Universidade Federal do Rio de Janeiro
Campos & Ondas
em Engenharia Elétrica
Notas de Aula
Antonio Carlos Siqueira de Lima
CC
2012 Este documento é distribuído de acordo com a Licença Creative Commons
2
Sumário
Prefácio
v
I
Aspectos Introdutórios
1
1
Funções Matemáticas
1.1 Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . .
1.1.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . .
1.2 Separação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Polinômios de Legendre . . . . . . . . . .
1.3.3 Harmônicos Esféricos . . . . . . . . . . .
1.4 Transformações Integrais . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . .
1.4.2 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . .
1.4.3 Transformada de Fourier Multi-dimensional
1.4.4 Implementação da Resposta Numérica . . .
1.4.5 Transformada de Laplace . . . . . . . . . .
1.5 Equações Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . . . .
1.7 Cálculo & Análise Vetorial . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 O operador r . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Teorema de Stokes e Green . . . . . . . . .
1.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
23
23
23
24
25
26
2
II
Campo Eletromagnético –Aspectos Introdutórios
2.1 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriedades do meio . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Potenciais . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Potenciais Instantâneos de Maxwell .
2.2.3 Potenciais Retardados de Lorentz . .
2.2.4 Dualidades entre os Campos . . . . .
2.2.5 Vetor de Hertz . . . . . . . . . . . .
2.3 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Solução da Equação de Onda . . . . . . . . .
2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . .
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Campos Estacionários
29
30
33
34
36
37
38
38
41
43
46
47
49
3
Eletrostática
3.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Divergente do Campo Elétrico . . . . . . . . .
3.4 Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Equilíbrio Eletrostático . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Equilíbrio em Condutores . . . . . . .
3.6 Equações do Potencial Eletrostático . . . . . .
3.6.1 Dipólo Elétrico . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Potencial de Dipólo como um gradiente
3.7 Polarização do Dielétrico . . . . . . . . . . . .
3.8 Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . .
3.9 Métodos para o Cálculo do Campo Eletrostático
3.9.1 Harmônicos Circulares . . . . . . . . .
3.9.2 Campo Devido a Duas Cargas . . . . .
3.9.3 Campos em Condutores . . . . . . . .
3.9.4 Procedimentos Alternativos . . . . . .
3.10 Formulação de Problemas em Eletrostática . . .
3.11 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Oscilações de Plasma . . . . . . . . . .
3.11.2 Campo no Interior de Semi-condutores
3.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Magnetostática
91
4.1 Potencial Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Potencial Vetor com correntes conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
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4.4
4.5
4.6
4.7
III
5
A Lei de Biot-Savart .
Polarização Magnética
Problemas . . . . . . .
Soluções Parciais . . .
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Propagação de Ondas
Propagação de Ondas Planas
5.1 Formulação Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Alguns comentários sobre a notação . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Relação entre os Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ondas Planas em Meios Não Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Propriedades Dielétricas e Magnéticas de Meios Anisotrópicos .
5.2.2 Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos . . . . . . . . .
5.3 Reflexão e Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Campos Quase Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Condições de Reflexão e Transmissão em Regime Quase Estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Aplicações de Campos Quase Estacionários . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagação de Ondas Cilíndricas
6.1 Equações de um campo cilíndrico por Vetor de Hertz . . .
6.1.1 Modos TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Modos TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Campos derivados de funções de onda cilíndricas circulares
6.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Propagação de Ondas Esféricas
7.1 Equação de Onda em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Obtenção Direta dos Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta
7.2.2 Corrente injetada em segmento de reta de comprimento muito
reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Dipolo Oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
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IV
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Aplicações
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. 159
163
Elementos de Circuito
165
8.1 Impedâncias de Condutores Cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
iii
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
Impedância Externa para Condutores e Solo Ideais . . . . . . .
Impedâncias Externa de Condutor Enterrado . . . . . . . . . . .
Formulação das Matrizes Unitárias para Linhas de Transmissão
8.4.1 Matriz de Impedância Unitária . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Matriz de Admitância Unitária . . . . . . . . . . . . . .
Formulação das Matrizes Unitárias de Cabos Subterrâneos . . .
8.5.1 Matriz de Impedância Unitária para Cabos Enterrados .
8.5.2 Matriz de Admitância Unitária para Cabos Coaxiais . .
Modelagem de Elementos por Eletrodos . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Condutores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Condutores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagação de ondas em condutor fino sobre solo com perdas .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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190
192
Prefácio
Esse documento surgiu primeiramente com o intuito de facilitar a apresentação da
Disciplina Campos & Ondas (COE761), do Programa de Engenharia Elétrica (PEE),
COPPE/UFRJ e vem sendo atualizado para atender também às disciplinas de Teoria Eletromagnética, do Departamento de Engenharia Elétrica (DEE), da Escola Politécnica da
UFRJ. Um curso de eletromagnetismo não tem em geral a grande preferência dos alunos,
seja pela ementa do curso, seja pela possibilidade do trabalho que ele possa demandar. Por isso, o objetivo destas notas de aulas é tornar o assunto um pouco mais leve,
ressaltando a importância da Teoria Eletromagnética, e suas aplicações, em Engenharia
Elétrica.
Um conhecimento prévio da formulação de Maxwell bem como das ferramentas matemáticas para a solução de equações diferenciais ordinárias e parciais é fundamental para
um bom entendimento dos temas aqui apresentados. A formulação e a resolução dos problemas foi implementada através do programa Mathematica, todavia outros programas
matemático como o matlab ou Maple podem ser usados com o mesmo intuito.
A abordagem aqui apresentada é bastante distinta da literatura técnica sobre o assunto. Primeiro, ao invés de apresentar a formulação de casos simples visando estabelecer as bases fenomenológicas do eletromagnetismo, procura-se utilizar problemas
reais tratados a partir do equacionamento básico, i.e., equações de Maxwell. Segundo,
diversos assuntos são deixados de lado, como por exemplo, o estudo de campos eletromagnéticos em velocidades próximas a da luz que requer a utilização da relatividade
restrita e o estudo do comportamento microscópico da matéria que demanda o uso da
Mecânica Quântica. A razão deste formalismo é simples, a experiência tem mostrado
que na maioria dos casos, o aluno de pós-graduação muito embora domine a formulação
das equações de circuito é incapaz de resolver os problemas relacionados à engenharia
elétrica que devam ser equacionados a partir dos postulados básicos. A ressalva ocorre
apenas nos casos onde o assunto sob estudo pode ser representado com um bom grau de
precisão a partir de exemplos simples e rotineiros. Este não é um problema novo, e está
longe de ser solucionado, o Prof. William Smythe do CALTECH (California Institute of
Technology) já expressava preocupação semelhantes quando da primeira edição de seu
v
livro “Static & Dynamic Electricity” de 1939.
Uma vez que estas notas de aula foram escritas tendo-se em mente aplicações práticas e não o desenvolvimento teórico do eletromagnetismo, optou-se por evitar seguir
o desenvolvimento histórico. Em apenas alguns casos mais específico apresenta-se um
breve resumo histórico com o intuito apenas de orientar o aluno.
Apesar de ser um assunto árido, a Teoria Eletromagnética é, sem dúvida alguma, fascinante. De fato toda a engenharia elétrica está relacionada a ela. Com relação à dificuldade dos temas envolvidos vale lembrar a opinião do também Professor da CALTECH,
Richard Feynman, expressa no prefácio escrito por Ralph Leighton em The Strange Theory of Light and Matter: “What one fool can understand, another can”.
A base destas notas de aula é o material originalmente desenvolvido pelo Prof. Carlos Portela para essa disciplina. A maior parte dos exercícios aqui presentes são retirados/baseados nesse material. Apresentamos a seguir a lista de outras referências importantes, agrupadas conforme a ordem de interesse1 :
• Stratton*, J. A. (1941), Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Co.
• Harrington*, R. F. (1961), Time-Harmonic Electromagnetic Fields, McGraw-Hill
Co.
• Portela*, C. (1999a) , Campo Eletromagnético – Relações Básicas entre as principais grandezas físicas, em termos macroscópicos, em formulação simplificada, 2a
ed., COPPE/UFRJ.
• Portela*, C. (1999b) , Campos & Ondas – Ondas Cilíndricas — Aspectos Básicos
dos Métodos Analíticos de Cálculo do Campo Eletromagnético, COPPE/UFRJ.
• Portela*, C. ( 1999c) , Campos & Ondas – Ondas Esféricas, COPPE/UFRJ
• Portela*, C. ( 1999d) , Campos & Ondas – Ondas Planas, 3a ed., COPPE/UFRJ.
• Slater*, J e Frank, N. (1969), Electromagnetism Dover.
• Feynman*, R.P.; Leighton, R. e Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley, vol.II
• Jonhk, C. (1988), Engineering Electromagnetic Fields and Waves, Wiley.
• Jackson, J. (1999), Classical Electrodynamics, Wiley.
• Butkov, E. (1988), Física Matemática, LTC Editora.
• Cheng, D. K. (1983), Field and Wave Electromagnetics, Addison-Wesley.
• Eyges, L. (1972), The Classical Electromagnetic Field, Dover.
• Kraus, J.;Fleisch, D. (1999), Electromagnetics with applications, 5a ed., McGrawHill.
1
as referências mais importantes são destacadas com ‘*’
vi
• Morettin, P. A. (1999) , Ondas e Ondaletas, EDUSP.
• Kreyszig, E. (1993), Advanced Engineering Mathematics, Wiley
• Wolfram, S. (2004), The Mathematica Book, 5th Ed., Cambridge University Press
A ementa do curso pode ser encontrada nas diversas referências acima, e estas notas
de aula trazem pelo menos os aspectos introdutórios das mesmas.
• Campo eletromagnético formulado por equações de Maxwell; potenciais escalar e
vetorial;
• Formulações de Lorentz, Maxwell e Hertz;
• Vetor de Poynting;
• Propriedade dos meios, meios com parâmetros dependentes da freqüência e da
temperatura;
• Aproximações quase estacionárias;
• Metodologias baseadas em distâncias complexas;
• Transformações de coordenadas, transformação conforme;
• Aplicações a linhas de transmissão, cabos, sistemas de aterramento, máquinas elétricas, equipamentos;
• Ondas planas, cilíndricas, esféricas e superficiais;
• Radiação; reflexão e transmissão em separação de meios;
• Campo associado a diversos tipos de geometrias;
• Métodos globais;
• Método dos elementos de contorno;
• Transformação por metodologias freqüência-tempo;
vii
viii
Parte I
Aspectos Introdutórios
1
CAPÍTULO
1
Funções Matemáticas
O cálculo das equações envolvidas no eletromagnetismo normalmente requer a utilização de funções especiais que muitas das vezes não são apresentadas em cursos de
cálculo na graduação. Portanto, neste capítulo apresentamos uma breve revisão de algumas importantes funções no cálculo tanto do campo elétrico como magnético. Livros
como (Butkov 1988, Kreyszig 1993, Riley, Hobson & Bence 1998) apresentam de forma
detalhada os assuntos abordados nesse capítulo e devem ser considerados como fonte de
referência para dúvidas.
1.1
Coordenadas Curvilíneas
Dependendo da característica e das simetrias envolvidas no problema pode ser interessante utilizar um sistema de coordenadas ortogonais distinto das coordenadas cartesianas. Apesar de haver generalizações para sistemas de n dimensões, o foco no eletromagnetismo está nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas.
A relação básica entre os vetores unitários em coordenadas cartesianas e os vetores
unitários em coordenadas cilíndricas e esféricas é mostrada na Fig. 1.1.
Os eixos cartesianos X, Y e Z possuem vetores unitários x̂, ŷ e ẑ, respectivamente.
Para coordenadas cilíndricas, os vetores unitários são ⇢, e z e para coordenadas esféricas são r, ✓ e . Existem outros sistemas de coordenadas curvilíneas de interesse onde é
possível representar as equações de Maxwell, contudo em engenharia elétrica, estes três
sistemas compõem os casos de maior interesse prático.
1.1.1
Coordenadas Esféricas
A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianos podem ser obtidas a partir da
projeção de vetores unitários, considerando ✓ o ângulo de azimute e o ângulo no plano
3
Z
ẑ
x̂
X
φ
r
θ
ρ
ŷ
Y
Figura 1.1: Sistema de vetores unitários em coordenadas cartesianas e curvilíneas
xy. A relação entre as coordenadas x, y e z são
x = r sin ✓ cos ,
y = r sin ✓ sin ,
z = r cos ✓
ˆ e ˆ são dados por (1.1).
Desta forma os vetores unitários nas direções, r̂, ✓
r̂ = sin ✓ cos x̂ + sin ✓ sin ŷ + cos ✓ ẑ
ˆ = cos ✓ cos x̂ + cos ✓ sin ŷ sin ✓ ẑ
✓
ˆ = sin x̂ + cos ŷ
1.1.2
(1.1)
Coordenadas Cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas, podemos definir um ponto P a uma distância s da origem dos eixos (x = y = z = 0) em termos da relação entre as coordenadas (x, y) do
mesmo, conforme mostrado abaixo
x = s cos ,
y = s sin
sendo o ângulo de deslocamento do ponto referido ao plano xy em relação ao eixo
y=0
A coordenada z é naturalmente a mesma para o sistema de coordenadas cartesianas
e cilíndricas. A expressão relacionando os vetores unitários é mostrada em (1.2)
ŝ = cos x̂ + sin ŷ
ˆ = sin x̂ + cos ŷ
4
(1.2)
1.2
Separação de variáveis
Em diversos casos estaremos lidando com sistemas de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de onda cuja solução envolve derivadas a segunda em
relação ao tempo e ao espaço. A solução convencional é considerar que a função possa
ser expressa pelo produto duas funções independentes entre si. Por exemplo, considere a
equação de uma onda de luz, u(x, t), em meio similar ao vácuo. A equação que rege o
comportamento da onda é dada por (1.3),
2
@2u
2@ u
=
c
@t2
@x2
(1.3)
onde c é a velocidade de propagação da luz no vácuo. O método da separação de variáveis
admite que a onda pode ser decomposta em duas funções, uma representando a variação
espacial e outra a temporal, conforme mostrado abaixo.
u(x, t) = F (x)G(t)
(1.4)
Desta forma por diferenciação direta, temos1 :
@2u
d2 G
=
F
@t2
dt2
2
2
@ u
d F
=
G
2
@x
dx2
(1.5)
Inserindo-se (1.5) na equação da onda, (1.3) obtemos a seguinte equação
2
d2 G
2d F
=
c
G
dt2
dx2
(1.6)
1 d2 G
1 d2 F
=
c2 G dt2
F dx2
(1.7)
F
Rearrumando os termos
A única possibilidade da equação (1.7) ser satisfeita é que ambas os lados sejam
iguais a uma constante2 k 2 . A constante k 2 também é conhecida como constante de
separação dos meios. Desta forma podemos reescrever a equação diferencial parcial
através de duas equações ordinárias:
d2 F
kF = 0
dx2
d2 G
(c k)2 G = 0
dt2
(1.8)
A solução de (1.8) dependerá das condições iniciais do sistema bem como das condições
de fronteira. Formulações como a apresentadas em (1.4) facilitam até mesmo a implementação numérica de soluções como nos métodos de elementos finitos.
1
representando F(x) apenas por F e G(t) apenas por G
A razão por usar k2 ao invés de k será esclarecida mais adiante no texto, quando lidarmos com a
propagação das ondas eletromagnéticas
2
5
Exemplo 1.1. Considere a grandeza escalar V = V (x, y) que satisfaz à equação de
Laplace em duas dimensões:
@2u @2u
+ 2 =0
@x2
@y
para uma região de interesse 0  x  a, 0  y  b, sendo V conhecida na fronteira
deste domínio,
u(x, 0) = f1 (x),
u(x, b) = f2 (x),
u(0, y) = g1 (y),
u(a, y) = g2 (y),
0  x  a,
0  x  a,
0  y  b,
(1.9)
0yb
Determine u(x, y) no interior do domínio, a partir dos valores das condições de contorno.
Solução– as funções devem ser contínuas nas fronteiras, contudo os valores das funções
na fronteira não precisam satisfazer a equação de Laplace. Sejam ↵, , e os valores
das funções nas condições de contorno. As seguintes relações devem ser satisfeitas:
f1 (0) = g1 (0) = ↵
f2 (a) = g2 (b) =
f1 (a) = g2 (0) =
(1.10)
f2 (0) = g1 (b) =
Aplicando a separação u(x, y) = X(x)Y (y) surge o conjunto de duas equações
ordinárias com coeficientes constantes:
d2 X(x)
+ k 2 X(x) = 0
dx2
d2 Y (y)
k 2 Y (y) = 0
dy 2
(1.11)
onde k 2 é a constante de separação. A solução geral deste tipo de equação é da forma:
X(x) =
Y (y) =
1
X
Am sin(km x + cm )
m=1
1
X
(1.12)
Bn sinh(kn y + cn )
n=1
todavia, (1.12) não é a única forma de solução, polinômios de Legendre ou funções de
variáveis complexa também pode ser utilizadas. As constantes Am , Bn , cm , cn bem
como as variáveis de separação km devem ser determinadas pelas condições de contorno.
Como se trata de um sistema linear, o princípio da superposição pode ser aplicado, e além
6
disto, por estarmos lidando com um sistema homogêneo, cada solução particular pode ser
multiplicada por um escalar diferente de zero. A solução geral pode ser expressa como:
1
X
u(x, y) =
Dk sin(pk x + ck ) sinh(pk y + c˜k )
(1.13)
k=0
onde pk é a variável de separação. Para simplificar os cálculos, consideremos:
=
=
=0
o que nos leva as seguintes ocndições de contorno,
u(0, y) = g1 (0) = f1 (0) = 0
u(a, y) = g2 (y) = f1 (a) = 0
(1.14)
u(x, b) = f2 (x) = g1 (b) = 0
mas para que haja solução válida,
u(x, 0) = f1 (x) 6= 0
(1.15)
e f2 (a) = g2 (b) =
= 0, uma vez que deve haver continuidade. Para satisfazer à
primeira condição de contorno em (1.14), a expressão
1
X
u(0, y) =
Dk sin(ck ) sinh(pk y + c˜k ) = 0
(1.16)
k=0
deve ser válida. Para isto basta que
8k
ck = 0
A segunda condição de contorno em (1.14) implica em:
u(a, y) =
1
X
Dk sin(pk a) sinh(pk y + c˜k ) = 0
(1.17)
k=0
Desta equação é possível obter as constantes de separação, pk , pois,
sin(pk a) = 0 ! pk a = m⇡
logo
pk =
m⇡
a
m = 0, 1, 2, . . .
Considerando a terceira condição de contorno em (1.14), temos:
✓
◆
✓
◆
1
X
k⇡x
k⇡b
u(x, b) =
Dk sin
sinh
+ c˜k = 0
a
a
k=0
7
(1.18)
(1.19)
que pode ser satisfeita por
k⇡b
+ c˜k = 0 ! c˜k =
a
k⇡b
a
Agora podemos considerar a última condição de contorno, (1.15)
u(x, 0) = f1 (x) =
1
X
Dk sin
k=1
✓
k⇡x
a
◆
sinh
✓
k⇡b
a
◆
(1.20)
Como a família de soluções não inclui k = 0, condição de continuidade f1 (0) = 0 é satisfeita automaticamente. A expressão acima nada mais é do que uma expansão em série
de Fourier de uma dada função f1 (x). Para encontrar os coeficientes, o procedimento é
idêntico ao utilizado no cálculo para expansão em série de Fourier, i.e., multiplica-se por
sin(m⇡/a), sendo m 6= k e integra-se no domínio x
Z
a
f1 (x) sin
0
⇣ m⇡x ⌘
a
dx =
Z
1
aX
Dk sin
0 k=1
✓
k⇡x
a
◆
sin
⇣ m⇡x ⌘
a
sinh
✓
k⇡b
a
Após algumas manipulações algébricas obtemos:
✓
◆
Z a
k⇡x
a
f1 (x) sin
dx = Dk sinh ( k⇡b/a)
a
2
0
◆
dx
(1.21)
(1.22)
que fornece os coeficientes Dk . A solução do problema cujas condições de contorno são
dadas por (1.14) e (1.15) é dada por:
u(x, y) =
1
X
2 sinh(k⇡b/a
k=1
1.3
k⇡y/a)
sin(k⇡x/a)
a sinh(⇡kb/a)
Z
a
f1 (⇠) sin(k⇡⇠/a)d⇠
(1.23)
0
Funções Especiais
Nesta seção apresentamos diversas funções não muito conhecidas dos cursos de graduação mas importantes para a solução das equações diferenciais encontradas no eletromagnetismo. As funções foram agrupadas devido a relação de semelhança na formulação
ou na aplicação.
1.3.1
Bessel
As funções de Bessel aparecem como soluções para uma série de equações diferenciais onde há simetria cilíndrica. A equação de Bessel de ordem ⌫ é descrita como:
✓
◆
d
dy
x
x
+ (x2 ⌫ 2 )y = 0
(1.24)
dx
dx
8
A solução é dada pelas funções J⌫ (x) e J
1
X
J⌫ (x) =
J
⌫ (x)
m=0
1
X
=
m=0
⌫ (x),
cujas definições são
( 1)m x2m+⌫
(m + 1)(m + ⌫)!22m+⌫
( 1)m x2m ⌫
(m + 1)(m ⌫)!22m
(1.25)
⌫
A Fig. 1.2 apresenta a forma de onda de algumas funções de Bessel. Em geral estamos
interessados em soluções onde ⌫ é inteiro, desta forma, (m + 1) = m! e as funções em
(1.25) não são independentes e temos:
J
⌫ (x)
= ( 1)n J⌫ (x)
Nestes casos é possível obter uma outra solução através da combinação linear das funções
de Bessel em (1.25), conhecida como função de Neumann,
N⌫ (x) =
J⌫ (x) cos(⌫⇡) J
sin(⌫⇡)
⌫ (x)
(1.26)
para o caso de ⌫ inteiro n
(1.27)
Nn (x) = lim N⌫ (x)
⌫!n
A função J⌫ (x) é conhecido como função de Bessel da primeira espécie e de ordem ⌫.
A Fig. 1.2 apresenta o gráfico da função de Bessel de primeira espécie (ordens 0 a 3), e a
Fig. 1.3 apresenta as funções de Neumann de ordem 1 a 4.
0.6
J0
J1
J2
0.4
J3
0.2
0
!0.2
0
2
4
6
8
10
Figura 1.2: Funções de Bessel de primeira espécie
A função N⌫ (x) é uma função de Bessel de segunda espécie e ordem ⌫. No caso das
equações de onda também é útil utilizar uma combinação linear das funções de Bessel
9
0.5
N1
N2
N3
N4
0
!0.5
!1
!1.5
!2
0
2
4
6
8
10
Figura 1.3: Funções de Neumann
de primeira espécie. Esta família de funções é conhecida como funções de Hankel e são
definidas por:
H⌫(1) (x) = J⌫ (x) + jN⌫ (x)
H⌫(2) (x) = J⌫ (x)
jN⌫ (x)
(1.28)
As funções descritas acima são conhecidas como funções de Hankel da primeira e da
segunda espécie respectivamente. As funções de Bessel modificadas são definidas por
(1.29).
I⌫ (x) = j ⌫ J⌫ ( jx)
(1.29)
⇡
K⌫ (x) = ( j)⌫+1 H⌫(2) ( jx)
2
A Fig. 1.4 mostra os gráficos das funções modificadas de Bessel de primeira e segunda
espécies e ordem 0 e 1.
1.3.2
Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre aparecem em problemas que envolvem simetria esférica.
Eles são solução da seguinte equação diferencial
d2 y
dy
2x
+ n(n + 1)y = 0
(1.30)
dx2
dx
A solução de (1.30) não é tão simples como no caso da equação de Bessel. Ao invés
de definir uma série, define-se uma família de funções polinomiais ortogonais entre si e
definidas por
(1
x2 )
Pm (x) =
1 dm 2
(x
2m m! dxm
10
1)m
(1.31)
10
8
6
4
K0
2
I0
K1
I1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 1.4: Funções modificadas de Bessel
onde x = cos(✓). A formulação do polinômio de Legendre como apresentado em (1.31)
também é conhecida como a fórmula de Rodrigues. A título de ilustração, apresentamos a seguir alguns dos polinômios de Legendre em função de cos(✓) e os gráficos são
mostrados na Fig. 1.5.
P0 (cos ✓) = 1
P1 (cos ✓) = cos(✓)
1
P2 (cos ✓) = ( 1 + 3 cos2 ✓)
2
1
P3 (cos ✓) = (5 cos3 ✓ 3 cos ✓)
2
1
P4 (cos ✓) = (35 cos4 ✓ 30 cos2 ✓ + 3)
8
1
P5 (cos ✓) = (63 cos5 ✓ 70 cos3 ✓ + 15)
8
Há também o Polinômio de Legendre associado que é definido pela equação
Pnm (x) = (1
1.3.3
x2 )m/2
dm Pn (x)
dxm
(1.32)
Harmônicos Esféricos
Consideremos a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, (r, ✓, )
a partir do método de separação de variáveis, de forma que a solução seja dada por uma
função
R(r)⇥(✓) ( )
11
1
P0
P1
0.5
P4
P3
P2
0
!0.5
!1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 1.5: Polinômio de Legendre
Em casos onde não haja a variação com r, e.g. o potencial ao longo da superfície de uma
esfera, a solução da equação de Laplace é dada por
⇥(✓) ( ) = Plm (cos ✓)(C cos(m ) + D sin(m ))
(1.33)
A função apresentada em (1.33) pode ser representada por uma família de funções conhecidas como harmônicos esféricos, Ylm (✓, ), cuja definição, para m  0, é dada por
s
2l + 1 (l m)! m
Yml (✓, ) = ( 1)m
P (cos ✓) exp(jm )
2⇡ (l + m)! l
onde Plm é o polinômio de Legendre associado.
Há ainda funções esféricas de Bessel, que nada mais são que funções de Bessel de
ordem fracionária.
r
⇡
d⌫ sin x
j⌫ (x) =
J⌫+1/2 (x) = ( 1)⌫ (x)⌫
(1.34)
2x
x dx⌫ x
As funções esféricas de Bessel são bem mais simples que as funções de Bessel propriamente ditas. A seguir apresentamos algumas das funções obtidas diretamente da
aplicação de (1.34)
sin x
x
sin x
j1 (x) =
x
j0 (x) =
cos x
x
(1.35)
De forma análoga é possível definir uma função esférica de Bessel de segunda espécie
dada por
r
⇡
n⌫ (x) =
Y
(x)
(1.36)
2x n+1/2
12
Novamente as funções esféricas são bem mais simples
n0 (x) =
n1 (x) =
cos x
x
cos x
x2
sin x
x
(1.37)
Maiores detalhes sobre estas funções serão apresentados no capítulo referente a propagação de ondas esféricas. Com relação a definição matemática destas funções e sua
aplicações em áreas outras que não o eletromagnetismo sugerimos as referências (Butkov
1988, Kreyszig 1993).
1.4
Transformações Integrais
Nas aplicações de Engenharia Elétrica é comum a utilização da Transformada de Fourier e da Transformada de Laplace. Em termos práticos, podemos considerar a segunda
como uma extensão da primeira. Na Transformada de Fourier o domínio é da variável
imaginária j!, já na Transformada de Laplace o domínio é da variável complexa + j!.
1.4.1
Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier surge quando aplica-se a série de Fourier para funções
aperiódicas. É muito utilizada em estudos de sistemas digitais, atualmente é mais empregada em transitórios que a transformada de Laplace, devido a facilidades de implementação numérica. Apesar de ser largamente empregada na área de tratamento de sinais, a
Transformada de Fourier tem grandes vantagens no que concerne o estudo do eletromagnetismo e na área de transitórios.
A Transformada de Fourier de uma função f (t) contínua ou contínua por partes é
dada por,
Z 1
F (!) =
f (t) exp( j!t)dt
(1.38)
1
A transformação da variável no domínio da freqüência para o domínio do tempo pode ser
feita através de:
Z 1
1
f (t) =
F (!) exp(j!t)d!
(1.39)
2⇡ 1
De fato esta não é a única definição da transformada de Fourier. Existem diversos outras
combinações. Por exemplo, em áreas como a Física, é comum o emprego da seguinte
transformada:
Z 1
1
F (!) = p
f (t) exp( j!t)dt
(1.40)
2⇡ 1
13
e a transformada inversa é dada por:
1
f (t) = p
2⇡
Z
1
F (!) exp(j!t)d!
(1.41)
1
Desde que se mantenha um conjunto coerente de equações pode-se usar qualquer
uma das definições. Só a título de curiosidade, no Matlab, a Transformada Rápida de
Fourier utiliza (1.38) e (1.39), já o Mathematica utiliza (1.40) e (1.41).
Pode haver ocasiões onde seja interessante obter a resposta da integral utilizando-se
um limite infinito tempo, ou a freqüência angular também em um espectro infinito. A
transformada pode ser utilizada também nestes casos. Utilizando-se a eq. (1.38) para
! = 0 temos:
Z +j1
F (0) =
f (t)dt
(1.42)
j1
Em diversas aplicações onde estão envolvidos sistemas físicos, a função f (t) é real,
de forma que
F ( !) = F (!)⇤
onde ⇤ denota complexo conjugado.
Caso exista alguma simetria nas formas de onda, i.e., função ímpar, f (t) =
podemos definir a Transformada Seno de Fourier dada por (1.44)3
r Z 1
2
F (!) =
f (t) sin(!t)dt
⇡ 0
r Z 1
2
f (t) =
F (!) sin(!t)d!
⇡ 0
(1.43)
f ( t),
(1.44)
De forma análoga podemos definir a Transformada Cosseno de Fourier para uma função
par, f (t) = f ( t) por (1.45).
r Z 1
2
F (!) =
f (t) cos(!t)dt
⇡ 0
(1.45)
r Z 1
2
f (t) =
F (!) cos(!t)d!
⇡ 0
Se o interesse for obter a resposta de um determinado sistema a um degrau ou impulso, em outras palavras, se f (t) = 0, para t < 0, podemos simplificar ainda mais a
transformada inversa, como mostra (1.46).
r Z 1
2
f (t) =
< [F (!)] cos(!t)d!
⇡
(1.46)
r Z0 1
2
f (t) =
=[F (!)] sin(!t)d!
⇡ 0
3
para a transformada de Fourier definida por (1.40).
14
1.4.1.1
Delta de Dirac
A função Delta de Dirac, , não é estritamente uma função, contudo é de grande
valor para o estudo da resposta de um sistema. Também é importante para a obtenção da
função de Green ou resposta impulsiva. Também conhecida como função impulso, é
definida como
(
0 se t 6= 0
(t) =
(1.47)
1 se t = 0
Uma das propriedades de é
Z
1
(t) = 1
1
Através desta propriedade é possível calcular a Transformada da função impulso, que é
igual a 1 para todo o espectro de freqüências. Em outras palavras o espectro de freqüência
do impulso é uniforme independente da faixa de freqüência sob estudo.
Uma outra relação importante é o teorema da convolução. Seja F1 (!) e F2 (!) funções cuja a transformada inversa é dada, respectivamente por f1 (t) e f2 (t), uma função
F (!) = F1 (!) · F2 (!)
possui uma transformada inversa dada por:
r Z 1
1
f (t) =
F1 (!)F2 (!) exp(j!t)d!
2⇡ 1
"r Z
Z 1
1
1
=
f2 (⌧ )
F1 (!) exp(j!(t
2⇡ 1
1
Z 1
=
f1 (t ⌧ )f2 (⌧ )d⌧
#
⌧ ))d! d⌧
(1.48)
1
Um outro resultado importante é um teorema similar ao da convolução, onde a resposta
no tempo é o produto de duas funções, neste caso a resposta em freqüência será do tipo
r Z 1
1
F (!) =
F1 (↵)F2 (! ↵)d↵
(1.49)
2⇡ 1
1.4.2
Algumas Propriedades
As propriedades da Transformada de Fourier são similares a da Transformada de
Laplace, como poderá ser visto na seção 1.4.5.1. A primeira delas é naturalmente o
caráter de operador linear da transformada. Em outras palavras:
F (C1 f (t) + g(t)) = C1 F (!) + G(!)
(1.50)
onde f (t) e g(t) são funções lineares do tempo, C1 uma constante arbitrária, e F (!),
G(!) são as transformadas de Fourier das respectivas funções do tempo.
15
Outra propriedade é da transformada da derivada de uma função, como mostra (1.51)
para condições iniciais nulas,
✓ n
◆
d f (t)
F
= ( j!)n F (!)
(1.51)
dtn
e de forma análoga a transformada da integral de uma função é dada por:
✓Z
◆
F (!)
F
f (t)dt =
j!
(1.52)
Caso uma função h(t) seja dada pela convolução de duas funções, f (t) e g(t). No
domínio da freqüência podemos obter a seguinte relação:
H(!) = F (!)G(!)
1.4.3
(1.53)
Transformada de Fourier Multi-dimensional
O conceito da Transformada de Fourier pode ser facilmente expandido para sistemas com mais de uma dimensão. No caso de cálculo de campos bidimensionais ou
mesmo tridimensionais envolvendo a modelagem do solo a transformada de Fourier
multi-dimensional é bastante útil.
Seja uma função f (x, y, z) contínua ou contínua por partes, a Transformada tridimensional de Fourier é dada por4
1
F (X, Y, Z) =
(2⇡)3/2
ZZZ
f (x, y, z) exp( jXx) exp( jY y) exp( jZz)dx dy dz
(1.54)
onde X, Y , Z representam as variáveis “generalizadas” das variáveis espaciais (ou temporais) x, y e z. A transformada inversa é dada por
ZZZ
1
f (x, y, z) =
F (X, Y, Z) exp(jXx) exp(jY y) exp(jZz)dx dy dz
(2⇡)3/2
(1.55)
As equações (1.54) e (1.55) podem ser escritas de forma compacta considerando um vetor
k com componentes X, Y e Z e um vetor r com componentes x, y e z, conforme mostra
(1.56).
Z
1
F (k) =
f (r) exp( jk · r)d3 r
(2⇡)3/2
Z
1
f (r) =
F (k) exp(jk · r)d3 r
(2⇡)3/2
4
supondo que cada transformada unidimensional é definida a partir de (1.40).
16
(1.56)
Só para citarmos um exemplo, a solução do campo elétrico e magnético envolvendo
o solo é de mais fácil entendimento utilizando a transformada de Fourier espacial. Além
disto, a Transformada de Fourier multi-dimensional é muito útil em problemas como o
cálculo de parâmetros de uma linha de transmissão onde a hipótese quase estacionária
não é mais válida, ou em outras aplicações, como por exemplo a solução da propagação
dos campos no solo ou casos onde haja a propagação de ondas esféricas.
1.4.4
Implementação da Resposta Numérica
Não raro, no caso prático ao invés de se obter a resposta nos limites da integração da
transformada, a função é “truncada” até um valor máximo de freqüência angular. Este
efeito do “truncamento” pode ser entendido através de uma função H(!) definida por
(
1 se
⌦<!<⌦
H(!) =
(1.57)
0
A integral de Fourier pode então ser expressa por:
Z 1
1
f (t) =
F (!)H(!) exp(j!t)d!
2⇡ 1
Z ⌦
1
=
F (!) exp(j!t)d!
2⇡ ⌦
O efeito da inclusão de H(!) no domínio do tempo é dado por:
Z 1
1
h(t) =
H(!) exp(j!t)d!
2⇡ 1
Z ⌦
1
=
exp(j!t)d!
2⇡ ⌦
sin(⌦t)
=
⇡t
⌦ sin(⌦t)
=
⇡ ⌦t
h(t) =
Z
1
(t)
1
sin(⌦(t ⌧ )
d⌧
⌦(t ⌧ )
sin(t⌦)
=
t⌦
Z
1
sin(⌦(t ⌧ )
d⌧
⌦(t ⌧ )
1
✓
◆
Z t
1 ⇡
sin(⌧ ⌦)
=
+
d⌧
⇡ 2
⌧⌦
0
g(t) =
(1.58)
(1.59)
(1.60)
u(t)
17
(1.61)
A Fig. 1.6 apresenta os resultados da utilização de uma faixa finita de freqüências
para o cálculo da transformada inversa de Fourier. Primeiro há o surgimento de uma
derivada finita tanto na resposta ao degrau como na resposta impulsiva. Contudo, maior
dificuldade é o surgimento da não causalidade. Na Fig. 1.6 vemos que já existe um valor
de resposta para um instante t < 0, este problema pode ser solucionado deslocando-se a
resposta a direita de um tempo ⌧ , i.e., a função no domínio da freqüência, F (!), passa a
ser F (!) exp( j!⌧ ).
1
Amplitude
0.8
derivada finita
0.6
Fenômeno de Gibbs
0.4
0.2
0
!0.2
!4
!2
0
tempo!s"
2
4
Figura 1.6: Efeito do Truncamento da Resposta em Freqüência
Uma maneira de eliminação do Efeito Gibbs é a inclusão de um filtro na função a ser
integrada, nesta caso temos:
Z ⌦
1
f (t) =
F (!) (!) exp(j!t)d!
(1.62)
2⇡ ⌦
onde (!) é conhecida como função sinc definida por:
(!) =
sin(⇡!/⌦)
⇡!/⌦
É bastante comum também o uso da Transformada complexa de Fourier que numericamente é idêntica a Transformada de Laplace, comentada a seguir. A grande vantagem
da Transformada complexa de Fourier reside no auxílio à obtenção de funções cuja a
Transformada de Fourier não exista no sentido mais restrito.
1.4.5
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Z 1
L[f (t)] = F (s) =
f (t)exp( st)dt
1
18
onde s é um número complexo dado s = + j!, sendo
maior pólo positivo em F (s) e t é uma variável real.
São apresentados alguns exemplos abaixo:
L[cosh(t)] =
s2
um número real maior que o
s
+1
1
L[expt sin(t)] =
1 + (s 1)2

t
1
L
= cos(s)CosIntegral(s) + sin(s)(⇡ 2SinIntegral(s))
2
1+t
2

@
1
s 1
L
(exp(t) sin(t)) =
+
2
@t
1 + (s 1)
1 + (s 1)2
uma vez que
@
(exp(t) sin(t)) = exp(t) (cos(t) + sin(t))
@t
onde s é um número complexo cuja parte real é maior que o maior pólo real positivo em
F (s).
1.4.5.1
Algumas Propriedades
A derivada de uma função apresenta a seguinte transformada:
L[f 0 (t)] = sF (s)
onde g(t) =
Rt
f (0)
L[f ”(t)] = s2 F (s) s.f (0) f 0 (0)
Z t
F (s) g(0)
L
f (t)dt =
+
s
s
1
1 f (t)dt
L[exp( a t) f (t)] = F (s + a)
L[f (t
a)] = F [s]exp( a s)
1
L[f (bt)] = F (s/b)
b
Compare estas propriedades com as apresentadas em 1.4.2. Fica evidente as correlações
entre as transformadas.
Exemplo 1.2. Considere a equação diferencial parcial que define a propagação de ondas
sonoras produzidas pelo deslocamento de uma esfera de raio a imerso em fluido uniforme
e infinito, que pode ser descrita por
✓
◆
2
2@ u
2 @
2 @u
r
=c
r
(1.63)
@t2
@r
@r
19
onde c é a velocidade de propagação da onda e com a condição inicial
u(r, 0) =
@u(r, 0)
=0
@t
e com a condição de fronteira
@u(a, t)
= f (t)
@r
sendo que u ! 0, quando r ! 1
Solução Introduzindo uma nova variável v = ru, podemos reescrever (1.63) como
2
@2v
2@ v
=
c
@t2
@r2
(1.64)
Aplicando-se a Transformada de Laplace, a solução no domínio da Transformada é dada
por:
V = A exp( sr/c)
ou ainda
A
exp( sr/c)
r
U=
(1.65)
onde V e U são as transformadas de v e u respectivamente. Aplicando-se a primeira
condição de fronteira no domínio da transformada temos:
U=
ac F (s)
exp( s(r
r s + c/a
(1.66)
a)/c)
pela propriedade da convolução
L
1

F (s)
=
s+k
Z
t
exp( k(t
x))f (x)dx = (t)
0
sendo k = c/a. Para o caso particular da entrada f (t) = (t), temos
(t) = exp( ct/a)
e a solução é dada por
u=
ac
exp
r
✓
t
ct
r+a
a
◆ ✓
h t
onde h(.) é a função de Heaviside ou função degrau.
20
r
a
c
◆
(1.67)
1.5
Equações Integrais
Uma equação integral é aquela cuja variável a ser conhecida encontra-se no integrando. Por exemplo a expressão do potencial vetor A obtida a partir da Lei de BiotSavart (vide capítulo 4)
ZZZ
1
J(r0 )
A(r) =
exp( jk|r r0 |)dV
(1.68)
4⇡
|r r0 |
V
onde k é a constante de propagação do meio. A eq.(1.68) é um exemplo de equação
integral quando o vetor densidade de corrente J não é conhecido.
A maioria das equações que descrevem fenômenos eletromagnéticos pode ser representada por equações integrais ou por equações diferenciais ordinárias. Em casos onde
a solução exata é possível e/ou necessária a solução de equações diferenciais ordinárias
é comumente mais simples. Todavia há casos onde não há solução exata sendo necessário lançar mão de métodos aproximados de solução. É justamente nesta situação que
as equações integrais são mais utéis. A razão para tanto é bastante simples, a integração
pode ser representada por um processo de soma e neste somatório não é forçoso que cada
elemento esteja correto. Erros nalguns elementos podem ser cancelados por outros elementos. Além do mais nem todos os elementos contribuem igualmente para o somatório.
Há casos onde uma série infinita pode ser representada com grande precisão apenas com
poucos termos, em outras palavras, no caso das equações integrais é suficiente apenas
que se obtenha os termos significativos do somatório.
A título de exemplo consideremos uma equação diferencial ordinária na forma
dy(x)
= f (x, y(x))
dx
(1.69)
com condição inicial y(x0 ) = ỹ0 . Podemos rescrever (1.69) como
y(x) = ỹ0 +
Zx
f (t, y(t))dt
(1.70)
x0
Admitindo-se que a função a ser integrada é suficientemente suave é a solução é possível
através do seguinte método iterativo
yk+1 (x) = ỹ0 +
Zx
f (t, yk (t))dt
(1.71)
x0
sendo y0 (t) = ỹ0 . Esta integral converge para y(x) quando k ! 1. Este método é
conhecido como iteração de Picard-Lindelöf (Trott 2005).
Exemplo 1.3. Considere a seguinte equação diferencial ordinária
Z
1 1 (x+1) 1 1
f (x) = e x
+ e
+
(x + 1)e xy f (y)dy
2 2
2 0
21
Esta equação foi proposta por (Kress 1989) e possui como solução exata f (x) = e x .
Calcule o erro da solução aproximada através do processo iterativo para 0 < x < 1.
Solução— Deve-se escolher uma função inicial adequada, f0 (x), de forma que
fn+1 (x) = e
x
1 1
+ e
2 2
(x+1)
1
+
2
Z1
(x + 1)e
xy
fn (y)dy
0
para este exemplo há convergência para qualquer função contínua f0 (x), uma das escolhas mais simples é f0 (x) = 1.
No intervalo de x = 0 a x = 1 é feita a integração numérica de (1.71), com um passo
de x = 1/10. A figura abaixo mostra o erro do método. Uma outra forma de solução
seria através da expansão em série do lado direito de (1.70).
0.2
0.4
0.6
0.8
1
!0.1
!0.2
!0.3
!0.4
!0.5
!0.6
Figura 1.7: Comparação da solução de uma equação integral por Picard-Lindelöf
Além das duas técnicas mencionadas acima, existem outros métodos importantes
para a solução de equações integrais como os Métodos de Perturbação e Método Variacional.
O Método de Perturbação é útil para a obtenção de soluções quando ocorrem mudanças pequenas no sistema. Normalmente é aplicado quando se conhece a resposta
ao sistema não perturbado e o sistema perturbado é ligeiramente distinto do problema
original.
O Métodos Variacional aplica-se para a determinação (identificação) de particularidades espécificas de um dado sistema, como freqüências de ressonância, impedâncias.
Diferentemente do método anterior, o Método Variacional fornece uma aproximação de
determinada quantidade. Um Método Variacional difere também de outros métodos de
aproximação pois pode ser considerado estacionário a cerca da solução correta. Isto implica num método relativamente robusto à variações de determinado campo em torno do
valor real.
Um análise mais detalhada seja do Método Variacional seja do Método de Perturbação foge do escopo proposto no presente documento. Diversas aplicações destes métodos
em eletromagnetismo podem ser encontradas no capítulo 7 de (Harrington 2001). Uma
outra fonte interessante é Harrington (1993).
