FT II
Fenómenos de Transferência II
Fundamentos de transferência de calor e exercícios resolvidos
Maria Rosinda Ismael
Maria Tereza Reis
2024
1
FT II
Índice
1. Condução unidimensional em estado estacionário ......................................................................... 3
2. Convecção ...................................................................................................................................... 26
3. Permutadores de Calor .................................................................................................................. 32
4. Radiação ......................................................................................................................................... 41
5. Condução térmica em sólidos em regime transitório ................................................................... 46
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FT II
1. Condução unidimensional em estado estacionário
Introdução
Transferência de calor (ou calor) – energia térmica em trânsito devido a diferenças de temperatura.
O calor pode ser transferido por condução (térmica), convecção e radiação.
Equilíbrio térmico – inexistência de gradientes de temperatura ao longo das coordenadas espaciais.

Condução
Transporte “molecular” (ou microscópico), através de meio material. As moléculas com nível de
energia mais elevado (temperatura mais elevada) transmitem energia às moléculas adjacentes.
Aplica-se a Lei de Fourier para a condução térmica.

Convecção
Transporte com movimento macroscópico de um meio material (líquido ou gás); transferência de
calor entre um fluido em movimento e uma interface sólido/fluido. Aplica-se a Lei de Newton do
arrefecimento. A convecção pode ser natural (ou livre) ou forçada (ver secção 3. Convecção).

Radiação
Transporte por intermédio de ondas eletromagnéticas (sem necessidade de suporte material). A
radiação será abordada na secção 4.
Lei de Fourier e Lei de Newton do arrefecimento
Tabela 1.1 – Condução vs. convecção: Lei de Fourier vs. Lei de Newton do arrefecimento.
Condução: Lei de Fourier
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑘: condutividade térmica [W∙m−1∙K−1]
Convecção: Lei de Newton do arrefecimento
𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞ )
𝑞𝑥′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
: gradiente de temperatura [K∙m−1]
𝑞𝑥′′ tem a direção do gradiente e sentido contrário
ℎ: coeficiente de transferência de calor
[W∙m−2∙K−1]
𝑇𝑠 : temperatura da superfície sólida
𝑇∞ : temperatura do fluido
𝑞
𝑞 ′′ : fluxo de calor [W∙m−2]; 𝑞 ′′ = 𝐴
𝑞: taxa temporal de calor transferido [W]
𝐴: área perpendicular à direção de transferência de calor
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FT II
Integração da Lei de Fourier
Em estado estacionário, sem geração de calor, a taxa de calor transferido, 𝑞, segundo uma direção,
𝑥 ou 𝑟, é uma constante. No caso da geometria plana, o fluxo de calor também será constante, pois
a área é constante. Nas geometrias radiais, o fluxo de calor depende da coordenada radial, 𝑟.
Tabela 1.2 – Integração da Lei de Fourier, estado estacionário, sem geração de calor (𝑞 constante).
Assume-se condutividade térmica constante (valor à temperatura média).
Geometria plana
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴
Geometria radial cilíndrica
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑥2
𝑞𝑟 = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿)
𝑇2
𝑅2
𝑞𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = −𝑘𝐴 ∫ 𝑑𝑇
𝑥1
𝑇1
𝑇1 − 𝑇2
𝑞𝑥 =
𝐿
𝑘𝐴
Resistência térmica:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑇2
𝑑𝑟
𝑞𝑟 ∫
= −2𝜋𝑘𝐿 ∫ 𝑑𝑇
𝑅1 𝑟
𝑇1
𝑞𝑟 =
𝐿
𝑘𝐴
Geometria radial esférica
𝑅2
𝑇2
𝑑𝑟
𝑞𝑟 ∫
= −4𝜋𝑘 ∫ 𝑑𝑇
2
𝑅1 𝑟
𝑇1
𝑇1 − 𝑇2
𝑅
ln 2
𝑅1
2𝜋𝑘𝐿
𝑞𝑟 =
𝑅
𝑅1
𝑇1 − 𝑇2
1
1
−
𝑅1 𝑅2
4𝜋𝑘
ln 2
Resistência térmica:
2𝜋𝑘𝐿
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑞𝑟 = −𝑘(4𝜋𝑟 2 )
Resistência térmica:
1
1
−
𝑅1 𝑅2
4𝜋𝑘
Nota: resistência = força motriz (T ) a dividir pela resposta (q).
Resistência térmica global
As temperaturas de interface, 𝑇1 e 𝑇2 , não são facilmente mensuráveis, ao invés das temperaturas
dos fluidos, 𝑇∞ . Assim, torna-se útil estabelecer a expressão da taxa de calor transferido, 𝑞, como
uma função das temperaturas conhecidas, 𝑇∞ . Para uma determinada parede, com duas faces
expostas à convecção, vamos ter duas interfaces sólido-fluido, i.e, interface 1 e interface 2. Assim,
todo o calor que se transfere na interface 1 (por convecção) transfere-se entre 1 e 2 (por condução)
e transfere-se na interface 2 (por convecção):
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = 𝑞 = constante
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FT II
Para a condução (𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 ), aplicamos Fourier e para o calor transferido por convecção (𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 ),
aplicamos a lei de Newton do arrefecimento:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = ℎ1 𝐴(𝑇∞1 − 𝑇1 ); 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = ℎ2 𝐴(𝑇2 − 𝑇∞2 )
Em que a resistência à convecção será
𝑞=
1
. Eliminando 𝑇1 e 𝑇2 , vem:
ℎ𝐴
𝑇∞1 − 𝑇∞2
𝑇∞1 − 𝑇∞2
=
resistencia conv 1 + resistencia cond 1–2 + resistencia conv 2
𝑅𝑇
Ou seja, 𝑞 é a razão entre a diferença de temperaturas dos fluidos (força motriz global para a
transferência de calor) e a soma das várias resistências à transferência de calor. A resistência térmica
global, 𝑅 𝑇 , é a soma das resistências em série: convecção em 1, condução entre 1 e 2 e convecção
em 2.
Coeficiente global de transferência de calor, U
Por analogia com a Lei de Newton do arrefecimento, temos:
𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇; 𝑈 =
1
𝑅𝑇 𝐴
Raio crítico de isolamento
Nas geometrias radiais, a área de transferência de calor varia com a coordenada radial, 𝑟.
Consequentemente, um aumento da espessura de um determinado revestimento aumenta a
resistência à transferência de calor por condução, mas a resistência à transferência de calor por
convecção diminui (a área aumenta). A função da resistência térmica global apresenta um mínimo
para um determinado raio, designado de raio crítico, Rc. Assim, para Rc, a resistência total será
mínima e o calor transferido q será máximo. Se o propósito for baixar a perda de calor, devemos
trabalhar acima do raio crítico, de modo a aumentarmos a resistência à transferência de calor. Notese que não há uma espessura ótima de isolamento térmico, qualquer valor acima de Rc conduz ao
aumento da resistência térmica global; também, nem sempre esse valor existe na prática (caso do
tubo (ou a esfera) a revestir com um raio exterior ≥ Rc). Nas geometrias planas, não há, obviamente,
espessuras críticas de isolamento, qual aumento da espessura de isolamento conduz ao aumento
da resistência térmica global.
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FT II
Tabela 1.3 – Expressões do raio crítico de isolamento (𝑘isol : condutividade térmica do isolamento;
ℎext : coeficiente de transferência calor, interface externa).
Geometria radial cilíndrica
𝑅𝑐 =
Geometria radial esférica
𝑘isol
ℎext
𝑅𝑐 = 2
𝑘isol
ℎext
Balanço global vs. balanço diferencial de energia térmica
Em estado estacionário, o calor que entra num determinado volume de controlo só é igual ao calor
que sai, se não ocorrer geração de energia térmica. Caso contrário, essa parcela terá de ser
contemplada no balanço.
o Balanço global: {𝑞entra } − {𝑞sai } + {𝑞gerado } = 0
o Balanço diferencial
Geometria plana:
{𝑞entra }|𝑥 − {𝑞sai }|𝑥+∆𝑥 + {𝑞gerado } = 0
Volume de controlo: 𝐴∆𝑥
Geometrias radiais: {𝑞entra }|𝑟 − {𝑞sai }|𝑟+∆𝑟 + {𝑞gerado } = 0
Volume de controlo (cilindro): 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟
Volume de controlo (esfera): 4𝜋𝑟 2 ∆𝑟
Distribuição de temperatura
As expressões de distribuição de temperatura em sólidos podem ser obtidas a partir de balanços
diferenciais de energia térmica a um volume de controlo de espessura infinitesimal, ∆𝑥 ou ∆𝑟, de
modo a obter a equação diferencial e depois aplicar as condições de fronteira adequadas ao
problema em questão. A equação diferencial pode também ser obtida por simplificação da equação
geral da condução ou difusão do calor (ver ANEXO e Tabela 1.4).
Na presença de geração de calor, as expressões da taxa temporal de calor transferido da Tabela 1.2
deixam de ser válidas, pois 𝑞 deixa de ser constante para um determinado volume de controlo,
devido à parcela da geração, e irá depender da posição. Para obter as expressões da distribuição de
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FT II
taxa de calor transferido, 𝑞(𝑥) ou 𝑞(𝑟), é necessário aplicar a Lei de Fourier à respetiva distribuição
de temperatura, 𝑇(𝑥) ou 𝑇(𝑟).
Tabela 1.4 – Equações diferenciais para a condução unidimensional em estado estacionário.
Quando não há geração de calor, 𝑞̇ = 0. 𝑞̇ : taxa de calor gerado/ volume (W/m3).
Geometria plana
Geometria radial cilíndrica
Geometria radial esférica
𝑑
𝑑𝑇
(𝑘 ) + 𝑞̇ = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥
1𝑑
𝑑𝑇
(𝑘𝑟 ) + 𝑞̇ = 0
𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑟
1 𝑑
𝑑𝑇
(𝑘𝑟 2 ) + 𝑞̇ = 0
2
𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Exercício 1.1
Uma parede compósita plana é constituída por uma camada de tijolo (espessura = 20,0 cm, k = 0,8
Wm−1K−1) e uma camada de material isolante (espessura = 60 mm, k = 0,05 Wm−1K−1). As
temperaturas nas superfícies da parede, respetivamente em contacto com o ar de uma sala
climatizada e com o ar exterior, são 21ºC e −2ºC. Assumindo regime estacionário e que a
temperatura do ar interior é 22,5 C, calcule:
a) O fluxo de calor para o exterior.
b) O coeficiente de transferência de calor entre a parede e o ar interior.
Resolução:
a)
1 2
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = 𝑞𝑥 = constante
Como a área de transferência de calor é constante (geometria plana), o fluxo
de calor também é constante; como se sabe T1 e T3, só é necessário aplicar a lei
de Fourier:
𝑞𝑥
𝑞𝑥′′ = −𝑘isol
integrando:
𝐿isol
∫
𝑇2
𝑑𝑇
𝑑𝑇
= −𝑘tijolo
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑞𝑥′′ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑘isol 𝑑𝑇 ; 𝑞𝑥′′ =
0
𝑇1
𝑇1 −𝑇3
𝐿
isol + tijolo
𝑘isol 𝑘tijolo
Eliminando 𝑇2 : 𝑞𝑥′′ = 𝐿
;
𝑘tijolo
𝑘isol
(𝑇1 − 𝑇2 ); 𝑞𝑥′′ =
(𝑇 − 𝑇3 )
𝐿isol
𝐿tijolo 2
21−(−2)
𝑞𝑥′′ = 0,06 0,20 = 15,9 W/m2
0,05
+
0,8
R: 15,9 W/m2
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FT II
b)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = ℎ1 𝐴(𝑇∞1 − 𝑇1 ); 𝑞𝑥′′ = ℎ1 (𝑇∞1 − 𝑇1 )
ℎ1 =
15,9
= 10,6 W/m2K
22,5 − 21
R: 11 W/m2K
Excercício 1.2
As paredes de um forno com geometria plana são constituídas por duas camadas: tijolo refratário
com espessura L1 = 20 cm (k1= 1,4 W m−1 K−1) e tijolo isolante com espessura L2 = 13 cm (k2= 0,16 W
m−1 K−1). A temperatura dos gases no interior do forno é 900 ℃ e a temperatura ambiente é 25 ℃.
O coeficiente de transferência de calor é de 50 W m−2 K−1 no interior e de 15 W m−2 K−1 no exterior.
Desprezando as trocas de calor por radiação e a resistência térmica de contacto dos tijolos, calcule:
a) O fluxo de calor transferido através das paredes.
b) O coeficiente global de transferência de calor.
c) A temperatura na interface tijolo refratário/tijolo isolante.
d) A redução da perda de calor devida ao isolamento térmico.
Resolução:
a)
1
2
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = 𝑞𝑥 = constante
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = ℎ1 𝐴(𝑇∞1 − 𝑇1 )
𝑞𝑥
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = −𝑘1 𝐴
𝐿
𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Integrando: 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 ∫0 1 𝑑𝑥 = −𝑘1 𝐴 ∫𝑇 2 𝑑𝑇;
1
𝑑𝑇
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = −𝑘2 𝐴 𝑑𝑥 ; integrando, vem:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 =
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 =
(𝑇1 −𝑇2 )
𝐿1
𝑘1 𝐴
(𝑇2 − 𝑇3 )
𝐿2
𝑘2 𝐴
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = ℎ3 𝐴(𝑇3 − 𝑇∞3 )
Eliminando 𝑇1 , 𝑇2 e 𝑇3 , vem: 𝑞𝑥 =
𝑇∞1 − 𝑇∞3
1
𝐿
𝐿
1
+ 1 + 2 +
ℎ1 𝐴 𝑘1 𝐴 𝑘2 𝐴 ℎ3 𝐴
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FT II
𝑞𝑥′′ =
𝑞𝑥
900 − 25
=
= 839,7 W/m2
1
0,20
0,13 1
𝐴
+
+
+
50 1,4 0,16 15
R: 840 W/m2
b)
𝑇
−𝑇
900−25
𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇 ; 𝑈 = 𝐴 ∞1𝑞 ∞3 = 839,6 = 0,96 W m-2 K-1
𝑥
R: 0,96 W/m2K
c)
𝑞𝑥′′ = ℎ1 (𝑇∞1 − 𝑇1 )
𝑇1 = 𝑇∞1 −
𝑞𝑥′′ =
𝑞𝑥′′
839,7
= 900 −
= 883,2 ℃
ℎ1
50
(𝑇1 − 𝑇2 )
𝐿1
𝑘1
𝑇2 = 𝑇1 − 𝐿1
𝑞𝑥′′
839,7
= 883,2 − 0,20 ×
= 763,2 ℃
𝑘1
1,4
R: 763 ℃
d)
𝑞𝑥 =
𝑇∞1 − 𝑇∞3
1
𝐿
𝐿
1
+ 1 + 2 +
ℎ1 𝑘1 𝐴 𝑘2 𝐴 ℎ3 𝐴
𝑞𝑥′′ =
𝑞𝑥
900 − 25
=
= 3812 W/m2
1 0,20 1
𝐴
+
+
50 1,4 15
% redução de 𝑞 =
3812 − 839,7
× 100 = 78,0%
3812
R: 78%
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FT II
Exercício 1.3
Considere uma placa plana de largura e comprimento muito superiores à sua espessura, L. A placa
faz parte da parede de um reservatório contendo um banho termostático bem agitado (h bastante
elevado), à temperatura de 35ºC. No exterior da placa dá-se troca de calor com o ar ambiente (20
℃, h = 10 W m-2 K-1). Em regime estacionário, uma das faces da placa fica à temperatura T1 e a outra
à temperatura T2.
a) Qual o fluxo de calor através da placa e quais os valores das temperaturas T1 e T2?
b) Deduza uma expressão para a distribuição de temperatura no interior da placa em termos
de T1 e T2.
c) Discuta o efeito da diminuição/aumento do valor da condutividade térmica sobre a
distribuição de temperatura no interior da placa.
