒ 1 0 −1 1 2 −1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ x1 −1 =⇒ x2 = ⎝ x22 ⎠ = k2 ⎝ 1 ⎠ . 1 x23 Для λ = λ3 = 4 : ⎧ 3 3 3 ⎪ ⎨ (3 − 4)x1 + x2 + x3 = 0, x31 − 4x32 + 2x33 = 0, ⎪ ⎩ 3 x1 + 2x32 − 4x33 = 0. Составим матрицу коэффициентов и преобразуем ее методом Гаусса–Жордана: ⎞ ⎛ −1 1 1 0 1 1 ⎠ ⎝ 1 −4 2 =⇒ =⇒ 1 0 2 1 2 −4 ⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞ x1 2 =⇒ x3 = ⎝ x32 ⎠ = k3 ⎝ 1 ⎠ . 1 x33 Проверим, будут ли собственные векторы попарно ортогональными. Для этого найдем их скалярные произведения: (x1 , x2 ) = 0 + 1 − 1 = 0 (!), (x2 , x3 ) = −2 + 1 + 1 = 0 (!), (x3 , x1 ) = 0 + 1 − 1 = 0 (!). 50 Глава 1. Алгебра тензоров Векторы попарно ортогональны. Нормируем их и запишем в виде разложения по векторам исходного базиса: ⎧ x1 1 ⎪ ⎪ e1 = 1 = √ (i2 − i3 ), ⎪ ⎪ ⎪ x 2 ⎪ ⎨ x2 1 e2 = 2 = √ (−i1 + i2 + i3 ), ⎪ x 3 ⎪ ⎪ 3 ⎪ x 1 ⎪ ⎪ ⎩ e3 = 3 = √ (2i1 + i2 + i3 ). x 6 Проверим ориентацию векторов, определив их смешанное произведение: 0 1 e1 · (e2 × e3 ) = −1 1 2 1 −1 1 1 = +1. Векторы образуют правый базис. Запишем матрицу преобразования Ẽ = S T I исходного базиса в ортонормированный базис собственных векторов тензора: ⎛ √0 1 ST = √ ⎝ − 2 6 2 √ √ ⎞ √3 −√3 2 2 ⎠. 1 1 Матрица S T должна быть ортогональной, так как преобразует ортонормированный базис в ортонормированный. Проверим это: √ ⎞ √ ⎛ 0 √3 −√3 √ 1 ST S = ⎝ − 2 2 2 ⎠× 6 2 1 1 √ ⎛ ⎞ √0 −√2 2 ⎠ = I (!). × ⎝ √3 √2 1 2 1 − 3 51 § 1.15. Теорема Кейли–Гамильтона Используя матрицу S, путем преобразования найдем диагональную матрицу собственных значений тензора T : √ ⎞⎛ √ ⎞ ⎛ 3 1 1 0 √3 −√3 √ 1 Λ = ST T S = ⎝ − 2 2 2 ⎠⎝ 1 0 2 ⎠× 6 1 2 0 2 1 1 √ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ −2 0 0 √0 −√2 2 ⎠ = ⎝ 0 1 0 ⎠. × ⎝ √3 √2 1 0 0 4 2 1 − 3 На главной диагонали полученной матрицы стоят главные значения тензора T . Замечание. Проблема определения собственных характеристик тензоров рассмотрена на примерах симметричных тензоров. В математике доказывается [2], что только для симметричных тензоров их собственные значения являются действительными числами, а собственные векторы попарно ортогональны. Для несимметричных тензоров собственные числа могут содержать комплексно-сопряженные числа, а собственные векторы не будут ортогональными [6]. § 1.15. ТЕОРЕМА КЕЙЛИ–ГАМИЛЬТОНА Найдем различные степени симметричного тензора второго ранга Q, заданного в пространстве 3 и представленного в базисе его собственных векторов (1.65): Q = q1 e1 e1 + q2 e2 e2 + q3 e3 e3 = 3 qk ek ek . k=1 Для удобства записи все индексы у компонентов тензоров и базисных векторов будем писать снизу. Найдем квадрат тензора Q: Q2 = 3 qk ek ek · k=1 = 3 k=1 3 r=1 qr er er = 3 3 qk qr δ kr ek er = k=1 r=1 qk2 ek ek = q12 e1 e1 + q22 e2 e2 + q32 e3 e3 . 52 Глава 1. Алгебра тензоров Продолжая далее получать последующие степени тензора Q, придем к общей формуле для определения Qn — n-ной степени симметричного тензора, представленного в базисе его собственных векторов: Qn = 3 qkn ek ek = q1n e1 e1 + q2n e2 e2 + q3n e3 e3 . (1.66) k=1 Можно показать, что формула (1.66) справедлива при дробных и отрицательных значениях показателя степени n. Так, Q−1 = 3 k=1 qk−1 ek ek ; Q1/2 = 3 √ qk ek ek . (1.67) k=1 Запись последнего соотношения (1.67) предполагает, что все главные значения тензора Q — неотрицательные числа. Косвенной проверкой справедливости формул (1.67) являются следующие соотношения: Q · Q−1 = I; Q1/2 · Q1/2 = (Q1/2 )2 = Q. Используя формулу (1.66), запишем: 3 Q = 3 qk3 ek ek . (1.68) k=1 Преобразуем это выражение, воспользовавшись характеристическим уравнением (1.61) для qk (k = 1, 3): −qk3 + J1 (Q)qk2 − J2 (Q)qk + J3 (Q) = 0. (1.69) Подставим полученное из (1.69) выражение для (1.68): Q3 = J1 (Q) 3 k=1 qk2 ek ek − J2 (Q) 3 k=1 qk ek ek + J3 (Q) 3 k=1 qk3 в ek ek . § 1.15. Теорема Кейли–Гамильтона 53 Отсюда, используя формулу (1.68), получим: −Q3 + J1 (Q)Q2 − J2 (Q)Q + J3 (Q)I = 0. (1.70) Последнее соотношение сформулируем в виде теоремы Кейли–Гамильтона (Cayley George (1773–1857) — английский ученый; Hamilton William (1805–1865) — ирландский математик). Теорема. Степени Q3 , Q2 , Q и Q0 = I симметричного тензора второго ранга Q связаны между собой такой же зависимостью, как степени q 3 , q 2 и q его главных значений в характеристическом уравнении. Заметим, что соотношение (1.70) будет справедливо и для матрицы тензора Q и вообще для любой симметричной матрицы. Теорема Кейли–Гамильтона имеет очевидное практическое значение. Соотношение (1.70) можно использовать для выражения любых целых (положительных и отрицательных) степеней тензора Q через Q2 , Q, Q0 = I и три главные инварианта этого тензора. Так, из (1.70) непосредственно находим Q3 = J1 (Q)Q2 − J2 (Q)Q + J3 (Q)I. (1.71) Умножим обе части (1.71) на Q скалярно Q4 = J1 (Q)Q3 − J2 (Q)Q2 + J3 (Q)Q и подставим в полученную зависимость вместо Q3 выражение (1.71). После приведения подобных получим: Q4 = [J12 (Q) − J2 (Q)]Q2 + + [J3 (Q) − J1 (Q)J2 (Q)]Q + J1 (Q)J3 (Q)I. Дальнейшая процедура получения Qn очевидна, хотя и громоздка. Для получения тензора отрицательной степени умножим (1.70) на Q−1 . Из полученного выражения найдем: Q−1 = 1 [Q2 − J1 (Q)Q + J2 (Q)I]. J3 (Q) (1.72) 54 Глава 1. Алгебра тензоров Умножим (1.72) на Q−1 и подставим в полученное выражение вместо Q−1 зависимость (1.72). После преобразования получим: Q−2 = 1 [J2 (Q)Q J32 (Q) 2 + (J3 (Q)− − J1 (Q)J2 (Q))Q + (J22 (Q) − J1 (Q)J3 (Q))I]. Теорема Кейли–Гамильтона, доказанная для симметричных тензоров второго ранга, остается справедливой и для несимметричных тензоров [6]. § 1.16. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИНВАРИАНТАМИ ТЕНЗОРОВ Найдем первый инвариант тензора Q2 : J1 (Q2 ) = trQ2 = 3 qk2 ek · ek = k=1 3 qk2 = q12 + q22 + q32 . (1.73) k=1 Аналогично первый инвариант тензора Qn будет иметь вид: 3 J1 (Qn ) = trQn = qkn = q1n + q2n + q3n . k=1 Выразим теперь второй инвариант тензора Q (1.62) J2 (Q) = q1 q2 + q2 q3 + q3 q1 через первый инвариант этого тензора J1 (Q) = q1 + q2 + q3 и инвариант J1 (Q2 ), определяемый формулой (1.73). Для этого возведем первую формулу (1.62) в квадрат, затем воспользуемся зависимостями (1.62) и (1.73): J12 (Q) = q12 + q22 + q32 + 2q1 q2 + 2q2 q3 + 2q3 q1 = J1 (Q2 ) + 2J2 (Q). § 1.16. Соотношения между инвариантами тензоров 55 Отсюда получаем формулу, связывающую второй инвариант тензора Q с первыми инвариантами этого тензора и тензора Q2 : 1 2 J2 (Q) = J1 (Q) − J1 (Q2 ) . (1.74) 2 Выразим теперь главные инварианты тензора Q−1 через главные инварианты тензора Q. Из (1.72) имеем J1 (Q−1 ) = 1 J1 (Q2 ) − J12 (Q) + 3J2 (Q) . J3 (Q) Подставляя сюда найденное из (1.74) значение J1 (Q2 ) = J12 (Q) − 2J2 (Q), получим J1 (Q−1 ) = J2 (Q) . J3 (Q) (1.75) Ссылаясь снова на (1.74), запишем: J2 (Q−1 ) = 1 2 −1 J1 (Q ) − J1 (Q−2 ) . 2 Подставляя в это соотношение (1.75) и найденное выражение для J1 (Q−2 ), после преобразований придем к формуле: J2 (Q−1 ) = J1 (Q) . J3 (Q) Наконец, выражение для третьего инварианта тензора Q−1 запишем, ссылаясь на свойства определителей обратных матриц: 1 J3 (Q−1 ) = . J3 (Q) Можно показать, что любые инварианты тензоров различных степеней могут быть представлены через их главные инварианты. То есть тензор второго ранга в L3 имеет только три независимых инварианта. 56 Глава 1. Алгебра тензоров § 1.17. ДЕВИАТОР И ШАРОВОЙ ТЕНЗОР 1 Изотропный тензор J1 (Q)I называется шаровой частью 3 тензора Q. Оставшийся после выделения из Q шаровой части тензор называется девиатором Q и обозначается Q ≡ dev Q (от англ. deviate — отклонение): 1 dev Q = Q − J1 (Q)I. 3 Таким образом, любой симметричный тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы его шаровой части и девиатора: 1 Q = J1 (Q)I + dev Q. 3 Найдем главные значения и главные инварианты dev Q. Пусть главные значения девиатора определяются множителем γ. Характеристическое уравнение для определения этого множителя запишется в виде: ·r 1 qk· − δ ·r = 0. J γ + (Q) 1 k· 3 Главные значения γ m (для L3 m = 1, 3) девиатора, получаемые из кубического характеристического уравнения, связаны с главными значениями qm тензора Q соотношением 1 γ m = qm − J1 (Q) 3 или γ 1 = 13 (2q1 − q2 − q3 ); γ 2 = 13 (2q2 − q3 − q1 ); γ 3 = 13 (2q3 − q1 − q2 ). (1.76) Главные направления dev Q совпадают с главными направлениями тензора Q. Действительно, из равенства (1.59) Q·e= 1 J1 (Q)I · e + dev Q · e = qe 3 57 § 1.17. Девиатор и шаровой тензор следует 1 dev Q · e = q − J1 (Q) e = γe. 3 (1.77) То есть вектор e, удовлетворяющий уравнению (1.59), удовлетворяет также уравнению (1.77). Найдем инварианты девиатора, используя формулы § 1.16. Имея в виду равенства (1.76), получим J1 (dev Q) = γ 1 + γ 2 + γ 3 = 0; 1 J2 (dev Q) = γ 1 γ 2 + γ 2 γ 3 + γ 3 γ 1 = J2 (Q) + J12 (Q); (1.78) 3 1 2 J3 (dev Q) = γ 1 γ 2 γ 3 = J3 (Q) − J1 (Q)J2 (Q) + J13 (Q). 3 27 Подставляя в (1.78) вместо J1 (Q) и J2 (Q) их выражения через главные значения qm тензора Q, можно прийти к зависимости: J2 (dev Q) = − 1 (q1 − q2 )2 + (q2 − q3 )2 + (q3 − q1 )2 . 6 Отсюда следует, что J2 (dev Q) < 0. В механике деформируемого твердого тела наряду с главными инвариантами тензора Q и его девиатора используют инвариант Γ = −J2 (dev Q), (1.79) называемый интенсивностью тензора Q, и угол вида состояния ψ, определяемого этим тензором. Угол ψ находится из характеристического уравнения для dev Q, которое с учетом (1.79) можно привести к кубическому уравнению γ 3 − Γ2 γ = J3 (dev Q). (1.80) Представим решение уравнения (1.80) в тригонометрической форме 2Γ γ = √ sin ψ (1.81) 3 58 Глава 1. Алгебра тензоров и подставим это решение в (1.80) 2Γ3 √ (4sin3 ψ − sin ψ) = J3 (dev Q) 3 3 или 2Γ3 − √ sin 3ψ = J3 (dev Q). 3 3 Отсюда для ψ получаем три значения √ 1 3 3J3 (dev Q) 2π k = arcsin − ψ+ 3 3 2Γ3 (k = 0, 1, 2). Каждому из значений k соответствует свое выражение (1.81) для γ : 2π 4π 2Γ 2Γ 2Γ γ1 = √ sin ψ; γ2 = √ sin(ψ + ); γ3 = √ sin(ψ + ). 3 3 3 3 3 Применение инвариантов J1 (Q), Γ и ψ зачастую оказывается предпочтительнее главных инвариантов. Это связано с четким геометрическим и физическим смыслом этих инвариантов. Так, для тензора деформации J1 отвечает за изменение объема тела, Γ — за изменение его формы, а инвариант ψ ответственен за вид деформированного состояния. Каждому из различных видов деформации (растяжение, сжатие, сдвиг) соответствуют свои конкретные значения ψ ∈ [−π/6, π/6]. § 1.18. ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА В § 1.17 дано часто используемое в приложениях представление симметричного тензора в виде суммы его шаровой и девиаторной составляющих. Рассмотрим еще одно используемое в приложениях представление, применимое к невырожденным (отличный от нуля определитель матрицы тензора) и, в общем, несимметричным тензорам. Пусть таковым является тензор T. Теорема 1. Произвольный тензор второго ранга можно представить в виде скалярного произведения симметричного тензора и ортогонального тензора T=Λ·S или T = S · Π. (1.82) 59 § 1.18. Полярное разложение тензора Доказательство справедливости теоремы можно найти в специальной литературе по тензорному исчислению [6]. В данном пособии ограничимся лишь некоторыми пояснениями. В оба соотношения (1.82) входит один и тот же тензор S, являющийся тензором поворота. Кроме этого тензора рассматриваемые соотношения содержат Λ — левый и Π — правый (по их положению в соотношениях (1.82)) положительно определенные (имеющие положительные главные значения) симметричные тензоры. Положительность и симметрия упомянутых тензоров вытекает из получаемых с использованием (1.82) соотношений: T · TT = Λ2 =⇒ Λ = (T · TT )1/2 ; S = Λ−1 · T; TT · T = Π2 =⇒ Π = (TT · T)1/2 ; S = T · Π−1 . Таким образом, все вновь введенные тензоры однозначно определяются по исходному тензору T. Равенство правых частей выражения (1.82) одному и тому же тензору T дает возможность установить зависимость между тензорами Λ и Π: Λ = S · Π · ST и Π = ST · Λ · S. Если рассмотренные тензоры наделить физическим смыслом, например, считать T тензором деформации, то S будет описывать перемещение элемента деформируемого тела как жесткого целого, а тензоры Λ и Π — искажение тела или собственно деформацию. Поэтому тензоры Λ и Π называют левым и правым тензорами искажения. Теорема 2. Главные значения левого и правого тензоров искажения совпадают. Для доказательства теоремы найдем необходимые для этого главные инварианты тензоров Λ и Π: 1/2 J1 (Λ) = (T · ·TT ) 1/2 = (TT · ·T) = J1 (Π); J1 (Λ2 ) = T · ·TT = TT · ·T = J1 (Π2 ). Обозначим собственные значения левого и правого симметричных (!) тензоров искажения через λk и πk (k = 1, 3), 60 Глава 1. Алгебра тензоров а собственные векторы соответственно ek и ẽk . Представим Λ и Π в базисе их собственных векторов: Λ= 3 Π= λk ek ek ; k=1 Λ2 = 3 3 πk ẽk ẽk ; k=1 λ2k ek ek ; Π2 = k=1 3 π2k ẽk ẽk . k=1 Если, как это следует из последних выражений, J1 (Λ) = λ1 + λ2 + λ3 ; J1 (Π) = π1 + π2 + π3 ; J1 (Λ2 ) = λ21 + λ22 + λ23 ; J1 (Π2 ) = π21 + π22 + π23 , то очевидно J1 (Λ) = J1 (Π) и J1 (Λ2 ) = J1 (Π2 ). Для вторых инвариантов с учетом соотношения (1.74) получим: J2 (Λ) = 1 2 1 2 J1 (Λ) − J1 (Λ2 ) = J1 (Π) − J1 (Π2 ) = J2 (Π). 2 2 Третьи инварианты тензоров также равны в силу очевидного равенства: J3 (Λ) = det Λ = (det T)1/2 (det TT )1/2 = det Π = J3 (Π). Если главные инварианты тензоров Λ и Π, представляющие собой коэффициенты двух кубических характеристических уравнений: −λ3 + J1 (Λ)λ2 − J2 (Λ)λ + J3 (Λ) = 0; −π3 + J1 (Π)π2 − J2 (Π)π + J3 (Π) = 0 равны, то равны и решения этих уравнений. То есть λk = πk (k = 1, 3). § 1.18. Полярное разложение тензора 61 Пример. Тензор T задан базисе 3 √ в ортонормированном ⎛ ⎞ 2 −2 3 0 √ матрицей T = ⎝ 3 1 0 ⎠. 0 0 6 Найти матрицы: левого Λ, правого Π тензоров искажения и ортогонального тензора S: T = ΛS = SΠ. Р е ш е н и е. Найдем произведение T T T = Λ2 : √ √ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 2√ 16 0 0 3 0 √2 −2 3 0 ⎝ 3 1 0 ⎠ ⎝ −2 3 1 0 ⎠ = ⎝ 0 4 0 ⎠ = Λ2 . 0 0 36 0 0 6 0 0 6 Полученная матрица диагональная и положительно определенная. Квадратный корень из нее представляет собой диагональную матрицу квадратных корней из элементов матрицы Λ2 : ⎞ ⎛ 2 0 0 Λ = 2⎝ 0 1 0 ⎠. 0 0 3 Матрица, обратная по отношению к диагональной матрице, определяется обращением ее диагональных элементов: ⎞ ⎛ 1/2 0 0 1⎝ Λ= 0 1 0 ⎠. 2 0 0 1/3 Полученные матрицы позволяют, используя соотношение (1.82), найти ортогональную матрицу полярного разложения: √ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 2 −2 3 0 1/2 0 0 √ 1 S = Λ−1 T = ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 3 1 0 ⎠= 2 0 0 1/3 0 0 6 ⎛ 1 1⎝ √ = 3 2 0 √ ⎞ − 3 0 1 0 ⎠ = Π2 . 0 2 62 Глава 1. Алгебра тензоров Из полученного соотношения найти матрицу Π затруднительно. Матрица недиагональная. Найдем Π из соотношения ⎛ 1 Π = S T ΛS = ⎝ 2 ⎛ 2 ×⎝ 0 0 √ ⎞ 3 0 1 0 ⎠× 0 2 √ ⎞⎛ ⎞ 0 0 √1 − 3 0 1 0 ⎠⎝ 3 1 0 ⎠= 0 3 0 0 2 √ ⎛ 5 − 3 √ 1 = ⎝ − 3 7 2 0 0 1 √ − 3 0 ⎞ 0 0 ⎠. 