22
1.6
Funções de Variáveis Complexas
Consideremos w = f (z) onde z é um complexo tal que z = x + jy e sendo u e v
duas funções reais tais que w = u + jv podemos escrever
w = u(x, y) + iv(x, y)
(1.72)
Funções complexas representam mapeados entre domínios distintos. Todavia, há casos
onde a relação de mapeamento não é unívoca. Este caso por vezes recebe o nome de
função multivalorada, o ou multívoca. Como exemplo podemos citar
log(z) = log |z| + j arg(z) + j2n⇡
(1.73)
onde n = 0, ±1, ±2, . . ., e 0 < arg(z) < 2⇡. Este tipo de função apresenta diversos
ramos de corte ( “branch cut”) no domínio do plano complexo. Um outro exemplo de
função multívoca é
1
(1.74)
w = zn
que possui n ramos.
A derivada de uma função complexa num ponto z0 do plano complexo é definida
como
df (z0 )
f (z)
= lim
z!z0
dz
z
f (z0 )
z0
(1.75)
Caso f (z) seja diferencial em todos os pontos de uma região tal que |z z0 | < r, pode-se
dizer que f (z) é analítica ou holomórfica em z0 . No caso de um domínio particular D no
qual a função é analítica podemos dizer que f (z) é contínua em D.
1.7
Cálculo & Análise Vetorial
Nesta seção descrevemos algumas propriedades interessantes do cálculo e da análise
vetorial que será utilizadas nos capítulos seguintes. Não há aqui a preocupação formal
de provar ou estabelecer todas as premissas de teoremas matemáticas. Por apresentar o
material de forma bem sucinta recomenda-se a utilização de livros como (Butkov 1988,
Kreyszig 1993, Riley et al. 1998).
1.7.1
O operador r
É comum na literatura a utilização do operador r para a representação do gradiente,
divergente e rotacional. Este operador é definido como um vetor mas algum cuidado deve
ser tomado na sua utilização visto que nem todas as operações matriciais se aplicam.
Em coordenadas cartesianas, sendo x̂, ŷ, ẑ vetores unitários nas direções ortogonais no
sistema de eixos de coordenadas, podemos defini-lo como:
r = x̂
@
@
@
+ ŷ
+ ẑ
@x
@y
@z
23
(1.76)
Naturalmente, o operador r não é um vetor mas pode ser tratado como tal na maioria
dos casos. As principais operações que podemos realizar são resumidas a seguir, onde f
é uma função escalar e F uma função vetorial de componentes Fx , Fy e Fz respectivamente:
• aplicação a um escalar (gradiente);
rf = x̂
@f
@f
@f
+ ŷ
+ ẑ
@x
@y
@z
• produto escalar (divergente)
r·F =
@Fx @Fy
@Fz
+
+
@x
@y
@z
• produto vetorial (rotacional);
2
x̂
ŷ
ẑ
3
@
@
@ 5
r⇥F = det 4 @x
@y
@z
Fx Fy F z
(1.77)
• produto escalar entre dois operadores r aplicados a um escalar ou a um vetor
(laplaciano).
@2f
@2f
@2f
+
+
@x2
@y 2
@z 2
2
2
@ Fy
@ Fx
@ 2 Fz
r2 F = x̂
+
ŷ
+
ẑ
@x2
@y 2
@z 2
r2 f =
(1.78)
Uma operação que aparece bastante nos estudos do eletromagnetismo é o rotacional
do rotacional definido por (1.79).
r⇥(r⇥F) = r(r·F)
1.7.2
r2 F
(1.79)
Teorema de Stokes e Green
O teorema de Stokes também é responsável pela definição do rotacional sob a forma
integral
ZZ
(r⇥F) · n dS =
S
I
F · dl
(1.80)
`
onde n é o vetor normal, ou simplesmente normal a superfície S cuja fronteira é dada
por L. Ao percorrer L segundo a “regra da mão direita” obtemos o sentido positivo do
vetor normal. Quando lidamos com superfícies fechadas o vetor normal cuja direção é
24
o interior do volume delimitado pela superfície fechada é distinto do vetor normal cuja
direção é exterior ao volume delimitado pela superfície fechada.
Este teorema simplesmente nos diz que a integral de linha de um vetor arbitrário ao
longo de um “caminho fechado” é igual a integral de superfície do componente normal do
rotacional deste vetor ao redor de qualquer superfície limitada por este caminho fechado.
O teorema de Green também é conhecido como teorema de Gauss ou teorema do
divergente é estabelece que a integral do componente normal de um vetor arbitrário sobre
uma superfície fechada é igual a integral do divergente de um vetor sobre o volume
delimitado por esta superfície, vide (1.81).
ZZZ
I
(r·F) dV = F · n dS
(1.81)
V
S
Utilizando-se (1.80) e (1.81) podemos definir tanto o rotacional, como mostra (1.82) e o
divergente, como mostra (1.83).
I
1
(r⇥F) · n = lim
F · dl
(1.82)
`!0 S
`
1
s!0 V
r·F = lim
I
F · n dS
(1.83)
S
1.8
Problemas
1. Resolva
1 @ @U (r, , z) @ 2 U (r, , z)
1 @ 2 U (r, , z)
r
+
+
=0
r @r
@r
@z 2
r2
@ 2
(1.84)
2. Resolva a seguinte Equação Diferencial Parcial
@2u @2u
+ 2 =0
@x2
@y
no domínio 0 < x < a, 0 < y < b, sujeito as seguintes condições de contorno
u(x, 0) = f1 (x),
u(x, b) = f2 (x)
para 0 < x < a, tendo como condições iniciais
u(0, y) = g1 (y),
para 0 < y < b.
25
u(a, y) = g2 (y)
3. Considere o mesmo domínio do exercício anterior. Considere um potencial (x, y)
aplicado no lado definido por x = a tal que
(a, y) =
0 h(y
b/3) h(2b/3
y)
onde h(.) é a função de Heaviside ou função degrau. Resolva a equação de Laplace para o potencial sabendo-se que o mesmo é nulo nos outros três lados do
retângulo.
4. Funções especiais são em muitos casos representadas através de séries assintóticas.
A expansão em série de Taylor é o caso de uma série convergente, mas uma série
assintótica é divergente. Avalie o comportamento das seguintes aproximação das
funções de Bessel de ordem ⌫,
r
⇣
⌘
2
⇡
J⌫ (x) ⇠
cos x
(1 + 2⌫)
⇡x
4
r
⇣
⌘
2
⇡
N⌫ (x) ⇠
sin x
(1 + 2⌫)
⇡x
4
r
2
H⌫(1) (x) ⇠
j ⌫ exp(jx)
j⇡ x
r
j2 ⌫
(2)
H⌫ (x) ⇠
j exp( jx)
⇡x
5. As funções de Bessel esféricas podem ser obtidas através da seguinte expressão
j⌫ (x) =
⇡
J
(x)
2x ⌫+1/2
calcule a resposta da função de bessel esférica até a sétima ordem, para 0 < x < 10
1.9
Soluções Parciais
1. Notemos que se trata da aplicação da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e aplicando-se o método de separação das variáveis, sendo U (r, , z) =
R(r) ( ) Z(z) leva a
d2 Z
+ kz2 Z = 0
dz 2
d
+ k2 = 0
d
d2 R
dR
+r
+ R k 2 + r2 kz2 = 0
2
dr
dr
a última das equações acima é uma das equações de Bessel. Logo a solução é do
tipo
U (r, , z) = (C1 Jn (kr r) + C2 Nn (kr r)) (C3 exp(kr z) + C4 exp( kr z)) (C5 sin(k
26
)C6 cos(k
Deve-se ressaltar que as expressões acima não representam soluções únicas, podendo haver soluções com jkr , ao invés de apenas kr .
2. A solução pode ser separada em duas parcelas distintas, i.e., u(x) = u1 (x)+u2 (x)
onde
Za
1
2 X sinh(k⇡y/a)
u1 (x, y) =
a
sinh(k⇡b/a)
k=1
+
sinh(k⇡/a(b y))
sinh(k⇡b/a)
Za
f2 (⇠) sin(k⇡⇠/a) sin(k⇡x/a) d⇠
0
f1 (⇠) sin(k⇡⇠/a) sin(k⇡x/a) d⇠
0
1
2 X sinh(k⇡x/b)
u2 (x, y) =
b
sinh(k⇡a/b)
k=1
+
sinh(k⇡/b(a x))
sinh(k⇡a/b)
Zb
Zb
g2 (⇠) sin(k⇡⇠/b) sin(k⇡y/b) d⇠
0
g1 (⇠) sin(k⇡⇠/b) sin(k⇡x/b) d⇠
0
3. Utilizando-se os resultados anteriores, temos que o potencial é dado por
0
1
2b/3
Z
1
X
2 B
sinh(k⇡x/b)
C
(x, y) =
sin(k⇡y/b)
sin(k⇡⇠/b)d⇠ A
0@
b
sinh(k⇡a/b)
k=1
b/3
A figura a seguir apresenta o potencial (x, y) para o domínio em questão, supondo
b = a = 0 = 1 e calculando até o termo de ordem 30 da expansão em série de
Fourier A figura a seguir apresenta o potencial ao longo do lado do quadrado para
x = 1, i.e., (1, y). Como pode-se notar na figura, nos pontos de descontinuidade
do potencial há o surgimento do fenômeno conhecido como Efeito Gibbs
27
1.0
1.0
fHx,yL
0.5
0.0
0.5y
0.0
0.5
x
1.0
0.0
Figura 1.8: Potencial (x, y) ao longo do quadrado
1.0
fH1,yL
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
y
Figura 1.9: potencial ao longo do lado do quadrado para x = a
28
1.0
CAPÍTULO
2
Campo Eletromagnético –Aspectos Introdutórios
Para o estudo do eletromagnetismo podemos adotar duas posturas bastantes diversas.
Na primeira adota-se o comportamento microscópico da matéria, requerendo portanto a
Mecânica Quântica, e deduz-se a partir dela o comportamento macroscópico. Na segunda
abordagem utiliza-se diretamente a formulação das leis baseadas no comportamento macroscópico, admitindo-se aí que o menor elemento de volume de interesse seja tal que
contenha um grande número de partículas de forma que a Física Clássica seja válida.
Desta forma, diversas relações podem ser consideradas como dados experimentais, não
se averiguando as causas das mesmas.
O emprego da Mecânica Quântica apresenta alguns atrativos por se tratar de uma formulação mais geral do comportamento da matéria. Contudo, não há no momento uma
estruturação da teoria que permita o cálculo do comportamento macroscópico generalizado de forma factível. Além do mais existem algumas limitações teóricas. Por exemplo,
até a presente data não há uma formulação do eletromagnetismo que permita considerar
o cálculo do potencial eletrostático, , no caso da equação de Poisson, r2 = ⇢/✏,
como uma aproximação de um mecanismo mais detalhado e que não leve, em última
instância, a alguma forma de absurdo (Feynman, Leighton & Sands 1964). Por outro
lado, se r2 = ⇢/✏ for aplicado a qualquer distância, não importando quão pequena,
chega-se a outros absurdos como a energia infinita do elétron. Por estas e outras razões
que a Mecânica Quântica, apesar do seu grande grau de precisão, limita-se a aplicações
específicas. Para evitar quaisquer absurdos no estudo do eletromagnetismo aqui apresentado considerou-se a abordagem clássica com um limite de equacionamento em torno de
0,1 mm .
Um campo que é função do tempo e das coordenadas espaciais pode ser definido
como uma onda. Contudo, nesse texto, usaremos uma notação um pouco mais restrita,
pois além dos condicionantes acima mencionadas, é necessário que o campo obedeça a
equação da onda. Portanto, termos como onda ou campo são considerados sinônimos,
uma vez que o campo eletromagnético obedece as equações de onda, como veremos a
29
seguir.
2.1
Equações de Maxwell
O campo eletromagnético está associado a cargas elétricas discretas que podem estar
ou não em movimento. Como adotamos a abordagem macroscópica, as cargas elétricas
são consideradas com uma distribuição uniforme e velocidades contínuas.
Para um dado elemento de volume, dV , à escala macroscópica mas com um grande
número de cargas elementares, com carga elétrica dq, a densidade de carga elétrica é
⇢ = dq/dV . Se a carga elétrica se desloca a uma velocidade ⌫, a densidade de corrente
J associada a esse movimento é
J=
dq
⌫ = ⇢⌫
dV
(2.1)
O campo eletromagnético é definido por quatro vetores que são função das coordenadas
(x, y, z, ) do ponto no espaço e do tempo, a saber:
E – campo elétrico;
D – deslocamento elétrico ou densidade de fluxo elétrico;
B – indução magnética ou densidade de fluxo magnético;
H – campo magnético.
Uma das relações entre estes vetores foi estabelecida por James Clerk Maxwell (Maxwell
1954) que consolidou o trabalho de Àmpere, Gauss, Oersted, Faraday e outros. Na referência acima, Maxwell não expressou o campo através das quatro equações que receberam o nome de equações de Maxwell. Apenas 1964, é que o mesmo Maxwell
formulou em quatro equações as relações entre eletricidade e magnetismo. A notação
mais moderna utilizando-se o símbolo r deve-se a Heaviside, que independentemente
de Maxwell apresentou uma formulação mais compacta entre os campos vetoriais E e
H. Um ponto curioso é que as quatro equações se reduzem a apenas uma caso a formulação tensorial seja adotada (Jackson 1999, Feynman et al. 1964). Além das equações
de Maxwell, há uma outra relação entre os vetores definida por propriedades da matéria
e das condições iniciais seja da temperatura, seja do estado anterior da matéria, entre
outros. Sob o ponto de vista macroscópico, essas relações podem ser tomadas como
resultado de determinação experimental.
As quatro equações de Maxwell podem ser divididas em dois grupos de duas equações:
• o primeiro estabelece a relação entre o campo elétrico e o campo magnético;
• o segundo define as informações do meio, que também são conhecidas como equações constitutivas.
30
Sob a forma diferencial as duas equações de Maxwell em meios “contínuos” e na ausência de campos aplicados são:
@B
@t
@D
r⇥H = J +
@t
r⇥E =
(2.2)
As equações acima mostram que o campo magnético relaciona-se com a “corrente” total
e que a variação do campo elétrico acarreta numa variação no vetor de densidade de
campo magnético. Caso haja um campo elétrico aplicado, Ea , a primeira das equações
em (2.2) passa a ser
r⇥(E
Ea ) =
@B
@t
O campo aplicado pode ser associado efeitos de heterogeneidade físico-química ou térmica e não às cargas e correntes.
As expressões em (2.2) podem ser escrita em forma integral, supondo ainda um meio
contínuo ou contínuo por partes e também a ausência de campos aplicados:
I
ZZ
@B
E · dl =
· n dS
@t
S
IL
ZZ
(2.3)
@D
H · dl = I +
· n dS
@t
L
S
onde S é uma superfície regular arbitrária, cujo contorno é dado por L, e n é a normal
exterior à superfície. Logo para o caso de um o contorno fixo L, a circulação do campo
elétrico ao longo deste contorno é proporcional e de sinal contrário (de acordo com a
convenção de sinais de Stokes) à derivada em relação ao tempo do fluxo do vetor indução
magnética através de uma superfície S qualquer delimitada por L. Portanto, a circulação
do campo elétrico relaciona-se com a variação do fluxo do vetor indução magnética.
Se por um lado, a formulação integral apresenta uma vantagem pois não faz restrições à necessidade da existência da derivada dos campos envolvidos como em (2.2). Por
outro, a programação da resolução de equações diferenciais é bem mais simples. Em conseqüência de (2.2) e tomando como válida a hipótese de conservação de carga obtemos
as outras duas equações de Maxwell
r·D = ⇢
r·B = 0
(2.4)
A primeira expressão em (2.4) define que as cargas elétricas, distribuídas com uma densidade ⇢ são a origem de D, em outras palavras, as linhas de força de D têm sua origem
ou seu fim em cargas elétricas. Já a segunda traduz que o vetor B é solenoidal e que,
portanto, a densidade de suas linhas de força por um determinado volume representam
usualmente caminhos fechados e não há cargas magnéticas. É importante notar que há
31
configurações, onde algumas das linhas de campo que não são caminhos fechados1 . Em
formulação diferencial, a conservação de carga pode ser expressa como:
@⇢
@t
r·J =
A formulação das expressões em (2.4) sob a forma integral, é dada por
I
B · n dS = 0
IS
D · n dS =
S
ZZZ
(2.5)
(2.6)
⇢ dV = q
V
onde V é um volume delimitado por uma superfície S fechada, regular, arbitrária, n a
normal exterior à superfície e q a carga elétrica total contida no volume V .
A primeira expressão em (2.6) implica que o fluxo de B através de qualquer superfície fechada é nulo, ou seja, o fluxo que entra é igual ao que sai, ou ainda, o fluxo através
de um tubo de força é constante. Já a segunda expressão traduz que o fluxo de D através
de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica contida no volume delimitado
pela mesma. Já em notação integral a mesma hipótese é dada por (2.7),
I
ZZZ
d⇢
J · n dS =
dV
(2.7)
dt
S
V
e para uma superfície fixa, ou seja, uma determinada superfície “constante” (as “bordas”
e conseqüentemente toda a área envolvida não varia no tempo)
I
dq
J · n dS =
(2.8)
dt
S
Utilizando-se a propriedade (Teorema de Stokes e Green)
I
ZZZ
F · n dS =
r·F dV
S
V
e aplicando-se a definição de divergência (vide seção1.7)
@B
@t
@D
r⇥H = J +
@t
r⇥E =
(2.9)
1
Do ponto de vista formal, campos que apresentam linhas de campos que se fecham apenas no infinito
também podem ser definidos como sendo solenoidais
32
uma outra propriedade útil é r· r⇥ F = 0 e aplicando-a em (2.2) temos2 :
@B
@
=
r· B = 0
@t
@t
@
r· J +
r· D = 0
@t
r·
(2.10)
Para que a derivada do divergente de uma função seja nula é necessário que o próprio
divergente desta função seja nulo. Em outras palavras:
@
r· F = 0 ! r·F = 0
@t
Portanto, r·D
2.2
(2.11)
⇢ = 0 e r·B = 0
Propriedades do meio
Na formulação das equações de Maxwell, as propriedades do meio podem ser expressas através de relações entre os campos E e H com D e B respectivamente. É o caso
de:
D = ✏E
B = µH
(2.12)
J= E
Contudo, estas relações não são universalmente aplicáveis uma vez que os parâmetros
do tipo ✏, µ, podem ser escalares ou tensores, lineares ou não lineares, variantes com
a freqüência ou com parâmetros termodinâmicos ou mecânicos. Por exemplo, para um
determinado meio anisotrópico e linear D = D(ˆ
✏, E), onde ✏ˆ é um tensor simétrico de
segunda ordem. Para a relação entre o campo magnético e a densidade de campo magnético a permeabilidade magnética µ é considerada constante em cada elemento de volume.
Excetuando-se substâncias ferromagnéticas, a relação B e H tem um valor bem próximo
de µ0 (permeabilidade magnética do vácuo). Nas substâncias ferromagnéticas, esta relação é bastante complexa, sendo biunívoca na maioria das vezes e dependente do estado
anterior (histerese). Usualmente nestes materiais a relação |B|/|H| é algumas ordens
de grandeza superior µ0 . De forma geral, ainda podemos escrever a relação apresentada
em (2.12), o que implica em supor que ambos vetores possuam a mesma direção, sendo
µ = µ(H, B). É possível também definir uma permeabilidade magnética incremental,
µi dada por
µi =
dB
dH
A última expressão em (2.12) traduz uma relação linear válida em grande números de
corpos sólidos e líquidos, sendo independente do campo elétrico mas dependente da
2
A comutação dos operadores r e @/@t é admissível no eletromagnetismo pois tratamos de campos que
são supostamente contínuos, vid seçãoe 1.7
33
temperatura e da pressão. Já o vetor J, mesmo nos sólidos e líquidos depende também
do campo magnético, mas de forma tão fraca que normalmente é desprezada. Nos gases
a relação não é em geral linear.
A hipótese de considerar ✏, µ, escalares e constantes só é válida em gamas limitadas
de freqüência.
Limitamos a nossa análise ao caso de um contorno l fixo. Para o caso de contornos móveis, ou seja variantes no tempo, é necessário recorrer à teoria da relatividade.
Todavia, nos casos onde as velocidades dos contornos for muito inferior à velocidade
de propagação das ondas eletromagnéticas é legítimo considerar o conjunto de equações
acima.
2.2.1
Potenciais
Já apresentamos as equações de Maxwell, contudo será que não existe uma função ou
família de soluções para as quatro equações? A resposta é sim. As equações de Maxwell
podem ser expressas por potenciais vetores e escalares. Em capítulo posterior vamos
explorar em detalhe esse assunto.
A solução das equações de Maxwell consiste em encontrar funções “intermediárias”
que se relacionam diretamente com as fontes e das quais os campos elétricos e magnéticos podem ser derivados. Este tipo de função é conhecida como potencial e são úteis
também para o caso de eletrostática e magnetostática. A interpretação física pode ser
menos clara no caso do potencial vetor magnético, A. De fato, parte da dificuldade física
está, possivelmente, ligada ao problema de que este tipo de solução não é univocamente
definido: existem diversos conjuntos possíveis de solução.
Da equação da densidade de fluxo magnético na forma diferencial, (2.2) temos que o
campo B é sempre solenoidal desta forma pode ser representado na forma:
B = r⇥A0
(2.13)
como o vetor A0 não é univocamente determinado por ser escrito como:
B = r⇥A
(2.14)
r
(2.15)
neste caso,
A = A0
onde é uma função escalar arbitrária de um ponto (x, y, z) que deve satisfazer também
determinadas condições de derivabilidade. Aplicando-se (2.15) em (2.2) o campo elétrico
pode ser expresso por:
✓
◆
@A0
r⇥ E +
=0
@t
✓
◆
(2.16)
@A
r⇥ E +
=0
@t
34
Portanto, podemos escrever,
@A0
= r
@t
@A
E+
= r
@t
E+
0
(2.17)
ou ainda
E=
r
E=
r
0
@A0
@t
@A
@t
(2.18)
onde = 0 + @ /@t. As funções temporais e espaciais do tipo A (A0 ) são potenciais
vetores e as funções temporais e espaciais similares à ( 0 ) são potenciais escalares.
Qualquer par de funções A, (ou A0 , 0 ), para uma função arbitrária , conduz aos
campos E, B. Em meios onde a carga e a densidade de corrente são nulas, um possível
campo é dado por 0 = 0, A0 = 0. A função escalar é agora qualquer solução da
equação homogênea
r·A + µ✏
@
=0
@t
Visto que e satisfazem a mesma equação, pode ser escolhido de forma que seja
nulo. Neste caso, o campo é determinado apenas pelo potencial vetor.
Num meio linear, homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes no domínio do tempo
considerado, temos:
✓
◆
@A
D= ✏ r +
@t
(2.19)
1
H = r⇥ A
µ
Substituindo (2.19) em (2.2)
@
@2A
+ µ✏ 2 = µJ
@t
@t
@
⇢
+
r· A =
@t
✏
r⇥ r⇥ A + µ✏r
r
2
(2.20)
Para o conjunto de equações acima podemos, ainda, impor-se uma condição adicional
arbitrária com relação ao gradiente do potencial vetor. Duas condições são possíveis. A
primeira dá origem aos potenciais instantâneos de Maxwell, definido por r·A = 0. A
segunda, que gera os potenciais retardados de Lorentz, é dada por
r·A + µ✏
35
@
=0
@t
Notemos que o campo elétrico é medido em volts/metro e que o potencial escalar é
medido em volts. A unidade do potencial vetor pode ser expressa em webbers/metro ou
volts-segundo/metro ou mesmo joules/ampere. O produto da corrente com o potencial
vetor é energia.
É possível também definir um potencial vetor elétrico dual ao potencial vetor (magnético) A tal que
2.2.2
(2.21)
r⇥ F
E=
Potenciais Instantâneos de Maxwell
A condição adicional de Coulomb ou calibre de Coulomb dá origem aos potenciais
instantâneos de Maxwell. Ela consiste em definir os potenciais A e a partir de r·A =
0, o que corresponde a função arbitrária satisfazendo a condição:
r2
(2.22)
= r·A0
sendo A0 e 0 uma solução particular de (2.20). Com esta condição adicional “arbitrária”, o potencial escalar é univocamente definido por (2.23)
r2
=
⇢
✏
(2.23)
Utilizando-se a identidade vetorial r2 G = r(r·G) r⇥(r⇥G) em (2.19), na equação do divergente de A temos da primeira equação de (2.20),
✓
◆
@D
2
r A= µ J+
(2.24)
@t
onde o vetor A é definido de forma unívoca.
Consideremos um ponto de observação P 0 definido pelas coordenadas, (x0 , y 0 , z 0 ) e
um ponto genérico P representado por (x, y, z). Os potenciais instantâneos de Maxwell
tem a seguinte solução
ZZZ
1
⇢(P, t)
0
(P , t) =
dV
(2.25)
4⇡✏
r
V
µ
A(P , t) =
4⇡
0
ZZZ
V
1
r
✓
@D(P, t)
J(P, t) +
@t
◆
dV
(2.26)
p
onde t é o tempo no ponto de observação e r = (x x0 )2 + (y y 0 )2 + (z z 0 )2
Na formulação apresentada em (2.25) e (2.26) os potenciais A, não separam-se,
pois implicitamente o vetor D, que por sua vez é função de , é “empregado” na obtenção
de A. Há também uma relação entre A com a corrente total J + @D/@t bem como
com e ⇢ no mesmo instante de tempo. Ainda em relação as potenciais haveria uma
36
propagação instantânea dos campos E, H obtidos a partir dos potenciais, apesar dos
mesmos possuírem uma velocidade de propagação finita dada por
r
1
⌫=
(2.27)
µ✏
A expressão do potencial vetor elétrico em forma integral possui uma expressão similar a (2.26) como mostra a (2.28)
ZZZ
✏
1
F(P 0 , t) =
K(P, t)dV
(2.28)
4⇡
r
V
onde K é chamado de densidade de corrente magnética, cuja relação com o campo elétrico é dada por
2.2.3
(2.29)
r⇥ E
K=
Potenciais Retardados de Lorentz
Um outro conjunto de potenciais comumente utilizados são conhecidos como potenciais retardados que se reduzem aos potenciais utilizados nos casos dos campos estáticos
no limite quando não há variações do tempo. Eles consistem em utilizar a condição
adicional de Lorentz (Calibre de Lorentz) para definir os potenciais A e :
r·A + µ✏
que corresponde a um função arbitrária
r2
µ✏
@
=0
@t
(2.30)
satisfazendo a condição,
@2
@
= r·A0 + µ✏
2
@t
@t
(2.31)
sendo A0 , 0 uma solução particular de (2.20). Com esta condição adicional “arbitrária”,
os potenciais A, são univocamente definidos por (2.32)
r⇥ r⇥ A
r
2
r(r·A) + µ✏
@2
µ✏ 2 =
@t
@2A
= µJ
@t2
⇢
✏
(2.32)
empregando-se o mesmo raciocínio da seção anterior temos:
r2 A
µ✏
@2A
=
@t2
µJ
(2.33)
Ao contrário do item anterior, as equações apresentadas aqui separam os potenciais
A e , relacionam A com J e com ⇢ separadamente e possuem a forma de equação
p
de onda com fontes associadas a J e ⇢, com uma velocidade de propagação ⌫ = 1/ µ✏
37
Consideremos um ponto de observação P 0 definido pelas coordenadas, (x0 , y 0 , z 0 ) e
um ponto genérico P representado por (x, y, z). Os potenciais instantâneos de Maxwell
tem a seguinte solução
ZZZ
1
⇢(P, t⇤ )
0
(P , t) =
dV
(2.34)
4⇡✏
r
V
µ
A(P , t) =
4⇡
0
ZZZ
1
J(P, t⇤ ) dV
r
(2.35)
V
onde t⇤ = t
2.2.4
r/⌫ e r =
p
(x
x0 )2 + (y
y 0 )2 + (z
z 0 )2
Dualidades entre os Campos
Há nas equações de Maxwell, seja na forma diferencial, seja na forma integral, uma
relação de dualidade entre os vetores E e H, bem como entre D e B. Apresentamos na
tabela a seguir as dualidades presentes nos campos eletromagnéticos. Desta forma, ao
usar uma equação envolvendo cargas e correntes substituirmos os elementos na coluna
da esquerda pelo elemento correspondente na coluna da direita, obtemos a equação dual
para o campo magnético. De forma similar, a partir de qualquer tipo de solução para o
campo magnético é possível encontrar o campo elétrico dual. Essa dualidade simplifica
a solução dos campos eletromagnéticos, uma vez que os dois campos correspondem a
apenas um sistema de equações matemáticas.
Tabela 2.1: Relações duais no eletromagnetismo
Apenas Fontes Elétricas
E
H
D
B
J
A
✏
µ
2.2.5
Apenas Fontes Magnéticas
H
E
B
-D
K
F
µ
✏
Vetor de Hertz
Ao invés de utilizar os potenciais vetores e escalares uma outra fórmula de solução
consiste em utilizar o vetor potencial de Hertz ou simplesmente Vetor de Hertz. Desta
forma é possível exprimir o campo magnético e os potenciais, e A a partir de um único
vetor “potencial”, permitindo-se expressar tanto H e E diretamente deste vetor.
38
Numa região do espaço linear, homogênea e isotrópica, em que não haja correntes de
condução nem cargas, consideramos um vetor ⇧ de forma que
A = µ✏
@⇧
@t
(2.36)
com uma escolha conveniente do grau de liberdade de
correspondente às seguintes relações:
r2 ⇧E
Desta forma as demais grandezas,
µ✏
e A, obtemos uma solução
@ 2 ⇧E
=0
@t2
(2.37)
, B e E podem ser relacionadas com ⇧E por:
r· ⇧E
@⇧E
B = µ✏ r⇥
@t
=
E = r(r·⇧E )
(2.38)
µ✏
@2⇧
E
2
@t
onde
r2 ⇧E
µ✏
@ 2 ⇧E
=
@t2
P
✏
(2.39)
e P é um vetor de polarização associado às fontes e definido por:
@P
@t
⇢ = r· P
J=
Deixamos como exercício a prova que tanto E quanto H expressos conforme (2.38)
satisfazem as equações de Maxwell. A título de ilustração a Fig. 2.1 apresenta o campo
vetorial para um dipolo de Hertz, estando o mesmo localizado na origem. As setas mais
longas são causadas pela singularidade do dipolo na origem.
Há também uma solução alternativa ⇧M que satisfaz às equações do campo eletromagnético em meio linear, homogêneo e isotrópico e sem correntes de condução ou
cargas.
@⇧M
@t
⇤
= r· ⇧M
@⇧M
D = µ✏ r⇥
@t
F = µ✏
H = r(r·⇧M )
(2.40)
µ✏
@ 2 ⇧M
@t2
Portanto, em principio, o campo eletromagnético pode ser decomposto em duas parcelas
uma relacionada ao vetor ⇧E e outra do vetor ⇧M .
39
Figura 2.1: Campo Vetorial de um dipolo de Hertz
Para a formulação apresentada aqui a origem dos campos é externa à região considerada. Para interpretar a diferença entre ⇧E e ⇧M é conveniente considerar os domínios
do espaço sem a referida restrição, o que aproveita a separação entre as duas soluções
e associa ⇧E e ⇧M às “fontes” (ou origem) do campo eletromagnético. Por exemplo,
considerando meios com polarização elétrica residual, P0 e polarização magnética residual, M0 , ambas função de um ponto com coordenadas, x, y e z e independentes de E
e de H, mas em que não haja correntes de condução nem cargas e sendo constantes no
domínio de tempo considerado, D e H podem ser expressas por:
D = ✏E + P0
1
H = B M0
µ
(2.41)
Alternativamente a segunda equação em (2.41) pode ser expressa por: B = µ(H + M0 )
utilizando-se convenientemente os graus de liberdade das soluções de potencial obtemos:
@ 2 ⇧E
P0
=
2
@t
✏
2⇧
@
M
r2 ⇧M µ✏
= M0
@t2
@ 2 ⇧E
@
E = r(r·⇧E ) µ✏
µ r⇥ ⇧M
2
@t
@t
@
@ 2 ⇧M
H = ✏ r⇥ ⇧E + r(r·⇧M ) µ✏
@t
@t2
r 2 ⇧E
µ✏
40
(2.42)
Nestas condições consideramos como fonte do vetor ⇧E a polarização residual elétrica, P0 , e a fonte do vetor ⇧M é a polarização residual magnética, M0 . Na hipótese
de, num determinado domínio espacial não houver polarização residual elétrica ou magnética, e o meio for caracterizado por ✏, µ e constantes obtemos soluções do tipo:
@
E = r⇥ r⇥ ⇧E µ r⇥ ⇧M
@t ◆
✓
@⇧E
H = r⇥ ✏
+ ⇧E + r⇥ r⇥ ⇧M
@t
(2.43)
Quando o interesse é o estudo de comportamento dos campos harmônicos, onde as
funções envolvidas possuam uma variação temporal do tipo exp(j!t) é mais útil relacionar diretamente o termo r⇥ r⇥ ⇧E (ou r⇥ r⇥ ⇧M ) através da relação apresentada
em (2.44).
r⇥ r⇥ ⇧E = r (r·⇧E )
r⇥ r⇥ ⇧M = r (r·⇧M )
2.3
@ 2 ⇧E
@t2
@ 2 ⇧M
µ✏
@t2
@⇧E
=0
@t
@⇧M
µ
=0
@t
µ✏
µ
(2.44)
Vetor de Poynting
O Vetor de Poynting é um elemento conhecido devido as disciplinas de eletromagnetismo apresentadas na graduação. É importante pois permite uma associação do fluxo de
potência com grandezas físicas diretas. A dedução do Vetor de Poynting é feita a partir
das equações de Maxwell, na ausência de campos aplicados e tomando meios que sejam
“contínuos”.
@B
@t
@D
r⇥H = J +
@t
r⇥E =
(2.45)
Multiplicando-se a primeira equação em (2.45) à esquerda por H e a segunda por E,
onde a multiplicação é feita em termos de produto escalar, temos:
@B
=0
@t
@D
E·
=E·J
@t
H · r⇥E + H ·
E · r⇥H
(2.46)
Subtraindo-se uma equação da outra em (2.46) e aplicando-se a identidade vetorial a
r·(F ⇥ G) = G(r⇥F)
F(r⇥G
(2.47)
leva a (2.48).
r·(E ⇥ H) + E · J =
41
E·
@D
@t
H·
@B
@t
(2.48)
Por fim, integrando-se a eq.(2.48) acima num volume V limitado por uma superfície S,
temos:
◆
ZZ
ZZZ
ZZZ ✓
@D
@B
(E ⇥ H) · n dS +
E · J dV =
E·
+H·
dV (2.49)
@t
@t
S
V
V
A existência de um campo elétrico externo, E0 , implica em:
J = (E + E0 )
(2.50)
substituindo-se a (2.50) em (2.49), resulta em:
r·(E ⇥ H) + E · E + E ·
@D
@B
+H·
= E0 · J
@t
@t
(2.51)
que pode ser escrita sob a seguinte forma integral
◆
ZZ
ZZZ
ZZZ ✓
ZZZ
@D
@B
(E ⇥ H) · n dS +
E · E dV +
E·
+H·
dV =
E0 · J dV
@t
@t
S
V
V
V
(2.52)
Definindo o vetor de Poynting como
(2.53)
S=E⇥H
é possível obter a seguinte expressão, em forma diferencial:
r·S + E · E + E
ou em forma integral
ZZ
ZZZ
S · n dS +
S
V
E · E dV +
@D
@B
+H
= E0 · J
@t
@t
ZZZ ✓
E·
V
@D
@B
+H·
@t
@t
◆
(2.54)
dV =
ZZZ
V
E0 · J dV
(2.55)
São possíveis diversas interpretações das parcelas em (2.55), apresentamos aqui apenas uma:
•
@u
@t
= E · @D
@t representa a derivada parcial em relação ao tempo da densidade
volumétrica de energia elétrica, u associada aos campos E e D;
•
@w
@t
= H · @B
@t representa a derivada parcial em relação ao tempo da densidade
volumétrica de energia magnética, w, associada aos campos H e B;
•
E · E densidade volumétrica de potência dissipada por efeito da condutividade
do meio;
42
• E0 · J densidade volumétrica de potência fornecida ao meio por interação entre o
campo elétrico externo e a corrente de condução.
Desta forma a parcela r·S traduz o fluxo de energia eletromagnética que atravessa uma
superfície delimitada pelo elemento dS, e o fluxo do vetor de Poynting pode então ser
interpretado como a potência eletromagnética que atravessa essa superfície. O fluxo de
energia eletromagnética passa ser diretamente associado aos campos E e H e não às
cargas e correntes.
O raciocínio apresentado aqui diz respeito a uma superfície “fechada” e que sua generalização para uma superfície aberta não é trivial e não pode seguir a estrutura apresentada
aqui.
2.4
Solução da Equação de Onda
Nos casos apresentados nos itens anteriores, em domínio do espaço onde não existem
fontes associadas às grandezas em análise temos equações do tipo,
r2 F + k 2
@2F
=0
@t2
(2.56)
onde F pode ser um vetor ou escalar, podendo incluir domínios de variáveis complexas.
A equação em (2.56) nada mais é que a equação de onda, que no caso mais geral em
meio com perdas também é conhecida como equação de Helmholtz, que é uma equação
diferencial parcial elíptica. A solução de (2.56) pode incluir uma infinidade de formas.
Um detalhe importante que deve ser ressaltado aqui:
• A solução de equações diferenciais é diferente das equações algébricas! Ninguém
sabe como resolver uma equação diferencial, o que sabemos é a família de funções
que podem ser adaptadas a um conjunto ou outro de equações dadas as condições
de fronteira.
No caso particular da equação de onda, podemos obter uma função ou até mesmo um
somatório finito ou infinito de funções que satisfaça às condições de fronteira ou às condições impostas pelas fontes no interior do domínio do espaço estudado.
Por outro lado, diversas “famílias” de soluções de equações de onda podem converterse na sobreposição de diversas famílias de eq. de ondas. É o caso de ondas planas,
cilíndricas e esféricas, onde a escolha mais conveniente do tipo de solução depende,
basicamente, das condições de fronteira ou das fontes.
Consideremos um exemplo simples onde F é escalar num sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais, função de uma única coordenada espacial, x, e do tempo, t,
F (x, t), sendo o meio ideal e sem perdas de constantes µ e ✏. Temos:
@2F
@x2
µ✏
@2F
=0
@t2
43
(2.57)
A equação (2.57) tem como solução F = F1 (x ⌫t) + F2 (x + ⌫t), onde Fi são funções
arbitrárias dos argumentos, restritos apenas às condições de contorno, correspondentes
a ondas propagando-se no sentido crescente e decrescente de x com uma velocidade ⌫
dada por (2.27).
No caso de haver em determinados domínios do espaço fontes associadas à grandeza
em análise, uma forma mais geral de (2.57) pode ser escrita:
@2F
@x2
µ✏
@2F
= M (P, t)
@t2
(2.58)
onde P é um ponto do espaço e M (P, t) independe de F .
A solução de (2.58) pode ser decomposta na soma de soluções particular e soluções
da equação homogênea. No caso do cálculo de campos eletromagnéticos nas aplicações
típicas de Engenharia é interessante utilizar funções que sejam senoidais ou exponenciais
em relação ao tempo. Em termos físicos, a resposta, na maioria das vezes, corresponde a
utilizar a parte real da resposta completa que é complexa. Desta forma podemos reescrever F (P, t) e M (P, t) da seguinte forma:
F (P, t) = <(F (P ) exp(±j!t))
M (P, t) = <(M (P ) exp(±j!t))
(2.59)
onde F (P ) e M (P ) são complexos funções do ponto P e independente de t. Considerandose então funções complexas (2.58) e (2.57) podem ser escritas como:
r2 F + µ✏! 2 F = 0
r2 F + µ✏! 2 F = M
(2.60)
o parâmetropde propagação do meio, k, para uma freqüência angular !, pode ser expresso
como k = ! 2 µ✏.
A grande vantagem da formulação complexa está no fato que ao invés de equações
diferenciais nas coordenadas espaciais e no tempo, passamos a ter equações diferenciais ordinárias, i.e., apenas em coordenadas de espaço ou da freqüência. Note-se que o
procedimento é o memos da separação de variáveis, conforme apresentado no capítulo
anterior.
Consideremos o exemplo muito simples, onde F é um escalar num sistemas cartesiano de coordenadas e função apenas de uma única coordenada espacial x e do tempo t,
(F (x, t)). Na formulação de (2.60) temos:
F = F (x) = C1 exp(jkx) + C2 exp( jkx)
(2.61)
onde C1 e C2 são constantes complexos dadas pelas condições de contorno, logo
F (x, t) = C1 exp(jkx) exp(±j!t) + C2 exp( jkx) exp(±j!t)
44
(2.62)
As duas parcelas de (2.62) correspondem a “ondas senoidais” com fases propagandose em sentidos opostos. No caso geral o meio é dissipativo e a equação de onda pode ser
expressa como:
r2 F
2
r F
@2F
@t2
@2F
µ✏ 2
@t
µ✏
@F
=0
@t
@F
µ
= M (P, t)
@t
µ
(2.63)
onde é a condutividade do meio. A solução das equações em (2.63) é menos simples
que no caso dos meios não dissipativos. Todavia, no domínio da freqüência, a dificuldade,
é essencialmente a mesma, ou seja, independente se o meio é dissipativo ou não. Por
exemplo, consideremos as grandezas da forma3 :
F (P, t) = <(F (P ) exp(±j!t))
M (P, t) = <(M (P ) exp(±j!t))
Para grandezas na forma complexa, as equações em (2.63) reduzem-se a:
r2 F + µ✏! 2 F ± jµ !F = 0
r2 F + µ✏! 2 F ± jµ !F = M
(2.64)
sendo, o significado do parâmetro de propagação, k, do meio, com freqüência angular !
é dada por:
p
k = µ✏! 2 ± j!µ
(2.65)
Similar ao caso não dissipativo, a adoção da formulação complexa permite obter uma
separação de variáveis transformando as equações diferenciais parciais em ordinárias. A
alteração importante está no fato que k torna-se complexo onde antes era real para o caso
não dissipativo. A parte imaginária de k está associada à atenuação, para uma freqüência
angular !, originada pela dissipação do meio.
Conforme o caso não dissipativo, a solução envolve ondas que se propagam em sentidos contrários. Estas ondas, por sua vez, são grandezas do tipo senoidal-exponenciais
ou exponenciais, ou seja ondas amortecidas. Em termos de grandezas não senoidais, a
atenuação implica em geral na alteração da forma relativa da onda ao propagar-se, não
havendo, em geral, soluções do tipo
F = F1 (x
⌫t) + F2 (x + ⌫t)
A análise no domínio da freqüência, tem a vantagem de permitir considerar a variação
dos parâmetros do meio em função da freqüência, o que não pode ser expresso diretamente, salvo formulações laboriosas, em equações diferenciais no espaço e no tempo.
Por sua vez, a modelagem no domínio do tempo permite uma manipulação mais direta
de fenômenos não lineares.
3
Consideramos, a príncipio, o caso geral onde grandezas temporais podem ser expressos por exponenciais complexas do tipo exp(j!t) ou exp( j!t). É por esta razão que agumas grandezas apresentam o
símbolo ±
45
2.5
Problemas
1. Utilizando o código do cálculo do vetor de Hertz apresentado em sala de aula inclua
o efeito da dependência com o tempo.
2. Mostre que incluindo-se a polarização P e a magnetização M através das equações
num meio isotrópico, infinito e uniforme de parâmetros ✏ e µ constantes, conforme
abaixo,
D = ✏E + P
H = B/µ
M
as equações de Maxwell podem ser escritas como
r·D = ⇢ext
r⇥H = Jext +
@D
@t
onde a densidade de corrente pode ser dividida em duas partes. Uma referente ao
efeito da indução dos campos eletromagnéticos no meio e outra devido a ação de
fontes externas de corrente
J = Jind + Jext
sendo o mesmo passível de ser aplicado à densidade de carga
⇢ = ⇢ind + ⇢ext
3. Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo possuindo os seguintes componentes para o campo magnético em coordenadas cilíndricas (usando
coordenadas {r, , z})
Hr = 0
H = J1 (kr sin ↵) exp(jkz cos ↵
!t)
Hz = 0
Calcule o campo elétrico associado.
