Week 9 Value at Risk
VaR的基本特点

VaR方法仅在市场处于正常波动的状态下才有
效，而无法准确度量极 端情形的风险;

VaR是在某个综合框架下考虑了所有可能的市
场风险来源后得到的一 个概括性的风险度量值，
而且在置信度和持有期给定的条件下，VaR 值
越大，说明组合面临的风险就越大，反之则说
明组合面临的风险越 小;



由于VaR可以用来比较分析由不同的市场风险
因子引起的、不同资产 组合之间的风险大小，
所有VaR是一种具有可比性的风险度量指标;
在市场处于正常波动的状态下，时间跨度越短，
收益率就越接近于正 态分布，此时，假定收益
率服从正态分布计算的VaR比较准确、有效;
置信度和持有期是影响VaR值的两个基本参数。
1. 组合收益率分布的确定方式

概率分布的确定一般有两种方式：
a. 直接假定收益率服从某一概率分布，通常假定
收益率服从正态分布；
注：实际分布往往不符合正态分布，但持有期越
短，正态分布假设 下计算的VaR值就越有效、
可靠。 因此，在正态分布假设下应选择较短的
持有期。
b. 用组合的历史样本数据来模拟收益率的
概率分布，需考虑数据的可得性和有效
性。
注： 持有期越长，需要考察的历史数据的
时间跨度就越长，出现的问题和困难就
越多。因此，此时也应选择较短的持有
期
2. 组合的市场流动性和头寸交易频繁程度
由于计算VaR时一般都假定持有期内组合的头寸保
持不变，所以无视持有期内组合头寸的变化而得
到的VaR值并不可靠。因此，持有期的选择必须
考察交易头寸的变动情况：
（i) 市场流动性越强，交易就越容易实现，金融交
易者越容易适时调 整资产组合，头寸变化的可能
性也就越大，此时，为保证VaR值 的可靠性，应
选择较短的持有期;


市场流动性较差，金融交易者调整头寸的
频率和可能性比较小，则宜选择较长的持
有期;
金融交易者一般会在很多不同的市场上持
有资产头寸，而不同市 场的流动性差异很
大，此时，金融交易者应根据组合中比重
较大 的头寸的流动性来设定持有期。
1天持有期与N天持有期的关系
影响置信度选取的几个因素

历史数据的可得性和充分性；

VaR的用途；

比较分析的方便性。
历史数据的可得性和充分性
在实际应用中，我们常常要以历史数据为基础来
计算VaR。置信度设定得越高，意味着VaR值就越
大，为保证VaR计算的可靠性和有效性，所需要
的历史样本数据就越多。
然而，过高的置信度使损失超过VaR的事件发生
的可能性很小，因而， 损失超过VaR的历史数据
就很少。因此，为保证VaR的可靠性、有效性和
可计算性，必须根据历史样本数 据的可得性和充
分性，选取一个合适的置信度。
VaR的用途


如果只是将VaR作为比较不同部门或公司所面临
的市场风险，或者同一部门或公司所面临的不同
市场风险的尺度，那么所选择的置信度的大小本
身并不重要，重要的是所选择的置信度能否确保
VaR的可靠性和有效性，而这就取决于之前说的
历史数据的可得性和充分性；
如果金融机构是以VaR为基础确定经济资本需求，
则置信水平的选择和设定极为重要，这主要依赖
于金融机构对风险的厌恶程度和损失超过 VaR的
成本。风险厌恶程度越高，则弥补损失所需要的
经济资本量越 大，因而所选择的置信度也应越高，
反之则可以选择较低的置信度。
比较分析的方便性


由于人们经常要利用VaR对不同金融交易者的
风险进行比较分析，而不同置信度下的VaR值
的比较没有意义，所以置信度的选择和设定，
还需要考虑比较分析的方便性；
如果存在着标准的转换方式（如收益率正态分
布），可以方便地 将不同置信度下的VaR值转
换成同一置信度下的VaR值，则置信度的选 择
就变得不那么重要。
二、VaR的计算方法
VaR的计算方法
（一）收益率映射估值法
根据组合价值变化的确定方式不同，有两种
VaR：
（1）绝对VaR– 以组合的初始值为基点考察
持有期内组合的价值变化；
（2）相对VaR– 以持有期内组合的预期收益
为基点考察持有期内组合的价值变化。
（1）绝对VaR
（2）相对VaR
1. 组合收益率服从正态分布的绝对VAR计算
2. 组合中资产收益率服从正态分布的绝对VAR
3. 资产组合的VaR计算
4.VaR的时间加总问题
四、VaR的扩展
尽管VaR可以有效地描述组合的整体风险状况，但
对金融交易者来说， 可能还远远不够，因为实际
中的金融交易者经常要根据市场情况不断地 对组
合中各资产的头寸进行调整这就需要金融交易者
进一步了解构成组合的每项资产头寸以及每项资
产 头寸的调整变化对整个组合风险的影响。
于是，我们将VaR扩展到：边际VaR、增量VaR、
成本VaR、条件VaR（ES, expected tail loss, ETL)和
coherent risk measure。
1.边际VaR（Marginal VaR，M-VaR）
2.增量VaR（Increment VaR，I-VaR）
增量VaR的计算
3.成分VaR（Component VaR，C-VaR）
成分VaR的特征


资产组合中所有资产的成分VaR之和恰好等于
资产组合的VaR；
资产i 的成分VaR恰好为资产i 对组合VaR的贡献
份额，即在一个大的 资产组合中，成分VaR等
于增量VaR。
4. Expected (ES)
(1) ES is also called conditional value at risk
(CVaR), average value at risk (AVaR), and
expected tail loss (ETL).
(2) The "expected shortfall at q% level" is the
expected return on the portfolio in the worst q% of
the cases.
(3) ESα=(1/α){ ∫0αVaRb(X)db
=- (1/α){E[XI(X≦xα)+xα[α-P(X ≦xα)]}.
Examples
Example 1: If we believe our average loss on the worst
5% of the possible outcomes for our portfolio is EUR
1000, then we could say our expected shortfall is
EUR 1000 for the 5% tail.
Example 2: Consider a portfolio that will have the
following possible values at the end of the period:
Ending value 0
probability
10%
80
30%
100
40%
150
20%
Suppose that we paid $100 at the beginning of the period,
then
profit
probability
-100
10%
-20
30%
0
40%
α
ESα
5%
-100
10%
-100
20%
-60
50
20%
40% 100%
-40 -6
Coherent risk measure
Coherent risk measure: a function f that satisfies
properties of monotonicity, sub-additivity,
homogeneity, and translational invariance.
(1) Monotonicity: if Z1≦Z2, then f(Z2) ≦f(Z1).
That is, if portfolio Z2 always has better values
than portfolio Z1 under all scenarios then the risk
of Z2 should be less than the risk of Z1.
(2) Sub-additivity: f(Z1+Z2) ≤f(Z1)+f(Z2).
Indeed, the risk of two portfolios together cannot get any worse
than adding the two risks separately: this is the diversification
principle.
(3) Positive homogeneity: if a≧0, then f(aZ)=af(Z).
Loosely speaking, if you double your portfolio then you
double your risk.
(4) Translation invariance: if a∈R, then f(Z+a)=f(Z)-a.
The value a is just adding cash to your portfolio , which acts
like an insurance: the risk of Z+a is less than the risk of Z,
and the difference is exactly the added cash a. In particular, if
a=f(Z) then f(Z+f(Z))=0 .