PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre a
superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenho
esquemático do problema com a respectiva solução.
[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m
de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na
tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial.
Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s
Posição Radial
r=0
r=4,0mm
r=10mm
Escoamentos Viscosos
Tensão de cisalhamento τ (r ) (N/m2)
Velocidade u (r ) (m/s)
[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com alguma
instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a Universidade
Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de 300mm de diâmetro
e velocidade V=18m/s e glicerina a 200C.
Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c ) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da
subcamada viscosa (mm).
Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s
Lista de Exercícios
[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela
metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; Triplicará
Quadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16
2010
[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de 2,0m/s.
Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa
Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s
[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade constante
igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos:
(i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga.
(ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição.
Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações apropriadas.
água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s
[ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
3 y 1 y3
vx
 onde a espessura da camada limite é δ ( x) = 4,64
−
u = U ∞ 

U
2
δ
2
δ
∞


Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:
cf =
A
Re x
Onde A é uma constante do resultado numérico
Prof. Jorge Villar Alé
cD =
B
Re L
onde B é uma constante do resultado numérico
Lista de Exercícios 2010
2
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da parede
apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, d=0,827. Use essa informação para determinar
a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando como auxilio o perfil de velocidades de
Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na solução de Blasius:
[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailer
instalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de
diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicional
necessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanque
estiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejam
voltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo.
Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3.
u
= f ´ (η )
U
e
U 

 νx 
1/ 2
η = y
[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimento
e 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e a
estrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais.
Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombar
lateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15
kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente.
Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entre
rodas é de 1,8m.
[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de
sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800
kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com
ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de
cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro
de 0,035.
[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensada
e coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h.
(a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com o
fluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ?
(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se a
camada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrasto
sobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com o
caso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m e
b=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs.
[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m2 e
forma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão na
linha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a
direção do vento. Identifique a força de sustentação e
arrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h,
determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação.
Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cada
força (sustentação e arrasto) adotar a área projetada como
sendo a área de referência. Considere massa especifica do
ar igual a 1,2 kg/m3.
ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s.
[15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma
seção de teste de 30cm de diâmetro e comprimento de 30cm. A
velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel
varia de 1,0m/s a 8,0m/s. O projeto será otimizado para uma
velocidade de 4,0m/s através da seção de teste. Para o caso de
escoamento aproximadamente uniforme a 4,0m/s na entrada da
seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste.
(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que
percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para
tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste.
Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.
[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kg
descendo em uma estrada com uma inclinação de 120 sem pedalar nem
brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente de
arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4
m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando
a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine a
velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a
massa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3.
Prof. Jorge Villar Alé
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido
a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil
de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação
que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação.
Lista de Exercícios 2010
3
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
4
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Laminar
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à
velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área
superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:
  r 2 
u (r ) = U max 1 −   
 R 


Turbulento (n=7)
r

u (r ) = U max 1 − 
 R
Escoamentos Viscosos
a) O coeficiente de sustentação nestas condições.
b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05
determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força de
arrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a).
c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrasto
do avião é igual a 0,05
1/ n
[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre do fluido
é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força de arrasto na
placa devido a esta alteração da velocidade.
[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade
media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades
exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número
de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: n = 1,85 log(Re) − 1,96
[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado com
combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225
km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é igual
a 100 kg. Utilize ar padrão.
Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando
carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma
configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).
Determine:
(a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um
manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial.
(b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.
[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y e
apresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine:
a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50
b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica.
Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s
[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura movese a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as
equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a
posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total.
No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento
turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine:
(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa.
(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm.
Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s.
[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando
imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura.
Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço
com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade
U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda.
Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s.
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
5
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
6
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimento
determine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão de
cisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m).
água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s
Escoamentos Viscosos
pelo sistema para manter a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel. Considere ar nas condições padrão.
Ar a 200C
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um elemento
flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma tensão de
cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule:
(a) A velocidade de corrente livre (m/s)
(b) A espessura da camada limite (mm) no ponto
onde se encontra o elemento.
(c) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do
elemento.
[ 29 ] No RS teve uma serie de temporais que ocasionaram sérios danos a construções e também derrubando arvores. Determine
a força axial exercida pelo vento numa localidade do RS submetida a uma rajada de 120 km/h. Considere que o coeficiente de
arrasto da árvore é igual a 0,5. Determine a força de arrasto da árvore que apresenta uma área frontal de 5,8m2
Ar a 200C
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
Ar 200C:
Massa especifica 1,204 Kg/m3
Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:
Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: τ w =
u
π y 
= sen

U∞
2δ
πµU ∞
2δ ( x)
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por:
δ
x
=
[ 30] Um perfil aerodinâmico é submetido a um escoamento com velocidade de 15m/s. O perfil possui uma corda de 50cm e um
comprimento de 12,0m. Numa posição angular a força de arrasto é igual a 267,3N. (a) Determine o ângulo de ataque nesta
posição. (b) Determine o ângulo de ataque que permita manter a mesma força de sustentação reduzindo drasticamente a força de
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
arrasto. Obs: Utilize Gráfico em anexo.
Ar a 200C
4,8
Re x
determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessura da
camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de corrente livre igual a
2,0m/s.
Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
[ 27] Uma caixa de água esférica (lisa) de 15m de diâmetro é sustentada por uma estrutura
metálica tubular de 2m de diâmetro e 40m de altura. No local a velocidade de rajada do vento
máximo em 50 anos é igual a 40 m/s. Obs. O coeficiente de arrasto da estrutura tubular é CD=1,2.
Determine:
(a) A força de arrasto exercida pelo vento sobre o reservatório.
(b) A força de arrasto dobre a estrutura tubular.
(c) O momento exercido na base da estrutura tubular.
[ 31 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0 m/s.
Determine (a) Força de arrasto na placa (b) Espessura da camada limite no bordo de fuga da placa
Água: ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s.
[ 32 ] A Ponte Verrazano-Narrows é uma ponte suspensa que conecta a Staten
Island ao popular bairro do Brooklyn na península de Long Island em Nova Iorque.
Como parte das comemorações da independência de USA em 1976 um grupo
empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norte-americana com 59 m de
altura e 112 m de largura nos cabos de suspensão da ponte. A bandeira foi
arrancada da sua amarração quando o vento atingiu 16 km/h. Estime a força do
vento atuante sobre a bandeira a esta velocidade. Utilize de forma aproximada o
coeficiente de arrasto de uma placa plana quadrada conforme figura (CD=1,2).
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
Ar a 200C: Massa especifica: 1,2 kg/m3. Viscosidade cinemática: 14,2x10-6 m2/s.
Obs: Utilize Gráfico em anexo (Fig.1).
[ 28 ] Um túnel de vento vertical para prática de salto (pára-quedismo) possui um diâmetro 2,2 m e altura de 3,0 metros. A
velocidade no túnel é igual a 65m/s. Considere que a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel flutua com as
extremidades entendidas com o qual o coeficiente de arrasto é igual a 1,2. Determine a força de arrasto e potência despendida
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
7
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
8
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 33 ] A componente vertical da velocidade de aterrissagem de uma pára-quedas
deve ser inferior a 6,0 m/s. A massa total do pára-quedas e pára-quedista é de 120
kg. Determine o diâmetro mínimo do pára-quedas aberto.
Escoamentos Viscosos
[ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estrutura
mostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m e
uma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o
momento na base considerando as duas alternativas de estruturas.
Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 e
na convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura é
igual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto igual
a 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
[ 37 ] Uma asa de avião de 2,0m de corda avança com uma velocidade de 138 km/h. A velocidade média na superfície superior da
asa é igual a 160 km/h e na superfície inferior igual a 130 km/h. Determine a força de sustentação considerando uma
comprimento total de asa de 20m. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3. Determine o coeficiente de sustentação da asa.
Lembre que num aerofólio a sustentação ocorre pela variação pressão das superfícies superior e inferior.
[ 34 ] Duas bolas de beisebol de 74 mm de diâmetro são conectadas a
uma barra de 7 mm de diâmetro e 560 mm de comprimento. Determine a
potência (Watts) necessária para manter o sistema girando a uma
velocidade angular de 42 rad/s.
Obs. A barra cilíndrica possui um coeficiente de arrasto CD=1,2. Para a
esfera determine o coef. de arrasto conforme tabela abaixo.
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
Tabela – Coeficiente de arrasto de esfera
Re ≤ 1
1 < Re ≤ 400
400 <Re ≤ 3x105
3x105 < Re ≤ 2x106
CD =
24
Re
CD =
24
(Re )0, 646
C D = 0,5
C D = 0,000366(Re )
0 , 4275
[38] A Figura mostra o resultado do coeficiente de pressão teórico e determinado em túnel de vento de um cilindro onde escoa ar
padrão. Quando um manômetro digital esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (1) do cilindro, o
manômetro indica uma pressão equivalente a 14mmH20. Com esta informação pode ser determinada a velocidade de corrente
livre no túnel que é igual a 15,1 m/s. (a) Determine qual a pressão equivalente (em mmH20) quando o manômetro esta conectado
na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (2) do cilindro numa posição angular igual a 500. (b) Qual será a velocidade de
corrente nesta posição do cilindro para o caso real e para o caso teórico.
Re > 2x106
C D = 0,18
[ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e era
um biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dos
irmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do
Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada.
Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área
plana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto total
considerando as asas como sendo placas planas.
(a) Sistema de medição em túnel de vento
(b) Resultado do coeficiente de pressão real e teórico.
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3
e ν=1,46x10-5 m2/s.
[ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de 90kN. Se
a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a largura determinada
como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?.
Considere ar ρ = 1,204 kg/m3 ν=1,51x10-5 m2/s.
[ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados para formar quadrados de 1cm por 1
cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual a potência em kW
necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede? Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
[ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico de diâmetro
D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindo sobre o corpo é
calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através da superfície) resultando em
4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera.
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
9
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
10
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
Anexos
[ 42 ] Uma ciclista de 80 kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com inclinação de 12° sem
pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45 m² e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical,
e uma área frontal de 0,4 m² e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência de rodagem e o
atrito nos rolamento, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a densidade do as como 1,25
kg/m³.
[ 43 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0m/s.
Determine (a) Arrasto sobre um lado da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa para: ar com ρ=1,23
kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s
[ 44 ] Uma hidrofolio de L=0,37m e largura de b=1,83m esta imersa paralelamente a uma corrente de água a 12,2m/s com ρ=1025
kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s.
(a) Espessura da C.L. no final da placa.
(b) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa.
(c) Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior
(d) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (ε=0,12mm)
[ 45 ] Determinar a força de arrasto de um bi-plano (avião dos irmãos Wright) com 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana.
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,5x10-5 m2/s.
[ 46 ] Considere uma placa plana de 30cm de comprimento submetida a uma velocidade de 0,3 m/s. Determinar a espessura da
camada limite no bordo de fuga para (a) Para o ar ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e (b) Para água com ρ=1000 kg/m3 e
ν=1,02x10-6 m2/s
[ 47 ] Uma placa plana fina longa e colocada paralelamente a uma corrente de água de 6,1m/s a 200. A que distancia do bordo de
ataque a espessura da camada limite será de 25 mm. Considere a viscosidade cinemática da água ν=1,02x10-6 m2/s
Figura 1 Efeito de rugosidade no coeficiente de arrasto em esferas lisas
[ 48 ] Numa tubulação de 97 mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num
trecho de 30 m de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar:
(a) Velocidade na tubulação numa distancia media entre a parede e o centro do tubo.
(b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade media da tubulação.
(c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de transição
e da camada turbulenta.
Propriedades da água a 400C
ρ = 992kg / m 3
µ = 6,51x10 −4 Pa.s
(a ) Coeficiente de sustentação do perfil
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
11
Prof. Jorge Villar Alé
(b) Coeficiente de arrastro do perfil
Lista de Exercícios 2010
12
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 1] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 ( a meio caminho entre a
superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade media no centro do tubo. Faça um desenho
esquemático do problema com a respectiva solução.
Dados:
Determine:
Escoamento Laminar
V =?
u (r ) = 6
r=
m
s
R
2
[ 2] Numa tubulação de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m
de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento nas posições indicadas na
tabela abaixo. Obs. Utilize equacionamento exponencial.
Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s
Posição Radial
r=0
r=4,0mm
r=10mm
R
2
Velocidade u (r ) (m/s)
2,48
2,29
0,0
Dados:
D = 20mm
ρ = 1000
Re =
kg
m³
u (r ) = ?
τ (r ) = ?
−3
m
s
L = 20m
V = 2,0
  R 2 
u (r ) = u max 1 −  2  
  R  
 