12 Найдем собственные значения матрицы Π. Для этого составим характеристическое уравнение: √ 5/2 − λ − 3/2 0 √ − 3/2 7/2 − λ 0 = 0 0 0 6−λ или −λ3 + 12λ2 − 44λ + 48 = 0. Решениями этого уравнения являются три корня: λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 6. Собственные значения тензоров Λ и Π, как и следовало ожидать, совпадают. § 1.19. ВЕКТОР ТЕНЗОРА Определение. Вектором qn симметричного тензора второго ранга Q, действующего на площадке пространства L3 , называется скалярное произведение этого тензора слева на вектор единичной нормали n к этой площадке: qn = n · Q. (1.83) 63 § 1.19. Вектор тензора Проекцию вектора qn на направление нормали n можно определить из выражения qnn = qn · n = n · Q · n. Нормальная (к площадке с нормалью n) составляющая вектора тензора Q представляется в виде qnn = qnn n = (n · Q · n)n. Касательная составляющая, действующая вдоль орта τ⊥n, определяется вектором qnτ = qn − qnn n = = n · Q − (n · Q · n)n = = qnτ τ. (1.84) Так что qn = qnn + qnτ . Отметим, что вектор qnτ может быть найден из выражения [1] Рис. 1.2. Граничная задача qnτ = (n × qn ) × n = (n · n)qn − (qn · n)n. Это равенство равносильно соотношению (1.84). В частном случае, если площадка выбрана таким образом, что n совпадает с одним из собственных векторов ek тензора Q, то Q · n = Q · ek = qk ek , где qk = qnn — модуль вектора тензора на рассматриваемой площадке и qnτ = 0. Соотношение (1.83) устанавливает связь между тензором, описывающим некоторое явление внутри области, и вектором 64 Глава 1. Алгебра тензоров внешнего воздействия на площадку, ограничивающую эту область. Это соотношение описывает краевую задачу. В механике деформируемых тел соотношения (1.83) между тензором напряжений Q внутри тела и вектором внешних воздействий q называются граничными условиями. На рис. 1.2 показан элемент плоского тела, находящийся в равновесии под действием вектора внешних сил qn = qnn n + qnτ τ, приложенных к криволинейной границе тела, и вызванных ими внутренних напряжений, описываемых тензором напряжений Q = qkr ik ir . § 1.20. ТЕНЗОРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В курсе аналитической геометрии рассматриваются поверхности второго порядка [3], в уравнения которых входят три слагаемых: — квадратичная форма K(x) = x · A · x; — линейная форма L(x) = x · B; — скалярная величина C. Представим векторы x, B и тензор A, входящие в квадратичную и линейную формы, в виде разложений по векторам ортонормированного базиса пространства Ln : x = ΥT X = ik xk , b = ΥT B = ik bk , A = ΥT · A · Υ = ik A.r k. ir . (1.85) Уравнения, описывающее упомянутые поверхности, можно представить в различных видах, например, K(x) + L(x) + C = 0, или в тензорно-операторной форме: x · A · x + x · B + C = 0. (1.86) При представлении тензорных величин в виде разложений (1.85) по векторам ортонормированного базиса приходим к координатно-индексной форме записи уравнения поверхности: r xk A·r k· xr + b xr + C = 0. (1.87) 65 § 1.20. Тензорные поверхности При дальнейшем преобразовании уравнения поверхности удобно перейти к представлению входящих в него слагаемых в базисе собственных векторов ek , (k = 1, n) тензора A. Пусть собственные значения тензора A в этом базисе равны Ak , (k = 1, n). Тогда A= n Ak ek ek ; B= k=1 n b k ek ; x= k=1 n x̃k ek . k=1 Подставляя эти зависимости в уравнение (1.87) после раскрытия скалярных произведений, получим n (Ak x̃2k + bk x̃k ) + C = 0. (1.88) k=1 Сгруппируем в записанном уравнении пары слагаемых с одинаковыми переменными x̃k . В каждую такую группировку входят два слагаемых: одно содержит квадрат переменной, второе — переменную в первой степени. К каждой паре добавим постоянные скалярные величины, доведя «группировки» до полных квадратов. Чтобы уравнение не изменилось, вычтем из него величины такие же, как добавленные: n Ak x̃2k + k=1 b̃k b̃2 x̃k + k2 Ak 4Ak − n b̃2k + C = 0. 4Ak k=1 Введем обозначения: xk = x̃k + b̃k , 2Ak C̃ = n b̃2k − C, 4Ak k=1 ±a2k = C̃ . Ak Тогда (1.88) примет вид канонического уравнения гиперповерхности: n x2k = 1. (1.89) ±a2k k=1 Задание значений коэффициентов в матрице тензора A придает каноническому уравнению конкретных вид. 66 Глава 1. Алгебра тензоров Например, канонические уравнения «гиперповерхности» в L2 описывают три вида кривых: x2 x2 эллипс 21 + 22 = 1; a1 a2 x21 x2 гипербола 2 − 22 = 1; a1 a2 парабола x21 = 2px2 . § 1.21. ФУНКЦИИ ТЕНЗОРОВ Ограничимся рассмотрением функций тензоров второго ранга. Простейшей функцией f над тензором второго ранга U является инвариантный скаляр, представляемый зависимостью (A произвольный тензор второго ранга): f (U ) = f (AT U A). (1.90) В частном случае на месте аргумента могут стоять любые инварианты тензора U, в том числе его главные инварианты: f (U ) = f (J1 (U), J2 (U), J3 (U)). В качестве следующего математического объекта рассмотрим тензорную функцию над тензором U = F(V). .r k i ir (k, r = 1, 3) — тензорная функция, Здесь F = fk. .r которая в пространстве L3 имеет 9 компонентов fk. , подчиняющихся при преобразовании базисных векторов таким же правилам преобразования, как и тензоры U и V. Примером тензорной функции U над тензором V может служить степенной ряд (ak — числовые множители): U= ∞ ak V k . (V0 = I). (1.91) k=0 В силу теоремы Кейли–Гамильтона (§ 1.15) любая степень тензора второго ранга выше второй может быть представлена 67 Вопросы для самоконтроля в виде линейной комбинации степеней нулевой, первой и второй от этого тензора. Поэтому зависимость (1.91) сводится к трехчлену (a, b, c — скалярные множители): U = aI + bV + cV2 . (1.92) Следует иметь в виду, что не всякая тензорная функция может быть представлена степенным рядом. Примером непредставимой в виде (1.92) функцией является U = VT . Тензор U представляет изотропную функцию над тензором V, если выполняется равенство (A — произвольный тензор): U = F(V) ⇐⇒ AT · U · A = F(AT · V · A). При выполнении последней зависимости сохраняется форма функциональной зависимости для тензоров. При жестком повороте базисных векторов координаты тензоров в исходной и повернутой системах координат остаются одинаковыми. Однако, в отличие от «изотропных тензоров», компоненты изотропной функции могут отличаться для разных базисов. Для изотропной функции справедливы следующие утверждения: 1) изотропная функция U над симметричным тензором V = VT изотропна, если она может быть представлена в виде (1.92); 2) симметричные тензоры в равенстве (1.92) соосны. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. В чем заключается инвариантность вектора? Скаляра? 2. Тензор (вектор) является величиной, инвариантной по отношению к преобразованию базиса. Почему его координаты изменяются при преобразовании базиса? 3. Как перейти от операторной записи к координатноиндексной? 4. Какие правила необходимо соблюдать в расстановке свободных и немых индексов в выражениях, связывающих тензорные величины? 68 Глава 1. Алгебра тензоров 5. Какими признаками должен обладать математический объект, чтобы его можно было считать тензором? 6. Как можно представить тензор в заданном базисе? 7. Как преобразуется тензор при преобразовании базиса? А его компоненты? 8. Как образовать диаду векторов? Полиаду? 9. Чем определяется ранг тензора? Существуют ли способы понижения ранга тензора? 10. Как располагаются диады базисных векторов с одинаковыми индексами по отношению к координатным плоскостям? С различными индексами? 11. Как определить ранг тензора, образованного скалярным, векторным или неопределенным произведениями двух тензоров? 12. Как найти след тензора? 13. Как связан след тензора с инвариантами тензора? 14. Как можно в матричном виде представить тензорные уравнения, связывающие тензоры произвольных рангов? 15. Как образуются степени тензоров? 16. Как осуществить симметрирование и альтернирование тензоров? 17. Как образуется вектор, сопутствующий тензору? Для каких тензоров он будет существовать? 18. Какие зависимости приводят к установлению связи между символами Кронекера и Леви-Чивиты? 19. Что такое изотропный тензор? Связано ли количество независимых изотропных тензоров с их рангом? 20. Может ли обратный тензор быть несимметричным? 21. Как осуществить жесткий поворот тензора второго ранга? Вектора? 22. Как найти тензор, обратный к тензору поворота? 23. Сколько существует главных значений у тензора? Главных направлений? 24. Можно ли однозначно определить собственные направления шарового тензора? 25. В чем смысл теоремы Кейли–Гамильтона? Как воспользоваться соотношениями, связанными с этой теоремой для нахождения тензоров n-ной степени? § 1.22. Задание на расчетную работу 69 26. Как можно возвести в степень тензор, представленный его компонентами в собственном базисе? 27. Сколько независимых инвариантов может иметь тензор второго ранга? Первого? 28. Для чего следует разбивать тензор на сумму шарового тензора и девиатора? 29. В чем смысл полярного разложения тензора? 30. Что такое вектор тензора? 31. Что такое тензорная поверхность? Тензорный эллипсоид? § 1.22. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНУЮ РАБОТУ 1. В ортонормированном базисе ΥT = (i1 i2 i3 ) задан вектор r = i1 − i2 + 2i3 . Найти компоненты вектора r в базисе Υ̃T = = (ĩ1 ĩ2 ĩ3 ), образованном из ΥT поворотом сначала на угол π/6 вокруг оси i3 , а затем поворотом полученного базиса на угол π/3 вокруг нового положения оси i1 . 2. Для векторов a = i1 − i2 , b = 2i1 + i3 и c = i2 − 2i3 найти ab, bc, ab·c, a·bc, ab × c, ab·bc, tr(ab), tr(ab × × c), tr(ab·bc), J2 (ab·bc) и J3 (ab·bc). 3. Тензор T в ортонормированном базисе (i1 , i2 )T задан −0, 6 1, 2 . матрицей T = 0, 6 0, 8 3.1. Представить T в виде суммы симметричного Q и кососимметричного Ω тензоров. 3.2. Найти тензоры Λ, Π и S полярного разложения Q. 3.3. Найти главные инварианты тензоров Q, Λ и S. 3.4. Найти собственные значения q1 , q2 и собственные единичные векторы e1 , e2 тензора Q. Представить Q в базисе его собственных векторов. 3.5. Разложить матрицу тензора Q на шаровую и девиаторную составляющие. 3.6. Найти Λ1/2 . 3.7. Найти Q̂2 , используя теорему Кейли–Гамильтона. 3.8. Найти вектор qn тензора Q и его модуль на площадке, равнонаклоненной к собственным векторам тензора Q. 70 Глава 1. Алгебра тензоров Определить проекции qn на направления n — нормали к площадке и τ — касательной к площадке. 3.9. Определить тип и построить кривую, описываемую уравнением x · Q · x = 1. Уравнение привести к каноническому виду. ОТВЕТЫ на расчетную работу √ √ 1 √ 2( 3 − 1), (3 3 − 1), ( 3 + 7) . 4 2. ab = 2i1 i1 − 2i2 i2 + i1 i3 − i2 i3 ; ba = 2i1 i1 + i3 i1 − 2i1 i2 − i3 i2 ; bc = 2i1 i2 + i3 i2 − 4i1 i3 − 2i3 i3 ; ab · c = −2i1 ; a · bc = 2i2 − 4i3 ; ab × c = 2i1 i3 − i1 i1 + 2i1 i2 + 5i2 i1 ; ab · bc = 5i1 i2 − 10i1 i3 + i1 i2 − i2 i2 + 2i2 i3 ; tr(ab) = 0; tr(ab × c) = −1; tr(ab · bc) = −1; J2 (ab · bc) = J3 (ab · bc). 1. r = 3. i1 −1, 6 0, 9 ; 3.1. Q = (i1 , i2 ) 0, 9 0, 8 i2 i1 0 0, 3 Ω = (i1 , i2 ) . −0, 3 0 i2 i1 2 0 ; 3.2. Λ = Π = (i1 , i2 ) 0 1 i2 i1 −0, 8 0, 6 S = (i1 , i2 ) . 0, 6 0, 8 i2 3.3. J1 (Q) = −0, 8, J2 (Q) = −2, 09; J1 (Λ) = 3, J2 (Λ) = 2; J1 (S) = 0, J2 (S) = 1, 0. 1 i1 , 3.4. q1 = 1, 1, q2 = −1, 9; e1 = √ (1, 3) i2 10 i1 ; Q = 1, 1e1 e1 − 1, 9e2 e2 . e2 = √110 (−3, 1) i 2 1 0, 8 1 0 −4 2, 7 + . 3.5. Q = − 0 1 2, 7 1, 6 3 3 § 1.22. Задание на расчетную работу √ 3.6. Λ = √ 2 0 0 1 . 71 3, 37 −0, 72 3.7. Q2 = J1 (Q)Q − J2 (Q)I = . −072 1, 45 √ 2 3.8. qn = (−0, 7; 1, 7); qnn = 0, 5; qnτ = 1, 2. 2 x22 x2 (с точностью 3.9. Уравнение гиперболы: − 1 + 0, 909 0, 526 до трех значащих цифр). Глава 2 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ § 2.1. ВЕКТОРНЫЙ ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА С пространством Ln свяжем ортонормированный базис ΥT = (i1 i2 . . . in ). Положение точки в Ln определим вектором x = X T Υ = xr ir , (r = 1, n). Векторным набла-оператором Гамильтона называется дифференциальный оператор ∇= d d ∂ = ΥT = ir r = dx dX ∂x ∂ ∂ ∂ = i1 1 + i2 2 + . . . + in n . (2.1) ∂x ∂x ∂x Рассмотрим скалярную функцию u векторного аргумента x (n переменных xr ) u = u(x) = u(x1 , x2 , . . . , xn ). Подействуем оператором ∇ на функцию u. В результате получим градиент скалярной функции: ∇u = grad u = = ΥT du = ΥT ∇X = dx du ∂u ∂u ∂u ∂u = ir r = i1 1 + i2 2 + . . . + in n . dX ∂x ∂x ∂x ∂x Здесь ∇= ∂ ∂ ∂ ... 1 2 ∂x ∂x ∂xn = d . dX § 2.2. Дифференциальные операции над векторами 73 Проекции набла-оператора (операторы частного дифферен∂ цирования ) подчиняются правилам преобразования коор∂xr динат вектора (§ 1.2). Действительно, ∂ ∂ ∂ ∂ x̃k = = sk· . ·r r ∂x ∂ x̃k ∂xr ∂ x̃k Правила дифференцирования сумм и произведений скалярных функций распространяются и на набла-оператор. Например, ∇uv = u∇v + v∇u. (2.2) § 2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Рассмотрим различные произведения набла-оператора на вектор u = uk ik = U T Υ, (k = 1, n). Скалярное произведение: ∇ · u = ir ∂ ∂uk r ∂uk · uk ik = δk = = div u. r r ∂x ∂x ∂xk (2.3) Результатом рассмотренного произведения является скалярная величина, называемая дивергенцией вектора. Векторное произведение: ∇ × u = ir ∂ ∂uk × uk ik = erkm r im = rot u r ∂x ∂x (2.4) называется ротором (вихрем) вектора. Из свойств векторного произведения отметим, что rot u — вектор, ортогональный плоскости векторов ∇ и u и составляющий с ними правую тройку векторов. Неопределенное произведение приводит к тензору второго ранга, называемому градиентом вектора: ∇u = ir ∂ k ∂uk r u ik = i ik = grad u. r ∂x ∂xr (2.5) 74 Глава 2. Тензорный анализ Транспонируем ∇u: ∂uk r ik i ∂xr и умножим полученный тензор скалярно на вектор dx = = d xm im справа: (∇u)T = (∇u)T · d x = ∂uk r ik i · im dxm = ∂xr ∂uk ik dxm = duk ik = du. (2.6) = ∂xm Свойства дифференциала [2] дают право назвать (∇u)T производной вектора u по радиус-вектору x: (∇u)T = du . dx Деформация тензора – это тензор, определяемый соотношением 1 1 ∂ur ∂uk ε = def u = (∇u + (∇u)T ) = ir ik . (2.7) + 2 2 ∂xk ∂xr Тензор def u представляет собой симметричную часть тензора ∇u. Рассмотрим кососимметричную часть Ω тензора ∇u: 1 1 Ω = (∇u − (∇u)T ) = 2 2 ∂uk ∂ur − ∂xk ∂xr ir ik . Вводя обозначение координат тензора Ω: 1 ∂ur ∂uk .r , = − ωk. k 2 ∂x ∂xr перепишем (2.8): ⎛ .1 ω1. .1 Ω = ΥT ΩΥ = (i1 i2 i3 ) ⎝ ω2. .1 ω3. .2 ω1. .2 ω2. .2 ω3. ⎞⎛ ⎞ .3 ω1. i1 .3 ⎠ ⎝ ω2. i2 ⎠ . .3 ω3. i3 (2.8) 75 § 2.2. Дифференциальные операции над векторами Здесь .2 ω1. = ∂u1 ∂u2 − ∂x2 ∂x1 =− ∂u2 ∂u1 − ∂x1 ∂x2 .1 = −ω2. = −ω 3 . Аналогичные соотношения получаются для остальных недиагональных элементов матрицы Ω: .3 .2 = −ω3. = −ω 1 , ω2. .1 .3 ω3. = −ω1. = −ω 2 . Что касается диагональных элементов Ω, то они, очевидно, равны нулю. Таким образом, матрица Ω содержит только три независимых компонента ⎛ ⎞ 0 −ω 3 ω 2 0 −ω 1 ⎠ . Ω = ⎝ ω3 2 1 −ω ω 0 В итоге тензор Ω может быть представлен ассоциированным с ней вектором (2.9) ω = W T Υ, где .2 .3 .1 W T = (ω 1 , ω 2 , ω 3 ) = (ω3. , ω1. , ω2. ) и ωk = 1 k·r ∂um e . 2 ·m· ∂xr (2.10) .r Компоненты ωk. тензора Ω и ω m вектора ω связаны зависимостью .r m ωk. = e·r· (2.11) k·m ω . Вновь введенные тензоры позволяют выразить через них градиенты вектора: (∇u)T = def u + Ω, ∇u = def u − Ω, (∇u) = ∇u + 2Ω. T (2.12) 76 Глава 2. Тензорный анализ Вернемся к вектору ω, сопутствующему тензору ∇u (2.5), и преобразуем полученные для него зависимости: ω= 1 r·m ∂uk 1 ∂uk e·k· im = ir × ik r = r 2 ∂x 2 ∂x 1 1 ∂ r 1 = i × uk ik = ∇ × u = rot u. (2.13) 2 ∂xr 2 2 Для дифференциала вектора u d u = (∇u)T · d x = d x · ∇u = def u · d x + Ω · d x = = def u · d x + ω × d x. (2.14) Рассмотрим две операции ∇ над скалярными и векторными произведениями векторов. Градиент скалярного произведения: ∇(u · v) = ir ∂ ∂uk ∂v k uk v k = ir r v k + uk ir r = r ∂x ∂x ∂x ∂vk k r ∂uk =v·i i + u · ik ir r . ∂xr ∂x grad (u·v) = v·(∇u)T +u·(∇v)T = (∇u)·v+(∇v)·u. (2.15) Формула для градиента скалярного произведения согласуется с (2.2). Представим приведенную операцию в другом виде, воспользовавшись формулами (2.12) и (2.13): u · ∇v = u · (∇v)T − 2Ω = u · (∇v)T + 2ω × u = = u · (∇v)T − u × rot v или u · (∇v)T = u · ∇v + u × rot v. Две последних зависимости, которые представляют собой производную вектора v по направлению вектора u, позволяют записать еще одну формулу для определения градиента скалярного произведения: § 2.2. Дифференциальные операции над векторами 77 grad (u · v) = u · ∇v + v · ∇u + u × rot v + v × rot u. (2.16) Дивергенция векторного произведения определяется скалярным произведением набла-оператора на векторное произведение двух векторов: ∂uk ∂v k m m ∇ · (u × v) = i · ik m × v + i · u × ik m = ∂x ∂x k k ∂u ∂v = im × ik m · v − u · im × ik m = ∂x ∂x = div u × v = v · rot u − u · rot v. (2.17) Пример. Вектор u задан в виде разложения по векторам ортонормированного базиса √ u = x21 x2 i1 + x32 x3 i2 + x1 ln x3 i3 . Найти тензоры ∇u, (∇u)T и ε = def u. Р е ш е н и е. ∇u = ik ∂u = 2x1 x2 i1 i1 + ln x3 i1 i3 + x21 i2 i1 + ∂xk √ x3 x1 + 3x22 x3 i2 i2 + √2 i3 i2 + i3 i3 . 2 x3 x3 (∇u)T = 2x1 x2 i1 i1 + ln x3 i3 i1 + x21 i1 i2 + √ x3 x1 + 3x22 x3 i2 i2 + √2 i2 i3 + i3 i3 . 