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André Oliveira
Análise de Dados para Negócios: Estatística e Regressão para Gestão
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Análise de Dados para Negócios
Andreia Dionísio
Gestão
Universidade de Évora
15 de Abril de 2019
Conteúdo
1 Revisões de estatística descritiva
1
1.1
Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Distribuições de frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Variáveis discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2
Variáveis contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Medidas de localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Medidas de tendência não central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Medidas de dispersão e de concentração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1
Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2
Medidas de concentração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
1.4
1.5
Assimetria e curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1
Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2
Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6
Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7
Distribuições teóricas mais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1
Distribuições discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2
Distribuições contínuas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Amostragem e estimação
2.1
27
Distribuição por amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1
Distribuição da média amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2
Distribuição da proporção amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3
Distribuição da diferença entre duas médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4
Amostragem de uma população finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
2.1.5
2.2
2.3
Distribuição de (−1)
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1
Métodos de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2
Estimação pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3
Estimação intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Testes de hipóteses
3.1
3.2
47
Testes de hipóteses para a média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1
A população é normal e é conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2
A população é normal e é desconhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Testes de hipótese de duas amostras para médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1
A população é normal, é conhecido ou 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2
é desconhecido e 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3
Testes de hipóteses para proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4
Testes de hipóteses para a variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1
Teste para uma variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2
Teste para a diferença entre duas variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5
Análise de variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6
Testes não-paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7
3.6.1
Teste de Wilcoxon para uma mediana populacional . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.3
Teste de aderência ou da bondade do ajustamento . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.4
Teste de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.5
Testes de independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Análise de correlação e de regressão
4.1
4.2
78
Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1
Coeficiente de correlação de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2
Coeficiente de correlação de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A regressão linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1
Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2
Método da máxima verosimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2
4.3
4.2.3
O coeficiente de determinação e a tabela ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.4
Inferência na análise de regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5
Predição no método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Regressão linear múltipla
94
5.1
Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2
Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3
Propriedades dos estimadores dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4
Coeficiente de correlação parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5
O coeficiente de determinação e a tabela ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6
Inferência na regressão múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6.1
Inferência sobre um só parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6.2
Teste sobre um subconjunto de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.3
Teste sobre a combinação linear dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7
Predição com regressão linear múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.8
Variáveis dummy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.9
5.8.1
Variáveis binárias, dicotómicas ou dummy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.8.2
Variáveis policotómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.8.3
Alteração na intersecção na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8.4
Alteração do declive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Transformações lineares
111
6.1
Modelo linear-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2
Modelo semilogarítmico (ou log-linear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3
Modelo log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4
Relações inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5
Modelos polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7 Verificação das hipóteses do modelo clássico de regressão linear
7.1
118
Normalidade dos resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.1.1
Testes aos coeficientes de assimetria e de curtose . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.2
Teste de Jarque-Bera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.3
Teste de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3
7.2
Multicolinearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3
Heterocedasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.1
7.4
Formas de testar a heterocedasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.4.1
Teste de Durbin-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.4.2
Soluções para a autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8 Modelos de escolha qualitativa - ou modelos em que a variável explicada é limitada
131
8.1
Modelo probabilístico linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2
O modelo probit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3
O modelo logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.1
Qualidade do ajustamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3.2
Testes de hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.3.3
Interpretação dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.3.4
Modelo latente na escolha binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
i
Capítulo 1
Revisões de estatística descritiva
1.1
Conceitos fundamentais
As etapas que definem o método estatístico de resolução dos problemas são:
Identificação do problema ⇒ Recolha de dados ⇒ Crítica dos dados ⇒ Apresentação dos dados ⇒
Análise e interpretações
Na estatística é fundamental definir e conhecer determinados conceitos, nomeadamente:
a) População ( ): é um conjunto de indivíduos ou objectos que apresentam uma ou mais características em comum. A população pode ser finita ou infinita, dependendo do número de
elementos que a compõem e pode ainda distinguir-se entre população objectivo e população
inquirida. A população objectivo inclui a totalidade dos elementos que são alvo de estudo.
caso não seja possível conseguir uma população objectivo, pode-se seleccionar desta uma parte
ou amostra que é a população inquirida. A utilização de populações para estudos pode ser
muito complicada:
(i ) Custo
(ii ) Precisão
(iii ) Razões económicas
(iv) Morosidade, actualização da informação...
b) Amostra (): é um segmento da população em estudo recolhida com os objectivos de se
estimarem certas características desconhecidas da população ou se testarem hipóteses.
1
c) Variável estatística: é a característica de natureza quantitativa analisada na população, ou
os diferentes valores que uma dado quantitativo pode assumir. Existem variáveis que podem
referir-se a características qualitativas, por exemplo o sexo dos indivíduos. Neste caso pode
criar-se uma variável quantitativa dummy que seria 0 no caso de ser sexo masculino e 1 para
o sexo feminino.
d) Variável aleatória: uma variável aleatória (unidimensional) geralmente designada por () é
uma função que a cada acontecimento dos espaço de resultados faz corresponder um valor
real = () Está associado ao conceito de distribuição de probabilidade.
d) Variável discreta: só pode assumir determinados valores num intervalo, ou seja o seu contradomínio é finito. Ex: n. de automóveis do agregado familiar;
e) Variável contínua: pode assumir todo e qualquer valor no intervalo de variação (diferença entre
o valor máximo e o valor mínimo observados) da variável estatística, o seu contradomínio é
um conjunto infinito. Ex. Preço da gasolina.
1.2
Distribuições de frequências
Após a recolha e crítica dos dados, há que proceder à sua apresentação de forma a possibilitar
uma análise mais eficiente e que possibilite comparações entre amostras ou populações. Neste
sentido torna-se imprescindível proceder à organização dos dados em distribuições de frequência,
que podem diferir caso se trate de variáveis contínuas ou discretas. Uma distribuição de frequências
é um agrupamento de dados em classes, exibindo o número ou percentagem de observações em cada
classe. pode ser representada sob forma gráfica ou tabular. Em termos gráficos podem obter-se os
gráficos de barras (para variáveis discretas), as curvas de frequência, o histograma, o polígono de
frequências.
1.2.1
Variáveis discretas
Ex: número de automóveis por agregado familiar, forma estudados 10000 agregados familiares da
região de Lisboa.
2
N. de automóveis
Freq. absoluta ( )
Freq. relativa ( )
Freq. rel. acumulada ( ())
1
5674
0,5674
0,5674
2
3451
0,3451
0,9125
3
520
0,052
0,9645
4
258
0,0258
0,9903
5
85
0,0085
0,9988
≥6
12
0,0012
1
Total
10000
1
-
Sabe-se que
P
= e
P
= = 1
As frequências relativas são dadas por
=
(1.1)
A função cumulativa de frequências relativas () indica a frequência de observações com um
valor igual ou inferior a .
1.2.2
Variáveis contínuas
As principais etapas na construção de uma distribuição de frequências para dados amostrais contínuos são:
1. Estabelecimento das classes ou intervalos de agrupamento dos dados. Para definir os intervalos
basta definir os limites inferior e superior, sendo normal considerar estes intervalos abertos à
esquerda e fechados à direita:
∈ ⇔ −1 ≤
2. Enquadramento dos dados nas classes (contagem);
3. Apresentação dos resultados numa tabela ou gráfico. (As classes não devem interceptar-se).
3
1.3
Medidas de localização
1.3.1
Medidas de tendência central
Média
A média é uma das mais importantes e mais utilizadas medidas de localização, sendo por vezes
usada para representar toda uma amostra. Ex. rendimento médio, nota média, velocidade média...Normalmente não é possível obter a média da população () por isso utiliza-se a média amostral
(̄)
A média aritmética de uma amostra que seja constituída por 1 2 é dada por
P
̄ = =1
(1.2)
Caso se disponha apenas de dados classificados, pode obter-se a média utilizando a hipótese de que
os valores de cada classe são iguais ao ponto médio dessa mesma classe. Seja o ponto médio da
classe (igual ao limite inferior mais a amplitude da classe), então a média será dada por
P
̄ = =1
o que não é mais que uma média ponderada!
Propriedades da média
1. A média dos desvios dos valores da variável em relação à média é nula
X
( − ̄) = 0
o que é fácil de demonstrar:
X
X
X
X
( − ̄) =
−
̄ = ̄ − ̄
= ̄ − ̄1 = 0
2. A média do quadrado dos desvios dos valores em relação à média é mínima
X
( − ̄)2 é mínimo.
A demonstração também é muito simples. Seja () =
obtém-se quando 0 () = 0 e 00 () 0
0 () = 2
X
P
( − )2 Então o valor mínimo
( − ) (−1)
X
= −2
( − )
= −2̄ + 2
4
0 () = 0 se 2̄ = 2, ou seja ̄ =
00 () = 2 0
3. Se se adicionar uma constante a cada um dos elementos da amostra, a média também
aumenta
P
=1 ( + )
= ̄ +
4. Se se multiplicar cada um dos valores da variável por , a média também será multiplicada
por
P
=1 ( )
= ̄
5. A média da soma de duas variáveis é igual à soma das médias
P P
=1
=1 ( + )
= ̄ + ̄
A média aritmética tem vantagens e inconvenientes. As principais vantagens são:
a) facilidade de interpretação e cálculo
b) utilização de toda a informação disponível.
Mas claro que tem também alguns inconvenientes, nomeadamente:
a) é muito influenciada por valores extremos;
b) pode não corresponder a um valor concreto da variável.
Média geométrica
Quando se está na presença de um fenómeno cujas variações são proporcionais a um valor inicial,
é mais aconselhável utilizar a média geométrica.
v
u
uY
= t
(1.3)
=1
Ex. Taxa de crescimento do PIB ao longo dos últimos anos.
Taxa
1999
2000
2001
2002
2003
2004
%
3
2
4
1
2
5
1.
=
p
6
(1 + 0 03) (1 + 0 02) (1 + 0 04) (1 + 0 01) (1 + 0 02) (1 + 0 05)
= 1 02825
5
Mediana
A mediana ( ) é o centro posicional da distribuição, ou seja é o valor que tem 50% de observações
com valores mais baixos e 50% com valores mais elevados. Para se calcular a mediana há que
organizar por ordem crescente todas as observações e proceder do seguinte modo:
• Se se tiver um número ímpar de observações, então = , = 2 − 1;
• Se se tiver um número par de observações então =
++1
, = 2
2
• No caso de dados classificados, pode calcular-se a mediana usando a função cumulativa. Por
exemplo, veja-se o estudo dos rendimentos numa fábrica de têxteis:
Classes Rendimento
n. trabalhadores
Freq. Relativa
Freq. Relativa Acumulada
500-600
10
0,1177
0,1177
600-700
20
0,2353
0,3530
700-800
40
0,4706
0,8236
800-900
15
0,1764
1
Total
85
1
( ) =freq. relativa de valores inferiores ou iguais a = 12
Pela análise da tabela verifica-se que a classe que nos interessa é 700-800. Se se fizer interpolação linear (assumimos que os valores se distribuem uniformemente na classe), então
− 700
0 5 − 0 3530
=
⇔ = 731 2367
800 − 700
0 8236 − 0 3530
Se se quiser generalizar a fórmula obtém-se:
= ( ) +
− ( − 1)
( )
( ) − ( − 1)
(1.4)
onde ( ) é o limite inferior da classe da mediana, é a frequência relativa face à posição
pretendida (no caso da mediana é 0,5), ( − 1) é a frequência relativa acumulada até à classe
anterior, ( ) é a frequência relativa acumulada da classe escolhida e ( ) é a amplitude da
classe da mediana.
• A mediana é menos sensível aos valores extremos que a média!
6
Moda
Como a própria palavra indica, a moda ( ) é o valor da variável que mais ocorrências regista,
ou seja, é o valor que é observado mais vezes na amostra. Tal como a mediana, a moda é também
uma medida de posição e é mais fácil de calcular se os dados estiverem ordenados. No caso de as
variáveis serem discretas, não há qualquer dificuldade em encontrar a moda,1 enquanto que para
variáveis contínuas há que identificar inicialmente a classe modal e depois proceder ao seguinte
cálculo:
= ( ) +
( + 1)
( )
( − 1) + ( + 1)
(1.5)
onde ( ) é o limite inferior da classe modal, ( − 1) é a frequência relativa da classe anterior
à classe modal, ( + 1) é a frequência relativa da classe a seguir à classe modal e ( ) é a
amplitude da classe modal.
De modo a exemplificar, se voltarmos ao exemplo dos rendimentos dos trabalhadores de uma
fábrica de têxteis, a classe modal é 700-800. Então a moda será dada por:
0 1764
100
0 2353 + 0 1764
= 742 847
= 700 +
A moda tem algumas vantagens como medida de estatística descritiva, pois é fácil de calcular
e de interpretar e não é afectada pelos valores extremos. Mas também apresenta desvantagens,
especialmente por não poder ser definida com rigor e o seu valor ser por vezes, incerto! Uma
distribuição de frequências pode ter mais que uma moda, e nesse caso diz-se que é bimodal, trimodal,
etc...
1.3.2
Medidas de tendência não central
Para além das medidas de tendência central existem outras medidas que dão a localização dos
valores da variável. As mais conhecidas e utilizadas são:
a) Quartis - valores da variável que dividem a distribuição de frequências em quatro partes iguais;
b) Decis - valores da variável que dividem a distribuição de frequências em dez partes iguais;
c) Percentis - valores da variável que dividem a distribuição de frequências em cem partes iguais.
O método de cálculo dos quartis, decis e percentis é muito semelhante ao cálculo da mediana,
devendo ajustar-se qual a posição que se pretende (veja equação (1.4).
1
Atenção que em pequenas amostras pode não haver moda, pois podem não haver repetições.
7
fi
xi
Figura 1.1: Distribuição bimodal.
0
1
Q1
Q2
D5
P50
M
Q3
Figura 1.2: Medidas de localização não central.
8
fi
xi
Se se quiser calcular o Decil 2 e o Percentil 75 do exemplo dos rendimentos dos trabalhadores
da fábrica têxtil, obtém-se:
2 = 600 +
' 635
0 2 − 0 1177
100
0 3530 − 0 1177
0 75 − 0 3530
100
0 8236 − 0 3530
= 784 360
75 = 700 +
O valor 635 divide a amostra em duas partes: uma com 20% e outra com 80% dos elementos. O
valor 784,375 indica que 75% das observações estão abaixo deste valor e 25% acima dele.
1.4
Medidas de dispersão e de concentração
As medidas de localização ajudam a localizar valores centrais, contudo não são suficientes para bem
caracterizar uma distribuição, devendo ser acompanhadas de medidas de dispersão. As medidas
de dispersão permitem verificar a representatividade das medidas de localização, pois é muito
fácil encontrar distribuições que tendo a mesma média são compostas de valores completamente
distintos!
1.4.1
Medidas de dispersão
Intervalo de variação
O intervalo de variação () é possivelmente, a medida de dispersão mais simples de calcular, pois
não é mais que a diferença entre o valor máximo e o mínimo da distribuição:
= max − min
(1.6)
A sua utilização tem como principal desvantagem o facto de ter em conta apenas os dois valores
extremos da distribuição, não entrando em linha de conta com os restantes valores observados.
Intervalo interquartis
É definido pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartil e corresponde a um intervalo que
engloba 50% das observações centrais:
= 3 − 1
9
(1.7)
Tem a desvantagem de não ser influenciado por metade da distribuição, nomeadamente os valores
extremos.
Desvio absoluto médio
Tendo em conta a importância de medir o grau de dispersão em torno da média, surge o desvio
absoluto médio. No caso de se terem dados desagregados, o desvio absoluto médio ( ) é dado
por
=
para dados agrupados é dado por
=
P
=1 | − ̄|
X
=1
(1.8)
| − ̄|
(1.9)
O desvio absoluto médio é uma medida de dispersão não-negativa e quanto maior o seu valor maior
será a dispersão da variável em estudo, mas não é muito utilizada pois o uso de módulos pode
provocar algum enviesamento.
Variância e desvio-padrão
A variância e o desvio-padrão são as medidas de dispersão mais utilizadas em estatística, sendo
definida pela soma do quadrado das diferenças entre os valores da variável e a média, dividida pelo
número total de observações.
¡ ¢
A variância de uma amostra 2 é dada por2
2
=
P
2
=1 ( − ̄)
(1.10)
( − ̄)2
(1.11)
se se tiverem dados agrupados, então
2 =
X
=1
O desvio-padrão é a raíz quadrada da variância
s
P
2
√
=1 ( − ̄)
2
=+ =+
Propriedades da variância
Se for uma constante real, e e variáveis aleatórias, então
1. () = 0
2
No caso de amostras de pequena dimensão ( 30), o denominador será − 1.
10
(1.12)
2. () = 2 ()
3. ( + ) = () + () + 2 ( )
se e forem estatisticamente independentes, então ( + ) = () + ()
h
i
£
¡ ¢
¤
¡ ¢
4. () = ( − ̄)2 = 2 − 2̄ + ̄2 = 2 − 2 (̄) + ̄2 = 2 − ̄2
5. Se é uma variável aleatória tal que () = ̄ e () = 2 então a variável aleatória
= −̄
2 tem média nula ( () = 0) e variância unitária ( () = 1)
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, pois é independente das unidades de
medida da variável, permitindo a realização de comparações entre diferentes amostras. O coeficiente
de variação é dado por
=
100
̄
(1.13)
e permite a compreensão em termos relativos do grau de concentração em torno da média de
distribuições de frequências distintas.
1.4.2
Medidas de concentração
Para medir a forma como uma determinada característica de uma população se distribui pelos
seus elementos, é muitas vezes usada uma medida de concentração ao invés de uma medida de
dispersão. No entanto só faz sentido usar esta medida se existir a possibilidade de acumular certa
característica num maior ou menor número de elementos, ou seja quando a característica se pode
distribuir de forma mais ou menos uniforme, e simultaneamente é possível conceber as seguintes
situações extremas:
1. um só elemento da amostra detém todo o atributo (concentração máxima);
2. cada elemento da população detém igual parcela do atributo (concentração mínima).
Existem várias situações em que é interessante estudar o grau de concentração, nomeadamente
a concentração do rendimento familiar, da riqueza, das áreas de exploração agrícolas.
Uma abordagem muito utilizada é a Curva de Lorenz, que se obtém unindo num referencial
cartesiano, as frequências acumuladas para cada classe relativamente ao total ( ) com as frequências acumuladas do atributo em estudo, também relativamente ao total ( ) Considere-se uma
11
distribuição com classes e seja o total do atributo correspondente ao elementos da classe ,
então
P
=1
= P
=1
P
=1
e
= P
=1
Neste caso representa a proporção de elementos com um valor do atributo inferior ou igual ao
limite superior da classe . representa a proporção da totalidade do atributo que é possuída pelos
mesmos elementos. Se a concentração for mínima o resultado será uma recta, também denominada
de recta de igual distribuição. Eis alguns exemplos de possíveis Curvas de Lorenz:
qi
qi
0
qi
0
0,5
0
pi
0,5
pi
0,5
Figura 1.3: Exemplos de Curvas de Lorenz, ordenadas por nível de concentração. a primeira curva
apresenta um nível de concentração muito baixo, enquanto que a terceira apresenta um nível de
concentração muito elevado.
Considere-se o seguinte exemplo: de uma listagem das cinquenta maiores empresas de exploração
agrícola da região Alentejo retiraram-se os seguintes resultados referentes ao volume de negócios:
Valor negócio (milhares euros)
n. empresas
200-450
2
0,2
0,2
0,2
650
0,0903
450-850
5
0,5
0,7
0,7
3250
0,5416
850-1350
3
0,3
1
1
3300
1
Total
10
1
7200
Uma possível interpretação é que 20% das empresas agrícolas analisadas possuem cerca de 9%
do valor do volume de negócios, enquanto que 70% detém 54,16% do volume de negócios.
Como já se verificou, quanto maior a concentração, mais a curva traçada se afastará da recta,
logo maior é a área entre a curva de Lorenz e a diagonal. O índice de concentração de Gini mede
12
pi
qi
0,09
0,2
0,7
pi
Figura 1.4: Curva de Lorenz.
precisamente esta área, sendo definido da seguinte forma
P−1
( − )
= =1
P−1
=1
(1.14)
ou seja 0 ≤ ≤ 1 onde = 0 se houver igual repartição, = 1 quando existe concentração
máxima ( tende para zero em todas as classes excepto a última).
O valor do índice de Gini do exemplo anterior é:
(0 2 − 0 09) + (0 7 − 0 5416)
0 2 + 0 7
= 0 2982
=
1.5
Assimetria e curtose
1.5.1
Assimetria
Um dos métodos mais simples para se medir o grau de assimetria de uma distribuição consiste
na comparação das principais medidas de localização de tendência central: a média, a moda e
a mediana. Numa distribuição simétrica estas três medidas são iguais, contudo quando existem
diferenças entre elas surgem sinais de assimetria.
13
_
x=M=Mo
_
x>M>Mo
_
x<M<Mo
Figura 1.5: Distribuição simétrica, assimetria positiva e assimetria negativa.
O grau de assimetria pode ser calculado da seguinte forma
3 =
3 (̄ − )
(1.15)
Existem ainda outros indicadores quantitativos que permitem estimar com maior precisão o
grau de assimetria de uma distribuição. De referenciar o coeficiente de Pearson, que mede o grau
de assimetria através da comparação entre a média e a moda:
1 =
(̄ − )
(1.16)
Se 1 = 0 a distribuição é simétrica, se 1 0 a distribuição é assimétrica positiva e se 1 0 a
distribuição é assimétrica negativa.
1.5.2
Curtose
A curtose refere-se ao grau de achatamento de uma distribuição, dado assim uma noção da intensidade das frequências na vizinhança dos valores centrais.
Distribuição leptocúrtica
Distribuição mesocúrtica
Distribuição platicúrtica
Figura 1.6: Graus de curtose de uma distribuição
Para medir o grau de curtose pode ser utilizada a seguinte expressão:
14
=
3 − 1
2 (90 − 10 )
(1.17)
sendo 3 e 1 respectivamente o terceiro e primeiro quartis e 90 e 10 o percentil 90 e o percentil
10. Os resultados obtidos devem ser analisados da seguinte forma:
• se = 0 263 a distribuição é mesocúrtica;
• se 0 263 a distribuição é platicúrtica;
• se 0 263 então, a distribuição é leptocútica.
1.6
Momentos
Os parâmetros estudados nas secções anteriores (média, variância, assimetria curtose) são casos
particulares de um conceito mais geral: o conceito de momento.
¢
¡
Define-se momento de ordem em relação a um ponto , como o valor esperado das
potências de ordem dos desvios de face a , ou seja
= [( − ) ]
(1.18)
Naturalmente que o leitor já está a lembrar-se de alguns casos particulares, nomeadamente a média
e a variância:
i ) = 0 - momentos ordinários em relação à origem, = [ ] ;
ii ) = ̄ - momentos centrados em relação à média, = [( − ̄) ]
Os momentos mais importantes são os momentos em relação à origem, que podem ser calculados
por
= [ ] =
X
para variáveis discretas e no caso de a variável ser contínua o seu valor será dado por
+∞
Z
= [ ] =
−∞
e os momentos centrados, que são calculados da seguinte forma para variáveis discretas e contínuas
respectivamente
= [( − ̄) ] =
15
X
( − ̄)
e
+∞
Z
= [( − ̄) ] =
( − ̄)
−∞
Consoante a ordem de , podem encontrar-se alguns casos particulares de momentos ordinários
e centrados:
£ ¤
• = 0, o momento ordinário de ordem 0 é 0 = 0 = 1 e o momento centrado de ordem
h
i
0 é 0 = ( − ̄)0 = [1] = 1;
£ ¤
• = 1, o momento ordinário de ordem 1 é 1 = 1 = ̄ e o momento centrado de ordem
i
h
1 é 1 = ( − ̄)1 = [] − ̄ = 0;
£ ¤
• = 2, o momento ordinário de ordem 2 é 2 = 2 e o momento centrado de ordem 2 é
i
h
2 = ( − ̄)2 = []
Quando a distribuição é simétrica, todos os momentos centrados de ordem ímpar superior a 1
são nulos, isto é, a cada desvio positivo corresponde um desvio negativo de igual magnitude.
Para além dos primeiro e segundo momentos de uma distribuição (média e variância), é possível
generalizar-se a função geradora de momentos em ordem a conhecer momentos de ordem superior.
Por exemplo, se a distribuição for assimétrica, os momentos centrais de ordem ímpar superior a 1 já
não serão nulos e podem ser utilizados para avaliar o grau de assimetria existente,3 nomeadamente
através do coeficiente de assimetria de Fisher, dado por
3 =
se
3
3
(1.19)
⎧
⎪
⎪
⎨ 3 = 0 ⇒ 3 = 0 Distribuição simétrica
3 0 Distribuição assimétrica negativa
⎪
⎪
⎩
3 0 Distribuição assimétrica positiva.
A comparação de duas distribuições quanto ao achatamento pode ser feita através de um momento centrado de quarta ordem, contudo o seu uso só faz sentido para grandes amostras. O
momento centrado de quarta ordem será tanto maior quanto menor for o achatamento da curva e
o achatamento pode ser avaliado pelo seguinte coeficiente
4 =
3
4
4
Isto porque a assimetria não é mais que o desvio da distribuição relativamente ao eixo de simetria.
16
(1.20)
Caso a distribuição seja normalmente distribuída, ou seja, mesocúrtica no que se refere ao achatamento, o valor de 4 será 3. A avaliação do coeficiente pode ser feita do seguinte modo:
⎧
⎪
⎪
⎨ 4 = 3 Curva mesocúrtica
4 3 Curva platicúrtica
⎪
⎪
⎩
4 3 Curva leptocúrtica.
1.7
Distribuições teóricas mais importantes
Quando se atribuem valores de probabilidade a todos os possíveis valores de uma variável aleatória
, o resultado é uma distribuição de probabilidade. Nesta secção serão analisadas de forma breve
algumas das mais importantes distribuições de probabilidade teóricas discretas e contínuas.
1.7.1
Distribuições discretas
No contexto das distribuições discretas, são alvo de análise as distribuições binomial, a distribuição
hipergeométrica e a distribuição de Poisson.
Distribuição binomial
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o
processo de amostragem é do tipo de Bernoulli, nomeadamente em testes de controlo de qualidade, ou seja, quando:
1. em cada tentativa existem dois resultados possíveis mutuamente exclusivos (normalmente são
chamados de sucesso ou fracasso), onde (1 − ) = ;
2. as observações são eventos independentes;
3. a probabilidade de sucesso, indicada por , é constante de tentativa para tentativa, isto é, o
processo é estacionário.
A equação para se determinar a probabilidade de um certo número de sucessos numa distribuição binomial é dada por
( = ) =
!
(1 − )−
! ( − )!
(1.21)
onde é o número de observações, é o número de sucessos e a probabilidade de sucesso em
cada tentativa.
17
Exemplo
Pretende-se saber qual a probabilidade de em 5 recém-nascidos, apenas um ser do sexo feminino.
A probabilidade pretendida é (admitindo que a probabilidade de nascimentos de meninas é igual
à probabilidade de nascimento de meninos)
5!
0 51 (0 5)5−1
1! (5 − 1)!
= 0 15625
( = 1) =
A média ou valor esperado de , a variância de e outros momentos da distribuição binomial
podem ser obtidos através da função geradora de momentos, chegando-se à conclusão que
[] = e [] = = (1 − )
Distribuição hipergeométrica
Quando a amostragem é realizada sem reposição numa amostra finita, não se deve aplicar o processo
de Bernoulli, pois existe uma mudança sistemática na probabilidade de sucesso à medida que os
items são retirados da amostra. Neste caso a distribuição geométrica é a distribuição discreta mais
apropriada, sendo a respectiva fórmula de cálculo da probabilidades dada por
¡ − ¢¡ ¢
−
¡ ¢
( = | ) =
(1.22)
onde é o número total de items em observação, é o número total de "sucessos"e é o número
de items na amostra.
Por exemplo, imagine que numa determinada empresa há seis funcionários e três deles estão
nessa mesma empresa há mais de 5 anos. Se se escolherem aleatoriamente 4 funcionários, qual a
probabilidade de que exactamente dois estejam na companhia há mais de 5 anos?
Neste contexto = 0 5 = 36 e = (1 − ) = 0 5. Se se usar a distribuição hipergeométrica,
conclui-se que a probabilidade é de 60%!
( = 2| = 6 = 3 = 4) =
=
¡6−3¢¡3¢
¡3¢¡3¢
4−2 2
¡6¢
= 2¡6¢2
4
4
3! 3!
9
2!1! 2!1!
= 0 60
=
6!
