Precipitation Volatility and its Causes:
Probability of Daily Extremes
Alexander Gershunov1, Anna Panorska2 and Tomasz Kozubowski2
1Climate, Atmospheric
Science and Physical Oceanography (CASPO),
Scripps Institution of Oceanography
2Department
of Mathematics and Statistics, University of Nevada Reno
Panorska, A.K., A. Gershunov and T.J. Kozubowski, 2007: From diversity to
volatility: Probability of daily precipitation extremes. In: A. Tsonis and J.
Elsner (Eds.), Nonlinear Dynamics in Geosciences, Springer, New York, pp.
465-484.
Kozubowski, T.J., A.K. Panorska, F. Qeadan and A. Gershunov, and D.
Rominger, 2009: Testing exponentiality versus Pareto distribution via
likelihood ratio. Communications in Statistics: Simulation and Computation,
38, 118-139.
Motivations
• A rigorous view of extreme precipitation events in climate
requires a parametric approach.
• Exponential tails may not be adequate to model
probabilities of high-frequency precipitation extremes in
volatile precipitation regions. We want to check how
adequate or inadequate they are.
• Indications are that heavy tailed distributions may be
more appropriate for this task.
• However, identifying and fitting heavy tails is difficult
» Typical methods involve graphical analysis
» There are many heavy-tailed distributions
» Identification and parameter estimation needs to be
automated
Are precipitation extremes exponentially distributed?
If not, what is a reasonable distribution?
Heavy-tailed modeling of extreme event probabilities
»Heavy-tailed PDFs (power laws) allow for more extremes than traditional PDFs
»Arise naturally as limit sums of random variables
»Random variable X (e.g. precipitation) is "heavy tailed" if the probability (P) that
it exceeds a value x is of power order x- for large x
P(X > x)  cx- , as x  , where c,  > 0
Approach
Peaks over threshold (POT) methodology
Three possible limiting PDFs for exceedances (approximations)
Balkema - de Haan - Pickands theorem (Balkema and de Haan 1974 and
Pickands 1975) provides the limiting distribution of exceedances. The
theorem says that when the threshold (u) increases, the distribution of the
exceedance X[u] converges to a Generalized Pareto (GP) distribution. Any
GP distribution has to be one of the following three kinds: exponential,
Pareto or beta (finite, not applicable). So: no matter what the original
distribution of X is, the exceedance X[u] over any threshold u is
(approximately) one of only three distributions (effectively two).
Moreover, if original distribution has exponential tails, then the exceedance pdf
will be exponential. If it has heavy tails, then the exceedance pdf will be
Pareto.
Using this result, we seek a statistic, a decision rule,
to classify observed daily precipitation tails into
exponential and heavy
Exponential vs. Heavy Tails
Ho: data comes from an exponential distribution, versus the alternative
H1: data comes from a Pareto distribution.
We approached this problem using ideas from the theory of likelihood ratio tests (Lehmann, 1997). The
approach is to consider the ratio of the maxima of the likelihoods of the observed sample under the null
(Pareto in the numerator) and alternative (exponential in the denominator) models. The logarithm of the
likelihood ratio statistic is:
Where
is the observed sample (of excesses);
and
are the likelihood
functions of the sample under Pareto and exponential hypotheses, respectively. We use a Pareto
distribution with the survival function S(x) = P(X>x) = (1/(1+1/sα))α and exponential distribution with the
survival function S(x) = P(X>x) = exp(-x/σ). In the Pareto case, the α parameter determines the thickness of
its tail and is of primary importance. The scale parameter s is of secondary importance. In the exponential
case σ is the scale parameter.
Computation of L:
the maximum likelihood procedure
0
2000
L
5
3000
10 15 20 25
4000
Statistical Properties of L
exp
0
1000
P.5
P.0.5
P.1
P.1.5
P.2
P.5
exp
Boxplots of simulated distributions of L. The first five boxplots
were done using 10,000 observations of L from Pareto samples of
size 1,000 with α varying from 0.5 (first boxplot) to 5 (second to
the last boxplot). The last boxplot corresponds to 10,000
observations of L from exponential samples of size 1,000. The inset
blows up the last two boxplots.