2 x3 x3 √ 1 (∇u + (∇u)T ) = 2x1 x2 i1 i1 + 3x22 x3 i2 i2 + 2 x1 1 1 + i3 i3 + ln x3 (i1 i3 + i3 i1 ) + x21 (i1 i2 + i2 i1 ) + x3 2 2 x3 1 (i2 i3 + i3 i2 ). + √2 2 x3 2 ε= 78 Глава 2. Тензорный анализ § 2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ Рассмотренные в предыдущих параграфах дифференциальные операции над скалярами и векторами распространим на тензоры произвольного ранга. Напомним, что скалярное произведение двух тензоров приводит к тензору, ранг которого на две единицы меньше суммарного ранга перемножаемых тензоров; векторное произведение уменьшает суммарный ранг на единицу, а неопределенное произведение приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов перемножаемых тензоров. Дивергенция тензора определяется скалярным произведением оператора Гамильтона слева на тензор: ∇ · (n) U = ik = ∂ · ur1 r2 ...rn ir1 ir2 . . . irn = ∂xk ∂ kr2 ...rn u ir2 . . . irn = div (n) U. ∂xk (2.18) Ротор тензора — это векторное произведение оператора Гамильтона слева на тензор: ∇×(n) U = ik = ekr1 m ∂ ×ur1 r2 ...rn ir1 ir2 . . . irn = ∂xk ∂ r1 r2 ...rn m u i ir2 . . . irn = rot (n) U. ∂xk (2.19) Градиент тензора — неопределенное произведение оператора Гамильтона слева на тензор: ∇(n) U = ∂ r1 r2 ...rn k u i ir1 ir2 . . . irn = grad (n) U. ∂xk (2.20) Тензор U второго ранга разложим на сумму симметричного Q и кососимметричного Ω тензоров и преобразуем к сопутствующему вектору ω (2.11) дивергенцию кососимметричного тензора: § 2.3. Дифференциальные операции над тензорами div Ω = ik · 79 r. k. s ∂ω.m ∂ω.m m m k·· ∂ω m i i = i = e i = r ·ms ∂xk ∂xk ∂xk ∂ ∂ω s k s i ×i = ik k ×ω s is = ∇×ω = rot ω. k ∂x ∂x Таким образом, = div U = div Q + rot ω. (2.21) Дивергенция диады двух векторов равна сумме двух векторов: div uv = vdiv u + udiv v, (2.22) ∂uk так как div u = — скалярная величина. ∂xk Распишем выражение для ротора тензора второго ранга: rot U = ∇×U = ik ×ir is ∂ur· ∂ur· ·s ·s = ek·m im is . ·r· k ∂x ∂xk (2.23) Найдем первый инвариант (след tr) этого тензора, используя при преобразованиях зависимость (1.40): tr (rot U) = ek·s ·r· ∂ur· ·s . ∂xr (2.24) Для кососимметричного тензора: rot Ω = ik r· ∂ r· m k·q ∂ω·m ×ω i i = e iq im = r ·m ·r· ∂xk ∂xk s ∂ω s m k· q· k· q· ∂ω i i = (δ δ − δ δ ) iq im = q ·m ·s ·s ·m ∂xk ∂xk ∂ω s k ∂ω k = is i − im im = (∇ω)T − I div ω. (2.25) ∂xk ∂xk Приведем еще одну используемую в механике сплошных сред зависимость для дивергенции вектора Q · a: ·r· = ek·q ·r· em·s div (U · a) = ik = ∂ r s k· r· ∂ · (um· (as um· ·r im i · a is ) = δ·m δ·s ·r ) = ∂xk ∂xk ∂uk· ∂ar ·r r a + uk· = a · div U + U · (∇a)T . ·r k ∂x ∂xk (2.26) 80 Глава 2. Тензорный анализ § 2.4. ДВУКРАТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Различные произведения (скалярное, векторное и неопределенное) набла-оператора на тензоры различных рангов можно применять неоднократно. Рассмотрим некоторые из используемых на практике произведений. Двойное неопределенное произведение оператора на скалярную функцию ∂2ϕ ik ir (2.27) ∂xk ∂xr представляет собой тензор второго ранга. Его свертка (след) ∇∇ϕ = ∇2 ϕ = ∇ · ∇ϕ = ∂2ϕ ∂2ϕ ik · ir = k ∂x ∂xr ∂xk ∂xk (2.28) называется лапласианом (Laplace Piere (1749–1827) — французский математик, член Петербургской АН). Тензор ∇∇ϕ симметричен, поэтому сопутствующий ему тензор равен нулю: ∇×∇ϕ = rot grad ϕ = Θ. Из тензора третьего ранга ∇2 u можно образовать различные свертки, векторы и тензоры второго ранга. 1. Вектор-лапласиан: ∇2 u = ∇ · ∇u = div grad u = ∂ 2 uk ik . ∂xr ∂xr (2.29) 2. Вектор-градиент дивергенции u: ∇∇ · u = grad div u = 3. Вектор-ротор ротора u: rot rot u = ∇×(∇×u) = ik = (δkm it − δkr im ) ∂ 2 uk ir . ∂xk ∂xr ∂ ∂ × ir r ×im um k ∂x ∂x ∂ 2 um = grad div u − ∇2 u. ∂xk ∂xr (2.30) = (2.31) 81 § 2.4. Двукратное дифференцирование Понизим ранг ∇∇u на единицу с использованием векторного произведения. 4. Ротор градиента вектора u: rot grad u = ∇×∇u = ∂ ∂ ik × r ir im um = ∂xk ∂x ∂ 2 um s m ∂ 2 um i i = −erks k r is im = Θ. k r ∂x ∂x ∂x ∂x 5. Градиент ротора вектора u: = ekrs (2.32) ∂ 2 um = ∂xk ∂xr ∂ 2 um = erms k r ik is . (2.33) ∂x ∂x grad rot u = ∇(∇×u) = ik ir ×im Можно показать, как в п. 4, что след этого тензора равен нулю. Рассмотрим тензор четвертого ранга, образованного двойным дифференцированием тензора второго ранга: ∇∇U = ∂ 2 ukr im is ik ir . ∂xm ∂xs (2.34) Приведем некоторые применяемые на практике свертки по двум парам и по одной паре индексов для этого тензора: div div U = ∇∇ · U = div grad U = ∇ · ∇U = ∇2 U; ∂ 2 ukr ; ∂xk ∂xr (2.35) grad div U = ∇∇ · U. (2.36) Тензоры третьего ранга: rot grad U = ∇×(∇U); grad rot U = ∇(∇×U). (2.37) Тензоры второго ранга: rot rot U = ∇×(∇×U) = ∇∇ · U − ∇2 U (2.38) 82 Глава 2. Тензорный анализ и тензор, называемый несовместимостью (нем. Inkompatibilität): Ink U = rot (rot U)T = ∇×(∇×U)T . (2.39) Двойные тензорные дифференциальные операции можно применять к различным произведениям тензорных функций. Например, действие лапласиана на произведение скалярных функций u и v: ∇2 uv = u∇2 v + v∇2 u + 2∇u∇v. § 2.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ ПО ТЕНЗОРУ Рассмотрим скалярную функцию тензорного аргумента f (U). Предполагаем, что тензор U представлен в виде разложения по векторам ортонормированного базиса r U = U T Υ = uk. .r ik i . Градиент этой функции по тензорному аргументу d f (U) ∂f = ik ir . dU ∂uk. .r (2.40) Дифференциал скалярной функции f (U), являющийся также скаляром, введем соотношением d f (U) = ∂f ∂f ik ir · · im is d u.m d u.r s = k. . k. ∂u.r ∂uk. .r (2.41) § 2.6. РЯД ТЕЙЛОРА Скалярную функцию одной переменной u(x) непрерывную и многократно дифференцируемую по x ∈ 1 в окрестности точки x0 можно разложить в ряд Тейлора [1] (Taylor Bruk 83 § 2.6. Ряд Тейлора (1685–1731) — английский математик): 1 d u(x0 ) (x − x0 )+ 1! d x 1 d2 u(x0 ) (x − x0 )2 + . . . + 2! d x2 1 dk u(x0 ) (x − x0 )k + . . . ...+ k! d xk dk u(x0 ) dk u(x) Здесь = . d xk d xk x=x0 u(x) = u(x0 ) + (2.42) Обозначая x − x0 = d x и имея в виду равенство dk u(x) dx = dk u(x0 ), запишем ряд Тейлора в виде d xk (x=x0 ) 1 1 d u(x0 ) + d2 u(x0 ) + . . . 1! 2! 1 . . . + dk u(x0 ) + . . . (2.43) k! Обобщим записанные соотношения на случай функции n переменных. Вместо переменной x ∈ будем рассматривать вектор x = X T Υ = (x1 x2 . . . xn )(i1 i2 . . . in )T ∈ Ln . Диффеd u(x) d x замеренциал функции одной переменной d u(x) = dx ним на соответствующий дифференциал функции нескольких переменных (вектора x ∈ Ln ): u(x) − u(x0 ) = d u(x) · dx = dx ∂u(x) k ∂u(x) k = i · ir d xr = d x . (2.44) k ∂x ∂xk Второй дифференциал: d u(x) = ∇u(x) · d x = T T d2 u(x) d2 u(x) = ∇2 u(x) · · (d x)2 = · · (d x)2 = 2 (d x) = ∂ 2 u(x) k r ∂ 2 u(x) k r i i · ·im is d xs d xm = dx dx . k r ∂x ∂x ∂xk ∂xr (2.45) 84 Глава 2. Тензорный анализ Дифференциал n-ного порядка: n n dn u(x) · . . . · ((d x)n )T = d u(x) = ∇ u(x) · . . . · ((d x)n )T = (d x)n n n n ∂ n u(x) ik1 . . . ikn · . . . · irn . . . ir1 d xr1 . . . d xrn = = k k 1 n ∂x . . . ∂x ∂ n u(x) = d xk1 . . . d xkn . (2.46) ∂xk1 . . . ∂xkn Имея в виду соотношения (2.44)–(2.46), запишем формулу Тейлора для случая скалярной функции векторного аргумента u = u(x): u(x) − u(x0 ) = 1 1 d u(x0 ) + d2 u(x0 ) + . . . 1! 2! 1 . . . + dk u(x0 ) + . . . (2.47) k! Формула (2.47) получается из соответствующей формулы (2.43) как, впрочем, и многие другие зависимости, формальной заменой скалярного аргумента функции x на векторный x. Представим соотношения (2.44) и (2.45) в координатной форме. Первый дифференциал: d u(x) = ∂u(x) · dx = ∂x ∂u(x) ∂u(x) ∂u(x) = × , , ..., ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂u(x) × (d x1 , d x2 . . . , d xn )T = d x1 + ∂x1 ∂u(x) ∂u(x) + d x2 + . . . + d xn . (2.48) ∂x2 ∂xn Правая часть последнего равенства называется линейной формой дифференциала функции u(x). В общем виде линейная форма представляется равенством (ak — число) L(x) = ak xk . 85 § 2.6. Ряд Тейлора Второй дифференциал: ∂ 2 u(x) · dx = ∂x2⎛ ⎞ ∂ 2u ∂2u ∂2u . . . ⎜ ∂x1 x1 ∂x1 x2 ∂x1 xn ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂ 2u ∂2u ∂2u ⎟ ⎟ ⎜ ... 2 1 2 2 ∂x2 xn ⎟ d x2 , . . . , d xn ) ⎜ ⎟× ⎜ ∂x. x ∂x. x .. ⎟ ⎜ .. .. ... . ⎟ ⎜ ⎝ ∂ 2u 2 2 ∂ u ∂ u ⎠ ... ∂xn x1 ∂xn x2 ∂xn xn ⎞ 1 dx d x2 ⎟ ∂2u ∂2u ⎟ 1 1 d x d x + d x1 d x2 + . . . .. ⎟ = 1 1 ∂x1 x2 . ⎠ ∂x x d xn d2 u(x) = (d x)T · = (d x1 , ⎛ ⎜ ⎜ ×⎜ ⎝ ... + ∂2u d xn d xn . (2.49) ∂xn xn Квадратная матрица размера n × n вторых производных, стоящая в центральной части равенства, называется функциональной матрицей Гессе (Hess Viktor (1883)–(1964) — австрийский физик, работал в США). Выражение, стоящее в правой части равенства (2.49), называется квадратичной формой дифференциала функции u(x). В общем виде квадратичная форма представляется равенством (akr ∈ k, r = = 1, n) K(x) = akr xk xr . Важное значение в исследовании функций векторных переменных имеет знак квадратичной формы, который зависит от знаков главных миноров матрицы Гессе. Главным минором k-того порядка Mk квадратной матрицы n-ного порядка (k ≤ n) называется определитель, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении ее первых k строк и первых k столбцов. Согласно теореме Сильвестера (Sylvester James-Joseph (1814)–(1897) — английский математик, член-корр. Петербургской АН) квадратичная форма (и соответствующая 86 Глава 2. Тензорный анализ матрица ее коэффициентов) является положительно определенной, если знаки всех ее главных миноров положительны (signMk > 0). Если signMk = (−1)k , то квадратичная форма — отрицательно определенная. В других случаях знак квадратичной формы не определен. Примеры. Определить знаки матриц. 3 1 1. A1 = . 4 2 Определим знаки главных миноров матрицы: 3 1 = 3 · 2 − 1 · 4 = 2 > 0. M1 = |3| = 3 > 0, M2 = 4 2 По теореме Сильвестера заключаем: матрица A1 — положительно определенная. −3 −1 . 2. A2 = −A1 = −4 −2 Знаки главных миноров матрицы: −3 −1 M2 = −4 −2 M1 = | − 3| = −3 < 0, = (−3) · (−2) − (−1) · (−4) = 2 > 0. По теореме Сильвестера заключаем: матрица A2 — отрицательно определенная. 3 1 . 3. A3 = 4 1 Определим знаки главных миноров матрицы: 3 1 = 3 · 1 − 1 · 4 = −1 < 0. M1 = |3| = 3 > 0, M2 = 4 1 Матрица A3 не имеет определенного знака. § 2.7. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ Пусть скалярная функция векторного аргумента u = u(x) определена и дифференцируема требуемое число раз в некоторой области Ω ⊂ n . 87 § 2.7. Локальные экстремумы Точка, определяемая радиус-вектором x0 ∈ Ω, называется точкой локального максимума (локального минимума) функции u(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие: u(x0 ) ≥ u(x)=u(x0 +µ∆x) u(x0 )≤u(x)=u(x0 +µ∆x) . (2.50) Множитель µ представляет собой произвольное положительное число, а вектор ∆x = ∆xk ik (∆xk = xk − xk0 , k = 1, n) характеризует изменение вектора x по величине и направлению. Считая функцию u(x) непрерывной и дифференцируемой требуемое число раз, разложим ее в ряд Тейлора (2.48) в окрестности точки x0 : u(x0 + µ∆x) − u(x0 ) = µ du(x0 ) · ∆x+ dx 1 2 d2 u(x0 ) µ (∆x)T · · ∆x + µ3 R3 (d3 u(x0 )). (2.51) 2! dx2 Здесь R3 (d3 u(x0 )) — остаток ряда Тейлора, равный сумме отброшенных его слагаемых, содержащих производные от u порядка третьего и выше. Первое слагаемое правой части (2.51) представляет собой произведение множителя µ на дифференциал du функции u = = u(x): + du ∂u(x0 ) ∂u(x0 ) · ∆x = · ∆x = ∆xk , (k = 1, n), dx ∂x ∂xk заданный в точке x = x0 . Отметим, что множитель µ делает члены ряда Тейлора по модулю независимыми от углов между векторами, образующими скалярное произведение. Во втором слагаемом ряда Тейлора присутствует квадратная матрица Гессе (функциональная матрица второго порядка). Так что du = d2 u = (∆x)T · d2 u ∂ 2u · ∆x = ∆xk ∆xr dx2 ∂xk xr (k, r = 1, n). 88 Глава 2. Тензорный анализ Если точка, соответствующая вектору x0 , определяет локальный максимум (для определенности) функции u(x), то u(x0 + µ∆x) − u(x0 ) ≤ 0. При этом правая часть ряда (2.51) также не должна быть положительной. µ 1 du(x0 ) d2 u(x0 ) · ∆x + µ2 (∆x)T · · ∆x+ dx 2! dx2 + µ3 R3 (d3 u(x0 )) ≤ 0. (2.52) Разделим полученное неравенство на положительное число µ. При µ → 0 придем к неравенству: du(x0 ) · ∆x ≤ 0. dx Левая часть неравенства представляет собой скалярное произведение вектор-градиента, характеризуемого матрицейdu(x0 ) , и вектора, характеризуемого вектор-столбцом строкой dx ∆x. При произвольности направления ∆x неравенство может выполняться только при условии ∇u(x0 ) = du(x0 ) ∂u(x0 ) ik = Θ (k = 1, n). = dx ∂xk (2.53) Равенство (2.53), называемое условием первого порядка, является необходимым (но не достаточным) условием существования локального экстремума функции u(x). Условие не определяет характер экстремума и не гарантирует его существование. Итак, необходимым условием существования локального экстремума дифференцируемой и непрерывной в точке области допустимых значений скалярной функции векторного аргумента (функции нескольких переменных) является равенство нулю градиента функции (частных производных функции по всем переменным) в этой точке. 89 § 2.7. Локальные экстремумы Точки x = x0 , в которых выполняются необходимые условия существования экстремума, называются критическими или стационарными. Продолжим анализ соотношения (2.52). При выполнении (2.53) оно примет вид 1 2 d2 u(x0 ) µ (∆x)T · · ∆x + µ3 R3 (d3 u(x0 )) ≤ 0. 2! dx2 Разделим выписанное неравенство на положительное число µ2 /2 и устремим µ к нулю. Второе слагаемое полученного неравенства при этом обратится в нуль (будет содержать множитель µ → 0). В результате придем к условию второго порядка: (∆x)T · d2 u(x0 ) · ∆x = dx2 ∂ 2 u(x0 ) d xk d xr ≤ 0 = ∂xk ∂xr (k, r = 1, n). (2.54) Условие указывает на то, что квадратичная форма (левые части неравенства) должна быть отрицательно полуопределенной (определенной при строгом неравенстве) для случая определения локального максимума функции n переменных. При рассмотрении задачи определения локального минимума функции знак неравенства в условии второго порядка (2.54) сменится на противоположный. То есть в этом случае квадратичная форма должна быть положительно полуопределеной. Напомним, что знакоопределенность квадратичной формы устанавливается по знакам главных миноров матрицы вторых d2 u производных в стационарной точке x0 = xk0 ik . dx2 Прокомментируем полученные результаты для частного случая функции двух переменных u = u(x) = u(x, y). На рис. 2.1,a изображены точки координатной плоскости: в точке A функция двух переменных имеет локальный минимум, в точке B — локальный максимум. Градиент — это вектор, ортогональный линии уровня. Но в точках, где функция имеет локальные максимумы или 90 Глава 2. Тензорный анализ Рис. 2.1. Критические точки функций двух переменных минимумы, линия уровня стягивается в точку (плоскость, параллельная плоскости переменных x и y и проходящая через стационарные точки, касается поверхности, изображающей функцию, в этой точке). Сказанное приводит к выводу о том, что в стационарных точках производные от функции двух переменных по любому направлению, параллельному координатной плоскости (не только вдоль координатных линий), равны нулю. То, что равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремума, иллюстрирует выпукло-вогнутая поверхность, изображенная на рис. 2.1,б. В стационарной точке x0 этой поверхности вдоль координаты x (при фиксированном y) имеет место максимум, а вдоль координаты y (при фиксированном x) — минимум. Это так называемая седловая точка. Достаточное условие существования локального экстремума функции двух переменных получается в результате анализа матрицы Гессе 2 d u(x0 ) A B , = 2 B C dx где A= ∂ 2 u(x0 ) ; ∂x2 B= ∂ 2 u(x0 ) ; ∂x∂y C= ∂ 2 u(x0 ) . ∂y 2 91 § 2.7. Локальные экстремумы Запишем условия теоремы Сильвестера. Если знаки обоих главных миноров матрицы Гессе положительны A B = AC − B 2 > 0, M1 = A > 0 и M2 = ∆ = B C то квадратичная форма в ряде Тейлора положительно определена и в стационарной точке функция u(x0 ) принимает минимальное значение. Если же M1 = A < 0, а M2 = ∆ > 0, то в стационарной точке функция принимает максимальное значение. Пример. Найти экстремумы функции: u= 2(x + y)(1 + xy) . (1 + x2 )(1 + y 2 ) Р е ш е н и е. 1. Находим частные производные: ux = 2(1 − x2 ) ; (1 + x2 )2 uy = 2(1 − y 2 ) . (1 + y 2 )2 2. Приравнивая частные производные нулю, записываем систему двух уравнений с двумя неизвестными: ⎧ 2(1 − x2 ) ⎪ ⎪ = 0, ⎨ (1 + x2 )2 2 2(1 − y ) ⎪ ⎪ ⎩ = 0. (1 + y 2 )2 Система имеет четыре решения (четыре стационарных точки): (1, 1), (1, −1), (−1, 1) и (−1, −1), в правильности определения которых можно убедиться подстановкой их координат в систему. 