1. La mesure de la corrélation.
Nous avons parlé de la nature de la corrélation, maintenant nous allons mesurer la corrélation
plus précisément avec le coefficient de corrélation r (coefficient de Pearson).
Pour n couples donnés des valeurs x et y
Le coefficient de corrélation de Pearson se calcule de la façon suivante :
où 𝑥𝑥̅ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦� sont des valeurs moyennes des variables x et y et le symbole ∑ signifie une
sommation (somme des valeurs).
Pour trouver cette valeur vous aller utiliser la calculatrice.
Les valeurs de r sont entre – 1 et 1.
Le signe de r explique la direction de la corrélation.
Si r est négatif (respectivement positif) alors la corrélation est négative (positive).
La valeur de r (sans voir le signe) explique la nature de la corrélation.
Exemple d’utilisation de la calculatrice pour trouver le coefficient de la corrélation.
D’abord on saisit les données
STAT
1 :EDIT
Sur la liste L1 mettre les valeurs de l’axe OX, sur la liste L2 mettre les
valeurs de l’axe OY.
On vérifie la graduation sur les axes
On choisit l’option Plot pour les graphiques statistiques
Pour trouver le coefficient de corrélation et l’équation de la droite de
régression : STAT
CALC
LinReg L1, L2.
2.
La droite de régression trouvée visuellement.
S’il existe une forte corrélation entre les variables x et y, alors on peut tracer la droite de
régression à vue d’œil. Mais chaque personne trace cette droite à sa façon. Pour tracer cette
droite il faut suivre les étapes suivantes :
Etape 1 : calculer 𝑥𝑥̅ la moyenne des valeurs de x, 𝑦𝑦� la moyenne des valeurs de y.
Etape 2 : placer sur le diagramme le point moyen des coordonnées (𝑥𝑥̅ ; 𝑦𝑦�).
Etape 3 : tracer passant par le point moyen la droite passant le plus proche des points du
diagramme.
Reprenons le problème posé à la page 1.
Répondez à la question d)
Tracez sur le diagramme de la page 1 la droite de régression trouvée visuellement.
Vérifiez votre résultat avec le diagramme suivant
3. Interpolation et extrapolation.
Exemple. Après la prise d’un médicament, la concentration de ce produit dans le sang est mesurée.
On pence qu’il y a une corrélation linéaire entre les heures passées après la prise du médicament et
la concentration de ce produit dans le sang. Voilà les résultats d’analyse.
Les heures après la prise,
x (h)
Concentration,
Y
0
1
2
3
4
5
6
2,4
4,3
5
6,9
9,1
11,4
13,5
a) Représentez les données à l’aide d’un nuage des points et tracez la ligne de
régression.
b) Donnez l’équation de cette droite.
c) Trouvez la concentration après 3,5h. Ce processus s’appelle interpolation (prédire la
valeur de y en utilisant la valeur de x entre xmin et xmax).
d) Quelle sera la concentration 8h et 20h après la prise du médicament ? Ce processus
s’appelle extrapolation (prédire la valeur de y en utilisant la valeur de x
n’appartenant pas à [ xmin ; xmax]). Discutez les résultats.
On peut remarquer que :
-
La précision des résultats de l’interpolation dépend de la linéarité des valeurs
données ; c’est – à – dire de la valeur de r.
-
La précision des résultats d’extrapolation ne dépend pas seulement de la
linéarité des valeurs données c’est – à – dire de la valeur de r mais aussi de la
tendance de la corrélation à l’extérieur de l’intervalle [ xmin ; xmax].
Exercice
15 élèves ont mesuré leur poids et leur pouls. Voici les résultats
a) Représentez les données sur le diagramme.
b) Calculez r.
c) Décrivez la relation entre le poids et le pouls.
d) Calculez le point moyen (𝑥𝑥̅ ;𝑦𝑦�).
e) Placez sur le diagramme le point moyen et tracez la droite de régression trouvée
visuellement.
f) Estimez le pouls d’un élève de 65 kg. Expliquez la validité du résultat obtenu.
Les valeurs aberrantes
Une valeur aberrante est une valeur nettement supérieure ou inférieure à la
plupart des valeurs des données.
Une valeur est considérée être aberrante si :
elle se situe à plus de 1,5 × l’écart interquartile (EI) du plus proche quartile.
Une valeur est aberrante si :
ou
𝒗𝒗 > 𝑸𝑸𝟑𝟑 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 × 𝑬𝑬𝑬𝑬
𝒗𝒗 < 𝑸𝑸𝟏𝟏 − 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 × 𝑬𝑬𝑬𝑬
Exemple 1 :
a) Utilisez votre CEG, pour trouver la médiane ainsi que les quartiles supérieurs
et inferieur pour les données suivantes :
46, 47, 44, 37, 43, 47, 48, 51, 52, 43, 53, 46, 53, 47, 44, 54, 47
b) Tracez une boite à moustache pour ces données.
c) Déterminez si 37 est une valeur aberrante.