4. Determine o rotacional do potencial vetor quando A é dado por
A = r̂r + ˆ cos
(2.66)
e por
A = r̂x
46
(2.67)
2.6
Soluções Parciais
1. Dica: veja o arquivo dado em sala de aula e note que pode-se animar o vetor de um
tempo de propagação k=1,
2. Inserindo
J = Jind + Jext
⇢ = ⇢ind + ⇢ext
e
@P
+ r⇥M
@t
= r· P
Jind =
⇢ind
nas equações de Maxwell temos
✓
◆
@P
@E
r⇥B = µ Jext +
+ r⇥M + µ✏
@t
@t
✏ r· E = ⇢ext r·P
que pode ser rescrito como
✓
◆
1
@(P + ✏E)
r⇥
B M = Jext +
µ
@t
r· (✏E + P) = ⇢ext
Agora introduzindo-se D e H conforme apresentado no enunciado, temos
r·D = ⇢ext
r⇥H = Jext +
@D
@t
3. Como se trata de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo temos B =
µ0 H. É necessário verificar se as expressões estão corretas e o divergente de B é
nulo. Devemos resolver o seguinte conjunto de equações
Z
(r⇥B) = E
Notemos que para ser a solução correta, as expressões de E devem ainda satisfazer
r·E = 0 por se tratar de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo.
4. Aplicando-se diretamente a definição de rotacional temos, para o primeiro caso
r⇥A =
cos
z
r
já para o segundo caso o rotacional do potencial vetor é nulo.
47
48
Parte II
Campos Estacionários
49
CAPÍTULO
3
Eletrostática
No caso de campos estáticos (eletrostática e magnetóstatica) podemos obter as equações básicas a partir das equações de Maxwell considerando todos os termos que possuem
@/@t = 0, conforme mostra (3.1)
r·E =
⇢
✏0
r⇥E = 0
(3.1)
r·H = 0
r⇥H = J
Neste caso particular é possível separar as equações em dois conjuntos, um onde aparece
apenas o campo elétrico, E e outro onde há apenas campo magnético, H. Isto serve para
realçar o fato que eletricidade e magnetismo são fenômenos distintos desde que envolvam
correntes e cargas estáticas. A eletrostática é um bom exemplo de um campo irrotacional
(rotacional nulo) e com divergente diferente de zero. Já a magnetostática é um caso de
um campo solenoidal (divergente nulo) e um rotacional não nulo.
3.1
Lei de Coulomb
Nesta item vamos examinar não o conjunto de equações de Maxwell, mas com um
caso mais simples envolvendo o cálculo de forças devidos a cargas estáticas.
A Lei de Coulomb nos mostra que a força ao longo de uma linha reta de uma carga,
q1 para outra, q2 é dada por:
F1 =
1 q1 q2
2 r̂ =
4⇡✏0 r12
51
F2
(3.2)
onde F1 é a força que atua na carga q1 , r̂ é um vetor unitário de q1 para q2 , a força F2
atua em q2 sendo igual e oposta a F1 .
Para aplicação geral onde há mais de duas cargas presentes, que representa um caso
mais interessante e prático, devemos nos valer do teorema da superposição pois para as
hipóteses em questão podemos considerar lineares os sistemas eletrostáticos.
O campo elétrico é um conceito útil para expressar a Lei de Coulomb, digamos que
E(x, y, z) é uma “força por unidade de carga” em q1 devido a todas as outras cargas,
podendo ser expresso por:
n
X
1 qj
E(x, y, z) =
2 r̂1j
4⇡✏0 rij
(3.3)
j6=1
Em módulo podemos expressar (3.3) por
n
X
1
E(x1 , y1 , z1 ) =
4⇡✏0 [(x1
j6=1
qj (x1
xj )2 + (y1
xj )
Yj )2 + (z1
zj )2 ]3/2
(3.4)
Normalmente é conveniente ignorar o fato que cargas atuam em pacotes como elétrons e
prótons, uma vez que não estamos interessados no que acontece em escalas tão diminutas.
Uma distribuição de carga ⇢(x, y, z). Se uma quantidade de carga em pequeno volume
V2 no ponto (x2 , y2 , z2 ) é q2 , e ⇢ é definido por:
q2 = ⇢(x2 , y2 , z2 ) V2
A aplicação da Lei de Coulomb neste caso demanda que os somatórios de (3.3) sejam
substituídos por uma integral sobre todo o volume contendo cargas, como mostra (3.5).
ZZZ
1
⇢(x, y, z)
E(x, y, z) =
r̂ dV
(3.5)
4⇡✏0
r2
V
Com a formulação integral podemos calcular os campos produzidos por uma linha,
um “filme” ou uma casca esférica com carga, ou qualquer outra distribuição específica
de carga. Do ponto de vista prático podemos dizer: conhecendo as cargas basta calcular
a integral para obtenção do campo, embora a integral envolva algumas complicações por
ser tridimensional.
3.2
Potencial Elétrico
O potencial elétrico pode ser relacionado com o trabalho realizado para carregar uma
carga de um ponto a outro. Se uma carga move-se de um ponto a para um ponto b,
Z b
W =
F · dl
a
onde F é a força elétrica que atua na carga em cada ponto e dl é o vetor diferencial
de deslocamento ao longo do caminho que une os limites da integral. Todavia é mais
52
interessante considerar o trabalho por unidade de carga. A força que atua na carga é numericamente igual ao campo elétrico. Chamando o trabalho realizado pela força elétrica
neste caso de W 0 , podemos escrever
Z
0
W =
b
a
E · dl
No caso de campos eletrostáticos a integral independerá do caminho utilizado sendo função apenas dos pontos a e b. Podemos pensar no campo eletrostático como sendo conservativo. Uma vez que o valor da integral depende apenas dos pontos terminais podemos
escolher um ponto de referência P0 , considerando (a) como o trabalho realizado pelo
campo de P0 até o ponto a e (b) é o trabalho realizado entre P0 até o ponto b. A integral
envolvida pode então ser expressa por:
Z
b
a
E · dl = (b)
(a)
(3.6)
Como a expressão (3.6) depende apenas dos pontos terminais não é necessário especificar
o ponto P0 , é um campo escalar e função dos pontos (x, y, z). De forma geral podemos
definir
Z P
(P ) =
E · dl
(3.7)
P0
sendo comum definir o ponto de referência no infinito. Portanto, para uma carga na
origem, o potencial para um ponto (x, y, z) é dado por (3.8).
(x, y, z) =
q 1
4⇡✏0 r
(3.8)
Para o caso geral de várias cargas ou uma distribuição uniforme de cargas o potencial
num ponto de coordenadas (x, y, z), temos as equações (3.9)
X 1 qj
4⇡✏0 rj
j
ZZZ
1
⇢(x, y, z)
(x, y, z) =
dV
4⇡✏0
r
(x, y, z) =
(3.9)
V
O potencial possui um significado físico, é a energia potencial no qual uma carga
unitária teria ao ser “levada” de um ponto específico no espaço a partir de uma referência.
O campo elétrico E pode ser expresso como:
E=
r
(3.10)
Contudo se o campo elétrico é dado pelo gradiente de um campo escalar implica que o
rotacional de E deve ser nulo, r⇥E = 0, o que coincide com as equações de Maxwell
53
para o caso eletrostático. Uma outra forma de entender seria lembrar que o trabalho
calculado ao longo de um caminho fechado é nulo
I
E · dl = 0
`
Sugere-se como exercício que se calcule o rotacional do campo elétrico através do campo
de uma carga pontual. Note que pelo princípio da superposição, se este rotacional for nulo
para uma carga ele o será para qualquer distribuição de carga.
3.3
Divergente do Campo Elétrico
Pode-se se provar que para um carga pontual q o fluxo do campo elétrico que passe
qualquer superfície S que envolva a carga será dado por
ZZ
q
E dS =
(3.11)
✏
S
Caso a superfície não envolva carga alguma, o resultado da integral será nulo. Esta é uma
forma de se expressar a Lei de Gauss, apelando para um raciocínio bastante intuitivo e
sem grandes rigores matemáticos. Para um sistema com n cargas teremos:
ZZ
S
n
X
qi
E · n dS =
✏0
(3.12)
i=1
onde S é qualquer superfície fechada que envolva o conjunto de cargas, n é o vetor
unitário normal a superfície S. Caso a carga seja descrita por uma densidade de carga ⇢,
podemos considerar um volume infinitesimal dV e a eq.(3.12) pode ser reescrita como:
ZZ
ZZZ
E · n dS =
⇢ dV
(3.13)
S
V
onde V é o volume limitado pela superfície S. Sob a forma diferencial podemos ainda
escrever:
r·E =
3.4
⇢
✏0
(3.14)
Equipotenciais
Ainda que já tenhamos definido o campo elétrico em termos de vetores no tempo é
interessante uma descrição geométrica do seu comportamento. De fato que, tanto o fluxo,
que é proporcional a carga envolvida, quanto o campo elétrico, que é o gradiente de uma
função potencial, podem ser representados geometricamente, através da equipotenciais.
54
Figura 3.1: Linhas de Campo e Equipotenciais
As equipotenciais nada mais são que linhas que mostram todas as direções possíveis
do vetor campo elétrico. Pode-se até utilizar a “regra” que a intensidade do campo elétrico é definida pela densidade das linhas. Em termos das linhas de campo, a Lei de Gauss
nos mostra que elas devem começar na carga positiva e continuar indefinidamente até encontrar uma carga negativa. A título de exemplo apresentamos a seguir as equipotenciais
e as linhas de campo para o caso de duas cargas elementares de sinais opostos.
3.5
Equilíbrio Eletrostático
Considere um triângulo equilátero em que cargas negativas de mesmo valor sejam
colocadas no vértice deste triângulo. Se uma carga positiva fosse colocada no centro do
triângulo, o sistema permaneceria em equilíbrio? Ainda mais, este equilíbrio seria estável? A resposta é não, de fato, não há pontos de equilíbrios estáveis em eletrostática. A
Lei de Gauss torna fácil de ver esta acertiva. Primeiro, para uma carga estar em equilíbrio
em determinado ponto do espaço, o campo deve necessariamente ser nulo. Segundo, para
o equilíbrio ser estável seria necessário existir alguma força restauradora, caso, como no
exemplo acima, houvesse um pequeno deslocamento de qualquer uma das cargas. Por
exemplo, considere uma dupla de cargas q1 e q2 , a força neste sistema é dada por:
F = q1 E 1 + q2 E 2
onde Ei são os campos devidos às cargas qi , supostas livres no espaço. Calculando-se o
divergente da força temos:
r·F = q1 (r·E1 ) + q2 (r·E2 )
Como neste caso os divergentes do campo elétrico são nulos, assim será com o divergente da força. Para o sistema estar em equilíbrio estável, seria necessário um divergente
negativo.
Um sistema de três cargas de mesma polaridade poderiam estar em equilíbrio se
houvesse a atuação de outras forças, conforme mostra a Fig. 3.2
55
+
+
+
Figura 3.2: Cargas em equilíbrio devido a atuação de forças externas
3.5.1
Equilíbrio em Condutores
Se não há equilíbrio eletrostático, quando lidamos com um conjunto fixo de cargas, o
mesmo seria válido para um sistema de condutores. Em condutores, as cargas movem-se
livremente. Teria esta liberdade a propriedade de manter o sistema em equilíbrio? A
resposta ainda é não. A prova fica a cargo do leitor.
Talvez estas duas curtas seções tenham trazido a idéia que não é possível manter
uma carga em equilíbrio, contudo, este raciocínio esta incorreto. Para manter uma carga
em equilíbrio são necessários campos variantes no tempo, o que apenas não é o caso da
eletrostática.
3.6
Equações do Potencial Eletrostático
Já vimos que o campo elétrico, no caso invariante no tempo, pode ser descrito como
o gradiente de uma função escalar como mostra (3.10) e aplicando-a em (3.1) obtemos (3.15), supondo que o meio possui permitividade igual ao do vácuo.
r · r = r2 =
⇢
✏0
(3.15)
Caso ⇢ seja conhecido para qualquer ponto (x, y, z), o potencial em coordenadas (x0 , y 0 , z 0 )
será dado por:
ZZZ
⇢(x, y, z)
0 0 0
(x , y , z ) =
dV
4⇡✏0 r
V
onde dV é o diferencial de volume e r é a distância entre os pontos (x, y, z) e (x0 , y 0 , z 0 ).
Neste caso particular a equação diferencial a ser resolvida é substituída pela integração
num volume.
A equação (3.15) é conhecida como equação de Poisson e a grande maioria dos problemas de eletrostática resume-se ao seu estudo ou de uma equação similar, a equação
de Laplace, como mostra a (3.16) no caso de não haver cargas, ou densidade de cargas,
envolvidas.
r2 = 0
(3.16)
A solução do campo eletrostático é direta caso a posição de todas as cargas seja conhecida, como veremos em alguns exemplos a seguir.
56
3.6.1
Dipólo Elétrico
Considere duas cargas de valores q e q separadas de uma distância vertical d, coincidente com o eixo z e seja a origem das coordenadas o ponto médio da distância que
separa as cargas. O potencial é dado por:
"
#
1
q
q
p
p
(x, y, z) =
(3.17)
4⇡✏0
(z (d/2))2 + x + y 2
(z (d/2))2 + x + y 2
Casos interessantes ocorrem onde estamos apenas interessados no campo em distâncias
que podem ser comparadas como muito maiores que a separação das cargas, comumente
conhecidos como dipólos.
Se as cargas estão separadas por uma distância d finita podemos realizar a expansão
binomial
(z
d 2
) ⇡ z2
2
zd
e se por conveniência de notação adotarmos z 2 + x2 + y 2 = r2 , é possível manipular a
expressão (3.17) da seguinte forma
p
(z
1
⇡p
(d/2))2 + x + y 2
r2 (1
1
1
⇡
r
(zd/r2 )
✓
1
zd
r2
◆
1/2
Aplicando-se novamente a expansão binomial temos:
✓
◆
1
zd
1+ 2
r
2r
De forma similar, podemos efetuar raciocínio semelhante para a outra fração em (3.17),
o que nos dá a seguinte expressão para o potencial
1 z
qd
4⇡✏0 r3
(x, y, z) =
(3.18)
O termo qd é comumente conhecido com o momento de dipólo elétrico e recebe o símbolo p = qd. Desta forma podem reescrever (3.18) como
(x, y, z) =
1 p cos ✓
4⇡✏0 r2
(3.19)
onde z/r = cos ✓ é o ângulo do eixo do dipólo e o raio do vetor que separa a origem
ao ponto (x0 , y 0 , z 0 ) onde se quer calcular o potencial. Uma outra forma de escrever a
eq.(3.19) consiste em definir um vetor p de magnitude p, cuja direção é ao longo do eixo
do dipólo sendo orientado da carga negativa para a positiva e r̂ é o vetor unitário radial.
Desta forma
(r) =
1 p
r̂
4⇡✏0 r3
57
(3.20)
O campo elétrico é obtido pelo gradiente como mostra a eq.(3.21) para os componentes
Ez , Ex e Ey .
p 3 cos2 ✓
4⇡✏0
r3
p 3zx
Ex =
4⇡✏0 r5
p 3zy
Ey =
4⇡✏0 r5
Ez =
1
(3.21)
A obtenção do campo projetado num plano r✓ nos dá:
2p cos ✓
4⇡✏0 r3
p sin ✓
E✓ =
4⇡✏0 r3
Er =
(3.22)
ˆ
sendo o campo total dado por E = Er r̂ + E✓ ✓.
3.6.2
Potencial de Dipólo como um gradiente
A fórmula do dipólo pode ser expressa como
=
1
p·r
4⇡✏0
✓ ◆
1
r
(3.23)
De forma um pouco mais compacta podemos ainda escrever
=
p·r
0
(3.24)
onde 0 = 1/4⇡✏0 r é o potencial de uma carga unitária pontual.
Para uma distribuição arbitrária de cargas, o procedimento é similar. Por exemplo a
uma distância R arbitrária e muito maior que a separação entre as cargas d, o potencial
do conjunto pode ser dado por
1 X qi
=
4⇡✏0
ri
i
Simplificações posteriores podem ainda ser feitas caso as distâncias ri sejam aproximadamente iguais a uma distância R de forma que
=
1 Q
4⇡✏0 R
onde Q é apenas a soma total das cargas no objeto sob estudo.
58
3.7
Polarização do Dielétrico
Em muitos casos é interessante incluir o vetor de polarização, P, como a diferença
entre os vetores de campo elétrico, E e densidade de campo elétrico, D.
P=D
✏0 E
Aplicando-se o divergente na equação acima temos:
r·E =
1
(⇢
✏0
(3.25)
r·P)
Não é difícil ver que a partir da eq.(3.25), podemos entender o efeito do dielétrico como
de uma distribuição cuja densidade de volume é
⇢0 =
r· P
Qualquer ponto interior ao dielétrico satisfaz à equação modificada de Poisson
r2 =
1
(⇢ + ⇢0 )
✏0
(3.26)
A eq.(3.26) é válida independente das hipóteses de isotropia e homogeneidade do meio.
Caso existam pontos de descontinuidades, como fronteiras do dielétrico, o vetor D
n · (E2
n · (D2
1
E1 ) = !
✏0
D1 ) = !
1
n · (P2
✏0
P1 ) =
1
(! + ! 0 )
✏0
(3.27)
As fontes do campo eletrostático são cargas cujas densidades volumétricas são dadas por
⇢ e superficiais !.
O potencial num ponto arbitrário dentro do dielétrico ou externo a ele pode ser expresso por
0
1
ZZZ
ZZ
1 @
⇢ r·P
! + n · (P1 P2 ) A
(x0 , y 0 , z 0 ) =
dV +
dS
(3.28)
4⇡✏0
r
r
V
S
A polarização também é útil no que tange o significado físico do vetor de Hertz ⇧
introduzido no capítulo anterior. Lembrando que =
r· ⇧, podemos escrever a
equação de Poisson como
✓
◆
1
2
r· r ⇧ + P = 0
(3.29)
✏0
e a equação acima será satisfeita se r2 ⇧ =
seguinte integral
1
⇧(x , y , z ) =
4⇡✏0
0
0
0
P/✏0 . O vetor ⇧ é determinado através da
ZZZ
P(x, y, z)
dV
r
(3.30)
V
Devido a eq.(3.30), o vetor de Hertz também é conhecido como potencial de polarização.
59
3.8
Funções de Variáveis Complexas
Consideremos que todas as funções envolvidas podem ser expressas por campos bidimensionais, e que a variável complexa ⇣ = x + jy é tal que F (⇣) é uma função
complexa, podendo ser escrita sob a forma
F (⇣) = U (x, y) + jV (x, y)
onde U (x, y) e V (x, y) são funções reais das variáveis x e y. Podemos nos valer agora
de um postulado das funções complexas que nos diz
@U
@V
=
@x
@y
@V
@U
=
@x
@y
(3.31)
A prova da eq.(3.31) pode ser encontrada em diversos livros de análise de funções complexas (Riley et al. 1998, Dettman 1962, Kreyszig 1993). Uma conseqüência direta da
eq.(3.31) é que ambas as funções satisfazem a equação de Laplace.
A título de exemplo, considere o caso onde F (⇣) = ⇣ 2 , o que nos leva a
U (x, y) = x2
y2
V (x, y) = 2xy
a função U (x, y) nos dá a equação de diversas hipérboles
x2
y2 = A
para A igual a zero termos o caso de linhas diagonais passando pela origem.
O campo na direção x possui uma propriedade interessante,
Ex =
2x, sendo proporcional à distância ao eixo de coordenadas. É importante lembrar também que as curvas para
V =constante são ortogonais em
relação as U =constante. O que
implica que ao escolher uma função F (⇣) obtemos de U e V tanto
as equipotenciais como as linhas
de campo. Contudo, é necessário uma nota de advertência aqui.
Embora seja uma técnica pode- Figura 3.3: Mapeamento conforme
rosa, ela se adequa basicamente a (linhas de campo e equipotenciais)
sistemas bidimensionais, podendo
ser considerada um método indireto. A Fig. 3.3 apresenta as linhas
de campo e as equipotenciais do caso descrito acima.
60
3.9
Métodos para o Cálculo do Campo Eletrostático
Até a agora o que utilizamos consiste em métodos indiretos, todavia métodos mais
diretos são necessários na maioria dos casos de interesse prático. O caso mais simples
envolve a solução da equação de Laplace num determinado domínio, ou seja, sujeito, a
um conjunto específico de condições de fronteira. É comum designar-se este tipo de problema “boundary-value problem”. Excetuando-se nalguns casos onde, devido a simetria,
é possível obter uma resposta analítica utilizando-se funções especiais é comum utilizar
métodos numéricos para a solução deste tipo de problema.
3.9.1
Harmônicos Circulares
Em diversas aplicações podemos limitar a nossa análise a um sistema bi-dimensional,
pois todas as superfícies equipotenciais são cilindricas. A unidade de carga é uma linha
de carga também chamada por vezes de uma reta carregada, i.e. condutor de raio fino e
suposto infinito, paralela ao eixo e expressa em coulomb por unidade de comprimento.
Esta aproximação não é adequada em configurações onde a geometria do circuito seja
influenciada pelo efeito de ponta. Todavia, há uma grande variedade de aplicações onde
é possíivel adotar tal procedimento.
Em eletrostática, o sistema sob estudo deve atender a equação de Poisson ou Laplace.
O primeiro se refere aos sistemas onde há condutores carregados enquanto que o segundo
lida mais com sistemas onde o meio é dielétrico. Usualmente, o maior interesse se dá na
análise do comportamento em dielétricos do campo gerado por condutores. Portanto,
vamos nos ater nesta seção a funções que são solução da equação de Laplace em duas
dimensões. Para tanto, consideremos um sistema em coordenadas cilíndricas (r, , z)
supondo possível a separação de variáveis. Logo, o potencial V pode ser expresso como
V = R(r) ( )Z(z)
(3.32)
No caso particular onde Z(z) é constante, a solução da equação de Laplace se reduz a
duas dimensões. As funções que resolvem a equação de Laplace são conhecidas como
harmônicos circulares. Harmônicos pois o termo é comumente usado para descrever a
família de funções que podem representar a equação de Laplace em determinado domínio. Circulares pois as funções apresentam uma simetria próxima do círculo na maioria
dos casos.
Como se trata de um problema bi-dimensional, adotamos aqui as coordenadas polares
(r, ✓). Logo,
V = V (r, ✓) = R(r)⇥(✓)
e a a equação de Laplace passa a ser
@
r
@r
✓
@V
r
@r
◆
+
61
@2V
=0
@✓2
(3.33)
Aplicando-se a separação de variáveis temos o seguinte conjunto de equações
d2 ⇥
= n2 ✓
d✓2
d2 R
dR
r2 2 + r
= n2 R
dr
dr
(3.34)
A solução da primeira equação em (3.34) é dada pela equação do movimento harmônico
(3.35)
⇥ = A cos(n✓) + B sin(n✓)
enquanto que a segunda equação em (3.34) possui soluções da forma
R = C rn + D r
n
(3.36)
para n 6= 0. Para n = 0 temos as soluções
⇥ = A✓ + B
(3.37)
R = C ln(r) + D
onde n é chamado de grau do harmônico. A solução completa, i.e. harmônicos circulares,
são então, para o caso de grau (ou ordem) zero
(3.38)
V (r, ✓) = (A✓ + B)(C ln(r) + D)
e para o caso onde o grau não é zero
V (r, ✓) = (A cos n✓ + B sin n✓)(C rn + D r
n
)
(3.39)
É importante ter em mente que no caso geral há ambas soluções, i.e. (3.38) e (3.39)
existem simulataneamente.
3.9.1.1
Expansão Harmônica de uma Linha de Carga
Consideremos um meio linear, homogêneo, isotrôpico de permeabilidade e permitividade relativas constantes. Nesse meio é inserido um condutor fino e muito longo de
forma que a hipótese de linha (reta) de carga pode ser admitida. A carga por unidade
de comprimento é q. A projeção da reta no plano r, ✓ nos dá um ponto de coordenadas
(r0 , ✓0 ). A distância entre a linha de carga q ao ponto P é dada por R, e a expressão do
potencial eletrostático é dada por
V =
1
(2q ln R) =
4⇡✏
q
ln r2 + r0 2
2⇡✏
2r r0 cos(✓
✓0 )
(3.40)
onde o ponto P possui coordenadas (r, ✓). Através da expansão em séries de potência o
argumento do logaritmo natural em (3.40) pode ser escrito como
✓
◆
r0
1 ⇣ r0 ⌘ 2
2
2
r + r0
2r r0 cos(✓ ✓0 ) = 2q ln r
cos(✓ ✓0 )
cos 2(✓ ✓0 ) · · ·
r
2 r
(3.41)
62
No caso de r > r0 e expandindo-se os termos em cos n(✓ ✓0 ) temos
"1
#
q X 1 ⇣ ro ⌘n
V =
(cos n✓0 cos n✓ + sin n✓0 sin n✓) ln r
2⇡✏
n r
(3.42)
n=1
Para r < r0 o procedimento é similar e resulta em
"1 ✓ ◆
q X1 r n
V =
(cos n✓0 cos n✓ + sin n✓0 sin n✓)
2⇡✏
n r0
n=1
ln r0
#
(3.43)
Exemplo 3.1. Considere um cilindro composto por um condutor ideal de raio a e um
dielétrico de raio interno a e raio externo b. A permitividade relativa do dielétrico é
✏r . Este cilindro está imerso em meio uniforme, homogêneo e isotrópico onde existe um
campo elétrico uniforme de intensidade E. O eixo central do cilindro é perpendicular
ao campo uniforme. O potencial no meio externo ao cilindro é da forma
V = Er cos ✓
Calcule a expressão completa do potencial eletrostático em todo o domínio em questão.
Solução— No infinito o potencial devido às cargas induzidas no cilindro devem desaparecer, logo termos contendo rn não pode existir na expressão de V . Tomando o eixo x
como eixo que corta os dois cilindros em dois semi-círculo iguais vemos que o potencial
é uma função par, logo os termos em sin ✓ também devem ser descartados. O potencial
no meio externo é da forma
V0 = Er cos ✓ +
1
X
An r
n
cos n✓
(3.44)
n=1
Uma vez que no cilindro tanto r = 0 como r = 1 estão excluídos termos em rn e
r n podem ocorrer, contudo devido a simetria do problema não há termos em sin n✓. O
potencial no dielétrico é portanto da forma
Vi =
1
X
Bn r n + C n r
n
cos n✓
(3.45)
n=1
Se o centro do cilindro for tomado como origem então V = 0 em todo a parte condutora
do cilindro. Já encontramos a solução para a equação de Laplace que satisfaz as condições de contorno no infinito e as condições de simetria. Devemos determinar An , Bn e
Cn a partir das condições de fronteira entre os meios dielétricos e entre a parte condutora
e a parte dielétrica do cilindro. Para r = b temos
@V0
@Vi
= ✏r
@r
@r
V 0 = Vi
63
(3.46)
Aplicando em (3.46) as expressões em (3.45) e (3.44) temos
Eb cos ✓ +
1
X
An b
n
cos n✓ =
n=1
1
X
B n bn + C n b
n
cos n✓
(3.47)
n=1
Para n 6= 1 temos
An b
An b
n
n 1
= B n bn + C n b
= ✏ r Bn b
n
n 1
Cn b
n 1
(3.48)
Na interface com a parte condutora do cilindro, r = a, Vi = 0 temos
0 = Bn an + C n a
n
(3.49)
A única forma de atender a todas as equações das condição de contorno dadas por (3.48)
e (3.49) é dada por
An = B n = C n = 0
Para n = 1 temos
A1 b
2
= ✏ r B1
E + A1 b
2
= B1 + C 1 b
E
C1 b
2
2
0 = B1 a + C 1 a
(3.50)
1
Resolvendo (3.50) em termos das constantes A1 , B1 e C1 obtemos
a2 (1 + ✏r ) + b2 (✏r
b2 (1 + ✏r ) + a2 (✏r
2Eb2
B1 = 2
b (1 + ✏r ) + a2 (✏r 1)
2E(ab)2
C1 = 2
b (1 + ✏r ) + a2 (✏r 1)
A1 =
Eb2
Finalmente a expressão completa do potencial é dada por
✓
◆
A1
V0 = E r +
cos ✓
r
✓
◆
C1
Vi = B 1 r +
cos ✓
r
1)
1)
(3.51)
(3.52)
Exemplo 3.2. Com o intuito de detalhar um pouco mais o comportamento de um diéletrico consideramos agora um cilindro dielétrico na presença de linha de carga q.
Considera-se que o meio exterior ao cilindro é homogêneo linear e isotrôpico. O cilindro possui raio a e a linha de carga faz uma projeção no plano r✓ de forma que
pode ser representada por um ponto r0 = b, ✓0 = 0. Calcule a expressão do potencial
eletrostático em todo o domínio.
64
Solução— Para a expressão completa do potencial é necessário sobrepor ao potencial da
linha de carga o potencial devido à polarização do dielétrico, que por sua vez, tende a
zero no infinito. O potencial no meio externo ao cilindro é dado por
!
1  ⇣ ⌘
X
q
1 r 2 An
V0 =
+ n cos n✓ ln b
(3.53)
2⇡✏1
n b
r
n=1
onde ✏1 é a permitividade do meio. No interior do cilindro como o potencial deve ser
finito para r = 0 e simétrico em relação ao eixo x temos
!
1
X
q
n
Vi =
Bn r cos n✓ ln b
(3.54)
2⇡✏2
n=1
Fazendo V0 = Vi quando r = a temos
1 ⇣ a ⌘ 2 An
+ n = an Bn
n b
a
(3.55)
A outra condição de fronteira, dada por
@V0
@Vi
= ✏r
@r
@r
para r = a temos
an 1
bn
n
An = n✏r an
an+1
1
(3.56)
Bn
Logo as expressões das constantes são
1 ✏r 1 a2n
1 + ✏r n nbn
2
Bn =
(1 + ✏r )nbn
An =
(3.57)
O potencial exterior do cilindro é dada por
"1 
X 1 ⇣ r ⌘n 1 ✏r a2n
q
V0 =
+
cos n✓
2⇡✏2
n
b
1 + ✏r (b r)n
ln b
n=1
#
(3.58)
e o potencial interno é dada por
Vi =
X 1 ⇣ r ⌘2
q
cos n✓
⇡✏2 (1 + ✏r )
n b
1
n=1
q
ln b
2⇡✏2
(3.59)
A expressão em (3.58) é a expansão em harmônicos circulares de três linhas de carga
localizadas no eixo x. A primeira linha de carga possui intensidade q e localiza-se em
x = b. As outras duas linhas de cargas formam um dipolo e estão localizadas em x =
65
a2 /b, com intensidade q1 e em x = 0 com intensidade q1 . Já a expressão em (3.59) é o
resultado da expansão de uma carga q2 situada em x = b. A relação entre as intensidades
de carga é dada por
1 ✏r
q
1 + ✏r
2
q2 =
q
1 + ✏r
q1 =
(3.60)
Portanto, quando um cilindro dielétrico não carregado de raio a é levado próximo a uma
reta de carga q com os eixos paralelos e a uma distância r = b separando o cilindro da
reta. O potencial adicional na região externa ao cilindro é o mesmo se o cilindro fosse
substituído por duas “imagens”. A primeira “imagem” consiste de uma linha de carga q1
localizada entre a linha de carga original e o eixo a uma distância r1 = a2 /b do último.
A segunda “imagem” é uma linha de carga q1 localizada na origem. Esta configuração
é representada na Fig. 3.4. O potencial no interior do cilindro é o mesmo, exceto por uma
R
−q1
q1
q
r1
r
Figura 3.4: “Imagens” de uma linha de carga em cilindro dielétrico
termo aditivo como se q fosse substituída por q2 .
3.9.2
Campo Devido a Duas Cargas
Apresentamos aqui o caso de cálculo de campo devido a duas cargas de valores distintos, sendo portanto um generalização do caso de dipólos. Consideremos, a principio,
um meio linear homogêneo e isotrópico, com permeabilidade magnética µ e permitividade elétrica ✏ constantes e condutividade nula, ocupando todo o espaço. Imersas neste
meio há duas cargas pontuais q1 e q2 em regime estacionário e separadas a uma distância
a. Consideremos um sistemas cartesiano (x, y, z) de coordenadas de forma que a carga q1
se encontra no ponto (0, 0, 0) e a carga q2 no ponto (a, 0, 0), onde o eixo z é perpendicular
ao plano onde se encontram as cargas.
O potencial escalar associado a estas cargas num ponto genérico P de coordenadas
(x, y, z) arbitrando = 0 num ponto infinitamente afastado é
"
1
q1
p
=
+p
4⇡✏
(x
x2 + y 2 + z 2
q2
a)2 + y 2 + z 2
#
(3.61)
A expressão acima pode ser simplificada introduzindo a razão q = q2 /q1 e o vetor r2 =
66
y2 + z2
"
q1
1
p
=
+p
2
4⇡✏
x + r2
(x
#
(3.62)
Utilizando coordenadas “relativas” ⇠ = x/a e ⇢ = r/a temos
"
#
q1
1
q
p
=
+p
4⇡✏
(⇠ 1)2 + ⇢2
⇠ 2 + ⇢2
(3.63)
q
a)2 + r2
Da expressão em (3.63) podemos notar que, em geral, para duas cargas de valor constante
em posição fixa:
•
é função de x e r, portanto as equipotenciais tem simetria cilíndrica em relação
à reta que passa pelas duas cargas, o eixo x no caso da coordenadas adotadas neste
exemplo;
• As superfícies equipotenciais são definidas por equações onde é constante, portanto para uma determinada configuração a forma relativa das equipotencias expressa em coordenadas “relativas” (⇠, ⇢) depende apenas da relação entre as duas
cargas q;
• Em coordenadas “relativas” as equipotencias são definidas pelo termo constante K
dado por
"
#
1
q
K= p
+p
(3.64)
(⇠ 1)2 + ⇢2
⇠ 2 + ⇢2
Portanto do exame de (3.64) verificamos, que para o caso q < 0, a forma analítica tornase particularmente simples para K = 0, pois neste caso a equação da equipotencial se
reduz a
p
1
=p
(⇠
⇠ 2 + ⇢2
q
1)2 + ⇢2
(3.65)
que pode ser escrita da seguinte forma, uma vez que a razão q é real
q 2 (⇠ 2 + ⇢2 ) = (⇠
1)2 + ⇢2
(q 2
1)⇠ 2 + (q 2 1)⇢2 + 2⇠
2⇠
1
⇠2 + 2
+ ⇢2 = 2
q
1
q
1
1=0
A ultima expressão em (3.66) pode ainda ser ainda escrita como
✓
◆
✓
◆
1
q
2
2
2
⇠+ 2
+⇢ =
q
1
q2 1
67
(3.66)
(3.67)
A expressão em (3.67) é uma equação de uma esfera de raio “relativo” Rr dado por
q
Rr =
q2
1
e cujo centro é dado pela seguintes coordenadas “relativas” ⇠ = 1/(1
centro em coordenadas cartesianas xc , yc , zc é dado por
xc =
a
1
yc = 0
q2
q 2 ) e ⇢ = 0. O
zc = 0
Com isto podemos ver que
• Se
q < 1, i.e., |q2 | < |q1 |, a esfera envolve a carga q2 ;
• Se
q > 1, i.e., |q2 | > |q1 |, a esfera envolve a carga q1 ;
• Se q = 1, i.e., |q2 | = |q1 |, a esfera degenera num plano ortogonal à reta definida
pelas duas cargas e equidistantes das mesmas.
A esfera corta o eixo x nos pontos M e N de coordenadas
⇠m =
⇠n =
1
1
q
1
1+q
⇢m = 0
⇢n = 0
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
xm =
xn =
a
1
q
a
1+q
y m = zm = 0
(centro
y n = zn = 0
raio)
(centro + raio)
As distâncias di do centro da esfera as cargas qk são:
• para
q > 0 e |q| < 1 –
d1 =
• para
a
q2
1
d2 =
aq 2
1 q2
q > 0 e |q| > 1 –
d1 =
a
q2
1
d2 =
aq 2
q2
1
Das expressões acima temos que d1 d2 = R2 , ou seja, o raio da esfera é a média geométrica entre das distâncias d1 e d2 . Logo, a relação entre as cargas q pode ser expressa
por
r
q2
d2
d2
q=
=
=
q1
d1
R
68
r
r
R
q1
R
q2
q1
x
x
d2
a
q2
d1
d1
a
d2
(a) |q| < 1
(b) |q| > 1
Figura 3.5: Posicionamento da esfera e das cargas
6
1
4
0.5
0
0
Ρ
Ρ
2
!2
!0.5
!4
!6
!6
!4
!2
0
Ξ
2
4
6
!1
!0.5
(a) Equipotenciais
0
0.5
Ξ
1
1.5
(b) Detalhe
Figura 3.6: Equipotenciais devido a duas cargas distintas com q =
0, 5
Na Fig. 3.5 representa-se esquematicamente a posição das cargas q1 e q2 e da esfera para
o caso onde a esfera envolve q1 (|q| < 1) e quando a esfera envolve q2 (|q| > 1).
A Fig. 3.6 apresenta as equipotenciais em coordenadas relativas ⇠ e ⇢ sendo a relação
entre as cargas q = 0, 5.
No caso geral, podemos notar que o termo K é o responsável pelo comportamento
do potencial escalar para uma configuração particular de cargas, visto que
K = 4⇡✏
a
q1
(3.68)
Portanto, podemos analisar o comportamento do potencial escalar em função da relação
entre K e as coordenadas “relativas”. Em outras palavras K, pode ser entendido como
um potencial eletrostático “normalizado”. A Fig. 3.7 apresenta K em função de ⇠, para
69
q = 0, 5, ao longo da reta em que se encontram as duas cargas (definidas por x =
0, y = 0 ou por ⇢ = 0).
0.4
0.3
10
0.2
5
K
K
0.1
0
0
!0.1
!5
!0.2
!0.3
!10
!6
!4
0
Ξ
!2
2
4
6
!10
0
Ξ
!5
(a)
5
10
(b) Detalhe
Figura 3.7: K em função da coordenada “relativa” ⇠
É possível também expressar o potencial eletrostático, ou mesmo K, em função das
coordenadas relativas como mostra a Fig. 3.8. Neste passamos a ter uma superfície onde
nos pontos de localização das cargas há uma descontinuidade visto que o potencial neste
ponto é infinito.
20
Φ 10
1
0
!10
0
!1
Ρ
0
Ξ
!1
1
2
Figura 3.8: Potencial Eletrostático “normalizado” K em função das coordenadas “relativas”
Até agora dedicamos uma certa atenção ao potencial eletrostático, todavia o interesse
final é o cálculo do campo elétrico e das linhas de força devida às cargas q1 e q2 . O campo
elétrico E, no caso eletrostático, é obtido a partir apenas de , i.e.,
E=
r =
@
x̂
@x
70
@
ŷ
@y
@
ẑ
@z
(3.69)
onde x̂, ŷ e ẑ são vetores unitários em coordenadas cartesianas (x, y, z). Sendo o potencial escalar dado por
!
1
q1
q2
p
=
+p
(3.70)
4⇡✏
(x a)2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
as derivadas são
@
=
@x
@
=
@y
@
=
@z
x q1
p
+p
(x2 + y 2 + z 2 )3
((x
(x
y q1
p
+p
(x2 + y 2 + z 2 )3
((x
z q1
p
+p
(x2 + y 2 + z 2 )3
((x
a) q2
a)2 + y 2 + z 2 )3
y q2
a)2 + y 2 + z 2 )3
z q2
a)2 + y 2 + z 2 )3
!
!
!
Devido a simetria do campo elétrico em relação ao eixo x, é possível representar o
campo através de uma formulação bidimensional, num eixo de coordenadas (r, x), sendo
r um eixo ortogonal a x, de forma que
r2 = y2 + z 2
Com isto o E pode ser escrito como, onde r̂ é um vetor unitário na direção r,
(3.71)
E = Ex x̂ + Er r̂
sendo
1
Ex =
4⇡✏
x q1
(x
p
+p
(x2 + r2 )3
((x
1
Er =
4⇡✏
r q1
p
+p
(x2 + r2 )3
((x
a) q2
a)2 + r2 )3
r q2
a)2 + r2 )3
!
(3.72)
!
As linhas de força do campo elétrico podem ser obtidas através do cálculo do fluxo
de campo elétrico. Para tanto, consideremos num plano ortogonal ao eixo x, cortando
esse eixo no ponto de coordenada x, uma grandeza , igual ao fluxo do vetor E através
de um círculo de raio r⇤ centrado no eixo x, mais uma constante arbitrária K 0 . Logo
Z r⇤
0
=K +
Ex 2⇡rdr
(3.73)
0
Logo
q1
= K0 +
2✏
x
p
±1+q
x2 + (r⇤ )2
71
p
(x
(x
a)
a)2 + (r⇤ )2
!!
±1
(3.74)
Em princípio, com relação ao primeiro símbolo ± em (3.74), deveria considerar-se o
sinal positivo para valores de x > 0 e o sinal negativo caso contrário, já com relação
ao segundo símbolo ±, o valor positivo seria para valores de x > a e negativo caso
contrário. Com esta adoção de sinais e com K 0 = 0, a função seria descontínua nas
coordenadas das cargas similar ao que acontece com (vide Fig. 3.8). Por exemplo,
se considerarmos dois círculos com valores iguais de r⇤ , um cujo centro é em x = 0+
e outro de centro x = 0 , formar-se a um cilindro de espessura “muito pequena” que
abrange uma carga interna q1 . O fluxo do vetor densidade de campo elétrico, D = ✏E,
através da superfície do cilindro é igual a diferença entre os fluxos de D através dos dois
círculos, sendo igual a q1 , o que traduz a descontinuidade do fluxo de E igual a q1 /✏ em
x = 0. Essa descontinuidade corresponde exatamente à mudança de sinal no ± relativo
à parcela do campo associada a q1 .
A constante K 0 pode ser escolhida com descontinuidade, nos valores de x correspondentes às cargas, para evitar estas descontinuidades em ao longo de um tudo de força.
Para assegurar a continuidade de é necessário apenas considerar sinais fixos para os
símbolos ± em (3.74), o que dispensa explicitar K 0 , ou seja
!!
q1
x
(x a)
=
1 p
+q 1 p
(3.75)
2✏
x2 + (r⇤ )2
(x a)2 + (r1 )2
Portanto, ao longo de uma linha de força do vetor E temos
2✏
K” =
=
q1
1
x
p
+q 1
x2 + (r1 )2
p
(x
(x
a)
a)2 + (r1 )2
!!
(3.76)
para cargas situadas no eixo x, nos pontos x = 0 e x = a, sendo que para cada linha de
força K” é constante. Na Fig. 3.9 representa graficamente algumas linhas de força do
campo E num plano que contenha o eixo x em coordenadas “relativas” (⇠, ⇢).
Um caso interessante de cálculo de linha de força ocorre para K” = 0, pois a expressão em (3.76) passa a ter dois ramos de solução, um onde
r1 = 0
(3.77)
x>a
e outro onde
1
x
p
+q 1
x2 + (r1 )2
p
(x
(x
a)
a)2 + (r1 )2
!!
=0
r1 6= 0
(3.78)
Para 1 < q < 0, o tubo de força de E definido por (3.78) (atendendo à simetria
do campo em relação ao eixo x) separa, de um lado, as linhas de força entre a carga de
maior módulo e pontos situados no infinito, e, de outro lado, as linhas de força entre as
duas cargas.
Para q < 1, o tudo de força correspondente à separação dos dois conjuntos de linhas
de força de E corresponde a
K” = 2(q + 1)
72
1
2
0.5
0
0
Ρ
Ρ
4
!0.5
!2
!1
!0.5
!4
!4
0
Ξ
!2
2
4
0
(a)
0.5
Ξ
1
1.5
(b) Detalhe
Figura 3.9: Linhas de Força do vetor E
2
Ρ
1
0
!1
!2
!1
0
1
2
3
4
Ξ
Figura 3.10: Tubo de força que separa os tipos de linhas de força de E
Na Fig. 3.10 representa-se graficamente a linha de força do vetor E num plano contendo o
eixo x que define o tudo de força que separa os dois tipos de linhas de força mencionados
acima. Para a obtenção da figura consideramos q = 0, 5 e coordenadas (⇠, ⇢)
Similar ao potencial eletrostático, é possível definir um parâmetro Kx , diretamente
proporcional ao componente x do campo E, em função de ⇠ ao longo da reta em que se
situam as cargas. O parâmetro é dado por
Kx =
4⇡✏a2
⇠
Ex = 2
+q
q1
(⇠ + ⇢2 )3/2
((⇠
(⇠ 1)
1)2 + ⇢2 )3/2
(3.79)
onde Ex é a componente de E segundo o eixo x (ao longo desse eixo e a única componente não nula de E). A Fig. 3.11 apresenta o gráfico de Kx em função da coordenada
73
“relativa” ⇠. Um ponto importante em relação ao cálculo de Kx ao longo do eixo x é que
deve ser usada a expressão (3.79) com ⇢ = 0 evitando aplicar simplificações a priori que
podem levar a resultados errôneos, conforme mostra a expressão em (3.80)
Kx 6=
1
1
+q
2
⇠
(⇠ 1)2
(3.80)
100
Kx
50
0
!50
!100
!4
0
Ξ
!2
2
4
Figura 3.11: Comportamento de Kx em função de ⇠
Para terminar esta subseção apresentamos na Fig. 3.12 o comportamento de Kx em
função das coordenadas relativas ⇠ e ⇢, onde pode ser notado que o ponto onde estão
localizadas as cargas representam pontos de descontinuidade para o campo elétrico.