3. Находим все частные производные второго порядка: uxx = − 4x(x2 − 3) ; (1 + x2 )3 uxy = uyx = 0; и их значения в стационарных точках. uyy = − 4y(y 2 − 3) (1 + y 2 )3 92 Глава 2. Тензорный анализ 4 · 1(12 − 3) = −1; (1 + 12 )3 B = 0; C = −1. Так как ∆ = AC − B 2 = (−1)2 − 0 = 1 > 0 и A = −1 < 0, то точка (1, 1) является точкой максимума функции. Аналогично устанавливаем, что (−1, −1) — точка минимума (∆ > 0, A = 1 > 0), а в оставшихся двух точках, где ∆ = 0, экстремума нет. Эти точки — седловые. 4. Находим экстремумы функции: Для точки (1, 1): A = uxx (1, 1) = − umax = u(1, 1) = 2; umin = u(−1, −1) = −2. § 2.8. ГЛОБАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ Пусть скалярная функция тензорного аргумента u = u(x) определена и дифференцируема требуемое число раз в некоторой области Ω ⊂ n , ограниченной поверхностью Γ(x) ⊂ ⊂ n−1 , называемой границей области Ω. Наряду с задачей определения локальных экстремумов, рассмотренной в предыдущем параграфе, зачастую ставится задача определения экстремальных (минимальных и максимальных) значений u = u(x) во всей области Ω, включая границу Γ(x). Такие экстремальные значения функции, в отличие от локальных, будем называть глобальными экстремумами. Решение таких задач складывается из двух этапов. На первом этапе определяются все стационарные точки области Ω — точки, в которых grad u(x) = ∇u(x) = Θ. В каждой стационарной точке определяется характер функциональных матриц Гессе второго порядка. Для положительноопределенной матрицы Гессе функции u(x) в окрестности стационарной точки xk выпукла, и функция в этой точке принимает минимальное значение umin = k = u(xk ). Для отрицательноопределенной матрицы Гессе в окрестности точки xr функция вогнута и umax = u(xr ). r Если знак матрицы Гессе в стационарной точке не определен, то в этой точке экстремального значения функции не существует. Это точки, при переходе через которые характер § 2.8. Глобальные экстремумы 93 кривизны функции не изменяется (точки перегиба), или в одном сечении области Ω гиперплоскостью функция выпукла, в другом сечении – вогнута (седловые точки). Процедура определения экстремальных значений функции повторяется для точек x ⊂ Γ. Сравнение всех локальных минимумов и максимумов, включая граничные точки, позволяет выделить глобальный минимум min m = min u(x) = min{umin 1 , u2 , . . .} и глобальный максимум M = max u(x) = max{umax , umax , . . .}. 1 2 Факт существования наибольшего и наименьшего значений функции (глобальных максимума и минимума) утверждает следующая теорема. Теорема Вейерштрасса (Weierstrass Karl (1815)–(1887) — немецкий математик). Пусть функция u = u(x) определена и непрерывна в окрестности некоторой ограниченной замкнутой (включающей граничные точки) области Ω ⊂ n и имеет в этой области (за исключением, возможно, некоd u(x) торых точек) конечные производные . Тогда внутри dx Ω или на ее границе Γ найдется точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) из всех значений. Своего наибольшего (наименьшего) значения в некоторой замкнутой области Ω функция u = u(x) может достигнуть или во внутренней точке Ω, или на ее границе. Поэтому для определения наибольшего (наименьшего) значения функции в области Ω следует найти все внутренние точки, «подозрительные» на экстремум, вычислить в них значения функции и сравнить эти значения с экстремальными значениями функции на границе Ω. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будут наибольшим (наименьшим) значениями функции в замкнутой области Ω. Поясним сказанное на конкретном примере функции двух переменных. 94 Глава 2. Тензорный анализ Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u(x1 , x2 ) = 4(x1 − 1)2 + (x2 − 0,5)2 (2.55) в области, ограниченной прямыми (рис. 2.2): x1 + x2 = 2, x1 = 0, x2 = 0. (2.56) Р е ш е н и е. Функция u определена в 2 и в области Ω ∈ 2 , ограниченной осями координат и прямой (2.56). Наибольшее и наименьшее значения функции следует выбрать, сравнивая значения локальных экстремумов функции во внутренних точках области Ω с ее Рис. 2.2. экстремальными значениями на Область Ω границах области. 1. Начнем решение задачи с определения локального экстремума, следуя методике, описанной в § 2.7. Найдем и приравняем нулю частные производные от функции u по обеим переменным (координаты вектор-градиента функции): ∂u = 8(x1 − 1) = 0 ∂x1 −→ xo1 = 1; ∂u = 2(x2 − 0,5) = 0 ∂x2 −→ xo2 = 0,5. X o = (xo1 , xo2 ) = (1; 0,5). Из необходимого признака существования экстремума следует, что точка (1; 0,5) может быть точкой локального экстремума функции. 95 § 2.8. Глобальные экстремумы Обратимся к достаточному признаку. Для этого составим матрицу вторых производных (матрицу Гессе): ⎛ ⎞ ∂2u ∂2u ⎜ ∂x21 ⎟ ∂x ∂x 8 0 1 2 ⎟ ⎜ . G= ⎝ = 0 2 ∂2u ∂ 2 u ⎠ ∂x2 ∂x1 ∂x22 x=xo Полученная матрица не зависит от координат. Поэтому ее определитель и главные миноры во всей области 2 , где функция определена, и, в частности, в области Ω, не изменяются: M1 = 8 > 0, 8 M2 = det G = 0 0 = 16 > 0. 2 Полученные значения говорят о том, что квадратичная форма, определяющая функцию u(x1 , x2 ), положительно определена в области Ω. Это означает, что во всей рассматриваемой области функция выпукла и, следовательно, точка xo = (1; 0,5) ∈ Ω является точкой локального минимума: umin = u(1; 0,5) = 0. 2. Определим экстремальные значения функции на границе области Ω, являющейся отрезком x1 ∈ [0; 2] координатной прямой x1 . Уравнение прямой x2 = 0. Подставляя это значение x2 в выражение (2.55), получим функцию, зависящую только от переменной x1 : 17 . (2.57) 4 Найдем и приравняем нулю производную от этой функции по единственной переменной x1 : u(x1 ) = 4(x1 − 1)2 + (0 − 0,5)2 = 4x21 − 8x1 + u (x1 ) = 8x1 − 8 = 0, −→ x11 = 1. Так как вторая производная от функции в найденной точке положительна (u (x11 ) = 8), то функция принимает минимальное значение 1 17 = . umin |x2 =0 = 4 · 12 − 8 · 1 + 4 4 96 Глава 2. Тензорный анализ Такое же значение функции получается, если в выражение (2.55) подставить координаты точки (1; 0): u(1; 0) = 4(1 − 1)2 + (0 − 0,5)2 = 1 . 4 3. По аналогии с пунктом 2 определим экстремальное значение функции на границе x1 = 0, соответствующей отрезку оси ординат x2 ∈ [0, 2] ⊂ Ω : u(x2 ) = 4(0 − 1)2 + (x2 − 0,5)2 = x22 − x2 + u (x2 ) = 2x2 − 1 = 0, u (x2 ) = 2 > 0 −→ −→ 17 ; 4 (2.58) x22 = 0,5; umin |x1 =0 = = u(0; 0,5) = (0,5)2 − 0,5 + 17 = 4. 4 4. Перейдем к последнему участку границы Ω, соответствующему отрезку прямой x1 + x2 = 2, заключенному между точками (2; 0) и (0; 2). Из уравнения прямой выразим в явном виде любую из переменных, например, x2 = 2 − x1 , и подставим полученное выражение в (2.55). Придем к функции одной переменной u(x1 ) = 4(x1 − 1)2 + (2 − x1 − 0,5)2 = 5x21 − 11x1 + 25 . (2.59) 4 Для определения экстремума полученной функции одной переменной обратимся с необходимому и достаточному условиям его существования: u (x1 ) = 10x1 −11 = 0, −→ x31 = 1,1; u (x1 ) = 10>0 −→ umin|x2 =2−x1 = = u(1,1; 0,9)=5 · (1,1)2 − 11·1,1 + 25 =0,2. 4 § 2.9. Условный экстремум 97 Все стационарные точки области Ω являются точками локальных минимумов. Выберем из них наименьшее: min(umin ) = min{u(1; 0,5); u(1; 0); u(0; 0,5); u(1,1; 0,9)} = = {0; 0,25; 4; 0,2} = 0 = u(1; 0,5). Так как функция u(x1 ; x2 ) монотонно возрастает с ростом координат, принимая наименьшее значение в точке (1; 0,5), то следует ожидать, что наибольшего своего значения в области Ω она достигнет в угловых точках границы. Найдем эти значения: u(0; 0) = 4(0 − 1)2 + (0 − 0,5)2 = 4,25; u(2; 0) = 4(2 − 1)2 + (0 − 0,5)2 = 4,25; u(0; 2) = 4(0 − 1)2 + (2 − 0,5)2 = 6,25. Выберем из полученных значений наибольшее: max(umax ) = max{u(0; 0); u(2; 0); u(0; 2)} = = {4,25; 4,25; 6,25} = 6,25 = u(0; 2). § 2.9. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Рассмотренную в § 2.8 задачу отыскания наибольшего и наименьшего значений скалярной функции векторного аргумента можно трактовать как задачу отыскания экстремума функции при накладываемых на изменение ее переменных ограничениях. Такие задачи называются задачами на отыскание условного экстремума. В отличие от рассмотренных в § 2.8 задач определения глобальных экстремумов функции в области Ω, включая ее границы, при отыскании условных экстремумов рассматриваются значения функции только на множестве, определяемом некоторыми условиями. Рассмотрим векторное пространство Ln и связанную с ним декартову ортогональную систему координат Υ = (i1 . . . in ) Пусть в Ln задан вектор x = X T Υ = xk ik , (k = 1, n) и скалярная функция u = u(x). 98 Глава 2. Тензорный анализ Требуется найти экстремальные значения функции u(x), если известно, что вектор x должен удовлетворять условию g(x) − b = Θ, (2.60) где g(x) и b ∈ Lm , (m ≤ n). Для удобства дальнейшего изложения наряду с представленными записями приведем их развернутые выражения: u(x) = u(x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ); ⎧ ⎨ g1 (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) − b1 = 0, ························ ⎩ gm (x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xn ) − bm = 0, (2.61) (2.62) Составим матрицу первых частных производных вектора g(x): ⎛ ⎞ ∂g1 ∂g1 · · · ⎜ ∂x1 ∂xn ⎟ ⎜ . ⎟ ∂gk ⎜ ⎟. = ⎜ .. · · · ⎟ r ∂x ⎝ ∂g ∂gm ⎠ m ··· ∂x1 ∂xn Если ранг выписанной матрицы в окрестности некоторой точки X0 из области определения функций ∂gk = m, rang ∂xr X0 то, как известно [2], из соотношений (2.61) можно, в принципе, выразить в явном виде m неизвестных (например, x1 , . . . , xm ) через остальные n − m неизвестных (xm+1 , . . . , xn ): ⎧ ⎨ x1 = f1 (xm+1 , . . . , xn ); ... ... ... ... ... (2.63) ⎩ xm = fm (xm+1 , . . . , xn ). После подстановки (2.63) в (2.61) задача отыскания условного экстремума сведется к задаче отыскания безусловного экстремума функции n − m переменных: u = ũ(xm+1 , . . . , xn ). (2.64) 99 § 2.10. Множители Лагранжа Пример. Обратимся к примеру предыдущего параграфа. Рассмотренная там функция (2.55) u(x1 , x2 ) = 4(x1 − 1)2 + (x2 − 0,5)2 с ограничениями, например, первое из условий (2.56), x1 + x2 − 2 = 0 представляет собой задачу определения условного экстремума. Ранг система ограничений (2.56) равен единице и якобиан ∂g = 1 = 0. Поэтому из этой «системы» преобразования ∂x1 можно выразить одну переменную через другую в явном виде, например, x2 = 2 − x1 . Подстановка этого соотношения в выражение для исходной функции превращает ее в функцию одной переменной. Задача отыскания экстремума функции, решенная в предыдущем параграфе, — это задача определения безусловного экстремума. § 2.10. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА Представление в (2.63) части переменных через оставшиеся во многих случаях отыскания условных экстремумов скалярной функции векторных переменных является непростой задачей, особенно если ограничения задаются в виде трансцендентных (неалгебраических: логарифмических, тригонометрических, . . . и обратных к ним) функций. Лагранж (Lagrange Joseph Louis (1736–1813) — французский математик итальянского происхождения) предложил универсальный метод решения задач определения условных экстремумов, который позволяет обойти упомянутые трудности. Метод Лагранжа заключается в следующем. Пусть задана скалярная функция u = u(x) векторных переменных: x = xk ik ∈ Ln и m ограничений, заданных в виде векторного равенства: g(x) − b = Θ, (g(x) − b ∈ Lm , m < n). 100 Глава 2. Тензорный анализ Вводится вектор y m переменных (по размерности линейного пространства Lm ). Координаты y r вектора y = y r ir (r = 1, m) называются неопределенными множителями Лагранжа. Скалярная функция Лагранжа задается в виде Λ(x, y) = u(x) + y · (b − g(x)). (2.65) Или в координатной форме: Λ(x, y) = u(x1 , . . . , xn ) + m y r br − gr (x1 , . . . , xn ) . r=1 Теорема. Если точка, определяемая вектором x∗ = = xk∗ ik (k = 1, n), является точкой условного экстремума функции u(x) при условии b − g(x) = Θ, то существует вектор y∗ такой, что точка (x∗ , y∗ ) является точкой экстремума функции Λ(x, y). Необходимыми условиями существования экстремума скалярной функции векторного аргумента (таковой является функции Λ(x, y)), как было показано в § 2.7, является равенство нулю градиента функции. Условие приводит к векторным равенствам: ∂Λ ∂u(x) ∂g(x) = −y· = Θ; ∂x ∂x ∂x ∂Λ = b − g(x) = Θ. ∂y В координатной форме равенства превращаются в систему n + m уравнений с n переменными xk и m переменными y r : ⎧ m ∂Λ ∂g r ∂u ⎪ ⎪ = − y r k = 0 (k = 1, n); ⎨ k k ∂x ∂x ∂x r=1 (2.66) ⎪ ∂Λ ⎪ r r 1 n ⎩ = b − g (x , . . . , x ) = 0 (r = 1, m). ∂y r Вторая группа уравнений (2.66) повторяет уравнения (2.63). § 2.11. Метод градиентного спуска 101 Пример. Рассмотрим задачу, решенную в предыдущем параграфе путем ее сведения к задаче определения безусловного экстремума. Задана функция (2.55) u(x) = 4(x1 − 1)2 + (x2 − 0,5)2 и ограничение в виде равенства (2.56) g(x) = x1 + x2 − 2 = 0. Решим задачу, используя скалярную функцию Лагранжа Λ(x, y) = u(x) + y g(x). В координатной форме Λ(x1 , x2 , y) = 4(x1 − 1)2 + (x2 − 0,5)2 + y(x1 + x2 − 2). Координаты стационарной точки определим, приравнивая градиент функции Λ(x) нулевому вектору. Это равенство, соответствующее необходимому условию существования экстремума, приводит к трем скалярным уравнениям для определе⎧ ∂Λ ⎪ ⎪ = 8(x1 − 1) + y = 0; ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎨ ∂x ∂Λ = 2(x2 − 0,5) + y = 0; ния искомых координат: ⎪ ∂x2 ⎪ ⎪ ∂Λ ⎪ ⎪ ⎩ = x1 + x2 − 2 = 0. ∂y Координаты стационарной точки (x∗1 ; x∗2 ) = (1,1; 0,9) совпадают с найденными в предыдущем параграфе, что подтверждает равнозначность двух рассмотренных подходов к решению оптимизационных задач. Отметим, что значение введенной в методе Лагранжа переменной (y ∗ = −0,8) не имеет значения при отыскании экстремумов функций — эта переменная вспомогательная. § 2.11. МЕТОД ГРАДИЕНТНОГО СПУСКА Определение экстремальных значений аналитическими методами становится непосильной или трудно выполнимой задачей для многих функций. К тому же к настоящему времени 102 Глава 2. Тензорный анализ созданы достаточно хорошие алгоритмы численного определения экстремумов функций, рассчитанные на использование ЭВМ. Одним из таких методов является метод градиентного спуска. Прежде чем описывать алгоритм этого итерационного метода, напомним некоторые понятия [2]. Гиперповерхностью равного уровня (линией уровня для функции, заданной в пространстве 2 ) для скалярной функции u = u(x) векторного аргумента x = xr ir ∈ n называется гиперповерхность, задаваемая в пространстве n−1 уравнением u(x) = c (c ∈ число). Что касается градиента (grad u = ∇u), то для организации итерационного процесса методом градиентного спуска необходимо иметь в виду, что ∇u определяет некоторые свойства функции u(x) в точке, лежащей на линии уровня. В частности, этот вектор: 1) ортогонален гиперповерхности (в частности, линии) уровня в рассматриваемой точке пространства n ; 2) лежит в гиперплоскости, касательной к гиперповерхности u = u(x); 3) направлен в сторону возрастания функции u = u(x); 4) равен максимальному из всех возможных значений производной от функции по направлению. На рис. 2.3 показаны направления вектор-градиента для функции, заданной в 2 . На рис. 2.3,a ∇u направлен в сторону, противоположную локальному минимуму функции; на рис. 2.3,б — в сторону локального максимума. Существуют методы градиентного спуска, основанные на использовании частных производных первого и более высоких порядков. Как и большинство численных методов, этот метод использует последовательные приближения (итерации) к точному решению. Остановимся на описании градиентного метода первого порядка. Пусть x(k) = xr(k) ir (r = 1, n) — вектор, характеризующий положение точки M(k) на линии уровня гиперплоскости на k-й итерации (рис. 2.4,a). 103 § 2.11. Метод градиентного спуска Рис. 2.3. Направления вектора градиента Будем строить итерационный процесс в предположении, что в следующее положение M(k+1) , характеризуемое вектором x(k+1) , точка переводится вектором градиентом ∇u(x(k) ), умноженным на некоторый корректирующий множитель α(k) . Тогда вектор, определяющий положение точки экстремума M(k+1) на (k + 1)-й итерации, определится по рекуррентной формуле: x(k+1) = x(k) + α(k) ∇u(x(k) ). (2.67) Величина α(k) в каждом приближении подсчитывается исходя из требования экстремальности функции u. Для этого в функцию u = u(x) вместо x подставляется его значение (2.67) на (k + 1)-й итерации: u(xk+1 ) = u xk + αk ∇u(xk ) = u(αk ). (2.68) То есть в результате получаем функцию, зависящую только от одной переменной α(k) . Эту неизвестную величину находим из условия экстремальности функции u, приравнивая нулю производную от (2.68): d u(α(k) ) = 0, d α(k) ) =⇒ αk . 