 
  1 2 
u (r ) = u max 1 −   
  2  
Tensão de cisalhamento τ (r ) (N/m2)
0
5
12,5
Determinar:
ε = 0,02mm
T = 20°C
  r 2 
u (r ) = u max 1 −   
  R  
Escoamentos Viscosos
µ = 1,02 x10 Pa.s
ρV D
µ
kg
m
.2,0 .0,02m
³
m
s
Re =
1,02 x10 −3
Re = 39216 ⇒ TURBULENTO
1000
 1
u (r ) = u max 1 − 
 4
3
u (r ) = u max
4
4
u max = u (r )
3
m4
u max = 6
s 3
m4
u max = 6
s 3
m
u max = 8
s
 ε

5,74 
f = 0,25log D + 0,9 
  3,7 Re 

 
−2
  0,02


20 + 5,74 
f = 0,25log
0
,
9
  3,7
39216 
 

  0,02


20 + 5,74 
f = 0,25log
0
,
9
  3,7
39216 

 
−2
−2
f = 0,25[log(0,00027 + 0,0004214)]
f = 0,025
−2
u max = 2V
n = 1,85 log Re− 1,96
n = 6,54
m
8
V = s
2
m
V =4
s
V
2n 2
=
umax (n + 1)(2n + 1)
V
2.(6,54 )
=
umax (6,54 + 1)(2.6,54 + 1)
2
umax = 1,241V
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
13
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
14
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
u max = 2,48
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
1
n
m
r 
1 − 
s  10 
1
6 , 54
Dados:
r=0
m
0
u (r ) = 2,48 1 − 
s  10 
u (r ) = 2,48
1
Tubo liso
D = 300mm
V = 18
1
u (r ) = 2,48
m  10 
1 − 
s  10 
Re =
1
6 , 54
τω =
f V2
ρ.
4
2
(
2m
0,025
s
1000 kg 3 .
m
4
2
τ ω = 12,5 N 2
m
τω =
τ (r ) = τ max
ρV D
µ
τω = ?
u* = ?
kg
m³
y=?
f =
)
2
y+ =
r
R
f =
0,316
1
Re 4
0,316
1
4536 4
f = 0,0385
f V2
ρ.
4
2
 m
18 
0,0385
kg  s 
τω =
1260 .
4
m³
2
τ ω ≅ 1964,7 N / m²
2
τ
u * =  ω
ρ
1
 2


u * ≅ 1,25 m
s
yu *
ν
y +ν
u*
y+µ
y= *
uρ
1,5 Pa.s.5
y=
m
kg
1,25 1260
s
m³
y = 4,76mm
y=
r=0
τ (r ) = 0
r = 4 mm
τ (r ) = 12,5 N
τ (r ) = 5 N
f =?
µ = 1,5 Pa.s
ρ = 1260
m
s
kg m
1260 18 0,3m
m
³ s
Re =
1,5 Pa.s
Re = 4536
u (r ) = 0
τω =
T = 20°C ( glicerina )
Na sub-camada viscosa y+ = 5;
6 , 54
r = 10 mm
u (r ) = 2,48
Determinar:
6 , 54
r = 4 mm
4
m
1 − 
s  10 
m
u (r ) = 2,29
s
Escoamentos Viscosos
[ 3 ] A subcamada viscosa normalmente é menor que 1% do diâmetro do tubo e, portanto, muito difícil de ser medida com
alguma instrumentação. A fim de gerar uma subcamada viscosa mais espessa e poder realizar a medição, em 1964 a
Universidade Estadual de Pennsylvania construiu um tubo com um escoamento de glicerina. Considerando um tubo liso de
300 mm de diâmetro e velocidade V=18 m/s e glicerina a 200C.
Determine: (a) fator de atrito (b) tensão de cisalhamento na parede (N/m2) (c) velocidade de atrito (m/s) (d) espessura da
subcamada viscosa (mm).
Massa especifica ρ =1260 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,5 Pa.s
m
s
r

u (r ) = umax 1 − 
 R
u (r ) = 2,48
Escoamentos Viscosos
4mm
m 2 10mm
m2
r = 10 mm
τ (r ) = 12,5 N
m2
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
15
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
16
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 4 ] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido
pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: Dobrará; Triplicará
Quadruplicará; Aumentara por um fator de 8; Aumentara por um fator de 16
Dados:
Determinar:
Resposta:
Escoamento laminar
hL = ?
A perda de carga aumentará por um
fator de 16.
Escoamentos Viscosos
[ 5 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade de
2,0m/s. Determine (a) Força de arrasto da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa
Fluido Ar: ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s
Dados:
D
D=
2
Q = CTE
Determinar:
U °° = 2,0m / s
ν = 1,46 x10−5 m 2 / s
b = 3,0m
L = 1,0m
ρ = 1,23kg / m
FD = ?
δ ( x) = ?
3
δ * ( x) = ?
θ ( x) = ?
L = CTE
Re L =
64
f =
Re
Re =
ν
4.QD
δ ( x = L)
Q = V .A
4.Q
V =
π .D 2
x
FD =
1
ρU °° 2 A.CD
2
2
1
kg  m 
FD = 1,23  2  2.(1,0m.3,0m).0,00358
2
m³  s 
FD = 0,0529 N
5
Re x
5.1m
1,369 x105
δ ( x = L) = 13,51mm
δ * ( x = L) =


 4Q 
2.
 4.Q 
2 

π D 
2 
2 
 π .D  = 
Re
Re
*
1
7
1
θ ( x = L) = 13,51mm
7
θ ( x = L) = 1,93mm
θ ( x = L) = δ ( x)
2
( )
1
2.16
=
 4.Q   4.Q

 
 π .D.ν   π . D .ν
2

1 = 16
δ ( x)
2,89
13,51mm
δ ( x = L) =
2,89
δ * ( x = L) = 4,67mm
64 L.V 2
64 L.V 2
=
Re D.2.g Re D 2.g
2
V 2 2V 2
=
Re
Re
Prof. Jorge Villar Alé
=
δ ( x = L) =
L.V 2
D.2.g
2
1,328
Re L
1,328
m
1,0m
CD =
s
Re L =
1,369 x105
2
−5 m
1,46 x10
CD = 0,00358
s
Re L = 1,369 x105 < 5 x105 ⇒ LAMINAR
π .D 2 .ν
4.Q
Re =
π .D.ν
hL = f
CD =
ν
2
VD
Re =
U °° L




Lista de Exercícios 2010
17
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
18
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
2
[ 6 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=2,0m imersa em água é arrastada horizontalmente com uma velocidade
constante igual a 1,5m/s. Considere os seguintes casos:
(i) Caso em que a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque até o bordo de fuga.
(ii) Caso em que a placa apresenta escoamento turbulento com laminar anterior, determinando o ponto de transição.
Determinar força de arrasto para os dos casos e o erro cometido (%) na força quando não se utilizam as equações
apropriadas. água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,5x10-6 m2/s
m
s
b = 2,0m
m
ν = 1,5 x10
s
kg
ρ = 1000
m³
U °° = 1,5
−6
L = 1,0m
2
FD ( ii ) = ?
FD =
Erro(%) = ?
ν
1
1700
Re L
−
1700
1x106
5
1
ρU °° 2 A.CD
2
 21N − 13,36 N 
ERRO = 
.100% = 36,38%
21N


[ 7 ] O perfil de velocidades u(x,y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
3 y 1 y3
vx
 onde a espessura da camada limite é δ ( x) = 4,64
u = U ∞ 
−

U
2
δ
2
δ
∞


Deduzir a expressão para o coeficiente local de arraste Cf e ao coeficiente de arrasto CD. Apresente o resultado na forma:
U °° xc
ν
cf =
m
1,5 xc
5
s
5 x10 =
m2
1,5 x10− 6
s
xc = 0,5m
xc
.100% = 50% > 0,1% L ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
L
A
cD =
Re x
Onde A é uma constante do resultado numérico
B
Re L
onde B é uma constante do resultado numérico
 3 y 1 y3

u = U ∞ 
−

2δ 2δ 
δ ( x) = 4,64
0,074
νx
U °°
1
Re L 5
0,074
(1x106 ) 5
C D = 0,004669
FD =
6
−
5
2
U °° L
i) C D =
(1x10 )
1
1
kg  m 
FD = 1000 1,5  2.(1,0m.2,0m).0,002969
2
m³  s 
FD = 13,36 N
OBS: Considerando 0,1%L para escoamento com laminar anterior
CD =
CD =
0,074
Re L
0,074
CD = 0,002969
FD ( i ) = ?
m
1,5 1,0m
s
Re L =
m²
1,5 x10− 6
s
Re L = 1x106 > 5 x105
Rec =
ii) CD =
Determinar:
Dados:
Re L =
1
kg  m 
FD = 1000 1,5  2.(1,0m.2,0m).0,004669
2
m³  s 
FD = 21N
Cf =
2ν ∂u ( x, y )
2
∂y y = 0
U °°
Cf =
3 1 y2
2ν
− 
U °° 
2
U °°
2δ δ 
1
1
ρU °° 2 A.CD
2
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
19
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
20
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Cf =
2ν
U °°
3 1 y2


2δ −δ 


Cf =
2ν
U °°
3 1 02


2δ −δ 


Cf =
3ν
U °°δ
[8] Pretende-se suprir as necessidades de água de um trailer
instalando-se um tanque cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,5m de
diâmetro sobre o teto do veículo. Determine a potencia adicional
necessária do trailer a uma velocidade de 95 km/h quando o tanque
estiver instalado de forma que suas superfícies circulares estejam
voltadas para (a) a frente do veículo e (b) os lados do veículo.
Considere massa especifica do ar igual a 1,035 kg/m3.
Cf =
3ν 1 U °°
U °° 4,64 νx
Dados:
1
ν 2U °°
Cf = 3
4,64 U °° 2νx
C f = 0,646
Cf =
ν
0,646
Re x
1
D = 0,5m
km
U °° = 95
h
kg
m³
km 1000
m
U °° = 95 .
= 26,39
h 3600
s
L
=4
D
L
≅5
D
C D = 0,9
C D = 0,8
ρ = 1,035
W& A = ?
W& B = ?
2
L
CD =
1
C f ( x)dx
L ∫0
CD =
L
1 
ν 
 dx
0,646
∫
L0
U °° x 
CD =
L
1 
ν 
 dx
0,646
∫
L0
U °° x 
CD = 0,646
CD = 0,646
CD = 0,646
CD = 0,646
ν 1
L
U °° L ∫0
x
1
ν 1x
−1
2
(a) FD =
ν 2
dx
2
U °° L
ν 2
U °° L
CD = 2.0,646
L
(b) FD =
2

