Cálculo II
Semana 1
Noções de álgebra linear e geometria analı́tica
Luı́s Mateus
LEI - PL
ISCTE - ISTA
February 15, 2026
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O espaço Rn [St., 12.2]
Definição
Dado n ∈ N, chamamos espaço vetorial n-dimensional ao conjunto Rn dos n-uplos
ordenados (x1 , ..., xn ) de números reais (xi ∈ R, i = 1, ..., n) munido das operações de
adição e multiplicação por escalar definidas, para x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) e
r ∈ R, por
1. x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn )
2. rx = (rx1 , ..., rxn )
(adição de vetores)
(multiplicação de um escalar por um vetor)
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O espaço Rn
Observação
Um elemento de Rn pode ser interpretado como vetor ou como ponto. Como elemento
do espaço vetorial, o n-uplo (0, ..., 0) diz-se o vetor nulo e representa-se por 0. Quando
fixarmos em Rn um referencial, tomaremos em geral (0, ..., 0) como a origem, que se representará pela letra O. Usaremos parêntesis curvos tanto para as coordenadas de pontos como de vetores.
O espaço R1
O espaço unidimensional R1 é o conjunto dos números reais, R. A representação
geométrica dos elementos de R é feita na reta real.
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O espaço Rn
O espaço R2
O espaço bidimensional R2 é o conjunto dos pares ordenados (x1 , y1 ), com x1 , y1 ∈ R.
Qualquer par ordenado pode ser representado num referencial cartesiano pelo ponto P, de
−→
coordenadas (x1 , y1 ), ou pelo vetor OP, de coordenadas (x1 , y1 ), com extremidade inicial
−→
na origem e extremidade final em P. A OP chamamos vetor posição do ponto P.
Referencial cartesiano no plano
Um referencial cartesiano (O; x, y ) divide o plano em quatro regiões, denominadas
quadrantes.
Eixos coordenados:
Ox : y = 0
;
Oy : x = 0
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O espaço Rn
O espaço R3
O espaço tridimensional R3 é o conjunto dos ternos ordenados (x1 , y1 , z1 ), com
x1 , y1 , z1 ∈ R. Qualquer terno ordenado pode ser representado num referencial cartesiano
−→
pelo ponto P, de coordenadas (x1 , y1 , z1 ), ou pelo vetor OP, de coordenadas (x1 , y1 , z1 ),
−→
com extremidade inicial na origem e extremidade final em P. A OP chamamos vetor posição do ponto P.
Referencial cartesiano no espaço
Um referencial cartesiano (O; x, y , z) divide o espaço em oito regiões, denominadas
octantes.
Planos coordenados:
xOy : z = 0
;
xOz : y = 0
;
yOz : x = 0
Eixos coordenados: Ox : y = 0 ∧ z = 0 ; Oy : x = 0 ∧ z = 0 ; Oz : x = 0 ∧ y = 0
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Álgebra vetorial em Rn
Observação
Dado u ∈ Rn , representamos o produto (−1)u por −u.
Definição
Dados u, v ∈ Rn , define-se a subtração de vetores por u − v = u + (−v ).
Observação
Para uma ilustração geométrica da adição de vetores, produto por escalar e subtração de
vetores em R2 , consultar [St.,798/799].
Observação
No Stewart (e, em geral, na literatura em inglês) não há a distinção entre “direção” e
“sentido” de um vetor. Assim, “direction”=“sentido” na versão inglesa. A tradução
portuguesa distingue os dois conceitos.
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Álgebra vetorial em Rn
Propriedades da adição de vetores
Sejam u, v , w ∈ Rn . São válidas as propriedades seguintes:
1. (u + v ) + w = u + (v + w )
2. u + v = v + u
3. 0 + u = u
[= u + 0]
4. u + (−u) = 0
[= −u + u]
Propriedades da multiplicação por escalar
Sejam u, v ∈ Rn e r , s ∈ R. São válidas as propriedades seguintes:
1. r (u + v ) = ru + rv
2. (r + s)u = ru + su
3. r (su) = (rs)u
4. 1.u = u
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Colinearidade
Definição
Dois vetores u, v ∈ Rn dizem-se colineares se existir r ∈ R tal que v = ru.