Critical Values of L
Log likelihood ratio: all data
L values, absolute magnitude
o
o o
o
o
o
o oo oo o o o o
o
o o o oo
o
o o o
oooo o o
o o o xo
xxxoo xoo o o o
o
o o o oooxo oxxoo
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x
oo
=0
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oo
oxo
oxoxoooo
oo o
o
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oo
x
oo
o
o
x
o
o
o
o
o
<=1
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x
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o
oo
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x
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x
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oooooo
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>1
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x
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x
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x
o
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o
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o
o
o
o
o
o
o
o oooooo
xoo
xooxo
xoxoo
xoooxoooo
oo
oxoxoooo
>3
ooxoooo
oo
x
xxoxxxxxoo
o
o
o
o
oxo
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o
o
o
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o
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o
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o
x
o
o
o
o
o
o
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>5
ooooo ooo
o
o
o
o
xoxxxxxxxxoooooooo
> 10
xxxxo
oxxoo
xo
o
ooxo
ooxo
o
> 15
o
xxooo
x
o
o
o
o
o
o
> 20
L values, Ho rejection certainty in %
o
o o
o
o
o
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o
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o
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x
=0
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oo
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oo
x
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x
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oo
o
o
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o
o
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o
o
o
o
o
o
o
o
o
> 90 o
o
o
o
o
o
ooooxo
ooo
o
oo
oooo
oooo
ooooooooooooooo
xoxo
ooooooo
ooooo
xooxxxxo
xxooo
oo
x
xoo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x
x
o
> 95 o
x
o
o
o
o
o
x
o
oooo
oooooooooxoxo
ooxooo
o oooooo
xooo
xooxo
xooo
xoooooooooxoooo
o
o
o
o
x
xxooxxxooo
o
o
o
o
oxo
o
o
> 98
o
o
o
x
o
oxxo xoo oooo
ooooo ooo
o
x
o
o
o
o
oooo
ooxooxxxxo
> 99
o
o
xxoxxxoxoo
o
ox o
xooxxo
xooo o oooxo
oxxooooo
oxo o
Log likelihood ratio (L) computed for daily excesses over local 75th percentile at each of the 560 stations. (a) Values close to zero, L <= 1 (blue and green x’s)
represent approximately exponential tails, while yellow, red and black circles represent progressively heavier tails. (b) Level of confidence, (1 - γ)*100, for
rejecting the null hypothesis (Ho) of exponential tails. Blue x’s represent exponential tails, green x’s represent stations at which the Ho cannot be rejected with
reasonable (90%) confidence. Yellow and progressively redder circles represent stations at which H o can be rejected with 90, 95, 98 and 99% confidence in
favor of the Pareto alternative. For example, Ho can be rejected at 81% of stations with 95% confidence.
Log likelihood ratio: seasonal data
DJF
MAM
x
o
x
o o
o ox ox o o o x
o o
o o x oo
o
x o o
oxox x o
o o o xx
xx xx x x o
x
= 0 xxoxooxxo
o oo x o oo oxoxx oxxxx
o
o
o
o
o
o
ooooox o xoo o xxxxxx x
x
x
o
oxoxxoxo
x
xxxxxx o
xxxooo
<=90% o
x
xoxoxxoxxxo
ooo oooo
oo
x
x
o
xoooooooo
o
o
xoxxo
o
x
x
x
x
oo
ooo
oxoxooo
xxoxxx
o
xoxoooxxxxoxooxxxoooxo
x
o
o
o
o
o
o
o
x
> 90 o
x
x
o
o
o
x
o
xxxo
oxxxxxo xxxxxoxxxxxo
oxoxxxxxo
oxxxxxxoxoooo
oxxxo
ooooo
oo
o
xxo
xxx
