Model Inti
• Ada dua model terkeneal untuk
menggambarkan energi ikat,ukuran dan
energetik inti serta stabilitas isotop.
– Liquid drop model (sticky billiard balls), model tetes
cair
– The shell model(Model Sel),analogi dengan
perlakuan elektron atrom
• Kedua model sangat berbeda tetapi mempunyai
kegunaan masing-2
Model Tetes Cair
• Gaya inti tolak menolak untuk jarak pendek
dan tarik menarik untuk jarak panjang( tetapi
stabil sekitar 2-3 fm). Gaya ini mirip gaya antar
molekul air.
– Air tak dapat dimanpatkan (roughly
incompressible) dan mempunyai tegangan muka.
– Partikel interaksi melalui “contact force”: hanya
interaksi dengan partikel disekitar yg terdekat.
Bayangkan bola pejal bilyard.
Energi Ikat Model Tetes Cair
Ide utama adalah bahwa energi ikat total
tergantung pada jumlah pasangan nukleon
:nukleon bagian dalam mempunyai tetangga
lebih banyak sehingga berkontribusi banyak
terhadap energi ikat.
•Suku Volume: Dengan mengabaikan nukleon
permukaan maka energi ikat total proposional
dengan nomor massa inti.
• Suku Permukaan
– Nukleaon pada permukaan mempunyai lebih
sedikit tetangga sehingga kita perlu suku
koreksi untuk mengurangi energi ikat
keseluruhan. Jumlah nukleon pada permukaan
proposional dengan luas permukaan sehingga
(luas permukaan proposional dengan volume
pangkat 2/3)
• Suku Coulomb
– Perlu diperhitungkan bahwa proton saling
tolak menolak karena gaya Coulomb
• Energi potensial proton pada pusat bola dengan
jejari R dan muatanQ = (z-1)e adalah:
• Ada Z proton, dan tidak semua di pusat
maka energi potensianyal :
• Karen enegi ikat merupakan negatip energi
potensial maka
• Suku Asymmetry :
– Nukleon berada pada tingkat energi(akan
diterangkan pada Model Sel) dan karena
prinsip eksklusi bahwa hanya dua fermion
dapat memenuhi per tingkat. (berlaku untuk
proton dan neutron). Energi terendah
ditempati dengan N yang hampir sama Z.
– Anggap tingkat-2 energi berjarak
– Jika awalnya Z=N dan kemudian j nukleon satu
jenis menjadi nukleon jenis lain,maka nukleon
harus mengisi tingkat energi lebih tinggi. Hal
ini mensyaratkan kenaikan energi sebesar
• Jarak tingkat energi proposional dengan
energi Fermi dibagi jumlah nukleon
j = (N-Z)/2
• Semua suku digabung maka diperoleh
energi ikat semi empiris:
• Energi Ikat Semi-Empiris:
+η untuk N,Z genap
-η untuk N,Z ganjil
η=11A1/2
η=0 untuk A ganjil
• Formula Massa Semi-Empiris
• Substitusikan Z ke B(A,Z), kita dapat
tentukan B(A)/A dan menemukan harga
maksimumnya yg terjadi secara teoritis
pada A=63 dan secara eksperimental A=62
dan A=58.
c1 = 15.8
c2 = 17.8
c3 = 0.71
c4 = 23.7
(all in MeV)
• Dg maksimumkan B(A,Z) terhadap Z, kita dapat
menemukan unsur paling stabil untuk A tertentu.
Untuk harga A kecil, maka Z sekitar A/2. Untuk
harga A lebih besar Z lebih kecil A/2 (utamanya
dikarenakan Suku Coulomb repuls).
• Model Tetes Cair sangat bagus tetapi ini
hanya pendekatan:
– Tidak semua inti speris
– Nucleon dapat dimanpatkan(compressible)
– Gaya kuat tidak tidak hanya pada gaya
tetangga terdekat.
– Struktur sel lebih rumit dari struktur
sederhana bola gas Fermi
– Gaya inti tergantu pada ‘spin-orbit coupling’!
The Shell Model
• Quantum-mechanical treatment
• Similar to treatment of multi-electron atoms.
– Solve Schroedinger equation for a nucleon given
the smeared-out potential due to the other
nucleons. 2 2

 
 V ( x)  E
2
2m x
or
Hˆ   E
– Nucleons not modeled as billiard balls
• Independent particle approximation: Other nucleons
determine a potential field. Each nucleon interacts with
this potential field rather than with individual other
nucleons (no collisions!).


2
 
2
2 m x
2
 V ( x )  E 
or
Hˆ   E 
Potential Energy Distribution
• Determining V(r) that each nucleon sees
depends on both PE due to nuclear force and
(for protons) the coulomb potential energy
• PE due to nuclear force
– form is rather speculative
– crude model is a spherically-symmetric finite
potential well
– more accurate model accounts for probability
distribution which determines the nuclear density.
Nuclear Potential Functions
• Square Well Potential
V ( r )  V 0 (r  R),
V ( r )  0 (r  R)
• Harmonic Oscillator Potential
  r 2 
V ( r)  V 0 1    
 R  
• Woods-Saxon
V ( r) 
•
V0
1 e
 r  R 


 a 
Note: R = nuclear radius
r = distance from center of nucleus
Exponential Potential
V ( r)  V 0 e

r
R
• Gaussian Potential
V ( r)  V 0 e
• Yukawa Potential:

r
2
R
2


r



e R

V ( r )  V 0 


r

1
.0






 R

16
Nuclear Potential Functions
Yukawa
Exact shape of well is
uncertain and depends
on mathematical function
assumed for the interaction
Exponential
Gaussian
Square Well
17
• common model is to use (Woods-Saxon)
• For model to work, two other terms are
added
– LS coupling term
– Symmetry energy term
• Coulomb Term
– Treat nucleus as uniformly charged sphere of
radius Rc and charge (Z-1)e.
(for Z>> 1)
• Potential well for neutrons doesn’t contain
the coulomb potential, so its well is 1-2
MeV (for lightest nuclei) to 30 MeV (for the
heaviest nuclei) lower than that of the
protons.
• Solve Schroedinger equation for a particle
in the appropriate potential well, and find
eigenenergies.
• To reproduce observed magic numbers
(number of protons and/or neutrons in
very stable nuclei), an LS-coupling term
was added to the potential (nuclear force
depends on L and S; not a magnetic effect).
• Results:
– rules for l is
not limited
to n as it is
for atoms
– Magic
Numbers:
closed shells
• very stable
• closed
shells
• most
abundant
nuclides
http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld3_E/3Part2_E/3P26_E/shell_model_E.htm
Neutron vs Proton Potential Wells
Coulomb repulsion
prevents potential well
from being as deep for
protons as for neutrons
24
• Doubly magic nuclei: Nuclei which have
both neutron number and proton number
equal to one of the magic numbers.
– Very stable.
– High binding energies
• LS coupling term in nuclear potential has
nothing to do with magnetic fields.
• For heavy nuclei, fewer protons than
neutrons due to coulomb potential.