Outros dados:
L = 7 mm, kplaca = 0,08 W m-1 K-1
Resolução:
1 2
a)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = 𝑞𝑥 = constante
𝑇∞1 = 35℃
Como a área de transferência de calor é constante (geometria
𝑇∞2 = 20℃
plana), o fluxo de calor, 𝑞𝑥′′ , também é constante.
Aplicando a Lei de Fourier e a Lei de Newton do Arrefecimento:
𝑞𝑥
𝑞𝑥′′ = ℎ1 (𝑇∞1 − 𝑇1 )
𝑞𝑥′′ =
𝑇1 − 𝑇2
(ver integração nos problemas anteriores)
𝐿
𝑘
𝑞𝑥′′ = ℎ2 (𝑇2 − 𝑇∞2 )
𝑇
−𝑇
Eliminando T1 e T2, vem: 𝑞𝑥′′ = 1 ∞1 𝐿 ∞2 1 (com 1/ℎ1 ≅ 0) ⇒ 𝑞𝑥′′ = 80 W/m2
+
+
ℎ1 𝑘placa ℎ2
𝑇1 = 𝑇∞1 = 35 ℃ (pois ℎ1 → ∞); 𝑞𝑥′′ = ℎ2 (𝑇2 − 𝑇∞2 ) ⇒ 𝑇2 = 28,0 ℃
R: 80 W/m2; 35 ℃; 28,0 ℃
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FT II
b)
𝑞𝑥′′ = 𝑐onstante ⇒ 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 𝐶1 ; integrando:
𝑇 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
Condições de fronteira:
𝑇2 − 𝑇1
𝐿
𝑇(𝑥 = 0) = 𝑇1
𝐶1 =
𝑇(𝑥 = 𝐿) = 𝑇2
𝐶2 = 𝑇1
R: 𝑇 = 𝑇1 −
⇒ 𝑇 = 𝑇1 −
𝑇1 − 𝑇2
𝐿
𝑇1 − 𝑇2
𝑥
𝐿
c)
A condutividade, k, influencia a distribuição T(x), obtida em b), pois 𝑇1 − 𝑇2 depende de k.
Se k sobe, o fluxo de calor sobe, 𝑇2 sobe e 𝑇1 − 𝑇2 desce, ou seja, o declive da distribuição (linear) baixa,
tornando a distribuição mais uniforme. Se k desce, temos o efeito oposto, a resistência térmica sobe, o
gradiente de temperatura na placa é superior. Em suma, k altera o declive da distribuição.
Exercício 1.4
No interior de uma conduta de latão (k = 137 W m−1 K−1), de diâmetro interno 50 mm e espessura
de 4 mm, circula vapor saturado a 120 ºC (hint = 1200 W m−2 K−1). A tubagem está revestida com um
material isolante (k = 0,03 W m−1 K−1) com espessura de 20 mm. A superfície exterior está exposta
ao ar ambiente a 20 ºC (hext = 10 W m−2 K−1).
a) Calcule a perda de calor por unidade de tempo e de comprimento da conduta.
b) Determine a temperatura na interface isolamento/ar.
Resolução:
a)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = 𝑞𝑟 = constante
𝑞𝑟 = ℎ𝑖 (2𝜋𝑅1 𝐿)(𝑇∞1 − 𝑇1 )
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FT II
𝑑𝑇
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = −𝑘latão (2𝜋𝑟𝐿) 𝑑𝑟
𝑅2
𝑇2
𝑑𝑟
𝑞𝑟 ∫
= −𝑘latão ∫ (2𝜋𝐿)𝑑𝑇
𝑅1 𝑟
𝑇1
𝑞𝑟 = 𝑘latão (2𝜋𝐿)
𝑞𝑟 = 𝑘isol (2𝜋𝐿)
(𝑇1 − 𝑇2 )
𝑅
ln 𝑅2
1
T1
T 3, h3
T2
kA
𝑘latão
kB
𝑘isol
R1
𝑻T 1
R2
T3
∞𝟏
(𝑇2 − 𝑇3 )
𝑅
ln 𝑅3
2
R3
𝑻∞𝟑
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = ℎ𝑒 (2𝜋𝑅3 𝐿)(𝑇3 − 𝑇∞3 )
Eliminando 𝑇1 , 𝑇2 e 𝑇3 , vem:
𝑞𝑟 =
𝑞𝑟
=
𝐿
𝑇∞1 − 𝑇∞3
𝑅
𝑅
ln 𝑅2
ln 𝑅3
1
1
1
2
+
+
+
ℎ1 (2𝜋𝑅1 𝐿) 𝑘latão (2𝜋𝐿) 𝑘isol (2𝜋𝐿) ℎ3 (2𝜋𝑅3 𝐿)
120 − 20
[W/m}
29
49
ln
1
1
25 + ln 29 +
+
1200(2𝜋 × 0,022) 137(2𝜋) 0,03(2𝜋) 10(2𝜋 × 0,049)
𝑞𝑟
100
=
= 32,1 W/m
−3
𝐿
5,3 × 10 + 1,7 × 10−4 + 2,783 + 0,324
R: 32 W/m
b)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = ℎ𝑒 (2𝜋𝑅3 𝐿)(𝑇3 − 𝑇∞𝑒 )
𝑞𝑟
𝐿
𝑇3 =
+ 𝑇∞𝑒
ℎ𝑒 2𝜋𝑅3
𝑇3 =
32,1
+ 20 = 30,4 ℃
10 × 2𝜋 × 0,049
R: 30,4 ℃
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FT II
Exercício 1.5
Uma conduta de cobre, de diâmetro externo 50 mm e 2 mm de espessura, transporta um vapor
saturado a 94 C (h= 1,0 kWm-2K-1). A conduta foi revestida com um material isolante (k= 0,04
Wm−1K−1) com uma espessura de 25 mm. A conduta isolada está exposta ao ar ambiente (T= 20 C,
h= 10 Wm−2K−1).
a) Calcule o calor transferido para o exterior durante meia hora, por unidade de comprimento
da conduta. Justifique.
b) Calcule a temperatura na interface cobre/isolamento.
c) Qual será a condutividade do material isolante a usar, caso se pretenda baixar a taxa de calor
transferido em 20%?
Resolução:
a)
estado estacionário
⇒ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = 𝑞
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = ℎ𝑖 (2𝜋𝑅1 𝐿)(𝑇∞1 − 𝑇1 )
𝑑𝑇
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = −𝑘tubo (2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑟
𝑅2
⇒∫ 𝑞
𝑅1
𝑻∞𝟏
ℎ3
𝑇2
𝑑𝑟
= − ∫ 𝑘tubo (2𝜋𝐿)𝑑𝑇
𝑟
𝑇1
𝑞 = 𝑘tubo (2𝜋𝐿)
(𝑇1 − 𝑇2 )
𝑅
ln 𝑅2
1
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 2−3 = 𝑘isol (2𝜋𝐿)
(𝑇2 − 𝑇3 )
𝑅
ln 𝑅3
2
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = ℎ3 (2𝜋𝑅3 𝐿)(𝑇3 − 𝑇∞3 )
𝑞=
𝑇∞1 − 𝑇∞3
ℎ1
𝑻∞𝟑
ℎ1 = 1000 Wm−2K−1
ℎ3 = 10 Wm−2K−1
𝑘isol = 0,04 Wm−1K−1
𝑅1 = 0,023 m
𝑅2 = 0,025 m
𝑅3 = 0,050 m
𝑅
𝑅
ln 𝑅2
ln 𝑅3
1
1
1
2
+
+
+
ℎ1 (2𝜋𝑅1 𝐿) 𝑘tubo (2𝜋𝐿) 𝑘isol (2𝜋𝐿) ℎ3 (2𝜋𝑅3 𝐿)
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FT II
Como a condutividade do tubo (cobre) é elevada e a espessura do tubo é baixa (2 mm), a
resistência à condução na parede do tubo pode ser desprezada ( 𝑘
𝑞
=
𝐿
𝑅
𝑅1
ln 2
tubo (2𝜋𝐿)
≅ 0). Então, vem:
94 − 20
= 24,0 W/m
50
ln
1
1
25 +
+
1000(2𝜋 × 0,023) 0,04(2𝜋) 10(2𝜋 × 0,05)
Em meia hora (1800 s) ⇒ q = 24,0 × 1800 = 43,2 × 103 J/m
R: 43 kJ/m
b)
A temperatura na interface cobre/isolamento, 𝑇2 , é ≈ 𝑇1 , pois a resistência no tubo de cobre é
desprezável. Assim, vem:
𝑞
= ℎ1 (2𝜋𝑅1 )(𝑇∞1 − 𝑇1 ) = 24,0 W/m ⇒ 𝑇2 = 93,8℃
𝐿
Como ℎ1 é elevado, 𝑇1 é pratica/
igual à temperatura do vapor.
R: 93,8 ℃
c)
Novo
𝑞
=
𝐿
𝑞
= 0,8 × 24,0 = 19,2 W/m
𝐿
94 − 20
= 19,2 W/m
50
ln
1
1
25 +
+
1000(2𝜋 × 0,023) 𝑘isol (2𝜋) 10(2𝜋 × 0,05)
⇒ 𝑘isol = 0,031 W/m K
R: 0,031 W/mK
Exercício 1.6
Para determinar a condutividade térmica de um certo material, preparou-se uma amostra cilíndrica
com 12 cm de comprimento e 50 mm de raio. A base e o topo da amostra foram mantidos a 25 ºC e
5 ºC, respetivamente. A superfície lateral do cilindro foi perfeitamente isolada, podendo considerarse desprezável a transferência de calor radial. Sabendo que, em regime estacionário, a taxa de calor
transferido ao longo do cilindro foi de 2,0 W, calcule a condutividade térmica do material da
amostra.
14
FT II
Resolução:
Estado estacionário, condução axial.
T1
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞𝑧 = constante
𝑞𝑧 = 𝑘𝐴
(𝑇1 − 𝑇2 )
𝐿
; 𝑘 = 𝑞𝑧
𝐿
𝐴(𝑇1 − 𝑇2 )
𝑘 = 2,0 ×
0,12
𝜋0,052 × (25 − 5)
T2
𝑞𝑧
𝐴 = 𝜋𝑅 2
= 1,5 W m-1 K-1
R: 1,5 W m-1 K-1
Exercício 1.7
Um reservatório esférico contém N2 líquido à temperatura de
ebulição normal (ver figura).
O recipiente está recoberto por um material isolante e troca
calor com o ar ambiente. A resistência à convecção interna,
bem como a resistência à condução através da parede do
recipiente (R1  r  R2) são consideradas desprezáveis.
Estabeleça as expressões relativas às resistências térmicas
relevantes ao processo de transferência de calor em questão.
Resolução:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 1 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 A = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 B = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = 𝑞𝑟 = constante
Como as resistências à convecção interna e à condução em A são desprezáveis, vamos considerar a
condução em B e a convecção externa.
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 B = −𝑘B (4𝜋𝑟 2 )
𝑑𝑇
;
𝑑𝑟
𝑅3
𝑇3
𝑑𝑟
𝑇2 − 𝑇3
integrando: 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 B ∫
=
−4𝜋𝑘
∫
𝑑𝑇
;
𝑞
=
B
𝑐𝑜𝑛𝑑
B
2
1
1
𝑅2 𝑟
𝑇2
𝑅2 − 𝑅3
4𝜋𝑘B
𝑇3 − ̇ 𝑇∞
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 = ℎ3 4𝜋𝑅32 (𝑇̇3 − 𝑇∞ ); 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 3 =
1
ℎ3 4𝜋𝑅32
15
FT II
Assim, as resistências relevantes são:
1
1
1
1
−𝑅
1
1
𝑅2 − 𝑅3
𝑅
3
(condução em B) e
(convecção em 3) ⇒ 𝑅 𝑇 = 2
+
2
4𝜋𝑘B
4𝜋𝑘B
ℎ3 4𝜋𝑅3
ℎ3 4𝜋𝑅32
Exercício 1.8
Um recipiente esférico metálico contém oxigénio líquido à temperatura de ebulição normal
(− 183C). O recipiente está dotado de uma válvula de escape, que mantém a pressão constante no
seu interior. O raio interior é R1 e o raio exterior é R2 (0,40 m). O recipiente está revestido por um
material isolante, com raio R3 = 0,50 m, e troca calor com o ar ambiente (T = 25 C, h = 15 Wm−2K−1).
A resistência térmica global é 1,0 K/W.
a) Qual a taxa temporal de calor transferido para o oxigénio?
b) Calcule a condutividade térmica do material isolante, assumindo que as resistências à
convecção interna (O2/parede metálica) e à condução entre R1 e R2, são desprezáveis.
Resolução:
a)
𝑞𝑟 =
∆𝑇 𝑇𝑒 − 𝑇∞
=
𝑅𝑇
𝑅𝑇
𝑞𝑟 =
−183 − 25
= −208 W
1,0
R: 208 W
b)
De acordo com o problema anterior (1.6),
a resistência térmica global é dada pela seguinte expressão:
1
1
−𝑅
1
𝑅
2
3
𝑅𝑇 =
+
4𝜋𝑘B
ℎ3 4𝜋𝑅32
⇒ 𝑘B = 0,041 W m-1 K-1
𝑅 𝑇 =1000 K/W
𝑅2 = 0,40 m
𝑅3 = 0,50 m
ℎ3 = 15 Wm−2K−1
R: 0,041 W m-1 K-1
16
FT II
Excercício 1.9
Um recipiente esférico metálico, exposto ao ar, contém um líquido à temperatura de ebulição
normal (T = − 180 C). O recipiente, cujo raio exterior é 55 cm, está coberto por uma casca esférica
de um material isolante (k= 0,008 Wm-1K-1) com uma espessura de 60 mm. O recipiente está
dotado de uma válvula de escape, que liberta o vapor resultante da vaporização do líquido,
mantendo a pressão constante no interior. A resistência à convecção interna e a resistência à
condução térmica através da parede do recipiente são desprezáveis.
2𝑘
Dados: Entalpia de vaporização liq. (−180C) = 200 J/g; Tar= 20C, hext= 15 Wm−2K−1; 𝑅c = ℎ isol
ext
a) Calcule o caudal de vapor perdido para a atmosfera em kg/h.
b) Quais as temperaturas nas interfaces recipiente/isolamento e isolamento/ar? Justifique.
c) Diga como procederia de modo a baixar o caudal de líquido vaporizado. Justifique.
Resolução:
Temos transferência de calor radial (geometria esférica), em estado estacionário:
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 (isol) = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = 𝑞𝑟
Assim, temos de considerar as resistências à condução no
isolamento e à convecção na superfície externa, pois as outras
resistências à transferência de calor são desprezáveis, tal como
já foi apresentado nos problemas 1.6 e 1.7. Deste modo, tem-se:
𝑞𝑟 =
Tar= 20 C
𝑅1 = 0,55 m;
𝑅2 = 0,55 + 0,060 = 0,61 m
𝑇1 − 𝑇∞2
∆𝑇
= 𝑇
1
1
𝑅
𝑅1 − 𝑅2
1
+
𝑘isol (4𝜋)
ℎext (4𝜋𝑅22 )
Substituindo valores, vem:
𝑞𝑟 =
−180 − 20
= −111,5 W
1
1
− 0,61
1
0,55
0,008 × 4𝜋 + 15 × 4𝜋 × 0,612
𝑚̇𝑣𝑎𝑝 = −
𝑞𝑟
111,5
g
=
= 0,558 = 2,0 kg/h
entalpia𝑣𝑎𝑝
200
s
R: 2,0 kg/h
17
FT II
b)
Temperatura na interface recipiente/isolamento: 𝑇1
𝑇1 = −180 ℃
Justificação: é a temperatura do líquido, pois as resistências à convecção interna e à condução no
recipiente são desprezáveis.