15
4!2!
Quando é um valor elevado e pequeno, o facto de não haver reposição tem pouca influencia
nos resultados finais. Neste caso, se 0 05 pode usar-se a distribuição binomial como uma
aproximação da hipergeométrica.
18
Os principais parâmetros da distribuição hipergeométrica são
[] = e [] =
−
−1
Note-se que a média desta distribuição é igual à média da distribuição Binomial, enquanto que a
−
−
variância da desta é inferior à da Binomial, pois
−1 ≤ 1 Quando → ∞, −1 → 1 a variância
da Hipergeométrica converge para a da Binomial.
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um determinado
número de sucessos quando os eventos ocorrem num espaço de tempo contínuo, por exemplo:
• número de chamadas telefónicas que chegam, num certo período de tempo, a uma central
telefónica;
• número de doentes que dão entrada nas urgências de um hospital, por unidade de tempo;
• número de avarias que ocorrem numa máquina, num certo intervalo de tempo;
• número de deficiências num determinado produto produzido em massa...
Para que seja possível aplicar um processo de Poisson, é necessário que se verifiquem as seguintes
condições:
a) O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis aleatórias independentes;
b) A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da
mesma dimensão;
c) A probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências num período muito pequeno é
negligenciável quando comparada com a probabilidade de se verificar apenas uma ocorrência.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por
( = |) =
−
!
(1.23)
onde 0 é o parâmetro caracterizador desta distribuição. Se a variável aleatória tem distribuição de Poisson, com parâmetro 0 então
[] =
e
19
[] =
ou seja, a média e a variância são iguais.
Exemplo
Admita que o número de Jipes que por hora atravessam a ponte 25 de Abril segue uma distribuição de Poisson com variância igual a 8. Qual a probabilidade de que numa hora, exactamente
4 Jipes atravessem a ponto?
A função de probabilidade será dada por
84 −8
4!
= 0 0573
( = 4| = 8) =
Logo a resposta é de que a probabilidade de passarem exactamente 4 Jipes numa hora na ponte 25
de Abril é de 5,73%.
1.7.2
Distribuições contínuas
No âmbitos das distribuições contínuas, serão alvo de análise as distribuições mais utilizadas em
inferência estatística, nomeadamente a distribuição normal, qui-quadrado, t-Student e F-Snedcor.
Distribuição normal
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições teóricas de probabilidade, visto
que são inúmeras as variáveis aleatórias que descrevem processos físicos ou características humanas
(peso, altura, etc) que seguem uma distribuição normal. A distribuição normal de probabilidade é
uma distribuição contínua, simétrica e mesocúrtica. A sua curva é descrita frequentemente como
tendo a forma de sino:
Das suas principais características são de enunciar:
• É simétrica e mesocúrtica;
• As medidas de localização de tendência central têm igual valor (média, moda e mediana);
¤
£
• O intervalo inter-quartis está contido em − 23 + 23 , onde é a média da população e
o desvio-padrão;
• A variável aleatória contínua pode tomar qual valor em R.
A função densidade probabilidade desta curva é dada por
2
2
1
−[(−) 2 ]
() = √
2
20
(1.24)
fi
xi
Figura 1.7: Distribuição normal de probabilidade.
onde é a constante 3,1416 e é a constante 2,7183, é a média da distribuição e é o desviopadrão da mesma. Se uma variável aleatória segue uma distribuição normal, então é totalmente
caracterizada pelos dois primeiros momentos da distribuição: a média e o desvio-padrão.
Uma vez que casa combinação de e geraria uma distribuição normal de probabilidade
diferente (mas todas simétricas e mesocúrticas), e sendo moroso o cálculo das suas probabilidades,
foram criadas as tabelas de probabilidade normal que são baseadas numa distribuição normal
estandardizada. Esta distribuição tem = 0 e = 1. Qualquer conjunto de valores de
normalmente distribuído pode ser convertido em valores normais estandardizados da seguinte forma:
=
−
∼ (0 1)
(1.25)
sendo a sua função de densidade de probabilidade definida da seguinte forma
1
2
() = √ − 2 , com − ∞ +∞
2
Ao se subtrair a cada observação irá obter-se uma variável aleatória com média nula e ao
dividir pelo desvio-padrão está-se a alterar a dispersão em torno da média de forma a que = 1
De modo mais formal:
∙
¸
−
1
[] =
= [ − ] = 0
e
2
¸
∙
i
h
¡ 2¢
− 2
2
= ( − ()) = =
i
h
2
1
=
( − )2 = 2 = 1
2
21
A vantagem de ter uma variável estandardizada reside no facto de se poderem utilizar as tabelas
de probabilidade, o que facilita bastante os cálculos. De acordo com estas tabelas, sabe-se que para
qualquer distribuição normal, a probabilidade da variável aleatória distar da média menos que uma
desvio-padrão é de 68,26% (vide Figura 1.8).
fi
µ
1.d.p p=68,26%
2.d.p.
p=95,44%
3.d.p.
p=99,73%
xi
Figura 1.8: Distribuição normal e probabilidades.
Exemplos:
a) Utilizando a tabela da normal estandardizada determine:
[0 1 32] = Φ (1 32) − Φ (0) = 0 9066 − 0 5000 = 0 4066
b) O tempo em horas que uma determinada máquina leva a executar uma certa tarefa tem distribuição normal com média de 1000 horas e desvio-padrão de 200 horas. Qual a probabilidade
de a máquina ter capacidade de terminar essa mesma tarefa em menos de 1200 horas e mais
de 800 horas?
Sabe-se que ∼ (1000 200) e pretende-se calcular:
¤
£
1200−1000
= [−1 1] = Φ (1) − [1 − Φ (1)]
[800 1200] = 800−1000
200
200
= 0 8413 − 1 + 0 8413 = 0 6826
22
fi
0
1,32
xi
Figura 1.9: Distribuição normal, exemplo.
Ou seja, a probabilidade é de 68,26%.
Distribuição 2
¡ ¢
A distribuição qui-quadrado 2 é muito utilizada para inferência sobre a variância. Esta dis-
tribuição tem um forte ligação com a distribuição normal, pois se for uma variável aleatória com
distribuição (0 1) então
2 ∼ 2 (1)
com 1 grau de liberdade. De referir ainda que a soma de variáveis aleatórias independentes com
distribuição qui-quadrado, também segue uma distribuição qui-quadrado, cujos graus de liberdade
são iguais à soma de todos os graus de liberdade das respectivas variáveis.
Sejam 1 2 variáveis aleatórias que seguem 2 (1 ) 2 (2 ) 2 ( ), então se =
1 + 2 + +
∼ 2 (1 + 2 + + )
Um consequência deste resultado é que se 12 22 2 forem variáveis aleatórias com (0 1),
então
= 12 + 22 + + 2
∼ 2 ()
De notar que uma variável aleatória que siga uma distribuição 2 () com = − 1 só pode
tomar valores não-negativos, e esta distribuição depende apenas dos graus de liberdade. Quanto
mais elevado for o número de graus de liberdade menos assimétrica é a distribuição.
Uma importante propriedade é que a soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado segue também uma distribuição qui-quadrado, onde os graus de liberdade
são iguais à soma dos graus de liberdade dessas variáveis.
23
fi
fi
0
0
X2
Para r = 3
X2
Para r = 1, 2
Figura 1.10: Distribuições qui-quadrado para = 1 2 e ≥ 3
Distribuição t-Student
A distribuição é muito utilizada em estatística e em econometria uma vez que é a distribuição da
média da amostra quando a variância da população não é conhecida (o que acontece muitas vezes!).
Seja uma variável aleatória, normalmente distribuída com (0 1), uma variável aleatória
com 2 () e e são independentes, logo
∼
=p
Das suas principais características são de realçar o facto de ser uma distribuição simétrica
em torno de zero e ter a forma de sino, tem mais área nas abas e menos área no centro que a
distribuição normal. Como não se conhece o desvio-padrão populacional utiliza-se o desvio-padrão
amostral para o estimar, o que leva a que seja mais variável que . Esta distribuição converge
para (0 1) quando o número de graus de liberdade aumenta ( ≥ 30).
Esta distribuição é muito utilizada para inferir sobre a média e com vista à simplificação dos
cálculos é usada a forma estandardizada que é dada por
=
̄ −
̄
onde ̄ = √
Distribuição F-Snedcor
A distribuição é a distribuição de probabilidade apropriada para inferenciar sobre a razão de
variâncias de duas amostras tomadas independentemente da mesma população normalmente distribuída, existindo uma distribuição diferente para cada combinação de graus de liberdade associados com cada amostra. Para cada amostra = − 1 ou seja existirão 1 e 2 graus de liberdade
24
para as amostras em análise. Se e são variáveis aleatórias independentes com distribuição
qui-quadrado, com 1 e 2 graus de liberdade, então
1
=
2
A estatística usada para testar a hipótese nula de que não existe diferença entre duas variâncias
é
1 2 =
21
22
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial está muito ligada à distribuição discreta de Poisson, sendo também
muito utilizada na descrição do tempo de vida de organismos, de produtos (lâmpadas, material
eléctrico, etc). A sua função de densidade probabilidade é descrita por
() = − 0 e 0
(1.26)
Os seus parâmetros são
[] =
1
e
[] =
1
2
A probabilidade exponencial de que um dado evento ocorra num determinado espaço de tempo
especificado é definido da seguinte forma
( ≤ ) = 1 − −
e ( ) = −
f(x)
P(X> x)
P(X<= x)
0
x
Figura 1.11: Distribuição exponencial.
Exemplo:
25
Uma lâmpada tem uma duração que segue uma distribuição exponencial, onde = 11000.
Determine a probabilidade de que uma lâmpada se queime antes de 1000 horas.
Como se pode ver a média de duração é 1000 horas e o desvio-padrão é 1000 horas também.
1000
( 1000) = 1 − − 1000 = 0 6321
Ou seja, a probabilidade de durar menos que 1000 horas é 63,21%.
26
Capítulo 2
Amostragem e estimação
Em estatística é muito importante fazer inferência acerca de uma população, uma vez que na
maioria das vezes se trabalha com amostras, isto é, subconjuntos de uma certa população. A
definição de população amostra é apresentada no Capítulo 1, contudo ficaram por explicar alguns
conceitos muito importantes na estatística inferencial.
A amostra deve ser representativa da população, pois de outra forma a inferência estatística acerca daquela população utilizando a amostra em causa, não teria validade. O processo
de amostragem pode ser realizado de várias formas, sendo as técnicas mais usuais:
a) Amostragem casual ou aleatória - cada elemento tem igual probabilidade de pertencer à amostra;
b) Amostragem sistémica - quando se pretende construir uma amostra a partir de um ficheiro de
dados, por exemplo a partir da lista telefónica (Ex: os elementos 3, 13, 23, 33, ... fazem parte
da amostra);
c) Amostragem estratificada - quando se pretende definir uma amostra a partir de estratos bem
definidos, por exemplo estratos de rendimento (Ex: 1 + 2 + 3 + = );
d) Amostragem por conglomerado - quando se identificam várias réplicas numa mesma população
(por exemplo várias estratificações idênticas) e aplica-se um novo processo de amostragem,
por exemplo aleatória;
e) Amostragem múltipla - são realizadas sucessivas amostras.
27
2.1
Distribuição por amostragem
Há bastantes critérios estatísticos e matemáticos para seleccionar os estimadores apropriados para
estimar, com base numa amostra, os parâmetros referentes a uma população. Uma das principais
características que um estimador deve ter é não ser tendencioso, ou seja, a estatística amostral deve
ter um valor esperado igual ao parâmetro que está a ser estimado. Uma estatística é uma função da
informação da amostra, sendo as estatísticas mais utilizadas em estatística, a média e a variância
̄ =
P
=1
e 2 =
P ¡
=1
− ̄
−1
¢2
De modo a facilitar a compreensão da notação, usar-se-ão letras maiúsculas para referir valores
¡
¢
particulares das estatísticas, e minúsculas ̄ 2 para referir valores que as variáveis aleatórias
tomam numa amostra em particular.
Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma
estatística amostral tende a variar devido a variações casuais na amostragem aleatória.
Exemplo:
Um agricultor tem cinco porcos (população) cujos pesos são respectivamente:
Porco
Peso (kg)
A
50
B
51
C
53
D
55
E
56
Suponha-se que qualquer porco com menos de 52 kg de peso seja considerado magro demais,
não podendo ser vendido a um preço razoável. Há que constatar que 2 dos 5 porcos estão nestas
condições. O agricultor quer estimar a proporção dos porcos que está abaixo do peso indicado, mas
considera muito trabalhoso pesar todos os porcos e por isso resolve analisar uma amostra composta
por apenas 2 porcos. A questão que se coloca é: qual a distribuição amostral em causa?
28
Existem 10 possíveis combinações, mais concretamente:
Amostras
Pesos
Proporção ( 52)
A,B
50 e 51
2/2
A,C
50 e 53
1/2
A,D
50 e 55
1/2
A,E
50 e 56
1/2
B,C
51 e 53
1/2
B,D
51 e 55
1/2
B,E
51 e 56
1/2
C,D
53 e 55
0/2
C,E
53 e 56
0/2
D,E
55 e 56
0/2
A distribuição amostral mostra que as proporções amostrais possíveis são 22, 12 e 02 e a
probabilidade de ocorrência de casa uma delas, ou seja há a probabilidade de 0,6 de a proporção
amostral ser 12, a probabilidade de 0,3 de a proporção amostral ser 02 e 0,1 de ser 22.
2.1.1
Distribuição da média amostral
Uma distribuição da média amostral é a distribuição que indica a probabilidade das diversas médias
amostrais. A distribuição é função da média e do desvio-padrão da população e do tamanho da
´
³
2
amostra ̄ ∼ Neste sentido, a média da distribuição amostral de ̄ é igual à média da
população, ou seja
£ ¤
̄ =
e a variância da distribuição amostral de ̄ será dada por
2̄ =
2
Caso se desconheça a distribuição da população da variável, ou se esta não for normal, pode-se
mesmo assim usar amostras para fazer inferências sobre parâmetros populacionais. De acordo com
a teoria, se uma população tem distribuição normal, a distribuição das médias amostrais extraídas
dessa população tem também distribuição normal (para qualquer tamanho da amostra). Caso a
distribuição da população seja não-normal, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, desde que a amostra seja grande ( ≥ 30) Este resultado é conhecido por Teorema
29
do Limite Central.
Teorema do Limite Central
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das
médias amostrais é também normal para todos os tamanhos da amostra.
2. Se a população é não-normal, a distribuição das médias amostrais
é aproximadamente normal para grandes amostras.
Distribuição da população
Distribuição amostral
fi
fi
Para todos os
tamanhos
amostrais
=
xi
fi
xi
fi
˜
Para grandes
amostras
xi
fi
fi
xi
˜
xi
xi
Figura 2.1: Teorema do Limite Central.
2.1.2
Distribuição da proporção amostral
Uma distribuição de proporções amostrais indica a probabilidade de determinado conjunto de proporções amostrais, dado o tamanho da amostra e a proporção populacional. Quando o tamanho
da amostra é igual ou inferior a 20, as probabilidades dos diversos resultados possíveis podem ser
lidas directamente numa tabela de probabilidades binomiais, sendo para isso necessário converter o
30
número de sucessos em percentagens. por exemplo 3 ocorrências em 10 observações correspondem
a 30%. para amostras de maior dimensão, a aproximação da normal à binomial dá resultados muito
satisfatórios.
A média (proporção ou percentagem média) da distribuição amostral é sempre igual à proporção
populacional
[̄] =
e a variância da distribuição amostral de será dada por
2 =
2.1.3
(1 − )
Distribuição da diferença entre duas médias
Caso haja interesse em estimar a diferença na média de uma variável aleatória para duas diferentes
populações, pode utilizar-se a distribuição da diferença entre médias. Seja 1 a dimensão da amostra
retirada da primeira população e 2 a dimensão da amostra retirada da segunda população. Se 1
e 2 são as médias das populações e 21 e 22 as suas variâncias, então a distribuição amostral para
a diferença das médias obedece a
£
¤
̄1 − ̄2 = 1 − 2
£
¤ 2 2
̄1 − ̄2 = 1 + 2
tal como referido anteriormente, também aqui se aplica o Teorema do Limite Central.
2.1.4
Amostragem de uma população finita
A maior parte da amostragem é realizada sem reposição, seja por motivos psicológicos, seja por
razões de conveniência e custo. Enquanto o tamanho da amostra for pequeno relativamente à
população, a amostragem sem reposição fornecerá amostras com aproximadamente a mesma variabilidade da amostragem com reposição. Contudo, se a população é finita e a dimensão da amostra
não é pequena em relação à dimensão da população, no cálculo do desvio-padrão da distribuição
da média e da proporção amostral deve usar-se um factor de correcção para populações finitas
r
−
2 −
2
⇔ ̄ = √
̄ =
−1
−1
r
r
(1 − ) −
(1 − ) −
2
=
⇔ =
−1
−1
31
onde é o tamanho da população e o tamanho da amostra. Se 0 05 não é necessário
usar o facto de correcção.1
2.1.5
Distribuição de (−1)
2
2
Seja 1 2 as observações de uma amostra aleatória de dimensão , que foi retirada de
¢
¡
uma população normalmente distribuída 2 então
¢2
P ¡
( − 1) 2
=1 − ̄
=
∼ 2 ( − 1)
2
2
Este resultado é muito importante para a inferência estatística acerca da média quando a
variância populacional é desconhecida e para a estimação da variância.
De realçar ainda que há ( − 1) graus de liberdade, pois é perdido um grau de liberdade ao se
estimar ̄
2.2
Estimação
No processo de estimação e realização de inferências sobre a população coloca-se a questão se a
informação que se possui é suficiente para estimar os parâmetros com qualidade e de forma não
tendenciosa. De relembrar que o valor do estimador para uma determinada amostra específica
denomina-se de estimativa.
Mas qual ou quais os estimadores que se devem escolher? Neste contexto, há um conjunto de
propriedades desejáveis dos estimadores:
a) Não enviesamento;
b) Consistência;
c) Eficiência; e
d) Erro quadrado médio mínimo.
Não enviesamento
Um estimador ̂ diz-se não enviesado se o valor esperado desse estimador for igual ao valor do
parâmetro que se pretende estimar, isto é
1
³ ´
̂ =
O factor de correcção é sempre inferior a 1, pois − − 1 Assim sendo, o desvio-padrão corrigido da média
da amostra é inferior.
32
De acordo com esta propriedade, se se repetirem vezes o processo de amostragem a média das
estimativas obtidas é igual ao valor do parâmetro da população. Vejam-se os seguintes exemplos:
• ̄ é um estimador não enviesado de , então
"
#
¸
∙ P
X
¡ ¢
1
1
=1
=
= [] = ;
̄ =
=1
• 2 é um estimador não enviesado de 2 , então
"
"P ¡
#
¢2 #
X¡
¢
¡ 2¢
−
̄
1
2
=1
=
− ̄
=
−1
−1
=1
"
#
X¡
¢2
1
=
− + − ̄
−1
=1
"
#
³
X
¡
¢2
¡
¢´
1
2
( − ) + − ̄ − 2 ( − ) ̄ −
=
−1
=1
"
#
∙
¸
´
X³
¡
¢
2
1
1
2
2
2
−
= 2
( − ) − − ̄
=
=
−1
−1
=1
Consistência
Esta propriedade tem a ver com o comportamento do estimador à medida que a dimensão
da amostra tende para infinito. É compreensível que se deseje que à medida que a dimensão da
amostra aumenta, o valor do estimador esteja mais próximo do valor do parâmetro, ou seja, quando
o tamanho da amostra aumenta, a distribuição da estatística tende a ficar mais concentrada em
torno do parâmetro da população. De modo mais formal, seja ̂ o estimador quando a amostra
tem dimensão e seja um valor positivo infinitesimal, então o estimador ̂ é consistente se
h³
´
i
lim ̂ − → 1
−→∞
isto é, se o estimador for realmente consistente então o valor da probabilidade de a diferença entre
o estimador e o parâmetro ser menor que quando a amostra tende para infinito, é 1.
Um estimador pode ser enviesado, mas consistente em simultâneo, tendo tendência para diminuir
o enviesamento à medida que a dimensão da amostra aumenta.
Eficiência
No caso de existirem vários estimadores não enviesados, deverá escolher-se aquele que apresenta
uma função de densidade de probabilidade mais concentrada em relação ao valor do parâmetro da
população, ou seja, aquele que apresenta menor dispersão em torno do estimador. Assim sendo,
sejam ̂1 e ̂2 dois estimadores não enviesados de , ̂1 é mais eficiente que ̂2 se e só se
³ ´
³ ´
̂1 ̂2
33
Também se pode usar a eficiência relativa, neste caso seria dada por
³ ´
̂2
³ ´
eficiência relativa=
̂1
Exemplo:
De relembrar que das medidas de localização de tendência central, a média é a medida que
apresenta variância mínima (vide Capítulo 1).
Erro quadrado médio mínimo
Pode acontecer que de um conjunto de estimadores não enviesados, todos apresentem valores de
variância muito elevados e que hajam estimadores que apresentem algum enviesamento mas cuja
variância é muito menor. Neste caso, não é óbvio que a escolha do estimador não enviesado seja a
mais correcta!
Perante estas situações, um critério para escolher o melhor estimador é o que apresenta menor
erro quadrado médio, que é dado por
∙³
³ ´
´2 ¸
= ̂ −
̂
³ ´
= ̂ + env2 pois
∙µ³
∙³
³ ´´2 ³ ³ ´
´2
³
³ ´´ ³ ³ ´
´¶¸
³ ´
³ ´
´2 ¸
=
̂ − ̂
+ ̂ − + 2 ̂ − ̂
̂ −
̂ − ̂ + ̂ −
f(x)
E X
Figura 2.2: Estimadores não enviesados versus estimadores com menor variância.
De referir que se apenas se considerarem estimadores não enviesados, a minimização de
corresponde à minimização da variância, obtendo-se assim o estimador mais eficiente.
34
2.2.1
Métodos de estimação
Existem diversos métodos para obter estimadores, sendo os mais usuais o método dos momentos,
método da máxima verosimilhança, método dos mínimos quadrados.
O método dos momentos (já descrito anteriormente) consiste em igualar os primeiros momentos da amostra aos primeiros momentos da população. Obtém-se um sistema com equações e
incógnitas que resolvendo obtêm-se os estimadores.
Por exemplo, suponha-se uma amostra cujos dois primeiros momentos ordinários são: 1 =
2
£ ¤
£ ¤
1 = =1 e 2 = 2 = =1 . Se se igualarem os momentos da amostra aos momentos
da população obtém-se
⎧
⎪
=
⎨ =1
⎪
⎩
=1
2
= 2 + 2
se se resolver o sistema em ordem a 2 e a obtém-se
⎧
⎨ = =1
⎩ 2 = =1 2 − ̄ 2
O método da máxima verosimilhança é baseado na função de probabilidade da amostra, que
quando interpretada como função dos parâmetros é chamada de função de verosimilhança, ou seja
(1 2 ) = (1 ; 1 2 ) (2 ; 1 2 ) ( ; 1 2 )
onde (; 1 2 ) é uma função de densidade de probabilidade onde 1 2 são parâmetros desconhecidos cujos valores pertencem a um espaço de parâmetros.
Se as funções 1 (1 2 ) (1 2 ) maximizam o valor da função de verosimilhança, então os estimadores de máxima verosimilhança são
⎧
⎪
̂1 = 1 (1 2 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ ̂2 = ( )
1 2
2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
̂ = (1 2 )
35
2.2.2
Estimação pontual
Os estimadores pontuais mais utilizados são:
Parâmetro populacional
Estimador
Média,
̄
Diferença entre médias populacionais, 1 − 2
̄1 − ̄2
Proporção,
̄
Diferença entre proporções populacionais, 1 − 2
̄1 − ̄2
Desvio-padrão,
Daquilo que já se viu, é fácil perceber que a amostragem aleatória apresenta tendência para gerar
amostras cuja média amostral, por exemplo, não é igual à média populacional. Quando são usados
estimadores pontuais, qual o grau de confiança na estimativa? Será que não será muito restritivo
reduzir a estimação apenas a um valor, correndo o risco de errar? Em virtude da variabilidade
amostral, é usual incluir uma estimativa intervalar para acompanhar a estimativa pontual. A
estimativa intervalar proporciona a obtenção de um intervalo de possíveis valores do parâmetro
populacional, mediante um determinado grau de confiança.
2.2.3
Estimação intervalar
A construção de um intervalo para uma determinada estimativa implica que se fixe a priori um
determinado nível de confiança. Naturalmente que quanto maior for o valor do grau de confiança
(quantos mais certeza se quiser de que o valor do parâmetro está inserido no intervalo), maior será
o intervalo e menor será a precisão do mesmo. Uma vez que se trata de variáveis aleatórias, há que
relembrar que a precisão do estimador irá depender da distribuição desse mesmo estimador.
Antes de passar à explicação da construção de intervalos de confiança propriamente ditos, há
que fazer alguns comentários, nomeadamente o facto de que:
• O intervalo de confiança é centrado na estimativa e obtém-se somando e subtraindo um valor
que depende do grau de confiança, da dimensão da amostra e do desvio-padrão;
• São usadas as tabelas das distribuições teóricas mais apropriadas, consoante o estimador que
se está a estudar e a variância da população seja ou não conhecida;
• O coeficiente de confiança (1 − ) vai influenciar directamente a amplitude do intervalo e
os valores mais comuns são de 90%, 95% e 99%; e quanto maior este coeficiente, maior a
amplitude do intervalo;
36
• Quanto maior for a variabilidade da amostra ou da população, maior será a amplitude do
intervalo e por isso menos precisa a estimação;
• Quanto maior for a dimensão da amostra, menor é a amplitude do intervalo e por isso mais
precisa é a amostra.
Neste momento importa questionar: e como se constrói um intervalo? Depende do estimador
em questão, e do facto de a variância da população ser ou não conhecida.
Intervalos de confiança para a média
Variância conhecida Quando a variância populacional é conhecida e se pretende realizar uma
estimação intervalar para a média é utilizada a distribuição normal qualquer que seja a dimensão
¢
¡
da amostra. Há que relembrar que a média tem distribuição 2 , ou seja
=
̄ −
√
Se se usar a tabela para a normal estandardizada, com um grau de confiança 1 − é possível
encontrar um valor crítico 2 tal que
¶
µ
̄ −
√ ≤ 2 = 1 −
−2 ≤
ou seja
¶
µ
√
√
≤ ≤ ̄ + 2
= 1 −
̄ − 2
por outras palavras, a probabilidade que o intervalo
∙
¸
̄ − 2 √ ̄ + 2 √
contenha é 1 −
Intervalo de Confiança
X Z / 2 X
X Z / 2 X
Figura 2.3: Intervalo de confiança para a média.
Neste momento podem-se construir alguns intervalos de confiança para exemplificar o processo.
37
Exemplo:
Suponha que a média amostral das idades dos estudantes que terminam a licenciatura é 24,2
anos e foram analisados 36 estudantes. Sabe-se que a variância populacional é 9. Construa os
intervalos de confiança para os graus de confiança de 90%, 95% e 99%.
Confiança desejada
2
Cálculo
Amplitude
Intervalo
90%
1,65
24 2 + 1 65 √336
24 2 + 0 825
[23 375; 25 025]
95%
1,96
24 2 + 1 96 √336
24 2 + 0 980
[23 220; 25 180]
99%
2,576
24 2 + 2 576 √336
24 2 + 1 288
[22 912; 25 488]
Variância desconhecida Quando o desvio-padrão (ou a variância) da população não é conhecido, o que acontece na maioria das vezes, é utilizado o desvio-padrão amostral como estimativa,
substituindo-se por nas equações para intervalos de confiança. por si só, este novo factor não
acarreta novas dificuldades visto que o desvio-padrão amostral é geralmente uma boa estimativa
do desvio-padrão populacional. Além disso, pelo Teorema do Limite Central, sabe-se que se a dimensão da amostra for superior a 30, a distribuição das médias é aproximadamente normal. Caso
a dimensão da amostra seja inferior a 30 elementos, a distribuição normal deixa de ser a mais
adequada e nesse caso há que recorrer à distribuição t-Student.
