Sumário
Introdução ......................................................................................................................................................................... 3
Pilares da teoria ............................................................................................................................................................ 3
Amostragem...................................................................................................................................................................... 4
Técnicas de Amostragem .............................................................................................................................................. 5
Estatística Descritiva ......................................................................................................................................................... 6
Ordenação de Dados ..................................................................................................................................................... 7
Medidas de Posição Central ........................................................................................................................................ 10
Medidas de Dispersão ................................................................................................................................................. 12
Dados Agrupados ........................................................................................................................................................ 15
Estatísticas....................................................................................................................................................................... 20
Estimadores................................................................................................................................................................. 21
Distribuições Amostrais .............................................................................................................................................. 25
Estimação de Parâmetros ............................................................................................................................................... 29
Estimação por Ponto ................................................................................................................................................... 29
Estimação por Intervalo de Confiança ........................................................................................................................ 30
Estimação por Intervalo de Confiança para Duas Populações.................................................................................... 40
Teste de Hipótese ........................................................................................................................................................... 48
Teste para a Média Populacional ................................................................................................................................ 50
Teste para a Variância Populacional ........................................................................................................................... 56
Teste para a Proporção Populacional ......................................................................................................................... 58
Teste para Duas Populações ....................................................................................................................................... 59
Anova .............................................................................................................................................................................. 69
Anova com Uma Classificação..................................................................................................................................... 71
Anova com Duas Classificações................................................................................................................................... 81
Anova com Repetições ................................................................................................................................................ 87
Correlação e Regressão ................................................................................................................................................... 95
Correlação Linear ........................................................................................................................................................ 95
Regressão Linear ......................................................................................................................................................... 99
Linearização de Funções ........................................................................................................................................... 107
Análise de Melhoria .................................................................................................................................................. 108
Outros Testes ................................................................................................................................................................ 110
Teste de Tukey e Scheffé .......................................................................................................................................... 110
Teste de Cochran ...................................................................................................................................................... 110
Teste de Aderência ................................................................................................................................................... 111
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Introdução
Pilares da teoria
Para começarmos, é bom termos uma ideia do que vem pela frente neste curso. Nosso
objetivo é, a partir de dados coletados de uma população, poder inferir certos parâmetros e
comportamentos da mesma.
Chamamos o ramo da estatística que cuida disso de estatística inferencial (ou dedutiva).
Para estarmos aptos a utilizá-la, precisamos entender um pouco sobre três grandes assuntos:
Teoria de Probabilidades, Estatística Descritiva e Técnicas de Amostragem.
Atenção!
A Teoria de Probabilidades não será aqui abordada. Em nosso site, você encontra o material gratuito e
completo que aborda toda teoria probabilística. Ademais, em nosso canal do YouTube está disponível a
playlist Curso de Probabilidade, que dispõe de 30 videoaulas!
Seguiremos o estudo estatístico sob a base da Teoria de Probabilidades, então, não avance com dúvidas!
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Amostragem
Aqui em estatística estamos interessados em inferir características de uma população a
partir de uma parte do todo. Na população, essas características se chamam parâmetros. Já na
parte do todo, chamada de amostra, os estimadores dos parâmetros são as chamadas estatísticas.
Vale frisar que essas estatísticas são variáveis aleatórias.
Podemos ter amostragens determinísticas e probabilísticas, a depender do setup da mesma.
Nos exercícios de prova, sempre que alguma configuração enviesar seu experimento, ele deixará
de ser probabilístico. Por exemplo:
o Amostragem Probabilística: sortear um prêmio entre 10 funcionários de uma empresa,
com uma urna contendo os nomes;
o Amostragem Determinística: sortear um prêmio entre 10 funcionários de uma empresa,
com uma urna contendo os nomes, porém os nomes foram colocados em ordem
alfabética.
Ou seja, ao colocarmos alguma condição que faça com que os elementos não tenham a
mesma probabilidade de serem escolhidos, ou possuam alguma dependência, tornamos a
amostragem enviesada e, portanto, não probabilística.
Dessa forma, definimos amostras probabilísticas como aquelas que resultam de um
processo de sorteio onde todos os elementos da população têm chance de participar da amostra,
ao passo que esse processo deve ser equiparável e independente. Essas são amostras
representativas da população de origem e, portanto, são o objeto de estudo da estatística
inferencial.
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Técnicas de Amostragem
Amostragem Aleatória Simples
Corresponde a um sorteio equiparável e independente (análogo a uma loteria).
Amostragem Sistemática
Consiste em escolher um indivíduo aleatório na população, e posteriormente escolher os
próximos a cada enésimo indivíduo.
Amostragem Estratificada
Consiste em dividir a população em subgrupos (estratos) e, a partir disso, retirar elementos deles.
Se levar em conta não só a proporção, como também o desvio padrão, é chamada de
estratificada ótima.
Amostragem por Conglomerados
Consiste em estimar os parâmetros a partir de estatísticas já conhecidas. Como por exemplo, o
estudo da renda média da região norte do estado, baseado em estudos existentes de renda de
cidades da região.
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Estatística Descritiva
Esse capítulo, mesmo que relativamente mais simples, é o mais importante em problemas
reais, pois através dele podemos descobrir valores importantes como médias, desvios, distribuições
e suas formas. Como você pode imaginar, iremos descrever os dados. Para isso, veremos algumas
métricas para tendência central e de dispersão, e também organizaremos os dados por meio de
diagramas, tabelas e gráficos.
Vamos começar analisandos os dados em si. Dentro de um conjunto de dados cada
indivíduo da população possui diversas características (variáveis), sendo elas classificadas da
seguinte forma:
Dessa forma, podemos separar nossas variáveis em dois grupos gerais: as variáveis
qualitativas, definidas por categorias ou atributos (por exemplo: bom, regular, ruim, péssimo); e as
variáveis quantitativas, definidas por valores numéricos (por exemplo: 10, 8, 6, 4, 2, 0). Essas
últimas serão o foco da estatística.
As variáveis quantitativas são subdivididas entre variáveis discretas e contínuas. As variáveis
discretas são aquelas que assumem valores enumeráveis. Já as variáveis contínuas são aquelas
que assumem valores num intervalo da reta real.
Podemos ainda lembrar o conceito de variáveis aleatórias. Uma variável aleatória é a função
que associa a cada ponto do espaço amostral um número real, pois como os eventos que ocorrem
em experimentos aleatórios variam, também variarão os valores numéricos que lhes são
associados. Caso haja alguma dúvida remanescente quanto a este conceito, reveja o capítulo a ele
dedicado no livro Teoria de Probabilidades.
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Ordenação de Dados
Suponhamos que nossa variável aleatória retorne a seguinte sequência:
𝑋𝑖 : 1, 10, 3, 7, 15, 2, 32, 43, 5, 63, 8, 11
A primeira coisa que devemos fazer é ordenar os dados! Para um exemplo didático, uma
ordenação possível é via ordem crescente (dependendo do problema, outros tipos de ordenação
podem fazer mais sentido), ficando da seguinte forma:
𝑋𝑖 : 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11, 15, 32, 43, 63
Como essa sequência possui um número ímpar de elementos (𝑛 = 11), podemos elencar
um elemento que divide a amostra em duas metades com a mesma quantidade de elementos. Esse
valor que representa o meio de uma fila ordenada é chamado de mediana de sua distribuição de
dados, e que no nosso caso é o valor 10. Em casos de 𝑛 sendo par, utilizamos a média simples
dos dois elementos centrais para descobrir a mediana.
Após a ordenação vamos representar os dados. Para esse exemplo, vamos dispersar os valores
na reta real:
Podemos perceber, via representação, uma certa aglomeração de valores abaixo de 10.
Nesse caso, os primeiros 50% dos valores obtidos estão compreendidos na faixa de 0 𝑎 10,
enquanto o restante está na faixa de 10 𝑎 65 (aproximadamente).
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Da mesma maneira que encontramos uma medida que divide o conjunto de dados em 50%,
podemos encontrar uma medida para 25% (que seria a metade da metade). Chamamos isso de
quartil. Não veremos aqui, mas podemos fazer isso para qualquer porcentagem de interesse, por
exemplo:
10% → 𝐷𝑒𝑐𝑖𝑙 , … ,
𝑝% → 𝑝 − 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙
Os quartis serão abordados para introduzir uma representação chamada box-plot (ou diagrama de caixa).
Para o exemplo dado, os quartis saem quase que de maneira direta, pois as metades tem
número ímpar de elementos:
Até o 1º quartil você tem 25% dos dados, até o 2º quartil, conhecido também como mediana,
50% dos dados, e até o 3º quartil 75% dos dados.
Caso o número de elementos das metades seja par, há algumas maneiras de calcular os
quartis. Como por exemplo, incluindo a mediana nas metades; excluindo a mediana nas metades
ou até com fórmulas com ponderações.
Não veremos aqui isso, uma vez que há diferentes maneiras de definir os quartis e nosso foco é na representação
dos dados!
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Para aproveitar a digressão feita, vamos fazer um breve aprofundamento no conceito de
box-plot, a fim de concretizar os conceitos vistos até aqui. Porém, não se preocupe se achar
superficial, iremos discorrer esse conceito melhor mais adiante.
O box-plot é uma maneira de representar os dados dando ideia de posição central (via 𝑀𝑑)
e de dispersão. Entre Q1 e Q2 desenhamos uma caixa. Nela estão contidos 50% dos dados. No
resto fazemos linhas até as extremidades.
Alguns softwares já incluem condições de definição de outliers (valores atípicos da amostra), não veremos isso aqui
também.
Essa representação nos dá ideia de assimetria, em relação à posição central e espalhamento
dos dados. A parte de análise crítica via box-plots, possíveis tendências e comparações será
abordada posteriormente. Mesmo que no âmbito da disciplina isso não seja cobrado, guarde no
coração essas ferramentas da parte descritiva. Na prática elas são as que costumam resolver boa
parte das incertezas iniciais ou qualquer projeto que envolva análise de dados.
Ainda se tratando de representação de dados, podemos elencar as tabelas de frequências,
histogramas e gráficos de barra e de pizza como representações usuais interessantes, que podem
aparecer em problemas práticos.
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Medidas de Posição Central
As medidas de posição central servem para estimar o valor do meio da sua base de dados.
Sendo elas:
•
Moda (𝑴𝒐): É o valor que ocorre com maior frequência no seu conjunto de dados.
•
Mediana (𝑴𝒅): Também conhecida como 2º quartil, é o valor do elemento do centro de uma
fila, dividindo os dados pela metade.
•
̅): É o centro de gravidade de um conjunto de dados.
Média (𝒙
É calculada da seguinte forma, onde 𝑥𝑖 = 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 e 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎:
∑ni xi
x̅ =
n
Porém, é importante já explicitarmos a diferença de notação que pode vir a causar dúvidas.
Utilizamos 𝑥̅ para representar a média amostral dos dados, enquanto µ é utilizado para representar
a média populacional dos dados (notação usada em probabilidade).
Vamos a um exemplo prático de aplicação desse conceito. Considere o seguinte conjunto
de dados, já em ordem crescente:
𝑋𝑖 : 1, 3, 5, 10, 15, 21, 35, 40, 50, 1.000.000
Note que 1.000.000 é um valor discrepante em relação aos demais. A ele atribuímos o nome
outlier. Dito isso, vamos calcular a média e a mediana segundo suas definições:
𝑥̅ =
1.000.180
15 + 21
= 100.180 𝑒 𝑀𝑑 =
= 18
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Nesse caso 𝑥̅ não representa bem o conjunto de dados, uma vez que não há valores na
vizinhança dele. Utilizaremos 𝑥̅ para a parte inferencial da estatística, porém é bom se atentar para
o caso de outliers, ao passo que um valor discrepante não afeta a mediana.
Para evitar o problema comentado sobre a vizinhança de 𝑥̅ deve-se avaliar as medidas de
posição e dispersão apenas após de fazer o histograma (gráfico de barras com as frequências em
função dos valores da variável aleatória). Por exemplo:
Para o exemplo acima, note que os dados provêm de duas populações diferentes com
distribuições aproximadamente normais, então seria interessante tratá-las separadamente, cada
uma com sua média. Caso contrário, a análise seira mal feita pelo uso não representativo de 𝑥̅ .
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Medidas de Dispersão
No estudo das medidas de posição central, percebemos que é necessário sabermos também
a dispersão associada ao nosso conjunto de dados. Para isso, existem medidas de dispersão que
nos auxiliam nesse contexto. São elas:
•
Amplitude (𝑨): É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dos seus dados.
𝐴 = 𝑥𝑚á𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Apesar de dar a ideia de espalhamento dos dados, não é um bom parâmetro devido a
existência de outliers, já que podem existir conjuntos com mesma amplitude, porém com um deles
acumulando mais elementos perto de um mesmo valor, como indica a imagem abaixo.
•
Desvio Médio (𝑫𝑴): É a soma dos desvios (𝑑𝑖 ), ponderado pelo número de dados. É calculado
pela expressão abaixo, onde 𝑑𝑖 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜, 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎, 𝑥𝑖 =
𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 e 𝑥̅ = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠.
∑𝑛𝑖 𝑑𝑖
𝐷𝑀 =
𝑛
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑥̅ |
Não é um parâmetro tão bom de se trabalhar e fazer contas devido ao uso do módulo para o cálculo de cada
desvio, por isso damos preferência para a variância.
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•
Variância Amostral (𝑺𝟐 ): É a soma dos desvios (𝑑𝑖 ) quadráticos, ponderado pelo número de
dado menos 1. Pode ser calculada pela expressão abaixo, onde 𝑥𝑖 = 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎, 𝑥̅ =
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 e 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎.
∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑆 =
𝑛−1
2
É interessante utilizar uma formula de 𝑆 2 alternativa, onde não é necessário o cálculo de 𝑥̅ , e é mais utilizada na
prática.
𝑆2 =
(∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 )2
𝑛
𝑛−1
∑𝑛𝑖 𝑥𝑖 2 −
Para um mesmo conjunto de dados, note a relação entre a variância amostral e o desvio médio:
Assim como a média, a variância pode vir a causar dúvidas quanto a sua notação. Porém o
raciocínio é análogo ao visto para o conceito de média. Utilizamos 𝑆² para representar a variância
amostral dos dados, enquanto 𝜎 2 é usado para representar a variância populacional dos dados.
Essa última, vista no estudo de probabilidades, tem fórmula parecida com a variância amostral, ao
passo que difere apenas no denominador 𝑛.
Percebe-se que a unidade da variância vai estar elevado ao quadrado da unidade que você
estiver trabalhando, o que não faz muito sentido para uma análise, e para isso existe o desvio
padrão.
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•
Desvio Padrão Amostral (𝑺): É a raiz da variância.
𝑆 = √𝑆 2
Trabalhar com a unidade original do que se está medindo pode vir a ser vantajoso, para isso,
utilizamos o desvio padrão amostral. Porém, cuidado! O desvio padrão deve ser calculado sempre
como consequência da raiz da variância. Não é para se fazer operações utilizando o desvio padrão.
Vamos sempre calcular a variância e, posteriormente, o desvio padrão, a partir da operação de raiz
quadrada.
Para o desvio padrão populacional (𝜎) a ideia é a mesma.
•
Coeficiente de Variação (𝑪𝑽): É o desvio padrão ponderado pela média, dado em
porcentagem.
𝑆
𝐶𝑉 = 100 ( )
𝑥̅
É um parâmetro interessante por ser adimensional e dar uma ideia do quanto seus dados
variam em relação a sua média.
•
Distância Interquartil (𝑫𝑰𝑸): É a diferença entre o terceiro quartil (Q3 ) e o primeiro quartil (Q1 ).
Graficamente, podemos visualizar como sendo o tamanho da caixa do box-plot, que representa
a amplitude entre 50% dos dados.
𝐷𝐼𝑄 = 𝑄3 − 𝑄1
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Dados Agrupados
Veremos agora como definir essas medidas em dados agrupados. Assim, a partir de tabelas
de frequência chegaremos em 𝑥̅ , 𝑆 2 , 𝑀𝑑 𝑒 𝑀𝑜. E para cada uma dessas grandezas, iremos explorar
tanto o caso discreto quanto o caso contínuo.
•
̅) e Variância (𝑺𝟐 ):
Média (𝒙
o Variável Discreta: Considere a tabela de frequências abaixo.
𝒙𝒊
𝒇𝒊
0
5
1
8
2
15
3
13
4
6
Calculamos a média e a variância segundo a definição vista anteriormente, tal que:
x̅ =
∑n
i xi
n
=
∑𝑛
𝑖 𝑥𝑖 𝑓 𝑖
∑𝑛
𝑖 𝑓𝑖
e
𝑆2 =
2
∑𝑛
𝑖 𝑥𝑖
(∑𝑛 𝑥 )2
− 𝑖𝑛𝑖
𝑛−1
2
∑𝑛
𝑖 𝑥𝑖 𝑓 𝑖 −
=
2
(∑𝑛
𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 )
∑𝑛 𝑓𝑖
𝑖
∑𝑛
𝑖 𝑓𝑖 −1
Eu sei que podem parecer fórmulas assustadoras, mas vamos explorar o problema com calma!
