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Chapitre 4 : Analyse des systèmes asservis échantillonnés
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2025/2026 Chapitre 4 Chapitre 4 : Analyse des systèmes asservis échantillonnés 1. Réponse d’un système échantillonné ...........................................................................31 a. Choix de la période d’échantillonnage .....................................................................31 b. Etude générale de la réponse transitoire ...................................................................32 c. Application au modèle échantillonné du premier ordre ...........................................33 d. Application au modèle échantillonné du second ordre ............................................35 2. Stabilité des systèmes échantillonnés ..........................................................................38 3. Précision des systèmes asservis échantillonnés ...........................................................38 A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 30 2025/2026 Chapitre 4 1. Réponse transitoire d’un système échantillonné a. Choix de la période d’échantillonnage La période d’échantillonnage ne peut être choisie n’importe comment. En effet, si elle est trop petite, on travaille inutilement puisque le processus n’a pas le temps d’évoluer entre deux instants d’échantillonnage et on est limité par le temps d’acquisition et le temps de calcul. Et si elle est trop grande, on pourra rater des événements importants (perturbation par exemple) au moment de l’observation de la sortie. Le théorème de Shannon nous donne la limite théorique de la fréquence d’échantillonnage ππ : ππ = 1 > 2ππππ₯ ππ où ππππ₯ est la plus grande des fréquences transmises par le processus ; elle est donnée par la bande passante de celui-ci. Or la bande passante est directement liée à l’inertie du système caractérisée par : la constante de temps π s’il est du premier ordre, la pulsation propre non amortie ππ s’il est du second ordre En pratique on choisit : 5ππππ₯ ≤ ππ = 1 ≤ 25ππππ₯ ππ 1 Pour un système de premier ordre πΉ(π) = 1+ππ , on prend : 0,25π ≤ ππ ≤ π Pour un système de second ordre πΉ(π) = 1 2π π2 1+ π+ 2 ππ ππ , on prend : 0,25 ≤ ππ ππ ≤ 1,25 Le tableau suivant donne une idée de l’ordre de grandeur de la periode d’échantillonnage pour des processus industriels courants. A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 31 2025/2026 Chapitre 4 Type de processus Courants des Moteurs électriques Période d’échantillonnage 50ππ ≤ ππ ≤ 100ππ Position en robotique 0,2ππ ≤ ππ ≤ 1ππ Position en machine-outil 0,5ππ ≤ ππ ≤ 10ππ débit 1π ≤ ππ ≤ 3π pression 1π ≤ ππ ≤ 5π Température 10π ≤ ππ ≤ 45π Niveau 5π ≤ ππ ≤ 10π b. Etude générale de la réponse transitoire L’objectif de ce paragraphe est l’analyse qualitative de l’influence des pôles d’une fonction de transfert d’un système à temps discret (asservi ou non) sur le comportement temporel. Les caractéristiques transitoires d’un système telles que le temps de réponse, le dépassement