É fácil perceber o porquê do uso da distribuição t-Student. Recorde-se a secção referente às
distribuição de probabilidade onde se verificou que
∼
=p
onde é uma variável aleatória normalmente distribuída com (0 1) e uma variável aleatória
com 2 (). Verificou-se ainda que
=
( − 1) 2
∼ 2 ( − 1)
2
então
=
̄−
√
̄ −
r
√
=
(−1) 2
2
s
−1
(−1) 2
2
=
̄ −
√
−1
=
̄ −
√
Tal como foi analisado no Capítulo anterior, a distribuição e a normal são muito parecidas em
termos de formato, mas para obter os valores críticos da há que ter em conta não só o grau de
38
confiança, mas também o tamanho da amostra. Neste caso a construção do intervalo para a média
é dado por:
¶
µ
̄ −
√ ≤ 2(−1) = 1 −
−2(−1) ≤
ou seja
µ
¶
̄ − 2(−1) √ ≤ ≤ ̄ + 2(−1) √
= 1 −
e o intervalo é dado por
∙
¸
̄ − 2(−1) √ ̄ + 2(−1) √
Exemplo:
Foi analisada a duração média de ambientadores para automóveis e conclui-se que dos 25 ambientadores analisados, a média obtida foi de 20 dias, sendo o desvio-padrão amostral de 1,5 dias.
Construa os intervalos de confiança para os graus de confiança de 90%, 95% e 99%.
Confiança desejada
2(−1)
Cálculo
Amplitude
Intervalo
90%
1,711
20 + 1 711 √15
25
20 + 0 5133
[19 487; 20 513]
95%
2,064
20 + 2 064 √15
25
20 + 0 6192
[19 381; 20 619]
99%
2,797
20 + 2 797 √15
25
20 + 0 8391
[19 161; 20 839]
De referir que quando a população é finita e a amostra constitui mais de 5% da população,
deve-se aplicar o facto de correcção finita, e neste caso, admitindo a normalidade da população ou
no caso de a amostra ser de grande dimensão, os intervalos seriam dados por:
conhecido
desconhecido
Intervalo de confiança
√ q
̄ + 2 −
−1
√ q −
̄ + 2(−1) −1
Intervalos de confiança para a diferença entre médias
Existe frequentemente a necessidade de se estimar a diferença entre duas médias populacionais,
por exemplo a médias de salários entre duas empresas diferentes. O estimador não enviesado,
¡
¢
consistente e eficiente de (1 − 2 ) é ̄1 − ̄2 O intervalo de confiança é construído de forma
idêntica à utilizada na estimação intervalar para a média, sendo de realçar que o desvio-padrão
relevante para a distribuição de amostragem, é o desvio-padrão da diferença entre médias. O uso
39
da distribuição normal obedece às mesmas regras que as definidas para o caso da média. Assim, se
a variância for conhecida o intervalo será dado por:
onde ̄1 −̄2 =
¢
¢
¤
£¡
¡
̄1 − ̄2 − 2 ̄1 −̄2 ̄1 − ̄2 + 2 ̄1 −̄2
r
q
2̄ + 2̄ =
1
2
2
2
1
2
+
1
2
Caso a variância não seja conhecida, mas as amostras têm uma dimensão superior a 30 elementos
cada uma, então o intervalo será definida da seguinte forma
¡
¢
¢
¤
£¡
̄1 − ̄2 − 2 ̄1 −̄2 ̄1 − ̄2 + 2 ̄1 −̄2
em que
Para a situação em que a variância populacional não é conhecida e as amostras não chegam
a ter 30 elementos, a distribuição normal deixa de ser a distribuição mais adequada e neste caso
é mais correcto utilizar a distribuição . Se se admitir que as variâncias populacionais, ainda que
´
³
desconhecidas, sejam iguais 2̄1 = 2̄2 = 2 o intervalo de confiança será dado por
¡
¢
¢
¤
̄1 − ̄2 − 2(1 +2 −2) ̄1 −̄2 ̄1 − ̄2 + 2(1 +2 −2) ̄1 −̄2
rh
i³
´
(1 −1)12 +(2 −1)22
1
1
e os graus de liberdade do valor crítico são
+
onde ̄1 −̄2 =
1 +2 −2
1
2
£¡
1 + 2 − 2
Caso se supeite que as variâncias populacionais desconhecidas diferem largamente, então é mais
2 e 2 ,
seguro substituir os valores de 2̄1 e 2̄2 pelas respectivas estimativas, ou seja, por ̄
̄2
1
logo
q
2 + 2 =
̄1 −̄2 = ̄
̄
1
2
s
2
22
1
+
1
2
e o intervalo será dado por
⎤
⎡
s
s
2
2
2
2
¢
¢
¡
1
1
2 ¡
⎣ ̄1 − ̄2 − 2( + −2)
+
̄1 − ̄2 + 2(1 +2 −2)
+ 2 ⎦
1
2
1
2
1
2
Exemplo:
Para uma amostra aleatória de 10 lâmpadas, a vida média é ̄1 = 4000 horas com 1 = 200 horas
e supõe-se que a duração das lâmpadas tenha uma distribuição aproximadamente normal. Para
outra marca de lâmpadas os valores obtidos para uma amostra de dimensão 8, foram ̄2 = 4600
horas e 2 = 250 horas. Encontre o intervalo de confiança a 90% para estimar a diferença entre a
vida média das lâmpadas (assuma que as variâncias populacionais não diferem significativamente).
Os cálculos envolvidos são:
40
(̄1 − ̄2 ) = 4000 − 4600 = −600
̄1 −̄2 =
s∙
(10 − 1) 2002 + (8 − 1) 2502
10 + 8 − 2
¸µ
1
1
+
10 8
¶
= 105 9
2(1 +2 −2) = 005 16 = 1 746
Logo o intervalo será
[−600 + 1 746 (105 9)] = [−784 9; − 415 1]
Intervalos de confiança para proporções
Tal como foi analisado no capítulo anterior,a distribuição de probabilidade aplicável a proporções
é a distribuição binomial, contudo a sua utilização para estimar intervalos de confiança quando a
variância populacional não é conhecida é extremamente complexa. Por isso, na maioria doa casos é
utilizada a distribuição normal como aproximação da binomial para a construção de intervalos de
confiança para as proporções e tal aproximação é apropriada quando ≥ 30, ≥ 5 e (1 − ) ≥ 5
O desvio-padrão da distribuição de proporções é dada por
r
̄ (1 − ̄)
̄ =
caso a população seja finita e ≥ 0 05 então deve aplicar-se o factor de correcção, logo
r
̄ (1 − ̄) −
̄ =
−1
O intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por
£
¤
̄ − 2 ̄ ̄ + 2 ̄
Para estimar a diferença entre proporções de duas populações, o estimador não enviesado,
consistente e eficiente de (1 − 2 ) é (̄1 − ̄2 ) O intervalo de confiança envolve o cálculo do desviopadrão da diferença entre proporções. o uso da distribuição normal está baseado nas mesmas
condições que para a amostragem da proporção. O intervalo de confiança é definido da seguinte
forma
¤
£
(̄1 − ̄2 ) − 2 ̄1 −̄2 (̄1 − ̄2 ) + 2 ̄1 −̄2
41
onde ̄1 −̄2 =
Exemplo:
q
̄21 + ̄22
Uma empresa de estudos de mercado analisou uma amostra de 100 homens e verificou que uma
proporção de 40% prefere lâminas de barbear da marca A e de uma outra amostra de 200 homens
verificou que 60 homens preferem as mesmas lâminas. Construa o intervalo de confiança para a
diferença de proporções com uma grau de confiança de 90%.
Os cálculos envolvidos são:
(̄1 − ̄2 ) = 0 4 − 0 3 = 0 1
1)
2)
= 04(1−04)
= 0 0024; 2̄2 = ̄2 (1−̄
= 03(1−03)
= 0 00105; ̄1 −̄2 =
2̄1 = ̄1 (1−̄
100
200
√
0 0024 + 0 00105 = 0 059
2 = 1 65
Logo o intervalo será
[0 1+̄1 65 (0 059)] = [0 003; 0 197]
Intervalos de confiança para a variância
Dada uma população de valores normalmente distribuídos, pode-se mostrar que as distribuições
qui-quadrado são as distribuições mais adequadas para a razão ( − 1) 2 2 Há uma distribuição
qui-quadrado diferente conforme o valor dos graus de liberdade ( − 1), então
2 =
( − 1) 2
2
Tal como já foi diversas vezes referido, a variância da amostra é dada por
¢2
P ¡
=1 − ̄
2
=
−1
2
onde se usa o facto de (−1)
ser 2−1 para se definir os intervalos de confiança. Assim sendo,
2
se se definir 2−12 o valor tal que a probabilidade da variável aleatória com distribuição
qui-quadrado com − 1 graus de liberdade ser maior que A é igual a 2 :
µ
¶
( − 1) 2
2
2
−1 1−2 ≤
≤ −12 = 1 −
2
ou seja
logo o intervalo é dado por
Ã
( − 1) 2
( − 1) 2
2
≤
≤
2−12
2−11−2
"
!
#
( − 1) 2 ( − 1) 2
2−12
2−11−2
42
= 1 −
Exemplo:
O salário anual para uma amostra de 30 gestores se empresas públicas é de ̄ = 180 000 euros,
com um desvio-padrão amostral de = 1400 euros. Sabe-se que os montantes dos salários anuais
são normalmente distribuídos (!!!). Construa um intervalo de confiança com um grau de confiança
de 95% para o desvio-padrão dos salários.
Os valores críticos são calculados tendo em conta que a distribuição qui-quadrado não é simétrica
e o valor dos graus de liberdade referente a 1 − 2 e 2 referem-se aos valores à direita do ponto
em causa. Veja-se a Figura 2.4.
fi
95%
2,5%
2,5%
2 29;0,025 45, 72
229;0,975 16, 05
Figura 2.4: Vaalores críticos da distribuição qui-quadrado.
Logo 2292 = 229; 0025 = 45 72; 2291−2 = 229; 0975 = 16 05
Logo os limites do intervalo de confiança são:
s
#
"s
(30 − 1) 14002
(30 − 1) 14002
45 72
16 05
[1114 997; 1881 870]
Pode existir interesse em comparar a variância de duas populações normais e independentes,
e para tal pode-se construir um intervalo de confiança para 21 22 Dado que (1 − 1) 12 21 e
(2 − 1) 22 22 têm distribuição qui-quadrado, com 1 − 1 e 2 − 1 graus de liberdade respectiva-
mente, se se tomar o rácio destas dividido pelo graus de liberdade obtém-se uma variável aleatória
com distribuição 1 −1 2 −1 definida por
(1 −1)12
(1 −1)21
= ( −1) 2
2
2
(2 −1)22
O intervalo de confiança é definido da seguinte forma:
∙ 2
¸
1
1
1
12
22 1 −1 2 −1; 2 22 1 −1 2 −1; 1−2
43
Exemplo:
Duas marcas de comprimidos são anunciadas como fazendo desaparecer a dor de cabeça em
tempo record. Foram feitas experiências obtendo-se os seguintes resultados.
Comprimido A
Comprimido B
= 11
= 10
̄1 = 10 43
̄2 = 10 96
21 = 1 5824
22 = 2 1227
Se se quiser construir o intervalo de confiança para a razão de variâncias dos tempos que cada
tipo de comprimido leva a tirar a dor de cabeça, então há que proceder aos seguintes cálculos (o
grau de confiança é de 90%):
10 9; 005 = 3 14 como a tabela não tem valores para a cauda inferior,
1 −1 2 −1; 1−2 = 10 9; 095 =? como a tabela não tem valores para 0,95 então pode calcular-
1
1
= 302
= 0 3311
se 10 9; 095 = 9 10;
005
então o intervalo será
∙
1 5824
1
1 5824 1
;
2 1227 3 14 2 1227 0 3311
[0 237; 2 252]
¸
Determinação do tamanho da amostra
Suponha-se que se conhece o tamanho desejado do intervalo de confiança, bem com o grau de
confiança a ele associado. Por vezes pode ser necessário determinar o tamanho da amostra para
estimar um determinado parâmetro e naturalmente que tal depende bastante do desvio-padrão
amostral, uma vez que será necessária uma amostra tanto maior quanto maior for a variabilidade
da distribuição amostral. Apenas para relembrar, um intervalo de confiança para a média quando
é conhecido pode ser descrito por
¸
∙
̄ − 2 √ ̄ + 2 √
logo a expansão para cada um dos lados (também chamada de factor de erro) é fundamentalmente
√
determinada por 2 , ou seja
2 √ ≤
o que quer dizer que se resolver a inequação em ordem a
¶
µ
2 2
≥
44
onde é o factor de erro, ou seja é metade da amplitude do intervalo de confiança. Aquando
da determinação do tamanho da amostra é usual arredondar o valor obtido e, a menos que seja
conhecido, caso se obtenham valores inferiores a 30, a teoria diz que deve ser aumentado para 30,
pois o seu cálculo baseia-se na distribuição normal.
Para além da estimação da média, pode também interessar determinar o tamanho da amostra
para a estimação de proporções. O processo é muito semelhante ao anteriormente enunciado, ou
seja, se
"
̄ − 2
r
̄ (1 − ̄)
̄ + 2
r
̄ (1 − ̄)
#
é o intervalo de confiança para as proporções, então a sua amplitude é dada por
2
r
̄ (1 − ̄)
Torna-se necessário utilizar uma estimativa para , recorrendo-se à mais conservadora em que se
admite ̄ = 0 5 e uma vez que ̄ (1 − ̄) ≤ 0 25, então
≥
0 252 2
2
Exemplo:
Uma empresa de estudos de mercado quer analisar a preferência de homens por determinadas
marca de lâminas de barbear. Antes de proceder à obtenção de dados foi especificado que o intervalo
de 95% de grau de confiança a estimar não deveria ter um factor de erro () superior a 0,05. Qual
o tamanho mínimo para a amostra?
0 251 96 2
0 052
≥ 384 16 ≈ 385
≥
Deverão ser analisados pelo menos 385 homens quanto às suas preferências por marcas de lâminas
de barbear.
2.3
Exercícios
1. O tempo médio de reacção a uma injecção intravenosa é de 2,1 minutos, com desvio-padrão
de 0,1 minutos para um grupo de 28 pacientes.
a) Construa um intervalo de confiança, com um nível de confiança de 90% para o tempo
médio para toda a população de pacientes submetidos a este tipo de tratamento.
45
b) Considera necessário admitir a normalidade dos tempos de reacção? Explique a sua
resposta.
2. Suponha que seis de 48 terminais de time-sharing dão respostas incorrectas. Uma determinada
empresa possui 800 terminais e pretende estimar o intervalo de confiança a 95% para a
proporção de terminais que apresentam defeito.
a) Considera necessário assumir que a distribuição da população em causa é normal?
b) Construa o intervalo de confiança de 95% para a proporção de terminais que dão respostas
incorrectas.
3. O gerente de um conhecido restaurante deseja estimar o tempo médio que os seus clientes
levam a comer as entradas. De acordo com uma amostra que anteriormente analisou, ele
considera que o desvio-padrão é 4 minutos e deseja estimar a média com um factor de erro
máximo de 1 minuto, usando um intervalo de confiança de 90%. Qual seria o tamanho da
amostra necessária?
46
Capítulo 3
Testes de hipóteses
Os testes de hipóteses e a estimação são dois pontos fulcrais na estatística inferencial. Enquanto
que o objectivo da estimação é estimar um determinado parâmetro populacional, o objectivo dos
testes de hipóteses é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro é ou não verdadeira.
Por exemplo, pode ser interessante determinar se são verdadeiras as seguintes afirmações:
• O tempo médio para a realização do exame de Análise de Dados para Gestão é de 90 minutos;
• 3% da produção de garrafas é defeituosa;
• A quantidade média de gasolina gasta por cada 100km num dada automóvel é igual para duas
marcas diferentes de gasolina...
Do estudo prévio da estimação, sabe-se que as estatísticas amostrais podem ser estimadores
pontuais para parâmetros populacionais e devido à existência de variabilidade amostral, essas mesmas estatísticas tendem a aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro e não propriamente a
igualá-lo. Tal facto deve ser tido em conta aquando da avaliação da veracidade de uma afirmação
relativa ao valor de certa parâmetro populacional. A ideia fundamental nos testes de hipóteses é
verificar se a diferença entre o valor de um parâmetro populacional e o valor da respectiva estatística
amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral ou se a discrepância é grande
demais para ser encarada dessa forma.
Para melhor compreender veja-se o seguinte exemplo:
Foram analisadas 142 peças produzidas por uma máquina e 8% foram consideradas defeituosas.
Uma hipótese a ser testada é que a percentagem de peças com defeito é superior a 6% em todo o
lote. Como descrever este teste?
47
Em primeiro lugar há que definir o tipo de variável implicada, o que neste caso se constata
claramente que são proporções. Seguidamente há que formular a Hipótese Nula (0 ) e a Hipótese
Alternativa (1 )
Hipótese Nula (0 ) é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional
é especificado de uma determinada forma.
Hipótese Alternativa (1 ) é uma afirmação que oferece uma alternativa
à alegação anterior (o parâmetro é maior, menor ou 6= do especificado em 0
No exemplo dado a especificação das hipóteses seria:
0 = 6%
1 6%
Se após a análise, a decisão for não rejeitar 0 , então considera-se que a proporção de peças com
defeito é inferior ou igual a 6%, caso a 0 seja rejeitada, conclui-se que não há motivos para afirmar
que a proporção de peças com defeito é inferior a 6%.
Os testes de hipótese podem ser unilaterais (exemplo dado sobre as peças) ou testes bilaterais.
O que determina esta característica é tão somente a Hipótese Alternativa (1 ) ou seja, um teste
bilateral é descrito por 0 : = 0 ; 1 : 6= 0 pois a hipótese alternativa considera os valores do
parâmetro inferiores e superiores aos valores da hipótese nula. No caso de testes unilaterais, ter-se
-ia 1 : 0 como um teste unilateral à esquerda e 1 : 0 um teste unilateral à direita. É
a hipótese alternativa que define quais as regiões de rejeição e de aceitação num determinado teste
(veja-se a Figura 3.1).
Tal como se pode perceber, a hipótese nula escreve-se sempre da mesma forma, independentemente da hipótese alternativa. para um teste bilateral a área em cada cauda é 2 e neste caso
um valor muito acima, ou muito abaixo da hipótese nula levam à rejeição da mesma. No segundo
caso, só um valor muito abaixo da hipótese nula leva à sua rejeição e por fim, o terceiro caso é
exactamente o oposto, ou seja, só um valor muito elevado leva à rejeição de 0
O teste bilateral é útil para todas aquelas situações em que há divergência crítica em ambas as
direcções, como por exemplo nas roupas, em que tamanhos muito acima ou muito abaixo podem
sair de determinado padrão. O teste unilateral esquerdo é útil para verificar se determinado padrão
mínimo foi atingido, por exemplo o conteúdo mínimo de gordura no leite. Já o teste unilateral
direito pode ser usado para verificar se o padrão máximo de algo foi atingido, por exemplo a radiação
emitida por uma fábrica nuclear, número de peças defeituosas de uma determinada produção, etc.
48
H1 : 0
/2
/2
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
Rejeitar H0
valor crítico
valor crítico
H1 : 0
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
valor crítico
H1 : 0
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
valor crítico
Figura 3.1: Comparação da partição da distribuição amostral para testes bilaterais e unilaterais.
49
Uma vez que a decisão é baseada numa amostra, não é possível conhecer com exactidão o
verdadeiro valor do parâmetro, e por isso há sempre a possibilidade de se incorrer em erro. Dois
tipos de erro inerentes ao processo de testes de hipóteses: um é considerar 0 falsa quando ela é
verdadeira e a probabilidade de cometer esse erro é igual ao nível de significância, ou seja O
outro é aceitar 0 sendo ela falsa, designado por De modo simples podem-se referir as possíveis
situações:
Não rejeitar
0 Verdadeira
0 Falsa
Decisão correcta
Erro Tipo II
(1 − )
Erro Tipo I
Decisão correcta
(1 − )
Nível de significância
Potência do teste
Rejeitar
O erro tipo I, dado pelo nível de significância é ilustrado na Figura 3.1, correspondendo à
região critica assinaladas em cada uma das distribuições. A Figura ilustra os conceitos de erro tipo
II e potência de teste.
1
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
Figura 3.2: Erro tipo II e potência do teste
A Figura 3.2 mostra que existe um trade-off entre o nível de significância e a potência do
teste (1 − ) À medida que se diminui o valor de tende a aumentar. Com efeito, um menor
50
H1 : 0
p/2
p/2
x
0
x
0
x
H1 : 0
p
Figura 3.3: p-value para testes bilaterais e unilaterais.
implica uma região crítica mais pequena, o que promove um aumento do erro tipo II (). Neste
sentido, qual será o melhor a escolher? Tal depende dos custos associados aos dois tipos de erro.
Se o custo de se cometer um erro do tipo I for muito elevado relativamente ao um erro tipo II, é
preferível optar por um muito pequeno.
Existe ainda um outro conceito muito importante: − (ou valor ). O − é a
probabilidade de se obter um valor da estatística tão ou mais extremo que um resultado obtido,
assumindo a 0 como verdadeira. Se se estiver na presença de um teste de hipóteses bilateral para
a média, por exemplo, o − pode ser definido por:
¢
¡
̄ ≤ −̄ ou ̄ ≥ ̄ | = 0 =
O − pode ser usado nos testes de hipóteses, quando este é menor que o nível de significância
deve-se rejeitar a caso − então a 0 não deve ser rejeitada. Veja-se a seguinte
figura que ilustra o conceito.
A potência do teste indica a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa.
Para poder realizar este teste há que assumir um determinado valor para o parâmetro que está a
ser testado. Em seguida há que calcular o valor da estatística do teste para o qual a hipótese nula é
rejeitada e calcular a probabilidade respectiva. Por exemplo, para um teste sobre a média de uma
população, unilateral à esquerda dever-se-ía em primeiro lugar encontrar o valor crítico (assuma-se
51
que seria − ), logo:
̄ −
√ −
logo
√
̄0 −
isto é, para valores inferiores ao valor encontrado de ̄ a hipótese nula é rejeitada. Em seguida
é calculada a probabilidade de rejeitar a hipótese nula, admitindo um determinado valor para o
parâmetro = 0
¸
∙
£
¤
√
̄0 − 0
√
̄0 − | = 0 =
Recapitulando, as etapas para realizar um teste de hipóteses são:
Etapa 1: Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa;
Etapa 2: Especificar o nível de significância a ser utilizado
Etapa 3: Seleccionar a estatística do teste (por exemplo para testar a média populacional, pode
ser usada a média amostral);
Etapa 4: Estabelecer o valor crítico ou valores críticos da estatística do teste;
Etapa 5: Determinar o valor real da estatística do teste (por exemplo, se a média for normalmente distribuída e é conhecido, então calcula-se o valor estandardizado da média ());
Etapa 6: Tomar a decisão consoante o valor calculado se situe na região de aceitação ou na
região de rejeição da hipótese nula.
3.1
Testes de hipóteses para a média
Quando se pretende avaliar a veracidade de uma afirmação acerca da média de uma determinada
população, são utilizados os testes de hipótese para médias. Tal como na estimação intervalar, há
que distinguir entre situações em que a população é normalmente distribuída ou não e o desviopadrão populacional é também conhecido ou não.
3.1.1
A população é normal e é conhecido
Nestes casos, a hipótese nula refere-se à possibilidade de a média populacional assumir ou não
determinado valor (ou valores), podendo ser descrita por
0 : = 0
52
tal como se verificou, o teste pode ser bilateral ou unilateral, por isso a hipótese alternativa pode
tomar uma das seguintes formas:
¢
¡
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −2 ou ≥ 2 =
1 : 0 ⇒ ( ≤ − ) =
1 : 0 ⇒ ( ≥ ) =
Sendo a população normal e conhecido, a estatística do teste seguirá uma distribuição normal,
sendo necessário definir o nível de significância () pretendido (ver tabela da distribuição normal).1
Escolhido o nível de significância há que definir a estatística do teste. Neste sentido, estão
reunidas as condições para declarar que
̄ −
√ ∼ (0 1)
logo a estatística do teste poderá ser calculada por
=
̄ − 0
√
Exemplo:
Um fabricante de pneus alega que os seus pneus suportam em média, no mínimo a realização
de 60 000 Km e sabe-se que o desvio-padrão da população é 3500 Km. Suponha que os resultados
de um teste, para uma amostra de 49 pneus mostraram que em média a duração dos pneus é 55
000 Km. Será que o fabricante está correcto ao afirmar que em média os seus pneus duram mais
de 60 000 Km?
As hipóteses a formular são
0 : = 60000; 1 : 60000
Temos portanto um teste unilateral. Se o nível de significância escolhido for = 5% então o
valor crítico será 005 = 1 65 (é positivo pois a região de rejeição situa-se na cauda superior).
A estatística do teste é
=
55000 − 60000
√
= −10
3500 49
O valor −10 é claramente inferior a 1 65, e por isso situa-se na região de não rejeição, ou seja, o
fabricante de pneus não está correcto quando afirma que os seus pneus têm uma duração média
superior a 60 000 Km (publicidade enganosa!!).
1
Mesmo que a população não seja normalmente distribuída, se for conhecido e 30 o processo a seguir é
idêntido, dado o Teorema do Limite Central.
53
3.1.2
A população é normal e é desconhecido
Quando não se conhece o desvio-padrão populacional e amostra é de pequena dimensão ( 30) há
que utilizar o desvio-padrão amostral e a distribuição amostral mais apropriada será a t-student. O
processo é em si muito semelhante, excepto que a estatística teste é calculada com o desvio-padrão
amostral () e segue a distribuição
=
̄ − 0
√ ∼ −1
Mais uma vez a hipótese alternativa pode tomar 3 diferentes formatos, isto é tal como se
verificou, o teste pode ser bilateral ou unilateral, por isso a hipótese alternativa pode tomar uma
das seguintes formas:
¢
¡
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −−12 ou ≥ −12 =
1 : 0 ⇒ ( ≤ −−1 ) =
1 : 0 ⇒ ( ≥ −1 ) =
Exemplo:
Admita-se que no mesmo caso do pneus focado no exemplo anterior não era conhecido o desviopadrão populacional e o número de pneus analisado foi de 25. O desvio-padrão amostral obtido foi
de 4100 Km e a média amostral foi 57 000Km. Será que com estes novos dados a decisão anterior
é refutada? Será que a afirmação do fabricante de que os seus pneus têm uma duração média de
pelo menos 60 000 Km é verdadeira?
As hipóteses formuladas são
0 : = 60000; 1 : 60000
Se o nível de significância escolhido for = 5% então o valor crítico será 24; 005 = 1 711.
A estatística do teste é
57000 − 60000
√
= −3 659
4100 25
Mais uma vez não é rejeitada a hipótese nula, pois o valor −3 659 é claramente inferior a 1 711, e
=
por isso situa-se na região de não rejeição.
3.2
Testes de hipótese de duas amostras para médias
3.2.1
A população é normal, é conhecido ou 30
Os testes entre duas amostras são usados para decidir se há ou não igualdade entre duas médias
populacionais. São necessárias duas amostras independentes, uma de cada população. A hipótese
54
nula de que as duas médias são iguais pode ser formulada da seguinte forma:
0 : 1 = 2
O teste pode ser bilateral ou unilateral, por isso a hipótese alternativa pode tomar uma das seguintes
formas:
¢
¡
1 : 1 6= 2 ⇒ ≤ −2 ou ≥ 2 =
1 : 1 2 ⇒ ( ≤ − ) =
1 : 1 2 ⇒ ( ≥ ) =
Dado que a população é normal e é conhecido ou 30 estão reunidas as condições para
usar a distribuição normal, logo a estatística teste será dada por
¡
¢ ¡
¢
̄1 − ̄2 − 1− 2
r
=
∼ (0 1)
(3.1)
2
2
1
2
1 + 2
Pode também testar-se uma determinada diferença concreta entre as média, nomeadamente
0 : 1 − 2 =
neste caso a hipótese alternativa será dada por
1 : 1 − 2 6=
1 : 1 − 2
1 : 1 − 2
A estatística do teste seria idêntica à descrita na equação (3.1), onde 1− 2 =
Exemplo:
O João está a analisar duas localizações alternativas para um futuro centro comercial. Uma
das principais variáveis que quer estudar é o rendimento médio de cada uma das populações e
deseja testar a hipótese de que o rendimento médio das duas cidades não difere estatisticamente.
O desvio-padrão das respectivas populações é respectivamente 1 = 1800 euros e 2 = 2400 euros.
Foram analisadas 30 famílias da população 1 e o rendimento médio obtido foi de 15 500 euros
anuais. Da população 2 forma analisadas 40 famílias e o rendimento médio obtido foi de 14 600
euros. Ajude o João nesta tarefa.
A hipótese a testar é
0 : 1 = 2 ⇔ 0 : 1 − 2 = 0
55
A hipótese alternativa é
1 : 1 6= 2
logo é um teste bilateral.