Vamos, então, alongar nossa tabela, considerando operações interessantes no cálculo das
grandezas requisitadas, tal que:
𝒙𝒊
𝒇𝒊
𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊
0
5
0
0
1
8
8
8
2
15
30
60
3
13
39
117
4
6
24
96
∑ 𝑓𝑖 = 47
∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖 = 101
∑ 𝑥𝑖 2 𝑓𝑖 = 281
Assim, a média e a variância podem ser dimensionadas de maneira mais prática:
𝑥̅ =
101
47
= 2,149 e 𝑆 2 =
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281−
(101)2
47
46
= 1,390
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15
o
Variável Contínua: Considere a tabela de frequências abaixo.
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆
𝒇𝒊
0 𝑎 10
5
10 𝑎 20
8
20 𝑎 30
13
30 𝑎 40
8
40 𝑎 50
2
Para esse caso, definiremos arbitrariamente 𝑥𝑖 como o valor do meio do intervalo, assim
teremos uma tabela semelhante à de variáveis discretas.
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆
𝒇𝒊
𝒙𝒊
𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊
0 𝑎 10
5
5
25
125
10 𝑎 20
8
15
120
1800
20 𝑎 30
13
25
325
8125
30 𝑎 40
8
35
280
9800
40 𝑎 50
2
45
90
4050
∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖 = 840
∑ 𝑥𝑖 2 𝑓𝑖 = 23900
∑ 𝑓𝑖 = 36
Assim, a média e a variância podem ser dimensionadas como vimos para o caso discreto:
840
𝑥̅ =
36
𝑒 𝑆2 =
23900 −
(840)2
36
35
𝑥̅ = 23,33 𝑒 𝑆 2 = 122,85
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16
•
Mediana (𝑴𝒅):
o Variável Discreta: Considere a tabela de frequências abaixo.
𝒙𝒊
𝒇𝒊
0
7
1
15
2
20
3
6
4
2
5
1
∑ 𝑓𝑖 = 51
Com 𝑛 = 51, 𝑀𝑑 é o 26º termo. Para identificarmos ele, iremos construir uma terceira
coluna com as frequências acumuladas.
𝒙𝒊
𝒇𝒊
𝑭𝒂𝒄𝒖𝒎
0
7
7
1
15
22
2
20
42
3
6
48
4
2
50
5
1
51
∑ 𝑓𝑖 = 51
∑ 𝐹𝑎𝑐𝑢𝑚 = 51
A partir da frequência acumulada, podemos perceber que que o 26º termo está em 𝑥𝑖 = 2.
Logo, 𝑀𝑑 = 2.
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o Variável Contínua: Nesse caso, plotamos um gráfico com os valores de 𝐹𝑎𝑐𝑢𝑚 por 𝑥,
supondo arbitrariamente crescimento linear.
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆
𝒇𝒊
𝑭𝒂𝒄𝒖𝒎
0 𝑎 10
7
7
10 𝑎 20
15
22
20 𝑎 30
20
42
30 𝑎 40
6
48
40 𝑎 50
2
50
50 𝑎 60
1
51
∑ 𝑓𝑖 = 51
∑ 𝐹𝑎𝑐𝑢𝑚 = 51
Com o gráfico feito, para variável contínua, pegamos o valor em 𝑥 para que:
𝐹𝑎𝑐𝑢𝑚 =
𝑛
51
=
= 25,5
2
2
𝑀𝑑 = 25,5
Em variáveis discretas pegamos o termo central, aqui o valor correspondente à metade da frequência total.
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18
•
Moda (𝑴𝒐):
o Variável Discreta: Para uma tabela de frequências, o resultado sai direto, pois é apenas
o termo com maior frequência.
𝒙𝒊
𝒇𝒊
0
7
1
18
2
23
3
15
4
2
5
1
Assim, concluímos que 𝑀𝑜 = 2.
o Variável Contínua: Nesse caso a moda estará, por convenção, dentro da classe modal.
Não é o valor do meio da classe!
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆
𝒇𝒊
0 𝑎 10
7
10 𝑎 20
18
20 𝑎 30
23
30 𝑎 40
15
40 𝑎 50
2
50 𝑎 60
1
Assim, concluímos que 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑀𝑜𝑑𝑎𝑙 = 20 𝑎 30. Podemos visualizar essa relação segundo
o histograma abaixo.
Isso não equivale a pegar o valor do meio do intervalo. Deve haver a ponderação das frequências da classe
modal com a anterior e a próxima.
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19
Estatísticas
Veremos agora o estudo acerca de estimadores. Para isso, vamos começar entendendo a
diferença entre um parâmetro, um estimador e uma estimativa. Parâmetros são genéricos, isto é,
são dados de uma população ou de uma amostra. Já os estimadores se referem a parâmetros
amostrais, os quais são utilizados como aproximação de um parâmetro populacional, como por
exemplo, 𝑥̅ é um estimador para 𝜇. Por fim, estimativas são os valores assumidos por um estimador,
como por exemplo, se em nossa amostra a média amostral resultou um valor de 10, então esse
valor é uma estimativa para a média populacional.
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20
Estimadores
Vamos, então, ver quais critérios os estimadores que usamos em estatística devem cumprir
para serem os melhores estimadores dos parâmetros. Por exemplo, justificaremos o uso da média
amostral (𝑥̅ ) para estimar µ e não, por exemplo, a amplitude dividida por 2 (A⁄2) para estimar esse
parâmetro.
Imaginemos um parâmetro θ. Seu estimador é representado por θ̂ (a notação chapéu é
usada para indicar o estimador de um parâmetro) e deve atender os seguintes critérios:
•
Justeza:
Dizemos que 𝜃̂ é estimador justo de 𝜃, se a média do estimador for igual ao valor do
parâmetro, isto é:
𝜇(𝜃̂) = 𝜃
Por exemplo, vamos ver se 𝑥̅ é um estimador justo de µ:
∑𝑛𝑖 𝑥𝑖
𝑥̅ =
𝑛
𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
Assim:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
)
𝜇(𝑥̅ ) = 𝜇 (
𝑛
𝜇(𝑥̅ ) =
𝜇(𝑥̅ ) =
1
𝜇(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 )
𝑛
1
[ 𝜇(𝑥1 ) + 𝜇(𝑥2 ) + 𝜇(𝑥3 ) + ⋯ + 𝜇(𝑥𝑛 ) ]
𝑛
𝜇(𝑥̅ ) =
1
. 𝑛 . 𝜇(𝑥)
𝑛
𝜇(𝑥̅ ) = 𝜇(𝑥)
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∴
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑜!
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21
•
Consistência:
Dizemos que 𝜃̂ é um estimador consistente de 𝜃, se:
lim 𝜎 2 (𝜃̂) = 0
𝑛 → +∞
Por exemplo, vamos ver se 𝑥̅ é um estimador consistente de µ:
𝑥̅ =
∑𝑛𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
Assim:
𝜎 2 (𝑥̅ ) = 𝜎 2 [
𝜎 2 (𝑥̅ ) =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
]
𝑛
1
[ 𝜎 2 (𝑥1 ) + 𝜎 2 (𝑥2 ) + 𝜎 2 (𝑥3 ) + ⋯ + 𝜎 2 (𝑥𝑛 ) ]
2
𝑛
𝜎 2 (𝑥̅ ) =
1 2
𝜎 (𝑥)
𝑛
O que implica:
lim 𝜎 2 (𝑥̅ ) = 0
𝑛 → +∞
∴
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𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 !
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22
•
Eficiência:
No caso de dois estimadores (ambos justos e consistentes) para o mesmo parâmetro, o
estimador com menor desvio padrão (𝜎(𝜃̂)), para um mesmo 𝑛, será o mais eficiente. Veja a tabela
e a imagem que explicita essa relação entre dois estimadores.
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑀𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐸𝑛𝑣𝑖𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑰
𝑰𝑰
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑜𝑠
𝑰𝑰𝑰
𝑰𝑽
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
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23
Exercício 1:
Verifique qual o melhor estimador de 𝜇(𝑥):
𝑥𝑖 : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5
𝐼. 𝜃̂1 = 𝑥1
𝐼𝐼. 𝜃̂2 =
1
(𝑥 + 𝑥5 )
2 1
𝐼𝐼𝐼. 𝜃̂3 =
1
(𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 )
5 1
𝐼𝑉. 𝜃̂4 =
1
(𝑥 + 2𝑥5 )
2 1
Resolução:
Justeza
𝐼. 𝜇(𝜃̂1 ) = 𝜇(𝑥1 ) = 𝜇(𝑥) ∴ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑜
1
1
1
𝐼𝐼. 𝜇(𝜃̂2 ) = 𝜇 ( (𝑥1 + 𝑥5 )) = 𝜇(𝑥1 + 𝑥5 ) = . 2 . 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥) ∴ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑜
2
2
2
1
1
𝐼𝐼𝐼. 𝜇(𝜃̂3 ) = 𝜇 ( (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 )) = . 5 . 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥) ∴ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑜
5
5
1
1
1
3
[ 𝜇(𝑥) + 2𝜇(𝑥) ] = ⋯ = 𝜇(𝑥) ∴ 𝑁ã𝑜 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜
𝐼𝑉. 𝜇(𝜃̂4 ) = 𝜇 ( (𝑥1 + 2𝑥5 )) = 𝜇(𝑥1 + 2𝑥5 ) =
2
2
2
2
Consistência
𝐼. 𝜎 2 (𝜃̂1 ) = 𝜎 2 (𝑥1 ) = 𝜎 2 (𝑥)
1
1
2
1 2
𝐼𝐼. 𝜎 2 (𝜃̂2 ) = 𝜎 2 ( (𝑥1 + 𝑥5 )) = 𝜎 2 (𝑥1 + 𝑥5 ) = 𝜎 2 (𝑥) = ⋯ =
𝜎 (𝑥)
2
4
4
2
1
1
𝐼𝐼𝐼. 𝜎 2 (𝜃̂3 ) = 𝜎 2 ( (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 )) = 𝜎 2 (𝑥)
5
5
̂ 𝟑 , sendo ele o melhor estimador
O estimador, dentre os justos, com menor desvio padrão foi 𝜽
de 𝜇(𝑥), dentre os fornecidos.
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24
Distribuições Amostrais
Após estudarmos os critérios relacionados à escolha de estimadores, vamos nos aprofundar
agora em como as estatísticas se distribuem, ou seja, qual é a cara da função densidade de
probabilidade dos principais estimadores, assim como suas respectivas médias e variâncias.
Vale lembrar que a 𝑓. 𝑑. 𝑝. é aquela na qual sua integral definida em um intervalo da variável
𝑋 retorna a probabilidade associada a esse evento, como indica a imagem abaixo.
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25
•
̅:
Distribuição de 𝒙
A média amostral possui uma distribuição normal. E, para definirmos uma distribuição desse
tipo, precisamos de 𝜇(𝑥̅ ) e 𝜎 2 (𝑥̅ ). Nesse caso, já havíamos calculado:
𝜇(𝑥̅ ) = 𝜇(𝑥)
𝜎 2 (𝑥̅ ) =
𝜎 2 (𝑥)
𝑛
Se a amostragem é sem reposição e a população é infinita, então: 𝜎 2 (𝑥̅ ) =
𝜎 2 (𝑥)
𝑛
.(
𝑁−𝑛
𝑁−1
) , com 𝑛 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 e 𝑁 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜.
•
̂:
Distribuição de 𝒑
A proporção possui distribuição binomial. Sua média e variância, calculadas a partir de sua
definição, são dadas por:
𝜇(𝑝̂ ) = 𝑝
𝜎 2 (𝑝̂ ) =
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
Quando 𝑛𝑝 > 5 𝑒 𝑛(1 − 𝑝) > 5, a distribuição binomial se aproxima de uma distribuição normal. Validade essa
demonstrada a partir do Teorema do Limite Central. Essa aproximação pode ser otimizada através do conceito de
Correção de Continuidade, o qual não será abordado por aqui.
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26
•
Distribuição de 𝑺² :
Reescreveremos 𝑆 2 de maneira conveniente para enxergarmos sua distribuição:
𝑆2 =
∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
𝑆2 =
→
𝑛
𝜎 2 ∑𝑛𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝜎2
𝑛−1
𝑛
𝜎2
𝑥𝑖 − 𝑥̅ 2
𝑆 =
∑[
]
𝑛−1
𝜎
2
→
𝑖
𝜎2
𝑆 =
∑ 𝑧𝑖 2
𝑛−1
2
𝑖
Como 𝜎 2 e (𝑛 – 1) são constantes, 𝑆 2 tem distribuição qui-quadrado multiplicada pelo
escalar
𝜎2
. A distribuição qui-quadrado (𝛘𝟐 ) é calculada como uma soma de variáveis normais
𝑛−1
padrão ao quadrado, e depende do número de graus de liberdade (𝜈).
𝜇(𝜒𝜈2 ) = 𝜈 𝑒 𝜎2 (𝜒𝜈2 ) = 2𝜈
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27
Assim, temos que:
𝑆
2
𝜎2
=
𝜒2
𝑛 − 1 𝑛−1
Vamos checar a justeza e a consistência de 𝑆 2 . Sua justeza é dada por:
𝜇(𝑆 2 ) = 𝜇 [
𝜇(𝑆 2 ) =
𝜎2 2
𝜒 ]
𝑛 − 1 𝑛−1
𝜎2
𝜈
𝑛−1
𝜇(𝑆 2 ) =
→
𝜇(𝑆 2 ) =
→
𝜎2
2 )
𝜇(𝜒𝑛−1
𝑛−1
𝜎2
(𝑛 − 1)
(𝑛 − 1)
𝜇(𝑆 2 ) = 𝜎 2
Já sua consistência é dada por:
𝜎2
𝜎 2 (𝑆 2 ) = 𝜎 2 [
𝜒2 ]
𝑛 − 1 𝑛−1
𝜎
2 (𝑆 2 )
→
𝜎 2 (𝑆 2 ) =
𝜎4
2 )
𝜎 2 (𝜒𝑛−1
(𝑛 − 1)2
𝜎4
𝜎4
(2𝜈)
[2(𝑛 − 1)]
=
= ⋯=
(𝑛 − 1)2
(𝑛 − 1)2
𝜎 2 (𝑆 2 ) =
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2𝜎 4
𝑛−1
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28
Estimação de Parâmetros
Para nos ajudar na inferência de dados, os parâmetros da população são necessários.
Porém, em muitos casos, esses parâmetros são desconhecidos e, assim, precisamos estimá-los a
partir das estatísticas fornecidas pelas amostras.
Veremos aqui duas maneiras de estimar parâmetros a partir dos estimadores selecionados:
a estimação por ponto e a estimação por intervalo de confiança.
Estimação por Ponto
Essa estimação consiste em substituir/utilizar o valor obtido de um estimador justo, isto é, a
estimativa, no lugar do parâmetro. Portanto:
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑥̅ →
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑆2 →
𝜇(𝑥)
𝜎 2 (𝑥)
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎
𝑝̂ →
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𝑝
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29
Estimação por Intervalo de Confiança
Apesar de prática, a estimação por ponto está sempre associada a um certo erro, visto que,
embora próximas, as estimativas são diferentes do valor do parâmetro. Assim, para termos uma
ideia melhor acerca do erro de estimação, construímos um intervalo de confiança em torno da
estimativa, ou seja, a ideia é definir um intervalo que contenha o parâmetro desejado com uma
confiança associada.
Todo intervalo de confiança conta com dois parâmetros importantes, são eles:
𝛼 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎
&
1 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎
Dessa forma, vamos agora estudar os métodos de determinação dos intervalos de
confiança para cada parâmetro sob determinadas condições.
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30
Intervalo de Confiança para a Média Populacional 𝝁
•
Com desvio padrão 𝝈 conhecido:
Dada a significância de 𝛼% e a semi-amplitude 𝑒0 do intervalo de confiança temos que:
̅ − 𝒆𝒐 ≤ 𝝁 ≤ 𝒙
̅ + 𝒆𝒐 ) = 𝟏 − 𝜶
𝐏(𝒙
Portanto, podemos dizer que o intervalo 𝑥̅ − 𝑒𝑜 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑒𝑜 contém 𝜇, com (1 − 𝛼)% de
confiança. Para descobrirmos 𝑒𝑜 vamos associar um ponto (por exemplo (𝜇 + 𝑒𝑜 )) com um ponto
da normal padrão:
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31
Para transformar o ponto em 𝑥̅ para normal padrão 𝑍𝑖 , devemos subtrair a média de 𝑥̅ e
dividir o valor pelo desvio de 𝑥̅ :
𝑍𝛼 =
2
(𝜇 + 𝑒𝑜 ) − 𝜇(𝑥̅ )
𝜎(𝑥̅ )
𝑍𝛼 =
2
(𝜇 + 𝑒𝑜 ) − 𝜇
𝜎
⁄ 𝑛
√
𝑒𝑜 = 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
Dessa forma, o intervalo de (1 − 𝛼)% de confiança de 𝜇, é:
̅ − 𝒁𝜶
𝒙
𝟐
𝝈
√𝒏
̅ + 𝒁𝜶
≤ 𝝁 ≤ 𝒙
𝟐
𝝈
√𝒏
Até aqui, já conhecemos as principais técnicas de amostragem e sabemos estimar a média
populacional. Assim, podemos nos aprofundar em como determinar o número de elementos de
uma amostra para uma determinada especificação.