• Se r > 0, então u e v têm o mesmo sentido;
• Se r < 0, então u e v têm sentidos opostos.
Observação
O vetor nulo é colinear a qualquer vetor: 0 = 0.u para todo o u ∈ Rn .
Definição
−→
Dados dois pontos A(a1 , . . . , an ) e B(b1 , . . . , bn ) de Rn , define-se o vetor AB como
−→
−→
AB = (b1 − a1 , . . . , bn − an ). [Simbolicamente: AB = B − A.]
Ex.3 [St.; 800]
−→
Dados A(2, −3, 4) e B(−2, 1, 1), determinar AB.
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Distância euclidiana em Rn [St., 12.1]
Definição
Sejam A(a1 , ..., an ) e B(b1 , ..., bn ) dois pontos de Rn . Chamamos distância euclidiana
entre A e B a
p
d(A, B) = (b1 − a1 )2 + . . . + (bn − an )2
Propriedades da distância euclidiana
Sejam A e B dois pontos de Rn . São válidas as propriedades seguintes
1. d(A, B) > 0 se A ̸= B e d(A, B) = 0 se A = B
2. d(A, B) = d(B, A)
3. d(A, C ) ≤ d(A, B) + d(B, C )
(Desigualdade triangular)
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Distância euclidiana em Rn
Observação
É possı́vel definir em Rn outras distâncias, verificando as mesmas propriedades que a
distância euclidiana.
Circunferência de centro C (x0 , y0 ) e raio r
d(C , P) = r ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2
Superfı́cie esférica de centro C (x0 , y0 , z0 ) e raio r
d(C , P) = r ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r 2
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Exemplos de superfı́cies em R3
Ex. 1 [St., 793]
Identifique, em R3 , as superfı́cies definidas por: (a) z = 3
(b) y = 5
Ex. 2 [St., 794]
Determine o lugar geométrico dos pontos de R3 cujas coordenadas satisfazem as condições seguintes: (a) x 2 + y 2 = 1 ∧ z = 3 (b) x 2 + y 2 = 1
Ex. 3 [St., 794]
Identifique, em R3 , a superfı́cie definida por: y = x
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Norma de um vetor [St., 12.2]
Definição
Chamamos norma (módulo ou comprimento) euclidiana de um vetor
u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn a
q
||u|| =
u12 + . . . + un2 .
Propriedades da norma euclidiana
Sejam u e v vetores de Rn e r ∈ R. São válidas as propriedades seguintes:
1. ||ru|| = |r | ||u||
2. ||u|| ≥ 0 e ||u|| = 0 ⇔ u = 0
3. ||u + v || ≤ ||u|| + ||v ||
(Desigualdade triangular)
Ex.4 [St.; 801] (Adapt.)
Dados os vetores a = (4, 0, 3) e b = (−2, 1, 5), determinar ||a||, ||b|| e ||a + b||.
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Norma de um vetor
Observação
É possı́vel definir em Rn outras normas, verificando as mesmas propriedades da norma
euclidiana. Para u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn temos, por exemplo,
• ||u||1 = |u1 | + . . . + |un |
(norma 1)
• ||u||∞ = max{|u1 |, . . . , |un |}
(norma infinito)
Quando houver perigo de confusão, representa-se a norma euclidiana por || · ||2 .
Definição
Duas normas || · ||a e || · ||b em Rn dizem-se equivalentes se existirem constantes
c1 , c2 ∈ R+ tais que c1 ||u||a ≤ ||u||b ≤ c2 ||u||a , para todo o u ∈ Rn .
Proposição
Em Rn , todas as normas são equivalentes.
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Vetores unitários
Definição
Um vetor u ∈ Rn diz-se unitário se ||u|| = 1.
Proposição
1
Seja u ̸= 0 um vetor de Rn . Então v = ||u||
u é unitário (e tem o mesmo sentido de u).
Ex. 6 [St., 803] (Adapt.)
Determine um vetor unitário com a mesma direção e o sentido oposto de a = (2, −1, −2).