Se o nível de significância desejado for de 0,05, então 2 = +1 960
A estatística teste será definida da seguinte forma:
=
(15500 − 14600) − (0)
q
= 1 793
18002
24002
+
30
40
A decisão será não rejeitar a hipótese nula.
3.2.2
é desconhecido e 30
Se as amostras forem de pequena dimensão (1 30 e 2 30)e se for razoável admitir que o
desvio-padrão das duas populações é semelhante, pode ser usada a variável aleatória
¡
¢ ¡
¢
̄1 − ̄2 − 1− 2
= rh
i³
´
(1 −1)12 +(2 −1)22
1
1
1 +2 −2
1 + 2
(3.2)
O processo de realização do teste de hipótese é muito semelhante ao anterior, diferindo apenas
no facto de que o valor crítico será encontrado na tabela da distribuição , da seguinte forma:
¢
¡
1 : 1 6= 2 ⇒ ≤ −1 +2 −2 2 ou ≥ 1 +2 −2 2 =
1 : 1 2 ⇒ ( ≤ −1 +2 −2 ) =
1 : 1 2 ⇒ ( ≥ 1 +2 −2 ) =
3.3
Testes de hipóteses para proporções
Os testes para proporções são adequados quando os dados sob análise consistem em contagens,
frequências ou percentagens. Tal como para os testes anteriormente descritos, os testes sobre
proporções visam avaliar uma determinada afirmação sobre a proporção ou percentagem de uma
população. Em muitos aspectos, estes aspectos são muito semelhantes aos testes para as médias,
sendo que nos testes para proporções os dados amostrais apresentam-se em contagens, ou invés de
medidas.
Se a amostra tiver mais de 30 elementos, a estatística deste teste aproxima-se à distribuição
normal, ou seja
̄ −
∼ (0 1)
=q
(1−)
56
Seja a hipótese nula definida por
0 : = 0
as hipóteses alternativas poderão ser
¡
¢
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −2 ou ≥ 2 =
1 : 0 ⇒ ( ≤ − ) =
1 : 0 ⇒ ( ≥ ) =
Exemplo:
Um fabricante afirma que um lote de pregos contém menos de 1% de pregos defeituosos. Uma
amostra aleatória de 200 pregos revelou que 2% apresentavam defeitos. Teste a afirmação do
fabricante ao nível de 0,01.
As hipóteses são
0 : = 0 01; 1 : 0 01
O desvio-padrão da distribuição amostral (se 0 é realmente verdadeira) é dado por
r
r
(1 − )
0 01 (1 − 0 01)
=
= 0 007
=
200
logo a estatística do teste tem o valor de
=
0 02 − 0 01
= 1 428
0 007
Como = 0 01 o valor crítico = −2 33 1 428 logo não se rejeita a hipótese nula.
Tal como nos testes de hipóteses para médias, também é possível realizar testes de hipóteses de
duas amostras para proporções. Este tipo de teste focaliza-se sobre a diferença relativa entre duas
proporções amostrais, em que a hipótese nula pode ser formulada da seguinte forma:
0 : 1 = 2
e as hipóteses alternativas são
¡
¢
1 : 1 6= 2 ⇒ ≤ −2 ou ≥ 2 =
1 : 1 2 ⇒ ( ≤ − ) =
1 : 1 2 ⇒ ( ≥ ) =
57
A população segue uma distribuição de Bernoulli, mas se as amostras tiverem uma dimensão
superior a 30 elementos, a estatística do teste segue uma distribuição normal e é dada por
¢
¡
̄1 − ̄2 − (1 − 2 )
=r
´ ∼ (0 1)
¡
¢³ 1
1
∗
∗
̄ 1 − ̄
1 + 2
com
̄ ∗ =
1 ̄1 + 2 ̄2
1 + 2
Exemplo:
É questionado aos eleitores portugueses de duas cidades se estão a favor do aumento do IVA.
Para determinar se os eleitores diferem em termos de percentagem dos que estão a favor da nova
medida, foi analisada uma amostra de 100 eleitores em cada cidade. na cidade A 30 eleitores
manifestaram-se a favor do aumento do IVA e na cidade B apenas 20 . Será que há diferenças de
proporção nos eleitores das duas cidades?
As hipóteses são
0 : 1 = 2 ; 1 : 1 6= 2
Admita-se que o nível de significância é de 5%, logo 2 = +1 960
A estatística do teste é dada por
onde
(0 3 − 0 2)
=q
¡ 1
¢ = 1 63
1
0 25 (1 − 0 25) 100 + 100
̄ ∗ =
30 + 20
= 0 25
100 + 100
Conclui-se que não é rejeitada a hipótese nula, ou seja, não se rejeita a hipótese de que a
proporção de eleitores a favor do aumento do IVA seja igual nas cidades A e B.
3.4
Testes de hipóteses para a variância
3.4.1
Teste para uma variância
Tal como já foi visto na estimação intervalar
( − 1) 2
∼ 2−1
2
58
segue uma distribuição qui-quadrado com − 1 graus de liberdade. Neste sentido, a estatística
utilizada para testar um valor hipotético para a variância de uma população será
2 =
( − 1) 2
20
A hipótese nula que se pode colocar é:
0 : 2 = 20
e as hipóteses alternativas possíveis são
Exemplo:
´
³
1 : 2 6= 20 ⇒ 2 ≤ 2−11−2 ou 2 ≥ 2−12 =
¡
¢
1 : 2 20 ⇒ 2 2−11− =
¡
¢
1 : 2 20 ⇒ 2 2−1 =
A média de vida útil para uma amostra de 10 lâmpadas é ̄ = 4000 horas, com um desvio-padrão
de = 200 horas. Supõe-se que a vida útil das lâmpadas siga uma distribuição normal. Antes de
a amostra ser recolhida, foi colocada a hipótese de que o desvio-padrão populacional era superior
a 150. Será que se pode não rejeitar a hipótese nula?
As hipóteses são
0 : 2 = 22500; 1 : 2 22500
O valor crítico para um nível de significância de 1% é 29001 = 21 67
A estatística é
2 =
(10 − 1) 2002
= 16 0
22500
Ao nível de significância de 1% não se pode rejeitar a hipótese nula de que ≤ 150
3.4.2
Teste para a diferença entre duas variâncias
¢
¡
Se uma variável é normalmente distribuída, com 2 , logo, para se poder testar 0 : 21 = 22
admite-se que cada uma das variâncias populacionais tem distribuição qui-quadrado e a razão entre
ambas segue uma distribuição com (1 − 1) (2 − 1) graus de liberdade.
A estatística do teste em causa pode ser definida por
=
59
12
22
sendo as hipóteses alternativas possíveis
¡
¢
1 : 21 6= 22 ⇒ ≤ 1 −12 −11−2 ou ≥ 1 −12 −12 =
1 : 21 22 ⇒ ( 1 −12 −11− ) =
1 : 21 22 ⇒ ( 1 −12 −1 ) =
De referir que
1 −12 −11− =
1
2 −11 −1
Exemplo:
Um determinado estudo revelou que as variâncias amostrais eram respectivamente 21 = 0 16 e
22 = 0 09 com 1 = 12 e 2 = 10. Teste a hipótese nula de que as duas variâncias populacionais
são iguais, para um nível de significância de 10%.
As hipóteses em causa são
0 : 21 = 22 1 : 21 6= 22
Os valores críticos são:
11;9; 005 = 3 10
1
1
= 0 345
11;9; 095 =
=
9;11; 005
2 90
A estatística do teste é
=
0 16
= 1 78
0 09
Para um nível de significância de 10%, não pode ser rejeitada a hipótese nula de igualdade entre
as variâncias populacionais.
3.5
Análise de variância
A análise de variância é utilizada para testar diferenças entre médias. Uma hipótese básica na
análise de variância é que as diversas médias amostrais são obtidas de populações normalmente
distribuídas têm a mesma variância. Ainda assim, descobriu-se que o procedimento do teste não é
muito afectado por violações à hipótese de normalidade quando as populações são unimodais e os
tamanhos das amostras são aproximadamente iguais. Uma vez que a hipótese nula é que as médias
da população são iguais, a suposição de igual variância também implica, em termos práticos, que
o teste se relaciona com a hipótese de que as médias foram obtidas da mesma população.
60
As etapas a seguir neste processo são:
Etapa 1: Calcular a média para cada grupo da amostra e determinar o desvio-padrão amostral
com base apenas nas médias amostrais;
Etapa 2: O desvio-padrão calculado na etapa anterior pode ser utilizado para calcular o desvio√
2 Esta estimação da variância da população
padrão populacional, pois ̄ = logo 2 = ̄
define-se por quadrado médio entre grupos ( ). De realçar que se as amostras apresentarem
diferentes dimensões então
1 (̄1 − h̄i)2 + 2 (̄2 − h̄i)2 + + (̄ − h̄i)2
−1
Etapa 3: Calcular separadamente a variância de cada grupo amostral e com relação a cada média
=
de grupo. A estimação resultante da variância da população quando as amostras apresentam todas
a mesma dimensão, denomina-se quadrado médio dentro dos grupos ( ):
2
=
12 + + 2
caso as amostras apresentem dimensões diferentes, então
¢2
¢2
¢2
P 1 ¡
P 2 ¡
P ¡
1 =1
− ̄ + 2 =1
− ̄ + + =1
− ̄
2
=
1 + 2 + + −
Etapa 4: Se a hipótese nula 0 : 1 = 2 = 3 = = for verdadeira, então as medidas
obtidas nas etapas 2 e 3 são estimadores independentes e não enviesados da mesma variância da
população. Caso contrário, se a hipótese não for verdadeira, o valor esperado de é maior
que o de , pois as diferenças entre as médias populacionais inflacionarão , enquanto
que não é afectado;
Etapa 5: Com base na observação realizada na etapa 4, pode ser utilizada a distribuição para
testar a diferença entre as duas variâncias, onde −1;(−1) =
A informação pode ser facilmente descrita na seguinte Tabela.
Fonte de variação
Entre grupos
Dentro de grupos
Total
Soma de quadrados
D E´2
³
P
̄ − ̄
=1
£¡
P
− ̄
¢¤2
=1
∙³
D E´2 ¸
P
− ̄
=1
g.l.
Quadrado médio
Teste F
−1
=
−1
=
( − 1)
2 = =
(−1)
− 1
Onde é o número de amostras ou grupos, é o número de observações em cada amostra,
D E
é o número total de observações e ̄ é a média das médias amostrais.
61
Exemplo:
Os salários horários médios de mecânicos de automóvel foram objecto de estudo recente por
um grupo de consumidores. A finalidade era determinar a eventual existência de diferenças entre
4 localidades. Os dados em euros constam da seguinte Tabela.
Localidades
Observações
A
B
C
D
1
6
12
11
9
2
9
11
8
7
3
9
10
12
10
4
6
8
9
10
5
5
9
10
9
Totais
35
50
50
45
A hipótese que se coloca é: 0 : = = = , 1 : As médias não são iguais.
As médias amostrais são: ̄ = 7; ̄ = 10; ̄ = 10; ̄ = 9 A média das médias é ̄ =
7+10+10+9
= 9
4
A estimativa será então dada por: 2 =
5[(7−9)2 +(10−9)2 +(10−9)2 +(9−9)2 ]
30
= 4−1
= 10
−1
Para estimar é necessário calcular a variância amostral de cada uma das amostras:
10
10
6
2
2
2
2 = 14
4 ; = 4 ; = 4 ; = 4
2
10
= 4 = 2 5
10
= 25
= 4 0
Finalmente =
2 =
=
O valor crítico é 3;16; 005 = 3 24, logo a hipótese nula é rejeitada e existem diferenças estatisticamente significativas entre os rendimentos médios dos mecânicos das localidades analisadas.
3.6
Testes não-paramétricos
Os testes analisados nas secções anteriores permitem inferir para ums determinada população,
através do estudo da amostra, assumindo pressupostos relativamente à distribuição de probabilidade
da normalidade (normalmente o requisito estipulado é de que a população segue uma distribuição
normal). No entanto podem existir situações em que o valor dos parâmetros populacionais não são
relevantes para o estudo em causa ou que os pressupostos base dos testes paramétricos não se verifiquem, são os chamados distribution free tests. É geralmente aceite que os testes não-paramétricos
são menos potentes que os correspodesntes testes paramétricos (ou seja, a probabilidade de rejeitar a 0 correctamente é menor). Contudo tal afirmação só faz totalmente sentido aquando
62
da utilização de grandes amostras. Para amostras de pequena dimensão e onde as variáveis em
estudo não verificam os pressupostos base dos testes paramétricos, os testes não-paramétricos são,
normalmente, mais potentes.
Existem muitos testes não-paramétricos, sendo aqui focados alguns dos mais utilizados nas áreas
de Economia e Gestão.
3.6.1
Teste de Wilcoxon para uma mediana populacional
O testes de Wilcoxon para uma mediana populacional é o teste não-paramétrico que se deve usar
quando se pretende comparar uma medida de localização central da população a um determinado
valor teórico e os pressupostos para se aplicar um testes t-Student não se verificam, nomeadamente
a normalidade da distribuição da população. Além disso, se se tiver uma variável ordinal, ou se
sendo contínua a distribuição, é não-normal, então a mediana será a melhor medida de tendência
central para efectuar o teste.
As hipóteses sob estudos são as seguintes:
0 :
=
1 :
6= , ou
A estatística do teste implica o cálculo inicial da variável = − , sendo de seguida
ordenados os valores de | | eliminando os = 0 Há que determinar a soma das ordens com sinal
¡ ¢
¡ ¢
positivo de + e sinal negativo de − Se a população for simétrica em torno de e
0 for verdadeira, a soma dos números de ordem referentes às diferenças negativas deverá ser
aproximadamente igual à soma dos números de ordem referentes às diferenças positivas. Uma
situação contrária a esta beneficia uma das hipóteses alternativas. Por exemplo, se a soma dos
números de ordem relativos às diferenças positivas for muito maior do que a soma dos números de
ordem das diferenças negativas, então a hipótese alternativa 1 : tornar-se-á plausível. A
estatística de teste de Wilcoxon é baseada, justamente, na propriedade que acaba de ser enunciada.
Para amostras de grande dimensão, pode fazer-se a aproximação à normal e a estatística do
teste é definida por
O termo
3
−
48
min ( + − ) − ( ( + 1) 4)
∼ (0 1)
= q
3
−
((+1)(2+1))
−
24
48
é uma correcção a usar quando existem vários grupos de empates, onde
representa o número de grupos de empates em cada grupo de empate.
Veja-se o seguinte exemplo:
63
O peso de 9 bébés à nascença foi o seguinte (valores em Kg):
1 9 2 0 2 2 2 8 3 1 3 1 3 3 3 4 3 7
Pretende-se testar se o peso mediano dos bébés à nascença é de 3,3 Kg.
As hipóteses a formular são:
0 :
= 3 3
1 :
6= 3 3
A tabela seguinte apresenta os cálculos necessários para a elaboração do teste:
Xi
d i =X i -Me
|d i |
3,3
3,4
3,1
3,1
3,7
2,8
2,2
2
1,9
0
0,1
-0,2
-0,2
0,4
-0,5
-1,1
-1,3
-1,4
0,1
0,2
0,2
0,4
0,5
1,1
1,3
1,4
Ordem (+) Ordem (-)
1
2,5
2,5
4
S + =5
5
6
7
8
S - 31
Cálculo das estatísticas para o teste de Wilcoxon.
Nesta tabela as posições 2,5 foram obtidas pela média das posições 2 e 3 , ou seja.
2 5 =
2+3
2
Para amostras até 15 observações existem tabelas de valores críticos da distribuição de + e
− , mas caso não se disponha da tabela, deve ser calculada a estatística do teste e encontrar o
valor crítico na distribuição normal. Note-se que existem duas diferenças "empatadas".
=q
5 − 18
3 −2)
8×9×17
− (2 48
24
= −1 8226
Assumindo um nível de significância de 5% e tratando-se de um teste bilateral, a distribuição
normal dá como valor crítico
= ±1 96
Como a estatística do teste está inserida na região de não-rejeição conclui-se que a hipótese nula
não deverá ser rejeitada.
64
3.6.2
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
Estes teste, mais conhecido por teste de Mann-Whitney é o teste não-paramétrico adequado para
comparar as funções de distribuição de uma variável ordinal medida em duas amostras independentes. Também pode usado como alternativa ao teste t-Student quando os pressupostos deste
não são verificados (por exemplo: amostra de pequena dimensão ou muito diferentes, distribuições
muito enviesadas e platicúrticas, variâncias não homogéneas, etc).
As hipóteses base deste teste são as seguintes:
0 :
() = ( )
1 : () 6= ou ( )
As hipóteses deste teste são também frequentemente, escritas em função das medianas populacionais, mas neste caso as conclusões são válidas apenas quando as funções de distribuição das duas
populações são iguais, pois se () = ( ) então () = ( ). Contudo () = ( )
não implica () = ( )
Em termos de procedimentos, pode ser realizada uma aproximação à distribuição normal, desde
que ambas as amostras tenham pelo menos 10 observações (cada):
1. Determinar os valores de 1 e 2 . Em que 1 é o número de casos no grupo menor e 2 é o
número de casos no grupo maior.
2. Dispor em conjunto os scores dos dois grupos, atribuindo o posto 1 ao score que for menor
algebricamente. Os postos variarão de 1 a onde = 1 + 2 . Às observações empatadas
atribuir a média dos postos correspondentes.
3. Determinar o valor de :
= 1 2 +
1 (1 + 1)
− 1
2
onde 1 é a soma dos postos ou ordens do menor grupo
4. Obter a média e o desvio padrão dos postos para então obter o valor de calculado
1 2
r2
1 2 (1 + 2 + 1)
=
12
−
=
∼ (0 1)
=
65
5. Por último, comparar o valor real com o valor teórico de . Se calculado for menor que
tabelado não se pode rejeitar a hipótese nula.
Para melhor compreender o funcionamento deste teste, veja-se o seguinte exemplo.
Num ensaio realizado com o objectivo de estimar os efeitos prolongados de um determinado gás
tóxico, foram sujeitas 15 cobaias em laboratório a um ambiente contaminado com este gás tóxico
e 10 estiveram num ambiente normal (grupo de controlo). Pretende-se avaliara concentração de
hemoglobina após o ensaio e os resultados obtidos foram os seguintes:
Animais expostos Grupo de controlo
14.4
17.4
14.2
16.2
13.8
17.1
16.5
17.5
14.1
15.0
16.6
16.0
15.9
16.9
15.6
15.0
14.1
16.3
15.3
16.8
15.7
16.7
13.7
15.3
14.0
Níveis de hemoglobina nas cobaias e no grupo de controlo
Pretende-se averiguar se a inalação do gás tóxico altera o nível de hemoglobina no sangue, por
isso as hipóteses a formular são:
0 :
1 = 2
1 :
1 6= 2
Na tabela seguinte são apresentadas as ordens das variáveis em causa:
66
Animais expostos
13.7
13.8
14.0
14.1
14.1
14.2
14.4
15.0
15.0
15.3
15.3
15.6
15.7
15.9
16.0
16.2
16.3
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17.1
17.4
17.5
Soma
Grupo
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
grupo controlo
grupo controlo
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
animal exposto
grupo controlo
grupo controlo
grupo controlo
animal exposto
animal exposto
animal exposto
grupo controlo
grupo controlo
grupo controlo
grupo controlo
grupo controlo
Ordem (Exposto) Ordem (Controlo)
1
2
3
4,5
4,5
6
7
8,5
8,5
10,5
10,5
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
145
180
Ordem dos grupos de controlo e de animais expostos.
Como ≥ 15, podemos fazer uma aproximação do teste de Wilcoxon-Mann-Whitney à dis-
67
tribuição normal, onde :
=
=
15 × 10
1 2
=
= 75
2
s2
P 3 P ¶
µ 3
−
−
1 2
−
( − 1)
12
48
r
15 × 10 × 26 √
= 325
12
1 (1 + 1)
10 × (10 + 1)
− 1 = 15 × 10 +
− 180 = 25
1 2 +
2
2
−
25 − 75
= −2 7735
= √
325
=
=
=
Para um nível de significância 5%, e tratando-se de um teste bilateral, o quantil crítico da
distribuição normal (0 1) é = ±196 , pelo que se conclui que se deve rejeitar a hipótese nula.
3.6.3
Teste de aderência ou da bondade do ajustamento
Este teste averigua a hipótese de a característica em estudo seguir uma determinada distribuição
teórica, usando dados amostrais aleatórios retirados de uma população. É uma teste muito usado
antes da aplicação de testes paramétricos, para analisar se certos pressupostos quanto à distribuição
de probabilidade se verificam efectivamente.
As hipóteses normalmente formuladas são as seguintes:
0 :
segue uma distribuição definida por ()
1 :
não segue uma distribuição definida por ()
As distribuições mais testadas são: distribuição Normal, distribuição Uniforme, distribuição Poisson, etc.
A estatística do teste segue uma distribuição 2 e pode ser descrita da seguinte forma:
=
X ( − )2
∼ 2−−1
onde são as frequências observadas em cada uma das categorias (classes) na amostra, são
as frequeências esperadas para cada uma dessas categorias (classes) tendo em conta a distribuição
estipulada na hipótese nula (ou seja, admitindo que a população de onde foi retirada a amostra em
estudo segue a distribuição de probabilidade teórica referida em 0 ), é o número de categorias
ou classes e é o número de parâmetros desconhecidos da distribuição proposta em 0 estimados
a partir da amostra.
68
Note-se que, se a hipótese nula for de facto verdadeira, a diferença entre cada valor observado
e o respectivo valor esperado, ( − ), não deve ser muito elevado, e consequentemente a
estatística teste terá um valor observado também não muito grande.
De modo intuitivo, quanto maior for o valor observado de , menos plausível é a hipótese nula,
isto é, maior a probabilidade de concluir que as frequências observadas não foram provenientes da
população em que se baseou a hipótese nula, levando à rejeição desta. Trata-se portanto de um
teste unilateral à direita.
É ainda importante referir que a utilização da distribuição qui-quadrado pode nem sempre ser
a mais adequada. Com efeito as aproximações ao qui-quadrado só serão aceitáveis se se verificaram
cumulativamente as seguintes condições (Cochran, 1954):
1. Não haja mais de 20% de frequências esperadas com valor inferior a 5;
2. Não se observe qualquer frequência esperada com valor inferior a 1.
Se alguma destas permissas não se verificar, as frequências esperadas podem ser combinadas
com os valores ou com as classes adjacentes, o que reduzirá necessariamente o número de graus de
liberdade, uma vez que diminui.
Veja-se o seguinte exemplo. Com o intuito de verificar se um dado é ou não equilibrado, foram
efectuados 120 lançamentos, tendo sido obtidos os seguintes resultados (vide Tabela 3.1):
N. pintas ()
Frequência observada
1
16
2
22
3
23
4
18
5
20
6
21
Total
120
Tabela 3.1: Frequências observadas do lançamento de 1 dado
Se o dado for equilibrado, então qualquer uma das faces tem igual probabilidade de ocorrência,
por isso a sua distribuição será uniforme. Neste caso cada face terá uma probabilidade de ocorrência
de 1/6, ou seja poderá ocorrer 20 vezes (frequência esperada).
69
A estatística teste será dada por
=
(16 − 20)2 + (22 − 20)2 + (23 − 20)2 + (18 − 20)2 + (20 − 20)2 + (21 − 20)2
= 1 70
20
O valor crítico será encontrado na tabela qui-quadrado e se se admitir um nível de significância de
0,05, então 26−1005 = 11 07 Como 1,70 se situa na região de não rejeição, então não deverá ser
rejeitada a hipótese nula, não havendo assim evidência de que o dado possa estar viciado.
Outro exemplo, agora referente à distribuição de Poisson: suponha que a procura semanal de
um produto tecnológico foi a seguinte (vide Tabela 3.2):
Quantidade procurada
N. semanas (Frequência observada)
0
6
1
14
2
10
3
7
4
2
5
1
Total
40
Tabela 3.2: Frequências observadas da procura semanal de um produto tecnológico.
Tal como referido anteriormente, a função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada
por
( = |) =
−
!
(3.3)
onde 0 é o parâmetro caracterizador desta distribuição. Se a variável aleatória tem distribuição de Poisson, com parâmetro 0 então
[] =
e
[] =
ou seja, a média e a variância são iguais.
A quantidade média procurada daquele produto é = 1 7 logo a frequência esperada será dada
por
( = | = 1 7) =
1 7 −17
!
(3.4)
ou seja
Da análise da tabela anterior verifica-se que existem 2 classes cuja frequência esperada é inferior
a 5 (inclusivamente uma delas é inferior a 1) o que representa mais de 20% das frequências esperadas.
70
Quantidade procurada
Frequência observada
Frequência esperada
0
6
7,308
1
14
12,424
2
10
10,556
3
7
5,984
4
2
2,544
5
1
Total
40
3
0,864
3,408
Tabela 3.3: Cálculo das frequências esperadas.
Neste caso o número de classes deveria deveria passar a ser 5, ao invés de 6. O valor crítico terá
5 − 1 − 1 = 3 graus de liberdade (e assumindo 5% de significância) terá o valor de 7,81.
A estatística = 0 778 , pertence à região de não rejeição, do que se conclui que a hipótese
nula não deverá ser rejeitada, ou seja pode aceitar-se que a distribuição de Poisson é adequada aos
dados em estudo.
3.6.4
Teste de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov
O teste de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov (K-S) apresenta algumas vantagens, de acordo
com alguns autores, face ao testes qui-quadrado, uma vez que faz uso mais completo dos dados
disponíveis (não se perdendo informação com a classificação dos dados), a distribuição deste teste
é exacta e pode ser aplicado para qualquer tamanho amostral.
É importante referir que o teste K-S só pode ser aplicado quando a distribuição indicada na
hipótese nula está completamente especificada (o que não sucede com o teste do qui-quadrado).
Se se tiver uma amostra com elementos cuja característica é definida por e (1) (2) (3) ()
é uma amostra ordenada. A função de distribuição empírica é designada por () e definida para
todos os valores reais e é a proporção de valores da amostra que não ultrapassam o número :
⎧
⎪
⎪
⎨ 0 se (1)
() =
se () (+1) = 1 2 − 1
⎪
⎪
⎩
1 se ≥ ()
A função de distribuição da amostra é designada por () e as hipóteses do teste definidas da
71
seguinte forma:
0 : () = 0 ()
1 : () 6= 0 ()
em que 0 () é uma função de distribuição teórica. A estatística do teste é dada por:
= [ () − 0 ()]
∈
Observe-se que representa a distância vertical máxima entre as imagens da função empírica e a
função de distribuição teórica. Uma vez que 0 () é uma função contínua e () é uma função
em escada, o supremo ocorre num ponto onde se verifica um salto de () ou imediatamente
antes desse ponto. Então
= max {|0 ( ) − (−1 )| ; |0 ( ) − ( )|}
A regra de decisão consiste em rejeitar a hipótese nula sempre que o valor da estatística
seja superior ao valor crítico (este último obtido na tabela de Kolmogorov-Smirnov). Se a
0 for verdadeira, a distância vertical máxima entre as duas distribuições não será muito grande e
espera-se tenha um valor pequeno.
Veja-se o seguinte exemplo:
A cantina de um determinado estabelecimento serve pratos de peixe e carne, tendo sido estabelecido que os pratos deveriam ter 290 gr de carne/peixe por refeição. Como existiram algumas
reclamações por parte dos clientes, o chefe da cantina afirmou que a quantidade de carne/peixe
servidos em casa refeição seguia uma distribuição normal com média 290 gr e desvio-padrão de 56
gr. Foi então recolhida uma amostra aleatória composta por 10 pratos e os pesos eram os seguintes:
198 254 262 272 275 278 285 287 287 292
Assumindo um nível de seignificância de 5%, poder-se-á considerar verdadeira a afirmação do chefe
da cantina?
As hipóteses a formular serão
¡
¢
0 : ∼ 290 562
¡
¢
1 : ¿ 290 562
Pode ser usado o teste K-S e o valor crítico será 10;005 = 0 409 (tabela de Kolmogorov-Smirnov).
Assumindo como verdadeira a hipótese nula, há que standardizar os valores da variável em estudo e calcular a sua função de distribuição de probabilidade 0 () usando a tabela da distribuição
72
em estudo (neste caso a normal), veja-se o seguinte exemplo para o cálculo de e de 0 ( ) quando
=198:
198 − 290
= −1 6428
56
( −1 6428) = ( 1 6428) = 0 0505
=
Em seguida há que calcular a função distribuição empírica.Veja-se a seguinte tabela:
Xi
S n (x i )
S n (x i-1 )
Zi
F0Xi
|F0X i - Sn (xi-1)|
|F0X i-S n(xi)|
198
254
262
272
275
278
285
287
292
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,9
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,9
-1,64
-0,64
-0,50
-0,32
-0,27
-0,21
-0,09
-0,05
0,04
0,050
0,260
0,309
0,374
0,394
0,415
0,464
0,479
0,514
0,050
0,160
0,109
0,074
0,006
0,085
0,136
0,221
0,386
0,050
0,060
0,009
0,026
0,106
0,185
0,236
0,421
0,486
Cálculo das funções de distribuição e da estatística .