104 Глава 2. Тензорный анализ По найденному значению αk находим xk+1 по формуле (2.67), затем u(xk+1 ) по (2.68), ∇u(xk+1 ) и переходим к следующей, итерации: x(k+2) = x(k+1) + α(k+1) ∇u(x(k+1) ). Итерационный процесс продолжается до достижения заданной точности δ вычисления u(x): |u(k+1) − u(k) | ≤ δ. |uk | Метод градиентного спуска обладает, как правило, хорошей сходимостью, но требует нахождения производных на каждой итерации. Пример. Найти локальный экстремум функции u = 8x2 + 4xy + 5y 2 . Функция представляет собой эллиптический параболоид с положительными коэффициентами при квадратах переменных. Следовательно, функция определена при x, y ∈ (−∞, ∞) и имеет в области определения единственный минимум. Р е ш е н и е. Первое приближение. Примем точку M0 (10, 10) за начальную (рис. 2.4,б) и найдем в ней значение функции: u(M0 ) = 8 · 102 + 4 · 10 · 10 + 5 · 102 = 1700. 1. Найдем первые производные функции, представляя их в виде совокупности двух (по размерности пространства) координат вектора: ux 16x + 4y . = uy 4x + 10y Подставляя в эти соотношения значения координат точки M0 , найдем совокупность координат вектора градиента: ux 200 16 · 10 + 4 · 10 . = = ∇u(M0 ) = uy M 140 4 · 10 + 10 · 10 0 105 § 2.11. Метод градиентного спуска Рис. 2.4. Итерации метода градиентного спуска 2. Подставим полученные выражения для векторов в формулу (2.67): ux x1 x0 = + α0 , uy M y1 y0 0 или x1 y1 = 10 + 200α0 10 + 140α0 . 3. Найдем значения функции в первом приближении с точностью до множителя α0 : u(x1 , y1 ) = 8(10 + 200α0 )2 + + 4(10 + 200α0 )(10 + 140α0 ) + 5(10 + 140α0 )2 . 4. Определим α0 из условия экстремальности функции u(x1 , y1 ) = u(α0 ) одной переменной α0 . Для этого производную от функции по переменной α0 приравниваем нулю ∂u(α ) 0 =0 : ∂α0 106 Глава 2. Тензорный анализ −8 · 2 · 200(10 − 200α0 ) − 4 · 200(10 − 140α0 )− −4 · 140(10 − 200α0 ) − 5 · 2 · 140(10−140α0 ) = 0. Отсюда: 596 ≈ −0,056. 10600 5. Найдем координаты независимых переменных точки первого приближения: α0 = − x1 y1 = 10 10 − 0,056 = 200 140 −1,2 2,16 = −→ M1 (−1,2; 2,16). 6. Определим значение функции в точке M1 : u(M1 ) = 24,23. Функция убывает (приближается к своему минимальному значению): u(M1 ) < u(M0 ). На этом первое приближение заканчивается. Второе приближение. Выполним все действия в последовательности первого приближения. ux 16·(−1,2)+ 4·2,16 1. ∇u(M1 ) = = = uy M 4·(−1,2)+10·2,16 1 −10,56 . = 16,8 ux x2 x1 −1,2 2. + = + α1 = uy M 2,16 y2 y1 1 −10,56 . + α1 16,8 3. u(x2 , y2 ) = 8(−1,2−10,56α1 )2 + +4(−1,2−10,56α1 )(2,16+16,8α1 ) + 5(2,16+16,8α1 )2 . § 2.12. Преобразование интегралов 107 4. Найдем производную от полученного выражения по α1 ∂u(α1 ) и приравняем ее нулю =0 : ∂α1 −8·2 · 10,56(−1,2 − 10,56α1 ) − 4·10,56(2,16 + 16,8α1 )+ +4·(16,8)(−1,2 − 10,56α1 ) + 5·2·16,8(2,16+16,8α1 ) = 0. Отсюда: α1 ≈ −0,152. 5. x2 y2 = 0,144 0,145 −→ M2 (0,144; 0,145). 6. u(M2 ) = 0,354 < u(M1 ). Второе приближение закончено. После вычислений в следующих приближениях получим: M3 (−0,018; 0,031); u(M3 ) = 0,0052. M4 (0,002; 0,002); u(M4 ) = 0,0000 . . . Точное минимальное значение u(M∗ ) = 0 функция имеет в точке M∗ (0, 0). Как видно из хода решения задачи, сходимость метода градиентного спуска, по крайней мере для рассмотренной функции, очень хорошая. Уже после второго шага значение функции уменьшилось по сравнению с нулевой точкой на три порядка, а после третьего шага практически не отличалось от нуля — локального минимума функции. Недостатком метода градиентного спуска является требование дифференцируемости функции (градиент — вектор, координатами которого являются частные производные функции). § 2.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ Пусть: x = xk ik — вектор, определяющий положение точки в 3 ; d o — элемент объема O, d Π — элемент поверхности Π, ограничивающей O; n — вектор единичной нормали к 108 Глава 2. Тензорный анализ этой поверхности. Формула Гаусса–Остроградского [11], обоснованная ее авторами для скалярных функций u (Gaus Johann Carl Friedrich (1777–1855) — немецкий математик, физик, астроном, акад. Петербургской АН; Остроградский М. В. (1801– 1862) — русский математик, акад. Петербургской АН): ∂u d o = nk ud Π, ∂xk O Π естественным образом обобщается на векторные величины: ∇ · u d o = n · u d Π. (2.69) O Π Записанное соотношение связывает интеграл по замкнутому объему O от дивергенции вектора с интегралом по поверхности Π от потока вектора, протекающего через эту поверхность. Соотношение (2.69) является следом (сверткой) аналогичного соотношения для тензоров: ∇u do = nu dΠ (2.70) O или Π (∇ u)T d o = O (n u)T d Π = Π (un) d Π. Π Равенство (2.70) останется справедливым и в случае постановки между векторами знака векторного произведения: ∇×u d o = n×u d Π. O Π Формула Гаусса–Остроградского справедлива и для различных произведений набла-оператора на тензор второго ранга U: 109 § 2.12. Преобразование интегралов для неопределенного произведения: ∇U d o = nU d Π; O Π для скалярного произведения: ∇ · U d o = n · U d Π; O Π для векторного произведения: ∇×U d o = n×U d Π. O Π Пример использования формул Гаусса–Остроградского в преобразовании интеграла. Рассмотрим и преобразуем поверхностный интеграл x×(n · U) d Π = − (n · U)×x d Π = Π Π (∇ · U)×x d o − =− O (ik · U)× O x×∇ · U d o + = ∂x do = ∂xk O ik ×(ik · U) d o. O Так как kr ik ×(ik · U) = ik ×ir ukr = e··m = −2ω, kr· im u то x×(n · U) d Π = Π (x× div U − 2ω) d o. O (2.71) 110 Глава 2. Тензорный анализ § 2.13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТОКСА Известно [11], что криволинейный интеграл по дуге M0 M M u · dx M0 при условии u = ∇ϕ, ∇×u = Θ не зависит от вида дуги, а определяется лишь положением крайних точек M0 и M . Тогда M M u · dx = M0 M ∇ϕ · d x = M0 d ϕ = ϕM − ϕM0 . (2.72) M0 Аналогичные зависимости будут справедливы для тензоров второго ранга U. То есть равенство M U · d x = uM − uM0 M0 имеет место, если (Θ — нулевой вектор) U= du = (∇u)T , dx UT = ∇u, ∇×UT = Θ. Условием независимости от пути интеграла M M dx · U = UT · d x M0 M0 U = ∇u, ∇×U = Θ. служит равенство (2.73) 111 Вопросы для самоконтроля Теорема Стокса [11] (Stokes George Gabriel (1819– 1903) — английский математик и физик). Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку этого вектора через произвольную поверхность, опирающуюся на этот контур. Математическая формулировка теоремы: u · d x = n · ∇×u d Π. (2.74) Π ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что представляет собой набла-оператор Гамильтона? 2. Представьте оператор ∇ в ортонормированном базисе. 3. Что собой представляет градиент скалярной функции? 4. Дайте определение и запишите выражения для дивергенции, ротора и градиента вектора. 5. Что собой представляет деформация вектора? 6. Как связаны между собой кососимметричный тензор и сопутствующий тензору вектор? Кососимметричный тензор и градиент вектора? 7. Запишите выражение для результата воздействия оператора ∇ на скалярное и на векторное произведения векторов. 8. Воспроизведите выражения для скалярного, векторного и неопределенного произведений оператора Гамильтона на тензоры, в частности, на кососимметричные тензоры. 9. Запишите формулы дифференцирования скалярной функции по вектору. 10. Представьте формулу Тейлора разложения скалярной функции по тензорному аргументу. 11. Каким требованиям должна удовлетворять скалярная функция, раскладываемая в ряд по векторному аргументу? 12. Что представляет собой линейная форма скалярной функции векторного аргумента? Квадратичная форма? 13. Что представляет собой матрица Гессе? При решении каких задач требуется ее применение? 112 Глава 2. Тензорный анализ 14. Что представляют собой главные миноры матриц? 15. Сформулируйте теорему Сильвестера о знакоопределенности матриц. 16. Опишите процедуру определения локальных экстремумов функций векторных аргументов. 17. Что представляет собой задача определения условных экстремумов? 18. Запишите выражение для функции Лагранжа. 19. Опишите метод Лагранжа определения условных экстремумов. 20. Опишите последовательность определения локальных экстремумов методом градиентного спуска. 21. Запишите формулу Гаусса–Остроградского применительно к тензорным подынтегральным функциям. Формулу Стокса. § 2.14. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНУЮ РАБОТУ В пространстве 3 задана скалярная функция векторного аргумента u(x) = x21 − 2x1 x2 + 3x22 + (x3 − 1)2 + 12x1 . 1. Найти локальный экстремум функции: 1.1. аналитическим методом (с привлечением функциональных матриц первого и второго порядков); 1.2. методом градиентного спуска. 2. Найти условный экстремум u(x) при ограничениях g(x) = Θ: ! g1 (x) = x1 + 2x2 + x3 − 8 = 0, g2 (x) = 2x1 − x2 − x3 + 8 = 0. 2.1. путем сведения задачи на определение условного экстремума к задаче определения локального экстремума; 2.2. с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа. § 2.14. Задание на расчетную работу 113 ОТВЕТЫ на расчетную работу 1. 1.1. umin = u(−9; −3; 1) = −54. 7 1.2. при x(0) = (1, 1, 1) umin ≈ u(x(1) ) = u(−9; − ; 1) = 1 2 = −52 . 3 2. 2.1 и 2.2 umin = u(1; 2; 3) = 75. Замечания по выполнению задания. 1.1. Использовать необходимое и достаточное условия существования экстремума. Установлению характера экстремума должно предшествовать установление знакоопределенности матрицы Гессе. 1.2. Убедиться в том, что начальная точка (в ответе M0 (1, 1, 1)) лежит в области унимодальности функции. Точность решения задачи на итерациях определять, сравнивая результат вычисления экстремального значения функции с точным решением, полученным в разделе 1.1. 2.1. Перед выражением одних переменных через другие найти ранг системы ограничений, определив тем самым количество независимых переменных. Вычисления проводить с точностью до трех значащих цифр. Глава 3 ТЕНЗОРЫ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ Материал главы построен так, что сначала вводятся векторы основного и взаимного базисов для общего случая косоугольных криволинейных координат (параграфы 3.1–3.2). Далее, в параграфах 3.3–3.8 рассматриваются соотношения в косоугольных прямолинейных координатах. В следующих параграфах рассматриваются зависимости, представляемые в ортогональных криволинейных координатах (параграфы 3.9–3.15). В заключительных параграфах рассматриваются криволинейные, в общем, неортогональные координаты. § 3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ В практических задачах математического описания явлений и процессов, протекающих в реальном, осязаемом нами мире, точкам пространства можно поставить в соответствие некоторые числа. Так, в пространстве 1 положение точки, находящейся на прямой или на одномерной кривой, определяется числом (координатой точки), равным расстоянию до этой точки от некоторого фиксированного начала отсчета (длина дуги для кривой). В 2 положение точки однозначно описывается парой чисел (координатами точки), в 3 – тройкой, а в n количество координат равно n. Чаще всего на практике используются связанные с ортонормированным базисом прямолинейные (декартовы) взаимноортогональные упорядоченные системы координат. Наряду с декартовыми достаточно широкое распространение находят и § 3.1. Преобразования произвольных систем координат 115 другие системы координат: полярная для 2 , цилиндрическая и сферическая для 3 , произвольная неортогональная криволинейная для n (при любых n). Выбор подходящей для исследования системы координат во многом зависит от характера решаемых задач. Неразумно, например, при исследовании процесса деформирования цилиндра, находящегося под воздействием осесимметричной нагрузки, использовать нецилиндрическую систему координат, ибо в этом случае вместо двумерной задачи исследователю придется иметь дело с решением трехмерной задачи. При решении задач, связанных с движением сред, обойтись одной системой координат, как правило, не удается. Приходится вводить дополнительную систему координат, а порой и не одну. Например, при исследовании движения тела одна система координат связывается с этим телом, а другая фиксируется в его начальном положении (в положении наблюдателя, описывающего движение). При описании процесса деформирования сплошных сред одна система координат может быть связана с начальным положением среды, а вторая «вмораживается» в среду и деформируется вместе с ее частицами. Одно из основных требований, предъявляемых к выбору систем координат, — это требование их невырожденности (например, три координаты пространства 3 не должны иметь общей касательной плоскости ни в одной точке пространства). Это требование связано с выполнением условия взаимной однозначности и непрерывности систем координат (гомеоморфности). Рассмотрим две системы координат в пространстве n : X = (x1 x2 · · · xn )T и Z = (ζ 1 ζ 2 · · · ζ n )T . Между введенными координатами, характеризующими одни точки пространства, должна быть взаимнооднозначная связь. То есть одновременно должны существовать две функциональные зависимости: xk = xk (ζ 1 ζ 2 · · · ζ n ) и ζ k = ζ k (x1 x2 · · · xn ) (k = 1, n). Будем считать, что функции xk непрерывны вместе со всеми своими производными по совокупности аргументов 116 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах (ζ 1 ζ 2 · · · ζ n ), а функции ζ k – по (x1 x2 · · · xn ). Это условие вполне естественно, не накладывает никаких ограничений на описываемые процессы, но позволяет установить связь между бесконечно малыми приращениями координат двух систем: dxk = ∂xk r dζ ∂ζ r и dζ r = ∂ζ r dxk ∂xk (k, r = 1, n). (3.1) Введем векторы дифференциалов координат dX = (dx1 dx2 · · · dxn )T и dZ = (dζ 1 dζ 2 · · · dζ n )T и квадратные матрицы производных, стоящие множителями у дифференциалов (3.1): k r ∂x ∂ζ r· A = ak· , B = (b . = ) = ·r ·k r ∂ζ ∂xk Тогда (3.1) запишем в матричном виде: dX = AdZ, dZ = BdX. В силу взаимной однозначности и непрерывности отображений одной системы координат в другую матрицы A и B должны быть невырожденными и их определители отличны от нуля: det A = |ak· 0, det B = |br· 0. ·r | = ·k | = Найдем произведение матриц A и B: k k ∂x ∂x ∂ζ r r· = = b AB = ak· ·r ·m ∂ζ r ∂xm ∂xm k = (δm ) = I. Из последнего равенства, согласно определению обратных матриц, следует A = B −1 , B = A−1 . Кроме того, det(AB) = det A det B = 1, § 3.2. Базисные векторы криволинейных координат 117 откуда находим det A = 1/ det B. Определители матриц A и B называют якобианами (J) преобразования (Jacobi Carl Gustav (1804–1851) — немецкий математик, академик Петербургской АН). Таким образом, для обеспечения гомеоморфности отображения одной координатной системы в другую, необходимо, чтобы якобиан преобразования координат был отличен от нуля. § 3.2. БАЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ Пусть r — радиус-вектор точки M , принадлежащей некоторой кривой. Обозначим через ζ координату произвольной точки этой кривой, отсчитываемую от некоторой ее фиксированной точки (рис. 3.1,а). Пусть при переходе от точки M кривой к точке M1 координата ζ получает приращение ∆ζ. При этом радиус-вектор точки изменяется на величину ∆r. Производной вектора по криволинейной координате называется предел отношения приращения вектора к приращению координаты при стремлении последнего к нулю: rζ = lim ∆ζ→0 ∆r ∂r = . ∆ζ ∂ζ Очевидно, rζ — вектор, касательный к кривой в точке с координатой ζ. Пусть задана криволинейная в общем случае система координат Z = (ζ 1 ζ 2 . . . ζ n )T . Введем n векторов, касательных к координатным линиям ζ k (k = 1, n): rk = ∂r . ∂ζ k (3.2) На рис. 3.1,б изображены базисные векторы, определяемые по радиус-вектору r в пространстве L2 . Базисные векторы r1 и r2 линейно независимы, так как при «стягивании» координатных линий к точке их пересечения ∆r1 и ∆r2 становятся векторами r1 и r2 , касательными к соответствующим 118 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Рис. 3.1. Базисные векторы криволинейных координат координатным линиям — координатные линии не могут иметь общих касательных. В общем случае криволинейных координат векторы rk различны для разных точек пространства. Исключение составляют прямолинейные, не обязательно ортогональные, координаты. В частном случае декартовых ортогональных координат (xk ) rk представляют собой ортонормированный базис ik = ∂r . ∂xk Последнее утверждение следует из того, что приращения радиус-вектора в направлении прямых, которые в этом случае представляют собой координатные линии, лежат на этих прямых, а размерность модуля радиус-вектора рассматриваемого пространства совпадает с размерностью координатных линий. Для углубления понимания смысла базисных векторов, связанных с координатами, рассмотрим одномерное пространство, положение точек которого определяется прямолинейной координатой x (рис. 3.2,a). § 3.3. Основной и взаимный базисы 119 Рассмотрим в этом пространстве вектор ∆r, модуль (длина) которого определяется двумя единицами измерения координаты x, т. е. ∆x = 2. Тогда rx = ∆r 1 ∂r = = ∆r. ∂x ∆x 2 Модуль rx в этом случае Рис. 3.2. Длина базисных векторов будет равен единице размерности координаты x. Получим новую координату ς путем двукратного растяжения исходной координаты x (рис. 3.2,б). При сохранении длины вектора ∆r базисный вектор rς , связанный с координатой ς, увеличится при этом по сравнению с rx в два раза (∆ς = 1) rς = ∆r = ∆r. ∆ς Ясно, что rς = rx . Тем не менее, модуль вектора rς равен единице измерения координаты ς так же, как модуль вектора rx равен единице измерения координаты x. Таким образом, базисные векторы ставят во взаимное соответствие размерности пространства и размерности связанных с этим пространством систем координат. § 3.3. ОСНОВНОЙ И ВЗАИМНЫЙ БАЗИСЫ Пусть с пространством L3 связана правая, в общем криволинейная, система координат X = (x1 x2 x3 )T . Введем в этом ∂r пространстве базис R∗ = (r1 r2 r3 )T , где rk = , (k = 1, 3). ∂xk Объем V∗ > 0 параллелепипеда, построенного на векторах rk , равен смешанному произведению векторов [3]: V∗ = |r1 ·(r2 ×r3 )|. (3.3) Базис R∗ будем называть основным базисом неортогональной в общем случае системы координат. 