Autoevaluación final.
1. Sea p
∈
ℕ , primo. Considere A
=


 a p r
/ a
∈
ℤ , r
∈ ∪



1.1) ¿ A es subanillo de ℚ ?
1.2) ¿ A es ideal de ℚ ?
2. Muestre que un anillo A y un subanillo B de A , con
B
≠
,
≠
0 , tal que:
2.1) A y B tengan identidad, pero 1
A
≠
1
B
.
2.2) B tenga identidad pero A no (pruebe o refute).
3. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
3.1) A
=


 m n
∈
ℚ



es anillo con la suma y
multiplicación usual.
3.2) 5 ℤ es ideal de ℤ .
5
3.3) Todo subanillo de un anillo es ideal del anillo.
4. Demuestre que
: ℂ

M
2
( )
tal que
( a
+ bi
) =


 a b
− b a



es homomorfismo de anillos.
5. Sea K un cuerpo finito de característica p . Pruebe que
: K

K
x
= x p es un automorfismo.
6.- En el anillo ℤ se consideran los ideales I
=
12 y J
=
21 . Hallar.
6.1) I
+
J 6.2) I
∩
J 6.3) :
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Eduardo Cabrera de Arrizabalaga (profesor guía), Eduardo González, Pablo Ossa
&
Oliver Tapia (tesistas 2007)

7.- Sean , ideales de un anillo A . Pruebe que
M
+
N
N
≅ M
M
∩
N
8.- Si I es ideal de un anillo
(
A , ,
)
. Demostrar que A
I
tiene unidad si y solo si e
∈
A tal que
( a e a
)
I y
( e a a
)
I , a A .
9.- Sea , A . Demuestre que I
+
J
J
≅ I
I
∩
J
.
10.- Si x 2
= x , x A y p es primo. Demostrar que:
10.1) p es maximal en A .
10.2)
A
tiene dos elementos. p
11.- Sea un anillo. Si existe m
∈
ℕ tal que x A , m x 0 . Demostrar que ( ) divide a m .
12.- Sea A un Dominio de integridad, con
( ) = { }
y
[ ] = { }
. Demostrar que: a b
( )
[ ]
.
13. Encuentre el mcd de 16 17i y 10 5i en ℤ
[ ]
.
14. Pruebe que
ℚ x
6 +
6 x
+
6
, es cuerpo. Hállese el inverso de
2 x
+
3 en
ℚ x
6 +
6 x
+
6
.
15. Encuentre todos los polinomios de grado 2 que son irreducibles sobre ℤ
3
.
16. Descomponer en factores irreducibles sobre ℚ
[ ]
el polinomio f x
=
6 x 5
+
17 x 4
+
7 x 3
+ x 2
−
10 x .
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Eduardo Cabrera de Arrizabalaga (profesor guía), Eduardo González, Pablo Ossa
&
Oliver Tapia (tesistas 2007)