5-10-2016 Informe N°1: Elasticidad Ley de Hooke Profesor: Martin Sandoval Docente del curso de Física II Alumno: ∙ Mauro Vargas ∙ Nickolás Rivas ∙ Sergio Azcárate ∙ Heyner Rivas ∙ Simone Cava Universidad Científica del Sur ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN……………….….……………….……………….. 2 2. OBJETIVOS…………………………………..……………………..... 2 3. MARCO TEÓRICO…………………………………………………… 2 4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL …………………..……. 5 5. DATOS RECOGIDOS.…………………….………………………… 6 6. RESULTADOS…....………………………………………………….. 7 7. CUESTIONARIO……………………………………………………….8 8. CONCLUSIONES…………………………………………………..… 8 9. BIBLIOGRAFÍA…..…………………………………………………... 9 10. ANEXOS…………………….…………………………………... 9 1 1.- INTRODUCCIÓN Toda sustancia real se deforma en cierto grado bajo la acción de fuerzas aplicadas. Fundamentalmente, el cambio de forma o volumen de un cuerpo cuando actúan fuerzas exteriores sobre él está determinado por las fuerzas existentes entre sus moléculas, y aunque la teoría molecular no está en la actualidad lo suficientemente avanzada para permitir calcular, p ej. Las propiedades elásticas de un bloque de cobre partiendo de las propiedades del átomo de este metal, el estudio del estado sólido es tema en el que se trabaja activamente en muchos laboratorios de investigación. En esta sesión nos limitaremos a magnitudes que son directamente medibles y no intentaremos ninguna explicación molecular al comportamiento observado. 2.- OBJETIVOS Verificar experimentalmente la ley de Hooke. Determinar el módulo de rigidez de un alambre utilizando el péndulo de torsión. Estudiar la dinámica rotacional en el péndulo de torsión 3.- MARCO TEÓRICO Ley de Hooke.- Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta ultima no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como “La Ley de Hooke”, que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida F = -kx Donde: k, es la constante elástica del resorte. x, es la elongación del resorte. El signo negativo en el lado derecho de la ecuación (1) se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento. 2 Torsión.- La torsión es una deformación por cizallamiento puro, pero no homogéneo. Se produce cuando se fija el extremo de una barra o un alambre y se tuerce el otro. En este caso, distintas secciones de la barra girarán diferentes ángulos respecto a la base fija, pero como no hay variación del área, ni de la longitud de la barra, el volumen no varía. En la figura (1) se muestra este tipo de deformación para una barra cilíndrica de longitud L y radio R. En la imagen (a) se observa la barra antes de ser sometida a esfuerzo y en (b) cuando esta sometida a torsión. Figura (1). Segmento de longitud L sometido a torsión en un extremo. El torque necesario para hacer girar uno de los extremos de la barra cierto ángulo respecto al otro, se obtiene dividiendo la barra en capas delgadas, calculando el torque correspondiente a cada una de ellas, y efectuando la suma para obtener: r= GπR⁴ᶿ/2L Donde: G, es el módulo de rigidez del material del que está hecho la barra. El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple. Consiste de una masa suspendida de un alambre, ver figura (2). En la figura (2), la línea OC pasa por el centro de masa del sistema. Cuando el sistema se rota un ángulo a partir de su posición de equilibrio, el alambre se tuerce, ejerciendo sobre el sistema un torque alrededor de OC que se opone al desplazamiento angular , y es de magnitud proporcional al ángulo; si se tiene que es pequeño, es decir entre los límites elásticos entonces se cumple que: π= - kᶿ Donde: k, representa el coeficiente de torsión del alambre. 3 Si I es el momento de inercia del sistema, en este caso el de un disco con respecto al eje OC, la ecuación del movimiento es: La ecuación (4) es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, equivalente a la forma conocida: Por comparación de las ecuaciones (4) y (5), el período de oscilación T en un péndulo de torsión estará dado por: Un estudio más detallado del péndulo de torsión indica que la ecuación (6) puede escribirse como: El momento de inercia debe expresarse como el producto de una unidad de masa y el cuadrado de una unidad de distancia. Así en el sistema MKS el momento de inercia se expresa en m2Kg. Para esta experiencia será necesario calcular el momento de inercia para el disco del sistema, lo cual puede realizarse teóricamente mediante la siguiente ecuación: Donde: K, es el radio de giro. El radio de giro de un cuerpo representa la distancia del eje a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia. Figura (3). Disco rígido que gira alrededor de su eje principal. 