Temperatura na interface isolamento/ar : 𝑇2
𝑇2 pode ser calculada a partir da lei de Newton do arrefecimento, com 𝑞𝑟 = −111,5 W
𝑇2 − 𝑇∞2 = 𝑞𝑟
1
;
ℎext (4𝜋𝑅22 )
𝑇2 = 20 −
111,5
= 18,4 ℃
15×4𝜋×0,612
R: −180 ℃; 18,4 ℃
c)
Para diminuir o caudal de líquido vaporizado, tem de se diminuir o calor transferido por unidade de tempo,
em módulo. Assim, terá de se aumentar a resistência à transferência de calor 𝑅 𝑇 , escolhendo um material
isolante com uma condutividade térmica mais baixa. Outra hipótese é
aumentar a espessura do isolamento, i.e., aumentar R2, desde que
este seja superior ao valor do raio crítico.
𝑅c =
2𝑘isol
2 × 0,008
⟹ 𝑅c =
= 1,1 × 10−3 m = 1,1 mm
ℎext
15
Como 𝑅2 > 𝑅c , qualquer aumento na espessura do isolamento faz aumentar 𝑅 𝑇 (ver Figura) e o calor
transferido baixa, baixando as perdas de líquido por vaporização.
Exercício 1.10
Um varão metálico, com um comprimento de 1,4 m e um diâmetro de 10 mm, apresenta geração
de energia térmica (𝑞̇ = 0,2 MWm−3) e troca calor com o ar ambiente.
a) Determine o calor transferido para o ar ambiente ao fim de meia hora.
b) Comente a seguinte afirmação “O calor transferido por unidade de tempo, no interior do
varão, é constante”.
𝑞̇ 𝑅 2
𝑟 2
Dado (distribuição de temperatura no varão metálico): 𝑇 = 4𝑘 [1 − (𝑅) ] + 𝑇𝑠
18
FT II
Resolução:
a)
Balanço global: 𝑞gerado = 𝑞𝑠𝑎𝑖 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑞gerado = 𝑞̇ 𝜋𝑅 2 𝐿; 𝑞 = 0,2 × 106 × 𝜋 × 0,0052 × 1,4 = 22,0 W
𝑄 = 22,0 × 1800 = 39,6 × 103 J
R: 40 kJ
b)
No interior do varão, o calor é transferido por condução:
𝑞𝑟 = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑑𝑇
𝑞̇ 𝑅 2 −2𝑟
𝑞̇ 𝑟
Derivando a distribuição de temperatura, vem: 𝑑𝑟 = 4𝑘 ( 𝑅2 ) = − 2𝑘
Substituindo na lei de Fourier: 𝑞𝑟 = 𝑞̇ 𝜋𝑟 2 𝐿
R: A afirmação é falsa, pois o calor transferido por unidade de tempo não é constante, depende da
coordenada radial, r.
Exercício 1.11
A face superior de uma placa plana de espessura L = 60 mm, e com uma condutividade k =15
Wm−1K−1, troca calor com um fluido (T=18 ºC, h = 150 Wm−2K−1), enquanto a face inferior está
perfeitamente isolada. Considere que a espessura da placa é muito inferior às restantes dimensões
e que a respetiva distribuição de temperatura, 𝑇(𝑥), é:
𝑇=
𝑞̇ 𝐿2
2𝑘
𝑥 2
[1 − ( ) ] + 𝑇𝑠 , com 𝑞̇ = 5,0 kWm−3
𝐿
a) Demonstre que o fluxo de calor no interior da placa depende da posição x.
b) Determine a temperatura na face superior da placa (𝑥 = 𝐿).
Resolução:
a)
No interior da placa, o calor é transferido por condução: 𝑞𝑥′′ = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
19
FT II
Derivando a distribuição de temperatura, vem:
𝑑𝑇 𝑞̇ 𝐿2 −2𝑥
𝑞̇ 𝑥
=
( 2 )=−
𝑑𝑟
2𝑘 𝐿
𝑘
Substituindo na lei de Fourier: 𝑞𝑥′′ = 𝑞̇ 𝑥
O fluxo de calor depende da posição 𝑥.
b)
A temperatura na face superior da placa (𝑥 = 𝐿) é a temperatura 𝑇𝑠 .
Balanço global: 𝑞gerado = 𝑞𝑠𝑎𝑖 = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
̇ 𝑇∞ )
𝑞gerado = 𝑞̇ 𝐴𝐿; 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴(𝑇𝑠 −
𝑇𝑠 =
𝑞̇ 𝐿
5 × 103 × 0,06
+ 𝑇∞ =
+ 18 = 20 ℃
ℎ
150
R: 20 ℃
Exercício 1.12
Considere uma esfera sólida de raio R, com geração uniforme de energia térmica por unidade de
volume, 𝑞̇ .
a) Estabeleça a equação diferencial da condução térmica radial, em regime estacionário.
b) Diga como obteria a distribuição de temperatura radial no interior da esfera, indicando as
condições de fronteira adequadas.
Dado (equação da difusão do calor em coordenadas esféricas):
1 𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 2 ) + 2
(𝑘 ) + 2
(𝑘sen𝜃 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝐶𝑝
2
2
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 sen 𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝜙
𝑟 sen𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑡
Resolução:
a)
𝜕𝑇
Por simplificação da equação da difusão do calor, para estado estacionário (𝜌𝐶𝑝 𝜕𝑡 = 0), com
geração de calor e condução apenas radial, obtém-se a equação diferencial:
1 𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
2
(𝑘𝑟
)
+
(𝑘
)
+
(𝑘sen𝜃
)
+
𝑞̇
=
𝜌𝐶
𝑝
𝑟 2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 2 sen2 𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝜙
𝑟 2 sen𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑡
20
FT II
1 𝑑
𝑑𝑇
(𝑘𝑟 2 ) + 𝑞̇ = 0
2
𝑟 𝑑𝑟
𝑑𝑟
b)
A equação obtida em a) é integrada, dando origem a duas constantes, que irão ser determinadas
por aplicação de duas condições de fronteira, CF. A expressão final será a distribuição 𝑇(𝑟) no
interior da esfera, i.e., para 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅.
CF:
𝑇(𝑟 = 0) =
𝑑𝑇
≠∞
𝑑𝑟
𝑇(𝑟 = 𝑅) = 𝑇𝑠
Exercício 1.13
Um cilindro de um material A, com geração de energia térmica por unidade de volume, 𝑞̇ , está contido
num recipiente cilíndrico de um material B, de raio interno R1 e raio externo R2. O material A enche
completamente o recipiente. A superfície exterior do recipiente troca calor com um fluido à temperatura
𝑇∞ , com um coeficiente h. Admita que a base e o topo do recipiente estão perfeitamente isolados e que
o regime é estacionário.
a) Estabeleça a distribuição de temperatura, 𝑇(𝑟), no interior do material A.
b) Obtenha a equação de distribuição do calor transmitido por unidade de tempo no interior do
material A.
c) Relacione a temperatura máxima atingida no material A e a temperatura do fluido, 𝑇∞ ..
Dado (equação da difusão do calor em coordenadas cilíndricas):
1𝜕
𝜕𝑇
1 𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 ) + 2
(𝑘 ) + (𝑘 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝐶𝑝
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜙 𝜕𝜙
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑡
Resolução:
a)
𝜕𝑇
Por simplificação da equação da difusão do calor, para estado estacionário (𝜌𝐶𝑝 𝜕𝑡 = 0), com geração
de calor e condução apenas radial, obtém-se a equação diferencial:
1𝜕
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 ) + 𝑞̇ = 0
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
com 𝑞̇ uniforme, i.e., 𝑞̇ ≠ 𝑓(𝑟) e integrando vem: 𝑟
𝑑𝑇
𝑞̇ 𝑟 2
𝑑𝑇
𝑞̇ 𝑟 𝐶1
=−
+ 𝐶1 ;
=−
+
𝑑𝑟
𝑘2
𝑑𝑟
𝑘2 𝑟
21
FT II
Condições de fronteira:
𝑟=0
𝑑𝑇
𝑑𝑟
≠ ∞ ⇒ 𝐶1 = 0
⇒𝑇=−
𝑟 = 𝑅1 𝑇 = 𝑇1
𝑞̇ 𝑟 2
𝑞̇ 𝑅12
+ 𝐶2 ; 𝐶2 =
+ 𝑇1
𝑘 4
4𝑘
𝑞̇ 𝑅12
𝑟 2
Substituindo 𝐶2 , vem: 𝑇 =
[1 − ( ) ] + 𝑇1
4𝑘A
𝑅1
R: 𝑇 =
𝑞̇ 𝑅12
𝑟 2
[1 − ( ) ] + 𝑇1
4𝑘A
𝑅1
b)
A equação da taxa temporal de calor transferido, 𝑞𝑟 , é obtida a partir da distribuição de temperatura,
𝑇(𝑟), obtida em a).
Como 𝑞𝑟 = −𝑘A (2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇 𝑑𝑇
𝑞̇
e
=−
𝑟, vem: 𝑞𝑟 = 𝑞̇ 𝜋𝑟 2 𝐿
𝑑𝑟 𝑑𝑟
2𝑘A
Verifica-se então que o calor transferido em A, onde ocorre geração de calor, depende da coordenada
radial.
R: 𝑞𝑟 = 𝑞̇ 𝜋𝑟 2 𝐿
c)
𝑇max,A = 𝑇|𝑟=0 =
𝑞̇ 𝑅12
+ 𝑇1
4𝑘𝐴
Balanço global: {𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 } − {𝑞gerado } = {𝑞sai }
{𝑞gerado } = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 (B) = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = 𝑞𝑟 = 𝑞̇ 𝜋𝑅12 𝐿
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 1−2 = −𝑘B (2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
𝑅2
𝑇2
𝑑𝑟
= − ∫ 𝑘B (2𝜋𝐿)𝑑𝑇
𝑅1 𝑟
𝑇1
⇒ 𝑞𝑟 ∫
= 𝑞𝑟
𝑞𝑟 = 𝑘B (2𝜋𝐿)
𝑇1 − 𝑇2
𝑅
ln 𝑅2
1
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 2 = ℎ(2𝜋𝑅2 𝐿)(𝑇2 − 𝑇∞ )
22
FT II
Eliminando 𝑇2 , vem: 𝑞𝑟 =
𝑇1 − 𝑇∞
𝑅
ln 𝑅2
1
𝑘B (2𝜋𝐿)
𝑞̇ 𝜋𝑅12 𝐿 =
𝑇1 − 𝑇∞
𝑅
ln 𝑅2
1
𝑘B (2𝜋𝐿)
+
+
1
ℎ(2𝜋𝑅2 𝐿)
, com 𝑇1 = 𝑇max,A −
1
ℎ(2𝜋𝑅2 𝐿)
𝑞̇ 𝑅12
4𝑘𝐴
𝑅
ln 𝑅2
𝑞̇ 𝑅12
1
1
R: 𝑇max,A = 𝑇∞ +
+ 𝑞̇ 𝜋𝑅12 𝐿 (
+
)
4𝑘𝐴
𝑘B (2𝜋𝐿)
ℎ(2𝜋𝑅2 𝐿)
Exercício 1.14
Uma esfera de um material residual radioativo (A) com raio R1 tem geração de energia térmica por
unidade de volume, q̇, e está contida num contentor do material (B) (também esférico), com raio interno
R1 e raio externo R2.
a) Estabeleça a distribuição da temperatura, 𝑇(𝑟), no interior do material A (i.e., para 0  r  R1).
b) Estabeleça a distribuição da temperatura, 𝑇(𝑟), no interior do material B (i.e., para R1  r  R2).
c) A partir dos resultados anteriores, determine se o calor transmitido/unidade de tempo, depende
de r, (i) no interior de A e (ii) no interior de B.
Dado (equação da difusão do calor em coordenadas esféricas):
1 𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 2 ) + 2
(𝑘 ) + 2
(𝑘sen𝜃 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝐶𝑝
2
2
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 sen 𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝜙
𝑟 sen𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑡
Resolução:
a)
𝜕𝑇
Por simplificação da equação da difusão do calor, para estado estacionário (𝜌𝐶𝑝 𝜕𝑡 = 0), com geração
de calor e condução apenas radial, obtém-se a equação diferencial:
1 𝜕
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 2 ) + 𝑞̇ = 0
2
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
com 𝑞̇ uniforme, i.e., 𝑞̇ ≠ 𝑓(𝑟) e integrando vem:
𝑟2
𝑑𝑇
𝑞̇ 𝑟 3
𝑑𝑇
𝑞̇ 𝑟 𝐶1
=−
+ 𝐶1 ;
=−
+
𝑑𝑟
𝑘3
𝑑𝑟
𝑘 3 𝑟2
Condições de fronteira:
23
FT II
𝑑𝑇
𝑟=0
𝑑𝑟
≠ ∞ ⇒ 𝐶1 = 0
𝑞̇ 𝑟 2
𝑞̇ 𝑅12
⇒𝑇=−
+ 𝐶2 ; 𝐶2 =
+ 𝑇1
𝑘 6
6𝑘
𝑟 = 𝑅1 𝑇 = 𝑇1
Substituindo 𝐶2 , vem: 𝑇 =
R: 𝑇 =
𝑞̇ 𝑅12
𝑟 2
[1 − ( ) ] + 𝑇1
6𝑘A
𝑅1
𝑞̇ 𝑅12
𝑟 2
[1 − ( ) ] + 𝑇1
6𝑘A
𝑅1
b)
Tal como em a), por simplificação da equação da difusão do calor, agora com 𝑞̇ = 0, pois em B não há
geração de calor, vem:
1 𝜕
𝜕𝑇
(𝑘𝑟 2 ) = 0
2
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
com 𝑞̇ uniforme, i.e., 𝑞̇ ≠ 𝑓(𝑟) e integrando vem:
𝑟2
𝑑𝑇
𝐶1
= 𝐶1 ; 𝑇 = − + 𝐶2
𝑑𝑟
𝑟
Condições de fronteira:
𝑇(𝑟 = 𝑅1 ) = 𝑇1
𝑇(𝑟 = 𝑅2 ) = 𝑇2
𝐶1
+ 𝑇1
𝑅1
𝐶1
𝐶2 =
+ 𝑇2
𝑅2
𝐶2 =
⇒ 𝐶1 =
𝑇2 − 𝑇1
𝑇2 − 𝑇1
; 𝐶2 = 𝑇1 +
𝑅
1
1
1 − 𝑅1
𝑅1 − 𝑅2
2
𝑅
1 − 𝑟1
Substituindo 𝐶1 e 𝐶2 , vem: 𝑇 = 𝑇1 − (𝑇1 − 𝑇2 )
𝑅
1 − 𝑅1
2
𝑅
1 − 𝑟1
R: 𝑇 = 𝑇1 − (𝑇1 − 𝑇2 )
𝑅
1 − 𝑅1
2
c)
Tal como anteriormente, a equação da taxa temporal de calor transferido, 𝑞𝑟 , é obtida a partir da
distribuição de temperatura, 𝑇(𝑟).