Relativamente ao cálculo de ( ) (ou cálculo das frequências relativas acumuladas) veja-se
o seguinte exemplo:
0 1 =
0 2 =
1
10
2
(n. de observações até 254 gr, em 10 observações)
10
Como se pode ver pela tabela anterior = 0 486 Logo, como esta estatística é inferior ao valor
crítico, então pode-se concluir que a hipótese nula não deve ser rejeitada e que o peso da carne/peixe
das refeições segue uma distribuição normal com 290gr de peso médio e 56 gr de desvio-padrão.
3.6.5
Testes de independência
Com o teste de independência pretende-se verificar se duas características de uma determinada
população, podem ser consideradas independentes, sendo analisada para o efeito, uma amostra
aleatória e representativa dessa população. São analisadas tabelas de contingência. Assumindo que
e são as variáveis que representam as características da população, as hipóteses formuladas
são
0 : e são independentes
1 : e não são independentes.
73
Duas variáveis são estatisticamente independentes se
() () = ( )
onde () se refere à função densidade de probabilidade marginal de , () se refere à função
densidade de probabilidade marginal de e ( ) a função de densidade probabilidade conjunta.
Aquando da realização deste teste, não é normal conhecer as funções de densidade probabilidade
marginais e conjunta. Contudo é possível estimar as respectivas probabilidades (b
, b e b )através
de dados amostrais. Deste modo
×
b =
b =
b =
A estatística do teste será então descrita da seguinte forma
2 =
X
X
( − )2
=1 =1
∼ 2(−1)(−1)
em que são as frequências absolutas observadas na amostra, são as frequências esperadas
para cada par de variáveis e admitindo que a hipótese nula é verdadeira (ou seja, adimitindo
que as variáveis são independentes), é o número de categorias da variável e é o número de
categorias da variável
A determinação da região crítica será feita com base na tabela da distribuição qui-quadrado,
de forma similar à apresentada no teste de aderência ou da bondade do ajustamento. De referir
ainda que sa frquências esperadas serão obtidas da seguinte forma
= ×
=
2
Convém notar que o valor mínimo de deve ser superior a 10 numa tabela de contingência
2 × 2, e superior a 5 se o número de graus de liberdade for 2 ou mais. Quando desce
abaixo daqueles valores, é habitual fundir as classes em que tal acontece com outras, de modo
a se obterem novas classes com frequência esperada superior a 10 se trabalhamos com 1 grau de
liberdade, superior a 5 no caso geral. Há contudo autores que defendem que este procedimento é
totalmente incorrecto, visto que afecta a aleatoriedade da amostra, além de, eventualmente, haver
perda de informação na fusão de categorias.
Veja-se o seguinte exemplo:
74
Homens
Mulheres
Total
Tuberculose Sistema respiratório
3534
1319
4853
Outro tipo de tuberculose
270
252
522
Total
3804
1571
5375
Tabela 3.4: Tabela de contingência: tuberculose vs sexo dos indivíduos (frequências observadas).
A Tabela 3.4 mostra uma amostra de 5375 mortes por tuberculose classificadas de acordo com
duas variáveis qualitativas, nomeadamente o sexo e o tipo de tuberculose que provocou a morte.
As hipóteses que que colocam é
0 :
O tipo de tuberculose e o Sexo são variáveis independentes
1 :
O tipo de tuberculose e o Sexo não são variáveis independentes
Uma vez que ambas as variáveis assumem 2 modalidades, então a região crítica (assumindo um
nível de significância de 5%) será definida por
2(2−1)(2−1)005 = 3 841
:
[3 841 + ∞[
As frequências esperadas seriam as seguintes, admitindo como verdadeira a hipótese nula:
Homens
Mulheres
Total
Tuberculose Sistema respiratório
3434,6
1418,4
4853
Outro tipo de tuberculose
369,4
152,6
522
Total
3804
1571
5375
Tabela 3.5: Tabela de contingência: tuberculose vs sexo dos indivíduos (frequências esperadas).
Então a estatística teste assumirá o seguinte valor
2 =
(252 − 152 6)2
(3534 − 3434 6)2 (1319 − 1418 4)2
+
+ +
= 101 34
3434 6
1418 4
152 6
Como se pode facilmente verificar, este valor pertence à região crítica ou região de rejeição, pelo
que se conclui que o tipo de tuberculose não é independente do sexo das pessoas vítimas desta
doença.
75
3.7
Exercícios
1. Foram estudados dois bairros da cidade de Évora, quanto aos rendimentos auferidos pelos
seus moradores. Do bairro A foram analisadas 50 famílias e verificou-se que a média de
rendimentos mensal era de 1380 euros com um desvio-padrão de = 220 euros. Uma amostra
aleatória de 50 famílias do bairro B apresentou um rendimento médio mensal de 1520 euros,
com um desvio-padrão de = 280 euros.
a) Estime a diferença nos rendimento familiar médio entre os dois bairros, utilizando um
intervalo de confiança de 95%.
b) Será correcto afirmar que o bairro B apresenta um rendimento médio mensal significativamente superior ao do bairro A?
c) Teste a hipótese de que as variâncias dos rendimentos dos bairros, são iguais.
2. Um professor do Departamento de Gestão de Empresas da Universidade de Évora está interessado em estimar a proporção de estudantes que terminaram o curso de Gestão e simultaneamente são TOC’s. A amplitude máxima pretendida é de 0,05 e pretende assumir um nível
de confiança de 90%. Qual deverá ser o tamanho mínimo da amostra que deve analisar?
3. O desvio-padrão da vida útil de um televisor de determinada marca é = 500 horas, sendo
a vida útil dos televisores normalmente distribuída. O fabricante desta marca de televisores
afirma que a vida útil média é no mínimo de 9000 horas. para o efeito foi analisada uma
amostra de 15 televisores, sendo que ̄ = 8800 horas. Teste a afirmação do fabricante com
um nível de significância de 5%.
4. Um analista está a analisar o desempenho médio (em termos de tempo de reparação) de 5
oficinas de mecânica de automóveis. Para tal realizou 5 experiências sobre o mesmo tipo de
arranjo de um determinado automóvel, tendo obtidos os seguintes valores:
Oficina
Tempo médio (horas)
Desvio-padrão
A
37
3
B
40
4
C
33
3
D
20
6
E
45
5
76
Será que o analista pode concluir que o tempo médio de reparação das oficinas não difere
significativamente?
77
Capítulo 4
Análise de correlação e de regressão
A regressão e a correlação são duas técnicas estreitamente relacionadas que envolvem um forma de
estimação de uma relação que possa existir entre variáveis aleatórias. A análise de regressão e de
correlação envolve a análise de dados amostrais para avaliar o modo como duas ou mais variáveis
estão relacionadas entre si numa população. De modo a melhor exemplificar esta técnica., será
apresentada em primeiro lugar a regressão e correlação entre duas variáveis e seguidamente será
generalizada para mais variáveis.
Convém distinguir entre análise de regressão e análise de correlação:
• Análise de regressão: tem como resultado uma equação matemática que descreve o relacionamento entre variáveis aleatórias, esta equação pode ser utilizada para realizar previsões de
valores futuros de uma variável (variável explicada) quando são supostos os valores futuros
da(s) variável(s) explicativa(s);
• Análise de correlação: dá o valor que resume o grau de relacionamento entre as variáveis, ou
seja, mede a força do relacionamento existente.
Para realizar análise de regressão e correlação é necessário que os dados provenham de amostras
"emparelhadas"[(1 1 ) (2 2 ) ( )] Por exemplo para uma regressão linear simples (apenas
uma variável explicativa), cada observação deve originar dois valores, uma para cada variável: a
explicada e a explicativa. Por exemplo, se quiser estudar a relação entre a altura e a idade dos
indivíduos.
A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática
linear que descreva o relacionamento entre duas variáveis. Normalmente, uma das primeiras formas
( e também a mais simples) de avaliar a relação entre duas variáveis é através de diagramas de
78
dispersão. Um diagrama de dispersão é um gráfico no qual cada ponto representa um par observado
de valores para as variáveis explicada e explicativa, ou dependente e independente. O valor da
variável explicativa é representado no eixo das abcissas (eixo horizontal), enquanto que a variável
explicada é representada no eixo das ordenadas (eixo vertical).
Y
Y
a) Relação linear positiva
X
Y
Y
b) Relação linear negativa
Y
d) Relação não-linear positivaX
X
c) Ausência de relação
X
Y
e) Relação linear positiva X
com menor grau de relação que em a)
X
f) Relação linear positiva
Com maior grau de relação que em a).
Figura 4.1: Diagramas de dispersão.
4.1
Correlação
4.1.1
Coeficiente de correlação de Pearson
Quando é conhecida a distribuição conjunta das duas variáveis, pode-se medir o grau de associação
entre elas através da covariância
( ) = [( − ) ( − )]
contudo o seu valor é muito dependente das unidades de medida das variáveis e por isso não é
a melhor medida do grau de associação, até porque não permite a comparação para diferentes
amostras. Neste sentido, é utilizado o coeficiente de correlação de Pearson () que não é mais que
a covariância dividida pela multiplicação dos desvios-padrão das variáveis, ou seja
=
( )
79
Este coeficiente −1 ≤ ≤ 1, tomando o valor 1 quando há uma relação linear perfeita e positiva
entre as variáveis e -1 quando a relação é linearmente perfeita e negativa. No caso de = 0 então
não há qualquer grau de associação entre as variáveis, o que corresponde ao diagrama mostrado
em c) da Figura 4.1. Que possíveis valores poderiam ter os coeficientes de correlação para cada um
dos diagramas de dispersão da Figura 4.1?
O coeficiente de correlação amostral () pode ser estimado da seguinte forma:
¢¡
¢
P ¡
− ̄
=1 − ̄
= qP ¡
¢2 P ¡
¢2
−
̄
−
̄
=1
=1
O coeficiente de correlação também pode ser alvo de teste. Normalmente a hipótese assumida é
0 : = 0 e testada com um nível de significância
É importante referir que o coeficiente de correlação tem algumas limitações:
• Só faz sentido ser usado em relações lineares;
• Se as variáveis são estatisticamente independentes entre si, então = 0, já o contrário não
se pode afirmar, isto é, um coeficiente de correlação nulo não implica que as variáveis sejam
estatisticamente independentes entre si. Isto porque a relação entre as variáveis pode ser
não-linear;
• A correlação é uma medida de covariabilidade, mas não indica se existe alguma relação
funcional entre as variáveis, não sendo possível estabelecer relações de causalidade apenas
com base na informação dada por este coeficiente.
Se se assumir que a distribuição conjunta é bivariada, que a relação é linear, que ambas as
variáveis são aleatórias e que as variâncias condicionais , dados diferentes valores de outra variável,
são iguais (homocedasticidade), então pode-se definir a seguinte estatística de teste:
= q
1−2
−2
∼ −2
Se o diagrama de dispersão indica que a relação entre as variáveis é de um modo geral linear,
então procede-se ao ajustamento dos dados a uma linha recta que seja aquela que melhor se adequa
à situação em causa.
4.1.2
Coeficiente de correlação de Spearman
O coeficiente de correlação de Pearson pode ser calculado desde que as variáveis sejam de natureza
quantitativa. Quando se pretende avaliar o grau de associação entre variáveis de natureza qualita80
tiva o coeficiente de correlação de Spearman é a escolha mais adequada. O valor do coeficiente de
Spearman não se baseia nos valores que as variáveis assumem, mas sim na posição que corresponde
a esses valores depois de se efectuar uma ordenação prévia dos dados. Este coeficiente mede a
correlação entre as posições e não entre os valores que as variáveis assumem e só deve ser utilizado
nas situações em que não é possível usar o coeficiente de correlação de Pearson. O coeficiente de
correlação de Spearman é dado por
P
6 =1 2
=1−
(2 − 1)
onde é a diferença entre as posições dos pares correspondentes às variáveis e e é o número
de observações.
Algumas considerações:
• O valor do coeficiente de correlação de Spearman varia entre -1 e 1, quando é nulo, a associação
linear entre as variáveis é nula;
• A ordenação prévia dos dados pode ser feita de ordem ascendente ou descendente, desde que
o critério seja o mesmo para ambas as variáveis;
• Se duas ou mais observações tiverem o mesmo valor, atribui-se-lhe a média das posições que
lhe corresponderiam na ordenação inicial.
Exemplo:
Para analisar a relação entre o grau de instrução de directores financeiros de várias empresas,
e a sua performance (avaliada pelos resultados líquidos me milhares de euros), foi considerada a
seguinte amostra:
Empresas
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Escolaridade ()
2
3
3
2
1
3
2
3
2
2
3
3
Performance ( )
3
4
4
3
2
2
2
4
1
2
4
4
Posições ()
4
9,5*
9,5
4
1
9,5
4
9,5
4
4
9,5
9,5
Posições ( )
6,5**
10
10
6,5
3,5
3,5
3,5
10
1
3,5
10
10
-2,5
-0,5
-0,5
-2,5
-2,5
6
0,5
-0,5
3
0,5
-0,5
-0,5
2
6,25
0,25
0,25
6,25
6,25
36
0,25
0,25
9
0,25
0,25
0,25
9 5∗ = 7+8+9+10+11+12
(posições do valor 3: 7, 8, 9, 10, 11, 12)
6
6 5∗∗ = 6+7
2
81
6(655)
= 1 − 12(12
2 −1) = 0 771
O valor do coeficiente de Spearman indica existir uma forte correlação entre a performance
das empresas e o grau de escolaridade do seu director financeiro. O seu sinal positivo indica
que tendencialmente, quanto maior for o nível de instrução do director financeiro, melhor será a
performance da empresa.
De salientar que a análise de correlação linear apresenta algumas limitações, nomeadamente o
facto de apenas ser aplicável a relações lineares. No caso de se obter um coeficiente de correlação
nulo, não é indicativo que as variáveis sejam estatisticamente independentes, podendo existir uma
forte relação não-linear entre elas. Além disso o coeficiente de correlação linear não indica a equação
que descreve a relação entre as variáveis, não sendo possíveis estabelecer relações de causalidade.
4.2
A regressão linear
Se se tiverem duas variáveis aleatórias e , em que se considera que é a variável explicada (ou
dependente) e é a variável explicativa (ou independente) e a relação entre elas é linear, pode-se
estabelecer a seguinte equação
[ | = ] = 0 + 1
onde 0 é e intersecção na origem e 1 é o declive da recta. A interpretação destes parâmetros é
muito importante, nomeadamente 1 mede a sensibilidade da variável a variações na variável
, por exemplo se aumentar uma unidade, então irá variar 1 unidades. Quanto a 0 , se a
variável tiver o valor 0, então a variável irá ter o valor 0 De salientar que esta interpretação
pode não ser válida em todos os casos (por exemplo casos em que não faz sentido que = 0),
além disso o comportamento da relação entre as variáveis num determinado intervalo pode não ser
constante ao longo de toda a população.
É muito difícil encontrar-se uma relação linear perfeita entre as variáveis, por isso é natural que
existam desvios face à recta estimada (na Figura 4.1 estes desvios são representados pela distância
dos pontinhos à recta). Assim sendo, é necessário adicionar uma nova variável à recta de regressão
para a população. Esta nova componente é denominada de parte residual ou resíduos:
= 0 + 1 +
4.2.1
(4.1)
Método dos mínimos quadrados
Um bom estimador deve apresentar algumas características chave (já focado no Capítulo 1). Apenas
para relembrar, um estimador deve obedecer a:
82
1. Não enviesamento;
2. Variância mínima ou eficiência;
3. Consistência;
4. Quadrado médio do erro;
5. Suficiência: um estimador é suficiente se utiliza toda a informação de uma amostra sobre o
verdadeiro valor do parâmetro.
O método mais usado para estimar uma recta de regressão é o método dos mínimos quadrados,
pois é o que permite que a soma do quadrado dos desvios seja mínima. Mas porquê quadrados? Porque a soma dos desvios em relação à média é nula e a utilização de módulos provoca o
enviesamento dos resultados.
Tome-se em conta a recta de regressão definida na equação (4.1), então os erros podem ser
descritos por
´
³
= − ̂ = − ̂ 0 + ̂ 1
(4.2)
ou seja são o resultado da diferença entre os valores observados de e os seus valores estimados
´
³
̂ 0 + ̂ 1 = ̂ A soma dos quadrados dos erros é definida por
=
X
2 =
=1
h
´i2
³
X
− ̂ 0 + ̂ 1
(4.3)
=1
Se se quiser minimizar em ordem a 0 e a 1 (que são os parâmetros da equação), então
min = min
̂ 0 ̂ 1
0 1
h
³
´i2
X
− ̂ 0 + ̂ 1
(4.4)
=1
Dos conceitos básicos de optimização, sabe-se que para se encontrar um valor extremo de uma
função há que respeitar as condições de primeira ordem e as condições de segunda ordem. As
condições de primeira ordem são que as primeiras derivadas parciais deverão ser nulas, isto é
⎧
´i
³
h
P
⎪
⎪
(−1) = 0
=
0
⇔
2
−
̂
+
̂
⎨ ̂
0
1
0
=1 h
(4.5)
³
´i
P
⎪
⎪
=0⇔2
− ̂ 0 + ̂ 1 (− ) = 0
⎩
̂ 1
=1
Resolvendo o sistema, obtém-se
⎧
⎨ ̂ 0 = ̄ − ̂ 1 ̄
( −̄ )( −̄ )
)
=1 −̄ ̄
⎩ ̂ 1 = =1
=
= (
2
2
2
()
=1 −̄
=1 ( −̄ )
83
(4.6)
Se se quiser usar o valor do coeficiente de correlação, então o valor de 1 pode ainda ser dado por:
̂ 1 =
( )
=
=
2
2
Se determinadas condições forem satisfeitas, então os estimadores obtidos com o método dos
mínimos quadrados (OLS ) são BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) e assim, são os estimadores mais eficientes na classe dos estimadores lineares. As condições desejadas para o modelo
de regressão linear definido na equação (4.1), normalmente designadas por Teorema de GaussMarkov, são:
1. A variável explicativa é independente do termo residual, ou seja
[ ] = 0; com = 1 2
2. O termo residual tem valor esperado nulo, isto é
[ ] = 0, com = 1 2
3. As variáveis aleatórias têm todas a mesma variância (homocedasticidade):
£ ¤
( ) = 2 = 2 com = 1 2
4. As variáveis aleatórias não estão correlacionadas entre si:
[ ] = 0, com 6=
Pelo Teorema do Limite Central, admite-se então que os resíduos têm distribuição normal e são
independentes e identicamente distribuídos,1 ou seja
¢
¡
∼ 0 2
A recta de regressão apresenta algumas importantes propriedades, de destacar:
a) A recta de regressão dos mínimos quadrados minimiza a soma dos erros;
¡
¢
b) A recta de regressão dos mínimos quadrados passa sempre pelo ponto ̄ ̄ (ver valor de ̂ 0 );
1
A propriedade de que os resíduos são normalmente distribuídos não é necessária para que os estimadores dos
mínimos quadrados sejam BLUE. Esta propriedade assume especial importância aquando da realização de inferência
estatística sobre os parâmetros.
84
c) A covariância entre os resíduos e os valores de é nula, bem como entre os resíduos e os valores
estimados de (veja-se primeira equação do sistema (4.5) e o facto de [ ] = 0
Exemplo:
Suponha que se pretende estudar a relação entre o preço de venda dos automóveis e a sua
kilometragem. Foram analisados 14 automóveis de um stand de automóveis em 2. mão. Estime a
recta de regressão linear entre estas duas variáveis..
Observação ()
Milhares de Km ( )
Preço de venda em euros ( )
1
40
1000
2
30
1500
3
30
1200
4
25
1800
5
50
800
6
60
1000
7
65
500
8
10
3000
9
15
2500
10
20
2000
11
55
800
12
40
1500
13
35
2000
14
30
2000
Se se fizerem os cálculos:
P
=1
̂ 1 =
= 640000;
P
=1
2 = 21825; ̄ = 36 071; ̄ = 1542 857 então
640000 − 14 × (36 071) (1542 857)
= −38 56
21825 − 14 (36 071)2
̂ 0 = 1542 857 − (−38 56) (36 071) = 2933 75
Logo a regressão pode ser escrita da seguinte forma
= 2933 75 − 38 56 +
Como era de esperar existe um relação negativa entre o preço de venda dos automóveis e o
número de quilómetros que estes apresentam. Neste caso, o valor de 1 indica que se um automóvel
aumentar em 1000 Km a sua quilometragem, então o preço do automóvel vai diminuir em 38 56
85
euros. Já o valor de 0 indica que se um carro apresentasse o Km, então o seu preço de venda seria
2933 75 euros (bem baratinho!!).
4.2.2
Método da máxima verosimilhança
Para estimar os parâmetros relativos a uma recta de regressão, pode-se utilizar a máxima verosimilhança. Neste caso, há que pressupor sobre a distribuição de probabilidade conjunta da amostra,
à qual se dá o nome de função de verosimilhança. Para um equação de regressão descrita em (4.1),
a função de máxima verosimilhança é dada por
∙
´2 ¸
1 ³
exp − 2 − ̂ 0 − ̂ 1
2 12
2
=1 (2 )
∙
´2 ¸
1 X³
1
− ̂ 0 − ̂ 1
exp − 2
=
2
(22 )2
´2
1 X³
− ̂ 0 − ̂ 1
ln = − ln 2 − ln 2 − 2
2
2
2
´
³
Y
2
=
̂ 0 ̂ 1
1
As condições de primeira ordem são:
³
´
⎧
ln
1 P
⎪
=
0
⇔
−
̂
−
̂
⎪
0
1 =0
2
⎪ ̂ 0
⎨
³
´
P
ln
1
− ̂ 0 − ̂ 1 = 0
= 0 ⇔ 2
⇔
̂ 1
⎪
³
´2
⎪
⎪
P
⎩ ln = 0 ⇔ − + 1
− ̂ 0 − ̂ 1
2
22
24
4.2.3
⎧
⎪
̂ = ̄ − ̂ ̄
⎪
⎪
⎨ 0 1 −̄ ̄
)
=1
= (
̂ 1 =
2
2
()
=1 −̄
⎪
⎪
⎪ 2 ( −̂ 0 −̂ 1 ) 2
⎩
=
O coeficiente de determinação e a tabela ANOVA
Uma medida muito útil associada à equação de regressão linear é o coeficiente de determinação que
mede o poder explicativo da regressão. Para se calcular o coeficiente de determinação há que ter
em conta a dispersão em torno da média da variável e a dispersão em torno da recta. Como já
se verificou, a equação de regressão pode ser descrita por
= ̂ 0 + ̂ 1 + ⇔ = ̂ +
neste caso pode-se exprimir o desvio de em relação à média ̄ , da seguinte forma
³
´
− ̄ = ̂ + − ̄ = ̂ − ̄ +
86
(4.7)
³
´
ou seja, a distância de à média ̄ tem duas componentes: a componente explicada ̂ − ̄ e
a componente residual ( ) Se se elevar a diferença ao quadrado, então
³
´2 X
³
´
X
X
¡
¢2 X
2
− ̄ =
+
2 ̂ − ̄
̂ − ̄ +
=1
como
P
=1
=1
³
´
2 ̂ − ̄ = 0, então
X
¡
=1
− ̄
=1
¢2
=
=1
³
´2 X
X
2
̂ − ̄ +
=1
=1
ou seja, a variação total de pode ser dividida em duas partes: a variação explicada () e a
variação residual ()
¡ ¢
A percentagem da variação explicada é o coeficiente de determinação 2 que é dado por
¡
¢2
´2
2 P
P ³
−
̄
1
−
̄
̂
=1
=1
2 = P ¡
¢2 = P ¡
¢2
−
̄
−
̄
=1
=1
Do ponto de vista prático, o uso de variâncias em lugar das somas de quadrados é mais usual.
Neste caso a variância de é
¢2
P ¡
=1 − ̄
−1
e a variância dos resíduos (ou erros) é dada por
´2
P ³
−
̂
=1
2 =
−2
2 =
(4.8)
O valor de 2 pode variar entre 0 e 1. Quando a variação não explicada ou residual constitui
uma grande percentagem da variação total, então 2 será pequeno. Inversamente, se a dispersão em
torno da recta de regressão é pequena em relação à dispersão total de , então 2 estará próximo
de 1,00.
Nota: Importa referir que no caso de se obter um coeficiente de determinação nulo, tal não
implica que as variáveis não estejam correlacionadas, simplesmente a relação entre elas pode não
ser linear. Duas variáveis podem ter uma relação não-linear perfeita e 2 = 0, pois em termos
lineares não é possível estabelecer uma relação.
A significância da equação de regressão pode ser estimada usando as técnicas da análise de
regressão. Com certeza está lembrado da análise de variância, onde era utilizado o teste de hipótese
cuja estatística seguia uma distribuição F. Em termos de análise de regressão, a estatística F 1−2
pode ser dada por
´2
P ³
−
̄
1
̂
=1
= P 2
=1 ( − 2)
87
A análise de variância para a análise de regressão pode ser descrita sucintamente na seguinte
tabela, designada normalmente de ANOVA (seja +1 o número de parâmetros, já que é o número
de variáveis explicativas).
Fonte da variação
Soma de quadrados
Regressão
´2
³
P
=
̂ −̄
=1
Erro
Quadrado médio
+1−1=1
(̂ −̄ )
( −̂ )
2
=
=1 ´
³
2
P
=
−̂
=1
Total
P
g.l.
=
¡
¢2
P
−̄
− ( + 1)
=
=−2
=1
4.2.4
=
2
=1
=1
1
( )
¡
¢2
P
−̄
21
=1
2
−2
2
−1
Inferência na análise de regressão
Para se poder proceder à análise inferencial (intervalos de confiança e testes de hipóteses) dos
parâmetros, há que conhecer a sua distribuição amostral, a qual é caracterizada por:
"P ¡
"P ¡
¢¡
¢#
¢¡ ¡
¢
¢#
h i
−
̄
−
̄
−
̄
−
̄
+
1
=1
=1
̂ 1 =
=
¢2
¢2
P ¡
P ¡
−
̄
− ̄
=1
=1
£¡
¢ ¤
P
=1 − ̄
= 1 + P ¡
= 1
¢2
=1 − ̄
A variância do parâmetro é definida por
" P £¡
¢ ¤ #2
∙³
´2 ¸
³ ´
−
̄
=1
= ̂ 1 − 1
̂ 1
=
¢2
P ¡
=1 − ̄
=
Relativamente a 0:
2
¢2
P ¡
=1 − ̄
h
h i
i
h
i
̂ 0 = ̄ − ̂ 1 ̄ = 0 + 1 ̄ + ̄ − ̂ 1 ̄
´
³
h
i
= 0 + 1 − ̂ 1 ̄ + ̄ = 0
e a sua variância é definida da seguinte forma:
∙³
³ ´
´2 ¸
̂ 0 = ̂ 0 − 0
88
³
´
como 0 = ̂ 0 + ̂ 1 − 1 ̄ − ̄, então
∙³
´
³
´2 ¸
̂ 0 − ̂ 0 − ̂ 1 − 1 ̄ + ̄
∙³ ³
´
´2 ¸
− ̂ 1 − 1 ̄ + ̄
=
½∙³
¸
´2
´ i¾
h³
£ ¤
2
̂ 1 − 1 ̄ − 2̄ ̂ 1 − 1 ̄ + ̄2
∙³
´2 ¸
´ i
h³
£ ¤
2
̄ ̂ 1 − 1
− 2̄ ̂ 1 − 1 ̄ + ̄2
( 0 ) =
=
=
=
∙³
´2 ¸
³ ´
Como ̂ 1 − 1
= ̂ 1 =
2
=1
2
( −̄ )
,
´ i
h³
£ ¤
2
̂ 1 − 1 ̄ = 0 e ̄2 = então
³ ´
2
2
= ̄ 2 P ¡
̂ 0
¢2 +
− ̄
" =1
#
2
1
̄
+ P ¡
= 2
¢2
− ̄
=1
Os estimadores obtidos pelo método dos mínimos quadrados são não enviesados e têm variância
mínima, contudo 2 não é conhecido, logo é necessário utilizar a variância amostral dada por 2 ,
definido na equação (4.8).
