TMA4105 MATEMATIKK 2
Oversiktsforelesning 1
Kjeglesnitt, parametrisering og polare koordinater
Vår 2025
Velkommen til Matematikk 2
I Matematikk 2 er fortsettelsen av Matematikk 1
I All informasjon finnes på hjemmesida
I Undervisningstilbudet er identisk med tilbudet i Matematikk 1:
I oversiktsforelesninger
I interaktive forelesninger
I plenumsregning
I mattelab
I digital mattelab
2
Arbeidskrav
I Minst 6 av 12 STACK-tester godkjent
I Minst 2 av 4 skriftlige innleveringer
I Alle innleveringsfrister er kl. 16:00 på de oppgitte dagene
I For sent innleverte STACK-tester/skriftlige innleveringer blir ikke
godkjent
3
Spørsmål og svar
4
Spørsmål og svar
1. Sjekk hjemmesiden:
https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/2025v/start
2. Sjekk ofte stilte spørsmål på hjemmesiden:
https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/2025v/faq
3. Gå inn i den digitale mattelaben for Matematikk 2
4
Spørsmål og svar
1. Sjekk hjemmesiden:
https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/2025v/start
2. Sjekk ofte stilte spørsmål på hjemmesiden:
https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/2025v/faq
3. Gå inn i den digitale mattelaben for Matematikk 2
4. Snakk med foreleseren i pausen i forelesningen eller assistenter på
mattelaben
5. Send e-post til emnets offisielle e-postadresse, ikke til individuelle
faglærere. Se kontaktinformasjon på hjemmesiden:
https://wiki.math.ntnu.no/tma4105/2025v/kontakt
4
Nøkkelbegreper — Uke 2 (kap 8.1–8.6)
• Kjeglesnitt
• Parametriserte kurver i planet
• Stigningstall for parametriserte kurver
• Buelengde av parametriserte kurver
• Polarkoordinater
• Areal av områder begrenset av kurver gitt ved polarkoordinater
• Buelengde av kurver gitt ved polarkoordinater
5
Kjeglesnitt
Kjeglesnitt fremkommer som snittkurver når man skjærer en kjegle med et
plan.
6
Kjeglesnitt
Kjeglesnitt fremkommer som snittkurver når man skjærer en kjegle med et
plan.
I Sirkel:
x2 + y2 = 1
I Ellipse:
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
I Parabel:
x 2 = 4ay ,
y 2 = 4ax
I Hyperbel:
x2 y2
− 2 = 1,
a2
b
y2 x2
− 2 =1
b2
a
6
Matematikk 1: Buelengde av grafen til en funksjon
y
y = f (x)
a
b
x
7
Matematikk 1: Buelengde av grafen til en funksjon
y
y = f (x)
a
b
s=
x
Z bq
1 + f 0 (x)2 dx
a
7
Buelengde for parametriserte kurver
y
For en glatt, parametrisert
kurve C gitt ved
x = f (t),
y = g (t),
C
t ∈ [a, b],
er buelengden gitt ved
s
Z b 2 2
dx
dy
s=
+
dt.
dt
dt
a
t=a
t=b
x
8
Polarkoordinater
y
x = r cos θ
y = r sin θ
y
• (x, y ) = [r , θ]
r
r2 = x2 + y2
y
tan θ =
x
θ
x
x
9
Areal
y
La kurven C være gitt ved
r = f (θ) i polarkoordinater.
Arealet av området R er gitt
ved
Z
1 β
A=
f (θ)2 dθ.
2 α
R
r = f (θ)
θ=β
θ=α
x
10
Buelengde til kurver gitt ved r = f (θ)
Buelengden til kurven gitt ved
r = f (θ),
α ≤ θ ≤ β,
er gitt ved
Z βq
s=
f 0 (θ)2 + f (θ)2 dθ.
α
11
Figur i math3d.org
• Kjeglesnitt: https://www.math3d.org/28KoIQNH
12