.0,9


1
ρU °° 2 A.CD
2
2
1
kg 
m
FD = 1,035 3  26,39  (L.D ).0,8
2
s
m 
νL
U °° L2
2
1
kg 
m
FD = 1,035 3  26,39  (2m.0,5m ).0,8
2
s
m 
FD = 288,32 N
ν
U °° L
1,292
Re L
Prof. Jorge Villar Alé
m
W& = 63,7 N .26,39
s
W& = 1,68kW
2
2
0
1
Tab. 11.1 e Tab.11.2 livro Cengel e
Cimbala.
W& = FD .V
 πD 2 

.0,9
 4 
2
2
kg 
m   π (0,5m )
1
FD = 1,035 3  26,39  
s 
4
2
m 
FD = 63,7 N
L
1
x
1
ρU °° 2 A.C D
2
kg 
m
1
FD = 1,035 3  26,39 
m 
s
2
U °° L 1
2
CD = 2.0,646
CD =
Determinar:
L = 2,0m
U °° x
Escoamentos Viscosos
W& = FD .V
Lista de Exercícios 2010
21
m
W& = 288,32 N .26,39
s
Prof. Jorge Villar Alé
W& ≅ 7,61kW
Lista de Exercícios 2010
22
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[9] Considere uma carreta de 5000 kg com 8m de comprimento
e 2m de altura e 2 m de largura. A distância entre o assoalho e a
estrada é de 0,8m. A carreta está exposta a ventos laterais.
Determine a velocidade do vento que fará o caminhão tombar
lateralmente. Considere a massa especifica do ar igual a 1,15
kg/m3 e suponha que o peso esteja distribuído uniformemente.
Considere que olhando de frente o caminhão a distancia entre
rodas é de 1,8m.
[10] Um pequeno avião tem uma asa com área de 30m2, um coeficiente de
sustentação de 0,45 nos parâmetros de decolagem e uma massa de 2800
kg. Determinar (a) Velocidade de decolagem do avião a nível do mar com
ρ=1,205 kg/m3. (b) Potência necessária para manter uma velocidade de
cruzeiro constante de 300 km/h para um coeficiente de arrasto de cruzeiro
de 0,035.
Dados:
Dados:
m = 5000kg
D = 8m
L = 2m
b = 2m
Distância entre assoalho e estrada Determinar:
d = 0,8m ;
Distância entre rodas r = 1,8m
ρ = 1,15
ρ = 1,205
A = 30m²
CL = 0,45
U °° = ?
km
m
≅ 83,34
h
s
CD = 0,035
V = 300
m = 2800kg
kg
m3
(a)
C D = 2,2 (Tab.11.2)
U °° =
FL = W
∑M = 0
U∞ = ?
W& = ?
2.FL
ρ . A.C L
m

2. 2800kg.9,81 
s² 

U °° =
kg
1,205 3 .30m².0,45
m
m
U °° = 58,11
s
km
U °° = 209,2
h
M F = F A. s
r
F A. s − W = 0
2
r 1
FA. = W .
2 s
m  1,8 1

FA. =  5000kg .9,81 2  .
s  2 1,8

FA. = 24525N
(b) FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
2.FA
U °° =
ρ . A.C D
1
m
m
FD = 1,205  83,34  30m².0,035
2
s² 
s² 
FD = 4393,23 N
2.24525 N
kg
1,15 3 .(8m.2m ).2,2
m
m
U °° = 34,81
s
km
U °° = 125,3
h
W& = FD .V
2
U °° =
Prof. Jorge Villar Alé
Determinar:
1
ρU °° 2 A.C L
2
FL =
L 2
= = 0,25
D 8
kg
m³
m
W& = 4393,23N .83,34
s²
W& = 366,1kW
Lista de Exercícios 2010
23
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
24
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[11] Um papagaio pesa 1 N e tem uma área de 0,8m2 e
forma um ângulo de α=300 com a horizontal. A tensão na
linha é de 30N quando ela forma um ângulo de β=450 com a
direção do vento. Identifique a força de sustentação e
arrasto. Para uma velocidade do vento de 36 km/h,
determinar os coeficientes de arrasto e de sustentação.
Considere o peso aplicado no centro geométrico. Para cada
força (sustentação e arrasto) adotar a área projetada como
sendo a área de referência. Considere massa especifica do
ar igual a 1,2 kg/m3.
W p = 1N
A = 0,8m²
α = 30°
X
CD =
β = 45°
CL = ?
Obs.: Área projetada.
[12] Uma ciclista de 80kg está andando com sua bicicleta de 15 kg
descendo em uma estrada com uma inclinação de 120 sem pedalar nem
brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45m2 e um coeficiente de
arrasto de 1,1 com o corpo na posição vertical e uma área frontal de 0,4
m2 e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando
a resistência de rodagem e o atrito dos rolamentos, determine a
velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a
massa especifica do ar igual a 1,25 kg/m3.
FL
FR y = FR.senβ
FD
FD = FR X .
Y
1
ρU °°2 APY .C L
2
FL
CL =
1
ρU °° 2 APY
2
22,21N
CL =
2
1 kg  m 
1,2 10  0,693m²
2 m³  s 
CL = 0,53
CD = ?
km
m
= 10
h
s
kg
ρ = 1,2
m³
U ∞ = 36
FR X = FR. cos β
∑F
y
=30N
=w
x
= − FRY + FL − W = 0
mc = 80kg
FL = 30 N .sen45° + 1N
FL = 22,21N
α = 12°
CDV = 1,1
AC = 0,4m²
mb = 15kg
CDC = 0,9
ρ = 1,25
APX = A.senα
Determinar:
U ∞v = ?
U ∞c = ?
kg
m³
WC = mC .g
APX = 0,8m². sen30°
WC = 80kg.9,81
APX = 0,4m²
m
s²
WC = 785 N
APy = A. cos α
APy = 0,8m². cos 30°
Wb = mb .g
APy = 0,693m²
Wb = 15kg .9,81
Wb = 147,15 N
1
ρU °° 2 APX .CD
2
Prof. Jorge Villar Alé
AV = 0,45m²
Dados:
FL = FRY + W
FD =
2
FL =
Determinar:
= − FR X + FD = 0
FD = 30N cos 45°
FD = 21,21N
FD
1
ρU °° 2 APX
2
21,21N
1 kg  m 
1,2 10  0,4m²
2 m³  s 
C D = 0,884
FR = 30 N
Dados:
∑F
CD =
Escoamentos Viscosos
Lista de Exercícios 2010
25
m
s²
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
26
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
FD = WT .sen12°
[13] Ar a 200C e 1 atm escoa a 20m/s em torno de uma placa plana. Um tubo de Pitot, colocado a 2mm da
parede apresenta uma leitura manométrica h=16mm de óleo vermelho Meriam, densidade d=0,827. Use essa
informação para determinar a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar utilizando
como auxilio o perfil de velocidades de Blasius dado na tabela na qual estão definidas as relações utilizadas na
solução de Blasius:
FD = 932,15 N.sen12°
FD = 932,15 N.sen12°
FD = 193,8 N
FD =
U °° =
Escoamentos Viscosos
1
ρU °° 2 A.C D
2
u
= f ´ (η )
U
1/ 2
e
U 

 νx 
η = y
2.FD
ρ . AV .CD
V
2.193,8 N
U °° =
kg
1,25 .0,45m².1,1
m²
m
U °° = 25
s
km
U °° = 90
h
U °° =
2.FD
ρ . Ac .C D
Determinar:
Dados:
c
h = 16mm
d = 0,827
2.193,8 N
kg
1,25 .0,4m².0,9
m²
m
U °° = 29,3
s
km
U °° = 105,65
h
U °° =
T = 20°C
P = 1atm
m
U ∞ = 20
s
ρ = 1,205
kg
m³
ν = 1,51x10 −5
x=?
m²
s
y = 0,002m
ρ fluido
ρ água
ρ oleo = ρ agua .d
d=
kg
.0,827
m³
kg
= 827
m³
ρ oleo = 1000
ρ oleo
Pm = ρ .g .h
kg
m
Pm = 827 .9,81 .0,016m
m³
s²
Pm = 129,81Pa
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
27
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
28
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
1
ρ .V 2
2
Pv = Pm
Pv =
[14] Suponha que você compre uma chapa de madeira compensada
e coloque-a sobre a parte superior do carro. Você dirige a 56 km/h.
(a) Considerando que a chapa esteja perfeitamente alinhada com o
fluxo de ar, qual é a espessura da camada limite ao final da chapa ?
(b) Determinar a força de arrasto sobre a chapa de madeira se a
camada-limite permanecer laminar. (c) Determine a força de arrasto
sobre a chapa se a camada-limite for turbulenta e compare com o
caso de camada-limite laminar. Considere a chapa com L=2,5m e
b=2,0m. Quantas vezes é uma maior que a outra ?. Ar a 200C. Obs.
1
kg
129,81Pa = 1,205 .V 2
2
m³
2.129,81Pa
V=
kg
1,205
m³
m
V = 14,68
s
ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,51 x 10 -5 m2/s.
Dados:
Na tabela com
U 

 νx 
V
14,68
=
= 0,734 ⇒ η ≅ 2,5
U∞
20
km
m
= 15,56
h
s
L = 2,5m
b = 2,0m
2
η 
U
  =
 y  νx
U
x=
2
η 
  ν
 y
Re L =
20
Determinar:
kg
ρ = 1,2
m³
V = 56
1/ 2
η = y
x=
Escoamentos Viscosos
ν = 1,51x10 −5
δ ( x) = ?
m²
s
FD ( LAM ) = ?
FD (TURB) = ?
T = 20°C
U °° L
ν
m
2,5m
s
m²
1,51x10 −5
s
Re L = 2,58 x106
Re L =
m
s
2
m²
 2,5 
 1,51x10 −5

s
 0,002m 
x = 0,85m
Rec =
15,56
U °° xc
ν
m
xc
s
5 x10 =
m2
1,51x10 −5
s
xc = 0,485m
15,56
5
Obs.: 20% da placa possui camada limite laminar.
 0,381
(a) δ ( x) = x 
1
−
10256 

Re L 
 Re L
 0,381
δ ( x) = 2,5m 
 2,58 x10 6
δ ( x) = 40mm
(
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
29
Prof. Jorge Villar Alé
5
)
1
−
5
10256 