Tendo em conta que:
•
•
P
=1
2 2 ∼ 2 ( − 2) ;
P
´
³
2 tem uma distribuição independente de ̂ 0 ̂ 1 ;
=1
̂ −
•
∼(01)
=1
2
( −̄ )
• O quociente entre duas variáveis aleatórias independente com distribuição normal estandardizada (em numerador) e com distribuição qui-quadrado em denominador previamente dividida
pelos seus graus de liberdade ( − 2) tem distribuição t-Student, com −2 graus de liberdade.
No caso de se ter um amostra de pequena dimensão, em que não é conhecido e os resíduos
forem normalmente distribuídos, a estatística
̂ −
= 0 1
̂
segue uma distribuição com − 2 graus de liberdade.
89
Neste sentido, se as hipóteses OLS forem satisfeitas e (mais uma vez) os resíduos normalmente
distribuídos, um intervalo de confiança para com um grau de confiança (1 − ) é dado por
ou seja
Ã
̂ −
≤ 2(−2)
−2(−2) ≤
̂
!
= 1 −
´
³
̂ − 2(−2) ̂ ≤ ≤ ̂ + 2(−2) ̂ = 1 −
h
i
̂ − 2(−2) ̂ ; ̂ + 2(−2) ̂
Para além de inferência intervalar, podem-se também realizar testes de hipóteses aos parâmetros. É importante testar os resultados obtidos com a estimação dos parâmetros implicados na
regressão linear de modo a decidir se são estatisticamente significativos, ou seja, se são significativamente diferentes de zero. Neste caso as hipóteses a formular são
0 : = 0
¢
¡
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −−22 ou ≥ −22 =
e a estatística usada é
=
̂ − 0
∼ −2
̂
Os testes aos parâmetros da regressão podem ainda compreender a sua comparação face a outros
valores que possam importar na análise em causa, ou seja, podem formular-se a hipóteses:
0 : = 0
e as hipóteses alternativas
¡
¢
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −−22 ou ≥ −22 =
1 : 0 ⇒ ( ≤ −−2 ) =
1 : 0 ⇒ ( ≥ −2 ) =
e a estatística utilizada será
=
̂ − 0
∼ −2
̂
90
4.2.5
Predição no método dos mínimos quadrados
Podem-se fazer dois tipos de predição:2 predição pontual e predição intervalar, do mesmo modo
pode-se estimar um único valor ou um intervalo para
A predição pontual obtém-se a partir de um determinado valor de , por exemplo
+1 = 0 + 1 +1 + +1
ou pelo valor esperado de +1
[+1 |+1 ] = 0 + 1 +1
Como 0 e 1 não são conhecidos e também não se sabe o valor de +1 são utilizados os valores
estimados dos parâmetros, por isso uma estimativa pontual de +1 é dada por
̂+1 = ̂ 0 + ̂ 1 +1
O erro de predição é definido por
´ ³
´
³
+1 = +1 − ̂+1 = +1 + ̂ 0 − 0 − ̂ 1 − 1 +1
considerando o valor esperado e o facto de que os estimadores dos mínimos quadrados são centrados,
então
[+1 ] = 0
A variância do erro de predição é dada por
³
´
³ ´
³ ´
£
¤
(+1 ) = 2+1 = (+1 ) + ̂ 0 + +1 ̂ 1 + 2 ̂ 0 ̂ 1
"
#
2
+1
1
̄ 2
+1 ̄
2
= 1 + + P ¡
¢2 + P ¡
¢2 − 2 P ¡
¢2
=1 − ̄
=1 − ̄
=1 − ̄
"
¢2 #
¡
−
̄
1
+1
= 2 1 + + P ¡
¢2
− ̄
=1
O intervalo de confiança, com um grau de confiança de 1 − para +1 será dado por
v "
¢2 #
¡
u
u
−
̄
1
+1
̂+1 +̄−22 t2 1 + + P ¡
¢2
− ̄
=1
Às vezes o interesse centra-se na predição do valor médio de +1 , [+1 |+1 ] ou seja
[+1 |+1 ] = 0 + 1 +1
2
A predição é sinónimo de previsão quando os valores estimados a partir da recta de regressão ainda não têm o
valor observado correspondente.
91
Neste caso o erro de predição é definido da seguinte forma
+1 = [+1 |+1 ] − ̂+1
logo a variância do erro de predição será dada por
"
¡
¢2 #
+1 − ̄
2 1
+ P ¡
(+1 ) =
¢2
− ̄
=1
Neste caso o intervalo de confiança toma a seguinte forma:
v "
¡
¢2 #
u
u
−
̄
1
+1
+ P ¡
̂+1 +̄−22 t2
¢2
− ̄
=1
A variância do erro de predição é mínima quando +1 = ̄ e aumenta de forma não-linear
quando +1 se afasta de ̄ Quanto maior o o tamanho da amostra () menor será a variância
dos estimadores ̂ 0 ̂ 1 , por isso menor é a amplitude do intervalo. Além disso, quanto menor for
2 menor será também a amplitude do intervalo, pois menor é a variabilidade de dos resíduos e
menor será a variabilidade de em relação ao seu valor esperado. Por fim, quanto maior for a
hP ¡
¢2 i
, maior é a precisão dos estimadores dos
variabilidade da variável explicativa
=1 − ̄
mínimos quadrados, reduzindo a amplitude do intervalo de confiança.
4.3
Exercícios
1. Um analista está a estudar o tempo de entrega em dias realizados por uma conhecida companhia de entrega de encomendas. para tal recolheu dados referentes aos 10 últimos carregamentos, tendo obtidos dados acerca das distâncias percorridas e do tempo de entrega de cada
uma delas:
Carregamento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Distância (X) em Km
825
215
1070
550
480
920
1350
325
670
1215
Tempo de entrega (dias)
3,5
1,0
4,0
2,0
1,0
3,0
4,5
1,5
3,0
5,0
a) Represente o diagrama de dispersão (utilize o excel por exemplo).
b) Determine a equação de regressão pelo método dos mínimos quadrados. Interprete a
equação de regressão obtida.
c) Utilizando a equação de regressão obtida na alínea anterior, estime o tempo de entrega
para uma carregamento de 1000 Km. Acha que é correcto utilizar esta mesma equação
para estimar o tempo de entrega para uma distância de 2500 Km?
92
d) Tendo em conta que a estimação pontual pode ser um pouco limitativa, estime o intervalo
de confiança a 95% para o tempo de entrega admitindo novamente que a distância em
causa é de 1000 Km.
e) E se se pretender estimar um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de entrega,
assumindo que a distância a percorrer é de 1000 Km?
f ) Teste a hipótese de que os parâmetros 0 e 1 são significativamente diferentes de zero,
ou seja, são estatisticamente significativos.
g) Construa a tabela ANOVA para este problema. Conclua sobre a significância da equação
de regressão.
2. Foram analisadas as notas de 40 estudantes às disciplinas de Matemática I e Matemática
II, e considerou-se que era provável existir uma relação entre elas, ou seja, pressupôs-se que
os estudantes que apresentassem melhores notas a Matemática I (), conseguiriam também
melhores notas a Matemática II ( ). Foram apurados os seguintes resultados:
X
= 173
X
= 319
X
2 = 911
O modelo de regressão a estimar é definido por
X
2 = 2727
X
= 1438.
= 0 + 1 +
a) Calcule o valor das estimativas dos parâmetros 0 e 1 Encontre também o valor da
variância da variável explicada ou dependente.
b) Intreprete os valores de 0 e de 1
c) Construa a tabela ANOVA para este problema e conclua acerca da significância do modelo
estimado.
d) Os professores de Matemática II defendem que não existe uma relação significativa entre as
notas destas duas disciplinas. Será que têm razão? Realize o teste de hipótese indicado.
93
Capítulo 5
Regressão linear múltipla
No modelo de regressão linear simples admite-se que o comportamento da variável dependente é
influenciado por uma única variável explicativa. Contudo a teoria económica indica que muitos
fenómenos podem ser influenciados por diversos factores, daí a necessidade que o modelo integre
mais variáveis explicativas. Admite-se, portanto, que a variáveis dependente é uma função linear
de variáveis explicativas 1 2 e dos resíduos :
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
Este modelo tem + 2 parâmetros, onde se incluem todos os e a variância dos resíduos 2
A interpretação dos parâmetros é semelhante à interpretação realizada na análise de regressão
simples, ou seja 0 dá o valor de quando todas as variáveis explicativas são nulas (ainda que nem
sempre faça sentido que certas variáveis tomem o valor zero) e os demais dão a sensibilidade
de quando a respectiva variável explicativa varia uma unidade, mantendo-se todas as outras
constantes. Os parâmetros são também designados de parâmetros parciais, pois fornecem uma
medida da influência de cada uma das variáveis explicativas, assumindo que todas as outras se
mantêm constantes.
O modelo de regressão linear múltipla pode ser apresentado sob a forma de equações, cada
qual correspondendo à observação de todas as variáveis incluídas no modelo:
1 = 0 + 1 11 + 2 21 + + 1 + 1
2 = 0 + 1 12 + 2 22 + + 2 + 2
3 = 0 + 1 13 + 2 23 + + 3 + 3
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
94
A formulação matricial correspondente é
Y = Xβ + ε
onde
⎡
1
⎤
⎡
1
11
21 1
⎤
⎡
0
⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢ 1
⎢ ⎥
⎥
⎢ ⎥
12 22 2 ⎥
⎢
⎢ 1 ⎥
⎢ 2 ⎥
Y =⎢
⎥ X =⎢
⎥ β =⎢
⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎣
⎣
⎦
⎦
⎦
⎣
1 1 2
⎡
1
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥
ε =⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
Y e ε são vectores de dimensão × 1 β é um vector de dimensão ( + 1) × 1 e X é uma
matriz de dimensão × ( + 1) Cada elemento da matriz X tem dois índices: o primeiro refere-se
à coluna (variáveis) e o segundo à linha (observação).
5.1
Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla
Relativamente ao modelo de regressão linear simples, são acrescentadas mais uma hipótese:
As variáveis explicativas são variáveis não estocásticas ou determinísticas e para além disso,
não existe uma relação linear perfeita entre pelo menos duas dessas variáveis. Esta hipótese é
também designada de ausência de multicolinearidade.
As hipóteses podem ser apresentadas sob a forma vectorial:
• A especificação completa do modelo é Y = Xβ + ε;
• Os elementos da matriz X são fixos e X tem característica + 1 que é inferior ao número de
observações ;
• ε tem distribuição normal1 , com [ε] = 0 e [εε0 ] = σ 2 I, onde I é uma matriz identidade
de dimensão × :
⎡
1
⎤
[ε1 ε2 ] [ε1 ε]
⎢
⎥
£ 2¤
⎥
£ 0¤ ⎢
ε
]
ε
ε
]
[ε
[ε
2
1
2
⎢
⎥
2
εε = ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
£ 2¤
[ε ε1] [ε ε2 ] ε
£ ¤
ε21
A hipótese da normalidade dos resíduos é especialmente importante para a realização de testes de hipóteses e
intervalos de confiança, ainda que à medida que a amostra aumenta a sua dimensão, esta hipótese perde alguma
importância devido ao Teorema do Limite Central.
95
ou seja
⎡
(ε1 )
(ε1 ε2 ) (ε1 ε)
⎤
⎥
⎢
⎥
⎢ (ε ε )
(ε
)
(ε
ε
)
2
1
2
2
⎥
⎢
σ2 I = ⎢
⎥
⎥
⎢
⎦
⎣
(ε ε1) (ε ε2 ) (ε )
⎤
⎡
1 0 0
⎥
⎢
⎢ 0 1 0 ⎥
⎥
⎢
= σ2 ⎢
⎥
⎢
⎥
⎦
⎣
0 0 1
pois [ε ε ] = 0 para 6=
• Se a característica da matriz é + 1, está garantido que a colinearidade perfeita não está
presente entre as variáveis explicativas.
5.2
Método dos mínimos quadrados
Tal como verificado na análise de regressão simples, o método dos mínimos quadrados tem por
objectivo encontrar um vector de estimadores β̂ que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos:
min
=
̂ 0 ̂ 1 ̂
h
´i2
³
X
− ̂ 0 + ̂ 1 1 + ̂ 2 2 + + ̂
= e0 e
min
̂ 0 ̂ 1 ̂ =1
onde
e0 e =
³
´³
´
0
0
Y − Xβ̂ Y − Xβ̂ = Y0 Y − β̂ X0 Y − Y0 Xβ̂ + β̂ X0 Xβ̂
0
0
= Y0 Y − 2β̂ X0 Y + β̂ X0 Xβ̂
pois a transposta do produto é igual ao produto das transpostas em ordem inversa à do produto
³
´0
³
´0
0
0
final Xβ̂ = β̂ X0 e a transposta de um escalar é o próprio escalar Y0 Xβ̂ = Y0 Xβ̂ = β̂ X0 Y
As condições de primeira ordem são
β̂
= −2X0 Y + 2X0 Xβ̂ = 0
β̂ =
¡ 0 ¢−1 ¡ 0 ¢
XX
XY
A matriz X0 X designa-se por matriz dos produtos cruzados e está garantido que tem inversa, pois
de acordo com as hipóteses do modelo de regressão linear múltipla, a matriz X tem característica
+ 1.
96
Exemplo:
Deduza os estimadores dos mínimos quadrados para = 1, recorrendo à notação matricial.
⎡
1
⎡
⎤
1
⎤
11
⎡
1
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
12 ⎥
2 ⎥
⎢
⎢
⎢ 2 ⎥
0
⎦ ε =⎢
Y =⎢
⎥ X =⎢
⎥ β =⎣
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
1
⎣
⎦
⎦
⎦
⎣
⎣
1 1
⎡
⎤
P
1 ⎥
⎢
¡ 0 ¢−1 (X0 X)
=1
⎥
XX
X0 X = ⎢
=
P
P
⎣
⎦
|X0 X|
2
1
1
=1
=1
A matriz adjunta é igual à transposta da matriz dos complementos algébricos:
⎤
⎡
P 2
P
−
1 ⎥
¡
¢ ⎢ =1 1
=1
⎥
X0 X = ⎢
⎦
⎣ P
−
1
=1
e
X
¯ 0 ¯
2
¯X X¯ =
1
−
=1
logo
⎡
⎢
⎢
¡ 0 ¢−1 ⎢
⎢
=1
=⎢
XX
⎢
⎢
⎣ −
=1
⎡
⎤
=1
5.3
=1
1
=1
2
−
2 −
1
1
=1
⎡
⎤
=1
1
=1
2
2 −
1
1
=1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎥
̂
=1
⎥ e β̂ = ⎣ 0 ⎦ = ⎢
X0 Y = ⎢
⎢
⎣ P
⎦
⎢
̂ 1
1
⎢
⎣
=1
P
1
!2
2
1
=1
2
2 −
1
1
então
Ã
X
=1
2 −
1
=1
2
1
−
1
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1
=1
=1
=1
=1
2
2
1 −
1
=1
=1
=1
1 −
=1
1
⎤
1
=1
2 −
1
=1
=1
2
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Propriedades dos estimadores dos mínimos quadrados
Tal como referenciado para os estimadores na regressão linear simples, os estimadores β̂ são os mais
eficientes de entre os estimadores lineares não enviesados para β ou seja, são os que têm variância
mínima e por isso se diz que são BLUE (Teorema de Gauss-Markov).
97
h¡
h i
i
h¡
¢−1 ¡ 0 ¢i
¢−1 0
β̂ = X0 X
X (Xβ + ε)
X Y = X0 X
h¡
h
¢−1 0
¡
¢−1 0 i
¡
¢−1 0 i
= X0 X
X Xβ+ X0 X
X ε = β+ X0 X
Xε
como [ε] = 0, então
h i
β̂ = β + 0
As variâncias e covariâncias dos estimadores são definidas da seguinte forma:
∙³
´³
´0 ¸
V = β̂ − β β̂ − β
como β̂ = β+ (X0 X)−1 X0 ε ⇔ β̂ − β = (X0 X)−1 X0 ε logo
h¡
¢−1 0 0 ¡ 0 ¢−1 i ¡ 0 ¢−1 0 £ 0 ¤ ¡ 0 ¢−1
= XX
V = X0 X
X εε X X X
X εε X X X
¡
¢
−1
= 2 X0 X
Esta é uma matriz em que as variâncias amostrais dos estimadores ocupam a diagonal principal e
as covariâncias preenchem as posições fora da diagonal.
Para calcular a matriz de variâncias-covariâncias dos estimadores, é necessário estimar 2 , o
que pode ser feito da seguinte forma:
2 = ̂ 2 =
e0 e
− ( + 1)
onde é o número de coeficientes. O facto de se dividir por − ( + 1) tem a ver com o facto de
se terem estimado + 1 parâmetros da população ( 0 1 ) e assim ao estimar 2 com base
nas observações da amostra, já foram perdidos + 1 graus de liberdade. Naturalmente que para
ser possível estimar 2 + 1
5.4
Coeficiente de correlação parcial
O coeficiente de correlação parcial mede a relação linear entre duas variáveis, quando todas as outras
variáveis são mantidas constantes. No modelo clássico de regressão linear, o coeficiente de correlação
parcial mede a relação entre a variável explicada e cada uma das variáveis explicativas excluindo
os efeitos lineares das outras variáveis explicativas sobre e . Para calcular os coeficientes de
correlação parcial, pode-se recorrer aos coeficientes de correlação linear simples:
23 =
32 =
− ( 3 ) (23 )
q¡ 2
¢¡
¢
2
1 − 2 3 1 − 23
− ( 2 ) (23 )
q¡ 3
¢¡
¢
2
1 − 2 2 1 − 23
98
onde 23 mede a correlação linear entre e 2 supondo que a variável 3 permanece constante
e 32 mede a correlação linear entre e 3 supondo que a variável 2 permanece constante.
O coeficiente de correlação parcial é utilizado com frequência para determinar a importância
relativa das variáveis num modelo de regressão linear múltipla. A relação entre os coeficientes de
correlação parcial e o coeficiente de determinação 2 é dada por
2 23 =
5.5
2 − 2 3
1 − 2 3
O coeficiente de determinação e a tabela ANOVA
Tal como na regressão linear simples, pode-se decompor a variabilidade de em duas componentes
de variabilidade: a variabilidade explicada pela regressão e a variabilidade residual. Suponha-se o
seguinte modelo de regressão linear múltipla
= ̂ 0 + ̂ 1 1 + ̂ 2 2 + + ̂ + ⇔ = ̂ +
ou seja
− ̄
isto é
X
¡
=1
como
P
=1
− ̄
¢2
=
³
´
2 ̂ − ̄ = 0, então
X
¡
=1
= ̂ − ̄ +
³
´
= ̂ − ̄ +
³
´2 X
³
´
X
X
2 +
2 ̂ − ̄
̂ − ̄ +
=1
− ̄
=1
¢2
=
=1
³
´2 X
X
2
̂ − ̄ +
=1
=1
ou seja, a variação total de ( ) pode ser dividida em duas partes: a variação explicada ()
e a variação residual () O coeficiente de determinação 2 será definido por
¢2
P ¡
=1 − ̄
2
=
=P ³
´2 = 1 −
=1 ̂ − ̄
Este coeficiente pode variar entre 0 e 1 e quanto maio é o seu valor, maio é o poder explicativo da
regressão.
O problema do coeficiente de determinação 2 como medida de qualidade do ajustamento,
reside no facto de se referir apenas à variação explicada de e não levar em consideração os
99
graus de liberdade que lhe estão associados. Uma alternativa é considerar as variâncias em vez
¡ ¢
das variações, resultando no coeficiente de determinação corrigido ̄2 e eliminando-se assim a
dependência da qualidade do ajustamento do número de variáveis explicativas que fazem parte do
modelo (de relembrar que a variância é igual à variação dividida pelos graus de liberdade. Neste
caso:
2
̄ = 1 −
2
=1
−−1
2
( −̄ )
=1−
=1
( − − 1)
( − 1)
−1
Sempre que novas variáveis são introduzidas no modelo, há que verificar:
a) A soma dos quadrados dos resíduos diminui ou permanece inalterada e 2 eleva-se ou permanece
constante;
b) Se o valor de ̄2 baixar, significa que o ganho em 2 é insuficiente para compensar a perda
de graus de liberdade que lhe está associada, resultando numa diminuição da qualidade do
ajustamento.
Tal como foi visto para a regressão linear simples, a tabela ANOVA para a regressão linear
múltipla é definida da seguinte forma:
Fonte da variação
Regressão
Soma de quadrados
=
³
P
=1
Erro
P
=
2
=1 ´
³
2
P
−̂
=
=1
Total
̂ −̄
=
´2
¡
¢2
P
−̄
=1
g.l.
Quadrado médio
( + 1) −1
=
(̂ −̄ )
−−1
=
( −̂ )
−−1
2
=1
2
=1
−1
O teste é utilizado para avaliar a significância estatística do modelo como um todo, a partir
do teste à significância de 2 A estatística F com e − − 1 graus de liberdade permite testar se
nenhuma das variáveis explicativas contribui para explicar a variação de em relação à sua média.
As hipóteses colocadas são
0 : 1 = 2 = = = 0
1 : ∃ 6= 0
A estatística do teste é definida por
100
−−1
2
−−1 =
=
1 − 2
−−1
5.6
Inferência na regressão múltipla
5.6.1
Inferência sobre um só parâmetro
Para se poder proceder à análise inferencial (intervalos de confiança e testes de hipóteses) dos
parâmetros na análise de regressão múltipla para parâmetros individuais, o processo é muito semelhante ao apresentado para a regressão linear simples. Na secção onde são apresentadas as propriedades dos estimadores dos mínimos quadrados verificou-se que a variância é dada por
logo os estimadores
em que o estimador para 2 é ̂2
³ ´
¢−1
¡
V β̂ = 2 X0 X
³
¢−1 ´
¡
β̂ ∼ N β 2 X0 X
A estatística
=
̂ −
∼ −−1
̂
segue uma distribuição com −−1 graus de liberdade. Esta estatística pode ser usada para testar,
por exemplo, a significância de um determinado parâmetro (0 : = 0)2 ou um determinado valor
para o parâmetro em causa. O teste seria formulado da seguinte forma:
0 : = 0
e as hipóteses alternativas
¡
¢
1 : 6= 0 ⇒ ≤ −−−12 ou ≥ −−12 =
1 : 0 ⇒ ( ≤ −−−1 ) =
1 : 0 ⇒ ( ≥ −−1 ) =
2
̂
De salientar que se se testar a significância de um parâmetro, o valor da estatística = depende do valor da
̂
estimativa ̂ e do seu desvio-padrão. Se o estimador for muito preciso, ou seja, se ̂ for muito pequeno, é natural
que se rejeite a hipótese nula 0 : = 0, mesmo que ̂ tenha uma valor próximo de zero.
101
Para além de testes de hipótese, podem construir-se intervalos de confiança:
´
³
̂ − 2(−−1) ̂ ≤ ≤ ̂ + 2(−−1) ̂ = 1 −
i
h
̂ − 2(−−1) ̂ ; ̂ + 2(−−1) ̂
5.6.2
Teste sobre um subconjunto de parâmetros
Para testar a aderência global do modelo é utilizado o teste , tal como foi mostrado na secção
anterior. Contudo pode haver interesse em testar apenas uma parte do modelo, saber se um
conjunto de variáveis têm ou não significância. Por exemplo, imagine que o modelo inicial tem
variáveis explicativas, mas pretende-se analisar a significância de 1 variáveis, sendo 1
A hipótese nula a testar é:
0 : 1 = 2 = = 1 = 0
Se a hipótese nula não for rejeitada, então o modelo pode ser escrito por
= 0 + 1 +1 1 +1 + 1 +2 1 +2 + + +
(5.1)
incluindo apenas as variáveis − 1
Para a realização do teste há que estimar a soma dos quadrados dos resíduos ( ∗ ) referente
ao modelo especificado na equação (5.1), calcular a soma dos quadrados dos resíduos do modelo
global () e calcular a seguinte estatística:
∗ −
1
=
−−1
∼ 1 −−1
A intuição por detrás deste teste é que se a hipótese nula é verdadeira, então ∗ e
não divergem muito. Se a diferença entre estes for muito grande ( ∗ ), quer dizer que a
inclusão de todas as variáveis no modelo leva a que a soma dos quadrados dos resíduos diminua o
bastante para rejeitar a exclusão de certas variáveis.
5.6.3
Teste sobre a combinação linear dos parâmetros
Em certos casos pode fazer sentido testar um determinado valor para a combinação linear dos
parâmetros. Neste caso a hipótese nula é definida por
0 : 0 0 + 1 1 = 2 2 = = 1 = ⇔ 0 : c0 β = u
102
A estatística a usar é dada por
c0 β̂ − u
=r
³ ´ ∼ −−1
c0 β̂
r
i
³ ´ r h
onde c0 β̂ = c0 2 (X0 X)−1
Exemplo:
Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas
=
onde é o output produzido, é a quantidade de capital, L é a quantidade de trabalho. A soma
+ indica se a função apresenta ou não rendimentos constantes à escala ( + = 1), decrescentes
à escala ( + 1) ou crescentes à escala ( + 1)
O modelo estatístico associado pode ser descrito da seguinte forma:
=
que pode ser logaritmizado3 , ou seja
ln = ln + ln + ln + ln
= + ln + ln +
A hipótese nula colocada é
0 : + = 1 ⇔
h
⎡
⎤
i⎢
⎥
⎥
0 1 1 ⎢
⎣ ⎦ = 1
A hipótese alternativa poderia ser :
¡
¢
1 : + 6= 1 ⇒ ≤ −−−12 ou ≥ −−12 =
1 : + 1 ⇒ ( ≤ −−−1 ) =
1 : + 1 ⇒ ( ≥ −−1 ) =
3
Para uma melhor explicação da transformação linear deste modelo vide o Capítulo Transformações lineares.
103
5.7
Predição com regressão linear múltipla
Tal como apresentado para a regressão linear simples, pode realizar-se predição pontual e intervalar
com a regressão linear múltipla. A predição pontual obtém-se a partir de um determinado valor
de , por exemplo
+1 = 0 + 1 1+1 + 2 2+1 + + +1 + +1
onde [+1 ] = 0 Se se utilizarem os estimadores dos mínimos quadrados, então
̂+1 = ̂ 0 + ̂ 1 1+1 + ̂ 2 2+1 + + ̂ +1 = X0+1 β̂
Caso se pretenda proceder a uma estimação intervalar, há que estimar a variância do erro de
previsão, ou seja
i
h
i
h
¢−1
¡
X+1
̂+1 − +1 = 2 1 + X0+1 X0 X
O intervalo de confiança, com um grau de confiança de 1 − para +1 será dado por
r h
i
̂+1 +̄−−12 2 1 + X0+1 (X0 X)−1 X+1
5.8
Variáveis dummy
Até agora, as variáveis explicativas utilizadas nos modelos de regressão estudados, são puramente
quantitativas. Contudo, poderão haver situações em que existe necessidade de incluir variáveis
explicativas do tipo qualitativo (variáveis dummy). Por exemplo se se quiser estudar as notas finais
dos exames do 12. ano, podemos ter em conta a idade dos alunos (variável quantitativa), também
o sexo dos alunos (variável qualitativa), a região de onde são provenientes (variável qualitativa), se
a escola em que estudaram é pública ou privada (variável qualitativa), etc.
A questão que se coloca é como operacionalizar em termos de cálculo factores que são de ordem
qualitativa, mas em primeiro lugar há que distinguir entre as diferentes variáveis qualitativas que
se podem usar.
5.8.1
Variáveis binárias, dicotómicas ou dummy
Estas variáveis tomam o valor 0 ou 1 consoante um de dois resultados ocorre. As variáveis dummy
são das variáveis discretas, aquelas que são mais utilizadas em trabalhos aplicados. Se se pretender estudar a diferenciação salarial entre homens e mulheres de uma dada categoria, numa certa
104
empresa, a variável dummy a utilizar seria, por exemplo
⎧
⎨ 0 se é sexo masculino
=
⎩ 1 se é sexo feminino
5.8.2
Variáveis policotómicas
Estas variáveis podem tomar, numa numeração discreta, mais que dois valores possíveis, podendo
ser de dois diferentes tipos:
1. Variáveis não ordinais, nas quais não há uma ordenação natural das alternativas, por exemplo
⎧
⎪
1 se a pessoa vai de carro sozinha para o trabalho
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2 se a pessoa partilha o carro com pelo menos 1 indivíduo
;
=
3 se a pessoa vai de metro para o trabalho
⎪
⎪
⎪
⎪
4 se a pessoa vai de autocarro para o trabalho
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
5 se a pessoa vai a pé para o trabalho
2. Variáveis ordinais, onde existe uma ordem natural. Exemplo:
⎧
⎪
⎪
⎨ 1 se a pessoa tem uma saúde fraca
=
2 se a pessoa tem uma saúde razoável
⎪
⎪
⎩
3 se a pessoa tem uma saúde excelente
3. Esta ordenação também pode ser sequencial, por exemplo:
⎧
⎪
1 sem diploma
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2 diploma do ensino secundário
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 3 diploma de bacharelato
=
⎪
⎪
4
diploma
de
licenciatura
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5 diploma de mestrado
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 6 diploma de doutoramento.
