Problem Set
Rodrigo López
Métodos Matemáticos
13 de abril de 2024
Ejercicios
Problema 1. Un monopolista se enfrenta a la función de demanda: x = 10 − 2p donde x denota ventas y p
denota precio. Encuentre los ingresos de la empresa en términos de x; también encuentre el ingreso marginal.
Problema 2. Suponga que el costo de un nivel de producción x de un bien es: x2 + 3x − 10 Encuentre el
costo marginal.
Problema 3. Suponga que la función de oferta para el té es: q = −1 + 2p donde p denota precio y q denota
cantidad ofrecida. Encuentre la elasticidad de la oferta en los puntos donde p = 1, 1.5 y 2.
Problema 4. Suponga que la función de suministro de café es: q = 3p2 donde p denota precio y q denota
cantidad ofrecida. Encuentre la elasticidad de la oferta en los puntos donde p = 1, 1.5 y 2.
Problema 5. Las importaciones M de un país dependen de su ingreso nacional Y según la relación:
M = 7 + 0.2Y + 0.05Y 2 . Encuentre la propensión marginal a importar.
Problema 6. Encuentre la ecuación de la tangente en el punto de la curva y = x3 donde x = 2. Encuentre el
valor de y dado por la tangente cuando x = 2+h y utilícelo para verificar la fórmula de pequeños incrementos
en este caso.
Encuentra también el valor de la función cuando x = 2 + h. Por lo tanto, encuentre el error cuando la curva
cerca de x = 2 se aproxima por la tangente en x = 2. Calcule el error como un porcentaje del valor verdadero
si (i) h = 0.01, (ii) h = 1.
Problema 7. Supongamos que la función de demanda de un bien está dada por q = f (p), donde q denota
la cantidad demandada y p denota el precio. Supongamos inicialmente que p = p0 y q = q0 ; luego p aumenta
en un 1 %. Use la fórmula de pequeños incrementos para encontrar una fórmula general para el cambio
porcentual aproximado en la cantidad demandada en términos de la elasticidad de la demanda en (p0 , q0 ).
¿Qué particularidades tiene la aproximación cuando la función de demanda toma las formas:
(i) q = a − bp (a, b > 0)
(ii) q = ap−n (a > 0, n ∈ N)?
Problema 8. Encuentra la suma de los números naturales del 1 al 100 inclusive.
Problema 9. Encuentre la suma de los primeros 6 términos y una fórmula para la suma de los primeros n
términos de cada una de las siguientes sucesiones:
1
(a) La progresión aritmética con primer término -3 y diferencia común 7.
(b) La progresión aritmética con primer término 3 y diferencia común -7.
(c) La progresión geométrica con primer término 3 y razón común 7.
(d) La progresión geométrica con primer término -3 y razón común -1/7.
Para cada uno de los literales, indique si existe suma hasta el infinito y encuéntrela si existe.
Problema 10. En la República de Usuria la tasa de interés (plana) es del 40 % anual. Supongamos que se
invierten 100 dólares usureros. Encuentre el valor de la inversión al comienzo del tercer año si la capitalización
tiene lugar (a) anualmente, (b) trimestralmente, (c) cada dos años, (d) cada tres años.
Problema 11. Se invierte una cantidad de dinero a una tasa de interés constante r, compuesta anualmente.
¿Qué valor de r se requiere para que la inversión valga el doble al final de 10 años?
Problema 12. En este ejercicio suponga una tasa de interés del 6 % anual, con interés compuesto anual.
(a) Si se depositan £100 en una cuenta al comienzo de cada año, ¿Cuánto dinero hay en la cuenta justo
después de que se haya realizado la quinta inversión?
(b) Si se depositan £A en una cuenta al comienzo de cada año, ¿Después de cuántos pagos habrá por lo
menos £8A en la cuenta?
Problema 13. Se le promete que se le harán cuatro pagos de £100 a intervalos anuales a partir de ahora.
Si la tasa de interés es del 8 % anual, ¿Cuánto vale esta promesa para usted ahora?
Problema 14. En los problemas 1 a 4, utilice la definición de derivada para encontrar f ′ (x): .
1. f (x) = 2 − x2
2. f (x) = √
2x2 − 3x + 1
3. f (x) = 3x
2
4. f (x) = 1+4x
Problema 15. En los problemas 5 a 38, diferencie. .
5. y = 7x
6. y = 7x3
7. y = 7(x3 + 5x2 + 1)
8. y = √
4(x2 + 5)3 − 7x
9. y = p
x+3
10. y = (2x2 + 5x)
11. y = x+1
3
2
12. y = 2x
13. y = (x3 + 7x2 )(x2 − x2 + 5)
14. y = (x2 + 1)10 (x − 6)
2
15. f (x) = (2x√
+ 4x)10
16. f (x) = wx w + u2
2x
17. y = x+1
2
18. y = 3x2x−1
19. y = (8 + 2x)(x2 + 1)4
20. g(z) = (2z)7/5 + 5
z3
21. f (z) = 2+4
3
22. y = (x+2)
2
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√
23. y = 4x − 1
24. f (x) = (1 + x2 )12
1
25. y = √1−x
2
3
2x +1
26. y = 2x
2 +3
27. h(x) = (x − 6)7 (x + 5)5
5
28. y = (x+3)
x
29. y = 7x−4
5
√
30. f (x) = 5x3 3 + 2x4
31. y = r
2x−3/8 + (2x)−7/8
q
32. y = x2 + x2
2
33. y = √xx2+6
p +5
34. y = (1 − 3x2 )2
35. y = (x3 + 6x2 + 9)34
36. z = 0,4x7 (x + 1)−3 + 0,5
1
37. g(z) = (z−1)
2
3
4z
38. g(z) = 4(z4 +2z−5)
4
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