Resumen de Fórmulas – Capı́tulo 6
Regresión Lineal Simple
Ana
Modelo de Regresión Lineal Simple
y i = β 0 + β 1 xi + εi
(6.1)
Supuestos del modelo
E(εi ) = 0
Var(εi ) = σ 2
Cov(εi , εj ) = 0 (i ̸= j)
Estimación por Mı́nimos Cuadrados
n
X
(yi − β̂0 − β̂1 xi )2
(6.2)
i=1
∂ ε̂′ ε̂
∂ β̂0
∂ ε̂′ ε̂
∂ β̂1
= −2
= −2
n
X
(yi − β̂0 − β̂1 xi ) = 0
i=1
n
X
(6.3)
(yi − β̂0 − β̂1 xi )xi = 0
(6.4)
(xi − x̄)(yi − ȳ)
P
(xi − x̄)2
(6.5)
i=1
P
β̂1 =
β̂0 = ȳ − β̂1 x̄
1
(6.6)
Propiedades de los Estimadores
E(β̂1 ) = β1
(6.7)
E(β̂0 ) = β0
(6.8)
2
σ
Var(β̂1 ) = P
(xi − x̄)2
!
x̄2
1
2
+P
Var(β̂0 ) = σ
n
(xi − x̄)2
(6.9)
(6.10)
Estimación de σ 2
2
P
s =
SSE
(yi − ŷi )2
=
n−2
n−2
E(s2 ) = σ 2
SSE =
X
2
(yi − ŷi ) =
(6.11)
(6.12)
[ (xi − x̄)(yi − ȳ)]2
(yi − ȳ) −
P
(xi − x̄)2
P
2
X
(6.13)
Prueba de Hipótesis e Intervalo para β1
t=
β̂1
qP
(xi − x̄)2
s/
β̂1 ± tα/2,n−2 · qP
s
(xi − x̄)2
(6.14)
(6.15)
Coeficiente de Determinación y Correlación
(ŷi − ȳ)2
SSR
=
r =P
2
(yi − ȳ)
SST
2
P
SST = SSR + SSE
(xi − x̄)(yi − ȳ)
qP
r = qP
(xi − x̄)2 ·
(yi − ȳ)2
(6.16)
(6.17)
P
2
(6.18)
Forma alternativa del estadı́stico t
t=
β̂1
qP
s/
(xi − x̄)2
√
n−2·r
t= √
1 − r2
3
(6.19)
(6.20)