Por exemplo, seja uma pesquisa que busca obter o parâmetro média populacional sob um
determinado contexto, com uma precisão de 𝑒0 e confiança (1 − 𝛼)% . Podemos determinar o
tamanho necessário da amostra para cumprir os requisitos, com base nos conceitos já vistos.
𝑍𝛼
2
O intervalo de confiança para 𝜇 é dado por P(𝑥̅ − 𝑒𝑜 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑒𝑜 ) = 1 − 𝛼, onde 𝑒𝑜 =
. Assim, se isolarmos 𝑛, temos:
𝑛
𝜎
√
𝑒𝑜 = 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
2
𝑍𝛼 𝜎
𝑛= (
2
𝑒𝑜
)
Tamanho da amostra
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32
Exercício 2:
Uma amostra de 25 elementos uma população, cujo desvio padrão de altura é 10 𝑐𝑚, apresentou
altura média de 1,63 𝑚. Estime a altura média desta população através de um intervalo com 95%
de confiança.
Resolução:
Do enunciado, temos: 𝑛 = 25; 𝜎 = 10. 10−2 𝑚; 𝑥̅ = 1,63 𝑚
(1 − 𝛼) = 0,95
𝛼 = 0,05
𝛼
= 0,025
2
𝑍2,5% = 1,96
Portanto:
𝑥̅ − 𝑒𝑜 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑒𝑜
1,63 − 1,96
(0,1)
√25
≤ 𝜇(𝑥) ≤ 1,63 + 1,96
(0,1)
√25
𝟏, 𝟓𝟗 ≤ 𝝁(𝒙) ≤ 𝟏, 𝟔𝟕
O intervalo é variável aleatória. Pegando outra amostra o parâmetro 𝜇 continua fixo, o intervalo muda.
Este
intervalo
contém
certeza/confiança/probabilidade.
a
altura
média
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da
população
com
95%
de
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33
Exercício 3:
Dimensione o tamanho da amostra necessária para estimar a média de uma população cujo desvio
padrão é 5 com 95% de confiança e precisão de 0,5.
Resolução:
Basta fazermos:
𝑒𝑜 = 𝑍𝛼
2
𝜎
√𝑛
2
𝑍𝛼 𝜎
𝑛= (
2
𝑒𝑜
)
Como 95% de confiança implica 𝑍2,5% , tal que 𝑍2,5% = 1,96, temos:
1,96 . 5 2
)
𝑛= (
0,5
𝑛 = 384,16
Em casos que o valor não sai um número inteiro, sempre arredonde para cima, para assim
o tamanho da amostra não implicar em um erro menor do que o proposto. Então, nossa resposta
será:
𝒏 = 𝟑𝟖𝟓
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34
•
Com desvio padrão 𝝈 desconhecido:
Podemos estimar pontualmente 𝜎(𝑥) por 𝑆 2 , porém ao fazermos isso alteramos a distribuição
resultante, uma vez que 𝑆 é assintoticamente justo.
Por causa desse comportamento, quanto maior o tamanho da amostra 𝑛, menor será o efeito
causado na distribuição. Ao fazermos 𝜎 → 𝑆, a distribuição de 𝑥̅ deixa de ser normal e se torna tStudent com (𝑛 − 1) graus de liberdade, calculada por:
𝑥̅ − 𝜇
𝑠
√𝑛
𝑡𝑣 = 𝑡𝑛−1 =
Dessa forma, o intervalo de confiança com (1 − 𝛼)% de confiança para 𝜇, fica:
𝑺
𝑺
̅ − 𝒕𝒏−𝟏; 𝜶
̅ + 𝒕𝒏−𝟏; 𝜶
𝒙
≤ 𝝁 ≤ 𝒙
𝟐 √𝒏
𝟐 √𝒏
Dessa forma, o dimensionamento também muda:
𝑛= (
𝑡𝑛−1;𝛼 𝑆
2
𝑒𝑜
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2
)
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35
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional 𝒑
Como 𝑝̂ tem distribuição normal, a dedução é similar à de 𝑥̅ , porém conhecemos o desvio
padrão 𝜎 = 𝑝(1 − 𝑝).
Sim, vimos que a distribuição é binomial, mas lembre-se das condições que a aproximam de uma normal!
Para uma confiança de (1 − 𝛼)%, o intervalo que contém o parâmetro 𝑝, é dado por:
𝑝̂ − 𝑍𝛼 √
2
𝑝(1 − 𝑝)
𝑝(1 − 𝑝)
≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍𝛼 √
𝑛
𝑛
2
Note que o parâmetro aparece nas extremidades da inequação. Dessa forma, não
conseguiremos resolver nossa estimação. Para tanto, vamos utilizar nas extremidades a estimação
pontual, uma vez que 𝑝̂ é justo, ficando com o seguinte intervalo:
̂ − 𝒁𝜶 √
𝒑
𝟐
̂(𝟏 − 𝒑
̂)
̂(𝟏 − 𝒑
̂)
𝒑
𝒑
̂ + 𝒁𝜶 √
≤ 𝒑 ≤ 𝒑
𝒏
𝒏
𝟐
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36
Exercício 4:
Uma moeda foi lançada 150 vezes e apresentou 90 resultados cara.
(a) Determine o intervalo com 90% de confiança para a probabilidade de dar cara.
(b) Com base no resultado encontrado, pode-se afirmar que a moeda é honesta?
Resolução:
Do enunciado, temos:
𝑛 = 150
𝑝̂ =
90
= 0,6 𝑒 (1 − 𝑝̂ ) = 0,4
150
Obtemos também:
(1 − 𝛼) = 0,9
𝛼 = 0,10
𝛼
= 0,05
2
𝑍5% = 1,64
Portanto:
𝑝̂ − 𝑍𝛼 √
2
0,6 − 1,64√
𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )
𝑝̂ (1 − 𝑝̂ )
≤ 𝑝 ≤ 𝑝̂ + 𝑍𝛼 √
𝑛
𝑛
2
(0,6)(0,4)
(0,6)(0,4)
≤ 𝑝 ≤ 0,6 + 1,64√
150
150
0,53 ≤ 𝑝 ≤ 0,67
(a) Este intervalo de 56% 𝑎 64% contém a probabilidade de dar cara com 90% de confiança.
(b) Como 50% está fora do intervalo encontrado, pode-se afirmar que a moeda não é honesta com
90% de confiança.
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37
Intervalo de Confiança para a Variância Populacional 𝝈𝟐
Dado significância de 𝛼%, temos que:
𝐏(𝑺𝟐𝟏 ≤ 𝑺𝟐 ≤ 𝑺𝟐𝟐 ) = 𝟏 − 𝜶
Como 𝑆 2 =
𝜎2
𝑛−1
𝜒2𝑛−1 , temos que:
𝜎2
𝜎2
2
2
𝜒𝑛−1; 𝛼 ≤ 𝑆 ≤
𝜒2𝑛−1;
𝑛−1
𝑛−1
2
𝛼
1−
2
E através de manipulações algébricas podemos chegar no seguinte intervalo para 𝜎 2 :
(𝒏 − 𝟏) 𝑺𝟐
𝝌𝟐𝒏−𝟏; 𝟏−𝜶
≤ 𝝈𝟐 ≤
𝟐
(𝒏 − 𝟏) 𝑺𝟐
𝝌𝟐𝒏−𝟏; 𝜶
𝟐
Como a distribuição qui-quadrado não é simétrica, temos 2 valores para pegar na tabela da 𝜒 2 𝜈 .
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38
Exercício 5:
Determine o intervalo de 95% de confiança para a variância de uma população normal cuja amostra
colhida foi:
𝑥1 = 110 ; 𝑥2 = 105 ; 𝑥3 = 114 ; 𝑥4 = 118 ; 𝑥5 = 102 ; 𝑥6 = 103
Resolução:
Comecemos com o cálculo da média amostral:
x̅ =
∑6i=1 xi
6
x̅ = 108,6
Dessa forma, a variância amostral é dada por:
∑6𝑖=1(𝑥𝑖 − 108,6)2
𝑆 =
6−1
2
𝑆 2 = 41,47
Com 𝜈 = 5 graus de confiança, temos então:
𝜒5;2 97,5% = 0,832 𝑒 𝜒5;2 2,5% = 12,833
O intervalo com 95% de confiança fica:
(𝑛 − 1) 𝑆 2
(𝑛 − 1) 𝑆 2
2
≤ 𝜎 ≤ 2
𝜒 2 𝑛−1; 𝛼
𝜒 𝑛−1; 1−𝛼
2
2
5. (41,47)
5. (41,47)
≤ 𝜎2 ≤
12,833
0,832
𝟏𝟔, 𝟐 ≤ 𝝈𝟐 ≤ 𝟐𝟒𝟗, 𝟓
Para teste de hipótese ou I.C. envolvendo desvio padrão (𝜎), é necessário fazer o teste para a variância (𝜎 2 ), e
somente ao final extrair a raiz do resultado. Isso porque S não é estimador justo de 𝜎, portanto só podemos trabalhar
com 𝑆 2 .
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39
Estimação por Intervalo de Confiança para Duas Populações
Intervalo de Confiança para a Média Populacional (𝝁𝒂 − 𝝁𝒃 )
•
Com desvios 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 conhecidos:
O intervalo de confiança para média 𝜇 era:
𝑥̅ ± 𝑍𝛼
𝜎(𝑥)
2
√𝑛
Agora 𝜎(𝑥̅ ) é calculado da seguinte forma:
𝜎 2 (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = 𝜎 2 (𝑥̅𝐴 ) + 𝜎 2 (𝑥̅𝐵 )
𝜎²(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) =
𝜎𝐴2 (𝑥) 𝜎𝐵2 (𝑥)
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
𝜎(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = √
𝜎𝐴2 (𝑥) 𝜎𝐵2 (𝑥)
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
Portanto, o intervalo de confiança para as duas populações será:
(𝒙
̅𝑨 − 𝒙
̅𝑩 ) ± 𝒁𝜶 √
𝟐
𝝈𝟐𝑨 (𝒙) 𝝈𝟐𝑩 (𝒙)
+
𝒏𝑨
𝒏𝑩
Se perguntarem se as médias são iguais, temos que ver se zero está dentro do I.C.; se estiver, consideramos que as
médias são iguais.
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40
•
Com desvios 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 desconhecidos, porém iguais:
O intervalo de confiança para média 𝜇 era:
𝑥̅ ± 𝑡𝑛−1; 𝛼
2
𝑆
√𝑛
Utilizaremos o estimador 𝑆𝑝 para estimar 𝜎(𝑥̅ ), de tal forma que:
2
∑𝑛𝑖(𝑥𝐴 𝑖 − 𝑥̅𝐴 ) + ∑𝑛𝑖(𝑥𝐵 𝑖 − 𝑥̅𝐵 )
√
𝑆𝑝 =
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
2
Portanto, o intervalo de confiança para as duas populações será:
(𝒙
̅𝑨 − 𝒙
̅𝑩 ) ± 𝒕
𝟏−𝜸 √𝑺𝑷
𝒏𝑨 +𝒏𝑩 −𝟐; (
)
𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟏
+ )
𝒏𝑨 𝒏𝑩
1−𝛾
Onde 𝛼 ≡ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎 e 𝛾 ≡ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎. Logo, 𝛾 = 1 − 𝛼, e assim (
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2
𝛼
) = ( 2 ).
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41
•
Com desvios 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 desconhecidos e desiguais:
O intervalo de confiança para média 𝜇 era:
𝑥̅ ± 𝑡𝑛−1; 𝛼
2
𝑆
√𝑛
Utilizaremos as expressões abaixo de forma a simplificar nossa escrita:
𝜈=
(𝑊𝐴 + 𝑊𝐵 )2
𝑤𝐴2
𝑊𝐵2
+
𝑛𝐴 + 1
𝑛𝐵 + 1
𝜎𝐴2
𝑊𝐴 =
𝑛𝐴
𝑊𝐵 =
𝜎𝐵2
𝑛𝐵
Com certa aritmética, podemos concluir que o intervalo de confiança para as duas populações será:
𝑺𝟐𝑨 𝑺𝟐𝑩
√
(𝒙
̅𝑨 − 𝒙
̅𝑩 ) ± 𝒕 𝟏−𝜸
+
𝝂; (
) 𝒏𝑨
𝒏𝑩
𝟐
1−𝛾
Onde 𝛼 ≡ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎 e 𝛾 ≡ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎. Logo, 𝛾 = 1 − 𝛼, e assim (
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2
𝛼
) = ( 2 ).
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42
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional (𝒑𝒂 − 𝒑𝒃 )
Supondo que a aproximação da binomial pela normal seja válida, temos que o intervalo de
confiança para esse caso é dado por:
(𝒑
̂𝑨 − 𝒑
̂𝑩 ) ± 𝒁𝜶 √
𝟐
̂𝑨 (𝟏 − 𝒑
̂𝑨 ) 𝒑
̂𝑩 (𝟏 − 𝒑
̂𝑩 )
𝒑
+
𝒏𝑨
𝒏𝑩
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43
𝝈𝟐
Intervalo de Confiança para a Variância Populacional ( 𝒂𝟐 )
𝝈𝒃
A variância populacional (
𝜎𝑎2
𝜎𝑏2
) possui uma distribuição diferentes daquelas que vimos até
aqui. Essa possui distribuição F-Snedecor.
Dessa forma, nosso intervalo de confiança será da forma:
𝑺𝟐
( 𝒂𝟐 )
𝑺𝒃
𝑭𝝂
𝒂
; 𝝂𝒃 ; 𝟏−
(
𝜶
𝟐
𝑺𝟐𝒂
)
𝑺𝟐𝒃
𝝈𝟐𝒂
≤ 𝟐 ≤
𝑭𝝂 ; 𝝂 ; 𝜶
𝝈𝒃
𝒂
𝒃
𝟐
Onde 𝜈𝑎 = 𝑛𝑎 − 1 ; 𝜈𝑏 = 𝑛𝑏 − 1
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44
Exercício 6
Os dados abaixo foram coletados em duas empresas diferentes e referem-se ao tempo (em
minutos) que profissionais gastam com pesquisas na internet em um determinado dia.
Empresa
A
12,2
13
11,5
12,6
10,5
8,4
9,7
8,1
12,3
Empresa
B
11,2
23,1
12,4
10,4
12,1
19,3
17,5
11,1
12,4
16,6
Suponha que 𝜎𝐴 = 2,3 e 𝜎𝐵 = 3. Construa um intervalo de confiança para a diferença de médias
com 95% de confiança e interprete os resultados.
Resolução:
Para a empresa A, temos 𝑛𝐴 = 9 e média amostral 𝑥̅𝐴 = 10,92. Já para a empresa B, temos 𝑛𝐵 =
10 e média amostral 𝑥̅𝐵 = 14,62.
Dessa forma, a diferença de médias é dada por:
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = −3,69
E, por ser uma diferença de médias com desvios conhecidos, sabemos que o I.C. é da forma
(𝑥̅ 𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 ) ± 𝑍𝛼 √
𝜎2𝐴 (𝑥)
2
𝑛𝐴
+
𝜎2𝐵 (𝑥)
𝑛𝐵
Assim, calculamos:
𝜎𝐴2
= 0,59
𝑛𝐴
𝑒
𝜎𝐵2
= 0,9 𝑒
𝑛𝐵
𝑍𝛼 = 𝑍2,5% = 1,96
2
Com as devidas substituições, chegamos em:
−3,69 − 1,96√0,59 + 0,9 ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ) ≤ −3,69 + 1,96√0,59 + 0,9
−𝟔, 𝟎𝟖 ≤ (𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ) ≤ −𝟏, 𝟑𝟎
Como o zero não pertence ao 𝐼. 𝐶., podemos dizer, ao nível de 5% de significância, que as médias
são diferentes.
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45
Exercício 7
Para se estudar o desempenho de duas corretoras de ações, selecionou-se de cada uma delas
amostras aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada computou-se a
porcentagem de lucro apresentada durante um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir:
Corretora
A
Corretora
B
45
60
54
62
55
38
48
57
55
58
52
59
55
59
64
Supondo-se que as variâncias sejam iguais para as duas corretoras, pede-se para verificar se elas
possuem desempenhos diferentes, com significância de 5%.
Resolução:
Para a corretora A, temos 𝑛𝐴 = 8, média amostral 𝑥̅𝐴 = 53,25 e variância amostral 𝑆 2 = 81,357. Já
para a corretora B, temos 𝑛𝐵 = 7, 𝑥̅ 𝐵 = 56,42 e 𝑆 2 = 6,619. Assim, temos (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = −3,17.
