Chapter 2
-
การให้เหตุผลแบบ
อุปนัย
การให้เหตุผลแบบนิร
นัย
แผนภาพของเวนน-์
ออยเลอรตรวจสอบ
์
2
Chapter 2
Section1:
Inductive Reasoning
Section2:
Deductive Reasoning
Section3:
Venn-Euler Diagram
Section4:
Exercises
3
Section1
Inductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบอุปนัย)
 การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็ นการให้เหตุผล
โดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่ พบเห็นไปสู่
ความจริง ที่เ ป็ น ส่ ว นรวม เช่ น เราสัง เกตเห็น ว่ า ทุก ๆเช้า พระอาทิต ย์จ ะขึ้ นทางทิศ
ตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก เราจึงสรุปว่า “พระอาทิตย์ข้ ึน
ทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก”
 ในวิชาคณิ ตศาสตร์ ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย
เพื่อช่วยสรุปคาตอบหรือ ช่วยในการ
แก้ปญั หา เช่น สังเกตรูปแบบของจานวน 2,4,6,8,10 เราสามารถหาจานวนนับ
ถัดจาก 10 อีกสามจานวน โดยใช้ขอ้ สังเกตจากแบบรูปจานวน 2 ถึง 10 ว่ามีค่า
เพิม่ ทีละ 2 ดังนัน้ จานวนทีถ่ ดั จาก 10 ไปอีกสามจานวนคือ 12,14,16 ซึ่ง
การหาจานวนนับอีกสามจานวนที่ได้มาจากการสังเกตที่กล่าวมาเป็ นตัวอย่ างของการให้
เหตุผลแบบอุปนัย Inductive Reasoning
4
Section1
Inductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบอุปนัย)
 การให้เหตุผลแบบอุปนัย
หมายถึง วิธกี ารสรุปผลในการค้นหาความจริง
จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆครัง้ จากกรณีย่อยๆ แล ้วนามาสรุป
เป็ นความรูแ้ บบทัว่ ไป
 Inductive
Reasoning is the process of
making a generalization based on a
limited number of observations or
examples.
5
Section1
Example
Fill in each blank.
(a)
(b)
(c)
8
(a)
(d)
16
(b)
(c)
(e)
30
(d)
(e)
6
Section1
Example
Fill in each blank and cheek the answer.
9x9
99 x 9
999 x 9
_______
_______
= 81
= 891
= 8,991
= _______
= _______
1
1+3
1 + 3 +5
_______
_______
= ( )2
= ( )2
= ( )2
= _______
= _______
7
Section1
Example
Fill in each blank and consider the multiple.
1 x 3 = _____
1 x 5 = _____
1 x 7 = _____
1 x 9 = _____
7 x ____ = 35
9 x ____ = 45
11 x ____ = 55
13 x ____ = 65
3 x ____ = 15
3 x ____ = 21
3 x ____ = 27
3 x ____ = 33
7 x ____ = 63
7 x ____ = 77
7 x ____ = 91
7 x ____ = 105
The multiple of odd number and odd number is
that odd number too. By Inductive Reasoning
8
Section 2
Deductive Reasoning
(การให้เหตุผลแบบนิรนัย)
การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็ นการนาความรูพ้ ้นื ฐานซึง่ อาจเป็ นความเชื่อ ข้อตกลง
กฎ หรือบทนิยาม ซึง่ เป็ นสิง่ ทีร่ ูม้ าก่อนและยอมรับว่าเป็ นจริง เพือ่ หาเหตุผลนาไปสู่
ข้อสรุป เช่น
•
•
•
ถ้า
และ
แล้ว
1) จานวนคู่หมายถึงจานวนทีห่ ารด้วย 2 ลงตัว
2) 10 หาร ด้วย 2 ลงตัว
3) 10 เป็ นจานวนคู่
เรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 1) และ 2) ว่า “เหตุ” หรือ “สมมติฐาน”
และเรียกข้อความหรือประโยคในข้อ 3) ว่า “ผล”
9
Section 2
Example
Ex1.
เหตุ
ผล
Ex2.
เหตุ
ผล
Ex3.
