Préparation TP n°1 LINGE 1113 --- Probabilités
Probabilités : branche des mathématiques qui fournit des modèles pour décrire des processus aléatoires.
A la fin du TP n°1, l’étudiant devra être capable de :
— décrire l’espace d’échantillonnage d’une expérience aléatoire ;
— appliquer les règles de calcul de la probabilité et de la probabilité conditionnelle ;
— appliquer certaines techniques de dénombrement.
1. Espace d’échantillonnage
La description de l’espace d’échantillonnage passe par la connaissance des termes suivants :
— L’expérience aléatoire est un processus qui produit des résultats d’une façon imprévisible.
— L’espace d’échantillonnage S est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
De plus, toute partie de l’espace d’échantillonnage est appelé évènement. Ce dernier peut être simple, composé,
impossible, certain.
Un évènement A sera dit réalisé lorsqu’il contient le résultat a de l’expérience aléatoire actuellement observé.
2. Loi de probabilité P (· )
On a :
P (· ) : A ⊂ S 7−→ P (A)R ,
telle que les axiomes suivants soient respectés :
(P1) P (A) ≥ 0;
(P2) P (S) = 1;
(P3) Si A1 , A2 , ... sont des évènements mutuellements incompatibles, alors
P (A1 ∪ A2 ∪ · · ·) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · ·
3. Règles de calcul pour les probabilités
P (Ā) =1 − P (A)
P () =0
P (B \ A) =P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B) =P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
4. Probabilité conditionnelle
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (B)
5. Probabilité totale
Soient B1 , ..., Bk des évènements constituant une partition de S. Alors pour tout évènement A on a :
P (A) = P (A | B1 ) P (B1 ) + · · · + P (A | Bk ) P (Bk )
6. Théorème de Bayes
Si B1 , ..., Bk est une partition de S, alors
P (A | Bj ) P (Bj )
P (Bj | A) = Pk
i=1 P (A | Bi ) P (Bi )
1
7. Techniques de dénombrement
De façon générale, pour un espace d’échantillonnage S fini tel que tous ses élements sont équiprobables on a :
P (A) =
#A
nombre de cas f avorables
=
#S
nombre de cas possibles
En terme de techniques de dénombrement on distingue :
— la Multiplication
#(A1 × · · · × An ) = (#A1 ) × · · · × (#An )
Dans ce cas l’odre compte, par exemple pour des couples on a (a, b) 6= (b, a)
— la permutation
Une permutation (ou arrangement) de longueur r des élements d’un ensemble à n élements A est un r-tuple
(a1 , ..., ar ) où tous les élements du r-tuple sont distincts (ie sans répétition dans les choix des élements de ce
r-tuple). De plus, l’odre des élements de chaque r-tuple compte.
Pnr = n × (n − 1) × · · ·(n − r + 1) =
n!
(n − r)!
— la combinaison
Une combinaison de longueur rdes élements d’un ensemble à n élements A est une partie {a1 , ..., ar } de A où
tous les ai sont distincts (ie sans répétition). Cependant, l’odre des ai n’a pas d’importance (ie {a, b} = {b, a}).
Cnr =
Pnr
n!
n n−1
n−r+1
=
= ×
×···
r!
r! (n − r)!
r
r−1
1
En résumé,
Multiplication
Permutation (ou arrangement)
Combinaison
Avec ordre
oui
oui
non
2
Avec répétition
oui
non
non