Precipitation Volatility and its Causes: Probability of Daily Extremes Alexander Gershunov1, Anna Panorska2 and Tomasz Kozubowski2 1Climate, Atmospheric Science and Physical Oceanography (CASPO), Scripps Institution of Oceanography 2Department of Mathematics and Statistics, University of Nevada Reno Panorska, A.K., A. Gershunov and T.J. Kozubowski, 2007: From diversity to volatility: Probability of daily precipitation extremes. In: A. Tsonis and J. Elsner (Eds.), Nonlinear Dynamics in Geosciences, Springer, New York, pp. 465-484. Kozubowski, T.J., A.K. Panorska, F. Qeadan and A. Gershunov, and D. Rominger, 2009: Testing exponentiality versus Pareto distribution via likelihood ratio. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 38, 118-139. Motivations • A rigorous view of extreme precipitation events in climate requires a parametric approach. • Exponential tails may not be adequate to model probabilities of high-frequency precipitation extremes in volatile precipitation regions. We want to check how adequate or inadequate they are. • Indications are that heavy tailed distributions may be more appropriate for this task. • However, identifying and fitting heavy tails is difficult » Typical methods involve graphical analysis » There are many heavy-tailed distributions » Identification and parameter estimation needs to be automated Are precipitation extremes exponentially distributed? If not, what is a reasonable distribution? Heavy-tailed modeling of extreme event probabilities »Heavy-tailed PDFs (power laws) allow for more extremes than traditional PDFs »Arise naturally as limit sums of random variables »Random variable X (e.g. precipitation) is "heavy tailed" if the probability (P) that it exceeds a value x is of power order x- for large x P(X > x) cx- , as x , where c, > 0 Approach Peaks over threshold (POT) methodology Three possible limiting PDFs for exceedances (approximations) Balkema - de Haan - Pickands theorem (Balkema and de Haan 1974 and Pickands 1975) provides the limiting distribution of exceedances. The theorem says that when the threshold (u) increases, the distribution of the exceedance X[u] converges to a Generalized Pareto (GP) distribution. Any GP distribution has to be one of the following three kinds: exponential, Pareto or beta (finite, not applicable). So: no matter what the original distribution of X is, the exceedance X[u] over any threshold u is (approximately) one of only three distributions (effectively two). Moreover, if original distribution has exponential tails, then the exceedance pdf will be exponential. If it has heavy tails, then the exceedance pdf will be Pareto. Using this result, we seek a statistic, a decision rule, to classify observed daily precipitation tails into exponential and heavy Exponential vs. Heavy Tails Ho: data comes from an exponential distribution, versus the alternative H1: data comes from a Pareto distribution. We approached this problem using ideas from the theory of likelihood ratio tests (Lehmann, 1997). The approach is to consider the ratio of the maxima of the likelihoods of the observed sample under the null (Pareto in the numerator) and alternative (exponential in the denominator) models. The logarithm of the likelihood ratio statistic is: Where is the observed sample (of excesses); and are the likelihood functions of the sample under Pareto and exponential hypotheses, respectively. We use a Pareto distribution with the survival function S(x) = P(X>x) = (1/(1+1/sα))α and exponential distribution with the survival function S(x) = P(X>x) = exp(-x/σ). In the Pareto case, the α parameter determines the thickness of its tail and is of primary importance. The scale parameter s is of secondary importance. In the exponential case σ is the scale parameter. Computation of L: the maximum likelihood procedure 0 2000 L 5 3000 10 15 20 25 4000 Statistical Properties of L exp 0 1000 P.5 P.0.5 P.1 P.1.5 P.2 P.5 exp Boxplots of simulated distributions of L. The first five boxplots were done using 10,000 observations of L from Pareto samples of size 1,000 with α varying from 0.5 (first boxplot) to 5 (second to the last boxplot). The last boxplot corresponds to 10,000 observations of L from exponential samples of size 1,000. The inset blows up the last two boxplots. Critical Values of L Log likelihood ratio: all data L values, absolute magnitude o o o o o o o oo oo o o o o o o o o oo o o o o oooo o o o o o xo xxxoo xoo o o o o o o o oooxo oxxoo ooxoxoooooo oo x oo =0 o o oooooooo o ooo xooxxxox o oo oxo oxoxoooo oo o o ooooo oooooo oooooooo oo x oo o o x o o o o o <=1 o o ooooo o o o o x o o o oo oooooo ooooooooo o o x o o o o o o o o o o o o x o o x o o o x o o x o o o o o o o oo oooo oooo ooooooooooooooo oooooo oxooo >1 oooo ooo xooxoxxxoxoxoooxooxxooxxo x o o o o x o o o o x o o o o o x o o o o o o o o o o o o o oooooo xoo xooxo xoxoo xoooxoooo oo oxoxoooo >3 ooxoooo oo x xxoxxxxxoo o o o o oxo o o o o o o o o o o o x o o o o o o ooxoxoxxxoxoo oooooo >5 ooooo ooo o o o o xoxxxxxxxxoooooooo > 10 xxxxo oxxoo xo o ooxo ooxo o > 15 o xxooo x o o o o o o > 20 L values, Ho rejection certainty in % o o o o o o o oo oo o o o o o o o o oo o o o o oooo o o o o o xo xxxoo xoo o o o x =0 o oo oooxo oxxoo o ooxoxoooooo oo oo o oooooo o ooo xooxxxox o oo oxo oxoxoooo oo x oo oooooo o <=90% x o oo o o oo oooo o o o o oooooooooooo o o o ooooo o o ooo o o x o oo o o ooooxoooxooooxooooooo o o ooxo o o o o o o o o o > 90 o o o o o o ooooxo ooo o oo oooo oooo ooooooooooooooo xoxo ooooooo ooooo xooxxxxo xxooo oo x xoo o o o o o o o o o o o x x o > 95 o x o o o o o x o oooo oooooooooxoxo ooxooo o oooooo xooo xooxo xooo xoooooooooxoooo o o o o x xxooxxxooo o o o o oxo o o > 98 o o o x o oxxo xoo oooo ooooo ooo o x o o o o oooo ooxooxxxxo > 99 o o xxoxxxoxoo o ox o xooxxo xooo o oooxo oxxooooo oxo o Log likelihood ratio (L) computed for daily excesses over local 75th percentile at each of the 560 stations. (a) Values close to zero, L <= 1 (blue and green x’s) represent approximately exponential tails, while yellow, red and black circles represent progressively heavier tails. (b) Level of confidence, (1 - γ)*100, for rejecting the null hypothesis (Ho) of exponential tails. Blue x’s represent exponential tails, green x’s represent stations at which the Ho cannot be rejected with reasonable (90%) confidence. Yellow and progressively redder circles represent stations at which H o can be rejected with 90, 95, 98 and 99% confidence in favor of the Pareto alternative. For example, Ho can be rejected at 81% of stations with 95% confidence. Log likelihood ratio: seasonal data DJF MAM x o x o o o ox ox o o o x o o o o x oo o x o o oxox x o o o o xx xx xx x x o x = 0 xxoxooxxo o oo x o oo oxoxx oxxxx o o o o o o ooooox o xoo o xxxxxx x x x o oxoxxoxo x xxxxxx o xxxooo <=90% o x xoxoxxoxxxo ooo oooo oo x x o xoooooooo o o xoxxo o x x x x oo ooo oxoxooo xxoxxx o xoxoooxxxxoxooxxxoooxo x o o o o o o o x > 90 o x x o o o x o xxxo oxxxxxo xxxxxoxxxxxo oxoxxxxxo oxxxxxxoxoooo oxxxo ooooo oo o xxo xxx xxxxxo xxxoxo > 95 oo x xxxoxxoxxxxoo xxxoxxo o o o o xo x xxxxxoxxxxxxxo o x x x x x x o o x o x x xoxoxxxxo xooxoxoo oooooo x o x o x > 98 xxxxxoxxxoxxxxxxxooxxxxxooxoo xxoxox o oooo o xo xxxxxxo o xxxxoxx xxxo > 99 o o x oxo x xxxxxxo xxo ooxo xoxoxo o xoo xxxxo xoxxo 37% heavy with 95% confidence JJA x x x o o o o o o x x x oo ox o o o o o o x o x ox o o o o xooo x o o o x xo xxxoo xoo o o o =0 o xo o o oo xxxox oxxox oo xoooo oooxxxoxxxxo oooooo o ooo x oxxooo o o o o o o xxxo xxoooo <=90% x xooxo xxo o o ooo xo ooxxooxoxx xooxxooxxoo x o x oxooo x o x x o oo x o x x o o x o o xxoxxxoxxxoxxooooxooo ooooo x o o x o x o x o > 90 o o o o o o xo ooooxxxoxooxxoxooo o x oxxxxox xxoxxxxxxxoo o o o o x o o x o x o x o o ooxoxxoxxooxoxooxoxxxooxo xoxoxxooo xxoxo oox xooo > 95 oo xoo xxxoxooxxxoo oxo o ooo o oxoxooxxxo o xoxoooox x xoxxooxxo o x x x x x o x o x o o o o x x x xooooooo > 98 xx oxxoxxxxxxxxxooxo oo o o o x oxo o oxxooxxxxxoxx xxooxxo > 99 o x xxxxoxxoox oxoxxo xox o oxxxo oxxoooxoo oxo o Four Seasons x o o o o o xx oo o o o o o o o x x oo o o x x oxoo o o o o o xo xxoox xoo o o o x =0 o xo oxxxo oxxoo o ooxoooooxooxoo oo o oooooxxxx x o xx xxxo oo oxxxxxoxoooo x oo o <=90% x ooxxo oooxxox xx xxxxxxxxoxxoxxox x oo oxxo o xxooo o x o o o o o o o x oxxxoxxxxxoxxxxxxxxo x o oo x x o o x o oxxxoxooxxoxxxxxo > 90 x xo ooxoxxxoxoxxxoxooxxxxxo xxxxoo xoxxxxxxoxxxxox o o x o x x x x o x x x x o o ox xoo o o oooxoo xoxo xxo > 95 xo ooo xxxxoxxoxoxoo oxoxxxooo xxxxxxoxxxo xxxo xoxooxxoo xoo xoooxoxoxoxxoxxoooxxxo o o x x o x o x x o o o x x o x x x o x o > 98 xo xxxoxxxoxxoxoxoooxxoxooooo oooo xxxo o x x x x o o x o o o x xo xxxoxoxooooxo > 99 xo xo x o x o x x xxoxoxoxxo x oxxo oxxxxoxxox xx xxo o o o o o o o o oo o o o o o o o o o oo o o o o oooo o o o o o xo xx o xoo o o o x oo xoooo oo o o oo = 0 xoo oxo oxxoo o ooo oo o o x o o o x o o o o o o o o x o o o o o xooooxxxox o o o ooooooo o oooooo oooo ooo ooooxo <=90% x xoo ooo ooo oooooooo o ooo oo o o o o o x o o o o o o o x o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o x o o o oo > 90 o xoxxooooooo ooooooo oooooooooooooooo oxxoo oo o o o o x o o o o o o o o x x o o x o o o o x o xoo o ooooo xoxoxxoooooo oo ooooooooo xo o > 95 ooxx ooo xo xoooooo xoxoxoooxooo ooxo oxoooooooooo oooo oxo oo o oxo o o o xxooxxxoo o o o o oxo o o o o o > 98 o o o o o x o o o o o oo xoo oooooo ooooo ooo o o ooxoxxoxxxoxxo > 99 o o o o o o o xxxxxoxxoo ox o xooxoo xoo o oooxo oxxooooo oxo o 47% heavy with 95% confidence 81% heavy 40% heavy with 95% confidence SON x o o o o o oo xo o o o o o o o o o oo o o o o ooox o o o o o xx xxxoo xxo o o o o x =0 ooxooo oo oo o o xooxx oxxoo xxxooxoxo oxxxxx x x x xxxo oo o oooooo oxxxoxxo oo x ooooo oo <=90% o xo oo oo oo o oo oxooo xxoooo oxxxxo ooooxoo ooo oxo o o x o x o x x x x o o x o x x x o x o x o o x o o o x xxxooxxoxoxxoxooox o oooo x xoxxxxxoxxoxoxxo > 90 xxx oxoxoxoxxxxooo oxxxoxxx xoooo oxooooxxxxooxo xxoxo x xo o o x o > 95 o x oxxoxxooxxxxxxxxoxxxo o o xoxxxxo xoo xxoooooooo ooooooooxxoxo oxo xooxxxo x x o x o x x o o x o o o x x o x o ooxxooooooooo o xxxxxoxoxoxooooxoxoooxoooxxo > 98 xoooo oxxxoo xo oooooo oo x o o o o o oxxoxoxoxooooxooo > 99 o xxxxoxxxooo oxo ox oxxxoxoxooxxxoxxxo o 51% heavy with 95% confidence Probability plots for selected stations Probability plots for excesses over threshold (75th percentile) at selected stations arranged in order of increasing L. Sorted observed excesses displayed in mm along the x-axis are plotted against the corresponding theoretical quantiles derived from the fitted exponential (blue x’s) and Pareto (red o’s) models. Precipitation Stats at Selected Stations Summary 1 • Diversity is the mother of volatility • Exponential tails are inadequate to model daily extremes in most regions of North America • Heavy tailed models are appropriate on theoretical and empirical grounds • These results can be directly extended to many climatic studies and applications • What about climate change? • How do climate models do? 36 38 40 42 The Role of Topography % of precip falling in summer-125 38 36 34 32 oo o o ooo o o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o oooo o o o o o o o o o ooooo o o o o oo o oo o o oo o o o oo o oo o o o o oo oo o o o o o oo o oo oo oo o o o o o o oo o o o o o o o oo ooo oooo o o oooooo o oo ooo o o o o o o o oo ooo o o o oo o oo o o o o oo o o o o o o o oo o ooooo o o o o oo oo oo o o ooooo o o oo ooo o o o o ooooooo o o oooooo o oo o ooo o ooo o o o o o oo oo o o o o 80 ooooo ooo o o oooo oo oo oo o o o o o o oo o o o o o o o ooo oo o 70 ooo o o o o ooo o o o o o o o o o oo o o o o 60 o oo o o o oo o oo o oo o o o 50 o o oo o ooo o o o o o o o o o o o ooo o oo o o oo 40 ooo o o o o o ooo o oo oo o oo oo o ooo o o o o o oo o o o o 30 ooo o oo o o o o o o o o oo o o oo o oo oo oo o o 20 ooooo o ooo o o o o o o o oo oo o o 10 o oooooo o o oo o o o o o 10 o o o o o o o oo 40 42 32 34 Station Elevation o o o o o o o o o o ooo o o o o ooo ooo o oo o o o o o o o oo ooo o o oo ooooo o oo o o ooo oooo o o o o ooo o o o o oo oo o o oo o ooo oo ooo oo oooooo o ooo oooo oo o oo o o oo o o o o o o o ooo o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o oo o oooo oooo oo o o o o ooo o o o o o o o o o o o o o o o o oo o oo o o o o o o oo o oo o ooo o o oo oo o o o o o o o o o o o oo o o oo ooooooooo o oo oooooo o oo o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o ooooo o o o o o o <0 oo oo o o o o o oo oo oo o oo o oo o ooo o oo o o o o o o o > 250 o o o o o o o o o oooo o oo o o > 500 ooo o o o o o o o o o o o o o o o ooo ooo o oo > 750 o oo oo oo o oo oo o o oo oo o o o o o o o o o o oooo o ooo ooooooo o 1000 o oo ooooo o o o oo o oo o o oo o o 1250 oo ooooo oooooo oo o oooooo o oo o oo oo 1500 ooooooo oo oo o o o oo o o o oo o o 1750 o oooooooooo o o o o o o 2000 o o o o o o o o 2500 o o o o o o o o o o > > > > > > > > < -125 -120 -115 -110 -105 -120 -115 -110 Tail structure -105 ooox o oo oooooo oooooo xo o oooo o oooo o xxo x o x x xx o o o oooo oo o xxo o x x o x o o o o x o x x o xxxoxxxo o ox oo xox oooxx o oooooo oo x o x x x x xo o o oooxoxo o xooxxo oxx ooooooo o xxxoo o o oxo o oo xooxxo ooo ooo oo x o x xo ooxxx x oo o ooo oo o x oo x o o x o x o o o x o o xoxo x o o o x o oo xxxx ox o o x oxoxoo o xoo oo x o o ooxxo o x x xx o oo ox xxoxo x xoxxxxoooo xoxxxo x o x =0 o o oo x ooooxxxooo ooxoooo x <=90% o