Estas variáveis podem ser representadas na forma numérica em termos de variável dummy.
Suponha-se que se pretende analisar o rendimento mensal obtido das pessoas de uma determinada
região, de acordo com as suas habilitações académicas. Se se tomar em conta a ordenação sequencial
apresentada anteriormente, uma forma possível é classificar os níveis de habilitação pelo grau mais
105
elevado de certificado obtido. As variáveis dummy podem ser definidas por:
Habilitações
1
2
3
4
5
Sem diploma
0
0
0
0
0
Diploma do ensino secundário
1
0
0
0
0
Diploma de bacharelato
0
1
0
0
0
Diploma de licenciatura
0
0
1
0
0
Diploma de mestrado
0
0
0
1
0
Diploma de doutoramento
0
0
0
0
1
Onde 1 , 2 , 3 , 4 e 5 as variáveis dummy para o grau de certificado mais elevado que
a pessoa apresenta. Se se quiser modelar o rendimento ( ) através do nível de habilitação das
pessoas, então
= 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 +
O rendimento esperado dado o nível de habilitação será dado por
[ | ] = 0 +
= 1 5
É de referenciar que o número de variáveis dummy a criar para representar os diversos atributos
() assumidos por uma variável de tipo qualitativo será igual a − 1 Por exemplo, neste caso
a variável podia assumir 6 diferentes valores e por isso basta usar 5 variáveis dummy. Se se
conhecerem − 1 variáveis, sabe-se automaticamente o valor da -ésima variável. Caso fossem
incluídas variáveis dummy no modelo, incorrer-se-ía em problemas de multicolinearidade e uma
P
variável poder-se-ía escrever como combinação linear das restantes, pois 6=1 = 1, e assim
6 = 1 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 , condição impeditiva para a obtenção de uma solução única na
resolução do sistema que permite o cálculo dos mínimos quadrados.4
5.8.3
Alteração na intersecção na origem
Podem existir situações em que a variável dummy apenas influencia a intersecção na origem, sendo
também designada esta acção de inclusão de variáveis dummy na forma aditiva. Neste caso o
modelo pode ser descrito por:
= 0 + + 1 +
4
Esta situação também costuma ser designada por "armadilha das variáveis dummy".
106
Neste caso, a variável dummy irá influenciar a parte constante da regressão e o resultado desta
parte será
⎧
⎨ se = 0
0
⎩ + se = 1
0
Neste caso, o coeficiente indica o deslocamento na intersecção na origem, mantendo-se constante
o declive.
Exemplo:
Um estudo sobre as notas médias dos exames finais de matemática do 12. ano a uma escola
de Lisboa, revelou que existe uma relação negativa destas para com a idade dos alunos. Foram
analisados 200 alunos e obteve-se o modelo de regressão
h i = 24 716 − 0 6227
onde h i é a nota média e é a idade do aluno. Um investigador supôs que esta situação não
seria independente do sexo do aluno e considerou que tal facto influenciaria a parte da nota que é
independente da idade. O modelo a estimar seria dado por
h i = 0 + + 1 +
onde
⎧
⎨ 0 se é sexo masculino
=
⎩ 1 se é sexo feminino
Os resultados obtidos com o método dos mínimos quadrados foram
h i = 24 748 + 0 8228 − 0 6159
Para uma mais fácil interpretação, pode ver-se que
⎧
⎨
h i = 24 748 − 0 6159 se = 0
⎩ h i = 24 748 + 0 8228 − 0 6159 se = 1
Ou seja, para alunos da mesma idade, estima-se que uma aluna obtenha uma nota na prova final
de matemática superior em 0 8228 valores à nota de um aluno!
O coeficiente pode ser alvo de teste e avaliada a sua significância. As hipóteses a formular
neste caso são
0 : = 0
1 : 6= 0
107
5.8.4
Alteração do declive
A inclusão de variáveis dummy na forma multiplicativa pode promover alterações no declive da
regressão. O modelo para este tipo de situações pode definir-se do seguinte modo:
= 0 + 1 + +
ou seja
= 0 + ( 1 + ) +
Exemplo:
Considere-se novamente o exemplo anterior referente ao estudo sobre as notas médias dos exames
finais de matemática do 12. ano a uma escola de Lisboa. Após pensar melhor, o investigador conclui
que possivelmente o sexo dos alunos influenciava as notas, mas de forma dependente com a idade,
isto porque se considera que as raparigas "amadurecem"mais cedo que os rapazes.
Neste caso o modelo a formular seria:
h i = 0 + ( 1 + ) +
onde
⎧
⎨ 0 se é sexo masculino
=
⎩ 1 se é sexo feminino
Se se assumisse que o sexo do aluno influencia não só a parte da nota que é independente da idade,
mas também a parte que é explicada pela idade, o modelo seria descrito por:
h i = 0 + + ( 1 + ) +
5.9
Exercícios
1. Admita que lhe foi disponibilizada a seguinte informação sobre a relação entre as variáveis
1 e 2 para com :
⎡
0 = ⎣
50 5
−66 2
−66 2
967 1
⎤
⎦
⎡
0 = ⎣
36 8
39 1
⎤
⎦
= 89 0 = 113 6 ̄ = 5 8 ̄1 = 2 9 ̄2 = 3 9
a) Estime a equação de regressão = 0 + 1 1 + 2 2 +
b) Qual a interpretação que daria a 0 ? E a 1 ?
108
c) Teste a hipótese que 1 = 2 contra a hipótese que 1 6= 2 Caso a hipótese alternativa
fosse que 1 2 , o resultado seria muito diferente?
d) Será que se pode afirmar que se pode excluir do modelo a variável 2 ?
e) Imagine que se tratava de um função de produção Cobb-Douglas, por isso gostaria de
testar se existem rendimentos à escala. O que faria para testar tal hipótese?
2. Num estudo para avaliar prédios urbanos de habitação numa zona central da cidade de Évora,
foram obtidos os seguintes resultados:
̂ = 6000 + 3501 + 150002
2 = 0 8 1 2 = 0 92
onde ̂ é o valor de um apartamento novo em euros, 1 é a área total em 2 e 2 é o número
de assoalhadas.
a) Estime o preço de um apartamento novo com 3 assoalhadas e 150 2 .
b) Intreprete os valores das estimativas dos parâmetros.
c) Um analista detectou um problema no modelo estimado, por isso procedeu a uma alteração
no mesmo na tentativa de o corrigir, obtendo um novo modelo:
̂ = 6625 + 1050 125 + 117822
2 = 0 875
onde = 1 2 Fundamente a posição do analista e comente o novo modelo.
3. Foram obtidos valores referentes aos rendimentos médios de dirigentes de empresas, tendo
sido analisadas como variáveis explicativas o sexo () e o nível de habilitação (). A variável
é definida da seguinte forma:
⎧
⎪
⎪
⎨ 1 sem diploma de ensino superior
=
2 diploma de licenciatura
⎪
⎪
⎩
3 diploma de mestrado ou doutoramento
e a variável é definida por
⎧
⎨ 0 se é sexo masculino
=
⎩ 1 se é sexo feminino
109
Tendo em conta as variáveis especificadas, foi proposto o seguinte modelo:
= 0 + 2 2 + 3 3 + 4 +
e os dados obtidos foram:
2
3
8
0
0
0
10
0
0
0
12
0
0
0
12
1
0
0
14
1
0
0
20
0
1
0
22
0
1
0
5
0
0
1
6
0
0
1
10
1
0
1
12
1
0
1
20
0
1
1
24
0
1
1
onde é o valor do rendimento médio mensal em milhares de euros.
a) Defina ao variáveis 2 e 3 .
b) Estime o modelo pelo método dos mínimos quadrados (use por exemplo o excel).
c) Intreprete os coeficientes das variáveis.
110
Capítulo 6
Transformações lineares
Os modelos intrinsecamente lineares podem ou não ser lineares em relação às variáveis, mas têm de
ser necessariamente lineares em relação ao parâmetros. Dada a existência de uma grande variedade
de modelos não-lineares, pretende-se mostrar que ainda que hajam não-linearidades aos nível dos
parâmetros, estes modelos podem ser convertidos em modelos intrinsecamente lineares através das
transformações apropriadas nas variáveis. Será dada especial atenção os modelos de regressão:
linear-log, semilogarítmico (ou log-linear), log-log, função inversa e modelo polinomial.
6.1
Modelo linear-log
Seja a função exponencial
= 1
se se logaritmizarem ambos os lados da equação obtém-se
= 0 + 1 ln +
Como facilmente se pode verificar, no modelo linear-log a variável explicada não se altera e a
variável explicativa surge na forma logarítmica. Assim sendo, a normal interpretação realizada
para 1 , deixa de fazer sentido, uma vez que a derivada de em ordem a já não é o simples
parâmetro, mas sim
= 1
Neste caso quando 1 0, as variações de em relação às variações de são uma função
decrescente de , ou seja o efeito marginal de em espera-se que diminua à medida que
aumenta.
Exemplo:
111
Seja a produção em toneladas de trigo e o número de hectares cultivados e ∆ ∆ é o
produto marginal de cada hectare extra cultivado. Admite-se que o produto marginal decresce à
medida que o número de hectares cultivados aumenta. Isto sugere uma diminuição da produção
marginal de trigo por hectare. Neste caso o modelo linear-log será o mais adequado.
ln
1
500
0,00
2
1000
0,69
3
1400
1,10
4
1700
1,39
5
1900
1,61
6
2200
1,79
7
2350
1,95
8
2500
2,08
9
2550
2,20
10
2650
2,30
11
2750
2,40
12
2850
2,48
3000
3000
2500
2500
2000
2000
y = 983,86Ln(x) + 390,44
R2 = 0,9936
Y 1500
Y 1500
1000
1000
500
500
0
y = 983,86x + 390,44
R2 = 0,9936
0
0
5
10
15
0
0,5
1
X
1,5
ln X
Figura 6.1: Exemplo de modelo linear-log.
112
2
2,5
3
6.2
Modelo semilogarítmico (ou log-linear)
Admita-se o seguinte modelo:
= exp ( 0 + 1 + )
que pode ser expresso da seguinte forma:
ln = 0 + 1 +
Este modelo é usualmente designado por log-linear ou semilogarítmico e é útil quando a variável
explicativa é o tempo e a variável explicada cresce (ou decresce) a uma taxa relativamente constante.
A derivada é dada por
ln
= 1
ou seja, se 1 0 à medida que aumenta uma unidade, cresce a uma taxa constante e 1 é
o efeito marginal de em ln e representa a taxa de variação contínua. Contudo, um modelo de
crescimento constante tanto pode ser formulado no domínio do tempo discreto como no domínio
do tempo contínuo. Admita-se o seguinte modelo
= 0 (1 + )
onde é o preço de um determinado activo, é o tempo e é uma taxa de variação discreta. Então
o modelo pode- reescrever-se do seguinte modo
ln = ln 0 + ln (1 + )
Fazendo = ln = 0 = ln 0 e 1 = ln (1 + ) a relação pode ser descrita por
= 0 + 1
O modelo transformado e introduzido o erro, é dado por
ln = 0 + 1 +
que é uma forma particular do modelo log-linear. Para se estimar a taxa de crescimento , há que
calcular o logaritmo dos valores originais da regressão, depois procede-se à regressão de ln em
relação a uma constante e à variável .
Dado que ̂ 0 = ln ̂0 e ̂ 1 = ln (1 + ̂), então
̂0 = ̂ 0 e ̂ = ̂ 1 − 1
113
Exemplo:
O valor do PIB anual português (em 106 euros) é apresentado na seguinte tabela. Qual a taxa
de variação anual?
:
( − −1 ))−1
ln
1
45115
-
10,717
2
47358
0,0497
10,765
3
49157
0,0379
10,803
4
50402
0,0253
10,828
5
51901
0,0297
10,857
6
51294
-0,0117
10,845
7
52872
0,0307
10,876
8
54863
0,0376
10,913
9
56525
0,0303
10,942
10
58873
0,0415
10,983
70000
11
60000
10,95
50000
y = 44761e0,0262x
10,9
R2 = 0,9662
40000
Y
ln Y 10,85
30000
20000
10,8
10000
10,75
0
y = 0,0262x + 10,709
R2 = 0,9662
10,7
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
t
6
8
10
12
t
Figura 6.2: Exemplo de um modelo log-linear.
Os resultados indicam que ̂ 1 = 0 026152 como ̂ 1 = ln (1 + ̂) então ̂ = 0026152 − 1 =
0 026497 Já ̂0 = 10109 = 44760 84
Os resultados indicam que o PIB português cresceu a uma taxa média de 2,6% ao ano, sendo
que no início, o PIB estimado foi de 44760 84 ×106 euros
114
6.3
Modelo log-log
Admita-se o seguinte modelo
= 0 1
que pode ser definido por
ln = + 1 ln +
onde = ln 0 Este modelo é linear nos parâmetros e 1 e linear no logaritmo das variáveis e
, podendo ser estimado facilmente pelo método dos mínimos quadrados desde que as respectivas
hipóteses se verifiquem. O declive 1 mede a elasticidade de em relação a , ou seja, mede
aproximadamente a variação percentual em por cada variação percentual em . Veja-se que
ln
= 1
O modelo log-log é muito usado na estimação de factores de produção e de funções procura. Veja-se
por exemplo a função Cobb-Douglas:
=
onde representa o factor capital e o factor trabalho. Tomando os logaritmos, obtém-se
ln = ln + ln + ln + ln
= + ln + ln +
Neste caso, e são as elasticidades da produção em relação ao capital e trabalho, respectivamente
pois:
ln
ln
=
1
=
=
e
ln
ln
=
1
=
=
115
6.4
Relações inversas
Uma forma funcional frequentemente utilizada para estimar curvas de procura é a transformação
inversa:
1
+
Se 1 0 o declive é sempre negativo e se 1 0 o declive será positivo, pois 1 → 0 à medida
= 0 + 1
que → ∞ o que é comprovado pela derivada:
= − 12
Outra aplicação interessante pode ser a análise do desvio-padrão de carteiras de títulos, à medida
que o número de títulos em carteira aumenta.
Exemplo:
N.º Tit. (X)
2
Carteira A
3
Carteira B
4
Carteira C
5
Carteira D
6
Carteira E
7
Carteira F
8
Carteira G
9
Carteira H
10
Carteira I
11
Carteira J
12
Carteira L
13
Carteira M
14
Carteira N
15
Carteira O
16
Carteira P
17
Carteira Q
18
Carteira R
19
Carteira S
20
Carteira T
21
Carteira U
22
Carteira V
23
Carteira X
Variância
0,000226
0,000382
0,000187
0,000150
0,000340
0,000131
0,000130
0,000182
0,000093
0,000156
0,000138
0,000104
0,000135
0,000135
0,000117
0,000108
0,000105
0,000104
0,000097
0,000097
0,000096
0,000095
desvio-padrão
0,01502
0,01955
0,01367
0,01226
0,01845
0,01142
0,01140
0,01350
0,00963
0,01250
0,01173
0,01021
0,01160
0,01162
0,01081
0,01041
0,01027
0,01020
0,00987
0,00984
0,00980
0,00976
1/X
0,50000
0,33333
0,25000
0,20000
0,16667
0,14286
0,12500
0,11111
0,10000
0,09091
0,08333
0,07692
0,07143
0,06667
0,06250
0,05882
0,05556
0,05263
0,05000
0,04762
0,04545
0,04348
Se se estimar a relação pelo método dos mínimos quadrados, obtém-se
Onde ̂ =
0 0099
( =1565639)
+
0 017
( =4470763)
1
2
, com = 0 4998
116
0,02500
0,02000
0,01500
Y
y = 0,017x + 0,0099
R2 = 0,4998
0,01000
0,00500
0,00000
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
1/X
Figura 6.3: Exemplo de relação inversa.
6.5
Modelos polinomiais
Em diversos casos, é considerado um polinómio para explicar o comportamento da variável explicada
ou dependente. Este tipo de modelo pode ser escrito da seguinte forma:
= 0 + 1 + 2 2 + + +
Normalmente, a formulação mais usada é a quadrática ( = 2) e é muito usada para estimar funções
custo e outras relações não-lineares.
O efeito marginal de em será dado por:
= 1 + 2 2 + + −1
De um modo geral, deve-se tentar evitar o uso de polinómios de graus superior a 2, pois por
cada termo adicional perde-se um grau de liberdade o que leva a uma redução na precisão das
estimativas e na potências dos testes realizados. Além disso, a forte correlação que pode existir
entre 2 pode dificultar a correcta estimação dos parâmetros e torna os coeficientes
individuais menos precisos.
117
Capítulo 7
Verificação das hipóteses do modelo
clássico de regressão linear
No modelo clássico de regressão linear são tomados pressupostos quanto ao comportamento dos
resíduos, que possibilitam a estimação dos parâmetros de forma eficiente e não enviesada através
do método dos mínimos quadrados. As principais hipóteses colocadas são: () a normalidade dos
resíduos; () a homocedasticidade ou variância constante e () a ausência de autocorrelação.
No que toca às variáveis, a hipótese colocada em modelos de regressão múltipla é a ausência de
multicolinearidade.
Nas seguintes secções são apresentados alguns testes para verificar estas hipóteses, bem como
possíveis soluções para situações em que os pressupostos não são respeitados.
7.1
Normalidade dos resíduos
A hipótese de que os resíduos são normalmente distribuídos é muito importante para a realização
de testes de hipóteses e intervalos de confiança sobre os parâmetros e para verificar esta hipótese
podem ser usados testes aos coeficientes de assimetria e de curtose, o teste Jarque-Bera e o teste
Kolmogorov-Smirnov.
Quando a hipótese de normalidade dos resíduos não é respeitada, os estimadores dos mínimos
quadrados continuam a ser não enviesados e eficientes, contudo não se pode testar a significância
estatística das suas estimativas, visto que os testes clássicos baseiam-se na hipótese de normalidade.
Ainda que a distribuição não seja normal, pode recorrer-se ao Teorema do Limite Central, quando
se têm grandes amostras, para justificar a normalidade.
118
7.1.1
Testes aos coeficientes de assimetria e de curtose
No primeiro capítulo foram apresentadas as medidas de assimetria (skewness) e curtose (kurtosis),
assim como a sua forma de cálculo através dos das medidas de localização e de dispersão e dos
Momentos. Para a realização destes testes são tidas em contas a assimetria e a curtose calculadas
a partir dos momentos, dada a sua maior generalidade.
Quando uma distribuição é simétrica (como é o caso da normal) os momentos de ordem ímpar
em relação à média são nulos, e por isso o valor da assimetria () será nulo também. Caso
a distribuição seja assimétrica positiva então o valor de é positivo e quando é negativo a
distribuição é assimétrica negativa. No que toca à curtose (), sabe-se que se tiver o valor 3 a
distribuição será mesocúrtica (caso da distribuição normal). Quando 3 diz-se que a curva é
leptocúrtica e se 3 e distribuição diz-se platicúrtica.
Quando as variáveis têm distribuição normal e a dimensão das amostras é grande, os estimadores
da assimetria e da curtose são normalmente distribuídos:
à r !
6
∼ 0
à r !
24
∼ 3
onde é a dimensão da amostra.
O teste à normalidade baseado nestas medidas deve realizar-se do seguinte modo:
1. Formalização das hipóteses
0 : = 0 1 : 6= 0
0 : = 3 1 : 6= 3;
2. Escolha do teste:
̂
= q ∼ (0 1)
6
̂ − 3
e = q
∼ (0 1)
24
onde ̂ − 3 se costuma designar por excesso de curtose;
¡
¢
3. Determinação da região de aceitação e da região de rejeição +2 ;
4. Tomada de decisão: rejeitar 0 quando | | 2 e | | 2
119
7.1.2
Teste de Jarque-Bera
O teste à normalidade de Jarque-Bera é um teste assimptótico (para grandes amostras) e é baseado
no valores dos coeficientes de assimetria e curtose. Este teste pode ser descrito por:
1. Definição das hipóteses
¡
¢
0 : ∼ 2
¡
¢
1 : ¿ 2
̂
q ∼ (0 1)
̂ − 3
q
∼ (0 1)
2. Escolha do teste: como
e
6
então1
⎡
⎤2
̂
⎣ q ⎦ ∼ 21
Logo,
=
̂ 2
6
24
e
6
+
³
´2
̂ − 3
24
⎤2
̂
−
3
⎣ q ⎦ ∼ 21
⎡
⎡
24
³
´2 ⎤
̂
−
3
⎢
⎥
+
= ⎣
⎦ ∼ 22
6
24
̂ 2
3. Valor do teste e tomar a decisão, ou seja se 22 rejeitar 0
Este teste pode ser realizado com o software Eviews.
7.1.3
Teste de Kolmogorov-Smirnov
O teste à normalidade de Kolmogorov-Smirnov é baseado na definição da função distribuição normal, sendo medidos os desvios da distribuição empírica face à primeira. Seja ̂ () a função de
distribuição empírica e 0 () a função de distribuição normal. O teste de Kolmogorov-Smirnov
compara as distâncias, em valor absoluto, entre a função de distribuição empírica e a função de
distribuição de probabilidade teórica, isto é
=
sup
−∞+∞
¯
¯
¯
¯
¯̂ () − 0 ()¯
A regra de decisão é rejeitar 0 sempre que (valor crítico obtido a partir da tabela de
Kolmogorov-Smirnov). Este teste pode ser realizado com o software SPSS.
1
O quadrado de uma variável aleatória com distribuição normal estandartizada, tem distribuição qui-quadrado
com 1 grau de liberdade.
120
7.2
Multicolinearidade
O termo multicolinearidade é usado para indicar a presença de relações lineares (ou não-lineares)
entre as variáveis explicativas utilizadas no modelo de regressão linear. Este problema coloca-se
quando 2 ou mais variáveis estão fortemente (ainda que não perfeitamente) correlacionadas entre
si. Caso a correlação entre 2 ou mais variáveis explicativas seja perfeita, então as estimativas dos
mínimos quadrados são indeterminadas pois as equações irão admitir uma infinidade de soluções
(soluções múltiplas).
Caso as variáveis explicativas sejam perfeitamente independentes em termos lineares ( = 0),
diz-se que são ortogonais e não há qualquer problema para estimar os parâmetros dos mínimos
quadrados.
A multicolinearidade tem várias causas:
a) Existe uma tendência para as variáveis económicas variarem no mesmo sentido ao longo do
tempo. Ex: rendimento, consumo, preços;
b) A utilização de factores desfasados de algumas variáveis explicativas como factores independentes na relação;
c) A má especificação do modelo, ou seja, quando o modelo proposto não é o mais adequado para
os dados;
d) Quando um modelo está sobredeterminado, ou seja, quando o número de variáveis explicativas
é superior ao número de observações.
Em termos de efeitos, a multicolinearidade para as estimativas do mínimos quadrados leva a
que:
i ) Se pelo menos 2 variáveis forem perfeitamente correlacionadas, a característica da matriz X0 X
é inferior a + 1 e então |X0 X| = 0, ou seja, é impossível obter (X0 X)−1 e por isso não se
conseguem estimar os parâmetros ̂ e ̂ 2 ;
ii ) Se existir uma correlação forte entre 2 ou mais variáveis explicativas, os estimadores dos mínimos quadrados continuam a ser BLUE, mas tal não significa que a sua variância seja necessariamente pequena em relação às estimativas para os coeficientes;
iii ) A presença de multicolinearidade faz elevar o erro padrão dos estimadores e reduz o valor
das estatística , tornando as estimativas menos significativas e até insignificantes estatistica121
mente:
³ ´
¢−1
¡
,
̂ = 2 X0 X
³ ´
¡
¢−1
se X0 X
−→ 0 ⇒ ̂ −→ ∞;
iv ) Pequenas alterações nos dados (retirar ou acrescentar um pequeno número de observações)
pode produzir alterações substanciais nos valores dos estimadores;
v ) A covariância entre os estimadores é muito elevada, dificultando a interpretação dos coeficientes
individuais, visto que é complicado separar o efeito de cada variável.
Para detectar a presença de multicolinearidade não existe um método único, mas podem ser
aplicadas algumas regras e pistas:
¢
¡
• Um valor do coeficiente de determinação muito elevado 2 ≥ 0 8 e valores baixos para as
estatísticas de cada um dos estimadores, levando a uma contradição entre o teste e o teste
, pode indiciar a presença de multicolinearidade;
• Valores elevados para o coeficiente de correlação linear entre cada par de variáveis explicativas,
esta condição é suficiente mas não é necessária pois pode haver multicolinearidade sem que
tais correlações apresentem valores muito elevados;
• As estimativas dos mínimos quadrados são muito sensíveis a pequenas alterações nos dados;
• Os coeficientes têm um sinal contrário ao esperado ou preconizado pela teoria, etc.
Em caso de existência de multicolinearidade, pode-se recorrer a várias possíveis soluções, nomeadamente:
• Ignorá-la, desde que o investigador esteja mais preocupado com a utilização do modelo para
previsão do que em interpretar os coeficientes individuais, além disso se economicamente fizer
sentido que uma variável faça parte do modelo, é preferível mantê-la ainda que se incorra em
problemas de multicolinearidade;
• Eliminar a variável que apresenta a estatística mais baixa, o que pode tornar muito mais
significativos os coeficientes das restantes variáveis;
• Aumentar a dimensão da amostra;
• Recorrer a técnicas estatísticas multivariadas, etc.
122
7.3
Heterocedasticidade
No modelo clássico de regressão linear é pressuposto que os resíduos têm variância constante, ou
seja, são homocedásticos. Contudo, existem muitas situações em que esta hipótese não é verificada
empiricamente, o que significa que a dispersão dos resíduos não é constante. Um exemplo é a
análise dos resultados líquidos e capitais próprios da empresas de diferente dimensão. Pode ocorrer
que a dispersão dos resultados aumenta à medida que aumenta a dimensão da empresa. Neste caso
diz-se que existe evidência de heterocedasticidade, ou seja
¡ ¢
( ) = 2 = 2 , = 1
Admitindo que existe heterocedasticidade, mas que o valor esperado dos resíduos é zero e que
estes não estão correlacionados, as consequências da violação desta hipótese são de diversa ordem.
Os estimadores dos mínimos quadrados continuam a ser centrados e consistentes, uma vez que
[ ] = 0 e [ ] = 0, mas deixam de ser eficientes, pois passa a ser possível encontrar estimadores lineares centrados com menor variância em comparação com os estimadores dos mínimos
quadrados. Assim sendo, os estimadores deixam de ser BLUE, pois na demonstração do teorema
de Gauss-Markov, foi necessário assumir que existir homocedasticidade para garantir a eficiência
dos estimadores. Além disso os testes de hipóteses e inferência estatística para os estimadores
deixam de ser válidos, pois as variâncias e covariâncias dos estimadores dos mínimos quadrados são
enviesados e inconsistentes.
7.3.1
Formas de testar a heterocedasticidade
Existem várias formas de realizar testes à homocedasticidade, desde a simples análise gráfica dos
resíduos (que não é 100% fiável) até à realização de testes mais sustentados, nomeadamente o teste
de Breush-Pagan, o teste de White e o teste de Engle.
Teste de Breush-Pagan
Neste teste admite-se que a variância dos resíduos não é constante e está relacionada com um
determinado número de variáveis 1 2 , em que até podem ser variáveis explicativas do
modelo. Assim, se o modelo de regressão linear for descrito por
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
cuja variância é dada por
2 = 0 + 1 1 + 2 2 + +
123
então se 1 2 = 0, a variância será constante, não existem indícios de heterocedasticidade.
O teste consiste em:
1. Formalização das hipóteses:
0 : 1 2 = 0
1 : ∃ 6= 0
2. Estimar os parâmetros através do método dos mínimos quadrados, calcular ̂ 2 =
´
³
onde = − ̂ 0 + ̂ 1 1 + ̂ 2 2 + + ̂
P
2
=1
3. Caso exista heterocedasticidade, é provável que exista uma relação entre o quadrado dos
¡ ¢
resíduos 2 e as variáveis . Neste sentido, é estimada a seguinte regressão
2
= 0 + 1 1 + 2 2 + + + ;
2
onde 2 é o estimador de 2
4. Calcular a soma de quadrados da regressão () e a seguinte estatística:
=
∼ 2
2
que tem distribuição 2 com graus de liberdade, onde é o número de variáveis usadas
na regressão estimada.
