Econometria I – 2019/2020
Modelo de regressão linear simples
Exercícios
1. Diga, justificando, se cada uma das frases seguintes é verdadeira ou falsa. A sua
resposta não deve exceder 5 linhas:
(a) O modelo de regressão linear só permite considerar equações de regressão em que
as variáveis explicativas entram de forma linear.
(b) Muito frequentemente, à estimativa do termo independente do modelo de
regressão não pode ser atribuído qualquer significado económico.
(c) A variabilidade do regressor na amostra afeta a precisão com que o coeficiente desse
regressor é estimado.
(d) A escolha entre um modelo de regressão linear em duas variáveis (dependente e
explicativa) e o modelo logarítmico nas mesmas variáveis pode ser feita com base na
comparação dos R2 respetivos.
2. Para responder às questões seguintes, considere o modelo de regressão linear
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
(A)
e os resultados da estimação, pelo método dos mínimos quadrados ordinários (OLS),
dados por:
𝑌𝑖 = 𝛼̂ + 𝛽̂𝑋𝑖 + 𝑢̂𝑖
(B)
Admita, também, que estão verificadas as hipóteses clássicas do modelo de regressão
linear.
Quando indicado, considere também o seguinte modelo:
ln̂𝑌𝑖 = −10 + 0,8 ln 𝑋𝑖
𝜎̂ = 0,04
(C)
Responda, justificando, às seguintes questões:
(a) Diga se é V ou F e justifique: Se, numa amostra recolhida para estimação do
modelo (A), forem iguais todos os valores de 𝑋𝑖 observados, então, será
indeterminada a estimativa OLS de 𝛼.
(b) Considere o modelo (C). Neste modelo, de que é que 0,04 é uma estimativa?
(c) Interprete o valor 0,8.
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3. Considere o seguinte modelo: 𝑌𝑖 = 10 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
a) Derive o estimador pelo método dos mínimos quadrado ordinários para 𝛽.
b) Mostre que 𝛽̂ , encontrado em (a), é um estimador cêntrico de 𝛽. Indique que
hipóteses teve de assumir.
c) Suponha que 𝛽̂ = 0,5. Como interpreta este resultado?
4. Uma empresa pretende estimar a sua curva de custos, recolhendo, para tal, dados (20
observações) sobre os seus custos totais (variável C) e a quantidade produzida (variável
Q). Os dados recolhidos permitiram elaborar a seguinte tabela resumo:
C
Q
Média amostra
100
100
Variância amostral
100
3000
Covariância amostral
750
A empresa pretende estimar a sua função custo total que é do tipo:
𝐶𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑄𝑖 + 𝑢𝑖
(a) Estime pelo método dos mínimos quadrados os parâmetros da função.
(b) Interprete, do ponto de vista económico, os parâmetros estimados.
(c) Suponha que a soma do quadrado dos erros estimados é igual a 180. Estime o
erro padrão associado ao parâmetro 𝛽.
(d) Um estudo do departamento de engenharia da produção indicou um valor para
𝛽 igual a 0.5. Com os dados anteriores, teste a hipótese sugerida pelo
departamento de engenharia usando os dados acima indicados e os resultados
da estimação anterior. Caso não tenha realizado as alíneas anteriores assuma
que 𝛽̂ = 0,25, e tem um erro padrão associado igual a 0.05.
5. Com uma amostra de 20 observações mensais, um analista financeiro pretende
efetuar uma regressão linear entre a taxa de retorno de uma dada ação (Y) e a taxa de
ret
orno do índice PSI-20 (X). As seguintes estatísticas estão disponíveis:
∑20
𝑖=1 𝑌𝑖 = 24,8
∑20
𝑖=1 𝑋𝑖 = 27,6
2
∑20
𝑖=1 𝑋𝑖 = 152,8
∑20
𝑖=1 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 158,5
(a) Estime a regressão linear entre Y e X.
(b) Interprete o valor da ordenada na origem da regressão que estimou.
(c) Interprete o valor do coeficiente associado à variável X.
(d) Suponha que o valor de R2 era de 93%. Como interpreta este valor?
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6. Suponha que para estudar a relação entre o preço da habitação (Y) e o número de
assoalhadas (X) obteve uma amostra com cinco observações, da qual conhece a seguinte
informação:
(a) Estime os valores dos parâmetros 𝛼 e 𝛽 da equação 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 .
(b) Interprete do ponto de vista económico os valores estimados.
(c) Suponha que o erro padrão associado 𝛼̂ é igual a 1,083. Construa um intervalo
de confiança para 𝛼 com um nível de confiança de 95%.
7. Considere o seguinte modelo que pretende avaliar a racionalidade das avaliações das
habitações por parte de peritos. As variáveis preço e aval representam o preço de venda
das habitações e a respetiva avaliação, prévia à venda. Ambas as variáveis estão
expressas em logaritmos naturais.
𝑝𝑟𝑒ç𝑜𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖 + 𝜀𝑖
O modelo estimado é o seguinte:
𝑝𝑟𝑒ç𝑜
̂ 𝑖 = −14,47 + 0,976 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖
(16,270) (0,049)
𝑛 = 88; Soma dos Quadrados dos Resíduos = 165.644,51; 𝑅2 = 0,820
a) Interprete os parâmetros estimados do modelo.
b) Se as avaliações forem racionais, 𝛽1 deve ser igual a 1. Teste essa hipótese com
um nível de significância de 5%.
c) O que significa 𝑅2 = 0,820?
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