(i) em A:
Como 𝑞𝑟 = −𝑘A (4𝜋𝑟 2 )
𝑑𝑇 𝑑𝑇
𝑞̇
4
e
=−
𝑟, vem: 𝑞𝑟 = 𝑞̇ 𝜋𝑟 3
𝑑𝑟 𝑑𝑟
3𝑘A
3
24
FT II
(ii) em B:
Como 𝑞𝑟 = −𝑘B (4𝜋𝑟 2 )
𝑑𝑇 𝑑𝑇
𝑇1 − 𝑇2 𝑅1
𝑇1 − 𝑇2
e
=−
, vem: 𝑞𝑟 = 4𝜋𝑘B
2
𝑅
1
1
𝑑𝑟 𝑑𝑟
1 − 𝑅1 𝑟
−
𝑅1 𝑅2
2
Concluindo: em A, onde ocorre geração de calor, a taxa de calor transferido depende da
coordenada radial, mas em B (sem geração) 𝑞𝑟 é independente da posição, tendo um valor
constante.
R: (A) 𝑞𝑟 = 𝑞̇
4 3
𝑇1 − 𝑇2
𝜋𝑟 ; (B) 𝑞𝑟 = 4𝜋𝑘B
1
1
3
𝑅1 − 𝑅2
25
FT II
2. Convecção
Introdução
A convecção é o processo de transferência de calor associado ao movimento macroscópico de um
fluido. A convecção pode ser natural/livre ou forçada.
Em convecção natural, o movimento do fluido resulta de uma diferença de densidades no fluido o
qual se encontra sob ação do campo gravítico, ou seja, o
movimento do fluido resulta das forças de impulsão. Na
Figura 3.1 apresenta-se um exemplo de convecção natural:
a esfera aquece o ar que a contacta e este ar sobe, porque
a densidade do ar quente é menor que a densidade do ar
frio da vizinhança.
Por continuidade, o ar frio desce,
fechando-se o circuito.
Figura 2.1 Arrefecimento de uma esfera.
No caso da convecção forçada, o movimento do fluido resulta da ação de uma força exterior ao
sistema como, por exemplo, de uma bomba ou de um ventilador.
A convecção forçada pode ser classificada como convecção exterior (à volta do objeto) ou convecção
interior (ex: no interior dum tubo). Na convecção exterior o escoamento não está confinado entre
paredes (ex: escoamento à volta de uma esfera) e, neste caso, a velocidade num ponto
suficientemente distante é constante e não é influenciada pelo objeto (𝑣∞ ). No caso de escoamento
no interior de uma conduta, a velocidade é calculada pelo quociente entre o caudal e a área de
passagem.
Em convecção, o fluxo de calor (q”) pode ser quantificado através da lei de Newton do
arrefecimento:
𝑞 ′′ = ℎ∆𝑇
em que h é o coeficiente de transferência de calor. Este parâmetro pode ser obtido através de
correlações empíricas que no caso da convecção forçada, envolve os números adimensionais
Nusselt (Nu), Reynolds (Re), Prandtl (Pr) e, no caso da convecção natural/livre, os números Nusselt,
Prandtl e Grashoff (Gr).
26
FT II
O número de Nusselt representa a razão entre a resistência à transferência de calor por condução
ao longo de uma distância característica e a resistência à transferência de calor por convecção. Mas,
também, representa o perfil adimensional de temperaturas na camada de fluido adjacente à
interface.
O número de Nusselt pode ser calculado por:
𝑁𝑢 =
ℎ𝐿𝑐
𝑘
em que Lc representa a dimensão característica e k a condutividade do fluido.
O número de Reynolds traduz a razão entre as forças de inércia (convectivas) que promovem o
movimento, e as forças viscosas que se opõem ao movimento.
𝑅𝑒 =
𝐿𝑐 𝑣𝜌
𝜇
O número de Prandtl (Pr) representa o quociente entre a difusividade térmica e a viscosidade
cinemática, sendo obtido por:
𝑃𝑟 =
∝ 𝜇𝑐𝑝
𝑘
𝜇
=
; 𝛼=
𝑒𝜈=
𝜈
𝑘
𝜌𝑐𝑝
𝜌
O número de Grashof Gr representa a relação entre as forças de impulsão e as forças viscosas e é
definido por:
𝐺𝑟 =
𝑔𝛽∆𝑇𝜌2 𝐿3𝑐
𝜇2
Em que 𝛽 representa o coeficiente de expansão térmica. Este valor encontra-se tabelado para vários
líquidos, no caso de gases perfeitos o 𝛽pode ser calculado por: 𝛽 = 1/𝑇.
Convecção forçada
O escoamento do fluido pode ocorrer em regime laminar ou turbulento. A transição entre os
diferentes regimes é definida por um valor critico do número de Reynolds (Re). Esse valor critico
depende da geometria; por exemplo, no interior de um tubo o escoamento é laminar até 2100. No
caso de uma placa, o regime é laminar até 𝑅𝑒 = 5 × 105.
27
FT II
Convecção natural versus convecção forçada
𝐺𝑟
≫1
𝑅𝑒 2
Os efeitos de impulsão predominam (convecção natural pura) e a convecção
forçada pode ser desprezada.
𝐺𝑟
~1
𝑅𝑒 2
Convecção combinada
𝐺𝑟
≪1
𝑅𝑒 2
Os efeitos de inércia predominam (convecção forçada) e a convecção natural
pode ser desprezada.
Excercício 2.1
Ar quente, inicialmente a 80ºC, circula no interior de uma conduta de secção quadradra (L1× L2= 0,2
m × 0,2 m) com L3= 8 m de comprimento. O caudal de ar é 0,15 m3/s e a parede da conduta
encontra-se a 60ºC.
a) Estabeleça o perfil de temperatura no ar dentro da conduta, em função da distância à
entrada da conduta.
b) Determine o coeficiente parcial de transferência de calor entre o ar e a parede do tubo.
c) Determine a temperatura do ar à saida da conduta.
d) Determine a taxa temporal de calor trocado entre o ar e a conduta.
Dado: Correlação de Colburn − 𝑁𝑢 = 0,023 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,3
Resolução:
a)
Definir o volume de controlo: ∆𝑉 = 𝐴∆𝑧 e fazer um balanço global no VC
z
z
Calor entra no VC - Calor sai do VC + calor gera no VC= calor acumulado no VC
𝑚̇𝐶𝑝 𝑇|𝑧 + ℎ𝑖 (2𝐿1 + 2𝐿2 )∆𝑧(𝑇 − 𝑇𝑝 ) − 𝑚̇𝐶𝑝 𝑇|𝑧+∆𝑧 = 0; 𝐿1 = 𝐿2
Dividindo por ∆𝑧 e se lim
∆𝑧→0
obtém-se:
𝑇
𝑑𝑇
ℎ𝑖 4𝐿1 𝑧
=−
∫ 𝑑𝑧 ;
𝑚̇𝐶p 0
𝑇entrada 𝑇 − 𝑇p
∫
ln
𝑇 − 𝑇p
ℎ𝑖 4𝐿1
=−
𝑧
𝑇entrada − 𝑇p
𝑚̇𝐶p
28
FT II
b)
Nas correlações, devem ser utilizadas as propriedades do fluido à temperatura média
(𝑇média = (𝑇entrada + 𝑇saída )/2) . Neste caso, a temperatura do ar à saída não é conhecida, mas,
de acordo, com os dados do problema, não se prevê um abaixamento significativo da temperatura
do ar. Por isso, opta-se por utilizar, inicialmente, os valores das propriedades a 80ºC. No final, é
preciso confirmar se a opção foi adequada. Ou seja, caso as propriedades à temperatura média
difiram significativamente das utilizadas, é necessário refazer os cálculos até à convergência dos
resultados.
Ar a 80ºC:
𝜌 = 1,0 kg⁄m3 ; 𝜇 = 2,1 × 10−5 Pa ∙ s; 𝑘 = 0,02953 W⁄m ∙ K ; 𝐶𝑝 = 1008 J⁄kg ∙ K
𝑄
0,15
4𝐴
4×0,22
𝑣 = 𝐴 = 0,22 = 3,75 m⁄s; 𝐷ℎ = 𝑃 = 4×0,2 = 0,2
𝑅𝑒 =
𝜇𝑐𝑝
𝐷ℎ 𝑣𝜌
= 35744; 𝑃𝑟 =
= 0,716
𝜇
𝑘
𝑁𝑢 = 0,023𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,3 = 91,35; 𝑁𝑢 =
ℎ𝐷ℎ
𝑘
0,2×ℎ
; 91,35 = 0,02953 ; ℎ = 13,5 W⁄m2 K
R: ℎ = 13,5 W⁄m2 K
c)
ln 𝑇
𝑇−𝑇p
entrada −𝑇p
ℎ 4𝐿
= − 𝑚𝑖̇ 𝐶 1 𝑧;
p
𝑇
−60
4×13,5×0,2×8
ln saida
= − 0,15×1×1008 ; 𝑇saida = 71,3℃
80−60
A temperatura média do ar na conduta é 75,7 ºC, pelo que não é necessário refazer os cálculos com
as propriedades a esta temperatura.
R: 𝑇saida = 71,3℃
d)
𝑞 = 𝑚̇𝐶p (𝑇entrada − 𝑇saida ) = 0,15 × 1 × 1008 × (80 − 71,3) = 1315 W
R: 𝑞 = 1315 W
29
FT II
Excercício 2.2
Água de arrefecimento circula no interior dos tubos de um permutador com uma velocidade de 1,2 m/s.
Tendo em conta o escoamento turbulento e as propriedades da água nas condições de utilização, o
respetivo coeficiente de transferência de calor foi estimado pela correlação de Dittus-Boelter, tendo-se
obtido o valor de 5,0 kW m−2 s−1. Caso a velocidade da água aumente para 1,5 m/s, qual será o novo valor
previsto para o coeficiente de transferência de calor?
Dado (Dittus-Boelter):
𝑁𝑢 = 0,0265 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,3 𝑇parede < 𝑇fluido
𝑁𝑢 = 0,0243 𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,4 𝑇parede > 𝑇fluido
Resolução:
Como a água é o fluido arrefecedor, a temperatura do tubo está acima da temperatura da água, logo a
equação usada foi a do número de Prandtl com o expoente 0,4. No entanto, considera-se que as
propriedades da água irão manter-se praticamente constantes e, deste modo, o número de Nusselt (h
d/k) irá variar de acordo com a variação do número de Reynolds.
ℎ2
𝑁𝑢
𝑅𝑒
1
1
1
= 𝑁𝑢2 = (𝑅𝑒2 )
ℎ
0,8
𝑣
0,8
= (𝑣2 )
1
1,5 0,8
; ℎ2 = 5,0 × (1,2)
= 6,0 kW⁄m2 K
R: 6,0 kW⁄m2 K
Excercício 2.2
Um sistema de aquecimento, constituido por uma placa quadrada com 0,5 m de lado, vai ser
colocado num compartimento onde o ar está a 20ºC. Uma das faces da placa encontra-se a 60ºC e
a outra face está isolada. Pretende-se determinar a posição mais adequada para colocar a placa:
I.
Na vertical, numa das paredes do compartimento.
II.
No chão da compartimento.
III.
No teto da compartimento.
Resolução:
i. Pressão atmosférica e o ar é um gás ideal. 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑇𝑎𝑟 +𝑇𝑝
2
= 313 K;
𝜇
Propriedades do ar a 303K: 𝜈 = 𝜌 = 1,07 × 10−5 m2 ⁄s ; 𝑘 = 0,02662 W⁄m2 s ; 𝑃𝑟 = 0,7255
30
FT II
𝐺𝑟 =
𝑔𝛽∆𝑇𝜌2 𝐿3𝑐
𝜇2
=
1
)×(60−20)×0,53
313
(1,07×10−5 )2
9,8×(
= 5,40 × 108 ; 𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 × 𝑃𝑟 = 3,919 × 108
1
9
𝑅𝑎 < 10
𝛥𝑇 4
40 1/4
ℎ = 1,37 ( 𝐿 ) ; ℎ = 1,37 (0.5) = 4,1 W⁄ m2 K
𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑝 − 𝑇𝑎𝑟 ) = 4,1 × 0,5 × 0,5 × (60 − 20) = 41 W
ii.
𝐿𝑐 =
𝐴
𝑃
=
0,5×0,5
4×0,5
= 0,125 𝐺𝑟 =
𝑔𝛽∆𝑇𝜌2 𝐿3𝑐
𝜇2
=
1
)×(60−20)×0,1253
313
(1,07×10−5 )2
9,8×(
= 8,45 × 106
𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 × 𝑃𝑟 = 6,13 × 106
1
𝛥𝑇 4
40 0,25
ℎ = 1,32 ( 𝐿 ) = 1,32 (0,125)
= 5,58 W⁄m2 K
𝑐
𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑝 − 𝑇𝑎𝑟 ) = 5,58 × 0,5 × 0,5 × (60 − 20) = 55,8 W
iii.
𝐿𝑐 = 0,125 𝐺𝑟 =
𝑔𝛽∆𝑇𝜌2 𝐿3𝑐
𝜇2
=
1
)×(60−20)×0,1253
313
(1,07×10−5 )2
9,8×(
= 8,45 × 106
𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 × 𝑃𝑟 = 6,13 × 106
1
𝛥𝑇 4
40 0,25
ℎ = 0,59 ( 𝐿 ) = 0,59 (0,125)
= 2,5 W⁄m2 K
𝑐
𝑞 = ℎ𝐴(𝑇𝑝 − 𝑇𝑎𝑟 ) = 2,5 × 0,5 × 0,5 × (60 − 20) = 25 W
R: Como esperado, a placa aquecida deve ser colocada no chão.
31
FT II
3. Permutadores de Calor
Introdução
Os permutadores de calor são equipamentos projetados para a transferência de calor entre fluidos
que se encontram separados por uma superfície metálica. O aquecimento ou arrefecimento dos
fluidos do processo pode ser efetuado recorrendo a utilidades quentes (ex: vapor; fluidos térmicos,
…) ou frias (água fria, fluidos refrigerantes, …), respetivamente. Em alguns casos, ambos os fluidos
alimentados ao permutador de calor são fluidos do processo o que permite, através de integração
energética, minimizar o consumo de energia de fontes externas.
Os permutadores de calor podem ser classificados de acordo com o tipo de construção: permutador
de placas ou de tubos. Nos permutadores de tubos incluem-se os permutadores de tubos
concêntricos, de caixa e tubos e serpentina.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.1 Permutadores de calor de tubos concêntricos (a), caixas e tubos (b) e serpentina (c).
No permutador de calor de tubos concêntricos um dos fluidos circula no tubo interior e o outro
fluido no espaço anular entre os dois tubos. Este é talvez o permutador mais simples porque é de
fácil manutenção. É utilizado para pequenas capacidades.
O permutador de caixas e tubos é um dos tipos de permutador mais utilizado a nível industrial.
Neste caso, um dos fluidos passa pelo interior dos tubos e o outro pelo espaço entre os tubos e a
caixa. É um permutador compacto, ou seja, apresenta uma elevada área por unidade de volume e
é, por isso, adequado para médias e elevadas capacidades. Dado o tipo de construção que se
caracteriza por estanquicidade e robustez, este tipo de permutador de calor pode ser utilizado em
condições severas, tais como, pressão e temperatura elevadas, fluidos corrosivos, fluidos viscosos,
etc.
32
FT II
No caso das serpentinas, um dos seus maiores problemas está relacionado com a limpeza do interior
do tubo.