120 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Наряду с основным базисом введем взаимный базис R∗ = = (r 1 r 2 r 3 )T , определяемый соотношением rk = 1 2 kmr (rm ×rr ), (3.4) 1 ekmr , ekmr = ekmr — символы Леви-Чивиты. V∗ Умножим (3.4) скалярно на rs . Учитывая свойства смешанного произведения векторов [6], получим: где kmr = r k ·rs = 1 kmr 1 kmr e (rm ×rr )·rs = e emrs V∗ = δsk . 2V∗ 2V∗ (3.5) Запишем выражение для объема V ∗ параллелепипеда, построенного на векторах взаимного базиса, и преобразуем это выражение с учетом (3.3), (3.4) и свойств двойного векторного произведения [1]: V ∗ = |r 1 ·(r 2 ×r 3 )| = = 1 r1 ·|(r3 ×r1 )×(r1 ×r2 )| = V∗2 1 1 r ·|(r3 ·(r1 ×r2 )r1 − (r1 ·(r1 ×r2 )r3 | = V∗2 1 1 . = 2 r 1 ·V∗ r1 = V∗ V∗ Имея в виду (3.5), покажем, что базис, взаимный по отношению к взаимному базису, является основным базисом. Действительно, 1 2 3 1 V∗ r ×r = |(r3 ×r1 )×(r1 ×r2 )| = r1 = r1 V∗ V∗ V∗ То есть rk = 1 2 kmr r где m и т. д. ×r r , 1 ekmr . V∗ Подчеркнем, что основной и взаимный базисы порождены одной, в общем неортогональной, системой координат. kmr = 121 § 3.4. Преобразование векторов базиса § 3.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ БАЗИСА ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ КООРДИНАТ Предположим, что в n имеются две системы координат «старая» (исходная) X = (xk ) и «новая» Z = (ζm ) (k, m = = 1, n). Введем, следуя (3.2), старый R∗ = (rk ) и новый R̃∗ = (r̃m ) базисы: rk = ∂r , ∂xk r̃m = ∂r . ∂ζ m (3.6) Учитывая существование гомеоморфности между координатами X и Z (раздел 3.1), установим связь между базисными векторами (3.6): r̃m = rk = ∂r ∂r ∂xk = = rk ak· ·m или R̃∗ = R∗ A; ∂ζ m ∂xk ∂ζ m ∂r ∂r ∂ζ m = = r̃m bm· ·k или R∗ = R̃∗ B. ∂xk ∂ζ m ∂xk (3.7) При записи последних соотношений использованы обозначения раздела 3.1, из которых следует, что коэффициенты ak· ·m образуют матрицу A, которую можно назвать матрицей прямого преобразования базисов, т. е. преобразования перехода от старого базиса к новому. Аналогично, коэффициенты bm· ·k образуют матрицу B, которую можно назвать матрицей обратного преобразования. Несмотря на очевидную связь матриц A и B = A−1 с матрицей S преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный (раздел 3.1), не следует отождествлять эти матрицы. Дело в том, что только в ортонормированном базисе матрицы A и B становятся ортогональными. В произвольном базисе они таковыми не будут. Установим теперь связь между векторами взаимных базисов старой r k и новой r̃ m систем координат. Разложим вектор r̃ m по взаимному базису старой системы координат R∗ = (r 1 r 2 r 3 )T : l r̃ m = cm· ·l r . 122 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Умножим скалярно представленное разложение на вектор r̃r основного базиса и преобразуем полученное выражение: p s· m· s· p m· p· δrm = r̃ m ·r̃r = cm· ·p r ·a·r rs = c·p a·r δs = c·p a·r , то есть p· m cm· ·p a·r = δr . Из этого соотношения следует, что множители cm· ·s образуют матрицу, обратную по отношению к матрице A = (as· ·r ) и, следовательно, равную матрице B обратного преобразования базисов. Таким образом, l r̃ m = bm· ·l r или R̃∗ = BR∗ . Умножение последнего матричного равенства на матрицу прямого преобразования A слева приведет к обратной зависимости: l r m = am· или R∗ = AR̃∗ . ·l r̃ Для сопоставления правил преобразований координат и базисов, осуществляемых с помощью матриц A и B, составим таблицу матричных преобразований (положения ∗ верхнее или нижнее указывает на расположение индексов у элементов соответствующих матриц): R̃∗ = AR∗ ; R∗ = B R̃∗ ; R̃∗ = BR∗ ; R∗ = AR̃∗ ; dX̃ ∗ = BdX ∗ ; dX ∗ = AdX̃ ∗ . Обратим внимание на особенности составленной таблицы. 1. В левом столбце стоят формулы преобразования величин, связанных со старыми базисом и координатами в новые величины; в правом столбце — наоборот. 2. Если принять за основу преобразование старого основного базиса в новый (векторы основного базиса помечены нижними индексами) с помощью матрицы A (первая формула левого столбца таблицы), то аналогичное преобразование для величин взаимного базиса (помечены верхними индексами) осуществляется с помощью матрицы B = A−1 . § 3.5. Ко- и контравариантные координаты тензоров 123 3. В преобразованиях правого столбца формул по сравнению с преобразованиями левого столбца матрицы A и B меняются местами. Определение. Если в некотором пространстве заданы своими координатами элементы x и y этого пространства, которые при изменении базиса пространства оба изменяются при помощи одного и того же оператора (матрицы, например, A), то такие элементы называются ковариантными. Если же один из элементов преобразуется с помощью одной матрицы (например, A), а другой элемент — с помощью другой матрицы (например, B) и матрицы связаны между собой соотношением A = B −1 , то элементы x и y называются контравариантными. Понятия ко- и контравариантный связаны с латинскими словами: co — совместно, сообща; contra — напротив, наоборот; vario – изменять. В тензорном исчислении принято называть ковариантными величины, изменяющиеся при их преобразовании от представления в старом базисе к представлению в новом базисе с помощью матрицы A (первая формула левого столбца таблицы). Такие величины принято отмечать нижними индексами. В противном случае величины называют контравариантными и отмечают индексами, стоящими сверху. § 3.5. КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫ ТЕНЗОРОВ Свяжем с линейным пространством Ln некоторый основной базис R∗ = (r1 r2 · · · rn )T и будем считать, что по основному базису определены векторы взаимного базиса R∗ = = (r 1 r 2 · · · r n )T . Представим вектор u в виде разложения по векторам основного и взаимного базисов: u = u k rk , u = uk r k . (3.8) Если использовать матричное представление базисных векторов и обозначить U∗ = (u1 u2 · · · un )T , U ∗ = (u1 u2 · · · un )T , 124 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах то равенства (3.8) можно записать в виде: u = RT∗ U ∗ = U ∗T R∗ , u = R∗T U∗ = U∗T R∗ . Умножая (3.8) скалярно на rm и r m , соответственно, и учитывая (3.5), получим формулы для определения ко- (um ) и контравариантных (um ) компонентов вектора: um = u·rm , um = u·r m . С другой стороны, согласно определению скалярного произведения и проекции вектора: um = |u||rm | cos (u∧ rm ) = |rm |Prrm u = |rm |u(m) ; um = |u||r m | cos (u∧ r m ) = |r m |Prrm u = |r m |u(m) . Проекции u(m) и u(m) вектора u на направления базисных векторов rm и r m называются физическими компонентами вектора u. Величины, рассмотренные в этом разделе, изображены на рис. 3.3 для пространства 3 . Для большей наглядности предполагалось, что в неортогональном базисе R∗ = (r1 r2 r3 )T вектор r3 ортогонален плоскости векторов r1 и r2 , расположенных в плоскости листа. Векторы взаимного базиса определяются из соотношений: 1 r2 r1 = r2 ×r3 ⊥ ; r3 V∗ 1 r3 2 r3 ×r1 ⊥ . r = r1 V∗ Рис. 3.3. Базисные векторы косоугольных координат Направления векторов r3 и r 3 , конечно, будут совпадать, хотя их модули не будут равны изза разностей площадей параллелограммов, построенных в плоскости листа на векторах основного и взаимного базисов. § 3.5. Ко- и контравариантные координаты тензоров 125 Вектор u, лежащий в плоскости листа, может быть представлен в виде разложений по направлениям векторов основного или взаимного базисов: u = u 1 r1 + u 2 r2 ; u = u1 r 1 + u2 r 2 . Проекции вектора u на направления базисных векторов (физические компоненты вектора) соответствуют на рисунке отрезкам u(1) = OK1 , u(2) = OK2 , u(1) = OK 1 , u(2) = OK 2 . По установленному правилу преобразования базисов при переходе от одной системы координат к другой из условия инвариантности векторов можно установить правило преобразования его координат. Преобразуем первое из соотношений (3.8) с учетом правила преобразования базисных векторов (3.7) m k· u = uk bm· ·k rm = u b·m rk . Сравнивая множители, стоящие при базисных векторах rk , полученного выражения и выражения (3.8), запишем правило преобразования координат вектора: m ũk = bk· или Ũ ∗ = BU ∗ . ·m u Аналогичные преобразования для представления вектора во взаимном базисе приводят к соотношениям: ũk = a·m k· um или Ũ∗ = AU∗ . Обратимся теперь к тензору второго ранга U который можно представить в одном из следующих видов: ∗· ∗ ·∗ R = R∗T U∗· R∗ . U = RT∗ U ∗∗ R∗ = R∗T U∗∗ R∗ = RT∗ U·∗ Опираясь на правила преобразования базисных векторов, образующих диады, и на требование инвариантности тензоров, получим правило преобразования матриц их компонентов, например, для последнего из приведенных представлений 126 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах тензора U. Запишем это представление в новом базисе ·∗ R̃∗ U = R̃∗T Ũ∗· и преобразуем в нем матрицы новых базисных векторов к старым (раздел 3.4) ·∗ ·∗ U = R∗T B T Ũ∗· AR∗ = R∗T U∗· R∗ . Сравнение множителей, стоящих между двумя матрицами базисных векторов R∗T и R∗ , позволяет записать искомое правило преобразования ·∗ ·∗ U∗· = B T Ũ∗· A. Обратное преобразование получим, умножая последнее выражение слева на B −T = AT и справа на A−1 = B: ·∗ ·∗ = AT U∗· B. Ũ∗· Правила преобразования матриц компонентов других представлений тензора U, а также тензоров, ранг которых отличен от двух, очевидны. В заключение раздела отметим, что физические компоненты тензоров получаются путем деления их компонентов с кои контравариантными индексами, соответственно, на модули базисных векторов rk и r k . Так, для тензора второго ранга: u(km) = ukm ukr u·m ·(m) k· , u(kr) = k m , u(k)· = . |rk ||rm | |r ||r | |rk ||r m | § 3.6. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР Свяжем с пространством 3 криволинейную, в общем неортогональную систему координат X = (x1 x2 x3 )T = (xk ). Пусть базисные векторы основного rk и взаимного r k (k = = 1, 3) базисов известны. Дифференциал вектора r рассматриваемого пространства можно представить в виде разложения, например, по базисным векторам rk : dr = rk dxk . § 3.6. Метрический тензор 127 Найдем квадрат длины этого элемента: ds2 = dr·dr = rk ·rn dxk dxn = gkn dxk dxn . (3.9) Приращения dxk криволинейных координат можно, в силу их малости, считать прямолинейными. Выражение (3.9) может рассматриваться как квадратичная форма переменных dxk . Ее коэффициенты gkn = rk ·rn (3.10) представляют собой ковариантные компоненты симметричного тензора второго ранга. Отметим, что компоненты gkn являются следом диады базисных векторов tr(rk rn ) = rk ·rn = gkn (3.11) и этим они напоминают компоненты δkn единичного тензора в ортонормированном базисе. На этом сходство тензора с компонентами gkn и единичного тензора не заканчивается. Обратимся к диадам векторов сопряженного и смешанного базисов и найдем их следы: tr(r k r n ) = r k ·r n = g kn ; tr(r k rn ) = r k ·rn = gnk = δnk . (3.12) Точки над (под) индексами у gnk (как и у символов Кронекера) не поставлены в силу симметрии образуемых ими тензоров. Используя правила преобразования базисных векторов rk (r k ) (3.7), легко убедиться в том, что тензор G = g kn rk rn = gkn r k r n = gnk rk r n = δnk rk r n = rk r k (3.13) является инвариантной по отношению к преобразованию координат величиной. Действительно, с учетом полученных ранее правил преобразования ко- и контравариантных величин, например, для тензора G = gkn r k r n получим: r· k· n· p s G = (rk ·rn )r k r n = bm· ·k b·n (r̃m ·r̃r )a·p a·s r̃ r̃ = k· r· n· p s m r p s p s = (bm· ·k a·p )(b·n a·s )g̃ mr r̃ r̃ = δp δs g̃ mr r̃ r̃ = g̃ ps r̃ r̃ = G. 128 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Компоненты этого тензора при переходе от нового базиса к старому преобразуются, очевидно, по правилу r· gkn = bm· ·k b·n g̃mr , а диада по правилу n· p s r k r n = ak· ·p a·s r̃ r̃ . Аналогично записываются правила обратного преобразования: r· n· p s g̃kn = am· r̃ k r̃ n = bk· ·k a·n gmr ; ·p b·s r r . Тензор G называется метрическим (греч. «metron» — размер). Название связано с тем, что компоненты этого тензора, как следует из формулы (3.10) и свойств скалярного произведения, определяют модули базисных векторов и углы между ними. Найдем следы тензора G, представленного формулами (3.14): tr G = gkn tr(r k r n ) = g kn tr(rk rn ) = gnk tr(rk r n ) или с учетом (3.11) и (3.12) tr G = gkn g kn = g kn gkn = gnk gkn = δnk δkn = δkk = gkk = 3. Последнее равенство говорит о том, что, во-первых, след тензора G совпадает со следом единичного тензора; вовторых, с помощью компонентов gkn (g kn ) тензора можно опускать (поднимать) индексы — «жонглировать» индексами — как у компонентов тензора, так и у базисных векторов. То есть rk = gkn r n ; r k = g kn rn ; rk = gkn rn . Операция жонглирования индексами справедлива для тензоров любого ранга. Например, (4) T = tkrnm r k r r r n r m = tkrnm r k g pr rp r n r m = k n m = t·p = · · · = tspqt rs rp rq rt . k· nm r rp r r § 3.7. Площади и объемы, порождаемые векторами 129 За тензором G сохраняется роль единичного тензора при умножении этого тензора скалярно справа или слева на любой тензор. Докажем справедливость утверждения на примере вектора (тензора первого ранга): a·G = ak rk ·gmn r m r n = ak gmn gkm r n = ak gkn r n = ak r k = a. Обозначим временно (только для доказательства следующего положения) через G∗ = g kn rk rn и через G∗ = glm r l r m и найдем скалярное произведение этих тензоров G∗ ·G∗ = g kn rk rn ·glm r l r m = g kn glm rk gnl r m = k rk r m = rk r k = I. = gm Так что G∗ = G−1 ∗ . Этого результата следовало ожидать, так как свойство единичного тензора быть равным своему обратному инвариантно, то есть, остается справедливым для любой системы координат. По логике принятых в этой главе обозначений величина G∗ — это определитель матрицы ковариантных компонентов метрического тензора; G∗ — контравариантных. Если обозначить через Akm (Akm ) алгебраические дополнения элементов gkm (g km ) соответственно (!), то элементы обратных матриц определятся из соотношений (обратите внимание на расстановку индексов): g mk = Akm ∂G∗ = ; G∗ G∗ ∂gkm gmk = Akm ∂G∗ = . G∗ G∗ ∂g km (3.14) § 3.7. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ БАЗИСНЫМИ ВЕКТОРАМИ Предварительно получим формулу для скалярного произведения двух векторов, представляющих собой векторные произведения векторов: P = (a×b)·(c×d). 