2,58 x106 

Lista de Exercícios 2010
30
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
(b) C D =
CD =
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
1,328
[15] Um pequeno túnel de vento de baixa velocidade possui uma
seção de teste de 30 cm de diâmetro e comprimento de 30 cm. A
velocidade deve ser o mais uniforme possível. A velocidade no túnel
varia de 1,0 m/s a 8,0 m/s. O projeto será otimizado para uma
velocidade de 4,0 m/s através da seção de teste. Para o caso de
escoamento aproximadamente uniforme a 4,0 m/s na entrada da
seção de teste, determine (a) a velocidade no fim da seção de teste.
(b) Especifique se velocidade aumentou ou foi reduzida e em que
percentual. (c) Que recomendação de projeto pode especificar para
tornar o escoamento mais uniforme na seção de teste.
Obs. Lembrar do conceito de espessura de deslocamento da CL.
1
Re L 2
1,328
(2,58x10 )
6
1
2
C D = 0,0008
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg 
m
FD = 1,2 15,56  2.(2,0m.2,5m ).0,0008
2 m³ 
s
FD = 1,16 N
(c) CD =
CD =
0,074
1
Re L 5
0,074
1
−
5
kg
ρ = 1,2
m³
m
s
D = 30cm
V = 4,0
1700
−
Re L
(2,58x10 )
6
Determinar:
Dados:
ν = 1,51x10 −5
L = 30cm
1700
2,58 x106
C D = 0,0032
FD =
Escoamentos Viscosos
Re L =
1
ρU °° 2 A.C D
2
V fim = ?
m²
s
∆V % = ?
U °° L
ν
m
0,3m
s
Re L =
m²
1,51x10 −5
s
Re L ≅ 8 x10 4 ⇒ LAMINAR
4,
2
1
kg 
m
FD = 1,2 15,56  2.(2,0m.2,5m ).0,0032
2 m³ 
s
FD = 4,6 N
Vinicio Ainicio = V fim A fim
δ * ( x) =
δ * ( x) =
1,73x
Re L
1,73.0,3m
8 x10 4
δ * ( x) = 1,83 x10 −3 m
(a) Vinicio Ainicio = V fim A fim
V fim = Vinicio
Ainicio
A fim
V fim = Vinicio
πR ²
π ( R − δ *)
V fim = 4,0
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
31
(0,15m )²
m
s (0,15m − 1,83x10 −3 m)
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
32
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
V fim = 4,1
4,1
(b)
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
m
s
y
r
= 1−
R
R
y
= 0,293
R
m
m
− 4,0
s
s .100% = 2,5%
m
4,0
s
ESCOAMENTO TURBULENTO
1/ n
(c) Se o raio fosse projetado de a aumentar com δ * ( x) ao longo do comprimento da seção de teste, o efeito de
deslocamento da camada limite seria eliminado, e a velocidade do ar na seção de teste permaneceria
razoavelmente constante.
[16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot
introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as
expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a
partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a
velocidade média da tubulação.
  r 2 
u (r ) = U max 1 −   
 R 


Laminar
Turbulento (n=7)
r

u (r ) = U max 1 − 
 R
Escoamentos Viscosos
r

u (r ) = U max 1 −  ⇒ n = 7
 R
u
2n 2
=
U max (n + 1)(2.n + 1)
u
2.7 2
=
U max (7 + 1)(2.7 + 1)
u
= 0,8166
U max
U max = 1,224.u
PARA u (r ) = u E SABENDO QUE PARA ESCOAMENTO TURBULENTO U max = 0,8166.u
r

u = 1,224u 1 − 
 R
1/ n
1
n
ENTÃO:
y
r
= 1−
R
R
ESCOAMENTO LAMINAR
  r 2 
u (r ) = U max 1 −    , SABE-SE QUE u (r ) = u E QUE U max = 2.u , ENTÃO:
 R 


 y
u = 1,224u  
R
 y
1 = 1,224 
R
  r 2 
u = 2.u 1 −   
 R 


1
r
=1−  
2
R
1
1
n
7
7
y
 1 

 =
R
 1,224 
y
= 0,2429
R
2
1
 1 2 r
1 −  =
R
 2
r
= 0,707
R
E QUE y = R − r
y R−r
=
R
R
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
33
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
34
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 17] Considere escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana. Agora a velocidade de corrente livre do
fluido é dobrada supondo que o escoamento permanece laminar. Determine quantas vezes aumenta a força de
arrasto na placa devido a esta alteração da velocidade.
U L
Re L1 = °°
ν
Re L 2 =
Escoamentos Viscosos
[ 18] Numa tubulação horizontal de 20 mm de diâmetro escoa água com velocidade
media igual 2,0 m/s. Caso o escoamento for turbulento utilize o perfil de velocidades
exponencial. Neste perfil o expoente n pode ser determinado em função do número
de Reynolds podendo ser utilizada a expressão: n = 1,85 log(Re) − 1,96
Determine:
(a) Em r=5 mm a velocidade (m/s) e a pressão dinâmica (Pa) que indicaria um
manômetro digital conectado ao tubo de Pitot nesta posição radial.
(b) A tensão de cisalhamento na parede considerando tubo liso.
2U °° L
ν
Re L1 = 2 Re L1
Água: ρ =1000 kg/m3 µ = 1,02x10-3 Pa.s
1,328
CD =
Dados:
Determinar:
Re L
kg
ρ = 1000
m³
µ = 1,02 x10 −3 Pa.s
m
s
D = 20mm
V = 2,0
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
r = 5mm
V =?
PV = ?
τw = ?
FD1 = FD 2
1
1
ρ (U °°1 )2 A.C D1 = ρ (U °° 2 )2 A.C D 2
2
2
1,328
1,328 1
1
2
2
ρ (U °° ) A.
= ρ (2U °° ) A.
2
2. Re L
Re L 2
1,328
1,328 1
1
2
2
ρU °° A.
= ρ 4U ∞ A.
2
2. Re L
Re L 2
1=
(a) ν =
ν = 1,02 X 10 −6
Re L =
4
m²
s
U °° L
ν
m
0,02m
s
Re L =
m²
1,02 x10 −6
s
Re L = 39215,7 ⇒ TURBULENTO
2,0
2
FD 2 =
µ
ρ
4
2
FD1
n = 1,85 log(Re) − 1,96
n = 1,85 log(39215,7) − 1,96
n = 6,54
u
2n 2
=
U max (n + 1)(2.n + 1)
u
2(6,54)
=
U max (6,54 + 1)(2.6,54 + 1)
u
= 0,806
U max
U max = 1,24u
2
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
35
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
36
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
U max = 1,24.2,0
U max = 2,48
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
m
s
[ 19] Um hidrofólio de 50 cm de comprimento e 4 m de largura movese a 51 km/h na água. O problema considera que se pode utilizar as
equações de escoamento turbulento sem laminar anterior quando a
posição de transição (x critico) é menor que 10% do comprimento total.
No caso contrario, são utilizadas as equações de escoamento
turbulento com laminar anterior. Verificando esta condição determine:
m
s
r

u (r ) = U max 1 − 
 R
1/ n
m
5mm 
u (r ) = 2,48 1 −

s  10mm 
m
u (r ) = 2,23
s
Escoamentos Viscosos
(a) A força de arrasto no hidrofólio considerando placa plana lisa.
1 / 6 , 54
(b) A força de arrasto considerando placa plana rugosa com Є=0,3mm.
Água: ρ =1000 kg/m3 ν= 1,02x10-6 m2/s.
Dados:
1
ρ .u 2
2
2
1
kg 
m
Pv = 1000 . 2,23 
2
m³ 
s
Pv = 2486,45 Pa
Pv =
ρ = 1000
km
m
≅ 14,2
h
s
L = 50cm
V = 51
b = 4m
Determinar:
kg
m³
ν = 1,02 x10 −6
m²
s
FDlisa = ?
FDrug = ?
∈= 0,3mm
(b) Tubo liso
f =
Re
f =
1
4
τω =
1
14,2
Re L =
4
f V2
ρ.
4
2
m

 2,0 
0,02246
kg 
s
τω =
1000 .
4
m³
2
N
τ ω = 11,23
m²
ν
m
0,5m
s
m²
1,02 x10 −6
s
Re L = 6,96 x10 6 ⇒ TURBULENTO
0,316
(39215,7 )
f = 0,02246
U °° L
Re L =
0,316
Re C =
2
U °° xC
ν
m
xC
s
m²
1,02 x10 −6
s
xc = 0,0354m
14,2
5 x10 5 =
0,0354m
.100% = 7% < 10% ⇒ TURBULENTO
0,5m
CD =
0,074
Re
CD =
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
37
1
5
0,074
(6,96 x10 )
6
Prof. Jorge Villar Alé
1
5
Lista de Exercícios 2010
38
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
C D = 0,00316
[ 20] Uma esfera fixa em uma corda se desloca num ângulo θ quando
imersa em uma corrente de velocidade U, como mostra a figura.
1
2
(a) FD = ρU °° A.C D
2
2
1
kg 
m
FD = 1000 14,2  2.(0,5m.4m ).0,00316
2
m³ 
s
FD = 1274,36 N
L

C D = 1,89 + 1,62 log 
∈

Escoamentos Viscosos
Determinar o valor de θ para uma esfera de 30 mm de diâmetro de aço
com massa especifica igual 7860 kg/m3. Ar escoa com velocidade
U=40 m/s. Volume de esfera: (4/3) π R3 . Despreze o arrasto da corda.
Ar: ρ=1,204 Kg/m3 ν=1,51 x 10-5 m2/s.
−2, 5
Dados:
0,5m 

