UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CICLO ACADÉMICO 2024-II
CINÉTICA DE SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Dr. NORBIL TEJADA CAMPOS
ntejada@unc.edu.pe
CINÉTICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS
0. INTRODUCCIÓN
1.- SISTEMAS DE PARTICULAS.- Al estudiar los sistemas con
varias partículas surgen varios elementos adicionales, como son los
enlaces o ligaduras entre puntos, tanto internos al sistema como
externos, y las fuerzas exteriores. Uno de los casos mas
representativos es el de los sistemas rígidos (cuerpos rígidos), con
enlaces de distancia constante entre partículas.
CINÉTICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS
0. INTRODUCCIÓN
2.- CLASES DE SISTEMAS DE PARTICULAS
Clasificaremos a los sistemas de partículas en:
a) Sistemas de partículas variables.- son formados por un número
“n” finito de partículas, las cuales al desplazarse en el espacio no
conservan la distancia que inicialmente existía entre ellas. Estos
sistemas son estudiados en la dinámica de los cuerpos
deformables ò dinámica de fluidos.
b) Sistemas de partículas indeformables.- son formados por un
número “n” finito de partículas, que cuando se desplazan en el
espacio mantienen invariable la distancia entre las diversas
partículas que los conforman. Su estudio de hace en la dinámica
de los cuerpos rígidos.
1. ECUACION DEL MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS
D`Alambert hizo posible generalizar las leyes de
Newton enunciadas para una partícula a un sistema
de “n” partículas.
El Principio de D`Alambert nos dice que: “El
sistema de fuerzas exteriores Fexti y el sistema de
fuerzas efectivas mai son equivalentes”.
 ext

∑ Fi = ∑ mi ai
i
i
n
n
n
 ext


d
(
F
F
m
v
+
=
∑
∑
∑
∑
i
ij
i i )
dt
i =1
i =1 i ≠ j
i =1
=0
«La derivada respecto del tiempo de la cantidad de movimiento del sistema es igual a la
resultante de las fuerzas exteriores»
1. ECUACION DEL MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS
CENTRO DE MASA (cm):
Posición:





m1r1 + m2 r2 + ... + m N rN
1 N
rcm =
mi ri
=
∑
m1 + m2 + ... + m N
M i =1
z
Donde: M = m1 + m2 + ... + mN
CM
Velocidad:
N


d 
(rcm ) = 1 ∑ mi ri
vcm =
dt
M i =1
Aceleración:
.

d 
(vcm ) = 1 ∑ mi v i
acm =
dt
M i =1
cm
.
y
N
Ordenando, la ecuación, tenemos:
x


F = Macm
«El movimiento del centro de masa de un sistema de partículas de masa constante M
puede simularse por el movimiento de una sola partícula de masa M, localizada en el
centro de masa del sistema y sometida a la acción de una fuerza, que actúa pasando por
el centro de masa, igual a la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre las
partículas del sistemas»
1. ECUACION DEL MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS
Ejemplo 01.- Para el sistema de partículas mostrado, determinar: a) el
vector de posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del
sistema, b) la cantidad de movimiento total del sistema.
1. ECUACION DEL MOVIMIENTO PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS
2. FLUJOS DE MASA O SISTEMAS DE MASA VARIABLE
2. 1. Flujo de masa estacionario
El flujo se supone estacionario cuando, en el interior del codo no se produce ningún
aumento ni disminución del fluido. Por tanto, la masa de fluido que abandona el codo
por unidad de tiempo es igual a la que penetra en él por unidad de tiempo.
El conocimiento de las fuerzas desarrolladas por corrientes de fluido estacionarios es
importante en el diseño y análisis de turbinas, bombas, alabes y ventiladores. Su
estudio será una ilustración de la aplicación de los teoremas impulso lineal y la
cantidad de movimiento, y impulso angular y la cantidad de movimiento angular o del
momento cinético, respectivamente.
2. 1. Flujo de masa estacionario
Los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para la corriente de fluido, con
base en el concepto de un volumen de control, es:
Aplicando el principio del impulso y el momento lineal, tenemos que:





dmv A + mv + ∑ ∫ Fdt = dmv B + mv
i



dmv A + ∑ ∫ Fdt = dmvB
i
Siendo la fuerza resultante:


dm 
(
F
=
v
−
v
∑
B
A)
dt
i
dm

=m
Donde, el término
es llamado flujo de
dt
masa, e indica la cantidad constante de fluido que pasa
hacia dentro o hacia fuera del ducto por unidad de tiempo.
φm =
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 03.- Una corriente horizontal de agua con rapidez vo y
razón de flujo másico dmf/dt golpea una placa que desvía el agua
en el plano horizontal a través de un ángulo θ. Suponga que la
magnitud de la velocidad del agua cuando ésta abandona la placa
(o álabe) es aproximadamente igual a vo . Determinar la fuerza
que ejerce el agua sobre la placa.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 03.- Solución.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 04.- Un chorro de agua de 2 pulgadas de diámetro y
velocidad de 25 pies/s incide sobre un álabe móvil. Si el álabe se
aleja a 5 pies/s del chorro de agua, determinar: a) las componentes
horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el álabe sobre el agua,
b) ¿Qué potencia genera el agua sobre el álabe?. El agua tiene un
peso especifico de γH20= 62,4 lb/pie3.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 05.- Una corriente de agua con velocidad de 80 m/s y
razón de flujo másico de 6 kg/s golpea el álabe de una turbina que
se mueve a una velocidad constante de 20 m/s, alejándose de la
fuente de agua. Determinar: a) la fuerza que ejerce el agua sobre
el álabe, b) la magnitud de la velocidad del agua al abandonar el
álabe.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 06.- El álabe de 90º se mueve a la celeridad constante de
10 m/s en sentido opuesto al chorro de agua dulce que mana a 20
m/s de la boquilla de 25 mm de diámetro. Calcular las fuerzas Fx y
Fy que debe ejercerse sobre el álabe para mantener el movimiento.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 07.- De la boquilla mana un caudal de 0,05 m3/s de agua
dulce con una velocidad de 30 m/s y el chorro se divide en dos
corrientes iguales por acción del álabe fijo que las desvía a 60º,
según se observa. Calcular la fuerza F necesaria para mantener
inmóvil el álabe.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 08.- Un álabe desvía hacia un plano vertical 50° un
chorro de agua de 25 mm de diámetro. La masa combinada del
álabe y su base es de 10 kg. Si el coeficiente de fricción estático
entre la base y el suelo de 0,25; determinar, la máxima velocidad
del chorro para el cual no se mueve el álabe.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 09.- En un conducto horizontal de instalación de agua
potable a domicilio se realiza una instalación reduciendo la
tubería de un ϕ1=1/2” a ϕ2=3/8” donde el agua fluye a razón de 5
l/s y pasando por un codo de 70º. Si la presión del agua en el
punto de ingreso es de 6,5 kgf/cm2 y a la salida de 3,5 kgf/cm2;
calcular la fuerza resultante ejercida por el agua sobre ducto en el
codo.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 10.- Una corriente de agua entra a un codo doblado 60° con
respecto a la horizontal de un tubo con una velocidad ve = 20 pies/s. A
medida que el agua pasa por el doblez, su presión decrece de Pe = 6
lb/pulg2 a Ps = 4 lb/pulg2, y el diámetro del tubo aumenta de de = 8 pulg
a ds = 10 pulg. Determinar la fuerza que ejerce el agua en el codo de la
tubería. [γH2O = 62.4 lb/pie3].
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 11.- La presión estática del agua en el punto C es de 40 lb/pulg2.
Si el agua sale del tubo en los puntos A y B con velocidades de vA = 12
pies/s y vB = 25 pies/s, respectivamente, determinar las componentes de
fuerza horizontal y vertical ejercida sobre el codo instalado en C y que
son necesariamente para mantener en equilibrio al sistema de tubos.
Desprecie el peso del agua dentro de los tubos y el peso de éstos. En el
punto C el tubo tiene diámetro de 0,75 pulg. y en A y B el diámetro es de
0,5 pulg.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
Ejemplo 12.- El codo de una tubería enterrada de 5 pulg de diámetro está
sometido a una presión estática de 10 lb/pulg2. La rapidez del agua que pasa
por el codo es v = 8 pies/s. Suponiendo que las conexiones de los tubos en
los puntos A y B no ofrecen ninguna resistencia de fuerza vertical sobre el
codo, determine la fuerza vertical resultante F que el suelo debe ejercer
entonces sobre el codo para mantenerlo en equilibrio. Desprecie el peso del
codo y del agua dentro de él. γH2O = 62.4 lb/pie3.
2. 1. Flujo de masa estacionario.- Aplicaciones
2. 2. Flujo de masa variable (Sistemas que ganan o pierden masa)
A. Sistemas que pierden masa
Los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para la corriente de fluido del
sistema es:
De donde se tiene:


dv

 dme
(
=
−
+
F
m
v
v
∑
s
e )
dt
dt
i
2. 2. Flujo de masa variable (Sistemas que ganan o pierden masa)
B. Sistemas que ganan masa
Los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para la corriente de fluido del
sistema es:
De donde se tiene:



 dmi
dv
(
=
+
−
F
m
v
v
∑
s
i )
dt
dt
i
2.2. Flujo de masa variable.- Aplicaciones
Ejemplo 13.- Suponga que sujeta el extremo de una cadena que
pesa 3 lb/pie y la levanta del piso a una velocidad constante de 2
pies/s. Determinar: a) la fuerza F hacia arriba que usted debe
ejercer en función de la altura “s”; b) Cuánto trabajo efectúa usted
al levantar la parte superior de la cadena hasta . (Estrategia.- Trate
la parte superior de la cadena que ha levantado como un cuerpo
que está ganando masa).
2.2. Flujo de masa variable.- Aplicaciones
Ejemplo 14.- El camión tiene masa de 50 Mg cuando está vacío. Cuando se
encuentra descargando 5 m3 de arena a razón constante de 0.8 m3/s, la arena fluye por
la parte posterior con rapidez de 7 m/s, medida con respecto al camión, en la dirección
mostrada. si el camión puede rodar libremente, determine su aceleración inicial justo
cuando la carga empieza a vaciarse. Desprecie la masa de las ruedas y cualquier
resistencia por fricción al movimiento. La densidad de la arena es ρarena = 1520 kg/m3.
2.2. Flujo de masa variable.- Aplicaciones
Ejemplo 15.- Un tambor vacío de 55 lb con 3 pies de diámetro está
sobre una balanza. El agua empieza a entrar al tambor a 1200
lb/min desde 8 pies arriba del fondo del tambor. La densidad del
agua es 62.4 libf/pie3. Determine el peso que indica la balanza 40
s después de que comenzó a entrar el agua.
2.2. Flujo de masa variable.- Aplicaciones
Ejemplo 16.- Una tova esta descargando grava a un ritmo de 1 kg/s. En la salida de
la tolva ésta tiene una velocidad de 0,5 m/s. La cinta transportadora se está
moviendo con una velocidad constante de 3 m/s. Si para cualquier instante tenemos
20 kg de grava sobre la cinta, y si la parte de la cinta situada sobre el lecho en el que
discurre pesa 50 N, ¿ Cual será la diferencia entre las fuerzas de tracción en cada
uno de los extremos de la cinta, entre 1 y 2, para mantener la operación?. El
coeficiente de rozamiento cinético entre la cinta y su lecho es de 0,4.
0,2 m
1
2
2.2. Flujo de masa variable.- Aplicaciones
Ejemplo 17.- El grano sale de una tolva a un ritmo de 2 kg/s y cae sobre una cinta
transportadora que lo lleva hasta un silo. La cinta transportadora se mueve con una
velocidad constante de 2 m/s. ¿Qué potencia se necesita para operar el sistema con
una eficacia del 0,6? ¿Qué potencia se necesitaría si se doblase la velocidad de la
cinta transportadora?.