เหตุ
ผล
1) รูปสี่ เหลีย
่ มดานขนานเป็
นรูปสี่ เหลีย
่ มทีม
่ ด
ี านตรงข
ามข
้
้
้
2) รูปสี่ เหลีย
่ มขนมเปี ยกปูนเป็ นรูปสี่ เหลีย
่ มทีม
่ ด
ี านตรงข
า้
้
มีดานแต
ละด
านยาวเท
ากั
้
่
้
่ น และไมมี
่ มุมใดเป็ นม
รูปสี่ เหลีย
่ มขนมเปี ยกปูนเป็ นรูปสี่ เหลีย
่ มดานขนาน
้
1) คนทีไ่ มมี
่ หนี้สินและมีเงินฝากธนาคารมากกวา่ 10 ลา้
2) คุณมานะ ไมมี
่ หนี้สินและมีเงินฝากธนาคาร 11 ลาน
้
คุณมานะ เป็ นเศรษฐี
1) To day is Tuesday
2) Yesterday is Monday
Tomorrow is Wednesday
10
Section 2
Consider.
1) เรือทุกลาลอยน้าได้
2) ถังน้าพลาสติกลอยน้าได้
ผล ถังน้าพลาสติกเป็ นเรือ
การสรุปผลขางต
นไม
สมเหตุ
สมผล แมว
อเหตุทง้ั ส
้
้
่
้ าข
่ ออ
้ างหรื
้
แตการที
เ่ ราทราบวา่ เรือทุกลาลอยน้าได้ ก็ไมได
่
่ หมายควา
้
ลอยน้าไดจะต
องเป็
นเรือเสมอไป ขอสรุ
ปในตัวอยางข
างต
น
้
้
้
่
้
้
ไมสมเหตุ
สมผล
่
สรุปวา่
Ex4.
เหตุ
การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผล หรือ ข้อสรุป
จะถูกตอง
ก็ตอเมื
่
้
่ อ
1) ยอมรับวาเหตุ
เป็ นจริงทุกขอ
่
้
2) การสรุปผลสมเหตุสมผล
11
Section 2
Example
Write each of the following
statement in if-then form.
(a) All students want the option to earn extra credit.
(b) All rectangles have four sides.
Answer.
a) If you are student, then you want the option
to earn extra credit.
b) If a figure is a rectangle, then it has four sides.
12
Section 3
Venn-Euler Diagram
(แผนภาพของเวนน-ออยเลอร
)์
์
การตรวจสอบวาข
ป สมเหตุสมผลหรือไมนั
่ อสรุ
้
่ ้น
สามารถตรวจสอบไดหลายวิ
ธ ี แลวแต
ลั
้
้
่ กษณะของ
ขอความที
ก
่ าหนดมาให้ วิธห
ี นึ่งคือการวาด
้
แผนภาพตามสมมติฐานทีเ่ ป็ นไปได้ แลวจึ
้ ง
พิจารณาวาแผนภาพแต
ละกรณี
แสดงผลสรุปตามที่
่
่
สรุปไวหรื
้ อไม่ ถ้าแผนภาพทีว่ าดกรณีทเี่ ป็ นไปได้
ทุกกรณีแสดงผลตามทีก
่ าหนด จึงกลาวได
ว
่
้ าการ
่
สรุปผล สมเหตุสมผล แตถ
่ ้ามีแผนภาพทีไ่ ม่
แสดงผลตามทีส
่ รุปไว้ การสรุปผลนั้นจะไม่
สมเหตุสมผล และวิธก
ี ารทีใ่ ช้การตรวจสอบการ
สมเหตุสมผลทีก
่ ลาวมา
เรียกวา่
่
13
Section 3
ตัวอยางของข
อความและแผนภาพที
แ
่ สดงความหมายของข
่
้
อางเหตุ
ผลทีใ่ ช้ในการอางเหตุ
ผลส่วนใหญ่ ไดแก
้
้
้ ่
ข้อความ
สมาชิกของ A ทุกตัว
เป็ น
สมาชิกของ B
เช่น สั ตวเลี
้ งลูกดวยนมทุ
กตัว
้
์ ย
เป็ นสั ตวเลื
่
์ อดอุน
ไมมี
เป็ น
่ สมาชิกของ A
สมาชิกของ B
เช่น ไมมี
่ ห
ี ู
่ นกตัวใด ทีม
มีสมาชิกของ A บางตัว
เป็ น
สมาชิกของ B
เช่น คนบางคนสุขภาพแข็งแรง
สมาชิกของ A บางตัว
ไม่
แผนภาพ
A
B
A
B
Section 3
14
นอกจากนี้ยงั มีขอความที
ใ่ ช้ในการอางเหตุ