indiciel…etc, sont évaluées sur la base de sa réponse indicielle. De manière générale, on s’intéresse à l’étude de la réponse indicielle d’un système à π(π§) temps discret dont la fonction de transfert est notée : πΊ(π§) = π·(π§) Figure 27 : Fonction de transfert G(z) Dans le cas d’une entrée constante d’amplitude π’0 , la réponse indicielle est donnée par : π(π§) = π’0 π§ π§ π(π§) πΊ(π§) = π’0 π§−1 π§ − 1 π·(π§) D’après la théorie des résidus, la réponse y(k) s’écrit : A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 32 2025/2026 Chapitre 4 π¦(π) = ∑ π éπ πππ’π ππ [π’0 π§ π(π§) (π−1) π’0 π(π§) π π§ ] = ∑ π éπ πππ’π ππ [ π§ ] (π§ − 1) π·(π§) (π§ − 1) π·(π§) c. Application au modèle échantillonné du premier ordre La fonction de transfert d’un système du premier ordre peut s’écrire sous la forme suivante : πΊ(π§) = π 1−πΌ ; |πΌ| < 1 π§−πΌ La réponse indicielle à un échelon d’amplitude π’0 s’écrit : π(π§) = π’0 π§ π§ 1−πΌ πΊ(π§) = ππ’0 π§−1 π§−1π§−πΌ En utilisant l’une des méthodes d’inversion de la transformée en z, on a : π¦(π) = ππ’0 (1 − πΌ π ) ; π = 0,1,2 …. La valeur finale : lim π¦(π) = lim(1 − π§ −1 )π(π§) = ππ’0 π→∞ π§→1 L’allure du régime transitoire dépend du pôle πΌ comme le montre les figures suivantes : Figure 28 : Réponse d’un système de premier ordre Le temps de réponse à 5% : C’est l’instant au bout duquel, la réponse rentre définitivement dans la bande comprise entre 95%ππ’0 et 105%ππ’0 . Dans le cas ouΜ 0 < πΌ < 1, on peut établir aisément que le temps de réponse à 5% est donné approximativement par la relation suivante: ππ 5% = −3ππ Log πΌ En effet : A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 33 2025/2026 Chapitre 4 ππ’0 (1 − πΌ π ) = 0,95ππ’0 (1 − πΌ π ) = 0,95 πΌ π = 0,05 Log(πΌ π ) = Log 0,05 k. Log(πΌ) = Log 0,05 = −3 π= −3 Log(πΌ) Enfin : ππ 5% = πππ = −3ππ Log πΌ Cette expression n’est valable que dans le cas d’un pôle 0 < πΌ < 1. Dans le cas d’un pôle −1 < πΌ < 0, il convient de déterminer le temps de réponse à partir de la connaissance des échantillons :y(0), y(1), ... en déterminant k et donc kT, au bout duquel la réponse rentre définitivement dans la bande définie par 95%ππ’0 et 105%ππ’0 . Le dépassement indiciel : Celui-ci n’existe que dans le cas ouΜ −1 < πΌ < 0 . Le premier dépassement indiciel a lieu au premier pas d’échantillonnage et se mesure par le rapport : π·% = 100 π¦πππ₯ − ππ’0 ππ’0 (1 − πΌ) − ππ’0 % = 100 % = −100πΌ% ππ’0 ππ’0 On note par conséquent la forme alternée de la réponse transitoire dans le cas de pôles réels négatifs, la réponse converge vers la valeur finale en dépassant une fois sur deux cette valeur. Ce comportement peut être non apprécié dans des situations pratiques notamment dans la commande des systèmes mécaniques en raison de l’oscillation au pas de commande. On rappelle qu’un tel comportement n’existe pas dans le cas des systèmes d’ordre un à temps continu. d. Application au modèle échantillonné du second ordre La fonction de transfert d’un système d’ordre 2 peut s’écrire de la manière générale suivante : πΊ(π§) = A. ELBACHA π1 π§ + π0 2 π§ + π1 π§ + π0 Filière S2ECS ENSA-Marrakech 34 2025/2026 Chapitre 4 On note la présence éventuelle d’un zéro dans la définition de la fonction d’un transfert d’un système d’ordre 2. Il convient de distinguer les deux cas suivants : Cas 1 : les pôles sont réels Cas 2 : les pôles sont complexes conjuguais. Cas 1 : les pôles sont réels : Dans le cas de pôles réels La fonction de transfert peut s’écrire alors sous la forme suivante : πΊ(π§) = π1 π§ + π0 π1 π§ + π0 = ; |π§1 | < 1 ππ‘ |π§2 | < 1 2 π§ + π1 π§ + π0 (π§ − π§1 )(π§ − π§2 ) La réponse indicielle à un échelon d’amplitude π’0 s’écrit : π(π§) = π’0 π§ π§ π1 π§ + π0 πΊ(π§) = π’0 π§−1 π§ − 1 (π§ − π§1 )(π§ − π§2 ) La méthode des résidus permet de trouver l’expression de y(k). (π1 π§1 + π0 )(π§1 )π (π1 π§2 + π0 )(π§2 )π π1 + π0 π¦(π) = π’0 + π’0 [ + ] ; π·′ (π§) = 2π§ + π1 (π§ (π§ β 1 + π1 + π0 β 1 − 1)π·′(π§1 ) 2 − 1)π·′(π§2 ) 1 2 Le terme ‘’1’’ correspond à la valeur finale et le terme ‘’2’’ correspond au régime transitoire puisque (z1)k et (z2)k tendent vers zéro quant k tend vers l’infini. L’étude du régime transitoire se ramène en faisant l’extension du comportement transitoire des systèmes d’ordre 1 : β’ Réponse transitoire présentant un dépassement si au moins un des pôles est négatif. Ce dépassement est d’autant plus important que le pôle négatif est plus dominant c’est-àdire loin de l’origine. β’ Réponse transitoire ne présentant aucun dépassement si les deux pôles sont positifs ou nuls. Evaluation des caractéristiques transitoires Il n’existe pas en toute rigueur des formules permettant d’évaluer les caractéristiques transitoires (temps de réponse, dépassement indiciel,..). Cependant, si la fonction de transfert peut être approchée par une fonction de transfert d’ordre 1 en négligeant le pôle le moins dominant, on peut alors appliquer les résultats établis pour les systèmes d’ordre 1. A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 35 2025/2026 Chapitre 4 Remarque : L’étude ci-dessus ne prend pas en compte l’influence du zéro de la fonction de transfert sur le comportement du régime transitoire. Exemple : On considère la fonction de transfert suivante : G(z) = π§ + 0,1 π§ + 0,1 = π§ 2 + 0,3π§ − 0,1 (π§ − 0,2)(π§ + 0,5) Donner l’expression de la réponse indicielle y(k) et la calculer pour k=0 à k=10. Ensuite déterminer le dépassement et le temps de réponse. Y(z) = U(z)G(z) = π§ π§ + 0,1 π§ π§ + 0,1 = 2 (π§ − 1) π§ + 0,3π§ − 0,1 (π§ − 1) (π§ − 0,2)(π§ + 0,5) y(k) peut alors être calculée par l’une des méthode d’inversion de la transformée en Z : décomposition, résidus ou division. Méthode de décomposition : Y(z) πΌ π½ πΎ = + + (π§ − 1) (π§ − 0,2) (π§ + 0,5) π§ avec : πΌ= π½= πΎ= 1 + 0,1 = 0,917 (1 − 0,2)(1 + 0,5) 1 0,2 + 0,1 = −0,536 (0,2 − 1) (0,2 + 0,5) 1 −0,5 + 0,1 = −0,381 (−0,5 − 1) (−0,5 − 0,2) Y(z) = πΌπ§ π½π§ πΎπ§ + + (π§ − 1) (π§ − 0,2) (π§ + 0,5) π¦(π) = πΌ + π½(0,2)π + πΎ(−0,5)π π¦(π) = 0,917 − 0536(0,2)π − 0,381(−0,5)π Méthode de la division : Y(z) = A. ELBACHA π§ 2 + 0,1π§ π§ 3 − 0,7π§ 2 − 0,4π§ + 0,1 Filière S2ECS