Os permutadores de placas são construídos por placas lisas ou, preferencialmente,
placas onduladas (Figura 4.2) que promovem a turbulência e facilitam a troca de
calor. Este tipo de permutador não é adequado para operar a pressões e
temperaturas elevadas, devido a problemas de estabilidade das borrachas que
unem as placas e vedam os compartimentos. São de fácil limpeza e, por isso, muito
utilizados na indústria alimentar.
Figura 3.2 Placa
Os permutadores de calor podem ainda ser classificado quanto ao tipo de escoamento:
contracorrente, cocorrente ou de fluxo cruzado (Figura 4.3).
(a)
(b)
(c)
Figura 3.3 Tipos de escoamento: cocorrente (a), contracorrente (b) e cruzado (c).
Os fluidos que circulam no PC podem estar sujeitos, apenas, a arrefecimento ou aquecimento
sensível, ou seja, sofrer apenas variações de temperatura. Mas, também, podem estar sujeitos a
mudanças de fase, envolvendo a troca calor latente, como seja numa condensação ou vaporização.
No caso da mudança de fase, se o fluido for um composto puro, a temperatura da corrente
permanece constante durante o processo. Quando ocorre uma mudança de fase, o permutador de
calor é geralmente designado por condensador (no caso da condensação) ou evaporador/ebulidor
(no caso da evaporação).
Em seguida apresenta-se um resumo de algumas expressões utilizadas no dimensionamento /
desempenho de um permutador de calor.
Por definição a corrente quente e a corrente fria são as correntes que apresentam, respetivamente,
a maior e menor temperatura de entrada no PC.
Balanço entálpico ao permutador de calor:
𝑞 = 𝑚̇𝑞 𝑐𝑝𝑞 (𝑇𝑞𝑒 − 𝑇𝑞𝑠 ) = 𝐶𝑞 (𝑇𝑞𝑒 − 𝑇𝑞𝑠 );
𝑞 = 𝑚̇𝑓 𝑐𝑝𝑓 (𝑇𝑓𝑠 − 𝑇𝑓𝑒 ) = 𝐶𝑓 (𝑇𝑓𝑠 − 𝑇𝑓𝑒 )
33
FT II
Equação de projeto para placas e tubos concêntricos:
Cocorrente: 𝑞 = 𝑈𝐴
(𝑇𝑞𝑒 −𝑇𝑓𝑒 )−(𝑇𝑞𝑠 −𝑇𝑓𝑠 )
ln(
Contracorrente:
𝑇𝑞𝑒 −𝑇𝑓𝑒
)
𝑇𝑞𝑠 −𝑇𝑓𝑠
𝑞 = 𝑈𝐴
= 𝑈𝐴𝛥𝑇ln,co
(𝑇𝑞𝑒 −𝑇𝑓𝑠 )−(𝑇𝑞𝑠 −𝑇𝑓𝑒 )
ln(
𝑇𝑞𝑒−𝑇𝑓𝑠
𝑇𝑞𝑠 −𝑇𝑓𝑒
= 𝑈𝐴𝛥𝑇ln,contra
)
Equação de projeto para caixa e tubos:
𝑞 = 𝑈𝐴𝐹
(𝑇𝑞𝑒 − 𝑇𝑓𝑠 ) − (𝑇𝑞𝑠 − 𝑇𝑓𝑒 )
= 𝑈𝐴𝐹𝛥𝑇ln,contra
𝑇𝑞𝑒 − 𝑇𝑓𝑠
ln (𝑇 − 𝑇 )
𝑞𝑠
𝑓𝑒
𝐹 = 1 quando ocorre a mudança de fase em pelo menos uma das correntes ou no caso de 1
passagem na caixa e 1 passagem nos tubos. Os valores de F encontram-se publicados sob a forma
gráfica ou podem ser calculados com ferramentas on-line.
U é o coeficiente global de transferência de calor e A a área de transferência de calor.
No caso de permutador de placas:
𝑅𝑓"
𝑅𝑞"
1
1
∆𝑥
1
=
+
+
+
+
𝑈𝐴
𝐴
ℎq 𝐴
𝑘placa ℎf 𝐴
𝐴
Em que ∆𝑥 é a espessura da placa e 𝑅 " os fatores de sujidade.
No caso de um permutador de tubos, a área pode ser a área interior ou exterior.
𝐴ext = 𝑛tubos 2𝜋𝑟ext 𝐿 𝑒 𝐴int = 𝑛tubos 2𝜋𝑟int 𝐿
"
"
1
1
𝑅𝑖𝑛𝑡
1
1
𝑟ext
1
𝑅𝑒𝑥𝑡
=
=
+
+
ln
+
+
𝑈ext 𝐴ext
𝑈int 𝐴int
𝐴int
ℎint 𝐴int
𝑘tubo 2𝜋𝐿 𝑟int
ℎext 𝐴ext
𝐴ext
h é o coeficiente parcial de transferência de calor, k a condutividade do tubo.
O dimensionamento/desempenho de um permutador de calor também pode ser efetuado pelo
método da efetividade, como alternativa à equação de projeto.
Efetividade:
𝜀=𝑞
𝑞
max
𝐶q (𝑇qe −𝑇qs )
=𝐶
min (𝑇qe −𝑇fe )
𝐶 (𝑇 −𝑇 )
fe
= 𝐶 f (𝑇fs −𝑇
)
min
qe
fe
𝐶
𝐶q = 𝑚̇q 𝐶pq 𝑒 𝐶𝑓 = 𝑚̇𝑓 𝐶𝑝𝑓 ; 𝐶r = 𝐶min ; 𝐶min é o menor dos 𝐶 e 𝐶max o maior.
max
𝑈𝐴
Número de unidades de transferência: 𝑁𝑇𝑈 = 𝐶
min
34
FT II
Nas Tabelas 3.1 e 3.2 apresentam-se algumas expressões para o cálculo do NTU e da efetividade.
Para outras geometrias consultar o fascículo “Tabelas” de FTII ou literatura da especialidade.
Tabela 3.1 – Expressões para o cálculo de efetividade,  em permutadores de calor.
Cocorrente
Contracorrente
Caixa e tubos: 1 passagem
de caixa e 2, 4,… passagens
de tubos
𝜀=
𝜀=
1 − exp(−𝑁𝑇𝑈(1 + 𝐶𝑟 ))
1 + 𝐶𝑟
1 − exp(−𝑁𝑇𝑈(1 − 𝐶𝑟 ))
; 𝐶𝑟 < 1
1 − 𝐶𝑟 exp(−𝑁𝑇𝑈(1 − 𝐶𝑟 ))
𝜀1 =
𝑁𝑇𝑈
; 𝐶 =1
1 + 𝑁𝑇𝑈 𝑟
𝜀=
2
1 + exp[−𝑁𝑇𝑈1 (1 + 𝐶𝑟2 )1/2 ]
{1 + 𝐶𝑟 + (1 + 𝐶𝑟2 )1/2
}
1 − exp[−𝑁𝑇𝑈1 (1 + 𝐶𝑟2 )1/2 ]
Caixa e tubos:
𝜀=
n passagens de caixa e 2n,
4n,… passagens de tubos
1−𝜀 𝐶 𝑛
( 1 − 1𝜀 𝑟 ) − 1
1
1−𝜀 𝐶 𝑛
( 1 − 1𝜀 𝑟 ) − 𝐶𝑟
1
em que 1 é calculado pela eq (1), com NTU1=NTU/n
𝜀 = 1 − exp( − 𝑁𝑇𝑈)
Permutadores de qualquer
tipo com 𝑪𝐫 = 𝟎:
Tabela 3.2 – Expressões para o cálculo do número de unidades de transferência, NTU, em
permutadores de calor.
ln 1 − 𝜀(1 + 𝐶𝑟 ))
Cocorrente
𝑁𝑇𝑈 = −
Contracorrente
𝑁𝑇𝑈 =
1 + 𝐶𝑟
1
𝜀−1
𝑙𝑛 (
) ; (𝐶𝑟
𝐶𝑟 − 1
𝜀𝐶𝑟 − 1
𝑁𝑇𝑈 =
𝜀
; (𝐶𝑟 = 1)
1−𝜀
< 1)
Caixa e tubos:
1 passagem de caixa e 2,
4,… passagens de tubos
Permutadores de qualquer
tipo com 𝐶r = 0:
𝐸−1
𝑁𝑇𝑈 = −(1 + 𝐶𝑟2 )−1/2 ln (𝐸+1) (3); 𝐸 =
(2/𝜀1 )−(1+𝐶𝑟 )
(1+𝐶𝑟2 )
1/2
(4)
𝑁𝑇𝑈 = − ln(1 − 𝜀)
35
FT II
Exercício 3.1
Pretende-se aquecer água de 15ºC para 30ºC num permutador de tubos concêntricos utilizando
gases de combustão que entram a 220ºC e saem a 90ºC. A água circula no tubo interior, em
contracorrente, à velocidade de 0,3 ms−1.
a) Calcule os caudais mássicos de água e de gás de combustão que circulam no permutador.
b) Calcule o coeficiente global de transferência de calor, referido à área exterior.
c) Calcule o comprimento dos tubos.
Dados:
Tubo interior: dint= 0,04 m, espessura = 3 mm; Tubo exterior: Dext = 10 cm, espessura = 3 mm;
Cpgás= 1,02 kJkg−1K−1; Cpágua= 4,18 kJkg−1K−1; água = 1000 kgm−3
Coeficiente de transferência de calor na iterface água/tubo = 1450 Wm−2K−1
Coeficiente transferência de calor na interface gás/tubo = 62 Wm−2K−1
Fator de sujidade para a água = 1,8 × 10−4 Km2W-1
Resolução:
a)
𝑚̇água = 𝑚̇f = 𝜌⟨𝑣⟩𝐴 = 1000 × 0,3 × 𝜋
0,042
4
= 0,377 kg/s
𝑞 = 𝑚̇f 𝐶𝑝f (𝑇fs − 𝑇fe ) = 0,377 × 4180 × (30 − 15) = 2,36 × 104 W
𝑞 = 𝑚̇q 𝐶𝑝q (𝑇qe − 𝑇qs )
𝑚̇gás = 𝑚̇q =
𝑞
𝐶𝑝q (𝑇qe − 𝑇qs )
=
2,36 × 104
= 0,178 kg/s
1,02 × (220 − 90)
R: 𝑚̇água = 0,377 kg/s; 𝑚̇gás = 0,178 kg/s
b)
1
1
1
𝑟e
1
𝑅𝑖′′
=
+
ln +
+
𝑈e 𝑟e
ℎi 𝑟i
𝑘tubo 𝑟i
ℎe 𝑟e
𝑟i
Despreza-se a resistência à condução na parede do tubo, pois k é elevado (metal) e a espessura é
baixa.
1
𝑈e
=
23
1450×20
+
1
62
+
23×1,8×10−4
20
= 0,0174 Km2W-1 ⇒ 𝑈e = 58,4 Wm-2K-1
36
FT II
c)
𝑞 = 𝑈𝑒 𝐴𝑒 𝛥𝑇ln ; 𝐴𝑒 = 𝜋𝑑𝑒 𝐿; 𝛥𝑇ln =
𝐿=
(220−30)−(90−15)
220−30
90−15
ln
= 123,7 ℃
𝑞
2,36 × 104
=
= 22,6 m
𝑈𝑒 𝜋𝑑𝑒 𝛥𝑇ln 58,4 × 𝜋 × 0,046 × 123,7
Exercício 3.2
Pretende-se condensar 8,0 kg/s de propanol a 107ºC, num permutador de caixa e tubos (1 passagem
na caixa e 2 passagens nos tubos), utilizando água fria, que circula nos tubos e entra a 17ºC. Calcule
a área exterior de transferência de calor, sabendo que o coeficiente global de transferência de calor,
Ue, é 760 W m−2 K−1.
Dados:
Caudal de água = 60 kg/s; Cpágua = 4,18 kW m−2 K−1; entalpia de vaporização (propanol) = 675 kJ/kg.
Resolução:
𝑞 = 𝑈𝑒 𝐴𝑒 𝐹𝛥𝑇ln ;
𝑞 = 𝑚̇f ∆ℎ𝑣𝑎𝑝 = 8,0 × 675 = 5400 kW = 𝑚̇f 𝐶𝑝f (𝑇fs − 𝑇fe )
5400 kW = 𝑚̇f 𝐶𝑝f (𝑇fs − 𝑇fe ) ⇒ 𝑇fs =
𝛥𝑇ln =
𝐴𝑒 =
5400
+ 17 = 38,5 ℃
60 × 4,18
(107 − 17) − (107 − 38,5)
= 78,8 ℃
107 − 17
ln
107 − 38,5
𝑞
5400
=
= 90,2 m2
𝑈𝑒 𝐹𝛥𝑇ln 0,76 × 1 × 78,8
R: 𝐴𝑒 = 90,2 m2
Apesar de o permutador ser do tipo caixa e tubos,
o fator corretivo de 𝛥𝑇ln , 𝐹, é igual a 1, pois tratase de um condensador (𝑇propanol não varia).
Exercício 3.3
Uma solução aquosa diluída (A) (36 kgs−1), inicialmente a 18ºC, é aquecida por condensação de
vapor de água a 107ºC num permutador de calor de caixa e tubos. O coeficiente parcial de
transferência de calor no exterior dos tubos é 8000 Wm−2K−1 e o fator de sujidade no interior dos
tubos 7,0 × 10−5 m2K1W−1.
a) Calcule o coeficiente global de transferência de calor referido à área exterior dos tubos.
b) Calcule o número de unidades de transferência e a efetividade.
c) Calcule a temperatura de saída da água e o caudal de condensados.
37
FT II
Dados:
Permutador de calor:
1 pass. caixa × 2 pass. tubos. Tubos: n.º = 196; de= 0,025 m, di= 0,022 m, L= 2,5 m.
Propriedades da solução diluída de A:
 = 997 kgm−3; Cp= 4,18 kJkg−1K−1, = 0,77 mPas, k= 0,62 Wm−1K−1
Vapor de Água: entalpia de vaporização= 2239 kJkg−1
Resolução:
a)
𝑚̇ /𝜌
36/997
𝑣 = 𝑛𝑡𝑓 2 ; 𝑣 = 196
𝑛𝑝
𝜋𝑟𝑖
2
𝜋0,0112
; 𝑣 = 0,97 m/s
𝑅𝑒 = 2,76 × 104 ; 𝑃𝑟 = 5,19
𝑇𝑠 > 𝑇𝑓 𝑁𝑢 = 0,023𝑅𝑒 0,8 𝑃𝑟 0,4
𝑁𝑢 = 158,7; ℎ𝑖 = 4474 W/m2 K
1
1
1
𝑟e
1
𝑅𝑖" 𝑅𝑒"
=
+
ln +
+ +
𝑈e 𝑟e
ℎi 𝑟i
𝑘tubo 𝑟i
ℎe 𝑟e
𝑟i
𝑟e
1
25
1
𝑟e
1
25
=
+
ln +
+
× 7 × 10−5 ;
𝑈e
22 × 4474
𝑘tubo 𝑟i
8000
22
𝑈e = 2181 W/m2 K
Não é conhecido material/condutividade (k) dos tubos. No entanto, os tubos apresentam uma baixa
espessura e uma condutividade relativamente elevada. Por isso, a resistência à transferência de
calor por condução na parede do tubo será baixa (desprezável).
