APUNTES DE FISICA III CAPÍTULO II 2. LEY DE GAUSS Y POTENCIAL ELECTRICO 2.1. LEY DE GAUSS Consideremos una carga puntual “q”, encerrada por una superficie de forma arbitraria. ΔA E Δs θ θ ΔA Δs ΔΩ Δs r q āΩ = Δš“ š2 ANGULO SOLIDO (medido en estereorradianes) āāāā FLUJO ELEMENTAL Δššø = šøā ā ΔS escalar) Δššø = šø š„š š¶šš š (Desarrollando el producto š Donde: ΔA = ΔS cos θ y šø = 4šš š - š 0 Δš“ 2 0 š š = 4šš ΔΩ 0 š ššø = 4šš ā® šΩ = 4šš 4š = š El flujo total se obtiene: Entonces: š Reemplazando: Δššø = 4šš 2 0š 0 0 š ššø = ā® šøā ā āāāā šš = š 0 “El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodea una carga puntual š q, está dada por š ” 0 - La Ley de Gauss es útil para evaluar la intensidad de Campo Eléctrico cuando la distribución de carga tiene alta simetría, en ese caso: ā® šøā ā āāāā šš = ∫ šš š0 2.2. LA ELECTROSTÁTICA Y LAS FUERZAS GRAVITATORIAS En mecánica, la energía potencial se relaciona con las fuerzas conservativas tales como la fuerza de gravedad. En ese caso existen las siguientes relaciones: š¹=šŗ EP b š=šŗ Siendo: šš š2 š¹ = š0 š EK a šš š0 š2 La diferencia de Energía Potencial gravitacional, se obtiene, realizando trabajo en contra del sistema: šøš − šøš = −š → āšø = −š ; āšø = šøš − šøš El concepto de energía potencial es también valioso en el estudio de la electricidad ya que la fuerza electrostática es también conservativa: š¹=š¾ Siendo: šø=š¾ š š2 š š0 š2 + b Ub š¹ = š0 šø a - + - Ua Esta idea permite definir una cantidad escalar conocida como Potencial Eléctrico. De la misma manera, la variación de energía potencial eléctrica se obtiene al efectuar un trabajo en contra del sistema. šš − šš = −š 2.3. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA → āš = −š ; āš = āš Una carga que se desplaza en un campo eléctrico, adquiere determinada energía potencial eléctrica, para ello se debe realizar un trabajo externo que es contrario a la fuerza eléctrica (conservativa). Entonces: šš − šš = −ššš b rb q0 q dr + + E ra a āāāā El trabajo se expresa por: š = ∫ š¹ ā šš Para la figura: š āāāā donde š¹š = š0 šøā ššš = − ∫š š š¹š ā šš š š ššš = − ∫š š š0 šø šš ššš š š ššš = − š š0 šš šš ∫ 4šš0 šš š 2 =− Siendo: šø = š š0 1 šš [− ] 4šš0 š šš = š 4šš0 š 2 š š0 1 [ 4šš0 šš obtenemos: 1 šš − ] [J] TRABAJO PARA MOVER LA CARGA DEL PUNTO “a” AL PUNTO “b”. ššš = š š0 1 [ 4šš0 šš 1 šš − ] [J] Luego la Diferencia de Energía Potencial Eléctrica será: šš − šš = š š0 [ 1 4šš0 šš 1 − ] [J] šš Haciendo la separación entre cargas infinita, la energía potencial Ua se define como cero, y asignando “r” a la separación final en el punto “b”: šš = šš0 1 [ ] 4šš0 š [J] 2.4. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO Se define la diferencia de potencial “š” como el trabajo realizado (por un agente externo) al mover una unidad de carga de un punto a otro en un campo eléctrico. šš − šš = šš −šš š0 = š 1 [ 4šš0 šš 1 šš š½ š¶ − ] [ ] š½ š¶ [ ] = [v] Voltio Considerando la separación entre cargas como infinita, el potencial se define como la “energía potencial por unidad de carga de prueba”. š š [v] š(š) = š [v] š(š) = š0 4šš0 š 2.4.1. POTENCIAL DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS q2 š = š1 + š2 + š3 + āÆ + šš q1 r2 š1 = r1 q3 š1 4šš0 š1 ; š2 = š2 4šš0 š2 ; … ; šš = šš 4šš0 šš r3 š= rn 1 š ∑š š 4šš0 š=1 šš [v] qn 2.4.2. POTENCIAL DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGA š= 1 šš ∫ š 4šš0 dV [v] r dq Donde: dq = λ dā ; dq = σ dš ; dq = ρ dš± Dependiendo de la región. REGION 2.5. CALCULO DEL POTENCIAL A PARTIR DEL CAMPO ELÉCTRICO 2.5.1. CAMPO ELÉCTRICO NO – UNIFORME šš − šš = b šš −šš š0 dr šš − šš = −ššš a āāāā = ∫ š0 šøā°šš āāāā ššš = ∫ š¹š °šš qo E ššš = −š0 ∫ šøā ° āāāā šš š āāāā [v] šš − šš = − ∫š šøā °šš 2.5.2. CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME š āāāā [v] šš − šš = − ∫š šøā °šš dr b dy dr L dx qo E qo E a āāāā = šš„ š + šš¦ š šš ; šøā = −šøš āāāā = −šøšš¦ šøā °šš š šš− šš = šø ∫š šš¦ = šøšæ [v] Unidades: š š¶ [ ] [š] = š½ š¶ = [v] voltios 2.6. EQUIPOTENCIALES – MAPAS DE CAMPO Una superficie equipotencial es aquella que tiene un potencial constante Las líneas equipotenciales son ortogonales a las líneas de fuerza del campo El conjunto de líneas de campo y equipotenciales se denomina mapa de campo 2.7. GRADIENTE DE POTENCIAL šøā = šøš„ š + šøš„ š + šøš„ šā šš = š = š(š„,š¦,š§) šš šš šš šš„ + šš¦ + šš§ šš„ šš¦ šš§ ; āāā š = − ∫ šøā °šš → āāā šš = šš„ š + šš¦ š + šš§ šā āāā šš = −šøā°šš āāā = šøš„ šš„ + šøš„ šš¦ + šøš„ šš§ šøā °šš šš šš šš šš„ + šš¦ + šš§ = −(šøš„ šš„ + šøš„ šš¦ + šøš„ šš§) šš„ šš¦ šš§ šøš„ = − šš šš„ šøš¦ = − šš šš¦ šøš§ = − šš šš§ āš šøā = −∇ CAMPO ELÉCTRICO = - GRADIENTE DE POTENCIAL - La magnitud de la Intensidad del campo Eléctrico está dada por el máximo valor de la razón de cambio del potencial con respecto a la distancia. El valor máximo se obtiene cuando la dirección del incremento de distancia es opuesta al Campo, o dicho con otras palabras, la dirección del campo es opuesta a la dirección en la cual el potencial aumenta más rápidamente.