Exercı́cio*
Represente em R2 o conjunto {(x, y ) ∈ R2 : ||(x, y )||a = 1} para a = 1, 2 e ∞.
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Base canónica
Definição
Chamamos base canónica de Rn ao conjunto de vetores {e1 , e2 , . . . , en }, onde
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1).
Base canónica de R2
{e1 , e2 } ou {i, j} com e1 = i = (1, 0) e e2 = j = (0, 1)
Base canónica de R3
{e1 , e2 , e3 } ou {i, j, k} com e1 = i = (1, 0, 0) , e2 = j = (0, 1, 0) e e3 = k = (0, 0, 1)
Observação
Os vetores da base canónica de Rn são unitários e perpendiculares 2 a 2.
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Produto interno [St., 12.3]
Definição
Dados os vetores u = (u1 , . . . , un ) e v = (v1 , . . . , vn ) de Rn , chamamos produto interno
(ou produto escalar) usual (ou canónico) de Rn ao número real
u · v = u1 v1 + . . . + un vn
[Outras notações.: u|v , < u, v >]
Propriedades do produto interno usual
Sejam u, v e w vetores de Rn e r ∈ R. São válidas as propriedades seguintes:
1. u · v = v · u
2. u · (v + w ) = u · v + u · w
3. r (u · v ) = (ru) · v = u · (rv )
4. u · u ≥ 0 e u · u = 0 ⇔ u = 0
5. 0 · u = 0
6. u · u = ||u||2 (onde || · || é a norma euclidiana)
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Produto interno
Teorema
Seja θ ∈ [0, π] o ângulo entre os vetores u e v de Rn . Então u · v = ||u|| ||v || cos θ.
Corolário
Seja θ ∈ [0, π] o ângulo entre dois vetores não nulos, u e v , de Rn . Então cos θ = ||u||u·v||v || .
Ex. 3 [St., 809]
Determine o ângulo entre os vetores a = (2, 2, −1) e b = (5, −3, 2).
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Vetores ortogonais
Definição
Dois vetores não nulos de Rn dizem-se ortogonais (ou perpendiculares) se o ângulo entre
eles for de π2 rad. Considera-se que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor.
Proposição
Dois vetores u e v de Rn são ortogonais se, e só se, u · v = 0.
Proposição
Seja θ o ângulo entre dois vetores não nulos, u e v de Rn . Então
• u · v > 0 ⇒ θ ∈ [0, π2 [
• u · v = 0 ⇒ θ = π2
• u · v < 0 ⇒ θ ∈] π2 , π]
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Teorema de Pitágoras e desigualdade de Cauchy-Schwarz
Teorema de Pitágoras
Sejam u e v dois vetores de Rn tais que u · v = 0. Então ||u + v ||2 = ||u||2 + ||v ||2 .
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam u e v dois vetores de Rn . Então |u · v | ≤ ||u|| ||v ||. A igualdade é válida se, e só
se, os vetores forem colineares.
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Projeções
Definição
Sejam u e v dois vetores não nulos de Rn e θ ∈ [0, π] o ângulo entre eles. Define-se
u·v
i. Projeção escalar de v em u: compu v = ||v || cos θ = ||u||
u·v
u
ii. Projeção vetorial de v em u: proju v = (compu v ) ||u||
= ||u||
2 u
Ex. 6 [St., 811]
Determine as projeções escalar e vetorial de v = (1, 1, 2) em u = (−2, 3, 1).
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Produto externo [St., 12.4]
Exercı́cio
Determine as coordenadas de um vetor ortogonal a u = (1, 3, −1) e v = (0, 2, −1).
Definição
Sejam u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) dois vetores de R3 . Chama-se produto externo
(ou vetorial) ao vetor
u×v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ).
Observação
1. O produto interno está definido em Rn . O resultado é um número real.
2. O produto externo está definido em R3 . O resultado é um vetor.
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Produto externo
Mnemónica para o cálculo do produto externo
O cálculo do produto externo entre os vetores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) de R3
pode ser efetuado com recurso a um determinante simbólico:
i
j k
u × v = u1 u2 u3
v1 v2 v3
Exercı́cio
Determinar o produto externo entre os vetores u = (1, 3, −1) e v = (0, 2, −1).