R: 𝑈e = 2181 W/m2 K
b)
𝑈 𝐴
𝑁𝑇𝑈 = 𝐶 e e
min
𝐴e = 𝑛t 𝜋𝑑e 𝐿 = 196 × 𝜋 × 0,025 × 2,5 = 38,5 m2
𝐶f = 𝐶min = 𝑚f 𝐶pf = 36 × 4180 = 1,505 × 105 W/K;
𝜀 = 1 − exp( − 𝑁𝑇𝑈) = 1 − exp(−0,558) = 0,427
R: 𝑁𝑈𝑇 = 0,558; 𝜀 = 0,427
38
FT II
c)
𝑇 −𝑇
𝑇 −18
fs
𝜀 = 𝑇 fs −𝑇fe ; 0,427 = 107−18
; 𝑇fs = 56 °C
qe
fe
𝑞 = 𝐶f (𝑇fs − 𝑇fe ) = 5,72 × 106 W
𝑞 = 𝑚v ∆𝐻𝑣 ; 5,72 × 106 = 𝑚v × 2239 × 103 ; 𝑚v = 2,55 kg/s
R: 𝑇fs = 56 °C; 𝑚v = 2,55 kg/s
Exercício 3.4
Dispõe-se de um permutador de calor, 1 passagem na caixa e 4 passagens nos tubos, com 386 tubos,
estes têm 3,5 m de comprimento, 16 mm de diâmetro interno e 3 mm de espessura. Pretende-se
utilizar este permutador para arrefecer 20 kgs−1 de um fluido A que se encontra a 90ºC, utilizando
um fluido B disponível a 20ºC. O fluido frio (B) circula no interior dos tubos à velocidade de 1,05
ms−1. Os coeficientes parciais de transferência de calor entre a parede do tubo e os fluidos A e B
assumem, respetivamente, os valores de 800 Wm−2K−1 e 4000 Wm−2K−1. Os fatores de sujidade
no interior e exterior dos tubos são iguais a 𝑅𝑖´´ = 𝑅𝑒´´ =7,0 × 10−5 m2KW−1.
a) Calcule o coeficiente global de transferência de calor referido à área exterior dos tubos.
b) Calcule a área de transferência de calor e o caudal de B.
c) Será possível utilizar este permutador de calor para arrefecer o fluido A até 45 ºC?
Dados:
Propriedades: cpA= 2,0 kJkg−1K−1; cpB= 4,18 kJkg−1K−1, kgm−3
Condutividade dos tubos= 45 Wm−1K−1
Resolução:
a)
1
1
1
𝑟e
1
𝑅𝑖" 𝑅𝑒"
=
+
ln +
+ +
𝑈e 𝑟e
ℎi 𝑟i
𝑘tubo 𝑟i
ℎe 𝑟e
𝑟i
𝑟e
1
11
0,011 11
1
11
=
+
ln
+
+ (1 + ) × 7 × 10−5 ;
𝑈e
8 × 4000
45
8 800
8
𝑈e = 544 W/m2 K
39
FT II
b)
𝐴e = 𝑛t 𝜋𝑑e 𝐿 = 386 × 𝜋 × 0,022 × 3,5 = 93,4 m2
𝑚̇ f /𝜌
𝑛t
386
𝑣=𝑛
; 𝑚̇ f = 𝑣 𝜋𝑟𝑖2 𝜌 = 1,05 ×
× 𝜋 × 0,0082 × 1000 = 20,37 kg/s
t
2
𝑛p
4
𝜋𝑟
𝑛p 𝑖
c)
𝐶q = 𝐶min = 𝑚q 𝐶pq = 4 × 104 W/K; 𝐶f = 𝑚f 𝐶pf = 8,51 × 104 W/K
4×104
𝑈 𝐴
𝐶r = 8,51×104 = 0,47; 𝐴e = 𝑛t 𝜋𝑑e 𝐿 = 93,4 m2 ; 𝑁𝑇𝑈 = 𝐶 e e = 1,27
min
𝜀=
2
= 0,607
1 + exp[−𝑁𝑇𝑈1 (1 + 𝐶𝑟2 )1/2 ]
2
1/2
{1 + 𝐶𝑟 + (1 + 𝐶𝑟 )
}
1 − exp[−𝑁𝑇𝑈1 (1 + 𝐶𝑟2 )1/2 ]
𝑇𝑞𝑒 −𝑇𝑞𝑠
90−𝑇𝑞𝑠
𝜀 = 𝑇 −𝑇 ; 0,607 = 90−20 ; 𝑇𝑞𝑠 = 47,5℃ > 45℃ ;
𝑞𝑒
𝑓𝑒
logo o permutador de calor não é adequado.
40
FT II
4. Radiação
Introdução
A radiação é a energia emitida pela matéria em resultados das oscilações e transições dos eletrões
presentes na matéria e é função da temperatura. De acordo, com a teoria eletromagnética, esta
energia é transportada através de ondas que se propagam através do vácuo. Por isso, e ao contrário,
da condução e convecção, a radiação não necessita de suporte material para que ocorra a
transferência de energia. As ondas eletromagnéticas caracterizam-se pela sua frequência () ou
comprimento de onda (), e a energia associada a uma onda pode ser calculada por:
𝑐
𝐸 = ℎ 𝜆 = ℎ𝜈 (c é a velocidade da luz e h a constante de Planck)
No caso da radiação térmica, os comprimentos de onda variam entre os 0,1 m e os 100m. Ou
seja, inclui o ultravioleta próximo, o visível (0,38 m – 0,75 m) e o infravermelho.
O saldo de radiação num corpo é função da energia emitida pelo corpo e da energia recebida da
vizinhança. A energia emitida pelo corpo depende da respetiva temperatura e emissividade (). A
emissividade varia entre 0 e 1. A radiação recebida da vizinhança pode ser absorvida (), refletida
( e/ou transmitida pelo corpo, sendo que 𝛼 + 𝜌 + 𝜏 = 1.
A radiação é um fenómeno complexo que depende das temperaturas do corpo emissor e do corpo
recetor, do comprimento de onda e da direção da radiação. Dada a complexidade do fenómeno e,
para que, seja possível quantificar a troca de calor de forma expedita, utilizam-se modelos que
recorrem a aproximações aceitáveis. Nestes modelos, os corpos são classificados como:
Corpo negro: absorve toda a radiação que nele incide (𝛼 = 1) e é um emissor perfeito (𝜀𝑖 = 1),
ou seja, é o corpo que mais emite à temperatura T (𝐸𝑖 = 𝜎𝑇𝑖4 ; 𝜎 − 5,67 × 10−8 W/m2 K 4 ).
Corpo refletor: reflete toda a radiação incidente (𝜌𝑖 = 1).
Corpo transparente: é atravessado por toda a radiação incidente (𝜏𝑖 = 1).
Corpo opaco: não se deixa atravessar pela radiação incidente (𝜏𝑖 = 0).
Corpo cinzento: a energia que o corpo emite é dada por 𝐸𝑖 = 𝜀𝑖 𝜎𝑇𝑖4 ; 𝜀𝑖 ≠ 1 e não depende do
comprimento de onda (
Corpo difuso: as propriedades (𝜀, 𝛼, … ) não dependem da direção.
41
FT II
Troca de Calor entre superfícies
Em seguida, apresenta-se algumas variáveis utilizadas no cálculo da troca de calor por radiação.
Irradiação (𝐺𝑖 ): Toda a energia que chega à superfície i.
Radiosidade (𝐽𝑖 ): Toda a energia que sai da superfície.
𝐽𝑖 = 𝜀𝑖 𝐸𝑖 + 𝜌𝑖 𝐺𝑖 = 𝜀𝑖 𝜎𝑇𝑖4 + 𝜌𝑖 𝐺𝑖
Fatores de forma (𝐹𝑖,𝑗 ): Fração de energia que sai de i e incide diretamente em j.
∑𝑛𝑗=1 𝐹𝑖𝑗 = 1
Alguns exemplos:
𝐹𝑖𝑖 = 0
𝐹𝑖𝑖 = 0
𝐹𝑖𝑖 ≠ 1
Lei da reciprocidade: 𝐹𝑖𝑗 𝐴𝑖 = 𝐹𝑗𝑖 𝐴𝑗
Troca de calor entre i e j: 𝑞𝑖𝑗 = 𝐹𝑖𝑗 𝐴𝑖 𝐽𝑖 − 𝐹𝑗𝑖 𝐴𝑗 𝐽𝑗 = 𝐹𝑖𝑗 𝐴𝑖 (𝐽𝑖 − 𝐽𝑗 )
Troca de calor entre i e n corpos presentes na vizinhança:
𝜎𝑇 4 −𝐽
𝑞𝑖 = ∑𝑛𝑗=1 𝐹𝑖𝑗 𝐴𝑖 (𝐽𝑖 − 𝐽𝑗 ); 𝑞𝑖 = (1−𝜀 𝑖)/(𝜀 𝑖𝐴 )
𝑖
𝑖 𝑖
Troca de calor entre um corpo cinzento (i) confinado no espaço por um corpo negro (j):
𝑞𝑖 = 𝜀𝑖 𝐴𝑖 𝜎(𝑇𝑖4 − 𝑇𝑗4 )
Lei de kirchhoff: 𝜀𝑖 = 𝛼𝑖
Extensão da Lei de kirchhoff: Absortividade (𝛼𝑖 ) de um objeto i (à temperatura Ti) que recebe
radiação de outro (j), que está à temperatura Tj:
𝛼𝑖 (⋁𝑇𝑖 ) = 𝜀𝑖 (𝑇𝑗 )
42
FT II
Exercício 4.1
Uma placa colocada no telhado de uma casa atinge os 85ºC quando a temperatura ambiente é de
30ºC. Sabe-se que o coeficiente de transferência de calor entre o ar e a placa é de 5 W/m2 K−1 e que
o fluxo de irradiação solar na placa é 800 W/m2.
a) Qual o fluxo de irradiação do céu sobre a placa?
b) Qual é a temperatura do céu?
Dados:
Absortividade da placa à radiação solar= 0,85; emissividade da placa= 0,70;
Resolução:
a)
′′
′′
𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
= 𝑞𝑠𝑎𝑖
′′
′′
𝛼𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐺𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 + 𝛼𝑐é𝑢 𝐺𝑐é𝑢 = 𝑞𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑜
+ 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
A placa é uma superfície cinzenta e difusa (𝛼 ∧ 𝜀) ≠ 𝑓(𝜆, 𝜃).
Uma vez que a irradiação do céu está na mesma região espectral da emissão da superfície,
podemos assumir que 𝛼𝑐é𝑢 = 𝜀𝑝 .
4
𝛼𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐺𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 + 𝛼𝑐é𝑢 𝐺𝑐é𝑢 = 𝜀𝑝 𝜎𝑇𝑝,𝑒
+ ℎ𝑒 (𝑇𝑝,𝑒 − 𝑇∞ );
0,85 × 800 + 0,7 × 𝐺𝑐é𝑢 = 0,7 × 5,67 × 10−8 × 3584 + 5 × (85 − 30); 𝐺𝑐é𝑢 = 246 W/m2
R: 𝐺𝑐é𝑢 = 246 W/m2
b)
4
4
Céu é um corpo negro: 𝐺𝑐é𝑢 = 𝜎𝑇𝑐𝑒𝑢
: 246 = 5,67 × 10−8 × 𝑇𝑐é𝑢
; 𝑇𝑐é𝑢 = 281 K
R: 𝑇𝑐é𝑢 = 281 K
Exercício 4.2
Um tubo (= 0,9) com 3 cm de diâmetro interno e 2 mm de espessura (L>> D) é utilizado para
transportar um fluido A. O tubo encontra-se exposto à radiação solar (Gs= 800 W/m2, s= 0,7) num
local onde as temperaturas ambiente e do céu são 30ºC e 7ºC, respetivamente. Sabendo que a
superfície exterior do tubo está a 35ºC e que a resistência à transferência de calor na parede do tubo
é desprezável, determine a temperatura do fluido A.
43
FT II
Dados:
Coeficiente de transferência de calor no interior do tubo: hi = 200 W/m2K
Coeficiente de transferência de calor no exterior do tubo: he = 10 W/m2K
Resolução:
Balanço na superfície exterior do tubo: 𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑞𝑠𝑎𝑖
𝐴𝑒 𝛼𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 𝐺𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 + 𝐴𝑒 𝛼𝑐é𝑢 𝐺𝑐é𝑢 + 𝐴𝑖 ℎ𝑖 (𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 − 𝑇𝑠,𝑖 )
4
= 𝐴𝑒 ℎ𝑒 (𝑇𝑠,𝑒 − 𝑇∞ ) + 𝜀𝜎𝑇𝑠,𝑒
𝑇𝑠,𝑖 = 𝑇𝑠,𝑒 porque a resistência à transferência de calor na parede do tubo é desprezável
A placa é uma superfície cinzenta e difusa (𝛼 ∧ 𝜀) ≠ 𝑓(𝜆, 𝜃).
Uma vez que a irradiação do céu está na mesma região espectral da emissão da superfície,
podemos assumir que 𝛼𝑐é𝑢 = 𝜀𝑝 .
0,7 × 800 + 0,9 × 𝜎 × 2804 +
0,03
× 200 × (𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 − 308)
0,034
= 10 × (308 − 303) + 0,9 × 𝜎 × 3084
𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 306 K
R: 𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 306 K
Exercício 4.3
Duas placas retangulares (5 m × 10 m), com comportamento de corpo
negro, foram colocadas em paralelo e à distância de 5 m. A placa 1 está
a 200ºC e placa 2 a 100ºC. A vizinhança (3) é um corpo cinzento
(e encontra-se a 25ºC. A fração de energia que sai de 1 e atinge
diretamente 2 é 28%.
a) Calcule a matriz Fij.
b) Calcule o saldo de energia por unidade de tempo e por unidade de área na vizinhança (3).
Dados: 𝑞𝑖 =
𝜎𝑇𝑖 4 −𝐽𝑖
(1−𝜀𝑖 )/(𝜀𝑖 𝐴𝑖 )
;
×−W/m2K4
44
FT II
Resolução:
a)
𝐹12 = 0,28; 𝐹11 = 0 ;
𝐹11 + 𝐹12 + 𝐹13 = 1;
0 + 0,28 + 𝐹13 = 1 → 𝐹13 = 0,72
𝐹12 𝐴1 = 𝐹21 𝐴2 ; 𝐴1 = 𝐴2 → 𝐹12 = 𝐹21 = 0,28
𝐹22 = 0; 𝐹22 + 𝐹21 + 𝐹23 = 1;
0 + 0,28 + 𝐹23 = 1 → 𝐹23 = 0,72
𝐹13 𝐴1 = 𝐹31 𝐴3 ; 0,73 × 50 = 𝐹31 × 150 → 𝐹31 = 0,24
𝐹23 𝐴2 = 𝐹32 𝐴3 ; 𝐴2 = 𝐴3 → 𝐹32 = 0,24 ;
𝐹31 + 𝐹32 + 𝐹33 = 1;
0,24 + 0,24 + 𝐹33 = 1 → 𝐹33 = 0,52
𝐹11 𝐹12 𝐹13
0
0,28 0,72
0,72 ]
[𝐹21 𝐹22 𝐹23 ] = [ 0,28 0
𝐹31 𝐹32 𝐹33
0,24 0,24 0,52
b)
𝜎𝑇 4 −𝐽
𝑞𝑖 = ∑𝑛𝑗=1 𝐹𝑖,𝑗 𝐴𝑖 (𝐽𝑖 − 𝐽𝑗 ) e 𝑞𝑖 = (1−𝜀 𝑖)/(𝜀 𝑖𝐴 )
𝑖
𝑞3
𝐴3
𝑖 𝑖
= 𝑞3′′ = 𝐹31 (𝐽3 − 𝐽1 )+ 𝐹32 (𝐽3 − 𝐽2 )
𝑞3′′ =
𝜎𝑇3 4 − 𝐽3
(1 − 𝜀3 )/(𝜀3 𝐴3 )
𝑞3′′ = 0,24(𝐽3 − 𝜎 × 3734 )+ 𝐹32 (𝐽3 − 𝜎 × 4734 )
𝑞3′′ =
𝜎2984 − 𝐽3
(1 − 0,9)/(0,9)
𝑞3′′ = −693 W/m2 e 𝐽3 = 523 W/m2
R: 𝑞3 = −693 W/m2
45
FT II
5. Condução térmica em sólidos em regime transitório
Introdução
Em regime transitório, a temperatura depende da coordenada temporal, t.

