Algebra lineal
Apéndice B. Síntesis de estructuras algebraicas
Apéndice B. Síntesis de Estructuras algebráicas.
Operación binaria.
Def. 1.
Dado un conjunto arbitrario S, se llama operación binaria interna, cerrada o estable1
sobre S, a la aplicación (función) de 𝑓: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆.
La operación, usualmente se denota por  y asigna a cada par ordenado de
elementos de S, un único elemento del mismo conjunto. Por la notación, se
dice que  es un "producto" en S. El término cerrada, se usa para precisar que el
contra dominio también es S.
Def. 2.
Dado los conjuntos arbitrarios S y R, se llama operación binaria externa sobre S, a
la aplicación (función) de 𝑓: 𝑆 × 𝑅 → 𝑆.
Grupos.
Def. 3.
Un grupo G, es un conjunto dotado con una operación binaria cerrada, a la que
simbolizamos con  , tal que se verifican las siguientes propiedades:
i)
 f, g, hG :
ii)
 e G
iii)
 g G  h G/ h g  g h  e .
/
g  (h  f)=(g  h)  f.
 g G : e  g  g  e  g .
La operación es asociativa.
Existe el elemento neutro.
Existe el elemento inverso.
(Para simplificar la notación, se escribe h  g 1 o bien h   g )
Def. 4.
Un grupo G, para el cual su operación es conmutativa: g  h  h  g , es llamado
grupo abeliano o conmutativo. En este caso, suele escribirse + en vez de  y 0 en
vez de e .
Usualmente el símbolo  se sustituye por el punto • y en general se omite.
Anillos.
Def. 5.
Un anillo A, es un conjunto dotado con dos operaciones binarias cerradas:  y 
(suma y multiplicación) de modo que se verifican las siguientes propiedades:
i)
A es un grupo abeliano con respecto a  .
ii)
 es una operación asociativa en A.
iii)
Se cumplen las leyes distributivas por la izquierda y por la derecha:
(a  b)  c  (a  c)  (b  c) y c  (a  b)c  (c  a)  (c  b)
Usualmente el símbolo  se sustituye por el signo + simple, y  por el punto •, el cual por
lo general se omite.
Def. 6.
Un anillo conmutativo es un anillo A, para el cual  es una operación conmutativa.
Def. 7.
Un anillo unitario o anillo con elemento unitario, es un anillo A, para el cual  tiene
1
Se usa el adjetivo “binaria” para las operaciones, con objeto de recalcar que éstas son entre dos elementos
de un mismo conjunto.
Miguel Angel Jiménez Zavaleta
xvi
Algebra lineal
Apéndice B. Síntesis de estructuras algebraicas
un elemento neutro, es decir,  1  R  a  1 = 1  a = a  a  R.
Si A es un anillo conmutativo entonces un elemento a  0 se dice que es un divisor
de cero si existe un b A, b  0 , tal que ab = 0.
Def. 8.
En la definición anterior es obvio que tanto a como b son divisores de cero.
Def. 9.
Un dominio entero es un anillo conmutativo que no tiene divisores de cero.
Def. 10. Un anillo es llamado anillo con división si sus elementos distintos de cero forman un
grupo bajo la multiplicación.
Tanto los grupos como los anillos pueden ser finitos o infinitos, en razón al número de
elementos que contengan.
Cuerpo.
Def. 11. Un cuerpo o campo K, es un anillo tal que K – { 0 } es un grupo abeliano con respecto
a la multiplicación.
Una definición alterna sería: un campo es un anillo conmutativo con división.
Aterrizando un tanto los conceptos anteriores, podemos decir que:



Un grupo abeliano es un conjunto en el que podemos sumar y restar (sumar el inverso);
Un anillo conmutativo es un conjunto en el que además podemos multiplicar; y
Un cuerpo, es un conjunto en el que también podemos dividir (salvo por cero).
Los puntos anteriores muestran que las estructuras algebraicas “simplemente” son
generalizaciones de los sistemas numéricos.
Miguel Angel Jiménez Zavaleta
xvii