1
0.5
Kx 0
!0.5
!1
!2
2
1
0 Ρ
!1
Ξ
!1
0
1
2 !2
Figura 3.12: Comportamento de Kx em função de ⇠ e ⇢
Em diversos casos de aplicações práticas é possível obter as respostas com elevada
grau de acurácia em termos de cargas elementares. Este procedimento recebe o nome de
“Charge Simulation Model” (CSM).
74
3.9.3
Campos em Condutores
Nos exemplos anteriores lidamos com situações nas quais a distribuição de carga é
conhecida logo de início. É um tipo de problema sem maiores complicações, envolvendo
no máximo algumas integrações.
+q
−q
A
−q
r
+q
q
r’
α
O
B
+q
−q
+q
−q
−q
(a) Imagem singela
(b) Múltiplas imagens
Figura 3.13: Método das Imagens
Para a introdução do assunto considere um dipolo como do exemplo anterior, onde
um filme metálico extremamente fino é colocado na mesma posição que uma equipotencial, seria como se não houvesse o filme metálico e a situação seria a mesma no caso
do dipólo. Para uma carga positiva q colocada sobre uma superfície plana idealmente
condutora, seria o mesmo que ter uma carga q posicionada a uma distância a igual mas
em sentido contrário à distância entre a carga positiva e a superfície, conforme mostra
a Fig. 3.13(a). Se a carga q for removida, o campo na região ocupada por +q não se
modifica caso uma densidade de carga ! é espalhada pela superfície do filme metálico
extremamente fino. A contribuição desta carga induzida na superfície condutora é determinada simplesmente pela substituição a distribuição superficial por uma carga pontual
equivalente. No caso em questão, o plano y = 0 que separa as cargas é uma equipotencial. O potencial em qualquer ponto (x, y, z) para y > 0 é dado por (3.81).
!
q
1
1
p
(x, y, z) =
(3.81)
4⇡✏
x2 + (y a)2 + z 2 x2 + (y + a)2 + z 2
A derivada da normal em y = 0 deve ser tomada no sentido da carga positiva para a carga
negativa, conforme mostra a (3.82),
✓
◆
@
1 aq
=
(3.82)
@y y=0
2⇡✏ r3
p
onde r = x2 + a2 + z 2 e a densidade de carga é
!=
aq
2⇡ r3
75
(3.83)
Consideremos agora um caso onde uma carga q é colocada entre dois planos condutores ideais que se interceptam conforme mostrado na Fig. 3.13(b). A princípio, parece
que só existe uma imagem em cada plano, pois o par de cargas ±q transversais aos planos
OA e OB produzam equipotenciais ao longo dos plano condutores. Contudo, o conjunto
de três cargas, a carga original e suas duas imagens, não produz potenciais constantes em
nenhum dos planos condutores. É necessário formar as imagens destas imagens de forma
sucessiva até que as novas imagens coincidam, ou até que todas as novas imagens estejam bem distantes da região de modo a não influenciar o potencial. A primeira condição
é sempre satisfeita desde que ↵ = ⇡/n onde n é um número inteiro. O número total de
imagens ni é obtido através da seguinte expressão
ni =
2⇡
↵
1
para o caso do ângulo em radianos. Portanto, como para a Fig. 3.13(b) foi utilizado um
ângulo de 45 graus, obtemos 7 imagens.
Em diversos casos, inclusive aqueles envolvendo aplicação em Engenharia de Alta
Tensão, é impossível obter equipotenciais de formas arbitrárias através do arranjo de
um número finito de cargas e de imagens das mesmas. Todavia, uma boa aproximação
de algumas superfícies pode ser obtida pelo arranjo de algumas cargas pontuais e de
suas respectivas imagens. Este método é conhecido como aproximação por sucessivas
imagens ou conjunto infinito de imagens (Smythe 1950).
Consideremos, por exemplo, um meio homogêneo, linear e isotrópico de permitividade ✏ e condutividade nula onde existam duas esferas condutoras de raios a e b cujos
centros são colineares e distam c, sendo que no primeiro casos
c > (a + b)
e
a<b
c < (b
e
a<b
e no segundo
a)
O centro da esfera de raio b é o ponto O, e para a esfera de raio a é o ponto O0 . Em ambos
os casos, a esfera de raio a está no potencial v = 1 V, e a segunda esfera possui potencial
nulo. Para o primeiro caso, consideramos a princípio uma carga pontual no ponto O0 de
valor
q = 4⇡✏a
desta forma o potencial da esfera de raio a é unitário. A esfera de raio b é levada ao
potencial zero pela imagem q 0 de valor
q0 =
4⇡✏a
b
c
colocada a uma distância b2 /c a esquerda de O. Agora a fim de retorna o potencial da
esfera de raio a à unidade é necessário uma imagem q” dada por
q” =
aq 0
c nb
76
nb) a direita de O0 . Todavia, uma terceira carga agora é
onde n = b/c, no ponto a2 /(c
necessária de valor
q 000 =
bq”
ma/(1
c
n2 )
=
4⇡✏mn2 a
1 m2 n2
onde m = a/c, que deve ser posicionada a uma distância adequada. Pode-se notar
que o efeito da inclusão de um novo conjunto de carga e imagem tende a diminuir ou
mesmo se cancelar. Portanto, é possível obter-se uma aproximação de boa qualidade
com um conjunto relativamente pequeno de cargas e imagens. De fato, este processo
pode ser entendido como uma aproximação assintótica das equipotenciais reais. No caso
de c < (b a) o procedimento seria similar só que o valor de q” seria
q” =
aq 0
c nb
o valor da segunda carga, q”, também afetaria o valor de q 000 e assim sucessivamente. A
capacitância própria csa da esfera de raio a é dada por
c sa
✓
mn
= 4⇡✏a 1 +
+
1 n2 (1
m2 n2
+·
n2 )2 m2
◆
(3.84)
◆
(3.85)
e a capacitância própria csb da esfera de raio b é dada por
c sb
✓
mn
= 4⇡✏a 1 +
+
1 m2 (1
m2 n2
m2 )2
e a capacitância mútua entre esferas é dada por
✓
mn2 a
cm = 4⇡✏a
na
1 n2 m2
n2
·
+·
◆
(3.86)
Estas expressões são válidas para o caso onde c > (b + a). Para o segundo caso, onde
c < (b a), a capacitância própria csa 2 da esfera de raio a é dada por
✓
csa 2 = 4⇡✏a 1
mn
1 n2
(1
m2 n2
+·
n2 )2 m2
◆
(3.87)
a capacitância mútua entre esferas é cm2 = cm e a capacitância própria csb da esfera de
raio b neste caso não é importante.
Apresentamos a seguir um exemplo da metodologia descrita acima em aplicação prática da engenharia de alta tensão.
Exemplo 3.3. Considere um espinterômetro de esferas constituído por dois eletrodos de
raio R separados de uma distância L, muito afastados do solo e de outros objetos, sendo
o meio exterior o ar e a tensão entre eletrodos u. Utilizando até três conjuntos de cargas
represente as equipotenciais para esta configuração.
77
Solução–1
Há dois possíveis caminhos para a solução aqui. No primeiro considera-se que o
potencial u entre as esferas é obtido considerando-se a segunda esfera aterrada, ou seja, a
primeira esfera tem potencial u enquanto a segunda esfera está aterrada. Logo na segunda
esgera haverá apenas cargas imagens. No segundo caso, ambas esferas possuem potencial
não nulo, sendo u apenas a diferença entre eles.
Para o segundo caminho, devido à simetria, as cargas pontuais consideradas devem
possuir polaridades opostas. Consideremos, em primeira “aproximação” duas cargas q10
e q100 = q10 localizadas nos centros das duas esferas. A carga q10 origina, por sua vez, um
campo tal que a superfície da esfera 1 é equipotencial, mas a carga q100 origina um campo
tal que a superfície da esfera 1 não é equipotencial.
Consideremos agora uma carga q20 , imagem da carga q100 em relação à esfera 1, o conjunto das cargas q100 e q2 origina um campo tal que a superfície da esfera 1 é equipotencial.
Em segunda aproximação e atendendo à simetria do campo podemos considerar as
seguintes cargas: q10 e q100 nos centros das duas esferas, e q20 e q200 imagens, respectivamente,
de q100 em relação a esfera 1 e de q10 em relação à esfera 2.
Atendendo às propriedades das imagens em relação a uma esfera temos
d01 d2 = R2
q=
d2
R
sendo d01 = L + 2R a distância entre a carga q100 ao centro da esfera 1, d2 a distância da
carga q20 ao centro da esfera 1. Logo
R2
R2
R
=
=
d1
L + 2R
2+p
q20
q20
d2
R
q = 00 =
=
=
=
0
q1
q1
R
L + 2R
q20
1
=
0
q1
2+p
d2 =
1
2+p
onde p = L/R.
Para a terceira aproximação devemos considerar a carga q30 , a imagem da carga q200 em
relação à esfera 1, e a carga q300 , imagem da carga q20 em relação à esfera 2, a distâncias d3
respectivamente das esferas 1 e 2, onde
R2
R
=
L + 2R d2
2 + p 1/(2 + p)
0
0
q
q3
R
q = 300 =
=
=
q2
q20
L + 2R d2
2+p
0
q3
1
=
0
q2
2 + p 1/(2 + p)
0
q3
1
1
=
q10
2 + p 1/(2 + p) 2 + p
d3 =
1
1
1/(2 + p)
Para a solução deste exemplo são necessários alguns dos resultados obtidos no item 3.9.2 deste capítulo.
78
Exemplo 3.4. Considere um condutor cilíndrico de raio a e comprimento ` e com carga
total Q arranjado em forma de um anel circular de raio R, sendo R
a. O condutor
está imerso em meio linear, homogêneo, isotrópico de permitividade ✏ e condutividade
nula, sem outros condutores próximos ou objetos próximos. Obtenha a expressão geral
para o potential eletrostática em todo os espaço bem como uma expressão aproximada
para o potencial na superfície do condutor.
Solução— Calculemos as grandezas a partir de uma distribuição linear da carga total Q
do condutor ao longo da circunferência de raio R. Consideremos também um sistema de
coordenadas cartesianas tal que o centro do anel circular é também a origem dos sistemas
de eixos, sendo que o condutor está no plano z = 0. A função potencial num ponto
genérico P de coordenadas (x, y, z) é
ZZ
1
q
(x, y, z) =
dS
(3.88)
4⇡✏
D
S
sendo q = Q/(2⇡R) a densidade linear de carga na circunferência de raio R, ds o
elemento de comprimento da circunferência, D a distância de P a um ponto genérico da
circunferência. A Fig. 3.14 apresenta as projeções da espira condutora no plano y = 0
P
z
D
x
R
y
d
P’
r
α
x
Figura 3.14: projeções da espira condutora
e no plano z = 0, respectivamente. Utilizando a notação definida esquematicamente na
79
referida figura temos
↵=⇡
2'
de forma que o diferencial de comprimento pode ser expresso por
ds = |rd↵| = 2|Rd'|
a distância entre um ponto genérico na superfície da espira e o ponto P 0 é dada por
p
d = R2 + r2 2Rr cos ↵
(3.89)
e a distância entre o centro da espira ao mesmo ponto é dada por
p
r = x2 + y 2
já a distância entre um ponto genérico na superfície da espira e o ponto P é dada por
p
D = d2 + z 2
Utilizando a relação trigonométrica
cos ↵ =
1 + 2 sin 2 '
é possível escrever a distância D como
p
D = (R + r)2 + z 2
4Rr sin 2 '
logo o potencial eletrostático pode ser dado por
Z ⇡
Q 2
d'
p
(x, y, z) =
2
4⇡✏ 2⇡ 0
(R + r) + z 2
fazendo
k=
s
4Rr sin 2 '
(3.90)
4Rr
(R + r)2 + z 2
é possível rescrever (3.90) como
(x, y, z) = (r, z) =
Q
F (k)
p
2
2⇡ ✏ (R + r)2 + z 2
(3.91)
sendo a função F (k) conhecida como integral elíptico completo de primeira espécie definida por
F (k) =
Z
⇡/2
0
p
1
80
d'
k 2 sin 2 '
(3.92)
Para o cálculo do potencial na superfície do condutor consideremos como representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a, neste caso
r
4R2
1
k=
=q
2
2
4R + a
a 2
1 + 2R
e
k2 =
1
1+
a 2
2R
⇠
=1
⇣ a ⌘2
2R
Considerando
⇣ a ⌘2
⌧1
2R
Neste caso é possível obter uma solução para integral na forma de
✓
◆
✓ ◆
4
8R
⇠
F (k) = ln p
ln
=
a
1 k2
logo, o potencial na superfície do condutor
c
3.9.4
é aproximadamente
✓ ◆
Q
8R
⇠
= 2 ln
4⇡ ✏R
a
c
(3.93)
Procedimentos Alternativos
A aplicação do método das sucessivas aproximadas só é indicado em configurações
onde é possível uma resposta adequada com poucas cargas. Há configurações inclusive
onde é possível obter uma resposta tida como “exata” pela utilização de alguns formalismo matemáticos não muito usuais na engenharia elétrica. Consideremos de novo o
caso das múltiplas imagens, vide Fig. 3.13(b). Caso os planos sejam mantidos no potencial eletrostático = 0 e a carga esteja no ponto (a, , 0) em coordenadas cilíndricas
(r, ✓, z), o potencial é dado por
Z 1
q
d⇣
p
p
=
4⇡✏↵ 2ar ⌘
cosh(⇣) cosh(⌘)
✓
◆ (3.94)
sinh(⇡⇣/↵)
sinh(⇡⇣/↵)
cosh(⇡⇣/↵) cos(⇡(✓
)/↵) cosh(⇡⇣/↵) cos(⇡(✓ + )/↵)
onde ⌘ = cosh 1 ((a2 + r2 + z 2 )/2ar). A origem do sistema de coordenada cilíndricas
é o ponto onde os dois plano se interceptam.
De acordo com Landau & Lifshitz (1984), a fórmula
q
acima foi apresentada, utilizando um sistema de unidades
cgs, primeiramente por H. M. Macdonald em 1894.
Para o caso particular onde o ângulo ↵ = 2⇡ temos
uma configuração de uma carga pontual próxima a um Figura 3.15: Carga pontual
próxima a plano condutor fi81
nito
plano condutor finito, conforme ilustrado na Fig. 3.15.
Nesse caso, a integral em 3.94 pode ser calculada explicitamente o que resulta em
!
cos( 12 (✓
))
q
1
1
1
=
cos
cos 1
4⇡✏ R
cos(⌘/2)
R0
cos( 12 (✓ + ))
cos(⌘/2)
!!
(3.95)
p
p
onde R = a2 + r2 + z 2 2ra cos(⇥
), e R0 = a2 + r2 + z 2 2ra cos(⇥ + ).
A Fig. 3.16 apresenta as equipotenciais para esta configuração (Trott 2004).
Figura 3.16: Equipotenciais para carga pontual próxima a filme condutor finito
No caso envolvendo duas esferas mostrado no exemplo 3.3 é possível obter uma solução dita exata através da utilização de coordenadas bipolares (↵, , ') (Lebedev 1972).
A relação entre as coordenadas bipolares e as coordenadas cartesianas (x, y, z) é dada
por
c sin ↵ cos '
cosh
cos ↵
c sin ↵ sin '
y=
cosh
cos ↵
c sinh
z=
cosh
cos ↵
x=
(3.96)
onde 0  ↵  ⇡, 1   1, ⇡ < '  ⇡, e c > 0 é um fator de escala. Por
exemplo, no caso de um dipolo com cargas pontuais, as equipotenciais são representadas
82
por pontos onde é constante, e as as linhas de força são representadas por pontos onde
↵ é constante. O exemplo a seguir demonstra a aplicação das coordenadas bipolares para
o problema do espinterômetro.
Exemplo 3.5. Considere um meio sem perdas, homogêneo, linear e isotrópico. Nesse
meio se encontram duas esferas condutoras de raio a com potenciais +V e V , respectivamente. Os centros das esferas distam 2`. Tomando-se como centro das coordenadas
o ponto meio que une as duas esferas, a esfera com potencial negativo possui o centro
no ponto z = `. Calcule o campo eletrostático para esta configuração.
Solução— As esferas possuem equações = ±
metros c e 0 podem ser escolhidos de forma que
c coth
0
=`
0
em coordenadas bipolares. Os parâ-
c
sinh
0
cosh
0
=a
ou seja
c=
p
`2
a2
=
`
a
Com isso o problema se resume a encontrar o potencial eletrostático
no domínio
 0 e satisfaça as condições de contorno
0 
|
=
|
=
0
=
0
=V
que é harmônico
V
(3.97)
A solução para o campo eletrostático é do tipo2
p
= 2 cosh
2 cos ↵
1
X
Mn Pn (cos ↵) sinh( (n + 1/2))
(3.98)
n=0
sendo Mn constantes obtidas a partir das condições de fronteira. A expressão final para
o potencial eletrostático é dada por
=V
3.10
p
2(cosh
cos ↵)
1
X
e
0 (n+1/2)
n=0
sinh( (n + 1/2))
Pn (cos ↵)
sinh( 0 (n + 1/2))
(3.99)
Formulação de Problemas em Eletrostática
A resolução da maioria dos problemas em Eletrostática lida com a solução de um
problema de condição de contorno ou fronteira. Apresentamos a seguir um pequeno
resumo dos passos envolvidos na resolução dos problemas.
• r2 = 0 em todos os pontos que não estão na superfície de contorno ou diretamente associados às fontes;
2
vide (Lebedev 1972) para detalhes sobre a obtenção da solução
83
•
é contínuo em todos os pontos, incluindo a fronteira de dielétricos ou condutores,
a exceção são os pontos onde estão localizadas as fontes;
• No caso de superfície separando dois dielétricos temos ao longo destas superfície
✓
◆
✓
◆
@ 2
@ 1
✏2
= ✏1
(3.100)
@n
@n
• Na interface de um condutor e um dielétrico, a derivada da normal do potencial
relaciona-se diretamente com a densidade superficial de carga ! por
✓ ◆
@
✏
=!
(3.101)
@n
• Na superfície de um condutor ou
–
é uma constante conhecida
–
é uma constante desconhecida e
ZZ
@
✏ dS =
@n
i
ou
qi
(3.102)
S
•
é regular no infinito desde que todas as fontes estejam a uma distância finita da
origem.
3.11
Algumas Aplicações
Apresentamos a seguir dois casos interessantes e não triviais do cálculo de campos
eletrostáticos. O primeiro consiste no cálculo de oscilações de plasma existente na atmosfera terrestre (Feynman et al. 1964) e o segundo relaciona-se com o caso do campo
elétrico no interior de semi-condutores.
3.11.1
Oscilações de Plasma
Consideramos agora um caso onde o campo não é determinado por cargas fixas ou por
cargas em superfícies condutoras, mas sim pela combinação de dois fenômenos físicos.
O campo será governado simultaneamente por dois conjuntos de equações:
• eletrostática;
• equações de movimento determinando a posição das cargas na presença do campo.
Um exemplo relativamente simples onde ocorre as condições acima descritas é o
plasma. O plasma é um gás ionizado consistindo de íons e elétrons livres distribuídos
numa região do espaço. A ionosfera é um exemplo de plasma. Os raios ultravioleta
84
“expulsam” elétrons das moléculas de ar, criando elétrons livres e íons. Pode-se desconsiderar o movimento iônico, pois os íons são muito mais pesados quando comparado com
os elétrons.
Considere a princípio, uma plasma sem estímulo externo onde n0 é a densidade de
elétrons no equilíbrio e conseqüentemente o número de íons positivos. Vamos supor que
os elétrons são de alguma forma afastados do equilíbrio. Se a densidade de elétrons numa
dada região é aumentada, eles tenderão rapidamente a regressar a condição de equilíbrio
anterior ao distúrbio. Ao tentar retornar ao ponto de equilíbrio, os elétrons adquirem
energia cinética e tendem a “perder o ponto de parada”, causando uma oscilação contínua. Para simplificar o raciocínio vamos considerar apenas o movimento em apenas uma
direção, x e que o deslocamento do ponto de equilíbrio é dado por s(x, t). A densidade
sofrerá a mudança de
n=
n0 x
n0
=
x+ s
1 + ( s/ x)
(3.103)
Considerando que a densidade de carga seja pequena, podemos utilizar a expansão binomial e
n=
n0 x
n0
=
x+ s
1 + ( s/ x)
(3.104)
Considerando que os íons positivos não sejam rápidos o suficiente devido a maior inércia,
quando comparados com os elétrons, a densidade desses íons positivos permanece igual
a n0 . Cada elétron possui uma carga qe de forma que a densidade de carga média é
dada por
⇢ = (n n0 )qe
ou
ds
dx
onde o termo s/ x é considerado como um diferencial. A densidade de carga por sua
vez relaciona-se com o campo elétrico por
⇢ = n0 q e
r·E =
⇢
✏0
(3.105)
Tomando-se, por simplicidade, que o problema é unidimensional e desconsiderando
quaisquer outro campo exceto aquele devido ao deslocamento de elétrons, podemos reescrever a eq.(3.105) como
@Ex
n0 qe @s
=
@x
✏0 @x
(3.106)
O campo Ex pode ser calculado pela simples integração de (3.106), como mostra
(3.107)
Ex =
n0 q e
s+K
✏0
85
(3.107)
e como Ex = 0 para s = 0, considera-se condições quiescentes, logo a constante K é
nula.
A força num elétron na posição s é dada por
n0 qe2
s
✏0
Fx =
que é uma força restauradora ao deslocamento do elétron. Isto causa uma oscilação
harmônica no elétron. A equação do deslocamento do elétron passa a ser dada por:
me
d2 s
=
dt2
n0 qe2
s
✏0
(3.108)
onde s varia harmonicamente, ou em notação de exponencial complexa, exp(j!p t), onde
!p é
!p2 =
n0 qe2
✏ 0 me
(3.109)
que também é conhecida como freqüência angular de plasma. É comum encontrar também na literatura uma formulação onde o resultado é expresso em termos de e2 , onde
e2 =
qe2
4⇡✏
desta forma podemos escrever a eq.(3.108) como
!p2 =
4⇡n0 e2
me
(3.110)
Esta ressonância natural do plasma possui alguns interessantes aspectos, como:
• Se um sinal de rádio, por exemplo, deve ser transmitido pela ionosfera a propagação somente é possível se a freqüência é superior a freqüência de plasma, caso
contrário o sinal é completamente refletido, é por isto que altas freqüências são
necessárias para a comunicação com satélites;
• Se um sinal deve ser propagado até uma estação além do horizonte, é necessário
transmiti-lo num freqüência inferior a de plasma para que ele possa ser refletido;
3.11.2
Campo no Interior de Semi-condutores
No caso de semi-condutores o problema normalmente consiste em achar um função
de concentração C(x) de transportadores (elétrons e buracos). Por simplicidade consideramos que é factível se desprezar a recombinação e geração de transportadores. Vamos
supor que o sistema de elétrons e buracos possa ser expresso de acordo com a física
86
clássica, com isto podemos definir as concentrações de equilíbrio de elétrons n(x) e buracos p(x) imersos num campo potencial (x) são definidos pela estatística Boltzmann,
conforme mostra a eq.(3.111).
⇣q
⌘
n(x) = ni exp ( (x)
F)
⇣ ✓q
⌘
(3.111)
p(x) = ni exp ( (x)
F)
✓
onde ni é uma concentração intrínseca de elétrons, F é chamado potencial de Fermi,
que pode ser considerado constante para todo o semi-condutor, e é tomado como nível
de referência para o potencial ( F = 0), q é a carga do elétron, ✓ = kT é a temperatura
estatística. Com as hipótese acima, o potencial (x) é dado como solução da equação de
Poisson, que no caso unidimensional, torna-se
d2 (x)
q
= (n(x)
2
dx
✏
p(x)
C(x))
(3.112)
onde ✏ é a constante dielétrica, e a concentração C(x) pode ser representado pelo potencial embutido D (x) usando a definição
⇣ q
⌘
q
C(x) = ni (exp( D (x)) exp
(3.113)
D (x) )
✓
✓
As condições de contorno são
(0) =
D (0)
(l) =
+ U0
D (l)
Utilizando-se uma mudança de variáveis
(X) =
q
(x)
✓
q
D (x)
✓
q
u0 = U 0
✓
C(x)
c(X) =
ni
D (X)
através da transformação de escala x =
D
=
DX
=
e
p
✏✓/q 2 n
é conhecido como comprimento de Debye. Desta forma podemos expressar
✓ ⇣
⌘◆
p
1
2
c(X) + c(X) + 4
D (x) = arc sinh(c(X)/2) = ln
2
87
D (x) como
(3.114)
A eq.(3.112) pode ser escrita como
d2 (X)
= exp( (X))
dX 2
exp( (X))
c(X)
(3.115)
com as seguintes condições de contorno
(0) =
D (0)
(L) =
e onde L = 1/
3.12
+ u0
D (L)
D
Problemas
1. Calcule o potencial no ponto P localizado a uma altura h verticalmente acima do
centro de um disco sabendo que:
(a) a densidade de carga é uniforme sendo dada por ⇢s ;
(b) a densidade de carga é distribuida de forma que
⇢s =
q
p
4⇡ a a2
r2
num ponto qualquer da superfície do disco com coordenadas (r, ).
2. Considere um meio linear homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes e condutividade nula, ocupando todo o espaço. Suponha que duas cargas pontuais q1 e
q2 estão imersas neste meio, em regime estacionário, separadas de uma distância
a. Determine o potencial e os campos E e D correspondentes e as equações das
superfícies equipotenciais e das linhas de força de E. Represente graficamente as
equipotenciais e as linhas de força de E num plano que se encontram as cargas nas
seguintes hipóteses:
(a) q1 = 1 µC, q2 = q1 e a = 1 m;
(b) q1 = 1 µC, q2 = 2q1 e a = 1 m;
(c) q1 = 1 µC, q2 =
2q1 e a = 1 m;
3. Considere o mesmo sistema do ítem anterior onde P é o ponto central do conjunto
de cargas. Adote coordenadas esféricas com centro em P e com o eixo z tal que as
coordenadas das duas cargas são respectivamente z1 = a/2 e z2 = a/2. Seja r
a distância de um ponto genérico ao ponto P . Análise o comportamento e de E
para r >> a, nas duas hipóteses anteriores. Verifique que, sendo q1 e q2 de sinais
opostos, uma das equipotenciais é uma esfera e determine o raio, R da mesma e a
localização do centro da esfera, em função das coordenadas das duas cargas e da
relação q2 /q1
88
4. Considere uma esfera condutora de raio R, com carga total q1 , imersa em meio linear homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes e condutividade nula, ocupando
todo o espaço exterior à esfera. Considere imersa neste meio isolante, externo à
esfera, uma carga pontual q1 a uma distância d > R do centro da esfera em regime
estacionário. Represente graficamente as equipotenciais e as linhas de força de
E num plano em que se encontrem a carga q2 e o centro da esfera, nas seguintes
hipóteses:
(a) q1 = 1 µC, q2 = 0, R = 1 m e d = 2 m;
(b) q1 = 1 µC, q2 =
(c) q1 = 0, q2 =
1 µC, R = 1 m e d = 2 m;
1 µC, R = 1 m e d = 2 m;
5. Considere uma esfera isolante de raio R constituída por material linear homogêneo
e isotrópico com ✏ e µ constantes e condutividade nula, completamente envolvida
por material condutor. Considere imersas no meio isolante, interno a esfera, cargas
distribuídas definidas pela densidade volumétrica de carga em função do ponto no
espaço em regime estacionário. Determine o potencial e o campo E correspondente no meio isolante e a densidade de carga na superfície da esfera.
6. Considere um meio isolante, de parâmetros ✏ = 4✏0 e µ = µ0 e de condutividade nula, entre dois eletrodos metálicos cilíndricos, “muito longos”, um de raio
externo R1 = 10 mm e outro de raio itnerno R2 = 50 mm e de raio externo
R3 = 51 mm, de eixos paralelos e a uma distância a = 30 mm, conforme representação na Fig. 3.17. Suponha que, em regime estacionário, o condutor interno
tem uma carga por unidade de comprimento q1 , o condutor externo tem uma carga
por unidade de comprimento q2 = 0 e o meio exterior ao condutor externo é o
vácuo. Determine no meio isolante entre os dois condutores e no meio envolvente, o potencial e os campos E e D correspondentes, bem como as equações
das superfícies equipotenciais e das linhas de força de E. Para uma tensão entre
os condutores u = 50 kV, determine a capacitância por unidade de comprimento
entre os condutores e a densidade de carga na superfície dos condutores.
3
1
a
2
Figura 3.17: 1– condutor interno; 2– meio isolante; 3– condutor externo
89
7. Considere um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais xy e outro de coordenadas ⇠⌘ definido a partir de sy por W = ⇠ + j⌘ = f (x + jy), onde f é uma
função analítica de variável complexa ⇣ = x + jy. Análise a correspondência entre
os domínios ⇣ e W para as seguintes transformações
(a) W = ⇣ 2
(b) W = 1/⇣
(c) W = exp(⇣)
(d) W = sin ⇣
(e) W = (⇣
1)/(⇣ + 1)
(f) W = (j
⇣)/(j + ⇣)
(g) W = (⇣
a)/(a⇣
(h) W = ⇣ + ⇣
1)
1
(i) W = ln((⇣
1)/(⇣ + 1))
(j) W = ln((⇣ + 1)/(⇣
(k) W = k ln(k/(1
1))
k)) + ln(2(1
(l) W = j⇡ + ⇣ + ln ⇣
q
(m) W = h/⇡( ⇣ 2 1 + cosh
1
k)) + j⇡
k ln(⇣ + 1)
(1
k) ln(⇣
1)
(⇣))
(n) W = ln coth(⇣/2)
3.13
Soluções Parciais
1. O diferencial do potencial (') em coordenadas cilíndricas é dado por
d' =
⇢s
d dr
4⇡ h2 + r2
(3.116)
p
logo
⇢s
'=
4⇡✏
Z
0
a Z 2⇡
0
r
⇢s ⇣p 2
d dr =
a + h2
2✏
4⇡ h2 + r2
p
h
⌘
(3.117)
para o seguindo item basta repetir o procedimento considerando a expressão de ⇢s
em função de r que leva a
✓
✓
◆
◆
q
a
h
1
'=
2 tan
+⇡
(3.118)
8a
2h 2a
2. Veja seção 3.9.2
3. idem
4. ibidem
90
CAPÍTULO
4
Magnetostática
Todo campo magnético pode ser representado por uma campo eletrostático de estrutura idêntica produzido por uma distribuição de dipólo e duas camadas fictícias. Todavia,
esta equivalência é puramente formal. Não há na magnetostática quantidade correspondente a carga livre. Portanto, quaisquer que sejam as vantagens analíticas da analogia
eletrostática é importante lembrar que a estrutura física de um campo devido a distribuição estacionária de corrente difere fundamentalmente daquele de qualquer configuração
de cargas elétricas.
Similar ao caso dos campos eletrostáticos, o campo magnetostático pode ser obtido
a partir das Equações de Maxwell considerando todos os termos que possuem @/@t = 0,
conforme mostra (4.1).
r·H = 0
r⇥H = J
(4.1)
Apresentamos apenas duas das equações, pois similar ao caso eletrostático é possível
separar as equações em dois conjuntos, um onde aparece apenas o campo elétrico, E,
e outro onde há apenas campo magnético, H. Para definir o comportamento do campo
magnetostático é necessário adicionar a equação de continuidade, que para este caso
estacionário é dada por:
r·J = 0
(4.2)
às duas equações de (3.1). Em outras palavras, a (4.2) mostra que não há acúmulo de
cargas, e que estamos lidando com correntes estacionárias.
Do conjunto de equações em (4.1) e (4.2) podemos inferir que a distribuição de corrente num campo estacionário é solenoidal, em outras palavras, todas as linhas de corrente ou se fecham sobre si mesmas ou começam e terminam no infinito. Pela relção
91
entre B e H podemos também afirmar que o mesmo comportamento é válido para as
linhas de fluxo magnético.
A formulação integral é obtida pela aplicação do teorema de Stokes a (4.1)
I
ZZ
H · dl =
J · n dS = I
(4.3)
S
`
onde S é qualquer superfície cujo contorno é dado pela curva C, e I é a corrente total que
atravessa esta superfície e possui sempre divergente nulo. A integral de linha de H no
entorno de um caminho fechado é igual a corrente enlaçada: ou seja o campo magnético
não é conservativo! A expressão na forma integral de uma campo solenoidal delimitado
por uma superfície fechada S, é mostrada em (4.4) para o caso do vetor B
I
B · n dS = 0
(4.4)
S
Por sua vez, todo campo solenoidal pode ser representado em termos de um vetor potencial, conforme mostrado no capítulo 1. Desta forma é possível expressar o vetor B
por
B = r⇥A
(4.5)
Como na maioria dos casos o interesse é em regiões não ferromagnéticas, a relação entre
B e H é linear e no caso de um meio homogêneo e isotrópico, esta relação é unívoca,
B = µH, permitindo-nos escrever
r⇥ r⇥ A = µJ
(4.6)
Conforme mostrado no capítulo 1, é possível também definir um potencial escalar “associado” ao potencial vetor. De fato, podemos definir diversos calibres para o vetor
potencial A. No caso da magnetostática, o mais comum é utilizar o calibre de Coulomb
que define1 :
r·A = 0
(4.7)
em coordenadas retangulares é possível reescrever (4.6) como
r2 A =
µJ
(4.8)
Exemplo 4.1. Considere um campo magnético bidimensional, função apenas das coordenadas (x, y), e sendo os vetores H e B paralelos ao plano xy. Mostre que o fluxo do
vetor B por unidade de comprimento é igual à diferença entre a componente z do vetor
A que passa no plano xy em dois pontos a e b numa superfície paralela ao eixo z.
1
No caso mais geral de campos harmônicos no tempo, é possível utilizar o Calibre de Lorentz
r·A =
92
j!✏
Solução— A relação entre o vetores B e A é dada por
B = r⇥A =
@Az
x̂
@y
@Az
ŷ
@x
(4.9)
uma vez que B possui componentes apenas nas direções dos vetores unitários x̂ e ŷ. O
diferencial de área ds é dado por
(4.10)
ds = dsx x̂ + dsy ŷ
O fluxo do vetor B, ,entre os pontos a e b é dado por
=
Zb
a
(4.11)
B · n dS
onde o integrando é definido por
B · ds =
✓
◆
@Az
dsy ẑ
@y
@Az
dsx
@x
(4.12)
logo a solução da integral em (4.11) é dada por
=
Zb
a
@Az
dsx
@x
Zb
a
@Az
dsy = Az (a)
@y
Az (b)
(4.13)
Uma vez que o vetor potencial é apenas função da coordenada z podemos rescrever a
(4.13) da seguinte forma
A(a)) ·
= (A(b)
4.1
1
ẑ
(4.14)
Potencial Escalar
A existência de uma função potencial escalar associada com o campo eletrostático é
uma conseqüência direta do fato que, no caso eletrostático, o campo elétrico é irrotacional, i.e. possui rotacional nulo. No caso do campo magnetostático só é possível fazer
este tipo de relação em regiões onde não há distribuição qualquer de corrente estacionária. Caso contrário, o rotacional de H será sempre não nulo. Portanto, caso seja possível
isolar/dividir o domínio sob estudo de forma que seja possível criar uma região fechada
onde não haja corrente alguma, em outras palavras, onde J = 0, temos que
r⇥H = 0
(4.15)
então dentro desta região podemos expressar H como
H=
r
93
M
(4.16)
A integral de linha do campo magnético ao longo de qualquer contorno dentro da região
onde não há circulação de corrente e conectando dois pontos P e Q é dada por:
ZQ
ZQ
H · dl =
P
r
M
dl =
M (P )
M (Q)
(4.17)
P
Aqui vale uma ressalva. Os caminhos utilizados para ir de P a Q devem estar todos
dentro da região onde não há correntes. Como conseqüência temos que a função M
pode ser descontínua ou biunívoca. Podemos reduzir todas estas situações ao fato que a
integral de H não é independente do caminho.
Pode parecer portanto que a formulação via potencial escalar não é uma ferramenta
útil, contudo no caso de ímãs permanentes ou materiais magnetizados, este tipo de formulação apresenta vantagens interessantes. Por exemplo, no caso de uma ímã permanente,
podemos escrever no caso de pontos interiores do ímã
H=
(r
M
+ M + M0 )
(4.18)
uma vez que o divergente do campo magnético é nulo, o potencial escalar satisfaz a
equação de Laplace
r2
M
=
⇢⇤
onde ⇢⇤ = grad(M + M0 ), sendo análogo à densidade de carga no caso eletrostático.
Portanto, dentro de qualquer região contendo ímãs permanentes e material polarizável no
qual a densidade de corrente seja nula, o problema magnetóstatico é matematicamente
equivalente ao problema eletrostático. A seguir apresentamos um exemplo simples de
uma esfera magnetizada onde o campo é calculado em pontos interiores e exteriores à
esfera.
Exemplo 4.2. Considere um campo magnético bidimensional função das coordenadas
x, y e independente da coordenada da coordenada z. A permeabilidade magnética é
constante e escalar e ambos os vetores H, B são paralelos ao plano xy. No domínio
em questão não há corrente de deslocamento nem de condução e o mesmo se encontra
em regime quase-estacionário (variações temporais lentas, quando comparadas com as
variações espaciais). Determine a relação entre as derivadas parciais da componente Az
do potencial vetor A tal que B = r⇥A e do potencial escalar tal que H = r .
Verifique a possibilidade de considerar uma função analítica de variável complexa ⇣ =
x + jy que no domínio complexo represente tanto Az como .
Solução— A expressão para o vetor de densidade de campo magnético já foi vista no
Exemplo 4.1, equação (4.9). Em se tratando de um meio linear
H=
B
1
= r⇥ A
µ
µ
94
(4.19)
Como H =
r temos
H=
@
x̂
@x
@
1
ŷ
=
@y
µ
✓
@Az
x̂
@y
@Az
ŷ
@x
◆
(4.20)
logo
@
1 @Az
=
@x
µ @y
@
1 @Az
=
@y
µ @x
(4.21)
Consideremos a representação complexa do conjunto de coordenadas xy por meio da
variável complexa ⇣ = x + jy. Consideremos uma grandeza complexa definida a
partir do potenciais vetor e escalar definida como
(4.22)
= Az + jµ = P + jQ
supondo que
seja uma função analítica em ⇣, i.e.
= (⇣) temos
@
d @⇣
d
@Az
@
=
=
=
+ jµ
@x
d⇣ @x
d⇣
@x
@x
@
d @⇣
d
@Az
@
=
=j
=
+ jµ
@y
d⇣ @y
d⇣
@y
@y
d
@
@Az
=µ
j
d⇣
@y
@y
(4.23)
logo
(4.24)
A compatibilidade entre as expressões em (4.23) e (4.24) corresponde às relações entre
as derivadas dos potencias conforme mostra (4.21). Portanto, a principio, é possível
considerar função analítica de ⇣. Com isso
d
@Az
@
@Az
=
+ jµ
=
d⇣
@x
@x
@x
@Az
@y
(4.25)
j(Bx + jBy )
(4.26)
ou ainda
d
=
d⇣
j
✓
@Az
@y
@Az
j
@x
◆
=
Portanto é possivel relacionar os potenciais com a função complexa da seguinte forma
Az = < ( (⇣))
1
= = ( (⇣))
µ
d
B = µH = j
d⇣
95
(4.27)
Exemplo 4.3. Seja uma esfera uniformemente magnetizada de raio a imersa num meio
homogêneo, linear e isotrópico de condutividade nula. O potencial magnético é dado
por
1
M = 4⇡M0 z
3
Já para o exterior da esfera, o potencial é descrito por
M
=
4⇡1
a3 z
M0 p
3
( x2 + y 2 + z 2 ) 3
Calcule o vetor densidade de fluxo no interior e no exterior da esfera, esboçando um
gráfico com as linhas de fluxo.
Solução— Tanto o campo externo quanto o interno podem ser obtidos diretamente do
potencial através da relação B = r M . Denominando-se o campo interno por Bin e
o externo por Bext , respectivamente, temos (onde x̂ŷẑ designam vetores unitários nas
direções cartesianas ortogonais):
Bin =
Bext =
4Mo ⇡
ẑ
3
4a3 Mo xz
4a3 Mo yz
4a3 Mo z 2
x̂
+
ŷ
+
ẑ
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
(x2 + y 2 + z 2 )5/2
4a3 M0 ⇡
ẑ
3(x2 + y 2 + z 2 )3/2
A Fig. 4.1 abaixo mostra o gráfico das linhas de força obtido com o Mathematica para o
caso particular de a = 1 e M0 = 2.
4.2
Potencial Vetor
Um ponto importante que ainda não abordamos é se o Potencial Vetor é apenas uma
ferramenta útil ao cálculo, como no caso do potencial escalar na eletrostática, ou se realmente representa um campo “real”. Afinal, não seria o campo magnético H o “elemento”
real, uma vez que é ele que determina a força atuante numa partícula? Antes de responder
a pergunta, vale lembrar um comentário de Feynman et al. (1964):
Antes de mais nada nós devemos dizer que o termo campo real não é muito
significativo. Primeiro, você não percebe o campo como sendo “real”, pois
a idéia de campo já é, por si só bastante abstrata. Você não pode colocar sua
mão em determinado ponto do espaço e sentir o campo magnético. Além do
mais, o valor do campo magnético não é absolutamente definido. Através da
escolha de um sistema de coordenadas adequado é possível, por exemplo,
fazer com que o campo magnético em determinado ponto desapareça.
Do ponto de vista do formalismo matemática, um campo é uma ferramenta matemática utilizada para evitar a idéia da ação a distância. Em outras palavras, um campo “real”
96
Figura 4.1: Densidade de campo magnético para uma esfera uniformemente magnetizada
é um conjunto de números que especificamos de certa forma a tornar o que acontece num
determinado ponto dependa apenas nos números naquele ponto.
Possivelmente, o que torna o Potencial Vetor um pouco “misterioso” seja o fato de
não ser único, que pode ser mudado pela adição de um gradiente de uma função escalar.
É importante realçar a utilidade do vetor potencial, mesmo que para problemas mais
simples seja possível obter B ou H diretamente pela Lei de Ampére. Para aqueles mais
ansiosos pela correlação entre a natureza física do fenômeno e as ferramentas que usamos para descrevê-lo vale notar que tanto o Potencial Vetor como o Potencial Escalar
desempenham papel importante na descrição da energia das partícula, sendo ferramental
mais direto na inclusão de efeitos derivados dos campos eletromagnéticos na Mecânica
Quântica.
4.3
Potencial Vetor com correntes conhecidas
Como visto anteriormente, o campo magnético e o vetor potencial podem ser determinados diretamente das correntes. Mostramos a seguir tal procedimento em maiores
detalhes, começando com a equação básica
r⇥H = J
97
(4.28)
o que implica de fato em (4.6). Aqui é importante perceber que a (4.6) é similar a equação
do caso eletrostático
⇢
r2 =
✏
tal fato ficará mais claro se lembrarmos a identidade vetorial mostrada em (1.79) no
capítulo 1.
r⇥(r⇥A) = r(r·A) r2 A
aplicando-se o calibre de Coloumb, r·A = 0, a equação acima torna-se a (4.8). Lembrandose que o laplaciano opera em cada componente retangular de A temos três equações,
sendo que cada uma delas é bastante similar a r2 = ⇢/✏. Desta forma tudo o que foi
aplicado para o caso da solução de Poisson para o caso eletrostático pode ser aplicado no
cálculo de A quando a densidade de corrente J é conhecida. Se a distribuição de corrente
pode ser circunscrita por uma esfera de raio finito, cada componente do potencial vetor
pode ser expresso através da integral
ZZZ
µ
Ji (x, y, z)
0 0 0
Ai (x , y , z ) =
dV
(4.29)
4⇡
r
V
sendo i = 1, 2, 3 e estendendo-se por todo espaço. Lembrando que cada componente
pode ser recombinado para produzir a seguinte relação vetorial
ZZZ
µ
J(x, y, z)
A(x0 , y 0 , z 0 ) =
dV
(4.30)
4⇡
r
V
onde as coordenadas x0 , y 0 e z 0 representam o ponto onde se quer calcular o vetor potencial e as coordenadas x, y e z se referem
ao ponto onde as componentes do vetor
p
de densidade de corrente existem e r = (x0 x)2 + (y 0 y)2 + (z 0 z)2 . Notemos
aqui que se J é uma função absolutamente integrável então A é contínua possuindo derivadas a primeira em todos os pontos, sejam eles interiores ou exteriores à distribuição
de corrente.