130 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Имея в виду свойство смешанного произведения векторов a·(b×c) = (a×b)·c и выражение для вычисления двойного векторного произведения векторов, отсюда получим: P = [(a×b)×c]·d = [(a·c)b − (b·c)a]·d = = (a·c)(b·d) − (b·c)(a·d) или a·c (a×b)·(c×d) = b·c a·d b·d . (3.15) В частности, скалярное произведение двух одинаковых векторных произведений (a×b)·(a×b) = (a·a)(b·b) − (a·b)2 . Используя это выражение, найдем, например, площадь Π1 параллелограмма, построенного на базисных векторах r2 и r3 : Π1 = (r2 ×r3 ) · (r2 ×r3 ) = = " " √ 2 2 = (r2 ·r2 ) (r3 ·r3 ) − (r2 ·r3 ) = g22 g33 − g32 A11 . Ссылаясь на формулы (3.14), выразим A11 через определитель метрического тензора. Тогда Π1 = g∗ g 11 . С другой стороны, Π1 = |r2 × r3 | = V∗ r 1 = V∗ g 11 . Сравнение двух последних выражений позволяет записать соотношения: V∗ = √ √ g∗ = 1/V ∗ , или V ∗ = g ∗ = 1/V∗ и g∗ = 1/g ∗ . § 3.8. Главные значения и инварианты 131 § 3.8. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА Для демонстрации особенностей оперирования с тензорными величинами в неортогональных базисах приведем последовательность отыскания главных значений и главных инвариантов симметричного тензора Q. Пусть главные направления этого тензора определяются единичным вектором e, а главные значения — скаляром q. Тогда Q·e = qe. Представим входящие в это выражение тензорные величины в неоортогональном базисе ·n m ·n n m qm· r rn ·ek r k = qm· ek gnk r m = qen gm r . Это векторное равенство приводит к системе уравнений ·n n − qgm )en = 0, (qm· в которой неизвестные компоненты вектора главных направлений en связаны условием нормирования e·e = g km ek em = 1. Запишем характеристическое уравнение ·n n − qgm | = 0. |qm· Это уравнение отличается от характеристического уравнения для ортонормированного базиса (1.61) лишь тем, что в нем компоненты тензора представлены (для удобства) в смешанном ко- и контравариантном базисах. Раскрытие определителя в характеристическом уравнении приводит к кубическому уравнению относительно q: −q 3 + J1 (Q)q 2 − J2 (Q)q + J3 (Q) = 0. Запишем выражения для главных инвариантов тензора Q, представленного в смешанном базисе: ·k J1 (Q) = qk· = g kn qkn = gkn q kn ; ·k | = |g kn qkn | = |gkn ||q kn | = g ∗ |qkn | = g∗ |q kn |. J3 (Q) = |qk· 132 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Выражение для второго инварианта тензора получим, сославшись на (1.63): J2 (Q) = 1 2 J1 (Q) − J1 (Q2 ) . 2 (3.16) Так как ·k ·r m Q2 = qmn qkr g nk r m r r = qm· qk· r rr , то ·k ·m J1 (Q2 ) = g nk g mr qmn qkr = qm· qk· и ·m ·k J12 (Q) = g mn g kr qmn qkr = qm· qk· . Подставим последние два выражения в (3.16) J2 (Q) = 1 mn kr g g − g nk g mr qmn qkr = 2 1 ·m ·k ·k ·m q q − qm· = qk· . 2 m· k· Последовательность определения главных направлений тензоров, представленных в неортогональных базисах не отличается от соответствующей последовательности в случае ортонормированного базиса. § 3.9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ Пусть радиус-вектор r задан в пространстве 3 в виде разложения по векторам двух базисов. Первый базисе Υ = (i1 i2 i3 )T ортонормированный и связан с декартовой ортогональной системой координат X = (x1 x2 x3 )T . В этом базисе r = X T Υ = xk ik , (k = 1, 3). Второй базис R = (r1 r2 r3 )T представляет собой совокупность взаимно ортогональных но, в общем, не единичных векторов. Этот базис связан с криволинейной ортогональной системой координат Z = (ς1 ς2 ς3 )T . Так что r = Z T R = = ς m rm , (m = 1, 3). § 3.9. Дифференцирование базисных векторов 133 Векторы основного и взаимного базисов во втором разложении вектора r будут в силу ортогональности векторов одинаковыми. rk = r k = ∂r , ∂ς k (k = 1, 3). Векторы двух введенных базисов связаны соотношением rk = ∂r ∂r ∂xm ∂xm = = im . ∂ς k ∂xm ∂ς k ∂ς k (3.17) Обе введенные системы координат правые ортогональные и, естественно, вырожденными быть не могут. Якобиан их преобразования k ∂x J = m > 0. ∂ς Найдем производные от ковариантных базисных векторов по координатам (вторые частные производные от радиус-вектора r): ∂rk ∂2r = = rks = rsk (3.18) ∂xs ∂xk ∂xs и производные от компонентов метрического тензора (3.10) ∂ ∂gkr = rk · rr = rks · rr + rk · rrs . s ∂x ∂xs (3.19) Круговая перестановка индексов в последнем соотношении приводит еще к двум выражениям: ∂gsk ∂ = (rs · rk ) = rrk · rs + rs · rkr , r ∂x ∂xr ∂ ∂grs = (rr · rs ) = rsr · rk + rr · rsk . ∂xk ∂xk Вычтем сумму двух последних соотношений из (3.19). После преобразований с учетом свойства коммутативности скалярного произведения векторов, получим: 1 ∂gsk ∂grs ∂gkr = [rk, s] = [kr, s]. (3.20) rrk · rs = + − 2 ∂xr ∂xk ∂xs 134 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Соотношения (3.20) называются символами Кристоффеля первого рода или квадратными скобками Кристоффеля (Christoﬀel Elvin (1829–1900) — немецкий математик). Производная rsk от базисных векторов по координате (3.18) является вектором и (как любой вектор) может быть представлена в виде разложения по базисным векторам: rsk = rks = Γm sk rm . (3.21) m Здесь Γm sk = {sk } — символы Кристоффели второго рода или фигурные скобки Кристоффеля. Сравнение формул для двух видов символов Кристоффеля позволяет установить зависимость [sk, r] = grm {m sk } mr {m [sk, r]. sk } = g и (3.22) Для получения производных от ковариантных базисных векторов по координатам воспользуемся соотношением ∂ ∂r n n (r · r ) = · rk + r n · { m k sk } rm = 0. ∂ς s ∂ς s Отсюда получим ∂r n · rk = − {nsk } . ∂ς s (3.23) § 3.10. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАМЕ Для ортогональной (в общем, криволинейной) системы координат справедливы равенства: 0, если k = s, rk · rs = gks = δks Hk2 = (3.24) Hk2 , если k = s. Здесь, в силу (3.17): # ∂x1 Hk = |rk | = ∂ς k 2 + ∂x2 ∂ς k 2 + ∂x3 ∂ς k 2 (3.25) коэффициенты Ламе (Lamé Gabriel (1795–1870) — французский математик, член-корр. Петербургской АН). 135 § 3.10. Коэффициенты Ламе Поделив базисные векторы rk на их модули Hk , приходим к ортонормированному базису E = (e1 e2 e3 )T векторов: ek = rk , Hk ek · er = δkr . (3.26) В первом выражении суммирование по k не производится (индекс k повторяется в правой и левой частях равенства). Два введенных базиса ортонормированных векторов Υ и E имеют принципиальное отличие. Базис Υ фиксирован и един для всех точек рассматриваемого пространства 3 . Что касается базиса E, то он, оставаясь ортонормированным, изменяется в процессе продвижения вдоль криволинейных координат ςk . Не изменяемый в пространстве 3 вектор a (или тензор A), представленный в базисе E: a = ak ek (A = ark er ek ), будет иметь различные координаты ak (ark ) и различные базисные векторы ek в разных точках пространства 3 . Векторы базисов E и Υ связаны с (3.26) зависимостями: ek = 1 ∂xr ir , Hk ∂ς k ir = 1 ∂xr ek , Hk ∂ς k =⇒ =⇒ ∂ς k 1 ∂xr = 2 k . (3.27) r ∂x Hk ∂ς Математические действия над тензорными величинами в случае использования криволинейных ортогональных координат следует производить с учетом замены метрического тензора на коэффициенты Ламе. Эти коэффициенты можно вычислить, используя связь между элементом дуги криволинейной координаты и дифференциалом соответствующей координаты: d sk = Hk d ςk . (3.28) Оператор набла вводится с помощью градиента скалярного поля u(r): du = ∂u k d ς = d r · ∇u = rk d ς k · ∇u = Hk ek · ∇u d ς k . ∂ς k 136 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Отсюда находим: ek · ∇u = 1 ∂u , Hk ∂ς k ∇u = ek ∂u Hk ∂ς k =⇒ =⇒ ∇= ek ∂ . (3.29) Hk ∂ς k Выражение для определения элемента объема выражается через коэффициенты Ламе: √ cd O = Gd ς 1 d ς 2 d ς 3 , (3.30) √ G = H1 H2 H3 = (r1 ×r2 ) · r3 = J. где § 3.11. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Пусть с пространством n связана в общем неортогональная криволинейная система координат Z = (ς 1 . . . ς n )T , ковариантный R∗ = (r1 . . . rn )T и контравариантный R∗ = = (r 1 . . . rn )T базисы. Найдем производную от произвольного вектора u = uk rk , по координате ςs (s = 1, n): k $ % ∂u ∂ k ∂uk ∂u k m rk . = s u rk = rk + u {sk } rm = + ur ksr ∂ς s ∂ς ∂ς s ∂ς s Аналогичная зависимость получается при дифференцировании u = uk r k : ∂u ∂uk = − ur {rsk } r k . s ∂ς ∂ς s Выражения, стоящие в круглых скобках последних двух соотношений ∇s uk = $ % ∂uk + ur ksr ; s ∂ς ∇s uk = ∂uk − ur {rsk } , ∂ς s (3.31) называются ковариантными (абсолютными) производными от контравариантных и ковариантных компонентов вектора u. § 3.11. Ковариантное дифференцирование 137 При этом ∂u = ∇s uk rk = ∇s uk r k . ∂ς s (3.32) Ковариантные производные можно образовать и для тензоров произвольных рангов, представляемых в ко-, контра- и смешанных базисах. Например, для тензора второго ранга T = tsk rs rk = k s k = ts. .k rs r = tsk r r имеем ∂T ∂ = r tsk rs rk = ∂ς r ∂ς ∂tsk sk m = rs rk + tsk {m sr } rm rk + t {kr } rs rm = r ∂ς sk $ % ∂t = + {smr } tmk + kmr tsm rs rk . r ∂ς Или ∂T = ∇r tsk rs rk , ∂ς r ∇r t sk $ % ∂tsk = + {srm } tmk + krm tsm . ∂ς r (3.33) Аналогичные результаты можно получить для ковариантных производных других представлений тензора T: ∇r tsk ∇r t.k s. ∂T = ∇r tsk r s r k , ∂ς r ∂tsk m = − {m rs } tmk − {rk } tsm . ∂ς r (3.34) ∂T s = ∇r t.k s. r rk , ∂ς r $k % m. ∂t.k .k = s.r − {m rs } tm. + rm t.s . ∂ς (3.35) Так как метрический тензор — инвариантная по отношению к преобразованию базиса величина, соответствующая 138 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах единичному тензору (§ 3.6), то его ковариантная производная должна равняться нулевому тензору: ∂G .k s = ∇m g sk rs rk = ∇m gs. r rk = ∇m g sk rs rk = Θ. ∂ς m Отсюда следует справедливость теоремы Риччи (RicciCubastro Gregorio (1853–1925) — итальянский математик): ковариантные производные компонентов метрического тензора (и, как частный случай, единичного тензора) равны нулю. То есть s. ∇m g sk = ∇m g.k = ∇m gsk = 0, (m, s, k = 1, n). (3.36) Так как при ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора играют роль постоянных величин, то их можно вносить и выносить за знаки ∇s ковариантного дифференцирования, но не за знаки частной производной ∂ (!). ∂ς s По аналогии с теоремой Риччи можно прийти к заключению о том, что ковариантные производные от компонентов тензора Леви-Чивиты также равны нулю: ∇r smk (3.37) = 0. Распишем соотношение (3.37) (rs · (rm ×rk ) = rs rm rk ): ∂ ∂rm ∂rk ∂rs rs rm rk = r rm rk + rs r rk + rs rm r = ∂ς r ∂ς ∂ς ∂ς = {srn } nmk + {m rn } snk + $k % rn smn = 0. Так как smk — тройка различных индексов, то только в одной из троек nmk, snk, smn индексы не будут повторяться: в первой — при n = s, во второй — при n = m, в третьей — при n = k. Пусть такой тройкой будет первая. Тогда второе и третье слагаемые в последнем соотношении обратятся 139 § 3.12. Тензор Римана–Кристоффеля в нули и ∂ ∂ς r smk = {srn } nmk Тогда = ∇ smk = √ ∂ g enmk = ∂ς r √ 1 ∂ g = √ g ∂ς r √ ∂ ln g − {ssr } ∂ς r nmk smk = √ ∂ ln g ∂ς r nmk . = 0. Ковариантная производная компонентов тензора ЛевиЧивиты будет равна нулю, если в скобках последнего выражения будет стоять разность равных величин. Чтобы подтвердить это условие обратимся к зависимостям (3.20) и (3.22): ∂gsm 1 ∂grm ∂gsr {ssr } = g sm [sr, m] = g sm + − m . r 2 ∂ς ∂ς s ∂ς Слагаемые в скобках ∂grm g sm ∂ς s и g sm ∂grm ∂ς s равны (тензор G симметричен) и, имея противоположные знаки, сокращаются. Поэтому √ ∂ ln g ∂gsm 1 1 ∂g ∂gsm 1 ∂g {ssr } = g sm = = = . 2 ∂ς r 2g ∂gsm ∂ς r 2g ∂ς r ∂ς r Этим подтверждается справедливость равенства (3.37). § 3.12. ТЕНЗОР РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ Свяжем с пространством n в общем неортогональную криволинейную систему координат Z = (ς 1 . . . ς n )T и ковариантный базис R∗ = (r1 . . . rn )T . Представим дифференциал базисных векторов rs в виде линейной комбинации базисных векторов (s, k = 1, n): $ % m d rs = rsk dς k = tsk rt dς k , {m sk } = {ks } . 140 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Условие интегрируемости записанного выражения (независимости d rs от пути интегрирования) представляется в виде равенства [11]: ∂ $t % ∂ $t % rt = Θ. sr rt − k ∂ς ∂ς r sk (3.38) Соблюдение этих условий гарантирует интегрируемость выражения dr = rs dς s , так как условия интегрируемости ∂rs ∂rk = k ∂ς ∂ς s вытекают из свойств симметрии символов Кристоффеля, обусловленных симметрией компонентов метрического тензора — коэффициентов квадратичной формы. Развернем запись (3.38): rt $t % $t % ∂ $t % ∂ $t % m m sk − sr + {sk } rm − {sr } km k k ∂ς ∂ς = ...t = Rkrs. rt = Θ. (3.39) Множители, стоящие при базисных векторах rt , представляют собой компоненты тензора Римана–Кристоффеля четвертого ранга (Riemann Georg-Fridrich-Bernhard (1826–1886) — немецкий математик): (4) ...t s r q R = Rsrq. r r r rt = Rsrqt r s r r r q r t . Представим четырежды ковариантные компоненты тензора Римана–Кристоффеля через символы Кристоффеля первого рода: ∂ ml ∂ Rsrqt = gmt g [sq, l] − r g ml [sq, l] + ∂ς r ∂ς +g lp ([sq, p][rl, t] − [rq, p][sl, t]). 141 § 3.12. Тензор Римана–Кристоффеля Первое слагаемое правой части преобразуем с учетом следующих соотношений: gmt ml ∂g ml ml ∂g = −g ; ∂ς r ∂ς r ∂g mt = [mr, t] + [rt, m], ∂ς r ∂g mt = [ms, t] + [st, m]. ∂ς s В результате получим Rsrqt = 1 2 ∂ 2 gst ∂ 2 gsq ∂ 2 grq ∂ 2 grt − r t+ s t− s q r q ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς + + g ml ([rq, m][st, l] − [sq, m][rt, l]). (3.40) Анализ последнего соотношения позволяет установить следующие свойства компонентов тензора Римана–Кристоффеля: 1) симметричность относительно пар индексов sr и qt: Rsrqt = Rqtsr ; 2) кососимметричность по индексам s и r, q и t: Rsrqt = −Rrsqt = −Rsrtq ; 3) тождество Риччи: Rsrqt + Rrqst + Rqsrt = 0; 4) из 81 компонента тензора различными являются только шесть: R2323 , R2331 , R2312 , R3131 , R3112 , R1212 . Последние соотношения позволяют объединить их одним равенством с тензором Риччи A = Amn rm rn . Координаты тензоров Риччи, Леви-Чивиты и Римана–Кристоффеля связаны зависимостью 1 Amn = εmsr εnqt Rsrqt (3.41) 4 142 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах или 11 A 1 = R2323 , g 12 A 1 = R2331 , g A22 = 1 R3131 , g 13 A 1 = R2312 , g 1 R3112 , ⎪ g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎭ = R1212 . ⎪ g A23 = A33 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ В евклидовом пространстве (пространстве со скалярным произведением) A = Θ, Amn = 0. § 3.13. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ БАЗИСА При дифференцировании по криволинейным координатам необходимо учитывать изменяемость векторов базиса E = = (e1 e2 e3 )T , которая определяется производными от ek (k = = 1, 3) по координатам Z = (ς 1 ς 2 ς 3 )T . Имея в виду зависимость (3.24) между компонентами метрического тензора и коэффициентами Ламе: gkr = Hk2 δkr = Hr2 δkr = Hk Hr δkr , представим (3.20) в виде: ∂Hs ∂Hs ∂Hr δrs + Hk r δsk − Hk s δrk . k ∂ς ∂ς ∂ς С другой стороны, rrk · rs = Hr ∂er ∂ ∂Hr (Hr er ) · Hs es = m Hs δrs + Hr Hs m · es . ∂ς m ∂ς ∂ς Приравнивая правые части двух последних равенств, после преобразования получим: ∂er ∂Hs Hm ∂Hr · e = δsm − δrm = s ∂ς m Hr Hs ∂ς m ∂ς s 1 ∂Hs 1 ∂Hr = δsm − δrm . (3.42) Hr ∂ς r Hs ∂ς s rrk · rs = 143 § 3.13. Дифференцирование векторов базиса Правая часть равенства (3.42) при r = s равна нулю и меняет знак при перестановке этих индексов. Утверждение следует, в частности, из равенств ∂ ∂er ∂es er · es = m · es + er · m = 0. ∂ς m ∂ς ∂ς (3.43) Таким образом, матрица скалярных произведений es · кососимметрична. Для ее задания достаточно трех чисел m ν n= 1 ∂er enrs es · m = 2 ∂ς 1 ∂Hm 1 ∂Hm 1 ekrm + eksm = = 2 Hk ∂ς r Hs ∂ς s 1 ∂Hm = eknm Hn ∂ς n ∂er ∂ς m (3.44) (по n суммировать! Метка m сверху числа ν указывает на то, что изменение этого числа происходит при движении вдоль координаты ς m ). Кососимметричный вектор ν = νm em представим в виде m ν= 1 ∂Hm 1 ∂Hm ernm er = en ×em = ∇Hm ×em . (3.45) n Hn ∂ς Hn ∂ς n Свертка диады ∂er m · es = enrs ν n, m ∂ς (3.46) так что m m m ∂er = enrs ν nes = en ×er ν n = ν ×er . ∂ς m (3.47) Формулы (3.47) дифференцирования векторов ортонормированного базиса называются деривационными. Они могут быть представлены в виде зависимостей от коэффициентов Ламе: ∂er em ∂Hm = er ×(em ×∇Hm ) = − δrm ∇Hm . m ∂ς Hr ∂ς r (3.48) 144 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Деривационные формулы имеют кинематическую (зависящую от времени t) интерпретацию, известную под названием метода подвижного триэдра. Пусть вершина M базисного триедра движется вдоль координаты ς m с единичной скоростью. Тогда расстояние пройденное триэдром за единицу времени будет равно времени, затраченного на его прохождение: dm = Hm ς m . В процессе движения направления векторов триедра остаются касательными к координатным линиям. В частности, вектор em всегда касателен к координатной линии ς m , а триедр вращается вокруг касательной к ς m (к вектору em ) с некоm торой угловой скоростью ω. Из кинематики твердого тела известно [6], что скорости концов векторов er относительно вершины триедра d er 1 ∂er m = =ω ×er . dt Hm ∂ς m m По известному вектору ω находится m m ν= Hm ω . (3.49) § 3.14. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ Преобразования этого параграфа используют представлеek ∂ ние (3.30) ∇ = и деривационные формулы (3.47)– Hk ∂ς k (3.48). Градиент ∇u = вектора 1 ∂us as m em ∂ s a e = e e + e ν ×es = s m s m Hm ∂ς m Hm ∂ς m Hs 1 ∂us as m ν r ersk em ek = + = em e s m Hm ∂ς Hm s m 1 ∂u = em e s + ak ν r erks . m Hm ∂ς § 3.14. Дифференцирование по ортогональным координатам 145 Для дальнейшего преобразования умножим (3.44) на erks с условием суммирования по r: m ν r erks = 1 ∂Hm ernm erks = Hn ∂ς n 1 ∂Hm (δnk δms − δns δmk ) = = Hn ∂ς n 1 ∂Hm 1 ∂Hm = δms − δmk . k s ksm Hk ∂ς Hs ∂ς Выражение для градиента вектора u приводится к виду 1 ∇u = em es Hm uk ∂Hm ∂us am ∂Hm − + δms k s ∂ς Hs ∂ς Hk ∂ς k . (3.50) Дивергенция вектора Предварительно со ссылкой на (3.30) запишем соотношение √ √ ∂ ln g 1 ∂ g ∂ ln H1 ∂ ln H2 ∂ ln H3 = √ = + + . (3.51) ∂ς s g ∂ς s ∂ς s ∂ς s ∂ς s Далее находим √ g s 1 u = ∇·u= √ g Hs ∂ 1 ∂ ∂ = √ H2 H3 u1 + 2 H3 H1 u2 + 3 H1 H2 u3 . (3.52) g ∂ς 1 ∂ς ∂ς Ротор вектора В выражении для градиента вектора (3.50) диадное произведение em es базисных векторов следует заменить на векторное произведение em ×es = 1 1 em ×es − es ×em . 2 2 146 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах В результате получим 1 ∇×u = 2 1 ∂us um ∂Hm − Hm ∂ς m Hm Hs ∂ς s 1 − 2 или 1 rot u = 2Hs Hm em ×es − us ∂Hs 1 ∂um − Hs ∂ς s Hs Hm ∂ς m em ×es ∂ ∂ Hs us − s Hm um em ×es . m ∂ς ∂ς (3.53) Проекции этого вектора на направление базисного вектора ek : Prek rot u = ek · rotu = ekms ∂ ∂ = Hs us − s Hm um em ×es . (3.54) m 2Hs Hm ∂ς ∂ς Тензор деформации был определен формулой (2.7) ε = def u = 1 (∇u + (∇u)T ) . 2 Подставляя сюда (3.50), после преобразования получим: ε= 1 em es = 2 1 ∂us 1 ∂um um ∂Hm + − − m s Hm ∂ς Hs ∂ς Hm Hs ∂ς s − uk ∂Hm um ∂Hs + 2δms m Hm Hs ∂ς Hm Hk ∂ς k . (3.55) В частности, для компонентов ротора из (3.55) получаются зависимости: ε11 = 1 ∂u1 u1 ∂H1 um ∂Hm + + , 1 2 H1 ∂ς H1 H2 ∂ς Hm Hs ∂ς s § 3.14. Дифференцирование по ортогональным координатам 147 ε12 = ε21 1 = 2 1 ∂u1 1 ∂u2 + − H2 ∂ς 2 H1 ∂ς 1 u1 ∂H2 u1 ∂H1 − − H1 H2 ∂ς 2 H1 H2 ∂ς 1 . Дивергенция тензора Ограничимся рассмотрением тензора второго ранга T = = tsm es em . er ∂ sm · t es em = Hr ∂ς r r em 1 ∂tsm tsm er · (ν ×es )em + δrs r = e + m s Hs ∂ς Hr ∂ς div T = ∇ · T = . Обращаясь к формуле (3.45), преобразуем ее: r er · (ν ×es ) = er · (∇Hr ×er )×es = δrs ∂Hr 1 ∂Hr 1 ∂Hs 1 ∂Hr − = − . = Hs ∂ς s Hr ∂ς r Hs ∂ς s Hs ∂ς s Тогда 1 ∂tsm tsm ∂Hr tsm Hs em + + − 2 Hs ∂ς s Hr Hs ∂ς s Hs ∂ςs √ tsm ∂em ∂ tsm tsm ∂ g tsm ∂em + = s + em + . √ Hs ∂ς s ∂ς Hs Hs g∂ς s Hs ∂ς s ∇·T= В итоге приходим к зависимости: √ g 1 ∂ tsm em = div T = ∇ · T = √ g ∂ς s ∂Hs ∂ ∂ 1 H2 H3 t1m em + 2 H3 H1 t2m em + = H1 H2 H3 ∂ς 1 ∂ς ∂ + 3 H1 H2 t3m em . (3.56) ∂ς 148 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах Лапласиан скаляра Из формулы (3.52) можно получить искомое выражение 1 ∂ϕ для лапласиана скаляра ϕ, если положить us = : Hs ∂ς s √ g ∂ϕ 1 ∂ = ∇2 ϕ = ∇ · ∇ϕ = √ s g ∂ς Hs2 ∂ς s ∂ H2 H3 ∂ϕ ∂ H3 H1 ∂ϕ 1 + 2 + = H1 H2 H3 ∂ς 1 H1 ∂ς 1 ∂ς H2 ∂ς 2 ∂ H1 H2 ∂ϕ . (3.57) + 3 ∂ς H3 ∂ς 3 Рассмотрим еще один подход к получению искомого выражения. es ∂ em ∂ = Hs ∂ς s Hm ∂ς m 2 e s em ∂ ln Hm ∂ϕ ∂ ln Hs ∂ϕ ∂ ϕ + = − − s m s m Hs Hm ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς ∂ς m ∂ς s es es ∂ ln Hs ∂ϕ + . Hr2 ∂ς r ∂ς r ∇ · ∇ϕ = Отсюда следует выражение 2 ∂ ϕ 1 ∂lnHs ∂ϕ ∇2 ϕ = 2 −2 2 Hs ∂ςs ∂ς s ∂ς s + 1 Hr2 Hs ∂Hs ∂ϕ , ∂ς r ∂ς r (3.58) преобразуемое в (3.57). § 3.15. ЗАВИСИМОСТИ ЛАМЕ Равенство ∂ 2 es ∂ 2 es = ∂ς r ∂ς m ∂ς m ∂ς r с использованием деривационных формул (3.48) можно преобразовать к виду m r m r r ∂ m ∂ν ∂ν m ν ×es = r ×es + ν ×(ν ×es ) = m + ν ×(ν ×es ) ∂ς r ∂ς ∂ς 149 § 3.15. Зависимости Ламе или m r ∂ν m r ∂ν − m + ν × ν ×es = 0, ∂ς r ∂ς (s = 1, 3). Из этого равенства вытекает соотношение m r ∂ν ∂ν m r − m + ν × ν= 0. ∂ς r ∂ς (3.59) Найдем проекцию (3.59) на единичный вектор es : m r ∂ν ∂ν m r − m+ ν × ν r ∂ς ∂ς es · m r r m = m r ∂es · ν ∂es · ν − − ∂ς r ∂ς m m r − ν ·(ν ×es )+ ν ·( ν ×es ) + ( ν · × (ν)×es = m r ∂ ν ·es m r ∂ ν ·es − − ( ν ·× ν) · es = 0. (3.60) r m ∂ς ∂ς Перейдем к зависимостям от коэффициентов Ламе: = m ν ·es = ∇Hm · (em ×es ) = 1 ∂Hm emsk , Hk ∂ς k ∂Hm 1 Hs ∂ς s emrk − (∇Hr ×∇Hm ) · em δrs . Hk ∂ς k Hr Подстановка этих соотношений в (3.60) приводит к равенству m r ( ν ·× ν) · es ∂ 1 ∂Hm ∂ 1 ∂Hr − ersk m + ∂ς r Hk ∂ς k ∂ς Hr ∂ς k m r ∂ 1 ∂Hm ∂Hm 1 − ( ν ·× ν) · es Hs ∂ς s emrk + + ermk m k ∂ς Hr ∂ς Hk ∂ς k Hr + (∇Hr ×∇Hm ) · em δrs = 0. (3.61) emsk Равенство удовлетворяется при m = r. Рассмотрим другие случаи. 1). При s = m = r: ∂ 1 ∂Hm ∂ 1 ∂Hr 1 ∂Hr ∂Hm + m + 2 = 0. ∂ς r Hr ∂ς r ∂ς Hm ∂ς m Hs ∂ς s ∂ς s (3.62) 150 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах В развернутом виде (3.62) представляет собой три соотношения ⎧ ∂ 1 ∂H2 ∂ 1 ∂H3 1 ∂H1 ∂H2 ⎪ ⎪ + 2 + 2 = 0, ⎪ 1 H ∂ς 1 2 3 ∂ς 3 ⎪ ∂ς ∂ς H ∂ς H ⎪ 1 2 3 ∂ς ⎪ ⎪ ⎨ ∂ 1 ∂H ∂ 1 ∂H2 1 ∂H2 ∂H3 3 + 3 + 2 = 0, (3.63) 2 H ∂ς 2 3 1 ∂ς 1 ⎪ ∂ς ∂ς H ∂ς H 2 3 1 ∂ς ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ 1 ∂H3 1 ∂H3 ∂H1 ⎪ ∂ 1 ∂H1 ⎪ + 1 + 2 = 0. ⎩ 3 3 1 ∂ς H3 ∂ς ∂ς H1 ∂ς H2 ∂ς 2 ∂ς 2 2). При s = m = r = k: ∂ 2 Hr 1 ∂Hk ∂Hr 1 ∂Hr ∂Hm = + . ∂ς m ∂ς k Hk ∂ς m ∂ς k Hm ∂ς m ∂ς k (3.64) В развернутом виде (3.64) представляет собой три соотношения ⎧ ∂ 2 H1 1 ∂H3 ∂H1 1 ∂H1 ∂H2 ⎪ ⎪ = + , ⎪ 2 ∂ς 3 2 ∂ς 3 2 ∂ς 3 ⎪ ∂ς H ∂ς H ⎪ 3 2 ∂ς ⎪ ⎪ ⎨ 1 ∂H1 ∂H2 1 ∂H2 ∂H3 ∂ 2 H2 (3.65) = + , 2 ∂ς 1 3 ∂ς 1 3 ∂ς 1 ⎪ ∂ς H ∂ς H 1 3 ∂ς ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ 2 H3 1 ∂H2 ∂H3 1 ∂H3 ∂H1 ⎪ ⎩ = + . ∂ς 2 ∂ς 2 H2 ∂ς 1 ∂ς 2 H1 ∂ς 1 ∂ς 2 Шесть соотношений (3.63) и (3.65) называются зависимостями Ламе. Три заданные функции Hk (ς 1 , ς 2 , ς 3 ) (k = 1, 3) являются коэффициентами Ламе для преобразования, определяемого системой дифференциальных уравнений (3.25): # Hk = |rk | = ∂x1 ∂ς k 2 + ∂x2 ∂ς k 2 + ∂x3 ∂ς k 2 . Зависимости Ламе представляют условия интегрируемости этой системы. Вопросы для самоконтроля 151 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Для чего на преобразование координат накладывается условие гомеоморфности? 2. Что такое якобиан преобразования координат? О чем говорит равенство якобина нулю? Чему равен якобиан преобразования одной ортогональной декартовой системы координат в другую? 3. Какова необходимость введения различных систем координат? 4. Что такое матрицы прямого и обратного преобразования координат? Какова связь между этими матрицами? 5. Могут ли якобианы преобразований цилиндрической и сферической систем координат в декартову быть равными единице? Если да, то в каких случаях? 6. Какие поверхности и какие линии можно принять за координатные в цилиндрической и сферической системах координат? Укажите границы их изменения. 7. Какие векторы можно принять за базисные в криволинейных координатах? Как понимать тот факт, что эти векторы можно считать единичными? 8. Может ли размерность базисных векторов отличаться от размерности рассматриваемого пространства? От размерности координат? 9. Что такое векторы взаимного базиса? Как они связаны с векторами основного базиса? 10. Какой базис является взаимным по отношению к взаимному? 11. Как изменяются базисные векторы при преобразовании координат? 12. Что такое ко- и контравариантные величины? Чем они отличаются при написании? Каково правило преобразования этих величин при преобразовании координат? 13. Как разложить вектор по ко- и контравариантному базису? 14. Каков смысл физических компонентов векторов? 15. Как можно представить тензор в ко-, контравариантных и смешанных полиадах базисных векторов? 152 Глава 3. Тензоры в произвольных координатах 16. Из какого условия можно получить правило преобразования компонентов тензора при преобразовании координат? 17. Как обеспечить инвариантность тензора, заданного своими компонентами, по отношению к преобразованию координат? 18. В чем заключается эквивалентность метрического тензора единичному тензору? 19. Чем определяется название метрического тензора? 20. В чем смысл понятия «жонглирование» индексами? Как его можно осуществить, не нарушая инвариантности тензоров? 21. С каким инвариантом метрического тензра связан объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах? 22. Как представляются изотропные тензоры в ко-, контравариантных и смешанных базисах? 23. В чем состоит особенность процедуры отыскания собственных значений симметричных тензоров в косоугольных базисах? 24. Перечислите основные свойства тензора Римана–Кристоффеля. Сколько линейно независимых компонентов имеет этот тензор в общем случае? 25. Что представляют собой коэффициенты Ламе? § 3.16. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНУЮ РАБОТУ Записать деривационные формулы, выражение для наблаоператора и оператора Лапласа для ортогональных криволинейных координат: 1. цилиндрической; 2. сферической. Пояснения. В качестве базисных векторов выбрать: 1. e1 = er — направление радиуса окружности (коэффициент Ламе H1 = Hr = 1); e2 = eϕ — направление касательной к окружности (H2 = Hϕ = r); e3 = k — направление оси цилиндра (H3 = Hz = 1). § 3.16. Задание на расчетную работу 153 2. e1 = eR — направление радиуса сферы (H1 = HR = = 1); e2 = eθ — направление касательной к меридиану (H2 = = Hθ = R); e3 = eτ = eθ ×eθ — направление перпендикуляра к плоскости меридиана (H3 = Hτ = R sin θ). Ответы можно найти, например, в приложении к книге [6]. ЛИТЕРАТУРА 1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М. : Наука, 1980. 976 с. 2. Горлач Б. А. Математика (Учебный комплекс). — М. : «ЮНИТИ», 2006. 912 с. 3. Горлач Б. А. Линейная алгебра. — Изд. «Лань», СПб, 2012. 478 с. 4. Дмитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М. : Высшая школа, 2001. 576 с. 5. Корнеев Г. В. Тензорное исчисление. — М. : Изд. МФТИ, 1996. 240 с. 6. Лурье А. И.. Теория упругости. — М. : Наука, 1970, 940 с. 7. Лурье А. И.. Нелинейная теория упругости. — М. : Наука, 1980, 512 с. 8. Победря Б. Е.. Лекции по тензорному исчислению. — М. : Изд. МГУ, 1974, 207 с. 9. Сокольников И.. Тензорный анализ. Теория и приложения в геометрии и механике сплошных сред. — М. Наука, 1971, 376 с. 10. Введение в нелинейную механику. Ч. 1. Необходимые сведения из тензорного исчисления / Сост. П. В. Трусов, Ю. И. Няшин. — Пермь, 1992, 104 с. 11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Тома 1–3. — М. : Наука, 1980. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава 1. Алгебра тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.1. Преобразование векторов ортонормированных базисов . § 1.2. Преобразование координат векторов при преобразовании базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.3. Диада векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.4. Диада векторов, заданных в базисе пространства Ln2 . § 1.5. Тензор второго ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.6. Тензоры ранга n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.7. Матрицы тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.8. Свертывание индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.9. Симметрирование и альтернирование тензоров . . . . . § 1.10. Тензор поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.11. Изотропные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.12. Обратный тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.13. Собственные значения тензора . . . . . . . . . . . . . . § 1.14. Собственные векторы тензора . . . . . . . . . . . . . . . § 1.15. Теорема Кейли–Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.16. Соотношения между инвариантами тензоров . . . . . . . § 1.17. Девиатор и шаровой тензор . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.18. Полярное разложение тензора . . . . . . . . . . . . . . . § 1.19. Вектор тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.20. Тензорные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.21. Функции тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1.22. Задание на расчетную работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 13 16 18 21 25 30 33 36 39 40 42 45 51 54 56 58 62 64 66 67 69 Глава 2. Тензорный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2.1. Векторный оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . § 2.2. Дифференциальные операции над векторами . . . . § 2.3. Дифференциальные операции над тензорами . . . . § 2.4. Двукратное дифференцирование . . . . . . . . . . . § 2.5. Дифференцирование скалярной функции по тензору § 2.6. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 72 73 78 80 82 82 . . . . . . . . . . . . . . 156 § 2.7. Локальные экстремумы . . . § 2.8. Глобальные экстремумы . . . § 2.9. Условный экстремум . . . . . § 2.10. Множители Лагранжа . . . . § 2.11. Метод градиентного спуска . § 2.12. Преобразование интегралов . § 2.13. Преобразование Стокса . . . Вопросы для самоконтроля . . . . § 2.14. Задание на расчетную работу Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Тензоры в произвольных координатах . . . . . . . . . . . § 3.1. Преобразования произвольных систем координат . . . . § 3.2. Базисные векторы криволинейных неортогональных координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.3. Основной и взаимный базисы . . . . . . . . . . . . . . . § 3.4. Преобразование векторов базиса при преобразовании координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.5. Ковариантные и контравариантные координаты тензоров § 3.6. Метрический тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.7. Площади и объемы, порождаемые базисными векторами § 3.8. Главные значения и инварианты симметричного тензора § 3.9. Дифференцирование базисных векторов . . . . . . . . . § 3.10. Коэффициенты Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.11. Ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . . . . § 3.12. Тензор Римана–Кристоффеля . . . . . . . . . . . . . . . § 3.13. Дифференцирование векторов базиса . . . . . . . . . . . § 3.14. Дифференцирование по ортогональным координатам . . § 3.15. Зависимости Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3.16. Задание на расчетную работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 92 97 99 101 107 110 111 112 . . . 114 . . . 114 . . . 117 . . . 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 123 126 129 131 132 134 136 139 142 144 148 151 152 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Борис Алексеевич ГОРЛАЧ ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Зав. редакцией физикоматематической литературы Н. Р. Нигмадзянова Верстка А. Г. Сандомирская Выпускающие Т. С. Симонова, Е. П. Королькова ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» lan@lanbook.ru; www.lanbook.com 192029, СанктПетербург, Общественный пер., 5. Тел./факс: (812) 4122935, 4120597, 4129272. Бесплатный звонок по России: 88007004071 Подписано в печать 15.09.14. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84×108 1/32. Печать офсетная. Усл. п. л. 8,40. Тираж 700 экз. Заказ № . Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных материалов в ГУП ЧР «ИПК “Чувашия”». 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, д. 13. Тел.: (8352) 560023

[Gorlach B.A] Tenzornaya algebra i tenzornuei anal(b-ok.org)

Related documents

Products

Support

[Gorlach B.A] Tenzornaya algebra i tenzornuei anal(b-ok.org)

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib