Ficha de exercı́cios
1. Prove, por definição, que
lim 3x sin x = 0
e
x→0
lim 3x + 1 = 10.
x→3
2. (a) A que distância x precisa estar de −8 para que
1
(b) Mostre, usando a definição, que lim
x→−8 (x + 8)2
3. Sejam m ∈ R e f : R → R a função definida por
(
x2 + (m − 1)x
f (x) =
x sin x
1
> 100?
(x + 8)2
= +∞.
, para x < 0
, para x ≥ 0
(a) Indique os valores de m para os quais f é uma função contı́nua e diferenciável.
(b) Assuma m = 1. Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(0, 1).
4. Considere a curva
√
x+
√
y=
√
8
(a) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (2, 2).
(b) Seja (x0 , y0 ) um ponto arbitrário pertencente à curva. Mostre que
√ qualquer reta
tangente à curva em (x0 , y0 ) interseta o eixo das abcissas em x = 8x0 .
5. Sejam g(x) = x2 f (x) e h(x) = f x2 . Encontre expressões analı́ticas das funções
derivadas g ′ e h′ em função de f e f ′ .
6. Sejam f : R → R e g : R → [0, π[ funções diferenciáveis e tais que f (x) = esin x + 2x,
g ′ (1) = 2 e (f ◦ g)′ (1) = 4. Calcule o valor de g (1).
7. Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar que
√
√
lim ( x + 1 − x) = 0.
x→∞
Sugestão: comece por aplicar o Teorema do Valor Médio a uma função conveniente
em qualquer intervalo da forma [x, x + 1], com x ≥ 0.
8. Seja f : R \ {0} → R a função definida por f (x) = ln x2 .
(a) Apresente o polinómio de Taylor de ordem 2 em torno de a = 1 de f .
(b) Utilize o resultado da alı́nea anterior para estimar o valor de ln 41 .
9. Seja f (x) uma função definida pelas seguintes condições:
f (0) = 1,
f ′ (x) = xf (x) + 2 [f (x)]2 .
(a) Calcule f ′′ (x).
1
(b) Determine o polinómio de Taylor de grau 2 de f centrado em x = 0.
10. Expresse o seguinte limite como um integral definido: lim
n→∞
n
X
i3
i=1
n4
. (Sugestão: considere
a função f (x) = x3 ).
Z 0
Z 1
g(x) dx = 5, determine o valor de
f (x) dx = 7 e
11. Sabendo que
1
0
Z 1
[3f (x) − 2g(x)] dx .
0
12. Mostre a seguinte desigualdade, sem calcular os integrais definidos:
Z 1p
Z 1
√
2
1 + x dx ≤
1 + x dx.
0
0
13. Considere uma função y(x) e a equação
Z x
y(x) = 4 +
p
2t y(t) dt.
0
Calcule
dy
.
dx
14. Seja
Z e−x
F (x) =
cos (ln(t)) dt.
1
Calcule F ′ (0).
Z sin x p
Z y
15. Se f (x) =
4 + t2 dt e g(y) =
f (x) dx, calcule g ′′ (0).
0
3
16. Se f (x) for o declive de uma trilha a uma distância de x quilómetros do seu inı́cio, o
Z 5
que representa
f (x) dx ?
3
17. Considere a região R limitada do plano definida pelas curvas
1
y = x2 ,
2
1
y = x + 1,
2
−2 ≤ x ≤ 1.
(a) Esboce a região R.
(b) Calcule a área de R.
18. Considere a região do plano S definida por
S=
n
(x, y) ∈ R2 :
o
1
1
≤ y ≤ − x3 + 5 , 1 ≤ x ≤ 2 ,
4x − 1
4
2
cujo o esboço se encontra na figura abaixo
Calcule o valor da área da região a sombreado S.
19. Encontre o volume do sólido obtido por rotação em torno do eixo x da região delimitada
pelas curvas y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 4. Esboce a região.
20. Encontre o comprimento da curva y = ln(sec x).
3n
. Diga se an é convergente e conclua, se possı́vel, quanto à convergência
4n + 2
∞
X
da série
an .
21. Seja an =
n=1
22. Encontre uma representação em fração do número 0.81.
23. Indique para que valores de x a série
∞
X
(−3)n xn é convergente. Calcule a soma da
n=1
série para esses valores de x.
24. (a) Mostre que a série de MacLaurin da função f (x) = sin(x) é dada por:
sin(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
.
(2n + 1)!
(b) Usando a alı́nea anterior, verifique que
sin(x) − x
1
=− .
3
x→0
x
6
lim
25. Recorde que
∞
X
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · =
xn ,
1−x
(1)
n=0
para |x| < 1.
Determine uma representação em série de potências para a função f (x) =
cando o intervalo de convergência.
3
x
, indi1+x
26. Calcule uma primitiva da função f (x) = 1/(1 − x)2 . Expresse f como uma série de
potências (use (1)). Indique o raio de convergência.
27. Encontre uma representação em série de potências para a função ln(x + 1) e respetivo
raio de convergência. Sugestão: derive a função e use (1).
4