A equação (4.30) pode ainda ser simplificada no caso de uma corrente em condutores
cuja seção transversal seja tão pequena em relação a distância r sendo possível admitir
que a densidade de corrente é uniforme e unidirecional, com sentido de propagação ao
longo do condutor. Desta forma
J dV = J dS d` = I d`
onde I é a corrente total que percorre o condutor e dl é um infinitesimal de comprimento
do condutor. Uma vez que I deve ser constante, podemos então reescrever a (4.30)
I
µI
1
0 0 0
A(x , y , z ) =
d`
(4.31)
4⇡
r
`
no qual a integral deve se estender ao longo de todo o circuito `.
98
Exemplo 4.4. Apresentamos a seguir dois exemplos bastante simples para o cálculo do
campo magnético imersos num meio uniforme, isotrópico e sem perdas. O primeiro caso
é um condutor sem perdas, infinito, conduzindo uma corrente I e raio a. O segundo caso
é o de uma espira com conduzindo a mesma corrente I, sendo que a espira forma um
círculo de raio a. Calcule o campo magnético nestes dois cenários2
Solução— No caso do condutor infinito, a primeira hipótese consiste em tratar a corrente
como sendo uniformemente distribuída na seção transversal. A solução pode até se valer
da simetria cilíndrica do problema. Seja r a distância radial de um ponto qualquer ao
condutor e tomando o condutor como o centro das coordenadas, e sendo a o raio do
condutor temos, vide Fig. 4.2(a),
I
r,
(r < a)
2⇡a2
I
H=
,
(r > a)
2⇡r
o campo exterior é independente do raio e também pode ser obtido pela lei de BiotSavart 4.4. Devemos notar aqui que caso fosse utilizado o potencial escalar magnético
para obter a expressão de H na região externa ao condutor, a integral não convergiria.
Isto se dá pois a região onde a corrente é não nula se estende até o infinito, contrariando a
hipótese implícita no caso do potencial escalar onde a região onde não há corrente pode
ser confinada. O potencial vetor pode ser calculado
H=
Ar = A✓ = 0
µI
Az =
ln(1/r)
2⇡
não é difícil verificar que o rotacional em coordenadas cilíndricas da expressão acima
tende a infinito conforme r ! 1.
Para o caso da espira circular temos na verdade dois conjuntos distintos de problemas.
O primeiro consiste no cálculo de H no eixo central da espira e o segundo em qualquer
ponto no exterior da mesma. No caso do campo no eixo central da espira e tomando-o
como o centro das coordenadas e utilizando coordenadas cilíndricas (r z), temos que o
elemento dl ao longo da espira tem comprimento ad , onde a é o raio da espira. Este
elemento, por sua vez, é sempre perpendicular ao vetor r que une um ponto qualquer na
espira a outro no eixo da mesma, em outras palavras de um ponto qualquer na espira a um
ponto qualquer no eixo z. Ao se deslocar o ponto na espira surge uma superfície cônica,
que cancela todas as componentes de H exceto a radial, desta forma:
dHz = p
a dH
a2 + z 2
logo
Hz =
a2 I
2(a2 + z 2 )3/2
(4.32)
2
Para a obtenção dos gráficos foram utilizados arquivos do programa Mathematica baseados no item 1.12
de (Trott 2004)
99
no centro da espira (z = 0) o campo reduz a
I
2a
sendo similar ao campo criado por um fio infinito.
Para o caso do cálculo do campo em qualquer ponto exterior a espira é mais cômodo utilizar coordenadas esféricas, (r, , ✓). Neste caso, excetuando-se o eixo z, haverá
apenas componente de A na coordenada devido a simetria do problema. A título de
exemplificação vamos calcular o potencial vetor num ponto de coordenadas (r, 0, ✓), i.e.
= 0, o diferencial do potencial vetor num elemento d` é dado por:
Hz (z = 0) =
µI cos
d`
(4.33)
4⇡R
onde R é a distância entre o elemento d` na espira ao ponto (r, 0, ✓). O vetor potencial é
achado após a integração ao longo da espira
dA =
µaI
A =
4⇡
Z2⇡
cos
d
R
(4.34)
0
A distância R pode ser expressa em termos do raio e das coordenadas do ponto de observação
R2 = r2 + a2 2ra sin ✓ cos
substituindo-se o valor de R a solução do vetor potencial pode ser encontrada através de
integrais elípticas ou até mesmo da integração numérica, (vide seção 4.6, problema 1). É
possível simplificar a expressão se o interesse é o campo a grandes distâncias da espira
tal que r
a. Isto implica em
p
R ⇡ r 1 2a/r sin ✓ cos
logo
1/R ⇡ r
1
(1 + a/r sin ✓ cos )
(4.35)
Substituindo-se (4.35) em (4.34), é possível escrever
µIa2
sin ✓
(4.36)
4r2
Apesar do resultado acima ter utilizado um ponto específico do espaço, ( = 0), devido à
simetria o mesmo é válido para qualquer valor de . As componentes do vetor densidade
de fluxo magnético podem ser obtidas diretamente da definição do vetor potencial, e
como o meio é suposto linear, temos:
A =
I⇡a2
cos ✓
2⇡r3
I⇡a2
H✓ =
2⇡r3 sin ✓
H =0
Hr =
100
(4.37)
A Fig. 4.2(b) mostra as linhas de campo entorno da espira com corrente I. O termo
I⇡a2 é também conhecido como momento de dipólo magnético, m. Tal formulação nos
permite reescrever a equação de A como
✓ ◆
µ
1
A=
m⇥r
(4.38)
4⇡
r
A equação (4.38) mostra que para pontos distantes de qualquer fonte de campo se reduz
ao campo de um dipólo magnético, independentemente se a fonte é um material magnético ou uma corrente estacionária. Isto equivale a dizer que um dipólo infinitesimal
de um material magnético é essencialmente o mesmo que um dipólo infinitesimal de um
laço de corrente elétrica.
(a) condutor fino e infinito
(b) espira fina
Figura 4.2: Linhas de campo magnético em dois casos simples
4.4
A Lei de Biot-Savart
No caso de uma região onde há uma corrente I estacionária, sendo dl um elemento
do condutor, imerso num meio linear homogêneo e isotrópico, a equação do potencial
vetor é dada por
I
µI
1
A=
d`
(4.39)
4⇡
r
`
onde a integral se estende por todo o comprimento ` do circuito. O campo magnético
pode ser obtido diretamente do rotacional de A num ponto qualquer de coordenadas
(x0 , y 0 , z 0 ) em função da densidade de corrente num ponto de coordenadas (x, y,) e após
alguma manipulação algébrica
✓ ◆
ZZZ
1
1
0 0 0
H(x , y , z ) =
J(x, y, z) ⇥
dV
(4.40)
4⇡
r
101
Se r0 é um vetor unitário relacionando a distância r entre o ponto (x, y, z) e um ponto
qualquer de observação (x0 , y 0 , z 0 )
ZZZ
1
J ⇥ r0
0 0 0
H(x , y , z ) =
dV
(4.41)
4⇡
r2
Caso haja corrente apenas em circuitos de pequenos condutores é possível substituir o
termo J dV por I d`. Desta forma podemos reescrever (4.41)
Z 0
I
s ⇥ r0
H(x0 , y 0 , z 0 ) =
d`
(4.42)
4⇡
r2
`
onde s0 é um vetor unitário na direção tangencial ao elemento de corrente I d`. A Lei de
Biot-Savart expressa por (4.42) também pode ser expressa em forma diferencial
dH =
1 s0 ⇥ r0
I d`
4⇡ r2
(4.43)
A maior limitação da formulação diferencial reside no fato que o elemento de campo
magnético pode não ser univocamente definido. Por exemplo, para a expressão em (4.43)
pode-se adicionar qualquer função vetorial cuja integral num caminho fechado seja nula.
Exemplo 4.5. Seja um magneto cilíndrico cuja projeção é mostrada na Fig. 4.3, sendo a
o raio interno e b o raio externo e 2⇡ 2↵ o arco que define o entre-ferro, e admitindo-se
que o meio envolvente é linear, homogêneo e isotrópico, com permeabilidade escalar e
constante µ. O magneto possui o mesmo valor de permeabilidade que o meio envolvente.
Utilizando coordenadas cilíndricas bidimensionais calcule o vetor potencial magnético
e as linhas de campo.
Figura 4.3: Exemplo 4.5
Solução—O diferencial do potencial vetor A, dA é dado por
✓
◆
1
µ 0 I X 1 a n bn
dA =
cos(n✓1 ) cos(n✓)d✓1
⇡
n
rn
n=1
102
(4.44)
onde ✓ é o ângulo de um ponto genérico P localizado no exterior do magneto e ✓1 é
variável de integração do ângulo, que varia de 0 a ↵. O potencial vetor é encontrado a
partir da integração de (4.44) de 0 a ↵. Para r > b, temos
✓
◆
1
µ 0 I X 1 a n bn
A=
sin(n↵) cos(n✓)
(4.45)
⇡
n
rn
n=1
e de forma similar, para b > r > a
✓ ◆ X

1
µ0 I
b
1 ⇣ a ⌘2
A=
↵ ln
+
⇡
r
n2
r
⇣ r ⌘n

✓ ◆ X
1
b
1 ⇣ r ⌘2
↵ ln
+
r
n2
a
⇣ r ⌘n
n=1
e para r < a
µ0 I
A=
⇡
4.5
n=1
b
b
sin(n↵) cos(n✓)
!
(4.46)
sin(n↵) cos(n✓)
!
(4.47)
Polarização Magnética
Conforme vimos na seção anterior há uma relação entre um elemento magnetizado
e outro com um corrente estacionária. Apresentamos aqui maiores detalhes sobre esta
relação/distribuição para um elemento delimitado por um volume V e uma superfície
S. Admitimos, por simplicidade que a magnetização M inclui qualquer magnetização
permanente ou residual M0 caso a mesma exista. Reescrevendo a equação do vetor
potencial agora em função da magnetização, M leva a, supondo que o meio exterior
possua permeabilidade magnética µ
✓ ◆
ZZZ
µ
1
0 0 0
A(x , y , z ) =
M(x, y, z) ⇥ r
dV
(4.48)
4⇡
r
V
Aplicando-se a identidade vetorial
✓ ◆
1
r⇥M
M⇥r
=
r
r
r⇥
✓
M
r
◆
em conjunto com o Teorema de Green e Stokes, vemos que é possível dividir a integral
em (4.48) em duas
ZZZ
ZZ
µ
r⇥M
µ
M⇥n
0 0 0
A(x , y , z ) =
dV +
dS
(4.49)
4⇡
r
4⇡
r
s
V
Portanto, o potencial vetor devido a um corpo magnetizado é exatamente o mesmo que
seria produzido por uma corrente volumétrica e outra superficial cujas densidades são
Ĵ = r⇥M
K̂ = M ⇥ n
(4.50)
A validade do resultado de (4.50) pode ser facilmente demonstrado é deixado como
exercício, podendo ser encontrada também na pag. 243 de (Stratton 1941).
103
4.6
Problemas
1. um fio circular de raio a carrega uma corrente constante I, sendo a origem do
plano xy o centro do círculo. O meio em torno do círculo é homogêneo, isotrópico
com condutividade nula e ✏ e µ constantes. Um ponto no espaço é localizado em
coordenadas cilíndricas r, , z, sendo x = r cos , y = r sin( ). Utilizando o
calibre de Coulomb mostre que o potencial vetor em qualquer ponto no campo é
dado por
aµI
A =
2⇡
Z⇡
0
cos ↵
µ
p
d↵ =
I
⇡k
a2 + r2 + z 2 2ar cos ↵
r ✓
a
1
r
k2
2
◆
K
E
(4.51)
onde k 2 = 4ar/((a + r)2 + z 2 ), e K e E são integrais eliptícas completas do primeiro e do segundo tipo. Compare este resultado com o obtido através do Calibre
de Lorentz para campos harmônicos no tempo, utilizando coordenadas esféricas,
A = Ay |
=0
aµI
=
4⇡
Z2⇡
f cos ↵ d↵
(4.52)
0
onde
p
exp( jk r2 + a2 2ra sin ✓ cos ↵)
p
f=
r2 + a2 2ra sin ✓ cos ↵
p
sendo k = ! µ✏ a constante de propagação de um meio sem perdas e ✓ o ângulo
de azimute.
p
(a) Mostre que se r2 + z 2
a, a expansão (4.51) torna-se a equação do potencial vetor para um dipolo magnético.
(b) A partir das expressões (4.51) e (4.52) calcule a componente Hr do campo
magnético e compare as respostas.
(c) Expanda f em série de potência em torno do ponto a = 0 e mostre que
✓
◆
µ ⇡a2
jk
1
A ⇡
exp( jk r)
+ 2 sin ✓
4⇡
r
r
2. Considere um campo magnético bidimensional, função das coordenadas x e y e
independente de z, sendo os vetores H e B paralelos ao plano xy, num domínio do
espaço em que não haja corrente de condução nem corrente de deslocamento, e em
que µ seja escalar e constante em regime quase-estacionário. Determine a relação
entre as derivadas parciais em relação a x e y da componente Az do potencial
magnético escalar M .
3. Considere um condutor de cobre disposto dentro de uma ranhura de uma máquina
elétrica, tal que a ranhura vista no plano xy tem profundidade h = 50 mm e largura
104
2b = 10 mm, e o entreferro tem largura a = 2 mm. Suponha que a permeabilidade
magnética no ferro nas proximidades da ranhura é infinita. Determine as distribuições de densidade de corrente e de campo magnético no condutor, associadas à
corrente total no condutor. Suponha uma corrente alternada senoidal de amplitude
I e freqüência f .
4. Considere dois condutores sem perdas de permeabilidade µ, imersos num meio
homogêneo, isotrópico e sem perdas de mesmo valor de permeabilidade magnética. Um dos condutores está orientado no eixo z enquanto o outro condutor está
paralelo ao eixo y mas passando pelo ponto (0, 1, 0), conforme mostra a Fig. 4.4.
Calcule o campo magnético e desenhe as linhas de campo para esta configuração.
x
y
z
Figura 4.4: Problema 4
4.7
Soluções Parciais
1. Considere o plano xy coincidente com o plano do círculo percorrido pela corrente.
Em um ponto P qualquer no espaço, o vetor potencial possui apenas a componente
A (para um sistemas de coordenadas cilíndricas) devido a simetria da configuração. A intensidade O potencial vetor é dada por (4.30). Aplicando-se ao problema
em questão, obtemos
µI
A =
2⇡
Z⇡
0
a cos
p
2
2
a + r + z2
2a r cos
d
Se o círculo for pequeno, é possível simplificar a expressão acima
µI
A =
2⇡
Z
0
a cos
r0
✓
a r cos
1+
r02
105
◆
d ⇡
a2 µ I
sin ✓
4r2
p
onde r0 = r2 + z 2
a, e ✓ o ângulo de azimute. Para o cálculo dos componentes do campo magnético temos
Br = µHr =
Bz = µHz =
@A
@z
1 @r A
r @r
Logo

I
z
a2 + r 2 + z 2
p
Hr =
K+
E
2⇡ r (a + r)2 + z 2
(a r)2 + z 2

I
1
a2 r 2 z 2
p
Hz =
K+
E
2⇡ (a + r)2 + z 2
(a r)2 + z 2
2. Vide Exemplo 4.2
3. Consideremos que os vetores J, H, A e B são função apenas de y e do tempo
t. Os vetores J e A apresentem apenas componentes z não nulas, e os vetores H
e B possuem apenas componentes na direção x. Desprezando-se as correntes de
deslocamento dentro do condutor temos
@H
ẑ = J ẑ
@y
@B
@E
@B
r⇥E =
!
x̂ =
x̂
@y
@y
@t
@A
r⇥A = B !
x̂ = µH x̂
@y
r⇥H = J !
Sabemos ainda que J = E. Agora, vamos utilizar agora a notação complexa
para a representação de grandezas alternadas senoidas de freqüência f e pulsação
! = 2⇡f , tais que
P = <[P̄ exp(j!t)]
sendo P̄ complexo e independente de t. Aplicando-se a formulação complexa às
equações dos campos leva a
dH̄
= Ē
dy
dĒ
= j!µH̄
dy
Por substituição direta de Ē nas equações acima, a equação de H̄ passa a ser descrita como
d2 H̄
dy 2
j!µ H̄ = 0
106
que possui soluções do tipo
H̄ = C1 sin(⌫y) + C2 cos(⌫y)
p
onde ⌫ =
j!µ e C1 , C2 são constantes. A partir das hipóteses, H = 0 para
y = 0, logo C2 = 0 e H̄ = C1 sin(⌫y) e portanto
J¯ =
Ē =
Ā =
C1 ⌫ cos(⌫y)
⌫
C1 cos(⌫y)
µ
C1 (1 cos(⌫y))
⌫
Para o vetor Ā é arbitrado A = 0 para y = 0. As condições de contorno ainda
¯ onde I¯ é o complexo associado ao comportamento
estabelecem que 2bH̄ = I,
da corrente, logo
C1 =
H̄ =
I¯
2 b sin(⌫h)
I¯
sin(⌫y)
2 b sin(⌫h)
¯
I⌫
J¯ =
cos(⌫y)
2 b sin(⌫h)
¯
I⌫
Ē =
cos(⌫y)
2 b sin(⌫h)
A partir destes resultados podemos definir a impedância interna por unidade de
comprimento como
Ē(y = h)
⌫
= Zi = Ri + jXi =
¯
2 b tan(⌫h)
I
Notemos ainda que para f ! 0, a impedância interna por unidade de comprimento
deve ser aproximar à resistência do condutor em corrente contínua por unidade de
comprimento. De fato isso ocorre pois quando a freqüência tende a zero, ⌫ tende
para zero e o mesmo ocorre com o termo tan(⌫h). Logo
Zi (f = 0) =
4. Ver solução apresentada em sala de aula.
107
1
2bh
108
Parte III
Propagação de Ondas
109
CAPÍTULO
5
Propagação de Ondas Planas
Como lembra Slater & Frank (1969), possivelmente o maior êxito da Teoria de
Maxwell foi a previsão da existência de ondas eletromagnéticas cuja a velocidade de
propagação era igual aos dados experimentais sobre a velocidade da luz. Foi a partir daí
que ficou claro que a luz era também uma forma de radiação eletromagnética, com curto
comprimento de onda. Foi somente anos mais tarde que Hertz demonstrou experimentalmente a existência de ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda maiores.
Estudo da propagação de ondas eletromagnéticas abrange uma grande gama de aplicações em Linhas de Transmissão à Telecomunicações. É um estudo que envolve essencialmente a análise do comportamento do campo eletromagnético no espaço e no
tempo, sendo bastante comum na literatura técnica soluções baseadas em formulações
aproximadas. Apresentamos aqui uma estrutura um pouco distinta. Primeiro, a solução
rigorosa dos diferentes “tipos” de propagação é mostrada, utilizando em todos os casos
as equações de Maxwell como ponto de partida. Segundo, ao invés de demonstrar a teoria com aplicações mais simples, optamos por aplicações bem próximas da realidade da
Engenharia Elétrica, em particular na transmissão de energia.
5.1
Formulação Básica
Consideremos aqui o problema de resolver as equações de Maxwell em meio homogêneo, linear e isotrópico de parâmetros ✏, µ e constantes, sem cargas ou correntes
que não as determinadas pela lei de Ohm. Como conseqüência os campos E, H devem
satisfazer às equações abaixo para um sistema de coordenadas cartesiano (xyz).
@2E
@x2
@2H
@x2
@2E
@t2
@2H
µ✏ 2
@t
µ✏
111
@2E
=0
@t2
@2H
µ
=0
@t2
µ
(5.1)
Excetuando-se soluções particulares onde o campo H é constante no tempo e/ou
campo E atenua-se exponencialmente no tempo com constante ⌧ = ✏/ , para as condições impostas, as componentes de E e H segundo z são nulas. Pelo uso do vetor de
Poynting pode-se mostrar que para este tipo de onda a propagação ocorre apenas na direção de z sendo os campos E e H transversais a direção de propagação. Este tipo de
onda é chamada também de onda TEM (Transverse Electromagnetic) ou modo TEM de
propagação. Para o mesmo sentido de propagação, caso não houvesse a componente Hz ,
a onda seria tida TM (Transverse Magnetic) e para o caso de não existir Ez , a onda é dita
TE (Transverse Electric). Ondas TE e TM podem ser classificadas como ondas não uniformes. O modo TEM é a configuração mais simples de propagação e em diversos casos
um dos mais importantes pois caracteriza uma onda plana. Todavia, lembremos que este
é um caso especial e não uma solução geral da propagação de ondas eletromagnéticas.
A solução de equações diferenciais do tipo (5.1) pode ser feita através do método
de separação de variáveis, vide capítulo 1, sec. 1.2. Seja F (z, t) uma função capaz de
representar quaisquer das componentes de E e H, aplicando a separação de variáveis
temos
F (z, t) = F1 (z)F2 (t)
o que nos leva ao seguinte conjunto de equações
1 d 2 F1
µ✏ d2 F2 µ dF2
=
+
=
F1 dz 2
F2 dt2
F2 dt2
k2
(5.2)
onde k 2 é a constante de separação de variáveis. O conjunto de equações diferenciais em
(5.2) pode ser resolvido através de diversos métodos, como por exemplo uma transformada de Laplace (ou Fourier) bidimensional. No caso em questão é comum supor que a
propagação espacial e temporal é do tipo exponencial, sendo a propagação temporal do
tipo harmônica (exp(pt, onde p é um número complexo). Desta forma
F1 (z) = A exp(jk z) + B exp( jk z)
F2 (t) = C exp(pt)
(5.3)
O “operador” p deve satisfazer a seguinte equação
µ✏p2 + µ p + k 2 = 0
ou ainda
k2
=0
µ✏
(5.4)
Resolvendo a (5.4) e substituindo p = j! obtemos
p
k = ± ! 2 µ✏ j!µ
(5.5)
p2 +
✏
p+
Em engenharia elétrica, o mais comum é adotar a propagação para valores positivos de z a
parcela exp( jk z), ou simplesmente exp( z), onde = jk. A seção 5.1.1 apresenta
112
algumas informações adicionais sobre a escolha da função de propagação. A partir de
(5.5) e considerando apenas a raiz positiva podemos expressar por
p
= j!µ
! 2 µ✏ = ↵ + j
(5.6)
A quantidade sob a raiz quadrada em (5.6) é um número complexo que, para freqüências
angulares ! reais, localiza-se no segundo quadrantes, logo a raiz positiva situa-se no
primeiro quadrante, i.e., ↵ e são positivos.
Para meios não dissipativos ( = 0), com parâmetros µ e ✏ independentes da freqüência, a propagação segundo z ocorre sem atenuação e com “velocidade de fase” v =
p
1/ µ✏ independente da freqüência. Nestas condições temos:
• a velocidade de propagação constitui uma característica robusta do meio;
• a densidade de energia elétrica é igual a densidade de energia magnética;
• os vetores E e H estão em fase no tempo com a relação constante entre os módulos
dada por
E
=
H
r
µ
✏
constante e independente da freqüência, e esta relação real tem o significado de
“impedância de onda.”
Para meios dissipativos ( > 0), mesmo com parâmetros µ, e ✏ independentes
da freqüência, a propagação segundo z ocorre com atenuação e “velocidade de fase”
dependentes da freqüência. Nestas condições temos:
• a velocidade de propagação não constitui uma característica robusta do meio, há
diversas velocidades de propagação do meio;
• as densidades de energia elétrica e magnética não são iguais entre si;
• os vetores E e H não estão em fase e a relação entre os módulos varia com a
freqüência;
• o vetor de Poynting pode, eventualmente, mudar de sentido ao longo do período das
grandezas alternadas senoidais (sendo nulo nos instantes em que, eventualmente,
um dos campos E ou H seja nulo.
5.1.1
Alguns comentários sobre a notação
Há uma gama de notações possíveis para a representação da propagação das ondas,
uma vez que as formas de onda de solução baseiam-se na escolha de funções arbitrárias.
Em áreas como a Física é comum a adoção do fator temporal como sendo exp( j!t)
113
ao invés de exp(j!t). Conforme apresentado por Stratton (1941), este tipo de abordagem apresenta como vantagem que o expoente positivo exp(jkR) é mantido para a onda
viajante positiva, sendo k dado por
k 2 = ! 2 µ✏ + j!µ
Por outro lado, esta formulação implica na necessidade de se escolher o sinal do parâmetro complexo k de forma que a parte imaginária do mesmo seja menor que zero. Em
outras palavras, deve-se escolher o sinal da raiz de k 2 . Em Engenharia Elétrica é mais
comum adotar exp( jkR) para a onda viajante positiva, onde
k 2 = ! 2 µ✏
j!µ
desta forma não é necessário escolher o sinal da raiz de k, vide (Harrington 2001). Para
esta formulação a grandeza temporal é exp(j!t). Note-se que a relação entre a notação
adotada por Stratton (1941) e Harrington (2001) equivale a trocar j por j (rotação de
180 graus no plano complexo).
Uma outra notação também comum em Engenharia e em alguns livros da Física como
em (Slater & Frank 1969), consiste em modelar a propagação por exp( R), neste caso
2
=
! 2 µ✏ + j!µ
Conforme já definido na eq.(5.6), não é difícil verificar que as formulações em Slater &
Frank (1969) e Harrington (2001) são equivalentes e facilitam a utilização numérica para
freqüências positivas.
5.1.2
Relação entre os Campos
Supondo, como definido anteriormente, que tanto o campo elétrico como o campo
magnético não possuem componentes na direção da propagação, podemos escrever as
seguintes relações entre os componentes de E e H nas coordenadas x e y, supondo ainda
que o meio seja linear, homogêneo, isotrópico e sem fontes, para uma propagação no
eixo z dada por exp( z), onde z é o sentido de propagação.
Ey =
j!µHx
Ex =
j!µHy
0=
j!µHz
Hz = 0
Hy = ( + j!✏)Ex
Hx = ( + j!✏)Ey
0 = ( + j!✏)Ez
Ez = 0
As relações entre os componentes podem ainda se relacionar por
Ex
=
Hy
Ey
j!µ
= Z0 =
=
Hx
114
+ j!✏
(5.7)
onde Z0 é a impedância intrinseca, ou característica, ou “impedância de onda”. Estas
relações também podem ser expressas em forma vetorial
H=
j!µ
(5.8)
n⇥E
onde n é o vetor unitário no sentido de propagação.
No caso de se considerar a propagação associada a um vetor de campo elétrico que
pode ser decomposto em dois vetores E1 e E2 propagando-se em sentidos opostos de
forma que
E = E1 exp( z + pt) + E2 exp(
z + pt)
(5.9)
z + pt)
(5.10)
e de forma semelhante
H = H1 exp( z + pt) + H2 exp(
as equações de campo impõem as relações
H1 =
pµ
H2 =
n ⇥ E1
pµ
(5.11)
n ⇥ E2
que nada mais são que uma generalização da expressão em (5.8). A primeira expressão
em (5.11) assume a mesma forma de (5.8) caso p = j!.
Exemplo 5.1. Analisamos a seguir a forma de uma onda plana correspondente a um
impulso de campo elétrico, propagando-se em meio linear e homogêneo. A Fig. 5.1
apresenta o campo elétrico em função do tempo para z = 0. Calcule e represente
graficamente a função de transferência W em função da freqüência f , que relaciona o
campo elétrico para z = 100 m e para z = 0 para as seguintes configurações
(a) ✏ = 80, 1✏0 , µ = µ0 ,
= 10
9
S/m, z = 100 m;
(b) ✏ = 80, 1✏0 , µ = µ0 ,
= 10
4
S/m, z = 100 m;
(c) ✏ = 80, 1✏0 , µ = µ0 , = 10 3 S/m, z = 100 m;
q
(d) ✏ = 80, 1✏0 + 10 6 2⇡
= 10 4 + 10
! , µ = µ0 ,
6
p!
2⇡
S/m, z = 100 m;
Para cada um dos casos calcule também o comportamento do campo elétrico no domínio
do tempo para z = 100 m.
Solução De acordo com o enunciado, a função de transferência W pode ser definida por
W (f ) =
E(100, t)
E(0, t)
115
0.8
0.8
0.6
0.6
E !V#m"
1
E !V#m"
1
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
20
40
60
80
100
0
0.5
1
t !Μs"
(a) Onda completa
1.5
t !Μs"
2
2.5
3
(b) Frente de onda
Figura 5.1: Impulso em função do tempo
Admitindo-se que o campo elétrico é apenas função da coordenada z e do tempo t, podemos escrever
Wi (f ) = exp( jki zi )
onde Wi é a função de transferência associada ao item i do exemplo, ki é o fator de
propagação associado ao item i, e z1 = 100 m para todos os itens. Desta forma o
p
W (f ) = exp( j100 ! 2 µ✏ j!µ )
Para o primeiro exemplo temos:
⇣
p
Wa (f ) = exp
j100
j! 1, 25664 · 10
15
+ ! 2 8, 91214 · 10
16
⌘
A Fig. 5.2 apresenta a forma de onda de W no domínio da freqüência, onde Re
identifica a parte real e Im a parte imaginária de W . Notemos que devido ao baixo valor
da condutividade não há atenuação perceptível na função de transferência.
A forma de onda do impulso de campo elétrico no domínio do tempo pode ser obtido
pela aplicação da Transformada Inversa de Fourier ao produto de W com o valor do
campo elétrico para z = 0 no domínio da freqüência.
5.2
Ondas Planas em Meios Não Homogêneos
Diferentemente dos casos anteriores apresentamos aqui o formalismo necessário para
a análise da propagação de ondas em materiais não homogêneos. Estes meios são caracterizados por parâmetros µ, ✏ e dependem das coordenadas (x, y, z) de um ponto num
sistema de coordenadas cartesianas. Neste caso, as equações de Maxwell passam a ser
116
1
1
Re
Re
0.75
0.5
0.5
W
W
0.25
0 Im
0 Im
!0.25
!0.5
!0.5
!0.75
!1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0.2
0.4
f !MHz"
0.8
1
0.6
0.8
1
(b) item (b)
1
1
0.8
0.75
0.6
0.5
Re
W
W
(a) item (a)
0.4
0.6
f !MHz"
0.2
0.25
0
0 Im
Re
Im
!0.25
!0.2
!0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
f !MHz"
f !MHz"
(c) item (c)
(d) item (d)
Figura 5.2: Função de transferência do campo elétrico para a propagação de uma onda
plana em z = 100 m
r·(✏E) = ⇢
r·(µH) = 0
r⇥E =
r⇥H =
j!µH
(5.12)
( + j!✏)E
A maior dificuldade para a solução do sistema definido por (5.12) é a inclusão das
derivadas espaciais de µ, ✏ e . A solução é bastante trabalhosa e normalmente só é
possível em situações onde é possível desprezar certos componentes de campo ou direção
de variação espacial.
A título de exemplo consideremos um meio onde as ondas eletromagnéticas são definidas por (5.12) sem que haja perdas ou cargas ( = ⇢ = 0). É uma configuração similar
ao caso de dielétricos homogêneos, sendo necessário apenas resolver as equações que
envolvem o rotacional dos campos. Suponhamos, ainda, que a onda eletromagnética se
propaga na direção z, com o campo elétrico definido apenas pela componente na direção
x (Ex ), e o campo magnético dado apenas pela componente na direção y, (Hy ) e µ e
✏ não possuem variação no plano transversal à direção de propagação z. Da aplicação
117
direta das equações de Maxwell temos
dEx
=
dz
dHy
=
dz
j!µHy
(5.13)
j!✏Ex
Um ponto interessante com relação a (5.13) é que o conjunto de equações é idêntico
as equações de uma linha de transmissão não uniforme, onde Ex é análogo à tensão, Hy
à corrente, µ e ✏ à indutância e à capacitância por unidade de comprimento respectivamente. A solução é possível no caso de, por exemplo, uma onda TM sem variações em
y, com variações exponenciais em x e apenas variações em z para µ e ✏, de forma que
Ex = V (z) exp( jk x)
(5.14)
Hy = I(z) exp( jk x)
Ez = A(z) exp( jk x)
ao aplicar (5.14) nas equações de Maxwell obtemos
d I(z)
= j!✏V (z)
dz
d V (z)
= j!µI(z)
dz + jkA
jk I(z) = j!✏A(z)
resolvendo-se (5.15) em função de A(z) temos
✓
d V (z)
= j !µ
dz
k
!✏
◆
(5.15)
(5.16)
I(z)
Notemos que a (5.16) é de fato uma equação de onda não uniforme, conforme mencionamos no início do item. Para esta configuração ainda é possível obtermos soluções para
ondas TE sob condições similares, deixamos a tarefa como exercício para o leitor.
O formalismos para a solução dos campos em meios anisotrópicos é bem distinto
do caso de um meio homogêneo. A fim de apresentar com maiores detalhes o comportamento de alguns sistemas anisotrópicos é necessário antes apresentar alguns detalhes
sobre as propriedades destes meios, conforme mostrado a seguir.
5.2.1
Propriedades Dielétricas e Magnéticas de Meios Anisotrópicos
Uma das características dos materiais anisotrópicos é que a polarização não é paralela ao campos elétrico aplicado e depende da direção do mesmo. O campo elétrico
aplicado num material anisotrópico ao longo de um eixo de um sistemas de coordenadas,
orientado arbitrariamente, conduz à polarização com componentes em todas as direções.
Como exemplo tomemos um sistema que não possui polarização espontânea e que só
haja componente de campo elétrico na direção x, (E = E x̂), desta forma
P = ✏0 (Ex
e11 x̂
+ Ex
118
e12 ŷ
+ Ex
e13 ẑ)
(5.17)
onde e é a susceptibilidade elétrica, cujos índices referem-se aos componentes de P e
E. No caso de existir componentes de campo elétrico em todas as componentes
2
3
2
Px
4Py 5 = ✏0 4
Pz
e11
e12
e21
e22
e31
e32
3
Ex
e23 5 4Ey 5
Ez
e33
e13
32
(5.18)
É ainda possível relacionar D e P de forma que
2
3
2
Dx
1 + e11
4Dy 5 = ✏0 4 e21
Dz
e31
e12
1+
e22
e32
3
Ex
e23 5 4Ey 5
1 + e33
Ez
e13
32
(5.19)
Relações similares se aplicam ao campo magnético, a densidade de fluxo magnético e a
susceptibilidade magnética.
5.2.2
Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos
Recentemente surgiram diversas aplicações onde são necessários o estudo do comportamento de propagação de ondas eletromagnéticas em meios anisotrópicos, como por
exemplo, propagação de ondas em plasmas, ferrites, sistemas maser nas freqüências de
microondas e de luz.
Os materiais anisotrópicos podem ser divididos em duas classes, dependendo dos
modos naturais de propagação, que podem ser ondas polarizadas linearmente ou circularmente. No caso de ondas polarizadas linearmente, as componentes de permitividade
(vide (5.22) e de permeabilidade são simétricas. Já nas ondas polarizadas circularmente,
também chamadas de meio girotrópicos, as componentes de permitividade e de permeabilidade dos meios isentos de perdas são anti-simétricas. O comportamento girotrópico
surge, por exemplo, no caso da aplicação de um campo magnético finito a um plasma. O
comportamento dielétrico de um plasma depende do movimento de partículas carregadas.
Se um elétron for forçado pelo campo elétrico de uma onda a se mover com componente
de velocidade normal ao campo magnético aplicado, uma componente de velocidade em
outra direção surge, causado pela força v ⇥ B, onde v é a velocidade de propagação
do elétron. Os termos fora da diagonal representam este acoplamento. A interação do
plasma com um campo magnético finito causa a rotação dos campos duma onda polarizada linearmente enquanto esta progride. Este tipo de rotação é conhecido como rotação
de Faraday.
5.2.2.1
Relações Fundamentais
A relação entre E e D apresentada em (5.22) pode ser apresentada em forma matricial
D = ✏ˆE
119
(5.20)
onde ✏ˆ é a matriz de permitividade. De fato, a forma mais adequada de tratar os campos
nestes casos é através da utilização de tensores. Lembrando apenas que vetores são tensores de posto um e a matriz quadrada com propriedades de transformação apropriadas é
um tensor de posto dois. Com isto, o tensor permitividade pode ser escrito como
✏ˆ = ✏0 (I + ⇠ˆe )
(5.21)
onde I é a matriz identidade.
De acordo com Landau & Lifshitz (1987) pode ser mostrado que ✏ˆ é simétrico. Uma
transformação de coordenadas particularmente importante é então possível pois um tensor simétrico de posto dois pode ser diagonalizado pela rotação do sistema de coordenadas. Em outras palavras, escolhendo-se adequadamente o sistema de coordenadas é
possível escrever ✏ˆ da forma
2
3
✏11 0
0
✏ˆ = 4 0 ✏22 0 5
(5.22)
0
0 ✏33
Quando o sistema de coordenadas é escolhido de forma a ter o tensor de permitividade
diagonal, os eixos do sistema de coordenadas são chamados de eixos principais do meio.
Uma formulação em muito semelhante pode ser aplicado ao campos magnético.
B = µ̂H
(5.23)
onde µ̂ = µ0 (I + ⇠ˆm ), sendo I a matriz de identidade, µ̂ o tensor permeabilidade e ⇠ˆm o
tensor susceptibilidade magnética. O tensor permeabilidade geralmente não é simétrico,
principalmente em meios girotrópicos (Landau & Lifshitz 1987).
Neste sistema os campos elétricos e magnéticos podem ser expressos por
r⇥E =
r⇥H =
j! µ̂H
j!ˆ
✏E
(5.24)
Na grande maioria dos casos de interesse prático é raro a necessidade de se representar
a permeabilidade e a permitividade através de tensores. O mais comum é que quando
um deles for tensor o outro será escalar. Nos casos onde a permeabilidade é escalar e a
permeabilidade é um tensor, o campo elétrico é definido por
r⇥ r⇥ E = ! 2 µˆ
✏E
(5.25)
que pode ser reescrita através da aplicação da expressão do rotacional do rotacional definido por (1.79).
r2 E
r(r·E) + ! 2 µˆ
✏E = 0
(5.26)
Nos casos onde a permitividade for escalar e a permeabilidade um tensor, aplicando-se o
mesmo raciocínio, temos
r2 H
r(r·H) + ! 2 ✏B = 0
120
(5.27)
Exemplo 5.2. Consideremos um meio que contém um plasma com um campo magnético
infinito cuja direção pode ser associada ao eixo z de um sistema de coordenadas cartesiano. Analise o problema da propagação de ondas TEM paralelas ou perpendiculares
ao campo magnético. Para o meio em questão o tensor permitividade é dado por
2
3
✏0 0 0
✏ˆ = 4 0 ✏0 0 5
0 0 ✏33
a permeabilidade por ser considerada igual a µ0 . Calcule o campo elétrico admitindo-se
que o mesmo se propaga exponencialmente.
Solução
5.3
Reflexão e Transmissão
Consideremos dois meios lineares homogêneos e isotrópicos de parâmetros ✏1 , µ1 , 1
e ✏2 , µ2 , 2 respectivamente e separados por um plano S, conforme mostrado na Fig. 5.3,
sendo n o vetor unitário normal a S orientado do meio 1 para o meio 2, r o vetor posição
de um ponto genérico P no espaço em relação a uma origem de coordenadas localizadas
em S. Os parâmetros de propagação dos dois meios k1 e k2 são dados respectivamente
por
p
µ1 ✏ 1 ! 2
p
k2 = µ2 ✏ 2 ! 2
k1 =
j!µ1
1
j!µ2
2
Consideremos uma onda plana incidente em S, de freqüência angular ! = 2⇡f , com
direção e sentido de propagação definidos pelo vetor unitário n0 no sentido do meio 2
para o meio 1, conforme mostrado em Fig. 5.3. A amplitude do campo elétrico é dada, no
domínio da freqüência, por um complexo E0 , admitindo-se que a propagação no tempo
é do tipo exp(j!t), os vetores do campo elétrico e magnético incidente são dados por
Ei = E0 exp( jk2 n0 · r + j!t)
k2
Hi =
n 0 ⇥ E0
!µ2
(5.28)
A incidência da onda plana em S origina o movimento de cargas e correntes na vizinhança de S, cujo efeito está associado, em geral, a uma onda refletida no meio 2 e a
uma onda transmitida no meio 1. Estas duas ondas podem ser interpretadas como ondas
planas de amplitudes E1 e E2 e vetores unitários de direção e sentido de propagação n1 e
n2 , conforme mostra esquematicamente a Fig. 5.3. É importante notar que por estarmos
lidando com grandezas complexas não é incomum ocorrer casos onde os ângulos são,
também, complexos.
121
P
n0
r
θ0
θ2
n2
n
Meio 2
S
Meio 1
n1
θ1
Figura 5.3: Reflexão de Ondas Planas
Para que se tenha uma solução do tipo onda plana temos
Et = E1 exp( jk1 n1 · r + j!t)
Er = E2 exp( jk2 n2 · r + j!t)
k1
Ht =
n 1 ⇥ Et
!µ1
k2
Hr =
n 2 ⇥ Er
!µ2
(5.29)
no caso de E0 , E1 , E2 constantes n, n0 , n1 , n2 deverão ser coplanares e paralelo ao
plano de incidência definido pelo par de vetores n e n0 , e
sin ✓2 = sin(⇡
✓2 ) = sin ✓0
k2 sin ✓0 = k1 sin ✓1
(5.30)
Trata-se das leis de reflexão e transmissão de Snell, notando-se que no caso de ✓0 real, ✓2
é complexo.
No caso dos vetores de campo elétrico, a relação entre E0 , E1 , E2 é definida pelas
condições de continuidade em S. Essa relação depende do “ângulo” de E0 com o plano
de incidência. Em geral, E0 pode ser decomposta em duas componentes uma normal
ao plano de incidência (E0N ) e, outra, paralela ao plano de incidência (E0P ). A cada
componente estão associados coeficientes de transmissão e de reflexão, funções de ✓0
e dos parâmetros do meio que, por exemplo, definem a componente normal no meio
1(E1N ) e no meio 2 (E2N ) a partir de E0N . De forma idêntica, as componentes paralelas
no meio 1 (E1P ) e no meio 2 (E2P ) são obtidas a partir de E0P . Através da superposição
dos componentes normais e paralelos obtemos E1 e E2 .
Consideremos um onda caracterizada por um campo elétrico normal ao plano de
incidência E0N e portanto onda incidente com polarização, referida a E, também normal
ao plano de incidência.
As condições de continuidade das componentes tangenciais dos campos E, H na
superfície S, para a onda caracterizada por E0N , implicam nas seguintes relações
cos ✓2 = cos ✓0
122
k1 cos ✓1 =
q
k12
k22 sin ✓0
Desta forma é possível estabelecer as seguintes relações entre os campos elétricos e magnéticos
E1N = TN E0N
E2N = RN E0N
(5.31)
H1N = TN⇤ H0N
⇤
H2N = RN
H0N
sendo TN e RN os coeficientes de transmissão e reflexão, geralmente complexos, referidos ao campo elétrico e dados por
TN =
RN
2µ1 k2 cos ✓0
q
µ1 k2 cos ✓0 + µ2 k12 k22 sin2 ✓0
q
k12
q
=
µ1 k2 cos ✓0 + µ2 k12
µ1 k2 cos ✓0
µ2
k22 sin2 ✓0
k22 sin2 ✓0
(5.32)
(5.33)
⇤ os coeficientes de transmissão e reflexão, respectivamente, em geral
e sendo TN⇤ , RN
complexos e referidos a H, de forma que
TN⇤ =
⇤
RN
2µ2 k1 cos ✓0
q
µ1 k2 cos ✓0 + µ2 k12 k22 sin2 ✓0
q
µ1 k2 cos ✓0 µ2 k12
q
=
µ1 k2 cos ✓0 + µ2 k12
k22 sin2 ✓0
k22 sin2 ✓0
(5.34)
(5.35)
⇤
Notemos que os coeficientes de reflexão são idênticos, RN = RN
Consideremos, agora, uma onda caracterizada por E0P , paralelo ao plano de incidência e com polarização, referida a E, também, paralela ao plano de incidência.