C D = 1,89 + 1,62 log

0,0003m 

C D = 0,00742
ρ esfera = 7860
−2, 5
m
s
D = 30mm
V = 40
1
2
(b) FD = ρU °° A.C D
2
∑F
2
1
kg 
m
FD = 1000 14,2  2.(0,5m.4m ).0,00742
2
m³ 
s
FD = 2992,34 N
X
= FRX = FD
Y
= FRY = W
∑F
ρ = 1,204
kg
m³
kg
m³
ν = 1,51x10 −5
Determinar:
θ =?
m²
s
FRY FR
FR senθ = W
W
FR =
senθ
FD
FRX
W
4
∀ esfera = πR ³
3
4
∀ esfera = π (0,015m )³
3
∀ esfera = 1,414 x10 −5 m³
Wesfera = ∀.ρ esfera .g
Wesfera = 1,414 x10 −5 m³.7860
Wesfera = 1,1N
Re L =
kg
m
.9,81
m³
s²
U∞L
ν
m
0,03m
s
Re L =
m²
1,51x10 −5
s
Re L = 79470,2
40
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
39
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
40
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Re L ≅ 8 x10 4
Escoamentos Viscosos
[ 21] Um avião pequeno tem uma massa de 700 kg e voa em cruzeiro à
velocidade de 190 km/h. Considere ar padrão. Sabendo que a área
superficial das asas é igual a 16,5 m2, determine:
Na Fig.1, gráfico para esfera lisa C D = 0,5
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg  m 
2
FD = 1,204  40  π .(0,015m ) 0,5
2
m³  s 
FD = 0,34 N
FD =
a) O coeficiente de sustentação nestas condições.
b) Sabendo a que o coeficiente de arrasto do avião é igual a 0,05
determine a força de arrasto e especifique quantas vezes à força de
arrasto é menor ou é maior que a força de sustentação obtida no item (a).
c) A potência despendida pelo motor sabendo que o coeficiente de arrasto
do avião é igual a 0,05
FR cos θ = 0,34 N
W
cos θ = 0,34 N
senθ
W
tgθ =
0,34 N
Dados:
km
m
≅ 52,78
h
s
m = 700kg
V = 190
1,1N
0,34 N
θ = 72,82°
tgθ =
C D = 0,05
Determinar:
kg
ρ = 1,2
m³
CL = ?
A = 16,5m²
∆F = ?
W& = ?
1
ρU °° 2 A.C L
2
m 1
2
700kg.9,81 = ρU °° A.C L
s² 2
(a) W = FL =
2
1
kg 
m
6867 N = 1,2  52,78  16,5m².C L
2 m³ 
s
C L = 0,249
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg 
m
FD = 1,2  52,78  16,5m².0,05
2 m³ 
s
FD = 1378,9 N
(b) FD =
FL
6867 N
=
FD 1378,9 N
FL
= 4,98 vezes maior que a FL
FD
(c)
W& = FD .V
m
W& = 1378,9 N .52,78
s
W& = 72,8kW
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
41
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
42
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[22] Um Boeing 747 possui uma massa de 290 t quando carregado com
combustível, leva 100 passageiros e decola a uma velocidade de 225
km/h. A massa média de cada passageiro e a respectiva bagagem é igual
a 100 kg. Utilize ar padrão.
[23] Um avião pequeno voa com velocidade igual a 200 km/h. O avião utiliza nas suas asas aerofólios Clark Y e
apresenta uma com razão de aspecto igual a 6. A área superficial das asas é igual a 10 m2. Determine:
a) A força de sustentação e de arrasto quando o avião se posiciona com um ângulo de ataque de 12,50
b) O ângulo de ataque e força de arrasto que permite manter a mesma sustentação aerodinâmica.
Calcule a velocidade que o Boeing deverá ter para decolar quando
carregado com 372 passageiros, assumindo que o faria na mesma
configuração geométrica (ângulo de ataque, posição de flaps).
Dados:
θ = 12,5°
kg
ρ = 1,2
m³
km
m
≅ 55,56
h
s
A = 10m²
V = 200
Passageiros = 100
W = mboeing .g
Dados:
km
m
≅ 62,5
h
s
m passageiro = 100kg
V = 225
W = 290.1000kg.9,81
Determinar:
m
s²
U∞ = ?
W = 2,845 x10 N
W passageiros = m passag . .g
W passageiros
FD = ?
C L = 1,25
C D = 0,1
FL =
W passageiros
FL = ?
θ =?
(a) Para o ângulo de ataque 12,5°
6
mboeing = 290t
Determinar:
1
ρU °° 2 A.C L
2
2
1
kg 
m
FL = 1,2  55,56  10m².1,25
2 m³ 
s
FL = 23151,85 N
m
= 100kg.9,81
s²
= 981N
WT = 2,846 x10 6 N
1
2
W = FL = ρU °° A.C L
2
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg 
m
2,846 x10 6 N = 1,2  62,5  A.C L
2 m³ 
s
A.C L = 1214,3m²
1
kg 
m
FD = 1,2  55,56  10m².0,1
2 m³ 
s
FD = 1852,15 N
WTOTAL = WT + W372
(b) O gráfico indica o ângulo de θ = 25° para manter a mesma força de sustentação.
2
WTOTAL = 2,846 X 10 6 N + 372.100kg.9,81
C D = 0,375
m
s²
WTOTAL = 3,211x10 6 N
U °° =
FD =
2
2.FL
ρ . A.C Lc
1
kg 
m
FD = 1,2  55,56  10m².0,375
2 m³ 
s
FD = 6945,56 N
2.3,211x10 6 N
kg
1,2 .1214,3m²
m³
m
km
U °° = 66,4 ≅ 239
s
h
U °° =
Prof. Jorge Villar Alé
1
ρU °° 2 A.C D
2
Lista de Exercícios 2010
43
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
44
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 24 ] Numa placa plana escoa água com velocidade igual a 8,0 m/s. Considerando uma placa de 1,5m de comprimento
determine: (a) A espessura da camada limite e a espessura de deslocamento da camada limite em x=0,75 (b) A tensão de
cisalhamento na parede em x=0,75m (c) Força de arrasto da placa. (largura da placa 1,0m).
água 200C: Massa especifica 998 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,02x10-6m2/s
x = 0,75m
kg
ρ = 998
m³
Dados:
m
s
L = 1,5m
V = 8,0
ν = 1,02 x10− 6
b = 1,0m
Determinar:
m²
s
δ ( x) = ?
δ * ( x) = ?
τW = ?
xc =
C f ( x) =
FD = ?
τW =
τW
ν
m
0,75m
s
Re X =
m²
1,02 x10 −6
s
Re X = 5,88 x10 6
0,381
−
(Re x ) 5
1
0,381
(5,88x10 )
6
0,455
CD =
(log Re L )2,58
CD =
(log1,17 x10 )
−
5
FD =
−
1700
Re L
0,455
7 2 , 58
−
1700
1,17 x107
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg  m 
FD = 998  8,0  1,5m².0,002784
2
m³ 
s
FD = 133,4 N
10256
5,88 x106
δ ( x) = 11,34mm
Prof. Jorge Villar Alé
ν
C D = 0,002784
10256
Re x
1
U∞L
m
8,0 1,5m
s
m²
1,02 x10− 6
s
Re L = 1,17 x107
8
0,75m
1
kg  m 
 8,0  0,00263
2
m³ 
s
≅ 84 Pa
Re L =
U∞ x
=
5
1
ρU °° 2 C f ( x)
2
(c) Re L =
xc 0,064m
=
.100% = 4,25% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
L
1,5m
δ ( x)
1
τ W = 998
m²
.5 x10 5
s
xc =
m
8,0
s
xc = 0,064m
=
0,0594
2
U∞
x
1
6


 5,88 x10 


C f ( x) = 0,00263
ν
ν . Re c
δ ( x)
0,0594
(Re x ) 5
C f ( x) =
1,02 x10 −6
(a)
8
11,34mm
δ * ( x) =
8
δ * ( x) = 1,42mm
xc L
Re X =
δ ( x)
δ * ( x) =
(b)
A = L.b
A = 1,5m.1,0m
A = 1,5m²
Re c =
Escoamentos Viscosos
Lista de Exercícios 2010
45
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
46
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 25 ] Num escoamento sobre placa plana o cisalhamento na parede pode ser determinado até a posição x por um
elemento flutuante de área pequena conectado a um strain-gage como ilustra a figura. Em x=2,0m, o elemento indica uma
tensão de cisalhamento de 2,1Pa. Admitindo escoamento turbulento a partir do bordo de ataque, calcule:
(d) A velocidade de corrente livre (m/s)
(e) A espessura da camada limite (mm) no ponto
onde se encontra o elemento.
(f) A velocidade em (m/s) a 5mm acima do
elemento.
x
δ ( x)
2m
Dados:
m²
ν = 1,51x10− 5
s
x = 2m
ρ = 1,204
(a) τ W
=u
kg
m³
∂u
∂y
Obs.: Escoamento turbulento
=
=
35,63
0,381
(Re x ) 5
1
0,381
(4,72 x10 )
6
1
5
δ ( x) = 35,25mm
Determinar:
y = 5mm
τ W = 2,1Pa
m
2m
s
m²
1,51x10− 5
s
Re x = 4,72 x106
Re x =
δ ( x)
Ar 200C:
Massa especifica 1,204 Kg/m3
Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
Escoamentos Viscosos
δ ( x) = ?
(c)
U∞ = ?
u ( x) = ?
u  y 

=
U ∞  δ ( x) 
1
7
m  5,0mm 


s  35,25mm 
m
u ≅ 27,0
s
u = 35,63
y =0
1
7
1
ρU °° 2 C f ( x)
2
0,0594
C f ( x) =
1
(Re x ) 5
τW =
 U ∞ .x 

 ν 
1
2
τ W = ρU °° 2 0,0594
−0 , 2


 U .2,0m 
1
kg 2
∞


2,1Pa = 1,204 U °° 0,0594
2
m³
 1,51x10− 5 m² 


s 

−0 , 2
0, 2
2,1Pa = 0,00338
kg  m 
1,8
  U °°
m³  s 
1,8
2,1  m 
 
0,00338  s 
m
U °° = 35,63 
s
1,8
U °°
=
(b) Re x =
U∞ x
ν
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
47
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
48
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[ 26 ] (a ) Considerando um escoamento laminar sobre uma placa dado pelo perfil senoidal:
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
u
π y 
= sen

U∞
2δ
(b) Re x =
Re x =
δ
x
=
4,8
Ar 200C: Massa especifica 1,204 Kg/m3 Viscosidade cinemática: 1,51x10-5m2/s
L = 0,8m
x = 0,4m
U ∞ = 2,0
m
s
ν = 1,51x10− 5
m²
s
1
ρU °° 2 C f ( x)
2
2
τW = ?
τ W ( x) = ?
δ ( x)
u ( x) = ?
x
=
4,8
Re x
4,8
δ ( x)
=
0,4m
5,3 x104
δ ( x) = 8,34mm
Obs.: Escoamento laminar
 πy 
u
= sen

U∞
 2δ ( x) 
πuU ∞
τW =
2δ ( x )
∂u
∂y
C f ( x) = 0,002884
1
kg 
m
 2,0  0,002884
2
m³ 
s
τ W = 0,00695Pa
(a)
τW = u
0,664
Re x
τ W = 1,204
Determinar:
kg
m³
C f ( x) =
τW =
Obs. Apresentar nas principais equações as unidades no SI.
ρ = 1,204
ν
2,0
Re x
determine a tensão de cisalhamento na metade da placa e a velocidade (m/s) correspondente na metade da espessura
da camada limite nesta posição. Obs. Considere uma placa com comprimento total de 0,8m e velocidade de corrente
livre igual a 2,0m/s.
Dados:
U∞ x
m
0,4m
s
m²
1,51x10− 5
s
Re x = 5,3 x104
πµU ∞
Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede é dada pela expressão: τ w =
2δ ( x)
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por:
Escoamentos Viscosos
π 1
u ( x ) = U ∞ sen

 2 2
m
π 1
u ( x) = 2,0 sen

s
 2 2
m
u ( x) = 1,41
s
y =0
 πy 
∂u ∂
= sen

∂y ∂y
 2δ ( x) 
 πy 
∂u πU ∞

cos
=
∂y 2δ ( x)
 2δ ( x) 
τW =
 πy 
πuU ∞

cos
2δ ( x)
 2δ ( x)  y = 0
πuU ∞
cos(0 )
2δ ( x)
πµU ∞
τw =
2δ ( x)
τW =
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
49
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
50
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
[ 28 ] Um túnel de vento vertical para prática de salto (pára-quedismo) possui um diâmetro 2,2 m e altura de 3,0 metros. A
velocidade no túnel é igual a 65m/s. Considere que a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel flutua com as
extremidades entendidas com o qual o coeficiente de arrasto é igual a 1,2. Determine a força de arrasto e potência
despendida pelo sistema para manter a pessoa nas condições de equilíbrio dentro do túnel. Considere ar nas condições
padrão.
Ar a 200C
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
[ 27] Uma caixa de água esférica (lisa) de 15m de diâmetro é sustentada por uma estrutura
metálica tubular de 2m de diâmetro e 40m de altura. No local a velocidade de rajada do vento
máximo em 50 anos é igual a 40 m/s. Obs. O coeficiente de arrasto da estrutura tubular é CD=1,2.
Determine:
(a) A força de arrasto exercida pelo vento sobre o reservatório.
(b) A força de arrasto dobre a estrutura tubular.
(c) O momento exercido na base da estrutura tubular.
Ar a 200C: Massa especifica: 1,2 kg/m3. Viscosidade cinemática: 14,2x10-6 m2/s.
Obs.: Utilize Gráfico em anexo (Fig.1).
Dados:
D = 15m
DTUBULAR = 2m
U ∞ = 40
CD
Re =
FDRESERV = ?
ν = 14,2 x10− 6
h = 40m
(a)
Determinar:
kg
m³
CDTUBULAR = 1,2
ρ = 1,2
m
s
m²
s
FD TUBO = ?
Dados:
M =?
D = 2,2m
h = 3,0m
m
40 15m
s
Re =
m²
14,2 x10− 6
s
U∞D
ν
ν = 14,2 x10− 6
m
s
U ∞ = 65
m²
s
FD TUNEL = ?
W& = ?
Re = 4,2 x107
ESTIMADA PARA PESSOA DE 1,8m DE ALTURA 0,6m DE LARGURA E 80 kg.
FDTUBO =
= 0,18 ⇒ GRÁFICO
1
ρU °° 2 A.C D
2
RESERV
FDRESERV
Determinar:
kg
m³
CD = 1,2
ρ = 1,2
2
1 kg  m 
FDTUBO = 1,2  65  (1,8m.0,6m ).1,2
2 m³  s 
FDTUBO = 3285,36 N
1
2
= ρU °° A.CD
2
1 kg  m  π (15m )
FDRESERV = 1,2  40 
.0,18
4
2 m³  s 
2
(b) FDTUBULAR
2
FDRESERV = 30,53kN
W = m.g
W = 80kg .9,81
1
2
= ρU °° A.C D
2
W ≅ 785 N
m
s²
2
1 kg  m 
FDTUBULAR = 1,2  40  (2m.40m ).1,2
2 m³  s 
FDTUBULAR = 92,16kN
VELOCIDADE DE EQUILÍBRIO
1
ρU °° 2 A.C D
2
1 kg 2
785 N = 1,2 U ∞ (1,8m.0,6m ).1,2
2 m³
m
U ∞ = 32
s
W& = FD .U ∞
m
W& = 785 N .32
s
W& = 25,12kW
W = FD =
D
h
 + FD TUBULAR .
2
2
40m
15
m