Utilizamos o estimador 𝑆𝑝 para estimar 𝜎(𝑥̅ ), de tal forma que:
2
2
∑𝑛𝑖(𝑥𝐴 𝑖 − 𝑥̅𝐴 ) + ∑𝑛𝑖(𝑥𝐵 𝑖 − 𝑥̅𝐵 )
𝑆𝑝 = √
= √46,863
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
E, por ser uma diferença de médias com desvios desconhecidos e iguais, sabemos que o I.C. é da
forma
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 ) ± 𝑡
𝑛
𝐴 +𝑛𝐵 −2; (
1−𝛾 √𝑆𝑃
)
2
2
1
1
( + )
𝑛𝐴 𝑛𝐵
Assim, calculamos:
1
1
+
≅ 0,2678
𝑛𝐴 𝑛𝐵
𝑒
𝑡𝑛
𝐴 +𝑛𝐵 −2; (
1−𝛾
)
2
= 𝑡13; (2,5) = 2,160
Com as devidas substituições, chegamos em:
−3,17 − 2,16√(46,863)(0,2678) ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ) ≤ −3,17 + 2,16√(46,863)(0,2678)
−𝟔, 𝟕𝟏 ≤ (𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ) ≤ 𝟎, 𝟑𝟕
Como o zero está contido no I.C., não podemos dizer, ao nível de 5% de significância, que 𝜇𝐴 ≠
𝜇𝐵 .
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46
Exercício 8
Em uma pesquisa de intenção de voto para presidente conduzida em dois estados brasileiros,
revelaram-se os seguintes dados:
Entrevistados
Favoráveis ao
candidato X
Estado A
2000
850
Estado B
1500
650
Pede para determinar um intervalo de confiança (𝛾 = 98%) para a diferença (𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 ) de intenção
de voto no candidato X entre os dois estados.
Resolução:
850
650
Para o estado A, temos 𝑝̂𝐴 = 2000 = 0,425. Já para o estado B, temos 𝑝̂ 𝐵 = 1500 = 0,433. Assim,
temos (𝑝̂𝐴 − 𝑝̂𝐵 ) = −0,008.
Sabemos que o I.C. é da forma
(p̂A − p̂B ) ± Zα √
2
p̂A (1 − p̂A ) p̂B (1 − p̂B )
+
nA
nB
Assim, calculamos:
𝑍𝛼 = 𝑍1% = 2,33
2
Com as devidas substituições, chegamos em:
−0,008 − 2,33√
(0,425)(0,575)
2000
+
(0,433)(0,567)
1500
(0,425)(0,575)
≤ (𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 ) ≤ −0,008 + 2,33√
2000
+
(0,433)(0,567)
1500
−𝟎, 𝟎𝟒𝟕 ≤ (𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 ) ≤ 𝟎, 𝟎𝟑𝟏
Como o zero está contido no I.C., não podemos dizer, ao nível de 2% de significância, que as
intenções de voto do candidato X sejam diferentes.
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47
Teste de Hipótese
Com base nos resultados da amostra, queremos testar uma hipótese, considerada como
válida até prova contrária, a respeito de um parâmetro da população. O teste é constituído de duas
hipóteses:
{
𝑯𝟎 : 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑯𝟏 : 𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Aceitando a hipótese alternativa (𝐻1 ), com confiança de (1 − 𝛼)%, você sabe o quanto erra,
pois você rejeita a hipótese nula (𝐻0 ) com um nível de significância de 𝛼%.
Dessa forma, há dois tipos de erros que podem ser cometidos nos testes, erro tipo I e erro
tipo II, e para cada tipo há uma certa probabilidade de ocorrência, 𝛼 e 𝛽 respectivamente.
Realidade
𝐻0 verdadeira
𝐻0 falsa
Não Rejeitar 𝐻0
Decisão correta
Erro tipo II
𝜷
Rejeitar 𝐻0
Erro tipo I
𝜶
Decisão correta
Decisão
Dito isso, vamos entender melhor o roteiro de ação que seguiremos em nossos testes de
hipótese. Para cada teste vamos usar a distribuição pertinente, calcular um valor crítico e comparálos a um valor obtido na amostra.
Vamos a um exercício para entender melhor esse tema.
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48
Exercício 9:
Uma moeda foi lançada 200 vezes e foi obtido 127 coroas. Suspeita-se que a moeda seja
desonesta para coroa, ou seja, o resultado coroa tem maior probabilidade de ocorrer. Faça um
teste de hipótese para verificar a desonestidade da moeda com no máximo 5% de chance de a
conclusão ser errada.
Resolução:
Vamos começar construindo as hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝐴 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 é ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 ∴ 𝑝 = 0,5
𝐴 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 𝑛ã𝑜 é ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 ∴ 𝑝 > 0,5
127
O estimador de 𝑝 é 𝑝̂ , tal que 𝑝̂ = 200 = 0,635, que possui média e desvio padrão segundo as
expressões abaixo:
𝜇(𝑝̂ ) = 𝑝0 = 0,5
𝑒
𝜎(𝑝̂ ) = √
𝑝0 (1 − 𝑝0 )
= 0,035
𝑛
Onde 𝑝0 é a proporção aceita atualmente
Sabemos que esse estimador tem distribuição normal. Sabemos também que 𝛼 = 5%, assim
podemos determinar o valor de 𝑝̂ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 :
𝑍𝛼 =
𝑝̂ − 𝜇(𝑝̂ )
𝜎(𝑝̂ )
→
𝑍5% =
𝑝̂ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 – 0,5
0,035
𝑝̂ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 0,557
Como o valor calculado é maior que o crítico, isto é, (𝑝̂ > 𝑝̂ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ), rejeitamos 𝑯𝟎 , ou seja, podemos
afirmar que a moeda é desonesta, ao nível de 5% de confiança.
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49
Teste para a Média Populacional
•
Com desvio padrão 𝝈 conhecido:
A média populacional 𝜇 é estimada pela média amostral 𝑥̅ , conforme já visto. Essa possui
distribuição normal, média 𝜇(𝑥̅ ) = 𝜇(𝑥) e desvio padrão 𝜎(𝑥̅ ) =
𝜎(𝑥)
𝑛
.
Como vimos no exercício anterior, quando buscamos um valor maior que o valor de 𝐻0 usamos
a cauda da direita da distribuição. Já quando buscamos um valor menor, usaremos a cauda da
esquerda da distribuição. E em casos em que buscamos um valor diferente, usaremos ambas as
caudas e dividiremos a significância 𝛼 para as duas. Dessa forma, de maneira geral, temos:
Em que 𝑍𝛼 é dado por:
2
𝑍𝛼 =
2
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 − 𝜇0
𝜎(𝑥)
𝑛
Portanto:
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 ± 𝑍𝛼
2
𝜎(𝑥)
𝑛
Dessa forma, para cada caso, temos:
{
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 + 𝑍𝛼
{
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 − 𝑍𝛼
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 ± 𝑍𝛼
{
2
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𝜎(𝑥)
𝑛
𝜎(𝑥)
𝑛
𝜎(𝑥)
𝑛
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50
•
Com desvio padrão 𝝈 desconhecido:
A média populacional 𝜇 é estimada pela média amostral 𝑥̅ . Para esse caso, o estimador possui
𝑆
distribuição t-student, média 𝜇(𝑥̅ ) = 𝜇(𝑥) e desvio padrão 𝜎(𝑥̅ ) = 𝑛 .
Note que trataremos o teste da mesma forma vista anteriormente. Porém, apenas trocaremos
a distribuição normal pela distribuição t-student e o desvio padrão populacional 𝜎 pelo desvio
padrão amostral 𝑆.
Sendo assim, temos:
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 ± 𝑡𝑛−1; 𝛼
2
𝜎(𝑥)
𝑛
E, portanto:
{
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 + 𝑡𝑛−1; 𝛼
{
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 < 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 − 𝑡𝑛−1; 𝛼
𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0
𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝜇0
→
Comparar 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 ± 𝑡𝑛−1; 𝛼
{
2
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𝜎(𝑥)
𝑛
𝜎(𝑥)
𝑛
𝜎(𝑥)
𝑛
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51
Exercício 10:
Na ausência de um treinamento, os escores de um exame de admissão em um MBA variam
normalmente com média 475 e desvio padrão 100. Suponhamos que o treinamento possa melhorar
a média, mas não altere o desvio padrão. Uma equipe treina 100 estudantes. Suas notas acusam
𝑥̅ = 478.
(a) Para um nível de significância de 5% é possível afirmar que as notas aumentaram?
(b) O que ocorreria se a amostra tivesse 1000 e não 100 alunos?
Resolução:
(a) Podemos inferir do enunciado que
𝜇0 = 475
;
𝜎 = 100
;
𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 478
E também que nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇 = 475
𝜇 > 475
Dessa forma, vamos calcular a normal padrão para uma significância de 5%, de forma a encontrar
o valor crítico do estimador:
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 + 𝑍𝛼
2
𝜎(𝑥)
𝑛
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 475 ± 1,64
100
√100
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 491,4
Como 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 < 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 , não rejeitamos 𝑯𝟎 , pois não há evidências estatísticas para aferir que
a média aumentou com o treinamento, ao nível de 5% de confiança.
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52
(b) Se a amostra tivesse 1000 alunos, ao invés de 100, teríamos:
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 + 𝑍𝛼
2
𝜎(𝑥)
𝑛
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 475 ± 1,64
100
√1000
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 480,2
E, assim a conclusão é a mesma, isto é, como 𝑥̅𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 < 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 , não rejeitamos 𝑯𝟎 , pois não há
evidências estatísticas para aferir que a média aumentou com o treinamento, ao nível de 5% de
confiança.
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53
Exercício 11:
Um estudo pretende identificar se um grupo de indígenas pertence a uma determinada tribo. Sabese que os índios da tribo A possuem altura média de 120 𝑐𝑚, enquanto os da tribo B possuem altura
média de 145 𝑐𝑚. O desvio padrão nos dois casos é 40 𝑐𝑚. O critério de decisão é o seguinte: se
para uma amostra de 100 pessoas for observada média amostral superior a 130, considera-se que
é da tribo B o grupo, caso contrário, da tribo A. Você desconfia que os indivíduos são da tribo A.
(a) Qual é o erro tipo I?
(b) Determine a probabilidade do erro tipo I (𝛼).
(c) Qual deve ser o critério de decisão para que 𝛼 = 5%?
(d) Para o critério do enunciado, qual a probabilidade do erro tipo II (𝛽)?
Resolução:
(a) O erro do tipo I é rejeitar 𝐻0 quando 𝐻0 é verdadeiro. Dessa forma, para o contexto em questão,
seria afirmar que os indivíduos são da tribo A, quando na verdade são da tribo B, conforme
previamente desconfiado.
Para visualizar graficamente o erro, podemos construir os seguintes gráficos:
Erro do tipo I
Erro do tipo II
(b) Comecemos construindo nossas hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇 = 145
𝜇 = 120
Do enunciado, temos que 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 130 ; 𝜇0 = 145 ; 𝜎 = 40 ; 𝑛 = 100. Então:
𝑍𝛼 =
130 − 145
= −3,75
40
√100
𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗%
A chance de se cometer um erro do tipo I é muito baixa.
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54
(c) Devemos calcular o novo 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 para 𝛼 = 5%. Assim, fazemos:
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 𝜇0 − 𝑍5%
𝜎(𝑥)
𝑛
𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 145 − 1,64
40
√100
̅𝒄𝒓í𝒕 = 𝟏𝟑𝟖, 𝟒𝟒
𝒙
(d) Comecemos construindo nossas hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇 = 120
𝜇 = 145
Do enunciado, temos que 𝑥̅𝑐𝑟í𝑡 = 130 ; 𝜇0 = 120 ; 𝜎 = 40 ; 𝑛 = 100. Então:
𝑍𝛽 =
130 − 120
= 2,5
40
√100
𝜶 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟒%
A chance de se cometer um erro do tipo II é bem maior.
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55
Teste para a Variância Populacional
A variância populacional 𝜎² é estimada pela variância amostral 𝑆². Essa possui distribuição qui2
quadrado, e é calculada por 𝑆𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
=
̅ )2
∑𝑛
𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥
𝑛−1
.
Dessa forma, por se tratar de uma distribuição assimétrica, seus valores críticos são dados
por:
2
𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
2
𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
𝜎02 2
𝜒
𝑛 − 1 𝑛−1; 𝛼
𝜎02 2
𝜒
𝑛 − 1 𝑛−1; 1−𝛼
E, portanto:
{
{
{
𝐻0 : 𝜎 2 = 𝜎02
𝐻1 : 𝜎 2 > 𝜎02
𝐻0 : 𝜎 2 = 𝜎02
𝐻1 : 𝜎 2 < 𝜎02
𝐻0 : 𝜎 2 = 𝜎02
𝐻1 : 𝜎 2 ≠ 𝜎02
→
→
→
2
2
Comparar 𝑆𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
com 𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
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𝑛−1
𝜎02
2
2
Comparar 𝑆𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
com 𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
2
2
Comparar 𝑆𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
com 𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
𝜎02
𝑛−1
𝜎02
2
𝜒𝑛−1;
𝛼
2
𝜒𝑛−1;
1−𝛼
2
𝜒 2 𝛼 e 𝑆𝑐𝑟í𝑡
=
𝑛−1 𝑛−1;
2
𝜎02
𝑛−1
2
𝜒𝑛−1;
1−𝛼
2
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56
Exercício 12:
A companhia telefônica está estudando a duração de chamadas telefônicas, bem como sua
variabilidade. Admite 𝜎 = 4 𝑚𝑖𝑛 (variabilidade nacional). A companhia pretende verificar se uma
certa cidade tem variabilidade de tempo diferente do padrão nacional. A duração das chamadas
tem distribuição normal.
(a) Determine 𝐻0 e 𝐻1 .
(b) A partir de quais valores você rejeitaria 𝐻0 (𝑛 = 25; 𝛼 = 0,05)?
(c) Qual seria sua decisão se uma amostra de chamadas obtivesse 𝑆 2 = 15?
Resolução:
(a) Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜎² = 16
𝜎² ≠ 16
2
(b) Rejeitaríamos valores fora do intervalo determinado pelos 𝑆𝐶𝑟í𝑡
, dados por:
2
𝑆𝐶𝑟í𝑡
=
16 2
𝜒
24 24;97,5%
2
𝑆𝐶𝑟í𝑡
= 8,27
2
𝑆𝐶𝑟í𝑡
=
16 2
𝜒
24 24;2,5%
2
𝑆𝐶𝑟í𝑡
= 28,67
Portanto, rejeitaríamos 𝐻0 para valores de 𝑆² fora do intervalo 8,27 ≤ 𝑆 2 ≤ 28,67.
(c) Como 𝑆² está dentro no intervalo estimado anteriormente, não rejeito 𝐻0 .
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57
Teste para a Proporção Populacional
A proporção populacional 𝑝 é estimada pela proporção amostral 𝑝̂ . Esse possui distribuição
𝑝(1−𝑝)
normal, média 𝜇(𝑝̂ ) = 𝑝 e desvio padrão 𝜎(𝑝̂ ) = √
𝑛
, conforme já visto no exercício 9.
Dessa forma, para cada caso, temos:
{
𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0
𝐻1 : 𝑝 > 𝑝0
→
Comparar 𝑝̂ 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑝̂𝑐𝑟í𝑡 = 𝑝0 + 𝑍𝛼 √
{
𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0
𝐻1 : 𝑝 < 𝑝0
→
Comparar 𝑝̂ 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑝̂𝑐𝑟í𝑡 = 𝑝0 − 𝑍𝛼 √
𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0
𝐻1 : 𝑝 ≠ 𝑝0
→
Comparar 𝑝̂𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑝̂ 𝑐𝑟í𝑡 = 𝑝0 ± 𝑍𝛼 √
{
𝑝(1−𝑝)
𝑛
𝑝(1−𝑝)
𝑛
𝑝(1−𝑝)
2
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𝑛
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58
Teste para Duas Populações
Teste de Comparação de Duas Médias 𝝁𝑨 e 𝝁𝑩
•
Com desvios-padrão 𝝈𝑨 e 𝝈𝑩 conhecidos:
Para duas populações o teste de hipóteses não muda. O que muda é a estatística que
usamos, similar ao que vimos nos intervalos de confiança.
Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇𝐴 = 𝜇𝐵
𝑯𝟎 :
↔ {
𝜇𝐴 > 𝜇𝐵
𝑯𝟏 :
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 > 0
Aqui podemos usar os sinais de > , < 𝑜𝑢 ≠
Nossa variável de teste é, então, (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ), que tem distribuição normal. Variável essa que tem
𝜎2
𝜎2
𝐴
𝐵
média 𝜇(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 e desvio padrão 𝜎(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ) = √ 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 .
Assim temos:
𝑍𝛼 =
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 ± (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 )
2
√
𝜎𝐴2
𝜎𝐵2
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
Portanto:
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡
= 𝑍𝛼 √
2
𝜎𝐴2
𝜎𝐵2
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
Dessa forma, devemos comparar (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 com (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
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59
•
Com desvios-padrão 𝝈𝑨 e 𝝈𝑩 desconhecidos, porém iguais:
Denominada hipótese homocedástica, é o caso mais comum. Nesse caso, nossa variável
teste é igual a anterior, porém possui distribuição t-student.