As condições de continuidade das componentes tangenciais dos campos elétricos e
magnéticos na superfície S implicam nas relações
cos ✓2 = cos ✓0
q
k1 cos ✓1 = k12 k22 sin ✓0
Desta forma é possível estabelecer as seguintes relações entre os campos elétricos e magnéticos, de forma similar ao realizado para a onda de incidência normal
E1P = TP E0P
E2P = RP E0P
H1P = TP⇤ H0P
H2P = RP⇤ H0P
123
(5.36)
sendo os coeficientes de transmissão e reflexão TP e RP , geralmente complexos, dados
por
TP =
2µ1 k1 k2 cos ✓0
q
µ2 k12 cos ✓0 + µ1 k2 k12 k22 sin2 ✓0
q
k12
q
RP =
µ2 k12 cos ✓0 + µ1 k2 k12
µ2 k12 cos ✓0
µ1 k2
k22 sin2 ✓0
k22 sin2 ✓0
(5.37)
(5.38)
e sendo TP⇤ , RP⇤ os coeficientes de transmissão e reflexão, respectivamente, em geral
complexos e referidos a H de forma que
TP⇤ =
2µ2 k12 cos ✓0
q
µ2 k12 cos ✓0 + µ1 k2 k12
k22 sin2 ✓0
µ2 k12 cos ✓0
k22 sin2 ✓0
q
k12
⇤
q
RP =
µ2 k12 cos ✓0 + µ1 k2 k12
µ1 k2
k22 sin2 ✓0
(5.39)
(5.40)
Ainda similar ao caso da onda com incidência normal, RP⇤ = RP .
Um caso interessante ocorre quando uma onda plana pode ser caracterizada por n0
normal ao plano S, i.e. ✓0 = 0. Trata-se de uma condição em que os coeficientes de
transmissão e reflexão são dados por
2µ1 k2
µ1 k2 + µ2 k1
2µ2 k1
= TP⇤ =
µ1 k2 + µ2 k1
µ1 k2 µ2 k1
= RP =
µ1 k2 + µ2 k1
µ1 k2 µ2 k1
= RP⇤ =
µ1 k2 + µ2 k1
⇤
= RN = RP = RP⇤
TN = TP =
TN⇤
RN
⇤
RN
RN
(5.41)
Exemplo 5.3. Suponhamos dois meios lineares, homogêneos e isotrópicos caracterizados por parâmetros ✏, µ e independentes da freqüência na gama de 0 a 1 MHz. O meio
1 é caracterizado por ✏1 = 40✏0 , µ1 = µ0 e 1 = 0, 01 S/m. Calcule os coeficientes de
reflexão e transmissão para uma onda incidente normal ao plano S e com um ângulo de
incidência ✓0 = ⇡/20.
Solução No caso da onda com incidência normal ✓0 = 0 e os coeficientes de transmissão
são iguais ao do caso de incidência paralela, i.e. TN = TP = T e TN⇤ = TP⇤ = T ⇤ . O
⇤ = R⇤ = R⇤ A
mesmo ocorre para os coeficientes de reflexão, RN = RP = R e RN
P
Fig. 5.4 apresenta os fatores de propagação dos meios 1 e 2, em função da freqüência. A
Fig. 5.5 apresenta os coeficientes de transmissão TN e TN⇤ em função da freqüência.
124
0.2
0.04
Re
0.03
0.1
0.02
k
k
Re
0
0.01
0
"0.1
Im
Im
"0.01
1
10
100
1000
f !Hz"
10000 100000. 1. ! 106
1
10
100
(a) k2
1000
f !Hz"
10000
100000. 1. ! 106
(b) k1
Figura 5.4: Fator de propagação dos meios
2
0.1
Re
Re
1.5
T
T"
0.05
1
0
0.5
Im
"0.05
Im
0
1
10
100
1000
f !Hz"
10000 100000. 1. ! 106
1
10
100
1000
f !Hz"
10000
100000. 1. ! 106
⇤
(b) TN
(a) TN
Figura 5.5: Coeficientes de Transmissão
5.4
Campos Quase Estacionários
Todo os fenômenos descritos pela teoria de circuitos são de natureza eletromagnética.
Portanto, as leis de circuito (Leis de Kirchoff, por exemplo) são deriváveis a partir das
equações de Maxwell. Todavia, existem fenômenos como radiação que são adequadamente descritos pelas equações de Maxwell mas carecem de representação a partir das
leis de circuitos. Isto implica que a teoria de circuitos pode ser analisada como um subconjunto restrito de soluções das equações de Maxwell. Um ponto interessante é que as
leis da teoria de circuitos são antecedem às equações de Maxwell e datam de um período
da história onde a pesquisa de fenômenos eletromagnéticos se restringia a fenômenos eletromagnéticos lentos (Fano, Adler & Chu 1960). Conseqüentemente, a classe de soluções
das equações de Maxwell descritas adequadamente pela teoria de circuito caracterizamse por uma lenta variação temporal, daí a origem do nome quase estacionário.
5.4.1
Condições de Reflexão e Transmissão em Regime Quase Estacionário
O campo elétrico estacionário originado por um carga pode ser decomposto em ondas planas, em que o campo é paralelo à direção de propagação. Por outro lado, quando
a freqüência tende para zero, o campo tende para o campo estacionário na “vizinhança”
125
das “fontes” de carga e de corrente. Portanto, para muitas aplicações como a transmissão de energia em linhas de transmissão é possível aplicar a hipótese de campo quaseestacionário. Isto equivale, em termos práticos, à aplicar uma metodologia similar ao
cálculos dos campos estáticos elétricos e magnéticos para a resolução do campo eletromagnético variante no tempo. Portanto, em principio, para uma fonte de corrente injetada
num meio linear, homogêneo e isotrópico, distribuída uniformemente ao longo de um
segmento de reta na aproximação quase estacionária, os campos E e H são ortogonais,
sendo E paralelo à direção de propagação (como limite).
Um ponto importante é que ao tender-se para a aproximação quase estacionária, o coseno diretor de n tende para infinito, onde n é o vetor unitário na direção de propagação.
Com esta interpretação, as condições de reflexão e transmissão de ondas planas, em
planos de separação de meios lineares, homogêneos e isotrópicos, no domínio da validade
da aproximação quase estacionária, tendem para as condições de reflexão e transmissão
de corrente contínua, para meios de condutividade finita e não nula.
Consideremos, por exemplo, o coeficiente de reflexão RP , da formulação relativa a
ondas planas
q
µ2 k12 cos ✓0 µ1 k2 k12 k22 sin2 ✓0
q
RP =
µ2 k12 cos ✓0 + µ1 k2 k12 k22 sin2 ✓0
sendo k1 , k2 os parâmetros de propagação dos meios 1 e 2. Com as convenções de sinais
dessa formulação, os sentidos tomados como positivos para as componentes de campo
elétrico, nas ondas incidentes e refletida, são opostos. Considerando sentidos positivos
coincidentes para essas duas ondas tem-se
q
µ2 k12 x µ1 k2 k12 k22 sin2 ✓0
q
RP =
(5.42)
2
µ2 k1 cos ✓0 + µ1 k2 k12 k22 sin2 ✓0
fazendo cos ✓0 = x, logo sin2 ✓0 = 1
RP =
µ2 k12 x
µ2 k12 x
Como |x2 |
p
µ1 k2 k12
p
+ µ1 k2 k12
1 e |x2 |
RP ⇡
x2 e levando |x| ! 1 temos
r
2
2
µ2 k1 µ1 k2 1 +
k22 (1 x2 )
r
=
k22 (1 x2 )
2
2
µ2 k1 + µ1 k2 1 +
k12 1
k22 x2
1
x2
k12 1
k22 x2
1
x2
(5.43)
|k12 /k22 | logo
µ2 k12 µ1 k22
!(✏2 ✏1 ) + j(
⇡
2
2
!(✏2 + ✏1 ) + j(
µ2 k1 + µ1 k2
e se além das hipótese anteriores, for
!|✏2
✏1 | ⌧ |
126
2
1|
1)
2
2
+
1)
(5.44)
!|✏2 + ✏1 | ⌧ |
1|
2
logo
Rp ⇡
5.5
2
2
1
+
(5.45)
1
Aplicações de Campos Quase Estacionários
Em diversas aplicações de ondas planas temos configurações onde o comprimento
de onda das grandezas envolvidas é muito maior que a maior dimensão do circuito. É
o caso por exemplo, de linhas de transmissão de energia em regime estacionário, onde
em aplicações convencionais e em níveis de tensão de até 230 kV, o comprimento do
circuito não ultrapassa 200 km, enquanto que o comprimento de onda para 60Hz é de
aproximadamente 5000 km. Nestas configurações é comum se designar a aproximação
quase estacionária da linha, o que implica em aproximar o comportamento da linha por
relações similares aos campos estacionários. Um ponto importante e nem sempre explicitado na literatura é que no caso de linhas de transmissão ao se supor a aproximação
quase estacionária fica implícito que a linha não irradia. Caso contrário, não seria possível utilizar este tipo de aproximação. No capítulo 8 vamos apresentar maiores detalhes
sobre aplicações de campos quase estacionários para o cálculo de parâmetros de circuitos
de transmissão de energia.
5.6
Problemas
1. Considere um feixe de n condutores cilíndricos de raio r muito longos e dispostos
horizontalmente e cujos eixos estejam dispostos regularmente num cilindro de raio
R cujo centro esteja a uma altura H do solo, considerado plano. Suponha que
todo os condutores estão em regime estacionário e não haver outros condutores ou
objetos próximos ao feixe. Considere tensão, u nula entre os condutores e o solo,
R
a, H
a. Determine a matriz de coeficientes de potencial, as cargas por
unidade de comprimento dos condutores e total do feixe, a distribuição de carga
na superfície dos condutores, a tensão e o campo elétrico no meio envolvente (ar),
considerando
(a) Distribuição linear de carga, centrada no interior de cada condutor;
(b) Distribuição linear de carga, descentrada no interior de cada condutor.
2. Repita o exercício anterior, mas considerando, agora, tensões u1 , u2 . . . , un entre
os condutores 1, 2 . . . , n e o solo, R
a, H
a.
3. Considere um condutor cilíndrico de raio R = 0, 01 m e comprimento L = 1 m,
com carga elétrica Q, imerso num meio linear, homogêneo e isotrópico, infinito
em todas as direções, de permitividade ✏ e condutividade nula. Suponha não haver
127
outros condutores ou objetos próximos deste condutor e regime estacionário. Análise e discuta métodos para determinar o coeficiente de potencial, a distribuição de
carga na superfície do condutor, a tensão e o campo elétrico no meio envolvente,
considerando as seguintes hipóteses:
(a) Distribuição linear de carga, centrada no interior do condutor;
(b) Distribuição linear de carga, descentralizada no interior do condutor.
(c) Discuta o erro dos métodos de cálculo dos itens anteriores quanto aos seguintes aspectos:
• coeficiente de potencial e tensão do condutor em relação a um ponto
muito afastado
• potencial na superfície do condutor e forma da superfície equipotencial
• campo elétrico na superfície externa do condutor
• distribuição de potencial e de campo elétrico no meio envolvente
4. Suponha o condutor imerso num meio linear, homogêneo e isotrópico, infinito em
todas as direções, de permitividade ✏ e condutividade nula. Suponha não haver
outros condutores ou objetos próximos deste condutor, regime estacionário e condutor com carga total Q. Determine as grandezas elétricas associadas ao condutor,
supondo que as mesmas podem ser obtidas, aproximadamente, a partir de uma distribuição linear da carga total Q, do condutor, ao longo da circunferência de raio R
associada à definição da superfície do condutor.
5. Considere um condutor cilíndrico de raio r = 0, 01 m, disposto em anel circular
de raio R = 1 m no ar a uma distância H = 4 m do solo suposto plano, com
tensão u = 100 kV em relação ao solo. Suponha não haver outros condutores
ou objetos próximos deste condutor e regime estacionário. Determine a função
potencial e o campo elétrico E no ar e a carga no condutor por unidade de
comprimento. Suponha r ⌧ R e R ⌧ H, discuta depois procedimentos para
evitar estas restrições.
128
CAPÍTULO
6
Propagação de Ondas Cilíndricas
Em diversas configurações devido a geometria do problema sob estudo é mais prático
lidar com a formulação do problema em sistemas de coordenadas que não o cartesiano.
Há casos também onde as fontes possuem simetria cilíndrica ou cujo comportamento
dominante se “aproxime” dessa simetria. Entende-se aqui como coordenadas cilíndricas
a sistema cilíndricos circulares, excluindo-se, nessa análise, as coordenadas elipsoidais e
outros sistemas similares.
Para a solução dos campos cilíndricos o interesse principal é obter, quando possível,
um potencial escalar e/ou vetorial a partir do qual representa-se o campo eletromagnético.
Uma vez que, desde que no domínio em questão não existam fontes, o campo elétrico
pode ser expresso pela sobreposição de campos associados aos modos TE (“Transverse
Electric”– Transversal elétrico) e TM (“Transverse Magnetic”– Transversal magnético),
de forma a obter uma solução factível. Do ponto de vista do rigor matemático, há uma
infinidade de tipos de soluções, são as condições de contorno que impõem condições
as quais as sobreposições de soluções particulares devem satisfazer. Admite-se que a
propagação das ondas eletromagnéticas ocorre apenas ao longo do eixo z do sistemas de
coordenadas.
Caso as condições de fronteira sejam suficientes para definir o campo, a solução
“global” do campo eletromagnético torna-se unívoca. Todavia, a unicidade refere-se
apenas à solução “global” mas não a cada uma das “ondas” que sejam consideradas. Por
exemplo, uma onda cilíndrica pode decompor-se em ondas planas ou em ondas esféricas
e inversamente.
6.1
Equações de um campo cilíndrico por Vetor de Hertz
Consideremos um campo eletromagnético associado a um vetor de Hertz, ⇧ orientado ao longo do eixo z, sendo os outros componentes nulos, que pode ser representado
129
por outros dois vetores
⇧ = ⇧E + ⇧M
onde
⇧E = ⇧E ẑ
(6.1)
⇧M = ⇧M ẑ
Conforme mostrado no capítulo 2 os campos elétrico e magnético podem ser dados, considerando um meio homogêneo, linear e isotrópico, por
@⇧M
E = r⇥ r⇥ ⇧E µ r⇥
✓
◆ @t
@⇧E
H = r⇥
⇧E + ✏
r⇥ r⇥ ⇧M
@t
(6.2)
onde, de acordo com (2.44),
r⇥ r⇥ ⇧E =
r r· ⇧E
r⇥ r⇥ ⇧M =
r r· ⇧M
@ 2 ⇧E
@t2
@ 2 ⇧M
µ✏
@t2
µ✏
@⇧E
@t
@⇧M
µ
@t
µ
(6.3)
O vetor ⇧E dá origem a um campo eletromagnético onde não há a componente ẑ, do
campo magnético, ou seja produz um campo eletromagnético de modos TM, este tipo de
campo em algumas referências, (e.g. (Stratton 1941)) recebe o nome de campo do tipo
elétrico. Já o vetor ⇧M dá origem a um campo eletromagnético de modos TE e recebe,
por vezes, o nome de campo do tipo magnético.
O campo eletromagnético obtido pela superposição de ⇧E e ⇧M é de caráter geral
podendo representar qualquer condição de fronteira onde não estejam envolvidas as fontes. No caso de haver fontes, as mesmas podem ser representadas através da inclusão de
vetores de Hertz adicionais.
Uma vez que o vetor potencial de Hertz possui apenas uma componente é possível
associá-lo a um escalar , em outras palavras seja ⇧z a intensidade de qualquer um dos
vetores de Hertz, logo
⇧z =
O escalar chamado também de função de onda deve também satisfazer a equação de
onda escalar, uma vez que o vetor de Hertz a satisfaz (vide Capítulo 2). Para um sistema
de coordenadas cilíndricas (r, ✓, z), temos
1 @
r @r
✓
@
r
@r
◆
+
1 @2
@2
+
r2 @✓2
@z 2
µ✏
@2
@t2
µ
@
=0
@t
(6.4)
Supondo que = 0 exp(j!t) e lembrando, apenas, que a equação de onda, ou equação
de Helmholtz, é dada no domínio da freqüência por r2 + k 2 , admitindo-se um meio
130
homogêneo, linear, infinito e isotrópico de permeabilidade magnética µ, condutividade
e permitividade ✏, com um fator de propagação k, onde
k 2 = ! 2 µ✏
j!µ
A solução de (6.4) é obtida através do método de separação de variáveis. Considere,
a principio que a função de onda , possa ser decomposta em três funções conforme
mostrado abaixo.
= R(r)⇥(✓)Z(z)
Aplicando-se (6.5) em (6.4) resulta em
✓
◆
1 d
dR
1 d2 ⇥
1 d2 Z
r
+ 2
+
+ k2 = 0
rR dr
dr
r ⇥ d✓2
Z dz 2
(6.5)
(6.6)
Para que haja solução em (6.6) é necessário que
1 d2 Z
= h2
Z dZ 2
onde h é uma constante. Substituindo (6.7) em (6.6) resulta em
✓
◆
r d
dR
1 d2 ⇥
r
+
+ (k 2 h2 )r2 = 0
R dr
dr
⇥ d✓2
(6.7)
(6.8)
Para que a equação acima seja satisfeita é necessário que
1 d2 ⇥
=
⇥ d⇥2
n2
(6.9)
sendo n uma constante, podendo ser complexa. É possível então obter a seguinte equação
✓
◆
r d
dR
r
n2 + (k 2 h2 )r2 = 0
(6.10)
R dr
dr
que é uma equação diferencial ordinária apenas em r. Agora é possível escrever um
conjunto de três equações diferencias ordinárias
✓
◆
d
dR
r
r
+ (rkr )2 n2 R = 0
(6.11)
dr
dr
d2 ⇥
+ n2 ⇥ = 0
d✓
(6.12)
d2 Z
+ h2 = 0
dz 2
(6.13)
onde h2 + kr2 = k 2 . As equações (6.12) e (6.13) são equações harmônicas que possuem
como solução funções exponenciais, usualmente essas exponenciais são diretamente proporcionais às coordenadas, i.e. f (✓) = exp(n✓) e f (z) = exp(hz). A equação (6.11)
pertence a família de equações diferenciais cuja solução é dada por funções de Bessel, de
primeira, segunda espécie, funções modificadas de Bessel e funções de Hankel.
131
6.1.1
Modos TM
Uma vez que a função de onda relaciona-se diretamente com o campos elétrico e
magnético e supondo-a, ainda, uma função harmônica no tempo, temos
ET M = Er r̂ + E✓ ✓ˆ + Ez ẑ
HT M = Hr r̂ + H✓ ✓ˆ
(6.14)
Lembrando que para modos TM, a componente Hz do campo magnético é nula. A expressão detalhada dos componentes do campo elétrico e magnético é mostrada em (6.15).
@2
@r@z
1 @2
=
r @✓@z
@2
=
+ k2
2
@z
✓
◆
+ j!✏ @
=
r
@✓
@
= ( + j!✏)
@r
Er =
E✓
Ez
Hr
H✓
(6.15)
As expressões em (6.15) podem ser obtidas diretamente pela relação entre os campos
e os potenciais escalar e vetor A conforme mostra a (6.16)
=
r· ⇧E
@⇧E
@t
@A
@t
A = µ ⇧E + µ✏
E=
H=
r
(6.16)
1
r⇥ A
µ
sendo ⇧E = ⇧M ẑ = ẑ
6.1.2
Modos TE
Os componentes dos campos elétrico e magnético no caso de campos transversais
elétricos são dados por
ET E = Er r̂ + E✓ ✓ˆ
HT E = Hr r̂ + H✓ ✓ˆ + Hz ẑ
132
(6.17)
sendo
Er =
E✓ =
Hr =
H✓ =
Hz =
j!µ @
r @✓
@
j!µ
@r
@2
@r@z
1 @2
r @✓@z
@2
+ k2
@z 2
(6.18)
Lembrando que em modos TE não há componente Ez . Similar ao caso dos modos
TM, as expressões em (6.18) podem ser obtidas diretamente pela relação entre os campos
e os potenciais escalar elétrico M e vetor potencial elétrico F conforme mostra a (6.19)
r· ⇧M
@⇧M
F = µ✏
@t
1
E=
r⇥ F
✏
M
=
H=
r
M
(6.19)
@F
@t
✏
F
sendo ⇧M = ⇧M ẑ = ẑ
6.2
Campos derivados de funções de onda cilíndricas circulares
Designamos aqui por funções de onda cilíndricas circulares o conjunto de funções
elementares cujo produto é solução da equação de onda em coordenadas cilíndricas.
Considerando um domínio homogêneo, linear e isotrópico podemos representar o campo
eletromagnético a partir de combinações lineares da função de onda conforme mostra
a (6.20)
⇣ p
⌘
2
2 exp(jn✓) exp(±jhz + j!t)
=
J
r
k
h
n
nhk
⇣ p
⌘
(6.20)
(1)
2
2 exp(jn✓) exp(±jhz + j!t)
=
H
r
k
h
nhk
n
Caso a constante de propagação h for complexa, o campo não é necessariamente periódico ao longo do eixo z. Uma expressão explícita para h em função da freqüência e da
constante de propagação do meio k somente pode ser obtida através dos valores de
para um dado cilindro de raio constante ou no plano z igual a uma constante é conhecido. Em outras palavras, os valores das “constantes” de separação dependem sempre
133
das condições de contorno ou fronteira. A direção de propagação é positiva ou negativa
de acordo com o sinal de h.
A primeira equação em (6.20) deve ser empregada a domínios finitos incluindo o eixo
r = 0. Já no caso de analisar o comportamento a grandes distâncias das fontes deve ser
empregada a segunda equação em (6.20), pois a função de Hankel para grandes valores
de argumento pode ser representada por sua expansão assintótica
r
✓ ✓
◆◆
2
2p + 1
(1)
Hn (r) '
exp i r
⇡
(6.21)
⇡
4
A expressão em (6.21) representa uma onda que se propaga radialmente.
As expressões em (6.20) servem para a análise de ondas planas não uniformes, ou
não-homogêneas. Os planos de fase constante propagam-se ao longo do eixo z com velocidade v = !/↵, onde ↵ é a parte real de h e as amplitudes desses planos dependem de
r e ✓. Este tipo de onda somente pode ser criado em meios onde as fontes se localizam
a distâncias finitas à referência do sistema de coordenadas. As ondas planas estudadas
no Capítulo 5 são estritamente uniformes, uma vez que os planos de fase constante também implicam em amplitude constante. Ondas planas uniformes implicam que o meio é
infinito, homogêneo, e as fontes do campo estão infinitamente remotas.
No caso de modos TM passamos a ter os seguintes valores para as componentes do
campo elétrico,
Er = jh
E✓ =
Ez =
Hr =
H✓ =
@
nhk
@r
jh @ nhk
r @✓
k 2 h2
( + j!✏) @ nhk
r
@✓
@ nhk
( + j!✏)
@r
(6.22)
e para os modos TE temos
j!µ @ nhk
r
@✓
@ nhk
= j!µ
@r
@ nhk
= jh
@r
jh @ nhk
=
r @✓
= k 2 h2
Er =
E✓
Hr
H✓
Hz
(6.23)
Cada função de onda elementar é identificada univocamente pelos valores de n, h e k.
Quando n = 0, o campo é simétrico em relação ao eixo z. Quando as condições iniciais
134
são definidas para um determinado plano ou superfície cilíndrica, a solução é construída
pela superposição de funções de onda elementares. Para um determinado valor de k e h
obtemos os seguintes campos, no caso de uma solução geral
Er = ih
1
X
n=
E✓ =
1
h X
nan
r n= 1
Ez = k 2
1
!µ X
nbn
r n= 1
@ n
an
@r
1
h2
j!µ
n
1
X
bn
n= 1
1
X
an
n
1
( + j!✏) X
nan
r
n= 1
n
n
@ n
@r
(6.24)
n= 1
Hr = j
H✓ =
( + j!✏)
Ez = k 2
h2
1
X
an
n= 1
1
X
bn
@ n
@r
+ ih
1
X
n= 1
1
X
h
r n=
bn
@ n
@r
nbn
n
(6.25)
1
n
n= 1
onde an e bn são os coeficientes a serem determinados a partir das condições iniciais.
Alguns autores, preferem substituir o termo + !✏ por k 2 /(j!µ) nas expressões em
(6.25). Uma outra notação encontrada na literatura consiste em utilizar ẑ = j!µ e ŷ =
+ j!✏, contudo acreditamos que não haja grande vantagens em utilizar este tipo de
notação, podendo inclusive causar confusão com os vetores unitários. Por isto, optou-se
por evitar este tipo de notação no presente texto.
Exemplo 6.1. Considere o condutor vertical enterrado no solo, com trechos isolados e
trechos em contato com o solo. O solo possui três camadas horizontais de parâmetros
distintos, conforme mostrado na Fig. 6.1. Na última camada não há condutor, sendo que
em cada camada, o solo pode ser considerado, homogêneo, linear e isotrópico. Calcule
o campo magnético e elétrico nas três regiões.
Solução— Por apresentar simetria cilíndrica podemos lidar apenas com n = 0, logo
0
0
onde k 2 = ! 2 µ✏
p
k 2 h2 ) exp(jhz) exp(j!t)
p
(1)
= H0 (r k 2 h2 ) exp(jhz) exp(j!t)
= J0 (r
(6.26)
j!µ . Para um par de valores fixos de ! (ou k) e h, o campo
135
Solo
Camada
Tipo A
h1
Camada
Tipo B
h2
Camada
Tipo C
h3
Figura 6.1: Condutor vertical enterrado no solo
eletromagnético correspondente é da forma:
@ 0
@r
@ 0
= j!µb0
@r
= (k 2 h2 )a0
@ 0
= jhb0
@r
jk 2 @ 0
=
a0
!µ
@r
2
2
= (k
h )b0
Er = jha0
E✓
Ez
Hr
H✓
Hz
0
(6.27)
0
Para as funções consideradas em (6.26) obtemos
@ 0
=
@r
@ 0
=
@r
p
p
k2
k2
⇣ p
⌘
h2 J1 r k 2 h2 exp(j(±hz + !t))
⇣ p
⌘
(1)
h2 H1 r k 2 h2 exp(j(±hz + !t))
(6.28)
Para a camada tipo A, com condutor vertical isolado, de raio exterior R, com camada
isolante de pequena espessura, de raio interno R e raio externo Re , supondo o condutor
maciço, ou em tubo com “espessura de penetração” do campo no condutor bastante inferior à espessura do tubo e representando pelo índice 1 as grandezas no condutor e pelo
136
índice i as grandezas no isolante e pelo índice 2 as grandezas no meio externo, temos no
condutor (r < R):
k 2 = k12 = ! 2 µ1 ✏1
j!µ1
1
a0 = a01
(6.29)
b0 = b01
0
q
= J0 (r k12
h2 ) exp(j(!t ± hz))
Já no isolante (R < r < Re ) temos :
k 2 = ki2 = ! 2 µi ✏i
j!µi
i
a0 = a0i
b0 = b0i
✓
q
2
0 = J0 (r k1
e no meio externo (r > Re )
q
(1)
h2 ) + ⌘H0 (r k12
k 2 = k22 = ! 2 µ2 ✏2
j!µ2
◆
h2 ) exp(j(!t ± hz))
2
a0 = a02
(6.31)
b0 = b02
0
q
(1)
= H0 (r k12
(6.30)
h2 ) exp(j(!t ± hz))
Para obtenção das constantes devemos igualar as componentes do campo eletromagnético, em outras palavras, devemos atender à continuidade das componentes tangenciais de
E e H na superfície de separação dos meios. Com isto temos um sistema de 8 equações
lineares e homogêneas nos 8 coeficientes: b01 , b0i , b0i⇤ = ⌘b0i , b02 a01 , a0i , a0i⇤ = ⌘a0i ,
a02 . Devendo os coeficientes satisfazer ainda à relação complementar b0i a0i⇤ = b0i⇤ a0i
Para obtenção da solução, além da trivial, onde todos os componentes são nulos,
devemos separar o equacionamento em dois tipos de soluções, desginadas aqui soluções
↵ e soluções .
As soluções ↵ são definidas por b01 = b0i = b0i⇤ = b02 = 0 que implicam que a
componente E✓ , Hr e Hz sejam nulas. O campo magnético é perpendicular à direção de
propagação z, logo as soluções ↵ são do tipo TM, ou campo magnético transversal. Se
Ez não for nula, o campo elétrico não é ortogonal à direção de propagação z. Se alguns
dos meios forem não dissipativos, i.e. condutividade nula ou infinita, pode ter a componente Ez nula, havendo apenas a componente Er ortogonal à direção de propagação z.
Nesse caso, temos campos do tipo TEM, Transversal Eletromagnético. Passamos a ter o
seguinte sistema de equações
2
32
3 2 3
A11 A12 A13 A14
a01
0
6A21 A22 A23 A24 7 6 a0i 7 607
6
76
7 6 7
(6.32)
4A31 A32 A33 A34 5 4a0i⇤ 5 = 405
A41 A42 A43 A44
a02
0
137
onde os elementos da matriz A são dados por1
q
A11 = (k1 h2 )J0 (R k12 h2 )
q
A12 = (ki h2 )J0 (R ki2 h2 )
q
(1)
A13 = (ki h2 )H0 (R ki2 h2 )
q
jk12
A21 =
J1 (R k12 h2 )
!µ1
q
jk 2
A22 = i J1 (R ki2 h2 )
!µi
q
jki2 (1)
A23 =
H (R ki2 h2 )
!µi 0
q
A32 = ki2 h2 J0 (Re ki2 h2 )
q
(1)
A33 = ki2 h2 H0 (Re ki2 h2 )
q
(1)
A34 =
k22 h2 H0 (Re k22 h2 )
q
q
jki2
A42 =
ki2 h2 J1 (Re ki2 h2 )
!µi
q
q
jki2
(1)
2
2
A43 =
ki h H1 (Re ki2 h2 )
!µi
q
q
jk22
(1)
A44 =
k22 h2 H1 (Re ki2 h2 )
!µ2
(6.33)
Os demais elementos são nulos, i.e., A14 = A24 = A31 A41 = 0 Para que haja soluções
não nulas de (6.32), o determinante da matriz de elementos Aij deve ser nulo. A equação
transcendente de incógita h
det(A) = 0
fornece os valores de h para os quais se tem soluções, não nulas, do “tipo ↵”, correspondendo cada valor de h a um modo, onde há apenas a componente H✓ do campo
magnético, e as componentes Er e Ez para o campo elétrico. Em geral, havendo simetria cilíndrica dos meios envolvidos e condições impostas, há uma infinidade enumerável de soluções de tipo ↵ para n = 0, que podemos designar por soluções ↵i , onde
i = 0, 1, 2, . . .. Todavia, há uma solução que aqui designamos por ↵0 correspondente a
uma componente imaginária de h de módulo muito inferior aos módulos da componente
imaginária de h associadas às restantes soluções ↵i , (i 6= 0). As soluções com menores
módulos podem ser associadas aos modos mais rápidos e portanto que efetivamente se
propagam no meio em questão.
As soluções de tipo são definidas por
a01 = a0i = a0i⇤ = a02 = 0
1
Esta matriz A nada tem a ver com o potencial vetor magnético A
138
Esta condição implica que as componentes Er , Ez e H✓ são nulas, e que o campo elétrico
E seja perpendicular à direção de propagação z, portanto, representam soluções do tipo
TE (transversal elétrico). Similar ao caso dos modo TM, os modos TE se “reduzem” ao
modo TEM caso um dos meios envolvidos possuir condutividade nula ou infinita. Com
tratamento semelhante ao apresentado para as soluções de tipo ↵ obtém-se características
e condicionamentos de soluções de tipo , que são, basicamente, duais às soluções de tipo
↵.
Conforme o caso das soluções de tipo ↵, também há uma infinidade enumerável de
soluções de tipo , chamadas aqui de i , onde i = 0, 1, 2, . . .. Caso a solução ↵0 apresenta uma componente imaginária de h menor também que os módulos associados a parte
imaginária de h para as soluções i , a solução ↵0 é considerada dominante para efeitos
de comportamento dos condutores e campo eletromagnético, exceto na proximidade das
extremidades de condutores e descontinuidades de meios.
Para a camada do tipo B, com o condutor não isolado temos apenas dois meios,
representando pelo índice 1 as grandezas no condutor e pelo índice 2 as grandezas no
meio externo. No condutor (r < R) temos:
k 2 = k12 = ! 2 µ1 ✏1
j!µ1
1
a0 = a01
(6.34)
b0 = b01
= J0 (r
No meio externo (r > R)
p
k2
h2 ) exp(jhz) exp(j!t)
k 2 = k12 = ! 2 µ1 ✏1
j!µ1
1
a0 = a02
(6.35)
b0 = b02
(1)
= H0 (r
p
k2
h2 ) exp(jhz) exp(j!t)
Atendendo-se aos mesmos condicionantes para o caso da camada do tipo A, obtemos
um sistema de quatro equações lineares homogêneas nos 4 coeficientes: b01 , b02 , a01 ,
a02 . Novamente temos dois tipos de solucões, a saber, soluções de tipo ↵ e de tipo . As
soluções de tipo ↵ são definidas por
b01 = b02 = 0
O sistema de equações a ser resolvido têm a forma

A11 A12
A21 A22


a01
0
=
a02
0
139
(6.36)
onde
A11 =
A12 =
A21 =
A22 =
✓ q
◆
2
2
h J0 R k1 h
✓ q
◆
(1)
2
2
2
2
k 2 h H0
R k2 h
✓
◆
q
q
jk12
2
2
k 1 h2 J 1 R k 1 h 2
!µ1
✓ q
◆
q
jk22
(1)
2
2
2
2
k 2 h H1
R k2 h
!µ2
k12
2
(6.37)
A solução para o caso não trivial é dada por det(A) = 0.
As soluções do tipo são definidas por
a01 = a02 = 0
com tratamento similar ao apresentado para as soluções de tipo ↵, obtemos para as soluções de tipo respostas, basicamente, duais às soluções de tipo ↵.
Para a camada tipo C homogênea, sem condutor vertical, mas procurando soluções
em coordenadas cilíndricas associadas ao condutor de raio R em camadas superiores à
camada em análise. Atendendo às condições de regularidades das funções de Bessel
para argumento zero e para argumento de módulo tendendo para infinito e à separação
de domínios nas camadas em condutor, considera-se um único domínio, para r > 0 e
funções de onda do tipo
p
= J0 (r k 2 h2 ) exp(j!t) exp(±jhz)
impondo a condição de fronteira para r ! 1, e portanto o argumento da função de
Bessel deve ser real, i.e.
p
k 2 h2 = g
(6.38)
sendo g real e k 2 = ! 2 µ✏ j!µ.
Novamente temos aqui duas soluções. As soluções de tipo ↵ caracterizadas por b0 =
0, e as soluções de tipo caracterizadas por a0 = 0.
6.3
Problemas
1. Considere que o vetor potencial A, possa ser definido pela função de onda , de
forma que A = ẑ. Sabendo-se que satisfaz a equação de onda calcule os
campos elétricos e magnéticos a partir de , e compare com os resultados dos
campos eletromagnéticos calculados a partir do vetor de Hertz.
2. Mostre que a função de onda , dada por
= Cej(
1+ 2)
cos(h1 x
140
1 ) cos(h2 y
2 )e
jh3 z+j!t
onde h21 + h22 + h23 = k, satisfaz a equação de onda e sendo ⇧z = , calcule
as componentes do campo elétrico e magnético e as impedâncias em coordenadas
cartesianas. Suponha primeira que so há modos TM. Repita o procedimento para
os modos TE.
3. Considere um solo em única camada e de condutividade = 0, 01 S/m, permitividade relativa 100, e permeabilidade magnética relativa igual a 1. Considere
também um condutor vertical não isolado, muito afastado de outros condutores,
de raio externo 0,05 m e muito longo, o condutor possui permitividade relativa de
10 e permeabilidade relativa igual a 1 e condutividade igual a 3106 S/m. Suponha
que na interface entre o solo e o ar é injetada uma corrente I0 de amplitude unitária. Supondo que os parâmetros do solo são constantes e para uma freqüência
de 1 kHz calcule o comportamento das componentes do campo elétrico (parte real
e parte imaginária) em função da coordenada r, bem como o comportamento do
campo magnético. Calcule a densidade de potência “relativa” dissipada no solo
para z = 0.
4. Repita o item anterior considerando que o condutor possui um isolamento de espessura 0,005 m. O isolamento possui condutividade de 10 14 S/m, permitividade
relativa igual a 3 e permeabilidade magnética relativa igual a 1. Calcule o valor
médio (no tempo) da componente z do vetor de Poynting.
6.4
Soluções Parciais
1. dica veja a formulação dos campos apresentada e Harrington
2.
3. Consideremos, a príncipio, as soluções do tipo ↵, onde há apenas campos TM,
onde há apenas as componentes Er , H✓ e Ez , i.e. bn = 0. Como o problema
possui simetria cilindrica só necessitamos de soluções para n = 0. Portanto, para
a determinação dos campos é necessário apenas determinar os coeficientes a0 no
condutor (meio 1 –a01 ) e no solo (meio 2 – a02 ). Para determinar os componentes
é necessário, antes, obter a constante de separação h de forma similar ao descrito
no exemplo 6.1, para o caso da camada tipo B. A matriz A é definida por (6.37) e
repetida em (6.39)
"
#
2J (
2 H (1) (
R)
R)
2
1 0 1
2
0
(6.39)
(1)
( 1 + j!✏1 ) 1 J1 ( 1 R)
( 2 + j!✏2 ) 2 H1 ( 2 R)
p
p
onde 1 = k12 h2 , 2 = k22 h2 , R é o raio do condutor e k1 é a constante
de propagação do condutor e k2 é a constante de propagação do solo. Os valores
de h são determinados pelos zeros de det(A) = 0 que é uma equação transcendental em função da variável h. A solução de (6.39) pode ser obitda pelo método
de Newton-Raphson ou pelo método da secante. No caso de funções complexas
141
envolvendo funções de Bessel, onde a derivada tmbém é um funcào de Bessel mas
de ordem superior, o Jacobiano costuma apresentar problemas numéricos. A maior
limitação do método da secante reside na necessidade de identificar as regiões próximas às raízes. No caso do problema em questão, supomos que h é da ordem de
k2 pois, desta forma, há uma maior “concentração” dos campos no condutor. Desta
forma para uma freqüência de 2 kHz, o valor de h é dado por
h = 0, 00627459
j0, 00634044
(6.40)
Uma vez que o sistema de equações que define as constantes é indeterminado só
podemos estabelecer a relação entre os coeficientes. Utilizando a notação da matriz
A conforme (6.37) obtemos a relação entre os coeficientes
a02 =
A11
a01
A12
(6.41)
O coeficiente a01 , por sua vez, pode ser determinado a partir da relação entre a
corrente injetada na superfície do solo e o campo magnético na interface entre o
solo e o ar. Para r = R temos
H✓ =
I0
2⇡R
(6.42)
onde, para z = 0, temos
H✓ =
(
1
+ j!✏1 ) 1 J0 (R 1 ) exp(j!t)a01
(6.43)
I0
2⇡( 1 + j!✏1 ) 1 R J1 (R 1 )
(6.44)
Logo,
a01 =
Os componentes do campo elétrico para o modo TM são dado por
q
q
(1)
Er = jh a02 k22 h2 H1 (r k22 h2 exp(j(hz + !t))
q
(1)
Ez = a02 (k22 h2 )H0 (r k22 h2 ) exp(j(! t + hz))
q
jk22 (1)
H✓ = a02
H (r k22 h2 ) exp(j(! t + hz))
!µ2 0
(6.45)
Para uma dada freqüência, o campo eletromagnético está no domínio complexo,
portanto nas figuras a seguir as partes reais e imaginárias são identificadas pelos
símbolos < e = respectivamente. A Fig. 6.2 apresenta a componente em r do
campo elétrico relativo Err (r) = Er (r)/I0 , notemos que a parte real coincide
com a parte imaginária. Caso fosse utilizada a notação onde o comportamento no
domínio do tempo é do tipo exp( j! t), obteríamos como resposta o complexo
conjugado da função apresentada. Na Fig. 6.3 apresentamos o comportamento da
componente em z do campo elétrico relativo Ezr (r) = Ez (r)/I0 em função de
142
1
0.8
0.6
Err !r"
!
0.4
"
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r
Figura 6.2: Componente em r do campo elétrico relativo para z = 0
!0.00009
#
Ezr !r"
!0.0001
!0.00011
!0.00012
"
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r
Figura 6.3: Componente z do campo elétrico relativo para z = 0
r na interface entre o solo e o ar, a intensidade do campo é bastante inferior, e ao
contrário da figura anterior, no caso da representação temporal do tipo exp( j! t),
a componente resultante teria parte real negativa. O campo magnético relativo,
definido a partir da componente em ✓, i.e, H✓r (r) = H✓ (r)/I0 em função de r é
apresentado na Fig. 6.4 onde é possível notar que a parte imaginária desta função
é praticamente nula.
143
1
HΘr !r"
0.8
0.6
0.4
"
0.2
#
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
r
Figura 6.4: Componente ✓ do campo magnético para z = 0
144
1
CAPÍTULO
7
Propagação de Ondas Esféricas
De forma similar ao que foi feito no caso de propagação de ondas cilíndricas, para a
análise da propagação de ondas esféricas, o campo eletromagnético pode ser decomposto
em dois campos parciais, ambos derivados de uma função escalar que satisfaça à equação
de onda em coordenadas esféricas.
Se as condições impostas pelas condições de fronteira forem suficientes para definir
o campo, a solução global obtida para os campos E e H é unívoca, embora possa existir
uma multiplicidade de potenciais escalares e vetores para uma mesma solução global.
A unicidade dos campos refere-se apenas à solução “global” mas não a cada uma das
“ondas” que sejam consideradas para obter a solução global. Por exemplo, uma onda
esférica pode decompor-se em somas infinitas de ondas cilíndricas ou planas.
Embora, sob o ponto de vista do formalismo matemática, a análise em ondas esféricas pode ser considerada uma formulação mais geral do comportamento do campo
eletromagnético, o maior interesse está nos casos onde as fontes de “carga” ou “correntes” de “pequenas dimensões”, ou cujo comportamento dominante se “aproxime” da
geometria esférica.
7.1
Equação de Onda em Coordenadas Esféricas
Considerado uma variação harmônica do tipo exp(j!t), o campo elétrico e magnético podem ser definidos a partir do par de vetor de Hertz ⇧E e ⇧M , conforme mostra a
(7.1).
