3.1 DÉTERMINANTS
(SUITE)
Cours 6
Au dernier cours, nous avons vu
✓ La définition axiomatique du déterminant.
✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système d’équations
linéaires à deux équations et à deux inconnues
à l’aide de la règle de Cramer.
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Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Le déterminant en dimension 3.
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du
déterminant.
✓ La façon de résoudre un système
d’équations linéaires à trois équations et à
trois inconnues à l’aide de la règle de
Cramer.
3
Volumes
Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable
pour les volumes!
Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux
propriétés des volumes orientés.
4
Dans l’espace
Volume négatif
Volume positif
5
Définition:
Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre
Si on a les coordonnées des vecteurs
on peut aussi noter le déterminant)
tel que les six propriétés suivantes sont respectées.
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D1.
D2.
D3.
D4.
8
D5.
9
D6.
D1.
11
D2.
Hum... pas de volume!
12
D3.
13
D4.
14
D5.
15
D6.
16
Calculons le volume.
17
On refait çaavec eux.
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19
Exemple:Trouver le volume du parallélépipède suivant
Mais ça, c’est le
volume orienté.
Pour obtenir le volume, il suffit
de prendre la valeur absolue.
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Faites les exercices
suivants
p.98 # 10 à 12
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Théorème:
Règle de Cramer
La preuve est semblable à celle pour un système à
deux équations et à deux inconnues.
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Volume d’un tétraèdre
volume du parallélépipède
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Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans
un même plan.
Car s’ils sont dans un même plan,
ils n’auront pas de volume.
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Faites les exercices
suivants
p.102 #13 à 17
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Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du
déterminant.
✓ La façon de résoudre un système
d’équations linéaires à trois équations et à
trois inconnues à l’aide de la règle de
Cramer.
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Devoir: p.101, #1 à 28
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