xxxxxo
xxxoxo
> 95 oo
x
xxxoxxoxxxxoo
xxxoxxo
o
o
o
o
xo
x
xxxxxoxxxxxxxo
o
x
x
x
x
x
x
o
o
x
o
x
x
xoxoxxxxo
xooxoxoo
oooooo
x
o
x
o
x
> 98
xxxxxoxxxoxxxxxxxooxxxxxooxoo
xxoxox o oooo
o
xo
xxxxxxo
o
xxxxoxx xxxo
> 99
o
o
x
oxo
x xxxxxxo
xxo
ooxo xoxoxo
o
xoo
xxxxo
xoxxo
37% heavy with 95% confidence
JJA
x
x
x
o
o
o
o
o
o
x
x
x oo ox o o o o
o o
x o x ox
o
o o o
xooo x o
o o x xo
xxxoo xoo o o o
=0
o xo o o oo xxxox oxxox
oo
xoooo
oooxxxoxxxxo
oooooo o ooo x oxxooo o
o
o
o
o
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xxxo
xxoooo
<=90% x
xooxo
xxo
o
o
ooo
xo
ooxxooxoxx xooxxooxxoo
x
o
x
oxooo
x
o
x
x
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oo
x
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x
x
o
o
x
o
o
xxoxxxoxxxoxxooooxooo
ooooo
x
o
o
x
o
x
o
x
o
> 90 o
o
o
o
o
o
xo
ooooxxxoxooxxoxooo
o
x
oxxxxox xxoxxxxxxxoo
o
o
o
o
x
o
o
x
o
x
o
x
o
o
ooxoxxoxxooxoxooxoxxxooxo
xoxoxxooo
xxoxo
oox
xooo
> 95 oo
xoo
xxxoxooxxxoo
oxo
o
ooo
o
oxoxooxxxo
o
xoxoooox
x
xoxxooxxo
o
x
x
x
x
x
o
x
o
x
o
o
o
o
x
x
x
xooooooo
> 98
xx oxxoxxxxxxxxxooxo
oo o o
o x oxo
o
oxxooxxxxxoxx xxooxxo
> 99
o
x xxxxoxxoox
oxoxxo
xox o oxxxo
oxxoooxoo
oxo o
Four Seasons
x
o o
o
o
o xx oo o o o o
o o
o x x oo
o
o x x
oxoo o o
o o o xo
xxoox xoo o o o
x
=0
o xo oxxxo oxxoo
o
ooxoooooxooxoo
oo
o
oooooxxxx x o xx xxxo
oo
oxxxxxoxoooo
x
oo o
<=90% x
ooxxo oooxxox xx xxxxxxxxoxxoxxox x
oo
oxxo
o
xxooo
o
x
o
o
o
o
o
o
o
x
oxxxoxxxxxoxxxxxxxxo
x
o
oo
x
x
o
o
x
o
oxxxoxooxxoxxxxxo
> 90 x
xo
ooxoxxxoxoxxxoxooxxxxxo
xxxxoo
xoxxxxxxoxxxxox
o
o
x
o
x
x
x
x
o
x
x
x
x
o
o ox
xoo
o
o oooxoo
xoxo
xxo
> 95 xo
ooo
xxxxoxxoxoxoo
oxoxxxooo
xxxxxxoxxxo
xxxo
xoxooxxoo
xoo
xoooxoxoxoxxoxxoooxxxo
o
o
x
x
o
x
o
x
x
o
o
o
x
x
o
x
x
x
o
x
o
> 98
xo xxxoxxxoxxoxoxoooxxoxooooo
oooo xxxo
o
x
x
x
x
o
o
x
o
o
o
x
xo
xxxoxoxooooxo
> 99
xo
xo
x
o
x
o
x
x
xxoxoxoxxo
x
oxxo
oxxxxoxxox
xx xxo
o
o o
o o
o
o o oo o o o o
o o
o o o oo
o
o o o
oooo o o
o o o xo
xx o xoo o o o
x
oo xoooo oo o o oo
= 0 xoo
oxo oxxoo
o
ooo
oo
o
o
x
o
o
o
x
o
o
o
o
o
o
o
o
x
o
o
o
o
o
xooooxxxox o
o
o ooooooo o
oooooo oooo ooo
ooooxo
<=90% x
xoo
ooo
ooo
oooooooo
o
ooo
oo
o
o
o
o
o
x
o
o
o
o
o
o
o
x
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x
o
o
o
oo
> 90 o
xoxxooooooo
ooooooo
oooooooooooooooo
oxxoo
oo
o
o
o
o
x
o
o
o
o
o
o
o
o
x
x
o
o
x
o
o
o
o
x
o
xoo
o
ooooo
xoxoxxoooooo
oo ooooooooo
xo
o
> 95 ooxx
ooo
xo
xoooooo
xoxoxoooxooo
ooxo
oxoooooooooo
oooo
oxo
oo
o
oxo
o
o
o
xxooxxxoo
o
o
o
o
oxo
o
o
o
o
o
> 98
o
o
o
o
o
x
o
o
o
o
o
oo xoo oooooo
ooooo ooo
o
o
ooxoxxoxxxoxxo
> 99
o
o
o
o
o
o
o
xxxxxoxxoo
ox o
xooxoo
xoo o oooxo
oxxooooo
oxo o
47% heavy with 95% confidence
81% heavy
40% heavy with 95% confidence
SON
x
o o
o
o
o oo xo o o o o
o o
o o o oo
o
o o o
ooox o o
o o o xx
xxxoo xxo o o o
o
x
=0
ooxooo oo oo o o xooxx oxxoo
xxxooxoxo
oxxxxx x
x x xxxo
oo
o oooooo
oxxxoxxo
oo
x
ooooo
oo
<=90% o
xo
oo
oo
oo
o
oo oxooo
xxoooo
oxxxxo
ooooxoo
ooo
oxo
o
o
x
o
x
o
x
x
x
x
o
o
x
o
x
x
x
o
x
o
x
o
o
x
o
o
o
x
xxxooxxoxoxxoxooox
o oooo
x xoxxxxxoxxoxoxxo
> 90 xxx
oxoxoxoxxxxooo
oxxxoxxx xoooo
oxooooxxxxooxo
xxoxo
x
xo
o
o
x
o
> 95 o
x
oxxoxxooxxxxxxxxoxxxo
o
o
xoxxxxo
xoo
xxoooooooo
ooooooooxxoxo
oxo
xooxxxo
x
x
o
x
o
x
x
o
o
x
o
o
o
x
x
o
x
o
ooxxooooooooo
o
xxxxxoxoxoxooooxoxoooxoooxxo
> 98
xoooo
oxxxoo
xo oooooo
oo
x
o
o
o
o
o
oxxoxoxoxooooxooo
> 99
o xxxxoxxxooo oxo
ox oxxxoxoxooxxxoxxxo o
51% heavy with 95% confidence
Probability plots for selected stations
Probability plots for excesses over threshold (75th percentile) at selected stations arranged in order of increasing L. Sorted observed excesses displayed in mm
along the x-axis are plotted against the corresponding theoretical quantiles derived from the fitted exponential (blue x’s) and Pareto (red o’s) models.