M = 30,53kN . 40m +
 + 92,16kN .
2
2 

M = 3293kN .m


(c) M = FD RESERV . h +
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
51
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
52
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 29 ] No RS teve uma serie de temporais que ocasionaram sérios danos a construções e também derrubando arvores.
Determine a força axial exercida pelo vento numa localidade do RS submetida a uma rajada de 120 km/h. Considere que o
coeficiente de arrasto da árvore é igual a 0,5. Determine a força de arrasto da árvore que apresenta uma área frontal de
5,8m2
Ar a 200C
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
[ 31 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0 m/s.
Determine (a) Força de arrasto na placa (b) Espessura da camada limite no bordo de fuga da placa
Água: ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s.
Dados:
Determinar:
kg
ρ = 1000
m³
L = 1,0m
b = 3,0m
U ∞ = 2,0
Dados:
A = 5,8m²
km
m
U ∞ = 120
= 33,34
h
s
ν = 14,2 x10− 6
Re =
Determinar:
kg
ρ = 1,2
m³
CD = 0,5
FD. = ?
ν = 1,02 x10 −6
m
s
m
1,0m
s
Re =
m²
1,02 x10 −6
s
2,0
U∞L
ν
Re x =
m²
s
Escoamentos Viscosos
FD . = ?
m²
s
δ ( x) = ?
Re = 1,96 x106
U ∞ xc
ν
m
x
s
5 x10 =
1,02 x10 −6
xc = 0,255m
2,0
5
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
xc 0,255m
=
.100% = 25,5% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
L
1m
2
1 kg 
m
FD = 1,2  33,34  5,8m ².0,5
2 m³ 
s
FD = 1934,1N
[ 30] Um perfil aerodinâmico é submetido a um escoamento com velocidade de 15m/s. O perfil possui uma corda de 50cm
e um comprimento de 12,0m. Numa posição angular a força de arrasto é igual a 267,3N. (a) Determine o ângulo de ataque
nesta posição. (b) Determine o ângulo de ataque que permita manter a mesma força de sustentação reduzindo
ρ=1,2 kg/m3.
ν=14,2x10-6 m2/s.
drasticamente a força de arrasto. Obs: Utilize Gráfico em anexo.
Ar a 200C
Dados:
FD = 267,3 N
L = 12m
ρ = 1,2
m
s
Corda = 0,5m
ν = 14,2 x10 −6
U ∞ = 15
(a)
FD =
CD =
0,074 1700
−
1
Re
Re 5
CD =
(1,96 x10 )
0,074
6
1
−
5
1700
1,96 x106
C D = 0,0032
Determinar:
kg
m³
m²
s
(a) FD =
α. = ?
α ( FL =) = ?
1
ρU °° 2 A.CD
2
2
1
kg 
m
FD = 1000  2,0  (3,0m1,0m ).0,0032
2
m³ 
s
FD = 19,2 N
1
ρU °° 2 A.CD
2
(b) δ ( x) =
2
kg  m 
1
267,3N = 1,2 15  (12m.0,5m ).C D
2 m³  s 
CD = 0,33 ⇒ α = 23°
δ ( x) =
0,381
(Re) 15
−
0,381
(1,96 x10 )
δ ( x) = 15,78mm
6
1
10256
Re
−
5
10256
1,96 x106
(b) PELO GRÁFICO DO COEFICINETE DE SUSTENTAÇÃO PARA MANTER A MESMO FORÇA DE SUSTENTAÇÃO E
REDUZIR A FORÇA DE ARRASTO O α = 10°
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
53
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
54
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 32 ] A Ponte Verrazano-Narrows é uma ponte suspensa que conecta a Staten
Island ao popular bairro do Brooklyn na península de Long Island em Nova Iorque.
Como parte das comemorações da independência de USA em 1976 um grupo
empreendedor pendurou uma gigantesca bandeira norte-americana com 59 m de
altura e 112 m de largura nos cabos de suspensão da ponte. A bandeira foi
arrancada da sua amarração quando o vento atingiu 16 km/h. Estime a força do
vento atuante sobre a bandeira a esta velocidade. Utilize de forma aproximada o
coeficiente de arrasto de uma placa plana quadrada conforme figura (CD =1,2).
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
Dados:
C D = 1,2
L = 59m
ρ = 1,2
b = 112m
km
m
U ∞ = 16
= 4,45
h
s
ν = 1,02 x10 −5
FD =
W = 120kg.9,81
W = 1177,2 N
W = FD =
kg
m³
FD . = ?
m²
s
Obs. A barra cilíndrica possui um coeficiente de arrasto CD=1,2. Para a
esfera determine o coef. de arrasto conforme tabela abaixo.
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
[ 33 ] A componente vertical da velocidade de aterrissagem de uma pára-quedas
deve ser inferior a 6,0 m/s. A massa total do pára-quedas e pára-quedista é de 120
kg. Determine o diâmetro mínimo do pára-quedas aberto.
Re ≤ 1
24
CD =
Re
Ar a 200C. Obs. ρ=1,2 (kg/m3) ν=1,02 x 10 -5 m2/s.
Dados:
C D = 1,42
m = 120kg
ρ = 1,2
Y
Determinar:
kg
m³
ν = 1,02 x10 −5
1 < Re ≤ 400
24
CD =
(Re)0,646
400 <Re ≤ 3x105
3x105 < Re ≤ 2x106
C D = 0,000366(Re )
C D = 0,5
0 , 4275
Dados:
C D = 1,2
Determinar:
D = 74mm
d = 7 mm
L = 560mm
rad
ω = 42
s
kg
ρ = 1,2
m³
W&. = ?
ν = 1,02 x10 −5
Re > 2x106
C D = 0,18
m²
s
L+D
resfera = 

 2 
L
rbarra =  
4
L+D
U esfera = ω 

 2 
m
rad  0,560 + 0,074 
U esfera = 42
m = 13,3

s
2
s 

DMIN . = ?
m²
s
= −W + FD = 0
W = FD
W = m.g
Prof. Jorge Villar Alé
 π .D ² 
.1,42

 4 
[ 34 ] Duas bolas de beisebol de 74 mm de diâmetro são conectadas a
uma barra de 7 mm de diâmetro e 560 mm de comprimento. Determine a
potência (Watts) necessária para manter o sistema girando a uma
velocidade angular de 42 rad/s.
2
∑F
2
2
1
kg 
m
FD = 1,2  4,45  (59m112m ).1,2
2 m³ 
s
FD = 94,22kN
m
s
1
ρU °° 2 A.CD
2
kg 
m   π .D ² 
1
1177,2 N = 1,2  6,0  
.1,42
s  4 
2 m³ 
1177,2
D² =
m²
24,089
D = 7,0m
1
ρU °° 2 A.C D
2
U ∞ = 6,0
m
s²
kg 
m
1
1177,2 N = 1,2  6,0 
s
2 m³ 
Determinar:
Escoamentos Viscosos
Lista de Exercícios 2010
55
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
56
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Re =
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
U∞D
[ 35 ] O avião fabricado pelos irmãos Wright chamava-se Flyer (Voador) e era
um biplano. Foi Orville Wright quem pilotou o primeiro vôo controlado dos
irmãos, em 17 de dezembro de 1903, na cidade de Kitty Hawk, na Carolina do
Norte. Considera-se este vôo um marco na história da aviação motorizada.
ν
m
0,074m
s
m²
1,02 x10 −5
s
Re = 9,65 x10 4 ⇒ C D = 0,5
Re =
13,3
FDesfera =
Cada uma das 4 asas do avião tinha 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área
plana. Determinar o coeficiente de arrasto e a força de arrasto total
considerando as asas como sendo placas planas.
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3
e ν=1,46x10-5 m2/s.
1
ρU °° 2 A.C D
2
kg 
m
1
FDesfera = 1,2 13,3 
s
2 m³ 
Escoamentos Viscosos
2
 π (0,074)2 

.0,5


4


Dados:
Determinar:
b = 12,3m
FD esfera = 0,228 N
ρ = 1,225
A = 23,7 m²
ν = 1,46 x10 −5
m
U ∞ = 14
s
 L
U barra = ω  
4
m
rad  0,560 
U barra = 42

m = 5,88
s
s  4 
1
2
FDbarra = ρU °° A.C D
2
kg
m³
CD = ?
m²
s
FDT . = ?
A = b.c
23,7 m²
c=
12,3m
c = 1,93m
2
1
kg 
m
FDbarra = 1,2  5,88  (0,007m0,280).1,2
2 m³ 
s
FDbarra = 0,0488 N
Re =
U ∞c
ν
m
1,93m
s
Re =
m²
1,46 x10 −5
s
Re = 1,85 x10 6
14
Torque = 2 FDesfera .resfera + 2 FDbarra .rbarra
Torque = 2.(0,228 N ).0,317m + 2.(0,0488 N ).0,14m
Torque = 0,1582 Nm
W& = Torque.ω
Re =
rad
W& = 0,1582 Nm.42
s
W& = 6,65W
U ∞ xc
ν
5 x105 =
14
m
xc
s
1,46 x10 −5
xc = 0,52m
m²
s
xc 0,52m
=
.100% = 4,23% > 0,1% ⇒ TURBULENTO COM LAMINAR ANTERIOR
L 12,3m
CD =
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
57
0,074 1700
−
1
Re
Re 5
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
58
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
CD =
0,074
(1,85 X 10 )
6
1
−
5
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
1700
1,85 X 10 6
[ 36 ] Determinar o momento resultante sobre a base da estrutura
mostrada na figura. Trata-se de uma placa plana de 2,0m x 2,0m e
uma estrutura semi tubular com diâmetro de 20cm. Determine o
momento na base considerando as duas alternativas de estruturas.
C D = 0,0032
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
Considere o coeficiente de arrasto da estrutura côncava igual a 1,2 e
na convexa 2,3. A velocidade máxima esperada sobre a estrutura é
igual a 30m/s. Para placa plana utilize um coeficiente de arrasto igual
a 1,2. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3
2
1
kg  m 
FD = 1,225 14  23,7m².0,0032
2
m³  s 
FD = 9,1N
FDT = 9,1N .4
FDT = 36,4 N (um lado)
FDT = 2.36,4 N
FDT = 72,8 N (dois lados)
Dados:
C Dplaca = 1,2
L = 2m
b = 2m
D = 20cm
m
U ∞ = 30
s
C Dconv = 2,3
FD placa =
C Dconc = 1,2
ρ = 1,2
FDconc =
1
ρU °° 2 A.C Dconc
2
FDconv =
1
ρU °° 2 A.C Dconv
2
2
1
kg  m 
FDplaca = 1,2  30  (2m.2m ).1,2
2
m³  s 
59
Prof. Jorge Villar Alé
1  kg  m 
1,2  30  (0,2m.9m ).2,3
2  m³  s 
FDconv = 2235,6 N
h
2
9m
2
h
2
M T = 2592 N (10m ) + 2235,6 N
Lista de Exercícios 2010
FD conc = 1166,4 N
2
FDconv =
M T = 31,17kN
M T = 36kN
FDplaca = 2592 N
2
1
kg  m 
FD conc = 1,2  30  (0,2m.9m ).1,2
2 m³  s 
M T = 2592 N (10m ) + 1166,4 N
M T = FDplaca (H ) + FDconv
kg
m³
Determinar: M T = ?
1
ρU °° 2 A.C Dplaca
2
M T = FDplaca (H ) + FDconc
Prof. Jorge Villar Alé
Escoamentos Viscosos
9m
2
Lista de Exercícios 2010
60
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 37 ] Uma asa de avião de 2,0m de corda avança com uma velocidade de 138 km/h. A velocidade média na superfície
superior da asa é igual a 160 km/h e na superfície inferior igual a 130 km/h. Determine a força de sustentação considerando
uma comprimento total de asa de 20m. Utilize ar com ρ=1,2 kg/m3. Determine o coeficiente de sustentação da asa.
Lembre que num aerofólio a sustentação ocorre pela variação pressão das superfícies superior e inferior.
Determinar:
Dados:
c = 2m
L = 20m
km
m
V = 138
≅ 38,33
h
s
km
m
U ∞ sup erior = 160
≅ 44,45
h
s
km
m
U ∞ inf erior = 130
≅ 36,11
h
s
ρ = 1,2
P∞ + ρ
2
2
2
2
kg
m³
FL = ?
Escoamentos Viscosos
[38] A Figura mostra o resultado do coeficiente de pressão teórico e determinado em túnel de vento de um cilindro onde
escoa ar padrão. Quando um manômetro digital esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (1) do
cilindro, o manômetro indica uma pressão equivalente a 14mmH20. Com esta informação pode ser determinada a
velocidade de corrente livre no túnel que é igual a 15,1 m/s. (a) Determine qual a pressão equivalente (em mmH20) quando
o manômetro esta conectado na tomada da parede do túnel de vento e no ponto (2) do cilindro numa posição angular igual
a 500. (b) Qual será a velocidade de corrente nesta posição do cilindro para o caso real e para o caso teórico.
CL = ?
U
U∞
= Psup erior + ρ ∞ sup erior ⇒ Psup erior = P
2
2
U
U∞
= Pinf erior + ρ ∞ inf erior ⇒ Pinf erior = P
2
2
2
2
U ∞ sup erior
U
= Pinf erior + ρ ∞ inf erior
Psup erior + ρ
2
2
P∞ + ρ
(P
inf erior
(P
inf erior
∆P = ρ
− Psup erior ) = ρ
− Psup erior ) = ρ
(U
2
∞ sup erior
U ∞ sup erior
(U
2
−ρ
2
2
∞ sup erior
− U ∞ inf erior
2
)
U ∞ inf erior
2
− U ∞ inf erior
2
(a) Sistema de medição em túnel de vento
(b) Resultado do coeficiente de pressão real e teórico.
Dados:
ν = 1,51x10 −6
hv = 14mm
2
U ∞ = 15,1
)
m
s
ρ = 1,204
kg
m³
hágua = ?
U =?
2
P − P∞
⇒ C P ≅ −0,5 NO GRÁFICO PARA CILINDRO COM ESCOAMENTO REAL
1
ρU ∞ 2
2
CP =
2
2
2


  44,45 m  −  36,11 m  

s 
s  
kg  
∆P = 1,2
m³
2
N
∆P = 403,12
m²
∆P =
1
ρU ∞ 2C P
2
2
1
kg 
m
∆P = 1,204 15,1  (− 0,5)
2
m³ 
s
∆P = −68,63Pa
FL = ∆P. A
N
.(2m.20m )
m²
FL = 16125N
FL = 403,12
(a) hagua =
∆P
ρ agua .g
− 68,63Pa
.1000mm
kg
m
1000 .9,81
m³
s²
≅ 7,0mmH 2O
hagua =
1
2
FL = ρU °° A.C L
2
hagua
2
kg 
m
1
16125 N = 1,2  38,33  (2m.20m ).C L
s
2 m³ 
C L = 0,46
Prof. Jorge Villar Alé
Determinar:
m²
s
(b) PARA O CASO REAL
Lista de Exercícios 2010
61
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
62
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
U 
C P = 1 − 

U∞ 
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
2
[ 39 ] Uma chaminé de seção quadrada tem 50m de altura. Seus suportes podem resistir a uma força lateral máxima de
90kN. Se a chaminé deve suportar furacões de 145 km/h qual será a largura máxima possível ? (b) Considerando a largura
determinada como sendo o diâmetro qual a força de arrasto para a mesma velocidade se a chaminé for de seção circular ?.
Considere ar ρ = 1,204 kg/m3 ν=1,51x10-5 m2/s.
2
U 
 = 1 − C P

U∞ 
2
U 

 = 1 − (− 0,5)
U∞ 
2


 U 

 = 1,5
 15,1 m 


s 

m
U = 1,5.15,1
s
m
U = 18,5
s
Dados:
PARA O CASO TEÓRICO
C P = −1,4
U 

C P = 1 − 
U∞ 
Determinar:
m²
ν = 1,51x10
s
kg
ρ = 1,204
m³
h = 50m
−5
FD = 90kN
2
km
m
U ∞ = 145
≅ 40,28
h
s
2
U 
 = 1 − C P

U∞ 
D=?
FD = ?
CONSIDERAR ESCOAMENTO TURBULENTO Re > 10 4 ⇒ C D = 2,1
2
U 

 = 1 − (− 1,4 )
U∞ 
FD =
2


 U 
 = 2,4

 15,1 m 


s 

m
U = 23,4
s
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg 
m
90000 N = 1,204  40,28  (50m.D ).2,1
2
m³ 
s
D = 0,88m
Re =
U∞D
ν
m
0,88m
s
Re =
m²
1,51x10 −5
s
Re = 2,3x10 6 ⇒ C D ≅ 0,5
40,28
FD =
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg 
m
FD = 1,204  40,28  (50m0,88m ).0,5
2
m³ 
s
FD = 21488 N
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
63
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
64
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 40 ] Uma rede de peixes consiste em fios de 1 mm de diâmetro sobrepostos e amarrados para formar quadrados de 1cm
por 1 cm. Calcule o arrasto de 1,0 m2 de tal rede quando puxada normal ao seu plano a 3 m/s na água a 20 ºC. Qual a
potência em kW necessária para se puxarem 37 m2 dessa rede ? Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s.
D = 1mm
L = b = 1cm
A = 1,0m²
m
U∞ = 3
s
(a) FD PARA 1m² DE FIO
Re =
[ 41 ] Durante um experimento com alto número de Reynolds a força de arrasto total agindo sobre um corpo esférico de
diâmetro D=12 cm submetido a um escoamento de ar a 1 atm e 5ºC é medida como 5,2N. O arrasto de pressão agindo
sobre o corpo é calculado integrando-se a distribuição de pressão (medida usando-se sensores de pressão através da
superfície) resultando em 4,9N. Determine o coeficiente de arrasto de atrito da esfera.
Determinar:
Dados:
ρ = 998
kg
m³
ν = 1,02 x10 −6
P = 1atm
Dados:
A2 = 37m²
m²
s
ρ = 1,269
D = 12cm
FDP = 4,9 N
kg
m³
FDf = ?
FDT = FDP + FDf
FDf = FDT − FDP
FDf = 5,2 N − 4,9 N
U∞D
ν
FDf = 0,3 N
m
0,001m
Re = s
m²
1,02 x10 −6
s
Re = 2941,2 ⇒ LAMINAR ⇒ GRÁFICO = C D = 1,1
3
UTILIZANDO A TABELA 11-2 (CIMBALA) C D = 0,2
FDT =
1
ρU °° 2 A.C D
2
1
kg
2  (π .0,12m )
5,2 N = 1,269 U ∞ 
2
4
m³

2
D
L
2
0,5mm 10mm
AREA = 4
1000 1000
m²
AREA = 0,00002
cm²
m²
AREA = 0,00002
.1m²
cm²
AREA = 0,2m²
AREA = 4
FD =
Determinar:
T = 5°C
FDT = 5,2 N
FD = ?
W& = ?
Escoamentos Viscosos
U ∞ = 60,2
FDf =
m
s
1
ρU °° 2 A.C D
2
kg 
m
1
0,3 N = 1,269
 60,2 
m,³ 
s
2
C D = 0,0115
1
ρU °° 2 A.C D
2