Proposição
O vetor u × v é ortogonal a u e a v .
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Produto externo
Observação
O sentido de u × v é dado pela regra da mão direita: se os dedos da mão direita, ao
fechar, rodarem θ radianos (θ ∈]0, π[) de u para v , o polegar indica o sentido de u × v .
Proposição
Seja θ ∈ [0, π] o ângulo entre u e v . Então
||u × v || = ||u|| ||v || sin θ.
Corolário
Dois vetores u e v de R3 são colineares se, e só se, u × v = 0.
Proposição
A norma de u × v é igual à área do paralelogramo definido por u e v .
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Produto externo
Ex. 3 [St., 818]
Determine um vetor ortogonal ao plano definido pelos pontos P(1, 4, 6), Q(−2, 5, −1) e
R(1, −1, 1).
Ex. 4 [St., 818]
Calcule a área do triângulo [PQR], onde P, Q e R são os pontos do exemplo anterior.
Exercı́cio
Seja {i, j, k} a base canónica de R3 . Determine i × j, j × k, k × i, j × i, k × j e i × k.
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Produto externo
Propriedades do produto externo
Sejam u, v e w vetores de R3 e r ∈ R. São válidas as propriedades seguintes:
1. u × u = 0
2. u × v = −v × u
3. (ru) × v = r (u × v ) = u × (rv )
4. u × (v + w ) = u × v + u × w
5. (u + v ) × w = u × w + v × w
6. u · (v × w ) = (u × v ) · w
7. u × (v × w ) = (u · w )v − (u · v )w
Observação
O produto externo não é associativo: (u × v ) × w ̸= u × (v × w ).
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Produto misto
Observação
O produto u · (v × w ), que surge na propriedade 6. do produto externo, designa-se por
produto misto dos vetores u, v e w . O cálculo do produto misto pode ser efetuado com
recurso ao determinante seguinte:
u1 u2 u3
u · (v × w ) = v1 v2 v3
w1 w2 w3
Proposição
A norma de u · (v × w ) é igual ao volume do paralelepı́pedo definido por u, v e w .
Observação
Se ||u · (v × w )|| = 0, então os vetores u, v e w são complanares.
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Equações de retas em R3 [St., 12.5]
Equação vetorial da reta
Equação vetorial da reta que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e tem a direção do vetor
u = (u1 , u2 , u3 ):
P = P0 + t u, t ∈ R ⇔ (x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + t (u1 , u2 , u3 ), t ∈ R.
Equações paramétricas da reta
Equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e tem a direção do
vetor u = (u1 , u2 , u3 ):


x = x0 + t u1
y = y0 + t u2


z = z0 + t u3
,
t ∈ R.
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Equações de retas em R3
Observação
−
1. Fazendo t ∈ R+
0 ou t ∈ R0 na equação vetorial ou nas equações paramétricas da
reta, obtemos uma semi-reta.
2. Fazendo t ∈ [a, b] na equação vetorial ou nas equações paramétricas da reta, obtemos um segmento de reta.
Equações cartesianas da reta [St., 825: ”symmetric equations”]
Equações cartesianas da reta que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e tem a direção do
vetor u = (u1 , u2 , u3 ), com u1 u2 u3 ̸= 0:
y −y0
x−x0
z−z0
u1 = u2 = u3 .
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Equações de retas em R3
Observação
z−z0
0
1. Se u1 = 0, as equações são x = x0 ∧ y −y
u2 = u3 .
(Análogo se u2 = 0 ou u3 = 0.)
2. Se u1 = 0 ∧ u2 = 0, as equações são x = x0 ∧ y = y0 .
(Análogo se u1 = 0 ∧ u3 = 0 ou u2 = 0 ∧ u3 = 0.)
Ex. 2 [St., 825]
Escreva uma equação vetorial, equações paramétricas e equações cartesianas da reta que
passa pelos pontos A = (2, 4, −3) e B = (3, −1, 1) e calcule as coordenadas do ponto de
interseção dessa reta com o plano xOy .