Precipitation Stats at Selected Stations
Summary 1
• Diversity is the mother of volatility
• Exponential tails are inadequate to model daily
extremes in most regions of North America
• Heavy tailed models are appropriate on theoretical
and empirical grounds
• These results can be directly extended to many
climatic studies and applications
• What about climate change?
• How do climate models do?
36
38
40
42
The Role of Topography
% of precip falling in summer-125
38
36
34
32
oo o
o ooo o o
o
o
o
o
oo
o
o o
o o o
o oo
o
o
o o
o o oooo
o
o
o
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o
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o
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o
o
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80 ooooo ooo o o
oooo
oo
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o o o oo o
o
o
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o
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70
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o
o
o
ooo
o
o
o o
o
o
o
o
o oo o o o
o
60
o oo o
o
o
oo
o
oo o
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o
50
o o oo
o
ooo o o o o o
o
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o
o
ooo
o oo
o o oo
40
ooo
o
o o o
o
ooo o
oo oo o
oo oo o ooo o
o
o
o
o
oo o
o
o
o
30
ooo o
oo o
o
o
o
o
o
o
o
oo o
o
oo
o
oo oo oo o
o
20
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ooo
o o
o
o
o
o o
oo oo o o
10
o oooooo
o o oo
o
o
o o
o
10
o
o o o
o o
o
oo
40
42
32
34
Station
Elevation
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooo o
o o
o ooo ooo
o
oo o
o
o
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> 500
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1750
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2000
o
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2500
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>
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>
>
>
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-125
-120
-115
-110
-105
-120
-115
-110
Tail structure
-105
ooox o oo oooooo
oooooo xo o
oooo
o oooo
o
xxo
x
o
x
x
xx
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o o oooo
oo o
xxo
o
x
x
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x
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o
o
o
x
o
x
x
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o ox
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x
o
x
x
x
x
xo
o
o
oooxoxo
o xooxxo oxx ooooooo o
xxxoo
o
o
oxo o oo xooxxo ooo ooo
oo
x
o
x
xo
ooxxx x
oo
o
ooo
oo
o
x oo
x
o
o
x
o
x
o
o
o
x
o
o
xoxo
x
o
o
o
x
o oo
xxxx ox
o o
x oxoxoo
o xoo oo
x
o
o
ooxxo
o
x x xx o
oo
ox xxoxo
x xoxxxxoooo
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o
> 98
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xxo o x x o o
o
> 99
o ooxoo xo ooo x
o
42
The Role of Topography
36
38
40
Aspect, Slope
and tail structure
% of precip falling in summer-125
38
36
34
32
oo o
o ooo o o
o
o
o
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70
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10
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10
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40
42
32
34
Station
Elevation
o
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1500
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o
1750
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2000
o
o
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2500
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o
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o
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>
>