x oxo x o o o ox o oooo oooo oox oxo o x o x o x o o o o o o o o x oox x o o o o o ooo xoxo o o > 90 o o xxoox x xxooo o x o o x x x x o o o o o o o > 95 oxx xxxo oo oxxoo o x o o oox o > 98 xoxo xxx o xxo o x x o o o > 99 o ooxoo xo ooo x o 42 The Role of Topography 36 38 40 Aspect, Slope and tail structure % of precip falling in summer-125 38 36 34 32 oo o o ooo o o o o o o oo o o o o o o o oo o o o o o o oooo o o o o o o o o o ooooo o o o o oo o oo o o oo o o o oo o oo o o o o oo oo o o o o o oo o oo oo oo o o o o o o oo o o o o o o o oo ooo oooo o o oooooo o oo ooo o o o o o o o oo ooo o o o oo o oo o o o o oo o o o o o o o oo o ooooo o o o o oo oo oo o o ooooo o o oo ooo o o o o ooooooo o o oooooo o oo o ooo o ooo o o o o o oo oo o o o o 80 ooooo ooo o o oooo oo oo oo o o o o o o oo o o o o o o o ooo oo o 70 ooo o o o o ooo o o o o o o o o o oo o o o o 60 o oo o o o oo o oo o oo o o o 50 o o oo o ooo o o o o o o o o o o o ooo o oo o o oo 40 ooo o o o o o ooo o oo oo o oo oo o ooo o o o o o oo o o o o 30 ooo o oo o o o o o o o o oo o o oo o oo oo oo o o 20 ooooo o ooo o o o o o o o oo oo o o 10 o oooooo o o oo o o o o o 10 o o o o o o o oo 40 42 32 34 Station Elevation o o o o o o o o o o ooo o o o o o oo oooooo o o o o o o o o oo ooo o o oo o oooo o oo o o oo ooo o o o o ooo o o o o oo oo o o oo oo o oo oo oo oo oooooo o ooo oooo o o o o oooo o o o o o o o o ooo o o o o oo o ooo o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oooooo ooo oo ooooooo oooo o o o ooo o o o o o ooooooooo o o o o oo o o o o o o o o o ooooooo oooooooooo o o oo oo o oooo ooo o o oo o o oo ooooooooo o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o <0 o o o ooo oo o oo oo o o oo o o o o ooo o oo o o o o o oo o o o > 250 o o o o o o oooo oooo o o o o > 500 oo o oo oo oo o o o o oo o ooo o o o o o o oo > 750 o o oo oo oo o o o ooo o oo o o o o o o o oooo o o o oo ooooo o o oooo o 1000 oo o oooo o o o o o o o oooo o o o o o o oo o o o o oo o o o 1250 o o o o o oo oo o o o o oo oo o o o 1500 ooooo o oo o oo o o o o o o o o o o o 1750 o o ooo oo o oo o o o o o o 2000 o o o o o o 2500 o o o o o o o o o o > > > > > > > > < -125 -120 -115 -110 -105 -120 -115 -110 -105 Tail structure ooox o oo oooooo oooooo xo o oooo o oooo o xxo x o x x xx o o o oooo oo o xxo o x x o x o o o o x o x x o xxxoxxxo o ox oo xox oooxx o oooooo oo x o x x x x xo o o oooxoxo o xooxxo oxx ooooooo o xxxoo o o oxo o oo xooxxo ooo ooo oo x o x xo ooxxx x oo o ooo oo o x oo x o o x o x o o o x o o xoxo x o o o x o oo xxxx ox o o x oxoxoo o xoo oo x o o ooxxo o x x xx o oo ox xxoxo x xoxxxxoooo xoxxxo x o x =0 o o oo x ooooxxxooo ooxoooo x <=90% o x oxo x o o o ox o oooo oooo oox oxo o x o x o x o o o o o o o o x oox x o o o o o ooo xoxo o o > 90 o o xxoox x xxooo o x o o x x x x o o o o o o o > 95 oxx xxxo oo oxxoo o x o o oox o > 98 xoxo xxx o xxo o x x o o o > 99 o ooxoo xo ooo x o 42 The Role of Topography o oo 40 38 36 34 32 oo o oo o o oooo oo ooo oooooooooooo o ooooooo oo o o oooo oo oo oo oo o o o oo oo oo oo ooo o oo o o oo oo oo oo oo o o o o oo o o o o o o o o o oo ooo ooooooooo oooo o oo o ooo oo o o o o oo o o o o o o o o o o oo oo oo o o o ooo o oo o oo o oo oo ooooooooo oo o ooo oo oo oooo o o o o o oooooooooo o o o o ooooo o o o o o o o o o oo o o o o oo o oo oo o o ooo o oo o o ooooooooo o o o oooooo o o o oo ooo oo ooo oo o o