.0,2


2
 (π .0,12m )2 

.C D


4


2
1
kg  m 
FD = 998  3  0,2m².1,1
2
m³  s 
FD = 988 N PARA 1m² DE REDE
PARA 37m² DE REDE
FD = 36556 N
W& = FD .U ∞
m
W& = 36556 N .3
s
W& ≅ 110kW
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
65
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
66
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 42 ] Uma ciclista de 80 kg está andando com sua bicicleta de 15 kg descendo em uma estrada com inclinação de 12° sem
pedalar nem brecar. A ciclista tem uma área frontal de 0,45 m² e um coeficiente de arrasto de 1,1 com o corpo na posição
vertical, e uma área frontal de 0,4 m² e um coeficiente de arrasto de 0,9 na posição de corrida. Desprezando a resistência
de rodagem e o atrito nos rolamento, determine a velocidade terminal da ciclista para ambas as posições. Considere a
densidade do as como 1,25 kg/m³.
Av = 0,45m²
Dados:
Ac = 0,4m²
mc = 80kg
C D v = 1,1
mb = 15kg
Determinar:
ρ = 1,25
Wc = 785 N
Wb = 147,15 N
ν agua = 1,02 x10 −6
FD = ρ
U ∞2
AC D = PV AC D
2
PV = ρ
U ∞2
2
Como ReL < ReC regime laminar
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg
193,8 N = 1,25 U ∞ 0,45m².1,1
2
m³
km
U ∞ = 90,1
h
xcr = Re xcr
m²
s
FD = ?
δ ( x) = ?
δ * ( x) = ?
θ =?
kg
m³
m²
ν ar = 1,46 x10 −6
s
kg
ρ ar = 1,23
m³
Ar
FD =
Determinar:
ρ agura = 1000
m
s
ρ=1,23 kg/m3
ν=1,46x10-5 m2/s
U2
(2,0)2 = 2,46 Pa
PV = ρ ∞ = 1,23x
2
2
U∞L
2,0 x1,0
Re L =
=
= 1,37 x10 5
v
1,46 x10 −5
m
s²
FD = WT senα
FD = 932,15 Nsen12°
FD = 193,8 N
Água
ρ=1000 kg/m3
ν=1,02x10-6 m2/s
U ∞2
(2,0)2 = 2,0kPa
= 1000 x
2
2
U∞L
2,0 x1,0
Re L =
=
= 1,96 x10 6
v
1,02 x10 −6
PV = ρ
Como ReL > ReC turbulento
1,46 x10 −5
v
1,02 x10 −6
v
= 5,0 x10 5 x
= 3,65mxcr = Re xcr
= 5,0 x10 5 x
= 255mm
2,0
U∞
2,0
U∞
muito maior que L portanto toda a placa esta em como xcr < L: escoamento laminar e turbulento na mesma placa.
regime laminar.
para 5x105 < Re L < 107
CD =
1,328
Re L
5x
δ ( x) =
1
ρU °° 2 A.C D
2
2
1
kg
193,8 N = 1,25 U ∞ 0,4m².0,9
2
m³
km
U ∞ = 105,65
h
FD =
Prof. Jorge Villar Alé
L = 1,0m
m
s²
Wb = mb .g
Wb = 15kg.9,81
A = 3m.1m = 3m²
kg
m³
W = m.g
Wc = mc .g
Wc = 80kg.9,81
Dados:
U ∞ = 2,0
C DC = 0,9
α = 12°
[ 43 ] Uma placa plana de L=1,0m e largura de b=3,0m esta imersa paralelamente a uma corrente de velocidade de 2,0m/s.
Determine (a) Arrasto sobre um lado da placa (b) Espessuras δ(x), δ*(x) θ(x) no bordo de fuga da placa para: ar com
ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e água com ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s
b = 3,0m
U∞ = ?
Escoamentos Viscosos
Re x
=
=
1,328
1,37 x10 5
5 x1,0
1,37 x10 5
≅ 0,0036
≅ 13,5mm
δ * ( x) = 0,346δ ( x) = 0,346 x13,5 = 4,67mm
1
7
θ ( x ) = δ ( x) =
Lista de Exercícios 2010
67
Prof. Jorge Villar Alé
13,5
= 1,93mm
7
CD =
0,455
(1,96 x10 )
6 0, 2
−
1700
= 0,0032
1,96 x10 6
δ ( x) = 0,381 Re −x 1 / 5 x = 0,381(1,96 x10 6 )x
−1 / 5
δ ( x)
x1,0 = 21mm
21
= 2,63mm
8
7
7
θ ( x ) = δ ( x) =
x 21 = 2,04mm
72
72
δ * ( x) =
8
=
Lista de Exercícios 2010
68
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 44 ] Uma hidrofólio de L=0,37m e largura de b=1,83m esta imersa paralelamente a uma corrente de água a 12,2m/s com
ρ=1025 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s.
(e) Espessura da C.L. no final da placa.
(f) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa.
(g) Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior
(h) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (ε=0,12mm)
Dados:
ν = 1,02 x10 −6
L = 0,37m
b = 1,83m
U ∞ = 12,2
m²
s
kg
m³
ε = 0,12mm
ρ = 1025
m
s
)
0, 2
−
1700
= 0,00309
4,4 x10 6
FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,00309 = 319,2 N
(d) Força de atrito considerando escoamento turbulento e rugoso (εε=0,12mm)
Determinar:
δ ( x) = ?
FD = ?

 L 
C D = 1,89 + 1,62 log 
 ε 

−2 , 65

 370 
= 1,89 + 1,62 log

 0,12 

−2 , 65
= 0,00644
FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,00644 = 665 N
[ 45 ] Determinar a força de arrasto de uma asa de avião (Wright Flyer) com 12,3m de envergadura e 23,7m2 de área plana.
Considere ar nas condições padrão com velocidade de 14m/s. ρ=1,225 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s.
(a) Espessura da C.L. no final da placa.
Re L =
(
C D = 0,074 x 4,4 x10 6
Escoamentos Viscosos
U ∞ L 12,2 x0,37
=
= 4,4 x10 6 TURBULENTO.
v
1,02 x10 −6
Dados:
ν = 1,46 x10−5
L = 1,93m
kg
m³
A = 23,7 m²
ρ = 1,225
b = 12,3m
v
1,02 x10 −6
= 5,0 x10 5 x
≅ 42mm
xcr = Re xcr
U∞
12,2
m
U ∞ = 14
s
δ ( x) = 0,381 Re −x 1 / 5 x = 0,381(4,4 x10 6 )x x0,37 = 6,6mm
m²
s
Determinar:
FD = ?
−0 , 2
Re L =
(b) Forca de atrito considerando escoamento turbulento parede lisa
FD = ρ
U ∞2
AC D = PV AC D
2
U∞L
14 x1,93
=
= 1,8 x10 6 turbulento.
v
1,46 x10 −5
x cr = Re xcr
Tratando-se de um hidrofólio imerso no fluido.
FDT = 2 xFD
v
1,5 x10 −5
= 5,0 x10 5 x
≅ 536mm
U∞
14
Escoamento turbulento com laminar anterior.
A=0,37x1,83=0,6771m2 Uoo=12,2m/s.
C D = 0,074 Re −L0, 2 −
12.2
U2
PV = ρ ∞ = 1205 x
= 76,28kPa
2
2
C D = 0,074 Re −L0, 2
(
(
C D = 0,074 1,8 x10 6
para 5x10 5 < Re L < 10 7
C D = 0,074 x 4,4 x10
)
6 0, 2
Prof. Jorge Villar Alé
−0 , 2
−
para 5x10 5 < Re L < 10 7
1700
(1,8x10 ) = 0,00321
6
2
FD = ρ
14
U ∞2
AC D = 1,225
x 23,7 x0,00321 = 9,13 N
2
2
Tratando-se de um bi-plano
( c )Forca de atrito considerando turbulento c/ laminar anterior
1700
Re L
)
= 0,0035
FD T = 2 x76,28 x1000 x0,6771x0,0035 = 362,0 N
C D = 0,074 Re −L0, 2 −
1700
Re L
FDT = 4 FD = 4 x9,13 N = 36,53N
para 5x10 5 < Re L < 10 7
Lista de Exercícios 2010
69
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
70
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
[ 46 ] Considere uma placa plana de 30cm de comprimento submetida a uma velocidade de 0,3 m/s. Determinar a
espessura da camada limite no bordo de fuga para (a) Para o ar ρ=1,23 kg/m3 e ν=1,46x10-5 m2/s e (b) Para água com
ρ=1000 kg/m3 e ν=1,02x10-6 m2/s
Ar
Água
U∞L
0,3x 0,3
=
= 6164
v
1,46 x10 −5
5L
5 x0,3
δ ( L) =
=
≅ 19,1mm
Re L
6164
U∞L
0,3x 0,3
=
= 8,8 x10 4
v
1,02 x10 −6
5L
5 x0,3
δ ( L) =
=
≅ 5,0mm
Re L
8,8 x10 4
Re L =
[ 48 ] Numa tubulação de 97 mm de diâmetro escoa água com uma vazão de 18 m3/h ar a 400C. A variação de pressão num
trecho de 30 m de comprimento e igual a 1255 Pa. Considerando tubulação lisa determinar:
(a) Velocidade na tubulação numa distância media entre a parede e o centro do tubo.
(b) A distancia a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação.
Re L =
(c) Considerando os limites das diferentes camadas determine a espessura da subcamada laminar, da camada de
transição e da camada turbulenta.
Propriedades da água a 400C
ρ = 992kg / m 3
[ 47 ] Uma placa plana fina longa e colocada paralelamente a uma corrente de água de 6,1m/s a 200. A que distancia do
bordo de ataque a espessura da camada limite será de 25 mm. Considere a viscosidade cinemática da água ν=1,02x10-6
m2/s
ν = 1,02 x10 −6
T = 20°C
U ∞ = 6,1
δ ( x) = 25mm
m
s
m²
s
µ = 6,51x10 −4 Pa.s
T = 40°C
kg
ρ = 992
m³
µ = 6,51x10− 4 Pa.s
P = 1255Pa
Dados:
D = 97mm
m³
Q = 18
h
L = 30m
1. Considerando escoamento laminar achamos um valor de x muito alto x=150m
2. Considerando escoamento turbulento
Dados:
Escoamentos Viscosos
Determinar:
Determinar:
uR = ?
2
y=?
δ ( x) = ?
x1 = ?
(a) Velocidade na tubulação numa distância média entre a parede e o centro do tubo.
x2 = ?
Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:
u + = 2,5 ln y + + 5,5
x −4 =
v
U∞
5
5
 0,381 
1,02 x10 −6  0,381 
 =


 = 0,1375
6,1  0,025 
 δ ( x) 
Onde:
y+ =
1
= 0,1375
x4
 1 
x=

 0,1375 
yu *
v
u+ =
u
u*
u* =
τW
ρ
A variação de pressão pode ser relacionada com a tensão de cisalhamento na parede por:
1/ 4
= 1,64m
τW =
u* =
D
0,077
∆P =
1255 = 1,0145 N / m 2
4L
4 x30
1,0145
= 0,032m / s
992
Distância média entre a parede e o centro do tubo. y = D / 4 = 97 / 4 = 24,25mm = 0,02425m
ν = 6,56 x10 −7 m 2 / s
y+ =
Ru * 0,002425x0,032
=
= 1180m
v
6,56 x10 −7
u R / 2 = 0,032(2,5 ln (1180) + 5,5)
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
71
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
72
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
PUCRS- Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica
Escoamentos Viscosos
u R / 2 = 0,032(2,5 x7,073 + 5,5)
y+ =
m
= 0,742 
s
uR / 2
u+ =
u
u*
u* =
τW
ρ
u * = 0,032m / s
(b) A distância a partir da parede em que a velocidade e igual a velocidade média da tubulação.
Velocidade média
Vmedia =
yu *
v
Q
(18 / 3600)
= 0,677m / s
=
A  πx0,097 2 


4


y≤
5v 5 x6,56 x10 −7
=
= 0,103mm
0,032
u*
y≤
5v 5 x6,56 x10 −7
=
= 0,103mm
0,032
u*
Considerando escoamento turbulento, tubulação lisa:
Desta forma a espessura da subcamada viscosa e igual a:
u + = 2,5 ln y + + 5,5
δ scv = 0,103mm
Devemos achar y em que u (r ) = Vmedia
A espessura da Camada de Transição.
u * = 0,032m / s
 yu * 
 ≤ 30
5 < 
 v 
u+ =
Vmedia 0,677
=
= 21,15
0,032
u*
5< y≤
u + = 2,5 ln y + + 5,5
30v 30 x6,56 x10 −7
=
= 0,615mm
0,032
u*
ln y + = u + − 5,5 = 21,15 − 5,5
ln y + =
0,103mm < δ tra ≤ 0,615mm
15,65
= 6,26
2,5
y + = 523,22
y+ =
y=
A espessura na Camada de Turbulenta.
A espessura do núcleo turbulento vai desde o limite da camada de transição ate o centro da tubulação.
yu *
v
0,615mm < δ tra ≤ 70mm
yv 523,32 x6,56 x10 −7
=
= 0,01073m
0,032
u*
y = 10,73mm
ou numa posição radial:
r = R − y = 48,5 − 10,73 = 37,8mm
A espessura da subcamada laminar.
u + = y + para y + ≤ 5
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
73
Prof. Jorge Villar Alé
Lista de Exercícios 2010
74