Assim temos:
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡
1
1
𝜎√𝑛 + 𝑛
𝐴
𝐵
𝑡𝑛𝐴+𝑛𝐵 −2 ; 𝛼 =
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡
1
1
𝑆𝑃 √𝑛 + 𝑛
𝐴
𝐵
Onde:
2
∑𝑛𝑖(𝑥𝐴 𝑖 − 𝑥̅𝐴 ) + ∑𝑛𝑖(𝑥𝐵 𝑖 − 𝑥̅𝐵 )
√
𝑆𝑝 =
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
2
Portanto:
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛𝐴 +𝑛𝐵 −2 ; 𝛼 𝑆𝑃 √
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1
1
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
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60
•
Com desvios-padrão 𝝈𝑨 e 𝝈𝑩 desconhecidos e desiguais:
Esse caso segue também distribuição t-student, como o caso anterior.
Assim, temos expressão similar a anterior, com a modificação persistente aos desvios:
𝑡𝜈;𝛼 =
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡
√
𝜎𝐴2
𝜎𝐵2
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
Onde:
(𝑊𝐴 + 𝑊𝐵 )2
𝜈=
𝑤𝐴2
𝑊𝐵2
+
𝑛𝐴 + 1
𝑛𝐵 + 1
𝑊𝐴 =
𝜎𝐴2
𝑛𝐴
𝜎𝐵2
𝑊𝐵 =
𝑛𝐵
E, portanto:
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 )𝑐𝑟í𝑡
𝜎𝐴2
𝜎𝐵2
= 𝑡𝜈;𝛼 √
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
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61
Por fim, vale mencionar o caso em que os dados estão emparelhados, ou seja, quando os
dados podem ser analisados juntos de alguma forma. Assim, fazemos:
𝑥𝐷 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
𝑂𝑟𝑑𝑒𝑚
𝒙𝑨
𝒙𝑩
𝒙𝑫
1
𝑥𝐴1
𝑥𝐵 1
𝑥𝐷 1
2
𝑥𝐴 2
𝑥𝐵 2
𝑥𝐷 2
3
𝑥𝐴 3
𝑥𝐵 3
𝑥𝐷 3
⋮
⋮
⋮
⋮
Dessa forma, a média e a variância são dados por:
𝜇(𝑥𝐷 ) = 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 𝜇𝐷
𝑠𝐷2 =
∑𝑛𝑖(𝑥𝐷 𝑖 − 𝑥̅ 𝐷 )
2
𝑛−1
E, portanto:
𝑡𝑛−1; 𝛼 =
𝑥̅ 𝐷 𝑐𝑟í𝑡 − 0
𝑆𝐷
√𝑛
𝑥̅𝐷 𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛−1; 𝛼
𝑆𝐷
√𝑛
E novamente, como todos os testes anteriores, devemos comparar 𝑥̅ 𝐷 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com 𝑥̅𝐷 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 .
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62
Exercício 13:
Afim de comparar a eficiência de dois operários, foram tomados, para cada um, 8 medidas de tempo
gasto para realizar certa operação. Os resultados são os dados a seguir. Pergunta-se, ao nível de
5% de significância, se os operários devem ser considerados igualmente eficientes ou não
(considere 𝜎 2𝐴 = 𝜎 2 𝐵 ).
Operário
A
35
32
40
36
35
32
33
37
Operário
B
29
35
36
34
30
33
31
34
Resolução:
Vamos começar explicitando nossas hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 > 0
Nossa variável teste (𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 ), quando incorporada aos dados do enunciado, devolve
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 2,25 .
Como não possuímos o valor dos desvios, que são iguais, fazemos:
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛𝐴+𝑛𝐵 −2 ; 𝛼
1
1
𝑆𝑃 √ +
𝑛𝐴
𝑛𝐵
2
𝑒
𝑆𝑝 = √
∑𝑛𝑖(𝑥𝐴 𝑖 − 𝑥̅𝐴 ) + ∑𝑛𝑖(𝑥𝐵 𝑖 − 𝑥̅𝐵 )
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
2
1
1
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡14 ; 2,5% 2,61√ +
8
8
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 ≅ 2,8
Portanto, não rejeitamos 𝑯𝟎 , não há evidências estatísticas para afirmar que a eficiência dos
funcionários seja diferente, ao nível de 5% de significância.
Perceba que, nesse caso, a ordem das medidas de tempo (do enunciado) para os funcionários não influência na
análise, ou seja, para esse exemplo as medidas de um funcionário e outro estavam ligadas a uma operação. No
próximo exercício teremos outra análise.
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63
Exercício 14:
Dois candidatos A e B foram submetidos a um conjunto de 8 questões, sendo anotados os tempos
que cada um gastou nas soluções (dados em minutos). Podemos, ao nível de 5% de significância,
concluir que B seja mais rápido que A, em termos de tempo médio gasto para resolver as questões
do tipo das formuladas?
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
Candidato
A
11
8
15
2
7
18
9
10
Candidato
B
5
7
13
6
4
10
13
12
𝑥𝐷
6
1
2
−4
3
8
6
−2
Resolução:
Nesse exercício, cada medida relaciona os candidatos de acordo com uma questão, enquanto no
exercício anterior tínhamos oito tempos diferentes para uma única operação de cada operário. A
partir disso, concluímos que os dados são emparelhados.
Vamos explicitar nossas hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇𝐷 = 0
μD > 0
Nossa variável teste 𝑥̅𝐷 , quando incorporada aos dados do enunciado, devolve 𝑥̅𝐷 = 2,50 .
Como não possuímos o valor dos desvios, temos:
𝑥̅𝐷 𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛−1; 𝛼
𝑥̅𝐷 𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡7; 5%
𝑆𝐷
√𝑛
4,14
√8
𝑥̅ 𝐷 𝑐𝑟í𝑡 = 2,77
Não rejeitamos 𝑯𝟎 , pois não podemos afirmar que as velocidades dos candidatos são diferentes,
ao nível de 5% de significância.
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64
Teste de Comparação de Duas Variâncias 𝝈𝟐𝑨 e 𝝈𝟐𝑩
Vale reforçar que para duas populações o teste de hipóteses não muda. O que muda é a
estatística que usamos. Nesse caso, não trabalharemos com a subtração entre variâncias, mas sim
com o quociente entre essas.
Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2
𝜎𝐴2 > 𝜎𝐵2
𝑆2
2
𝑆𝐴
,que tem distribuição F-Snedecor: 𝐹𝜈𝐴 ; 𝜈𝐵 ; 𝛼 = 𝐴2 . Por
2
𝑆𝐵
𝑆𝐵
convenção, utilizamos no numerador a variância maior e, portanto, no denominador a variância
menor.
A variável teste utilizada é
Isso serve para resultar em um teste monocaudal à direita. Montando dessa forma, sempre
𝛼
desprezamos o lado esquerdo (ainda que ele contenha 2 %), vide próximo exercício.
Portanto, se 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 > 𝐹𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 , rejeitamos 𝐻0 .
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65
Exercício 15:
Teste, ao nível de 5% de significância, se as populações A e B possuem variâncias diferentes.
𝑛
7
12
Amostra
A
B
𝑆2
15,8
6,2
Resolução:
Vamos começar construindo nossas hipóteses:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2
𝜎𝐴2 ≠ 𝜎𝐵2
Não precisamos olhar a cauda com 2,5% à esquerda, pois o teste foi montado para direita. Dessa
forma, vamos aos cálculos:
𝑆𝐴2
15,8
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = ( 2 )
=
= 2,55
6,2
𝑆𝐵 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹6; 11; 2,5% = 3,88
Logo, não rejeitamos 𝐻0 , pois não podemos afirmar que as duas variâncias são diferentes, ao nível
de 5% de significância.
A tabela F vai conter 3 informações: 𝜈𝐴 , 𝜈𝐵 e 𝛼. Certifique-se de escolher corretamente o primeiro grau de liberdade.
Por exemplo: 𝐹6 ; 11 ; 2,5% ≠ 𝐹11 ; 6 ; 2,5%
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66
Exercício 16:
A qualidade de rebites é tanto maior quanto maior a resistência média e sua homogeneidade.
Seis rebites foram ensaiados ao cisalhamento, tendo obtido as seguintes rupturas (cargas de
ruptura).
Rebite 𝑛
Marca A
Marca B
1
34,9
38,5
3
38,8
40,7
2
35,5
39,0
4
39,2
42,9
5
33,7
37,8
6
37,6
41,4
Esses resultados ratificam a afirmação do produtor da marca B de que seus rebites são melhores
em pelo menos 1 aspecto?
Resolução:
Vamos testar tanto a resistência (via teste para médias) quanto a homogeneidade, ou seja, sua
dispersão (via teste para variâncias).
Nosso primeiro passo é realizar o teste para variância, pois, além de descobrirmos se a marca B é
mais homogênea ou não, vamos descobrir também em que situação estamos no teste da média.
Assim, comecemos calculando os estimadores necessários:
Marca A: 𝑥̅𝐴 = 36,6 e 𝑆𝐴2 = 5,02
Marca B: 𝑥̅𝐵 = 40,05 e 𝑆𝐵2 = 3,79
Dessa forma, vamos expor nossas hipóteses para o teste de variâncias:
𝑯 :
{ 𝟎
𝑯𝟏 :
𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2
𝜎𝐴2 > 𝜎𝐵2
Nossa variável teste e seu respectivo valor crítico são:
𝑆𝐴2
5,02
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = ( 2 )
=
= 1,33
𝑆𝐵 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 3,79
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹5; 5; 5% = 5,05
Portanto, não rejeitamos 𝐻0 , ao nível de 5% de significância, pois não podemos afirmar que há
diferença de homogeneidade entre as marcas. Dessa forma, descartamos um aspecto do
enunciado, e descobrimos que para o teste da média 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 .
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67
Nosso segundo passo é realizar o teste para a média, sabendo que os desvios-padrão são iguais,
conforme deduzido no passo anterior.
Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇𝐴 = 𝜇𝐵
𝑯𝟎 :
↔ {
𝜇𝐴 < 𝜇𝐵
𝑯𝟏 :
𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 = 0
𝜇𝐵 − 𝜇𝐴 > 0
Nossa variável teste e seu respectivo valor crítico são:
(𝑥̅𝐵 − 𝑥̅𝐴 )𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 3,45
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛𝐴 +𝑛𝐵 −2 ; 𝛼 𝑆𝑃 √
1
1
+
𝑛𝐴
𝑛𝐵
1
1
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅ 𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡10 ; 5% 2,1√ +
6
6
(𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 )𝑐𝑟í𝑡 = 2,22
Portanto, rejeitamos 𝐻0 , ao nível de 5% de significância. Logo, podemos afirmar que a resistência
de B é maior do que a de A.
Dessa forma, os resultados ratificam a afirmação do produtor da marca B de que seus rebites são
melhores em pelo menos 1 aspecto.
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68
Anova
Nosso problema agora se trata em resolver comparações entre mais de duas médias. Até
aqui vimos testes de hipótese para comparar duas médias, como segue o exemplo abaixo para
duas populações A e B:
{
𝑯𝟎 :
𝑯𝟏 :
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0
𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≠ 0
Imagine agora usar essa ferramenta para calcular três médias. Teríamos que fazer testes
entre as populações A, B e C, totalizando três testes de hipótese. Com quatro médias, o problema
ainda é executável nos mesmos moldes, ainda que muito trabalhoso. Porém, para comparar
15, 30, 50, ⋯ , 𝐾 médias faz-se necessária uma ferramenta mais robusta.
Dessa forma, primeiramente aceitaremos uma hipótese homocedástica sobre os desvios das
populações, isto é, 𝜎𝐴 = 𝜎𝐵 = ⋯ = 𝜎𝐾 . Imaginemos agora um teste do tipo que se segue:
{
𝑯𝟎 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶 = 𝜇𝐷 ⋯ = 𝜇𝐾
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Para analisar várias médias esse teste é adequado, uma vez que, ao rejeitar 𝐻0 , a conclusão
é de que pelo menos uma população está esquisita (nunca use esse termo formalmente!).
Para realizar o teste, calculamos as médias amostrais (𝑥̅ 𝑖 ) para cada população 𝑖. Assim,
para uma amostra de 𝑛 elementos, temos:
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69
Elemento
𝟏
𝟐
𝟑
⋯
𝒏
̅
𝒙
𝟏
𝑥11
𝑥12
𝑥13
⋯
𝑥1𝑛
𝑥̅1
𝟐
𝑥21
𝑥22
𝑥23
⋯
𝑥2𝑛
𝑥̅ 2
𝟑
𝑥31
𝑥32
𝑥33
⋯
𝑥3𝑛
𝑥̅ 3
⋮
⋮
⋮
⋮
⋅⋮⋅
⋮
⋮
𝑲
𝑥𝐾1
𝑥𝐾2
𝑥𝐾3
⋯
𝑥𝐾𝑛
𝑥̅ 𝐾
Amostra
Calcularemos estimadores da variância um pouco diferentes dos conhecidos até aqui e,
assim, conseguiremos exprimir um teste de comparação de médias em função das variâncias.
Como usaremos variâncias no processo de cálculo, dá-se o nome desse teste de Análise
de Variância, do inglês Analysis of Variance (ANOVA).
Por mais que apareçam variâncias populacionais 𝜎 e variâncias amostrais 𝑆, temos que lembrar que se trata de uma
comparação de médias!
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70
Anova com Uma Classificação
A Anova com uma classificação se refere àquela na qual se dá a comparação entre amostras,
através de estimadores da variância. Essas são denominados estimador total, estimador entre
amostras e estimador residual.
•
Estimador Total (𝑺𝟐𝑻 ) :
𝟐
𝑲 𝒏
̅
∑
∑
−
𝒙
(𝒙
)
𝒊𝒋
𝒊
𝒋
𝑺𝟐𝑻 =
(𝒏𝑲 − 𝟏)
Onde:
∑𝑘
𝑖 𝑥̅ 𝑖
𝑥̅̅ =
•
𝑘
𝑛
∑𝐾
𝑖 ∑𝐼 𝑥̅ 𝑖𝑗
𝑛𝐾
Estimador entre Amostras (𝑺𝟐𝑬 ) :
𝑺𝟐𝑬
•
ou 𝑥̅̅ =
∑𝑲
̅ )𝟐
𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙
= 𝒏[
]
𝑲−𝟏
Estimador Residual (𝑺𝟐𝑹 ) :
𝑺𝟐𝑹
𝟐
∑𝑲
𝒊 𝑺𝒊
=
𝑲
Onde:
𝑆𝑖2
= ∑
𝑛 (𝑥
𝑖𝑗
𝑗
− 𝑥̅𝑖 )
𝑛−1
2
Não se preocupe agora em decifrar essas fórmulas, teremos mais a frente um jeito mais automático de calcular esses
estimadores.
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71
Iremos trocar o formato do teste para os cálculos com variâncias. Assim, utilizaremos a
variável de teste Fisher-Snedecor, ou simplesmente, a variável de teste 𝐹. Ao aceitarmos uma
significância de 𝛼%, iremos calcular 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 e 𝐹𝑐𝑟í𝑡;𝛼 .
{
𝑯𝟎 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶 = 𝜇𝐷 ⋯ = 𝜇𝐾
𝑯 : 𝜎 2 = 𝜎𝑅2
→ { 𝟎 𝐸2
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑯𝟏 : 𝜎𝐸 > 𝜎𝑅2
Nossa variável de teste, então, será dada por:
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑆𝐸2
= 2 ; 𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹(𝐾−1) ; 𝐾(𝑛−1) ; 𝛼
𝑆𝑅
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72
Exercício 17:
Pneus de três marcas foram testados quanto sua durabilidade. Os resultados obtidos, em milhões
de 𝑘𝑚, estão expressos na tabela abaixo.
Marca
Durabilidade
A
34
38
31
35
B
32
34
31
29
C
30
25
28
23
Ao nível de 1% de significância, há evidências de que os pneus tenham diferentes durabilidades
médias?
Resolução:
De início, vamos calcular as médias amostrais de cada marca e, posteriormente, a média de todas
as médias:
𝑥̅1 = 𝑥̅𝐴 = 34,5
;
𝑥̅2 = 𝑥̅𝐵 = 31,5
;
𝑥̅3 = 𝑥̅𝐶 = 26,5
𝑥̿ = 30,833
Em posse dessa, podemos calcular o estimador entre amostras, dado por:
̅ 2
∑𝐾
𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )
𝑆𝐸2 = 𝑛 [
]
𝐾−1
→
𝑆𝐸2 ≅ 65,33
Sendo 𝑆12 = 8,33 ; 𝑆22 = 4,33 ; 𝑆32 = 9,66 ; o cálculo do estimador residual resulta:
𝑆𝑅2 =
2
∑𝐾
𝑖 𝑆𝑖
𝐾
→
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𝑆𝑅2 = 7,4
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73
Agora, calculemos nossa variável teste 𝐹, tal que:
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑆𝐸2
= 2
𝑆𝑅
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹2 ; 9 ; 1%
→
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 8,78
→
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 8,02
Portanto, rejeito 𝑯𝟎 , pois tenho evidências estatísticas para afirmar que há diferenças nas marcas
quanto à durabilidade, ao nível de 1% de significância.