Caso 1 – A temperatura depende apenas de t e é independente da posição, 𝑻(𝒕)
Como para qualquer valor de tempo, a temperatura não depende da posição, a temperatura diz-se
uniforme no interior do sólido. Neste caso, os gradientes de temperatura no sólido são desprezáveis
e a equação diferencial da condução de calor não nos permite formular o problema. Assim, recorrese a um balanço global de energia térmica, i.e., considerando que a taxa de calor que entra (ou sai,
dependendo se o sólido aquece ou arrefece) é igual à taxa de calor acumulado. Assume-se que o
sólido tem uma temperatura inicial uniforme Ti e troca calor por convecção com um fluido à
temperatura 𝑇∞ . A expressão resultante aplica-se quando a resistência à condução << do que a
resistência à convecção (i.e., Biot geral < 0,05):
𝑇 − 𝑇∞
ℎ𝐴𝑠
ln (
)=−
𝑡
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜌𝑉𝐶𝑝
Modelo da distribuição uniforme de temperatura
(MDUT)
V é o volume do sólido, 𝐴𝑠 é a área do sólido exposta à convecção, 𝜌 é a densidade do sólido e Cp o
seu calor específico. O declive da reta, em módulo, traduz a rapidez do processo de aquecimento
ou arrefecimento do sólido. Define-se 𝜏 como a constante de tempo:
𝜏=
𝜌𝑉𝐶𝑝 -1
[s ]
ℎ𝐴𝑠
Número de Biot (geral), 𝐵𝑖𝐺
𝐵𝑖𝐺 =
𝑉
ℎ (𝐴 )
𝑠
𝑘
O número de Biot traduz o quociente entre a resistência à condução no sólido e a resistência à
convecção.
46
FT II

Caso 2 – A temperatura depende de t e da posição, 𝑻(𝒕, 𝒛)
Neste caso, o problema formula-se com um balanço de energia térmica a um volume de controlo
diferencial. Podemos, por isso, recorrer à equação diferencial da condução de calor (equação de
difusão de calor). Tomando como exemplo as coordenadas cartesianas (ver ANEXO), temos:
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘 ) +
(𝑘 ) + (𝑘 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑡
Quando não há geração de calor (𝑞̇ = 0) e temos condução unidimensional, segundo z, por
exemplo, vem:
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘 ) = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕 2 𝑇 1 𝜕𝑇
𝑘
=
;𝛼=
2
𝜕𝑧
𝛼 𝜕𝑡
𝜌𝑐𝑝
𝛼: difusividade térmica [m2 /s] (considerando constantes as propriedades 𝑘, 𝜌 e 𝑐𝑝 )
Para obter a distribuição de temperatura T (z, t ), é necessário especificar uma condição inicial e
duas condições de fronteira. Para uma placa com duas faces expostas à convecção (com espessura
2L), tem-se:
Condição inicial: 𝑇(𝑧, 0) = 𝑇𝑖
Condições de fronteira:
𝜕𝑇
|
𝜕𝑧 𝑧=0
= 0; − 𝑘
𝜕𝑇
|
𝜕𝑧 𝑧=𝐿
= ℎ[𝑇(𝐿, 𝑡 ) − 𝑇∞ ]
Em suma, a placa está inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e, por simetria, a derivada da
temperatura em ordem a z terá de se anular no plano a meio da placa, equidistante da superfície
(i.e., para z = 0); na superfície, verifica-se a condição relativa à igualdade dos fluxos (condução e
convecção). Para resolver a equação definem-se os grupos adimensionais apresentados na Tabela
4.1.
Na Tabela 4.1 o 𝐿𝑧 é um comprimento característico (metade da espessura da placa ou a espessura
da placa, consoante a placa tenha duas ou apenas uma face exposta à convecção, neste último caso,
uma das faces será adiabática; dT/dz = 0 na origem do referencial).
47
FT II
Tabela 4.1 – Grupos adimensionais usados na resolução da equação
Diferença de temperaturas
adimensional
𝑇 − 𝑇∞
𝜃∗ =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
Posição adimensional
𝑧∗ =
𝑧
𝐿𝑧
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧 2
Biot
𝐵𝑖 =
=
1 𝜕𝑇..
𝛼 𝜕𝑡
Fourier
(tempo adimensional)
ℎ𝐿𝑧
𝑘
𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝐿2𝑧
Nas geometrias radiais, a dimensão característica é o raio, R. A solução exacta da equação consiste
numa série infinita em que os parâmetros Cn e 𝜁𝑛 são função do número de Biot:
∞
𝜃 ∗ = ∑ 𝐶𝑛 exp(−𝜁𝑛2 𝐹𝑜) cos(𝜁𝑛 𝑧 ∗ )
𝑛=1
As soluções exatas para as várias geometrias de interesse podem ser consultadas na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Solução da equação da condução unidimensional em regime transitório.
Placa: transferência de calor na direção z
∞
𝑇 − 𝑇∞
𝜃 ∗ (𝑧 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
= ∑ 𝐶𝑛 exp(−𝜁𝑛2 𝐹𝑜) cos(𝜁𝑛 𝑧 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑛=1
Cilindro: transferência de calor na direção r
∞
𝑇 − 𝑇∞
𝜃 (𝑟 , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
= ∑ 𝐶𝑛 exp(−𝜁𝑛2 𝐹𝑜) 𝐽0 (𝜁𝑛 𝑧 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
∗
∗
𝑛=1
Esfera: transferência de calor na direção r
∞
𝑇 − 𝑇∞
sen(𝜁𝑛 𝑧 ∗ )
𝜃 (𝑟 , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
= ∑ 𝐶𝑛 exp(−𝜁𝑛2 𝐹𝑜)
𝑇𝑖 − 𝑇∞
(𝜁𝑛 𝑧 ∗ )
∗
∗
𝑛=1
Quando o número de Fourier é > 0,2, podemos usar uma solução aproximada, i.e., a solução é dada
pelo primeiro termo da série (n = 1).
48
FT II
Tabela 4.3 – Solução aproximada, condução em regime transitório (para C1 e 𝜁1 ,ver ANEXO).
Placa: transferência de calor na direção z
𝑇 − 𝑇∞
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) cos(𝜁1 𝑧 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜃 ∗ (𝑧 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
Cilindro: transferência de calor na direção r
𝜃 ∗ (𝑟 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑇 − 𝑇∞
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) 𝐽0 (𝜁1 𝑟 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
Esfera: transferência de calor na direção r
𝜃 ∗ (𝑟 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑇 − 𝑇∞
sen(𝜁1 𝑟 ∗ )
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜)
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜁1 𝑟 ∗
Modelo do sólido semi-infinito
Quando a transferência de calor ocorre num corpo sólido, numa direção, z, a partir de uma
superfície plana, para a qual z = 0, e o domínio de z é infinitamente superior ao domínio onde
ocorre a perturbação térmica, diz-se que estamos perante um meio semi-infinito, o qual dá nome
ao modelo em causa. Tendo em vista a resolução da equação
𝜕2 𝑇
𝜕𝑧 2
=
1 𝜕𝑇
𝛼 𝜕𝑡
, usamos a condição inicial
usual e duas condições de fronteira. Uma das condições de fronteira é relativa à temperatura para
uma distância muito afastada da superfície, a qual terá de ser igual à temperatura inicial. Assim, na
prática, para o modelo ser aplicável, deverá existir pelo menos uma cota no sólido para a qual a
temperatura é ≈ igual à temperatura inicial, Ti . Para o caso em que a superfície tem uma
temperatura constante, 𝑇𝑠 , tem-se:
Condição inicial: 𝑇(𝑧, 0) = 𝑇𝑖
Condições de fronteira: 𝑇(0, 𝑡) = 𝑇𝑠 ; 𝑇(𝑧 → ∞, 𝑡) = 𝑇𝑖
A solução do problema em análise tem a seguinte equação:
𝜃∗ =
𝑇 − 𝑇𝑠
𝑧
= erf (
)
𝑇𝑖 − 𝑇𝑠
2√𝛼𝑡
49
FT II
Quando a superfície troca calor por convecção com um fluido à temperatura 𝑇∞ , a condição de
𝜕𝑇
fronteira para z = 0 é dada pela igualdade de fluxos, −𝑘 𝜕𝑧 |
𝑧=0
= ℎ[𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡)], e o modelo do
sólido semi-infinito tem a seguinte expressão:
𝑇 − 𝑇∞
𝑧
ℎ𝑧 ℎ2 𝛼𝑡
ℎ√𝛼𝑡
𝑧
𝜃 =
= erf (
) + exp ( + 2 ) [1 − erf (
+
)]
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑘
𝑘
𝑘
2√𝛼𝑡
2√𝛼𝑡
∗
No caso da resistência à transferência de calor por convecção ser desprezavel, ℎ → ∞ , e o modelo
assume a forma simplificada com 𝑇𝑠 = 𝑇∞ .
O modelo do sólido semi-infinito é particularmente útil para analisar a condução térmica para
tempos curtos, após uma mudança na temperatura de uma superfície. O modelo é considerado
válido quando o número de Fourier é bastante baixo, i.e., Fo ≤ 0,06 .
Condução multidimensional
A solução da equação da condução multidimensional, em regime transitório, pode ser obtida a partir
das soluções individuais para a condução unidimensional, para as várias direções de transferência
de calor, e.g., segundo x, y, z, r, etc. A condução térmica num cilindro finito, por exemplo, pode ser
analisada à luz do princípio da sobreposição. De facto, um cilindro finito resulta da interseção de um
cilindro de altura infinita com uma placa com uma dada espessura e restantes dimensões também
infinitas; para uma determinada posição1, (𝑟 ∗ , 𝑧 ∗ ), 𝜃𝑟∗∗,𝑧 ∗ será obtido a partir do produto dos valores
dos 𝜃 ∗ parcelares.
Cilindro (condução radial e axial):
𝜃𝑟∗∗,𝑧 ∗ =
Cubo/paralelipípedo (condução em x, y, z ):
1
𝑇 − 𝑇∞
= 𝜃𝑟∗∗ 𝜃𝑧∗∗
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜃𝑥∗∗ ,𝑦 ∗,𝑧 ∗ =
𝑇 − 𝑇∞
= 𝜃𝑥∗∗ 𝜃𝑦∗ ∗ 𝜃𝑧∗∗
𝑇𝑖 − 𝑇∞
A origem do referencial é colocada onde a derivada da temperatura em ordem à coordenada posicional se anula.
50
FT II
Semelhança térmica
Existe semelhaça térmica entre dois objetos, 1 e 2, se ambos apresentarem o mesmo
comportamento térmico. Assim, para a mesma coordenada espacial adimensional (𝑧 ∗ ou 𝑟 ∗ , por
exemplo), a temperatura será, também, coincidente:
𝜃1∗ = 𝜃2∗
Como 𝜃 ∗ é função da posição, do Biot e do Fourier, para que haja igualdade dos dois 𝜃 ∗ , os valores
dos números de Biot terão de ser iguais entre si, assim como os respetivos valores dos números de
Fourier. Para que haja semelhança térmica, a semelhança geométrica tem de ser satisfeita. Dois
corpos, com ângulos correspondentes iguais, são geometricamente semelhantes se existir
proporcionalidade entre as suas dimensões lineares.
∗
Exemplo de condução segundo z, 𝜃𝑧∗
= 𝑓(𝑧 ∗ , 𝐵𝑖𝑧 , 𝐹𝑜𝑧 ):
𝜃𝑧∗1∗ = 𝜃𝑧∗2∗ ⇒ 𝐵𝑖𝑧1 = 𝐵𝑖𝑧2 e 𝐹𝑜𝑧1 = 𝐹𝑜𝑧2
∗
Exemplo de condução radial, 𝜃𝑟∗
= 𝑓(𝑟 ∗ , 𝐵𝑖𝑟 , 𝐹𝑜𝑟 ):
𝜃𝑟∗1∗ = 𝜃𝑟∗2∗ ⇒ 𝐵𝑖𝑟1 = 𝐵𝑖𝑟2∗ e 𝐹𝑜𝑟1 = 𝐹𝑜𝑟2
Exercício 4.1
Uma placa metálica com 50 mm de espessura encontra-se inicialmente a uma temperatura
uniforme (𝑇𝑖 = 220 °C) e apresenta a face inferior isolada. A face superior é submetida a um
arrefecimento com água (𝑇∞ = 18 °C, h = 1800 Wm−2K−1). Qual será a temperatura na superfície
isolada, decorridos 10 min?
Dados: kplaca = 15 Wm−1K−1; αplaca = 3,7 × 10−6 m2s−1
Placa plana infinita (1.º termo da solução analítica):
𝑇 − 𝑇∞
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) cos(𝜁1 𝑥 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
Biot
Placa
𝜁1
C1
0,5
0,65327
1,07013
3,0
1,19246
1,21023
6,0
1,34955
1,24788
1000
1,56923
1,27324
51
FT II
Resolução:
𝐵𝑖𝐺 =
T = 18 ºC
∞
𝑉
ℎ (𝐴 )
𝑠
𝑘
=
1800 × 0,05
= 6,0 > 0,05
15
⇒ Não se pode aplicar o modelo da Distribuição Uniforme de
Temperatura
𝐿𝑧 = 50 mm
𝑇𝑖 = 220 ºC
𝑧
=0
3,7 × 10−6 × 600
𝐹𝑜𝑧 = 2 =
= 0,888 > 0,2
0,052
𝐿𝑧
𝛼𝑡
⇒ Pode usar-se a solução aproximada (1.º termo da solução
analítica)
𝜃 ∗ (𝑧 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑧 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑧 =
𝑇 − 𝑇∞
𝑧
ℎ𝐿𝑧
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) cos(𝜁1 𝑧 ∗ ); 𝑧 ∗ = ; 𝐵𝑖𝑧 =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝐿𝑧
𝑘
1800 × 0,05
= 6,0
15
𝜃 ∗ = 1,24788 × exp(−1,349552 × 0,888) × cos(0) = 0,2476
𝑇 − 18
= 0,2476 ⇒ 𝑇 = 68,0 ℃
220 − 18
R: 68,0 ℃
Exercício 4.2
Um cilindro de um material sólido (k= 3,0 Wm−1K−1, α = 1,3 × 10−6 m2s−1), com 9,6 cm de diâmetro
e 12 cm de altura, está inicialmente à temperatura uniforme de 300 ºC e é arrefecido numa corrente
de ar a 20 ºC (h = 25 Wm−2K−1). Qual será a temperatura no centro do cilindro, decorridos 15 min?
Dados: kcilindro = 3,0 Wm−1K−1; αcilindro = 1,3 × 10−6 m2s−1
Resolução:
𝐵𝑖𝐺 =
𝑉
ℎ (𝐴 )
𝑠
𝑘
=
25 × 0,017
= 0,14 > 0,05
3,0
Nota: Volume = R2L;
Área = 2R2 + 2RL
Volume/Área = RL/(2(R + L))
⇒ Não se pode aplicar o modelo da Distribuição Uniforme de Temperatura
𝛼𝑡 1,3 × 10−6 × 900
𝛼𝑡
1,3 × 10−6 × 900
𝐹𝑜𝑟 = 2 =
= 0,508 > 0,2; 𝐹𝑜𝑧 = 2 =
= 0,325
𝑅
0,0482
0,062
𝐿𝑧
> 0,2
52
FT II
⇒ Pode usar-se a solução aproximada, quer radialmente, quer axialmente.