Este teste é sensível à violação da normalidade e requer que se conheça a priori a causa da
heterocedasticidade.
Teste de White
O teste de White, proposto em 1980 é muito semelhante ao teste de Breush-Pagan, mas não
pressupõe o conhecimento prévio das causas da heterocedasticidade, sendo por isso muito mais
geral. Contudo a sua aplicação faz mais sentido em amostras de grandes dimensões ( ≥ 30) e os
resíduos não têm de ser necessariamente normalmente distribuídos.
Seja o modelo de regressão linear
= 0 + 1 1 + 2 2 +
O teste de White pressupõe que em caso de heterocedasticidade, a variância dos resíduos está
relacionada com as variáveis explicativas, com o quadrado das variáveis explicativas e com o produto
124
cruzado das mesmas, isto é
2
2
+ 4 2
+ 5 1 2 +
2 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 1
O processo de testar a homocedasticidade através deste teste compreende as seguintes etapas:
1. Formalização das hipóteses:
0 : 1 2 = 0
1 : ∃ 6= 0
2. Estimar os parâmetros do modelo de regressão através do método dos mínimos quadrados;
¡ ¢
3. Calcular os resíduos e calcular o seu quadrado 2 ;
4. Estimar a seguinte regressão
2
2
+ 4 2
+ 5 1 2 + ;
2 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 1
(7.1)
5. Calcular o coeficiente de determinação 2 e calcular a estatística
= 2 ∼ 2
onde é o número variáveis explicativas incluídas no modelo (7.1). Se 2 2 rejeita-se a
hipótese nula de homocedasticidade.
Há que ter em conta que quanto maior o número de variáveis explicativas incluídas no modelo
original, maior será também o número de variáveis explicativas do modelo de White e consequentemente, maior o número de parâmetros a estimar. Além disso, se o número de variáveis explicativas
usadas no modelo de White exceder o número de observações, não é possível estimar o modelo
(7.1), sendo necessário excluir algumas dessas variáveis. Normalmente as primeiras variáveis a
serem excluídas são os termos lineares e os produtos cruzados.
Caso existam variáveis dummy no modelo original de regressão, existirão problemas de multicolinearidade no modelo (7.1), uma vez que este tipo de variável ao quadrado é exactamente igual
à original. Neste caso não se poderá utilizar o método dos mínimos quadrados para estimar os
parâmetros.
125
Teste de Engle
Os conhecidos modelos ARCH foram desenvolvidos por Engle em 1982, que propôs também um
teste à não-linearidade no segundo momento. Na sua forma mais simples um processo ARCH ()
pode ser descrito da seguinte forma
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
onde
(7.2)
¢
¡
∼ 0 2
e
2 = 0 + 1 21 + + 2
(7.3)
O procedimento para testar esta hipótese é o seguinte [ver por exemplo Afonso et al. (1998)]:
1. Estimar a regressão linear de em (se se refere a observações passadas de então
procede-se simplesmente a um ()) e guardar os resíduos;
2. Estimar a regressão dos quadrados dos resíduos estimados 2 numa constante e desfasamentos dos valores 2 , ou seja
2 = 0 + 1 2−1 + + 2− + ̂
(7.4)
e guardar os resíduos ̂ ;
3. Formalizar as hipóteses, em que a hipótese nula do teste baseia-se na ausência de autocorrelação no termo residual, ou seja,
0 : 1 = = = 0
1 : ∃ 6= 0
4. Calcular o 2 da segunda regressão efectuada e testar a hipótese nula usando a estatística
2 , que segue uma distribuição 2 (), segundo a hipótese nula de ausência de dependência
tipo ARCH.
Quando a hipótese de homocedasticidade é violada, é necessário encontrar um método de estimação alternativo aos mínimos quadrados, uma vez que os estimadores deste método continuam a
ser não enviesados, mas deixam de ter variância mínima, ou seja, deixam de ser eficientes na classe
126
dos estimadores lineares não enviesados. Além disso, o desvio-padrão dos estimadores deixa de ser
¡ ¢
correcto 2 I , por isso a inferência estatística pode levar a conclusões erróneas.
Uma alternativa ao método dos mínimos quadrados é utilizar o método dos mínimos quadrados
generalizado (ou ponderado). Neste método admite-se que a matriz de variâncias e covariâncias
será dada por
⎡
σ 21
⎢
⎢ 0
⎢
σ Ω=⎢
⎢
⎣
0
2
0
0
⎤
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2
σ
σ22
0
Na presença de heterocedasticidade, continua-se a admitir que [ ] = 0 e por isso fora da
diagonal principal, todos os outros valores são nulos.
Se se conhecer 2 , pode-se dividir cada termo da regressão linear por isto é
1
2
0
=
+ 1
+ 2
+ +
+
∗
∗
∗
∗
∗
= 0 1 + 1 1 + 2 2 + + + ∗
A variância deste modelo transformado é homocedástica:
µ ¶
2
1
∗
= 2 ( ) = 2 = 1
( ) =
O único problema deste modelo tem a ver com o facto de a variância dos resíduos ser normalmente
desconhecida.
7.4
Autocorrelação
Uma das hipóteses base do modelo clássico de regressão é que os resíduos não são correlacionados
entre si, ou seja, que não existe autocorrelação nos resíduos. Se existir autocorrelação
[ ] 6= 0
esta pode ser positiva ou negativa, consoante o sinal do coeficiente de correlação () calculado.
No caso de existir evidência de autocorrelação nos resíduos e se o método dos mínimos quadrados
for utilizado para estimar os parâmetros, as principais consequências são:
• Os estimadores e respectivas previsões são centrados e consistentes, ainda que no caso de serem
consideradas variáveis dependentes desfasadas como variáveis explicativas a propriedade da
consistência cai por terra;
127
• Os estimadores dos mínimos quadrados deixam de ser BLUE, uma vez que não são eficientes;
• As variâncias estimadas dos coeficientes de regressão são enviesadas, logo a inferência estatística realizada pode conduzir a conclusões erradas.
Um dos testes mais usados para testar a autocorrelação dos resíduos é o teste de Durbin-Watson.
7.4.1
Teste de Durbin-Watson
Os resíduos podem estar correlacionados entre si de diversas formas, sendo uma das mais conhecidas
o processo autorregressivo de primeira ordem [ (1)], onde é usado o índice para designar um
período de tempo (por exemplo se é o dia de hoje, − 1 será o dia de ontem).
O modelo autorregressivo de primeira ordem2 de é definida por
= −1 +
£ ¤
onde −1 ≤ ≤ 1 3 e tem determinadas propriedades, nomeadamente [ ] = 0 2 = 2
∞ e [ ] = 0 para 6= Uma sucessão cronológica com estas características designa-se por
ruído branco (white noise) com média nula;
Para aplicar o teste de Durbin-Watson, com vista a avaliar a autocorrelação dos resíduos da
regressão linear seguem-se as seguintes etapas:
1. Estimar o modelo de regressão através do método dos mínimos quadrados
= 0 + 1 1 + 2 2 + + + ;
2. Formalizar as hipóteses
0 : = 0
1 : 6= 0 ou 0 ou 0;
3. Calcular os resíduos
2
= − ̂
´
³
= − ̂ 0 + ̂ 1 1 + ̂ 2 2 + + ̂ ;
Este processo autorregressivo tem duas componentes. A primeira −1 está relacionada com o resíduo do período
anterior, estando associada à inércia nos sistemas económicos. A segunda, é o "choque"ou mudança não antecipada
na variável.
3
Se −1 1 o processo é estacionário, ou seja os resíduos têm as mesmas propriedades ao longo do tempo.
128
4. Calcular o valor da estatística de Durbin-Watson
P
( − −1 )2
=2P
=
2
P 2=1 P 2
P
=2 −1
=2
=2 −1
= P 2 + P 2 − 2 P
2
=1
=1
=1
' 1 + 1 − 2̂
' 2 (1 − ̂)
se ̂ os resíduos não estão correlacionados, e o valor de será aproximadamente 2. Já se ̂ = 1 o
valor de será aproximadamente zero (ou seja os resíduos são positivamente correlacionados)
e se ̂ = −1 o valor de será aproximadamente quatro, indicando que os resíduos estão
negativamente correlacionados;
5. Comparar o valor com os valores críticos retirados da tabela de Durbin-Watson ( e ):
I
II
0
dL
III
dU
2
II
4-dU
IV
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
4
4-dL
Rejeitar H0
Figura 7.1: Limites críticos para o teste de Durbin-Watson.
As decisões a tomar serão de acordo com a região onde se vai situar , ou seja: I - autocorrelação positiva, II -inconclusivo, III - não existe autocorrelação de primeira ordem; IV
autocorrelação negativa.
7.4.2
Soluções para a autocorrelação
Em caso de evidência de autocorrelação nos resíduos, uma possível solução pode ser a alteração da
forma funcional do modelo de regressão ou por utilizar um processo de estimação alternativo. Por
exemplo, o método iterativo de Cochrane-Orcutt (CORC) só deve ser aplicado a dados de sucessões
cronológicas e requer a transformação do modelo original de forma a que o método dos mínimos
quadrados possa ser aplicado.
Seja o modelo de regressão
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
129
(7.5)
e o seu primeiro desfasamento é definido por
−1 = 0 + 1 1−1 + 2 2−1 + + −1 + −1
(7.6)
Se se multiplicar a todos os termos da equação (7.6), obtém-se
−1 = 0 + 1 1−1 + 2 2−1 + + −1 + −1
(7.7)
Se se subtrair (7.7) a (7.5), fica
−−1 = 0 (1 − )+ 1 (1−1 − 1−1 )+ 2 (2−1 − 2−1 )++ (−1 − −1 )+( − −1 )
(7.8)
como = −1 + ⇔ = − −1 logo
−−1 = 0 (1 − )+ 1 (1−1 − 1−1 )+ 2 (2−1 − 2−1 )++ (−1 − −1 )+
(7.9)
A equação (7.9) pode ser reescrita da forma:
∗
∗
∗
+ 2 2
+ +
+
∗ = ∗0 + 1 1
A transformação que gera as variáveis ∗ e ∗ é conhecida por método das diferenças generalizadas. Os resíduos da equação (7.9) satisfazem todas as propriedades para se obterem estimadores
BLUE através do método dos mínimos quadrados e esta equação pode ser estimada por este método
caso seja conhecido. Caso contrário, há que estimar a partir de uma amostra,
P
=2 −1
̂ = P
2
=1
onde são os resíduos estimados na equação (7.5).
Seguidamente transformam-se as variáveis de acordo com a equação (7.9) e estimam-se os
parâmetros através do método dos mínimos quadrados. Em seguida, as estimativas para os
são utilizados na equação (7.5) e obtém-se a estimativa para Voltar a calcular ̂ e só parar
quando duas estimativas sucessivas para não apresentem uma diferença superior a um valor
pré-determinado (por exemplo 0 00001).
130
Capítulo 8
Modelos de escolha qualitativa - ou
modelos em que a variável explicada é
limitada
Nos modelos de regressão linear as variáveis explicativas podem assumir quaisquer valores, não
podendo apenas ser combinações lineares umas das outras (para evitar problemas de multicolinearidade). A variável explicada é normalmente uma variável contínua, ainda que em certas
circunstâncias possa ser limitada no seu domínio.
Existem casos em que a variável explicada é binária (ou dummy 1 ), isto é, só pode tomar os
valores 0 e 1. Por exemplo, pode querer estudar-se se o nível dos salários leva a que as pessoas andem
ou não de transportes públicos nas grandes cidades e neste caso a variável explicada seria qualitativa
e seria 0 no caso de não andarem de transportes públicos e 1 no caso contrário. Estes modelos são
normalmente designados por modelos de escolha discreta ou modelos de resposta qualitativa.2
Quando a variável dummy é a variável dependente, surgem problemas especiais que não se
colocaram quando a dummy era uma variável independente ou explicativa. Na economia o uso
destas variáveis é bastante comum, existindo bastantes exemplos: a decisão de ir para a universidade
ou não, a decisão de aderir ou não a um sindicato, o estar a ser remunerado por um determinado
trabalho ou não, etc.
1
Este tipo de variáveis são incluídas num modelo para representar a posição dos indivíduos em situações alterna-
tivas, por exemplo ter ou não ter carro, utilizar ou não transportes públicos, ir ou não de férias para o estrangeiro,
etc.
2
Nestes modelos tabém podem ser utilizadas variáveis policotómicas, contudo a utilização de variáveis binárias ou
dicotómicas é muito mais vasta.
131
As variáveis dummy são das variáveis discretas, aquelas que são mais utilizadas em trabalhos
aplicados. Veja-se por exemplo o caso em que se pretende avaliar um insecticida. Se a tolerância
¡
¢
∗ de um insecto ao insecticida tiver uma distribuição normal, em que ∗ ∼ 2 e for menor
que a dose de insecticida, então o insecto morre. Contudo, a tolerância ∗ não é observável, o
que se observa é
⎧
⎨ 1 se o insecto morre
=
⎩ 0 se o insecto não morre
Mas qual é a probabilidade de o insecto morrer? Será simplesmente a probabilidade de que a
tolerância do insecto seja inferior à dose, ou seja
( = 1) = (∗ )
então o que se observa é a seguinte regra
⎧
⎨ 1 se ∗
=
⎩ 0 caso contrário.
Neste caso a variável ∗ é uma variável latente, ou seja, é uma variável não observada.
Nas secções seguintes, o principal foco será a análise de modelos de variáveis dependentes
dicotómicas. O objectivo destes modelos é determinar a probabilidade de um indivíduo com um
conjunto de atributos proceder a determinada escolha. Existem várias especificações alternativas
para estes modelos, nomeadamente o modelo probabilístico linear, o modelo logit e o modelo probit
que serão apresentados de forma breve seguidamente.
8.1
Modelo probabilístico linear
O modelo probabilístico linear é aquele em que a variável explicada apenas pode assumir os valores 0 ou 1 e pode ser interpretado com a probabilidade condicionada de que um determinado
acontecimento se realize ou não. Seja o modelo linear
= 0 + 1 1 + 2 2 + + +
em que = 0 1 para = 1 2 . Se se admitir que [ ] = 0, o modelo pode ser dado por:
[ |1 2 + ] = 0 + 1 1 + 2 2 + +
atendendo à distribuição de e à definição de valor esperado, então
[ |1 2 + ] = 1 [ = 1 |1 2 + ] + 0 [ = 0 |1 2 + ]
= [ = 1 |1 2 + ]
132
Se se combinarem as duas expressões obtém-se:
[ |1 2 + ] = [ = 1 |1 2 + ]
Dado que apenas pode assumir dois valores, então os resíduos também assumirão dois valores
opostos:
• = 0 logo = − ( 0 + 1 1 + 2 2 + + ) ;
• = 1 logo = 1 − ( 0 + 1 1 + 2 2 + + )
Apesar do métodos dos mínimos quadrados não exigir que os resíduos tenham distribuição
normal, a inferência estatística exige este pressuposto e como se pode ver, os resíduos seguem
uma distribuição de Bernoulli. Contudo, para amostras de grandes dimensões, os estimadores dos
mínimos quadrados tendem a distribuir-se normalmente e a inferência pode seguir a normalmente
utilizada. Outro problema relacionado com estes modelos é que a variância dos resíduos não é
homocedástica.
Para além das limitações da não normalidade e da heterocedasticidade dos resíduos, este modelo
não garante que as predições sobre Y sejam sempre valores dentro do intervalo 0 e 1. Neste caso
pode supor-se que ̂ é 0 ou 1 quando os valores estimados são inferiores a zero ou superiores a
um. Outra alternativa é utilizar uma técnica que garanta que o valor estimado das probabilidades
condicionadas se situe sempre entre 0 e 1. os modelo logit e probit são muito utilizados, apresentando
vantagens face ao modelo probabilístico linear, uma vez que no presente modelo não se conhece
a distribuição de probabilidade de a considerar. No caso do modelo logit assume-se que a
distribuição é logística e no modelo probit a distribuição assumida é a normal.
8.2
O modelo probit
Se se considerar a distribuição normal para descrever a probabilidade do sucesso, é obtido o modelo
probit, descrito por:
= Φ ( 0 + 1 1 + 2 2 + + ) =
0 + 1 1 +Z2 2 ++
−∞
1
√ exp
2
µ
− 2
2
¶
Tal transformação faz com que a probabilidade permaneça entre 0 e 1, isto é lim ( ) = 1 e
→+∞
lim ( ) = 0.
→−∞
Se se considerar a variável latente ∗ :
¡
¢
∗ = 0 + 1 1 + 2 2 + + + em que ∼ 0 2
133
então, dado que os valores de ∗ não são observados, é estabelecida a sua relação com tal que:
⎧
⎨ 1 se ∗ 0
⎩ 0 se ∗ ≤ 0
Como
( = 1) = (∗ 0) = ( 0 + 1 1 + 2 2 + + + 0)
= [ − ( 0 + 1 1 + 2 2 + + )]
µ
¶¸
∙
0 + 1 1 + 2 2 + +
−
=
Como a distribuição normal é simétrica
µ
¶¸
∙
0 + 1 1 + 2 2 + +
( = 1) =
µ
¶
0 + 1 1 + 2 2 + +
= Φ
Os estimadores deste modelo devem ser estimados através do método da máxima verosimilhança.
A função de verosimilhança é dada por:
= (1 = 0) ( = 0) (+1 = 1) ( = 1)
¶¸
µ
∙
Y
0 + 1 1 + 2 2 + +
1−Φ
=
=1
¶¸
∙ µ
Y
0 + 1 1 + 2 2 + +
Φ
=+1
⎡
⎤
³
´
0 + 1 1 + 2 2 ++
Y
Φ
⎢
⎥
³
=
´1− ⎦
⎣
(1 − Φ) 0 + 1 1 + 22 ++
=1
pois ( = 0) = 1 − ( = 1) = 1 − Φ
³
0 + 1 1 + 2 2 ++
´
Se se logaritmizar a função de verosimilhança, obtém-se
⎫
⎧
´i
h ³
⎨
⎬
X
ln Φ 0 + 1 1 + 22 ++
´i
h
³
log () =
⎭
⎩ + (1 − ) ln 1 − Φ 0 + 1 1 + 2 2 ++
=1
Para se encontrar as expressões dos estimadores, há que maximizar esta expressão. De acordo
com as condições de primeira ordem, bastará igualar a zero as primeiras derivadas parciais em
ordem aos parâmetros implicados: e
134
8.3
O modelo logit
Considere-se o modelo:
[ = 1 |1 2 + ] =
1
1 + exp [− ( 0 + 1 1 + 2 2 + + )]
ou
1
, com = 0 + 1 1 + 2 2 + +
1 + exp [− ]
que é a equação da função de distribuição logística. Se → +∞ → 1 e quando → −∞
=
→ 0 logo a probabilidade nunca pode assumir valores fora do intervalo [0 1]
1+exp[ ]
1
1
então 1 − = 1+exp[
e 1−
= 1+exp[−
= exp [ ], onde 1−
é
Dado que = 1+exp[−
]
]
]
a razão de probabilidades de ter e não ter o atributo. Se se logaritmizar esta razão, então
µ
¶
= log
= = 0 + 1 1 + 2 2 + +
1 −
em que o logaritmo da razão das probabilidades é linear em e nos parâmetros Para fins de
estimação é introduzido o termo residual, ou seja
¶
µ
= = 0 + 1 1 + 2 2 + + +
= log
1 −
O processo de estimação do modelo logit depende dos valores observados de Se assume valores
entre 0 e 1, o processo consiste na transformação linear de em = log [ (1 − )] e aplicar o
método dos mínimos quadrados em seguida. Se é uma variável binária e só assume os valores
0 ou 1 então tem de se recorrer ao método da máxima verosimilhança, visto que log [ (1 − )]
pode ser indefinido.
Seja
Λ = ( 0 + 1 1 + 2 2 + + ) =
1
1 + −( 0 + 1 1 + 2 2 ++ )
a função que representa a função de distribuição logística. A função de verosimilhança para
amostras i.i.d., é igual ao produto das probabilidades de cada observação:
= (1 = 0) ( = 0) (+1 = 1) ( = 1)
¶¸
µ
∙
Y
0 + 1 1 + 2 2 + +
1−Λ
=
=1
¶¸
∙ µ
Y
0 + 1 1 + 2 2 + +
Λ
=+1
⎡
⎤
³
´
0 + 1 1 + 2 2 ++
Y⎢
Λ
⎥
=
³
´1− ⎦
⎣
0 + 1 1 + 2 2 ++
(1 − Λ)
=1
135
dado que ( = 0) = 1 − ( = 1) = 1 − Λ
³
0 + 1 1 + 2 2 ++
´
Se se logaritmizar a função de verosimilhança, obtém-se
⎫
⎧
´i
h ³
⎨
⎬
X
log Λ 0 + 1 1 + 22 ++
´i
h
³
log () =
⎭
⎩ + (1 − ) log 1 − Λ 0 + 1 1 + 2 2 ++
=1
Para se encontrar as expressões dos estimadores, há que maximizar esta expressão. De acordo
com as condições de primeira ordem, bastará igualar a zero as primeiras derivadas parciais em
ordem aos parâmetros implicados: e
Se a distribuição for a esperada, ou seja, a logística no caso do modelo logit e a normal no
modelo probit, os estimadores serão consistentes e eficientes.
8.3.1
Qualidade do ajustamento
A qualidade do ajustamento (goodness-of-fit) indica o grau de precisão com que o modelo se aproxima dos dados observados. Nos modelos de regressão linear é comum utilizar o 2 . No caso de
modelos logit e probit, em que a variável dependente é qualitativa, esta precisão é medida em termos da capacidade do modelo para calcular as probabilidades dos valores observados. Não existe
uma única medida da qualidade do ajustamento, tal como no modelo de regressão linear.
A maioria das vezes a qualidade do ajustamento é implicita ou explicitamente medida com base
na comparação entre um modelo que contém todas as veriáveis em estudo e um modelo composto
apenas pela intersecção na origem (constante). Se considerarmos log (1 ) a máxima verosimilhança
do modelo global em estudo e log (0 ) a máxima verosimilhança do modelo que é composto apenas
pela constante, então será fácil admitir que
log (1 ) ≥ log (0 )
Quanto maior a diferença entre os valores das verosimilhanças, maior o ajustamento do modelo
global aos dados observados. Uma medida da qualidade do ajustamento baseada em tal diferença
é o − 2 , dado por:
− 2 = 1 −
1
1 + 2 (log (1 ) − log (0 ))
sendo o número total de observações. Uma medida alternativa sugerida por McFadden em 1974
é dada por
2 = 1 −
log 1
log 0
muitas vezes referido como o índice do rácio de verosimilhança.
136
Como a verosimilhança é dada pela soma de probabilidades, então log 0 ≤ log 1 0, sendo
que ambas as medidas de ajustamento assumem valores entre 0 e 1. Se todos os coeficientes
estimados forem nulos, então log 0 = log 1 logo log 0 log 1 = 1 e ambas as medidas da
qualidade de ajustamento serão nulas. Caso o modelo tenha a capacidade de estimar probabilidades
que correspondam exactamente aos valores observados, todas as probabilidades da verosimilhança
serão iguais a 1, logo a verosimilhança será igual a zero e assim log 1 = 0
Convém referir que a interpretação das medidas de ajustamento apresentadas não é exactamente igual oa coeficiente de determinação da regressão linear. Estas medias são importantes para
comparar directamente modelos com o mesmo número de variáveis, como aé aliás o 2 .
Um outro critério adequado para comparar modelos é a percentagem de previsões correctas
por um modelo. Para cada modelo estimado podemos calcular o númetro de previsões correctas.
Normalmente o procedimento assenta na seguinte base: se Y é maior que 0,5, então o valor previsto
para Y considera-se que toma o valor 1. caso contrário, será nulo. Comparam-se os valores previstos
com os observados e calcula-se o seguinte indicador:
%̃ =
0 + 1
onde 0 é o número de vezes que o modelo acerta na previsões quando = 0 e 1 é o número de
vezes que o modelo acerta nas previsões quando = 1.
8.3.2
Testes de hipóteses
Quando se pretende averiguar a significância estatística de uma variável os testes e não são
válidos. Neste contexto podemos utilizar o teste de Wald. Neste teste as hipóteses em causa são:
0 : = 0
1 : 6= 0
A estat+ística teste é a habitualmente usada e segue uma distribuição normal:
=
c−
∼ (0 1)
A decisão e a abordagem ao teste é exactamente igual os testes apresentados no capítulo da regressão
linear. Por vezes, a estatística Wald é apresentada da seguinte forma
⎞2
⎛
c−
= ⎝ ⎠ ∼ 21
137
que segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Esta estatística também pode
ser usada para testar se um subconjunto de parâmetros é igual a zero.
Pode também utilizar-se a estatística do rácio de verosimilhanças, que é dada pela seguinte
expressão:
= 2 (log − log ) ∼ 2
Caso se pretenda avaliar a significância estatística de todos os parâmetros, cujas hipóteses são:
0 : 1 = 2 = = = 0
1 : ∃ 6= 0
então a estatistica do teste será dada por:
= 2 (log − log 0 ) ∼ 21
8.3.3
Interpretação dos coeficientes
Como os modelos probit e logit não são lineares, não é fácil a interpretação dos coeficientes. Nestes
casos deve ser calculado o efeito marginal de cada variável sobre a variável dependente. O efeito
marginal mede a mudança instantânea esperada na variável dependente em função de uma mudança
na variável explicativa em análise, mantendo todas as outras constantes.
Este efeito marginal não é mais do que a derivada da probabilidade de ocorrência de em
ordem à variável em causa:
=
= ( )
onde ( ) =
= () (1 − ()) é a função densidade.
Como a função densidade toma sempre valor positivo, o sinal do efeito marginal da variável
é igual ao sinal do coeficiente , mas a magnitude do efeito marginal depende do valor das
variáveis explicativas. Se a variável explicativa for discreta, temos de calcular a probabilidade para
os vários valores dessa variável e ver como varia.
No caso do modelo logit, podemos fazer interpretação baseada no odds-ratio. Uma odds é o
rácio da probabilidade de algo ser verdadeiro dividido pela probabilidade de não ser verdadeiro.
Para o logit temos:
log
ou seja
=
= X0 β
1 −
Pr [ = 1| ]
=
= exp
Pr [ = 0| ]
1 −
138
Se a variável variar de 1 unidade o odds ratio varia de 100 × %. Por exemplo, um odds
ratio de valor 3 indica que o odds de = 1 é 3 vezes o de ter = 0 Utilizando esta igualdade, os
coeficientes podem ser interpretados como o efeito sobre o odds ratio. Se, por exemplo, = 0 1
então o aumento de uma unidade na variável aumentará o odds ratio em cerca de 10% (ceteris
paribus).
8.3.4
Modelo latente na escolha binária
É possível derivar um modelo de escolha binária a partir de pressuposto comportamentais latentes.
Este facto conduz à existência de uma variável latente. Por exemplo, assuma-se a decisão de
um indivíduo investir ou não num negócio próprio. A diferença de utilidade entre investir num
negócio próprio ou continuar a trabalhar por conta de outrém depende dos rendimentos que tal
acto empreendedor traria, mas também de um conjunto de características pessoais, nomeadamente:
idade, género, salário actual, rendimento actual, nível de educação, etc e também de características
não observáveis, nomeadamente apetência face ao risco, etc.
A variável binária poderia ser definida da seguinte forma:
⎧
⎨ 1 se ≥
1
0
⇔
=
⎩ 0 se 1 0
⎧
⎨ 1 se − ≥ 0
1
0
=
⎩ 0 se 1 − 0 0
onde 1 − 0 = ∗
Assim sendo, então a variável latente é dada por
∗ = 0 + 1 1 + 2 2 + + +
= 1 se ∗ 0
= 0 se ∗ ≤ 0
139
Bibliografia
[1] Greene, W. (2008), Econometric Analysis, 6th Edition, Prentice Hall: New Jersey.
[2] Hogg, R. e Tanis, E. 1993. Probability and Statistical Inference, 5th Edition, Prentice Hall.
[3] Lohr, S.L. (2010), Sampling: Design and Analysis, 2nd ed, Brooks/Cole.
[4] Newbold, P.Carlson, W; Thorne, B. (2012). Statistics for Business and Economics, PrenticeHall. 7th Edition.
[5] Reis, E. (2000). Estatística Descritiva, Edições Sílabo, Lisboa.
[6] Verbeek, M. (2012), A Guide to Modern Econometrics, 4th Ed., John Wiley & Sons: Chichester.
[7] Wooldridge, J. M. (2015) Introductory Econometrics: A Modern Approach, 6 ed., SouthWestern College Publishing.
140
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