Essa conclusão identifica que há pelo menos uma média diferente das demais, mas não diz qual. Podemos suspeitar
da marca C, a menos durável, e podemos confirmar ou não isso com um teste entre a marca B e C.
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74
Para facilitar nosso estudo, a partir daqui usaremos a seguinte notação para os dados vistos
até o momento:
𝑛
𝑇𝑖 = ∑ 𝑥𝑖𝑗 →
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖
𝑗
𝑛
2
𝑄𝑖 = ∑ 𝑥𝑖𝑗
→
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖
𝑗
𝐾
𝐾
𝑛
𝑇 = ∑ 𝑇𝑖 = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗 →
𝑖
𝑖
𝐾
𝐾
𝑛
𝑖
𝑖
𝑗
2
𝑄 = ∑ 𝑄𝑖 = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗
→
𝑥̅𝑖 =
𝑥̿ =
𝑇𝑖
→
𝑛
𝑇
→
𝑛𝐾
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑗
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑖
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
Com o auxílio dessa nova notação, podemos reescrever a expressão dos estimadores da
variância, como segue abaixo:
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•
Estimador Total (𝑺𝟐𝑻 ) :
𝑺𝟐𝑻 =
𝑺𝑸𝑻
(𝒏𝑲 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Total (𝑆𝑄𝑇), é dado por:
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
•
𝑇2
𝑛𝐾
Estimador entre Amostras (𝑺𝟐𝑬 ) :
𝑺𝟐𝑬 =
𝑺𝑸𝑬
𝑲−𝟏
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Entre amostras (𝑆𝑄𝐸), é dado
por:
𝑇𝑖2
𝑇2
𝑆𝑄𝐸 = ∑ ( ) −
𝑛𝑖
𝑛𝐾
𝑖
𝐾
•
Estimador Residual (𝑺𝟐𝑹 ) :
𝑺𝟐𝑹 =
𝑺𝑸𝑹
𝒌(𝒏 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Residual (𝑆𝑄𝑅), é dado por:
𝐾 𝑇2
𝑖
𝑆𝑄𝑅 = 𝑄 − ∑ ( )
𝑛
𝑖
Na prática não calcularemos SQR pela fórmula, e sim pela diferença 𝑆𝑄𝑇 – 𝑆𝑄𝐸
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76
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Entre linhas
𝑆𝑄𝐸
(𝐾 − 1)
𝑆𝐸2
Residual
𝑆𝑄𝑅
𝐾(𝑛 − 1)
𝑆𝑅2 =
Total
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛 − 1
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Quadrado
Médio
𝑆𝑄𝐸
=
𝐾−1
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝑆𝐸2
𝑆𝑅2
𝑆𝑄𝑅
𝐾(𝑛 − 1)
𝑆𝑇2 =
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛 − 1
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77
Exercício 18:
Compare as três médias e veja se há alguma diferente das demais, ao nível de 5% de
significância.
Amostra
Valores
1
64
66
59
65
62
2
71
73
66
70
68
3
52
57
53
56
53
Resolução:
Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶
𝑯 : 𝜎 2 = 𝜎𝑅2
→ { 𝟎 𝐸2
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑯𝟏 : 𝜎𝐸 > 𝜎𝑅2
Da tabela dada, infere-se que 𝐾 = 3.
Vamos agora calcular a soma de valores de cada linha, o seu quadrado e a soma total de valores:
𝑇1 = 316 →
𝑇12 = 99.856
𝑇2 = 348 →
𝑇22 = 121.104
𝑇3 = 271 →
𝑇32 = 73.441
𝑇 = 935 →
∑ 𝑇𝑖2
= 58.880,20
𝑛𝑖
Aqui o 𝑛𝑖 refere-se ao tamanho de cada amostra que, no caso, é igual a 5
Em seguida, calculemos o 𝑆𝑄𝐸, tal que:
𝐾 𝑇2
𝑇2
𝑖
𝑆𝑄𝐸 = ∑ ( ) −
𝑛𝑖
𝑛𝐾
𝑖
𝑆𝑄𝐸 = 58.880,20 − 58.281,67
𝑆𝑄𝐸 = 598,53
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78
Vamos agora calcular a soma dos quadrados dos valores de cada linha e a soma total dos
quadrados dos valores:
𝑄1 = 20.002
𝑄2 = 24.250
𝑄3 = 14.707
𝑄 = 58.959
Em seguida, calculemos o 𝑆𝑄𝑇, tal que:
𝑇2
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
𝑛𝐾
𝑆𝑄𝑇 = 58.959 − 58.281,67
𝑆𝑄𝑇 = 677,33
Dessa forma, vamos montar nossa tabela de análise de variância, na qual os valores em laranja
referentes à parcela residual foram encontrados pelas diferenças das parcelas entre linhas e total:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Entre linhas
598,53
2
299,3
𝑆𝐸2 299,3
=
6,6
𝑆𝑅2
Residual
𝑺𝑸𝑹 = 𝟕𝟖, 𝟖
𝑲(𝒏 − 𝟏) = 𝟏𝟐
𝟕𝟖, 𝟖
= 𝟔, 𝟔
𝟏𝟐
𝑺𝟐𝑬
= 𝟒𝟓, 𝟑𝟒
𝑺𝟐𝑹
Total
677,73
14
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𝑺𝟐𝑹 =
48,4
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79
Já o 𝐹𝑐𝑟í𝑡 é dado por:
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹(𝐾−1); 𝐾(𝑛−1); 𝛼
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹2; 12; 5%
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 3,89
Logo, rejeito 𝑯𝟎 , ou seja, tenho evidências estatísticas para afirmar que há pelo menos uma média
diferente das demais, ao nível de 5% de significância.
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80
Anova com Duas Classificações
Nosso próximo passo é expandir esse método de análise para poder comparar tanto linhas
quanto colunas. Com dois critérios, podemos comparar tanto amostras quanto os elementos 𝑖 de
todos os dados.
𝑪𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂𝒔 (𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒓𝒊𝒕é𝒓𝒊𝒐)
𝑥11
𝑥12
𝑥13
⋯
𝑥1𝑛
𝑥21
𝑥22
𝑥23
⋯
𝑥2𝑛
𝑥31
𝑥32
𝑥33
⋯
𝑥3𝑛
⋮
⋮
⋮
⋅⋮⋅
⋮
𝑥𝐾1
𝑥𝐾2
𝑥𝐾3
⋯
𝑥𝐾𝑛
𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂𝒔
(𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒐
𝒄𝒓𝒊𝒕é𝒓𝒊𝒐)
Nesse caso, os estimadores de variância utilizados são denominados estimador total, estimador
entre linhas, estimador entre colunas e estimador residual.
•
Estimador Total (𝑺𝟐𝑻 ) :
𝑺𝟐𝑻 =
𝑺𝑸𝑻
(𝒏𝑲 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Total (𝑆𝑄𝑇), é dado por:
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
𝑇2
𝑛𝐾
Da Anova com uma classificação para a Anova com duas classificações o estimador total não muda!
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81
•
Estimador entre Linhas (𝑺𝟐𝑳 ) :
𝑺𝟐𝑳 =
𝑺𝑸𝑳
𝑲−𝟏
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados entre Linhas (𝑆𝑄𝐿), é dado por:
𝐾 𝑇2
𝑇2
𝑖
𝑆𝑄𝐿 = ∑ ( ) −
𝑛𝑖
𝑛𝐾
𝑖
•
Estimador entre Colunas (𝑺𝟐𝑳 ) :
𝑺𝟐𝑪 =
𝑺𝑸𝑪
𝒏−𝟏
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados entre Colunas (𝑆𝑄𝐶), é dado por:
𝐾 𝑇2
𝑇2
𝑗
𝑆𝑄𝐶 = ∑ ( ) −
𝑛𝐾
𝑗 𝐾𝑗
•
Estimador Residual (𝑺𝟐𝑹 ) :
𝑺𝟐𝑹 =
𝑺𝑸𝑹
(𝑲 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Residual (𝑆𝑄𝑅), é dado por:
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐿 − 𝑆𝑄𝐶
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82
Pelo fato de nossa análise possuir duas classificações, nossas hipóteses são dadas por:
𝑯𝟎 𝟏 ∶ 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝐾 ,
𝑖𝑠𝑡𝑜 é,
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
𝑯𝟏 𝟏 ∶ 𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑯𝟎 𝟐 ∶ 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑛 ,
𝑖𝑠𝑡𝑜 é,
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
{ 𝑯𝟏 𝟐 ∶ 𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 é 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Dessa forma, nosso teste de hipóteses assume a seguinte forma:
𝑯𝟎 𝟏 ∶ 𝜎𝐿2 = 𝜎𝑅2
𝑯𝟏 𝟏 ∶ 𝜎𝐿2 > 𝜎𝑅2
𝑯𝟎 𝟐 ∶ 𝜎𝐶2 = 𝜎𝑅2
2
2
{ 𝑯𝟏 𝟐 ∶ 𝜎𝐶 > 𝜎𝑅
E, portanto, nossa tabela de análise de variância se dá por:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Entre linhas
𝑆𝑄𝐿
(𝐾 − 1)
𝑆𝐿2
𝑆𝑄𝐿
=
𝐾−1
𝑆𝐿2
𝑆𝑅2
Entre colunas
𝑆𝑄𝐶
(𝑛 − 1)
𝑆𝐶2
𝑆𝑄𝐶
=
𝑛−1
𝑆𝐶2
𝑆𝑅2
Residual
𝑆𝑄𝑅
(𝐾 − 1)(𝑛 − 1)
Total
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛 − 1
Quadrado Médio
𝑆𝑅2 =
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝑆𝑄𝑅
(𝐾 − 1)(𝑛 − 1)
𝑆𝑇2 =
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛 − 1
Nesse caso, possuímos dois valores críticos, o 𝐹𝑐𝑟í𝑡 referente à linha, dado por
𝑭𝑲−𝟏 ; (𝑲−𝟏)(𝒏−𝟏) ; 𝜶 , e o 𝐹𝑐𝑟í𝑡 referente à coluna, dado por 𝑭𝒏−𝟏 ; (𝑲−𝟏)(𝒏−𝟏) ; 𝜶 .
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83
Exercício 19:
Em uma experiência agrícola, foram usados seis diferentes fertilizantes em duas variedades de
milho, tendo sido obtido as colheitas dadas a seguir em sacas, para os vários canteiros de mesma
área que foram plantados.
Fertilizantes
A
B
C
D
E
F
Variedade 1
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
Variedade 2
5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
Utilizar análise de variância para avaliar se existem diferenças significativas entre os fertilizantes e
as variedades (𝛼 = 1%).
Resolução:
Nossas hipóteses são:
𝑯𝟎 𝟏 ∶ 𝜎𝐿2 = 𝜎𝑅2
𝑯𝟏 𝟏 ∶ 𝜎𝐿2 > 𝜎𝑅2
𝑯𝟎 𝟐 ∶ 𝜎𝐶2 = 𝜎𝑅2
2
2
{ 𝑯𝟏 𝟐 ∶ 𝜎𝐶 > 𝜎𝑅
Vamos calcular a soma de valores de cada linha, o seu quadrado e a soma total de valores:
𝑇1 = 26,4 →
𝑇12 = 696,96
𝑇2 = 28,7 →
𝑇22 = 823,69
𝑇 = 55,1 →
∑ 𝑇𝑖2
= 253,44
𝑛𝑖
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84
Agora a soma de valores de cada coluna, o seu quadrado e a soma total de valores:
𝑇1 = 11,1 →
𝑇12 = 123,21
𝑇2 = 7,2 →
𝑇22 = 51,84
𝑇3 = 8,0 →
𝑇32 = 64,0
𝑇4 = 9,1 →
𝑇42 = 82,81
𝑇5 = 10,3 →
𝑇52 = 106,09
𝑇6 = 9,4 →
𝑇62 = 88,36
𝑇 = 55,1 →
∑ 𝑇𝑗2
𝐾𝑗
= 258,155
Agora vamos calcular a soma dos quadrados de cada um dos valores:
𝑄 = 258,83
Em seguida, calculemos o 𝑆𝑄𝑇, 𝑆𝑄𝐿 e o 𝑆𝑄𝐶, tal que:
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
𝐾
𝑆𝑄𝐿 = ∑ (
𝑖
𝑇2
→ 𝑆𝑄𝑇 = 5,83
𝑛𝐾
𝑇𝑖2
𝑇2
)−
→ 𝑆𝑄𝐿 = 0,44
𝑛𝑖
𝑛𝐾
𝑇𝑗2
𝑇2
𝑆𝑄𝐶 = ∑ ( ) −
→ 𝑆𝑄𝐶 = 5,155
𝐾𝑗
𝑛𝐾
𝑖
𝐾
O que implica:
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐿 − 𝑆𝑄𝐶 → 𝑆𝑄𝑅 = 0,253
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85
Dessa forma, vamos montar nossa tabela de análise de variância, na qual os valores em laranja
referentes à parcela residual foram encontrados pelas diferenças das demais parcelas:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Entre linhas
0,44
1
0,44
𝑆𝐿2
= 9,36
𝑆𝑅2
Entre colunas
5,155
5
1,031
𝑆𝐶2
= 21,94
𝑆𝑅2
Residual
𝟎, 𝟐𝟑𝟓
𝟓
Total
5,83
11
𝑺𝟐𝑹 =
𝟎, 𝟐𝟑𝟓
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟕
𝟓
0,53
Já os 𝐹𝑐𝑟í𝑡 são dados por:
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹𝐾−1 ; (𝐾−1)(𝑛−1) ; 𝛼 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹1 ; 5 ; 1% , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 16,26 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹𝑛−1 ; (𝐾−1)(𝑛−1) ; 𝛼 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 𝐹5 ; 5 ; 1% , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 10,97 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎
Logo, ao nível de 1% de significância, pode-se afirmar que não há diferenças entre variedades de
milhos (linhas) e há diferença entre fertilizantes (colunas), isto é, não rejeito 𝑯𝟎 𝟏 e rejeito 𝑯𝟎 𝟐 ,
respectivamente.
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86
Anova com Repetições
Agora vamos expandir ainda mais os critérios, ao passo que teremos repetições para os
elementos de cada amostra. Dessa forma, analisaremos as linhas, colunas, repetições, chamadas
de tratamento, e se há alguma combinação entre linha e coluna melhor que as outras, chamadas
de interação.
Caso não haja interação, excluiremos a linha referente e somaremos seus valores aos
residuais, e então a conta toda pode ser refeita. Nossos dados aparecem normalmente sob a
seguinte forma:
Elemento
𝟏
𝟐
𝟑
⋯
𝒏
Amostra
𝟏
𝑥111
𝑥113
𝑥11 2
𝑥114
𝑥121
𝑥123
𝑥12 2
𝑥124
𝑥131
𝑥133
𝑥13 2
𝑥134
⋯
𝑥1𝑛1
𝑥1𝑛3
𝑥1𝑛 2
𝑥1𝑛4
𝟐
𝑥211
𝑥213
𝑥21 2
𝑥214
𝑥221
𝑥223
𝑥22 2
𝑥224
𝑥231
𝑥233
𝑥23 2
𝑥234
⋯
𝑥2𝑛1
𝑥2𝑛3
𝑥2𝑛 2
𝑥2𝑛4
𝟑
𝑥311
𝑥313
𝑥31 2
𝑥314
𝑥321
𝑥323
𝑥32 2
𝑥324
𝑥331
𝑥333
𝑥33 2
𝑥334
⋯
𝑥3𝑛1
𝑥3𝑛3
𝑥3𝑛 2
𝑥3𝑛4
⋮
𝑲
⋮
𝑥𝐾11
𝑥𝐾13
⋮
𝑥𝐾1 2
𝑥𝐾14
𝑥𝐾21
𝑥𝐾23
⋮
𝑥𝐾31
𝑥𝐾33
𝑥𝐾2 2
𝑥𝐾24
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⋅⋮⋅
𝑥𝐾3 2
𝑥𝐾34
⋯
⋮
𝑥𝐾𝑛1
𝑥𝐾𝑛3
𝑥𝐾𝑛 2
𝑥𝐾𝑛4
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87
Nesse caso, os estimadores de variância utilizados são denominados estimador total,
estimador entre linhas, estimador entre colunas, estimador entre tratamentos, estimador de
interações e estimador residual.
