Guía de Ejercicios
Capítulo 1
Ejercicio 1
Suponga la siguiente economía
Encuentre el estado estacionario de una economía que se caracteriza por la siguiente función de
producción
𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾 0.4 𝐿0.6
Tenga en cuenta que la depreción del capital es de 𝛿 = 0.06.
Adicionalmente suponga que el capital humano varía según
𝐿(𝑡) = 𝐿0 𝑒 0.02𝑡
Suponga que las personas ahorran una proporción fija de s=0.3.
Responda:
1) ¿Cuál es el capital per capita de estado estacionario de esta economía?
2) ¿Cuánto varía el capital per capita de estado estacionario si aumenta el ahorro de s=0.4
Ejercicio 2
Suponga la siguiente economía
Encuentre el estado estacionario de una economía que se caracteriza por la siguiente función de
producción
𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾 0.4 (𝐴𝐿)0.6
Tenga en cuenta que la depreción del capital es de 𝛿 = 0.06.
Adicionalmente suponga que el capital humano varía según
y la tecnología
𝐿(𝑡) = 𝐿0 𝑒 0.02𝑡
𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 0.03𝑡
Suponga que las personas ahorran una proporción fija de s=0.3.
Responda:
1) ¿Cuál es el capital per capita de estado estacionario de esta economía?
2) ¿Cuánto varía el capital per capita de estado estacionario si aumenta el ahorro de s=0.4
Ejercicio 3
En el problema del Ejercicio 1, indique de cuánto será el capital per capita de la regla de oro. Tenga
en cuenta que el consumo es
𝑐 = 𝑓(𝑘) − 𝑠𝑓(𝑘)
La regla de oro hace referencia al punto donde el consumo se hace máximo.
Ejercicio 4
Suponga una economía donde los hogares deciden su plan de consumo en el tiempo 𝐶 = {𝑐𝑡 }𝑡=𝑇
𝑡=0 ,
para maximizar la siguiente utilidad,
𝑇
𝑊=∑
𝑡=0
𝛽𝑡
𝑐1−𝜖
1−𝜖
donde 0 < 𝛽 < 1 representa la impaciencia de los hogares.
Adicionalmente, la evolución del capital en el tiempo está dada por,
𝐾𝑡+1 = 𝐾𝑡 + 𝐹(𝐾𝑡 ) − 𝑐𝑡 − 𝛿𝐾𝑡
Responda
1) ¿Qué características tiene el plan óptimo de consumo 𝐶 ∗ que maximiza la utilidad, si 𝛽 =
0.9, la elasticidad de substitución es 0.1, 𝐹(𝐾𝑡 ) = 𝐾𝑡0.4 y la depreciación es de 0.05?
2) ¿Cómo depende de el stock de capital?
3) Describa lo que ocurre en una economía como esta, cuando las personas se hacen mas
impacientes, como consecuencia de una incertidumbre presente en la Macroeconomía.
Guia para la Solución
Según la ecuación de Euler, el plan óptimo tendrá la siguiente característica,
𝛾𝑐 =
𝑐̇𝑡 𝑟 − 𝜌
=
𝑐𝑡
𝜖
1
con 𝛽 = 1+𝜌, y 𝑟(𝐾) = 𝐹 ′ (𝐾) − 𝛿.
1
Por lo tanto para nuestro caso, 𝜌 = 0.9 − 1 = 0.11, y 𝑟(𝐾 ) = 0.4𝐾 −0.6 − 0.05.
Es decir
𝛾𝑐 =
𝑐̇𝑡 0.4𝐾 −0.6 − 0.05 − 0.11 0.4𝐾 −0.6 − 0.16
=
=
𝑐𝑡
10
10
Ejercicios Capítulo 2
Ejercicio 1
Dada las siguientes funciones de producción,
𝑌 = 𝐴𝐾 𝛼 𝐿𝛽
Cobb Douglas
Elasticidad de Substitución Constante
1
𝑌 = 𝐴[𝜃(𝑎𝑘 𝐾)𝛾 + (1 − 𝜃)(𝑎𝐿 𝐿)𝛾 ]𝛾
Calcule las elasticidades de la producción al capital y al trabajo.
Guía para la Solución
Usando la función de producción Cobb Douglas se tiene que, la elasticidad de la producción al
trabajo es
𝜖𝐿 =
𝜕𝑌 𝐿
𝐿
= 𝛽𝐴𝐾 𝛼 𝐿𝛽−1 ∗
=𝛽
𝜕𝐿 𝑌
𝐴𝐾 𝛼 𝐿𝛽
Ejercicio 2
Considere un modelo simple de capital humano en el que la producción esta dada por 𝑌𝑡 =
𝐾𝑡1−𝛼 (𝐴𝑡 𝐿𝑡 )𝛼 , donde A es una medida de eficiencia del trabajo, tal que la capacidad productiva del
stock de trabajo está dado por 𝐻𝑡 = 𝐴𝑡 𝐿𝑡 .
De esta manera, se tiene que 𝑌𝑡 = 𝐾𝑡1−𝛼 (𝐻𝑡 )𝛼 . Una proporción 𝑠𝑘 se invierte en capital físico, y
una proporción 𝑠𝐻 en capital humano. Las tasas de deprecición respectiva están dadas por 𝛿𝐾 y
𝛿𝐻 . Finalmente se asume que la población no crece.
Se pide:
(i)
(ii)
Encuentre en equilibrio el ratio de capital físico sobre capital humano que satisface la
condición que las dos inversiones deben ofrecer el mismo retorno
Muestre que la función de producción puede se escrita como una función de
producción AK, y encuentre la tasa de crecimiento correspondiente.
Fuente del Ejercicio: Ejercicio 3 del capítulo 2 del libro de Aghion y Howitt
Ejercicio 3
Este problema tiene dos propósitos. En primer lugar, proporciona una justificación para la
presencia de rendimientos constantes en la función de producción agregada. En segundo lugar,
introduce un mecanismo a través del cual el gobierno puede afectar el nivel de producción y su
tasa de crecimiento. La suposición crucial es que los gastos del gobierno afectan la productividad
de los factores de propiedad privada. Una posible interpretación de esta función de producción es
que 𝛾 representa la infraestructura provista por el gobierno. Mientras mejores sean las carreteras,
más eficiente será la capital y el trabajo.
La tasa de ahorro se determina endógenamente como en Cass-Koopmans-Ramsey con una función
de utilidad CES. El producto per cápita depende del gasto público en un bien público 𝛾, así como
del capital. Es decir,
𝑦𝑡 = 𝐴𝑘𝑡1−𝛼 𝛾𝑡𝛼
El gasto público es financiado con un impuesto 𝜏 sobre el ingreso. El gobierno no puede
endeudarse, por lo que está siempre sin déficit ni superavit.
Se pide
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Encuentre la ecuación dinámica para el consumo en una economía competitiva. ¿De
qué depende?
Demostrar que, en equilibrio, la producción está dada por una función de producción
AK. Es decir, que puede expresarse como proporcional al stock de capital.
¿Cómo puede el gobierno maximizar el crecimiento en una economía competitiva?
¿Qué pasa cuando no hay impuestos? ¿Qué sucede cuando 𝜏 = 1?
¿El equilibrio competitivo es socialmente óptimo? ¿Por qué?