___________________________________________________________
R721c Rogawski, Jon.
Cálculo [recurso eletrônico] / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering.
– Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.
v. 1
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-389-7
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
CDU 51-3
___________________________________________________________
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
3 DERIVADA
A
expressão “Cálculo Diferencial” foi introduzida em sua versão em latim “calculus differentialis” por Gottfried Wilhelm
Leibniz. Newton se referia ao Cálculo como o “método dos fluxônios” (do latim, significando “fluir”), mas esse nome nunca
foi adotado universalmente.
O Cálculo Diferencial é o estudo da derivada e suas muitas
aplicações. O que é a derivada de uma função? Essa pergunta
tem três respostas igualmente importantes: uma derivada é uma
taxa de variação, é a inclinação de uma reta tangente e, mais formalmente, é o limite de uma razão incremental, como veremos
logo. Neste capítulo, exploramos essas três facetas da derivada
e desenvolvemos as regras básicas de derivação, ou seja, técnicas para calcular derivadas. Quando você tiver dominado essas
técnicas, estará de posse de uma das ferramentas mais úteis e
maleáveis que a Matemática pode oferecer.
3.1 Definição da derivada
Comecemos com duas perguntas: como podemos definir a reta
tangente a um gráfico e como podemos calcular sua inclinação?
Para responder essas questões, retornamos à relação entre retas
tangentes e retas secantes que já mencionamos na Seção 2.1.
Lembre da fórmula da inclinação da reta secante entre
dois pontos P e Q do gráfico de y = f (x). Se P = (a, f (a)) e
Q = (x, f (x)) com
, como na Figura 1(A), então
Inclinação da reta secante por P e
onde colocamos
O Cálculo e a Física são utilizados no projeto
de artefatos como esse, denominado SuperHomem, a Escapada, no parque Six Flags
Magic Mountain, em Valencia, na Califórnia.
LEMBRETE Uma reta secante é
qualquer reta por dois pontos de uma
curva ou gráfico.
A expressão
é denominada razão incremental.
y
y
Secante
Q = (x, f(x))
Δf = f(x) − f(a)
P = (a, f(a))
P = (a, f(a))
Tangente
FIGURA 1 A reta secante tem
inclinação
. Nosso objetivo é
calcular a inclinação da reta tangente
em (a, f (a)).
Δx = x − a
x
a
x
(A)
x
a
(B)
98 CÁLCULO
Agora observe o que acontece quando Q tende a P ou, equivalentemente, quando x
tende a a. A Figura 2 sugere que as retas secantes tendem a ficar cada vez mais próximas
da reta tangente. Se imaginarmos que Q está se movendo em direção a P, então parece
que as retas secantes giram para a reta tangente como em (D). Portanto, podemos esperar
que as inclinações das retas secantes tendam à inclinação da reta tangente. Usando essa
(que se lê “f linha de a”) como o limite
intuição, definimos a derivada
Não é fácil descrever precisamente em
palavras a noção de reta tangente. Até
o Dicionário Oxford da Língua Inglesa
não é nada claro quando define uma
tangente como “uma reta que toca
uma curva, ou seja, encontra a curva
num ponto mas em sendo produzida
(em geral) não a intersecta naquele
ponto”. Talvez não seja surpreendente
que os matemáticos tenham sentido
a necessidade de utilizar limites para
obter a precisão requerida.
y
y
y
y
Q
Q
Q
P
P
P
x
a
Q
P
x
x
a
(A)
x
(B)
x
a x
x
a
(C)
x
(D)
FIGURA 2 As retas secantes tendem
para a reta tangente quando Q tende a P.
Existe uma outra maneira de escrever a razão incremental usando a variável h:
h=x−a
Temos x = a + h e, para
(Figura 3)
y
Q
A variável h tende a 0 quando x → a, portanto podemos reescrever a derivada como
f(a + h) − f(a)
P
h
a
x=a+h
FIGURA 3 A reta secante e a razão
incremental em termos de h.
x
Cada uma dessas maneiras é útil. Muitas vezes, a versão usando h é mais conveniente
nos cálculos.
DEFINIÇÃO Derivada A derivada de uma função f em x = a é o limite (se existir) das
razões incrementais
Quando existir o limite, dizemos que f é derivável em x = a ou, então, que é diferenciável em x = a. Uma definição equivalente da derivada é
CAPÍTULO 3 Derivada
99
Agora podemos usar a derivada para definir a reta tangente de uma maneia precisa e
sem ambigüidade como a reta de inclinação
por P = (a, f (a)).
DEFINIÇÃO Reta tangente Suponha que f (x) seja derivável em x = a. A reta tangente
LEMBRETE Na forma pontoinclinação, a equação da reta tangente
por P = (a, b) de inclinação m é
ao gráfico de y = f (x) em P = (a, f (a)) é a reta por P de inclinação
ção da reta tangente é
. Uma equa-
■ EXEMPLO 1 Encontrando uma equação de uma reta tangente Encontre uma equação da
reta tangente ao gráfico de
em x = 5.
y
y = x2
75
50
y = 10x − 25
25
Solução Precisamos calcular
, para o que podemos usar tanto a Equação (1) quanto a
(2). Usando a Equação (2), temos
(5, 25)
x
3
5
7
FIGURA 4 A reta tangente a
x = 5.
em
Em seguida, aplicamos a Equação (3) com a = 5. Como f (5) = 25, uma equação da reta
tangente é y − 25 = 10(x − 5) ou, na forma inclinação-corte: y = 10x − 25 (Figura 4). ■
O processo de calcular a derivada é chamado derivação ou, então, diferenciação. Os
dois próximos exemplos ilustram a derivação usando a Equação (1). Para ficar mais claro,
dividimos os cálculos em três passos.
■ EXEMPLO 2 Calcule
se
.
Solução Usamos a Equação (1). A razão incremental em a = 3 é
Passo 1. Escrever o numerador da razão incremental.
Passo 2. Dividir por h e simplificar a razão incremental.
Simplificamos a razão incremental cancelando h no numerador e denominador:
Passo 3. Calcular a derivada tomando o limite.
■
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.