•
Estimador Total (𝑺𝟐𝑻 ) :
𝑺𝟐𝑻 =
𝑺𝑸𝑻
(𝒏𝑲𝒓 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Total (𝑆𝑄𝑇), é dado por:
𝑆𝑄𝑇 = 𝑄 −
•
𝑇2
𝑛𝐾𝑟
Estimador entre Linhas (𝑺𝟐𝑳 ) :
𝑺𝟐𝑳 =
𝑺𝑸𝑳
𝑲−𝟏
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados entre Linhas (𝑆𝑄𝐿), é dado por:
𝐾 𝑇2
𝑇2
𝑖
𝑆𝑄𝐿 = ∑ ( ) −
𝑛𝐾𝑟
𝑖 𝑛𝑖 𝑟
•
Estimador entre Colunas (𝑺𝟐𝑳 ) :
𝑺𝟐𝑪 =
𝑺𝑸𝑪
𝒏−𝟏
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados entre Colunas (𝑆𝑄𝐶), é dado por:
𝑇𝑗2
𝑇2
𝑆𝑄𝐶 = ∑ ( ) −
𝑛𝐾𝑟
𝑗 𝐾𝑗 𝑟
𝑛
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88
•
Estimador entre Tratamentos (𝑺𝟐𝑻𝒓 ) :
𝑺𝟐𝑻𝒓 =
𝑺𝑸𝑻𝒓
(𝒏𝑲 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados entre Tratamentos (𝑆𝑄𝑇𝑟 ), é dado
por:
𝐾
𝑛
𝑆𝑄𝑇𝑟 = ∑ ∑ (
𝑖
•
𝑗
𝑇𝑖𝑗2
𝑇2
)−
𝑟
𝑛𝐾𝑟
Estimador de Interações (𝑺𝟐𝑰 ) :
𝑺𝟐𝑰 =
𝑺𝑸𝑰
(𝑲 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados das Interações (𝑆𝑄𝐼), é dado por:
𝑆𝑄𝐼 = 𝑆𝑄𝑇𝑟 − 𝑆𝑄𝐿 − 𝑆𝑄𝐶
•
Estimador Residual (𝑺𝟐𝑹 ) :
𝑺𝟐𝑹 =
𝑺𝑸𝑹
𝒏𝑲(𝒓 − 𝟏)
Onde o numerador desse quociente, Soma dos Quadrados Residual (𝑆𝑄𝑅), é dado por:
𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑇𝑟
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89
E, portanto, nossa tabela de análise de variância se dá por:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Entre linhas
𝑆𝑄𝐿
(𝐾 − 1)
𝑆𝐿2
𝑆𝑄𝐿
=
𝐾−1
𝑆𝐿2
𝑆𝑅2
Entre colunas
𝑆𝑄𝐶
(𝑛 − 1)
𝑆𝐶2
𝑆𝑄𝐶
=
𝑛−1
𝑆𝐶2
𝑆𝑅2
Entre
tratamentos
𝑆𝑄𝑇𝑟
(𝑛𝐾 − 1)
𝑆𝑄𝑇𝑟
=
𝑛𝐾 − 1
𝑆𝑇2𝑟
Interação
𝑆𝑄𝐼
(𝐾 − 1)(𝑛 − 1)
Residual
𝑆𝑄𝑅
𝑛𝐾(𝑟 − 1)
Total
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛𝑟 − 1
Quadrado Médio
𝑆𝑇2𝑟
𝑆𝐼2 =
𝑆𝑄𝐼
(𝐾 − 1)(𝑛 − 1)
𝑆𝑅2 =
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝑆𝑅2
𝑆𝐼2
𝑆𝑅2
𝑆𝑄𝑅
𝑛𝐾(𝑟 − 1)
𝑆𝑇2 =
𝑆𝑄𝑇
𝐾𝑛𝑟 − 1
Nesse caso, possuímos quatro valores críticos, o 𝐹𝑐𝑟í𝑡 referente à linha, dado por
𝑭𝑲−𝟏 ; 𝒏𝑲(𝒓−𝟏) ; 𝜶, o referente à coluna, dado por 𝑭𝒏−𝟏 ; 𝒏𝑲(𝒓−𝟏) ; 𝜶 , o referente ao tratamento, dado por
𝑭𝒏𝑲−𝟏 ; 𝒏𝑲(𝒓−𝟏) ; 𝜶 e o referente à interação, dado por 𝑭(𝑲−𝟏)(𝒏−𝟏) ; 𝒏𝑲(𝒓−𝟏) ; 𝜶 .
Para a interação, formulamos as seguintes hipóteses:
{
𝑯𝟎 : 𝑁ã𝑜 ℎá 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çã𝑜
Logo, caso não se rejeito 𝐻0 , excluímos a linha tratada e adicionamos seu valor ao resíduo
e então refazemos as contas.
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90
Exercício 20:
Foram observados os tempos, em segundos, gastos por 4 operários para montar certa peça, por
três métodos diferentes. Cada operário montou duas peças por cada método, sendo obtidos os
resultados assinalados na tabela abaixo. É considerada admissível a existência de interação entre
operários e métodos. Verificar pela análise de variância se existe diferença significativa entre os
métodos, operários, tratamentos, etc; com 𝛼 = 5% .
Operário
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝑰
54
52
46
47
55
54
51
60
𝑰𝑰
54
57
61
55
59
61
56
57
𝑰𝑰𝑰
59
62
63
58
63
61
59
60
Método
Resolução:
Para facilitar nossos cálculos, vamos começar usando uma propriedade associada à variância,
dada por:
𝜎 2 (𝑥 + 𝑘) = 𝜎 2 (𝑥)
Propriedade exposta no Curso de Teoria das Probabilidades
Dessa forma, podemos reescrever nossa tabela, segundo 𝑘 = 45:
Operário
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝑰
9
7
1
2
10
9
6
15
𝑰𝑰
9
12
16
10
14
16
11
12
𝑰𝑰𝑰
14
17
18
13
18
16
14
15
Método
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91
Sendo assim, vamos calcular a soma de valores de método e operário:
𝑇𝐼 = 59
𝑇1 = 68
;
;
𝑇𝐼𝐼 = 100
𝑇2 = 60
;
;
𝑇𝐼𝐼𝐼 = 125
𝑇3 = 83
;
𝑇4 = 73
O que implica:
𝑄 = (92 + 72 + 12 + ⋯ + 142 + 155 ) = 3854
𝐾
∑
𝑖
𝑇𝑖2
592
1002
1252
=
+
+
= 3638,5
𝑛𝑟 (4)(2) (4)(2) (4)(2)
𝑛
𝑇𝑗2
682
602
832
732
∑
=
+
+
+
= 3407
𝐾𝑟 (3)(2) (3)(2) (3)(2) (3)(2)
𝑗
𝐾
𝑛
𝑖
𝑗
𝑇𝑖𝑗2 [(9 + 7)2 + (1 + 2)2 + ⋯ + (14 + 15)2 ]
∑∑
=
= 3766
𝑟
2
(100 + 125 + 59)2
𝑇2
=
= 3360,67
(4)(3)(2)
𝑛𝐾𝑟
Dessa forma, temos:
𝑆𝑄𝐿 = 3638,5 − 3360,67
→
𝑆𝑄𝐿 = 277,58
𝑆𝑄𝐶 = 3407 − 3360,67
→
𝑆𝑄𝐶 = 43,33
𝑆𝑄𝑇𝑟 = 3766 − 3360,67
→
𝑆𝑄𝑇𝑟 = 405,33
𝑆𝑄𝐼 = 405,33 − 43,33 − 277,58
𝑆𝑄𝑅 = 493,33 − 405,33
𝑆𝑄𝑇 = 3854 − 3360,67
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→
→
→
𝑆𝑄𝐼 = 81,42
𝑆𝑄𝑅 = 88
𝑆𝑄𝑇 = 493,33
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Dessa forma, vamos montar nossa tabela de análise de variância:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Entre linhas
277,58
2
138,79
18,93
Entre colunas
46,33
3
15,44
2,11
Entre
tratamentos
405,33
11
36,85
5,03
Interação
81,42
6
13,57
1,85
Residual
88
12
7,33
Total
493,33
23
21,45
Já os 𝐹𝑐𝑟í𝑡 são dados por:
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 3,89 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 3,49 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎
𝐹𝑐𝑟í𝑡 = 2,72 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝐹𝑐𝑟í𝑡 ≈ 3 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠
Perceba que, para a perspectiva da interação, não rejeito 𝑯𝟎 , pois o valor amostral é menor que o
valor crítico. Dessa forma, deve-se excluir essa linha e adicioná-la ao resíduo, visto que não há
interação.
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93
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado Médio
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Entre linhas
277,58
2
138,79
𝟗, 𝟖𝟑
Entre colunas
46,33
3
15,44
𝟏, 𝟎𝟗𝟑
Entre
tratamentos
405,33
11
36,85
𝟐, 𝟔𝟏
Residual
𝟏𝟔𝟗, 𝟒𝟐
12
𝟏𝟒, 𝟏𝟐
Total
493,33
23
21,45
Logo, podemos concluir, ao nível de 5% de significância, que há diferença entre métodos, porém
não há diferenças entre operários e nem tratamentos.
Conforme o conteúdo avança, é normal os exercícios evoluírem, portanto tenha calma! Resoluções grandes como
essa costumam assustar, porém veja que a teoria por trás disso não passa de um teste de hipóteses!
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94
Correlação e Regressão
Correlação Linear
Quando duas ou mais variáveis apresentam tendência de variação conjunta, dizemos que
estas se correlacionam. Na prática, utilizamos o diagrama de dispersão para verificar de maneira
rápida e eficiente a existência de correlação.
Considere uma amostra com 𝑛 pares de variáveis (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) e um coeficiente de correlação 𝑟,
o qual correlaciona 𝑥 com 𝑦 linearmente, com −1 ≤ 𝑟 ≤ 1. Ao representar essa amostra em um
gráfico de dispersão, as seguintes configurações podem surgir:
𝑟 ≈ 0,6
𝑟 ≈ 0,8
𝑟=1
Para os casos acima, há correlação linear positiva, sendo 𝑟 = 1 uma correlação linear
positiva perfeita.
𝑟 ≈ − 0,6
𝑟 ≈ − 0,9
𝑟 =−1
Para os casos acima, há correlação linear negativa, sendo 𝑟 = 1 uma correlação linear
negativa perfeita.
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95
E vale mencionar os seguintes exemplos de caso:
Não há correlação linear, 𝑟 ≈ 0
Não há correlação linear, 𝑟 ≈ 0
Perceba que 𝑟 ≈ 0 não significa que não há correlação, mas apenas que não há correlação
linear.
O coeficiente de correlação linear 𝑟 é calculado através de três somas de quadrados: 𝑥 em
relação à 𝑥, 𝑦 em relação à 𝑦 e 𝑥 em relação à 𝑦; sendo 𝑥 a variável referente à abscissa e 𝑦 a
variável referente à ordenada.
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Para 𝑥 em relação à 𝑥, temos:
𝑛
𝑆𝑥𝑥 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
𝑖
𝑛
𝑆𝑥𝑥 =
∑𝑛𝑖 𝑥𝑖
−(
)
√𝑛
∑ 𝑥𝑖2
𝑖
𝒏
∑ 𝒙𝟐𝒊
𝒊
𝑺𝒙𝒙 =
2
(∑𝒏𝒊 𝒙𝒊 )𝟐
−
𝒏
Para 𝑦 em relação à 𝑦, de maneira análoga, temos:
𝒏
∑ 𝒚𝟐𝒊
𝒊
𝑺𝒚𝒚 =
(∑𝒏𝒊 𝒚𝒊 )𝟐
−
𝒏
E, por fim, para 𝑥 em relação à 𝑦, temos:
𝒏
𝑺𝒙𝒚
∑𝒏𝒊 𝒙𝒊 ∑𝒏𝒊 𝒚𝒊
= ∑ 𝒙𝒊 𝒚𝒊 −
𝒏
𝒊
Dessa forma, temos que o coeficiente de correlação linear é dado por:
𝒓=
𝑺𝒙𝒚
√𝑺𝒙𝒙 𝑺𝒚𝒚
; −𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟏
Se todos os pontos se encaixam em uma reta, temos 𝑟 2 = 1, ou seja, dado 𝑥 sabemos 𝑦 com certeza.
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97
Exercício 21:
Dada a tabela abaixo, ache o valor do coeficiente de correlação linear 𝑟.
𝒙𝒊
0
1
2
3
4
5
6
𝒚𝒊
3
4
7
15
11
14
17
Resolução:
Para facilitar nosso trabalho braçal na realização das contas, vamos verticalizar nossa tabela e
adicionar as seguintes colunas:
𝒙𝒊
𝒚𝒊
𝒙𝟐𝒊
𝒚𝟐𝒊
𝒙 𝒊 𝒚𝒊
0
3
0
9
0
1
4
1
16
4
2
7
4
49
14
3
15
9
225
45
4
11
16
121
44
5
14
25
196
70
6
17
36
289
102
Assim, podemos calcular as seguintes somatórias:
𝑛
𝑛
𝑛
∑ 𝑥𝑖 = 21 ; ∑ 𝑦𝑖 = 71 ;
𝑖
𝑖
𝑛
∑ 𝑥𝑖2
𝑖
= 91 ;
∑ 𝑦𝑖2
𝑖
𝑛
= 905 ; ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 279
𝑖
E então, para as três somas de quadrados, temos:
𝑆𝑥𝑥 = 28 ; 𝑆𝑦𝑦 = 184,86 ; 𝑆𝑥𝑦 = 66
Logo, o coeficiente de correlação linear será:
𝑟=
𝑆𝑥𝑦
√𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑦𝑦
=
66
√(184,86)(28)
𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟕
Portanto, podemos concluir que há correlação linear entre as variáveis, sendo essa elevada. Para enxergar isso de
uma maneira mais pictográfica, faz-se necessária a construção de um gráfico de dispersão.
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98
Regressão Linear
Quando temos vários pontos do tipo (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), podemos criar uma reta de regressão linear do
tipo 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥, na qual 𝑦̂ tem distribuição normal de ocorrência.
2
A reta de regressão é uma função do tipo 𝑓(𝑎, 𝑏) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂)
𝑖 . Dessa forma, temos que:
𝜕𝑓(𝑎, 𝑏)
=0
𝜕𝑎
𝜕𝑓(𝑎, 𝑏)
{ 𝜕𝑏 = 0
Com um certo manejo algébrico, o qual não será abordado devido o nível avançado de
detalhes, é possível chegar em uma expressão que determine os coeficientes 𝑎 e 𝑏, tal que:
𝒃=
𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
&
̅ − 𝒃𝒙
̅
𝒂= 𝒚
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Exercício 22:
Dada a tabela abaixo, ache o valor dos coeficientes 𝑎 e 𝑏 da reta de regressão linear.
𝒙𝒊
0
1
2
3
4
5
6
𝒚𝒊
3
4
7
15
11
14
17
Resolução:
Vimos no exercício anterior, de tabela igual, que as três somas de quadrados são dadas por:
𝑆𝑥𝑥 = 28 ; 𝑆𝑦𝑦 = 184,86 ; 𝑆𝑥𝑦 = 66
Dessa forma, podemos calcular o coeficiente 𝑏 primeiro:
𝑏=
𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑥
𝑏=
66
28
𝒃 ≅ 𝟐, 𝟑𝟔
Note que a média da variável 𝑥 e da variável 𝑦 são, respectivamente:
𝑥̅ = 3
𝑒
𝑦̅ ≅ 10,14
E assim, podemos encontrar também o coeficiente 𝑎:
𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅
𝑎 ≅ 10,14 − (2,36)(3)
𝒂 ≅ 𝟑, 𝟎𝟔
̂ = 𝟑, 𝟎𝟔 + 𝟐, 𝟑𝟔𝒙 .
Portanto, a reta formada pela regressão linear é equivalente à 𝒚
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100
Para a regressão linear, iremos manter o modo operacional visto na análise de variância, ao
passo que calcularemos três variâncias amostrais: uma sobre a regressão, uma residual e uma
total. Nosso teste será realizado nos mesmos moldes já vistos, isto é, comparando o valor de uma
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 com o valor de uma 𝐹𝑐𝑟í𝑡 .
Nossas hipóteses são:
{
𝑯𝟎 : 𝑂 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑦
𝑯𝟏 : 𝑂 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑦
Intuitivamente, tudo o que o modelo não capta se transforma em resíduo. Assim, uma boa
medição do quanto o modelo capta é o coeficiente de correlação linear, também chamado de
coeficiente de Pearson, elevado ao quadrado, tal que:
𝑟2 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝒓𝟐 =
𝑺𝑸𝑹𝒆𝒈
𝑺𝑸𝑻
O 𝑟 2 é a parte da aleatoriedade total de 𝑦 explicada pelo modelo de regressão, sendo
também expresso em percentagem.