Biot
𝜁1
C1
0,4
0,59324
1,05804
0,5
0,65327
1,07013
𝜃 ∗ (𝑟 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑟 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑟 =
Placa plana infinita
Cilindro infinito
Função de Bessel
𝑥
𝐽0 (𝑥)
0,85158 1,09314
0
1,0
0,94077 1,11425
---
----
𝜁1
C1
𝑇 − 𝑇∞
𝑟
ℎ𝑅
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) 𝐽0 (𝜁1 𝑟 ∗ ); 𝑟 ∗ = ; 𝐵𝑖𝑟 =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑅
𝑘
25 × 0,048
= 0,4
3,0
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0 = 1,09314 × exp(−0,851582 × 0,508) × 𝐽0 (0) = 0,7564
𝜃 ∗ (𝑧 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑧 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑧 =
𝑇 − 𝑇∞
𝑧
ℎ𝐿𝑧
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜) cos(𝜁1 𝑧 ∗ ); 𝑧 ∗ = ; 𝐵𝑖𝑧 =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝐿𝑧
𝑘
25 × 0,06
= 0,5
3,0
𝜃 ∗ 𝑧 ∗=0 = 1,07013 × exp(−0,653272 × 0,325) × cos(0) = 0,9315
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0, 𝑧 ∗=0 = 𝜃𝑟∗∗=0 × 𝜃𝑧∗∗=0
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0, 𝑧 ∗=0 = 0,7564 × 0,9315 = 0,7046
𝑇 − 20
= 0,7046 ⇒ 𝑇 = 217,3 ℃
300 − 20
R: 217 ℃
Exercício 4.3
Considere uma esfera sólida com um raio de 50 mm e que se encontra a uma temperatura uniforme, 𝑇0 .
Diga como poderia prever a temperatura na sua superfície, após imersão da esfera em água agitada a
uma temperatura uniforme 𝑇∞ , durante 60 s.
Dado: α = 2,0 × 10−5 m2/s
53
FT II
Resolução:
Como a água é agitada, considera-se desprezável a resistência à convecção (h elevado ⇒ Biot
elevado). Por conseguinte, não se pode aplicar o modelo da Distribuição Uniforme de Temperatura.
𝛼𝑡 2,0 × 10−5 × 60
𝐹𝑜𝑟 = 2 =
= 0,48 > 0,2
𝑅
0,052
⇒ Pode usar-se a solução aproximada (1.º termo da solução analítica).
A solução da equação da condução radial, sem geração de calor, em regime transitório, na forma
geral adimensional é:
𝜃 ∗ (𝑟 ∗ , 𝐵𝑖, 𝐹𝑜) =
𝑇 − 𝑇∞
𝑇0 − 𝑇∞
em que 𝑟 ∗ = 𝑟/𝑅 (neste caso 𝑟 ∗ = 1 ), 𝐵𝑖 = ℎ𝑅/𝑘 (neste caso 𝐵𝑖 = ∞ ) e 𝐹𝑜 =
0,48 (neste caso).
A solução aproximada é função dos parâmetros 𝐶1 e 𝜁1 , os quais estão tabelados em função do
Biot.
Sabendo 𝜃 ∗ , calcula-se 𝑇.
Exercício 4.4
Pretende-se enterrar no subsolo (terreno húmido, α = 1,0 × 10−6 m2s−1) tubos para abastecimento
de água. O solo, à superfície, está inicialmente a 8ºC, mas a sua temperatura desce abruptamente
até −10ºC, ficando constante durante sete dias. Qual a profundidade mínima a que os tubos devem
ser enterrados de modo que a temperatura do solo envolvente não seja inferior a 0ºC?
Resolução:
Neste caso, vamos assumir como válido o modelo do sólido semi-infinito, pois o n.º de Fourier é
muito baixo (o raio da Terra é muito grande). Como à superfície a temperatura, Ts, é constante,
tem-se:
𝜃=
𝑇 − 𝑇𝑠
𝑧
= erf (
)
𝑇𝑖 − 𝑇𝑠
2√𝛼𝑡
(Ver valores tabelados para erf (função de
erro), no fascículo de Tabelas e correlações)
54
FT II
𝑇 − 𝑇𝑠 0 − (−10)
=
= 0,556
𝑇𝑖 − 𝑇𝑠 8 − (−10)
𝑧
𝑧
erf (
) = 0,556 ⇒
≅ 0,54
2√𝛼𝑡
2√𝛼𝑡
𝜃=
𝑧 = 0,54 × 2√𝛼𝑡 = 0,54 × 2√1,0 × 10−6 × 7 × 24 × 3600 = 0,84 m
R: 84 cm
Exercício 4.5
Uma amostra de um determinado material (α = 4,0 × 10−7 m2s−1; k = 0,7 Wm−1K−1) é colocada num
forno, com ventilação mecânica, a 170 ℃ (h = 47 Wm−2K−1). A amostra tem forma cilíndrica (D= 60
mm; L= 60 mm) e está inicialmente a uma temperatura de 20 ℃.
a) Considere que a base e o topo do cilindro se encontram isolados. Nestas condições,
determine a temperatura no centro de massa, decorridos 10 min.
b) Considere que a transferência de calor ocorre através de todas as faces do cilindro e que é
válido o modelo das soluções aproximadas. Quanto tempo a amostra deve ficar no forno,
sabendo que esta tem de atingir uma temperatura mínima de 100 ℃?
c) Como modificaria as condições de operação para obter o mesmo perfil de temperatura no
objeto (condições de b)), se a amostra do mesmo material tivesse um diâmetro de 50 mm e
comprimento de 50 mm?
Resolução:
a)
𝐵𝑖𝐺 =
𝑉
ℎ (𝐴 )
𝑠
𝑘
=
ℎ𝑅 47 × 0,03
=
= 1,0 > 0,05
2𝑘
20 × 0,7
⇒ Não se pode aplicar o modelo da Distribuição Uniforme de Temperatura
Transferência de calor radial; dimensão característica: R; centro de massa: r = 0
𝛼𝑡 4,0 × 10−7 × 600
𝐹𝑜𝑟 = 2 =
= 0,266 > 0,2
𝑅
0,032
55
FT II
⇒ Pode usar-se a solução aproximada (1.º termo da solução analítica).
𝜃 ∗ (𝑟 ∗ , 𝐵𝑖𝑟 , 𝐹𝑜𝑟 ) =
𝑟 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑟 =
𝑇 − 𝑇∞
𝑟
ℎ𝑅
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜𝑟 ) 𝐽0 (𝜁1 𝑟 ∗ ); 𝑟 ∗ = ; 𝐵𝑖𝑟 =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑅
𝑘
47 × 0,03
= 2,0; 𝐶1 = 1,33838, 𝜁1 = 1,59945, 𝐽0 (0) = 1
0,7
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0 = 1,33838 × exp(−1,599452 × 0,266) = 0,678
𝑇 − 170
= 0,678 ⇒ 𝑇 = 68,3 ℃
20 − 170
R: 68,3 ℃
b)
𝐵𝑖𝐺 =
𝑉
ℎ (𝐴 )
𝑠
𝑘
=
ℎ𝑅𝐿
= 0,67 > 0,05
2𝑘(𝑅 + 𝐿)
⇒ Não se pode aplicar o modelo da Distribuição Uniforme de Temperatura.
Transferência de calor radial e axial; dimensões características: R e Lz, centro de massa:r = 0, z= 0
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0, 𝑧 ∗=0 = 𝜃𝑟∗∗=0 × 𝜃𝑧∗∗=0 =
𝑇 − 𝑇∞ 100 − 170
=
= 0,467
𝑇𝑖 − 𝑇∞
20 − 170
Radial: 𝑟 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑟 = 2,0; 𝐶1 = 1,33838, 𝜁1 = 1,59945, 𝐽0 (0) = 1
Axial: 𝑧 ∗ = 0; 𝐵𝑖𝑧 =
ℎ𝐿𝑧 47 × 0,03
=
= 2,0; 𝐶1 = 1,17846, 𝜁1 = 1,07687
𝑘
0,7
𝜃 ∗ (𝑧 ∗ , 𝐵𝑖𝑧 , 𝐹𝑜𝑧 ) =
𝑇 − 𝑇∞
= 𝐶1 exp(−𝜁12 𝐹𝑜𝑧 ) cos(𝜁1 𝑧 ∗ )
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝜃 ∗ 𝑧 ∗=0 = 1,17846 × exp(−1,076872 × 𝐹𝑜𝑧 ) cos(0)
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0 = 1,33838 × exp(−1,599452 × 𝐹𝑜𝑟 )
𝜃 ∗ 𝑟 ∗=0, 𝑧 ∗=0 = 0,467 = 1,33838 × exp(−1,599452 × 𝐹𝑜𝑟 ) × 1,17846 × exp(−1,076872 × 𝐹𝑜𝑧 )
𝐹𝑜𝑟 = 𝐹𝑜𝑧 (pois 𝑅 = 𝐿𝑧 ) ⇒ Fo = 0,327 (> 0,2, confirma-se a validade do modelo)
𝐹𝑜𝑟 =
∝𝑡
⇒ 𝑡 = 737 s
𝑅2
R: 12 min
56
FT II
c)
Para haver semelhança térmica, tem de haver semelhança geométrica.
𝐿
𝐿
Semelhança geométrica ⇒ 𝐷1 = 𝐷2 e ângulos correspondentes iguais.
1
2
60 mm
50 mm
Os dois cilindros são geometricamente semelhantes: 60 mm = 50 mm
Para haver igualdade dos perfis de temperatura, tem de haver igualdade dos 𝜃 ∗ 𝑟 ∗, 𝑧 ∗
𝜃 ∗ 𝑟 ∗, 𝑧 ∗ = 𝜃𝑟∗∗ × 𝜃𝑧∗∗ , 𝜃𝑟∗1∗ = 𝜃𝑟∗2∗ e 𝜃𝑧∗1∗ = 𝜃𝑧∗2∗
Exemplificando, com a parcela radial:
𝜃𝑟∗1∗ = 𝜃𝑟∗2∗ ⇒ 𝐵𝑖𝑟1 = 𝐵𝑖𝑟2 e 𝐹𝑜𝑟1 = 𝐹𝑜𝑟2
ℎ1 𝑅1 ℎ2 𝑅2
47 × 0,03
=
⇒ ℎ2 =
= 56 W∙m−2 ∙K −1
𝑘
𝑘
0,025
∝ 𝑡1 ∝ 𝑡2
737 × 0,0252
=
⇒
𝑡
=
= 512 s
2
0,032
𝑅12
𝑅22
R: Deve-se baixar o tempo para 8,5 min e subir h para 56 W/m2 K
57
FT II
ANEXO
Tabela A.1 – Equação geral da condução de calor (ou difusão de calor).
Coordenadas cartesianas
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘 ) +
(𝑘 ) + (𝑘 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑡
Coordenadas cilíndricas
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇
(𝑘 ) +
(𝑘 ) + (𝑘 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑡
Coordenadas esféricas
1 𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
1
𝜕
𝜕𝑇
2
(𝑘𝑟
)
+
(𝑘
)
+
(𝑘sen𝜃
) + 𝑞̇
𝑟 2 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟 2 sen2 𝜃 𝜕𝜙 𝜕𝜙
𝑟 2 sen𝜃 𝜕𝜃
𝜕𝜃
= 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
58
FT II
Tabela A.2 Condução térmica unidimensional em regime transitório: parâmetros das soluções
analíticas aproximadas da equação da difusão de calor (séries truncadas a partir do 1.º termo).
Placa
Bi
0,01
0,03
0,05
0,08
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,50
1,80
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
15,00
20,00
30,00
50,00
100,00
1000,00
10000,00
𝜁1
0,09983
0,15746
0,22176
0,27048
0,31105
0,37788
0,43284
0,48009
0,52179
0,59324
0,65327
0,70507
0,75056
0,79103
0,82740
0,86033
0,89035
0,91785
0,98824
1,04486
1,07687
1,19246
1,26459
1,31384
1,34955
1,37662
1,39782
1,41487
1,42887
1,47292
1,49613
1,52017
1,54001
1,55525
1,56923
1,57064
Cilindro
C1
1,00166
1,00413
1,00819
1,01218
1,01609
1,02372
1,03109
1,03819
1,04505
1,05804
1,07013
1,08138
1,09185
1,10159
1,11067
1,11913
1,12702
1,13438
1,15367
1,16948
1,17846
1,21023
1,22871
1,24025
1,24788
1,25318
1,25698
1,25981
1,26196
1,26765
1,26992
1,27168
1,27265
1,27309
1,27324
1,27324
𝜁1
0,14124
0,22291
0,31426
0,38370
0,44168
0,53761
0,61697
0,68559
0,74646
0,85158
0,94077
1,01844
1,08725
1,14897
1,20484
1,25578
1,30251
1,34558
1,45695
1,54769
1,59945
1,78866
1,90808
1,98981
2,04901
2,09373
2,12864
2,15661
2,17950
2,25088
2,28805
2,32614
2,35724
2,38090
2,40242
2,40459
Esfera
C1
1,00250
1,00622
1,01240
1,01851
1,02458
1,03655
1,04830
1,05984
1,07116
1,09314
1,11425
1,13450
1,15389
1,17243
1,19016
1,20709
1,22325
1,23866
1,28068
1,31698
1,33838
1,41909
1,46980
1,50287
1,52531
1,54111
1,55258
1,56114
1,56769
1,58504
1,59194
1,59729
1,60022
1,60152
1,60197
1,60197
𝜁1
0,17303
0,27318
0,38537
0,47080
0,54228
0,66086
0,75931
0,84473
0,92079
1,05279
1,16556
1,26440
1,35252
1,43203
1,50442
1,57080
1,63199
1,68868
1,83660
1,95857
2,02876
2,28893
2,45564
2,57043
2,65366
2,71646
2,76536
2,80443
2,83630
2,93495
2,98572
3,03724
3,07884
3,11019
3,13845
3,14128
C1
1,00300
1,00749
1,01495
1,02239
1,02980
1,04453
1,05915
1,07365
1,08802
1,11635
1,14411
1,17125
1,19776
1,22360
1,24877
1,27324
1,29701
1,32006
1,38496
1,44358
1,47932
1,62268
1,72017
1,78700
1,83378
1,86735
1,89204
1,91062
1,92491
1,96296
1,97814
1,98984
1,99622
1,99903
1,99999
2,00000
59
FT II
Tabela A.3 – Funções de Bessel de primeira espécie.
x
Jo(x)
J1(x)
0,00
1,000000
0,000000
0,10
0,997502
0,049938
0,20
0,990025
0,099501
0,30
0,977626
0,148319
0,40
0,960398
0,196027
0,50
0,938470
0,242268
0,60
0,912005
0,286701
0,70
0,881201
0,328996
0,80
0,846287
0,368842
0,90
0,807524
0,405950
1,00
0,765198
0,440051
1,10
0,719622
0,470902
1,20
0,671133
0,498289
1,30
0,620086
0,522023
1,40
0,566855
0,541948
1,50
0,511828
0,557937
1,60
0,455402
0,569896
1,70
0,397985
0,577765
1,80
0,339986
0,581517
1,90
0,281819
0,581157
2,00
0,223891
0,576725
2,10
0,166607
0,568292
2,20
0,110362
0,555963
2,30
0,055540
0,539873
2,40
0,002508
0,520185
60