LA LEY DE GAUSS
La Ley de Gauss, se aplica a cualquier superficie cerrada hipotética, llamada
“superficie gaussiana”. Esta Ley establece una relación entre el flujo eléctrico фE
en la superficie de la figura geométrica que se analiza y la carga eléctrica total q
encerrada por dicha superficie.
La Ley de Gauss se establece como:
є₀фE = q
o bien,
є₀∮ 𝑬 • 𝑑𝑺 = q
Nótese que la carga q es la carga total, incluido su signo algebraico. Si una
superficie encierra cantidades iguales de carga de signos opuestos, el flujo
eléctrico фE es cero.
La carga exterior a la superficie no contribuye al valor de q, así como tampoco
afecta su valor la localización de las cargas en el interior de la superficie.
LA LEY DE GAUSS Y LA LEY DE COULOMB
La Ley de Coulomb puede deducirse de la Ley de Gauss y de ciertas
consideraciones de simetría.
Para demostrar esto, se aplicará la Ley de Gauss a una carga puntual aislada q,
encerrada en una superficie esférica de radio r.
La ventaja de este ejemplo es la simetría, ya que esta condición hace que se
cumpla la hipótesis de que el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie
tiene la misma magnitud.
La ecuación vectorial de la Ley de Gauss es:
Su forma escalar:
є₀∮ 𝑬 • 𝑑𝑺 = q
є₀∮ 𝐸 • 𝑑𝑆 = q
Sabemos que la constante de permitividad y el campo eléctrico son constantes,
por lo que podemos sacarlos de la integral. Entonces se obtiene:
є₀ E∮ 𝑑𝑆 = q
Donde la integral es simplemente el área de la esfera. Esta ecuación se convierte
en:
є₀ E(4𝜋𝑟 2 ) = q
Despejando obtenemos que:
𝐸=
1 𝑞
4𝜋𝜖˳ 𝑟²
Esta ecuación permite calcular la magnitud del campo eléctrico en cualquier
punto de la esfera. La dirección del campo se conoce por la simetría.
A continuación, consideremos una segunda carga, que será la carga puntual q0,
misma que ubicaremos en el punto en que deseamos medir la fuerza de ese
campo eléctrico E sobre esta carga de prueba.
La fuerza F será:
F = E q0
Como ya conocemos el campo eléctrico en la esfera, sustituimos simplemente la
ecuación correspondiente y obtenemos que:
𝐹=
1 𝑞𝑞₀
4𝜋𝜖˳ 𝑟²
Que es precisamente la Ley de Coulomb. Por lo tanto, se ha deducido la Ley de
Coulomb, a partir de la Ley de Gauss y de condiciones de simetría.