Já as somas de quadrados utilizadas para nossa tabela de análise de variância da regressão
são definidas por:
•
Soma dos Quadrados Total:
𝑛
𝑆𝑄𝑇 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 →
𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑦𝑦
𝑖
•
Soma dos Quadrados de Regressão:
𝑛
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 = ∑(𝑦̂𝑖 − 𝑦̅)2
→
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔 = 𝑏 𝑆𝑥𝑦
𝑖
•
Soma dos Quadrados Residual:
𝑛
2
𝑆𝑄𝑅 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦̂)
𝑖
𝑖
Calculado pela diferença dos demais ou por 𝑆𝑦𝑦 − 𝑏 𝑆𝑥𝑦
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101
Logo, a Tabela de Análise de Variância da Regressão é dada por:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado
Médio
Regressão
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔
1
Residual
𝑆𝑄𝑅
(𝑛 − 2)
𝑆𝑅2 =
𝑆𝑄𝑅
(𝑛 − 2)
Total
𝑆𝑄𝑇
(𝑛 − 1)
𝑆𝑇2 =
𝑆𝑄𝑇
(𝑛 − 1)
2
𝑆𝑅𝑒𝑔
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔
=
1
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
2
𝑆𝑅𝑒𝑔
𝑆𝑅2
Ao passo que nosso valor crítico é dado por uma 𝐹 de Snedecor dada por 𝑭𝟏 ; 𝒏−𝟏 ; 𝜶 .
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102
Exercício 23:
Dada a tabela abaixo, fazer a análise de regressão, dado 𝛼 = 5%.
𝒙𝒊
0
1
2
3
4
5
6
𝒚𝒊
3
4
7
15
11
14
17
Resolução:
Vimos nos dois exercícios anteriores que a soma de quadrados, assim como os coeficientes da
reta de regressão são dados por:
𝑆𝑥𝑥 = 28 ; 𝑆𝑦𝑦 = 184,86 ; 𝑆𝑥𝑦 = 66
𝑎 = 3,06
;
𝑏 = 2,36
Dessa forma, podemos construir a tabela de análise de variância da regressão, tal que:
TABELA DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado
Médio
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Regressão
155,571
1
155,571
26,561
Residual
29,2857
5
5,85714
Total
184,857
6
30,8095
Já o 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑡 é dado por 𝐹1 ;5 ;5% = 6,61 . Dessa forma, rejeito 𝑯𝟎 , ou seja, tenho evidências estatísticas
para afrimar que o modelo de regressão é significativo da correlação entre as variáveis 𝑥 e 𝑦, ao
nível de 5% de significância.
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103
Podemos ainda testar alguns parâmetros para a reta de regressão feita, ao passo que:
𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥
𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥
Portanto, 𝑎 é estimador de 𝛼, 𝑏 é estimador de 𝛽 e 𝑟 é estimador do parâmetro 𝜌. Dessa
forma, podemos realizar o teste do parâmetro 𝛽, coeficiente angular, e o teste do parâmetro 𝜌,
coeficiente de correlação.
Teste do Parâmetro 𝜷
Temos as seguintes hipóteses:
{
𝑯𝟎 : 𝛽 = 0
𝑯𝟏 : 𝛽 ≠ 0
Ao se rejeitar 𝐻0 , estamos afirmando que a reta de regressão é significativa para explicar a
variável 𝑦 a partir da variável 𝑥.
Nossa variável de teste é dada por uma 𝑡 − 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡, tal que:
𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =
𝑏
𝑒
𝑆𝑅 /√𝑆𝑥𝑥
𝑡𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛−2 ;𝛼
Teste do Parâmetro 𝝆
Temos as seguintes hipóteses:
{
𝑯𝟎 : 𝜌 = 0
𝑯𝟏 : 𝜌 ≠ 0
Nossa variável de teste é dada por uma 𝑡 − 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡, tal que:
𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 𝑟 √
𝑛−2
1 − 𝑟2
𝑒
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𝑡𝑐𝑟í𝑡 = 𝑡𝑛−2 ;𝛼
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104
Exercício 24:
Dada a tabela abaixo, fazer os dois testes apresentados para verificar se a reta é significativa, dado
𝛼 = 5%.
𝒙𝒊
0
1
2
3
4
5
6
𝒚𝒊
3
4
7
15
11
14
17
Resolução:
Nos exercícios anteriores, vimos que:
𝑆𝑥𝑥 = 28 ; 𝑆𝑦𝑦 = 184,86 ; 𝑆𝑥𝑦 = 66
𝑎 = 3,06
𝑟 = 0,917
;
;
𝑏 = 2,36
𝑆𝑅2 = 5,85714
Dessa forma, para o teste de 𝛽 temos:
{
𝑯𝟎 : 𝛽 = 0
𝑯𝟏 : 𝛽 ≠ 0
Ao passo que:
𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =
2,36
√5,85714/√28
= 5,16
𝑒
𝑡𝑐𝑟í𝑡 = 2,571
E para o teste de 𝜌 temos:
{
𝑯𝟎 : 𝜌 = 0
𝑯𝟏 : 𝜌 ≠ 0
Ao passo que:
𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0,917 √
5
= 5,14
1 − (0,917)2
𝑒
𝑡𝑐𝑟í𝑡 = 2,571
Portanto, para ambos parâmetros rejeito 𝑯𝟎 , ou seja, afirmo ao nível de 5% de significância que a
reta é significativa.
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105
Ademais, para cada 𝑥𝑖 determinado, podemos construir um intervalo de confiança de 𝑦 =
𝛼 + 𝛽𝑥, isto é, um intervalo de confiança do valor médio de 𝑦 para aquele 𝑥𝑖 .
Intervalo de Confiança para Regressão
O intervalo de confiança de 𝑦 dado 𝑥𝑖 que contém o valor de 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 com (1 − 𝛼)% de
confiança, é construído conforme o procedimento visto nos capítulos anteriores e é dado por:
(𝑎 + 𝑏𝑥𝑖 ) ± 𝑡𝑛−2 ; 𝛼 𝑆𝑅 √1 +
2
1 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2
+
𝑛
𝑆𝑥𝑥
Intervalo de Confiança de 𝜷
O intervalo de confiança de 𝛽 é dado por:
𝑏 ± 𝑡𝑛−2 ; 𝛼
2
𝑆𝑅
√𝑆𝑥𝑥
Intervalo de Confiança de 𝜶
O intervalo de confiança de 𝛼 é dado por:
𝑎 ± 𝑡𝑛−2 ; 𝛼
2
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∑𝑛𝑖 𝑥𝑖
𝑆𝑅 √
𝑛𝑆𝑥𝑥
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106
Linearização de Funções
Um procedimento útil quando não temos uma função linear e queremos testar se as variáveis
são bem explicadas pelo modelo proposto é linearizar a função, ou seja, transformá-las em retas,
fazer análises de correlação linear e depois regressar à forma original do modelo proposto.
•
Função Exponencial:
A função exponencial, do tipo 𝑦̂ = 𝑎𝑒 𝑏𝑥 , pode ser linearizada com o seguinte procedimento:
𝑦̂ = 𝑎𝑒 𝑏𝑥
𝑙𝑛 𝑦̂ = 𝑙𝑛 𝑎𝑒 𝑏𝑥
𝑙𝑛 𝑦̂ = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑏𝑥
Chamando 𝑙𝑛 𝑦̂ = 𝑌̂ e ln 𝑎 = 𝐴, temos:
𝑌̂ = 𝐴 + 𝑏𝑥
Com isso, descobrimos o coeficiente de correlação 𝑟, 𝐴 e 𝑏. Em tendo uma boa correlação,
isto é, 𝑟 elevado, podemos assumir que o modelo é significativo.
Dessa forma, com 𝐴 = ln 𝑎, podemos dimensionar 𝑎, assim como com 𝑌̂ = 𝑙𝑛 𝑦̂ podemos
encontrar 𝑦̂ e, logo, podemos voltar a 𝑦̂ = 𝑎𝑒 𝑏𝑥 já com os parâmetros conhecidos e com
precisão dos erros associados ao assumir o modelo significativo.
•
Função Potência:
A função potência, do tipo 𝑦̂ = 𝑎𝑥 𝑏 , pode ser linearizada com o seguinte procedimento:
𝑦̂ = 𝑎𝑥 𝑏
𝑙𝑛 𝑦̂ = 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑏 𝑙𝑛 𝑥
Chamando 𝑙𝑛 𝑦̂ = 𝑌̂, ln 𝑎 = 𝐴 e ln 𝑥 = 𝑋 temos:
𝑌̂ = 𝐴 + 𝑏𝑋
Para polinômios é muito comum fazer a chamada Análise de Regressão Múltipla (ou multidimensional), a qual
não será tratada aqui!
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107
Análise de Melhoria
Quando temos um conjunto de dados e, após feita a regressão linear, obtivermos um 𝑟 não
tão elevado, podemos verificar se há uma melhoria no modelo de regressão se utilizarmos uma
parábola 𝑦̂ = 𝑐 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥 2 no lugar de uma reta 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 inicialmente proposta.
Calcularemos, então, a soma dos quadrados de melhoria, o resíduo da parábola e também
o resíduo da reta, tal que:
•
Soma dos Quadrados Residual da Reta:
𝑆𝑄𝑅𝑅𝑒𝑡𝑎 = 𝑆𝑦𝑦 − 𝑏 𝑆𝑥𝑦
𝑔. 𝑙.𝑅𝑒𝑡𝑎 = 𝑛 − 2
•
Soma dos Quadrados Residual da Parábola:
𝑆𝑄𝑅𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖´ )
2
𝑔. 𝑙.𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝑛 − 3
•
Soma dos Quadrados da Melhoria:
𝐷 = 𝑆𝑄𝑅𝑅𝑒𝑡𝑎 − 𝑆𝑄𝑅𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑔. 𝑙.𝐷 = 1
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108
Dessa forma, nossas hipóteses para essa análise são:
{
𝑯𝟎 : 𝑁ã𝑜 ℎá 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜𝑟 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
Logo, podemos construir nossa Tabela de Análise de Melhoria, como segue abaixo:
TABELA DE ANÁLISE DE MELHORIA
Fonte da
Variação
Soma de
Quadrados
Graus de
Liberdade
Melhoria
𝐷
1
Residual da
Parábola
𝑆𝑄𝑅𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
(𝑛 − 3)
Residual da
Reta
𝑆𝑄𝑅𝑅𝑒𝑡𝑎
(𝑛 − 2)
Quadrado
Médio
𝑆𝐷2 =
𝑆𝑃2 =
𝑭𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝐷
𝑆𝑃2
𝐷
1
𝑆𝑄𝑅𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎
(𝑛 − 3)
𝑆𝑅2 =
𝑆𝑄𝑅𝑅𝑒𝑡𝑎
(𝑛 − 2)
Já o valor de 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑡 é dado por 𝑭𝟏 ; 𝒏−𝟑 ; 𝜶 . Assim, ao rejeitarmos 𝐻0 podemos dizer que há
melhor ajuste dos dados pela parábola.
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109
Outros Testes
Teste de Tukey e Scheffé
Quando se deseja conhecer qual média ou quais médias são as divergentes acusadas pela
análise de o Teste variância, ANOVA, podemos utilizar de Tukey e Scheffé.
Na ANOVA, nossas hipóteses eram do tipo:
{
𝑯𝟎 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶 = 𝜇 𝐷 ⋯ = 𝜇𝐾
𝑯𝟏 : 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Para cada duas médias comparadas 𝜇𝐴 e 𝜇𝐵 , analisa-se:
|𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 | > 𝑞𝐾 ,𝜈 ,𝛼 √
𝑆𝑅2
𝑛
Onde 𝐾 se refere ao número de amostras, 𝜈 aos graus de liberdades 𝐾(𝑛 − 1) e 𝛼 à
significância. Já 𝑞 se refere ao valor da amplitude total studentizada, e seu valor é tabelado, assim
como já trabalhamos até aqui.
𝑆2
Caso |𝑥̅𝐴 − 𝑥̅𝐵 | der maior que 𝑞𝐾 ,𝜈 ,𝛼 √ 𝑛𝑅 , então 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵 . Do contrário, as médias são iguais.
Teste de Cochran
Quando se deseja comparar várias variâncias, podemos utilizar o Teste de Cochram. Nesse,
nossas hipóteses são do tipo:
{
𝑯𝟎 ∶ 𝜎𝐴2 = 𝜎𝐵2 = 𝜎𝐶2 = 𝜎𝐷2 ⋯ = 𝜎𝐾2
𝑯𝟏 ∶ 𝐻á 𝑝𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Nossa variável de teste é uma 𝑔, também tabelada, dada por:
𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑀á𝑥 (𝑆𝑖2 )
=
2
∑𝐾
𝑖 𝑆𝑖
𝑒
𝑔𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑔𝐾 ; 𝑛 ; 𝛼
Onde 𝐾 se refere ao número de amostras, 𝑛 ao número de elementos por amostra e 𝛼 à
significância.
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110
Teste de Aderência
Trata-se de um teste não-paramétrico, isto é, um teste que se refere a outros aspectos que
não os parâmetros em si.
No teste de aderência, a hipótese testada refere-se à distribuição da população. Assim,
admitimos que a distribuição da variável de interesse seja explicada por determinado modelo de
distribuição de probabilidade e testamos esse modelo, verificando se há boa ou má aderência dos
dados da amostra ao modelo testado.
Para sua resolução, podemos adotar três métodos: o teste pelo qui-quadrado, o método de
Kolmogorov-Smirnov ou a verificação gráfica da aderência. Aqui, analisaremos o teste de aderência
pelo 𝜒 2 .
2
2
Dessa forma, teremos um 𝜒𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
e um 𝜒𝑐𝑟í𝑡
. O primeiro faz uso de dois valores:
𝑂𝑖𝑗 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖, 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗
𝐸𝑖𝑗 → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖, 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗
O valor amostral leva em conta o quadrado da diferença dos valores de 𝑂𝑖 e 𝐸𝑖 , de forma a
eliminar problemas com módulo e ponderar o cálculo pelo valor esperado para cada 𝑥𝑖 :
𝑛
2
𝜒𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
=∑
𝑖
(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2
𝐸𝑖
Já o valor crítico, no caso de uma coluna de dados, é dado por:
2
𝜒𝑐𝑟í𝑡
= 𝜒 2𝑛−1 ,𝛼
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111
Exercício 25:
Considere que um dado é lançado 600 vezes. Os resultados são expostos na tabela abaixo:
𝒙𝒊
𝑶𝒊
1
92
2
121
3
95
4
89
5
101
6
102
Deseja-se saber, ao nível de 5% de significância, se o dado pode ser considerado honesto ou não,
a partir dos resultados observados.
Resolução:
1
Nesse exemplo, um dado honesto teria probabilidade igual a 𝑝 = 6 , para cada face. Como foram
600 lançamentos, temos:
𝒙𝒊
𝑶𝒊
𝑬𝒊
(𝑶𝒊 − 𝑬𝒊 )𝟐
𝑬𝒊
1
92
100
0,64
2
121
100
4,41
3
95
100
0,25
4
89
100
1,21
5
101
100
0,01
6
102
100
0,04
O teste tem as seguintes hipóteses:
𝑯 : 𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 é ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜
{ 𝟎
𝑯𝟏 : 𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 é ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜
2
2
Da tabela, inferimos que 𝜒𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
= 6,56 e sabemos que 𝜒𝑐𝑟í𝑡
= 11,07. Portanto, não rejeito 𝑯𝟎 ,
ou seja, tenho evidências estatísticas para afirmar que o dado não é honesto, ao nível de 5% de
significância.
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112
Exercício 26:
Um problema comum ao teste de aderência é testar a efetividade de certos medicamentos em
pacientes. Seja um ensaio medicinal, no qual são testados o princípio ativo de um medicamento e
um placebo, obtém-se a seguinte tabela:
Placebo
Princípio Ativo
Melhoram
35
73
Não melhoram
28
32
Faça um teste de independência em tabela contingência. Ao nível de 5% de significância, e com
base nos dados obtidos, podemos dizer que o remédio funciona?
Resolução:
A primeira coisa a se fazer em um teste desses é calcular a soma de cada linha, de cada coluna e
a soma total de indivíduos:
Placebo
Princípio Ativo
∑ 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
Melhoram
35
73
108
Não melhoram
28
32
60
∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
63
105
168
O cálculo do valor esperado de cada célula se dá da seguinte maneira:
𝐸𝑖𝑗 = 𝑛 .
𝑛𝑖 𝑛𝑗
.
𝑛 𝑛
Assim:
𝐸11 =
(108)(63)
= 40,5
168
𝐸12 =
(108)(105)
= 67,5
168
(60)(63)
= 22,5
168
𝐸22 =
(60)(105)
= 37,5
168
𝐸21 =
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113
Colocando agora o valor observado e esperado na mesma tabela:
Placebo
Princípio Ativo
∑ 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
𝑂𝑖
𝐸𝑖
𝑂𝑖
𝐸𝑖
Melhoram
35
40,5
73
67,5
108
Não melhoram
28
22,5
32
37,5
60
∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠
63
105
168
Dessa forma, podemos calcular nosso valor amostral:
2
𝜒𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
(30 − 40,5)2 (73 − 67,5)2 (28 − 22,5)2 (32 − 37,5)2
=
+
+
+
40,5
67,5
22,5
37,5
2
𝜒𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
= 3,346
Já nosso valor crítico é, via tabela:
2
𝜒𝑐𝑟í𝑡
= 𝜒 21 ,5%
2
𝜒𝑐𝑟í𝑡
= 3,84
Portanto, não rejeito 𝑯𝟎 , ou seja, não temos evidência estatística de que o princípio ativo é eficaz,
isto é, diferente do placebo, ao nível de 5% de significância.
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