4 Para un disco de radio RD que gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro tal como se ve en la figura (3), el radio de giro toma el siguiente valor: Entonces el momento de inercia, se calcula de: 4.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL MATERIALES: Soporte Universal Anillo de Hierro Masas de diversos pesos Dinamómetro Balanza Lápiz Regla Cuaderno de apuntes Resorte PROCEDIMIENTO: 1. Instalar el soporte universal, el anillo de hierro y el resorte, colgando, en una posición accesible para la masa y la deformación que genera. 2. Medir el resorte sin ninguna masa que cuelgue. Anotar la medida. 3. Calcular el peso de las masas con las que se trabajará. Esto puede ser con el dinamómetro o la balanza. 4. Colgar una masa del resorte. 5. Medir la nueva longitud del resorte, ahora deformado. 6. Calcular la deformación. 7. Repetir el procedimiento con diversas masas y combinaciones de estas. 5 CÁLCULOS REALIZADOS: 1. Al medir el resorte sin ninguna masa colgando de él. Se llamará a la medida (𝐿0 ). 2. Calcular el peso de las masas. Mediante la balanza, se calcula la masa y se multiplica por la gravedad. 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑔) × 9.8 𝑚 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 (𝑁) 𝑠2 3. Luego de colgar la masa, al medir la nueva longitud del resorte deformado. Se llamará (𝐿𝑓 ). 4. Finalmente, para encontrar la deformación se realiza una resta. ∆𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿𝑖 5.- DATOS RECOGIDOS Haciendo uso de un resorte de 0.055 metros de longitud inicial, se procedió a la toma de datos de la deformación que presenta el resorte con diferentes pesos como se muestra en la siguiente tabla: longitud inicial del Resorte (Lo) 0,055 m 0,055 m 0,055 m 0,055 m 0,055 m Peso (P) Deformación(x) 0,51 N 0,99 N 1,031 N 1,51 N 1,54 N 0,11 m 0,26 m 0,278 m 0,40 m 0,42 m 6 6.- RESULTADOS Gráfica: Peso vs. Deformación P (N) 1,8 1,6 y = 3,404x + 0,1168 R² = 0,9965 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 X (m) 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Analizando la gráfica y los valores que se presentan en ella, tenemos que la constante de elasticidad (k) del resorte representada por la pendiente de la función es k= 3,404 N/m. Con un valor R2= 0,9965 podemos decir que los valores encontrados del peso y la deformación tienden a la línea de tendencia. Comparando la constante de elasticidad obtenida a través de la pendiente de la función con la constante de elasticidad teórica Por ley de Hooke tenemos: F = kX k= 𝑋 𝐹 K1 = 0,51 N / 0,11 m 51/11 Nm K2 = 0,99 N / 0,26 m 99/26 Nm K3 = 1,031 N / 0,278 m 1031/278 Nm K4 = 1,51 N / 0,40 m 151/40 Nm K5 = 1,54 N / 0,42 m 11/3 Nm 7 51 K (promedio) = 99 1031 151 11 (11)+(26)+( 278 )+( 40 )+( 3 ) 5 K (promedio) = 3.91 Nm Podemos ver que la constante de elasticidad obtenida a través de la pendiente de la función es k = 3.404 y la constante de elasticidad obtenido teóricamente es k = 3.91. Teniendo una discrepancia en los resultados de 0.506 decimales. 7.- CUESTIONARIO 6. Durante una transformación reversible, ¿en que se transforma el trabajo realizado por la fuerza de deformación? En un cambio reversible isotermo, el trabajo mecánico realizado sobre el sistema se emplea en un cambio de la energía libre. 8.- CONCLUSIONES En el presente trabajo se pudo demostrar con los resultados que existe un aumento directamente proporcional, tal como se plantea en la Ley de Hooke, ya que, al estirar el resorte y someterlo a una fuerza cada vez mayor, esta es aumenta con relación a la deformación. Esta ley se cumple cuando la deformación no es demasiado grande, como pudimos observar en nuestro caso. Al añadirle las pesas, estas no sobrepasaron el límite de elasticidad, por tal motivo el resorte retornaba fácilmente a su estado original. 8 9.- BIBLIOGRAFÍA Jorge Godier. Extracto Guía Práctica de Física II. <http://campus.ucsur.edu.pe> [Consulta: 05 de octubre de 2016] Acosta, Manrique, Valenzuela. Informe de Laboratorio 1: Ley de Hooke. <https://es.scribd.com/document/95596752/Informe-Ley-de-Hooke-enProceso-Auto-Guard-Ado> [Consulta: 05 de octubre de 2016] 10.- ANEXOS 9 10