E = r⇥ r⇥ ⇧E
H=
jk 2
!µ
j!µ r⇥ ⇧M
r⇥ r⇥ ⇧E + r⇥ r⇥ ⇧M
145
(7.1)
O objetivo é encontrar funções de onda
⇧E =
⇧M
tal que
1
1X
bn a
k n
1
1 X
=
an a
j!µ n
(7.2)
onde a é um vetor constante que pode possuir componentes nas três direções, portanto a
solução via Vetor de Hertz, embora muito útil em coordenadas cilíndricas, não apresenta
grandes vantagens para o tratamento da propagação de ondas esféricas. Há casos, inclusive, onde é mais interessante buscar uma solução geral, independente da separação em
modos TE e TM. Uma solução mais prática pode ser obtida através da solução da equação (escalar) de onda em coordenadas esféricas. Supondo que a função de onda possui
variação harmônica com o tempo da forma exp(j!t) e um meio com parâmetros , ✏ e
µ e lembrando que não há imposições com relação ao comportamento destes parâmetros
em função da freqüência, a equação de onda pode ser escrita como (para um sistema de
coordenadas (r, ✓, ):
✓
◆
✓
◆
1 @
1
@
@
1
@2
2@
r
+
sin
✓
+
+ k2 = 0
(7.3)
r2 @r
@r
r2 sin✓ @✓
@✓
r2 sin2 ✓ @ 2
onde k 2 = ! 2 µ✏
por (7.4)
j!µ. Aplicando-se a separação de variáveis a (7.3) e sendo
= R(r)H(✓) ( )
obtemos após algumas manipulações algébricas
✓
◆
✓
◆
sin2 ✓ d
sin ✓ d
dR
1 d2
2 dR
r
+
sin ✓
+
+ k 2 r2 sin2 ✓ = 0
R dr
dr
H d✓
d✓
d 2
A equação dependente apenas de
dado
(7.4)
(7.5)
é separada considerando soluções do tipo
1 d2
=
d 2
m2
(7.6)
onde m é uma constante. Substituindo-se (7.6) em (7.5) e dividindo-se a expressão resultante por sin2 ✓ resulta em
✓
◆
✓
◆
1 d
dR
1
d
dH
m2
2 2
r2
+
sin ✓
(7.7)
2 +k r =0
R dr
dr
H sin ✓ d✓
d✓
sin ✓
A equação em (7.7) pode ser separada duas expressões, uma dependendo de r e outra
✓. Por razões que ficarão aparentes mais tarde a equação dependente de ✓ é reescrita
como:
✓
◆
1
d
dH
m2
sin ✓
= n(n + 1)
(7.8)
H sin ✓ d✓
d✓
sin2 ✓
146
e com isto a equação para a variação em r é dada por
1 d
R dr
✓
r2
dR
dr
◆
n(n + 1) + k 2 r2 = 0
(7.9)
Portanto, para a solução da equação de onda em coordenadas esféricas devemos resolver
o seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias:
✓
◆
d
2 dR
r
+ R( n(n + 1) + (kr)2 ) = 0
dr
dr
✓
◆
✓
◆
1 d
dH
m2
sin ✓
+ H n(n + 1)
=0
sin ✓ d✓
d✓
sin2 ✓
d2
+ m2 = 0
d 2
(7.10)
Diferente do caso de ondas cilíndricas não há aqui inter-relação entre as constantes de
separação. A equação em R é muito semelhantes as equações de Bessel cilíndricas e
possuem soluções conhecidas como funções de Bessel esféricas, usualmente representadas por bn (kr). A relação entre estas funções e as funções de Bessel cilíndricas é do
tipo1
bn (kr) =
r
⇡
B
(kr)
2kr n+1/2
(7.11)
É interessante notar que as funções de Bessel esféricas são mais simples que suas
contrapartes cilíndricas. Consideremos, por exemplos as funções esféricas de ordem zero
sin(kr)
kr
cos(kr)
n0 (kr) =
kr
exp(jkr)
(1)
h0 =
jkr
exp( jkr)
(2)
h0 =
jkr
j0 (kr) =
(7.12)
Um detalhe interessante é que das funções de Bessel esféricas somente as famílias dadas
por jn (kr) são finitas para r = 0.
A equação em ✓ relaciona-se com a equação de Legendre e possui como solução as
função associada de Legendre de primeiro tipo Pnm (cos ✓) ou segundo tipo Qm
n (cos ✓),
representadas genericamente por Lm
,
(vide
capítulo
1
para
maiores
detalhes).
A
solução
n
1
Em geral os livros de matemáticas usam o símbolo z para funções de Bessel Esféricas e Z para funções
de Bessel cilíndricas, contudo para evitar confusão com a representação de impedâncias adotamos aqui b e
B, respectivamente.
147
geral é dada pela combinação linear de todo conjunto possível de soluções. São as condições de fronteira de determinam se um conjunto particular de soluções deve ou não ser
empregado. A solução geral é do tipo
XX
XX
=
cmn mn =
cmn bn (kr)Lm
(7.13)
n (cos ✓) exp(jm )
m
n
m
n
Sistemas com simétrica cilíndrica em relação ao eixo z também podem ser representados através de ondas esféricas considerando m = 0 na formulação da função de onda,
i.e. incluindo a variação temporal do tipo exp(j!t)
= bn (kr)Pn0 (cos ✓) exp(j!t)
(7.14)
Já sistemas com simetria esférica em relação ao ponto de origem correspondem a soluções envolvendo m = 0, n = 0, logo
(7.15)
= bn (kr) exp(j!t)
No caso de uma onda esférica é comum considerar a direção r como sendo a direção
de propagação. Contudo, diferente do caso de propagação de ondas em linhas de transmissão não se pode supor que os componentes variam exponencialmente segundo r, pois
como mostra (7.9) a variação é dada por uma função de Bessel específica na qual o comportamento exponencial se verifica apenas assintoticamente para valores elevados de r.
Para representar os campos eletromagnéticos em função de é necessário que a mesma
seja um dos componentes retangulares dos vetores potencial magnético A ou elétrico F.
No caso do vetor potencial magnético temos
A= z=
cos ✓r
(7.16)
sin ✓✓
onde ✓, r e z são vetores unitários. No caso do vetor potencial elétrico temos o dual onde
F= z=
cos ✓r
(7.17)
sin ✓✓
A expressão em (7.16) gera um campo TM em relação a z, mas não em relação a r,
enquanto que a expressão em (7.17) produz um campo TE em relação a z. A expressão
completa do campos é deixada como exercício. Uma alternativa um pouco mais simples
é incluir a propagação segundo r nos vetores potenciais, de forma que
A=
A rr̂
F=
F rr̂
(7.18)
onde A e F são funções escalares obtidas através da solução da equação de onda em
coordenadas esféricas. Os campos são obtidos por (7.19).
E=
r⇥
H = r⇥
F rr̂
A rr̂ +
+
1
r⇥ r⇥
+ j!✏
1
r⇥ r⇥
j!✏µ
148
F rr̂
A rr̂
(7.19)
Estas expressões acima são suficientes para expressar qualquer campo com variação
harmônica no tempo em um região homogênea linear e isotrópica do espaço de parâmetros , µ e ✏ dependentes da freqüência ou não. Expandindo os termos em (7.19) e
escrevendo os vetores potenciais A = Ar r̂ e F = Fr r̂ temos
Er =
E✓ =
E =
Hr =
H✓ =
H =
onde k 2 = ! 2 µ✏
7.1.1
✓ 2
◆
1
@ Ar
2
+ k Ar
+ j!✏ @r2
1
@ 2 Ar
1 @Fr
( + j!✏)r @r@✓ r sin ✓ @
1
@ 2 Ar
1 @Fr
+
( + j!✏)r sin ✓ @r@
r @✓
✓ 2
◆
1
@ Fr
+ k 2 Fr
j!µ @r2
1 @Ar
1 @ 2 Fr
+
r sin ✓ @
j!µ r @r@✓
1 @Ar
1
@ 2 Fr
+
r @✓
j!µ r sin ✓ @r@
(7.20)
j!µ .
Obtenção Direta dos Campos
Similarmente ao que ocorre com a equação de onda em coordenadas esféricas, onde
não há relação entre as constantes de separação, as equações de Maxwell expressas em
coordenadas esféricas também se “desacoplam”. Desta forma, é possível representar dois
dos componentes dos campos em função do terceiro, contudo, para a solução global ainda
é necessário separar em modos TE e TM.
Consideremos a principio o caso dos modos TE, suponhamos que Hr ( a componente
na direção r do campo magnético) é uma função escalar de (r, ✓, ) e uma outra função
escalar u que se relacionam por
u = r Hr
(7.21)
e donde u é solução da equação de onda em coordenadas esféricas, i.e. u = . Sabendo149
se que nos modos TE, Er = 0, temos:
u
Hr =
r
1
1 @ 2 (ru)
n(n + 1) r @✓@r
1
1 @ 2 (ru)
H =
n(n + 1) r sin ✓ @ @r
j!µ
1 @(ru)
E✓ =
n(n + 1) r sin ✓ @
j!µ 1 @(ru)
E =
n(n + 1) r @✓
H✓ =
(7.22)
A validade das expressões em (7.22) pode ser verificada pela substituição nas equações de Maxwell. A única restrição é que u satisfaça a equação de onda em coordenadas
esféricas, que é um dos postulados da solução. Para o caso dos modos TE é possível
ainda reescrever H✓ e H em função não de u mas dos componentes do campo elétrico,
conforme mostra a (7.23).
1 @(rE )
j!µ r @r
1 @(rE✓ )
H =
j!µ r @r
H✓ =
(7.23)
Para os modos transversais magnéticos TM, a situação é análoga, Hr = 0. A componente radial do campo elétrico Er se relaciona com uma função escalar v tal que
v
Er =
(7.24)
r
onde v satisfaz a equação de onda em coordenadas esféricas, i.e., v = . Os demais
componentes do campo elétrico e magnético são dados por
1
@ 2 (rv)
n(n + 1)r @✓@r
1
@ 2 (rv)
E =
n(n + 1)r sin ✓ @ @r
+ j!✏
@(rv)
H✓ =
n(n + 1)r sin ✓ @
+ j!✏ @(rv)
H =
n(n + 1)r @✓
E✓ =
(7.25)
onde também é possível expressar os componentes do campo elétrico em função dos
componentes do campo magnético
@(rH )
1
( + j!✏) r @r
1
@(rH✓ )
E =
( + j!✏) r @r
E✓ =
150
(7.26)
Deixamos como exercício a comparação dos campos obtidos utilizando (7.25) e (7.22)
com aqueles calculados a partir de (7.20).
7.2
Alguns Exemplos
Para analisar de forma mais concreta o formalismo, bem como o comportamento da
propagação de campo eletromagnético em ondas esféricas, consideramos a seguir alguns
exemplos supondo um meio uniforme, homogêneo, linear e isotrópico e com as seguintes
configurações:
• injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta;
• corrente em segmento de reta de comprimento “muito reduzido”;
• dipolo oscilante;
7.2.1
Injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta
Consideremos um segmento de reta de comprimento
L = 2a, imerso em meio linear, homogêneo e isotrópico,
conforme mostra a Fig. 7.1. Supondo um sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) tal que o centro do segmento coincida com o centro do sistema de coordenadas. O centro do
segmento é considerado também o centro das coordenadas
esféricas. Suponhamos injetada no meio, a partir desse segmento, e com distribuição uniforme ao longo do segmento,
uma corrente alternada (corrente total, soma da corrente de
condução e da corrente de deslocamento, injetada no meio a
partir do segmento) do tipo
Z
zp
P
p
a
ξ
r
θ
Rp
R
−a
(7.27) Figura 7.1: Injeção de
corrente ao longo de um
A corrente injetada no meio, a partir do elemento infinitesi- segmento de reta
it = It exp(j! t)
mal de comprimento d` no segmento é portanto
it
d`
d`
= It exp(j! t)
L
L
(7.28)
O segmento de reta em questão é definido por
x=0
(7.29)
y=0
z=⇠
a⇠a
151
Já o ponto genérico P possui coordenadas (xp , yp , zp ). Logo, o potencial escalar ',
associado à corrente injetada no meio, é definido por
'=
Za
a
It exp(j! t) exp(jk⇢)
d⇠
4⇡L( + j!✏)
⇢
It exp(j! t)
=
4⇡L( + j!✏)
Za
a
(7.30)
exp(jk⇢)
d⇠
⇢
q
p
onde ⇢ = r2 + ⇠ 2 2r⇠ cos ✓
x2p + yp2 + (zp ⇠)2 . O campo elétrico associado
à corrente injetada no meio pode ser obtido pela diferenciação de (7.30), sendo dado por
It exp(j! t)
E=
4⇡L( + j!✏)
onde
Za
a
ˆ
⇢
(1
⇢
jk⇢)
ˆ
⇢
1
= (xp x̂ + yp ŷ + (zp
⇢
⇢
exp(j k⇢)
d⇠
⇢2
(7.31)
⇠)ẑ)
é o vetor unitário de um ponto qualquer ao longo do segmento de reta para o ponto P , e
x̂, ŷ e ẑ vetores unitários relativos ao sistema de coordenadas (x, y, z). Supondo que o
segmento de reta seja suficientemente curto, ou um ponto P suficientemente longe temos,
r ⇡ ⇢, logo
exp(jk⇢) ⇡ exp(jkr)
(1
jk⇢) exp(jk⇢) ⇡ (1
jkr) exp(jkr)
(7.32)
e, portanto,
It exp(j! t)
' ⇡ exp(jkr)
4⇡L( + j!✏)
Za
a
1
d⇠
⇢
(7.33)
ou simplesmente ' = exp(jkr) '0 . Para o campo elétrico, a situação é similar
E ⇡ (1
(7.34)
jkr) exp(jkr) E0
sendo
E0 =
It exp(j! t)
r'0 =
4⇡L( + j!✏)
Za
a
ˆ
1 ⇢
d⇠
2
⇢ ⇢
(7.35)
O potencial escalar '0 e o campo elétrico E0 correspondem àqueles obtidos a partira da
aproximação quase estacionária. Designando-se
Rp2 = x2p + yp2
152
q
pode-se escrever a distância ⇢ = Rp2 + (zp ⇠)2 e com isto o potencial escalar associado a aproximação quase estacionária pode ser expresso como
Za
1
q
d⇠
2 + (⇠
2
R
z
)
p
p
a
0q
1
(a zp )2 + Rp2 + (a zp )
It exp(j! t)
A
=
ln @ q
4⇡L( + j!✏)
(a + zp )2 + Rp2 (a + zp )
It exp(j! t)
'=
4⇡L( + j!✏)
(7.36)
Seja o fator de escala M (R, z) definido por
0q
1
(a zp )2 + Rp2 + (a zp )
A
M (R, z) = ln @ q
2
2
(a + zp ) + Rp (a + zp )
(7.37)
Logo, o potencial escalar pode ser escrito como
'0 =
It
exp(j! t)M (R, z)
4⇡L( + j!✏)
(7.38)
e o campo elétrico E0 pode ser definido como
E0 =
r'0 ==
⇣
It
x
exp(j! t)
Nr x̂
4⇡L( + j!✏)
R
Nr
y
ŷ
R
Nz ẑ
⌘
(7.39)
onde Nr = @M/@R e Nz = @M/@z. A relação entre o potencial “real” e sua aproximação quase estacionária pode ser escrita como
' = '0 F (0) (r)
(7.40)
onde F (0) (r) = exp(jkr). A relação entre o campo elétrico “aproximado” e o campo
elétrico real é dado por
E = E0 F (r)
(7.41)
onde F (r) = (1 jkr) exp(jkr). Devemos ressaltar que as relações em (7.40) e (7.41)
consideram a priori que |ka| ⌧ 1 e que o segmento de reta é curto.
7.2.2
Corrente injetada em segmento de reta de comprimento muito reduzido
Consideremos, agora, um filete de corrente i injetada em um segmento de comprimento, muito reduzido, `, paralelo ao eixo z e cujo centro coincide com a origem do
sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z). Consideremos que o sentido positivo da
corrente corresponde a z crescente. O comportamento da corrente é harmônico do tipo
i(t) = I exp(j!t)
153
(7.42)
onde I é em geral um número complexo. Consideremos um ponto genérico P de coordenadas (x, y, z), a uma distância r
` do centro do filete da corrente e onde
p
r = x2 + y 2 + z 2
O potencial vetor A, que pode ser obtido diretamente da integração da densidade de
corrente, no ponto P é dado por
A=
µI `
exp(jkr) exp(j!t)z
4⇡ r
(7.43)
sendo z o vetor unitário do eixo z. O campo elétrico em sua forma mais geral é dado por
E=
r'
@A
@t
(7.44)
contudo, como neste caso não há cargas, o potencial ' é nulo. Logo, a expressão do
campo elétrico associado ao potencial vetor, EA , é
EA =
j!µI
exp(jkr) exp(j!t)
4⇡ r
(7.45)
ou simplesmente
EA = EA0 F (0) (r)
(7.46)
sendo F (0) (r) o mesmo definido no item anterior, i.e.
F (0) (r) = exp(jkr)
e onde
EA0 =
j!µI `
exp(j!t)ẑ
4⇡ r
(7.47)
é o campo na aproximação quase estacionária. O fator F (0) (r) traduz a relação entre o
campo elétrico “correto” e o campo elétrico na aproximação quase estacionária, sendo escalar e independente da intensidade do campo elétrico, não afetando a direção do mesmo.
A expansão em série desta fator resulta em, considerando apenas os primeiros termos e
para |jkr| < 1,
F (0) (r) = 1 + ⇠ +
⇠2 ⇠3
⇠4
⇠5
+
+
+
+ O[⇠ 6 ]
2
6
24 120
onde ⇠ = jkr, admitindo-se ainda que |jkr| ⌧ 1 temos
F (0) (r) ⇡ 1
Em outras palavras, o comportamento do campo “correto”, em geral, tende assintoticamente para o comportamento do campo na hipótese quase estacionária. A propagação de
154
EA , no sentido associado à fase de EA , e para uma dada pulsação !, ocorre na direção e
sentido de r.
O campo magnético HA associado A é dado por
HA =
1
r⇥ A
µ
(7.48)
em coordenadas cartesianas temos
✓
◆
⇣y
µI `
1
jk
HA =
+
exp(jkr)
exp(j!t)
x̂
4⇡
r2
r
r
x ⌘
ŷ
r
(7.49)
ou simplesmente HA = HA0 F (r), sendo F (r) o mesmo definido no item anterior, e
HA0 =
⇣y
I `
exp(j!t)
x̂
4⇡r2
r
x ⌘
ŷ
r
(7.50)
o campo na aproximação quase estacionária. Similar ao comportamento do campo elétrico, a “propagação” de HA , em interpretação associada à fase de HA para uma dada
pulsação !, ocorre na direção e sentido de r.
7.2.3
Dipolo Oscilante
Possivelmente um dos exemplos mais simples e talvez um dos mais importantes,
no que diz respeito a ondas esféricas, é o caso dos campos produzidos por um dipolo
elétrico oscilante, conforme mostra a Fig. 7.2. Este dipolo produz uma onda TM e com
isto, a função escalar v deve depender de ✓ e a fim de que os componentes do campo
eletromagnético não sejam nulos. Com isto, apesar a simetria esférica, não podemos ter
a solução associada a n = 0 pois P0 (cos ✓) = 1 não depende do ângulo visto que é
constante. Vamos considerar, a principio, n = 1, m = 0, logo a função escalar é do tipo
✓
◆
1
j
v = (j1 (kr) j n1 (kr)) cos ✓ =
+
e j kr cos ✓
(7.51)
kr (kr)2
onde k é a constante de propagação do meio. Pela aplicação direta de (7.25) em (7.51)
obtemos os componentes do campo eletromagnético, conforme mostra a (7.52).
✓
◆
j
1
Er = k
ej(!t k r)
(kr)3 (kr)2
✓
◆
k
j
1
j
E✓ =
ej(!t kr) sin ✓
(7.52)
2 (kr)3 (kr)2 kr
✓
◆
( + j!✏)
j
1
H =
ej(!t k r) sin ✓
2
2
(kr)
kr
Os outros componentes são nulos, visto que não há dependência segundo . Estas funções podem, naturalmente, ter a amplitude multiplicada por uma constante arbitrária.
Para entender o significado da solução, consideremos, primeiramente, os componentes do campo eletromagnético mais importantes a pequenas distâncias do dipolo, que são
155
z
θ
^r
φ^
+q
θ^
i
y
−q
φ
x
Figura 7.2: Dipolo com cargas harmônicas
aqueles com as maiores potências de r no denominador. Enquanto que o campo elétrico
é devido a existência de um dipolo na origem, o campo magnético é devido ao elemento
de corrente correspondente derivado da variação temporal do momento de dipolo. Seja,
portanto, um dipolo de momento p e variação temporal do tipo exp(j!t) cujo potencial
é dado por (vide cap. 3, item 3.6.1 para detalhes)
'=
p cos ✓
4⇡✏r2
(7.53)
cujo campo é dado por
Er =
E✓ =
@'
2p cos ✓ j!t
=
e
@r
4⇡✏ r3
1 @'
p sin ✓ j!t
=
e
r @r
4⇡✏ r3
(7.54)
Notemos que as expressões dos componentes do campo elétrico em (7.53) são constantes e relacionam-se com aquelas apresentadas em (7.52) por jk 2 p/(2⇡✏). Notemos
também que um dipolo com momento p ej!t produz uma corrente elementar igual a sua
derivada temporal, i.e. j! p ej!t , logo de acordo com a Lei de Biot-Savart
H =
j! p sin ✓
4⇡ r2
(7.55)
A expressão em (7.55) também se relaciona com H de (7.52) pela constante jk 2 /(2⇡✏).
Portanto, ao se multiplicar os componentes do campo eletromagnético por esta constante,
obtemos componentes que além de representar soluções da equação de Maxwell a qualquer distância se reduzem ao campo de um dipolo de momento p ej!t para pequenas
distâncias, de tal forma que pode representar corretamente o campo deste dipolo. Os
156
componentes são:
✓
◆
p k 3 j(!t kr)
j
1
Er =
e
cos ✓
+
2⇡✏
(kr)2 (kr)3
✓
◆
p k 3 j(!t kr)
1
j
1
E✓ =
e
sin ✓
+
+
4⇡✏
kr (kr)2 (kr)3
✓
◆
j! p k 2 j(!t kr)
j
1
H =
e
sin ✓
+
4⇡✏
kr (kr)2
(7.56)
Exemplo 7.1. Supondo um meio linear, homogêneo, isotrópico e sem perdas onde se insere o dipolo da Fig. 7.2 e a projeção do mesmo no plano xz conforme mostra a Fig. 7.3,
onde P é um ponto genérico no espaço. mostre que para um dipolo orientado ao longo
do eixo z de momento p ej!t o potencial escalar e o potencial vetor são dados por (7.57),
p
sendo c = 1/ µ✏
✓
◆
p d exp(j!(t r/c))
'=
cos ✓
4⇡✏ dr
r
j!µ p
Ar =
exp(j!(t r/c)) cos ✓
(7.57)
4⇡ r
j!µ p
A✓ =
exp(j!(t r/c)) sin ✓
4⇡ r
A =0
e calcule os componentes do campo elétrico e magnético.
Solução— Considerando a projeção no plano xz do dipolo temos:
s
✓ ◆2
`
`
2
a= R +
2R cos ✓
2
2
(7.58)
s
✓ ◆2
`
`
b = R2 +
+ 2R cos ✓
2
2
Para R
(7.58) por
P
z
θ
a
b
+q
R
(`/2) podemos aproximar as expressões em
x
−q
`
cos ✓
2
`
b ⇡ R + cos ✓
2
a⇡R
(7.59) Figura 7.3: Projeção do
dipolo no plano xz
Logo, o potencial escalar ', onde q(t) = Q exp(j!t), pode
ser definido por
✓
◆
p
p
q(t a µ✏) q(t b µ✏)
1
'=
(7.60)
4⇡✏
a
b
157
e passa a ser aproximado por
Q
'=
4⇡✏
=
exp j!(t
Q exp(j!(t
4⇡✏ R
p
`
2
µ✏ R
cos ✓ )
R 2` cos ✓
p `
p
cos ✓)
R µ✏)) exp( j! µ✏ 2R
`
2R
1
cos ✓
p
Adotando-se a simbologia, k = ! µ✏, t⇤ = t
`/2 ⌧ R podemos escrever
⇤
Q ej!t
'⇡
4⇡✏ R
⇤
Q ej!t
=
4⇡✏ R
⇤
=
1
✓
1
j k 2` cos ✓
`
2R
4R(1
4R2
Q ej!t cos ✓
(1
4⇡✏ R
p
exp j!(t
µ✏ R + 2` cos ✓ )
R + 2` cos ✓
!
p `
exp(j! µ✏ 2R
cos ✓)
1+
`
2R
!
cos ✓
(7.61)
p
p
R µ✏, considerando `/2 ⌧ ! µ✏, e
1 + j k 2` cos ✓
`
1 + 2R
cos ✓
◆
j kR)` cos ✓
(` cos ✓)2
cos ✓
!
(7.62)
j kR)
Portanto, o potencial escalar associado ao dipolo é
✓
p
1
'=
exp(j! t) exp(j kr)
4⇡✏
R2
jk
R
◆
cos ✓
(7.63)
Os componentes do campo elétrico são obtidos a partir do gradiente do potencial escalar
para um dado instante de tempo. O gradiente de ' em coordenadas esféricas é dado por
r' =
@'
1 @' ˆ
1 @' ˆ
r̂ + +
✓+
@R
R @✓
R sin ✓ @
(7.64)
Pela expressão do potencial e pela simetria do problema é possível identificar que não há
componente do campo elétrico na direção , já que o potencial escalar independe desta
coordenada, i.e.
@'
=0
@
Logo, o gradiente do potencial escalar é dado por
✓


◆
p
2
2j k k 2
1
jk
ˆ
r' =
exp(j! t) exp(j kR) r̂ cos ✓
+ 2 +
+ ✓ sin ✓
+
4⇡✏
R3
R
R
R3 R2
(7.65)
O potencial vetor A associado ao dipolo pode ser calculado a partir da corrente i(t)
com orientação ẑ no filete de comprimento `, a relação entre a corrente e a carga dos
dipolos é dada por
i(t) =
dq(t)
= j! Q exp(j! t)
dt
158
(7.66)
Adotando-se as mesmas hipóteses que no cálculo do potencial escalar temos
Z
p
J(t r µ✏)
µ
µ
µ
p
A=
=
i(t r µ✏)`( ẑ) =
i(t⇤ )ẑ`
4⇡
r
4⇡R
4⇡R
(7.67)
V
substituindo o valor da corrente em (7.67) temos
A=
=
µ j!p
exp(j!t⇤ )ẑ
4⇡R
⇣
µ j!p
exp(j!t) exp(j kR) cos ✓r̂
4⇡R
ˆ
sin ✓✓
⌘
O rotacional do vetor potencial A para um dado instante de tempo é dado por
✓
◆
1 @RA✓
@AR ˆ
r⇥A =
R
@R
@✓
✓
◆
j!µ p j!t⇤ 1
jk ˆ
=
e
4⇡
R2
R
(7.68)
(7.69)
A expressão completa para o campo elétrico é obtido a partir do vetor potencial e do
potencial escalar, conforme mostra (7.70). Já o campo magnético pode ser obtido diretamente de A como mostra (7.71)
E=
H=
r'
@A
@t
1
r⇥ A
µ
(7.70)
(7.71)
Devido a simetria do sistema temos que E = Hr = H✓ = 0, as demais componentes
dos campos são apresentadas em (7.72)
p exp(j!t) exp(j kR)
(1 j kR) cos ✓
2⇡✏R3
p exp(j!t) exp(j kR)
E✓ =
1 j kR (kR)2 sin ✓
4⇡✏R3
j!p exp(j!t) exp(j kR)
H =
(1 j kR) sin ✓
4⇡R2
Er =
7.3
(7.72)
Problemas
1. Considere o dipolo apresentado na Fig. 7.2, imerso em meio linear, homogêneo,
sem perdas e uniforme, de parâmetros ✏r = µr = 1. O momento de dipolo é
p = 1 µCm. Seja um ponto P1 , a uma distância muito superior a ` (distância
que separa
as cargas
p
p no dipolo), de coordenadas cartesianas (x, y, z) dadas por
(100/ 2, 0, 100/ 2). Determine a partir de ' e A as componentes não nulas de
E e H. Represente graficamente o comportamento das componentes não nulas do
159
campo eletromagnético em função da freqüência para 103 < f < 109 Hz. Determine os erros relativos das componentes não nulas do campo eletromagnético
em coordenadas esféricas, expressos em função de R, dos parâmetros do meio e
da freqüência, se as mesmas forem calculadas considerando a aproximação quase
estacionária (i.e. supondo a propagação instantânea das grandezas eletromagnéticas. Para o ponto P1 em questão, determine as gamas de freqüências em que os
erros relativos das componentes não nulas do campo eletromagnético são menores ou iguais a 0, 01 e 0, 1, se essas componentes forem calculadas considerando a
aproximação quase estacionária.
2. Ainda para o mesmo dipolo, determine o valor médio, no tempo, do vetor de Poynting para um ponto de coordenadas esféricas (R, ✓, ), sendo R
`. Determine
o valor médio, no tempo do fluxo do vetor de Poynting através de uma esfera de
raio R, com centro no centro do dipolo. Considerando agora ` = 1, determine em
função da freqüência f a potência radiada pelo dipolo, e o valor eficaz da corrente
i(t), no segmento que une as cargas do dipolo.
3. Considere um quadrado de lado L constituído por um fio condutor de condutividade “muito elevada” e de raio “muito reduzido”, onde em um dos lados há uma
fonte de corrente de dimensões muito reduzidas se comparadas a L. Suponha uma
corrente cosenoidal i = I cos(!t), onde ! = 2⇡f , percorrendo todos os lados
do quadrado de forma idêntica e que o quadrado está imerso em meio linear, homogêneo, isotrópico, infinito em todas as direções e de parâmetros , µ, epsilon.
Seja um ponto P , situado no plano do quadrado e a uma distância X do centro do
quadrado. Determine o campo elétrico e o campo magnético no ponto P .
4. Seja um condutor cilíndrico de raio r e comprimento 2a, com material de condutividade muito superior à do meio envolvente, imerso em meio condutor homogêneo, de condutividade , em regime estacionário, supondo desprezível a corrente
de deslocamento em relação à corrente de condução em regime quase estacionário.
Seja I a corrente injetada pelo condutor no meio envolvente. Considere, preliminarmente, a hipótese de uma distribuição linear e uniforme de corrente injetada no
meio envolvendo sendo
I
i
2a
a corrente injetada por unidade de comprimento. Calcule o potencial eletrostático
' e a resistência do condutor para esta configuração.
Soluções parciais
Problema 4 — O potencial em ponto de coordenadas (⇠, r) associado ao diferencial
de corrente di injetada no meio envolvente a partir de um elemento dx na vizinhança
do ponto no eixo do condutor de coordenada x é (supondo potencial nulo em pontos
160
infinitamente afastados
d' =
p
4⇡
(x
di
⇠)2 + r2
I
p
4⇡ 2a (x
=
dx
(7.73)
⇠)2 + r2
O potencial no ponto de coordenadas (x, r) associado à corrente I injetada no meio envolvente nas hipóteses indicadas é dado por
I
'=
4⇡ 2a
(7.74)
f (⇠, r)
sendo
f (⇠, r) =
Za
a
dx
p
(x
⇠)2 + r2
p
p
= ln
⇠)2 + r2 + (a
(a
(a + ⇠)2 + r2
⇠)
(a + ⇠)
!
As equipotenciais passam a ter a forma de elipsóides cujos focos são dados pelos pontos
extremos do condutor. A Fig. 7.4 apresenta algumas equipotenciais em coordenadas
relativas (⇠ 0 , r0 ) definidas por:
⇠0 =
⇠
2a
r0 =
r
2a
1
Ξ'
0.5
0
!0.5
!1
!1
0
r’
!0.5
0.5
1
Figura 7.4: Equipotenciais para um condutor cilíndrico (eletrodo)
161
162
Parte IV
Aplicações
163
CAPÍTULO
8
Elementos de Circuito
Neste apresentamos algumas aplicações práticas da propagação de ondas em sistemas
elétricos, enfatizando a importância da modelagem do comportamento dos sistemas a
partir das equações de Maxwell. São abordados aqui não só os problemas relacionados
a impedância interna, por unidade de comprimento, bem como a impedância de retorno
pelo solo, por unidade de comprimento, de sistemas reais de transmissão. O capítulo
termino apresentado a modelagem pro eletrodos cilíndricos que permite a aplicação da
representação do comportamento, por exemplo, de malhas de aterramento.
É importante lembrar que exceto quando dito explicitamente, o termo impedância é
utilizado neste capítulo sempre se referindo a impedância unitária, ou seja, por unidade
de comprimento.
8.1
Impedâncias de Condutores Cilíndricos
Considere o condutor cilíndrico tubular de raio
interno R0 e raio externo R1 conforme mostrado na
Fig. 8.1 e coordenadas cilíndricas (r, , z), sendo z
o coordenada longitudinal do condutor. A impedância interna deste tipo de condutor pode ser obtida dir
R0
retamente da equações diferencial que define a corrente que percorre o condutor. No interior do condutor
r+dr
admite-se que o campo elétrico depende apenas da coordenada r, sendo orientado ao longo do eixo do conR1
dutor, dentro do condutor o campo magnético possui
apenas componente tangencial e depende apenas do
raio r. Em outras palavras, o vetor E possui apenas
componente z e H possui apenas componente em , Figura 8.1: Condutor Cilíndrico
Tubular
165
ambos função do raio r. Admite-se também o comportamento de funções harmônicas tanto para campo
elétrico como magnético, ou seja
E = E0 exp(j!t)ẑ
H = H0 exp(j!t) ˆ
(8.1)
Considerando que no condutor
!✏ (i.e. desprezando as correntes de descolamento),
obtemos das equações de Maxwell
@E
= j!µH
@r
@H
r⇥H = r
+H=J= E
@r
r⇥E =
(8.2)
Considerando que ambos os campos dependem apenas de r, i.e. dentro das aproximações
que as atenuações longitudinais são desprezíveis, a derivada parcial pode ser substituída
pela derivada total. Desta forma é possível escrever a seguinte equação diferencial
r2
dE
dE
+r
dr
dr
j!µ r2 E = 0
(8.3)
p
Definindo o parâmetro adimensional ⇢ = r j!µ , e utilizando apenas a intensidade do
campo elétrico, E expressão em (8.3) é reescrita como
⇢2
dE
dE
+⇢
dr
dr
⇢2 E = 0
(8.4)
A equação em (8.4) torna-se uma das equações de Bessel e possui solução do tipo
(8.5)
E = C1 I0 (⇢) + C2 K0 (⇢)
onde C1 e C2 são constantes, I0 e K0 são funções de Bessel modificadas de primeira e
segunda espécie de ordem zero (vide 1). A intensidade do campo magnético é dada por
H=
1 dE
=p
(C1 I1 (⇢)
j!µ dr
j!µ
C2 K1 (⇢))
(8.6)
As constantes podem ser determinadas a partir das condições de contorno que são:
• Campo magnético nulo para r = R0 ;
• Corrente no condutor nula para r < R0
Da primeira condição de contorno temos
C1
K1 (⇢0 )
=
C2
I1 (⇢0 )
166
(8.7)
p
onde ⇢0 = R0 j!µ . Pela segunda condição de contorno temos:
Z R1
Z R1
I=
E2⇡rdr = 2⇡
rEdr
R0
(8.8)
R0
p
mudando a variável de integração para o parâmetro adimensional ⇢ = r j!µ , (dr =
p
d⇢/ j!µ ) temos
Z ⇢1
2⇡
I=
⇢Ed⇢
j!µ ⇢0
 Z ⇢1
Z ⇢1
(8.9)
2⇡
=
C1
⇢I0 (⇢)d⇢ + C2
⇢K0 (⇢)d⇢
j!µ
⇢0
⇢0
A solução das integrais em (8.9) é obtida aplicando-se a relação entre as derivadas das
funções de Bessel. Logo
I=
2⇡
[C1 ⇢1 I1 (⇢1 )
j!µ
C1 ⇢0 I1 (⇢0 )
C2 ⇢1 K1 (⇢1 ) + C2 ⇢0 K1 (⇢0 )]
Aplicando-se a relação entre as constantes dada por (8.9) é possível escrever

2⇡
K1 (⇢1 )
I=
C1 I1 (⇢1 ) I1 (⇢0 )
j!µ
K1 (⇢0 )
(8.10)
(8.11)
Logo a primeira constante é dada por
C1 =
j!µI
K1 (⇢0 )
2⇡⇢1 I1 (⇢1 )K1 (⇢0 ) I1 (⇢0 )K1 (⇢1 )
(8.12)
e a segunda constante é dada por
C2 =
j!µI
I1 (⇢0 )
2⇡⇢1 I1 (⇢1 )K1 (⇢0 ) I1 (⇢0 )K1 (⇢1 )
(8.13)
A impedância interna do condutor, zi , é dada pela relação entre o campo elétrico na
superfície exterior do condutor e a corrente I
C1 I0 (⇢1 ) + C2 K0 (⇢1 )
I
(8.14)
j!µ K1 (⌘R0 )I0 (⌘R1 ) + K0 (⌘R1)I1 (⌘R0 )
2⇡⌘R1 I1 (⌘R1 )K1 (⌘R0 ) I1 (⌘R0 )K1 (⌘R1 )
(8.15)
j!µ I0 (⌘R1 )
2⇡⌘R1 I1 (⌘R1 )
(8.16)
Zi =
Portanto
zi =
p
sendo ⌘ = j!µ . No caso de condutores cilíndricos sólidos, i.e. R0 = 0 a expressão
em (8.15) é simplificada pois as funções K0 , K1 não podem ser consideradas na solução
visto que tendem a infinito. Seguindo um raciocínio similar ao apresentado acima, mas
usando apenas funções de Bessel Ii (.), a impedância interna de um condutor cilíndrico é
dada por
zi =
A dedução completa de (8.16) é deixada como exercício.
167
8.2
Impedância Externa para Condutores e Solo Ideais
Antes de apresentar a impedância externa por unidade de comprimento no caso onde
há perdas, calculamos aqui os valores da matriz de impedância por unidade de comprimento quando tanto o condutor como o solo são admitidos ideais. Para tanto, consideremos uma linha trifásica com um condutor por fase e sem cabos pára-raios. O solo é
considerado plano e os condutores retilíneos e horizontais, conforme a disposição apresentada na Fig. 8.2. Os condutores são supostos homegêneos de raio r = 0, 01 m, com
material de permeabilidade magnética relativa igual a 1. O solo também possui µ = µ0 .
Considere uma seção transversal da linha, muito afastada de seus terminais em que as
tensões transversais, em relação ao solo, e as correntes nas três fases são de seqüência
positiva. O valor de pico das tensões é de 200 kV e das correntes é de 500 A. A freqüência
do sistema é 60 Hz. Considere tamém um ponto w conforme mostrado na figura.
7m
7m
5m
w
10 m
4m
Ar
Solo
Figura 8.2: Configuração de uma linha de transmissão sem perdas.
Considerando a aproximação quase estacionária, atendendo aos valores dos parâmetros do condutor e do solo, a relação entre a matriz de cargas por unidade de comprimento,
q, e a matriz de tensões transversais u é muito aproximadamente dada por
q =Cu
u = Dq
1
D=
P
2⇡✏
(8.17)
onde ✏ é a permitividade do ar, e a matriz P nada mais é que a matriz de coeficientes de
potencial de Maxwell que é dada por
P =
2 2h
1
r1
0
6 R21
log 4 R
21
0
R31
R31
0
R12
R12
2h2
r2
0
R32
R32
0 3
R13
R13
0 7
R23
R23 5
2h3
r3
(8.18)
onde hi é a altura do condutor i, ri é o raio do condutor i, Rij é a distância entre o
condutor i e o condutor j. A matriz de capacitância, C, por unidade de comprimento, é
168
dada por
C = 2⇡✏P
1
(8.19)
ou simplesmente C = 2⇡✏C̃. Portanto, sendo Ek o campo elétrico E na superfície do
condutor k tal que Ekn é a componente ortogonal a essa superfície de Ek e cujo valor
médio (no espaço ao longo do perimetro ao longo do perímetro do condutor é Êkn , temos
2
3
E1n
q
C̃u
Êkn = 4E2n 5 =
=
(8.20)
2⇡✏r
r
E3n
Ao considerar o solo ideal podemos utilizar o método das imagens, logo há na verdade
seis condutores ao invés de simplesmente três. As cargas por unidade de comprimento
nos condutores 1 a 6 são respectivamente
2 3 2
q1
6 q2 7 6
6 7 6
6 q3 7 6
6 7=6
6 q4 7 6
6 7 6
4 q5 5 4
q6
3
2
q1
6
q2 7
7
6
7
6
q3 7
6
=
2⇡✏
r
6
q1 7
7
6
5
4
q2
q3
Naturalmente, para este sistema temos
6
X
3
E1n
E2n 7
7
E3n 7
7
E1n 7
7
E2n 5
E3n
(8.21)
qk = 0
k=1
Passamos a ter um conjunto de três pares de cargas, e para cada par de cargas há uma
carga qe por unidade de comprimento em linha de carga paralela ao condutor, a uma
distância b desse eixo, e a imagem dessa carga em relação à superfície cilíndrica do
condutor, constituída por uma linha de carga a uma distância a do eixo, com carga por
unidade de comprimento qi = qe , tal que o conjunto das duas cargas lineares origina
um campo em que uma equipotencial coincide com a superfície do condutor, conforme
ilustrado a seguir. O potencial ', no ar, associado ao par de cargas lineares em questão,
de densidades lineares qi = qe , qe , em ponto genérico de coordenadas (x, y) é dado por
s
!
qi
(x b)2 + y 2
qi
(x b)2 + y 2
'=
log
=
log
(8.22)
2⇡✏
(x a)2 + y 2
4⇡✏
(x a)2 + y 2
O campo elétrico correspondente no ar é
✓
◆
✓
qi
x b
(x a)
E = r' =
x̂ +
2⇡✏
(x b)2 + y 2 (x a)2 + y 2
(x
169
y
b)2 + y 2
(x
(8.23)
y
a)2 + y 2
◆
ŷ
y
r
qi
qe
x
a
b
Figura 8.3: equipotencial associada ao condutor
sendo x̂, ŷ os vetores unitários segundo os eixos de coordenadas x e y, representado na
Fig. 8.3. Consideremos um ponto genérico na superfície do condutor G definido por um
ângulo ↵, sendo ↵ = 0 o ponto na reta que une as duas cargas. Nesse ponto temos
✓
◆
qi
r cos ↵ b
r cos ↵ a
E=
x̂
2⇡✏
(r cos ↵ b)2 + (r sin ↵)2 (r cos ↵ a)2 + (r sin ↵)2
✓
◆
r sin ↵
r sin ↵
+
ŷ
(r cos ↵ b)2 + (r sin ↵)2 (r cos ↵ a)2 + (r sin ↵)2
(8.24)
A componente de E ortogonal à superfície do condutor, En é
En = Ex cos ↵ + Ey sin ↵ =
=
qi
2⇡✏ r 1
1
2r
b
r 2
b
cos ↵ +
(8.25)
r 2
b
A expressão em (8.25) pode ser escrita de forma simplificada En =
F (↵) =
Para (r/b) ⌧ 1,
1
1
r 2
b
2r
b
cos ↵ +
qi
2⇡✏ r F (↵)
r 2
b
2r
cos ↵
b
Consideremos, agora, um segundo sistema de coordenadas, dado por eixos deslocados de
um ângulo em relação a eixo cartesiano original dado por (x, y). Temos para o campo
na superfície externa do condutor, associado ao par de cargas qi , qe
F (↵) ⇡ 1 +
En =
qi
F (↵, )
2⇡✏ r
170
(8.26)
y
qe
qi
r
φ
b
x
a
Figura 8.4: equipotencial associada ao condutor para um segundo eixo de coordenadas
onde
1 (r/b)2
1 (2r/b)2 cos(↵
) + (r/b)2
Supondo, como no caso anterior, (r/b) ⌧ 1
F (↵, ) =
F (↵, ) = 1 +
En ⇡
qi
2⇡✏ r
✓
1+
2r
cos(↵
b
)
2r
cos(↵
b
)
◆
(8.27)
Portanto, para o conjunto de pares de cargas k, j que definem o campo na vizinhaná
externa do condutor k, temos na superfície externa do condutor k, uma componente
En (k, ↵) ortogonal à superfície do condutor, do campo E,
✓
◆
6
X
qkj
2r
En (k, alpha) =
(1 +
cos(↵
(8.28)
kj )
w⇡✏ r
bkj
j=1
Lembrando que no caso de (8.28) j 6= k. Para k = 1, temos
2 3 2
3
7
b12
6b13 7 6 14 7
6 7 6
7
7 6
7
bkj = 6
6b14 7 = 6p20 7
4b15 5 4 4495
p
b16
596
qkj
2
3 2
q12
6q13 7 6
6 7 6
7 6
=6
6q14 7 = 6
4q15 5 4
q16
171
3
q2
q3 7
7
q4 7
7
q5 5
q6
(8.29)
(8.30)
kj
8.3
2
6
6
=6
6
4
12
3
13 7
7
2
6
6
7
6
14 7 = 6
5
4
15
16
3
0
7
0
7
7
⇡/2
7
arctan(20/7) 5
arctan(20/14)
(8.31)
Impedâncias Externa de Condutor Enterrado
Para o cálculo da impedância externa de condutores cilíndricos enterrados, vamos
considerar, inicialmente, um condutor infinitamente logo, com uma pequena camada isolante. A corrente no condutor isolado e retorna pelo solo. O raio do condutor considerando o isolante é r. O condutor em si pode ser considerado sem perdas, i.e., ideal, e está
enterrado em solo de permeabilidade magnética µs , condutividade s e permitividade ✏s
constantes. O ar possui condutividade nula, permeabilidade magnética µ0 e permitividade ✏0 iguais a do vácuo. A Fig. 8.5 apresenta uma descrição desta configuração.