ผล อีกสองแบบคือ
้
้
ข้อความ
มีสมาชิก ของ A ตัวหนึ่งทีเ่ ป็ น
สมาชิกของ B
แผนภาพ
A
B
a
เช่น สุนข
ั ของฉันเป็ นพันธไทยแท
์
้
B
B
มีสมาชิกของ A ตัวหนึ่งทีไ่ มเป็
่ น
สมาชิกของ B
หรือ
A
a
a
A
เช่น สุนข
ั ของพิมพไม
ั พันธุไทย
์ ใช
่ ่ สุนข
์
การใช
่ ตรวจสอบความสมเหตุสมผ
แท้
้แผนภาพของเวนน-ออยเลอร
์
์ เพือ
วาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีทเี่ ป็ นไปได้ ถาทุ
้ กกร
กาหนด จึงกลาวว
า่ ขอสรุ
ปนั้นสมเหตุสมผล แตถ
ี่ ผ
่
้
่ ามี
้ บางกรณีทแ
ผลสรุปแลว
สมเหตุ
สมผล
้ ผลสรุปดังกลาวจะไม
่
่
15
Section 3
Example
เหตุ
ผล
1) ผู้อานวยการโรงเรียนทุกคนเป็ นคนรวย
2) นายจักรกฤษ เป็ นผู้อานวยการโรงเรียน
นายจักรกฤษ เป็ นคนรวย
คนรวย
ผอ.
โรงเรียน
จากแผนภาพ ผลสรุปทีก
่ ลาวมาว
า่
่
นายนายจักรกฤษ เป็ นคนรวย
สมเหตุสมผล
• นายจัก
รกฤษ
16
เหตุ
ผล
Section 3
Example
1) นักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
2) นายนรินทร ์ เป็ นคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
นายนรินทร ์ เป็ นนักกีฬา
1) เขียนแผนภาพแทนนักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
กาหนดให้ H แทนคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
S แทนนักกีฬา
H
S
Section 3
17
เหตุ
ผล
Example
1) นักกีฬาทุกคนเป็ นคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
2) นายนรินทร ์ เป็ นคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
นายนรินทร ์ เป็ นนักกีฬา
2) เขียนแผนภาพเพือ
่ แสดงวานายนริ
นทร ์ เป็ นคนทีม
่ ส
ี ุข
่
กาหนดให้
A
H
S
นาย
นรินทร ์
H แทนคนทีม
่ ส
ี ุขภาพดี
S แทนนักกีฬา
B
หรือ
H
S
นายนรินทร์
กแผนภาพ B นายนรินทรไม
ว
่ เป็
้ นนักกีฬา แตมี
่ สุขภาพดี หรือกลาวได
่
้ า่
์ ได
ผลสรุปทีว่ านายนริ
นทร ์ เป็ นนักกีฬา ไมสมเหตุ
สมผล
่
่
18
Section 3
Use deductive reasoning to fill in a conclusion that
follows from the given statements,
and draw a Venn-Euler diagram.
All rectangles are parallelograms.
All parallelograms are quadrilaterals.
Conclusion : All rectangles are quadrilaterals.
Quadrilaterals
Parallelograms
Rectangles
19
Section 3
Example
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
Hypotheses :
Conclusion :
Two is a whole number.
All whole numbers can be written as fractions.
________________________
Answer. Two can be written as a fractions.
• 2
Whole numbers
Fractions
20
Section 3
Example
If a number is negative, then it is less then 10.
In part (a) and (b), assume the following if-then statement
is true.