oooo o o o o o o o o oo oo oo o o o o oo ooo ooo o o ooo oooooooo oooo o o o o o oo oooo o o oo o o o o o oooo o o o o o o oo o o oo o o o oo o o oo oo o oooo oo oo oo o o o ooo o o o ooo o oo o oo o o o o o oo o o oooo oooo o oo o oo oo o o o o o o o oo o o o ooo o ooo o oo o ooo o ooo o ooo o oooo o o o o o o o o o o o oo o oo <0 o o o o o o o o o o > 250 > 500 > 750 1000 1250 1500 1750 2000 2500 -125 o o oo o o o oo o o -120 SLOPE -110 -105 and ASPECT and direction from origin 0.0 o ox oo x x =0 <=90% o o o o > 90 > 95 > 98 > 99 1411 1119 -0.2 -0.4 -0.6 yy 0.2 0.4 0.6 distance from origin -115 1194 x 1157 1137 1086 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 xx 0.2 0.4 0.6 How do climate models do? o o o oo o o o 34 36 1 o o ooo o o o ooo o o o o o ooo ooo oo o o oooo o o oo ooo o o o o oooooo oo o o oo oo o 0.9 ooo o o o o o o o o oo o 0.8 o oo o o o oooo 0.7 o o oooooo o o 0.6 o o o o oo oo o o oo o o o o o o oo ooo o o oo ooo o o o o oo oo o o o o ooo oo ooo ooo o o o ooo o ooo o o oo oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o -124 0.5 0.4 0.3 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 o 0 38 40 o oo o o oo o oooo oo oo o o o o oo o oo o o o o o o ooo o oo o o oo oo o oo o oooooo o oo o oo oo oo oo ooo oo oo o o oo oo oo ooo o o o o o o o o o o o o o o o o o oo oo o o oo o o o o oo o o o oooo o oo oo oo o -120 -1 o ooo o o ooooo o -116 -2 42 Year-to-year correlation of modeled and observed max/median precipitation (a relative measure of volatility that is appropriate for model data) as a function of location (left) and as a function of slope and aspect (right). Contours show elevation in 250m (1000m) increments in black (blue). 0.9 0.8 0.7 0.6 o 0.5 oo o o o o 0.4 o o o o o oo o oo o 0.3 o ooo o ooo oo o o o o oo oo o -0.3 o o oo o o o oo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooo -0.4 o ooooooooooooo o o ooo oooooooooo ooo o oo oo -0.5 oo oo o oo o o o o o o o oo o o o o o o o o oo -0.6 ooo oo ooo oooooo oooooooooooo ooooo ooo ooo o -0.7 o o o o-0.8ooo oo oo o oo oo o ooo o o o -0.9 oo o o o o o oo o oo oo oo oo o oo ooo ooo ooo oo oo o o -4 -3 -2 o oo o o o -1 0 1 2 Statistics from 56 years of station observations (more than 400 stations) and a fine resolution (10km) downscaling of the NCEP/NCAR reanalysis (CaRD-10, performed by Kanamitsu and Kanamaru at SIO) over California were compared. Modeled Precipitation • Models don’t do heavy precipitation tails. • Untreated modeled daily extremes may be sensitive to climate only where observed precipitation tails are exponential. • Dynamical and/or statistical correction may be possible for other locations. • However, with climate change, nonstationarity is a big issue. Climate Change Challenges The choice between heavy tailed and exponentially tailed models is of a qualitative nature. The heavy tailed distributions have much larger high percentiles relative to the rest of the data values than the exponentially tailed ones. That implies that in places where heavy tailed models are appropriate, the future large events may be much larger than those observed up to date. The exponentially tailed models of precipitation will not be able to predict very large (relative to the observed data) events, because their mathematical properties do not allow such extremes. There is also the problem of non-stationarity…