Para uma corrente I percorrendo o conduar
tor, a densidade de corrente é dada por
J = I (x
xf ) (y
(8.32)
yf )
y1
(x f ,y f )
solo
x
onde xf e yf são as coordenadas do condutor.
y2
Os campos são considerados através de funções
espaciais e temporais cuja relação é a seguinte Figura 8.5: Condutor infinito enterrado
F (x, y, t) = T (x, y)G(t)
sendo G(t) uma função harmônica do tipo exp(j!t). A representação temporal é obtida através de métodos de transformação inversa considerando os campos modelados no
domínio da freqüência. Portanto podemos escrever, já considerando B = µH e D = ✏E:
r⇥E =
j!µH
(8.33)
r⇥H = J + j!✏E
r·E = 0
Resolvendo o conjunto de equações em (8.33) em função do campo elétrico e aplicando a seguinte identidade vetorial
r⇥ r⇥ F = r r· F
r2 F
e sabendo que J = E obtemos
r2 E =
(j!µ E + !✏E)
172
(8.34)
uma vez que a densidade de corrente é unidirecional. O cálculo da impedância de retorno
pelo solo passa a ser a solução de variante da equação de Poisson bi-dimensional. De
forma compacta podemos dizer que o problema se restringe a resolver
r2 E =
onde
p2 =
1
E
p2
(8.35)
1
1
=
2

j!µ( + j!✏)
O parâmetro p pode ser entendido como a profundidade de penetração complexa e  nada
mais que a constante de propagação do meio. Sendo Ea o campo elétrico (intensidade)
no ar, função das coordenadas x e y, e Es o campo elétrico (intensidade) no solo, também
função das coordenadas x e y, podemos dividir o problema em dois sistemas de equações
r 2 Ea = 0
2
r Es =
onde tf =
⌘s2 Es
+ j!µs I (x
xf ) (y2
tf )
y1
0
(8.36)
y2
0
(8.37)
yf , I é a magnitude do filamento de corrente,
⌘s =
p
1
= j!µs (
ps
s
+ j!✏s )
e é a função impulso de Dirac associada ao filamento. As condições de fronteira são as
seguintes:
Ea = Es = E0
1 @Ea
1 @Es
1 @Es
=
=
µ0 @y
µs @y1
µs @y2
y1 = y2 = 0
(8.38)
y1 = y 2 = 0
(8.39)
A terceira condição de fronteira é que os campos sejam zero, e.g. Ea = Es = 0 para
x ! 1 e y ! 1.
Para a resolução de (8.36) aplica-se a técnica uma transformada bi-dimensional de
Fourier às coordenadas xy1 (no ar) e xy2 (no solo). Para o eixo x, temos
Z 1
F (⇠) =
f (x) exp( j⇠x)dx
(8.40)
1
Para o eixo y1 e para o eixo y2 a transformada seno é aplicada
Z 1
Fs ( ) =
f (y) sin( y)dy
0
2
f (y) =
⇡
Z1
Fs ( ) sin(y )d
0
173
(8.41)
No ar, utilizamos as coordenadas x e y1
Z 1
Ea =
Ea exp( j⇠x)dx
1
Z 1
Ea =
Ea sin( y1 )dy1
(8.42)
0
Das propriedades da transformada de Fourier, pode-se mostrar que para o eixo x
Z1
1
Z1
1
@ 2 Ea
exp( j⇠x)dx =
@x2
⇠
2
Z1
Ea exp( j⇠x)dx =
⇠ 2 Ea
1
(8.43)
@ 2 Ea
@ 2 Ea
exp(
j⇠x)dx
=
@y 2
@y
Aplicando-se (8.43) a (8.38) leva a
⇠ 2 Ea +
@ 2 Ea
=0
@y 2
(8.44)
Aplicando-se a transformada seno de Fourier a y1 leva a
Z1
⇠ 2 Ea sin( y1 )dy! =
⇠ 2 Ea
0
Z1
0
(8.45)
@ 2 Ea
sin( y1 )dy1 = E0
@y12
2
Ea
Desta forma podemos reescrever (8.44) como
Ea =
⇠2 +
2
(8.46)
E0
É necessário agora derivar as expressões das transformadas para o solo onde x e y2
são usados como coordenadas
Z 1
Eg =
Eg exp( j⇠x)dx
1
Z 1
(8.47)
Eg =
Eg sin( y2 )dy2
0
Por um processo similar ao apresentado no caso do ar, chegamos as seguintes expressões
⇠ 2 Es +
2
2
(⇠ + ⌘ +
@ 2 Es
= ⌘g2 Es + j!µs I exp( j⇠x) (y2
@y22
2
)Es = E0
tf )
j!µs I exp( j⇠xf ) sin( tf )
174
(8.48)
Usando ✓2 = ⇠ 2 + ⌘g2 , podemos reescrever (8.48) como
Es =
✓2 +
2
E0
j!µg I exp( j⇠x)
sin( tf )
✓2 + 2
(8.49)
Aplicando-se a inversa da transformada seno de Fourier a (8.46) e a (8.49) leva a
Z 1
2
sin(y )
Ea = E0
d
⇡
⇠2 + 2
0
(8.50)
Z 1
Z 1
sin(tf ) sin(t )
2
sin(t )
j!µs
Es = E0
d
2
I exp( j⇠xf )
d
⇡
✓2 + 2
⇡
✓2 + 2
0
0
De acordo com (Gradshteyn & Ryzhisk 2000) para y1 > 0
Z 1
sin(y )
⇡
d = exp(|⇠|y)
2+ 2
⇠
2
0
e para y2 > 0
Z 1
sin(tf ) sin(y2 )
⇡
d =
(exp( |y2
2+ 2
✓
4|✓|
0
tf ||✓|)
(8.51)
exp( |y2 + tf ||✓|)) (8.52)
Logo
Ea = E0 exp( |⇠|y)
Es = E0 exp( |✓|y2 )
j!µs I exp( j⇠xf )
(exp( |y2
2|✓|
tf ||✓|)
exp( |y2 + tf ||✓|))
(8.53)
Utilizando-se a condição de fronteira E0 , (vide (8.38)), temos
@Ea
@y1
y1 =0
@Es
@y2
y2 =0
=
|⇠|E0 exp( |⇠|y1 )
=
|✓|E0 exp( |✓|y2 ) |y2 =0 +
y1 =0
=
|⇠|E0
j!µs I exp( j⇠xf )
(|✓| exp( |y2 tf ||✓|) + |✓| exp( |y2 + tf ||✓|)) |y2 =0
2|✓|
= |✓|E0 j!µs I exp( j⇠xf ) exp( tf |✓|)
(8.54)
Com isto obtemos para E0
1
|⇠|E0 =
µ0
1
( |✓|E0
µs
j!µs I exp( j⇠xf ) exp( tf |✓|))
(8.55)
Explicitando o parâmetro ✓ podemos escrever
E0 =
⇣
⌘
q
j!µs I exp( j⇠xf ) exp
tf ⇠ 2 + ⌘g2
q
µs
|⇠|
+
⇠ 2 + ⌘g2
µ0
175
(8.56)
Uma vez que o campo E0 é conhecido, os campos no solo e no ar podem ser obtidos pela
transformação inversa de (8.53). Desta forma temos para Ea , ja efetuando a substituição
de y2 por y1 e tf por yf
Ea =
j!µs I
⇡
Z
1
0
p
exp( y1 ⇠ + yf ⇠ 2 + ⌘ 2 )
p
cos(⇠(x
µr ⇠ + ⇠ 2 + ⌘ 2
xf ))d⇠
(8.57)
onde µr é a permeabilidade magnética relativa do solo. Já o campo elétrico no solo é
dado por
Es =
j!µs I
⇡
Z
j!µs I
2⇡
+
Z
j!µs I
2⇡
Z
⌘
p
(y1 + yf ) ⇠ 2 + ⌘ 2
p
cos(⇠(x xf ))d⇠
µr ⇠ + ⇠ 2 + ⌘ 2
⇣
⌘
p
exp
| y1 + y f | ⇠ 2 + ⌘ 2
p
exp(j(x xf ))d⇠
2 ⇠2 + ⌘2
⇣
⌘
p
exp
| y1 y f | ⇠ 2 + ⌘ 2
p
exp(j(x xf ))d⇠
2 ⇠2 + ⌘2
1
0
1
1
1
1
exp
⇣
(8.58)
A impedância externa devido ao retorno pelo solo por unidade de comprimento é
dada por
Es
I
Zs =
(8.59)
Aplicando-se a definição integral da função de Bessel modificada de Bessel de segunda espécie, i.e.,
K0 (⌘d) =
onde d =
Zs =
p
Z
1
1
exp
⇣
⌘
p
a ⇠2 + ⌘2
p
exp(j⇠b)d⇠
2 ⇠2 + ⌘2
(8.60)
a2 + b2 é possivel simplificar (8.59) conforme mostrado abaixo
2
j!µs I 4
K0 (⌘r)
2⇡
K0 (⌘D) + 2
Z
1
0
⌘
3
p
2h ⇠ 2 + ⌘ 2
p
cos(⇠ r)d⇠ 5
µr ⇠ + ⇠ 2 + ⌘ 2
exp
⇣
(8.61)
p
onde D = 4h2 + r2 , sendo h a profundidade do cabo enterrado e r o seu raio. A
expressão em (8.61) é idêntica à fórmula de impedância de retorno pelo solo para cabos enterrados desenvolvida por Pollaczek em meados da década de 1920. O caso da
impedância mútua para cabos enterrados é deixado como exercício.
176
8.4
Formulação das Matrizes Unitárias para Linhas de Transmissão
Para a representação correta das linhas de transmissão é necessário o cálculo do efeito
da variação da freqüência nos seus parâmetros unitários, a saber a impedância longitudinal e a admitância transversal, ambas por unidade de comprimento.
A matriz de impedância por unidade de comprimento Z para o caso geral de um
circuito de transmissão onde há n-fases, pode ser dividida em três partes, asaber:
Z = Zi + Ze + Zs
(8.62)
sendo Zi relaciona-se com a impedância interna dos condutores cilíndricos por unidade
de comprimento, Ze é a matriz de impedância espacial por unidade de comprimento
devido ao meio externo, i.e., supondo condições ideais nos condutores e no solo, e Zs é
a matriz de impedância de retorno pelo solo, também por unidade de comprimento.
No caso da matriz de admitância por unidade de comprimento, há duas parcelas.
Uma devida ao efeito do acoplamento capacitivo entre as distintas fases e entre as fases
e o solo. A outra se deve às perdas ohmicas nos isoladores das fases.
8.4.1
Matriz de Impedância Unitária
Excetuando-se caso onde há efeito de proximidade, a matriz Zi é diagonal e seus
elementos são dados por (8.14) no caso de condutores cilíndricos tubulares e por (8.16))
no caso de condutores cilíndricos sólidos.
A matriz Ze tem sua formulação apresentada na seção 8.2 deste capítulo. Já a matriz Zs representa a impedância de retorno pelo solo por unidade de comprimento e foi
elaborada por Carson no início do século passado. A expressão dos elementos de Ze é
similar ao caso do cabo enterrado é deixada como exercício. Apresentamos aqui apenas
as expressões finais. Os elementos próprios da matriz Ze são dados pela equação (8.63)
e os mútuos, pela equação (8.64),
zextii =
j!µ0 2hi j!µ0
ln
+
Js
2⇡
r
⇡
(8.63)
zextij =
j!µ0 Dij
j!µ0
ln
+
Jm
2⇡
dij
⇡
(8.64)
onde hi é a distância vertical entre o condutor i e o solo, Dij é a distância entre o condutor
i e a imagem do condutor j, dij é a distância entre o condutor i e o condutor j, Js e Jm
são dados respectivamente por (8.65) e (8.66).
Js =
Z
1
0
exp( 2hi )
p
d
2 + ⌘2
+
177
(8.65)
Jm =
Z
1
0
exp( (hi + hj ) )
p
cos (dij ) d
2 + ⌘2
+
(8.66)
Uma alternatica à solução das integrais
é o emprego do métodos das imagens deslop
cado de uma distância complexa p = ⇢solo /(j!µ). Nesse caso, os elementos da matriz
Ze são dados por (8.67)
j!µ0 2(hi + p)
ln
2⇡
sr
!
x2ij + (hi + hj + 2p)2
j!µ0
=
ln
2⇡
x2ij + (hi hj )2
0
zext
=
ii
0
zext
ij
(8.67)
onde xij é a distância horizontal entre o condutor i e o condutor j.
8.4.2
Matriz de Admitância Unitária
A matriz de admitância para uma linha de transmissão aérea é dada por
Y = G + j!C
(8.68)
onde G é uma matriz diagonal representando as perdas nos isoladores e a matriz de
capacitância por unidade de comprimento é dada por (8.19).
8.5
Formulação das Matrizes Unitárias de Cabos Subterrâneos
No cálculo de parâmetros de um cabo elétrico coaxial, também conhecido como cabo
“Single-core” é necessário formular as matrizes de impedância e admitância por unidade
de comprimento a partir das leis de Kirchoff das malhas e dos nós. Para ilustrar este
procedimento apresentamos em detalhe o cálculo da matriz de impedância e admitância
por unidade de comprimento para um cabo enterrado contendo blindagem e armadura.
Nestes cálculos o solo é admitindo como sendo um bom condutor, i.e. s >> !✏s ,
onde s é a condutividade e ✏s é a permitividade do solo. O caso geral de n cabos
enterrados no solo, incluindo o caso onde deve ser considerado o efeito de proximidade
entre condutores próximos é tratado nos exercícios.
8.5.1
Matriz de Impedância Unitária para Cabos Enterrados
Para o cálculo das impedâncias de um cabo enterrado considere a Fig. 8.6 onde é
mostrado, de forma esquemática, a seção lateral da parte inferior de um cabo subterrâneo,
contendo condutor, isolante, blindagem e armadura. De acordo com a figura, fazemos
também as seguintes hipóteses com relação as correntes circulantes:
178
• I2 = Ic , I3 = I4 e I5 =
corrente no condutor central;
• Ib = I2 + I3 =
• I4 =
IS , onde IS é a corrente circulante no solo, e Ic a
(Ic + I4 ) , Ia = I4 + I5 = I4
Is ;
(Ic + Ib )
desta forma, a corrente circulante no solo pode ser expressa em função das correntes que
adentram os outros condutores conforme mostra (8.69), e de acordo com a referência de
sinal da Fig. 8.6
IS =
(8.69)
(Ic + Ib + Ia )
dx
Ic
Z 11
Z isol
V12
1
I2
Z bi
I3
Z be
V12 + dV12
Ib
Z bm
Z isol
V23
2
I4
Z ai
I5
Z ae
V23 + dV23
Ia
Z am
Z isol
V34
3
V34 + dV34
Is
Figura 8.6: Formulação da matriz de impedâncias de um cabo subterrâneo
Aplicando-se a lei das tensões de Kirchoff podemos escrever a seguinte equação para
a queda de tensão entre condutor central e blindagem, V12 (obedecendo a notação utilizada na Fig. 8.6):
V12 = Z11 Ic dx
Zisol1 I2 dx
Zbi I2 dx
179
Zbm I3 dx + V12 + dV12
(8.70)
Rearranjando os termos da equação acima e lembrando que I2 = Ic , podemos escrever
a equação da tensão no trecho dx para a tensão V12 . Caso o processo seja repetido para
as outras tensões V23 e V34 podemos escrever:
dV12
= (Z11 + Zisol1 + Zbi )Ic + Zbm I3
dx
dV23
= (Zbe + Zisol2 + Zai )I4 + Zbm Ic
dx
dV34
= (Zae + Zisol3 + Zbi )Ic + Zbm I3
dx
Zam IS
(8.71)
Considerando-se o solo como referência, podemos escrever que a tensão na armadura Va ,
a tensão na blindagem Vb , e a tensão no condutor central Vc são dadas respectivamente
por:
Va =
V34
Vb =
(V23 + V34 ) = Va
V23
(8.72)
Vc = V12 + Vb
pode-se reescrever as equações das tensões como:
dVa
=(Zae Zam + Zisol3 + Z0 )(Ic + Ib ) + (Zae + Zisol3 + Z0 )Ia
dx
dVb
=(Zbe Zbm + Zisol2 + Zai + Zae 2Zam + Zisol3 + Z0 )Ic +
dx
(Zbe + Zisol2 + Zai + Zae 2Zam + Zisol3 + Z0 )Ib +
(Zae
Zam + Zisol3 + Z0 )Ia
dVc
=(Z11 + Zisol1 + Zbi + Zbe 2Zbm + Zisol2 + Zai + Zae 2Zam + Zisol3 )Ic +
dx
(Zbe Zbm + Zisol2 + Zai + Zae 2Zam + Zisol3 + Zb )Ib +
(Zae
Zam + Zisol3 + Z0 )Ia
(8.73)
ou utilizando notação matricial
dV
=
dx
ZI
(8.74)
onde V é o vetor coluna com as tensões na armadura, na blindagem e no condutor central
respectivamente, I é o vetor de corrente e Z é a matriz de impedância por unidade de
comprimento.
180
8.5.2
Matriz de Admitância Unitária para Cabos Coaxiais
Considerando o circuito equivalente para um comprimento
na Fig. 8.7 é possível escrever o conjunto de equações
Ic = ycb (Vc
Vs )dx + Ic + dIc
Ib = ycb (Vs
Vc )dx + yba (Vs
Ia = yba (Va
Vs )dx + ya (Va )dx + Ia + dIa
x conforme mostrado
(8.75)
Va )dx + Ib + dIb
dx
Ic
Ic+dIc
ycb
Vc
Ib+dIb
Ib
Vb
yba
Ia
Ia+dIa
ya
Va
Is +dIs
Is
Figura 8.7: Formulação da matriz de admitância de um cabo subterrâneo
Rearranjando-se os termos de (8.75), podemos escrever
dIc
= ycb Vc ycb Vb
dx
dIb
= ycb Vc + (ycb + yba )Vb
dx
dIa
= yba Vs + (yba + ya )Va
dx
ou utilizando notação matricial
dI
=
dx
181
YV
ysa Va
(8.76)
(8.77)
onde V é o vetor coluna com as tensões na armadura, na blindagem e no condutor central
respectivamente, I é o vetor de corrente e Y é a matriz de admitância por unidade de
comprimento dada pela (8.74).
2
3
ycb
ycb
0
yba 5
Y = 4 ycb ycb + yba
(8.78)
0
yba
yba + ya
A matriz de coeficientes de potencial é obtida a partir da inversão da matriz Y apresentada acima, e possui a seguinte formulação
2
3
Pc + Pb + Pa Pb + Pa Pa
Pb + Pa Pa 5
P = Y 1 = 4 Pb + Pa
(8.79)
Pa
Pa
Pa
sendo Pc o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre o condutor central e
a blindagem, Pb o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre a parte externa
da blindagem e a armadura e Pa o coeficiente de potencial devido à armadura e o meio
externo.
8.6
Modelagem de Elementos por Eletrodos
Em diversas aplicações de Engenharia Elétrica, mesmo em regime quase estacionário, é necessário uma modelagem mais concreta do comportamento dos elementos envolvidos no que tange à representação de campos eletromagnéticos. Podemos citar por
exemplo, o caso de cálculo das tensões de toque e passo em malhas de aterramento, e
mesmo a representação adequada de componentes como torres e cabos contrapesos no
caso de estudos de desempenho de linhas de transmissão.
Consideremos, por exemplo, um condutor em forma cilíndrica de raio r e comprimento 2a, com material de condutividade muito superior à do meio envolvente, imerso
em meio condutor homogêneo, de condutividade , em regime quase-estacionário, supondo desprezível a corrente de deslocamento em relação à corrente de condução. A
Fig. 8.8 apresenta a configuração estudada, onde o eixo ⇠ coincide com o eixo do condutor. Supomos, sujeito a verificações posteriores, que para determinar o campo elétrico no
meio envolvente há no condutor uma distribuição linear e uniforme de corrente injetada
no meio envolvente, sendo
i=
I
2a
(8.80)
a corrente injetada por unidade de comprimento, e onde I é a corrente total injetada pelo
condutor no meio envolvente. O diferencial de potencial d num ponto de coordenadas ⇠, r associado à corrente di injetada no meio envolvente a partir de um elemento
infinitesimal dx do condutor de coordenada x é
d =
1
di
p
4⇡
(x ⇠)2 + r2
182
(8.81)
r
a
a
ξ
Figura 8.8: Condutor singelo imerso em meio condutor
supondo o potencial nulo em pontos infinitamente afastados. O potencial no ponto de
coordenadas (x, r) associado à corrente I injetada no meio envolvente é dado por
=
I
4⇡ 2a
(8.82)
f (⇠, r)
sendo
f (⇠, r) =
Za
a
dx
p
(x
⇠)2 + r2
= ln
✓
r1 + d 1
r2 d 2
◆
(8.83)
p
p
onde r1 =
(a ⇠)2 + r2 , r1 =
(a + ⇠)2 + r2 , d1 = a ⇠, d2 = a + ⇠. Na
Fig. 8.9 representam-se algumas equipotenciais em coordenadas relativas, tomando 2a
como unidade, ⇠ 0 = ⇠/(2a), r0 = r/(2a).
Consideremos a função f (⇠, r) ao longo da superfície do condutor (na qual /phi deve
ser constante e portanto o mesmo se sucede com f (⇠, r). Para pontos muito afastados da
extremidade supomos
2a
r
⇠
r
⇠+a
r
a
183
1
0.5
Ξ'
0
!0.5
!1
!1
0
r’
!0.5
0.5
1
Figura 8.9: Equipotenciais de um condutor cilíndrico
de forma que
(
f (⇠, r) = ln
0
B (a
B
= ln B
B
@
✓
!
p
⇠)( (a + ⇠)2 + r2 + a + ⇠)
r2
"
#
"
#
r
r
⇣
⌘2
⇣
⌘2 1
r
r
⇠) 1 + 1 + a ⇠
(a + ⇠) 1 + 1 + a+⇠
C
C
C
C
r2
A (8.84)
p
(a
⇠)2 + r2 + a
◆
⇠)(a + ⇠)
⇡ ln
r2
"
✓ ◆2 #
2a
⇠
⇡ ln
+ ln 1
r
a
4(a
Portanto, desde que satisfeitas as condições indicadas, a variação relativa de f (⇠, r) diminuirá quando r/(2a) ! 0. Nesse caso e se r2 + ⇠ 2
a2 e após alguma manipulação
184
algebrica obtemos
f (⇠, r) = ln
!
2a
p
⇠ 2 + r2
(8.85)
O potencial “médio” ¯, ou simplesmente num segmento de reta paralelo ao condutor,
caracterizado por r constante e ⇠1 < ⇠ < ⇠2 é dado por
I
1
= ¯=
F (⇠1 , ⇠2 , r)
(8.86)
4⇡ 2a |⇠1 ⇠2 |
onde
F (⇠1 , ⇠2 , r) = F (⇠2 , r)
F (⇠1 , r) =
Z⇠2
⇠1
"p
#
(a ⇠)2 + r2 + (a ⇠)
ln p
d⇠
(a + ⇠)2 + r2 (a + ⇠)
(8.87)
No caso em questão onde o condutor possui comprimento 2a é limitado pela coordenadas ⇠ = a e ⇠ = a. Logo, o potencial médio é diretamente proporcional a
F (a, a, r)/(2a), onde
"
#!
p
2 + 4a (2a +
2 + r2 )
p
r
(2a)
F (a, a, r) = 2 r
(2a)2 + r2 + a ln
(8.88)
r2
logo, o potencial médio ¯ = é dado por
q
2
r
r
⇣
⌘
1 + 1 + 2a
I
r 2
4r
=
1+
+ ln
4⇡ 2a 2a
2a
r/(2a)
No caso de r/(2a) ⌧ 1
=
e se r/(2a)
I
2⇡ 2a
1
✓
ln
4a
r
1
2
3
5
◆
(8.89)
(8.90)
I
(8.91)
4⇡ r
A resistência própria do condutor Rp é obtida supondo uma corrente I no condutor e
corrente nula em qualquer outro condutor próximo, tal que a tensão U entre o condutor
e um ponto remoto é
U = Rp I
=
logo, temos
Rp =
2
1 4r
4⇡ a 2a
q
r
⇣ r ⌘2
1 + 1 + 2a
1+
+ ln
2a
r/(2a)
r
no caso particular de r/(2a) ⌧ 1 temos
1
Rp ⇡
4⇡ a
✓
4a
ln
r
185
1
◆
2
3
5
(8.92)
(8.93)
8.6.1
Condutores paralelos
Consideremos, a principio, dois condutores, 1 e 2, cilíndricos paralelos, ambos de
comprimento 2a, imersos em meio condutor uniforme e separados de uma distância d. A
condutividade ambos condutores é muito maior que a do meio envolvente. Suponhamos
que o potencial 21 do condutor 2 em relação a um ponto muito afastado, com corrente
nula no condutor 2 e com corrente I injetada no meio envolvente a partir do eixo do
condutor 1 e uniformemente distribuída ao longo desse eixo. O valor médio do potencial
ao longo do eixo do condutor 2, associado a este campo é dado por
q
2
3
s
✓ ◆2
d 2
1 + 1 + 2a
I
d
d
¯
4
5
1+
+ ln
(8.94)
21 = 21 =
d
4⇡ a 2a
2a
2a
No caso de d/(2a)
1,
21
=

I
4a
ln
4⇡ a
d
(8.95)
1
A resistência mútua entre o condutor 1 e o condutor 2 R21 tal que a corrente no condutor
1 é I1 = I e a corrente no condutor 2 é nula, é definida por
(8.96)
U2 = R21 I1
onde U2 é a tensão entre o condutor 2 e um ponto remoto. Logo
q
2
s
✓ ◆2
1
+
1+
1 4d
d
R21 =
1+
+ ln
d
2⇡ 2a 2a
2a
2a
no caso de d/(2a) ⌧ 1
R21

1
4a
=
ln
4⇡ a
d
1
3
d 2
2a
5
(8.97)
(8.98)
Consideremos agora dois condutores cilíndricos paralelos, eventualmente não colineares de comprimentos L1 = 2a e L2 , respectivamente, e de raios R1 e R2 muito inferiores aos respectivos comprimentos. O arranjo dos condutores, bem como a definição
das distâncias envolvidas é representado esquematicamente na Fig. 8.10
Consideremos estes condutores imersos em meio linear, homogêneo, isotropico, e
infinito em todas as direções. O meio possui condutividade , permitividade ✏ e permeabilidade µ. Supomos que a condutividade do material dos dois condutores é muito superior a . A príncipio, vamos admitir que para uma freqüência f , e pulsação ! = 2⇡ f ,
!✏. A hipótese quase estacionária também é considerada como sendo válida.
Admitamos, preliminarmente, e sujeita a verificação posterior de validade e limites
de aplicabilidade, a hipótese de considerar o efeito da corrente injetada pelos condutores,
no meio envolvente, por meio de uma distribuição de correnete linear e uniforme no eixo
dos condutores.
186
r
B1
B2
η
d 12
d 21
d 22
d 11
a
ξ1
A2
A1
ξ2
ξ
`21
`22
`11
`12
Figura 8.10: Condutores paralelos
Suponhamos injetada no meio externo a partir do condutor 1 uma corrente I, sendo
nula a corrente entre o condutor 2 e o meio externo. De acordo com as hipóteses consideradas a densidade de corrente por unidade de comprimento é dada por i = I/(2a). O
potencial em ponto genérico do meio de coordenadas (⇠, r) arbitrando potencial nulo em
pontos infinitamente afastados é
=
i
I
f (⇠, r) =
f (⇠, r)
4⇡
4⇡ 2a
(8.99)
onde
f (⇠, r) =
Za
a
p
(x
p
(a ⇠)2 + r2 + (a ⇠)
= ln p
⇠)2 + r2
(a + ⇠)2 + r2 (a + ⇠)
dx
(8.100)
O valor médio do potencial associado a este campo, ao longo do eixo do condutor 2 é
dado por
I
= ¯=
4⇡ 2a(⇠2
=
I
4⇡ 2a(⇠2
⇠1 )
187
⇠1 )
Z⇠2
f (⇠, ⌘)d⌘
⇠1
F (⇠1 , ⇠2 , a, ⌘)
(8.101)
sendo
F (⇠1 , ⇠2 , a, ⌘) = d11
d12
d22
d12
d21 + d22 + ⇠2 ln
d22 + `22
d12 + `12
+ a ln
+ a ln
d21 + `21
d11 + `11
`22
`12
d21
⇠1 ln
d11
onde `p
11 = ⇠1 + a , `12 =
p⇠2 + a , `21 = ⇠1p a , `22 = ⇠2
d12 = `212 + ⌘ 2 , d21 = `221 + ⌘ 2 , d22 = `222 + ⌘ 2 , e
a=
`21
`11
2
=
`22
`12
2
,
a=
`11
`21
2
=
`12
`22
2
,
a , d11 =
⇠1 =
(8.102)
`21
`11
p
`211 + ⌘ 2 ,
`11 + `21
,
2
⇠2 =
Sabemos também que devido a geometria do sistema
`11
`12
(8.103)
`21 + `22 = 0
Supondo preliminarmente que o potencial 21 do condutor 2 em relação a um ponto
muito afastado, com corrente nula no condutor 2, e com corrente I injetada no meio
envolvente, a partir do condutor 1, é igual ao valor médio do potencial ao longo do eixo
do condutor 2, na ausência do condutor 2, e com corrente I injetada no meio envolvente,
a partir do eixo do condutor 1, e uniformemente distribuída ao longo desse eixo.
O valor médio do potencial ao longo do eixo do condutor 2, associado a este campo
é dado por 21 .
21
=
I
4⇡ 2a(⇠2
⇠1 )
F (⇠1 , ⇠2 , a, ⌘)
(8.104)
Seja R21 resistência mútua entre o condutor 1 e o conduor 2, tal que, com corrente
I1 = I no condutor 1, e corrente nula no condutor 2 (e em outros eventuais condutores),
a tensão U2 , entre o condutor 2 e um ponto remoto é dada de forma similar aos casos
anteriores
(8.105)
U2 = R21 I1
Nas hipóteses indicadas, temos
1
[d11 d12 d21 + d22
4⇡ 2a(⇠2 ⇠1 )
+`11 ln(d11 `11 ) `12 ln(d12 `12 ) `21 ln(d21
R21 =
8.6.2
`21 ) + `22 ln(d22
`22 )]
(8.106)
Condutores ortogonais
Consideremos, agora, dois condutores ortogonais, não coplanares, de comprimentos
respectivamente L1 = 2a e L2 de forma cilíndrica circular, e de raios R1 e R2 muito
inferiores aos respectivos comprimentos. O condutor 1 situa-se entre os pontos A1 e
A2 , e o condutor 2 está entre B1 e B2 , conforme mostrado na Fig. 8.11. Consideremos
188
`12 + `22
2
B1
B2
d 21
d 22
A2
d 11
d 12
A1
η
ξ
ζ
Figura 8.11: Condutores ortogonais
que os condutores estão imersos no mesmo meio e com as mesmas condições dos casos
anteriores. O sistema de coordenadas (⇠, ⌘, ⇣) adotado é tal que o eixo ⇠ coincide com o
condutor 1, o eixo ⇣ é paralelo ao condutor 2, e o eixo ⌘ é transversal ao ponto médio do
condutor 1.
Suponhamos injetada no meio externo, a partir do condutor 1, uam corrente I, sendo
nula a corrente entre o condutor 2 e o meio externo. Suponha também que a densidade de
corrente, por unidade de comprimento é do tipo i = I/(2a). O potencial em ponto genérico no meio, de coordendas (⇠, ⌘, ⇣) arbitrando potencial nulo em pontos infinitamente
afastados.
p
(a ⇠)2 + ⌘ 2 + ⇣ 2 + (a ⇠)
I
=
ln p
(8.107)
4⇡ 2a
(a + ⇠)2 + ⌘ 2 + ⇣ 2 (a + ⇠)
O valor médio do potencial é obtido a partir da integração do entre os pontos ⇣1 e ⇣2 , de
forma análoga ao apresetado no item anterior. Efetuando-se um procedimento idêntico
ao do item anterior temos a seguinte expressão para a resistência mútua.
R21
 ✓
◆
⇠1 ⇣2
⇠2 ⇣1
⇠1 ⇣1
1
⇠2 ⇣2
=
⌘ arctan
arctan
arctan
+ arctan
4⇡ 2a(⇣2 ⇣1 )
⌘d22
⌘d12
⌘d21
⌘d11
⇣2 + d22
⇣2 + d12
⇠2 + d22
⇠2 + d21
⇠2 ln
+ ⇠1 ln
+ ⇣2 ln
+ ⇣1 ln
⇣1 + d21
⇣1 + d11
⇠1 + d21
⇠1 + d11
(8.108)
189
onde ⇠1 = ⇠ + a, ⇠2 = ⇠
8.7
ae
q
⇠12 + ⌘ 2 + ⇣12
q
= ⇠22 + ⌘ 2 + ⇣12
q
⇠12 + ⌘ 2 + ⇣22
q
= ⇠22 + ⌘ 2 + ⇣22
d11 =
d12 =
d21
d22
Propagação de ondas em condutor fino sobre solo com perdas
Nessa seção apresentamos o caso de um condutor muito fino, i.e., o diâmetro do
condutor pode ser considerado desprezível face as outras dimensões do circuito, como
comprimento do mesmo, e altura do condutor. O solo é considerado real, possuindo perdas e a componente !✏s não é desprezada. Para tanto, considere a seguinte configuração:
• Condutor fino ideal de raio a colocado em meio de permitividade ✏1 = ✏r1 ✏0 ,
permeabilidade µ1 = µr1 µ0 e condutividade 1 , onde ✏0 é a permitividade do
vácuo e µ0 a permeabilidade do vácuo. O condutor possui altura constante h e
é paralelo a interface do meio com a terra. Aqui o solo também é considerado
homogêneo e unforme com parâmetros ✏2 , µ2 , 2 .
Este tipo de problema foi originalmente solucionado por Carson em 1926 para o caso
de sistemas de telefonia. Mais tarde esse resultado foi amplamente empregado na solução dos sistemas de transmissão de energia. Uma característica interessante é que em
sistemas de potência, as freqüência envolvidas são tais que permitem admitir o comportamento quase-estacionário. Pois, a altura dos condutores é sempre muito menor que o
comprimento total do circuito de transmissão, sendo também muito menor que o comprimento de onda da freqüência industrial. Anos mais tarde, em meados de 1950, Kikuchi
apresentou uma solução mais acurada do comportamento dos campos, empregando uma
expansão asintótica para a resolução da equação modal. O objetivo deste trabalho era
investigar a transição do comportamento quase-estacionário para o caso de onda superficial. A partir do trabalho de Kikuchi, Wait publicou uma expressão para o comportamento modal a partir dos vetores de Hertz. Essa solução pode ser considerada “exata”, no
sentido que parte da hipótese do comportamento tridimensional dos campos envolvidos.
A utilização dos vetores de Hertz permite separar as equações de Maxwell associadas aos
modos TM e TE.
No domínio da freqüência, a propagação de corrente ao longo do condutor é excitado
por uma fonte externa expressa como
I(x) = I0 exp(
z)
(8.109)
onde = j é a constante de propagação do circuito a ser determinada, uma vez que
depende das condiçções de contorno, i.e, altura do condutor e características do meio. Os
vetores de Hertz, ⇧E e ⇧H em ponto genérico (x, y, z), assumem as seguintes expressões
190
no ar
⇧E (x, y, z) =
⇧H (x, y, z) =
j!µ1
I0 exp( j z)
4⇡ k12
Z1
(exp( u1 |y
j!µ1
I0 exp( j z)
4⇡ k12
Z1
RH ( ) exp( u1 |y + h|)
1
1
h|) + Re ( ) exp( u1 |y + h|))
exp( jx )
d
u1
(8.110)
Os termos RE e RH são calculados a partir das condições de continuidade dos campos
nas fronteiras entre os meios e são dados por
✓
◆
2
2k1 2
1
RE ( ) = 1 + u 1 2
(8.111)
2
u1 + u2 k22 u1 + k12 u2
k1
✓
◆
2
1
2k1 2
RH ( ) =
(8.112)
2)
u1 + u2 k22 u1 + k12 u2
j!µ1 (k12
p
p
2+ 2
2+ 2
Nas expressões acima u1 =
k12 , u2 =
k22 , sendo k1 (constante de propagção do meio ‘1’) e k2 (constante de propagação do meio ‘2’) dadas por
p
k1 = ! 2 µ1 ✏1 j!µ 1
p
k2 = ! 2 µ2 ✏2 j!µ 2
A restrição em relação às constantes dos meios está no fato que a parte real de ambas
deve ser positiva.
Para o solo temos os seguinte vetores
⇧Es (x, y, z) =
⇧Hs (x, y, z) =
j!µ1
I0 exp( j z)
4⇡ k12
j!µ1
I0 exp( j z)
4⇡ k12
Z1
1
Z1
REg ( ) exp( u1 h + u2 y)
RH ( ) exp( u1 h + u2 y)
1
exp( jx )
d
u1
exp( jx )
d
u1
(8.113)
onde
RE s ( ) = u 1
RH s ( ) =
2k1 2
k22
2
2 k1 2
j!µ1 (k22
✓
1
u1 + u2
2)
✓
191
1
u1 + u2
2
k22 u1 + k12 u2
◆
2
k22 u1 + k12 u2
(8.114)
◆
(8.115)
exp( jx )
u1
Considerando µ2 = µ1 é possível obter uma expressão para o campo elétrico em
ponto genérico (x, y, z) através das integrais de Sommerfeld. A constante de propagação
pode então, ser obtida através da solução da seguinte equação
p
= ZY
(8.116)
onde
j!µ1
(⇤ + 2Q)
2⇡
1
1 + j!✏1
Y =
2⇡
⇤ + 2M
Z=
sendo
⇤ = K0
Q=
M=
Z1
0
Z1
0
✓
q
j a k12
2
◆
K0
✓
exp( 2u1 h)
cos(a )d
u1 + u2
exp( 2u1 h)
k22
k12
q
j 2h k12
(8.117)
2
◆
(8.118)
cos(a )
u1 + u2
Temos, portanto, um conjunto de equações integrais a ser resolvido para a determinação da constante de propagação. Infelizmente, a solução de equações integrais ainda é
um assunto árido, e pouco pesquisadores têm se dedicado a este tipo de solução, preferindo abordagens baseadas ou em aproximações ou em expansões em série das integrais
e solução da equação modal usando Newton-Raphson ou um outro método similar.
As expressões em (8.117) são reduzidas àquelas apresentadas por Carson se:
q
2 ⌧1
a k12
q
2 ⌧1
2h k12
2h ⌧ a
k1 h ⌧ 1
k12
⌧1
k22
Nesse caso é possível representar as funções de Bessel por aproximações em série de
potência para pequenos argumentos, a integral Q se reduz a integral de Carson, vide
eq.(8.65), e a integral M pode ser desprezada.
8.8
Problemas
1. Considere um condutor toroidal cuja superfície externa é constituída pelos pontos
a distância a de uma circunferência de raio R, sendo a ⌧ R. Determine o campo
192
associado a este condutor em regime quase estacionário, em condições de simetria
cilíndrica, e analise a aplicação do resultado obtido ao cálculo de campo em configurações com simetria cilíndrica, considerando os aspectos indicados nos quatro
itens a seguir.
2. Considere um eletrodo de terra constituído por condutor de cobre de raio r disposto
em dois anéis circulares de raios R1 e R2 paralelos ao solo e a profundidades H1 ,
H2 estando os centros dos dois anéis na mesma reta vertical. Suponha o solo uniforme linear e homogêneo, com permitividade ✏s e condutividade s , e permeabilidade magnética µs . Considere injetada no solo, a partir do eletrodo, uma corrente
i, com retorno a grande distância do eletrodo. Suponha, em alternativa, regime
estacionário (corrente contínua, i = 1) e regime quase estacionário, alternado de
freqüência f , sendo
p
i = 2I cos(2⇡f t)
Considere r = 0, 01 m, R1 = 4 m, R2 = 6 m, H1 = 0, 5 m, H2 = 1 m,
I = 100 A, ✏s = 200✏0 , s = 0, 0001 S/m, µs = µ0 , f = 60 Hz. Determine,
nestas condições:
(a) A tensão do eletrodo, em relação a um ponto remoto;
(b) A potência total dissipada no solo;
(c) A distribuição de potencial e de campo elétrico na superfície do solo;
(d) A distribuição de J e de potência dissipada por unidade de volume, no solo
3. Análise a aplicação da solução analítica acima obtida para determinação de campos com simetria cilíndrica. Para aplicação numérica, considere a distribuição
de campo elétrico na vizinhança de um eletrodo cilíndrico oco, de raio interno
R1 = 1 m, raio externo R2 = 1, 2 m e comprimento L = 1 m, imerso num meio
linear, homogêneo e isotrópico. Admita regime estacionário.
4. Considere uma linha trifásica com um condutor por fase e dois cabos pára-raios
e suponha condutores cilíndricos e paralelos ao solo, suposto plano e horizontal. Seja rf o raio externos dos condutores de fase de índices 1, 2, 3 e rt o raio
externo dos cabos pára-raios de índices 4, 5. Seja h1 a distância do eixo do condutor i ao solo e yi a distância algébrica do eixo do condutor i a um plano vertical
p paralelo à linha (i = 1, 2 . . . 5). Admita que rf ⌧ hi rt ⌧ hi , rf ⌧
(yi pyj )2 + (hi hj )2 ,
rf ⌧ (yi yj )2 + (hi hj )2 , sendo i = 1 . . . 5, j = 1 . . . 5, e j 6= i
(a) Determine a matriz de coeficientes de potencial, a matriz de capacitância e
a matriz de admitância transversal para grandezas alternadas de freqüência
f , todas por unidade de comprimento da linha e referidas explicitamente aos
cinco condutores, discutindo os erros conseqüentes das hipótese simplificativas admitidas, incluindo as expressamente mencionadas acima e outras que
eventualmente sejam admissíveis para a maioria das aplicações.
193
(b) Repita o item anterior, agora considerando os cabos pára-raios aterrados.
(c) Determine o potencial escalar e o campo elétrico E no ar, represente graficamente o perfil do campo elétrico na superfície do solo e na superfície
externa dos condutores. Para aplicação numérica, considere a altura dos condutores de fase de 15 m e altura dos cabos pára-raios de 22 m. O espaçamento
entre fases é de 10 m, e os cabos pára-raios distam 7 m da fase central.
(d) Considerando a geometria da linha de transmissão do item anterior, analise
o comportamento, em função do tempo, do campo elétrico na superfície do
solo, na superfície externa dos condutores e num ponto genérico no ar.
5. Considere um cabo isolado representado por um condutor central cilíndrico de raio
R1 = 10 mm, um isolamento entre os raios R1 e R2 = 20 mm, e um condutor
externo entre os raios R2 e R3 = 22 mm. Suponha que o condutor interno tem
condutividade 1 = 55.106 S/m, permitividade relativa ✏r1 = 20, permeabilidade
relativa µri = 1, o condutor externo tem condutividade 2 = 4, 7.106 S/m, permitividade relativa ✏r2 = 20 e permeabilidade relativa µr2 = 1, e o isolante tem
condutividade i = 10 15 S/m, permitividade relativa ✏ri = 2, 5 e permeabilidade
magnética relativa µri = 1. Todos estes parâmetros são constantes. Considere
regime alternado de freqüência f = 60 Hz e uma seção transversal do cabo, muito
afastada das extremidades, com tensão u entre os dois condutores, corrente i no
condutor central e corrente i no condutor externo. O cabo é envolvido por ar e
muito afastado de outros elementos com cargas ou corrente.
(a) Determine em função da freqüência f a capacitância, a susceptância e admitância transversais unitárias. i.e. por unidade de comprimento do cabo;
(b) Determine em função de f a indutância, a resistência e a impedância longitudinais unitárias, do isolante, do condutor interno, do condutor externo e
totais.
(c) Considere a expressão analítica da impedância longitudinal unitária total, na
hipótese de meio isolante ideal ( i = 0) e condutores ideais ( 1 = 2 = 1).
Analise a hipótese de considerar meios não ideais usando, formalmente, a
expressão anterior mas com parâmetros geométricos fictícios em geral complexos. Defina esses parâmetros fictícios em função dos parâmetros geométricos reais, dos parâmetros do meio isolante e dos dois condutores, e de f .
Particularize, simplificando o resultado anterior para valores elevados de f e
para valores reduzidos de f , discutindo os erros conseqüentes das simplificações consideradas. Discuta a generalização deste tipo de procedimento para
cálculo e interpretação do comportamento de conjuntos de condutores.
194
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