ENSA-Marrakech 36 2025/2026 Chapitre 4 les échantillons y(k) sont donnés dans le tableau suivant : k 0 1 2 3 4 y(k) 0 1 0,8 0,96 5 6 7 8 9 10 0,892 0,928 0,910 0,919 0,915 0,917 0,917 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 Figure 29 : Réponse d’un système de second ordre Le dépassement : π·% = 1−0,917 0,917 ∗ 100 = 0,905 Le temps de réponse : il se calcule en déterminant k lorsque la réponse rentre dans la bande définie par 95%x 0.917=0.871 et 105%x0.917=0.962. Soit d’après le tableau : Tr5% 3T (T représente la période d’échantillonnage). A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 37 2025/2026 Chapitre 4 Cas 2 : les pôles sont complexes conjuguais : La fonction de transfert peut s’écrire sous la forme suivante : πΊ(π§) = π1 π§ + π0 π1 (π§ − π§0 ) = 2 π§ + π1 π§ + π0 (π§ − π§1 )(π§ − π§1 ∗ ) avec : 2 πôπππ πππππππ₯ππ πππππ’ππ’éπ βΆ π§1 = πΌ + ππ½ = ππ ππ , π§1 ∗ = πΌ − ππ½ = ππ −ππ ; π = √πΌ 2 + π½ 2 ; π = π΄πππ‘π 1 π§éππ πéππ π§0 = − π½ πΌ π0 π1 D’après la méthode des résidus, la réponse à un échelon π’0 s’écrit : π1 (1 − π§0 ) π1 (π§1 − π§0 )(π§1 )π π1 (π§1∗ − π§0 )(π§1 ∗ )π π¦(π) = π’0 + π’0 [ + ] (π§1 ∗ − 1)π·′(π§1 ∗ ) β (1 − π§1 )(1 − π§1 ∗ ) β (π§1 − 1)π·′(π§1 ) 1 2 Le terme 1 est le régime statique et le terme 2 est le régime transitoire. Remarque : Il n’est pas recommandé de développer ce terme pour éviter un calcul qui peut s’avérer fastidieux en raison de la présence des nombres complexes. La méthode la plus simple quoique pas forcément la plus rapide consiste à calculer la réponse pas à pas en partant de l’équation de récurrence reliant y à u sachant que celui-ci est un échelon d’amplitude π’0 . En effet, dans ce cas on a : π(π§) π1 π§ + π0 = πΊ(π§) = 2 π(π§) π§ + π1 π§ + π0 π(π§)(π§ 2 + π1 π§ + π0 ) = (π1 π§ + π0 )π(π§) π(π§)(1 + π1 π§ −1 + π0 π§ −2 ) = (π1 π§ −1 + π0 π§ −2 )π(π§) d’ouΜ : π¦(π) = π1 π’(π − 1) + π0 π’(π − 2) − π1 π¦(π − 1) − π0 π¦(π − 2) ππ£ππ: π¦(π) = 0 πππ’π π ≤ 0 ππ‘ π’(π) = π’0 , π ≥ 0 ; π’(π) = 0 πππ’π π < 0 On calcule pas à pas y(1),y(2),..jusqu’à la valeur finale π’0 G(1). A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 38 2025/2026 Chapitre 4 Exemple : Soit la fonction de transfert suivante représentant un filtre numérique d’ordre 2 : πΊ(π§) = 0,306π§ + 0,19 0,306π§ −1 + 0,19π§ −2 = π§ 2 − 0,75π§ + 0,246 1 − 0,75π§ −1 + 0,246π§ −2 Calculer sa réponse à un échelon unité. Le gain statique : π = πΊ(1) = π1 + π0 0,306 + 0,19 = =1 1 + π1 + π0 1 − 0,75 + 0,246 L’équation de récurrence : π¦(π) = 0,306π’(π − 1) + 0,19π’(π − 2) + 0,75π¦(π − 1) − 0,246π¦(π − 2) avec : π’(π) = 1 πππ’π π ≥ 0 ππ‘ π’(π) = 0 πππ’π π < 0 k 0 y(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,306 0,725 0,965 1,0415 1,039 1,02 1 1 1 1 0 8 10 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 12 Figure 30 : Réponse d’un système de second ordre 2. Stabilité des systèmes échantillonnés (en cours de rédaction) 3. Précision des systèmes asservis échantillonnés (en cours de rédaction) A. ELBACHA Filière S2ECS ENSA-Marrakech 39
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