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>
>
>
<
-125
-120
-115
-110
-105
-120
-115
-110
-105
Tail structure
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> 90
o o
xxoox x xxooo o
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o
o
x
x
x
x
o
o
o
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o
o
o
> 95
oxx xxxo oo oxxoo o x o o oox
o
> 98
xoxo xxx o
xxo o x x o o
o
> 99
o ooxoo xo ooo x
o
42
The Role of Topography
o
oo
40
38
36
34
32
oo
o
oo
o o
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o
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> 500
> 750
1000
1250
1500
1750
2000
2500
-125
o
o
oo
o
o
o oo o
o
-120
SLOPE
-110
-105
and
ASPECT
and
direction from origin
0.0
o
ox oo
x
x
=0
<=90%
o
o
o
o
> 90
> 95
> 98
> 99
1411
1119
-0.2
-0.4
-0.6
yy
0.2
0.4
0.6
distance from origin
-115
1194
x
1157
1137
1086
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
xx
0.2
0.4
0.6
How do climate models do?
o
o
o
oo
o
o
o
34
36
1
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0.6
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o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
-124
0.5
0.4
0.3
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
o
0
38
40
o
oo
o
o
oo
o
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o
o
o
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o
o
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oo
o
o
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o
o
o
o
oo o
o o
oooo
o
oo
oo
oo o
-120
-1
o
ooo
o
o
ooooo
o
-116
-2
42
Year-to-year correlation of modeled and observed max/median precipitation (a
relative measure of volatility that is appropriate for model data) as a function of
location (left) and as a function of slope and aspect (right). Contours show elevation
in 250m (1000m) increments in black (blue).
0.9
0.8
0.7
0.6
o
0.5
oo
o
o o o
0.4
o
o
o
o
o
oo o
oo
o
0.3
o
ooo
o
ooo oo
o
o
o
o oo
oo
o
-0.3 o
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o o
oo
ooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooo
-0.4
o
ooooooooooooo o o ooo oooooooooo ooo
o
oo
oo
-0.5 oo
oo
o oo o
o
o
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o
o
o
o
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-0.6
ooo oo ooo oooooo oooooooooooo ooooo ooo ooo o
-0.7
o
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oo
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o
-0.9 oo o o
o
o
o
oo
o
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oo
ooo ooo
ooo
oo
oo
o
o
-4
-3
-2
o
oo
o
o
o
-1
0
1
2
Statistics from 56 years of station observations (more than 400 stations) and a
fine resolution (10km) downscaling of the NCEP/NCAR reanalysis (CaRD-10,
performed by Kanamitsu and Kanamaru at SIO) over California were compared.
Modeled Precipitation
• Models don’t do heavy precipitation tails.
• Untreated modeled daily extremes may be
sensitive to climate only where observed
precipitation tails are exponential.
• Dynamical and/or statistical correction may
be possible for other locations.
• However, with climate change, nonstationarity is a big issue.
Climate Change Challenges
The choice between heavy tailed and exponentially tailed models
is of a qualitative nature. The heavy tailed distributions have
much larger high percentiles relative to the rest of the data
values than the exponentially tailed ones. That implies that in
places where heavy tailed models are appropriate, the future
large events may be much larger than those observed up to
date. The exponentially tailed models of precipitation will not
be able to predict very large (relative to the observed data)
events, because their mathematical properties do not allow
such extremes.
There is also the problem of non-stationarity…