Exemple 2 :
Les données relatives aux pointures de chaussures pour un groupe de personnes
sont indiquées dans le tableau.
a) Utilisez votre CEG, pour trouver la médiane ainsi que les quartiles supérieurs et
inférieurs pour les pointures des femmes et hommes :
Pointure
34
36
37
38
39
40
41
42
49
Femmes
2
2
10
8
7
3
0
0
0
Hommes
0
0
3
7
12
9
3
1
1
b) Commentez l'existence éventuelle de valeurs aberrantes.
Remarque :
Les élèves doivent savoir que, selon le contexte, certaines valeurs aberrantes
seront valides dans l’échantillon, tandis que d’autres valeurs aberrantes pourront
être des erreurs dans l’échantillon.
Ex 1 :
Si les tailles de 15 garçons, en cm, sont :
174 ; 166 ; 182 ; 177 ; 164 ; 382 ; 175 ; 170 ; 181 ; 173 ; 168 ; 172 ; 166 ; 172 ; 176.
Il est évident qu’il existe une erreur de mesure, car un garçon ne peut pas avoir une
taille de 382 cm.
Dans ce cas 382 est une valeur aberrante à éliminer.
Ex 2 :
On suppose que les résultats d’un test pour sept étudiants sont :
20% ; 22% ; 18% ; 30% ; 26% ; 89% ; 21%.
Si les données sont vérifiées et l’étudiant qui a obtenu 89% n’était pas une erreur.
Dans ce cas cette valeur aberrante est significative et doit être maintenue.
Cela a pour explication que le test n’était pas difficile, mais six des sept étudiants
ne s’étaient pas préparés correctement.
Effets d’une modification constante sur toutes les données
d’origine
Exemples :
1) Si à chacune des données d’origine, on ajoute (ou soustrait) une même
valeur (3 par exemple), la moyenne augmente (ou diminue) de ce nombre
(3 comme choisi), mais l’écart type n’est pas modifié.
2) Si chacune des données d’origine est multipliée (ou divisée) par une
même valeur (2 par exemple), la moyenne et l’écart type sont également
multipliés (ou divisées) (2 comme choisi).
Méthodes d’échantillonnages
1. Échantillonnage aléatoire simple
2. Échantillonnage systématique
3. Échantillonnage par quotas
4. Échantillonnage stratifié
5. Échantillonnage de commodité (échantillonnage accidentel)
Échantillonnage aléatoire simple (EAS)
Chaque membre d'une population a une chance égale d'être inclus à l'intérieur de l'échantillon.
Chaque combinaison de membres de la population a aussi une chance égale de composer
l'échantillon. Ces deux propriétés sont ce qui définit un échantillonnage aléatoire simple.
Échantillonnage systématique (SYS)
Parfois appelé échantillonnage par intervalles, l'échantillonnage systématique (SYS) signifie qu'il
existe un écart, ou un intervalle, entre chaque unité sélectionnée qui est incluse.
Échantillonnage par quotas
C’est une méthode d’échantillonnage non aléatoire. Elle est basée sur la répartition connue de la
population pour un certain nombre de caractères (sexe, âge, catégorie socioprofessionnelle…).
L’échantillon est construit en respectant la distribution de la population, il est choisi de façon à
constituer une image aussi fidèle que possible de la population totale.
On fait l’hypothèse que si l’échantillon est représentatif pour les caractères de contrôle, il le sera
aussi pour la variable étudiée.
Échantillonnage stratifié
Lorsqu'on utilise l'échantillonnage stratifié, on divise la population en groupes homogènes
(appelés strates), qui sont mutuellement exclusifs, puis on sélectionne à partir de chaque strate
des échantillons indépendants. On peut utiliser n'importe quelle des méthodes d'échantillonnage
mentionnées dans la présente section (et il en existe d'autres) pour sélectionner l'échantillon à
l'intérieur de chaque strate. La méthode d'échantillonnage peut varier d'une strate.
Échantillonnage de commodité (échantillonnage accidentel)
L’échantillonnage de commodité est une technique d’échantillonnage non probabiliste où les
sujets sont sélectionnés en raison de leur accessibilité pratique et de leur proximité avec le
chercheur.
Les sujets sont sélectionnés uniquement parce qu’ils sont plus faciles à recruter pour l’étude et
que le chercheur n’a pas envisagé de sélectionner des sujets représentatifs de l’ensemble de la
population.