(a) -5 is a negative number. What can you conclude?
(b) 12 is not less then 10. What can you conclude?
(c) Draw a Venn-Euler Diagram that show why your
conclusion to part (a) is true.
(Hint: The first statement is the same as “All negative
numbers are also numbers less then 10.”
(d) Draw a Venn-Euler Diagram that show why your
conclusion to part (b) is true.
21
Section 3
Answer
(a)-5 is less then 10.
(b)12 is not a negative number.
(c)
(d)
• 12
• -5
Negative numbers
Numbers less then 10
Negative numbers
Numbers less then 10
Section 4
22
Exercises 1
Pattern1
Pattern 2
Pattern 3
a) How to pattern 4 ,
Find the answer as many different ways as you can.
b)
How many green triangle are in pattern 4
23
Section 4
Exercises 2
x
y
1
1
2
3
3
6
4
5
10 15
(a)When x = 6 , y =______ .
(b)When x = N , y =______ .
6
N
24
1+8  1= 32
Section 4
Exercises 3
1+8  3= 52
1+8  6= 72
(a)What would the next equation be if the pattern
continued ? , Is this equation true ?
(b)A general formula for these equation is
1+8
n(n+1)
2
= (2n+1)
2
Show that the two sides of this equation are equal.
25
22 – 12 = 3
Section 4
Exercises 4
32 – 22 = 5
42 – 32 = 7
(a) If the pattern continues, what is the next equation? , Is the
next equation true ?
(b) Complete the following generalization for any counting
number c.
c2 - __________ = ____________.
(c) Show that your equation in part (b) is true.
(d) Part (b) involves ___________________ reasoning.
and part (c) involves ___________________ reasoning.
26
1 = ( )2
Section 4
Exercises 5
1+3 = ( )2
1+3+5 = ( )2
(a) Fill in the missing number. (Recall that n2= n x n)
(b) Draw geometric dot pictures of the three sums that show the
pattern (Hint: Use squares.)
(c) What would the next equation be if the pattern continued?
Is this equation true?
(d) The sum of the first three odd number is _________ squared.
(e) The sum of the first four odd number is _________ squared.
(f) Write a generalization for any counting number N, based on
parts (d) and (e)
(g) Part (f) involves _______ reasoning.
(h) Use your generalization to compute 1+3+5+7+…+79
Section 4
27
Exercises 6
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
(1)
Hypotheses :
All people are mortal.
Socrates is a person.
Conclusion :
________________________
(2)
Hypotheses :
All doctors are college graduates.
All college graduates finish high school.
Conclusion :
________________________
Section 4
28
Exercises 6
Represent the two hypotheses in a Venn-Euler
Diagram and deduce the conclusion.
(3)
Hypotheses :
A square is also a rectangle.
All rectangle have six sides.
Conclusion :
________________________
(4)
Hypotheses :
All cockroaches are young.
All young things are beautiful.
Conclusion :
________________________
Section 4
29
Exercises 7
Decide whether or not the third statement can be
deduced from the two hypotheses.
(1)
Hypotheses :
Maria is taller than Ana.
Ana is taller than Jelena.
Conclusion :
Maria is taller than Jelena.
(2)
Hypotheses :
Maria beat Ana at tennis.
Ana beat Jelena at tennis.
Conclusion :
Maria will beat Jelena at tennis.
30
Section 4
Exercises
What conclusions can be drawn about
Sandy on the basis of the following
diagram ?
Dogs
White
Male
Dachshunds
• Sandy
31
เอกสารอางอิ
ง
้
 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรและ
์
เทคโนโลยี, กระทรวงศึ กษาธิการ, หนังสื อ
เรียนสาระการเรียนรูพื
้ ฐาน คณิตศาสตร ์
้ น
เลม๑
ชัน
้ มัธยมศึ กษาปี ท๔
ี่ . โรงพิมพคุ
่
์ รุสภา
ลาดพราว,
กรุงเทพมหานคร, ๒๕๔๗.
้
 Thomas Sonnabend., MATHEMATICS
FOR TEACHER.
Charles Van
Wagner, Canada, 2010.