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Equações de planos em R3
Equação do plano [St., 827: ”vector and scalar equations of the plane”]
Equação do plano que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e é perpendicular ao vetor
−−→
n = (a, b, c) recorrendo ao produto interno: n · P0 P = 0 ⇔
⇔ (a, b, c) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0 ⇔ a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z0 ) = 0.
Equação vetorial do plano
Equação vetorial do plano que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e tem como vetores
diretores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ): P = P0 + λ u + µ v , λ, µ ∈ R ⇔
⇔ (x, y , z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) + µ (v1 , v2 , v3 ), λ, µ ∈ R.
Observação
Analogamente ao que foi feito para as retas, podı́amos definir equações paramétricas do
plano.
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Distância de um ponto a um plano
Equação geral do plano
Equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ) e é perpendicular ao vetor
n = (a, b, c):
ax + by + cz + d = 0.
Ex. 5 [St., 828]
Escreva uma equação geral do plano definido pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, −1, 6) e
R(5, 2, 0).
Distância de um ponto a um plano
A distância do ponto P1 = (x1 , y1 , z1 ) ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 é dada
por
D=
|ax1 +by1 +cz1 +d|
√
.
a2 +b 2 +c 2
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Cónicas [St., 10.5]
Definição
Cónicas são linhas que resultam da interseção de um cone por um plano. Existem três
tipos de cónicas: parábolas, elipses e hipérboles. Em R2 , as cónicas são definidas por uma
equação quadrática a duas variáveis:
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Parábola
Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes de um
ponto (foco) e de uma reta (diretriz) dados.
Equação da parábola
Uma equação da parábla de foco (0, p) e diretriz y = −p é x 2 = 4py . Trocando x e y ,
vem y 2 = 4px, que é a equação de uma parábola de foco (p, 0) e diretiz x = −p.
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Cónicas
Ex. 1 [St., 675] *
Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y 2 + 10x = 0.
Elipse
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois
pontos dados (focos) é constante.
Equação da elipse
A equação de uma elipse de centro na origem e eixos sobre os eixos coordenados é
y2
x2
+
2
a
b 2 = 1.
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Cónicas
Observação
• Se a > b, os focos são (±c, 0), onde c 2 = a2 − b 2 , e os vértices são (±a, 0).
• Se a < b, os focos são (0, ±c), onde c 2 = b 2 − a2 , e os vértices são (0, ±b).
• Se a = b, a elipse reduz-se a uma circunferência: x 2 + y 2 = a2 .
Ex. 2 [St., 677] (Adapt.)
2
2
x
Determine os vértices e os focos da elipse de equação 16
+ y9 = 1.
Observação
Não iremos, por agora, estudar hipérboles.
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Cilindros [St., 12.6]
Definição
Chamamos cilindro a uma superfı́cie formada por retas paralelas a uma reta dada, que
passam por uma curva fixada num plano não paralelo à reta dada. Se o plano for
perpendicular à reta dada e a curva for uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, o
cilindro diz-se elı́ptico, parabólico ou hiperbólico, resp. (São quádricas degeneradas.)
Exercı́cio
2
Esboce em R3 a superfı́cie definida pela equação x4 + y 2 = 1.
Ex. 2 (b) [St., 834]
Esboce em R3 a superfı́cie definida pela equação y 2 + z 2 = 1.
Ex. 1 [St., 834]
Esboce em R3 a superfı́cie definida pela equação z = x 2 .
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Quádricas
Definição
Uma quádrica em R3 é uma superfı́cie definida por uma equação quadrática a três
variáveis
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0.
Ex. 3 [St., 835]
2
2
Esboce em R3 a superfı́cie definida pela equação x 2 + y9 + z4 = 1.
Ex. 4 [St., 835] + Ex. extra
Esboce em R3 as superfı́cies definidas por: (a) z = 4x 2 + y 2
(b) z 2 = x 2 + y 2 .
Observação [St., 837, Table 1]
Por agora, estudaremos apenas elipsóides, parabolóides elı́pticos e cones elı́pticos.
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